├── questions.pdf
├── source
├── pictures
│ ├── Q.jpg
│ ├── Пред4.jpg
│ ├── G(клет).jpg
│ ├── Primer_1.jpg
│ ├── Q(Клет).jpg
│ ├── G(неклет).jpg
│ ├── Que_11_pic_1.jpeg
│ └── 10_bilet_primer1.png
├── packages.tex
├── 13.tex
├── 4.tex
├── 12.tex
├── 11.tex
├── 2.tex
├── 7.tex
├── 6.tex
├── 8.tex
├── 3.tex
├── 5.tex
└── 10.tex
├── README.md
└── LICENSE
/questions.pdf:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/questions.pdf
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/Q.jpg:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/Q.jpg
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/Пред4.jpg:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/Пред4.jpg
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/G(клет).jpg:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/G(клет).jpg
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/Primer_1.jpg:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/Primer_1.jpg
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/Q(Клет).jpg:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/Q(Клет).jpg
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/G(неклет).jpg:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/G(неклет).jpg
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/Que_11_pic_1.jpeg:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/Que_11_pic_1.jpeg
--------------------------------------------------------------------------------
/source/pictures/10_bilet_primer1.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/Panterrich/MathematicalAnalysis2Semester/HEAD/source/pictures/10_bilet_primer1.png
--------------------------------------------------------------------------------
/README.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | # Matan 2 semester
2 |
3 | Здесь лежит последняя исправленная версия билетов по предмету "Многомерный анализ, интегралы и ряды", написанная по лекциям Знаменской Л.Н. 2020/2021 учебного года.
4 |
5 | ## Статус исправления билетов
6 |
7 | Все билеты подвергались неоднократной проверке, но это не означает, что в них не осталось ошибок, однако исправлять их больше не планируется, в случае чего есть исходники наших билетов.
8 |
9 | ## Список участников
10 |
11 |
12 | Глаз Роман Б01-007
13 | Дурнов Алексей Б01-007
14 | Курневич Станислав Б01-002
15 | Талашкевич Даниил Б01-009
16 | Баранников Андрей Б01-001
17 | Дорин Даниил Б01-001
18 | Киселев Никита Б01-001
19 | Овсянников Михаил Б01-001
20 | Панферов Иван Б01-001
21 | Филиппенко Павел Б01-001
22 | Лепарский Роман Б01-003
23 | Артамонов Кирилл Б01-005
24 | Белов Владислав Б01-005
25 | Паншин Артём Б01-005
26 | Фатыхов Тимур Б01-009
27 |
28 |
--------------------------------------------------------------------------------
/source/packages.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | %%% Класс документа
2 | \documentclass[a4paper,14pt]{article}
3 |
4 | %%% Работа с русским языком
5 | \usepackage{cmap} % поиск в PDF
6 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
7 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
8 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
9 | \usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах
10 | \usepackage{csvsimple} % for tabular from csv loading
11 | \usepackage{indentfirst} % indent after sections
12 | %\usepackage{minipage}
13 |
14 | %%% Дополнительная работа с математикой
15 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
16 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление
17 |
18 | %%% Номера формул
19 | \mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте.
20 | \usepackage{leqno} % Немуреация формул слева
21 |
22 | %%% Шрифты
23 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид
24 | \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт
25 |
26 | %%% Свои команды
27 | \DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}}
28 |
29 | %%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
30 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
31 | {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
32 |
33 | %%% Работа с картинками
34 | \usepackage{graphicx} % Для вставки рисунков
35 | \graphicspath{{images/}{images2/}} % папки с картинками
36 | \setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка
37 | \setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{}
38 | \usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков и таблиц текстом
39 |
40 | %%% Работа с таблицами
41 | \usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами
42 | \usepackage{longtable} % Длинные таблицы
43 | \usepackage{multirow} % Слияние строк в таблице
44 |
45 | %%% Теоремы
46 | \theoremstyle{plain} % Это стиль по умолчанию, его можно не переопределять.
47 | %\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
48 | %\newtheorem{proposition}[theorem]{Утверждение}
49 |
50 | %\theoremstyle{definition} % "Определение"
51 | %\newtheorem{corollary}{Следствие}[theorem]
52 | %\newtheorem{problem}{Задача}[section]
53 |
54 | %\theoremstyle{remark} % "Примечание"
55 | %\newtheorem*{nonum}{Решение}
56 |
57 | %%% Программирование
58 | \usepackage{etoolbox} % логические операторы
59 |
60 | %%% Страница
61 | \usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт
62 | \usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля
63 | \geometry{top=25mm}
64 | \geometry{bottom=35mm}
65 | \geometry{left=35mm}
66 | \geometry{right=20mm}
67 |
68 | %%% Колонтитулы
69 | %\usepackage{fancyhdr}
70 | %\pagestyle{fancy}
71 | %\renewcommand{\headrulewidth}{0mm} % Толщина линейки, отчеркивающей верхний колонтитул
72 | %\lfoot{Нижний левый}
73 | %\rfoot{Нижний правый}
74 | %\rhead{Верхний правый}
75 | %\chead{Верхний в центре}
76 | %\lhead{Верхний левый}
77 | % \cfoot{Нижний в центре} % По умолчанию здесь номер страницы
78 |
79 | %%% Интерлиньяж
80 | %\usepackage{setspace}
81 | %\onehalfspacing % Интерлиньяж 1.5
82 | %\doublespacing % Интерлиньяж 2
83 | %\singlespacing % Интерлиньяж 1
84 |
85 | %%% Гиперссылки
86 | \usepackage{hyperref}
87 | \usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor}
88 | \hypersetup{ % Гиперссылки
89 | unicode=true, % русские буквы в раздела PDF
90 | pdftitle={Заголовок}, % Заголовок
91 | pdfauthor={Автор}, % Автор
92 | pdfsubject={Тема}, % Тема
93 | pdfcreator={Создатель}, % Создатель
94 | pdfproducer={Производитель}, % Производитель
95 | pdfkeywords={keyword1} {key2} {key3}, % Ключевые слова
96 | colorlinks=true, % false: ссылки в рамках; true: цветные ссылки
97 | linkcolor=red, % внутренние ссылки
98 | citecolor=green, % на библиографию
99 | filecolor=magenta, % на файлы
100 | urlcolor=cyan % на URL
101 | }
102 |
103 | %%% Другие пакеты
104 | \usepackage{lastpage} % Узнать, сколько всего страниц в документе.
105 | \usepackage{soul} % Модификаторы начертания
106 | \usepackage{csquotes} % Еще инструменты для ссылок
107 | %\usepackage[style=authoryear,maxcitenames=2,backend=biber,sorting=nty]{biblatex}
108 | \usepackage{multicol} % Несколько колонок
109 |
110 | %%% Шрифты
111 | %\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} % Начертание шрифта
112 |
113 |
114 | %%% Работа с библиографией
115 | %\usepackage{cite} % Работа с библиографией
116 | %\usepackage[superscript]{cite} % Ссылки в верхних индексах
117 | %\usepackage[nocompress]{cite} %
118 | %\usepackage{csquotes} % Еще инструменты для ссылок
119 |
120 |
121 | %%% Tikz
122 | \usepackage{tikz} % Работа с графикой
123 | \usepackage{pgfplots} % Работа с pgf
124 | \usepackage{pgfplotstable}
125 |
126 | %%% Дополнительные пакеты для tikz
127 | \usepgfplotslibrary{dateplot} % Возможность подписания дат
128 | \pgfplotsset{compat=1.5}
--------------------------------------------------------------------------------
/source/13.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \input{packages_13}
2 | \usepackage{upgreek}
3 |
4 |
5 | \newcommand{\eqdef}{\stackrel{\mathrm{def}}{=}}
6 | \newcommand{\ryad}{\sum^{\infty}_{k = 0}}
7 |
8 | \begin{document}
9 |
10 |
11 |
12 | \section*{Билет 13.}
13 | \subsection*{Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций: $e^x$, $\cos x$, $\sin x$, $\ln (1 + x)$, $(1 + x)^{\alpha}$ }
14 |
15 |
16 | \subsubsection*{1. Показательная и гиперболические функции.}
17 |
18 |
19 |
20 | \begin{center}
21 | $y = e^x, \; x \in \mathbb{R}$
22 | \vspace{8pt}
23 |
24 | $x \in (-\rho, \, \rho), \; \rho > 0$
25 | \end{center}
26 |
27 | Поскольку $(e^x)^{(k)} = e^x $, то $0 < f(x) < e^{\rho}$ и $0 < f(x)^{(k)} < e^{\rho}$. Ряд Тейлора функции $y = e^x$ сходится к ней на $( - \rho, \, \rho)$ по теореме о достаточном условии представимости функции её рядом Тейлора.
28 |
29 | $\forall \rho > 0 \Rightarrow R = + \infty$
30 |
31 | \[ e^x = \sum^{+\infty}_{k = 0} \frac{x^k}{k!}\]
32 |
33 | \[y = \sh x, \; y = \ch x, \; x \in \mathbb{R} \]
34 |
35 | \[ \sh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \; \ch x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]
36 |
37 | \[ \sh x = \ryad \frac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} \,, \; \ch x = \ryad \frac{x^{2k}}{(2k)!}, \; R = +\infty\]
38 |
39 |
40 | \subsubsection*{2. Тригонометрические фунции.}
41 |
42 | \begin{center}
43 | $y = \sin x, \; y = \cos x, \; x \in \mathbb{R}$
44 | \vspace{8pt}
45 |
46 | $| f^{(k)} (x) | \le 1$, $\forall k = 0, \, 1, \, 2, \, \ldots$
47 | \end{center}
48 |
49 | $$
50 | \sin x = \ryad \frac{(-1)^k x^{2k + 1}}{(2k + 1)!}, \; \cos x = \ryad \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}, \;R = + \infty
51 | $$
52 |
53 |
54 | \subsubsection*{3. Степенная функция.}
55 |
56 | $$y = (1 + x)^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb{R}$$
57 |
58 |
59 | 1) $\alpha = 0, \; y = 1$
60 |
61 | 2) $\alpha = n, \; n \in \mathbb{N}, \; f(x) = \ryad C^k_n x^k$ - бином Ньютона
62 |
63 | 3) $\alpha$ - произвольное, $\alpha \in \mathbb{R}$
64 |
65 | $$
66 | f^{(n + 1)}(x) = \alpha (\alpha - 1) \ldots (\alpha - n) (1 + x)^{\alpha - (n + 1)} $$
67 |
68 | $$
69 | \mathrm{r}_n(x) = \frac{\alpha(\alpha - 1) \ldots (\alpha - n)}{n!} \int_0^x \left(\frac{x - t}{1 + t} \right)^n (1 + t)^{\alpha - 1} dt
70 | $$
71 |
72 | Пусть $t = x \tau$, $0 \leqslant \tau \leqslant 1$, тогда $dt = x d \tau$
73 |
74 | $$
75 | \mathrm{r}_n(x) = \frac{\alpha(\alpha - 1) \ldots (\alpha - n)}{n!} x^{n + 1} \int_0^1 \left( \frac{1 - \tau}{1 + x\tau} \right)^n ( 1 + x \tau)^{\alpha - 1} d \tau
76 | $$
77 |
78 | Пусть $|x| < 1$, тогда $|1 + \tau x| \geqslant 1 - \tau$
79 |
80 |
81 |
82 | \begin{equation*}
83 | (1+x \tau)^{\alpha-1} \leqslant \beta(x)=
84 | \begin{cases}
85 | (1+|x|)^{\alpha-1}, & \alpha \geq 1 \\
86 | (1-|x|), & \alpha<1
87 | \end{cases}
88 | \end{equation*}
89 |
90 | $ | \alpha | \leqslant m $, $m \in \mathbb{N}$. Тогда $\forall n > m$
91 |
92 | \begin{multline*}
93 | \left| \frac{\alpha(\alpha - 1) \ldots (\alpha - n)}{n!} \right| \leqslant \frac{m (m + 1) \ldots (m + n}{n!} \leqslant \frac{(m + n)!}{n!} = \\
94 | = (n + 1)(n + 2) \ldots (n + m)\leqslant (2n)^m
95 | \end{multline*}
96 |
97 | В итоге
98 |
99 | $$
100 | \left| \mathrm{r}_n (x) \right| \leqslant 2^m \beta (x) |x| \cfrac{n^m}{\left(\cfrac{1}{|x|}\right)^n} \xrightarrow{n \rightarrow + \infty} 0
101 | $$
102 |
103 | Так как
104 | $$
105 | a = \frac{1}{|x|} > 1 \hspace{0.5cm} \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{n^m}{a^n} = 0$$
106 |
107 | Следовательно
108 |
109 | $$
110 | (1 + x)^{\alpha} = \ryad C_{\alpha}^k x^k, \; C_{\alpha}^k = \frac{\alpha (\alpha - 1) \ldots (\alpha - (k -1))}{k!}, \; |x| < 1, \; R = 1
111 | $$
112 |
113 | \underline{В частности:}
114 |
115 | $$
116 | \frac{1}{1 - x} = \ryad x^k, \; \frac{1}{1 + x} = \ryad (-1)^k x^k, \; |x| < 1
117 | $$
118 |
119 | \subsubsection*{4. Логарифмические функции.}
120 |
121 |
122 |
123 | $$
124 | y = \ln(1 - x), \; y' = - \frac{1}{1 - x} = - \ryad x^k
125 | $$
126 |
127 | $$
128 | y = \ln(1 + x), \; y' = - \frac{1}{1 + x} = \ryad (-1)^k x^k
129 | $$
130 |
131 | Раскладываем в интервалах сходимости каждую функцию в ряд Тейлора, а потом почленно интегрируем, и помним, что при почленном интегрировании радиус сходимости не меняется.
132 |
133 | $$
134 | y = \ln(1 - x) = - \ryad \frac{x^{k + 1}}{k + 1} = - \sum^{\infty}_{k = 1} \frac{x^k}{k}, \; |x| < 1
135 | $$
136 |
137 | $$
138 | y = \ln(1 + x) = \ryad \frac{(-1)^k x^{k + 1}}{k + 1} = - \sum^{\infty}_{k = 1} \frac{(-1)^{k - 1} x^k}{k}, \; |x| < 1
139 | $$
140 | \subsubsection*{5. Обратные тригонометрические функции.}
141 |
142 | Обратные тригонометрические функции можно разложить в ряд Тейлора, сначала продифференцировав и воспользовавшись известными результатами.
143 |
144 | \subsection*{Разложение в степенной ряд комплекснозначной функции $e^z$}
145 |
146 | \textbf{Докажем, что}
147 |
148 | $$
149 | e^z = \ryad \frac{z^k}{k!}, \; R = + \infty
150 | $$
151 |
152 | $$
153 | \cos z = \ryad \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}, \;\; \sin z = \ryad \frac{(-1)^k z^{2k + 1}}{(2k + 1)!}, \;\;\; R = + \infty
154 | $$
155 |
156 | \textbf{Доказательство:}
157 |
158 | Так как $z = x + iy$ и по формуле Эйлера: $e^{i \varphi} = \cos(\varphi) + i \sin(\varphi)$, то
159 |
160 | $$
161 | e^z = e^{x + iy} = e^x \left( \cos y + i \sin y \right)
162 | $$
163 |
164 | $$
165 | e^x = \ryad \frac{x^k}{k!}, \; \cos y = \ryad (-1)^k \frac{y^{2k}}{(2k)!}, \; \sin y = \ryad (-1)^k \frac{y^{2k + 1}}{(2k + 1)!}
166 | $$
167 |
168 | \begin{multline*}
169 | e^{iy} = cos y + i \sin y = \ryad (-1)^k \frac{y^{2k}}{(2k)!} + i \ryad (-1)^k \frac{y^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = \\ = \ryad \frac{(iy)^{2k}}{(2k)!} + \ryad \frac{(iy)^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = \ryad \frac{(iy)^{k}}{k!} = e^{iy}
170 | \end{multline*}
171 |
172 | $$
173 | e^z = \ryad \frac{x^k}{k!} \cdot \ryad \frac{(iy)^{k}}{k!}
174 | $$
175 |
176 | Докажем, что
177 |
178 | $$
179 | \ryad \frac{(z_1 + z_2)^k}{k!} = \ryad \frac{z_1^k}{k!} \cdot \ryad \frac{z_2^k}{k!}
180 | $$
181 |
182 | \begin{multline*}
183 | \ryad \frac{(z_1 + z_2)^k}{k!} = \ryad \frac{1}{k!} \cdot \sum_{j = 0}^k C_k^j z_1^j z_2^{k - j} = \ryad \sum_{j = 0}^k \frac{1}{k!} \cdot \frac{k!}{j! \cdot (k - j)!} z_1^j z_2^{k - j} = \\ = \ryad \sum_{j = 0}^k \frac{z_1^j}{j!} \cdot \frac{z_2^{k - j}}{(k - j)!} = \frac{z_1^0}{0!} \cdot \frac{z_2^0}{0!} + \left(\frac{z_1^0}{0!} \cdot \frac{z_2^1}{1!} + \frac{z_1^1}{1!} \cdot \frac{z_2^0}{0!} \right) + \\ + \left( \frac{z_1^0}{0!} \cdot \frac{z_2^2}{2!} + \frac{z_1^1}{1!} \cdot \frac{z_2^1}{1!} + \frac{z_1^2}{2!} \cdot \frac{z_2^0}{0!} \right) + \ldots
184 | \end{multline*}
185 |
186 | Это можно проиллюстрировать следующим образом:
187 |
188 | \begin{table}[h!]
189 | \centering
190 | \resizebox{0.6\textwidth}{!}{%
191 | \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
192 | \hline
193 | & $u_0$ & $u_1$ & $u_2$ & $u_3$ & ... \\ \hline
194 | $v_0$ & $u_0 \cdot v_0$ & $u_1 \cdot v_0$ & $u_2 \cdot v_0$ & ... & \\ \hline
195 | $v_1$ & $u_0 \cdot v_1$ & $u_1 \cdot v_0$ & ... & & \\ \hline
196 | $v_2$ & $u_0 \cdot v_2$ & ... & & & \\ \hline
197 | $v_3$ & ... & & & & \\ \hline
198 | ... & & & & & \\ \hline
199 | \end{tabular}%
200 | }
201 | \end{table}
202 |
203 | Мы обходим таблицу по диагоналям, так что сумма индексов элементов была константа для каждой группы слагаемых. Тогда действительно:
204 |
205 | $$
206 | \ryad \frac{(z_1 + z_2)^k}{k!} = \ryad \sum_{j = 0}^k \frac{z_1^j}{j!} \cdot \frac{z_2^{k - j}}{(k - j)!} = \ryad \frac{z_1^k}{k!} \cdot \ryad \frac{z_2^k}{k!}
207 | $$
208 |
209 | Тогда по доказанной выше лемме:
210 |
211 | $$
212 | e^z = \ryad \frac{x^k}{k!} \cdot \ryad \frac{(iy)^k}{k!} = \ryad \frac{(x + iy)^k}{k!} = \ryad \frac{z^k}{k!}
213 | $$
214 |
215 | Теперь
216 |
217 | \begin{multline*}
218 | e^{iz} = \ryad \frac{(iz)^k}{k!} = \ryad \frac{(iz)^{2k}}{(2k)!} + \ryad \frac{(iz)^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = \\ = \ryad (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} + i \ryad (-1)^k \frac{z^{2k + 1}}{(2k + 1)!}
219 | \end{multline*}
220 |
221 |
222 | \begin{multline*}
223 | e^{-iz} = \ryad \frac{(-iz)^k}{k!} = \ryad \frac{(-iz)^{2k}}{(2k)!} + \ryad \frac{(-iz)^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = \\ = \ryad (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} - i \ryad (-1)^k \frac{z^{2k + 1}}{(2k + 1)!}
224 | \end{multline*}
225 |
226 | $$
227 | \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cos z = \ryad (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}
228 | $$
229 |
230 |
231 | $$
232 | \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2} = \sin z = \ryad (-1)^k \frac{z^{2k + 1}}{(2k + 1)!}
233 | $$
234 |
235 | \textbf{Что и требовалось доказать.}
236 |
237 |
238 |
239 |
240 |
241 |
242 | \end{document}
--------------------------------------------------------------------------------
/source/4.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
2 |
3 | % Русский язык
4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
7 |
8 | \usepackage{graphicx} % импорт изображений
9 | \usepackage{wrapfig} % обтекаемые изображения
10 | \graphicspath{{pictures/}} % обращение к подкаталогу с изображениями
11 | \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
12 | \usepackage[warn]{mathtext} % русский язык в формулах
13 | \usepackage{indentfirst} % indent first
14 | \usepackage[margin = 25mm]{geometry}% отступы полей
15 | \usepackage[table,xcdraw]{xcolor} % таблицы
16 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % Математика
17 | \usepackage{wasysym} % ???
18 | \usepackage{upgreek} % ???
19 | \usepackage{caption}
20 | \captionsetup{labelsep=period}
21 | \usepackage{mathrsfs}
22 | \usepackage{makecell}
23 | \usepackage{gensymb} % degree symbol
24 |
25 |
26 |
27 | \pagestyle{empty}
28 |
29 | \begin{document}
30 |
31 | \section*{Билет номер 4}
32 |
33 | \subsection*{Частные производные высших порядков}
34 |
35 | \textbf{Определение:} Пусть $\omega = f(x)$ - дифференцируема в $D \subset \mathbb{E}^m$, $D$ - область.
36 | И $\forall x \in D \text{ }\exists \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}}, j = \overline{1, m}$.
37 |
38 | Пусть $g_j = \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}}$, и в точке $x$ $\exists\frac{\partial{g_j}}{\partial{x_k}}$. Тогда
39 | \[
40 | \frac{\partial{g_j}}{\partial{x_k}} = \frac{\partial{ }}{\partial{x_k}}\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_k}}\right)
41 | \]
42 | называется частной производной 2-го порядка функции $f$ в точке $x$. Частные производные высших порядков определяются так же.
43 |
44 | \textbf{Обозначения:}
45 | \[
46 | \frac{\partial^2f}{\partial{x_k}\partial{x_j}}(x), \text{ } f^{''}_{x_jx_k}(x), \text{ } f^{(2)}_{x_jx_k}(x)
47 | \]
48 | \[
49 | j = k: \text{ }\frac{\partial^2f}{\partial{x_j}^2}(x)
50 | \]
51 |
52 | \textbf{Примечание:} если $k\neq j$, производная $\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_j}$ называется смешанной.
53 |
54 | \subsection*{Независимость смешанной частной производной от порядка дифференцирования}
55 |
56 | \textbf{Примеры:}
57 | \begin{align*}
58 | 1) f(x, y) &= \text{arctg}\left(\frac{x}{y}\right)\\
59 | \frac{\partial{f}}{\partial{x}} &= \frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot\frac{1}{y} = \frac{y}{y^2+x^2}\\
60 | \frac{\partial{f}}{\partial{y}} &= \frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot\left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2+x^2}\\
61 | \frac{\partial^2f}{\partial{y}\partial{x}} &= \frac{y^2+x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\\
62 | \frac{\partial^2f}{\partial{x}\partial{y}} &= -\frac{y^2+x^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
63 | \end{align*}
64 | \[
65 | \frac{\partial^2f}{\partial{x}\partial{y}} = \frac{\partial^2f}{\partial{y}\partial{x}}
66 | \]
67 |
68 | \vspace{10mm}
69 | $$
70 | 2)f(x, y) =
71 | \begin{cases*}
72 | xy\cdot\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& \text{$x^2+y^2\neq 0$}\\
73 | 0,& \text{$x^2+y^2= 0$}
74 | \end{cases*}$$
75 | \begin{align*}
76 | f(x, 0) &= f(0, y) = f(0, 0) = 0 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0\\&\\
77 | f^{'}_{x} &= y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\frac{2x(x^2+y^2) - 2x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y(x^4-y^4)+4x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}\\
78 | f^{'}_{y} &= x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\frac{-2y(x^2+y^2) - 2y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x(x^4-y^4)+4x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}\\&\\
79 | \frac{\partial f}{\partial x}&(x, y) =
80 | \begin{cases*}
81 | \frac{yx^4-y^5+4x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}, &\text{$x^2+y^2\neq 0$}\\
82 | 0, &\text{$x^2+y^2=0$}
83 | \end{cases*}\\
84 | \frac{\partial f}{\partial y}&(x, y) =
85 | \begin{cases*}
86 | \frac{x^5-xy^4-4x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}, &\text{$x^2+y^2\neq 0$}\\
87 | 0, &\text{$x^2+y^2=0$}
88 | \end{cases*}\\&\\
89 | \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}&(0, 0) = \lim_{y\to 0}\frac{f^{'}_x(0, y) - f^{'}_x(0, 0)}{y} = \lim_{y\to 0}\frac{-y^5}{y^5} = -1\\
90 | \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}&(0, 0) = \lim_{x\to 0}\frac{f^{'}_y(x, 0) - f^{'}_y(0, 0)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x^5}{x^5} = 1
91 | \end{align*}
92 | \[
93 | \frac{\partial^2f}{\partial{x}\partial{y}} \neq \frac{\partial^2f}{\partial{y}\partial{x}}
94 | \]
95 | \vspace{5mm}
96 |
97 | Из этих примеров видно, что в общем случае смешанные производные зависят от порядка дифференцирования.
98 | \vspace{5mm}
99 |
100 | \textbf{Теорема:} Пусть в $\mathscr{U}(a) \subset \mathbb{E}^2$ определены $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ и $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$, и эти производные непрерывны в точке $a = (a_1, a_2)$, тогда
101 | \[
102 | \frac{\partial^2f}{\partial{x}\partial{y}}(a) = \frac{\partial^2f}{\partial{y}\partial{x}}(a)
103 | \]
104 |
105 | \textbf{Доказательство:} Рассмотрим функцию
106 | \[
107 | U(x, y) = f(x, y) - f(x, a_2) - f(a_1, y) + f(a_1, a_2)
108 | \]
109 | Пусть $\Pi = \{(x, y) : |x - a_1|\leqslant r_1, |y-a_2| \leqslant r_2\}$, $\Pi \subset \mathscr{U}(a)$, где определены смешанные производные. Фиксируем $y\in (a_2-r_2, a_2+r_2)$ и на интервале $(a_1-r_1, a_1+r_1)$ Рассмотрим функцию
110 | \[
111 | \varphi(x) = f(x, y) - f(x, a2)
112 | \]
113 | $\varphi$ дифф-ма на интервале $(a_1-r_1, a_1+r_1)$ и $U(x, y) = \varphi(x) - \varphi(a_1)$.
114 | Тогда, по теореме Лагранжа $\exists \Theta_1: 0<\Theta_1<1$:
115 | \[
116 | U(x, y) = \varphi^{'}(a_1 + \Theta_1\Delta x)\Delta x
117 | \]
118 | где $\Delta x = x-a_1$
119 | \[
120 | U(x, y) = [f^{'}_x(a_1+\Theta_1\Delta x, y)-f^{'}_x(a_1+\Theta_1\Delta x, a_2) ]\Delta x
121 | \]
122 | К выражению, стоящему в [...] применим теорему Лагранжа.
123 |
124 | $\exists\Theta_2: 0<\Theta_2<1$:
125 | \[
126 | U(x, y) = f^{''}_{xy}(a_1+\Theta_1\Delta x, a_2+\Theta_2\Delta y)\Delta y\Delta x
127 | \]
128 | где $\Delta y = y-a_2$.
129 | \vspace{5mm}
130 |
131 | Аналогично фиксируем $x\in(a_1-r_1, a_1+r_1)$ и на интервале $(a_2-r_2, a_2+r_2)$ получаем
132 | \[
133 | U(x, y) = f^{''}_{yx}(a_1+\Theta_3\Delta x, a_2+\Theta_4\Delta y)\Delta y\Delta x
134 | \]
135 |
136 | \[
137 | f^{''}_{yx}(a_1+\Theta_3\Delta x, a_2+\Theta_4\Delta y) = f^{''}_{xy}(a_1+\Theta_1\Delta x, a_2+\Theta_2\Delta y)
138 | \]
139 | Учитывая непрерывность в точке $a$ при $\Delta x\to0, \Delta y\to0$, получаем $f^{''}_{xy}(a) = f^{''}_{yx}(a)$
140 |
141 |
142 | \textbf{Определение:} Функция $\omega = f(x, y)$ называется n раз дифференцируемой в точке $x = a\in \mathbb(E)^m$, если все ее частные производные порядка n-1 есть дифференцируемые функции
143 | \vspace{5mm}
144 |
145 | \textbf{Теорема:} (без доказательства) Пусть $\omega = f(x, y)$ дважды дифференцируема в точке $a$, тогда
146 | \[
147 | \frac{\partial^2f}{\partial{x}\partial{y}}(a) = \frac{\partial^2f}{\partial{y}\partial{x}}(a)
148 | \]
149 |
150 | \subsection*{Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности их формы}
151 |
152 | \textbf{Определение:} Пусть $\omega = f(x)$ дважды дифференцируема в $D \subset \mathbb{E}^m$. $\forall x\in D $ $df(x) = \sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)dx_j$. Тогда дифференциалом 2 порядка будем называть
153 | \[
154 | d^2f(x) =d(df)(x) = \sum\limits_{j=1}^md\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)(x)dx_j= \sum\limits_{j=1}^m\left(\sum\limits_{k=1}^m
155 | \frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_j}(x)dx_k\right)dx_j
156 | \]
157 |
158 | Дифференциалы высших порядков определяются таким же образом.
159 | \vspace{5mm}
160 |
161 | \textbf{Замечание:} Если рассмотреть дифференциал, как оператор
162 | \[
163 | d = \left(dx_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+dx_m\frac{\partial}{\partial x_m}\right)
164 | \]
165 |
166 | То дифференциал n-ого порядка можно записать в виде
167 | \[
168 | d^2 = \left(dx_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+dx_m\frac{\partial}{\partial x_m}\right)^n
169 | \]
170 |
171 | \textbf{Предложение:} Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.
172 |
173 | \textbf{Доказательство:} Пусть $\omega = f(x), $ $x_j=\varphi_j(t), $ $j=\overline{1, m}, $ $f, \varphi_j$ - дважды дифференцируемы.
174 | \[
175 | df(x) = \sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)dx_j, \text{ }dx_j = \sum\limits_{i=1}^m\frac{\partial \varphi_j}{\partial t_i}(i)dt_i
176 | \]
177 |
178 | \[
179 | d^2f(x) = \sum\limits_{k=1}^m\sum\limits_{j=1}^m
180 | \frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_j}(x)dx_kdx_j+\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)d^2x_j
181 | \]
182 | причем
183 | \[
184 | \sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)d^2x_j \neq 0
185 | \]
186 |
187 | \subsection*{Формула Тейлора для функций нескольких переменных}
188 |
189 | \textbf{Теорема: }[Разложение с остаточным членом в форме Лагранжа] Пусть функция $\omega = f(x)$ обладает непрерывными частными производными порядка n+1 в шаре $B_\delta(a)$, $\Delta x$ таково, что $a+\Delta x\in B_\delta(a)$. Тогда найдется $0<\theta<1$ такое, что
190 | \[
191 | f(a+\Delta x) = f(a) + \sum\limits_{j=1}^n\frac{d^k f}{k!}(a)+r_{n+1}(\theta)
192 | \]
193 | где
194 | \[
195 | r_{n+1}(\theta) = \frac{d^{n+1}f(a+\theta \Delta x)}{(n+1)!}
196 | \]
197 |
198 | \textbf{Примечание:} $dx_j$ трактуется как $\Delta x_j$
199 | \vspace{5mm}
200 |
201 | \textbf{Доказательство:} $a+\Delta x\in B_\delta(a) \Rightarrow a-\Delta x\in B_\delta(a), $ $\forall t\in[-1, 1], a+t\Delta x\in B_\delta(a)$.
202 |
203 | \[
204 | f(a + t\Delta x) = f(a_1 + t\Delta x_1, \dots, a_m + t\Delta x_m) = \varphi(t)
205 | \]
206 | \[
207 | \varphi(0) = f(a)
208 | \]
209 | \[
210 | \varphi^{'}(t) = \sum\limits_{j=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_j}(a+t\Delta x_j)\Delta x_j = df(a+t\Delta x)
211 | \]
212 | \[
213 | \varphi^{(k)}(t) = \sum\limits_{j_k=1}^m\cdots\sum\limits_{j_1=1}^m\frac{\partial^kf}{\partial x_{j_k}\dots\partial x_{j_1}}\Delta x_{j_1}\dots \Delta x_{j_k} = d^kf(a+t\Delta x)
214 | \]
215 | По формуле Тейлора
216 | \[
217 | \varphi(t) = \varphi(0) +\sum\limits_{k=1}^n\frac{\varphi^k(0)}{k!}t^k + r_{n+1}(\theta)
218 | \]
219 | где
220 | \[
221 | r_{n+1}(\theta) = \frac{\varphi^{(n+1)}(\theta t)}{(n+1)!}t^{(n+1)}
222 | \]
223 | Подставив $t=1$ получим требуемое равенство.
224 | \vspace{5mm}
225 |
226 | \textbf{Теорема: }[Разложение с остаточным членом в форме Пеано ](без доказательства) Пусть $f$ n-раз дифференцируема в точке $x =a$, тогда
227 | \[
228 | f(a+\Delta x) = f(a) + \sum\limits_{k=1}^n\frac{d^kf}{k!}(a)+o(\rho), \rho\to 0, \rho(\Delta x, 0)
229 | \]
230 |
231 |
232 | \end{document}
233 |
234 |
235 |
236 |
237 |
238 |
239 |
240 |
241 |
242 |
243 |
244 |
245 |
246 |
247 |
248 |
249 |
250 |
251 |
252 |
253 |
254 |
--------------------------------------------------------------------------------
/LICENSE:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | Apache License
2 | Version 2.0, January 2004
3 | http://www.apache.org/licenses/
4 |
5 | TERMS AND CONDITIONS FOR USE, REPRODUCTION, AND DISTRIBUTION
6 |
7 | 1. Definitions.
8 |
9 | "License" shall mean the terms and conditions for use, reproduction,
10 | and distribution as defined by Sections 1 through 9 of this document.
11 |
12 | "Licensor" shall mean the copyright owner or entity authorized by
13 | the copyright owner that is granting the License.
14 |
15 | "Legal Entity" shall mean the union of the acting entity and all
16 | other entities that control, are controlled by, or are under common
17 | control with that entity. For the purposes of this definition,
18 | "control" means (i) the power, direct or indirect, to cause the
19 | direction or management of such entity, whether by contract or
20 | otherwise, or (ii) ownership of fifty percent (50%) or more of the
21 | outstanding shares, or (iii) beneficial ownership of such entity.
22 |
23 | "You" (or "Your") shall mean an individual or Legal Entity
24 | exercising permissions granted by this License.
