├── README.md ├── advanced-math ├── exercise │ ├── 1-limit │ │ └── limit.pdf │ ├── 2-function │ │ └── function.pdf │ ├── 8-infinite-series │ │ ├── infinite-series.pdf │ │ └── infinite-series.tex │ ├── 9-differential-equation │ │ ├── differential-equation.pdf │ │ └── differential-equation.tex │ ├── 4-integal-of-functions-of-single-variable │ │ └── integal-of-functions-of-single-variable.pdf │ ├── 5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry │ │ ├── vector-algebra-and-space-analytic-geometry.pdf │ │ └── vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex │ ├── 7-integral-calculus-of-multivariate-functions │ │ └── integral-calculus-of-multivariate-functions.pdf │ ├── 3-differentiation-of-functions-of-single-variable │ │ └── differentiation-of-functions-of-single-variable.pdf │ └── 6-differential-calculus-of-multivariate-functions │ │ └── differential-calculus-of-multivariate-functions.pdf └── knowledge │ ├── 0-perpare │ └── perpare.pdf │ ├── 8-infinite-series │ └── infinite-series.pdf │ ├── 1-function-and-limit │ └── function-and-limit.pdf │ ├── 9-differential-equation │ └── differential-equation.pdf │ ├── 3-applications-of-derivatives │ └── applications-of-derivatives.pdf │ ├── 2-derivatives-and-differential │ └── derivatives-and-differential.pdf │ ├── 4-indefinite-integral-and-definite-integral │ └── indefinite-integral-and-definite-integral.pdf │ ├── 5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry │ ├── vector-algebra-and-space-analytic-geometry.pdf │ └── vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex │ ├── 7-integral-calculus-of-multivariate-functions │ └── integral-calculus-of-multivariate-functions.pdf │ └── 6-differential-calculus-of-multivariate-functions │ └── differential-calculus-of-multivariate-functions.pdf ├── linear-algebra ├── exercise │ ├── 2-matrix │ │ ├── matrix.pdf │ │ └── matrix.tex │ ├── 3-vector │ │ ├── vector.pdf │ │ └── vector.tex │ ├── 5-similar │ │ ├── similar.pdf │ │ └── similar.tex │ ├── 1-determinant │ │ └── determinant.pdf │ ├── 6-quadratic-form │ │ ├── quadratic-form.pdf │ │ └── quadratic-form.tex │ └── 4-linear-equations-system │ │ ├── linear-equations-system.pdf │ │ └── linear-equations-system.tex └── knowledge │ ├── 2-matrix │ └── matrix.pdf │ ├── 3-vector │ ├── vector.pdf │ └── vector.tex │ ├── 5-similar │ ├── similar.pdf │ └── similar.tex │ ├── 1-determinant │ ├── determinant.pdf │ └── determinant.tex │ ├── 6-quadratic-form │ ├── quadratic-form.pdf │ └── quadratic-form.tex │ └── 4-linear-equations-system │ └── linear-equations-system.pdf ├── .gitignore ├── probability-theory-and-mathematical-statistics ├── exercise │ ├── 3-digital-features │ │ ├── digital-features.pdf │ │ └── digital-features.tex │ ├── 5-mathematical-statistics │ │ ├── mathematical-statistics.pdf │ │ └── mathematical-statistics.tex │ ├── 1-random-events-and-probability │ │ ├── random-events-and-probability.pdf │ │ └── random-events-and-probability.tex │ ├── 2-random-variables-and-distribution │ │ └── random-variables-and-distribution.pdf │ └── 4-law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem │ │ ├── law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem.pdf │ │ └── law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem.tex └── knowledge │ ├── 3-digital-features │ ├── digital-features.pdf │ └── digital-features.tex │ ├── 5-mathematical-statistics │ └── mathematical-statistics.pdf │ ├── 1-random-events-and-probability │ ├── random-events-and-probability.pdf │ └── random-events-and-probability.tex │ ├── 2-random-variables-and-distribution │ └── random-variables-and-distribution.pdf │ └── 4-law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem │ ├── law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem.pdf │ └── law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem.tex └── model ├── model.tex └── remember.tex /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Math 2 | 3 | 考研数学一，包括高等数学、线性代数、概率统计 4 | 5 | 参考教材： 6 | 7 | 1. 张宇考研数学基础三十讲。 8 | 2. 李永乐数学基础过关660题。 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Didnelpsun/Math/HEAD/advanced-math/exercise/1-limit/limit.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Didnelpsun/Math/HEAD/linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/exercise/3-vector/vector.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Didnelpsun/Math/HEAD/linear-algebra/exercise/3-vector/vector.pdf -------------------------------------------------------------------------------- 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\usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{标题} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | \section{} 38 | \end{document} 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/4-law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem/law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{大数定律与中心极限定理} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | 38 | \section{大数定律} 39 | 40 | \section{中心极限定理} 41 | \end{document} 42 | -------------------------------------------------------------------------------- /model/remember.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{标题} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | \section{计算机组成原理} 38 | \section{数据结构} 39 | \section{操作系统} 40 | \section{计算机网络} 41 | \section{数学} 42 | \subsection{第一章} 43 | \subsection{第二章} 44 | \subsection{一元积分} 45 | 46 | 弧长公式：$\int_a^b\sqrt{1+y'}\,\textrm{d}x=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2+y'^2}\,\textrm{d}t=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r^2+r'^2}\,\textrm{d}t$。 47 | 48 | 旋转体积公式： 49 | 50 | 形心公式： 51 | 52 | 极限定积分公式： 53 | 54 | \subsection{行列式} 55 | \subsection{矩阵} 56 | 57 | $E=A^{-1}A$。 58 | 59 | $AB=O$，$R(A)+R(B)<=n$ 60 | 61 | $R(A^*)=n/1/0$ 62 | 63 | $A^k=O$，即$E-A^k=E$，$E^k-A^k=E$，$(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1})=E$，$(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$。 64 | \subsection{向量} 65 | 66 | 线性无关：$k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0$，$k_1=\cdots=k_n=0$。 67 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /advanced-math/exercise/5-vector-algebra-and-space-analytic-geometry/vector-algebra-and-space-analytic-geometry.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 6 | \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 7 | \definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 8 | \usepackage{geometry} 9 | \setcounter{tocdepth}{4} 10 | \setcounter{secnumdepth}{4} 11 | % 设置四级目录与标题 12 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 13 | % 默认大小为A4 14 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 15 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 16 | \usepackage{indentfirst} 17 | \setlength{\parindent}{2.45em} 18 | % 首行缩进2个中文字符 19 | \usepackage{setspace} 20 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 21 | % 1.5倍行距 22 | \usepackage{amssymb} 23 | % 因为所以 24 | \usepackage{amsmath} 25 | % 数学公式 26 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 27 | % 超链接 28 | \author{Didnelpsun} 29 | \title{向量代数与空间解析几何} 30 | \date{} 31 | \begin{document} 32 | \maketitle 33 | \pagestyle{empty} 34 | \thispagestyle{empty} 35 | \tableofcontents 36 | \thispagestyle{empty} 37 | \newpage 38 | \pagestyle{plain} 39 | \setcounter{page}{1} 40 | % \section{向量代数} 41 | 42 | \section{空间解析几何} 43 | 44 | \subsection{平面方程} 45 | 46 | \subsection{直线方程} 47 | 48 | \subsection{位置关系} 49 | 50 | \subsection{空间曲线} 51 | 52 | \subsubsection{投影} 53 | 54 | \subsection{空间曲面} 55 | 56 | \section{场论初步} 57 | 58 | \subsection{方向导数} 59 | 60 | \subsection{梯度} 61 | 62 | \subsection{散度与旋度} 63 | 64 | 直接代入公式。 65 | 66 | \textbf{例题：}计算向量场$u(x,y,z)=xy^2i+ye^xj+x\ln(1+z^2)k$在点$P(1,1,0)$的散度和旋度。 67 | 68 | 解：所以$u(x,y,z)=(P,Q,R)$，$P=xy^2$，$Q=ye^x$，$R=x\ln(1+z^2)$。 69 | 70 | $\dfrac{\partial P}{\partial x}=y^2$，$\dfrac{\partial Q}{\partial y}=e^x$，$\dfrac{\partial R}{\partial z}=\dfrac{2zx}{1+z^2}$。 71 | 72 | 代入$P(1,1,0)$，得到散度$\textrm{div}\,\vec{u}=1+e$。 73 | 74 | 旋度$\overrightarrow{\textrm{rot}}\,\vec{u}=\left\vert\begin{array}{ccc} 75 | \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 76 | \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 77 | xy^2 & ye^x & x\ln(1+z^2) 78 | \end{array}\right\vert=\dfrac{\partial x\ln(1+z^2)}{\partial y}\vec{i}+\dfrac{\partial xy^2}{\partial z}\vec{j}+\dfrac{\partial ye^x}{\partial x}\vec{k}-\dfrac{\partial xy^2}{\partial y}\vec{k}-\dfrac{\partial ye^x}{\partial z}\vec{i}-\dfrac{\partial x\ln(1+z^2)}{\partial x}\vec{j}=0+0+ye^x\vec{k}-2xy\vec{k}-0-\ln(1+z^2)\vec{j}=-\ln(1+z^2)\vec{j}+(ye^x-2xy)\vec{k}=(0,0,e-2)$。 79 | 80 | \end{document} 81 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{随机事件与概率} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | 38 | \section{排列组合} 39 | 40 | 排列公式：$A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}$。 41 | 42 | 组合公式：$C_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!m!}$。 43 | 44 | \subsection{捆绑法} 45 | 46 | 要求某些元素必须在一起。 47 | 48 | \textbf{例题：}$ABCDEF$六个人排队，要求$AB$必须在一起，问有多少种排法。 49 | 50 | 解：排法就是排列的问题。首先$AB$在一起，要么是$AB$要么是$BA$，也是一种排列，有$A_2^2$种。 51 | 52 | 然后将$AB$看作一个整体与$CDEF$进行排列，一共五个元素，进行全排列：$A_5^5$。 53 | 54 | 因为是按步骤来的，所以使用乘法：$A_2^2\cdot A_5^5=120$。 55 | 56 | \subsection{插空法} 57 | 58 | 要求某些元素不能相邻。 59 | 60 | \textbf{例题：}要对6个唱歌和4个舞蹈节目进行排列，要求两个舞蹈节目不能相邻，求多少种排法。 61 | 62 | 解：由于是对舞蹈进行限制，所以对唱歌的序列没有特别的限制，第一步先对唱歌进行全排列$A_6^6$。 63 | 64 | 第二步对舞蹈进行排列，由于舞蹈之间不能相邻，所以舞蹈节目必然是在两个唱歌节目之间进行插孔排序的，而唱歌6个节目一共7个空，所以排列$A_7^4$。 65 | 66 | 由于是步骤，所以乘法：$A_6^6\cdot A_7^4$。 67 | 68 | \subsection{插板法} 69 | 70 | 与插空法类似，但是是组合进行归类，而不是排序。 71 | 72 | \textbf{例题：}将8个完全相同的球放入三个不同的盒子，要求每个盒子至少有一个球，求一共有多少种放法。 73 | 74 | 解：相当于在七个空插入两个板。即$C_7^2=21$。 75 | 76 | \section{随机事件概率} 77 | 78 | 是基本事件关系的概率运算。 79 | 80 | \textbf{例题：}已知事件$A$和$B$相互独立，$P(A)=a$，$P(B)=b$，如果事件$C$必然导致$AB$同时发生，则求$ABC$都不发生的概率。 81 | 82 | 解：首先必须理解题目的意思，并将其抽象为具体的计算式子。 83 | 84 | $ABC$都不发生就是$A$不发生且$B$不发生且$C$不发生，用式子表达就是$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$。 85 | 86 | 然后是分析事件$C$必然导致$AB$同时发生，$AB$同时发生就是$AB$，即$AB$比$C$的范围大，$C\subset AB$，$\overline{AB}\subset\overline{C}$，$\therefore\overline{ABC}=\overline{AB}\cap\overline{C}=\overline{AB}$。 87 | 88 | 又事件$AB$相互独立。$P(\overline{AB})=P(\overline{A})P(\overline{B})=(1-a)(1-b)$。 89 | 90 | \section{古典概型} 91 | 92 | \subsection{定义法} 93 | 94 | \subsection{随机分配} 95 | 96 | 将$n$个质点分配倒$N$个容器中： 97 | 98 | % \textbf{例题：}设袋中黑白球各一个，有放回取球，每次取一个，直到两种颜色的球都取到为止。求取球次数恰为3的概率。 99 | 100 | % 解：若是看到题目中的为止，很容易想到后面的几何概率分布。但是这与几何分布不同，因为几何分布要求的停止条件是同一个事件的前几次的失败和最后一次的成功，而这个题目要求是取到黑并且取到白，而不是取到黑或取到白这两个事件，如求取到黑时取求次数为3的概率，则是几何分布。 101 | 102 | % 每次可能取到黑白两种，取三次，则事件总数为$2^3=8$。而取到第三次才取到黑白两色的，则有黑黑白、白白黑两种可能性，所以概率为$\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$。 103 | 104 | \section{独立性} 105 | 106 | \textbf{例题：}射手对同一目标独立地进行4次射击。若至少命中一次的概率为$\dfrac{15}{16}$，则求该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率。 107 | 108 | 解：这个题目其实就是四重伯努利试验，彼此之间的概率都是独立的。令每一次命中的概率为$p$，则该次未命中的概率为$1-p$。 109 | 110 | 若至少命中一次的概率为$\dfrac{15}{16}$，则其对立事件全部不命中的概率为$1-\dfrac{15}{16}=\dfrac{1}{16}$，则$(1-p)^4=\dfrac{1}{16}$，则得到每次命中概率$p=\dfrac{1}{2}$。 111 | 112 | 求该射手对同一目标独立地进行4次射击中至少没命中一次的概率，则其对立事件为每次命中，其概率为$\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}$，则至少没命中一次的概率为$1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}$。 113 | 114 | \end{document} 115 | -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/exercise/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{线性方程组} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | \section{基础解系} 38 | 39 | \subsection{方程求通解} 40 | 41 | \subsection{通解求通解} 42 | 43 | 题目给出$\xi_i$是$Ax=0$的基础解系，然后判断这几个基础解系的变式是否还能称为基础解系，判断条件就是对这些基础解析进行初等运算（往往是加减），如果最后能凑成0则代表其线性相关，所以不能成为基础解系，否则可以。 44 | 45 | 如$\xi_1+\xi_2$、$\xi_2+x_3$、$\xi_3+\xi_1$可以成为，因为$(\xi_1+\xi_2)-(\xi_2+x_3)+(\xi_3+\xi_1)=2\xi_1\neq0$，$\xi_1-\xi_2$、$\xi_2-x_3$、$\xi_3-\xi_1$不能成为，因为$(\xi_1-\xi_2)+(\xi_2-x_3)+(\xi_3-\xi_1)=0$。 46 | 47 | \subsection{特解求通解} 48 | 49 | \subsection{通解判断特解} 50 | 51 | 已知特解为方程的一个解，知道通解，所以特解可以由通解线性表出，所以将通解和特解组成增广矩阵进行初等变换（如果是判断多个向量，则可以一起组成），通解矩阵的秩和增广矩阵的秩相同则代表可以线性表出，否则不能。 52 | 53 | \subsection{特解判断特解} 54 | 55 | 已知特解，对特解进行初等变换，然后判断这个式子是否还是原方程的特解，可以直接将新式子代入原方程求得结果。 56 | 57 | \textbf{例题：}已知$\alpha_1$、$\alpha_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同解，则判断$3\alpha_1-2\alpha_2$是否为原方程的特解。 58 | 59 | 解：已知$\alpha_1$、$\alpha_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同解，即$A\alpha_1=b$，$A\alpha_2=b$。 60 | 61 | 代入$Ax=b$：$A(3\alpha_1-2\alpha_2)=3A\alpha_1-2A\alpha_2=3b-2b=b$，所以成立。 62 | 63 | % \subsection{线性表出} 64 | 65 | \section{反求参数} 66 | 67 | 基本上都是给出方程组有无穷多解： 68 | 69 | \begin{itemize} 70 | \item 齐次方程组：系数矩阵是降秩的；行列式值为0。 71 | \item 非齐次方程组：系数矩阵与增广矩阵秩相同且降秩。 72 | \end{itemize} 73 | 74 | \textbf{例题：}已知齐次线性方程组$\left\{\begin{array}{l} 75 | ax_1-3x_2+3x_3=0 \\ 76 | x_1+(a+2)x_2+3x_3=0 \\ 77 | 2x_1+x_2-x_3=0 78 | \end{array}\right.$有无穷多解，求参数$a$。 79 | 80 | 解：使用矩阵比较麻烦，三阶的系数矩阵可以使用行列式。 81 | 82 | $\vert A\vert=\left\vert\begin{array}{ccc} 83 | a & -3 & 3 \\ 84 | 1 & a+2 & 3 \\ 85 | 2 & 1 & -1 \\ 86 | \end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{ccc} 87 | a & 0 & 3 \\ 88 | 1 & a+5 & 3 \\ 89 | 2 & 0 & -1 \\ 90 | \end{array}\right\vert=(a+5)(a+6)=0$。 91 | 92 | 解得$a=-5$或$a=-6$。 93 | 94 | \section{抽象线性方程} 95 | 96 | 求$Ax=B$的解： 97 | 98 | \begin{enumerate} 99 | \item 求$A$的秩。 100 | \item 求$Ax=0$的基础解系。 101 | \item 求$Ax=\beta$的一个特解。 102 | \end{enumerate} 103 | 104 | \subsection{余子式} 105 | 106 | \textbf{例题：}设$A$为三阶方阵，$A=(a_{ij})_{3\times3}$，且$a_{ij}=A_{ij}$（$i,j=1,2,3$），其中$A_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，$a_{33}\neq0$，$b=(a_{13},a_{23},a_{33})^T$，求非齐次线性方程组$Ax=b$的解。 107 | 108 | 解：由于是抽象线性方程，所以必须要充分利用方程和矩阵的性质。题目中给出的主要是代数余子式，由行列式的一行或一列的元素乘上对应的代数余子式可得行列式值的性质： 109 | 110 | $b$为第三列元素，乘上对应的代数余子式得行列式值：$b(A_{13},A_{23},A_{33})=a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}=a_{13}^2+a_{23}^2+a_{33}^2\geqslant0$。 111 | 112 | 又$a_{33}\neq0$，$\therefore b(A_{13},A_{23},A_{33})=\vert A\vert>0$，$r(A)=3$，$Ax=b$解唯一$x=A^{-1}b$。 113 | 114 | 根据逆矩阵公式$x=A^{-1}b=\dfrac{A^*b}{\vert A\vert}$，且代数余子式乘上非对应元素值都为0。 115 | 116 | $=\dfrac{1}{\vert A\vert}\left[\begin{array}{ccc} 117 | A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ 118 | A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ 119 | A_{13} & A_{23} & A_{33} 120 | \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 121 | a_{13} \\ 122 | a_{23} \\ 123 | a_{33} 124 | \end{array}\right]=\dfrac{1}{\vert A\vert}\left[\begin{array}{c} 125 | 0 \\ 126 | 0 \\ 127 | \vert A\vert 128 | \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 129 | 0 \\ 130 | 0 \\ 131 | 1 132 | \end{array}\right]$。 133 | 134 | \subsection{解的方程} 135 | 136 | \textbf{例题：}已知四阶方阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$为四维列向量，且$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关，若$\alpha_1=2\alpha_2-\alpha_3$，$\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$，求$Ax=\beta$的通解。 137 | 138 | 解：由于$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性无关，$r(A)\geqslant3$，由$\alpha_1=2\alpha_2-\alpha_3$，$r(A)\leqslant3$，所以$r(A)=3$。$s=n-r=4-3=1$，所以解向量为一个。 139 | 140 | 且$\alpha_1=2\alpha_2-\alpha_3$，整理得$\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3+0\alpha_4=0$，即$[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4][1,-2,1,0]^T\\=0$，即$[1,-2,1,0]^T$为$Ax=0$的一个通解。 141 | 142 | $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$，即$\beta=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4][1,1,1,1]^T$，即$[1,1,1,1]^T$为$Ax=\beta$的一个特解。 143 | 144 | 所以基础解系为$k[1,-2,1,0]^T+[1,1,1,1]$。 145 | 146 | \textbf{例题：}已知$4\times3$矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，非齐次线性方程组$Ax=\beta$的通解为$(1,2,-1)^T+k(1,-2,3)^T$，$k$为任意常数，令$B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta+\alpha_3)$，求方程组$By=\alpha_1-\alpha_2$的通解。 147 | 148 | 解：首先求对应$A$和$B$的秩。由于$A$的通解的自由变量为一个，即$r(A)=3-1=2$。 149 | 150 | 由于$Ax=\beta$的通解为$(1,2,-1)^T+k(1,-2,3)^T$，所以根据解的结构，前面为$Ax=0$的通解，后面为$Ax=\beta$的一个特解。 151 | 152 | 即$\alpha_1+2\alpha_2-\alpha_3=\beta$，$\alpha_1-2\alpha_2+3\alpha_3=0$。 153 | 154 | 然后求$B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2)$，通过线性变换可得$B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,0)$，即$r(B)=r(A)=2$。$s=n-r=2$，即$By=\alpha_1-\alpha_2$有两个自由变量。 155 | 156 | 由于$A$的一个通解为$(1,-2,3)^T$，即$\alpha_1-2\alpha_2+3\alpha_3=0$，$B$的前三行跟$A$一样，所以令最后一行为0，即得到一个通解$(1,-2,3,0)^T$。 157 | 158 | 然后根据$B=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2)$，令最后一行不为0，即计算得到另一个通解$(-1,-2,0,1)^T$。 159 | 160 | 由于$\alpha_1-\alpha_2$很简单就能看出特解为$(1,-1,0,0)^T$。 161 | 162 | 所以最后通解为$k_1(1,-2,3,0)^T+k_2(-1,-2,0,1)^T+(1,-1,0,0)^T$（$k_1k_2$为任意常数）。 163 | 164 | \section{公共解} 165 | 166 | \subsection{联立系数矩阵} 167 | 168 | 如果给出系数矩阵，则即联立两个系数矩阵即得到公共解。 169 | 170 | \subsection{基础解系参数计算} 171 | 172 | 如果只给出了基础解系，则令他们相等，并求出参数。 173 | 174 | \section{同解} 175 | 176 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/knowledge/3-vector/vector.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 6 | \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 7 | \definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 8 | \usepackage{geometry} 9 | \setcounter{tocdepth}{4} 10 | \setcounter{secnumdepth}{4} 11 | % 设置四级目录与标题 12 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 13 | % 默认大小为A4 14 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 15 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 16 | \usepackage{indentfirst} 17 | \setlength{\parindent}{2.45em} 18 | % 首行缩进2个中文字符 19 | \usepackage{setspace} 20 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 21 | % 1.5倍行距 22 | \usepackage{amssymb} 23 | % 因为所以 24 | \usepackage{amsmath} 25 | % 数学公式 26 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 27 | % 超链接 28 | \usepackage{pifont} 29 | % 圆圈序号 30 | \author{Didnelpsun} 31 | \title{向量} 32 | \date{} 33 | \begin{document} 34 | \maketitle 35 | \pagestyle{empty} 36 | \thispagestyle{empty} 37 | \tableofcontents 38 | \thispagestyle{empty} 39 | \newpage 40 | \pagestyle{plain} 41 | \setcounter{page}{1} 42 | 43 | 线性代数的主要研究对象就是向量，行列式与矩阵都是由向量组成的向量组。 44 | 45 | \section{向量与向量组} 46 | 47 | \subsection{向量的定义与运算} 48 | 49 | $n$维向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$n$个数构成的一个有序数组$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$称为一个$n$维向量，记为$\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]$，并称$\alpha$为$n$维行向量，$\alpha^T$为$n$维列向量，$a_i$为向量$\alpha$的$i$个分量。 50 | 51 | 若$\alpha$与$\beta$都是$n$维向量，且对应元素相等，则$\alpha=\beta$。 52 | 53 | $\alpha+\beta=[a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n]$。 54 | 55 | $k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_3]$。 56 | 57 | \subsection{向量组的线性概念} 58 | 59 | 线性组合\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$以及$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，则向量$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$就是向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$的线性组合。 