├── .gitignore ├── algorithms.pdf └── algorithms.tex /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## Core latex/pdflatex auxiliary files: 2 | *.aux 3 | *.lof 4 | *.log 5 | *.lot 6 | *.fls 7 | *.out 8 | *.toc 9 | *.fmt 10 | *.fot 11 | *.cb 12 | *.cb2 13 | .*.lb 14 | 15 | ## Intermediate documents: 16 | *.dvi 17 | *.xdv 18 | *-converted-to.* 19 | # these rules might exclude image files for figures etc. 20 | # *.ps 21 | # *.eps 22 | # *.pdf 23 | 24 | ## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" 25 | .pdf 26 | 27 | ## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): 28 | *.bbl 29 | *.bcf 30 | *.blg 31 | *-blx.aux 32 | *-blx.bib 33 | *.run.xml 34 | 35 | ## Build tool auxiliary files: 36 | *.fdb_latexmk 37 | *.synctex 38 | *.synctex(busy) 39 | *.synctex.gz 40 | *.synctex.gz(busy) 41 | *.pdfsync 42 | 43 | ## Build tool directories for auxiliary files 44 | # latexrun 45 | latex.out/ 46 | 47 | ## Auxiliary and intermediate files from other packages: 48 | # algorithms 49 | *.alg 50 | *.loa 51 | 52 | # achemso 53 | acs-*.bib 54 | 55 | # amsthm 56 | *.thm 57 | 58 | # beamer 59 | *.nav 60 | *.pre 61 | *.snm 62 | *.vrb 63 | 64 | # changes 65 | *.soc 66 | 67 | # comment 68 | *.cut 69 | 70 | # cprotect 71 | *.cpt 72 | 73 | # elsarticle (documentclass of Elsevier journals) 74 | *.spl 75 | 76 | # endnotes 77 | *.ent 78 | 79 | # fixme 80 | *.lox 81 | 82 | # feynmf/feynmp 83 | *.mf 84 | *.mp 85 | *.t[1-9] 86 | *.t[1-9][0-9] 87 | *.tfm 88 | 89 | #(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar 90 | *.end 91 | *.?end 92 | *.[1-9] 93 | *.[1-9][0-9] 94 | *.[1-9][0-9][0-9] 95 | *.[1-9]R 96 | *.[1-9][0-9]R 97 | *.[1-9][0-9][0-9]R 98 | *.eledsec[1-9] 99 | *.eledsec[1-9]R 100 | *.eledsec[1-9][0-9] 101 | *.eledsec[1-9][0-9]R 102 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9] 103 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9]R 104 | 105 | # glossaries 106 | *.acn 107 | *.acr 108 | *.glg 109 | *.glo 110 | *.gls 111 | *.glsdefs 112 | *.lzo 113 | *.lzs 114 | 115 | # uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!) 116 | # *.ist 117 | 118 | # gnuplottex 119 | *-gnuplottex-* 120 | 121 | # gregoriotex 122 | *.gaux 123 | *.gtex 124 | 125 | # htlatex 126 | *.4ct 127 | *.4tc 128 | *.idv 129 | *.lg 130 | *.trc 131 | *.xref 132 | 133 | # hyperref 134 | *.brf 135 | 136 | # knitr 137 | *-concordance.tex 138 | # TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files 139 | *.tikz 140 | *-tikzDictionary 141 | 142 | # listings 143 | *.lol 144 | 145 | # luatexja-ruby 146 | *.ltjruby 147 | 148 | # makeidx 149 | *.idx 150 | *.ilg 151 | *.ind 152 | 153 | # minitoc 154 | *.maf 155 | *.mlf 156 | *.mlt 157 | *.mtc[0-9]* 158 | *.slf[0-9]* 159 | *.slt[0-9]* 160 | *.stc[0-9]* 161 | 162 | # minted 163 | _minted* 164 | *.pyg 165 | 166 | # morewrites 167 | *.mw 168 | 169 | # nomencl 170 | *.nlg 171 | *.nlo 172 | *.nls 173 | 174 | # pax 175 | *.pax 176 | 177 | # pdfpcnotes 178 | *.pdfpc 179 | 180 | # sagetex 181 | *.sagetex.sage 182 | *.sagetex.py 183 | *.sagetex.scmd 184 | 185 | # scrwfile 186 | *.wrt 187 | 188 | # sympy 189 | *.sout 190 | *.sympy 191 | sympy-plots-for-*.tex/ 192 | 193 | # pdfcomment 194 | *.upa 195 | *.upb 196 | 197 | # pythontex 198 | *.pytxcode 199 | pythontex-files-*/ 200 | 201 | # tcolorbox 202 | *.listing 203 | 204 | # thmtools 205 | *.loe 206 | 207 | # TikZ & PGF 208 | *.dpth 209 | *.md5 210 | *.auxlock 211 | 212 | # todonotes 213 | *.tdo 214 | 215 | # vhistory 216 | *.hst 217 | *.ver 218 | 219 | # easy-todo 220 | *.lod 221 | 222 | # xcolor 223 | *.xcp 224 | 225 | # xmpincl 226 | *.xmpi 227 | 228 | # xindy 229 | *.xdy 230 | 231 | # xypic precompiled matrices and outlines 232 | *.xyc 233 | *.xyd 234 | 235 | # endfloat 236 | *.ttt 237 | *.fff 238 | 239 | # Latexian 240 | TSWLatexianTemp* 241 | 242 | ## Editors: 243 | # WinEdt 244 | *.bak 245 | *.sav 246 | 247 | # Texpad 248 | .texpadtmp 249 | 250 | # LyX 251 | *.lyx~ 252 | 253 | # Kile 254 | *.backup 255 | 256 | # gummi 257 | .*.swp 258 | 259 | # KBibTeX 260 | *~[0-9]* 261 | 262 | # TeXnicCenter 263 | *.tps 264 | 265 | # auto folder when using emacs and auctex 266 | ./auto/* 267 | *.el 268 | 269 | # expex forward references with \gathertags 270 | *-tags.tex 271 | 272 | # standalone packages 273 | *.sta 274 | 275 | # Makeindex log files 276 | *.lpz 277 | 278 | # Old material 279 | Old 280 | 281 | # Some plotting python code 282 | Plotting/ 283 | -------------------------------------------------------------------------------- /algorithms.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/DimaTrushin/LinearAlgebraAlgorithms/1db54b49f78d1751ca099e26a55e60b6416c0418/algorithms.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /algorithms.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass{article} 2 | 3 | \usepackage[T1,T2A]{fontenc} 4 | \usepackage[utf8]{inputenc} 5 | \usepackage[english,russian]{babel} 6 | 7 | \usepackage[left=2cm,right=2cm, top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry} 8 | 9 | \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,amsfonts} 10 | \usepackage{mathtext} 11 | \usepackage{mathdots} 12 | \usepackage[all]{xy} 13 | \usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref} 14 | 15 | 16 | \newcommand{\tr}{\mathop{\mathrm{tr}}} 17 | \newcommand{\MatrixDim}[3]{\mathop{\mathrm{M}_{#2\,#3}}(#1)} 18 | \newcommand{\Matrix}[2]{\mathop{\mathrm{M}_{#2}}(#1)} 19 | \newcommand{\MatrixR}[1]{\Matrix{\mathbb R}{#1}} 20 | \newcommand{\MatrixC}[1]{\Matrix{\mathbb C}{#1}} 21 | \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} 22 | \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} 23 | \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} 24 | 25 | 26 | \renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}} 27 | 28 | \begin{document} 29 | 30 | \section*{Алгоритмы} 31 | 32 | \subsection{Выделение базиса из системы векторов} 33 | 34 | \paragraph{Дано} 35 | 36 | Пусть $v_1,\ldots,v_m\in F^n$ -- вектора и $V = \langle v_1,\ldots,v_m\rangle$ -- их линейная оболочка. 37 | 38 | \paragraph{Задача} 39 | 40 | Среди векторов $v_1,\ldots,v_m$ найти базис пространства $V$ и разложить оставшиеся вектора по этому базису. 41 | 42 | \paragraph{Алгоритм} 43 | 44 | \begin{enumerate} 45 | \item Запишем вектора $v_1,\ldots,v_m$ по столбцам в матрицу $A \in \MatrixDim{F}{n}{m}$. Например, при $n = 3$, $m = 5$ 46 | \[ 47 | A = 48 | \begin{pmatrix} 49 | {v_{11}}&{v_{21}}&{v_{31}}&{v_{41}}&{v_{51}}\\ 50 | {v_{12}}&{v_{22}}&{v_{32}}&{v_{42}}&{v_{52}}\\ 51 | {v_{13}}&{v_{23}}&{v_{33}}&{v_{43}}&{v_{53}}\\ 52 | \end{pmatrix} 53 | \] 54 | \item Приведем матрицу $A$ элементарными преобразованиями строк к улучшенному ступенчатому виду. Например 55 | \[ 56 | A' = 57 | \begin{pmatrix} 58 | {1}&{0}&{a_{31}}&{0}&{a_{51}}\\ 59 | {0}&{1}&{a_{32}}&{0}&{a_{52}}\\ 60 | {0}&{0}&{0}&{1}&{a_{53}}\\ 61 | \end{pmatrix} 62 | \] 63 | \item Пусть $k_1,\ldots,k_r$ -- номера главных позиций в матрице $A'$. Тогда вектора $v_{k_1},\ldots,v_{k_r}$ образуют базис $V$. Например, в примере выше это вектора $v_1$, $v_2$ и $v_4$. 64 | 65 | \item Пусть $v_i$ -- вектор соответствует неглавной позиции в $A'$. Тогда в $i$-ом столбце $A'$ записаны координаты разложения $v_i$ через найденный базис выше. Например, в примере выше $v_3 = a_{31}v_1 + a_{32}v_2$ и $v_5 = a_{51}v_1 + a_{52}v_2 + a_{53}v_4$. 66 | \end{enumerate} 67 | \paragraph{Пример} 68 | Пусть 69 | \[ 70 | v_1 = 71 | \begin{pmatrix} 72 | {1}\\{3}\\{2} 73 | \end{pmatrix},\, 74 | v_2 = 75 | \begin{pmatrix} 76 | {1}\\{2}\\{1} 77 | \end{pmatrix},\, 78 | v_3 = 79 | \begin{pmatrix} 80 | {5}\\{12}\\{7} 81 | \end{pmatrix},\, 82 | v_4 = 83 | \begin{pmatrix} 84 | {1}\\{1}\\{1} 85 | \end{pmatrix},\, 86 | v_5 = 87 | \begin{pmatrix} 88 | {-1}\\{1}\\{0} 89 | \end{pmatrix}\in F^3 90 | \] 91 | Тогда 92 | \begin{gather*} 93 | \begin{pmatrix} 94 | {1}&{1}&{5}&{1}&{-1}\\ 95 | {3}&{2}&{12}&{1}&{1}\\ 96 | {2}&{1}&{7}&{1}&{0}\\ 97 | \end{pmatrix}\mapsto 98 | \begin{pmatrix} 99 | {1}&{1}&{5}&{1}&{-1}\\ 100 | {0}&{0}&{0}&{-1}&{2}\\ 101 | {2}&{1}&{7}&{1}&{0}\\ 102 | \end{pmatrix}\mapsto 103 | \begin{pmatrix} 104 | {1}&{1}&{5}&{1}&{-1}\\ 105 | {0}&{0}&{0}&{-1}&{2}\\ 106 | {1}&{0}&{2}&{0}&{1}\\ 107 | \end{pmatrix}\mapsto\\\mapsto 108 | \begin{pmatrix} 109 | {1}&{0}&{2}&{0}&{1}\\ 110 | {1}&{1}&{5}&{1}&{-1}\\ 111 | {0}&{0}&{0}&{1}&{-2}\\ 112 | \end{pmatrix}\mapsto 113 | \begin{pmatrix} 114 | {1}&{0}&{2}&{0}&{1}\\ 115 | {0}&{1}&{3}&{1}&{-2}\\ 116 | {0}&{0}&{0}&{1}&{-2}\\ 117 | \end{pmatrix}\mapsto 118 | \begin{pmatrix} 119 | {1}&{0}&{2}&{0}&{1}\\ 120 | {0}&{1}&{3}&{0}&{0}\\ 121 | {0}&{0}&{0}&{1}&{-2}\\ 122 | \end{pmatrix} 123 | \end{gather*} 124 | Тогда $v_1$, $v_2$ и $v_4$ -- базис линейной оболочки. $v_3 = 2v_1 + 3 v_2$ и $v_5 = v_1 - 2 v_4$. 125 | 126 | \subsection{Нахождение какого-то базиса линейной оболочки} 127 | 128 | \paragraph{Дано} Пусть $v_1,\ldots,v_m\in F^n$ -- вектора и $V = \langle v_1,\ldots,v_m\rangle$ -- их линейная оболочка. 129 | 130 | \paragraph{Задача} Найти какой-нибудь базис подпространства $V$. 131 | 132 | \paragraph{Алгоритм} 133 | \begin{enumerate} 134 | \item Уложить все вектора $v_i$ в строки матрицы $A\in \MatrixDim{F}{m}{n}$. 135 | 136 | \item Элементарными преобразованиями строк привести матрицу к ступенчатому виду. 137 | 138 | \item Ненулевые строки полученной матрицы будут искомым базисом. 