├── parallelogramy.tex ├── LICENSE.md ├── cover ├── kiselyov.jpg ├── cover.tex └── cover-two-sided.tex ├── jpg ├── Bentley_Snowflake18.jpg └── Manning_propeller.jpg ├── .gitignore ├── mppics ├── ris-fiziko.mp ├── transportir.mp ├── ris-ru.mp ├── ris-1931.mp ├── ris-wood.mp ├── ris-extra.mp └── ris-1914.mp ├── README.md ├── TODO.tex ├── asy └── schwarz.asy ├── book.sty ├── book-ru.sty ├── predislovie.tex ├── kiselyov.tex ├── eps ├── Cc-public_domain_mark_white.eps ├── babochka.eps └── klenovyj-list.eps ├── 2D ├── dugi.tex ├── proportzii-v-kruge.tex ├── zadach-na-vych.tex ├── okruzhnost.tex ├── mat-predlozheniya.tex ├── vpis-opis-mnougi.tex ├── teorema-pifagora.tex ├── postulat5.tex ├── ponyatie-o-ploschadi.tex ├── proportzii.tex ├── zam-toch-trig.tex ├── izmereniya.tex └── podobie-trig.tex ├── list-of-files.txt └── vvedenie.tex /parallelogramy.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | -------------------------------------------------------------------------------- /LICENSE.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | CC0-1.0 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /cover/kiselyov.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/anton-petrunin/kiselyov/HEAD/cover/kiselyov.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /jpg/Bentley_Snowflake18.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/anton-petrunin/kiselyov/HEAD/jpg/Bentley_Snowflake18.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /jpg/Manning_propeller.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/anton-petrunin/kiselyov/HEAD/jpg/Manning_propeller.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | *.pdf 2 | lib/* 3 | *.backup 4 | *.log 5 | *.aux 6 | *.dvi 7 | *.gz 8 | *.idx 9 | *.ind 10 | *.out 11 | *.ilg 12 | *.toc 13 | *.patch 14 | */*.zip 15 | .* 16 | !/.gitignore 17 | *.bbl 18 | *.bcf 19 | *.blg 20 | *.xml 21 | *.kilepr 22 | *.mps 23 | *.mpx 24 | *mptextmp.mp 25 | *mpxerr.tex 26 | kiselyov-3D/ris/* 27 | -------------------------------------------------------------------------------- /mppics/ris-fiziko.mp: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | input fiziko.mp; 2 | pair A, B, C, D, E, F, C', E', F'; 3 | numeric totalWidth, width, height, breadth, a[]; 4 | path p[]; 5 | totalWidth := 5cm; 6 | width := 2cm; 7 | height := 3cm; 8 | breadth := 1/3cm; 9 | A := (0, 0); 10 | B := (totalWidth, 0); 11 | C := (1/2totalWidth, 0); 12 | E := (xpart(C), height); 13 | D := 3/4[C, E]; 14 | F := (xpart(E) + width, 0); 15 | C' = whatever[C shifted (0, breadth), F shifted (0, breadth)] 16 | = whatever[C shifted (breadth, 0), E shifted (breadth, 0)]; 17 | E' = whatever[E shifted (breadth, 0), C shifted (breadth, 0)] 18 | = whatever[E shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90), F shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90)]; 19 | F' = whatever[C shifted (0, breadth), F shifted (0, breadth)] 20 | = whatever[E shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90), F shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90)]; 21 | p1 := A -- B -- B shifted (0, -breadth) -- A shifted (0, -breadth) -- cycle; 22 | a1 := 0; 23 | p2 := C -- E -- E' -- C' -- cycle; 24 | a2 := 90; 25 | p3 := E -- F -- F' -- E' -- cycle; 26 | a3 := angle (E-F); 27 | p4 := C -- F -- F' -- C' -- cycle; 28 | a4 := 0; 29 | for i := 1 step 1 until 4: 30 | draw woodenThing(p[i], a[i]); 31 | % draw p[i]; 32 | endfor; 33 | dotlabel.top("A", A); 34 | dotlabel.urt("B", B); 35 | dotlabel.ulft("C", C); 36 | dotlabel.lft("D", D); 37 | dotlabel.ulft("E", E); 38 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Как собрать книгу 2 | 3 | Потребуется LaTeX+MetaPost+Asymptote (всё работает с последним дистрибутивом TeX Live на Kubuntu 16.04). 4 | Желательно также использовать Git. 5 | 6 | Следующая команда создаст локальную копию исходных файлов вместе с историей версий. 7 | 8 | `git clone https://github.com/anton-petrunin/kiselyov.git` 9 | 10 | Эти файлы можно также получить, пройдя по ссылке "Clone or Download" и "Download ZIP". 11 | В этом случае Git не нужен. 12 | 13 | Далее, перейти в полученную папку 14 | 15 | `cd kiselyov` 16 | 17 | ## MetaPost 18 | 19 | Перейти в папку `mppics`, создать рисунки и вернуться назад: 20 | 21 | `cd mppics/`
22 | `mpost ris.mp`
23 | `mpost ris-1914.mp`
24 | `mpost ris-1931.mp`
25 | `mpost ris-ru.mp`
26 | `mpost ris-extra.mp`
27 | `mpost ris-wood.mp`
28 | `mpost transportir.mp`
29 | `mpost s-ris.mp`
30 | `cd ..` 31 | 32 | ## Asymptote 33 | 34 | Перейти в папку `asy`, создать рисунки и вернуться назад: 35 | 36 | `cd asy/`
37 | `asy schwarz.asy`
38 | `epstopdf --gsopt=-dCompatibilityLevel=1.3 schwarz.eps`
39 | `cd ..` 40 | 41 | ## LaTeX 42 | 43 | Далее нужно создать индекс и получить конечный результат 44 | 45 | `pdflatex kiselyov.tex`
46 | `texindy -L russian -C utf8 kiselyov.idx`
47 | `pdflatex kiselyov.tex`
48 | 49 | Если всё прошло удачно, то вы получили файл `kiselyov.pdf`. 50 | 51 | ## Замечания 52 | 53 | Файл `ris-ru.mp` содержит картинки с русскими буквами, а файл `ris-wood.mp` — картинки с линейкой и угольником. 54 | Архив со всеми tex-файлами и готовыми картинками можно получить сказав 55 | 56 | `tar -cvf arXiv.tar --files-from list-of-files.txt` 57 | -------------------------------------------------------------------------------- /TODO.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %расстояние ... от ... 2 | 3 | %ёфикация 4 | 5 | %восставить/восстановить 6 | 7 | %окружность/круг центра --> окружность с центром в 8 | 9 | %коли --> если 10 | 11 | %избавится от d. 12 | 13 | %добавить знак прямого угла. 14 | 15 | %обозначать углы только греческими буквами 16 | 17 | %перпендикуляр проходящий через середину отрезка --> срединный перпендикуляр 18 | 19 | %единообразное обозначение расстояний на чертежах. 20 | 21 | %сходственные --> соответственные 22 | 23 | %: --> дробь. 24 | 25 | %преобразование подобия --- гомотетия или переспективное подобие/перспективно подобные??? 26 | 27 | %убрать «суть» 28 | 29 | %= и \approx 30 | 31 | %замечания о радианах как основной единице 32 | 33 | %приведение к нелепости 34 | 35 | %l --> \ell 36 | 37 | нумерация иногда 1), иногда 1. 38 | 39 | %действительные --> вещественные ? 40 | 41 | %многоугольник --> $n$-угольник 42 | 43 | %порядок букв в подобных/равных треугольниках. 44 | 45 | вогнутые/ невыпуклые многоугольники 46 | 47 | \smallskip до \so 1) 1. ... 48 | 49 | %общий подход к названиям теорем (Фалеса, Пифагора...) 50 | 51 | %ось симметрии --- штрих-пунктир 52 | 53 | %\bm в жирном шрифрте 54 | 55 | %численная величина, численная мера= длина 56 | 57 | %измеренные одной единицей 58 | 59 | %крайними средними 60 | 61 | %цепные дроби 62 | 63 | %приводится 64 | 65 | %тогда 66 | 67 | %алфавитный порядок в предметном указателе 68 | 69 | %исправить вертикальный сдвиг в катинках 70 | 71 | восможн... 72 | 73 | --- 74 | 75 | Темы для нового Киселёва: 76 | 77 | *Парадокс удвоения шара, 78 | 79 | *Сапог Шварца, 80 | 81 | *Формула Крофтона 82 | 83 | *Канторово множество/фрактали 84 | 85 | *Открытые/замкнутые множества 86 | 87 | *Поворотные гомотетии и комплексные числа 88 | 89 | *Сумма углов многогранника, теорема Эйлера. 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /cover/cover.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %Lualatex+needs P22UndergroundCYBook.ttf 2 | %Для lulu.com --- открыть pdf в gimp с разрешением 300px, и тут же сохранить его обратно. 3 | \documentclass[ 4 | coverheight=9in, 5 | coverwidth=6in, 6 | spinewidth=0.756in, 7 | bleedwidth=.125in, 8 | marklength=0in, 9 | markcolor=black]{bookcover} 10 | %\usepackage[T1]{fontenc} 11 | \usepackage[russian]{babel} 12 | 13 | \usepackage{xcolor} 14 | \usepackage{background} 15 | \usepackage{blindtext} 16 | \usepackage{fontspec} 17 | 18 | \setmainfont{P22UndergroundCY-Heavy} 19 | 20 | \newbookcoverpart{pback}{ 21 | \setpartposx{\marklength+\bleedwidth+10mm} 22 | \setpartposy{\marklength+\bleedwidth+10mm}\setpartheight{\coverheight-20mm} 23 | \setpartwidth{\coverwidth-20mm} 24 | \settrimmedpart{0mm}{0mm}{0pt}{0pt} 25 | } 26 | 27 | \begin{document} 28 | 29 | \begin{bookcover} 30 | 31 | \definecolor{mycolor}{HTML}{a2521d} 32 | \bookcovercomponent{color}{bg whole}{mycolor} 33 | 34 | \bookcovercomponent{normal}{front}{ 35 | \vskip0in 36 | \includegraphics[width=6in]{kiselyov} 37 | \vfill 38 | \selectfont 39 | \centering 40 | \color{yellow!10}\fontsize{30}{48}\selectfont ГЕОМЕТРИЯ ПО КИСЕЛЁВУ 41 | \vskip10mm 42 | } 43 | 44 | \bookcovercomponent{center}{spine} 45 | {\rotatebox[origin=c]{90}{\color{yellow!10}\fontsize{20}{48}\selectfont ГЕОМЕТРИЯ ПО КИСЕЛЁВУ}} 46 | 47 | 48 | \bookcovercomponent{normal}{pback}{ 49 | \begin{flushleft} 50 | \parbox{.3\textwidth}{ 51 | \color{yellow!10}\fontsize{12}{10}\selectfont Издание классического школьного учебника по геометрии. За основу взято издание 1938 года, но использовались также издания 1914 и 1931 годов. 52 | } 53 | \end{flushleft} 54 | \vfill 55 | { 56 | \color{yellow!10}\fontsize{14}{10}\texttt{anton-petrunin.github.io/kiselyov}} 57 | \hfill\ %\includegraphics{978-1-68474-812-9} 58 | } 59 | 60 | \end{bookcover} 61 | 62 | \end{document} 63 | -------------------------------------------------------------------------------- /asy/schwarz.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | settings.render=32; 2 | import three; 3 | size(4.2cm); 4 | currentprojection=orthographic(0,6,1.7); 5 | currentlight=light(10,10,3); 6 | 7 | 8 | int m,n; 9 | m=6; 10 | n=8; 11 | 12 | real h; 13 | h=2; 14 | 15 | 16 | 17 | path3[] faces; 18 | 19 | 20 | for (int i=0; iCK$, и потому $CD>AB$. 37 | 38 | Для доказательства того, что $OE>OF$, проведём $OL\perp CK$ и примем во внимание, что, по доказанному, $OE=OL$; 39 | следовательно, нам достаточно сравнить $OF$ с $OL$. 40 | В прямоугольном треугольнике $OFM$ (покрытом на чертеже штрихами) гипотенуза $OM$ больше катета $OF$; 41 | но $OL>OM$; 42 | значит, и подавно $OL>OF$, и потому $OE>OF$. 43 | 44 | Теорема, доказанная нами для одного круга, остаётся верной и для равных кругов, потому что такие круги один от другого отличаются только положением. 45 | 46 | \paragraph{}\label{1938/110} 47 | \so{Обратные теоремы}. 48 | Так как в предыдущем параграфе рассмотрены всевозможные взаимно исключающие случаи относительно сравнительной величины двух дуг одного радиуса, причём получились взаимно исключающие выводы относительно сравнительной величины хорд и расстояний их от центра, то обратные предложения должны быть верны, а именно. 49 | 50 | \textbf{\emph{В одном круге или в равных кругах:}} 51 | 52 | 1) \textbf{\emph{равные хорды одинаково удалены от центра и стягивают равные дуги;}} 53 | 54 | 2) \textbf{\emph{хорды, одинаково удалённые от центра, равны и стягивают равные дуги;}} 55 | 56 | 3) \textbf{\emph{из двух неравных хорд б\'{о}льшая ближе к центру и стягивает б\'{о}льшую дугу;}} 57 | 58 | 4) \textbf{\emph{из двух хорд, неодинаково удалённых от центра, та, которая ближе к центру, больше и стягивает б\'{о}льшую дугу.}} 59 | 60 | Эти предложения легко доказываются от противного. 61 | Например, для доказательства первого из них рассуждаем так: 62 | если бы данные хорды стягивали неравные дуги, то, согласно прямой теореме, они были бы не равны, что противоречит условию; 63 | значит, равные хорды должны стягивать равные дуги; 64 | а если дуги равны, то, согласно прямой теореме, стягивающие их хорды одинаково удалены от центра. 65 | 66 | \paragraph{}\label{1938/111} 67 | \mbox{\so{Теорема}.} 68 | \textbf{\emph{Диаметр есть наибольшая из хорд.}} 69 | 70 | \begin{wrapfigure}{o}{40mm} 71 | \centering 72 | \includegraphics{mppics/ris-122} 73 | \caption{}\label{1938/ris-122} 74 | \end{wrapfigure} 75 | 76 | Если соединим с центром $O$ концы какой-нибудь хорды, не проходящей через центр, например хорды $AB$ (рис.~\ref{1938/ris-122}), то получим треугольник $AOB$, в котором одна сторона есть эта хорда, а две другие — радиусы. 77 | Но в треугольнике каждая сторона менее суммы двух других сторон; 78 | следовательно, хорда $AB$ менее суммы двух радиусов, тогда как всякий диаметр $CD$ равен сумме двух радиусов. 79 | Значит, диаметр больше всякой хорды, не проходящей через центр. 80 | Но так как диаметр есть тоже хорда, то можно сказать, что диаметр есть наибольшая из хорд. 81 | -------------------------------------------------------------------------------- /mppics/ris-wood.mp: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | input macros 2 | input hatching 3 | input mparrows 4 | input fiziko 5 | 6 | verbatimtex 7 | %&latex 8 | \documentclass[oneside]{book} 9 | \usepackage{../book} 10 | \begin{document} 11 | etex 12 | 13 | filenametemplate "%j-%1c.mps"; 14 | prologues:=3; 15 | setarrows(barbedsharp); 16 | linecap:=butt; 17 | %linejoin:=mitered; 18 | 19 | %outputformat := "svg"; 20 | 21 | 22 | 23 | beginfig(27) 24 | save u,k; 25 | u:=1.4cm; 26 | k:=.4; 27 | 28 | z.c=origin; 29 | z.cb=(1,0)*u; 30 | z.e=2*(z.c rotatedabout(z.cb,-60))-z.cb; 31 | z.ce=bisector(z.c,z.cb,z.e); 32 | z.i=bisector(z.ce,z.c,z.cb); 33 | z.c1=k[z.i,z.c]; 34 | z.cb1=k[z.i,z.cb]; 35 | z.e1=k[z.i,z.e]; 36 | z.a=-1.2*z.cb; 37 | z.b=-z.a; 38 | z.a1=z.a+(0,-(1-k)*y.i); 39 | z.b1=z.b+(0,y.a1); 40 | z.d=.7[z.c,z.e]; 41 | 42 | Dot z.d; 43 | fill z.c--z.c1--z.e1--z.e--cycle withcolor white; 44 | 45 | draw woodenThing(z.c--z.cb--z.cb1--z.c1--cycle, angle(z.c-z.cb)); 46 | draw woodenThing(z.a--z.b--z.b1--z.a1--cycle, angle(z.a-z.b)); 47 | draw woodenThing(z.c--z.c1--z.e1--z.e--cycle, angle(z.e-z.c)); 48 | draw woodenThing(z.e--z.e1--z.cb1--z.cb--cycle, angle(z.e-z.cb)); 49 | 50 | draw z.a--z.a1--z.b1--z.b penhair; 51 | draw z.c1--z.cb1--z.e1--cycle penhair; 52 | draw z.e--z.cb--z.c penhair; 53 | draw z.e--z.c ; 54 | draw ddline(z.a,z.c)(.2,0) ; 55 | draw ddline(z.cb,z.b)(0,.7) ; 56 | 57 | 58 | 59 | label.ulft(btex $A$ etex, z.a); 60 | label.urt(btex $B$ etex, z.b); 61 | label.ulft(btex $C$ etex, z.c); 62 | label.lft(btex $D$ etex, z.d); 63 | label.top(btex $E$ etex, z.e); 64 | endfig; 65 | 66 | beginfig(76) 67 | save u,k; 68 | u:=1.4cm; 69 | k=.4; 70 | 71 | z.x=origin; 72 | z.y=(2,0)*u; 73 | z.z=(.5*z.y) rotated -60; 74 | z.xy=bisector(z.x,z.z,z.y); 75 | z.i=bisector(z.xy,z.x,z.z); 76 | 77 | z.x1=k[z.i,z.x]; 78 | z.y1=k[z.i,z.y]; 79 | z.z1=k[z.i,z.z]; 80 | 81 | z.s=.6*(z.y-z.z); 82 | z.xs=z.x+z.s; 83 | z.ys=z.y+z.s; 84 | z.zs=z.z+z.s; 85 | z.x1s=z.x1+z.s; 86 | z.y1s=z.y1+z.s; 87 | z.z1s=z.z1+z.s; 88 | 89 | z.m=.6[z.ys,z.xs]; 90 | 91 | z.u=2[z.z,z.y]; 92 | z.v=(-.3)[z.z,z.y]; 93 | z.u1=z.u-y.x1*(unitvector(z.u-z.v) rotated -90); 94 | z.v1=z.u1+z.v-z.u; 95 | 96 | draw woodenThing(z.u--z.v--z.v1--z.u1--cycle, angle(z.v-z.u)); 97 | 98 | draw woodenThing(z.y--z.y1--z.z1--z.z--cycle, angle(z.y-z.z)); 99 | 100 | draw