├── Sections ├── chktex.tex ├── titlepage.tex ├── section7.tex ├── section11.tex ├── section18.tex ├── section10.tex ├── section19.tex ├── section3.tex ├── section5.tex ├── section14.tex ├── section9.tex ├── section6.tex ├── section1.tex ├── section2.tex ├── section24.tex ├── section8.tex ├── section21.tex ├── section13.tex ├── section20.tex ├── section4.tex ├── section12.tex ├── section23.tex ├── section22.tex └── section15.tex ├── README.md ├── .DS_Store ├── linal.pdf ├── image ├── .DS_Store ├── image.png ├── kotik.jpg └── Asymptote │ ├── 1 │ ├── linal-1.pdf │ ├── linal-1-1.pdf │ ├── linal-1-1.asy │ └── linal-1.tex │ ├── 2 │ ├── linal-2.pdf │ ├── linal-2-1.pdf │ ├── linal-2-1.asy │ └── linal-2.tex │ ├── 3 │ ├── linal-3.pdf │ ├── linal-3-1.pdf │ ├── linal-3-1.asy │ └── linal-3.tex │ ├── 4 │ ├── linal-4.pdf │ ├── linal-4-1.pdf │ ├── linal-4-1.asy │ └── linal-4.tex │ └── 5 │ ├── linal-5.pdf │ ├── linal-5-1.pdf │ ├── linal-5-1.asy │ └── linal-5.tex ├── .gitignore └── linal.tex /Sections/chktex.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % chktex-file 45 -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Лекции по Линейной алгебре и геометрии 2 семестр: linal.pdf 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /.DS_Store: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/.DS_Store -------------------------------------------------------------------------------- /linal.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/linal.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/.DS_Store: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/.DS_Store -------------------------------------------------------------------------------- /image/image.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/image.png -------------------------------------------------------------------------------- /image/kotik.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/kotik.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/1/linal-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/1/linal-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/2/linal-2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/2/linal-2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/3/linal-3.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/3/linal-3.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/4/linal-4.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/4/linal-4.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/5/linal-5.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/5/linal-5.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/1/linal-1-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/1/linal-1-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/2/linal-2-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/2/linal-2-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/3/linal-3-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/3/linal-3-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/4/linal-4-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/4/linal-4-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/5/linal-5-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/Viacheslavik122333/Linear-algebra/HEAD/image/Asymptote/5/linal-5-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/4/linal-4-1.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | if(!settings.multipleView) settings.batchView=false; 2 | settings.tex="pdflatex"; 3 | defaultfilename="linal-4-1"; 4 | if(settings.render < 0) settings.render=4; 5 | settings.outformat=""; 6 | settings.inlineimage=true; 7 | settings.embed=true; 8 | settings.toolbar=false; 9 | viewportmargin=(2,2); 10 | 11 | size(10cm, 0); 12 | draw((1,0.2)--(5,0.2)--(7.5,1.5)--(3.5,1.5)--cycle); 13 | draw((4,1)--(5.5,2.5), EndArrow); 14 | label("$x = f(t)$", (6.1,2.53)); 15 | label("$U$", (2.6,0.55),fontsize(13pt)); 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/4/linal-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \usepackage{amssymb, amsmath, amsthm, mathtools} 3 | \usepackage{asymptote} 4 | \usepackage{graphicx} 5 | \usepackage[T2A]{fontenc} 6 | \usepackage[utf8]{inputenc} 7 | \usepackage[english, russian]{babel} 8 | \usepackage[left=2cm, right=1.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} 9 | 10 | \begin{document} 11 | \begin{asy} 12 | size(10cm, 0); 13 | draw((1,0.2)--(5,0.2)--(7.5,1.5)--(3.5,1.5)--cycle); 14 | draw((4,1)--(5.5,2.5), EndArrow); 15 | label("$x = f(t)$", (6.1,2.53)); 16 | label("$U$", (2.6,0.55),fontsize(13pt)); 17 | \end{asy} 18 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/3/linal-3-1.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | if(!settings.multipleView) settings.batchView=false; 2 | settings.tex="pdflatex"; 3 | defaultfilename="linal-3-1"; 4 | if(settings.render < 0) settings.render=4; 5 | settings.outformat=""; 6 | settings.inlineimage=true; 7 | settings.embed=true; 8 | settings.toolbar=false; 9 | viewportmargin=(2,2); 10 | 11 | size(13cm, 0); 12 | draw((1,0.2)--(6,0.2)--(8.5,1.7)--(3.5,1.7)--cycle); 13 | draw((4,1)--(6,1), EndArrow); 14 | draw((4,1)--(4,3), EndArrow); 15 | draw((4,1)--(6,3), EndArrow); 16 | draw((4,1)--(4,3), EndArrow); 17 | draw((6,1)--(6,3)--(4,3), dashed); 18 | label("$x_\perp$",(4,2.8),align=NW); 19 | label("$x_\parallel$", (5.9,0.95),align=S); 20 | label("$x$", (6.1,3.1)); 21 | label("$U$", (2.5,0.6),fontsize(15pt)); 22 | -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/5/linal-5-1.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | if(!settings.multipleView) settings.batchView=false; 2 | settings.tex="pdflatex"; 3 | defaultfilename="linal-5-1"; 4 | if(settings.render < 0) settings.render=4; 5 | settings.outformat=""; 6 | settings.inlineimage=true; 7 | settings.embed=true; 8 | settings.toolbar=false; 9 | viewportmargin=(2,2); 10 | 11 | size(5cm, 0); 12 | draw((-1,0)--(1,0), EndArrow); 13 | draw((-2,0)--(2,0)); 14 | label("$v_{2}$", (1,0.15)); 15 | 16 | draw((-0.85,-0.5)--(0.85,0.5), EndArrow); 17 | draw((-1.7,-1)--(1.7,1)); 18 | label("$v_{1}$", (0.75,0.65)); 19 | 20 | draw((-0.85,0.5)--(0.85,-0.5), EndArrow); 21 | draw((-1.7,1)--(1.7,-1)); 22 | label("$v_{3}$", (0.9, -0.35)); 23 | 24 | // label("$x = f(t)$", (6.1,2.53)); 25 | // label("$U$", (2.6,0.55),fontsize(13pt)); 26 | -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/3/linal-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \usepackage{amssymb, amsmath, amsthm, mathtools} 3 | \usepackage{asymptote} 4 | \usepackage{graphicx} 5 | \usepackage[T2A]{fontenc} 6 | \usepackage[utf8]{inputenc} 7 | \usepackage[english, russian]{babel} 8 | 9 | \begin{document} 10 | \begin{asy} 11 | size(13cm, 0); 12 | draw((1,0.2)--(6,0.2)--(8.5,1.7)--(3.5,1.7)--cycle); 13 | draw((4,1)--(6,1), EndArrow); 14 | draw((4,1)--(4,3), EndArrow); 15 | draw((4,1)--(6,3), EndArrow); 16 | draw((4,1)--(4,3), EndArrow); 17 | draw((6,1)--(6,3)--(4,3), dashed); 18 | label("$x_\perp$",(4,2.8),align=NW); 19 | label("$x_\parallel$", (5.9,0.95),align=S); 20 | label("$x$", (6.1,3.1)); 21 | label("$U$", (2.5,0.6),fontsize(15pt)); 22 | \end{asy} 23 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/5/linal-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \usepackage{amssymb, amsmath, amsthm, mathtools} 3 | \usepackage{asymptote} 4 | \usepackage{graphicx} 5 | \usepackage[T2A]{fontenc} 6 | \usepackage[utf8]{inputenc} 7 | \usepackage[english, russian]{babel} 8 | \usepackage[left=2cm, right=1.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} 9 | 10 | \begin{document} 11 | \begin{asy} 12 | size(5cm, 0); 13 | draw((-1,0)--(1,0), EndArrow); 14 | draw((-2,0)--(2,0)); 15 | label("$v_{2}$", (1,0.15)); 16 | 17 | draw((-0.85,-0.5)--(0.85,0.5), EndArrow); 18 | draw((-1.7,-1)--(1.7,1)); 19 | label("$v_{1}$", (0.75,0.65)); 20 | 21 | draw((-0.85,0.5)--(0.85,-0.5), EndArrow); 22 | draw((-1.7,1)--(1.7,-1)); 23 | label("$v_{3}$", (0.9, -0.35)); 24 | 25 | // label("$x = f(t)$", (6.1,2.53)); 26 | // label("$U$", (2.6,0.55),fontsize(13pt)); 27 | \end{asy} 28 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/titlepage.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{titlepage} 2 | \newpage 3 | \begin{center} 4 | \includegraphics[width=4cm]{image/image.png} 5 | \end{center} 6 | \vspace{4em} 7 | 8 | \begin{center} 9 | \Large Механико-математический факультет 10 | \end{center} 11 | \vspace{2em} 12 | 13 | \begin{center} 14 | \large{\textsc{\textbf{Линейная алгебра и геометрия, 2 семестр, 2 поток}}} 15 | \end{center} 16 | \vspace{6em} 17 | 18 | \newbox{\lbox} 19 | \savebox{\lbox}{\hbox{Молчанов Вячеслав Вадимович}} 20 | \newlength{\maxl} 21 | \setlength{\maxl}{\wd\lbox} 22 | \hfill\parbox{11cm} 23 | { 24 | Преподаватель:\hfill\hbox to\maxl{Чубаров Игорь Андреевич\\}\vspace{0.5cm} 25 | 26 | Студенты:\hfill\hbox to\maxl{Молчанов Вячеслав\\}\vspace{0.15cm} 27 | \tab\hfill\hbox to\maxl{Соколов Егор\\}\vspace{0.5cm} 28 | 29 | Группа:\hfill\hbox to\maxl{108\\}\vspace{0.5cm} 30 | 31 | Контакт:\hfill\hbox to\maxl {\href{https://t.me/Slavikvaxye}{Мой телеграм для связи\\}}\vspace{0.5cm} 32 | } 33 | 34 | \vspace{\fill} 35 | \begin{center} 36 | Москва \\Последняя компиляция: \today 37 | \end{center} 38 | 39 | \end{titlepage} -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/2/linal-2-1.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | if(!settings.multipleView) settings.batchView=false; 2 | settings.tex="pdflatex"; 3 | defaultfilename="linal-2-1"; 4 | if(settings.render < 0) settings.render=4; 5 | settings.outformat=""; 6 | settings.inlineimage=true; 7 | settings.embed=true; 8 | settings.toolbar=false; 9 | viewportmargin=(2,2); 10 | 11 | size(15cm, 0); 12 | draw((0,0)--(10,0)--(10,-1)--(0,-1)--cycle); 13 | 14 | draw((1.5,-1)--(1.5,1)--(3, 1)--(1.5,0)--(1.5,1)--(3, 0)); 15 | 16 | draw((3,-1)--(3,2)--(4.5, 2)--(3, 0)--(3, 2)--(4.5, 0)--(4.5, -1)--(4.5, 2)); 17 | 18 | draw((7, -1)--(7, 4)--(8.5, 4)--(8.5, 5)--(10, 5)--(10, -1)--(8.5, -1)--(8.5, 5)); 19 | 20 | path g1=(10.3,-1)..(10.6,-0.8)..(10.7,-0.5)--(10.7,1.5)..(10.8,1.85)..(11.2,2); 21 | path g2=(11.2,2)..(10.8,2.15)..(10.7,2.5)--(10.7,4.5)..(10.6,4.8)..(10.3, 5); 22 | draw(g1); draw(g2); 23 | label(" $m$ ", (11.5, 2), fontsize(14pt)); 24 | 25 | 26 | draw((0.2,-0.75)--(0.2,-1.25), EndArrow); 27 | draw((1.3,-0.75)--(1.3,-1.25), EndArrow); 28 | label(" $0$ ", (0.2, -1.4), fontsize(10pt)); 29 | label(" $0$ ", (1.3, -1.4), fontsize(10pt)); 30 | 31 | for(int i=0; i<3; i=i+1) 32 | { 33 | path a1=(0+(i*1.5),-1.05)..(0.05+(i*1.5), -1.15)..(0.2+(i*1.5),-1.2); 34 | path a2=(0.2+(i*1.5),-1.2)--(0.6+(i*1.5), -1.2)..(0.7+(i*1.5), -1.25)..(0.75+(i*1.5), -1.3); 35 | path a3=(0.75+(i*1.5), -1.3)..(0.8+(i*1.5), -1.25)..(0.9+(i*1.5), -1.2)--(1.3+(i*1.5), -1.2); 36 | path a4=(1.3+(i*1.5), -1.2)..(1.45+(i*1.5), -1.15)..(1.5+(i*1.5), -1.05); 37 | draw(a1); draw(a2); draw(a3); draw(a4); 38 | } 39 | 40 | for(int i=0; i<2; i=i+1) 41 | { 42 | path a1=(0+7+(i*1.5),-1.05)..(0.05+7+(i*1.5), -1.15)..(0.2+7+(i*1.5),-1.2); 43 | path a2=(0.2+7+(i*1.5),-1.2)--(0.6+7+(i*1.5), -1.2)..(0.7+7+(i*1.5), -1.25)..(0.75+7+(i*1.5), -1.3); 44 | path a3=(0.75+7+(i*1.5), -1.3)..(0.8+7+(i*1.5), -1.25)..(0.9+7+(i*1.5), -1.2)--(1.3+7+(i*1.5), -1.2); 45 | path a4=(1.3+7+(i*1.5), -1.2)..(1.45+7+(i*1.5), -1.15)..(1.5+7+(i*1.5), -1.05); 46 | draw(a1); draw(a2); draw(a3); draw(a4); 47 | } 48 | 49 | label(" $q_{1} \to 0$ ", (0.75, -1.6)); 50 | label(" $q_{2} \to 0$ ", (2.25, -1.6)); 51 | label(" $q_{3} \to 0$ ", (3.75, -1.6)); 52 | label(" $q_{m-1} \to 0$ ", (7.75, -1.6)); 53 | label(" $q_{m} \to 0$ ", (9.25, -1.6)); 54 | label(" $\cdots$ ", (5.75, -1.4)); 55 | 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/2/linal-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 36 %chktex-file 18 %chktex-file 11 2 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 3 | \usepackage{amssymb, amsmath, amsthm, mathtools} 4 | \usepackage{asymptote} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage[T2A]{fontenc} 7 | \usepackage[utf8]{inputenc} 8 | \usepackage[english, russian]{babel} 9 | \begin{document} 10 | \begin{asy} 11 | size(15cm, 0); 12 | draw((0,0)--(10,0)--(10,-1)--(0,-1)--cycle); 13 | 14 | draw((1.5,-1)--(1.5,1)--(3, 1)--(1.5,0)--(1.5,1)--(3, 0)); 15 | 16 | draw((3,-1)--(3,2)--(4.5, 2)--(3, 0)--(3, 2)--(4.5, 0)--(4.5, -1)--(4.5, 2)); 17 | 18 | draw((7, -1)--(7, 4)--(8.5, 4)--(8.5, 5)--(10, 5)--(10, -1)--(8.5, -1)--(8.5, 5)); 19 | 20 | path g1=(10.3,-1)..(10.6,-0.8)..(10.7,-0.5)--(10.7,1.5)..(10.8,1.85)..(11.2,2); 21 | path g2=(11.2,2)..(10.8,2.15)..(10.7,2.5)--(10.7,4.5)..(10.6,4.8)..(10.3, 5); 22 | draw(g1); draw(g2); 23 | label(" $m$ ", (11.5, 2), fontsize(14pt)); 24 | 25 | 26 | draw((0.2,-0.75)--(0.2,-1.25), EndArrow); 27 | draw((1.3,-0.75)--(1.3,-1.25), EndArrow); 28 | label(" $0$ ", (0.2, -1.4), fontsize(10pt)); 29 | label(" $0$ ", (1.3, -1.4), fontsize(10pt)); 30 | 31 | for(int i=0; i<3; i=i+1) 32 | { 33 | path a1=(0+(i*1.5),-1.05)..(0.05+(i*1.5), -1.15)..(0.2+(i*1.5),-1.2); 34 | path a2=(0.2+(i*1.5),-1.2)--(0.6+(i*1.5), -1.2)..(0.7+(i*1.5), -1.25)..(0.75+(i*1.5), -1.3); 35 | path a3=(0.75+(i*1.5), -1.3)..(0.8+(i*1.5), -1.25)..(0.9+(i*1.5), -1.2)--(1.3+(i*1.5), -1.2); 36 | path a4=(1.3+(i*1.5), -1.2)..(1.45+(i*1.5), -1.15)..(1.5+(i*1.5), -1.05); 37 | draw(a1); draw(a2); draw(a3); draw(a4); 38 | } 39 | 40 | for(int i=0; i<2; i=i+1) 41 | { 42 | path a1=(0+7+(i*1.5),-1.05)..(0.05+7+(i*1.5), -1.15)..(0.2+7+(i*1.5),-1.2); 43 | path a2=(0.2+7+(i*1.5),-1.2)--(0.6+7+(i*1.5), -1.2)..(0.7+7+(i*1.5), -1.25)..(0.75+7+(i*1.5), -1.3); 44 | path a3=(0.75+7+(i*1.5), -1.3)..(0.8+7+(i*1.5), -1.25)..(0.9+7+(i*1.5), -1.2)--(1.3+7+(i*1.5), -1.2); 45 | path a4=(1.3+7+(i*1.5), -1.2)..(1.45+7+(i*1.5), -1.15)..(1.5+7+(i*1.5), -1.05); 46 | draw(a1); draw(a2); draw(a3); draw(a4); 47 | } 48 | 49 | label(" $q_{1} \to 0$ ", (0.75, -1.6)); 50 | label(" $q_{2} \to 0$ ", (2.25, -1.6)); 51 | label(" $q_{3} \to 0$ ", (3.75, -1.6)); 52 | label(" $q_{m-1} \to 0$ ", (7.75, -1.6)); 53 | label(" $q_{m} \to 0$ ", (9.25, -1.6)); 54 | label(" $\cdots$ ", (5.75, -1.4)); 55 | 56 | \end{asy} 57 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Линейные отображения и их матрицы} 3 | Пусть $V_1, V_2$ - векторные пространства, $\phi: V_1 \rightarrow V_2$ - линейное отображение. 4 | \begin{example1} $\\$ 5 | $V_1 = D(a, b)$ - множество функций над полем $\R$, дифференцируемых на $(a, b)$;\\ 6 | $V_2 = F(a, b)$ - множество функций над полем $\R$, опреелённых на $(a, b)$;\\ 7 | $\phi(f) = \frac{df}{dt}, \ \phi : \ V_1 \to V_2$ - линейное отображение, \ $\text{Ker}(\phi) = \{const\}$ \\ 8 | Частный случай: \ $V_1 = \R[t]_n, \ V_2 = \R[t]_{n-1}$ \\ 9 | $\phi(f) = f'$ - линейное отображение (взяли производную)\\ 10 | $\text{Ker}(\phi) = \{const\}$. Является ли $\phi$ сюръекцией? \\ 11 | $\forall p(t) = a_0 + a_1x + ... + a_{n-1}t^{n-1}$\\ 12 | $\exists f(t) = a_0t + a_1 \frac{t^2}{2} + ... + a_{n-1}\frac{t^n}{n}: f'(t) = p(t) \Longrightarrow \phi$ - сюръекция 13 | \end{example1} 14 | \begin{theorem} 15 | Если $\phi: \ V_1 \to V_2$ - линейное отображение, $\dim V_1 < \infty$, то 16 | $$\dim (\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi) = \dim V_1 - \dim (\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi)$$ 17 | \end{theorem} 18 | \begin{proof} 19 | Пусть $\dim (\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi) = m \ (m \leq n = \dim V_1 )$\\ 20 | Выберем $c_1,...,c_m$ - базис в $\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi \Longrightarrow \exists \ a_1,...,a_m \in V_1: \ \phi(a_i) = c_i, \ i = \overline{1,m}$\\ 21 | Так же выберем базис $b_1,...,b_k$ в $\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi$ (если $\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi = \{0\}$, то $\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi \cong V_1$)\\ 22 | Покажем, что $\{a_1,...,a_m, b_1,...,b_k\}$ - базис в $V_1$:\\ 23 | Пусть $\alpha_i, \ \beta_j : \ \sum \limits_{i=1}^m \alpha_i a_i + \sum \limits_{j=1}^k \beta_j b_j = 0_{v_1}$, тогда: 24 | $$\phi(\sum \limits_{i=1}^m \alpha_i a_i + \sum \limits_{j=1}^k \beta_j b_j) = \sum \limits_{i=1}^m \alpha_i \phi(a_i) + \underbrace{\sum \limits_{j=1}^k \beta_j \phi(b_j)}_{0_{v_2}} = \sum \limits_{i=1}^m \alpha_i c_i = \phi(0_{v_1}) = 0_{v_2}$$ 25 | Т.к. $c_i$ - ЛНЗ $\Longrightarrow \forall i = \overline{1,m}: \ \alpha_i = 0 \Longrightarrow \sum \limits_{j=1}^k b_j \beta_j = 0$\\ 26 | Т.к. $b_i$ - ЛНЗ $\Longrightarrow \forall j= \overline{1,k}: \ \beta_j = 0$ 27 | $$\forall v\in V_1: \ \phi(v) = \sum \limits_{l=1}^m \gamma_l c_l = \phi(\sum \limits_{l=1}^m \gamma_l a_l) \Longrightarrow v - \sum \limits_{l=1}^m \gamma_l a_l \in \text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi$$ 28 | $$\Longrightarrow \exists \beta_j \in \F : \ v = \sum \limits_{l=1}^m \gamma_l a_l + \sum \limits_{j=1}^k \beta_j b_j$$ 29 | \end{proof} -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/1/linal-1-1.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | if(!settings.multipleView) settings.batchView=false; 2 | settings.tex="pdflatex"; 3 | defaultfilename="linal-1-1"; 4 | if(settings.render < 0) settings.render=4; 5 | settings.outformat=""; 6 | settings.inlineimage=true; 7 | settings.embed=true; 8 | settings.toolbar=false; 9 | viewportmargin=(2,2); 10 | 11 | size(15cm, 0); 12 | draw((-0.15,0)--(10.5,0)--(10.5,-1)--(-0.15,-1)--cycle); 13 | 14 | draw((0,-0.85)--(0,3.2)--(1,3.2)--(1,-0.85)--cycle); 15 | draw((2,-0.85)--(2,3.2)--(3,3.2)--(3,-0.85)--cycle); 16 | draw((3.5,-0.85)--(3.5,2.6)--(4.5,2.6)--(4.5,-0.85)--cycle); 17 | draw((5.5,-0.85)--(5.5,2.6)--(6.5,2.6)--(6.5,-0.85)--cycle); 18 | 19 | label(" $e$ ", (0.35,-0.5), fontsize(21pt)); 20 | label(" $0$ ", (0.5,-0.31), fontsize(10pt)); 21 | label(" $1$ ", (0.5,-0.67), fontsize(10pt)); 22 | 23 | label(" $e$ ", (0.35,0.6), fontsize(21pt)); 24 | label(" $1$ ", (0.5,0.41), fontsize(10pt)); 25 | label(" $1$ ", (0.5,0.76), fontsize(10pt)); 26 | 27 | label(" $\vdots$ ", (0.5, 1.3), fontsize(20pt)); 28 | label(" $\vdots$ ", (0.5, 2), fontsize(20pt)); 29 | 30 | label(" $e$ ", (0.35,2.6), fontsize(21pt)); 31 | label(" $0$ ", (0.5,2.41), fontsize(10pt)); 32 | label(" $m-1$ ", (0.67,2.81), fontsize(10pt)); 33 | 34 | label(" $\cdots$ ", (1.5,-0.5), fontsize(21pt)); 35 | 36 | label(" $e$ ", (2.35,-0.5), fontsize(21pt)); 37 | label(" $0$ ", (2.5,-0.31), fontsize(10pt)); 38 | label(" $p_1$ ", (2.55,-0.67), fontsize(10pt)); 39 | 40 | label(" $e$ ", (3.85,-0.5), fontsize(21pt)); 41 | label(" $0$ ", (4,-0.31), fontsize(10pt)); 42 | label(" $p_1+1$ ", (4.17,-0.69), fontsize(10pt)); 43 | 44 | label(" $e$ ", (3.85,0.5), fontsize(21pt)); 45 | label(" $1$ ", (4,0.63), fontsize(10pt)); 46 | label(" $p_1+1$ ", (4.2,0.29), fontsize(10pt)); 47 | 48 | label(" $\vdots$ ", (4, 1.3), fontsize(20pt)); 49 | 50 | label(" $e$ ", (3.85,2), fontsize(21pt)); 51 | label(" $m-2$ ", (4.2,2.21), fontsize(10pt)); 52 | label(" $p_1+1$ ", (4.17,1.81), fontsize(10pt)); 53 | 54 | label(" $\cdots$ ", (5,-0.5), fontsize(21pt)); 55 | 56 | label(" $e$ ", (5.85,-0.5), fontsize(21pt)); 57 | label(" $0$ ", (6,-0.3), fontsize(10pt)); 58 | label(" $p_1+p_2$ ", (6.22,-0.69), fontsize(10pt)); 59 | 60 | 61 | label(" $e$ ", (5.85,0.5), fontsize(21pt)); 62 | label(" $1$ ", (6,0.64), fontsize(10pt)); 63 | label(" $p_1+p_2$ ", (6.22,0.29), fontsize(10pt)); 64 | 65 | label(" $\vdots$ ", (6, 1.3), fontsize(20pt)); 66 | 67 | label(" $e$ ", (5.85,2), fontsize(21pt)); 68 | label(" $m-2$ ", (6.2,2.21), fontsize(10pt)); 69 | label(" $p_1+p_2$ ", (6.22,1.81), fontsize(10pt)); 70 | 71 | label(" $\cdots$ ", (7,-0.5), fontsize(19pt)); 72 | 73 | draw((7.5,-0.85)--(7.5,-0.15)--(8.5,-0.15)--(8.5,-0.85)--cycle); 74 | label(" $e$ ", (7.85,-0.5), fontsize(19pt)); 75 | label(" $0$ ", (8,-0.31), fontsize(10pt)); 76 | label(" $p_1+...+p_{r-1}$ ", (8.3,-0.67), fontsize(7pt)); 77 | 78 | 79 | draw((9,-0.85)--(9,-0.15)--(10,-0.15)--(10,-0.85)--cycle); 80 | label(" $e$ ", (9.35,-0.5), fontsize(19pt)); 81 | label(" $0$ ", (9.5,-0.31), fontsize(10pt)); 82 | label(" $p_1+...