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Herrera Poyatos 3 | % Tittle: Continuidad y diferenciabilidad de la solución 4 | % respecto de condiciones iniciales y parámetros 5 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6 | 7 | \section{Continuidad y diferenciabilidad de la solución respecto de condiciones iniciales y 8 | parámetros} 9 | 10 | En esta sección estudiamos la función solución general de \eqref{eq:edo} bajo hipótesis de unicidad 11 | global. Recordemos que el concepto de solución general se introdujo en la Sección 12 | \ref{sec:existencia-unicidad:general}. Concretamente, probaremos que la solución general 13 | $X \colon \Omega \to \R^d$ está definida sobre un abierto y es una función de clase 14 | $1$. Estudiaremos además sus derivadas parciales de segundo orden. Por último, introduciremos 15 | parámetros en la EDO, obteniendo una solución general que depende de éstos y también resulta ser de 16 | clase 1. 17 | 18 | \subsection{Preliminares} \label{sec:sol-general:preliminares} 19 | 20 | Antes de demostrar los resultados que ya se han avanzado necesitaremos nuevas herramientas que se 21 | proporcionan en este apartado. 22 | 23 | \subsubsection{Entornos tubulares} 24 | 25 | \begin{definition} 26 | Sea $J \subset \R$ un intervalo, $\varphi \colon J \to \R^d$ una función continua y $\rho > 0$. El 27 | conjunto 28 | \[ T_{\rho} = T_{\rho}(J, \varphi) = \{(t,x) \in J \times \R^d : ||x-\varphi(t)|| \le \rho\} \] es 29 | un \emph{entorno tubular} de $\varphi$. 30 | \end{definition} 31 | 32 | Nótese que si $\varphi \colon ]t_0-a, t_0+a[ \to \R^d$ es constantemente $x_0$, entonces 33 | $T_{\rho}(J, \varphi) = R_{a, \rho}(t_0, x_0)$ 34 | 35 | \begin{lemma} 36 | Sea $J \subset \R$ un intervalo, $\varphi \colon J \to \R^d$ una función continua y $\rho > 0$. El 37 | conjunto $T_\rho(J,\varphi)$ es homeomorfo a $J \times \overline{\mathrm{B}}(0,\rho)$. 38 | \end{lemma} 39 | \begin{proof} 40 | La función $H \colon T_{\rho}(J, \varphi)\to J \times \overline{\mathrm{B}}(0,\rho)$ dada por 41 | $H(t,x) = (t, x-\varphi(t))$ es un homeomorfismo. 42 | \end{proof} 43 | 44 | \begin{lemma} 45 | Sea $J \subset \R$ un intervalo y $\varphi \colon J \to \R^d$ una función continua. Sea 46 | $D \subset \R \times \R^d$ abierto tal que $(t, \varphi(t)) \in D$ para todo $t \in J$. Si $J$ es 47 | compacto, entonces existe $\rho > 0$ tal que $T_{\rho}(J,\varphi) \subset D$. 48 | \end{lemma} 49 | \begin{proof} 50 | Razonamos por reducción al absurdo. Para cada $\rho > 0$ tenemos que 51 | $T_{\rho}(J, \varphi) \not \subset D$. En particular, para cada $n \in \N$ existe 52 | $(t_n, x_n) \in T_{1/n}(J,\varphi) \setminus D$. Nótese que la sucesión $\{(t_n,x_n)\}$ está en el 53 | compacto $T_1(J,\varphi)$, luego admite una parcial convergente a un elemento de 54 | $T_1(J,\varphi)$. Además, el límite de esta parcial debe ser de la forma $(t_0, 55 | \varphi(t_0))$. Pero esto implica que una cola de la sucesión está contenida en $D$ puesto que es 56 | un conjunto abierto, contradicción. 57 | \end{proof} 58 | 59 | \begin{proposition} 60 | Sea $J \subset \R$ un intervalo y $\varphi \colon J \to \R^d$ una función continua. Sea 61 | $D \subset \R \times \R^d$ abierto tal que $(t, \varphi(t)) \in D$ para todo $t \in J$ y 62 | $f \colon D \to \R^d$ localmente lipschitziana respecto de la variable $x \in \R^d$. Si $J$ es 63 | compacto y $T_{\rho}(J,\varphi) \subset D$, entonces $f$ es lipschitziana en 64 | $T_{\rho}(J,\varphi)$. 65 | \end{proposition} 66 | \begin{proof} 67 | El conjunto $T_{\rho}(J,\varphi)$ es compacto. En efecto, es homeoformo a 68 | $J \times \overline{\mathrm{B}}(0,\rho)$, que es compacto por ser producto de compactos. La prueba 69 | finaliza al aplicar el Lema \ref{lem:compacto-lipschitziana}. 70 | \end{proof} 71 | 72 | 73 | \subsubsection{Convergencia uniforme en compactos} 74 | 75 | \begin{definition} 76 | Una sucesión de funciones $f_n \colon I_{n} \to \R^d$ converge uniformemente en compactos hacia 77 | una función $f \colon I \to \R^d$ si para todo $K \subset I$ compacto existe una cola de $f_n$ 78 | definida en $K$ que converge uniformemente en $K$ a $f$. 79 | \end{definition} 80 | 81 | Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia uniforme en compactos, que denotaremos 82 | c.u.c. El recíproco no es cierto como muestra el siguiente ejemplo. 83 | 84 | \begin{ex} 85 | Consideramos la sucesión $f_n \colon \R \to \R$ dada por $f_n(t) = t / n$. Tenemos que $f_n$ 86 | converge uniformemente a $0$ en compactos pero no converge uniformemente. 87 | \end{ex} 88 | 89 | Recuérdese que el límite uniforme de funciones continuas es una función continua. Utilizando este 90 | hecho probamos y el carácter local de la continuidad demostramos fácilmente el siguiente resultado 91 | más general. 92 | 93 | \begin{prop} 94 | Sea $f_n \colon I_{n} \to \R^d$ una sucesión de funciones convergente uniformemente en compactos a 95 | una función $f \colon I \to \R^d$. Si las funciones $f_n$ son continuas, entonces $f$ es continua. 96 | \end{prop} 97 | 98 | La convergencia en compactos implica la convergencia puntual. El recíproco tampoco es cierto. 99 | 100 | \begin{ex} 101 | Consideramos la sucesión $f_n \colon [0,1] \to \R$ dada por $f_n(t) = t^n$. Tenemos que $f_n$ 102 | converge puntualmente a la función $f \colon [0,1] \to \R$ definida como $f(t) = 0$ para $t \ne 1$ 103 | y $f(1) = 1$. Sin embargo, la convergencia no es uniforme en $[0,1]$ pues $f$ no es continua. Por 104 | tanto, la convergencia no puede ser uniforme en compactos. 105 | \end{ex} 106 | 107 | \begin{lemma} 108 | Sea $f_n \colon I_n \to \R^d$ para cada $n \in \N$ y $f \colon I \to \R^d$ continua en 109 | $t_0 \in I$. Si la sucesión $\{f_n\}$ converge uniformemente en compactos a $f$, entonces para 110 | cada sucesión $\{t_n\}$ convergente a $t_0$ con $t_n \in I_n$ para cada $n \in \N$ se verifica que 111 | $\{f_n(t_n)\}$ converge a $f(t_0)$. 112 | \end{lemma} 113 | \begin{proof} 114 | Nótese que $||f_n(t_n) - f(t_0) || \le ||f_n(t_n) - f(t_n) || + ||f(t_n) - f(t_0)||$. La sucesión 115 | $\{f(t_n) - f(t_0)\}$ converge a $0$ por la continuidad de $f$ en $t_0$. Por otro lado, existe 116 | $m \in \N$ tal que $\{t_{n+m}\} \subset I$. La sucesión $\{f_{n+m}(t_{n+m}) - f(t_{n+m})\}$ 117 | converge a $0$ que pues $\{t_{n+m}\}$ es compacto. 118 | \end{proof} 119 | 120 | \begin{proposition} 121 | Sea $f_n \colon I \to \R^d$ para cada $n \in \N$ y $f \colon I \to \R^d$ continua. La sucesión 122 | $\{f_n\}$ converge uniformemente en compactos a $f$ si, y solo si, para cada sucesión $\{t_n\}$ 123 | con $t_n \in I$ convergente hacia $t_0 \in I$ se verifica que $\{f_n(t_n)\}$ converge a $f(t_0)$. 124 | \end{proposition} 125 | \begin{proof} 126 | La primera implicación es consecuencia del lema previo. Veamos que el recíproco es 127 | cierto. Consideramos la sucesión $\{||f_n-f||\}$ definida en $I$. Para cada compacto 128 | $K \subset I$, existe $t_n \in K$ con $||f_n(t_n)-f(t_n)|| = \max \{||f_n(t)-f(t)|| : t \in 129 | K\}$. Toda parcial de $\{||f_n(t_n)-f(t_n)|\}$ admite una subparcial convergente a $0$. En efecto, 130 | basta tomar una parcial de $t_{\sigma(n)}$ convergente, que existe por el teorema de 131 | Bolzano-Weierstrass, y aplicar la hipótesis. Como consecuencia, $\{||f_n(t_n)-f(t_n)|\}$ converge 132 | a $0$, esto es, $f_n$ converge uniformemente a $f$ en $K$. 133 | \end{proof} 134 | 135 | \subsection{Continuidad de la solución general} 136 | 137 | En este apartado aplicamos los conceptos estudiados en la Sección \ref{sec:sol-general:preliminares} 138 | para probar que la solución general es continua. Para ello será esencial el siguiente resultado. 139 | 140 | \begin{lemma}[Desigualdad fundamental] 141 | Sean $\varphi_i \colon I_i \to \R^d$ para $i \in \{1,2\}$ dos soluciones de \eqref{eq:edo} tales 142 | que existe $L > 0$ con 143 | \[ ||f(t, \varphi_1(t))-f(t, \varphi_2(t))|| \le L ||\varphi_1(t)-\varphi_2(t)|| \] para todo 144 | $t\in I_1\cap I_2$. Entonces, fijado $t_0 \in I_1\cap I_2$ se tiene 145 | \[ ||\varphi_1(t)-\varphi_2(t)|| \le ||\varphi_1(t_0)-\varphi_2(t_0)|| e^{L|t-t_0|} \] para todo 146 | $t\in I_1\cap I_2$. 147 | \end{lemma} 148 | \begin{proof} 149 | Por la ecuación integral de Volterra deducimos que para cada $t\in I_1\cap I_2$ se tiene 150 | \begin{align*} 151 | ||\varphi_1'(t) - \varphi_2'(t)|| & \le ||\varphi_1(t_0) - \varphi_2(t_0)|| + \int_{t_0}^{t} 152 | ||f(s, \varphi_1(s)) - f(s, \varphi_2(s))|| \diff s \\ 153 | & \le ||\varphi_1(t_0) - \varphi_2(t_0)|| + L 154 | \int_{t_0}^{t} ||\varphi_1(s)-\varphi_2(s)|| \diff s. 155 | \end{align*} 156 | Podemos aplicar pues el Lema de Gronwall, obteniendo el resultado. 157 | \end{proof} 158 | 159 | \begin{lemma} 160 | Consideremos la EDO \eqref{eq:edo} y $(t_0, x_0) \in D$. Sean $a, b > 0$ tales que 161 | $R_{a,b}(t_0, x_0) \subset D$ y sea $M = \max \{||f(t,x)|| : (t,x) \in R_{a,b}(t_0, 162 | x_0)\}$. Existe $\mu_0 > 0$ tal que para cualquier $\mu \in ]0,\mu_0[$ se cumple que si 163 | $(t_1, x_1) \in R_{\mu,\mu}(t_0, x_0)$ y $\varphi$ solución maximal del PVI asociado a 164 | $(t_1, x_1)$ se tiene que para cada $t \in [t_0- \mu, t_0+\mu]$ 165 | \[ ||\varphi(t) - x_0|| \le ||x_1 - x_0 || + M |t - t_1| \le \mu(1+2M) < b \] y 166 | $(t, \varphi(t)) \in R_{a,b}(t_0,x_0)$. En particular, se verifica 167 | $||\varphi(t_0)-x_0|| < \mu(1+M)$. 168 | \end{lemma} 169 | \begin{proof} 170 | Fijamos $0 < \mu_0 < \min \{a,b\}$ con $\mu_0(1+2M) < b$. Sea $\mu \in ]0,\mu_0[$. Consideramos 171 | $(t_1, x_1) \in R_{\mu,\mu}(t_0, x_0)$. Sea $\varphi$ la solución maximal del PVI asociado a 172 | $(t_1, x_1)$. Veamos que $[t_0- \mu, t_0+\mu] \subset ]\alpha(t_1,x_1), \omega(t_1,x_1)[ = I$ y 173 | que $(t,\varphi(t)) \in R_{a,b}(t_0,x_0)$ para todo $t \in [t_0-\mu,t_0+\mu]$. En efecto, para 174 | cada $t \in [t_0- \mu, t_0+\mu] \cap I \ne \emptyset$ se tiene que 175 | \[ ||\varphi(t)-x_0|| \le ||\varphi(t_1)-x_0|| + \left|\int_{t_1}^{t} ||f(s,\varphi(s))|| \diff 176 | s\right| \le ||x_1-x_0|| + M |t-t_1| \le \mu(1+2M) < b.\] Por tanto, si se tuviese 177 | $t \in [t_0-\mu,t_0+\mu] \cap I$ con $||\varphi(t)-x_0|| \ge b$ se obtendría una 178 | contradicción. Consecuentemente, $\varphi$ no explota en $\mathrm{R}_{\mu,b}(t_0, x_0)$ y, por el 179 | Teorema de comportamiento en el extremo superior, se deduce que $[t_0-\mu, t_0+\mu] \subset I$ y 180 | que $(t,\varphi(t)) \in R_{a,b}(t_0,x_0)$ para todo $t \in [t_0-\mu,t_0+\mu]$. 181 | \end{proof} 182 | 183 | \begin{proposition} 184 | Consideremos la EDO \eqref{eq:edo} y supongamos que $f$ es localmente lipschitziana respecto de la 185 | variable $x \in \R^d$. Sea $(t_0, x_0) \in D$ y $\varphi \colon I \to \R^d$ solución de 186 | \eqref{eq:pvi}. Dado un intervalo $[a,b] \subset I$ tal que $a < t_0 < b$, tomamos $\rho > 0$ con 187 | $\mathrm{T}_{\rho}([a,b],\varphi) \subset D$. Entonces existe $\delta > 0$ tal que para cualquier 188 | $(t_1, x_1) \in R_{\delta,\delta}(t_0,x_0)$ y $\varphi_1 \colon I_1 \to \R^d$ solución maximal del 189 | PVI asociado a $(t_1,x_1)$ se tiene $[a,b] \subset I_1$ y 190 | $(t,\varphi_1(t)) \in \mathrm{T}_\rho([a,b],\varphi)$ para todo $t \in [a,b]$. 191 | \end{proposition} 192 | \begin{proof} 193 | En primer lugar, nótese que $f$ es Lipschitziana en 194 | $\mathrm{T}_{\rho} = \mathrm{T}_{\rho}([a,b],\varphi)$, pues éste es un conjunto compacto. Sea $L$ 195 | la constante de Lipschitz asociada. 0btenemos $\mu_0$ del lema anterior para 196 | $R_{r,s}(t_0, x_0) \subset T_{\rho}$. Para todo $0 < \mu < \mu_0$ se tiene que, para cualquier 197 | $(t_1, x_1) \in R_{\delta,\delta}(t_0,x_0)$ y $\varphi_1 \colon I_1 \to \R^d$ solución maximal del 198 | PVI asociado a $(t_1,x_1)$, 199 | \[ ||\varphi_1(t) - \varphi(t)|| \le ||\varphi_1(t_0) - \varphi(t_0)|| e^{L |t-t_0|} \le \mu(1+M) 200 | e^{L |b-a|} \quad \forall t \in [a,b]\cap I_1, \] donde se ha aplicado la desigualdad 201 | fundamental. Tomamos $0 < \delta < \mu_0$ tal que $\mu(1+M) e^{L |b-a|} < \rho$. Veamos que se 202 | cumple el resultado para este $\delta$. Sea $(t_1, x_1) \in R_{\delta,\delta}(t_0,x_0)$ y 203 | $\varphi_1 \colon I_1 \to \R^d$ solución maximal del PVI asociado a $(t_1,x_1)$. Tenemos que 204 | \[ ||\varphi_1(t) - \varphi(t)|| \le ||\varphi_1(t_0) - \varphi(t_0)|| e^{L |t-t_0|} < \rho \quad 205 | \forall t \in [a,b]\cap I_1, \] Por el teorema de comportamiento en el extremo superior aplicado 206 | a el conjunto $\mathrm{T}_p$ deducimos que $[a,b] \subset I_1$ pues $||\varphi_1(t)-\varphi(t)||$ 207 | no alcanza a $\rho$ en $[a,b] \cap I_1$. 208 | \end{proof} 209 | 210 | \begin{theorem} 211 | \label{thm:cuc-ci} 212 | Sea $f\colonD \to \R^d$ localmente lipschitziana respecto de la variable $x \in \R^d$. Dado 213 | $(t_0, x_0) \in D$ y sea $\varphi \colon ]\alpha, \omega[ \to \R^d$ la solución maximal de 214 | \eqref{eq:pvi}. Sea $\{(t_n, x_n)\}$ una sucesión de condiciones iniciales tales que 215 | $\{t_n\} \to t_0$ y $\{x_n\} \to x_0$. Denotemos por $\varphi_n\colon ]\alpha, \omega[ \to \R^d$ 216 | la solución maximal del PVI asociado a la condición inicial $(t_n, x_n)$. Entonces para todo 217 | compacto $[a,b]\subset ]\alpha, \omega[$ tal que $a < t_0 < b$ existe $m \in \N$ tal que para cada 218 | $n \ge m$ se tiene $[a,b] \subset ]\alpha_n,\omega_n[$ y además $\{\varphi_{n+m}\}$ converge 219 | uniformemente a $\varphi$ en $[a,b]$. Esto es, $\{\varphi_n\}$ converge a $\varphi$ en compactos. 220 | \end{theorem} 221 | \begin{proof} 222 | Sea $\rho > 0$ tal que $T_{\rho} = T_{\rho}([a,b], \varphi) \subset D$. Sean $r, s > 0$ tales que 223 | $R_{r,s}(t_0, x_0) \subset T_{\rho}$. Aplicamos la proposición y el lema previo encontrando 224 | $\delta$ y $\mu_0$ respectivamente. Sea $0 < \mu < \min\{\delta, \mu_0\}$ con . Puesto que 225 | $\{(t_n, x_n)\} \to (t_0, x_0)$ existe $m \in \N$ tal que para todo $n \ge m$ se tiene que 226 | $(t_n, x_n) \in R_{\mu,\mu}(t_0, x_0)$. Por tanto, $[a,b] \subset ]\alpha_n,\omega_n[$ y 227 | $||\varphi_n(t_0) - \varphi(t_0)|| \le (1+M)\mu$. Aplicamos la desigualdad fundamental, obteniendo 228 | que 229 | \[||\varphi_n(t) - \varphi(t)|| \le ||\varphi_n(t_0) - \varphi(t_0)|| e^{L|t-t_0|} || \le (1+M)\mu 230 | e^{L(b-a)} \] para todo $n \ge m$ y $t \in [a,b]$. 