├── img ├── back-cover.pdf └── SI-Illustration-Constants-Colour-Full.png ├── template_femto.pdf ├── Fira_Mono ├── FiraMono-Bold.ttf ├── FiraMono-Medium.ttf ├── FiraMono-Regular.ttf └── OFL.txt ├── Fira_Sans ├── FiraSans-Bold.ttf ├── FiraSans-Thin.ttf ├── FiraSans-Black.ttf ├── FiraSans-Italic.ttf ├── FiraSans-Light.ttf ├── FiraSans-Medium.ttf ├── FiraSans-ExtraBold.ttf ├── FiraSans-Regular.ttf ├── FiraSans-SemiBold.ttf ├── FiraSans-BlackItalic.ttf ├── FiraSans-BoldItalic.ttf ├── FiraSans-ExtraLight.ttf ├── FiraSans-LightItalic.ttf ├── FiraSans-ThinItalic.ttf ├── FiraSans-MediumItalic.ttf ├── FiraSans-SemiBoldItalic.ttf ├── FiraSans-ExtraBoldItalic.ttf ├── FiraSans-ExtraLightItalic.ttf └── OFL.txt ├── chapters ├── preface.tex ├── notationsENSCR.tex ├── constantes.tex ├── omp_annexe2.tex ├── annexe_equa_diff.tex ├── coniques.tex ├── operateurs-differentiels.tex ├── unites_dimensions.tex └── valider.tex ├── LICENSE ├── refOMP.bib ├── README.md ├── MANIFEST.md ├── compile_cours.sh ├── kaorefs.sty ├── kaobook.cls ├── kaotheorems.sty ├── kaobiblio.sty └── template_femto.tex /img/back-cover.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/img/back-cover.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /template_femto.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/template_femto.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Mono/FiraMono-Bold.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/Fira_Mono/FiraMono-Bold.ttf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Sans/FiraSans-Bold.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/Fira_Sans/FiraSans-Bold.ttf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Sans/FiraSans-Thin.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/Fira_Sans/FiraSans-Thin.ttf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Mono/FiraMono-Medium.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/Fira_Mono/FiraMono-Medium.ttf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Sans/FiraSans-Black.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Mono/FiraMono-Regular.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/Fira_Mono/FiraMono-Regular.ttf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Sans/FiraSans-ExtraBold.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/Fira_Sans/FiraSans-ExtraBold.ttf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Sans/FiraSans-Regular.ttf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/Fira_Sans/FiraSans-Regular.ttf -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Sans/FiraSans-SemiBold.ttf: 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/img/SI-Illustration-Constants-Colour-Full.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/JimRou/template_kaobook/HEAD/img/SI-Illustration-Constants-Colour-Full.png -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/preface.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter*{Préface} 2 | \addcontentsline{toc}{chapter}{Preface} % Add the preface to the table of contents as a chapter 3 | La physique est une science qui repose essentiellement sur la mesure et la modélisation. Le bagage du physicien doit donc contenir les outils et les méthodes qui lui permettent : 4 | \begin{enumerate} 5 | \item de tirer une information rationnelle à partir de ses mesures ; 6 | \item d'approcher le comportement d'un système modèle à l'aide d'une analyse mathématique. 7 | \end{enumerate} 8 | C'est pourquoi ce cours est découpé en deux parties : une première autour de la mesure, une autre autour des concepts mathématiques utiles au physicien. 9 | 10 | Ce cours s'adresse à un public relativement large car il aborde différents outils mobilisés aussi bien en Lycée que dans l'Enseignement Supérieur. 11 | 12 | \begin{flushright} 13 | \textit{Jimmy Roussel} 14 | \end{flushright} 15 | -------------------------------------------------------------------------------- /LICENSE: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | MIT License 2 | 3 | Copyright (c) 2024 Jimmy Roussel 4 | 5 | Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy 6 | of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal 7 | in the Software without restriction, including without limitation the rights 8 | to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell 9 | copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is 10 | furnished to do so, subject to the following conditions: 11 | 12 | The above copyright notice and this permission notice shall be included in all 13 | copies or substantial portions of the Software. 14 | 15 | THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR 16 | IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, 17 | FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE 18 | AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER 19 | LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, 20 | OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE 21 | SOFTWARE. 22 | -------------------------------------------------------------------------------- /refOMP.bib: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | @book{Moreau:1975, 2 | author = {Moreau, H.}, 3 | date-added = {2015-05-29 06:45:36 +0000}, 4 | date-modified = {2015-05-29 06:58:06 +0000}, 5 | keywords = {Mesures}, 6 | publisher = {Chiron}, 7 | title = {Le syst{\`e}me m{\'e}trique}, 8 | year = {1975} 9 | } 10 | @article{Giacomo:1995, 11 | author = {Giacomo, P}, 12 | date-added = {2015-05-29 06:50:59 +0000}, 13 | date-modified = {2015-05-29 06:57:21 +0000}, 14 | journal = {Bulletin du Bureau national de m{\'e}trologie}, 15 | keywords = {Mesures}, 16 | number = {100}, 17 | pages = {5--9}, 18 | publisher = {Bureau national de m{\'e}trologie}, 19 | title = {Du Syst{\`e}me m{\'e}trique d{\'e}cimal au SI}, 20 | year = {1995} 21 | } 22 | @book{Taylor:1999, 23 | author = {Taylor, J-R and Reynaud, L and Reynaud, P}, 24 | date-added = {2015-05-29 06:43:35 +0000}, 25 | date-modified = {2015-05-29 06:57:51 +0000}, 26 | keywords = {Mesures}, 27 | publisher = {Dunod}, 28 | title = {Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques: avec exercices corrig{\'e}s}, 29 | year = {1999} 30 | } 31 | @article{Bally:2010, 32 | author = {Bally, Fran{\c{c}}ois-Xavier and Berroir, Jean-Marc}, 33 | date-added = {2015-05-29 07:05:35 +0000}, 34 | date-modified = {2015-05-29 07:05:58 +0000}, 35 | journal = {ENS, Universit{\'e} Paris}, 36 | keywords = {Mesures}, 37 | number = {7}, 38 | title = {Incertitudes exp{\'e}rimentales}, 39 | volume = {6}, 40 | year = {2010} 41 | } 42 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/notationsENSCR.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | {\usekomafont{chapter}Notations} \\[2ex] 2 | \addcontentsline{toc}{chapter}{Notations} % Add the preface to the table of contents as a chapter 3 | 4 | Notations mathématiques utilisées dans ce cours. 5 | \begin{center} 6 | \begin{tabular}{@{} ll @{}} % Column formatting, @{} suppresses leading/trailing space 7 | \toprule 8 | \textbf{Notation} & \textbf{Signification}\\ 9 | \midrule 10 | $\stackrel{\text{def}}=$ &relation de définition\\ 11 | $\sim$ &égal en ordre de grandeur\\ 12 | \cmidrule(r){1-2} 13 | $[x]$ &dimension de la grandeur $x$\\ 14 | $\sigma_x$ &incertitude-type de la grandeur $x$\\ 15 | $\Delta x$ &incertitude élargie (à 95\%) de la grandeur $x$\\ 16 | $\overline{x}$ &moyenne (espérance) d'une grandeur aléatoire $x$\\ 17 | $\mathrm{d} x/\mathrm{d} t$ ou $\dot x$&dérivée première par rapport au temps\\ 18 | $\mathrm{d}^n x/\mathrm{d} t^n$ ou $\ddot x$ &dérivée n-ième par rapport au temps\\ 19 | \cmidrule(r){1-2} 20 | $\overrightarrow{u}$ &vecteur unitaire\\ 21 | $(\overrightarrow{u_x},\overrightarrow{u_y},\overrightarrow{u_z})$ &base cartésienne\\ 22 | $\|\overrightarrow{A}\|$ ou $A$ &norme du vecteur $\overrightarrow{A}$\\ 23 | $A_{z}$ &composante suivant l'axe (O$z) =A_{z}=\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{u_{z}}$\\ 24 | \cmidrule(r){1-2} 25 | $\arcdecercle{AB}$ &longueur de l'arc de cercle AB\\ 26 | $\log$ &logarithme à base 10\\ 27 | $\ln$ &logarithme népérien (à base e)\\ 28 | \bottomrule 29 | \end{tabular} 30 | \end{center} 31 | 32 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Physics lesson template of [femto-physique.fr](https://femto-physique.fr) 2 | ======================== 3 | 4 | > A LaTeX / LuaLaTeX / XeLaTeX template in kaobook style for physics courses used for my website 5 | 6 | ## Author(s) 7 | * Jimmy Roussel 8 | 9 | --- 10 | ## Features 11 | 12 | * Supports LaTeX, LuaLaTeX and XeLaTeX 13 | 14 | * uses Kaobook class 15 | 16 | * Wide margin to house captions, small figures or tables, and textual notes. 17 | 18 | * Mini table of contents in the margin at the start of each chapter. 19 | 20 | * Easily-customisable chapter headings. 21 | 22 | * Flexible citations with references both in the margin and in the bibliography at the end. 23 | 24 | * Powered by KOMA-Script. 25 | 26 | * Many commands have been redefined to ease the life of the user. 27 | 28 | A better description can be found at [LaTeX 29 | Templates](http://www.latextemplates.com/template/kaobook). If you think 30 | that a PDF is worth a thousand words, have a look at [this](https://github.com/fmarotta/kaobook/blob/master/example_and_documentation.pdf). 31 | 32 | 33 | 34 | --- 35 | 36 | ## Building your PDF 37 | 38 | ### using XeLaTex engine 39 | 40 | This template supports `XeLaTeX` compilation chain. To generate PDF run 41 | 42 | latexmk -xelatex template_femto.tex 43 | makeindex template_femto.nlo -s nomencl.ist -o template_femto.nls 44 | latexmk -xelatex -g template_femto.tex 45 | 46 | 47 | 48 | ### using LuaLaTeX engine 49 | 50 | This template supports `LuaLaTeX` compilation chain. To generate PDF run 51 | 52 | latexmk -pdflatex=lualatex -pdf template_femto.tex 53 | 54 | 55 | ### using PDFLaTeX 56 | 57 | pdflatex template_femto.tex 58 | biber template_femto 59 | pdflatex template_femto.tex 60 | pdflatex template_femto.tex 61 | 62 | ### Shell script for PDFLaTeX 63 | 64 | Usage: `sh ./compile_cours.sh [OPTIONS] [filename]` 65 | 66 | [option] pdflatex: Compiles the filename.tex using pdflatex 67 | 68 | [option] lualatex: Compiles the filename.tex using lualatex 69 | 70 | [option] xelatex: Compiles the filename.tex with xelatex 71 | 72 | [option] clean: removes temporary files - no filename required 73 | 74 | 75 | --- 76 | 77 | 78 | ## Inspirations/Based on 79 | 80 | * Kaobook class [https://github.com/fmarotta/kaobook](https://github.com/fmarotta/kaobook) 81 | 82 | --- 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | -------------------------------------------------------------------------------- /MANIFEST.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | --- 2 | 3 | # First Work: The kaobook Class 4 | 5 | MANIFEST.md 6 | Copyright 2020-2021 Federico Marotta 7 | 8 | This work may be distributed and/or modified under the 9 | conditions of the LaTeX Project Public License, either version 1.3 10 | of this license or (at your option) any later version. 11 | The latest version of this license is in 12 | 13 | http://www.latex-project.org/lppl.txt 14 | 15 | and version 1.3 or later is part of all distributions of LaTeX 16 | version 2005/12/01 or later. 17 | 18 | This work has the LPPL maintenance status `maintained'. 19 | 20 | The Current Maintainer of this work is Federico Marotta. 21 | 22 | This work consists of all files listed below. 23 | 24 | --- 25 | 26 | ``` 27 | kaobook/ 28 | |-- kaobook.cls - book-specific definitions 29 | |-- kaohandt.cls - handout-specific definitions 30 | |-- kao.sty - main definitions 31 | |-- kaobiblio.sty - style of the bibliography 32 | |-- kaotheorems.sty - colorful styling of theorems 33 | `-- kaorefs.sty - commands for referencing 34 | ``` 35 | 36 | --- 37 | 38 | # Second Work: Templates and Examples 39 | 40 | This work is released into the public domain using the CC0 code. To the 41 | extent possible under law, I waive all copyright and related or 42 | neighbouring rights to this work. To view a copy of the CC0 code, visit: 43 | 44 | http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0 45 | 46 | This work consists of all files listed below as well as the products of 47 | their compilation. 48 | 49 | --- 50 | 51 | ``` 52 | kaobook/ 53 | `-- examples/ 54 | |-- minimal_book/ 55 | | `-- main.tex 56 | |-- minimal_report/ 57 | | `-- main.tex 58 | |-- documentation/ 59 | | |-- main.tex 60 | | |-- main.bib 61 | | |-- glossary.tex 62 | | `-- chapters/ 63 | | |-- appendix.tex 64 | | |-- figsntabs.tex 65 | | |-- introduction.tex 66 | | |-- layout.tex 67 | | |-- mathematics.tex 68 | | |-- options.tex 69 | | |-- preface.tex 70 | | |-- references.tex 71 | | `-- textnotes.tex 72 | `-- machine_learning_project/ 73 | |-- sections/ 74 | | |-- introduction.tex 75 | | |-- data.tex 76 | | |-- results.tex 77 | | `-- discussion.tex 78 | |-- main.tex 79 | `-- main.bib 80 | ``` 81 | 82 | As regards the files in the `kaobook/examples/documentation/images` 83 | directory, they were downloaded from [Wikimedia 84 | Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page) and are 85 | attributed inside the example book where they are used. -------------------------------------------------------------------------------- /compile_cours.sh: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | #!/bin/bash 2 | # A script to compile latex book - Jimmy Roussel 3 | # Inspired by script Krishna Kumar : https://github.com/kks32/phd-thesis 4 | # Distributed under GPLv2.0 License 5 | 6 | compile1="pdflatex"; 7 | compile2="lualatex"; 8 | compile3="xelatex"; 9 | clean="clean"; 10 | 11 | if test -z "$2" 12 | then 13 | if [ $1 = $clean ]; then 14 | echo "Cleaning please wait ..." 15 | rm -f *~ 16 | rm -rf *.aux 17 | rm -rf *.bbl 18 | rm -rf *.bcf 19 | rm -rf *.blg 20 | rm -rf *.d 21 | rm -rf *.fdb* 22 | rm -rf *.fls 23 | rm -rf *.ilg 24 | rm -rf *.ind 25 | rm -rf *.toc* 26 | rm -rf *.lot* 27 | rm -rf *.lof* 28 | rm -rf *.log 29 | rm -rf *.idx 30 | rm -rf *.idx 31 | rm -rf *.mw 32 | rm -rf *.nlo 33 | rm -rf *.nls 34 | rm -rf *.run* 35 | rm -rf *.xdv 36 | rm -rf $filename.ps 37 | rm -rf $filename.dvi 38 | rm -rf *#* 39 | echo "Cleaning complete!" 40 | exit 41 | else 42 | echo "Shell script for compiling the PhD Thesis" 43 | echo "Usage: sh ./compile-cours.sh [OPTIONS] [filename]" 44 | echo "[option] pdflatex : Compiles with pdflatex engine" 45 | echo "[option] lualatex : Compiles with lualatex engine" 46 | echo "[option] xelatex : Compiles with xelatex engine" 47 | echo "[option] clean: removes temporary files no filename required" 48 | exit 49 | fi 50 | fi 51 | 52 | filename=$2; 53 | 54 | if [ $1 = $clean ]; then 55 | echo "Cleaning please wait ..." 56 | rm -f *~ 57 | rm -rf *.aux 58 | rm -rf *.bbl 59 | rm -rf *.bcf 60 | rm -rf *.blg 61 | rm -rf *.d 62 | rm -rf *.fdb* 63 | rm -rf *.fls 64 | rm -rf *.ilg 65 | rm -rf *.ind 66 | rm -rf *.toc* 67 | rm -rf *.lot* 68 | rm -rf *.lof* 69 | rm -rf *.log 70 | rm -rf *.idx 71 | rm -rf *.idx 72 | rm -rf *.mw 73 | rm -rf *.nlo 74 | rm -rf *.nls 75 | rm -rf *.run* 76 | rm -rf *.xdv 77 | rm -rf $filename.ps 78 | rm -rf $filename.dvi 79 | rm -rf *#* 80 | echo "Cleaning complete!" 81 | exit 82 | elif [ $1 = $compile1 ]; then 83 | echo "Compiling using PDFLatex...please wait...!" 84 | pdflatex -interaction=nonstopmode $filename.tex 85 | bibtex $filename.aux 86 | makeindex $filename.aux 87 | makeindex $filename.idx 88 | makeindex $filename.nlo -s nomencl.ist -o $filename.nls 89 | pdflatex -interaction=nonstopmode $filename.tex 90 | makeindex $filename.nlo -s nomencl.ist -o $filename.nls 91 | pdflatex -interaction=nonstopmode $filename.tex 92 | echo "Success!" 93 | exit 94 | elif [ $1 = $compile3 ]; then 95 | echo "Compiling using XeLaTeX...please wait...!" 96 | latexmk -xelatex $filename.tex 97 | makeindex $filename.nlo -s nomencl.ist -o $filename.nls 98 | latexmk -xelatex -g $filename.tex 99 | echo "Success!" 100 | exit 101 | fi 102 | 103 | 104 | if test -z "$3" 105 | then 106 | exit 107 | fi -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/constantes.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | {\usekomafont{chapter}Grandeurs et constantes physiques} \\[2ex] 2 | \addcontentsline{toc}{chapter}{Grandeurs et constantes physiques} % Add the preface to the table of contents as a chapter 3 | 4 | \begin{center} 5 | \begin{tabular}{@{} p{6cm}cl @{}} % Column formatting, @{} suppresses leading/trailing space 6 | \toprule 7 | \multicolumn{3}{c}{\textbf{Quelques constantes physiques}} \\ 8 | \multicolumn{3}{c}{\emph{les constantes sont fournies avec tous les chiffres significatifs connus}} \\ 9 | 10 | \cmidrule(r){1-3} % Partial rule. (r) trims the line a little bit on the right; (l) & (lr) also possible 11 | \textbf{Nom} &\textbf{Symbole}& \textbf{Valeur}\\ 12 | Constante gravitationnelle &\(\mathcal{G}\) &\(6{,}674\times 10^{-11}\,\mathrm{m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}}\)\\ 13 | Permittivité diélectrique du vide&\(\epsilon_0\) &\(8{,}854~187~81\times 10^{-12}\,\mathrm{F.m^{-1}}\)\\ 14 | Perméabilité magnétique du vide &\(\mu_{0}\) &\(1{,}256~637~062\times 10^{-6}\)~H.m\(^{-1}\)\\ 15 | Masse de l'électron au repos &\(m_\text{e}\) &\(9{,}109~383~70\times 10^{-31}\,\mathrm{kg}\)\\ 16 | Masse du proton au repos &\(m_\text{p}\) &\(1{,}672~621~923\times10^{-27}\,\mathrm{kg} \)\\ 17 | Masse du neutron au repos &\(m_\text{n}\) &\(1{,}674~927~498\times10^{-27}\,\mathrm{kg} \)\\ 18 | \midrule 19 | \multicolumn{3}{c}{\textbf{Constantes définies par le SI} (valeurs exactes)} \\ 20 | \midrule 21 | Constante de Planck &\(h\) &\(6{,}626~070~15\times 10^{-34}\,\mathrm{J.s}\)\\ 22 | Vitesse de la lumière &\(c\) &299~792~458~m.s\(^{-1}\)\\ 23 | Fréquence hyperfine du \(^{133}\textsf{Cs}\)&\(\Delta\nu_\textsf{Cs}\)&9~192~631~770~Hz\\ 24 | Charge élémentaire &\(e\) &\(1{,}602~176~634\times 10^{-19}\,\mathrm{C}\)\\ 25 | Constante de Boltzmann &\(k_\text{B}\) &\(1{,}380~649\times 10^{-23}\,\mathrm{J.K^{-1}} \)\\ 26 | Constante des gaz parfaits&\(R=k_\text{B}N_\text{A}\) &8,314~462~618\ldots\(\mathrm{J.K^{-1}.mol^{-1}} \)\\ 27 | Nombre d'Avogadro &\(\mathcal{N}_\text{A}\) &\(6{,}022~140~76\times 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\)\\ 28 | Efficacité lumineuse &\(K_\text{cd}\) &683~lm.W\(^{-1}\)\\ 29 | \bottomrule 30 | \end{tabular}\\[1.5ex](source : 2018 CODATA) 31 | \end{center} 32 | 33 | \begin{center} 34 | \begin{tabular}{@{} p{6cm}cl @{}} % Column formatting, @{} suppresses leading/trailing space 35 | \toprule 36 | \multicolumn{3}{c}{\textbf{Grandeurs physiques}} \\ 37 | \cmidrule(r){1-3} 38 | \textbf{Nom} & \textbf{Symbole} & \textbf{Unité}\\ 39 | \midrule 40 | Masse & $m$ & kg\\ 41 | Masse molaire & $M$ & $\mathrm{kg.mol^{-1}}$\\ 42 | Masse volumique & $\rho$ & $\mathrm{kg.m^{-3}}$\\ 43 | Charge électrique & $q$ & C\\ 44 | Aire & $\mathcal{A}$ & $\mathrm{m^{2}}$\\ 45 | Volume & $V$ & $\mathrm{m^{3}}$\\ 46 | Temps & $t$ & s\\ 47 | Fréquence & $\nu$ & Hz\\ 48 | Période & $T$ & s\\ 49 | Vitesse & $v$ & $\mathrm{m.s^{-1}}$\\ 50 | Vitesse angulaire, pulsation & $\omega$ & $\mathrm{rad.s^{-1}}$\\ 51 | Accélération & $a$ & $\mathrm{m.s^{-2}}$\\ 52 | Quantité de mouvement & $p$ & $\mathrm{kg.m.s^{-1}}$\\ 53 | Moment d'une force & $\mathcal{M}$ & N.m\\ 54 | Moment cinétique & $L$ & J.s\\ 55 | Couple & $\Gamma$ & N.m\\ 56 | Moment d'inertie/\(\Delta\)& $I_\Delta$ & $\mathrm{kg.m^2}$\\ 57 | % force & $f$ & N\\ 58 | % poids & $P$ &N\\ 59 | Puissance mécanique & $\mathcal{P}$ & W \\ 60 | Raideur & $k$ & $\mathrm{N.m^{-1}}$\\ 61 | Facteur de qualité & $Q$ & sans dimension\\ 62 | Travail & $W$ &J\\ 63 | Énergie & $\mathcal{E}$ & J\\ 64 | \bottomrule 65 | \end{tabular} 66 | \end{center} 67 | 68 | -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Mono/OFL.txt: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Copyright (c) 2012-2013, The Mozilla Corporation and Telefonica S.A. 2 | 3 | This Font Software is licensed under the SIL Open Font License, Version 1.1. 4 | This license is copied below, and is also available with a FAQ at: 5 | http://scripts.sil.org/OFL 6 | 7 | 8 | ----------------------------------------------------------- 9 | SIL OPEN FONT LICENSE Version 1.1 - 26 February 2007 10 | ----------------------------------------------------------- 11 | 12 | PREAMBLE 13 | The goals of the Open Font License (OFL) are to stimulate worldwide 14 | development of collaborative font projects, to support the font creation 15 | efforts of academic and linguistic communities, and to provide a free and 16 | open framework in which fonts may be shared and improved in partnership 17 | with others. 18 | 19 | The OFL allows the licensed fonts to be used, studied, modified and 20 | redistributed freely as long as they are not sold by themselves. The 21 | fonts, including any derivative works, can be bundled, embedded, 22 | redistributed and/or sold with any software provided that any reserved 23 | names are not used by derivative works. The fonts and derivatives, 24 | however, cannot be released under any other type of license. The 25 | requirement for fonts to remain under this license does not apply 26 | to any document created using the fonts or their derivatives. 27 | 28 | DEFINITIONS 29 | "Font Software" refers to the set of files released by the Copyright 30 | Holder(s) under this license and clearly marked as such. This may 31 | include source files, build scripts and documentation. 32 | 33 | "Reserved Font Name" refers to any names specified as such after the 34 | copyright statement(s). 35 | 36 | "Original Version" refers to the collection of Font Software components as 37 | distributed by the Copyright Holder(s). 38 | 39 | "Modified Version" refers to any derivative made by adding to, deleting, 40 | or substituting -- in part or in whole -- any of the components of the 41 | Original Version, by changing formats or by porting the Font Software to a 42 | new environment. 43 | 44 | "Author" refers to any designer, engineer, programmer, technical 45 | writer or other person who contributed to the Font Software. 46 | 47 | PERMISSION & CONDITIONS 48 | Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining 49 | a copy of the Font Software, to use, study, copy, merge, embed, modify, 50 | redistribute, and sell modified and unmodified copies of the Font 51 | Software, subject to the following conditions: 52 | 53 | 1) Neither the Font Software nor any of its individual components, 54 | in Original or Modified Versions, may be sold by itself. 55 | 56 | 2) Original or Modified Versions of the Font Software may be bundled, 57 | redistributed and/or sold with any software, provided that each copy 58 | contains the above copyright notice and this license. These can be 59 | included either as stand-alone text files, human-readable headers or 60 | in the appropriate machine-readable metadata fields within text or 61 | binary files as long as those fields can be easily viewed by the user. 62 | 63 | 3) No Modified Version of the Font Software may use the Reserved Font 64 | Name(s) unless explicit written permission is granted by the corresponding 65 | Copyright Holder. This restriction only applies to the primary font name as 66 | presented to the users. 67 | 68 | 4) The name(s) of the Copyright Holder(s) or the Author(s) of the Font 69 | Software shall not be used to promote, endorse or advertise any 70 | Modified Version, except to acknowledge the contribution(s) of the 71 | Copyright Holder(s) and the Author(s) or with their explicit written 72 | permission. 73 | 74 | 5) The Font Software, modified or unmodified, in part or in whole, 75 | must be distributed entirely under this license, and must not be 76 | distributed under any other license. The requirement for fonts to 77 | remain under this license does not apply to any document created 78 | using the Font Software. 79 | 80 | TERMINATION 81 | This license becomes null and void if any of the above conditions are 82 | not met. 83 | 84 | DISCLAIMER 85 | THE FONT SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, 86 | EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO ANY WARRANTIES OF 87 | MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT 88 | OF COPYRIGHT, PATENT, TRADEMARK, OR OTHER RIGHT. IN NO EVENT SHALL THE 89 | COPYRIGHT HOLDER BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER LIABILITY, 90 | INCLUDING ANY GENERAL, SPECIAL, INDIRECT, INCIDENTAL, OR CONSEQUENTIAL 91 | DAMAGES, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING 92 | FROM, OUT OF THE USE OR INABILITY TO USE THE FONT SOFTWARE OR FROM 93 | OTHER DEALINGS IN THE FONT SOFTWARE. 94 | -------------------------------------------------------------------------------- /Fira_Sans/OFL.txt: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Copyright (c) 2012-2015, The Mozilla Foundation and Telefonica S.A. 2 | 3 | This Font Software is licensed under the SIL Open Font License, Version 1.1. 4 | This license is copied below, and is also available with a FAQ at: 5 | http://scripts.sil.org/OFL 6 | 7 | 8 | ----------------------------------------------------------- 9 | SIL OPEN FONT LICENSE Version 1.1 - 26 February 2007 10 | ----------------------------------------------------------- 11 | 12 | PREAMBLE 13 | The goals of the Open Font License (OFL) are to stimulate worldwide 14 | development of collaborative font projects, to support the font creation 15 | efforts of academic and linguistic communities, and to provide a free and 16 | open framework in which fonts may be shared and improved in partnership 17 | with others. 18 | 19 | The OFL allows the licensed fonts to be used, studied, modified and 20 | redistributed freely as long as they are not sold by themselves. The 21 | fonts, including any derivative works, can be bundled, embedded, 22 | redistributed and/or sold with any software provided that any reserved 23 | names are not used by derivative works. The fonts and derivatives, 24 | however, cannot be released under any other type of license. The 25 | requirement for fonts to remain under this license does not apply 26 | to any document created using the fonts or their derivatives. 27 | 28 | DEFINITIONS 29 | "Font Software" refers to the set of files released by the Copyright 30 | Holder(s) under this license and clearly marked as such. This may 31 | include source files, build scripts and documentation. 