14 |
15 | f(x)} />
16 |
18 |
19 | )
20 | }
21 |
22 | export default SignalPlotter
23 |
--------------------------------------------------------------------------------
/components/general/AutoMath.tsx:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | import { BlockMath, InlineMath } from 'react-katex';
2 |
3 |
4 | interface AutoMathProps {
5 | text: string;
6 | }
7 |
8 | const AutoMath: React.FC{formattedQuestion}
; 19 | }; 20 | 21 | export default AutoMath -------------------------------------------------------------------------------- /components/periodic-functions/SampleAddition.tsx: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import * as React from 'react' 2 | 3 | import { Mafs, Coordinates, Plot, labelPi } from 'mafs' 4 | 5 | const SampleAddition = () => { 6 | return ( 7 |Loading...
}) => {
5 | const { ref, inView } = useInView({
6 | threshold: 0.1, // Adjust as necessary
7 | triggerOnce: true, // Render only once when in view
8 | });
9 |
10 | const DynamicComponent = dynamic(() => ComponentImport().then(mod => mod.default), {
11 | ssr: false, // Disable SSR for heavy components
12 | });
13 |
14 | return (
15 |
16 | {inView ?
18 | );
19 | };
20 |
21 | export default LazyWrapper;
22 |
--------------------------------------------------------------------------------
/README.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | ](./public/fourier-guide.png)
2 |
3 | # Fourier Guide
4 |
5 | A interactive guide to the **Fourier-Transform** on the basis of highschool knowledge.
6 |
7 | ## Authors
8 |
9 | - Tobias Steinbrecher
10 | - Florian Reinecke
11 |
12 | ## References
13 |
14 | - Theme: [Nextra](https://nextra.vercel.app/) © 2023 The Nextra Project. (MIT License)
15 | - Interactive Math Components: [Mafs](https://mafs.dev/) © 2023 Steven Petryk. (MIT License)
16 |
17 | ## License
18 |
19 | 
This 20 | work is licensed under a 21 | Creative 22 | Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. 23 | -------------------------------------------------------------------------------- /components/fourier-series/SingleSignal.tsx: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import * as React from 'react' 2 | import { Mafs, Plot, Coordinates, Text, Line } from 'mafs' 3 | const SingleSignal: React.FC = () => { 4 | return (
11 | {'T= ' + period.toFixed(1)} :{' '}
12 | {
20 | setPeriod(+event.target.value)
21 | }}
22 | />
23 |
24 |
37 | {'n = ' + n.toFixed(0)} :{' '}
38 | {
45 | setN(+event.target.value)
46 | setAk(generateAk(+event.target.value))
47 | }}
48 | />
49 |
50 |
51 | {show?
69 |
70 | )
71 | }
72 |
73 | export default FourierSeries
74 |
--------------------------------------------------------------------------------
/pages/index.en.mdx:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | import { Callout } from 'nextra-theme-docs'
2 | import MCQComponent from '../components/general/MultipleChoiceQuestion.tsx'
3 | import Image from 'next/image'
4 |
5 | # Fourier...? An introduction
6 |
7 | ---
8 |
9 |
27 |
35 |
66 | );
67 | };
68 |
69 | export default MCQComponent;
70 |
--------------------------------------------------------------------------------
/components/complex-numbers/ComplexExponentialsSum.tsx:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | import * as React from 'react'
2 | import {
3 | Mafs,
4 | Coordinates,
5 | Vector,
6 | useStopwatch,
7 | Circle,
8 | } from 'mafs'
9 |
10 | interface ComplexExponentialsSumProps {
11 | ak: Array<[number, number, number]> // [Real part, Im part, index] of the coefficients