+p_r$ ", (9.8,-0.67), fontsize(7pt)); 83 | 84 | label(" $r=p_1 + ... + p_r$ ", (8.8,1), fontsize(14pt)); 85 | -------------------------------------------------------------------------------- /image/Asymptote/1/linal-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 36 %chktex-file 18 %chktex-file 11 2 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 3 | \usepackage{amssymb, amsmath, amsthm, mathtools} 4 | \usepackage{asymptote} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage[T2A]{fontenc} 7 | \usepackage[utf8]{inputenc} 8 | \usepackage[english, russian]{babel} 9 | \begin{document} 10 | \begin{asy} 11 | size(15cm, 0); 12 | draw((-0.15,0)--(10.5,0)--(10.5,-1)--(-0.15,-1)--cycle); 13 | 14 | draw((0,-0.85)--(0,3.2)--(1,3.2)--(1,-0.85)--cycle); 15 | draw((2,-0.85)--(2,3.2)--(3,3.2)--(3,-0.85)--cycle); 16 | draw((3.5,-0.85)--(3.5,2.6)--(4.5,2.6)--(4.5,-0.85)--cycle); 17 | draw((5.5,-0.85)--(5.5,2.6)--(6.5,2.6)--(6.5,-0.85)--cycle); 18 | 19 | label(" $e$ ", (0.35,-0.5), fontsize(21pt)); 20 | label(" $0$ ", (0.5,-0.31), fontsize(10pt)); 21 | label(" $1$ ", (0.5,-0.67), fontsize(10pt)); 22 | 23 | label(" $e$ ", (0.35,0.6), fontsize(21pt)); 24 | label(" $1$ ", (0.5,0.41), fontsize(10pt)); 25 | label(" $1$ ", (0.5,0.76), fontsize(10pt)); 26 | 27 | label(" $\vdots$ ", (0.5, 1.3), fontsize(20pt)); 28 | label(" $\vdots$ ", (0.5, 2), fontsize(20pt)); 29 | 30 | label(" $e$ ", (0.35,2.6), fontsize(21pt)); 31 | label(" $0$ ", (0.5,2.41), fontsize(10pt)); 32 | label(" $m-1$ ", (0.67,2.81), fontsize(10pt)); 33 | 34 | label(" $\cdots$ ", (1.5,-0.5), fontsize(21pt)); 35 | 36 | label(" $e$ ", (2.35,-0.5), fontsize(21pt)); 37 | label(" $0$ ", (2.5,-0.31), fontsize(10pt)); 38 | label(" $p_1$ ", (2.55,-0.67), fontsize(10pt)); 39 | 40 | label(" $e$ ", (3.85,-0.5), fontsize(21pt)); 41 | label(" $0$ ", (4,-0.31), fontsize(10pt)); 42 | label(" $p_1+1$ ", (4.17,-0.69), fontsize(10pt)); 43 | 44 | label(" $e$ ", (3.85,0.5), fontsize(21pt)); 45 | label(" $1$ ", (4,0.63), fontsize(10pt)); 46 | label(" $p_1+1$ ", (4.2,0.29), fontsize(10pt)); 47 | 48 | label(" $\vdots$ ", (4, 1.3), fontsize(20pt)); 49 | 50 | label(" $e$ ", (3.85,2), fontsize(21pt)); 51 | label(" $m-2$ ", (4.2,2.21), fontsize(10pt)); 52 | label(" $p_1+1$ ", (4.17,1.81), fontsize(10pt)); 53 | 54 | label(" $\cdots$ ", (5,-0.5), fontsize(21pt)); 55 | 56 | label(" $e$ ", (5.85,-0.5), fontsize(21pt)); 57 | label(" $0$ ", (6,-0.3), fontsize(10pt)); 58 | label(" $p_1+p_2$ ", (6.22,-0.69), fontsize(10pt)); 59 | 60 | 61 | label(" $e$ ", (5.85,0.5), fontsize(21pt)); 62 | label(" $1$ ", (6,0.64), fontsize(10pt)); 63 | label(" $p_1+p_2$ ", (6.22,0.29), fontsize(10pt)); 64 | 65 | label(" $\vdots$ ", (6, 1.3), fontsize(20pt)); 66 | 67 | label(" $e$ ", (5.85,2), fontsize(21pt)); 68 | label(" $m-2$ ", (6.2,2.21), fontsize(10pt)); 69 | label(" $p_1+p_2$ ", (6.22,1.81), fontsize(10pt)); 70 | 71 | label(" $\cdots$ ", (7,-0.5), fontsize(19pt)); 72 | 73 | draw((7.5,-0.85)--(7.5,-0.15)--(8.5,-0.15)--(8.5,-0.85)--cycle); 74 | label(" $e$ ", (7.85,-0.5), fontsize(19pt)); 75 | label(" $0$ ", (8,-0.31), fontsize(10pt)); 76 | label(" $p_1+...+p_{r-1}$ ", (8.3,-0.67), fontsize(7pt)); 77 | 78 | 79 | draw((9,-0.85)--(9,-0.15)--(10,-0.15)--(10,-0.85)--cycle); 80 | label(" $e$ ", (9.35,-0.5), fontsize(19pt)); 81 | label(" $0$ ", (9.5,-0.31), fontsize(10pt)); 82 | label(" $p_1+...+p_r$ ", (9.8,-0.67), fontsize(7pt)); 83 | 84 | label(" $r=p_1 + ... + p_r$ ", (8.8,1), fontsize(14pt)); 85 | \end{asy} 86 | \end{document} 87 | 88 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section11.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Собственные векторы и собственные значения оператора} 3 | Пусть $\phi: V \to V$ - линейный оператор над полем $\F$ 4 | \begin{definition} 5 | Вектор $x \in V$ называется собственным вектором оператора $\phi$, если $x\neq0$ и 6 | $$\exists\lambda\in \F: \ \phi(x) = \lambda \cdot x \eqno(1)$$ 7 | Где $\lambda$ - называется собственным значением оператора $\phi$, соответствующим вектору $x$. 8 | \end{definition} 9 | Пусть $\dim V = n$, $e$ - базис в $V$, в нём $\forall x = e\cdot X$, тогда равенство из вышеуказанного определения равносильно: 10 | $$A_{\phi}X = \lambda X \Longleftrightarrow (A_{\phi} - \lambda E)X = 0 \eqno(2)$$ - это СЛУ для нахождения вектора $x$, если известна $\lambda$. 11 | Система (2) имеет ненулевое решение, только если: 12 | $$\det (A_{\phi} - \lambda E) = 0 \eqno(3)$$ 13 | Равенство (3) называется характеристическим уравненением. 14 | Собственными значениями могут быть только корни характеристического уравнения. 15 | \begin{example} \tab 16 | \begin{enumerate} 17 | \item $V = D^{\infty}(\R)$ - множество бесконечно дифференцируемых функций. 18 | $$\phi = \frac{d}{dx}, \ \forall f(x): \ \phi(f) = f'(x)$$ 19 | $$\forall\lambda\in\R: \ (e^{\lambda x})' = \lambda e^x$$ 20 | \begin{proof} 21 | Если $f'(x) = \lambda \cdot f(x)$, то $f(x) = C \cdot e^{\lambda x}$, где $C\neq0$. 22 | Рассмотрим $(f(x)e^{-\lambda x})' = f'(x)e^{-\lambda x} - \lambda f(x)e^{-\lambda x} = 0 \Longrightarrow f(x)e^{-\lambda x} = C$. 23 | \end{proof} 24 | \item $$A_{\phi} = \begin{pmatrix} 25 | \cos\phi & -\sin\phi\\ 26 | \sin\phi & \cos\phi 27 | \end{pmatrix}$$ 28 | \end{enumerate} 29 | \end{example} 30 | \begin{exercise} 31 | Какие существуют собственные векторы и собственные значения у $\phi$ во втором примере? 32 | \end{exercise} 33 | \begin{definition} 34 | $$\chi_A(\lambda) = |A - \lambda E| = 35 | \begin{vmatrix} 36 | a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 37 | a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n}\\ 38 | \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 39 | a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda 40 | \end{vmatrix}= $$ 41 | $$=(a_{11}-\lambda)\cdot(a_{11}-\lambda)\cdots(a_{11}-\lambda)+\cdots = (-\lambda)^n+(a_{11}+ ... + a_{nn})(-\lambda)^{n-1}+...+\det A$$ 42 | $\chi_A(\lambda)$ - характеристический многочлен матрицы $A$ 43 | \end{definition} 44 | \begin{subtheorem}\textbf{(1)} \ 45 | $\chi_A(\lambda)$ - не зависит от базиса. 46 | \end{subtheorem} 47 | \begin{proof} 48 | В новом базисе: $A'_\phi = C^{-1}\cdot A_\phi\cdot C$ 49 | $$\chi_{A'_\phi}(\lambda) = \det (C^{-1} A_\phi C - \lambda E) = \det (C^{-1} (A_\phi - \lambda E) C) = \det (A_\phi - \lambda E)$$ 50 | \end{proof} 51 | \begin{definition} 52 | Вместо $\chi_{A_\phi}(\lambda) = \chi_\phi(\lambda)$ и называется характеристическим многочленом оператора $\phi$ 53 | \end{definition} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section18.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Общие линейные операторы} 3 | \begin{subtheorem} 4 | $$(\psi \cdot \phi)^* = \phi^* \cdot \psi^*$$ 5 | \end{subtheorem} 6 | \begin{proof} 7 | Следует из равенства $(AB)^T = B^TA^T$ в ортонормированном базисе. 8 | \end{proof} 9 | \begin{lemma} 10 | Если оператор $\phi: \ \E \to \E$ невырожденный, то все собственные значения оператора $\phi^* \cdot \phi$ положительны. 11 | \end{lemma} 12 | \begin{proof} 13 | Оператор $\phi^* \cdot \phi$ - самосопряжённый: 14 | $$(\phi^* \cdot \phi)^* = \phi^* \cdot (\phi^*)^* = \phi^* \cdot \phi$$ 15 | $\Longrightarrow $ все его собственные значения $\in \R$. Путсь $\mu$ - какое-то из них: $(\phi^* \cdot \phi)(v) = \mu v$ для подходящего $v \neq 0$. Вычислим $\mu$: 16 | $$((\phi^* \cdot \phi)(v),v) = \mu(v,v) = (\phi(v),(\phi^*)^*(v)) = (\phi(v), \phi(v)) \Longrightarrow \mu = \frac{(\phi(v),\phi(v))}{(v,v)}$$ 17 | $\Longrightarrow \mu>0$ 18 | \end{proof} 19 | \begin{theorem} 20 | Любой невырожденный линейный оператор $\phi$ в евклидовом пространстве $\E$ единственным образом может быть представлен в виде: $\phi = \theta \cdot \rho$, где $\theta$ - ортогональный оператор и $\rho$ - самосопряжённый оператор с положительными собственными значениями. 21 | \end{theorem} 22 | \begin{theorem} \textbf{Матричная версия}\\ 23 | Любую вещественную матрицу $A$ с $\det A \neq 0$ можно представить в виде произведения $A = Q \cdot R$, где $Q$ - ортогональная, $R$ - симметричная с положительными собственными значениями. 24 | \end{theorem} 25 | \begin{remark} 26 | Для любой вещественной матрицы $A$ она является $A = A_\phi$ в подходящем базисе (этот базис можно выбрать ортонормированным). Будем доказывать матричную версию, используя тот факт, что в ортонормированном базисе: $A_{\phi^*} = A_\phi^T$. 27 | \end{remark} 28 | \begin{proof} 29 | Предположим, что разложение $A = QR$ уже найдено: 30 | $$\Longrightarrow A^T = R^TQ^T =RQ^T \Longrightarrow A^TA = R(\underbrace{Q^TQ}_{=E})R = R^2$$ 31 | - это симметричная матрица с положительными собственными значениями.\\ 32 | $\Longrightarrow R^2$ можно привести к диагональному виду: $\exists$ ортогональная матрица $C$ такая, что: 33 | $$C^{-1}(R^2)C = \Lambda^2 = \begin{pmatrix} 34 | \mu_1 & \null & 0\\ \null & \ddots\\ 0 & \null & \mu_n 35 | \end{pmatrix} \Longrightarrow R^2 = C \Lambda^2C^{-1} = C \Lambda^2 C^T \Longrightarrow R = C \Lambda C^T$$ 36 | Где $\Lambda = \begin{pmatrix} 37 | \sqrt{\mu_n} & \null & 0\\ \null & \ddots\\ 0 & \null & \sqrt{\mu_n} 38 | \end{pmatrix}$ имеет положительные собственные значения.\\ 39 | Тогда $Q = A \cdot R^{-1}$ \\ 40 | Проверка: 41 | $$Q^T = (R^{-1})^TA^T = R^{-1}A^T \Longrightarrow Q^TQ = R^{-1}(A^TA)R^{-1} = R^{-1}R^2R^{-1} = E$$ 42 | \end{proof} 43 | \begin{definition} 44 | Разложение $\phi = \theta \rho$ или $A = Q \cdot R$ - полярное разложение оператора $\phi$ с собственной матрицей $A$ 45 | \end{definition} 46 | \begin{definition} 47 | Сингулярное разложение: $A = (QC) \Lambda C^T = U \Lambda V$, где $\Lambda$ - диагональная матрица с положительными собственными значениями $\lambda_1,...,\lambda_m, \\ U,V$ - ортогональные матрицы ($\lambda_1,...,\lambda_m$ - сингулярные числа матрицы $A$ ) 48 | \end{definition} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section10.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Действия над линейными отображениями} 3 | Пусть $\phi: \ V_1 \to V_2$ - линейное отображение, $\forall x \in V_1$ 4 | \begin{enumerate} 5 | \item $\forall \lambda \in \F: \ (\lambda \phi)(x) = \lambda \phi(x)$ 6 | \item Если $\psi: \ V_1 \to V_2$, то $(\phi + \psi)(x) = \phi(x) + \psi(x)$ 7 | \end{enumerate} 8 | \begin{subtheorem} \textbf{(1)} 9 | Относительно этих операций множество $Z(V_1,V_2)$ линейных отображений из $V_1$ в $V_2$ является векторным пространством. 10 | \end{subtheorem} 11 | \begin{subtheorem} \textbf{(2)} 12 | Если $\dim V_1 = n, \ \dim V_2 = m$, то $Z(V_1, V_2) \cong M_{m\times n}(\F)$ 13 | \end{subtheorem} 14 | 15 | \begin{proof} 16 | Зафиксируем базисы в $V_1$ и $V_2$: \ $e$ и $f$ соответственно, тогда $\forall \phi$ взаимооднозначно соответствует его матрица $A_{\phi, e, f}$ относительно базисов $e$ и $f$. 17 | $A_{\lambda \phi} = \lambda A_{\phi}$ $\forall \lambda \in \F$ 18 | $(\lambda \phi)(e_j) = \lambda \phi(e_j) \Longrightarrow$ все столбцы $A_{\phi}$ умножаются на $\lambda \Longrightarrow A_{\phi}$ умножается на $\lambda$. 19 | $$\forall j = 1,...,m: \ (\phi + \psi)(e_j) = \phi(e_j) + \psi(e_j)$$ 20 | $\Longrightarrow$ столбцы $A_{\phi + \psi}$ имеют вид $\phi(e_j) + \psi(e_j)$. 21 | \end{proof} 22 | Обозначение: $L(V_1, V_2) = \mathfrak{T} (V_1, V_2) =$ Hom$(V_1, V_2)$.\\ 23 | $\mathfrak{T}(V)$ - множество линейных операторов на $V$. 24 | \begin{definition} 25 | Произведением линейных отображений $\phi: V_1 \to V_2$ и \\$\psi: V_2 \to V_3$ называется их композиция: 26 | $$(\phi\circ\psi)(x) = \psi(\phi(x)), \text{ где } x \in V_1$$ 27 | \end{definition} 28 | \begin{subtheorem} \textbf{(3)} 29 | Композиция линейных отображений является линейным отображением, а композиция линейных операторов - линейным оператором. 30 | \end{subtheorem} 31 | \begin{subtheorem} \textbf{(4)} 32 | Пусть $V_1, V_2, V_3$ - конечномерные векторные пространства, $\phi: V_1 \to V_2$, \ $\psi: V_2 \to V_3$ - линейные отображения, тогда, если зафиксировать базисы в этих пространствах, матрица композиции: 33 | $$A_{\psi\circ\phi} = A_{\psi} \cdot A_{\phi}$$ 34 | \end{subtheorem} 35 | \begin{proof} $\\$ 36 | Утверждение (3) - упражнение.\\ 37 | Утверждение (4): 38 | Пусть $e$ - базис в $V_1$, \ $f$ - базис в $V_2$, \ $g$ - базис в $V_3$. 39 | $$A_{\phi} = (\phi(e_1)^\uparrow \ldots \phi(e_n)^\uparrow) \ \text{ в базисе } f$$ 40 | $$A_{\psi} = (\psi(f_1)^\uparrow \dots \psi(f_m)^\uparrow) \ \text{ в базисе } g$$ 41 | $\forall x = e X$, обозначим $y = \phi(x)$, \ $z = \psi(y)$ со столбцами координат $Y$ и $Z$ соответственно. 42 | Тогда: 43 | $$Y = A_{\phi}X, \ Z = A_{\psi}Y = A_{\psi}(A_{\phi}X) = (A_{\psi}A_{\phi})X = A_{\psi\circ\phi}X$$ 44 | \end{proof} 45 | \begin{theorem} 46 | Множество $L(V)$ с операциями $+$, $\cdot\lambda $, $\cdot$ является ассоциативной алгеброй с единицей, равной $\id \tab[0.1cm]V$. 47 | Если $\dim V = n$, то $L(V) \cong M_{n}(\F)$. 48 | \end{theorem} 49 | \begin{proof} 50 | Следует из утверждений (1) - (4). 51 | \end{proof} 52 | \begin{subtheorem} 53 | Если $\phi$ - линейный оператор на $V$, то $\forall k \in \N$ подпространства $\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi^k$ и $\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi^k$ инвариантны. При этом: 54 | $$\{0\} \subseteq \text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi \subseteq \text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi^2 \subseteq \ldots$$ 55 | $$V \supseteq \text{Im} \hspace{0.09cm} \phi \supseteq \text{Im} \hspace{0.09cm} \phi^2\ldots$$ 56 | \end{subtheorem} 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section19.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Квадратичные формы} 3 | Пусть $k(x) = b(x,x)$ - квадратичная форма на пространстве $\E$, $B$ - её матрица в некотором базисе ($B^T = B$). 4 | \begin{theorem} 5 | В $\E \ \exists$ ортонормированный базис $f = eC$, в котором $k(x)$ имеет вид: $k(x) = \lambda_1y_1^2 + ... + \lambda_n y_n^2$, где $\lambda_1,...,\lambda_n$ - собственные значения $B$. 6 | \end{theorem} 7 | \begin{remark} 8 | Векторы базиса $f$ называются главными осями для квадратичной формы $k$, а сама замена - приведением формы к главным осям. 9 | \end{remark} 10 | \begin{proof} 11 | Примем $B$ за матрицу самосопряжённого оператора $\phi$ в некотором ортонормированном базисе. Тогда $\exists$ ортонормированный базис $f_1,...,f_n$ из собственных векторов оператора $\phi$, т.е. $\exists C$ - ортогональная матрица такая, что 12 | $$C^{-1}BC = \begin{psmallmatrix} \lambda_1&\null&0 \\ \null&\ddots&\null \\ 0&\null&\lambda_n \end{psmallmatrix} \Longrightarrow C^TBC = \begin{psmallmatrix} \lambda_1&\null&0 \\ \null&\ddots&\null \\ 0&\null&\lambda_n \end{psmallmatrix}$$ 13 | т.е. $C$ - матрица перехода к главным осям. 14 | \end{proof} 15 | \begin{subtheorem} 16 | Если $\E$ - евклидово пр-во, то $\E^*$ изоморфно $\E$. 17 | \end{subtheorem} 18 | \begin{proof} 19 | Достаточно показать, что $\forall f: \E \rightarrow \R \ \ \exists! a \in \E$ такой, что: 20 | $$\forall x \in \E: \ f(x) = (a, x)$$ 21 | Выберем в $\E$ ортонормированный базис $e = \{e_1,...,e_n\}$, тогда в нём: 22 | $$f(x) = \sum \limits_{i=1}^n a_ix_i = (a, x), \text{ где } a = \begin{psmallmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{psmallmatrix}$$ 23 | \end{proof} 24 | \begin{lemma} 25 | Для любой билинейной функции $b(x, y)$ на евклидовом пространстве $\E \ \exists!$ линейный оператор $\phi: \E \rightarrow \E$ такой, что: 26 | $$\forall x, y \in \E: \ b(x, y) = (x, \phi(y)) \eqno(1)$$ 27 | \end{lemma} 28 | \begin{proof} 29 | Выберем произвольный базис $e$ в $\E$ с матрицей Грама $G$ $(\dim \E = n)$. Тогда: 30 | $$(1) \Longleftrightarrow \forall X, Y \in \R^n: X^TBY = X^T(GA_{\phi})Y \Longrightarrow A_\phi = G^{-1}B$$ 31 | \end{proof} 32 | \begin{remark} 33 | Пусть $b(x, y) = b(y, x)$. Тогда: 34 | $$(x, \phi^*(y)) = (\phi(x), y) = (y, \phi(x)) = b(y, x) = b(x, y) = (x, \phi(y)) \Rightarrow \phi^* = \phi$$ 35 | \end{remark} 36 | \begin{theorem} 37 | Пусть $V$ - векторное пространство над $\R \ (\dim V = n), \ f, g$ - квадратичные формы на $V$, причём $g$ знакоопределена (в частности, $g > 0$). Тогда $\exists$ базис, в котором: 38 | $$f(x) = \sum \limits_{i=1}^n \lambda_i x_i^2; \ g(x) = \sum \limits_{i=1}^n x_i^2 \ (\text{для } g < 0 \ g(x) = -\sum \limits_{i=1}^n x_i^2)$$. 39 | \end{theorem} 40 | \begin{proof} 41 | Рассмотрим порождающие $f, g$ симметрические билинейные формы $f(x, y)$ и $g(x, y)$, т.е. $f(x,x) \equiv f(x), \ g(x, x) \equiv g(x)$, и обозначим за $F,G$ матрицы этих форм в некотором базисе. Тогда можем задать на пр-ве $V$ скалярное произведение с помощью формы $g: (x,y) = g(x,y)$.\\ 42 | По лемме $\exists! \ \phi: V\rightarrow V$ - самосопряжённый оператор такой, что: 43 | $$f(x, y) \equiv g(x, \phi(y))$$ 44 | Заметим также, что $G$ - матрица Грама для базиса, в котором функция $g(x, y)$ имеет матрицу $G$. Тогда $A_\phi = G^{-1}F$.\\ 45 | Так как $\phi \equiv \phi^*$, в $V \ \exists$ ортонормированный базис, в котором $A_{\phi, e'} = \begin{psmallmatrix} \lambda_1&\null&0 \\ \null&\ddots&\null \\ 0&\null&\lambda_n \end{psmallmatrix}$. Если $C = C_{e\rightarrow e'}$, то $A_{\phi, e'} = C^{-1}A_\phi C, \ F_{e'} = C^TFC$.\\ 46 | Тогда во-первых, $C^TGC = G_{e'} = E$, т.к базис ортонормированный, а во-вторых 47 | $$C^{-1}A_{\phi, e}C = C^{-1}G^{-1}FC = C^{-1}(CC^T)FC = (C^{-1}C)C^TFC = C^TFC = F_{e'}$$ 48 | т.е. в новых координатах $F_{e'} = A_{\phi, e'} = \begin{psmallmatrix} \lambda_1&\null&0 \\ \null&\ddots&\null \\ 0&\null&\lambda_n \end{psmallmatrix}$ и $f(x') = \sum \limits_{i=1}^n \lambda_i {x_i'}^2$ 49 | \end{proof} 50 | \begin{remark} 51 | $\lambda_1,...,\lambda_n$ - корни характеристического уравнения 52 | $$|A_\phi - \lambda E| = 0 \Longleftrightarrow |G^{-1}F - \lambda E| = 0 \Longleftrightarrow |F - \lambda G| = 0 \eqno(2)$$ 53 | т.е. соответствующие собственные векторы будут решениями СЛУ 54 | $$(F-\lambda G)X = 0 \eqno(3)$$ 55 | Для каждого собственного значения $\lambda_i$ нужно найти ФСР для $(3)$ и ортонормировать относительно $g(x, y)$. 56 | \end{remark} 57 | 58 | 59 | -------------------------------------------------------------------------------- /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## Core latex/pdflatex auxiliary files: 2 | *.aux 3 | *.lof 4 | *.log 5 | *.lot 6 | *.fls 7 | *.out 8 | *.toc 9 | *.fmt 10 | *.fot 11 | *.cb 12 | *.cb2 13 | .*.lb 14 | #*.png 15 | *.DS_Store 16 | 17 | ## Intermediate documents: 18 | *.dvi 19 | *.xdv 20 | *-converted-to.* 21 | # these rules might exclude image files for figures etc. 22 | # *.ps 23 | # *.eps 24 | # *.pdf 25 | 26 | ## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" 27 | .pdf 28 | 29 | ## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): 30 | *.bbl 31 | *.bcf 32 | *.blg 33 | *-blx.aux 34 | *-blx.bib 35 | *.run.xml 36 | 37 | ## Build tool auxiliary files: 38 | *.fdb_latexmk 39 | *.synctex 40 | *.synctex(busy) 41 | *.synctex.gz 42 | *.synctex.gz(busy) 43 | *.pdfsync 44 | *.rubbercache 45 | rubber.cache 46 | 47 | ## Build tool directories for auxiliary files 48 | # latexrun 49 | latex.out/ 50 | 51 | ## Auxiliary and intermediate files from other packages: 52 | # algorithms 53 | *.alg 54 | *.loa 55 | 56 | # achemso 57 | acs-*.bib 58 | 59 | # amsthm 60 | *.thm 61 | 62 | # beamer 63 | *.nav 64 | *.pre 65 | *.snm 66 | *.vrb 67 | 68 | # changes 69 | *.soc 70 | 71 | # comment 72 | *.cut 73 | 74 | # cprotect 75 | *.cpt 76 | 77 | # elsarticle (documentclass of Elsevier journals) 78 | *.spl 79 | 80 | # endnotes 81 | *.ent 82 | 83 | # fixme 84 | *.lox 85 | 86 | # feynmf/feynmp 87 | *.mf 88 | *.mp 89 | *.t[1-9] 90 | *.t[1-9][0-9] 91 | *.tfm 92 | 93 | #(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar 94 | *.end 95 | *.?end 96 | *.[1-9] 97 | *.[1-9][0-9] 98 | *.[1-9][0-9][0-9] 99 | *.[1-9]R 100 | *.[1-9][0-9]R 101 | *.[1-9][0-9][0-9]R 102 | *.eledsec[1-9] 103 | *.eledsec[1-9]R 104 | *.eledsec[1-9][0-9] 105 | *.eledsec[1-9][0-9]R 106 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9] 107 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9]R 108 | 109 | # glossaries 110 | *.acn 111 | *.acr 112 | *.glg 113 | *.glo 114 | *.gls 115 | *.glsdefs 116 | *.lzo 117 | *.lzs 118 | *.slg 119 | *.slo 120 | *.sls 121 | 122 | # uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!) 123 | # *.ist 124 | 125 | # gnuplot 126 | *.gnuplot 127 | *.table 128 | 129 | # gnuplottex 130 | *-gnuplottex-* 131 | 132 | # gregoriotex 133 | *.gaux 134 | *.glog 135 | *.gtex 136 | 137 | # htlatex 138 | *.4ct 139 | *.4tc 140 | *.idv 141 | *.lg 142 | *.trc 143 | *.xref 144 | 145 | # hypdoc 146 | *.hd 147 | 148 | # hyperref 149 | *.brf 150 | 151 | # knitr 152 | *-concordance.tex 153 | # TODO Uncomment the next line if you use knitr and want to ignore its generated tikz files 154 | # *.tikz 155 | # *-tikzDictionarys 156 | 157 | # listings 158 | *.lol 159 | 160 | # luatexja-ruby 161 | *.ltjruby 162 | 163 | # makeidx 164 | *.idx 165 | *.ilg 166 | *.ind 167 | 168 | # minitoc 169 | *.maf 170 | *.mlf 171 | *.mlt 172 | *.mtc[0-9]* 173 | *.slf[0-9]* 174 | *.slt[0-9]* 175 | *.stc[0-9]* 176 | 177 | # minted 178 | _minted* 179 | *.pyg 180 | 181 | # morewrites 182 | *.mw 183 | 184 | # newpax 185 | *.newpax 186 | 187 | # nomencl 188 | *.nlg 189 | *.nlo 190 | *.nls 191 | 192 | # pax 193 | *.pax 194 | 195 | # pdfpcnotes 196 | *.pdfpc 197 | 198 | # sagetex 199 | *.sagetex.sage 200 | *.sagetex.py 201 | *.sagetex.scmd 202 | 203 | # scrwfile 204 | *.wrt 205 | 206 | # svg 207 | svg-inkscape/ 208 | 209 | # sympy 210 | *.sout 211 | *.sympy 212 | sympy-plots-for-*.tex/ 213 | 214 | # pdfcomment 215 | *.upa 216 | *.upb 217 | 218 | # pythontex 219 | *.pytxcode 220 | pythontex-files-*/ 221 | 222 | # tcolorbox 223 | *.listing 224 | 225 | # thmtools 226 | *.loe 227 | 228 | # TikZ & PGF 229 | *.dpth 230 | *.md5 231 | *.auxlock 232 | 233 | # titletoc 234 | *.ptc 235 | 236 | # todonotes 237 | *.tdo 238 | 239 | # vhistory 240 | *.hst 241 | *.ver 242 | 243 | # easy-todo 244 | *.lod 245 | 246 | # xcolor 247 | *.xcp 248 | 249 | # xmpincl 250 | *.xmpi 251 | 252 | # xindy 253 | *.xdy 254 | 255 | # xypic precompiled matrices and outlines 256 | *.xyc 257 | *.xyd 258 | 259 | # endfloat 260 | *.ttt 261 | *.fff 262 | 263 | # Latexian 264 | TSWLatexianTemp* 265 | 266 | ## Editors: 267 | # WinEdt 268 | *.bak 269 | *.sav 270 | 271 | # Texpad 272 | .texpadtmp 273 | 274 | # LyX 275 | *.lyx~ 276 | 277 | # Kile 278 | *.backup 279 | 280 | # gummi 281 | .