25 |
26 | "Source" form shall mean the preferred form for making modifications,
27 | including but not limited to software source code, documentation
28 | source, and configuration files.
29 |
30 | "Object" form shall mean any form resulting from mechanical
31 | transformation or translation of a Source form, including but
32 | not limited to compiled object code, generated documentation,
33 | and conversions to other media types.
34 |
35 | "Work" shall mean the work of authorship, whether in Source or
36 | Object form, made available under the License, as indicated by a
37 | copyright notice that is included in or attached to the work
38 | (an example is provided in the Appendix below).
39 |
40 | "Derivative Works" shall mean any work, whether in Source or Object
41 | form, that is based on (or derived from) the Work and for which the
42 | editorial revisions, annotations, elaborations, or other modifications
43 | represent, as a whole, an original work of authorship. For the purposes
44 | of this License, Derivative Works shall not include works that remain
45 | separable from, or merely link (or bind by name) to the interfaces of,
46 | the Work and Derivative Works thereof.
47 |
48 | "Contribution" shall mean any work of authorship, including
49 | the original version of the Work and any modifications or additions
50 | to that Work or Derivative Works thereof, that is intentionally
51 | submitted to Licensor for inclusion in the Work by the copyright owner
52 | or by an individual or Legal Entity authorized to submit on behalf of
53 | the copyright owner. For the purposes of this definition, "submitted"
54 | means any form of electronic, verbal, or written communication sent
55 | to the Licensor or its representatives, including but not limited to
56 | communication on electronic mailing lists, source code control systems,
57 | and issue tracking systems that are managed by, or on behalf of, the
58 | Licensor for the purpose of discussing and improving the Work, but
59 | excluding communication that is conspicuously marked or otherwise
60 | designated in writing by the copyright owner as "Not a Contribution."
61 |
62 | "Contributor" shall mean Licensor and any individual or Legal Entity
63 | on behalf of whom a Contribution has been received by Licensor and
64 | subsequently incorporated within the Work.
65 |
66 | 2. Grant of Copyright License. Subject to the terms and conditions of
67 | this License, each Contributor hereby grants to You a perpetual,
68 | worldwide, non-exclusive, no-charge, royalty-free, irrevocable
69 | copyright license to reproduce, prepare Derivative Works of,
70 | publicly display, publicly perform, sublicense, and distribute the
71 | Work and such Derivative Works in Source or Object form.
72 |
73 | 3. Grant of Patent License. Subject to the terms and conditions of
74 | this License, each Contributor hereby grants to You a perpetual,
75 | worldwide, non-exclusive, no-charge, royalty-free, irrevocable
76 | (except as stated in this section) patent license to make, have made,
77 | use, offer to sell, sell, import, and otherwise transfer the Work,
78 | where such license applies only to those patent claims licensable
79 | by such Contributor that are necessarily infringed by their
80 | Contribution(s) alone or by combination of their Contribution(s)
81 | with the Work to which such Contribution(s) was submitted. If You
82 | institute patent litigation against any entity (including a
83 | cross-claim or counterclaim in a lawsuit) alleging that the Work
84 | or a Contribution incorporated within the Work constitutes direct
85 | or contributory patent infringement, then any patent licenses
86 | granted to You under this License for that Work shall terminate
87 | as of the date such litigation is filed.
88 |
89 | 4. Redistribution. You may reproduce and distribute copies of the
90 | Work or Derivative Works thereof in any medium, with or without
91 | modifications, and in Source or Object form, provided that You
92 | meet the following conditions:
93 |
94 | (a) You must give any other recipients of the Work or
95 | Derivative Works a copy of this License; and
96 |
97 | (b) You must cause any modified files to carry prominent notices
98 | stating that You changed the files; and
99 |
100 | (c) You must retain, in the Source form of any Derivative Works
101 | that You distribute, all copyright, patent, trademark, and
102 | attribution notices from the Source form of the Work,
103 | excluding those notices that do not pertain to any part of
104 | the Derivative Works; and
105 |
106 | (d) If the Work includes a "NOTICE" text file as part of its
107 | distribution, then any Derivative Works that You distribute must
108 | include a readable copy of the attribution notices contained
109 | within such NOTICE file, excluding those notices that do not
110 | pertain to any part of the Derivative Works, in at least one
111 | of the following places: within a NOTICE text file distributed
112 | as part of the Derivative Works; within the Source form or
113 | documentation, if provided along with the Derivative Works; or,
114 | within a display generated by the Derivative Works, if and
115 | wherever such third-party notices normally appear. The contents
116 | of the NOTICE file are for informational purposes only and
117 | do not modify the License. You may add Your own attribution
118 | notices within Derivative Works that You distribute, alongside
119 | or as an addendum to the NOTICE text from the Work, provided
120 | that such additional attribution notices cannot be construed
121 | as modifying the License.
122 |
123 | You may add Your own copyright statement to Your modifications and
124 | may provide additional or different license terms and conditions
125 | for use, reproduction, or distribution of Your modifications, or
126 | for any such Derivative Works as a whole, provided Your use,
127 | reproduction, and distribution of the Work otherwise complies with
128 | the conditions stated in this License.
129 |
130 | 5. Submission of Contributions. Unless You explicitly state otherwise,
131 | any Contribution intentionally submitted for inclusion in the Work
132 | by You to the Licensor shall be under the terms and conditions of
133 | this License, without any additional terms or conditions.
134 | Notwithstanding the above, nothing herein shall supersede or modify
135 | the terms of any separate license agreement you may have executed
136 | with Licensor regarding such Contributions.
137 |
138 | 6. Trademarks. This License does not grant permission to use the trade
139 | names, trademarks, service marks, or product names of the Licensor,
140 | except as required for reasonable and customary use in describing the
141 | origin of the Work and reproducing the content of the NOTICE file.
142 |
143 | 7. Disclaimer of Warranty. Unless required by applicable law or
144 | agreed to in writing, Licensor provides the Work (and each
145 | Contributor provides its Contributions) on an "AS IS" BASIS,
146 | WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or
147 | implied, including, without limitation, any warranties or conditions
148 | of TITLE, NON-INFRINGEMENT, MERCHANTABILITY, or FITNESS FOR A
149 | PARTICULAR PURPOSE. You are solely responsible for determining the
150 | appropriateness of using or redistributing the Work and assume any
151 | risks associated with Your exercise of permissions under this License.
152 |
153 | 8. Limitation of Liability. In no event and under no legal theory,
154 | whether in tort (including negligence), contract, or otherwise,
155 | unless required by applicable law (such as deliberate and grossly
156 | negligent acts) or agreed to in writing, shall any Contributor be
157 | liable to You for damages, including any direct, indirect, special,
158 | incidental, or consequential damages of any character arising as a
159 | result of this License or out of the use or inability to use the
160 | Work (including but not limited to damages for loss of goodwill,
161 | work stoppage, computer failure or malfunction, or any and all
162 | other commercial damages or losses), even if such Contributor
163 | has been advised of the possibility of such damages.
164 |
165 | 9. Accepting Warranty or Additional Liability. While redistributing
166 | the Work or Derivative Works thereof, You may choose to offer,
167 | and charge a fee for, acceptance of support, warranty, indemnity,
168 | or other liability obligations and/or rights consistent with this
169 | License. However, in accepting such obligations, You may act only
170 | on Your own behalf and on Your sole responsibility, not on behalf
171 | of any other Contributor, and only if You agree to indemnify,
172 | defend, and hold each Contributor harmless for any liability
173 | incurred by, or claims asserted against, such Contributor by reason
174 | of your accepting any such warranty or additional liability.
175 |
176 | END OF TERMS AND CONDITIONS
177 |
178 | Copyright 2021 Alexey Durnov
179 |
180 | Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");
181 | you may not use this file except in compliance with the License.
182 | You may obtain a copy of the License at
183 |
184 | http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
185 |
186 | Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
187 | distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
188 | WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
189 | See the License for the specific language governing permissions and
190 | limitations under the License.
191 |
--------------------------------------------------------------------------------
/source/12.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,11.5pt]{article} % тип документа
2 |
3 |
4 | %%%Библиотеки
5 | %\usepackage[warn]{mathtext}
6 | %\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
7 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
8 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
9 | \usepackage{caption}
10 | \usepackage{listings}
11 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
12 | \usepackage{wasysym}
13 | \usepackage{graphicx}%Вставка картинок правильная
14 | \usepackage{float}%"Плавающие" картинки
15 | \usepackage{wrapfig}%Обтекание фигур (таблиц, картинок и прочего)
16 | \usepackage{fancyhdr} %загрузим пакет
17 | \usepackage{lscape}
18 | \usepackage{indentfirst}
19 | \usepackage{xcolor}
20 | \usepackage[normalem]{ulem}
21 | \usepackage{hyperref}
22 |
23 | %%%Конец библиотек
24 |
25 |
26 |
27 |
28 | %%%Настройка ссылок
29 | \hypersetup
30 | {
31 | colorlinks=true,
32 | linkcolor=blue,
33 | filecolor=magenta,
34 | urlcolor=blue
35 | }
36 | %%%Конец настройки ссылок
37 |
38 |
39 | %%%Настройка колонтитулы
40 | \pagestyle{fancy}
41 | \fancyhead{}
42 | \fancyhead[L]{Билет 12}
43 | \fancyhead[R]{Билеты Матан}
44 | \fancyfoot[C]{\thepage}
45 | %%%конец настройки колонтитулы
46 |
47 |
48 |
49 | \begin{document}
50 | %%%%Начало документа%%%%
51 |
52 |
53 | %%%Начало титульника
54 | \begin{titlepage}
55 |
56 | \newpage
57 | \begin{center}
58 | \normalsize Московский физико-технический институт \\(госудраственный университет)
59 | \end{center}
60 |
61 | \vspace{6em}
62 |
63 | \begin{center}
64 | \Large Билеты к экзамену по матану [2 семестр]\\
65 | \end{center}
66 |
67 | \vspace{1em}
68 |
69 | \begin{center}
70 | \large \textbf{Билет 12}
71 | \end{center}
72 |
73 | \vspace{2em}
74 |
75 | \begin{center}
76 | \large Талашкевич Даниил Александрович\\
77 | Группа Б01-009
78 | \end{center}
79 |
80 | \vspace{\fill}
81 |
82 | \begin{center}
83 | Долгопрудный \\14.05.2021
84 | \end{center}
85 |
86 | \end{titlepage}
87 | %%%Конец Титульника
88 |
89 |
90 |
91 | %%%Настройка оглавления и нумерации страниц
92 | \thispagestyle{empty}
93 | \newpage
94 | \tableofcontents
95 | \newpage
96 | \setcounter{page}{1}
97 | %%%Настройка оглавления и нумерации страниц
98 |
99 |
100 | %%%%%%Начало работы с текстом%%%%%%
101 |
102 | \newcommand{\eqdef}{\stackrel{\mathrm{def}}{=}}
103 |
104 | \section*{Билет номер 12}
105 |
106 | \subsection*{Степенные ряды с действительными членами}
107 |
108 | \textbf{Теорема}. Если $R$ -- радиус сходимости степенного ряда и выполнено следующее:
109 |
110 | \begin{equation*}
111 | \Large \displaystyle \sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_k(x-a)^k = f(x),\ x\in (a - R, a + R),\ a_k,a \in \mathbb(R)
112 | \end{equation*}
113 |
114 | то
115 | \begin{enumerate}
116 | \item $f$ бесконечно дифференцируемая функция на $(a-R,a+R)$ и выполняется:
117 |
118 | \begin{equation*}
119 | \Large \displaystyle f^{(m)}(x) = \sum\limits_{k = m}^{+\infty} k(k-1)\dots (k - (m-1))a_k(x-a)^{k-m}
120 | \end{equation*}
121 |
122 | \item $\Large \displaystyle \forall\ x \in (a - R, a + R) \mapsto \int\limits_{a}^{x} f(t)dt = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-a)^{k+1}$
123 |
124 | \end{enumerate}
125 |
126 | \textbf{Доказательство}. Will be ASAP.
127 |
128 | \textbf{Следствие}. $a_n = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$
129 |
130 |
131 | \subsection*{Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости}
132 |
133 | Покажем, что сумма степенного ряда дифференцируема в интервале сходимости.
134 |
135 | \textbf{Теорема}. Сумма степенного ряда $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ дuфференцируема в интервале сходимости и производная равна
136 | \begin{equation*}
137 | f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1},
138 | \end{equation*}
139 |
140 | причём ряды $\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}$ и $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ имеют одинаковый радиус сxoдимости.
141 |
142 | \textbf{Доказательство}. Члены ряда $c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ являются непрерывно дифференцируемыми на всей числовой прямой функциями. Пусть $R=\frac{1}{\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|c_{n}\right|}}$ радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ и точка $x$ принадлежит интервалу сходимости $\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right) .$ Тогда существует отрезок $[a, b] \subset\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$, включающий точку $x .$
143 |
144 | Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}$, полученный почленным дифференцированием ряда $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n} .$ Вычислим его радиус сходимости $R^{\prime}$
145 |
146 | \begin{equation*}
147 | R^{\prime}=\frac{1}{\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n-1]{\left|n c_{n}\right|}} = \frac{1}{\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n-1]{\left|c_{n}\right|}\cdot \sqrt[n-1]{n}} = \frac{1}{\varlimsup_{n \rightarrow \infty}(\left|c_{n}\right|^{\frac{1}{n}})^{\frac{n}{n-1}}}=R
148 | \end{equation*}
149 |
150 | Таким образом, ряды $\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}$ и $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ имеют одинаковый интервал сходимости, и, следовательно, на отрезке $[a, b]$ ряд $\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}$ сходится равномерно. По теореме о дифференцируемости суммы функционального ряда сумма степенного ряда $f(x)$ дифференцируема в точке $x$ и верна формула
151 |
152 | \begin{equation*}
153 | f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}
154 | \end{equation*}
155 |
156 | что полностью доказывает теорему. $\square$
157 |
158 | Теперь в силу доказанной теоремы при дифференцировании суммы степенного ряда вновь получаем степенной ряд с тем же радиусом сходимости. Это позволяет нам сформулировать
159 | следующую теорему:
160 |
161 | \textbf{Теорема}. Сумма степенного ряда $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ дuффepeнцируема любое количество раз и верна формула
162 |
163 | \begin{equation*}
164 | f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^{\infty} c_{n} n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)\left(x-x_{0}\right)^{n-k}
165 | \end{equation*}
166 |
167 | причём радиусы сходимости всех получающихся рядов одинаковы.
168 |
169 | \textbf{Доказательство}. По предыдущей теореме функция $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ дифференцируема и $f^{\prime}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n c_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n-1}$, причём радиусы сходимости обоих рядов совпадают. Далее, пусть существует
170 |
171 | \begin{equation*}
172 | f^{(k-1)}(x)=\sum_{n=k-1}^{\infty} c_{n} n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+2)\left(x-x_{0}\right)^{n-k+1}
173 | \end{equation*}
174 |
175 | Применяя к функции $f^{(k-1)}(x)$ предыдущую теорему, получаем, что $f^{(k-1)}(x)$ дифференцируема и верна формула
176 |
177 | \begin{equation*}
178 | f^{(k)}(x)=\left(f^{(k-1)}(x)\right)^{\prime}=\sum_{n=k}^{\infty} c_{n} n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+2)(n-k+1)\left(x-x_{0}\right)^{n-k},
179 | \end{equation*}
180 |
181 | причём радиусы сходимости рядов для $f^{(k-1)}(x)$ и $f^{(k)}(x)$ совпадают. Тем самым, следуя методу математической индукции, полностью доказывает эту теорему. $\square$
182 |
183 |
184 | \subsection*{Единственность представления функции степенным рядом}
185 |
186 | \textbf{Определение.} Регулярная функция.
187 |
188 | Пусть в каждой точке $z \in \mathbb{E}$, где $\mathbb{E}$ -- множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число $\omega$. На множестве $\mathbb{E}$ определена функция комплексного переменного, $\omega = f(z)$.
189 |
190 | Если $\forall \epsilon > 0\ \exists \ \sigma = \sigma_{\epsilon} > 0:\ \forall z\ :\ |z - a| < \sigma_{\epsilon} \longmapsto |f(z) - f(a)| < \epsilon$, то функцию $f(z)$ называют непрерывной в точке а.
191 |
192 | И , наконец, Функция комплексного переменного $f(z)$ называется регулярной в точке $a$, если она определена в некоторой окрестности точки $a$ и представима в некотором круге $|z - a| < \rho$, $\rho > 0$, сходящимся к $f(z)$ степенным рядом $f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_n(z-a)^n\ \ $ (*).
193 |
194 | \textbf{Теорема}. Единственность представления функции степенным рядом.
195 |
196 | Функция $f(z)$, регулярная в точке $a$, единственным образом представляется рядом (*).
197 |
198 | \textbf{Доказательство}. Пусть функция $f(z)$ имеет два представления в виде степенного ряда в круге $K = \{z: |z-a|<\rho\}$, где $\rho > 0$, т.е.
199 |
200 | \begin{equation*}
201 | f(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n(z-a)^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\widetilde{c_n}(z-a)^n\ \ (**)
202 | \end{equation*}
203 |
204 | Теперь покажем, что $c_n = \widetilde{c_n} \ $, для $n = 0, 1, 2,\dots$
205 |
206 | По условию ряды $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n(z-a)^n$ и $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\widetilde{c_n}(z-a)^n$ сходятся в круге $K$, и поэтому эти ряды сходятся равномерно в круге $K_1 = \{z: |z - a|\leqslant \rho_1 < \rho \}$, а их общая сумма -- непрерывная в круге $K_1$ функция.В частности, функция $f(z)$ непрерывна в точке $a$. Подходя к пределу при $z \to a$ в равенстве (**), получаем $c_0 = \widetilde{c_0}$. Отбрасывая одинаковые слагаемые $c_0$ и $\widetilde{c_0}$ в равенстве (**), получаем после деления на $(z - a)$ равенство:
207 |
208 | \begin{equation*}
209 | c_1 + c_2(z - a) + c_3(z - a)^2 +\ \dots = \widetilde{c_1} + \widetilde{c_2}(z - a) + \widetilde{c_3}(z - a)^2 +\ \dots\ ,
210 | \end{equation*}
211 |
212 | которое справедливо в круге $K$ с выколотой точкой $a$. Ряды в левой и правой части сходятся равномерно в круге $K_1$. Переходя в равенстве к пределу при $z \to a$, получаем $c_1 = \widetilde{c_1}$. Справедливость равенства $c_n = \widetilde{c_n}$ при любой $n \in \mathbb(N)$ устанавливается при помощи индукции.
213 |
214 |
215 | \subsection*{Достаточные условия разложимости бесконечно дифференцируемой функции в степенной ряд}
216 |
217 | \textbf{Теорема}. Достаточные условия сходимости ряда Тейлора к функции.
218 |
219 | Если $f$ бесконечно дифференцируемая функция на ($a - \delta , a + \delta$), $\delta > 0$ и $\exists M > 0 : \forall x \in (a - \delta, a + \delta) \mapsto |f^{(k)}(x)| \leqslant M\ ,\ k = 0,1,\dots \ $, то ряд Тейлора сходится к функции $f(x)$ в каждой точке $x$ нашего интервала:
220 |
221 | \begin{equation*}
222 | \Large \displaystyle f(x) =f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\ ,\ \forall x\in (a - \delta, a + \delta)
223 | \end{equation*}
224 |
225 | \textbf{Доказательство}. Достаточные условия разложимости бесконечно дифференцируемой функции в степенной ряд.
226 |
227 | \begin{equation*}
228 | \begin{gathered}
229 | \mathbf{r}_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\ ,\ \text{где } \xi \text{ между } x \text{ и } a \\
230 | |\mathbf{r}_n(x)| \leqslant M\cdot \frac{|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}\\
231 | \text{т.к. }|x - a|\ \geqslant 0 \Rightarrow \lim_{k \to \infty} \frac{|x - a|^k}{k!} = 0\ ,\ \text{тогда справедливо следующее:}\\
232 | \forall x \in (a - \delta, a + \delta)\ \ \forall n\in \mathbb{N} \longmapsto |\mathbf{r}_n(x)| \leqslant M \cdot \frac{\mid x - a\mid^{n+1}}{(n + 1)!} \underset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow 0\ \ \ \square\ .
233 | \end{gathered}
234 | \end{equation*}
235 |
236 |
237 | \subsection*{Ряд Тейлора}
238 |
239 | Пусть функция $f$ -- бесконечно дифференцируема в точке $a$ (т.е в этой точке у функции $f$ существует производная любого порядка), тогда
240 |
241 | \textbf{Определение}. Рядом Тейлора функции $f$ в точке $a$ называется следующее выражение:
242 | \begin{equation*}
243 | f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k
244 | \end{equation*}
245 |
246 | \textbf{Замечание}. Если функция регулярна в точке $a$, то она раскладывается в степенной ряд и этот степенной ряд и есть ряд Тейлора, однако не все функции раскладываются в степенной ряд, поэтому справедливо следующее выражение:
247 | \begin{equation*}
248 | f(x) \neq f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k
249 | \end{equation*}
250 |
251 | \textbf{Пример}. Рассмотрим следующую функцию:
252 |
253 | \begin{equation*}
254 | f(x) = \begin{cases}
255 | e^{-\frac{1}{x^2}}\ ,\ x \neq 0;\\
256 | 0\ ,\ x = 0\ .
257 | \end{cases}
258 | \end{equation*}
259 |
260 | Эта функция непрерывная в нуле. Найдем ее производные:
261 |
262 | \begin{equation*}
263 | f^{\text{'}}(x) = \frac{2}{x^3}\cdot e^{-\frac{1}{x^2}}\\
264 | \end{equation*}
265 |
266 | \begin{equation*}
267 | f^{\text{''}}(x) = \left[ \left( \frac{2}{x^3}\right)^2 - \frac{6}{x^4} \right]\cdot e^{-\frac{1}{x^2}}\\
268 | \end{equation*}
269 |
270 | \begin{equation*}
271 | f^{\text{'''}}(x) = \left[ \left( \frac{2}{x^3}\right)^3 - \frac{12}{x^7} - \frac{2^4}{x^4} + \frac{24}{x^5} \right]\cdot e^{-\frac{1}{x^2}}\\
272 | \end{equation*}
273 |
274 | Таким образом $f^{\text{(m)}}(x) = Q_{3m}(\frac{1}{x})\cdot e^{-\frac{1}{x^2}}$, где $Q_{3m}(\frac{1}{x})$ -- многочлен степени $3m$ от $\frac{1}{x}$. Тогда понятно, что
275 |
276 | \begin{equation*}
277 | \lim_{x\to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^k} = 0 \Rightarrow
278 | \end{equation*}
279 |
280 | \begin{equation*}
281 | \Rightarrow f^{\text{(m)}}(x) = \begin{cases}
282 | Q_{3m}(\frac{1}{x}) \cdot e^{-\frac{1}{x^2}}\ ,\ x \neq 0;\\
283 | 0\ ,\ x = 0\ .
284 | \end{cases}
285 | \end{equation*}
286 |
287 | Тогда $\forall x \neq a$ ряд Тейлора будет представлять собой нулевой ряд, хотя сама функция не нулевая $\Rightarrow f(x) \neq f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.\ \square$
288 |
289 |
290 | \subsection*{Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.}
291 |
292 | Функция $f$ -- бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки $a$, тогда этой функции соответствует некоторый ряд:
293 |
294 | \begin{equation*}
295 | \Large \displaystyle f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k
296 | \end{equation*}
297 |
298 |
299 | \textbf{Обозначение}. $\Large \displaystyle P_n(x) = f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ -- $n$-ая частичная суммма ряда Тейлора (многочлен Тейлора).
300 |
301 | Тогда, если $\mathbf{r}_n(x) = f(x) - P_n(x) \underset{n \rightarrow \infty} \longrightarrow 0$, то это означает, что ряд Тейлора сходится к функции $f$ в точке $x$:
302 |
303 | \begin{equation*}
304 | \Large \displaystyle f(x) = f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k
305 | \end{equation*}
306 |
307 | \textbf{Теорема}. Если $f^{(n+1)}$ непрерывна на $(a - \delta, a + \delta),\ \delta > 0$, то:
308 |
309 | \begin{enumerate}
310 | \item $\Large \displaystyle \mathbf{r}_n(x) = \frac{1}{n!} \int\limits_{a}^{x} (x - t)^nf^{(n+1)}(t)dt$, т.е. её остаточный член на этом интервале представим в интегральной форме.
311 | \item $\Large \displaystyle \mathbf{r}_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
312 | \end{enumerate}
313 |
314 | \textbf{Доказательство}.
315 | \begin{enumerate}
316 | \item Доказательство будем проводить при помощи мат. индукции:
317 | \begin{enumerate}
318 | \item Мы знаем, что $\Large \displaystyle f(x) - f(a) = \int\limits_{a}^{x} f^{'}(t)dt$. Тогда:
319 | \begin{equation*}
320 | \begin{cases}
321 | u = f^{'}(t)\ ,\ dv = dt\\
322 | du = f^{''}(t)dt\ ,\ v = -(x-t), \text{ x - это константа}
323 | \end{cases}
324 | \end{equation*}
325 | получаем, что $\Large \displaystyle f(x) - f(a) = -f^{'}(t)(x-t) \bigg|_a^x + \int\limits_a^x (x-t) f^{''}(t)dt = $\\
326 | $\Large \displaystyle = f^{'}(a)(x-a) + \frac{1}{1!} \int\limits_a^x (x-t) f^{''}(t)dt \Rightarrow$\\
327 | $\Rightarrow \Large \displaystyle f(x) = f(a) + \frac{f^{'}(a)}{1!}(x-a) + \frac{1}{1!} \int\limits_a^x (x-t) f^{''}(t)dt$.\\
328 | Получили при $n = 1$ остаточный член в интегральной форме (получена база индукции).
329 | \item Предположим, что при $n - 1$ верно, тогда найдем для $n$ :
330 | \begin{equation*}
331 | \Large \displaystyle f(x) = f(a) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{1}{(n-1)!}\int\limits_a^x (x-t)^{n - 1} f^{(n)}(t)dt
332 | \end{equation*}
333 | Тогда:
334 | \begin{equation*}
335 | \begin{cases}
336 | u = f^{n}(t)\ ,\ dv = (x-t)^{n-1}dt\\
337 | du = f^{n + 1}(t)dt\ ,\ v = -\frac{(x-t)^n}{n}
338 | \end{cases}
339 | \end{equation*}
340 | получаем, что $\Large \displaystyle f(x) = f(a)\ +\ \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\ -\ \frac{(x-t)^n f^{(n)}(t)}{n!} \bigg|_a^x + +\ \frac{1}{n!} \int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)dt$. Тогда получаем, что:
341 | \begin{equation*}
342 | \Large \displaystyle f(x) = f(a)\ +\ \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{1}{n!} \int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t)dt \ \square
343 | \end{equation*}
344 |
345 | \end{enumerate}
346 |
347 | \item Это просто остаточный член в форме Лагранжа (доказывалось в прошлом семестре).
348 | \end{enumerate}
349 |
350 |
351 |
352 |
353 | \end{document}
354 |
--------------------------------------------------------------------------------
/source/11.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
2 |
3 | % Русский язык
4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
7 |
8 | \usepackage{graphicx} % импорт изображений
9 | \usepackage{wrapfig} % обтекаемые изображения
10 | \graphicspath{{pictures/}} % обращение к подкаталогу с изображениями
11 | \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
12 | \usepackage[warn]{mathtext} % русский язык в формулах
13 | \usepackage{indentfirst} % indent first
14 | \usepackage[margin = 25mm]{geometry}% отступы полей
15 | \usepackage[table,xcdraw]{xcolor} % таблицы
16 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % Математика
17 | \usepackage{wasysym} % ???
18 | \usepackage{upgreek} % ???
19 | \usepackage{caption}
20 | \captionsetup{labelsep=period}
21 | \usepackage{mathrsfs}
22 | \usepackage{makecell}
23 | \usepackage{gensymb} % degree symbol
24 |
25 |
26 |
27 | \pagestyle{empty}
28 |
29 |
30 | \begin{document}
31 | \section*{Билет №11}
32 | \subsection*{Степенные ряды с комплексными числами}
33 | \noindent\textbf{Определение} $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k(\zeta - a)$; $c_k, a \in \mathbb{C} -$ фиксированные числа, $\zeta \in \mathbb{C}$ - переменная. \\
34 | Такой функциональные ряд называется \textit{степенным}.\\
35 | $c_k$ - коэф. степенного ряда. Этот ряд сходится в точке а.\\
36 | $\zeta - a = z \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$ - будем рассматривать такой степенной ряд, который сходится в т. $z = 0$ \\
37 | \subsection*{Теорема 1. [Первая теорема Абеля]}
38 | \noindent1. Если степенной ряд $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$ сходится в т. $z \neq 0$, то он сходится в круге: $k_0 = \{z = \mathbb{C}: |z| < |z_0|\}$ \\
39 | \noindent 2. Если степенной ряд $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$ расходится в т. $z_1$, то он расходится в любой т. $z: |z| > |z_1|$ \\
40 | \begin{figure*}[h!]
41 | \centering
42 | \includegraphics[scale = 0.1]{Que_11_pic_1.jpeg}
43 | \end{figure*}
44 | \ \\
45 | \noindent[$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} z_n = a$] $ \stackrel{\text{def}}{=}$ [$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |z_n - a| = 0$] \\
46 | \ \\
47 | $\forall \varepsilon > 0 \quad\exists \, N = N (\varepsilon): \forall n \geqslant N \Rightarrow |z_n - a| < \varepsilon $ \\
48 | \ \\
49 | \noindent\textbf{Доказательство:} \\
50 | \ \\
51 | 1) $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_0^k < \infty \Rightarrow c_k z_0^k \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \text{Ограничена:} \, \exists M > 0: \forall k \Rightarrow |c_k z_0^k| \leqslant M$ \\
52 | \ \\
53 | $ \forall z: |z| < |z_0| $ \\
54 | $ |c_k z^k| = | c_k z_0^k \left( \frac{z}{z_0} \right)^k | \leqslant M \cdot \left[ q(z) \right]^k, |q(z)| < 1 \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty q^k(z) < \infty \Rightarrow
55 | $\\
56 | $
57 | \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty |c_k z^k| < \infty \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k
58 | $\\
59 | \ \\
60 | 2) $
61 | \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_1^k = \infty \Rightarrow \forall z: |z| > |z_1| - \text{ряд} \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k \text{ расходится, если бы в точке } z_2:
62 | $\\
63 | $
64 | |z_2| > |z_1| \text{ ряд } \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_2^k < \infty \stackrel{1)}{\Rightarrow} \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_1^k < \infty
65 | $ - противоречие \\
66 | \ \\
67 | \noindent\textbf{Следствие 1. } Если $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_0^k < \infty, z_0 \neq 0$, то $\forall \rho: 0 < \rho < |z_0|$ в круге $k_{\rho} = \{z \in \mathbb{C} : |z| \leqslant \rho \} \text{ ряд } \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$ сходится равномерно. \\
68 | \ \\
69 | \noindent\textbf{Доказательство:} \\
70 | $
71 | \exists M > 0: \forall k \Rightarrow |c_k z_0^k| \leqslant M
72 | $ \\
73 | \ \\
74 | $ \forall z \in K_{\rho} $\\
75 | \ \\
76 | $
77 | |c_k z^k| = |c_k z_0^k \cdot \frac{z^k}{z_0^k} | \leqslant M \left( \frac{\rho}{|z_0|} \right)^k = M \cdot q^k
78 | $ \\
79 | \ \\
80 | $ |q| = \frac{\rho}{|z_0|} < 1 $ ($\frac{\rho}{|z_0|}$ не зависит от $z$), \\
81 | \ \\
82 | $\sum\limits_{k = 0}^\infty q^k < \infty \stackrel{\text{По пр. Вей.}}{\Rightarrow} \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$ сходится равномерно в круге $K_{\rho}$ \\
83 | \ \\
84 | \noindent\textbf{Следствие 2} Если в т. $z_0 \neq 0 $ вып. $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_0^k < \infty $, то \\
85 | 1) $\sum\limits_{k = m}^\infty c_k z^{k - m}$ сходится абсолютно в круге $K_0$ и равномерно в круге $K_{\rho}$ \\
86 | 2) $\sum\limits_{k = 1}^\infty k c_k z^{k - 1}$ сходится абсолютно в круге $K_0$ и равномерно в круге $K_{\rho}$ \\
87 | \ \\
88 | \noindent\textbf{Доказательство:} \\
89 | 1) $\forall z \in k_0 \Rightarrow |c_k z^{k - m} | = |c_k z_0^k \left(\frac{z}{z_0} \right)^{k - m} \cdot \frac{1}{z_0^m} | \leqslant$ \\
90 | \ \\
91 | $
92 | \frac{M}{|z_0|^m} \cdot | \frac{z}{z_0} |^{k-m} = \frac{M}{|z_0|^m} \cdot q^{k - m} (z), \quad q(z) = |\frac{z}{z0}| < 1
93 | $\\
94 | \ \\
95 | $\sum\limits_{k = m}^\infty q^{k - m} < \infty $ - сходится абсолютно в $K_0$\\
96 | \ \\
97 | $ \forall z \in K_1 \Rightarrow |c_k z^{k - m}| \leqslant \frac{M}{|z_0|^m} \cdot q_1^{k - m}, \quad q_1 = \frac{\rho}{|z_0|} < 1.