12 | omega?: number
13 | xExtent?: any
14 | yExtent?: any
15 | width?: number
16 | height?: number
17 | vectorSize?: number
18 | slow?: number
19 | }
20 |
21 | const ComplexExponentialsSum: React.FC
38 |
61 | ))}
62 |
65 |
39 | handleOptionSelect(index,option.isCorrect)}
46 | disabled={showAnswer}
47 | />
48 |
49 |
52 |
53 |
60 | {showAnswer && (
54 |
58 |
59 | 55 | {isCorrectSelected ? (option.isCorrect ? '🎉' : ''): (option.isCorrect ? '💡' : (index === selectedOption ? '❌' : ''))} 56 |
57 | )}
49 |
52 | {'z^k \\text{ mit } k = ' + iterations.toFixed(0)} : {' '}
53 | {
60 | setIterations(+event.target.value)
61 | setPoints(generatePoints(tip, +event.target.value))
62 | }}
63 | />
64 |
65 |
40 |
43 |
74 |
44 | {'n = ' + n.toFixed(0)} :{' '}
45 | {
52 | setN(+event.target.value)
53 | setPoints(generatePoints(+event.target.value, theta))
54 | }}
55 | />
56 |
57 |
58 |
59 | {'\\theta = ' + theta.toFixed(2)} :{' '}
60 | {
68 | setTheta(+event.target.value)
69 | setPoints(generatePoints(n, +event.target.value))
70 | }}
71 | />
72 |
73 |
27 |
46 |
28 |
34 |
40 |
41 |
42 | {imNumber}
43 | {imNumberConj}
44 |
45 |
91 |
130 | )
131 | }
132 |
133 | export default QuestionAnswer
134 |
--------------------------------------------------------------------------------
/pages/index.de.mdx:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | import { Callout } from 'nextra-theme-docs'
2 | import MCQComponent from '../components/general/MultipleChoiceQuestion.tsx'
3 | import Image from 'next/image'
4 |
5 | # Fourier... ? Eine Einführung
6 |
7 | ---
8 |
9 |
92 |
98 |
114 | {result != '' ? (
115 | resultPositive ? (
116 | {question}
93 |94 | Es gibt {correctAnswerCount} korrekte{' '} 95 | {correctAnswerCount == 1 ? 'Antwort' : 'Antworten'}. 96 |
97 |{result}
117 | ) : (
118 | {result}
119 | )
120 | ) : (
121 | <>
122 | )}
123 |
124 |
129 | 13 | Dabei legen wir besonderen Wert darauf, dass keine voreiligen Annahmen getroffen werden und das Verständnis auf den Grundlagen der Schulmathematik aufbaut.
14 | Es ist von großer Bedeutung, dass du aktiv beim Lernen mitwirkst und dir selbst Gedanken über den Inhalt machst. Die Entwicklung einer intuitiven Verständnisweise spielt dabei eine entscheidende Rolle, um den Inhalt plausibel nachvollziehen zu können. Aus diesem Grund werden während des Artikels immer wieder Zwischenfragen gestellt, die zum Nachdenken anregen. Diese **Zwischenfragen** sind wie folgt strukturiert: 15 | 16 |
71 | 72 | | Anwendungsbereich der Fourier-Transformation | Beschreibung | 73 | |---------------------------------------------|--------------| 74 | | Bildverarbeitung | Die Fourier-Transformation wird in der Bildverarbeitung verwendet, um das Frequenzspektrum eines Bildes zu analysieren. Dies ermöglicht zum Beispiel die Entfernung von periodischem Rauschen oder das Erkennen von Mustern und Strukturen in einem Bild. | 75 | | Signalverarbeitung | In der Signalverarbeitung wird die Fourier-Transformation genutzt, um Signale in den Frequenzbereich zu übertragen. Dadurch können verschiedene Eigenschaften des Signals, wie Amplituden und Phasen, analysiert und verändert werden. Dies ist besonders nützlich für die Rauschunterdrückung, Filterung und Kompression von Signalen. | 76 | | Spektralanalyse | Die Fourier-Transformation ermöglicht die Spektralanalyse von Signalen. Sie erlaubt es, die Frequenzanteile eines Signals zu bestimmen und so Informationen über die enthaltenen Frequenzen und ihre Stärke zu gewinnen. Dies wird in vielen Bereichen wie der