*.swp 282 | 283 | # KBibTeX 284 | *~[0-9]* 285 | 286 | # TeXnicCenter 287 | *.tps 288 | 289 | # auto folder when using emacs and auctex 290 | ./auto/* 291 | *.el 292 | 293 | # expex forward references with \gathertags 294 | *-tags.tex 295 | 296 | # standalone packages 297 | *.sta 298 | 299 | # Makeindex log files 300 | *.lpz 301 | 302 | # xwatermark package 303 | *.xwm 304 | 305 | #my stupid files and dirs 306 | #.image/ 307 | 308 | # REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib 309 | # option is specified. Footnotes are the stored in a file with suffix Notes.bib. 310 | # Uncomment the next line to have this generated file ignored. 311 | #*Notes.bib 312 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 2 | \section{Пересечение и сумма подпространств} 3 | \begin{subtheorem}\tab 4 | \begin{enumerate} 5 | \item Если $U_i \ (i\in I)$ - подпространство $V$, то $W = \underset{i\in I}{\cap}U_i$ тоже подпространство в $V$; 6 | \item Объединение подпространств может НЕ быть подпространством даже для двух подпространств. 7 | 8 | \[ 9 | \begin{tikzpicture} 10 | \draw[->] (-1, 0) -- (6, 0) node[right] {x}; 11 | \draw[->] (0, -1) -- (0, 6) node[above] {y}; 12 | \draw[fill] (0, 0) circle (2pt); 13 | \draw[thick] (-0.4, -1) -- (2, 5) node[above] {$U$}; 14 | \draw[thick] (-1, -0.4) -- (5, 2) node[right] {$W$}; 15 | \draw[->] (0, 0) -- (1, 2.5) node[left] {$u$}; 16 | \draw[->] (0, 0) -- (2.5, 1) node[above] {$w$}; 17 | \draw[->] (0, 0) -- (3.5, 3.5) node[right] {$u+w\not\in U\cup W$}; 18 | % \draw[thick] (-0.7, -0.7) -- (4.5, 4.5); 19 | \end{tikzpicture} 20 | \] 21 | 22 | \end{enumerate} 23 | \end{subtheorem} 24 | \begin{proof} 25 | 1. $\overline{0} \in W$, т.к. $\overline{0} \in U_i, \ \forall i\in I$. \vspace{0.2cm}\\ 26 | Если $x,y \in U_i, \ \forall i\in I \Longrightarrow x+y \in U_i, \ \forall i\in I \Longrightarrow x+y \in \underset{i\in I}{\cap}U_i$ \vspace{0.15cm}\\ 27 | Если $x \in U_i, \ \forall i\in I, \ \forall \lambda \in F \Longrightarrow \lambda x \in U_i, \ \forall i\in I \Longrightarrow \lambda x \in \underset{i\in I}{\cap}U_i$ 28 | \end{proof} 29 | \begin{remark} 30 | Если $U_1, U_2$ - подпространства в $V$ и $Q$ - любое подпространство, которое содержит $U_1$ и $U_2$, то оно содержит и сумму $u_1+u_2$, если $u_i \in U_i, \ i =1,2$ 31 | \end{remark} 32 | \begin{definition} 33 | Суммой подпространств $U_1,...,U_m \subseteq V$ назовем: $$U_1 + ... + U_m = \{x_1+...+x_m \ | \ x_i \in U_i\}$$ 34 | \end{definition} 35 | \begin{subtheorem} 36 | $U_1 + ... + U_m$ - подпространство в $V$ 37 | \end{subtheorem} 38 | \begin{theorem} (Формула Грассмана)\\ 39 | Если $U_1,U_2$ - подпространства в $V, \ \dim U_1 < \infty, \ \dim U_2 < \infty$, то 40 | $$\dim (U_1+U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1 \cap U_2)$$ 41 | \end{theorem} 42 | \begin{proof} 43 | Пусть $\dim U_i = n_i, \ \dim (U_1 \cap U_2) = s$ 44 | Выберем $c_1,...,c_s$ - базис $U_1 \cap U_2$, дополним до базиса в $U_1$ векторами $a_1,...,a_{n_1-s}$ и до базиса в $U_2$ векторами $b_1,...,b_{n_2-s}$.\\ Тогда векторы $c_1,...,c_s,a_1,...,a_{n_1-s},b_1,...,b_{n_2-s}$ - образуют базис в $U_1 + U_2$ 45 | \begin{enumerate} 46 | \item Они порождают $U_1 + U_2:$ 47 | $$\forall u = u_1+u_2 = (\sum \alpha_i a_i + \sum x_i c_i) + (\sum \beta_i b_i + \sum \delta_i c_i)$$ 48 | \item Они ЛНЗ. Рассмотрим линейную комбинацию: 49 | $$\sum \limits_{i=1}^{n_1-s} \alpha_i a_i + \sum \limits_{k=1}^{n_2-s} \beta_k b_k + \sum \limits_{j=1}^{s} \gamma_j c_j = 0$$ 50 | $$\sum \limits_{i=1}^{n_1-s} \alpha_i a_i = -\sum \limits_{k=1}^{n_2-s} \beta_k b_k - \sum \limits_{j=1}^{s} \gamma_j c_j \in U_1 \cap U_2$$ 51 | Левая часть должна раскладываться по $\{c_j\} \Longrightarrow $ $\sum \limits_{i=1}^{n_1-s} \alpha_i a_i = 0 \Longrightarrow a_i$ - ЛНЗ $\Longrightarrow \forall i: \ \alpha_i = 0$ \\ 52 | Тогда $\sum \limits_{k=1}^{n_2-s} \beta_k b_k + \sum \limits_{j=1}^{s} \gamma_j c_j = 0 \Longrightarrow \{b_k,\gamma_j\}$ - ЛНЗ $\Longrightarrow \forall k,j: \ \beta_k = \gamma_j = 0$ 53 | \end{enumerate} 54 | \begin{algorithm} 55 | Пусть $U_1 = \langle a_1,...,a_{n_1} \rangle, \ U_2 = \langle b_1,...,b_{n_2} \rangle$, известны координаты всех этих векторов. Составим матрицу: 56 | $$\begin{pmatrix} 57 | A & \vline & B 58 | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59 | a_1^{\uparrow},...,a_{n_1}^{\uparrow} & \vline & b_1^{\uparrow},...,b_{n_2}^{\uparrow} 60 | \end{pmatrix}$$ 61 | $\dim (U_1 + U_2) = rk (A | B)$ 62 | $$\begin{pmatrix} 63 | A & \vline & B 64 | \end{pmatrix} \xrightarrow[\text{строк}]{\text{ЭП}} \begin{pmatrix} 65 | a_1^{\uparrow},...,a_{n_1}^{\uparrow} & \vline & \underbrace{b_1^{\uparrow},...,b_m^{\uparrow}}_{\text{попало в базис}} ,b_{m+1}^{\uparrow},...,b_{n_2-m}^{\uparrow} 66 | \end{pmatrix}$$ 67 | Можно записать: $$b_j = \sum \limits_{i=1}^{n_1} \alpha_i a_i + \sum \limits_{k=1}^{m} \beta_{k_j} b_k \Longrightarrow b_j - \sum \limits_{k=1}^{m} \beta_{k_j} b_k = \sum \limits_{i=1}^{n_1} \alpha_i a_i \in U_1 \cap U_2$$ 68 | \end{algorithm} 69 | \end{proof} 70 | \begin{exercise} 71 | Верна ли аналогичная формула для трех подпространств? 72 | \end{exercise} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Линейные отображения и функции} 3 | Пусть $V_1, V_2$ - векторные пространства над полем $\F$. 4 | \begin{definition} 5 | Отображение $\phi: V_1 \rightarrow V_2$ называется линейным отображением $V_1$ в $V_2$, если: 6 | \begin{enumerate} 7 | \item $\forall v_1, v_1'\in V_1 \ : \ \phi(v_1 + v_1') = \phi(v_1) + \phi(v_1')$; 8 | \item $\forall v \in V_1, \lambda \in \F \ : \ \phi(\lambda v) = \lambda\phi(v)$; 9 | \end{enumerate} 10 | \end{definition} 11 | Из курса $\textup{I}$ семестра известно, что $\phi (0_{V_1}) = 0_{V_2}$ 12 | \begin{definition} 13 | Ядром $\phi$ называется множество $\textup{Ker}(\phi) = \{v \in V_1 \ | \ \phi(v) = 0_{V_2}\}$. Образом $\phi$ называется множество $\text{Im}(\phi) = \phi(V_1)$. 14 | \end{definition} 15 | \begin{subtheorem} 16 | \begin{enumerate} \tab 17 | \item $\textup{Ker}\phi$ - подпространство в $V_1$ 18 | \item Отображение $\phi$ инъективно $\Longleftrightarrow$ $\textup{Ker}\phi=\{0_{V_1}\}$ 19 | \item $\textup{Im}\phi$ - подпространство в $V_2$ 20 | \end{enumerate} 21 | \end{subtheorem} 22 | \begin{proof} \tab 23 | \begin{enumerate} 24 | \item \[\forall u_1, u_2\in \textup{Ker}\phi: 25 | \phi(u_1+u_2)=\phi(u_1)+\phi(u_2)=0_{V_2}+0_{V_2}=0_{V_2}\] 26 | \[\forall u\in \textup{Ker}\phi, \ \forall\lambda\in\F: \ \ \phi(\lambda u)=\lambda\phi(u)=\lambda\cdot 0_{V_2}=0_{V_2}\] 27 | - подпространство по определению. 28 | \item $\underline{\Longrightarrow}$ Пусть отображение $\phi$ инъективно, то есть если $\phi(v)=\phi(w)$ для $v$, $w\in V$, то $v=w$. Возьмём $v=0_{V_1}$, $w\in \textup{Ker}\phi$. Так как $0_{V_1} \in \textup{Ker}\phi$, то $\phi(v)=0_{V_2}=\phi(w)$ $\Longrightarrow$ $v=w=0_{V_1}$, так как отображение $\phi$ инъективно $\Longrightarrow$ $\textup{Ker}\phi=\{0_{V_1}\}$\\ 29 | $\underline{\Longleftarrow}$ Пусть $\textup{Ker}\phi=\{0_{V_1}\}$ и $v$, $w\in V_1$ : $\phi(v)=\phi(w)$ $\Leftrightarrow$ $\phi(v-w)=0_{V_2}$, то есть $(v-w)\in \textup{Ker}\phi=\{0_{V_1}\}$ $\Longrightarrow$ $w=v$ 30 | \item $\forall w_1$, $w_2\in V_2$ $\exists v_1$, $v_2\in V_1$ : $\phi(v_1)=w_1$, $\phi(v_2)=w_2$ $\Longrightarrow$ $w_1+w_2=\phi(v_1)+\phi(v_2)=\phi(v_1+v_2)\in \textup{Im}\phi$ 31 | \end{enumerate} 32 | \end{proof} 33 | \begin{definition} 34 | Линейное отображение $\phi$ : $V_1 \to V_2$ называется изоморфизмом, если $\phi$ линейно и биективно. $V_1$ и $V_2$ называются изоморфными, если существует изоморфизм $\phi$ : $V_1 \to V_2$. Обозначается: $V_1 \cong V_2$. 35 | \end{definition} 36 | \begin{theorem}(Об изоморфизме) 37 | Конечномерные векторные пространства $V_1$ и $V_2$ изоморфны тогда и только тогда, когда $dimV_1 = dimV_2$. 38 | \end{theorem} 39 | \begin{proof} $\\$ 40 | $\underline{\Longleftarrow}$ Пусть $\dim V_1=\dim V_2=n$. Выберем $e_1$, $\ldots$, $e_n$ - базис в $V_1$, а $f_1$, $\ldots$, $f_n$ - базис в $V_2$, тогда $\forall v \in V_1 \ $ $v=\sum\limits_{i=1}^nx_ie_i$.\\ Определим отображение $\phi$ : $V_1 \to V_2$ формулой $\phi(v):=\sum\limits_{i=1}^nx_if_i$. 41 | \begin{enumerate} 42 | \item (линейность) Пусть $v_1$, $v_2$ $\in V_1$, $v_1=\sum\limits_{i=1}^nx_ie_i$ и $v_2=\sum\limits_{i=1}^ny_ie_i$, тогда\\ $v_1+v_2=\sum\limits_{i=1}^n(x_i+y_i)e_i$ $\Longrightarrow$\\ $\Longrightarrow$ $\phi(v_1+v_2) = \sum\limits_{i=1}^n(x_i+y_i)f_i=\sum\limits_{i=1}^nx_if_i+\sum\limits_{i=1}^ny_if_i=\phi(v_1)+\phi(v_2)$.\\ $\forall\lambda\in\F$ и $\forall v\in V_1$ $\phi(\lambda v)=\sum\limits_{i=1}^n(\lambda x_i)f_i =\lambda\sum\limits_{i=1}^nx_if_i=\lambda\phi(v)$. 43 | \item (инъективность) $\textup{Ker}\phi = \{v\in V_1 | \phi(v)=0_{V_2}\}$. Пусть $v\in V_1$ и $v\in \textup{Ker}\phi$, тогда $v=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_ie_i$ $\Longrightarrow$\\$\Longrightarrow$ $\phi(v)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_if_i=0$, а так как $f_1$, $\ldots$, $f_n$ - линейно независимы $\Longrightarrow$ $\forall i$ $\alpha_i=0$ $\Longrightarrow$ $v=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_ie_i=0 \Longrightarrow \textup{Ker}\phi=\{0\}$. 44 | \item (сюръективность) $\forall w\in V_2$ $w=\sum\limits_{j=1}^n\alpha_jf_j$ $\Longrightarrow$ $w=\phi(v)$, $v=\sum\limits_{j=1}^n\alpha_je_j$ $\Longrightarrow$ $\phi(V_1)=V_2$. 45 | \end{enumerate} 46 | $\underline{\Longrightarrow}$ Пусть $V_1\cong V_2$, $\dim V_1=n$, $\phi$ : $V_1 \to V_2$ - изоморфизм $V_1$ и $V_2$. Выберем базис $e_1$, $\ldots$, $e_n$ в $V_1$ и покажем, что $\phi(e_1)$, $\ldots$, $\phi(e_n)$ - базис в $V_2$.\\ 47 | $\forall w\in V_2$ $\exists v\in V_1$ : $\phi(v)=w$. Пусть $v=\sum\limits_{i=1}^nx_ie_i$, тогда $\phi(v)=w=\sum\limits_{i=1}^nx_i\phi(e_i)$ $\Longrightarrow$\\ $\Longrightarrow$ $V_2=\langle\phi(e_1),$ $\ldots$, $\phi(e_n)\rangle$. Проверим линейную независимость\\ 48 | Предположим, что $\exists\mu_i\in\F$ : $0_{V_2}=\sum\limits_{i=1}^n\mu_i\phi(e_i)=\phi(\sum\limits_{i=1}^n\mu_ie_i)$ $\Longrightarrow$ $\sum\limits_{i=1}^n\mu_ie_i\in \textup{Ker}\phi=\{0\}$, так как $\phi$ - биекция.\\ Так как $\{e_i\}$ линейно независимы $\Longrightarrow$ $\mu_i=0$ $\forall i$ $\Longrightarrow$ $\phi(e_1)$, $\ldots$, $\phi(e_n)$ линейно независимы. 49 | \end{proof} 50 | 51 | -------------------------------------------------------------------------------- /linal.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \usepackage{import} 3 | 4 | \usepackage{cmap} % Русский поиск в PDF документе 5 | 6 | % Корректность отображения всех шрифтов, кодировок и мат. символов 7 | \usepackage[T2A]{fontenc} 8 | \usepackage[utf8]{inputenc} 9 | \usepackage[english, russian]{babel} 10 | \usepackage{amssymb, amsmath, amsthm, mathtools, scalerel} 11 | 12 | % Отображение содержания 13 | \usepackage{tocloft} 14 | 15 | % Вставка картинок 16 | \usepackage{graphicx} 17 | \usepackage{tikz} 18 | \usepackage{tkz-euclide} 19 | \usepackage{asymptote} 20 | % \usepackage{nicematrix} 21 | \usepackage{wrapfig} % Огибание картинок текстом 22 | \usepackage{cancel} % Зачёркивания 23 | \usepackage{indentfirst} % Отступ у первого абзаца 24 | \usepackage{xcolor} % Цвета 25 | \setlength{\parskip}{.5ex} % Отступы между абзацами 26 | \usepackage{enumitem} % Работа со списками 27 | % \usepackage{minted} % Вставка блоков кода 28 | 29 | \usepackage{hyperref} % гиперссылки 30 | \definecolor{linkcolor}{HTML}{225ae2} % Цвет ссылок 31 | \definecolor{urlcolor}{HTML}{225ae2} % Цвет гиперссылок 32 | \hypersetup{ 33 | pdfstartview=FitH, 34 | linkcolor=linkcolor, 35 | urlcolor=urlcolor, 36 | colorlinks=true} 37 | \setlength{\arrayrulewidth}{0.5mm} %Толщина линейки в таблицах 38 | \setlength{\tabcolsep}{18pt} %Разделение между столбцами в таблице 39 | 40 | % Отступы на странице 41 | \usepackage[left=2cm, right=1.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} 42 | 43 | \usepackage{etoolbox} 44 | \usepackage{soul} % Разряженный текст \so{} и подчеркивание \ul{} 45 | %\usepackage{soulutf8} % Поддержка UTF8 в soul 46 | 47 | \usepackage{titlesec} % Форматирование заголовков 48 | \titleformat{\section}{\LARGE \bfseries}{\thesection}{1em}{} 49 | \titleformat{\subsection}{\Large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{} 50 | \titleformat{\subsubsection}{\large\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{} 51 | 52 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 53 | \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 54 | \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 55 | \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 56 | \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} 57 | \newcommand{\F}{\mathbb{F}} 58 | \newcommand{\A}{\mathbb{A}} 59 | \newcommand{\E}{\mathcal{E}} 60 | \newcommand{\aug}{\fboxsep=-\fboxrule\!\!\!\fbox{\strut}\!\!\!} 61 | \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} 62 | \newcommand{\id}{\mathrm{id}} 63 | \renewcommand{\phi}{\varphi} 64 | \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 65 | 66 | \newsavebox{\boxedalignbox} 67 | \newenvironment{boxedalign*} 68 | {\begin{equation*}\begin{lrbox}{\boxedalignbox}$\begin{aligned}} 69 | {\end{aligned}$\end{lrbox}\fbox{\usebox{\boxedalignbox}}\end{equation*}} 70 | 71 | \newcommand\tab[1][.5cm]{\hspace*{#1}} 72 | 73 | % Подписи для матриц 74 | \newcommand\undermat[2]{\makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace 75 | {\phantom{\begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{\text{$#1$}}}$}#2} 76 | \newcommand\overmat[2]{\makebox[0pt][l]{$\smash{\overbrace 77 | {\phantom{\begin{matrix}#2\end{matrix}}}^{\text{$#1$}}}$}#2} 78 | 79 | %chktex-file 1 80 | % Значек "пусть" 81 | \newlength{\tempheight} 82 | \newcommand{\Let}[0]{ 83 | \mathbin{\text{\settoheight{\tempheight}{\mathstrut}\raisebox{0.5\pgflinewidth}{% 84 | \tikz[baseline,line cap=round,line join=round] \draw (0,0) --++ (0.4em,0) --++ (0,1.5ex) --++ (-0.4em,0); 85 | }}}} 86 | 87 | 88 | \newcounter{lemcount} 89 | % \newcounter{thcount} 90 | % \newcounter{offercount} 91 | % \newcounter{concount} 92 | % \newcounter{subthcount} 93 | % \newcounter{defcount} 94 | 95 | \theoremstyle{definition} 96 | \newtheorem*{definition}{Определение} 97 | % \newtheorem{definitionnum}[defcount]{Определение} 98 | \newtheorem*{example}{Примеры} 99 | \newtheorem*{example1}{Пример} 100 | \newtheorem*{exercise}{Упражнение} 101 | \newtheorem*{algorithm}{Алгоритм} 102 | 103 | \theoremstyle{plain} 104 | \newtheorem*{theorem}{Теорема} 105 | % \newtheorem{theoremnum}[thcount]{Теорема} 106 | \newtheorem*{consequense}{Следствие} 107 | \newtheorem*{consequenses}{Следствия} 108 | % \newtheorem{consequensenum}[concount]{Следствие} 109 | \newtheorem*{lemma}{Лемма} 110 | \newtheorem{lemmanum}[lemcount]{Лемма} 111 | \newtheorem*{subtheorem}{Утверждение} 112 | % \newtheorem{subtheoremnum}[subthcount]{Утверждение} 113 | \newtheorem*{properties}{Свойства} 114 | \newtheorem*{properties1}{Свойство} 115 | 116 | \theoremstyle{remark} 117 | \newtheorem*{remark}{Замечание} 118 | \newtheorem*{offer}{Предложение} 119 | % \newtheorem{offernum}[offercount]{Предложение} 120 | 121 | \DeclareMathOperator*{\circledplus}{\scalerel*{\oplus}{\sum}} 122 | 123 | 124 | \begin{document} 125 | \import{Sections/}{titlepage.tex} 126 | 127 | \tableofcontents 128 | \fontsize{14pt}{20pt}\selectfont 129 | \newpage 130 | \fontsize{14pt}{20pt}\selectfont 131 | 132 | \import{Sections/}{section1.tex} 133 | \import{Sections/}{section2.tex} 134 | \import{Sections/}{section3.tex} 135 | \import{Sections/}{section4.tex} 136 | \import{Sections/}{section5.tex} 137 | \import{Sections/}{section6.tex} 138 | \import{Sections/}{section7.tex} 139 | \import{Sections/}{section8.tex} 140 | \import{Sections/}{section9.tex} 141 | \import{Sections/}{section10.tex} 142 | \import{Sections/}{section11.tex} 143 | \import{Sections/}{section12.tex} 144 | \import{Sections/}{section13.tex} 145 | \import{Sections/}{section14.tex} 146 | \import{Sections/}{section15.tex} 147 | \import{Sections/}{section16.tex} 148 | \import{Sections/}{section17.tex} 149 | \import{Sections/}{section18.tex} 150 | \import{Sections/}{section19.tex} 151 | \import{Sections/}{section20.tex} 152 | \import{Sections/}{section21.tex} 153 | \import{Sections/}{section22.tex} 154 | \import{Sections/}{section23.tex} 155 | \import{Sections/}{section24.tex} 156 | 157 | \end{document} 158 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section14.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Корневые подпространства} 3 | $\phi:\ V \to V$ - линейный оператор над $\F, \ \dim V = n$\\ 4 | Все корни характеристического многочлена для $\phi$ принадлежат $F$ так, что: 5 | $$\chi_\phi(\lambda) = (-1)^n(\lambda-\lambda_1)^{k_1} \cdots (\lambda - \lambda_p)^{k_p}\cdots (\lambda-\lambda_s)^{k_s}, \ \forall i \neq j: \ \lambda_i \neq \lambda_j, \ \sum \limits_{i=1}^sk_i = n$$ 6 | Рассмотрим: 7 | $$\frac{1}{\chi_\phi(\lambda)} = \frac{f_1(\lambda)}{(\lambda-\lambda_1)^{k_1}} + ... + \frac{f_s(\lambda)}{(\lambda-\lambda_s)^{k_s}} \ \ | \cdot \chi_\phi(\lambda)$$ $$\Longrightarrow 1 = f_1 (\lambda) \prod\limits_{i\neq 1}(\lambda-\lambda_i)^{k_i} + ... + f_s (\lambda) \prod\limits_{i\neq s}(\lambda-\lambda_i)^{k_i}$$ 8 | $$1= q_1(\lambda) + ... + q_s(\lambda) \Longrightarrow \text{id} = q_1(\phi) + ... + q_s(\phi) = Q_1 + ... + Q_s$$ 9 | $$\forall x \in V: \ x=Q_1(x) + ... + Q_s(x) \Longrightarrow V = \text{Im} (Q_1) + ... + \text{Im} (Q_s)$$ 10 | Обратим внимание, что: 11 | $$\forall i \neq j: \ Q_iQ_j = Q_jQ_i = 0$$ 12 | Т.к. в $q_i(\lambda)q_j(\lambda)$ входят все множители, входящие в разложение $\chi_\phi(\lambda) \Longrightarrow $ по теореме Гамильтона-Кэли: 13 | $$q_i(\phi)q_j(\phi) = 0$$ 14 | Умножим равенство $\text{id} = Q_1+...+Q_i+...+Q_s$ на $Q_i:$ $$\Longrightarrow Q_i\text{id} = Q_i = Q_iQ_1+...+Q_iQ_i+...+Q_iQ_s = Q_i^2\Longrightarrow Q_i^2 = Q_i$$ 15 | \begin{definition} 16 | $Q_i^2 = Q_i$ - идемпотентный оператор. 17 | \end{definition} 18 | 19 | Введем обозначение $K_i = \text{Im}Q_i$ 20 | 21 | \begin{subtheorem} 22 | $V = K_1 \oplus ... \oplus K_s$ 23 | \end{subtheorem} 24 | \begin{proof} 25 | Пусть $x = y_1 + ... + y_s, \ y_i = Q_i(x_i)$. Тогда: 26 | $$Q_i(x) = Q_i(Q_1(x_1)) + ... + Q_s(Q_i(x_s)) = Q_i(Q_i(x_i)) = Q_i(x_i) = y_i$$ 27 | Отсюда разложение любого вектора из $V$ в сумму векторов из $K_1,...,K_s$ единственно, т.е. $V = K_1 \oplus ... \oplus K_s$. 28 | \end{proof} 29 | \begin{definition} 30 | Подпространство $K_i = \text{Im} Q_i$ назовем корневым подпространством, отвечающим корню $\lambda_i$. 31 | \end{definition} 32 | \begin{remark} 33 | $q_i(\lambda) = \frac{f_i(\lambda)\cdot \chi_\phi(\lambda)}{(\lambda-\lambda_i)^{k_i}} = f_i(\lambda)\prod\limits_{j \neq i}(\lambda-\lambda_j)^{k_j}; \ \ Q_i = q_i(\phi); \ \ K_i = \textup{Im}Q_i$. 34 | \end{remark} 35 | \begin{subtheorem}\tab 36 | \begin{enumerate} 37 | \item Корневые подпространства инвариантны 38 | \item $K_i = \text{Ker} (\phi - \lambda_i\cdot \text{id})^{k_i}, \ 1\leq i \leq s$ 39 | \end{enumerate} 40 | \end{subtheorem} 41 | \begin{proof}\tab 42 | \begin{enumerate} 43 | \item Докажем, что для линейного оператора $\phi$ и многочлена $q(\lambda)$ подпространство $q(\phi)(V)$ инвариантно: 44 | $$q(\lambda) = a_0+ a_1 \lambda + ... + a_m \lambda^m, \ \ q(\phi) = a_0+ a_1 \phi + ... + a_m \phi^m$$ 45 | Возьмем $v \in \text{Im}\hspace{0.07cm}q(\phi)(V) \Longrightarrow$ 46 | \[\exists \ u \in V: \ v = q(\phi)(u) \Longrightarrow \phi(v) = (\phi \cdot q(\phi))(u) = q(\phi)(\phi(u)) \in \text{Im}\hspace{0.07cm}q(u) \] 47 | так как оператор $\phi$ и любой $q(\phi)$ перестановочны.\\ 48 | Так как $K_i = Q_i(V) = q_i(\phi)(V)$, из доказаноого выше следует, что $K_i$ инвариантно. 49 | \item $\forall x_i \in \text{Im}\hspace{0.07cm}Q_i \Longrightarrow x_i = Q_i(u_i)$ 50 | $$(\phi-\lambda_i \cdot \text{id})^{k_i}\hspace{0.07cm}(x_i) = f_i(\phi) \cdot \underbrace{(\phi-\lambda_i \cdot \text{id})^{k_i} \cdot \prod\limits_{j \neq i}(\phi-\lambda_j E)^{k_j}}_{\chi_\phi(\phi)}(u_i) = 0$$ 51 | $\Longrightarrow K_i \subseteq \text{Ker}(\phi-\lambda_i \cdot \text{id})^{k_i}$\\ 52 | Обратно: пусть $y_i \in \text{Ker}(\phi-\lambda_i \cdot \text{id})^{k_i}$. Знаем, что $y_i = Q_1(y_i) + ... + Q_s(y_i)$, причём в $Q_j$ при $j \neq i$ содержится множитель $(\phi-\lambda_i \cdot \text{id})^{k_i}$. Отсюда $Q_j(y_i) = 0$ при $j \neq i$, т.е. $y_i = Q_i(y_i) \Rightarrow y_i \in K_i \Rightarrow \text{Ker}(\phi-\lambda_i \cdot \text{id})^{k_i} \subseteq K_i$. 53 | \end{enumerate} 54 | \end{proof} 55 | \begin{theorem} 56 | Размерность $K_i$ равна алгебраической кратности корня $\lambda_i$. 57 | \end{theorem} 58 | \begin{proof} 59 | Рассмотрим ограничение оператора $\phi - \lambda_i\cdot\text{id}$ на $K_i$. Так как полученный оператор нильпотентный (из предыдущей теоремы), его единственное собственное значение равно $0$, т.е. оператор $\phi$ в ограничении на $K_i$ имеет единственное собственное значение $\lambda_i$, причём его алгебраическая кратность для ограничения равна размерности $K_i$.\\ 60 | Выберем базис в $K_i$, дополним его до базиса $V$ и рассмотрим матрицу оператора в нём. Из инвариантности $K_i$ она будет иметь вид 61 | $$\begin{pmatrix} 62 | B & \vline & D \\ \hline 0 & \vline & C 63 | \end{pmatrix}$$ 64 | где $B$ - матрица $\phi \hspace{0.05cm} |_{K_i}$. Из её характеристического многочлена очевидно, что алгебраическая кратность $\lambda_i$ для ограничения не может превосходить алгебраической кратности $\lambda_i$ для всего оператора. Значит, $\dim K_i$ не превосходит алгебраической кратности $\lambda_i$.