60 | 61 | 线性表出\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若向量$\beta$能表示成向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_m$的线性组合，则存在$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$，则成向量$\beta$能被向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表出。否则不能被线性表出。 62 | 63 | 线性相关\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关。 64 | 65 | 含有零向量或成比例向量的向量组必然线性相关。 66 | 67 | 线性无关\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，不存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，即仅当$k_1=k_2=\cdots=k_m=0$才成立，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性无关。 68 | 69 | 两个非零向量，不成比例向量的向量必然线性无关。 70 | 71 | \section{线性相关性} 72 | 73 | \subsection{线性相关判定} 74 | 75 | \begin{enumerate} 76 | \item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$（$n\geqslant2$）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其他$n-1$个向量线性表出。若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关的充要条件是向量组的任何一个向量都不能被其他$n-1$个向量线性表出。 77 | \item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，而$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示，且表示方法唯一。 78 | \item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，且$n>s$，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关。（以少表多，多的相关）若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则$n\leqslant s$。 79 | \item 设$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$，其中$\alpha_1=[a_{11},a_{12},\cdots,a_{m1}]^T$，$\cdots$，$\alpha_m=[a_{1m},a_{2m},\cdots,a_{mm}]^T$，则向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关的充要条件是齐次线性方程$Ax=0$有非零解，其中$A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m]$，$x=[x_1,x_2,\cdots,x_m]^T$。$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关的充要条件是齐次线性方程$Ax=0$只有零解。 80 | \item 向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$表出，则向量组$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n][x_1,x_2,\cdots,x_n]^T=\beta$有解，即$r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n])=r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta])$。否则则不能表出，则方程无解，$r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n])+1=r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta])$ 81 | \item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$存在一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则任意一部分向量组线性无关。 82 | \item 设$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关，则把这些向量中每个各任意添加$s$个分量所得到的新向量组（$n+s$维）$\alpha_1^*,\alpha_2^*,\cdots,\alpha_m^*$也是线性无关的；如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关，则每个各去掉相同的若干分量得到的新向量组也线性相关。（原来无关延长无关，原来相关缩短相关） 83 | \end{enumerate} 84 | 85 | \subsection{极大线性无关组} 86 | 87 | \subsubsection{概念} 88 | 89 | 极大线性无关组\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}在向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中，若存在部分$a_i,a_j,\cdots,a_k$满足：\ding{172}$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性无关；\ding{173}向量组中任一向量$a_s$（$i=1,2,\cdots,n$）均可由$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性表出，则称向量组$a_i,a_j,\cdots,a_k$为原向量组的极大线性无关组。 90 | 91 | 不包含无用约束方程的最简方程组的系数矩阵就是极大线性无关组。 92 | 93 | 向量组的极大线性无关组一般不唯一，只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是其本身。 94 | 95 | \section{向量组秩} 96 | 97 | 向量组构成矩阵的秩等于行向量组的秩等于列向量组的秩。 98 | 99 | 若$A$通过初等行变换为$B$，则$AB$的行向量组是等价向量组，任何对应的部分列向量组都具有同样的线性相关性。 100 | 101 | 若向量组$B$均可由$A$线性表出，则$r(B)\leqslant r(A)$。 102 | 103 | \section{等价向量组} 104 | 105 | 任何一个组都可以由其极大线性无关组来代表。 106 | 107 | \subsection{定义} 108 | 109 | 设两个向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$和$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$，若这两个向量组可以互相线性表出，则称其为等价向量组，记为$\alpha\cong\beta$。 110 | 111 | 具有的性质： 112 | 113 | \begin{enumerate} 114 | \item $A\cong A$（反身性）。 115 | \item $A\cong B$，则$B\cong A$（对称性）。 116 | \item $A\cong B$，$B\cong C$，则$A\cong C$（传递性）。 117 | \end{enumerate} 118 | 119 | 向量组和其极大线性无关组是等价向量组。 120 | 121 | \subsection{判定} 122 | 123 | 若$r(A)=r(B)=r(A|B)$，则向量组等价。 124 | 125 | $r(A)=r(B)$，$A$可以由$B$表出（只需要一个方向的表出），则向量组等价。 126 | 127 | $PAQ=B$（$PQ$为可逆矩阵），通过初等行列变换$A$能转换为$B$。 128 | 129 | \subsection{与等价矩阵区别} 130 | 131 | 对于矩阵而言，若$A\cong B$，则$AB$同型且$r(A)=r(B)$。 132 | 133 | 对于向量组而言，若$A\cong B$，则$AB$同维（行数相同）且$r(A)=r(B)=r(A|B)$。 134 | 135 | 等价向量组跟等价矩阵不同，等价矩阵必然完全一致，而等价向量组只要其极大线性无关组一致，可以多一些其他线性相关向量。 136 | 137 | \section{向量空间} 138 | 139 | \subsection{基本概念} 140 | 141 | 若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$是$n$维向量空间$R^n$中的线性无关的有序向量组，则任意向量$\alpha\in R^n$均可由$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$线性表出，记为$\alpha=a_1\xi_1+a_2\xi_2+\cdots+a_n\xi_n$，类似一个极大线性无关组，则称有序向量组$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$为$R^n$的一个\textbf{基}，基向量的个数$n$为向量空间的\textbf{维数}，而$[a_1,a_2,\cdots,a_n]([a_1,a_2,\cdots,a_n]^T)$为向量$\alpha$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$下的\textbf{坐标}，或称为$\alpha$的坐标行列向量。 142 | 143 | \subsection{基变换与坐标变换} 144 | 145 | 若$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$和$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$是$R^n$中两个基，且有关系：$[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]C_{n\times n}$，则这个式子称为基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的\textbf{基变换公式}，矩阵$C$就是基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的\textbf{过渡矩阵}，$C$可逆，$C$的第$i$列就是$\eta_i$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$下的坐标列向量。 146 | 147 | $\alpha$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$和基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$下坐标分别为$x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$，$y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T$，即$\alpha=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]x=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]y$。又$C$是基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的过渡矩阵，则$[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]C$，则$\alpha=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]x=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]y=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]Cy$，从而$x=Cy$或$y=C^{-1}x$，这个就是\textbf{坐标变换公式}。 148 | 149 | \end{document} 150 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/3-digital-features/digital-features.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{随机变量数字特征} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | \section{一维随机变量数字特征} 38 | 39 | \subsection{数学期望} 40 | 41 | \subsubsection{离散型随机变量} 42 | 43 | \paragraph{分布律变换} \leavevmode \medskip 44 | 45 | 可以根据随机变量分布律的形式拟合出已知的离散型随机变量分布，从而得到已知的期望。 46 | 47 | \textbf{例题：}设随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=\dfrac{1}{2^kk!(\sqrt{e}-1)}$，$k=1,2,\cdots$，求$EX$。 48 | 49 | 解：查看分布律中含有$k!$的形式，所以可以考虑转换为泊松分布。泊松分布的标准形式是$\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$。 50 | 51 | $P\{X=k\}=\dfrac{1}{2^kk!(\sqrt{e}-1)}=\dfrac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}-1}\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^k}{k!}e^{-\frac{1}{2}}$，$X\sim\dfrac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}-1}P\left(\dfrac{1}{2}\right)$。 52 | 53 | $\therefore EX=\dfrac{\sqrt{e}}{2\sqrt{e}-2}$。 54 | 55 | \paragraph{定义} \leavevmode \medskip 56 | 57 | 对于已知$E(X)$和$X$的分布，要求$E(f(x))$的值，此时很难拟合到已知分布律，所以就需要按照离散随机变量的期望定义来计算。注意虽然$f(x)$对于$x$是变化了，但是对应的概率是不变的。 58 | 59 | \textbf{例题：}已知$X\sim P(\lambda)$，求$E(X)E\left(\dfrac{1}{1+X}\right)$。 60 | 61 | 解：已知$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$。而$E\left(\dfrac{1}{1+X}\right)$无法通过拟合求出，所以就要用到期望的定义。 62 | 63 | $E(X)E\left(\dfrac{1}{1+X}\right)=\lambda\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{1}{1+k}\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{\lambda^k}{(k+1)!}e^{-\lambda}=\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\=\sum\limits_{i=1}^\infty\dfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}=\sum\limits_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}-\dfrac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=1-e^{-\lambda}$。（$\sum\limits_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}$为概率和等于1） 64 | 65 | \subsubsection{连续型随机变量} 66 | 67 | 基本上都是以$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)x\,\textrm{d}x$的变式进行计算。 68 | 69 | \paragraph{概率密度} \leavevmode \medskip 70 | 71 | 给出$X$概率密度。 72 | 73 | \textbf{例题：}连续型随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$（$-\infty0$，设$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$，求$D(X_1-\overline{X})$。 110 | 111 | 解：由题已知$DX_i=\sigma_2$。 112 | 113 | $D(X_1-\overline{X})=D\left(X_1-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=D\left(\dfrac{n-1}{n}X_1-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=2}^nX_i\right)=\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^2\\DX_1+\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{i=2}^nDX_i=\dfrac{n^2-2n+1}{n^2}\sigma^2+\dfrac{n-1}{n^2}\sigma^2=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$。 114 | 115 | \subsubsection{期望关系} 116 | 117 | \textbf{例题：}已知随机变量$X_1$，$X_2$相互独立，且都服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$（$\sigma>0$），求$D(X_1X_2)$。 118 | 119 | 解：$X_1$，$X_2$服从$N(\mu,\sigma^2)$，则$EX_1=EX_2=\mu$。 120 | 121 | $D(X_1X_2)=E[(X_1X_2)^2]-[E(X_1X_2)]^2=E(X_1^2X_2^2)-(EX_1EX_2)^2$。 122 | 123 | 若$X_1$，$X_2$相互独立则$X_1^2$，$X_2^2$相互独立，则$=EX_1^2EX_2^2-\mu^4$。 124 | 125 | 又$EX_1^2=EX_2^2=DX_1+(EX_1)^2=DX_2+(EX_2)^2=\sigma^2+\mu^2$。 126 | 127 | $(\sigma^2+\mu^2)^2-\mu^4=\sigma^4+2\sigma^2\mu^2$。 128 | 129 | \subsection{切比雪夫不等式} 130 | 131 | $P\{\vert X-EX\vert\leqslant\epsilon\}\leqslant\dfrac{DX}{\epsilon^2}$或$P\{\vert X-EX\vert<\epsilon\}\geqslant1-\dfrac{DX}{\epsilon^2}$。 132 | 133 | \section{二维随机变量数字特征} 134 | 135 | \subsection{协方差} 136 | 137 | $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。 138 | 139 | \subsubsection{性质} 140 | 141 | \textbf{例题：}已知$XY$的相关系数$\rho_{XY}\neq0$，设$Z=aX+b$，$ab$为常数，则求出$\rho_{XY}=\rho_{YZ}$成立的充要条件。 142 | 143 | 解：由于$Cov(Y,Z)=Cov(Y,aX+b)=aCov(Y,X)=aCov(X,Y)$，$DZ=D(aX+b)=a^2Dx$。 144 | 145 | $\rho_{YZ}=\dfrac{Cov(Y,Z)}{\sqrt{DY}\sqrt{DZ}}=\dfrac{aCov(X,Y)}{\sqrt{DY}\sqrt{a^2DX}}=\dfrac{a}{\vert a\vert}\rho_{XY}$，所以相等的条件是$\dfrac{a}{\vert a\vert}=1$，即$a>0$。 146 | 147 | \textbf{例题：}设随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$独立同分布，且方差$\sigma^2>0$，$Y_1=\sum\limits_{i=2}^nX_i$和$Y_2=\sum\limits_{j=1}^{n-1}X_j$，求$Y_1$和$Y_n$的协方差$Cov(Y_1,Y_n)$。 148 | 149 | 解：$\because Y_1=\sum\limits_{i=2}^nX_i$，$Y_2=\sum\limits_{j=1}^{n-1}X_j$，$DX_i=\sigma^2$。 150 | 151 | \section{独立性与相关性} 152 | 153 | 独立范围小于不相关范围。所以我们一般先用数字特征判断相关性再用分布判断独立性。 154 | 155 | $Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY\left\{\begin{array}{l} 156 | \neq0\Leftrightarrow XY\text{相关}\Rightarrow X\text{与}Y\text{不独立} \\ 157 | =0\Leftrightarrow XY\text{不相关，分布}\left\{\begin{array}{l} 158 | XY\text{独立} \\ 159 | XY\text{不独立} \\ 160 | \end{array}\right. 161 | \end{array}\right.$ 162 | 163 | 且如果服从二维正态分布，则$XY$独立与不相关等价。 164 | 165 | \subsection{独立性} 166 | 167 | 通过分布来确定独立性。如独立条件是$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，$P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$。 168 | 169 | \subsection{相关性} 170 | 171 | 通过数字特征来判断相关性。如不相关性条件是$\rho_{XY}=0$、$Cov(X,Y)=0$、$E(XY)=EXEY$、$D(X\pm Y)=DX+DY$。 172 | 173 | \section{切比雪夫不等式} 174 | 175 | 切比雪夫不等式用于估算随机变量在区间的概率，证明收敛性问题。 176 | 177 | \subsection{区间概率} 178 | 179 | 常用变式$P\{\vert Z-EZ\vert\geqslant\epsilon\}\leqslant\dfrac{DZ}{\epsilon^2}$或$P\{\vert Z-EZ\vert<\epsilon\}\geqslant1-\dfrac{DZ}{\epsilon^2}$，$Z=f(X)$。 180 | 181 | \textbf{例题：}已知随机变量$XY$，$EX=EY=2$、$DX=1$、$DY=4$，$\rho_{XY}=0.5$，估计概率$P\{\vert X-Y\vert\geqslant6\}$。 182 | 183 | 解：已知$\rho_{XY}=0.5=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\dfrac{Cov(X,Y)}{2}$，$Cov(X,Y)=1=E(XY)-EXEY$，$E(XY)=5$。 184 | 185 | 令$X-Y=Z$，$EZ=EX-EY=0$，$DZ=DX+DY-2Cov(X,Y)=1+4-2=3$。 186 | 187 | 取$\epsilon=6$，由切比雪夫不等式得$P\{\vert X-Y\vert\geqslant6\}=P\{\vert Z-0\vert\geqslant6\}\leqslant\dfrac{DZ}{\epsilon^2}=\dfrac{3}{6^2}=\dfrac{1}{12}$。 188 | 189 | \end{document} 190 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/4-law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem/law-of-large-numbers-and-central-limit-theorem.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 6 | \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 7 | \definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 8 | \usepackage{geometry} 9 | \setcounter{tocdepth}{4} 10 | \setcounter{secnumdepth}{4} 11 | % 设置四级目录与标题 12 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 13 | % 默认大小为A4 14 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 15 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 16 | \usepackage{indentfirst} 17 | \setlength{\parindent}{2.45em} 18 | % 首行缩进2个中文字符 19 | \usepackage{setspace} 20 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 21 | % 1.5倍行距 22 | \usepackage{amssymb} 23 | % 因为所以 24 | \usepackage{amsmath} 25 | % 数学公式 26 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 27 | % 超链接 28 | \author{Didnelpsun} 29 | \title{大数定律与中心极限定理} 30 | \date{} 31 | \begin{document} 32 | \maketitle 33 | \pagestyle{empty} 34 | \thispagestyle{empty} 35 | \tableofcontents 36 | \thispagestyle{empty} 37 | \newpage 38 | \pagestyle{plain} 39 | \setcounter{page}{1} 40 | 41 | 这些定理与定律是针对极大量数据的概率分析，是概率论向数理统计的过渡。 42 | 43 | 大数定律与中心定理成立的首要条件都是独立同分布且数学期望存在。 44 | 45 | 大数定律用于表示实验均值逼近期望，中心极限定理表示独立同分布的变量逼近正态分布。 46 | 47 | \section{依概率收敛} 48 | 49 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设随机变量$X$与随机变量序列$\{X_n\}$（$n=1,2,3\cdots$），如果对任意的$\epsilon>0$，有$\lim\limits_{n\to\infty}P\{\vert X_n-X\vert\geqslant\epsilon\}=0$或$\lim\limits_{n\to\infty}P\{\vert X_n-X\vert<\epsilon\}=1$，则称随机变量序列$\{X_n\}$\textbf{依概率收敛于随机变量$X$}，记为$\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X(P)$或$X_n\overset{P}{\rightarrow}X(n\to\infty)$。 50 | 51 | 即在某项后面的全部项全部落在区域内的概率为1。（不是严格的极限，可能存在超过范围的点，但是不影响后面的点在区域内） 52 | 53 | 通常使用伯努利试验类似的频率来估计概率，从而来极限逼近真实概率，但是进行试验时很可能不凑巧出现了概率很小的情况从而破坏了试验的概率随着频率变大而逼近真实概率，所以这种就是依概率收敛。比如抛硬币试验概率：$\dfrac{6}{10}$，$\dfrac{16}{20}$，$\dfrac{21}{40}$，其中$\dfrac{15}{20}$就是一个特殊的情况，但是不影响后面的收敛。 54 | 55 | \section{大数定律} 56 | 57 | 在满足一定的条件下，大数定律均为$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\rightarrow}E\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)$。 58 | 59 | 所以大数定律一般是考定律成立条件与结论正确性。 60 | 61 | \subsection{切比雪夫大数定律} 62 | 63 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设随机变量序列$\{X_n\}$（$n=1,2,3\cdots$）是\textbf{相互独立}的（不一定同分布），若期望$EX$存在，且方差$DX_i$（$i\geqslant1$）\textbf{存在且一致有上界}，即存在常数$C$，使得$DX_i\leqslant C$对一切$i\geqslant1$均成立，则$\forall\epsilon>0$，$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}=1$，$\{X_n\}$服从大数定律：$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\longrightarrow}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i$。即$\overline{X}\overset{P}{\rightarrow}E\overline{X}$。 64 | 65 | 即均值收敛于期望的均值。 66 | 67 | 证明：$E\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i$，又$X_i$不相关，则$Cov(X_i,X_j)=0$。 68 | 69 | 则$D\left(\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)=\dfrac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^nDX_i\leqslant\dfrac{nC}{n^2}=\dfrac{C}{n}$。 70 | 71 | 又根据切比雪夫不等式$1\geqslant\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}\geqslant1-\dfrac{D\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)}{\epsilon^2}\geqslant1-\dfrac{C}{n\epsilon^2}\xrightarrow{n\to+\infty}1$。 72 | 73 | 根据夹逼定理$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}$=1。 74 | 75 | \textbf{例题：}设$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$为相互独立的随机变量序列，$X_n$服从参数为$n$的指数分布（$n\leqslant1$），则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是()。 76 | 77 | $A.X_1,\dfrac{1}{2}X_2,\cdots,\dfrac{1}{n}X_n,\cdots$\qquad$B.X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 78 | 79 | $C.X_1,2X_2,\cdots,nX_n,\cdots$\qquad$D.X_1,2^2X_2,\cdots,n^2X_n,\cdots$ 80 | 81 | 解：切比雪夫大数定律要求有两点，一个是随机变量序列有解，一个是方差存在上界，即$DX_i\leqslant C$。因为题目说明相互独立，所以只用考虑方差上界。 82 | 83 | $\because X_n\sim E(n)$，$\therefore EX_n=\dfrac{1}{n}$，$DX_n=\dfrac{1}{n^2}$。 84 | 85 | 对于$A$，$D\left(\dfrac{1}{n}X_n\right)=\dfrac{1}{n^2}DX_n=\dfrac{1}{n^4}\leqslant1$。对于$B$，$DX_n=\dfrac{1}{n^2}\leqslant1$。 86 | 87 | 对于$C$，$D(nX_n)=n^2\dfrac{1}{n^2}=1$，对于$D$，$D(n^2X_n)=n^4\dfrac{1}{n^2}=n^2\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty$。 88 | 89 | 所以选择$D$。 90 | 91 | \subsection{伯努利大数定律} 92 | 93 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设$\mu_n$是$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数，在每次试验中事件$A$发生的概率为$p$（$00$，有$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{\mu_n}{n}-p\right\vert<\epsilon\right\}=\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}=\lim\limits_{n\to\infty}P\\\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i\right\vert<\epsilon\right\}=1$。 94 | 95 | 可以看作通过$n$重伯努利试验，一个事件的试验概率$\dfrac{\mu_n}{n}$会逼近一个固定的事件概率$p$。 96 | 97 | 证明：$n$重伯努利试验，则$\mu_n\sim B(n,p)$，$E_{\mu_n}=np$，$D_{\mu_n}=np(1-p)$。 98 | 99 | 则$E\left(\dfrac{\mu_n}{n}\right)=p$，$D\left(\dfrac{\mu_n}{n}\right)=\dfrac{p(1-p)}{n}$。 100 | 101 | 切比雪夫不等式：$\forall\epsilon>0$，$1\geqslant P\{\vert\dfrac{\mu_n}{n}-p\vert<\epsilon\}\geqslant1-\dfrac{p(1-p)}{n\epsilon^2}\xrightarrow{n\to+\infty}1$。 102 | 103 | 根据夹逼定理$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{\mu_n}{n}-p\right\vert<\epsilon\right\}=1$。 104 | 105 | \subsection{辛钦大数定律} 106 | 107 | 辛钦大数定律类似切比雪夫大数定律的特殊化，将序列约束为同分布。（但是对方差没有要求，所以不能按切比雪夫定律的证明来做） 108 | 109 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设随机变量序列$\{X_n\}$（$n=1,2,3\cdots$）是\textbf{相互独立}的\textbf{同分布}的，如果$EX_i=\mu$（$i=1,2,\cdots$）\textbf{存在}，则$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{P}{\longrightarrow}\mu$，即对任意的$\epsilon>0$有$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\left\vert\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\mu\right\vert<\epsilon\right\}=1$。也可以转换为即$\overline{X}\overset{P}{\rightarrow}E\overline{X}$。\medskip 110 | 111 | 即能用平均数可以来逼近期望。 112 | 113 | \textbf{例题：}假设随机变量序列$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$相互独立，根据辛钦大数定律，当$n\to\infty$时，$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$依概率收敛于数学期望，只要$\{X_n\}$()。 114 | 115 | $A.$有相同的数学期望\qquad$B.$服从同一离散型分布 116 | 117 | $C.$服从同一泊松分布\qquad$D.$服从同一连续型分布 118 | 119 | 解：辛钦大数定律要求三点：随机变量序列独立、拥有同样分布、期望存在。 120 | 121 | 已知题目表示变量相互独立，所以只用证明有同样分布、有期望就可以。 122 | 123 | 对于$BD$而言满足是有分布的，但是此时不一定有期望，所以$BD$不行。 124 | 125 | 对于$A$有相同期望，只要求有期望就可以了，相同期望不一定同一分布。 126 | 127 | 对于$D$服从同一分布，且泊松分布期望存在。 128 | 129 | \textbf{例题：}将一枚骰子重复投掷$n$次，当$n\to\infty$时，$n$次掷出的点数的算术平均值$\overline{X}$依概率收敛于何值？ 130 | 131 | 解：根据题目，投掷是独立事件，发生概率是离散的同一分布，且期望存在$=\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i=1}^6i=3.5$，所以使用辛钦大数定律。 132 | 133 | 所以根据辛钦大数定律$\overline{X_n}\overset{P}{\rightarrow}E\overline{X_n}=EX_i=3.5$。 134 | 135 | \section{中心极限定理} 136 | 137 | 中心极限定理总结来看均为：若$X_i$独立同分布于某一分布$F$，则$\sum\limits_{i=1}^nX_i\overset{n\to\infty}{\sim}N(n\mu,n\sigma^2)$。 138 | 139 | 即无论什么分布的事件在次数无限大的情况下近乎正态分布。 140 | 141 | $n$一般大于10以上即可使用中心极限定理。 