├── DeepMath-Creative-data ├── 101道反例题.md ├── 78道证明题.md └── README.md └── README.md /DeepMath-Creative-data/101道反例题.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 1、是否存在一个仅在5个不同点可导的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 2 | 3 | 2、是否存在一个仅在两点连续的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 4 | 5 | 3、是否存在一个不连续函数，但它的反函数是连续函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 6 | 7 | 4、是否存在一个定义在实数集上的连续函数，使得它在任何一个区间都不是单调函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 8 | 9 | 5、是否存在一个仅在3点收敛的幂级数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 10 | 11 | 6、是否存在一个非紧致的度量空间$X$，使得$X$的每个实值连续函数都是有界的？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 12 | 13 | 7、是否存在一个非紧致的度量空间$X$，使得$X$的每个实值连续函数都是一致连续的？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 14 | 15 | 8、是否存在两个度量空间$X$与$Y$，使得$X \times X$与$Y \times Y$等距，但$X$与$Y$不等距？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 16 | 17 | 9、是否存在一个不完备的度量空间，它同胚于它的完备化空间？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 18 | 19 | 10、是否存在一个度量空间之间的连续映射，将Cauchy序列映射为非Cauchy序列？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 20 | 21 | 11、是否存在一个定义在实数集上的函数$f(x)$，满足$f(x)$在$x_0$处的任何邻域内都是无界的，但当$x \rightarrow x_0$时，$f(x)$不趋向无穷大？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 22 | 23 | 12、是否存在一个处处不连续的非常值周期函数，且该函数有最小正周期？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 24 | 25 | 13、是否存在一个处处不连续的非常值周期函数，且该函数没有最小正周期？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 26 | 27 | 14、是否存在一个没有最小正周期的周期函数，且其值域是可数集？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 28 | 29 | 15、是否存在一个没有最小正周期的周期函数，且其值域是不可数集？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 30 | 31 | 16、是否存在一个处处有限却处处局部无界的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 32 | 33 | 17、是否存在一个函数，它不是任何连续函数列在逐点收敛意义下的极限函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 34 | 35 | 18、是否存在一个具有不可数间断点的函数，且它是某个连续函数列逐点收敛的极限？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 36 | 37 | 19、是否存在一个单调函数，使得它仅在有理数点间断？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 38 | 39 | 20、是否存在一个在Cantor集上连续，而在其任一邻接区间上无处连续的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 40 | 41 | 21、是否存在两个不连续函数，使得它们的最小值函数是连续函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 42 | 43 | 22、是否存在一个实数集上的连续函数，使得它在任一开区间上都不是单调函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 44 | 45 | 23、是否存在一个定义在$[0,1]$上的非常值函数，使得其处处取得局部极小值？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 46 | 47 | 24、我们知道闭区间上的连续函数具有介值性质，该命题的逆命题是否成立？若不成立，请说明并举反例。 48 | 49 | 25、是否存在一个实数集上的处处不连续函数$f$，满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$，其中$x,y \in \mathbb{R}$？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 50 | 51 | 26、是否存在一个仅在一点连续且可微的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 52 | 53 | 27、是否存在一个在无理数点处处可导而在有理数点不可导的连续函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 54 | 55 | 28、是否存在一个处处连续但仅在一点可导的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 56 | 57 | 29、是否存在一个Holder连续但处处不可导的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 58 | 59 | 30、是否存在一个处处可导但在任一区间上都不是单调的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 60 | 61 | 31、是否存在一个黎曼可积函数，在任意区间上都没有原函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 62 | 63 | 32、是否存在一个在闭区间上具有原函数但不是黎曼可积的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 64 | 65 | 33、是否存在一个黎曼可积函数，其间断点集合不是零测集？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 66 | 67 | 34、是否存在一个有界函数列，其极限函数在任意非空区间上都不是黎曼可积的？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 68 | 69 | 35、是否存在一个发散的无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，使得$\sum_{n=1}^{\infty} (1+a_n)$收敛？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 70 | 71 | 36、是否存在一个有界函数，其逐点极限是无界函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 72 | 73 | 37、是否存在一个无处连续的函数列，但一致收敛于一个处处连续的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 74 | 75 | 38、是否存在定义在$[0,\infty)$上的广义黎曼可积函数列$f_n$，使得$f_n$一致收敛于0，但$\int_0^\infty f_n(x)dx$发散？