\\ 65 | Осталось заметить, что $\dim V$ равна сумме алгебраических кратностей всех собственных значений и $V = K_1 \oplus ... \oplus K_s \Rightarrow \dim V = \dim K_1 + ... + \dim K_s$. Значит, $\dim K_i$ равна алг. кратности $\lambda_i$. 66 | \end{proof} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section9.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Линейные операторы} 3 | \begin{definition} 4 | Линейное отображение $\phi: \ V \to V$ называется линейным оператором 5 | \end{definition} 6 | Далее рассматриваем линейные операторы. 7 | \begin{subtheorem} \tab 8 | \begin{enumerate} 9 | \item $\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi$ - подпространство в $V$ 10 | \item $\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi$ - подпространство в $V$ 11 | \item Если $U \subset V$, то $\phi(U)$ - подпространство в $V$ 12 | \end{enumerate} 13 | \end{subtheorem} 14 | \begin{definition} 15 | Подпространство $U \subset V$ называется инвариантным относительно $\phi$ (или $\phi$ - инвариантным), если: 16 | $$\forall u \in U: \ \phi(u) \in U, \text{ т.е. }\phi(U) \subseteq U$$ 17 | \end{definition} 18 | \begin{example}\tab 19 | \begin{enumerate} 20 | \item Пусть $V = U \oplus W$. Пусть $\phi: \ V \to V$ такое, что $\phi(v) = \phi(u + w) = u$ - проекция $V$ на $U$ вдоль $W$. Тогда $U$ и $W$ - инвариантные подпространства относительно $\phi$ и $\forall u \in U: \ \phi(u) = u$, а также $\forall w \in W: \ \phi(w) = 0$. Отсюда $U \cong V/W$ 21 | \item Пусть $V = \R[t], \ \phi(f) = \frac{df}{dt}\Rightarrow p(t) \to p'(t)$. Здесь инвариантным является подпространство $\R[t]_n \supset \R[t]_{n-1}, \ n \in \N \cup \{0\}$ 22 | \end{enumerate} 23 | \end{example} 24 | \begin{theorem} 25 | Если $\phi: \ V \to V$ - линейный оператор, $\dim V = n, \ U$ - инвариантное подпространство, то существует базис, в котором $A_\phi$ имеет блочный вид: 26 | $$A_\phi = \begin{pmatrix} 27 | B & \vline & D \\ \hline 0 & \vline & C 28 | \end{pmatrix}$$ 29 | Где $B$ и $C$ - квадратные: \ $B_{m \times m}, \ m = \dim U$ 30 | \end{theorem} 31 | \begin{proof} 32 | Выберем базис $e_1,...,e_m$ в $U$ и дополним до базиса в $V$. Тогда в полученном базисе $A_\phi$ имеет нужный вид. 33 | \end{proof} 34 | \begin{remark} 35 | Пусть $U \subset V$ - инвариантное подпространство для линейного оператора $\phi: \ V \to V$\\ 36 | Ограничение $\phi$ на подпространство $U$: 37 | $$\phi \hspace{0.05cm} |_u : \ U \to U; \ \ \forall u \in U: \ \phi \hspace{0.05cm} |_u (u) = \phi(u)$$ 38 | Рассмотрим факторпространтсво: $$\overline{V} = V/U : \ \{v + u \ | \ u \in U\}$$ 39 | и фактор-оператор: 40 | $$\overline{\phi}(\overline{v}):=\overline{\phi(v)}$$ 41 | $\forall \overline{v} \in \overline{V}: \ v' = v + u, \ u \in U \Longrightarrow \phi(\overline{v}) = \phi(v) + \phi(u) \in U \Longrightarrow \phi(\overline{v}) = \phi(v)$\\ 42 | Т.о. $\overline{\phi}: \ \overline{V} \to \overline{V}$ - линейный оператор. 43 | \end{remark} 44 | \tab 45 | \begin{theorem}\tab 46 | \begin{enumerate} 47 | \item Если существует инвариантное подпространство $U \subset V$, то в подходящем базисе: 48 | $$A_\phi = \begin{pmatrix} 49 | B & \vline & D \\ \hline 0 & \vline & C 50 | \end{pmatrix}\eqno(I)$$ 51 | Где $B_{m \times m}, \ m = \dim U$, а точнее: $B$ - матрица оператора $\phi \hspace{0.05cm} |_u, \\ 52 | C$ - матрица оператора $\overline{\phi}$ 53 | \item Если $V = U \oplus W, \ U$ и $W$ - инвариантные для $\phi$, то в подходящем базисе: 54 | $$A_\phi = \begin{pmatrix} 55 | B & \vline & 0 \\ \hline 0 & \vline & C 56 | \end{pmatrix}\eqno(II)$$ 57 | Причем $B = A_{\phi \hspace{0.05cm} |_u}, \ C = A_{\phi \hspace{0.05cm} |_w}$. \\ 58 | Верно и обратное, если в некотором базисе матрица $A_\phi$ имеет вид $(I)$, то для $\phi \ \exists $ инвариантное подпространство, а если $A_\phi$ имеет вид $(II)$, то $V$ - прямая сумма двух инвариантных подпространств. 59 | \end{enumerate} 60 | \end{theorem} 61 | \begin{proof} Обозначим $\dim V = n, \ \dim U = m, \ 0 < m < n$ 62 | \begin{enumerate} 63 | \item Выберем базис в $U: \ e_1,...,e_m$ и произвольно дополним его до базиса $V$ векторами $e_{m+1},...,e_n$. 64 | $$\forall u \in U: \ u = \sum \limits_{i=1} ^mu_ie_i \Longrightarrow \phi(u) = \sum \limits_{i=1}^mu_i \phi(e_i)$$ 65 | В частности, столбцы $\phi(e_1)^\uparrow, ...,\phi(e_m)^\uparrow$ имеют вид: $\left(\begin{smallmatrix} 66 | a_{1i} \\ \vdots \\ a_{mi} 67 | \end{smallmatrix}\right) \Longrightarrow $ они составляют матрицу $\begin{pmatrix} 68 | B \\ \hline 0 69 | \end{pmatrix}$. 70 | Столбцы матрицы $\phi(e_{m+1}^\uparrow,...,e_{n}^\uparrow)$ соответствуют номерам координат. Видно, что: 71 | $$B = \begin{pmatrix} 72 | a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \null & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mm} 73 | \end{pmatrix} = A_{\phi \hspace{0.05cm} |_u}$$ 74 | $\overline{e_j} = e_j + U, \ j = m+1,...,n$ - базис в факторпространстве $\overline{V} = V/U$. 75 | $$\overline{\phi(e_j)} = \sum \limits_{i=1}^ma_{ij}e_i + \sum \limits_{k=m+1}^na_{kj}e_k+U = \sum \limits_{k=m+1}^na_{kj}e_k + U = \sum \limits_{k=m+1}^na_{kj} \overline{e_k}$$ 76 | $$\Longrightarrow C = \begin{pmatrix} 77 | a_{m+1,m+1} & \cdots & a_{m+1,n} \\ \vdots & \null & \vdots \\ a_{n,m+1} & \cdots & a_{nn} 78 | \end{pmatrix} - \text{матрица оператора } \overline{\phi}$$ 79 | \item Если $V = U \oplus W$, векторы $e_{m+1},...,e_n$ надо выбирать в $W$. Остальное аналогично. 80 | \end{enumerate} 81 | \end{proof} 82 | \begin{theorem}(Обратная)\\ 83 | Для второго случая, если в базисе $e_1,...,e_n$ матрица имеет вид $(II)$, то положим $U := \langle e_1,...,e_m \rangle, \ W := \langle e_{m+1},....,e_n \rangle$\\ 84 | Из определения матрицы $A_{\phi,e}$ следует, что $U, W$ - инвариантные относительно $\phi, \ \phi \hspace{0.05cm} |_u$ имеет матрицу $B$, \ $\phi \hspace{0.05cm} |_w$ - матрицу $C$. 85 | \end{theorem} 86 | \begin{remark} 87 | В общем случае, если $V = U_1 \oplus ... \oplus U_s, \ U_i$ - инвариантны относительно $\phi: \ V \to V$, то в базисе, согласованном с этим разложением: 88 | $$A_\phi = \begin{pmatrix} 89 | B_1 & \null & 0\\ 90 | \null & \ddots & \null \\ 91 | 0 & \null & B_s 92 | \end{pmatrix}$$ 93 | где $B_i$ - матрица $\phi|_{u_i}$. 94 | \end{remark} 95 | \begin{example} $\phi: \ V \to V$ 96 | \begin{enumerate} 97 | \item $\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi, \ \text{Im} \hspace{0.09cm} \phi$, любое подпространство $U \supseteq \text{Im} \hspace{0.09cm} \phi$ - инвариантны. 98 | \item Если $U_1, U_2 - \phi$-инвариантные подпространства, то $U_1 + U_2$ и $U_1 \cap U_2$ - инвариантны 99 | \end{enumerate} 100 | \end{example} 101 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Линейные функции} 3 | Пусть $V$ - векторное пространство над $\F$ 4 | \begin{definition} 5 | Отображение $f: \ V \to \F$ - линейная функция со значениями в $\F$, если: 6 | \begin{enumerate} 7 | \item $\forall v_1, \ v_2 \in V: \ f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$ 8 | \item $\forall v \in V, \forall \lambda \in \F: \ f(\lambda v) = \lambda f(v)$ 9 | \end{enumerate} 10 | Обозначается: $V^{*} = \{f : \ V \to \F\}$ - множество линейных функций на $V$ 11 | \end{definition} 12 | \begin{lemma} 13 | Если $f \not \equiv 0$, то $\dim{(V/\textup{Ker}f)}=1$. 14 | \end{lemma} 15 | \begin{proof} 16 | $f \not \equiv 0 \Rightarrow \exists v_1 \in V, \ f(v_1) \neq 0$. Пусть $v \in V$, тогда либо $v \in \text{Ker}(f)$, либо $f(v) = \alpha \neq 0$ 17 | $$\beta = f(v_1) \neq 0 \Longrightarrow f(\frac{v_1}{\beta}) = 1, \ f(\frac{\alpha}{\beta}v_1) = \alpha$$ 18 | Рассмотрим выражение $f(v - \frac{\alpha}{\beta}v_1)$: 19 | $$f(v - \frac{\alpha}{\beta}v_1) = f(v) - f(\frac{\alpha}{\beta}v_1) = \alpha - \alpha = 0$$ 20 | $\Longrightarrow v - \frac{\alpha}{\beta}v_1 \in \text{Ker}(f)$ и $v = \frac{\alpha}{\beta}v_1 + u, \ u \in \text{Ker}(f)$ 21 | \end{proof} 22 | \begin{remark} 23 | $\forall x \in V: \ (f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)$ и $(\lambda f)(x) = \lambda f (x)$ 24 | \end{remark} 25 | \begin{lemma} 26 | Множество $V^{*}$ с введенными операциями - векторное пространство. 27 | \end{lemma} 28 | \begin{definition} 29 | $V^{*}$ - векторное пространство, сопряженное с $V$ (двойственное для $V$)\\ 30 | Зафиксируем базис $e = (e_1, ..., e_n)$ в $V$ и линейную функцию $f:V \rightarrow F$ 31 | $$\forall x \in V: \ x = \sum \limits_{i=1}^n x_i e_i \Rightarrow f(x) = \sum \limits_{i=1}^n x_i f(e_i) = \sum \limits_{i=1}^n a_i x_i, \ \text{где } a_i = f(e_i)$$ 32 | Удобно записывать это так: $f(x) = \begin{pmatrix} 33 | a_1 & \cdots & a_n 34 | \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ 35 | \end{definition} 36 | 37 | \begin{definition} 38 | Координатные функции - функции вида: 39 | $$f_i: \ f_i(x) = x_i$$ 40 | Будем использовать обозначение: $e^i = f_i$ \vspace{0.4cm}\\ 41 | В частности: $f_i(e_j) = e^i(e_j) = \begin{cases} 42 | 1, \ i=j\\ 43 | 0, \ i \neq j 44 | \end{cases}$ 45 | \end{definition} 46 | \begin{subtheorem} 47 | Функции $e^i$ - базис в $V^{*}$ 48 | \end{subtheorem} 49 | \begin{proof} $\\$ 50 | Докажем ЛНЗ: Пусть $\exists \ \lambda_1, ..., \lambda_n: \ \sum \limits_{i=1}^n \lambda_i e^i \equiv 0$. Подставим $e_j$: 51 | \[(\sum \limits_{i=1}^n \lambda_i e^i)(e_j) = \sum \limits_{i=1}^n \lambda_i e^i(e_j) = \lambda_j = 0\] 52 | Отсюда после подстановки всех $e_1,...,e_n$ получим, что $\forall i = 1,...,n: \ \lambda_i = 0$. 53 | Разложим произвольную функцию $f \in V^{*}$: 54 | \[f(x) = \sum \limits_{i=1}^n a_i x_i = \sum \limits_{i=1}^n a_i e^i(x) = (\sum \limits_{i=1}^n a_i e^i)(x) \ \Rightarrow \ f \equiv \sum \limits_{i=1}^n a_i e^i\] 55 | \end{proof} 56 | \begin{consequense} 57 | Если $\dim V < \infty$, то $V^{*} \cong V$, т.к. $\dim V^{*} = \dim V$. 58 | \end{consequense} 59 | \begin{definition} 60 | Базис $e^{*} = (e^1,...,e^n)$ называется базисом $V^{*}$, сопряжённым (дуальным, двойственным, биортогональным) к базису $e$ в $V$. 61 | \end{definition} 62 | 63 | Посмотрим, как изменится строка координат функции $f\in V^{*}$ при замене базиса $e$ в $V$.\\ 64 | Пусть $e' = (e_1',...,e_n') = e\cdot C_{e\rightarrow e'}$ - новый базис в $V$. 65 | Как известно, $X = C_{e\rightarrow e'} \cdot X'$.\\ 66 | Отсюда если $x = \sum \limits_{i=1}^n x_i e_i = \sum \limits_{i=1}^n x_i' e_i'$, то $\forall f \in V^{*}:$ 67 | $$f(x) = \sum \limits_{i=1}^n a_i' x_i' = (a_1',...,a_n')X'$$ 68 | С другой стороны 69 | $$f(x) = (a_1,...,a_n)X = (a_1,...,a_n)(C_{e\rightarrow e'}X') = ((a_1,...,a_n)C_{e\rightarrow e'})X'$$ 70 | Отсюда 71 | $$\forall X' \in \mathbb{F}^n \ \ ((a_1,...,a_n)C_{e\rightarrow e'})X' = ((a_1',...,a_n'))X'$$ 72 | Подставляя по очереди $X' = \left( \begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{smallmatrix} \right), \dots , \left( \begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$, в итоге получим равенство \[(a_1,...,a_n)C_{e\rightarrow e'} = (a_1',...,a_n')\] 73 | 74 | \begin{example1} 75 | Возьмём $V = \mathbb{R}[t]_n = \{p(t) \in \mathbb{R}[t] \ | \ \deg p = n\}$\\ 76 | Выберем в нём базис $\{1, (t-t_0), ... , (t-t_0)^n\} \Longrightarrow p(t) = \sum \limits_{i=0}^n \frac{p^{(i)}(t_0)}{i!}(t-t_0)^i$\\ 77 | Если $e_i = (t-t_0)^i, \ 0\leqslant i\leqslant n$, то $e^i(p) = \frac{p^{(i)}(t_0)}{i!}$ 78 | \end{example1} 79 | \begin{definition} 80 | Вторым сопряжённым пространством к $V$ (обозначается $V^{**}$) называется пространство, сопряженное к $V^{*}$ - пространство линейных функций от линейных функций над $V$. 81 | $$V^{**} = \{\phi: \ V^{*} \to \F\}$$ 82 | \end{definition} 83 | \begin{lemma} 84 | $f$ - инъекция $\Longleftrightarrow \text{Ker(f)} =\{0\}$ 85 | \end{lemma} 86 | \begin{theorem} 87 | Если $\dim V < \infty$, то $V^{**} \cong V$, причём изоморфизм не зависит от выбора базиса (такой изоморфизм называется каноническим). 88 | \end{theorem} 89 | \begin{proof} 90 | Рассмотрим отображение: 91 | $$\phi: V \rightarrow V^{**}: \ \phi(x) = \phi_x \in V^{**} : \ \forall f\in V^{*}, \phi_x(f) = f(x)$$ 92 | Это линейное отображение: 93 | \begin{itemize} 94 | \item $\forall f\in V^{*}, \ \phi_{x_1+x_2}(f) = f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) = \phi_{x_1}(f) + \phi_{x_2}(f) \Longrightarrow \phi(x_1 + x_2) = \phi(x_1) + \phi(x_2);$ 95 | \item $\forall f\in V^{*}, \ \phi_{\lambda x}(f) = f(\lambda x) = \lambda f(x) = \lambda\phi_{x}(f) \Longrightarrow \phi(\lambda x) = \lambda\phi(x);$ 96 | \end{itemize} 97 | Чтобы проверить, что $\phi$ - биекция, достаточно проверить, что $\text{Ker} (\phi) = \{0\}$ (так как сюръекцию имеем из $\dim V^{**} = \dim V$).\\ 98 | Пусть $x \in \text{Ker} (\phi)$, т.е. $\phi_x \equiv 0$. Значит, $\forall f \in V^{*} : \ f(x) = 0$\\ 99 | Если $x \neq 0$, то его можно дополнить до базиса: $x, e_2, ... , e_n$, где $n = \dim V$.\\ 100 | Тогда $e^1(x) = 1 \neq 0$ - противоречие с условием $\forall f \in V^{*} : \ f(x) = 0$. 101 | \end{proof} 102 | \textit{Задача.} Доказать, что $a_1,...,a_n\in V$ ЛНЗ $\Leftrightarrow \exists$ лин. ф-ции $f^1,...,f^n\in V^{*}$ такие, что $\det(f^i(a_j)) \neq 0$. 103 | \begin{remark} 104 | Если $dim V = \infty$, то $V^{*} \ncong V$ в общем случае. 105 | \end{remark} 106 | \begin{example1} 107 | $V = \mathbb{Q}[t]$ - $V$ счётно. Зафиксируем число $t\in \mathbb{Q}$ и рассмотрим произвольную $f \in V^{*}$:\\ 108 | $f(t^k) = b_k \Rightarrow f \leftrightarrow (b_0, b_1,..., b_k,...) \Rightarrow$ $V^{*}$ континуально.\\ 109 | Отсюда мощность $V^{*}$ больше мощности $V$, и они, очевидно, не изоморфны. 110 | \end{example1} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Векторное пространство} 3 | \begin{definition} 4 | Множество $V$ называется \textit{векторным пространством} над полем $F$, если заданы операции $"+"$ : $V\times V \to V$ и $"\cdot"$ : \ $F \times V \to V$ и выполнены следующие аксиомы: 5 | \begin{enumerate} 6 | \item $\forall v_1, v_2, v_3\in V$ \ : \ $(v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)$ 7 | \item $\exists \ \vec 0 \in V:\ \forall v \in V$ \ : \ $v + \vec 0 = v$ 8 | \item $\forall v \in V \ \ \exists -v \in V$: $v + (-v) = \vec 0$ 9 | \item $\forall v_1, v_2 \in V$ \ : \ $v_1 + v_2 = v_2 + v_1$ 10 | \item $\forall \alpha, \beta \in F, v \in V$ \ : \ $(\alpha \beta)v = \alpha (\beta v)$ 11 | \item $\forall v \in V$ : \ $1_{F} \cdot v = v$ 12 | \item $\forall \alpha, \beta \in F, v \in V$ \ : \ $(\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v$ 13 | \item $\forall \alpha \in F, v_1, v_2 \in V$ \ : \ $\alpha (v_1 + v_2) = \alpha v_1 + \alpha v_2$ 14 | \end{enumerate} 15 | \textit{Загадка:} Одна из этих аксиом - следствие других. Какая? 16 | \textit{Ответ:} Аксиома коммутативности. 17 | \begin{proof} 18 | Cначала докажем два свойства. 19 | \begin{enumerate} 20 | \item $0\cdot\overline{a} = 0\cdot\overline{a}+\overline{0} = 0\cdot\overline{a}+(0\cdot\overline{a}+(-0\cdot\overline{a})) = (0\cdot\overline{a}+0\cdot\overline{a}) + (-0\cdot\overline{a})$ (по аксиоме ассоциативности) $= 0\cdot\overline{a}+(-0\cdot\overline{a}) = \overline{0}$ 21 | \item $(-1)\overline{a}+\overline{0} = (-1)\overline{a}+(\overline{a}+(-\overline{a})) = ((-1)\overline{a}+\overline{a})+(-\overline{a})$ (по аксиоме ассоциативности) $= 0\cdot\overline{a}+(-\overline{a}) = -\overline{a}$. 22 | \end{enumerate} 23 | Теперь докажем первую аксиому (аксиому коммутативности). 24 | $$(\overline{a}+\overline{b})+\overline{0} = (\overline{a}+\overline{b})+(-(\overline{b}+\overline{a})+(-(-(\overline{b}+\overline{a}))) = $$ 25 | (по второму свойству) 26 | $$ = (\overline{a}+\overline{b})+(-(\overline{b}+\overline{a})+(\overline{b}+\overline{a})) = $$ 27 | (по аксиоме ассоциативности) 28 | $$=(\overline{a}+\overline{b}+(-(\overline{b}+\overline{a})))+(\overline{b}+\overline{a}) = (((\overline{a}+\overline{b})+(-(\overline{b})))+(-\overline{a}))+(\overline{b}+\overline{a}) = $$ 29 | $$= ((\overline{a}+(\overline{b}+(-(\overline{b}))))+(-\overline{a}))+(\overline{b}+\overline{a}) = 30 | ((\overline{a}+\overline{0})+(-\overline{a}))+(\overline{b}+\overline{a}) =$$ 31 | $$(\overline{a}+(-\overline{a}))+(\overline{b}+\overline{a}) 32 | = \overline{0}+(\overline{b}+\overline{a}) = \overline{b}+\overline{a}$$ 33 | \end{proof} 34 | \end{definition} 35 | \begin{remark} 36 | Любое поле можно рассматривать как векторное пространство над собой - все аксиомы будут выполнены из аксиом поля. 37 | \end{remark} 38 | \begin{definition} 39 | $U \subset V$ - \textit{векторное подпространство} пространства $V$, если оно само является пространством относительно тех же операций в $V$. 40 | \end{definition} 41 | \begin{subtheorem} 42 | Определение 2 эквивалентно: 43 | \begin{enumerate} 44 | \item $U\neq \varnothing $ 45 | \item $\forall u_1, u_2 \in U$ \ : \ $u_1 + u_2 \in U$ 46 | \item $\forall u \in U, \ \lambda \in F$ \ : \ $\lambda u\in U$ 47 | \end{enumerate} 48 | \end{subtheorem} 49 | \begin{definition} 50 | Векторы $v_1,...,v_n \in V$ называются линейно зависимыми, если $\exists \ \lambda_1,..., \lambda_n$ (не все равные 0) \ : \ $\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n = \vec 0$. В противном случае векторы $v_1,...,v_n$ называются линейно независимыми. 51 | \end{definition} 52 | \begin{subtheorem} 53 | Определение 3 $\Longleftrightarrow $ ($n\geq 2$) хотя бы один вектор из векторов $v_i$ выражается как линейная комбинация остальных. 54 | \end{subtheorem} 55 | \begin{definition} 56 | Упорядоченный набор векторов $e = (e_1,...,e_n), e_k \in V$ называется базисом $V$, если $e$ - максимальный ЛНЗ набор векторов из $V$. 57 | \end{definition} 58 | \begin{subtheorem} 59 | $e$ - базис в $V \Longleftrightarrow$ 60 | \begin{enumerate} 61 | \item $e_1,...,e_n$ - ЛНЗ 62 | \item $\forall x \in V \ \exists \ x_1,...,x_n \in F \ : \ x = x_1e_1+...+x_ne_n = \sum \limits_{i=1}^nx_ie_i $ 63 | \end{enumerate} 64 | \end{subtheorem} 65 | \begin{consequense} 66 | Разложение любого вектора в базисе единственно. 67 | \end{consequense} 68 | \begin{proof} 69 | Если $x = \sum \limits_{i=1}^nx_ie_i = \sum \limits_{i=1}^nx'_ie_i$, то $\vec 0 = x - x = \sum \limits_{i=1}^n(x'_i-x_i)e_i$\\ 70 | Из ЛНЗ все коэффициенты равны 71 | \end{proof} 72 | Обозначаем: $X_e = \begin{pmatrix} 73 | x_1\\ \vdots\\ x_n 74 | \end{pmatrix} \in F^n$, тогда $x = eX_e = e_1x_1+...+e_nx_n$ 75 | \begin{equation} 76 | \fbox{$x = eX_e$} 77 | \end{equation} 78 | \begin{theorem} 79 | Если в $V \ \exists$ базис из $k$ векторов, то любой базис $V$ содержит $k$ векторов. 80 | \end{theorem} 81 | \begin{proof} $\\$ 82 | Если $\exists$ базис $e'_1,...,e'_m \in V$, где $m>n$, то по ОЛЛЗ $e'_1,...,e'_m$ - ЛЗ, т.е. не базис.\\ 83 | Если же $m 1:$ ] Предположение индукции: в пространстве $U$, $0 < \dim{U} < \dim{V}$ у попарно коммутирующих операторов есть общий собственный вектор. Если $\forall i \in I$, $\phi_i = \lambda_i Id$ $\Longrightarrow$ любой ненулевой вектор - собственный для всех $\phi_i$.\\ 20 | Если существует $\phi_1$ - нескалярный, он имеет собственное значение $\lambda_1$ и $U = V_{\lambda_1}$ - собственное подпространство для $\phi_1$, то $\forall i \in I$ $U$ инвариантно относительно $\phi_i$, причём $0 < \dim{U} < \dim{V}$ $\Longrightarrow$ у операторов $\phi_i |_U$ есть общий собственный вектор, исходя из предположения индукции (включая $\phi_1$, по построению). 21 | \end{itemize} 22 | \end{proof} 23 | \begin{consequense}\tab 24 | \begin{enumerate} 25 | \item Если $G$ - коммутативная группа линейных операторов в пространстве $V$, $\overline{\F} = \F$ (то есть $\F$ алгебраически замкнуто), то все элементы этой группы имеют общий собственный вектор. 26 | \item Если в $V$ не существует инвариантного подпространства относительно всех $g \in G$, кроме $\{0\}$ и $V$, то $\dim{V} = 1$. 27 | \end{enumerate} 28 | \end{consequense} 29 | По теореме, если $v_0$ - собственный вектор $\forall g \in G$, то подпространство $\langle v_0 \rangle$ инвариантно $\forall g \in G$ $\Longrightarrow$ по условию 2 $\Longrightarrow$ $\langle v_0 \rangle = V$. 30 | \subsection{Некоторые группы линейных и аффинных операторов} 31 | \begin{definition} 32 | Множество $G$ называется группой, если на $G$ задана бинарная операция: 33 | \[\forall (a,b) \in G \times G \longmapsto a \circ b \in G:\] 34 | \begin{enumerate} 35 | \item операция ассоциативна; 36 | \item $\exists e \in G: \ \forall g \in G: \ eg = ge = g$; 37 | \item $\forall g \in G \ \exists g^{-1} \in G: g^{-1}g = gg^{-1} = e.$ 38 | \end{enumerate} 39 | Более того, $G$ коммутативна, если $\forall g_1, g_2 \in G: g_1g_2 = g_2g_1$. 40 | \end{definition} 41 | Мы будем рассматривать $G \subseteq GL(V)$, где $GL(V)$ - множество обратимых линейных операторов. 42 | \begin{example1} 43 | Множество всех обратимых линейных операторов на $V$ с операцией «$\circ$» - группа.\\ 44 | Знаем: если $\phi, \psi$ - линейные операторы, то $\phi \circ \psi$ - тоже, $e = \textup{Id}$ - тождественный оператор. Если $\phi$ - обратимый линейный оператор, то есть $\phi \in GL(V)$, то $\phi^{-1} \in GL(V)$. 45 | \end{example1} 46 | \begin{definition} 47 | Подмножество $H \subseteq G$ - подгруппа группы $G$, если: 48 | \begin{enumerate} 49 | \item $H \neq \emptyset$; 50 | \item $\forall h_1, h_2 \in H \Longrightarrow h_1 \cdot h_2 \in H$; 51 | \item $\forall h \in H \Longrightarrow h^{-1} \in H \Longrightarrow h h^{-1} = e_G \in H$. 