139 | \end{enumerate} 140 | 141 | \subsection{Дополнение линейно независимой системы до базиса всего пространства стандартными векторами} 142 | 143 | \paragraph{Дано} Пусть $v_1,\ldots,v_m\in F^{n}$ -- линейно независимая система векторов, $V = \langle v_1,\ldots,v_m \rangle$ -- их линейная оболочка и $e_i$ -- стандартные базисные векторы, т.е. на $i$-ом месте стоит $1$, а в остальных $0$. 144 | 145 | \paragraph{Задача} Найти такие вектора $e_{k_1},\ldots, e_{k_{n-m}}$, что система $v_1,\ldots,v_m,e_{k_1},\ldots,e_{k_{n-m}}$ является базисом $F^{n}$. 146 | 147 | \paragraph{Алгоритм} 148 | \begin{enumerate} 149 | \item Уложить вектора $v_i$ в строки матрицы $A\in\MatrixDim{F}{m}{n}$. 150 | 151 | \item Привести матрицу $A$ к ступенчатому виду. 152 | 153 | \item Пусть $k_1,\ldots,k_{n-m}$ -- номера неглавных столбцов. Тогда $e_{k_1},\ldots,e_{k_{n-m}}$ -- искомое множество. 154 | \end{enumerate} 155 | 156 | \subsection{Найти ФСР однородной СЛУ} 157 | 158 | \paragraph{Дано} Система однородных линейных уравнений $Ax = 0$, где $A\in \MatrixDim{F}{m}{n}$ и $x\in F^{n}$. 159 | 160 | \paragraph{Задача} Найти ФСР системы $Ax = 0$. 161 | 162 | \paragraph{Алгоритм} 163 | \begin{enumerate} 164 | \item Привести матрицу $A$ элементарными преобразованиями строк к улучшенному ступенчатому виду. Например 165 | \[ 166 | A' = 167 | \begin{pmatrix} 168 | {1}&{0}&{a_{31}}&{0}&{a_{51}}\\ 169 | {0}&{1}&{a_{32}}&{0}&{a_{52}}\\ 170 | {0}&{0}&{0}&{1}&{a_{53}}\\ 171 | \end{pmatrix} 172 | \] 173 | 174 | \item Пусть $k_1,\ldots,k_r$ -- позиции свободных переменных. Если положить одну из этих переменных равной $1$, а все остальные нулями, то существует единственное решение, которое мы обозначим через $u_i$ (всего $r$ штук). Например, для матрицы $A'$ выше свободные переменные имеют номера $3$ и $5$. Тогда вектора (записанные в строку) 175 | \[ 176 | u_1 = 177 | \begin{pmatrix} 178 | {-a_{31}}&{-a_{32}}&{1}&{0}&{0} 179 | \end{pmatrix},\, 180 | u_2 = 181 | \begin{pmatrix} 182 | {-a_{51}}&{-a_{52}}&{0}&{-a_{53}}&{1} 183 | \end{pmatrix} 184 | \] 185 | являются ФСР. 186 | \end{enumerate} 187 | 188 | 189 | \subsection{Задать подпространство базисом, если оно задано матричным уравнением} 190 | 191 | 192 | \paragraph{Дано} Пусть $A\in\MatrixDim{F}{m}{n}$ и $V\subseteq F^{n}$ задано в виде $V = \{y\in F^{n}\mid A y = 0\}$. 193 | 194 | \paragraph{Задача} Найти базис подпространства $V$. 195 | 196 | \paragraph{Алгоритм} 197 | \begin{enumerate} 198 | \item Найти ФСР системы $Ay = 0$. Векторы ФСР будут базисом $V$. 199 | \end{enumerate} 200 | 201 | \subsection{Задать подпространство матричным уравнением, если оно задано линейной оболочной} 202 | 203 | \paragraph{Дано} Пусть $v_1,\ldots,v_k\in F^{n}$ -- набор векторов и $V = \langle v_1,\ldots,v_k \rangle$. 204 | 205 | \paragraph{Задача} Для некоторого $m$ найти матрицу $A\in\MatrixDim{F}{m}{n}$ такую, что $V = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$. 206 | 207 | \paragraph{Алгоритм} 208 | \begin{enumerate} 209 | \item Уложить вектора $v_i$ в строки матрицы $B\in \MatrixDim{F}{k}{n}$. 210 | \item Найти ФСР системы $Bz = 0$. 211 | \item Уложить ФСР в строки матрицы $A\in \MatrixDim{F}{m}{n}$, где $m$ -- количество векторов в ФСР. Матрица $A$ и будет искомой. 212 | \end{enumerate} 213 | 214 | 215 | \subsection{Найти матрицу замены координат} 216 | 217 | \paragraph{Дано} Векторное пространство $V$, $e=(e_1,\ldots,e_n)$ и $f = (f_1,\ldots,f_n)$ -- два базиса пространства $V$. Известна матрица перехода от $e$ к $f$, т.е. $(f_1,\ldots,f_n) = (e_1,\ldots,e_n)A$, где $A\in \Matrix{F}{n}$. Дан вектор $v = x_1e_1+\ldots+x_n e_n$. 218 | 219 | \paragraph{Задача} Найти разложение $v$ по базису $f$. 220 | 221 | \paragraph{Алгоритм} 222 | \begin{enumerate} 223 | \item Если $v = e x$, где $x\in F^{n}$, а также $v = f y$, где $y\in F^{n}$, то $y = A^{-1}x$. 224 | \end{enumerate} 225 | 226 | 227 | \subsection{Найти матрицу линейного отображения при замене базиса} 228 | 229 | \paragraph{Дано} 230 | 231 | Векторное пространство $V$ с базисами $e=(e_1,\ldots,e_n)$ и $e'=(e'_1,\ldots,e'_n)$, а также векторное пространство $U$ с базисами $f = (f_1,\ldots,f_m)$ и $f' = (f'_1,\ldots,f'_m)$. Известны матрицы перехода $(e'_1,\ldots,e'_n) = (e_1,\ldots,e_n)C$ и $(f'_1,\ldots,f'_m) = (f_1,\ldots,f_m)D$, где $C\in \Matrix{F}{n}$ и $D\in \Matrix{F}{m}$. Дано линейное отображение $\phi\colon V\to U$ заданное в базисах $e$ и $f$ матрицей $A\in\MatrixDim{F}{n}{m}$, т.е. $\phi e = f A$. 232 | 233 | \paragraph{Задача} 234 | 235 | Найти матрицу отображения $\phi$ в базисах $e'$ и $f'$, то есть такую $A'\in \MatrixDim{F}{n}{m}$, что $\phi e' = f' A'$. 236 | 237 | \paragraph{Алгоритм} 238 | \begin{enumerate} 239 | \item $A' = D^{-1} A C$. 240 | \end{enumerate} 241 | 242 | 243 | \subsection{Определить существует ли линейное отображение заданное на векторах} 244 | 245 | \paragraph{Дано} Векторное пространство $V$ над полем $F$ и набор векторов $v_1,\ldots,v_k\in V$, векторное пространство $U$ и набор векторов $u_1,\ldots,u_k\in U$. 246 | 247 | \paragraph{Задача} Определить существует ли линейное отображение $\phi\colon V\to U$ такое, что $\phi(v_i) = u_i$. 248 | 249 | \paragraph{Алгоритм} 250 | \begin{enumerate} 251 | \item Среди векторов $v_1,\ldots,v_k$ выделить линейно независимые, а остальные разложить по ним. 252 | 253 | \item Пусть на предыдущем этапе базис получился $v_1,\ldots,v_r$, а $v_{r + i} = a_{i1} v_1 + \ldots + a_{ir}v_r$. 254 | 255 | \item Искомое линейное отображение $\phi$ существует тогда и только тогда, когда выполняются равенства $u_{r+i} = a_{i1}u_1 + \ldots + a_{ir}u_r$.\footnote{В частности, если все $v_i$ оказались линейно независимыми, то линейное отображение $\phi$ обязательно существует.} 256 | \end{enumerate} 257 | 258 | \subsection{Найти базис образа и ядра линейного отображения} 259 | 260 | \paragraph{Дано} $\phi\colon F^{n}\to F^{m}$ задан $x\mapsto Ax$, где $A\in\MatrixDim{F}{m}{n}$. 261 | 262 | \paragraph{Задача} Найти базис $\Im \phi\in F^{m}$ и базис $\ker \phi\in F^{n}$. 263 | 264 | \paragraph{Алгоритм} 265 | \begin{enumerate} 266 | \item Выделить базис среди столбцов матрицы $A$. В результате получится базис $\Im \phi$. 267 | 268 | \item Найти ФСР системы $Ax = 0$. Полученная ФСР будет базисом $\ker \phi$. 269 | \end{enumerate} 270 | 271 | \subsection{Найти линейное отображение с заданными ядром и образом} 272 | 273 | \paragraph{Дано} Пространства $U\subseteq F^n$ и $W \subseteq F^m$ такие, что $\dim U + \dim W = n$. 274 | 275 | \paragraph{Задача} Найти матрицу линейного отображения $\varphi \colon F^n \to F^m$ такого, что $U = \ker \varphi$ и $W = \Im \varphi$. 276 | 277 | \paragraph{Алгоритм} 278 | \begin{enumerate} 279 | \item Задать подпространство $W$ с помощью базиса. Пусть $b_1,\ldots,b_k$ -- базис $W$. Определим матрицу $B = (b_1 |\ldots |b_k)$. 280 | 281 | \item Задать подпространство $U$ системой с линейно независимыми строками $U = \{y\in F^n \mid A y = 0\}$. 282 | 283 | \item В силу условия $\dim U + \dim W = n$ матрица $A$ будет иметь столько же строк, сколько столбцов в матрице $B$. В этом случае искомое линейное отображение задается матрицей $BA$. 284 | \end{enumerate} 285 | 286 | 287 | 288 | \subsection{Найти сумму подпространств заданных линейными оболочками} 289 | 290 | \paragraph{Дано} Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V = \langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \langle u_1,\ldots,u_k\rangle$, где $v_i,u_j\in F^{n}$. 291 | 292 | \paragraph{Задача} Найти базис $V + U$. 293 | 294 | \paragraph{Алгоритм} 295 | \begin{enumerate} 296 | \item Надо найти базис линейной оболочки $\langle v_1,\ldots,v_m,u_1,\ldots,u_k\rangle$. 297 | \end{enumerate} 298 | 299 | \subsection{Найти пересечение подпространств заданных линейными оболочками} 300 | 301 | \paragraph{Дано} Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V = \langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \langle u_1,\ldots,u_k\rangle$, где $v_i,u_j\in F^{n}$. 302 | 303 | \paragraph{Задача} Найти базис $V\cap U$.\footnote{В это задаче можно задать подпространства системами, потом найти пересечение в виде системы, потом задать результат базисом. Но есть куда более эффективный способ.} 304 | 305 | \paragraph{Алгоритм} 306 | \begin{enumerate} 307 | \item Найти ФСР системы $D x = 0$, где $D = (v_1|\ldots|v_m|u_1|\ldots|u_k)$ и $x = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$, где $\alpha\in F^{m}$, $\beta\in F^{k}$. 308 | 309 | \item Пусть $\left(\left.\left.\frac{\alpha_1}{\beta_1}\right|\ldots\right|\frac{\alpha_s}{\beta_s}\right)$ -- ФСР. Далее есть две опции (из них вторая опция предпочтительнее!): 310 | \begin{itemize} 311 | \item Множество векторов $R = (v_1|\ldots|v_m)(\alpha_1|\ldots|\alpha_s)$ порождает $V\cap U$. Среди $(\alpha_1|\ldots|\alpha_s)$ можно выкинуть те $\alpha_i$, для которых $\beta_i = 0$.\footnote{Если ФСР построен по стандартному базису, то останутся $\alpha_i$ с нулевыми свободными переменными.} 312 | 313 | \item Множество векторов $R' = (u_1|\ldots|u_k)(\beta_1|\ldots|\beta_s)$ порождает $V\cap U$. Причем можно рассматривать только ненулевые $\beta_i$. 314 | 315 | \end{itemize} 316 | 317 | \item Выделить базис среди столбцов $R$. Это и будет базис $V\cap U$. 318 | \begin{itemize} 319 | \item Если векторы $u_1,\ldots,u_k$ были линейно независимы изначально и $\beta_i,\ldots,\beta_s$ -- все ненулевые сегменты ФСР с прошлого шага, то $(u_1|\ldots|u_k)(\beta_i|\ldots|\beta_s)$ будет базисом $V\cap U$. 