231 | 232 | Por último, aplicando lo anterior deducimos que para cada $\varepsilon > 0$ existe $N \ge m$ tal 233 | que para cada $n \ge N$ se tiene 234 | $||\varphi_n(t) - \varphi(t)|| \le (1+M)\mu e^{L(b-a)} < \varepsilon$ en $[a,b]$, donde se ha 235 | tomado $0 < \mu < \min\{\delta, \mu_0\}$ lo suficientemente pequeño. 236 | \end{proof} 237 | 238 | \begin{ex} 239 | Consideramos la EDO $x' = e^{x^2} -1$. Tiene una solución constante $x(t) = 0$. El diagrama de 240 | fases es de la forma $\rightarrow 0 \rightarrow$. Por tanto, para $x_n > 0$ se tiene que 241 | $\alpha(x_n) = -\infty$ y $\omega(x_n) < +\infty$. No obstante, si la sucesión $\{x_n\}$ converge 242 | a $x_0$, entonces por el teorema anterior la sucesión $\{X(t;x_n)\}$ converge uniformemente a $0$ 243 | es un cualquier entorno compacto de $0$. Como consecuencia $\{\omega(x_n)\} \to +\infty$. 244 | \end{ex} 245 | 246 | \begin{ex} 247 | Sea $\varphi_n \colon ]\alpha_n, \omega_n[ \to \R$ la solución maximal del PVI 248 | \[ 249 | \begin{cases} 250 | x' = (x - t^2)^2 + 2t; \\ 251 | x(1/n) = \sin(1 / n^2). 252 | \end{cases} 253 | \] 254 | Justifica que para $n$ suficientemente grande $1/n + 4 \in ]\alpha_n, \omega_n[$ y calcula 255 | $\lim_{n\to +\infty} \varphi_n(4+1/n)$. 256 | 257 | Nótese que $\varphi\colon \R \to \R$ dada por $\varphi(t) = t^2$ es solución de 258 | $x' = (x - t^2)^2 + 2t$, que verifica la propiedad de unicidad global en cualquier par 259 | $(t_0, x_0) \in \R^2$. Además, $\varphi(0) = 0$. Tenemos que $\{(1/n, \sin(1 / n^2))\}$ converge a 260 | $(0,0)$. Por tanto, por el teorema anterior existe $m \in \N$ tal que 261 | $[-10,10] \subset ]\alpha_n, \omega_n[ $ para todo $n \ge m$. Además, $\{\varphi_{n+m}\}$ converge 262 | uniformemente a $\varphi$ en $[-10,10]$. Deducimos que 263 | $\lim_{n\to +\infty} \varphi_n(4+1/n) = \varphi(4) = 16$. 264 | \end{ex} 265 | 266 | \begin{theorem}[Continuidad de la solución general] 267 | \label{thm:cont-X} 268 | El conjunto $\Omega$ es abierto y la función $X \colon \Omega \to \R^d$ es continua. 269 | \end{theorem} 270 | \begin{proof} 271 | Es una consecuencia directa del Teorema \ref{thm:cuc-ci} y los resultados previos. En primer 272 | lugar, sea $(t, t_0, x_0) \in \Omega$, tomamos $a < b$ con 273 | $[a,b] \subset ]\alpha(t_0, x_0), \omega(t_0, x_0)[$. Encontramos $0 < \mu < \min \{a,b\}$ tal que 274 | $[a,b] \subset ]\alpha(t_1, x_1), \omega(t_1, x_1)[$ para todo 275 | $(t_1, x_1) \in \mathrm{R}_{\mu,\mu}(t_0, x_0)$. Esto es, 276 | $[a,b] \times \mathrm{R}_{\mu,\mu}(t_0,x_0) \subset \Omega$. Ahora, tenemos que 277 | $\lim_{(s,s_0,x) \to (t,t_0, x_0)} X(s,s_0,x) = X(t,t_0,x_0)$ por el Teorema 278 | \ref{thm:cuc-ci}.\ref{thm:cuc-ci} 279 | \end{proof} 280 | 281 | 282 | \subsection{Dependencia continua respecto de parámetros} 283 | 284 | Sean $D \subset \R \times \R^d$ y $P \subset \R^k$ dos abiertos y sea $f \colon D \times P \to \R^d$ 285 | una función continua y localmente lipschitziana respecto de la variable $x$ y $\lambda$. Para cada 286 | $\lambda$ podemos considerar el PVI 287 | \begin{equation} 288 | \label{eq:pvi:parametors} 289 | \begin{cases} 290 | x' = f(t,x, \lambda); \\ 291 | x(t_0) = x_0; 292 | \end{cases} 293 | \tag{PP} 294 | \end{equation} 295 | que tiene una única solución a la que denotamos $X(t; t_0, x_0, \lambda)$. Podemos ver $X$ como una 296 | función de $\Omega$ en $\R$, donde 297 | $\Omega = \{(t,t_0,x_0,\lambda) : \alpha(t_0,x_0, \lambda) < t < \omega(t_0,x_0, \lambda)\}$. 298 | 299 | \begin{theorem}[Continuidad de la solución general con parámetros] 300 | \label{thm:cuc-parametros} 301 | En el contexto actual, el conjunto $\Omega$ es abierto y $X \colon \Omega \to \R^d$ es continua. 302 | 303 | Además, si $\{(t_n, x_n, \lambda_n)\} \subset D \times P$ una sucesión convergente a 304 | $(t_0, x_0, \lambda)$ y $K \subset ]\alpha(t_0,x_0,\lambda), \omega(t_0, x_0, \lambda)[$ es un conjunto compacto, 305 | entonces existe $m \in \N$ tal que para todo $n \ge m$ se tiene que 306 | $K \subset ]\alpha(t_n,x_n,\lambda_n), \omega(t_n, x_n, \lambda_n)[$ y 307 | $\{X(t; t_{n+m}, x_{n+m}, \lambda_{n+m})\}$ converge uniformemente a $X(t; t_0, x_0, \lambda)$ en 308 | $K$. 309 | \end{theorem} 310 | 311 | \begin{ex} 312 | Consideramos el PVI 313 | \[ 314 | \begin{cases} 315 | x'' + \lambda \sin(x) = 0; \\ 316 | x(0) = \pi / 4; \\ 317 | x'(0) = 0. 318 | \end{cases} 319 | \] 320 | Este PVI está asociado al movimiento de ún péndulo cuando se suelta con ángulo $s_0$ y longitud 321 | $\lambda$. Estudiamos el caso $\lambda = 0$, que se corresponde con un péndulo de longitud 322 | infinita. La única solución de la ecuación es $\varphi(t) = t^2 + \pi/4$. Dado $\varepsilon = 1$ y 323 | $R = 100$, existe $\lambda_0 >0$ tal que para $|\lambda| < \lambda_0$ se tiene 324 | $[-R,R] \subset ]\alpha(t_0,x_0,\lambda), \omega(t_0, x_0, \lambda)[$. 325 | \end{ex} 326 | 327 | \subsection{Dependencia diferenciable respecto de condiciones iniciales y parámetros} 328 | 329 | \begin{theorem} 330 | Sea $D \subset \R \times \R^d$ abierto y $f \colon D \to \R^d$ de clase $1$. Consideramos la EDO 331 | asociada, que denotamos \eqref{eq:edo}. Entonces la solución general $X \colon \Omega \to \R$ es 332 | de clase $1$. Además, existen las derivadas de segundo orden 333 | \[\frac{\partial^2}{\partial t \partial t_0} X, \frac{\partial^2}{\partial t \partial x_0} X\] 334 | y son continuas. 335 | \end{theorem} 336 | 337 | Si conocemos la solución $X(t, t_0, x_0)$ entonces podemos calcular las parciales de $X$ respecto de 338 | $t_0$ y $x_0$ en $(t,t_0, x_0)$ como muestra el siguiente ejemplo. 339 | 340 | \begin{ex} 341 | Consideramos la EDO $x' = (x - \sin(t))^2 + \cos(t)$. Nótese que $X(t, 0, 0) = \sin(t)$. Queremos 342 | calcular $\frac{\partial}{\partial x_0} X$. Sabemos que $X(t_0, t_0, x_0) = x_0$ y que para cada 343 | $(t, t_0, x_0) \in \Omega$ se cumple 344 | \[ \frac{\partial}{\partial t} X(t, t_0, x_0) = (X(t, t_0, x_0) - \sin(t))^2 + \cos(t) \quad 345 | \forall \, (t, t_0, x_0) \in \Omega. \] 346 | Por tanto, tenemos que 347 | \[ \frac{\partial^2}{\partial x_0\partial t} X(t, t_0, x_0) = 2(X(t, t_0, x_0) - 348 | \sin(t))\frac{\partial}{\partial x_0} X(t, t_0, x_0) \quad \forall \, (t, t_0, x_0) \in 349 | \Omega. \] 350 | Aplicando el Lema de Schwartz y evaluando en $t_0 = 0$ y $x_0 = 0$ obtenemos que 351 | \[ \frac{\partial^2}{\partial t\partial x_0} X(t, 0, 0) = 2(X(t, 0, 0) - 352 | \sin(t))\frac{\partial}{\partial x_0} X(t, t_0, x_0) = 0. \] 353 | Además, como $X(t_0,t_0, x_0) = x_0$, derivando respecto de $x_0$ obtenmos que 354 | $\frac{\partial}{\partial x_0} X(t_0, t_0, x_0) = 1$. Por tanto, 355 | $\frac{\partial}{\partial x_0}X(t, 0,0)$ es solución de la ecuación diferencial $y' = 0$ con 356 | condición inicial que $y(0) = 1$. Esto es, $\frac{\partial}{\partial x_0}X(t, 0,0) = 1$ par todo 357 | $t \in \R$. 358 | 359 | Para calcular la parcial de $X$ respecto de $t_0$ se procede de forma análoga, obteniendo que 360 | $\frac{\partial}{\partial t_0} X(t, 0,0) = -1$. 361 | \end{ex} 362 | 363 | \begin{definition} 364 | Sea $D \subset \R \times \R^d$ abierto y $f \colon D \to \R^d$ de clase $1$. Consideramos la EDO 365 | asociada, que denotamos \eqref{eq:edo}. Definimos la función matricial 366 | $A(t;t_0, x_0) = \frac{\partial}{\partial x} (t, X(t;t_0,x_0))$. La ecuación 367 | \begin{equation} 368 | \label{eq:variacional} 369 | y' = A(t; t_0, x_0) y 370 | \end{equation} 371 | recibe el nombre de \emph{ecuación variacional}. 372 | \end{definition} 373 | 374 | \begin{theorem}[Derivadad respecto de condiciones inicales y parámetros] 375 | \label{thm:-dev-param} 376 | Supongamos que las funciones matriciales 377 | $\frac{\partial}{\partial x}f \colon D \times P \to \mathcal{M}_d$ y 378 | $\frac{\partial}{\partial \lambda} f \colon D \times P \to \mathcal{M}_{d\times k}$ están bien 379 | definidas y son continuas. Entonces se verifican las siguientes afirmaciones: 380 | 381 | \begin{enumerate} 382 | \item La función $X \colon \to \R^d$ es $\mathcal{C}^1(\Omega)$. 383 | \item Existen las derivadas de segundo orden 384 | \[ \frac{\partial^2}{\partial t \partial t_0}X, \ \frac{\partial^2}{\partial t \partial x_0}X, \ 385 | \frac{\partial^2}{\partial t \partial \lambda}X\] y son continuas. 386 | \item Existen las derivadas de segundo orden 387 | \[ \frac{\partial^2}{\partial t_0 \partial t}X, \ \frac{\partial^2}{\partial x_0 \partial t}X, \ 388 | \frac{\partial^2}{\partial \lambda \partial t}X\] y son continuas. 389 | \end{enumerate} 390 | \end{theorem} 391 | 392 | \begin{ex} 393 | Consideremos el PVI con parámetros 394 | \[ 395 | \begin{cases} 396 | x' = x^2 - e^{\lambda x}; \\ 397 | x(2) = 1. 398 | \end{cases} 399 | \] 400 | 401 | Calcula $\frac{\partial}{\partial x_0}(t, 2, 1, 0)$, $\frac{\partial}{\partial t_0}(t, 2, 1, 0)$ y 402 | $\frac{\partial}{\partial \lambda}(t, 2, 1, 0)$. 403 | 404 | En primer lugar calculamos $X(t; 2,1,0)$. Esta solución es la constantemente $1$. Posteriormente, 405 | calculamos las parciales de $f$ que vienen dadas por 406 | \[ \frac{\partial}{\partial x}f = 2x - \lambda e^{\lambda x} \quad \text{y} \quad 407 | \frac{\partial}{\partial \lambda}f = - x e^{\lambda x}. \] Por consiguiente, tenmos que 408 | $A(t) = A(t; 2, 1, 0) = 2$ y $b(t) = b(t; 2,1,0) = -1$. Tenemos que 409 | $\frac{\partial}{\partial x_0}(t; 2,1,0)$ es solución de 410 | \[ 411 | \begin{cases} 412 | y' = 2y; \\ 413 | y(2) = 1. 414 | \end{cases} 415 | \] 416 | Obtenemos que $\frac{\partial}{\partial x_0}(t; 2,1,0) = \exp(2(t-2))$. Por otro lado, 417 | $\frac{\partial}{\partial t_0}X(t;2,1,0)$ es solución de 418 | \[ 419 | \begin{cases} 420 | y' = -2y; \\ 421 | y(2) = 0. 422 | \end{cases} 423 | \] 424 | Deducimos que $\frac{\partial}{\partial t_0}X(t;2,1,0) = 0$. Por último, sabemos que 425 | $\frac{\partial}{\partial \lambda}X(t; 2,1,0)$ es solución de 426 | \[ 427 | \begin{cases} 428 | y' = 2y -1;\\ 429 | y(2) = 0. 430 | \end{cases} 431 | \] 432 | Por el método de los coeficientes indeterminados sabemos que 433 | $\frac{\partial}{\partial \lambda}X(t; 2,1,0)$ es de la forma $K \exp(2(t-2)) + 1/2$. La condición 434 | inicial implica que $K = -1/2$. 435 | \end{ex} 436 | 437 | 438 | \subsection{Linealización de ecuaciones y aproximación de soluciones en entornos de puntos de 439 | equilibrio} 440 | 441 | 442 | En una ecuación escalar autónoma podemos aproximar $f$ mediante sus polinomios de Taylor con la 443 | esperanza de que las soluciones de la nueva EDO se parezcan a las soluciones de la anterior. En 444 | particular, podemos utilizar el polinomio de Taylor de grado uno con centro $p \in D$, obteniendo 445 | una ecuación lineal. Si $p$ es un punto de equilibrio de la ecuación original, entonces la nueva 446 | ecuación es homogénea y, por tanto, sabemos calcular fácilmente sus soluciones. 447 | 448 | \begin{definition} 449 | Sea $D \subset \R^d$ abierto, $f\colon D \to \R^d$ continua y $p \in A$ con $f(p) = 0$. La 450 | \emph{ecuación linealizada} de \eqref{eq:edo:ae} en $p$ es la EDO 451 | \begin{equation} 452 | \label{eq:linealizada} 453 | y' = \mathrm{J}_f(p)(y-p). 454 | \tag{L} 455 | \end{equation} 456 | \end{definition} 457 | 458 | En esta sección estudiamos las propiedades de \eqref{eq:edo:ae} a partir de su ecuación 459 | linealizada. A veces por conveniencia usaremos la notación $J_f(p) = f'(p)$. 460 | 461 | \begin{ex} 462 | Consideramos el sistema 463 | 464 | \begin{equation} 465 | \label{eq:linealizada:ex:1} 466 | \begin{cases} 467 | x_1' = x_2; \\ 468 | x_2' = -c x_2 - \sin(x_1). 469 | \end{cases} 470 | \end{equation} 471 | Nótese que $p = (\pi, 0)$ es un punto de equilibrio. La ecuación linealizada de 472 | \eqref{eq:linealizada:ex:1} es 473 | \begin{equation*} 474 | \label{eq:linealizada:ex:2} 475 | \begin{cases} 476 | y_1' = y_2; \\ 477 | y_2' = y_1 -c y_2 - \pi. 478 | \end{cases} 479 | \qedhere 480 | \end{equation*} 481 | \end{ex} 482 | 483 | Sabemos resolver las ecuaciones linealizadas mediante la exponecial de la matriz $J_f$. En efecto, 484 | la solución de \eqref{eq:linealizada} que verifica $y(t_0) = x_0$ es 485 | $\exp(J_f(p)(t-t_0)) (x_0-p) + p$. Podemos escribir $f(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + R(x)$. Usando el 486 | teorema de Taylor de orden 1 en la variable $x_0$ de la solución general deducimos que 487 | \[ X(t; t_0, x_0) = X(t; t_0, x_0) + \frac{\partial}{\partial x_0}X(t; t_0, x_0) (x_0-p) + R(t; t_0, 488 | x_0) = p + \exp(f'(p)(t-t_0)) (x_0- p) + R(t; t_0, x_0). \] Sabemos que $R(t; t_0, x_0)$ converge 489 | uniformemente a $0$ en compactos cuanto $x_0$ tiende a $p$. De ello deducimos que que 490 | $X(. ; t_0, x_0) - Y(.;t_0,x_0)$ converge uniformemente a $0$ cuando $x_0$ converge a $p$. 491 | 492 | %%% Local Variables: *** 493 | %%% mode:latex *** 494 | %%% TeX-master: "../df2.tex" *** 495 | %%% End: *** 496 | -------------------------------------------------------------------------------- /DifferentialEquations/auto/df2.el: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | (TeX-add-style-hook 2 | "df2" 3 | (lambda () 4 | (TeX-add-to-alist 'LaTeX-provided-package-options 5 | '(("graphicx" "demo"))) 6 | (TeX-run-style-hooks 7 | "latex2e" 8 | "article" 9 | "art10" 10 | "spanish" 11 | "template" 12 | "title1" 13 | "mathematics" 14 | "graphicx" 15 | "caption" 16 | "subcaption") 17 | (TeX-add-symbols 18 | '("importsection" 1) 19 | "doctitle" 20 | "docsubtitle" 21 | "subject" 22 | "docauthor" 23 | "docaddress" 24 | "docemail" 25 | "docabstract" 26 | "docrhead") 27 | (LaTeX-add-labels 28 | "eq:edo" 29 | "ex:ex" 30 | 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Andrés Herrera Poyatos 4 | 5 | Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy 6 | of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal 7 | in the Software without restriction, including without limitation the rights 8 | to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell 9 | copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is 10 | furnished to do so, subject to the following conditions: 11 | 12 | The above copyright notice and this permission notice shall be included in all 13 | copies or substantial portions of the Software. 