52 | \end{enumerate} 53 | \end{definition} 54 | \begin{definition} 55 | Отображение $\phi: G_1 \to G_2$ называется гомоморфизмом, если: 56 | $$\forall a,b \in G: \phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$$ 57 | \end{definition} 58 | \begin{definition} 59 | Отображение $\phi$ - изоморфизм, если $\phi$ - биективный гомоморфизм.\\ 60 | Обозначение: $G_1 \cong G_2$ - изоморфны, если существует изоморфизм $\phi: G_1 \to G_2$. 61 | \end{definition} 62 | \begin{example1} 63 | Обозначим $GL(n, \F)$ - множество всех матриц $A$ над $\F$ порядка $n$ с $\det{A} \neq 0$; $GL(n, \F)$ - группа с операцией умножения матриц.\\ 64 | Если $\dim{V} = n$, в $V$ фиксируем базис $e = (e_1, \dots, e_n)$, то $\forall \phi \in GL(V)$, $\phi \longleftrightarrow A_{\phi} \in GL(n, \F)$ и $A_{\phi \psi} = A_{\phi}A_{\psi}$ $\Longrightarrow$ группы $GL(V)$ и $GL(n, \F)$ изоморфны.\\ 65 | Рассмотрим некоторые подгруппы в $GL(n, \F)$: 66 | \[SL(n, \F) = \left\{A \in GL(n, \F) \ | \ \det{A} = 1\right\} - \] 67 | подгруппа в группе $GL(n, \F)$.\\ 68 | $GL(n, \F)$ 0 полная (= общая) линейная группа, $SL(n, \F)$ - специальная линейная группа. 69 | \end{example1} 70 | \subsection{Группы, сохраняющие билинейную форму} 71 | \begin{definition} 72 | Билинейная функция на $V$ $f(x,y)$ инвариантна относительно оператора $\phi: V \to V$ (то есть $\phi$ сохраняет эту билинейную форму), если \[\forall x, y \in V: f(\phi(x), \phi(y)) = f(x,y).\] 73 | В частности, если $f(x,y)$ - скалярное произведение, то $\phi$ — ортогональный оператор. 74 | \end{definition} 75 | \begin{lemma} 76 | Множество $G_f = \left\{\phi \in GL(V)\right\}$, где $\phi$ сохраняет форму $f$ - подгруппа в $GL(V)$. 77 | \end{lemma} 78 | \begin{proof} 79 | $Id \in G_f$; если $\phi_1, \phi_2$ таковы, что 80 | \[f(\phi_i(x), \phi_i(y)) = f(x,y),\] 81 | то 82 | \[f(\phi_1(\phi_2(x)), \phi_1(\phi_2(y))) = f(\phi_2(x), \phi_2(y)) = f(x,y).\] 83 | Если $\phi \in G_f$, то $\phi^{-1} \in G_f$.\\ 84 | Проверим, что $f(\phi(x), \phi(y)) = f(x,y)$, где $x' = \phi(x), \ y' = \phi(y)$. Тогда: 85 | $$x = \phi^{-1}(x'), \ y = \phi^{-1}(y')$$ 86 | \[f(x',y') = f(\phi^{-1}(x'), \phi^{-1}(y')),\] 87 | так как $\phi$ биективно, а $x',y'$ любые. Следовательно, $\phi^{-1} \in G_f$. 88 | \end{proof} 89 | Если $V$ - евклидово пространство, $f = (x,y)$, то $G_f$ - группа всех ортогональных операторов. Обозначение: $O(V)$ - ортогональная группа.\\ 90 | Если в $V$ выбрать ортонормированный базис, то в нём $\forall \phi \in O(V)$, $\phi \longleftrightarrow A_{\phi}$ - ортогональная матрица и $O(n, \R)$ - группа ортогональных матриц.\\ 91 | Таким образом, $O(V) \cong O(n, \R)$. Введём следующую группу: 92 | \[O(n, \R) \cap SL(n, \R) = SO(n, \R) - \] 93 | специальная ортогональная группа.\\ 94 | При $n = 3$ получается группа $SO(3)$ - группа вращения трёхмерного пространства (другие поля здесь не рассматриваем, поэтому $\R$ не пишем). 95 | \subsubsection*{Общий случай} 96 | В общем случае условие 97 | \[f(\phi(x), \phi(y)) = f(x,y)\] 98 | записывается в матричном виде следующим образом: 99 | \[X^T(A_{\phi}^T F A_{\phi}) Y = X^T F Y \Longleftrightarrow A_{\phi}^T F A_{\phi} = F, \ \forall X, Y \in \R^n,\] 100 | где $F$ - некоторая матрица.\\ 101 | Будем предполагать, что $f$ невырожденна, то есть $|F| \neq 0$, тогда 102 | \[(\det{A_{\phi}})^2 \cdot |F| = |F| \Longrightarrow \det{A_{\phi}} = \pm 1.\] 103 | \subsection{Симплектическая группа} 104 | $char \F \neq 2$, достаточно считать, что $\F = \R$.\\ 105 | Если на $V$ задана кососимметрическая невырожденная билинейная форма, то $\dim{V} = n = 2m$ и существует базис, в котором матрица: 106 | \[F = \begin{pmatrix} 107 | 0 & -1 & \empty & \empty & 0\\ 108 | 1 & 0 & \empty & \empty & \empty\\ 109 | \empty & \empty & \dots & \empty \empty\\ 110 | \empty & \empty & \empty & 0 & -1\\ 111 | 0 & \empty & \empty & 1 & 0\\ 112 | \end{pmatrix}\] 113 | Обозначение: 114 | \[Sp(2m, \F) = \left\{A \in GL(2m, \F) \ | \ A^T F A = F\right\}.\] 115 | \subsection{Некоторые аффинные группы} 116 | $A$ - аффинное пространство над пространством $V$, $Aff(A)$ - множество всех аффинных биективных преобразований $A$.\\ 117 | Было доказано, что для любого биективного аффинного преобразования $\Phi t_v \Psi, \ \Psi(0) = O$, ($O$ - начало координат), причём разложение единственно.\\ 118 | $\{\Psi: \ \Psi(0) = O\}$ - подгруппа в $Aff(A)$, $T(V) = \{t_v \ | \ v \in V\}$ - подгруппа параллельных переносов.\\ 119 | $T(V) \cong V$ - как группе с операцией «+». -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section8.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Матрицы линейного отображения} 3 | Пусть: $\mathcal{E} = \{e_1,...,e_n\}$ - базис в $V_1$; \ $\mathcal{F} = \{f_1,...,f_m\}$ - базис в $V_2$ 4 | \begin{multline*} 5 | \forall x \in V_1 : \ x = \sum \limits_{j=1}^n x_je_j \Longrightarrow \phi(x) = \sum \limits_{j=1}^n x_j \phi(e_j)= \\ 6 | = \{\phi(e_j) = \sum \limits_{i=1}^m a_{ij}f_i\} = \sum \limits_{j=1}^n \sum \limits_{i=1}^m x_ja_{ij}f_i 7 | \end{multline*} 8 | \begin{definition} 9 | Назовем $A = (a_{ij}) = A_{\phi,e,f}$ - матрицей $\phi$ в базисах $\mathcal{E}$ и $\mathcal{F}$.\\ 10 | Обозначается: $Y_f = A_{\phi,e,f} \cdot X_e$ \ (где $Y$ - столбец координат $\phi(x)$). 11 | \end{definition} 12 | \begin{remark} 13 | Для линейного оператора $\phi: \ V \to V, \ A_{\phi,e}\equiv A_{\phi,e,e}$ 14 | \end{remark} 15 | % Пусть $x = \sum \limits_{j=1}^nx_ie_i, \phi: \ V_1 \to V_2$ - линейное отображение. Тогда $y(x) = \sum \limits_{j=1}^nx_i \phi(e_i), \phi(e_i) = \sum \limits_{i=1}^ma_{ij}f_i$ и $A_{\phi, e,f} = (a_{ij})$ - начало 6 лекции 16 | \begin{algorithm} 17 | Вычисление $\text{Ker}\ \phi$ и $\text{Im}\ \phi$ с помощью матрицы $A_\phi :$ 18 | \begin{enumerate} 19 | \item $\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi = \{x = \mathcal{E} \cdot x_\mathcal{E} \ : \ A_\phi \cdot x_\mathcal{E} = 0\}; \ \dim (\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi) = n - \text{rk} A_\phi$ 20 | \item $\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi = \langle \phi(e_1),...,\phi(e_n) \rangle = \{y = f \cdot Y_f \ : \ Y_f = A_\phi \cdot x_\mathcal{E}\}$ \\ 21 | $Y \in \text{Im} \hspace{0.09cm} \phi \Longleftrightarrow $ СЛУ $A_\phi \cdot x_\mathcal{E} = Y$ совместна $\Longrightarrow \dim (\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi) = \text{rk} A_\phi$ \\ (т.е. не зависит от базиса); 22 | \item $\dim (\text{Im}\hspace{0.09cm} \phi) + \dim (\text{Ker}\hspace{0.09cm} \phi) = \dim V_1$ 23 | \end{enumerate} 24 | \end{algorithm} 25 | \subsection{Изменение матрицы линейного отображения при замене координат} 26 | \begin{subtheorem} 27 | Пусть $\mathcal{E} = (e_1,...,e_n)$ - старый, а \ $\mathcal{E}' = (e_1',...,e_n')$ - новый базисы в $V_1$ и $\mathcal{F} = (f_1,...,f_n)$ - старый , а \ $\mathcal{F}' = (f_1',...,f_n')$ - новый базисы в $V_2$, 28 | $C$ - матрица перехода из $\mathcal{E}$ в $\mathcal{E'}$, а $D$ - матрица перехода из $\mathcal{F}$ в $\mathcal{F'}$. Тогда: 29 | $$A_{\phi, \mathcal{E}', \mathcal{F}'} = D^{-1}\cdot A_{\phi, \mathcal{E}, \mathcal{F}} \cdot C$$ 30 | \end{subtheorem} 31 | \begin{proof} 32 | Воспользуемся формулами связи координат векторов: 33 | $$\forall x \in V_1: \ x_\mathcal{E} = \undermat{C}{C_{\mathcal{E} \to \mathcal{E}'}}\cdot x_{\mathcal{E}'} \ \text{и} \ \ \forall y \in V_2: \ y_\mathcal{F} = \undermat{D}{C_{\mathcal{F} \to \mathcal{F}'}}\cdot y_{\mathcal{F}'} $$ 34 | Тогда формулы имеют вид: 35 | $$\underset{(*)}{Y_\mathcal{F} = A_{\phi, \mathcal{E}, \mathcal{F}} \cdot x_\mathcal{E}} \ \text{и} \ \ \underset{(**)}{Y_{\mathcal{F}'} = A_{\phi, \mathcal{E}', \mathcal{F}'} \cdot x_{\mathcal{E}'}}$$ 36 | Умножим $(*)$ слева на $D^{-1}$, а также запишем выражение $x_\mathcal{E}$ через $x_{\mathcal{E}'}$:\\ 37 | $\tab[0.6cm] \forall x_{\mathcal{E}'} \in F^n:$ 38 | $$ \ D^{-1} \cdot Y_\mathcal{F} = D^{-1} \cdot (A_{\phi, \mathcal{E}, \mathcal{F}} \cdot C) \cdot x_{\mathcal{E}'} \Longleftrightarrow Y_{\mathcal{F}'} = (D^{-1} \cdot A_{\phi, \mathcal{E}, \mathcal{F}} \cdot C) \cdot x_{\mathcal{E}'}$$ 39 | Возьмем $x_{\mathcal{E}'} = E_j, \ j = 1,...,n$ 40 | \end{proof} 41 | \begin{remark} 42 | Для линейного оператора $\phi: \ V \to V:$ 43 | $$A_{\phi, \mathcal{E}'} = C^{-1}_{\mathcal{E} \to \mathcal{E}'} \cdot A_{\phi, \mathcal{E}} \cdot C_{\mathcal{E} \to \mathcal{E}'}$$ 44 | \end{remark} 45 | \begin{consequense}\tab 46 | \begin{enumerate} 47 | \item Для любого линейного отображения ранг его матрицы инвариантен при замене базиса 48 | $$\text{rk} \hspace{0.09cm} A_{\phi, \mathcal{E}', \mathcal{F}'} = \text{rk} \hspace{0.09cm} A_{\phi, \mathcal{E}, \mathcal{F}};$$ 49 | \item Для любого линейного оператора оперделитель и след его матрицы инвариантны при замене базиса 50 | $$\det (A_{\phi, \mathcal{E}'}) = \det(A_{\phi, \mathcal{E}})$$ 51 | $$\text{tr} \hspace{0.09cm} (A_{\phi, \mathcal{E}'}) = \text{tr} \hspace{0.09cm} (A_{\phi, \mathcal{E}})$$ 52 | \end{enumerate} 53 | \end{consequense} 54 | \begin{proof} \tab 55 | \begin{enumerate} 56 | \item Матрицы $C$ и $D$ невырождены, значит достаточно доказать, что \\ 57 | $\text{rk}\hspace{0.09cm} A=\text{rk}\hspace{0.09cm} (AC)$, где $C$ - невыроджена. 58 | $$\begin{cases} 59 | B = A \cdot C \Longrightarrow \text{rk} \hspace{0.09cm} B \leq \text{rk} \hspace{0.09cm} A\\ 60 | A = (A \cdot C) \cdot C^{-1} \Longrightarrow \text{rk} \hspace{0.09cm} A \leq \text{rk} \hspace{0.09cm} (AC) 61 | \end{cases} \Longrightarrow \undermat{\text{rk} \hspace{0.09cm} (AC) = \text{rk} \hspace{0.09cm} A}{\text{rk} \hspace{0.09cm} (AC)\leq \text{rk} \hspace{0.09cm} A \leq \text{rk} \hspace{0.09cm} (AC)}$$ 62 | \item $\text{det}\hspace{0.09cm} (C^{-1}AC)=\text{det}\hspace{0.09cm} C^{-1}\cdot \text{det}\hspace{0.09cm} A\cdot \text{det}\hspace{0.09cm} C=\text{det}\hspace{0.09cm} A$ 63 | \item $\text{tr} \hspace{0.09cm} (AC) = \text{tr} \hspace{0.09cm}(CA) \Longrightarrow \text{tr} \hspace{0.09cm}\left[C^{-1} \cdot (AC)\right] = \text{tr} \hspace{0.09cm}\left[(AC)\cdot C^{-1}\right] = \text{tr} \hspace{0.09cm}A$ 64 | \end{enumerate} 65 | \end{proof} 66 | \begin{theorem} 67 | Пусть $a_1,...,a_n$ - ЛНЗ векторы в $V_1 \ (\dim V_1 = n), \ b_1,...,b_n$ - случайные векторы в $V_2\ (\dim V_2 = m)$. Тогда $\exists !$ линейное отображение $\phi: \ V_1 \to V_2: \phi(a_j) = b_j, \ j = 1,...,n$ 68 | \end{theorem} 69 | \begin{proof} $\\$ 70 | Пусть в некотором базисе $\mathcal{E}$ пространства $V_1$ вектор $a_j \sim a_j^\uparrow$ - столбец координат, в базисе $f$ пространства $V_2$ вектор $b_j \sim b_j^\uparrow$\\ 71 | По условию, $\forall j = 1,...,n: \ A_\phi \cdot a_j^\uparrow = b_j^\uparrow \Longrightarrow A_\phi(a_1^\uparrow,...,a_n^\uparrow) = (b_1^\uparrow,...,b_n^\uparrow)$ или $A_\phi \cdot A = B$, где $A_\phi$ - искомая матрица.\\ 72 | Отсюда получаем, что $A_\phi = B \cdot A^{-1}$ (т.к. $a_1,...,a_n$ ЛНЗ).\vspace{0.5cm} 73 | $$\begin{pmatrix} 74 | A \\ \hline B 75 | \end{pmatrix} \xrightarrow[\text{строк}]{\text{ЭП}} 76 | \begin{pmatrix} 77 | E \\ \hline A_\phi 78 | \end{pmatrix}, \ 79 | \begin{pmatrix} 80 | A \\ \hline B 81 | \end{pmatrix} \to 82 | \begin{pmatrix} 83 | A \\ \hline B 84 | \end{pmatrix} \cdot C_{\text{эл}} = 85 | \begin{pmatrix} 86 | AC \\ \hline BC 87 | \end{pmatrix}$$ \vspace{0.5cm} 88 | Если $AC = E$, то $C = A^{-1}$ и $BC = BA^{-1} = A_\phi$ 89 | \end{proof} 90 | \begin{theorem} 91 | Если $\dim V_1 < \infty, \ \phi: \ V_1 \to V_2$ - линейное отображение, то 92 | $$\text{Im} \hspace{0.09cm} \phi \cong V_1 / \text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi$$ 93 | \end{theorem} 94 | \begin{proof} 95 | Базис ядра дополним до базиса пространства $V_1$ векторами $e_1,...,e_s$. Тогда любой $v \in V_1$ можно записать в виде: $$v = \sum \limits_{i=1}^sx_ie_i + u, \text{где } u \in \text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi$$ 96 | По этому в факторпространстве базис составляет классы $\overline{v} + u = \sum \limits_{i=1}^sx_i \overline{e_i}$\\ 97 | Рассмотрим отношение $\overline{\phi}: \ V_1/u \to V_2$, где $\overline{\phi}(\overline{v}) = \overline{\phi}(v+u) := \phi(v)$\\ 98 | Отсюда $w = \overline{\phi}(\overline{v})$. Получаем, что $\phi$ - cюръективное линейное отображение \\ 99 | (т.к. $\forall w \in V_2 \ \exists \ v \in V_1: \ \phi(v) = w$). Также $\text{Ker} \hspace{0.09cm} \overline{\phi} = \{0\} = \{\text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi\}$, потому что если $\overline{\phi}(\overline{v}) = 0$, то $\phi(v) = 0$, т.е. $v \in \text{Ker} \hspace{0.09cm} \phi = u \Longrightarrow v \in U \Longrightarrow \overline{v} = u = \{0\}$ 100 | \end{proof} 101 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section21.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Аффинные пространства и их преобразования} 3 | \begin{definition} 4 | Аффинным пространством над полем $\F$ называется пара $\\(\A, V)$, где $\A$ - множество точек, $V$ - ассоциированное с ним векторное пространство (над $\F$), если задано отображение $\A \times V \rightarrow \A$ - операция прибавления вектора к точке (откладывание вектора от точки) со следующими аксиомами: 5 | \begin{enumerate} 6 | \item $\forall p \in \A, x,y \in V : \ p + (x + y) = (p + x) + y$; 7 | \item $\forall p \in \A : \ p + 0 = p$; 8 | \item $\forall p, q \in \A \ \exists! x \in V : p + x = q$ 9 | \end{enumerate} 10 | Размерность аффинного пространства: $\dim \A = \dim V$. 11 | \end{definition} 12 | \begin{remark} 13 | Если имеется векторное пространство $V$, то можно принять $\A = V$, понимая точки как радиус-векторы, если задать начальную точку $0 \in V$. 14 | \end{remark} 15 | 16 | \begin{subtheorem} 17 | $\overrightarrow{pq} + \overrightarrow{qs} = \overrightarrow{ps}$ 18 | \end{subtheorem} 19 | \begin{proof} 20 | $q = p + x; \ s = q + y = (p + x) + y = p + (x + y)$ 21 | \end{proof} 22 | 23 | \subsection*{Аффинная система координат} 24 | Задаётся точкой $o \in \A$ - началом координат и базисом $e$ ассоциированного векторного пространства $V$. Обозначается $(o, e_1,...,e_n)$.\\ 25 | Координаты точки $p$ - координаты радиус-вектора $\overrightarrow{op}$ в базисе $e$. 26 | $$\overrightarrow{op} = \sum \limits_{i=1}^n x_ie_i \Longrightarrow \overrightarrow{pq} = \overrightarrow{oq} - \overrightarrow{op} = \sum \limits_{i=1}^n (y_i - x_i)e_i$$ 27 | Также можно задать точки $o, p_1,...,p_n$ общего положения (т.е. $\overrightarrow{op_1},...,\overrightarrow{op_n}$ линейно независимы) - тогда $(o, \overrightarrow{op_1},...,\overrightarrow{op_n})$ - система координат.\\ 28 | \textbf{Изменение координат точки при замене системы координат}\\ 29 | Пусть $(o, e)$ - старая система координат, $(o', e')$ - новая система координат.\\ 30 | Заметим, что $\overrightarrow{op} = \overrightarrow{oo'} + \overrightarrow{o'p}$. Поэтому если $X$ - столбец координат точки $p$ в старых координатах, $X'$ - в новых координатах, а $X_o$ - столбец старых координат точки $o'$, то $$X = X_o + CX', \ \ (C = C_{e\rightarrow e'}) \eqno(1)$$ 31 | Можно ввести аффинную матрицу перехода $\tilde{C} = \begin{pmatrix} C&X_0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$ порядка $n + 1$\\ 32 | ($n = \dim V$) и дополненный столбец $\tilde{X} = \begin{pmatrix} X \\ 1 \end{pmatrix}$ высоты $n + 1$. Тогда из $(1)$: 33 | $$\tilde{X} = \tilde{C}\tilde{X}' \eqno(1')$$ 34 | 35 | \subsection*{Барицентрическая комбинация точек} 36 | Пусть даны $p_0,p_1,...,p_m \ (1 \leqslant m \leqslant n)$ с коэффициентами $\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_m, \\ 37 | \sum \lambda_i = 1$. 38 | \begin{definition} 39 | Барицентрической комбинацией будем называть: 40 | $$\sum \limits_{i=0}^m \lambda_ip_i := p + \sum \limits_{i=0}^m \lambda_i \overrightarrow{pp_i} = p + \sum \limits_{i=0}^m \lambda_i(p_i - p)\text{ для некоторой точки } p$$ 41 | \end{definition} 42 | Покажем, что результат не зависит от выбора точки $p$: если $q = p + v$ - другая точка, то: 43 | $$q + \sum \limits_{i=0}^m \lambda_i \overrightarrow{qp_i} = p+ v + \sum \limits_{i=0}^m \lambda_i(-v) + \sum \limits_{i=0}^m \lambda_i \overrightarrow{pp_i} = p + \sum \limits_{i=0}^m \lambda_i \overrightarrow{pp_i}$$ 44 | 45 | \begin{consequense} 46 | Если $m = n$ и $p_0,...,p_n$ - точки общего положения, то любую точку можно единственным образом представить в виде барицентрической комбинации этих точек: $p = \sum \limits_{i=0}^m x_ip_i, \ \sum \limits_{i=0}^m x_i = 1$.\\ 47 | $(x_0,...,x_n)$ называются барицентрическими координатами точки $p$. 48 | \end{consequense} 49 | \subsection{Аффинные плоскости (подпространства)} 50 | \begin{definition} 51 | Зафиксируем точку $p_0 \in \A$ и подпространство $U \subseteq V$.\\ 52 | Аффинная плоскость $P$ с начальной точкой $p_0$ и направляющим подпространством $U$ - это множество точек $P := p_0 + U = \{p_0 + u \ | \ u \in U\}$.\\ 53 | Размерность плоскости: $\dim P = \dim U$. 54 | \end{definition} 55 | \begin{subtheorem} 56 | $P$ не зависит от выбора точки $p_0$. 57 | \end{subtheorem} 58 | \begin{proof} 59 | Пусть $P = p_0 + U, \ p_0' \in P$. Тогда: 60 | $$p_0' = p_0 + u_0 \ (u_0 \in U) \Longrightarrow P' = p_0' + U = p_0 + u_0 + U = p_0 + U = P$$ 61 | \end{proof} 62 | \begin{subtheorem} 63 | Если $P = p_0 + U = p'_0 + U'$, то $U = U'$ (т.е. направляющее подпространство для плоскости определено однозначно). 64 | \end{subtheorem} 65 | \begin{proof} 66 | $p_0' \in p_0 + U \Longrightarrow p_0 + U = p_0' + U = p_0' + U' \Longrightarrow U = U'$ 67 | \end{proof} 68 | \begin{subtheorem} 69 | $(P, U)$ - аффинное пространство относительно операции: $$p \rightarrow p + x \text{ для } x \in U$$ 70 | \end{subtheorem} 71 | \begin{proof} 72 | Проверим аксиомы: 73 | \begin{enumerate} 74 | \item $p + u \in p + U$ - операция определена на $P$ и $U$; 75 | \item $p + (u_1 + u_2) = (p + u_1) + u_2 \in p' + U = P$; 76 | \item Если $p, q \in P$, то $P = p + U, q = p + u \Longrightarrow \overrightarrow{pq} = u \in U$ - существует и единственный. 77 | \end{enumerate} 78 | \end{proof} 79 | 80 | \begin{remark} 81 | $\forall p \in P: \ p = p_0 + \sum \limits_{i=1}^m x_ie_i$ ($e_1,..,e_m$ - базис в $U$).\\ 82 | Вместо точки $p_0$ и базиса $e_1,...,e_m$ можно рассмотреть точки $p_0,p_1,...,p_m$ общего положения - любую точку $p \in P$ можно представить в виде барицентрической комбинации точек $p_0,...,p_n$. 83 | \end{remark} 84 | 85 | \subsection*{Задание аффинной плоскости неоднородной СЛУ} 86 | Пусть $P = p_0 + U, \ \dim U = m, \ \dim V = n$. Тогда $\exists$ матрица $A$ такая, что: 87 | $$U = \{x = eX \ | \ AX = 0\} \ (e - \text{ базис } V)$$ 88 | $\forall p \in P$ имеет координаты $X_0 + X$, где $X_0$ - столбец координат $p_0$, а $X$ - координаты $u \in U$. 89 | Тогда: 90 | $$b: = A(X_0 + X) = AX_0 + AX = AX_0 $$ 91 | $\Longrightarrow$ координаты $p \in P$ удовлетворяют системе $AX = b$.\\ 92 | Если $p_0$ заменить на $p'_0$ с координатами $X_0 + X', AX' = 0$, то: 93 | $$A(X_0 + X') = AX_0 = b$$ 94 | Остюда получаем следующее утверждение: 95 | \begin{subtheorem} 96 | Любую аффинную плоскость можно задать (неоднородной) системой линейных уравнений. 97 | \end{subtheorem} 98 | \begin{definition} 99 | Аффинная оболочка множества точек $M$ - это наименьшая по включению аффинная плоскость, содержащая все точки $M$. В частности, если 100 | $$M = \{p_0,...,p_k\} \text{ то } \langle M \rangle = p_0 + \langle \overrightarrow{p_0p_1},...,\overrightarrow{p_0p_k} \rangle$$ 101 | \end{definition} 102 | 103 | \begin{remark} 104 | Аффинная плоскость $P=p_0+U$ представляет собой некоторый смежный класс пространства $V$ по $U$: 105 | \[p_0'+U=p_0+U=P \Longleftrightarrow \overline{p_op_0'}\in U\] 106 | \end{remark} 107 | \subsection*{Взаимное расположение двух плоскостей:} 108 | Пусть $P_1=p_1+U_1,\ P_2=p_2+U_2$ 109 | \begin{enumerate} 110 | \item $P_1 \parallel P_2$ (в широком смысле), если $U_1\subseteq U_2$ или $U_2\subseteq U_1$. В истинном смысле: если они параллельны в широком смысле и не пересекаются. 111 | \item $P_1 \cap P_2\ne \emptyset$, но не параллельны. 112 | \item $P_1$ и $P_2$ скрещиваются: $P_1\cap P_2=\emptyset$ и $U_1\cap U_2 =\{0\}$. 113 | \end{enumerate} 114 | \begin{subtheorem} 115 | $P_1\cap P_2\ne \emptyset \Longleftrightarrow \overline{p_1p_2}\in U_1+U_2$ 116 | \end{subtheorem} 117 | \begin{proof} \tab 118 | \begin{itemize} 119 | \item[$\underline{\Longrightarrow}$] Пусть $p=p_1+u_1=p_2+u_2 \Rightarrow \overline{p_1p_2}=u_1-u_2\in U_1+U_2$ 120 | \item[$\underline{\Longleftarrow}$] Пусть существуют $u_i\in U_i,\ i=1,2: \overline{p_1p_2}=u_1-u_2$. 121 | Значит: 122 | \[p_1+u_1=p_2+u_2\in P_1\cap P_2\] 123 | \end{itemize} 124 | \end{proof} 125 | 126 | \begin{definition} 127 | Аффинная оболочка подмножества $M\subset \mathbb{A}$ - это 128 | \[\text{Aff}(M)\equiv \langle M \rangle:=p_0+\langle\overline{pq} \ | \ p,q\in M\rangle,\ p_0\in M\] 129 | Видно, что $\langle M \rangle$ - аффинная плоскость с направляющим подпространством 130 | \[U_0=\langle\overline{pq}: p,q\in M\rangle\] 131 | Если $P=p_0+U\supseteq M \Longrightarrow P\ni p_0+\overline{pq},\ p,q\in M \Longrightarrow P\supseteq \langle M \rangle$. 132 | Если $P_1, P_2$ - аффинные плоскости, то: 133 | \[\langle P_1,P_2 \rangle=p_0+\langle \overline{p_1p_2}, U_1, U_2 \rangle\] 134 | \end{definition} 135 | \begin{theorem} 136 | \[\dim{\langle P_1,P_2 \rangle}=\begin{cases} 137 | \dim(U_1+U_2),\ \text{если}\ P_1\cap P_2\ne \emptyset,\\ 138 | \dim(U_1+U_2)+1,\ \text{если}\ P_1\cap P_2= \emptyset 139 | \end{cases}\] 140 | \end{theorem} 141 | \begin{proof} 142 | $\langle P_1,P_2 \rangle$ имеет направляющее подпространство: 143 | \[\langle \overline{p_1p_2}, U_1, U_2 \rangle,\ \forall p_1\in P_1,\ p_2\in P_2\] 144 | \[\dim{\langle \overline{p_1p_2}, U_1, U_2 \rangle}=\begin{cases} 145 | \dim(U_1+U_2),\ \text{если}\ \overline{p_1p_2}\in U_1+U_2 \Longleftrightarrow P_1\cap P_2\ne \emptyset,\\ 146 | \dim(U_1+U_2)+1,\ \text{если}\ \overline{p_1p_2}\not\in U_1+U_2. 