Akustik, Elektrotechnik und Physik eingesetzt. | 77 | | Datenkompression | Fourier-Transformationen werden in verschiedenen Kompressionsalgorithmen verwendet, um redundante Informationen in Daten zu identifizieren und zu entfernen. Durch die Umwandlung der Daten in den Frequenzbereich kann eine effiziente Kompression erreicht werden, indem weniger wichtige Frequenzanteile reduziert oder eliminiert werden. | 78 | | Quantenmechanik | Die Fourier-Transformation spielt eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Sie ermöglicht die Darstellung von Zuständen und Operatoren im Impulsraum und erleichtert die Berechnung quantenmechanischer Effekte wie Tunneling und Wechselwirkungen. | 79 | | und viele mehr | ... 80 | 81 | ## Ausgangsfrage 82 | 83 | Um den Nutzen von **Fourier-Reihe** und **Fourier-Transformation** zu illustrieren, addiert man **trigonometrische Funktionen** (z.B. $\sin$) mit verschiedenen Parametern. 84 | Es entsteht eine Funktion, welche sich aus der Überlagerung der verschiedenen $\sin$-Funktionen ergibt. 85 | Möchte man von dieser Funktion auf die ursprünglichen Anteilen zurückschließen, ist das manuell erstmal ziemlich schwierig. 86 | 87 | Man möchte sich also ein _mathematisches Werkzeug_ konstruieren, welches diese _Zerlegung_ in die **Frequenzbestandteile** durchführt. Ein solches Werkzeug soll in diesem Artikel erklärt werden. 88 | 89 | Kapitel [1](1-complex-plane) und [2](2-complex-exponentials) versuchen zunächst eine Einführung in **komplexe Zahlen** und **komplexe Exponentialfunktionen** bieten, dessen Verständnis und Interpretation essentiell für die nächsten Kapitel ist. 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /components/fourier-transform/WaveCheck.tsx: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import * as React from 'react' 2 | import { InlineMath } from 'react-katex' 3 | import ProductIntegral from './FixedProductIntegral' 4 | import { 5 | Mafs, 6 | Plot, 7 | Coordinates, 8 | Theme, 9 | } from 'mafs' 10 | 11 | type props = { 12 | children: any 13 | fixed_periodendauer: any 14 | leftBound?: number 15 | rightBound?: number 16 | } 17 | 18 | const WaveCheck: React.FC
37 | <>
38 | {
263 | return (
264 | (-1 *
265 | (omega *
266 | Math.sin(((Math.PI * 2) / fixed_periodendauer) * x) *
267 | Math.sin(omega * x) +
268 | ((Math.PI * 2) / fixed_periodendauer) *
269 | Math.cos(((Math.PI * 2) / fixed_periodendauer) * x) *
270 | Math.cos(omega * x))) /
271 | (Math.pow(omega, 2) -
272 | Math.pow((Math.PI * 2) / fixed_periodendauer, 2))
273 | )
274 | }}
275 | imInteg={(x: number, omega: number) => {
276 | return (
277 | (1 *
278 | (omega *
279 | Math.cos(((Math.PI * 2) / fixed_periodendauer) * x) *
280 | Math.sin(omega * x) -
281 | omega *
282 | Math.sin(((Math.PI * 2) / fixed_periodendauer) * x) *
283 | Math.cos(omega * x))) /
284 | (Math.pow(omega, 2) -
285 | Math.pow((Math.PI * 2) / fixed_periodendauer, 2))
286 | )
287 | }}
288 | />
289 |
290 |
291 | )
292 | }
293 | export default WaveCheck
294 |
--------------------------------------------------------------------------------
/pages/2-complex-exponentials.de.mdx:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | import { Callout } from 'nextra-theme-docs'
2 |
3 |
4 | import LazyWrapper from '../components/LazyWrapper';
5 |
6 |
7 |
8 | import MCQComponent from '../components/general/MultipleChoiceQuestion.tsx'
9 |
10 | # Komplexe Exponentialfunktion
11 |
12 | Im Rahmen der **Fourier-Transformation** wird unter anderem folgender Zusammenhang nützlich.