320 | \end{itemize} 321 | \end{enumerate} 322 | 323 | 324 | \subsection{Найти пересечение подпространств заданных матричным уравнением} 325 | 326 | \paragraph{Дано} 327 | 328 | Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$, $U = \{y\in F^{n}\mid By = 0\}$, где $A\in \MatrixDim{F}{m}{n}$ и $B\in \MatrixDim{F}{k}{n}$. 329 | 330 | \paragraph{Задача} 331 | 332 | Задать $V\cap U$ в виде $\{y\in F^{n}\mid D y = 0\}$ для некоторого $D\in\MatrixDim{F}{k}{n}$, где $\rk D = k\leqslant n$. 333 | 334 | \paragraph{Алгоритм} 335 | \begin{enumerate} 336 | \item Рассмотреть матрицу $D' = \left(\frac{A}{B}\right)$. 337 | 338 | \item Выделить среди строк $D'$ линейно независимую подсистему. Результат и будет искомая $D$. 339 | \end{enumerate} 340 | 341 | 342 | \subsection{Найти сумму подпространств заданных матричным уравнением} 343 | 344 | \paragraph{Дано} 345 | 346 | Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$, $U = \{y\in F^{n}\mid By = 0\}$, где $A\in \MatrixDim{F}{m}{n}$ и $B\in \MatrixDim{F}{k}{n}$. 347 | 348 | \paragraph{Задача} 349 | 350 | Задать $V+U$ в виде $\{y\in F^{n}\mid Ry = 0\}$ для некоторого $R\in \MatrixDim{F}{k}{n}$, где $\rk R = k \leqslant n$.\footnote{В этой задаче можно задать подпространства базисами, потом найти сумму заданной базисом, потом задать эту сумму системой. Но есть более эффективный метод.} 351 | 352 | \paragraph{Алгоритм} 353 | \begin{enumerate} 354 | \item Найти ФСР системы $D x = 0$, где $D = (A^t|B^t)$ и $x = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$, где $\alpha \in F^{m}$ и $\beta\in F^{k}$. 355 | 356 | \item Пусть $\left(\left.\left.\frac{\alpha_1}{\beta_1}\right|\ldots\right|\frac{\alpha_s}{\beta_s}\right)$ -- ФСР. Далее есть две опции: 357 | \begin{itemize} 358 | \item Если определим $S = (\alpha_1|\ldots|\alpha_s)^t A$, то $V+U = \{y\in F^{n}\mid Sy = 0\}$. Здесь достаточно взять только те $\alpha_i$, для которых $\beta_i$ не равны нулю. 359 | 360 | \item Если определим $T = (\beta_1|\ldots|\beta_s)^t B$, то $V+U = \{y\in F^{n}\mid Ty = 0\}$. Здесь достаточно взять только ненулевые $\beta_i$. 361 | \end{itemize} 362 | 363 | \item Выделить базис среди строк $S$ (или $T$). Это и будет искомая матрица $R$. 364 | \begin{itemize} 365 | \item Если строки $B$ были линейно независимыми и мы выбрали только ненулевые $\beta_i$, то $T$ уже будет искомой, то есть ее строки будут линейно независимыми. 366 | \end{itemize} 367 | \end{enumerate} 368 | 369 | 370 | \subsection{Найти пересечение подпространств заданных разными способами} 371 | 372 | \paragraph{Дано} 373 | 374 | Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V =\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$, где $A\in \MatrixDim{F}{k}{n}$. 375 | 376 | \paragraph{Задача} 377 | 378 | Найти базис $V \cap U$. 379 | 380 | \paragraph{Алгоритм} 381 | \begin{enumerate} 382 | \item Определим матрицу $B = (v_1|\ldots|v_m)$ и найдем ФСР для системы $AB x = 0$. Пусть это будет $x_1,\ldots, x_t$. 383 | 384 | \item Тогда столбцы матрицы $R = B (x_1|\ldots|x_t)$ порождают $V \cap U$. 385 | 386 | \item Отобрать среди столбцов $R$ линейно независимые. 387 | \begin{itemize} 388 | \item Если $v_1,\ldots,v_m$ были линейно независимы (то есть базис $V$), то столбцы $R$ уже будут линейно независимыми. 389 | \end{itemize} 390 | \end{enumerate} 391 | 392 | \subsection{Найти пересечение подпространств заданных разными способами} 393 | 394 | \paragraph{Дано} 395 | 396 | Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V =\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$, где $A\in \MatrixDim{F}{k}{n}$. 397 | 398 | \paragraph{Задача} 399 | 400 | Задать $V \cap U$ системой линейных уравнений. 401 | 402 | \paragraph{Алгоритм} 403 | \begin{enumerate} 404 | \item Задать подпространство $V$ системой в виде $\{x\in F^n \mid Dx = 0\}$. 405 | 406 | \item Тогда $V\cap U$ задается объединенной системой $\left(\frac{B}{D}\right)$. 407 | \end{enumerate} 408 | 409 | 410 | \subsection{Найти сумму подпространств заданных разными способами} 411 | 412 | \paragraph{Дано} 413 | 414 | Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V =\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$, где $A\in \MatrixDim{F}{k}{n}$. 415 | 416 | \paragraph{Задача} 417 | 418 | Задать $V + U$ в виде $\{x\in F^n \mid Dx = 0\}$, где $D\in \MatrixDim{F}{t}{n}$ и $t = \rk D$.\footnote{Всегда можно задать $U$ линейной оболочкой, потом задать $V+U$ линейной оболочкой, а потом найти представление системой. Я же покажу тут другой подход.} 419 | 420 | \paragraph{Алгоритм} 421 | \begin{enumerate} 422 | \item Определим матрицу $B = (v_1|\ldots|v_m)$ и найдем ФСР для системы $B^tA^t x = 0$. Пусть это будет $x_1,\ldots, x_t$. 423 | 424 | \item Тогда матрица $D' = (x_1|\ldots|x_t)^tA$ задает $V + U$ системой. 425 | 426 | \item Отобрать среди строк $D'$ линейно независимые и получить $D$. 427 | \begin{itemize} 428 | \item Если строки $A$ были линейно независимы, то строки $D'$ уже будут линейно независимыми. 429 | \end{itemize} 430 | \end{enumerate} 431 | 432 | 433 | \subsection{Найти сумму подпространств заданных разными способами} 434 | 435 | \paragraph{Дано} 436 | 437 | Подпространства $V,U\subseteq F^{n}$ заданные в виде $V =\langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$, где $A\in \MatrixDim{F}{k}{n}$. 438 | 439 | \paragraph{Задача} 440 | 441 | Задать $V + U$ в виде линейной оболочки. 442 | 443 | \paragraph{Алгоритм} 444 | \begin{enumerate} 445 | \item Задать подпространство $U$ с помощью линейной оболочки. 446 | 447 | \item Объединить линейные оболочки для $V$ и для $U$. 448 | \end{enumerate} 449 | 450 | 451 | 452 | \subsection{Найти матрицу линейного оператора при замене базиса} 453 | 454 | \paragraph{Дано} Векторное пространство $V$ над полем $F$, $e=(e_1,\ldots,e_n)$ и $f = (f_1,\ldots,f_n)$ -- два базиса пространства $V$. Известна матрица перехода от $e$ к $f$, т.е. $(f_1,\ldots,f_n) = (e_1,\ldots,e_n)C$, где $C\in \Matrix{F}{n}$. Дано линейное отображение $\phi\colon V\to V$ заданное в базисе $e$ матрицей $A\in\Matrix{F}{n}$, т.е. $\phi e = e A$. 455 | 456 | \paragraph{Задача} Найти матрицу отображения $\phi$ в базисе $f$. 457 | 458 | \paragraph{Алгоритм} 459 | \begin{enumerate} 460 | \item Пусть $\phi f = f B$, где $B$ -- искомая матрица. Тогда $B = C^{-1} A C$. 461 | \end{enumerate} 462 | 463 | 464 | 465 | \subsection{Найти проекцию вектора на подпространство вдоль другого подпространства} 466 | 467 | \paragraph{Дано} $F^{n} = V \oplus U$, где $V$ и $U$ заданы базисами $V = \langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \langle u_1,\ldots,u_k\rangle$. Пусть $z\in F^{n}$ раскладывается $z = v + u$, где $v\in V$ и $u\in U$. 468 | 469 | \paragraph{Задача} Найти $v$ и $u$. 470 | 471 | \paragraph{Алгоритм} 472 | \begin{enumerate} 473 | \item Решить СЛУ $D x = z$, где $D = (v_1|\ldots|v_m|u_1|\ldots|u_k)$ и $x = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$, где $\alpha\in F^{m}$ и $\beta\in F^{k}$. 474 | 475 | \item Тогда $v = (v_1|\ldots|v_m)\alpha$ и $u = (u_1|\ldots|u_k)\beta$. 476 | \end{enumerate} 477 | 478 | \subsection{Найти оператор проекции на подпространство вдоль другого подпространства} 479 | 480 | \paragraph{Дано} $F^{n} = V \oplus U$, где $V$ задано базисом $V = \langle v_1,\ldots,v_m\rangle$, $U = \{y\in F^{n}\mid Ay = 0\}$, где $A\in \MatrixDim{F}{k}{n}$ и $\rk A = k \leqslant n$. 481 | 482 | \paragraph{Задача} Найти матрицу отображения $\phi\colon V\to V$ такого, что $\phi(U) = 0$ и $\phi(v) = v$ для любого $v\in V$.\footnote{Заметим, что если $z\in F^{n}$ раскладывается $z = v + u$, где $v\in V$ и $u\in U$, то $\phi(z) = v$.} 483 | 484 | \paragraph{Алгоритм} 485 | 486 | \begin{enumerate} 487 | \item Положим $B = (v_1|\ldots|v_m)\in \MatrixDim{F}{n}{m}$. 488 | 489 | \item Обязательно получится, что $m = k$ и матрица $AB$ невырождена. 490 | 491 | \item Искомый $\phi$ имеет матрицу $B(AB)^{-1}A$. 492 | 493 | \end{enumerate} 494 | 495 | 496 | \subsection{Поиск собственных значений и векторов} 497 | 498 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in\Matrix{F}{n}$. 499 | 500 | 501 | \paragraph{Задача} Найти все собственные значения $\lambda_i$ для $A$ и для каждого $\lambda_i$ найти базис пространства $V_{\lambda_i} = \{v\in F^{n}\mid A v = \lambda_i v\}$. 502 | 503 | \paragraph{Алгоритм} 504 | \begin{enumerate} 505 | \item Посчитать характеристический многочлен $(-1)^n\chi_A(\lambda) = \det(A-\lambda E)$. 506 | 507 | \item Найти корни многочлена $\chi_A(\lambda)$. Корни $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\}$ будут собственным значениями $A$. 508 | 509 | \item Для каждого $\lambda_i$ найти ФСР системы $(A-\lambda_i E)x = 0$. Тогда ФСР будет базисом $V_{\lambda_i}$. 510 | \end{enumerate} 511 | 512 | Если дополнительно найти с каждым собственным значением $\lambda_i$ его кратность $n_i$ в характеристическом многочлене, то на последнем шаге размер ФСР для $\lambda_i$ оценивается так. Собственных векторов будет не меньше чем $1$ и не больше, чем $n_i$. 513 | 514 | 515 | \subsection{Поиск корневых подпространств} 516 | 517 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in\Matrix{F}{n}$. 518 | 519 | 520 | \paragraph{Задача} Найти все собственные значения $\lambda_i$ для $A$ и для каждого $\lambda_i$ найти базис пространства $V^{\lambda_i} = \{v\in F^{n}\mid \exists n\colon (A - \lambda_i E)^n v = 0\}$. 521 | 522 | \paragraph{Алгоритм} 523 | \begin{enumerate} 524 | \item Посчитать характеристический многочлен $(-1)^n\chi_A(\lambda) = \det(A-\lambda E)$. 