woodenThing(z.z--z.z1--z.x1--z.x--cycle, angle(z.x-z.z)); 101 | 102 | draw woodenThing(z.y--z.y1--z.x1--z.x--cycle, angle(z.y-z.x)); 103 | 104 | labelarcsprof(z.x, z.y, z.z, 20, 8, btex \small{$1$} etex); 105 | labelarcsprof(z.xs, z.ys, z.zs, 20, 8, btex \small{$2$} etex); 106 | 107 | draw z.x1--z.y1--z.z1--cycle penhair; 108 | draw z.z--z.x--z.y penhair; 109 | draw z.x1s--z.y1s--z.z1s--cycle dashed evenly; 110 | draw z.zs--z.xs--z.ys penhair dashed evenly; 111 | draw z.u--z.u1--z.v1--z.v--cycle penhair; 112 | 113 | z.a=1.2[z.y,z.x]; 114 | draw z.y--z.a; 115 | z.b=1.6[z.x,z.y]; 116 | draw cross(z.x--z.y,z.u1--z.v1)--z.b; 117 | 118 | dOt z.m; 119 | label.top(btex $M$ etex, z.m); 120 | label.lft(btex $A$ etex, z.a); 121 | label.rt(btex $B$ etex, z.b); 122 | endfig; 123 | 124 | 125 | end 126 | 127 | beginfig(27) 128 | pair A, B, C, D, E, F, C', E', F'; 129 | numeric totalWidth, width, height, breadth, a[]; 130 | path p[]; 131 | save u; 132 | u:=.7cm; 133 | 134 | totalWidth := 5*u; 135 | width := sqrt(3)*u; 136 | height := 3*u; 137 | breadth := 2/5*u; 138 | A := (0, 0); 139 | B := (totalWidth, 0); 140 | C := (1/2totalWidth, 0); 141 | E := (xpart(C), height); 142 | D := 3/4[C, E]; 143 | F := (xpart(E) + width, 0); 144 | C' = whatever[C shifted (0, breadth), F shifted (0, breadth)] 145 | = whatever[C shifted (breadth, 0), E shifted (breadth, 0)]; 146 | E' = whatever[E shifted (breadth, 0), C shifted (breadth, 0)] 147 | = whatever[E shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90), F shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90)]; 148 | F' = whatever[C shifted (0, breadth), F shifted (0, breadth)] 149 | = whatever[E shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90), F shifted ((unitvector(E-F) scaled breadth) rotated 90)]; 150 | p1 := A -- B -- B shifted (0, -breadth) -- A shifted (0, -breadth) -- cycle; 151 | a1 := 0; 152 | p2 := C -- E -- E' -- C' -- cycle; 153 | a2 := 90; 154 | p3 := E -- F -- F' -- E' -- cycle; 155 | a3 := angle (E-F); 156 | p4 := C -- F -- F' -- C' -- cycle; 157 | a4 := 0; 158 | for i := 1 step 1 until 4: 159 | draw woodenThing(p[i], a[i]); 160 | % draw p[i]; 161 | endfor; 162 | draw ddline(A,B)(.1,.1); 163 | 164 | label.top(btex $A$ etex, (-.1)[A,B]); 165 | label.top(btex $B$ etex, (1.1)[A,B]); 166 | dotlabel.ulft(btex $C$ etex, C); 167 | dotlabel.lft(btex $D$ etex, D); 168 | label.ulft(btex $E$ etex, E); 169 | endfig; 170 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/proportzii-v-kruge.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Пропорции в круге} 2 | 3 | \paragraph{}\label{1938/199} 4 | Некоторые пропорциональные линии в круге мы указали ранее (§~\ref{1938/189}); 5 | теперь укажем ещё другие. 6 | 7 | \smallskip 8 | \mbox{\so{Теорема}.} 9 | \textbf{\emph{Если через точку}} ($M$, рис.~\ref{1938/ris-209}), \textbf{\emph{взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда}} ($AB$) \textbf{\emph{и диаметр}} ($CD$), \textbf{\emph{то произведение отрезков хорды}} ($AM\cdot MB$) \textbf{\emph{равно произведению отрезков диаметра}} ($MD\cdot MC$). 10 | 11 | Проведя две вспомогательные хорды $AC$ и $BD$, мы получим два треугольника $AMC$ и $DMB$ (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, так как у них углы $A$ и $D$ равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$, и углы $C$ и $B$ равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$. 12 | 13 | \begin{wrapfigure}{r}{45mm} 14 | \vskip-0mm 15 | \centering 16 | \includegraphics{mppics/ris-209} 17 | \caption{}\label{1938/ris-209} 18 | \end{wrapfigure} 19 | 20 | Из подобия треугольников выводим: 21 | \[\frac{AM}{MD}=\frac{MC}{MB}.\] 22 | откуда 23 | \[AM\cdot MB=MD\cdot MC.\] 24 | 25 | \paragraph{}\label{1938/200} 26 | \mbox{\so{Следствие}.} 27 | \emph{Если через точку \emph{($M$, рис.~\ref{1938/ris-209}),} взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд ($AB$, $EF$, $KL,\dots$), то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд,} так как для каждой хорды это произведение равно произведению отрезков диаметра $CD$, проходящего через взятую точку $M$. 28 | 29 | \begin{wrapfigure}{r}{50mm} 30 | \vskip-6mm 31 | \centering 32 | \includegraphics{mppics/ris-210} 33 | \caption{}\label{1938/ris-210} 34 | \end{wrapfigure} 35 | 36 | \paragraph{}\label{1938/201} 37 | \mbox{\so{Теорема}.} 38 | \textbf{\emph{Если из точки}} ($M$, рис.~\ref{1938/ris-210}), \textbf{\emph{взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая}} ($MA$) \textbf{\emph{и касательная}} ($MC$), \textbf{\emph{то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной}} (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная — точкой касания). 39 | 40 | Проведём вспомогательные хорды $AC$ и $BC$; 41 | тогда получим два треугольника $MCA$ и $MBC$ (покрытые на чертеже штрихами), которые подобны, потому что у них угол $M$ общий и углы $MCB$ и $CAB$ равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги $BC$. 42 | 43 | Возьмём в $\triangle MAC$ стороны $MA$ и $MC$; 44 | соответственными сторонами в $\triangle MBC$ будут $MC$ и $MB$; 45 | поэтому 46 | \[\frac{MA}{MC} = \frac{MC}{MB}, 47 | \qquad\text{откуда}\qquad 48 | MA\cdot MB=MC^2.\] 49 | 50 | {\small 51 | 52 | \paragraph{}\label{1938/202} 53 | \mbox{\so{Следствие}.} 54 | \emph{Если из точки \emph{($M$, рис.~\ref{1938/ris-210}),} взятой вне круга, проведены к нему сколько угодно секущих ($MA$, $MD$, $ME,\dots$), то произведение каждой секущей на её внешнюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной ($MC^2$), проведённой из точки $M$.} 55 | 56 | %+замечание про степень точки 57 | 58 | Величина $d^2- R^2$, где $d$ — расстояние от точки до центра окружности, a $R$ — её радиус называется \rindex{степень точки}\textbf{степенью точки} относительно окружности. 59 | Заметим, что степень отрицательна для точек внутри круга, 60 | положительна вне его и обращается в ноль на самой окружности. 61 | 62 | Используя понятие степени точки, следствия приведённые в §§ \ref{1938/200} и \ref{1938/202} можно переформулировать следующим образом: 63 | \emph{Для любой хорды $AB$ и любой точки $M$ на ней или её продолжении, произведение 64 | $MA\cdot MB$ 65 | равно абсолютной величине степени $M$ относительно окружности}. 66 | 67 | 68 | \begin{figure}[!ht] 69 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 70 | \centering 71 | \includegraphics{mppics/ris-1914-228} 72 | \end{minipage} 73 | \hfill 74 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 75 | \centering 76 | \includegraphics{mppics/ris-1914-229} 77 | \end{minipage} 78 | 79 | \medskip 80 | 81 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 82 | \centering 83 | \caption{}\label{1914/ris-228} 84 | \end{minipage} 85 | \hfill 86 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 87 | \centering 88 | \caption{}\label{1914/ris-229} 89 | \end{minipage} 90 | \vskip-4mm 91 | \end{figure} 92 | 93 | \paragraph{}\label{1914/250}\so{Теорема}. \textbf{\emph{Произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра круга, описанного около этого треугольника, на высоту его, опущенную на третью сторону.}} 94 | 95 | Обозначив буквою $R$ радиус круга, описанного около $\triangle ABC$ (рис. \ref{1914/ris-228} и \ref{1914/ris-229}), докажем, что 96 | \[b\cdot c=2R\cdot h_a.\] 97 | 98 | Проведём диаметр $AD$ и соединим $D$ с $B$. 99 | Треугольники $ABD$ и $AEC$ подобны, потому что углы $B$ и $E$ прямые и $\angle D=\angle C$, как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. 100 | Из подобия выводим: 101 | \begin{align*} 102 | \frac{c}{h_a}&=\frac{2R}{b}; 103 | & 104 | &\text{откуда:} 105 | & 106 | b\cdot c&=2R\cdot h_a. 107 | \end{align*} 108 | 109 | } 110 | -------------------------------------------------------------------------------- /mppics/ris-extra.mp: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | input macros 2 | input hatching 3 | input mparrows 4 | 5 | verbatimtex 6 | %&latex 7 | \documentclass[oneside]{book} 8 | \usepackage{../book} 9 | \begin{document} 10 | etex 11 | 12 | filenametemplate "%j-%1c.mps"; 13 | prologues:=3; 14 | setarrows(barbedsharp); 15 | linecap:=butt; 16 | %linejoin:=mitered; 17 | 18 | %outputformat := "svg" 19 | 20 | beginfig(1) 21 | save u; 22 | u:=1cm; 23 | 24 | z.o=origin; 25 | z.a=(1.5,1)*u; 26 | z.x=(x.a,0); 27 | z.y=(0,y.a); 28 | z.b=(x.a,-y.a); 29 | 30 | mark_rt_angle(z.x, z.o, z.y); 31 | 32 | draw z.a--(-z.a) penbold; 33 | draw z.b--(-z.b) penbold; 34 | draw z.x--(-z.x) dashed evenly; 35 | draw z.y--(-z.y) dashed evenly; 36 | 37 | endfig; 38 | 39 | beginfig(2) 40 | save u,k; 41 | u:=.25cm; 42 | k:=5; 43 | 44 | for a = 0 step u until k*u: 45 | draw (a,0)--(a,k*u); 46 | draw (0,a)--(k*u,a); 47 | endfor 48 | endfig; 49 | 50 | beginfig(3) 51 | save u; 52 | u:=1cm; 53 | 54 | z.a=(2,1)*u; 55 | z.b=(-.5,1)*u; 56 | 57 | parallel_mark1(origin--z.a); 58 | parallel_mark1(z.b--(z.a+z.b)); 59 | 60 | draw origin--z.a; 61 | draw z.b--(z.a+z.b); 62 | 63 | endfig; 64 | 65 | beginfig(4); 66 | save u, k; 67 | u:=.7cm; 68 | k:=.7; 69 | 70 | z.S=(1.4,0)*u; 71 | 72 | z.a=origin; 73 | z.b=(2,2)*u; 74 | z.c=(2.5,0)*u; 75 | z.d=k[z.b,z.a]; 76 | z.e=k[z.b,z.c]; 77 | 78 | z.a1=z.c+z.S; 79 | z.b1=z.a1+z.b-z.d; 80 | z.c1=z.a1+z.e-z.d; 81 | 82 | arcs(z.c,z.a,z.b,10); 83 | arcs(z.c1,z.a1,z.b1,10); 84 | 85 | arcs2(z.a,z.b,z.c,10); 86 | arcs2(z.a1,z.b1,z.c1,10); 87 | 88 | arcs3(z.b,z.c,z.a,10); 89 | arcs3(z.b1,z.c1,z.a1,10); 90 | 91 | draw z.a--z.b--z.c--cycle; 92 | draw z.a1--z.b1--z.c1--cycle; 93 | 94 | label.llft(btex $A$ etex, z.a); 95 | label.top(btex $B$ etex, z.b); 96 | label.lrt(btex $C$ etex, z.c); 97 | 98 | label.llft(btex $D$ etex, z.a1); 99 | label.top(btex $E$ etex, z.b1); 100 | label.lrt(btex $F$ etex, z.c1); 101 | 102 | endfig; 103 | 104 | beginfig(5); 105 | save u,a,b; 106 | u:=1.4cm; 107 | a:=3; 108 | b:=2; 109 | 110 | z.a1=origin; 111 | z.o1=(0,-10)*u; 112 | 113 | z.b1=z.a1 rotatedabout(z.o1,-a); 114 | z.a2=z.a1 rotatedabout(z.o1,-2*a); 115 | 116 | z.o2=z.o1 rotatedabout(z.a2,90); 117 | z.b2=z.a2 rotatedabout(z.o2,-2); 118 | 119 | z.o4=z.o1 rotatedabout(z.a1,-90); 120 | z.a4=z.a1 rotatedabout(z.o4,2*b); 121 | 122 | z.o3=z.o4 rotatedabout(z.a4,-90); 123 | z.a3=cross.bot(circle(z.o2,abs(z.o2-z.a2)),circle(z.o3,abs(z.o3-z.a4))); 124 | 125 | 126 | z.b3=z.a4 rotatedabout(z.o3,1); 127 | z.b4=z.a4 rotatedabout(z.o4,-b); 128 | 129 | mark_rt_angle(-z.o1,z.a1,-z.o4); 130 | mark_rt_angle(2*z.a2-z.o1,z.a2,2*z.a2-z.o2); 131 | mark_rt_angle(2*z.a4-z.o4,z.a4,2*z.a4-z.o3); 132 | arcs(z.o3 rotatedabout(z.a3,90),z.a3,z.o2 rotatedabout(z.a3,-90),6); 133 | 134 | draw z.a1..z.b1..z.a2--z.a2..z.b2..z.a3--z.a3..z.b3..z.a4--z.a4..z.b4..z.a1--cycle penbold; 135 | endfig; 136 | 137 | beginfig(6); 138 | save u; 139 | u:=1cm; 140 | 141 | z.b=origin; 142 | z.b1=(2,0)*u; 143 | z.o=z.b-(0,.5)*u; 144 | z.o1=z.b1-(0,.3)*u; 145 | 146 | z.a=z.b-(.8,0)*u; 147 | z.c=2*z.b-z.a; 148 | 149 | z.a1=z.b1-(.9,0)*u; 150 | z.c1=2*z.b1-z.a1; 151 | 152 | draw circle(z.o,z.b-z.o) dashed evenly; 153 | draw circle(z.o1,z.b1-z.o1) dashed evenly; 154 | draw circle(z.o,z.a-z.o); 155 | draw circle(z.o1,z.a1-z.o1); 156 | 157 | draw ddline(z.a,z.c1)(.1,.1); 158 | 159 | dOt z.o,z.o1; 160 | 161 | label.top(btex $a$ etex, z.b); 162 | label.top(btex $a_1$ etex, z.b1); 163 | 164 | whitelabel.lrt(btex $O$ etex, z.o); 165 | whitelabel.lrt(btex $O_1$ etex, z.o1); 166 | 167 | endfig; 168 | 169 | beginfig(7); 170 | save u, f; 171 | u:=2cm; 172 | f:=.5*(sqrt(5)-1); 173 | 174 | z.c=origin; 175 | z.a=(-2,0)*u; 176 | z.b=(z.a rotated -36) scaled f; 177 | z.d=z.a scaled f*f; 178 | z.e=z.b scaled f*f; 179 | z.f=z.d scaled f*f; 180 | 181 | draw z.a--z.b--z.c--cycle; 182 | draw z.b--z.d--z.e--z.f; 183 | 184 | rimmark(z.a--z.b,z.a--z.d); 185 | rimmark2(z.b--z.d,z.b--z.e); 186 | rimmark3(z.d--z.e,z.d--z.f); 187 | 188 | label.lft(btex $A$ etex, z.a); 189 | label.top(btex $B$ etex, z.b+(0,2)); 190 | label.rt(btex $C$ etex, z.c); 191 | label.bot(btex $D$ etex, z.d); 192 | label.urt(btex $E$ etex, z.e); 193 | label.bot(btex $F$ etex, z.f); 194 | endfig; 195 | 196 | beginfig(8); 197 | save u; 198 | u:=1.7cm; 199 | 200 | z.o=(0,0)*u; 201 | z.a=(-1,0)*u; 202 | z.b= z.a rotatedabout(z.o,-90); 203 | z.c= z.a rotatedabout(z.o,180); 204 | z.b1= z.a rotatedabout(z.o,90); 205 | 206 | z.e=bisector(z.b,z.a,z.c); 207 | z.d=altitude(z.a,z.e,z.c); 208 | z.f=2[z.b,z.e]; 209 | 210 | rimmark(z.a--z.d,z.a--z.b); 211 | rimmark2(z.c--z.d,z.d--z.e, z.e--z.b, z.e--z.f); 212 | 213 | draw z.a--z.b--z.c--z.b1--cycle; 214 | draw z.a--z.c; 215 | draw z.d--z.b; 216 | draw z.d--z.e; 217 | draw z.d--z.f; 218 | 219 | label.lft(btex $A$ etex, z.a); 220 | label.top(btex $B$ etex, z.b); 221 | label.rt(btex $C$ etex, z.c); 222 | label.bot(btex $D$ etex, z.d); 223 | label.urt(btex $E$ etex, z.e); 224 | endfig; 225 | 226 | beginfig(9); 227 | save u,w; 228 | u:=.9cm; 229 | w:=1.4; 230 | 231 | z.d=origin; 232 | z.a=(0,2)*u; 233 | z.b=z.a zscaled(0,w); 234 | z.c=z.a zscaled(0,-1/w); 235 | 236 | mark_rt_angle(z.a,z.d,z.c); 237 | 238 | draw z.a--z.b--z.c--cycle; 239 | draw z.a--z.d; 240 | 241 | label.top(btex $A$ etex, z.a); 242 | label.lft(btex $B$ etex, z.b); 243 | label.rt(btex $C$ etex, z.c); 244 | label.ulft(btex $D$ etex, z.d); 245 | 246 | label.bot(btex $a$ etex, .5[z.b,z.c]); 247 | label.urt(btex $b$ etex, .5[z.a,z.c]); 248 | label.ulft(btex $c$ etex, .5[z.b,z.a]); 249 | endfig; 250 | end 251 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/zadach-na-vych.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Задачи на вычисление} 2 | 3 | \paragraph{}\label{1938/194} 4 | \so{Теорема}. 5 | \textbf{\emph{Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения какой-нибудь из этих сторон на отрезок её от вершины острого угла до высоты.}} 6 | 7 | Пусть $BC$ — сторона $\triangle ABC$ (рис.~\ref{1938/ris-203} и \ref{1938/ris-204}), лежащая против острого угла $A$, и $BD$ — высота, опущенная на сторону $AC$ (или её продолжение). 8 | Требуется доказать, что 9 | \[BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AC\cdot AD.\] 10 | или, обозначая длины линий малыми буквами, как указано на рисунке, надо доказать равенство: 11 | \[a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c'\] 12 | 13 | Из прямоугольного $\triangle BDC$ находим: 14 | \[a^2=h^2+(a')^2. 15 | \eqno(1)\] 16 | 17 | Найдём каждый из квадратов $h^2$ и $(a')^2$. 18 | Из прямоугольного $\triangle BAD$ находим: 19 | \[h^2=c^2-(c')^2. 20 | \eqno(2)\] 21 | 22 | \begin{figure}[!ht] 23 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 24 | \centering 25 | \includegraphics{mppics/ris-203} 26 | \end{minipage} 27 | \hfill 28 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 29 | \centering 30 | \includegraphics{mppics/ris-204} 31 | \end{minipage} 32 | 33 | \medskip 34 | 35 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 36 | \centering 37 | \caption{}\label{1938/ris-203} 38 | \end{minipage} 39 | \hfill 40 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 41 | \centering 42 | \caption{}\label{1938/ris-204} 43 | \end{minipage} 44 | \vskip-4mm 45 | \end{figure} 46 | 47 | С другой стороны, $a'=b-c'$ (рис.