142 | 143 | \subsection{列维-林德伯格定理} 144 | 145 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设$\{X_n\}$是独立分布的随机变量序列，若$EX_i=\mu$，$DX_i=\sigma^2>0$（$i=1,2,\cdots$）存在，则对任意的实数$x$，有$\lim\limits_{n\to\infty}P\left\{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leqslant x\right\}=\dfrac{1}{\sqrt{2}\pi}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}\,\textrm{d}t=\varPhi(x)$。（正态分布标准化） 146 | 147 | 定理要求：独立、同分布、期望方差存在。 148 | 149 | $\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\sim N(0,1)$，$\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim N(n\mu,n\sigma^2)$。 150 | 151 | \textbf{例题：}已知手套是使用寿命服从指数分布，单位为小时，且平均寿命为20小时。若一个人需要带手套进行工作，发现手套坏了就立刻换新继续工作，为保证该工人有95\%的把握能工作2000小时，求应该为其准备手套的副数。 152 | 153 | 解：题目中需要为其准备手套，且所有使用寿命加在一起大于2000的概率为95\%。这个问题是概率分布的和的问题，所以使用列维-林德伯格定理。 154 | 155 | 假设第$i$副手套的使用寿命为$X_i$，则$X_i\sim E(\lambda)$，又平均寿命为$20$小时，则$E(X_i)=\dfrac{1}{\lambda}=20$，即$\lambda=\dfrac{1}{20}$，$D(X_i)=\dfrac{1}{\lambda^2}=400$。 156 | 157 | 又根据中心极限定理，$\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim N(n\mu,n\sigma^2)=N(20n,400n)$， 158 | 159 | 保证该工人有95\%的把握能工作2000小时，则$P\{\sum\limits_{i=1}^nX_i\geqslant2000\}\approx0.95$，则标准化$P\left\{\dfrac{\sum X_i-20n}{20\sqrt{n}}\geqslant\dfrac{2000-20n}{\sqrt{20\sqrt{n}}}\right\}\approx0.95$，$1-P\left\{Z<\dfrac{100-n}{\sqrt{n}}\right\}\approx0.95$，$Z=\dfrac{\sum X_i-20n}{20\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，即$\varPhi(\dfrac{100-n}{\sqrt{n}})\approx0.05$，查表，$\dfrac{n-100}{\sqrt{n}}\approx1.64$，$n\approx118$。 160 | 161 | \subsection{棣莫弗-拉普拉斯定理} 162 | 163 | 或简称拉普拉斯中心极限定理。是列维-林德伯格定理的特殊情况。 164 | 165 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假设随机变量$Y_n\sim B(n,p)$（$00.977=\varPhi(2)$。 176 | 177 | 即$\dfrac{5000-50n}{5\sqrt{n}}\geqslant2$，即$n\leqslant98$，即选98。 178 | 179 | \end{document} 180 | -------------------------------------------------------------------------------- /advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{无穷级数} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | \section{常数项级数} 38 | 39 | \subsection{正项级数} 40 | 41 | 如果题目中没有说明，要首先证明多项式为正数，否则不能使用正项级数的方法。 42 | 43 | \subsubsection{放缩法} 44 | 45 | 即根据收敛准则来进行判断。如果要判断原级数收敛，则辅助级数应该是对其放大，判断原级数发散，则辅助级数应该是对其缩小。 46 | 47 | \subsubsection{比较判别法} 48 | 49 | 都需要找到一个好的级数进行比较。常用的只有两个： 50 | 51 | $p$级数：$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^p}\left\{\begin{array}{l} 52 | p>1, \text{收敛} \\ 53 | p\leqslant1, \text{发散} 54 | \end{array}\right.$。 55 | 56 | 等比级数（几何级数）：$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}aq^{n-1}\left\{\begin{array}{l} 57 | \vert q\vert<1, \text{收敛} \\ 58 | \vert q\vert\geqslant 1, \text{发散} 59 | \end{array}\right.$。 60 | 61 | 当不知道用哪个时可以使用洛必达先计算一下极限值。 62 | 63 | \subsubsection{比值判别法} 64 | 65 | 适用于含有$a^n$，$n!$，$n^n$的通项。主要是$n!$。 66 | 67 | \textbf{例题：}判断$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n!}{n^n}$。 68 | 69 | 解：利用比值判别法，令$a_n=\dfrac{n!}{n^n}$，$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\dfrac{n^n}{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^n}{(n+1)^n}$，注意这里幂也为变量，不是等于1而是上下同时除以$n^n$，$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$，根据两个重要极限得到$=\dfrac{1}{e}<1$，所以收敛。 70 | 71 | \subsubsection{根值判别法} 72 | 73 | 适用于含有$a^n$，$n^n$的通项。 74 | 75 | $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$。 76 | 77 | \subsubsection{积分判别法} 78 | 79 | \textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{n\ln n}$的敛散性。 80 | 81 | 解：因为$\dfrac{1}{n\ln n}<\dfrac{1}{n}$，调和级数发散，所以比较判别法找不到一个较好的辅助级数。同理根据级数形式比值和根值判别法都无法使用。 82 | 83 | 令$f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$，$a_n=f(n)$，在$[2,+\infty)$上$\dfrac{1}{n\ln n}$单调减且非负。 84 | 85 | 级数$\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{n\ln n}$与$\int_2^{+\infty}\dfrac{\textrm{d}x}{x\ln x}$同敛散。 86 | 87 | $=\ln\ln x\vert_2^{+\infty}=+\infty$，所以原级数发散。 88 | 89 | \subsection{交错级数} 90 | 91 | \section{幂级数} 92 | 93 | \subsection{收敛域} 94 | 95 | \subsubsection{基本方法} 96 | 97 | 使用比值或根值法进行求解。 98 | 99 | \textbf{例题：}求幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{e^n-(-1)^n}{n^2}x^n$的收敛半径。 100 | 101 | 解： 102 | 103 | 比值法： 104 | 105 | $\lim\limits_{n\to\infty}\left\vert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{e^{n+1}-(-1)^{n+1}}{(n+1)^2}\dfrac{n^2}{e^n-(-1)^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{e+(\frac{-1}{e})^n}{1-(\frac{-1}{e})^n}$。 106 | 107 | 又$\lim\limits_{n\to\infty}x^n=\left\{\begin{array}{ll} 108 | 0 & \vert x\vert<1 \\ 109 | \infty & \vert x\vert\geqslant1 110 | \end{array}\right.$，$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{-1}{e}\right)^n=0$，原式$=e$。$R=\dfrac{1}{e}$。 111 | 112 | 根值法： 113 | 114 | $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\vert a_n\vert}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{e^n-(-1)^n}{n^2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{e\sqrt[n]{1-(-\frac{-1}{e})^n}}{\sqrt[n]{n}\sqrt[n]{n}}$，又$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$。 115 | 116 | $=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{e\sqrt[n]{1-0}}{1\cdot1}=e$，所以$R=\dfrac{1}{e}$。 117 | 118 | \subsubsection{缺项变换} 119 | 120 | 若求$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^{2n+1}$或$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^{2n}$，则求出其$\rho$，$R=\sqrt{\dfrac{1}{\rho}}$。 121 | 122 | \textbf{例题：}求幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n}{2^n+(-3)^n}x^{2n-1}$的收敛半径。 123 | 124 | 解：由于分母都是幂函数，所以使用根值法：$=\lim\limits_{n=1}^\infty\sqrt[n]{\vert a_n\vert}=\lim\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{3^n+(-2)^n}}\\=\lim\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+(-\frac{2}{3})^n}}=\dfrac{1}{3}$。 125 | 126 | 所以$R=3$。注意这里是错误的，因为之前求收敛域时都是$x^n$，而这里是$x^{2n-1}$，只有奇数次项，所以幂级数的一半都没有了。 127 | 128 | $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^{2n}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^{2n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x^2)^n$，当前已知收敛半径为$3$，即$\vert x^2\vert<3$，即$\vert x\vert<\sqrt{3}$。 129 | 130 | \subsubsection{收敛域变换} 131 | 132 | \textbf{例题：}已知幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x+2)^n$在$x=0$处收敛，在$x=-4$处发散，求$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-3)^n$的收敛域。 133 | 134 | 解：根据阿贝尔定理，已知在$x=0$处收敛，且中心点在$x=-2$，则收敛区间为$(-4,0)$，在$x=-4$处发散，则$x<-4$，$x>0$处发散。 135 | 136 | 然后确定两端端点敛散性，$x=0$处收敛则收敛域包括$x=0$，$x=-4$处发散则收敛域不包括$x=-4$，得到收敛域$(-4,0]$。 137 | 138 | 对于$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-3)^n$的中心点为$x=3$，则根据相对位置收敛域为$(1,5]$。 139 | 140 | \subsubsection{常数项级数变换} 141 | 142 | 可以代入特殊点确定收敛点，将幂级数转换为常数项级数。 143 | 144 | \textbf{例题：}若级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$条件收敛，求幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty na_n(x-1)^n$的收敛区间。 145 | 146 | 解：已知$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$条件收敛，则对于幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty na_n(x-1)^n$而言在$x=2$处条件收敛，即得到以中心点$x=1$的收敛区间$(0,2)$。 147 | 148 | \subsection{函数展开} 149 | 150 | \subsubsection{因式分解} 151 | 152 | \textbf{例题：}将函数$f(x)=\dfrac{1}{x^2-3x-4}$展开为$x-1$的幂级数并指出收敛区间。 153 | 154 | 解：$\dfrac{1}{x^2-3x-4}=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{x-4}-\dfrac{1}{x+1}\right)$。 155 | 156 | $\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{1}{(x-1)-3}=-\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{1-\frac{x-1}{3}}=-\dfrac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\dfrac{x-1}{3}\right)^n$，$\left\vert\dfrac{x-1}{3}\right\vert<1$，$x\in(-2,4)$。 157 | 158 | $\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{(x-1)+2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-\dfrac{x-1}{2}\right)^n$，$\left\vert-\dfrac{x-1}{2}\right\vert<1$，$x\in(-1,3)$。 159 | 160 | 所以其幂级数就是其加和，收敛区间为$(-2,4)\cap(-1,3)=(-1,3)$。 161 | 162 | \subsubsection{先导后积} 163 | 164 | \textbf{例题：}求函数$f(x)=\arctan x$在$x=0$处的幂级数展开。 165 | 166 | 解：$f'(x)=(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1-(-x^2)}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$，$\vert-x^2\vert<1$。 167 | 168 | 已经求得求导后的函数的幂级数展开，所以求原函数的幂级数展开只需要积分，利用先导后积公式：$f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)\,\textrm{d}t=\int_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\,\textrm{d}t=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{t^{2n+1}}{2n+1}\bigg|_0^x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$。 169 | 170 | 求导的级数要求$\vert x\vert<1$，代入$x=\pm1$到最后结果得到两个交错级数，所以收敛域其实为$[-1,1]$（可以不写）。 171 | 172 | \subsection{级数求和} 173 | 174 | 即对展开式进行逆运算，根据幂级数展开式反推原幂级数。 175 | 176 | 可以利用展开式求和函数，但是很多展开式的通项都不是公式中的，就需要对通项进行变形。 177 | 178 | 在求和之前要先计算收敛半径和收敛域。 179 | 180 | 无论是哪个方法都要求求导和积分后系数$n+a$与幂次$n$相等，所以求导或积分的目的就是为了让他们相同，从而能被看成一个整体。 181 | 182 | \subsubsection{先导后积} 183 | 184 | $\sum\dfrac{x^{f(n)}}{P(n)}$：$n$在分母上，先导后积。使用变限积分：$\int_{x_0}^xS'(t)\,\textrm{d}t=S(x)-S(x_0)$，即$S(x)=S(x_0)+\int_{x_0}^xS'(t)\,\textrm{d}t$。一般选择$x_0$为展开点。 185 | 186 | 主要公式：$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=\ln(1+x)$（$(-1,1]$）；$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$（$[-1,1)$）。 187 | 188 | 目的是让$P(n)=f(n)$。 189 | 190 | % \textbf{例题：}求级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n}$的和函数。 191 | 192 | % 解：已知$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$，而这里求和是$\dfrac{x^n}{n}$，所以需要对其进行转换。 193 | 194 | % 对$\dfrac{x^n}{n}$求导就得到了$x^{n-1}$消去了分母的$n$，所以使用先导后积的方法。 195 | 196 | % 记$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n}$，则$x^n=(x-0)^n$，取$x_0=0$。 197 | 198 | % $\therefore S(x)=S(0)+\displaystyle{\int_0^x\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{t^n}{n}\right)_t'\,\textrm{d}t}=0+\int_0^x(\sum\limits_{n=1}^\infty t^{n-1})\,\textrm{d}t=\displaystyle{\int_0^x\dfrac{1}{1-t}\textrm{d}t}=-\ln(1-x)$。收敛域为$[-1,1)$。 199 | 200 | \textbf{例题：}求级数$\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}$的和函数。 201 | 202 | 解：首先$\lim\limits_{n\to\infty}\left\vert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert=1$，$R=1$。 203 | 204 | 当$x=\pm1$时，$x^2n=1$，所以原式$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}$，为交错级数，由莱布尼茨判别法可知极限为0且单调递减，从而该级数收敛。从而收敛域为$[-1,1]$。 205 | 206 | 令$S(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}$。易得$x=0$时$S(x)=1$。 207 | 208 | 当$x\neq0$时，$S(x)=\dfrac{1}{x}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=\dfrac{1}{x}\sum\limits_{n=0}^\infty\int_0^x(-1)^nx^{2n}\,\textrm{d}x\\=\dfrac{1}{x}\int_0^x[\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}]\textrm{d}x$。 209 | 210 | 所以$(-1)^nx^{2n}$为一个几何级数，所以$q=\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{(-1)^nx^{2n}}=-x^2$。 211 | 212 | 从而$=\displaystyle{\dfrac{1}{x}\int_0^x\dfrac{1}{1+x^2}\textrm{d}x=\dfrac{\arctan x}{x}}$。 213 | 214 | \subsubsection{先积后导} 215 | 216 | $\sum P(n)x^{f(n)}$：$n$在分子上，先积后导。$(\int S(x)\,\textrm{d}x)'=S(x)$。 217 | 218 | 主要公式：$\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^n=\dfrac{1}{1+x}$（$(-1,1)$）；$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$（$(-1,1)$）。 219 | 220 | 目的是让$P(n)=f^{(n)}(n)\cdots f'(n)$。 221 | 222 | \textbf{例题：}求级数$\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n$的和函数。 223 | 224 | 解：记$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n=x\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}=x(\int\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}\,\textrm{d}x)'=x(\sum\limits_{n=1}^\infty x^n)'=x\left(\dfrac{x}{1-x}\right)'=\dfrac{x}{(1-x)^2}$。收敛域为$[-1,1]$。 225 | 226 | \textbf{例题：}求级数$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)(n+3)x^n$的和函数。 227 | 228 | 解：$(n+1)(n+3)$的形式可以推出$(n+1)(n+2)$是求两次导的结果，而这里是$(n+1)(n+3)$，所以拆开：$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)(n+2)x^n+\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)x^n=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+2}\right)''+\left(\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1}\right)=\left(\dfrac{x^2}{1-x}\right)''+\left(\dfrac{x}{1-x}\right)'=\dfrac{3-x}{(1-x)^3}$，$x\in(-1,1)$。 229 | 230 | \section{傅里叶级数} 231 | 232 | \end{document} 233 | -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 6 | \usepackage{geometry} 7 | \setcounter{tocdepth}{4} 8 | \setcounter{secnumdepth}{4} 9 | % 设置四级目录与标题 10 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 11 | % 默认大小为A4 12 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 13 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 14 | \usepackage{indentfirst} 15 | \setlength{\parindent}{2.45em} 16 | % 首行缩进2个中文字符 17 | \usepackage{setspace} 18 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 19 | % 1.5倍行距 20 | \usepackage{amssymb} 21 | % 因为所以 22 | \usepackage{amsmath} 23 | % 数学公式 24 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 25 | % 超链接 26 | \usepackage{arydshln} 27 | % 增广矩阵长虚线 28 | \setlength{\dashlinegap}{2pt} 29 | \setlength{\dashlinedash}{2pt} 30 | \author{Didnelpsun} 31 | \title{向量} 32 | \date{} 33 | \begin{document} 34 | \maketitle 35 | \pagestyle{empty} 36 | \thispagestyle{empty} 37 | \tableofcontents 38 | \thispagestyle{empty} 39 | \newpage 40 | \pagestyle{plain} 41 | \setcounter{page}{1} 42 | 43 | \section{线性相关性} 44 | 45 | 使用行列式不等于$0$的方法最方便，但是有时候行列不同就不能这么做了。 46 | 47 | \subsection{初等运算} 48 | 49 | 多用于选择题，给出$n$维线性无关向量，判断向量组是否线性无关。如果向量组初等运算为0就代表线性相关。 50 | 51 | \textbf{例题：}已知$n$维向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$线性无关，则判断线性相关性：$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2-\alpha_3$，$\alpha_3+\alpha_1$。 52 | 53 | 解：$\alpha_1+\alpha_2$与$\alpha_2-\alpha_3$，共同出现了$\alpha_2$，首先要消掉$\alpha_2$，所以相减得到$\alpha_1+\alpha_3$，然后发现跟后面的$\alpha_3+\alpha_1$一样，所以直接一减得到0，表示线性相关。 54 | 55 | \subsection{定义法} 56 | 57 | 基本是证明题，若证明$\alpha$、$\beta$线性无关，则令$k_1\alpha+k_2\beta=0$，判断$k_i$的值，如果只有零解则代表$k$矩阵为满秩，从而线性无关。 58 | 59 | \subsubsection{代入重组} 60 | 61 | 若要求线性相关的式子由其他向量构成，则将式子代入表示目标式子。 62 | 63 | \textbf{例题：}设$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$都是$n$维向量，$n\geqslant3$，且$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-2\alpha_2$，$\beta_3=3\alpha+1+2\alpha_2$，证明向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。 64 | 65 | 证明：若存在$k_1,k_2,k_3$使得$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$。 66 | 67 | 代入$\alpha$表示$\beta$的式子：$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_1-2\alpha_2)+k_3(3\alpha_1+2\alpha_2)=0$。 68 | 69 | $\therefore(k_1+k_2+3k_3)\alpha_1+(k_1-2k_2+2k_3)\alpha_2=0$。 70 | 71 | $\therefore k_1+k_2+3k_3=0$，且$k_1-2k_2+2k_3=0$即可。 72 | 73 | 而未知数的个数大于方程个数，所以有无穷多解，从而必然有非零解，从而$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。 74 | 75 | \subsubsection{同乘} 76 | 77 | 若要求线性相关的式子存在一定的乘积关系，则可以用同乘一步步消去系数。 78 | 79 | \textbf{例题：}设$A$是$n$阶矩阵，若存在正整数$k$，使得线性方程组$A^kx=0$有解向量$\alpha$，且$A^{k-1}\alpha\neq0$，证明向量组$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。 80 | 81 | 证明：假设$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性相关，则设存在系数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$使得$\lambda_1\alpha+\lambda_2A\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 82 | 83 | $\because A^kx=0$的解为$\alpha$，$\therefore A^k\alpha=0$，$\therefore\cdots=A^{k+2}\alpha=A^{k+1}\alpha=A^k\alpha=0$。 84 | 85 | 左乘$A^{k-1}$，得到$\lambda_1A^{k-1}\alpha+\lambda_2A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-2}\alpha=\lambda_1A^{k-1}\alpha=0$。 86 | 87 | $\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_1=0$，消去$\lambda_1$：$\lambda_2A\alpha+\lambda_3A^2\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 88 | 89 | 左乘$A^{k-2}$，得到$\lambda_2A^{k-1}\alpha+\lambda_3A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-3}\alpha=\lambda_2A^{k-1}\alpha=0$。 90 | 91 | $\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_2=0$，消去$\lambda_2$：$\lambda_3A^2\alpha+\lambda_4A^3\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。 92 | 93 | 同理依次左乘$A^n$，所以$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k=0$，所以$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。 94 | 95 | \subsection{行列式} 96 | 97 | 对向量的线性相关性可以从其向量组组成的行列式来计算，若行列式值为0则线性相关，若行列式值不为0则线性无关。 98 | 99 | 注意这里容易失根。要仔细找出所有为0的因式，不要随便降低阶数。 100 | 101 | \textbf{例题：}设$a_1,a_2,\cdots,a_s$是$s$个互不相同的数，探究$s$个$n$维列向量$\alpha_i=[1,a_i,a_i^a,\cdots,a_i^{n-1}]^T$（$i=1,2,\cdots,s$）的线性相关性。 102 | 103 | 解：当$s>n$时，有$n$个方程$s$个未知数，所以必然存在自由变量，从而必然线性相关性。 104 | 105 | 当$s=n$时，$\vert\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n\vert=\left|\begin{array}{cccc} 106 | 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 107 | a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 108 | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 109 | a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} 110 | \end{array}\right|=\prod\limits_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}(a_i-a_j)\neq0$。所以线性无关。 111 | 112 | 当$sn$时线性相关，$s\leqslant n$时线性无关。 121 | 122 | \subsection{矩阵秩} 123 | 124 | 当向量的个数与维数不同时就不能使用行列式去分析，而只能用矩阵的秩来分析。当矩阵满秩则线性无关，当矩阵降秩则线性相关。 125 | 126 | 当谈到多个向量是否线性相关时可以将向量组组成矩阵，判断其秩。满秩就是线性无关，降秩就是线性相关。 127 | 128 | 当谈到一个向量是否能被其他向量线性表出时，要将这些向量全部组成一起，判断能否被其他向量表出的向量放在最右边，然后判断增广矩阵的秩。 129 | 130 | \begin{enumerate} 131 | \item 若$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots)\neq r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\beta)$，则$\beta$无法被$\alpha$线性表出。 132 | \item 若$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\beta)0$，则称$f$为\textbf{正定二次型}，对应矩阵$A$为\textbf{正定矩阵}。 218 | 219 | 若令一个正定二次型等于某个正数，则对于空间就是一个封闭曲面。 220 | 221 | \subsection{性质} 222 | 223 | $n$元二次型$f=x^TAx$正定的充要条件是： 224 | 225 | \begin{itemize} 226 | \item 对于任意$x\neq0$，有$x^TAx>0$。（定义） 227 | \item $f$的正惯性指数$p=n$，即所有系数全为正。 228 | \item 存在可逆矩阵$D$，使得$A=D^TD$。 229 | \item $A\simeq E$。 230 | \item $A$的特征值$\Lambda_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$）。 231 | \item $A$的全部顺序主子式均大于0。 232 | \end{itemize} 233 | 234 | 若$C^TAC=E$，则$A=(C^T)^{-1}EC^{-1}=(C^{-1})^TC^{-1}=D^TD$。 235 | 236 | 设$A=(a_{ij})_{n\times n}$，则$\vert A_k\vert=\left|\begin{array}{cccc} 237 | a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ 238 | a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ 239 | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 240 | a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} 241 | \end{array}\right|$称为$n$阶矩阵$A$的\textbf{$k$阶顺序（左上角）主子式}。 242 | 243 | $n$元二次型$f=x^TAx$正定的必要条件是： 244 | 245 | \begin{itemize} 246 | \item $a_{ii}>0$（$i=1,2,\cdots,n$）。 247 | \item $\vert A\vert>0$。 248 | \end{itemize} 249 | 250 | \subsection{判定} 251 | 252 | \subsubsection{具体型} 253 | 254 | \begin{enumerate} 255 | \item 判定主子式是否全部大于0。 256 | \item 求特征值是否全部大于0。 257 | \item 配方法判定正惯性指数是否全为$n$。 258 | \item 定义法，证明$\forall x\neq0$，$x^TAx>0$，即$f>0$。 259 | \item 找到可逆矩阵$D$，使得$A=D^TD$。 260 | \end{enumerate} 261 | 262 | 主要使用前面三种方法。 263 | 264 | \textbf{例题：}判别二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$的正定性。 265 | 266 | 解：根据题目写出二次型矩阵：$A=\left(\begin{array}{ccc} 267 | 2 & 1 & 1 \\ 268 | 1 & 2 & 1 \\ 269 | 1 & 1 & 2 270 | \end{array}\right)$ 271 | 272 | 第一种方法：2>0，$\left|\begin{array}{cc} 273 | 2 & 1 \\ 274 | 1 & 2 275 | \end{array}\right|>0$，$\vert A\vert>0$，所以正定。 276 | 277 | 第二种方法：$\vert\lambda E-A\vert=0$，所以$\lambda_1=4$，$\lambda_2=\lambda_3=1$，所以正定。 