32 | 33 | "Reserved Font Name" refers to any names specified as such after the 34 | copyright statement(s). 35 | 36 | "Original Version" refers to the collection of Font Software components as 37 | distributed by the Copyright Holder(s). 38 | 39 | "Modified Version" refers to any derivative made by adding to, deleting, 40 | or substituting -- in part or in whole -- any of the components of the 41 | Original Version, by changing formats or by porting the Font Software to a 42 | new environment. 43 | 44 | "Author" refers to any designer, engineer, programmer, technical 45 | writer or other person who contributed to the Font Software. 46 | 47 | PERMISSION & CONDITIONS 48 | Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining 49 | a copy of the Font Software, to use, study, copy, merge, embed, modify, 50 | redistribute, and sell modified and unmodified copies of the Font 51 | Software, subject to the following conditions: 52 | 53 | 1) Neither the Font Software nor any of its individual components, 54 | in Original or Modified Versions, may be sold by itself. 55 | 56 | 2) Original or Modified Versions of the Font Software may be bundled, 57 | redistributed and/or sold with any software, provided that each copy 58 | contains the above copyright notice and this license. These can be 59 | included either as stand-alone text files, human-readable headers or 60 | in the appropriate machine-readable metadata fields within text or 61 | binary files as long as those fields can be easily viewed by the user. 62 | 63 | 3) No Modified Version of the Font Software may use the Reserved Font 64 | Name(s) unless explicit written permission is granted by the corresponding 65 | Copyright Holder. This restriction only applies to the primary font name as 66 | presented to the users. 67 | 68 | 4) The name(s) of the Copyright Holder(s) or the Author(s) of the Font 69 | Software shall not be used to promote, endorse or advertise any 70 | Modified Version, except to acknowledge the contribution(s) of the 71 | Copyright Holder(s) and the Author(s) or with their explicit written 72 | permission. 73 | 74 | 5) The Font Software, modified or unmodified, in part or in whole, 75 | must be distributed entirely under this license, and must not be 76 | distributed under any other license. The requirement for fonts to 77 | remain under this license does not apply to any document created 78 | using the Font Software. 79 | 80 | TERMINATION 81 | This license becomes null and void if any of the above conditions are 82 | not met. 83 | 84 | DISCLAIMER 85 | THE FONT SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, 86 | EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO ANY WARRANTIES OF 87 | MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT 88 | OF COPYRIGHT, PATENT, TRADEMARK, OR OTHER RIGHT. IN NO EVENT SHALL THE 89 | COPYRIGHT HOLDER BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER LIABILITY, 90 | INCLUDING ANY GENERAL, SPECIAL, INDIRECT, INCIDENTAL, OR CONSEQUENTIAL 91 | DAMAGES, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING 92 | FROM, OUT OF THE USE OR INABILITY TO USE THE FONT SOFTWARE OR FROM 93 | OTHER DEALINGS IN THE FONT SOFTWARE. 94 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/omp_annexe2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{Quelques notions de statistique\label{annexe:statistiques}} 2 | \section{Généralités} 3 | Dans de nombreuses expériences, il est impossible de connaître avec une précision infinie le résultat d'une mesure. On utilise alors la notion de probabilité. 4 | 5 | Considérons une expérience dont le résultat n'est pas connu par manque d'information et que l'on peut répéter \emph{à l'identique} 6 | $N$ fois. Supposons que les résultats possibles fassent parti d'un ensemble d'événements 7 | $\mathbb{E}=\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{p}\}$. Si l'événement $e_{i}$ se produit $N_{i}$ fois après avoir réalisé $N$ expériences 8 | identiques, on dit que l'événement $e_{i}$ se produit avec une fréquence $N_{i}/N$. Par définition, la probabilité que l'événement $e_{i}$ se produise est la limite de la fréquence quand le nombre d'expériences tend vers l'infini : 9 | \eqnboxcoeur{ 10 | P_{i}=\lim_{N\to \infty}\frac{N_{i}}{N} 11 | \quad\text{avec}\quad 12 | \left\{\begin{array}{cc} 13 | 0\leq P_{i}\leq 1 & \\ 14 | \displaystyle{\sum_{i}^{p} P_{i}}=1 &\text{(normalisation)} \\ 15 | \end{array}\right.} 16 | 17 | \subsection*{Lois de composition} 18 | La probabilité que l'un des deux événements $e_{1}$ ou $e_{2}$ se produisent lors d'une expérience vaut 19 | \[P(e_{1} \cup e_{2})=P_{1}+P_{2}-P(e_{1}\cap e_{2})\] 20 | De telle sorte que pour deux événements qui s'excluent mutuellement (événements \emph{disjoints} ou \emph{incompatibles}) on a 21 | \eqnboxcoeur{P(e_{1} \cup e_{2})=P_{1}+P_{2} 22 | \quad\text{si}\quad 23 | e_{1}\cap e_{2}=\{\emptyset\}} 24 | La probabilité que deux événements $e_{1}$ et $e_{2}$ se produisent vaut 25 | \[P(e_{1} \cap e_{2})=P(e_{1}|e_{2})P(e_{2})\] 26 | où $P(e_{1}|e_{2})$ désigne la probabilité conditionnelle de l'événement $e_{1}$ sachant $e_{2}$. Ainsi, pour deux événements \emph{indépendants} on a $P(e_{1}|e_{2})=P(e_{1})$ de telle sorte que 27 | \eqnboxcoeur{P(e_{1} \cap e_{2})=P_{1}\times P_{2}} 28 | \exemples{\textbf{Quelle est la probabilité $P$ d'obtenir un total de 5 en lan\c cant deux dés indépendants ?}\\ 29 | On appelle $e_{ij}$ l'événement associé au couple ($i,j$) produit par le lancé de deux dés et $e_{i}$ l'événement 30 | associé au fait de sortir le nombre $i$ après le lancé d'un dé. On a $P_{ij}=P_{i}P_{j}=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$. Les 31 | événements pour lesquels le total vaut 5 sont $e_{14}$, $e_{41}$, $e_{32}$ et $e_{23}$. Ces quatre événements étant disjoints, on a 32 | \[P=P_{14}+P_{41}+P_{23}+P_{32}=4\times\frac{1}{36}=1/9\]\\ 33 | \textbf{Quelle est la probabilité $P$ d'obtenir trois as en tirant trois cartes d'un jeu de trente deux cartes ?}\\ 34 | Appelons $P_{1}$ la probabilité de tirer un as dans un jeu de 32 cartes, $P_{2}$ la probabilité de tirer un as dans un jeu de 31 cartes sachant qu'un premier as a été tiré et enfin $P_{3}$ la probabilité de tirer un as dans un jeu de 30 cartes sachant que deux as ont été tirés. D'après la loi ci-dessus, on a 35 | \[P=P_{1}P_{2}P_{3}\] 36 | Or, $P_{1}=4/32$, $P_{2}=3/31$ et $P_{3}=2/30$, d'où $P=\frac{1}{1240}$. 37 | } 38 | 39 | Enfin, si on connait la probabilité d'un événement, on connaît alors la probabilité associée à l'événement complémentaire : 40 | \eqnboxcoeur{P(\complement e_{1})=1-P_{1}} 41 | 42 | \section{Variable aléatoire} 43 | On peut associer à un ensemble d'événements distincts des valeurs distinctes d'une variable aléatoire réelle $x$ : $\mathbb{E}\mapsto \mathbb{R} : e_{i}\mapsto x_{i}$. Par définition on notera 44 | \eqnbox{P_{i}\stackrel{\text{def}}= P(x=x_{i})} 45 | l'ensemble $(x,P(x))$ constitue la loi de probabilité et se représente à l'aide d'un histogramme. 46 | 47 | En physique, on a rarement accès à la loi de probabilité mais a des grandeurs qui sont liés à deux propriétés : la \emph{moyenne} et l'\emph{écart-type}. 48 | \subsection*{Moyenne} 49 | Par définition, la moyenne (ou espérance) de la variable aléatoire $x$ est notée $\overline{x}$ et vaut 50 | \[\overline{x}\stackrel{\text{def}}=\sum_{i}P_{i}x_{i}\] 51 | De la même manière, la moyenne d'une fonction de la variable aléatoire $x$ vaut 52 | \[\overline{f(x)}\stackrel{\text{def}}=\sum_{i}P_{i}f(x_{i})\] 53 | \subsection*{Ecart-type} 54 | On quantifie la dispersion des tirages de $x$ autour de la moyenne par l'\emph{écart-type} $\sigma_{x}$. L'\emph{écart-type} est la racine carré de la variance $\mathcal{V}(x)=\overline{(x-\overline{x})^{2}}=\overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}$ : 55 | 56 | \[\sigma_{x}\stackrel{\text{def}}= \sqrt{\mathcal{V}(x)}=\sqrt{\overline{(x-\overline{x})}^{2}}=\sqrt{\overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}}\] 57 | 58 | 59 | \section{Somme de variables aléatoires} 60 | Considérons la somme 61 | \[S=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\] 62 | où les $x_{i}$ sont des variables aléatoires. $S$ est donc aussi une variable aléatoire pour laquelle on peut définir une loi de probabilité $P(S)$, à priori nécessaire au calcul des grandeurs moyennes. Cependant, si les variables sont indépendantes, il suffit de connaître les lois de probabilité des $x_{i}$. Par exemple, calculons la valeur moyenne $\overline{S}$ et l'écart-type $\sigma_{S}$ pour s'en convaincre. 63 | \eqnboxcoeur{\overline{S}=\overline{\sum_{i}x_{i}}=\sum_{i=1}^{N}\overline{x_{i}}} 64 | car l'opération de moyenne est linéaire. Notons que cette relation est valide même si les variables sont dépendantes. 65 | 66 | Le calcul de la variance donne 67 | \[\mathcal{V}(S)=\overline{S^{2}}-\overline{S}^{2}= 68 | \overline{\sum_{i,j}x_{i}x_{j}}-\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{x_{i}}\right)^{2}\] 69 | Or 70 | \[\left\{\begin{array}{ccc} 71 | \displaystyle{\overline{\sum_{i,j}x_{i}x_{j}}} 72 | &= 73 | &\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\overline{x_{i}^{2}}+\sum_{i\neq j}\overline{x_{i}x_{j}}}\\[3mm] 74 | 75 | \displaystyle{\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{x_{i}}\right)^{2}} 76 | &= 77 | &\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\overline{x_{i}}^{2}+\sum_{i\neq j} \overline{x_{i}}.\overline{x_{j}}} 78 | \end{array}\right.\] 79 | Si l'on fait l'hypothèse que les variables sont indépendantes, on a $\overline{x_{i}x_{j}}=\overline{x_{i}}.\overline{x_{j}}$, ce qui donne finalement 80 | \[\mathcal{V}(S)=\sum_{i}\sigma_{x_{i}}^{2}\] 81 | Les variances s'ajoutent. On retiendra le cas particulier des variables indépendantes de même moyenne et de même écart-type : 82 | \cadre{\textbf{A retenir}\\ 83 | Si $S$ est la somme de $n$ variables aléatoires \textbf{indépendantes} de moyenne $\overline{x}$ et d'écart-type $\sigma$ on a \[\begin{array}{ccc} 84 | \overline{S} &=& n\overline{x}\\ 85 | \sigma_{S} &=& \sqrt{n}\sigma 86 | \end{array}\] 87 | En conséquence la moyenne arithmétique définie par 88 | \[ m=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}x_i}}{n}\] 89 | Présente un écart-type 90 | \[\sigma_m=\frac{\sigma_S}{n}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] 91 | } 92 | En d'autres termes, on réduit l'incertitude d'un facteur $\sqrt{n}$ en procédant à $n$ mesures puis en effectuant la moyenne arithmétique. Ceci est une illustration de la loi des grands nombres (voir figure ci-dessous). 93 | 94 | %------- TIKZ : Loi des grands nombres ---------------- 95 | \begin{figure}[h] 96 | \centering 97 | \begin{tikzpicture}[scale=0.8] 98 | \begin{axis}[ 99 | title={Tirages de $S=\sum_{i}x_{i}$ avec $n=10$}, 100 | xlabel={tirage n$^\circ$}, 101 | axis x line=bottom, 102 | axis y line=left, 103 | xmin=0, 104 | xmax=100, 105 | ymin=0, 106 | ymax=10, 107 | extra y ticks={5}, 108 | extra y tick labels={$\overline{S}$},] 109 | %--- fonctions à tracer ------ 110 | \addplot+[mark=none] table[x=tirage,y=S]{simu/loiGrandsNombres10.txt}; 111 | \end{axis} 112 | \end{tikzpicture} 113 | \begin{tikzpicture}[scale=0.8] 114 | \begin{axis}[ 115 | title={Tirages de $S=\sum_{i}x_{i}$ avec $n=100$}, 116 | xlabel={tirage n$^\circ$}, 117 | axis x line=bottom, 118 | axis y line=left, 119 | xmin=0, 120 | xmax=100, 121 | ymin=0, 122 | ymax=100, 123 | extra y ticks={50}, 124 | extra y tick labels={$\overline{S}$},] 125 | %--- fonctions à tracer ------ 126 | \addplot+[mark=none] table[x=tirage,y=S]{simu/loiGrandsNombres100.txt}; 127 | \end{axis} 128 | \end{tikzpicture} 129 | \begin{tikzpicture}[scale=0.8] 130 | \begin{axis}[ 131 | title={Tirages de $S=\sum_{i}x_{i}$ avec $n=1000$}, 132 | xlabel={tirage n$^\circ$}, 133 | axis x line=bottom, 134 | axis y line=left, 135 | xmin=0, 136 | xmax=100, 137 | ymin=0, 138 | ymax=1000, 139 | extra y ticks={500}, 140 | extra y tick labels={$\overline{S}$},] 141 | %--- fonctions à tracer ------ 142 | \addplot+[mark=none] table[x=tirage,y=S]{simu/loiGrandsNombres1000.txt}; 143 | \end{axis} 144 | \end{tikzpicture} 145 | \caption{Loi des grands nombres. On tire $n$ fois une variable aléatoire à deux états équiprobables ($x=0$ ou 1) puis on somme les valeurs. Observez la décroissance de la dispersion relative lorsque $n$ augmente.} 146 | \end{figure} -------------------------------------------------------------------------------- /kaorefs.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ProvidesPackage{kaorefs} 2 | 3 | % Easily label and reference elements 4 | % Note that \label must appear after \caption 5 | % Load this package last 6 | 7 | % Pass this package's options to hyperref and varioref 8 | \DeclareOption*{\PassOptionsToPackage{\CurrentOption}{varioref}} 9 | \DeclareOption*{\PassOptionsToPackage{\CurrentOption}{hyperref}} 10 | \DeclareOption*{\PassOptionsToPackage{\CurrentOption}{cleveref}} 11 | \ProcessOptions\relax 12 | 13 | \let\thmname\relax % Workaround to get rid of an annoying error 14 | \RequirePackage{varioref} 15 | \RequirePackage{hyperref} 16 | \RequirePackage[capitalise,nameinlink,noabbrev]{cleveref} 17 | 18 | 19 | % Language-specific strings 20 | % #LANGUAGE 21 | \newcommand{\chapternameshort}{} 22 | \newcommand{\sectionname}{} 23 | \newcommand{\sectionnameshort}{} 24 | \newcommand{\subsectionname}{} 25 | \newcommand{\subsectionnameplural}{} 26 | \newcommand{\subsectionnameshort}{} 27 | \newcommand{\figurenameshort}{} 28 | \newcommand{\tablenameshort}{} 29 | \newcommand{\eqname}{} 30 | \newcommand{\eqnameshort}{} 31 | \newcommand{\defname}{} 32 | \newcommand{\assumname}{} 33 | \newcommand{\thmname}{} 34 | \newcommand{\propname}{} 35 | \newcommand{\lemmaname}{} 36 | \newcommand{\remarkname}{} 37 | \newcommand{\examplename}{} 38 | \newcommand{\exercisename}{} 39 | 40 | \addto\captionsdanish{% 41 | \renewcommand{\chapternameshort}{Kap.} 42 | \renewcommand{\sectionname}{Sektion} 43 | \renewcommand{\sectionnameshort}{Sek.} 44 | \renewcommand{\subsectionname}{Undersektion} 45 | \renewcommand{\subsectionnameplural}{Undersectioner} 46 | \renewcommand{\subsectionnameshort}{Undersek.} 47 | \renewcommand{\figurenameshort}{Fig.} 48 | \renewcommand{\tablenameshort}{Tab.} 49 | \renewcommand{\eqname}{Formel} 50 | \renewcommand{\eqnameshort}{Frml.} 51 | \renewcommand{\defname}{Definition} 52 | \renewcommand{\assumname}{Hypotese} 53 | \renewcommand{\thmname}{Sætning} 54 | \renewcommand{\propname}{Postulat} 55 | \renewcommand{\lemmaname}{Hjælpesætning} 56 | \renewcommand{\remarkname}{Bemærkning} 57 | \renewcommand{\examplename}{Eksempel} 58 | \renewcommand{\exercisename}{Øvelse} 59 | } 60 | \addto\captionsenglish{% 61 | \renewcommand{\chapternameshort}{Chap.} 62 | \renewcommand{\sectionname}{Section} 63 | \renewcommand{\sectionnameshort}{Sec.} 64 | \renewcommand{\subsectionname}{Subsection} 65 | \renewcommand{\subsectionnameplural}{Subsections} 66 | \renewcommand{\subsectionnameshort}{Subsec.} 67 | \renewcommand{\figurenameshort}{Fig.} 68 | \renewcommand{\tablenameshort}{Tab.} 69 | \renewcommand{\eqname}{Equation} 70 | \renewcommand{\eqnameshort}{Eq.} 71 | \renewcommand{\defname}{Definition} 72 | \renewcommand{\assumname}{Assumption} 73 | \renewcommand{\thmname}{Theorem} 74 | \renewcommand{\propname}{Proposition} 75 | \renewcommand{\lemmaname}{Lemma} 76 | \renewcommand{\remarkname}{Remark} 77 | \renewcommand{\examplename}{Example} 78 | \renewcommand{\exercisename}{Exercise} 79 | } 80 | \addto\captionsitalian{% 81 | \renewcommand{\chapternameshort}{Cap.} 82 | \renewcommand{\sectionname}{Sezione} 83 | \renewcommand{\sectionnameshort}{Sez.} 84 | \renewcommand{\subsectionname}{Sottosezione} 85 | \renewcommand{\subsectionnameplural}{Sottosezioni} 86 | \renewcommand{\subsectionnameshort}{Sottosezione} 87 | \renewcommand{\figurenameshort}{Fig.} 88 | \renewcommand{\tablenameshort}{Tab.} 89 | \renewcommand{\eqname}{Equazione} 90 | \renewcommand{\eqnameshort}{Eq.} 91 | \renewcommand{\defname}{Definizione} 92 | \renewcommand{\assumname}{Assunzione} 93 | \renewcommand{\thmname}{Teorema} 94 | \renewcommand{\propname}{Proposizione} 95 | \renewcommand{\lemmaname}{Lemma} 96 | \renewcommand{\remarkname}{Osservazione} 97 | \renewcommand{\examplename}{Esempio} 98 | \renewcommand{\exercisename}{Esercizio} 99 | } 100 | % Do you speak other languages? Please, feel free to add the captions! 101 | 102 | 103 | % Labelling commands 104 | \newcommand{\labpage}[1]{\label{page:#1}} 105 | \newcommand{\labpart}[1]{\label{part:#1}} 106 | \newcommand{\labch}[1]{\label{ch:#1}} 107 | \newcommand{\labsec}[1]{\label{sec:#1}} 108 | \newcommand{\labsubsec}[1]{\label{subsec:#1}} 109 | \newcommand{\labfig}[1]{\label{fig:#1}} 110 | \newcommand{\labtab}[1]{\label{tab:#1}} 111 | \newcommand{\labeq}[1]{\label{eq:#1}} 112 | \newcommand{\labdef}[1]{\label{def:#1}} 113 | \newcommand{\labthm}[1]{\label{thm:#1}} 114 | \newcommand{\labassum}[1]{\label{assum:#1}} 115 | \newcommand{\labprop}[1]{\label{prop:#1}} 116 | \newcommand{\lablemma}[1]{\label{lemma:#1}} 117 | \newcommand{\labremark}[1]{\label{remark:#1}} 118 | \newcommand{\labexample}[1]{\label{example:#1}} 119 | \newcommand{\labexercise}[1]{\label{exercise:#1}} 120 | 121 | 122 | % Referencing commands 123 | \newcommand{\refpage}[1]{\hyperref[#1]{\pagename}\xspace\pageref{page:#1}} % Page 84 124 | \newcommand{\vrefpage}[1]{\vpageref*{page:#1}} % on the following page, on page 84 125 | 126 | % For unnumbered parts 127 | \newcommand{\arefpart}[1]{\hyperref[part:#1]{\partname}\xspace`\nameref{part:#1}'} % Part `Name of the Part' 128 | \newcommand{\avrefpart}[1]{\hyperref[part:#1]{\partname}\xspace`\nameref{part:#1}' \vpageref{part:#1}} % Part `Name of the Part' on page 84 129 | 130 | % For numbered parts 131 | \newcommand{\refpart}[1]{\hyperref[part:#1]{\partname}\xspace\ref{part:#1}} % Part IV 132 | \newcommand{\vrefpart}[1]{\hyperref[part:#1]{\partname}\xspace\vref{part:#1}} % Part IV, Part IV on the following page, Part IV on page 84 133 | \newcommand{\nrefpart}[1]{\hyperref[part:#1]{\partname}\xspace\ref{part:#1} (\nameref{part:#1})} 134 | \newcommand{\frefpart}[1]{\hyperref[part:#1]{\partname\xspace\ref{part:#1} (\nameref{part:#1}) \vpageref{part:#1}}} % Part IV (Name of the Part), Part IV (Name of the Part) on the following page, Part IV (Name of the Part) on page 84) 135 | 136 | %\newcommand{\refch}[1]{\hyperref[#1]{\chaptername\xspace\usekomafont{chapter}\normalsize\nameref{ch:#1}}\xspace\vpageref{ch:#1}\,} 137 | \newcommand{\refchshort}[1]{\hyperref[ch:#1]{\chapternameshort\xspace\ref{ch:#1}}} 138 | \newcommand{\refch}[1]{\hyperref[ch:#1]{\chaptername\xspace\ref{ch:#1}}} 139 | \newcommand{\vrefch}[1]{\hyperref[ch:#1]{\chaptername\xspace\ref{ch:#1} \vpageref{ch:#1}}} 140 | \newcommand{\nrefch}[1]{\hyperref[ch:#1]{\chaptername\xspace\ref{ch:#1} (\nameref{ch:#1})}} 141 | \newcommand{\frefch}[1]{\hyperref[ch:#1]{\chaptername\xspace\ref{ch:#1} (\nameref{ch:#1}) \vpageref{ch:#1}}} 142 | 143 | %\newcommand{\refsec}[1]{Section~{\usekomafont{section}\normalsize\nameref{sec:#1}}\xspace\vpageref{sec:#1}\,} 144 | \newcommand{\refsecshort}[1]{\hyperref[sec:#1]{\sectionnameshort\xspace\ref{sec:#1}}} 145 | \newcommand{\refsec}[1]{\hyperref[sec:#1]{\sectionname\xspace\ref{sec:#1}}} 146 | \newcommand{\vrefsec}[1]{\hyperref[sec:#1]{\sectionname\xspace\vref{sec:#1}}} 147 | \newcommand{\nrefsec}[1]{\hyperref[sec:#1]{\sectionname\xspace\ref{sec:#1} (\nameref{sec:#1})}} 148 | \newcommand{\frefsec}[1]{\hyperref[sec:#1]{\sectionname\xspace\ref{sec:#1} (\nameref{sec:#1}) \vpageref{sec:#1}}} 149 | 150 | \newcommand{\refsubsecshort}[1]{\hyperref[subsec:#1]{\sectionnameshort\xspace\ref{subsec:#1}}} 151 | \newcommand{\refsubsec}[1]{\hyperref[subsec:#1]{\subsectionname\xspace\ref{subsec:#1}}} 152 | \newcommand{\vrefsubsec}[1]{\hyperref[subsec:#1]{\subsectionname\xspace\vref{subsec:#1}}} 153 | \newcommand{\nrefsubsec}[1]{\hyperref[subsec:#1]{\subsectionname\xspace\ref{subsec:#1} (\nameref{subsec:#1})}} 154 | \newcommand{\frefsubsec}[1]{\hyperref[subsec:#1]{\subsectionname\xspace\ref{subsec:#1} (\nameref{subsec:#1}) \vpageref{subsec:#1}}} 155 | 156 | %\newcommand{\reffig}[1]{{\hypersetup{colorlinks=false}\usekomafont{captionlabel}\hyperref[fig:#1]{Figure}\xspace\ref{fig:#1}}} 157 | \newcommand{\reffigshort}[1]{\hyperref[fig:#1]{\figurenameshort\xspace\ref{fig:#1}}} 158 | \newcommand{\reffig}[1]{\hyperref[fig:#1]{\figurename}\xspace\ref{fig:#1}} 159 | \newcommand{\vreffig}[1]{\hyperref[fig:#1]{\figurename\xspace\vref{fig:#1}}} 160 | 161 | %\newcommand{\reftab}[1]{{\hypersetup{colorlinks=false}\usekomafont{captionlabel}\hyperref[tab:#1]{Table}\xspace\ref{tab:#1}}} 162 | \newcommand{\reftab}[1]{\hyperref[tab:#1]{\tablename}\xspace\ref{tab:#1}} 163 | \newcommand{\vreftab}[1]{\hyperref[tab:#1]{\tablename\xspace\vref{tab:#1}}} 164 | 165 | \newcommand{\refeqshort}[1]{\hyperref[eq:#1]\eqnameshort\xspace(\ref{eq:#1})} 166 | \newcommand{\refeq}[1]{\hyperref[eq:#1]\eqname\xspace\ref{eq:#1}} 167 | \newcommand{\vrefeq}[1]{\hyperref[eq:#1]\eqname\xspace\vref{eq:#1}} 168 | 169 | \newcommand{\refdef}[1]{\hyperref[def:#1]\defname\xspace\ref{def:#1}} 170 | \newcommand{\vrefdef}[1]{\hyperref[def:#1]\defname\xspace\vref{def:#1}} 171 | 172 | \newcommand{\refassum}[1]{\hyperref[assum:#1]\assumname\xspace\ref{assum:#1}} 173 | 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\newcommand{\refexercise}[1]{\hyperref[exercise:#1]\exercisename\xspace\ref{exercise:#1}} 191 | \newcommand{\vrefexercise}[1]{\hyperref[exercise:#1]\exercisename\xspace\vref{exercise:#1}} 192 | 193 | 194 | % cleveref customisation 195 | 196 | % Hyperlink the page reference as well 197 | \let\oldvpageref\vpageref 198 | \renewcommand{\vpageref}[1]{\hyperref[#1]{\oldvpageref{#1}}} 199 | 200 | % Remove parentheses around equations 201 | \creflabelformat{equation}{#2\textup{#1}#3} 202 | 203 | % Set the refname for subsections 204 | \crefname{subsection}{\subsectionname}{\subsectionnameplural} 205 | \Crefname{subsection}{\subsectionname}{\subsectionnameplural} 206 | -------------------------------------------------------------------------------- /kaobook.cls: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 | % kaobook 3 | % LaTeX Class 4 | % Version 0.9.7 (2021/06/02) 5 | % 6 | % This template originates from: 7 | % https://www.LaTeXTemplates.com 8 | % 9 | % For the latest template development version and to make contributions: 10 | % https://github.com/fmarotta/kaobook 11 | % 12 | % Authors: 13 | % Federico Marotta (federicomarotta@mail.com) 14 | % Based on the doctoral thesis of Ken Arroyo Ohori (https://3d.bk.tudelft.nl/ken/en) 15 | % and on the Tufte-LaTeX class. 