├── .github ├── texlive │ └── requirements.txt └── workflows │ └── main.yml ├── .gitignore ├── LICENSE ├── README.md ├── analysis1 ├── analysis1.tex ├── degrees_circle.pdf ├── mittelwertsatz.png └── zwischenwertsatz.png ├── analysis2 ├── analysis2.tex └── include_degrees_circle.pdf ├── and-graph-terminology └── and-graph-terminology.tex ├── anw-runtime └── anw-runtime.tex ├── eth-cheatsheets-cover.png ├── license.tex ├── viscomp ├── bresenham-line.png ├── ciergb.png ├── coord-system-change.png ├── fourier-transforms.png ├── lamberts-law.png ├── old-exercise-shading.png ├── phong-shading.png ├── radon-back-projection.png ├── radon-image-reconstruction.png ├── source-images │ ├── bresenham-line.svg │ ├── ciergb.svg │ ├── coord-system-change.svg │ ├── fourier-transforms.svg │ ├── lamberts-law.svg │ ├── phong-shading.svg │ ├── radon-back-projection.svg │ ├── radon-image-reconstruction.svg │ ├── three-step-search.svg │ └── transparency.svg ├── three-step-search.png ├── transparency.png └── viscomp.tex └── wus └── wus.tex /.github/texlive/requirements.txt: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | texlive-lang-german 2 | texlive-xetex 3 | -------------------------------------------------------------------------------- /.github/workflows/main.yml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | name: Build LaTeX documents 2 | 3 | on: 4 | push: 5 | branches: [ main ] 6 | pull_request: 7 | branches: [ main ] 8 | 9 | workflow_dispatch: 10 | 11 | # A workflow run is made up of one or more jobs that can run sequentially or in parallel 12 | jobs: 13 | build: 14 | # The type of runner that the job will run on 15 | runs-on: ubuntu-latest 16 | 17 | steps: 18 | # Checks-out your repository under $GITHUB_WORKSPACE, so your job can access it 19 | - name: Set up Git repository 20 | uses: actions/checkout@v4 21 | 22 | with: 23 | fetch-depth: 0 24 | - name: Fetch tags 25 | shell: bash 26 | run: git fetch --tags -f 27 | - name: Install XeLaTeX 28 | shell: bash 29 | run: sudo apt-get install -y latexmk texlive-xetex texlive-science texlive-lang-german 30 | - name: Build LaTeX documents 31 | shell: bash 32 | run: | 33 | mkdir $GITHUB_WORKSPACE/latex-output 34 | find . -name '*.tex' \( -exec latexmk -synctex=1 -xelatex -interaction=nonstopmode -outdir=$GITHUB_WORKSPACE/latex-output -cd "$PWD"/{} \; -o -print \) 35 | - name: Deploy 36 | if: ${{ github.event_name == 'push' }} 37 | env: 38 | GITHUB_TOKEN: ${{ secrets.GITHUB_TOKEN }} 39 | run: | 40 | TAG="nightly" 41 | 42 | git tag -f "$TAG" 43 | gh release delete "$TAG" || true 44 | gh release create -t "Nightly PDF build" -n "This release always contains the PDFs built from the latest .tex source. It is advised to only use the latest versions for actual exams, as old versions might contain factual errors." "$TAG" 45 | for file in $GITHUB_WORKSPACE/latex-output/*.pdf; do 46 | echo "Delivering file $file" 47 | gh release upload "$TAG" "$file" --clobber 48 | done 49 | 50 | -------------------------------------------------------------------------------- /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## Core latex/pdflatex auxiliary files: 2 | *.aux 3 | *.lof 4 | *.log 5 | *.lot 6 | *.fls 7 | *.out 8 | *.toc 9 | *.fmt 10 | *.fot 11 | *.cb 12 | *.cb2 13 | .*.lb 14 | 15 | ## Intermediate documents: 16 | *.dvi 17 | *.xdv 18 | *-converted-to.* 19 | # these rules might exclude image files for figures etc. 20 | # *.ps 21 | # *.eps 22 | # *.pdf 23 | 24 | ## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" 25 | .pdf 26 | 27 | ## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): 28 | *.bbl 29 | *.bcf 30 | *.blg 31 | *-blx.aux 32 | *-blx.bib 33 | *.run.xml 34 | 35 | ## Build tool auxiliary files: 36 | *.fdb_latexmk 37 | *.synctex 38 | *.synctex(busy) 39 | *.synctex.gz 40 | *.synctex.gz(busy) 41 | *.pdfsync 42 | 43 | ## Build tool directories for auxiliary files 44 | # latexrun 45 | latex.out/ 46 | 47 | ## Auxiliary and intermediate files from other packages: 48 | # algorithms 49 | *.alg 50 | *.loa 51 | 52 | # achemso 53 | acs-*.bib 54 | 55 | # amsthm 56 | *.thm 57 | 58 | # beamer 59 | *.nav 60 | *.pre 61 | *.snm 62 | *.vrb 63 | 64 | # changes 65 | *.soc 66 | 67 | # comment 68 | *.cut 69 | 70 | # cprotect 71 | *.cpt 72 | 73 | # elsarticle (documentclass of Elsevier journals) 74 | *.spl 75 | 76 | # endnotes 77 | *.ent 78 | 79 | # fixme 80 | *.lox 81 | 82 | # feynmf/feynmp 83 | *.mf 84 | *.mp 85 | *.t[1-9] 86 | *.t[1-9][0-9] 87 | *.tfm 88 | 89 | #(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar 90 | *.end 91 | *.?end 92 | *.[1-9] 93 | *.[1-9][0-9] 94 | *.[1-9][0-9][0-9] 95 | *.[1-9]R 96 | *.[1-9][0-9]R 97 | *.[1-9][0-9][0-9]R 98 | *.eledsec[1-9] 99 | *.eledsec[1-9]R 100 | *.eledsec[1-9][0-9] 101 | *.eledsec[1-9][0-9]R 102 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9] 103 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9]R 104 | 105 | # glossaries 106 | *.acn 107 | *.acr 108 | *.glg 109 | *.glo 110 | *.gls 111 | *.glsdefs 112 | *.lzo 113 | *.lzs 114 | 115 | # uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!) 116 | # *.ist 117 | 118 | # gnuplottex 119 | *-gnuplottex-* 120 | 121 | # gregoriotex 122 | *.gaux 123 | *.gtex 124 | 125 | # htlatex 126 | *.4ct 127 | *.4tc 128 | *.idv 129 | *.lg 130 | *.trc 131 | *.xref 132 | 133 | # hyperref 134 | *.brf 135 | 136 | # knitr 137 | *-concordance.tex 138 | # TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files 139 | *.tikz 140 | *-tikzDictionary 141 | 142 | # listings 143 | *.lol 144 | 145 | # luatexja-ruby 146 | *.ltjruby 147 | 148 | # makeidx 149 | *.idx 150 | *.ilg 151 | *.ind 152 | 153 | # minitoc 154 | *.maf 155 | *.mlf 156 | *.mlt 157 | *.mtc[0-9]* 158 | *.slf[0-9]* 159 | *.slt[0-9]* 160 | *.stc[0-9]* 161 | 162 | # minted 163 | _minted* 164 | *.pyg 165 | 166 | # morewrites 167 | *.mw 168 | 169 | # nomencl 170 | *.nlg 171 | *.nlo 172 | *.nls 173 | 174 | # pax 175 | *.pax 176 | 177 | # pdfpcnotes 178 | *.pdfpc 179 | 180 | # sagetex 181 | *.sagetex.sage 182 | *.sagetex.py 183 | *.sagetex.scmd 184 | 185 | # scrwfile 186 | *.wrt 187 | 188 | # sympy 189 | *.sout 190 | *.sympy 191 | sympy-plots-for-*.tex/ 192 | 193 | # pdfcomment 194 | *.upa 195 | *.upb 196 | 197 | # pythontex 198 | *.pytxcode 199 | pythontex-files-*/ 200 | 201 | # tcolorbox 202 | *.listing 203 | 204 | # thmtools 205 | *.loe 206 | 207 | # TikZ & PGF 208 | *.dpth 209 | *.md5 210 | *.auxlock 211 | 212 | # todonotes 213 | *.tdo 214 | 215 | # vhistory 216 | *.hst 217 | *.ver 218 | 219 | # easy-todo 220 | *.lod 221 | 222 | # xcolor 223 | *.xcp 224 | 225 | # xmpincl 226 | *.xmpi 227 | 228 | # xindy 229 | *.xdy 230 | 231 | # xypic precompiled matrices and outlines 232 | *.xyc 233 | *.xyd 234 | 235 | # endfloat 236 | *.ttt 237 | *.fff 238 | 239 | # Latexian 240 | TSWLatexianTemp* 241 | 242 | ## Editors: 243 | # WinEdt 244 | *.bak 245 | *.sav 246 | 247 | # Texpad 248 | .texpadtmp 249 | 250 | # LyX 251 | *.lyx~ 252 | 253 | # Kile 254 | *.backup 255 | 256 | # gummi 257 | .