98 | $\\
99 | \ \\
100 | $0 < q_1 < 1$ - не зависит от $z$ $\Rightarrow$ по признаку Вейр. в $K_1$ ряд сходится равномерно\\
101 | \newpage
102 | \noindent2) $\forall z \in K_0$ \\
103 | \ \\
104 | $ |k c_k z^{k-1} | = | \frac{c_k z_0^k}{z_0} \cdot k\left( \frac{z}{z_0} \right)^{k-1} | \leqslant \frac{M}{|z_0|} \cdot k q^{k - 1}(z), q(z) = | \frac{z}{z_0} | < 1 $ \\
105 | \ \\
106 | $ \sum\limits_{k = 1}^\infty k q^k(z) < \infty $ по признаку Даламбера\\
107 | \ \\
108 | \subsection*{Теорема 2. [О радиусе сходимости степенного ряда]}
109 | \noindentДля любого степенного ряда существует $R \, \, (R \geqslant 0 \text{ или } R = +\infty)$\\
110 | такое, что \\
111 | 1) $0 < R < \infty \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty$ в круге $K = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < R\}$ и расходится в $\mathbb{C} \backslash \overline{K}$\\
112 | 2)$R = 0$, то $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty$ только в $z = 0$\\
113 | 3) $R = +\infty$, то $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty \ \forall z \in \mathbb{C}$\\
114 | $R$ - называется радиусом сходимости степенного ряда $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$ \\
115 | $K$ - круг сходимости\\
116 | \ \\
117 | \noindent\textbf{Доказательство:} Пусть $\mathscr{D} \subset \mathbb{C}$ - множество сходимости степенного ряда; $\mathscr{D} \neq \varnothing$, т.к. $0 \in \mathscr{D}$\\
118 | \ \\
119 | 1) $\mathscr{D}$ - огран., $z_0 \in \mathscr{D}, z_0 \neq 0$ \\
120 | \ \\
121 | $R = \underset{z \, \in \, \mathscr{D}}{\sup} |z| $ - сущ. т.к. $\mathscr{D}$ огранич. мн-во.\\
122 | \ \\
123 | Докажем: $\forall \ z \in K \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty$ \\
124 | \ \\
125 | $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \overline{K} \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k = \infty$\\
126 | \ \\
127 | По определению $\sup \, \forall z'\in K \ \exists z_1 \in \mathscr{D} : |z'| < |z_1| \leqslant R$, т.к. \\
128 | \ \\
129 | $ \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_1^k < \infty \Rightarrow$ 1-я теорема Абеля $ \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k (z')^k < \infty$ и сходится абсолютно $\Rightarrow$ В силу произв. $z' \in K \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$ сходится абс. в круге $K$\\
130 | \ \\
131 | Пусть $z' \notin K \Rightarrow |z'| > R \Rightarrow$ по опред. $\sup z' \notin \mathscr{D} \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k (z')^k = \infty \Rightarrow$ расходится вне круга $K$\\
132 | \ \\
133 | 2) $\mathscr{D}$ - огран.; если $\mathscr{D} = \{0\}$, то ряд сход в т. $z = 0$ и расх в $z \neq 0$\\
134 | \ \\
135 | $ \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty \quad z = 0 \quad \Rightarrow R = 0$\\
136 | \ \\
137 | 3) $\mathscr{D}$ - неогранич. $\Rightarrow \forall z \in \mathbb{C} \ \exists z' \in \mathscr{D}:$\\
138 | \ \\
139 | $|z| < |z'|, \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k (z')^k < \infty \stackrel{\text{1-я т. Аб.}}{\Rightarrow} \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty$\\
140 | \subsection*{Теорема 3. [Вторая теорема Абеля]}
141 | \noindent Если $0 0 \ \forall k \text{ и } \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|c_{k+1}|}{|c_k|} = \rho \ (\rho \geqslant 0, \rho = +\infty) \Rightarrow R = \frac{1}{\rho}$\\
164 | \ \\
165 | \noindent\textbf{Доказательство:}\\
166 | \ \\
167 | $K = \{z \in \mathbb{C}: |z| < \frac{1}{\rho} \}$ \\
168 | \ \\
169 | $z_0 \in K: \sqrt[k]{|c_k z_0^k|} = |z_0| \sqrt[k]{|c_k|} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} |z_0| \cdot \rho < \frac{1}{\rho} \cdot \rho = 1 $\\
170 | \hspace*{3 cm} $\Downarrow$ По признаку Коши \\
171 | \hspace*{3 cm}$\sum\limits_{k = 0}^\infty |c_k z_0^k| < \infty$\\
172 | \ \\
173 | $z_1: |z_1| > \frac{1}{\rho}$\\
174 | \ \\
175 | $\sqrt[k]{|c_k z_1^k|} = |z_1| \sqrt[k]{|c_k|} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} |z_1| \cdot > \frac{1}{\rho} \cdot \rho \Rightarrow
176 | $ По признаку Коши $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z_1^k = \infty$\\
177 | \ \\
178 | \noindent\textbf{Пример (показывает, для чего нужна формула Коши-Адамара):}\\
179 | $\sum\limits_{k = 1}^\infty z^{k^2} = z + z^4 + z^9 + z^{16} + z^{25} + .... + z^{k^2} + ...
180 | $\\
181 | \ \\
182 | $ \{c_k\} = \{ c_1 = 1, c_2 = c_3 = 0, c_4 = 1, c_5 = c_6 = c_7 = c_8 = 0, c_9 = 1, ... \} $\\
183 | \ \\
184 | $\overline{\lim\limits_{k \to \infty}} \sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k^2]{|c_{k^2}|} = 1 \Rightarrow R = 1 $
185 | \subsection*{Теорема 5. [Формула Коши-Адамара]}
186 | \noindent Если $R$ - радиус сходимости $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k$, тогда \\
187 | $ R = \frac{1}{\overline{\lim\limits_{k \to \infty}} \sqrt[k]{|c_k|}} $\\
188 | \ \\
189 | \noindent\textbf{Доказательство:}\\
190 | 1) $ \{ \sqrt[k]{|c_k|}\} $ - неогр. \\
191 | \ \\
192 | 2) $ \overline{\lim\limits_{k \to \infty} }\sqrt[k]{|c_k|} = L > 0; \quad L \in R$\\
193 | \ \\
194 | 3) $ \overline{\lim\limits_{k \to \infty} }\sqrt[k]{|c_k|} = 0 \Rightarrow \{ \sqrt[k]{|c_k|}\}$ сходится к 0\\
195 | \ \\
196 | 1) Для бескон. числа номеров $k \in \mathbb{N}$ \\
197 | \indent$|c_k z^k| > 1 \quad \forall z \neq 0, \ z \in \mathbb{C}$ \\
198 | \hspace*{3 cm} $\Downarrow$\\
199 | Не выполняется необходимое условие сходимости ряда \\
200 | \hspace*{3 cm} $\Downarrow$\\
201 | \hspace*{2 cm} $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k = \infty $\\
202 | \hspace*{3 cm} $\Downarrow$\\
203 | \hspace*{1.9 cm} $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty \ $ только для $z = 0$\\
204 | \ \\
205 | 2) Докажем, что\\
206 | а) $\forall z: |z| < \frac{1}{L}$ ряд сходится \\
207 | б) $\forall z: |z| < \frac{1}{L}$ ряд расходится\\
208 | \ \\
209 | а) $z: \quad |z| < \frac{1}{L}$ \\
210 | Тогда $\exists \, \varepsilon > 0: |z| < \frac{1}{L + \varepsilon} < \frac{1}{L} $\\
211 | \ \\
212 | $\varepsilon > 0 \ \exists \, k_0(\varepsilon): \forall k \geqslant k_0 \Rightarrow \sqrt[k]{|c_k|} < L + \frac{\varepsilon}{2}
213 | $ \\
214 | \ \\
215 | $ \sqrt[k]{|c_k z^k|} = |z| \sqrt[k]{|c_k|} \leqslant \frac{L + \frac{\varepsilon}{2}}{L + \varepsilon}
216 | $\\
217 | \hspace*{1 cm} $\Downarrow$ По признаку Коши\\
218 | $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty \ $ в круге $K = \{z: |z| < \frac{1}{L}\}$\\
219 | \ \\
220 | б) $\forall z: |z| > \frac{1}{L} \Rightarrow \exists \, \varepsilon > 0: |z| > \frac{1}{L - \varepsilon} > \frac{1}{L} $\\
221 | $[\ \exists \ \{c_{k_n}\} : \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} = L \,] \stackrel{\text{def}}{=} [\varepsilon > 0 \ \exists \, n_0 : \forall n \geqslant n_0 \Rightarrow L - \varepsilon < \sqrt[k_n]{|c_{k_n}|} \,]$ \\
222 | \ \\
223 | $\sqrt[k_n]{|c_{k_n}| z^{k_n}} = |z| \sqrt[k_n]{|c_{k_n}|} > \frac{1}{L - \varepsilon} \cdot (L - \varepsilon) = 1 \quad \forall n \geqslant n_0 \Rightarrow |c_k z^{k_n}| > 1 \Rightarrow$\\
224 | \ \\
225 | $\Rightarrow$ Не выполняется необходимых условий сходимости \\
226 | \hspace*{3 cm} $\Downarrow$\\
227 | Ряд расходится $\forall z: |z| > \frac{1}{L}$\\
228 | \ \\
229 | 3) $\overline{\lim\limits_{k \to \infty} }\sqrt[k]{|c_k|} = 0 \Rightarrow \{ \sqrt[k]{|c_k|}\}$ сходится к 0.\\
230 | \ \\
231 | $\forall z \in \mathbb{C}, \ z \neq 0 : \frac{1}{2|z|} = \varepsilon: \quad \exists \, k_0(\varepsilon) : \forall k \geqslant k_0 \Rightarrow \sqrt[k]{|c_k|} < \frac{1}{2|z|} \Rightarrow$\\
232 | \ \\
233 | $\Rightarrow \sqrt[k]{|c_k|\cdot |z^k|} = |z|\sqrt[k]{|c_k|} < |z| \cdot \frac{1}{2|z|} = \frac{1}{2} < 1$ \\
234 | \hspace*{1 cm} $\Downarrow$ По признаку Коши\\
235 | $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty \quad \forall z \in \mathbb{C}$
236 | \subsection*{Свойства степенных рядов}
237 | \subsection*{Теорема 7.}
238 | \noindent Для рядов \\
239 | \ \\
240 | $\sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k, \quad \quad \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{c_k z^{k + 1}}{k + 1}, \quad \quad \sum\limits_{k = 0}^\infty k c_k z^{k - 1} \quad$ \\
241 | \hspace*{0.5 cm}1) \hspace*{2.4 cm}2)\hspace*{2.7 cm}3)\\
242 | \ \\
243 | радиус сходимости один и тот же.\\
244 | 1) $R_1, K_1$\\
245 | 2) $R_2, K_2$\\
246 | 3) $R_3, K_3$\\
247 | Надо доказать: $R_1 = R_2 = R_3 = R$\\
248 | \ \\
249 | \noindent\textbf{Доказательство:}\\
250 | $\forall k \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{1}{k + 1} < 1 \leqslant k \quad \times |c_k z^{k + 1}|$\\
251 | \ \\
252 | $|\frac{c_k}{k + 1} z^{k + 1}| \leqslant |z| \cdot |c_k z^k| \leqslant |z|^2 \cdot |k c_k z^{k - 1}|$\\
253 | \ \\
254 | $\underbrace{ |z| \cdot |c_k z^k| \leqslant |z|^2 \cdot |k c_k z^{k - 1}|}_{1)} \quad \quad \underbrace{|\frac{c_k}{k + 1} z^{k + 1}| \leqslant |z| \cdot |c_k z^k|}_{2)}$\\
255 | 1) $\forall z \neq 0 \in K_3 \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k z^k < \infty \Rightarrow R_1 \geqslant R_3$\\
256 | 2) $\forall z \neq 0 \in K_1 \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{c_k}{k + 1} z^{k+1} < \infty \Rightarrow R_1 \leqslant R_2$\\
257 | \ \\
258 | В результате: $R_3 \leqslant R_1 \leqslant R_2 $\\
259 | \ \\
260 | Надо доказать, что $R_2 \leqslant R_3$\\
261 | \ \\
262 | $z \in K_2 \ \ \exists \, \rho < R_2: z \in K_{\rho} \quad |k c_k z^{k - 1}| = |k c_k z^{k - 1} \cdot \frac{k + 1}{k + 1} \cdot \frac{z^2}{z^2}|$ = \\
263 | \ \\
264 | $|\frac{c_k}{k + 1} \cdot z^{k + 1} \cdot \frac{k(k+1)}{z^2}| = | \frac{c_k}{k + 1} \cdot \rho^{k + 1} \cdot \frac{k(k + 1)}{z^2} \cdot \left( \frac{z}{\rho} \right)^{k + 1}| \stackrel{\exists M > 0}{\leqslant} $\\
265 | \ \\
266 | $\leqslant \frac{M}{|z|^2} k(k+1) \rho_1^{k + 1}, \text{ где } |q_1| < 1 \quad q_1 = \frac{z}{\rho}$ \\
267 | \hspace*{3 cm} $\Downarrow$\\
268 | $\forall \in K_2 \Rightarrow \sum\limits_{k = 0}^\infty k c_k z^{k - 1} < \infty \Rightarrow R_3 \geqslant R_2$\\
269 | Тогда в сумме $R_1 = R_2 = R_3 = R$\\
270 | \subsection*{Теорема 8.}
271 | \noindentЕсли $R$ - радиус степенного ряда $\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k (x - a)^k = f(x), $\\
272 | $
273 | \quad x \in (a - R; a + R); \quad a_k, a, x \in R$, то\\
274 | \ \\
275 | 1) $f$ бесконечно дифф. на $(a - R; a + R)$ \\
276 | $f^{(m)}(x) = \sum\limits_{k = m}^\infty k(k-1) ... (k - (m - 1)) a_k (x - 1)^{k - m}$ \\
277 |
278 | 2) $\forall x \in (a - R; a + R) \Rightarrow \int_{a}^{x} f(t) dt = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{a_k}{k + 1} (x - a)^{k + 1}$ \\
279 | \ \\
280 | При почленном дифференцировании ряда радиус не меняется.\\
281 | \ \\
282 | \textbf{Доказательство:}\\
283 | $\forall \rho: 0 < \rho < R \text{ на } [a - \rho; a + \rho ]$ равномерная сходимость $\Rightarrow$ всё можно делать.\\
284 | \ \\
285 | \textbf{Следствие:}\\
286 | $a_k = \frac{f^{(k)(a)}}{k!}
287 | $
288 |
289 |
290 | \end{document}
--------------------------------------------------------------------------------
/source/2.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 |
2 | \documentclass[a4paper,14pt]{extreport}
3 |
4 | %%% Работа с русским языком
5 | \usepackage{cmap} % поиск в PDF
6 | \usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах
7 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
8 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
9 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
10 |
11 | % Дополнительная работа с математикой
12 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
13 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление
14 |
15 | %% Шрифты
16 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид
17 | \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт
18 | \usepackage{dsfont}
19 | %% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
20 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
21 | {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
22 |
23 | %% Русские списки
24 | \usepackage{enumitem}
25 | \makeatletter
26 | \AddEnumerateCounter{\asbuk}{\russian@alph}
27 | \makeatother
28 |
29 | %% Поля
30 | \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
31 |
32 | %% Интервалы
33 | \linespread{1}
34 | \usepackage{multirow}
35 |
36 | %% TikZ
37 | \usepackage{tikz}
38 | \usetikzlibrary{graphs,graphs.standard}
39 |
40 | \usepackage{cancel} % перечеркивания
41 |
42 | \begin{document}
43 |
44 | \section*{Билет №2.}
45 |
46 | \subsection*{Предел числовой функции нелскольких переменных.}
47 |
48 | \textbf{Обозначения:}
49 | $\mathscr{M} = (\mathbb{M}, \rho)$, $a \in \mathscr{M}$, $\mathscr{U}(a)$,
50 | $w = f(x)$ - некоторая функция, заданная в $\mathscr{U}$(a), за исключением, быть может, самой точки $a$.
51 | \\
52 | \textbf{Определение по Гейне:}
53 |
54 | $[\lim\limits_{n \to \infty}f(x) = b] \stackrel{def}{=} \left[ \forall \{x^n\}:
55 | [x^n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a] ~ \& ~ [x^n \neq a ~ \forall n] \mapsto
56 | w^n = f(x^n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} b\right]$.
57 | \\
58 | \textbf{Определение по Коши:}
59 |
60 | $[\lim\limits_{x \to a}f(x) = b] \stackrel{def}{=} \left[\forall \varepsilon > 0 ~
61 | \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0:
62 | [\forall x: ~ 0 < \rho (x, a) < \delta] \mapsto |f(x) - b| < \varepsilon\right]$.
63 | \\
64 | \textbf{Пример:}
65 |
66 | $$w = f(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2} ~ \text{,}$$
67 | $$x^2 + y^2 \neq 0, ~ \vec{0} = (0, 0)$$
68 | $$[\lim\limits_{(x,y) \to \vec{0}}f(x, y) - \text{не существует}]$$
69 |
70 | Рассмотрим последовательности:
71 |
72 | \
73 |
74 | $\{z^n\}^\text{'} = \{(x^n, y^n)\} = \left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$
75 | $\quad \rho(\{z^n\}^\text{'}, \vec{0}) = \frac{\sqrt2}{n} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$
76 |
77 | \
78 |
79 | $\{z^n\}^\text{''} = \{(x^n, y^n)\} = \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$
80 | $\quad \rho(\{z^n\}^\text{''}, \vec{0}) = \frac{\sqrt2}{n} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$
81 |
82 | \
83 |
84 | Однако
85 | $f(\{z^n\}^\text{'}) = 1, \quad f(\{z^n\}^\text{''}) = -1$. Поэтому предел функции $f(x, y)$ в точке
86 | $\vec{0} = (0, 0)$ - не существует.
87 | \\
88 | \textbf{Предложение:} Пусть $a \in \mathscr{M} \text{ и } w = f(x) \text{, } w = g(x)$ определены
89 | в $\mathscr{U}(a)$, за исключением, быть может, самой точки $a$;
90 | $\lim\limits_{x \to a}f(x) = b$, $\lim\limits_{x \to a}g(x) = c$. Тогда:
91 | \\
92 | $\lim\limits_{x \to a}[f(x) \pm g(x) ] = b \pm c$.
93 | \\
94 | $\lim\limits_{x \to a}[f(x) \cdot g(x) ] = b \cdot c$.
95 | \\
96 | $\lim\limits_{x \to a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{b}{c} \text{, } c \neq 0$.
97 |
98 | \
99 |
100 | Доказательство аналогично доказательству для функций одной переменной.
101 | \\
102 | \textbf{Определение:} Функция $\alpha = \alpha(x) \text{, определенная в }\mathscr{U}(a)$,
103 | за исключением, быть может, самой точки $a$, называется бесконечно малой, если
104 | $\lim\limits_{x \to a}\alpha(x) = 0$.
105 | \\
106 | \textbf{Предложение:}
107 | \\ [2 mm]
108 | $[f(x): \lim\limits_{x \to a}f(x) = b] \Rightarrow
109 | [\alpha = \alpha(x) = f(x) - b -\text{бесконечно малая при } x \rightarrow a]$.
110 |
111 | \subsection*{Предел функции по множеству.}
112 | \textbf{Обозначения:}
113 | $a$ - предельная точка множества $A \subset \mathscr{M}, ~ w = f(x) \text{ определена в } A$.
114 | \\ [2 mm]
115 | \textbf{Определение:} Предел функции по множеству:
116 | \\ [2 mm]
117 | $[\lim\limits_{x \xrightarrow[x \in A]{} a}f(x) = b] \stackrel{def}{=} \left[\forall \varepsilon > 0 ~
118 | \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0:
119 | \forall x \in A: ~ 0 < \rho (x, a) < \delta \mapsto |f(x) - b| < \varepsilon\right]$
120 | \\ [2 mm]
121 | \textbf{Обозначения:}
122 | $D \subset \mathds{E}^m$ - неограниченное множество. $w = f(x)$ - определена на $D$.
123 | \\ [2 mm]
124 | \textbf{Определение:} Предел функции при $x \rightarrow +\infty$:
125 | \\ [2 mm]
126 | $[\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x) = b] \stackrel{def}{=} \left[\forall \varepsilon > 0 ~
127 | \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0:
128 | \forall x \in D: \rho (x, \vec{0}) > \delta \mapsto |f(x) - b| < \varepsilon\right]$,
129 | где $\vec{0} = (0, ... , 0)_m$
130 | \\ [2 mm]
131 | \textbf{Определение:} Пусть функция $w = f(x)$ определена на множестве $\prod_r(x_0, y_0) =
132 | \{(x,y) \in \mathds{E}^2: 0 < |x - x_0| < r_1, 0 < |y - y_0| < r_2\}$
133 | \\ [2 mm]
134 | $\forall x \in (x_0 - r_1, x_0 + r_1), ~ x \neq x_0 ~
135 | \exists \lim\limits_{y \to y_0}f(x, y) = \varphi(x), ~ \exists \lim\limits_{x \to x_0}\varphi(x) = b$
136 | \\ [2 mm]
137 | Тогда говорят, что у функции $w = f(x, y)$ существует повторный предел
138 | $\lim\limits_{x \to x_0} \lim\limits_{y \to y_0}f(x, y) = b$
139 | \\ [5 mm]
140 | $\forall y \in (y_0 - r_1, y_0 + r_1), ~ y \neq y_0 ~
141 | \exists \lim\limits_{x \to x_0}f(x, y) = \psi(y), ~ \exists \lim\limits_{y \to y_0}\psi(y) = c$
142 | \\ [2 mm]
143 | Тогда говорят, что у функции $w = f(x, y)$ существует повторный предел
144 | $\lim\limits_{y \to y_0} \lim\limits_{x \to x_0}f(x, y) = c$
145 | \\ [2 mm]
146 | \textbf{Замечание:} Из существования предела функции в точке не следует существование повторных пределов.
147 | А из существования и равенства повторных пределов не следует существования предела в точке.
148 | \\ [2 mm]
149 | \textbf{Примеры:}
150 | \begin{enumerate}
151 | \item $$w = f(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2}, ~ x^2 + y^2 \neq 0$$
152 | \\$$\lim\limits_{y \to 0} \lim\limits_{x \to 0}f(x, y) =
153 | \lim\limits_{x \to 0} \lim\limits_{y \to 0}f(x, y) = 0$$
154 | Но предел функции в точке $(0, 0)$ не существовует.
155 | \item $$ w = f(x, y) =
156 | \begin{cases}
157 | x \cdot sin\left(\frac{1}{y}\right), ~ y \neq 0
158 | \\0, ~ y = 0
159 | \end{cases}$$
160 | \\ [2mm]
161 | $|f(x, y)| \leq |x| \leq \sqrt{x^2 + y^2} < \delta = \varepsilon$
162 | \\ [2mm]
163 | $\left[\forall \varepsilon > 0 ~
164 | \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0:
165 | \forall x \in A: ~ 0 < \rho (x, a) < \delta \mapsto |f(x) - b| < \varepsilon\right]$
166 | \\ [4mm]
167 | $\lim\limits_{(x, y) \xrightarrow[y \neq 0]{} \vec{0}}f(x, y) = 0 \quad
168 | \lim\limits_{y \to 0} \lim\limits_{x \to 0}f(x, y) = 0 \text{, однако }
169 | \\ \lim\limits_{x \to 0} \lim\limits_{y \to 0}f(x, y) - не ~существует.$
170 | \end{enumerate}
171 |
172 | \textbf{Предложение:} Пусть $w = f(x, y)$ определена в $\prod_r(x_0, y_0) =
173 | \{(x,y) \in \mathds{E}^2: 0 < |x - x_0| < r_1, ~ 0 < |y - y_0| < r_2\} ~ \text{ и } \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)}f(x, y) = b$. Пусть, кроме того, $\forall x: ~
174 | 0 < |x - x_0| < r_1 ~ \exists \lim\limits_{y \to y_0}f(x, y) = \varphi(x)$ и
175 | $\forall y: ~ 0 < |y - y_0| < r_2 ~ \exists \lim\limits_{x \to x_0}f(x, y) = \psi(y)$.
176 | Тогда повторные пределы существуют и равны числу $b$.
177 |
178 |
179 | \subsection*{Непрерывность функции нескольких переменных в точке и по множеству.}
180 | \textbf{Определение:} Функция $w = f(x)$, определенная в $\mathscr{U}(a) \subset \mathscr{M}$ называется непрерывной в точке $a$, если $\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)$.
181 | \\[2mm]\textbf{Обозначения:} $ w = f(x)$ определена на $A \subset \mathscr{M}$ и $a$ предельная точка множества $A$.
182 | \\[2mm]\textbf{Определение:} Функция $w = f(x)$ называется непрерывной в точке $a$ по
183 | множеству $A$, если $\lim\limits_{x \xrightarrow[x \in A]{} a}f(x) = f(a)$.
184 | \\[2mm]\textbf{Определение:} Функция $w = f(x)$ называется непрерывной на множестве
185 | $\mathbb{X} \subset \mathscr{M}$, если она непрерывна в каждой точке множества
186 | $\mathbb{X}$ по множеству $\mathbb{X}$.
187 | \\[2mm]\textbf{Предложение:} $[f - \text{непрерывна в точке }a \in \mathscr{M}] \Leftrightarrow [\Delta f(x) = f(x) - f(a) - \text{бесконечно малая при } x \to a]$
188 | \\[2mm]\textbf{Обозначения:} $w = f(x), ~ x \in \mathbb{E}^m; \quad \Delta_kf(x^0, \Delta x_k) = f({x_1}^0, ..., {x_{k-1}}^0, {x_{k}}^0 + \Delta x_k, {x_{k+1}}^0, ..., {x_{m}}^0) - f(x^0)$.
189 | \\[2mm]
190 | Частичное приращение функции $w = f(x)$ в точке $x^0 = ({x_1}^0, ..., {x_m}^0)$ соответствуют приращению $\Delta x_k$ аргумента $x_k$.
191 | \\[2mm]\textbf{Определение:} Функция $w = f(x)$ называется непрерывной в точке $x^0$ по переменной $x_k$, если $\lim\limits_{\Delta x_k \to 0}\Delta_k f(x^0, \Delta x_k) = 0$
192 | \\[2mm]\textbf{Замечание:} Из непрерывности функции $w = f(x)$ в точке $x^0 = ({x_1}^0, ..., {x_m}^0)$ следует непрерывность функции по каждой переменной, но из непрерывности функции по каждой переменной не следует непрерывность функции в точке.
193 | \\[5mm]\textbf{Контрпримеры:}
194 | \begin{enumerate}
195 | \item $$w = f(x, y) =
196 | \begin{cases}
197 | \frac{xy}{x^2 + y^2}, ~ x^2 + y^2 \neq 0;
198 | \\0, ~ x^2 + y^2 = 0.
199 | \end{cases}
200 | $$
201 | $$\Delta_xf(\vec{0}, x) = \Delta_yf(\vec{0}, y) = 0.$$
202 | Функция непрерывна в точке $\vec{0} = (0, 0)$ по переменной $x$ и по переменной $y$.
203 | Однако пусть $y = kx$, тогда:
204 | \\[3mm]$\lim\limits_{(x, y) \to \vec{0}}f(x, y) = \lim\limits_{x \to 0}\frac{kx^2}{(1 + k^2)x^2} =
205 | \frac{k}{1+k^2} \neq 0$, при $k \neq 0$. Поэтому функция $f(x, y)$ не является непрерывной в точке $\vec{0}$.
206 | \item $$w = f(x, y) =
207 | \begin{cases}
208 | \frac{x^2y}{x^4+y^2}, ~x^2 + y^2 \neq 0,
209 | \\0, x^2 + y^2 = 0;
210 | \end{cases}
211 | $$
212 | Функция $f$ непрерывна в точке $\vec{0}$ по переменной $x$ и по переменной $y$,
213 | непрерывна по множеству $y = kx$, однако не является непрерывной в точке $\vec{0}$
214 | по множеству $y = x^2$:
215 | $\lim\limits_{(x, y) \to \vec{0}}f(x, y) = \frac{1}{2} \neq 0$.
216 | \end{enumerate}
217 | \subsection*{Свойства функций, непрерывных на компакте: ограниченность, достижение точных нижней и верхней граней, равномерная непрерывность (теорема Кантора).}
218 | \textbf{Предложение:} Пусть функции $w = f(x)$ и $w = g(x)$ непрерывны в точке $a \in \mathscr{M}$. Тогда функции $f \pm g, ~ f\cdot g, ~ \frac{f}{g} \text{ - непрерывны в точке } a$,
219 | в случае частного $g(a) \neq 0$.
220 | \\[2mm]\textbf{Обозначения:} $x \in \mathbb{E}^m, ~ x_j = \varphi_j(t), ~t \in T \subset \mathbb{E}^k$,
221 | $j = 1, ..., m;~\forall t \in T \subset \mathbb{E}^k \mapsto x \in \mathbb{X} \subset \mathbb{E}^m$.
222 | На $T \subset \mathbb{E}^k$ определена сложная функция $$F(t) = f(\varphi_1(t),~ ..., ~\varphi_m(t))$$
223 | \textbf{Теорема о непрерывности суперпозиции функций:} Пусть функция $x_j = \varphi_j(t),~ j = 1, ..., m$,
224 | непрерывна в точке $b = (b_1, ..., b_m)$, причем $b_j = \varphi_j(a), ~ j = 1, ..., m$.
225 | Тогда функция $F(t) = f(\varphi_1(t), ..., \varphi_m(t))$ непрерывна в точке $a$.
226 | \\[2mm]\textbf{Доказательство:}\\ $[w = f(x) \text{ непрерывна в точке } b] \stackrel{def}{=}$ $[\forall \varepsilon > 0~\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0:\\$
227 | $[\forall x: ~ \rho (x, a) < \delta] \mapsto |f(x) - f(b)| < \varepsilon]$.
228 | \\$[\varphi_j \text{ непрерывна в точке } a, ~ j = 1, ..., m] \stackrel{def}{=}$ $[\forall \delta > 0~\exists\sigma_j = \sigma_j(\varepsilon) > 0,$\\[2mm] $j = 1, ..., m:$
229 | $[\forall t: ~ \rho (t, a) < \sigma_j] \mapsto |\varphi_j(t) - \varphi_j(a)| < \frac{\delta}{\sqrt{m}}]$.
230 | $\\[2mm]\exists \sigma = \sigma(\varepsilon) = min\{\sigma_1, ..., \sigma_m\} \Rightarrow \forall t: \rho(t, a) < \delta \Rightarrow |x_j - b_j| < \frac{\delta}{\sqrt{m}}$.
231 | \\[2mm]$\rho(x, b) = \left[\sum\limits_{j = 1}^{m}(x_j - b_j)^2\right]^{1/2} < \left[\sum\limits_{j = 1}^{m}\frac{\delta^2}{m}\right]^{1/2} = \delta \mapsto |f(x) - f(a)| < \varepsilon \Rightarrow$
232 | \\[2mm]$|f(\varphi_1(t), ..., \varphi_m(t)) - f(\varphi_1(a), ..., \varphi_m(a))| < \varepsilon \Rightarrow |F(t) - F(a)| < \varepsilon \Rightarrow$
233 | \\[4mm]$F(t)$ - непрерывна в точке $a$ по определению.
234 | \\[4mm]\textbf{Теорема о локальном сохранении знака непрерывной функции:} пусть $w = f(x)$ определена на $\mathscr{U}(a) \subset \mathbb{E}^m$ и непрерывна в точке $x = a,~ f(a) \neq 0.$
235 | Тогда $\exists \delta > 0: \forall x: \rho(x,~ a) < \delta \mapsto f(x)\cdot f(a) > 0.$
236 | \\[2mm]\textbf{Доказательство:} используется "$\varepsilon$ - $\delta"\quad$определение непрерывности функции
237 | функции в точке и выбором $0 < \varepsilon < |f(a)|.$
238 | \\[2mm]\textbf{Tеорема Вейерштрасса:} Пусть функция $w = f(x)$ непрерывна на
239 | компакте $\mathbb{E} \subset \mathbb{R}^n.$ Тогда она ограничена на $\mathbb{E}$ и достигает на $\mathbb{E}$
240 | своих верхней и нижней граней.
241 | \\[2mm]\textbf{Доказательство(по Бесову):} проведем доказательство лишь для случая верхней грани.
242 | Как увидим, оно повторяет доказательство теоремы Вейерштрасса для случая $n = 1, ~ \mathbb{E} = [a, ~b]$.
243 | \\[2mm]Пусть $B := {\underset{\mathbb{E}}{sup}} f \leq +\infty$. Из определения верхней грани следует, что существует
244 | последовательность точек $\{x^{(m)}\}, ~x^{(m)} \in \mathbb{E} ~\forall m \in \mathbb{N}$ такая, что
245 | \\[2mm]$\lim\limits_{m \to \infty}f(x^{(m)}) = B$. Последовательность $\{x^{(m)}\}$ ограничена в силу ограниченности
246 | множества $\mathbb{E}$. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса выделим из $\{x^{(m)}\}$ сходящуюся подпоследовательность
247 | ${\{x^{(m_k)}\}}_{k = 1}^\infty$. Пусть $x^{(0)} = \lim\limits_{k \to \infty} x^{(m_k)}$. Точка $x^{(0)}$ принадлежит $\mathbb{E}$
248 | в силу замкнутости $\mathbb{E}$. Следовательно, $f$ непрерывна в точке $x^{(0)}$ по множеству $\mathbb{E}$.
249 |
250 | \
251 |
252 | Теперь из соотношений
253 | $$f(x^{(m_k)}) \to B, ~ f(x^{(m_k)}) \to f(x^{(0)}) \text{ при } k \to \infty$$ вытекает, что $f(x^{(0)}) = B$, т.е. что верхняя
254 | грань функции $f$ достигается в точке $x^{(0)} \in \mathbb{E}$, Следовательно, верхняя грань $\underset{\mathbb{E}}{sup}f$ конечна,
255 | а функция $f$ ограничена сверху на $\mathbb{E}$.
256 |
257 | \
258 |
259 | Аналогично доказывается, что функция $f$ достигает своей нижней грани на $\mathbb{E}$ и ограничена снизу на $\mathbb{E}$. Теорема доказана.
260 | \\[2mm]\textbf{Определение:} функция $f$ называется равномерно непрерывной на множестве $\mathbb{X} \subset \mathbb{R}^n$,
261 | если для любого положительного числа $\varepsilon$ найдется положительное число $\delta$ такое, что
262 | для всех точек $x', ~ x" \in \mathbb{X}$, таких, что $\rho(x', ~x") < \delta$, выполняется неравенство
263 | $|f(x') - f(x")| < \varepsilon$. \\На языке кватноров:
264 | \\[2mm]$\forall \varepsilon > 0 ~\exists\delta > 0:$ $\forall x', ~x" \in \mathbb{X}, ~\rho(x', x") < \delta \mapsto |f(x') - f(x")| < \varepsilon$
265 | \\[2mm]\textbf{Теорема Кантора:} Пусть функция $f$ непрерывна на компакте $\mathbb{E} \subset \mathbb{R}^n$. Тогда $f$
266 | равномерно непрерывна на $\mathbb{E}$.
267 | \\[2mm]\textbf{Доказательство(по Бесову):} Предположим, что теорема неверна, то есть, что существует $f$, непрерывная, но не равномерно
268 | непрерывная на $\mathbb{E}$. Тогда:
269 | \\$ \exists \varepsilon_0 > 0 : \forall \delta > 0 ~\exists x, ~y \in \mathbb{E}: |x - y| < \delta: ~ |f(x) - f(y)| \geq \varepsilon_0$
270 | \\Будем в качестве $\delta$ брать $\delta_m = \frac{1}{m}$ и обозначать через $x^{(m)}, ~y^{(m)}$ соответствующую пару точек $x, ~y$. Тогда имеем:
271 | $$x^{(m)}, ~y^{(m)} \in \mathbb{E}, ~|x^{(m)} - y^{(m)}| < \frac{1}{m},$$
272 | $$|f(x^{(m)}) - f(y^{(m)})| \geq \varepsilon_0 > 0.$$
273 | Выделим из последовательности ${x^{(m)}}$ сходящуюся подпоследовательность $\{x^{(m_k)}\}_{k = 1}^\infty$,
274 | $\lim\limits_{k \to \infty}x^{(m_k)} = x^{(0)}$, что возможно по теореме Больцано-Вейерштрасса в силу ограниченности
275 | $x^{(m)}$. Тогда из $|x^{(m)} - y^{(m)}| < \frac{1}{m}$ следует, что $\lim\limits_{k \to \infty}y^{(m_k)} = x^{(0)}$.