13 |
14 | **Euler's Identität** wird häufig als schönste Gleichung der gesamten Mathematik bezeichnet:
15 |
16 | $$
17 | e^{\pi i} + 1 = 0
18 | $$
19 |
20 | Sie resultiert aus der **Eulerschen Formel** mit $\theta = \pi$:
21 |
22 | $$
23 | e^{\theta i} = \cos (\theta) + i \sin (\theta)
24 | $$
25 |
26 | Intuitiv macht es jedoch wenig Sinn, eine Zahl (hier die Eulersche Zahl $e$) hoch eine komplexe Zahl (hier $\theta i$) zu rechnen:
27 |
28 | $$
29 | e^{\theta i} \overset{?}{=} \overbrace{
30 | e \cdot e \cdot ... \cdot e
31 | }^{\sqrt{-1} \text{ mal?} }
32 | $$
33 |
34 | Zudem ist fraglich, was das ganze mit der zuvor herausgestellten Polardarstellung [komplexer Zahlen](./1-complex-plane) zutun hat:
35 |
36 | Es gibt zahlreiche Beweise dieser Gleichung, welche aufzeigen, dass Gleichheit gilt, jedoch weiterhin das Mysterium des **"Warum?"** offen lassen.
37 | Im Folgenden soll geklärt werden, was diese Gleichung wirklich aussagt und nicht nur gezeigt werden, dass sie stimmt.
38 |
39 | ## Beweis mithilfe von Differentialrechnung
40 |
41 | Zunächst lässt sich ein sehr _einfacher_ Beweis der Gleichheit begutachten. Dieser erfolgt über das Ableiten einer geschickt gewählten Funktion $f(\phi)$.
42 |
43 | $$
44 | f(\phi) = e^{- i \phi} (\cos(\phi) + i \sin(\phi))
45 | $$
46 |
47 | Wenn man nun $f(\phi)$ nach $\phi$ ableitet (mit der _Produktregel_), folgt:
48 |
49 | $$
50 | \begin{equation*}
51 | \begin{split}
52 | f'(\phi) &= e^{-i \phi} (i \cos(\phi)-\sin(\phi)) - i e^{-i \phi} (\cos (\phi) + i \sin (\phi))\\
53 | &= e^{-i \phi} i \cos(\phi) - e^{-i \phi} \sin(\phi) - i e^{-i \phi} \cos (\phi) + e^{-i \phi} \sin (\phi)\\
54 | &= 0
55 | \end{split}
56 | \end{equation*}
57 | $$
58 |
59 |
39 |
205 |
40 |
125 |
41 |
42 | {'\\Re(f(t) \\cdot e^{- 2 \\pi \\xi i t}) = \\color{purple}{\\cos(- 2 \\pi \\xi t) \\cdot f(t)}'}
43 |
44 |
45 |
46 |
50 |
54 | x < 6
55 | ? x > -6
56 | ? Math.sin(
57 | (x / fixed_periodendauer) * (2 * Math.PI)
58 | ) * Math.cos((x / periodendauer) * (2 * Math.PI))
59 | : 0
60 | : 0
61 | }
62 | belowColor="red"
63 | aboveColor="green"
64 | quality="high"
65 | leftBound={-Infinity}
66 | rightBound={Infinity}
67 | >
68 | ) : (
69 | <>
70 | )*/}
71 | <>
72 | Math.cos((x / periodendauer) * (2 * Math.PI))}
74 | color={Theme.blue}
75 | >
76 |
77 | {istGesuchterGraphAngezeigt ? (
78 |
80 | x < 6
81 | ? x > -6
82 | ? Math.sin(
83 | (x / fixed_periodendauer) * (2 * Math.PI)
84 | )
85 | : 0
86 | : 0
87 | }
88 | >
89 | ) : (
90 | <>
91 | )}
92 | {istProduktAngezeigt ? (
93 |