*.swp 258 | 259 | # KBibTeX 260 | *~[0-9]* 261 | 262 | # TeXnicCenter 263 | *.tps 264 | 265 | # auto folder when using emacs and auctex 266 | ./auto/* 267 | *.el 268 | 269 | # expex forward references with \gathertags 270 | *-tags.tex 271 | 272 | # standalone packages 273 | *.sta 274 | 275 | # Makeindex log files 276 | *.lpz 277 | 278 | # PDFs are generated from an action 279 | *.pdf 280 | !include*.pdf 281 | 282 | .directory -------------------------------------------------------------------------------- /LICENSE: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | MIT License 2 | 3 | Copyright (c) 2021 Julian 4 | 5 | Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy 6 | of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal 7 | in the Software without restriction, including without limitation the rights 8 | to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell 9 | copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is 10 | furnished to do so, subject to the following conditions: 11 | 12 | The above copyright notice and this permission notice shall be included in all 13 | copies or substantial portions of the Software. 14 | 15 | THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR 16 | IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, 17 | FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE 18 | AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER 19 | LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, 20 | OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE 21 | SOFTWARE. 22 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # eth-cheatsheets 2 | 3 | ![Screenshots of the cheatsheets](eth-cheatsheets-cover.png) 4 | 5 | A collection of LaTeX cheatsheets for the Computer Science program at ETH Zurich. 6 | 7 | Currently, the following cheatsheets are hosted here: 8 | 9 | - Analysis 1 (whole course, includes table with common derivatives/integrals) 10 | - Analysis 2 (whole course) 11 | - Algorithms & Datastructures - an overview of all important graph terminology 12 | - Algorithms & Probability - an overview of runtimes of the covered algorithms 13 | - Wahrscheinlichkeit & Statistik (whole course, in german) 14 | - Visual Computing (whole course) 15 | 16 | You can find compiled `.pdf`s based on the latest source files in the Release section. 17 | 18 | The `.tex` files are licensed as MIT and the `.pdf`s are CC-BY-SA 4.0. I have no clue if this even works out legally. Whatever, feel free to reuse and modify them (and please report any errors you find). 19 | -------------------------------------------------------------------------------- /analysis1/analysis1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Basic stuff 2 | \documentclass[a4paper,10pt]{article} 3 | \usepackage[nswissgerman]{babel} 4 | 5 | % 3 column landscape layout with fewer margins 6 | \usepackage[landscape, left=0.75cm, top=1cm, right=0.75cm, bottom=1.5cm, footskip=15pt]{geometry} 7 | \usepackage{flowfram} 8 | \ffvadjustfalse 9 | \setlength{\columnsep}{1cm} 10 | \Ncolumn{3} 11 | 12 | % define nice looking boxes 13 | \usepackage[many]{tcolorbox} 14 | 15 | % a base set, that is then customised 16 | \tcbset { 17 | base/.style={ 18 | boxrule=0mm, 19 | leftrule=1mm, 20 | left=1.75mm, 21 | arc=0mm, 22 | fonttitle=\bfseries, 23 | colbacktitle=black!10!white, 24 | coltitle=black, 25 | toptitle=0.75mm, 26 | bottomtitle=0.25mm, 27 | title={#1} 28 | } 29 | } 30 | 31 | \definecolor{brandblue}{rgb}{0.34, 0.7, 1} 32 | \newtcolorbox{mainbox}[1]{ 33 | colframe=brandblue, 34 | base={#1} 35 | } 36 | 37 | \newtcolorbox{subbox}[1]{ 38 | colframe=black!20!white, 39 | base={#1} 40 | } 41 | 42 | % Mathematical typesetting & symbols 43 | \usepackage{amsthm, mathtools, amssymb} 44 | \usepackage{marvosym, wasysym} 45 | \allowdisplaybreaks 46 | 47 | % Tables 48 | \usepackage{tabularx, multirow} 49 | \usepackage{booktabs} 50 | \renewcommand*{\arraystretch}{2} 51 | 52 | % Make enumerations more compact 53 | \usepackage{enumitem} 54 | \setitemize{itemsep=0.5pt} 55 | \setenumerate{itemsep=0.75pt} 56 | 57 | % To include sketches & PDFs 58 | \usepackage{graphicx} 59 | 60 | % For hyperlinks 61 | \usepackage{hyperref} 62 | \hypersetup{ 63 | colorlinks=true 64 | } 65 | 66 | % Metadata 67 | \title{Cheatsheet Analysis 1} 68 | \author{Julian Steinmann} 69 | \date{August 2021} 70 | 71 | % Math helper stuff 72 | \def\limn{\lim_{n\to \infty}} 73 | \def\limxo{\lim_{x\to 0}} 74 | \def\limxi{\lim_{x\to\infty}} 75 | \def\limxn{\lim_{x\to-\infty}} 76 | \def\sumk{\sum_{k=1}^\infty} 77 | \def\sumn{\sum_{n=0}^\infty} 78 | \def\R{\mathbb{R}} 79 | \def\dx{\text{ d}x} 80 | 81 | \begin{document} 82 | 83 | \maketitle 84 | 85 | \input{../license.tex} 86 | 87 | \section{Folgen} 88 | \subsection{Konvergenz} 89 | Eine Folge $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert gegen L \\ $\iff \lim_{n \to \infty} a_n = L $ \\ $\iff \forall \epsilon > 0 \ \exists N_\epsilon \ \forall n \ge N_\epsilon : \ | a_n - L | < \epsilon$\\ 90 | 91 | Wir dürfen (o.B.d.A.) annehmen, dass $\epsilon$ durch eine Konstante $C \in \R$ beschränkt ist. 92 | Es gilt ausserdem: 93 | \begin{itemize} 94 | \item konvergent $\implies$ beschränkt, aber nicht umgekehrt 95 | \item $(a_n)$ konvergent $\iff (a_n)$ beschränkt \textbf{und} \\$\lim \inf a_n = \lim \sup a_n$ 96 | \end{itemize} 97 | 98 | 99 | \begin{subbox}{Limes superior \& inferior} 100 | $\limn \inf x_n = \limn \left( \inf_{m \ge n} x_m \right)$ \\ 101 | $\limn \sup x_n = \limn \left( \sup_{m \ge n} x_m \right)$ 102 | \end{subbox} 103 | 104 | \begin{mainbox}{Einschliessungskriterium \\ (Sandwich-Theorem)} 105 | Wenn $\limn a_n = \alpha, \ \limn b_n = \alpha$ und $a_n \le c_n \le b_n, \forall n \ge k$, dann $\limn c_n = \alpha$. 106 | \end{mainbox} 107 | 108 | \begin{mainbox}{Weierstrass} 109 | Wenn $a_n$ monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, dann konvergiert $a_n$ mit Grenzwert $\limn a_n = \sup \{a_n : \ n \ge 1\}$. 110 | 111 | Wenn $a_n$ monoton fallend und nach unten beschränkt ist, dann konvergiert $a_n$ mit Grenzwert $\limn a_n = \inf \{a_n : \ n \ge 1\}$. 112 | \end{mainbox} 113 | 114 | \begin{mainbox}{Cauchy-Kriterium} 115 | Die Folge $a_n$ ist genau dann konvergent, falls $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \ge 1$ so dass $| a_n - a_m | < \epsilon \quad \forall n,m \ge N$. 116 | \end{mainbox} 117 | 118 | \subsubsection{Teilfolge} 119 | Eine Teilfolge von $a_n$ ist eine Folge $b_n$ wobei $b_n = a_{l(n)}$ und $l$ eine Funktion mit $l(n) < l(n+1) \quad \forall n \ge 1$ (z.B. $l = 2n$ für jedes gerade Folgenglied). 120 | 121 | \subsubsection{Bolzano-Weierstrass} 122 | Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. 123 | 124 | \subsection{Strategie - Konvergenz von Folgen} 125 | \begin{enumerate} 126 | \item Bei Brüchen: Grösste Potenz von $n$ kürzen. Alle Brüche der Form $\frac{a}{n^a}$ streichen, da diese nach 0 gehen. 127 | \item Bei Wurzeln in Summe im Nenner: Multiplizieren des Nenners und Zählers mit der Differenz der Summe im Nenner. (z.B. $(a+b)$ mit $(a-b)$ multiplizieren) 128 | \item Bei rekursiven Folgen: Anwendung von Weierstrass zur monotonen Konvergenz 129 | \item Einschliessungskriterium (Sandwich-Theorem) anwenden. 130 | \item Mit bekannter Folge vergleichen. 131 | \item Grenzwert durch einfaches Umformen ermitteln. 132 | \item Limit per Definition der Konvergenz zeigen. 133 | \item Anwendung des Cauchy-Kriteriums. 134 | \item Suchen eines konvergenten Majorant. 135 | \item Weinen und die Aufgabe überspringen. 136 | \end{enumerate} 137 | 138 | \subsection{Strategie - Divergenz von Folgen} 139 | \begin{enumerate} 140 | \item Suchen einer divergenten Vergleichsfolge. 