├── LICENSE ├── README.md ├── images ├── Jacobi1.jpg ├── Jacobi2.jpg ├── chenzhaodou.jpg ├── cmc.png ├── cmc14.jpg ├── cmc88.jpg ├── csbyf.png ├── ecjfhsjx.png ├── ecjfhsjx2.png ├── gaokao1.png ├── gaoshu1.png ├── gaoshu2.png ├── jmdwq.png ├── liouvilleproof.jpg ├── lisan.png ├── mathgirl.jpg ├── outman.jpg ├── plsd.jpg ├── sxjsjc.jpg ├── xiandai.png └── zuhejifen.jpg └── source ├── 大学生数学竞赛教程-浦和平.pdf ├── 数学分析习题集-吉米多维奇.pdf ├── 数学女孩系列套装全4册.epub ├── 普林斯顿微积分读本（修订版）.pdf ├── 真题 ├── 01-第一届 │ ├── 2009年01-试卷-第一届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2010年03月-数学类-第一届全国决赛试卷.pdf │ └── 2010年03月-非数学类-第一届全国决赛试卷.pdf ├── 02-第二届 │ ├── 2010年01-试卷-第二届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2010年第二届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2011年03月-数学类-第二届全国决赛试卷.pdf │ └── 2011年03月-非数学类-第二届全国决赛试卷.pdf ├── 03-第三届 │ ├── 2011年01-试题-第三届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2011年第三届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2012年03月-数学类-第三届全国决赛试卷.pdf │ └── 2012年03月-非数学类-第三届全国决赛试卷.pdf ├── 04-第四届 │ ├── 2012年01-试题-第四届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2012年第四届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2013年03月-数学类-第四届全国决赛试卷.pdf │ └── 2013年03月-非数学类-第四届全国决赛试卷.pdf ├── 05-第五届 │ ├── 2013年01-试题-第五届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2013年第五届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2014年03月-数学类一、二年级-第五届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2014年03月-数学类三、四年级-第五届全国决赛试卷.pdf │ └── 2014年03月-非数学类-第五届全国决赛试卷.pdf ├── 06-第六届 │ ├── 2014年01-试题-第六届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2014年第六届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2015年03月-数学类一、二年级-第六届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2015年03月-数学类三、四年级-第六届全国决赛试卷.pdf │ └── 2015年03月-非数学类-第六届全国决赛试卷.pdf ├── 07-第七届 │ ├── 2015年01-试题-第七届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2015年第七届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2016年03月-数学类一、二年级-第七届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2016年03月-数学类三、四年级-第七届全国决赛试卷.pdf │ └── 2016年03月-非数学类-第七届全国决赛试卷.pdf ├── 08-第八届 │ ├── 2016年-第八届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2016年01-试题-第八届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2017年03月-数学类一、二年级-第八届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2017年03月-数学类三、四年级-第八届全国决赛试卷.pdf │ └── 2017年03月-非数学类-第八届全国决赛试卷.pdf ├── 09-第九届 │ ├── 2017年-第九届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2017年01-试题-第九届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2018年03-非数学类-第九届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2018年03月-数学类一、二年级-第九届全国决赛试卷.pdf │ └── 2018年03月-数学类三、四年级-第九届全国决赛试卷.pdf ├── 10-第十届 │ ├── 2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf │ ├── 2018年01-试题-第十届全国初赛-数学类试卷.pdf │ ├── 2019年03月-数学类一、二年级-第十届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2019年03月-数学类三、四年级-第十届全国决赛试卷.pdf │ └── 2019年03月-非数学类-第十届全国决赛试卷.pdf ├── 11-第十一届 │ ├── 11-2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛非数学专业试题.pdf │ ├── 11A-2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛数学专业(A类)试题.pdf │ ├── 11B-2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛数学专业(B类)试题.pdf │ ├── 2021年04月-数学类一、二年级-第十一届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2021年04月-数学类高年级组-第十一届全国决赛试卷.pdf │ └── 2021年04月-非数学类-第十一届全国决赛试卷.pdf ├── 12-第十二届 │ ├── 12-初赛-2020年第十二届全国大学生数学竞赛初赛《数学类A卷》试题.pdf │ ├── 12-初赛-2020年第十二届全国大学生数学竞赛初赛《数学类B卷》试题.pdf │ ├── 12-初赛-2020年第十二届全国大学生数学竞赛初赛《非数学类》试题.pdf │ ├── 2021年05月-数学类低年级组-第十二届全国决赛试卷.pdf │ ├── 2021年05月-数学类高年级组-第十二届全国决赛试卷.pdf │ └── 2021年05月-非数学类-第十二届全国决赛试卷.pdf └── 13-第十三届 │ ├── 2021年-第十三届全国初-非数学类试卷.pdf │ ├── 2021年01-试题-第十三届全国初赛-数学类A卷.pdf │ ├── 2021年03-试题-第十三届全国初赛-数学类B卷.pdf │ └── 2021非数学类补赛试题-2021第十三届全国大学生数学竞赛初赛补赛.pdf └── 笔记 └── math competition draft.pdf /LICENSE: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Creative Commons Legal Code 2 | 3 | CC0 1.0 Universal 4 | 5 | CREATIVE COMMONS CORPORATION IS NOT A LAW FIRM AND DOES NOT PROVIDE 6 | LEGAL SERVICES. DISTRIBUTION OF THIS DOCUMENT DOES NOT CREATE AN 7 | ATTORNEY-CLIENT RELATIONSHIP. CREATIVE COMMONS PROVIDES THIS 8 | INFORMATION ON AN "AS-IS" BASIS. CREATIVE COMMONS MAKES NO WARRANTIES 9 | REGARDING THE USE OF THIS DOCUMENT OR THE INFORMATION OR WORKS 10 | PROVIDED HEREUNDER, AND DISCLAIMS LIABILITY FOR DAMAGES RESULTING FROM 11 | THE USE OF THIS DOCUMENT OR THE INFORMATION OR WORKS PROVIDED 12 | HEREUNDER. 