278 | 279 | 第三种方法：通过配方法，将$f=2\left(x_1+\dfrac{x_2}{x}+\dfrac{x_3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\left(x_2+\dfrac{1}{3}x_3\right)+\dfrac{4}{3}x_3^2$，$p=3$，所以正定。 280 | 281 | 第四种方法：将$f$进行配方，$f=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_1)^2\geqslant0$，所以要证明$f>0$对于$\forall x\neq0$成立。 282 | 283 | 假设$f=0$，则$x_1+x_2=0$，$x_2+x_3=0$，$x_3+x_1=0$，则$x_1=x_2=x_3=0$，所以$x\neq0$时$f>0$。 284 | 285 | 第五种方法：将$f$进行配方，$f=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_1)^2$ 286 | 287 | $=(x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_1)(x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_1)^T$ 288 | 289 | $=(x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_1)\left(\begin{array}{ccc} 290 | 1 & 0 & 1 \\ 291 | 1 & 1 & 0 \\ 292 | 0 & 1 & 1 293 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 294 | 1 & 1 & 0 \\ 295 | 0 & 1 & 1 \\ 296 | 1 & 0 & 1 297 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 298 | x_1 \\ 299 | x_2 \\ 300 | x_3 301 | \end{array}\right)=x^TD^TDx$ 302 | 303 | $=x^TAx$，所以找到了这个$D$，从而正定。 304 | 305 | \subsubsection{抽象型} 306 | 307 | 对于抽象型二次型正定问题，首先要表明$A$是对称的，即$A^T=A$；基本的方法就是判定特征值$\lambda$是否全部为正。 308 | 309 | \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$A$正定，则充要条件是$A^T$正定，$A^{-1}$正定，充分条件是$A^*$正定，即$A$正定则$A^*$正定，但是$A^*$正定不一定$A$正定。 310 | 311 | 证明：$\because$对称矩阵，所以$A^T=A$，所以$AA^T$等价，所以是充要条件。 312 | 313 | 若$A$特征值为$\lambda>0$，则$A^{-1}$的特征值$\dfrac{1}{\lambda}$也全为正，同理也可以反推回去，从而是充要条件。 314 | 315 | 若$A$特征值为$\lambda>0$，则$A^*$的特征值为$\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\dfrac{\lambda_1\cdots\lambda_n}{\lambda_i}$，若$\lambda_i$全为正则可以推出$\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}$为正，但是反之若$\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}$为正，不能推出$\lambda_1\cdots\lambda_n$每一个都是正的。 316 | 317 | \end{document} 318 | -------------------------------------------------------------------------------- /advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 6 | \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 7 | \definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 8 | \usepackage{geometry} 9 | \setcounter{tocdepth}{4} 10 | \setcounter{secnumdepth}{4} 11 | % 设置四级目录与标题 12 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 13 | % 默认大小为A4 14 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 15 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 16 | \usepackage{indentfirst} 17 | \setlength{\parindent}{2.45em} 18 | % 首行缩进2个中文字符 19 | \usepackage{setspace} 20 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 21 | % 1.5倍行距 22 | \usepackage{amssymb} 23 | % 因为所以 24 | \usepackage{amsmath} 25 | % 数学公式 26 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 27 | % 超链接 28 | \author{Didnelpsun} 29 | \title{微分方程} 30 | \date{} 31 | \begin{document} 32 | \maketitle 33 | \pagestyle{empty} 34 | \thispagestyle{empty} 35 | \tableofcontents 36 | \thispagestyle{empty} 37 | \newpage 38 | \pagestyle{plain} 39 | \setcounter{page}{1} 40 | 41 | \section{一阶微分方程} 42 | 43 | \subsection{可分离变量微分方程} 44 | 45 | \subsubsection{交叉积分法} 46 | 47 | \textbf{例题：}求$y\sin\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}x-\cos\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}y=0$的通解。 48 | 49 | 解：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=y\tan\dfrac{x}{2}$，$\dfrac{\textrm{d}y}{y}=\tan\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}x$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}y}{y}=2\int\tan\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}\dfrac{x}{2}}$。 50 | 51 | 解得$\ln\vert y\vert=-\ln\left(\cos\dfrac{x}{2}\right)^2+\ln C_1$（取对数更好解），$\vert y\vert=\dfrac{C_1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}\right)^2}$。 52 | 53 | $y=\dfrac{\pm C_1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}\right)^2}$，令$C=\pm C_1$，得$y=\dfrac{C}{1+\cos x}$。 54 | 55 | 注意在第一步时将$y$除到分母上，本来$y$为任意常数，变为$y\neq0$，所以解得最后$C\neq0$，而实际上$y$可以为0，所以$C$应该为任意常数。 56 | 57 | 此时解为全部解，为通解加上$y=0$的奇解。 58 | 59 | \subsubsection{多项式换元法} 60 | 61 | $x$和$y$是以和差作为一个整体形式。 62 | 63 | \textbf{例题：}求微分方程$\textrm{d}y=\sin(x+y+100)\,\textrm{d}x$的通解。 64 | 65 | 解：令$u=x+y+100$，$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=1+\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\sin(x+y+100)$，$\therefore\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=1+\sin u$。 66 | 67 | $\dfrac{\textrm{d}u}{1+\sin u}=\textrm{d}x$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}u}{1+\sin u}}=\int\textrm{d}x$，$\displaystyle{\int\dfrac{1-\sin u}{\cos^2u}}\textrm{d}u=x$。 68 | 69 | $\int\sec^2u-\tan u\sec u\,\textrm{d}u=x$，即$\tan u-\sec u=x+C$。代回$u=x+y+100$： 70 | 71 | 通解$\tan(x+y+100)-\sec(x+y+100)=x+C$。 72 | 73 | 所有解：$\tan(x+y+100)-\sec(x+y+100)=x+C$，$x+y+100=2k\pi-\dfrac{\pi}{2}$。 74 | 75 | \subsection{一阶线性方程} 76 | 77 | 形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$。 78 | 79 | 可以直接求也可以使用公式求。 80 | 81 | \subsubsection{交叉积分法} 82 | 83 | \textbf{例题：}设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)$（$x>0$）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$\left(\dfrac{1}{2},0\right)$，求$L$的方程。 84 | 85 | 解：$(x,y)$到坐标原点的距离为$\sqrt{x^2+y^2}$。 86 | 87 | 若$y=y(x)$，则切线为$Y-y=y'(X-x)$，令$X=0$，解得$Y=y-xy'$。 88 | 89 | $\therefore\sqrt{x^2+y^2}=y-xy'$，解得$y'=\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\dfrac{y}{x}-\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}$。 90 | 91 | 令$\dfrac{y}{x}=u$，则$y=ux$，$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}x+u$。代入$y'$： 92 | 93 | $\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}x+u=u-\sqrt{1+u^2}$，$\dfrac{\textrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=-\dfrac{\textrm{d}x}{x}$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=-\int\dfrac{\textrm{d}x}{x}}$。 94 | 95 | $\therefore\ln(u+\sqrt{1+u^2})=-\ln x+\ln C$，$u+\sqrt{1+u^2}=\dfrac{C}{x}$。 96 | 97 | 代入$\dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}=\dfrac{C}{x}$，$y+\sqrt{x^2+y^2}=C$。 98 | 99 | \subsubsection{公式法} 100 | 101 | 即使用非齐次和非齐次的一阶线性微分方程公式。 102 | 103 | \subsubsection{换元法} 104 | 105 | 如果存在$f(y)$，$y$无法提出，则使用换元法。典型的就是$e^y$。 106 | 107 | \textbf{例题：}求微分方程$y'+1=e^{-y}\sin x$的通解。 108 | 109 | 解：已知对$e^{-y}\sin x$无法处理，所以必然需要对其转换，$e^yy'+e^y=\sin x$。 110 | 111 | $\therefore(e^y)'+e^y=\sin x$，令$e^y=u$，$u'+u=\sin x$，$P(x)=1$，$Q(x)=\sin x$。 112 | 113 | $e^y=u=e^{-\int\textrm{d}x}(\int e^{\int\textrm{d}x}\sin x\,\textrm{d}x+C)=e^{-x}(\int e^x\sin x\,\textrm{d}x+C)$，积分再现表格解出$\int e^x\sin x\,\textrm{d}x$：$=e^{-x}\left(\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\right)$。 114 | 115 | \textbf{例题：}求$y'=\dfrac{y^2-x}{2y(x+1)}$的通解。 116 | 117 | 解：这个式子首先分子分母等长，$xy$都合在一起，所以很难去分离出基本的微分方程。基本的微分方程式子为$y'+P(x)y=Q(x)$，对比可以看出里面$y^2$是不能化简的，所以很容易想到把这个当作一个整体。 118 | 119 | $2y'y=\dfrac{y^2-x}{x+1}$，此时出现了$y^2$和$y^2$的导数，令$y^2=u$，$u'=\dfrac{u-x}{x+1}$。 120 | 121 | 即$u'-\dfrac{y}{x+1}=\dfrac{1}{x+1}-1$，此时就化为了一般非齐次方程。 122 | 123 | 根据公式算出$y=C(x+1)-(x+1)\ln\vert x+1\vert-1$。 124 | 125 | \subsubsection{交换微分变量} 126 | 127 | 当出现$y'=\dfrac{f(x)}{g(x)}$，$g(x)$多项式的次数远高于$f(x)$，此时就没办法分离变量了，可以用$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$颠倒求导顺序。 128 | 129 | \textbf{例题：}求$y'=\dfrac{y}{x+(y+1)^2}$的通解。（$y$不为常函数） 130 | 131 | 解：由于$y'$对应的式子分母较复杂，而分子较简单，所以上下颠倒： 132 | 133 | $\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{x+(y+1)^2}{y}=\dfrac{x}{y}+y+\dfrac{1}{y}+2$。$x'-\dfrac{1}{y}x=y+\dfrac{1}{y}+2$。 134 | 135 | 根据公式：$x=e^{\int\frac{1}{y}\,\textrm{d}y}\left[\displaystyle{\int\left(y+\dfrac{1}{y}+2\right)}e^{\int-\frac{1}{y}\,\textrm{d}y}\,\textrm{d}y+C\right]=y^2+2\ln\vert y\vert y-1+Cy$。 136 | 137 | \subsection{伯努利方程} 138 | 139 | 形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$。 140 | 141 | \textbf{例题：}求$y\,\textrm{d}x=(1+x\ln y)x\,\textrm{d}y$（$y>0$）的通解。 142 | 143 | 解：将导数放到一边：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y}{(1+x\ln y)x}$，这个算式无法处理。 144 | 145 | 而颠倒$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{(1+x\ln y)x}{y}=\dfrac{1}{y}x+\dfrac{\ln y}{y}x^2$。 146 | 147 | 凑伯努利方程：$x'+P(x)x=Q(x)x^n$：$x'-\dfrac{1}{y}x=\dfrac{\ln y}{y}x^2$。$P(x)=-\dfrac{1}{y}$，$Q(x)=\dfrac{\ln y}{y}$。 148 | 149 | 乘$x^{-2}$降阶：$x^{-2}x'-\dfrac{1}{y}x^{-1}=\dfrac{\ln y}{y}$。令$z=x^{-1}$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。代入方程： 150 | 151 | $-\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}-\dfrac{1}{y}z=\dfrac{\ln y}{y}$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}+\dfrac{1}{y}z=-\dfrac{\ln y}{y}$，利用公式： 152 | 153 | $z=e^{-\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\left(\displaystyle{\int e^{\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\cdot\left(-\dfrac{\ln y}{y}\right)+C}\right)=\dfrac{1}{y}(-\int\ln y\,\textrm{d}y+C)=\dfrac{1}{y}(-y(\ln y-1)+C)=-\ln y+1+\dfrac{C}{y}$。 154 | 155 | $\therefore x=\dfrac{y}{-y\ln y+y+C}$。 156 | 157 | \section{二阶可降阶微分方程} 158 | 159 | \subsection{\texorpdfstring{$y''=f(x,y')$}\ 型} 160 | 161 | \textbf{例题：}求$y''=\dfrac{2xy'}{1+x^2}$的通解。 162 | 163 | 解：令$y'=p$，$p'=\dfrac{2xp}{1+x^2}$，$\dfrac{\textrm{d}p}{\textrm{d}x}=\dfrac{2xp}{1+x^2}$，$\dfrac{\textrm{d}p}{p}=\dfrac{2x}{1+x^2}$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}p}{p}=\int\dfrac{2x}{1+x^2}}$。 164 | 165 | $\ln\vert p\vert=\ln(1+x^2)+\ln C_1$，$p=\pm C_1(1+x^2)=C_2(1+x^2)$。 166 | 167 | $y'=C(1+x^2)$，$\therefore y=C_2\left(x+\dfrac{x^3}{3}+x\right)+C$。 168 | 169 | \subsection{\texorpdfstring{$y''=f(y,y')$}\ 型} 170 | 171 | \section{高阶线性微分方程} 172 | 173 | % \subsection{常系数齐次线性微分方程} 174 | 175 | % \subsection{常系数非齐次线性微分方程} 176 | 177 | \subsection{二阶微分方程通解} 178 | 179 | 先将常系数非齐次线性微分方程变为常系数齐次线性微分方程求解，然后加上非齐次方程的一个特解，就是非齐次方程的一个通解。 180 | 181 | 特解只能拆为和的形式而不能拆为乘商的形式，如$Q(x)=\sin^2x$，则应该拆为$\dfrac{1-\cos2x}{2}$。 182 | 183 | \textbf{例题：}求$y''-4y'+4y=3xe^{2x}$的通解。 184 | 185 | 解：变为常系数齐次线性微分方程：$y''-4y'+4y$。 186 | 187 | 写出特征方程：$\lambda^2-4\lambda+4=0$，从而$(\lambda-2)^2=0$，$\lambda_1=\lambda_2=2$。 188 | 189 | 从而$y$齐次方程的通解为$(C_1+C_2x)e^{2x}$。 190 | 191 | 根据特解的设置方法，所以$k=2$，设$y^*=e^{2x}(ax+b)x^2$。 192 | 193 | 代回二阶方程，$a=\dfrac{1}{2}$，$b=0$。通解为$(C_1+C_2x)e^{2x}+\dfrac{1}{2}x^3e^{2x}$。 194 | 195 | \textbf{例题：}微分方程$y''-4y'+3y=e^x\cos x+xe^{3x}$的通解。 196 | 197 | 解：首先常系数齐次线性微分方程：$y''-4y'+3y=0$。 198 | 199 | 特征方程为$\lambda^2-4\lambda+3=0$，解得特征值为$\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$。 200 | 201 | 所以该齐次方程的通解：$y=C_1e^x+C_2e^{3x}$。 202 | 203 | 然后求特解，首先求后面$f_2(x)=xe^{3x}$的特解$y_2^*$。 204 | 205 | 根据公式因为$\alpha$为单特征根，即$\aleph=3=\lambda_2\neq\lambda_1$，所以$y_2^*=e^{3x}(ax+b)x$。 206 | 207 | 然后是求$f_1(x)=e^x\cos x$的特解$y_1^*$。 208 | 209 | 其中$P_m(x)=1$，$P_n(x)=0$，$l=0$。所以设$P_m(x)=A$，$P_n(x)=B$。 210 | 211 | 对$k$，自由项中$\alpha=\beta=1$，得到$1\pm i$。又$1\pm i\neq\lambda_1=1\neq\lambda_2=3$，$k=0$。 212 | 213 | 最后$y_1^*=e^x(A\cos x+B\sin x)$。通解为$y=C_1e^x+C_2e^{3x}+e^x(A\cos x+B\sin x)+e^{3x}(ax+b)x$。 214 | 215 | \subsection{反推微分方程} 216 | 217 | \subsubsection{齐次微分方程} 218 | 219 | 没有给出具体的解出方法，此时往往是给出特解，然后反推微分方程的形式，这时就需要根据特解求出特征方程。 220 | 221 | \textbf{例题：}计算具有特解$y_1=e^{-x}$、$y_2=2xe^{-x}$、$y_3=3e^x$的三阶常系数齐次线性微分方程。 222 | 223 | 解：由于是三阶，且不是一般的微分方程求特解而是逆问题，就使用特征方程解。 224 | 225 | 因为有三个特解，根据解的形式，$r=-1,-1,1$，所以特征方程的形式为$(r+1)^2(r-1)=0$，即解出$r^3+r^2-r-1=0$，所以微分方程为$y'''+y''-y'-y=0$。 226 | 227 | \subsubsection{非齐次微分方程} 228 | 229 | \paragraph{已知结构} \leavevmode \medskip 230 | 231 | 如果给出一个微分方程的具体形式，而携带参数，可以直接求导然后代入微分方程。 232 | 233 | \textbf{例题：}$y=\dfrac{1}{2}e^{2x}+(x-\dfrac{1}{3})e^3$为二阶常系数非齐次线性微分方程$y''+ay'+by=ce^x$的一个特解，求对应参数。 234 | 235 | 解：直接代入法：直接求导$y'=e^{2x}+e^x(x+\dfrac{2}{3})$，$y''=2e^{2x}+e^x(x+\dfrac{5}{3})$。 236 | 237 | 直接代入，解得$a=-3$，$b=2$，$c=-1$。 238 | 239 | \textbf{例题：}$y=e^{2x}+(x+1)e^x$为二阶常系数非齐次线性微分方程$y''+ay'+by=ce^x$的一个特解，求对应参数和通解。 240 | 241 | 解：解结构法：由于是二阶非齐次方程，所以必然是两个通解加一个特解。 242 | 243 | 展开解$y=e^{2x}+xe^x+e^x$。 244 | 245 | 由于已知解，所以$r=1$、$r=2$，且非齐次为$ce^x$，所以$e^2x$为齐次方程的一个通解，非齐次方程的特解必然是在$xe^x$和$e^x$之中。 246 | 247 | 由于$r=1$，$xe^x$和$e^x$的幂次都是$1$，而其中一个$r=1$，根据解的结构$Ae^{rx}x^k$，为单值根，所以$k=1$，所以特解必然存在$x^k$，所以$xe^x$为特解，$e^x$为通解。 248 | 249 | 所以特征方程为$(r-1)(r-2)=0$，对应$y''-3y'+2y=0$。然后直接代入求出$c$。 250 | 251 | \paragraph{未知结构} \leavevmode \medskip 252 | 253 | \textbf{例题：}已知二阶非齐次线性方程具有三个特解$y_1=x-(x^2+1)$、$y_2=3e^x-(x^2+1)$、$y_3=2x-e^x-(x^2+1)$，求$y(0)=y'(0)=0$的特解。 254 | 255 | 解：非齐次，即$y''+py'+qy=f(x)$。由于是二阶所以有两个无关的特解。 256 | 257 | 所以$y_1-y_2$，$y_1-y_3$为其齐次方程的两个通解（线性无关）。 258 | 259 | 通解为齐次方程通解加上非齐次一个特解：$y=C_1(y_1-y_2)+C_(y_1-y_3)+y_1$。 260 | 261 | 然后代入，解出$y=e^x-x^2-x-1$。 262 | 263 | \subsection{高阶微分方程通解} 264 | 265 | 如果是三阶以及以上阶的微分方程，使用特征方程来解决。 266 | 267 | 由于三阶以以上的微分方程没有给出特解的形式，所以如果是高阶线性方程必然是齐次方程，直接根据特征方程得出特征值。 268 | 269 | \textbf{例题：}求三阶常系数线性齐次微分方程$y'''-2y''+y'-2y=0$的通解。 270 | 271 | 解：得出特征方程$r^3-2r^2+r-2=0$，即$r^3-2r^2+r-2=0$，$(r-2)(r^2+1)=0$，解得$r=2$、$\pm i$，即得通解为$C_1e^{2x}+C_2\cos x+C_3\sin x$。 272 | 273 | \section{微分方程概念} 274 | 275 | 对于有些方程并不需要求解后才能解决问题。 276 | 277 | \subsection{已知微分方程的解反求系数} 278 | 279 | \textbf{例题：}设$y_1,y_2$为一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$的两个特解，若常数$\lambda,\mu$使得$\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$是该方程对应的齐次方程的解，则()。 280 | 281 | $A.\lambda=\dfrac{1}{2},\mu=\dfrac{1}{2}$\qquad$B.\lambda=-\dfrac{1}{2},\mu=-\dfrac{1}{2}$\qquad$C.\dfrac{2}{3},\mu=\dfrac{1}{3}$\qquad$\lambda=\dfrac{2}{3},\mu=\dfrac{2}{3}$ 282 | 283 | \subsection{不解微分方程，利用方程隐含信息} 284 | 285 | $F(y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$反映了\textbf{未知函数及其各阶导数之间的关系}。 286 | 287 | \textbf{例题：}设$y=f(x)$是方程$y''-2y'+4y=0$的一个解，若$f(x_0)>0$，且$f'(x_0)=0$，则函数$f(x)$在点$x_0$()。 288 | 289 | $A.$取得最大值\qquad$B.$取得最小值\qquad$C.$某个邻域内单调增加\qquad$D.$某个邻域内单调减少 290 | 291 | 解：因为$y=f(x)$是方程$y''-2y'+4y=0$的一个解，所以直接代入$x_0$：$y''(x_0)-2y'(x_0)+4y(x_0)=0$。又$f'(x_0)=0$。 292 | 293 | $y''(x_0)=-4y(x_0)<0$，所以该点为极大值点。 294 | 295 | \section{欧拉方程} 296 | 297 | \section{微分方程物理应用} 298 | 299 | \subsection{牛顿第二定律} 300 | 301 | $F=ma$，物体质量$m$，力$f$，加速度$a=\dfrac{\textrm{d}^x}{\textrm{d}t^2}=\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}=\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}x}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}=v\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}x}$。 302 | 303 | \subsection{变化率} 304 | 305 | 考的可能性较大，提法多为$t$时刻某量$y$对$t$的变化率与$t$时刻某量成正比。 306 | 307 | 如冷却定律，$k$时刻物体温度$T(t)$对时间的变化率与$t$时刻物体与介质的温差$T-T_0$成正比，应写为$\dfrac{\textrm{d}T}{\textrm{d}t}=-k(x-x_0)$。 308 | 309 | \end{document} 310 | -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{二次型} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | \section{二次型} 38 | 39 | 即最基本的将二次型式子变为矩阵形式。 40 | 41 | \subsection{配方法} 42 | 43 | \subsection{矩阵乘法} 44 | 45 | 由于二次型是$X^TAX$的形式，所以最后的左右两边都存在所有的$x_i$，所以可以依次把$x_i$缺的项进行补齐$x_n$与其他所有$x_i$乘积的和的形式。 46 | 47 | \textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3+2x_1x_3$化为矩阵。 48 | 49 | 解：$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3+2x_1x_3=2x_1^2-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2-2x_2x_3+2x_3^2=2x_1^2-x_1x_2+x_1x_3+2x_2^2-x_1x_2-x_2x_3+2x_3^2+x_1x_3-x_2x_3=x_1(2x_1-x_2+x_3)+x_2(-x_1+2x_2-x_3)+x_3(x_1-x_2+2x_3)$ 50 | 51 | $=\left[x_1,x_2,x_3\right]\left[\begin{array}{c} 52 | 2x_1-x_2+x_3 \\ 53 | -x_1+2x_2-x_3 \\\ 54 | x_1-x_2+2x_3 55 | \end{array}\right]=[x_1,x_2,x_3]\left[\begin{array}{ccc} 56 | 2 & -1 & 1\\ 57 | -1 & 2 & -1\\ 58 | 1 & -1 & 2 59 | \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 60 | x_1 \\ 61 | x_2 \\ 62 | x_3 63 | \end{array}\right]$。 64 | 65 | 即$A=\left[\begin{array}{ccc} 66 | 2 & -1 & 1\\ 67 | -1 & 2 & -1\\ 68 | 1 & -1 & 2 69 | \end{array}\right]$。 70 | 71 | \section{标准形} 72 | 73 | 即将二次型式子变为平方形式，再变量更换，变成矩阵形式。 74 | 75 | \subsection{初等变换法} 76 | 77 | $f(x)=X^TAX$，线性变换$X=CY$，$C^TAC=\Lambda$，又$C$可逆，$\therefore C=P_1P_2\cdots P_s$，$EP_1P_2\cdots P_s=C$，$\therefore(P_1P_2\cdots P_s)^TAP_1P_2\cdots P_3=\Lambda$， 78 | 79 | \begin{enumerate} 80 | \item 对$A,E$做同样的初等列变换。 81 | \item 对$A$做相应的初等行变换。（交换$i,j$列就要交换$i,j$行）。一套行列变换后$\Lambda$为对称矩阵。 82 | \item $A$化成对角矩阵时，$E$化成的就是$C$。 83 | \end{enumerate} 84 | 85 | $\left(\begin{array}{c} 86 | A \\ 87 | E 88 | \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{c} 89 | \Lambda \\ 90 | C 91 | \end{array}\right)$，对整个列变换，只对$A$行变换。 92 | 93 | $\left(\begin{array}{c} 94 | A \\ 95 | E 96 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 97 | 1 & 1 & 1 \\ 98 | 1 & 2 & 2 \\ 99 | 1 & 2 & 1 \\ 100 | 1 & 0 & 0 \\ 101 | 0 & 1 & 0 \\ 102 | 0 & 0 & 1 103 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 104 | 1 & 0 & 1 \\ 105 | 1 & 1 & 2 \\ 106 | 1 & 1 & 1 \\ 107 | 1 & -1 & 0 \\ 108 | 0 & 0 & 0 \\ 109 | 0 & 0 & 1 110 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 111 | 1 & 0 & 1 \\ 112 | 0 & 1 & 1 \\ 113 | 1 & 1 & 1 \\ 114 | 1 & -1 & 0 \\ 115 | 0 & 0 & 0 \\ 116 | 0 & 0 & 1 117 | \end{array}\right)=\\\left(\begin{array}{ccc} 118 | 1 & 0 & 0 \\ 119 | 0 & 1 & 1 \\ 120 | 1 & 1 & 0 \\ 121 | 1 & -1 & -1 \\ 122 | 0 & 0 & 0 \\ 123 | 0 & 0 & 1 124 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 125 | 1 & 0 & 0 \\ 126 | 0 & 1 & 1 \\ 127 | 0 & 1 & 0 \\ 128 | 1 & -1 & -1 \\ 129 | 0 & 1 & 0 \\ 130 | 0 & 0 & 1 131 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 132 | 1 & 0 & 0 \\ 133 | 0 & 1 & 0 \\ 134 | 0 & 1 & -1 \\ 135 | 1 & -1 & 0 \\ 136 | 0 & 1 & -1 \\ 137 | 0 & 0 & 1 138 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 139 | 1 & 0 & 0 \\ 140 | 0 & 1 & 0 \\ 141 | 0 & 0 & -1 \\ 142 | 1 & -1 & 0 \\ 143 | 0 & 1 & -1 \\ 144 | 0 & 0 & 1 145 | \end{array}\right)$ 146 | 147 | $\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc} 148 | 1 & 0 & 0 \\ 149 | 0 & 1 & 0 \\ 150 | 0 & 0 & -1 151 | \end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{ccc} 152 | 1 & -1 & 0 \\ 153 | 0 & 1 & -1 \\ 154 | 0 & 0 & 1 155 | \end{array}\right)$ 156 | 157 | \subsection{可逆线性变换法} 158 | 159 | 即配方法，求可逆线性变换。 160 | 161 | \begin{enumerate} 162 | \item 如果二次型有平方项，则首先从$x_1$开始往后不断配方，让最后的式子全部以平方加和的形式，从而不会有混合项。 163 | \item 如果二次型没有平方项，则首先令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_i=y_i$等然后带入$f(x)$强行出现平方项，然后配方，成功后再用$z_i$替换。 164 | \item 如果总的完全平方项数小于变量个数，则令多余的$x_i$为$y_i$，系数为0。 165 | \end{enumerate} 166 | 167 | \subsubsection{平方项} 168 | 169 | 即依次对存在$x_i$的式子进行整合配方。从$x_1$开始，后面含$x_1$的都提到一起配方，然后依次按这个方法进行配方。 170 | 171 | \textbf{例题：}将$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$化为标准形并求出作的可逆线性变换。 172 | 173 | 解：首先对$x_1$进行配方，因为有$x_1$因子的式子有$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。 174 | 175 | 所以将$x_1,x_2,x_3$全部配在一起：$(x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$。 176 | 177 | 所以$f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2x_2^2-4x_2x_3-2x_3^2$，然后继续配$x_2$。 178 | 179 | 因为还有$-2x_2^2-4x_2x_3$，所以配成$-2(x_2+x_3)^2$，正好全部配完了。 180 | 181 | $\therefore f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2$。 182 | 183 | 令$y_1=x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2+x_3$，补$y_3=x_3$，$\therefore f=y_1^2-2y_2^2$。 184 | 185 | $(y_1,y_2,y_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} 186 | 1 & 1 & 1 \\ 187 | 0 & 1 & 1 \\ 188 | 0 & 0 & 1 189 | \end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$，此时是$y=Dx$，但是我们要求的是$x=Cy$，所以$C=D^{-1}$，所以$D^{-1}$才是作出的可逆线性变换。 