95 | x < 6
96 | ? x > -6
97 | ? Math.sin(
98 | (x / fixed_periodendauer) * (2 * Math.PI)
99 | ) * Math.cos((x / periodendauer) * (2 * Math.PI))
100 | : 0
101 | : 0
102 | }
103 | color="purple"
104 | >
105 | ) : (
106 | <>
107 | )}
108 |
109 | {/*
110 | */}
121 |
122 |
123 |
124 |
126 |
204 |
127 |
128 | {
129 | '\\Im(f(t) \\cdot e^{- 2 \\pi \\xi i t}) = \\color{purple}{\\sin(- 2 \\pi \\xi t) \\cdot f(t)}'
130 | }
131 |
132 |
133 |
134 |
138 |
142 | x < 6
143 | ? x > -6
144 | ? Math.sin(
145 | (x / fixed_periodendauer) * (2 * Math.PI)
146 | ) * Math.sin((x / periodendauer) * (2 * Math.PI))
147 | : 0
148 | : 0
149 | }
150 | belowColor="red"
151 | aboveColor="green"
152 | quality="high"
153 | leftBound={-Infinity}
154 | rightBound={Infinity}
155 | >
156 | ) : (
157 | <>
158 | )*/}
159 | <>
160 | Math.sin((x / periodendauer) * (2 * Math.PI))}
162 | color={Theme.blue}
163 | >
164 |
165 | {istGesuchterGraphAngezeigt ? (
166 | 0}
168 | >
169 | ) : (
170 | <>
171 | )}
172 | {istProduktAngezeigt ? (
173 |
175 | x < 6
176 | ? x > -6
177 | ? Math.sin(
178 | (x / fixed_periodendauer) * (2 * Math.PI)
179 | ) * Math.sin((x / periodendauer) * (2 * Math.PI))
180 | : 0
181 | : 0
182 | }
183 | color="purple"
184 | >
185 | ) : (
186 | <>
187 | )}
188 |
189 | {/*
190 | */}
201 |
202 |
203 |
206 |
250 |
207 |
208 | {'\\text{Frequenz } \\xi \\approx' +
209 | (1 / periodendauer).toFixed(2)}
210 |
211 | setPeriodendauer(1 / +event.target.value)}
219 | />
220 |
221 |
222 | {'f(t) \\text{ anzeigen}'}
223 |
227 | setIstGesuchterGraphAngezeigt(!istGesuchterGraphAngezeigt)
228 | }
229 | />
230 |
231 | {/*
232 |
233 | {'\\color{purple}{e^{- 2 \\pi i \\xi t} f(t)} \\text{ anzeigen}'}
234 |
235 | setIstProduktAngezeigt(!istProduktAngezeigt)}
239 | />
240 |
*/}
241 | {/*
242 |
*/}
249 | Fläche anzeigen
243 | setIstFlächeAngezeigt(!istFlächeAngezeigt)} 247 | /> 248 |
251 | {'\\text{Darstellung von } \\hat{f}(\\xi):'}
252 |
253 |
254 | 127 |
128 |
129 | | $n$ | $1$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $10^4$ | $10^5$ |
130 | | ------------- | ------ | ---------------- | ----------------- | ----------------- | ----------------- | ----------------- |
131 | | $B_{0.06}(n)$ | $1.06$ | $\approx 1.0616$ | $\approx 1.06182$ | $\approx 1.06183$ | $\approx 1.06184$ | $\approx 1.06184$ |
132 |
133 |
134 |
135 | Es lässt sich erkennen, dass sich der Geldbetrag $B_{0.06}(n)$ immer geringfüger ändert. Dies ist natürlich kein Beweis, jedoch ein starkes Indiz dafür, dass sich der Wert einer Konstanten annähert.