14 | 15 | THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR 16 | IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, 17 | FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE 18 | AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER 19 | LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, 20 | OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE 21 | SOFTWARE. 22 | -------------------------------------------------------------------------------- /MathematicalsModels/auto/mm2.el: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | (TeX-add-style-hook 2 | "mm2" 3 | (lambda () 4 | (TeX-run-style-hooks 5 | "latex2e" 6 | "article" 7 | "art10" 8 | "spanish" 9 | "template" 10 | "title1" 11 | "mathematics") 12 | (TeX-add-symbols 13 | "doctitle" 14 | "docsubtitle" 15 | "subject" 16 | "docauthor" 17 | "docaddress" 18 | "docemail" 19 | "docabstract" 20 | "docrhead") 21 | (LaTeX-add-labels 22 | "ex:intro" 23 | "eq:ex:fdp" 24 | "eq:ex:fd" 25 | "eq:ex:edo" 26 | "item:candidatos" 27 | "sec:pv" 28 | "def:pv" 29 | "thm:fundamental-variaciones" 30 | "thm:el" 31 | "eq:el:fdp" 32 | "eq:el:fdp:2" 33 | "eq:el:fd" 34 | "eq:contorno:fdp" 35 | "eq:contorno:fdp:2" 36 | "eq:el:x" 37 | "eq:el:y" 38 | "thm:convex:minimo" 39 | "prop:convex:cond" 40 | "ex:contorno" 41 | "ex:no-sol" 42 | "ex:no-sol:2" 43 | "eq:edo:2" 44 | "eq:edo:sturm" 45 | "thm:pv:sturm" 46 | "lem:pc:hom" 47 | "eq:sturm:eh" 48 | "thm:sturm:pv" 49 | "prop:ml:ad" 50 | "thm:el:ri" 51 | "eq:1" 52 | "eq:ex:sl" 53 | "eq:sl:pc" 54 | "thm:sl" 55 | "item:sl:a" 56 | "item:sl:b" 57 | "item:sl:c" 58 | "eq:el:general" 59 | "ex:membrana" 60 | "eq:ondas:1" 61 | "eq:onda:dalembert" 62 | "eq:ondas:2" 63 | "eq:2" 64 | "eq:ondas:3" 65 | "thm:riesz" 66 | "eq:3" 67 | "thm:fourier:convergencia" 68 | "thm:fourier:convergencia:2" 69 | "thm:ondas:2" 70 | "eq:dirichlet" 71 | "eq:laplaciano:polares" 72 | "eq:laplaciano:radial" 73 | "eq:4" 74 | "eq:dirichlet:disco" 75 | "eq:dirichlet:disco:sep" 76 | "eq:dirichlet:disco:sep:2" 77 | "thm:green" 78 | "eq:green:soporte" 79 | "ex:der-debil:abs" 80 | "thm:fundamental-calculo" 81 | "thm:cota-h1" 82 | "thm:h1-norma" 83 | "thm:rep-riesz" 84 | "thm:riesz-lp" 85 | "thm:lax-milgram" 86 | "eq:lax-milgram" 87 | "eq:lax-milgram:pv" 88 | "eq:lax-milgram:cota" 89 | "eq:el:lax-milgram" 90 | "eq:pv:lax-milgram" 91 | "eq:el:2:lax-milgram" 92 | "eq:el:3:lax-milgram" 93 | "eq:ex:lax-milgram" 94 | "eq:ex:debil" 95 | "eq:5" 96 | "eq:bacteria" 97 | "eq:bacteria:simplificada" 98 | "eq:bacteria:norm" 99 | "eq:bacteria:adi" 100 | "eq:malthus" 101 | "eq:logistico" 102 | "eq:mov:1" 103 | "thm:divergencia" 104 | "eq:mov:2" 105 | "eq:mov:3" 106 | "eq:mov:4" 107 | "eq:mov:calor" 108 | "eq:calor:1" 109 | "thm:transformada" 110 | "item:fourier:inversa" 111 | "eq:calor:fourier" 112 | "eq:calor:4" 113 | "eq:calor:5" 114 | "eq:rea-dif" 115 | "eq:rea-dif:1" 116 | "eq:rea-dif:2" 117 | "eq:rea-dif:1:ad" 118 | "eq:rea-dif:2:ad" 119 | "eq:rea-dif:f:1" 120 | "eq:rea-dif:f:phi" 121 | "eq:rea-dif:2:phi" 122 | "eq:rea-dif:1:phi" 123 | "eq:rea-dif:1:phi:s")) 124 | :latex) 125 | 126 | -------------------------------------------------------------------------------- /MathematicalsModels/mm2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/andreshp/math-notes/c7fad750b871b7f5e60c12246beb91307e5bd23a/MathematicalsModels/mm2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # math-notes 2 | 3 | Apuntes de las asignaturas de matemáticas en la UGR. 4 | 5 | El código LaTeX sigue una licencia MIT mientras que el texto se licencia mediante CC-BY 4.0. 6 | -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/Sections/Exponencial.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 | % Author: Nuria Rodríguez Barroso, A. Herrera Poyatos 3 | % Tittle: Familia exponencial 4 | % Propiedades de la familia exponencial. Ejemplos 5 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6 | 7 | %!TEX root = ../inference.tex 8 | %!TEX language = es 9 | 10 | \section{La familia exponencial} 11 | 12 | En esta sección estudiamos una amplia familia de distribuciones, denominada la familia exponencial. Veremos que gran parte de las distribuciones que hemos estudiado hasta el momento pertenecen a esta familia. 13 | 14 | \begin{definition} 15 | Una variable aleatoria se distribuye respecto de una \emph{familia exponencial} si su función de distribución es de la forma 16 | \begin{equation} \label{eq:exponencial} 17 | f(x | \theta) = h(x) \exp\left(\sum^k_{i=1} \theta_i T_i(x) + \Psi (\theta)\right), 18 | \end{equation} 19 | donde $\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_k)$ y $h(x) \ge 0$, $\Psi(\theta)$, $T_1(x), \ldots, T_k(x)$ son funciones reales. 20 | \end{definition} 21 | 22 | Las familias exponenciales presentan características matemáticas y estadísticas muy convenientes. De estas características cabe destacar el siguiente resultado, que utiliza estadísticos suficientes introducidos en la Sección \ref{sec:estimacion:tge:sufi}. 23 | 24 | \begin{prop} \label{prop:exp:sufi} 25 | Sea $\{f(X | \theta): \theta \in \Theta\}$ una familia exponencial y sea una muestra $\utilde{X} = (X_1, \ldots, X_n)$. Entonces, $T(X) = (\sum_{j = 1}^n T_i(X_j))_{i = 1, \ldots, k}$ es un estadístico suficiente de dimensión $k$. 26 | \end{prop} 27 | \begin{proof} 28 | En efecto, utilizando \eqref{eq:exponencial} basta escribir $f(\utilde{x} | \theta)$ como sigue 29 | \begin{equation*} 30 | f(\utilde{x} | \theta) = \prod_{j=1}^n h(x_j) \exp\left(\sum^n_{j=1}\sum^k_{i=1} \theta_i T_i(x_j) + n\Psi(\theta)\right) = \prod_{j=1}^{n}h(x_j) \exp\left(\sum_{i=1}^{k}\theta_i \sum^n_{j=1} T_i(x_j) + n\Psi(\theta)\right). \qedhere 31 | \end{equation*} 32 | \end{proof} 33 | 34 | Nótese que la dimensión del estadístico suficiente encontrado no depende de la muestra. A continuación mostramos algunos ejemplos de familias exponenciales. 35 | 36 | \begin{ex}[Distribución binomial] \label{ex:exp:binom} 37 | La función masa de probabilidad de una distribución binomial con $n$ fijo puede escribirse como sigue 38 | \[f(x|p) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} = \binom{n}{x} \exp(x\log(p) + (n-x) \log(1-p)) = \binom{n}{x} \exp(x\log(\frac{p}{1-p}) + n \log(1-p)). \] 39 | La aplicación $f(p) = \log(\frac{p}{1-p}) = \log(\frac{1}{1-p} - 1)$ es una biyección de $(0,1)$ a $\mathbb{R}$. En este punto hacemos el cambio de variable $\theta = f(p)$. 40 | Hemos obtenido que la distribución binomial es una familia exponencial de parámetro $\theta$ con $h(x) = \binom{n}{x}$, $T_1(x) = x$ y $\Psi(\theta) = n \log(1 - f^{-1}(\theta))$. Según la Proposición \ref{prop:exp:sufi} un estadístico suficiente es $T(\utilde{X}) = \sum_{i = 1}^n X_i$ y, por tanto, la media muestral, $T(\utilde{X}) = \overline{X}$, es otro estadístico suficiente. 41 | \end{ex} 42 | 43 | En el ejemplo anterior hemos tenido que realizar un cambio de variable del espacio paramétrico para poder escribir la distribución de Bernoulli como una familia exponencial. El nuevo espacio paramétrico obtenido es el \emph{espacio paramétrico natural} de la familia. Para evitar trabajar con cambios de variables algunos autores definen las familias exponenciales como aquellas cuya función de desidad se puede escribir de la forma 44 | 45 | \begin{equation} \label{eq:exponencial:2} 46 | f(x | \theta) = h(x) \exp\left(\sum^k_{i=1} w_i(\theta) T_i(x) + \Psi(\theta)\right), 47 | \end{equation} 48 | donde $h(x) \ge 0$, $\Psi(\theta)$, $w_1(\theta), \ldots, w_k(\theta)$ y $T_1(x), \ldots, T_k(x)$ son funciones reales. En el Ejemplo \ref{ex:exp:binom} se tendría $w_1(p) = \log(\frac{p}{1-p})$ y $\Psi(p) = n \log(1-p)$. 49 | 50 | \begin{ex}[Distribución normal] \label{ex:exp:normal} 51 | La función de densidad de la distribución normal se puede escribir de la forma 52 | \[f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp\left(- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp\left(- \frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x\mu}{\sigma^2} - \frac{\mu^2}{2\sigma^2}\right)\] 53 | y, por tanto, es una familia exponencial con $h(x) = 1$, $\Psi(\mu, \sigma^2) = -\mu^2/ (2\sigma^2) - \log(\sqrt{2\pi} \sigma)$, $T_1(x) = -x^2/2$ y $T_2(x) = x$. 54 | El espacio paramétrico natural se corresponde con $(1/\sigma^2, \mu/\sigma^2)$. No obstante, utilizamos los parámetros $(\mu, \sigma^2)$ debido a la interpretación estadística de los mismos. 55 | 56 | Como consecuencia de la Proposición \ref{prop:exp:sufi} obtenemos que cualquier variable aleatoria siguiendo una distribución $N(x|\mu, \sigma^2)$ verifica que $T(\utilde{X}) = (\sum_{i= 1}^n X_i, \sum_{i = 1}^n X_i^2)$ es un estadístico suficiente. 57 | \end{ex} 58 | 59 | La mayoría de las distribuciones estudiadas hasta el momento forman una familia exponencial. La Tabla \ref{table:exponencial} muestra una lista de ejemplos. No obstante, no toda familia de distribuciones es exponencial, como sucede con las distribuciones uniformes. 60 | 61 | \begin{table}[H] 62 | \begin{center} 63 | \begin{tabular}{|l|l|l|} 64 | \hline 65 | DENSIDAD & NOTACIÓN & SOPORTE\\ 66 | \hline \hline 67 | $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp\left(- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ & $N(x|\mu, \sigma^2)$ & $\mathbb{R}$ \\ 68 | \hline 69 | $\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha - 1}e^{\frac{-x}{\beta}}$ & $ Gamma(x|\alpha,\beta)$ & $(0,\infty) $\\ \hline 70 | $\frac{1}{\Gamma(\frac{p}{2})2^{\frac{p}{2}}}x^{\frac{p}{2} - 1}e^{\frac{-x}{2}}$ & $\chi^2$ con p grados de libertad & $(0,\infty) $ \\ \hline 71 | $\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x ^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}$ & $Beta(x| \alpha, \beta)$ & $(0,1)$ \\ \hline 72 | $\binom{n}{x} \theta ^x (1-\theta)^{n-x}$ & $B(x|\theta, n)$ & ${0,1, \ldots , n}$ \\ \hline 73 | $\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ & $P(x|\lambda)$ & ${0,1, \ldots , n}$ \\ \hline 74 | \end{tabular} 75 | \end{center} 76 | \caption{Ejemplos de familias exponenciales.} 77 | \label{table:exponencial} 78 | \end{table} 79 | -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/Sections/Hipotesis.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 | % Author: A. Herrera Poyatos 3 | % Tittle: Tests de hipótesis 4 | % Capítulo sobre tests de hipótesis de los apuntes de 5 | % inferencia estadística. 6 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 7 | 8 | %!TEX root = ../inference.tex 9 | %!TEX language = es 10 | 11 | \section{Tests de hipótesis} 12 | 13 | En la Sección \ref{sec:estimacion} se estudió el problema de estimación de parámetros. En este capítulo se estudiará otro problema clásico de la inferencia, los tests de hipótesis. 14 | 15 | \begin{definition} 16 | Sea $\{f(X|\theta): \theta \in \Theta\}$ una familia de distribuciones. Supongamos que una variable aleatoria sigue una distribución $f(X|\theta)$ con $\theta \in \Theta$. Una hipótesis es una afirmación $\theta \in \Theta_0$, donde $\Theta_0$ es un subconjunto de $\Theta$. Una hipótesis es simple si es de la forma $\theta \in \{\theta_0\}$ para cierto $\theta_0 \in \Theta$. En tal caso se escribe $\theta = \theta_0$. Si una hipótesis no es simple, entonces decimos que es compuesta. Además, dos hipótesis $\theta \in \Theta_0$ y $\theta \in \Theta_1$ son excluyentes si $\Theta_0$ y $\Theta_1$ son disjuntos. 17 | \end{definition} 18 | 19 | El objetivo de los tests de hipótesis es, dadas dos hipótesis excluyentes, aceptar una de las dos hipótesis como verdadera tras observar una muestra de tamaño $n$, donde $n$ es un entero positivo fijado de antemano. Esta acción se denomina contrastar dos hipótesis. Generalmente el tratamiento de las dos hipótesis no es simétrico, esto es, una de las dos hipótesis tiene preferencia sobre la otra y solo será rechazada cuando la evidencia en su contra sea muy clara. Esta hipótesis se llama hipótesis nula, mientras que la otra hipótesis se denomina hipótesis alternativa. Las denotamos $H_0: \theta \in \Theta_0$ y $H_1: \theta \in \Theta_1$ respectivamente (recordemos que $\Theta_0 \cap \Theta_1 = \emptyset$). 20 | 21 | El contraste de hipótesis surge de forma natural en multitud de ciencias e ingenierías. Por ejemplo, supongamos que estamos estudiando cómo afecta un determinado medicamento a la presión sanguínea de los pacientes. Queremos corroborar que el medicamento no tiene ningún efecto sobre la presión, hecho que es nuestra hipótesis nula. Sea $\theta$ la variación media de la presión de los pacientes al tomar el medicamento. Esta situación puede representarse como $H_0: \theta = 0$ y $H_1: \theta \ne 0$. Tras tomar muestras en varios pacientes tendremos que decidir cuál de las dos hipótesis aceptamos. Otro ejemplo puede ser el estudio de la proporción media de piezas defectuosas que fabrica una empresa, que denotamos $\theta$. Sea $\theta_0$ el máximo valor aceptable que puede alcanzar esa proporción. Queremos combrobar si la proporción de piezas defectuosas es menor o igual que $\theta_0$, lo que se puede representar mediante las hipótesis $H_0: \theta \le \theta_0$ y $H_1: \theta > \theta_0$. Habitualmente no es factible probar cada una de las piezas y, por tanto, tenemos que hacer inferencia a partir de una muestra. En ambos problemas $\theta$ debe ser el parámetro de una distribución. Por ejemplo, podríamos utilizar una distribución normal de media $\theta$. 22 | 23 | Nótese que en los dos ejemplos anteriores el espacio paramétrico es unión disjunta de $\Theta_0$ y $\Theta_1$. Podemos suponer que siempre se da esta situación. En efecto, el espacio paramétrico siempre se puede restringir a $\Theta_0 \cup \Theta_1$. En este contexto la hipótesis alternativa es la hipótesis complementaria a la hipótesis nula. 24 | 25 | \begin{definition} 26 | Consideremos una muestra aleatoria simple $\utilde{X} = (X_1, \dots, X_n)$ de $X$. Un test de hipótesis es una regla que permite dividir el espacio muestral de $\utilde{X}$ en dos subconjuntos medibles disjuntos. Estos conjuntos se corresponden con aquellas muestras que aceptan la hipótesis nula como cierta (región de aceptación) y aquellas muestras que rechazan la hipótesis nula y aceptan la hipótesis alternativa (región crítica). 