16 | % Modified for LaTeX Templates by Vel (vel@latextemplates.com) 17 | % 18 | % License: 19 | % LPPL (see included MANIFEST.md file) 20 | % 21 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 22 | 23 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 24 | % CLASS CONFIGURATION 25 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 26 | 27 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 28 | \ProvidesClass{kaobook}[2021/06/02 v0.9.7 kaobook] 29 | \newcommand{\@baseclass}{scrbook} % Base class name 30 | 31 | %\RequirePackage{kvoptions} % Manage class key-value options 32 | 33 | %\SetupKeyvalOptions{ 34 | % family = kao, 35 | % prefix = kao@ 36 | %} 37 | 38 | % Set the default options 39 | \PassOptionsToClass{a4paper}{\@baseclass} 40 | \PassOptionsToClass{fontsize=10pt}{\@baseclass} 41 | \PassOptionsToClass{parskip=half}{\@baseclass} 42 | \PassOptionsToClass{headings=optiontoheadandtoc}{\@baseclass} 43 | 44 | % Pass through any other options to the base class 45 | \DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{\@baseclass}} 46 | 47 | %\ProcessKeyvalOptions* 48 | \ProcessOptions\relax % Process the options 49 | 50 | \LoadClass{\@baseclass} % Load the base class 51 | 52 | % Define kao-specific options 53 | %\DeclareStringOption[1]{secnumdepth} 54 | \DefineFamily{kao} 55 | \DefineFamilyMember[kaobook]{kao} 56 | \DefineFamilyKey[kaobook]{kao}{secnumdepth}[1]{\setcounter{secnumdepth}{#1}\FamilyKeyStateProcessed} 57 | \FamilyProcessOptions[kaobook]{kao} 58 | 59 | \RequirePackage{kao} % Load the code common to all classes 60 | 61 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 62 | % FRONT-, MAIN-, BACK- MATTERS BEHAVIOUR 63 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 64 | 65 | % Front matter 66 | \let\oldfrontmatter\frontmatter % Store the old command 67 | \renewcommand{\frontmatter}{% 68 | \oldfrontmatter% First of all, call the old command 69 | \pagestyle{plain.scrheadings}% Use a plain style for the header and the footer 70 | \pagelayout{wide}% Use a wide page layout 71 | \setchapterstyle{plain} % Choose the default chapter heading style 72 | % \sloppy % Required to better break long lines 73 | } 74 | 75 | %------------------------------------------------ 76 | 77 | % Main matter 78 | \let\oldmainmatter\mainmatter % Store the old command 79 | \renewcommand{\mainmatter}{% 80 | \oldmainmatter% Call the old command 81 | \pagestyle{scrheadings}% Use a fancy style for the header and the footer 82 | \pagelayout{margin}% Use a 1.5 column layout 83 | \setchapterstyle{kao} % Choose the default chapter heading style 84 | } 85 | 86 | %------------------------------------------------ 87 | 88 | % Appendix 89 | \let\oldappendix\appendix% Store the old command 90 | \renewcommand{\appendix}{% 91 | \oldappendix% Call the old command 92 | \bookmarksetup{startatroot}% Reset the bookmark depth 93 | } 94 | 95 | %------------------------------------------------ 96 | 97 | % Back matter 98 | \let\oldbackmatter\backmatter% Store the old command 99 | \renewcommand{\backmatter}{% 100 | \oldbackmatter% Call the old command 101 | \bookmarksetup{startatroot}% Reset the bookmark depth 102 | \pagestyle{plain.scrheadings}% Use a plain style for the header and the footer 103 | \pagelayout{wide}% Use a wide page layout 104 | \setchapterstyle{plain} % Choose the default chapter heading style 105 | } 106 | 107 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 108 | % CHAPTER HEADING STYLES 109 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 110 | 111 | \DeclareDocumentCommand{\setchapterstyle}{m}{% 112 | \ifthenelse{\equal{plain}{#1}}{\chapterstyleplain}{} 113 | \ifthenelse{\equal{bar}{#1}}{\chapterstylebar}{} 114 | \ifthenelse{\equal{lines}{#1}}{\chapterstylelines}{} 115 | \ifthenelse{\equal{kao}{#1}}{\chapterstylekao}{} 116 | } 117 | 118 | % The default definition in KOMA script 119 | \DeclareDocumentCommand{\chapterstyleplain}{}{% 120 | \renewcommand{\chapterlinesformat}[3]{% 121 | \@hangfrom{##2}{##3}} 122 | \renewcommand*{\chapterformat}{% 123 | \mbox{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}\thechapter% 124 | \autodot\IfUsePrefixLine{}{\enskip}}} 125 | \RedeclareSectionCommand[beforeskip=0cm,afterskip=10\vscale]{chapter} 126 | \setlength{\mtocshift}{-1\vscale} 127 | } 128 | 129 | % Gray bar 130 | \DeclareDocumentCommand{\chapterstylebar}{}{% 131 | \renewcommand*{\chapterformat}{% 132 | \mbox{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}\thechapter% 133 | \autodot\IfUsePrefixLine{}{\enskip}}% 134 | } 135 | \renewcommand{\chapterlinesformat}[3]{% 136 | \begin{tikzpicture}[remember picture, overlay] 137 | \node[ 138 | anchor=south west, 139 | xshift=\dimexpr - \hoffset - \oddsidemargin - 1in -1mm,%-30\hscale, 140 | yshift=4.3mm, 141 | rectangle, 142 | fill=gray!20!white, 143 | fill opacity=0.8, 144 | inner ysep=5\vscale, 145 | inner xsep=\dimexpr \hoffset + \oddsidemargin + 1in,%30\hscale, 146 | text opacity=1, 147 | text width=\paperwidth-40\hscale, 148 | ]{\@hangfrom{##2}{##3}}; 149 | \end{tikzpicture} 150 | } 151 | \RedeclareSectionCommand[beforeskip=-55\vscale,afterskip=6\vscale]{chapter} 152 | \setlength{\mtocshift}{-1\vscale} 153 | } 154 | 155 | % Lines 156 | \renewcommand{\hrulefill}[1][0.4pt]{% 157 | \leavevmode\leaders\hrule height #1\hfill\kern\z@% 158 | } 159 | \DeclareDocumentCommand{\chapterstylelines}{}{% 160 | \renewcommand*{\chapterformat}{% 161 | \chapappifchapterprefix{\nobreakspace}\scalebox{3.5}{\thechapter\autodot}% 162 | }% 163 | \renewcommand\chapterlinesformat[3]{% 164 | %\vspace*{-1cm}% 165 | \leavevmode% 166 | \makebox[0pt][l]{% 167 | \makebox[\textwidth][l]{\hrulefill[1pt]##2}%\hfill%\par%\bigskip 168 | \makebox[\marginparsep][l]{}% 169 | \makebox[\marginparwidth][l]{}% 170 | }\\ 171 | %\vspace{.5cm} 172 | \makebox[0pt][l]{% 173 | \makebox[\textwidth][l]{##3}% 174 | \makebox[\marginparsep][l]{}% 175 | \makebox[\marginparwidth][l]{}% 176 | }\\ 177 | \makebox[0pt][l]{% 178 | \makebox[\textwidth+\marginparsep+\marginparwidth][l]{\hrulefill[1.1pt]}% 179 | }% 180 | }% 181 | \RedeclareSectionCommand[beforeskip=0cm,afterskip=10\vscale]{chapter} 182 | \setlength{\mtocshift}{-1\vscale}% 183 | } 184 | 185 | % The Kao style 186 | \DeclareDocumentCommand{\chapterstylekao}{}{% 187 | \renewcommand*{\chapterformat}{% 188 | \mbox{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}\scalebox{2.85}{\thechapter\autodot}}% 189 | }% 190 | \renewcommand\chapterlinesformat[3]{% 191 | \vspace{3.5\vscale}% 192 | \if@twoside% 193 | \Ifthispageodd{% 194 | \smash{\makebox[0pt][l]{% 195 | \parbox[b]{\textwidth}{\flushright{##3}}% 196 | \makebox[\marginparsep][c]{\rule[-2\vscale]{1pt}{27.4\vscale+\f@size mm}}% 197 | \parbox[b]{\marginparwidth}{##2}% 198 | }}% 199 | }{ 200 | \smash{\makebox[\textwidth][r]{% 201 | \parbox[b]{\marginparwidth}{\flushright{##2}}% 202 | \makebox[\marginparsep][c]{\rule[-2\vscale]{1pt}{27.4\vscale+\f@size mm}}% 203 | \parbox[b]{\textwidth}{\flushleft{##3}}% 204 | }}% 205 | } 206 | \else% 207 | \smash{\makebox[0pt][l]{% 208 | \parbox[b]{\textwidth}{\flushright{##3}}% 209 | \makebox[\marginparsep][c]{\rule[-2\vscale]{1pt}{27.4\vscale+\f@size mm}}% 210 | \parbox[b]{\marginparwidth}{##2}% 211 | }}% 212 | \fi% 213 | }% 214 | \RedeclareSectionCommand[beforeskip=0cm,afterskip=10\vscale]{chapter}% 215 | \setlength{\mtocshift}{-3\vscale}% 216 | } 217 | 218 | % Takes as input the image path and optionally the "beforeskip" 219 | \DeclareDocumentCommand{\setchapterimage}{O{55\vscale} m}{% 220 | \setchapterpreamble[o]{% 221 | \vspace*{-27\vscale}\hspace*{\dimexpr - \hoffset - \oddsidemargin - 1in}% 222 | \includegraphics[width=\paperwidth,height=#1+27\vscale,keepaspectratio=false]{#2}% 223 | }% 224 | \chapterstylebar% 225 | % beforeskip=-(figure_height-top_margin) 226 | \RedeclareSectionCommand[beforeskip=-#1, afterskip=6\vscale]{chapter}% 227 | \setlength{\mtocshift}{0cm}% 228 | } 229 | 230 | % By default start with plain style 231 | \chapterstyleplain 232 | 233 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 234 | % FONTS AND STYLES 235 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 236 | 237 | % Set KOMA fonts for book-specific elements 238 | \addtokomafont{part}{\normalfont\scshape\bfseries} 239 | \addtokomafont{partentry}{\normalfont\scshape\bfseries} 240 | \addtokomafont{chapter}{\normalfont\bfseries} 241 | \addtokomafont{chapterentry}{\normalfont\bfseries} 242 | 243 | % Set KOMA fonts for elements common to all classes 244 | \addtokomafont{section}{\normalfont\bfseries} 245 | \addtokomafont{subsection}{\normalfont\bfseries} 246 | \addtokomafont{subsubsection}{\normalfont\bfseries} 247 | \addtokomafont{paragraph}{\normalfont\bfseries} 248 | \setkomafont{descriptionlabel}{\normalfont\bfseries} 249 | 250 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 251 | % TOC, LOF & LOT 252 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 253 | 254 | \PassOptionsToClass{toc=listof}{\@baseclass} 255 | \PassOptionsToClass{toc=index}{\@baseclass} 256 | \PassOptionsToClass{toc=bibliography}{\@baseclass} 257 | 258 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 259 | % NUMBERING 260 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 261 | 262 | %\setcounter{secnumdepth}{\kao@secnumdepth} % Set section numbering 263 | %depth 264 | \setcounter{secnumdepth}{1} % Number only up to sections 265 | 266 | \counterwithin*{sidenote}{chapter} % Uncomment to reset the sidenote counter at each chapter 267 | %\counterwithout{sidenote}{chapter} % Uncomment to have one sidenote counter for the whole document 268 | -------------------------------------------------------------------------------- /kaotheorems.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ProvidesPackage{kaotheorems} 2 | 3 | \RequirePackage{kvoptions} % Handle package options 4 | \SetupKeyvalOptions{ 5 | family = kaotheorems, 6 | prefix = kaotheorems@ 7 | } 8 | 9 | \DeclareBoolOption{framed} 10 | 11 | \newcommand{\kaotheorems@defaultbg}{Goldenrod!45!white} 12 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{background} 13 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{theorembackground} 14 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{propositionbackground} 15 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{lemmabackground} 16 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{corollarybackground} 17 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{definitionbackground} 18 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{assumptionbackground} 19 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{remarkbackground} 20 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{examplebackground} 21 | \DeclareStringOption[\kaotheorems@defaultbg]{exercisebackground} 22 | 23 | \ProcessKeyvalOptions{kaotheorems} 24 | 25 | \let\openbox\relax 26 | \RequirePackage{amsmath} % Improved mathematics 27 | \RequirePackage{amsthm} % Mathematical environments 28 | \RequirePackage{thmtools} % Theorem styles 29 | 30 | \ifkaotheorems@framed% 31 | \RequirePackage{tikz} % Colorful boxes 32 | \RequirePackage[framemethod=TikZ]{mdframed} 33 | 34 | % Box style 35 | \mdfsetup{skipabove=\topskip,skipbelow=0pt}%-.5\topskip} 36 | \mdfdefinestyle{mdfkao}{ 37 | skipabove=\topskip, 38 | skipbelow=\topskip, % Does not work :( 39 | rightmargin=0pt, 40 | leftmargin=0pt, 41 | innertopmargin=7pt, 42 | innerbottommargin=3pt, 43 | innerrightmargin=5pt, 44 | innerleftmargin=5pt, 45 | topline=false, 46 | bottomline=false, 47 | rightline=false, 48 | leftline=false, 49 | %linewidth=1pt, 50 | %roundcorner=0pt, 51 | %font={}, 52 | %frametitlefont={}, 53 | frametitlerule=true, 54 | %linecolor=black, 55 | %backgroundcolor=LightBlue, 56 | %fontcolor=black, 57 | %frametitlebackgroundcolor=LightBlue, 58 | } 59 | 60 | % Theorem styles 61 | \declaretheoremstyle[ 62 | %spaceabove=.5\thm@preskip, 63 | %spacebelow=.5\thm@postskip, 64 | %headfont=\normalfont\bfseries,%\scshape, 65 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 66 | bodyfont=\normalfont\itshape, 67 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 68 | headpunct={}, 69 | %postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 70 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 71 | ]{kaoplain} 72 | \declaretheoremstyle[ 73 | %spaceabove=.5\thm@preskip, 74 | %spacebelow=.5\thm@postskip, 75 | %headfont=\normalfont\bfseries,%\scshape, 76 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 77 | bodyfont=\normalfont\itshape, 78 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 79 | headpunct={}, 80 | postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 81 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 82 | ]{kaodefinition} 83 | \declaretheoremstyle[ 84 | %spaceabove=.5\thm@preskip, 85 | %spacebelow=.5\thm@postskip, 86 | %headfont=\normalfont\bfseries,%\scshape, 87 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 88 | bodyfont=\normalfont\itshape, 89 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 90 | headpunct={}, 91 | postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 92 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 93 | ]{kaoassumption} 94 | \declaretheoremstyle[ 95 | %spaceabove=.5\thm@preskip, 96 | %spacebelow=.5\thm@postskip, 97 | %headfont=\normalfont\bfseries, 98 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 99 | %bodyfont=\normalfont, 100 | %headformat={\footnotesize$\triangleright$\space\normalsize\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 101 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 102 | headpunct={}, 103 | postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 104 | %refname={theorem,theorems}, 105 | %Refname={Theorem,Theorems}, 106 | ]{kaoremark} 107 | \declaretheoremstyle[ 108 | %spaceabove=.5\thm@preskip, 109 | %spacebelow=.5\thm@postskip, 110 | %headfont=\normalfont\bfseries, 111 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 112 | %bodyfont=\normalfont, 113 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 114 | headpunct={}, 115 | postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 116 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 117 | %refname={theorem,theorems}, 118 | %Refname={Theorem,Theorems}, 119 | ]{kaoexample} 120 | \declaretheoremstyle[ 121 | %spaceabove=.5\thm@preskip, 122 | %spacebelow=.5\thm@postskip, 123 | %headfont=\normalfont\bfseries, 124 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 125 | %bodyfont=\small, 126 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 127 | headpunct={}, 128 | postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 129 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 130 | %refname={theorem,theorems}, 131 | %Refname={Theorem,Theorems}, 132 | ]{kaoexercise} 133 | 134 | \theoremstyle{kaoplain} 135 | \declaretheorem[ 136 | name=Theorem, 137 | style=kaoplain, 138 | %refname={theorem,theorems}, 139 | refname={Theorem,Theorems}, 140 | Refname={Theorem,Theorems}, 141 | numberwithin=section, 142 | mdframed={ 143 | style=mdfkao, 144 | backgroundcolor=\kaotheorems@theorembackground, 145 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 146 | }, 147 | ]{theorem} 148 | \declaretheorem[ 149 | name=Proposition, 150 | %refname={proposition,propositions}, 151 | refname={Proposition,Propositions}, 152 | Refname={Proposition,Propositions}, 153 | sibling=theorem, 154 | mdframed={ 155 | style=mdfkao, 156 | backgroundcolor=\kaotheorems@propositionbackground, 157 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 158 | }, 159 | ]{proposition} 160 | \declaretheorem[ 161 | name=Lemma, 162 | %refname={lemma,lemmas}, 163 | refname={Lemma,Lemmas}, 164 | Refname={Lemma,Lemmas}, 165 | sibling=theorem, 166 | mdframed={ 167 | style=mdfkao, 168 | backgroundcolor=\kaotheorems@lemmabackground, 169 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 170 | }, 171 | ]{lemma} 172 | \declaretheorem[ 173 | name=Corollary, 174 | %refname={corollary,corollaries}, 175 | refname={Corollary,Corollaries}, 176 | Refname={Corollary,Corollaries}, 177 | sibling=theorem, 178 | mdframed={ 179 | style=mdfkao, 180 | backgroundcolor=\kaotheorems@corollarybackground, 181 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 182 | }, 183 | ]{corollary} 184 | 185 | \theoremstyle{kaodefinition} 186 | \declaretheorem[ 187 | name=Definition, 188 | %refname={definition,definitions}, 189 | refname={Definition,Definitions}, 190 | Refname={Definition,Definitions}, 191 | numberwithin=section, 192 | mdframed={ 193 | style=mdfkao, 194 | backgroundcolor=\kaotheorems@definitionbackground, 195 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 196 | }, 197 | ]{definition} 198 | 199 | \theoremstyle{kaoassumption} 200 | \declaretheorem[ 201 | name=Assumption, 202 | %refname={assumption,assumptions}, 203 | refname={Assumption,Assumptions}, 204 | Refname={Assumption,Assumptions}, 205 | numberwithin=section, 206 | mdframed={ 207 | style=mdfkao, 208 | backgroundcolor=\kaotheorems@assumptionbackground, 209 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 210 | }, 211 | ]{assumption} 212 | 213 | \theoremstyle{kaoremark} 214 | \declaretheorem[ 215 | name=Remarque, 216 | %refname={remark,remarks}, 217 | refname={Remark,Remarks}, 218 | Refname={Remark,Remarks}, 219 | numberwithin=section, 220 | mdframed={ 221 | style=mdfkao, 222 | backgroundcolor=\kaotheorems@remarkbackground, 223 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 224 | }, 225 | ]{remark} 226 | 227 | \theoremstyle{kaoexample} 228 | \declaretheorem[ 229 | name=Example, 230 | %refname={example,examples}, 231 | refname={Example,Examples}, 232 | Refname={Example,Examples}, 233 | numberwithin=section, 234 | mdframed={ 235 | style=mdfkao, 236 | backgroundcolor=\kaotheorems@examplebackground, 237 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 238 | }, 239 | ]{example} 240 | 241 | \theoremstyle{kaoexercise} 242 | \declaretheorem[ 243 | name=Exercise, 244 | %refname={example,examples}, 245 | refname={Exercise,Exercises}, 246 | Refname={Exercise,Exercises}, 247 | numberwithin=section, 248 | mdframed={ 249 | style=mdfkao, 250 | backgroundcolor=\kaotheorems@exercisebackground, 251 | %frametitlebackgroundcolor=\@theorembackground, 252 | }, 253 | ]{exercise} 254 | 255 | %\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{theorem}} 256 | %\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{subsection}.\arabic{theorem}} 257 | %\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$} 258 | \else 259 | 260 | % Theorem styles 261 | \declaretheoremstyle[ 262 | spaceabove=.6\thm@preskip, 263 | spacebelow=.1\thm@postskip, 264 | %headfont=\normalfont\bfseries,%\scshape, 265 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 266 | bodyfont=\normalfont\itshape, 267 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 268 | headpunct={}, 269 | %postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 270 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 271 | ]{kaoplain} 272 | \declaretheoremstyle[ 273 | spaceabove=.6\thm@preskip, 274 | spacebelow=.1\thm@postskip, 275 | %headfont=\normalfont\bfseries,%\scshape, 276 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 277 | bodyfont=\normalfont\itshape, 278 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 279 | headpunct={}, 280 | %postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 281 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 282 | ]{kaodefinition} 283 | \declaretheoremstyle[ 284 | spaceabove=.6\thm@preskip, 285 | spacebelow=.1\thm@postskip, 286 | %headfont=\normalfont\bfseries, 287 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 288 | %bodyfont=\normalfont, 289 | %headformat={\footnotesize$\triangleright$\space\normalsize\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 290 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 291 | headpunct={}, 292 | %postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 293 | %refname={theorem,theorems}, 294 | %Refname={Theorem,Theorems}, 295 | ]{kaoremark} 296 | \declaretheoremstyle[ 297 | spaceabove=.6\thm@preskip, 298 | spacebelow=.1\thm@postskip, 299 | %headfont=\normalfont\bfseries, 300 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 301 | %bodyfont=\normalfont, 302 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 303 | headpunct={}, 304 | %postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 305 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 306 | %refname={theorem,theorems}, 307 | %Refname={Theorem,Theorems}, 308 | ]{kaoexample} 309 | \declaretheoremstyle[ 310 | %spaceabove=.5\thm@preskip, 311 | %spacebelow=.5\thm@postskip, 312 | %headfont=\normalfont\bfseries, 313 | %notefont=\normalfont, notebraces={ (}{)}, 314 | %bodyfont=\normalfont, 315 | %headformat={\NAME\space\NUMBER\space\NOTE}, 316 | headpunct={}, 317 | postheadspace={.5em plus .1em minus .1em}, 318 | %prefoothook={\hfill\qedsymbol} 319 | %refname={theorem,theorems}, 320 | %Refname={Theorem,Theorems}, 321 | ]{kaoexercise} 322 | 323 | \theoremstyle{kaoplain} 324 | \declaretheorem[ 325 | name=Theorem, 326 | refname={theorem,theorems}, 327 | Refname={Theorem,Theorems}, 328 | numberwithin=section, 329 | ]{theorem} 330 | \declaretheorem[ 331 | name=Proposition, 332 | refname={proposition,propositions}, 333 | Refname={Proposition,Propositions}, 334 | sibling=theorem, 335 | ]{proposition} 336 | \declaretheorem[ 337 | name=Lemma, 338 | refname={lemma,lemmas}, 339 | Refname={Lemma,Lemmas}, 340 | sibling=theorem, 341 | ]{lemma} 342 | \declaretheorem[ 343 | name=Corollary, 344 | 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Nous abordons ici différentes approches analytiques utilisées dans le cadre de leur résolution. 7 | 8 | \begin{center} 9 | \textbf{Version en ligne} 10 | 11 | \url{https://femto-physique.fr/omp/equations-differentielles.php} 12 | \end{center} 13 | 14 | %%% section1 %%%% 15 | \section[EDO]{Équation différentielle ordinaire} 16 | 17 | \subsection{Généralités} 18 | Une \'equation diff\'erentielle est une relation entre une fonction et ses d\'eriv\'ees successives. L’ordre d’une \'equation diff\'erentielle correspond au degr\'e maximal de d\'erivation de la fonction inconnue : Ainsi, une \'equation diff\'erentielle d’ordre 1 est une relation où interviennent une fonction et sa d\'eriv\'ee première. R\'esoudre une \'equation diff\'erentielle, c’est trouver toutes les fonctions qui v\'erifient la relation sur un intervalle donn\'e. 19 | 20 | D'un point de vue plus formel, appelons $y$ une grandeur physique temporelle définie par 21 | \[ 22 | y: 23 | \left\{ 24 | \begin{array}{ccc} 25 | [0,T] & \to & \mathbb{R} \\ 26 | t & \mapsto & y(t) 27 | \end{array} 28 | \right. 29 | \] 30 | 31 | et notons $\dot{y}$, $\ddot{y}$ et $y^{(p)}$, les dérivées temporelles première, seconde et d'ordre $p$. Dans ce cas, toute relation de la forme 32 | \begin{equation} 33 | F(t,y(t),\dot{y}(t),\dots,y^{(p)}(t))=0\label{eq:C4equadiff} 34 | \end{equation} 35 | est une \textbf{équation différentielle ordinaire} d'ordre $p$. En général la fonction recherchée $y$ obéit à des contraintes sous la forme de $p$ conditions initiales : 36 | \[ 37 | y(0) = y_{0}, \quad \dot{y}(0) = y_{1}, \quad \ddot{y}(0)=y_{2},\dots, y^{p-1}(0) = y_{p-1} 38 | \] 39 | La donnée de l'équation différentielle du type \eqref{eq:C4equadiff} et des $p$ conditions initiales s'appelle un \emph{problème de Cauchy}. 40 | 41 | La plupart du temps, un système d'équations différentielles scalaires peut se ramener à une équation différentielle \textbf{vectorielle d'ordre 1} de la forme 42 | \begin{equation} 43 | \left\{ 44 | \begin{array}{cccc} 45 | \dot{ \mathbf{y}} & = & f(t,\mathbf{y}(t)), & 0\leq t \leq T \\ 46 | \mathbf{y}(0) & = & \mathbf{y}_{0} & \\ 47 | \end{array} 48 | \right. 49 | \label{eq:ode} 50 | \end{equation} 51 | 52 | où $\mathbf{y}$ est un vecteur de dimension $d$ et $f$ une fonction régulière. Cette représentation se prête bien à la résolution numérique\sidecite{Roussel:2011}. 53 | 54 | On peut montrer que si la fonction $f$ est suffisamment régulière\sidenote{Plus précisément, la fonction $f$ doit obéir aux conditions de Cauchy-Lipschitz : pour tout $t \in [0,T]$, $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ au voisinage de $y_{0}$, s'il existe un réel $K$ tel que $\|f(t,\mathbf{x})-f(t,\mathbf{y})\|] (5.5,0.5) --++(1,0) node[above] {\xLabel}; 82 | \draw[->] (5.5,0.5) --++(0,1) node[below right] {\yLabel}; 83 | \draw[thick,color=monBleu,smooth]plot file {./simu/chutequadratique-rk4.txt}; 84 | \draw[bloc] (M) circle(0.2) node[color=black,right=0.3cm]{M} ; 85 | \end{tikzpicture} 86 | \end{marginfigure} 87 | 88 | \[ 89 | m\frac{\mathrm{d}^{2}\overrightarrow{\text{OM}}}{\mathrm{d} t^{2}}=m \overrightarrow{g}-\beta v \overrightarrow{v} 90 | \] qui, après projection dans le plan $(x,z)$ se décompose en deux équations couplées : 91 | \[ 92 | \left\{ 93 | \begin{array}{ccc} 94 | \ddot z & = & -g-\frac{\beta}{m} \dot z \sqrt{{\dot x}^{2}+{\dot z}^{2}} \\[4mm] 95 | \ddot x & = & -\frac{\beta}{m} \dot x \sqrt{{\dot x}^{2}+{\dot z}^{2}} 96 | \end{array} 97 | \right. 98 | \] 99 | Il s'agit d'un système de deux \emph{équations différentielles d'ordre deux, non linéaires couplées}. 100 | 101 | Dans l'exemple précédent, on peut transformer le système d'équations en une équation du type (\ref{eq:ode}) à condition de poser 102 | \[ 103 | \mathbf{y}= 104 | \begin{bmatrix}x \\ z \\ \dot x \\ \dot z \end{bmatrix} 105 | \quad \text{et} \quad 106 | f(t,\mathbf{y})=\begin{bmatrix} 107 | \dot x \\ 108 | \dot z \\ 109 | -\frac{\beta}{m} \dot x \sqrt{{\dot x}^{2}+{\dot z}^{2}} \\ 110 | -g-\frac{\beta}{m} \dot z \sqrt{{\dot x}^{2}+{\dot z}^{2}} 111 | \end{bmatrix} 112 | \quad \text{avec} \quad 113 | \mathbf{y}_{0}= 114 | \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ v_{0}\cos\theta \\ v_{0}\sin\theta \end{bmatrix} 115 | \] 116 | 117 | Le nombre d’\'equations diff\'erentielles que l’on sait r\'esoudre analytiquement est tr\`es r\'eduit. Nous allons étudier les plus utiles en physique. 118 | 119 | 120 | % section II 121 | 122 | 123 | \section[EDO linéaire]{Équation différentielle linéaire}\label{subsec:EL} 124 | 125 | \subsection{Définitions} 126 | 127 | Supposons qu'une grandeur physique $y$ obéisse à une équation différentielle de la forme 128 | \begin{equation} 129 | \mathcal{L}(y)=f(t) 130 | \label{eq:EquaDiffLineaire} 131 | \end{equation} 132 | où $\mathcal{L}$ désigne un \emph{opérateur différentiel}, c'est-à-dire un opérateur construit à partir des dérivées et de l'identité. Si l'opérateur vérifie la propriété 133 | \[ 134 | \mathcal{L}(\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\alpha \mathcal{L}(y_{1})+\beta \mathcal{L}(y_{2})\quad \text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2} 135 | \] 136 | On dit que l'équation différentielle est linéaire. 137 | 138 | L'équation différentielle (\ref{eq:EquaDiffLineaire}) se compose de deux termes : 139 | \begin{enumerate} 140 | \item le terme de gauche est une combinaison de fonctions de $y$ et de ses dérivées. Ce terme est en général étroitement lié aux propriétés intrinsèques du système physique étudié. 141 | \item le second membre $f(t)$ de l'équation est en général lié à l'action de l'extérieur sur le système physique. On parle du terme d'excitation. 142 | \end{enumerate} 143 | 144 | \subsection{Propriétés générales} 145 | Intéressons nous d'abord à l'équation, dite \emph{équation homogène}, $\mathcal{L}(y)=0$. Il est facile de voir que si l'on connaît deux solutions $y_{1}$ et $y_{2}$ de cette équation, alors $\alpha y_{1}+ \beta y_{2}$ est aussi solution quelles que soient les réels $\alpha$ et $\beta$. 146 | 147 | Appelons $y_\text{h}$ une solution de l'équation homogène $\mathcal{L}(y)=0$ et $y_\text{p}$ une solution particulière de l'équation \eqref{eq:EquaDiffLineaire}. Dans ce cas, la linéarité implique 148 | $$\mathcal{L}(\alpha y_\text{h}+y_\text{p})=\alpha \mathcal{L}(y_\text{h})+\mathcal{L}(y_\text{p})=0+f(t)$$ 149 | Autrement dit, $\alpha y_\text{h}+y_\text{p}$ est solution de l'équation $\mathcal{L}(y)=f(t)$. On en déduit la méthode de résolution suivante : 150 | 151 | \begin{kaobox}[frametitle=Méthodologie] 152 | Pour résoudre une équation différentielle, avec conditions initiales, de la forme $\mathcal{L}(y)=f(t)$ où $\mathcal{L}$ est un \emph{opérateur différentiel linéaire} d'ordre $p$, on procédera en trois étapes : 153 | \begin{enumerate} 154 | \item On déterminera toutes les solutions de l'\textbf{équation homogène} $\mathcal{L}(y)=0$. Ces solutions, notées $y_\text{h}$, feront intervenir $p$ constantes d'intégration. 155 | \item On recherchera une \textbf{solution particulière}, notée $y_\text{p}$, de l'équation $\mathcal{L}(y)=f(t)$. 156 | \item La solution s'écrivant $y=y_\text{h}+y_\text{p}$, on déterminera les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales sur $y$ et ses $p-1$ dérivées. 157 | \end{enumerate} 158 | \end{kaobox} 159 | 160 | Enfin, tout système physique régi par une équation différentielle linéaire obéit au \emph{principe de superposition}. En effet, supposons que l'on connaisse la solution $y_{1}$ de l'équation $\mathcal{L}(y)=f_{1}(t)$ ainsi que la solution $y_{2}$ de l'équation $\mathcal{L}(y)=f_{2}(t)$. Dans ce cas, $y_{1}+y_{2}$ sera solution de l'équation $\mathcal{L}(y)=f_{1}(t)+f_{2}(t)$. Cela signifie que si l'on excite un système linéaire de manière compliquée, mais que l'on peut décomposer cette excitation en une somme de termes simples, alors il suffit de connaître la réponse du système vis à vis de ces termes pour déterminer la réponse complète par une simple sommation. Cela traduit finalement le fait que des causes produites simultanément, engendrent un effet qui est le résultat de la somme des effets produits par chacune des causes appliquées seules. C'est cette propriété importante qui permet par exemple de connaître la réponse d'un oscillateur linéaire soumis à une force quelconque, à partir de la réponse de cet oscillateur vis-à-vis d'une force sinusoïdale, car on sait décomposer une force quelconque en une somme de termes sinusoïdaux (analyse de Fourier). 