276 | Точка $x^{(0)} \in \mathbb{E}$, так как $\mathbb{E}$ замкнуто. В силу непрерывности $f$ в точке
277 | $x^{(0)}$ по множеству $\mathbb{E}$ имеем:
278 | $\quad|f(x^{(m_k)}) \to f(x^{(0)})|$, $\quad|f(y^{(m_k)}) \to f(x^{(0)})|$, \\ при $k \to \infty$, так что
279 | $$|f(x^{(m_k)}) - f(y^{(m_k)})| \leq |f(x^{(m_k)}) - f(y^{(0)})| + |f(y^{(m_k)}) - f(x^{(0)})| \to 0 \text{, при } k \to \infty$$
280 | Это противоречит тому, что
281 | $$|f(x^{(m_k)}) - f(y^{(m_k)})| \geq \varepsilon_0 > 0 ~\forall k \in \mathbb{N}$$
282 | Теорема доказана.
283 | \subsection*{Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной в области.}
284 | \textbf{Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:} Пусть функция $w = f(x)$ непрерывна на линейно связном множестве $\mathbb{X} \subset \mathbb{E}^m, ~ a, ~ b \in \mathbb{X} ~ и ~ f(a) = A, ~ f(b) = B$. Пусть число $C$ лежит между числами $A$ и $B$. Тогда на любой кривой $Г$ соединяющей точки $a$ и $b$ и лежащей в $\mathbb{X}$, найдется точка $c$, такая, что $f(c) = C$.
285 | \\[2mm]\textbf{Доказательство:} Пусть $[\alpha, \beta] \subset \mathbb{E}^1$, $x_j = \varphi_j(t)$, $\varphi_j(\alpha) = a_j$, $\varphi_j(\beta) = b_j$, $j = 1, ..., m$;
286 | $\quad a = (a_1, ..., a_m)$, $\quad b = (b_1, ..., b_m)$, $\quad \varphi_j$ непрерывна на $[\alpha, \beta]$.
287 | $Г = \left\{\varphi_1(t),~ ..., ~\varphi_m(t), ~\alpha \leq t \leq \beta \right\}$ соединяющая точки $a$ и $b$, $Г \subset \mathbb{X}$.
288 | Рассмотрим функцию одной переменной $F(t) = f(\varphi_1(t),~ ..., ~\varphi_m(t))$. По теореме о непрерывности суперпозиции функций $F(t)$ - непрерывна на $[\alpha, \beta]$
289 | $F(\alpha) = A, ~ F(\beta) = B \Rightarrow \exists \gamma \in (\alpha, \beta): ~ F(\gamma) = C$ (т. Больцано - Коши).
290 | Тогда $c = (\varphi_1(\gamma),~ ..., ~\varphi_m(\gamma)) \Rightarrow f(c) = C.$
291 | \end{document}
292 |
--------------------------------------------------------------------------------
/source/7.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
2 |
3 | % Русский язык
4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
7 |
8 | \usepackage{graphicx} % импорт изображений
9 | \usepackage{wrapfig} % обтекаемые изображения
10 | \graphicspath{{pictures/}} % обращение к подкаталогу с изображениями
11 | \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
12 | \usepackage{amsfonts} % буквы с двойными штрихами
13 | \usepackage[warn]{mathtext} % русский язык в формулах
14 | \usepackage{indentfirst} % indent first
15 | \usepackage[margin = 25mm]{geometry}% отступы полей
16 | \usepackage{amsmath} % можно выводить фигурные скобочки -- делать системы уравнений
17 | \usepackage[table,xcdraw]{xcolor} % таблицы
18 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % Математика
19 | \usepackage{wasysym} % ???
20 | \usepackage{upgreek} % ???
21 |
22 | \usepackage{gensymb} % degree symbol
23 | \usepackage{mathrsfs}
24 |
25 | %Заговолок
26 | %\author{Паншин Артём и Белов Владислав}
27 | %\title{Билет 7.}
28 | %\date{\today}
29 |
30 |
31 | \begin{document} % начало документа
32 |
33 | %\maketitle
34 | \newpage
35 |
36 | \section*{Билет 7.}
37 |
38 | \subsection*{Некоторые свойства определенного интеграла:}
39 |
40 | \begin{enumerate}
41 | \textbf{Свойство 1}\\[5mm] $\int \limits_a^a f(x)dx = 0$\\[2mm]
42 | \textbf{Свойство 2}\\[5mm] $\int \limits_a^b f(x)dx = -\int \limits_b^a f(x)dx$\\[2mm]
43 | \textbf{Свойство 3}\\[5mm] Если $ f $, $ g $ интегрируемы на $ [a, b] $, то $\forall{\alpha, \beta} \in \mathbb{R} $ функция $ h = \alpha f + \beta g $ интегрируема на $ [a, b] $. \\ [5 mm]
44 | \textbf{Доказательство:} \\[5 mm]
45 | $ I_n \{ \tau, \xi \} = \sum\limits_{j = 1}^n [\alpha f(\xi_j) + \beta g(\xi_j)] \Delta x_j = \alpha \cdot \sum\limits_{j = 1}^n f(\xi_j)\Delta x_j + \beta \cdot \sum\limits_{j = 1}^n g(\xi_j)\Delta x_j = $ \\ [2 mm] $ \alpha I_f \{\tau, \xi \} + \beta I_g \{\tau, \xi \} $. \\ [2 mm]
46 | \textbf{Свойство 4}\\[5mm] Если $ f $ и $ g $ интегрируемы на $ [a, b] $, то $ h = f \cdot g $ интегрируема на $ [a, b] $. \\ [2mm]
47 | \textbf{Доказательство:} \\[3 mm]
48 | $ \exists A > 0 \wedge \exists B > 0: |f(x)| \leq A, \hspace*{1mm} |g(x)| \leq B \hspace*{2mm} \forall x \in [a, b]$ $\Rightarrow$ $ h $ ограничена на $ [a, b]$ \\ [2 mm]
49 | $| h(x') - h(x'') | = | f(x')g(x') - f(x'')g(x'')| = |f(x')g(x') - f(x'')g(x') + $ \\ [2 mm] $|f(x'')g(x') - f(x'')g(x'') | \leq |g(x')| \cdot |f(x') - f(x'')| + |f(x'')| \cdot | g(x') - $ \\ [2 mm] $ g(x'') | \leq B|f(x') - f(x'')| + A|g(x') - g(x'')| $ $\Rightarrow$ $[ M_j(h) - m_j(h)] \leq $ \\ [2mm] $ B[M_j(f) - m_j(f)] + A[M_j(g) - m_j(g)] $ \\ [3 mm]
50 | $ f, g $ интегрируемы на $ [a, b] $ $ \Rightarrow $ $ \forall \varepsilon > 0 \hspace*{2mm} \exists T' : \overline{S}_{T'}(f) - \underline{S}_{T'} (f) < \frac {\varepsilon}{2B} \\ [2 mm] \hspace*{83mm} \exists T'' : \overline{S}_{T''}(g) - \underline{S}_{T''} (g) < \frac {\varepsilon}{2A} $ \\ [3 mm]
51 | $ T = T' \cup T''$ \\ [2 mm]
52 | $ \underline{S}_{T'}(f) \leq \underline{S}_{T}(f) \leq \overline{S}_{T}(f) \leq \overline{S}_{T'}(f) $ $ \Rightarrow $ $\overline{S}_{T}(f) - \underline{S}_{T} (f) \leq \overline{S}_{T'}(f) - $ \\ [2mm] $\underline{S}_{T'} (f) < \frac {\varepsilon}{2B} $ \\ [2 mm]
53 | $ \underline{S}_{T''}(g) \leq \underline{S}_{T}(g) \leq \overline{S}_{T}(g) \leq \overline{S}_{T''}(f) $ $ \Rightarrow $ $\overline{S}_{T}(g) - \underline{S}_{T} (g) \leq \overline{S}_{T''}(g) - $ \\ [2mm] $\underline{S}_{T''} (g) < \frac {\varepsilon}{2A} $ $ \Rightarrow $ \\ [3 mm]
54 | $\overline{S}_{T}(h) - \underline{S}_{T} (h) < A \cdot \frac {\varepsilon}{2A} + B \cdot \frac{\varepsilon}{2B} = \varepsilon$ $\Rightarrow$ $ h $ интегрируемая на $ [a, b] $.
55 |
56 | \textbf{Свойство 5}\\[5mm] $f$ интегрируема на $[a,b] \And [c,d] \in [a,b]\Rightarrow f$ интегрируема на $[c,d]$\\ [5mm]
57 | \textbf{Доказательство:}\\[2mm]
58 | $\forall \varepsilon > 0 \exists T: \overline{S_T}- \underline{S_T}< \varepsilon$\\[2mm]
59 | $T' = T \cup \{c,d\}$\\[2mm]
60 | $\overline{S_{T'}}-\underline{S_{T'}}\leq \overline{S_T}-\underline{S_T} < \varepsilon$\\[2mm]
61 | $T^*$ порожденное разбиением $T' \Rightarrow \overline{S_{T^*}}- \underline{S_{T^*}}\leq \overline{S_T}-\underline{S_T} < \varepsilon$\\[2mm]
62 |
63 | \textbf{Свойство 6}\\[5mm] Если $ f $ интегрируема на отрезке $ [a, c] $ и $ [c, b] $, то $ f $ интегрируема на $ [a, b] $ и \vspace*{1mm} \hspace*{50mm} $$\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^c f(x)dx + \int\limits_c^b f(x)dx $$ \newline
64 | \textbf{Доказательство:} \\[3 mm]
65 | \hspace*{5mm} Пусть $ a < c < b$: \\[2 mm]
66 |
67 | $ \forall \varepsilon > 0 \hspace*{2mm} \exists T^{'}, T^{''} $ отрезков $ [a, c] $ и $ [c, b] $ \hspace*{2mm} $\overline {S_{T^'}}$ $ - {\underline{S}_{T^'}} < {\frac{\varepsilon}{2}} $, \hspace*{2mm} \vspace*{1mm}
68 | $\overline {S}_{T^{''}}$ $ - {\underline{S}_{T^{''}}} < {\frac{\varepsilon}{2}} $ \newline
69 | $T = T' \cup T{''}$ --- разбиение отрезка $ [a,b] $. \\[2mm]
70 | $ \underline{S}_{T'} = \underline{S}_{T}^1 \leq \overline{S}_{T}^1 = \overline{S}_{T'} $ \\ [2mm]
71 | $ \underline{S}_{T''} = \underline{S}_{T}^2 \leq \overline{S}_{T}^2 = \overline{S}_{T''} $ \\ [2mm]
72 | $ \overline{S}_{T} - \underline{S}_{T} = \overline{S}_{T}^1 + \overline{S}_{T}^2 - \underline{S}_{T}^1 + \underline{S}_{T}^2 < \varepsilon $ $ \Rightarrow f $ интегируема на $ [a, b]$ $ \Rightarrow $ интегральная сумма на $ [a, b] $ есть сумма интегральных сумм на $ [a,c] $ и $ [c, b] $ \\ [2mm]
73 | \hspace*{5mm} Пусть $ c < a < b $ или $ a < b < c $: \\[2 mm]
74 | $ [a, b] $ есть часть отрезка $ [c, b] $ или $ [a, c] $ $ \Rightarrow $ ввиду того, что интегрируемая на отрезке интегрируема на любом его участке, то $ f $ интегрируема на $ [a, b] $. \\ [2 mm]
75 | \hspace*{5mm} Пусть $ a < b < c $ : \\[2 mm]
76 | $\int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_b^c f(x)dx = \int\limits_a^c f(x)dx \newline
77 | \int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^c f(x)dx - \int\limits_b^c f(x)dx \Rightarrow \int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^c f(x)dx + \int\limits_c^b f(x)dx $ \\ [2mm]
78 | Аналогично доказывается для $ c < a < b$. \\ [2mm]
79 |
80 | \textbf{Свойство 7}\\[5mm] Пусть $f$ ограничена на $(a,b], \forall \alpha > 0: 0<\alpha0: \forall x \in (a,b] \longmapsto |f(x)|\leq A, f(a) = B$\\[2mm]
83 | $M = max\{A, |B|\} \Rightarrow \forall x \in [a,b], |f(x)|\leq M$\\[2mm]
84 | $\forall\varepsilon > 0 \exists \alpha = \alpha(\varepsilon):2M\alpha< \varepsilon/2$\\ [2mm]
85 | Для $[a+\alpha, b]$ найдется такое $\exists T: \overline{S_T}- \underline{S_T}< \varepsilon/2$\\[2mm]
86 | $\exists T' = T \cup \{a\}, \overline{S_{T'}}- \underline{S_{T'}}= \overline{S_T}- \underline{S_T}-(M_0-m_0)\alpha<\varepsilon/2+2M\alpha<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon $\\[5mm]
87 | \subsection*{Оценки определенного интеграла:}
88 | \textbf{Оценка 1:}\\[2mm]
89 | $f$ интегрируема на $[a,b] \And f(x)\geq 0\forall x \in [a,b]\Rightarrow \int\limits_a^b f(x)dx$\\[2mm]
90 | \textbf{Доказательство:}\\[2mm]
91 | $f(x)\geq 0 \forall x \in [a,b]\Rightarrow \forall T \And \forall \{\upxi\}\mapsto I\{T,\upxi \}\geq 0, I ~-~$ предел интегральных сумм\\[2mm]
92 | Теперь надо доказать, что при $\Delta_T \rightarrow 0 \mapsto I\geq 0$ \\[2mm]
93 | От противного:\\[2mm]
94 | $I<0 \Rightarrow \varepsilon = \frac{|I|}{2} \exists\delta(\varepsilon)>0: \forall T, \Delta_T< \delta \mapsto |I\{T,\upxi\}-I|< \frac{|I|}{2}\Rightarrow I-\frac{|I|}{2}0$\\[2mm]
97 | \textbf{Доказательство:}\\[2mm]
98 | $\exists x_0 \in (a,b): f(x_0) = 2\alpha>0 \Rightarrow$ [по теореме о сохранении знака непрерывной функции] $\Rightarrow \exists [c,d] \subset [a,b], x \in [c,d]: f(x)\geq \alpha > 0 $ на $[c,d]\Rightarrow f(x)-\alpha \geq 0$ на $[c,d]\stackrel{\text{св-во 5 и оц-ка 1}}{\Rightarrow}\int \limits_c^d (f(x)-\alpha) dx\geq 0 \Rightarrow \int \limits_c^d f(x)dx\geq \int\limits_c^d\alpha dx = \alpha(d-c) = j > 0$\\[2mm]
99 | $\int \limits_c^d f(x) dx \geq j > 0 \Rightarrow \int \limits_a^c f(x) dx + \int \limits_c^d f(x) dx+ \int \limits_d^b f(x) dx \geq 0+j+0>0$\\[2mm]
100 | \textbf{Оценка 3:}\\[2mm]
101 | $f,g$ интегрируемы на $[a,b] \And \forall x \in [a,b]\mapsto f(x)\geq g(x) \Rightarrow\int \limits_a^b f(x) dx \geq \int \limits_a^b g(x) dx$\\[2mm]
102 | \textbf{Доказательство:}\\[2mm]
103 | $f(x)-g(x) \geq 0 \forall x \in [a,b] \stackrel{\text{оц-ка 1}}{\Rightarrow} \int \limits_a^b [f(x)-g(x)]dx\geq 0 \stackrel{\text{св-во 2}}{\Rightarrow}\int \limits_a^b f(x)dx - \int \limits_a^b g(x) \geq 0 $\\[2mm]
104 |
105 | \textbf{Оценка 4:}\\[2mm] Если $ y = f (x) $ интегрируема на $ [a,b] $, то $ y = |f(x)| $ интегрируема на $ [a, b]$ и \vspace*{1mm} \hspace*{50mm} $$\bigg|\int\limits_a^b f(x)dx\bigg| \leq \int\limits_a^b |f(x)|dx $$ \\ [2mm]
106 | \textbf{Доказательство:} \\ [3 mm]
107 | \hspace*{5mm} Пусть $ |f| $ --- интегрируема. \\ [2mm]
108 | $ T = \{ a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b \}$ \\ [2 mm]
109 | $ M_j = \sup\limits_{[x_{j - 1}, x_j]} f(x)$, $ \hspace*{50mm} $ $m_j = \inf\limits_{[x_{j - 1}, x_j]} f(x) $ \\ [2 mm]
110 | $ \overline{M}_j = \sup\limits_{[x_{j - 1}, x_j]} |f(x)|$, $ \hspace*{50mm} $ $ \overline{m}_j = \inf\limits_{[x_{j - 1}, x_j]} |f(x)| $ \\ [3mm]
111 | $ \overline{M}_j - \overline{m}_j \leq M_j - m_j \hspace*{5mm} ( \textasteriskcentered )$
112 | \begin{enumerate}
113 | \item[1)] $M_j > 0, \hspace*{5} m_j > 0 $ $\Rightarrow$ очевидное равенство в $ (\textasteriskcentered) $
114 | \item[2)] $M_j < 0, \hspace*{5} m_j < 0 $ $\Rightarrow$ очевидное равенство в $ (\textasteriskcentered) $
115 | \item[3)] $ M_j > 0, m_j < 0 $ $\Rightarrow$ $ \overline{M}_j - \overline{m}_j < M_j - m_j $
116 | \end{enumerate} \\ [2 mm]
117 | Из $ (\textasteriskcentered) $ следует: \\ [2 mm]
118 | $ \overline{S}_T(|f|) -\underline{S}_T(|f|) \leq \overline{S}_T(f) -\underline{S}_T(f) < \varepsilon$ \\ [2 mm]
119 | $ \forall \varepsilon > 0 \hspace{2 mm} \exists T: \hspace{2 mm} \overline{S}_T(|f|) -\underline{S}_T(|f|) < \varepsilon$ $\Rightarrow$ $ |f| $ интегрируема и \\[2mm] $ - |f(x)| $ $\leq $ $f (x)$ $\leq$ $|f (x)| $ \\ [2mm]
120 | Вспомним, что если $ y = f(x) $ и $ y = g(x) $ интегрируемы на $ [a,b] $ и $ f(x) \geq g(x) \hspace{1 mm} \forall x \in [a, b]$, то $ \int\limits_a^b f(x)dx \geq \int\limits_a^b g(x)dx $, тогда \\ [1 mm]
121 | $$ - \int\limits_a^b |f(x)| dx \leq \int\limits_a^b f(x) dx \leq \int\limits_a^b |f(x)| dx $$ $\Rightarrow$ \\
122 | $$ \bigg|\int\limits_a^b f(x)dx\bigg| \leq \int\limits_a^b |f(x)|dx $$ \\
123 | \textbf{Замечание:} \\
124 | $ |f| $ --- интегрируема $\not\Rightarrow$ $ f $ --- интегрируема \\
125 | \textbf{Пример:} \\
126 | \begin{equation*}
127 | y = \tilde D(x) = \begin{cases}
128 | \hspace{4 mm}1, \hspace{3 mm} x \in \mathbb{Q};\\
129 | -1, \hspace{3 mm} x \in \hspace{1 mm} \mathbb{I};
130 | \end{cases}
131 | \end{equation*} \\ [2 mm]
132 |
133 | \textbf{Оценка 5:}\\[2mm] Пусть $ y = f(x) $, $ y = g(x) $ интегрир. на $ [a, b] $ и $ g(x) \geq 0 $ $\forall x \in [a, b] $. \\ [2 mm]
134 | Если $ M = \sup\limits_{[a, b]} f (x), m = \inf\limits_{[a, b]} f(x) $, то \\
135 | $$ m\int\limits_a^b g(x)dx \leq \int\limits_a^b f(x) \cdot g(x)dx \leq M \int\limits_a^b g(x)dx $$ \\ [2 mm]
136 | \textbf{Доказательство:} \\ [2mm]
137 | $ m \leq f (x) \leq M \hspace{2 mm} \forall x \in [a, b] \hspace{2 mm} g (x) \geq 0 $ $ \Rightarrow $
138 | $ m \cdot g(x) \leq f(x) \cdot g(x) \leq M \cdot g (x) $ \\ [2 mm] $ \Rightarrow $ исходное условие доказано исходя из оценки 3 и свойства 3 \\ [2 mm]
139 |
140 | \end{enumerate}
141 | \textbf{Предложение [Формула среднего значения]: } \\ [2 mm]
142 | Пусть $ f $ интегрируема на $ [a, b] $, $ M = \sup\limits_{[a, b]} f(x), m = \inf\limits_{[a, b]} f(x) $. Тогда $ \exists \mu: \hspace{2 mm} m \leq \mu \leq M $ такое, что \\
143 | $$ \int\limits_a^b f(x)dx = \mu (b - a)$$ \\
144 | \textbf{Доказательство:} \\ [2 mm]
145 | Из оценки интегрирования неравенств (результата предыдущего пункта) при $ g \equiv 1 $ $\Rightarrow$ $ m (b - a) \leq \int\limits_a^b f (x)dx \leq M(b - a) $ $ \Rightarrow $ $\displaystyle \mu = \frac {\int\limits_a^b f(x)dx}{b -a }$ \\ [2 mm]
146 | \textbf{Теорема [Интегральная теорема о среднем]:} \\ [2mm]
147 | Пусть $ f $ и $ g $ интегрируемы на $ [a, b] $. $ M = \sup\limits_{[a,b]} f(x), m = \inf\limits_{[a,b]} f(x) $ и \\ [2 mm] $ g(x) \geq 0 \hspace{2mm} \forall x \in [a, b] $ (либо $g (x) \leq 0 $). Тогда $\exists \mu: m \leq \mu \leq M $ такая, что \\
148 | $$ \int\limits_a^b f(x) \cdot g(x)dx = \mu \int\limits_a^b g(x)dx$$ \\
149 | В частности, если $ f $ непрерывна на $ [a, b] $, то $\exists \hspace{1 mm} \xi \in [a,b]: $ \\
150 | $$ \int\limits_a^b f(x) \cdot g(x)dx = f(\xi) \cdot \int\limits_a^b g(x)dx$$ \\ [6 mm]
151 | \textbf{Доказательство:} \\ [2mm]
152 | \begin{enumerate}
153 | 1) $\int\limits_a^b g(x)dx = 0 $ \\
154 | $\Rightarrow$ оценка интегрирования неравенства $\Rightarrow$ $\int\limits_a^b f(x)g(x) = 0 $ и $\mu $ --- любое число\\
155 |
156 |
157 | 2) $\int\limits_a^b g(x)dx > 0 $ \\
158 | $\Rightarrow$ Оценка интегрирования неравенства \\ [2mm]
159 | $\displaystyle m \leq \frac{\int\limits_a^b f(x)dx}{\int\limits_a^b g(x)dx} \leq M$ и $\displaystyle \mu = \frac{\int\limits_a^b f(x)dx}{\int\limits_a^b g(x)dx} $ \\
160 | Если $ f $ непрерывна на $ [a,b] $ $\Rightarrow$ $\exists \hspace{1 mm} \xi: \mu = f(\xi) $
161 | \end{enumerate} \\ [2 mm]
162 | \textbf{Предложение:}\\[2mm]
163 | Пусть $f$ интегрируема на $[a,b], m = \inf\limits_{[a,b]}f, M = \sup \limits_{[a,b]}f \Rightarrow \exists \mu : m\leq \mu \leq M: \int \limits_a^b f(x)g(x)dx = \mu(b-a),$ если $f$ непрерывна на $[a,b]$, то $\exists \upxi \in [a,b]: \int \limits_a^b f(x)dx = f(\upxi)(b-a)$ $[g\equiv 1]$
164 |
165 |
166 | \subsection*{Интегралы с переменным верхним пределом. Вычисление определеннных интегралов}
167 | \textbf{Определение:} \\ [2mm]
168 | Пусть $ y = f(x) $ интегрируема на $ [a,b] $ $\Rightarrow$ $\hspace{2mm}$ $ \forall x \in [a,b] $ существует \\
169 | $$ \int\limits_a^x f(t)dt = F(x) $$ \\
170 | Этот интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом \\ [2 mm]
171 | \textbf{Теорема:} \\ [2mm]
172 | Любая непрерывная на $ [a,b] $ функция $ y = f(x) $ имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция \\
173 | $$ F(x) = \int\limits_a^x f(t)dt, x \in [a,b] $$ \\ [2 mm]
174 | \textbf{Доказательство:} \\ [2 mm]
175 | $ \forall x \in [a, b], \hspace{1mm} x + \Delta x \in [a, b] $. Докажем, что $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x + \Delta x) - F(x) }{\Delta x} = f (x)$$ \\ [2 mm]
176 | $\displaystyle F(x + \Delta x) - F(x) = \int\limits_x^{x + \Delta x} f(t)dt$ \\ [2 mm]
177 | По теореме о среднем $\exists \xi$, лежащая между $ x $ и $ x + \Delta x:$ $ F(x + \Delta x ) - F(x) = f(\xi) \Delta x$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = f(\xi)$ \\ [2mm]
178 | Так как $ f $ непрерывна на $ [a,b] $, то при $ \Delta x \rightarrow 0$ $\Rightarrow$ $f (\xi) \xrightarrow[\Delta x \rightarrow 0]{} f (x)$ и \\ [2mm]
179 |
180 | $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x + \Delta x) - F(x) }{\Delta x} = F' (x)$$
181 | \textbf{Замечание:}\\ [2mm]
182 | Из доказательства теоремы следует, что
183 | $$\frac{d}{dx} \int\limits_a^x f(t)dt = f(x)$$\\ [2mm]
184 | \textbf{Предложение:} \\ [2mm]
185 | Если $f$ интегрируема на $[a,b]$, то $F$ непрерывна на $[a,b]$\\ [2mm]
186 | \textbf{Доказательство:} \\[2mm]
187 | $\forall \in [a,b], x+\Delta x\in [a,b]$ \\ [2mm]
188 | $F (x+ \Delta x ) - F(x) = \Delta F(x+\Delta x)$ \\[2mm]
189 | $\Delta F(x, \Delta x) = \int\limits_x^{x + \Delta x} f(t)dt = \mu \Delta x : m \leq \mu \leq M $ (Формула среднего значения) \\[2mm]
190 | $\Delta x \rightarrow 0 \Rightarrow \Delta F(x, \Delta x) \rightarrow 0 \Rightarrow F$ непрерывна в $X$ \\[2mm]
191 | \textbf{Замечание:}\\[2mm]
192 | Если $f$ непрерывна на $[a,b] \Rightarrow \forall \upphi(x) =\int\limits_a^{x} f(t)dt +C $\\ [2mm]
193 | $\upphi(a) = C,~ \upphi(b)= \int\limits_a^{b} f(x)dx + C ~~\Rightarrow\int\limits_a^b f(x)dx = \upphi(b)- \upphi(a) $\\ [2mm]
194 | \textbf{Теорема [Формула Ньютона-Лейбница]:}\\ [2mm]
195 | Если $f$ непрерывна на $[a,b]$, то $\int\limits_a^{b} f(x)dx = \upphi(b)- \upphi(a) $, где $\upphi ~-~$ любая перавообразная функции $f$\\ [2mm]
196 | \textbf{Доказательство:} \\[2mm]
197 | См. предыдущее замечание.\\[2mm]
198 | \textbf{Теорема 7':}\\[2mm]
199 | Если $f$:\\[2mm]
200 | 1) интегрируема на $[a,b]$;\\[2mm]
201 | 2) обладает на $[a,b]$ первообразной $\upphi $;\\[2mm]
202 | то справедлива формула $\int\limits_a^{b} f(x)dx = \upphi(b)- \upphi(a) $\\[2mm]
203 | \textbf{Замечание:}\\[2mm]
204 | 1) $y = sgn x, x \in [-1,1]$ интегрируема на $[-1,1]$, но не обладает первообразной.\\[2mm]
205 | 2) $F(x)= \begin {cases} 2x \sin \frac{1}{x^2}, |x|\leq 1, x \neq 0\\ 0, x = 0
206 | \end{cases}$ является первообразной для \\[2mm]
207 | $f(x) = \begin{cases} 2x \sin\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \cos\frac{1}{x^2}, |x|\leq 1, x \neq 0\\ 0, x =0
208 | \end{cases}$\\ [2mm]
209 | $F'(0) = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^2 sin\frac{1}{x^2}}{x} = 0$ $f$ не является интегрируемой на $[-1,1]$ (не ограничена)\\[2mm]
210 | \textbf{Теорема [Замена переменных в определенном интегрировании]:}\\[2mm]
211 | Пусть выполнены следующие условия:\\[2mm]
212 | 1) $y = f(x)$ непрерывна на $[a,b]$\\[2mm]
213 | 2) $x = g(t)$ непрерывно дифференцируема на $[a,b]$\\[2mm]
214 | 3) $g(\alpha) = a, g(\beta) = b$ и $\forall t \in [\alpha, \beta] \longmapsto a \leq g(t)\leq b $\\ [2mm]
215 | тогда справедлива формула $\int\limits_a^b f(x) dx = \int \limits_\alpha^\beta f(g(t))g'(t) dt$\\[2mm]
216 | \textbf{Доказательство:}\\[2mm]
217 | $\upphi ~-~$ первообразная функции $f\Rightarrow \int\limits_a^b f(x)dx = \upphi(b)- \upphi(a)$.\\[2mm]
218 | Т.к. $\upphi$ и $g$ дифференцируемы на $[a,b]$ и $[\alpha, \beta]$ соответственно, то\\[2mm]
219 | $\frac{d}{dt}\Big[\upphi(g(t))\Big]= \upphi'(g(t))\cdot g'(t),$ но $\upphi'(x) = f(x) \rightarrow \upphi'(g(t))= f(g(t))\Rightarrow$\\ [2mm]
220 | $\frac{d}{dt}\Big[\upphi(g(t))\Big]=f(g(t))\cdot g'(t)$\\ [2mm]
221 | По условию $f(g(t))\cdot g'(t)$ непрерывна на $[\alpha,
222 | \beta]$ и $\upphi(g(t))~-~$ её первообразная.\\[2mm]
223 | $$\int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt = \upphi(g(\beta))- \upphi(g(\alpha))= \upphi(b) - \upphi(a) = \int_a^b f(x)dx $$
224 | \textbf{Теорема [Формула интегрирования по частям]:}\\[2mm]
225 | Пусть $u = u(x), v= v(x)$ непрерывно дифференцируемые на $[a,b]$. Тогда $$\int_a^b udv = [uv]|^b_a - \int_a^b vdu$$
226 | \textbf{Доказательство:}\\[2mm]
227 | Функция $u \cdot v$ является первообразной функции $uv'+u'v$. Каждая их этих функций непрерывная $\Rightarrow$
228 | $$\int_a^b[uv'+u'v]dx = [uv]|^b_a$$
229 |
230 | \end{document}
231 |
--------------------------------------------------------------------------------
/source/6.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
2 |
3 | % Русский язык
4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
7 |
8 | \usepackage{graphicx} % импорт изображений
9 | \usepackage{wrapfig} % обтекаемые изображения
10 | \graphicspath{{pictures/}} % обращение к подкаталогу с изображениями
11 | \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
12 | \usepackage{amsfonts} % буквы с двойными штрихами
13 | \usepackage[warn]{mathtext} % русский язык в формулах
14 | \usepackage{indentfirst} % indent first
15 | \usepackage[margin = 25mm]{geometry}% отступы полей
16 | \usepackage{amsmath} % можно выводить фигурные скобочки — делать системы уравнений
17 | \usepackage[table,xcdraw]{xcolor} % таблицы
18 | \usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, mathtools} % Математика
19 | \usepackage{wasysym} % ???
20 | \usepackage{upgreek} % ???
21 |
22 | \usepackage{gensymb} % degree symbol
23 | \usepackage{mathrsfs} % для прописных английских букв
24 | %%% Работа с русским языком
25 | \usepackage{cmap} % поиск в PDF
26 | \usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах
27 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
28 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
29 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
30 |
31 | %%% Дополнительная работа с математикой
32 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
33 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление
34 |
35 | %% Шрифты
36 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид
37 | \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт
38 |
39 | %% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
40 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
41 | {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
42 |
43 |
44 | %% Поля
45 | \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
46 |
47 | %% Интервалы
48 | \linespread{1}
49 | \usepackage{multirow}
50 |
51 | %% TikZ
52 | \usepackage{tikz}
53 | \usetikzlibrary{graphs,graphs.standard}
54 |
55 | \usepackage{cancel} % перечеркивания
56 |
57 | \begin{document} % начало документа
58 | \section*{Билет №6.}
59 | \section*{Определенный интеграл Римана.}
60 | \noindent \textbf{Обозначения}:\\
61 | \noindent$y = f(x)$ некоторая функция, $x \in [a,b]\\T$ -- разбиение отрезка $[a,b]: T = \{a = x_0 < x_1 < {\dots} < x_n = b \}\\\Delta x_j = x_j - x_{j-1},~\Delta_T = \max\limits_{1\leq j\leq n}\Delta x_j$ -- мелкость разбиения\\ $\xi_j \in [x_{j-1},x_j],~j = \overline{1,n}$\\
62 |
63 | \noindent \textbf{Определение}: Число $I\{T,\xi\} = \sum_{j = 1}^{n} {f(\xi_j)\Delta x_j}$ называется интегральной суммой.\\
64 |
65 | \noindent \textbf{Определение}: Число $I$ называется пределом интегральных сумм $I\{T,\xi\}$ при $\Delta_T \longrightarrow 0$, Если $\forall\varepsilon>0~\exists\delta = \delta(\varepsilon)>0: \forall T:\Delta_{T}<\delta~\&~ \forall\{\xi\} \longmapsto|I\{T, \xi\}-I|<\varepsilon$.\\
66 |
67 | \noindent \textbf{Определение}: Функция $y = f(x)$ называется интегрируемой на $[a,b]$, если существует конечный предел $I$ интегральных сумм $I\{T,\xi\}$\\ при $\Delta_T \longrightarrow 0$.\\
68 | Указанный предел $I$ называется определенным интегралом функции $f$ на $[a,b]$.\\
69 | \noindent \textbf{Обозначение}: $I = \int_{a}^{b} {f(x)dx}$\\
70 |
71 | \noindent \textbf{Пример}: $y(x)\equiv C,~x\in[a,b]\\
72 | I\{T,\xi\} = C(b-a) \Rightarrow I = \int_{a}^{b} {Cdx} = C(b-a)$\\
73 |
74 | \noindent \textbf{Предложение}[Необходимое условие интегрируемости функции]:\\
75 | $[ \,f$--интегрируема на $[a,b]~] \, \Rightarrow$ [ $f$--ограничена на $[a,b]$ ]\\
76 | \noindent \textbf{Доказательство}: от противного\\
77 | Пусть $f$ не является ограниченной на $[a,b]$ это означает, что $\exists k:$ на $[x_{k-1},x_k]$
78 | функция не является ограниченной, то есть, $|f(\xi_k)|\Delta x_k$ может быть как угодно большим за счет выборки точки $\xi_k~\Rightarrow I\{T,\xi\}$ неограчена и предел $I\{T,\xi\}~\Delta_T\rightarrow 0$ не существует--противоречие.\\
79 | \noindent \textbf{Замечание}: Не всякая ограниченная функция является интегрируемой на отрезке.\\
80 | \noindent \textbf{Пример}: функция Дирихле на любом отрезке $[a,b]$ ограничена
81 | $$y=D(x)=\left\{\begin{array}{ll}
82 | 1, & x \in \mathbb{Q} \\
83 | 0, & x \in \mathbb{J}
84 | \end{array}\right.$$\\
85 | Однако:\\
86 | $\xi_j^{\prime} \in \mathbb{Q},~j = \overline{1,n}\\
87 | \xi_j^{\prime \prime} \in \mathbb{J},~j = \overline{1,n}\\
88 | I\{T,\xi^{\prime}\} = b-a\neq 0\\
89 | I\{T,\xi^{\prime \prime}\} = 0$, отсюда $D(x)$ не является интегрируемой\\
90 |
91 | \section*{Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства.}
92 | \noindent \textbf{Определение}: Пусть $y = f(x),~x\in [a,b]$, ограничена на данном отрезке; T--разбиение отрезка$[a,b]$.\\
93 | $ T = \{a = x_0 < x_1 < {\dots} < x_n = b\},~\Delta x_j = x_j - x_{j-1}\\
94 | m_j = \inf\limits_{[x_{j-1},x_j]}f(x),~M_j = \sup\limits_{[x_{j-1},x_j]}f(x),~j = \overline{1,n}$, тогда:\\
95 |
96 | $\underline{S}_T = \sum_{j = 1}^{n}{m_j \Delta x_j}$--нижняя сумма Дарбу по разбиению T\\
97 |
98 | $\overline{S}_T = \sum_{j = 1}^{n}{M_j \Delta x_j}$--верхняя сумма Дарбу по разбиению T\\
99 |
100 | \noindent Очевидно, что при фиксированном T выполняется $\underline{S}_T \leq I\{T,\xi\} \leq \overline{S}_T$\\
101 |
102 | \noindent \textbf{Свойство 1}: Для фиксированного T выполняется:\\
103 | $\forall\varepsilon>0~\exists \xi^{\prime}, \xi^{\prime \prime}: \overline{S}_T - I\{T,\xi^{\prime}\}<\varepsilon,~I\{T,\xi^{\prime\prime}\}-\underline{S}_T<\varepsilon$\\
104 | \noindent \textbf{Доказательство}: из определения $M_j = \sup\limits_{[x_{j-1},x_j]}f(x)$\\
105 | $\forall\varepsilon>0~\exists \xi^{\prime}_j \in [x_{j-1},x_j]:~f(\xi^{\prime}_j)>M_j-\frac{\varepsilon}{b-a}~\Rightarrow~M_j-f(\xi^{\prime}_j)<\frac{\varepsilon}{b-a}$\\
106 |
107 | \noindent$\sum_{j = 1}^{n} {(M_j-f(\xi^{\prime}_j))\Delta x_j}<\sum_{j = 1}^{n} {\frac{\varepsilon}{b-a}\Delta x_j} = \varepsilon~\Rightarrow~\sum_{j = 1}^{n} {(M_j-f(\xi^{\prime}_j))\Delta x_j}=\\$
108 |
109 | \noindent$\overline{S}_T - I\{T,\xi^{\prime}\}<\varepsilon$ \\
110 | Второе неравество доказывается аналогично.\\
111 |
112 | \noindent \textbf{Определение}: $T^{\prime}$--измельчение разбиения $T$, если $T^{\prime}=T\cup \{b_1{\dots}b_k\}$, то есть, мы добавляем еще $k$ точек, таким образом $\Delta_{T^{\prime}}\leq \Delta_T$\\
113 |
114 | \noindent \textbf{Свойство 2}: При измельчении разбиения $T$ нижние суммы Дарбу не уменьшаются, а верхние не увеличиваются.\\
115 | $T^{\prime}$--измельчение разбиения $T,~\underline{S}_T\leq \underline{S}_{T^{\prime}}\leq \overline{S}_{T^{\prime}}\leq \overline{S}_T$\\
116 | \noindent \textbf{Доказательство}: Добавим одну точку на $[x_{j-1},x_j]:~b\in (x_{j-1},x_j), \Delta x_j = \Delta x^{\prime}_j +\Delta x^{\prime\prime}_j,~M^{\prime}_j\leq M_j;~M^{\prime\prime}_j\leq M_j$, тогда:\\
117 | $$\overline{S}_T-\overline{S}_{T^{\prime}}=M_j\Delta x_j-(M^{\prime}_j\Delta x^{\prime}_j+M^{\prime\prime}_j\Delta x^{\prime\prime}_j)=(M_j-M^{\prime}_j)\Delta x^{\prime}+(M_j-M^{\prime\prime}_j)\Delta x^{\prime\prime}\geq0$$
118 | $\Rightarrow~\overline{S}_{T^{\prime}}\leq \overline{S}_T$\\
119 | Аналогично доказывается для нижних сумм.\\
120 |
121 | \noindent \textbf{Свойство 3}: Пусть $T^{\prime}$ и $T^{\prime\prime}$ произвольные разбиения отрезка $[a,b]$, тогда:
122 | $\underline{S}_{T^{\prime}}\leq \overline{S}_{T^{\prime\prime}},~\underline{S}_{T^{\prime\prime}}\leq \overline{S}_{T^{\prime}}$\\
123 | \noindent \textbf{Доказательство}: $T = T^{\prime}\cup T^{\prime\prime}$--измельчение разбиений $T^{\prime},~ T^{\prime\prime}$\\
124 | Тогда из свойства 2 следует, что $\underline{S}_{T^{\prime}}\leq \underline{S}_T\leq \overline{S}_T\leq \overline{S}_{T^{\prime\prime}}$ и\\
125 | $\underline{S}_{T^{\prime\prime}}\leq \underline{S}_T\leq \overline{S}_T\leq \overline{S}_{T^{\prime}}$\\
126 |
127 | \noindent \textbf{Свойство 4}: существуют числа $\underline{I},~\overline{I}$:\\
128 | $\underline{I}=\sup\limits_{T}{\underline{S}_T,~\overline{I}=\inf\limits_{T}{\overline{S}_T}}$ такие, что для произвольных разбиений $T^{\prime},~T^{\prime\prime}$ выполняется:
129 | $\underline{S}_{T^{\prime}}\leq \underline{I}\leq \overline{I}\leq \overline{S}_{T^{\prime\prime}}$\\
130 | $\overline{I}$--верхний интеграл Дарбу\\
131 | $\underline{I}$--нижний интеграл Дарбу.\\
132 | \noindent \textbf{Доказательство}: следует из свойства 3 и теоремы об отделимости множеств.\\
133 |
134 | \noindent \textbf{Свойство 5}[Лемма Дарбу]:\\
135 | 1)[$\underline{I}=\lim\limits_{\Delta_T\rightarrow 0}{\underline{S}_T}$] $\stackrel{\text { def }}{=}$ [$\forall\varepsilon>0~\exists\delta = \delta(\varepsilon)>0: \forall T:\Delta_{T}<\delta \longmapsto \underline{I}-\underline{S}_T<\varepsilon$]\\
136 | 2)[$\overline{I}=\lim\limits_{\Delta_T\rightarrow 0}{\overline{S}_T}$] $\stackrel{\text { def }}{=}$ [$\forall\varepsilon>0~\exists\delta = \delta(\varepsilon)>0: \forall T:\Delta_{T}<\delta \longmapsto \overline{S}_T-\overline{I}<\varepsilon$]\\
137 | \noindent \textbf{Доказательство}: 2)\\
138 | $M=\sup\limits_{[a,b]}{f(x)},~m=\inf\limits_{[a,b]}{f(x)}$\\
139 | a)$M=m$--тривиальный случай;\\
140 | b)$M>m;~\overline{I}=\inf\limits_{T}{\overline{S}_T}$ из определения $inf$\\
141 | $\forall \varepsilon>0~\exists T^{*}:~\overline{S}_{T^{*}}<\overline{I}+\frac{\varepsilon}{2}~\Rightarrow~\overline{S}_{T^{*}}-\overline{I}<\frac{\varepsilon}{2}$\\
142 | $T$--произвольное разбиение: $\Delta_T=\max\limits_{j}{\Delta x_j}<\frac{\varepsilon}{2(M-m)k}$\\
143 | $k$--количество точек разбиения $T^{*}$, лежащих на $(a,b)$\\
144 | рассмотрим $T^{\prime}=T\cup T^{*}$\\
145 | $0\leq \overline{S}_T-\overline{S}_{T^{\prime}}\leq (M-m)k\Delta_T<\frac{\varepsilon}{2}$ (оценили сверху) отсюда:\\
146 | $0\leq \overline{S}_T-\overline{S}_{T^{\prime}}\leq \frac{\varepsilon}{2}$ (1)\\
147 | Из свойств 3 и 4: $\overline{I}\leq \overline{S}_{T^{\prime}}\leq \overline{S}_{T^{*}}$\\
148 | $0\leq \overline{S}_{T^{\prime}}-\overline{I}\leq \overline{S}_{T^{*}}-\overline{I}<\frac{\varepsilon}{2}~\Rightarrow$\\
149 | $\overline{S}_{T^{\prime}}-\overline{I}<\frac{\varepsilon}{2}$ (2)\\
150 | Складываем (1) и (2), получаем $ \overline{S}_T-\overline{I}<\varepsilon$\\
151 | Итак:$\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{2(M-m) k}>0$
152 | $\forall T: \Delta_{T}<\delta \longmapsto\overline{S}_T-\overline{I}<\varepsilon$\\
153 | \section*{Критерий интегрируемости функции.}
154 |
155 | \noindent \textbf{Теорема 1}: Пусть функция $f$ ограничена на $[a,b]$\\
156 | $[\,f$ интегрируема на $[a,b]~]\, \Leftrightarrow [\,\forall\varepsilon>0~\exists T:~\overline{S}_T-\underline{S}_T<\varepsilon]\,$\\
157 | \noindent \textbf{Доказательство [Необходимость]}: $\Rightarrow$\\
158 | $[\,f$ интегрируема на $[a,b]~] \stackrel{\text{def}}{=}[\,\forall\varepsilon>0~\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0: \forall T:\\\Delta_{T}<\delta~\&~ \forall\{\xi\} \longmapsto|I-I\{T, \xi\}|<\frac{\varepsilon}{4}]\,$\\
159 | из свойства 1: $\exists \xi^{\prime},~\xi^{\prime\prime}$:\\
160 | $ \overline{S}_T - I\{T,\xi^{\prime}\}<\frac{\varepsilon}{4},~I\{T,\xi^{\prime\prime}\}-\underline{S}_T<\frac{\varepsilon}{4}$, тогда\\
161 | $\overline{S}_T-\underline{S}_T=|\overline{S}_T-I\{T,\xi^{\prime}\}+I\{T,\xi^{\prime}\}-I+I-I\{T,\xi^{\prime\prime}\}+I\{T,\xi^{\prime\prime}\}-\underline{S}_T|\leq \overline{S}_T-I\{T,\xi^{\prime}\}+|I\{T,\xi^{\prime}\}-I|+|I-I\{T,\xi^{\prime\prime}\}|+I\{T,\xi^{\prime\prime}\}-\underline{S}_T<4\cdot \frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon~\Rightarrow$\\
162 | $\forall\varepsilon>0~\exists T:~\overline{S}_T-\underline{S}_T<\varepsilon$\\
163 | \noindent \textbf{Доказательство [Достаточность]}: $\Leftarrow$\\
164 | $\forall\varepsilon>0~\exists T^{*}_{\varepsilon}:~\overline{S}_{T^{*}}-\underline{S}_{T^{*}}<\varepsilon$\\
165 | Из свойства 4: существуют числа $\underline{I},~\overline{I}:~\forall T\longmapsto \underline{S}_{T}\leq \underline{I}\leq \overline{I}\leq \overline{S}_{T}~\Rightarrow$\\
166 | $0\leq \overline{I}-\underline{I}\leq \overline{S}_{T^{*}}-\underline{S}_{T^{*}}<\varepsilon$ так как это выполняется для любых $\varepsilon>0~\Rightarrow$ это возможно лишь при $\overline{I}-\underline{I}=0$, $\overline{I}=\underline{I}=I$\\
167 | По Лемме Дарбу:\\
168 | $\forall\varepsilon>0~\exists\delta_1 = \delta_{1}(\varepsilon)>0: \forall T:\Delta_{T}<\delta_1 \longmapsto \overline{S}_T-\overline{I}<\varepsilon$\\
169 | для этого же $\varepsilon~\exists\delta_2 = \delta_{2}(\varepsilon)>0: \forall T:\Delta_{T}<\delta_2 \longmapsto \underline{I}-\underline{S}_T<\varepsilon$\\
170 | $\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}\Rightarrow$
171 | $\forall T~\Delta_T<\delta \longmapsto$\\
172 | $\overline{S}_T-I<\frac{\varepsilon}{2},~I-\underline{S}_T<\frac{\varepsilon}{2}$\\
173 | $\forall T~\Delta_T<\delta~\&~\forall \xi=\{\xi_j\}\longmapsto$\\
174 | $\underline{S}_T\leq I\leq \overline{S}_T$ (1)\\
175 | также используем то, что $\underline{S}_T\leq I\{T,\xi\}\leq \overline{S}_T\Rightarrow$\\
176 | $-\overline{S}_T\leq -I\{T,\xi\}\leq -\underline{S}_T$ (2)\\
177 | Сложим (1) и (2) $\Rightarrow |I-I\{T,\xi\}|\leq \overline{S}_T-\underline{S}_T<\varepsilon$\\
178 | \section*{Классы интегрируемых функций.}
179 |
180 | \noindent \textbf{Теорема 2}: Если $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то $f$ интегрирума на $[a,b]$.\\
181 | \noindent \textbf{Доказательство}: $f$ ограничена на $[a,b]$ по первой теореме Вейерштрасса, $f$ равномерно непрерывна на $[a,b]$ по теореме Кантора $\Rightarrow$\\
182 | $\forall\varepsilon>0~\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0: \forall x^{\prime},~x^{\prime\prime} \in [a,b]:~|x^{\prime}-x^{\prime\prime}|<\delta \longmapsto\\|f(x^{\prime})-f(x^{\prime\prime})|<\frac{\varepsilon}{b-a}$\\
183 | Для этого же $\varepsilon~\exists T:~\Delta_T<\delta,~T=\{a=x_00~\exists T:~\overline{S}_T-\underline{S}_T<\varepsilon$\\
189 |
190 | \noindent \textbf{Теорема 3}: Если функция $y=f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$ и монотонна на отрезке, то $f$ интегрируема на $[a,b]$.\\
191 | \noindent \textbf{Доказательство}: для неубывающей функции: $\forall x\in[a,b]\longmapsto\\
192 | f(a)\leq f(x) \leq f(b)\Rightarrow$ ограничена\\
193 | $\forall\varepsilon>0~\exists T:~\Delta_T<\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)},~T=\{a=x_00~\exists T:~\overline{S}_T-\underline{S}_T<\varepsilon$\\
199 |
200 | \noindent \textbf{Теорема 4}: Если функция $y=f(x)$ ограничена на $[a,b]$ и $\forall\varepsilon>0$ существует конечное число интервалов, покрывающих точки разрыва функции $f$, сумма длин которых не превосходит $\varepsilon\Rightarrow~f$ интегрируема на $[a,b]$\\
201 | \noindent \textbf{Доказательство}: Пусть $M=\sup\limits_{[a,b]}{f(x)},~m=\inf\limits_{[a,b]}{f(x)}$\\
202 | $\forall \varepsilon>0~\exists X_1=\cup^{n}_{j=1}{\delta^{1}_j}$ -- интервал, покрывающий точки разрыва и $|\delta^{1}_j|$ -- его длина $\Rightarrow~\sum^{n}_{j=1}{|\delta^{1}_j|}<\frac{\varepsilon}{2(M-m)}$\\
203 | $X_2=(a,b)\setminus\overline{X_1}$ \\
204 | $(a,b)$ -- открытое, $\overline{X_1}$ -- замкнутое $\Rightarrow~X_2$ -- открытое, то есть, мы отбросили интервалвы с точками разрыва.\\
205 | $X_2=\cup^{k}_{j=1}{\delta^{2}_j}$ на каждом $\delta^{2}_j$ -- $f$ непрерывна $\Rightarrow~f$ равномерно непрерывна на $\overline{X_2}$ (Замыкание, то есть $\overline{X_2}$ компакт -- ограниченное и замкнутое)\\
206 |
207 | Тогда из опр. р.н. $\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0: \forall x^{\prime},~x^{\prime\prime} \in \overline{X_2}~ \longmapsto\\|f(x^{\prime})-f(x^{\prime\prime})|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$, $T=\{\delta^{1}_j,~\delta^{2}_i\}^{n~~~~k}_{j=1,~i=1}$\\
208 | $\overline{S}_T-\underline{S}_T=\sum^{n}_{j=1}{(M_j-m_j)|\delta^{1}_j|}+\sum^{k}_{i=1}{(M_i-m_i)|\delta^{2}_i|}\leq(M-m)\sum^{n}_{j=1}{|\delta^{1}_j|}+
209 | +\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum^{k}_{i=1}{|\delta^{2}_i|}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon(b-a)}{2(b-a)}=\varepsilon\Rightarrow$\\
210 | $\forall\varepsilon>0~\exists T:~\overline{S}_T-\underline{S}_T<\varepsilon\Rightarrow~f$ интегрируема на $[a,b]$\\
211 |
212 | \noindent \textbf{Следствие}: Если функция $y=f(x)$ ограничена на $[a,b]$ и имеет на нем конечное число точек разрыва, то $f$ интегрируема на $[a,b]$\\
213 |
214 | Рассмотрим пример функции, имеющей на отрезке бесконечное число точек разрыва:\\
215 | \noindent \textbf{Пример}: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}~~1,~x \in\left(\frac{1}{2 n}, \frac{1}{2 n-1}\right], n \in \mathbb{N} \\ -1,~x \in\left(\frac{1}{2 n+1}, \frac{1}{2 n}\right], n \in \mathbb{N}\end{array}\right.$\\
216 | $$x\in[0,1]$$\\ \begin{tikzpicture}
217 | \draw [white!90!black] (0.1, 0.1) grid (15.9, 9.9);
218 | \draw [->,>=stealth] (1, 5) -- (15, 5) node[below] {$x$};
219 | \draw [->,>=stealth] (2, 1) -- (2, 9) node[left] {$y$};
220 | \draw [dashed, white!60!black] (12, 5) -- (12, 8);
221 | \draw [dashed, white!60!black] (7, 2) -- (7, 8);
222 | \draw [dashed, white!60!black] (5.33, 2) -- (5.33, 8);
223 | \draw [dashed, white!60!black] (4.5, 2) -- (4.5, 8);
224 | \draw [dashed, white!60!black] (4, 2) -- (4, 8);
225 | \draw [dashed, white!60!black] (3.66, 2) -- (3.66, 8);
226 | \draw [dashed, white!60!black] (3.428, 2) -- (3.428, 5);
227 | \draw [dashed, white!60!black] (3.428, 2) -- (2, 2);
228 | \draw [dashed, white!60!black] (3.66, 8) -- (2, 8);
229 | \draw [fill=black] (2, 8) circle (2pt) node[left]{$1$};
230 | \draw [fill=black] (2, 2) circle (2pt) node[left]{$-1$};
231 | \draw [fill=black] (12, 5) circle (2pt) node[below]{$1$};
232 | \draw [fill=black] (7, 5) circle (2pt) node[below]{$\frac{1}{2}$};
233 | \draw [fill=black] (5.33, 5) circle (2pt) node[below]{$\frac{1}{3}$};
234 | \draw [fill=black] (4.5, 5) circle (2pt) node[below]{$\frac{1}{4}$};
235 | \draw [fill=black] (4, 5) circle (2pt) node[below]{$\frac{1}{5}$};
236 | \draw [fill=black] (3.66, 5) circle (2pt) node[below]{$\frac{1}{6}$};
237 | \draw [fill=black] (3.428, 5) circle (2pt) node[below]{$\frac{1}{7}$};
238 | \draw [->,>=stealth, line width=1.5] (12, 8) -- (7, 8);
239 | \draw [->,>=stealth, line width=1.5] (7, 2) -- (5.33, 2);
240 | \draw [->,>=stealth, line width=1.5] (5.33, 8) -- (4.5, 8);
241 | \draw [->,>=stealth, line width=1.5] (4.5, 2) -- (4, 2);
242 | \draw [->,>=stealth, line width=1.5] (4, 8) -- (3.66, 8);
243 | \draw [->,>=stealth, line width=1.5] (3.66, 2) -- (3.428, 2);
244 | \draw [fill=red] (2.7, 5) circle (2pt) node[below]{$\frac{\varepsilon}{4}$};
245 | \draw [fill=blue] (2.57, 5) circle (1pt);
246 | \draw [fill=blue] (2.47, 5) circle (1pt);
247 | \draw [fill=blue] (2.37, 5) circle (1pt);
248 | \draw [fill=blue] (2.27, 5) circle (1pt);
249 | \draw [fill=blue] (2.17, 5) circle (1pt);
250 | \draw [fill=blue] (2.07, 5) circle (1pt);
251 | \end{tikzpicture}\\
252 |
253 | \noindentТочки разрыва $\frac{1}{n},~n>1$ на $[0,1]$\\
254 | $\forall\varepsilon>0~\exists N=N(\varepsilon):~\forall n\geq N\longmapsto 0<\frac{1}{n}<\frac{\varepsilon}{4}$\\
255 | Оставшиеся N точек вне данного интервала покрываем интервалами длины $\frac{\varepsilon}{4N}$, тогда сумма длин итервалов покрытия равна $\frac{\varepsilon}{4}+N\frac{\varepsilon}{4N}=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\Rightarrow$ интегрируема по теореме 4.
256 |
257 |
258 |
259 |
260 |
261 |
262 |
263 |
264 |
265 |
266 |
267 |
268 |
269 |
270 |
271 |
272 | \end{document}
273 |
--------------------------------------------------------------------------------
/source/8.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} % добавить leqno в [] для нумерации слева
2 | \usepackage{cmap} % поиск в PDF
3 | \usepackage{mathtext} % русские буквы в фомулах
4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
7 | \usepackage[left=1cm,right=1cm,
8 | top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
9 | \usepackage[argument]{graphicx}
10 | \usepackage{graphicx}
11 |
12 | \usepackage[table,xcdraw]{xcolor}
13 | \usepackage{indentfirst}
14 |
15 | \graphicspath{{./pictures/}} % папки с картинками
16 | \setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка
17 | \setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{}
18 | \usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков и таблиц текстом
19 |
20 |
21 |
22 | %%% Дополнительная работа с математикой
23 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
24 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление
25 |
26 | %% Номера формул
27 | \mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте.
28 |
29 | %% Шрифты
30 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид
31 | \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт
32 |
33 | %% Свои команды
34 | \DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}}
35 |
36 | %% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
37 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
38 | {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
39 |
40 | %% ATTENTION
41 | \usepackage{calc}
42 | \usepackage{wrapfig}
43 | \usepackage{setspace}
44 | \usepackage{indentfirst}
45 | \usepackage{subfigure}
46 | \usepackage[utf8]{inputenc}
47 | \usepackage[russian]{babel}
48 | \usepackage[OT1]{fontenc}
49 | \usepackage{amsmath}
50 | \usepackage{amsfonts}
51 | \usepackage{amssymb}
52 | \usepackage{graphicx}
53 | \graphicspath{{Images/}}
54 | %% ATTENTION
55 |
56 | \begin{document}
57 |
58 | \section*{Билет №8}
59 |
60 | \subsection*{Геометрические приложения определенного интеграла}
61 |
62 | \textbf{Площадь криволинейной трапеции}
63 | \vspace{20}
64 |
65 | \textbf{Опрделение:}
66 |
67 |
68 | Пусть на $[a, b]$ задана функция $f:\; \forall x \in[a, b] \rightarrow f(x) \geq 0$
69 |
70 | Множество $G=\{(x,y): a\leq x \leq b, 0 \leq y \leq f(x)\}$ называется криволинейной трапецией
71 |
72 | Интегрируемость криволиенйной трапеции по Жордану была доказана ранее
73 |
74 | \vspace{20}
75 |
76 | \textbf{Предложение:}
77 |
78 | Площадь $m(X)$ криволинейной трапеции $X$ определяется формулой $m(X) = \int\limits_a^b f(x)dx$
79 |
80 | \textbf{Доказательство:}
81 |
82 | $f$ интегр. на $[a, b] \Rightarrow \; \forall \varepsilon > 0 \; \exists T: \overline{S_T} - \underline{S_T} < \varepsilon$
83 |
84 | НО $m(G_{\varepsilon}) = \underline{S_T} \leq I \leq \overline{S_T} = m(G^{\varepsilon}) $
85 |
86 | $m(G_{\varepsilon}) \leq m(x) \leq m(G^{\varepsilon})$
87 |
88 | $m(x) = I = \int\limits_a^b f(x)dx$
89 |
90 | \vspace{20}
91 |
92 | \textbf{Площадь криволинейного сектора}
93 |
94 | \textbf{Определение:}
95 |
96 | $r=r(\varphi)$ непр. на $[\alpha, \beta]$
97 |
98 | Криволинейный сектор $Х$ измерим по Жордану
99 |
100 | \textbf{Приложение:}
101 |
102 | Площадь $m(X)$ криволинейного сектора $Х$ вычисляется по формуле $m(X) = \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^2(\varphi)d\varphi$
103 |
104 | \textbf{Доказательство:}
105 |
106 | $T = \{\alpha = \varphi_0 < \varphi_1 <\dots < \varphi_n = \beta\}$
107 |
108 | $\Delta \varphi_i = \varphi_i - \varphi_{i-1}, i = \overline{1, n}$
109 |
110 | $R_i = \max r(\varphi)\; на\; [\varphi_i, \varphi_{i-1}]\;\;\;\;\;\;\;\;\; r_i=\min r(\varphi)\; на\; [\varphi_i, \varphi_{i-1}] $
111 |
112 | $\overline{S_T} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n R_i^2 \Delta \varphi_i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \underline{S_T} =\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n r_i^2 \Delta \varphi_i$
113 |
114 | Это верхняя и нижняя сумма Дарбу функции $\frac{1}{2}r^2(\varphi)$
115 |
116 | Это функция интегр. на $[a, b]$
117 |
118 | $\underline{S_T} \leq I \leq \overline{S_T}$ и $I = m(X) = \frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}r^2(\varphi)d\varphi$
119 |
120 | \textbf{Объем тела вращения:}
121 |
122 | \textbf{Определение:}
123 |
124 | Тело, полученное путем вращения криволинейной трапеции вокруг оси $Оx$ наз телом вращения
125 |
126 | \vspace{20}
127 |
128 | \textbf{Предложение:}
129 |
130 | Объем $m(X)$ тела вращения $X$ кривол трапеции вокруг $Оx$ выч. по формуле $m(X) = \pi \int\limits_a^b[f(x)]^2dx$
131 |
132 | \textbf{Доказательство:} $T={a=x_0 0 \text{ }\exists \delta=\delta(\varepsilon) > 0 : \forall T: \Delta_T<\delta \rightarrow |P_T-P|<\varepsilon$
215 |
216 | \vspace{20}
217 |
218 | \textbf{Определение:} Поверхность $\Pi$ называется квадрируемой, если существует предел площадей $P_T$ при мелкости разбиения, стремещейся к 0. При этом $P$ называется площадью поверхности $\Pi$.
219 |
220 | \vspace{20}
221 |
222 | \textbf{Предложение:} Если $y=f(x)$ непрерывно дифференцируема на $[a, b]$, $f(x) \geq 0\; \forall x\in[a,b]$, то поверхность вращения $\Pi$ графика $y=f(x)$ вокруг $Оx$, квадрируема и ее площадь вычисляется по форумуле $P=2\pi \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$
223 |
224 | \textbf{Без доказательства}
225 |
226 | \subsection*{Криволинейные интегралы первого рода}
227 |
228 |
229 | \textbf{Определение:} Если существует предел $I$ интегральной суммы $\sigma_T$ при $\Delta S_T \rightarrow 0$, то этот предел называют \textit{криволинейным интегралом первого рода} функции $f$ по кривой $\Gamma$.
230 |
231 | \vspace{20}
232 | \textbf{Обозначение:} $I =\int\limits_Г f(x,y)dS$
233 |
234 | \textbf{Определение:} Если существует предел $I$ интегральной суммы $\sigma_T^x\; [\sigma_T^y]$ при $\Delta S_T \rightarrow 0$, то этот предел называют криволинейным интегралом второго рода функции $P(Q)$ по кривой $\Gamma$.
235 |
236 | \textbf{Обозначение:} $I = \int\limits_\Gamma P(x,y)dx, \int\limits_\Gamma Q(x,y)dy$
237 |
238 | \vspace{20}
239 |
240 | Сумму $\int\limits_Г P(x,y)dx + Q(x,y) dy$ называют \textit{криволинейный интеграл второго рода}
241 |
242 | \vspace{20}
243 |
244 | \textbf{Физический смысл крив. инт. 1-го рода} - это масса кривой $\Gamma$, плотность которой задана функцией $\rho = f(x,y)$.
245 |
246 | \vspace{20}
247 |
248 | \textbf{Физический смысл крив. инт. 2-го рода} - это это работа по перемещению материальной точки вдоль кривой $\Gamma$ под действием силы, имеющей компаненты $u=P(x,y),\; v=Q(x,y)$.
249 |
250 | \vspace{20}
251 |
252 | \textbf{Замечание:} Значение криволинейного интеграла 1-го рода не зависит от направления обхода кривой $\Gamma$.
253 |
254 | Для криволинейного интеграла 2-го рода изменение направление обхода меняет знак.
255 |
256 | \subsection*{Несобственный интеграл}
257 |
258 | \textbf{Определение:}
259 |
260 | Пусть $y=f(x)$ интегр на $[a, \xi]$ $\forall \xi:\xi>a $. Символ $\int\limits_a^{\infty} f(x) dx $ наз. несобств. интегралом функции $y=f(x)$ по промежутку $[a; +\infty]$.
261 |
262 | Если существует и конечен предел $\lim\limits_{\xi \rightarrow \infty} I(\xi) = A, \; A\in R$, то несобственный интеграл $I=\int\limits_a^{\infty} f(x) dx$ наз. сходящимся и равен числу $A$.
263 |
264 | \textbf{Обозначение:} $\int\limits_a^{\infty} f(x) dx < 0 \equiv$ интеграл сходится
265 |
266 | \textbf{Соглашение:} несобственный интеграл будет записываться как $\int\limits_a^{b} f(x) dx$, где $b = \infty$ или $b$ - вертикальная асимптота $f(x)$.
267 |
268 | \vspace{20}
269 |
270 | \textbf{Свойства несоб. инт. и их вычисление:}
271 |
272 | \begin{enumerate}
273 | \item $\int\limits_a^{b} f(x) dx = \int\limits_a^{c} f(x) dx + \int\limits_c^{b} f(x) dx$
274 |
275 | $\forall c:\; a0 : \forall \xi \in[a, b) \longmapsto 0 \leq I(\xi) \leq C \Rightarrow \exists A = \sup\limits_{\xi \in [a,b)}I(\xi)$
315 |
316 | Из $A = \sup\limits_{\xi \in[a,b)} I(\xi)$ следует:
317 |
318 | \begin{enumerate}
319 | \item $\forall \xi \in [a, b) \mapsto I(\xi) \leq A$
320 |
321 | \item $\forall \varepsilon > 0\; \exists \xi_\varepsilon \in (a, B) : I(\xi_\varepsilon)>A-\varepsilon$
322 |
323 | $\xi_\varepsilon = \delta \; \Rightarrow \; \forall \xi \in(\delta, b) \longmapsto I(\xi) \geq I(\xi_\epsilon)> A-\varepsilon$
324 | \end{enumerate}
325 |
326 | Тогда $\forall \varepsilon > 0 \; \exists\delta\in(a, b): \forall \xi \in(\delta, b) \longmapsto 0\leq A-I(\xi) < \varepsilon \; \stackrel{\text{def}}{=}\; \lim\limits_{\xi \rightarrow b-0} I(\xi) = A \in R \eqdef \int\limits_a^{b} f(x) dx < \infty$.
327 |
328 | \vspace{20}
329 |
330 | \textbf{Теорема 2 (признак сравнения)}
331 |
332 | Пусть $\forall x \in [a, b) \longmapsto 0\leq f(x) \leq g(x)$
333 |
334 | Тогда:
335 |
336 | \begin{enumerate}
337 | \item $\int\limits_a^{b} g(x) dx < \infty \Rightarrow \int\limits_a^{b} f(x) dx < \infty$
338 |
339 | \item $\int\limits_a^{b} f(x) dx = \infty \Rightarrow \int\limits_a^{b} g(x) dx = \infty$
340 | \end{enumerate}
341 |
342 | \textbf{Доказательство}
343 |
344 | \begin{enumerate}
345 | \item $\int\limits_a^{b} g(x) dx < \infty \Longleftrightarrow$ (Из\; $Т_1$) $G(\xi) = \int\limits_a^{\xi} g(x) dx \; огр.\; на\; полуинтервале \; \stackrel{\text{def}}{=} \exists C \geq 0: \forall\xi \in [a, b) \longmapsto G(\xi)\leq C$.
346 |
347 | $I(\xi) = \int\limits_a^{\xi} f(x) dx \leq \int\limits_a^{\xi} g(x) dx \leq C \; \Rightarrow$ (из \; $Т_1) \int\limits_a^{b} f(x) dx < \infty$.
348 |
349 | \item $\int\limits_a^{b} f(x) dx = \infty \Rightarrow \int\limits_a^{b} g(x) dx = \infty$
350 |
351 | В противном случае: $\int\limits_a^{b} g(x) dx < \infty \Rightarrow(из\; п_1) \; \int\limits_a^{b} f(x) dx < \infty$
352 |
353 | \vspace{20}
354 |
355 | \textbf{Следствие (Признак сравнения в предельной форме)}
356 |
357 | Если $f(x)>0\; и \; g(x)>0\; \forall x\in[a, b)\; и \; f(x) \thicksim g(x)\; при \; x\rightarrow b-0,\; то \int\limits_a^{b} f(x) dx \; и \; \int\limits_a^{b} g(x) dx$ ведут себя одинаково.
358 |
359 | \textbf{Доказательство}
360 |
361 | $\bigl[\lim\limits_{x\rightarrow b-0} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \bigr] \Rightarrow \bigl[\varepsilon = 1/2. \;\exists \delta \in(a, b): \forall x\in (\delta, b) \mapsto |\frac{f(x)}{g(x)}-1|<\frac{1}{2}$
362 |
363 | $\frac{1}{2}g(x)< f(x) < \frac{3}{2}g(x)$ Далее просто применяем $Т_2$ и $п_2$.
364 | \end{enumerate}
365 |
366 |
367 |
368 |
369 |
370 |
371 |
372 | \subsection*{Критерий Коши сходимости несобственных интегралов}
373 |
374 | Пусть функция интегрируема в собст. смысле на промежутке из $[a, b)$
375 |
376 | Тогда:
377 |
378 | $$\bigl[ \int\limits_a^{b} f(x) dx < \infty \gigr]\; \stackrel{\text{def}}{=} \; \bigl[\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta \in (a, b):\; \forall \xi',\; \xi'' \in (\delta, b) \longmapsto \Bigg|\int\limits_{\xi'}^{\xi''} f(x) dx\Bigg| < \varepsilon \bigr]$$.
379 |
380 | \textbf{Доказательство:}
381 |
382 | $\bigl[ \int\limits_a^{b} f(x) dx < \infty \bigr] \Longleftrightarrow \bigl[ \exists \lim\limits_{\xi \rightarrow b-0} \int\limits_a^{\xi} f(x) dx = \lim\limits_{\xi \rightarrow b-0} I(\xi) = A \in R \birg] \Longleftrightarrow \bigl[\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta \in (a, b):\; \forall \xi',\; \xi'' \in (\delta, b) \longmapsto |I(\xi') - I(\xi'')| < \varepsilon \bigr]$
383 |
384 | $|\int\limits_{\xi'}^{\xi''} f(x) dx| < \varepsilon \Longleftrightarrow |\int\limits_{\xi'}^{\xi''} f(x) dx| < \varepsilon$
385 |
386 |
387 | \subsection*{Абсолютная и условная сходимость несобств. инт.}
388 |
389 | \textbf{Определение 1}
390 |
391 | Интеграл $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx$ наз. абсолютно сход., если $\int\limits_{a}^{b} |f(x)| dx < \infty$
392 |
393 | \vspace{20}
394 |
395 |
396 | \textbf{Предложение}
397 |
398 | Если интеграл сходится абсолютно, он сходится условно.
399 |
400 | \textbf{Доказательство}
401 |
402 | $\forall \xi' \xi'' \in (a, b)$
403 |
404 | $|\int\limits_{\xi'}^{\xi''} f(x) dx| \leq \int\limits_{\xi'}^{\xi''} |f(x)| dx$. Тогда по критерию Коши
405 | $|\int\limits_{\xi'}^{\xi''} f(x) dx|$ сходится
406 | и из $Т_2$ сходится и $\int\limits_{\xi'}^{\xi''} |f(x)| dx$
407 |
408 | \vspace{20}
409 |
410 | \textbf{Определение 2}
411 |
412 | Если $\int\limits_{a}^{b} |f(x)| dx = \infty$, а $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx < \infty\; , то$ $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx$ наз. условно сходящимся.
413 |
414 | \vspace{20}
415 |
416 | \textbf{Предложение}
417 |
418 | Если $\int\limits_{a}^{b} g(x) dx$ сходится абсолютно, то $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx$ и $\int\limits_{a}^{b} f(x)+g(x) dx$ ведут себя одинаково.
419 |
420 | \textbf{Доказательство:} Абсолютная сходимость:
421 |
422 | $\int\limits_{a}^{b} |f(x)| dx < \infty \Rightarrow |f(x) +g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \Rightarrow \int\limits_a^b |f(x) +g(x)| dx < \infty$
423 |
424 | В другую сторону: $\int\limits_a^b |f(x) +g(x)| dx < \infty \Rightarrow f(x) = \bigl[f(x) + g(x) \bigr]-g(x) \Rightarrow |f(x)| \leq |f(x) + g(x)| \Rightarrow $ по $Т_2\; \int\limits_a^b |f(x)| dx < \infty$
425 |
426 |
427 | \subsection*{Теорема 3 (Признак Дирихле)}
428 |
429 | Если выполнены условия:
430 |
431 | \begin{enumerate}
432 | \item $f(x)$ непр, $g(x)$ непр. дифф. на $[a, b)$
433 |
434 | \item $F(x)$ = $\int\limits_a^b f(t) dt$ ограничена на $[a, b)$
435 |
436 | \item $g(x)$ монотонна на $[a, b)$ и $\lim\limits_{x\rightarrow b-0}g(x) = 0$
437 |
438 | \end{enumerate}
439 |
440 | Тогда $\int\limits_a^b f(x)\cdot g(x) dx < \infty$
441 |
442 | \textbf{Доказательство}:
443 |
444 | $\forall \xi', \xi'' \in [a,b)$
445 |
446 | Сделаем замену для интегрирования по частям:
447 |
448 | $u = g(x), du=g'(x)dx$
449 |
450 | $dv=f(x)dx, v=F(x)$
451 |
452 | $\int\limits_{\xi'}^{\xi''} g(x) dx$ = $g(x)\cdot F(x)\bigg|_{\xi'}^{\xi''} - \int\limits_{\xi'}^{\xi''} g'(x)F(x)dx$
453 |
454 | $|\int\limits_{\xi'}^{\xi''} f(x)g(x)dx|\leq M(|g(\xi')|+|g(\xi'')|) \pm M \int\limits_{\xi'}^{\xi''} g'(x) \leq 2M(|g(\xi')|+|g(\xi'')|)$
455 |
456 | $\bigl[ \lim\limits_{x\rightarrow b-0}g(x) = 0 \bigr] \stackrel{\text{def}}{=} \bigl[ \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta(\varepsilon) \in (a, b) \forall x\in (\delta, b) \longmapsto |g(x)| \leq \frac{\varepsilon}{4M} \Rightarrow \forall \; \xi', \xi'' \in (\delta, b) \longmapsto |\int\limits_{\xi'}^{\xi''} f(x)g(x)dx|<2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M}) = \varepsilon \Rightarrow $ по критерию Коши $\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)<\infty$.
457 |
458 | \vspace{20}
459 |
460 | \textbf{Следствие (Признак Абеля)}
461 |
462 | Если выполняются условия:
463 |
464 | \begin{enumerate}
465 | \item $f(x)$ непр, $g(x)$ непр. дифф. на $[a, b)$
466 |
467 | \item $\int\limits_{a}^{b}f(x) < \infty$
468 |
469 | \item $g(x)$ монотонна и ограничена на $[a, b)$
470 |
471 | \end{enumerate}
472 |
473 | Тогда $\int\limits_a^b f(x)\cdot g(x) dx < \infty$
474 |
475 | \textbf{Доказательство}
476 |
477 | Из условия 3 следует, что $\exists\lim\limits_{x\rightarrow b-0}g(x) = g(b-0) \in R$
478 |
479 | $g_1(x) = g(x) - g(b-0) \xrightarrow[x \to b-0]{}$ 0 $\Rightarrow(по\; Дирихле)$ $\int\limits_a^b f(x)g_1(x) dx < \infty$
480 |
481 | $\int\limits_a^b f(x)g_1(x)dx = \int\limits_a^b f(x)g(x)dx+g(b-0)\int\limits_a^b f(x)dx$
482 |
483 | $\int\limits_a^b f(x)g_1(x)dx$ и $\int\limits_a^b f(x)dx$ сходятся, значит сходится и $\int\limits_a^b f(x)g(x)dx$
484 |
485 |
486 |
487 |
488 |
489 |
490 |
491 |
492 |
493 |
494 |
495 |
496 | \end{document}
497 |
--------------------------------------------------------------------------------
/source/3.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,14pt]{article} % тип документа
2 |
3 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
4 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
5 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
6 |
7 | \usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт
8 | \usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля
9 | \geometry{top=25mm}
10 | \geometry{bottom=35mm}
11 | \geometry{left=30mm}
12 | \geometry{right=20mm}
13 |
14 | % Математика
15 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
16 | \usepackage{wasysym}
17 | \usepackage{dsfont}
18 | \usepackage{mathrsfs}
19 | \usepackage{upgreek}
20 |
21 | \usepackage{natbib}
22 | \usepackage{graphicx}
23 | \usepackage{indentfirst}
24 |
25 | \begin{document}
26 |
27 | \section*{Билет номер 3}
28 |
29 | \subsection*{Частные производные функции нескольких переменных}
30 |
31 | \textbf{Определение.} $f$ определена $\mathscr{U}(a) \subset \mathds{E}^m$. Если существует и конечен $\lim\limits_{\Delta{x_k}\to 0} \frac{\Delta_k f(a, \Delta{x_k})}{\Delta{x_k}}=b \in R$, то этот предел называется частной производной функции $w = f(x)$ в точке а по аргументу $x_k$.\\
32 |
33 | \textbf{Обозначение.} $\frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$ или $f'_{x_k}$
34 | \[\Delta_k f(a, \Delta{x_k}) = f(a_1, \ldots, a_{k-1}, a_k + \Delta x_k, a_{k+1}, \ldots, a_m) - f(a_1, \ldots, a_m)\]
35 | \begin{center}
36 | (Только на месте k-ого аргумента есть приращение).\\
37 | \end{center}
38 |
39 | \textbf{Замечания.}
40 |
41 | 1. При вычислении $\frac{\partial f}{\partial x_k}(x)$ вычисляется как для функций одной переменной $x_k$ при фиксированных остальных переменных (остальные переменные -- постоянные).\\
42 |
43 | 2. $\left[\exists \frac{\partial f}{\partial x_j}(a), j = 1, \ldots, m\right] \not\Rightarrow [f$ непрерывна в точке а$]$ \\
44 |
45 | \textbf{Контрпример.}
46 |
47 | \begin{equation*}
48 | \omega = f(x, y) =
49 | \begin{cases}
50 | \frac{2xy}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \not=0,\\
51 | 0, & x^2 + y^2 = 0
52 | \end{cases}
53 | \end{equation*}
54 | \[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x, 0) - f(0, 0)}{x} = 0\]
55 | \[\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{f(0, y) - f(0, 0)}{y} = 0\]
56 | Однако, $f$ не является непрерывной в точке (0, 0), т.к. в этой точке у нее не существует $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$.\\
57 |
58 | 3. Определение частной произвоной функции $w = f(x)$ дано для внутренней точки множества определения функции. Оно не пригодно для граничной предельной точки множетсва, поскольку в граничной точке не всегда можно определить частное приращение. Поэтому частная производная в граничной предельной точке множества определения функции находиться как предел частной производной по множеству.
59 |
60 | Точка $a \in X$ -- предельная граничная точка.
61 | \begin{figure}[h!]
62 | \centering
63 | \includegraphics[scale=0.5]{Primer_1.jpg}
64 | \label{fig:universe}
65 | \end{figure}
66 | \[\frac{\partial f}{\partial x}(a) = \lim{_{(x, y)\to (a_1, a_2)}}_{(x, y) \in X} \frac{\partial f} {\partial x}(x, y)\]
67 | \[\frac{\partial f}{\partial y}(a) = \lim{_{(x, y)\to (a_1, a_2)}}_{(x, y) \in X} \frac{\partial f} {\partial y}(x, y)\]
68 | \subsection*{Дифференцируемость функции в точке}
69 |
70 | Некоторые замечания, которые нужны для определения дифференцируемости функции в точке:\\
71 |
72 | Рассмотрим $w = f(x)$, она определена в $\mathscr{U}(a), a = (a_1, \ldots,a_m), \Delta x = (\Delta x_1, \ldots, \Delta x_m): a + \Delta x = (a_1 + \Delta x_1, \ldots , a_m + \Delta x_m) \in \mathscr{U}(a)$\\
73 |
74 | Рассмотрим $\rho = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + \ldots + (\Delta x_m)^2}$, $\rho \to 0 \Leftrightarrow \Delta x \to \bar0$, где $\bar0 = (0, 0\ldots, 0_m)$.\\
75 |
76 | $\Delta f(a, \Delta x) = f(a + \Delta x) - f(a)$ -- Полное приращение функции в точке а, соответствующее приращению аргументов $\Delta x = (\Delta x_1, \ldots, \Delta x_m)$.\\
77 |
78 | \textbf{Определение.} Функция $f$ называется дифференцируемой в точке а, если
79 |
80 | \textbf{Условие 1:}
81 | \[\Delta f(a, \Delta x) = A_1 \Delta x_1 + \ldots + A_m \Delta x_m + \alpha_1(\Delta x) \Delta x_1 + \ldots + \alpha_m (\Delta x)\Delta x_m\]
82 | где $A_j$ -- постоянные, $j = 1,\ldots,m$, не зависят от $\Delta x$, $\alpha_j = \alpha_j(\Delta x)$ -- б.м. функции при $\Delta x \to 0$; $\alpha_j = 0$ при $\bar{\Delta x} = \bar0$.\\
83 |
84 | \textbf{Условие 2:}
85 | \[\Delta f(a, \Delta x) = A_1 \Delta x_1 + \ldots + A_m \Delta x_m + o(\rho), \rho\to 0\]
86 | \begin{center}
87 | (По сути $\rho$ -- расстояние от точки $\Delta x$ до $\bar0$).
88 | \end{center}
89 |
90 | \textbf{Предложение.} Условия 1 и 2 определения дифференцируемости функции в точке эквиваленты.
91 |
92 | \textit{Доказательство.}\\
93 | 1 $\Rightarrow$ 2\\
94 | Покажем, что $\alpha_1(\Delta x)\Delta x_1 + \ldots + \alpha_m(\Delta x)\Delta x_m = o(\rho), \rho \rightarrow 0, \rho \not= 0$.
95 |
96 | Заметим, что \[|\frac{x_j}{\rho}| \leq 1, \rho = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + \ldots + (\Delta x_m)^2}\]
97 | \[|\alpha_1\Delta x_1 + \ldots \alpha_m\Delta x_m| \leq \rho(|\alpha_1|\frac{|\Delta x_1|}{\rho} + \ldots + |\alpha_m|\frac{|\Delta x_m|}{\rho}) \leq \rho(|\alpha_1| + \ldots + |\alpha_m|)\]
98 |
99 | В силу того, что $\rho \to 0 \Leftrightarrow \Delta x \to \bar0$, $\rho(|\alpha_1| + \ldots + |\alpha_m|)$ также стремиться к нулю, как конечная сумма б.м. функций.\\
100 | Значит, $\rho(|\alpha_1| + \ldots + |\alpha_m|) = o(\rho)$. Показали, что это выражение действительно есть б.м. функция.\\
101 | 2 $\Leftarrow$ 1
102 |
103 | \[o(\rho) = \frac{\rho^2}{\rho} \frac{o(\rho)}{\rho} = \frac{(\Delta x_1)^2 + \ldots + (\Delta x_m)^2}{\rho} \frac{o(\rho)}{\rho}\]
104 | \[o(\rho) = (\frac{\Delta x_1}{\rho}\frac{o(\rho)}{\rho})\Delta x_1 + \ldots + (\frac{\Delta x_m}{\rho}\frac{o(\rho)}{\rho})\Delta x_m \]
105 | Понятно, что $\alpha_j = \frac{\Delta x_j}{\rho}\frac{o(\rho)}{\rho}$, но $\frac {\Delta x_j}{\rho}$ величина ограниченная, а $\frac {o(\rho)}{\rho} \to 0, \rho \to 0 \Rightarrow $ при $\Delta x \to \bar 0$.
106 | $\alpha_j = 0, j = 1, \ldots, m$, только при $\Delta x = \bar0$.
107 |
108 | \textit{Доказано.}
109 |
110 |
111 | \subsection*{Достаточные условия дифференцируемости функции в точке}
112 |
113 | \textbf{Теорема 2.} Пусть $w = f(x)$ определена в $\mathscr{U}(a) \subset \mathds{E}^m$
114 | и в этой окрестности существуют $\frac{\partial f}{\partial x_j}, j = 1, \ldots, m$.
115 | Если $\frac{\partial f}{\partial x_j}, j = 1, \ldots, m$ непрерывны в точке а, то функция f дифференцируема в точке а.\\
116 |
117 | \textit{Докательство.}\\
118 | Проведем доказательство для $m = 2, w = f(x, y), a = (a_1, a_2)$. \\
119 | Рассмотрим точку $(a_1 + \Delta x, a_2 + \Delta y) \in \mathscr{U}(a)$.\\\\
120 | Рассмотрим
121 | \[\Delta f(a, (\Delta x, \Delta y)) = f(a_1 + \Delta x, a_2 + \Delta y) - f(a_1, a_2)\]
122 | \begin{multline*}
123 | \Delta f(a, (\Delta x, \Delta y)) = f(a_1 + \Delta x, a_2 + \Delta y) - \\
124 | - f(a_1, a_2 + \Delta y) + f(a_1, a_2 + \Delta y) - f(a_1, a_2)
125 | \end{multline*}
126 | Введем функцию $\varphi(x) = f(x, a_2 + \Delta y)$ и $\psi(y) = f(a_1, y)$
127 | \begin{multline*}
128 | \Delta f(a, (\Delta x, \Delta y)) = \Delta\varphi(a_1, \Delta x) + \Delta\psi(a_2, \Delta y) = \\
129 | = \varphi(a_1 + \Delta x) - \varphi(a_1) + \psi(a_2 + \Delta y) - \psi(a_2)
130 | \end{multline*}
131 | По теореме Лагранжа $\exists 0 < \theta_1 < 1$ и $\exists 0 < \theta_2 < 1:$
132 | \[f(a_1 + \Delta x, a_2 + \Delta y) - f(a_1, a_2 + \Delta y) = f'_x(a_1 + \theta_1 \Delta x, a_2 + \Delta y)\Delta x\]
133 | \[f(a_1, a_2 + \Delta y) - f(a_1, a_2) = f'_y(a_1, a_2 + \theta_2 \Delta y)\Delta y\]
134 | \[f'_x(a_1 + \theta_1\Delta x, a_2 + \Delta y) = f'_x(a_1, a_2) + \alpha_1(\Delta x, \Delta y); \alpha_1 \to 0, (\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)\]
135 | \[f'_y(a_1, a_2 + \theta_2 \Delta y) = f'_y(a_1, a_2) + \alpha_2(\Delta x, \Delta y); \alpha_2 \to 0, (\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)\]
136 | \[\Delta f(a, (\Delta x, \Delta y)) = f'_x(a)\Delta x +f'_y(a)\Delta y + \alpha_1\Delta x + \alpha_2 \Delta y\]. Это в точности определение дифференцируемости функции $f$ в точке $а$.
137 |
138 | \textit{Доказано.} \\
139 |
140 | \textbf{Примеры.} (Доказательство дифференцируемости ф-ции в точке)\\
141 | $w = f(x, y), \bar0 = (0,0), \rho = \sqrt{x^2 + y^2 }$\\
142 | $f(x, y) - f(0, 0)= \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)\Delta y + o(\rho), \rho \to 0$.\\
143 |
144 | \textbf{Пример 1.} $f(x, y) = y^2 \sin x$\\
145 | Заметим, что $f(x, 0) = f(0, y) = f(0, 0) = 0$\\
146 | Из определения частной производной: $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim\limits_{x\to0} \frac {f(x, 0) - f(0, 0)} {x} = 0$.\\
147 | $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim\limits_{y\to0} \frac {f(0, y) - f(0, 0)} {y} = 0$.\\
148 | Частные производные 0, значит надо показать, что $f(x, y) = o(\rho), \rho \to 0$.
149 | Надо показать, что $F(x, y) = \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \to 0$, при $(x, y) \to (0, 0)$.\\
150 | $|F(x, y)| = |\frac{y^2 \sin x}{\sqrt{x^2 + y^2}}| \leq \frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leq (|y| \leq \sqrt{x^2 + y^2}) \leq \frac{\sqrt{x^2 + y^2}^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sqrt{x^2 + y^2} \leq \delta = \upvarepsilon$\\
151 | $[\forall\upvarepsilon > 0 \exists\delta = \delta(\upvarepsilon) = \upvarepsilon: \forall(x, y): 0 < \rho = \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \mapsto |F(x, y)| < \upvarepsilon] \stackrel{def}{=} [\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} F(x, y) = 0] \Leftrightarrow [f(x, y) = o(\rho), \rho \to 0]$.\\
152 |
153 | \textbf{Пример 2.} $f(x, y) = \sqrt{|xy|}, \bar0 = (0, 0)$\\
154 | $f(x, 0) = f(0, y) = f(0, 0) = 0 \Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0$\\
155 | $F(x, y) = \frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ Перейдем к полярным координатам: $x = \rho \cos \varphi, y = \rho \sin \varphi$, $F(x, y) = \sqrt{|\cos \varphi\sin \varphi|}$\\
156 | $\varphi = \frac{\pi}{2} \Rightarrow F(\rho, \varphi) = 0$\\
157 | $\varphi = \frac{\pi}{4} \Rightarrow F(\rho, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{2}} \not= 0$\\
158 | Значит, f не является дифференцируемой в точке (0, 0).\\
159 |
160 | \textbf{Пример 3.(Очень важный для понимания теории)}
161 | \begin{equation*}
162 | f(x, y) =
163 | \begin{cases}
164 | (x^2 + y^2)\sin{\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}}, & x^2 + y^2 \not=0,\\
165 | 0, & x^2 + y^2 = 0
166 | \end{cases}
167 | \end{equation*}\\
168 | $f(x, 0) = x^2\sin{\frac{1}{|x|}}, x \not =0$\\
169 | $f(0, y) = y^2\sin{\frac{1}{|y|}}, y \not =0$\\
170 | $f(0,0) = 0$\\
171 | $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim\limits_{x \to 0} = \frac{f(x, 0) - f(0, 0))}{x} = \lim\limits_{x \to 0} x\sin{\frac{1}{|x|}} = 0$ \\
172 | $\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \lim\limits_{y \to 0} = \frac{f(0, y) - f(0, 0))}{y} = \lim\limits_{y \to 0} y\sin{\frac{1}{|y|}} = 0$\\\\
173 | Теперь докажем, что эта функция дифференцируема в (0, 0)\\
174 | Введем функцию \[F(x, y) = \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sqrt{x^2 + y^2}\sin{\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}}\]\\
175 | $|F(x, y)| \leq \sqrt{x^2 + y^2} < \delta = \upvarepsilon$
176 | \begin{multline*}
177 | [\forall\upvarepsilon > 0 \exists\delta = \delta(\upvarepsilon) = \upvarepsilon: \forall(x, y): 0 < \rho = \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \mapsto |F(x, y)| < \upvarepsilon] \stackrel{def}{=} \\
178 | [\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} F(x, y) = 0] \Leftrightarrow [f(x, y) = o(\rho), \rho \to 0].
179 | \end{multline*}
180 | $\Rightarrow f$ дифференцируема в (0, 0).\\
181 |
182 | Посмотрим на частные производные этой функции по x и y вне точки (0, 0):\\
183 |
184 | \[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2x\sin{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}} -\frac{x^2+y^2}{(\sqrt{x^2+y^2})^3} \cos{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}\]
185 |
186 | $\lim\limits_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)$ не существует $\Rightarrow f'_x$ не является непрерывной в (0, 0).\\
187 | Пример показывает, что непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции.\\
188 |
189 | \textbf{Замечание.} Непрерывность частных производных функции f в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в точке. Это условие достаточно(Теорема 2).\\
190 |
191 | \subsection*{Дифференцируемость сложной функции}
192 |
193 | Рассматриваем функции $x_j = \varphi_j(t)$ в окрестности точки $t^0 = (t_1^0, \ldots, t_k^0)\in \mathds{E}^k, j = 1, \ldots, m$.\\
194 | Рассматриваем функцию $w = f(x),$которая определена в окрестности точки $a = (a_1, \ldots, a_m)$, причем $a_j = \varphi_j(t^0), j = 1, \ldots, m$.\\
195 | $F(t) = f(\varphi_1(t), \ldots, \varphi_m(t))$ -- суперпозиция функций f и функций $\varphi_1(t) \ldots$ (сложная функция)\\
196 |
197 | \textbf{Теорема 3. [О дифференцируемости сложной функции]}
198 |
199 | Пусть функции $\varphi_j, j = 1, \ldots, m$ дифференцируемы в точке $t^0$, функция f дифференцируема в точке а, причем $a_j = \varphi_j(t^0), j = 1, \ldots,m$. Тогда $F(t) = f(\varphi_1(t), \ldots, \varphi_m(t))$ дифференцируема в точке $t^0$ и
200 | \[\frac{\partial F}{\partial t_j}(t^0) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) \frac{\partial \varphi_1}{\partial t_j}(t^0 ) + \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) \frac{\partial \varphi_2}{\partial t_j}(t^0 ) + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a) \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_j}(t^0), j = 1, \ldots, k\].
201 |
202 | \textit{Доказательство.}\\
203 | $t^0 + \Delta t \in \mathscr{U}(t^0), a + \Delta x \in \mathscr{U}(a), \rho = \sqrt{(\Delta t_1)^2 + \ldots + (\Delta t_k)^2}$.\\\\
204 | Условия дифференцируемости функции $\varphi_j$ в точке $t^0$:
205 | \[\Delta \varphi_j(t^0, \Delta t) = \frac{\partial \varphi_j}{\partial t_1}(t^0)\Delta t_1 + \ldots + \frac{\partial \varphi_j}{\partial t_k}(t^0)\Delta t_k + o(\rho), \rho \to 0; \rho \to 0 \Leftrightarrow \Delta t \to \bar0.\]
206 | Условия дифференцируемости функции $f$ в точке a:
207 | \[\Delta f(a, \Delta x) = \frac {\partial f}{\partial x_1}(a)\Delta x_1 + \ldots + \frac {\partial f}{\partial x_m}(a)\Delta x_m + \alpha_1 \Delta x_1 + \ldots + \alpha_m \Delta x_m.\]
208 | Подставим вместо $\Delta x_1 \ldots \Delta x_m$ приращения функции $\varphi$:\\
209 | \begin{multline*}
210 | \Delta f(a, \Delta x) = \frac {\partial f}{\partial x_1}(a)\left[\frac{\partial \varphi_1}{\partial t_1}(t^0)\Delta t_1 + \ldots + \frac{\partial \varphi_1}{\partial t_k}(t^0)\Delta t_k + o(\rho)\right] + \ldots\\
211 | \ldots + \frac {\partial f}{\partial x_m}(a) \left[\frac{\partial \varphi_m}{\partial t_1}(t^0)\Delta t_1 + \ldots + \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_k}(t^0)\Delta t_k + o(\rho)\right] +\\ +\alpha_1\left[\frac{\partial \varphi_1}{\partial t_1}(t^0)\Delta t_1 + \ldots + \frac{\partial \varphi_1}{\partial t_k}(t^0)\Delta t_k + o(\rho)\right] + \ldots \\
212 | \ldots + \alpha_k \left[\frac{\partial \varphi_m}{\partial t_1}(t^0)\Delta t_1 + \ldots + \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_k}(t^0)\Delta t_k + o(\rho)\right].
213 | \end{multline*}
214 | Перегруппируем слагаемые:
215 | \begin{multline*}
216 | \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\frac{\partial\varphi_1}{\partial t_1}(t_0) + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a)\frac{\varphi_m}{\partial t_1}(t_0)\right]\Delta t_1 + \ldots\\
217 | \ldots + \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\frac{\partial\varphi_1}{\partial t_k}(t_0) + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a)\frac{\varphi_m}{\partial t_k}(t_0)\right]\Delta t_k + \\
218 | +o(\rho)\left[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a) + \alpha_1 + \ldots + \alpha_m\right] + \\
219 | +\rho\left[\alpha_1\frac{\partial \varphi_1}{\partial t_1}(t^0) + \ldots + \alpha_m \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_1}(t^0)\right]\frac{\Delta t_1}{\rho} + \ldots \\
220 | \ldots + \rho\left[\alpha_1\frac{\partial \varphi_1}{\partial t_k}(t^0) + \ldots + \alpha_m \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_k}(t^0)\right]\frac{\Delta t_k}{\rho}.\\
221 | \end{multline*}
222 |
223 | \[ \Delta F(t^0, \Delta t) = \frac{\partial F}{\partial t_1}(t^0)\Delta t_1 + \ldots + \frac{\partial F}{\partial t_k}(t^0)\Delta t_k + o(\rho)\gamma + \rho\Lambda_1 + \ldots + \rho \Lambda_k\]
224 |
225 | $\Delta x_j = \Delta \varphi_j \to 0, \Delta t \to \bar 0
226 | \rho \to 0 \Leftrightarrow \Delta t \to \bar0 = (0, \ldots, 0).$\\ $\Rightarrow \alpha_j \to 0$, при $\rho \to 0$
227 |
228 | \[\Lambda_j = \rho[\alpha_1\frac{\partial \varphi_1}{\partial t_1}(t^0) + \ldots + \alpha_m \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_1}(t^0)]\frac{\Delta t_j}{\rho} \to 0, \rho \to 0\]\\
229 | Перепишем:
230 | \[\Delta F(t^0, \Delta t) = \frac{\partial F}{\partial t_1}(t^0)\Delta t_1 + \ldots + \frac{\partial F}{\partial t_k}(t^0)\Delta t_k + o(\rho), \rho \to 0\].
231 | \textit{Доказано.}
232 |
233 | \subsection*{Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала отностительно замены переменных.}
234 |
235 | Рассматриваем функцию $w = f(x)$ определенную в $\mathscr{U}(a) \subset \mathds{E}^m$. Мы предполагаем, что $f$ дифференцируема в точке а.\\
236 | Поскольку функция дифференцируема в точке а, то \[\Delta f(a, \Delta x) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\Delta x_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a) + o(\rho), \rho \to 0\].
237 |
238 | \textbf{Определение.} Диффернециалом функции $f$ в точке а называется главная линейная часть (относительно $\Delta x_j$) приращения функции $f$ в точке а, соответствующая приращению аргументов $\Delta x = (\Delta x_1, \ldots, \Delta x_n)$.
239 | \[df(a) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\Delta x_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a)\Delta x_m\]
240 | Поскольку дифференциал независимой переменной $x_j$ есть произвольное число, то $dx_j = \Delta x_j$.
241 | \[df(a) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)dx_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a)dx_m (*)\]
242 |
243 | \textbf{Предложение.[Инвариантность формы 1-го дифферциала]}
244 |
245 | Выражение (*) универсально, оно справедливо и в случае, когда $x_j = \varphi_j(t), t \in \mathscr{U}(a), a_j = \varphi_j(t^0), j = 1, \ldots, m$($\varphi_j$ дифференцируема в точке $t^0$).
246 |
247 | \textit{Доказательство.}
248 | \[d\varphi_j(t^0) = \frac {\partial \varphi_j}{\partial t_1}(t^0)dt_1 + \ldots + \frac {\partial \varphi_j}{\partial t_k}(t^0)dt_k, j = 1, \ldots, m\]
249 | Введем функцию $F(t) = f(\varphi_1(t), \ldots, \varphi_m(t))$
250 | \[dF(t^0) = \frac{\partial F}{\partial t_1}(t^0)dt_1 + \ldots +\frac{\partial F}{\partial t_k}(t^0)dt_k = \]
251 | \[dF(t^0) = [\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) \frac{\partial \varphi_1}{\partial t_1}(t^0) + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a) \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_1}(t^0)]dt_1 + \ldots\]
252 | \[+[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) \frac{\partial \varphi_1}{\partial t_k}(t^0) + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a) \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_k}(t^0)]\]
253 |
254 | Перегруппируем:
255 | \[dF(t^0) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)[\frac{\varphi_1}{\partial t_1}(t^0)]dt_1 + \ldots + \frac{\varphi_1}{\partial t_k}(t^0)]dt_k + \ldots\] \[+\frac{\partial f}{\partial x_m}(a)[\frac{\partial \varphi_m}{\partial t_1}dt_1 + \ldots + \frac{\partial \varphi_m}{\partial t_k}]dt_k\]
256 | Получаем:
257 | \[dF(t^0) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)dx_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a)dx_m\]
258 | \textit{Доказано.}
259 |
260 | \subsection*{Производная по направлению и градиент, их связь и геомертический смысл.}
261 | Рассматриваем функцию $w = f(x)$ определенную в $\mathscr{U}(a) \subset \mathds{E}^m$. Мы предполагаем, что $f$ дифференцируема в точке а.\\
262 | Возьмем единичный вектор $\vec{n} = (\cos \alpha_1, \ldots, \cos \alpha_m), |\vec{n}| = 1$.
263 |
264 | \begin{equation*}
265 | l:
266 | \begin{cases}
267 | x_1 = a_1 + t\cos \alpha_1;\\
268 | \ldots\\
269 | \ldots\\
270 | \ldots\\
271 | x_m = a_m + t\cos \alpha_m;
272 | \end{cases}
273 | \end{equation*}
274 |
275 | Рассмотрим суперпозицию:
276 | \[F(t) = f(a_1 + t\cos\alpha_1, \ldots, a_m + t\cos\alpha_m)\]
277 | F дифференцируема в точке $t = 0$.\\
278 |
279 | \textbf{Определение.} Производной функкции $f$ по направлению $l$ в точке $x = a$ называется производная функции $F$ в точке $t = 0$.\\
280 |
281 | \textbf{Обозначения.}
282 | \[\frac{\partial f}{\partial l}(a) = \lim\limits_{t \to 0} \frac{f(a_1 + t\cos\alpha_1, \ldots, a_m + t\cos\alpha_m) - f(a)}{t}\]
283 |
284 | \[\frac{\partial f}{\partial l}(a) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\cos\alpha_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a)\cos\alpha_m\]\\
285 |
286 | \textbf{Определение.} Градиентом функции $f$ называется вектор \[\mathrm{grad}{f(a)} = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_m}(a))\]
287 |
288 | Из этого определения и выражения для производной по направлению $l$ в точке $a$ функции $f$ мы получаем:
289 | \[\frac{\partial f}{\partial l}(a) = (\mathrm{grad}{f(a), \vec{n}})\]
290 |
291 | \textbf{Предложение.}
292 | Градиент функции $f$ в точке $a$ характеризует направление и величину максимального роста производной по направлению функции $f$ в точке $a$.
293 |
294 | \textit{Доказательство.}\\
295 | По определению производной по направлению в точке $a$:
296 | \[\frac{\partial f}{\partial l}(a) = |\mathrm{grad}{f(a)}| |\vec{n}|\cos\varphi = |\mathrm{grad}|\cos\varphi\]
297 |
298 | $\cos\varphi$ имеет наибольшее значение равное 1 $\Rightarrow$
299 | $cos\varphi = 1 \Rightarrow \vec{n}$ и $\mathrm{grad}$ -- направление совпадают, т.к. в этом случае $\varphi = 0$.
300 |
301 | \textit{Доказано.}
302 | \subsection*{Необходимые условия дифференцируемости}
303 |
304 | \textbf{Необходимое условие 1.}
305 |
306 | $[f$ дифференцируема в точке а$] \Rightarrow [\exists \frac{\partial f}{\partial x_j}(a), j = 1, \ldots, m]$\\
307 |
308 | \textit{Доказательство.}\\
309 | Возьмем j = k, рассматриваем $\Delta x = (0, \ldots, 0, \Delta x_k, 0, \ldots, 0)$. \\
310 | Тогда $\Delta f(a, \Delta x) = \Delta_k f(a, \Delta x_k)$. \\
311 | Тогда используя 1 условие определения получим:
312 | \[\Delta f(a, \Delta x) = A_1 \Delta x_1 + \ldots + A_m \Delta x_m + \alpha_1(\Delta x) \Delta x_1 + \ldots + \alpha_m (\Delta x)\Delta x_m\]
313 | мы получаем:
314 | \[\Delta_k f(a, \Delta x_k) = A_k\Delta x_k + \alpha_k\Delta x_k\]
315 | \[\frac{\Delta_k f(a, \Delta x_k)}{\Delta x_k} = A_k + \alpha_k \to A_k, \Delta x_k \to 0 \Rightarrow A_k = \frac{\partial f}{\partial x_k} (a)\]
316 | В силу произвольности мы доказано для всех переменных.
317 |
318 | \textit{Доказано.}\\
319 |
320 | Таким образом мы уточнили определение, например, перепишем определение 1:
321 | \[\Delta f(a, \Delta x) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) \Delta x_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a) \Delta x_m + \alpha_1(\Delta x) \Delta x_1 + \ldots + \alpha_m (\Delta x)\Delta x_m\]
322 |
323 | \textbf{Необходимое условие 2.} Если $w = f(x), x \in \mathds{E}^m$ дифференцируема в точке а, то $f$ непрерывна в точке $a$.\\
324 |
325 | \textit{Доказательство.}\\
326 | $\Delta f(a, \Delta x) = f(a + \Delta x) - f(a) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) \Delta x_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}(a) \Delta x_m + \alpha_1(\Delta x) \Delta x_1 + \ldots + \alpha_m (\Delta x)\Delta x_m$.\\
327 | Если $\Delta \to \bar0$ в точке а $f(a + \Delta x) - f(a) \to 0 \Rightarrow $ f непрерывна в точке а.
328 |
329 | \textit{Доказано.}\\
330 |
331 | \textbf{Необходимое условие 3.}(Не было в лекции Знаменской)\\
332 | Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $(x_0, y_0, z_0)$. Тогда в этой точке функция $f$ имеет производную по любому направлению и эта производная находится по формуле
333 | \[\frac{\partial f}{\partial l}(x_0, y_0, z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}\cos \gamma\]
334 | \begin{center}
335 | [Взято из Кудрявцева, Том 2, стр. 267]
336 | \end{center}
337 | \end{document}
--------------------------------------------------------------------------------
/source/5.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
2 |
3 | % Русский язык
4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
7 |
8 | \usepackage{graphicx} % импорт изображений
9 | \usepackage{wrapfig} % обтекаемые изображения
10 | \graphicspath{{pictures/}} % обращение к подкаталогу с изображениями
11 | \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
12 | \usepackage[warn]{mathtext} % русский язык в формулах
13 | \usepackage{indentfirst} % indent first
14 | \usepackage[margin = 25mm]{geometry}% отступы полей
15 | \usepackage[table,xcdraw]{xcolor} % таблицы
16 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % Математика
17 | \usepackage{wasysym} % ???
18 | \usepackage{upgreek} % ???
19 | \usepackage{caption}
20 | \captionsetup{labelsep = period}
21 | \usepackage{mathrsfs}
22 | \usepackage{makecell}
23 | \usepackage{gensymb} % degree symbol
24 |
25 |
26 |
27 | \pagestyle{empty}
28 |
29 |
30 | \begin{document}
31 |
32 | \section*{Билет №5.}
33 |
34 | \subsection*{Необходимые определения и предложения билета}
35 | \noindent \textbf{Определение:} множество $Q = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \dots \times [a_m, b_m)$ будем называть клеткой в $\mathbb{E}^m$.
36 |
37 | \vspace{3mm}
38 |
39 | \noindent \textbf{Определение:} множество $G \subset \mathbb{E}^m$ будем называть клеточным, если оно является объединением \textbf{конечного} числа попарно непересекающихся клеток:
40 | \begin{equation*}
41 | G = \bigcup_{j = 1}^k Q_j, \hspace{10mm} Q_i \cap Q_j = \varnothing, \text{ }i \neq j.
42 | \end{equation*}
43 |
44 |
45 | \begin{figure}[h!]
46 | \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}
47 | \center{\includegraphics[scale = 0.5]{G(Клет).jpg} \\ G - клеточное множество}
48 | \end{minipage}
49 | \hfill
50 | \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}
51 | \center{\includegraphics[scale = 0.5]{G(Неклет).jpg} \\ G - не клеточное множество}
52 | \end{minipage}
53 | \end{figure}
54 |
55 | \noindent \textbf{Свойства клеточных множеств:}
56 |
57 | $\textbf{1}^\circ$ Объединение \textbf{конечного} числа попарно непересекающихся клеточных множеств есть клеточное множество.
58 |
59 | \noindent \textbf{Доказательство:}
60 |
61 | $G$ и $H$ - клеточные множества. Тогда:
62 | \begin{equation*}
63 | G = \bigcup_{j = 1}^k Q_j, \hspace{20mm} H = \bigcup_{j = k + 1}^n Q_j.
64 | \end{equation*}
65 |
66 | Значит:
67 | \begin{equation*}
68 | G \cup H = \bigcup_{j = 1}^n Q_j - \text{клеточное множество}.
69 | \end{equation*}
70 |
71 | $\textbf{2}^\circ$ Пересечение двух клеток есть клетка.
72 |
73 | \noindent \textbf{Доказательство:}
74 |
75 | Пусть $Q_1 = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \dots \times [a_m, b_m)$, а $Q_2 = [c_1, d_1) \times [c_2, d_2) \times \dots \times [c_m, d_m)$. Тогда возможны два случая:
76 |
77 | а) $\exists j$: $[a_j, b_j) \cap [c_j, d_j) = \varnothing \Rightarrow Q_1 \cap Q_2 = \varnothing $ - клетка;
78 |
79 | б) $\forall j \longmapsto [a_j, b_j) \cap [c_j, d_j) = [e_j, f_j) \Rightarrow Q_1 \cap Q_2 = [e_1, f_1) \times [e_2, f_2) \times \ldots \times [e_m, f_m)$ - клетка.
80 |
81 | \vspace{5mm}
82 |
83 | $\textbf{3}^\circ$ Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.
84 |
85 | \noindent \textbf{Доказательство:}
86 |
87 | Пусть $G_1$ и $G_2$ - клеточные множества.
88 |
89 | $G_1 = Q_1^1 \cup Q_2^1 \cup \ldots \cup Q_k^1$
90 |
91 | $G_2 = Q_1^2 \cup Q_2^2 \cup \ldots \cup Q_n^2$
92 |
93 | Обозначим $Q_{ij} = Q_i^1 \cap Q_j^2, \text{ } i = \overline{1, k}, \text{ } j = \overline{1, n}.$
94 |
95 | $Q_{ij}$ - клетка (свойство $\textbf{2}^\circ$).
96 |
97 | $G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{i, j} Q_{ij} = \bigcup\limits_{i = 1}^k \bigcup\limits_{j = 1}^n Q_{ij}$ - объединение попарно непересекающихся клеток есть клеточное множество.
98 |
99 | \vspace{5mm}
100 |
101 | $\textbf{4}^\circ$ Разность двух клеток есть клеточное множество.
102 |
103 | \noindent \textbf{Доказательство:}
104 |
105 | $Q_1$ и $Q_2$ - клетки. $Q = Q_1 \cap Q_2$ - клетка (свойство $\textbf{2}^\circ$). Тогда
106 |
107 | $Q_1 \backslash Q_2 = Q_1 \backslash Q$.
108 |
109 | Существует такое разбиение клетки $Q_1$ на более мелкие клетки, что $Q$ является одной из них $\Rightarrow$
110 |
111 | $\Rightarrow Q_1 \backslash Q_2$ - клеточное множество.
112 |
113 | \begin{figure}[h!]
114 | \centering
115 | \includegraphics[scale=0.57]{Q.jpg}
116 | \end{figure}
117 |
118 |
119 |
120 | $\textbf{5}^\circ$ Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.
121 |
122 | \noindent \textbf{Доказательство:}
123 |
124 | \begin{equation*}
125 | G_1 = \bigcup_{j = 1}^k Q_j^1, \hspace{20mm} G_2 = \bigcup_{j = 1}^n Q_j^2.
126 | \end{equation*}
127 |
128 |
129 | \begin{equation*}
130 | G_1 \backslash Q_1^2 = \bigcup_{i = 1}^k \left(Q_i^1 \backslash Q_1^2\right) = \bigcup_{i = 1}^k G_{i1}
131 | \end{equation*}
132 |
133 |
134 | $G_{i1}$ - клеточное множество (свойство $\textbf{4}^\circ$).
135 |
136 | $G_{i1} \cap G_{j1} = \varnothing$, если $i \neq j \Rightarrow$
137 |
138 | $\Rightarrow G_1 \backslash Q_1^2$ - клеточное множество (свойство $\textbf{1}^\circ$).
139 |
140 | \begin{equation*}
141 | G_1 \backslash G_2 = G_1 \backslash \left( \bigcup_{j = 1}^n Q_j^2\right) = \bigcap_{j = 1}^n\left(G_1 \backslash Q_j^2\right) = \bigcap_{j = 1}^n\left(\bigcup_{i = 1}^k G_{ij}\right)
142 | \end{equation*}
143 |
144 | Последнее является клеточным множеством, так как $G_{ij} \cap G_{sl} = \varnothing$, если $i \neq s$ или $j \neq l$. Откуда получаем, что $G_1 \backslash G_2$ - клеточное множество.
145 |
146 | \vspace{5mm}
147 |
148 | $\textbf{6}^\circ$ Объединение \textbf{конечного} числа клеточных множеств есть клеточное множество.
149 |
150 | \noindent \textbf{Доказательство:}
151 |
152 | 1) $G_1$ и $G_2$.
153 |
154 | $G_1 \cup G_2 = \left(G_1 \backslash G_2\right) \cup \left(G_2 \backslash G_1\right) \cup \left(G_1 \cap G_2\right)$;
155 |
156 | Последние три скобки являются попарно непересекающимися клеточными множествами $\stackrel{\textbf{1}^\circ}{\Rightarrow}$ $G_1 \cup G_2$ - клеточное множество.
157 |
158 | 2) Далее для $G_3, G_4, \ldots, G_n$ по индукции.
159 |
160 | \vspace{7mm}
161 |
162 | \textbf{Таким образом, объединение, пересечение и разность конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество.}
163 |
164 | \vspace{7mm}
165 |
166 | \noindent \textbf{Определение:} мерой клетки $Q$ назовем число:
167 |
168 | $m(Q) = (b_1 - a_1)\cdot (b_2 - a_2)\cdot\ldots\cdot (b_m - a_m)$;
169 |
170 | $m(\varnothing) = 0$.
171 |
172 |
173 | \noindent \textbf{Определение:} мерой клеточного множества $G$ назовем число:
174 | \begin{equation*}
175 | m(G) = \sum_{j = 1}^{k} m(Q_j); \hspace{20mm} m(\varnothing) = 0.
176 | \end{equation*}
177 |
178 |
179 | \noindent \textbf{Лемма:} мера клеточного множества $G$ не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.
180 |
181 | \noindent \textbf{Доказательство:}
182 |
183 | Пусть $G = Q_1 \cup Q_2 \cup \ldots \cup Q_k$ и также $G = Q'_1 \cup Q'_2 \cup \ldots \cup Q'_n$. Тогда обозначим $Q_{ij} = Q_i \cup Q'_j, \text{ } i = \overline{1, k}, \text{ } j = \overline{1, n}.$
184 |
185 | Понятно, что
186 | \begin{equation*}
187 | Q_i = \bigcup_{j = 1}^n Q_{ij}, \hspace{20mm} Q'_j = \bigcup_{j = 1}^k Q_{ij}.
188 | \end{equation*}
189 |
190 | Тогда:
191 |
192 | \begin{equation*}
193 | m(G) = \sum_{i = 1}^{k} m(Q_i) = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} m(Q_{ij}) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{k} m(Q_{ij}) = \sum_{j = 1}^{n} m(Q'_j) = m(G).
194 | \end{equation*}
195 |
196 | \noindent \textbf{Предложение 1:} если клеточные множества $G_1, G_2, \ldots, G_n$ попарно не пересекаются, то для $G = \bigcup\limits_{j = 1}^n G_j$ выполняется $m(G) = \sum\limits_{j = 1}^n m(G_j)$.
197 |
198 | \noindent \textbf{Доказательство:}
199 |
200 | $G_j = \bigcup\limits_{i = 1}^{k_j} Q_i^j, \text{ } j = \overline{1, n}.$
201 |
202 | Тогда
203 |
204 | $G = \bigcup\limits_{j = 1}^n G_j = \bigcup\limits_{j = 1}^n \bigcup\limits_{i = 1}^{k_j} Q_i^j = \bigcup\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n,\\ 1\leqslant i \leqslant k_j}} Q_i^j$
205 |
206 | Все клетки из последнего объединения попарно не пересекаются, поэтому:
207 |
208 | $m(G) = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n,\\ 1\leqslant i \leqslant k_j}} m(Q_i^j) = \sum\limits_{j = 1}^n m(G_j)$.
209 |
210 | \vspace{5mm}
211 |
212 | \noindent \textbf{Предложение 2:} если $G_1$ и $G_2$ - клеточные множества и $G_1 \subset G_2$, то $m(G_2) = m(G_1) + m(G_2 \backslash G_1)$, $m(G_1) \leqslant m(G_2)$.
213 |
214 | \noindent \textbf{Доказательство:}
215 |
216 | $G_2 = G_1 \cup (G_2 \backslash G_1) = G_1 \cup G$.
217 |
218 | $G_1 \cap G = \varnothing \stackrel{\text{пр.1}}{\Longrightarrow} m(G_2) = m(G_1) + m(G_2 \backslash G_1) \Rightarrow m(G_1) \leqslant m(G_2)$.
219 |
220 |
221 | \noindent \textbf{Предложение 3:} если $G_1, G_2, \ldots, G_k$ - клеточные множества, $G = \bigcup\limits_{j = 1}^k G_j$, то $m(G) \leqslant \sum\limits_{j = 1}^k m(G_j)$.
222 |
223 | \noindent \textbf{Доказательство:}
224 |
225 | Для $G_1$ и $G_2$ по предложению 2, а далее по индукции.
226 |
227 | \vspace{3mm}
228 |
229 | \noindent \textbf{Предложение 4:} для любого клеточного множества $G$ и $\forall \varepsilon > 0$ $\exists G_{\varepsilon}, G^{\varepsilon}$ - клеточные множества такие, что:
230 |
231 | 1) $G_{\varepsilon} \subset \overline{G_{\varepsilon}} \subset \text{int } G \subset G$;\hspace{8mm} $m(G) - m(G_{\varepsilon}) < \varepsilon$;
232 |
233 | 2) $G \subset \overline{G} \subset \text{int } G^{\varepsilon} \subset G^{\varepsilon}$; \hspace{7mm} $m(G^{\varepsilon}) - m(G) < \varepsilon$.
234 |
235 | \noindent \textbf{Доказательство:}
236 |
237 | 1) $G = Q_1 \cup Q_2 \cup \ldots \cup Q_k$.
238 |
239 | Рассмотрим отдельную клетку $Q = [a_1, b_1) \times [a_2, b_2) \times \ldots \times [a_m, b_m)$
240 |
241 | \begin{figure}[h!]
242 | \centering
243 | \includegraphics[scale=0.6]{Пред4.jpg}
244 | \caption*{Случай при $m$ = 2}
245 | \end{figure}
246 |
247 | $m(Q_a) = \prod\limits_{j = 1}^m (b_j - a_j - 2a)$, $Q_a \subset Q$.
248 |
249 | $S_j = \prod\limits_{\substack{i = 1,\\ i \neq j}}^m (b_j - a_j)$;
250 |
251 | Тогда
252 |
253 | $m(Q) < m(Q_a) + 2a\cdot\sum\limits_{j = 1}^m S_j = m(Q_a) + 2aS \Rightarrow m(Q) - m(Q_a) < 2aS = \varepsilon$.
254 |
255 | Тогда для одной клетки $a = \frac{\varepsilon}{2S}$.
256 |
257 | Так как $G = Q_1 \cup Q_2 \cup \ldots \cup Q_k$, то $a = \frac{\varepsilon}{2Sk}$.
258 |
259 | Получаем $G_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{i = 1}^k (Q_a)_i$.
260 |
261 | Таким образом, $G_{\varepsilon} \subset \overline{G_{\varepsilon}} \subset \text{int } G \subset G$.
262 |
263 | \vspace{3mm}
264 | 2) Доказывается аналогично 1).
265 |
266 |
267 |
268 |
269 |
270 | \subsection*{Определение измеримости по Жордану множества в $m$-мерном евклидовом пространстве.}
271 | \noindent \textbf{Определение:} множество $X \subset \mathbb{E}^m$ называется измеримым по Жордану, если $\forall \varepsilon > 0 \text{ }\exists G_{\varepsilon}$ и $G^{\varepsilon}$ - клеточные множества такие, что $G_{\varepsilon} \subset X \subset G^{\varepsilon}$ и $m(G^{\varepsilon}) - m(G_{\varepsilon}) < \varepsilon$.
272 |
273 | \vspace{3mm}
274 |
275 | \noindent \textbf{Определение:} мерой измеримого по Жордану множества $X \subset \mathbb{E}^m$ называется такое число $m(X)$, что $\forall G_{\varepsilon},\text{ } G^{\varepsilon}$ таких, что $G_{\varepsilon} \subset X \subset G^{\varepsilon} \longmapsto m(G_{\varepsilon}) \leqslant m(X) \leqslant m(G^{\varepsilon})$.
276 |
277 | \vspace{3mm}
278 |
279 | \noindent \textbf{Лемма:} для любого измеримого по Жордану множества $X$ его мера $m(X)$ существует и единственна, причем
280 |
281 | \begin{equation*}
282 | m(X) = \overline{m}(X) = \underline{m}(X),
283 | \end{equation*}
284 |
285 | \noindent где $\overline{m}(X) = \inf\limits_{X \subset G^{\varepsilon}} m(G^{\varepsilon})$ - верхняя (внешняя) мера $X$;
286 |
287 | \noindent $\underline{m}(X) = \sup\limits_{X \subset G_{\varepsilon}} m(G_{\varepsilon})$ - нижняя (внутренняя) мера $X$.
288 |
289 | \noindent \textbf{Доказательство:}
290 |
291 | Так как $G_{\varepsilon} \subset X \subset G^{\varepsilon}$, то $m(G_{\varepsilon}) \leqslant m(G^{\varepsilon}) \Rightarrow$ $\{m(G_{\varepsilon})\}$ ограничена сверху $\Rightarrow$
292 |
293 | $\Rightarrow$ $\exists \beta = \sup\limits_{G_{\varepsilon}} m(G_{\varepsilon}) = \underline{m}(X)$.
294 |
295 | Аналогично:
296 |
297 | $\{m(G^{\varepsilon})\}$ ограничена снизу $\Rightarrow$ $\exists \alpha = \inf\limits_{G^{\varepsilon}} m(G^{\varepsilon}) = \overline{m}(X)$.
298 |
299 | \vspace{3mm}
300 |
301 | По теореме об отделимости множеств:
302 |
303 | $m(G_{\varepsilon}) \leqslant \alpha \leqslant \beta \leqslant m(G^{\varepsilon})$.
304 |
305 | \vspace{3mm}
306 | Пусть $m(X) = \alpha$.
307 |
308 | $\forall \varepsilon > 0$ $\longmapsto$ $0 \leqslant \beta - \alpha \leqslant m(G^{\varepsilon}) - m(G_{\varepsilon}) < \varepsilon$.
309 |
310 | Откуда $\beta = \alpha$ $\Rightarrow m(X)$ единственна.
311 |
312 |
313 | \vspace{3mm}
314 |
315 | \noindent \textbf{Предложение 5:} пусть множество $X$ измеримо по Жордану и $\forall \varepsilon > 0$ $\exists G^{\varepsilon}$: $X \subset G^{\varepsilon}$, $m(G^{\varepsilon}) < \varepsilon$. Тогда $m(X) = 0$.
316 |
317 | \noindent \textbf{Доказательство:}
318 |
319 | Возьмем $G_{\varepsilon} = \varnothing$. Тогда:
320 |
321 | $\forall \varepsilon > 0 \longmapsto G_{\varepsilon} \subset X \subset G^{\varepsilon} \text{ } \& \text{ } m(G^{\varepsilon}) - m(G_{\varepsilon}) = m(G^{\varepsilon}) < \varepsilon \text{ } \Rightarrow$
322 |
323 | $\Rightarrow 0 \leqslant m(X) < \varepsilon \text{ } \Rightarrow m(X) = 0$.
324 |
325 | \vspace{3mm}
326 |
327 | \noindent \textbf{Замечание:} измеримое по Жордану множество, обладающее свойством из предыдущего предложения, будем называть множеством меры нуль.
328 |
329 | \vspace{3mm}
330 |
331 | \noindent \textbf{Предложение 6:} подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.
332 |
333 | \noindent \textbf{Доказательство:}
334 |
335 | Пусть $m(X) = 0$ и $Y \subset X$. Тогда $\forall \varepsilon > 0 \text{ }\exists G^{\varepsilon}: X \subset G^{\varepsilon}, m(G^{\varepsilon}) < \varepsilon$.
336 |
337 | Как следствие:
338 |
339 | $\forall \varepsilon > 0 \text{ }\exists G^{\varepsilon}: Y\subset X \subset G^{\varepsilon}, m(G^{\varepsilon}) < \varepsilon$ $\Rightarrow m(Y) = 0$.
340 |
341 | \vspace{3mm}
342 |
343 | \noindent \textbf{Предложение 7:} объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.
344 |
345 | \noindent \textbf{Доказательство:}
346 |
347 | $m(X_1) = m(X_2) = 0$
348 |
349 | $\forall \varepsilon > 0 \text{ }\exists G_1^{\varepsilon}: X_1 \subset G_1^{\varepsilon}, m(G_1^{\varepsilon}) < \frac{\varepsilon}{2}$;
350 |
351 | $\hspace{16mm}\exists G_2^{\varepsilon}: X_2 \subset G_2^{\varepsilon}, m(G_2^{\varepsilon}) < \frac{\varepsilon}{2}$.
352 |
353 | Тогда $X_1 \cup X_2 \subset G_1^{\varepsilon} \cup G_2^{\varepsilon} = G^{\varepsilon}$.
354 |
355 | $m(G^{\varepsilon}) \stackrel{\text{пр.3}}{\leqslant} m(G_1^{\varepsilon}) + m(G_2^{\varepsilon}) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \Rightarrow$ $m(X_1 \cup X_2) = 0$.
356 |
357 | Далее по индукции.
358 |
359 |
360 | \subsection*{Критерий измеримости}
361 |
362 | \noindent \textbf{Теорема [Критерий измеримости]:}
363 |
364 | \begin{equation*}
365 | \left[X - \text{измеримо по Жордану}\right] \Longleftrightarrow \left[ X \text{ ограничено и } m(\partial X) = 0\right].
366 | \end{equation*}
367 |
368 | \noindent \textbf{Доказательство:}
369 |
370 | \noindent $\Longrightarrow$:
371 |
372 | \noindent $X$ - измеримо по Жордану: $\forall \varepsilon > 0$ $\exists G_{\varepsilon}, G^{\varepsilon}$: $G_{\varepsilon} \subset X \subset G^{\varepsilon}$, \\$m(G^{\varepsilon}) - m(G_{\varepsilon}) < \frac{\varepsilon}{3}$;
373 |
374 | \vspace{2mm}
375 |
376 | \noindent Из предложения 4 $\Rightarrow$ $\exists \widetilde{G}^{\varepsilon}$: $\overline{G^{\varepsilon}} \subset \text{int } \widetilde{G^{\varepsilon}} \subset \widetilde{G^{\varepsilon}}$, $m(\widetilde{G^{\varepsilon}}) - m(G^{\varepsilon}) < \frac{\varepsilon}{3}$;
377 |
378 | \noindent $\exists \widetilde{G_{\varepsilon}}$: $\overline{\widetilde{G_{\varepsilon}}} \subset \text{int } G_{\varepsilon} \subset G_{\varepsilon}$, $m(G_{\varepsilon}) - m(\widetilde{G_{\varepsilon}}) < \frac{\varepsilon}{3}$.
379 |
380 | \vspace{2mm}
381 |
382 | \noindent Тогда:
383 |
384 | \noindent $m(\widetilde{G^{\varepsilon}}) - m(\widetilde{G_{\varepsilon}}) = m(\widetilde{G^{\varepsilon}}) - m(G^{\varepsilon}) + m(G^{\varepsilon}) - m(G_{\varepsilon}) + m(G_{\varepsilon}) - m(\widetilde{G_{\varepsilon}}) < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$.
385 |
386 | \vspace{2mm}
387 |
388 | \noindent $\widetilde{G_{\varepsilon}}$ не содержит точки $\partial X$, а $\widetilde{G^{\varepsilon}}$ содержит их все, откуда:
389 |
390 | \noindent $\widetilde{G^{\varepsilon}} \backslash \widetilde{G_{\varepsilon}}$ - клеточное множество и $\partial X \subset \widetilde{G^{\varepsilon}} \backslash \widetilde{G_{\varepsilon}}$
391 |
392 | \noindent $m(\widetilde{G^{\varepsilon}} \backslash \widetilde{G_{\varepsilon}}) = m(\widetilde{G^{\varepsilon}}) - m(\widetilde{G_{\varepsilon}}) < \varepsilon$ $\Rightarrow$ $m(\partial X) = 0$.
393 |
394 |
395 | \noindent $\Longleftarrow$:
396 |
397 | \noindent $X$ - ограничено $\Rightarrow$ $\exists Q$ - клетка: $X \subset Q$;
398 |
399 | \vspace{2mm}
400 |
401 | \noindent $\left[m(\partial X) = 0\right] \stackrel{\text{def}}{=} \left[\forall \varepsilon > 0 \text{ } \exists G^{\varepsilon}: \partial X \subset G^{\varepsilon}, m(G^{\varepsilon}) < \varepsilon\right]$
402 |
403 | \vspace{2mm}
404 |
405 | \noindent $Q \backslash G^{\varepsilon}$ - клеточное множество $\Rightarrow$ $ Q \backslash G^{\varepsilon} = \bigcup\limits_{j = 1}^k Q_j$, \hspace{7mm} где $Q_j$ не содержат точек $\partial X$.
406 |
407 | \begin{wrapfigure}{R}{0.35\textwidth}
408 | \includegraphics[scale=0.25]{Q(Клет).jpg}
409 | \end{wrapfigure}
410 |
411 | \noindent Тогда есть два варианта:
412 |
413 | \noindent $\left[Q_j \subset X\right]$ либо $\left[Q_j \cap X = \varnothing\right]$
414 |
415 | \vspace{2mm}
416 |
417 | \noindent Пусть без потери общности $Q_1, Q_2, \ldots, Q_l$: $\text{} Q_j \subset X$, $j = \overline{1,l}$;
418 |
419 | \noindent $Q_{l+1}, Q_{l+2}, \ldots, Q_k:\text{ } Q_j \cap X = \varnothing$, $j = \overline{l+1,k}$;
420 |
421 |
422 | \begin{equation*}
423 | \widetilde{G_{\varepsilon}} = \bigcup\limits_{j = 1}^l Q_j, \hspace{5mm} \widetilde{G^{\varepsilon}} = \widetilde{G_{\varepsilon}} \cup G^{\varepsilon} = Q \backslash \left(\bigcup\limits_{j = l + 1}^k Q_j\right)
424 | \end{equation*}
425 |
426 |
427 | \noindent $\widetilde{G_{\varepsilon}} \subset X \subset \widetilde{G^{\varepsilon}}$
428 |
429 | \noindent $m(G^{\varepsilon}) = m(\widetilde{G^{\varepsilon}}) - m(\widetilde{G_{\varepsilon}}) < \varepsilon \Rightarrow$ $X$ измеримо по Жордану.
430 |
431 | \subsection*{Примеры неизмеримых по Жордану множеств}
432 |
433 | \noindent \boxed{1} $X = \{x \in [0, 1]: x \in \mathbb{Q}\}, \text{ }X \subset \mathbb{E}^1$.
434 |
435 | $\partial X = [0,1] \Rightarrow m(\partial X) = 1 \neq 0$ $\Rightarrow X$ неизмеримо.
436 |
437 | \vspace{5mm}
438 | \noindent \boxed{2} $Y = X\times X$, где $X$ из \boxed{1}.
439 |
440 | $\partial Y = [0,1]\times [0,1] \Rightarrow$ $m(\partial Y) = 1 \neq 0$ $\Rightarrow Y$ неизмеримо.
441 |
442 | \vspace{5mm}
443 | \noindent \boxed{3} $X$ из \boxed{1}. $X = \{a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots\}$, $0 \leqslant a_j \leqslant 1$
444 |
445 | Пусть $B = \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty} \left(a_j - \frac{\varepsilon}{2^j}; a_j + \frac{\varepsilon}{2^j}\right)$, $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$.
446 |
447 | $B$ открыто как объединение открытых множеств.
448 |
449 | Обозначим $B_k = \bigcup\limits_{j = 1}^k \left(a_j - \frac{\varepsilon}{2^j}; a_j + \frac{\varepsilon}{2^j}\right)$
450 |
451 |
452 | $m(B_k) \leqslant \sum\limits_{j = 1}^k \frac{\varepsilon}{2^{j-1}} = \varepsilon \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^{k-1}}\right) = \varepsilon \frac{1 - \frac{1}{2^k}}{\frac{1}{2}} = 2\varepsilon \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) < 2\varepsilon$
453 |
454 | Тогда $\underline{m}(B) \leqslant 2\varepsilon < 1$. Но $[0, 1]\subset B \Rightarrow \overline{m}(B) > 1$.
455 |
456 | То есть $\underline{m}(B) \neq \overline{m}(B) \Rightarrow$ $B$ неизмеримо.
457 |
458 |
459 | \subsection*{Измеримость объединения, пересечения и разности измеримых множеств}
460 |
461 | $\textbf{1}^\circ$ Если $X_1$ и $X_2$ измеримы по Жордану, то $X_1 \cup X_2$, $X_1 \cap X_2$, $X_1 \backslash X_2$ - измеримые по Жордану множества.
462 |
463 | \noindent \textbf{Доказательство:}
464 |
465 | $X_1$ и $X_2$ измеримы по Жордану $\Rightarrow$ $X_1$ и $X_2$ ограничены и $m(\partial X_1) = m(\partial X_2) = 0$. Тогда и $m(\partial X_1 \cup \partial X_2) = 0$.
466 | \vspace{3mm}
467 |
468 | \noindent $\underbrace{\partial (X_1 \cup X_2) \subset \partial X_1 \cup \partial X_2;\text{ } \partial (X_1 \cap X_2) \subset \partial X_1 \cup \partial X_2;\text{ } \partial (X_1 \backslash X_2) \subset \partial X_1 \cup \partial X_2}_{\Downarrow}$
469 |
470 | $m(\partial (X_1 \cup X_2)) = m(\partial (X_1 \cap X_2)) = m(\partial (X_1 \backslash X_2)) = 0 \Rightarrow$
471 |
472 | \vspace{2mm}
473 | \noindent $\Rightarrow X_1 \cup X_2, X_1 \cap X_2$ и $ X_1 \backslash X_2$ измеримы.
474 |
475 |
476 | \subsection*{Конечная аддитивность меры Жордана}
477 |
478 | $\textbf{2}^\circ$ Пусть $X_1, X_2, \ldots, X_k$ - измеримые по Жордану множества, тогда множество $X = \bigcup\limits_{j = 1}^k X_j$ измеримо и:
479 |
480 | 1) $m(X) \leqslant \sum\limits_{j = 1}^k m(X_j)$;
481 |
482 | 2) Если $X_j \cap X_i = \varnothing$ при $i \neq j$, то $m(X) = \sum\limits_{j = 1}^k m(X_j)$.
483 |
484 | \noindent \textbf{Доказательство:} (для $k = 2$, а дальше по индукции)
485 |
486 | \vspace{2mm}
487 |
488 | 1) $X_1$ и $X_2$ измеримы по Жордану $\Rightarrow X = X_1 \cup X_2$ измеримо.
489 |
490 | $\forall \varepsilon > 0$ $\exists G_1^{\varepsilon}, G_2^{\varepsilon}$: $X_1 \subset G_1^{\varepsilon}$, $X_2 \subset G_2^{\varepsilon}$ и:
491 |
492 | $m(X_1) > m(G_1^{\varepsilon}) - \frac{\varepsilon}{2}$
493 |
494 | $m(X_2) > m(G_2^{\varepsilon}) - \frac{\varepsilon}{2}$
495 |
496 | \vspace{2mm}
497 |
498 | Тогда $G^{\varepsilon} = G_1^{\varepsilon} \cup G_2^{\varepsilon}$ - клеточное множество и $X \subset G^{\varepsilon}$.
499 |
500 | Получаем:
501 |
502 | $m(X) \leqslant m(G^{\varepsilon}) \leqslant m(G_1^{\varepsilon}) + m(G_2^{\varepsilon}) < m(X_1) + m(X_2) + \varepsilon$.
