├── 10总体和样本.md
├── 11参数估计和预测.md
├── 12线性回归分析.md
├── 13置信区间的构建.md
├── 1数据图表的使用.md
├── 2各种平均值.md
├── 3方差和数据的分散性.md
├── 4概率计算.md
├── 5条件概率和贝叶斯公式.md
├── 6随机变量和概率分布.md
├── 7离散型随机变量.md
├── 8连续性随机变量.md
├── 9多维随机变量.md
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├── 10总体和样本.docx
├── 11参数估计和预测.docx
├── 12线性回归分析.docx
├── 13置信区间的构建.docx
├── 1数据图表的使用.docx
├── 2各种平均值.docx
├── 3方差使用和数据的分散性.docx
├── 4概率计算.docx
├── 5条件概率和贝叶斯公式.docx
├── 6随机变量和概率分布.docx
├── 7离散型随机变量.docx
├── 8连续性随机变量.docx
└── 9多维随机变量.docx
/10总体和样本.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 总体和样本
2 |
3 | 相关概念
4 |
5 | * 总体
6 | 研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。
7 |
8 | * 样本
9 | 从总体中抽取的部分个体组合称为样本，样本中所含有的个体称为样品，样本中样品的个数称为样本容量。
10 |
11 | * 抽样
12 | 通过抽样，得到抽样数据，计算抽样数据的概率属性。通过样本的均值和方差来推测总体的均值和方差。当然对于样本的质量就很重要了，如果样本数据发生了偏倚，那么对总体的预测也就会造成估计错误。
13 |
14 | 如何设计样本
15 |
16 | * 确定目标总体
17 | 首先需要明确目标总体，才能从总体中抽取样本，对于目标总体是正在研究，并且打算为其采集结果的群体，说选择的目标总体很大程度上取决于研究的目的。目标总体要尽可能准确，这样更容易的得出可能代表总体的样本。
18 |
19 | * 确定抽样单位
20 | 一旦确定了目标总体，就需要确定抽取哪一类对象。通常，要抽取的对象类型就是在确定目标总体时描述的对象类型。
21 |
22 | * 确定抽样空间
23 | 在目标总体的范围中所有抽样单位编号，这样单位构成抽样空间，有时不可能得出覆盖整个目标总体的抽样空间。
24 |
25 | 对于样本数据偏倚的原因
26 | 样本有时会发生偏倚，使得最终的记过发生误差。对于产生偏倚的原因：
27 |
28 | * 抽样空间中条目不齐全，未包含目标总体中的所有对象。
29 | * 抽样单位不正确。
30 | * 为样本选择的一个个抽样单位，未出现在实际样本中。
31 | * 调查问卷问题设计不当
32 | * 样本缺乏随机性
33 |
34 | 如何选择样本
35 |
36 | * 简单随机抽样
37 | 即随机选择抽样单位并形成样本，包括重复抽样和不重复抽样，简单随机抽样具体方式包括抽签或使用随机编号生成器。
38 |
39 | * 分层抽样
40 | 即将总体划分为几组或者叫做几层，组或层中的单位相似，每一层都尽可能不一样，分好层后，对每一层进行简单随机抽样。
41 |
42 | * 整群抽样
43 | 将整体划分为几个群,其中每个群尽可能与其他群相似，可通过简单随机抽样抽取几个群,然后利用这些群的一个抽样单位形成样本。
44 |
45 | * 系统抽样
46 | 即选取一个数值K，没后每个到K的抽样单位就抽样一次。
47 |
48 | 样本对总体估计
49 |
50 | 获取样本，计算各项的统计量，通过一个样本点的统计量进行预估总体。点估计(point estimation)是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、方差和相关系数等。
51 |
52 | * 估计均值
53 | 计算样本的均值用
54 |
55 | 
56 |
57 | 其中X代表各个样本的数值，n为样本的个数，通过计算得到的均值可得到均值的点估计量
58 |
59 | 
60 |
61 | 计算样本的方差，依据方差求解的方法中，相关的公式，但是由于使用样本方差来估计总体的方法，往往时会偏小的。所以需要进行修正，修正后的公式如下：
62 |
63 | 
--------------------------------------------------------------------------------
/11参数估计和预测.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 总体和样本的估计
2 |
3 | 通过样本估计总体
4 |
5 | 即点估计量可以近似总体参数。一个总体参数的点估计量就是可用于总体参数值的某个函数或算式。
6 |
7 | * 样本均值
8 |
9 | 
10 |
11 | 由于可以用样本均值估计总体均值。
12 |
13 | * 估计总体的均值
14 |
15 | 
16 |
17 | 估计总体的方差
18 |
19 | 样本数据的方差可能不是总体方差的最好估计办法，主要原因也就是在于：