~\ref{1938/ris-203})) или $a'=c'-b$ (рис.~\ref{1938/ris-204}). 48 | В обоих случаях для $(a')^2$ получаем одно и то же выражение: 49 | \[ 50 | \begin{aligned} 51 | (a')^2&=(b-c')^2=b^2-2\cdot a\cdot c'+(c')^2; 52 | \\ 53 | (a')^2&=(c'-b)^2=(c')^2-2\cdot a\cdot c'+b^2. 54 | \end{aligned} 55 | \eqno(3) 56 | \] 57 | 58 | Равенство (1) можно переписать так: 59 | \[a^2=c^2-(c')^2+b^2-2\cdot b\cdot c'+(c')^2=c^2+b^2-2\cdot b\cdot c'.\] 60 | 61 | {\sloppy 62 | \paragraph{}\label{1938/195} 63 | \mbox{\so{Теорема}.} 64 | \textbf{\emph{В тупоугольном треугольнике квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с удвоенным произведением какой-нибудь из этих сторон на отрезок её продолжения от вершины тупого угла до высоты.}} 65 | 66 | } 67 | 68 | 69 | 70 | Пусть $AB$ — сторона $\triangle ABC$ (рис. \ref{1938/ris-205}), лежащая против тупого угла $C$, и $BD$ — высота, опущенная на продолжение стороны $AC$; 71 | требуется доказать, что 72 | \[AB^2=AC^2+BC^2+2\cdot AC \cdot CD,\] 73 | или, применяя сокращённые обозначения, согласно указанию на рисунке: 74 | \[c^2=a^2+b^2+2\cdot b\cdot a'.\] 75 | 76 | \begin{wrapfigure}{o}{45mm} 77 | \vskip-8mm 78 | \centering 79 | \includegraphics{mppics/ris-205} 80 | \caption{}\label{1938/ris-205} 81 | \vskip0mm 82 | \end{wrapfigure} 83 | 84 | Из треугольников $ABD$ и $CBD$ находим: 85 | \begin{align*} 86 | c^2&=h^2+(c')^2= 87 | \\ 88 | &=a^2-(a')^2+(a'+b)^2= 89 | \\ 90 | &=a^2-(a')^2+(a')^2+2\cdot b\cdot a'+b^2= 91 | \\ 92 | &=a^2+b^2+2\cdot b\cdot a', 93 | \end{align*} 94 | что и требовалось доказать. 95 | 96 | \paragraph{}\label{1938/196} 97 | \so{Следствие}. 98 | Из трёх последних теорем выводим, что \emph{квадрат стороны треугольника равен, меньше или больше суммы квадратов двух других сторон, смотря по тому, будет ли противолежащий угол прямой, острый или тупой.} 99 | Отсюда следует обратное предложение: 100 | \emph{угол треугольника окажется прямым, острым или тупым, смотря по тому, будет ли квадрат противолежащей этому углу стороны равен, меньше или больше суммы квадратов двух других сторон.} 101 | 102 | \paragraph{}\label{1938/197} 103 | \so{Теорема}. 104 | \textbf{\emph{Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон}} (рис.~\ref{1938/ris-206}). 105 | 106 | \begin{wrapfigure}{O}{48mm} 107 | \centering 108 | \includegraphics{mppics/ris-206} 109 | \caption{}\label{1938/ris-206} 110 | \end{wrapfigure} 111 | 112 | Из вершин $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ опустим на основание $AD$ перпендикуляры $BE$ и $CF$. 113 | Тогда из треугольников $ABD$ и $ACD$ находим: 114 | \[BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AD\cdot AE\] 115 | \[AC^2=AD^2+CD^2+2\cdot AD\cdot DF.\] 116 | 117 | Прямоугольные треугольники $ABE$ и $DCF$ равны, так как они имеют по равной гипотенузе и равному острому углу; 118 | поэтому $AE=DF$. 119 | Заметив это, сложим почленно два выведенных выше равенства; 120 | тогда $2AD\cdot AE$ и $2AD\cdot DF$ взаимно уничтожаются, и мы получим: 121 | \begin{align*} 122 | BD^2+AC^2&=AB^2+AD^2+AD^2+CD^2= 123 | \\ 124 | &=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2. 125 | \end{align*} 126 | 127 | \paragraph{Вычисление медианы треугольника.}\label{1914/241} 128 | Медиана треугольника обыкновенно обозначается буквой $m$ (от латинского слова \emph{mediāna} — средняя), сопровождаемою (внизу) одною из маленьких букв $a$, $b$ или $c$ в зависимости от стороны треугольника, к которой проведена обозначаемая медиана. 129 | 130 | \begin{wrapfigure}{r}{35mm} 131 | \centering 132 | \includegraphics{mppics/ris-1914-221} 133 | \caption{}\label{1914/ris-221} 134 | \end{wrapfigure} 135 | 136 | Определим длину $m_a$ медианы, проведённой к стороне $a$ (рис.~\ref{1914/ris-221}). 137 | Для этого продолжим медиану на расстояние $DE=AD$ и соединим точку $E$ с $B$ и с~$C$. 138 | Мы получим параллелограмм $ABEC$ (§~\ref{1938/90}). 139 | Применив к нему теорему о сумме квадратов диагоналей (§~\ref{1938/197}), получим: 140 | \[a^2+(2m_a)^2=2b^2+2c^2;\] 141 | откуда: 142 | \[4m_c^2=2b^2+2c^2-a^2\] 143 | и, следовательно: 144 | \[m_a=\tfrac 12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\] 145 | 146 | Подобным же образом можем найти $m_b$ и $m_c$. 147 | 148 | \begin{figure}[!ht] 149 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 150 | \centering 151 | \includegraphics{mppics/ris-207} 152 | \end{minipage} 153 | \hfill 154 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 155 | \centering 156 | \includegraphics{mppics/ris-208} 157 | \end{minipage} 158 | 159 | \medskip 160 | 161 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 162 | \centering 163 | \caption{}\label{1938/ris-207} 164 | \end{minipage} 165 | \hfill 166 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 167 | \centering 168 | \caption{}\label{1938/ris-208} 169 | \end{minipage} 170 | \vskip-4mm 171 | \end{figure} 172 | 173 | \paragraph{Вычисление высот треугольника по его сторонам.}\label{1938/198} 174 | Определим высоту $h_a$ треугольника $ABC$, опущенную на сторону $BC=a$ (рис.~\ref{1938/ris-207} и \ref{1938/ris-208}). 175 | Обозначим отрезки стороны $a$ (продолженной в случае тупого угла $C$, рис.~\ref{1938/ris-208}) таким образом: 176 | отрезок $BD$, прилежащий к стороне $c$, через $c'$, а отрезок $DC$, прилежащий к стороне $b$, через $b'$. 177 | Пользуясь теоремой о квадрате стороны треугольника, лежащей против острого угла (§~\ref{1938/194}), можем написать: 178 | \[b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c'.\] 179 | Из этого уравнения находим отрезок $c'$: 180 | \[c'=\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a}\] 181 | после чего из треугольника $ABD$ определяем высоту как катет: 182 | \[h_a=\sqrt{c^2-\left(\tfrac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a}\right)^2}\] 183 | Таким же путём можно определить в зависимости от сторон треугольника длины $h_b$, и $h_c$ высот, опущенных на стороны $b$ и $c$. 184 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/okruzhnost.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{Окружность} 2 | 3 | \section{Форма и положение окружности} 4 | 5 | \paragraph{}\label{1938/103} 6 | \so{Предварительное замечание}. 7 | Очевидно, что через одну точку ($A$, рис.~\ref{1938/ris-113}) можно провести сколько угодно окружностей: 8 | центры их можно брать произвольно. 9 | Через две точки ($A$ и $B$, рис.~\ref{1938/ris-114}) тоже можно провести сколько угодно окружностей, но центры их нельзя брать произвольно, так как точки, одинаково удалённые от двух точек $A$ и $B$, должны лежать на срединном перпендикуляре к отрезку $AB$ (§~\ref{1938/58}). 10 | 11 | \begin{figure}[!ht] 12 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 13 | \centering 14 | \includegraphics{mppics/ris-113} 15 | \end{minipage} 16 | \hfill 17 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 18 | \centering 19 | \includegraphics{mppics/ris-114} 20 | \end{minipage} 21 | 22 | \medskip 23 | 24 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 25 | \centering 26 | \caption{}\label{1938/ris-113} 27 | \end{minipage} 28 | \hfill 29 | \begin{minipage}{.48\textwidth} 30 | \centering 31 | \caption{}\label{1938/ris-114} 32 | \end{minipage} 33 | \vskip-4mm 34 | \end{figure} 35 | 36 | Посмотрим, можно ли провести окружность через три точки. 37 | 38 | \paragraph{}\label{1938/104} 39 | \so{Теорема}. 40 | \textbf{\emph{Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.}} 41 | 42 | Через три точки $A$, $B$ и $C$ (рис.~\ref{1938/ris-115}), только тогда можно провести окружность, если существует такая четвёртая точка $O$, которая одинаково удалена от точек $A$, $B$ и $C$. 43 | 44 | \begin{wrapfigure}{o}{45mm} 45 | \centering 46 | \includegraphics{mppics/ris-115} 47 | \caption{}\label{1938/ris-115} 48 | \end{wrapfigure} 49 | 50 | Докажем, что если $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой 51 | (другими словами, если точки $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника), 52 | то такая точка $O$ существует и притом только одна. 53 | Для этого примем во внимание, что всякая точка, одинаково удалённая от точек $A$ и $B$, должна лежать на срединном перпендикуляре $MN$, проведённом к стороне $AB$ (§~\ref{1938/58}); 54 | точно так же всякая точка, одинаково удалённая от точек $B$ и $C$, должна лежать на срединном перпендикуляре $PQ$, проведённом к стороне $BC$. 55 | Значит, если существует точка, одинаково удалённая от трёх точек $A$, $B$ и $C$, то она должна лежать одновременно и на $MN$, и на $PQ$, что возможно только тогда, когда она совпадает с точкой пересечения этих двух прямых. 56 | Прямые $MN$ и $PQ$ всегда пересекаются, так как они перпендикулярны к пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ (§~\ref{1938/78}). 57 | Точка $O$ их пересечения и будет точкой, одинаково удалённой от $A$, от $B$ и от $C$; 58 | значит, если примем эту точку за центр, а за радиус возьмём отрезок $OA$ (или $OB$, или $OC$), то окружность пройдёт через точки $A$, $B$ и $C$. 59 | Так как прямые $MN$ и $PQ$ могут пересечься только в одной точке, то центр такой окружности может быть только один, и длина её радиуса может быть только одна; 60 | значит, искомая окружность — единственная. 61 | 62 | {\small 63 | 64 | \smallskip 65 | \so{Замечание}. 66 | Если бы три точки $A$, $B$ и $C$ (рис.~\ref{1938/ris-115}) лежали на одной прямой, то перпендикуляры $MN$ и $PQ$, были бы параллельны и, значит, не могли бы пересечься. 67 | Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, нельзя провести окружности. 68 | 69 | } 70 | 71 | \smallskip 72 | \so{Следствие}. 73 | Точка $O$ (рис.~\ref{1938/ris-115}), находясь на одинаковом расстоянии от $A$ и от $C$, должна также лежать на срединном перпендикуляре $RS$, проведённом к стороне $AC$. 74 | Таким образом: 75 | \emph{три срединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.} 76 | 77 | \paragraph{}\label{1938/105} 78 | \mbox{\so{Теорема}.} 79 | \textbf{\emph{Диаметр}} ($AB$, рис.~\ref{1938/ris-116}), \textbf{\emph{перпендикулярный к хорде}} ($CD$), \textbf{\emph{делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.}} 80 | Перегнём чертёж по диаметру $AB$ так, чтобы его левая часть упала на правую. 81 | Тогда левая полуокружность совместится с правой полуокружностью, и перпендикуляр $KC$ пойдёт по $KD$. 82 | Из этого следует, что точка $C$, представляющая собой пересечение полуокружности с $KC$, совпадёт с $D$; 83 | поэтому $CK=KD$, 84 | ${\smallsmile} BC={\smallsmile} BD$ и 85 | ${\smallsmile} AC={\smallsmile} AD$. 86 | 87 | \paragraph{}\label{1938/106} 88 | \mbox{\so{Обратные теоремы}.} 89 | 90 | 1. 91 | \textbf{\emph{Диаметр}} ($AB$), \textbf{\emph{проведённый через середину хорды}} ($CD$)\textbf{\emph{, не проходящей через центр, перпендикулярен к этой хорде и делит дугу, стягиваемую ею, пополам}} (рис.~\ref{1938/ris-116}). 92 | 93 | \begin{wrapfigure}{r}{33mm} 94 | \centering 95 | \includegraphics{mppics/ris-116} 96 | \caption{}\label{1938/ris-116} 97 | \end{wrapfigure} 98 | 99 | 2. 100 | \textbf{\emph{Диаметр}} ($AB$), \textbf{\emph{проведённый через середину дуги}} ($CBD$), \textbf{\emph{перпендикулярен к хорде, стягивающей эту дугу, и делит её пополам.}} 101 | 102 | Оба эти предложения легко доказываются от противного. 103 | 104 | 105 | \paragraph{}\label{1938/107} 106 | \mbox{\so{Теорема}.} 107 | \textbf{\emph{Дуги}} ($AC$ и $BD$, рис.~\ref{1938/ris-117}), \textbf{\emph{заключённые между параллельными хордами}} ($AB$ и $CD$), \textbf{\emph{равны.}} 108 | 109 | Перегнём чертёж по диаметру $EF\z\perp AB$. 110 | Тогда на основании предыдущей теоремы можно утверждать, что точка $A$ совпадёт с $B$, точка $C$ совпадёт с $D$ и, следовательно, дуга $AC$ совместится с дугой $BD$, то есть эти дуги равны. 111 | 112 | 113 | \begin{figure}[h] 114 | \begin{minipage}{.32\textwidth} 115 | \centering 116 | \includegraphics{mppics/ris-117} 117 | \end{minipage}\hfill 118 | \begin{minipage}{.32\textwidth} 119 | \centering 120 | \includegraphics{mppics/ris-118} 121 | \end{minipage}\hfill 122 | \begin{minipage}{.32\textwidth} 123 | \centering 124 | \includegraphics{mppics/ris-119} 125 | \end{minipage} 126 | 127 | \medskip 128 | 129 | \begin{minipage}{.32\textwidth} 130 | \centering 131 | \caption{}\label{1938/ris-117} 132 | \end{minipage}\hfill 133 | \begin{minipage}{.32\textwidth} 134 | \centering 135 | \caption{}\label{1938/ris-118} 136 | \end{minipage}\hfill 137 | \begin{minipage}{.32\textwidth} 138 | \centering 139 | \caption{}\label{1938/ris-119} 140 | \end{minipage} 141 | \vskip-4mm 142 | \end{figure} 143 | 144 | \paragraph{}\label{1938/108} 145 | \mbox{\so{Задачи}.} 146 | 1) \emph{Разделить данную дугу \emph{($AB$, рис.~\ref{1938/ris-118})} пополам.} 147 | 148 | Соединив концы дуги хордой $AB$, опускаем на неё перпендикуляр из центра и продолжаем его до пересечения с дугой. 149 | По доказанному в предыдущей теореме, дуга $AB$ разделится этим перпендикуляром пополам. 150 | 151 | Если же центр не известен, тогда к хорде $AB$ следует провести срединный перпендикуляр. 152 | 153 | 2) \emph{Найти центр данной окружности} (рис.~\ref{1938/ris-119}). 154 | 155 | Взяв на данной окружности какие-нибудь три точки $A$, $B$ и $C$, проводят через них две хорды, например $AB$ и $CD$, и проводят к ним срединные перпендикуляры $MN$ и $PQ$. 156 | 157 | Искомый центр, будучи одинаково удалён от $A$, $B$ и $C$, должен лежать и на $MN$ и на $PQ$, следовательно, он находится в их пересечении, то есть в точке $O$. 158 | 159 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/mat-predlozheniya.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Математические предложения} 2 | 3 | \paragraph{Теоремы, аксиомы, определения.}\label{1938/28} 4 | Из того, что было изложено, можно заключить, что некоторые геометрические истины мы считаем вполне очевидными (например, свойства плоскости и прямой в §§~\ref{1938/3} и \ref{1938/4}), а другие устанавливаем путём рассуждений (например, свойства смежных углов в §~\ref{1938/22} и вертикальных в §~\ref{1938/26}). 5 | Такие рассуждения являются в геометрии главным средством обнаружить свойства геометрических фигур. 6 | Поэтому для дальнейшего полезно заранее познакомиться с теми видами рассуждений, которые применяются в геометрии. 7 | Все истины, которые устанавливаются в геометрии, выражаются в виде предложений. 8 | 9 | Эти предложения бывают следующих видов. 10 | 11 | \textbf{Определения.