525 | 526 | \item Найти корни многочлена $\chi_A(\lambda)$ с кратностями. Корни $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_k\}$ будут собственным значениями $A$. И пусть кратности будут $\{n_1,\ldots, n_k\}$. 527 | 528 | \item Для каждого $\lambda_i$ найти ФСР системы $(A-\lambda_i E)^{n_i}x = 0$. Тогда ФСР будет базисом $V^{\lambda_i}$. Обратите внимание, что для каждого $\lambda_i$ должно получиться ровно $n_i$ векторов. 529 | \end{enumerate} 530 | 531 | 532 | \subsection{Поиск инвариантных подпространств} 533 | 534 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in\Matrix{F}{n}$. 535 | 536 | \paragraph{Задача} Найти все подпространства $U\subseteq F^n$ такие, что $A U \subseteq U$. 537 | 538 | \paragraph{Алгоритм} 539 | \begin{enumerate} 540 | \item Для каждого вектора $v\in F^n$ найти главное инвариантное подпространство 541 | \[ 542 | [v]_A = \langle v, Av, A^2v, \ldots, A^mv, \ldots\rangle 543 | \] 544 | Обратите внимание, что это <<творческий шаг>> тут нет общего алгоритма,\footnote{Если говорить правду, то алгоритм то есть, но он такой геморройный и требует знаний, которых пока у нас нет, так что да ну его.} тут придется немного догадаться. 545 | 546 | \item Описать все инвариантные подпространства, как конечные суммы главных, а именно любое инвариантное $U$ будет иметь вид $[v_1]_A + \ldots +[v_k]_A$, где $v_1,\ldots, v_k$ пробегает все возможные конечные наборы векторов. 547 | \end{enumerate} 548 | 549 | \subsection{Поиск инвариантных подпространств для диагонализуемого оператора} 550 | 551 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in\Matrix{F}{n}$, задающая диагонализуемый оператор. 552 | 553 | \paragraph{Задача} Найти все подпространства $U\subseteq F^n$ такие, что $A U \subseteq U$. 554 | 555 | \paragraph{Алгоритм} 556 | \begin{enumerate} 557 | \item В начале надо найти все собственные значения и собственные подпространства. Пусть $\lambda_1,\ldots, \lambda_k$ -- все собственные значения с кратностями $n_1,\ldots,n_k$. Тогда $F^n = V_{\lambda_1}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda_k}$. 558 | 559 | \item Надо выбрать произвольное подпространство $U_i\subseteq V_{\lambda_i}$ (включая нулевое и все $V_{\lambda_i}$ целиком). Тогда $U_1,\ldots, U_k$ будут линейно независимыми и $U = U_1 \oplus \ldots \oplus U_k$ будут все возможные инвариантные подпространства. 560 | \end{enumerate} 561 | 562 | \subsection{Проверка на диагонализуемость} 563 | 564 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in\Matrix{F}{n}$, задающая линейный оператор $\varphi\colon F^n\to F^n$. 565 | 566 | \paragraph{Задача} Выяснить существует ли базис, в котором $\varphi$ задается диагональной матрицей и если задается, то какой именно. На матричном языке: существует ли невырожденная матрица $C\in \Matrix{F}{n}$ такая, что $C^{-1}AC$ является диагональной и найти эту диагональную матрицу. 567 | 568 | \paragraph{Алгоритм} 569 | 570 | \begin{enumerate} 571 | \item Найдем характеристический многочлен $\chi(t)$ для $\varphi$, он же для $A$ по формуле $(-1)^n\chi(t) = \det(A-t E)$. 572 | 573 | \item Проверим, раскладывается ли $\chi(t)$ на линейные множители над $F$, то есть представляется ли он в виде $\chi(t) = (t-\lambda_1)^{d_1} \ldots (t-\lambda_k)^{d_k}$. Если не представляется, то $\varphi$ (или что то же самое $A$) не диагонализируется 574 | 575 | 576 | \item Если $\chi(t) = (t-\lambda_1)^{d_1} \ldots (t-\lambda_k)^{d_k}$. Найдем для каждого $\lambda_i$ базис $V_{\lambda_i}$ как ФСР системы $(A-\lambda_i E)x = 0$. Если для хотя бы одного $i$ количество элементов в ФСР меньше соответствующей кратности корня $d_i$, то $\varphi$ не диагонализируется. 577 | 578 | \item Если для каждого $i$ мы получили, что размер ФСР совпадает с кратностью корня, то есть $\dim V_{\lambda_i} = d_i$. То $\varphi$ диагонализируется. В этом случае матрица $C$ состоит из собственных векторов. Если собственные векторы для $\lambda_i$ есть $\{v_{i1},\ldots,v_{id_i}\}$, то $C = (v_{11}|\ldots|v_{1d_1}|v_{21}|\ldots|v_{2d_2}|\ldots |v_{k1}|\ldots|v_{kd_k})$. При этом в новом базисе будет диагональная матрица $C^{-1}AC =\operatorname{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_2,\ldots,\lambda_k,\ldots,\lambda_k)$, где каждое $\lambda_i$ встречается $d_i$ раз. 579 | \end{enumerate} 580 | 581 | 582 | Заметим, что если поле $F$ алгебраически замкнуто, то первый шаг алгоритма выполнен автоматически, а именно, над алгебраически замкнутым полем любой многочлен разлагается на линейные множители. Потому в этом случае вопрос о диагонализируемости -- это лишь проверка всех равенств $\dim V_{\lambda_i} = d_i$. 583 | 584 | 585 | \subsection{Определить ЖНФ у оператора} 586 | 587 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in \Matrix{F}{n}$, где поле $F$ алгебраически замкнуто. 588 | 589 | \paragraph{Задача} Определить все собственные значения и размеры клеток в жордановой нормальной форме. 590 | 591 | \paragraph{Алгоритм} 592 | \begin{enumerate} 593 | \item Собственные значения совпадают со спектром их ищем, как корни характеристического многочлена $\chi_A(t) = (-1)^n\det(A - t E) = 0$. Получаем набор корней и их кратности $(\lambda_1, n_1),\ldots,(\lambda_k,n_k)$. 594 | 595 | \item Для каждого $\lambda_i$ суммарный размер клеток равен $n_i$. Потому надо определить количество клеток для всех $k\in [1, n_i]$. Количество клеток считается по формуле 596 | \[ 597 | \text{количество клеток размера $k$ } = \rk (A - \lambda_i E)^{k+1} + \rk(A - \lambda_i E)^{k-1} - 2 \rk(A - \lambda_i E)^k 598 | \] 599 | \end{enumerate} 600 | 601 | Обратите внимание, что если вы нашли $m$ клеток размера $k$, а кратность была $n_i$, то на оставшиеся клетки уходит $n_i - mk$ мест. Этим можно пользоваться, чтобы не считать все количества клеток подряд. 602 | 603 | 604 | \subsection{Определение ЖНФ у матриц $2$ на $2$} 605 | 606 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in \Matrix{F}{2}$, где поле $F$ алгебраически замкнутое. 607 | 608 | \paragraph{Найти} Жорданова форма может быть одной из 609 | \[ 610 | \begin{pmatrix} 611 | {\lambda}&{}\\ 612 | {}&{\mu}\\ 613 | \end{pmatrix} 614 | ,\quad 615 | \begin{pmatrix} 616 | {\lambda}&{}\\ 617 | {}&{\lambda}\\ 618 | \end{pmatrix} 619 | ,\quad 620 | \begin{pmatrix} 621 | {\lambda}&{1}\\ 622 | {}&{\lambda}\\ 623 | \end{pmatrix} 624 | \] 625 | Определить какая форма в нашем случае и определить все числа. 626 | 627 | \paragraph{Алгоритм} 628 | Общая идея в том, чтобы подобрать инварианты, которые достаточно рассчитать для выбора из предоставленных вариантов. 629 | \begin{enumerate} 630 | \item Найдем характеристический многочлен $\chi_A(t) =\det(A - t E)$. И посчитаем его корни. Есть два варианта: 631 | \begin{enumerate} 632 | \item два разных корня $\lambda$ и $\mu$. В этом случае ЖНФ имеет вид 633 | \[ 634 | \begin{pmatrix} 635 | {\lambda}&{}\\ 636 | {}&{\mu}\\ 637 | \end{pmatrix} 638 | \] 639 | 640 | \item один корень $\lambda$ кратности $2$. В этом случае, если $A = \lambda E$, то ЖНФ имеет вид 641 | \[ 642 | \begin{pmatrix} 643 | {\lambda}&{}\\ 644 | {}&{\lambda}\\ 645 | \end{pmatrix} 646 | \] 647 | В противном случае ЖНФ имеет вид 648 | \[ 649 | \begin{pmatrix} 650 | {\lambda}&{1}\\ 651 | {}&{\lambda}\\ 652 | \end{pmatrix} 653 | \] 654 | \end{enumerate} 655 | \end{enumerate} 656 | 657 | \subsection{Определить Жорданов базис у матриц $2$ на $2$} 658 | 659 | \paragraph{Дано} Матрица $A \in \Matrix{F}{2}$, где поле $F$ алгебраически замкнутое. 660 | 661 | \paragraph{Задача} Зная ЖНФ определить жорданов базис $f_1, f_2$. 662 | 663 | \paragraph{Алгоритм} 664 | \begin{enumerate} 665 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 666 | \[ 667 | \begin{pmatrix} 668 | {\lambda}&{}\\ 669 | {}&{\mu} 670 | \end{pmatrix} 671 | \] 672 | В этом случае оператор диагонализум, а значит базис выбирается из собственных векторов. Есть два способа найти их: 673 | \begin{enumerate} 674 | \item Вектор $f_1$ находим как ненулевое решение системы $(A- \lambda E) x = 0$, а вектор $f_2$ находим как ненулевое решение системы $(A - \mu E) x = 0$. 675 | 676 | \item Вектор $f_1$ находим как ненулевой столбец матрицы $A - \mu E$, а вектор $f_2$ находим как ненулевой столбец матрицы $A-\lambda E$. 677 | \end{enumerate} 678 | 679 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 680 | \[ 681 | \begin{pmatrix} 682 | {\lambda}&{}\\ 683 | {}&{\lambda} 684 | \end{pmatrix} 685 | \] 686 | В этом случае подходит любой базис. 687 | 688 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 689 | \[ 690 | \begin{pmatrix} 691 | {\lambda}&{1}\\ 692 | {}&{\lambda} 693 | \end{pmatrix} 694 | \] 695 | В этом случае жорданов базис образует цепочку 696 | \[ 697 | \xymatrix@R=15pt@C=15pt{ 698 | {f_2}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 699 | {f_1}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 700 | {0} 701 | } 702 | \] 703 | В этом случае векторы базиса ищутся так 704 | \begin{enumerate} 705 | \item Выбираем случайный вектор $f_2$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 706 | \item Полагаем $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. 707 | \item Если $f_1 = 0$, то вернуться к выбору вектора $f_2$. Если $f_1 \neq 0$, то $f_1, f_2$ -- искомый базис. 708 | \end{enumerate} 709 | \end{enumerate} 710 | 711 | \subsection{Определение ЖНФ у матриц $3$ на $3$} 712 | 713 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in \Matrix{F}{3}$, где поле $F$ алгебраически замкнуто. 