190 | 191 | 所以得到的线性变换为$\left(\begin{array}{ccc} 192 | 1 & -1 & 0 \\ 193 | 0 & 1 & -1 \\ 194 | 0 & 0 & 1 195 | \end{array}\right)$。 196 | 197 | 这样方法还要重新求逆，比较麻烦。实际上我们要求的是$x=Cy$，即用$y$来表示$x$，从而直接将$y$来表示$x$就可以了。 198 | 199 | 首先$y_3=x_3$，所以$x_2=y_2-x_3=y_2-y_3$，$x_1=y_1-x_2-x_3=y_1-y_2+y_3-y_3=y_1-y_2$，综上$x_1=y_1-y_2$，$x_2=y_2-y_3$，$x_3=y_3$，也得到同样结果。 200 | 201 | \subsubsection{无平方项} 202 | 203 | \textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3-x_2x_3$化为规范形，并求所用的可逆线性变换。 204 | 205 | 解：因为二次型中没有平方项式子，而如果进行配方一定会出现平方，就会产生冲突，所以希望把$x$代换称有平方的式子。 206 | 207 | 令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_3=y_3$，代入二次型中。 208 | 209 | $f=y_1^2-y_2^2+y_1y_3+y_2y_3-y_1y_3-+y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3$。 210 | 211 | 此时由没有平方项就变成了有平方项，所以就能进行配方。 212 | 213 | $=y_1^2-(y_2-y_3)^2+y_3^2$，继续之前的步骤，进行换元： 214 | 215 | 令$z_1=y_1$，$z_2=y_2-y_3$，$z_3=y_3$，$f=z_1^2-z_2^2+z_3^2$得到标准形。 216 | 217 | 对于$x$与$y$：$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} 218 | 1 & 1 & 0 \\ 219 | 1 & -1 & 0 \\ 220 | 0 & 0 & 1 221 | \end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$。$y$作为过渡变量。 222 | 223 | 将$y$转换为$z$：$(z_1,z_2,z_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} 224 | 1 & 0 & 0 \\ 225 | 0 & 1 & -1 \\ 226 | 0 & 0 & 1 227 | \end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$，我们需要$x=Cz$。 228 | 229 | $(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc} 230 | 1 & 1 & 0 \\ 231 | 1 & -1 & 0 \\ 232 | 0 & 0 & 1 233 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 234 | 1 & 0 & 0 \\ 235 | 0 & 1 & -1 \\ 236 | 0 & 0 & 1 237 | \end{array}\right)^{-1}(z_1,z_2,z_3)^T$，从而得到$C=\left(\begin{array}{ccc} 238 | 1 & 1 & 1 \\ 239 | 1 & -1 & -1 \\ 240 | 0 & 0 & 1 241 | \end{array}\right)$。 242 | 243 | \subsection{正交变换法} 244 | 245 | 即求正交变换。 246 | 247 | \textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$使用正交变换法化为标准形，并求所作的正交变换。 248 | 249 | 已知将二次型通过矩阵表示：$=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc} 250 | 2 & 2 & -2 \\ 251 | 2 & 5 & -4 \\ 252 | -2 & -4 & 5 253 | \end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$。\medskip 254 | 255 | 这个矩阵跟第五章相似的实对称矩阵相似对角化的例题的矩阵一样。 256 | 257 | 所以直接结果：$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=10$，$\eta_1'=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(-2,1,0)^T$，$\eta_2'=\dfrac{\sqrt{5}}{15}(2,4,5)^T$，$\eta_3'=\dfrac{1}{3}(1,2,-2)^T$。 258 | 259 | 第五步：$f(x)=g(y)=y^T\Lambda y=(y_1,y_2,y_3)\left(\begin{array}{ccc} 260 | 1 \\ 261 | & 1 \\ 262 | & & 10 263 | \end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T=y_1^2+y_2^2+10y_3^2$ 264 | 265 | \section{规范形} 266 | 267 | 由于只有少部分二次型能转换为规范形，所以基本上都是选择题考察。 268 | 269 | 而且因为规范形的系数必然是0或1或-1，所以不需要求，直接使用惯性定理即可求出。 270 | 271 | \subsection{惯性定理} 272 | 273 | 多用于规范形的判断。 274 | 275 | \textbf{例题：}二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3-8x_2x_3$的规范形为()。 276 | 277 | $A.f=z_1^2\qquad B.f=z_1^2-z_2^2\qquad C.f=z_1^2+z_2^2+z_3^2\qquad D.f=z_1^2+z_2^2-z_3^2$ 278 | 279 | 解： 280 | 281 | 已知$f$的二次型矩阵表示$A=\left[\begin{array}{ccc} 282 | 1 & -1 & 2 \\ 283 | -2 & 4 & -4 \\ 284 | 2 & -4 & 4 285 | \end{array}\right]$，根据特征方程$\vert\lambda E-A\vert=\lambda^2(\lambda-9)=0$，$\lambda_1=9$，$\lambda_2=\lambda_3=0$，所以根据特征值符号，正惯性系数$p=1$，负惯性系数$q=0$，所以选择$A$。 286 | 287 | \section{合同} 288 | 289 | \subsection{合同判断} 290 | 291 | 合同基于二次型，所以只有对称矩阵才能讨论是否合同。 292 | 293 | 二次型的合同只有两种判断方式： 294 | 295 | \begin{enumerate} 296 | \item 秩相同，正（负）惯性系数相同。 297 | \item 正负惯性系数都相同。 298 | \end{enumerate} 299 | 300 | \textbf{例题：}设$A=\left[\begin{array}{ccc} 301 | 1 & 2 & 0 \\ 302 | 2 & 1 & 0 \\ 303 | 0 & 0 & 1 304 | \end{array}\right]$，与$A$合同的是()。 305 | 306 | $A.\left[\begin{array}{ccc} 307 | 1 & 0 & 0 \\ 308 | 0 & 1 & 0 \\ 309 | 0 & 0 & 1 310 | \end{array}\right]$\;$B.\left[\begin{array}{ccc} 311 | 1 & 0 & 0 \\ 312 | 0 & 1 & 0 \\ 313 | 0 & 0 & -1 314 | \end{array}\right]$\;$C.\left[\begin{array}{ccc} 315 | 1 & 0 & 0 \\ 316 | 0 & -1 & 0 \\ 317 | 0 & 0 & -1 318 | \end{array}\right]$\;$D.\left[\begin{array}{ccc} 319 | -1 & 0 & 0 \\ 320 | 0 & -1 & 0 \\ 321 | 0 & 0 & -1 322 | \end{array}\right]$ \medskip 323 | 324 | 解：从四个选项，由于是常量矩阵，所以由对角线元素的正负号可以得出这四个的惯性系数分别为$(3,0)$、$(2,1)$、$(1,2)$、$(0,3)$（前面为正惯性系数，后面为负惯性系数）。 325 | 326 | 且每个选项的秩都是3。 327 | 328 | \subsubsection{配方法} 329 | 330 | 即将二次型配方为标准型，然后求该矩阵的秩和惯性系数。 331 | 332 | 解：经过配方$f=(x_1+2x_2)^2-3x_2^2+x_3^2$，由于有三个平方项，所以矩阵秩为3，正惯性系数为2，与$B$相同。 333 | 334 | \subsubsection{特征值法} 335 | 336 | 即根据特征方程进行正交变换得到正负惯性系数。 337 | 338 | 解：求$A$的特征值，得到$\lambda_1=1$、$\lambda_2=3$、$\lambda_3=-1$，所以正交变换后标准形为$y_1^2+3y_2^2-y_3^2$，惯性系数与$B$相同。 339 | 340 | \subsection{可逆矩阵} 341 | 342 | 已知$A\simeq\Lambda$，则$C^TAC=\Lambda$。即$f=x^TAx=y^T\Lambda y$，得到$x=Cy$。 343 | 344 | \textbf{例题：}已知$A=\left[\begin{array}{ccc} 345 | 1 & 0 & 0 \\ 346 | 0 & -4 & 0 \\ 347 | 0 & 0 & \dfrac{1}{9} 348 | \end{array}\right]$合同于$\Lambda=\left[\begin{array}{ccc} 349 | 1 & 0 & 0 \\ 350 | 0 & 1 & 0 \\ 351 | 0 & 0 & -1 352 | \end{array}\right]$，求$C^TAC=\Lambda$中的$C$。 353 | 354 | 解：已知$A$，则可得二次型$f=x^TAx=[x_1,x_2,x_3]A[x_1,x_2,x_3]^T=x_1^2-4x_2^2+\dfrac{1}{9}x_3^2$，规范化让这个二次型与$\Lambda$转换的二次型相等，由于正负惯性系数相同，平方必然是正数，所以符号对齐，令$x_1^2=y_1^2$、$4x_2^2=y_3^2$、$\dfrac{1}{9}x_3^2=y_2^2$。 355 | 356 | 解得$x_1=y_1$，$x_2=\dfrac{1}{2}y_3$，$x_3=3y_2$，即$\left[\begin{array}{c} 357 | x_1 \\ 358 | x_2 \\ 359 | x_3 360 | \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 361 | 1 \\ 362 | & & \dfrac{1}{2} \\ 363 | & 3 364 | \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 365 | y_1 \\ 366 | y_2 \\ 367 | y_3 368 | \end{array}\right]$。 369 | 370 | 所以$x=Cy$，解得$C=\left[\begin{array}{ccc} 371 | 1 \\ 372 | & & \dfrac{1}{2} \\ 373 | & 3 374 | \end{array}\right]$，此时$f=x^TAx=y^TC^TACy=y^T\Lambda y$。 375 | 376 | \section{正定二次型} 377 | 378 | \subsection{具体型} 379 | 380 | \begin{enumerate} 381 | \item 顺序主子式全部大于0。 382 | \item 特征值全部大于0。 383 | \item 配方化为全平方和的标准型，正惯性指数$p=n$（未知数个数）。 384 | \item 矩阵乘法配方为完全平方和，内积$D^TD$不等于0。 385 | \end{enumerate} 386 | 387 | \subsection{抽象型} 388 | 389 | \section{二次型最值} 390 | 391 | 若$A$的特征值大小排序$\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n$，则： 392 | 393 | \begin{itemize} 394 | \item $\lambda_1x^Tx\leqslant x^TAx\leqslant\lambda_nx^Tx$。 395 | \item 若$x^Tx=1$，则$f_{\min}=\lambda_1$，$f_{\max}=\lambda_n$。 396 | \end{itemize} 397 | 398 | \end{document} 399 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/3-digital-features/digital-features.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 6 | \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 7 | \definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 8 | \usepackage{geometry} 9 | \setcounter{tocdepth}{4} 10 | \setcounter{secnumdepth}{4} 11 | % 设置四级目录与标题 12 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 13 | % 默认大小为A4 14 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 15 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 16 | \usepackage{indentfirst} 17 | \setlength{\parindent}{2.45em} 18 | % 首行缩进2个中文字符 19 | \usepackage{setspace} 20 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 21 | % 1.5倍行距 22 | \usepackage{amssymb} 23 | % 因为所以 24 | \usepackage{amsmath} 25 | % 数学公式 26 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 27 | % 超链接 28 | \usepackage{array} 29 | % 表格垂直居中 30 | \usepackage{diagbox} 31 | % 表格斜线 32 | \author{Didnelpsun} 33 | \title{随机变量数字特征} 34 | \date{} 35 | \begin{document} 36 | \maketitle 37 | \pagestyle{empty} 38 | \thispagestyle{empty} 39 | \tableofcontents 40 | \thispagestyle{empty} 41 | \newpage 42 | \pagestyle{plain} 43 | \setcounter{page}{1} 44 | 45 | 有时候研究随机变量，其是没有具体的概率分布的，而对于这种类型我们只用研究其数学特征就可以了。 46 | 47 | \section{一维随机变量数字特征} 48 | 49 | \subsection{数学期望} 50 | 51 | \subsubsection{概念} 52 | 53 | 设$X$是随机变量，$Y$是$X$的函数，$Y=g(X)$。 54 | 55 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$X$是离散型随机变量，其分布列为$p_i=P\{X=x_i\}$（$i=1,2,\cdots$），若级数$\sum\limits_{i=1}^\infty x_ip_i$绝对收敛，则称随机变量$X$的数学期望存在，并将级数和$\sum\limits_{i=1}^\infty x_ip_i$称为随机变量$X$的\textbf{数学期望}，记为$E(X)$或$EX$，即$EX=\sum\limits_{i=1}^\infty x_ip_i$，否则$X$数学期望不存在。（数学期望实际上是一种加权的合理平均值） 56 | 57 | 若级数$\sum\limits_{i=1}^\infty g(x_i)p_i$也绝对收敛，则称$Y=g(X)$的数学期望$E[g(X)]$存在，且$E[g(X)]=\sum\limits_{i=1}^\infty g(x_i)p_i$，否则$g(X)$的数学期望不存在。 58 | 59 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$X$是连续型随机变量，其概率密度为$f(x)$。若积分$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\textrm{d}x$绝对收敛，则称$X$的数学期望存在，且$EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\textrm{d}x$，否则$X$的数学期望不存在。 60 | 61 | 若积分$\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\,\textrm{d}x$绝对收敛，则称$g(X)$的数学期望存在，$E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\,\textrm{d}x$，否则$g(X)$的数学期望不存在。 62 | 63 | \subsubsection{性质} 64 | 65 | \begin{itemize} 66 | \item 对任意常数$a_i$和随机变量$X_i$（$i=1,2,\cdots,n$）有$E\left(\sum\limits_{i=1}^na_iX_i\right)=\sum\limits_{i=1}^na_iEX_i$，其中$Ec=c$，$E(aX+c)=aEX+c$，$E(X\pm Y)=EX\pm EY$。 67 | \item 若$XY$相互独立，则$E(XY)=EX\cdot EY$，$E[g_1(X),g_2(Y)]=E[g_1(X)]\cdot E[g_2(Y)]$，一般若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，则$E\left(\prod\limits_{i=1}^nX_i\right)=\prod\limits_{i=1}^nEX_i$，$E\left[\prod\limits_{i=1}^ng_i(X_i)\right]=\prod\limits_{i=1}^nE[g_i(X_i)]$。 68 | \end{itemize} 69 | 70 | \subsection{方差标准差} 71 | 72 | \subsubsection{概念} 73 | 74 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$X$是随机变量，若$E[(X-EX)^2]$存在，则称$E[(X-EX)^2]$为$X$的\textbf{方差}，记为$D(X)$或$DX$，即$DX=E[(X-EX)^2]=E(X^2)-(EX)^2=EX^2-E^2X$。称$\sqrt{DX}$为$X$的\textbf{标准差}或\textbf{均方差}，记为$\sigma(X)$，称随机变量$X^*=\dfrac{X-EX}{\sqrt{DX}}$为$X$的\textbf{标准化随机变量}，此时$EX^*=0$，$DX^*=1$。 75 | 76 | 当$X$为离散型随机变量时$D(X)=\sum\limits_{i=1}^\infty[x_i-E(X)]^2p_i$，当$X$为连续型随机变量时$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)\,\textrm{d}x$。 77 | 78 | \subsubsection{性质} 79 | 80 | \begin{itemize} 81 | \item $DX\geqslant0$，$E(X^2)=DX+(EX)^2\geqslant(EX)^2$。 82 | \item $Dc=0$。 83 | \item $D(aX+b)=a^2DX$。 84 | \item $D(X\pm Y)=DX+DY\pm2Cov(X,Y)=DX+DY\pm2E[(X-EX)(Y-EY)]$。 85 | \item 若$XY$相互独立，则$D(aX\pm bY)=a^2DX+b^2DY$，一般若$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，$g_i(x)$为关于$x$的连续函数，则$D\left(\sum\limits_{i=1}^na_iX_i\right)=\sum\limits_{i=1}^na_i^2DX_i$，$D\left[\sum\limits_{i=1}^ng_i(X_i)\right]=\sum\limits_{i=1}^nD[g_i(X_i)]$。 86 | \end{itemize} 87 | 88 | \subsection{切比雪夫不等式} 89 | 90 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若随机变量$X$的方差$DX$存在，则对任意$\epsilon>0$，有$P\{\vert X-EX\vert\geqslant\epsilon\}\leqslant\dfrac{DX}{\epsilon^2}$或$P\{\vert X-EX\vert<\epsilon\}\geqslant1-\dfrac{DX}{\epsilon^2}$。 91 | 92 | $P\{\vert X-EX\vert\geqslant\epsilon\}$即代表变量与期望的差距大于某个值的概率，$DX$就是方差，$DX$越小证明波动越小，波动在$\epsilon$外的概率就越小，反之同理，而$\epsilon$越小，则$\dfrac{DX}{\epsilon^2}$越大，则代表$X$靠近期望$EX$的概率越大，反之同理。 93 | 94 | 证明：若$X$是连续型随机变量，令$\vert X-EX\vert\geqslant\epsilon=D$，则$P\{\vert X-EX\vert\geqslant\epsilon\}=\int\limits_Df(x)\,\textrm{d}x$，又该区间上$\vert X-EX\vert\geqslant\epsilon$，$\therefore\dfrac{(X-EX)^2}{\epsilon^2}\geqslant 1$。 95 | 96 | $\displaystyle{\int\limits_Df(x)\,\textrm{d}x\leqslant\int\limits_D\dfrac{(X-EX)^2}{\epsilon^2}f(x)\,\textrm{d}x\leqslant\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{(X-EX)^2}{\epsilon^2}f(x)\,\textrm{d}x}$ 97 | 98 | $=\displaystyle{\dfrac{1}{\epsilon^2}\int_{-\infty}^{+\infty}(X-EX)^2f(x)\,\textrm{d}x}=\dfrac{DX}{\epsilon^2}$。 99 | 100 | 可以用于估算随机变量在某范围中取值的概率，也可以证明某些收敛性问题（如数学统计章节中的一致性）。 101 | 102 | \textbf{例题：}设$XY$为随机变量，数学期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，尝试估计估计概率$P\{\vert X-Y\vert\geqslant6\}$。 103 | 104 | 解：令$Z=X-Y$，$\therefore EZ=E(X-Y)=EX-EY=2-2=0$，所以$P\{\vert X-Y\vert\geqslant6\}=P\{\vert X-Y-0\vert\geqslant6\}=P\{\vert Z-EZ\vert\geqslant6\}\leqslant\dfrac{DZ}{6^2}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{2}$。 105 | 106 | \subsection{常用分布数字特征} 107 | 108 | \begin{center} 109 | \begin{tabular}{|m{50pt}<{\centering}|m{220pt}<{\centering}|c|c|} 110 | \hline 111 | 分布 & 分布列$p_i$或概率密度$f(x)$ & 期望 & 方差 \\ \hline 112 | 0-1分布$B(1,p)$ & $P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}$，$k=0,1$ & $p$ & $p(1-p)$ \\ \hline 113 | 二项分布$B(n,p)$ & $P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$，$k=0,\cdots,n$ & $np$ & $np(1-p)$ \\ \hline 114 | 泊松分布$P(\lambda)$ & $P\{X=k\}=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，$k=0,\cdots$ & $\lambda$ & $\lambda$ \\ \hline 115 | 几何分布$G(p)$ & $P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}$，$p,k=1,\cdots$ & $\dfrac{1}{p}$ & $\dfrac{1-p}{p^2}$ \\ \hline 116 | 正态分布$N(\mu,\sigma^2)$ & $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，$x\in R$ & $\mu$ & $\sigma^2$ \\ \hline 117 | 均匀分布$U(a,b)$ & $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$，$a0$ & $\dfrac{1}{\lambda}$ & $\dfrac{1}{\lambda^2}$ \\ \hline 119 | \end{tabular} 120 | \end{center} 121 | 122 | \section{二维随机变量数字特征} 123 | 124 | \subsection{数学期望} 125 | 126 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$XY$为随机变量，$g(X,Y)$为$XY$的函数，如果$(X,Y)$为离散型随机变量，其联合分布为$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_i\}$（$i,j=1,2,\cdots$），若级数$\sum\limits_i\sum\limits_jg(x_i,y_j)p_{ij}$绝对收敛，则$E[g(X,Y)]=\sum\limits_i\sum\limits_jg(x_i,y_j)p_{ij}$；如果$(X,Y)$为连续型随机变量，其概率密度为$f(x,y)$，若积分$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y$绝对收敛，则定义$E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y$。 127 | 128 | \subsection{协方差相关系数} 129 | 130 | \subsubsection{概念} 131 | 132 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若随机变量$XY$的方差存在且$DX>0$，$DY>0$，则称$E[(X-EX)(Y-EY)]$为随机变量$X$与$Y$的\textbf{协方差}，记为$Cov(X,Y)$，即$Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY-XEY-YEX+EXEY)=E(XY)-EX\cdot EY$。 133 | 134 | 其中$E(XY)=\left\{\begin{array}{l} 135 | \sum\limits_i\sum\limits_jx_iy_jP\{X=x_i,Y=y_j\} \\ 136 | \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y 137 | \end{array}\right.$。 138 | 139 | 从定义来看，方差$DX$就是自己的协方差$Cov(X,X)$。 140 | 141 | 协方差也可以标准化，已知$X^*=\dfrac{X-EX}{\sqrt{DX}}$，$Y^*=\dfrac{Y-EY}{\sqrt{DY}}$，则$Cov(X^*,Y^*)\\=Cov(\dfrac{X-EX}{\sqrt{DX}},\dfrac{Y-EY}{\sqrt{DY}})=\dfrac{Cov(X-EX,Y-EY)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\\=\dfrac{Cov(X,Y)-Cov(X,EY)-Cov(EX,Y)+Cov(EX,EY)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DXDY}}$。 142 | 143 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\rho_{XY}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$为随机变量$XY$的\textbf{相关系数}。若$\rho_{XY}=0$，则$XY$不相干，否则相关。 144 | 145 | 相关系数是描述随机变量$XY$之间的线性关系，绝对值越靠近1则越线性相关。相关系数为0不代表没有其之间没有关系，也可能存在非线性关系。 146 | 147 | \subsubsection{性质} 148 | 149 | \begin{itemize} 150 | \item 对称性：$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$，$\rho_{XY}=\rho_{YX}$，$Cov(X,X)=DX$，$\rho_{XX}=1$。 151 | \item 线性性：$Cov(X,c)=0$，$Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)$，$Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$。一般$Cov\left(\sum\limits_{i=1}^na_iX_i,Y\right)=\sum\limits_{i=1}^nCov(X_i,Y)$。 152 | \item 若$XY$相互独立，则$Cov(X,Y)=0$。$D(\sum X)=\sum DX$。 153 | \item $D(X\pm Y)=DX+DY\pm2Cov(X,Y)$。 154 | \item 相关系数有界性：$\vert\rho_{XY}\vert\leqslant1$。 155 | \item 线性关系下的相关系数：若$Y=aX+b$，则$\rho_{XY}=\left\{\begin{array}{ll} 156 | 1, & a>0 \\ 157 | -1, & a<0 158 | \end{array}\right.$。 159 | \end{itemize} 160 | 161 | \textbf{例题：}设随机变量$XY$的概率分布分别为： 162 | 163 | \begin{center} 164 | \begin{tabular}{m{20pt}<{\centering}|m{40pt}<{\centering}m{40pt}<{\centering}} 165 | \hline 166 | $X$ & 0 & 1 \\ \hline 167 | $P$ & 1/3 & 2/3 \\ \hline 168 | \end{tabular}\qquad 169 | \begin{tabular}{m{20pt}<{\centering}|m{40pt}<{\centering}m{40pt}<{\centering}m{40pt}<{\centering}} 170 | \hline 171 | $Y$ & -1 & 0 & 1 \\ \hline 172 | $P$ & 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ \hline 173 | \end{tabular} 174 | \end{center} 175 | 176 | 且$P\{X^2=Y^2\}=1$。 177 | 178 | (1)求随机变量$(X,Y)$的概率分布。 179 | 180 | (2)求$Z=XY$的概率分布。 181 | 182 | (3)求$XY$的相关系数$\rho_{XY}$。 183 | 184 | (1)解：根据已知的题目条件可以知道对应的边缘概率分布： 185 | 186 | \begin{center} 187 | \begin{tabular}{c|ccc|c} 188 | \diagbox{$X$}{$Y$} & -1 & 0 & 1 & $X$边缘 \\ \hline 189 | 0 & & & & 1/3 \\ \hline 190 | 1 & & & & 2/3 \\ \hline 191 | $Y$边缘 & 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1 \\ \hline 192 | \end{tabular} 193 | \end{center} 194 | 195 | 又$P\{X^2=Y^2\}=1$，所以$P\{X^2\neq Y^2\}=0$，所以$X=\pm Y$，解得： 196 | 197 | \begin{center} 198 | \begin{tabular}{c|ccc|c} 199 | \diagbox{$X$}{$Y$} & -1 & 0 & 1 & $X$边缘 \\ \hline 200 | 0 & 0 & 1/3 & 0 & 1/3 \\ \hline 201 | 1 & 1/3 & 0 & 1/3 & 2/3 \\ \hline 202 | $Y$边缘 & 1/3 & 1/3 & 1/3 & 1 \\ \hline 203 | \end{tabular} 204 | \end{center} 205 | 206 | (2)解：$Z=XY$的可能取值为-1，0，1。所以根据表格： 207 | 208 | $P\{Z=-1\}=P\{X=1,Y=-1\}=\dfrac{1}{3}$。 209 | 210 | $P\{Z=1\}=P\{X=1,Y=1\}=\dfrac{1}{3}$。 211 | 212 | $P\{Z=0\}=1-P\{Z=1\}-P\{Z=-1\}=\dfrac{1}{3}$。 213 | 214 | (3)解：$\rho=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\dfrac{EXY-EXEY}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=0$。 215 | 216 | \section{独立性与相关性} 217 | 218 | 相关性是线性相关性。 219 | 220 | \begin{itemize} 221 | \item 独立则一定不相关，但是不相关不一定独立。 222 | \item 如果相关则一定不独立。 223 | \item 如果$(X,Y)$服从二维正态分布，则$XY$独立与$XY$不相关是充要条件。 224 | \end{itemize} 225 | 226 | \subsection{分布判断独立性} 227 | 228 | 都是通过分布情况判断独立性： 229 | 230 | \begin{itemize} 231 | \item $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$。 232 | \item $f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$。 233 | \item $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_j\}$。 234 | \end{itemize} 235 | 236 | \subsection{数字特征判断相关性} 237 | 238 | 通过相关系数$\rho_{XY}$来判断是否存在线性相关性。 239 | 240 | $\rho_{XY}=0\Leftrightarrow Cov(X,Y)=0\Leftrightarrow E(XY)=EX\cdot EY\Leftrightarrow D(X\pm Y)=DX+DY$。 241 | 242 | \subsection{基本判别流程} 243 | 244 | 当讨论随机变量$XY$的相关性独立性时： 245 | 246 | \begin{enumerate} 247 | \item 计算$Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY$判断是否为0。 248 | \item 当$Cov(X,Y)\neq0$时则$XY$相关不独立。 249 | \item 当$Cov(X,Y)=0$时则$XY$不相关。 250 | \item 若$P(XY)=P(X)P(Y)$则$XY$不相关但独立，否则不相关不独立。 251 | \end{enumerate} 252 | 253 | \textbf{例题：}设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-\vert x\vert}$，$x\in(-\infty,+\infty)$。证明$X$与$\vert X\vert$不相关且不独立。 254 | 255 | 解：$Cov(X,Y)=EXY-EXEY=EX\vert X\vert-EXE\vert X\vert$。 256 | 257 | 其中$EX=\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}}x\cdot\dfrac{1}{2}e^{-\vert x\vert}\,\textrm{d}x=0$，$EXY=\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}}x\cdot\dfrac{1}{2}e^{-\vert x\vert}\vert x\vert\,\textrm{d}x=0$。 258 | 259 | $\therefore\rho_{XY}=0$，从而$XY$不相关。 260 | 261 | 令$X\leqslant a$，则$P\{X\leqslant a\}$。而$P\{\vert X\vert\leqslant a\}=P\{-a\leqslant X\leqslant a\}}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1$，$\beta_3=\alpha_3-\dfrac{<\alpha_3,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1}\beta_1-\dfrac{<\alpha_3,\beta_2>}{<\beta_2,\beta_2>}\beta_2$，$\cdots$，$\beta_n=\alpha_n-\dfrac{<\alpha_n,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1-\dfrac{<\alpha_n,\beta_2>}{<\beta_2,\beta_2>}\beta_2-\cdots-\dfrac{<\alpha_n,\beta_{n-1}}{<\beta_{n-1},\beta_{n-1}>}\beta_{n-1}$。