}\rindex{определение} 12 | Определениями называют предложения, в которых разъясняется, какой смысл придают тому или другому названию или выражению. 13 | Например, мы уже встречали определения центрального угла, прямого угла и перпендикуляра. 14 | 15 | \textbf{Аксиомы.}\rindex{аксиома} 16 | Аксиомами называют истины, которые принимаются без доказательства. 17 | Таковы, например, предложения, встречавшиеся нам ранее (§~\ref{1938/4}): 18 | через всякие две точки можно провести прямую и притом только одну; 19 | если две точки прямой лежат в данной плоскости, то и все точки этой прямой лежат в той же плоскости. 20 | 21 | Укажем ещё следующие аксиомы, относящиеся ко всякого рода величинам: 22 | 23 | если две величины равны порознь одной и той же третьей величине, то они равны и между собой. 24 | 25 | если к равным величинам прибавим поровну или от равных величин отнимем поровну, то равенство не нарушится. 26 | 27 | если к неравным величинам прибавим поровну или от неравных величин отнимем поровну, то смысл неравенства не изменится, то есть б\'{о}льшая величина останется б\'{о}льшей. 28 | 29 | \textbf{Теоремы.}\rindex{теорема} 30 | Теоремами называются предложения, истинность которых обнаруживается только после некоторого рассуждения (доказательства). 31 | Примером могут служить следующие предложения. 32 | 33 | если в одном круге или в равных кругах центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны. 34 | 35 | если при пересечении двух прямых между собой один из четырёх углов окажется прямой, то и остальные три угла прямые. 36 | 37 | \textbf{Следствия.}\rindex{следствие} 38 | Следствиями называются предложения, которые составляют непосредственный вывод из аксиомы или из теоремы. 39 | Например, из аксиомы: 40 | «через две точки можно провести только одну прямую» следует, что «две прямые могут пересечься только в одной точке». 41 | 42 | \paragraph{Состав теоремы.}\label{1938/29} 43 | Во всякой теореме можно различить две части: 44 | условие и заключение. 45 | \textbf{Условие} выражает то, что предполагается данным; 46 | \textbf{заключение} — то, что требуется доказать. 47 | Например, в теореме: 48 | «если центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны» условием служит первая часть теоремы: 49 | «если центральные углы равны», а заключением — вторая часть: 50 | «то и соответствующие им дуги равны»; 51 | другими словами, нам дано (нам известно), что центральные углы равны, а требуется доказать, что при этом условии и соответствующие дуги также равны. 52 | 53 | Условие и заключение теоремы могут иногда состоять из нескольких отдельных условий и заключений; 54 | например, в теореме: 55 | «если число делится на 2 и на 3, то оно разделится и на 6» условие состоит из двух частей: 56 | «если число делится на 2» и «если число делится на 3». 57 | 58 | Полезно заметить, что всякую теорему можно подробно выразить словами так, что её условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». 59 | Например, теорему: 60 | «вертикальные углы равны» можно подробнее высказать так: 61 | «если два угла вертикальные, то они равны». 62 | 63 | \paragraph{Обратная теорема.}\label{1938/30}\rindex{обратная теорема} 64 | Теоремой, обратной данной теореме, называется такая, в которой условием поставлено заключение (или часть заключения), а заключением — условие (или часть условия) данной теоремы. 65 | Например, следующие две теоремы обратны друг другу. 66 | 67 | \medskip 68 | 69 | {\sloppy 70 | 71 | \columnratio{0.5} 72 | \setlength{\columnseprule}{.2pt} 73 | \begin{paracol}{2} 74 | \textbf{\emph{Если центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны.}} 75 | \switchcolumn 76 | \textbf{\emph{Если дуги равны, то и соответствующие им центральные углы равны.}} 77 | \end{paracol} 78 | 79 | } 80 | 81 | \medskip 82 | 83 | Если одну из этих теорем назовём \textbf{прямой}, то другую следует назвать обратной. 84 | В этом примере обе теоремы, и прямая, и обратная, оказываются верными. 85 | Но так бывает не всегда. 86 | Например, теорема: 87 | «если два угла вертикальные, то они равны» верна, но обратное предложение: 88 | «если два угла равны, то они вертикальные» неверно. 89 | 90 | В самом деле, допустим, что в каком-либо углу проведена его биссектриса (рис.~\ref{1938/ris-13}). 91 | Она разделит данный угол на два меньших угла. 92 | Эти углы будут равны между собой, но они не будут вертикальными. 93 | 94 | {\sloppy 95 | 96 | \paragraph{Противоположная теорема.}\label{1938/31}\rindex{противоположная теорема} 97 | Теоремой, противоположной данной теореме, называется такая, условие и заключение которой представляют отрицание условия и заключения данной теоремы. 98 | Например, теореме: 99 | «если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9» соответствует такая противоположная: 100 | «если сумма цифр не делится на 9, то число не делится на 9». 101 | 102 | } 103 | 104 | Заметим, что верность прямой теоремы ещё не служит доказательством верности противоположной: 105 | например, противоположное предложение: 106 | «если каждое слагаемое не делится на одно и то же число, то и сумма не разделится на это число» — неверно, тогда как прямое предложение верно. 107 | 108 | \paragraph{Зависимость между теоремами: прямой, обратной и противоположной.}\label{1938/32} 109 | Для лучшего уяснения этой зависимости выразим теоремы сокращённо так (буквой $A$ мы обозначим условие теоремы, а буквой $B$ — её заключение). 110 | 111 | 1) \textbf{Прямая:} 112 | если есть $A$, то есть и $B$. 113 | 114 | 2) \textbf{Обратная:} 115 | если есть $B$, то есть и $A$. 116 | 117 | 3) \textbf{Противоположная прямой:} 118 | если нет $A$, то нет и $B$. 119 | 120 | 4) \textbf{Противоположная обратной:} 121 | если нет $B$, то нет и $A$. 122 | 123 | Рассматривая эти предложения, легко заметить, что первое из них находится в таком же отношении к четвёртому, как второе к третьему, а именно: 124 | предложения первое и четвёртое обратимы одно в другое, равно как второе и третье. 125 | Действительно, из предложения: 126 | «если есть $A$, то есть и $B$» непосредственно следует: 127 | «если нет $B$, то нет и $A$» (так как если бы $A$ было, то, согласно первому предложению, было бы и $B$); 128 | обратно, из предложения: 129 | «если нет $B$, то нет и $A$» выводим: 130 | «если есть $A$, то есть и $B$» (так как если бы $B$ не было, то не было бы и $A$). 131 | Совершенно так же убедимся, что из второго предложения следует третье, и наоборот. 132 | 133 | Таким образом, чтобы иметь уверенность в справедливости всех четырёх теорем, нет надобности доказывать каждую из них отдельно, а достаточно ограничиться доказательством только двух: 134 | прямой и обратной, или прямой и противоположной. 135 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/vpis-opis-mnougi.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Вписанные и описанные многоугольники} 2 | 3 | \paragraph{}\label{1938/136} 4 | \mbox{\so{Определения}.} 5 | Если все вершины многоугольника $ABCDE$ лежат на окружности (рис.~\ref{1938/ris-155}), то говорят, что этот многоугольник \rindex{вписанный многоугольник}\textbf{вписан в окружность}, или что окружность \rindex{описанная окружность}\textbf{описана вокруг него}. 6 | 7 | \begin{wrapfigure}[10]{r}{40mm} 8 | \centering 9 | \includegraphics{mppics/ris-155} 10 | \caption{}\label{1938/ris-155} 11 | \end{wrapfigure} 12 | 13 | Если все стороны какого-нибудь многоугольника ($MNPQ$, рис.~\ref{1938/ris-155}) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник \rindex{описанный многоугольник}\textbf{описан около окружности}, или что окружность \rindex{вписанная окружность}\textbf{вписана в него}. 14 | 15 | { 16 | \sloppy 17 | 18 | \paragraph{}\label{1938/137} 19 | \mbox{\so{Теоремы}.} 20 | 1) \textbf{\emph{Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну.}} 21 | 22 | } 23 | 24 | 2) \textbf{\emph{Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну.}} 25 | 26 | 1) Вершины $A$, $B$ и $C$ всякого треугольника не лежат на одной прямой, а через такие точки, как мы видели (§~\ref{1938/104}), всегда можно провести окружность и притом только одну. 27 | 28 | \begin{wrapfigure}{o}{40mm} 29 | \centering 30 | \includegraphics{mppics/ris-156} 31 | \caption{}\label{1938/ris-156} 32 | \end{wrapfigure} 33 | 34 | 2) Если существует такая окружность, которая касалась бы всех сторон треугольника $ABC$ (рис.~\ref{1938/ris-156}), 35 | то её центр должен быть точкой, одинаково удалённой от этих сторон. 36 | Докажем, что такая точка существует. 37 | Геометрическое место точек, равно отстоящих от сторон $AB$ и $AC$, есть биссектриса $AM$ угла $A$ (§~\ref{1938/60}); 38 | геометрическое место точек, равно отстоящих от сторон $BA$ и $BC$, есть биссектриса $BN$ угла $B$. 39 | Эти две биссектрисы должны, очевидно, пересечься внутри треугольника в некоторой точке $O$. 40 | Эта точка и будет равноудалённой от всех сторон треугольника, так как она находится на обоих геометрических местах. 41 | 42 | Итак, чтобы вписать круг в треугольник, делим какие-нибудь два угла его, например $A$ и $B$, пополам и точку пересечения биссектрис берём за центр. 43 | За радиус берём один из перпендикуляров $OP$, $OQ$ или $OR$, опущенных из центра на стороны треугольника. 44 | Окружность коснётся сторон в точках $P$, $Q$ и $R$, так как стороны в этих точках перпендикулярны к радиусам в их концах, лежащих на окружности (§~\ref{1938/113}). 45 | Другой вписанной окружности не может быть, так как две биссектрисы пересекаются только в одной точке, а из одной точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр. 46 | 47 | {\small 48 | 49 | \smallskip 50 | \so{Замечание}. 51 | Оставляем самим учащимся убедиться, что центр описанной окружности лежит внутри треугольника только тогда, когда треугольник остроугольный; 52 | в тупоугольном же треугольнике он лежит вне его, а в прямоугольном — на середине гипотенузы. 53 | Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника. 54 | 55 | } 56 | 57 | \smallskip 58 | \so{Следствие}. 59 | Точка $O$ (рис.~\ref{1938/ris-156}), находясь на одинаковом расстоянии от сторон $CA$ и $CB$, должна лежать на биссектрисе угла $C$; 60 | следовательно, \emph{биссектрисы трёх углов треугольника пересекаются в одной точке.} 61 | 62 | \begin{wrapfigure}{r}{45mm} 63 | \vskip-4mm 64 | \centering 65 | \includegraphics{mppics/ris-157} 66 | \caption{}\label{1938/ris-157} 67 | \end{wrapfigure} 68 | 69 | {\small 70 | 71 | \paragraph{Вневписанные окружности.}\label{1938/138} 72 | Вневписанными называются окружности (рис.~\ref{1938/ris-157}), которые касаются одной стороны треугольника и \so{продолжений} двух других сторон (они лежат вне треугольника, вследствие чего и получили название \rindex{вневписанная окружность}\textbf{вневписанных}). 73 | 74 | 75 | Таких окружностей для всякого треугольника может быть три. 76 | Чтобы построить их, проводят биссектрисы внешних углов треугольника $ABC$ и точки их пересечений берут за центры. 77 | Так, центром окружности, вписанной в угол $A$, служит точка $O_a$, то есть 78 | пересечение биссектрис $BO_a$ и $CO_a$ внешних углов, не смежных с $A$; 79 | радиус этой окружности есть перпендикуляр, опущенный из $O_a$ на какую-либо сторону треугольника. 80 | 81 | \begin{wrapfigure}{r}{27mm} 82 | \centering 83 | \includegraphics{mppics/ris-158} 84 | \caption{}\label{1938/ris-158} 85 | \end{wrapfigure} 86 | 87 | } 88 | 89 | \paragraph{Свойства вписанного выпуклого четырехугольника.}\label{1938/139} 90 | 1) \textbf{\emph{В выпуклом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $\bm{180\degree}$.}} 91 | 92 | 2) \textbf{\emph{Обратно, если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $\bm{180\degree}$, то около него можно описать окружность.}} 93 | 94 | 1) Пусть $ABCD$ (рис.~\ref{1938/ris-158}) есть вписанный выпуклый четырёхугольник; 95 | требуется доказать, что 96 | \[\angle B+\angle D = 180\degree 97 | \quad\text{и}\quad 98 | \angle A + \angle C = 180\degree.\] 99 | 100 | Так как сумма всех четырёх углов всякого выпуклого четырёхугольника равна $360\degree$ (§~\ref{1938/82}), то достаточно доказать только одно из требуемых равенств. 101 | 102 | Докажем, например, что $\angle B+\angle D = 180\degree$. 103 | 104 | Углы $B$ и $D$, как вписанные, измеряются: 105 | первый — половиной дуги $ADC$, второй — половиной дуги $ABC$; 106 | следовательно, сумма $\angle B+\angle D$ измеряется суммой $\tfrac12{\smallsmile}ADC + \tfrac12{\smallsmile}ABC$, а эта сумма равна $\tfrac12({\smallsmile}ADC\z+{\smallsmile}ABC)$, то есть 107 | равна половине окружности; 108 | значит: 109 | \[\angle B+\angle D=180\degree.\] 110 | 111 | 2) Пусть $ABCD$ (рис.~\ref{1938/ris-158}) есть такой выпуклый четырёхугольник, у которого $\angle B+\angle D = 180\degree$, и, следовательно, $\angle A \z+ \angle C =180\degree$. 112 | Требуется доказать, что около такого четырёхугольника можно описать окружность. 113 | 114 | Через какие-нибудь три его вершины, например через $A$, $B$ и $C$, проведём окружность (что всегда можно сделать). 115 | Четвёртая вершина $D$ должна находиться на этой окружности, потому что в противном случае вершина угла $B$ лежала бы или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги $ABC$; 116 | поэтому сумма $\angle B+\angle D$ не измерялась бы полусуммой дуг $ADC$ а $ABC$ (§~\ref{1938/130}) и, значит, сумма $\angle B+\angle D$ не равнялась бы $180\degree$, что противоречит условию. 117 | 118 | \smallskip 119 | \so{Следствия}. 120 | 1) \emph{Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.} 121 | 122 | 2) \emph{Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная.} 123 | 124 | \paragraph{Свойство описанного четырехугольника.}\label{1938/140} 125 | \textbf{\emph{В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.}} 126 | 127 | \begin{wrapfigure}{o}{44mm} 128 | \centering 129 | \includegraphics{mppics/ris-159} 130 | \caption{}\label{1938/ris-159} 131 | \end{wrapfigure} 132 | 133 | Пусть $ABCD$ (рис.~\ref{1938/ris-159}) будет описанный четырёхугольник, то есть стороны его касаются окружности; 134 | требуется доказать, что 135 | \[AB+CD=BC+AD.\] 136 | 137 | Обозначим точки касания буквами $M$, $N$, $P$ и $Q$. 138 | Так как две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то 139 | \begin{align*} 140 | AM&=AQ,& BM&=BN, 141 | \\ 142 | CP&=CN, & DP &= DQ. 143 | \end{align*} 144 | 145 | Следовательно, 146 | \begin{align*} 147 | AM&+MB+CP+PD = 148 | \\ 149 | &= 150 | AQ + QD+BN+NC, 151 | \end{align*} 152 | то есть 153 | \[AB+CD=AD+BC.