161 | 162 | \subsection{Équation différentielle linéaire à coefficients constants}[EDO linéaire à coefs constants] 163 | Dans de nombreux cas, les problèmes physiques simples mènent à une équation différentielle linéaire à coefficients constants qui s'écrit de la façon suivante : 164 | \begin{equation} 165 | a_{p}y^{(p)}+...+a_{2}\ddot{y}+a_{1}\dot{y}+a_{0}y=f(t)\label{eq:ELCC} 166 | \end{equation} 167 | où les constantes $a_{k}$ ainsi que la fonction $f(t)$ sont connues. Il est facile de voir que l'opérateur différentiel est bien linéaire. Cette équation est dite linéaire à coefficients constants avec second membre. Pour résoudre cette équation il suffit donc de trouver les solutions de l'équation homogène ainsi qu'une solution particulière de l'équation~(\ref{eq:ELCC}). On admettra les résultats suivants. 168 | 169 | \textbf{Solution particulière --} Il existe une méthode générale pour trouver la solution particulière mais dans la plupart des cas, il suffit de chercher une solution ayant la \emph{même forme que le second membre $f(t)$}. On retiendra notamment que : 170 | \begin{itemize} 171 | \item si $f(t)=b$, avec $b$ une constante, on cherchera une solution particulière de la forme $y_\text{p}=\mathrm{C^{te}}$. En rempla\c cant $y$ par cette constante dans l'équation différentielle, on trouve immédiatement $y_\text{p}=b/a_{0}$. 172 | \item si $f(t)$ est un polynôme de degré $q$, on cherchera une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré $q$ : $y_\text{p}(t)=\beta_{0}+\beta_{1}t+...+\beta_{q}t^{q}$. On obtient les coefficients $\beta_{k}$ par identification en rempla\c cant dans l'équation différentielle~(\ref{eq:ELCC}) $y(t)$ par $y_\text{p}(t)$. 173 | \item si $f(t)$ est sinusoïdal de pulsation $\omega$, on cherchera une solution particulière sous la forme $y_\text{p}(t)=A \cos (\omega t) + B \sin(\omega t)$. On obtiendra $A$ et $B$ également par identification. 174 | \end{itemize} 175 | 176 | \begin{kaoremark} 177 | Lors de la recherche de la solution particulière, il arrive que les méthodes citées plus haut échouent. Citons deux exemples. 178 | \begin{enumerate} 179 | \item Dans le cas où le second membre est un polynôme de degré $q$, il peut arriver qu'il n' y ait pas de solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré $q$. Dans ce cas, on envisagera un polynôme de degré supérieur. 180 | \item Dans le cas où le second membre est sinusoïdal de pulsation $\omega$, la méthode proposée plus haut échouera si l'équation caractéristique admet comme racine $i \omega$ ou $-i \omega$. Dans ce cas il faut chercher une solution particulière de la forme $t[A \cos (\omega t) + B \sin(\omega t)]$. 181 | \end{enumerate} 182 | \end{kaoremark} 183 | 184 | \textbf{Solutions de l'équation homogène --} La solution de l'équation sans second membre est de la forme $Ae^{rt}$ où $r$ est un nombre réel ou complexe solution de \emph{l'équation caractéristique} 185 | \[ 186 | a_{p}r^{p}+...+a_{2}r^{2}+a_{1}r+a_{0}=0 187 | \] 188 | Si les $p$ racines sont distinctes, la solution est 189 | \[ 190 | y_\text{h}(t)=\sum_{k=1}^{k=p}A_{k}e^{r_{k}t} 191 | \] 192 | où les constantes $A_{k}$ désignent les \emph{constantes d'intégration}. 193 | 194 | La solution générale s'écrit donc 195 | \[ 196 | y(t)=\sum_{k=1}^{k=p}A_{k}e^{r_{k}t}+y_\text{p}(t) 197 | \] 198 | 199 | \begin{kaoremark} 200 | Lors de la résolution de l'équation caractéristique, il peut arriver que l'on obtienne des racines multiples. Dans ce cas, on admettra qu'il faut remplacer la solution $A_{k}e^{r_{k}t}$ par $P(t)e^{r_{k}t}$ où $P(t)$ est un polynôme de degré 1 si $r_{k}$ est racine double, 2 si elle est triple, etc. On vérifiera que le nombre de constantes d'intégration est égal à $p$.\\ 201 | L'équation caractéristique peut admettre des racines complexes $r_{k}=a_{k}+ib_{k}$, ce qui produit des solutions du type $Ce^{a_{k}t}e^{i b_{k}t}$ avec $C=\alpha+i\beta$ une constante d'intégration complexe. Cependant, cherchant des solutions réelles, la partie imaginaire sera nécessairement nulle et il ne faut alors conserver que la partie réelle, à savoir $e^{a_{k}t}\left[(\alpha\cos(b_{k}t)-\beta\sin(b_k t)\right]$. 202 | \end{kaoremark} 203 | 204 | 205 | \section{Équation à variables séparables} 206 | 207 | \subsection{Définition} 208 | 209 | Une équation différentielle \emph{à variables séparables} est du type 210 | \begin{equation} 211 | \dot{y}g(y)=f(t)\label{eq:EquaDiffSeparabe} 212 | \end{equation} 213 | Si $G$ et $F$ sont des primitives de $g$ et $f$, l'équation différentielle peut alors s'écrire 214 | \begin{equation} 215 | \frac{\mathrm{d} G(y(t))}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} t} 216 | \qquad\Longrightarrow\qquad G(y)=F(t)+\mathrm{C^{te}}\label{eq:EquaDiffSeparable2} 217 | \end{equation} 218 | où la constante est imposée par la condition initiale : $\mathrm{C^{te}}=G(y_{0})-F(0)$. 219 | 220 | \subsection{Exemple : Chute libre avec frottement quadratique}[Exemple] 221 | Lâchons un corps de masse $m$ dans un fluide et supposons que le frottement fluide est bien modélisé par une loi quadratique $F_\text{t}=\beta v^{2}$. Le mouvement est rectiligne de vitesse $v(t)$ qu'il s'agit de déterminer. Si l'on note $g$ le champ de pesanteur, la relation fondamentale, appliquée dans le référentiel terrestre considéré galiléen, donne 222 | \[ 223 | m\dot{v}+\beta v^{2}=mg \quad \text{avec}\quad v(0) = 0 224 | \] 225 | L'équation est non linéaire du fait de la présence du terme quadratique. En revanche, il est possible de séparer les variables : 226 | \[ 227 | \dot{v}\frac{1}{1-\frac{\beta}{mg}v^{2}}=g 228 | \] 229 | Or 230 | \[ 231 | \int\frac{\mathrm{d}x}{1-(x/a)^{2}}=\frac{a}{2}\,\ln{\left|\frac{a+x}{a-x}\right|} 232 | \] 233 | Ainsi, la solution \eqref{eq:EquaDiffSeparable2} s'écrit 234 | \[ 235 | \frac{1}{2}\sqrt{\frac{mg}{\beta}}\ln\frac{\sqrt{mg/\beta}+v}{\sqrt{mg/\beta}-v}=gt+\mathrm{C^{te}} 236 | \] 237 | La condition initiale impose la nullité de la constante ce qui donne finalement 238 | \[ 239 | v(t)=\sqrt{\frac{mg}{\beta}}\frac{\mathrm{e}^{t/\tau}-\mathrm{e}^{-t/\tau}}{\mathrm{e}^{t/\tau}+\mathrm{e}^{-t/\tau}} 240 | \qquad\text{avec}\qquad 241 | \tau=\sqrt{\frac{m}{g\beta}} 242 | \] 243 | La vitesse croit (au début comme $gt$) puis atteint une limite asymptotique $v_{\infty}=\sqrt{mg/\beta}$. 244 | 245 | 246 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/coniques.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \setchapterstyle{kao} 2 | \setchapterpreamble[u]{\margintoc} 3 | \chapter{LES CONIQUES} 4 | \labch{les_coniques} 5 | \labpage{les_coniques} 6 | 7 | \begin{center} 8 | \textbf{Version en ligne} 9 | 10 | \url{https://femto-physique.fr/omp/coniques.php} 11 | \end{center} 12 | 13 | 14 | \section{Introduction} 15 | Par définition, les coniques sont les sections d'un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Il existe trois formes différentes : l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Une conique possède au moins un foyer F et un axe de symétrie passant par F. L'équation polaire d'une conique avec origine au foyer s'écrit : 16 | \[ 17 | r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta-\theta_{0}) \pm 1} 18 | \quad\text{avec}\quad 19 | \left\{\begin{array}{ccc} 20 | p &>& 0 \\ 21 | e &\geq& 0 22 | \end{array}\right. 23 | \] 24 | $p$ est appelé \textbf{paramètre} et $e$ \textbf{excentricité} de la conique. Étant donné que la transformation $\theta-\theta_{0}\mapsto \theta_{0}-\theta$ laisse invariante la conique, celle-ci présente donc toujours un axe de symétrie, ici l'axe $\theta=\theta_{0}$. Par commodité, nous prendrons l'axe F$x$ comme axe de symétrie de sorte que $\theta_{0}=0$. 25 | 26 | 27 | \section{L'ellipse} 28 | \subsection{Propriétés de l'ellipse} 29 | Par définition, l'ellipse est une conique d'excentricité $e<1$. Son équation polaire s'écrit donc : 30 | \begin{equation} 31 | r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta) +1} 32 | \quad\text{avec}\quad 33 | p>0 \quad\text{et}\quad 0\leq e<1 34 | \label{eq:C7equation_polaire_ellipse} 35 | \end{equation} 36 | On remarque immédiatement que lorsque $e=0$, l'ellipse se confond avec le cercle de centre F et de rayon $p$. Dans le cas ou $e\neq 0$, l'ellipse présente les propriétés suivantes. 37 | 38 | \begin{marginfigure} 39 | \centering 40 | \begin{tikzpicture}[scale=1,font=\footnotesize] 41 | \def \parametre {1};%parametre de l'ellipse 42 | \def \excentric {0.7};%excentricité 43 | \def \alphaP {0};%angle correspondant au périgée 44 | \def \alphaM {60};%angle correspondant au point M 45 | \def \gdaxe {\parametre/(1-\excentric*\excentric)} ; 46 | \def \focale {\excentric*\gdaxe}; 47 | \def \ptaxe {sqrt(\gdaxe*\gdaxe-\focale*\focale)}; 48 | \coordinate (O) at ({-\focale*cos(\alphaP)},{-\focale*sin(\alphaP)}); 49 | \coordinate (M) at ({\parametre*cos(\alphaM)/(1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))},{\parametre*sin(\alphaM)/(1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))}); 50 | \coordinate (P) at ({\parametre*cos(\alphaP)/(1+\excentric)},{\parametre*sin(\alphaP)/(1+\excentric)});%Péricentre 51 | \coordinate (F) at (0,0); 52 | \coordinate (F') at ({-2*\focale},0); 53 | \draw[dashed,thin, gray] (P)--++(0,{\ptaxe})--++({-2*\gdaxe},0)--++(0,{-2*\ptaxe})--++({2*\gdaxe},0)-- cycle; 54 | \draw[thick,monBleu,variable=\t , domain=0:360,samples=200] plot ({\parametre*cos(\t)/(1+\excentric*cos(\t-\alphaP))},{\parametre*sin(\t)/(1+\excentric*cos(\t-\alphaP))}); 55 | \draw[->,ultra thin,gray] (O)--++({-\gdaxe},0)--++({2*\gdaxe+.5},0)node[below left]{$x$}; 56 | \draw[->,ultra thin,gray] (O)--++(0,{-\ptaxe})--++(0,{2*\ptaxe+.5})node[below left]{$y$}; 57 | \draw (F) node{$\bullet$}node[below=3pt]{F}--(M) node[right=2pt]{M$(r,\theta)$}node[pos=0.5,fill=white,]{$r$}; 58 | \draw (F') node{$\bullet$}node[below=3pt]{F'}; 59 | \draw[vecteur] (F)++(0.5,0) arc(0:\alphaM:0.5); 60 | \draw ({\alphaM/2}:0.25) node{$\theta$}; 61 | \draw[fill=white] (M) circle(0.1); 62 | \draw (O)--++(0,{\ptaxe}) node[pos=0.5,fill=white]{$b$}; 63 | \draw (O)--(F) node[pos=0.5,fill=white]{$c$}; 64 | \draw (F)--++({-\focale},{\ptaxe}) node[pos=0.5,fill=white]{$a$}; 65 | \draw[|<->|] (O)++({-\gdaxe-.5},{\ptaxe})--++(0,{-2*\ptaxe}) node[pos=0.5,right]{$2b$}; 66 | \draw[|<->|] (O)++({-\gdaxe},{-\ptaxe-.5})--++({2*\gdaxe},0) node[pos=0.5,above]{$2a$}; 67 | \draw[fill=white] (O) node{$\bullet$} node[below]{C}; 68 | \end{tikzpicture} 69 | \caption{L'ellipse} 70 | \labfig{C9AnnexeEllipse} 71 | \end{marginfigure} 72 | 73 | \begin{enumerate} 74 | \item La courbe est bornée puisque $r$ est fini pour toute valeur de $\theta$. 75 | \item La fonction $r(\theta)$ étant $2\pi$-périodique, il s'agit donc d'une courbe qui se referme après une révolution. 76 | \item Le point le plus rapproché de l'origine F est appelé \textbf{péricentre} et correspond à $\theta=0$. Il se situe à $r_{\textrm{p}}=p/(1+e)$ du foyer. 77 | \item Le point le plus éloigné de l'origine est appelé \textbf{apocentre} et correspond à $\theta=\pi$. Il se situe à la distance $r_{\textrm{a}}=p/(1-e)$ du foyer. 78 | \item Par définition, la distance $2a$ qui sépare le péricentre de l'apocentre est le \textbf{grand-axe} de l'ellipse. on a 79 | \[2a=r_{\textrm{a}}+r_{\textrm{p}}=\frac{2p}{1-e^2}\] 80 | \item Posons le point C sur l'axe de symétrie à gauche de F de sorte que $\textrm{CF}=c=ae$ et définissons F' l'image de F par la symétrie centrale de centre C. Calculons la distance FM~$+$~F'M. 81 | 82 | D'après la relation d'Al-Kashi on a 83 | \[ 84 | \textrm{FM}=r 85 | \qquad\text{et}\qquad 86 | \textrm{F'M}=\sqrt{r^2+4c^2+4r\,c\cos\theta} 87 | \] 88 | Or, on a $c=ea$ et $r=a(1-e^2)/(e\cos\theta+1)$ d'où 89 | \[ 90 | \begin{array}{rcl} 91 | 4c^2+4r\,c\cos\theta &=& 4e^2a^2+4r\,e\,a\cos\theta\\ 92 | &=& 4a^2+4a^2(e^2-1)+\dfrac{4a^2(1-e^2)e\cos\theta}{e\cos\theta+1}\\ 93 | &=& 4a^2-\dfrac{4a^2(1-e^2)}{e\cos\theta+1}\\ 94 | 4c^2+4r\,c\cos\theta &=& 4a^2-4a\,r\\ 95 | \end{array} 96 | \] 97 | Finalement $\textrm{F'M}=\sqrt{r^2+4a^2-4ar}=2a-r$ de sorte que l'on trouve 98 | \begin{equation} 99 | \boxed{\textrm{FM}+\textrm{F'M}=2a} 100 | \label{eq:C7relation_bifocale} 101 | \end{equation} 102 | Il s'agit de la définition bifocale de l'ellipse. 103 | \item Cette dernière propriété implique une symétrie par rapport aux axes (C$y$) et (C$x$) et donc une symétrie centrale de centre C. Il existe donc deux positions de M sur l'axe C$y$, séparées de la distance $2b$ appelé \textbf{petit-axe}. Dans ce cas, compte tenu de la relation \eqref{eq:C7relation_bifocale}, on a 104 | \[ 105 | \textrm{FM}=\textrm{F'M}=a 106 | \qquad\text{et}\qquad 107 | \textrm{FM}=\sqrt{c^2+b^2} 108 | \] 109 | Ainsi, petit et grand-axe sont liés à la distance focale $c$ par la relation 110 | \begin{equation} 111 | \boxed{a^2=b^{2}+c^{2}} 112 | \label{eq:C7relation_entre_a_b_et_c} 113 | \end{equation} 114 | \end{enumerate} 115 | 116 | 117 | \subsection{Équation cartésienne} 118 | L'équation cartésienne est relativement simple si l'origine du repère est placée au centre de l'ellipse. En effet, écrivons l'équation \eqref{eq:C7equation_polaire_ellipse} sous la forme $r=p-re\cos\theta$ et substituons les coordonnées cartésiennes $x=r\cos\theta+c$ et $y=r\sin\theta$ : 119 | \[ 120 | r=p-e(x-c) 121 | \quad\Longrightarrow\quad 122 | r^2=(x-c)^2+y^2=p^2+e^2(x-c)^2-2ep(x-c) 123 | \] 124 | Développons en plaçant les termes quadratiques à gauche : 125 | \[ 126 | x^2(1-e^2)+y^2=p^2+e^2c^2+2epc-c^2+x(2c-2ce^2-2pe) 127 | \] 128 | Sachant que $p=a(1-e^2)$ et $c=ea$, la relation devient 129 | \[ 130 | x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)^2+e^4a^2+2a^2e^2(1-e^2)-e^2a^2+x\left(2ea-2ae^3-2ae(1-e^2)\right) 131 | \] 132 | soit, après simplification : 133 | \begin{equation} 134 | x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2) 135 | \label{eq:C7equation_cartesienne_conique} 136 | \end{equation} 137 | Le terme de droite représente $a^2-c^2=b^2$ de sorte que l'équation cartésienne d'une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit 138 | % --- equation --- (fold) 139 | \begin{equation} 140 | \boxed{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1} 141 | \label{eq:C7equation_cartesienne_ellipse} 142 | \end{equation} 143 | %--- equation --- (end) 144 | 145 | 146 | %De plus, la courbe paramétrique d'équation 147 | %\[\mathcal{C}_{1}\left\{ 148 | % \begin{array}{ccc} 149 | % x(t) & = & a\cos t\\ 150 | % y(t) & = & b\sin t 151 | %\end{array}\right. 152 | %\quad 153 | %t\in[0,2\pi[\] 154 | %décrit également une ellipse. 155 | 156 | 157 | \section{La parabole} 158 | \subsection{Propriétés} 159 | 160 | %------ Figure TIKZ ------ 161 | \begin{marginfigure} 162 | \centering 163 | \begin{tikzpicture}[scale=0.8,font=\footnotesize] 164 | \def \parametre {2.5};%parametre de la parabole 165 | \def \excentric {1};%excentricité 166 | \def \alphaP {0};%angle correspondant au périgée 167 | \def \alphaM {100};%angle correspondant au point M 168 | \def \focale {\parametre*0.5}; 169 | \coordinate (M) at ({\parametre*cos(\alphaM)/(1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))},{\parametre*sin(\alphaM)/(1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))}); 170 | \coordinate (P) at ({\focale*cos(\alphaP)},{\focale*sin(\alphaP)});%Péricentre 171 | \coordinate (F) at (0,0); 172 | \draw[->,ultra thin,gray] (P) --++(-3,0)node[below left]{$x$}; 173 | \draw[->,ultra thin,gray] (P) --++(0,4)node[below left]{$y$}; 174 | \draw[thick,monBleu,variable=\t , domain=-110:110,samples=200] plot ({\parametre*cos(\t)/(1+\excentric*cos(\t-\alphaP))},{\parametre*sin(\t)/(1+\excentric*cos(\t-\alphaP))}); 175 | \draw (F) node{$\bullet$} node[below]{\small Foyer}--(M) node[right=2pt]{M$(r,\theta)$}node[pos=0.5,left]{$r$}; 176 | \draw[fill=white] (M) circle(0.1); 177 | \draw[vecteur] (F)++(0.5,0) arc(0:\alphaM:0.5); 178 | \draw ({\alphaM/2}:0.8) node{$\theta$}; 179 | \end{tikzpicture} 180 | \caption{La parabole} 181 | \labfig{C9AnnexeParabole} 182 | \end{marginfigure} 183 | %--- FIN FIGURE -------- 184 | 185 | Par définition, la parabole est une conique d'excentricité $e=1$. Son équation polaire avec origine au foyer est donc 186 | \begin{equation} 187 | r(\theta)=\frac{p}{1+\cos\theta} 188 | \label{eq:C7equation_polaire_parabole} 189 | \end{equation} 190 | On est toujours en présence de la symétrie d'axe O$x$. Le péricentre est obtenu lorsque $\theta=0$ et se situe à la distance $p/2$ du foyer, appelée distance focale. Par ailleurs, lorsque $\theta\to \pm\pi$, la distance FM tend vers l'infini. 191 | 192 | 193 | \subsection{Équation cartésienne} 194 | Plaçons l'origine d'un repère cartésien au péricentre\sidenote{appelé aussi \emph{sommet de la parabole}} en orientant l'axe O$x$ vers la gauche. Écrivons l'équation polaire~\eqref{eq:C7equation_polaire_parabole} sous la forme $r=p-r\cos\theta$ et substituons les coordonnées cartésiennes $x=p/2-r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ : 195 | \[ 196 | \sqrt{y^2+(x-\frac{p}{2})^2}=p+(x-\frac{p}{2}) 197 | \] 198 | Élevons au carré : 199 | \[ 200 | y^2+(x-\frac{p}{2})^2=p^2+(x-\frac{p}{2})^2+2p(x-\frac{p}{2}) 201 | \] 202 | Après simplification, on trouve que l'équation cartésienne d'une parabole de paramètre $p$ s'écrit 203 | % --- equation --- (fold) 204 | \begin{equation} 205 | \boxed{ 206 | y^{2}=2p\,x 207 | } 208 | \label{eq:C7equation_cartesienne_parabole} 209 | \end{equation} 210 | %--- equation --- (end) 211 | 212 | \begin{kaoremark} 213 | Si l'on transforme $x\to y$ et $y\to -x$, cela revient à tourner la parabole de $-\pi/2$. On obtient dans ce cas l'équation usuelle d'une parabole : $y=\frac{1}{2p}x^2$. 214 | \end{kaoremark} 215 | 216 | \section{L'hyperbole} 217 | \subsection{Propriétés} 218 | Par définition, l'hyperbole est une conique d'excentricité $e>1$ et d'équation polaire 219 | \[ 220 | r(\theta)=\frac{p}{e\cos\theta \pm1} 221 | \quad\text{avec}\quad 222 | \left\{\begin{array}{ccc} 223 | p &>& 0 \\ 224 | e &>& 1 225 | \end{array}\right. 226 | \] 227 | ce qui décrit deux branches d'hyperbole dont les asymptotes se coupent en un point O. 228 | 229 | \begin{figure}[htbp] 230 | \centering 231 | \begin{tikzpicture}[yscale=0.8,decoration={markings,mark=at position 1cm with {\arrow[black]{stealth};}},font=\footnotesize] 232 | \def \parametre {1.5};%parametre de l'hyperbole 233 | \def \excentric {1.6};%excentricité 234 | \def \alphaP {0};%angle correspondant au périgée 235 | \def \alphaM {34};%angle correspondant au point M 236 | \def \gdaxe {\parametre/(\excentric*\excentric-1)};% grand axe a 237 | \def \focale {\excentric*\gdaxe};% focale 238 | \def \ptaxe {sqrt(\focale*\focale-\gdaxe*\gdaxe)};% petit axe b 239 | \draw[thin, gray,-] ({\gdaxe},{-\ptaxe})--++(0,{2*\ptaxe})node[pos=0.8,fill=white]{\tiny $2b$}; 240 | \draw[thin, gray,-] ({\gdaxe},{-\ptaxe})--++({-2*\gdaxe},0)node[pos=0.7,fill=white]{\tiny $2a$}; 241 | \draw[thin, gray,-] ({-\gdaxe},{\ptaxe})--++(0,{-2*\ptaxe}); 242 | \draw[thin, gray,-] ({-\gdaxe},{\ptaxe})--++({2*\gdaxe},0); 243 | \draw[->,ultra thin,gray] (-2,0) --++(6,0)node[below left]{$x$};%axeOx 244 | \draw[->,ultra thin,gray] (0,-2) --++(0,6)node[below left]{$y$};%axeOy 245 | \draw[thin,dashed,variable=\t , domain=-3:3,samples=20] plot ({\t},{(\ptaxe/(\gdaxe))*\t});%asymptotes 246 | \draw[thin,dashed,variable=\t , domain=-3:3,samples=20] plot ({-\t},{(\ptaxe/(\gdaxe))*\t});%asymptotes 247 | \begin {scope}[shift={({-\focale},0)} ] 248 | \coordinate (M) at ({\parametre*cos(\alphaM)/(-1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))},{\parametre*sin(\alphaM)/(-1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))}); 249 | \coordinate (N) at ({\parametre*cos(\alphaM)/(1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))},{\parametre*sin(\alphaM)/(1+\excentric*cos(\alphaM-\alphaP))}); 250 | \coordinate (F) at (0,0); 251 | \draw[postaction={decorate},thick,monBleu,variable=\t , domain=-37:37,samples=100] plot ({\parametre*cos(\t)/(\excentric*cos(\t-\alphaP)-1)},{\parametre*sin(\t)/(\excentric*cos(\t-\alphaP)-1)}) node[right]{$\mathcal{B}_{-}$}; 252 | \draw[postaction={decorate},thick,monBleu,variable=\t , domain=-111:111,samples=100] plot ({\parametre*cos(\t)/(1+\excentric*cos(\t-\alphaP))},{\parametre*sin(\t)/(1+\excentric*cos(\t-\alphaP))}) node[left]{$\mathcal{B}_{+}$}; 253 | \draw (0,0) node{$\bullet$} node[below]{Foyer}--(M) node[right=2pt,fill=white]{\small M$(r_{-},\theta)$}; 254 | \draw (N) node[left=2pt,fill=white]{M$(r_{+},\theta)$}; 255 | \draw[fill=white] (M) circle(0.1); 256 | \draw[fill=white] (N) circle(0.1); 257 | \draw[vecteur] (F)++(3,0) arc(0:\alphaM:3); 258 | \draw ({\alphaM/2}:3.2) node[right]{$\theta$}; 259 | \end{scope} 260 | \end{tikzpicture} 261 | \caption{Hyperbole d'excentricité $e=1,6$.} 262 | \labfig{C7hyperbole} 263 | \end{figure} 264 | 265 | L'équation \(r_{-}(\theta)=p/(e\cos\theta -1)\) décrit une branche $\mathcal{B}_{-}$ dont les asymptotes font un angle $\pm \theta_{1}$ avec l'axe des abscisses. En effet, $r$ diverge quand $\cos\theta_{1}=1/e$ ce qui donne la pente des asymptotes : 266 | \[ 267 | \tan\theta_{1}=\pm\sqrt{e^{2}-1} 268 | \] 269 | De la même fa\c con, l'équation \(r_{+}(\theta)=p/(e\cos\theta +1)\) décrit une deuxième branche $\mathcal{B}_{+}$ d'hyperbole dont les asymptotes font un angle $\pm\theta_{2}$ donné par $\cos\theta_{2}=-1/e$. Ainsi, 270 | \[ 271 | \theta_{2}=\pi-\theta_{1} 272 | \] 273 | et les asymptotes présentent une symétrie d'axe O$y$. Finalement les asymptotes admettent une symétrie centrale de centre O, propriété partagée par les branches d'hyperbole. 274 | 275 | Soit le rectangle tangent à l'hyperbole en $\theta=0$ et dont les sommets sont sur les asymptotes. Par définition, les dimensions de ce rectangle sont appelées \textbf{grand-axe} et \textbf{petit-axe} de l'hyperbole et notées respectivement $2a$ et $2b$. La distance focale $c$ est ici la distance qui sépare O du foyer (comme pour l'ellipse). Une simple lecture des distances donne : 276 | \[ 277 | \left\{\begin{array}{rcl} 278 | \dfrac{p}{e-1}-\dfrac{p}{e+1} &=& 2a \\[4mm] 279 | \dfrac{p}{e-1} &=& c+a \\ 280 | \end{array}\right. 281 | \quad\Longrightarrow\quad 282 | \left\{\begin{array}{rcl} 283 | p &=& a(e^{2}-1) \\[4mm] 284 | e &=& \dfrac{c}{a} \\ 285 | \end{array}\right. 286 | \] 287 | Par ailleurs, la pente des asymptotes vaut aussi $\pm b/a$ de sorte que $b/a=\sqrt{e^{2}-1}$ c'est-à-dire 288 | % --- equation --- (fold) 289 | \begin{equation} 290 | \boxed{ 291 | c^{2}=a^{2}+b^{2} 292 | } 293 | \label{eq:C7relation_entre_a_b_et_c_pour_hyperbole} 294 | \end{equation} 295 | %--- equation --- (end) 296 | 297 | 298 | 299 | \subsection{Équation cartésienne} 300 | Reprenons la démarche employée dans le cas de l'ellipse sans oublier de procéder aux modifications suivantes : 301 | \begin{enumerate} 302 | \item l'origine étant à droite du foyer, il faut poser $x=r\cos\theta-c$ ; 303 | \item le paramètre $p$ est relié à l'excentricité et au demi grand-axe par $p=a(e^2-1)$. 304 | \end{enumerate} 305 | On retrouve alors l'équation \eqref{eq:C7equation_cartesienne_conique} valable donc aussi bien pour une ellipse que pour une hyperbole : 306 | \[ 307 | x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2) 308 | \] 309 | Ici, le terme $a^2(1-e^2)$ vaut $a^2-c^2=-b^2$ de sorte que l'équation cartésienne d'une hyperbole demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit 310 | % --- equation --- (fold) 311 | \begin{equation} 312 | \boxed{ 313 | \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 314 | } 315 | \label{eq:C7equation_cartesienne_hyperbole} 316 | \end{equation} 317 | %--- equation --- (end) 318 | %De plus, la courbe paramétrique d'équation 319 | %$$ \mathcal{C}_{2} 320 | %\left\{ 321 | %\begin{array}{ccc} 322 | %x(t) &=& a\cosh t\\ 323 | %y(t) &=& b\sinh t 324 | %\end{array} 325 | %\right. 326 | %\qquad t \in \mathbb{R} $$ 327 | %décrit également une hyperbole. 328 | 329 | 330 | 331 | -------------------------------------------------------------------------------- /kaobiblio.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ProvidesPackage{kaobiblio} 2 | 3 | \RequirePackage{etoolbox} % Easy programming to modify TeX stuff 4 | \RequirePackage{perpage} % Reset counters 5 | \RequirePackage{iflang} % Check the document language 6 | \RequirePackage{xparse} % Parse arguments for macros 7 | \RequirePackage{xstring} % Parse strings 8 | \RequirePackage{hyperref} % Required for hyperlinks 9 | \RequirePackage{kvoptions} % Handle package options 10 | 11 | \SetupKeyvalOptions{ 12 | family = kaobiblio, 13 | prefix = kaobiblio@ 14 | } 15 | 16 | \DeclareBoolOption{addspace} 17 | \DeclareBoolOption{linkeverything} 18 | 19 | % Choose the default options, which will be overwritten by the options 20 | % passed to this package. 21 | \PassOptionsToPackage{ 22 | %style=numeric-comp, 23 | %citestyle=authortitle-icomp, 24 | citestyle=numeric-comp, 25 | %bibstyle=authoryear, 26 | bibstyle=numeric, 27 | sorting=none, 28 | %sorting=nyt, 29 | %sortcites=true, 30 | %autocite=footnote, 31 | backend=biber, % Compile the bibliography with biber 32 | hyperref=true, 33 | backref=true, 34 | citecounter=true, 35 | pagetracker=true, 36 | citetracker=true, 37 | ibidtracker=context, 38 | autopunct=true, 39 | autocite=plain, 40 | }{biblatex} 41 | 42 | % Pass the unknown options to biblatex, overwriting the previous settings. Avoid passing the kao-specific options. 