27 | \end{definition} 28 | 29 | De aquí en adelante supondremos que $n$ está fijado de antemano. Además, supondremos que la región crítica se corresponde con la imagen inversa de un boreliano, esto es, es de la forma $\utilde{X} \in R$ con $R \in \mathcal{B}^n$ ya que el resto de casos no tiene interés práctico. En ocasiones podremos expresar la región crítica en términos de un estadístico $T(X_1, \ldots, X_n)$. Por ejemplo, este estadístico puede ser la media de la muestra y la región crítica aquellas muestras con media mayor que un determinado valor. 30 | 31 | \subsection{Errores de los tests de hipótesis} 32 | 33 | Consideremos un test de hipótesis con región crítica $\utilde{X} \in R$. En dicho test podemos cometer dos tipos de errores: 34 | 35 | \begin{itemize} 36 | \item \textbf{Error de tipo 1.} Rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. Si $\theta \in \Theta_0$, entonces la probabilidad de cometer un error de tipo 1 es $P_\theta(\utilde{X} \in R)$. 37 | \item \textbf{Error de tipo 2.} Rechazar la hipótesis alternativa cuando es cierta. Si $\theta \in \Theta_0^c$, entonces la probabilidad de cometer un error de tipo 2 es $P_\theta(\utilde{X} \in R^c)$. 38 | \end{itemize} 39 | 40 | \begin{definition} 41 | En el contexto actual, se define la función de potencia del test de hipótesis como 42 | \[\eta(\theta) = P_\theta(\utilde{X} \in R) = \begin{cases} \text{Probabilidad de cometer un error de tipo 1} & \text{ si } \theta \in \Theta_0; \\ \text{1 - Probabilidad de cometer un error de tipo 2} & \text{ si } \theta \in \Theta_0^c. \\ \end{cases}\] 43 | \end{definition} 44 | 45 | Nuestro objetivo es desarrollar tests de hipótesis tales que la probabilidad de cometer errores de tipo 1 y tipo 2 sea lo más pequeña posible para cualquier valor de $\theta$. Esto es, queremos minimizar $\eta$ en $\Theta_0$ y maximizar $\eta$ en $\Theta_0^c$. Por tanto, la función de potencia ideal es aquella que toma el valor $0$ en $\Theta_0$ y el valor $1$ en $\Theta_0^c$. Esta función solo se obtiene en situaciones triviales. Generalmente obtendremos funciones potencia mucho más complejas. Nótese que si reducimos la región crítica de un test, entonces disminuye la probabilidad de cometer un error de tipo 1 pero aumenta la probabilidad de cometer un error de tipo 2. Consecuentemente, encontrar una región crítica apropiada no es una tarea sencilla. 46 | 47 | Recordemos que la hipótesis nula generalmente tiene preferencia frente a la hipótesis alternativa. Por tanto, el error de tipo 1 es más grave que el error de tipo 2. Para asegurarnos que se respeta esta preferencia podemos buscar tests de hipótesis que garanticen que la probabilidad de cometer un error de tipo 1 es menor que un valor $\alpha$ fijado de antemano. 48 | 49 | \begin{definition} 50 | Un test de hipótesis es de tamaño $\alpha \in [0,1]$ si $\sup\{\eta(\theta): \theta \in \Theta_0\} = \alpha$. 51 | \end{definition} 52 | 53 | \begin{definition} 54 | Un test de hipótesis tiene nivel de significación $\alpha \in [0,1]$ si $\eta(\theta) \le \alpha$ para todo $\theta \in \Theta_0$. 55 | \end{definition} 56 | 57 | Si nos restringimos a estudiar los tests de tamaño $\alpha$, entonces nuestro objetivo se reduce a buscar entre todos estos tests aquel que minimice la probabilidad de cometer un error de tipo 2. Este hecho queda formalizado en la siguiente definición. 58 | 59 | \begin{definition} 60 | Considérese un test con función potencia $\eta$. Decimos que es un test uniformemente más potente de tamaño $\alpha$ (resp. de nivel de significación $\alpha$) si para cualquier otro test de tamaño $\alpha$ (resp. de nivel de significación $\alpha$) con función potencia $\eta'$ se verifica $\eta(\theta) \ge \eta'(\theta)$ para todo $\theta \in \Theta_0^c$. Habitualmente abreviaremos uniformemente más potente por UMP. 61 | \end{definition} 62 | 63 | En lo que sigue buscaremos obtener los tests UMP de tamaño $\alpha$ en caso de que sea posible. Cabe decir que en la práctica se utilizan valores de $\alpha$ pequeños, como $0.01$, $0.05$ o $0.1$. 64 | 65 | \subsection{Tests de Neyman-Pearson} 66 | 67 | En esta sección estudiamos cuáles son los tests UMP de tamaño y significación $\alpha$ para contrastar dos hipótesis simples. Esta cuestión es resuelta por el Lema de Neyman-Pearson. %Además, utilizaremos estos resultados para obtener tests UMP que contrasten hipótesis compuestas. 68 | 69 | \begin{thm}[Lema de Neyman-Pearson] \label{thm:np:1} 70 | Supóngase que se desea contrastar dos hipótesis simples, $H_0 : \theta = \theta_0$ y $H_1 : \theta = \theta_1$. Para $k \in \mathbb{R}^+_0$ consideramos la región crítica 71 | \[C_k = \left\{\utilde{x}: \frac{L(\theta_1;\utilde{x})}{L(\theta_0;\utilde{x})} \ge k\right\}.\] 72 | Sea $\alpha = P_{\theta_0}(C_k)$. Entonces, el test de región crítica $C_k$ es un test UMP de significación $\alpha$. Además, cualquier test UMP de significación $\alpha$ es de tamaño $\alpha$ y su región crítica $C'$ verifica $\{\utilde{x}: L(\theta_1;\utilde{x}) > k L(\theta_0;\utilde{x})\} \subset C' \subset C_k$ salvo a lo sumo un subconjunto de probabilidad nula. 73 | \end{thm} 74 | \begin{proof} 75 | En primer lugar, nótese que el test dado por $C_k$ es de tamaño $\alpha$ ya que $\sup\{ \eta(\theta) : \theta \in \Theta_0\} = \eta(\theta_0) = \alpha$. Consideremos otro test de significación $\alpha$ cuya función potencia es $\eta'$ y su región crítica es $C'$ y veamos que $\eta'(\theta_1) \le \eta(\theta_1)$. Por distinción de casos es fácil razonar que para cualquier muestra $x$ se verifica 76 | \begin{equation} \label{eq:np:desigualdad} 77 | (1_{C_k}(\utilde{x})-1_{C'}(\utilde{x})) (L(\theta_1; \utilde{x}) - k L(\theta_0; \utilde{x})) \ge 0, 78 | \end{equation} 79 | donde $1_A$ denota la función indicadora del conjunto $A$. Integrando la desigualdad \eqref{eq:np:desigualdad} obtenemos 80 | \begin{equation} \label{eq:np:desigualdad:2} 81 | 0 \le \int(1_{C_k}(\utilde{x})-1_{C'}(\utilde{x})) (L(\theta_1; \utilde{x}) - k L(\theta_0; \utilde{x})) \, d\utilde{x} = \eta(\theta_1) - \eta'(\theta_1) - k (\eta(\theta_0) - \eta'(\theta_0)). 82 | \end{equation} 83 | Aplicando $\eta(\theta_0) - \eta'(\theta_0) = \alpha - \eta'(\theta_0) \ge 0$ a \eqref{eq:np:desigualdad:2} deducimos que $0 \le \eta(\theta_1) - \eta'(\theta_1)$ como se quería. Por último, si un test de significación $\alpha$ con función potencia $\eta'$ y región crítica $C'$ es UMP, entonces $\eta(\theta_1) = \eta'(\theta_1)$ y, por tanto, la desigualdad \eqref{eq:np:desigualdad:2} nos indica que $0 \le -k(\eta(\theta_0) - \eta'(\theta_0)) \le 0$, esto es, $\eta'(\theta_0) = \eta(\theta_0) = \alpha$. Puesto que la hipótesis es simple hemos obtenido que el test asociado a $C'$ tiene tamaño $\alpha$. Consecuentemente, en \eqref{eq:np:desigualdad:2} se da la igualdad, cosa que solo puede suceder si la función no negativa a integrar es constantemente 0 salvo en un conjunto de probabilidad nula. La prueba finaliza al darse cuenta de que este hecho equivale a que $\{x: L(\theta_1;\utilde{x}) > k L(\theta_0;\utilde{x})\} \subset C' \subset C_k$ salvo en un subconjunto de probabilidad nula. 84 | \end{proof} 85 | 86 | En el Teorema \ref{thm:np:1} el valor de $\alpha$ se determina al seleccionar una región crítica $C_k$. La cuestión que uno se hace en este punto es si para cualquier $\alpha \in [0,1]$ existe $k_\alpha$ tal que $\alpha = P_{\theta_0}(C_{k_\alpha})$. En tal caso podríamos encontrar tests más potentes para cualquier tamaño o significación $\alpha$, que es el valor que nosotros queremos fijar de antemano. La respuesta a esta pregunta es negativa. En efecto, basta con considerar distribuciones discretas ya que para estas distribuciones no podemos asegurar que el valor $\alpha$ sea suma de los valores de la función masa de probabilidad. Por ejemplo, en una distribución binomial $B(x|\theta,n)$ con $\theta$ racional no se puede alcanzar el tamaño $\alpha = 1 / \pi$, que es irracional. No obstante, este problema desaparece en el caso de las distribuciones continuas como muestra el siguiente corolario del Lema de Neyman-Pearson. 87 | 88 | \begin{cor}[Lema de Neyman-Pearson para distribuciones continuas] \label{cor:np:cont} 89 | Sea $\{f(x|\theta): \theta \in \Theta\}$ una familia de distribuciones continuas para la cual se desean contrastar dos hipótesis simples, $H_0 : \theta = \theta_0$ y $H_1 : \theta = \theta_1$. Supongamos además que las funciones de densidad $f(x|\theta_0)$ y $f(x|\theta_1)$ coinciden a lo sumo en un subconjunto de medida nula y tienen el mismo soporte. Entonces, para cada $\alpha \in [0,1]$ existe $k_\alpha \in \mathbb{R}^+_0$ tal que el test dado por la región crítica 90 | \[C_{k_\alpha} = \left\{\utilde{x}: \frac{L(\theta_1;\utilde{x})}{L(\theta_0;\utilde{x})} \ge k_\alpha\right\}\] 91 | es UMP de tamaño $\alpha$. 92 | \end{cor} 93 | \begin{proof} 94 | Gracias al Lema de Neyman-Pearson la prueba se reduce a comprobar que existe $k_\alpha$ tal que $\alpha = P_{\theta_0}(C_k)$. En efecto, la continuidad de las funciones de densidad nos asegura que la función $f(x| \theta_1) / f(x| \theta_0)$ es continua. Definimos $\varphi: [0,1] \to [0,1]$ dada por 95 | \[\varphi(k) = P_{\theta_0}\left[\frac{L(\theta_1;\utilde{X})}{L(\theta_0;\utilde{X})} \ge k\right].\] 96 | Esta función es continua y verifica $\varphi(0) = 1$ y $\lim_{k \to \infty} \varphi(k) = 0$. El resultado es consecuencia del teorema del valor intermedio aplicado a $\varphi$. 97 | \end{proof} 98 | 99 | Los tests proporcionados por el lema de Neyman-Pearson se conocen como tests de Neyman-Pearson. Los estadísticos suficientes son de especial ayuda al aplicar este tipo de tests. En efecto, si $T$ es un estadístico suficiente y $h(t | \theta)$ es su función de densidad, entonces 100 | \[\frac{L(\theta_1;\utilde{x})}{L(\theta_0;\utilde{x})} = \frac{h(T(\utilde{x}) | \theta_1)}{h(T(\utilde{x}) | \theta_0)}.\] 101 | Por tanto, podemos calcular la región crítica del test simplemente conociendo el estadístico suficiente y su distribución. Esta observación hace que los cálculos sean más sencillos. 102 | 103 | A continuación estudiamos varios ejemplos de los tests de Neyman-Pearson. 104 | 105 | \begin{ex}[Distribución normal de varianza conocida] \label{ex:np:1} 106 | Consideramos una variable aleatoria $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, donde $\sigma^2$ es conocido. Vamos a contrastar las hipótesis $H_0 : \mu = \mu_0$ y $H_1 : \mu = \mu_1$ con $\mu_1 > \mu_0$. A priori uno intuye que habrá que rechazar $H_0$ cuando la media muestral $\overline{x}$ se encuentre más cerca de $\mu_1$ que de $\mu_0$. Veamos que el test de Neyman-Pearson sigue esta intuición. 107 | 108 | Recordemos que en el Ejemplo \ref{ex:sufi:normal:media} se demostró que la media muestral $\overline{X}$ es un estadístico suficiente de cualquier distribución normal de varianza conocida. Además, obtuvimos que $\overline{X} \sim N(\mu, \sigma^2 / n)$. Esta observación permite calcular la región crítica del test de Neyman-Pearson con facilidad. En efecto, 109 | \[\frac{L(\mu_1;\utilde{x})}{L(\mu_0;\utilde{x})} = \exp\left(-\frac{(\overline{x} - \mu_1)^2 - (\overline{x} - \mu_0)^2}{2\sigma^2/n}\right) = \exp\left(-\frac{\mu_1^2 - \mu_0^2 + 2\overline{x}(\mu_0-\mu_1)}{2\sigma^2/n}\right).\] 110 | Como consecuencia, obtenemos que $L(\mu_1;\utilde{x}) / L(\mu_0;\utilde{x}) \ge k$ si, y solo si, 111 | \[\overline{x} \ge \frac{\mu_0+\mu_1}{2} + \frac{\sigma^2 \log k}{n(\mu_1 - \mu_0)} = A_k.\] 112 | Dado $\alpha \in [0,1]$ buscamos $k_\alpha \in \mathbb{R}^+_0$ tal que $P_{\mu_0}(\overline{X} \ge A_{k_\alpha}) = \alpha$. Esta ecuación podemos resolverla para valores concretos de $\alpha$. Bajo $H_0$ tenemos $\overline{X} \sim N(\mu_0, \sigma^2 / n)$ y, por tanto, sabemos que $A_{k_\alpha} = \mu_0 + z_\alpha \sigma / \sqrt{n}$, donde $z_\alpha$ verifica $F(z_\alpha) = 1 - \alpha$ para la función de distribución $F$ de $N(0,1)$. Los valores $z_\alpha$ que más se utilizan aparecen habitualmente en las tablas de la distribución normal. También se pueden calcular mediante un ordenador. 113 | 114 | Por ejemplo, supongamos que $\mu_0 = 0$, $\mu_1 = 1$, $\sigma = 1$ y $\alpha = 0.05$. Además, consideremos que se toman muestras de tamaño $n = 100$. En este caso tenemos que $z_\alpha = 1.645$. Por tanto, $A_{k_\alpha} = z_\alpha / \sqrt{100} = 0.1645$. Esto es, rechazaremos la hipótesis $H_0$ si $\overline{x} \ge 0.1645$. 115 | 116 | Habitualmente se denota $Z = \sqrt{n} (\overline{X} - \mu_0) / \sigma$. Bajo $H_0$ esta variable sigue la distribución $N(0,1)$. El test que hemos obtenido nos dice que rechazaremos $H_0$ cuando $z = \sqrt{n} (\overline{x} - \mu_0) / \sigma \ge z_\alpha$. Debido al uso del estadístico $Z$ este test se conoce comúnmente como \emph{test Z}. En este caso, $z = 10 \overline{x}$. 117 | \end{ex} 118 | 119 | 120 | \subsection{Descripción de un test mediante p-valores} 121 | 122 | En el Ejemplo \ref{ex:np:1} hemos realizado el test para un determinado valor de $\alpha$, obteniendo una desigualdad que nos indica si aceptamos o rechazamos la hipótesis nula en función de la muestra. No obstante, algunas muestras tienen más evidencia en su contra que otras. %Si reducimos el valor de significación del tests, entonces aceptaremos muestras con mayor evidencia en contra de la hipótesis nula. 123 | Por tanto, a la hora de realizar un test es conveniente obtener un indicador de la evidencia que tiene una muestra en contra de la hipótesis nula. En este punto entran en juego los p-valores. 124 | 125 | \begin{definition} 126 | En un contraste de hipótesis un p-valor $p(\utilde{X})$ es un estadístico que verifica $0 \le p(\utilde{x}) \le 1$ para cualquier punto $\utilde{x}$ del espacio muestral. Un p-valor es válido si para cualquier $\theta \in \Theta_0$ y $\alpha \in [0,1]$ se tiene $P_\theta(p(\utilde{X}) \le \alpha) \le \alpha.$ 127 | \end{definition} 128 | 129 | A patir de un p-valor válido $p(\utilde{X})$ podemos construir un test con nivel de significación $\alpha$ para cualquier $\alpha \in [0,1]$. Este test rechaza $H_0$ si y solo si $p(\utilde{X}) \le \alpha$. 