714 | 715 | \paragraph{Найти} Жорданова форма может быть одной из 716 | \[ 717 | \begin{pmatrix} 718 | {\lambda}&{}&{}\\ 719 | {}&{\mu}&{}\\ 720 | {}&{}&{\gamma}\\ 721 | \end{pmatrix} 722 | ,\quad 723 | \begin{pmatrix} 724 | {\lambda}&{}&{}\\ 725 | {}&{\lambda}&{}\\ 726 | {}&{}&{\mu}\\ 727 | \end{pmatrix} 728 | ,\quad 729 | \begin{pmatrix} 730 | {\lambda}&{1}&{}\\ 731 | {}&{\lambda}&{}\\ 732 | {}&{}&{\mu}\\ 733 | \end{pmatrix} 734 | ,\quad 735 | \begin{pmatrix} 736 | {\lambda}&{}&{}\\ 737 | {}&{\lambda}&{}\\ 738 | {}&{}&{\lambda}\\ 739 | \end{pmatrix} 740 | ,\quad 741 | \begin{pmatrix} 742 | {\lambda}&{1}&{}\\ 743 | {}&{\lambda}&{}\\ 744 | {}&{}&{\lambda}\\ 745 | \end{pmatrix} 746 | ,\quad 747 | \begin{pmatrix} 748 | {\lambda}&{1}&{}\\ 749 | {}&{\lambda}&{1}\\ 750 | {}&{}&{\lambda}\\ 751 | \end{pmatrix} 752 | \] 753 | Определить какая форма в нашем случае и определить все числа. 754 | \paragraph{Алгоритм} 755 | Общая идея в том, чтобы подобрать инварианты, которые достаточно рассчитать для выбора из предоставленных вариантов. 756 | \begin{enumerate} 757 | \item Найдем характеристический многочлен $\chi_A(t) = - \det(A - tE)$ и посчитаем его корни. Возможны следующие варианты: 758 | \begin{itemize} 759 | \item три разных корня $\lambda$, $\mu$, $\gamma$. 760 | \item один корень $\lambda$ кратности $2$, один корень $\mu$ кратности $1$. 761 | \item один корень $\lambda$ кратности $3$. 762 | \end{itemize} 763 | \item Три разных корня. В этом случае ЖНФ имеет вид 764 | \[ 765 | \begin{pmatrix} 766 | {\lambda}&{}&{}\\ 767 | {}&{\mu}&{}\\ 768 | {}&{}&{\gamma}\\ 769 | \end{pmatrix} 770 | \] 771 | 772 | \item Два разных корня, $\lambda$ кратности $2$ и $\mu$ кратности $1$. В этом случае, если $\rk (A - \lambda E) = 1$, то ЖНФ имеет вид 773 | \[ 774 | \begin{pmatrix} 775 | {\lambda}&{}&{}\\ 776 | {}&{\lambda}&{}\\ 777 | {}&{}&{\mu}\\ 778 | \end{pmatrix} 779 | \] 780 | В противном случае (то есть, если $\rk(A-\lambda E) = 2$) ЖНФ имеет вид 781 | \[ 782 | \begin{pmatrix} 783 | {\lambda}&{1}&{}\\ 784 | {}&{\lambda}&{}\\ 785 | {}&{}&{\mu}\\ 786 | \end{pmatrix} 787 | \] 788 | 789 | \item Один корень $\lambda$ кратности $3$. Если $A = \lambda E$, то ЖНФ имеет вид 790 | \[ 791 | \begin{pmatrix} 792 | {\lambda}&{}&{}\\ 793 | {}&{\lambda}&{}\\ 794 | {}&{}&{\lambda}\\ 795 | \end{pmatrix} 796 | \] 797 | Если $\rk(A-\lambda E) = 1$, то ЖНФ имеет вид 798 | \[ 799 | \begin{pmatrix} 800 | {\lambda}&{1}&{}\\ 801 | {}&{\lambda}&{}\\ 802 | {}&{}&{\lambda}\\ 803 | \end{pmatrix} 804 | \] 805 | В противном случае (то есть $\rk(A - \lambda E) = 2$) ЖНФ имеет вид 806 | \[ 807 | \begin{pmatrix} 808 | {\lambda}&{1}&{}\\ 809 | {}&{\lambda}&{1}\\ 810 | {}&{}&{\lambda}\\ 811 | \end{pmatrix} 812 | \] 813 | \end{enumerate} 814 | 815 | \subsection{Определить Жорданов базис у матриц $3$ на $3$} 816 | 817 | \paragraph{Дано} Матрица $A \in \Matrix{F}{3}$, где поле $F$ алгебраически замкнуто. 818 | 819 | \paragraph{Задача} Зная ЖНФ определить жорданов базис $f_1, f_2, f_3$. 820 | 821 | \paragraph{Алгоритм} 822 | \begin{enumerate} 823 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 824 | \[ 825 | \begin{pmatrix} 826 | {\lambda}&{}&{}\\ 827 | {}&{\mu}&{}\\ 828 | {}&{}&{\gamma}\\ 829 | \end{pmatrix} 830 | \] 831 | В этом случае оператор диагонализуем, а значит базис выбирается из собственных векторов. Базис можно найти следующим образом. Вектор $f_1$ -- ненулевое решение системы $(A - \lambda E) x = 0$, вектор $f_2 $ -- ненулевое решение системы $(A - \mu E) x = 0$, вектор $f_3$ -- ненулевое решение системы $(A - \gamma E) x = 0$. 832 | 833 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 834 | \[ 835 | \begin{pmatrix} 836 | {\lambda}&{}&{}\\ 837 | {}&{\lambda}&{}\\ 838 | {}&{}&{\mu}\\ 839 | \end{pmatrix} 840 | \] 841 | В этом случае оператор диагонализуем, а значит базис выбирается из собственных векторов. Базис можно найти одним из двух способов ниже: 842 | \begin{enumerate} 843 | \item Вектор $f_3$ берется как решение системы $(A - \mu E) x = 0$, векторы $f_1, f_2$ берутся как ФСР системы $(A - \lambda E) x = 0$. 844 | 845 | \item Вектор $f_3$ берется как ненулевой столбец матрицы $A - \lambda E$, векторы $f_1, f_2$ берутся, как линейно независимые столбцы матрицы $A - \mu E$. 846 | \end{enumerate} 847 | 848 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 849 | \[ 850 | \begin{pmatrix} 851 | {\lambda}&{}&{}\\ 852 | {}&{\lambda}&{}\\ 853 | {}&{}&{\lambda}\\ 854 | \end{pmatrix} 855 | \] 856 | В этом случае в качестве жорданова базиса годится любой базис. 857 | 858 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 859 | \[ 860 | \begin{pmatrix} 861 | {\lambda}&{1}&{}\\ 862 | {}&{\lambda}&{}\\ 863 | {}&{}&{\mu}\\ 864 | \end{pmatrix} 865 | \] 866 | В этом случае вектор $f_3$ находится как решение системы $(A - \mu E) x = 0$. Векторы $f_1, f_2$ можно найти одним из следующих способов: 867 | \begin{enumerate} 868 | \item Найдем ФСР системы $(A - \lambda E)^2 x = 0$, пусть это будет $x_1, x_2$. Тогда в качестве $f_2$ берем один из векторов $x_i$, а $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. В итоге выбираем такое $x_i$ в качестве $f_2$, чтобы $f_1$ был не ноль. 869 | 870 | \item В качестве вектора $f_2$ перебираем столбцы матрицы $A - \mu E$ до тех пор, пока $f_1 = (A - \lambda E) f_2$ не станет ненулевым. Как только $f_1$ будет не ноль, векторы $f_1, f_2$ -- искомые. 871 | \end{enumerate} 872 | 873 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 874 | \[ 875 | \begin{pmatrix} 876 | {\lambda}&{1}&{}\\ 877 | {}&{\lambda}&{}\\ 878 | {}&{}&{\lambda}\\ 879 | \end{pmatrix} 880 | \] 881 | В этом случае жорданов базис имеет конфигурацию 882 | \[ 883 | \xymatrix@R=15pt@C=40pt{ 884 | {f_2}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{}\\ 885 | {f_1}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{f_3}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 886 | {0}&{0} 887 | } 888 | \] 889 | В этом случае базис ищем по следующему алгоритму 890 | \begin{enumerate} 891 | \item Вектор $f_2$ выбираем случайно из всего пространства $F^3$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 892 | 893 | \item Вектор $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. Если $f_1 = 0$, то возвращаемся к шагу выбора вектора $f_2$. 894 | 895 | \item В случае когда $f_1\neq 0$ это будет вектор из $\ker (A - \lambda E)$, надо дополнить его до базиса ядра. Это можно сделать так: находим ФСР для системы $(A - \lambda E) x = 0$ и дополняем $f_1$ любым вектором из ФСР, который не пропорционален $f_1$, это и будет $f_3$. 896 | \end{enumerate} 897 | 898 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 899 | \[ 900 | \begin{pmatrix} 901 | {\lambda}&{1}&{}\\ 902 | {}&{\lambda}&{1}\\ 903 | {}&{}&{\lambda}\\ 904 | \end{pmatrix} 905 | \] 906 | В этом случае жорданов базис имеет конфигурацию 907 | \[ 908 | \xymatrix@R=15pt@C=40pt{ 909 | {f_3}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 910 | {f_2}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 911 | {f_1}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 912 | {0} 913 | } 914 | \] 915 | В этом случае базис ищется по следующему алгоритму 916 | \begin{enumerate} 917 | \item Случайно выбираем $f_3$ из $F^3$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 918 | 919 | \item Положим $f_2 = (A - \lambda E) f_3$ и $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. 920 | 921 | \item Если вектор $f_1$ равен нулю, то возвращаемся к шагу выбора $f_3$ иначе получили нужный базис. 922 | \end{enumerate} 923 | 924 | \end{enumerate} 925 | 926 | \subsection{Определение ЖНФ у матриц $4$ на $4$ с одним собственным значением} 927 | 928 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in \Matrix{F}{4}$ с единственным собственным значением $\lambda\in F$, где поле $F$ алгебраически замкнуто. 929 | 930 | \paragraph{Найти} Жорданова форма может быть одной из 931 | \[ 932 | \begin{pmatrix} 933 | {\lambda}&{}&{}&{}\\ 934 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 935 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 936 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 937 | \end{pmatrix} 938 | ,\quad 939 | \begin{pmatrix} 940 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 941 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 942 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 943 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 944 | \end{pmatrix} 945 | ,\quad 946 | \begin{pmatrix} 947 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 948 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 949 | {}&{}&{\lambda}&{1}\\ 950 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 951 | \end{pmatrix} 952 | ,\quad 953 | \begin{pmatrix} 954 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 955 | {}&{\lambda}&{1}&{}\\ 956 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 957 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 958 | \end{pmatrix} 959 | ,\quad 960 | \begin{pmatrix} 961 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 962 | {}&{\lambda}&{1}&{}\\ 963 | {}&{}&{\lambda}&{1}\\ 964 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 965 | \end{pmatrix} 966 | \] 967 | Определить какая форма в нашем случае и определить собственное значение. 968 | 969 | \paragraph{Алгоритм} 970 | Общая идея в том, чтобы подобрать инварианты, которые достаточно рассчитать для выбора из предоставленных вариантов. 