43 | \DeclareDefaultOption{% 44 | \IfBeginWith{\CurrentOption}{addspace}{}{% 45 | \IfBeginWith{\CurrentOption}{linkeverything}{}{% 46 | \PassOptionsToPackage{\CurrentOption}{biblatex}% 47 | }}% 48 | } 49 | 50 | % Process the options 51 | \ProcessKeyvalOptions{kaobiblio} 52 | 53 | % Load biblatex 54 | \RequirePackage{biblatex} 55 | 56 | % Remove some unwanted entries from the bibliography 57 | \AtEveryBibitem{ 58 | \clearfield{issn} 59 | \clearfield{isbn} 60 | \clearfield{archivePrefix} 61 | \clearfield{arxivId} 62 | \clearfield{pmid} 63 | \clearfield{eprint} 64 | \ifentrytype{online}{}{\ifentrytype{misc}{}{\clearfield{url}}} 65 | \ifentrytype{book}{\clearfield{doi}}{} 66 | } 67 | 68 | % Convert months to integers 69 | \DeclareSourcemap{ 70 | \maps[datatype=bibtex]{ 71 | \map[overwrite]{ 72 | \step[fieldsource=month, match={jan}, replace=${1}] 73 | \step[fieldsource=month, match={feb}, replace=${2}] 74 | \step[fieldsource=month, match={mar}, replace=${3}] 75 | \step[fieldsource=month, match={apr}, replace=${4}] 76 | \step[fieldsource=month, match={may}, replace=${5}] 77 | \step[fieldsource=month, match={jun}, replace=${6}] 78 | \step[fieldsource=month, match={jul}, replace=${7}] 79 | \step[fieldsource=month, match={aug}, replace=${8}] 80 | \step[fieldsource=month, match={sep}, replace=${9}] 81 | \step[fieldsource=month, match={oct}, replace=${10}] 82 | \step[fieldsource=month, match={nov}, replace=${11}] 83 | \step[fieldsource=month, match={dec}, replace=${12}] 84 | } 85 | } 86 | } 87 | 88 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 89 | % BACK REFERENCES 90 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 91 | 92 | % Check if a string is in a comma-separated list 93 | \newcommand\IfStringInList[2]{\IfSubStr{,#2,}{,#1,}} 94 | 95 | % Set the language-specific back reference strings 96 | % #LANGUAGE 97 | \@ifpackageloaded{polyglossia}{% 98 | \IfLanguageName{danish}{% 99 | \DefineBibliographyStrings{danish}{% 100 | backrefpage = {citeret på side}, 101 | backrefpages = {citeret på sider}, 102 | } 103 | }{} 104 | \IfLanguageName{english}{% 105 | \DefineBibliographyStrings{english}{% 106 | backrefpage = {cited on page}, 107 | backrefpages = {cited on pages}, 108 | } 109 | }{} 110 | \IfLanguageName{italian}{% 111 | \DefineBibliographyStrings{italian}{% 112 | backrefpage = {citato a pag.}, 113 | backrefpages = {citato a pagg.}, 114 | } 115 | }{} 116 | }{ 117 | \@ifpackageloaded{babel}{% 118 | \IfStringInList{danish}{\bbl@loaded}{% 119 | \DefineBibliographyStrings{danish}{% 120 | backrefpage = {citeret på side}, 121 | backrefpages = {citeret på sider}, 122 | } 123 | }{} 124 | \IfStringInList{english}{\bbl@loaded}{% 125 | \DefineBibliographyStrings{english}{% 126 | backrefpage = {cited on page}, 127 | backrefpages = {cited on pages}, 128 | } 129 | }{} 130 | \IfStringInList{italian}{\bbl@loaded}{% 131 | \DefineBibliographyStrings{italian}{% 132 | backrefpage = {citato a pag.}, 133 | backrefpages = {citato a pagg.}, 134 | } 135 | }{} 136 | }{} 137 | } 138 | 139 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 140 | % CITATION COMMANDS 141 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 142 | 143 | % Command to format the marginnote created for cited items 144 | \NewDocumentCommand{\formatmargincitation}{m}{% The parameter is a single citation key 145 | \parencite{#1}: \citeauthor*{#1} (\citeyear{#1}), \citetitle{#1}% 146 | } 147 | 148 | % Command to format the marginnote created for supercited items 149 | \NewDocumentCommand{\formatmarginsupercitation}{m}{% The parameter is a single citation key 150 | \supercite{#1} \citeauthor*{#1} (\citeyear{#1})% 151 | } 152 | 153 | % The following command needs to be redefined every time \sidecite is called in order for \DeclareCiteCommand's wrapper to work correctly 154 | \NewDocumentCommand{\kaobiblio@marginnote}{m}{% 155 | \marginnote{#1}% 156 | } 157 | 158 | % biblatex-like commands that also print a citation in the margin 159 | % Usage: 160 | % First optional argument is always vertical shift and must be given as an (empty) argument when using following a postnote and/or prenote 161 | % Second optional argument is always the postnote if the third argument isn't specified or is the prenote if the third argument is specified (same pattern as the biblatex commands) 162 | % Third optional argument is always the postnote 163 | % Mandatory argument is always the citation key(s) 164 | 165 | % Command to \cite and print a citation in the margin 166 | % First optional argument: vertical shift 167 | % Second optional argument: postnote if the third argument isn't specified; prenote if the third argument is specified (same pattern as the \textcite command) 168 | % Third optional argument: postnote 169 | % Mandatory argument: citation key 170 | \NewDocumentCommand{\sidecite}{o o o m}{% 171 | \RenewDocumentCommand{\kaobiblio@marginnote}{m}{% 172 | \marginnote[#1]{##1}% 173 | }% 174 | \DeclareCiteCommand{\kaobiblio@sidecite}[\kaobiblio@marginnote]{% 175 | }{% 176 | \formatmargincitation{\thefield{entrykey}}% 177 | }{% 178 | \\% separator between multiple citations 179 | }{% 180 | }% 181 | % With this we print the marker in the text and add the item to the bibliography at the end 182 | \IfNoValueOrEmptyTF{#2}% 183 | {\def\@tempa{\cite{#4}\kaobiblio@sidecite{#4}}}% 184 | {\IfNoValueOrEmptyTF{#3}% 185 | {\IfNoValueTF{#3}% 186 | {\def\@tempa{\cite[#2]{#4}\kaobiblio@sidecite{#4}}}% 187 | {\def\@tempa{\cite[#2][]{#4}\kaobook@sidecite{#4}}}% postnote is empty, so pass empty postnote 188 | }% 189 | {\def\@tempa{\cite[#2][#3]{#4}\kaobiblio@sidecite{#4}}}% 190 | }% 191 | \ifkaobiblio@addspace% 192 | \unskip~\@tempa% 193 | \else% 194 | \@tempa% 195 | \fi% 196 | } 197 | 198 | % Command to \supercite and print a citation in the margin 199 | % First optional argument: vertical shift 200 | % Second optional argument: postnote if the third argument isn't specified; prenote if the third argument is specified (same pattern as the \textcite command) 201 | % Third optional argument: postnote 202 | % Mandatory argument: citation key 203 | \NewDocumentCommand{\sidesupercite}{o o o m}{% 204 | \RenewDocumentCommand{\kaobiblio@marginnote}{m}{% 205 | \marginnote[#1]{##1}% 206 | }% 207 | \DeclareCiteCommand{\kaobiblio@sidesupercite}[\kaobiblio@marginnote]{% 208 | }{% 209 | \formatmarginsupercitation{\thefield{entrykey}}% 210 | }{% 211 | \\% separator between multiple citations 212 | }{% 213 | }% 214 | % With this we print the marker in the text and add the item to the bibliography at the end 215 | \IfNoValueOrEmptyTF{#2}% 216 | {\def\@tempa{\supercite{#4}\kaobiblio@sidesupercite{#4}}}% 217 | {\IfNoValueOrEmptyTF{#3}% 218 | {\IfNoValueTF{#3}% 219 | {\def\@tempa{\supercite[#2]{#4}\kaobiblio@sidesupercite{#4}}}% 220 | {\def\@tempa{\supercite[#2][]{#4}\kaobook@sidesupercite{#4}}}% postnote is empty, so pass empty postnote 221 | }% 222 | {\def\@tempa{\supercite[#2][#3]{#4}\kaobiblio@sidesupercite{#4}}}% 223 | }% 224 | \@tempa% 225 | } 226 | 227 | % Command to \textcite and print a citation in the margin 228 | % First optional argument: vertical shift 229 | % Second optional argument: postnote if the third argument isn't specified; prenote if the third argument is specified (same pattern as the \textcite command) 230 | % Third optional argument: postnote 231 | % Mandatory argument: citation key 232 | \NewDocumentCommand{\sidetextcite}{o o o m}{% 233 | \RenewDocumentCommand{\kaobiblio@marginnote}{m}{% 234 | \marginnote[#1]{##1}% 235 | }% 236 | \DeclareCiteCommand{\kaobiblio@sidecite}[\kaobiblio@marginnote]{% 237 | }{% 238 | \formatmargincitation{\thefield{entrykey}}% 239 | }{% 240 | \\% separator between multiple citations 241 | }{% 242 | }% 243 | % With this we print the marker in the text and add the item to the bibliography at the end 244 | \IfNoValueOrEmptyTF{#2}% 245 | {\def\@tempa{\textcite{#4}\kaobiblio@sidecite{#4}}}% 246 | {\IfNoValueOrEmptyTF{#3}% 247 | {\IfNoValueTF{#3}% 248 | {\def\@tempa{\textcite[#2]{#4}\kaobiblio@sidecite{#4}}}% 249 | {\def\@tempa{\textcite[#2][]{#4}\kaobook@sidecite{#4}}}% postnote is empty, so pass empty postnote 250 | }% 251 | {\def\@tempa{\textcite[#2][#3]{#4}\kaobiblio@sidecite{#4}}}% 252 | }% 253 | \ifkaobiblio@addspace% 254 | \unskip~\@tempa% 255 | \else% 256 | \@tempa% 257 | \fi% 258 | } 259 | 260 | % Command to \parencite or \parencite* and print a citation in the margin 261 | % First optional (star) argument: use \parencite* if included; otherwise use \parencite 262 | % Second optional argument: vertical shift 263 | % Third optional argument: postnote if the fourth argument isn't specified; prenote if the fourth argument is specified (same pattern as the \parencite command) 264 | % Fourth optional argument: postnote 265 | % Mandatory argument: citation key 266 | \NewDocumentCommand{\sideparencite}{s o o o m}{% 267 | \RenewDocumentCommand{\kaobiblio@marginnote}{m}{% 268 | \marginnote[#2]{##1}% 269 | }% 270 | \DeclareCiteCommand{\kaobiblio@sidecite}[\kaobiblio@marginnote]{% 271 | }{% 272 | \formatmargincitation{\thefield{entrykey}}% 273 | }{% 274 | \\% separator between multiple citations 275 | }{% 276 | }% 277 | % With this we print the marker in the text and add the item to the bibliography at the end 278 | \IfBooleanTF#1% 279 | {\IfNoValueOrEmptyTF{#3}% 280 | {\parencite*{#5}}% 281 | {\IfNoValueOrEmptyTF{#4}% 282 | {\IfNoValueTF{#4}% 283 | {\def\@tempa{\parencite*[#3]{#5}}}% 284 | {\def\@tempa{\parencite*[#3][]{#5}}}% postnote is empty, so pass empty postnote 285 | }% 286 | {\def\@tempa{\parencite*[#3][#4]{#5}}}% 287 | }% 288 | }% 289 | {\IfNoValueOrEmptyTF{#3}% 290 | {\def\@tempa{\parencite{#5}}}% 291 | {\IfNoValueOrEmptyTF{#4}% 292 | {\IfNoValueTF{#4}% 293 | {\def\@tempa{\parencite[#3]{#5}}}% 294 | {\def\@tempa{\parencite[#3][]{#5}}}% postnote is empty, so pass empty postnote 295 | }% 296 | {\def\@tempa{\parencite[#3][#4]{#5}}}% 297 | }% 298 | }% 299 | \ifkaobiblio@addspace% 300 | \unskip~\@tempa% 301 | \else% 302 | \@tempa% 303 | \fi% 304 | } 305 | 306 | 307 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 308 | % LINKING THE AUTHOR'S NAME 309 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 310 | 311 | % In biblatex, when citing with the style authoryear or using \textcite, only the year is linked to the reference in the bibliography. Despite the arguments of one of the mantainers of the biblatex package (https://github.com/plk/biblatex/issues/428), some users think that in the author* style the author name should be a link as well. The `linkname' option provides an easy way to activate this behaviour. 312 | 313 | \ifkaobiblio@linkeverything 314 | \xpatchbibmacro{cite} 315 | {\usebibmacro{cite:label}% 316 | \setunit{\printdelim{nonameyeardelim}}% 317 | \usebibmacro{cite:labeldate+extradate}} 318 | {\printtext[bibhyperref]{% 319 | \DeclareFieldAlias{bibhyperref}{default}% 320 | \usebibmacro{cite:label}% 321 | \setunit{\printdelim{nonameyeardelim}}% 322 | \usebibmacro{cite:labeldate+extradate}}} 323 | {} 324 | {\PackageWarning{biblatex-patch} 325 | {Failed to patch cite bibmacro}} 326 | 327 | % Include labelname in labelyear link 328 | \xpatchbibmacro{cite} 329 | {\printnames{labelname}% 330 | \setunit{\printdelim{nameyeardelim}}% 331 | \usebibmacro{cite:labeldate+extradate}} 332 | {\printtext[bibhyperref]{% 333 | \DeclareFieldAlias{bibhyperref}{default}% 334 | \printnames{labelname}% 335 | \setunit{\printdelim{nameyeardelim}}% 336 | \usebibmacro{cite:labeldate+extradate}}} 337 | {} 338 | {\PackageWarning{biblatex-patch} 339 | {Failed to patch cite bibmacro}} 340 | 341 | % Access hyperref's citation link start/end commands 342 | \makeatletter 343 | \protected\def\blx@imc@biblinkstart{% 344 | \@ifnextchar[%] 345 | {\blx@biblinkstart} 346 | {\blx@biblinkstart[\abx@field@entrykey]}} 347 | \def\blx@biblinkstart[#1]{% 348 | \blx@sfsave\hyper@natlinkstart{\the\c@refsection @#1}\blx@sfrest} 349 | \protected\def\blx@imc@biblinkend{% 350 | \blx@sfsave\hyper@natlinkend\blx@sfrest} 351 | \blx@regimcs{\biblinkstart \biblinkend} 352 | \makeatother 353 | 354 | \newbool{cbx:link} 355 | 356 | % Include parentheses around labelyear in \textcite only in 357 | % single citations without pre- and postnotes 358 | \def\iflinkparens{% 359 | \ifboolexpr{ test {\ifnumequal{\value{multicitetotal}}{0}} and 360 | test {\ifnumequal{\value{citetotal}}{1}} and 361 | test {\iffieldundef{prenote}} and 362 | test {\iffieldundef{postnote}} }} 363 | 364 | \xpatchbibmacro{textcite} 365 | {\printnames{labelname}} 366 | {\iflinkparens 367 | {\DeclareFieldAlias{bibhyperref}{default}% 368 | \global\booltrue{cbx:link}\biblinkstart% 369 | \printnames{labelname}} 370 | {\printtext[bibhyperref]{\printnames{labelname}}}} 371 | {} 372 | {\PackageWarning{biblatex-patch} 373 | {Failed to patch textcite bibmacro}} 374 | 375 | \xpatchbibmacro{textcite} 376 | {\usebibmacro{cite:label}} 377 | {\iflinkparens 378 | {\DeclareFieldAlias{bibhyperref}{default}% 379 | \global\booltrue{cbx:link}\biblinkstart% 380 | \usebibmacro{cite:label}} 381 | {\usebibmacro{cite:label}}} 382 | {} 383 | {\PackageWarning{biblatex-patch} 384 | {Failed to patch textcite bibmacro}} 385 | 386 | \xpretobibmacro{textcite:postnote} 387 | {\ifbool{cbx:link} 388 | {\ifbool{cbx:parens} 389 | {\bibcloseparen\global\boolfalse{cbx:parens}} 390 | {}% 391 | \biblinkend\global\boolfalse{cbx:link}} 392 | {}} 393 | {} 394 | {\PackageWarning{biblatex-patch} 395 | {Failed to patch textcite:postnote bibmacro}} 396 | \else 397 | \fi 398 | 399 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 400 | % CITATION ENVIRONMENTS 401 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 402 | 403 | % TODO: create a fancy environment for this. Perhaps printing also the 404 | % abstract. 405 | 406 | % Cite commands (assuming biblatex is loaded) 407 | \DeclareCiteCommand{\fullcite}{% 408 | \defcounter{maxnames}{99}% 409 | \usebibmacro{prenote}} 410 | {\clearfield{url}% 411 | \clearfield{pages}% 412 | \clearfield{pagetotal}% 413 | \clearfield{edition}% 414 | \clearfield{issn}% 415 | \clearfield{doi}% 416 | \usedriver 417 | {\DeclareNameAlias{sortname}{default}} 418 | {\thefield{entrytype}} 419 | } 420 | {\multicitedelim} 421 | {\usebibmacro{postnote}} 422 | 423 | 424 | 425 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/operateurs-differentiels.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TEX encoding = UTF-8 Unicode 2 | \setchapterstyle{kao} 3 | \setchapterpreamble[u]{\margintoc} 4 | \chapter{OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS} 5 | \labch{operateurs_differentiels} 6 | 7 | Complément de cours sur ce qu'il faut savoir à propos des opérateurs différentiels utilisés en physique. 8 | 9 | \begin{center} 10 | \textbf{Version en ligne} 11 | 12 | \url{https://femto-physique.fr/omp/operateurs-differentiels.php} 13 | \end{center} 14 | 15 | 16 | % ------ section I ------ 17 | \section{L'opérateur gradient} 18 | \subsection{Définition} 19 | 20 | L'opérateur gradient est un \emph{opérateur différentiel} qui s'applique à un \textbf{champ scalaire} (fonction scalaire dépendant de l'espace et du temps) et le transforme en un \textbf{champ vectoriel} (vecteur dépendant de l'espace et du temps). Il se lit « gradient » ou « nabla » et se note : 21 | \[ 22 | \overrightarrow{\text{grad}}f(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t) 23 | \] 24 | Dans le système de cordonnées cartésiennes le gradient s'exprime ainsi: 25 | % --- equation --- (fold) 26 | \begin{equation} 27 | \fcolorbox{filet}{fond}{\hspace{0.5em} 28 | \(\displaystyle 29 | \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z,t) = 30 | \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f(x,y,z,t)}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}} 31 | \)\hspace{0.5em}} 32 | \hspace{0.5em}\heartsuit 33 | \end{equation} 34 | %--- equation --- (end) 35 | La \reftab{expressions_de_l_operateur_gradient_dans_differents_systemes_de_coordonnees} donne les différentes expressions du gradient dans les systèmes de coordonnées utilisés couramment en physique. 36 | \begin{table} 37 | \centering 38 | \footnotesize 39 | \begin{tabular}{c|c|l} 40 | \toprule 41 | \textbf{Système} & $f(\text{M},t)$ & \textbf{Expression de} $\text{grad}f$ \\[4mm] 42 | Cartésien & $f(x,y,z,t)$ & $\dfrac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}$ \\[4mm] 43 | Cylindriques & $f(r,\theta,z,t)$ & $\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{r\partial\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}$\\[4mm] 44 | Sphériques & $f(r,\theta,\varphi,t)$ & $\dfrac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\dfrac{\partial f}{rd\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}+\dfrac{\partial f}{r\sin\theta d\varphi}\overrightarrow{u_{\varphi}}$\\ 45 | \bottomrule 46 | \end{tabular} 47 | \caption{Expressions de l'opérateur gradient dans différents systèmes de coordonnées.} 48 | \labtab{expressions_de_l_operateur_gradient_dans_differents_systemes_de_coordonnees} 49 | \end{table} 50 | 51 | 52 | \exercice{Calculer le gradient des champs suivants : \(f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\) et \(g(r,\theta,\varphi)=-\frac{1}{r}\).\\[2mm] 53 | \emph{Rép.} \(\overrightarrow{\nabla}f=(x,y,z)=\overrightarrow{\text{OM}}\) et \(\overrightarrow{\nabla}g=\frac{1}{r^2}\overrightarrow{u_r}\).} 54 | \subsection{Propriétés} 55 | L'opérateur gradient est un opérateur linéaire et vérifie donc 56 | \[ 57 | \overrightarrow{\nabla}(\alpha f+\beta g)=\alpha \overrightarrow{\nabla}f+\beta\overrightarrow{\nabla}g 58 | \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 59 | \] 60 | Le gradient d'un produit de champs scalaires vaut 61 | \[ 62 | \overrightarrow{\nabla}(f.g)=f\overrightarrow{\nabla}g+g\overrightarrow{\nabla}f 63 | \] 64 | où $f$ et $g$ sont deux fonctions de l'espace et du temps. 65 | 66 | \textbf{Lien avec la différentielle --} On peut définir le gradient à partir de sa relation avec la différentielle. Soit M un point de l'espace et M' un point infiniment voisin, la différentielle $\text{d}f$ représente la variation du champ scalaire $f$ lorsque l'on se déplace de M à M' à $t$ fixé : 67 | \[ 68 | \text{d}f\stackrel{\text{def}}= f(\text{M'},t)-f(\text{M},t)=\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t)\cdot\overrightarrow{\text{d}\ell} 69 | \quad\text{avec}\quad 70 | \overrightarrow{\text{d}\ell}=\overrightarrow{\text{MM'}} 71 | \] 72 | En conséquence, 73 | \begin{itemize} 74 | \item Le vecteur $\overrightarrow{\nabla}f(\text{M},t)$ est perpendiculaire à la surface de niveau\sidenote{La surface de niveau de $f$ est l'ensemble des points M pour lesquels $f(M,t)$ conserve la même valeur à un instant $t$ fixé. En dimension $d=2$, cet ensemble donne une courbe de niveau.} de $f$ passant par M à l'instant $t$. 75 | \item Le vecteur gradient est orienté vers les valeurs croissantes de $f$ et sa norme mesure le taux de variation spatiale dans la direction de plus grande pente 76 | \[ 77 | \left\| \overrightarrow{\nabla}f\right\| =\dfrac{\text{d}f}{\text{d}\ell} 78 | \] 79 | \end{itemize} 80 | 81 | \exercice{Considérons le champ scalaire de l'espace bi-dimensionnel, \(f(x,y)=x^2+y^2\). Représenter les courbes de niveau puis calculer \(\overrightarrow{\nabla}f\). Tracer quelques vecteurs gradients.\\[2mm] 82 | \emph{Rép.} Les courbes de niveau sont des cercles de centre O. On a \(\overrightarrow{\nabla}f=(2x,2y)=2\overrightarrow{\text{OM}}\). Les vecteur gradients sont effectivement perpendiculaires aux cercles.} 83 | 84 | 85 | 86 | % ------ section II ------ 87 | 88 | \section{L'opérateur divergence} 89 | \subsection{Définition} 90 | L'opérateur divergence est un opérateur différentiel qui s'applique à un \textbf{champ vectoriel} et qui renvoie un \textbf{champ scalaire}. Il se lit « divergence » et se note : 91 | \[ 92 | \text{div}\overrightarrow{A}(\text{M},t)\quad\text{ou}\quad\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}(\text{M},t) 93 | \] 94 | Cette notation permet de retenir l'expression de la divergence en coordonnées cartésiennes : 95 | % --- equation --- (fold) 96 | \begin{equation} 97 | \fcolorbox{filet}{fond}{\hspace{0.5em} 98 | \(\displaystyle 99 | \text{div}\overrightarrow{A}(x,y,z,t)= 100 | \left(\begin{array}{c} 101 | \partial/\partial x\\ 102 | \partial/\partial y\\ 103 | \partial/\partial z 104 | \end{array}\right) 105 | \cdot 106 | \left(\begin{array}{c} 107 | A_{x}\\ 108 | A_{y}\\ 109 | A_{z}\\ 110 | \end{array}\right) = \left.\frac{\partial A_x}{\partial x}\right|_{y,z} 111 | + \left.\frac{\partial A_y}{\partial y}\right|_{x,z} 112 | +\left.\frac{\partial A_z}{\partial z}\right|_{x,y} 113 | \)\hspace{0.5em}} 114 | \hspace{0.5em}\heartsuit 115 | \end{equation} 116 | %--- equation --- (end) 117 | La \reftab{expressions_de_la_divergence_dans_differents_systemes_de_coordonnees} donne les différentes expressions de la divergence d'un champ vectoriel exprimé dans différents systèmes de coordonnées. 118 | \begin{table}[htbp] 119 | \centering 120 | \footnotesize 121 | \begin{tabular}{c|l} 122 | \toprule 123 | \textbf{Système} & Expression de $\text{div}\overrightarrow{A}=\nabla\cdot\overrightarrow{A}$\\[4mm] 124 | cartésien & $ \left.\frac{\partial A_x}{\partial x}\right|_{y,z} 125 | + \left.\frac{\partial A_y}{\partial y}\right|_{x,z} 126 | +\left.\frac{\partial A_z}{\partial z}\right|_{x,y}$\\[4mm] 127 | cylindriques & $\dfrac{\partial(r A_{r})}{r\partial r}+ \dfrac{\partial(A_{\theta})}{r\partial \theta} + \dfrac{\partial A_{z}}{\partial z}$\\[4mm] 128 | sphériques & $\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial(r^{2}\,A_{r})}{\partial r} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta\,A_{\theta})}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi}$ \\ 129 | \bottomrule 130 | \end{tabular} 131 | \caption{Expressions de la divergence dans différents systèmes de coordonnées.} 132 | \labtab{expressions_de_la_divergence_dans_differents_systemes_de_coordonnees} 133 | \end{table} 134 | 135 | \exercice{Considérons le champ vectoriel $\overrightarrow{A}(r,\theta,\varphi)=\dfrac{\overrightarrow{u_r}}{r^2}$. Calculer la divergence de ce champ en tout point M autre que O.\\[2mm] 136 | \emph{Rép.} On trouve \(\text{div}\overrightarrow{A}=0\). On dit que \(\overrightarrow{A}\) est un champ à flux conservatif (sauf en O).} 137 | \subsection{Propriétés} 138 | L'opérateur divergence est un \textbf{opérateur linéaire} et vérifie donc 139 | \[ 140 | \text{div}(\alpha \overrightarrow{A}+\beta \overrightarrow{B})=\alpha\,\text{div}\overrightarrow{A}+ 141 | \beta\,\text{div}\overrightarrow{B} 142 | \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 143 | \] 144 | La divergence d'un produit vaut 145 | \[ 146 | \text{div}(f.\overrightarrow{A}) = \overrightarrow{\nabla}\cdot(f\overrightarrow{A}) = f\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\nabla}f = f\text{div}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{\text{grad}}f 147 | \] 148 | La divergence d'un champ est reliée au calcul du flux. 149 | \begin{kaobox}[frametitle=Théorème de Green-Ostrogradsky ou théorème de la divergence] 150 | Le flux d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(\textrm{M})$ à travers une surface fermée $(S)$ est égal à l'intégrale sur le volume $V$ limité par $(S)$ de la divergence du champ vectoriel. 151 | \[ 152 | \iint_{\textrm{M}\in (S)}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}}= 153 | \iiint_{\textrm{M}\in V}\text{div}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\;\text{d}\tau 154 | \quad\textrm{avec}\quad 155 | \textrm{div}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}\] 156 | \end{kaobox} 157 | 158 | \textbf{Sens physique --} La divergence prend un sens bien précis en mécanique des fluides. Considérons une portion de fluide en mouvement dans un fluide décrit par le champ de vitesse $\overrightarrow{v}(\text{M},t)$. Au cours du mouvement, le volume $\mathcal{V}$ de cette portion varie suite aux déformations engendrées par l'écoulement. La divergence de la vitesse est liée au taux de dilatation de la portion fluide par la relation 159 | \[ 160 | \text{div}\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mathcal{V}}\frac{\text{D}\mathcal{V}}{\text{D}t} 161 | \] 162 | 163 | 164 | \section{L'opérateur rotationnel} 165 | \subsection{Définition} 166 | L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel qui transforme un \textbf{champ vectoriel} en un autre \textbf{champ vectoriel}. Il se lit « rotationnel » et se note 167 | \[ 168 | \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}(\text{M},t) 169 | \quad\text{ou}\quad 170 | \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}(\text{M},t) 171 | \] 172 | Cette notation permet de retenir l'expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes : 173 | % --- equation --- (fold) 174 | \begin{equation} 175 | \fcolorbox{filet}{fond}{\hspace{0.5em} 176 | \(\displaystyle 177 | \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}= 178 | \left(\begin{array}{c} 179 | \dfrac{\partial}{\partial x}\\[4mm] 180 | \dfrac{\partial}{\partial y}\\[4mm] 181 | \dfrac{\partial}{\partial z} 182 | \end{array} 183 | \right)\wedge\left( 184 | \begin{array}{c} 185 | A_{x}\\[5mm] 186 | A_{y}\\[5mm] 187 | A_{z}\\[5mm] 188 | \end{array} 189 | \right)=\left( 190 | \begin{array}{c} 191 | \dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z}\\[4mm] 192 | \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{dx}\\[4mm] 193 | \dfrac{\partial A_{y}}{dx}-\dfrac{\partial A_{x}}{dy} 194 | \end{array}\right) 195 | \)\hspace{0.5em}} 196 | \hspace{0.5em}\heartsuit 197 | \end{equation} 198 | %--- equation --- (end) 199 | La \reftab{expressions_du_rotationnel} donne les différentes expressions du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées. 200 | 201 | \begin{table*} 202 | \centering 203 | \footnotesize 204 | \begin{tabular}{c|l} 205 | \toprule 206 | \textbf{Système} & $\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}$ \\ 207 | cartésien & $\left(\dfrac{\partial A_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{y}}{\partial z},\, 208 | \dfrac{\partial A_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial x},\, 209 | \dfrac{\partial A_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)$\\[4mm] 210 | cylindrique & $\left(\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{z}}{\partial\theta}-\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial z},\, 211 | \dfrac{\partial A_{r}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{z}}{\partial r},\, 212 | \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial \theta}\right)$\\[4mm] 213 | sphérique & $\left(\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial(\sin\theta A_{\varphi})}{\partial\theta} - \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{\theta}}{\partial\varphi},\, 214 | \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial A_{r}}{\partial\varphi}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\varphi})}{\partial r},\, \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial A_{r}}{d\theta}\right)$\\[4mm] 215 | \bottomrule 216 | \end{tabular} 217 | \caption{Expressions du rotationnel dans différents systèmes de coordonnées} 218 | \labtab{expressions_du_rotationnel} 219 | \end{table*} 220 | \subsection{Propriétés} 221 | L'opérateur rotationnel étant linéaire, on a 222 | \[ 223 | \overrightarrow{\text{rot}}\left(\alpha \overrightarrow{A}+\beta \overrightarrow{B}\right) = 224 | \alpha\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}+\beta\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{B} 225 | \quad\text{avec}\quad (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 226 | \] 227 | Le rotationnel d'un gradient est nul. 228 | \[ 229 | \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\text{grad}}f = 230 | \overrightarrow{\nabla}\wedge(\overrightarrow{\nabla f})=\overrightarrow{0} 231 | \] 232 | La divergence d'un rotationnel est nulle. 