130 | 131 | \begin{definition} 132 | Supongamos que un test de hipótesis se puede formular para cualquier nivel de significación $\alpha$. Sea $p(\utilde{X})$ un p-valor válido. Decimos que el test es descrito por el p-valor $p(\utilde{X})$ si, y solo si, la región crítica del test con significación $\alpha$ es $\left[p(\utilde{X}) \le \alpha\right]$. 133 | \end{definition} 134 | 135 | En un test descrito por un p-valor podemos elegir el valor de $\alpha$ que consideremos apropiado y simplemente compararlo con $p(\utilde{x})$ para saber cuál es el resultado del test. Nótese que valores pequeños de $p(\utilde{X})$ dan evidencia de que $H_1$ es cierta y, por tanto, el p-valor mide la evidencia a favor de la hipótesis nula. Por tanto, realizar un test descrito por un p-valor es más informativo que simplemente elegir entre ``aceptar $H_0$'' o ``rechazar $H_0$''. 136 | 137 | El siguiente resultado nos informa sobre cómo construir un p-valor válido. 138 | 139 | \begin{thm}[{\cite[Teorema 8.3.27]{casella}}] \label{thm:p-valor} 140 | Consideramos el contraste de hipótesis dado por $H_0: \theta \in \Theta_0$ y $H_1: \theta \in \Theta_1$. Sea $W(\utilde{X})$ un estadístico. Entonces, la función 141 | \[p(\utilde{x}) = \sup\{P_\theta(W(\utilde{X}) \ge W(\utilde{x})): \theta \in \Theta_0\}\] 142 | es un p-valor válido. 143 | \end{thm} 144 | %\begin{proof} 145 | % La prueba se reduce a aplicar la definición de p-valor. En efecto, el p-valor es igual a 146 | % \[\sup\{\alpha: W(\utilde{x}) \ge c_\alpha\} = \sup\{P_\theta(W(\utilde{X}) \ge W(\utilde{x})): \theta \in \Theta_0\}. \qedhere\] 147 | %\end{proof} 148 | 149 | La pregunta que uno se hace en este punto es, dado un test que se puede formular para cualquier valor de $\alpha$, cómo obtener un p-valor que lo describa. Esto no va a ser siempre factible ya que habrá regiones críticas que no sepamos o no se puedan escribir de la forma $\left[p(\utilde{X}) \le \alpha\right]$. No obstante, en múltiples casos prácticos sí es posible como muestra el siguiente resultado. %El siguiente resultado proporciona el p-valor de los tests de Neyman-Pearson. 150 | 151 | \begin{thm} \label{thm:p-valor:2} 152 | Sea $W(\utilde{X})$ un estadístico. Supongamos que para cada $\alpha \in [0,1]$ disponemos de un test de hipótesis de tamaño $\alpha$ cuya región crítica es $W(\utilde{X}) \ge k_\alpha$ para cierta constante $k_\alpha$. Entonces, el test se puede describir a partir del p-valor 153 | \[p(\utilde{x}) = \sup\{P_{\theta}\left(W(\utilde{X}) \ge W(\utilde{x})\right): \theta \in \Theta_0\}.\] 154 | \end{thm} 155 | \begin{proof} 156 | Nótese que $p(\utilde{x})$ es un p-valor gracias al Teorema \ref{thm:p-valor}. Sea $\alpha \in [0,1]$ y sea $k_\alpha$ como en el enunciado. Tenemos que $p(\utilde{x}) = \sup\{P_{\theta}\left(W(\utilde{X}) \ge k_\alpha)\right): \theta \in \Theta_0\} \le \alpha$ si, y solo si, para cada $\theta \in \Theta_0$ se tiene 157 | \[P_{\theta}\left(W(\utilde{X}) \ge W(\utilde{x})\right) \le P_{\theta}\left(W(\utilde{X}) \ge k_\alpha\right) ,\] 158 | esto es, $W(\utilde{x}) \ge k_\alpha$. 159 | \end{proof} 160 | 161 | \begin{cor} \label{cor:p-valor:np} 162 | Consideremos un test de Neyman-Pearson con función de densidad continua. Entonces, el test se puede describir a partir del p-valor 163 | \[p(\utilde{x}) = P_{\theta_0}\left(\frac{L(\theta_1;\utilde{X})}{L(\theta_0;\utilde{X})} \ge \frac{L(\theta_1;\utilde{x})}{L(\theta_0;\utilde{x})}\right). \] 164 | \end{cor} 165 | 166 | El p-valor que hemos construido en el Teorema \ref{thm:p-valor:2} otorga a una muestra $\utilde{x}$ evidencia contra la hipótesis nula cuando el valor de $W(\utilde{x})$ es muy alto. El valor obtenido al aplicar este p-valor a una muestra puede interpretarse como la probabilidad de observar una muestra que sea tan poco favorable a la hipótesis nula como ella. Esto es lo que sucede en el Corolario \ref{cor:p-valor:np}, donde el p-valor es efectivamente una probabilidad. Algunos usuarios de los tests de hipótesis interpretan el p-valor como la probabilidad de que la hipótesis nula sea falsa para la muestra obtenida. Esto es erróneo y en ningún momento deberíamos utilizar esta interpretación. En la Sección \ref{sec:bayes} estudiaremos tests de hipótesis desde el punto de vista bayesiano. En estos tests sí obtendremos probabilidades de que la hipótesis nula sea cierta o no. 167 | 168 | \begin{ex}[Continuación del Ejemplo \ref{ex:np:1}] 169 | Recordemos que obtuvimos que la región crítica del test Z está determinada por $\overline{X} \ge A_{k_\alpha}$. Por tanto, el Teorema \ref{thm:p-valor:2} nos dice que el p-valor del test es $p(\utilde{x}) = P_{\mu_0}(\overline{X} \ge \overline{x})$. También probamos que podemos describir la región crítica en términos de la variable $Z$. De hecho, $P_{\mu_0}(\overline{X} \ge \overline{x}) = P_{\mu_0}(Z \ge \sqrt{n}(\overline{x} - \mu_0)/\sigma)$, lo que nos permite calcular los p-valores gracias a que $Z \sim N(0,1)$. 170 | 171 | Veamos un ejemplo numérico. Los datos son los mismos que los del Ejemplo \ref{ex:np:1}. Supongamos que tras observar una muestra con $n = 100$ hemos obtenido $\overline{x} = 0.2$. Entonces, $p(\utilde{x}) = P_{\mu_0}(Z \ge 2) = 1 - F(2) = 1 - 0.9772 = 0.0328$, donde $F$ es la función de distribución de N(0,1). Por tanto, rechazaremos la hipótesis nula para cualquier nivel de significación mayor que $0.0328$. 172 | \end{ex} 173 | 174 | \subsection{Tests de la razón de verosimilitud} 175 | 176 | En esta sección estudiamos los tests de la razón de la verosimilitud, que están íntimamente ligados con los estimadores máximo verosímiles. Además, veremos que en el caso de hipótesis simples estos tests coinciden con el test de Neyman-Pearson. 177 | 178 | \begin{definition} 179 | Considérese una hipótesis $H : \theta \in \Theta_0$. El ratio de verosimilitud de $H$ para la muestra $\utilde{x}$ es 180 | \[\lambda(\utilde{x}) = \frac{\sup\{L(\theta;\utilde{x}): \theta \in \Theta_0\}}{\sup\{L(\theta;\utilde{x}): \theta \in \Theta\}}. \] 181 | Fijado un contraste de hipótesis, $H_0 : \theta \in \Theta_0$ y $H_1 : \theta \in \Theta_1$, un test de la razón de verosimilitud es cualquier test cuya región crítica sea de la forma $\{\utilde{x} : \lambda(\utilde{x}) \le c\}$, donde $0 \le c \le 1$. 182 | \end{definition} 183 | 184 | Para motivar la definición de este tipo de test, supongamos que estamos trabajando con distribuciones discretas. En tal caso, tanto el numerador como el denominador de $\lambda(\utilde{x})$ se corresponden con la máxima probabilidad posible de la muestra $\utilde{x}$ si variamos $\theta$ en $\Theta_0$ y $\Theta$ respectivamente. Si el cociente de ambos valores es pequeño ($\lambda(\utilde{x}) \le c$), entonces es razonable rechazar la hipótesis nula puesto que hay elementos de $\Theta_0^c$ para los cuales la muestra es más probable. 185 | 186 | Supongamos ahora que existen los estimadores máximo verosímiles de $\theta_0$ en $\Theta_0$ y $\Theta$. Denotamos a estos estimadores $\hat{\theta_0}(x)$ y $\hat{\theta}(x)$ respectivamente. Entonces, $\lambda(\utilde{x}) = L(\hat{\theta_0}(x);\utilde{x}) / L(\hat{\theta}(x);\utilde{x})$. El test de la razón de verosimilitud nos dice que rechazaremos la hipótesis nula cuando $\hat{\theta}(x)$ tenga una credibilidad considerablemente mayor que la de $\hat{\theta_0}(x)$, esto es, $\hat{\theta}(x)$ es mucho mejor estimador. Como caso particular, si a partir de una muestra $x$ hemos realizado una estimación de $\theta$ mediante un estimador máximo verosímil $\hat{\theta}$, entonces todo test de la razón de verosimilitud acepta la hipótesis $H_0: \theta = \hat{\theta}$ para la muestra $x$. Esto es, la filosofía de los tests de la razón de verosimilitud es coherente con la filosofía de los estimadores máximo verosímiles. 187 | 188 | \begin{ex}[\textbf{Test t de Student} -- distribución normal con $\mu$ y $\sigma^2$ desconocidos] 189 | Consideramos una variable $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ con $\mu$ y $\sigma^2$ desconocidos y buscamos contrastar las hipótesis $H_0: \mu = \mu_0$ y $H_1: \mu \ne \mu_0$ aplicando el test de la razón de verosimilitud. Esto es, el parámetro es $\theta = (\mu, \sigma^2)$, $\Theta = \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+$ y $\Theta_0 = \{0\}\times\mathbb{R}^+$. Este test se denomina test t de Student. 190 | 191 | Tenemos que calcular $\lambda(\utilde{x})$ para cualquier muestra $\utilde{x}$. Recordemos que en el Ejemplo \ref{ex:sufi:normal:2} se demostró que la función de verosimilitud en este contexto responde a 192 | \[L(\mu, \sigma; \utilde{x}) = (2 \pi \sigma^2)^{-n/2} \exp\left(\frac{-1}{2 \sigma^2} \sum_{i = 1}^n (x_i - \mu)^2\right) = (2 \pi \sigma^2)^{-n/2} \exp\left(\frac{-1}{2 \sigma^2} ((n-1)S^2 + n(\overline{x}-\mu))\right),\] 193 | donde $S^2$ es la varianza muestral. En primer lugar calculamos 194 | \[\lambda_0(\utilde{x}) = \sup\{L(\theta;\utilde{x}): \theta \in \Theta_0\} = \sup\{L(\mu_0, \sigma^2;\utilde{x}): \sigma^2 \in \mathbb{R}^+\}.\] 195 | Es fácil ver que el estimador máximo verosímil de la varianza de una normal con media conocida $\mu_0$ es $\hat{\sigma}_0^2(\utilde{x}) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (x_i - \mu_0)^2$. Por tanto, obtenemos 196 | \[\lambda_0(\utilde{x}) = L(\mu_0, \hat{\sigma}_0^2; \utilde{x}) = (2 \pi \hat{\sigma}_0^2)^{-n/2} \exp(-n / 2).\] 197 | Por otro lado, en el caso de una normal con media y varianza desconocida el estimador máximo verosímil $\hat{\theta} = (\hat{\mu}, \hat{\sigma}^2)$ viene dado por $\hat{\mu}(\utilde{x}) = \overline{x}$ y $\hat{\sigma}^2(\utilde{x}) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x})^2 = (n-1)S^2/n$. Por tanto, obtenemos 198 | \[\lambda_1(\utilde{x}) = \sup\{L(\theta;\utilde{x}): \theta \in \Theta\} = (2 \pi \hat{\sigma}^2)^{-n/2} \exp(-n / 2).\] 199 | El ratio de verosimilitud de $H_0$ es 200 | \begin{equation} \label{eq:lrt:normal} 201 | \begin{split} 202 | \lambda(\utilde{x}) = \frac{\lambda_0(\utilde{x})}{\lambda_1(\utilde{x})} = \left(\frac{\hat{\sigma}_0^2}{\hat{\sigma}^2}\right)^{-n/2} = \left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (x_i - \mu_0)^2}{(n-1)S^2/n}\right)^{-n/2} = \\ \left(\frac{\sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x})^2 + n(\overline{x} - \mu_0)^2}{(n-1)S^2}\right)^{-n/2} = 203 | \left(1 + \frac{t^2}{n-1}\right)^{-n/2}, 204 | \end{split} 205 | \end{equation} 206 | donde $t = \sqrt{n}(\overline{x} - \mu_0) / S$. Recordemos en este punto que bajo $H_0$ la variable $T = \sqrt{n}(\overline{X} - \mu_0) / S$ sigue una distribución t de Student con $n-1$ grados de libertad. A partir de \eqref{eq:lrt:normal} deducimos que $\lambda$ es decreciente respecto de $|t|$. Por tanto, el test de la razón de verosimilitud tiene como región crítica 207 | \[\left[\frac{\sqrt{n}|\overline{X} - \mu_0|}{S} \ge b\right]\] 208 | para cierta constante $b \in [0,1]$. La región crítica no depende de $\sigma^2$. Por tanto, tenemos que $\eta(\theta) = P_{\mu_0}(|T| \ge b) = 2 P_{\mu_0}(T \le -b)$ para todo $\theta \in \Theta_0$. Consecuentemente el tamaño del test es $\sup\{\eta(\theta): \theta \in \Theta_0\} = 2P_{\mu_0}(T \le -b)$. En la práctica determinamos $b$ de manera que el tamaño del test sea igual a $\alpha$. Para ello utilizamos la función de distribución de la distribución t de Student con $n-1$ grados de libertad. 209 | % Ejemplo de Ingeniería de Servidores 210 | Por último, cabe hablar del p-valor del test t de Student. Utilizando el Teorema \ref{thm:p-valor:2} obtenemos que el p-valor viene dado por 211 | \[p(\utilde{x}) = 2P_{\mu_0}\left[\frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu_0)}{S} \le -t\right]. \qedhere\] 212 | \end{ex} 213 | 214 | La principal propiedad del test de la razón de verosimilitud y que justifica su extendido uso es el siguiente resultado, cuya demostración puede verse en \cite{garthwaite}, página 84. 215 | 216 | \begin{thm} 217 | Consideramos el contraste de hipótesis dado por $H_0: \theta = \theta_0$ y $H_1: \theta \ne \theta_0$. Si existe un test UMP para contrastar ambas hipótesis, entonces el test de la razón de verosimilitud coincide con el test UMP. 218 | \end{thm} 219 | 220 | Como consecuencia, en el caso de hipótesis simples el test de la razón de verosimilitud y el test de Neyman-Pearson son equivalentes. En lo que sigue estudiamos las propiedades asintóticas del test de la razón de verosimilitud. Una de las propiedades más destacadas es la siguiente. 221 | 222 | \begin{thm} 223 | Supongamos que se cumplen las hipótesis de regularidad de Cramer-Rao y que, además, la verosimilitud es de clase 2. Deseamos contrastar dos hipótesis $H_0: \theta \in \Theta_0$ y $H_1: \theta \in \Theta_1$. Bajo la hipotesis nula se tiene que 224 | \[-2 \log \lambda(\utilde{X}) \to \chi_d^2\] 225 | cuando el tamaño de la muestra diverge, donde $d = dim(\Theta) - dim(\Theta_0)$ ($dim(\Omega)$ indica el número de variables no relacionadas entre sí de $\Omega \subset \mathbb{R}^n$). 226 | \end{thm} 227 | 228 | \begin{proof} 229 | Realizamos la demostración para el caso $H_0: \theta = \theta_0$ y $H_1: \theta \ne \theta_0$. En otro caso puede consultarse Cristóbal (1992), Teorema 1.2, página 596. En este contexto $d = 1$. Tenemos que 230 | \[\mathcal{Q}_n = -2 \log \lambda(\utilde{X}) = 2 (\log L(\hat{\theta}_n; \utilde{X}) - \log L(\theta_0; \utilde{X})),\] 231 | donde $\hat{\theta}_n = \hat{\theta}_n(\utilde{X})$ es el estimador máximo verosímil de $\theta$, que existe gracias al Teorema \ref{thm:emv:consistencia}. Desarrollamos el término $\log L(\theta_0; \utilde{X})$ al rededor de $\hat{\theta}_n$ mediante el teorema de Taylor, obteniendo 232 | \[\log L(\theta_0; \utilde{X}) = \log L(\hat{\theta}_n; \utilde{X}) + \frac{\partial \log L(\hat{\theta}_n; \utilde{X})}{\partial \theta}(\theta_0 - \hat{\theta}_n) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 \log L(\theta'; \utilde{X})}{\partial \theta^2}(\theta_0 - \hat{\theta}_n)^2,\] 233 | donde $\theta'$ se encuentra entre $\theta_0$ y $\hat{\theta}_n$. El estimador máximo verosímil del Teorema \ref{thm:emv:consistencia} maximiza localmente la verosimilitud. Por tanto, 234 | \[0 = \frac{\partial \log L(\hat{\theta}_n; \utilde{X})}{\partial \theta}.