13 | 14 | Statement of Purpose 15 | 16 | The laws of most jurisdictions throughout the world automatically confer 17 | exclusive Copyright and Related Rights (defined below) upon the creator 18 | and subsequent owner(s) (each and all, an "owner") of an original work of 19 | authorship and/or a database (each, a "Work"). 20 | 21 | Certain owners wish to permanently relinquish those rights to a Work for 22 | the purpose of contributing to a commons of creative, cultural and 23 | scientific works ("Commons") that the public can reliably and without fear 24 | of later claims of infringement build upon, modify, incorporate in other 25 | works, reuse and redistribute as freely as possible in any form whatsoever 26 | and for any purposes, including without limitation commercial purposes. 27 | These owners may contribute to the Commons to promote the ideal of a free 28 | culture and the further production of creative, cultural and scientific 29 | works, or to gain reputation or greater distribution for their Work in 30 | part through the use and efforts of others. 31 | 32 | For these and/or other purposes and motivations, and without any 33 | expectation of additional consideration or compensation, the person 34 | associating CC0 with a Work (the "Affirmer"), to the extent that he or she 35 | is an owner of Copyright and Related Rights in the Work, voluntarily 36 | elects to apply CC0 to the Work and publicly distribute the Work under its 37 | terms, with knowledge of his or her Copyright and Related Rights in the 38 | Work and the meaning and intended legal effect of CC0 on those rights. 39 | 40 | 1. Copyright and Related Rights. A Work made available under CC0 may be 41 | protected by copyright and related or neighboring rights ("Copyright and 42 | Related Rights"). Copyright and Related Rights include, but are not 43 | limited to, the following: 44 | 45 | i. the right to reproduce, adapt, distribute, perform, display, 46 | communicate, and translate a Work; 47 | ii. moral rights retained by the original author(s) and/or performer(s); 48 | iii. publicity and privacy rights pertaining to a person's image or 49 | likeness depicted in a Work; 50 | iv. rights protecting against unfair competition in regards to a Work, 51 | subject to the limitations in paragraph 4(a), below; 52 | v. rights protecting the extraction, dissemination, use and reuse of data 53 | in a Work; 54 | vi. database rights (such as those arising under Directive 96/9/EC of the 55 | European Parliament and of the Council of 11 March 1996 on the legal 56 | protection of databases, and under any national implementation 57 | thereof, including any amended or successor version of such 58 | directive); and 59 | vii. other similar, equivalent or corresponding rights throughout the 60 | world based on applicable law or treaty, and any national 61 | implementations thereof. 62 | 63 | 2. Waiver. To the greatest extent permitted by, but not in contravention 64 | of, applicable law, Affirmer hereby overtly, fully, permanently, 65 | irrevocably and unconditionally waives, abandons, and surrenders all of 66 | Affirmer's Copyright and Related Rights and associated claims and causes 67 | of action, whether now known or unknown (including existing as well as 68 | future claims and causes of action), in the Work (i) in all territories 69 | worldwide, (ii) for the maximum duration provided by applicable law or 70 | treaty (including future time extensions), (iii) in any current or future 71 | medium and for any number of copies, and (iv) for any purpose whatsoever, 72 | including without limitation commercial, advertising or promotional 73 | purposes (the "Waiver"). Affirmer makes the Waiver for the benefit of each 74 | member of the public at large and to the detriment of Affirmer's heirs and 75 | successors, fully intending that such Waiver shall not be subject to 76 | revocation, rescission, cancellation, termination, or any other legal or 77 | equitable action to disrupt the quiet enjoyment of the Work by the public 78 | as contemplated by Affirmer's express Statement of Purpose. 