233 | \[ 234 | \text{div}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}\right)= 235 | \overrightarrow{\nabla}\cdot\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{A}\right)=0 236 | \] 237 | Le rotationnel d'un produit vaut 238 | \[ 239 | \overrightarrow{\text{rot}}\,f\overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\wedge(f\overrightarrow{A})= 240 | \overrightarrow{\nabla}f\wedge\overrightarrow{A}+f\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}= 241 | \overrightarrow{\text{grad}}f\wedge\overrightarrow{A}+f.\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A} 242 | \] 243 | Relation avec la circulation : 244 | \begin{kaobox}[frametitle=Théorème de Stokes] 245 | La circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour $\mathcal{C}$ \textbf{fermé} et \textbf{orienté} est égal au flux du rotationnel de ce champ à travers une surface $\mathcal{S}$ délimité par $\mathcal{C}$. 246 | \[ 247 | \oint_{\textrm{M}\in \mathcal{C}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot\overrightarrow{\textrm{d}\ell}= 248 | \iint_{\textrm{M}\in \mathcal{S}}\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}(\textrm{M})\cdot 249 | \overrightarrow{\text{d}S} 250 | \] 251 | avec $\overrightarrow{\text{d}S}$ orienté à partir du sens de parcours de $\mathcal{C}$ et de la règle du tire-bouchon. 252 | \end{kaobox} 253 | 254 | \textbf{Sens physique --} En mécanique des fluides, le rotationnel du champ de vitesse d'un fluide en écoulement est lié à la vitesse de rotation $\Omega$ des particules de fluide au cours de leur mouvement. 255 | \[ 256 | \overrightarrow{\Omega}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v} 257 | \] 258 | 259 | 260 | \section{L'opérateur laplacien}\label{sec:operateur_laplacien} 261 | \subsection{Le laplacien scalaire} 262 | L'opérateur laplacien scalaire est un opérateur différentiel d'ordre deux qui transforme un champ scalaire en 263 | un autre champ scalaire. Le laplacien scalaire s'obtient en prenant la divergence du gradient et se note 264 | $\triangle f(\text{M},t)$. 265 | % --- equation --- (fold) 266 | \begin{equation} 267 | \fcolorbox{filet}{fond}{\hspace{0.5em} 268 | \(\displaystyle 269 | \triangle f(\text{M},t)=\text{div}(\overrightarrow{\text{grad}}f) =\nabla^{2}f=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} 270 | \)\hspace{0.5em}} 271 | \hspace{0.5em}\heartsuit 272 | \end{equation} 273 | %--- equation --- (end) 274 | 275 | 276 | La \reftab{expressions_du_laplacien_dans_differents_systemes_de_coordonnees} donne les expressions du laplacien scalaire dans différents systèmes de coordonnées. 277 | \begin{table} 278 | \centering 279 | \footnotesize 280 | \begin{tabular}{c|l} 281 | \toprule 282 | \textbf{Système} & \textbf{Expression de} $\triangle f$ \\[4mm] 283 | cartésien & $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}$\\[4mm] 284 | cylindriques & $\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\theta^{2}}+\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}$\\[4mm] 285 | sphériques & $\dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\varphi^{2}}$\\[4mm] 286 | \bottomrule 287 | \end{tabular} 288 | \caption{Expressions du laplacien dans différents systèmes de coordonnées.} 289 | \labtab{expressions_du_laplacien_dans_differents_systemes_de_coordonnees} 290 | \end{table} 291 | \subsection{Le laplacien vectoriel} 292 | Le laplacien s'applique également à un champ vectoriel. Dans ce cas il renvoie un autre champ vectoriel et se note 293 | \[ 294 | \triangle \overrightarrow{A} 295 | \] 296 | Par définition, le laplacien vectoriel s'obtient à l'aide de l'identité 297 | \[ 298 | \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A} = 299 | \overrightarrow{\nabla}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right) = 300 | \overrightarrow{\nabla}\left(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}\right) - 301 | \nabla^{2}\overrightarrow{A} = \overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\overrightarrow{A})-\triangle\overrightarrow{A} 302 | \] 303 | En coordonnées cartésiennes, les vecteur unitaires étant fixes, le laplacien vectoriel d'un champ $\overrightarrow{A}$ est tout simplement, un vecteur dont les composantes sont les laplaciens scalaires des composantes de $\overrightarrow{A}$ : 304 | \[ 305 | \triangle\overrightarrow{A}(\text{M},t) = \left(\triangle A_{x}\right)\overrightarrow{u_{x}} + 306 | \left(\triangle A_{y}\right)\overrightarrow{u_{y}} + \left(\triangle A_{z}\right)\overrightarrow{u_{z}} 307 | \] 308 | 309 | \section{Accélération d'une particule de fluide} 310 | On a vu \sidecite{Roussel:2010} que l'accélération d'une particule de fluide située en M à l'instant $t$ pouvait s'obtenir à l'aide du champ de vitesse $\overrightarrow{v}(\text{M},t)$ : 311 | \[ 312 | \overrightarrow{a}(\text{M},t)=\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} 313 | \] 314 | où le dernier terme désigne la partie \textbf{convective} de l'accélération. Explicitons la composante suivant Ox de ce terme en utilisant l'égalité 315 | $\overrightarrow{A}\wedge(\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{C})=(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}-(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B})\overrightarrow{C}$ 316 | avec $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\nabla}v_{x}$ 317 | et $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{u}_{x}$ : 318 | \begin{multline*} 319 | \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}v_{x}\right)\overrightarrow{u}_{x} = \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}_{x}\right)\overrightarrow{\nabla}v_{x} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right)\\ 320 | =v_{x}\overrightarrow{\nabla}v_{x}-\overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}v_{x}^{2} - \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u_{x}}\right) 321 | \end{multline*} 322 | Ainsi en procédant de la même façon pour les deux autres composantes, on obtient 323 | \[ 324 | \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} = 325 | \frac{1}{2}\overrightarrow{\nabla}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right) - 326 | \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_{x}\wedge\overrightarrow{u}_{x}+\overrightarrow{\nabla}v_{y}\wedge\overrightarrow{u}_{y}+\overrightarrow{\nabla}v_{z}\wedge\overrightarrow{u}_{z}\right) 327 | \] 328 | On reconnait $v^2$ dans le gradient et l'on voit apparaître $\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}$ dans le dernier terme. On aboutit alors à une nouvelle expression de l'accélération 329 | % --- equation --- (fold) 330 | \begin{equation} 331 | \fcolorbox{filet}{fond}{\hspace{0.5em} 332 | \(\displaystyle 333 | \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \overrightarrow{\text{grad}}\frac{v^{2}}{2}+\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v} 334 | \)\hspace{0.5em}} 335 | \hspace{0.5em}\heartsuit 336 | \end{equation} 337 | %--- equation --- (end) 338 | 339 | -------------------------------------------------------------------------------- /template_femto.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 | % Template latex pour les cours de physique sur femto-physique.fr 3 | % J. ROUSSEL 4 | % 5 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6 | %---------------------------------------------------------------------------------- 7 | % PACKAGES AND OTHER DOCUMENT CONFIGURATIONS 8 | %---------------------------------------------------------------------------------- 9 | \documentclass[ 10 | a4paper, % Page size 11 | fontsize=10pt, % Base font size 12 | twoside=true, % Use different layouts for even and odd pages (in particular, if twoside=true, the margin column will be always on the outside) 13 | %open=any, % If twoside=true, uncomment this to force new chapters to start on any page, not only on right (odd) pages 14 | %chapterentrydots=true, % Uncomment to output dots from the chapter name to the page number in the table of contents 15 | numbers=noenddot, % Comment to output dots after chapter numbers; the most common values for this option are: enddot, noenddot and auto (see the KOMAScript documentation for an in-depth explanation) 16 | ]{kaobook} 17 | % Choose the language 18 | \ifxetexorluatex 19 | \usepackage{polyglossia} 20 | \setmainlanguage{french} 21 | \else 22 | %\usepackage[english,french]{babel} 23 | \usepackage[french]{babel} % Load characters and hyphenation 24 | \fi 25 | \usepackage{csquotes} 26 | 27 | 28 | 29 | % Load packages for testing 30 | % \usepackage{blindtext} 31 | % \usepackage{showframe} % Uncomment to show boxes around the text area, margin, header and footer 32 | % \usepackage{showlabels} % Uncomment to output the content of \label commands to the document where they are used 33 | 34 | % Load the bibliography package 35 | \usepackage{kaobiblio} 36 | \addbibresource{refOMP.bib} 37 | 38 | % Load mathematical packages for theorems and related environments 39 | \usepackage[framed=true]{kaotheorems} 40 | 41 | % Load the package for hyperreferences 42 | \usepackage{kaorefs} 43 | 44 | % \makeindex[columns=3, title=Alphabetical Index, intoc] % Make LaTeX produce the files required to compile the index 45 | % \makeglossaries % Make LaTeX produce the files required to compile the glossary 46 | % \input{glossary.tex} % Include the glossary definitions 47 | % \setlength{\nomitemsep}{-\parsep}. 48 | \makenomenclature % Make LaTeX produce the files required to compile the nomenclature 49 | %% This will add the subgroups 50 | %---------------------------------------------- 51 | % \usepackage[separate-uncertainty=true,alsoload=synchem]{siunitx} 52 | \usepackage[uncertainty-mode = separate]{siunitx} 53 | \sisetup{locale = FR,group-digits = all} 54 | \DeclareSIUnit\mmHg{mmHg} 55 | \DeclareSIUnit\bar{bar} 56 | \DeclareSIUnit\torr{torr} 57 | \DeclareSIUnit[quantity-product = {}] \degreeF{\text{\textdegree}F} 58 | 59 | %---------------------------------------------- 60 | %% This will add the units 61 | %---------------------------------------------- 62 | \newcommand{\nomunit}[1]{% 63 | \renewcommand{\nomentryend}{\hspace*{\fill}#1}} 64 | %---------------------------------------------- 65 | 66 | % Reset sidenote counter at chapters 67 | % \counterwithin*{sidenote}{chapter} 68 | 69 | 70 | 71 | % ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 72 | % | STYLES TIKZ | 73 | % ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 74 | \tikzset{>=stealth,inner sep=1pt, outer sep=2pt} 75 | \tikzset{ 76 | vecteur/.style={->,thick,color=black,smooth}, 77 | systeme/.style={ellipse,inner sep=5pt,outer sep=5pt,fill=gray,draw,dashed,text={white}}, 78 | echange/.style={color=cyan,thick,->,text={black}}, 79 | gaz/.style={fill=SkyBlue!10,inner sep=1pt}, 80 | liq/.style={top color=lightgray!50,bottom color=gray,text={white}}, 81 | force/.style={->,>=latex,monBleu,nodes={monBleu},ultra thick,rounded corners=4pt,smooth,line cap=round}, 82 | source/.style={rectangle,minimum height=10mm,fill=blue!25,inner sep=5pt,text=blue}, 83 | transfert/.style={decoration={markings,mark=at position 5mm with {\arrow[]{>}}},postaction=decorate}, 84 | 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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 105 | \foreach \i in {2.5,...,22}{ 106 | \node[rounded corners,monOrange!60,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.west)+(2.5,-5)$) {} ;} 107 | \foreach \i in {0.5,...,22}{ 108 | \node[rounded corners,monOrange!60,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.north west)+(2.5,0)$) {} ;} 109 | \foreach \i in {0.5,...,22}{ 110 | \node[rounded corners,monOrange!90,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.north east)+(0,-9.5)$) {} ;} 111 | \foreach \i in {21,...,6}{ 112 | \node[monOrange!85,rounded corners,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.south east)+(-0.2,-0.45)$) {} ;} 113 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Title of the Report %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 114 | \node[left,white,minimum width=0.625*\paperwidth,minimum height=3cm, rounded corners] at ($(current page.north east)+(0,-9.5)$){{\fontsize{25}{30} \selectfont \bfseries COURS DE PHYSIQUE}}; 115 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Subtitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 116 | \node[left,white,minimum width=0.625*\paperwidth,minimum height=2cm, rounded corners] at ($(current page.north east)+(0,-11)$){{\huge \textit{TEMPLATE LATEX}}}; 117 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Author Name %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 118 | \node[left,black!85,minimum width=0.625*\paperwidth,minimum height=2cm, rounded corners] at ($(current page.north east)+(0,-13)$){{\Large \textsc{Jimmy Roussel}}}; 119 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Year %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 120 | \node[rounded corners,text=monOrange,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=2.5 cm,inner sep=0,ultra thick,fill=monOrange!60] at ($(current page.west)+(2.5,-5)$) {\LARGE \bfseries 2023}; 121 | \node[fill=white,ultra thick,draw=monOrange!60,text=monBleu,rounded corners,inner sep=4pt] at ($(current page.south)+(0,2)$) {\bfseries \href{https://femto-physique.fr/omp/}{femto-physique.fr/omp}} ; 122 | \end{tikzpicture} 123 | } 124 | % \subject{} 125 | \title[Cours sur les outils et méthodes scientifiques -- \href{https://femto-physique.fr}{femto-physique.fr}]{} 126 | 127 | % \subtitle{} 128 | \author[\textsc{Jimmy Roussel}, professeur agrégé à l'Ecole Nationale Supérieure de Chimie de Rennes]{} 129 | \date{} 130 | 131 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 132 | % START of the pre-document content, uses roman numerals 133 | % --------------------------------------------------------------------------------------- 134 | \frontmatter 135 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 136 | % COPYRIGHT PAGE 137 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 138 | \makeatletter 139 | \uppertitleback{\@plaintitle\\ \@plainauthor} % Header 140 | \lowertitleback{ 141 | \textbf{Copyright} \copyright\ 2023 Jimmy Roussel\\ 142 | \ccbync\ Ce document est sous licence \emph{Creative Commons} «Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale 4.0 International (CC BY-NC 4.0)». 143 | 144 | Pour plus d'informations: \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/}{creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/} 145 | \medskip 146 | 147 | Ce document est réalisé avec l'aide de \href{https://sourceforge.net/projects/koma-script/}{\KOMAScript} et \href{ttps://www.latex-project.org/}{\LaTeX} en utilisant la classe \href{https://github.com/fmarotta/kaobook/}{kaobook}. 148 | \medskip 149 | 150 | \textbf{1\iere édition --} Janv. 2011 151 | 152 | \textbf{Version en ligne --} \href{https://femto-physique.fr/omp/}{femto-physique.fr/omp} 153 | } 154 | \makeatother 155 | 156 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 157 | % OUTPUT TITLE PAGE AND PREVIOUS 158 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 159 | % Note that \maketitle outputs the pages before here 160 | \maketitle 161 | 162 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 163 | % PREFACE 164 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 165 | 166 | \input{chapters/preface.tex} 167 | \index{Préface} 168 | 169 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 170 | % TABLE OF CONTENTS & LIST OF FIGURES/TABLES 171 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 172 | 173 | \begingroup % Local scope for the following commands 174 | 175 | % Define the style for the TOC, LOF, and LOT 176 | %\setstretch{1} % Uncomment to modify line spacing in the ToC 177 | %\hypersetup{linkcolor=blue} % Uncomment to set the colour of links in the ToC 178 | \setlength{\textheight}{230\hscale} % Manually adjust the height of the ToC pages 179 | 180 | % Turn on compatibility mode for the etoc package 181 | \etocstandarddisplaystyle % "toc display" as if etoc was not loaded 182 | \etocstandardlines % "toc lines" as if etoc was not loaded 183 | 184 | \tableofcontents % Output the table of contents 185 | 186 | \listoffigures % Output the list of figures 187 | 188 | % Comment both of the following lines to have the LOF and the LOT on different pages 189 | \let\cleardoublepage\bigskip 190 | \let\clearpage\bigskip 191 | 192 | \listoftables % Output the list of tables 193 | 194 | \endgroup 195 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 196 | % MAIN BODY 197 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 198 | \mainmatter % Denotes the start of the main document content, resets page numbering and uses arabic numbers 199 | \setchapterstyle{kao} % Choose the default chapter heading style 200 | 201 | % -------- Outils d'analyse ------- 202 | \pagelayout{wide} % No margins 203 | \addpart{Autour de la mesure} 204 | \pagelayout{margin} % Restore margins 205 | 206 | \input{chapters/unites_dimensions} 207 | \input{chapters/mesurer} 208 | 209 | 210 | \backmatter % Denotes the end of the main document content 211 | \setchapterstyle{plain} % Output plain chapters from this point onwards 212 | 213 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 214 | % BIBLIOGRAPHY 215 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 216 | % The bibliography needs to be compiled with biber using your LaTeX editor, or on the command line with 'biber main' from the template directory 217 | \printbibliography[heading=bibintoc, title=Pour en savoir plus] % Add the bibliography heading to the ToC, set the title of the bibliography and output the bibliography note 218 | \nocite{Moreau:1975,Giacomo:1995,Taylor:1999,Bally:2010} 219 | 220 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 221 | % NOTATIONS & GRANDEURS 222 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 223 | % The nomenclature needs to be compiled on the command line with 'makeindex main.nlo -s nomencl.ist -o main.nls' from the template directory 224 | \nomenclature[A, 01]{\(h\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?h} 225 | {Constante de Planck} 226 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{6.62607015e-34}{\joule\per\hertz}}} 227 | \nomenclature[A, 02]{\(c\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?c} 228 | {Vitesse de la lumière dans le vide} 229 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{299792458}{\meter\per\second}}} 230 | \nomenclature[A, 03]{\(\Delta\nu_\textsf{Cs}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?nucs} 231 | {Fréquence hyperfine du \(^{133}\textsf{Cs}\)} 232 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{9192631770}{\hertz}}} 233 | \nomenclature[A, 04]{\(e\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e} 234 | {Charge élémentaire} 235 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{1,602176634e-9}{\coulomb}}} 236 | \nomenclature[A, 05]{\(k_\text{B}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k} 237 | {Constante de Boltzmann} 238 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{1,380649e-23}{\joule\per\kelvin}}} 239 | \nomenclature[A, 07]{\(R=k_\text{B}N_\text{A}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r} 240 | {Constante des gaz parfaits} 241 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{8,314462618}{\joule\per\kelvin\per\mol}}} 242 | \nomenclature[A, 06]{\(N_\text{A}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?na} 243 | {Nombre d'Avogadro} 244 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{6,02214076e23}{\per\mol}}} 245 | \nomenclature[A, 08]{\(K_\text{cd}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?kcd} 246 | {Efficacité lumineuse} 247 | \nomunit{\SI[group-digits=true]{683}{\lumen\per\watt}}} 248 | % autres constantes 249 | \nomenclature[B, 01]{\(G\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg} 250 | {Constante gravitationnelle} 251 | \nomunit{\SI[group-digits=false]{6.67430e-11}{\meter\cubed\per\kilogram\per\second\squared}}} 252 | \nomenclature[B, 02]{\(\epsilon_0\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0} 253 | {Permittivité diélectrique du vide} 254 | \nomunit{\SI[group-digits=false]{8.85418781e-12}{\farad\per\meter}}} 255 | \nomenclature[B, 03]{\(\mu_0\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mu0} 256 | {Perméabilité magnétique du vide} 257 | \nomunit{\SI[group-digits=false]{1.256637062e-6}{\henry\per\meter}}} 258 | \nomenclature[B, 04]{\(m_\text{e}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?me} 259 | {Masse de l'électron au repos} 260 | \nomunit{\SI[group-digits=false]{9.10938370e-31}{\kilogram}}} 261 | \nomenclature[B, 05]{\(m_\text{p}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mp} 262 | {Masse du proton au repos} 263 | \nomunit{\SI[group-digits=false]{1.672621923e-27}{\kilogram}}} 264 | \nomenclature[B, 06]{\(m_\text{n}\)}{\href{https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mn} 265 | {Masse du neutron au repos} 266 | \nomunit{\SI[group-digits=false]{1.674927498e-27}{\kilogram}}} 267 | 268 | % grandeurs physiques 269 | \nomenclature[C]{$m$}{Masse (kg)} 270 | \nomenclature[C]{$\rho$}{Masse volumique ($\mathrm{kg.m^{-3}}$)} 271 | \nomenclature[C]{$q$}{Charge électrique (C)} 272 | \nomenclature[C]{$\mathcal{A}$}{Aire ($\mathrm{m^{2}}$)} 273 | \nomenclature[C]{$V$}{Volume ($\mathrm{m^{3}}$)} 274 | \nomenclature[C]{$t$}{Temps (s)} 275 | \nomenclature[C]{$\nu$}{Fréquence (Hz)} 276 | \nomenclature[C]{$T$}{Période (s)} 277 | \nomenclature[C]{$v$}{Vitesse ($\mathrm{m.s^{-1}}$)} 278 | \nomenclature[C]{$\omega$}{Vitesse angulaire, pulsation ($\mathrm{rad.s^{-1}}$)} 279 | \nomenclature[C]{$a$}{Accélération ($\mathrm{m.s^{-2}}$)} 280 | \nomenclature[C]{$f$}{force (N)} 281 | \nomenclature[C]{$P$}{poids (N)} 282 | % symboles math 283 | \nomenclature[D,01]{$\stackrel{\text{def}}=$}{Relation de définition} 284 | \nomenclature[D,02]{$\sim$}{Égal en ordre de grandeur} 285 | \nomenclature[D,03]{$A\gg B $}{$A$ très grand devant $B$} 286 | \nomenclature[D,04]{$A \ll B$}{$A$ très petit devant $B$} 287 | \nomenclature[D,05]{$\overline{f}$}{Moyenne d'ensemble} 288 | \nomenclature[D,06]{$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}$}{Dérivée première par rapport au temps} 289 | \nomenclature[D,07]{$\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d} t^n}$}{Dérivée n-ième par rapport au temps} 290 | \nomenclature[D,08]{$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,X}$}{Dérivée partielle de $S$ par rapport $V$, les variables $U$ et $X$ étant maintenues constantes} 291 | \nomenclature[D,09]{$\int_\text{C} \overrightarrow{A}(\text{M})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}$}{Circulation de $\overrightarrow{A}$ le long du circuit C} 292 | \nomenclature[D,10]{$\iint_\text{S}\overrightarrow{A}(\text{M})\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S$}{Flux d'un champ vectoriel $\overrightarrow{A}$} 293 | \nomenclature[D,11]{$\iiint_\text{V} f(\text{M})\, \mathrm{d}\tau$}{Intégrale de volume} 294 | 295 | \renewcommand{\nomname}{Grandeurs physiques et symboles mathématiques} % Rename the default 'Nomenclature' 296 | \setlength{\nomitemsep}{2pt} 297 | \newlength{\nomgroupstartsep} 298 | \setlength{\nomgroupstartsep}{16pt} 299 | \newcommand{\nomenclheader}[1]{\item[\hspace*{-\itemindent}\bfseries#1]} 300 | % \renewcommand\nomgroup[1]{% 301 | % \item[\bfseries 302 | % \ifstrequal{#1}{A}{Constantes physiques définies par le SI (valeurs exactes)}{% 303 | % \ifstrequal{#1}{B}{Autres constantes physiques}{% 304 | % \ifstrequal{#1}{C}{Grandeurs Physiques}{% 305 | % \ifstrequal{#1}{D}{Symboles mathématiques}{}}}}% 306 | % ]} 307 | \renewcommand\nomgroup[1]{% 308 | \itemsep\nomgroupstartsep% 309 | \IfStrEqCase{#1}{% 310 | {A}{\nomenclheader{Constantes physiques définies par le SI (valeurs exactes)}}% 311 | {B}{\nomenclheader{Autres constantes physiques}}% 312 | {C}{\nomenclheader{Grandeurs physiques}}% 313 | {D}{\nomenclheader{Symboles mathématiques}}% 314 | }% 315 | \itemsep\nomitemsep% restore spacing 316 | } 317 | \printnomenclature[3cm] % Output the nomenclature 318 | 319 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 320 | % GLOSSARY 321 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 322 | 323 | % The glossary needs to be compiled on the command line with 'makeglossaries main' from the template directory 324 | 325 | \setglossarystyle{listgroup} % Set the style of the glossary (see https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Glossary for a reference) 326 | \printglossary[title=Special Terms, toctitle=List of Terms] % Output the glossary, 'title' is the chapter heading for the glossary, toctitle is the table of contents heading 327 | 328 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 329 | % INDEX 330 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 331 | % The index needs to be compiled on the command line with 'makeindex main' from the template directory 332 | % \printindex % Output the index 333 | 334 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 335 | % BACK COVER 336 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 337 | % If you have a PDF/image file that you want to use as a back cover, uncomment the following lines 338 | % \clearpage 339 | \thispagestyle{empty} 340 | \null% 341 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 342 | % BACK COVER 343 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 344 | % If you have a PDF/image file that you want to use as a back cover, uncomment the following lines 345 | \clearpage 346 | \thispagestyle{empty} 347 | \null% 348 | \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] 349 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% THEME %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 350 | \def\theme{omp} 351 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Background %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 352 | \fill[monOrange] (current page.south west) rectangle (current page.north east); 353 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Background Polygon %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 354 | \foreach \i in {2.5,...,21}{ 355 | \node[rounded corners,monOrange!60,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.west)+(2.5,-5)$) {} ;} 356 | \foreach \i in {0.5,...,21}{ 357 | \node[rounded corners,monOrange!60,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.north west)+(2.5,0)$) {} ;} 358 | \foreach \i in {0.5,...,21}{ 359 | \node[rounded corners,monOrange!90,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.north east)+(0,-9.5)$) {} ;} 360 | \foreach \i in {21,...,6}{ 361 | \node[monOrange!85,rounded corners,draw,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=\i cm,ultra thick] at ($(current page.south east)+(-0.2,-0.45)$) {} ;} 362 | \node[rounded corners,text=monOrange,regular polygon,regular polygon sides=6, minimum size=2.5 cm,inner sep=0,ultra thick,fill=monOrange!60] at ($(current page.west)+(2.5,-5)$) {\LARGE \bfseries 2023}; 363 | \node[fill=white,ultra thick,draw=monOrange!60,text=monBleu,rounded corners,inner sep=4pt] at ($(current page.south)+(0,2)$) {\bfseries \href{https://femto-physique.fr/\theme/}{femto-physique.fr/\theme}} ; 364 | \end{tikzpicture} 365 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 366 | 367 | \end{document} 368 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/unites_dimensions.