147 | \end{cases}\] 148 | \end{proof} 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section13.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Анулирующие многочлены линейных операторов} 3 | Пусть $\phi: \ V\to V$ - линейный оператор над полем $\F$. 4 | \begin{definition} 5 | Линейный оператор $\phi: \ V\to V$ такой, что $\forall v\in V: \ \phi(v) = v$, называется тождественным оператором и обозначается id. 6 | \end{definition} 7 | \begin{definition} 8 | Многочлен $f(t) = a_0+a_1t+\ldots+a_mt^m\in\F[t]$, где $a_1\ldots a_m\in\F$, называется анулирующим многочленом оператора $\phi$ 9 | $$f(\phi) = a_0\cdot\text{id}+a_1\phi+\ldots+a_m\phi^m = 0 \Longrightarrow f(A_{\phi}) = 0$$ 10 | $\Longrightarrow A_{f(\phi)} = f(A_{\phi}) = a_0E+a_1A_{\phi}+\ldots+a_mA_{\phi}^m$. 11 | \end{definition} 12 | \begin{example1} 13 | $V = \R[t]_n$, \ $\phi = \frac{d}{dt}$ 14 | $$\phi^n(t^n) = n!, \ \phi^{n+1}\equiv0 \Longrightarrow \text{для } \phi = \frac{d}{dt} \ \ t^{n+1} - \text{анулирующий многочлен}$$ 15 | \end{example1} 16 | \begin{subtheorem} 17 | Если $\dim V = n \Longrightarrow \exists$ многочлен $\deg \leq n^2$, анулирующий $\phi$. 18 | \end{subtheorem} 19 | \begin{proof} 20 | $\dim L(V) = n^2, \ L(V) \cong M_n(\F) \Longrightarrow$ операторы \\ \{$Id, \ \phi, \ \phi^2, \ \ldots, \ \phi^{n^2}$\} - линейно зависимы, так как их больше $n^2$ $\Longrightarrow$ 21 | $$\exists \ a_0,...,a_{n^2} \in \F: \ a_0 \cdot \text{id}+a_1\phi+\ldots+a_{n^2}\phi^{n^2} = 0$$ 22 | $\Longrightarrow$ $a_0+a_1t+\ldots+a_{n^2}t^{n^2}$ - анулирующий многочлен для $\phi$ 23 | \end{proof} 24 | \begin{definition} 25 | Многочленной матрицей (матричным многочленом) называется матрица $P = (P_{ij}(\lambda))$, где $P_{ij}(\lambda)$ - многочлены над полем, над которым задано векторное пространство. 26 | \end{definition} 27 | \begin{example1} 28 | $$P = \begin{pmatrix} 29 | 1-\lambda^2 & 2\lambda+1 \\ 30 | 3\lambda^2 & \lambda^2+\lambda+1 31 | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 | 1 & 1\\ 33 | 0 & 1 34 | \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 35 | 0 & 2\\ 36 | 0 & 1 37 | \end{pmatrix}\cdot \lambda+\begin{pmatrix} 38 | -1 & 0\\ 39 | 3 & 1 40 | \end{pmatrix}\cdot \lambda^2$$ 41 | - многочлен от $\lambda$ с матричными коэффициентами. 42 | \end{example1} 43 | \begin{definition} 44 | Оператор $\phi: \ V \to V$ называется нулевым оператором, если образом любого вектора является нулевой вектор. 45 | \end{definition} 46 | \begin{definition} 47 | Для матрицы $A = (a_{ij})$ присоединённой матрицей называется матрица $\widehat{A} = (A_{ji})$, то есть $\widehat{a_{ij}} = A_{ji}$. 48 | \end{definition} 49 | \begin{properties1} 50 | $$A\cdot\widehat{A} = \begin{pmatrix} 51 | |A|\\ 52 | \null & \ddots\\ 53 | \null & \null & |A| 54 | \end{pmatrix} = |A|\cdot E$$ 55 | \end{properties1} 56 | \begin{theorem} \textbf{Гамильтона-Кэли} \\ 57 | Характеристический многочлен $\chi_{\phi}(\lambda)$ является анулирующим многочленом для линейного оператора $\phi$, то есть $\chi_{\phi}(\phi) = 0$, где 0 - нулевой оператор.\\ 58 | В матричной форме: 59 | $$\forall A\in M_n(\F): \ \chi_{A}(A) = 0$$ 60 | \end{theorem} 61 | \begin{proof} 62 | Пусть $A$ - данная матрица, тогда: 63 | $$\chi_A(\lambda)=|A-\lambda E| = \sum\limits_{i=0}^{n}p_i\lambda^i$$ 64 | $$p_i\in \F, \ p_n = (-1)^n, \ \chi_A(A) = \sum\limits_{i=0}^n p_i A^i(\text{считаем, что } A^0 = E)$$ 65 | Составим матрицу: 66 | $$\widehat{A-\lambda E} = \sum\limits_{j=0}^{n-1}D_j\lambda^j, \ \text{где } D_j\in M_n(\F)$$ 67 | Рассмотрим равенство: 68 | $$(A-\lambda E)(\widehat{A-\lambda E}) = \chi_A(\lambda)E$$ 69 | \begin{multline*} 70 | (A-\lambda E)\cdot\sum\limits_{j=0}^{n-1}D_j\lambda^j = \sum\limits_{j=0}^{n-1}(AD_j\lambda^j)-\sum\limits_{j=0}^{n-1}D_j\lambda^{j+1} = \\ 71 | = AD_0+\sum\limits_{j=1}^{n-1}(AD_j-D_{j-1})\lambda^j-D_{n-1}\lambda^n = \chi_A(\lambda)E = (\sum\limits_{j=0}^{n}p_j\lambda^j)E 72 | \end{multline*} 73 | Приравняем матричные коэффициенты при соответствующих степенях $\lambda$: 74 | $$\begin{matrix} 75 | E \cdot & \vline & \lambda^0: & AD_0 = p_0E \\ 76 | A \cdot & \vline & \lambda^1: & AD_1 - D_0 = p_1E \\ 77 | \vdots & \vline \\ 78 | A^j \cdot & \vline & \lambda^j: & AD_j - D_{j-1} = p_jE \\ 79 | \vdots & \vline \\ 80 | A^n \cdot & \vline & \lambda^n: & - D_{n-1} = p_nE 81 | \end{matrix}$$ 82 | Домножим равенства с любой стороны на соответствующие степени $A$ и сложим: 83 | $$\Longrightarrow \chi_A(A)E = 0$$ 84 | \end{proof} 85 | \subsection{Минимальный анулирующий многочлен линейного оператора} 86 | \begin{definition} 87 | Минимальным анулирующим многочленом линейного оператора $\phi: \ V \to V$ называется анулирующий многочлен $\phi$ минимальной степени.\\ 88 | Обозначается: $\mu_\phi(\lambda)$ \ (Зачастую его выбирают со старшим коэффициентом $= 1$)\\ 89 | Ясно, что: 90 | $$m = \deg \mu_\phi(\lambda) \leq n \leq \deg \chi_\phi(\lambda)$$ 91 | \end{definition} 92 | \begin{theorem} \tab 93 | \begin{enumerate} 94 | \item $\mu_\phi(\lambda)$ делит анулирующий многочлен оператора $\phi$ (в частности $\chi_\phi(\lambda)$); 95 | \item Если $\mu'_\phi(\lambda)$ тоже минимальный многочлен $\phi$, то: 96 | $$\mu'_\phi(\lambda) = \alpha \mu_\phi(\lambda), \ \alpha \neq 0$$ 97 | Он определен единственным образом с условием, что старший коэффициент $ = 1$; 98 | \item Если все корни $\lambda_i$ характеристического многочлена принадлежат $\F$, то они являются и корнями минимального многочлена. 99 | \end{enumerate} 100 | \end{theorem} 101 | \begin{proof} \tab 102 | \begin{enumerate} 103 | \item Пусть $p(\phi) =0$, для некоторого $p(\lambda) \in \F[\lambda]$\\ 104 | Разделим $p$ с остатком на $\mu_\phi$: 105 | $$p(\lambda) = \mu_\phi(\lambda) \cdot q(\lambda) + r(\lambda) \Rightarrow p(\phi) = \mu_\phi(\phi) \cdot q(\phi) + r(\phi) = 0 \Rightarrow r(\phi) = 0$$ 106 | Т.к. $\deg r(\lambda) < \deg(\mu_{\phi}(\lambda))$, $r(\lambda) \equiv 0$. 107 | 108 | \item Т.к. $\mu_\phi(\lambda) \ | \ \mu'_\phi(\lambda)$ и $\mu'_\phi(\lambda) \ | \ \mu_\phi(\lambda) \Longrightarrow \frac{\mu'_\phi}{\mu_\phi} = \alpha \in \F^* = \F\backslash \{0\}$\\ 109 | Если $\mu_\phi(\lambda) = \lambda^m + ... $ и $\mu'_\phi(\lambda) = \lambda^m + ... \Longrightarrow \alpha = 1$ 110 | \item Допустим, что $\exists j: \ \mu_\phi(\lambda_j) \neq 0$, т.е. в разложение $\mu_\phi$ не входит $(\lambda - \lambda_j) \\ 111 | \Longrightarrow \exists \text{ вектор } v \in V: \ \phi(v) = \lambda_jv$ 112 | $$0 = \mu_\phi(\phi)(v) = \mu_\phi(\phi(v)) = \mu_\phi(\lambda_j v) = \mu_\phi(\lambda_j)v \neq 0$$ 113 | - противоречие 114 | \end{enumerate} 115 | \end{proof} 116 | \begin{example}\tab 117 | \begin{enumerate} 118 | \item $$A_\phi = \begin{pmatrix} 119 | 2 & 1 & 0 \\ 120 | 0 & 2 & 1 \\ 121 | 0 & 0 & 2 122 | \end{pmatrix}, \ \chi_\phi(\lambda) = (2-\lambda)^3 $$ 123 | $$A_\phi - 2E = \begin{pmatrix} 124 | 0 & 1 & 0 \\ 125 | 0 & 0 & 1 \\ 126 | 0 & 0 & 0 127 | \end{pmatrix}, \ (A - 2E)^2 \neq 0, \ (A - 2E)^3 = 0 \Longrightarrow \mu_\phi = - \chi_\phi$$ 128 | \item $$A_\phi = \begin{pmatrix} 129 | 2 & 0 & 0 \\ 130 | 0 & 2 & 0 \\ 131 | 0 & 0 & 1 132 | \end{pmatrix}, \ \chi_\phi = (2-\lambda)^2 (1-\lambda)$$ 133 | $$(A_\phi - 2E)(A_\phi - E) = \begin{pmatrix} 134 | 0 & 0 & 0 \\ 135 | 0 & 0 & 0 \\ 136 | 0 & 0 & -1 137 | \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 138 | 1 & 0 & 0 \\ 139 | 0 & 1 & 0 \\ 140 | 0 & 0 & 0 141 | \end{pmatrix} = 0 \Longrightarrow \mu_\phi(\lambda) = (\lambda-2)(\lambda-1)$$ 142 | \end{enumerate} 143 | \end{example} 144 | \textit{Вопросы:} 145 | \begin{enumerate} 146 | \item Для каких операторов $\phi$ (или $A_\phi$) $\chi_\phi(\lambda) = \pm \mu_\phi(\lambda)$? 147 | \item Для каких $\phi$ корни $\mu_\phi(\lambda)$ простые? 148 | \end{enumerate} 149 | \begin{definition} 150 | Оператор $\phi$ нильпотентный, если: 151 | $$\exists \ L \in \N: \ \phi^L = 0$$ 152 | Если $L$ - минимальный с этим условием, то $L$ - индекс нильпотентности 153 | \end{definition} 154 | \begin{example1} 155 | $D = \frac{d}{dt}$ в пространстве $\R[t]_n$, то $D^{n+1} = 0$ 156 | \end{example1} 157 | \begin{subtheorem} 158 | Все собственные значения нильпотентного оператора $= 0$ 159 | \end{subtheorem} 160 | \begin{proof} 161 | Если $v \neq 0, \ \phi(v) = \lambda v:$ 162 | $$\Longrightarrow \phi^L(v) = \lambda^Lv = 0 \Longrightarrow \lambda = 0 \Longrightarrow \chi_\phi(\lambda) = \pm \lambda^n$$ 163 | \end{proof} 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | % \vspace{2cm} 170 | % Спасибо всем кто верил в меня, я все дописал, спасибо Ярику и Егору за помощь $\heartsuit$ \{может кто-то дочитает до сюда :) \} 171 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section20.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Полуторалинейные, эрмитовы формы. Унитарные (эрмитовы) пространства} 3 | Далее всюду $F = \CC, V$ - в.п. над $\CC$. 4 | \begin{definition} 5 | Функция $f(x, y): V\times V \rightarrow \CC$ называется полуторалинейной, если: 6 | \begin{enumerate} 7 | \item $f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x_2, y)$;\\ 8 | $f(\lambda x, y) = \lambda f(x, y) \ (\lambda \in \CC)$; 9 | \item $f(x, y_1 + y_2) = f(x, y_1) + f(x, y_2)$;\\ 10 | $f(x, \lambda y) = \overline{\lambda} f(x, y) \ (\lambda \in \CC)$ 11 | \end{enumerate} 12 | \end{definition} 13 | \begin{definition} 14 | $f(x,y)$ называется эрмитово симметричной (эрмитовой), если 15 | \begin{enumerate} 16 | \item $f(x, y)$ линейна по $x$; 17 | \item $f(y, x) \equiv \overline{f(x,y)} \ (\Longrightarrow f(x, \lambda y) = \overline{\lambda}f(x,y) \ \forall \lambda \in \CC)$ 18 | \end{enumerate} 19 | \end{definition} 20 | Заметим, что если $f(x,y)$ эрмитова, то $f(x, x) \equiv \overline{f(x,x)} \Rightarrow f(x,x) \in \R$. 21 | \begin{definition} 22 | Квадратичная функция, порождённая эрмитовой формой - это функция $k(x) \equiv f(x,x)$. 23 | \end{definition} 24 | \begin{exercise} 25 | Доказать, что для любой квадратичной формы $k(x) \ \exists!$ эрмитова форма $f(x, y)$ такая, что $f(x,x) \equiv k(x)$. 26 | \end{exercise} 27 | Если $f(x,y)$ полуторалинейна и эрмитова, то обозначим $F = (f(e_i, e_j))$, и тогда $f(e_j, e_i) = \overline{f(e_i, e_j)} \Longrightarrow F^T = \overline{F} \Longleftrightarrow \overline{F}^T = F$. 28 | \begin{definition} 29 | $F^* = \overline{F}^T$ - эрмитово сопряжённая матрица к $F$.\\ 30 | Если $F^* = F$, то $F$ - эрмитова матрица. 31 | \end{definition} 32 | \begin{definition} 33 | Скалярное произведение на пр-ве $V$ - функция $(x,y)$ такая, что 34 | \begin{enumerate} 35 | \item $(x,y)$ линейна по $x$; 36 | \item $(y,x) \equiv \overline{(x,y)}$; 37 | \item $(x,x) > 0 \ \forall x \neq 0$ 38 | \end{enumerate} 39 | \end{definition} 40 | Скалярное произведение в координатах: 41 | $$(\sum \limits_{k=1}^n x_ke_k, \sum \limits_{j=1}^n y_je_j) = \sum \limits_{k=1}^n x_k(e_k, \sum \limits_{j=1}^n y_je_j) = \sum \limits_{k, j=1}^n x_k\overline{y_j}(e_k, e_j)$$ 42 | Матрица Грама базиса $e$: 43 | $$G_e = ((e_k, e_j)). \ G_{e^*} = \overline{G_e}^T = G_e$$ 44 | \begin{definition} 45 | $x \perp y \Longleftrightarrow (x, y) = 0$.\\ 46 | Базис $e_1,...,e_n$ ортогональный, если $(e_k, e_j) = 0, \ k \neq j$.\\ 47 | Базис $e_1,...,e_n$ ортонормированный, если $(e_k, e_j) = \delta_{ij}$. 48 | \end{definition} 49 | В ортонормированном базисе $(x, y) = \sum \limits_{j=1}^n x_j\overline{y_j}$. 50 | 51 | Изменение матрицы полуторалинейной формы при замене базиса:\\ 52 | Если $f(x, y)$ - полуторалинейная форма, то в некотором базисе $e:$ 53 | $$f(x, y) = X^TF\overline{Y}, \text{ где } F = (f(e_i, e_j))$$ 54 | Если $f$ эрмитово симметричная, т.е. $\overline{f(y, x)} = f(x, y)$, то $\overline{F}^T = F$.\\ 55 | Тогда если $e' = Ce$, то в случае полуторалинейной формы: 56 | $$X = CX', Y = CY' \Rightarrow f(x, y) = (X')^T(C^TF\overline{C})\overline{Y'} = (X')^TF'\overline{Y'}$$ 57 | В случае эрмитовой квадратичной формы $k(x) = f(x,x)$: 58 | $$k(x) = \sum \limits_{k,j = 1}^n x_k\overline{x}_jf_{kj} = ... + f_{kj}x_k\overline{x}_j + ... , \ f_{jk} = \overline{f}_{kj}$$ 59 | Отсюда $f_{ii} = \overline{f}_{ii}$, т.е. $f_{ii} \in \R$. 60 | \begin{theorem} 61 | Эрмитову квадратичную форму можно привести к диагональному виду $\alpha_1|x_1|^2 + ... + \alpha_r|x_r|^2$, где $r = \text{rk} F, \ \alpha_1,...,\alpha_r \in \R, \alpha_j \neq 0$. Количество положительных коэффициентов $p$ и отрицательных коэффициентов $q$ - инварианты для данной формы. 62 | \end{theorem} 63 | \begin{proof} 64 | Применим следующий вариант алгоритма Лагранжа: 65 | Основной случай. Если $b_{11} \neq 0$, то необходимо выделить все одночлены, содержащие $x_1$ и $\overline{x}_1$: 66 | \begin{multline*} 67 | k(x_1,...,x_n) = (b_{11}x_1\overline{x}_1 + ... + b_{n1}x_n\overline{x}_1) + (b_{12}x_1\overline{x}_2 + ... + b_{1n}x_1\overline{x}_n) + \tilde{k}(x_2,...,x_n) =\\= \frac{1}{\overline{b}_{11}}(b_{11}x_1 + ... + b_{n1}x_n)(\overline{b_{11}x_1} + ... + \overline{b_{n1}x_n}) + \tilde{k}(x_2,...,x_n) =\\= \frac{1}{\overline{b}_{11}}|b_{11}x_1 + ... + b_{n1}x_n|^2 + \tilde{k}(x_2,...,x_n) 68 | \end{multline*} 69 | Заменяем $y_1 = b_{11}x_1 + ... + b_{n1}x_n$ и далее преобразуем $\tilde{k}$.\\ 70 | Особый случай: $b_{ii} = 0, i = 1,...,n$. По условию $k \not \equiv 0$, т.е. $\exists b_{ij} = \overline{b}_{ji} \neq 0$ и при замене $\begin{cases} 71 | x_i = b_{ji}(y_i + y_j)\\ 72 | x_j = y_i - y_j 73 | \end{cases}$ форма содержит члены: 74 | $$b_{ij}x_i\overline{x}_j + b_{ji}x_j\overline{x}_i = 2b_{ij}^2|y_i|^2 - 2b_{ij}^2|y_j|^2$$ 75 | Далее можем продолжать по основному случаю. 76 | \end{proof} 77 | 78 | Сохраняют силу следующие утверждения и понятия: 79 | \begin{enumerate} 80 | \item Теорема Якоби: $\Delta_1,...,\Delta_{n-1} \neq 0 \Longrightarrow k = \frac{\Delta_1}{\Delta_0}|y_1|^2 + ... + \frac{\Delta_n}{\Delta_{n-1}}|y_n|^2$; 81 | \item Критерий Сильвестра: $k > 0 \Longleftrightarrow \Delta_i > 0, i = 1,...,n$; 82 | \item Понятие $u^\perp$ и утверждение $V = U \oplus U^\perp$. 83 | \end{enumerate} 84 | \begin{remark} 85 | Если $A^* = \overline{A}^T = A$, то $|A| = |\overline{A}^T| = |\overline{A}| = \overline{|A|}$, т.е. $|A| \in \R$ 86 | \end{remark} 87 | \begin{algorithm} Процесс ортогонализации:\\ 88 | Дан произвольный базис $e_1,...,e_n \in V$. Необходимо построить ортогональный базис $e'_1,...,e'_n$ такой, что $\langle e_1,...,e_k \rangle = \langle e'_1,...,e'_k \rangle$.\\ 89 | Возьмём $e'_1 = e_1$.\\ 90 | \textbf{Шаг алгоритма}: \\ 91 | Если $k > 1$ и $e'_1,...,e'_{k-1}$ уже построены, то будем искать $e'_k$ в виде: 92 | $$e_k - \sum \limits_{j=1}^{k-1} \lambda_j^{(k)}e'_j$$ 93 | Тогда: 94 | $$0 = (e'_k, e'_i) = (e_k, e'_i) - \sum \limits_{j=1}^{k-1} \lambda_j^{(k)}(e'_j, e'_i) = (e_k, e'_i) - \lambda_i^{(k)}(e'_i, e'_i) \Longrightarrow \lambda_i^{(k)} = \frac{(e_k, e'_i)}{(e'_i, e'_i)}$$ 95 | \end{algorithm} 96 | \subsection{Линейные операторы в унитарном пространстве} 97 | \begin{enumerate} 98 | \item Сопряжённый оператор $\phi^*$ к линейному оператору $\phi: V \rightarrow V$: 99 | $$\forall x,y \in V, (\phi(x), y) = (x, \phi^*(y)) \eqno(1)$$ 100 | \item Самосопряжённый оператор: $$\phi = \phi^* \eqno(2)$$ 101 | \item Унитарный оператор: 102 | $$\forall x,y \in V, (\phi(x), \phi(y)) = (x, y) \eqno(3)$$ 103 | \end{enumerate} 104 | 105 | Для самосопряжённого оператора: 106 | $$(2) \Longleftrightarrow (\phi(x), y) \equiv (x, \phi(y)) \Longrightarrow (A_\phi X)^TG\overline{Y} = X^T(A_\phi^TG)\overline{Y} = X^T(G\overline{A}_\phi)\overline{Y}$$ 107 | Отсюда 108 | $$A_\phi^TG = G\overline{A}_\phi \eqno(2')$$ 109 | Если базис ортонормированный, то $A_\phi^T = \overline{A}_\phi \Longleftrightarrow A = A^*$ 110 | 111 | Для унитарного оператора: 112 | $$(3) \Longleftrightarrow X^TG\overline{Y} = (A_\phi X)^TG\overline{A_\phi Y} = X^T(A_\phi^TG\overline{A}_\phi)\overline{Y} \Longrightarrow A_\phi^TG\overline{A}_\phi = G \eqno(3')$$ 113 | Если базис ортонормированный, то $A_\phi^T\overline{A}_\phi = E \Longleftrightarrow A^{-1} = A^*$ (унитарная матрица). 114 | 115 | \begin{theorem} 116 | Если $\phi$ - самосопряжённый линейный оператор в $V$, то 117 | \begin{enumerate} 118 | \item Все его характеристические корни $\in \R$; 119 | \item Собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, ортогональны; 120 | \item Если $U$ - $\phi$-инвариантно в $V$, то $U^\perp$ также $\phi$-инвариантно; 121 | \item В $V \ \exists$ ортонормированный базис из собственных векторов $\phi \Longleftrightarrow \phi = \phi^*$ ($\Longrightarrow$ при условии, что все собственные значения $\in \R$) 122 | \end{enumerate} 123 | \end{theorem} 124 | \begin{theorem} 125 | Если $\phi$ - унитарный линейный оператор в $V$, то 126 | \begin{enumerate} 127 | \item Все собственные значения имеют модуль 1; 128 | \item Собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, ортогональны; 129 | \item Если $U$ - $\phi$-инвариантно в $V$, то $U^\perp$ также $\phi$-инвариантно; 130 | \item В $V \ \exists$ базис из собственных векторов $\phi$, причём в этом базисе 131 | $$A'_\phi = \begin{pmatrix}e^{i\omega_1}&\null&0\\\null&\ddots&\null\\0&\null&e^{i\omega_n}\end{pmatrix}$$ 132 | \end{enumerate} 133 | \end{theorem} 134 | \begin{proof} 135 | За исключением примечаний ниже доказательство аналогично случаю евклидова пространства.\\ 136 | \textbf{К пункту 1 обоих теорем:}\\ 137 | Так как $\CC$ замкнуто, любой корень $\lambda$ характеристического многочлена для $\phi$ является собственным значением и имеет отвечающийй ему собственный вектор.\\ 138 | Для самосопряжённого оператора: 139 | $$\lambda(x,x) = (\phi(x), x) = (x, \phi(x)) = \overline{\lambda}(x,x) \Longrightarrow \lambda \in \R$$ 140 | Для унитарного оператора: 141 | $$(x,x) = (\phi(x), \phi(x)) = \lambda\overline{\lambda}(x, \phi(x)) \Longrightarrow \lambda\overline{\lambda} = |\lambda|^2 = 1 \Longrightarrow |\lambda| = 1$$ 142 | \textbf{К пункту 4 теоремы 2:}\\ 143 | Индукция по $n$:\\ 144 | База: $n = 1 \Rightarrow \phi(x) = e^{i\omega}x$; 145 | Шаг: Выберем собственное значение $\lambda_1 = e^{i\omega_1}$, найдём для него собственный вектор $e_1$ и нормируем его. $\langle e_1 \rangle - \phi$-инвариантное подпространство $\Longrightarrow \ \langle e_1 \rangle^\perp - \phi$-инвариантно, и тогда по предположению индукции $\exists$ ортонормированный базис $e_2,...,e_n$ нужного вида для $\phi|_{\langle e_1 \rangle^\perp}$, а из ортогональности $e_1$ всем векторам этого базиса получаем, что $e_1,...,e_n$ - искомый базис. 146 | \end{proof} -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Прямая сумма подпространств и пространств} 3 | \begin{definition} 4 | Сумма $U_1+...+U_m$ подпространств $U_i \subset V, \ 1\leq i \leq m$ называется прямой суммой, если 5 | $\forall u \in U_1+...+U_m$ представим в виде: \\$u = u_1+...+u_m \ (u_i \in U_i)$ единственным образом 6 | \end{definition} 7 | Пусть $m=2, V$ - конечномерное пространство, $U_{1,2}$ - подпространства $V$ 8 | \begin{theorem} 9 | Следующие условия равносильны: 10 | \begin{enumerate} 11 | \item $U = U_1 + U_2$ - прямая сумма 12 | \item $U_1 \cap U_2 = \{0\}$ 13 | \item $\dim (U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2$ 14 | \item Базис $U_1 + U_2$ - объединение базисов слагаемых 15 | \end{enumerate} 16 | \end{theorem} 17 | \begin{proof}\tab 18 | \begin{itemize} 19 | \item[$1. \to 2.$] Допустим $v \in U_1 \cap U_2 \Longrightarrow v = \underset{\in U_1}{v} + 0 = 0 + \underset{\in U_2}{v} \Longrightarrow v = 0$ 20 | \item[$2. \to 3.$] По формуле Грассмана: 21 | $$\dim (U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \underbrace{\dim (U_1 \cap U_2)}_{0}$$ 22 | \item[$3. \to 4.$] Ввиду доказательства формулы Грассмана. Если $$\sum \limits_{i} \alpha_i a_i + \sum \limits_{j} \beta_j b_j = 0 \Longrightarrow \sum \limits_{i} \alpha_i a_i = \sum \limits_{j} (-\beta_j) b_j \in U_1 \cap U_2 = \{0\}$$ 23 | $$\Longrightarrow \text{все } \alpha_i \text{ и } \beta_i \text{ равны нулю}$$ 24 | \item[$4. \to 1.$] $\forall u \in U_1 + U_2: $ $$ 25 | u = (\sum \limits_{i} \alpha_i a_i) + (\sum \limits_{j} \beta_j b_j)$$ 26 | - разложение по базису единственно 27 | \end{itemize} 28 | \end{proof} 29 | \begin{theorem} 30 | Следующие условия равносильны: 31 | \begin{enumerate} 32 | \item $U = U_1 + U_2 + ... + U_n$ - прямая сумма 33 | \item $\forall i, \ 1 \leq i \leq m, \ U_i \cap (\sum \limits_{j \neq i}U_j) = \{0\}$ 34 | \item $\dim (U_1 + U_2 + ... + U_n) = \dim U_1 + \dim U_2 + ... + \dim U_n$ 35 | \item Базис $U_1 + U_2 + ... + U_n$ - объединение базисов слагаемых 36 | \end{enumerate} 37 | \end{theorem} 38 | \begin{exercise} 39 | Доказать 40 | \end{exercise} 41 | \begin{example1} того, что условия $U_i \cap U_j = \{0\}, \ i \neq j$ недостаточно для прямой суммы: 42 | \begin{center} 43 | \includegraphics[width=5cm]{image/Asymptote/5/linal-5-1.pdf} 44 | \end{center} 45 | $v_1,v_2,v_3$ - ЛЗ $\Longrightarrow $ представление не единственным образом 46 | \end{example1} 47 | \begin{lemma} 48 | Любой ЛНЗ набор векторов $a_1,...,a_m$ в $n$-мерном векторном пространстве $V \ (m < n)$ можно дополнить до базиса в $V$. 