141 | \item Alternierende Folgen: Zeige, dass Teilfolgen nicht gleich werden, also $\limn a_{p_1(n)} \ne \limn a_{p_2(n)}$ (mit z.B. gerade/ungerade als Teilfolgen). 142 | \end{enumerate} 143 | 144 | \subsection{Tricks für Grenzwerte} 145 | \subsubsection{Binome} 146 | $$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 2}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(x+4)-(x-2)}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-2}}$$ 147 | 148 | \subsubsection{Substitution} 149 | $$\lim_{x\to\infty} x^2 (1-\cos(\frac{1}{x}))$$ 150 | Substituiere nun $u = \frac{1}{x}$: 151 | $$\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{2u} = \lim_{u\to 0} \frac{\cos(u)}{2} = \frac{1}{2}$$ 152 | 153 | \subsubsection{Induktive Folgen (Induktionstrick)} 154 | \begin{enumerate} 155 | \item Zeige monoton wachsend / fallend 156 | \item Zeige beschränkt 157 | \item Nutze Satz von Weierstrass, d.h. Folge muss gegen Grenzwert konvergieren 158 | \item Verwende Induktionstrick: 159 | \end{enumerate} 160 | Wenn die Folge konvergiert, hat jede Teilfolge den gleichen Grenzwert. Betrachte die Teilfolge $l(n) = n + 1$ für $d_{n+1} = \sqrt{3d_n - 2}$: 161 | $$d = \lim_{n\to\infty} d_n = \lim_{n\to\infty} d_{n+1} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} 3d_n -2} = \sqrt{3d -2}$$ 162 | Forme um zu $ d^2 = 3d -2 \to d \in {1,2}$. Nun können wir $d = 2$ nehmen und die Beschränktheit mit $d=2$ per Induktion zeigen. 163 | 164 | \section{Reihen} 165 | 166 | \begin{mainbox}{Cauchy-Kriterium für Reihen} 167 | Die Reihe $\sumk a_k$ ist genau dann konvergent, falls $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \ge 1$ mit $| \sum_{k=n}^m a_k | < \epsilon, \ \forall m \ge n \ge N$. 168 | \end{mainbox} 169 | 170 | \begin{subbox}{Nullfolgenkriterium} 171 | Wenn für eine Folge $\limn |a_n| \ne 0$ ist, dann divergiert $\sumn a_n$. 172 | \end{subbox} 173 | 174 | 175 | \subsubsection{Reihenarithmetik} 176 | Wenn $\sumk a_k$ und $\sumk b_k$ konvergent sind, dann gilt: 177 | \begin{itemize} 178 | \item $\sumk (a_k + b_k)$ konvergent und $\sumk (a_k + b_k) = \left( \sumk a_k \right) + \left( \sumk b_k \right)$ 179 | \item $\sumk \alpha a_k$ konvergent und $\sumk \alpha a_k = \alpha \sumk a_k$ 180 | \end{itemize} 181 | 182 | 183 | \begin{mainbox}{Vergleichssatz} 184 | Wenn $\sumk a_k$ und $\sumk b_k$ Reihen mit $0 \le a_k \le b_k, \forall k \ge K \ge 1$ sind, so gilt: 185 | $$\sumk b_k \text{ konvergent} \implies \sumk a_k \text{ konvergent}$$ 186 | $$\sumk a_k \text{ divergent} \implies \sumk b_k \text{ divergent}$$ 187 | \end{mainbox} 188 | 189 | Als Vergleichsreihe (Majorant / Minorant) eignet sich oft eine Reihe der folgenden Kategorien: 190 | \subsubsection{Geometrische Reihe} 191 | $\sum_{k=0}^\infty q^k$ divergiert für $|q| \ge 1$ und konvergiert zu $\frac{1}{1 - q}$ für $|q| < 1$ 192 | \subsubsection{Zeta-Funktion} 193 | $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ divergiert für $s \le 1$ und konvergiert für $s > 1$. 194 | 195 | \subsection{Absolute Konvergenz} 196 | $\sumk a_k$ heisst \textbf{absolut konvergent}, wenn $\sumk |a_k|$ konvergiert. Eine absolut konvergente Reihe ist immer auch konvergent, es gilt $|\sumk a_k| \le \sumk |a_k|$. 197 | 198 | Falls eine Reihe absolut konvergiert, dann konvergiert jede Umordnung der Reihe mit dem selben Grenzwert. 199 | 200 | Falls die Reihe hingegen nur konvergiert, so gibt es immer eine Anordnung, so dass $\sum_{k=1}^\infty a_{\phi(k)} = x, \ \forall x\in \R$. 201 | 202 | \begin{subbox}{Leibnizkriterium} 203 | Wenn $a_n \ge 0, \ \forall n \ge 1$ monoton fallend ist und $\limn a_n = 0$ gilt, dann konvergiert $S = \sumk (-1)^{k+1} a_k$ und $a_1 - a_2 \le S \le a_1$. 204 | \end{subbox} 205 | 206 | \begin{mainbox}{Quotientenkriterium} 207 | Sei $(a_n)$ eine Folge mit $a_n \ne 0, \forall n \ge 1$. \\ Falls $\limn \sup \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergiert absolut. \\Falls $\limn \inf \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n$ divergiert. 208 | \end{mainbox} 209 | 210 | \begin{mainbox}{Wurzelkriterium} 211 | Sei $(a_n)$ eine Folge mit $a_n \ne 0, \forall n \ge 1$. Sei $q = \limn \sup \sqrt[n]{|a_n|}$. 212 | \begin{itemize} 213 | \item $q < 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergiert absolut. 214 | \item $q = 1 \implies$ keine Aussage. 215 | \item $q > 1 \implies \sum_{n=1}^\infty a_n$ und $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ divergieren. 216 | \end{itemize} 217 | \end{mainbox} 218 | 219 | \subsection{Wichtige Reihen} 220 | \begin{align*} 221 | \sum_{i=1}^n i &= \frac{n(n+1)}{2} \\ 222 | \sum_{i=1}^n i^2 &= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ 223 | \sum_{i=1}^n i^3 &= \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\ 224 | \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} &= \frac{\pi^2}{6} \\ 225 | \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} &= 1 226 | \end{align*} 227 | 228 | \subsection{Cauchy-Produkt} 229 | \begin{subbox}{Definition Cauchy-Produkt} 230 | Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen $\sum_{i = 0}^\infty a_i$ und $\sum_{j = 0}^\infty b_j$ ist definiert als 231 | $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{j=0}^n (a_{n-j} \cdot b_j) = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0) + \ldots$$ Es konvergiert, falls beide Reihen konvergieren. 232 | \end{subbox} 233 | 234 | \subsection{Strategie - Konvergenz von Reihen} 235 | \begin{enumerate} 236 | \item Ist Reihe ein bekannter Typ? (Teleskopieren, Geometrische/Harmonische Reihe, Zetafunktion, ...) 237 | \item Ist $\limn a_n = 0$? Wenn nein, divergent. 238 | \item Quotientenkriterium \& Wurzelkriterium anwenden 239 | \item Vergleichssatz anwenden, Vergleichsreihen suchen 240 | \item Leibnizkriterium anwenden 241 | \item Integral-Test anwenden (Reihe zu Integral) 242 | \end{enumerate} 243 | 244 | \section{Funktionen} 245 | \subsection{Stetigkeit} 246 | Sei $f : D \to \R^d, x \to f(x)$ eine Funktion in $D \subseteq \R^d$. 247 | \begin{mainbox}{Definition Stetigkeit} 248 | $f$ ist in $x_0 \in D$ stetig, falls $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$. 249 | $f$ ist stetig, falls sie in jedem $x_0 \in D$ stetig ist. 250 | \end{mainbox} 251 | Polynomiale Funktionen sind auf $\R$ stetig. 252 | \begin{subbox}{} 253 | Falls $f$ und $g$ den gleichen Definitions-/Bildbereich haben und in $x_0$ stetig sind, dann sind auch $$f + g, \lambda \cdot f, f \cdot g, \frac{f}{g}, |f|, \max(f,g), \min(f,g)$$ stetig in $x_0$. 254 | \end{subbox} 255 | 256 | 257 | \begin{mainbox}{Zwischenwertsatz} 258 | Wenn $I \subseteq \R$ ein Intervall, $f: I \to \R$ und $a, b \in I$ ist, dann gibt es für jedes $c$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ ein $a \le z \le b$ mit $f(z) = c$. 259 | \includegraphics[width=\linewidth]{zwischenwertsatz.png} 260 | Wird häufig verwendet um zu zeigen, das eine Funktion einen gewissen Wert (z.B. Nullstelle) annimmt. 261 | \end{mainbox} 262 | Daraus folgt, dass ein Polynom mit ungeradem Grad mindestens eine Nullstelle in $\R$ besitzt. 