\] 154 | -------------------------------------------------------------------------------- /eps/babochka.eps: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 2 | %%Creator: cairo 1.14.6 (http://cairographics.org) 3 | %%CreationDate: Thu Mar 22 22:46:39 2018 4 | %%Pages: 1 5 | %%DocumentData: Clean7Bit 6 | %%LanguageLevel: 3 7 | %%BoundingBox: 0 4 103 95 8 | %%EndComments 9 | %%BeginProlog 10 | save 11 | 50 dict begin 12 | /q { gsave } bind def 13 | /Q { grestore } bind def 14 | /cm { 6 array astore concat } bind def 15 | /w { setlinewidth } bind def 16 | /J { setlinecap } bind def 17 | /j { setlinejoin } bind def 18 | /M { setmiterlimit } bind def 19 | /d { setdash } bind def 20 | /m { moveto } bind def 21 | /l { lineto } bind def 22 | /c { curveto } bind def 23 | /h { closepath } bind def 24 | /re { exch dup neg 3 1 roll 5 3 roll moveto 0 rlineto 25 | 0 exch rlineto 0 rlineto closepath } bind def 26 | /S { stroke } bind def 27 | /f { fill } bind def 28 | /f* { eofill } bind def 29 | /n { newpath } bind def 30 | /W { clip } bind def 31 | /W* { eoclip } bind def 32 | /BT { } bind def 33 | /ET { } bind def 34 | /pdfmark where { pop globaldict /?pdfmark /exec load put } 35 | { globaldict begin /?pdfmark /pop load def /pdfmark 36 | /cleartomark load def end } ifelse 37 | /BDC { mark 3 1 roll /BDC pdfmark } bind def 38 | /EMC { mark /EMC pdfmark } bind def 39 | /cairo_store_point { /cairo_point_y exch def /cairo_point_x exch def } def 40 | /Tj { show currentpoint cairo_store_point } bind def 41 | /TJ { 42 | { 43 | dup 44 | type /stringtype eq 45 | { show } { -0.001 mul 0 cairo_font_matrix dtransform rmoveto } ifelse 46 | } forall 47 | currentpoint cairo_store_point 48 | } bind def 49 | /cairo_selectfont { cairo_font_matrix aload pop pop pop 0 0 6 array astore 50 | cairo_font exch selectfont cairo_point_x cairo_point_y moveto } bind def 51 | /Tf { pop /cairo_font exch def /cairo_font_matrix where 52 | { pop cairo_selectfont } if } bind def 53 | /Td { matrix translate cairo_font_matrix matrix concatmatrix dup 54 | /cairo_font_matrix exch def dup 4 get exch 5 get cairo_store_point 55 | /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def 56 | /Tm { 2 copy 8 2 roll 6 array astore /cairo_font_matrix exch def 57 | cairo_store_point /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def 58 | /g { setgray } bind def 59 | /rg { setrgbcolor } bind def 60 | /d1 { setcachedevice } bind def 61 | %%EndProlog 62 | %%BeginSetup 63 | %%EndSetup 64 | %%Page: 1 1 65 | %%BeginPageSetup 66 | %%PageBoundingBox: 0 4 103 95 67 | %%EndPageSetup 68 | q 0 4 103 91 rectclip q 69 | Q q 70 | 0 93.599 102.398 -88.781 re W n 71 | q 72 | 0 94.4 103 -90 re W n 73 | [ 0.8 0 0 0.799827 0 4.819197 ] concat 74 | /DeviceGray setcolorspace 75 | 8 dict dup begin 76 | /ImageType 1 def 77 | /Width 128 def 78 | /Height 111 def 79 | /Interpolate true def 80 | /BitsPerComponent 8 def 81 | /Decode [ 0 1 ] def 82 | /DataSource currentfile /ASCII85Decode filter /FlateDecode filter def 83 | /ImageMatrix [ 1 0 0 -1 0 111 ] def 84 | end 85 | image 86 | Gb"/)l#RM.(B9Fb5-VlUhudd5h\o(pKPVO`\$75fb6J6p(uk^GiV:?s-'9K&#SehsW>o_ta\ 87 | cJT2cM)36]rbKYe(4p:^"Xt9sA9flfjuY8M`[QWVtiN_,em(^L-a$GP186KFQY.%GIKT/,f 88 | $>IoB;7o&YYA2:)lsa1LVBa$1)`qI)Q8d[&2MO+'1[>Q411&P(Go>OhXa=AGa;\_EP]Sr#Y 89 | ug8'6J\g>&"T#bn+WI"N'D.89rj*.+[qR'?EnrDCnR['G/%)3aWEO*M:aWOV7#KAI]Eu<=LTkX6K,Cp>VCMPMmiL)s"--irr^,?#5qJoai;!S,!,1K@*jK4(&l-(=JK!#3noW 93 | Gu&_]!gDF0mi1Pe0u(5kZRsRn%h3g 94 | mg\?LLMK"M5!:P!1gBXAld&4o[?]VHT8jP%r%s*PL`(Q&&[MaKpK8\X/7,Q)\:YTjaftU-" 95 | m4`tP:bf=$G,UNS!UZc^AdI9NNn_BiQ'uP^(NB5-ZIVfMFJk6S"Gr\3H[ZAt]r3">T#p(sR 96 | l$uB[34LM0OrJcboGonCl>S`%N;EA;lG)9GCI'&^'&p4F.?A^ecB^j7D(*]!1R(t&F4<[mo 97 | Mm1kCWQcY(oMe\`u:u?tNK)]mg0/Pcil0cTsF1.:'bQ)t'bcG:sh\X=G/pbsoZ&<9IpcOI[ 98 | JiQ[tib!;Jkl/m#,RJmZeu^-/#1jU1Ipbtl%o"FiTIAT,q'Qj)dKI5(XF"1W`T@=^Ckpe:U/SVgi3'^+X;Zl,7$OC=%VibO''Pt#';$fhna(G7$!\+rA/!9J_S`Wg52S]!J*+3bflci;`,n=);D*XS,s*ssY,YCX9"O5]]HPJs%%)R7&;r4:L_l.d'Ug:p#NX%LbBU+:717ne)Yn]7*djYNL+TF>Xgc*f!,f[#2IR2&?o&*-\^pFWlbe 107 | W[1/8PP,b5$G3Sn]1S^.9&9&r%LHp6Q=@2]I":7p<*OVt^WEh$p+PK.EM?_XE%P.r28$:MW 108 | `^rn&mm?R)2FA*3@_;E-90K2X@9hgoru+`AEc\h>5&Fhb96,'2QkkP\h28lU=;1/1=[I1AH 109 | 3Kj$]#Ug6*t'./AJn-B)u/sj&laIVY6Go:'NS`\nrA"![YdV_Vu:no2d-DCNF+mZtRgVdJ\ 110 | L\W]D?]r#^<*1Ttrc!0#.s_1^QG%XG:%WYo]OCqU"K%fF2:+MGjM@H($,Vs0FF+@>Ija8Ug 111 | =0HJIY7=*2"?8dq&i_G$p7S23p\&K=a:'deA3BH:EXQGXoRN*gkC,#OgiMcni=fbF,Pgt^# 112 | (6DKfj!6)rF(Q$KKc*r5Y81?$o&35j(mm^9AYSf=q^3+`r;k'U6c09-f4n(hAqgScB(%kb# 113 | 6P(Ie'!A=)6Vo4/&#aY!>_JI84OVjt=ZBR%g2JmqrGL5];U#=n_JPCAWIm*`Asq!Xpg7;=k 114 | =cUL^]MgI-19u$dFD`\&!!.PI"2tmQ]r06$c*dL3-QOGS"kFLhFYe9O5\`sILI$qBuG'i-3%o]^#obI96Os,`JZ)p>6#lg$'<7YU]H7DK_`E%Fkk)Fg$A.MI:Va 116 | SYEf7/pp"4oF9,M9OI=?i[Y#MhHRJ/U(#h`?^uS`;.6]HA$LuL/he`G]/?ldVqaO5)Fsm(3 117 | ifdERc(hPcq?OC0<\9F2a+5Wt9AsMONuQYgNRGI;PYa'MlA;;T/.[IE6E\RAFM;G%'(i?(. 118 | CW`5O;gkmU6\d5E"+Zt;;l`Gg.nafqBXX&/2g5g%m%UmM/s#5l0J+:6[K1mA:cEZNWRlKZnNR%t]1D+^:`_k8lsO)RJb]a#9W;.* 120 | KA$#(/*JM,rih4a!or>VBV/]r1;3ac'MFGrbprLM_(e`'XP.IEP*g,89M*l?gsX%`Ce;*;D 121 | &C+86r3=iGi:"9BcI0;dXc?%H8P. 123 | U,*`P!I0r^n%P""%U3u.OdCa#f^q-t-.YQaDTWCj8HW0#pBtAp:oSHqe"ee)G[F9,&^5!8p? 127 | 5n6T6jq#g[,JkK9f8WicOqg%?*t4#&ci$'^mi`^Nh$uQa#ZZEN"Wfe)djK[`[SX[D&`a4ZL 128 | >gi1T:Z1]HnIn/#L*$,l=Mh8@9noX9u5fb`7"qiB$JLZBfl91r3=]:4BZ-H3Ci#0+YF%2es 129 | 3cr_-urI4q6Cnc51c<,RHX_^G7JHJS<_iEQQ_fEQm2Eibc10Uk,#?_eIouQjbDjR)#k@DII 130 | ;2pW_OMKNtnKA4gjf%Z&moO1ghkb^#.N^h3]MP:W(fIQEBVHT7;l*Dh&=(#'_!pe#IT\S,G 131 | j3s!52$!,QBeE<5K0B;Q$6HE[%B7qaZ?Y.'?]2pUj,W!7YH_[c5JG5bTt6i-to'GTQTIHQD 132 | mb$-PbtYA"$[Ic(U),So)UVZ6TThM$ol!k?n9)r&PboC9/XF%SZu'RT7JB-O=d[GF7>j#=_ 133 | QaAjtk(N)P,`7:f%#]qWjrn<]5eFu*E>&K+/OX>."sUF4u0ffm`C#+!?#8ii=JVWf&NT!Dk 134 | bAg/.@E0j#+<5\:U'28pMXn7OE(3%J&jit:3!ir+r`LGT#q@Ae7@E)s5[Zf_UU;;V5.PaY_ 135 | 2Sg*lTRV+>=X#cH6/.`!$Z*F)Q]']I)>M"!!sN9O"gD 138 | 0iVlu<3i9r$00kM'pO!9Kc3)[#&2.%LrJ0R1D8a.tJIkq:IDlZH/o(P_F"TITr2TRlk99Gn 139 | !(Sef2-/M"Va6AW8JhF,[Y,u.JC:0:]h1,;IinrQbr&+.s@n[35C-.(^BN`?d/RP=6@\`e$ 140 | j>oeh5h..FQXXPc6CE#Dh10s+\;j8JckiGWtF&;5(a9B#\!qJnkq<9ThpQ25;tNIj 142 | Fq#H'0,,XJGE'@Nf\sXFKmSP@09[$Zc%kPL027.GO*k&osN2%2++tN81&cm9cQsW+PT(M0* 143 | b0!Wf^38d5F1^PUtTUOsA9=#d/f7r7!O[^;M!,[WRcOqlFp(WTg3J(MX9qdDC6@:fOk^lg) 144 | G3/AkNrE7ZS*Fuo1"Yc*L`;onE8E$t3gn0(L4^[@2Le`<7[)!$U'aLARR\7uVOn7cVC28HmkkrF!*`8`'c8;aDier[iH$0/AbVj)dZ`Lu*VA+%f< 147 | AESL]Er/0;O3QW#ZJMhQ$4BNdd3>R\#45hcEI/+QV(,I2qtR(?,Im/5WGCRD8i8!iP[oSe, 148 | 3>cG::78`_%lbSQ3;.cl=baSjG&(2rBg8GmQP-`Y*l8-6a_C3tXPBQ0_)+dpF/UpG*Gou2dPHn,j:WJ'*d\Y%@US&F`jZGKq\;':jFJD 153 | 1jcK0NFbj^5R<rRetj'6`oaI=/'irCKD9tS))-Ar6;u&hk1G 154 | 4TFH2_qB,GG`M3~> 155 | Q 156 | Q Q 157 | showpage 158 | %%Trailer 159 | end restore 160 | %%EOF 161 | -------------------------------------------------------------------------------- /eps/klenovyj-list.eps: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0 2 | %%Creator: cairo 1.14.6 (http://cairographics.org) 3 | %%CreationDate: Fri Mar 23 01:47:59 2018 4 | %%Pages: 1 5 | %%DocumentData: Clean7Bit 6 | %%LanguageLevel: 3 7 | %%BoundingBox: 0 -1 103 103 8 | %%EndComments 9 | %%BeginProlog 10 | save 11 | 50 dict begin 12 | /q { gsave } bind def 13 | /Q { grestore } bind def 14 | /cm { 6 array astore concat } bind def 15 | /w { setlinewidth } bind def 16 | /J { setlinecap } bind def 17 | /j { setlinejoin } bind def 18 | /M { setmiterlimit } bind def 19 | /d { setdash } bind def 20 | /m { moveto } bind def 21 | /l { lineto } bind def 22 | /c { curveto } bind def 23 | /h { closepath } bind def 24 | /re { exch dup neg 3 1 roll 5 3 roll moveto 0 rlineto 25 | 0 exch rlineto 0 rlineto closepath } bind def 26 | /S { stroke } bind def 27 | /f { fill } bind def 28 | /f* { eofill } bind def 29 | /n { newpath } bind def 30 | /W { clip } bind def 31 | /W* { eoclip } bind def 32 | /BT { } bind def 33 | /ET { } bind def 34 | /pdfmark where { pop globaldict /?pdfmark /exec load put } 35 | { globaldict begin /?pdfmark /pop load def /pdfmark 36 | /cleartomark load def end } ifelse 37 | /BDC { mark 3 1 roll /BDC pdfmark } bind def 38 | /EMC { mark /EMC pdfmark } bind def 39 | /cairo_store_point { /cairo_point_y exch def /cairo_point_x exch def } def 40 | /Tj { show currentpoint cairo_store_point } bind def 41 | /TJ { 42 | { 43 | dup 44 | type /stringtype eq 45 | { show } { -0.001 mul 0 cairo_font_matrix dtransform rmoveto } ifelse 46 | } forall 47 | currentpoint cairo_store_point 48 | } bind def 49 | /cairo_selectfont { cairo_font_matrix aload pop pop pop 0 0 6 array astore 50 | cairo_font exch selectfont cairo_point_x cairo_point_y moveto } bind def 51 | /Tf { pop /cairo_font exch def /cairo_font_matrix where 52 | { pop cairo_selectfont } if } bind def 53 | /Td { matrix translate cairo_font_matrix matrix concatmatrix dup 54 | /cairo_font_matrix exch def dup 4 get exch 5 get cairo_store_point 55 | /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def 56 | /Tm { 2 copy 8 2 roll 6 array astore /cairo_font_matrix exch def 57 | cairo_store_point /cairo_font where { pop cairo_selectfont } if } bind def 58 | /g { setgray } bind def 59 | /rg { setrgbcolor } bind def 60 | /d1 { setcachedevice } bind def 61 | %%EndProlog 62 | %%BeginSetup 63 | %%EndSetup 64 | %%Page: 1 1 65 | %%BeginPageSetup 66 | %%PageBoundingBox: 0 -1 103 103 67 | %%EndPageSetup 68 | q 0 -1 103 104 rectclip q 69 | Q q 70 | 0 102.4 102.398 -102.398 re W n 71 | q 72 | 0 102.4 103 -103 re W n 73 | [ 0.8 0 0 0.8 0 0.00000152588 ] concat 74 | /DeviceGray setcolorspace 75 | 8 dict dup begin 76 | /ImageType 1 def 77 | /Width 128 def 78 | /Height 128 def 79 | /Interpolate true def 80 | /BitsPerComponent 8 def 81 | /Decode [ 0 1 ] def 82 | /DataSource currentfile /ASCII85Decode filter /FlateDecode filter def 83 | /ImageMatrix [ 1 0 0 -1 0 128 ] def 84 | end 85 | image 86 | Gb"/iq0Q&lRE,>nace*l2R6l:[NqVrQ`p+2?a"Wg[4KM0j<\+dM[][g+_7?"D))VY1eUD=3m 87 | ^Q.kbLr%-A@UodSA6+,agtk83-clkFB.tnHK,44aip95M4TYOZki#I*_P8h]lR^5N#HTUV]c/Kg`CSrn$2#E#[DrO! 89 | "+mnY[Jdr^tQh?DW5l<'O"9*V\]m[4PdR0p:nOLplfI6_l/\\F)o[W?9*f4"Ka^CVC&"[;: 90 | 2N#8rdd"N+rOAE,=Y,k2faPG$_d6sL#WIX5BPhOk?IdJ;Cak=g:?JOJo^qct?eQX:X:=MX0 91 | o\Yh!4lFOmHTk>!5A3W`o-k,9F#D2%QJmI>bR7%1VrF)HWcDJ%0,/.m>PA%mfn$)6D754]6 92 | h,uLfj#CNT$LGDsnAH3BS:b<2c&[.Z%%JBEX]Rs@!'p,T>XruI/[I=;HbUaMgap-5 96 | 7T93:6-EiGP9ON#Oag92lh5:fFO2X04#G>3^`5+1I/7DG;?YWPh-G4*oO/$,@;Q-!k_D^*E 97 | `pPHQ=qtKFRJ-b,Y"h.NEB8K$XjY,*CYmO@ls`#QJBpSKX;W3Gbk(VED6f^\<7r[lY#sr[<&4:0Y!+.CG[I$&9!2G(W:Y`?C>'ge[k7 99 | "7.4YD>->];OAW=hGSe0mCiX*+?1?Jm-BkEBY[!A`.YZ$O4/gj0!]m1U^ceH1Xn\j.M^`DF 100 | >a%`1_3IMA^";H=qtoLG[oRhGmCJLbG5YM0O3^P8>%,JnB$Zc(c\'@RM!L91nSYnmZ3'=7_ 101 | aeHkgc2XgX/GtdZ0tWV%sj0*r3?ptH[8d"V*&5E#phIj!IQS7PUkm_4n6OMW9%U]qV-38O* 102 | Fa+eGo$r!tVd8?R4(4Zusj[\a/=+%\=jtXPLQf8pS@`k=KF2"8G,HV,39Z!nX@MO*oZNEJq 103 | eV(;Ke=1J+Ln[;,q.L:J@Mi5#X?@TD7cf3[+_b>&`N0Xt:,(Is]*8j*e/M-c_`bWEc#ZY/ig:nIN%7ZtQ)E;SYBkNma9`"Ze^i`/(V8/@LGS 105 | j-FKDMOc$L&+QT%V)h))4f?aLL;2%=brGaH[s._>!:OrR*aTG>@B'PSC'46selFgReC\l)E 106 | "J[o;k;,bEWrnW=TW@&ET(t,5T_eU&JG38!p6=A>_M,Q`hZ$i7J+ 107 | TF/XdkuCekNB`C?GqlF?62kVq==;(Xk[/p_/G#;4Hi%[nfd_N;T)0YIE?aU1? 108 | /dCl';WGctNGJQ+)anID[Qa1gNA[.J1np%:'?^0;eIJkCs;SCB>\Is$>[1;mUZ9m)cF&Q?O 109 | Opojuh["Pf)KqLu/N.B#sF$mp*bO0IB#"Q]`5-O_DX78`bZC@8r.-LP\mCef-0>9I(Is5ru 113 | rF6Mu)UlTtQZ#6,?+)pk-H,[So+WRu%4qo"R`I(lh"\Ls20<*hO(Fs)U-4H:IAR(Tt7^+`+ 114 | ;7gT$;bi=%Z%6TC,gY8,?I-DUI.j9[8g?LV/Sj5Z2Nf,2,PQsR6W*^jj>V__+ks:+Y6Mr7M 115 | LHmKqYJ:5mZp]u2NsF7p)h$@iFjKK;JXD=J)`DUj7ra/HsCr.LnC3)!# 117 | t%Ue^51>G^MP$m@\H6#7IqMYO(;\aDoZQOd<@Z-V"5l&+O)9eo6TcE5HG"6[YHo`rUX0!_? 118 | o"Tjt"Wq0GL/kml(uFO4H;X'!q[)0gNMRFk8j`<^1gDN9sOI3PW?AB>Y1Rk9c!b+"ccS=5< 119 | ?6?&uA>IhD_k%Q[!i:JT]=/SFepfT*4.`Z$>'-duaucbA+b2dRjBt6F14AOh`.@\ErIeI,G 125 | PJs,iKHIL"#iXgMT2)&AoLE]WYoA.(:UdFZ?^Zkd8?KX)M5:iQ9Wlm/Sehk*Q#Q*k5*JPVb 126 | uTbAA9"Cob>"r@8`9dJb\RWG`)^[`)WIrdT'fp1:&+Rfr`XfJ`pqaoBt:LA5RHo^&>..cC_ 127 | 6%RTIdRF7E;IOS"%ZqiV:OLi\BduF`/oPW@M7RpSI/Tk'r[(G5C=QNGP(Q\&c.>Z;9I%aB/m)NqR@T@\pZfO_ 129 | ;HDedb(Bl@MekdkQL!5!i6^^O(Jb#O%2,G?NDm8$&;k:!>Df0`6/f[#rL\NN/t1r83kfGp[.<%BaF]O$;]Zs6LS3 131 | 'N`AWH%jAAFET(-V2F7q"a_`1`DF?O1`/PnVP;M*)L?hfNV14lGI#-[gD/1UBO!bPB_e[sJp)]h0n7!Eg?TC[=3J;4BLT#5bHib+u<1>3(%99 133 | Q3?`FGTa)BkL]oiHljPekKs48P:G$gk,A[F?:/9lgfTrTMf_Xl1nKl3=J/*!R/TcnX0" 138 | [5,;tNuKMpZ+!oR!Q^%(3.@8h1".9FYdqg5/l\2ae/nXAPLT`&?E!+i]iGHJW;ktH6: 140 | 08?6ip[/,)]Rd9on^T0LST[Ph-u$5jT+ZV+Vt#_r=`,u54a19&T]JYmp6t(Ei?o%37iiIq4 141 | ?s7gBJZN$Q4#f.&l!e$TD/Z@LoY-u\FRKT6OG:r*?p_,TF[9blLA)Rn^N!`)"O+#6%X6NLF 142 | [9sUd]k*EaboZZHlCL:\OB&hdg3deIS,:,!J.27M(!L7O^)6F-7S7ZFmsVagL1Cha43- 143 | ?;eFtWOgCdb,ZZ?YTWGPkL_eX,IGIMJR 144 | ]G\s,1EiES6SB?J\0@]_teRZF)@:=.gJ\5P=HXH^?masIJpIl?GTj[#=g>\.C/!!6pK5n(Y 145 | KF8m[a%Q5#IBq`:n[iu3Sfc/8.gDS'ou#[gFmcX_[OGVu%e)N;2d/lJAe_:&SrKu3W*GQ%fe!XaEl3::ejPD.D@l0Z)*ILj6_I<=BGrHmZ-]s.2#h5nD+".6c]Z:FBVVJb0LVCCGR&hVh/lE$u8i2_&`c(V'5#ljrHR"bJUCQ0ZBl*&5QYBT@! 150 | OU-+c'FIm,-k@pn_!g1\k\LhnD>_YjV8G9$dqWt/HT8Q6IoXU:4b8[!@L0jm$_l%:A]ic>G 151 | MiBiAr9E1#HrRm4GI.pV)DO9Yd8"&4Gi)7(FP 153 | E2=(Lhh0mi%XMr'`ZZ_R"7'Gpi=F?7=X@;6`16=\E^T#b.4lURor>mVRT)T,V6f&gZ+o_@J. 156 | 1Xg4/dn!EM/2ED^UE?J\i_%ho*SH22\[T'-N<#(A6!p:Fnu$SM/?YD"3^B#+$E^(KR5CV[? 157 | euhm)\50.kMhPs6 158 | "uh1b$ то для 172 | \[x=2ab, 173 | \quad 174 | y=a^2-b^2, 175 | \quad 176 | z=a^2+b^2\] 177 | выполнено тождество $x^2+y^2=z^2$. 178 | В частности треугольник со сторонами $x$, $y$ и $z$ является пифагоровым. 179 | Можно доказать, также что любой пифагоров треугольник имеет стороны $k{\cdot}x$, $k{\cdot}y$ и $k{\cdot}z$ для некоторых целых $a$, $b$ и $k$. % изменил формулировку 180 | 181 | } 182 | } 183 | 184 | Теорема Пифагора имеет ещё другую формулировку, именно ту, которая была для неё получена самим Пифагором. 185 | С этой формулировкой мы познакомимся позднее (§~\ref{1938/257}). 186 | 187 | \paragraph{}\label{1938/192} 188 | \so{Следствие}. 189 | \emph{Квадраты катетов относятся между собой как прилежащие отрезки гипотенузы.} 190 | Действительно, из уравнений предыдущего параграфа находим: 191 | \[\frac{c^2}{b^2}=\frac{a\cdot c'}{a\cdot b'}=\frac{c'}{b'}.\] 192 | 193 | {\small 194 | 195 | \paragraph{}\label{1938/193} 196 | \so{Замечание 1}. 197 | К трём равенствам, которые мы вывели выше: 198 | \[1)\ a\cdot c'=c^2; 199 | \qquad 200 | 2)\ a\cdot b'=b^2 201 | \quad 202 | \text{и} 203 | \quad 204 | 3)\ a^2=b^2+c^2, 205 | \] 206 | можно присоединить ещё следующие два: 207 | \[4)\ b'+c'=a 208 | \quad 209 | \text{и} 210 | \quad 211 | 5)\ h^2=b'\cdot c', 212 | \] 213 | (если буквой $h$ обозначим длину высоты $AD$). 214 | Из этих равенств третье, как мы видели, составляет следствие первых двух и четвёртого, так что из пяти равенств только четыре независимы; 215 | вследствие этого можно по данным двум из шести чисел находить остальные четыре. 