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 76 | 77 | 39、是否存在定义在$[1,\infty)$上的广义黎曼可积函数列$f_n$，使得$f_n$一致收敛于$f$，但$f$不是广义黎曼可积函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 78 | 79 | 40、是否存在欧氏空间中的一个开集$U$，使得其勒贝格测度不等于其闭包的勒贝格测度？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 80 | 81 | 41、是否存在$[0,1]$中的不可数稠密集，其勒贝格测度为0？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 82 | 83 | 42、是否存在欧氏空间中有界的零测度集$E$，使得$E+E$是不可测集？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 84 | 85 | 43、是否存在实数集的子集$A$，使得$A$与$A^c$中任一可测子集的勒贝格测度都为0？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 86 | 87 | 44、是否存在一个定义在$\mathbb{R}$上的函数$f$，使得对任意有理数$a$，集合$\{x|f(x)=a\}$都是不可测集？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 88 | 89 | 45、是否存在一个单调且连续函数，其导数几乎处处为零？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 90 | 91 | 46、是否存在一个严格单调且连续函数，其导数几乎处处为零？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 92 | 93 | 47、是否存在闭区间上的有界函数$f$，具有原函数但不黎曼可积？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 94 | 95 | 48、是否存在欧氏空间间的同胚映射，将测度为零的集合映射为测度大于零的集合？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 96 | 97 | 49、是否存在实数集的两个同胚子集，其中一个是稠密集而另一个不是？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 98 | 99 | 50、是否存在欧氏空间中可测集$E$与可测函数$f\in L^p(E)$（$p=1,2,...,\infty$），使得$\lim_{p\rightarrow +\infty}\|f\|_{L^p(E)} \neq \|f\|_{L^{\infty}(E)}$？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 100 | 101 | 51、是否存在一个在闭区间上绝对连续但在任一子区间上都不是单调的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 102 | 103 | 52、是否存在一致收敛的绝对连续函数列，其极限函数不是绝对连续函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 104 | 105 | 53、是否存在一个在闭区间上一致连续但不是绝对连续的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 106 | 107 | 54、是否存在一个在闭区间上严格递增且连续但不是绝对连续的函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 108 | 109 | 55、是否存在一个在闭区间上严格递增且绝对连续的函数$f$，使得$f$将勒贝格测度大于0的集合映射为勒贝格测度为0的集合？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 110 | 111 | 56、是否存在一个严格递增且绝对连续的函数，其反函数不是绝对连续函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 112 | 113 | 57、是否存在一个收敛的三角级数，但不是某个勒贝格可积函数的傅里叶级数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 114 | 115 | 58、是否存在一个系数趋于零但处处发散的三角级数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 116 | 117 | 59、是否存在一个有界变差函数，其傅里叶级数不是绝对收敛的？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 118 | 119 | 60、是否存在平面内的稠密集，其中不包含三个共线点？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 120 | 121 | 61、是否存在$\mathbb{R}^3$中的一个曲面，其内接多面体面积不收敛于其自身面积？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 122 | 123 | 62、是否存在一个二元函数，其两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 124 | 125 | 63、是否存在Banach空间之间的无界线性算子$T$，其逆$T^{-1}$存在且有界？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 126 | 127 | 64、是否存在两个连续闭映射，其乘积映射不是闭映射？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 128 | 129 | 65、是否存在$[0,1]\times[0,1]$上的不可测函数$f(x,y)$，其两个累次勒贝格积分都存在且相等？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 130 | 131 | 66、是否存在$[0,1]\times[0,1]$上的不可测函数$f(x,y)$，其一个累次勒贝格积分存在而另一个不存在？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 132 | 133 | 67、是否存在$[0,1]\times[0,1]$上的可测函数$f(x,y)$，其一个累次勒贝格积分存在而另一个不存在？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 134 | 135 | 68、是否存在$[0,1]\times[0,1]$上的不可测函数$f(x,y)$，其两个累次勒贝格积分都存在但不相等？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 136 | 137 | 69、是否存在$[0,1]\times[0,1]$上的可测函数$f(x,y)$，其两个累次勒贝格积分都存在但不相等？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 138 | 139 | 70、是否存在$[0,1]\times[0,1]$上的可测函数$f(x,y)$，其两个累次勒贝格积分都存在且相等，但$f(x,y)$不是该区域上的勒贝格可积函数？若存在，请举例并证明；若不存在，请说明理由。 140 | 141 | 71、设 $G$ 是群，若任意非单位元 $a \in G$ 的阶都是 $3$，则 $G$ 一定是交换群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 142 | 143 | 72、若 $G$ 是群，$a,b \in G$，且 $o(a) = \infty$, $o(b) < \infty$，则 $o(ab) = \infty$ 一定成立吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 144 | 145 | 73、有理数加法群 $\mathbb{Q}$ 是有限生成的吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 146 | 147 | 74、有限生成的群的子群一定是有限生成的吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 148 | 149 | 75、若 $H_1$ 和 $H_2$ 是群 $G$ 的子群，且 $H_1H_2 = H_2H_1$，则是否有 $h_1 h_2 = h_2 h_1$ 对任意 $h_1 \in H_1, h_2 \in H_2$ 都成立？