20 | * 相比总体，样本数据中量变化少，与总体中的数据偏离均值相比，样本数据更有可能以更紧密的方式聚集在均值周围，所以需要进行修正。
21 | * 用样本方差估计总体方差会出现这样的问题：估计结果会稍微偏低。样本方差可能会略小于总体方差，差别程度取决于样本数值的大小。
22 | * 样本较小时，样本方差与总体方差的差别有可能更大。
23 |
24 | 具体的做法：通过除以 n – 1来适当的提高方差的大小。样本方差的计算方法：
25 |
26 | 
27 |
28 | **具体的推理过程**
29 |
30 | 
31 |
32 | 通过总体估计样本
33 |
34 | 也就是比例抽样分布，抽样分布，指样本估计量的分布。
35 | 以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能样本的平均数所形成的分布，
36 | 就是样本平均数的抽样分布。
37 | 无论是重复抽样还是不重复抽样，样本比例p的数学期望总是等于总体比例P。
38 | 比例的抽样分布其实是一种概率分布，由所有大小为n的可能样本的各种比例构成。如果知道这些比例的分布，就能用这个分布求出一个特定样本比例发生的概率，记为PS 分布。
39 |
40 | * 利用所有可能的样本，能得出所有样本比例的分布，该分布称为比例抽样分布。
41 | * 利用比例的抽样分布能够求出一个随机选择的，大小为n的样本的“成功比例”的概率。
42 |
43 | 比例抽样分布的期望和方差
44 |
45 | * 随机变量 * 对应的概率。
46 |
47 | 
--------------------------------------------------------------------------------
/12线性回归分析.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 线性回归
2 |
3 | 相关概念和公式
4 |
5 | * 最小二乘法
6 |
7 | 一种数学方法，可用一条最佳拟合线将一组二变量数据拟合，通过将公式为 y = ax + b的一条直线与一组数值拟合，使得误差平方和最小。
8 |
9 | 它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。
10 |
11 | * 使用说明
12 |
13 | * 使用散点图，将数据显示，可以初略的看出数据的表述意思，但这只是初略的看出，通过散点图可以绘制出一条拟合线，可以用来进行预测数据。通过这条直线来得到的数据仍然是猜测，这时可以得出直线公式：y = bx + a。
14 |
15 | * 需要求解出最佳拟合线，即将误差最小化，使用 最小二乘法
16 |
--------------------------------------------------------------------------------
/13置信区间的构建.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 置信区间的构建
2 |
3 | 仅仅依靠一个样本对总体做出的假设，如果样本出现了问题，那么就会造成错误的估计。这里提出另一种总体统计量的方法，一种考虑不确定性的方法，即 置信区间。
4 | 样本能够百分百的代表总体，对于这点没有准确的把握，原因很简单 – 用的是样本,
5 | 点估计量是有价值的，但也许存在小小的误差。
6 |
7 | * 认识置信区间
8 | 参数的估计有两种形式，点估计值给人一个明确的数量，未知参数是多少，但不能给出精度。为了弥补这种不足，提出区间估计的概念。点估计与区间估计是相互弥补，各有各的用途。
9 |
10 | 
11 | 
12 |
13 | 构建置信区间的方法
14 |
15 | 
16 | 
17 | 
18 | 
--------------------------------------------------------------------------------
/1数据图表的使用.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 数据图表的使用
2 |
3 | 1 总体
4 | 不同的图表形式，揭示出不同的数据信息。但也同时也可能误导读者，或隐藏重要的信息，通过对不同的图表进行说明，能够更好的进行展示数据。能够搞好的理解数据意义，揭示深层次的问题
5 |
6 | 2 概念及注意事项
7 |
8 | * 数据
9 | 没有意义的数字。如 1 ， 2 ，100。
10 |
11 | * 信息
12 | 赋予意义的数字，可以表示对象的某种属性特征，1米长的桌子。
13 |
14 | * 频数
15 | 表示一个特定组，或者说一个特定区间内的统计对象的数目，类似于数数。一种统计方法，用于描述一个类别中有多少个项。
16 |
17 | * 类别数据（定性数据）
18 | 数据被划分为各种类别，用以描述某类的性质户特征，因此也称为定性数据。对于类别数据不要将其理解为数字。（如甜品的种类）。
19 |
20 | * 数值数据（定量数据）
21 | 数值型数据具有数字的意义，还涉及计量或计数（如长度和时间）。
22 |
23 | 3 图标类别
24 |
25 | * 饼图
26 | * 表述意义
27 | 基本比例进行比较，每个扇形大小展示的每组数据的相对频数，通过比较能交容易的看出哪个组具有较高的频数.