79 | 80 | 3. Public License Fallback. Should any part of the Waiver for any reason 81 | be judged legally invalid or ineffective under applicable law, then the 82 | Waiver shall be preserved to the maximum extent permitted taking into 83 | account Affirmer's express Statement of Purpose. In addition, to the 84 | extent the Waiver is so judged Affirmer hereby grants to each affected 85 | person a royalty-free, non transferable, non sublicensable, non exclusive, 86 | irrevocable and unconditional license to exercise Affirmer's Copyright and 87 | Related Rights in the Work (i) in all territories worldwide, (ii) for the 88 | maximum duration provided by applicable law or treaty (including future 89 | time extensions), (iii) in any current or future medium and for any number 90 | of copies, and (iv) for any purpose whatsoever, including without 91 | limitation commercial, advertising or promotional purposes (the 92 | "License"). The License shall be deemed effective as of the date CC0 was 93 | applied by Affirmer to the Work. Should any part of the License for any 94 | reason be judged legally invalid or ineffective under applicable law, such 95 | partial invalidity or ineffectiveness shall not invalidate the remainder 96 | of the License, and in such case Affirmer hereby affirms that he or she 97 | will not (i) exercise any of his or her remaining Copyright and Related 98 | Rights in the Work or (ii) assert any associated claims and causes of 99 | action with respect to the Work, in either case contrary to Affirmer's 100 | express Statement of Purpose. 101 | 102 | 4. Limitations and Disclaimers. 103 | 104 | a. No trademark or patent rights held by Affirmer are waived, abandoned, 105 | surrendered, licensed or otherwise affected by this document. 106 | b. Affirmer offers the Work as-is and makes no representations or 107 | warranties of any kind concerning the Work, express, implied, 108 | statutory or otherwise, including without limitation warranties of 109 | title, merchantability, fitness for a particular purpose, non 110 | infringement, or the absence of latent or other defects, accuracy, or 111 | the present or absence of errors, whether or not discoverable, all to 112 | the greatest extent permissible under applicable law. 113 | c. Affirmer disclaims responsibility for clearing rights of other persons 114 | that may apply to the Work or any use thereof, including without 115 | limitation any person's Copyright and Related Rights in the Work. 116 | Further, Affirmer disclaims responsibility for obtaining any necessary 117 | consents, permissions or other rights required for any use of the 118 | Work. 119 | d. Affirmer understands and acknowledges that Creative Commons is not a 120 | party to this document and has no duty or obligation with respect to 121 | this CC0 or use of the Work. 122 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # CMC-SpeedRun 2 | 3 | ![](https://img.shields.io/github/repo-size/Iamnotphage/CMC-SpeedRun) ![](https://img.shields.io/badge/license-CC0--1.0-blue) ![](https://img.shields.io/github/stars/Iamnotphage/CMC-SpeedRun?style=social) 4 | 5 | 速通[全国大学生数学竞赛](http://www.cmathc.cn/)教程(非数学专业) 6 | 7 | >针对🐹🐹的CMC-SpeedRun 8 | 9 | ![cmc](images/cmc.png) 10 | 11 | - [CMC-SpeedRun](#cmc-speedrun) 12 | - [前言](#前言) 13 | - [读者须知](#读者须知) 14 | - [🐹🐹情况](#情况) 15 | - [如何速通](#如何速通) 16 | - [第零步：准备工作](#第零步准备工作) 17 | - [🌟三角函数部分](#三角函数部分) 18 | - [🌟导数工具部分](#导数工具部分) 19 | - [🌟数列部分](#数列部分) 20 | - [🌟不等式部分](#不等式部分) 21 | - [🌟反三角函数部分](#反三角函数部分) 22 | - [第一步：打好基础](#第一步打好基础) 23 | - [第二步：各章节知识点DLC](#第二步各章节知识点dlc) 24 | - [1️⃣第一章 函数、极限、连续](#1️⃣第一章-函数极限连续) 25 | - [🌟**Cauchy极限存在准则**](#cauchy极限存在准则) 26 | - [🌟**Cauchy极限公式**](#cauchy极限公式) 27 | - [🌟**奥特曼法**](#奥特曼法) 28 | - [🌟**Stolz定理**](#stolz定理) 29 | - [🌟**中值定理求极限的方法**](#中值定理求极限的方法) 30 | - [🌟**Stirling公式**](#stirling公式) 31 | - [🌟**无穷大量的比较**](#无穷大量的比较) 32 | - [🌟**Darboux定理**](#darboux定理) 33 | - [🌟**一致连续的定义**](#一致连续的定义) 34 | - [🌟**Lipschitz条件**](#lipschitz条件) 35 | - [2️⃣第二章 一元函数微分学](#2️⃣第二章-一元函数微分学) 36 | - [🌟**凑导数定义**](#凑导数定义) 37 | - [🌟**Leibniz公式**](#leibniz公式) 38 | - [3️⃣第三章 一元函数积分学](#3️⃣第三章-一元函数积分学) 39 | - [🌟**区间再现公式**](#区间再现公式) 40 | - [🌟**Wallis公式**](#wallis公式) 41 | - [🌟**三角函数有关的积分公式**](#三角函数有关的积分公式) 42 | - [🌟**积分中值定理**](#积分中值定理) 43 | - [🌟**组合积分法**](#组合积分法) 44 | - [🌟**积分形式Cauchy-Schwarz不等式**](#积分形式cauchy-schwarz不等式) 45 | - [4️⃣第四章 多元函数微分学](#4️⃣第四章-多元函数微分学) 46 | - [🌟**偏导数与连续的关系**](#偏导数与连续的关系) 47 | - [🌟**二元函数Taylor展开**](#二元函数taylor展开) 48 | - [5️⃣第五章 多元数量值函数积分学](#5️⃣第五章-多元数量值函数积分学) 49 | - [🌟**二重积分的和式极限**](#二重积分的和式极限) 50 | - [🌟**雅可比行列式**](#雅可比行列式) 51 | - [🌟**二重积分的换元公式**](#二重积分的换元公式) 52 | - [🌟**二重积分的极坐标换元**](#二重积分的极坐标换元) 53 | - [🌟**二重积分的球面坐标换元**](#二重积分的球面坐标换元) 54 | - [🌟**二重积分的分部积分公式**](#二重积分的分部积分公式) 