263 | 264 | \subsubsection{Kompaktes Intervall} 265 | Ein Intervall $I \in \R$ ist kompakt, falls es von der Form $I = [a,b]$ mit $a \le b$ ist. 266 | 267 | \begin{mainbox}{Min-Max-Satz} 268 | Sei $f: I = [a,b] \to \R$ stetig auf einem kompakten Intervall $I$. Dann gibt es $u, v \in I$ mit $f(u) \le f(x) \le f(v), \forall x \in I$. Insbesondere ist $f$ beschränkt. 269 | \end{mainbox} 270 | 271 | \begin{subbox}{Stetigkeit der Verknüpfung} 272 | Sei $f: D_1 \to D_2, g: D_2 \to \R$ und $x_0 \in D_1$. Falls $f$ in $x_0$ und $g$ in $f(x_0)$ stetig ist, dann ist $g \ocircle f: D_1 \to \R$ in $x_0$ stetig. 273 | \end{subbox} 274 | 275 | \begin{mainbox}{Satz über die Umkehrabbildung} 276 | Sei $f: I \to \R$ stetig und streng monoton und sei $J = f(I) \subseteq \R$. Dann ist $f^{-1}: J \to I$ stetig und streng monoton. 277 | \end{mainbox} 278 | 279 | \begin{subbox}{Die reelle Exponentialfunktion} 280 | $\exp: \R \to \ ]0,+\infty[$ ist streng monoton wachsend, stetig und surjektiv. Auch die Umkehrfunktion $\ln: \ ]0,+\infty[ \to \R$ hat diese Eigenschaften. 281 | \end{subbox} 282 | 283 | \subsection{Konvergenz} 284 | 285 | \begin{mainbox}{Punktweise Konvergenz} 286 | Die Funktionenfolge $(f_n)$ konvergiert punktweise gegen eine Funktion $f: D \to \R$ falls für alle $x \in D$ gilt, dass $\limn f_n(x) = f(x)$. 287 | \end{mainbox} 288 | 289 | \begin{mainbox}{Gleichmässige Konvergenz} 290 | Die Folge $(f_n)$ konvergiert gleichmässig in $D$ gegen $f$ falls gilt $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \ge 1$, so dass $\forall n \ge N, \ \forall x \in D: | f_n(x) - f(x) | \le \epsilon$. \\ 291 | Die Funktionenfolge $(g_n)$ ist gleichmässig konvergent, falls für alle $x\in D$ der Grenzwert $\limn g_n(x) = g(x)$ existiert und die Folge $(g_n)$ gleichmässig gegen $g$ konvergiert. 292 | \end{mainbox} 293 | Die Reihe $\sumk f_k(x)$ konvergiert gleichmässig, falls die durch $S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x)$ definierte Funktionenfolge gleichmässig konvergiert. 294 | 295 | \begin{subbox}{} 296 | Sei $f_n$ eine Folge stetiger Funktionen. Ausserdem ist $|f_n(x)| \le c_n \quad \forall x \in D$ und $\sum_{n=0}^\infty c_n$ konvergiert. Dann konvergiert die Reihe $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ gleichmässig und deren Grenzwert ist eine in $D$ stetige Funktion. 297 | \end{subbox} 298 | 299 | \subsection{Potenzreihen} 300 | \begin{subbox}{Definition Potenzreihe} 301 | Potenzreihen sind Reihen der Form $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $x_0$ wird als $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ definiert. 302 | \end{subbox} 303 | 304 | \begin{mainbox}{Konvergenzradius} 305 | Der Konvergenzradius einer Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt $x_0$ ist die grösste Zahl $r$, so dass die Potenzreihe für alle $x$ mit $|x - x_0| < r$ konvergiert. Falls die Reihe für alle $x$ konvergiert, ist der Konvergenzradius $r$ unendlich. Sonst: 306 | $$r = \limn \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{1}{\limn\sup \sqrt[n]{|a_n|}} $$ 307 | \end{mainbox} 308 | Die Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty a_n x^n$ konvergiert absolut für alle $|x| < r$ und divergiert für alle $|x| > r$. Der Fall $|x| = r$ ist unklar und muss geprüft werden. 309 | \subsubsection{Definitionen per Potenzreihen} 310 | \begin{align*} 311 | \exp(x) &= \sumn \frac{x^n}{n!} & r &= \infty \\ 312 | \sin(x) &= \sumn (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} & r &= \infty \\ 313 | \cos(x) &= \sumn (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} & r &= \infty \\ 314 | \ln(x + 1) &= \sumk (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} & r &= 1 315 | \end{align*} 316 | 317 | \subsection{Grenzwerte von Funktionen} 318 | \begin{subbox}{Häufungspunkt} 319 | $x_0 \in \R$ ist ein Häufungspunkt der Menge D falls $\forall \delta > 0: (]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \backslash \{x_0\}) \cap D \ne \varnothing$. 320 | \end{subbox} 321 | 322 | \begin{mainbox}{Grenzwert - Funktionen} 323 | Wenn $f: D \to \R, x_0 \in \R$ ein Häufungspunkt von $D$ ist, dann ist $A \in \R$ der Grenzwert von $f(x)$ für $x \to x_0$ ($\lim_{x\to x_0} f(x) = A$), falls $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0$, so dass $\forall x \in D \cap (]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \backslash \{x_0\}): |f(x) - A| < \epsilon$. 324 | \end{mainbox} 325 | 326 | \begin{subbox}{Satz von L'Hôpital} 327 | Seien $f,g$ stetig und differenzierbar auf $]a,b[$. Wenn $\lim_{x\to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0$ oder $\pm \infty$ und $g'(x) \ne 0 \ \forall x \in I \backslash \{c\}$, dann gilt $$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ 328 | \end{subbox} 329 | 330 | Grenzwerte der Form $\infty^0$ und $1^\infty$ können meist mit $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\cdot \ln(f(x))}$ und dann Bernoulli (nur Exponenten betrachten da $e$ stetig) anwenden oder vereinfachen berechnet werden. 331 | 332 | \section{Ableitungen} 333 | \subsection{Differenzierbarkeit} 334 | \begin{mainbox}{Differenzierbar} 335 | $f$ ist \textbf{in $x_0$ differenzierbar}, falls der Grenzwert $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ existiert. Wenn dies der Fall ist, wird der Grenzwert mit $f'(x_0)$ bezeichnet. $f$ ist \textbf{differenzierbar}, falls $f$ für jedes $x_0 \in D$ differenzierbar ist. 336 | \end{mainbox} 337 | \begin{subbox}{Differenzierbarkeit nach Weierstrass} 338 | $f$ ist in $x_0$ differenzierbar $\iff$ \\ 339 | Es gibt $c \in \R$ und $r: D \to \R$ mit $f(x) = f(x_0) + c(x - x_0) + r(x) (x - x_0)$ und $r(x_0) = 0$, $r$ stetig in $x_0$. \\ 340 | Falls $f$ differenzierbar ist, dann ist $c = f'(x_0)$ eindeutig bestimmt. 341 | \end{subbox} 342 | Variation: Sei $\phi(x) = f'(x_0) + r(x)$. Dann gilt $f$ in $x_0$ differenzierbar, falls $f(x) = f(x_0) + \phi(x) (x-x_0), \ \forall x \in D$ und $\phi$ in $x_0$ stetig ist. 343 | Dann gilt $\phi(x_0) = f'(x_0)$. 344 | 345 | \begin{mainbox}{Höhere Ableitungen} 346 | \begin{enumerate} 347 | \item Für $n \ge 2$ ist $f$ n-mal differenzierbar in $D$ falls $f^{(n-1)}$ in $D$ differenzierbar ist. Dann ist $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$ die n-te Ableitung von $f$. 348 | \item $f$ ist n-mal stetig differenzierbar in $D$, falls sie n-mal differnzierbar und $f^{(n)}$ in $D$ stetig ist. 349 | \item $f$ ist in $D$ glatt, falls sie $\forall n \ge 1$ n-mal differenzierbar ist (``unendlich differenzierbar''). 350 | \end{enumerate} 351 | \end{mainbox} 352 | Glatte Funktionen: $\exp, \sin, \cos, \sinh, \cosh, \tanh, \ln,$\\ $ \arcsin, \arccos, \text{arccot}, \arctan$ und alle Polynome. $\tan$ ist auf $\R \backslash \{\pi/2 + k\pi\}$, $\cot$ auf $\R \backslash \{k\pi\}$ glatt. 353 | 354 | \subsection{Ableitungsregeln} 355 | 356 | \begin{itemize} 357 | \item Linearität der Ableitung 358 | $$(\alpha \cdot f(x) + g(x))' = \alpha \cdot f'(x) + g'(x)$$ 359 | \item Produktregel 360 | $$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$ 361 | \item Quotientenregel 362 | $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$$ 363 | \item Kettenregel 364 | $$(f(g(x)))' = g'(x) \cdot f'(g(x))$$ 365 | \item Potenzregel 366 | $$(c \cdot x^a)' = c \cdot a \cdot x^{a - 1}$$ 367 | \end{itemize} 368 | 369 | \subsection{Implikationen der Ableitung} 370 | \begin{enumerate} 371 | \item $f$ besitzt ein lokales Minimum in $x_0$, wenn $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) > 0$ oder falls das Vorzeichen von $f'$ um $x_0$ von $-$ zu $+$ wechselt. 