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 150 | 151 | 76、设 $H, K_1, K_2$ 是群 $G$ 的子集，是否一定有 $H(K_1 \cap K_2) = HK_1 \cap HK_2$？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 152 | 153 | 77、设 $H$ 是 $G$ 的一个子群，$a, b \in G$，若 $aH = bH$，是否一定有 $a^2H = b^2H$？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 154 | 155 | 78、设 $G$ 是一个 $n$ 阶有限群，若 $m$ 整除 $n$，是否一定存在 $m$ 阶的元素 $a \in G$？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 156 | 157 | 79、设 $H, K$ 是群 $G$ 的两个有限子群，$HK$ 一定是 $G$ 的子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 158 | 159 | 80、若 $H$ 是群 $G$ 的子群，$K$ 是群 $G$ 的正规子群，则 $H \cap K$ 一定是 $G$ 的正规子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 160 | 161 | 81、设 $H$ 是群 $G$ 的子群，若指数 $[G:H] = 3$，则 $H$ 一定是 $G$ 的正规子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 162 | 163 | 82、设 $f$ 是群 $G_1$ 到群 $G_2$ 的同态，若 $N$ 是 $G_1$ 的正规子群，则 $f(N)$ 一定是 $G_2$ 的正规子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 164 | 165 | 83、若群 $G$ 的任意真子群都是正规子群，则 $G$ 一定是交换群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 166 | 167 | 84、若 $H$ 是 $G$ 的无限子群，$g \in G$，则 $gHg^{-1} \subseteq H$ 当且仅当 $gHg^{-1} = H$ 吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 168 | 169 | 85、有理数加法群 $(\mathbb{Q}, +)$ 和非零有理数乘法群 $(\mathbb{Q}^*, \cdot)$ 同构吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 170 | 171 | 86、设环 $R$ 不是零环，$S$ 是 $R$ 的非平凡子环，若 $1$ 是 $R$ 的单位元，$1'$ 是子环 $S$ 的单位元，则是否一定有 $1' = 1$？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 172 | 173 | 87、设 $R$ 是环，若 $a, b \in R$，满足 $(ab)^2 = (ba)^2$，是否一定有 $(ab + ba)(ab - ba) = 0$？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 174 | 175 | 88、可除环一定是交换环吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 176 | 177 | 89、若 $R$ 是交换环，$a \in R$，则 $a$ 生成的理想为 $(a) = \{ar \mid r \in R\}$。若环 $R$ 不是交换的，则 $\{ar \mid r \in R\}$ 一定是 $R$ 的理想吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 178 | 179 | 90、设 $R$ 是非交换环，$I$ 和 $J$ 都是 $R$ 的理想，若 $I + J = R$，则 $I \cap J = IJ$ 一定成立吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 180 | 181 | 91、存在从 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 到 $\mathbb{Q}[\sqrt{7}]$ 的环同态吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 182 | 183 | 92、设 $A, B$ 是两个集合，若 $A + B$ 是凸集，那么 $A$ 和 $B$ 都是凸集吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 184 | 185 | 93、设 $A$ 是闭的，那么 $\mathrm{conv}(A)$ 也是闭的吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 186 | 187 | 94、设 $\mathrm{cl}(A)$ 表示集合 $A$ 的闭包，设 $A, B$ 是两个集合，那么 $\mathrm{cl}(A + B) = \mathrm{cl}(A) + \mathrm{cl}(B)$ 成立吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 188 | 189 | 95、设 $\mathrm{relint}(A)$ 表示集合 $A$ 的相对内部，设 $A, B$ 是两个集合，是否有 $\mathrm{relint}(A + B) = \mathrm{relint}(A) + \mathrm{relint}(B)$？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 190 | 191 | 96、设 $A$ 是 $n$ 维空间中的一个非空闭凸集。$A$ 的一个支持集又称为 $A$ 的一个暴露面（exposed face）。暴露面的暴露面一定是原凸集的暴露面吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 192 | 193 | 97、称 $B$ 是一个凸体 $A$ 的真面（proper face），若 $B$ 是 $A$ 的一个除 $A$ 自身和空集之外的面。设 $A$ 是 $n$ 维空间中的一个非空闭凸集，$A$ 的一个支持集又称为 $A$ 的一个暴露面（exposed face）。那么真面一定是暴露面吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 194 | 195 | 98、设 $A, B, C$ 是三个三维空间中的凸体，$V(A,B,C)$ 表示 $A, B, C$ 的混合体积。若 $V(A,B,B)^2 = V(A,A,B)V(B)$，那么 $A$ 和 $B$ 一定是位似的吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 196 | 197 | 99、若凸体列 $A_i$ 是一串凸体，且收敛到 $A$。那么 $V(A_i)$ 一定收敛到 $V(A)$ 吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 198 | 199 | 100、设 $V(A,B)$ 表示二维平面上的凸体 $A, B$ 的混合体积。若 $V(A,B) = V(A,A)$，是否有 $A = B$？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 200 | 201 | 101、设 $u \in S^{n-1}$，记 $s_u(K)$ 为凸体 $K$ 在 $u$ 方向上的 Steiner 对称化。若分别在 $u, v$ 上都做 Steiner 对称化得到凸体 $s_u(s_v(K))$，则 $s_u(s_v(K))$ 一定关于面 $u^{\perp}$ 和面 $v^{\perp}$ 对称吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 202 | 203 | -------------------------------------------------------------------------------- /DeepMath-Creative-data/78道证明题.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 1、设 $R$ 是唯一因子分解环，则两个本原多项式 $f(x),g(x)\in R[x]$ 的乘积 $f(x)g(x)$ 仍然是本原多项式吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 2 | 3 | 2、设 $H$ 是交换群 $G$ 的子群，若 $G/H$ 和 $H$ 中的任意元都一定存在平方根，则 $G$ 中的任意元一定存在平方根吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 4 | 5 | 3、设 $G$ 是群，$g \in G$，$g$ 的阶为 $n = n_1 n_2$，并且 $n_1$ 与 $n_2$ 互素。则使得 $g = g_1 g_2$ 的 $n_1$ 阶元素 $g_1$ 和 $n_2$ 阶元素 $g_2$，并满足 $g_1 g_2 = g_2 g_1$ 的 $g_1$ 和 $g_2$ 一定是唯一的吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 6 | 7 | 4、设 $R$ 是实数加法群，若 $H$ 是 $R$ 的子群，则一定存在某个 $a \in R$ 使得 $H = \{n a \mid n = 0, \pm1, \pm2, \cdots\}$ 或者 $H$ 一定在 $R$ 中稠密吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 8 | 9 | 5、有理数加法群 $\mathbb{Q}$ 的任意有限生成的子群一定是循环群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 10 | 11 | 6、二面体群 $D_n$ 是两个非交换元生成的非交换群，反过来，任意由两个2阶元生成的非交换有限群一定与二面体群同构吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 12 | 13 | 7、若群 $G$ 只有有限多个子群，则 $G$ 一定是有限群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 14 | 15 | 8、若群 $G$ 有且只有3个子群，则 $G$ 一定是循环群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 16 | 17 | 9、设 $p$ 是素数，则 $f(x) = x^2 + b x + c \in \mathbb{Z}_p[x]$ 是可约多项式的充要条件为 $b^2 - 4c$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 的某个元素的平方吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 18 | 19 | 10、任意6阶群 $G$ 有且只有一个3阶子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 20 | 21 | 11、设 $m$ 是正整数，若 $a \in \mathbb{Z}_m$，对于每个 $b \in \mathbb{Z}_m$，在什么情况下，方程 $a x = b$ 在 $\mathbb{Z}_m$ 中有几个解呢？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 22 | 23 | 12、设 $f$ 是群 $G_1$ 到群 $G_2$ 的同态，则对于 $G_1$ 的正规子群 $N$，$f(N)$ 一定是 $f(G_1)$ 的正规子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 24 | 25 | 13、对于群 $G$ 的子群 $H$，若对于任意 $G$ 到 $G$ 的自同构 $f$，都有 $f(H)=H$，则称 $H$ 是 $G$ 的特征子群（characteristic subgroup）。$G$ 的特征子群一定是 $G$ 的正规子群吗？反过来呢？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 26 | 27 | 14、设 $Z(G)$ 是群 $G$ 的中心，若 $G/Z(G)$ 是循环群，则 $G$ 一定是交换群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 28 | 29 | 15、设 $G$ 是有限群，$H$ 是 $G$ 的正规子群，若 $|H|$ 与 $[G:H]$ 互素，则 $H$ 是 $G$ 中唯一的 $|H|$ 阶子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 30 | 31 | 16、若 $n \geqslant 3$，则二面体群 $D_n$ 的换位子群是什么？请说明并证明。 32 | 33 | 17、若 $H$ 是 $G$ 的正规子群，$G/H$ 是交换群当且仅当 $H$ 包含 $G$ 的换位子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 34 | 35 | 18、存在阶是无穷的单群吗？若结论成立，请举例；若结论不成立，请证明。 36 | 37 | 19、是否有群 $G$，存在 $G$ 到 $G$ 的满同态 $f$，但 $f$ 不是单同态？若结论成立，请举例；若结论不成立，请证明。 38 | 39 | 20、能用有限生成的交换群的基本定理判断 $(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8)/\langle (1,2) \rangle$ 与什么群同构吗？请说明理由。 40 | 41 | 21、若 $(G,\tau)$ 是拓扑空间，$H$ 是 $G$ 的子集，则称包含 $H$ 的最小闭集为 $H$ 的闭包，记为 $\overline{H}$。拓扑群 $(G,\tau)$ 的子群 $H$ 的闭包 $\overline{H}$ 也是子群吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 42 | 43 | 22、设 $G$ 是拓扑群，则对于任意包含单位元 $e$ 的开集 $U$ 和任意 $G$ 的紧子集 $K$，都存在包含 $e$ 的开集 $V$，使得 $a V a^{-1} \subseteq U$ 对于任意 $a \in K$ 都成立吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 44 | 45 | 23、是否存在一个有单位元的非交换环 $R$，有 $a, b \in R$，满足 $ab = 1$ 但 $ba \ne 1$ 呢？若结论成立，请举例；若结论不成立，请证明。 46 | 47 | 24、设 $p$ 是素数，群 $G$ 的阶为 $p^2$，则 $G$ 的 $p$ 阶正规子群都一定包含在 $G$ 的中心 $Z(G)$ 吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 48 | 49 | 25、若 $I$ 和 $J$ 都是环 $R$ 的理想，则理想 $I$ 和 $J$ 的乘积一定包含在 $I \cap J$ 吗？有可能是真包含吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 50 | 51 | 26、设 $R$ 是环，$I,J$ 和 $K$ 都是 $R$ 的理想，则 $I \cap (J+K) = (I \cap J) + (I \cap K)$ 一定成立吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 52 | 53 | 27、设 $C[0,1]$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数全体构成的环，则 $I = \{f \in C[0,1] \mid f(0) = 0\}$ 是 $C[0,1]$ 的极大理想吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 54 | 55 | 28、设 $F$ 为域，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为 $F$ 中 $n$ 个不同的元素，则一定存在域 $F$ 上的非常量多项式 $f(x)$，使得对所有 $a_i \in F$，有 $f(a_i) = 1$ 成立吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 56 | 57 | 29、域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 的任何理想都是主理想吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 58 | 59 | 30、如何用 Eisenstein 判别法证明 $f(x) = x^2 + x + 1$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 是不可约多项式？请给出详细证明过程。 60 | 61 | 31、Is the space \(S^{\infty}\) contractible? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 62 | 63 | 32、Let \(A_1, A_2, A_3\) be compact sets in \(\mathbb{R}^3\). Can the Borsuk-Ulam theorem be used to show that there exists a plane \(P \subset \mathbb{R}^3\) that simultaneously bisects each \(A_i\) in measure? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 64 | 65 | 33、Consider the quotient space \(X\) of a cube \(I^3\) obtained by identifying each face with the opposite face using a right-handed screw motion (translation plus one-quarter twist). Is \(X\) a cell complex with two 0-cells, four 1-cells, three 2-cells, and one 3-cell? Does \(\pi_1(X)\) equal the quaternion group \(\{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 66 | 67 | 34、Let \(X\) be a path-connected, locally path-connected, semilocally simply-connected space. Does there exist a unique (up to isomorphism) abelian covering space of \(X\) that covers all other abelian covering spaces of \(X\)? If the statement is true, provide a proof and describe it explicitly for \(X = S^1 \vee S^1\) and \(X = S^1 \vee S^1 \vee S^1\); if not, give a counterexample. 68 | 69 | 35、Can the simplicial homology groups of the Klein bottle be computed using the \(\Delta\)-complex structure described in the text? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 70 | 71 | 36、Let \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) be an invertible linear map. Is the induced map on \(H_n(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n - \{0\}) \cong \mathbb{Z}\) equal to \(\pm 1\) depending on the sign of \(\det(f)\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 72 | 73 | 37、Let \(f(z)\) be a complex polynomial viewed as a map \(\mathbb{C} \to \mathbb{C}\). Can it be extended to \(\hat{f}: S^2 \to S^2\) with \(\deg(\hat{f}) = \deg(f)\)? Is the local degree at a root equal to its multiplicity? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 74 | 75 | 38、Let \(f: S^n \to S^n\) be an even map, i.e., \(f(x) = f(-x)\). Must \(\deg(f)\) be even? Must it be zero when \(n\) is even? Can any even degree occur when \(n\) is odd? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 76 | 77 | 39、设嵌入于 \(\mathbb{R}^3\) 中的 genus 为 \(\mathfrak{g}\) 的曲面 \(M_g\) 所围成的区域为 \(R\)。若将两份 \(R\) 沿边界 \(M_g\) 恒等粘合得到闭三维流形 \(X\)，是否可以用 Mayer-Vietoris 序列计算其同调群？是否能计算 \(H_i(R, M_g)\)？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 78 | 79 | 40、可缩空间的形变收缩核一定是可缩的吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 80 | 81 | 41、若 \(A,B\) 是 CW 复形 \(X=A \cup B\) 的可缩子复形，并且 \(A \cap B\) 也可缩，则 \(X\) 一定可缩吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 82 | 83 | 42、设 \(X\) 是拓扑空间。若任意映射 \(S^1 \rightarrow X\) 都同伦于常值映射，则任意映射 \(S^1 \rightarrow X\) 都可以扩张为 \(D^2 \rightarrow X\) 吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 84 | 85 | 43、设 \(X = S^1 \vee S^1\)，\(f: X \to X\) 是保基点映射。设环面 \(T_f := X \times I/\left(x,0\right) \sim \left(f(x),1\right)\)，是否可以计算其基本群 \(\pi_1(T_f)\)？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 86 | 87 | 44、设 \(X\) 是道路连通、局部道路连通的拓扑空间，若其基本群是有限群，则任意从 \(X\) 到 \(S^1\) 的连续映射都是零伦的吗？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 88 | 89 | 45、设 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的形变收缩核，是否包含映射 \(i : A \rightarrow X\) 在同调群上的诱导映射 \(i_* : H_n(A) \to H_n(X)\) 总是单射？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 90 | 91 | 46、对任意拓扑空间 \(X\)，是否有 \(\widetilde{H}_n(X) \cong H_{n+1}(SX)\)，其中 \(SX\) 是 \(X\) 的双角锥？若结论成立，请证明；若结论不成立，请举出反例。 92 | 93 | 47. Let \(A\) be a ring and let \(A\left\lbrack x\right\rbrack\) be the ring of polynomials in an indeterminate \(x\), with coefficients in \(A\). Let \(f = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \in A[x]\). 94 | 95 | i) Is \(f\) a unit in \(A[x]\) if and only if \(a_0\) is a unit in \(A\) and \(a_1, \ldots, a_n\) are nilpotent? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 96 | 97 | ii) Is \(f\) nilpotent if and only if all coefficients \(a_0, \ldots, a_n\) are nilpotent? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 98 | 99 | iii) Is \(f\) a zero-divisor if and only if there exists \(a \neq 0\) in \(A\) such that \(af = 0\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 100 | 101 | iv) If \(f\) is said to be primitive if \((a_0, \ldots, a_n) = (1)\), is \(fg\) primitive if and only if both \(f\) and \(g\) are primitive? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 102 | 103 | 48. Let \(A\) be a ring and \(A[[x]]\) the ring of formal power series with coefficients in \(A\). 104 | 105 | i) Is \(f\) a unit in \(A[[x]]\) if and only if \(a_0\) is a unit in \(A\)? 106 | 107 | ii) If \(f\) is nilpotent, are all coefficients \(a_n\) nilpotent? Is the converse true? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 108 | 109 | iii) Does \(f\) belong to the Jacobson radical of \(A[[x]]\) if and only if \(a_0\) belongs to the Jacobson radical of \(A\)? 110 | 111 | iv) Is the contraction of a maximal ideal \(\mathfrak{m}\) of \(A[[x]]\) a maximal ideal of \(A\), and is \(\mathfrak{m}\) generated by \(\mathfrak{m}^c\) and \(x\)? 112 | 113 | v) Is every prime ideal of \(A\) the contraction of a prime ideal of \(A[[x]]\)? 114 | 115 | 49. Let \(A\) be a ring in which every element \(x\) satisfies \(x^n = x\) for some \(n > 1\). Is every prime ideal of \(A\) maximal? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 116 | 117 | 50. Let \(\mathfrak{a} \neq (1)\) be an ideal in a ring \(A\). Is \(\mathfrak{a} = r(\mathfrak{a})\) if and only if \(\mathfrak{a}\) is an intersection of prime ideals? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 118 | 119 | 51. Let \(K\) be a field and \(\Sigma\) the set of all irreducible monic polynomials in one indeterminate over \(K\). Define \(A = K[x_f : f \in \Sigma]\) and \(\mathfrak{a} = (f(x_f) : f \in \Sigma)\). Is \(\mathfrak{a} \neq (1)\)? Construct a field \(L\) as described. Is \(\bar{K} \subseteq L\) an algebraic closure of \(K\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 120 | 121 | 52. Let \(\Sigma\) be the set of all ideals in \(A\) whose elements are zero-divisors. Does \(\Sigma\) contain maximal elements, and are they prime? Is the set of all zero-divisors a union of prime ideals? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 122 | 123 | 53. Let \(X = \text{Spec}(A)\). For each subset \(E \subseteq A\), define \(V(E) = \{ \mathfrak{p} \in X : E \subseteq \mathfrak{p} \}\). Prove: 124 | 125 | i) \(V(E) = V(\mathfrak{a}) = V(r(\mathfrak{a}))\) where \(\mathfrak{a}\) is the ideal generated by \(E\); 126 | 127 | ii) \(V(0) = X, V(1) = \emptyset\); 128 | 129 | iii) \(V\left( \bigcup_{i \in I} E_i \right) = \bigcap_{i \in I} V(E_i)\); 130 | 131 | iv) \(V(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}) = V(\mathfrak{ab}) = V(\mathfrak{a}) \cup V(\mathfrak{b})\). 132 | 133 | 54. Let \(X = \text{Spec}(A)\). Are the sets \(X_f = X \setminus V(f)\) open and form a basis for the Zariski topology? Prove: 134 | 135 | i) \(X_f \cap X_g = X_{fg}\); 136 | 137 | ii) \(X_f = \emptyset \Leftrightarrow f\) is nilpotent; 138 | 139 | iii) \(X_f = X \Leftrightarrow f\) is a unit; 140 | 141 | iv) \(X_f = X_g \Leftrightarrow r((f)) = r((g))\); 142 | 143 | v) \(X\) is quasi-compact; 144 | 145 | vi) Each \(X_f\) is quasi-compact; 146 | 147 | vii) An open subset of \(X\) is quasi-compact if and only if it is a finite union of \(X_f\)'s. 148 | 149 | 55. Let \(x \in \text{Spec}(A)\) be a prime ideal \(\mathfrak{p}_x\). Show: 150 | 151 | i) \(\{x\}\) is closed \(\Leftrightarrow \mathfrak{p}_x\) is maximal; 152 | 153 | ii) \(\overline{\{x\}} = V(\mathfrak{p}_x)\); 154 | 155 | iii) \(y \in \overline{\{x\}} \Leftrightarrow \mathfrak{p}_x \subseteq \mathfrak{p}_y\); 156 | 157 | iv) \(\text{Spec}(A)\) is a \(T_0\)-space. 158 | 159 | 56. Is \(\text{Spec}(A)\) irreducible if and only if the nilradical of \(A\) is a prime ideal? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 160 | 161 | 57. Let \(X\) be a topological space. 162 | 163 | i) If \(Y \subseteq X\) is irreducible, is its closure \(\bar{Y}\) also irreducible? 164 | 165 | ii) Does every irreducible subspace lie in a maximal irreducible subspace? 166 | 167 | iii) Are the maximal irreducible subspaces closed and do they cover \(X\)? What are they in Hausdorff spaces? 168 | 169 | iv) If \(X = \text{Spec}(A)\), are irreducible components of \(X\) of the form \(V(\mathfrak{p})\) for minimal prime \(\mathfrak{p}\)? 170 | 171 | 58. Let \(\phi : A \to B\) be a ring homomorphism. Let \(X = \text{Spec}(A), Y = \text{Spec}(B)\), and define \(\phi^* : Y \to X\) by \(\mathfrak{q} \mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{q})\). Prove: 172 | 173 | i) \(\phi^{*-1}(X_f) = Y_{\phi(f)}\), so \(\phi^*\) is continuous; 174 | 175 | ii) \(\phi^{*-1}(V(\mathfrak{a})) = V(\mathfrak{a}^e)\); 176 | 177 | iii) \(\overline{\phi^*(V(\mathfrak{b}))} = V(\mathfrak{b}^c)\); 178 | 179 | iv) If \(\phi\) is surjective, is \(\phi^*\) a homeomorphism onto \(V(\ker \phi)\)? 180 | 181 | v) If \(\phi\) is injective, is \(\phi^*(Y)\) dense in \(X\)? Is it dense if and only if \(\ker \phi \subseteq \mathfrak{N}\)? 182 | 183 | vi) For \(\psi : B \to C\), is \((\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*\)? 184 | 185 | vii) Let \(A\) be an integral domain with one nonzero prime \(\mathfrak{p}\), and \(K\) its fraction field. Define \(B = (A/\mathfrak{p}) \times K\), and \(\phi(x) = (\bar{x}, x)\). Is \(\phi^*\) bijective but not a homeomorphism? 186 | 187 | 59. Is \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \otimes_\mathbb{Z} (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = 0\) when \(m, n\) are coprime? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 188 | 189 | 60. Let \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\) be an exact sequence of \(A\)-modules. If \(M'\) and \(M''\) are finitely generated, is \(M\) also finitely generated? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 190 | 191 | 61. Let \(S\) be a multiplicatively closed subset of \(A\), and \(M\) a finitely generated \(A\)-module. Is \(S^{-1}M = 0\) if and only if \(sM = 0\) for some \(s \in S\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 192 | 193 | 62. Let \(A\) be Noetherian and \(f = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \in A[[x]]\). Is \(f\) nilpotent if and only if each \(a_n\) is nilpotent? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 194 | 195 | 196 | 197 | 63、Do there exist four different positive integers \(a\), \(b\), \(c\), and \(d\) such that for every positive integer \(n\), the numbers \(a+n\), \(b+n\), \(c+n\), and \(d+n\) are not pairwise relatively prime? If the statement is true, provide an example and a proof; if not, give a justification. 198 | 199 | 64、Are there arithmetic progressions with difference 10 that contain more than two prime numbers? If the statement is true, find all such progressions; if not, provide a proof. 200 | 201 | 65、Does the equation \(p^2 + 1 = q^2 + r^2\) have solutions for primes \(p\), \(q\), and \(r\)? If so, find four such solutions; if not, provide a proof of impossibility. 202 | 203 | 66、Are there infinitely many composite numbers of the form \(10^n + 3\) for \(n = 1, 2, 3, \ldots\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 204 | 205 | 67、For integers \(n > 1\), is the number \(\frac{1}{5}(2^{4n+2} + 1)\) always composite? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 206 | 207 | 68、Does the Diophantine equation 208 | \[ 209 | y^2 - x(x+1)(x+2)(x+3) = 1 210 | \] 211 | have positive integer solutions \((x, y)\)? If so, find all such solutions; if not, provide a proof of impossibility. 212 | 213 | 69、Does the equation \(4xy - x - y = z^2\) have any solutions in positive integers \(x, y, z\)? If not, prove Euler's theorem. Furthermore, does it have infinitely many solutions in negative integers? If the statement is true, provide a proof or examples; if not, give a justification. 