55 | - [🌟**三重积分换元公式**](#三重积分换元公式) 56 | - [🌟**三重积分柱面坐标换元**](#三重积分柱面坐标换元) 57 | - [🌟**三重积分球面坐标换元**](#三重积分球面坐标换元) 58 | - [6️⃣第六章 多元向量值函数积分学](#6️⃣第六章-多元向量值函数积分学) 59 | - [🌟**Green公式**](#green公式) 60 | - [🌟**Stokes公式**](#stokes公式) 61 | - [🌟**Gauss公式**](#gauss公式) 62 | - [7️⃣第七章 常微分方程](#7️⃣第七章-常微分方程) 63 | - [🌟**可化为齐次方程的微分方程**](#可化为齐次方程的微分方程) 64 | - [🌟**Bernoulli方程**](#bernoulli方程) 65 | - [🌟**Euler方程**](#euler方程) 66 | - [🌟**Liouville公式**](#liouville公式) 67 | - [🌟**常数变易法**](#常数变易法) 68 | - [8️⃣第八章 无穷级数](#8️⃣第八章-无穷级数) 69 | - [🌟**Euler常数**](#euler常数) 70 | - [🌟**拉链定理**](#拉链定理) 71 | - [🌟**Cauchy乘积**](#cauchy乘积) 72 | - [🌟**Cauchy收敛定理**](#cauchy收敛定理) 73 | - [🌟**Weierstrass准则**](#weierstrass准则) 74 | - [🌟**Parseval恒等式**](#parseval恒等式) 75 | - [第三步：开始速通真题](#第三步开始速通真题) 76 | - [资料库](#资料库) 77 | - [推荐书籍](#推荐书籍) 78 | - [往届真题](#往届真题) 79 | - [初赛](#初赛) 80 | - [决赛](#决赛) 81 | - [权威公众号](#权威公众号) 82 | - [🐹🐹的笔记](#的笔记) 83 | - [联系🐹🐹](#联系) 84 | 85 | # 前言 86 | 87 | ## 读者须知 88 | 本文适用于国内准大学生、大学生对CMC(全国大学生数学竞赛)或其他类似竞赛有准备需要的学生或者🐹🐹。 89 | 90 | 注意是**非数，非数，非数**！鼠鼠是CS学生，所以参加的是非数学类的CMC！本SpeedRun教程也是针对非数的教程。 91 | 92 | 一般CMC比赛时间：初赛每年11月左右，决赛每年3月左右，具体情况具体分析。 93 | 94 | 尤其是刚学完微积分课程的学生来说，知识掌握程度最佳，基本上不用准备也可能拿到初赛的三等奖，当然拿奖与否，跟你报名的赛区也是息息相关。 95 | 96 | 本文加入了适量emoji表情以增加可读性,请见谅。 97 | 98 | 前排：如果Github你下载太慢，欢迎前往以下链接下载 99 | https://www.aliyundrive.com/s/qun3Q7sy5EG 100 | 101 | ## 🐹🐹情况 102 | 下面介绍一下🐹🐹的情况。 103 | 104 | 高考数学全国一卷120(并非你想的那么高) 所以人人都有机会完美速通CMC 105 | ![高考只考了120](images/gaokao1.png) 106 | 107 | 高数上总评98 108 | ![高数1](images/gaoshu1.png) 109 | 110 | 高数下总评92 111 | ![高数2](images/gaoshu2.png) 112 | 113 | 线代总评97 114 | ![线代](images/xiandai.png) 115 | 116 | 离散数学总评95 117 | ![离散](images/lisan.png) 118 | 119 | 从课内成绩来看，🐹🐹算是中规中矩，前期的铺垫固然重要，但是要速通CMC，后期的努力更重要。 120 | 121 | 大二参加第十四届全国大学生数学竞赛,初赛66分一等奖 (校内名单，所以有具体分数) 122 | ![第十四届](images/cmc14.jpg) 123 | 124 | 张贴在此处以增加🐹🐹文章的信服力,不然大街上随便找坨史也可以写这篇文章。 125 | 126 | 2023年6月补档，的确没有进入决赛，这里给大家一个参考，第十四届初赛66分编号88应该是全省88名没有达到决赛线。 127 | ![cmc](images/cmc88.jpg) 128 | 129 | # 如何速通 130 | 首先必须说明，在本科之前的基础也是重要的，尤其是三角函数、导数等工具的掌握，可能会影响本科课程中微积分的学习，但是影响不算巨大。 131 | 132 | 为了避免部分🐹🐹不知所措，茫然前行，本🐹🐹根据个人经验✍不断完善此库，以便帮助各位实现速通CMC。 133 | 134 | 在下文，我将列出在国内正常高中学习会涉及并且CMC中也会出现的数学工具,接下来是各种扩展知识点的介绍，最后是关于真题和一些资料的建议和推荐。 135 | 136 | 已经在本科学习完微积分课程**并且总评优秀**的可以跳过第零步和第一步。 137 | 138 | ## 第零步：准备工作 139 | ### 🌟三角函数部分 140 | 141 | 除了高中必修的三角函数变换、辅助角变换之后，大部分人都对积化和差、和差化积、万能公式不太熟悉，不必要死记硬背，但是遇到题目要能想到这一条退路。 142 | 143 | 下面三组公式常常在CMC中的求极限、求积分等题目中有出奇制胜的效果。 144 | 145 | 推导、记忆技巧等，详见各类辅助教材、网站。 146 | 147 | **积化和差** 148 | 149 | ${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}$ 150 | 151 | ${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}$ 152 | 153 | ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}$ 154 | 155 | ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}$ 156 | 157 | **和差化积** 158 | 159 | ${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ 160 | 161 | ${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}$ 162 | 163 | ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ 164 | 165 | ${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}$ 166 | 167 | **万能公式** 168 | 169 | $\displaystyle \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}$ 170 | 171 | $\displaystyle \cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 172 | 173 | ${\displaystyle \tan{x}=\frac{2t}{1-t^2}}$ 174 | 175 | ${\displaystyle x=2\arctan{t}}$ 176 | 177 | ### 🌟导数工具部分 178 | 179 | 所有初等函数的导数，链式法则，以及最重要的一个，**取对数求导法**。 180 | 181 | 例如，求 182 | $y=x^x$ 183 | 的导数 184 | 185 | > $\ln y =x\ln x$ 186 | 187 | 再求导,后面的步骤我就不说了。 188 | 189 | ### 🌟数列部分 190 | 191 | 基本的裂项，不动点法。 192 | 193 | ### 🌟不等式部分 194 | 195 | 均值不等式、**柯西不等式**、**常见放缩**。 196 | 197 | ### 🌟反三角函数部分 198 | 199 | 需要掌握定义、导数、以及**一些常见恒等式** 200 | 201 | $arctan\frac{a-b}{1+ab}=arctan(a)-arctan(b)$ 202 | 203 | $arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$ 204 | 205 | 206 | 207 | ## 第一步：打好基础 208 | 我将在这部分主要叙述各个阶段的应对措施，希望能够帮助到各位🐹🐹 209 | 210 | 教材我们学校用的是同济的高等数学，🐹🐹也有幸溜进交大上过一次微分方程的课，他们用的是高等教育出版社的《工科数学分析基础》，各自教材差别不算特别大，最好还是根据你们上课的教材为主。 211 | 212 | 如果您正在进行微积分课程/高等数学课程/数学分析课程，在能保证目前所学内容掌握良好的情况下，自学后续内容能够更好地帮助实现速通。 213 | 214 | 如果很不幸，您跟不上您正在进行的微积分课程，请参考目录中的**资料库-推荐书籍**进行额外努力，打好基础是速通的必要条件。 215 | 216 | 如果很幸运您恰好学完了微积分课程，并且掌握情况良好，请直接参考第二步，您也不需要基础的辅助教材。 217 | 218 | 具体来说，我没遇到什么特别难的微积分的题目，只要跟着老师或者自学，按部就班学习的话，基本上课内成绩不会太差。 219 | 220 | 其次，要明确 **能力!=分数** ，绝大多数情况下，分数只能做个参考，特别是大部分高校评价成绩都是采用平时和卷面占比来计算成绩，所以请各位🐹🐹不要太放在心上。 