49 | \end{lemma} 50 | \begin{proof} 51 | \begin{enumerate} 52 | \item Пусть известны координаты векторов в некотором базисе $e_1,...,e_n \Longrightarrow rk \{a_1,...,a_m,e_1,...,e_n\} = n$ 53 | \item Составим матрицу: 54 | $$\begin{pmatrix} 55 | a_1^{\uparrow} & \cdots a_m^{\uparrow} & \vline & E_n 56 | \end{pmatrix} \xrightarrow[\text{выделяем базисные столбцы}]{\text{ЭП строк матрицы}} \begin{pmatrix} 57 | a_1^{\uparrow} & \cdots a_m^{\uparrow} & \vline & e_{i,1}^{\uparrow} & \vline & e_{j,n-m}^{\uparrow} & \cdots 58 | \end{pmatrix}$$ 59 | Тогда к векторам $a_1,....,a_m$ надо добавить $e_{j,1},...,e_{j,n-m}$ 60 | \end{enumerate} 61 | \end{proof} 62 | \begin{definition} 63 | Если $U$ - подпр-во в $V \ (0 \neq U \neq V)$ и $\exists \ W \subset V \ : \ V = U \oplus W$, то $W$ - прямое дополнение к $U$. 64 | \end{definition} 65 | \begin{consequense} 66 | Для любого подпространства в конечномерном векторном пространстве $\exists \ $ прямые дополнения. 67 | \end{consequense} 68 | \begin{proof} 69 | $U = \langle a_1,...,a_m \rangle \Longrightarrow \exists \ a_{m+1},...,a_n \ : \ \langle a_1,...,a_n \rangle$ - базис в $V$, тогда $W = \langle a_{m+1},...,a_n \rangle$ 70 | \end{proof} 71 | \begin{definition} 72 | Пусть $V_1,...,V_k \ (k\geq 2)$ - векторы пространства над одним и тем же полем $\mathbb{F}$, тогда: 73 | $$V = V_1 \times ... \times V_k = \{ (v_1,...,v_k) \ | \ v_i \in V_i, 1\leq i \leq k\} - \text{ внешняя прямая сумма}$$ 74 | Обозначение: $\begin{smallmatrix} 75 | \oplus \\ \circ 76 | \end{smallmatrix}$ 77 | \end{definition} 78 | \begin{remark} 79 | Внешнюю прямую сумму $V = V_1 \begin{smallmatrix} 80 | \oplus \\ \circ 81 | \end{smallmatrix} ... \begin{smallmatrix} 82 | \oplus \\ \circ 83 | \end{smallmatrix} V_k$ можно превратить в прямую сумму подпространства: 84 | $$\forall i \text{ рассмотрим } V'_i = \{0,...,.v_i,....,0\} - \text{ подпространство в } V$$ 85 | Запись $v_1,...,v_k \overset{\text{единственно}}{=} (v_1,0,0,...,0) + (0,v_2,0,...,0)+...+(0,0,0,...,v_k)$ показывает, что $V = V'_1 \oplus ... \oplus V'_k$ - единственно. \\ 86 | В частности $\dim (V_1 \begin{smallmatrix} 87 | \oplus \\ \circ 88 | \end{smallmatrix} ... \begin{smallmatrix} 89 | \oplus \\ \circ 90 | \end{smallmatrix} V_k ) = \sum \limits_{i=1}^n \dim V_i$ 91 | \end{remark} 92 | \subsection*{Факторпространства} 93 | \begin{definition} 94 | Пусть $U \subset V$ - подпространство, $v_1,v_2 \in V$. Говорят, что $v_1 \thicksim v_2$ по модулю $U$, если $v_1 - v_2 \in U \ $. Классы эквивалентности имеют вид: 95 | $$v + U = \{v + u \ | \ u \in U\}$$ 96 | - смежные классы по $U$, где $v$ - представитель\\ 97 | $*$ $V/U = \{\underbrace{v + U}_{\overline{v}} \ | \ u \in U\}$ 98 | \end{definition} 99 | \begin{subtheorem} 100 | $v_1 \thicksim v_2 \Leftrightarrow v_1 + U = v_2 + U$ 101 | \end{subtheorem} 102 | \begin{proof} \tab 103 | \begin{itemize} 104 | \item[$\underline{\Rightarrow} :$] Если $v_1 \thicksim v_2$, то $\exists \ u_0 \in V: v_2 = v_1 + u_0$ 105 | $$\forall u \in U \ \ v_2 + u = v_1 + (u_0 + u) \Longrightarrow v_2 + U \subseteq v_1 + U$$ 106 | $$v_1 = v_2 - u_0; \ \forall u \in U \ v_1 + u = v_2 + (u - u_0) \Longrightarrow v_1 + U \subseteq v_2 + U$$ 107 | \item[$\underline{\Leftarrow} :$] Если $v_1 + U = v_2 + U$, то $\exists u_1 \in U: \ v_1 = v_2 + u_1 \Longrightarrow v_1 - v_2 = u_1 \in U$ 108 | \end{itemize} 109 | \end{proof} 110 | \begin{definition} 111 | $v + U$ - смежный класс элемента $v$ по $U$ \ : \ $\bar{v} := v + U$ 112 | \end{definition} 113 | \begin{definition} 114 | $V / U = \{\bar{v} \ | \ v\in V\}$ - факторпространство $V$ по $U$. 115 | \end{definition} 116 | \begin{definition} 117 | Структура векторного пространства на $V / U$: 118 | $$\overline{v}_1 + \overline{v}_2 = \overline{v_1 + v_2}; \ \ \ \lambda\overline{v}_1 = \overline{\lambda v_1};$$ 119 | \end{definition} 120 | \begin{definition} 121 | $\dim (V/U)$ называется коразмерностью подпространства $U$ в $V$ \\ 122 | Обозначается: $\textup{Codim}_{V} U$ 123 | \end{definition} 124 | \begin{example1} 125 | Пусть $V = C[a, b]$ 126 | $$U = \{f(x) \ | \ f(x_0) = 0, \ x_0 \in [a, b]\} \Longrightarrow \textup{Codim}_{V} U = 1$$ 127 | \end{example1} 128 | \begin{theorem} \tab 129 | \begin{enumerate} 130 | \item Данные операции задают на $V/U$ векторное пр-во; 131 | \item Если $\dim V < \infty$, то $\dim(V/U) = \dim V - \dim U$ 132 | \end{enumerate} 133 | \end{theorem} 134 | \begin{proof} \tab 135 | \begin{itemize} 136 | \item[$1)$] Проверим корректность введённых операций:\\ 137 | Если $v'_1 = v_1 + u_1, \ v'_2 = v_2 + u_2, \ u_1, u_2\in U: $ 138 | $$v'_1 + v'_2 = v_1 + v_2 + (u_1 + u_2)$$ 139 | $$ v'_1 + v'_2 \sim v_1 + v_2, \text{ т.е. } v'_1 + v'_2 + U = v_1 + v_2 + U \Rightarrow \overline{v'_1 + v'_2} = \overline{v_1 + v_2}$$ 140 | $$\overline{v'_1} + \overline{v'_2} = \overline{v'_1 + v'_2} = \overline{v_1 + v_2} = \overline{v_1} + \overline{v_2}$$ 141 | т.е. сложение не зависит от выбора элементов в классах.\\ 142 | Если 143 | $$v' = v + u, \ u \in U \Longrightarrow \lambda v' = \lambda v + \lambda u \in \lambda v + U$$ 144 | $$v \sim v' \Longrightarrow \lambda v \sim \lambda v'; \ \overline{0} \in U; \ -\overline{v} = \overline{-v}$$ 145 | Все аксиомы выполенены, т.к. действия над смежными классами выражаются через действия над векторами. 146 | \item[$2)$] Выберем базис $a_1,...,a_m$ в $U$\\ 147 | Если $U=V$, т.е. $m=n=\dim V$, то $V/U = \{0\} \Longrightarrow \dim (V/U) = n-n=0$\\ 148 | Если же $m1:$] Предположение индукции: Любые $m-1$ вектор, отвечающих попарно различным собственным значениям - ЛНЗ\\ 11 | Запишем: 12 | $$a_1\alpha_1 + ... + a_{m-1}\alpha_{m-1} + a_m \alpha_m = 0 \eqno(1)$$ 13 | Подействуем оператором 14 | $$\phi: a_1 \lambda_1\alpha_1 + ... + a_{m-1} \lambda_{m-1}\alpha_{m-1} + a_m \lambda_m\alpha_m = 0 \eqno(2)$$ 15 | Домножим (1) на $\lambda_m$ и вычтем его из (2): 16 | $$a_1 (\lambda_1 - \lambda_m)\alpha_1 + ... + a_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_m)\alpha_{m-1} = 0$$ 17 | По предположению индукции $\forall i = 1,...,m-1: \ \alpha_i(\lambda_i - \lambda_m)= 0 \Longrightarrow \alpha_i = 0$\\ 18 | Остается $\alpha_ma_m = 0 \Longrightarrow \alpha_m = 0$ 19 | \end{itemize} 20 | \end{proof} 21 | \begin{consequense} 22 | Если $\phi$ имеет $n$ попарно различных собственных значений\\ $(\dim V = n)$, то соответствующеие собственные векторы, взятые по одному для каждого собственного значения, образуют базис в $V$ (Базис из собственных векторов или собственный базис). 23 | \end{consequense} 24 | \textbf{Вид матрицы $A_\phi$ в базисе из собственных векторов:}\\ 25 | Обозначаем базис $\{e_1,...,e_n\} \in V$, \ $\phi(e_j) = \lambda_j e_j, \ j = \overline{1,n}$ \\ 26 | $\forall x \in V: \ \phi(x) = A_{\phi,e}\cdot X_e$. Столбец вектора $\phi(e_1) = \left(\begin{smallmatrix} 27 | \lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 28 | \end{smallmatrix}\right), \ \phi(e_2) = \left(\begin{smallmatrix} 29 | 0 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ 0 30 | \end{smallmatrix}\right)$,... 31 | $$A_{\phi, e} = \begin{pmatrix} 32 | \lambda_1 & \null & \null & \null \\ 33 | \null & \lambda_2 & \null & \null \\ 34 | \null & \null & \ddots & \null\\ 35 | \null & \null & \null & \lambda_n 36 | \end{pmatrix}$$ 37 | - диагональная, причем на диагонали находятся собственные значения с учетом нумерации векторов 38 | \subsection{Собственное подпространство линейного оператора, заданное собственным значением} 39 | Фиксируем собственное значение $\lambda_0 \in \F$ так, что $\exists \ v \in V, v \neq 0: \ \phi(v) = \lambda_0 v$\\ 40 | Обозначается: $V_{\lambda_0} = \{v \in V \ | \ \phi(v) = \lambda_0 v\}$ 41 | \begin{subtheorem} \textbf{(1)} 42 | $V_{\lambda_0}$ - подпространство в $V, \ V_{\lambda_0} = \text{Ker} \hspace{0.09cm} (\phi - \lambda_0 \cdot \id)$ 43 | \end{subtheorem} 44 | \begin{proof} 45 | Если $A_\phi$ - матрица оператора $\phi$, то в координатах $V_{\lambda_0}$ - множество всех решений СЛУ. 46 | $$(A_\phi - \lambda_0 E) \cdot X=0 \Longrightarrow \dim V_{\lambda_0} = n - \text{rk} \hspace{0.09cm} (A_\phi - \lambda_0E)$$ 47 | \end{proof} 48 | \begin{definition} $\\$ 49 | $\dim V_{\lambda_0}$ - геометрическая кратность характеристического корня $\lambda = \lambda_0$. Имеет смысл и алгебраическая кратность $\lambda_0$ характеристического корня $\chi_\phi(\lambda):$ 50 | $$\chi_\phi(\lambda) = (\lambda_0-\lambda)^kp(\lambda_0), \ P(\lambda_0)\neq 0, \ k - \text{алгебраическая кратность}$$ 51 | \end{definition} 52 | \begin{lemma} 53 | Для любого собственного значения $\lambda_0$ оператора $\phi: \\ 54 | \tab[4.5cm] \dim V_{\lambda_0} \leq $ алгебраическая кратность корня $\lambda = \lambda_0$ в $\chi_\phi(\lambda)$ 55 | \end{lemma} 56 | \begin{proof} 57 | Пусть $\dim V_{\lambda_0} = m \leq n$, выберем базис в $V_{\lambda_0}: \ \{e_1,...,e_m\}$ и произвольно дополним его до базиса в $V$ (при m 2$. 163 | \end{exercise} 164 | \subsubsection*{Тензорная алгебра пространства V} 165 | Определим $T(V) = \circledplus \limits_{q = 0}^\infty T_0^q(V)$ - множество финитных последовательностей тензоров $(f_0,...,f_s, 0,...)$. 166 | \[f_i \in T_0^i, \ f_j \in T_0^j \Longrightarrow f_i \otimes f_j \in T_0^{i+j}\] 167 | Последовательности перемножаются по правилу перемножения многочленов (от одной переменной). 168 | \subsubsection*{Симметризация и альтернирование} 169 | Далее $\textup{char} F = 0$. 170 | \begin{enumerate} 171 | \item Симметризация: для тензора $f \in T_p^0(V)$: 172 | \[\textup{Sym}(f)(x_1,...,x_p) = \frac{1}{p!}\sum \limits_{\sigma \in S_p}f(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\] 173 | Свойства: 174 | \begin{enumerate} 175 | \item $\textup{Sym}: T_p^0(V) \rightarrow T_p^0(V)$ - линейное отображение, $\textup{Im}\hspace{0.07cm}\textup{Sym} = T_p^+(V)$; 176 | \item $\textup{Sym}(\textup{Sym}(f)) = \textup{Sym}(f)$, т.е. $\textup{Sym}^2 = \textup{Sym}$. 177 | \end{enumerate} 178 | \item Альтернирование: для тензора $f \in T_p^0(V)$: 179 | \[\textup{Alt}(f)(x_1,...,x_p) = \frac{1}{p!}\sum \limits_{\sigma \in S_p} \sgn(\sigma)f(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\] 180 | $\textup{Alt}(f)$ - кососимметрический тензор, обозначим $g = \textup{Alt}(f)$ - полилинейная функция $\in T_p^0(V)$.\\ 181 | Тогда $g(x_1,...,x_p);\ \forall \pi \in S_p$ рассмотрим 182 | \begin{multline*} 183 | g(x_{\pi(1)},...,x_{\pi(p)}) = \frac{1}{p!}\sum \limits_{\sigma \in S_p} \sgn(\sigma)f(x_{\sigma(\pi(1))},...,x_{\sigma(\pi(p))}) =\\= \frac{1}{p!}\sgn(\sigma)\sum \limits_{\tau \in S_p} \sgn(\tau)f(x_{\tau(1)},...,x_{\tau(p)}) = \sgn(\pi)g(x_1,...,x_p) 184 | \end{multline*} 185 | Свойства: 186 | \begin{enumerate} 187 | \item $\textup{Alt}: T_p^0(V) \rightarrow T_p^0(V)$ - линейное отображение, $\textup{Im}\hspace{0.07cm}\textup{Alt} = \Lambda_p$ 188 | %($\Lambda(V) = \circledplus \limits_{p = 0}^\infty \Lambda_p$ - как в.п.); 189 | \item $\textup{Alt}^2 = \textup{Alt}$. 190 | \end{enumerate} 191 | \end{enumerate} 192 | \subsubsection*{Внешнее произведение кососимметрических тензоров} 193 | \begin{definition} 194 | Пусть $f \in T_p^0, \ g \in T_r^0$. Тогда $\textup{Alt}(f) \in \Lambda_p, \ \textup{Alt}(g) \in \Lambda_r$, и 195 | \[f \wedge g := \textup{Alt}(f \otimes g) \in \Lambda_{p+r}\] 196 | \end{definition} 197 | \begin{remark} 198 | Если $f, g$ кососимметрические, то $f \otimes g$ не обязано быть кососимметрическим. 199 | \end{remark} 200 | Из определения следует, что $\Lambda_p \wedge \Lambda_q \subseteq \Lambda_{p+q}$\\ 201 | (Вообще говоря, внешнее произведение существует для произвольных тензоров, но в данном курсе операции внешнего/внутреннего произведения рассматриваются исключительно на кососимметрических/симметрических тензорах соответственно) 202 | 203 | Пусть $x_i = x_i^je_j, i = 1,...,q=n$. Вычислим $x_1\wedge...\wedge x_n$: 204 | \[x_1\wedge...\wedge x_n = (x_1^{j_1}e_{j_1})\wedge(x_2^{j_2}e_{j_2})\wedge...\wedge(x_n^{j_n}e_{j_n}) = x_1^{j_1}\cdot...\cdot x_n^{j_n}(e_{j_1}\wedge...\wedge e_{j_n})\] 205 | Также $e_{j_1}\wedge...\wedge e_{j_n} = 0$, если $\exists j_k = j_l$. Остаются только слагаемые, в которых $\{j_1,...,j_n\} = \{1,..,n\}$, поэтому 206 | \[x_1^{j_1}\cdot...\cdot x_n^{j_n}(e_{j_1}\wedge...\wedge e_{j_n}) = (\sgn(j_1...j_n)x_1^{j_1}\cdot...\cdot x_n^{j_n})e_1\wedge...\wedge e_n = \begin{vmatrix} x_1^1 & \dots & x_n^1 \\ \vdots & \null & \vdots \\ x_1^n & \dots & x_n^n \end{vmatrix}e_1\wedge...\wedge e_n\] 207 | Очевидно, что существует только одномерное подпространство, содержащее $x_1\wedge...\wedge x_n \forall x_i \in V$, т.е. $\dim \Lambda^1(V) = n$.\\ 208 | Рассмотрим теперь $\Lambda^q(V)$. Оно содержит произведения $e_{j_1}\wedge...\wedge e_{j_q}$, причём они линейно независимы и любой тензор типа $\Lambda^q$ линейно выражается через них $\Longrightarrow \dim \Lambda^q(V) = C_n^q$.\\ 209 | Обозначим $\Lambda(V) = \circledplus \limits_{p = 0}^\infty \Lambda_p = \{(f_0,f_1...,f_n) \ | \ f_i = \Lambda^i(V)\} \Longrightarrow \dim \Lambda(V) = 2^n$. 210 | \\$\Lambda(V)$ называется внешней алгеброй пространства $V$ или алгеброй Грассмана. 211 | \subsubsection*{Внутреннее произведение симметрических тензоров} 212 | Обозначим $S(V) = \circledplus \limits_{p = 0}^\infty T_p^+(V)$.\\ 213 | В качестве операции умножения используем операцию внутреннего произведения: 214 | \[f \vee g = \textup{Sym}(f \otimes g)\] 215 | Несложно показать, что данная операция ассоциативна, дистрибутивна со сложением и коммутативна.\\ 216 | Тензоры $e^{j_1}\vee...\vee e^{j_p} \in T_p^+(V)$ (допускается равенство индексов). При этом 217 | \[\forall u \in T_p^0(V) \ \ u = u_{i_1,...,i_p}e^{i_1}\otimes...\otimes e^{i_p}\] 218 | Если $u \in T_p^+$, то 219 | \[u = \textup{Sym}(u) = u_{i_1,...,i_p}e^{i_1}\vee...\vee e^{i_p} \Longrightarrow T_p^+ = \langle e^{i_1}\vee...\vee e^{i_p} \ | \ i_1,...,i_p \in \{1,...,n\}\rangle\] 220 | Также из линейной независимости $e^{i_1}\otimes...\otimes e^{i_p}$ следует линейная независимость тензоров $e^{i_1}\vee...\vee e^{i_p}$\\ 221 | Сопоставим $e^1 \leftrightarrow x_1,..., e^n \leftrightarrow x_n$, где $x_1,...,x_n$ - коммутирующие независимые переменные. Получаем биекцию $T_p^+(V) \leftrightarrow \{\sum a_{i_1,...,i_k}x_1^{i_1}...x_n^{i_n} | \sum \limits_{k=1}^n i_k = p\}$ (операция внутреннего произведения в этом случае сопоставляется операции умножения: $e^{i_1} \vee e^{i_2} \leftrightarrow x_{i_1}\cdot x_{i_2}$)\\ 222 | Вычислим размерность пространства однородных многочленов степени $p$. Для этого необходимо подсчитать количество выборок $i_1,...,i_p$ с повторениями из $\{1,...,n\}$ без учёта порядка. Для этого воспользуемся методом шаров и перегородок - пусть шарами являются числа 1,...,n, а перегородками - элементы выборки, причём $i_k$ равен числу, соответствующему ближайшему слева шару от перегородки $i_k$. Тогда шаров $n$, перегородок $p$, причём первый элемент строки - не перегородка, т.е. индексы не принимают значение 0. Тогда всего способов $C_{n+p-1}^p$ (выбираем $p$ элементов как перегородки из $n+p-1$ элемента) $\Longrightarrow \dim T_p^+ = C_{n+p-1}^p$ 223 | \subsection{Тензоры на евклидовом пространстве} 224 | \begin{definition} 225 | Скалярное произведение - тензор типа (2, 0): 226 | \[(x, y) = g_{ij}x^ix^j\] 227 | $g_{ij}$ - метрический тензор.\\ 228 | Далее полагаем базис ортонормированным.\\ 229 | Обозначим $G^{-1} = g^{kl}$. Тогда $G^{-1}G = E \Leftrightarrow g^{kl}g_{lj} = \delta_j^k$. $g^{kl}$ называется контравариантным метрическим тензором. 230 | \end{definition} 231 | Рассмотрим вектор $x^i$ (типа (0, 1)) и свёртку $g_{ij}x^j = a_i$ - это линейная функция, т.е. тензор типа $(1, 0)$. В результате верхний индекс переместился вниз: 232 | \[V_i \longrightarrow V_i^*: \ \ x_i \rightarrowtail g_{ij}x^i = a_j\] 233 | - изоморфизм между $V$ и $V^*$. Аналогично можно рассмотреть свёртку $g^{ij}a_j = y^i$ - индекс поднимается наверх. Эти операции, очевидно, взаимно обратны: 234 | \[g_{ij}(g^{ij}a_j) = (g_{ij}g^{ij})a_j = a_j\] 235 | Общий случай: пусть $q \geqslant 1$, $f\in T_p^q(V)$ - тензор, $A_{i_1,...,i_p}^{j_1,...,j_q}$ - его матрица. Рассмотрим свёртку 236 | \[g_{ij}A_{i_1,...,i_s,...,i_p}^{j_1,...,\overbrace{j}^{k},...,j_q} = \tilde{A}_{i_1,...,i_s,...,i_p, i}^{j_1,...,j_{k-1},j_{k+1},...,j_q} \in T_{p+1}^{q-1}\] 237 | - операция опускания индекса тензора. Аналогично, свёртка 238 | \[g^{ij}A_{i_1,...,\underbrace{i}_{s},...,i_p}^{j_1,...,j_k,...,j_q} = \tilde{\tilde{{A}}}_{i_1,...,i_{s-1},i_{s+1},...,i_p}^{j_1,...,j_{k-1},j_{k+1},...,j_q, j} \in T_{p-1}^{q+1}\] 239 | - операция поднятия индекса тензора (для $p \geqslant 1$). -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section22.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | 3 | \section{Евклидовы аффинные пространства} 4 | \begin{definition} 5 | Аффинное пространство $(\mathbb{A},\mathcal{E})$ - евклидово, если $\mathcal{E}$ - евклидово пространство (над $\R$), $\mathcal{E}$ ассоциировано с пространством точек $\mathbb{A}$.\\ 6 | Расстояние определяется как 7 | \[\rho(p,q)=|\overline{pq}|\] 8 | Для трех точек $a,b,c$ угол между лучами $(ab)$ и $(ac)$ - это угол между векторами $\overline{ab}$ и $\overline{ac}$ (если они ненулевые). 9 | \end{definition} 10 | 11 | \begin{definition} $\\$ 12 | Расстояние от точки $p_1\in \mathbb{A}$ до плоскости $P=p_0+U,\ V\supset U\ne \{0\}$.\\ 13 | Либо $p_1\in P$, либо $\overline{p_0p_1}\not\in U$.\\ 14 | Можно рассматривать подпространство: 15 | \[ \widetilde{U}=\langle \overline{p_0p_1},U \rangle\supset V,\ \overline{p_0p_1}=y+z,\ y\in U,\ z\in U^{\perp}\] 16 | \[ \rho(p_1, P) = \min|\overline{p_1q}|=|z|\] 17 | \end{definition} 18 | 19 | \begin{definition} 20 | Параллелепипед с одной вершиной $p_0$ и ребрами $a_1,\dots,a_m$, где $m\leq n,\ a_i\in \mathcal{E}$: 21 | \[\Pi_{\langle p_0,a_1,\dots,a_m \rangle}=\{p_0+\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i a_i: 0\leq \lambda_i\leq 1\}\] 22 | \end{definition} 23 | \begin{definition} 24 | Определим $m$-мерный объем рекурсивно: 25 | для $m=1$: 26 | \[V(\Pi_{1})=|a_1|\] 27 | \[V(\Pi_m)=(a_m)_{\perp}\cdot V_{\{p_0,a_1,\dots,a_{m-1}\}}\] 28 | где $(a_m)_{\perp}$ - ортогональная составляющая ребра $a_m$ отностительно подпространства $\langle a_1,\dots, a_{m-1} \rangle$. 29 | \end{definition} 30 | 31 | \begin{remark} 32 | Пусть $a_1,\dots,a_m$ линейно независимы. Тогда: 33 | \[V_{\{p_0,a_1,...,a_m\}}=\sqrt{|G_{\{a_1,...,a_m\}}|}\] 34 | Можно ортогонализовать векторы $a_1,\dots,a_m$, причем матрица перехода от\\ 35 | $a_1,\dots,a_m$ к $b_1,\dots,b_m$, где $b_1,\dots,b_m$ получены из алгоритма ортогонализации, выглядит так: 36 | \[C= 37 | \begin{pmatrix} 38 | 1 & \null & *\\ 39 | \null & \ddots & \null\\ 40 | 0 & \null & 1 41 | \end{pmatrix}\] 42 | \[|G_{\{a_1,\dots,a_m\}}| = |G_{\{b_1,\dots,b_m\}}| = 43 | \begin{vmatrix} 44 | |b_1^2| & \null & 0\\ 45 | \null & \ddots & \null\\ 46 | 0 & \null & |b^2_m| 47 | \end{vmatrix} 48 | = |b_1|^2 \cdot ... \cdot |b_m|^2\] 49 | Значит: 50 | \[\rho(p_1,P)=\frac{\sqrt{|G_{\{a_1,\dots,a_m,\overline{p_0p_1}\}}|}}{\sqrt{|G_{\{a_1,\dots,a_m\}}|}}\] 51 | Если $P_1=p_1+U_1, P_2=p_2+U_2$ - две аффинные плоскости в аффинном пространстве, то назовем: 52 | \[\rho(P_1,P_2)=\inf\{|\overline{pq}|: p\in P_1, q\in P_2\}\] 53 | \end{remark} 54 | \begin{theorem} 55 | $\rho(P_1,P_2)$ равно длине ортогональной составляющей вектора $\overline{p_1p_2}$ относительно $U_1+U_2$ 56 | \end{theorem} 57 | \begin{remark} $\\$ 58 | Если $P_1\cap P_2\ne \emptyset$, то $\rho(P_1,P_2)=0,\ \overline{p_1p_2} \in U_1+U_2$, так что $(p_1,p_2)_{\perp}=0$, что не противоречит утверждению теоремы. 59 | \end{remark} 60 | \begin{proof} 61 | Обозначим $W=U_1+U_2$, тогда $\mathcal{E}=W\oplus W^{\perp}$. Обозначим 62 | \[\overline{p_1p_2}=v=v_{\parallel}+v_{\perp},\ v_{\parallel}\in W,\ v_{\perp}\in W^{\perp}\] 63 | Попробуем доказать, что существуют 64 | \[a=p_1+u^0_1\in P_1,\ b=p_2+u^0_2\in P_2\] 65 | такие, что $\overline{ab}=v_{\perp}$. \\ 66 | Выберем произвольные точки $x=p_1+u_1\in P_1,\ y=p_2+u_2\in P_2$. Тогда: 67 | \begin{multline*} 68 | \rho^2(x,y)=|\overline{yx}|^2 = |x-y|^2=|\overline{p_2p_1}+u_1-u_2|^2 =\\ 69 | = |v+u_2-u_1|^2 =|(v_{\parallel}+u_2-u_1)+v_{\perp}|^2\geq |v_{\perp}|^2 70 | \end{multline*} 71 | где $v_{\perp}\in (U_1+U_2)^{\perp}$. Равенство достигается, если $v_{\parallel}=u_1-u_2 \Rightarrow \exists\ u_1, u_2$ такие, что $a=p_1+u_1,\ b=p_2+u_2: |\overline{ab}|=v_{\perp}$. 72 | \end{proof} 73 | \begin{consequense} 74 | Прямая $l=a+\langle \overline{ab} \rangle=(p_1+u_1)+\langle (\overline{p_1p_2})_{\perp} \rangle$ является общим перпендикуляром этих двух плоскостей. 75 | \end{consequense} 76 | %ПАРАГРАФ 77 | \subsection{Аффинные отображения} 78 | Пусть $(\mathbb{A}_1,V_1)$ и $(\mathbb{A}_2, V_2)$ - аффинные пространства над одним и тем же полем. 79 | \begin{definition} 80 | Отображение $\Phi: \mathbb{A}_1 \to \mathbb{A}_2$ называется аффинно-линейным отображением, если существует линейное отображение $\phi: V_1\to V_2$ такое, что 81 | \[\forall a,b\in \mathbb{A}_1:\ \overline{\Phi(a)\Phi(b)}=\phi(\overline{ab}) \eqno(1)\] 82 | Такое определение равносильно следующему: 83 | \[\forall a,b\in \mathbb{A}_1 : \ \Phi(b)=\Phi(a)+\phi(\overline{ab}) \eqno(2)\] 84 | \end{definition} 85 | \begin{subtheorem} 86 | Если задано $\Phi$ и некоторая точка $a_1 \in \A_1$, то $\phi : V_1 \rightarrow V_2$ определяется однозначно. 