372 | \item $f$ besitzt ein lokales Maximum in $x_0$, wenn $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) < 0$ oder falls das Vorzeichen von $f'$ um $x_0$ von $+$ zu $-$ wechselt. 373 | \item $f$ besitzt ein lokales Extremum in $x_0$, wenn $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) \ne 0$. 374 | \item $f$ besitzt einen Sattelpunkt in $x_0$, wenn $f'(x_0) = 0$ und $f''(x_0) = 0$. 375 | \item $f$ besitzt einen Wendepunkt in $x_0$, wenn $f''(x_0) = 0$. 376 | \item $f$ ist in $x_0$ konvex, wenn $f''(x_0) \ge 0$. 377 | \item $f$ ist in $x_0$ konkav, wenn $f''(x_0) \le 0$. 378 | \end{enumerate} 379 | 380 | \subsection{Sätze zur Ableitung} 381 | \begin{subbox}{Satz von Rolle} 382 | Sei $f: [a,b] \to \R$ stetig und in $]a,b[$ differenzierbar. Wenn $f(a) = f(b)$, dann gibt es ein $\xi \in ]a,b[$ mit $f'(\xi) = 0$. 383 | \end{subbox} 384 | \begin{mainbox}{Mittelwertsatz (Lagrange)} 385 | Sei $f: [a,b] \to \R$ stetig und in $]a,b[$ differenzierbar. Dann gibt es $\xi \in ]a,b[$ mit $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$. 386 | \includegraphics[width=\linewidth]{mittelwertsatz.png} 387 | \end{mainbox} 388 | 389 | \subsection{Taylorreihen} 390 | Taylorreihen sind ein Weg, glatte Funktionen als Potenzreihen anzunähern. 391 | 392 | \begin{subbox}{Definition: Taylor-Polynom} 393 | Das n-te Talyor-Polynom $T_n f(x; a)$ an einer Entwicklungsstelle $a$ ist definiert als: 394 | $$T_n f(x; a) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} \cdot (x - a)^k$$ 395 | $ = f(a) + f'(a) \cdot (x-a) + \frac{f''(a)}{2} \cdot (x - a)^2 + \ldots$ 396 | \end{subbox} 397 | 398 | \begin{mainbox}{Taylorreihe} 399 | Die unendliche Reihe 400 | $$Tf(x;a) := T_\infty = \sumn \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \cdot (x-a)^n$$ 401 | wird Taylorreihe von $f$ an Stelle $a$ genannt. 402 | \end{mainbox} 403 | Beispiele Taylorreihen ($a = 0$): 404 | \begin{itemize} 405 | \item $\sin(x) = \sumn (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 406 | \item $\cos(x) = \sumn (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 407 | \item $e^x = \sumn \frac{x^n}{n!}$ 408 | \item $e^{-x} = \sumn (-1)^n \cdot \frac{x^n}{n!}$ 409 | \item $\sinh(x) = \sumn \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 410 | \item $\cosh(x) = \sumn \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 411 | \end{itemize} 412 | 413 | \subsection{Länge einer Kurve} 414 | Für eine Kurve $p(t) = (x(t), y(t))$ in der $xy$-Ebene gilt 415 | $$L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+ y'(t)^2} \text{ d}t$$ 416 | 417 | \section{Integrale} 418 | \subsection{Riemann-Integral} 419 | \begin{subbox}{Definition: Partition} 420 | Eine Partition von $I$ ist eine endliche Teilmenge $P \subsetneq [a,b]$, wobei $\{a,b\} \subseteq P$. (``Aufteilung'') 421 | \end{subbox} 422 | \begin{mainbox}{Definition: Riemann-Summe} 423 | $$S(f, P, \xi) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})$$ 424 | \end{mainbox} 425 | \begin{subbox}{Ober- und Untersumme} 426 | Obersumme: $\overline{S}(f,P) := \sup_{\xi \in I_i} f(\xi) \cdot (x_i - x_{i-1})$ \\ 427 | Untersumme: $\underline{S}(f,P) := \inf_{\xi \in I_i} f(\xi) \cdot (x_i - x_{i-1})$ 428 | \end{subbox} 429 | \begin{mainbox}{Riemann-integrierbar} 430 | $f:[a,b] \to \R$ ist Riemann-integrierbar, falls $\sup_{p_1} \underline{S}(f,P_1) = \inf_{p_2}\overline{S}(f, P_2)$, also falls Obersumme gleich Untersumme wird, wenn die Partition feiner wird. Dann ist $A := \int_a^b f(x)\dx$. 431 | \end{mainbox} 432 | 433 | \subsection{Integrierbarkeit zeigen} 434 | \begin{itemize} 435 | \item $f$ stetig in $[a,b] \implies f$ integrierbar über $[a,b]$ 436 | \item $f$ monoton in $[a,b] \implies f$ integrierbar über $[a,b]$ 437 | \item Wenn $f,g$ beschränkt und integrierbar sind, dann sind 438 | $$f+g, \lambda \cdot f, f \cdot g, |f|, \max(f,g), \min(f,g), \frac{f}{g}$$ integrierbar 439 | \item Jedes Polynom ist integrierbar, auch $\frac{P(x)}{Q(x)}$ falls $Q(x)$ in $[a,b]$ keine Nullstellen besitzt 440 | \end{itemize} 441 | 442 | \subsection{Sätze \& Ungleichungen} 443 | \begin{itemize} 444 | \item $f(x) \le g(x), \forall x \in [a,b] \rightarrow \int_a^b f(x) \dx \le \int_a^b g(x) \dx$ 445 | \item $\left|\int_a^b f(x) \dx\right| \le \int_a^b |f(x)| \dx$ 446 | \item $\left|\int_a^b f(x) g(x) \dx \right| \le \sqrt{\int_a^b f^2(x) \dx} \sqrt{\int_a^b g^2(x) \dx}$ 447 | \end{itemize} 448 | 449 | \begin{mainbox}{Mittelwertsatz} 450 | Wenn $f: [a,b] \to \R$ stetig ist, dann gibt es $\xi \in [a,b]$ mit $\int_a^b f(x) \dx = f(\xi) (b-a)$. 451 | \end{mainbox} 452 | Daraus folgt auch, dass wenn $f,g: [a,b] \to \R$ wobei $f$ stetig, $g$ beschränkt und integrierbar mit $g(x) \ge 0, \forall x \in [a,b]$ ist, dann gibt es $\xi \in [a,b]$ mit $\int_a^b f(x)g(x) \dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \dx$. 453 | 454 | \subsection{Stammfunktionen} 455 | \begin{subbox}{Definition: Stammfunktion} 456 | Eine Funktion $F: [a,b] \to \R$ heisst Stammfunktion von $f$, falls $F$ (stetig) differenzierbar in $[a,b]$ ist und $F' = f$ in $[a,b]$ gilt. 457 | \end{subbox} 458 | ``$f$ integrierbar'' impliziert \textit{nicht}, dass eine Stammfunktion existiert. Beispiel: 459 | $$ 460 | f(x) = \begin{cases} 461 | 0, & \text{für } x \le 0 \\ 462 | 1, & \text{für } x > 0 463 | \end{cases} 464 | $$ 465 | 466 | \begin{mainbox}{Hauptsatz Differential-/Integralrechnung} 467 | Sei $a 1$ 523 | \item $\int_0^1 P_k(x)\dx = 0, \forall k \geq 1$ 524 | \end{enumerate} 525 | 526 | Für das $k$-te Bernoulli-Polynom gilt: $B_k(x) = k!P_k(x)$. Wir definieren weiter $B_0=1$ und alle anderen Bernoulli-Zahlen rekursiv: $B_{k-1} = \sum_{i=0}^{k-1}{k \choose i}B_i = 0$. 527 | 528 | Somit erhalten wir für das Bernoulli-Polynom folgende Definition: $$B_k(x) = \sum_{i=0}^{k}{k \choose i}B_ix^{k-i}$$ 529 | 530 | Hier ein paar Bernoulli-Polynome: $B_0(x) = 1$, $B_1(x) = x - \frac{1}{2}$, $B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}$. Nun definieren wir noch: $$\tilde{B}_k(x) = \begin{cases} 531 | B_k(x) & \forall x: 0 \leq x < 1 \\ 532 | B_k(x-n) & \forall x: n \leq x < n + 1 533 | \end{cases}$$ 534 | 535 | \begin{mainbox}{Euler-McLaurin-Summationsformel} 536 | Sei $f: [0, n] \to \R$ $k$-mal stetig differenzierbar. Dann gilt: \\ 537 | Für $k = 1$: 538 | \begin{align*} 539 | \sum_{i = 1}^n f(i) = \int_0^n f(x) \dx + \frac{1}{2}(f(n) - f(0)) \\ + \int_0^n \tilde{B}_1(x)f'(x)\dx 540 | \end{align*} 541 | Für $k>1$: 542 | \begin{align*} 543 | \sum_{i = 1}^n f(i) = \int_0^n f(x) \dx + \frac{1}{2}(f(n) - f(0))+ \\ 544 | \sum_{j = 2}^k \frac{(-1)^j B_j}{j!}(f^{(j-1)}(n) + f^{(j-1)}(0)) + \tilde{R}_k 545 | \end{align*} 546 | 547 | wobei 548 | $$ \tilde{R}_k = \frac{(-1)^{k-1}}{k!} \int_0^n \tilde{B}_k(x)f^{(k)}(x)\dx$$ 549 | \end{mainbox} 550 | 551 | \begin{subbox}{Beispiel für Euler-McLaurin} 552 | $$1^l + 2^l + 3^l + ... + n^l \text{ wobei } l \geq 1, l \in \mathbb{N}$$ 553 | Angewandt auf $f(x) = x^l$ und $k = l + 1$ folgt für alle $l \geq 1$: 554 | $$1^l + 2^l + 3^l + ... + n^l = \frac{1}{l + 1} \sum_{j = 0}^l (-1)^j B_j {l + 1 \choose j} n^{l+1-j}$$ 555 | \end{subbox} 556 | 557 | \subsection{Gamma-Funktion} 558 | Die Gamma-Funktion wird gebraucht, um die Funktion $n \mapsto (n-1)!