28 |
29 | 
30 |
31 | * 使用场景
32 | 整体和部分的关系，各分组间的比例有较大的差异性，能够较容易的识别出。但扇形大小相似时不适用；当扇形块所占整体比例无关的百分数时，则意义不大。
33 |
34 | * 条形图
35 | * 表述意义
36 | 能够精确的表示出各类别的关系，可以分成垂直的和水平的。主要还是体现类别间的差异。
37 |
38 | 
39 |
40 | * 使用场景
41 | 进行对不同的类型的数据进行准确的比较，并可以比较不同的类别数据间的差异。
42 |
43 | * 堆积条形图
44 | * 表述意义
45 | 在一张图形上展示多批数据，每批数据也都是使用一组条形图进行标识，可以使用不同的延时来表明不同的批次的数据。
46 |
47 | 
48 |
49 | * 使用场景
50 | 需要进行准确的表示多批的数据。每批数据是不同批次数据的不同的属性。
51 |
52 | * 分段条形图
53 | * 在一张图形上展示多批数据，但是多批的数据，在一个条形图上进行形式。使用不同的颜色进行显示，对于这些的数据最好是某个数据属性的上数据。
54 |
55 | 
56 |
57 | * 使用场景
58 | 需要进行准确的表示多批的数据。每批数据可以是不同批次数据的不同的属性。但最好是相同的数据，这样更能直观的将数据信息表达。
59 |
60 | * 直方图
61 | * 表述意义
62 | 用于处理分组数据。可以用来体现不同分组间每个数据的区间。又可以体现出频数的关系。
63 |
64 | 
65 |
66 | * 使用场景
67 | 需要进行对分组数据进行展示的时候。对于分组数据中的每个区间的面积和其频数成正比。所以这里出现的一个概念有就是频数密度。
68 |
69 | * 折线图
70 | * 表述意义
71 | 可以用来体现趋势，对多批数据进行显示，每批数据使用一条线段表示。可以用折线进行基本的预测。对于折线图是由绘制出的各个点连接起来得到的。使用折线图来表示类别数据是没有意义的。
72 |
73 | 
74 |
75 | * 使用场景
76 | 需要信息基本的数据预测时。
77 |
78 | * 散点图
79 | * 表述意义
80 | 可以用来体现趋势，对多批数据进行显示，每批数据使用一条线段表示。
81 |
82 | 
83 |
84 | * 其他
85 | * 如箱线图， 雷达图等。
86 | 对于箱线图是一种用作显示一组数据分散情况资料的统计图
87 | 
88 |
89 |
90 | 4 注意
91 |
92 | * 若只有百分数而没有频数，或只有频数没有百分数，这样的图表数据需要小心。由于其无法准确的体现出数据的真实情况。
93 | * 不要使用折线图来表示类别数据，除非使用每一个类别趋势，使用基于时间的趋势。
94 |
--------------------------------------------------------------------------------
/2各种平均值.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 各种平均值
2 |
3 | 在概率统计中有各种的平均值，这些平均值在不同的情形下使用，体现数据的平均。对于均值，用来表示数据的集中趋势。均值和标准差是描述数据资料集中
4 | 趋势和离散程度的两个最重要的测度值。所以这里进行介绍3种平均值：均值-μ ， 中位数 ， 众数。
5 |
6 | 均值 μ
7 |
8 | * 计算公式： x 为一个统计值 ， n为样本数据。
9 |
10 | 
11 |
12 | $$
13 | \mu = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x}}{n}
14 | $$
15 |
16 |
17 | * 使用： 在数据非常对称，且仅显示出一种趋势时使用。
18 |
19 | 中位数
20 |
21 | * 计算方法
22 | ```
23 | 将所有数据按照升序排序,如果时奇数个数，则中位数为中间数据；
24 | 如果时偶数个数，则中位数为两个中间数值相加除以2得到的结果。
25 | ```
26 |
27 | * 使用 ：用于进行研究的对象数据中，存在异常值，导致数据不对称是，使用中位数来进行衡量数据的整体趋势。
28 |
29 | 众数
30 |
31 | * 计算方法:
32 |
33 | ```
34 | 选出具有最大频数的一个或几个数值，如果数据可以分为两组，则为每组找出一个众数。
35 | ```
36 |
37 | * 使用：针对数据可以分为多个类型时，使用众数针对每组分出不同数组。对于众数时唯一能用于类别数据的平均数类型。
38 |
39 |
40 | * 对于 markdown math
41 | * \frac{}{} - 用来表述除法
42 | * \sum_{i=1}^{n}{expr} 用来表示汇总值
43 | * \mu 表示希腊字母μ
44 |
45 |
46 |
47 |
--------------------------------------------------------------------------------
/3方差和数据的分散性.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 方差使用和数据分散性
2 |
3 | 数据间的各种距离，可达到计算数据的分散性和变异性。变异性提供了对一个分布中的数据分散开或聚集在一起的程度的数量测量。
4 | 对于均值，中位数，众数单纯的指出数据的中心，但是这样还是不够，并没有的整体的指出的数据频率的情况及稳定性。
5 |
6 | 数据分散性
7 |
8 | 全距
9 |
10 | 通过计算全局，可以获取数据的分散情况。全局值数据的分散范围，是数据的跨度。
11 |
12 | 计算的方法为：数据集中的最大值减去数据集中的最小值。
13 |
14 | 上届和下届
15 | 计最大值称为上界;最小值称为下界
16 |
17 | 异常值对全距的影响
18 |
19 | 对于将数据进行排序，在数据的两端的值中可能包含异常时，于是全距的值将会受到影响。由于全距的计算中及其的简单，所以无法很好的进行对数据的分散性进行分析（主要受异常值的影响）。
20 |
21 | 四分位距
22 |
23 | 为了消除异常值中对全距的影响，可以使用四分位距剔除异常值。四分位距的计算方法
24 | * 1 对整份数据进行排序，从小到大进行排序
25 | * 2 数据进行4等分，即每一份的数据为包含4分之一的数据
26 | * 3 求取上下四分位距的值和四分位距，求取中位数
27 |
28 | * 第一四分位数 (Q1)
29 | 又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
30 | * 第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”
31 | 等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
32 | * 第三四分位数 (Q3)
33 | 又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。
34 | * 四分位距
35 | 第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range,IQR）
36 |
37 | * 示例图：
38 |
39 | ```
40 | | 1 2 3 4 | 5 6 7 8 | 9 10 11 12 | 13 14 15 16 |
41 |
42 | Q1 Q2 Q3
43 |
44 | ```
45 | * 算法
46 | * 求解下四分位距 - 求下四分位距的位置
47 | * 1 计算 n / 4
48 | * 2 如果为整数，则取四分位距位于 n / 4 这个位置和下一个位置的中间，取两个位置上的数值的平均值，即 **下四分位距**
49 | * 3 如果 n / 4 不是整数，则向上取整，所得结果即为 **下四分位距**。
50 |
51 | * 求解上四分位距 - 上四分位距的位置
52 | * 1 首先计算 3n / 4
53 | * 2 如果为整数，则取四分位距位于 3n / 4 这个位置和下一个位置的中间，取两个位置上的数值的平均值，即 **上四分位距**
54 | * 3 如果 3n / 4 不是整数，则向上取整，所得结果即为 **上四分位距**。
55 |
56 | * 求解四分位距
57 | 上四分位距 - 下四分位距 ; 使用Q3计算得到的数减去 Q1处计算得到的数， 即Q3 – Q1 。
58 |
59 | 目前可以使用，各种编程语言下的相关库进行计算四分位距，python中使用matplotlib得到的箱线图（图中的圆点表示的是异常值）
60 | 
61 |
62 |
63 | 数据的变异性
64 |
65 | 通过数据的全距和四分位距得到数据的分散性，这样也就是可以反应出一些稳定性。但是还是不够，虽然是已经整体上对数据进行了分析，但是无法体现出数据的频率，
66 | 以及对数据变异程度的分析，数据距离数据中心的情况。
67 |
68 | 使用方差
69 | 方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量，概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在计算方差中，一个较为重要的计算量是均值（μ）
70 | 计算方法：
71 |
72 | * 1 求平均值
73 | 
74 | $$
75 | \mu = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x}}{n}
76 | $$
77 |
78 | * 2 求平均距
79 | 即各个值到均值的距离的和的平均值，每个值和均值的差计算得到的结果是可正可负的，这样会出现抵消作用，导致平均值的计算不准确。
80 |
81 | * 3 求平均距的平方和 即方差σ
82 | 针对在上述中的问题，为了消除抵消的效果，将每个值和均值的差值进行平方和的平均值，于是这样就得到了 方差 计算方法。
83 | 
84 | $$
85 | σ^2 = \frac{ \sum_{i=1}^{n}{ ( x-μ ) ^2 } }{n}
86 | $$
87 |
88 | 简化公式：
89 | $$
90 | σ^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x^2 }}{n} - μ^2
91 | $$
92 |
93 | 标准差：
94 | $$
95 | σ = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^{n}{ ( x-μ ) ^2 } }{n} }
96 | $$
97 |
98 | 计算标准分
99 | 也叫z分数，是一种具有相等单位的量数。
100 | 对于不同的数据集间的比较，如何比较它们将的稳定性，对于在这样的情况下进行比较数据是，由于数据集间的均值和标准差都不相同，需要进行一次的装换将它们转化为在相同的情况下。