\] 235 | En consecuencia podemos escribir $\mathcal{Q}_n$ como sigue 236 | \[\mathcal{Q}_n = - \frac{\partial^2 \log L(\theta'; \utilde{X})}{\partial \theta^2}(\theta_0 - \hat{\theta}_n)^2 = - \frac{1}{n} \frac{\partial^2 \log L(\theta'; \utilde{X})}{\partial \theta^2}(\sqrt{n}(\theta_0 - \hat{\theta}_n))^2.\] 237 | El Teorema \ref{thm:emv:an} asegura que bajo las hipótesis de Cramer-Rao el estimador máximo verosímil es asintóticamente normal, esto es, $\sqrt{n}(\theta_0 - \hat{\theta}_n)$ converge en ley a $N(0, 1/\mathcal{I}(\theta_0))$. Por otro lado, gracias a la ley fuerte de los grandes números tenemos que 238 | \[- \frac{1}{n} \frac{\partial^2 \log L(\theta_0; \utilde{X})}{\partial \theta^2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n - \frac{\partial^2 \log L(\theta_0; X_i)}{\partial \theta^2}\] 239 | converge casi seguramente a la esperanza de una de estas variables, que es $\mathcal{I}(\theta_0)$ por el Lema \ref{lem:fisher:2dev}. Este hecho junto con la consistencia del estimador máximo verosímil nos asegura que 240 | \[- \frac{1}{n} \frac{\partial^2 \log L(\theta'; \utilde{X})}{\partial \theta^2} = - \frac{1}{n} \frac{\partial^2 \log L(\theta_0; \utilde{X})}{\partial \theta^2} + \frac{1}{n}\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta_0; \utilde{X})}{\partial \theta^2} - \frac{\partial^2 \log L(\theta'; \utilde{X})}{\partial \theta^2}\right)\] 241 | converge casiseguramente a $\mathcal{I}(\theta_0)$. Podemos pues completar el estudio asintótico de $\sqrt{\mathcal{Q}_n}$, que converge en ley a $N(0, 1)$. Por último, la Proposición \ref{prop:normal-square} concluye que $\mathcal{Q}_n$ converge en ley a $\chi_1^2$. 242 | \end{proof} 243 | 244 | En muchas ocasiones es difícil calcular la región crítica del test de la razón de verosimilitud. En tales caso, si el tamaño de la muestra es muy grande, podemos suponer que bajo la hipótesis nula $-2 \log \lambda(\utilde{X})$ sigue una distribución $\chi_d^2$ y proceder con el test de hipótesis como es habitual. 245 | 246 | La siguiente definición extiende la definición de consistencia a los tests de hipótesis. 247 | 248 | \begin{definition} 249 | Un test de hipótesis se dice consistente si verifica 250 | \begin{enumerate} 251 | \item $\lim_{n \to \infty} P_{\theta}(W_\alpha) = 0$ para todo $\theta \in \Theta_0$; 252 | \item $\lim_{n \to \infty} P_{\theta}(W_\alpha) = 1$ para todo $\theta \in \Theta_1$. 253 | \end{enumerate} 254 | \end{definition} 255 | 256 | El test de la razón de verosimilitud no es consistente ya que $P_{\theta}(W_\alpha) = \alpha$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Este es el principal problema de los tests de hipótesis clásicos. El hecho de seleccionar un tamaño del test implica que el comportamiento asintótico no es el deseable. En un futuro veremos que en la mayoría de los casos la inferencia bayesiana resuelve este problema. No obstante, bajo determinadas hipótesis el test de la razón de verosimilitud sí verifica el apartado b) de la definición previa. El siguiente resultado es un ejemplo de este hecho. 257 | 258 | \begin{prop} 259 | Supongamos que se cumplen las hipótesis de regularidad de Cramer-Rao y que, además, la verosimilitud es de clase 2. Deseamos contrastar dos hipótesis $H_0: \theta = \theta_0$ y $H_1: \theta \ne \theta_0$ mediante un test de la razón de verosimilitud cuya región crítica para significación $\alpha$ es $W_\alpha$. Entonces, $\lim_{n \to \infty} P_{\theta}(W_\alpha) = 1$ para todo $\theta \in \Theta_1$. 260 | \end{prop} 261 | 262 | \begin{proof} 263 | Supongamos que $\theta_1 \ne \theta_0$ es el verdadero valor del parámetro $\theta$. Denotemos por $\lambda(\utilde{x})$ al ratio de verosimilitud asociado a este test. Sea $\hat{\theta}_n$ el estimador máximo verosímil dado por el Teorema \ref{thm:emv:consistencia}. Consideremos también el test $H'_0: \theta = \theta_1$ y $H'_1: \theta \ne \theta_1$ y denotemos por $\lambda'(\utilde{X})$ a su ratio de verosimilitud. Tenemos que 264 | \[\lambda(\utilde{X}) = \frac{L(\theta_0; \utilde{X})}{L(\hat{\theta}_n; \utilde{X})} = \frac{L(\theta_1; \utilde{X})}{L(\hat{\theta}_n; \utilde{X})} \frac{L(\theta_0; \utilde{X})}{L(\theta_1; \utilde{X})} = \lambda'(\utilde{X}) \frac{L(\theta_0; \utilde{X})}{L(\theta_1; \utilde{X})}.\] 265 | Por consiguiente podemos escribir $- 2 \log \lambda(\utilde{X}) = - 2 \log \lambda'(\utilde{X}) - 2 \log L(\theta_0; \utilde{X}) + 2 \log L(\theta_1; \utilde{X})$. Además, la ley fuerte de los grandes números nos asegura que la variable aletoria 266 | \[\frac{1}{n} \left(- 2\log L(\theta_0; \utilde{X}) + 2 \log L(\theta_1; \utilde{X})\right) = - 2 \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \log L(\theta_0; X_i) + 2 \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \log L(\theta_1; X_i)\] 267 | converge casi seguramente a $2(E_{\theta_1}(\log L(\theta_1; X_1)) - E_{\theta_1}(\log L(\theta_0; X_1)))$, que es un valor positivo gracias a la Proposición \ref{prop:desigualdad}. Recordando que $-2 \log \lambda'(\utilde{X})$ converge en ley a $\chi_1^2$, obtenemos que $- 2 \log \lambda(\utilde{X}) \to +\infty$ casi seguramente. En particular, hemos deducido que 268 | \[P_{\theta_1}(W_\alpha) = P_{\theta_1}[- \log \lambda(\utilde{X}) \ge k_\alpha] \to 1. \qedhere\] 269 | \end{proof} 270 | -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/Sections/Intro.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 | % Author: A. Herrera Poyatos 3 | % Tittle: Introducción 4 | % Capítulo introductorio de los apuntes de 5 | % inferencia estadística. 6 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 7 | 8 | %!TEX root = ../inference.tex 9 | %!TEX language = es 10 | 11 | \section{Introducción} 12 | 13 | En esta sección introductora se motivan los problemas de la inferencia estadística. Para ello recordamos algunos conceptos de la teoría de probabilidad que pueden no haberse estudiado en un curso básico de probabilidad. 14 | 15 | \subsection{Variables aleatorias. Vectores aleatorios} 16 | 17 | Fijemos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. En relación con este espacio de probabilidad se puede realizar un experimento aleatorio, cuyos resultados se codifican como números reales para facilitar su tratamiento. Esta codificación recibe el nombren de variable aleatoria, concepto que es estudiado en cualquier curso de probabilidad. 18 | 19 | \begin{definition} 20 | Una variable aleatoria es una función medible $X: (\Omega, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B})$. 21 | \end{definition} 22 | 23 | Por ejemplo, imaginemos que $\Omega$ es el conjunto de todas las personas, $\mathcal{A}$ es el conjunto de las partes de $\Omega$ y $P$ es uniforme, esto es, todas las personas tienen la misma probabilidad de ser escogidas. El experimento aleatorio consiste en seleccionar una persona aletoria y medir su altura. Formalmente se puede codificar como la variable aleatoria $X$ que asigna acada persona su altura. Puede ser interesante calcular la probabilidad de que al tomar una persona su altura sea $2$ metros, esto es $P(X = 2)$. En definitiva, las variables aleatorias nos permiten modelar los resultados del experimento matemáticamente. Nótese que podemos calcular la probabilidad $P(X = 2)$ gracias a que el conjunto $\{w \in \Omega: X(w) = 2\} = X^{-1}(2)$ es medible, de ahí que se exija que $X$ lo sea en la definición. 24 | 25 | Habitualmente para representar un experimento se necesitan múltiples valores reales. En este caso se utilizan los denominados \emph{vectores aleatorios} o \emph{variables aleatorias multidimensionales}, que son funciones medibles $\utilde{X} = (X_1, \ldots, X_n): (\Omega, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}^n)$. 26 | 27 | A un vector aleatorio se le asocia una distribución de probabilidad en $\mathbb{R}^n$, que puede venir dada por una función de densidad o por una función de distribución. Nos referimos a un libro de texto clásico para recordar estos conceptos \cite{loeve}. 28 | 29 | \subsection{Distribución conjunta} 30 | 31 | Como se ha mencionado, un vector aleatorio $\utilde{X} = (X_1, \ldots, X_n)$ tiene asociada una distribución de probabilidad. Si en esta distribución interviene más de una variable ($n \ge 2$), entoces diremos que es una distribución conjunta. Cada una de las componentes del vector $\utilde{X}$ es una variable aleatoria y, por tanto, tiene asociada una distribución. Es más, la misma observación es válida para cualquier subtupla de $\utilde{X}$. La distribución de una subtupla se denomina distribución marginal. Cabe preguntarse cómo calcular una distribución marginal a partir de la distribución conjunta. Es fácil razonar que si $\utilde{X} = (Y_1, Y_2)$, donde $Y_1$ e $Y_2$ son vectores aleatorios, entonces la distribución marginal de $Y_1$ tiene función de densidad 32 | \[f(y_1) = \int f(y_1, y_2) \, dy_2,\] 33 | donde $f(y_1, y_2)$ es la función de densidad de $\utilde{X}$. Para los detalles nos referimos de nuevo a un libro de texto básico de teoría de probabilidad \cite{loeve}. 34 | 35 | \subsection{Muestra aleatoria simple} 36 | 37 | Sea $X$ una variable aleatoria que se desea observar. Una muestra aleatoria simple de $X$ es un vector aleatorio $\utilde{X} = (X_1, \ldots, X_n)$ donde las variables $X_i$ son independientes y tienen la misma distribución que la variable $X$. Esta definición se corresponde con realizar $n$ veces consecutivas el experimento definido por la variable $X$. Los $n$ experimentos son independientes y siguen la misma distribución de probabilidad. En la práctica tras realizar los experimentos obtenemos un vector $\utilde{x} = (x_1, \ldots, x_n)$ con los valores observados. Este vector se denomina realización de la muestra. 38 | 39 | Podemos calcular la distribución de la muestra $\utilde{X}$ gracias a la hipótesis de independencia. En efecto, la función de densidad en un punto $\utilde{x}$ viene dada por 40 | \[f(\utilde{x})=\prod_{i=1}^{n}{f(x_i)}.\] 41 | 42 | 43 | %Esta muestra puede ser sin reemplazamiento o con reemplazamiento, lo que puede afectar al resultado del experimento. No obstante, cuando la población sobre la que se saca la muestra es lo suficientemente grande, no hay diferencia práctica entre realizar un muestreo con o sin reemplazamiento. 44 | 45 | \subsection{Familias de distribuciones paramétricas} 46 | 47 | Habitualmente observamos variables aleatorias de las que desconocemos su distribución. No obstante, intuimos que la distribución tiene una determinada forma que depende de un número finito de parámetros. Esto es, la densidad de la distribución pertenece a una familia paramétrica $\{f(x | \theta): \theta \in \Theta\}$, donde $\Theta \subset \mathbb{R}^k$. Denotamos por $\theta_0 \in \Theta$ al verdadero valor del parámetro de la distribución de la variable aleatoria que estamos observando. La inferencia estadística se encarga de inferir propiedades de $\theta_0$ a partir de la realización de una muestra de $X$. 48 | -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/inference-figure0.dpth: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/andreshp/math-notes/c7fad750b871b7f5e60c12246beb91307e5bd23a/StatisticalInference/inference-figure0.dpth -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/inference-figure0.md5: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \def \tikzexternallastkey {56CF70F39935C2AD61D6DDF112B623EA}% 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/inference-figure0.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- 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Vectores aleatorios}{2}{subsection.1.1}} 33 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Distribuci\IeC {\'o}n conjunta}{2}{subsection.1.2}} 34 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Muestra aleatoria simple}{3}{subsection.1.3}} 35 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.4}Familias de distribuciones param\IeC {\'e}tricas}{3}{subsection.1.4}} 36 | \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Familias de distribuciones}{4}{section.2}} 37 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Distribuciones discretas}{4}{subsection.2.1}} 38 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.1}Distribuci\IeC {\'o}n uniforme}{4}{subsubsection.2.1.1}} 39 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.2}Distribuci\IeC {\'o}n de Poisson}{4}{subsubsection.2.1.2}} 40 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.3}Distribuci\IeC {\'o}n binomial}{5}{subsubsection.2.1.3}} 41 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.4}Distribuci\IeC {\'o}n multinomial}{5}{subsubsection.2.1.4}} 42 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Distribuciones continuas}{5}{subsection.2.2}} 43 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.1}Distribuci\IeC {\'o}n uniforme}{5}{subsubsection.2.2.1}} 44 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.2}Distribuci\IeC {\'o}n normal}{6}{subsubsection.2.2.2}} 45 | \newlabel{prop:normal:cf}{{2.2}{6}{}{thm.2.2}{}} 46 | \newlabel{prop:normal:gm}{{2.3}{7}{}{thm.2.3}{}} 47 | \newlabel{cor:normal:rec}{{2.4}{7}{}{thm.2.4}{}} 48 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Funci\IeC {\'o}n de densidad de una distribuci\IeC {\'o}n normal.}}{7}{figure.1}} 49 | \newlabel{fig:normal}{{1}{7}{Función de densidad de una distribución normal}{figure.1}{}} 50 | \citation{gamma} 51 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.3}Distribuci\IeC {\'o}n gamma}{8}{subsubsection.2.2.3}} 52 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Densidad de la distribuci\IeC {\'o}n gamma con distintos valores de $\alpha $.}}{10}{figure.2}} 53 | \newlabel{fig:gamma:alpha}{{2}{10}{Densidad de la distribución gamma con distintos valores de $\alpha $}{figure.2}{}} 54 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Densidad de la distribuci\IeC {\'o}n gamma con distintos valores de $\beta $.