$ zu interpolieren. Für $s > 0$ definieren wir: $$\Gamma(s) := \int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\dx = (s-1)!$$ 559 | Die Gamma-Funktion konvergiert für alle $s > 0$ und hat folgende weiter Eingeschaften: 560 | \begin{enumerate} 561 | \item $\Gamma(1) = 1$ 562 | \item $\Gamma(s + 1) = s \Gamma(s)$ 563 | \item $\Gamma$ ist logarithmisch konvex, d.h.: $$\Gamma(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leq \Gamma(x)^\lambda \Gamma(y)^{1 - \lambda}$$ für alle $x, y > 0$ und $0 \leq \lambda \leq 1$ 564 | \end{enumerate} 565 | Die Gamma-Funktion ist die einzige Funktion $]0, \infty[ \to ]0, \infty[$, die $(1), (2)$ und $(3)$ erfüllt. Zudem gilt: $$\Gamma(x) = \limn \frac{n!n^x}{x(x+1)...(x+n)} \ \ \ \forall x > 0$$ 566 | 567 | \subsection{Stirling'sche Formel} 568 | Die Stirling'sche Formel ist eine Abschätzung der Fakultät. Mit der Euler-McLaurin-Formel kombiniert folgt 569 | $$n! = \frac{\sqrt{2\pi n} \cdot n^n}{e^n} \cdot \exp(\frac{1}{12n}+R_3(n))$$ 570 | wobei $|R_3(n)| \le \frac{\sqrt{3}}{216}\cdot\frac{1}{n^2} \ \forall n \ge 1$ 571 | 572 | \subsection{Uneigentliche Integrale} 573 | \begin{subbox}{Definition: Uneigentliches Integral} 574 | Sei $f(x): \ [ a,\infty [ \to \R$ beschränkt und integrierbar auf $[a,b] $ mit $\forall b > a$ . Falls $\lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x) \dx$ existiert, ist $\int_a^\infty f(x) \dx$ der Grenzwert und $f$ ist auf $[a, \infty[$ integrierbar. 575 | \end{subbox} 576 | Diese Definition gilt auch für $f(x) : \ ]-\infty,b] \to \R$, wobei $\int_{-\infty}^b f(x) \dx $ dann $ \lim_{a\to-\infty} \int_a^b f(x) \dx$ ist. 577 | \begin{subbox}{McLaurin-Satz} 578 | Sei $f: \ [1, \infty[ \ \to [0, \infty[$ monoton fallend. Dann konvergiert $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ genau, wenn $\int_1^\infty f(x) \dx$ konvergiert. 579 | \end{subbox} 580 | 581 | \subsection{Unbestimmte Integrale} 582 | Sei $f: I \to \R$ auf dem Intervall $I \subseteq \R$ definiert. Wenn $f$ stetig ist, gibt es eine Stammfunktion $F$. Wir schreiben dann 583 | 584 | $$\int f(x) \dx = F(x) + C$$ 585 | 586 | Das unbestimmte Integral ist die Umkehroperation der Ableitung. 587 | 588 | \section{Trigonometrie} 589 | 590 | \subsection{Regeln} 591 | \subsubsection{Periodizität} 592 | \begin{itemize} 593 | \item $\sin(\alpha + 2 \pi) = \sin(\alpha) \quad \cos(\alpha + 2 \pi) = \cos(\alpha)$ 594 | \item $\tan(\alpha + \pi) = \tan(\alpha) \quad \cot(\alpha + \pi) = \cot(\alpha)$ 595 | \end{itemize} 596 | 597 | \subsubsection{Parität} 598 | \begin{itemize} 599 | \item $\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha) \quad \cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ 600 | \item $\tan(-\alpha) = - \tan(\alpha) \quad \cot(-\alpha) = - \cot(\alpha)$ 601 | \end{itemize} 602 | 603 | \subsubsection{Ergänzung} 604 | \begin{itemize} 605 | \item $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \quad \cos(\pi - \alpha) = - \cos(\alpha)$ 606 | \item $\tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha) \quad \cot(\pi - \alpha) = - \cot(\alpha)$ 607 | \end{itemize} 608 | 609 | 610 | \subsubsection{Komplemente} 611 | \begin{itemize} 612 | \item $\sin(\pi/2 - \alpha) = \cos(\alpha) \quad \cos(\pi/2 - \alpha) = \sin(\alpha)$ 613 | \item $\tan(\pi/2 - \alpha) = -\tan(\alpha) \quad \cot(\pi/2 - \alpha) = -\cot(\alpha)$ 614 | \end{itemize} 615 | 616 | \subsubsection{Doppelwinkel} 617 | \begin{itemize} 618 | \item $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$ 619 | \item $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 1 - 2 \sin^2(\alpha)$ 620 | \item $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$ 621 | \end{itemize} 622 | 623 | \subsubsection{Addition} 624 | \begin{itemize} 625 | \item $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)$ 626 | \item $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)$ 627 | \item $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)}$ 628 | \end{itemize} 629 | 630 | \subsubsection{Subtraktion} 631 | \begin{itemize} 632 | \item $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$ 633 | \item $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$ 634 | \item $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}$ 635 | \end{itemize} 636 | 637 | \subsubsection{Multiplikation} 638 | \begin{itemize} 639 | \item $\sin(\alpha) \sin(\beta) = -\frac{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)}{2}$ 640 | \item $\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2}$ 641 | \item $\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2}$ 642 | \end{itemize} 643 | 644 | \subsubsection{Potenzen} 645 | \begin{itemize} 646 | \item $\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}(1-\cos(2\alpha))$ 647 | \item $\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2}(1+\cos(2\alpha))$ 648 | \item $\tan^2(\alpha) = \frac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}$ 649 | \end{itemize} 650 | 651 | \subsubsection{Diverse} 652 | 653 | \begin{itemize} 654 | \item $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ 655 | \item $\cosh^2(\alpha) - \sinh^2(\alpha) = 1$ 656 | \item $\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ und $\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ 657 | \end{itemize} 658 | 659 | 660 | \begin{mainbox}{Wichtige Werte} 661 | \begin{center} 662 | \begin{tabular}{c|cccccc} 663 | deg & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 180° \\ 664 | \midrule 665 | rad & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ \\ 666 | cos & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 & -1 \\ 667 | sin & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0 \\ 668 | tan & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & $+\infty$ & 0 \\ 669 | \end{tabular} 670 | \end{center} 671 | \end{mainbox} 672 | 673 | \begin{center} 674 | \includegraphics[width=\linewidth]{degrees_circle.pdf} 675 | 676 | \end{center} 677 | 678 | \section{Tabellen} 679 | \subsection{Grenzwerte} 680 | \begin{center} 681 | \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} 682 | \toprule 683 | $\limxi \frac{1}{x} = 0$ & $\limxi 1 + \frac{1}{x} = 1$ \\ 684 | $\limxi e^x = \infty$ & $\limxn e^x = 0$ \\ 685 | $\limxi e^{-x} = 0$ & $\limxn e^{-x} = \infty$ \\ 686 | $\limxi \frac{e^x}{x^m} = \infty$ & $\limxn xe^x = 0$ \\ 687 | $\limxi \ln(x) = \infty$ & $\limxo \ln(x) = -\infty$ \\ 688 | $\limxi (1+x)^{\frac{1}{x}} = 1$ & $\limxo (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ \\ 689 | $\limxi (1+\frac{1}{x})^b = 1$ & $\limxi n^{\frac{1}{n}} = 1$ \\ 690 | $\lim_{x\to\pm\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ & $\limxi (1-\frac{1}{x})^x = \frac{1}{e}$ \\ 691 | $\lim_{x\to\pm\infty} (1 + \frac{k}{x})^{mx} = e^{km}$ & $\limxi (\frac{x}{x+k})^x = e^{-k}$ \\ 692 | $\limxo \frac{a^x -1}{x} = \ln(a), \newline \forall a > 0$ & 693 | $\limxi x^a q^x = 0, \newline \forall 0 \le q < 1$ \\ 694 | \end{tabularx} 695 | \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} 696 | $\limxo \frac{\sin x}{x} = 1$ & $\limxo \frac{\sin kx}{x} = k$\\ 697 | $\limxo \frac{1}{\cos x} = 1$ & $\limxo \frac{\cos x -1}{x} = 0$ \\ 698 | $\limxo \frac{\log 1 - x}{x} = -1$ & $\limxo x \log x = 0$\\ 699 | $\limxo \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ & $\limxo \frac{e^x-1}{x} = 1$ \\ 700 | $\limxo \frac{x}{\arctan x} = 1$ & $\limxi \arctan x = \frac{\pi}{2}$ \\ 701 | $\limxo \frac{e^{ax}-1}{x} = a$ & $\limxo \frac{\ln(x+1)}{x} = 1$ \\ 702 | $\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$ & $\limxi \frac{\log(x)}{x^a} = 0$ \\ 703 | $\limxi \sqrt[x]{x} = 1$ & $\limxi \frac{2x}{2^x} = 0$ \\ 704 | \bottomrule 705 | \end{tabularx} 706 | \end{center} 707 | \subsection{Ableitungen} 708 | \begin{center} 709 | % the c>{\centering\arraybackslash}X is a workaround to have a column fill up all space and still be centered 710 | \begin{tabularx}{\linewidth}{c>{\centering\arraybackslash}Xc} 711 | \toprule 712 | $\mathbf{F(x)}$ & $\mathbf{f(x)}$ & $\mathbf{f'(x)}$ \\ 713 | \midrule 714 | $\frac{x^{-a+1}}{-a+1}$ & $\frac{1}{x^a}$ & $\frac{a}{x^{a+1}}$ \\ 715 | $\frac{x^{a+1}}{a+1}$ & $x^a \ (a \ne -1)$ & $a \cdot x^{a-1}$ \\ 716 | $\frac{1}{k \ln(a)}a^{kx}$ & $a^{kx}$ & $ka^{kx} \ln(a)$ \\ 717 | $\ln |x|$ & $\frac{1}{x}$ & $-\frac{1}{x^2}$ \\ 718 | $\frac{2}{3}x^{3/2}$ & $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$\\ 719 | $-\cos(x)$ & $\sin(x)$ & $\cos(x)$ \\ 720 | $\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $-\sin(x)$ \\ 721 | $\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin(2x))$ & $\sin^2(x)$ & $2 \sin(x)\cos(x)$ \\ 722 | $\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin(2x))$ & $\cos^2(x)$ & $-2\sin(x)\cos(x)$ \\ 723 | \multirow{2}*{$-\ln|\cos(x)|$} & \multirow{2}*{$\tan(x)$} & $\frac{1}{\cos^2(x)}$ \\ 724 | & & $1 + \tan^2(x)$ \\ 725 | $\cosh(x)$ & $\sinh(x)$ & $\cosh(x)$ \\ 726 | $\log(\cosh(x))$ & $\tanh(x)$ & $\frac{1}{\cosh^2(x)}$ \\ 727 | $\ln | \sin(x)|$ & $\cot(x)$ & $-\frac{1}{\sin^2(x)}$ \\ 728 | $\frac{1}{c} \cdot e^{cx}$ & $e^{cx}$ & $c \cdot e^{cx}$ \\ 729 | $x(\ln |x| - 1)$ & $\ln |x|$ & $\frac{1}{x}$ \\ 730 | $\frac{1}{2}(\ln(x))^2$ & $\frac{\ln(x)}{x}$ & $\frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ \\ 731 | $\frac{x}{\ln(a)} (\ln|x| -1)$ & $\log_a |x|$ & $\frac{1}{\ln(a)x}$ \\ 732 | \bottomrule 733 | \end{tabularx} 734 | \end{center} 735 | \subsection{Weitere Ableitungen} 736 | \begin{center} 737 | \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}X>{\centering\arraybackslash}X} 738 | \toprule 739 | $\mathbf{F(x)}$ & $\mathbf{f(x)}$ \\ 740 | \midrule 741 | $\arcsin(x)$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ 742 | $\arccos(x)$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ 743 | $\arctan(x)$ & $\frac{1}{1 + x^2}$ \\ 744 | $x^x \ (x > 0)$ & $x^x \cdot (1 + \ln x)$ \\ 745 | \bottomrule 746 | \end{tabularx} 747 | \end{center} 748 | \subsection{Integrale} 749 | \begin{center} 750 | \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}X>{\centering\arraybackslash}X} 751 | \toprule 752 | $\mathbf{f(x)}$ & $\mathbf{F(x)}$ \\ 753 | \midrule 754 | $\int f'(x) f(x) \dx$ & $\frac{1}{2}(f(x))^2$ \\ 755 | $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \dx$ & $\ln|f(x)|$ \\ 756 | $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \dx$ & $\sqrt{\pi}$ \\ 757 | $\int (ax+b)^n \dx$ & $\frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}$ \\ 758 | $\int x(ax+b)^n \dx$ & $\frac{(ax+b)^{n+2}}{(n+2)a^2} - \frac{b(ax+b)^{n+1}}{(n+1)a^2}$ \\ 759 | $\int (ax^p+b)^n x^{p-1} \dx$ & $\frac{(ax^p+b)^{n+1}}{ap(n+1)}$ \\ 760 | $\int (ax^p + b)^{-1} x^{p-1} \dx$ & $\frac{1}{ap} \ln |ax^p + b|$ \\ 761 | $\int \frac{ax+b}{cx+d} \dx$ & $\frac{ax}{c} - \frac{ad-bc}{c^2} \ln |cx +d|$ \\ 762 | $\int \frac{1}{x^2+a^2} \dx$ & $\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}$ \\ 763 | $\int \frac{1}{x^2 - a^2} \dx$ & $\frac{1}{2a} \ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ \\ 764 | $\int \sqrt{a^2+x^2} \dx $ & $\frac{x}{2}f(x) + \frac{a^2}{2}\ln(x+f(x))$ \\ 765 | \bottomrule 766 | \end{tabularx} 767 | \end{center} 768 | 769 | \section{Quellen} 770 | Ein Grossteil des Cheatsheets wurde stark vom Cheatsheet von Ruben Schenk (https://rwgs.ch) inspiriert. Ausserdem stammen Teile der Tabellen aus dem Buch ``Formeln, Tabellen und Konzepte''. Schliesslich sind die Definitionen meistens dem Skript ``Analysis 1'' von Marc Burger entnommen. 771 | 772 | 773 | \end{document} 774 | -------------------------------------------------------------------------------- /analysis1/degrees_circle.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/analysis1/degrees_circle.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /analysis1/mittelwertsatz.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/analysis1/mittelwertsatz.png -------------------------------------------------------------------------------- /analysis1/zwischenwertsatz.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/analysis1/zwischenwertsatz.png -------------------------------------------------------------------------------- /analysis2/include_degrees_circle.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/analysis2/include_degrees_circle.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /and-graph-terminology/and-graph-terminology.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper,10pt]{article} 2 | 3 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 4 | % FORMATTING 5 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 6 | 7 | \setlength{\parskip}{0pt} 8 | \setlength{\parindent}{0pt} 9 | \setlength{\voffset}{-15pt} 10 | 11 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 12 | % PACKAGES AND OTHER DOCUMENT CONFIGURATIONS 13 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 14 | 15 | \usepackage[a4paper, margin=2.5cm]{geometry} % Sets margin to 2.5cm for A4 Paper 16 | \usepackage[onehalfspacing]{setspace} % Sets Spacing to 1.5 17 | 18 | \usepackage[T1]{fontenc} % Use European encoding 19 | \usepackage[utf8]{inputenc} % Use UTF-8 encoding 20 | \usepackage{charter} % Use the Charter font 21 | \usepackage{microtype} % Slightly tweak font spacing for aesthetics 22 | 23 | \usepackage[english, ngerman]{babel} % Language hyphenation and typographical rules 24 | 25 | \usepackage{amsthm, mathtools, amssymb} % Mathematical typesetting 26 | \usepackage{marvosym, wasysym} % More symbols 27 | \usepackage{float} % Improved interface for floating objects 28 | \usepackage[final, colorlinks = true, 29 | linkcolor = black, 30 | citecolor = black, 31 | urlcolor = black]{hyperref} % For hyperlinks in the PDF 32 | \usepackage{graphicx, multicol} % Enhanced support for graphics 33 | \usepackage{xcolor} % Driver-independent color extensions 34 | \usepackage{listings} % Environment for non-formatted code 35 | \usepackage{booktabs} % Enhances quality of tables 36 | \usepackage{tabularx} 37 | 38 | \usepackage{titlesec} % Allows customization of titles 39 | \titleformat{\section}{\large}{\currentSeries.\thesection}{1em}{} 40 | \renewcommand\thesubsection{\alph{subsection})} % Alphabetic numerals for subsections 41 | \titleformat{\subsection}[runin]{\large}{\thesubsection}{1em}{} 42 | \renewcommand\thesubsubsection{\roman{subsubsection}.} % Roman numbering for subsubsections 43 | \titleformat{\subsubsection}[runin]{\large}{\thesubsubsection}{1em}{} 44 | 45 | % DATES 46 | \usepackage[ddmmyyyy]{datetime} 47 | \renewcommand{\dateseparator}{.