101 | 它是一个抽象值，不受原始测量单位的影响，并可接受进一步的统计处理。对于标准分的计算的方法为:
102 | 
103 | $$
104 | z = \frac{x - μ}{\sigma}
105 | $$
106 |
107 | * 对于 markdown math 的相关标记：
108 | * \frac{}{} - 用来表述除法
109 | * \sum_{i=1}^{n}{expr} 用来表示汇总值
110 | * \mu 表示希腊字母μ
111 | * \sigma 表示希腊字母σ
112 | * \sqrt{} 计算平方根
113 | * n^2 计算平方
114 |
--------------------------------------------------------------------------------
/4概率计算.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 概率计算
2 |
3 | 相关概念
4 |
5 | * 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。
6 | * 随机试验：可以重复的随机现象。
7 | * 基本结果：随机现象最简单的结果，是统计中的抽样的基本单元，故也称为样本点。
8 | * 基本空间：随机现象所有基本结果的全体。
9 | * 随机事件：某些基本结果组成的集合称为随机事件。
10 | * 必然事件和不可能事件：一定会发生的时间和不可能发生的事件。
11 | * 维恩图：可以用来表示在基本空间中的事件关系的椭圆形图，较直观。
12 |
13 | * 事件的包含关系：
14 | 事件A的任意结果都在事件B中，B包含A，使用符号 A⊂B，注意开口方向。
15 | 
16 | $$
17 | A \subset B
18 | $$
19 |
20 | * 事件相等 : 事件A中的任意结果都在B中，而B中的任意结果也都在A中 A = B
21 | * 事件互斥 : 事件A和B没有相同的结果
22 |
23 | **事件的计算**
24 | * 对立事件 : 不在A中的一切基本结果称为事件A的对立事件，在事件A上加一条横线。 二者相加为1
25 | 
26 | $$
27 | \overline{x}
28 | $$
29 |
30 | * 事件A与B的并： A ∪ B
31 | * 事件A与B的交： A ∩ B
32 | * 事件A与B的差：在事件A中而不在事件B中的基本结果 B – A
33 |
34 | 事件的概率计算
35 |
36 | * P(A) = 事件A发生中的基本结果个数 / 基本空间中的所有基本结果的个数 。
37 | * 在进行求解概率的过程中 使用维恩图能够更高的进行理解。
38 | * 在计算概率中多使用到排列组合进行计算基本事件的个数，所以对于排列中应该进行
39 |
40 | 概率计算中的相关的公式
41 |
42 | 相关定理内容摘录： 概率与数理统计（茆诗松 周纪芗）
43 |
44 | * 概率计算中的相关定理和性质:
45 |
46 | * 1
47 | 
48 |
49 | * 2
50 | 
51 |
52 | * 3
53 | 
54 |
55 | * 4
56 | 
57 |
58 | * 5
59 | 
60 |
61 | * 6
62 | 
63 |
64 | * 7
65 | 
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
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/5条件概率和贝叶斯公式.md:
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1 | 5条件概率和贝叶斯公式
2 |
3 | 通过对事件的独立性的判断，可以计算条件概率；条件概率是贝叶斯公式推导的重要部分。所以对于事件的独立性判断和条件性的判断很重要的。
4 |
5 | ```
6 | Tip
7 | 1 P(AB) 即为 P(A∩B) 表示的是两个事件的交集，针对条件概率。
8 | 2 事件A的概率 P(A) 和 事件A的条件概率 P(A|B) 都是表示A的概率，这点需要明确。
9 | 3 对立事件和互斥事件: 事件A和事件B为对立事件，只有一个事件能发生P(A)+P(B)=1；对立事件，不同时发生,P(A) + P(B) < 1
10 | ```
11 | 相关内定理容摘录： 概率与数理统计（茆诗松 周纪芗）
12 |
13 | 相关概念
14 |
15 | * 事件独立性
16 | 两个事件间的独立性是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生。事件A和事件B中 P(AB) 表示的是事件A和事件B同时发生时的概率计算。
17 | 如果P(AB) = P(A)P(B)则表示 事件A和事件B是独立的,所以对于事件将的独立性的判断依据可以根据这个来。
18 |
19 | 
20 |
21 | * 贝努里实验
22 | 只有两个结果的试验。
23 |
24 | 条件概率
25 |
26 | 事件A和事件B是基本空间中的两个事件，且 P(B) > 0,在事件B已发生的条件下，事件A的发生的概率为P(A|B) 即 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
27 | 记: P(AB) = P(A∩B)
28 |
29 | 使用符号|来进行标识，对于这里的 A|B 中向后顺序表示的在那个事件的发生的条件下，表示的是在右边，即右边事件发生的条件下。