}}{10}{figure.3}} 55 | \newlabel{fig:gamma:beta}{{3}{10}{Densidad de la distribución gamma con distintos valores de $\beta $}{figure.3}{}} 56 | \newlabel{prop:gamma:cf}{{2.12}{10}{}{thm.2.12}{}} 57 | \newlabel{prop:normal-square}{{2.17}{11}{}{thm.2.17}{}} 58 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.4}Distribuci\IeC {\'o}n beta}{11}{subsubsection.2.2.4}} 59 | \newlabel{prop:beta-gamma}{{2.18}{11}{}{thm.2.18}{}} 60 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {4}{\ignorespaces Densidad de la distribuci\IeC {\'o}n beta con distintos valores de $p$.}}{12}{figure.4}} 61 | \newlabel{fig:beta:p}{{4}{12}{Densidad de la distribución beta con distintos valores de $p$}{figure.4}{}} 62 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {5}{\ignorespaces Densidad de la distribuci\IeC {\'o}n beta con distintos valores de $q$.}}{12}{figure.5}} 63 | \newlabel{fig:beta:q}{{5}{12}{Densidad de la distribución beta con distintos valores de $q$}{figure.5}{}} 64 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {6}{\ignorespaces Densidad de la distribuci\IeC {\'o}n beta con $p = q$.}}{13}{figure.6}} 65 | \newlabel{fig:beta:pq}{{6}{13}{Densidad de la distribución beta con $p = q$}{figure.6}{}} 66 | \newlabel{cor:beta:moments}{{2.20}{13}{}{thm.2.20}{}} 67 | \newlabel{cor:beta:esp}{{2.21}{13}{}{thm.2.21}{}} 68 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.5}Distribuci\IeC {\'o}n de Cauchy}{13}{subsubsection.2.2.5}} 69 | \citation{cauchy} 70 | \citation{char} 71 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {7}{\ignorespaces Densidad de la distribuci\IeC {\'o}n de Cauchy comparada con la distribuci\IeC {\'o}n normal.}}{14}{figure.7}} 72 | \newlabel{fig:cauchy}{{7}{14}{Densidad de la distribución de Cauchy comparada con la distribución normal}{figure.7}{}} 73 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.6}Distribuci\IeC {\'o}n de Laplace}{14}{subsubsection.2.2.6}} 74 | \@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {8}{\ignorespaces Densidad de la distribuci\IeC {\'o}n de Laplace comparada con la densidad de la distribuci\IeC {\'o}n normal.}}{15}{figure.8}} 75 | \newlabel{fig:laplace}{{8}{15}{Densidad de la distribución de Laplace comparada con la densidad de la distribución normal}{figure.8}{}} 76 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.7}Distribuci\IeC {\'o}n T de Student}{15}{subsubsection.2.2.7}} 77 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.2.8}Distribuci\IeC {\'o}n de Dirichlet}{15}{subsubsection.2.2.8}} 78 | \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Estimaci\IeC {\'o}n de par\IeC {\'a}metros}{16}{section.3}} 79 | \newlabel{sec:estimacion}{{3}{16}{Estimación de parámetros}{section.3}{}} 80 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}M\IeC {\'e}todo de los momentos}{16}{subsection.3.1}} 81 | \newlabel{eq:sistema-momentos}{{1}{16}{Método de los momentos}{equation.3.1}{}} 82 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}M\IeC {\'e}todo de la m\IeC {\'a}xima verosimilitud de Fisher}{17}{subsection.3.2}} 83 | \newlabel{rem:emv:log}{{3.2}{17}{}{thm.3.2}{}} 84 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.3}Teor\IeC {\'\i }a general de estimadores}{18}{subsection.3.3}} 85 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1}Estad\IeC {\'\i }sticos suficientes}{18}{subsubsection.3.3.1}} 86 | \newlabel{sec:estimacion:tge:sufi}{{3.3.1}{18}{Estadísticos suficientes}{subsubsection.3.3.1}{}} 87 | \newlabel{ex:sufi:normal:media}{{3.6}{19}{Distribución normal, media desconocida}{thm.3.6}{}} 88 | \newlabel{ex:sufi:normal:2}{{3.7}{19}{Distribución normal, ambos parámetros son desconocidos}{thm.3.7}{}} 89 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.2}Score, hip\IeC {\'o}tesis de regularidad y funci\IeC {\'o}n de informaci\IeC {\'o}n de Fisher}{19}{subsubsection.3.3.2}} 90 | \citation{leibniz} 91 | \newlabel{lem:score:esp}{{3.8}{20}{}{thm.3.8}{}} 92 | \newlabel{lem:fisher:2dev}{{3.10}{21}{}{thm.3.10}{}} 93 | \newlabel{ex:fisher:binom}{{3.11}{21}{}{thm.3.11}{}} 94 | \newlabel{prop:desigualdad}{{3.16}{22}{}{thm.3.16}{}} 95 | \newlabel{eq:log-beta}{{2}{23}{}{equation.3.2}{}} 96 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.3}Estimadores insesgados}{24}{subsubsection.3.3.3}} 97 | \newlabel{eq:proof-cr}{{3}{25}{Estimadores insesgados}{equation.3.3}{}} 98 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.4}Consistencia de sucesiones de estimadores}{25}{subsubsection.3.3.4}} 99 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {3.4}Estudio te\IeC {\'o}rico del estimador m\IeC {\'a}ximo veros\IeC {\'\i }mil}{26}{subsection.3.4}} 100 | \newlabel{thm:emv:consistencia}{{3.24}{26}{}{thm.3.24}{}} 101 | \newlabel{thm:emv:an}{{3.25}{27}{}{thm.3.25}{}} 102 | \newlabel{eq:seq-normal}{{4}{27}{Estudio teórico del estimador máximo verosímil}{equation.3.4}{}} 103 | \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}La familia exponencial}{28}{section.4}} 104 | \newlabel{eq:exponencial}{{5}{28}{}{equation.4.5}{}} 105 | \newlabel{prop:exp:sufi}{{4.1}{28}{}{thm.4.1}{}} 106 | \newlabel{ex:exp:binom}{{4.2}{28}{Distribución binomial}{thm.4.2}{}} 107 | \newlabel{eq:exponencial:2}{{6}{28}{La familia exponencial}{equation.4.6}{}} 108 | \newlabel{ex:exp:normal}{{4.3}{29}{Distribución normal}{thm.4.3}{}} 109 | \@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {1}{\ignorespaces Ejemplos de familias exponenciales.}}{29}{table.1}} 110 | \newlabel{table:exponencial}{{1}{29}{Ejemplos de familias exponenciales}{table.1}{}} 111 | \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Tests de hip\IeC {\'o}tesis}{30}{section.5}} 112 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {5.1}Errores de los tests de hip\IeC {\'o}tesis}{31}{subsection.5.1}} 113 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {5.2}Tests de Neyman-Pearson}{31}{subsection.5.2}} 114 | \newlabel{thm:np:1}{{5.1}{32}{Lema de Neyman-Pearson}{thm.5.1}{}} 115 | \newlabel{eq:np:desigualdad}{{7}{32}{Tests de Neyman-Pearson}{equation.5.7}{}} 116 | \newlabel{eq:np:desigualdad:2}{{8}{32}{Tests de Neyman-Pearson}{equation.5.8}{}} 117 | \newlabel{cor:np:cont}{{5.2}{32}{Lema de Neyman-Pearson para distribuciones continuas}{thm.5.2}{}} 118 | \newlabel{ex:np:1}{{5.3}{33}{Distribución normal de varianza conocida}{thm.5.3}{}} 119 | \citation{casella} 120 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {5.3}Descripci\IeC {\'o}n de un test mediante p-valores}{34}{subsection.5.3}} 121 | \newlabel{thm:p-valor}{{5.4}{34}{\cite [Teorema 8.3.27]{casella}}{thm.5.4}{}} 122 | \newlabel{thm:p-valor:2}{{5.5}{34}{}{thm.5.5}{}} 123 | \newlabel{cor:p-valor:np}{{5.6}{34}{}{thm.5.6}{}} 124 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {5.4}Tests de la raz\IeC {\'o}n de verosimilitud}{35}{subsection.5.4}} 125 | \citation{garthwaite} 126 | \newlabel{eq:lrt:normal}{{9}{36}{\textbf {Test t de Student} -- distribución normal con $\mu $ y $\sigma ^2$ desconocidos}{equation.5.9}{}} 127 | \@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6}Estad\IeC {\'\i }stica bayesiana}{39}{section.6}} 128 | \newlabel{sec:bayes}{{6}{39}{Estadística bayesiana}{section.6}{}} 129 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.1}Introducci\IeC {\'o}n}{39}{subsection.6.1}} 130 | \newlabel{eq:condicionada}{{10}{39}{Introducción}{equation.6.10}{}} 131 | \newlabel{eq:bayes}{{11}{39}{Introducción}{equation.6.11}{}} 132 | \citation{loeve} 133 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.2}Estad\IeC {\'\i }stica cl\IeC {\'a}sica vs bayesiana}{41}{subsection.6.2}} 134 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.3}Familias conjugadas}{41}{subsection.6.3}} 135 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.4}Distribuciones objetivas. Distribuci\IeC {\'o}n de Jeffreys}{45}{subsection.6.4}} 136 | \newlabel{ex:jeff:poisson}{{6.9}{45}{}{thm.6.9}{}} 137 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.5}Convergencia de distribuciones a posteriori}{46}{subsection.6.5}} 138 | \newlabel{sec:bayes:convergencia}{{6.5}{46}{Convergencia de distribuciones a posteriori}{subsection.6.5}{}} 139 | \newlabel{eq:tcfd1}{{12}{47}{Convergencia de distribuciones a posteriori}{equation.6.12}{}} 140 | \newlabel{eq:tcfd2}{{13}{47}{Convergencia de distribuciones a posteriori}{equation.6.13}{}} 141 | \@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {6.6}Test de Hip\IeC {\'o}tesis Bayesianos}{47}{subsection.6.6}} 142 | \newlabel{sec:bayes:hipotesis}{{6.6}{47}{Test de Hipótesis Bayesianos}{subsection.6.6}{}} 143 | \newlabel{eq:bayes:hipotesis}{{14}{48}{Test de Hipótesis Bayesianos}{equation.6.14}{}} 144 | \newlabel{eq:bayes:hipotesis:2}{{15}{48}{Test de Hipótesis Bayesianos}{equation.6.15}{}} 145 | 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/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduledecorations.code.tex 264 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex 265 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathmorphing.code.tex 266 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex 267 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathmorphing.code.tex 268 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex 269 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibrarydecorations.pathreplacing.code.tex 270 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex 271 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/decorations/pgflibrarydecorations.pathreplacing.code.tex 272 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex 273 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzlibraryplotmarks.code.tex 274 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex 275 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplotmarks.code.tex 276 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/libraries/tikzlibraryexternal.code.tex 277 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/libraries/tikzlibraryexternal.code.tex 278 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/pdftexcmds.sty 279 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/pdftexcmds.sty 280 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tikzexternalshared.code.tex 281 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/float/float.sty 282 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/float/float.sty 283 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty 284 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty 285 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty 286 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty 287 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-hyperref.sty 288 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty 289 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/hobsub-generic.sty 290 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/auxhook.sty 291 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/auxhook.sty 292 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def 293 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def 294 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/hyperref.cfg 295 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/hyperref.cfg 296 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty 297 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty 298 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def 299 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def 300 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty 301 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/oberdiek/rerunfilecheck.sty 302 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/csquotes/csquotes.sty 303 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/csquotes/csquotes.sty 304 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/csquotes/csquotes.def 305 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/csquotes/csquotes.def 306 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/csquotes/csquotes.cfg 307 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/csquotes/csquotes.cfg 308 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ccicons/ccicons.sty 309 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/ccicons/ccicons.sty 310 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xkeyval/xkeyval.sty 311 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xkeyval/xkeyval.sty 312 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkeyval.tex 313 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/xkeyval/xkvutils.tex 314 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.aux 315 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.aux 316 | OUTPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.aux 317 | INPUT 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/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/oberdiek/gettitlestring.sty 331 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 332 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 333 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 334 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 335 | OUTPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.pdf 336 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 337 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 338 | OUTPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 339 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmr12.tfm 340 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx12.tfm 341 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/cmextra/cmex7.tfm 342 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/cmextra/cmex7.tfm 343 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd 344 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd 345 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam10.tfm 346 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/microtype/mt-msa.cfg 347 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/microtype/mt-msa.cfg 348 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam7.tfm 349 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/amsfonts/symbols/msam5.tfm 350 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd 351 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd 352 | INPUT 