其中$$代表$n,n$的内积。 311 | 312 | 最后单位化：$\gamma_i=\dfrac{\beta_i}{\Vert\beta_i\Vert}$。 313 | 314 | \subsubsection{定义} 315 | 316 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$A^T=A$则$A$就是对称矩阵，若$A$的元素都是实数，则$A$是实对称矩阵。 317 | 318 | \begin{itemize} 319 | \item $A$是实对称矩阵，则$A$的特征值是实数，特征向量是实向量。 320 | \item $A$是实对称矩阵，则其属于不同特征值的特征向量相互正交（线性无关）。 321 | \item $A$是实对称矩阵，必然相似于对角矩阵，必与$n$个线性无关的特征向量$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$，即必有可逆矩阵$P=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]$使得$P^{-1}AP=\Lambda$，且存在正交矩阵$Q$，使得$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$，所以$A$与$\Lambda$正交相似。（正交：$A^TA=E$） 322 | \end{itemize} 323 | 324 | 证明性质二：已知实对称矩阵$A^T=A$。 325 | 326 | 令$Ax_1=\lambda_1x_1$，$Ax_2=\lambda_2x_2$，$\lambda_1\neq\lambda_2$。对于第一个式子左乘$x_2^T$： 327 | 328 | $x_2^TAx_1=x_2^T\lambda_1x_1$，$x_2^TA^Tx_1=\lambda_1x_2^Tx_1$，$(Ax_2)^Tx_1=\lambda_1x_2^Tx_1$，代入$Ax_2=\lambda_2x_2$： 329 | 330 | $(\lambda_2x_2)^Tx_1=\lambda_1x_2^Tx_1$，$\lambda_2x_2^Tx_1=\lambda_1x_2^Tx_1$，$(\lambda_2-\lambda_1)x_2^Tx_1=0$，$x_2^Tx_1=0$。 331 | 332 | 即$(x_2,x_1)=0$，从而$x_1$与$x_2$正交。 333 | 334 | \subsubsection{步骤} 335 | 336 | 对于实对称矩阵，一定存在$P$，所以一般而言还会考求正交单位化的$Q$，步骤如下： 337 | 338 | \begin{enumerate} 339 | \item 求出$A$的所有特征值$\lambda$。 340 | \item 求出$A$的所有$\lambda$的特征向量$\xi$。 341 | \item 将$(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)$正交化、单位化为$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$。 342 | \item 令$Q=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$，则$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$。 343 | \end{enumerate} 344 | 345 | \textbf{例题：}设$A=\left(\begin{array}{ccc} 346 | 2 & 2 & -2 \\ 347 | 2 & 5 & -4 \\ 348 | -2 & -4 & 5 349 | \end{array}\right)$，求正交矩阵$Q$，使得$Q^{-1}AQ=\Lambda$。\medskip 350 | 351 | 解：这个题基本上跟上面的例题一致，只是将可逆矩阵改成了正交矩阵。 352 | 353 | 所以得到三个特征向量：$\xi_1=(-2,1,0)^T$，$\xi_2=(2,0,1)^T$，$\xi_3=(1,2,-2)^T$。 354 | 355 | 实对称矩阵不同特征值的特征向量必然相互正交，从而$\xi_1\perp\xi_3$，$\xi_2\perp\xi_3$。 356 | 357 | 而$\xi_1$与$\xi_2$特征值相同从而不一定正交，$(\xi_1,\xi_2)=-4\neq0$，所以并不正交。 358 | 359 | 令$\eta_1=\xi_1=(-2,1,0)^T$，$\eta_2=\xi_2-\dfrac{(\xi_2,\eta_1)}{(\eta_1,\eta_1)}\eta_1=(2,0,1)^T-\dfrac{-4}{5}(-2,1,0)^T$。 360 | 361 | $\therefore\eta_2=\left(\dfrac{2}{5},\dfrac{4}{5},1\right)^T$，取$\eta_2=(2,4,5)^T$，$\eta_1=(-2,1,0)^T$，$\eta_3=\xi_3=(1,2,-2)^T$。 362 | 363 | 单位化$\eta_1'=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(-2,1,0)^T$，$\eta_2'=\dfrac{\sqrt{5}}{15}(2,4,5)^T$，$\eta_3'=\dfrac{1}{3}(1,2,-2)^T$。 364 | 365 | 令$Q=(\eta_1',\eta_2',\eta_3')$，使得$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$。 366 | 367 | \end{document} 368 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/5-mathematical-statistics/mathematical-statistics.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{数理统计} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | \section{统计量} 38 | 39 | 利用期望和方差等数学特征之间的关系进行计算统计量，往往以$\sum\limits_{i=1}^nX_i$或类似的形式。 40 | 41 | \textbf{例题：}已知总体$X$的期望为$EX=0$，方差$DX=\sigma^2$。从总体抽取容量为$n$的简单随机样本，其均值和方差分别为$\overline{X}$，$S^2$。记$S_k^2=\dfrac{n}{k}\overline{X}^2+\dfrac{1}{k}S^2$（$k=1,2,3,4$），则()。 42 | 43 | $A.E(S_1^2)=\sigma^2$\qquad$B.E(S_2^2)=\sigma^2$ 44 | 45 | $C.E(S_3^2)=\sigma^2$\qquad$D.E(S_4^2)=\sigma^2$ 46 | 47 | 解：$E(S_k^2)=E\left(\dfrac{n}{k}\overline{X}^2+\dfrac{1}{k}S^2\right)=\dfrac{n}{k}E\overline{X}^2+\dfrac{1}{k}E(S^2)=\dfrac{n}{k}((E\overline{X})^2+D\overline{X})+\dfrac{1}{k}E(S^2)=\dfrac{n}{k}\left(0+\dfrac{\sigma^2}{n}\right)+\dfrac{1}{k}\sigma^2=\dfrac{2\sigma^2}{k}$，$\therefore k=2$。 48 | 49 | \textbf{例题：}设$X_i$为来自总体$E(\lambda)$（$\lambda>0$）的简单随机样本，记统计量$T=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2$，求$ET$。 50 | 51 | 解：$ET=E\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nEX_i^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(DX_i+E^2X_i)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{1}{\lambda^2}+\dfrac{1}{\lambda^2}\right)\\=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2n}{\lambda^2}=\dfrac{2}{\lambda^2}$。 52 | 53 | \textbf{例题：}设$X_i$为来自总体$X$的简单随机样本，而$X\sim B\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$。记$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$，求$P\left\{\overline{X}=\dfrac{k}{n}\right\}$。（$0\leqslant k\leqslant n$） 54 | 55 | 解：$\because X\sim B\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$，$\therefore\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim B\left(n,\dfrac{1}{2}\right)$。 56 | 57 | $P\left\{\overline{X}=\dfrac{k}{n}\right\}=P\left\{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i=\dfrac{k}{n}\right\}=P\left\{\sum\limits_{i=1}^nX_i=k\right\}=C_n^k\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-k}\\=C_n^k\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$。 58 | 59 | \section{三大分布} 60 | 61 | \subsection{\texorpdfstring{$\chi^2$分布}{}} 62 | 63 | \textbf{例题：}设$X_1,X_2,X_3,X_4$是来自正态总体$N(0,4)$的简单随机样本，记$X=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2$。求$X$服从$\chi^2$分布下的参数与自由度。 64 | 65 | 解：若$X_1,X_2,X_3,X_4$同一个正态分布，所以$EX_1=EX_2=EX_3=EX_4=0$，$DX_1=DX_2=DX_3=DX_4=4$。 66 | 67 | $E(X_1-2X_2)=EX_1-2EX_2=0$，$D(X_1-2X_2)=DX_1-4DX_2=20$。 68 | 69 | $\therefore X_1-2X_2\sim N(0,20)$，同理$3X_3-4X_4\sim N(0,100)$。 70 | 71 | 对其标准化：$\dfrac{X_1-2X_2-0}{\sqrt{20}}\sim N(0,1)$，$\dfrac{3X_3-4X_4-0}{\sqrt{100}}\sim N(0,1)$。 72 | 73 | 若要让$X$满足$\chi^2$分布，则要将$a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2$两项标准化。 74 | 75 | $\therefore\dfrac{(X_1-2X_2)^2}{20}+\dfrac{(3X_3-4X_4)^2}{100}\sim\chi^2(2)$，所以$a=\dfrac{1}{20}$，$b=\dfrac{1}{100}$。 76 | 77 | \subsection{\texorpdfstring{$t$分布}{}} 78 | 79 | \textbf{例题：}设$X_1,X_2,\cdots,X_8$是来自正态总体$N(0,3^2)$的简单随机样本，则统计量$Y=\dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4}{\sqrt{X_5^2+X_6^2+X_7^2+X_8^2}}$服从什么分布？ 80 | 81 | 解：$\because X_1,\cdots,X_8\sim N(0,9)$，$\therefore X_1+X_2+X_3+X_4\sim N(0,36)$。 82 | 83 | $\therefore\dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4-0}{6}\sim N(0,1)$。 84 | 85 | $\dfrac{X_5^2+X_6^2+X_7^2+X_8^2}{9}=\left(\dfrac{X_5-0}{3}\right)^2+\left(\dfrac{X_6-0}{3}\right)^2+\left(\dfrac{X_7-0}{3}\right)^2+\left(\dfrac{X_8-0}{3}\right)^2$\\$\sim\chi^2(4)$ 86 | 87 | $\therefore\dfrac{\dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4-0}{6}}{\sqrt{\dfrac{X_5^2+X_6^2+X_7^2+X_8^2}{9}/4}}=\dfrac{X_1+X_2+X_3+X_4}{\sqrt{X_5^2+X_6^2+X_7^2+X_8^2}}\sim t(4)$。 88 | 89 | \subsection{\texorpdfstring{$F$分布}{}} 90 | 91 | \textbf{例题：}设$X_1,X_2,\cdots,X_15$是来自正态总体$N(0,3^2)$的简单随机样本，则统计量$Y=\dfrac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{2X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}$服从什么分布？ 92 | 93 | 解：$\because\dfrac{X_i-0}{3}\sim N(0,1)$，$\left(\dfrac{X_i-0}{3}\right)^2=\dfrac{x_i^2}{9}\sim\chi^2(1)$。 94 | 95 | $\therefore\dfrac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{9}\sim\chi^2(10)$，$\dfrac{X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}{9}\sim\chi^2(5)$。 96 | 97 | $\therefore\dfrac{\dfrac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{9}/10}{\dfrac{X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}{9}/5}=\dfrac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{2X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}=Y\sim F(10,5)$。 98 | 99 | \textbf{例题：}已知$(X,Y)$的概率分布函数为$f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2-2y+1)}$，$x,y\in R$，求$\dfrac{X^2}{(Y-1)^2}$的分布。 100 | 101 | 解：$f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2-2y+1)}=\dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}(x^2+(y-1)^2)}$，所以根据二维正态分布的形式，得到$(X,Y)\sim(0,1;1,1;0)$。 102 | 103 | 即$X\sim\varPhi(x)$，$Y-1\sim\varPhi(x)$，$\therefore X^2\sim\chi^2(1)$，$(Y-1)^2\sim\chi^2(1)$，$\therefore\dfrac{X^2}{(Y-1)^2}\sim F(1,1)$。 104 | 105 | \subsection{函数分布} 106 | 107 | \textbf{例题：}设随机变量$X\sim t(n)$，$Y\sim F(1,n)$，常数$C$使得$P\{X>C\}=0.6$，求$P\{Y>C^2\}$。 108 | 109 | 解：$X\sim t(n)$，则$X=\dfrac{X_1}{\sqrt{Y_1/n}}\sim t(n)$，其中$X_1\sim N(0,1)$，$Y_1\sim\chi^2(n)$。 110 | 111 | $\therefore X^2=\dfrac{X_1^2}{Y_1/n}=\dfrac{X_1^2/1}{Y_1/n}\sim\dfrac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(n)/n}=F(1,n)$。 112 | 113 | 又$P\{Y>C^2\}=1-P\{Y\leqslant C^2\}$。$P\{X^2>C^2\}=1-P\{X^2\leqslant C^2\}$。 114 | 115 | 又$P\{X^2\leqslant C^2\}=P\{-C\leqslant X\leqslant C\}$，根据偶函数性质$=0.2$。 116 | 117 | $\therefore P\{X^2>C^2\}=0.8$。 118 | 119 | \section{参数估计} 120 | 121 | \subsection{矩估计} 122 | 123 | 基本方法就是$EX=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$。 124 | 125 | 如果只有一个参数就使用一阶矩，如果有两个参数就使用二阶矩，一般不会超过两个未知数。 126 | 127 | 即$EX=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i=\overline{X}=\hat{\mu}$，$EX^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2=\hat{\sigma}^2+\hat{\mu}^2$。 128 | 129 | $\hat{\sigma}^2=EX^2-(EX)^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\overline{X}^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$。 130 | 131 | \subsubsection{一阶矩} 132 | 133 | \subsubsection{二阶矩} 134 | 135 | \textbf{例题：}设$X_i$为来自区间$[-a,a]$上均匀分布的总体$X$的简单随机样本，求$a$的矩估计量。 136 | 137 | 解：首先矩估计就是$E(X^k)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k$。 138 | 139 | 又对于均匀分布$X_i\sim U(-a,a)$，$EX=\dfrac{a+b}{2}=0$，$DX=\dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{a^2}{3}$。 140 | 141 | 所以$EX$不含有$a$，使用二阶矩$EX^2=DX+E^2X=\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2$。 142 | 143 | 解得$a=\sqrt{\dfrac{3}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2}$。 144 | 145 | \subsection{最大似然估计} 146 | 147 | 步骤：写出概率函数或密度函数；写出似然函数（代入观测值$x_i$并连乘）；两边取对数；求导数并令为0求出表达式。 148 | 149 | \subsubsection{离散型} 150 | 151 | \textbf{例题：}设总体$X$的概率分布为：\medskip 152 | 153 | \begin{tabular}{c|cccc} 154 | \hline 155 | $X$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 156 | $P$ & $\theta^2$ & $2\theta(1-\theta)$ & $\theta^2$ & $1-2\theta$ \\ \hline 157 | \end{tabular} \medskip 158 | 159 | 其中$\theta\int\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$为未知参数，从总体$X$中抽取容量为8的一组样本，其样本值为3，1，3，0，3，1，2，3。求$\theta$的最大似然估计值。 160 | 161 | 解： 162 | 163 | 根据样本值，可以得出：\medskip 164 | 165 | \begin{tabular}{c|cccc} 166 | \hline 167 | $X$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 168 | 次数 & 1 & 2 & 1 & 4 \\ \hline 169 | \end{tabular} \medskip 170 | 171 | 将所有的概率相乘：$L(\theta)l=(1-2\theta)^4[2\theta(1-\theta)]^2\cdot\theta^2\cdot\theta^2=4\theta^6(1-\theta)^2(1-2\theta)^4$。 172 | 173 | 对其求对数：$\ln L(\theta)=\ln4+6\ln\theta+2\ln(1-\theta)+4\ln(1-2\theta)$。 174 | 175 | 对其求导：$\dfrac{\textrm{d}\ln L(\theta)}{\textrm{d}\theta}=\dfrac{6}{\theta}-\dfrac{2}{1-\theta}-\dfrac{8}{1-2\theta}=0$。解得$\theta=\dfrac{7\pm\sqrt{13}}{12}$。 176 | 177 | $0<\theta<\dfrac{1}{2}$，舍去正值，得到$\hat{\theta}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{12}$。 178 | 179 | \subsubsection{连续型} 180 | 181 | \textbf{例题：}设随机变量$X$在区间$[0,\theta]$上服从均匀分布，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自$X$的简单随机样本，求$\theta$的最大似然估计量$\hat{\theta}$ 182 | 183 | 解：$X\sim U(0,\theta)$，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 184 | \dfrac{1}{\theta}, & 0\max x_i$） 196 | 197 | \textbf{例题：}设$X_1,X_2,\cdots X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，$X$的概率密度函数$f(x)=\dfrac{1}{2\lambda}e^{-\frac{\vert x\vert}{\lambda}}$，$x\in R$，$\lambda>0$，求$\lambda$的最大似然估计量$\hat{\lambda}$。 198 | 199 | 解：$\because f(x)=\dfrac{1}{2\lambda}e^{-\frac{\vert x\vert}{\lambda}}$，$\therefore L(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{2\lambda}e^{-\frac{\vert x\vert}{\lambda}}=\left(\dfrac{1}{2\lambda}\right)^ne^{-\frac{1}{\lambda}\sum\limits_{i=1}^n\vert x_i\vert}$。 200 | 201 | $\ln L(\lambda)=-n\ln2-n\ln\lambda-\dfrac{1}{\lambda}\sum\limits_{i=1}^n\vert x_i\vert$，$\dfrac{\textrm{d}\ln L(\lambda)}{\textrm{d}\lambda}=-\dfrac{n}{\lambda}+\dfrac{1}{\lambda^2}\sum\limits_{i=1}^n\vert x_i\vert$。 202 | 203 | 令$\dfrac{\textrm{d}\ln L(\lambda)}{\textrm{d}\lambda}=0$，则$\dfrac{n}{\lambda}=\dfrac{1}{\lambda^2}\sum\limits_{i=1}^n\vert x_i\vert$，解得$\lambda=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\vert x_i\vert$。 204 | 205 | 即$\hat{\lambda}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\vert X_i\vert$。 206 | 207 | \section{估计量评价标准} 208 | 209 | \subsection{无偏性} 210 | 211 | $E\hat{\theta}=\theta$。 212 | 213 | \subsection{有效性} 214 | 215 | $D\hat{\theta_1}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$。 254 | 255 | 代入计算统计量，$\vert T\vert=\left\vert\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\right\vert=\left\vert\dfrac{66.5-70}{15/6}\right\vert=1.4$。 256 | 257 | 又$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0.05}(35)=2.0301>1.4$不在拒绝域内，所以接受原假设。 258 | 259 | 即可以认为平均水平为70分。 260 | 261 | \textbf{例题：}设$X_1,X_2,\cdots,X_{36}$是取自正态总体$N(\mu,0.04)$的简单随机样本，其中$\mu$为未知参数，即$\overline{X}=\dfrac{1}{36}\sum\limits_{i=1}^{36}X_i$，若对于检验问题$H_0:\mu\leqslant0.5$，$H_1:\mu>0.5$在显著性水平$\alpha=0.05$，取得检验拒绝域$D=\{(x_1,x_2,\cdots,x_{36}):\overline{x}>C\}$，求$C$。 262 | 263 | 解：当$H_0$成立，则$X\sim N(0.5,0.04)$，$\overline{X}\sim N(0.5,0.04\div36)=N\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{900}\right)$。 264 | 265 | $\alpha=0.05=P\{$拒绝$H_0|H_0$成立$\}=P\{\overline{X}>C\}=1-P\{\overline{X}\leqslant C\}=1-\varPhi((C-0.5)\times30)=1-\varPhi(30C-15)$。 266 | 267 | $\therefore\varPhi(30C-15)=0.95=\varPhi(1.645)$，即$30C-15=1.645$，$C=0.5548$。 268 | 269 | \textbf{例题：}已知某机器生产出来的零件长度$X$（单位：$cm$）服从正态分布$N(\mu,\delta^2)$，现从中随意抽取容量为16的一个样本，测得样本均值$\overline{x}=10$，样本方差$s^2=0.16$，$t_{0.025}(15)=2.132$。 270 | 271 | (1)求总体均值$\mu$置信水平为0.95的置信区间。 272 | 273 | (2)在显著性水平$0.05$下检验假设$H_0:\mu=9.7$，$H_1:\mu\neq9.7$。 274 | 275 | (1)解：根据公式直接解出置信空间$(10-0.1t_{0.025}(15),10+0.1t_{0.025}(15))=(9.7868,10.2132)$。 276 | 277 | (2)解：根据假设$H_0$，得到拒绝域$(-\infty,9.4868]\cup[9.9132,+\infty)$。 278 | 279 | 又$\overline{X}=10$在拒绝域$[9.9132,+\infty)$上，所以假设$H_0$拒绝。 280 | 281 | \section{两类错误} 282 | 283 | \textbf{例题：}假定$X$是连续型随机变量，$U$是对$X$的一次观测值，关于其概率密度$f(x)$有如下假设： 284 | 285 | $H_0:f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 286 | \dfrac{1}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2 \\ 287 | 0, & \text{其他} 288 | \end{array}\right.$，$H_1:f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 289 | \dfrac{x}{2}, & 0\leqslant x\leqslant2 \\ 290 | 0, & \text{其他} 291 | \end{array}\right.$。 292 | 293 | 检验规则：当事件$V=\left\{U>\dfrac{3}{2}\right\}$出现时，否定假设$H_0$，接受$H_1$，求犯第一类错误概率和第二类错误概率$\alpha\beta$。 294 | 295 | 解：$\alpha=P\left\{U>\dfrac{3}{2}\bigg|H_0\right\}=\displaystyle{\int_\frac{3}{2}^2\dfrac{1}{2}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{4}}$。 296 | 297 | $\beta=P\left\{U\leqslant\dfrac{3}{2}\bigg|H_1\right\}=\displaystyle{\int_0^{\frac{3}{2}}\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}x=\dfrac{9}{16}}$。 298 | 299 | \end{document} 300 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 6 | \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 7 | \definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 8 | \usepackage{geometry} 9 | \setcounter{tocdepth}{4} 10 | \setcounter{secnumdepth}{4} 11 | % 设置四级目录与标题 12 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 13 | % 默认大小为A4 14 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 15 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 16 | \usepackage{indentfirst} 17 | \setlength{\parindent}{2.45em} 18 | % 首行缩进2个中文字符 19 | \usepackage{setspace} 20 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 21 | % 1.5倍行距 22 | \usepackage{amssymb} 23 | % 因为所以 24 | \usepackage{amsmath} 25 | % 数学公式 26 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 27 | % 超链接 28 | \usepackage{pifont} 29 | % 圆圈序号 30 | \author{Didnelpsun} 31 | \title{随机事件与概率} 32 | \date{} 33 | \begin{document} 34 | \maketitle 35 | \pagestyle{empty} 36 | \thispagestyle{empty} 37 | \tableofcontents 38 | \thispagestyle{empty} 39 | \newpage 40 | \pagestyle{plain} 41 | \setcounter{page}{1} 42 | \section{基本概念} 43 | 44 | \subsection{随机试验} 45 | 46 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}满足三个条件的就是随机试验： 47 | 48 | \begin{enumerate} 49 | \item 试验可以在相同的条件下重复进行。 50 | \item 试验所以可能结果都是明确可知，且不止一个。 51 | \item 每次试验的结果事先不确定。 52 | \end{enumerate} 53 | 54 | 随机试验也称为\textbf{试验}，并用$E_1,E_2,\cdots$来表示。 55 | 56 | \subsection{随机事件} 57 | 58 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}一次试验中可能出现也可能补出现的结果称为\textbf{随机事件}，简称\textbf{事件}，并用大写字母$A,B,\cdots$来表示。 59 | 60 | 必然事件\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}每次试验中一定发生的事件，记为$\Omega$。 61 | 62 | 不可能事件\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}每次试验中一定不发生的事件，记为$\varnothing$。 63 | 64 | \subsection{样本空间} 65 | 66 | 随机试验的每一个不可再分的可能结果称为\textbf{样本点}，记为$\omega$，样本点的全体组成的集合称为\textbf{样本空间}或\textbf{基本事件空间}，记为$\Omega$，即$\Omega=\{\omega\}$。 67 | 68 | 由一个样本点构成的事件称为\textbf{基本事件}。 69 | 70 | 随机事件$A$总是由若干个基本事件构成，即$A$是$\Omega$的子集。 71 | 72 | 样本点的个数就是基本事件的个数。 73 | 74 | \section{事件} 75 | 76 | \subsection{关系} 77 | 78 | 若事件$A$发生必然导致事件$B$发生，则称事件$B$\textbf{包含}事件$A$（或$A$被$B$包含），记为$A\subset B$。 79 | 80 | 如果$A\subset B$且$B\subset A$，则称事件$AB$\textbf{相等}，记为$A=B$，$AB$是由完全相同的一些试验结果构成，是同一事件表面上看来两个不同说法。 81 | 82 | 若事件在事件$A$与$B$同时发生，则称为事件$A$与$B$的\textbf{积}或\textbf{交}，记为$A\cap B$或$AB$。 83 | 84 | 有限个事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$同时发生的事件为事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$的积或交，记为$\bigcap\limits_{i=1}^nA_i$或$\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i$。 85 | 86 | 若$AB\neq\varnothing$，则称事件$AB$\textbf{相容}，否则\textbf{互不相容}或\textbf{互斥}。如果一些事件中任意两个事件都互斥，则这些事件\textbf{两两互斥}，简称互斥。 87 | 88 | 事件$AB$至少有一个发生的事件称为事件$AB$的\textbf{和}或\textbf{并}，记为$A\cup B$。 89 | 90 | 有限个事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$至少有一个发生的事件为事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$的和或并，记为$\bigcup\limits_{i=1}^nA_i$或$\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i$。 91 | 92 | 事件$A$发生而事件$B$不发生的事件为事件$AB$的\textbf{差}，记为$A-B$。 93 | 94 | 事件$A$不发生的事件为事件$A$的\textbf{逆事件}或\textbf{对立事件}，记为$\overline{A}$。 95 | 96 | 若$\bigcup\limits_{i=1}^nA_i$或$\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i=\Omega$，$A_iA_j=\varnothing$（对一切的$i\neq j$，$i,j=1,2,3,\cdots,n,\cdots$），则称有限个事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$构成一个\textbf{完备事件组}。 97 | 98 | \subsection{运算} 99 | 100 | 定义可知：$A-B=A-AB=A\overline{B}$，$B=\overline{A}$等价于$AB=\varnothing$且$A\cup B=\Omega$。 101 | 102 | \begin{enumerate} 103 | \item 吸收律：若$A\subset B$，则$A\cup B=B$，$A\cap B=A$。 104 | \item 交换律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$。 105 | \item 结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$，$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$。 106 | \item 分配律：$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$，$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$，$A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$。 107 | \item 对偶律（德·摩根律）：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$，$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$。