136 |
137 | Um das betrachtete Phänomen etwas zu verallgemeinern, betrachtet man nun einen **beliebigen** Zinssatz $x$ und lässt das Zeitintervall beliebig klein werden: $\lim_{n\rightarrow\infty}$.
138 |
139 | 160 |
161 |
162 | | $m$ | $1$ | $2$ | $8$ | $100$ | $10^4$ | $10^5$ |
163 | | --------------------------------------------------- | --- | -------------- | --------------- | --------------- | --------------- | --------------- |
164 | | $\lim_{m\to \infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}$ | $2$ | $\approx 2.25$ | $\approx 2.566$ | $\approx 2.705$ | $\approx 2.718$ | $\approx 2.718$ |
165 |
166 |
167 |
168 | Es handelt sich wiederum um keinen Beweis, jedoch scheint es so zu sein, dass sich der Term einem ganz bestimmten Wert annähert. Es könnte natürlich so sein, dass der Term plötzlich bei einem noch größeren $m$ wieder von diesem Wert abweicht.
169 |
170 | Ein rigoroser Beweis soll jedoch erspart bleiben. Genau dieser Wert wurde letztendlich als die **eulersche Zahl** $e \approx 2.718$ definiert. Somit lässt sich obiger Term umschreiben und von $B(x)$ zu dem üblichen $\exp (x)$ umbenennen:
171 |
172 | $$
173 | \exp (x) = e^x
174 | $$
175 |
176 | Die Exponentialfunktion resultiert somit nicht aus der Idee von der wiederholten Multiplikation einer ominösen Konstante $e$, welche letztendlich Probleme mit bestimmten Werten für $x$ (z.B. komplexen Zahlen) bereitet.
177 | Natürlich sind komplexe Zahlen als Zinsen auch unrealistisch. Es ist jedoch bekannt, wie man komplexe Zahlen dividiert, addiert und multipliziert und somit den Term $\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ mit $x\in \mathbb{C}$ berechnen kann.
178 |
179 | ## Imaginäre Zinssätze
180 |
181 | Um wieder auf die **Eulersche Formel** zurückzukommen, müsste man nun betrachten, was passiert wenn $x = \theta i$.
182 | Gemäß der obigen Definition der Exponentialfunktion folgt:
183 |
184 | $$
185 | \exp (\theta i) = e^{\theta i} = \lim_{m\to \infty} \left(\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}\right)^{\theta i} = \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{\theta i}{n}\right)^{n}
186 | $$
187 |
188 | Beim Term $z = 1+\frac{\theta i }{n}$ handelt es sich um eine komplexe Zahl mit $\Re(z) = 1$ und $\Im(z) = \frac{\theta}{n}$. Diese Zahl wird
189 | somit $n$ mal mit sich selbst multipliziert. Ein imaginärer Zinssatz macht selbstverständlich wenig Sinn. Jedoch lässt sich damit die Verbindung zwischen der Exponentialfunktion und den komplexen Zahlen illustrieren.
190 | Im Folgenden lässt sich ausprobieren, wie sich $\exp (\theta i)$ für verschiedene Approximationen und Winkel $\theta$ verhält.
191 |
192 | Loading Complex Exponential...
}
195 | />
196 |
197 | Es lässt sich eindeutig erkennen, dass sich der Term $(1+\frac{\theta i }{n})^n$ für immer größere $n$, der komplexen Zahl mit dem Winkel $\theta$ auf dem **Einheitskreis** annähert.
198 |
199 | In Anwendung auf die **reellen Zahlen**, wurde ebenfalls deutlich, dass sich der Term $(1+\frac{x}{n})^n$ für immer größere $n$ einem bestimmten Wert annähert. Dabei liegen die Werte jedoch ausschließlich auf der Achse des $\Re$-Teils, da es keinen Imaginärteil gibt.