216 | 217 | Для примера положим, что нам даны отрезки гипотенузы $b' = 5 \text{м}$ и $c' \z= 7\text{м}$; 218 | тогда 219 | \begin{align*} 220 | a&=b'+c'=12; 221 | \\ 222 | c&=\sqrt{a\cdot c'}= 223 | \sqrt{12\cdot 7}= 224 | \sqrt{84}=9{,}165\dots; 225 | \\ 226 | b&=\sqrt{a\cdot b'}=\sqrt{12\cdot 5}=\sqrt{60}=7{,}745\dots; 227 | \\ 228 | h&=\sqrt{c'\cdot b'}=\sqrt{5\cdot 7}=\sqrt{35} = 5{,}916\dots 229 | \end{align*} 230 | 231 | } 232 | -------------------------------------------------------------------------------- /mppics/ris-1914.mp: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | input macros 3 | input hatching 4 | input mparrows 5 | 6 | verbatimtex 7 | %&latex 8 | \documentclass[oneside]{book} 9 | \usepackage{../book} 10 | \begin{document} 11 | etex 12 | 13 | filenametemplate "%j-%1c.mps"; 14 | prologues:=3; 15 | setarrows(barbedsharp); 16 | linecap:=butt; 17 | %linejoin:=mitered; 18 | 19 | %outputformat := "svg"; 20 | 21 | beginfig(40) 22 | save u; 23 | u:=.8cm; 24 | 25 | z.w=(0,-3*u); 26 | 27 | z.a=origin; 28 | z.c=z.a+(1.5,0)*u; 29 | z.b=z.a+(2,2)*u; 30 | 31 | z.b1=z.b shifted z.w; 32 | z.c1=z.c shifted z.w; 33 | z.a1=z.a shifted z.w; 34 | z.b2=z.b1 reflectedabout (z.c1,z.a1); 35 | 36 | labelarcsprof(z.c1, z.b1, z.b2, 19, 7, btex etex); 37 | labelarcsprof(z.c1, z.b2, z.b1, 19, 7, btex etex); 38 | labelarcsprof2(z.a1, z.b1, z.b2, 17, 5, btex etex); 39 | labelarcsprof2(z.a1, z.b2, z.b1, 17, 5, btex etex); 40 | 41 | 42 | 43 | draw z.b1--z.c1--z.a1--cycle; 44 | draw z.c1--z.b2--z.a1; 45 | draw z.b1--z.b2; 46 | 47 | 48 | rimmark2(z.b1--z.a1); 49 | rimmark2(z.b2--z.a1); 50 | rimmark(z.c1--z.b1); 51 | rimmark(z.c1--z.b2); 52 | 53 | 54 | label.lft(btex $A_1$ etex, z.a1); 55 | label.top(btex $B_1$ etex, z.b1); 56 | label.ulft(btex $C_1$ etex, z.c1); 57 | label.bot(btex $B_2$ etex, z.b2); 58 | 59 | endfig; 60 | 61 | beginfig(41) 62 | save u; 63 | u:=.8cm; 64 | 65 | z.w=(0,-3*u); 66 | 67 | z.a=origin; 68 | z.c=z.a+(2,0)*u; 69 | z.b=z.a+(2,2)*u; 70 | 71 | z.b1=z.b shifted z.w; 72 | z.c1=z.c shifted z.w; 73 | z.a1=z.a shifted z.w; 74 | z.b2=z.b1 reflectedabout (z.c1,z.a1); 75 | 76 | labelarcsprof2(z.a1, z.b1, z.b2, 17, 5, btex etex); 77 | labelarcsprof2(z.a1, z.b2, z.b1, 17, 5, btex etex); 78 | 79 | draw z.b1--z.c1--z.a1--cycle; 80 | draw z.c1--z.b2--z.a1; 81 | draw z.b1--z.b2; 82 | 83 | rimmark2(z.b1--z.a1); 84 | rimmark2(z.b2--z.a1); 85 | 86 | label.lft(btex $A_1$ etex, z.a1); 87 | label.top(btex $B_1$ etex, z.b1); 88 | label.rt(btex $C_1$ etex, z.c1); 89 | label.bot(btex $B_2$ etex, z.b2); 90 | endfig; 91 | 92 | beginfig(88) 93 | save u; 94 | u:=.8cm; 95 | 96 | z.a=origin; 97 | z.b=z.a+(3,0)*u; 98 | z.c=z.a+(1.5,1.5)*u; 99 | z.e=z.b+(0,1.5)*u; 100 | z.f=2[z.e,z.c]; 101 | z.e1=z.e+(0,.5)*u; 102 | z.f1=2[z.e1,z.c]; 103 | 104 | z.s=.4[z.a,z.b]; 105 | z.m=1.5[z.s,z.c]; 106 | z.n=(-.5)[z.s,z.c]; 107 | 108 | labelarcsprof(z.m, z.s, z.b, 14, 2, btex $\alpha$ etex); 109 | labelarcsprof(z.n, z.c, z.e, 14, 2, btex $\beta$ etex); 110 | 111 | draw z.a--z.b; 112 | draw z.e--z.f; 113 | draw z.e1--z.f1; 114 | draw z.m--z.n; 115 | 116 | dOt z.c; 117 | 118 | label.lft(btex $C$ etex, z.a); 119 | label.rt(btex $D$ etex, z.b); 120 | label.ulft(btex $E$ etex, z.c); 121 | label.rt(btex $B$ etex, z.e); 122 | label.rt(btex $B_1$ etex, z.e1); 123 | label.lft(btex $A$ etex, z.f); 124 | label.lft(btex $A_1$ etex, z.f1); 125 | label.top(btex $M$ etex, z.m); 126 | label.bot(btex $N$ etex, z.n); 127 | endfig; 128 | 129 | 130 | beginfig(89) 131 | save u; 132 | u:=1.4cm; 133 | 134 | z.c=origin; 135 | z.f=(1,0)*u; 136 | z.d=z.f+(0,-.3)*u; 137 | z.e= z.d reflectedabout(z.c,z.f); 138 | z.f1=-z.f; 139 | z.d1=-z.d; 140 | z.e1=-z.e; 141 | 142 | z.a=(-1,-1)*u; 143 | z.b=(1,-1)*u; 144 | 145 | hatchfill z.e--z.d--z.d1--z.e1--cycle withcolor (43, 1mm, -.5bp); 146 | 147 | draw z.a--z.b penbold; 148 | draw z.e--z.e1 penbold; 149 | draw z.d--z.d1 penbold; 150 | draw z.f--z.f1 penbold; 151 | 152 | dOt z.c; 153 | 154 | label.lft(btex $A$ etex, z.a); 155 | label.rt(btex $B$ etex, z.b); 156 | label.top(btex $C$ etex, z.c); 157 | label.rt(btex $D$ etex, z.d); 158 | label.rt(btex $E$ etex, z.e); 159 | label.rt(btex $F$ etex, z.f); 160 | 161 | endfig; 162 | 163 | beginfig(113) 164 | save u; 165 | u:=.5cm; 166 | 167 | z.a=(-.5,.5)*u; 168 | z.b=(2.5,-.5)*u; 169 | 170 | path p; 171 | p=circle(origin,2*u); 172 | 173 | z.x=cross.rt(p,z.a--z.b); 174 | z.y=point .1 of p; 175 | z.z=point 3.2 of p; 176 | 177 | draw p penbold; 178 | draw z.a--z.b penhair; 179 | draw z.a..z.y..z.b penhair; 180 | draw z.a..z.z..z.b penhair; 181 | 182 | \dOt z.a,z.b,z.x,z.y,z.z; 183 | 184 | label.lft(btex $A$ etex, z.a); 185 | label.rt(btex $B$ etex, z.b); 186 | label.llft(btex $X$ etex, z.x); 187 | label.urt(btex $Y$ etex, z.y); 188 | label.top(btex $Z$ etex, z.z); 189 | 190 | endfig; 191 | 192 | beginfig(134) 193 | save u, k; 194 | u:=1cm; 195 | k:=2.6; 196 | 197 | z.a=(-2,-.5)*u; 198 | z.am=(-1,.5)*u; 199 | z.m=origin; 200 | z.b=(1,1)*u; 201 | 202 | path p; 203 | p=z.a..z.am..{dir 0}z.m..{dir 90}z.b; 204 | 205 | z.tl=(x.a-.5*u,0); 206 | z.tr=(x.b+.5u,0); 207 | z.p=point k of p; 208 | y.pml1=y.a; 209 | x.pmr1=x.tr; 210 | z.pml1=whatever[z.m,z.p]; 211 | z.pmr1=whatever[z.m,z.p]; 212 | 213 | z.p2=point 2.15 of p; 214 | x.pml2=x.tl; 215 | x.pmr2=x.tr; 216 | z.pml2=whatever[z.m,z.p2]; 217 | z.pmr2=whatever[z.m,z.p2]; 218 | 219 | z.p3=point 2.05 of p; 220 | x.pml3=x.tl; 221 | x.pmr3=x.tr; 222 | z.pml3=whatever[z.m,z.p3]; 223 | z.pmr3=whatever[z.m,z.p3]; 224 | 225 | draw p; 226 | draw z.tl--z.tr penbold; 227 | draw z.pml1--z.pmr1 penhair; 228 | draw z.pml2--z.pmr2 penhair; 229 | draw z.pml3--z.pmr3 penhair; 230 | 231 | dOt z.m, z.p; 232 | 233 | label.ulft(btex $P$ etex, z.p); 234 | label.bot(btex $M$ etex, z.m); 235 | label.bot(btex $T$ etex, 1.2[(x.a,0),(x.b,0)]); 236 | endfig; 237 | 238 | beginfig(147); 239 | save u, f; 240 | u:=2cm; 241 | f:=.5*(sqrt(5)-1); 242 | 243 | z.c=origin; 244 | z.a=(-2,0)*u; 245 | z.b=(z.a rotated -36) scaled f; 246 | z.d=z.a scaled f*f; 247 | z.e=z.b scaled f*f; 248 | z.f=z.d scaled f*f; 249 | 250 | arcs(z.c,z.a,z.b,10); 251 | arcs(z.a,z.c,z.b,10); 252 | arcs(z.d,z.b,z.c,10); 253 | arcs2(z.a,z.b,z.d,10); 254 | arcs2(z.a,z.d,z.b,10); 255 | 256 | draw z.a--z.b--z.c--cycle; 257 | draw z.b--z.d--z.e--z.f; 258 | 259 | rimmark(z.a--z.b,z.a--z.d); 260 | rimmark2(z.b--z.d,z.b--z.e); 261 | rimmark3(z.d--z.e,z.d--z.f); 262 | 263 | label.lft(btex $A$ etex, z.a); 264 | label.top(btex $B$ etex, z.b+(0,2)); 265 | label.rt(btex $C$ etex, z.c); 266 | label.bot(btex $D$ etex, z.d); 267 | label.urt(btex $E$ etex, z.e); 268 | label.bot(btex $F$ etex, z.f); 269 | endfig; 270 | 271 | 272 | beginfig(209) 273 | save u; 274 | u:=1.4cm; 275 | 276 | z.o=origin; 277 | z.c1=(1,0)*u; 278 | z.c=-z.c1; 279 | z.b=(-.6,0)*u; 280 | z.a=(u*u/x.b,0); 281 | z.m=z.c1 rotated 110; 282 | z.n=1.3[z.a,z.m]; 283 | 284 | mark_rt_angle(z.c, z.m, z.c1); 285 | 286 | draw circle(z.o,z.c1); 287 | draw ddline(z.a,z.c1)(.1,.1); 288 | draw z.a--z.n; 289 | draw z.o--z.m--z.b; 290 | draw z.c--z.m--z.c1; 291 | 292 | dOt z.a,z.b,z.c,z.c1,z.o; 293 | 294 | label.bot(btex $A$ etex, z.a); 295 | label.bot(btex $B$ etex, z.b); 296 | label.llft(btex $C$ etex, z.c); 297 | label.lrt(btex $C'$ etex, z.c1); 298 | label.ulft(btex $M$ etex, z.m); 299 | label.urt(btex $N$ etex, z.n); 300 | label.bot(btex $O$ etex, z.o); 301 | endfig; 302 | 303 | beginfig(221) 304 | save u; 305 | u:=1.3cm; 306 | 307 | z.d=origin; 308 | z.a=(.4,1.4)*u; 309 | z.b=(1,0)*u; 310 | z.c=-z.b; 311 | z.e=-z.a; 312 | z.aa=(-.1,.2)*u; 313 | 314 | draw z.a--z.b--z.c--cycle penbold; 315 | draw z.a--z.e; 316 | draw z.b--z.e--z.c; 317 | draw z.c..z.aa..z.b dashed evenly; 318 | 319 | label.top(btex $A$ etex, z.a); 320 | label.rt(btex $B$ etex, z.b); 321 | label.lft(btex $C$ etex, z.c); 322 | label.lrt(btex $D$ etex, z.d); 323 | label.bot(btex $E$ etex, z.e); 324 | label.top(btex $a$ etex, z.aa); 325 | label.ulft(btex $b$ etex, .5[z.a,z.c]); 326 | label.urt(btex $c$ etex, .5[z.a,z.b]); 327 | label.rt(btex $m_a$ etex, .6[z.a,z.d]+(-1,0)); 328 | endfig; 329 | 330 | beginfig(228) 331 | save u; 332 | u:=2cm; 333 | 334 | z.o=origin; 335 | save p; 336 | path p; 337 | p=circle(z.o,1*u); 338 | 339 | z.a = point .8 of p; 340 | z.b = point 2.3 of p; 341 | z.c = point 3.7 of p; 342 | z.d=-z.a; 343 | z.e= altitude(z.b,z.a,z.c); 344 | 345 | mark_rt_angle(z.a, z.b, z.d); 346 | mark_rt_angle(z.a, z.e, z.c); 347 | arcs2(z.a,z.c,z.b,10); 348 | arcs2(z.a,z.d,z.b,10); 349 | 350 | draw p; 351 | draw z.a--z.b--z.c--cycle penbold; 352 | draw z.b--z.d--z.a--z.e; 353 | 354 | dOt z.o; 355 | 356 | label.top(btex $A$ etex, z.a); 357 | label.llft(btex $B$ etex, z.b); 358 | label.lrt(btex $C$ etex, z.c); 359 | label.bot(btex $D$ etex, z.d); 360 | label.bot(btex $E$ etex, z.e); 361 | label.bot(btex $a$ etex, .5[z.b,z.c]); 362 | label.urt(btex $b$ etex, .5[z.a,z.c]); 363 | label.ulft(btex $c$ etex, .5[z.a,z.b]); 364 | label.rt(btex $h_a$ etex, .6[z.a,z.e]+(-1,0)); 365 | endfig; 366 | 367 | beginfig(229) 368 | save u; 369 | u:=2cm; 370 | 371 | z.o=origin; 372 | save p; 373 | path p; 374 | p=circle(z.o,1*u); 375 | 376 | z.a = point 1.8 of p; 377 | z.b = point 2.3 of p; 378 | z.c = point 3.3 of p; 379 | z.d=-z.a; 380 | z.e= altitude(z.b,z.a,z.c); 381 | 382 | mark_rt_angle(z.a, z.b, z.d); 383 | mark_rt_angle(z.a, z.e, z.c); 384 | arcs2(z.a,z.c,z.b,10); 385 | arcs2(z.a,z.d,z.b,10); 386 | 387 | draw p; 388 | draw z.a--z.b--z.c--cycle penbold; 389 | draw z.b--z.d--z.a--z.e--cycle; 390 | 391 | dOt z.o; 392 | 393 | label.ulft(btex $A$ etex, z.a); 394 | label.llft(btex $B$ etex, z.b); 395 | label.lrt(btex $C$ etex, z.c); 396 | label.rt(btex $D$ etex, z.d); 397 | label.lft(btex $E$ etex, z.e); 398 | label.bot(btex $a$ etex, .5[z.b,z.c]); 399 | label.urt(btex $b$ etex, .5[z.a,z.c]); 400 | label.rt(btex $c$ etex, .5[z.a,z.b]); 401 | label.lft(btex $h_a$ etex, .6[z.a,z.e]+(-1,0)); 402 | endfig; 403 | 404 | beginfig(292) 405 | save u; 406 | u:=1.4cm; 407 | 408 | z.o=origin; 409 | z.a0=(1,0)*u; 410 | z.a1=z.a0 rotated 60; 411 | z.a2=z.a0 rotated 120; 412 | z.a3=z.a0 rotated 180; 413 | z.a4=z.a0 rotated -120; 414 | z.a5=z.a0 rotated -60; 415 | 416 | z.b0=altitude(z.a0,z.o,z.a1); 417 | z.b1=z.b0 rotated 60; 418 | z.b2=z.b0 rotated 120; 419 | z.b3=z.b0 rotated 180; 420 | z.b4=z.b0 rotated -120; 421 | z.b5=z.b0 rotated -60; 422 | 423 | z.h=altitude(z.b4,z.o,z.b3); 424 | 425 | draw circle(z.o,z.b0); 426 | draw z.a0--z.a1--z.a2--z.a3--z.a4--z.a5--cycle; 427 | draw z.b0--z.b1--z.b2--z.b3--z.b4--z.b5--cycle; 428 | draw z.b4--z.o--z.h; 429 | 430 | label.ulft(btex $a_n$ etex, .5[z.o,z.h]); 431 | label.rt(btex $R$ etex, .5[z.o,z.b4]); 432 | endfig; 433 | end 434 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/postulat5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | {\small 2 | 3 | \section{Об аксиоме параллельных} 4 | 5 | \paragraph{Две аксиомы параллельных.}\label{1914/91} 6 | Принятая нами в §~\ref{1938/75} аксиома параллельных была предложена древнегреческим математиком Проклом (IV век нашей эры) но часто называется \rindex{аксиома!Плейфэра}\textbf{аксиомой Плейфэра} в честь шотландского математика Джона Плейфэра благодаря которому многие узнали эту формулировку. 7 | 8 | Легко показать, что пятый постулат Евклида (§~\ref{1938/78}) и аксиома Плейфэра обратимы одна в другую. 9 | То есть из аксиомы Плейфэра можно вывести, как логическое следствие, аксиому Евклида (что и сделано в §~\ref{1938/78}) и, обратно, из этого постулата можно логически получить постулат Плейфэра. 10 | Последнее можно выполнить, например, так: 11 | 12 | \begin{wrapfigure}[10]{r}{34mm} 13 | \vskip-7mm 14 | \centering 15 | \includegraphics{mppics/ris-1914-88} 16 | \caption{}\label{1914/ris-88} 17 | \end{wrapfigure} 18 | 19 | Пусть через точку $E$ (рис. \ref{1914/ris-88}), взятую вне прямой $CD$, проведены какие-нибудь две прямые $AB$ и $A_1B_1$. 20 | Докажем, исходя из постулата Евклида, что эти прямые не могут быть обе параллельны прямой $CD$. 21 | Для этого проведём через $E$ какую-нибудь секущую прямую $MN$; 22 | обозначим внутренние односторонние углы, образуемые этою секущею 23 | с прямыми $CD$ и $AB$, буквами $\alpha$ и $\beta$. 24 | Тогда одно из двух: или сумма $\alpha+\beta$ не равна $180\degree$, 25 | или она равна $180\degree$. 26 | В первом случае согласно постулату Евклида, 27 | прямая $AB$ должна пересечься с $CD$ и, следовательно, она не может быть параллельной $CD$. 28 | Во втором случае $\alpha+\angle B_1EN\ne 180\degree$, (так как $\angle B_1EN\ne \angle BEN$). 29 | Значит, тогда, согласно тому же постулату, прямая $A_1B_1$ должна пересечься 30 | с $CD$ и, следовательно, эта прямая не может быть параллельной 31 | $CD$. 32 | Таким образом, одна из прямых $AB$ или $A_1B_1$ непременно окажется непараллельной прямой $CD$; следовательно, через одну точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой. 33 | 34 | \paragraph{Другие предложения равносильные аксиоме параллельных.}\label{1914/92} 35 | Есть много других предложений, также логически обратимых с постулатом Евклида (и, следовательно, ему логически равносильных). 36 | Приведём несколько знаменитых примеров: 37 | 38 | \emph{Существует по крайней мере один треугольник, у которого сумма углов равна $180\degree$} (французский математик Адриен Мари Лежандр, начало XIX столетия). 39 | 40 | \emph{Существуот выпуклый четырёхугольник} (прямоугольник), \emph{у которого все четыре угла прямые} (французский математик Kлод Kлеро, XVIII столетие). 41 | 42 | \emph{Существует треугольник, подобный, но не равный, другому треугольнику} (итальянский математик Джироламо Саккери, начало XVIII столетия). 43 | 44 | \emph{Через всякую точку, взятую внутри угла, меньшего $180\degree$, можно 45 | провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла} (немецкий 46 | математик Иоганн Фридрих Лоренц, конец XVIII столетия). 47 | 48 | Многие делали попытки доказать постулат Евклида 49 | (или какой-нибудь другой, ему равносильный), то есть вывести его, 50 | как логическое следствие, из других аксиом геометрий. 51 | Все эти попытки оказались неудачными: в каждом из таких «доказательств», после подробного разбора его, находили логическую ошибку. 52 | 53 | \paragraph{Открытие новой геометрии.}\label{1914/93} Неудачи в поисках доказательств 54 | постулата Евклида привели к мысли, что этот постулат (как и любой ему равносильный) и не может быть выведен из других аксиом геометрии, а представляет собою независимое от них самостоятельное допущение о свойствах пространства. 55 | Сначала эта мысль высказывалась только в частной переписке; 56 | до нас дошло такое письмо 1816 года написанное Карлом Гауссом 57 | и ещё более уверенное письмо 1818 года написано Фердинандом Швейкартом. 58 | Однако эти математики воздерживались от публикации своих результатов, сейчас трудно понять тому истинную причину. 59 | 60 | Независимо, те же идеи были развиты Николаем Ивановичем Лобачевским в 61 | сочинении изданным Казанским университетом в 1836—1838 годах. 