221 | 222 | 223 | 224 | ## 第二步：各章节知识点DLC 225 | 226 | 在打好基础的情况下，也就是你对微积分掌握了绝大部分，但是CMC或者考研会要求更多一点点，在此处，鼠鼠将会详细列出正常课程中没有的内容，也就是俗称**DLC** 227 | 228 | 下面🐹🐹按照浦和平的《大学生数学竞赛教程》的目录来进行扩展**进阶**的知识点，注意是**进阶**，所以课内一些基础的、简单的我不会提及。 229 | 230 | 涉及的是扩展内容，不是本体内容。也就是**额外内容(DLC)** 231 | 232 | 对于食用DLC，本🐹🐹的建议是结合辅导书，**根据DLC内容进行练习，而不是死记知识点**。 233 | 234 | ### 1️⃣第一章 函数、极限、连续 235 | 236 | #### 🌟**Cauchy极限存在准则** 237 | 数列 238 | $x_n$ 239 | 收敛的充分必要条件是： 240 | 241 | 对于任意给定的正数 242 | $\epsilon$ 243 | ,存在正整数 244 | ${N}$ 245 | ,使得当 246 | $m>N,n>N$ 247 | 时，有 248 | $\|x_n-x_m|<\epsilon$ 249 | 250 | 251 | #### 🌟**Cauchy极限公式** 252 | 若 253 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$ 254 | ,则 255 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}=A$ 256 | 257 | 258 | #### 🌟**奥特曼法** 259 | 百度贴吧流传已久的一种求极限方法，其本质是“抓大头”，也就是变化最快的一个。数学语言描述如下： 260 | 261 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}}=max{\\{a,b,c\\}}$ 262 | 263 | 264 | ![outman](images/outman.jpg) 265 | 266 | #### 🌟**Stolz定理** 267 | 268 | 俗称数列的L'Hospital定理 269 | 270 | (1) 定理一( 271 | $\frac{*}{\infty}$ 272 | 型) 273 | 274 | 设数列 275 | $a_n,b_n$ 276 | 满足: 277 | 278 | $b_n$ 279 | 严格单调递增 280 | 281 | 且 282 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{b_n}=+\infty$ 283 | 284 | 285 | 那么,有 286 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}={\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}=L,$ 287 | 其中 288 | $L$ 289 | 可以是有限数、 290 | $+\infty$ 291 | 、 292 | $-\infty$ 293 | 294 | 295 | 296 | (2) 定理二 ( 297 | $\frac{0}{0}$ 298 | 型) 299 | 300 | 设数列 301 | $a_n,b_n$ 302 | 满足: 303 | 304 | $b_n$ 305 | 严格单调递减且趋于零 306 | 307 | 且 308 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}=0$ 309 | 310 | 311 | 那么,有 312 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{b_n}}={\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}=L,$ 313 | 其中 314 | $L$ 315 | 可以是有限数、 316 | $+\infty$、 317 | $-\infty$ 318 | 319 | 320 | #### 🌟**中值定理求极限的方法** 321 | 322 | 首先要先掌握一些中值定理，详见第三章DLC。 323 | 324 | 这个只能结合例题来说明； 325 | 326 | 例如，求极限 327 | $\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\sin{x^x}-\sin{3^x}}{3^{x^x}-3^{3^x}}$ 328 | 329 | 解: 330 | $\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\sin{x^x}-\sin{3^x}}{3^{x^x}-3^{3^x}}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\cos{\xi}}{3^\xi\ln 3}$ 331 | ,其中 332 | $\xi$ 333 | 介于 334 | $x^x$ 335 | 和 336 | $3^x$ 337 | 之间， 338 | 339 | 所以 340 | $\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\sin{x^x}-\sin{3^x}}{3^{x^x}-3^{3^x}}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{\cos{\xi}}{3^\xi\ln 3}=\frac{\cos9}{3^9\ln 3}$ 341 | 342 | 343 | #### 🌟**Stirling公式** 344 | 345 | 斯特林公式(Stirling公式) 346 | 347 | >用一坨答辩来逼近 348 | $n!$ 349 | 350 | 351 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{e^nn!}{n^n\sqrt{n}}}=\sqrt{2\pi}$ 352 | 353 | 比较少数的CMC题目可以直接用这个公式。 354 | 355 | #### 🌟**无穷大量的比较** 356 | 357 | 如果学过算法分析，理解起来很容易，其实就是时间复杂度的比较。 358 | 359 | 当 360 | $n\rightarrow+\infty$ 361 | 时，有 362 | 363 | $\ln n$ 364 | $<$ 365 | $n^{\alpha}$ 366 | $<$ 367 | $n^{\beta}$ 368 | $<$ 369 | $a^n$ 370 | $<$ 371 | $n!$ 372 | $<$ 373 | $n^n$ 374 | 375 | $(0<\alpha<\beta, a>1)$ 376 | 377 | 所以可以直接有： 378 | 379 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n!}{n^n}}=0$ 380 | 381 | 382 | 383 | #### 🌟**Darboux定理** 384 | 385 | $f(x)$ 386 | 的导函数 387 | $f'(x)$ 388 | 在 389 | $[a,b]$ 390 | 上不一定连续， 391 | 392 | 若 393 | $f'(x)=\alpha$ 394 | , 395 | $f'(x)=\beta$ 396 | ,则 397 | $\exists\xi\in(a,b)$ 398 | 使 399 | $f'(\xi)$ 400 | 介于 401 | $\alpha,\beta$ 402 | 之间 403 | 404 | #### 🌟**一致连续的定义** 405 | 406 | 了解即可。 407 | 408 | 对于任意 409 | $\epsilon>0$ 410 | , 411 | $\exists\delta>0$ 412 | 使得对于任意 413 | $x_1,x_2\in I$ 414 | 当满足 415 | $\|x_1-x_2|<\delta$ 416 | 时，有 417 | $\|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$ 418 | 恒成立，则该函数在区间 419 | $I$ 420 | 上一致连续。 421 | 422 | #### 🌟**Lipschitz条件** 423 | 424 | 了解即可。 425 | 426 | 对于在实数集子集的函数 427 | $f:D\subseteq R$ 428 | ,若 429 | $\exists$ 430 | 常数 431 | $k$ 432 | 对于任意 433 | $a,b\in D$ 434 | 使得 435 | $\|f(a)-f(b)|\le k\|a-b|$ 436 | ,则称 437 | $f$ 438 | 符合Lipschitz条件， 439 | $k_{min}$ 440 | 为Lipschitz常数，符合Lipschitz条件的 441 | $f$ 442 | 必然一致连续，反之不一定。 443 | 444 | ### 2️⃣第二章 一元函数微分学 445 | 446 | #### 🌟**凑导数定义** 447 | 448 | 经常需要最原始的导数的定义来解决问题，所以虽然是很基础的内容，但是这里特地提一嘴。 449 | 450 | $f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 451 | 452 | 或者 453 | 454 | $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 455 | 456 | #### 🌟**Leibniz公式** 457 | 458 | 非常常见的求高阶导数的公式，使用频率很高。 459 | 460 | $(f(n)\cdot g(n))^{(n)}=\sum C_n^i f^{(i)}(x)\cdot g^{(n-i)}(x)$ 461 | 462 | 463 | ### 3️⃣第三章 一元函数积分学 464 | 465 | #### 🌟**区间再现公式** 466 | 467 | 468 | 1.有 469 | $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ 470 | 471 | 472 | 2.若 473 | $f(x)$ 474 | 关于 475 | $x=\frac{a+b}{2}$ 476 | 对称，则 477 | $\int_{a}^{b}xf(x)dx=\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}f(x)dx$ 478 | 479 | 480 | 特例，也是常见的公式： 481 | 482 | $\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx$ 483 | 484 | #### 🌟**Wallis公式** 485 | 486 | 俗称点火公式/华莱士公式。 487 | 488 | 当 489 | $n$ 490 | 为偶数时， 491 | 492 | $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}......\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$ 493 | 494 | 当 495 | $n$ 496 | 为奇数时， 497 | 498 | $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}......\frac{2}{3}$ 499 | 500 | #### 🌟**三角函数有关的积分公式** 501 | 502 | 除了区间再现和Wallis公式之外，还有一些小的积分公式。 503 | 504 | 此外，要常常想起**和差半倍**的一些公式，有利于积分，以及一些分部积分的技巧。 505 | 506 | **公式1**： 507 | 508 | $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx$ 509 | 510 | 证明1： 511 | 512 | 令 513 | $x=\frac{\pi}{2}-t$ 514 | ，剩下的你来。 515 | 516 | **公式2**: 517 | 518 | $\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)dx$ 519 | 520 | 证明2： 521 | 522 | 令 523 | $x=\pi-t$ 524 | ，剩下的你来。 525 | 526 | 527 | 528 | 529 | #### 🌟**积分中值定理** 530 | 531 | **积分第一中值定理** 532 | 533 | 若 534 | $f(x)$ 535 | 在闭区间 536 | $[a,b]$ 537 | 上连续， 538 | $g(x)$ 539 | 在 540 | $[a,b]$ 541 | 不变号，且 542 | $g(x)$ 543 | 在 544 | $[a,b]$ 545 | 上是可积的，则在 546 | $[a,b]$ 547 | 上至少存在一个点 548 | $\epsilon$ 549 | ,使得： 550 | 551 | $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\epsilon)\int_{a}^{b}g(x)dx$ 552 | 553 | 554 | #### 🌟**组合积分法** 555 | 556 | 这种积分的方法真要说，可以出一本书来讲。 557 | 558 | ![组合积分法](images/zuhejifen.jpg) 559 | 560 | 不过这里介绍的只是一点点皮毛，主要思路是,观察所求积分的特点，再利用对称的积分或者一些已知的积分，然后用不定积分的加减法来得到线性方程，再接着解方程，从而求得一些复杂积分的解。 561 | 562 | 经典的例子： 563 | 564 | 求积分 565 | $\int{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}dx$ 566 | 567 | 解： 568 | 记所求积分为 569 | $I=\int{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}dx$ 570 | 571 | 考虑另外一个积分 572 | $J=\int{\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}}dx$ 573 | 574 | 则有 575 | $I+J=\int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}}dx=\int dx=x+C$ 576 | 577 | 又因为 578 | $J-I=\int{\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}}dx=\int{\frac{1}{\sin x+\cos x}}d{(\cos x+\sin x)}=\ln{\|\sin x+\cos x|}+C$ 579 | 580 | 上述俩个式子相减，得到 581 | $2I=x+\ln{\|\sin x+\cos x|}+C$ 582 | 583 | 则 584 | $I=\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \ln{\|\sin x+\cos x|}+C$ 585 | 586 | 更多内容，详见各教辅或其他工具书。 587 | 588 | #### 🌟**积分形式Cauchy-Schwarz不等式** 589 | 590 | $(\int f(x)g(x)dx)^2 \le \int f^2(x)dx \cdot \int g^2(x)dx$ 591 | 592 | ### 4️⃣第四章 多元函数微分学 593 | 594 | #### 🌟**偏导数与连续的关系** 595 | 596 | 按照同济教材的内容，一般都是 597 | 598 | 俩个偏导数在点 599 | $(x,y)$ 600 | 存在且连续，则可以推出函数在该点可微。 601 | 602 | **但是**，实际上，只需要一个偏导数存在(不一定连续)，另一个偏导数存在且连续,则可以推出函数在该点可微。 603 | 604 | #### 🌟**二元函数Taylor展开** 605 | 606 | 首先引入记号： 607 | 608 | $(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)$ 609 | 表示 610 | $hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)$ 611 | 612 | 同样的， 613 | 614 | $(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)$ 615 | 表示 616 | $h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{xy}(x_0,y_0)$ 617 | 618 | 更一般地， 619 | 620 | $(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{m}f(x_0,y_0)$ 621 | 表示 622 | 623 | $\sum_{p=0}^{m}C_{m}^{p}h^pk^{m-p}\frac{\partial ^mf}{\partial x^p\partial y^{m-p}}|_{(x_0,y_0)}$ 624 | 625 | 设 626 | $z=f(x,y)$ 627 | 在点 628 | $(x_0,y_0)$ 629 | 的某一邻域内有直到 630 | $n+1$ 631 | 阶连续偏导数， 632 | $(x_0+h,y_0+k)$ 633 | 为此邻域内任一点，则有 634 | 635 | $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)+...+\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)+R_n$ 636 | 637 | 其中， 638 | $R_n=\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)$ 639 | 640 | 其中， 641 | $(0 \lt \theta \lt 1)$ 642 | 643 | 这就是 644 | $f$ 645 | 在点 646 | $(x_0,y_0)$ 647 | 的 648 | $n$ 649 | 阶泰勒展开公式，其中 650 | $R_n$ 651 | 被称为拉格朗日余项。 652 | 653 | 654 | 655 | ### 5️⃣第五章 多元数量值函数积分学 656 | 657 | #### 🌟**二重积分的和式极限** 658 | 659 | 请类比一元积分的定义，这部分将很好理解。 660 | 661 | 下面用例题来说明； 662 | 663 | **大绿书第五章例3**： 664 | 665 | 计算 666 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{2n}{\frac{2}{n^2}[\frac{2i+j}{n}]}$ 667 | ,这里 668 | $[x]$ 669 | 是不超过 670 | $x$ 671 | 的最大整数. 