（长杠变短杠，开口换方向） 108 | \end{enumerate} 109 | 110 | \textbf{例题：}判断$A-(B-C)=(A-B)\cup C$是否成立。 111 | 112 | 解：$\because A-B=A\overline{B}$，$\therefore A-(B-C)=A-B\overline{C}=A\overline{B\overline{C}}=A(\overline{B}\cup C)=A\overline{B}\cup AC=(A-B)\cup AC\neq (A-B)\cup C$。 113 | 114 | \section{概率} 115 | 116 | \subsection{定义} 117 | 118 | \begin{itemize} 119 | \item 描述性定义：将随机事件$A$发生的可能性大小的度量（非负）称为事件$A$发生的概率，记为$P(A)$。 120 | \item 统计性定义：在相同条件下做重复试验，事件$A$出现的次数$k$和总的试验次数$n$之比$\dfrac{k}{n}$，称为事件$A$在这$n$次试验中出现的\textbf{频率}，当$n$充分大时，频率将稳定与某常数$p$附近，$n$越大频率偏离这个常数$p$的可能性越小，这个常数$p$就是事件$A$的概率。 121 | \item 公理化定义：设随机试验的样本空间为$\Omega$，如果对每一个事件$A$都有一个确定的实数$P(A)$，且事件函数$P(\cdot)$满足：\ding{172}非负性：$P(A)\geqslant0$；\ding{173}规范性：$P(\Omega)=1$；\ding{174}可列可加性：对于任意个互不相容事件$A_1,A_2,\cdots,A_n$有$P(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)$，则称$P(\cdot)$为概率，$P(A)$为事件$A$的概率。 122 | \end{itemize} 123 | 124 | \subsection{概率类型} 125 | 126 | \subsubsection{古典概型} 127 | 128 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}样本空间满足：\ding{172}只有有限个样本点（基本事件）；\ding{173}每个样本点（基本事件）发生的可能性一样（等可能）。 129 | 130 | 若古典概型的基本事件总数为$n$，事件$A$包含$k$个基本事件，也称为有利于$A$的基本事件为$k$个，则$A$的概率为$P(A)=\dfrac{k}{n}=\dfrac{\text{事件}A\text{所含基本事件的个数}}{\text{基本事件总数}}$，这个概率就是$A$的\textbf{古典概率}。 131 | 132 | 古典概型的关键是计数，常用的方法有三种： 133 | 134 | \begin{enumerate} 135 | \item 列举法（直接查数法）：基本事件为数不多使用。 136 | \item 集合对应法：\begin{enumerate} 137 | \item 加法原理：完成一件事有$n$类方法，第一类方法中有$m_1$类方法，第二类办法有$m_2$中方法，$\cdots$，第$n$类方法中有$m_n$类方法，所以完成此事共有$\sum\limits_{i=1}^nm_i$种方法。 138 | \item 乘法原理：完成一件事情有$n$个步骤，第一步有$m_1$种方法，第二步有$m_2$种方法，$\cdots$，第$n$步有$m_n$种方法，则完成此事共有$\prod\limits_{i=1}^nm_i$种方法。 139 | \item 排列：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并按照一定顺序排成一列，称为排列，所有排列的个数称为排列数，记为$A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}$，当$m=n$时，$A_m^n=n!$称为\textbf{全排列}。 140 | \item 组合：从$n$种不同的元素种取出$m\leqslant n$个元素，并组成一组，称为组合，所有组合的个数称为组合数，记为$C_n^m=\dfrac{A_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{(n-m)!m!}$。 141 | \end{enumerate} 142 | \item 逆数法：先求$\overline{A}$中的基本事件数$n_{\overline{A}}$，将基本事件总数$n$减去$n_{\overline{A}}$得$A$中的基本事件数。常用于计算含有“至少”字样的事件的概率。 143 | \end{enumerate} 144 | 145 | 问题常见类型： 146 | 147 | \begin{itemize} 148 | \item 直接用定义求概率。 149 | \item 随机分配或随机占位。将$n$个可辨质点是随机分配到$N$个盒子中。若每盒最多可容纳一个质点，则一共有$P_N^n$种分法；若每盒可以容纳任意多个质点，则一共有$N^n$种分法。 150 | \item 简单随机抽样。设$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_N\}$含有$N$个元素，称$\Omega$为总体。各元素被抽到的可能性相同。若先后有放回取$n$次，则有$N^n$种抽法；若先后无放回取$n$次，则有$P_N^n$种抽法；若任取$n$个，则有$C_N^n$种抽法。 151 | \end{itemize} 152 | 153 | \textbf{例题：}5人共钓到3条鱼，每条鱼每个人钓到的可能性相同，求： 154 | 155 | (1)3条鱼由不同人钓到的概率。 156 | 157 | (2)有1人钓到两条鱼的概率。 158 | 159 | (3)3条鱼由同一个人钓到的概率。 160 | 161 | 由题目可知这是一个随机分配的问题，总基本事件数为$5^3$。 162 | 163 | 对于鱼而言没有明确的区分说明，所以这个就是个组合问题。 164 | 165 | (1)解：令第一个事件为$A$，因为每条鱼由不同的人钓到，即5人中恰有3人各钓到鱼，所以组合一共有$C_5^3$种，即从5个人取3个人有这么多种的取法。这3个人需要钓到3条鱼，因为鱼是可辩的，所以每组有$P_3^3$种分配方法。则$P(A)=\dfrac{C_5^3P_3^3}{5^3}$。 166 | 167 | (2)解：令第二个事件为$B$，若一个人钓到两条，即从3条中任意选2，即$C_3^2$，又是5个人中的一个人完成的，所以$C_5^1$，所以有一个人钓到2条鱼共有$C_3^2C_5^1$种可能，此时还有一条鱼可以被其他4个人钓到，所以还要乘4。则$P(B)=\dfrac{C_3^2C_5^14}{5^3}$。 168 | 169 | (3)解：令第三个事件为$C$，若一个人钓到三条，所以只有一种选法，然后有5个人可能钓到3条，所以是$C_5^1$，则$P(C)=\dfrac{C_5^1}{5^3}$。 170 | 171 | \subsubsection{几何概型} 172 | 173 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}\ding{172}样本空间$\Omega$是一个可度量的有界区域；\ding{173}每个样本点发生的可能性都是一样，即样本点落入$\Omega$的某一可度量的子区域$S$的可能性大小与$S$的几何度量成正比，而与$S$的位置与形状无关。 174 | 175 | 在几何概型随机试验中，若$S_A$是样本空间$\Omega$的一个可度量的子区域，则事件$A={\text{样本落入区域}S_A}$的概率为$P(A)=\dfrac{S_A\text{的几何度量}}{\Omega\text{的几何度量}}$，这个概率就是$A$的\textbf{几何概率}。 176 | 177 | 古典概型的基本事件有限，而几何概型的基本事件无限且可几何度量。 178 | 179 | \subsection{性质} 180 | 181 | \begin{itemize} 182 | \item 有界性：对于任一事件$A$，有$0\leqslant P(A)\leqslant1$，且$P(\varnothing)=0$，$P(\Omega)=1$。（$P(A)=0$不能推出$A=\varnothing$，同样$P(A)=1$不能推出$A=\Omega$） 183 | \item 单调性：设$AB$为两个事件，若$A\subset B$，则$P(B-A)=P(B)-P(A)$，$P(B)\geqslant P(A)$。 184 | \end{itemize} 185 | 186 | \subsection{公式} 187 | 188 | \begin{itemize} 189 | \item 逆事件概率公式：对于任一事件$A$，有$P(\overline{A})=1-P(A)$。 190 | \item 加法公式：对于任意两个事件$AB$，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$；对于三个事件$ABC$，$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$；对于四个事件$ABCD$，$P(A\cup B\cup C\cup D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-P(AB)-P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD)+P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)-P(ABCD)$；若$A_1,A_2,\cdots,A_n$两两互不相容，则$P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)$。 191 | \item 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\omega)-P(AB)=P(A\overline{B})$。 192 | \item 条件概率公式：对于任意两个事件$AB$，若$P(A)>0$，我们称在已知事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率为\textbf{条件概率}，记为$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$。$P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$，$P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)$。 193 | \item 乘法公式：若$P(A)>0$，则$P(AB)=P(A)P(B|A)$。一般而言，对于$n>2$，$P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0$，则$P(A_1A_2\cdots A_{n-1})=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)$\\$\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})$。（$A_i$的顺序不定） 194 | \item 全概率公式：若$\bigcup\limits_{i=1}^nA_i=\Omega$，$A_iA_j=\varnothing$（$i\neq j$，$i,j=1,2,\cdots,n$），$P(A_i)>0$，则对任一事件$B$，有$B=\bigcup\limits_{i=1}^nA_iB$，$P(B)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$。$P(B)=P(B\Omega)=P(B(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i))=P(\bigcup\limits_{i=1}^nBA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(BA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$。 195 | \item 贝叶斯公式：若$\bigcup\limits_{i=1}^nA_i=\Omega$，$A_iA_j=\varnothing$（$i\neq j$，$i,j=1,2,\cdots,n$），$P(A_i)>0$，则对任一事件$B$，有$P(A_i|B)=\dfrac{P(A_iB)}{P(B)}=\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}$。 196 | \end{itemize} 197 | 198 | 全概率公式是由因知果，而贝叶斯公式是执果索因。 199 | 200 | \textbf{例题：}若随机事件$AB$同时发生，$C$也必然发生，且下列选项一定成立的是()。 201 | 202 | $A.P(C)0$）。（常考旋转抛物面$x^2+y^2=z$） 243 | \item 椭圆锥面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}$。（常考旋转锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$） 244 | \item 双曲抛物面（马鞍面）：$-\dfrac{x^2}{2p}+\dfrac{y^2}{2q}=z$（$p,q>0$）。（可能考$z=xy$） 245 | \end{itemize} 246 | 247 | \subsubsection{柱面} 248 | 249 | 空间解析几何中一般认为缺少变量的方程为柱面。 250 | 251 | 是动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面。 252 | 253 | \begin{itemize} 254 | \item 椭圆柱面：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（当$a=b$为圆柱面）。 255 | \item 双曲柱面：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。 256 | \item 抛物柱面：$y=ax^2$。 257 | \end{itemize} 258 | 259 | \subsubsection{旋转曲面} 260 | 261 | 绕某轴转，其就不变，把另外一个字母写成另外两个字母的平方和的开方。 262 | 263 | 如$f(x,y)=0$对$x$旋转，则改为$f(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})$。 264 | 265 | 是曲线$\varGamma$绕一条定直线旋转一周所形成的曲面。 266 | 267 | 给定一条直线$L:\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$，其方向向量为$\vec{\tau}(l,m,n)$，上有一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$。 268 | 269 | 现在给定一条曲线$\varGamma:\left\{\begin{array}{l} 270 | F(x,y,z)=0 \\ 271 | G(x,y,z)=0 272 | \end{array}\right.$。 273 | 274 | 在$\varGamma$上找一点$P_1(x_1,y_1,z_1)$，然后再讲$P_1$绕$L$旋转一周得到一个纬圆，去纬圆上一点$P(x,y,z)$，则$P$为旋转曲面上任意一点。 275 | 276 | 因为$P_1$在曲线$\varGamma$上，所以$F(x_1,y_1,z_1)=0$，$G(x_1,y_1,z_1)=0$。 277 | 278 | 同一个纬圆到$L$上的$P_0$距离相等，既$\vert\overrightarrow{P_1P_0}\vert=\vert\overrightarrow{PP_0}\vert$，即$(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2$。 279 | 280 | 每一个纬圆的平面与旋转中心$L$的方向向量$\vec{\tau}$垂直，而$P_1P$在平面上，所以该连线向量$\overrightarrow{P_1P}\bot\vec{\tau}$，即$l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0$。 281 | 282 | 为了得到旋转曲面面积，需要消去$x_1,y_1,z_1$，得到$H(x,y,z)=0$。 283 | 284 | \textbf{例题：}求曲线$L:\left\{\begin{array}{l} 285 | x-y+2z-1=0 \\ 286 | x-3y-2z+1=0 287 | \end{array}\right.$绕$y$轴旋转一周所形成的曲面方程。 288 | 289 | 解：令$P_1(x_1,y_1,z_1)$在曲线上，所以$x_1-y_1+2z_1-1=0$，$x_1-3y_1-2z_1+1=0$。 290 | 291 | 然后任意一点$P(x,y,z)$到$P_0(x_0,y_0,z_0)$的距离与$P_1$到$P_0$距离相同，取$P_0(0,0,0)$，则$x_1^2+y_1^2+z_1^2=x^2+y^2+z^2$。 292 | 293 | 两条连线垂直$y$轴，即$\overrightarrow{P_1P}\bot(0,1,0)$，即$y=y_1$。 294 | 295 | 消去$x_1,y_1,z_1$，根据$y=y_1$，所以$x_1^2+z_1^2=x^2+z^2$。 296 | 297 | 根据交线方程解得$x_1=2y$，$z_1=\dfrac{1}{2}(1-y)$。 298 | 299 | 再代入得到$x^2+z^2=(2y)^2+\dfrac{1}{4}(1-y)^2$，解得$x^2-\dfrac{17}{4}y^2+z^2+\dfrac{y}{2}-\dfrac{1}{4}=0$。 300 | 301 | \section{场论初步} 302 | 303 | \subsection{方向导数} 304 | 305 | 偏导数就是一个函数在坐标轴方向上的变化率，而方向导数就是函数在某点沿其他特定方向上的变化率。 306 | 307 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设三元函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某空间领域$U\in R^3$内有定义，$l$从点$P_0$出发的射线，$P(x,y,z)$为$l$上切在$U$内的任一点，则$\left\{\begin{array}{l} 308 | x-x_0=\Delta x=t\cos\alpha \\ 309 | y-y_0=\Delta y=t\cos\beta \\ 310 | z-z_0=\Delta z=t\cos\gamma 311 | \end{array}\right.$进行在坐标轴上投影。 312 | 313 | 以$t=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$表示$P$与$P_0$之间的距离。若极限$\lim\limits_{t\to0^+}$\\$\dfrac{u(P)-u(P_0)}{t}=\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{u(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t}$存在，则称此极限为函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0$沿方向$l$的\textbf{方向导数}，记为$\dfrac{\partial u}{\partial l}\bigg|_{P_0}$。 314 | 315 | 方向导数计算公式\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设三元函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处可微分，则$u=u(x,y,z)$在点$P_0$处沿任一方向$l$的方向导数都存在，且$\dfrac{\partial u}{\partial l}\bigg|_{P_0}=u_x'(P_0)\cos\alpha+u_y'(P_0)\cos\beta+u_z'(P_0)\cos\gamma$，其中$\cos\alpha$，$\cos\beta$，$\cos\gamma$为方向$l$的方向余弦。 316 | 317 | \textbf{例题：}求函数$z=xe^{2y}$在点$P(1,0)$处沿点$P(1,0)$指向$Q(2,-1)$方向的方向导数。 318 | 319 | 解：这是一个隐式的三元函数，所以基本上解决方法类似。不过需要将$z$对$xy$求偏导。 320 | 321 | $\dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{2y}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2xe^{2y}$，代入$P(1,0)$，得到$\{1,2\}$。 322 | 323 | 然后求方向余弦，对于$\overrightarrow{PQ}=(1,-1)$方向余弦就是除它的模$\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\}$。 324 | 325 | 方向导数就是点乘：$\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 326 | 327 | \subsection{梯度} 328 | 329 | 在一个数量场中中，函数在给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的。为研究哪个方向的方向导数最大，最大值为多少，增加速度最快，就引入了梯度。 330 | 331 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设三元函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处具有一阶偏导数，定义$\text{grad}\,u|_{P_0}=(u'_x(P_0),u_y'(P_0),u_z'(P_0))$为函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0$处的\textbf{梯度}。 332 | 333 | \subsection{方向导数与梯度关系} 334 | 335 | 方向导数为梯度×梯度方向余弦。 336 | 337 | 函数在某点的梯度是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向是一致的，其模就是方向导数最大值。 338 | 339 | \subsection{散度与旋度} 340 | 341 | \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设向量场$\vec{A}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，则\textbf{散度}$\textrm{div}\,\vec{A}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}$，\textbf{旋度}$\overrightarrow{\textrm{rot}}\,\vec{A}=\left\vert\begin{array}{ccc} 342 | \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 343 | \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 344 | P & Q & R 345 | \end{array}\right\vert$。 346 | 347 | \end{document} 348 | -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \author{Didnelpsun} 26 | \title{相似} 27 | \date{} 28 | \begin{document} 29 | \maketitle 30 | \pagestyle{empty} 31 | \thispagestyle{empty} 32 | \tableofcontents 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \newpage 35 | \pagestyle{plain} 36 | \setcounter{page}{1} 37 | 38 | 特征值往往与前面的内容进行混合考察。 39 | 40 | \section{特征值与特征向量} 41 | 42 | 首先根据$\vert\lambda E-A\vert=0$求出$\lambda$，然后把$\lambda$逐个带入$(\lambda E-A)x=0$，根据齐次方程求解方法进行初等变换求出基础解系。这个基础解系就是当前特征值的特征向量。 43 | 44 | \subsection{代数余子式} 45 | 46 | \textbf{例题：}已知$A$是3阶方阵，特征值为1，2，3，求$\vert A\vert$的元素$a_{11},a_{22},a_{33}$的代数余子式$A_{11},A_{22},A_{33}$的和$\sum\limits_{i=1}^3A_{ii}$。 47 | 48 | 解：首先代数余子式的和$A_{11},A_{22},A_{33}$一般在行列式展开定理中使用，但是这里给出的不是一行或一列的代数余子式，而是主对角线上的代数余子式，这就无法使用代数余子式来表达行列式的值了。 49 | 50 | 而另一个提到代数余子式的地方就是伴随矩阵$A^*$，所求的正好是伴随矩阵的迹$tr(A^*)=A_{11}+A_{22}+A_{33}$。 51 | 52 | 又根据特征值性质，特征值的和为矩阵的迹，特征值的积为矩阵行列式的值，所以$tr(A^*)=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda_1^*+\lambda_2^*+\lambda_3^*$ 53 | 54 | $=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_i}=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2=2+3+6=11$。 55 | 56 | \subsection{特征值} 57 | 58 | \subsubsection{对应特征向量} 59 | 60 | 通过相关式子将逆矩阵转换为原矩阵。同一个向量的逆矩阵的特征值是原矩阵的特征值的倒数。 61 | 62 | \textbf{例题：}已知$\overrightarrow{\alpha}=(a,1,1)^T$是矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc} 63 | -1 & 2 & 2 \\ 64 | 2 & a & -2 \\ 65 | 2 & -2 & -1 66 | \end{array}\right]$的逆矩阵的特征向量，则求$\overrightarrow{\alpha}$在矩阵$A$中对应的特征值。 67 | 68 | 解：由于$\overrightarrow{\alpha}$是$A^{-1}$的特征向量，所以令此时的特征值为$\lambda_0$，则定义$\lambda_0\overrightarrow{\alpha}=A^{-1}\overrightarrow{\alpha}$，$\lambda_0A\overrightarrow{\alpha}=\overrightarrow{\alpha}$。 69 | 70 | 即$\lambda_0\left[\begin{array}{ccc} 71 | -1 & 2 & 2 \\ 72 | 2 & a & -2 \\ 73 | 2 & -2 & -1 74 | \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 75 | a \\ 76 | 1 \\ 77 | 1 \\ 78 | \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 79 | a \\ 80 | 1 \\ 81 | 1 \\ 82 | \end{array}\right]$，即$\lambda_0\left[\begin{array}{ccc} 83 | -a & 2 & 2 \\ 84 | 2a & a & -2 \\ 85 | 2a & -2 & -1 86 | \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 87 | a \\ 88 | 1 \\ 89 | 1 \\ 90 | \end{array}\right]$。\medskip 91 | 92 | 即根据矩阵代表的是方程组，得到$\lambda_0(4-a)=a$，$\lambda_0(3a-2)=1$，$\lambda_0(2a-3)=1$。 93 | 94 | 又$\lambda_0\neq0$，$3a-2=2a-3$，$a=-1$，则$\lambda_0=-\dfrac{1}{5}$。 95 | 96 | 所以矩阵$A$对应的特征值为$-5$。 97 | 98 | \subsubsection{矩阵关系式} 99 | 100 | \textbf{例题：}已知$A$为3阶矩阵，$A^2+A-2E=0$，$\vert A\vert=-2$，求其特征值。 101 | 102 | 解：需要求$A$特征值，但是$A$未知，特征向量也未知，如何求？ 103 | 104 | 首先要求特征值，就要首先设出特征方程：$A\xi=\lambda\xi$，$\xi\neq0$。 105 | 106 | 又$A^2+A-2E=0$，所以代入方程：$(A^2+A-2E)\xi=(\lambda^2+\lambda-2)\xi=0$。 107 | 108 | $\because\xi\neq0$，$\lambda^2+\lambda-2=0$，解得$\lambda=-2$或$\lambda=1$。 109 | 110 | 但是不知道这个特征值各是几重，只知道存在这两种特征值。 111 | 112 | 又$\vert A\vert=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=-2$，所以$\lambda_1=-2$，$\lambda_2=\lambda_3=1$。 113 | 114 | \subsection{特征向量} 115 | 116 | \subsubsection{实对称矩阵} 117 | 118 | 使用实对称矩阵性质，给出其他特征向量和特征值，即实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^TA=0$）。 119 | 120 | \textbf{例题：}已知$A$为三阶实对称矩阵，特征值为$1,3，-2$，其中$\alpha_1=(1,2,-2)^T$，$\alpha_2=(4,-1,a)^T$分别属于特征值$\lambda=1$，$\lambda=3$的特征向量。求$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量。 121 | 122 | 解：令$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量为$(x_1,x_2,x_3)^T$。 123 | 124 | 根据实对称矩阵的正交性质。 125 | 126 | $\alpha_1^T\alpha_2=4-2-2a=0$，$\alpha_2^T\alpha_3=4x_1-x_2+ax_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_1=x_1+2x_2-2x_3=0$。 127 | 128 | $a=1$，$4x_1-x_2+x_3=0$，$x_1+2x_2-2x_3=0$，解得基础解系$(0,1,1)^T$,$\alpha_3=(0,k,k)^T$（$k\neq0$）。 129 | 130 | \subsubsection{可逆矩阵关系} 131 | 132 | 使用可逆矩阵相似对角化的性质。若$A\sim B$，则$P^{-1}AP=B$。$B$为纯量阵。且$B$的迹为$A$的特征值。$P$为特征向量。\medskip 133 | 134 | \textbf{例题：}已知$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc} 135 | 1 \\ 136 | & 1 \\ 137 | & & -1 138 | \end{array}\right]$，$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$可逆，求$A$关于特征值$\lambda=1$的特征向量。 139 | 140 | 解：根据$P^{-1}AP=\Lambda$，所以$P$为特征向量，$1,1,-1$为特征值。 141 | 142 | 所以$A$关于$\lambda=1$的特征向量为$\alpha_1$或$\alpha_2$。而某一特征值的全部特征向量构成特征向量子空间，所以$\lambda=1$的特征向量为$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$。 143 | 144 | \subsubsection{抽象型} 145 | 146 | 题目只会给对应的式子，来求对应的特征向量。需要记住特征值的关系式然后与给出的式子上靠拢，不会很复杂。 147 | 148 | \textbf{例题：}已知$A$为三阶矩阵，且矩阵$A$各行元素之和均为5，则求$A$必然存在的特征向量。 149 | 150 | 解：由于是抽象型，所以没有实际的数据，就不能求出固定的特征值，$\lambda\xi=A\xi$。 151 | 152 | 又矩阵$A$各行元素之和均为5，所以转换为方程组：\medskip 153 | 154 | $\left\{\begin{array}{l} 155 | A_{11}+A_{12}+A_{13}=5 \\ 156 | A_{21}+A_{22}+A_{23}=5 \\ 157 | A_{31}+A_{32}+A_{33}=5 158 | \end{array}\right.$，转为矩阵：$\left[\begin{array}{ccc} 159 | A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ 160 | A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ 161 | A_{31} & A_{32} & A_{33} 162 | \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 163 | 1 \\ 164 | 1 \\ 165 | 1 \\ 166 | \end{array}\right]=5\left[\begin{array}{c} 167 | 1 \\ 168 | 1 \\ 169 | 1 \\ 170 | \end{array}\right]$。\medskip 171 | 172 | 即$\xi=(1,1,1)^T$。 173 | 174 | \subsection{矩阵} 175 | 176 | 即根据$A=P\Lambda P^{-1}$的特征向量矩阵和特征值矩阵来反求矩阵。 177 | 178 | \subsection{行列式值} 179 | 180 | 一般会给出特征值，求$A$的行列式值。 181 | 182 | \subsubsection{特征方程} 183 | 184 | 题目要求$\vert f(A)-E\vert$的形式，即求$f(A)$的特征值。 185 | 186 | \textbf{例题：}设$A$为三阶矩阵，已知$-3E+A$不可逆，$\vert2E+A\vert=0$，$(E-A)x=0$有非零解，求$\vert A^*-E\vert$。 187 | 188 | 解：前三个条件都是为了指明$\vert-3E+A\vert=\vert3E-A\vert=0$，$\vert-2E-A\vert=0$，$\vert E-A\vert=0$，即得到$A$的三个特征值$\lambda_1=3$、$\lambda_2=-2$、$\lambda_3=1$。 189 | 190 | 求$\vert A^*-E\vert$即求$A^*$的特征值，然后再乘起来，即得到行列式的值。 191 | 192 | 又$A^{-1}=\dfrac{A^*}{\vert A\vert}$，所以$A^*=\dfrac{\vert A\vert}{A}$。 193 | 194 | $\vert A\vert$等于特征值的乘积$-6$，对应的特征值即为$\mu_1=\dfrac{-6}{3}=-2$，$\mu_2=\dfrac{-6}{-2}=3$，$\mu_3=\dfrac{-6}{1}=-6$。 195 | 196 | 对应$A^*-E$的特征值为$-3$，$2$，$-6$，所以最后的行列式值为$42$。 197 | 198 | \subsubsection{矩阵函数} 199 | 200 | 题目要求$\vert f(A)\vert$的形式，即求$f(A)$的特征值，然后求其乘积就是矩阵方程的行列式值。 201 | 202 | \section{相似理论} 203 | 204 | $P^{-1}AP=\Lambda$，$P$为特征向量组，$\Lambda$为特征值矩阵。 205 | 206 | \subsection{判断相似对角化} 207 | 208 | 可以使用相似对角化的四个条件，但是最基本的使用还是$A$有$n$个无关的特征向量$\xi$。 209 | 210 | 判断以下条件即可相似对角化： 211 | 212 | \begin{enumerate} 213 | \item 实对称矩阵，即所有元素关于主对角线对称。 214 | \item 特征值都是实单根，即$n$个不同特征值，不存在重根。 215 | \item 特征值存在$t$重根，相同特征值对应$t$个线性无关的特征向量。（如果小于$n$则不相似） 216 | \end{enumerate} 217 | 218 | 一般都是第三种情况，判断存在重根后要使用$[\lambda E-A]$，然后计算$r(E-A)$，然后$s$自由变量值即无关特征向量值$=n-r$，如果$s=t$则可以相似对角化，如果$s}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1=(0,1,1)^T+\dfrac{1}{2}(1,0,-1)^T=(\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2})^T$。 377 | 378 | 最后对整个$Q$进行单位化：$\gamma_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$，$\gamma_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$，$\gamma_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$。 379 | 380 | \subsubsection{爪型矩阵} 381 | 382 | 即类似于爪形行列式，且列数较大，不可能直接计算，所以就需要把常数项提出来。 383 | 384 | \textbf{例题：}设$n$（$n\geqslant2$）阶矩阵$A=\left[\begin{array}{ccccc} 385 | a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 386 | 1 & a & 1 & \cdots & 1 \\ 387 | 1 & 1 & a & \cdots & 1 \\ 388 | \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 389 | 1 & 1 & 1 & \cdots & a 390 | \end{array}\right]$。求可逆矩阵$P$与对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，并求$r(A^*)$。 391 | 392 | 解：矩阵$A$是个爪形，直接使用$\vert\lambda E-A\vert=0$计算特征值非常复杂，所以对其化简： 393 | 394 | $A=\left[\begin{array}{cccc} 395 | a-1 \\ 396 | & a-1 \\ 397 | & & \cdots \\ 398 | & & & a-1 399 | \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc} 400 | 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 401 | 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 402 | \vdots & \vdots & & \vdots \\ 403 | 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 404 | \end{array}\right]=(a-1)E+B$。 