62 | Чуть позже, также независимо, те же результаты были опубликованы венгерским математиком Яношем Бояи. 63 | 64 | \begin{wrapfigure}[8]{r}{37mm} 65 | \vskip-5mm 66 | \centering 67 | \includegraphics{mppics/ris-1914-89} 68 | \caption{}\label{1914/ris-89} 69 | \end{wrapfigure} 70 | 71 | В своём сочинении Лобачевский обнародовал особую геометрию, названую им «воображаемой», а теперь называемой «геометрией Лобачевского». 72 | В её основание положены те же геометрические аксиомы, на которых основана 73 | геометрия Евклида, за исключением только постулата параллельных линий, вместо которого Лобачевский взял следующее допущение: 74 | \emph{через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесчисленное множество параллельных этой прямой}. 75 | 76 | То есть, он допустил, что если $AB$ (рис. \ref{1914/ris-89}) есть прямая и $C$ какая-нибудь точка вне её, то при этой точке существует некоторый угол $DEC$, обладающий следующим свойствам: 77 | 1) всякая прямая, проведённая через $C$ внутри этого угла (например, прямая $CF$) не пересекаются с $AB$, 78 | 2) то же верно и для продолжений сторон $DE$ и $EC$ угла, 79 | а при этом 3) всякая прямая, проведённая через $C$ вне этого угла, пересекается с $AB$. 80 | 81 | Понятно, что такое допущение отрицает аксиому параллельности Евклида. 82 | Несмотря однако на это отрицание, геометрия Лобачевского представляет собою такую же стройную 83 | систему геометрических теорем как и геометрия Евклида. 84 | Конечно, теоремы геометрии Лобачевского существенно отличаются от теорем геометрии Евклида, но 85 | в ней, как и в геометрии Евклида, не встречается никаких логических противоречий ни теорем с аксиомами, положенными в основание этой геометрии, ни одних теорем с другими теоремами. 86 | 87 | Между тем, если бы постулат Евклида мог быть доказан, то есть если бы он представлял собою 88 | некоторое, хотя бы и очень отдалённое, логическое следствие из других геометрических аксиом, то тогда отрицание этого постулата, положенное в основу геометрии вместе с принятием всех других аксиом, непременно привело бы к логически противоречивым следствиям. 89 | 90 | Отсутствие таких противоречий в геометрии Лобачевского служит указанием на независимость пятого 91 | постулата Евклида от прочих геометрических аксиом и, следовательно, на невозможность доказать его. 92 | Заметим, однако, что одно только отсутствие противоречий в геометрии Лобачевского ещё не служит доказательством независимости пятого постулата от других аксиом геометрии. 93 | Ведь всегда можно возразить, что это отсутствие противоречий есть только 94 | случайное явление, происходящее, быть может, от того, что в геометрии Лобачевского не сделано ещё достаточного количества выводов, что со временем, быть может, и удастся кому-нибудь получить 95 | такой логический вывод в этой геометрии, который окажется в противоречии с каким-нибудь другим выводом той же геометрии. 96 | 97 | Однако доказано следующее: \emph{если бы в геометрии Лобачевского нашлось противоречие, то нашлось бы соответствующее противоречие и в Евклидовой геометрии}; 98 | также верно и обратное — \emph{если есть противоречие в Евклидовой геометрии то было бы противоречие и в геометрии Лобачевского}. 99 | То есть удаётся доказать, что в логическом смысле геометрия Лобачевского «не хуже и не лучше» геометрии Евклида. 100 | 101 | 102 | \paragraph{Неевклидовы геометрии.}\label{1914/94} 103 | Позже немецкий математик Бернхард Риман (1826—1866) построил ещё особую, также лишённую противоречий, геометрию (названной 104 | потом \textbf{геометрией Римана}), %https://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann 105 | в которой вместо постулата Евклида принимается допущение, что 106 | через точку, взятую вне прямой, нельзя провести ни одной параллельной этой прямой (другими словами, все прямые плоскости пересекаются). 107 | Такие геометрии (как геометрии Лобачевского и Римана), в которых в основание положено какое-нибудь допущение о параллельных линиях, не согласное с постулатом Евклида, носят общее название 108 | \textbf{неевклидовых геометрий}. 109 | 110 | Другой пример неевклидовой геометрии это так называемая \rindex{абсолютная геометри}\textbf{абсолютная геометрия}, независимая от пятого постулата. 111 | Другими словами, в этой геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться. 112 | Эта геометрия как раз и рассматривалась в упомянутом сочинении Яноша Бояи, 113 | она включает геометрии Евклида и Лобачевского как частные случаи. 114 | 115 | \paragraph{Теоремы геометрии Лобачевского.}\label{1914/95} Приведём некоторые теоремы геометрии Лобачевского, резко различающиеся от соответствующих теорем геометрии Евклида: 116 | 117 | \emph{Два перпендикуляра к одной и той же прямой, по мере удаления 118 | от этой прямой, расходятся неограниченно.} 119 | 120 | \emph{Сумма углов треугольника меньше $180\degree$} (в геометрии Римана она 121 | больше $180\degree$), при чём эта сумма не есть величина постоянная для разных треугольников. 122 | \emph{Чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов разнится от $180\degree$.} 123 | 124 | 125 | 126 | \begin{wrapfigure}[6]{r}{25mm} 127 | \vskip-5mm 128 | \centering 129 | \includegraphics{mppics/ris-extra-5} 130 | \caption{}\label{extra/ris-5} 131 | \end{wrapfigure} 132 | 133 | \emph{Если в выпуклом четырёхугольнике три угла прямые, то четвёртый угол острый.} 134 | В частности в этой геометрии нет прямоугольников. 135 | Четырёхугольник с тремя прямыми углами называется \rindex{четырёхугольник Ламберта}\textbf{четырёхугольником Ламберта} в честь шведского математика Иоганна Генриха Ламберта (1728—1777). 136 | Попытка изобразить четырёхугольник Ламберта (рис. \ref{extra/ris-5}) не очень удачная поскольку сам лист бумаги не похож на плоскость Лобачевского. % добавил про четырёхугольник Ламберта 137 | 138 | 139 | \emph{Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны} (следовательно, в геометрии Лобачевского не существует подобия). 140 | 141 | \emph{Геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от какой-нибудь прямой этой плоскости не является прямой.} 142 | 143 | } 144 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/ponyatie-o-ploschadi.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Понятие о площади} 2 | 3 | Каждый из нас имеет некоторое представление о площади из повседневной жизни. 4 | 5 | Мы займёмся уточнением понятия о площади фигуры и установлением способов её измерения. 6 | 7 | \paragraph{Основные допущения о площадях.}\label{1938/243} 8 | Площадь многоугольника это положительное число, удовлетворяющее следующим условиям: 9 | 10 | 1) площади двух равных многоугольников, должны быть равны между собой; 11 | 12 | \begin{wrapfigure}{o}{42mm} 13 | \centering 14 | \includegraphics{mppics/ris-239} 15 | \caption{}\label{1938/ris-239} 16 | \end{wrapfigure} 17 | 18 | 2) если данный многоугольник разбит на несколько многоугольников ($M$, $N$, $P$, рис.~\ref{1938/ris-239}), то площадь всего многоугольника равна сумме площадей отдельных его частей. 19 | 20 | 3) площадь квадрата со стороной равной линейной единице длины считается равной квадратной единице. 21 | 22 | {\small 23 | \smallskip 24 | \mbox{\so{Замечания}.} 25 | 1) Единица площади зависит от выбора единицы длины и в каждой конкретной задаче мы вольны выбрать удобную единицу длины и соответственно площади, важно только чтобы все измерения были проведены используя только эту единицу. 26 | Например, если за линейную единицу взят отрезок длины 1 метр, то квадрат со стороной 1 метр имеет площадь равную 1 квадратный метр. 27 | 28 | 2) Многоугольники, имеющие равные площади, принято называть \rindex{равновеликие многоугольники}\textbf{равновеликими}. 29 | В силу условия 1, равные многоугольники всегда и равновелики, но равновеликие многоугольники могут быть неравными (как те, которые изображены на рис.~\ref{1938/ris-240}). 30 | 31 | {\sloppy 32 | 3) Поскольку площади измеряются положительными числами, а сумма двух положительных чисел всегда больше каждого из слагаемых, то из условия 2, мы получаем следующее заключение: 33 | \emph{Площадь любого многоугольника больше площади любого другого многоугольника целиком в нём лежащего.} 34 | Это утверждение иногда формулируется сокращённо как \emph{целое больше части}. 35 | } 36 | 37 | } 38 | 39 | \begin{wrapfigure}{o}{60mm} 40 | \centering 41 | \includegraphics{mppics/ris-240} 42 | \caption{}\label{1938/ris-240} 43 | \end{wrapfigure} 44 | 45 | 4) Положим, что, разбив данный многоугольник $M$ на несколько многоугольников, мы будем переставлять эти части и получать таким образом новые многоугольники (подобно тому, как на рис.~\ref{1938/ris-240} перемещены части $A$ и $B$). 46 | Спрашивается: 47 | нельзя ли путём этих перестановок получить многоугольник $M'$, который мог бы целиком уместиться внутри $M$? 48 | Если бы это оказалось возможным, то поскольку целое больше части, мы получили бы, что 49 | \[\text{площадь}~M'<\text{площади}~M,\] 50 | а при этом, в силу условий 1 и 2, мы получили бы, что 51 | \[\text{площадь}~M'=\text{площади}~M.\] 52 | 53 | Эти два утверждения противоречат друг другу. 54 | Значит площадь многоугольников $M$ и $M'$ невозможно было бы определить так, чтобы удовлетворялись все условия. 55 | 56 | Таким образом возможность определить площадь для многоугольников вовсе не очевидна. 57 | Впервые обратил внимание на этот вопрос итальянский математик Антонио Де Цольт (1881). 58 | Невозможность указанной выше перестановки частей многоугольника принималась вначале как некоторый постулат, но позднее эта невозможность была строго доказана.\footnote{Это доказательство довольно сложное; оно приводится например в статье «Площадь и объём» В. А. Рохлина (Энциклопедия элементарной математики, книга пятая, Геометрия).} 59 | Используя это утверждение можно доказать, что каждый многоугольник (а также фигуры из более широкого класса) имеет определённую площадь удовлетворяющую трём условиям выше (§~\ref{extra/kvad-fig}). 60 | 61 | Начиная с §~\ref{1938/245}, нас будет интересовать как измерить площадь данного многоугольника принимая без доказательства, то что каждый многоугольники имеет определённую площадь удовлетворяющую трём условиям выше. 62 | 63 | \begin{wrapfigure}{r}{22mm} 64 | \centering 65 | \includegraphics{mppics/ris-extra-2} 66 | \caption{}\label{extra/ris-2} 67 | \end{wrapfigure} 68 | 69 | {\small 70 | 71 | \paragraph{Об измерении площади.}\label{1938/244} 72 | Заметим, что единичный квадрат можно разбить на $n^2$ равных квадратов со стороной $\tfrac1n$. 73 | Поскольку площади равных фигур равны, мы получаем, все эти квадраты имеют одну и ту же площадь, обозначим её за $s$. 74 | Далее из свойства 2 (§~\ref{1938/243}), заключаем, что площадь единичного квадрата равна $n^2\cdot s$. 75 | Поскольку площадь единичного квадрата равна единице (условие 3 в §~\ref{1938/243}) получаем, что площадь квадрата со стороной $\tfrac1n$ равна $\tfrac1{n^2}$. 76 | 77 | \begin{wrapfigure}{o}{55mm} 78 | \centering 79 | \includegraphics{mppics/ris-1931-250} 80 | \caption{}\label{1931/ris-250} 81 | \end{wrapfigure} 82 | 83 | Допустим, что на многоугольник $M$, площадь которого надо измерить, наложена сеть из единичных квадратов. 84 | По отношению к данному многоугольнику $M$ все квадраты сети можно разбить на 85 | три рода: 86 | 1) внешние квадраты, 87 | 2) внутренние квадраты и 88 | 3) оставшиеся квадраты, то есть те через которые проходит контур многоугольника. 89 | Оставив без внимания внешние квадраты, сосчитаем отдельно квадраты внутренние и квадраты 3-го рода. 90 | Пусть первых окажется $m$, а вторых~$n$. 91 | Тогда, очевидно, площадь $M$ будет больше $m$, но меньше $m+n$ квадратных единиц. 92 | Числа $m$ и $m+n$ будут в этом случае приближённые значения измеряемой площади, первое число с недостатком, второе с избытком, причём погрешность этого измерения меньше $n$ квадратных единиц. 93 | 94 | Чтобы получить более точный результат, уплотним сеть квадратов, подразделив каждый из них на более 95 | мелкие квадраты. 96 | Например, мы можем разбить каждый единичный квадрат на 100 квадратов со стороной $\tfrac1{10}$. 97 | Тогда мы получим другие приближённые меры площади, причём погрешность будет не больше прежней (так как все квадраты 3-го рода в уплотнённой сети лежат внутри квадратов 3-го рода в изначальной сети). 98 | 99 | \paragraph{Квадрируемые фигуры.}\label{extra/kvad-fig} 100 | Построение в предыдущем параграфе, применимо к произвольным ограниченным фигурам, необязательно многоугольникам. 101 | Если при последовательном уплотнении сети квадратов погрешность измерения стремится к нулю, 102 | то фигура называется \textbf{квадрируемой}. 103 | Для квадрируемой фигуры, общий предел приближённых значений площадей с недостатком и избытком принимается равным её площади. 104 | При этом площадь некоторых квадрируемых фигур может равняться нулю; 105 | например несложно видеть, что фигуры состоящая из одной точки квадрируема и её площадь равна нулю. 106 | 107 | Как пример неквадрируемой фигуры, представьте себе фигуру $F$ состоящую из точек единичного квадрата отстоящих от одной из его сторон на рациональное расстояние (такую фигуру невозможно нарисовать). 108 | При попытке приближённо измерить площадь $F$ с помощью любой сетки, мы увидим, только квадраты рода 1 и 3 — любой квадрат содержащий точки из $F$ будет также содержать точки вне $F$ (лежащие на иррациональном расстоянии от стороны). 109 | При этом погрешность измерения, то есть общая площадь квадратов рода 3 не может быть меньше единицы. 110 | То есть $F$ не является квадрируемой. 111 | 112 | Следующие три утверждения являются ключевыми, при формальном введении понятия площади. 113 | Мы приводим только идею их доказательства; полные доказательства не сложные, но довольно громоздкие. 114 | 115 | 1) \emph{Любой многоугольник является квадрируемой фигурой}; 116 | то есть при последовательном уплотнении сети квадратов погрешность измерения его площади стремится к нулю. \emph{То же верно для любой фигуры ограниченной конечным набором дуг окружностей и отрезков прямых.} 117 | В частности, круги, сектора и сегменты являются кварируемыми фигурами. 118 | 119 | Действительно, заметим, что погрешность измерения равна общей площади квадратов сетки прорезаемых контуром фигуры. 120 | При этом сам контур состоит из нескольких отрезков и дуг. 121 | Значит достаточно доказать, что общая площадь $s$ всех квадратов сетки прорезаемых одним отрезком (или дугой) стремится к нулю при неограниченном уплотнении сетки. 122 | Последнее утверждение следует из неравенства, которое мы предлагаем проверить его самостоятельно: 123 | \[s\le 4\cdot (\ell+a)\cdot a,\] 124 | где $\ell$ есть длина отрезка (или дуги), а $a$ — сторона квадрата сетки. 125 | 126 | 2) \emph{Если фигура квадрируема в данной сетке то она квадрируема и в любой другой сетке.} 127 | Рассмотрим две сети из квадратов равного размера. 