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/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbx10.tfm 365 | OUTPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.toc 366 | INPUT /home/andreshp/texmf/tex/latex/doclicense/images/doclicense-CC-by.pdf 367 | INPUT /home/andreshp/texmf/tex/latex/doclicense/images/doclicense-CC-by.pdf 368 | INPUT /home/andreshp/texmf/tex/latex/doclicense/images/doclicense-CC-by.pdf 369 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Intro.tex 370 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Intro.tex 371 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmti10.tfm 372 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Familias.tex 373 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Familias.tex 374 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmti7.tfm 375 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmti7.tfm 376 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Estimacion.tex 377 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Estimacion.tex 378 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmcsc10.tfm 379 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Exponencial.tex 380 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Exponencial.tex 381 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Hipotesis.tex 382 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Hipotesis.tex 383 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Bayesiana.tex 384 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/./Sections/Bayesiana.tex 385 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/public/cm/cmbxti10.tfm 386 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1pcr.fd 387 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1pcr.fd 388 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/adobe/courier/pcrr7t.tfm 389 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/vf/adobe/courier/pcrr7t.vf 390 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/tfm/adobe/courier/pcrr8r.tfm 391 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.aux 392 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 393 | INPUT /home/andreshp/Dropbox/MyComputer/University/Subjects/math-notes/StatisticalInference/inference.out 394 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/enc/dvips/base/8r.enc 395 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx10.pfb 396 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbx12.pfb 397 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmbxti10.pfb 398 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmcsc10.pfb 399 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb 400 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cmextra/cmex7.pfb 401 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb 402 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi5.pfb 403 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb 404 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb 405 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb 406 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr5.pfb 407 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb 408 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy10.pfb 409 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy5.pfb 410 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy7.pfb 411 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmti10.pfb 412 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10.pfb 413 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm7.pfb 414 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/courier/ucrr8a.pfb 415 | INPUT /usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/palatino/uplbi8a.pfb 416 | -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/inference.out: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \BOOKMARK [1][-]{section.1}{Introducci\363n}{}% 1 2 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.1.1}{Variables aleatorias. Vectores aleatorios}{section.1}% 2 3 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.1.2}{Distribuci\363n conjunta}{section.1}% 3 4 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.1.3}{Muestra aleatoria simple}{section.1}% 4 5 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.1.4}{Familias de distribuciones param\351tricas}{section.1}% 5 6 | \BOOKMARK [1][-]{section.2}{Familias de distribuciones}{}% 6 7 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.2.1}{Distribuciones discretas}{section.2}% 7 8 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.2.2}{Distribuciones continuas}{section.2}% 8 9 | \BOOKMARK [1][-]{section.3}{Estimaci\363n de par\341metros}{}% 9 10 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.3.1}{M\351todo de los momentos}{section.3}% 10 11 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.3.2}{M\351todo de la m\341xima verosimilitud de Fisher}{section.3}% 11 12 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.3.3}{Teor\355a general de estimadores}{section.3}% 12 13 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.3.4}{Estudio te\363rico del estimador m\341ximo veros\355mil}{section.3}% 13 14 | \BOOKMARK [1][-]{section.4}{La familia exponencial}{}% 14 15 | \BOOKMARK [1][-]{section.5}{Tests de hip\363tesis}{}% 15 16 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.5.1}{Errores de los tests de hip\363tesis}{section.5}% 16 17 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.5.2}{Tests de Neyman-Pearson}{section.5}% 17 18 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.5.3}{Descripci\363n de un test mediante p-valores}{section.5}% 18 19 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.5.4}{Tests de la raz\363n de verosimilitud}{section.5}% 19 20 | \BOOKMARK [1][-]{section.6}{Estad\355stica bayesiana}{}% 20 21 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.6.1}{Introducci\363n}{section.6}% 21 22 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.6.2}{Estad\355stica cl\341sica vs bayesiana}{section.6}% 22 23 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.6.3}{Familias conjugadas}{section.6}% 23 24 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.6.4}{Distribuciones objetivas. Distribuci\363n de Jeffreys}{section.6}% 24 25 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.6.5}{Convergencia de distribuciones a posteriori}{section.6}% 25 26 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.6.6}{Test de Hip\363tesis Bayesianos}{section.6}% 26 27 | \BOOKMARK [1][-]{section.7}{Probabilidades subjetivas}{}% 27 28 | \BOOKMARK [2][-]{subsection.7.1}{Axiomas de la probabilidad subjetiva}{section.7}% 28 29 | -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/inference.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/andreshp/math-notes/c7fad750b871b7f5e60c12246beb91307e5bd23a/StatisticalInference/inference.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/inference.synctex.gz: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/andreshp/math-notes/c7fad750b871b7f5e60c12246beb91307e5bd23a/StatisticalInference/inference.synctex.gz -------------------------------------------------------------------------------- /StatisticalInference/inference.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 | % Plantilla básica de Latex en Español. 3 | % 4 | % Autor: Andrés Herrera Poyatos (https://github.com/andreshp) 5 | % 6 | % Es una plantilla básica para redactar documentos. Utiliza el paquete fancyhdr para darle un 7 | % estilo moderno pero serio. 8 | % 9 | % La plantilla se encuentra adaptada al español. 10 | % 11 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 12 | 13 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 | % TEX OPTIONS 15 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 | 17 | % !TEX program = pdflatex 18 | % !TEX option = -shell-escape 19 | % !TEX language = es 20 | 21 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 | % INCLUSIÓN DE PAQUETES BÁSICOS 23 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 24 | 25 | \documentclass{article} 26 | 27 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 28 | % SELECCIÓN DEL LENGUAJE 29 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 30 | 31 | % Paquetes para adaptar Látex al Español: 32 | \usepackage[spanish,es-noquoting, es-tabla, es-lcroman]{babel} % Cambia 33 | \usepackage[utf8]{inputenc} % Permite los acentos. 34 | \selectlanguage{spanish} % Selecciono como lenguaje el Español. 35 | 36 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 37 | % SELECCIÓN DE LA FUENTE 38 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 39 | 40 | % Fuente utilizada. 41 | \usepackage{courier} % Fuente Courier. 42 | \usepackage{microtype} % Mejora la letra final de cara al lector. 43 | 44 | 45 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 46 | % LICENCIA 47 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 48 | 49 | \usepackage[ 50 | type={CC}, 51 | modifier={by}, 52 | version={4.0}, 53 | ]{doclicense} 54 | 55 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 56 | % ESTILO DE PÁGINA 57 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 58 | 59 | % Estílo de capítulos (usar book en lugar de article). 60 | %\usepackage[Lenny]{fncychap} 61 | 62 | % Paquetes para el diseño de página: 63 | \usepackage{fancyhdr} % Utilizado para hacer títulos propios. 64 | \usepackage{lastpage} % Referencia a la última página. Utilizado para el pie de página. 65 | \usepackage{extramarks} % Marcas extras. Utilizado en pie de página y cabecera. 66 | \usepackage[parfill]{parskip} % Crea una nueva línea entre párrafos. 67 | \usepackage{geometry} % Asigna la "geometría" de las páginas. 68 | 69 | % Se elige el estilo fancy y márgenes de 3 centímetros. 70 | \pagestyle{fancy} 71 | \geometry{left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm,headheight=1cm,headsep=0.5cm} % Márgenes y cabecera. 72 | % Se limpia la cabecera y el pie de página para poder rehacerlos luego. 73 | %\fancyhfb{} 74 | 75 | % Espacios en el documento: 76 | \linespread{1.1} % Espacio entre líneas. 77 | \setlength\parindent{0pt} % Selecciona la indentación para cada inicio de párrafo. 78 | 79 | % Cabecera del documento. Se ajusta la línea de la cabecera. 80 | \renewcommand\headrule{ 81 | \begin{minipage}{1\textwidth} 82 | \hrule width \hsize 83 | \end{minipage} 84 | } 85 | 86 | % Texto de la cabecera: 87 | \lhead{A. Herrera, N. Rodríguez, J. Poyatos, M. Ruiz, J.L. Suárez} % Parte izquierda. 88 | \chead{} % Centro. 89 | \rhead{\subject \ - \doctitle} % Parte derecha. 90 | 91 | % Pie de página del documento. Se ajusta la línea del pie de página. 92 | \renewcommand\footrule{ 93 | \begin{minipage}{1\textwidth} 94 | \hrule width \hsize 95 | \end{minipage}\par 96 | } 97 | 98 | \lfoot{} % Parte izquierda. 99 | \cfoot{} % Centro. 100 | \rfoot{Página\ \thepage\ de\ \protect\pageref{LastPage}} % Parte derecha. 101 | 102 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 103 | % Secciones 104 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 105 | 106 | \newcommand{\importsection}[1]{\input{./Sections/#1}} % Include sections from sections directory. 107 | 108 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 109 | % PORTADA 110 | %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 111 | 112 | % Elija uno de los siguientes formatos. 113 | % No olvide incluir los archivos .sty asociados en el directorio del documento. 114 | \usepackage{title1} 115 | %\usepackage{title2} 116 | %\usepackage{title3} 117 | 118 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 119 | % MATEMÁTICAS 120 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 121 | 122 | \usepackage{mathematics} % Llama al paquete de matemáticas que se adjunta con la plantilla 123 | 124 | % Pone una tilde debajo de la palabra. 125 | \def\utilde#1{\mathord{\vtop{\ialign{##\crcr 126 | $\hfil\displaystyle{#1}\hfil$\crcr\noalign{\kern1pt\nointerlineskip} 127 | $\hfil\widetilde{}\hfil$\crcr\noalign{\kern-5pt\nointerlineskip}}}}} 128 | 129 | \usepackage{comment} 130 | 131 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 132 | % GRÁFICOS 133 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 134 | 135 | \usepackage{pgfplots} 136 | \usepackage{tikz} 137 | % Load the library (Descomentar para SOs distintos de Windows) 138 | \usetikzlibrary{external} 139 | % Enable the library !!!>>> MUST be in the preamble <<= -10pt] 74 | 75 | \coordinate (aux1) at ([yshift=-15pt]current page.north east); 76 | \coordinate (aux2) at ([yshift=-410pt]current page.north east); 77 | \coordinate (aux3) at ([xshift=-4.5cm]current page.north east); 78 | \coordinate (aux4) at ([yshift=-150pt]current page.north east); 79 | 80 | \begin{scope}[titlepagecolor!40,line width=12pt,rounded corners=12pt] 81 | \draw 82 | (aux1) -- coordinate (a) 83 | ++(225:5) -- 84 | ++(-45:5.1) coordinate (b); 85 | \draw[shorten <= -10pt] 86 | (aux3) -- 87 | (a) -- 88 | (aux1); 89 | \draw[opacity=0.6,titlepagecolor,shorten <= -10pt] 90 | (b) -- 91 | ++(225:2.2) -- 92 | ++(-45:2.2); 93 | \end{scope} 94 | \draw[titlepagecolor,line width=8pt,rounded corners=8pt,shorten <= -10pt] 95 | (aux4) -- 96 | ++(225:0.8) -- 97 | ++(-45:0.8); 98 | \begin{scope}[titlepagecolor!70,line width=6pt,rounded corners=8pt] 99 | \draw[shorten <= -10pt] 100 | (aux2) -- 101 | ++(225:3) coordinate[pos=0.45] (c) -- 102 | ++(-45:3.1); 103 | \draw 104 | (aux2) -- 105 | (c) -- 106 | ++(135:2.5) -- 107 | ++(45:2.5) -- 108 | ++(-45:2.5) coordinate[pos=0.3] (d); 109 | \draw 110 | (d) -- +(45:1); 111 | \end{scope} 112 | \end{tikzpicture} 113 | } 114 | 115 | % Se crea el comando maketitle asociado al paquete. 116 | \renewcommand*{\maketitle} { 117 | 118 | \begin{titlepage} 119 | 120 | % Asignatura, título y subtítulo 121 | \vspace*{3.1cm} 122 | \centering \subjectfont \subject 123 | \vspace*{1cm} 124 | 125 | \titlefont \doctitle 126 | \vspace*{1cm} 127 | 128 | \subtitlefont \docsubtitle 129 | \null\vfill 130 | 131 | %\normalsize\vspace{0.1in}\small{\fecha} 132 | 133 | % Autor 134 | \titlepagebottom 135 | 136 | % Decoración 137 | \titlepagedecoration 138 | 139 | \end{titlepage} 140 | 141 | } 142 | 143 | \endinput 144 | --------------------------------------------------------------------------------