30 |
31 | * 条件概率的性质:
32 |
33 | 
34 |
35 | * 条件概率相关定理
36 | * 1 这个在推导贝叶斯公式时会使用到
37 |
38 | 
39 |
40 | * 2
41 | 
42 |
43 | * 3
44 | 
45 |
46 | 全概率公式
47 | 设A和B是任意二个事件，假如 0 < P(B) < 1 则：P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|-B)P(-B)
48 | 推导过程:
49 |
50 | 
51 |
52 | **对于全概率公式中的相关的定理**
53 |
54 | 
55 |
56 | 例
57 | 贝叶斯公式在 条件概率公式和全概率公式下进行推导，进行一次的推导的过程的说明。贝叶斯的统计学中有一个基本的工具叫贝叶斯公式、
58 | 也称为贝叶斯法则， 尽管它是一个数学公式，但其原理毋需数字也可明了。如果你看到一个人总是做一些好事，则那个人多半会是一个好人。
59 | 这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率（这里的形容很好）。
60 | **用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。**
61 |
62 | 是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。
63 |
64 | * 逆条件概率概率的方法
65 | 需要求出条件概率的情况下，且该条件概率与已知条件概率顺序相反时使用。这里提出了两个概率：条件概率和先验概率。
66 | 有两个条件概率，通过一个条件概率来求另一个条件概率的过程，期间还需要计算其他的概率代入到公式进行求解。
67 | 在期间涉及到求解条件概率的过程，期间用到先验概率，这两个概率都是表示同一个事件的概率，只是表示的是在不同的条件情形下进行的计算。
68 |
69 | * 关于贝叶斯公式（先从最基本的两个来推导）
70 | * 条件概率公式
71 |
72 | 
73 | * 使用条件概率下的 乘法公式 代入进行变换（定理1.5.1）
74 |
75 | 
76 |
77 | 代入上述的条件概率公式：
78 | P(AB) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)
79 | 通过这一步可以发现将条件概率转换了，由原来的P(A|B)换成了P(B|A),并且把先验概率的同时代入了P(A)和P(B)。
80 | 所以可以得到 P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) 在求解中重新引入了对立的条件概率，并且将两个事件的先验概率代入。
81 |
82 | * 对于P(B)使用全概率公式代入
83 |
84 | 
85 |
86 | P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B|-A)*P(-A)
87 | 于是得到贝叶斯公式,发现通过一个条件概率求解器相反的条件概率，期间需要使用P(A)即先验概率。所以通过贝叶斯公式可以用来进行验证，预测作用，针对在只知道相关条件概率和先验概率的情况进行求解。
88 | P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B|A)*P(A) + P(B|-A)*P(-A)。结合使用定理1.5.5 可以得到贝叶斯公式的一般形式
89 |
90 | 贝叶斯公式的一般形式：
91 | 
92 |
93 | 一个较为好理解的推导过程
94 | 
95 |
96 | * 对于贝叶斯公式的使用相关辅助方法
97 | 使用概率树，针对条件概率下，针对不同的条件，延伸出不同的条件分支，进行求解概率。以概率树的方式其方式和决策树很像。所以就是又有了决策树的概念在这里。
98 | * 针对贝叶斯公式中的求解针对的情况和场景：
99 | * 是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。从整个观念上来说，其有一个对先验概率的验证的作用。
100 | * 不断的用后验概率来验证先验概率
101 | * 需要求出条件概率的情况下，且该条件概率与已知条件概率顺序相反时使用。
102 |
103 | 在运用概率对某一事件进行推断之前，我们往往已经事先掌握了关于这一事件的概率，这个概率可能是主观概率或者相对概率，
104 | 这种初始的概率可以称为先验概率。如果在后续的研究中，通过抽样调查样本等消息源又获得了有关该事件的信息，我们就可以根据这些
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
110 |
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/6随机变量和概率分布.md:
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1 | 随机变量和概率分布
2 |
3 | 相关定理内容摘录： 概率与数理统计（茆诗松 周纪芗）
4 |
5 | 相关概念
6 |
7 | * 随机变量
8 | 假设一个变量在数轴上的取值依赖于随机现象的基本结果，则此变量为随机变量，可以用大写字母X，Y，Z来表示。
9 |
10 | * 离散性随机变量
11 | 如一个随机变量仅取值数轴上有限或可孤立点，则这个随机变量为**离散随机变量**