503 |
504 | \vspace{2mm}
505 |
506 | В силу произвольности $\varepsilon \Rightarrow$ $m(X) \leqslant m(X_1) + m(X_2) \hspace{42mm} \boxed{*}$
507 |
508 | \vspace{5mm}
509 | 2) $X_1 \cap X_2 = \varnothing$, $X = X_1 \cup X_2$
510 |
511 | $\forall \varepsilon > 0$ $\exists G_{\varepsilon}^1, G_{\varepsilon}^2$: $G_{\varepsilon}^1 \subset X_1$, $G_{\varepsilon}^2 \subset X_2$ и:
512 |
513 | $m(G_{\varepsilon}^1) > m(X_1) - \frac{\varepsilon}{2}$
514 |
515 | $m(G_{\varepsilon}^2) > m(X_2) - \frac{\varepsilon}{2}$
516 |
517 | \vspace{2mm}
518 |
519 | $G_{\varepsilon} = G_{\varepsilon}^1 \cup G_{\varepsilon}^2$ и $G_{\varepsilon}^1 \cap G_{\varepsilon}^2 = \varnothing$, а также $G_{\varepsilon}^1 \cup G_{\varepsilon}^2 \subset X$.
520 |
521 | \vspace{2mm}
522 |
523 | Тогда $m(X) \geqslant m(G_{\varepsilon}) = m(G_{\varepsilon}^1) + m(G_{\varepsilon}^2) > m(X_1) + m(X_2) - \varepsilon$.
524 |
525 | \vspace{2mm}
526 |
527 | В силу произвольности $\varepsilon > 0$ получаем $m(X) \geqslant m(X_1) + m(X_2) \hspace{16mm} \boxed{**}$
528 |
529 | \vspace{2mm}
530 |
531 | Из $\boxed{*}$ и $\boxed{**}$ $\Rightarrow$ $m(X) = m(X_1) + m(X_2)$
532 |
533 | \subsection*{Измеримость и мера цилиндра в (m+1)-мерном пространстве}
534 |
535 | \noindent \textbf{Предложение:} пусть $X \subset \mathbb{E}^m$, $m \geqslant 1$, - измеримо, тогда множество $Y = X\times [a, b) \subset \mathbb{E}^{m + 1}$ - измеримо. $m(Y) = m(X)(b - a)$.
536 |
537 | \noindent \textbf{Доказательство:}
538 |
539 | \noindent $\left[X \text{ измеримо}\right] \stackrel{\text{def}}{=} \left[\forall \varepsilon > 0\text{ }\exists G_{\varepsilon}, G^{\varepsilon}: G_{\varepsilon}\subset X\subset G^{\varepsilon}, \text{ } m(G^{\varepsilon}) - m(G_{\varepsilon}) < \frac{\varepsilon}{b - a}\right]$.
540 |
541 | \vspace{2mm}
542 |
543 | \noindent Рассмотрим клеточные множества:
544 |
545 | \noindent $\widetilde{G_{\varepsilon}} = G_{\varepsilon}\times [a, b)$ и $\widetilde{G^{\varepsilon}} = G^{\varepsilon}\times [a, b)$;
546 |
547 | \vspace{2mm}
548 |
549 | \noindent Тогда $\widetilde{G_{\varepsilon}} \subset Y \subset \widetilde{G^{\varepsilon}}$, а $m(\widetilde{G_{\varepsilon}}) = m(G_{\varepsilon})(b-a)$ и $m(\widetilde{G^{\varepsilon}}) = m(G^{\varepsilon})(b-a)$;
550 |
551 | \noindent Получаем:
552 |
553 | \noindent $m(\widetilde{G^{\varepsilon}}) - m(\widetilde{G_{\varepsilon}}) = (m(G^{\varepsilon}) - m(G_{\varepsilon}))(b-a) < \frac{\varepsilon}{b-a}(b-a) = \varepsilon$ $\Rightarrow Y$ измеримо.
554 |
555 |
556 | \end{document}
--------------------------------------------------------------------------------
/source/10.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} % тип документа
2 |
3 | % Русский язык
4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
7 |
8 | \usepackage{graphicx} % импорт изображений
9 | \usepackage{wrapfig} % обтекаемые изображения
10 | \graphicspath{{pictures/}} % обращение к подкаталогу с изображениями
11 | \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
12 | \usepackage{amsfonts} % буквы с двойными штрихами
13 | \usepackage[warn]{mathtext} % русский язык в формулах
14 | \usepackage{indentfirst} % indent first
15 | \usepackage[margin = 25mm]{geometry}% отступы полей
16 | \usepackage{amsmath} % можно выводить фигурные скобочки -- делать системы уравнений
17 | \usepackage[table,xcdraw]{xcolor} % таблицы
18 | \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % Математика
19 | \usepackage{wasysym} % ???
20 | \usepackage{upgreek} % ???
21 |
22 | \usepackage{gensymb} % degree symbol
23 | \usepackage{mathrsfs}
24 |
25 | %Заговолок
26 | \author{Артамонов Кирилл}
27 | \title{Билет 10.}
28 | \date{\today}
29 |
30 |
31 | \begin{document} % начало документа
32 |
33 | \maketitle
34 | \newpage
35 |
36 | \section*{Билет 10.}
37 | \subsection*{Понятия функциональных последовательностей и рядов }
38 | \noindent \textbf{Определение}[функциональная последовательность]:\newline
39 | Пусть $X \subset \mathds{R}$ --- произвольное множество. \newline
40 | \hspace*{5mm}$\forall n \in \mathds{N} \leftrightarrow y = f_n(x), x \in X$ \newline
41 | Множество занумерованных функций $f_1, f_2 \dots f_n \dots $ называют функциональной последовательностью, где \newline
42 | \hspace*{50mm}$f_n$ --- член последовательности \newline
43 | \hspace*{50mm} $X$ --- область определения
44 | \newline\newline
45 | \noindent \textbf{Определение}[функциональный ряд]:\newline
46 | сумма $${\sum_{k = 1}^{\infty}} f_k(x) = f_1(x) + \dots + f_n(x) + \dots$$ \newline членов функциональной последовательности $\{f_n(x)\}_{k=1}^\infty$ называется функциональным рядом.
47 | \newline
48 |
49 | \noindent \textbf{Замечание:} изучение функциональных рядов эквивалентно изучению функциональных последовательностей:\newline
50 | \begin{enumerate}
51 | \item Каждому функциональному ряду $${\sum_{k = 1}^{\infty}}f_k(x)$$ соответствует функциональная последовательность его частичных сумм $$\{S_n(x) = \sum_{k = 1}^{n}f_k(x)\}_{n=1}^\infty$$
52 | \item Каждой функциональной последовательности $\{S_n(x)\}_{k=1}^\infty$ соответствует функциональный ряд с членами $f_1(x) = S_1(x)$, $f_2(x) = S_2(x) - S_1(x)$ \dots, $f_n(x) = S_n(x) - S_{n-1}(x)$, \dots
53 |
54 | \end{enumerate}
55 |
56 | \noindent \textbf{Примеры:}
57 | \begin{enumerate}
58 |
59 | \item
60 | \begin{equation*}
61 | f_n(x) =
62 | \begin{cases}
63 | 1-nx &\text{, $0 \leq x \leq {1 \over n}$}\\
64 | 0 &\text{, ${1\over n}< x\leq 1$}
65 | \end{cases}
66 | \end{equation*}
67 |
68 | \item
69 | $1 + \sum\limits_{k=1}^\infty {x^k \over k!} = 1 + {x\over 1!} + \cdots + {x^n \over n!} + \cdots$ \newline
70 | $S_{n+1}(x) = 1 + {x\over 1!} + \cdots + {x^n \over n!}$ \newline
71 |
72 | $S_{n+1}(x)$ отличается от $e^x$ по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа на $R_{n+1}(x)= {e^{\theta x}\over {(n+1)!}} x^{n+1}$, $0 < \theta < 1$
73 | \end{enumerate}
74 |
75 | \subsection*{Сходимость функциональных рядов и последовательностей в точке и на множестве }
76 |
77 | \noindent \textbf{Определение}[сходимость в точке]:\newlineЗафиксируем точку $x_0 \in X$ и рассмотрим числовую последовательность $\{f_n(x_0)\}_{k=1}^\infty$. Если указанная последовательность сходится, то функциональную последовательность $\{f_n(x)\}_{k=1}^\infty$ называют сходящейся в точке $x_0$. \newline \newline
78 | \noindent \textbf{Замечание:} аналогичное верно и для функциональных рядов: Если числовой ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x_0)$ сходится, то функциональный ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$ называют сходящимся в точке $x_0$. \newline
79 |
80 | \noindent \textbf{Определение}[область сходимости]:\newline
81 | Множество точек в которых сходится функциональная последовательность (или функциональный ряд) называют областью сходимости функциональной последовательности (функционального ряда). \newline
82 |
83 | \noindent \textbf{Замечание:} область сходимости функциональной последовательности(ряда) может совпадать с его областью определения $X$, составлять его части или быть $\varnothing$. \newline
84 |
85 | \noindent \textbf{Определение}[предельная функция]:\newline
86 | Пусть $\widetilde{X} \subset X$ --- область сходимости функциональной последовательности $\{f_n(x)\}_{k=1}^\infty$, совокупность пределов, взятых в точке $x\in \widetilde{X}$ определяет на $\widetilde{X}$ функцию $y = f(x)$. Эта функция называется предельной функцией $y = f(x) $ функциональной последовательности. \newline
87 |
88 | \noindent \textbf{Определение}[сумма ряда]:\newline
89 | Пусть $\widetilde{X} \subset X$ --- область сходимости функционального ряда $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x_0)$, совокупность пределов, взятых в точке $x\in \widetilde{X}$ определяет на $\widetilde{X}$ функцию $y = S(x)$. Эта функция называется суммой ряда $y = S(x) $ функциональной последовательности.
90 |
91 |
92 | \subsection{Понятие равномерной сходимости на множестве}
93 |
94 | \noindent \textbf{Определение}[равномерная сходимость функциональной последовательности]:\newline
95 | Функциональная последовательность $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ сходится равномерно к функции $y=f(x)$ на множестве $X$ если: \newline \newline
96 |
97 | $\forall \varepsilon > 0 $ $\exists N = N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N$ $\&$ $\forall x \in X$ $\longmapsto$ $|f_n(x) -f(x)| < \varepsilon$
98 | \newline \newline
99 | \hspace*{5mm} \noindent \textbf{(-):} $\exists \varepsilon_0>0:$ $\forall n$ $\exists n_0 \geq n$ $\&$ $\exists x_n \in X:$ $|f_{n_0}(x_n)-f(x_n)| \geq \varepsilon_0$
100 | \newline \newline
101 | \noindent \textbf{Обозначение:} $f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$
102 |
103 | \noindent \textbf{Примеры:} \newline
104 | 1.
105 | \begin{equation*}
106 | f_n(x) =
107 | \begin{cases}
108 | 1-nx &\text{, $0 \leq x \leq {1 \over n}$}\\
109 | 0 &\text{, ${1\over n}< x\leq 1$}
110 | \end{cases}
111 | \end{equation*}
112 |
113 | \begin{equation*}
114 | f(x) =
115 | \begin{cases}
116 | 0 &\text{, $0 \leq x < {1}$}\\
117 | 1 &\text{, $x=1$}
118 | \end{cases}
119 | \end{equation*}
120 |
121 |
122 |
123 | $\forall \varepsilon > 0$ $\exists n_0 = n$ $\&$ $x_n = {1\over 2n}:$ \newline
124 | \hspace*{40 mm}$f(x_n) = 0$, $f_n(x_n) = {1\over2}$ \newline
125 | \hspace*{40 mm}$|f_n(x_n) - f(x_n)| = \varepsilon_0$
126 |
127 | \noindent 2.
128 | \begin{equation*}
129 | f_n(x) =
130 | \begin{cases}
131 | 1-nx &\text{, $\delta \leq x \leq {1 \over n}$}\\
132 | 0 &\text{, ${1\over n}< x\leq 1$}
133 | \end{cases}
134 | \end{equation*}
135 | Для заданного $\delta > 0$ $\exists N$ $\longmapsto$ \newline
136 | \hspace*{40 mm} $f_n(x) \equiv 0$ на $[\delta, 1]$ \newline
137 | \hspace*{40 mm} $f(x) \equiv 0$ на $[\delta, 1]$ \newline
138 | Тогда $f_n(x) \overset{x \in [\delta;1]}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} 0$
139 |
140 |
141 |
142 | \noindent \textbf{Замечания:}\newline
143 |
144 | \begin{enumerate}
145 | \item $N$ в определении не зависит от $x$, а только от $\varepsilon$. Один номер для всех $x \in X$ одновременно.
146 |
147 | \item Из сходимости функциональной последовательности $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ в каждой точке $x \in X$ НЕ следует равномерная сходимость на $X$.
148 |
149 | \end{enumerate}
150 |
151 | \noindent \textbf{Замечание:} Если $f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$, то
152 | $f_n(x) \overset{x \in X^/}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$, где $X^/ \subset X$.
153 |
154 | \\[5 mm]
155 | \begin{equation*}
156 | f_n(x) =
157 | \begin{cases}
158 | 1-nx &\text{, $\delta \leq x \leq {1 \over n}$}\\
159 | 0 &\text{, ${1\over n}< x\leq 1$}
160 | \end{cases}
161 | \end{equation*}
162 |
163 |
164 |
165 |
166 |
167 | \noindent \textbf{Определение}[равномерная сходимость функционального ряда]:\newline
168 | Функциональный ряд $$\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$$ равномерно сходится к $S(x)$ на множестве $X$ , если $S_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} S(x)$
169 |
170 | \subsection{Критерий Коши равномерной сходимости}
171 |
172 | \noindent \textbf{Теорема}[критерий Коши для функциональной последовательности]: \newline
173 | Функциональная последовательность $f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$ сходится тогда или только тогда, когда выполнено условие Коши
174 | равномерной сходимости функциональной последовательности: \newline
175 |
176 | \hspace*{5mm}$\big[\forall \varepsilon > 0 $ $\exists N = N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N$ $\&$ $\forall p \in \mathds{N}$ $\forall x \in X$ $\longmapsto$ \newline
177 | \hspace*{50mm}$|f_{n+p}(x) -f_n(x)| < \varepsilon\big]$
178 |
179 | \noindent \textbf{Доказательство:} \newline
180 |
181 | 1. \textit{Необходимость $\Rightarrow$:} \newline
182 |
183 | \noindent $f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$
184 | \newline \newline
185 | Тогда: \newline
186 | \hspace*{5mm}$\forall \varepsilon > 0$ $\exists N = N(\varepsilon)$:
187 | $\forall n \geq N$ $\&$ $x \in X$ $\longmapsto$ $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon / 2$ \newline
188 | Тогда и
189 | \newline
190 | \hspace*{5mm}$\forall p \in \mathds{N}$ $|f_{n+p}(x) - f(x)| < \varepsilon / 2$
191 | \newline \newline
192 | Воспользуемся правилом треугольника: \newline \newline
193 | $|f_{n+p}(x) - f_n(x)| \leq |f_{n+p}(x) - f(x)| + |f_n(x) - f(x)| < {\varepsilon \over 2} + {\varepsilon \over 2} = \varepsilon$
194 | \noindent \newline \newline
195 |
196 | 2. \textit{Достаточность $\Leftarrow$:} \newline
197 |
198 | \hspace*{5mm}$\big[\forall \varepsilon > 0 $ $\exists N = N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N$ $\&$ $\forall p \in \mathds{N}$ $\&$ $\forall x \in X$ $\longmapsto$ \newline
199 | \hspace*{50mm}$|f_{n+p}(x) -f_n(x)| < \varepsilon\big]$
200 | \newline \newline
201 | Зафиксируем $x \in X$, тогда $\exists f(x)$ --- предельное значение последовательности $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$. \newline \newline
202 | Тогда $f_{n+p}(x) \underset{n \longrightarrow \infty}{\longrightarrow} f(x)$ \newline \newline
203 | В неравенстве перейдем к предельному при $p \longrightarrow \infty$:\newline
204 | \hspace*{20mm}$\forall n \geq N$ $\&$ $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $|f_n(x) - f(x)| \leq {\varepsilon \over 2} < \varepsilon$
205 | \newline \newline
206 | Тогда получим, что $f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$ по определнию.
207 | \newline \newline
208 |
209 | \noindent \textbf{Теорема}[критерий Коши для функционального ряда]: \newline
210 | Ряд $$\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} S(x)$$ тогда и только тогда, когда выполнено условие Коши:
211 | \newline
212 |
213 | \hspace*{5mm}$\big[\forall \varepsilon > 0 $ $\exists N = N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N \& $ $\forall p \in \mathds{N} \&$ $\forall x \in X$ $\longmapsto$ \newline
214 | \hspace*{50mm}$$|\sum_{k = n+1}^{n+p}f_k(x)| < \varepsilon\big]$$
215 |
216 | \noindent \textbf{Замечание:} критерий Коши для функциональных рядов следует из критерия Коши для функциональных последовательностей, так как: \newline
217 | $$|\sum_{k = n+1}^{n+p}| = S_{n+p}(x) - S_n(x)|$$
218 | \\[5 mm]
219 | \noindent \textbf{Отрицание условия Коши:}
220 | \newline
221 |
222 | \textit{Для функциональной последовательности:}
223 | \newline
224 | $\exists \varepsilon_0 > 0$: $\forall n$ $\exists n_0 \geq n$ $\& $ $\exists p_0 \in \mathds{N}$ $\&$ $\exists x_n \in X:$ $|f_{n_0+p_0}(x_n) - f_{n_0}(x_n)| \geq \varepsilon_0$
225 | \\[5mm]
226 | \textit{Для функционального ряда:}
227 | \newline
228 | $\exists \varepsilon_0 > 0$: $\forall n$ $\exists n_0 \geq n \text{ }\& $ $\exists x_n \in X:$ $|\sum\limits_{k = n+1}^{n+p}f_k(x)| \geq \varepsilon_0$
229 |
230 | \subsection{Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда }
231 |
232 | \noindent \textbf{Теорема 1}[$\sup$-критерий для функциональной последовательности]:\newline
233 | $f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$ тогда и только тогда, когда $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup_{X}|f_n(x)-f(x)| = 0$$
234 |
235 | \noindent \textbf{Доказательство:}
236 | \newline
237 | Обозначим $M_n = \sup\limits_{x \in X}{|f_n(x)-f(x)|}$. \newline
238 | Тогда запишем наше равенство в виде: \newline
239 | \hspace*{40mm}$\forall \varepsilon > 0$ $\exists N = N(\varepsilon):$ $\forall n \geq N \mapsto 0 \leq M_n < \varepsilon$ \newline
240 |
241 | 1. \textit{Необходимость $\Rightarrow$:} \newline
242 |
243 | $[f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)]$ $\stackrel{def}{=}$ $\big[\forall \varepsilon > 0 $ $\exists N = N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N$ $\&$ $\forall x \in X$ $\longmapsto$ $|f_n(x) -f(x)| < {\varepsilon \over 2} \big]$
244 | \\[5 mm]
245 | Отсюда, $M_n \leq {\varepsilon \over 2 } < \varepsilon$
246 | \\[ 5 mm]
247 | 2. \textit{Достаточность $\Leftarrow$:} \newline
248 | \hspace*{5mm}$\forall x \in X \longmapsto |f_n(x)-f(x)|\leq M_n$
249 | \\[ 5 mm]
250 | То есть: \newline
251 | \hspace*{20mm}$\forall \varepsilon > 0$ $\exists N = N(\varepsilon):$ $\forall n \geq N$ $\&$ $\forall x \in X$ $\longmapsto |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$ \newline
252 |
253 |
254 | \noindent \textbf{Теорема 2}[$\sup$-критерий для функционального ряда]:\newline
255 | Функциональный ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$ равномерно сходится к $S(x)$ на множестве $X$ тогда и только тогда, когда $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in X} |r_n(x)| = 0$$
256 |
257 | \noindent \textbf{Доказательство:}
258 |
259 | $$r_n(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x) - \sum_{k = 1}^{n} f_k(x)= \sum_{k = n+1}^{\infty} f_k(x)$$ \newline
260 |
261 | То есть $r_n(x)=S(x)-S_n(x)$ \newline
262 |
263 | Но $S_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} S(x)$ тогда и только тогда, когда $r_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} 0$.
264 |
265 | \noindent \textbf{Примеры:} \newline
266 | 1. $f_n(x) = nx^2e^{-nx}$, $x \in [2, +\infty) \subset X$ \newline
267 | $$\lim_{n \rightarrow \infty}{nx^2 \over e^{nx}} = 0$$ \Rightarrow $y=f(x)\equiv0$ \newline
268 |
269 | $f_n'(x) = nx(2-nx)e^{-nx} = 0$ \newline
270 | \hspace*{5mm}$x_n = { 2\over n}$ -- точка максимума, при $x > {2 \over n}$, $n>1$ \overmapsto $f'_n(x) < 0$ \Rightarrow $f_n$ убывает на $X$;
271 | \newline
272 |
273 | $$\sup_{X}f_n(x) \leq f({2\over n}) = {4\over ne^2} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 $$ \newline
274 |
275 | Отсюда, $f_n(x) \overset{x \in X}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} 0$.
276 |
277 | 2. $f_n(x) = n^2x^2e^{-nx}$, $X = (0,2)$ \newline
278 |
279 | $$\lim_{n \rightarrow \infty}{n^2x^2 \over e^{nx}} = 0$$ \Rightarrow $y=f(x)\equiv0$ \newline
280 |
281 | $f_n'(x) = n^2x(2-nx)e^{-nx} = 0$ \newline
282 |
283 | \hspace*{5mm}$x_n = { 2\over n}$, $n>1$-- точка максимума. \Rightarrow
284 |
285 | $$\sup_{X}f_n(x) = {4\over e^2} \underset{n \rightarrow \infty}{\nrightarrow} 0 $$ \newline
286 |
287 | 3. $f_n(x) = {{\ln(nx)} \over {\sqrt{nx}}}$, $X = (0,1)$ \newline
288 |
289 | $\forall n$ $\exists n_0 = n$ $\&$ $\exists p_0 = n$ $\&$ $\exists x_n = {1 \over n}$:
290 | \\[5 mm]
291 | $|f_{2n}(x_n) - f_n(x_n)| = |{\ln{2}\over{\sqrt{2}}} - {\ln{1}\over{\sqrt{1}}}| = {\ln{2}\over{\sqrt{2}}} > \varepsilon_0 = {\ln{2}\over{2\sqrt{2}}}$ \newline
292 | Отсюда, равномерной сходимости нет.
293 |
294 |
295 |
296 |
297 |
298 | \subsection{Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов}
299 |
300 | \noindent \textbf{Теорема 1:} если члены функционального ряда $$\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$$ непрерывны на $[a,b]$ и ряд сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $y = S(x)$, то сумма ряда
301 | $y = S(x)$ непрерывна на $[a,b]$.
302 | \\[5 mm]
303 | \noindent \textbf{Доказательство:} \newline
304 | $\big[S_n(x) \overset{x \in [a,b]}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} S(x)\big]\stackrel{def}{=} \big[ \forall \varepsilon > 0 $ $\exists N = N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N$ $\&$ $\forall x \in [a,b]$ $\longmapsto$ $|S_n(x) -S(x)| < {\varepsilon \over 3} \big]$
305 | \\[5 mm]
306 | Возьмем $n_0 \geq N$ $\Rightarrow$ $|S_{n_0}(x)-S(x)| < {\varepsilon \over 3}$ \\[5 mm]
307 | При $x_0 \in [a,b]$ выполняется: \newline
308 | $|S_{n_0}(x_0)-S(x_0)| < {\varepsilon \over 3}$
309 | \\[5 mm]
310 | В силу непрерывности $f_k$ на $[a,b]$, $S_{n_0}$ непрерывна на $[a,b]$, в частности в точке $x_0 \in [a,b]$, то есть: \newline
311 | $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta = \delta(\varepsilon)$: $\forall x \in [a,b]$: $|x-x_0|<\delta$ $\longmapsto$ $|S_{n_0}(x) - S_{n_0}(x_0)| < {\varepsilon \over 3}$
312 | \newline
313 |
314 | $\forall x \in [a,b]$: $|x-x_0|<\delta$ $\longmapsto$
315 | \newline \newline
316 | $|S(x) - S(x_0)| = \big| [S(x)-S_{n_0}(x)] + [S_{n_0}(x)-S_{n_0}(x_0)] + [S_{n_0}(x_0)-S(x_0)]\big| \leq |S(x)-S_{n_0}(x)| + \big| S_{n_0}(x)-S_{n_0}(x_0)\big| + \big|S_{n_0}(x_0) - S(x_0)\big| < {\varepsilon \over 3} \cdot 3 = \varepsilon$
317 | \\[5 mm]
318 | В силу произвольности выбора точки $x_0 \in [a,b]$ функция $y = S(x)$ непрерывна на $[a,b]$.
319 | \\[5 mm]
320 | \noindent \textbf{Теорема 1':} если члены функциональной последовательности $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ в каждой точке $x \in X$ непрерывны на $[a,b]$ и последовательность сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $f(x)$, то $y = f(x)$ непрерывна на $[a,b]$.
321 | \\[5 mm]
322 | \noindent \textbf{Замечание:} пусть ряд $$\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$$ удовлетворяет условиям теоремы 1 и $S(x)=\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$.
323 | \newline
324 | $$\forall x_0 \in [a,b] \longmapsto \lim_{x\rightarrow x_0} S(x) = S(x_0)$$ \newline
325 | Отсюда, $$\lim_{x\rightarrow x_0} \sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \lim_{x\rightarrow x_0}f_k(x) $$
326 |
327 | При выполнении условий теоремы 1 возможен почленный переход к пределу под знаком суммы для равномерно сходяшегося функционального ряда, члены которого есть непрерывные функции.
328 | \newline
329 |
330 | \noindent \textbf{Теорема 2:} если члены функционального ряда $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$ непрерывны на $[a,b]$ и ряд сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $y = S(x)$, то функциональный ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{x}f_k(t)dt$ также сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $y = \int\limits_{a}^{x}S(t)dt $.
331 | \\[5 mm]
332 | \noindent \textbf{Доказательство:} \newline
333 | $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$ к $y = S(x)$:
334 | \\[5 mm]
335 | $\forall \varepsilon > 0$ $\exists N = N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N$ $\& $ $\forall x \in [a,b]$ $\longmapsto$ $|S_n(x)-S(x)| < {\big\varepsilon \over \big{b-a}}$
336 | \newline
337 | По теореме 1 $S$ непрерывны на $[a,b]$, следовательно $S$ и $f_k $ --- интегрируемые функции ($\forall k$) на $[a,b]$. Обозначим:
338 | \newline
339 | $$I(x) = \int\limits_{a}^{x}S(t)dt$$ и $$I_{n}(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{x}f_k(t)dt = \int\limits_{a}^{x}[ \sum_{k = 1}^{\infty} f_k(t) ]dt = \int\limits_{a}^x S_n(t)dt$$
340 | \\[5 mm]
341 | $$|I(x)-I_n(x)| = \big|\int\limits_{a}^x[S(t)-S_n(t)]dt\big| \leq \int\limits_{a}^x|S_n(t)-S(t)|dt \leq {\varepsilon \over {b-a}} (x-a) < \varepsilon$$
342 | \\[5 mm]
343 | Итак:
344 | \newline
345 | $\forall \varepsilon > 0 $ $\exists N=N(\varepsilon)$: $\forall n \geq N$ $\&$ $\forall x \in [a,b]$ $\longmapsto |I(a)-I_n(x)| < \varepsilon$, то есть функциональный ряд $$\sum_{k = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{x}f_k(t)dt$$ сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $$\int\limits_a^xS(t)dt = \int\limits_{a}^{x}[ \sum_{k = 1}^{\infty} f_k(t) ]dt$$ и $$\sum_{k = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{x}f_k(t)dt = \int\limits_{a}^{x}[ \sum_{k = 1}^{\infty} f_k(t) ]dt$$
346 | \\[5 mm]
347 | \noindent \textbf{Теорема 2':} если члены функциональной последовательности $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ непрерывны на $[a,b]$. и $f_n(x) \overset{[a,b]}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$, то $\int\limits_a^x f_n(t)dt \overset{[a,b]}{\underset{n \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} \int\limits_a^x f(t)dt$
348 |
349 | \noindent \textbf{Замечания:}
350 | \begin{enumerate}
351 | \item В теоремах 2,2' отрезок $[a,x]$ можно заменить отрезком $[x_0,x] \subset [a,b].$
352 |
353 | \item Теоремы 2 и 2' остаются справедливыми, если функции $y=f_k(x)$ интегрируемы на $[a,b]$.
354 | \end{enumerate}
355 |
356 | \noindent \textbf{Теорема 3:} если члены функционального ряда $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$ непрерывно-дифференцируемы на $[a,b]$ и функциональный ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k'(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$, а числовой ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x_0)$ ($x_0 \in [a,b])$ сходится, то функциональный ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $y = S(x)$ и $S'(x) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k'(x)$
357 |
358 | \noindent \textbf{Доказательство:}
359 |
360 | Обозначим: $$\widetilde{S}(x)= \sum_{k = 1}^{\infty} f_k'(x)$$
361 |
362 | Из условия теорем 3 и 1 $y = \widetilde{S}(x)$ непрерывна на $[a,b]$.
363 | \\[5 mm]
364 | Ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k'(x)$ можно почленно интегрировать(по теореме 2), то есть:
365 | \\[5 mm]
366 | $$\int\limits_{x_0}^x \widetilde{S}(t)dt = \sum_{k = 1}^{\infty} \big[\int\limits_{x_0}^{x}f_k'(t)dt\big]$$. \newline
367 | Согласно теореме 2 ряд сходится равномерно на $[a,b]$.
368 |
369 | Но $\int\limits_{x_0}^{x}f_k'(t)dt = f_k(x)-f_k(x_0)$, следовательно: $$\sum_{k = 1}^{\infty} \big[\int\limits_{x_0}^{x}f_k'(t)dt\big] = \sum_{k=1}^\infty f_k(x)-\sum_{k=1}^\infty f_k(x_0)$$. \newline
370 | Ряды слева и справа равномерно-сходящиеся, а значит, $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$.
371 |
372 | $$\int\limits_{x_0}^x \widetilde{S}(t)dt = S(x)-S(x_0)$$
373 |
374 | Левая часть -- интеграл с переменным верхним пределом и его производная равна $\widetilde{S}(x)$ $\Rightarrow$ правая часть -- дифференцируемая функция и $S'(x) = \widetilde{S}(x)$, то есть
375 | $$\bigg(\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x)\bigg)' = \sum_{k = 1}^{\infty} f_k'(x)$$
376 | \newline
377 | \noindent \textbf{Замечания:}
378 | \begin{enumerate}
379 | \item По условию теоремы 3: $\widetilde{S}(x) = S'(x)$ -- непрерывная функция $\Rightarrow$ $S$ -- непрерывно-дифференцируемая на $[a,b]$.
380 |
381 | \item Теорема 3 остается справедливой, если функции $y=f_k(x)$ являются дифференцируемыми функцими.
382 | \end{enumerate}
383 |
384 | \noindent \textbf{Теорема 3':} если члены функциональной последовательности $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ являются непрерывно-дифференцируемыми функциями на $[a,b]$, числовая последовательность $\{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty$ сходится, где $x_0 \in [a,b]$; а функциональная последовательность $\{f_n'(x)\}_{n=1}^\infty$ равномерно сходится на $[a,b]$, то $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ сходится равномерно на $[a,b]$ к функции $y = f(x)$ и справедливо равенство $$f'(x)= \lim_{n\rightarrow \infty} f'_n(x) \text{, }x \in [a,b]$$.
385 |
386 | \noindent \textbf{Замечение:} можно сделать важный вывод: равномерная сходимость не выводит из класса непрерывных функций, а в случае равномерной сходимости производных -- из класса непрерывно дифференцируемых функций.
387 |
388 | \subsection{Достаточные признаки сходимости функциональных рядов}
389 |
390 | \noindent \textbf{Теорема 1}[Признак Вейерштрасса]:
391 | \newline
392 | Если для функционального ряда $$\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$$ можно указать такой числовой ряд с неотрицательными членами $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k < \infty$, что $\forall k \geq k_0$ и $\forall x \in X$ выполняется: $0 \leq |f_k(x)| \leq a_k$, то функциональный ряд $$\sum_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$$ сходится абсолютно и равномерно на $X$.
393 |
394 | \noindent \textbf{Доказательство:}
395 |
396 | $$\sum_{k = 1}^{\infty}a_k < \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \text{ }\exists N_1 = N_1(\varepsilon)\text{: } \forall n \geq N_1 \text{ }\&\text{ } \forall p \in \mathds{N} \longmapsto \sum_{k = n+1}^{n+p}a_k < \varepsilon$$
397 |
398 | $$\exists N = max\{N_1, k_0\} \text{ } \Rightarrow \forall n \geq N \text{ } \& \text{ } \forall x \in X \text{ } \& \text{ } \forall p \in \mathds{N}\longmapsto$$ $$|\sum_{k = n+1}^{n+p}f_k(x)| \leq \sum_{k = n+1}^{n+p}|f_k(x)| \leq \sum_{k = n+1}^{n+p}a_k < \varepsilon$$
399 | \\[5 mm]
400 | \noindent \textbf{Следствие:} если сходится числовой ряд $$\sum_{k = 1}^{\infty}a_k$$, где $a_k = \sup\limits_{x \in X}|f_k(x)|$, то функциональный ряд $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)$ сходится абсолютно и равномерно на $X$.
401 |
402 | \noindent \textbf{Теорема 2}[Признак Дирихле]:
403 | \newline
404 | Если:
405 | \begin{enumerate}
406 | \item $$\sum_{k = 1}^{\infty} u_k(x)$$ имеет равномерно ограниченную на $X$ последовательность частичных сумм $\{S_n(x)\}_{n=1}^\infty$:
407 | \newline
408 |
409 | $\exists M > 0 \text{: } \forall x \in X \text{ }\& \text{ } \forall n \in \mathds{N} \longmapsto |S_n(x)| \leq M$
410 |
411 | \item $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} v_k(x)$ монотонна на $X$ и $v_k(x) \overset{x \in X}{\underset{k \rightarrow \infty}{\rightrightarrows}} 0$: \newline
412 | \\[5 mm]
413 | $v_k(x) \leq v_{k+1}(x) \text{ } \forall x \in X \text{} \& \text{ } \forall k$
414 | \newline
415 | $[v_k(x) \geq v_{k+1}(x)]$
416 |
417 | \end{enumerate}
418 |
419 | \hspace*{40 mm}то $\sum\limits_{k=1}^{\infty} u_k v_k$ сходится равномерно на $X$.
420 | \\[5 mm]
421 | \noindent \textbf{Теорема 2}[Признак Абеля]:
422 | Если:
423 | \begin{enumerate}
424 | \item $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(x)$ равномерно сходится на $X$.
425 |
426 | \item ${\{v_k(x)\}_{k=1}^\infty}$ равномерно ограничена и монотонна на $X$.
427 | \end{enumerate}
428 |
429 | \hspace*{40 mm}то $\sum\limits_{k=1}^{\infty} u_k v_k$ сходится равномерно на $X$.
430 |
431 | \end{document}
432 |
--------------------------------------------------------------------------------