971 | \begin{enumerate} 972 | \item Найдем характеристический многочлен $\chi_A(t) = \det(A - t E)$. Нам нужно найти его единственный корень. Так как многочлен имеет вид $(t-\lambda)^4$, то можно найти его $3$-ю производную и решить $\chi_A(t)^{(3)} = 0$ для нахождения корня. Это работает, если $2\neq 0$ и $3\neq 0$ в поле $F$.\footnote{Действительно, третья производная от $(t-\lambda)^4$ будет $4! (t - \lambda)$. Если $2$ и $3$ обратимы в $F$, то можно сократить на $4!$.}${}^{,\,}$\footnote{Можно воспользоваться любым другим приемлемым способом по поиску корня многочлена.} 973 | 974 | \item Если $A = \lambda E$, то ЖНФ имеет вид 975 | \[ 976 | \begin{pmatrix} 977 | {\lambda}&{}&{}&{}\\ 978 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 979 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 980 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 981 | \end{pmatrix} 982 | \] 983 | 984 | \item Если $\rk(A-\lambda E) = 1$, то ЖНФ имеет вид 985 | \[ 986 | \begin{pmatrix} 987 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 988 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 989 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 990 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 991 | \end{pmatrix} 992 | \] 993 | 994 | \item Если $\rk (A - \lambda E) = 3$, то ЖНФ имеет вид 995 | \[ 996 | \begin{pmatrix} 997 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 998 | {}&{\lambda}&{1}&{}\\ 999 | {}&{}&{\lambda}&{1}\\ 1000 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1001 | \end{pmatrix} 1002 | \] 1003 | 1004 | \item Если $\rk(A - \lambda E) = 2$, то надо посмотреть на $(A - \lambda E)^2$. Если $(A - \lambda E)^2 = 0$, то ЖНФ имеет вид 1005 | \[ 1006 | \begin{pmatrix} 1007 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 1008 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 1009 | {}&{}&{\lambda}&{1}\\ 1010 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1011 | \end{pmatrix} 1012 | \] 1013 | иначе (если $(A - \lambda E)^2 \neq 0$) ЖНФ имеет вид 1014 | \[ 1015 | \begin{pmatrix} 1016 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 1017 | {}&{\lambda}&{1}&{}\\ 1018 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 1019 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1020 | \end{pmatrix} 1021 | \] 1022 | \end{enumerate} 1023 | 1024 | \subsection{Определить Жорданов базис у матриц $4$ на $4$ с единственным собственным значением} 1025 | 1026 | \paragraph{Дано} Матрица $A \in \Matrix{F}{4}$ с единственным собственным значением $\lambda$, где поле $F$ алгебраически замкнутое. 1027 | 1028 | \paragraph{Задача} Зная ЖНФ определить жорданов базис $f_1, f_2, f_3, f_4$. 1029 | 1030 | \paragraph{Алгоритм} 1031 | \begin{enumerate} 1032 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 1033 | \[ 1034 | \begin{pmatrix} 1035 | {\lambda}&{}&{}&{}\\ 1036 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 1037 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 1038 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1039 | \end{pmatrix} 1040 | \] 1041 | В этом случае любой базис годится в качестве жорданова. 1042 | 1043 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 1044 | \[ 1045 | \begin{pmatrix} 1046 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 1047 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 1048 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 1049 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1050 | \end{pmatrix} 1051 | \] 1052 | В этом случае конфигурация жорданова базиса будет следующая 1053 | \[ 1054 | \xymatrix@R=15pt@C=40pt{ 1055 | {f_2}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{}&{}\\ 1056 | {f_1}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{f_3}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{f_4}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1057 | {0}&{0}&{0} 1058 | } 1059 | \] 1060 | В этом случае базис находится по следующему алгоритму 1061 | \begin{enumerate} 1062 | \item Вектор $f_2$ выбираем случайно из $F^4$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 1063 | 1064 | \item Положим $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. Если вектор $f_1 = 0$, то вернемся к шагу выбора вектора $f_2$. 1065 | 1066 | \item Вектор $f_1$ будет лежать в $\ker(A - \lambda E)$ теперь его надо дополнить до базиса ядра двумя векторами. Это можно сделать так: находим ФСР системы $(A - \lambda E)x = 0$ и из трех векторов выберем два $f_3, f_4$, которые будут линейно независимы с $f_1$. 1067 | \end{enumerate} 1068 | 1069 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 1070 | \[ 1071 | \begin{pmatrix} 1072 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 1073 | {}&{\lambda}&{1}&{}\\ 1074 | {}&{}&{\lambda}&{}\\ 1075 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1076 | \end{pmatrix} 1077 | \] 1078 | В этом случае конфигурация жорданова базиса будет следующая 1079 | \[ 1080 | \xymatrix@R=15pt@C=40pt{ 1081 | {f_3}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{}\\ 1082 | {f_2}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{}\\ 1083 | {f_1}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{f_4}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1084 | {0}&{0} 1085 | } 1086 | \] 1087 | В этом случае базис находится по следующему алгоритму 1088 | \begin{enumerate} 1089 | \item Вектор $f_3$ выбираем случайно в $F^4$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 1090 | 1091 | \item Положим $f_2 = (A - \lambda E) f_3$ и $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. Если $f_1 = 0$, то вернуться к шагу выбора вектора $f_3$. 1092 | 1093 | \item Вектор $f_1$ лежит в $\ker (A - \lambda E)$, его надо дополнить одним вектором $f_4$ до базиса ядра. Это можно сделать следующим образом. Найдем ФСР системы $(A - \lambda E)x = 0$ и дополним вектор $f_1$ одним вектором из ФСР, чтобы полученная пара была линейно независима. 1094 | \end{enumerate} 1095 | 1096 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 1097 | \[ 1098 | \begin{pmatrix} 1099 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 1100 | {}&{\lambda}&{1}&{}\\ 1101 | {}&{}&{\lambda}&{1}\\ 1102 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1103 | \end{pmatrix} 1104 | \] 1105 | В этом случае конфигурация жорданова базиса будет следующая 1106 | \[ 1107 | \xymatrix@R=15pt@C=40pt{ 1108 | {f_4}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1109 | {f_3}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1110 | {f_2}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1111 | {f_1}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1112 | {0} 1113 | } 1114 | \] 1115 | В этом случае базис находится по следующему алгоритму 1116 | \begin{enumerate} 1117 | \item Вектор $f_4$ выбираем случайно из $F^4$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 1118 | 1119 | \item Положим $f_3 = (A - \lambda E) f_4$, $f_2 = (A - \lambda E) f_3$, $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. Если $f_1 = 0$, то вернуться к шагу перевыбора $f_4$ иначе получился искомый базис. 1120 | \end{enumerate} 1121 | 1122 | \item Пусть ЖНФ имеет вид 1123 | \[ 1124 | \begin{pmatrix} 1125 | {\lambda}&{1}&{}&{}\\ 1126 | {}&{\lambda}&{}&{}\\ 1127 | {}&{}&{\lambda}&{1}\\ 1128 | {}&{}&{}&{\lambda}\\ 1129 | \end{pmatrix} 1130 | \] 1131 | В этом случае конфигурация жорданова базиса будет следующая 1132 | \[ 1133 | \xymatrix@R=15pt@C=40pt{ 1134 | {f_2}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{f_4}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1135 | {f_1}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}&{f_3}\ar@{|->}[d]^{A-\lambda E}\\ 1136 | {0}&{0} 1137 | } 1138 | \] 1139 | В этом случае базис можно найти по следующему алгоритму. 1140 | \begin{enumerate} 1141 | \item Выбираем вектор $f_2$ случайно в $F^4$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 1142 | 1143 | \item Положим $f_1 = (A - \lambda E) f_2$. Если $f_1 = 0$, то вернуться к шагу выбора $f_2$. 1144 | 1145 | \item Выбираем вектор $f_4$ случайно в $F^4$. Всегда достаточно выбирать из стандартных базисных векторов. 1146 | 1147 | \item Положим $f_3 = (A - \lambda E) f_4$. Если векторы $f_1, f_3$ линейно зависимы, вернуться к шагу выбора $f_4$. Иначе получили искомый базис. 1148 | 1149 | \end{enumerate} 1150 | \end{enumerate} 1151 | 1152 | 1153 | \subsection{Найти матрицу билинейной формы при замене базиса} 1154 | 1155 | \paragraph{Дано} 1156 | Векторные пространства $V$ и $U$ над полем $F$. Пусть $e=(e_1,\ldots,e_n)$ и $e'=(e'_1,\ldots,e'_n)$ -- базисы пространства $V$, а $f = (f_1,\ldots,f_m)$ и $f' = (f'_1,\ldots,f'_m)$ -- базисы пространства $U$. Кроме того, известны матрицы перехода от $e$ к $e'$ и от $f$ к $f'$, т.е. $(e'_1,\ldots,e'_n) = (e_1,\ldots,e_n)C$ и $(f'_1,\ldots,f'_m) = (f_1,\ldots,f_m)D$, где $C\in \Matrix{F}{n}$ и $D\in \Matrix{F}{m}$ две обратимые матрицы. Дана билинейная форма $\beta\colon V\times U\to F$ заданная в базисах $e$ и $f$ матрицей $B\in\MatrixDim{F}{n}{m}$, т.е. $b_{ij} = \beta(e_i, f_j)$. 1157 | 1158 | \paragraph{Задача} Найти матрицу билинейной формы $\beta$ в базисах $e'$ и $f'$. 1159 | 1160 | \paragraph{Алгоритм} 1161 | \begin{enumerate} 1162 | \item Пусть в базисах $e'$ и $f'$ мы имеем $\beta (x, y) = x^t B' y$, где $B'$ -- искомая матрица. Тогда $B' = C^t B D$. 