200 | Dieser Wert der Annäherung ergibt sich, wie zuvor herausgestellt, durch das kontinuierliche Hinzufügen von einem unendlich kleinen Anteil eines bestimmten Zinssatzes. _Kontinuierlich_ bedeutet hierbei, dass die Zeitintervalle ebenfalls unendlich klein werden und es somit unendlich viele Zeitintervalle gibt.
201 |
202 | ### Wiederholte Multiplikation einer komplexen Zahl
203 |
204 | In Bezug auf komplexe Zahlen lässt sich der Term somit wie folgt verstehen. Eine komplexe Zahl $z$ wird unendlich oft mit sich selbst multipliziert. Dabei gilt für den Realteil und für den Imaginärteil
205 |
206 | $$
207 | \Re (z) = 1 \qquad \Im (z) = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{\theta}{n} \right)
208 | $$
209 |
210 | Um zu verstehen, was sich beim Potenzieren der komplexen Zahl $z = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{\theta i}{n})$ ergibt, ist es sinnvoll die Polardarstellung zu ermitteln.
211 | Der Betrag wird durch das Potenzieren mit $n$, ebenfalls $n$ potenziert, der Polarwinkel jedoch mit $n$ multipliziert (dies wurde in [_Komplexe Ebene_](./1-complex-plane#folgerungen) herausgestellt).
212 |
213 | #### Betrag
214 |
215 | Der Betrag der resultierenden komplexen Zahl ($\lim_{n\to\infty}z^n$) entspricht dem Abstand vom _Ursprung_ von $z$, hoch $n$:
216 |
217 | $$
218 | \begin{equation*}
219 | \begin{split}
220 | \lim_{n \to \infty} r_z^n &= \lim_{n \to \infty} \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2}^n \qquad | \text{ Satz des Pythagoras }\\
221 | &= \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{\theta^2}{n^2}}^n \qquad | \text{ mit } \sqrt{a}^b = a^{\frac{b}{2}}\\
222 | &= \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{\theta^2}{n^2}\right)^{\frac{n}{2}} \qquad | \text{ mit } (a^b)^c = a^{bc}\\
223 | &= \lim_{n \to \infty} \left(\left(1 + \frac{\theta^2}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{2n}} \qquad | \text{ wenn } n \to \infty \text{ dann auch } n^2 \to \infty \\
224 | &= \lim_{n \to \infty} \left(\exp (\theta^2)\right)^{\frac{1}{2n}} \qquad | \text{ mit } \exp (a) = e^a\\
225 | &= \lim_{n \to \infty} e^{\frac{\theta^2}{2n}}\qquad | \text{ mit } \lim_{n \to \infty} \frac{\theta^2}{2n} = 0 \\
226 | &= e^0 = 1
227 | \end{split}
228 | \end{equation*}
229 | $$
230 |
231 | Die komplexe Zahl $\exp(\theta i)$ muss also auf einen Betrag von $1$ haben und somit auf dem Einheitskreis liegen.
232 |
233 | #### Polarwinkel
234 |
235 | Der Polarwinkel der komplexen Zahl $z = 1+\frac{\theta i}{n}$ liegt für große $n$ extrem nah an $\frac{\theta}{n}$. Wenn man nun $z$ mit $n$ potenziert, dann folgt eine Addition der Winkel.
236 |
237 | Somit liegt der Polarwinkel von $z^n$ für große $n$ extrem nah bei $n \cdot \frac{\theta}{n} = \theta$. Dies soll kein mathematischer Beweis sein.
238 |
239 | Die komplexe Zahl $\exp(\theta i)$ muss also auf dem Einheitskreis liegen und den Polarwinkel von $\theta$ einschließen.
240 |
241 | ### Komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis
242 |
243 | Nun lassen sich Überlegungen anstellen, wie sich dieser Punkt auf dem Einheitskreis noch ausdrücken lässt. Hierbei kommen die **trigonometrischen Funktionen** ins Spiel.