} 48 | 49 | % HEADER & FOOTER 50 | \title{Graph Terminology Overview} 51 | \author{Algorithms \& Datastructures} 52 | \pagenumbering{gobble} 53 | 54 | \begin{document} 55 | \maketitle 56 | \bigskip 57 | \begin{center} 58 | 59 | \renewcommand{\arraystretch}{1.3} 60 | \begin{tabularx}{\linewidth}{llr} 61 | \toprule 62 | walk & Weg & A series of connected vertices. \\ 63 | trail & kantendisjunkter Weg & A walk without repeated edges. \\ 64 | path & Pfad & A walk without repeated vertices. \\ 65 | cycle\footnote{In some literature a cycle is also more generally equivalent to a circuit.} & Kreis & A path where \(v_0 = v_{end}\) holds.\footnote{This is not formally correct, since a path cannot have repeating vertices.} \\ 66 | circuit, tour & kantendisjunkter Zyklus & A trail where \(v_0 = v_{end}\) holds. \\ 67 | closed walk & Zyklus & A walk where \(v_0 = v_{end}\) holds.\\ 68 | \midrule 69 | incident & inzident & connected (vertex \& edge) \\ 70 | adjacent & adjazent & neighboring (vertex \& vertex) \\ 71 | reachable & \(u\) erreicht \(v\) & \(\exists\) walk from \(u\) to \(v\) \\ 72 | connected & zusammenhängend & \(G\) has one connected component \\ 73 | undirected & ungerichtet & all edges go both ways \\ 74 | acyclic & azyklisch & no cycles in \(G\) \\ 75 | \midrule 76 | degree & Grad & \# of edges incident to \(v\) \\ 77 | indegree & Eingangsgrad & \# of incoming edges incident to \(v\) \\ 78 | outdegree & Ausgangsgrad & \# of outgoing edges incident to \(v\) \\ 79 | tree & Baum & connected graph without cycles \\ 80 | leaf & Blatt & vertex with degree 1 \\ 81 | forest & Wald & graph where every ZHK is a tree \\ 82 | connected component & Zusammenhangskomponente & parts of a graph that are connected \\ 83 | neighborhood & Nachbarschaft & subgraph of all vertices adjacent to \(v\)\\ 84 | bridge, cut edge & Brücke & If \(e\) removed, \(G\) no longer connected \\ 85 | articulation point, cut vertex & Artikulationsknoten& If \(v\) removed, \(G\) no longer connected \\ 86 | \bottomrule 87 | \end{tabularx} 88 | \\ \bigskip 89 | \end{center} 90 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /anw-runtime/anw-runtime.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper,10pt]{article} 2 | 3 | %\usepackage[landscape]{geometry} 4 | 5 | \usepackage{mathtools} 6 | \usepackage{booktabs} 7 | \usepackage{tabularx} 8 | 9 | \title{\vspace*{-2cm}Big \(\bigO\)-notation for A\&W algorithms} 10 | \date{} 11 | 12 | \pagenumbering{gobble} 13 | 14 | \newcommand{\bigO}{\mathcal{O}} 15 | 16 | \begin{document} 17 | \maketitle 18 | \renewcommand{\arraystretch}{1.25} 19 | \subsection*{Definitions} 20 | \begin{center} 21 | \begin{tabularx}{\textwidth}{l >{\raggedleft\arraybackslash}X} 22 | \toprule 23 | Number of vertices in a graph & \(n\) \\ 24 | Number of edges in a graph & \(m\) \\ 25 | Highest capacity in network & \(U\) \\ 26 | Number of vertices at the edge of a convex hull & \(h\) \\ 27 | Variable chosen for desired accuracy of Monte-Carlo algorithms & \(\lambda\) \\ 28 | \bottomrule 29 | \end{tabularx} 30 | \end{center} 31 | 32 | \subsection*{Overview of algorithms} 33 | 34 | Some of the algorithms are randomized. They thus have their average runtime noted. 35 | \begin{center} 36 | \begin{tabular}{lr} 37 | \toprule 38 | Maximal flow (Ford-Fulkerson) & \(\bigO(mnU)\)\\ 39 | Maximal flow (Capacity Scaling) & \(\bigO(mn(1 + \log U))\) \\ 40 | Maximal flow (Dynamic Trees) & \(\bigO(mn\log n)\) \\ 41 | Smallest enclosing disc (naive) & \(\bigO(n^4)\) \\ 42 | Eulerian path in connected graph & \(\bigO(m)\) \\ 43 | Count Hamiltonian cycles in graph & \(\bigO(n^{2.81}\log n \cdot 2^n)\) \\ 44 | 2-approximation of Metric TSP & \(\bigO(n^2)\) \\ 45 | 1.5-approximation of Metric TSP & \(\bigO(n^3)\) \\ 46 | Maximal matching & \(\bigO(m)\) \\ 47 | Maximum matching in bipartite graph (Hopcroft-Karp) & \(\bigO(\sqrt{n}(n+m))\) \\ 48 | Perfect matching in \(2^k\)-regular bipartite graph & \(\bigO(m)\) \\ 49 | Greedy coloring & \(\bigO(m)\) \\ 50 | \(\bigO(\sqrt{n})\)-coloring for 3-colorable graphs & \(\bigO(m)\) \\ 51 | Convex hull (Jarvis-Wrap) & \(\bigO(nh)\) \\ 52 | Convex hull with \textit{sorted} points (LocalRepair) & \(\bigO(n)\) \\ 53 | QuickSelect & \(\bigO(n)\) \\ 54 | Miller-Rabin prime test & \(\bigO(\ln n)\) \\ 55 | Colorful-Path with length \(\log n\) & \(\bigO(mn \log n)\) \\ 56 | Minimal cut (naive) & \(\bigO(\lambda n^4)\) \\ 57 | Minimal cut (single bootstrapping) & \(\bigO(\lambda n^3)\) \\ 58 | Minimal cut (repeated bootstrapping) & \(\bigO(n^2\text{poly}(\log n))\) \\ 59 | Smallest enclosing disc (clever randomized) & \(\bigO(n \log n)\) \\ 60 | \bottomrule 61 | \end{tabular} 62 | \end{center} 63 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /eth-cheatsheets-cover.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/eth-cheatsheets-cover.png -------------------------------------------------------------------------------- /license.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Not actually an abstract. We abuse it for licencing 2 | \renewcommand{\abstractname}{Lizenz} 3 | \begin{abstract} 4 | Dieses Dokument ist unter CC BY-SA 4.0 lizenziert. Es darf verbreitet oder verändert werden, solange der Urheber und die Lizenz erhalten bleibt. 5 | 6 | \begin{center} 7 | Der \LaTeX-Quelltext ist verfügbar auf \\ \href{https://github.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets}{github.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets}. 8 | \end{center} 9 | \end{abstract} 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/bresenham-line.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/bresenham-line.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/ciergb.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/ciergb.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/coord-system-change.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/coord-system-change.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/fourier-transforms.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/fourier-transforms.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/lamberts-law.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/lamberts-law.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/old-exercise-shading.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/old-exercise-shading.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/phong-shading.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/phong-shading.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/radon-back-projection.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/radon-back-projection.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/radon-image-reconstruction.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/XYQuadrat/eth-cheatsheets/e229a8e6fd5beed221ded1afedccbe0363db6386/viscomp/radon-image-reconstruction.png -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/source-images/bresenham-line.svg: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | p = 22 | (xp, yp) 23 | NE 24 | E 25 | 26 | 27 | 28 | dold / m 29 | dnew 30 | f(x,y) = ax+by+c 31 | d = f(m) 32 | 33 | 34 | select E 35 | select NE 36 | <0 37 | >0 38 | 39 | 40 | -------------------------------------------------------------------------------- /viscomp/source-images/ciergb.svg: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 15 | 16 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |