├── surfaceintegrals ├── hausdorff.md ├── manifolds.md └── surfaceintegrals.md ├── references.md ├── img ├── ball.jpg ├── trafo.jpg ├── DisRect.jpg ├── bundlea.jpg ├── bundleb.jpg ├── cavalieri.jpg ├── nonhomöo.jpg ├── schnitte.jpg ├── simplefun.jpg ├── subbundle.png ├── treppenzug.jpg ├── velocity.jpg ├── FAU_favicon.png ├── chartchange.jpg ├── fau_favicon.png ├── jordanmeasure.jpg ├── stress_vector.png ├── mannigfaltigkeit.png ├── ober_untersummen.png └── stress_tensor_comp.png ├── requirements.txt ├── tex ├── atelier │ └── logo │ │ ├── FAU_nat.eps │ │ └── DepMathLogo.eps ├── make-pdf.sh ├── chapters │ ├── IntegrationüberFlächenundMannigfaltigkeiten.tex │ ├── intro.tex │ └── Bibliography.tex ├── styles │ ├── fau-colors.sty │ └── fau-appearence.sty ├── skript_clean.tex ├── cleanup-bib.py ├── bibliography.bib ├── preamble.tex ├── cmd.tex ├── cleanup-tex.py └── fau-math-thesis.cls ├── .markdownlint.yaml ├── .vscode └── settings.json ├── README.md ├── complexanalysis ├── complexanalysis.md ├── complexnumbers.md ├── powerseries.md ├── cauchyriemann.md ├── cauchyintegral.md ├── kurvenintegrale.md └── residuensatz.md ├── ode ├── ode.md ├── ex.md └── hamilton.md ├── odestability ├── stabilitaetsanalyse.md └── stabilitaetsbegriffe.md ├── manifolds ├── manifolds.md └── diffformen.md ├── vektoranalysis ├── vektoranalysis.md └── multilinear.md ├── .github └── workflows │ └── book.yml ├── _toc.yml ├── .gitignore ├── _config.yml ├── bibliography.bib └── masstheorie ├── intro_masstheorie.md └── lebesgue_integral.md /surfaceintegrals/hausdorff.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | -------------------------------------------------------------------------------- /surfaceintegrals/manifolds.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | -------------------------------------------------------------------------------- /references.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Bibliography 2 | === 3 | 4 | ```{bibliography} 5 | ``` 6 | -------------------------------------------------------------------------------- /img/ball.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/FAU-AMMN/MathPhysicsC/HEAD/img/ball.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /img/trafo.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/FAU-AMMN/MathPhysicsC/HEAD/img/trafo.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /img/DisRect.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/FAU-AMMN/MathPhysicsC/HEAD/img/DisRect.jpg -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/FAU-AMMN/MathPhysicsC/HEAD/img/stress_tensor_comp.png -------------------------------------------------------------------------------- /tex/atelier/logo/FAU_nat.eps: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/FAU-AMMN/MathPhysicsC/HEAD/tex/atelier/logo/FAU_nat.eps -------------------------------------------------------------------------------- /.markdownlint.yaml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | { 2 | "default": true, 3 | "MD013": false, 4 | "MD022": false, 5 | "MD041": false 6 | } -------------------------------------------------------------------------------- /.vscode/settings.json: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | { 2 | "cSpell.words": [ 3 | "doppelintegrierbare", 4 | "Integralbegriff" 5 | ] 6 | } -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Mathe für Physiker C 2 | This is the web version of the notes for the lecture "Mathe für Physiker C" given by Daniel Tenbrinck and Tim Roith at FAU in 2021. 3 | -------------------------------------------------------------------------------- /tex/make-pdf.sh: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | echo 2 | echo WARNING - still requires one manual quit of first pdf/latex pass, use shift-x to quit 3 | echo 4 | 5 | jupyter-book build . --builder latex 6 | 7 | cp ./_build/latex/skript.tex ./tex/ 8 | 9 | python ./tex/cleanup-tex.py -------------------------------------------------------------------------------- /tex/chapters/IntegrationüberFlächenundMannigfaltigkeiten.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{Integration über Flächen und Mannigfaltigkeiten} 2 | \label{\detokenize{surfaceintegrals/surfaceintegrals:integration-uber-flachen-und-mannigfaltigkeiten}}\label{\detokenize{surfaceintegrals/surfaceintegrals::doc}} 3 | 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /tex/styles/fau-colors.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ProvidesPackage{styles/fau-colors}[ Defines useful commands. 2 | Author: Tim Carsten Otto Roith] 3 | 4 | \def\colorthemefaumath{ 5 | \definecolor{faunat}{RGB}{0,155,119} 6 | \definecolor{faulnat}{RGB}{170,207,189} 7 | \definecolor{faullnat}{RGB}{229,239,234} 8 | \colorlet{cfaunat}{faunat>wheel,1,2} 9 | \colors{colmain=faunat, colmainlight=faulnat, colmainllight=faullnat, colcomp=cfaunat} 10 | 11 | 12 | } -------------------------------------------------------------------------------- /tex/skript_clean.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{preamble} 2 | \begin{document} 3 | \frontmatter 4 | \maketitle 5 | \tableofcontents 6 | \input{chapters/intro} 7 | \mainmatter 8 | \input{chapters/GewöhnlicheDifferentialgleichungenfürdynamischeSysteme} 9 | \input{chapters/StabilitätsanalysefürdynamischeSysteme} 10 | \input{chapters/Vektoranalysis} 11 | \input{chapters/DifferentialformenaufMannigfaltigkeiten} 12 | \input{chapters/MassundIntegrationstheorie} 13 | \input{chapters/IntegrationüberFlächenundMannigfaltigkeiten} 14 | \input{chapters/Funktionentheorie} 15 | \backmatter 16 | \printbibliography 17 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /complexanalysis/complexanalysis.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Funktionentheorie 2 | === 3 | 4 | Im letzten Kapitel der Vorlesung widmen wir uns der *Funktionentheorie*. 5 | Diese befasst sich hauptsächlich mit der Theorie differenzierbarer komplexer Funktionen. 6 | Da viele Konzepte der reellen Analysis verwendet werden, wird dieses Gebiet auch häufig **komplexe Analysis** genannt. 7 | 8 | Die Grundlagen des Körpers der komplexen Zahlen wurden bereits in {cite:p}`tenbrinck_2021` behandelt. Als Referenz empfehlen wir hier wiederum das Skript von Prof.Dr.Hermann Schulz-Baldes {cite:p}`baldes_2018` aber auch das Skript zur Funktionentheorie von Prof.Dr.Karl-Hermann Neeb {cite:p}`neeb_2017`. Teile des im Folgenden präsentierten Stoffs basieren auf diesen Referenzen. 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /ode/ode.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Gewöhnliche Differentialgleichungen für dynamische Systeme 2 | === 3 | 4 | In diesem ersten Kapitel der Vorlesung wollen wir weiterführende Konzepte zum Thema gewöhnlicher Differentialgleichungen einführen. 5 | Insbesondere wollen wir uns mit gewöhnlichen Differentialgleichungen für dynamische Systeme beschäftigen. 6 | Hierfür wiederholen wir zunächst die wichtigsten Aussagen und Begriffe, die Sie in Kaptiel 8 {cite:p}`tenbrinck_2021` kennengelernt haben. 7 | Anschließend definieren wir zwei grundlegende mathematische Werkzeuge um dynamische Systeme zu charakterisieren, nämlich Flüsse und Phasenportraits. 8 | Zum Schluss wollen wir diese zur Untersuchung und Lösung von Hamiltonschen Differentialgleichungen nutzen, welche eine insbesondere in der klassischen Mechanik innerhalb der Physik eine wichtige Rolle spielen. 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /odestability/stabilitaetsanalyse.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Stabilitätsanalyse für dynamische Systeme 2 | === 3 | 4 | In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Stabilitätstheorie für kontinuierliche dynamische Systeme. 5 | Hierbei interessieren wir uns für die Frage, wie sich *kleine Störungen* von bestimmten Zuständen des Systems auf die Lösungen der zu Grunde liegenden gewöhnlichen Differentialgleichungen auswirken. 6 | Der untersuchte Zustand kann beispielsweise ein periodischer Orbit oder eine Ruhelage des dynamischen Systems sein. 7 | Letztere sind oftmals von besonderes Interesse, da man in vielen technischen und physikalischen Anwendungen daran interessiert ist das System in eine oder nahe einer Gleichgewichtslage zu bringen. 8 | 9 | Im Folgenden werden wir verschiedene Stabilitätsbegriffe für dynamische Systeme einführen und speziell Kriterien für die Stabilität von Ruhelagen diskutieren. 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /manifolds/manifolds.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten 2 | === 3 | 4 | In diesem Kapitel der Vektoranalysis werden wir nun [Differentialformen](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialform) einführen. 5 | Die entscheidende Neuerung im Vergleich zum vorangegangen Kapitel über Tensoren ist, dass wir zusätzlich zur Vektorraumstruktur nun ein Konzept von Räumlichkeit einführen. 6 | 7 | Außerdem werden wir im Folgenden mit *glatten Funktion* arbeiten, d.h., mit Funktionen aus dem Raum $C^\infty(U,\R^n)$. 8 | Wir definieren zunächst den Begriff des topologischen Raums als Verallgemeinerung von metrischen Vektorräumen. 9 | Anschließend sind wir in der Lage Mannigfaltigkeiten als spezielle topologische Räume zu definieren, die lokal dem Euklidischen Raum $\R^n$ ähneln, jedoch global verschieden sein können. 10 | Schließlich werden wir Tensorfelder und Differentialformen diskutieren. 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /vektoranalysis/vektoranalysis.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Vektoranalysis 2 | === 3 | 4 | In diesem Kapitel der Vorlesung führen wir wichtige Konzepte der *Vektoranalysis* ein. 5 | Insbesondere schaffen wir die mathematischen Grundlagen für eine spezielle Art der mehrdimensionalen Integration, das Integrieren über sogenannte *Untermannigfaltigkeiten* des $\R^n$. 6 | Um diese Integration durchführen zu können, entwickeln wir das Kalkül der *Differentialformen* auf Mannigfaltigkeiten. 7 | 8 | Dieses Kalkül lässt auch den geometrischen Gehalt physikalischer Theorien wie Elektrodynamik oder Allgemeine Relativitätstheorie klar hervortreten. 9 | So lassen sich beispielsweise die Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik mit Hilfe des Differentialformenkalkül elegant beschreiben. 10 | 11 | Als zusätzliche Literatur und Referenz für diese Thematiken empfehlen wir das Buch von Agricola und Friedrich {cite:p}`agricola_2013`. 12 | -------------------------------------------------------------------------------- /tex/chapters/intro.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{Vorwort} 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | \label{\detokenize{intro::doc}} 10 | 11 | 12 | 13 | \noindent\includegraphics[width=\textwidth]{../\string_build/html/\string_images/intro\string_1\string_0.png} 14 | 15 | 16 | \par 17 | Das vorliegende Skript begleitet die \textbf{Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C} und ist im Wintersemester 21/22 an der FAU Erlangen Nürnberg entstanden. Es soll den Studierenden zusätzlich zur virtuellen Vorlesung als Nachschlagewerk dienen und ist ausführlicher und genauer gehalten als die Vorlesungsnotizen. 18 | 19 | \subsection{Referenz} 20 | 21 | \par 22 | Das Skript orientiert sich teilweise an dem Vorlesungsskript “Mathematik für Physikstudierende 3” \cite{Kna20} von Prof.Dr.Andreas Knauf (FAU) aus dem Sommersemester 2020 und den Folien zu „Mathematik für Physiker 3“ von Prof.Dr.Hermann Schulz Baldes (FAU) \cite{SB18}. 23 | 24 | 25 | -------------------------------------------------------------------------------- /.github/workflows/book.yml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | name: deploy-book 2 | 3 | # Only run this when the master branch changes 4 | on: 5 | push: 6 | branches: 7 | - main 8 | workflow_dispatch: 9 | 10 | # This job installs dependencies, build the book, and pushes it to `gh-pages` 11 | jobs: 12 | deploy-book: 13 | runs-on: ubuntu-latest 14 | steps: 15 | - uses: actions/checkout@v2 16 | 17 | # Install dependencies 18 | - name: Set up Python 3.7 19 | uses: actions/setup-python@v1 20 | with: 21 | python-version: 3.7 22 | 23 | - name: Install dependencies 24 | run: | 25 | pip install -r requirements.txt 26 | pip install --upgrade Sphinx==3.5.4 27 | pip install --upgrade sphinx-book-theme==0.2.0 28 | # Build the book 29 | - name: Build the book 30 | run: | 31 | jupyter-book build . 32 | # Push the book's HTML to github-pages 33 | - name: GitHub Pages action 34 | uses: peaceiris/actions-gh-pages@v3.5.9 35 | with: 36 | github_token: ${{ secrets.GITHUB_TOKEN }} 37 | publish_dir: ./_build/html 38 | -------------------------------------------------------------------------------- /_toc.yml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | format: jb-book 2 | root: intro 3 | options: 4 | numbered: True 5 | chapters: 6 | - file: ode/ode 7 | sections: 8 | - file: ode/dynamicSystems 9 | - file: ode/repetition 10 | - file: ode/fluesse 11 | - file: ode/hamilton 12 | - file: ode/ex 13 | - file: odestability/stabilitaetsanalyse.md 14 | sections: 15 | - file: odestability/stabilitaetsbegriffe.md 16 | - file: odestability/ruhelagen.md 17 | - file: vektoranalysis/vektoranalysis.md 18 | sections: 19 | - file: vektoranalysis/multilinear.md 20 | - file: vektoranalysis/tensor.md 21 | - file: manifolds/manifolds.md 22 | sections: 23 | - file: manifolds/manifolds_prelim.md 24 | - file: manifolds/tangential.md 25 | - file: manifolds/diffformen.md 26 | - file: masstheorie/intro_masstheorie.md 27 | sections: 28 | - file: masstheorie/masstheorie.md 29 | - file: masstheorie/lebesgue_integral.md 30 | - file: masstheorie/integrationstechnik.md 31 | - file: surfaceintegrals/surfaceintegrals.md 32 | sections: 33 | - file: surfaceintegrals/hausdorff.md 34 | - file: surfaceintegrals/manifolds.md 35 | - file: complexanalysis/complexanalysis.md 36 | sections: 37 | - file: complexanalysis/complexnumbers.md 38 | - file: complexanalysis/cauchyriemann.md 39 | - file: complexanalysis/kurvenintegrale.md 40 | - file: complexanalysis/cauchyintegral.md 41 | - file: complexanalysis/powerseries.md 42 | - file: complexanalysis/residuensatz.md 43 | - file: references 44 | -------------------------------------------------------------------------------- /tex/cleanup-bib.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import regex as re 2 | 3 | path = "tex\\" 4 | file_name = "skript" 5 | extension = ".tex" 6 | 7 | with open (path+"chapters\\" + 'Bibliography' + extension, 'r' ) as f: 8 | bib_file = f.read() 9 | bib = re.search(r'\\begin\{sphinxthebibliography\}\{(.*)\}((.|\n)*)', bib_file, flags = re.M).group(2) 10 | 11 | bib_items = re.split(r'(?=\\bibitem)', bib) 12 | 13 | with open (path+'bibliography.bib', 'w' ) as f: 14 | for m in bib_items: 15 | # match Author Name Year 16 | entry_info = re.search(r'\\bibitem\[(.*)\]\{(.*)\}\n\\par\n(.*)\. \\emph\{(.*)\}\. (.*)\.(.*)', m) 17 | if not entry_info is None: 18 | entry_key = entry_info.group(1) 19 | entry_author = entry_info.group(3) 20 | entry_title = entry_info.group(4) 21 | entry_year = entry_info.group(5) 22 | 23 | if "," in entry_year: 24 | yp = re.split(r', ', entry_year) 25 | entry_publisher = yp[0] 26 | entry_year = yp[1] 27 | else: 28 | entry_publisher = '' 29 | 30 | if "." in entry_year: 31 | yp = re.split(r'. ', entry_year) 32 | entry_year = yp[0] 33 | 34 | 35 | f.write('\n@book{'+entry_key+',\n') 36 | f.write(' Author = {' + entry_author + '},\n') 37 | f.write(' year = {' + entry_year + '},\n') 38 | f.write(' title = {' + entry_title + '},\n') 39 | f.write(' publisher = {' + entry_publisher + '},\n}') -------------------------------------------------------------------------------- /tex/bibliography.bib: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | @book{AF13, 3 | Author = {Ilka Agricola and Thomas Friedrich}, 4 | year = {Berlin Heidelberg New York}, 5 | title = {Globale Analysis Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik}, 6 | publisher = {Springer Verlag}, 7 | } 8 | @book{Bog07, 9 | Author = {Vladimir I. Bogachev}, 10 | year = {2007}, 11 | title = {Measure Theory, Volume 1}, 12 | publisher = {Springer}, 13 | } 14 | @book{Bur20, 15 | Author = {Martin Burger}, 16 | year = {2020}, 17 | title = {Skript zur Vorlesung "Mathematik für Data Science 1 / Physikstudierende A"}, 18 | publisher = {}, 19 | } 20 | @book{For17, 21 | Author = {Otto Forster}, 22 | year = {2017}, 23 | title = {Analysis 2}, 24 | publisher = {Springer}, 25 | } 26 | @book{Janich03, 27 | Author = {Klaus Jänich}, 28 | year = {2003}, 29 | title = {Der Tangentialraum}, 30 | publisher = {Springer Berlin Heidelberg}, 31 | } 32 | @book{Kna13, 33 | Author = {Peter Knabner}, 34 | year = {2013}, 35 | title = {Skript zur Vorlesung "Gewöhnliche Differentialgleichungen"}, 36 | publisher = {}, 37 | } 38 | @book{Kna20, 39 | Author = {Andreas Knauf}, 40 | year = {2020}, 41 | title = {Skript zur Vorlesung "Mathematik für Physikstudierende 3"}, 42 | publisher = {}, 43 | } 44 | @book{Lee03, 45 | Author = {John Lee}, 46 | year = {New York}, 47 | title = {Introduction to smooth manifolds}, 48 | publisher = {Springer}, 49 | } 50 | @book{Nol11, 51 | Author = {Wolfgang Nolting}, 52 | year = {2011}, 53 | title = {Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik}, 54 | publisher = {Springer Berlin Heidelberg}, 55 | } 56 | @book{SB18, 57 | Author = {Herman Schulz Baldes}, 58 | year = {2018}, 59 | title = {Skript zur Vorlesung "Mathematik für Physiker 3"}, 60 | publisher = {}, 61 | } 62 | @book{Tao07, 63 | Author = {Terence Tao}, 64 | year = {2007}, 65 | title = {An Introduction to Measure Theory}, 66 | publisher = {AMS}, 67 | } 68 | @book{Ten21, 69 | Author = {Daniel Tenbrinck}, 70 | year = {2021}, 71 | title = {Skript zur Vorlesung "Mathematik für Data Science 2"}, 72 | publisher = {}, 73 | } -------------------------------------------------------------------------------- /tex/preamble.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[fontsize=11pt, % size of the font 2 | paper=a4, 3 | chapterprefix=true, 4 | % oneside, % other option: oneside 5 | % chapterprefix=false, % specifies if the word chapter is printed for chapter headings 6 | % BCOR=0mm, % offset for binding 7 | setPDF, % sets twosided=semi, BCOR=0, DIV=classic if not specified 8 | % showframe, % show the page layout 9 | bibstyle=styleB]{fau-math-thesis} 10 | 11 | % ######################################################################################## 12 | % Font encoding and font specification 13 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 14 | \usepackage[utf8]{inputenc} 15 | \usepackage[T1]{fontenc} 16 | \usepackage{lmodern} 17 | % ######################################################################################## 18 | % Bibliography 19 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 20 | \addbibresource{bibliography.bib} 21 | % ######################################################################################## 22 | % Load the fau style packages with customization 23 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 24 | % Color themes 25 | \usepackage{styles/fau-colors} 26 | \colorthemefaumath 27 | % Appearence of boxes and page 28 | \usepackage[thmboxing=styleA, 29 | boxingstyle=styleA, 30 | chapterheader=styleA, 31 | footerheader=styleA, 32 | %noabbrev % no abbreviations in cleveref 33 | ]{styles/fau-appearence} 34 | 35 | 36 | \usepackage{color} 37 | \usepackage{xcolor} 38 | 39 | \usepackage{graphics} 40 | \usepackage{dsfont} 41 | 42 | \DeclareUnicodeCharacter{1D7D9}{\mathbf{1}} 43 | 44 | % 45 | %\usepackage{hyperref} 46 | %\hypersetup{colorlinks,breaklinks, 47 | % linkcolor=blue,urlcolor=blue, 48 | % anchorcolor=blue,citecolor=blue} 49 | %\usepackage[capitalize,nameinlink]{cleveref} 50 | 51 | \usepackage{tabularx} 52 | 53 | \input{cmd} 54 | 55 | \author{J. Laubmann, T. Roith, D. Tenbrinck} 56 | \semester{Wintersemester 21/22} 57 | \department{Department Mathematik, AMMN} 58 | \title{Mathematik für Physikstudierende C} 59 | \date{Oct 01, 2021} -------------------------------------------------------------------------------- /complexanalysis/complexnumbers.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Die Komplexen Zahlen 2 | 3 | Wir werden hier zunächst die wichtigen Grundlagen der komplexen Zahlen wiederholen. 4 | Die komplexen Zahlen werden eingeführt als das Tupel 5 | 6 | ```{math} 7 | \C := (\R^2,+,\cdot) 8 | ``` 9 | 10 | zusammen mit den Operationen 11 | 12 | ```{math} 13 | (x_1,y_1) + (x_2,y_2) &:= (x_1 + x_2, y_1+y_2),\\ 14 | (x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2) &:= (x_1\cdot x_2 - y_1\cdot y_2, y_1\cdot x_2 + x_1\cdot y_2). 15 | ``` 16 | 17 | Diese Struktur bildet einen **Körper** mit dem Einselement $1:=(1,0)$. Das Element $i:=(0,1)$ heißt **imaginäre Einheit** und erfüllt die Gleichung 18 | 19 | ```{math} 20 | i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = -(1,0) = -1. 21 | ``` 22 | 23 | Als reeller Vektorraum hat $\C$ die kanonische Basis $\{(1,0),(0,1)\}=\{1,i\}$ weshalb wir jedes Element darstellen können über 24 | 25 | ```{math} 26 | (x,y) = x + iy. 27 | ``` 28 | 29 | Für eine komplexe Zahl $z=x+ iy\in\C$ definieren wir 30 | 31 | 1. $\Re(z):= x$ den **Realteil**, 32 | 33 | 2. $\Im(z):=y$ den **Imaginärteil**, 34 | 35 | 3. $\overline{z}:= x-iy$ die **komplexe Konjugation**, 36 | 37 | 4. $\abs{z} = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{x^2+y^2}$ den **Betrag**. 38 | 39 | Für den Betrag komplexer Zahlen gelten die bekannten Rechenregeln 40 | 41 | ```{math} 42 | \abs{0}&=0,\\ 43 | \abs{z\cdot w} &= \abs{z}\cdot \abs{w},\\ 44 | \abs{z+w}&\leq\abs{z}+\abs{w}, 45 | ``` 46 | 47 | für zwei komplexe Zahlen $z,w\in\C$ 48 | 49 | Insbesondere induziert der Betrag die Metrik 50 | 51 | ```{math} 52 | d(z,w):= \abs{z-w} 53 | ``` 54 | 55 | und damit auch eine Topologie sowie die Begriffe Konvergenz und Stetigkeit einer Funktion $f:\C\to\C$. 56 | 57 | Weiterhin lassen sich komplexe Zahlen auch in **Polarkoordinaten** darstellen, d.h., für jedes $z\in\C$ existiert ein eindeutig bestimmter Winkel $\varphi\in [0,2\pi]$, s.d. 58 | 59 | ```{math} 60 | z = r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)) 61 | ``` 62 | 63 | wobei $r=\abs{z}$. In diesem Kontext ist auch die **Eulersche Formel** relevant, 64 | 65 | ```{math} 66 | :label: eq:euler 67 | 68 | \exp(i\varphi) = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi) 69 | ``` 70 | 71 | für $\varphi\in [0,2\pi]$. 72 | 73 | ```{prf:margin} Leonhard Euler 74 | [Leonhard Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler) (Geboren 15. April 1707 in Basel; 18. September 1783 in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur. 75 | ``` 76 | -------------------------------------------------------------------------------- /tex/chapters/Bibliography.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{Bibliography} 2 | \label{\detokenize{references:bibliography}}\label{\detokenize{references::doc}} 3 | \par 4 | 5 | 6 | \begin{sphinxthebibliography}{Janich03} 7 | \bibitem[AF13]{references:id16} 8 | \par 9 | Ilka Agricola and Thomas Friedrich. \emph{Globale Analysis Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik}. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, edition, 2013. ISBN 978 3 322 92903 7. 10 | \bibitem[Bog07]{references:id5} 11 | \par 12 | Vladimir I. Bogachev. \emph{Measure Theory, Volume 1}. Springer, 2007. 13 | \bibitem[Bur20]{references:id2} 14 | \par 15 | Martin Burger. \emph{Skript zur Vorlesung "Mathematik für Data Science 1 / Physikstudierende A"}. 2020. 16 | \bibitem[For17]{references:id4} 17 | \par 18 | Otto Forster. \emph{Analysis 2}. Springer, 2017. 19 | \bibitem[Janich03]{references:id17} 20 | \par 21 | Klaus Jänich. \emph{Der Tangentialraum}. Springer Berlin Heidelberg, 2003. URL: \url{https://doi.org/10.1007/978-3-662-10750-8\_2}, \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-10750-8\_2}{doi:10.1007/978 3 662 10750 8\_2}. 22 | \bibitem[Kna13]{references:id7} 23 | \par 24 | Peter Knabner. \emph{Skript zur Vorlesung "Gewöhnliche Differentialgleichungen"}. 2013. 25 | \bibitem[Kna20]{references:id9} 26 | \par 27 | Andreas Knauf. \emph{Skript zur Vorlesung "Mathematik für Physikstudierende 3"}. 2020. 28 | \bibitem[Lee03]{references:id18} 29 | \par 30 | John Lee. \emph{Introduction to smooth manifolds}. Springer, New York, 2003. ISBN 0 387 95448 1. 31 | \bibitem[Nee17]{references:id13} 32 | \par 33 | Karl Hermann Neeb. \emph{Skript zur Vorlesung "Funktionentheorie I"}. 2017. 34 | \bibitem[Nol11]{references:id11} 35 | \par 36 | Wolfgang Nolting. \emph{Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik}. Springer Berlin Heidelberg, 2011. \href{https://doi.org/10.1007/978-3-642-12950-6}{doi:10.1007/978 3 642 12950 6}. 37 | \bibitem[SB18]{references:id12} 38 | \par 39 | Herman Schulz Baldes. \emph{Skript zur Vorlesung "Mathematik für Physiker 3"}. 2018. 40 | \bibitem[Tao07]{references:id6} 41 | \par 42 | Terence Tao. \emph{An Introduction to Measure Theory}. AMS, 2007. 43 | \bibitem[Ten21]{references:id15} 44 | \par 45 | Daniel Tenbrinck. \emph{Skript zur Vorlesung "Mathematik für Data Science 2"}. 2021. URL: \url{https://fau-ammn.github.io/MathDataScience2}. 46 | \end{sphinxthebibliography} 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | \renewcommand{\indexname}{Proof Index} 54 | 55 | 56 | \renewcommand{\indexname}{Stichwortverzeichnis} 57 | 58 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /tex/cmd.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 2 | \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 3 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 4 | %\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} 5 | \newcommand{\C}{\mathbb{C}} 6 | \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 7 | \newcommand{\K}{\mathbb{K}} 8 | \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} 9 | \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} 10 | \newcommand{\pf}[2]{\frac{\partial {#1}}{\partial {#2}}} 11 | %\newcommand{\ps}[2]{\frac{\partial^2 {#1}}{\partial {#2}^2}} 12 | \newcommand{\df}[2]{\frac{d {#1}}{d {#2}}} 13 | %\newcommand{\ds}[2]{\frac{d^2 {#1}}{d {#2}^2}} 14 | \newcommand{\dx}{\Delta x} 15 | \newcommand{\dt}{\Delta t} 16 | \newcommand{\eqdef}{\eqqcolon} 17 | \newcommand{\dv}{\operatorname{div}} 18 | \newcommand{\rot}{\operatorname{rot}} 19 | \newcommand{\di}{\displaystyle} 20 | \newcommand{\lk}{\left(} 21 | \newcommand{\rk}{\right)} 22 | 23 | \newcommand{\coloneqq}{{:=}} 24 | \newcommand{\eqqcolon}{{=:}} 25 | 26 | \newcommand{\energy}{{\cal E}} 27 | \newcommand{\x}{{\mathbf x}} 28 | \newcommand{\q}{\quad} 29 | \newcommand{\na}{\nabla} 30 | 31 | \newcommand{\weak}{\rightharpoonup} 32 | \newcommand{\embedded}{\hookrightarrow} 33 | 34 | \newcommand{\bigO}{{\cal O}} 35 | \newcommand{\smallO}{{\cal o}} 36 | \newcommand{\dom}{{\cal D}} 37 | \newcommand{\norm}[1]{\Vert #1 \Vert} 38 | \newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert} 39 | \newcommand{\intxt}[1]{\int\limits_0^{t_*} \int\limits_0^1 #1 ~dx dt} 40 | \newcommand{\intx}[1]{ \int\limits_0^1 #1 ~dx } 41 | \newcommand{\intt}[1]{\int\limits_0^{t_*} #1 ~dt} 42 | \newcommand{\set}[2]{\{~#1~|~#2~\}} 43 | \newcommand{\veczwei}[2]{\left( \begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array} \right)} 44 | \renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} 45 | \renewcommand{\i}{\mathrm{i}} 46 | 47 | \newcommand{\Dim}{\operatorname{dim}} 48 | \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} 49 | \newcommand{\Kern}{\operatorname{Kern}} 50 | \newcommand{\Bild}{\operatorname{Bild}} 51 | \newcommand{\Rang}{\operatorname{Rang}} 52 | \newcommand{\tr}{\operatorname{Spur}} 53 | \newcommand{\lin}{\operatorname{lin}} 54 | \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} 55 | \renewcommand{\L}{\operatorname{L}} 56 | \newcommand{\V}{V} 57 | \newcommand{\Hau}{\operatorname{Haupt}} 58 | \newcommand{\Eig}{\operatorname{Eig}} 59 | \newcommand{\End}{\operatorname{End}} 60 | \newcommand{\ad}{{\rm ad}} 61 | \newcommand{\lss}[1]{{}^{#1}\!} 62 | 63 | \newcommand{\idx}{\mathrm{d}x} 64 | \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} 65 | 66 | \newcommand{\M}{\mathcal{M}} 67 | \newcommand{\B}{\mathcal{B}} 68 | \newcommand{\bone}{\mathds{1}} 69 | 70 | % Hack for mathbb{0} 71 | \DeclareMathAlphabet{\mymathbb}{U}{BOONDOX-ds}{m}{n} 72 | 73 | -------------------------------------------------------------------------------- /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Byte-compiled / optimized / DLL files 2 | __pycache__/ 3 | *.py[cod] 4 | *$py.class 5 | 6 | # C extensions 7 | *.so 8 | 9 | # Distribution / packaging 10 | .Python 11 | build/ 12 | develop-eggs/ 13 | dist/ 14 | downloads/ 15 | eggs/ 16 | .eggs/ 17 | lib/ 18 | lib64/ 19 | parts/ 20 | sdist/ 21 | var/ 22 | wheels/ 23 | pip-wheel-metadata/ 24 | share/python-wheels/ 25 | *.egg-info/ 26 | .installed.cfg 27 | *.egg 28 | MANIFEST 29 | 30 | # PyInstaller 31 | # Usually these files are written by a python script from a template 32 | # before PyInstaller builds the exe, so as to inject date/other infos into it. 33 | *.manifest 34 | *.spec 35 | 36 | # Installer logs 37 | pip-log.txt 38 | pip-delete-this-directory.txt 39 | 40 | # Unit test / coverage reports 41 | htmlcov/ 42 | .tox/ 43 | .nox/ 44 | .coverage 45 | .coverage.* 46 | .cache 47 | nosetests.xml 48 | coverage.xml 49 | *.cover 50 | *.py,cover 51 | .hypothesis/ 52 | .pytest_cache/ 53 | 54 | # Translations 55 | *.mo 56 | *.pot 57 | 58 | # Django stuff: 59 | *.log 60 | local_settings.py 61 | db.sqlite3 62 | db.sqlite3-journal 63 | 64 | # Flask stuff: 65 | instance/ 66 | .webassets-cache 67 | 68 | # Scrapy stuff: 69 | .scrapy 70 | 71 | # Sphinx documentation 72 | docs/_build/ 73 | 74 | # PyBuilder 75 | target/ 76 | 77 | # Jupyter Notebook 78 | .ipynb_checkpoints 79 | 80 | # IPython 81 | profile_default/ 82 | ipython_config.py 83 | 84 | # pyenv 85 | .python-version 86 | 87 | # pipenv 88 | # According to pypa/pipenv#598, it is recommended to include Pipfile.lock in version control. 89 | # However, in case of collaboration, if having platform-specific dependencies or dependencies 90 | # having no cross-platform support, pipenv may install dependencies that don't work, or not 91 | # install all needed dependencies. 92 | #Pipfile.lock 93 | 94 | # PEP 582; used by e.g. github.com/David-OConnor/pyflow 95 | __pypackages__/ 96 | 97 | # Celery stuff 98 | celerybeat-schedule 99 | celerybeat.pid 100 | 101 | # SageMath parsed files 102 | *.sage.py 103 | 104 | # Environments 105 | .env 106 | .venv 107 | env/ 108 | venv/ 109 | ENV/ 110 | env.bak/ 111 | venv.bak/ 112 | 113 | # Spyder project settings 114 | .spyderproject 115 | .spyproject 116 | 117 | # Rope project settings 118 | .ropeproject 119 | 120 | # mkdocs documentation 121 | /site 122 | 123 | # mypy 124 | .mypy_cache/ 125 | .dmypy.json 126 | dmypy.json 127 | 128 | # Pyre type checker 129 | .pyre/ 130 | 131 | # Docs 132 | _build 133 | 134 | # pdf 135 | *.pdf 136 | 137 | # tex 138 | *.aux 139 | *.dep 140 | *.log 141 | *.out 142 | *.synctex.gz 143 | *.log 144 | *.fls 145 | *.dvi 146 | *.maf 147 | *.mtc 148 | *.mtc0 149 | *.run.xml 150 | *-blx.bib 151 | *.bcf 152 | *.bbl 153 | *.blg 154 | *.listing 155 | *.toc 156 | *.lof 157 | *.nlo 158 | *.nls 159 | *.ind 160 | *.idx 161 | *.els 162 | *.ilg 163 | *.DS_Store 164 | -------------------------------------------------------------------------------- /_config.yml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | title: "Mathematik für Physikstudierende C" 2 | author: J. 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Tenbrinck 3 | logo: img/FAU_Nat_logo.svg 4 | copyright: "2021" 5 | execute: 6 | execute_notebooks: off 7 | 8 | repository: 9 | url: https://github.com/FAU-AMMN/MathPhysicsC 10 | 11 | html: 12 | favicon: "img/FAU_favicon.png" 13 | comments: 14 | hypothesis: true 15 | use_repository_button: true 16 | google_analytics_id: G-Z9NNSYF13N 17 | 18 | parse: 19 | myst_enable_extensions: 20 | # don't forget to list any other extensions you want enabled, 21 | # including those that are enabled by default! 22 | - amsmath 23 | - dollarmath 24 | - colon_fence 25 | - html_image 26 | 27 | latex: 28 | latex_documents: 29 | targetname: skript.tex 30 | 31 | sphinx: 32 | extra_extensions: 33 | - sphinx_proof 34 | #- sphinx_tojupyter 35 | - sphinx_jupyterbook_latex 36 | #local-extensions: 37 | # -sphinx_proof: src/sphinx-proof/ 38 | config: 39 | # html_js_files: 40 | # - https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/require.js/2.3.4/require.min.js 41 | latex_engine: pdflatex 42 | language: de 43 | mathjax_config: 44 | TeX: 45 | Macros: 46 | "Z" : "\\mathbb{Z}" 47 | "V" : "V" 48 | "N" : "\\mathbb{N}" 49 | "C" : "\\mathbb{C}" 50 | "Q" : "\\mathbb{Q}" 51 | "K" : "\\mathbb{K}" 52 | "floor": ["\\lfloor#1\\rfloor", 1] 53 | "bmat" : ["\\left[\\begin{array}"] 54 | "emat" : ["\\end{array}\\right]"] 55 | "R" : ["\\mathbb{R}"] 56 | "B" : ["\\mathcal{B}"] 57 | "norm" : ["{\\Vert#1\\Vert}",1] 58 | "abs" : ["{\\left|#1\\right|}",1] 59 | "coloneqq": ["{:=}"] 60 | "eqqcolon": ["{=:}"] 61 | "emph" : ["\\pmb#1",1] 62 | "tr" : "\\operatorname{Spur}" 63 | "lin" : "\\operatorname{lin}" 64 | "dv" : "\\mathrm{div}~" 65 | "rot" : "\\mathrm{rot}~" 66 | "Dim" : "\\operatorname{dim}" 67 | "diag" : "\\operatorname{diag}" 68 | "Kern" : "\\operatorname{Kern}" 69 | "Bild" : "\\operatorname{Bild}" 70 | "Im" : "\\operatorname{Im}" 71 | "Rang" : "\\operatorname{Rang}" 72 | "GL" : "\\operatorname{GL}" 73 | "Eig" : "\\operatorname{Eig}" 74 | "End" : "\\operatorname{End}" 75 | "Hau" : "\\operatorname{Haupt}" 76 | "mymathbb" : ["\\boldsymbol{#1}",1] 77 | "idx" : "\\mathrm{d}x" 78 | "d" : "\\mathrm{d}" 79 | "i" : "\\mathrm{i}" 80 | "x" : "\\mathbf{x}" 81 | "sign" : "\\mathrm{sign}" 82 | "vec" : ["\\mathbf{#1}",1] 83 | "veczwei": ["\\begin{pmatrix} #1 \\\\ #2 \\end{pmatrix}", 2] 84 | "M" : "\\mathcal{M}" 85 | "S" : "\\mathbb{S}" 86 | "bone" : "\\unicode{x1D7D9}" 87 | "Re" : "\\mathrm{Re}" 88 | "Um" : "\\operatorname{Um}" 89 | "Res" : "\\operatorname{Res}" 90 | #mathjax_path: https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML 91 | # tojupyter_target_html: true 92 | # tojupyter_lang_synonyms: ["ipython", "ipython3", "python"] 93 | # tojupyter_kernels: 94 | # python3: 95 | # kernelspec: 96 | # display_name: "Python" 97 | # language: python3 98 | # name: python3 99 | # file_extension: ".py" 100 | #tojupyter_images_markdown: true 101 | 102 | bibtex_bibfiles: 103 | - bibliography.bib 104 | -------------------------------------------------------------------------------- /bibliography.bib: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | @book{burger_2020, 2 | Author = {Martin Burger}, 3 | publisher ={}, 4 | title = {Skript zur Vorlesung "Mathematik für Data Science 1 / Physikstudierende A"}, 5 | year = {2020}, 6 | } 7 | 8 | @book{fischer, 9 | Author = {Gerd Fischer}, 10 | title = {Lineare Algebra}, 11 | publisher ={}, 12 | year = {2005}, 13 | } 14 | 15 | @book{forster_2017, 16 | Author = {Otto Forster}, 17 | title = {Analysis 2}, 18 | publisher ={Springer}, 19 | year = {2017}, 20 | } 21 | 22 | @book{boga_2007, 23 | Author = {Vladimir I. 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Ist die Hamilton-Funktion $H \in C^2(P, \mathbb{R})$, dann ist sie entlang der Lösungskurven der Hamiltonschen Differentialgleichung $\dot x = \mathbb{J} \nabla H(x)$ konstant. 100 | ```` 101 | 102 | ````{admonition} Aufgabe: Hamilton-Funktion 103 | :class: hint 104 | 105 | Zeigen Sie mathematisch, dass die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators gegeben ist durch: 106 | 107 | ```{math} 108 | H(x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{m}{2} w^2 x^2, 109 | ``` 110 | 111 | wobei $w = \sqrt{\frac{k}{m}}$ gilt. 112 | 113 | ```` 114 | -------------------------------------------------------------------------------- /masstheorie/intro_masstheorie.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Maß- und Integrationstheorie 2 | === 3 | 4 | Im ersten Semester haben wir bereits das *Riemann Integral* zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen einer Funktion $f \colon [a,b] \rightarrow \R$ und der x-Achse eingeführt (siehe Kapitel 7 in {cite:p}`burger_2020`). 5 | Die grundlegende Idee hierbei war es die x-Achse in (unterschiedlich große) Intervalle zu unterteilen und mittels dieser Zerlegung Rechtecke zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse zu konstruieren. 6 | Durch das Produkt der Seitenlängen dieser Rechtecke lässt sich nämlich deren Flächeninhalt leicht berechnen und die Summe all dieser Flächeninhalte approximiert den wahren Flächeninhalt zwischen dem Graphen und $f$ und der x-Achse. 7 | Dieses Vorgehen ist zur Erinnerung nochmal in Abbildung {numref}`fig:riemann_integral` illustriert. 8 | 9 | ```{figure} ../img/ober_untersummen.png 10 | --- 11 | height: 300px 12 | name: "fig:riemann_integral" 13 | --- 14 | Illustration zweier Approximationen des Riemann Integrals einer Funktion durch den Flächeninhalt von Rechtecken. Die grünen und lila Rechtecke visualisieren die Unter- bzw. Obersummen bezüglich des in rot dargestellten Graphen der Funktion. Quelle: [Wikipedia; Riemannsches Integral](https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral). 15 | ``` 16 | 17 | Da wir bisher nur die Integration von eindimensionalen Funktionen auf kompakten Intervallen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel den Begriff des Integals auf mehrdimensionale Funktionen $f \colon \R^n \rightarrow \R$ erweitern. 18 | Das Riemann Integral lässt sich problemlos auf mehrdimensionalen Funktionen verallgemeinern, indem man das Integral nicht durch den Flächeninhalt von Rechtecken approximiert, sondern hierfür das *Volumen von entsprechenden Quadern* $Q \subset \R^n$ berechnet. 19 | Es lässt sich insbesondere zeigen, dass jede stetige mehrdimensionale Funktion auf einem (nicht-ausgeartetem) Quader Riemann integrierbar ist. 20 | 21 | Es hat sich jedoch in der Entwicklung der Mathematik herausgestellt, dass der Begriff des Riemann Integrals zu starke Forderungen an die zu Grunde liegenden Funktionen stellt und damit wichtige und interessante Funktionsklassen nicht integrierbar waren. 22 | Als Beispiel hierfür seien [fraktale Mengen und Funktionen](https://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal) genannt, welche auch zur Modellierung von Prozessen in der Natur genutzt werden. 23 | 24 | Aus diesem Grund hat sich ein eigenes Feld innerhalb der modernen Analysis gebildet - die sogenannte **Maßtheorie**. 25 | Es widmet sich hauptsächlich der Untersuchung von Maßen zur Berechnung von Längen, Flächen und Volumina in unterschiedlichen mathematischen Strukturen und Räumen. 26 | Es wird klar, dass Integration und die Berechnung von Volumina eng miteinander zusammen hängen, denn ist $A\subset\R^n$ eine (messbare) Teilmenge, dann ist ihr Maß gleich dem Integral ihrer charakteristischen Funktion, d.h., 27 | 28 | ```{math} 29 | \int_{\R^n} \mathbb{1}_A(x)\,\mathrm{d}x. 30 | ``` 31 | 32 | In einem gewissen Sinn sind Maße ein *fundamentaleres Konzept* als das der Integration, da sich jede Integration auf die Berechnung von Maßen stützt. 33 | 34 | Eins der berühmtesten Beispiele zur Motivation der Maßtheorie ist im Folgenden erklärt. 35 | 36 | ````{prf:example} Dirichlet-Funktion 37 | :label: ex:dirichletFunktion 38 | 39 | Wir betrachten das kompakte Intervall $[0,1] \subset \R$ und definieren hierauf die sogenannte **Dirichlet-Funktion** $\mathbb{1}_\Q \colon [0,1] \rightarrow \{0,1\}$ mit 40 | 41 | ```{math} 42 | \mathbb{1}_\Q(x) := \begin{cases} 1, \ \text{ falls } x \in \Q, \\ 0, \ \text{ sonst }.\end{cases} 43 | ``` 44 | 45 | Diese Abbildung kann als *charakteristische Funktion* der rationalen Zahlen $\Q$ aufgefasst werden. 46 | Man sieht leicht ein, dass diese Funktion **nicht Riemann-integrierbar** ist, da alle Untersummen stets $0$ und alle Obersummen stets $1$ sind. 47 | ```` 48 | 49 | Um eine Funktion wie die Dirichlet-Funktion in {prf:ref}`ex:dirichletFunktion` zu integrieren sieht man zunächst ein, dass die rationalen Zahlen $\Q$ in den reellen Zahlen $\R$ als abzählbare Menge eine sogenannte *Nullmenge* im Sinne der Maßtheorie repräsentieren. 50 | Wir werden im Laufe der Vorlesung die nötigen Werkzeuge der Maßtheorie einführen um diesen Umstand zu verstehen und einen verallgemeinerten Begriff des Integrals definieren, der diese Nullmenge berücksichtigt - das **Lebesgue Integral**. 51 | Dieses Integral ist eine echte Verallgemeinerung des Riemann Integrals und wir werden einsehen, dass die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen eine Obermenge der Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen ist. 52 | Außerdem verhält sich das Lebesgue Integral bei Grenzwertbildungen einfacher als das Riemann Integral. 53 | 54 | Als Referenz empfehlen wir hier wiederum das Skript von Prof.Dr.Hermann Schulz-Baldes (FAU) {cite:p}`baldes_2018`, aber besonders auch das Buch von Prof.Terence Tao zur Einführung in die Maßtheorie {cite:p}`tao_2011` welches einen sehr intuitiven Einblick in die Materie gibt. Eine weitere sehr ausführliche Referenz, welche im Folgenden zitiert wird, ist das Buch von Prof.Vladimir I. Bogachev {cite:p}`boga_2007`. 55 | -------------------------------------------------------------------------------- /complexanalysis/powerseries.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Potenzreihen 2 | 3 | In diesem Abschnitt wollen wir genauer auf analytische Funktionen bzw. Potenzreihen eingehen, wir betrachten also Funktionen 4 | 5 | ```{math} 6 | z\mapsto \sum_{j=0}^{\infty} a_j (z-p)^j, 7 | ``` 8 | 9 | mit komplexen Koeffizienten $a_j\in\C$. 10 | 11 | ## Analytische Funktionen 12 | 13 | Wir betrachten zunächst Funktionen welche durch Potenzreihen gegeben sind und erhalten, dass sie auf Kreisscheiben schon holomorph sind. 14 | 15 | ````{prf:lemma} 16 | :label: lem:potseries 17 | 18 | Es sei $a_j\in\C, j\in\N_0$ eine Folge komplexer Zahlen, $p\in\C$ und die Reihe 19 | 20 | ```{math} 21 | \sum_{j=0}^\infty a_j (z_0-p)^j 22 | ``` 23 | 24 | konvergiere für $z\neq p$. Dann ist die Funktion $f:z\mapsto \sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^j$ holomorph auf der Kreisscheibe $B_r(p)$, wobei $r:=\abs{z_0-p}$ und 25 | 26 | ```{math} 27 | f^\prime(z) = \sum_{j=1}^\infty a_j\cdot j\cdot (z-p)^{j-1}. 28 | ``` 29 | ```` 30 | 31 | ````{prf:proof} 32 | Siehe {cite:p}`neeb_2017` Satz 2.19. 33 | ```` 34 | 35 | Eine besondere Klasse von Funktionen sind *analytische Funktonen*, die sich lokal mit Hilfe von Reihen darstellen lassen. 36 | 37 | ````{prf:definition} Analytische Funktion 38 | Sei $U \subset \C$ offen und $f: U\to \C$ eine Funktion. 39 | 40 | Wir nennen $f$ **analytisch** in einem Punkt $p \in U$ genau dann, wenn ein $r > 0$ existiert, so dass sich die Funktion lokal in $B_r(p)$ als Potenzreihe darstellen lässt, 41 | 42 | ```{math} 43 | f(z) = \sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^j, \qquad \forall z\in B_r(p) 44 | ``` 45 | 46 | wobei $(a_n)_{n_\in\N}$ eine Folge in $\C$ ist. 47 | 48 | Wir nennen die Funktion $f$ analytisch auf der Teilmenge $U$, wenn sie analytisch ist für alle Punkte $z_0 \in D$. 49 | 50 | ```` 51 | 52 | Der folgende Satz beschreibt den Zusammenhang zwischen analytischen und holomorphen Funktionen. 53 | 54 | ````{prf:theorem} 55 | :label: thm:analytischHolomorph 56 | 57 | Jede analytische Funktion $f$ auf einer Teilmenge $U \subset \C$ ist auch holomorph auf $U$. 58 | ```` 59 | 60 | ````{prf:proof} 61 | Folgt direkt aus {prf:ref}`lem:potseries` 62 | ```` 63 | 64 | Wir wollen im folgenden sehen, dass auch die Umkehrung gilt. 65 | 66 | ## Konvergenzradius 67 | 68 | Ein wichtige Eigenschaft von Potenzreihen um $p\in\C$ ist, dass Konvergenz an einem Punkt $z$ schon die absolute und gleichmäßige Konvergenz innerhalb einer Kreisscheibe impliziert. 69 | 70 | ````{prf:lemma} 71 | :label: lem:powerradius 72 | 73 | Konvergiert die Reihe $\sum_{j=0}^\infty a_j (z_0-p)^j$ für $z_0\in\C$, so konvergiert die Reihe $\sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^n$ auf jeder offenen Kreisscheibe $B_r(p)$ mit $r< \abs{z_0 - p}$. 74 | ```` 75 | 76 | ````{prf:proof} 77 | O.B.d.A. gelte $p=0$, da $\sum_{j=0}^\infty a_j z_0^j$ konvergiert ist, $a_j z_0^j$ eine Nullfolge und insbesondere existiert eine Konstante $C>0$, s.d., $\abs{a_j z_0^j}< C$ für alle $j\in\N$. Sei nun $r<\abs{z_0}$, dann folgt für jedes $z\in B_r(0)$, dass 78 | 79 | ```{math} 80 | \abs{a_j z^j} = \abs{a_j z_0^j}\abs{\frac{z}{z_0}}^j\leq C \left(\frac{r}{z_0}\right)^j 81 | ``` 82 | 83 | und damit 84 | 85 | ```{math} 86 | \sum_{j=0}^\infty \abs{a_j z_j} \leq C \sum_{j=0}^\infty \left(\frac{r}{z_0}\right)^j 87 | ``` 88 | 89 | wobei die geometrische Reihe auf der linken Seite konvergiert. Somit konvergiert die Reihe auf $B_r(0)$ nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig absolut. 90 | ```` 91 | 92 | Der maximale Radius für welchen eine Potenzreihe konvergiert, wird als Konvergenzradius bezeichnet. 93 | 94 | ````{prf:definition} Konvergenzradius 95 | Für eine Koeeffizientenfolge $a_j\in\C$ und $p\in\C$ ist der **Konvergenzradius** der Potenzreihe definiert durch 96 | 97 | ```{math} 98 | R :=\sup\left\{\abs{z - p}: \sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^j \text{ konvergiert}\right\}. 99 | ``` 100 | ```` 101 | 102 | Die Definition ist äquivalent zum Wert 103 | 104 | ```{math} 105 | R :=\sup\left\{r<0: \sum_{j=0}^\infty a_j r^j\text{ konvergiert} \right\} 106 | ``` 107 | 108 | was auf das bekannte **Wurzelkriterium** führt. 109 | 110 | ## Entwicklungssatz 111 | 112 | In diesem Abschnitt erarbeiten wir mithilfe von Potenzreihen die komplexe Taylorreihe. 113 | 114 | ```{margin} Brook Taylor 115 | [Brook Taylor](https://de.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor) (Geboren 18. August 1685 in Edmonton, Middlesex; Gestorben 29. Dezember 1731 in Somerset House, London) war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society. 116 | ``` 117 | 118 | ````{prf:theorem} Entwicklungssatz 119 | Es sei $B_r(p)$ eine offene Kreisscheibe um $p\in\C$ und $f:B_r(p)\to\C$ eine Funktion. Die Funktion $f$ ist genau dann holomorph, wenn sie durch eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $p$ dargestellt werden kann, d.h. falls eine Folge $a_j\in\C$ existiert, s.d., 120 | 121 | ```{math} 122 | f(z) = \sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^n. 123 | ``` 124 | 125 | In diesem Fall gilt insbesondere 126 | 127 | ```{math} 128 | a_n = \frac{1}{n!} f^{(n)}(p) 129 | ``` 130 | ```` 131 | 132 | ````{prf:remark} 133 | Diese Aussage bildet das Gegenstück zur Tatsache das analytische Funktionen holomorph sind. Insbesondere ist die Reihe die man so erhält die Taylorreihe 134 | 135 | ```{math} 136 | \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{n!} f^{(n)}(p) (z-p)^n. 137 | ``` 138 | ```` 139 | 140 | ````{prf:proof} 141 | ToDo, siehe {cite:p}`neeb_2017` Satz 5.7. 142 | ```` 143 | 144 | ````{prf:example} 145 | ToDo, sehr wichtiges Beispiel aus {cite:p}`neeb_2017` 5.10. 146 | ```` 147 | -------------------------------------------------------------------------------- /odestability/stabilitaetsbegriffe.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Stabilitätsbegriffe 2 | 3 | Im Folgenden wollen wir grundlegende Begriffe der Stabilitätsanalyse von Ruhelagen einführen und diskutieren. 4 | Wie in {ref}`s:fluesse` definiert, nennen wir einen Punkt $x\in U$ im Phasenraum $U$ **Ruhelage**, falls für den zugehörigen Phasenfluss $\Phi \colon I \times U \rightarrow U$ des dynamischen Systems gilt: $\Phi(t,x) = x, \forall t \in I$, d.h., wenn für alle $t \in I$ der Zustand $x \in U$ ein **Fixpunkt des Flusses** ist. 5 | 6 | Für autonome Differentialgleichungssysteme mit 7 | 8 | ```{math} 9 | \dot{x}(t) = F(x) 10 | ``` 11 | 12 | ist $x \in U$ auch eine Ruhelage, falls $F(x) = 0$ gilt, d.h., falls $x$ eine Nullstelle von $F$ ist. 13 | Das ist einfach zu verstehen, da die Zeitableitung auf der linken Seite für eine Ruhelage Null ist und somit die Funktion $F$, die nur vom Ort abhängt, sich nicht ändern kann. 14 | 15 | Anschaulich versteht man unter der Stabilitätsanalyse von Ruhelagen die mathematische Untersuchung, ob benachbarte Lösungen von einer Ruhelage wegstreben oder nicht. 16 | Dies ist insbesondere in technischen Anwendungen wichtig, da man dort häufig danach strebt ein dynamisches System in eine Gleichgewichtslage zu bringen. 17 | Da dies nur bis zu einer gewissen Genauigkeit möglich ist, muss man also mit kleinen Störungen rechnen. 18 | 19 | Ist eine Ruhelage stabil, dann bleiben benachbarte Lösungen auch für zukünftige Zeitpunkte $t \in I$ nahe der Ruhelage. 20 | Ist sie jedoch nicht stabil, so muss das im Allgemeinen nicht gelten und die Lösungen können dann mit der Zeit von der Ruhelage divergieren. 21 | Diese Anschauung wollen wir in der folgenden Definition mathematisch formalisieren. 22 | Hierbei werden wir den Stabilitätsbegriff für allgemeine Lösungen einführen und später Ruhelagen als ein Spezialfall dieser Lösungen interpretieren. 23 | 24 | ````{prf:definition} Stabilität von Lösungen 25 | :label: def:Stabilitaet 26 | 27 | Sei $\Phi \colon I \times U \rightarrow U$ der Phasenfluss zu dem Vektorfeld $F\in C^1(U;\R^n)$ auf $U$, dass durch die rechte Seite des zugehörigen Differentialgleichungssystems gegeben ist. 28 | 29 | 1\. Eine Lösung $t \in [0,\infty) \mapsto \Phi_t(x)$ heißt **(Lyapunov-)stabil**, wenn zu jedem $\epsilon > 0$ ein $\delta>0$ existiert mit: 30 | 31 | ```{math} 32 | \|x-y\|<\delta \ \Rightarrow \ \sup_{t\geq0}\|\Phi_t(x)-\Phi_t(y)\|<\epsilon. 33 | ``` 34 | 35 | 2\. Eine Lösung $ t \in [0,\infty) \mapsto \Phi_t(x)$ heißt **asymptotisch stabil**, wenn ein $\delta > 0$ existiert mit: 36 | 37 | ```{math} 38 | \|x-y\|<\delta \ \Rightarrow \ \lim_{t\to\infty}\|\Phi_t(x)-\Phi_t(y)\|=0. 39 | ``` 40 | 41 | 3\. Eine Lösung heißt **instabil**, wenn sie nicht (Lyapunov-)stabil ist. 42 | ```` 43 | 44 | ```{margin} Aleksandr Lyapunov 45 | [Alexander Michailowitsch Ljapunow](https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Michailowitsch_Ljapunow) (Geboren 6. Juni 1857 in Jaroslawl; Gestorben 3. November 1918 in Odessa) war ein russischer Mathematiker und Physiker. 46 | ``` 47 | 48 | Es ist klar, dass der Begriff der asymptotischen Stabilität *stärker* als der Begriff der Lyapunov-Stabilität von Lösungen ist, da jede asymptotisch stabile Lösung auch schon Lyapunov-stabil ist. 49 | Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. 50 | Dies wird durch das folgende Beispiel nochmal illustriert. 51 | 52 | ````{prf:example} Stabilitätsanalyse für den harmonischer Oszillator 53 | 54 | Der Phasenfluss für den harmonischen Oszillator ist, wie wir in {prf:ref}`ex:oscillations` gesehen haben, gegeben durch 55 | 56 | ```{math} 57 | \Phi(t, (p,x)) = \begin{pmatrix} 58 | p \cos(\omega t) - m x \sin(\omega t)\\ 59 | \frac{p}{\omega m}\sin(\omega t) + x\cos(\omega t) 60 | \end{pmatrix} 61 | ``` 62 | 63 | Wir suchen nun einen Fixpunkt $(p_r,x_r) \in U$ des Flusses der unabhängig ist vom Zeitpunkt $t$. 64 | Man sieht leicht ein, dass eine **Ruhelage** sich bei $(p_r,x_r) = (0,0)^T \in U$ befindet, da $\Phi(t,(0,0)) = (0,0)^T$ ist für alle $t \in I$. 65 | Die gefundene Ruhelage ist **Lyapunov-stabil**, denn wie wir im Phasenporträt in {numref}`fig:harmonic_oscillator` gesehen haben, ist jeder Orbit um die Ruhelage $(0,0)$ periodisch. Damit kann das dynamische System insgesamt nicht wegstreben von der Ruhelage. 66 | 67 | Mathematisch lässt sich diese Eigenschaft wie folgt zeigen. 68 | Für ein beliebiges $\epsilon > 0$ sei $(p,y) \in U$ ein Punkt im Phasenraum mit periodischen Orbit $O(p,y)$ um die Ruhelage $(p_r,x_r) = (0,0)^T \in U$, so dass dessen maximaler Abstand zur Ruhelage kleiner als $\epsilon$ ist, d.h. 69 | 70 | ```{math} 71 | \sup_{t \geq 0} ||\Phi_t(p_r,x_r) - \Phi_t(p,y)|| < \epsilon 72 | ``` 73 | 74 | Auf Grund der ersten Eigenschaft des Phasenflusses $\Phi_0(p,y) = (p,y)$ gilt dann aber schon 75 | 76 | ```{math} 77 | ||(p_r, x_r) - (p,y)|| = ||\Phi_0(p_r, x_r) - \Phi_0(p,y)|| < \epsilon. 78 | ``` 79 | 80 | Wählen wir nun $\delta \coloneqq \epsilon$, so haben wir gezeigt, dass die Ruhelage $(p_r, x_r) = (0,0)^T$ Lyapunov-stabil ist. 81 | Sie ist jedoch auf Grund der Periodizität der Orbits um die Ruhelage **nicht asymptotisch stabil**, da für beliebige Punkte $(p,y) \in U$ mit $||(p_r,x_r) - (p,y)|| < \delta$ für ein $\delta > 0$ gilt 82 | 83 | ```{math} 84 | \lim_{t\to\infty}\|\Phi_t(p_r, x_r)-\Phi_t(p,y)\| \neq 0. 85 | ``` 86 | ```` 87 | 88 | Im allgemeinen Fall der gedämpften Schwingungsgleichung in {prf:ref}`ex:oscillations` hängt die Stabilität der Ruhelage im Ursprung intuitiverweise von der Reibungskonstanten ab, wie folgende Bemerkung festhält. 89 | 90 | ````{prf:remark} Stabilität bei der gedämpften Schwingungsgleichung 91 | Für den Fall der gedämpften Schwingungsgleichung in {eq}`eq:schwingungsgleichung` lässt sich folgendes Stabilitätsverhalten der Ruhelage im Ursprung in Abhängigkeit der Reibungskonstanten $r \in \R$ beobachten: 92 | 1. Die Ruhelage ist **asymptotisch stabil** für den Fall mit positiver Reibung $r>0$. 93 | 2. Die Ruhelage ist **Lyapunov-stabil** für den reibungsfreien Fall $r=0$. 94 | 3. Die Ruhelage ist **instabil** für den Fall einer negativen Reibung $r < 0$, d.h. für einen externen Antrieb. 95 | ```` 96 | -------------------------------------------------------------------------------- /complexanalysis/cauchyriemann.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Holomorphe Funktionen 2 | 3 | Wir betrachten im Folgenden komplexe Funktionen $f:\C\to\C$. Der Begriff der Stetigkeit wird durch die Metrik induziert. Das Konzept der Differenzierbarkeit führt auf den zentralen Begriff der Funktionentheorie, sogenannte *holomorphen Funktionen*. 4 | 5 | ````{prf:definition} Holomorphe Funktion 6 | :label: def:holomorph 7 | 8 | Sei $U \subset \C$ eine offene Teilmenge, eine Funktion $f:U\to\C$ heißt **komplex differenzierbar** in $p\in\C$, falls der Grenzwert 9 | 10 | ```{math} 11 | f'(p) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} 12 | ``` 13 | 14 | existiert. Ist $f$ komplex differenzierbar für alle $p\in U$ so nennen wir $f$ **holomorph**. 15 | 16 | ```` 17 | 18 | ````{prf:remark} 19 | Beachte, dass im obigen Grenzwert $h\in\C$ gilt, der Limes existiert also, falls für eine beliebige Folge $h_k\in\C,k\in\N$ mit $\abs{h_k}\to 0$ gilt, dass 20 | 21 | ```{math} 22 | \lim_{k\to\infty} \frac{f(p+h_k) - f(p)}{h_k} = f'(p). 23 | ``` 24 | 25 | Dies ist äquivalent dazu, dass für eine beliebige Folge $z_k\in\C,k\in\N$ mit $\abs{z_k-p}\to 0$ gilt, dass 26 | 27 | ```{math} 28 | \lim_{k\to\infty} \frac{f(z_k) - f(p)}{z_k - p} = f'(p). 29 | ``` 30 | ```` 31 | 32 | ## Eigenschaften holomorpher Funktionen 33 | 34 | Eine sehr nützliche Eigenschaft komplex differenzierbarer Funktionen liefert das folgende Lemma. 35 | 36 | ````{prf:lemma} 37 | :label: lem:splitholo 38 | 39 | Sei $U \subset \C$ eine offene Teilmenge, die Funktion $f:U\to\C$ ist genau dann komplex differenzierbar in $p\in U$, falls eine in $p$ stetige Funktion $h:U\to\C$ existiert, s.d. 40 | 41 | ```{math} 42 | f(z) = f(p) + h(z)\cdot (z-p)\quad\forall z\in U. 43 | ``` 44 | 45 | Weiterhin gilt in diesem Fall $h(p) = f^\prime(p)$. 46 | ```` 47 | 48 | ````{prf:proof} 49 | Es sei $f$ komplex differenzierbar in $p$, dann definieren wir die Funktion 50 | 51 | ```{math} 52 | h(z):= 53 | \begin{cases} 54 | \frac{f(z) - f(p)}{z-p}\text{ falls }z\neq p\\ 55 | f^\prime(p)\text{ sonst.} 56 | \end{cases} 57 | ``` 58 | 59 | Da $f$ komplex differenzierbar in $p$ ist existiert der Grenzwert 60 | 61 | ```{math} 62 | \lim_{z\to p} \frac{f(z) - f(p)}{z-p} 63 | ``` 64 | 65 | und ist gleich $f^\prime(p)$ und daher ist $h$ stetig in $p$. Weiterhin gilt 66 | 67 | ```{math} 68 | h(z)\cdot (z-p) = f(z) - f(p)\quad\forall z\in U 69 | ``` 70 | 71 | und daher die Behauptung. 72 | 73 | Für die andere Richtung sei $h$ eine in $p$ stetige Funktion s.d. 74 | 75 | ```{math} 76 | f(z) = f(p) + h(z)\cdot (z-p)\quad\forall z\in U. 77 | ``` 78 | 79 | Dann gilt 80 | 81 | ```{math} 82 | \lim_{z\to p} \frac{f(z) - f(p)}{z-p} = \lim_{z\to p} h(z) = h(p) 83 | ``` 84 | 85 | wobei der Grenzwert existiert, da $h$ stetig in $p$ ist. Somit ist $f$ komplex differenzierbar in $p$. 86 | 87 | ```` 88 | 89 | Mithilfe des obigen Lemmas können wir sofort folgern, dass holomorphe Funktionen stetig sind. 90 | 91 | ````{prf:lemma} 92 | Es sei $U\subset\C$ offen und $f:U\to\C$ sei komplex differenzierbar in $p\in U$, dann folgt $f$ ist stetig in $p$. 93 | ```` 94 | 95 | ````{prf:proof} 96 | Die Funktion $f$ sei komplex differenzierbar in $p$, dann existiert nach {prf:ref}`lem:splitholo` eine in $p$ stetige Funktion $h$, s.d., 97 | 98 | ```{math} 99 | f(z) = f(p) + h(z)\cdot(z-p)\quad \forall z\in U. 100 | ``` 101 | 102 | Die Polynome $z\mapsto f(p), z\mapsto (z-p)$ sind jeweils stetig in $p$, Addition und Multiplikation stetiger Funktionen erhält Stetigkeit und somit ist $f$ stetig in $p$. 103 | ```` 104 | 105 | Wir betrachten nun noch Ableitungsregeln, welche versichern, dass wir für die komplexe Ableitung die gewohnten Rechenregeln benutzten dürfen. 106 | 107 | ````{prf:lemma} Komplexe Ableitungsregeln 108 | Es sei $U\subset\C$ offen und $f,g:U\to\C$ zwei holomorphe Funktionen, dann gilt 109 | 110 | * $f+g$ ist holomorph, mit $(f+g)^\prime = f^\prime + g^\prime$, 111 | 112 | * $f\cdot g$ ist holomorph, mit $(f\cdot g)^\prime = f^\prime g+ f g^\prime$. 113 | 114 | Weiterhin seien $f:U\to V, g:V\to C$ zwei holomorphe Funktionen mit $V\subset\C$ offen, dann gilt 115 | 116 | * $g\circ f$ ist holomorph mit $(g\circ f)^\prime = (g^\prime \circ f)\, f^\prime$. 117 | 118 | Zusätzlich gilt 119 | 120 | * $\frac{1}{f}: U\setminus f^{-1}(0)\to \C$ ist holomorph, mit $(\frac{1}{f})^\prime = \frac{f^\prime}{f^2}$. 121 | ```` 122 | 123 | ````{prf:proof} 124 | ToDo 125 | ```` 126 | 127 | ## Die Cauchy--Riemannschen Differentialgleichungen 128 | 129 | Da die komplexen Zahlen auch einen zweidimensionalen reellen Vektorraum bilden, stellt sich die Frage wie komplexe Differenzierbarkeit mit der bekannten totalen Differenzierbarkeit im $\R^n$ zusammenhängt. 130 | 131 | ````{prf:definition} 132 | Es sei $U\subset\R^n$ offen, eine Funktion $F:U\to\R^m$ heißt **total differenzierbar** in $a\in U$, falls ein reell lineares Funktional $df(a):\R^n\to\R^m$ existiert, s.d., 133 | 134 | ```{math} 135 | \lim_{x\to a} \frac{\abs{f(x)-f(a) - df(a)(x-a)}}{\abs{x-a}} = 0. 136 | ``` 137 | ```` 138 | 139 | Im Falle von totaler Differenzierbarkeit, wissen wir, dass $F$ in alle Richtung partiell differenzierbar ist, und dass das Differential $df(a)$ durch die Jacobi-Matrix am Punkt $a$ gegeben ist. Falls $F$ andererseits in alle Richtungen **stetig** partiell differenzierbar ist, so ist es auch total Differenzierbar. 140 | 141 | Sei nun $f:\C\to\C$ eine komplexe Funktion wobei wir mit $u:=\Re(f),v:=\Im(f)$ jeweils der Real- und Imaginärteil von $f$ sind. Dann ist ist $f$ natürlicherweise auch eine Funktion $f:\R^2\to\R^2$, denn 142 | 143 | ```{math} 144 | f = u+iv = \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}. 145 | ``` 146 | 147 | Somit können wir auch für $f:\C\to\C$ den Begriff der totalen Differenzierbarkeit betrachten. Der folgende Satz setzt nun Holomorphie und Totale Differenzierbarkeit in Beziehung und führt auf natürliche Weise auf die **Cauchy--Riemannschen Differentialgleichungen**. 148 | 149 | ````{prf:remark} 150 | Der konzeptionelle Unterschied zwischen totaler Differenzierbarkeit und Holomorphie ist, dass der Grenzwert in {prf:ref}`def:holomorph` durch den Quotienten die komplexe Multiplikation benutzt, während wir bei totaler Differenzierbarkeit die Beträge von Vektoren betrachten. Allgemein unterscheidet sich $\C$ als Körper nur durch die zusätzlich definierte komplexe Multiplikation vom reellen Vektorraum $\R^2$. Genau diese komplexe Multiplikation die hier einfließt, führt dazu, dass der Begriff der Holomorphie nicht gleich dem der klassischen Differenzierbarkeit auf $\R^2$ ist. 151 | ```` 152 | 153 | Dafür setzen wir Voraus, dass die Komponenten $u,v$, stetig partiell differenzierbar sind und somit das totale Differential in $p\in U\subset\C$ gegeben ist durch 154 | 155 | ```{math} 156 | df(p) = 157 | \begin{pmatrix} 158 | \partial_x u &\partial_y u\\ 159 | \partial_x v &\partial_y v 160 | \end{pmatrix}. 161 | ``` 162 | 163 | Wir erkennen, dass das totale Differential auch eine Abbildung $df(p):\C\to\C$ definiert 164 | 165 | ```{math} 166 | df(p)(z)= df(p)(x+iy):= 167 | \begin{pmatrix} 168 | \partial_x u &\partial_y u\\ 169 | \partial_x v &\partial_y v 170 | \end{pmatrix} 171 | \begin{pmatrix} 172 | x\\y 173 | \end{pmatrix} 174 | ``` 175 | 176 | welche offensichtlich linear über $\R$ aber **nicht notwendigerweise** linear über $\C$ ist. 177 | 178 | ````{prf:theorem} 179 | Es sei $U\subset \C$ offen und $f=u+iv:\C\to\C$ eine Funktionen mit **stetig partiell differenzierbaren** Funktionen $u,v:\C\to\R$, dann sind folgende Aussagen äquivalent, 180 | 181 | 1. $f$ ist holomorph, 182 | 183 | 2. die Abbildung $df(p):\C\to\C$ ist linear über dem Körper $\C$, 184 | 185 | 3. es gelten die Cauchy--Riemannschen Differentialgleichungen 186 | 187 | ```{math} 188 | \partial_x u = \partial_y v, \qquad \partial_y u = -\partial_x v. 189 | ``` 190 | 191 | ```` 192 | 193 | ````{prf:proof} 194 | ToDo, siehe [Video](https://www.fau.tv/clip/id/40944) ab Minute 32:30. 195 | ```` 196 | 197 | ````{prf:example} Holomorphe Funktionen 198 | Ableitung eines komplexen Monoms -> Beispiel 10.4 auf S.314 in Schulz-Baldes 199 | 200 | $f(z) := \overline{z}$ ist nicht holomorph -> Beispiel 10.7 auf S.315 in Schulz-Baldes 201 | ```` 202 | -------------------------------------------------------------------------------- /ode/hamilton.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # Hamiltonsche Differentialgleichungen 3 | 4 | Ein wichtiges Prinzip für viele physikalischen Anwendungen und dynamische Systeme sind *Erhaltungssätze* und die dazugehörigen *Erhaltungsgrößen*. 5 | Aus der klassichen Mechanik kennen wir beispielsweise die *Energieerhaltung* oder die *Impulserhaltung*. 6 | In {ref}`s:fluesse` haben wir Bewegungsgleichungen als System von gewöhnlichen Differentialgleichungen hergeleitet und gelöst, deshalb wollen wir nun die nötige Theorie entwickeln, die es uns erlaubt Erhaltungsgrößen direkt aus der Formulierung des Differentialgleichungssystems abzulesen. 7 | 8 | Hamiltonsche Differentialgleichungen haben in der Physik eine besondere Rolle, insbesondere in der klassischen Mechanik bei Abwesenheit von Reibung. 9 | Typischerweise tauchen diese bei der Untersuchung von Bewegungen im Phasenraum auf, d.h., bei der Betrachtung von Paaren aus Orts- und Impulswerten. 10 | Ihre Lösungen liefern uns Trajektorien im Phasenraum für die die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt. 11 | Dies macht sie für uns besonders interessant. 12 | 13 | Bevor wir die hamiltonschen Differentialgleichungen und ihre Eigenschaften näher diskutieren führen wir zunächst ein wann wir ein Vektorfeld auf dem Phasenraum Hamiltonsch nennen und was eine Hamilton-Funktion dieses Vektorfelds ist. 14 | 15 | ````{prf:definition} Hamilton-Funktion 16 | :label: def:hamiltonsch 17 | 18 | Sei $n \in N$ die **Anzahl der Freiheitsgrade** des betrachteten dynamischen Systems und sei $U\subset \R^n \times \R^n$ der zugehörige Phasenraum. 19 | Wir nennen ein Vektorfeld $X \colon U \rightarrow \R^{2n}$ mit $X \in C^1(P;\R^{2n})$ **Hamiltonsch**, falls eine reellwertige Funktion $H \colon U \rightarrow \R$ sowie eine Matrix $J \, \coloneqq \, \begin{pmatrix}0 & -\mathbf{1}\\ \mathbf{1} & 0 \end{pmatrix} \in \R^{2n \times 2n}$ existiert, so dass sich das Vektorfeld darstellen lässt als 20 | 21 | ```{math} 22 | :label: eq:hamilton_Gleichung 23 | X(p,q) = J \, \nabla H (p,q) \quad \forall (p,q) \in U. 24 | ``` 25 | 26 | In diesem Fall nennen wir die Funktion $H$ eine **Hamilton-Funktion** des Vektorfelds $X$. 27 | 28 | ```` 29 | 30 | Folgende Bemerkungen zur Hamilton-Funktion wollen wir festhalten. 31 | 32 | ````{prf:remark} 33 | 1. Die Hamilton-Funktion lässt sich auch als Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion des Systems herleiten, was weitere interessante Zusammenhänge in der Physik erklärt. 34 | In dieser Vorlesung verzichten wir auf diesen Zugang zur Hamilton-Funktion und verweisen die interessierten Leser\*innen auf Kapitel 2 {cite:p}`nolting_2011`. 35 | 2. Im Folgenden werden wir annehmen, dass die Hamilton-Funktion $H$ nicht explizit von der Zeitvariable $t \in I$ abhängt, was jedoch im Allgemeinen sein kann. 36 | ```` 37 | 38 | Basierend auf der Hamilton-Funktion aus {prf:ref}`def:hamiltonsch` können wir nun die Hamiltonschen Differentialgleichungen definieren. 39 | 40 | ````{prf:definition} Hamiltonsche Differentialgleichung 41 | Sei $x(t) = (p(t),q(t)) \in U$ eine Bahnkurve des Phasenraums $U \subset \R^{2n}$. 42 | Wird das hamiltonsche Vektorfeld auf der linken Seite von {eq}`eq:hamilton_Gleichung` als 43 | 44 | ```{math} 45 | X = \dot{x}(t) = \begin{pmatrix} \dot{p} \\ \dot{q} \end{pmatrix} (t) 46 | ``` 47 | 48 | gewählt, so lässt sich die Gleichung für $J \, \coloneqq \, \begin{pmatrix}0 & -\mathbf{1}\\ \mathbf{1} & 0 \end{pmatrix} \in \R^{2n \times 2n}$ schreiben als 49 | 50 | ```{math} 51 | :label: eq:hamilton_DGL 52 | \dot{x}(t) = J \nabla H(x(t)). 53 | ``` 54 | 55 | In dieser Form wird die entstehende Differentialgleichung in {eq}`eq:hamilton_DGL` **Hamiltonsche Differentialgleichung** genannt. 56 | 57 | Äquivalent lässt sich dieses System von gewöhnlichen Differentialgleichungen auch explizit für die $2n$ unbekannten Orts- und Impulsfunktionen $q_i, p_i$ für $1 \leq i \leq n$ schreiben als 58 | 59 | ```{math} 60 | \dot{q_i}(t) = \frac{\partial H}{\partial p_i}(t), \quad \dot{p_i}(t) = -\frac{\partial H}{\partial q_i}(t), \quad i=1,\ldots,n. 61 | ``` 62 | 63 | ```` 64 | 65 | Für den einfachen Fall einer zeitunabhängigen Hamilton-Funktion $H$ lässt sich beobachten, dass die Lösungskurven der Hamiltonschen Differentialgleichungen sich nicht schneiden und durch jeden Punkt des Phasenraums eine Lösungskurve verläuft. 66 | 67 | Die Hamilton-Funktion $H$ als Funktion des Phasenraumes kann als die Energie eines Systems von Teilchen aufgefasst werden. 68 | Wir wollen uns die Rolle der Hamilton-Funktion $H$ an Hand eines physikalischen Beispiels klar machen. 69 | 70 | ````{prf:example} Newtonsche Kraftgleichung 71 | Im folgenden Beispiel wollen wir die Bewegung eines Teilchens mit Masse $m>0$ in einem Kraftfeld $F \colon \R^3 \rightarrow \R^3$ untersuchen, welches nur vom Ort $q \in \R^3$ abhängt. 72 | Nach dem 2. Newtonschen Gesetz erhalten wir die Bewegungsgleichung 73 | 74 | ```{math} 75 | :label: eq:newton 76 | m\ddot{q}(t) = F(q(t)). 77 | ``` 78 | 79 | Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung in {eq}`eq:newton` lässt sich durch die Definition des Impulses des Teilchens $p(t) \, \coloneqq \, m \dot{q(t)}$ in ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem 1. Ordnung überführen: 80 | 81 | ```{math} 82 | \dot{p}(t) = F(q(t)), \quad \dot{q}(t) = \frac{1}{m}p(t). 83 | ``` 84 | 85 | Wir nehmen zur Vereinfachung nun an, dass das gegebene Kraftfeld $F$ *konservativ* sei, d.h., wir können annehmen, dass $F = - \nabla V$ gilt für ein Potential $V \colon \R^3 \rightarrow \R$ (z.B. die Erdanziehungskraft). 86 | Dann können wir das physikalische Modell als kontinuierliches dynamisches System interpretieren mit dem erweiterten Phasenraum $I \times U \subset \R^+_0 \times \R^6$. 87 | Betrachten wir nun einen Punkt $x = \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \in U$ im Phasenraum, so lässt sich das autonome gewöhnliche Differentialgleichungssystem kompakt schreiben als 88 | 89 | ```{math} 90 | :label: eq:newton_DGL 91 | \dot{x}(t) = \begin{pmatrix} \dot{p} \\ \dot{q} \end{pmatrix}(t) = \begin{pmatrix} -\nabla V(q) \\ \frac{p}{m} \end{pmatrix}(t) 92 | ``` 93 | 94 | Wählen wir nun die **Hamilton-Funktion** aus {prf:ref}`def:hamiltonsch` 95 | 96 | ```{math} 97 | H(p,q) \, \coloneqq \, \frac{||p||^2}{2m} + V(q), 98 | ``` 99 | 100 | so erkennen wir, dass diese sich aus *kinetischer* und *potentieller Energie* zusammensetzt. 101 | Durch diese Hamilton-Funktion $H$ lässt sich {eq}`eq:newton` als **Hamiltonsche Differentialgleichung** schreiben mit 102 | 103 | ```{math} 104 | \dot{x}(t) = \begin{pmatrix}\dot{p} \\ \dot{q} \end{pmatrix}(t) = \begin{pmatrix} -\nabla V(q) \\ \frac{p}{m} \end{pmatrix}(t) = \begin{pmatrix}0 & -\mathbf{1}\\ \mathbf{1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{p}{m} \\ \nabla V(q) \end{pmatrix}(t) = J \nabla H(p(t),q(t)). 105 | ``` 106 | 107 | ```` 108 | 109 | Ergänzend wollen wir noch folgendes Beispiel einer Hamilton-Funktion nennen. 110 | 111 | 112 | ````{prf:example} 113 | Im Fall des eindimensionalen harmonischen Oszillators mit Masse $m > 0$ aus {prf:ref}`ex:oscillations` lässt sich ebenfalls eine Hamilton-Funktion des dynamischen Systems angeben. 114 | Sei $(x,p) \in U$ als Punkt des Phasenraums $U \subset \R^2$ der Ort und Impuls eines Pendels. 115 | Dann lässt sich die zugehörige Hamilton-Funktion $H \colon U \rightarrow \R$ angeben als: 116 | 117 | ```{math} 118 | H(x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{m}{2} \omega^2 x^2. 119 | ``` 120 | 121 | Hierbei bezeichnet $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ die Eigenfrequenz des Systems und $k > 0$ die Federkonstante. 122 | ```` 123 | 124 | Bisher haben wir noch nicht den Grund diskutiert, warum die Hamilton-Funktion eine besondere Rolle im Kontext dynamischer Systeme spielt. 125 | Das wollen wir nun im folgenden Satz nachholen. 126 | 127 | ````{prf:theorem} 128 | :label: thm:hamconst 129 | Sei $n\in \N, U \subseteq \mathbb{R}^{2n}$ ein (offener) Phasenraum und $J= \begin{pmatrix} 0 & - \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}$. 130 | Ist die Hamilton-Funktion $H \in C^2(U; \mathbb{R})$, dann ist sie entlang der Lösungskurven der Hamiltonschen Differentialgleichung 131 | \begin{equation*} 132 | \dot x = J \nabla H(x) 133 | \end{equation*} 134 | konstant. 135 | ```` 136 | 137 | ````{prf:proof} 138 | In der Hausaufgabe zu zeigen. 139 | ```` 140 | 141 | {prf:ref}`thm:hamconst` sagt uns also, dass die Orbits des kontinuierlichen Systems innerhalb der Niveaumengen der Hamilton-Funktion verlaufen. 142 | Dies erlaubt es uns dynamische Systeme auf diese häufig auch *Energieschalen* genannten Niveaumengen $H^{-1}(E)$ für $E \in \R$ zu restringieren. 143 | Diese Energieschalen bilden Untermannigfaltigkeiten des Phasenraums $U$. 144 | 145 | Für den einfachen Fall eines Freiheitsgrades, d.h., für $n = 1$, lassen sich für eine gegebene Hamilton-Funktion $H$ die Orbits des dynamischen Systems bestimmen. 146 | Für einen Punkt $x \in U$ im Phasenraum $U \subset \R^2$ unterscheiden wir zwei Fälle: 147 | 148 | 1. Ist $\nabla H(x) = 0$, so ist der Orbit wegem {eq}`eq:hamilton_DGL` von der Form $O(x) = {x}$. 149 | 150 | 2. Ist $\nabla H(x) \neq 0$, so ist der Orbit $O(x)$ gegeben durch die zusammenhängende Menge 151 | 152 | ```{math} 153 | O(x) = \{y \in U | H(y) = H(x), \nabla H(y) \neq 0\} 154 | ``` 155 | 156 | Die Orientierung des Orbits erhält man durch die Richtung, die orthogonal zum Gradienten $\nabla H$ steht, d.h., durch Drehung des Gradienten im Uhrzeigersinn um $\frac{\pi}{2}$. 157 | Die Matrix $J$ entspricht eben einer solchen Drehung. 158 | 159 | ````{prf:remark} 160 | Eine Formulierung der Bewegungsgleichungen eines dynamischen Systems als Hamiltonsche Differentialgleichungen hat den Vorteil, dass sie unter den sogenannten *kanonischen Transformationen* in manchen Fällen in eine einfachere, lösbare Form gebracht werden können. 161 | ```` -------------------------------------------------------------------------------- /complexanalysis/cauchyintegral.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Der Integralsatz von Cauchy 2 | 3 | Wir wollen nun einen der zentralen Aussagen der Funktionentheorie formulieren, die Cauchysche Integralformel. 4 | Diese besagt, dass sich die Werte einer holomorphen Funktion im Inneren eines bestimmten Gebietes bereits durch die Werte auf dem Gebietsrand bestimmen lassen. Ein erstes Resultat in diese Richtung erhalten wir indem wir *benachbarte Wege* betrachten. 5 | 6 | ## Benachbarte Wege 7 | 8 | In der Definition eines Wegintegrals über beliebige Wege betrachtet man zulässige Zerlegungen mit offenen Kreisscheiben. Finden wir nun eine Zerlegung, s.d., sich zwei Wege die jeweiligen Kreisscheiben teilen, so wollen wir sie benachbart nennen. 9 | 10 | ````{prf:definition} 11 | Es sei $U\subset \C$ offen und seien $\gamma_0,\gamma_1:[a,b]\to U$ zwei Wege. Falls eine Zerlegung $(a=t_0,\ldots,b=t_N)$ existiert mit Kreisscheiben $B^j$, welche zulässig für beide Wege ist, d.h., 12 | 13 | ```{math} 14 | \gamma_0([t_j, t_{j+1}])\cup \gamma_1([t_j,t_{j+1}]) \subset B^j 15 | ``` 16 | 17 | dann nennen wir $\gamma_0$ und $\gamma_1$ **benachbart**. 18 | ```` 19 | 20 | Der Begriff der Nachbarschaft hat tatsächlich auch eine geometrische Bedeutung, welche in folgendem Lemma festgehalten wird. 21 | 22 | ````{prf:lemma} Nachbarschaftslemma 23 | :label: lem:closelem 24 | 25 | Es sei $U\subset\C$ offen, dann existiert ein $\varepsilon>0$, s.d. falls für zwei Wege $\gamma_0,\gamma_1:[a,b]\to U$ gilt 26 | 27 | ```{math} 28 | \abs{\gamma_0 - \gamma_1} < \varepsilon 29 | ``` 30 | 31 | so folgt schon, dass $\gamma_0,\gamma_1$ benachbart sind. 32 | ```` 33 | 34 | ````{prf:proof} 35 | Siehe z.B. {cite:p}`neeb_2017`. 36 | ```` 37 | 38 | Für benachbarte Wege erhalten wir nun das folgende Resultat, welches eine Vorstufe zum Integralsatz von Cauchy darstellt. 39 | 40 | ````{prf:lemma} 41 | :label: lem:closepath 42 | 43 | Es $U\subset\C$ eine offene Menge und $f:U\to\C$ eine holomorphe Funktion, weiterhin seien $\gamma_0,\gamma_1:[a,b]\to U$ zwei benachbarte Weg die eine der folgenden Bedingungen erfüllen 44 | 45 | 1. die Wege haben gleiche Anfangs- und Endpunkte, oder 46 | 47 | 2. die Wege sind geschlossen. 48 | 49 | Dann gilt 50 | 51 | ```{math} 52 | \int_{\gamma_0} f(z)\, dz = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz. 53 | ``` 54 | ```` 55 | 56 | ````{prf:proof} 57 | Siehe z.B. {cite:p}`neeb_2007` Lemma 4.5. 58 | ```` 59 | 60 | ## Homotopie 61 | 62 | Um nicht nur benachbarte Wege betrachten zu können definieren wir jetzt den Begriff von Homotopie. 63 | 64 | ````{prf:definition} Homotopie 65 | Es sei $U\subset\C$ offen, zwei Wege $\gamma_0, \gamma_1:[a,b]\to U$ mit gleichen Anfangs und Endpunkten, 66 | 67 | ```{math} 68 | \gamma_0(a) = \gamma_1(a),\\ 69 | \gamma_0(b) = \gamma_1(b), 70 | ``` 71 | 72 | heißen **homotop**, falls eine stetige Abbildung $h:[a,b]\times[0,1]\to U$ existiert, so dass für alle $t\in[a,b]$ gilt 73 | 74 | ```{math} 75 | h(t,0) = \gamma_0(t), \qquad h(t,1) = \gamma_1(t). 76 | ``` 77 | 78 | In diesem Fall nennen wir die Abbildung $h$ eine **Homotopie** zwischen den Wegen $\gamma_0$ und $\gamma_1$ und notieren auch $h_s:=h(\cdot,s):[a,b]\to U$ für den Weg am Punkt $s\in [0,1]$. 79 | 80 | ```` 81 | 82 | Anstatt nur Wege mit gleichen Anfangs und Endpunkten zu betrachten können wir auch Homotopie geschlossener Wege definieren. 83 | 84 | ````{prf:definition} Homotopie geschlossener Wege 85 | Es sei $U\subset\C$ offen, zwei geschlossene Wege $\gamma_0, \gamma_1:[a,b]\to U$ heißen **frei homotop**, falls eine stetige Abbildung $h:[a,b]\times[0,1]\to U$ existiert, so dass für alle $t\in[a,b]$ gilt 86 | 87 | ```{math} 88 | h(t,0) = \gamma_0(t), \qquad h(t,1) = \gamma_1(t)\quad 89 | ``` 90 | 91 | und der Weg $h_s$ geschlossen ist für alle $s\in [0,1]$. 92 | 93 | Ein geschlossener Weg heißt **zusammenziehbar** oder **nullhomotop**, falls er frei homotop zu einem konstanten Weg ist. 94 | 95 | ```` 96 | 97 | ````{prf:remark} 98 | Man kann zeigen, dass der Begriff der Homotopie zwischen Wegen in einer Teilmenge $U \subset \C$ eine *Äquivalenzrelation* auf Wegen in $U$ induziert. Die zugehörigen Äquivalenzklassen werden auch *Homotopieklassen* genannt. 99 | ```` 100 | 101 | ## Der Homotopiesatz und der Integralsatz von Cauchy 102 | 103 | Für geschlossene Wege impliziert Homotopie eine besondere Eigenschaft bezüglich des Kurvenintegrals, wie folgendes Lemma festhält. 104 | 105 | ````{prf:lemma} Homotopiesatz 106 | :label: lem:homotop 107 | 108 | Es sei $U \subset \C$ offen und seien $\gamma_0$ und $\gamma_1:[a,b]\to U$ homotope oder frei homotope Wege. 109 | Sei außerdem $f:U\to C$ eine holomorphe Funktion, dann gilt 110 | 111 | ```{math} 112 | \int_{\gamma_0} f(z) \, dz = \int_{\gamma_1} f(z) \, dz. 113 | ``` 114 | ```` 115 | 116 | ````{prf:proof} 117 | Es sei $h:[a,b]\times[0,1]\to U$ eine Homotopie, mit $h_0=\gamma_0, h_1=\gamma_1$. Die Menge $[a,b]\times[0,1]$ ist kompakt und somit ist $h$ gleichmäßig stetig, d.h. insbesondere, dass für $\varepsilon>0$ ein $\delta >0$ existiert, s.d., 118 | 119 | ```{math} 120 | \abs{h_{s_0}-h_{s_1}}_\infty <\varepsilon \text{ für } \abs{s_1-s_2}< \delta. 121 | ``` 122 | 123 | Wir können nach {prf:ref}`lem:closelem` somit $\delta$ klein genug wählen, s.d. Wege $h_{s_0}, h_{s_1}$ benachbart sind für $\abs{s_0-s_1}<\delta$. Somit gilt nach {prf:ref}`lem:closepath`, dass 124 | 125 | ```{math} 126 | \int_{h_{s_0}} f(z)\, dz = \int_{h_{s_1}} f(z)\, dz 127 | ``` 128 | 129 | gilt für $\abs{s_0-s_1}<\delta$. Damit folgt die Aussage. 130 | 131 | ```` 132 | 133 | Es folgt, dass das Kurvenintegral einer holomorphe Funktionen über einen nullhomotopen Weg verschwindet, was als **Integralsatz von Cauchy** bekannt ist. 134 | 135 | ````{prf:theorem} Integralsatz von Cauchy 136 | Es sei $U\subset\C$ offen und sei $\gamma:[a,b]\to U$ ein nullhomotoper Weg, für jede holomorphe Funktion $f:U\to\C$ gilt dann 137 | 138 | ```{math} 139 | \oint_\gamma f(z)\, dz = 0. 140 | ``` 141 | ```` 142 | 143 | ````{prf:proof} 144 | Folgt direkt aus {prf:ref}`lem:homotop`. 145 | ```` 146 | 147 | ## Die Integralformel von Cauchy 148 | 149 | Wir werden die obigen Konzepte nun auf Wegen betrachten welche den rnd einer Kreisscheibe parametrisieren. Dazu sei $B_r(p)\subset\C$ eine Kreisscheibe um den Punkt $p\in\C$ mit Radius $r>0$, wir wählen die natürliche Parametrisierung des Randes 150 | 151 | ```{math} 152 | \gamma_{p,r}:[0,2\pi]&\to \partial B_r(p)\\ 153 | t&\mapsto p + r\exp(i t), 154 | ``` 155 | 156 | wobei wir die Eulersche Formel {eq}`eq:euler` benutzt haben. 157 | 158 | Mithilfe der natürlichen Parametrisierung schreiben wir auch 159 | 160 | ```{math} 161 | \int_{\partial B_r(p)} f(z)\, dz := \int_{\gamma_{p,r}} f(z)\, dz 162 | ``` 163 | 164 | und formulieren nun die Integralformel von Cauchy. 165 | 166 | ````{prf:theorem} Cauchy Integralformel 167 | Sei $U \subset \C$ offen, $\overline{B_r(p)}\subset \C$ und $f:U\to \C$ holomorph$, dann gilt 168 | 169 | ```{math} 170 | f(w) = \frac{1}{2\pi i} \int_{B_r(p)} \frac{f(z)}{z-w}\, dz 171 | ``` 172 | 173 | für alle $w\in B_r(p)$. 174 | ```` 175 | 176 | ````{prf:proof} 177 | Siehe z.B. {cite:p}`neeb_2017` Satz 4.13. 178 | ```` 179 | 180 | Als Korollar erhält man die Tatsache, dass Ableitungen holomorpher Funktionen selbst holomorph sind. Somit ist jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar. 181 | 182 | ````{prf:corollary} 183 | :label: cor:infholo 184 | 185 | Es sei $U\subset\C$ offen und $f:U\to\C$ holomorph, dann ist $f^\prime:U\to\C$ auch holomorph und für $\overline{B_r(p)}\subset U$ gilt 186 | 187 | ```{math} 188 | f^{(n)}(w) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial B_r(p)} \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}\, dz 189 | ``` 190 | 191 | für alle $w\in B_r(p)$. 192 | ```` 193 | 194 | ## Der Satz von Liouville 195 | 196 | Eine weitere interessante Folgerung aus der Integralformel ist der Satz von Liouville. 197 | 198 | ```{margin} Joseph Liouville 199 | [Joseph Liouville](https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville) (Geboren 24. März 1809 in Saint-Omer; Gestorben 8. September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker. 200 | ``` 201 | 202 | ````{prf:theorem} Satz von Liouville 203 | Jede beschränkte holomorphe Funktion $f:\C\to\C$ ist konstant. 204 | ```` 205 | 206 | ````{prf:proof} 207 | Es gelte $\abs{f(z)}< C <\infty$ für alle $z\in\C$, dann gilt nach {prf:ref}`cor:infholo`, dass 208 | 209 | ```{math} 210 | f^\prime(w) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B_r(w)} \frac{f(z)}{(z-w)^2}\, dz 211 | ``` 212 | 213 | für alle $w\in \C$ und alle $r> 0$. Damit folgt 214 | 215 | ```{math} 216 | \abs{f^\prime(w)}\leq \frac{C}{2 \pi} \abs{\int_{\partial B_r(w)} dz}\leq \frac{C}{r}. 217 | ``` 218 | 219 | Da diese Ungleichung für alle $r>0$ und $w\in\C$ gilt folgt $\abs{f^\prime(w)} = 0$ für alle $w\in\C$ und somit ist $f$ konstant. 220 | ```` 221 | 222 | Hieraus folgt sofort der Fundamentalsatz der Algebra. 223 | 224 | ````{prf:theorem} Fundamentalsatz der Algebra 225 | Hat ein Polynom 226 | 227 | ```{math} 228 | f(z)=\sum_{j=0}^N a_j z^j 229 | ``` 230 | 231 | keine Nullstellen, so ist es konstant. 232 | ```` 233 | 234 | ````{prf:proof} 235 | Wir nehmen o.B.d.A. an, dass $a_N=1$ gilt. Dann existiert ein Polynom $g$, s.d. $f(z) = z^n + g(z)$ und 236 | 237 | ```{math} 238 | \lim_{z\to\infty} \frac{g(z)}{z^n} = 0, 239 | ``` 240 | 241 | wir finden also $r>0$, s.d. $\abs{g(z)} < 1/2 \abs{z^n}$ für alle $\abs{z}>r$. Dann folgt auch 242 | 243 | ```{math} 244 | \abs{f(z)} = \abs{z^n + g(z)} \geq \abs{z^n} - 1/2 \abs{z^n}\geq r^n/2. 245 | ``` 246 | 247 | Besitzt $f$ keine Nullstellen, so ist $1/f:\C\to\C$ eine auf ganz $\C$ holomorphe Funktion. Weiterhin gilt 248 | 249 | ```{math} 250 | \abs{1/f(z)} \leq \frac{2}{r^n} 251 | ``` 252 | 253 | für alle $\abs{z}\geq r$ und somit 254 | 255 | ```{math} 256 | \abs{1/f} \leq \max\{\max_{B_r(0)} \abs{f(z)}, \frac{2}{r^n} \} < \infty 257 | ``` 258 | 259 | daher ist $1/f$ beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant. Damit ist auch $f$ konstant. 260 | ```` 261 | -------------------------------------------------------------------------------- /tex/atelier/logo/DepMathLogo.eps: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 2 | %%Creator: cairo 1.10.2 (http://cairographics.org) 3 | %%CreationDate: Fri Feb 21 14:33:55 2014 4 | %%Pages: 1 5 | %%BoundingBox: 0 -1 284 137 6 | %%DocumentData: Clean7Bit 7 | %%LanguageLevel: 2 8 | %%EndComments 9 | %%BeginProlog 10 | /cairo_eps_state save def 11 | /dict_count countdictstack def 12 | /op_count count 1 sub def 13 | userdict begin 14 | /q { gsave } bind def 15 | /Q { grestore } bind def 16 | /cm { 6 array astore concat } bind def 17 | /w { setlinewidth } bind def 18 | /J { setlinecap } bind def 19 | /j { setlinejoin } bind def 20 | /M { setmiterlimit } bind def 21 | /d { setdash } bind def 22 | /m { moveto } bind def 23 | /l { lineto } bind def 24 | /c { curveto } bind def 25 | /h { closepath } bind 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([^\}]*?)\}((.|\n)*?)' + token_end, 17 | r'\\begin{' + keys[key] + r'}{}{\1}\2\\end{'+keys[key]+'}', content, flags = re.M) 18 | # case 2: no title text 19 | content = re.sub(token_init + key + r' (.*?)\}((.|\n)*?)' + token_end, 20 | r'\\begin{' + keys[key] + r'}{}{}\2\\end{'+keys[key]+'}', content, flags = re.M) 21 | 22 | # add all labels in a second run 23 | for key in keys: 24 | content = re.sub(r'\\label\{(.*?)\}\n\\begin\{'+ keys[key] + r'\}\{(.*?)\}\{(.*?)\}', 25 | r'\\begin{' + keys[key] + r'}{\3}{\1}', content, flags = re.M) 26 | 27 | # note boxes 28 | content = re.sub(r'\\begin\{sphinxadmonition\}\{danger\}\{(.*?)\}((.|\n)*?)' + token_end, 29 | r'\\begin{' + keys['danger'] + r'}{}{}\2\\end{'+keys['danger']+'}', content, flags = re.M) 30 | # note boxes 31 | content = re.sub(r'\\begin\{sphinxadmonition\}\{note\}((.|\n)*?)' + token_end, 32 | r'\\begin{' + keys['note'] + r'}{}{}\1\\end{'+keys['note']+'}', content, flags = re.M) 33 | 34 | content = re.sub(r'\\begin\{sphinxShadowBox\}\n\\(.*?)stylesidebartitle\{(.*?)\}((.|\n)*?)\\end\{sphinxShadowBox\}', 35 | r'\\begin{' + keys['note'] + r'}{\2}{}\3\\end{'+keys['note']+'}', content, flags = re.M) 36 | return content 37 | 38 | def match_proofs(content): 39 | content = re.sub(r'\\begin\{emphBox\}\{\}\{\}\nProof\.((.|\n)*?)\\end\{emphBox\}', 40 | r'\\begin{proof}\n\1\\end{proof}', content, flags = re.M) 41 | content = re.sub(r'\\begin\{emphBox\}\{\}\{\}\n\\AtStartPar\nProof\.((.|\n)*?)\\end\{emphBox\}', 42 | r'\\begin{proof}\n\1\\end{proof}', content, flags = re.M) 43 | return content 44 | 45 | 46 | def replace_tabular(m): 47 | tab_id = '|' 48 | for i in range(len(re.findall('\|', m.group(3))) - 1): 49 | tab_id += 'c|' 50 | 51 | return '\\begin{tabularx}{\linewidth}' + '[' + m.group(1) + ']' + '{' + tab_id + '}' 52 | 53 | def replace_underscore(m): 54 | s = m.groups(1)[0] 55 | return r'\includegraphics[width=\textwidth]{' + re.sub(r'_', r'\\string_', s, flags = re.M) + r'}' 56 | 57 | def graphics(content): 58 | # replace optional arguments 59 | content_new = re.sub(r'\\includegraphics\[(.*?)]\{(.*?)\}', r'\\includegraphics{\2}', content, flags = re.M) 60 | 61 | file_ending = '(.png|.jpg)' 62 | # path specification 63 | content_new = re.sub(r'\\includegraphics\{\{(.*?)\_build\/jupyter\_execute(.*?)\\(.*?)\}'+file_ending+'\}', 64 | r'\\includegraphics{\3\4}', content_new, flags = re.M) 65 | content_new = re.sub(r'\\includegraphics\{\{(.*?)\_build\/jupyter\_execute(.*?)/(.*?)\}'+file_ending+'\}', 66 | r'\\includegraphics{\3\4}', content_new, flags = re.M) 67 | 68 | content_new = re.sub(r'\\includegraphics\{\{(.*?)\}'+file_ending+'\}', 69 | r'\\includegraphics{\1\2}', content_new, flags = re.M) 70 | 71 | content_new = re.sub(r'\\includegraphics\{(.*?)'+file_ending+'\}', 72 | r'\\includegraphics{../_build/html/_images/\1\2}', content_new, flags = re.M) 73 | content_new = re.sub(r'\\includegraphics\{(.*?)\}', replace_underscore, content_new, flags = re.M) 74 | return content_new 75 | 76 | 77 | with open (path+file_name+extension, 'r' ) as f: 78 | content = f.read() 79 | 80 | 81 | # preamble 82 | content_new = re.sub(r'\\sphinx(.*?)', r'\\\1', content, flags = re.M) 83 | 84 | # graphics 85 | content_new = graphics(content_new) 86 | 87 | 88 | # Misc 89 | content_new = re.sub(r'\\capstart', r'', content_new, flags = re.M) 90 | content_new = re.sub(r'\\hyphen{}', r' ', content_new, flags = re.M) 91 | content_new = re.sub(r'\\styleemphasis', '\\emph', content_new, flags = re.M) 92 | content_new = re.sub(r'\\styleemphasis', '\\emph', content_new, flags = re.M) 93 | content_new = re.sub(r'\\newcommand\{\\logo\}\{\\vbox\{\}\}', '', content_new, flags = re.M) 94 | content_new = re.sub(r'\\makeindex', '', content_new, flags = re.M) 95 | content_new = re.sub(r'\\maketitle', '', content_new, flags = re.M) 96 | content_new = re.sub(r'\\tableofcontents', '', content_new, flags = re.M) 97 | content_new = re.sub(r'\\unicode\{(.*?)\}', r'\\symbol{"\1}', content_new, flags = re.M) 98 | content_new = re.sub(r'\\code\{(.*?)\}', r'{\1 broken reference}', content_new, flags = re.M) 99 | 100 | # theorems and proofs 101 | content_new = match_theorems(content_new) 102 | content_new = match_proofs(content_new) 103 | 104 | # tables 105 | content_new = re.sub(r'\\begin\{savenotes\}\\attablestart((.|\n)*?)\\par\n\\attableend\\end\{savenotes\}', 106 | r'\\begin{center}\1\\end{center}', content_new, flags = re.M) 107 | 108 | # remove splits 109 | content_new = re.sub(r'\\begin\{split\}((.|\n)*?)\\end\{split\}', 110 | r'\1', content_new, flags = re.M) 111 | content_new = re.sub(r' \n\\end\{equation\*\}', 112 | r'\\end{equation*}', content_new, flags = re.M) 113 | 114 | # replace every equation by align 115 | content_new = re.sub(r'\\begin\{equation', r'\\begin{align', content_new, flags = re.M) 116 | content_new = re.sub(r'\\end\{equation', r'\\end{align', content_new, flags = re.M) 117 | 118 | # remove verbatim 119 | content_new = re.sub(r'\\begin\{sphinxVerbatim\}((.|\n)*?)\\end\{sphinxVerbatim\}', 120 | r'', content_new, flags = re.M) 121 | 122 | # references 123 | content_new = re.sub(r'\{\\hyperref\[\\detokenize\{(.*?)\}\]\{\\crossref\{(.*?)\}\}\}(( |.)|\n)', 124 | r'\\cref{\1} ', content_new, flags = re.M) 125 | 126 | content_new = re.sub(r'\{tabulary\}', r'{tabularx}', content_new, flags = re.M) 127 | content_new = re.sub(r'\{tabular\}', r'{tabularx}', content_new, flags = re.M) 128 | 129 | # content_new = re.sub(r'\\begin\{tabularx\}\[(.*?)\]\{(.*?)\}', 130 | # r'\\begin{tabularx}{\\textwidth}[\1]{\2}', content_new, flags = re.M) 131 | 132 | 133 | # lists 134 | content_new = re.sub(r'\\setlistlabels\{\\arabic\}\{enumi\}\{enumii\}\{\}\{\.\}\%', r'', content_new, flags = re.M) 135 | 136 | 137 | content_new = re.sub(r'\\begin\{tabularx\}(.*?)\[(.*?)\]\{(.*?)\}\n', replace_tabular, content_new, flags=re.M) 138 | 139 | content_new = re.sub(r'stylestrong', 'textbf', content_new, flags=re.M) 140 | 141 | # remove index 142 | content_new = re.sub(r'\\begin\{sphinxtheindex\}((.|\n)*?)\\end\{sphinxtheindex\}', 143 | r'', content_new, flags = re.M) 144 | content_new = re.sub(r'\\printindex', r'', content_new, flags = re.M) 145 | 146 | # bibtex citations 147 | content_new = re.sub(r'\{\[\}\\hyperlink\{(.*?)\}\{(.*?)\}\{\]\}', r'\\cite{\2}', content_new, flags = re.M) 148 | 149 | # Par 150 | content_new = re.sub(r'\\AtStartPar', r'\\par', content_new, flags = re.M) 151 | 152 | 153 | 154 | # get rid of certain commands 155 | content_new = re.sub(r'\\release\{\}', r'', content_new, flags = re.M) 156 | content_new = re.sub(r'\\renewcommand\{\\releasename\}\{\}', r'', content_new, flags = re.M) 157 | content_new = re.sub(r'\\phantomsection', r'', content_new, flags = re.M) 158 | content_new = re.sub(r'\\styletheadfamily', r'', content_new, flags = re.M) 159 | content_new = re.sub(r'\\pagestyle\{(.*?)\}', r'', content_new, flags = re.M) 160 | content_new = re.sub(r'\\DUrole{xref,myst}{}',r'', content_new, flags = re.M) 161 | content_new = re.sub(r'\\upquote\{(.*?)\}',r'\1', content_new, flags = re.M) 162 | 163 | # Umlaute 164 | special = {'ß':'\ss{}', 'ä':'\"a', 'ü':'\"ü', 'ö':'\"ü'} 165 | 166 | # replacements for intro 167 | content_new = re.sub(r'\\begin\{DUlineblock\}\{0em\}\n\\item\[\] \\textbf\{\\Large (.*?)\}\n\\end\{DUlineblock\}', 168 | r'\\subsection{\1}', content_new, flags = re.M) 169 | 170 | content_new = re.sub(r'\\begin\{sphinxVerbatimOutput\}((.|\n)*?)\\end\{sphinxVerbatimOutput\}', 171 | r'\1', content_new, flags = re.M) 172 | 173 | 174 | # split up into chapters 175 | chapters = [] 176 | 177 | m_chapters = re.split(r'(?=\\chapter)', content_new) 178 | 179 | 180 | for i, m in enumerate(m_chapters): 181 | if i == 0: 182 | chapter_name = "intro" 183 | m = re.search(r'\\begin\{document\}((.|\n)*)', m, flags = re.M).group(1) 184 | m = '\chapter{Vorwort}\n' + m 185 | else: 186 | chapter_name = re.search(r'\\chapter\{(.*?)\}', m) 187 | if not chapter_name is None: 188 | chapter_name = chapter_name.group(1) 189 | 190 | if not chapter_name is None: 191 | chn = re.sub(r' ',r'', chapter_name, flags = re.M) 192 | chn = re.sub(r'ß',r'ss', chn, flags = re.M) 193 | with open(path+"chapters\\" + chn + extension, "w") as text_file: 194 | text_file.write(m) 195 | chapters.append(chn) 196 | 197 | content_main = re.search(r'((.|\n)*?)\\begin\{document\}', content_new, flags = re.M) 198 | with open(path+file_name+"_clean"+extension, "w") as text_file: 199 | text_file.write('\\input{preamble}\n') 200 | #text_file.write(content_main.group(1)) 201 | text_file.write('\\begin{document}\n') 202 | text_file.write('\\frontmatter\n') 203 | text_file.write('\\maketitle\n') 204 | text_file.write('\\tableofcontents\n') 205 | text_file.write('\\input{chapters/intro}\n') 206 | text_file.write('\\mainmatter\n') 207 | for ch in chapters: 208 | if not ch in ["intro", "Bibliography"]: 209 | text_file.write('\\input{chapters/'+ch+'}\n') 210 | 211 | text_file.write('\\backmatter\n') 212 | text_file.write('\\printbibliography\n') 213 | text_file.write('\\end{document}') 214 | 215 | with open(path+file_name+"_ref"+extension, "w") as text_file: 216 | text_file.write(content_new) 217 | 218 | -------------------------------------------------------------------------------- /complexanalysis/kurvenintegrale.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Wegintegrale 2 | 3 | Der vorhergehende Abschnitt beschäftigt sich mit der komplexen Ableitung. Darauf aufbauend wollen wir in diesem Abschnitt einen Integralbegriff für komplexe Funktionen entwickeln. Für Funktionen $f:\C\to\C$ entsteht hierbei die Schwierigkeit durch den komplexen Definitionsbereich. Für Funktionen $g:[a,b]\to\C$ wobei $[a,b]\subset\R$ ein reelles Intervall ist können wir mithilfe des Riemann-Integrals folgendes Integral definieren. 4 | 5 | ````{prf:definition} 6 | Es seien $a0$, dann besitzt $f$ eine Stammfunktion. 261 | ```` 262 | 263 | ## Integration über nicht differenzierbare Wege 264 | 265 | Mithilfe des Konzepts der Stammfunktion können wir nun das Integral über beliebige Wege definieren. 266 | 267 | ````{prf:definition} 268 | Es sei $\gamma:[a,b]\to U$ ein Weg, eine Zerlegung $(a=t_0,\ldots, t_N=b), t_jseparator sign< (Euler). 160 | description delimiters parenthesis, % Theorem 1.2 >()<. 161 | terminator sign={.}, % Theorem 1.2 (Euler)>.< 162 | attach title to upper={~ }, % Theorem 1.2 (Euler). Text will start in this line. 163 | size = minimal, % spacing of the box around the theorem 164 | boxsep=0mm 165 | }, 166 | label separator={} 167 | } 168 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 169 | % This style is inspired by an answer given on stackexchange: 170 | %https://tex.stackexchange.com/questions/369430/theorems-and-definitions-boxes-numbering-should-be-chapter-wise 171 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 172 | \tcbset{ 173 | styleA/.style={ 174 | reset, 175 | enhanced, 176 | breakable, 177 | sharp corners, 178 | attach boxed title to top left={ 179 | yshift=-3mm, 180 | yshifttext=-1mm, 181 | xshift=10mm 182 | }, 183 | coltitle=white, 184 | top=1.5ex, 185 | colback=white, 186 | colframe=\colmain, 187 | fonttitle=\bfseries, 188 | boxed title style={ 189 | sharp corners, 190 | size=small, 191 | colback=\colmain, 192 | colframe=\colmainlight, 193 | }, 194 | terminator sign={.}, 195 | label separator={} 196 | }} 197 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 198 | % Kinda FAU corporate 199 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 200 | \tcbset{styleB/.style={ 201 | boxrule=0pt, 202 | before skip=15pt, 203 | enhanced, 204 | sharp corners, 205 | attach boxed title to top left={ 206 | xshift=0mm, 207 | yshift=1mm 208 | }, 209 | %minipage boxed title = \linewidth, 210 | coltitle=white, 211 | top=1.5ex, 212 | colback=white, 213 | colframe=white, 214 | fonttitle=\bfseries, 215 | boxed title style={ 216 | enhanced, 217 | left=0mm, 218 | boxrule=0pt, 219 | sharp corners, 220 | colback=\colmain, 221 | colframe=white, 222 | borderline west={2mm}{-2.5mm}{\colmain} 223 | }, 224 | size=minimal, 225 | borderline west ={2mm}{-2.5mm}{\colmain}, 226 | terminator sign={.} 227 | }} 228 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 229 | % If the theroem custom flag is not set we provide the full theorem environement 230 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 231 | \def\tstyle@default{} 232 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 233 | \def\tstyle@styleA{ 234 | \FAU@thmplainfalse 235 | \newtcbtheorem[number within=chapter]{theorem}{THEOREM}{\thmstyle, label type=theorem}{} 236 | \newtcbtheorem[use counter from=theorem]{definition}{DEFINITION}{\thmstyle, label type=definition}{} 237 | \newtcbtheorem[use counter from=theorem]{corollary}{KOROLLAR}{\thmstyle, label type=corollary}{} 238 | \newtcbtheorem[use counter from=theorem]{lemma}{LEMMA}{\thmstyle, label type=lemma}{} 239 | \newtcbtheorem[use counter from=theorem]{remark}{BEMERKUNG}{thmstyle_plain, 240 | after upper={\hfill$\triangle$}, 241 | label type=remark}{} 242 | \newtcbtheorem[use counter from=theorem]{example}{BEISPIEL}{\thmstyle, 243 | fontupper=\upshape, label type=example}{} 244 | } 245 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 246 | \def\tstyle@styleB{\tstyle@styleA} 247 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 248 | \def\tstyle@styleC{\tstyle@styleA} 249 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 250 | \thmsstyle % Excecute 251 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 252 | % Other boxes 253 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 254 | \newtcolorbox{emphBox}{} 255 | \newtcolorbox{memo}{} 256 | \def\bstyle@default{} 257 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 258 | % All the boxings associated with styleA 259 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 260 | \def\bstyle@styleA{ 261 | % Emphasize a text by lying some color underneath it 262 | \renewtcolorbox{emphBox}{ 263 | enhanced, 264 | colback=\colmainllight, 265 | colframe=white, boxrule=0pt, 266 | sharp corners, 267 | left=0.0pt, 268 | right=0.0pt, 269 | boxsep=0mm 270 | % drop shadow southeast 271 | } 272 | % For important memos 273 | \ifFAU@thmplain 274 | \renewtcolorbox[auto counter]{memo}[2][]{ 275 | styleA, title= MEMO ##2, ##1} 276 | \else 277 | \renewtcolorbox[auto counter,use counter from=theorem]{memo}[2][]{ 278 | styleA, title= MEMO \thetcbcounter: ##2, ##1} 279 | \fi 280 | } 281 | \boxingstyle % execute boxing 282 | % ######################################################################################## 283 | % Enumerating styles 284 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 285 | \usepackage{enumitem} 286 | \SetEnumitemKey{roman} 287 | {label=\upshape(\roman*)} -------------------------------------------------------------------------------- /masstheorie/lebesgue_integral.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Lebesgue-Integral 2 | 3 | Anhand des in {ref}`s:lebesguemeasure` konstruierten Maßes wollen wir nun einen neuen Begriff des Integrals herleiten. Unsere Motivation hierbei war anstatt den Definitionsbereich, den Bildbereich einer Funktion $f:\Omega\to\R$ zu zerteilen. Dies führt auf das Problem, dass man Urbildern 4 | 5 | ```{math} 6 | f^{-1}(I) 7 | ``` 8 | 9 | für Mengen $I\subset\R$ ein Maß zuordnen muss. Dies soll im Folgenden mithilfe des Lebesgue-Maßes geschehen. Um $f^{-1}(I)$ allerdings im Lebesgue-Maß auswerten zu können, müssen wir voraussetzen, dass diese Menge messbar ist, was zu speziellen Anforderungen an die Funktion $f$ führt, welche wir im nächsten Abschnitt behandeln. 10 | 11 | ## Messbare Funktionen 12 | 13 | Wir beginnen mit der Definition von messbaren Funktionen. Wir benutzen hierbei den Begriff eines **Messraums** der anders als ein Maßraum nur eine Grundmenge und eine $\sigma$-Algebra voraussetzt und kein Maß beinhaltet. 14 | 15 | ````{prf:definition} Messbarkeit von Funktionen 16 | Es seien $(\Omega_1,\Sigma_1), (\Omega_1,\Sigma_1)$ zwei Messräume und $f:\Omega_1\to\Omega_2$ eine Funktion, dann nennen wir $f$ **messbar**, falls 17 | 18 | ```{math} 19 | f^{-1}(A)\in\Sigma_1\quad\forall A\in\Sigma_2 20 | ``` 21 | 22 | ```` 23 | 24 | Für ein Teilmengensystem $\mathcal{C}\subset 2^{\Omega_2}$ benutzten wir auch die Schreibweise 25 | 26 | ```{math} 27 | f^{-1}(\mathcal{C}) = \{ f^{-1}(C): C\in\mathcal{C}\}, 28 | ``` 29 | 30 | womit sich die Messbarkeit einer Funktion äquivalent auch durch die Bedingung 31 | 32 | ```{math} 33 | f^{-1}(\Sigma_2)\subset\Sigma_1 34 | ``` 35 | 36 | schreiben lässt. In diesem Kapitel wollen wir speziell Funktionen $f:\Omega\to\overline{\R}$ betrachten wobei $\Omega\subset\R^n$. 37 | 38 | ````{prf:definition} 39 | Wir nennen eine Funktion $f:\R^n\to\overline{\R}$ **Borel-messbar**, falls 40 | 41 | ```{math} 42 | f^{-1}(\mathcal{B}(\overline{\R}))\subset \mathcal{B}(\R^n). 43 | ``` 44 | 45 | Analog nennen wir $f$ **Lebesgue-messbar**, falls 46 | 47 | ```{math} 48 | f^{-1}(\mathcal{B}(\overline{\R}))\subset \mathcal{A}(\R^n). 49 | ``` 50 | ```` 51 | 52 | Eine wichtige Aussage in dem Kontext von messbaren Funktionen ist die Tatsache, dass sich Urbild mit dem $\sigma$-Operator vertauschen lässt, wobei für $\mathcal{C}\subset 2^\Omega$ die Menge $\sigma(\mathcal{C})$ gerade die kleinste $\sigma$-Algebra ist welche $\mathcal{C}$ enthält siehe {numref}`s:sigmaalg`. 53 | 54 | ````{prf:lemma} 55 | :label: lem:changesigma 56 | 57 | Es sei $f:\Omega_1\to\Omega_2$ eine Funktion und $\mathcal{C}\subset 2^{\Omega_2}$ ein Teilmengensystem, dann gilt 58 | 59 | ```{math} 60 | f^{-1}(\sigma(\mathcal{C})) = \sigma(f^{-1}(\mathcal{C})). 61 | ``` 62 | ```` 63 | 64 | ````{prf:proof} 65 | ToDo 66 | [Vorlesung](https://www.fau.tv/clip/id/40563) ab 29:52. 67 | ```` 68 | 69 | Mit diesem Lemma können wir die folgenden Aussagen zeigen. 70 | 71 | ````{prf:lemma} 72 | 1. Borel-messbare Funktionen sind Lebesgue-messbar 73 | 2. Stetige Funktionen sind Borel-messbar. 74 | ```` 75 | 76 | ````{prf:proof} 77 | ToDo 78 | [Vorlesung](https://www.fau.tv/clip/id/40563) ab 17:12 79 | ```` 80 | 81 | ## Charakterisierung über Niveaumengen 82 | 83 | Im Falle von Borel und Lebesgue-Messbarkeit haben wir als Zielalgebra $\B(\overline{\R})$ betrachtet. Dank der Charakterisierung der Topologie über Intervalle hat man die Möglichkeit statt aller messbarer Mengen nur Niveaumengen einer Funktion zu betrachten. Dies führt auf das folgende sehr praktische Lemma. 84 | 85 | ````{prf:lemma} 86 | :label: lem:Niveaumengen 87 | 88 | Es sei $(\Omega,\Sigma)$ ein Messraum, eine Funktion $f:\Omega\to\overline{\R}$ eine Funktion ist genau dann messbar bezüglich $\Sigma$, falls 89 | für die Niveaumengen gilt 90 | 91 | ```{math} 92 | \{f< c\}\in\Sigma\quad\forall c\in\R. 93 | ``` 94 | ```` 95 | 96 | ````{prf:proof} 97 | Wir betrachten das Mengensystem 98 | 99 | ```{math} 100 | \mathcal{C}:=\{[-\infty,c):c\in\R\} 101 | ``` 102 | 103 | und erkennen, dass 104 | 105 | ```{math} 106 | f^{-1}(\mathcal{C}) = \{\{f 99 | 100 | 2\. Für $k=1$ und $\M$ eine glatte Mannigfaltigkeit erhalten wir 101 | 102 | ```{math} 103 | \Omega^1(\M) 104 | ``` 105 | 106 | gerade die Kovektorfelder aus {numref}`s:kotangbundel`. 107 | 108 |
109 | 110 | 3\. Für $k=3$ und $\M=\R^3$ ist z.B., 111 | 112 | ```{math} 113 | \omega(xy) := \sin(xy) dx\wedge dy 114 | ``` 115 | 116 | eine Differentialform. 117 | 118 | ```` 119 | 120 | ## Die äußere Ableitung 121 | 122 | Wir wenden uns nun einer wichtigen Operation auf Differentialformen zu, der äußeren Ableitung. Aus {prf:ref}`ex:totdiff` kennen wir schon das totale Differential $df\in \Omega^1(\M)$, für eine glatte Funktion $f\in C^\infty(\M)$. Hierbei haben wir für ein glattes Vektorfeld $X\in \Gamma(T\M)$ die Abbildung 123 | 124 | ```{math} 125 | df(X) := X(f) 126 | ``` 127 | 128 | definiert, wobei die rechte Seite über die Wirkung des Vektorfelds definiert ist. Wir können dieses Konzept verallgemeinern, indem wir die äußere Ableitung definieren. 129 | 130 | ````{prf:definition} 131 | Es sei $\M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $f\in C^\infty(\M)$, dann definieren wir die lineare Abbildung 132 | 133 | ```{math} 134 | d:\Omega^k(\M)\to \Omega^{k+1}(\M)\\ 135 | d(f\, dx^{i_1}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}):= df \wedge dx^{i_1}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}. 136 | ``` 137 | ```` 138 | 139 | ````{prf:remark} 140 | Beachte, dass die obige Abbildung nur jeweils für lokale Koordinaten definiert ist. Wegen der Kartenunabängigkeit führt dies aber auf eine eindeutig definierte Funktion, siehe z.B. {cite:p}`lee2003` Kapitel 14. Da wir $d$ auf den Elementen $dx^{i_1}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$ definiert haben erhalten wir jeweils lokal eine eindeutige lineare Fortsetzung, da jedes $\omega\in \Omega^k(\M)$ lokal die Darstellung 141 | 142 | ```{math} 143 | \omega = \sum_{1\leq i_1,\ldots,i_k \leq n}\omega_{i_1\ldots i_k} 144 | dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k} 145 | ``` 146 | 147 | hat und somit 148 | 149 | ```{math} 150 | d\omega &= \sum_{1\leq i_1,\ldots,i_k \leq n} d(\omega_{i_1\ldots i_k} 151 | dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k})\\ 152 | &= \sum_{1\leq i_1,\ldots,i_k \leq n} d(\omega_{i_1\ldots i_k})\wedge 153 | dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_k} 154 | ``` 155 | ```` 156 | 157 | ````{prf:example} Äußere Ableitung 158 | :label: ex:10.14 159 | 160 | 1\. Für $\omega\in\Omega^0(\R^3)$ ist $d\omega = \frac{\partial\omega}{\partial x_1}dx_1+ 161 | \frac{\partial\omega}{\partial x_2}dx_2+\frac{\partial\omega}{\partial x_3}dx_3$. 162 | 163 |
164 | 165 | 2\. Für $\omega = \omega_1dx_1+\omega_2dx_2+\omega_3dx_3\in\Omega^1(\R^3)$ ist 166 | 167 | ```{math} 168 | d\omega &=& (d\omega_1)\wedge dx_1+(d\omega_2)\wedge dx_2+(d\omega_3)\wedge 169 | dx_3\\ 170 | &=& \left(\frac{\partial\omega_2}{\partial x_1}-\frac{\partial\omega_1}{\partial x_2}\right) 171 | dx_1\wedge dx_2+ \left(\frac{\partial\omega_3}{\partial x_2}-\frac{\partial\omega_2}{\partial x_3}\right) 172 | dx_2\wedge dx_3\\ 173 | && + \left(\frac{\partial\omega_1}{\partial x_3}-\frac{\partial\omega_3}{\partial x_1}\right) 174 | dx_3\wedge dx_1. 175 | ``` 176 | 177 |
178 | 179 | 3\. Für $\omega = \omega_{12}dx_1\wedge dx_2+\omega_{23}dx_2\wedge dx_3 180 | +\omega_{31}dx_3\wedge dx_1 \in\Omega^2(\R^3)$ ist 181 | ```{math} 182 | d\omega = \left(\frac{\partial\omega_{12}}{\partial x_3} + \frac{\partial\omega_{23}}{\partial x_1} 183 | + \frac{\partial\omega_{31}}{\partial x_2}\right)dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3. 184 | ``` 185 | 186 |
187 | 188 | 4\. Für $\omega\in\Omega^3(\R^3)$ ist $d\omega=0$. 189 | ```` 190 | 191 | Für die äußere Ableitung können wir zusätzlich folgende Eigenschaften zeigen. 192 | 193 | ````{prf:lemma} 194 | :label: lem:outeprop 195 | 196 | Es sei $\M$ eine glatte Mannigfaltigkeit, dann haben wir folgende Eigenschaften. 197 | 198 |
199 | 200 | 1\. Für $f,g\in C^\infty(\M)$ gilt 201 | 202 | ```{math} 203 | d(fg) = d(f)\,g + f\, d(g). 204 | ``` 205 | 206 |
207 | 208 | 2\. Für $\omega\in\Omega^k(\M),\eta\in\Omega^l(\M)$ gilt 209 | 210 | ```{math} 211 | d(\omega\wedge\eta) = (d\omega)\wedge \eta + (-1)^k \omega\wedge (d\eta). 212 | ``` 213 | 214 |
215 | 216 | 3\. Es gilt $d\circ d = 0$. 217 | ```` 218 | 219 | ````{prf:remark} 220 | Da $d$ Eigenschaft 2 erfüllt, nennt man $d$ auch Antiderivation. 221 | ```` 222 | 223 | Eine interessante Anwendung finden Differntialformen im sog. Poincaré-Lemma. Hierfür benötigen wir folgenden Begriffe 224 | 225 | ````{prf:definition} 226 | :label: def:geschlossenexakt 227 | 228 | Es sei $\M$ eine glatte Mannigfaltigkeit, eine Differentialform $v\in\Omega^k(\M)$ heißt 229 | * **geschlossen**, wenn $dv=0$, 230 | * **exakt**, wenn $v=d\eta$ für ein $\eta\in\Omega^{k-1}(\M)$ gilt. 231 | ```` 232 | 233 | Nach Satz {prf:ref}`lem:outer:prop` sind exakte Differentialformen geschlossen, da für $v=d\eta$ gilt, 234 | 235 | ```{math} 236 | dv = d(d\eta) = (d\circ d)\eta = 0. 237 | ``` 238 | 239 | Das Poincaré-Lemma besagt nun, dass auf sternförmigen offenen Mengen $U\subseteq \R^n$ auch die Umkehrung gilt. 240 | 241 | ````{prf:lemma} Poincaré-Lemma 242 | Es sei $U\subset\R^n$ eine offene sternförmige Menge, dann gilt für $\omega\in \Omega^k(\M)$, 243 | 244 | ```{math} 245 | \omega\text{ ist geschlossen}\Leftrightarrow \omega\text{ ist exakt.} 246 | ``` 247 | 248 | ```` 249 | 250 | ````{prf:proof} 251 | Siehe z.B. {cite:p}`lee2003` Theorem 11.49. 252 | ```` 253 | 254 | ## Der Pullback 255 | 256 | Die letzte Operation die wir in diesem Kapitel betrachten ist der sogenannte **Pullback**. Hierbei betrachten wir zwei glatte Mannigfaltigkeiten $\M,\mathcal{N}$ und eine glatte Funktion $F:M\to\mathcal{N}$. Das Ziel ist es nun eine Differentialform auf $N$, $\omega\in\Omega^k(\mathcal{N})$ mithilfe von $F$ auf eine Differentialform auf $\M$ zurückzuziehen. Ausgewertet an $p\in\M$ ergibt eine Differentialform $\eta\in\Omega^k(\M)$ ein Element aus $L^k(T_p\M)$, da 257 | 258 | ```{math} 259 | \eta_p\in \Lambda^k(T_p\M) \subset L^k(T_p^\M) 260 | ``` 261 | 262 | also eine Linearform, welche auf $k$ Elemente $v_1,\ldots,v_k\in T_p\M$ des Tangentialraums in $p$ an $\M$ wirkt. Haben wir nun a priori $\omega\in\Omega^k(\mathcal{N})$ gegeben brauchen wir deshalb zunächst eine Methode mit der wir Tangentialvektoren über $F$ von $\M$ nach $\mathcal{N}$ vorschieben können, der sogenannte **Pushforward**. 263 | 264 | ````{prf:definition} 265 | Es seien $\M,\mathcal{N}$ zwei glatte Mannigfaltigkeiten und $F\in C^\infty(\M,\mathcal{N})$, dann definieren wir für $p\in\M$ 266 | 267 | ```{math} 268 | F_\ast:T_p\M\to T_{F(p)}\mathcal{N}\\ 269 | D\mapsto \big[f\mapsto D(f\circ F)] 270 | ``` 271 | 272 | den sogenannten **Pushforward**. 273 | ```` 274 | 275 | Da wir nun Tangentialvektoren von $T_p\M$ auf $T_{F(p)}\mathcal{N}$ schieben können, sind wir in der Lage damit den Pullback von Kotangentialvektoren zu definieren. 276 | 277 | ````{prf:definition} 278 | Es seien $\M,\mathcal{N}$ zwei glatte Mannigfaltigkeiten und $F\in C^\infty(\M,\mathcal{N})$, dann definieren wir für $p\in\M$ 279 | 280 | ```{math} 281 | F^\ast: T_{F(p)}^\ast\mathcal{N}\to \big[T^p_\M\mapsto\R\big]\\ 282 | v \mapsto \big[D\mapsto v(F_\ast(D)) \big] 283 | ``` 284 | 285 | den **Pullback** 286 | ```` 287 | 288 | ````{prf:remark} 289 | Es gilt insbesondere, dass $F^\ast v \in T_p^\ast\M$ für jedes $v\in T_{F(p)}^\ast\mathcal{N}$. 290 | ```` 291 | 292 | Dieses Konzept können wir nun auf Formen übertragen in dem wir eine neue Differentialform punktweise an $p$ definieren am Punkt $F(p)$. Konkret seien $v_1,\ldots, v_k\in T_p\M$, dann definiere 293 | 294 | ```{math} 295 | (F^\ast\omega)_p (v_1,\ldots,v_k) := \omega_{F(p)}\big(F_\ast(v_1),\ldots,F_\ast(v_k)\big). 296 | ``` 297 | 298 | Die so definierte Abbildung bildet tatsächlich zwischen den passenden Räumen ab 299 | 300 | ```{math} 301 | F^\ast:\Omega^k(\mathcal{N})\to\Omega^k(\mathcal{M})\\ 302 | \omega\mapsto \big[ p\mapsto (F^\ast\omega)_p \big]. 303 | ``` 304 | 305 | Zusätzlich erhält man folgende Eigenschaften. 306 | 307 | ````{prf:lemma} 308 | :label: lem:pullbackprop 309 | 310 | Es seien $\M,\mathcal{N}$ glatte Mannigfaltigkeiten und $F\in C^\infty(\M,\mathcal{N})$, dann gilt, 311 | 312 | 1. $F^\ast$ ist linear, 313 | 314 | 2. $F^\ast(\omega\wedge\eta) = F^\ast(\omega) \wedge F^\ast(\eta)$ für $\omega,\eta\in\Omega^k(\mathcal{N})$. 315 | 316 | 3. Für lokale Koordinaten Kovektorfelder $dy^1,\ldots,dy^m$ und $f\in C^\infty(\mathcal{N})$ gilt 317 | 318 | ```{math} 319 | F^\ast(f dy^{i_1}\wedge\ldots\wedge dy^{i_k}) = (f \circ F) d(y^{i_1}\circ F)\wedge\ldots\wedge d(y^{i_k}\circ F). 320 | ``` 321 | ```` 322 | 323 | ````{prf:proof} 324 | 325 | Für 1. und 2. siehe Hausaufgaben, Für 3. siehe {cite:p}`lee2003` Lemma 14.16. 326 | 327 | ```` 328 | 329 | Im Falle, dass die Mannigfaltigkeiten gleich dem $\R^n$ bzw. $\R^m$ sind, also $\M=\R^n, \mathcal{N}=\R^m$ können wir den Pullback leicht explizit berechnen. Dazu sei $F:\R^n\to\R^m$ eine glatte Abbildung, $x_1,\ldots,x_n$ seien Koordinaten für $\R^n$ und $y_1,\ldots,y_m$ seien Koordinaten für $\R^m$. 330 | 331 | Zunächst erkennen wir für den Pushforward, $F_\ast:T_p\M\to T_{F(p)}\mathcal{N}$ dass für $p\in\M$ gilt, 332 | 333 | ```{math} 334 | F_\ast(\partial_{x_i^p}) = \sum_{j=1}^m \partial_i F_j\, \partial_{y_j^{F(p)}} 335 | ``` 336 | 337 | wobei $\partial_i F_j$ die $i$-te partielle Ableitung (im klassichen Sinne) der $j$-ten Komponente von $F$ ist. 338 | 339 | Betrachten wir also den Pullback eines Kovektorfeldes $dy^k$ ausgewertet an einem Tangentialvektor $D\in T_p\M$ 340 | 341 | ```{math} 342 | D = \sum_{i=^1}^n dx_i^p(D)\, \partial_{x_i^p} 343 | ``` 344 | 345 | erhalten wir unter Ausnutzung der Linearität 346 | 347 | ```{math} 348 | F^\ast(dy^k)_{p}(D) &= dy^k(F_\ast(D)) = 349 | dy^k\big(\sum_{i=^1}^n dx_i^p(D)\, F^\ast(\partial_{x_i^p})\big)\\ 350 | &= 351 | \sum_{i=^1}^n \sum_{j=1}^m dx_i^p(D)\,\partial_i F_j\, dy^k(\partial_{y_j}^{F(p)}). 352 | ``` 353 | 354 | Da die Terme $dy^k(\partial_{y_j})$ gleich dem Kronecker-Delta sind, 355 | 356 | ```{math} 357 | dy^k(\partial_{y_j}^{F(p)}) = \delta_{kj} 358 | ``` 359 | 360 | führt dies auf, 361 | 362 | ```{math} 363 | F^\ast(dy^k)_{p}(D) = 364 | \sum_{i=1}^n dx_i^p(D)\,\partial_i F_k. 365 | ``` 366 | 367 | Für das äußere Produkt von $l$ verschiedenen Kovektorfeldern $dy^{k_1},\ldots, dy^{k_l}$ und einer glatten Funktion $f\in C^\infty(\M)$ gilt mit Eigenschaft 2. von {prf:ref}`lem:pullbackprop` 368 | 369 | ```{math} 370 | F^\ast(f\, dy^{k_1}\wedge\ldots\wedge dy^{k_l})_{p} = 371 | f(F(p))\, F^\ast(dy^{k_1})\wedge\ldots\wedge F^\ast(dy^{k_l}). 372 | ``` 373 | 374 | Da wir die Terme $F^\ast(dy^{k_i})$ berechnen können liefert dies ein einfaches Schema um den Pullback einer Differentialform auf $\R^m$ zu berechnen. 375 | 376 | ````{prf:example} 377 | Es sei $\omega\in \Omega^3(\R^4)$ eine Differentialform gegeben durch 378 | 379 | ```{math} 380 | \omega(y_1,y_2,y_3,y_4) = dy_1\wedge dy_2\wedge dy_3 + \cos(y_1)dy_1\wedge dy_2 \wedge dy_4 381 | ``` 382 | 383 | und $F:\R^3\to\R^4$ eine glatte Abbildung gegeben durch 384 | 385 | ```{math} 386 | F(x_1,x_2,x_3) := (x_1, x_3, \sin(x_2), x_3^2). 387 | ``` 388 | 389 | Dann berechnen wir 390 | 391 | ```{math} 392 | F^\ast(dy_1) &= \sum_{i=1}^3 \,\partial_i F_1 dx_i = dx_1\\ 393 | F^\ast(dy_2) &= \sum_{i=1}^3 \,\partial_i F_2 dx_i = dx_3\\ 394 | F^\ast(dy_3) &= \sum_{i=1}^3 \,\partial_i F_3 dx_i = \cos(x_2)\,dx_2\\ 395 | F^\ast(dy_4) &= \sum_{i=1}^3 \,\partial_i F_4 dx_i = 2x_3\,dx_3\\ 396 | ``` 397 | 398 | und erhalten damit 399 | 400 | ```{math} 401 | F^\ast(\omega)_{(x_1,x_2,x_3)} &= F^\ast(dy_1)\wedge F^\ast(dy_2)\wedge F^\ast(dy_3) + 402 | \cos(F_1(x_1,x_2,x_3)) F^\ast(dy_1)\wedge F^\ast(dy_2)\wedge F^\ast(dy_4)\\ 403 | &= dx_1 \wedge dx_3\wedge \cos(x_2)\,dx_2 + \cos(x_1)\, 2x_3\,dx_1\wedge dx_3\wedge dx_3\\ 404 | &= -\cos(x_2)\,dx_1 \wedge dx_2\wedge dx_3. 405 | ``` 406 | 407 | ```` 408 | -------------------------------------------------------------------------------- /tex/fau-math-thesis.cls: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % ######################################################################################## 2 | % Class specification 3 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 4 | \newcommand{\classname}{fau-math-thesis} 5 | \newcommand{\fileversion}{1.1} 6 | \newcommand{\filedate}{2020/10/02} 7 | \newcommand{\cfileauthor}{Tim C.O. Roith} 8 | \def\baseclass{scrbook} 9 | 10 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 11 | \ProvidesClass{\classname}[\filedate\space Latex class for a FAU math thesis 12 | provided by Tim C.O. Roith, v\fileversion.] 13 | % ######################################################################################## 14 | % Options and bools 15 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 16 | % Here we declare the options passed to the classed and define bools which are mostly 17 | % used further below 18 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 19 | \usepackage{xkeyval} % Should be loaded here in case we want to define xkey Options 20 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 21 | % Bibliography 22 | % the options are currently very limited, user can either specify the 23 | % the bib stuff himself by using the default option or use the spec from the bib section 24 | % down below. 25 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 26 | \def\bibstyle{\biblstyle@default} 27 | \DeclareOptionX{bibstyle}{\def\bibstyle{\csname biblstyle@#1\endcsname}} 28 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 29 | % Options for the page layout within KOMA 30 | \newif\ifFAU@setBCOR\FAU@setBCORfalse 31 | \newif\ifFAU@setDIV\FAU@setDIVfalse 32 | \newif\ifFAU@setSided\FAU@setSidedfalse 33 | % Binding offset 34 | \DeclareOptionX{BCOR}{ 35 | \FAU@setBCORtrue 36 | \PassOptionsToClass{\CurrentOption}{\baseclass} 37 | }% 38 | % DIV calculation 39 | \DeclareOptionX{DIV}{ 40 | \FAU@setDIVtrue 41 | \PassOptionsToClass{\CurrentOption}{\baseclass} 42 | }% 43 | % two or onesided definition 44 | \DeclareOptionX{oneside}{ 45 | \FAU@setSidedtrue 46 | \PassOptionsToClass{\CurrentOption}{\baseclass} 47 | }% 48 | \DeclareOptionX{twoside}{ 49 | \FAU@setSidedtrue 50 | \PassOptionsToClass{\CurrentOption}{\baseclass} 51 | }% 52 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 53 | % If the page layout is not set by options and the PDF or print option is set we now 54 | % specify the page layout by means of the KOMA script. 55 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 56 | \newif\ifTH@PDF\TH@PDFfalse % PDF Option, a document for PDF viewers 57 | \newif\ifFAU@print\FAU@printfalse % print Option, a document for pinting 58 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 59 | \DeclareOptionX{PDF}{\TH@PDFtrue} 60 | \DeclareOptionX{setPDF}{ 61 | \TH@PDFtrue 62 | % DIV SETTING 63 | \ifFAU@setDIV % it has already been set 64 | \ClassWarningNoLine{\classname}{The Option DIV has already been set. The 65 | PDF option will not reset this value. If you want to use the default settings 66 | of PDF do not specify a DIV value.} 67 | \else 68 | \PassOptionsToClass{DIV=classic}{\baseclass} 69 | \fi 70 | % BINDING 71 | \ifFAU@setBCOR % it has already been set 72 | \ClassWarningNoLine{\classname}{The Option BCOR has already been set. The 73 | PDF option will not reset this value. If you want to use the default settings 74 | of PDF do not specify a BCOR value.} 75 | \else 76 | \PassOptionsToClass{BCOR=0mm}{\baseclass} 77 | \fi 78 | % TWO-ONESIDED 79 | \ifFAU@setSided % it has already been set, probably output something 80 | \ClassWarningNoLine{\classname}{The Option side has already been set. The 81 | PDF option will not reset this value. If you want to use the default settings 82 | of PDF do not specify a side value.} 83 | \else 84 | \PassOptionsToClass{oneside}{\baseclass} 85 | \fi 86 | } 87 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 88 | \DeclareOptionX{print}{\FAU@printtrue} 89 | \DeclareOptionX{setprint}{ 90 | \FAU@printtrue 91 | % DIV SETTING 92 | \ifFAU@setDIV % it has already been set 93 | \ClassWarningNoLine{\classname}{The Option DIV has already been set. The 94 | print option will not reset this value. If you want to use the default settings 95 | of PDF do not specify a DIV value.} 96 | \else 97 | \PassOptionsToClass{DIV=classic}{\baseclass} 98 | \fi 99 | % BINDING 100 | \ifFAU@setBCOR % it has already been set 101 | \else 102 | \ClassWarningNoLine{\classname}{The Option BCOR has not been set yet! The 103 | print option will set it to BCOR=5mm. You should actually set this value yourself!} 104 | \PassOptionsToClass{BCOR=15mm}{\baseclass} 105 | \fi 106 | % TWO-ONESIDED 107 | \ifFAU@setSided % it has already been set, probably output something 108 | \ClassWarningNoLine{\classname}{The Option side has already been set. The 109 | print option will not reset this value. If you want to use the default settings 110 | of PDF do not specify a side value.} 111 | \else 112 | \PassOptionsToClass{twoside}{\baseclass} 113 | \fi 114 | } 115 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 116 | \DeclareOptionX{showframe}{\PassOptionsToPackage{showframe}{geometry}} 117 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 118 | % We might need these values for internal use, so let's consider them 119 | 120 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 121 | % This passes all the options not considered so far to \baseclass 122 | \DeclareOptionX*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{\baseclass}} 123 | \ProcessOptionsX 124 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 125 | % We can now load our baseclass 126 | \LoadClass{\baseclass} 127 | \usepackage{scrhack} 128 | % ######################################################################################## 129 | % 130 | % 131 | % 132 | % 133 | % 134 | % ######################################################################################## 135 | \usepackage{graphicx} 136 | % ######################################################################################## 137 | % 138 | % 139 | % 140 | % 141 | % 142 | % ######################################################################################## 143 | % Colors 144 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 145 | % Here we define the basic structure for using consistent colors in our document. The idea 146 | % is to define key values with respective commands, i.e. \titlecolor that can be used 147 | % througout the document. The command \colors will set the colors, it is used in the file 148 | % fau-colors.sty where additional colors are defined. 149 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 150 | \usepackage{xcolor} 151 | % 152 | \define@key{color}{colmain}{\def\colmain{#1}} 153 | \define@key{color}{colmainlight}{\def\colmainlight{#1}} 154 | \define@key{color}{colmainllight}{\def\colmainllight{#1}} 155 | \define@key{color}{colmainlllight}{\def\colmainlllight{#1}} 156 | \define@key{color}{colcomp}{\def\colcomp{#1}} 157 | \setkeys{color}{colmain = black, colmainlight = white, colmainllight = white,% 158 | colmainlllight = white, colcomp=black}{} 159 | % 160 | \def\colors#1{ 161 | \setkeys{color}{#1} 162 | \hypersetup{ 163 | urlcolor=\colmain, 164 | citecolor=\colcomp, 165 | linkcolor=\colmain} 166 | } 167 | % ######################################################################################## 168 | % 169 | % 170 | % 171 | % 172 | % 173 | % ######################################################################################## 174 | % Datetime commands 175 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 176 | \usepackage[ngerman]{babel} 177 | \usepackage{datetime2} 178 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 179 | % Define the typical german style, ex: 02.Mai 2019 180 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 181 | \DTMnewdatestyle{gerDatestyleA}{% 182 | \renewcommand{\DTMdisplaydate}[4]{\number##3.\DTMgermanmonthname{##2} \number##1 }% 183 | \renewcommand{\DTMDisplaydate}{\DTMdisplaydate}% 184 | } 185 | % Command for \today in the respective style 186 | \newcommand{\gertoday}{\DTMsetdatestyle{gerDatestyleA}\today} 187 | % ######################################################################################## 188 | % 189 | % 190 | % 191 | % 192 | % 193 | % ######################################################################################## 194 | % Titelpage 195 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 196 | % Some macros 197 | \def\subdate#1{\gdef\@subdate{#1}} 198 | \subdate{\gertoday} % The default value for the date is today in german style 199 | \gdef\department#1{\gdef\@department{#1}} % Degree Program 200 | \def\semester#1{\gdef\@semester{#1}} % for the degree you want to obtain 201 | \def\keywords#1{\gdef\@keywords{#1}} 202 | %-------------------------------------------------------------------------- 203 | \renewcommand{\maketitle}{ 204 | \begin{titlepage} 205 | \thispagestyle{empty} 206 | %\textsf{ 207 | \begin{center} 208 | \vspace*{1cm} 209 | {\Huge \textbf{\@title}} \\ 210 | \vspace{2cm} 211 | {\LARGE\textbf{\@semester}}\\[5mm] 212 | \vfill 213 | {\LARGE\textbf{\@author}}\\ 214 | {\Large\@department} 215 | \vfill 216 | {\normalsize Version vom \textbf{\@subdate}} 217 | \normalsize 218 | \end{center} 219 | % 220 | \vfill% 221 | % 222 | \begin{minipage}{0.36\textwidth} 223 | \vspace*{10mm} 224 | \includegraphics[width=\textwidth]{atelier/logo/FAU_nat} 225 | \end{minipage} 226 | \hfill 227 | \begin{minipage}{0.3\textwidth} 228 | \includegraphics[width=\textwidth]{atelier/logo/DepMathLogo} \vspace{3mm} 229 | \end{minipage} 230 | %} 231 | \end{titlepage} 232 | } 233 | % ######################################################################################## 234 | % Dedication 235 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 236 | \newcommand{\dedicationtext}[1]{ 237 | \newcommand{\printdedication}{ 238 | \begin{titlepage} 239 | \begin{center} 240 | #1 241 | \end{center} 242 | \end{titlepage} 243 | } 244 | } 245 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 246 | % Acknowledgement 247 | % 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######################################################################################## 364 | % Misc 365 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 366 | % Don't break enumeration (etc.) across pages in an ugly manner 367 | \clubpenalty=10000 368 | \widowpenalty=10000 369 | % ######################################################################################## 370 | % 371 | % 372 | % 373 | % 374 | % 375 | % ######################################################################################## 376 | % We use KOMA options instead of the geometry package. It is just loaded for the 377 | % showframe option. 378 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 379 | \usepackage[pass]{geometry} % This is just loaded for showframe 380 | % ######################################################################################## 381 | % 382 | % 383 | % 384 | % 385 | % 386 | % ######################################################################################## 387 | % Command for producing the declaration 388 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 389 | \newenvironment{declaration} 390 | % before environment 391 | {\cleardoublepage 392 | \settowidth{\dotspace}{\@author and \dateAndLoc} 393 | \setlength{\dotspace}{\dimexpr(\textwidth - \dotspace - 2cm)\relax} 394 | \if@twocolumn\onecolumn\fi 395 | \begin{center} 396 | \textbf{\Large Erkl\"arung} 397 | \end{center} 398 | \thispagestyle{empty}}{\clearpage} 399 | % 400 | \def\dateAndLoc{Erlangen, den \gertoday} 401 | \newlength{\dotspace} 402 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 403 | % the predefind text from the examinatioons office 404 | % ---------------------------------------------------------------------------------------- 405 | \def\declarationGer{ 406 | \begin{declaration} 407 | Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstst\"andig verfasst 408 | und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe, 409 | dass alle Stellen der Arbeit, die w\"ortlich oder sinngem\"aß aus anderen Quellen 410 | \"ubernommen wurden, als solche kenntlich gemacht sind und dass die Arbeit in 411 | gleicher oder \"ahnlicher Form noch keiner Pr\"ufungsbeh\"orde vorgelegt wurde.\\[1cm] 412 | % signature line 413 | \noindent\dateAndLoc\hspace{\dotspace}\dotfill\\[2pt] 414 | \strut\hfill\@author\hspace{1cm} 415 | \end{declaration}} 416 | % ######################################################################################## -------------------------------------------------------------------------------- /vektoranalysis/multilinear.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | (s:multilinearformen)= 2 | # Multilinearformen 3 | 4 | In diesem Abschnitt wollen wir die Definition der sogenannten *Multilinearformen* einführen. 5 | Für beliebige Vektorräume $\V, W$ über einem Körper $\K$ haben Sie bereits den Begriff der *Linearform*, also einer linearen Abbildung $\varphi:\V\rightarrow W$ kennengelernt. 6 | Die Idee der Multilinearform ist anstatt nur einem, gleich $k$-viele Vektorräume $V_1,\ldots,V_k$ für $k \in \N$ über $\K$ zu betrachten und das Konzept der Linearität auf eine Abbildung $\varphi:\V_1\times\ldots\V_k\rightarrow W$ zu übertragen. 7 | 8 | Zur Vereinfachung werden wir im Folgenden nur den Körper $\K=\R$ betrachten, in den meisten Fällen lassen sich die hier beschriebenen Konzepte aber direkt auf allgemeine Körper übertragen. 9 | Wir beginnen zunächst mit einer Wiederholung und betrachten die schon bekannten Linearformen. 10 | Insbesondere soll der nächste Abschnitt die verschiedenen Begriffe des Dualraums abgrenzen. 11 | 12 | ## Dualräume 13 | 14 | Für einen reellen Vektorraum $\V$ wollen wir lineare Abbildungen $\varphi:V\to\R$ betrachten. 15 | Diese lassen sich mit Hilfe der folgenden Definition zum algebraischen Dualraum zusammenfassen. 16 | 17 | ````{prf:definition} Algebraischer Dualraum 18 | :label: def:algebraischerDualraum 19 | Es sei $\V$ ein beliebiger $\R$-Vektorraum. 20 | Dann nennen wir die Menge 21 | 22 | ```{math} 23 | \V^\ast := \{\varphi:\V\rightarrow\R: \varphi\text{ ist linear}\} 24 | ``` 25 | 26 | den **algebraischer Dualraum** zu $V$. 27 | ```` 28 | 29 | Aus {cite:p}`tenbrinck_2021` ist bereits der Begriff des *topologischen Dualraums* bekannt, welcher allerdings eine etwas restriktivere Definition hat. 30 | Sie fordert nämlich noch zusätzlich die Stetigkeit der linearen Abbildungen. 31 | 32 | ````{prf:definition} Topologischer Dualraum 33 | :label: def:topologischerDualraum 34 | Es sei $\V$ ein normierter $\R$-Vektorraum für einen Körper $\R$. 35 | Dann nennen wir die Menge 36 | 37 | ```{math} 38 | \V^\prime := \{\varphi:\V\rightarrow\R: \varphi\text{ ist linear und stetig}\} 39 | ``` 40 | 41 | den **topologischer Dualraum** zu $V$. 42 | ```` 43 | 44 | ```{danger} 45 | Der algebraische Dualraum ist im Allgemeinen nicht gleich dem topologischen Dualraum. 46 | Der Hauptzweck dieses Abschnitts ist es diese Tatsache klar zu machen und die Unterschiede der beiden Definitionen herauszustellen. 47 | ``` 48 | 49 | Der Integraloperator ist ein typisches Beispiel für einen linearen stetigen Operator. 50 | 51 | ````{prf:example} Integraloperator 52 | Es sei $\V := C([0,1])$ der Funktionenraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall $[0,1] \subset \R$. 53 | Dann ist der durch $T \colon C([0,1]) \rightarrow \R$ definierte Integraloperator mit 54 | 55 | ```{math} 56 | T(f) := \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x 57 | ``` 58 | 59 | ein Element des *topologischen Dualraums*, d.h. $T \in \V^\prime$, da man zeigen kann, dass er linear und stetig ist. 60 | 61 | ```` 62 | 63 | Folgende Bemerkung sagt etwas über die minimale Struktur, die der Vektorraum $V$ haben muss, damit die Definition des topologischen Dualraums sinnvoll ist. 64 | 65 | ````{prf:remark} 66 | Damit die {prf:ref}`def:topologischerDualraum` sinnvoll ist, ist es in der Tat nicht notwendig, dass $V$ ein normierter Raum ist. Es reicht anzunehmen, dass $\V$ ein *topologischer Vektorraum* ist. 67 | ```` 68 | 69 | Durch Vergleichen von {prf:ref}`def:algebraischerDualraum` und {prf:ref}`def:topologischerDualraum` erkennt man sofort, dass stets $\V^\prime\subset \V^\ast$ gilt. 70 | Außerdem stellt man fest, dass die beiden Räume im endlich-dimensionalen Fall überein stimmen, wie folgendes Lemma aussagt. 71 | 72 | ````{prf:lemma} 73 | Für $n\in\N$ sei $\V$ ein $n$-dimensionaler $\R$-Vektorraum, dessen Norm durch das Standardskalarprodukt induziert ist. 74 | Dann gilt 75 | 76 | ```{math} 77 | V^\prime = V^\ast. 78 | ``` 79 | 80 | ```` 81 | 82 | ````{prf:proof} 83 | In der Hausaufgabe zu zeigen. 84 | ```` 85 | 86 | Das folgende Beispiel aus der Funktionalanalysis erklärt, dass die Gleichheit von algebraischen und topologischen Dualräumen nicht mehr in unendlich-dimensionalen Räumen gilt. 87 | 88 | ````{prf:example} Differentialoperator 89 | Sei $\V := C^1([0,1])$ der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $[0,1] \subset \R$. 90 | Wir betrachten im Folgenden den *Differentialoperator* 91 | 92 | ```{math} 93 | D \colon V &\rightarrow \R \\ 94 | (Df)(x) &\mapsto f'(x), \quad \forall x \in [0,1]. 95 | ``` 96 | 97 | Bekanntermaßen ist der Differentialoperator $D$ **linear** und ist somit ein Element des algebraischen Dualraums, d.h., $D \in V^\ast$. 98 | Statten wir den Vektorraum $C^1([0,1])$ mit der *Supremumsnorm* 99 | 100 | ```{math} 101 | ||f||_\infty := \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| 102 | ``` 103 | 104 | aus und betrachten die Funktionenfolge $f_n(x) := x^n$, dann sehen wir ein, dass die Supremumsnorm der Folge konstant ist mit $||f_n||_\infty \equiv 1$ für alle $n\in\N$. 105 | Für den Differentialoperator $D$ gilt jedoch 106 | 107 | ```{math} 108 | ||Df_n||_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |(Df_n)(x)| = \sup_{x \in [0,1]} |f_n'(x)| = \sup_{x \in [0,1]} |nx^{n-1}| = n. 109 | ``` 110 | 111 | Um die *Stetigkeit* des Differentialoperators zu untersuchen betrachten wir die konstante Nullfunktion $F_0 \in V$ mit $F_0(x) \equiv 0$ für alle $x \in [0,1]$. 112 | Vergleichen wir nun den Abstand der konstanten Nullfunktionen zum ersten Folgenglied $f_1$ unserer Funktionenfolge, so erhalten wir erwartungsgemäß 113 | 114 | ```{math} 115 | ||f_1 - F_0||_\infty = ||f_1||_\infty = ||x^1||_\infty = 1 < \frac{3}{2} =: \delta. 116 | ``` 117 | 118 | Für den Differenzialoperator erhalten wir analog 119 | ```{math} 120 | ||Df_1 - DF_0||_\infty = ||Df_1||_\infty = ||1||\infty < \frac{3}{2} =: \epsilon. 121 | ``` 122 | 123 | Wäre der Differenzialoperator $D$ stetig, so müsste nach dem $\epsilon-\delta$-Kriterium nun für jedes Folgenglied $f_n$ unserer Funktionenfolge $||Df_n - DF_0|| < \epsilon$ gelten, da der Abstand kleiner $\delta$ ist wegen 124 | 125 | ```{math} 126 | ||f_n - F_0||_\infty = ||f_n||_\infty = ||x^n||_\infty = 1 < \delta. 127 | ``` 128 | 129 | Jedoch sehen wir, dass die Folge der Ableitungen divergiert, d.h., 130 | 131 | ```{math} 132 | ||Df_n - DF_0||_\infty = ||Df_n||_\infty = ||nx^{n-1}||_\infty = n > \epsilon \quad \text{für } n\geq 2. 133 | ``` 134 | 135 | Wir sehen also ein, dass der Differentialoperator **nicht stetig** ist und somit kein Element des topologischen Dualraums $V'$ sein kann. 136 | Damit haben wir gezeigt, dass in unendlich-dimensionalen Räumen $V' \subsetneq V^\ast$ gilt. 137 | ```` 138 | 139 | (s:k-multilinearform)= 140 | ## k-Multilinearformen 141 | 142 | Nachdem wir uns den Begriff der Linearität ins Gedächtnis zurückgerufen haben und Dualräume erklärt haben, wollen wir was Konzept linearer Abbildungen in der folgenden Definition verallgemeinern. 143 | 144 | ````{prf:definition} k-Multilinearität 145 | :label: def:multilinear 146 | 147 | Sei $k \in \N$ und es seien $\V_i, i=1,\ldots,k$, sowie $W$ reelle Vektorräume. 148 | 149 | Wir nennen eine Abbildung 150 | 151 | ```{math} 152 | \varphi : \V_1\times\ldots\times \V_k\ \to W 153 | ``` 154 | 155 | **k-(multi)linear**, falls alle zugehörigen partiellen Abbildungen $\varphi_i$ für $i\in\{1,\ldots,k\}$ mit 156 | 157 | ```{math} 158 | \varphi_i \colon V_i &\to W\\ 159 | x&\mapsto \varphi_i(x):= \varphi(z_1,\ldots, z_{i-1}, x, z_{i+1},\ldots,z_k) 160 | ``` 161 | 162 | *linear* sind. 163 | 164 | Die Menge aller $k$-linearen Abbildungen wird mit $L^k(\V_1\times\ldots\times \V_k; W)$ bezeichnet. 165 | Falls alle Vektorräume übereinstimmen, d.h., $\V_i = \V$ für alle $i=1,\ldots,k$ gilt, so schreibt man auch $L^k(\V\times\ldots\times \V; W) =: L^k(\V; W)$. 166 | ```` 167 | 168 | ````{prf:remark} 169 | Ausgeschrieben bedeutet die Bedingung in der obigen Definition, dass für beliebige Vektoren $x,y\in \V_i$ und Skalare $\lambda \in \R$ gilt 170 | 171 | ```{math} 172 | \varphi(z_1,\ldots,z_{i-1},\lambda \cdot x, z_{i+1},\ldots,z_k) = \lambda \cdot \varphi(z_1,\ldots,z_{i-1}, x, z_{i+1}, \ldots,z_k) 173 | ``` 174 | 175 | und 176 | 177 | ```{math} 178 | \varphi(z_1,\ldots,z_{i-1},x+y,z_{i+1},\ldots,z_k) = \varphi(z_1,\ldots,x,\ldots,z_k) + \varphi(z_1,\ldots,y,\ldots,z_k). 179 | ``` 180 | 181 | für jedes Argument $i = 1,\ldots,k$ der Abbildung $\varphi \colon V_1 \times \ldots \times \V_k \rightarrow W$. 182 | 183 | ```` 184 | 185 | Viele multilineare Abbildungen kennen wir bereits aus der Linearen Algebra ohne sie bisher so bezeichnet zu haben. 186 | Im folgenden Beispiel wiederholen wir einige bekannte Beispiele unter dem Aspekt der Multilinearität. 187 | 188 | ````{prf:example} 189 | :label: ex:multilinear 190 | 191 | Wir betrachten im Folgenden Beispiele für $k$-lineare Abbildungen mit verschiedenen $k\in\N$. 192 | 193 | **$k=1$**: In diesem einfachen Fall sind alle Linearformen $1$-linear. 194 | Daher ist der Raum der $1$-Linearformen gerade der algebraische Dualraum aus {prf:ref}`def:algebraischerDualraum`, d.h. es gilt $L^1(\V; \R) = \V^\ast$. 195 | 196 | **$k=2$**: Es sei $\V=\R^n$ der Euklidische Vektorraum mit kanonischem innerem Produkt $\langle\cdot,\cdot\rangle$. 197 | Für $A\in\R^{n,n}$ ist 198 | 199 | ```{math} 200 | \varphi:\V\times \V &\to\R\\ 201 | (x,y) &\mapsto \varphi(x, y) :=\langle x,A y \rangle 202 | ``` 203 | 204 | eine **Bilinearform** bzw. eine $2$-Linearform nach {prf:ref}`def:multilinear`. 205 | Sie heißt _symmetrisch_, falls 206 | 207 | ```{math} 208 | \varphi(x, y) = \varphi(y, x), \quad \forall x, y\in \V 209 | ``` 210 | 211 | und _antisymmetrisch_ falls 212 | 213 | ```{math} 214 | \varphi(x, y) = -\varphi(y, x), \quad \forall x, y\in \V. 215 | ``` 216 | 217 | **$k=n$**: Es sei $n\in \N$ und $\V=\R^n$ der Euklidische Vektorraum. 218 | Die $n$-lineare Abbildung 219 | 220 | ```{math} 221 | \varphi :\V \times \ldots \times \V &\to\R\\ 222 | (z_1, \ldots, z_n) &\mapsto \varphi(z_1,\ldots,z_n) := \det([z_1,\ldots,z_n]) 223 | ``` 224 | 225 | heißt **Determinantenform**. 226 | Wir beachten, dass hierbei jedes $z_i \in \R^n$ für $i=1,\ldots,n$ ein Vektor ist und es sich bei $[z_1,\ldots,z_n] \in \R^{n\times n}$ um eine Matrix handelt. 227 | Die Determinantenform gibt das orientierte Volumen des von den Vektoren $z_1,\ldots,z_n$ aufgespannten Parallelotops an. 228 | ```` 229 | 230 | ## Der Vektorraum der Multilinearformen 231 | 232 | Die Menge der $k$-linearen Abbildung $L^k(V_1 \times \ldots \times V_k; W)$ für $\R$-Vektorräume $V_1,\ldots,V_k$ und $W$ besitzt mehr Struktur als wir ihr bisher angesehen haben. 233 | Mit den entsprechenden Verknüpfungen handelt es sich ebenfalls um einen Vektorraum, wie das folgende Lemma zeigt. 234 | 235 | ````{prf:lemma} 236 | Sei $k \in \N$ und es seien $\V_1,\ldots,\V_k$ sowie $W$ reelle Vektorräume. 237 | Dann ist die Menge $L^k(\V_1\times\ldots\V_k; W)$ ein Vektorraum über $\R$ bezüglich der Addition 238 | 239 | ```{math} 240 | (\varphi_1+\varphi_2)(z_1,\ldots,z_k) := \varphi_1(z_1,\ldots,z_k) + 241 | \varphi_2(z_1,\ldots,z_k), 242 | ``` 243 | für $k$-lineare Abbildungen $\varphi_1,\varphi_2\in L^k(\V_1 \times \ldots \times V_k;W)$ und der Multiplikation mit Skalaren $\lambda \in \R$ 244 | 245 | ```{math} 246 | (\lambda\varphi)(z_1,\ldots,z_k) := \lambda\big(\varphi(z_1,\ldots,z_k)\big),\quad\varphi\in L^k(\V_1 \times \ldots \times V_k;W). 247 | ``` 248 | 249 | ```` 250 | 251 | ````{prf:proof} 252 | In der Hausaufgabe zu zeigen. 253 | ```` 254 | 255 | Wir wir bereits in {prf:ref}`ex:multilinear` gesehen haben erhalten wir einen wichtigen Spezialfall für $k=1$, nämlich den algebraischen Dualraum $V^\ast = L^1(\V;\R)$. 256 | Für diesen Vektorraum können wir eine spezielle Basis angeben, wie das folgende Lemma zeigt. 257 | 258 | ````{prf:lemma} Duale Basis 259 | :label: lem:dualeBasis 260 | 261 | Es sei $\V$ ein $n$-dimensionaler $\R$-Vektorraum mit einer endlichen Basis $B = (b_1,\ldots,b_n)$. 262 | Für beliebige Vektoren $z \in V$ bilden die Abbildungen $\eta_j:\V\rightarrow\R$ für $j=1,\ldots,n$ mit 263 | 264 | ```{math} 265 | \eta_j(z) := \eta_j\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i b_i\right) := \alpha_j 266 | ``` 267 | 268 | eine Basis des algebraischen Dualraums $\V^\ast$. 269 | Diese spezielle Basis wird auch die **duale Basis** zur Basis $B$ genannt. 270 | 271 | ```` 272 | 273 | ````{prf:proof} 274 | Wir zeigen zunächst, dass $\eta_j\in\V^\ast$ für $j=1,\ldots,n$. 275 | Dazu seien $x,y\in\V$ beliebige Vektoren. 276 | Dann existieren Koeffizienten $\alpha_i^x,\alpha_i^y \in \R$ für $i=1,\ldots,n$, so dass es eine eindeutige Darstellung als Linearkombination der Basisvektoren gibt mit 277 | 278 | ```{math} 279 | x = \sum_{i=1}^n \alpha_i^x b_i, \qquad y = \sum_{i=1}^n \alpha_i^y b_i. 280 | ``` 281 | 282 | Somit haben wir also für die Summe der Vektoren 283 | 284 | ```{math} 285 | \eta_j(x+y) &= 286 | \eta_j\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i^x b_i + \sum_{i=1}^n \alpha_i^y b_i\right) = 287 | \eta_j\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i^x b_i + \alpha_i^y b_i\right) = 288 | \eta_j\left(\sum_{i=1}^n (\alpha_i^x + \alpha_i^y) b_i\right) 289 | \\&= \alpha_i^x + \alpha_i^y = 290 | \eta_j\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i^x b_i\right) + \eta_j\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i^y b_i\right) = 291 | \eta_j(x) + \eta_j(y). 292 | ``` 293 | 294 | Weiterhin gilt für beliebige Skalare $\lambda\in\R$ 295 | 296 | ```{math} 297 | \eta_j(\lambda x) = \eta_j\left(\lambda \sum_{i=1}^n \alpha_i^x b_i\right) = 298 | \eta_j\left(\sum_{i=1}^n (\lambda \alpha_i^x) b_i\right) = 299 | \lambda \alpha_i^x = 300 | \lambda \eta_j(x). 301 | ``` 302 | 303 | Damit haben wir also gezeigt, dass die Elemente der dualen Basis linear sind und somit gilt $\eta_j \in V^\ast$ für $j=1,\ldots,n$. 304 | 305 | Sei nun $\phi\in \V^\ast$, dann gilt 306 | 307 | ```{math} 308 | \phi(x) = \phi\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i^x b_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i^x \phi(b_i) = 309 | \sum_{i=1}^n \eta_i(x) \phi(b_i), 310 | ``` 311 | 312 | insbesondere gilt also $\phi = \sum_{i=1}^n \phi(b_i) \eta_i$. 313 | 314 | Somit bilden die Abbildungen $\eta_j, j=1,\ldots, n$ ein Erzeugendensystem von $V^\ast$, da jede lineare Abbildung $\phi \in V^\ast$ als Linearkombination dargestellt werden kann. 315 | 316 | Um zu zeigen, dass es sogar um eine Basis des algebraischen Dualraums handelt, müssen wir noch zeigen, dass das Nullelement des Vektorraums eine eindeutige Darstellung besitzt, da dies impliziert, dass die Elemente des Erzeugendensystems linear unabhängig sind. 317 | Seien also Koeffizienten $a_i\in\R$ gegeben, so dass $0 = \sum_{i=1}^n a_i \eta_i$ die Nullabbildung realisiert. 318 | Dann folgt schon für jedes $j=1,\ldots,n$ 319 | 320 | ```{math} 321 | 0 = \left(\sum_{i=1}^n a_i \eta_i\right)(b_j) = \sum_{i=1}^n a_i \underbrace{\eta_i(b_j)}_{=\delta_{ij}} = a_j. 322 | ``` 323 | 324 | Offensichtlich kann die Nullabbildung nur erzeugt werden, wenn für alle Koeffizienten $a_i=0$ gilt für $i=1,\ldots,n$ und damit ist die Aussage bewiesen. 325 | 326 | ```` 327 | 328 | Folgende Bemerkungen wollen wir zum gerade diskutierten Lemma festhalten. 329 | 330 | ````{prf:remark} 331 | 1\. Die Aussage aus {prf:ref}`lem:dualeBasis` zeigt insbesondere, dass im **endlich-dimensionalen** Fall $\dim(\V) = \dim(\V^\ast)$. 332 | Die Vektorräume sind also isomorph zueinander. 333 | 334 | 2\. Die Aussage des {prf:ref}`lem:dualeBasis` zur dualen Basis lässt sich ebenfalls auf den Fall eines **unendlich-dimensionalen** Vektorraums übertragen. 335 | Hierfür erinnern wir daran, dass für einen Vektorraum $V$ stets eine Basis $B = \{b_i:i\in I\}\subset V$ existiert, wobei $I$ eine (nicht notwendigerweise endliche) Indexmenge ist. 336 | Insbesondere bemerken wir, dass wir hier von einer **Hamelbasis** sprechen, d.h., für jedes Element $v\in V$ gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten $\alpha_i, i\in I$, so dass gilt 337 | 338 | ```{math} 339 | v = \sum_{i\in I} \alpha_i b_i. 340 | ``` 341 | 342 | Der wichtige Punkt hierbei ist, dass nur **endlich viele** Koeffizienten $\alpha_i$ ungleich null sind und die Summation somit keine eigentlich unendliche Reihe beschreibt, sondern nur eine endliche Summe. 343 | Diese Konzept ist insbesondere verschieden vom Begriff der [Schauderbasis](https://de.wikipedia.org/wiki/Schauderbasis) 344 | ```` 345 | 346 | ```{margin} Georg Hamel 347 | [Georg Karl Wilhelm Hamel](https://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Hamel) (Geboren 12. September 1877 in Düren; Gestorben 4. Oktober 1954 in Landshut) war ein deutscher Mathematiker. 348 | ``` 349 | 350 | ```{margin} Juliusz Schauder 351 | [Juliusz Paweł Schauder](https://de.wikipedia.org/wiki/Juliusz_Schauder) (Geboren 21. September 1899 in Lemberg; Gestorben September 1943) war ein polnischer Mathematiker. 