12 |
13 | * 连续随机变量
14 | 假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间（a,b）,则此随机变量为**连续随机变量**
15 |
16 | 随机变量的概率分布
17 | 对于概率分布这个概念，一个随机变量的值会对应一个概率。这所有的随机变量的值和其对一个的概率构建一个概率分布图，即得到了概率分布。
18 |
19 | * 数学期望
20 | 数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。 即 随机变量 乘以 对应的概率值的和。
21 | 数学期望 指用概率分布算得的一种加权平均，是概率论中的一个基本概念,期望指示预测结果。
22 |
23 | 
24 |
25 | $$
26 | E(x)= \sum_{i=1}^{oo}{x_i} * p_i
27 | $$
28 |
29 | * 相关定义：
30 | 
31 |
32 | 对于期望揭示 每次试验中期望得到的平均结果。但是对于单纯的使用期望值，并没有体现出期望结果的变化情况，并没有体现出期望的分散性和变异性。
33 | 对于在概率分布中引入方差的内容，以达到对试验数据更全面，正确的分析。
34 |
35 | 方差和概率分布
36 | 求期望（概率分布）的方差的方法，对于有一般的方法，也有针对特殊模型有特别的求解方法，同时还要注意区分概率分布的类型是离散型的还是连续性的。
37 |
38 | * 期望的求解公式:
39 | E(X) = ∑xP(X=x)
40 |
41 | * 对于求解方差的方法时，将上述的公式代入。
42 | Var(X) = E(x-μ)2
43 | Var(X) = ∑(x-μ)2 * P(X=x) / n
44 |
45 | * 随机变量的线性变换对应的期望和方差的求解
46 | 对随机变量进行线性变换。如随机变量X进行了线性的变化 ， 变成了 aX + b 。对于线性变换后的期望和方差的求解。
47 |
48 | 
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/7离散型随机变量.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | 离散型随机变量
2 |
3 | 相关定理内容摘录： 概率与数理统计（茆诗松 周纪芗）
4 |
5 | 相关概念
6 |
7 | * 分布列：表示概率在所有的可能发生的情况中的分布。
8 |
9 | |事件|A|B|C|D|
10 | |-|-|-|-|-|
11 | |P|0.15|0.1|0.5|0.25|
12 |
13 | A,B,C,D 分别表示四个不同的事件， P 为他们对应的概率，（0≤p≤1）对于任意一个分布列，所有概率之和为1，也可记为100%。
14 |
15 | 离散型随机变量及其分布列
16 | 离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。
17 | 离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。
18 |
19 | * 定义1
20 | 如果随机变量X只可能取有限个或至多可列个值，则称X为离散型随机变量。
21 |
22 | * 定义2
23 | 设X为离散型随机变量，它的一切可能取值为X1，X2，……，Xn，……，记P=P{X=xn},n=1,2...称上式为X的概率函数，又称为X的概率分布，简称分布。
24 | 
25 |
26 | 对于分布列有两种表示方法：线条图与直方图
27 | 
28 |
29 | 离散型随机变量的数学期望
30 |
31 | 
32 |
33 | 常用的离散型分布模型
34 |
35 | * 二项分布
36 | 进行一系列次数有限的独立试验，每一次试验或成功或失败，每一次试验的成功概率相同。主要的目: 在n次试验中能成功多少次。
37 | 设每次试验中的概率为p，q = 1 – p ；其数学期望为E = np；方差为 Var(x) = npq。当 n 很大，但p很小时，二项分布可以用泊松分布来进行替代。
38 |
39 | * 泊松分布
40 | 单个事件在给定区间内随机，独立发生，已知给定区间内事件平均发生次数或者叫发生率，且这个发生次数或发生率是有限的，主要目的：给定区间内事件发生次数。用λ表示发生率, λ表示发生率，
41 | 在特定的区间内的平均发生次数。对于泊松分布的期望 E(X) = λ ， 且Var(X) = λ
42 |
43 | * 几何分布
44 | 行一系列独立试验，每一次试验或成功或失败，每一次的成功概率相同。主要目的: 为了取得一次成功需要试验的次数。
45 | 设每次试验中的概率为p , 且 q = 1-p ;其数学期望为E = 1 / p ;方差为 Var(x) = q / p2
46 |
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/8连续性随机变量.md:
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1 | 连续型随机变量
2 |
3 | 相关定理内容摘录： 概率与数理统计（茆诗松 周纪芗）
4 |
5 | 对于随机变量并不是只有离散型的，还有连续型的随机变量，对于连续型的随机变量有着和离散型随机变量完全不同求解期望和方差的方法。
6 |
7 | 连续型随机变量是指如果随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点的随机变量。