672 | 673 | 解： 674 | 675 | ![解答1](images/ecjfhsjx.png) 676 | ![解答2](images/ecjfhsjx2.png) 677 | 678 | 679 | #### 🌟**雅可比行列式** 680 | 681 | 重积分换元的必经之路，**雅可比(Jacobi)行列式**。 682 | 683 | 看懂下面的部分需要线性代数基础,并且我只针对下面需要用到的的换元公式来说明该部分，详情请自行查阅、搜索。 684 | 685 | 直观上说，雅可比行列式表示 686 | $xOy$ 687 | 平面上的面积微元和换元后的 688 | $uOv$ 689 | 平面上的面积微元的比值。 690 | 691 | 设 692 | $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 693 | 694 | 则Jacobi行列式 695 | ![Jacobi1](images/Jacobi1.jpg) 696 | 697 | 则有 698 | $dxdy=|J|dudv$ 699 | 700 | 注意**一定要加绝对值**。 701 | 702 | 703 | 704 | #### 🌟**二重积分的换元公式** 705 | 706 | 下面介绍一般的二重积分换元公式 707 | 708 | 结合上述的Jacobi行列式，换元变得迎刃而解。 709 | 710 | 作换元 711 | $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 712 | 713 | 则 714 | $\iint_{D}f(x,y)dxdy=\iint_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]\cdot {|J|}dudv$ 715 | 716 | 注意**一定要加绝对值**。 717 | 718 | 具体能怎么运用呢？实际上可以参考**大绿书第五章例9的方法2** 719 | 720 | 它这题方法2实际上是线性变换，可以参考线性代数里面的线性变换. 721 | 722 | #### 🌟**二重积分的极坐标换元** 723 | 724 | 一般换元公式的特例之一。 725 | 726 | 只需要将具体的换元代入即可。 727 | 728 | 作换元 729 | $x=r\cos \theta,y=r\sin \theta$ 730 | 731 | 于是 732 | ![Jacobi2](images/Jacobi2.jpg) 733 | 734 | 则有 735 | $dxdy=rdrd\theta$ 736 | 737 | 现在知道极坐标换元的面积微元怎么来的吧~ 738 | 739 | 注意**一定要加绝对值**。 740 | 741 | #### 🌟**二重积分的球面坐标换元** 742 | 743 | 一般换元公式的特例之一。 744 | 745 | #### 🌟**二重积分的分部积分公式** 746 | 747 | 把格林(Green)公式中被积函数换成俩函数乘积即可推出二重积分的分部积分公式。 748 | 749 | $\iint_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial x}dxdy=\oint_{\partial \Omega}(f\cdot g)dy-\iint_{\Omega}g\frac{\partial f}{\partial x}dxdy$ 750 | 751 | $\iint_{\Omega}f\frac{\partial g}{\partial y}dxdy=-\oint_{\partial \Omega}(f\cdot g)dx-\iint_{\Omega}g\frac{\partial f}{\partial y}dxdy$ 752 | 753 | #### 🌟**三重积分换元公式** 754 | 755 | 类比于二重积分换元公式。 756 | 757 | #### 🌟**三重积分柱面坐标换元** 758 | 759 | 类比于二重积分柱面坐标换元。 760 | 761 | #### 🌟**三重积分球面坐标换元** 762 | 763 | 类比于二重积分球面坐标换元。 764 | 765 | ### 6️⃣第六章 多元向量值函数积分学 766 | 767 | 其实第六章内容不多，无非就是前面的积分整一整，再多几个向量形式的积分公式而已。 768 | 769 | #### 🌟**Green公式** 770 | 771 | 课内已有，不再赘述。 772 | 773 | #### 🌟**Stokes公式** 774 | 775 | 课内已有，不再赘述。 776 | 777 | #### 🌟**Gauss公式** 778 | 779 | 课内已有，不再赘述。 780 | 781 | ### 7️⃣第七章 常微分方程 782 | 783 | 人类对微分方程的研究其实不多，很多微分方程人类都是解不出来的，所以CMC应该不会出太难的微分方程的题目。 784 | 785 | 这部分DLC不多。 786 | 787 | #### 🌟**可化为齐次方程的微分方程** 788 | 789 | 790 | 791 | #### 🌟**Bernoulli方程** 792 | 793 | 形如 794 | $y'+P(x)y=Q(x)y^n$ 795 | 的微分方程 796 | 797 | 俩边同时除 798 | $y^n$ 799 | 即可得到 800 | 801 | $y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$ 802 | 803 | 之后再换元 804 | $z=y^{1-n}$ 805 | 806 | 解关于 807 | $z$ 808 | 的一阶线性微分方程即可。 809 | 810 | #### 🌟**Euler方程** 811 | 812 | 以二阶的微分方程为例子（n阶同理）: 813 | 814 | 对于方程 815 | $x^2y''+pxy'+qy=f(x)$ 816 | 817 | 作变量代换 818 | $x=e^t$ 819 | 或 820 | $t=\ln x$ 821 | ，方程化为二阶常系数线性微分方程 822 | 823 | $D(D-1)y+pDy+qy=f(e^t)$ 824 | 825 | 其中， 826 | $D=\frac{d}{dt}$ 827 | 828 | 829 | 830 | #### 🌟**Liouville公式** 831 | 832 | 对于二阶线性齐次微分方程 833 | 834 | $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 835 | 836 | 已知一个特解 837 | $y_1$ 838 | ,则另一个线性无关的特解为 839 | $$y_2=y_1\int{\frac{1}{y_1^2}e^{-\int{p(x)dx}}}dx$$ 840 | 841 | 证明： 842 | 843 | ![Liouville](images/liouvilleproof.jpg) 844 | 845 | #### 🌟**常数变易法** 846 | 847 | 第十三届CMC初赛中，大题第三题可以直接用常数变易法解方程，然后再判断有界性，相比给出的奇技淫巧，更为简单粗暴，可以直接求得答案。 848 | 849 | 比如常数变易法求二阶线性方程 850 | $y''+py'+qy=f(x)$ 851 | 的步骤： 852 | 853 | ![常数变易法](images/csbyf.png) 854 | 855 | 856 | ### 8️⃣第八章 无穷级数 857 | 858 | #### 🌟**Euler常数** 859 | 860 | 了解即可，一个发散级数带来的常数。 861 | 862 | $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\ln n+ \gamma$ 863 | 864 | 其中， 865 | $\gamma \approx 0.57721 56649$ 866 | 为欧拉常数。 867 | 868 | 换句话说， 869 | 870 | $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\ln n= \gamma$ 871 | 872 | $(0<\alpha<\beta, a>1)$ 873 | 874 | 所以可以直接有： 875 | 876 | $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{n!}{n^n}}=0$ 877 | 878 | #### 🌟**拉链定理** 879 | 880 | 其实这个点也可以放在第一章里面。 881 | 882 | 数列收敛的**充要条件**是其奇、偶子数列收敛于同一极限。 883 | 884 | #### 🌟**Cauchy乘积** 885 | 886 | 也叫做俩数列的离散卷积。 