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TEX encoding = UTF-8 Unicode 2 | \setchapterstyle{kao} 3 | \setchapterpreamble[u]{\margintoc} 4 | \chapter{UNITÉS ET DIMENSIONS} 5 | \labch{unites_et_dimensions} 6 | 7 | 8 | \blockquote[Bachelard]{Dis-moi comment l'on te cherche, je te dirai qui tu es} 9 | 10 | \begin{center} 11 | \textbf{Version en ligne} 12 | 13 | \url{https://femto-physique.fr/omp/grandeurs-physiques.php} 14 | \end{center} 15 | 16 | \section[Dimension d'une grandeur]{Dimension d'une grandeurs physique} 17 | \subsection{Grandeurs physiques} 18 | Une grandeur physique est une quantité qui se rapporte à une propriété et qui peut se mesurer. Or, \textbf{mesurer, c'est comparer}. C'est comparer à l'aide d'un instrument, une grandeur physique inconnue avec une grandeur de même nature -- on dira\textbf{ de même dimension} -- prise comme référence que l'on appelle \textbf{étalon}. 19 | 20 | Par exemple, le poids de Miss Univers peut être comparé à celui d'un étalon (1 kg par exemple) à l'aide d'une balance : le poids de Miss Univers est une grandeur physique. En revanche, sa beauté est une propriété subjective qui ne peut être mesurée compte tenu qu'il n'existe pas d'étalon de beauté. En d'autres termes, la beauté se rapporte à l'aspect physique mais ne relève pas de la Physique ; il ne s'agit pas d'une grandeur physique. 21 | 22 | Lors du processus de mesure (mesurage) on effectue donc une comparaison entre un étalon (l'unité) et la grandeur à mesurer puis l'on traduit le résultat par un chiffre (la mesure) assortie d'un intervalle définissant un certain niveau de confiance (l'incertitude) ainsi que l'unité\sidenote[][]{L'unité est indispensable ! Exprimer le résultat d'un calcul ou d'une mesure sans préciser l'unité n'a aucun sens.} 23 | \[ 24 | X=x_\text{m}\pm\Delta x\quad\text{unité} 25 | \] 26 | La détermination de la mesure et de l'incertitude fait l'objet d'un autre chapitre. Ici on s'intéresse au contenu dimensionnel des grandeurs physiques et du choix de l'unité. 27 | 28 | \subsection{Notion de dimension} 29 | En général, le résultat d'une mesure dépend de l'étalon utilisé. Par exemple, si l'on compare la longueur $\ell$ d'une règle de 1~m avec un décimètre, on obtient $\ell=10$~dm. Si l'on choisit un double décimètre comme étalon de mesure, on trouve $\ell=5$~ddm (double décimètre). La mesure est donc différente ($5\neq 10$) : on dit que la longueur possède une dimension. 30 | \newpage 31 | \begin{kaobox}[frametitle=Dimension d'une grandeur] 32 | Par définition, une grandeur physique $G$ a une dimension si sa mesure dépend du choix de l'étalon de mesure. Sa dimension est notée $[G]$. 33 | \end{kaobox} 34 | Il ne faut pas confondre cette notion avec l'unité qui est purement conventionnelle alors que la dimension est une propriété indépendante de tout système d'unités. 35 | 36 | Deux grandeurs ont même dimension si on peut les comparer. C'est pourquoi le rayon d'un cercle et son périmètre ont même dimension, car je peux en faire la mesure avec le même étalon (par exemple un fil souple d'une certaine longueur). Ici il s'agit de la dimension [longueur]. 37 | 38 | Il existe également des grandeurs physiques sans dimension (on dit aussi adimensionnées). Dans ce cas la dimension est noté $[G]=1$. Par exemple, l'angle $\theta$ d'un secteur AOB est une grandeur que l'on peut mesurer comme suit : traçons un cercle de centre O et de rayon $r$. Les droites (OA) et (OB) coupent le cercle en deux points A' et B'. L'angle se mesure en faisant le rapport de la longueur d'arc $\arcdecercle{A'B'}$ et du rayon du cercle. 39 | \begin{marginfigure} 40 | \centering 41 | \begin{tikzpicture} 42 | \draw (10:3)node{•}node[right=5pt]{B}--(0,0)node{•}node[left=5pt]{O}--(-10:2)node{•}node[right=5pt]{A}; 43 | \draw[dashed] (0,0) circle(1); 44 | \draw[thick,blue] (-10:1)node[below,fill=white]{\small A'} arc(-10:10:1)node[above,fill=white]{\small B'}; 45 | \draw (0,0)--(90:1)node[midway,fill=white]{$r$}; 46 | \draw (0:1)node[right=5pt]{$\theta$}; 47 | \end{tikzpicture} 48 | \caption{Définition de l'angle plan.} 49 | \labfig{définition_de_l_angle_plan} 50 | \end{marginfigure} 51 | \[ 52 | \theta\stackrel{\text{def}}= \dfrac{\arcdecercle{A'B'}}{r} 53 | \] 54 | \begin{margintable} 55 | \centering 56 | \footnotesize 57 | \caption{Symbole donné aux dimensions des grandeurs de base.} 58 | \labtab{lettre_donnee_aux_dimensions_des_grandeurs_de_base} 59 | \begin{tabular}{lc} 60 | \toprule 61 | \textbf{Dimension} & \textbf{Symbole} \\ 62 | Longueur & L \\ 63 | Masse & M \\ 64 | Temps & T \\ 65 | Intensité électrique & I \\ 66 | Température & $\Theta$ \\ 67 | Quantité de matière & N\\ 68 | \bottomrule 69 | \end{tabular} 70 | \end{margintable} 71 | On constate donc que si l'on double le rayon du cercle, la longueur d'arc double également de sorte que l'angle ne dépend pas de la taille du cercle. Il est alors assez évident que si l'on décide de mesurer les distances en centimètre, en pouce, ou dans n'importe quel système d'unités, le résultat de l'angle $\theta$ ne changera pas. \textbf{L'angle est donc sans dimension}. De la même manière, une grandeur définie comme le rapport de deux grandeurs de même dimension, ne présente pas de dimension. 72 | 73 | Enfin, par commodité, on a donné un nom spécifique à certaines dimensions (cf. \reftab{lettre_donnee_aux_dimensions_des_grandeurs_de_base}). 74 | 75 | 76 | 77 | \subsection{Équation aux dimensions} 78 | Une loi physique affirme l'égalité de deux grandeurs qui sont nécessairement de même nature. Une loi physique est donc aussi une relation entre différentes dimensions : on parle d'\textbf{équation aux dimensions}. 79 | Voyons comment obtenir ces équations aux dimensions sur quelques exemples. 80 | \begin{description} 81 | \item[La vitesse :] d'après la définition $v_x\stackrel{\text{def}}=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$, on déduit 82 | \[[v]=\mathrm{LT^{-1}}\] 83 | \item[L'accélération :] la définition $a_x\stackrel{\text{def}}=\mathrm{d}v_x/\mathrm{d}t$ donne 84 | \[[a]=\frac{[v]}{\text{T}}=\mathrm{LT^{-2}}\] 85 | \item[La force :] en vertu de la deuxième loi de Newton $F=ma$ on a 86 | \[[\text{F}]=\mathrm{MLT^{-2}}\] 87 | \item[La constante des gaz parfaits :] on peut obtenir sa dimension à partir de la loi du gaz parfait $pV=nRT$. 88 | \[ [R]=\frac{[p][V]}{[n][T]}=\frac{[F]}{\mathrm{L^{2}}}\times\frac{\mathrm{L^3}}{N\Theta}= 89 | \mathrm{ML^2}\mathrm{T^{-2}}\Theta^{-1}\mathrm{N^{-1}}\] 90 | \item[Le champ magnétique :] par définition du champ magnétique, une particule de charge électrique 91 | $q$ se déplaçant à la vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un champ magnétique $\overrightarrow{B}$ subit une force 92 | $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}$, d'où 93 | \[ [B]=\frac{[F]}{[q][v]}=\frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{IT}\times \mathrm{LT}^{-1}}=\mathrm{MT}^{-2}\mathrm{I}^{-1}\] 94 | \end{description} 95 | 96 | 97 | 98 | \section[Le SI]{Le Système international d'unités} 99 | Comme on l'a déjà dit, mesurer c'est comparer une grandeur physique avec un étalon qui définit l'\textbf{unité de mesure}. Celle-ci relevant d'un choix arbitraire il faut bien \textbf{convenir} d'un système d'unités pour pouvoir communiquer (transactions commerciales, rapports scientifiques, etc.). La bonne idée consiste alors à choisir des étalons dont la définition est indépendante du lieu et du temps et avec lesquels on peut construire toutes les unités. C'est l'ambition du Système international d'unités (SI) adopté par quasiment tous les pays\sidenote{Trois pays n'ont pas encore adopté officiellement le système métrique : le Libéria, la Birmanie et… les Etats-Unis.}. Né officiellement en 1960, il s'agit d'une extension de l'ancien système MKSA. 100 | 101 | 102 | \subsection{Les unités de base} 103 | \begin{marginfigure}[*6] 104 | \centering 105 | \includegraphics[width=5cm]{img/SI-Illustration-Constants-Colour-Full.png} 106 | \caption{Le SI et ses 7 unités fondamentales liées aux 7 constantes universelles.} 107 | \labfig{title_name} 108 | \end{marginfigure} 109 | Le (SI) forme un système cohérent reposant sur \textbf{sept unités de base} (\emph{cf.} \reftab{sept_unites_de_base}) indépendants du point de vue dimensionnel. 110 | \begin{table}[ht!] 111 | \centering 112 | \footnotesize 113 | \caption{Les sept unités de base du Système internationale d'unités.} 114 | \labtab{sept_unites_de_base} 115 | \begin{tabular}{lcrr} 116 | \toprule 117 | \textbf{Dimension} & \textbf{Symbole} & \textbf{Unité SI} &\textbf{Symbole}\\ 118 | Longueur & L & mètre & m\\ 119 | Masse & M & kilogramme & kg\\ 120 | Temps & T & seconde & s\\ 121 | Intensité électrique & I & ampère & A\\ 122 | Température & $\Theta$ & kelvin & K\\ 123 | Quantité de matière & N & mole & mol\\ 124 | Intensité lumineuse & J & candela &cd\\ 125 | \bottomrule 126 | \end{tabular} 127 | \end{table} 128 | Depuis le 20 mai 2019, les unités du SI sont définies à partir de sept constantes de la nature auxquelles on donne une valeur fixe. Les sept constantes sur lesquelles repose le Système international d'unités sont 129 | \begin{itemize} 130 | \item la fréquence de la transition hyperfine du césium 133 \(\Delta \nu_\textsf{Cs}=9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}\) qui permet de définir la seconde ; 131 | \item la vitesse de la lumière dans le vide \(c=299~792~458\,\mathrm{m.s^{-1}}\) qui permet de relier le mètre à la seconde ; 132 | \item la constante de Planck \(h=6{,}626~070~15\cdot 10^{-34}\,\mathrm{kg.m^2.s^{-1}}\) qui définit indirectement le kilogramme ; 133 | \item la charge élémentaire \(e=1{,}602~176~634\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\) qui fixe l'ampère puisque \(1\,\mathrm{C}=1\,\mathrm{A.s}\) ; 134 | \item la constante de Boltzmann \(k_\text{B}=1{,}380~649 \cdot 10^{-23} \, \mathrm{J.K^{-1} } \) qui relie le kelvin aux unités mécaniques ; 135 | \item la constante d'Avogadro \(N_\text{A}=6{,}022~140~76\cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\) qui donne le nombre exact d'entités élémentaires (atomes, molécules, ions, etc.) formant une mole ; 136 | \item Enfin, l'efficacité lumineuse \(K_{cd}=683\,\mathrm{lumen.W^{-1}}\) pour un rayonnement monochromatique de longueur d'onde\sidenote[][]{Cette longueur d'onde correspond au maximum de sensibilité de l'œil humain.} \(\lambda=555\,\mathrm{nm}\). Cette constante relie les grandeurs sensorielles (intensité en candela, éclairement en lux, flux lumineux en lumen) aux grandeurs énergétiques de la lumière (intensité en watt par stéradian, éclairement en watt par mètre carré, flux en watt). 137 | \end{itemize} 138 | Notez que ces constantes sont des grandeurs physiques sans incertitude. En revanche, certaines grandeurs auparavant fixées (avant mai 2019) retrouvent leur statut de grandeur expérimentale. Par exemple, une mole de carbone 12 pesait auparavant 12~g par définition ; dorénavant sa valeur n'est plus connue exactement. Elle présente donc une incertitude. 139 | 140 | 141 | 142 | %\begin{description} 143 | % \item[Le mètre] est relié à la seconde \emph{via} l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. Par définition, la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant une seconde vaut $L=299\,792\,458\, \rm m$ 144 | % 145 | %\remarque{le mètre a connu en deux siècles quatre définitions successives. Initialement, le mètre était défini à partir de la longueur du méridien terrestre supposé invariable: $L=40\,000\;{\rm km}$. Aujourd'hui, avec l'étalon mètre actuel (lié à l'étalon seconde) $L=40\,008,08\;{\rm km}$ ; la différence est donc imperceptible pour un utilisateur courant.} 146 | % 147 | % \item[Le kilogramme] est la masse d'un bloc cylindrique de Platine irridié (90\%Pt-10\%Ir) conservé au pavillon de Breteuil (Sèvres) depuis 1889. 148 | % 149 | % \remarque{cet étalon se dégrade par usure et contamination ; c'est pourquoi il est envisagé de changer de définition du kg et de définir cette unité à partir de la constante de Planck $h$.} 150 | % 151 | % \item[La seconde] est la durée de $9\,192\,631\,770$ périodes de la radiation correspondante à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome $\mathrm{_{133}Cs}$ au repos dans le référentiel d'étude. 152 | % 153 | % \remarque{initialement la seconde était définie à partir du jour solaire moyen J par la relation $J=86400\,{\rm s}$. Aujourd'hui, avec la définition de l'étalon seconde, on a $J=86400,003\,{\rm s}$.} 154 | % 155 | % \item[L'ampère] est défini à partir de la force magnétique de Laplace et permet d'établir à $10^{-7}$ près les principaux étalons du domaine électrique. Un ampère est l'intensité du courant qui fait apparaître une force de $2.10^{-7}\;\mathrm{N}$ entre deux conducteurs filiformes rectilignes infinis distants de $1\;\mathrm{m}$, parcourus par ce courant électrique. 156 | % 157 | % \remarque{cette définition fixe les valeurs de la perméabilité magnétique et de la permittivité du vide à 158 | % \[\mu_{0}=4\pi.10^{-7}\;\mathrm{H.m^{-1}}\quad\text{et}\quad\epsilon_0=\frac{1}{\mu_0 c^2}\] 159 | % Notez qu'il est prévu de redéfinir l'ampère à partir de la charge de l'électron $e$ ce qui aura pour effet de fixer la valeur de $e$ mais de rendre à $\mu_0$ et à $\epsilon_0$ leur statut de constantes expérimentales.} 160 | % 161 | % \item[Le kelvin] se rapporte à la loi du gaz parfait. Par définition du kelvin, la température d'un gaz parfait en équilibre avec l'eau dans ses trois états (le point triple de l'eau) vaut $273,16\;\mathrm{K}$. 162 | % 163 | % \remarque{la future définition du kelvin fixera la valeur de la constante de Boltzmann $k_{\rm B}$.} 164 | % 165 | % \item[La mole] est la quantité d'atomes contenue dans 12~g de carbone 12. 166 | % 167 | % \remarque{l'imprécision de cet étalon est donc liée à celle de la masse. Pour pallier cet inconvénient, il est envisagé de définir la mole en fixant la valeur du nombre d'Avogadro.} 168 | % 169 | % \item[La candela] est l'unité donnant l'intensité lumineuse d'une source dans une direction donnée. Par définition, 1~cd est intensité lumineuse d'une lumière verte de fréquence $\nu=540.10^{12}\;\mathrm{Hz}$ rayonnant $\dfrac{1}{683}\;\mathrm{W.sr^{-1}}$. 170 | %\end{description} 171 | 172 | 173 | \subsection{Les unités dérivées} 174 | Les sept unités de base du système international sont les «unités fondamentales» à partir desquelles sont obtenues par combinaison toutes les autres unités, dites \textbf{unités dérivées}. Certaines d'entre-elles se sont vues attribuer un nom qui rappelle une personnalité scientifique: newton, pascal, joule, volt, tesla, henry etc. 175 | \begin{table}[htbp] 176 | \caption{Quelques unités dérivées.} 177 | \labtab{unites-derivees} 178 | \footnotesize 179 | \begin{tabular}{lrlr} 180 | \toprule 181 | \textbf{Grandeur} &\textbf{Unité SI} 182 | & 183 | \textbf{Grandeur} &\textbf{Unité SI} \\ 184 | \midrule 185 | aire & $\mathrm{m^{2}}$ 186 | &énergies & J (joule)\\ 187 | 188 | volume & $\mathrm{m^{3}}$ 189 | &pression & Pa (pascal)\\ 190 | 191 | masse molaire & $\mathrm{kg.mol^{-1}}$ 192 | &tension & V (volt)\\ 193 | 194 | masse volumique & $\mathrm{kg.m^{-3}}$ 195 | &charge électrique & C (coulomb)\\ 196 | 197 | fréquence & Hz (hertz) 198 | &résistance électrique & $\Omega$ (ohm)\\ 199 | 200 | vitesse (scalaire) & $\mathrm{m.s^{-1}}$ 201 | &champ électrique & $\mathrm{V.m^{-1}}$\\ 202 | 203 | vitesse angulaire, pulsation & $\mathrm{rad.s^{-1}}$ 204 | &conductance électrique & S (siemens)\\ 205 | 206 | accélération (scalaire) & $\mathrm{m.s^{-2}}$ 207 | &capacité électrique & F (farad)\\ 208 | 209 | force d'interaction & N (newton) 210 | &inductance & H (henry)\\ 211 | 212 | puissance mécanique & W (watt) 213 | &champ magnétique & T (tesla)\\ 214 | \bottomrule 215 | \end{tabular} 216 | \end{table} 217 | Il peut donc y avoir différentes façons d'exprimer la même unité. 218 | 219 | \begin{kaoexample}[frametitle=Exemple : unités de la pression] 220 | La pression s'exprime en pascal (Pa) dans le système international. Etant donné que la pression représente une force par unité de surface on peut aussi l'exprimer en $\mathrm{N/m^2}$. Par ailleurs, on sait d'après l'équation aux dimensions $\mathrm{F=MLT^{-2}}$, que $1\;\mathrm{N}=1\;\mathrm{kg.m.s^{-2}}$ d'où l'on déduit 221 | \[ 222 | 1\;\mathrm{Pa}=1\;\mathrm{N.m^{-2}}=1\;\mathrm{kg.m^{-1}.s^{-2}} 223 | \] 224 | \end{kaoexample} 225 | 226 | \begin{kaoremark} 227 | Il existe une dernière classe d'unités qu'on appelle unités supplémentaires. Cette classe contient deux unités sans dimension : le radian (rad), unité de l'angle plan, et le stéradian (sr), unité d'angle solide. 228 | \end{kaoremark} 229 | 230 | 231 | \subsection{Préfixes SI} 232 | Enfin, on utilise parfois des préfixes multiplicateurs pour remplacer les puissances de 10 : 233 | \begin{table}[h!tbp] 234 | \caption{Préfixes multiplicateurs.} 235 | \labtab{prefixe-multiplicateurs} 236 | \footnotesize 237 | \begin{tabular}{lcccccccc} 238 | \toprule 239 | Valeur & $10^{-18}$ & $10^{-15}$ & $10^{-12}$ & $10^{-9}$ & $10^{-6}$ & $10^{-3}$ & $10^{-2}$ & $10^{-1}$ \\ 240 | Préfixe & atto & femto & pico & nano & micro & milli ¢i & déci \\ 241 | Symbole & a & f & p & n & $\mu$ & m & c & d \\ 242 | \midrule 243 | \midrule 244 | Valeur & $10$ & $10^{2}$ & $10^{3}$ & $10^{6}$ & $10^{9}$ & $10^{12}$ & $10^{15}$ & $10^{18}$ \\ 245 | Préfixe & déca & hecto & kilo & Mega & Giga & Tera & Peta & Exa \\ 246 | Symbole & da& h & k & M & G & T & P & E \\ 247 | \bottomrule 248 | \end{tabular} 249 | \end{table} 250 | 251 | \section{Analyse dimensionnelle} 252 | Analyser le contenu dimensionnel d'une relation permet de rendre bien des services. En voici un petit tour d'horizon ... 253 | \subsection{Vérifier une formule} 254 | Une loi physique impose une contrainte qui n'existe pas en mathématique ; elle doit être \textbf{homogène}, c'est-à-dire constituée de termes de même dimension. Sommer deux grandeurs de dimension différente n'a aucun sens en physique. Ainsi pour vérifier une loi physique, la première chose à faire est de vérifier l'homogénéité ! 255 | \begin{kaobox}[frametitle=Vérifier une formule] 256 | Toute formule non homogène est nécessairement fausse. On retiendra quelques règles : 257 | \begin{itemize} 258 | \item dans $\sin x$, $\cos x$, $\mathrm{e}^x$, $\ln x$ et $\log x$ la grandeur $x$ doit être sans dimension ; 259 | \item dans $1+x$, la grandeur $x$ doit être sans dimension ; 260 | \item dans $1+x/y$, les grandeurs $x$ et $y$ sont de même dimension. 261 | \end{itemize} 262 | \end{kaobox} 263 | 264 | 265 | \exercice{La période d'oscillation d'un pendule simple dépend de sa longueur $\ell$, du champ de pesanteur $g$ et de l'amplitude angulaire $\theta_\text{max}$ des oscillations. On propose plusieurs formules ; préciser celles qui ne sont pas homogènes : 266 | \begin{multicols}{2} 267 | \begin{itemize}[label=$\square$] 268 | \item $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell+\theta_\text{max}}{g-\theta_\text{max}}}$ 269 | \item $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g\theta_\text{max}}}$ 270 | \item $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\left(1+\dfrac{{\theta_\text{max}}^2}{16}\right)$ 271 | \item $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\left(1+\dfrac{\theta_\text{max}}{\ell}\right)$ 272 | \end{itemize} 273 | \end{multicols}} 274 | 275 | Bien entendu, cela ne signifie pas qu'une formule homogène soit forcément exacte, mais cela permet déjà de trier ce qui n'a aucun sens physique de ce qui peut en avoir. De manière générale, l'analyse dimensionnelle est un outil de réfutation, pas de validation. 276 | 277 | \begin{kaoremark} 278 | Il faut prendre garde à certaines formules qui mélangent expressions numériques et littérales. Par exemple, le pH d'une solution acido-basique diluée est souvent défini par 279 | \[\text{pH}=-\log\left[\mathsf{H_3O^+}\right]\] 280 | Or la concentration n'est pas sans dimension ce qui suggère que cette formule est non-homogène. En réalité cette formule n'obéit pas à la règle élémentaire qui veut que toute relation soit indépendante du système d'unités. En effet, dans la formule qui donne le pH, il est sous entendu qu'il faut exprimer $\left[\mathsf{H_3O^+}\right]$ en mol.L$^{-1}$. Si l'on veut donner la relation qui donne le pH quel que soit le système d'unités on écrira plutôt 281 | \[\text{pH}=-\log\frac{\left[\mathsf{H_3O^+}\right]}{c^{\circ}}\] 282 | où $c^{\circ}$ désigne la concentration standard. Dans le SI, $c^{\circ}=1000\;\mathrm{mol.m^{-3}}$ mais si l'on décide d'exprimer les concentrations en mol.L$^{-1}$, on a $c^{\circ}=1\;\mathrm{mol.L^{-1}}$ et dans ce cas la tentation est grande de faire disparaître cette constante par commodité. Mais cela ne doit pas nous faire oublier sa présence. 283 | \end{kaoremark} 284 | 285 | 286 | 287 | \subsection{Conversion d'unités} 288 | L'équation aux dimensions étant indépendante du système d'unités, elle est très utile quand il faut convertir une unité d'un système vers celle d'un autre système. 289 | 290 | \begin{kaoexample}[frametitle=Exemple : la dyne] 291 | Dans le Système International, la force s'exprime en newton alors qu'elle s'exprime en dyne dans le Système CGS (cm, gramme, seconde). Combien de newton vaut 1 dyne ? 292 | 293 | L'équation aux dimensions $[\text{Force}]=\mathrm{MLT^{-2}}$ doit être vérifiée dans tout système d'unités. On a donc 294 | \[\text{1 newton}=\mathrm{1\, kg.m.s^{-2}}\quad\text{et}\quad \text{1 dyne}=\mathrm{1\, g.cm.s^{-2}}\] 295 | Ainsi on en déduit la conversion : 296 | \[1\;\mathrm{newton}=10^5\;\mathrm{dynes}\] 297 | \end{kaoexample} 298 | 299 | \subsection{Modéliser} 300 | L'analyse dimensionnelle permet de prévoir la forme d'une loi si l'on sait quels sont les paramètres pertinents du problème. 301 | 302 | Supposons par exemple que nous cherchions à exprimer une grandeur $G$ en fonction de 2 paramètres pertinents indépendants $p_{1}$ et $p_{2}$. La méthode consiste alors à trouver comment multiplier $p_1$ et $p_2$ pour former une grandeur de même dimension que $G$. On écrit donc 303 | \[G=\mathrm{C^{te}}{p_1}^\alpha\,{p_2}^\beta\] 304 | où $\alpha$ et $\beta$ sont des facteurs que l'on détermine grâce à l'équation aux dimensions. Une fois ces constantes déterminées, on peut proposer la forme générale de la loi recherchée. 305 | 306 | \begin{kaoexample}[frametitle=Exemple : période d'oscillation $T$ d'un pendule simple] 307 | On suppose que la période $T$ dépend de la masse $m$, du champ de pesanteur $g$ et de la longueur $\ell$ du pendule : $T=f(m,g,\ell)$. On écrit alors 308 | \[T=\mathrm{C^{te}}m^{\alpha}\,g^{\beta}\,\ell^{\gamma}\] 309 | où $\mathrm{C^{te}}$ est un facteur adimensioné. Cela nous donne l'équation aux dimensions 310 | \[\mathrm{T}=\mathrm{M}^{\alpha}\mathrm{L}^{\gamma+\beta}\mathrm{T}^{-2\beta}\] 311 | La loi devant être homogène on doit poser $\alpha=0$, $\beta=-1/2$ et $\gamma=1/2$. La forme générale est donc 312 | \[T=\mathrm{C^{te}}\sqrt{\frac{\ell}{g}}\] 313 | Attention, ce n'est pas parce que l'on trouve une loi qu'elle est juste ! L'analyse dimensionnelle nous dit simplement que la loi est correcte en termes de dimension. C'est à l'expérience de confirmer ou d'infirmer l'analyse. Par exemple, dans le cas du pendule, supposer comme nous l'avons fait, que la période du pendule ne dépend pas de l'amplitude des oscillations est en contradiction avec les faits\footnote{On peut montrer que cette propriété n'est correcte que si les angles sont petits.}. Il faut alors introduire l'amplitude $\theta_0$ des oscillations dans l'analyse dimensionnelle : 314 | \[T=f(m,g,\ell,\theta_0) 315 | \quad\Longrightarrow\quad 316 | T=\mathrm{C^{te}}m^{\alpha}\,g^{\beta}\,\ell^{\gamma}{\theta_0}^\delta\] 317 | d'où l'équation aux dimensions 318 | \[\mathrm{T}=\mathrm{M}^{\alpha}\mathrm{L}^{\gamma+\beta}\mathrm{T}^{-2\beta}\] 319 | identique à la précédente. On trouve donc les mêmes résultats ($\alpha=0$, $\beta=-1/2$ et $\gamma=1/2$) et $\delta$ peut prendre des valeurs quelconque. En d'autres termes on peut écrire la période ainsi 320 | \[ 321 | T=\sqrt{\frac{\ell}{g}}(a_0+a_1\,\theta_0+a_2\,{\theta_0}^2+\ldots+a_p\,{\theta_0}^p+\ldots) 322 | \] 323 | où les exposants peuvent être quelconques de sorte que la forme la plus générale est 324 | \[T=\sqrt{\frac{\ell}{g}}f(\theta_0)\] 325 | \end{kaoexample} 326 | 327 | Notez que l'analyse dimensionnelle ne permet pas de déterminer complètement la loi recherchée. Dans le meilleur des cas, une constante adimensionnée est à déterminer de façon empirique. 