244 |
245 | Die **trigonometrischen Funktionen** sind buchstäblich durch den Einheitskreis definiert. Im kartesischen Koordinatensystem lässt sich ein Punkt auf dem Einheitskreis, welcher den Winkel $\theta$ mit der $x$-Achse einschließt mit
246 | $(\cos (\theta), \sin (\theta))$ beschreiben.
247 |
248 | Daraus folgt unmittelbar für die **komplexe Ebene**:
249 |
250 | $$
251 | \exp (\theta i) = e^{\theta i} = \cos (\theta) + i \sin (\theta)
252 | $$
253 |
254 | Dies entspricht der **Eulerschen Formel**, welche sehr nützlich ist um **trigonometrische** Zusammenhänge anders auszudrücken.
255 |
256 | ---
257 |
258 | Im Gegensatz zum [ersten Abschnitt](#beweis-mithilfe-von-differentialrechnung) auf dieser Seite, ist diese Argumentation kein _richtiger_ Beweis. Jedoch sollte damit die **Eulersche Formel** plausibel erscheinen.
259 |
260 | Loading Complex Exponentials Sum...
}
282 | />
283 |
284 | Wenn der Zeiger bei $1$ startet lässt sich erkennen, dass es sich beim **Realteil** um $\cos (2 \pi t)$ und beim **Imaginärteil** um $\sin (2 \pi t)$ handelt.
285 |
286 | Loading Complex Exponentials Sum...
}
328 | />
329 |
330 |
331 | ### Multiplikation mit Koeffizienten
332 |
333 | Interessant wird es, wenn man den Zeiger mit einer konstanten komplexen Zahl $c$ multipliziert.
334 | Dieser bestimmt die **Länge** des Zeigers, sowie die **Phasenverschiebung** bei $t=0$, da $e^{2 \pi \cdot 0 \cdot i} = 1$.
335 |
336 | Loading Unit Circle...
}
28 | />
29 |
30 |
31 | Es kann somit eine **harmonische Schwingung** erzeugt werden. Die ausführliche, trigonometrische Definition der Funktionen $\sin$ und $\cos$ soll hierbei erspart bleiben.
32 |
33 | 49 |
50 |
51 | | Parameter | Bedeutung |
52 | | ---------------- | -------------------------------------------------------- |
53 | | $\Delta \varphi$ | Phasenverschiebung |
54 | | $\omega$ | Kreisfrequenz (Bogenmaß pro Zeit) mit $\omega = 2 \pi f$ |
55 | | $A$ | Amplitude |
56 |
57 |
58 | ____
59 | Im Folgenden lassen sich die obigen Parameter variieren:
60 |
61 |
62 | Loading Interactive Sin...
}
65 | />
66 |
67 | Loading Addition Sample
}
119 | />
120 |
121 |
122 | Loading Complex Plane Adder...
}
154 | />
155 | Loading Complex Plane Rotation...
}
190 | />
191 |
192 | Jeder Vektor bzw. Punkt auf der **komplexen Ebene** bzw. auch im **kartesischen Koordinatensystem** lässt sich um den Ursprung rotieren.
193 |
194 | Loading Polar Coordinates...
}
390 | />
391 |
392 | Loading Complex Powers...
}
562 | />
563 |
564 | Loading Complex Exponentials Sum...
}
369 | />
370 |
371 | Es lässt sich erkennen, dass ein Maximum im Frequenzspektrum genau da entsteht, wo $\xi$ der Frequenz des $\sin$-Terms der Funktion $f(t)$ entspricht.
372 | Es konnten also mithilfe der **Fourier-Transfomation** die Frequenzbestandteile eines nicht-periodischen Signals herausgefunden werden. Die **Fourier-Reihe** bzw. der Zusammenhang für den **Fourier-Koeffizienten** konnte hierbei nicht angewendet werden, da es sich nicht um einen periodische Funktion handelt ($f(t) = f(t+T)$ gilt nicht für alle $t$).
373 |
374 |