887 | 888 | Cauchy乘积的定义为： 889 | 890 | 对于俩个级数 891 | $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 892 | 和 893 | $\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 894 | ,不论其敛散性，其Cauchy乘积为: 895 | 896 | $(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{n}a_mb_{n-m})$ 897 | 898 | #### 🌟**Cauchy收敛定理** 899 | 900 | 若 901 | $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 902 | 和 903 | $\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 904 | 绝对收敛，且 905 | $\sum_{n=0}^{\infty}a_n=A$ 906 | , 907 | $\sum_{n=0}^{\infty}b_n=B$ 908 | 则其**柯西乘积**绝对收敛，且收敛到 909 | $A\cdot B$ 910 | 911 | 也就是说， 912 | $(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{n}a_mb_{n-m})=A\cdot B$ 913 | 914 | #### 🌟**Weierstrass准则** 915 | 916 | 若存在一个收敛的正项级数 917 | $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ 918 | ，对任意 919 | $n\in N_{+}$ 920 | 以及任意 921 | $x\in I$ 922 | ，恒有 923 | $|u_n(x) \le M_n|$ 924 | 则级数 925 | $\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 926 | 在 927 | $I$ 928 | 上一致收敛。 929 | 930 | #### 🌟**Parseval恒等式** 931 | 932 | 设 933 | $f(x)$ 934 | 是 935 | $[0,2\pi]$ 936 | 上的分段连续函数，且 937 | $f(x)~\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos {nx}+b_n \sin {nx})$ 938 | 则有 939 | $\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}(f(x))^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$ 940 | 941 | ## 第三步：开始速通真题 942 | 943 | 参考资料库或者其他各种渠道的真题即可。 944 | 945 | **速通建议**：配合本文DLC的知识点，再利用“大绿书”做相应知识点的练习。 946 | 947 | 在完成大部分DLC知识点的巩固后，可以进一步直接做真题，参考资料库中往年的真题汇总和解析即可。 948 | 949 | 这部分大概耗时1个月就可以了，如果想要得到一等奖或者决赛入场券，可以适当延长练习时间，更广泛巩固DLC知识点和本体知识点。 950 | 951 | # 资料库 952 | 953 | 资料库包含**部分电子版推荐书籍**，**往届真题**，**🐹🐹的笔记**。 954 | 955 | 均上传到了本库中的**source**文件夹中。 956 | 957 | ## 推荐书籍 958 | 959 | **1.数学分析习题集-吉米多维奇著** 960 | 961 | 俗称就是吉米多维奇习题集。 962 | 963 | **非常不建议全部做一遍，因为非常多，会耗费大量时间。**（鼠鼠的个人观点） 964 | 965 | 可以偶尔翻两下。 966 | 967 | ![吉米多维奇](images/jmdwq.png) 968 | 969 | **2.大学生数学竞赛教程-蒲和平著** 970 | 971 | 俗称大绿书，鼠鼠当初只用了这一本书，推荐指数🌟🌟🌟 972 | 973 | 对着🐹🐹总结的DLC，做对应知识点的练习题足以速通。 974 | 975 | ![大学生数学竞赛教程](images/sxjsjc.jpg) 976 | 977 | **3.大学生数学竞赛习题精讲-陈兆斗著** 978 | 979 | 没做过，听说还不错。鼠鼠就只用过大绿书，比鼠鼠努力且有时间的可以试试这本。 980 | 981 | ![陈兆斗](images/chenzhaodou.jpg) 982 | 983 | **4.普林斯顿微积分读本** 984 | 985 | 略读过，感觉有点cjb了，就是辅导差生学好微积分而已，个人觉得用处不大。 986 | 987 | 因为如果你能在系统的学习下掌握知识，那么这种书对你来说就是鸡肋。 988 | 989 | 推荐的原因是，如果你是小白，那么这本书还是不错的。 990 | 991 | ![普林斯顿](images/plsd.jpg) 992 | 993 | **5.数学女孩系列** 994 | 995 | 神中神，🐹🐹高中时期午休时光的精神食粮，对我来说附带青春buff，而且里面很多数学科普知识跨度很大，从幼儿园到人类前沿，漫游各个领域的数学知识，属于提升素养方面的书籍。 996 | 997 | 放在本速通教程中纯属是🐹🐹个人推荐，对速通CMC或许有着无用之用的用处。 998 | 999 | ![mathgirls](images/mathgirl.jpg) 1000 | 1001 | ## 往届真题 1002 | 1003 | 截止到目前鼠鼠更新本库，一共进行了十四届CMC。 1004 | 1005 | ### 初赛 1006 | 1007 | 初赛的题目都是只包含高等数学的内容，考试大纲请参考[官方网站](http://www.cmathc.cn/)。 1008 | 1009 | 资料库索引： 1010 | 1011 | >sources/真题 1012 | 1013 | ### 决赛 1014 | 1015 | 决赛的题目除了包含80%的高等数学内容外，还包含20%的线性代数内容。 1016 | 1017 | 由于🐹🐹在更新本文时，并不清楚自己是否进入了决赛名单(很有可能没有),所以这部分内容不多。 1018 | 1019 | 2023年6月补档，的确没有进入决赛，这里给大家一个参考，第十四届初赛66分编号88应该是全省88名没有达到决赛线。 1020 | 1021 | 资料库索引： 1022 | 1023 | >sources/真题 1024 | 1025 | ## 权威公众号 1026 | 1027 | 这里不得不说一个非常权威的公众号： 1028 | 1029 | **考研竞赛数学** 1030 | 1031 | 里面各种真题、模拟题、每日一题等等等等，内容丰富。 1032 | 1033 | # 🐹🐹的笔记 1034 | 1035 | 本🐹🐹在数学方面记的东西是少之又少，但是多少还是有点硬通货的，我将会把pdf版本的笔记放在本github库中，以便其他🐹🐹参考学习，请各位斧正。 1036 | 1037 | # 联系🐹🐹 1038 | 1039 | 📫邮箱： iamnotphage@gmail.com 1040 | -------------------------------------------------------------------------------- /images/Jacobi1.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/images/Jacobi1.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /images/Jacobi2.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/images/Jacobi2.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /images/chenzhaodou.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/images/chenzhaodou.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /images/cmc.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/images/cmc.png -------------------------------------------------------------------------------- /images/cmc14.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/images/cmc14.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /images/cmc88.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/images/cmc88.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /images/csbyf.png: -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/source/真题/01-第一届/2010年03月-数学类-第一届全国决赛试卷.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /source/真题/01-第一届/2010年03月-非数学类-第一届全国决赛试卷.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/source/真题/01-第一届/2010年03月-非数学类-第一届全国决赛试卷.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /source/真题/02-第二届/2010年01-试卷-第二届全国初赛-数学类试卷.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Iamnotphage/CMC-SpeedRun/b1b3b4de2abfd13aa589db5a3cbf827e0f305c42/source/真题/02-第二届/2010年01-试卷-第二届全国初赛-数学类试卷.pdf 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