1163 | \end{enumerate} 1164 | 1165 | 1166 | \subsection{Найти правое ортогональное дополнение к подпространству} 1167 | 1168 | \paragraph{Дано} Дана билинейная форма $\beta\colon F^n\times F^m \to F$ по правилу $\beta(x,y) = x^t B y$, где $B\in\MatrixDim{F}{n}{m}$ и подпространство $V\subseteq F^n$, заданное образующими $V = \langle v_1,\ldots,v_k\rangle$. 1169 | 1170 | \paragraph{Задача} Найти $V^\bot = \{y\in F^m \mid \beta(V, y) = 0\}$. 1171 | 1172 | \paragraph{Алгоритм} 1173 | \begin{enumerate} 1174 | \item Составить вектора $v_i$ в столбцы матрицы $D = (v_1|\ldots|v_k) \in \MatrixDim{F}{n}{k}$. 1175 | 1176 | \item Найти ФСР СЛУ $D^tB y = 0$. Данная ФСР дает базис $V^\bot$. 1177 | \end{enumerate} 1178 | 1179 | \subsection{Найти левое ортогональное дополнение к подпространству} 1180 | 1181 | 1182 | \paragraph{Дано} Дана билинейная форма $\beta\colon F^n\times F^m \to F$ по правилу $\beta(x,y) = x^t B y$, где $B\in\MatrixDim{F}{n}{m}$ и подпространство $V\subseteq F^m$, заданное образующими $V = \langle v_1,\ldots,v_k\rangle$. 1183 | 1184 | \paragraph{Задача} Найти ${}^\bot V = \{x\in F^n \mid \beta(x, V) = 0\}$. 1185 | 1186 | 1187 | \paragraph{Алгоритм} 1188 | \begin{enumerate} 1189 | \item Составить вектора $v_i$ в столбцы матрицы $D \in \MatrixDim{F}{n}{k}$. 1190 | 1191 | \item Найти ФСР СЛУ $D^tB^t x = 0$. Данная ФСР дает базис ${}^\bot V$. 1192 | \end{enumerate} 1193 | 1194 | \subsection{Симметричный Гаусс} 1195 | 1196 | \paragraph{Дано} Симметричная билинейная форма $\beta\colon F^n\times F^n \to F$ по правилу $(x,y)\mapsto x^t B y$, где $B\in \operatorname{M}_n(F)$ -- симметричная матрица и при этом $2\neq 0$ в поле $F$. 1197 | 1198 | \paragraph{Задача} Диагоналзовать $\beta$, то есть найти матрицу перехода к новому базису $C$ такую, чтобы $B' = C^t B C$ была диагональная, и посчитать саму матрицу $B'$. 1199 | 1200 | \paragraph{Алгоритм} 1201 | \begin{enumerate} 1202 | \item Чтобы найти матрицу $B'$ будем приводить ее к диагональному виду симметричными элементарными преобразованиями, то есть допускаются следующие преобразования: 1203 | \begin{itemize} 1204 | \item Прибавить $i$-ю строку умноженную на $\lambda$ к $j$-ой строке и сразу же прибавление $i$-го столбца умноженного на $\lambda$ к $j$-ому столбцу. 1205 | \item Поменять местами $i$-ю и $j$-ю строку и тут же поменять местами $i$-ый и $j$-ый столбец. 1206 | \item Умножить $i$-ю строку на ненулевое $\lambda$ и тут же умножить $i$-ый столбец на то же самое $\lambda$. 1207 | \end{itemize} 1208 | Получившаяся диагональная матрица будет искомая $B'$. 1209 | 1210 | \item Если при этом надо восстановить матрицу $C$, то рассматриваем $(B|E)$ и делаем симметричные элементарные преобразования над ней в том смысле, что преобразования над строками выполняются над всей матрицей, а преобразования над столбцами только над часть, где лежит $B$. Тогда матрица приведется к виду $(B'|C^t)$. 1211 | \end{enumerate} 1212 | 1213 | \subsection{Метод Якоби} 1214 | 1215 | \paragraph{Дано} Симметричная билинейная форма $\beta\colon V\times V \to F$, базис $e_1,\ldots,e_n$ пространства $V$, такой, что $\det \beta|_{\langle e_1,\ldots,e_k\rangle}\neq 0$. 1216 | 1217 | \paragraph{Задача} Найти базис $e_1',\ldots,e_n'$ такой, что $e_i' - e_i\in \langle e_1,\ldots,e_{i-1}\rangle = \langle e_1',\ldots,e_{i-1}'\rangle$ такой, что $\beta(e_i',e_j') = 0$ при $i \neq j$. 1218 | 1219 | 1220 | \paragraph{Алгоритм} 1221 | \begin{enumerate} 1222 | \item В начале положим $e_1' = e_1$. 1223 | 1224 | \item Пусть мы нашли вектора $e_1',\ldots,e_{i - 1}'$. Тогда положим вектор $e_i' $ в виде\footnote{В силу условия $\det \beta|_{\langle e_1,\ldots,e_k\rangle}\neq 0$ выражения вида $\beta(e_k',e_k')$ будут всегда отличны от нуля.} 1225 | \[ 1226 | e_i' = e_i - \frac{\beta(e_i, e_1')}{\beta(e_1',e_1')} e_1' - \ldots - \frac{\beta(e_i, e_{i-1}')}{\beta(e_{i-1}', e_{i-1}')}e_{i-1}' 1227 | \] 1228 | \end{enumerate} 1229 | 1230 | \subsection{Алгоритм диагонализации на основе метода Якоби} 1231 | 1232 | \paragraph{Дано} Симметрическая матрица $B\in \operatorname{M}_n(F)$. 1233 | 1234 | \paragraph{Задача} Проверить, что все ее угловые подматрицы $B_k$ невырождены и если это так, то найти их значения, а также найти верхнетреугольную матрицу с единицами на диагонали $C\in \operatorname{M}_n(F)$ и диагональную матрицу $D\in\operatorname{M}_n(F)$ такие, что $B = C^t D C$. 1235 | 1236 | \paragraph{Алгоритм} 1237 | \begin{enumerate} 1238 | \item Начнем приводить матрицу $B$ к верхнетреугольному виду элементарными преобразованиями первого типа, когда нам разрешено прибавлять строку с коэффициентом только к более низкой строке. Возможны два исхода: 1239 | \begin{itemize} 1240 | \item На каком-то этапе получили, что на диагонали на $k$-ом месте стоит $0$, а под диагональю есть ненулевой элемент. Это значит, что $\Delta_k = 0$. Условие на матрицу не выполнено. 1241 | 1242 | \item Мы привели матрицу $B$ к верхнетреугольной матрице $U$. Переходим к следующему шагу. 1243 | \end{itemize} 1244 | 1245 | \item Восстановим все необходимые данные по матрице $U$ следующим образом: 1246 | \begin{enumerate} 1247 | \item $D$ -- диагональ матрицы $U$. 1248 | 1249 | \item $C = D^{-1}U$. 1250 | 1251 | \item $\Delta_k$ -- произведение первых $k$ элементов диагонали матрицы $D$. 1252 | \end{enumerate} 1253 | 1254 | \end{enumerate} 1255 | 1256 | 1257 | \subsection{Алгоритм диагонализации унитарного оператора} 1258 | 1259 | \paragraph{Дано} Унитарная матрица $A\in \Matrix{\mathbb C}{n}$. 1260 | 1261 | \paragraph{Задача} Найти разложение вида $A = U D U^*$, где $U = (u_1|\ldots|u_n)\in \Matrix{\mathbb C}{n}$ -- унитарная матрица и $D\in \Matrix{\mathbb C}{n}$ -- диагональная матрица с числами равными по модулю $1$. 1262 | 1263 | \paragraph{Алгоритм} 1264 | \begin{enumerate} 1265 | \item Найти характеристический многочлен $\chi_A(t)$. Пусть $\lambda_1,\ldots, \lambda_k$ -- его корни с кратностями $n_1,\ldots,n_k$.\footnote{Должно получиться, что $|\lambda_i| = 1$ для всех $i$.} 1266 | 1267 | \item Для каждого $\lambda_i$ найдем ортонормированный базис собственного подпространства: 1268 | \begin{enumerate} 1269 | \item найдем базисные собственные векторы, решив систему $(A - \lambda_iE)x = 0$ в $\mathbb C^n$. 1270 | 1271 | \item К полученным векторам применить применим алгоритм Грама-Шмидта используя стандартное скалярное произведение $(x, y) = \bar x^t y$. 1272 | 1273 | \item Нормируем каждый вектор, поделив на его длину. 1274 | \end{enumerate} 1275 | 1276 | \item Тогда матрица $D$ будет $\diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_2,\ldots,\lambda_k,\ldots,\lambda_k)$, где каждое $\lambda_i$ встречается $n_i$ раз. 1277 | 1278 | \item Матрица $U$ будет составлена из базисных векторов собственных подпространств. Сначала идут $n_1$ векторов для $\lambda_1$, потом $n_2$ для $\lambda_2$ и т.д. 1279 | \end{enumerate} 1280 | 1281 | \subsection{Алгоритм приведения произвольного ортогонального оператора к каноническому виду} 1282 | 1283 | \paragraph{Дано} Ортогональная матрица $A\in \Matrix{\mathbb R}{n}$. 1284 | 1285 | \paragraph{Задача} Найти разложение $A = U D U^t$, где $U = (u_1|\ldots|u_n)\in \Matrix{\mathbb R}{n}$ -- ортогональная матрица и $D$ -- блочно диагональная матрица, где на диагонали стоят: 1286 | \[ 1287 | 1,\quad -1,\quad 1288 | \begin{pmatrix} 1289 | {\cos \alpha}&{-\sin\alpha}\\ 1290 | {\sin \alpha}&{\cos \alpha} 1291 | \end{pmatrix} 1292 | \] 1293 | 1294 | \paragraph{Алгоритм} 1295 | \begin{enumerate} 1296 | \item Найти характеристический многочлен $\chi_A(t)$. Пусть кратность корня $1$ равна $n_1$, кратность корня $-1$ равна $n_{-1}$. Остальные комплексные корни имеют вид $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ и $\bar\lambda_1,\ldots,\bar\lambda_k$, при этом кратности их будут $m_1,\ldots,m_k$ (и у сопряженных такие же).\footnote{Таким образом имеем $n = n_1 + n_{-1} + 2 m_1 + \ldots + 2 m_k$.} 1297 | 1298 | \item Надо найти ортонормированные базисы для блоков. 1299 | \begin{enumerate} 1300 | \item Блоки $1$ и $-1$. Опишем процесс для $1$. 1301 | \begin{enumerate} 1302 | \item Найдем базисные собственные векторы, решив систему $(A- E)x = 0$. 1303 | \item Применим Грама-Шмидта для стандартного скалярного произведения $(x, y) = x^ty$ к базису собственных векторов. 1304 | \item Нормируем базисные векторы, поделив на их длину. 1305 | \end{enumerate} 1306 | 1307 | \item Блоки размера $2$. 1308 | \begin{enumerate} 1309 | \item За каждый такой блок отвечает пара комплексно сопряженных корней. Возьмем $\lambda_i = \cos \alpha_i + i \sin\alpha_i$. 1310 | 1311 | \item Найдем комплексные базисные собственные векторы для $\bar \lambda_i$,\footnote{Причина почему я беру именно $\bar\lambda_i$ связана с тем, где я хочу получить минус в блоке.} решив систему $(A - \bar\lambda_iE)x = 0$. 1312 | 1313 | \item Применим к базисным векторам Грама-Шмидта для стандартного скалярного произведения $(x, y) = \bar x^ty$. 1314 | 1315 | \item Пусть получилась последовательность $w_1,\ldots,w_{m_i}$. Каждый их этих векторов имеет вид $w_s = u_s + i v_s$, при этом мы знаем, что $|u_s| = |v_s|$ и $u_s\perp v_s$. 1316 | 1317 | \item Заменим каждый $w_i$ на пару векторов $u_i/|u_i|, v_i/|v_i|$. Тогда набор этих пар будет ортонормированным базисом отвечающим набору блоков вида\footnote{Если бы мы решали систему для $\lambda_i$, то минус был бы в левом нижнем углу.