214 | 215 | 70、Let \(D = m^2 + 1\) with \(m\) a positive integer. Does the equation \(x^2 - D y^2 = 1\) have infinitely many positive integer solutions \((x, y)\)? Prove your answer using only elementary methods (do not use Pell’s equation theory). 216 | 217 | 71、Let \(x \in \mathfrak{gl}(n, F)\) have \(n\) distinct eigenvalues \(a_1, \cdots, a_n\) in \(F\). Are the eigenvalues of \(\mathrm{ad}\,x\) precisely the \(n^2\) scalars \(a_i - a_j\) \((1 \leq i, j \leq n)\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 218 | 219 | 72、For small values of \(l\), isomorphisms occur among certain classical Lie algebras. Are \(\mathfrak{A}_1, \mathfrak{B}_1, \mathfrak{C}_1\) all isomorphic? Is \(\mathfrak{D}_1\) the one-dimensional Lie algebra? Are \(\mathfrak{B}_2 \cong \mathfrak{C}_2\) and \(\mathfrak{D}_3 \cong \mathfrak{A}_3\)? What about \(\mathfrak{D}_2\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 220 | 221 | 73、Is it true that the center of \(\mathfrak{gl}(n, F)\) equals \(\mathfrak{s}(n, F)\) (the scalar matrices)? Is the center of \(\mathfrak{sl}(n, F)\) zero unless \(\mathrm{char}(F)\) divides \(n\), in which case it is \(\mathfrak{s}(n, F)\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 222 | 223 | 74、Are \(\mathfrak{t}(n, F)\) and \(\mathfrak{d}(n, F)\) self-normalizing subalgebras of \(\mathfrak{gl}(n, F)\)? Is the normalizer of \(\mathfrak{n}(n, F)\) equal to \(\mathfrak{t}(n, F)\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 224 | 225 | 75、Does every nilpotent Lie algebra \(L\) have an outer derivation as described: write \(L = K + Fx\) with \(K\) an ideal of codimension one, \(C_L(K) \neq 0\), then choose \(z \in C_L(K) \setminus L^{n+1}\) for suitable \(n\), and define a linear map \(\delta\) sending \(K\) to 0 and \(x\) to \(z\)? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 226 | 227 | 76、Let \(L\) be a Lie algebra with ideal \(K\) such that \(L/K\) is nilpotent and \(\mathrm{ad}_x|_K\) is nilpotent for all \(x \in L\). Is \(L\) necessarily nilpotent? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 228 | 229 | 77、Is \(L\) solvable if and only if \([L, L]\) lies in the radical of the Killing form? If the statement is true, provide a proof; if not, give a counterexample. 230 | 231 | 78、Does the equation \(2^m - 3^n = 1\) have any solutions in positive integers \(m, n\)? If so, find all such solutions; if not, provide a proof of impossibility. 232 | -------------------------------------------------------------------------------- /DeepMath-Creative-data/README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 这是一个高质量评测数据集**DeepMath-Creative**，涵盖代数、几何、分析等分支的构造性问题。 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # DeepMath: 开源数学大模型项目 2 | 3 | ## 项目简介 4 | 这是一个由同济大学数学科学学院 DeepMath 团队发起的开源项目，旨在训练一个能够达到数学专业博士生水平的数学大模型。项目不仅致力于提升模型的数学推理能力，还探索大模型是否具备数学创造能力，以及其在前沿数学研究中的潜在应用。 5 | 6 | ## 第一项工作：DeepMath-Creative评测集 7 | 8 | ### 论文标题 9 | 10 | [**DeepMath-Creative: A Benchmark for Evaluating Mathematical Creativity of Large Language Models**](https://arxiv.org/abs/2505.08744) 11 | 12 | ### 摘要概述 13 | 14 | 为了进一步提升大模型的数学能力，DeepMath团队发起了一个开源计划，旨在训练一个开源数学大模型，探索大模型的数学创造能力。本文是该开源计划的第一个工作。目前大语言模型在数学领域的发展主要聚焦于推理能力，已有丰富的评测集用于测试其初等或本科水平的数学推理能力。然而，目前鲜有工作研究大模型的数学创造能力，并且用于评测大模型数学创造能力的数据稀缺。本文研究了大模型的数学创造能力的衡量标准，并构建了一个高质量评测数据集**DeepMath-Creative**，涵盖代数、几何、分析等分支的构造性问题，系统评估了当前主流大语言模型在数学问题上的创造性能力。实验结果表明，即使在相当宽松的评分标准下：强调核心解题步骤，忽略次要错误，如逻辑小漏洞、论证不完整或表述冗余等细节误差。表现最好的模型 O3 Mini 在本科层级的构造性问题上准确率也仅为 70%。在更复杂的问题上，模型性能急剧下降，对于开放问题，模型甚至无法提供有效建议。这一结果表明，尽管当前大模型在熟悉且难度较低的问题中表现出一定的构造能力，但其解题过程多依赖于记忆模式的重组，而非源于真正的创造性理解或新颖的结构性构造。 15 | 16 | ### 数据集位置 17 | 18 | 本论文所使用的 **DeepMath-Creative** 数据集已开源，位于本项目的 [`DeepMath/DeepMath-Creative-data/`](./DeepMath-Creative-data/) 文件夹中。 19 | 20 | ## 联系方式 21 | 如有任何问题或合作意向，请联系项目团队，邮箱：[xychen100@tongji.edu.cn]。 22 | 23 | ## 项目贡献 24 | 欢迎所有对数学和机器学习感兴趣的朋友们加入我们，共同推动 DeepMath 项目的发展。 25 | --------------------------------------------------------------------------------