8 | 例如，一批电子元件的寿命、实际中常遇到的测量误差等都是连续型随机变量
9 |
10 | 相关概念
11 | * 概率密度函数：通过定义数据公式发现是一个积分的操作。
12 | * 概率的值为通过概率密度函数绘制出的图形的面积。所以为了求解概率，先求解概率密度函数
13 |
14 | 对于连续型随机变量的数学定义：
15 |
16 | 
17 |
18 | * 针对的不同随机分布
19 |
20 | * 均值分布
21 | 
22 |
23 | * 指数分布
24 | 如下指数函数表示的密度函数:
25 | 
26 |
27 | * 不同随机变量函数的概率密度函数表示
28 | * 均匀分布的分布函数（概率密度函数）
29 | 
30 |
31 | * 指数函数的分布函数
32 | 
33 |
34 | 连续型随机变量的数学期望
35 | 相关定义：
36 | 
37 |
38 | * 均匀分布的数学期望
39 | 
40 |
41 | * 指数分布的数学期望
42 | 
43 |
44 | 正态分布
45 |
46 | 对于正态分布的公式还是很复杂的。概率密度函数中也是涉及均值和方差。对于实际的公式使用频率，还是直接试验绘图，得出均值和方差。
47 | 其实不就是将连续型的函数的概率分布求出，求解得出均值μ和方差σ。对于是不是符合正态分布，要通过绘图才可以看出。在得出了图形，明确为正态分布，就可以使用公式进行求解。
48 |
49 | 相关的定义：
50 | 
51 |
52 | 
53 |
54 | * 何谓正态分布
55 | 在正态分布中涉及两个变量（均值和标准差）X ~ N(μ,σ) 其中μ表示的是均值，σ表示位方差。对于正态分布呈钟形。μ指出曲线的中央位置，σ2指出分散性，这样也就意味着σ2越大，
56 | 正态分布曲线越扁平，越宽。
57 | * 求解正态概率的方法
58 | * 确定分布与范围
59 | * 使其标准化，即调整为N（0,1）的标准正态分布。
60 | 需要求解随机变量对应的概率，需要进行标准的转化。Z = X –μ/σ 对于X为随机变量，σ为标准差 ，μ为均值。
61 | * 查找概率
62 | 中心极限定理揭示：当样本量足够大时，样本均值的分布慢慢变成正态分布。
63 |
64 |
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/9多维随机变量.md:
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https://raw.githubusercontent.com/Shadow-Hunter-X/probability-statistics/45c77720dd014a5686263f16204624d869d8e99d/9多维随机变量.md
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/README.md:
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1 | # probability-statistics
2 | 概率统计笔记
3 |
4 |
5 | * [简介](README.md)
6 | * [1数据图表的使用](1数据图表的使用.md)
7 | * [2各种平均值](2各种平均值.md)
8 | * [3方差和数据的分散性](3方差和数据的分散性.md)
9 | * [4概率计算](4概率计算.md)
10 | * [5条件概率和贝叶斯公式](5条件概率和贝叶斯公式.md)
11 | * [6随机变量和概率分布](6随机变量和概率分布.md)
12 | * [7离散型随机变量](7离散型随机变量.md)
13 | * [8连续性随机变量](8连续性随机变量.md)
14 | * [10总体和样本](10总体和样本.md)
15 | * [11参数估计和预测](11参数估计和预测.md)
16 | * [12线性回归分析](12线性回归分析.md)
17 | * [13置信区间的构建](13置信区间的构建.md)
18 |
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/SUMMARY.md:
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1 | # Summary
2 |
3 | * [简介](README.md)
4 | * [1数据图表的使用](1数据图表的使用.md)
5 | * [2各种平均值](2各种平均值.md)
6 | * [3方差和数据的分散性](3方差和数据的分散性.md)
7 | * [4概率计算](4概率计算.md)
8 | * [5条件概率和贝叶斯公式](5条件概率和贝叶斯公式.md)
9 | * [6随机变量和概率分布](6随机变量和概率分布.md)
10 | * [7离散型随机变量](7离散型随机变量.md)
11 | * [8连续性随机变量](8连续性随机变量.md)
12 | * [10总体和样本](10总体和样本.md)
13 | * [11参数估计和预测](11参数估计和预测.md)
14 | * [12线性回归分析](12线性回归分析.md)
15 | * [13置信区间的构建](13置信区间的构建.md)
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/word版/1数据图表的使用.docx:
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