87 | \end{subtheorem} 88 | \begin{proof} 89 | Любой вектор $v \in V_1$ можно отложить от точки $a_1$. Пусть $v = \overline{a_1b_1}$. Тогда: 90 | \[\Phi(a_1)+\phi(v)=\Phi(b_1)=\Phi(a_1)+\phi'(v) \Longrightarrow \phi(v) = \phi'(v) \ \ \forall v \in V_1 \Longrightarrow \phi = \phi'\] 91 | \end{proof} 92 | \begin{subtheorem} \tab 93 | \begin{enumerate} 94 | \item Пусть 95 | \[\mathbb{A}_1 \xrightarrow{\Phi_1} \mathbb{A}_2 \xrightarrow{\Phi_2} \mathbb{A}_3\] 96 | где $\Phi_1,\Phi_2$ - аффинно-линейны, тогда 97 | \[\Phi=\Phi_2\cdot \Phi_1: \ \mathbb{A}_1\to \mathbb{A}_3\] 98 | тоже аффинно-линейно с линейной частью $\phi=\phi_2\cdot \phi_1$ 99 | \item $\mathbb{A}_1 \xrightarrow{\Phi} \mathbb{A}_2$ биективно $\Longleftrightarrow \phi$ - биективно, при этом $\Phi^{-1}$ является \\аффинно-линейным с линейной частью $\phi^{-1}$. 100 | \end{enumerate} 101 | \end{subtheorem} 102 | \subsubsection*{Координатная запись} 103 | Выберем систему координат с началом в точке $O$ и базисом $e$ 104 | \[\forall b(x_1,\dots,x_n)=\overline{Ob},\ \Phi(O)=O'(x_1^0,\dots,x_n^0)\] 105 | \[\Phi(b)=\Phi(O)+\phi(\overline{Ob})\] 106 | Обозначим $\Phi(b)(y_1,\dots,y_m)$, тогда 107 | \[\begin{pmatrix} 108 | y_1\\ 109 | \vdots\\ 110 | y_m 111 | \end{pmatrix} 112 | = 113 | \begin{pmatrix} 114 | x_1^0\\ 115 | \vdots\\ 116 | x_m^0 117 | \end{pmatrix} 118 | +A_{\phi,e,f}\cdot 119 | \begin{pmatrix} 120 | x_1\\ 121 | \vdots\\ 122 | x_n 123 | \end{pmatrix} 124 | \] 125 | где $f$ - базис в $V_2$ 126 | \[\widetilde{A}=\begin{pmatrix} 127 | A_{\phi} & X_0\\ 128 | 0 & 1 129 | \end{pmatrix} 130 | \] 131 | \[(2) \Longleftrightarrow \widetilde{Y}=\widetilde{A}\cdot \widetilde{X}\] 132 | где 133 | \[ 134 | \widetilde{X}=\begin{pmatrix} 135 | X\\ 136 | 1 137 | \end{pmatrix}, 138 | \widetilde{Y}=\begin{pmatrix} 139 | Y\\ 140 | 1 141 | \end{pmatrix} 142 | \] 143 | Подробная запись: 144 | \[\begin{cases} 145 | y_1=a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n+x_1^0,\\ 146 | \vdots\\ 147 | y_m=a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n+x_m^0 148 | \end{cases} 149 | \Longrightarrow 150 | \begin{cases} 151 | dy_1=a_{11}dx_1+\dots+a_{1n}dx_n,\\ 152 | \vdots\\ 153 | dy_m=a_{m1}dx_1+\dots+a_{mn}dx_n 154 | \end{cases} 155 | \] 156 | Отсюда 157 | \[\begin{pmatrix} 158 | dy_1\\ 159 | \vdots\\ 160 | dy_m 161 | \end{pmatrix} 162 | =A_{\phi}\cdot 163 | \begin{pmatrix} 164 | dx_1\\ 165 | \vdots\\ 166 | dx_n 167 | \end{pmatrix} 168 | \] 169 | Значит, $A_{\phi}$ действует на столбцы 170 | $\begin{pmatrix} 171 | dx_1\\ 172 | \vdots\\ 173 | dx_n 174 | \end{pmatrix}$ 175 | как оператор $\phi$.\\ 176 | Обозначим: 177 | \[DY=\begin{pmatrix} 178 | dy_1\\ 179 | \vdots\\ 180 | dy_m 181 | \end{pmatrix},\ 182 | D: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m 183 | \] 184 | \begin{subtheorem} \tab 185 | \begin{enumerate} 186 | \item Пусть 187 | \[\mathbb{A}_1 \xrightarrow{\Phi_1} \mathbb{A}_2 \xrightarrow{\Phi_2} \mathbb{A}_3\] 188 | где $\Phi_1,\Phi_2$ - аффинно-линейны, тогда 189 | \[\Phi=\Phi_2\cdot \Phi_1: \ \mathbb{A}_1\to \mathbb{A}_3\] 190 | тоже аффинно-линейны, причем 191 | \[D(\Phi_2\cdot \Phi_1)=D\Phi_2\cdot D\Phi_1=\phi_2\cdot\phi_1\] 192 | \item $\Phi$ - биективно $\Longleftrightarrow \phi$ - биективно, и линейная часть $\Phi^{-1}$ есть $\phi^{-1}$ 193 | \end{enumerate} 194 | \end{subtheorem} 195 | \begin{proof} \tab 196 | \begin{enumerate} 197 | \item Пусть $a_1, b_1\in \A_1$ 198 | \[\Phi_1(b_1)=\Phi_1(a_1)+\phi_1(\overline{a_1b_1})\] 199 | \[\Phi_2(\Phi_1(b_1))=\Phi_2(\Phi_1(a_1))+\phi_2(\phi_1(\overline{a_1b_1}))\] 200 | \item Если $\phi$ - биективно, то $\forall\ \overline{a_2b_2}\in V_2$ существует единственный вектор 201 | \[\overline{a_1b_1}\in V_1: \phi^{-1}(\overline{a_1b_1})=\overline{a_2b_2}\] 202 | Определим отображение 203 | \[\Phi': \A_2\to \A_1\] 204 | \[\Phi'(a_2)=a_1,\ \Phi'(b_2)=\Phi'(a_2)+\phi(\overline{a_2b_2})\] 205 | Значит, $\Phi'$ - аффинно-линейное отображение. 206 | \[\Phi(a_1)=a_2,\ \Phi(b_1)=\Phi(a_1)+\phi^{-1}(\overline{a_1b_1})=\Phi(a_1)+\overline{a_2b_2}=b_2\] 207 | \[(\Phi'\Phi)(a_1)=\Phi'(a_2)=a_1 \Longrightarrow \Phi'\Phi = \text{Id}_{\A_1}\] 208 | Аналогично в другом порядке. 209 | \end{enumerate} 210 | \end{proof} 211 | \subsection{Аффинные преобразования} 212 | \begin{definition} 213 | Пусть $\Phi:\A\to \A$ - аффинно-линейное преобразование. Если $\Phi$ биективно, то будем называть его просто аффинным. 214 | \end{definition} 215 | \begin{example}\tab 216 | \begin{enumerate} 217 | \item Параллельный перенос на вектор $v\in V$: 218 | \[\forall a\in \A:\ t_v(a)=a+v\] 219 | ясно что 220 | \[t^{-1}_v=t_{-v},\ Dt_v=\text{Id}\] 221 | \item Гомотетия с центром в точке $O$: 222 | \[\forall v\in V:\ \Phi(O+v)=O+\lambda v\] 223 | где $\lambda\ne 0$ - коэффициент гомотетии. 224 | Например, при $\lambda=-1$ - это центральная симметрия. 225 | \end{enumerate} 226 | \end{example} 227 | \begin{theorem} 228 | Любое (биективное) аффинное преобразование $\Phi$ для любой точки $a\in \A$ представляется единственным образом в виде композиции 229 | \[\Phi=t_v\cdot \Psi\] 230 | где $\Psi$ - аффинное преобразование такое, что $\Psi(a)=a$. 231 | \end{theorem} 232 | \begin{proof} 233 | Для заданной точки $a$ обозначим $v:=\overline{a\Phi(a)}$. Рассмотрим преобразование $\Psi = t_{-v}\cdot \Phi$, тогда $\Psi$ - аффинное. 234 | \[\Psi(a)=\Phi(a)-v=a \Longrightarrow \Phi=t_v\cdot \Psi\] 235 | Докажем единственность: Пусть 236 | \[\Phi=t_v\cdot \Psi=t_{v'}\cdot \Psi',\ \Psi'(a)=a\] 237 | значит, 238 | \[t_{v-v'}=\Psi'\cdot\Psi^{-1},\ \text{т.к}\ \Psi'(a)=\Psi(a)=a\] 239 | отсюда 240 | \[\Psi'\cdot \Psi^{-1}(a)=a=a+(v-v') \Longrightarrow v'=v\] 241 | следовательно, 242 | \[\Psi'\cdot\Psi^{-1}=t_0=\text{Id}\] 243 | \end{proof} 244 | \begin{theorem} 245 | Для любых двух наборов точек общего положения $\{a_0, a_1,\dots,a_n\}$ и $\{b_0,b_1,\dots,b_n\}$ существует единственное аффинное преобразование $\Phi: \A\to \A$\\ 246 | $n$-мерного аффинного пространства такое, что 247 | \[\Phi(a_i)=b_i,\ \forall i=0,\dots,n\] 248 | \end{theorem} 249 | \begin{proof} 250 | По условию $\{\overline{a_0a_1},\dots,\overline{a_0a_n}\}$ и $\{\overline{b_0b_1},\dots,\overline{b_0b_n}\}$ - базисы в ассоциированном с $\A$ векторном пространстве $V$. Значит, существует единственный линейный оператор $\phi: V\to V$ такой, что 251 | \[\phi(\overline{a_0a_i})=\overline{b_0b_i},\ i=0,\dots, n\] 252 | Тогда $\Phi(a_0+v)=b_0+\phi(v)$ - требуемое преобразование. 253 | \end{proof} 254 | \subsection{Ортогональные преобразования (движения, изометрии)} 255 | \begin{definition} 256 | Пусть $(\A,V)$ - аффинное евклидово пространство, то есть $V$ - евклидово пространство.\\ 257 | Аффинное преобразование $\Phi: \A\to \A$ называется ортогональным или движением, если: 258 | \[\forall a,b\in \A: \ \rho(\Phi(a),\Phi(b))=\rho(a,b),\ \text{т.е}\ |\overline{\Phi(a),\Phi(b)}|=|\overline{ab}|\] 259 | \end{definition} 260 | \begin{exercise} 261 | Доказать, что если преобразование $\Phi: \A\to \A$ сохраняет расстояния между точками, то оно является аффинным, то есть $\forall a:$ 262 | \[\Phi(a+v)=\Phi(a)+\phi(v)\] 263 | где $\phi$ - линейный оператор. 264 | \end{exercise} 265 | На этом основании можно называть $\Phi$ изометрией 266 | \begin{remark} 267 | Если $\Phi$ - движение, то $D\Phi=\phi$ - ортогональный оператор: 268 | \[|\overline{\Phi(a),\Phi(b)}|=|\overline{ab}|,\ \Phi(b)=\Phi(a)+\phi(\overline{ab})\] 269 | значит, 270 | \[|\phi(\overline{ab})|=|\overline{ab}|,\ b=a+v,\ \forall v\in V\] 271 | следовательно, $\phi$ сохраняет длины векторов, а отсюда и скалярное произведение. 272 | \end{remark} 273 | Запишем $\Phi$ в координатах в ортонормированной системе координат. 274 | \[Y=X_0+A_{\phi}\cdot X,\ A_{\phi}^T=A_{\phi}^{-1} \Longrightarrow \det{A_{\phi}}=\pm 1\] 275 | поскольку 276 | \[A_{\phi}^T\cdot A_{\phi}=E \Longrightarrow (\det{A_{\phi}})^2=1 \Longrightarrow \det{A_{\phi}}=\pm 1\] 277 | \begin{definition} 278 | Движение называется собственным, если $\det{A_{\phi}}=1$ и несобственным, если $\det{A_{\phi}}=-1$ 279 | \end{definition} 280 | \begin{remark} 281 | (Уточнение к теореме о разложении: $\Phi=t_v\cdot\Psi$)\\ 282 | Для любого движения $\Phi:\A\to \A$ с линейной частью $\phi$ существует $u\in V$ такой, что 283 | \[\Phi=t_u\cdot \Psi\] 284 | причем $\phi(u)=u$ (возможно, $u = 0$) и $\Psi$ имеет неподвижную точку. 285 | \end{remark} 286 | \begin{proof} 287 | Пусть $a\in \A$ - произвольная точка. Обозначим $v:=\overline{a\Phi(a)}$. Пусть $\lambda=1$ является собственным значением оператора $\phi$, то есть: 288 | \[U=\{u\in V:\ \phi(u)=u\}\ne \{0\},\] 289 | Обозначим $W=U^{\perp}$, тогда 290 | \[V=U\oplus W\] 291 | и имеет место разложение $v=u+w$, где $\phi(u)=u,\ (w,u)=0$. Определим $\Psi=t_{-u}\cdot \Phi$. Поищем для $\Psi$ неподвижную точку в виде $b=a+\widetilde{w},\ \widetilde{w}\in W$. Вычислим $\Psi(b) = \Psi(a+\widetilde{w})$: 292 | \begin{multline*} 293 | a+\widetilde{w} = \Psi(a+\widetilde{w})=t_{-u}(\Phi(a)+\phi(\widetilde{w}))=t_{-u}(a+v+\phi(\widetilde{w}))=\\ 294 | =a+(v-u)+\phi(\widetilde{w})=a+w+\phi(\widetilde{w})=a+(w+\widetilde{w})+(\phi(\widetilde{w})-\widetilde{w})=\\ 295 | =a+\widetilde{w}+w+(\phi-\text{Id})(\widetilde{w}) 296 | \end{multline*} 297 | Из полученного равенства $(\phi-\text{Id})(\widetilde{w}) = -w$. Так как $\phi|_W$ не имеет собственного значения 1, $(\phi - \textup{Id})|_W$ невырожденный, а значит обратимый оператор. Тогда $\widetilde{w} = -(\phi-\text{Id})^{-1}(w)$, и тогда $a + \widetilde{w}$ - неподвижная точка для $\Psi$.\\ 298 | Если $\lambda=1$ не является собственным значением, то рассуждения сохраняют силу с $U=\{0\}$ и $W=V, t_u=\text{Id},\ \Psi=\Phi$ имеет неподвижную точку. 299 | \end{proof} 300 | Наблюдение: Если $\lambda=1$ - не собственное значение оператора $\phi$, то $\Phi$ имеет неподвижную точку. Если же $\lambda =1$ - собственное значение, $u_0$ - собственный вектор: $\phi(u_0)=u_0$, то все точки прямой 301 | \[l=b+\langle u_0 \rangle\] 302 | неподвижны, а $\Psi$ определяется своим действием в гиперплоскости, ортогональной этой прямой: 303 | \[P=b+\langle u_0 \rangle^{\perp}\] 304 | \subsection{Классификация движений при n=1,2,3} 305 | \begin{itemize} 306 | \item[$n=1$:] $\Phi$ - либо параллельный перенос, либо центральная симметрия относительно неподвижной точки. 307 | \item[$n=2$:] Координатная запись одна из следующих: 308 | \begin{enumerate} 309 | \item Параллельный перенос: 310 | \[\begin{cases} 311 | x'=x+a,\\ 312 | y'=y+b 313 | \end{cases} 314 | \] 315 | \item Композиция параллельного переноса вдоль оси и симметрии относительно оси: 316 | \[ 317 | \begin{cases} 318 | x'=x+a,\\ 319 | y'=-y+b 320 | \end{cases} \Longrightarrow 321 | \begin{cases} 322 | \widetilde{x}'=x'+a,\\ 323 | \widetilde{y}'=-y' 324 | \end{cases} 325 | \] 326 | \item Поворот: 327 | \[ 328 | \begin{cases} 329 | x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha}+a,\\ 330 | y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}+b 331 | \end{cases} 332 | \] 333 | Согласно общей теореме, существует неподвижная точка такая, что после переноса в эту точку остается только поворот. 334 | \end{enumerate} 335 | \item[$n=3$:] Четыре варианта в каноническом базисе для оператора $\phi$: 336 | \begin{enumerate} 337 | \item Параллельный перенос ($\lambda_{1,2,3}=1$) 338 | \[ 339 | \begin{cases} 340 | x'=x+a,\\ 341 | y'=y+b,\\ 342 | z'=z+c 343 | \end{cases} 344 | \] 345 | \item $\lambda_{1,2}=1, \lambda_3=-1$ 346 | \[ 347 | \begin{cases} 348 | x'=x+a,\\ 349 | y'=y+b,\\ 350 | z'=-z+c 351 | \end{cases} 352 | \] 353 | Можно заменить координаты $(x,y,z)\to(\xi, \eta, \zeta)$ и получить 354 | \[ 355 | \begin{cases} 356 | \xi'=\xi+a,\\ 357 | \eta'=\eta+b,\\ 358 | \zeta'=-\zeta 359 | \end{cases} 360 | \] 361 | - композиция ортогональной симметрии относительно плоскости $\xi=\eta=0$ и параллельного переноса на вектор $(a,b,0)$, параллельно этой плоскости. 362 | \item 363 | \[ 364 | \begin{cases} 365 | x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha}+a,\\ 366 | y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}+b,\\ 367 | z'=z+c 368 | \end{cases} 369 | \] 370 | Можно сделать замену координат $(x,y,z)\to(\xi, \eta, \zeta)$, чтобы осталось (упражнение): 371 | \[\begin{cases} 372 | \xi'=\xi\cos{\alpha}-\eta\sin{\alpha},\\ 373 | \eta'=\xi\sin{\alpha}+\eta\cos{\alpha},\\ 374 | \zeta'=\zeta+c 375 | \end{cases} 376 | \] 377 | - композиция поворота вокруг прямой, параллельной $(0,0,1)$, на угол $\alpha$ и переноса на вектор $(0,0,c)$ вдоль этой прямой (винтовое движение). 378 | \item 379 | \[\begin{cases} 380 | x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha}+a,\\ 381 | y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}+b,\\ 382 | z'=-z+c 383 | \end{cases} 384 | \] 385 | Можно сделать замену координат $(x,y,z)\to(\xi, \eta, \zeta)$, чтобы осталось: 386 | \[ 387 | \begin{cases} 388 | \xi'=\xi\cos{\alpha}-\eta\sin{\alpha},\\ 389 | \eta'=\xi\sin{\alpha}+\eta\cos{\alpha},\\ 390 | \zeta'=-\zeta+c 391 | \end{cases} 392 | \] 393 | что является композицией симметрии относительно плоскости $\zeta=c$, повотора вокруг прямой, перпендикулярной этой плоскости, и параллельного переноса на вектор $(0,0,c)$, который параллелен этой плоскости. 394 | \end{enumerate} 395 | \end{itemize} 396 | 397 | 398 | -------------------------------------------------------------------------------- /Sections/section15.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %chktex-file 1 %chktex-file 3 %chktex-file 8 %chktex-file 9 %chktex-file 10 %chktex-file 11 %chktex-file 12 %chktex-file 13 %chktex-file 16 %chktex-file 17 %chktex-file 18 %chktex-file 25 %chktex-file 26 %chktex-file 35 %chktex-file 36 %chktex-file 37 %chktex-file 40 %chktex-file 44 %chktex-file 45 %chktex-file 49 2 | \section{Теорема Жордана} 3 | Основное условие: \ \ $\phi: \ V \to V$ - линейный оператор, все его корни $\in \F$ 4 | $$\chi_{\phi}(\lambda) = (-1)^n(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(\lambda-\lambda_s)^{k_s} \ (\forall i\neq j: \ \lambda_i\neq\lambda_j \text{ и } \sum \limits_{i=1}^s k_i = \dim V)$$ 5 | $$V = K_1\oplus\ldots\oplus K_s, \ \text{где } K_i = \text{Ker}(\phi-\lambda_i\cdot\text{id})^{k_i} - \text{корневое подпространство}$$ 6 | $$V_{\lambda_i} = \{x\in V \ | \ \phi(x) = \lambda_ix\}, \ \dim V_{\lambda_i}\leqslant k_i = \dim K_i$$ 7 | Так как $K_i$ - инвариантное подпространство относительно оператора $\phi$, можно рассмотреть ограничение: 8 | $$(\phi-\lambda_i \text{ id})|_{K_i} := B_i$$ 9 | Из определения $K_i$ следует, что $B_i^{k_i}=0$, то есть $B_i$ - нильпотентный оператор.\\ 10 | %Обозначим $h_i$ - показатель нильпотентности оператора, т.е. $B_i^{h_i}=0$,\\ 11 | %но $B_i^k\neq0$ $\forall k < h_i$\\ 12 | В базисе, согласованном с этим разложением: 13 | $$A_{\phi} = \begin{pmatrix} 14 | \text{\fbox{$A_1$}}\\ 15 | \null & \text{\fbox{$A_2$}}\\ 16 | \null & \null & \ddots\\ 17 | \null & \null & \null & \text{\fbox{$A_s$}} 18 | \end{pmatrix}$$ 19 | где $A_i = A_{\phi_{k_i}}$ - матрица порядка $k_i, \ A_i-\lambda_iE_{k_i} = B_i, \ B_i^{k_i}=0$\\ 20 | Обозначим $K_i :=K$, $B_i :=B$, $k_i :=k$, тогда: 21 | $$\forall x\in K: \ B^k(x) = 0$$ 22 | если $x\neq0$, то $\exists$ наименьшее значение $m$: 23 | $$B^m(x) = 0, \ B^{m-1}(x)\neq 0 \ (m\leqslant h)$$ 24 | Назовём это высотой вектора $x$.\\ 25 | Для фиксированного вектора $x\neq0$ (высоты $m$) рассмотрим векторы: 26 | $$x, \ Bx, \ldots,B^{m-1}x, \ B^mx = 0$$ 27 | \begin{definition} 28 | Векторы \{$x,\ Bx,\ \ldots,\ B^{m-1}x $\} называются жордановой цепочкой. 29 | \end{definition} 30 | \begin{lemma} 31 | Вышеуказанные векторы являются линейно независимыми. 32 | \end{lemma} 33 | \begin{proof} 34 | Предположим, что: 35 | $$\alpha_0x+\alpha_1Bx+\ldots+\alpha_{m-1}B^{m-1}x=0$$ 36 | Подействуем на это равенство оператором $B^{m-1}$: $$\alpha_0B^{m-1}x = 0 \ \Longrightarrow \ \alpha_0 = 0$$ 37 | На оставшиеся векторы подействуем оператором $B^{m-2}$: 38 | $$\alpha_1B^{m-1}x = 0 \ \Longrightarrow \ \alpha_1 = 0$$ 39 | и т.д. Получим, что $\forall i = \overline{0,m-1}: \ \alpha_i = 0 \ \Longrightarrow$ векторы являются линейно независимыми. 40 | \end{proof} 41 | \begin{definition} 42 | Подпространство, натянутое на эти векторы: $$\langle x,\ Bx,\ \ldots,\ B^{m-1}x \rangle$$ 43 | называется циклическим подпространством, порождённым жордановой цепочкой. Данное подпространство обозначим $U_x$, $\dim U_x = m$.\\ 44 | Обычно векторы жордановой цепочки нумеруют с конца, то есть: 45 | $$a_1 = B^{m-1}x, \ a_2 = B^{m-2}x, \ldots, a_m = x$$ 46 | Тогда $a_1$ - собственный вектор для $B$, и для $\forall j = \overline{2,m}: \ a_{j-1} = Ba_j$.\\ 47 | Вектор $a_j$ называется \textbf{присоединённым} к вектору $a_{j-1}$.\\ 48 | К вектору $a_1$: \ $a_2$ - присоединённый, $a_3$ - второй присоединённый и т.д. 49 | \end{definition} 50 | \begin{definition} $\\$ 51 | Матрица ограничения оператора $B$ на подпространство $U_x = \langle a_1\ldots a_m\rangle$ : 52 | $$B|_{U_x} = \begin{pmatrix} 53 | 0 & 1\\ 54 | \null & 0 & 1\\ 55 | \null & \null & \ddots & \ddots\\ 56 | \null & \null & \null & 0 & 1\\ 57 | \null & \null & \null & \null & 0 58 | \end{pmatrix} = J_k(0)$$ 59 | называется жордановой клеткой с собственным значением $\lambda = 0$ 60 | $$\lambda=\lambda_i: \ A_{\phi|_{U_x}} = \begin{pmatrix} 61 | \lambda_i & 1\\ 62 | \null & \lambda_i & 1\\ 63 | \null & \null & \ddots & \ddots\\ 64 | \null & \null & \null & \lambda_i & 1\\ 65 | \null & \null & \null & \null & \lambda_i 66 | \end{pmatrix}=J_k(\lambda_i)$$ 67 | - жорданова клетка с собственным значением $\lambda = \lambda_i$, где: 68 | $$\phi(a_2) = a_1+\lambda_ia_2, \ \phi(a_{j+1}) = a_j+\lambda_ia_{j+1}$$ 69 | \end{definition} 70 | Перед доказательством теоремы докажем лемму: 71 | \begin{lemma} 72 | Если $B$ - такой оператор в пространстве $V$, что: 73 | $$\text{Im}B = B(V) \subset V$$ 74 | то $V$ обладает $(n-1)$-мерным инвариантным подпространством $W$, таким что $\textup{Im}B \subseteq W$. 75 | \end{lemma} 76 | \begin{proof} 77 | Пусть $e_1,...,e_m$ - базис в $\text{Im}B, \ m1$, тогда по предположению индукции в $W \ \exists$ базис для $B|_w$, т.е. 116 | $$W = U_1 \oplus ... \oplus U_r$$ 117 | Выберем вектор $a \in V\setminus W$, тогда $a$ ЛНЗ с векторами из $W$.\\ 118 | Рассмотрим $Ba \in W$ (т.к. $\textup{Im}B \subseteq W$) так, что $Ba = u_1 + ... + u_r, \ u_i \in U_i \ (*)$. \\ 119 | Если $Ba = 0$, то: 120 | $$V = \langle a \rangle \oplus U_1 \oplus ... \oplus U_r - \text{искомое разложение пространства}$$ 121 | Если $Ba \neq 0$, то найдется $i$, что $u_i \neq 0$.\\ 122 | Если в разложении есть $u_i \in B(U_i)$, то $\exists \ v_i \in U_i: \ u_i = Bv_i$.\\ 123 | Рассмотрим вместо $a$ вектор $a-v_i: \ B(a-v_i) = u_1 + ... + \not u_i+...+u_r - \not u_i \Longrightarrow $ в разложение такого вектора $u_i$ не входит.\\ 124 | Заменив $a$ на нужные разности $a-v_i$, получим новый вектор $e \in V\setminus W$, при этом занулив все $u_i \in B(U_i)$, т.е. 125 | $$Be = u'_1 + ... + u'_r, \ \forall i \text{ либо } u'_i \not \in B(U_i), \text{ либо } u'_i = 0$$ 126 | Хотя бы один из векторов $u'_i \neq 0$, выберем из них вектор, имеющий максимальную высоту $m$. Заметим, что $m=\max (\dim U_i)$, так как каждый $u'_i$ по построению нового разложения имеет максимальную высоту в своём подпространстве. Тогда $h(e) = m+1$, т.к. $h(Be) = m$. \\ 127 | Без ограничения общности выбрали вектор $u_1$. Докажем, что: 128 | $$V = \langle e, \ Be, \ ..., \ B^me \rangle \oplus U_2 \oplus ... \oplus U_r$$ 129 | Сумма размерностей подпространств в правой части: 130 | $$(m_1+1)+...+m_r = n = \dim V$$ 131 | Поэтому для прямой суммы достаточно доказать, что: 132 | $$\langle e, \ Be, \ ..., \ B^me \rangle \cap (U_2 \oplus ... \oplus U_r) = \{0\}$$ 133 | Пусть $v = \lambda_1 e +...+ \lambda_{m+1}B^me \in U_2 \oplus ... \oplus U_r$ \\ 134 | Т.к. $e \not \in W$, $\lambda_1 = 0$. $Be = u'_1+...+u'_r \Rightarrow$ проекция $Be$ на $U_1$ равна $u'_1$.\\ 135 | Спроецируем всё разложение на $U_1$: 136 | $$\lambda_2u_1+\lambda_3Bu_1+...+\lambda_{m+1}B^{m-1}u_1 = 0 \Longrightarrow \lambda_2=...=\lambda_{m+1} = 0 \Longrightarrow v = 0$$ 137 | Существование ЖНФ доказано. Доказательство единственности приводится в следующем пункте. 138 | \end{proof} 139 | \begin{remark} 140 | $r$ - количество циклических подпространств в разложении корневого подпространства $K$, отвечающего корню $\lambda_0$, равно геометрической кратности корня $\lambda_0$ характеристического многочлена. 141 | \end{remark} 142 | 143 | 144 | \subsection{Изображение разложения корневых подпространств} 145 | Обозначим: $r = \dim \text{Ker}B$ - размерность собственного подпространства\\ 146 | Занумеруем собственные векторы, входящие в цепочки, располагая цепочки по убыванию высоты. $m$ - максимальная высота цепочки, $1$ - минимальная\\ 147 | Также введем обозначение для последовательных присоединённых векторов: есть $p_1$ цепочек высоты $m$, \ $p_2$ - высоты $m-1$,..., $r-(p_1+...+p_{r-1})$ - высоты $1$ 148 | \begin{center} 149 | \includegraphics[width=15cm]{image/Asymptote/1/linal-1-1.pdf} 150 | \end{center} 151 | $V = U_1 \oplus ... \oplus U_r, \ \dim U_{i+1}\leq \dim U_i$ 152 | \begin{center} 153 | $BV = BU_1 \oplus ... \oplus BU_r$\\ 154 | $\vdots \tab[4cm]$ \\ 155 | $B^kV = B^kU_1 \oplus ... \oplus B^kU_r$ 156 | \end{center} 157 | Если $\dim U_i = m_i, \ \dim (B^kU_i) = \left[\begin{matrix} 158 | m_i - k, \ \text{если } k