352 | ``` 353 | 354 | Wir wollen uns das Konzept der dualen Basis im Falle des Euklidischen Vektorraums klar machen im Folgenden. 355 | 356 | ````{prf:example} Duale Basis 357 | Sei $V = \R^n$ der Euklidische Vektorraum ausgestattet mit der Standard Einheitsbasis $B = (e_i)_{i=1,\ldots,n}$. 358 | Dann lässt sich jeder Vektor $x \in V$ eindeutig als Linearkombination der Einheitsvektoren schreiben mit 359 | 360 | ```{math} 361 | x = \sum_{i=1}^n \alpha_i^x e_i = \sum_{i=1}^n x_i e_i. 362 | ``` 363 | 364 | Wir sehen also ein, dass die Koeffizienten $\alpha_i^x$ gerade die Einträge des Vektors $x$ selbst sind. 365 | Da die duale Basis des algebraischen Dualraums $V^\ast$ zur Basis $B$ nach {prf:ref}`lem:dualeBasis` gerade die Koeffizienten $\alpha_i^x$ liefern soll, ist klar, dass die entsprechenden linearen Abbildungen durch eine **Linksmultiplikation mit den transponierten Einheitsvektoren** gegeben sind, d.h., $\eta_j(x) := e_j^T x = \langle e_j, x \rangle$, denn es gilt 366 | 367 | ```{math} 368 | \eta_j(x) = 369 | \eta_j \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i^x e_i \right) = 370 | \langle e_j, \sum_{i=1}^n x_i e_i\rangle = 371 | \sum_{i=1}^n x_i \underbrace{\langle e_j, e_i\rangle}_{= \delta_{ij}} = 372 | x_j = \alpha_j^x, \quad \forall j=1,\ldots,n. 373 | ``` 374 | 375 | ```` 376 | 377 | Wir halten abschließend fest, dass sich der **Bidualraum** $V^{\ast\ast} := (V^\ast)^\ast$, d.h., der duale Raum des Dualraums $V^\ast$, im endlich-dimensionalen Fall leicht charakterisieren lässt. 378 | 379 | ````{prf:remark} 380 | :label: rem:doubledual 381 | 382 | Für $n \in \N$ sei $\V$ ein $n$-dimensionaler reeller Vektorraum. 383 | Dann gilt, dass die Abbildung 384 | 385 | ```{math} 386 | \Psi :\V &\rightarrow \V^{\ast\ast}\\ 387 | x &\mapsto \Psi_x \quad \text{ mit } \quad \Psi_x(\varphi) := \varphi(x). 388 | ``` 389 | 390 | ein Isomorphismus ist. 391 | 392 | ```` 393 | -------------------------------------------------------------------------------- /complexanalysis/residuensatz.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Laurententwicklung und Residuensatz 2 | 3 | In diesem Abschnitt betrachten wir nun Singularitäten holomorpher Funktionen auf gelochten Kreisscheiben. Konkret betrachten wir holomorphe Funktionen $f:B_r(p)\setminus\{p\}\to\C$ und interessieren uns speziell für das Verhalten nahes des entfernten Mittelpunktes $p\in\C$. 4 | 5 | ## Singularitäten holomorpher Funktionen 6 | 7 | In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit speziell ausgezeichneten Punkten, den sogenannten Singularitäten. 8 | 9 | ````{prf:definition} Singularitäten 10 | Sei $U \subset \C$ offen und $p\in U$ ein Punkt und $f: U \setminus \{p\}\to\C$ eine holomorphe Funktion ist, dann nennen wir den Punkt $p$ eine **isolierte Singularität** von $f$. 11 | 12 | 1. Der Punkt $p\in U$ heißt **hebbare Singularität**, falls $p$ eine isolierte Singularität ist und es eine holomorphe Funktion $g:U\to\C$ gibt, so dass $g(z) = f(z)$ gilt für alle $z \in U \setminus \{p\}$. 13 | 14 | 2. Der Punkt $p\in U$ heißt **Pol**, wenn ein $k\in\N$ existiert, s.d., $z\mapsto (z-p)^k f(z)$ eine hebbare Singularität in $p$ hat. Das kleinste $k\in\N$, das diese erfüllt heißt **Ordnung** des Pols. 15 | 16 | 3. Wir nennen den Punkt $p$ eine **wesentliche Singularität**, wenn $p$ weder hebbar noch Pol ist. 17 | ```` 18 | 19 | Intuitiv ist eine Polstelle hebbar, falls die Funktion um die Polstelle herum beschränkt ist. Dies ist die Aussage des Riemannschen Hebbarkeitssatzes. 20 | 21 | ````{prf:theorem} 22 | :label: thm:hebbar 23 | 24 | Es sei $U\subset \C$ offen, $p\in U$ und $f:U\setminus\{p\}\to\C$ holomorph. Falls eine Umgebung $V\subset U, p\in V$ existiert, s.d., $f$ auf $V\setminus\{p\}$ beschränkt ist, so ist $p$ eine hebbare Singularität. 25 | ```` 26 | 27 | ````{prf:proof} 28 | Wir nehmen o.B.d.A. an, dass $p=0$ gilt und betrachten die Funktion 29 | 30 | ```{math} 31 | g(z) := 32 | \begin{cases} 33 | z^2\cdot f(z)&\text{ für } z\neq 0,\\ 34 | 0&\text{ für } z=0. 35 | \end{cases} 36 | ``` 37 | 38 | Dann gilt 39 | 40 | ```{math} 41 | \lim_{z\to 0} \frac{g(z) - g(0)}{z} = \lim_{z\to 0} z\cdot f(z) =0 42 | ``` 43 | 44 | da $f$ beschränkt in einer Umgebung um $0$ ist. Somit ist $g$ holomorph auf $U$ und lässt sich damit als Potenzreihe in der $0$ entwickeln, 45 | 46 | ```{math} 47 | g(z) = \sum_{j=0}^\infty a_j z^j,\quad 0 = g(0) = a_0, 0=g^\prime(0)=a_1. 48 | ``` 49 | 50 | Insbesondere gilt dann für $z\in U\setminus\{0\}$ 51 | 52 | ```{math} 53 | f(z) = g(z)/z^2 = \sum_{j=2}^\infty a_j z^{j-2} 54 | ``` 55 | 56 | wobei die Reihe auf der rechten Seite eine holomorphe Funktion auf ganz $U$ definiert, daher ist $0$ eine hebbare Singularität. 57 | ```` 58 | 59 | ## Laurent-Reihen 60 | 61 | Zusätzlich zu Potenzreihen betrachtet man für Singularitäten sogenannte **Laurent-Reihen**, wobei man nicht nur Potenzen $(z-p)^j$ für $j\in \N$ betrachtet, sondern auch negative Exponenten zulässt und somit effektive rationale Funktionen $\frac{1}{(z-p)^j}$ hinzuaddiert. 62 | 63 | ```{margin} Pierre Alphonse Laurent 64 | [Pierre Alphonse Laurent](https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_Alphonse_Laurent) (Geboren 18. Juli 1813 in Paris; Gestorben 2. September 1854 ebenda) war ein französischer Mathematiker. 65 | ``` 66 | 67 | ````{prf:definition} Laurent-Reihen 68 | Für eine Folge $a_j\in\C, j\in \Z$ nennen wir die Reihe 69 | 70 | ```{math} 71 | \sum_{j=-\infty}^\infty a_j (z-p)^j 72 | ``` 73 | 74 | **Laurent-Reihe** am Entwicklungspunkt $p\in\C$. Wir nennen die Reihe konvergent, falls die Teilsummen 75 | 76 | ```{math} 77 | \sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^j\qquad \sum_{j=1}^\infty a_{-j} \frac{1}{(z-p)^j} 78 | ``` 79 | 80 | konvergieren und setzten den Grenzwert als Summe der beiden einzelnen Grenzwerte. 81 | ```` 82 | 83 | Für Laurent-Reihen erhält man zwei Konvergenzradien, jeweils für die beiden Teilsummen. 84 | 85 | ````{prf:definition} Laurent Konvergenzradien 86 | Für eine Laurent-Reihe sei $R>0$ der Konvergenzradius der Reihe 87 | 88 | ```{math} 89 | \sum_{j=0}^\infty a_j (z-p)^j 90 | ``` 91 | 92 | und $\tilde{r}$ der Konvergenzradius der Reihe 93 | 94 | ```{math} 95 | \sum_{j=1}^\infty a_{-j} \frac{1}{(z-p)^j}. 96 | ``` 97 | 98 | Dann heißt $R$ **äußerer** und $\frac{1}{\tilde{r}}$ **innerer** Konvergenzradius. 99 | ```` 100 | 101 | Anstatt von Kreisscheiben betrachten wir hier nun offene Ringe 102 | 103 | ```{math} 104 | B_{r,R}(p) := \{z\in \C: r< \abs{z-p} < R\} 105 | ``` 106 | 107 | und erhalten folgende Aussage. 108 | 109 | ````{prf:lemma} 110 | Es sei $\sum_{j=-\infty}^\infty a_j (z-p)^j$ eine Laurent-Reihe mit äußerem Konvergenzradius $R$ und innerem Konvergenzradius $r$, dann gilt 111 | 112 | * Die Reihe divergiert auf $\C\setminus\overline{B_{r,R}(p)}, 113 | 114 | * Die Reihe konvergiert auf $B_{r,R}(p)$, 115 | 116 | * für $r<\tilde{r}<\tilde{R}< R$ konvergiert die Reihe gleichmäßig absolut auf $B_{\tilde{r},\tilde{R}}(p)$ 117 | ```` 118 | 119 | ````{prf:proof} 120 | Folgt direkt aus {prf:ref}`lem:powerradius` 121 | ```` 122 | 123 | Analog zur Entwicklung in die Taylorreihe haben wir auf offenen Ringen eine Entwicklung in Laurent-Reihen. 124 | 125 | ````{prf:lemma} Laurent-Entwicklung 126 | :label: lem:laurent 127 | 128 | Es sei $f:B_{r,R}(p)\to\C$ holomorph, dann gilt 129 | 130 | ```{math} 131 | f(z) = \sum_{j=-\infty}^\infty a_j (z-p)^j, 132 | ``` 133 | 134 | wobei die Koeffizienten für $j\in\Z$ gegeben sind durch 135 | 136 | ```{math} 137 | a_j = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial B_s(p)} \frac{f(z)}{(z-p)^{j+1}} dz \text{ für beliebiges } s\in (r,R). 138 | ``` 139 | ```` 140 | 141 | ````{prf:proof} 142 | ToDo, siehe {cite:p}`neeb_2017` Satz 6.7. 143 | ```` 144 | 145 | Mithilfe der Laurent-Entwicklung auf der gelochten Kreisscheibe $B_{0,R}(p)$ können wir nun Singularitäten von holomorphen Funktionen charakterisieren. 146 | 147 | ````{prf:lemma} 148 | Es sei $f:U\setminus\{p\}\to\C$ holomorph, $B_{0,R}(p)\subset U\setminus\{p\}$ und $a_j\in\C, j\in\Z$ seien die Koeffizienten der Laurent-Entwicklung auf $B_{0,R}$ welche nach {prf:ref}`lem:laurent` existieren. Dann gilt: 149 | 150 | 1. Die Singularität $p$ ist genau dann *hebbar*, wenn $a_{j}=0$ für alle $j<0$. 151 | 152 | 2. Die Singularität $p$ ist genau dann ein *Pol* der Ordnung $k\in\N$, $a_{-k}\neq 0$ und $a_j = 0$ für alle $j0$, s.d. 214 | 215 | ```{math} 216 | B_r(w) \cap f(U\setminus\{p\}) = \emptyset. 217 | ``` 218 | 219 | Da das Bild von $f$ somit einen echten Abstand zum Punkt $p$ hat ist die Funktion 220 | 221 | ```{math} 222 | z\mapsto\frac{1}{f(z) - w} 223 | ``` 224 | 225 | beschränkt und holomorph auf $U\setminus\{p\}$. Somit folgt mit dem Hebbarkeitssatz in {prf:ref}`thm:hebbar`, dass diese Funktion einen hebbaren Pol bei $p$ hat und somit zur holomorphen Funktion $h:U\to\C$ fortsetzbar auf $U$ ist. Diese Funktion hat keine Nullstellen auf $U\setminus\{p\}$ und ist daher von der From 226 | 227 | ```{math} 228 | h(z) = (z-p)^k j(z) 229 | ``` 230 | 231 | wobei $k\in\N_0, j:U\to\C$ holomorph mit $j(p)\neq 0$. Dann hat aber 232 | 233 | ```{math} 234 | f(z) = \frac{1}{h(z)} + w 235 | ``` 236 | 237 | eine hebbare Singularität bzw. einen Pol bei $p$ was ein Widerspruch zur Annahme ist. 238 | 239 | eine hebbare Singularität bei $z=p$. 240 | ```` 241 | 242 | ## Umlaufzahlen 243 | 244 | Eine charakteristische Größe von Integrationswegen ist die sogenannte **Umlaufzahl**, welche beschreibt wie oft ein Weg um einen Punkt $w\in\C$ herum läuft. 245 | 246 | ````{prf:definition} Umlaufzahl 247 | Sei $\gamma:[a,b]\to\C$ ein Integrationsweg und $w \in \C \setminus \Im(\gamma)$ ein Punkt. 248 | Dann bezeichnet 249 | 250 | ```{math} 251 | \Um_\gamma(w) := 252 | \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{1}{z - w} dz 253 | ``` 254 | 255 | die **Umlaufzahl** (manchmal auch **Index**) von $\gamma$ um $w$. 256 | 257 | ```` 258 | 259 | Anschaulich möchten wir für geschlossene Wege $\gamma$ zählen, wie oft $\gamma$ um einen Punkt $w$ herumläuft. 260 | A priori ist allerdings nicht klar, dass die Umlaufzahl tatsächlich ganzzahlig ist. 261 | Dafür erhalten wir zunächst das folgende Resultat. 262 | 263 | ````{prf:lemma} Ganzzahligkeit der Umlaufzahl 264 | Für $r>0$, $w\in\C \setminus \Im(\gamma)$ ein Punkt, und $k\in\Z$ eine ganze Zahl. 265 | Sei außerdem ein Weg $\gamma_{r,k}:[0,2\pi]\to\C$ gegeben durch 266 | ```{math} 267 | \gamma_{r,k}(t) := w + r \exp(ikt). 268 | ``` 269 | 270 | Dann gilt 271 | 272 | ```{math} 273 | \Um_{\gamma_{r,k}}(w) = k. 274 | ``` 275 | ```` 276 | 277 | ````{prf:proof} 278 | Wir berechnen explizit 279 | 280 | ```{math} 281 | \Um_{\gamma_{r,k}}(w) &:= 282 | \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma_{r,k}} \frac{1}{z - w} dz\\ 283 | &= 284 | \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma_{r,k}} \frac{r k \exp(ikt)}{r \exp(ikt)} dz\\ 285 | &= k, 286 | ``` 287 | 288 | was die Behauptung zeigt. 289 | ```` 290 | 291 | **ToDo: Abbildung mit Beispiel von [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Umlaufzahl_(Mathematik))** 292 | 293 | Wir wissen bereits aus dem Homotopiesatz in {prf:ref}``, dass homotope Wege die gleiche Umlaufzahl liefern. 294 | Bisher wissen wir jedoch nicht, dass alle Wege zu einem Weg der Gestalt $\gamma_{r,k}$ homotop sind. 295 | Der folgende Satz liefert uns diese Aussage. 296 | 297 | ````{prf:theorem} 298 | Sei $\gamma \colon [a,b] \rightarrow \C \setminus \{w\}$ ein geschlossenen Integrationsweg und $w \in \C$ ein Punkt. 299 | Dann gilt $\Um_\gamma(w) \in \Z$. 300 | Sind außerdem $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \rightarrow \C \setminus \{w\}$ zwei geschlossene Integrationswege und $\gamma_0(a) = \gamma_1(a)$, so sind die beiden Integrationswege genau dann homotop, wenn ihre Umlaufzahlen übereinstimmen, d.h., 301 | 302 | ```{math} 303 | \Um_{\gamma_0}(w) = \Um_{\gamma_1}(w) 304 | ``` 305 | 306 | ```` 307 | 308 | ````{prf:proof} 309 | Sei also $\gamma \colon [a,b] \rightarrow \C \setminus \{w\}$ ein geschlossener Integrationsweg und sei $\gamma(a) = z_0 \in \C$. 310 | Für die Funktion 311 | 312 | ```{math} 313 | \eta &\colon [a,b] \rightarrow \C, \\ 314 | \eta(t) &:= \int_{\gamma|_{[a,t]}} \frac{\mathrm{d}z}{z-w} = \int_a^t \frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - w} \mathrm{d}s 315 | ``` 316 | 317 | gilt dann nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung $\eta'(t) = \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-w}$ für jedes $t$ in dem $\gamma$ differenzierbar ist. 318 | Damit erhalten wir 319 | 320 | ```{math} 321 | \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( (\gamma(t) - w)\exp^{-\eta(t)}\right) &= \gamma'(t)\exp^{-\eta(t)} + (\gamma(t) - w)\exp^{-\eta(t)}(-\eta'(t))\\ 322 | &= \gamma'(t)\exp^{-\gamma(t)} - \gamma'(t)\exp^{-\eta(t)}\\ 323 | &= 0. 324 | ``` 325 | 326 | Da offensichtlich $\eta(a) = 0$ gilt erhalten wir 327 | 328 | ```{math} 329 | (\gamma(t) - w)\exp^{-\gamma(t)} = (\gamma(a) - w)\exp^{-\eta(a)} = \gamma(a) - w = z_0 - w, 330 | ``` 331 | 332 | so dass gilt 333 | 334 | ```{math} 335 | \gamma(t) = w + \exp^{\gamma(t)}(z_0 - w) \quad \text{ für } \quad a \leq t \leq b. 336 | ``` 337 | 338 | Für $t = b$ erhalten wir insbesondere aus $\gamma(a) = \gamma(b) = z_0$ die Beziehung $\exp^{\gamma(b)} = 1$. 339 | Andererseits gilt aber $\eta(b) = 2\pi i \Um_\gamma(w)$ und somit folgt schon $\Um_\gamma(w) \in \Z$. 340 | 341 | Seien also nun $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \rightarrow \C \setminus \{w\}$ geschlossene Integrationswege mit dem gleichen Anfangspunkt $z_0 \in C$. 342 | Wir definieren zwei Funktionen $\eta_0, \eta_1 : [a,b] \rightarrow \C$ analog wie oben. 343 | Diese Funktionen sind stückweise stetig differenzierbare Kurven mit 344 | 345 | ```{math} 346 | \gamma_0(a) = \gamma_1(a) = 0 \quad \text{ und } \quad \eta_0(b) = 2 \pi i \Um_{\gamma_1}(w) = 2 \pi i \Um_{\gamma_2}(w) = \eta_1(b). 347 | ``` 348 | 349 | Sei nun 350 | 351 | ```{math} 352 | h(s,t) := s \eta_1(t) + (1-s) \eta_0(t) 353 | ``` 354 | 355 | eine Homotopie von $\eta_0$ nach $\eta_1$ mit festen Endpunkten. 356 | Also ist 357 | 358 | ```{math} 359 | H(s,t) := w + \exp^{h(s,t)}(z_0 - w) 360 | ``` 361 | 362 | eine Homotopie von $\gamma_0$ nach $\gamma_1$ mit festen Endpunkten. 363 | 364 | ```` 365 | 366 | Aus der Einsicht, dass jede Umlaufzahl ganzzahlig ist, stellt sich die Frage, wie diese Umlaufzahl von der Wahl des Punktes abhängt. 367 | Dies beantwortet uns das folgene Korollar. 368 | 369 | ````{prf:corollary} 370 | Sei $\gamma \colon [a,b] \rightarrow \C$ ein geschlossener Weg. 371 | Dann ist die Menge $U := \C \setminus \Im(\gamma)$ offen und $\Um_\gamma \colon U \rightarrow \Z$ ist eine Funktion, die *konstant* auf jeder Zusammenhangskomponente von $U$ ist. 372 | 373 | Außerdem existiert ein Radius $R > 0$, so dass für die Kreisscheibe $K_{>R}(0)$ gilt 374 | 375 | ```{math} 376 | K_{>R}(0) := \lbrace z \in \C : |z| > R \rbrace \subset U 377 | ``` 378 | 379 | und es gilt $\Um_\gamma(w) = 0$ für alle $w \in \K_{>R}(0)$. 380 | 381 | ```` 382 | 383 | ````{prf:proof} 384 | Aus der Formel 385 | 386 | ```{math} 387 | \Um_\gamma(w) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma \frac{1}{z-w} \mathrm{d}z = \frac{1}{2 \pi i} \int_a^b \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t) - w} \mathrm{d}t 388 | ``` 389 | 390 | und aus der Stetigkeit des Integranden als Funktion von $(t,w)$ in der Menge $[a,b] \times U$ folgt die Stetigkeit der Funktion $\Um_\gamma$. 391 | Da die Funktion $\Um_\gamma$ Werte in $\Z$ annimmt, muss sie auf jeder Zusammenhangskomponente von $U$ konstant sein. 392 | Andererseits gilt für die Länge $L(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| \mathrm{d}t$ die Abschätzung 393 | 394 | ```{math} 395 | \left| \int_a^b \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-w} \mathrm{d}t \right| \leq \int_a^b \frac{|\gamma'(t)|}{|\gamma(t) - w|} \mathrm{d}t \leq \int_a^b \frac{|\gamma'(t)|}{|w| - R} \mathrm{d}t = \frac{1}{|w| - R} L(\gamma). 396 | ``` 397 | 398 | Hieraus folgt schon $\lim_{w \rightarrow \infty} \Um_\gamma(w) = 0$, also ist $\Um_\gamma(w) = 0$ für alle Punkte $w \in \C$ mit $|w| > R$. 399 | 400 | 401 | ```` 402 | 403 | ## Cauchyscher Residuensatz 404 | 405 | In diesem letzten Abschnitt zur Funktionentheorie widmen wir uns einem der zentralen Aussagen der Funktionentheorie, den **Cauchyschen Residuensatz**. 406 | 407 | Er erlaubt es die Berechnung von Kurvenintegralen auf eine wesentlich einfachere Berechnung von Umlaufzahlen und sogenannten Residuen zu reduzieren, was für viele Anwendungen in der Physik sehr praktisch ist. 408 | 409 | Wir beginnen zunächst mit der Einführung des Begriffs des Residuums einer Laurent-Entwicklung. 410 | 411 | ````{prf:definition} Residuum 412 | Sei $U \subset \C$ eine offene Menge, $p \in U$ ein Punkt und $f \colon U \setminus \{p\} \rightarrow \C$ eine holomorphe Funktion. 413 | Sei außerdem 414 | 415 | ```{math} 416 | f(z) = \sum_{j=-\infty}^\infty a_j (z-p)^j 417 | ``` 418 | 419 | die Laurent-Entwicklung von $f$ bei der isolierten Singularität $p$. 420 | 421 | Dann nennen wir 422 | 423 | ```{math} 424 | \Res_p f := a_{-1} 425 | ``` 426 | 427 | das **Residuum$ von $f$ bei $p$. 428 | ```` 429 | 430 | Das folgende Lemma erlaubt die explizite Berechnung des Residuums. 431 | 432 | ````{prf:lemma} Berechnung des Residuums 433 | 434 | Sei $U \subset \C$ eine offene Teilmenge und $p \in U$ Pol einer holomorphen Funktion $f \colon U \setminus \{p\} \rightarrow \C$. 435 | 436 | Für genügend kleine $\epsilon > 0$ lässt sich das Residuum von $f$ bei $p$ angeben als 437 | 438 | ```{math} 439 | \Res_{p}(f) = \oint_{\partial B_\epsilon(p)} f(z) \frac{\mathrm{d}z}{2\pi i}. 440 | ``` 441 | 442 | Falls der Pol von Ordnung $-m$ ist, lässt sich das Residuum von $f$ bei $p$ sogar angeben als 443 | 444 | ```{math} 445 | \Res_{p}(f) = \partial_z^{m-1}\left( (z-p)^m \frac{f(z)}{(m-1)!}\right)|_{z=p}. 446 | ``` 447 | 448 | ```` 449 | 450 | ````{prf:proof} 451 | Folgt direkt mit der Darstellung der Laurent-Koeeffizienten in {prf:ref}`lem:laurent`. 452 | ```` 453 | 454 | Der folgende Residuensatz von Cauchy stellt eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie dar. 455 | Er erlaubt es uns Kurvenintegrale mit Hilfe der Umlaufzahl und des Residuums zu berechnen, was sich als sehr nützlich herausstellt. 456 | 457 | ````{prf:theorem} Cauchyscher Residuensatz 458 | Sei $U \subset \C$ offen und $f:U\setminus P \to \C$ eine holomorphe Funktion mit endlicher Menge $P \subset \C$ von Polstellen. 459 | Sei außerdem $\gamma$ ein geschlossener und zusammenziehbarer Weg in $U$ mit $\Im(\gamma) \cap P = \emptyset$. 460 | 461 | Dann gilt, 462 | 463 | ```{math} 464 | \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma f(z) dz = \sum_{p \in P} \Um_\gamma(p) \Res_{p}(f). 465 | ``` 466 | ```` 467 | 468 | ````{prf:proof} 469 | Sei $p \in P$ und $f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-p)^n$ die Laurent-Entwicklung von $f$ um $p$. 470 | Dann ist 471 | 472 | ```{math} 473 | h_p(z) := \sum_{n \leq -2} a_n(z-p)^n 474 | ``` 475 | 476 | eine auf $\C \setminus \{p\}$ holomorphe Funktion mit Stammfunktion 477 | 478 | ```{math} 479 | H(z) := \sum_{n \leq -2} \frac{a_n}{n+1} (z-p)^{n+1}$. 480 | ``` 481 | 482 | Also verschwindet jedes Integral $\int_\delta h_p(z)$ für jeden geschlossenen Weg $\delta$ in $\C \setminus \{p\}$. 483 | Die Funktion 484 | 485 | ```{math} 486 | F(z) := f(z) - \sum_{p\in P} h_p(z) - \sum_{p\in P} \frac{\Res_p f}{z-p} 487 | ``` 488 | 489 | hat nun in allen $p \in P$ hebbare Singularitäten und ist somit holomorph auf $U$. 490 | Nach dem Integralsatz von Cauchy in {prf:ref}`` gilt schließlich 491 | 492 | ```{math} 493 | 0 &= \int_\gamma \left( f(z) - \sum_{p \in P} h_p(z) - \sum_{p\in P} \frac{\Res_p f}{z-p} \right) \mathrm{d}z\\ 494 | &= \int_\gamma f(z) \mathrm{d}z - \sum_{p \in P} \Res_p f \cdot \int_\gamma \frac{1}{z-p} \mathrm{d}z\\ 495 | &= \int_\gamma f(z) \mathrm{d}z - 2\pi i \sum_{p\in P} \Res_p f \cdot \Um_\gamma(p). 496 | ``` 497 | 498 | ```` 499 | 500 | ````{prf:remark} 501 | Für holomorphe Funktionen $f$ entspricht der Residuensatz gerade dem Cauchyschen Integralsatz. 502 | Wenn $D$ als Sterngebiet angenommen wird ist die Zusammenziehbarkeit des Wegs $\gamma$ immer erfüllt. 503 | ```` 504 | --------------------------------------------------------------------------------