328 | 329 | 330 | 331 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/valider.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TEX encoding = UTF-8 Unicode 2 | \setchapterstyle{kao} 3 | \setchapterpreamble[u]{\margintoc} 4 | \chapter{VALIDER UN MODELE} 5 | \labch{valider_un_modele} 6 | 7 | \blockquote{En sciences il n'y a pas de résultats irréfutables, il n'y a que des résultats réfutés.} 8 | 9 | La modélisation présente deux fonctions principales : expliquer et prévoir. Cependant toute modélisation repose sur des hypothèses qu'il s'agit de valider. Nous proposons une illustration de l'opération de modélisation et de sa validation scientifique à partir de l'expérience réalisée dans le chapitre précédent sur les oscillations d'un pendule simple. 10 | 11 | \begin{center} 12 | \textbf{Version en ligne} 13 | 14 | \url{https://femto-physique.fr/omp/valider-un-modele.php} 15 | \end{center} 16 | 17 | 18 | \section{Modélisation} 19 | 20 | \subsection{Modéliser c'est simplifier} 21 | Tout d'abord, insistons sur les points suivants. 22 | \begin{enumerate} 23 | \item Toute modélisation repose sur des approximations \emph{dès le départ}. 24 | \item Ces approximations peuvent concerner le cadre de l'étude. Le fait d'utiliser le cadre de la mécanique newtonienne pour traiter un problème et non la relativité restreinte en est un exemple. 25 | \item Elles peuvent concerner les phénomènes mis en jeu. Négliger la rotation de la Terre dans l'étude de la chute libre en est une illustration. 26 | \end{enumerate} 27 | 28 | Bien entendu les approximations ne sont pas faites au hasard. En général, des considérations expérimentales et/ou théoriques permettent de justifier ces approximations. 29 | 30 | Une fois les hypothèses posées, le physicien cherche à déterminer un modèle (mathématique/numérique) afin de faire des prévisions sur le phénomène. Différentes méthodes s'offrent à lui suivant le point de vue adopté mais dans tous les cas, il est important de comprendre que toute modélisation produit une erreur : c'est le biais théorique. 31 | 32 | \subsection{Exemple du mouvement d'un pendule simple}[Exemple du pendule] 33 | Poursuivons notre étude du mouvement d'un pendule simple en proposant un modèle théorique qui permet d'accéder à l'expression de la période $T$ des oscillations en fonction des caractéristiques du pendule. Par la suite, ce modèle sera soumis à l'épreuve des faits. 34 | 35 | \textbf{Cadre théorique} -- Plaçons nous dans le cadre de la mécanique classique puisqu'il s'agit de décrire le mouvement d'un corps macroscopique animé d'une vitesse faible devant celle de la lumière. 36 | 37 | \textbf{Les hypothèses} -- Simplifions ! Considérons un pendule simple formé d'une bille quasi-ponctuelle de masse $m$, attachée à un fil inextensible de masse négligeable et de longueur $\ell$. Le fil, quant à lui, est fixé en un point O. Écartons le pendule de sa position d'équilibre puis lâchons le. La masse descend et acquiert une énergie cinétique qui la fait remonter. Il est assez clair que l'action du fil et la pesanteur jouent un rôle prépondérant. Cependant, le pendule est soumis à d'autres types d'action. On pourrait citer les frottements de l'air, les effets de la rotation terrestre, les effets électromagnétiques dus au champ magnétique terrestre etc. Négligeons donc ces phénomènes en première hypothèse et nous verrons bien si la précision des mesures permet de réfuter ce modèle. On considère donc un pendule simple soumis uniquement au champ de pesanteur dans un référentiel terrestre galiléen. 38 | \begin{marginfigure}[*0] 39 | \centering 40 | \begin{tikzpicture} [scale=0.8] 41 | \coordinate (O) at (0, 0); 42 | \coordinate (M) at (-55:5); 43 | \draw[thick,double=lightgray] (O)node{$\bullet$}node[above right]{O}--(M); 44 | \draw (-57:2.5) node[above right]{$\ell$}; 45 | \draw [thin,gray] (-0.5,0)--(5,0); 46 | \draw [thin,gray] (0,0.5) --(0,-6); 47 | \draw[vecteur] (O)-- ++(1,0); 48 | \draw[vecteur] (O)-- ++(0,1); 49 | \draw (1,0) node[below] {$\overrightarrow{{u}_{x}}$} ++(-1,1) node[below left] {$\overrightarrow{{u}_{y}}$}; 50 | \draw[vecteur] (4.5,-1)--++(0,-1) node[midway,right]{$\overrightarrow{g}$}; 51 | \draw[dotted](M)--(0,{-5*sin(55)})node[left]{$y(t)$}; 52 | \draw[dashed](M)++(0,{2*sin(55)})--++({-2*cos(55)},0); 53 | \draw[dotted](M)--({5*cos(55)},0)node[above]{$x(t)$}; 54 | \draw[dashed](M)++({-2*cos(55)},0)--++(0,{2*sin(55)},0); 55 | \draw[force] (M)--++({-2*cos(55)},{2*sin(55)}) node[below left]{$\overrightarrow{F}$}; 56 | \draw[->](M)--++(0,{2*sin(55)})node[right]{$\overrightarrow{F}_y$}; 57 | \draw[->](M)--++({-2*cos(55)},0)node[below]{$\overrightarrow{F}_x$}; 58 | \draw[force] (M)--++(0,-2) node[above right=2pt]{$m\overrightarrow{g}$}; 59 | \draw[bloc] (M) circle(0.2) node[black,right=5pt]{M}; 60 | \draw[->] (0,-1) arc (-90:-55:1); 61 | \draw (-70:1)node[below=2pt]{$\theta$}; 62 | \end{tikzpicture} 63 | \caption{Bilan des forces} 64 | \labfig{bilan_des_forces} 65 | \end{marginfigure} 66 | \textbf{Détermination de l'équation du mouvement} -- Établissons l'équation du mouvement en projetant les forces et en utilisant la seconde loi de Newton $\overrightarrow{F}=m \overrightarrow{a}$. La masse est soumise à la pesanteur $\overrightarrow{P}=m \overrightarrow{g}$ ainsi qu'à la tension $\overrightarrow{F}$ du fil. Exprimons ces vecteurs dans la base cartésienne : 67 | \[ 68 | \overrightarrow{P}=\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix} 69 | \qquad\text{et}\qquad 70 | \overrightarrow{F}=\begin{pmatrix}F_x\\F_y\end{pmatrix} 71 | \] 72 | D'après les relations de Thales on a 73 | \[\dfrac{F_x}{F}=-\dfrac{x}{\ell}\qquad\text{et}\qquad\dfrac{F_y}{F}=-\dfrac{y}{\ell} \] 74 | où $F$ désigne l'intensité de la tension du fil. Projetons la seconde loi de newton suivant les axes O$x$ et O$y$ : 75 | \[\left\{\begin{array}{rcccl} 76 | m\ddot y &=& -mg+F_y &=& -mg-\dfrac{F}{\ell}y\\[3mm] 77 | m\ddot x &=& 0+F_x &=& -\dfrac{F}{\ell}x 78 | \end{array}\right.\] 79 | Par ailleurs, supposons l'angle d'oscillation suffisamment petit de sorte que $\cos\theta\simeq 1$. En pratique, cela correspond à des angles inférieurs à 10\(^\circ\) si la précision recherchée est de l'ordre de 1\%. Cela implique 80 | \[y=-\ell\cos\theta\simeq -\ell \qquad\text{d'où}\qquad \ddot y \simeq 0 \] 81 | Les équations du mouvement aboutissent à 82 | \[\left\{\begin{array}{rcl} 83 | F &=& mg\\[3mm] 84 | m \ddot x &=& -\dfrac{mg}{\ell}x 85 | \end{array} \right.\] 86 | Finalement, le mouvement horizontal est décrit par l'équation 87 | \begin{equation} 88 | \ddot x+\frac{g}{\ell}\,x=0 89 | \label{eq:mouvement_du_pendule_simple} 90 | \end{equation} 91 | Cette équation à pour inconnue \textbf{une fonction} : elle relie une fonction à ses dérivées. Ici l'ordre maximum des dérivées vaut 2 ; on dit qu'il s'agit d'une \textbf{équation différentielle d'ordre 2}. Par ailleurs, on a des contraintes imposées par les conditions initiales 92 | \[ x(t=0)=x_0 \qquad\text{et}\qquad \dot x(t=0)=0\] 93 | Le nombre de conditions initiales doit toujours être égal à l'ordre de l'équation différentielle (ici 2). Il existe des méthodes analytiques et/ou numériques pour résoudre ce type d'équation différentielle. Ici, on va se servir de notre intuition pour trouver le résultat sachant que la solution est unique. Autrement dit, si l'on trouve une solution alors c'est \emph{la solution}. Compte tenu des oscillations observées, il est légitime de proposer une solution de la forme $x(t)=a\cos(bt)$ avec $a$ et $b$ des paramètres à déterminer. En premier lieu, la condition initiale $x(0)=x_0$ impose $a=x_0$. Il nous reste à déterminer $b$. Pour cela, remplaçons la fonction proposée dans l'équation \eqref{eq:mouvement_du_pendule_simple} : si la forme proposée est la bonne, on devrait trouver l'unique valeur de $b$ qui convient. 94 | \[\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(x_0\cos bt)+\dfrac{g}{\ell}x_0\cos bt=0 95 | \quad\text{d'où}\quad 96 | x_0\cos(bt)\left[-b^2+\dfrac{g}{\ell}\right]=0\] 97 | équation qui n'est vérifiée que si $b=\sqrt{g/\ell}$. L'unique solution de notre équation est donc \[x(t)=x_0\cos\sqrt{\frac{g}{\ell}}t\] 98 | Il nous reste à déterminer la période $T$ des oscillations. Le pendule passe à la verticale quand $x(t)=0$ soit 99 | \[\cos\sqrt{\frac{g}{\ell}}\,t=0 100 | \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{g}{\ell}}\,t_k=\pi/2+k\pi \] 101 | Par conséquent, la période des oscillations vaut 102 | \begin{equation} 103 | T=2(t_1-t_0)=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} 104 | \label{eq:periode_pendule_simple} 105 | \end{equation} 106 | 107 | \textbf{Analyse du résultat} -- Notons que l'on trouve une relation qui a la forme prévue par l'analyse dimensionnelle effectuée au \refch{unites_et_dimensions}. Elle est donc nécessairement homogène. 108 | 109 | Il est bon, lorsque l'on obtient un résultat théorique, d'en analyser le contenu. Ici, la formule \eqref{eq:periode_pendule_simple} nous «dit» que la période augmente avec $\ell$. C'est effectivement ce que l'on observe. Par ailleurs, elle affirme que plus le champ de pesanteur est grand plus la période diminue ce qui semble logique puisque plus le champ de pesanteur est grand et plus la bille tombe vite. En revanche, la masse n'intervient pas dans la formule comme nous l'avions prévu dans l'analyse dimensionnelle. Rien d'étonnant si l'on se souvient que la chute libre est indépendante de la masse. 110 | 111 | Enfin, n'oublions pas que le modèle est une simplification, ce qui signifie que le résultat a un domaine de validité restreint : 112 | \begin{enumerate} 113 | \item la masse ne doit pas être trop grande sinon le fil s'allonge périodiquement et $\ell$ n'est alors plus constant ; 114 | \item la masse ne doit pas être trop petite sinon celle du fil n'est plus négligeable ; 115 | \item la longueur ne doit pas être trop petite sinon la vitesse est grande d'où des frottements qui peuvent devenir non négligeables ; 116 | \item l'angle initial doit rester petit. 117 | \end{enumerate} 118 | 119 | 120 | \section{Comparer deux valeurs} 121 | \begin{margintable}[*3] 122 | \centering 123 | \footnotesize 124 | \begin{tabular}{l|cc} 125 | $\ell$ [cm] & 70,0~$\pm$~0,1 & 48,0~$\pm$~0,1 \\ 126 | \midrule 127 | $T$ [s] &1,67~$\pm$~0,03 & 1,38~$\pm$~0,06 128 | \end{tabular} 129 | \caption{Mesure de la période du pendule simple pour deux longueurs différentes.} 130 | \labtab{mesure_de_periode_pour_deux_longueurs} 131 | \end{margintable} 132 | Toute prédiction théorique doit être mise à l'épreuve des faits avant d'être validé. Illustrons cette étape sur les oscillations du pendule simple dont une modélisation aboutit au résultat théorique 133 | \[T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\] 134 | et confrontons celui-ci aux mesures que donne une série d'expériences (cf. \reftab{mesure_de_periode_pour_deux_longueurs}). Ici, les deux mesures indépendantes doivent fournir deux valeurs compatibles de $g$. 135 | 136 | \subsection{Généralités} % (fold) 137 | Comparer deux valeurs expérimentales c'est se poser la question suivante : l'écart entre ces deux valeurs est-il \textbf{significatif} ? En d'autres termes, on se demande si l'écart est lié aux erreurs aléatoires de mesure auquel cas l'écart est non significatif. Sinon l'écart est significatif et traduit une \textbf{différence objective}. 138 | \begin{figure}[h!tbp] 139 | \begin{tikzpicture} [xscale=1.8,font=\footnotesize] 140 | \draw[thick] (-0.5,-1)--++(5.5,0); 141 | \foreach \x in {-0.4,-0.3,...,4.9} 142 | \draw[shift={(0,-1)},thin] (\x,0) --++ (0,2pt); 143 | \foreach \x in {0,0.5,...,4.5} 144 | \draw[shift={(0,-1)},thin] (\x,0) -- (\x,4pt); 145 | \foreach \x in {0,...,4} 146 | \draw[shift={(0,-1)}] (\x,0) -- (\x,6pt); 147 | \draw[|-|] node{•}node[below=3pt]{A}++(0.2,0)--++(-0.4,0); 148 | \draw[|-|,shift={(2,0.3)}] node{•}node[below=3pt]{B}++(0.3,0)--++(-0.6,0); 149 | \draw[|-|,shift={(3,0.6)}] node{•}node[below=3pt]{C}++(1.1,0)--++(-2.2,0); 150 | \draw[|<->|,shift={(0,1)}] (0,0)--++(2,0) node[above,midway]{écart significatif}; 151 | \draw[|<->|,shift={(0,1)}] (2,0)--++(1,0) node[above,midway]{écart non significatif}; 152 | \end{tikzpicture} 153 | \caption{A et B sont \emph{significativement} différents contrairement à B et C.} 154 | \end{figure} 155 | La difficulté réside dans le fait que nous ne connaissons pas les valeurs vraies des quantités que l'on mesure mais simplement des intervalles de confiance. En pratique, considérant qu'un niveau de confiance de 95\% est suffisant, on regarde si les deux intervalles de confiance se chevauchent : si oui, il n'y a pas de désaccord significatif. 156 | 157 | Par ailleurs, on peut être amené à comparer une valeur expérimentale avec une valeur tabulée (intensité de la pesanteur, chaleur latente de fusion de l'eau, charge de l'électron, etc.). En général, ces valeurs ne sont pas exactes\sidenote{Il existe toutefois quelques grandeurs dont on connaît les valeurs exactes de par les définitions des unités. Par exemple la célérité de la lumière dans le vide $c$, le nombre d'Avogadro et la constante de Planck ont des valeurs exactes dans le nouveau Système international d'unités.} puisqu'elles sont entachées d'une incertitude. Néanmoins, ces valeurs sont beaucoup plus précises que celles obtenues dans le cadre des Travaux Pratiques, c'est pourquoi on considère les valeurs tabulées comme des valeurs exactes. 158 | \begin{kaobox}[frametitle=À retenir] 159 | \begin{itemize} 160 | \item Deux résultats sont significativement différents si leur marge d'erreur à 95\% de niveau de confiance ne se recouvrent pas. 161 | \item Un résultat expérimental est différent d'une valeur tabulée si cette dernière est située en dehors de la marge d'erreur à 95\%. 162 | \end{itemize} 163 | \end{kaobox} 164 | 165 | % (end) 166 | 167 | 168 | \subsubsection{Que faire s'il y a un désaccord significatif ?} 169 | Un désaccord significatif impose d'en chercher l'origine. Cet exercice peut s'avérer délicat, comme nous le rappelle la célèbre affaire des neutrinos supraluminiques. En général, il faut explorer trois pistes. 170 | \begin{description} 171 | \item[L'erreur de calcul --] On n'est jamais à l'abris d'erreur de saisie sur la calculatrice ou le tableur. De plus, on peut aussi avoir mal calculé les incertitudes. 172 | \item[La présence de biais expérimentaux --] Il se peut qu'une erreur systématique non détectée soit responsable de ce désaccord. Par exemple, un chronomètre décalibré, un étalonnage mal fait etc. 173 | \item[Remettre en cause le modèle --] Comme on l'a vu, tout modèle repose sur des hypothèses simplificatrices. Il se peut que les effets de ces simplifications ne soient pas négligeables compte tenu de la précision des mesures. Il faut alors raffiner le modèle pour décrire plus fidèlement la réalité. 174 | \end{description} 175 | 176 | 177 | \subsection{Exemple} 178 | Reprenons l'expérience des oscillations d'un pendule simple. On a établit un résultat théorique qui montre que la mesure de la période du pendule permet de mesurer le champ de pesanteur. Commençons donc par calculer les valeurs de $g$ à partir des deux mesures. On a la relation 179 | \[g=4\pi^2\frac{\ell}{T^2}\] 180 | ce qui permet d'exprimer l'incertitude $\Delta g$ à partir des incertitudes sur la longueur et la période du pendule simple.\begin{margintable} 181 | \centering 182 | \caption{Résultats expérimentaux.} 183 | \labtab{resultats_experimentaux} 184 | \footnotesize 185 | \begin{tabular}{l|cc} 186 | \toprule 187 | $\ell$ [cm] & 70,0~$\pm$~0,1 & 48,0~$\pm$~0,1 \\[1mm] 188 | $T$ [s] &1,67~$\pm$~0,03 & 1,38~$\pm$~0,06\\[1mm] 189 | $g$ [m.s$^{-2}$] &9,9~$\pm$~0,4 & 10,0~$\pm$~0,9\\ 190 | \bottomrule 191 | \end{tabular} 192 | \end{margintable} On a 193 | \[\begin{array}{rcl}\dfrac{\partial g}{\partial \ell} &=&\dfrac{4\pi^2}{T^{2}}\\[3mm] 194 | \dfrac{\partial g}{\partial T} &=& -\dfrac{8\pi^2\,\ell}{T^{3}}\\ 195 | \end{array} 196 | \quad\Longrightarrow\quad 197 | \mathrm{d}g=4\pi^2\,T^{-2} \mathrm{d}\ell-8\pi^2\,\ell\,T^{-3} \mathrm{d}T\] 198 | de sorte que l'incertitude sur $g$ vaut 199 | \[\Delta g = \sqrt{(4\pi^2\,T^{-2}\Delta\ell)^2+(8\pi^2\,\ell\,T^{-3}\Delta T)^2}\] 200 | Consignons nos résultats dans la \reftab{resultats_experimentaux}. 201 | \begin{marginfigure} 202 | \centering 203 | \begin{tikzpicture} [font=\footnotesize] 204 | \draw[thick] (-1,8.9)--++(0,2.2); 205 | \foreach \y in {8.9,9,...,11.1} 206 | \draw[shift={(-1,0)},thin] (0,\y) -- (2pt,\y); 207 | \foreach \y in {9.5,10.5} 208 | \draw[shift={(-1,0)},thin] (0,\y) -- (4pt,\y); 209 | \foreach \y in {9,10,11} 210 | \draw[shift={(-1,0)}] (0,\y) node[left]{\y}-- (6pt,\y); 211 | \draw[|-|,shift={(0,9.9)}] node{\(\bullet\)}++(0,0.4)--++(0,-0.8); 212 | \draw (0,9)node[below]{$9,9\pm0,4$}; 213 | \draw[|-|,shift={(1.5,10)}] node{\(\bullet\)}++(0,0.9)--++(0,-1.8); 214 | \draw (1.5,9)node[below]{$10,0\pm0,9$}; 215 | \draw[dashed](-1,9.81)--++(5,0)node[above left]{valeur tabulée}; 216 | \end{tikzpicture} 217 | \caption{Représentation graphique des résultats.} 218 | \end{marginfigure} 219 | Quant aux tables, elle donnent le champ de pesanteur à Rennes : $g_\text{tab}=9,81\;\mathrm{m.s^{-2}}$. Nos mesures sont donc non seulement compatibles entre elles, mais également avec la valeur tabulée. 220 | 221 | 222 | 223 | 224 | \section{Valider une loi} 225 | Décrivons la démarche habituellement employée pour valider une loi à partir de données expérimentales. 226 | 227 | \subsection{Régression par la méthode des moindres carrés}[Méthode des moindres carrés] 228 | Supposons que l'on cherche à vérifier une loi du type $y=f(x)$ prévue par un modèle théorique à partir de $n$ mesures $(y_i,x_i)$. Tester la validité de la loi $y=f(x)$ c'est répondre à deux questions : 229 | \begin{enumerate} 230 | \item Si l'on suppose la loi valide, quelle est la courbe d'ajustement (courbe de régression) qui s'ajuste au plus près des données expérimentales ? 231 | \item Une fois l'ajustement effectué, peut-on dire si les écarts entre la courbe de régression et les points sont significatifs ? S'ils sont imputables aux erreurs de mesure, alors rien ne permet de réfuter la loi. En revanche, si le désaccord est significatif, il faut en chercher l'origine (problème de calcul, biais expérimental, hypothèses du modèle à réfuter, etc). 232 | \end{enumerate} 233 | \begin{marginfigure} 234 | \centering 235 | \begin{tikzpicture} 236 | \begin{axis}[ 237 | width=6cm, 238 | axis lines=middle,% bottom,top 239 | inner axis line style={=>}, 240 | xlabel={$x$}, 241 | ylabel={$y$}, 242 | ymin=0.9, 243 | ymax=2.3, 244 | xmin=0, 245 | xmax=2.2, 246 | xtick=\empty, 247 | ytick=\empty, 248 | ] 249 | \addplot+[only marks,error bars/.cd,y dir=both,y explicit] coordinates { 250 | (0.1,1.95)+- (0,0.1) 251 | (0.4,1.35)+- (0,0.03) 252 | (0.6,1.11)+- (0,0.03) 253 | (0.85,1) +- (0,0.03) 254 | (0.7,1.18) +- (0,0.06) 255 | (1,1)+- (0,0.03) 256 | (1.1,1.02)+- (0,0.03) 257 | (1.2,1.03)+- (0,0.03) 258 | (1.3,1.11)+- (0,0.03) 259 | (1.4,1.16)+- (0,0.03) 260 | (1.5,1.27)+- (0,0.03) 261 | (1.6,1.32)+- (0,0.03) 262 | (1.7,1.59)+- (0,0.05) 263 | (1.8,1.65)+- (0,0.03)}; 264 | \addplot+[mark=none,domain=0:2,samples=20]{(x-1)^2+1}node[above,rotate=70]{$y=f_\text{a}(x)$}; 265 | \end{axis} 266 | \end{tikzpicture} 267 | \caption{Ajustement d'une courbe modèle à un nuage de points expérimentaux.} 268 | \end{marginfigure} 269 | On commence donc par collecter un ensemble de $n$ mesures $(x_i,y_i)$ avec $i=1,\ldots, n$ puis l'on porte les valeurs $y_i$ en fonction de $x_i$. On obtient alors un nuage de points. Si on a accès aux incertitudes de mesures, on ajoute alors les \textbf{barres d'erreur}. 270 | 271 | Il faut ensuite choisir un \textbf{modèle d'ajustement} $y=f_\text{a}(x)$ qui va dépendre d'un petit jeu de paramètres $a_i$ à déterminer de façon à s'ajuster le mieux possible aux données. Insistons sur un point : le choix du modèle est dicté par la loi théorique que l'on cherche à vérifier. 272 | 273 | \begin{kaoexample}[frametitle=Exemple] 274 | On cherche à vérifier la loi du pendule simple $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$. On collecte donc des mesures de la période pour différentes valeurs de $\ell$. 275 | \begin{itemize} 276 | \item Si l'on porte $y=T$ en fonction de $x=\ell$ on s'attend à trouver une loi du type 277 | \[ y=a_1\sqrt{x}\qquad\text{modèle racine carré}\] 278 | 279 | \item On peut aussi porter $y=T$ en fonction de $x=\sqrt{\ell}$. On s'attend à trouver une loi du type 280 | \[ y=a_1\,x \qquad\text{modèle linéaire}\] 281 | \end{itemize} 282 | \end{kaoexample} 283 | Lorsque -- comme c'est le cas dans les exemples précédents -- la fonction à ajuster $f_\text{a}(x)$ est de la forme 284 | \[ 285 | f_\text{a}(x)=a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+\ldots 286 | \] 287 | On dit alors que l'on fait une \textbf{régression linéaire}. 288 | 289 | \textbf{Comment trouver les paramètres d'ajustement ?} -- Cette étape est en général effectuée automatiquement par le logiciel de traitement des données (\texttt{Regressi}, \texttt{Igor}, \texttt{Plot.ly},etc.) et repose sur la \textbf{méthode des moindres carrés} (\emph{least squares fitting} en anglais). Cela consiste à rechercher la valeur des paramètres qui minimise la somme des écarts quadratiques entre les mesures $y_i$ et les valeurs attendues $f_\text{a}(x_i)$. Si les incertitudes sont fournies, on pondère les écarts de façon à ce que les points les plus précis aient plus d'importance dans la somme à minimiser. On définit alors 290 | \[ 291 | \chi^2(a_i)=\sum_i \frac{(y_i-f_\text{a}(x_i))^2}{{\Delta y_i}^2} 292 | \] 293 | Cette somme dépend des paramètres $a_i$. Le logiciel calcule les valeurs des paramètres qui rend $\chi^2$ minimum. Une fois ces paramètres calculés, on peut tracer la courbe modèle et vérifier si elle passe par les barres d'erreur. 294 | 295 | 296 | \subsection{Utilisation de \texttt{Regressi}} 297 | Illustrons le principe de la régression avec notre expérience sur les oscillations du pendule simple. Cherchons à vérifier la loi $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ à l'aide du logiciel \texttt{Regressi}. 298 | 299 | Une fois le logiciel \texttt{Regressi} lancé, commençons par modifier les options. Notamment, précisons que les incertitudes sont calculés avec les variances puis que l'on utilise la méthode du $\chi^2$ pour l'ajustement. Quant aux graphiques, décidons d'afficher les barres d'erreur avec un niveau de confiance de 95\%. 300 | \begin{figure*}[htbp] 301 | \includegraphics[width=.45\columnwidth]{img/regressi/option_calcul.JPG} 302 | \quad 303 | \includegraphics[width=.45\columnwidth]{img/regressi/options.JPG} 304 | \caption{copies d'écran de la boite de dialogue \texttt{Option}.} 305 | \end{figure*} 306 | 307 | \begin{marginfigure}[*1] 308 | \centering 309 | \includegraphics[width=5cm]{img/regressi/nouveau_clavier.JPG} 310 | \caption{Entrée des données au clavier.} 311 | \end{marginfigure} 312 | Sélectionnons \fbox{\texttt{Fichier}} $\blacktriangleright$ \texttt{Nouveau} $\blacktriangleright$ \texttt{clavier}. Le logiciel demande les noms et facultativement les unités ainsi que les intervalles de variation des grandeurs à saisir. Rentrons \texttt{T} pour la période et \texttt{L} pour la longueur. 313 | 314 | Une fois les grandeurs définies, un tableau nous est proposé (onglet \texttt{Variables}). Le remplissage du tableau ne pose pas de difficulté particulière. Pour saisir les incertitudes, il suffit de cliquer sur l'icône \fbox{$\sigma$}. Créons la grandeur $x=\sqrt{\ell}$ en cliquant sur l'icône \fbox{\textbf{Y}$_+$}. Cochons \texttt{Grandeur calc.} puis rentrons la formule \texttt{x=sqrt(L)}. 315 | \begin{figure}[htbp] 316 | \centering 317 | \includegraphics[width=\textwidth]{img/regressi/onglet_variables.JPG} 318 | \caption{Onglet \texttt{variables}. Le logiciel effectue le calcul dans le Système international d'unités si les unités sont fournies. Ici, on a indiqué les unités de \texttt{L} en cm de sorte que, lors du calcul de $x$, \texttt{L} est converti en mètre.} 319 | \end{figure} 320 | 321 | Ouvrons la fenêtre graphique en sélectionnant l'onglet \texttt{Graphe}. Pour spécifier les variables en abscisse et en ordonnées il suffit de sélectionner \texttt{Coordonnées} après un clic-droit sur le graphe. Une boîte de dialogue permet alors de régler les coordonnées, l'échelle, le lissage, le type de tracé etc. Pour afficher les barres d'erreur, choisir \texttt{Incertitudes} dans l'option d'affichage des points. On porte \texttt{T} en fonction de \texttt{x}. 322 | 323 | On cherche à tester la loi $y=a\,x$. Pour cela, ouvrons l'espace dédié aux ajustements en cliquant sur \fbox{\texttt{modélisation}} $\blacktriangleright$ \texttt{modèles} puis choisissons un modèle linéaire. Terminons en cliquant sur \texttt{Ajuster} : le logiciel recherche le meilleur ajustement en fonction des données. Comme l'indique la figure~\ref{fig:fig_regression}, La droite d'ajustement passe à travers les barres d'erreur. Autrement dit, \textbf{les écarts à la loi sont non significatifs mais liés aux erreurs de mesure} et la loi est validée. 324 | \begin{figure}[ht] 325 | \centering 326 | \includegraphics[width=\textwidth]{img/regressi/regression.JPG} 327 | \caption{Résultat de l'ajustement sous \texttt{Regressi}} 328 | \label{fig:fig_regression} 329 | \end{figure} 330 | 331 | En prime, on accède au coefficient directeur de la droite avec son incertitude (à 95\% de niveau de confiance): 332 | \[ 333 | a=2,00\pm 0,02\;\mathrm{s.m^{-1/2}} 334 | \] 335 | Or, la théorie prévoit $a=2\pi/\sqrt g$ ce qui permet d'obtenir une nouvelle valeur de $g$ : 336 | \[g=\frac{4\pi^2}{a^2}=9,87\;\mathrm{m.s^{-2}} 337 | \quad\text{et}\quad 338 | \frac{\Delta g}{g}=2\frac{\Delta a}{a}=2\% 339 | \] 340 | Ainsi, nos mesures valident notre modèle et aboutissent à une détermination de $g$ : 341 | \[ 342 | g=9,9\pm0,2\;\mathrm{m.s^{-2}} 343 | \] 344 | --------------------------------------------------------------------------------