} 1318 | \[ 1319 | \begin{pmatrix} 1320 | {\cos \alpha_i}&{-\sin\alpha_i}\\ 1321 | {\sin \alpha_i}&{\cos \alpha_i} 1322 | \end{pmatrix} 1323 | \] 1324 | \end{enumerate} 1325 | \end{enumerate} 1326 | \item Теперь в качестве матрицы $D$ выберем матрицу такую, что она блочно диагональная. В начале идут $1$ в количестве $n_1$, потом $-1$ в количестве $n_{-1}$. Потом идут блоки $2$ на $2$ вида 1327 | \[ 1328 | \begin{pmatrix} 1329 | {\cos \alpha_i}&{-\sin\alpha_i}\\ 1330 | {\sin \alpha_i}&{\cos \alpha_i} 1331 | \end{pmatrix} 1332 | \] 1333 | которые повторяются $m_i$ раз. 1334 | 1335 | \item В качестве $U$ надо выбрать матрицу из построенных базисных векторов. Сначала $n_1$ векторов для $1$, потом $n_{-1}$ векторов для $-1$. А потом векторы соответствующие блокам $2$ на $2$. Сначала $2m_1$ пар полученных из $\lambda_1$, потом $2m_2$ пар полученных из $\lambda_2$ и т.д. 1336 | \end{enumerate} 1337 | 1338 | \subsection{Алгоритм приведения ортогонального оператора $\mathbb R^3$ к каноническому виду} 1339 | 1340 | \paragraph{Дано} Ортогональная матрица $A\in\Matrix{\mathbb R}{3}$. 1341 | 1342 | \paragraph{Задача} Найти разложение $A = U D U^t$, где $U=(u_1|u_2|u_3)\in\Matrix{\mathbb R}{3}$ -- ортогональная матрица и $D$ одна из следующих матриц\footnote{Прямая натянутая на вектор $u_1$ называется осью для $A$.} 1343 | \[ 1344 | (I)\quad D = 1345 | \begin{pmatrix} 1346 | {1}&{}&{}\\ 1347 | {}&{\cos \alpha}&{-\sin\alpha}\\ 1348 | {}&{\sin\alpha}&{\cos\alpha}\\ 1349 | \end{pmatrix} 1350 | \quad\text{или}\quad 1351 | (II)\quad D = 1352 | \begin{pmatrix} 1353 | {-1}&{}&{}\\ 1354 | {}&{\cos \alpha}&{-\sin\alpha}\\ 1355 | {}&{\sin\alpha}&{\cos\alpha}\\ 1356 | \end{pmatrix} 1357 | \] 1358 | 1359 | \paragraph{Алгоритм} 1360 | \begin{enumerate} 1361 | \item Ищем матрицу $U$. Начинаем с поиска образующего оси. Решаем систему $(A - E)x = 0$. Возможны следующие случаи: 1362 | \begin{enumerate} 1363 | \item ФСР пустое. 1364 | 1365 | Это значит, что у нас случай (II) и ось надо искать из уравнения $(A+E)x = 0$. Приведем матрицу $A+E$ к улучшенному ступенчатому виду $(v_1|v_2)^t$. Тогда ее ФСР будет из одного вектора, нормируем его и обозначим за $u_1$ -- это образующий оси. Векторы $v_1, v_2$ образуют базис $\langle u_1\rangle^\bot$. Ортогонализуем и нормируем векторы $v_1,v_2$. Полученные векторы будут $u_2$ и $u_3$. 1366 | 1367 | \item ФСР из одного вектора $u$. Нормируем его и обозначим через $u_1$. 1368 | 1369 | Это значит, что у нас случай (I) и вектор $u_1$ -- образующий оси. Когда мы решали $(A-E)x = 0$ мы привели матрицу $A-E$ к улучшенному ступенчатому виду $(v_1|v_2)^t$. Тогда $v_1,v_2$ -- базис $\langle u_1\rangle^\bot$. Ортогонализуем $v_1,v_2$ и потом нормируем. Полученные векторы будут $u_2$ и $u_3$. 1370 | 1371 | \item ФСР из двух векторов $v_1$ и $v_2$. 1372 | 1373 | Это значит, что у нас случай (II). Пусть $v$ -- любая ненулевая строка матрицы $A-E$, тогда нормируем $v$ и обозначим получившийся вектор $u_1$ -- это будет образующий оси. Ортогонализуем и нормируем векторы $v_1$ и $v_2$. Полученные векторы будут $u_2$ и $u_3$. 1374 | 1375 | \item ФСР из трех векторов. 1376 | 1377 | Это значит, что у нас случай (I). Такое возможно только если $A = E$. В этом случае $U= E$, $\alpha = 0$. 1378 | \end{enumerate} 1379 | 1380 | \item Теперь найдем $\cos \alpha$. Возможны два случая. 1381 | \begin{enumerate} 1382 | \item Случай (I). Тогда $\tr A = 1 + 2 \cos \alpha$. 1383 | \item Случай (II). Тогда $\tr A = -1 + 2 \cos \alpha$. 1384 | \end{enumerate} 1385 | 1386 | \item Теперь найдем $\sin \alpha$. Для этого заметим, что $(Au_2, u_3) = \sin \alpha$. 1387 | 1388 | \end{enumerate} 1389 | 1390 | \subsection{Алгоритм разложения симметрических матриц} 1391 | 1392 | 1393 | \paragraph{Дано} Матрица $A\in\Matrix{\mathbb R}{n}$ такая, что $A^t = A$. 1394 | 1395 | \paragraph{Задача} Найти разложение $A = C \Lambda C^t$, где $C\in\Matrix{\mathbb R}{n}$ -- ортогональная матрица, $\Lambda\in\Matrix{\mathbb R}{n}$ -- диагональная матрица. 1396 | 1397 | \paragraph{Алгоритм} 1398 | \begin{enumerate} 1399 | \item Найти собственные значения матрицы $A$. 1400 | \begin{enumerate} 1401 | \item Составить характеристический многочлен $\chi(\lambda) = \det(A-\lambda E)$. 1402 | \item Найти корни $\chi(\lambda)$ с учетом кратностей: $\{(\lambda_1, n_1),\ldots,(\lambda_k, n_k)\}$, где $\lambda_i$ -- корни, $n_i$ -- кратности. 1403 | \end{enumerate} 1404 | 1405 | \item Для каждого $\lambda_i$ найти ортонормированный базис в пространстве собственных векторов отвечающему $\lambda_i$. 1406 | \begin{enumerate} 1407 | \item Найти ФСР системы $(A-\lambda_i E)x = 0$. Пусть это будет $v^i_1,\ldots,v^i_{n_i}$. Обратите внимание, что их количество будет в точности равно кратности $n_i$. 1408 | 1409 | \item Ортогонализовать $v^i_1,\ldots,v^i_{n_i}$ методом Грама-Шмидта. Обратите внимание, после ортогонализации останется ровно $n_i$ векторов. 1410 | 1411 | \item Сделать каждый вектор длинны один: $v^i_j\mapsto \frac{v^i_j}{|v^i_j|}$. 1412 | \end{enumerate} 1413 | 1414 | \item Матрица $\Lambda$ будет диагональной с числами $\lambda_1,\ldots,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_2,\ldots,\lambda_k,\ldots,\lambda_k$ на диагонали, где каждое $\lambda_i$ повторяется $n_i$ раз. Обратите внимание, всего получится $n$ чисел. 1415 | 1416 | \item Матрица $C$ будет составлена из столбцов $v^1_1,\ldots,v^1_{n_1}, v^2_1,\ldots,v^2_{n_2},\ldots,v^k_1,\ldots,v^k_{n_k}$. Обратите внимание, порядок собственных векторов соответствует порядку собственных значений в матрице $\Lambda$. 1417 | \end{enumerate} 1418 | 1419 | 1420 | \subsection{Алгоритм нахождения сингулярного разложения} 1421 | 1422 | \paragraph{Дано} Матрица $A \in \MatrixDim{\mathbb R}{m}{n}$.\footnote{Этот алгоритм рекомендуется применять при $m\leqslant n$, в противном случае, применить его к матрице $A^t$, а потом транспонировать полученное разложение.} 1423 | 1424 | \paragraph{Задача} Найти разложение $A = U \Lambda V^t$, где $U\in\Matrix{\mathbb R}{m}$ ортогональная, $V\in\Matrix{\mathbb R}{n}$ ортогональная, $\Lambda \in\MatrixDim{\mathbb R}{m}{n}$ содержит на диагонали элементы $\sigma_1\geqslant\ldots\geqslant \sigma_s>0$, а все остальные нули. 1425 | 1426 | \paragraph{Алгоритм} 1427 | \begin{enumerate} 1428 | \item Составим матрицу $S = A A^t\in\Matrix{\mathbb R}{m}$. Тогда $S = U \Lambda\Lambda^t U^t$. 1429 | 1430 | \item Так как $S^t = S$. То с помощью алгоритма для симметрических матриц найдем ее разложение $S = C D C^t$. Причем, обязательно получится, что диагональная матрица $D=\diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)$ состоит из неотрицательных элементов. 1431 | 1432 | \item Тогда $U = C$, а $\Lambda\Lambda^t = D$. То есть $\sigma_i^2 = \lambda_i$. Так как $\sigma_i \geqslant 0$, то они находятся как $\sigma_i = \sqrt{ \lambda_i}$. 1433 | 1434 | \item Теперь надо найти $V$ из условия $A = U\Lambda V^t$.\footnote{Обратите внимание $\Lambda$ не обязательно квадратная и тем более не обязательно обратимая.} Пусть $\sigma_1\geqslant \ldots \geqslant \sigma_s > 0$. Положим $U=(u_1|\ldots|u_m)$ и $V = (v_1|\ldots|v_n)$. Тогда $A^t U = V\Lambda^t $, то есть $v_i = \frac{1}{\sigma_i}A^t u_i$ при $1\leqslant i\leqslant s$. 1435 | 1436 | \item Теперь найдем оставшиеся $v_{s+1},\ldots,v_n$. Для этого дополним $v_1,\ldots,v_s$ до базиса $\mathbb R^{n}$ и ортонормируем полученное семейство.\footnote{Можно заметить, что $v_{s+1},\ldots,v_n$ будут базисом ядра $A$, потому можно найти ФСР для $\{y\in\mathbb R^{n}\mid Ay = 0\}$ и ортонормировать его.} 1437 | 1438 | \end{enumerate} 1439 | 1440 | 1441 | \subsection{Алгоритм нахождения компактного сингулярного разложения} 1442 | 1443 | \paragraph{Дано} Матрица $A \in \MatrixDim{\mathbb R}{m}{n}$.\footnote{Этот алгоритм рекомендуется применять при $m\leqslant n$, в противном случае, применить его к матрице $A^t$, а потом транспонировать полученное разложение.} 1444 | 1445 | \paragraph{Задача} Найти разложение $A = U \Sigma V^t$, где $U\in\MatrixDim{\mathbb R}{m}{s}$, $V\in\MatrixDim{\mathbb R}{n}{s}$ -- матрицы с ортонормированными столбцами, $\Sigma \in\Matrix{\mathbb R}{s}$ -- диагональная матрица с элементами $\sigma_1\geqslant\ldots\geqslant \sigma_s>0$ на диагонали. 1446 | 1447 | \paragraph{Алгоритм} 1448 | \begin{enumerate} 1449 | \item Составим матрицу $S = A A^t\in\Matrix{\mathbb R}{m}$. Тогда $S = U \Sigma^2 U^t$. 1450 | 1451 | \item Так как $S^t = S$. То с помощью алгоритма для симметрических матриц найдем ее разложение $S = C D C^t$.\footnote{Здесь $D$ будет диагональной матрицей, а $C$ ортогональной.} Причем, обязательно получится, что диагональная матрица $D=\diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)$ состоит из неотрицательных элементов и мы можем выбрать порядок так, чтобы $\lambda_1 \geqslant \lambda_2\geqslant\ldots \geqslant \lambda_m\geqslant 0$. 1452 | 1453 | \item Пусть $C = (C_1|\ldots|C_m)$, тогда положим $U = (C_1|\ldots|C_s)\in\MatrixDim{\mathbb R}{m}{s}$. А матрица $\Sigma\in \Matrix{\mathbb R}{s}$ будет диагональной с числами $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ на диагонали, то есть $\Sigma = \diag(\sigma_1,\ldots,\sigma_s)$. 1454 | 1455 | \item Теперь надо найти $V$ из условия $A = U\Sigma V^t$.\footnote{Обратите внимание, что $\Sigma$ квадратная и обратимая матрица.} Положим $U=(u_1|\ldots|u_s)$ и $V = (v_1|\ldots|v_s)$. Тогда $A^t U \Sigma^{-t} = V$, то есть $v_i = \frac{1}{\sigma_i}A^t u_i$ при $1\leqslant i\leqslant s$. 1456 | 1457 | \end{enumerate} 1458 | 1459 | 1460 | 1461 | \end{document} 1462 | --------------------------------------------------------------------------------