405 | 406 | $\vert\lambda E-B\vert=\left\vert\begin{array}{cccc} 407 | \lambda-1 & -1 & \cdots & -1 \\ 408 | -1 & \lambda-1 & \cdots & -1 \\ 409 | \vdots & \vdots & & \vdots \\ 410 | -1 & -1 & \cdots & \lambda-1 411 | \end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{cccc} 412 | \lambda-n & \lambda-n & \cdots & \lambda-n \\ 413 | -1 & \lambda-1 & \cdots & -1 \\ 414 | \vdots & \vdots & & \vdots \\ 415 | -1 & -1 & \cdots & \lambda-1 416 | \end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{cccc} 417 | \lambda-n & 0 & \cdots & 0 \\ 418 | -1 & \lambda & \cdots & 0 \\ 419 | \vdots & \vdots & & \vdots \\ 420 | -1 & 0 & \cdots & \lambda 421 | \end{array}\right\vert=0$，所以$\lambda_1=n$，$\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$。 422 | 423 | 从而$A$的特征值为$n+a-1$、$a-1$、$\cdots$、$a-1$。 424 | 425 | 所以根据特征值$(nE-B)x=0$，$x_1=(1,1,\cdots,1)^T$，$(0E-B)x=0$，$x_2=(1,-1,0,\cdots,0)^T$、$x_3=(1,0,-1,\cdots,0)^T$、$\cdots$、$x_n=(1,0,0,\cdots,-1)^T$。 426 | 427 | 根据特征值和特征向量的性质，$x_i$也是$A$的特征向量。 428 | 429 | 令$P=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，则$P^{-1}AP=diag(n+(a-1),a-1,\cdots,a-1)$。 430 | 431 | 因为$A\sim\Lambda$，所以$\vert A\vert=\vert\Lambda\vert=(n+a-1)(a-1)^n-1$，所以： 432 | 433 | $r(A)=\left\{\begin{array}{ll} 434 | n, & a\neq1-n,a\neq1 \\ 435 | n-1, & a=1-n \\ 436 | 1, & a=1 437 | \end{array}\right.$，所以$r(A^*)=\left\{\begin{array}{ll} 438 | n, & a\neq1-n,a\neq1 \\ 439 | 1, & a=1-n \\ 440 | 0, & a=1 441 | \end{array}\right.$。 442 | 443 | \subsection{矩阵关系式} 444 | 445 | 若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，则： 446 | 447 | $P$即是$A$特征向量的拼合。 448 | 449 | \begin{itemize} 450 | \item $A=P\Lambda P^{-1}$。 451 | \item $A^k=P\Lambda^kP^{-1}$。 452 | \item $f(A)=Pf(\Lambda)P^{-1}$。 453 | \end{itemize} 454 | 455 | \textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc} 456 | 2 & x & 1 \\ 457 | 0 & 3 & 0 \\ 458 | 3 & -6 & 0 459 | \end{array}\right)$相似于对角矩阵，求$A^{100}$。\medskip 460 | 461 | 解：首先$A\sim\Lambda$，所以$A$能相似对角化。 462 | 463 | $\vert\lambda E-A\vert=\left|\begin{array}{ccc} 464 | \lambda-2 & -x & -1 \\ 465 | 0 & \lambda-3 & 0 \\ 466 | -3 & 6 & \lambda 467 | \end{array}\right|=(\lambda-3)^2(\lambda+1)=0$。$\lambda_1=\lambda_2=3$，$\lambda_3=-1$。 468 | 469 | 所以对于$\lambda_1=\lambda_2=3$时，需要$s=2$，从而$r(A)=1$，对应成比例。 470 | 471 | 代入3：$(3E-A)x=0$，$\left(\begin{array}{ccc} 472 | 1 & -x & -1 \\ 473 | 0 & 0 & 0 \\ 474 | -3 & 6 & 3 475 | \end{array}\right)=0$，所以$\dfrac{-1}{3}=\dfrac{-x}{6}$，$x=2$。 476 | 477 | 解得$\xi_1=(1,0,1)^T$，$\xi_2=(2,1,0)^T$，$\xi_3=(1,0,-3)^T$。 478 | 479 | 令$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，所以$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。 480 | 481 | \end{document} 482 | -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart} 2 | % UTF8编码，ctexart现实中文 3 | \usepackage{color} 4 | % 使用颜色 5 | \usepackage{geometry} 6 | \setcounter{tocdepth}{4} 7 | \setcounter{secnumdepth}{4} 8 | % 设置四级目录与标题 9 | \geometry{papersize={21cm,29.7cm}} 10 | % 默认大小为A4 11 | \geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm} 12 | % 默认页边距为1英尺与1.25英尺 13 | \usepackage{indentfirst} 14 | \setlength{\parindent}{2.45em} 15 | % 首行缩进2个中文字符 16 | \usepackage{setspace} 17 | \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 18 | % 1.5倍行距 19 | \usepackage{amssymb} 20 | % 因为所以 21 | \usepackage{amsmath} 22 | % 数学公式 23 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref} 24 | % 超链接 25 | \usepackage{rotating} 26 | % 用于旋转对象（旋转包） 27 | \author{Didnelpsun} 28 | \title{矩阵} 29 | \date{} 30 | \begin{document} 31 | \maketitle 32 | \pagestyle{empty} 33 | \thispagestyle{empty} 34 | \tableofcontents 35 | \thispagestyle{empty} 36 | \newpage 37 | \pagestyle{plain} 38 | \setcounter{page}{1} 39 | \section{矩阵幂} 40 | 41 | \subsection{对应成比例} 42 | 43 | 因为矩阵运算不满足交换率但是满足结合率，且一行矩阵乘一列矩阵的乘积为一个数，所以可以推出矩阵的幂的运算方法。 44 | 45 | 这个方法要求$r(A)=1$，即对应成比例。 46 | 47 | 令$A$为$n$阶方阵，将$A$拆为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(b_1,b_2,\cdots,b_n)=\alpha^T\beta$，所以$A^n=\alpha^T\beta\alpha^T\beta\cdots\alpha^T\beta$，利用结合率：$\alpha^T(\beta\alpha^T)(\beta\cdots\alpha^T)\beta$，中间一共$n-1$个$\beta\alpha^T$，$\beta\alpha^T$是一个数，即$A^n=(\beta\alpha^T)^{n-1}\alpha^T\beta=(\beta\alpha^T)^{n-1}A$。\medskip 48 | 49 | \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc} 50 | 1 & 2 & 3 \\ 51 | -2 & -4 & -6 \\ 52 | 3 & 6 & 9 53 | \end{array}\right)$，求$A^n$。\medskip 54 | 55 | 解：$A=(1,-2,3)^T(1,2,3)$，所以$A^n=((1,2,3)(1,-2,3)^T)^n(1,-2,3)^T(1,2,3)$ 56 | 57 | $=6^{n-1}A$。 58 | 59 | 若矩阵$A$的行与列都成比例，则$A^n=[tr(A)]^{n-1}A$，$[tr(A)]=\sum a_{ii}$，即矩阵迹为对角线元素值之和。 60 | 61 | \subsection{试算归纳} 62 | 63 | 对$A$进行试算，如$A^2$，若$A^k$是一个数量阵，那么计算$A^n$就只用找规律就可以了。 64 | 65 | \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{cccc} 66 | 1 & -1 & -1 & -1 \\ 67 | -1 & 1 & -1 & -1 \\ 68 | -1 & -1 & 1 & -1 \\ 69 | -1 & -1 & -1 & 1 \\ 70 | \end{array}\right)$，求$A^n$（$n\geqslant2$）。\medskip 71 | 72 | 解：通过计算得知$A^2=4E$，这是一个数量阵。\medskip 73 | 74 | $\therefore A^n=\left\{\begin{array}{lcl} 75 | 4^kE, & & n=2k \\ 76 | 4^kA, & & n=2k+1 77 | \end{array}\right.$。 78 | 79 | \subsection{行列结合} 80 | 81 | 将一个矩阵拆成$\alpha\beta^T$的形式，其中都是列向量，从而进行幂运算可以进行结合$\beta^T\alpha$为一个常数。 82 | 83 | \textbf{例题：}设$\alpha=(1,3,-2)^T$，$\beta=(2,0,0)^T$，$A=\alpha\beta^T$，求$A^3$。 84 | 85 | 解：$\because\beta^T\alpha=[2,0,0][1,3,-2]^T=2$，$\therefore A^3=(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)=\alpha(\beta^T\alpha)$\\$(\beta^T\alpha)\beta^T=4\alpha\beta^T=4A$。 86 | 87 | \subsection{拆分矩阵} 88 | 89 | 将$A^n$拆分为两个矩阵$A^n=(B+C)^n$，其中$BC$应该是可逆的，即$BC=CB$，所以一般有一个是$E$。\medskip 90 | 91 | \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc} 92 | 1 & 1 & 0 \\ 93 | 0 & 1 & 1 \\ 94 | 0 & 0 & 1 95 | \end{array}\right)$，求$A^n$。\medskip 96 | 97 | 解：$A=E+B=\left(\begin{array}{ccc} 98 | 1 & 0 & 0 \\ 99 | 0 & 1 & 0 \\ 100 | 0 & 0 & 1 101 | \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 102 | 0 & 1 & 0 \\ 103 | 0 & 0 & 1 \\ 104 | 0 & 0 & 0 105 | \end{array}\right)$。\medskip 106 | 107 | $\therefore A^n=(E+B)^n=C_n^0E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2+\cdots$。 108 | 109 | 又$B^2=\left(\begin{array}{ccc} 110 | 0 & 1 & 0 \\ 111 | 0 & 0 & 1 \\ 112 | 0 & 0 & 0 113 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 114 | 0 & 1 & 0 \\ 115 | 0 & 0 & 1 \\ 116 | 0 & 0 & 0 117 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 118 | 0 & 0 & 1 \\ 119 | 0 & 0 & 0 \\ 120 | 0 & 0 & 0 121 | \end{array}\right)$。 122 | 123 | $B^3=B^2B=\left(\begin{array}{ccc} 124 | 0 & 0 & 1 \\ 125 | 0 & 0 & 0 \\ 126 | 0 & 0 & 0 127 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 128 | 0 & 1 & 0 \\ 129 | 0 & 0 & 1 \\ 130 | 0 & 0 & 0 131 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 132 | 0 & 0 & 0 \\ 133 | 0 & 0 & 0 \\ 134 | 0 & 0 & 0 135 | \end{array}\right)=O$。 136 | 137 | $\therefore B^4=B^5=\cdots=O$。 138 | 139 | $\therefore A^n=(E+B)^n=C_n^0E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2$。\medskip 140 | 141 | $=\left(\begin{array}{ccc} 142 | 1 & 0 & 0 \\ 143 | 0 & 1 & 0 \\ 144 | 0 & 0 & 1 145 | \end{array}\right)+n\left(\begin{array}{ccc} 146 | 0 & 1 & 0 \\ 147 | 0 & 0 & 1 \\ 148 | 0 & 0 & 0 149 | \end{array}\right)+\dfrac{n(n-1)}{2}\left(\begin{array}{ccc} 150 | 0 & 0 & 1 \\ 151 | 0 & 0 & 0 \\ 152 | 0 & 0 & 0 153 | \end{array}\right)$ 154 | 155 | \subsection{分块矩阵} 156 | 157 | $\left[\begin{array}{cc} 158 | A & O \\ 159 | O & B 160 | \end{array}\right]^n=\left[\begin{array}{cc} 161 | A^n & O \\ 162 | O & B^n 163 | \end{array}\right]$。 164 | 165 | \section{初等变换} 166 | 167 | 若$A$和$B$等价，求一个可逆矩阵$P$，使得$PA=B$。只用右乘$P=BA^{-1}$。 168 | 169 | 需要根据逻辑上的计算还原出左乘的初等矩阵。\medskip 170 | 171 | \textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc} 172 | 1 & 0 & 1 \\ 173 | -1 & -1 & 1 \\ 174 | 0 & 2 & -4 175 | \end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc} 176 | 1 & 0 & 1 \\ 177 | 0 & -1 & 2 \\ 178 | 0 & 0 & 0 179 | \end{array}\right)$，当$A\sim B$时，求$P$使得$PA=B$。. 180 | 181 | 解：目标是将$A$变为$B$，所以第一步将第一列的第二行的-1变为0。即将第一行加到第二行。 182 | 183 | 左乘$E_{21}(1)A=\left(\begin{array}{ccc} 184 | 1 & 0 & 0 \\ 185 | 1 & 1 & 0 \\ 186 | 0 & 0 & 1 187 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 188 | 1 & 0 & 1 \\ 189 | -1 & -1 & 1 \\ 190 | 0 & 2 & -4 191 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 192 | 1 & 0 & 1 \\ 193 | 0 & -1 & 2 \\ 194 | 0 & 2 & -4 195 | \end{array}\right)=C$。\medskip 196 | 197 | 然后对第二列进行消，首先将第三行加上第二行的两倍。 198 | 199 | $E_{32}(2)C=\left(\begin{array}{ccc} 200 | 1 & 0 & 0 \\ 201 | 1 & 1 & 0 \\ 202 | 0 & 2 & 1 203 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 204 | 1 & 0 & 1 \\ 205 | 0 & -1 & 2 \\ 206 | 0 & 2 & -4 207 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 208 | 1 & 0 & 1 \\ 209 | 1 & -1 & 2 \\ 210 | 0 & 0 & 0 211 | \end{array}\right)=B$。\medskip 212 | 213 | $\therefore E_{32}(2)E_{21}(1)A=B$。 214 | 215 | $P=E_{32}(2)E_{21}(1)=\left(\begin{array}{ccc} 216 | 1 & 0 & 0 \\ 217 | 0 & 1 & 0 \\ 218 | 0 & 2 & 1 219 | \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 220 | 1 & 0 & 0 \\ 221 | 1 & 1 & 0 \\ 222 | 0 & 0 & 1 223 | \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 224 | 1 & 0 & 0 \\ 225 | 1 & 1 & 0 \\ 226 | 2 & 2 & 1 227 | \end{array}\right)$。 228 | 229 | \section{逆矩阵} 230 | 231 | \subsection{定义法} 232 | 233 | 找出一个矩阵$B$，使得$AB=E$，则$A$可逆，$A^{-1}=B$。 234 | 235 | \textbf{例题：}$A$，$B$均是$n$阶方阵，且$AB=A+B$，证明$A-E$可逆，并求$(A-E)^{-1}$。 236 | 237 | 解：要证明$A-E$，就要从$AB=A+B$中尽量凑出。 238 | 239 | $AB=A+B$变为$AB-B=A$，从而提取$(A-E)B=A$，$(A-E)BA^{-1}=E$。 240 | 241 | 但是$A^{-1}$是未知的，所以$A-E$的逆矩阵不能用$BA^{-1}$来表示。 242 | 243 | $AB-A=B$，所以提出$A(B-E)=B$，即$A(B-E)=B-E+E$，$(A-E)(B-E)=E$，所以$A-E$的逆矩阵就是$B-E$。 244 | 245 | \subsection{分解乘积} 246 | 247 | 将$A$分解为若干个可逆矩阵的乘积。若$A=BC$，$B$，$C$可逆，则$A$可逆，且$A^{-1}=C^{-1}B^{-1}$。同理$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$。 248 | 249 | \textbf{例题：}设$A$，$B$为同阶可逆方阵，且$A^{-1}+B^{-1}$可逆，求$(A+B)^{-1}$。 250 | 251 | 解：已知$A^{-1}+B^{-1}$可以用来表示其他式子，需要求$A+B$的逆，则需要将$A+B$转为其逆。 252 | 253 | $\because A+B=A(E+A^{-1}B)=A(B^{-1}+A^{-1})B$。 254 | 255 | $\therefore (A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$。 256 | 257 | \subsection{初等变换} 258 | 259 | $\left[A\vdots E\right]\overset{r}{\sim}\left[E\vdots A^{-1}\right]$，$\left[\begin{array}{c} 260 | A \\ 261 | E 262 | \end{array}\right]\overset{c}{\sim}\left[\begin{array}{c} 263 | E \\ 264 | A^{-1} 265 | \end{array}\right]$。 266 | 267 | \subsection{分块矩阵} 268 | 269 | 基于拉普拉斯展开式。 270 | 271 | 对于一些分块矩阵的逆，若$A$，$B$都可逆，则：$\left[\begin{array}{cc} 272 | A & O \\ 273 | O & B 274 | \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 275 | A^{-1} & O \\ 276 | O & B^{-1} 277 | \end{array}\right]$，$\left[\begin{array}{cc} 278 | O & A \\ 279 | B & O 280 | \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 281 | O & B^{-1} \\ 282 | A^{-1} & O 283 | \end{array}\right]$。\medskip 284 | 285 | \textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{cc} 286 | B & O \\ 287 | D & C 288 | \end{array}\right)$，其中$B$为$r\times r$可逆矩阵，$C$为$s\times s$可逆矩阵，求$A^{-1}$。 289 | 290 | 解：$\because\vert A\vert=\left|\begin{array}{cc} 291 | B & O \\ 292 | D & C 293 | \end{array}\right|=\vert B\vert\vert C\vert\neq0$，所以$A$可逆，设$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 294 | X & Y \\ 295 | Z & W 296 | \end{array}\right)$。 297 | 298 | $AA^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 299 | E_r & O \\ 300 | O & E_s 301 | \end{array}\right)=E_{r+s}$。即$\left(\begin{array}{cc} 302 | BX & BY \\ 303 | DX+CZ & DY+CW 304 | \end{array}\right)=E_{r+s}$。 305 | 306 | $\therefore\left\{\begin{array}{l} 307 | BX=E \\ 308 | BY=O \\ 309 | DX+CZ=O \\ 310 | DY+CW=E 311 | \end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{ll} 312 | B^{-1}BX=B^{-1}, & X=B^{-1}\\ 313 | B^{-1}BY=O, & Y=O \\ 314 | CZ=-DX=-DB^{-1}, & Z=-C^{-1}DB^{-1} \\ 315 | CW=E, & W=C^{-1} 316 | \end{array}\right.$。 317 | 318 | $\therefore A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 319 | B^{-1} & O \\ 320 | -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1} 321 | \end{array}\right)$。\medskip 322 | 323 | 当分块矩阵为三角矩阵时，对角线为原方块矩阵的逆矩阵，非0的一角为原矩阵，再左乘同行的逆矩阵，右乘同列的逆矩阵。\medskip 324 | 325 | $\therefore A=\left(\begin{array}{cc} 326 | B & D \\ 327 | O & C 328 | \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 329 | B^{-1} & -B^{-1}DC^{-1} \\ 330 | O & C^{-1} 331 | \end{array}\right)$。\medskip 332 | 333 | 当分块矩阵为副对角矩阵时，对角线为对角方块矩阵的逆矩阵，非0的一角为原矩阵，再左乘同行的逆矩阵，右乘同列的逆矩阵。\medskip 334 | 335 | $\therefore A=\left(\begin{array}{cc} 336 | O & B \\ 337 | C & D 338 | \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 339 | -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1} \\ 340 | B^{-1} & O 341 | \end{array}\right)$。\medskip 342 | 343 | $\therefore A=\left(\begin{array}{cc} 344 | D & B \\ 345 | C & O 346 | \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 347 | O & C^{-1} \\ 348 | B^{-1} & -C^{-1}DB^{-1} 349 | \end{array}\right)$。\medskip 350 | 351 | $A=\left(\begin{array}{ccc} 352 | A_1 \\ 353 | & \ddots \\ 354 | & & A_n 355 | \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 356 | A_1^{-1} \\ 357 | & \ddots \\ 358 | & & A_n^{-1} 359 | \end{array}\right)$。\medskip 360 | 361 | $A=\left(\begin{array}{ccc} 362 | & & A_1 \\ 363 | & \ddots \\ 364 | A_n 365 | \end{array}\right)$，$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 366 | & & A_n^{-1} \\ 367 | & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} \\ 368 | A_1^{-1} 369 | \end{array}\right)$。 370 | 371 | \textbf{例题：}已知矩阵$A$的伴随矩阵$A^*=\left[\begin{array}{cccc} 372 | 4 & -2 & 0 & 0 \\ 373 | -3 & 1 & 0 & 0 \\ 374 | 0 & 0 & -4 & 0 \\ 375 | 0 & 0 & 0 & -1 376 | \end{array}\right]$，求$A$。 377 | 378 | 解：由于$A^{-1}=\dfrac{A^*}{\vert A\vert}$，所以$A=\vert A\vert(A^*)^{-1}$。已知$A^*$可知$(A^*)^{-1}$，所以重点就是求$\vert A\vert$。 379 | 380 | 又$\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$，$\vert A^*\vert=-8$，$\vert A\vert=-2$。 381 | 382 | 所以根据分块矩阵的逆运算，可以得到$(A^*)^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 383 | -\dfrac{1}{2} & -1 & 0 & 0 \\ 384 | -\dfrac{3}{2} & -2 & 0 & 0 \\ 385 | 0 & 0 & -\dfrac{1}{4} & 0 \\ 386 | 0 & 0 & 0 & -1 387 | \end{array}\right]$。 388 | 389 | 所以$A=\left[\begin{array}{cccc} 390 | 1 & 2 & 0 & 0 \\ 391 | 3 & 4 & 0 & 0 \\ 392 | 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 393 | 0 & 0 & 0 & 2 394 | \end{array}\right]$。 395 | 396 | \section{伴随矩阵} 397 | 398 | 伴随矩阵一般只会计算三阶以及以下。 399 | 400 | 伴随矩阵和逆矩阵往往共同参与运算，并有许多公式。 401 | 402 | \begin{enumerate} 403 | \item $(A^*)^{-1}=\dfrac{A}{\vert A\vert}$。 404 | \item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。 405 | \item $(A^*)^*=\vert A\vert^{n-2}A$。 406 | \end{enumerate} 407 | 408 | 证明关系式一，由于$A^*=\vert A\vert A^{-1}$，$(A^*)^{-1}=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}(A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A$。 409 | 410 | 证明关系式二，对$A^*=\vert A\vert A^{-1}$两边取行列式，得到$\vert A^*\vert=\vert\vert A\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^n\vert A^{-1}\vert=\dfrac{\vert A\vert^n}{\vert A\vert}=\vert A\vert^{n-1}=\dfrac{1}{\vert A^{-1}\vert^{n-1}}$。 411 | 412 | 证明关系式三，对$(A^*)^*=(A^*)^{-1}\vert A^*\vert=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{-1}A\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{n-2}A$。 413 | 414 | \section{方阵行列式} 415 | 416 | \subsection{两项积商} 417 | 418 | \begin{enumerate} 419 | \item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。 420 | \item $\vert A^{-1}\vert=\dfrac{1}{\vert A\vert}$。 421 | \item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。 422 | \item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。 423 | \item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。 424 | \end{enumerate} 425 | 426 | 因为两项积商比较简单，所以基本上会变换$A$和$B$，让其变为转置或逆矩阵。 427 | 428 | \subsection{两项和差} 429 | 430 | 两项和差需要将方阵拆分为向量组的形式，然后根据矩阵与行列式的运算法则进行运算。（注意其中的差别） 431 | 432 | \textbf{例题：}设四阶方阵$A=[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]$，$B=[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]$，其中$\alpha$、$\beta$、$\gamma_i$均为四维向量，且$\vert A\vert=5$，$\vert B\vert=-\dfrac{1}{2}$，求$\vert A+2B\vert$。 433 | 434 | 解：$=\vert[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]+2[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=\vert[\alpha+2\beta,3\gamma_2,3\gamma_3,3\gamma_4]\vert=27\vert[\alpha+2\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=27\vert[\alpha,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert+54\vert[\beta,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4]\vert=27(\vert A\vert+2\vert B\vert)=108$。 435 | 436 | \section{矩阵方程} 437 | 438 | 含有未知矩阵的方程就是矩阵方程，需要将方程进行恒等变形，化为$AX=B$、$XA=B$或$AXB=C$的形式。 439 | 440 | 若$A$、$B$可逆，且可以分别得到$X=A^{-1}B$，$X=BA^{-1}$，$X=A^{-1}CB^{-1}$。 441 | 442 | \subsection{直接化简} 443 | 444 | \textbf{例题：}设3阶方阵$A$，$B$满足$A^{-1}BA=6A+BA$，且$A=\left(\begin{array}{ccc} 445 | \dfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 446 | 0 & \dfrac{1}{4} & 0 \\ 447 | 0 & 0 & \dfrac{1}{5} 448 | \end{array}\right)$，求$B$。 449 | 450 | 解：$A^{-1}BA=(6E+B)A$，$A^{-1}B=6E+B$，$A^{-1}B-B=6E$，$(A^{-1}-E)B=6E$。 451 | 452 | $\therefore B=6(A^{-1}-E)^{-1}$。 453 | 454 | \subsection{凑目标式} 455 | 456 | 有时候直接化简非常麻烦，因为所求的式子很复杂，甚至出现结果不能得到的情况。 457 | 458 | \textbf{例题：}已知$AB=A+B$，其中$B=\left[\begin{array}{ccc} 459 | 1 & 1 & 0 \\ 460 | 1 & 1 & 0 \\ 461 | 0 & 0 & 2 462 | \end{array}\right]$，求$(A-E)^{-1}$。 463 | 464 | 解：已知$AB=A+B$，求$A-E$，则向目标计算。 465 | 466 | $AB-B=A$，即$(A-E)B=A$，$(A-E)^{-1}=BA^{-1}$。因为$A$未知，所以要消去$A$。 467 | 468 | 根据$AB=A+B$，得到$AB-A=B$，即$A(B-E)=B$，$A^{-1}=(B-E)B^{-1}$。 469 | 470 | $(A-E)^{-1}=BA^{-1}=B(B-E)B^{-1}$，然后就不知道接下来怎么办了。 471 | 472 | 我们很希望$BB^{-1}$在一起消掉，但是无论如何操作都无法完成。但是也可以通过此得到解题的启示，按$(A-E)(B-E)$去凑。 473 | 474 | 回到$(A-E)B=A$，去凑$B-E$，先尝试两边减去$E$，得到$(A-E)B-E=A-E$，正好左移右项$(A-E)(B-E)=E$，解得$(A-E)^{-1}=B-E$。 475 | 476 | 即$=\left[\begin{array}{ccc} 477 | 0 & 1 & 0 \\ 478 | 1 & 0 & 0 \\ 479 | 0 & 0 & 1 480 | \end{array}\right]$。 481 | 482 | \section{矩阵秩} 483 | 484 | \subsection{未知参数} 485 | 486 | 已知一个矩阵的秩，求其矩阵中的参数。需要将矩阵简化，使得最下面的一行除了参数没有别的非零常数。 487 | 488 | \textbf{例题：}已知$A=\left[\begin{array}{cccc} 489 | 1 & 1 & a & 4 \\ 490 | 1 & 0 & 2 & a \\ 491 | -1 & a & 1 & 0 492 | \end{array}\right]$，$r(A)=3$，求$A$。 493 | 494 | 解：首先对$A$化简：$A=\left[\begin{array}{cccc} 495 | 1 & 1 & a & 4 \\ 496 | 0 & 1 & a-2 & 4-a \\ 497 | 0 & 0 & (a+1)(3-a) & a(a-3) 498 | \end{array}\right]$，若$r(A)=3$，则$(a+1)(3-a)$与$a(a-3)$不全为0，所以$a\neq3$。 499 | 500 | \subsection{矩阵运算} 501 | 502 | 给出几个矩阵，进行矩阵运算求出对应的秩。 503 | 504 | $r(kA)=r(A)$。 505 | 506 | $r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$。当且仅当$AB$满秩等号成立。 507 | 508 | $r(A+B)\leqslant r(A|B)\leqslant r(A)+r(B)$。 509 | 510 | $r(A^*)=\left\{\begin{array}{l} 511 | n, r(A)=n \\ 512 | 1, r(A)=n-1 \\ 513 | 0, r(A)