128 | Не трудно видеть, что любой квадрат первой сети 129 | может пересекать не более чем девятью квадратами второй сети. 130 | 131 | Отсюда следует, что общая площадь квадратов третьего рода для первой сети отличаются не более чем в девять раз от общей площади квадратов третьего рода для второй сети. 132 | Действительно, любой квадрат третьего рода содержит точки контура фигуры. 133 | Значит любой квадрат третьего рода второй сети должен пересекаться с каким-то квадратом третьего рода первой сети. 134 | То есть на один квадрат первой сети приходится не более девяти квадратов второй. 135 | 136 | 137 | Погрешность измерения площади для каждой сети равна общей площади квадратов третьего рода. 138 | Значит погрешности измерений в обеих сетках отличаются друг от друга не более чем в 9 раз. 139 | То же верно и для одинаковых уплотнений сетей. 140 | Следовательно, если погрешность измерения для уплотнений первой сети стремится к нулю, то тоже верно и для второй сети. 141 | 142 | 3) \emph{Полученное значение площади квадрируемой фигуры не зависит от выбора сетки.} 143 | В противном случае при неограниченном уплотнении обоих сеток мы получили бы, что 144 | приближённое значение площади взятое с избытком одной секте меньше 145 | приближённого значения площади взятое с недостатком в другой. 146 | Но эти приближённые значения равны площадям некоторых многоугольников — многоугольника $M_1$ составленного из квадратов 2-го и 3-го рода первой сетки 147 | и многоугольника $M_2$ составленного из квадратов 2-го рода второй сетки. 148 | Заметим что многоугольник $M_1$ содержит $F$, а многоугольник $M_2$ содержится в $F$. 149 | В частности $M_2$ есть часть $M_1$, а целое должно быть больше части (§~\ref{1938/243}) — противоречие. 150 | 151 | } 152 | 153 | % добавил про квадрируемость недоделано 154 | -------------------------------------------------------------------------------- /list-of-files.txt: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | book-ru.sty 2 | kiselyov.tex 3 | predislovie.tex 4 | eps/Cc-public_domain_mark_white.pdf 5 | vvedenie.tex 6 | mppics/ris-1.mps 7 | mppics/ris-2.mps 8 | mppics/ris-3.mps 9 | mppics/ris-4.mps 10 | mppics/ris-5.mps 11 | mppics/ris-6.mps 12 | mppics/ris-7.mps 13 | mppics/ris-8.mps 14 | 2D/ugly.tex 15 | mppics/ris-9.mps 16 | mppics/ris-10.mps 17 | mppics/ris-11.mps 18 | mppics/ris-12.mps 19 | mppics/ris-ru-13.mps 20 | mppics/ris-14.mps 21 | mppics/ris-15.mps 22 | mppics/ris-16.mps 23 | mppics/ris-17.mps 24 | mppics/ris-18.mps 25 | mppics/transportir-19.mps 26 | mppics/ris-20.mps 27 | mppics/ris-21.mps 28 | mppics/ris-22.mps 29 | mppics/ris-23.mps 30 | mppics/ris-24.mps 31 | mppics/ris-25.mps 32 | mppics/ris-26.mps 33 | mppics/ris-wood-27.mps 34 | mppics/ris-28.mps 35 | mppics/ris-29.mps 36 | mppics/ris-30.mps 37 | 2D/mat-predlozheniya.tex 38 | 2D/treugi.tex 39 | mppics/ris-31.mps 40 | mppics/ris-32.mps 41 | mppics/ris-33.mps 42 | mppics/ris-34.mps 43 | mppics/ris-35.mps 44 | mppics/ris-36.mps 45 | mppics/ris-ru-37.mps 46 | mppics/ris-38.mps 47 | mppics/ris-ru-39.mps 48 | mppics/ris-40.mps 49 | mppics/ris-41.mps 50 | eps/klenovyj-list.pdf 51 | eps/babochka.pdf 52 | mppics/ris-44.mps 53 | mppics/ris-45.mps 54 | mppics/ris-46.mps 55 | mppics/ris-47.mps 56 | mppics/ris-1914-40.mps 57 | mppics/ris-1914-41.mps 58 | mppics/ris-48.mps 59 | mppics/ris-49.mps 60 | mppics/ris-50.mps 61 | mppics/ris-51.mps 62 | mppics/ris-52.mps 63 | mppics/ris-53.mps 64 | mppics/ris-54.mps 65 | mppics/ris-55.mps 66 | mppics/ris-56.mps 67 | mppics/ris-57.mps 68 | mppics/ris-58.mps 69 | mppics/ris-59.mps 70 | mppics/ris-60.mps 71 | mppics/ris-61.mps 72 | mppics/ris-62.mps 73 | mppics/ris-63.mps 74 | mppics/ris-64.mps 75 | mppics/ris-1931-62.mps 76 | mppics/ris-1931-63.mps 77 | mppics/ris-extra-1.mps 78 | 2D/zadachi-na-postr.tex 79 | mppics/ris-65.mps 80 | mppics/ris-66.mps 81 | mppics/ris-67.mps 82 | mppics/ris-68.mps 83 | mppics/ris-69.mps 84 | mppics/ris-70.mps 85 | mppics/ris-71.mps 86 | 2D/parallelnye.tex 87 | mppics/ris-extra-3.mps 88 | mppics/ris-72.mps 89 | mppics/ris-73.mps 90 | mppics/ris-74.mps 91 | mppics/ris-75.mps 92 | mppics/ris-wood-76.mps 93 | mppics/ris-77.mps 94 | mppics/ris-78.mps 95 | mppics/ris-79.mps 96 | mppics/ris-80.mps 97 | mppics/ris-81.mps 98 | mppics/ris-82.mps 99 | mppics/ris-83.mps 100 | mppics/ris-84.mps 101 | mppics/ris-85.mps 102 | mppics/ris-86.mps 103 | mppics/ris-87.mps 104 | mppics/ris-88.mps 105 | mppics/ris-89.mps 106 | mppics/ris-90.mps 107 | mppics/ris-91.mps 108 | mppics/ris-92.mps 109 | mppics/ris-93.mps 110 | jpg/Manning_propeller.jpg 111 | jpg/Bentley_Snowflake18.jpg 112 | 2D/parallelogrammy.tex 113 | mppics/ris-96.mps 114 | mppics/ris-97.mps 115 | mppics/ris-98.mps 116 | mppics/ris-99.mps 117 | mppics/ris-100.mps 118 | mppics/ris-101.mps 119 | mppics/ris-102.mps 120 | mppics/ris-103.mps 121 | mppics/ris-104.mps 122 | mppics/ris-105.mps 123 | mppics/ris-106.mps 124 | mppics/ris-107.mps 125 | mppics/ris-ru-108.mps 126 | mppics/ris-109.mps 127 | mppics/ris-110.mps 128 | mppics/ris-111.mps 129 | mppics/ris-112.mps 130 | 2D/postulat5.tex 131 | mppics/ris-1914-88.mps 132 | mppics/ris-1914-89.mps 133 | mppics/ris-extra-5.mps 134 | 2D/okruzhnost.tex 135 | mppics/ris-113.mps 136 | mppics/ris-114.mps 137 | mppics/ris-115.mps 138 | mppics/ris-116.mps 139 | mppics/ris-117.mps 140 | mppics/ris-118.mps 141 | mppics/ris-119.mps 142 | 2D/dugi.tex 143 | mppics/ris-120.mps 144 | mppics/ris-121.mps 145 | mppics/ris-122.mps 146 | 2D/raspolozheniya.tex 147 | mppics/ris-1914-113.mps 148 | mppics/ris-123.mps 149 | mppics/ris-124.mps 150 | mppics/ris-125.mps 151 | mppics/ris-1914-134.mps 152 | mppics/ris-126.mps 153 | mppics/ris-1931-149.mps 154 | mppics/ris-127.mps 155 | mppics/ris-128.mps 156 | mppics/ris-1931-124.mps 157 | mppics/ris-146.mps 158 | mppics/ris-147.mps 159 | mppics/ris-131.mps 160 | mppics/ris-132.mps 161 | mppics/ris-133.mps 162 | mppics/ris-134.mps 163 | mppics/ris-135.mps 164 | mppics/ris-136.mps 165 | 2D/vpisannye-ugly.tex 166 | mppics/ris-137.mps 167 | mppics/ris-138.mps 168 | mppics/ris-139.mps 169 | mppics/ris-140.mps 170 | mppics/ris-141.mps 171 | mppics/ris-142.mps 172 | mppics/ris-143.mps 173 | mppics/ris-145.mps 174 | mppics/ris-148.mps 175 | mppics/ris-149.mps 176 | mppics/ris-150.mps 177 | mppics/ris-151.mps 178 | mppics/ris-152.mps 179 | mppics/ris-153.mps 180 | mppics/ris-extra-6.mps 181 | 2D/vpis-opis-mnougi.tex 182 | mppics/ris-155.mps 183 | mppics/ris-156.mps 184 | mppics/ris-157.mps 185 | mppics/ris-158.mps 186 | mppics/ris-159.mps 187 | 2D/zam-toch-trig.tex 188 | mppics/ris-160.mps 189 | mppics/ris-161.mps 190 | 2D/izmereniya.tex 191 | mppics/ris-168.mps 192 | 2D/nesoimerimost.tex 193 | mppics/ris-162.mps 194 | mppics/ris-163.mps 195 | mppics/ris-164.mps 196 | mppics/ris-165.mps 197 | mppics/ris-1914-147.mps 198 | mppics/ris-166.mps 199 | mppics/ris-extra-7.mps 200 | mppics/ris-extra-8.mps 201 | 2D/podobie-trig.tex 202 | mppics/ris-extra-4.mps 203 | mppics/ris-169.mps 204 | mppics/ris-170.mps 205 | mppics/ris-171.mps 206 | mppics/ris-172.mps 207 | mppics/ris-173.mps 208 | mppics/ris-174.mps 209 | mppics/ris-175.mps 210 | 2D/podobie-fig.tex 211 | mppics/ris-179.mps 212 | mppics/ris-180.mps 213 | mppics/ris-181.mps 214 | mppics/ris-182.mps 215 | mppics/ris-183.mps 216 | mppics/ris-184.mps 217 | mppics/ris-185.mps 218 | mppics/ris-186.mps 219 | mppics/ris-189.mps 220 | mppics/ris-190.mps 221 | mppics/ris-191.mps 222 | 2D/proportzii.tex 223 | mppics/ris-192.mps 224 | mppics/ris-193.mps 225 | mppics/ris-194.mps 226 | mppics/ris-195.mps 227 | mppics/ris-196.mps 228 | mppics/ris-197.mps 229 | mppics/ris-1914-209.mps 230 | 2D/teorema-pifagora.tex 231 | mppics/ris-198.mps 232 | mppics/ris-199.mps 233 | mppics/ris-200.mps 234 | mppics/ris-201.mps 235 | mppics/ris-202.mps 236 | 2D/zadach-na-vych.tex 237 | mppics/ris-203.mps 238 | mppics/ris-204.mps 239 | mppics/ris-205.mps 240 | mppics/ris-206.mps 241 | mppics/ris-1914-221.mps 242 | mppics/ris-207.mps 243 | mppics/ris-208.mps 244 | 2D/proportzii-v-kruge.tex 245 | mppics/ris-209.mps 246 | mppics/ris-210.mps 247 | mppics/ris-1914-228.mps 248 | mppics/ris-1914-229.mps 249 | 2D/algebra-k-geomtrii.tex 250 | mppics/ris-217.mps 251 | 2D/pravilnye-mnogougi.tex 252 | mppics/ris-218.mps 253 | mppics/ris-ru-219.mps 254 | mppics/ris-220.mps 255 | mppics/ris-222.mps 256 | mppics/ris-223.mps 257 | mppics/ris-224.mps 258 | mppics/ris-225.mps 259 | mppics/ris-226.mps 260 | mppics/ris-227.mps 261 | mppics/ris-228.mps 262 | mppics/ris-229.mps 263 | mppics/ris-230.mps 264 | 2D/dlina-okr.tex 265 | mppics/ris-231.mps 266 | mppics/ris-232.mps 267 | mppics/ris-233.mps 268 | mppics/ris-234.mps 269 | mppics/ris-235.mps 270 | mppics/ris-236.mps 271 | mppics/ris-237.mps 272 | mppics/ris-238.mps 273 | 2D/ponyatie-o-ploschadi.tex 274 | mppics/ris-239.mps 275 | mppics/ris-240.mps 276 | mppics/ris-extra-2.mps 277 | mppics/ris-1931-250.mps 278 | 2D/ploschadi-mnogugov.tex 279 | mppics/ris-242.mps 280 | mppics/ris-243.mps 281 | mppics/ris-244.mps 282 | mppics/ris-245.mps 283 | mppics/ris-246.mps 284 | mppics/ris-247.mps 285 | mppics/ris-248.mps 286 | mppics/ris-249.mps 287 | mppics/ris-250.mps 288 | mppics/ris-251.mps 289 | mppics/ris-252.mps 290 | mppics/ris-253.mps 291 | mppics/ris-254.mps 292 | mppics/ris-255.mps 293 | mppics/ris-256.mps 294 | mppics/ris-257.mps 295 | mppics/ris-258.mps 296 | mppics/ris-extra-9.mps 297 | mppics/ris-259.mps 298 | 2D/ploschad-kruga.tex 299 | mppics/ris-260.mps 300 | mppics/ris-1914-292.mps 301 | mppics/ris-261.mps 302 | mppics/ris-262.mps 303 | 3D/pryamye_i_ploskosti.tex 304 | mppics/s-ris-1.mps 305 | mppics/s-ris-2.mps 306 | mppics/s-ris-3.mps 307 | mppics/s-ris-4.mps 308 | mppics/s-ris-5.mps 309 | mppics/s-ris-6.mps 310 | mppics/s-ris-7.mps 311 | mppics/s-ris-8.mps 312 | mppics/s-ris-9.mps 313 | mppics/s-ris-10.mps 314 | mppics/s-ris-11.mps 315 | mppics/s-ris-12.mps 316 | mppics/s-ris-13.mps 317 | mppics/s-ris-14.mps 318 | mppics/s-ris-15.mps 319 | mppics/s-ris-16.mps 320 | mppics/s-ris-17.mps 321 | mppics/s-ris-18.mps 322 | mppics/s-ris-19.mps 323 | mppics/s-ris-20.mps 324 | mppics/s-ris-21.mps 325 | mppics/s-ris-22.mps 326 | mppics/s-ris-23.mps 327 | mppics/s-ris-24.mps 328 | mppics/s-ris-25.mps 329 | mppics/s-ris-26.mps 330 | mppics/s-ris-27.mps 331 | mppics/s-ris-28.mps 332 | mppics/s-ris-29.mps 333 | mppics/s-ris-30.mps 334 | mppics/s-ris-31.mps 335 | mppics/s-ris-32.mps 336 | mppics/s-ris-33.mps 337 | mppics/s-ris-34.mps 338 | mppics/s-ris-35.mps 339 | mppics/s-ris-36.mps 340 | mppics/s-ris-37.mps 341 | mppics/s-ris-38.mps 342 | mppics/s-ris-39.mps 343 | mppics/s-ris-40.mps 344 | mppics/s-ris-41.mps 345 | mppics/s-ris-43.mps 346 | mppics/s-ris-42.mps 347 | mppics/s-ris-348.mps 348 | mppics/s-ris-349.mps 349 | mppics/s-ris-351.mps 350 | 3D/mnogogranniki.tex 351 | mppics/s-ris-73.mps 352 | mppics/s-ris-74.mps 353 | mppics/s-ris-75.mps 354 | mppics/s-ris-76.mps 355 | mppics/s-ris-77.mps 356 | mppics/s-ris-78.mps 357 | mppics/s-ris-79.mps 358 | mppics/s-ris-80.mps 359 | mppics/s-ris-81.mps 360 | mppics/s-ris-82.mps 361 | mppics/s-ris-83.mps 362 | mppics/s-ris-84.mps 363 | mppics/s-ris-85.mps 364 | mppics/s-ris-86.mps 365 | mppics/s-ris-87.mps 366 | mppics/s-ris-91.mps 367 | mppics/s-ris-392.mps 368 | mppics/s-ris-88.mps 369 | mppics/s-ris-89.mps 370 | mppics/s-ris-92.mps 371 | mppics/s-ris-93.mps 372 | mppics/s-ris-94.mps 373 | mppics/s-ris-95.mps 374 | mppics/s-ris-96.mps 375 | mppics/s-ris-99.mps 376 | mppics/s-ris-100.mps 377 | mppics/s-ris-97.mps 378 | mppics/s-ris-101.mps 379 | mppics/s-ris-98.mps 380 | mppics/s-ris-102.mps 381 | mppics/s-ris-103.mps 382 | mppics/s-ris-104.mps 383 | mppics/s-ris-107.mps 384 | mppics/s-ris-108.mps 385 | mppics/s-ris-109.mps 386 | mppics/s-ris-110.mps 387 | mppics/s-ris-111.mps 388 | mppics/s-ris-112.mps 389 | mppics/s-ris-113.mps 390 | mppics/s-ris-502.mps 391 | mppics/s-ris-503.mps 392 | mppics/s-ris-114.mps 393 | mppics/s-ris-115.mps 394 | mppics/s-ris-116.mps 395 | mppics/s-ris-117.mps 396 | mppics/s-ris-118.mps 397 | mppics/s-ris-119.mps 398 | mppics/s-ris-120.mps 399 | 3D/kruglye_tela.tex 400 | mppics/s-ris-121.mps 401 | mppics/s-ris-122.mps 402 | mppics/s-ris-123.mps 403 | mppics/s-ris-124.mps 404 | mppics/s-ris-125.mps 405 | mppics/s-ris-126.mps 406 | mppics/s-ris-127.mps 407 | mppics/s-ris-128.mps 408 | asy/schwarz.pdf 409 | mppics/s-ris-501.mps 410 | mppics/s-ris-129.mps 411 | mppics/s-ris-130.mps 412 | mppics/s-ris-131.mps 413 | mppics/s-ris-132.mps 414 | mppics/s-ris-133.mps 415 | mppics/s-ris-134.mps 416 | mppics/s-ris-135.mps 417 | mppics/s-ris-136.mps 418 | mppics/s-ris-137.mps 419 | mppics/s-ris-138.mps 420 | mppics/s-ris-139.mps 421 | mppics/s-ris-140.mps 422 | mppics/s-ris-504.mps 423 | mppics/s-ris-141.mps 424 | mppics/s-ris-142.mps 425 | mppics/s-ris-143.mps 426 | mppics/s-ris-144.mps 427 | mppics/s-ris-145.mps 428 | mppics/s-ris-146.mps 429 | mppics/s-ris-147.mps 430 | mppics/s-ris-148.mps 431 | mppics/s-ris-149.mps 432 | mppics/s-ris-150.mps 433 | mppics/s-ris-151.mps 434 | mppics/s-ris-152.mps 435 | mppics/s-ris-153.mps 436 | mppics/s-ris-154.mps 437 | mppics/s-ris-155.mps 438 | kiselyov.ind 439 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/proportzii.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Пропорции} 2 | 3 | \paragraph{Теорема Фалеса}\label{1938/182} 4 | Следующая теорема названа в честь древнегреческого математика Фалеса Милетского (VII—VII век до нашей эры). 5 | 6 | 7 | \smallskip 8 | \so{Теорема}. 9 | \textbf{\emph{Стороны угла}} ($ABC$), \textbf{\emph{пересекаемые рядом параллельных прямых}} ($DD_1, EE_1, FF_1, \dots$), \textbf{\emph{рассекаются ими на пропорциональные части}} (рис.~\ref{1938/ris-192}). 10 | 11 | \begin{figure}[!ht] 12 | \centering 13 | \includegraphics{mppics/ris-192} 14 | \caption{}\label{1938/ris-192} 15 | \end{figure} 16 | 17 | Требуется доказать, что 18 | \[\frac{BD}{BD_1}=\frac{DE}{D_1E_1}=\frac{EF}{E_1F_1},\] 19 | или 20 | \begin{align*} 21 | \frac{BD}{DE}&=\frac{BD_1}{D_1E_1}, 22 | \\ 23 | \frac{DE}{EF}&=\frac{D_1E_1}{E_1F_1}\quad\text{и так далее} 24 | \end{align*} 25 | Проводя вспомогательные прямые $DM$, $EN$ и~т.~д., параллельные $BA$, мы получим треугольники $BDD_1$, $DEM$, $EFN$ и~т.~д., которые все подобны между собой, так как углы у них соответственно равны (вследствие параллельности прямых). 26 | Из их подобия следует: 27 | \[\frac{BD}{BD_1}=\frac{DE}{DM}=\frac{EF}{EN}\quad\text{и так далее}\] 28 | Заменив в этом ряду равных отношений отрезок $DM$ на $D_1E_1$, отрезок $EN$ на $E_1F_1$ и~т.~д. 29 | (противоположные стороны параллелограммов равны), мы получим то, что требовалось доказать. 30 | 31 | \paragraph{}\label{1938/183} 32 | \so{Теорема}. 33 | \textbf{\emph{Две параллельные прямые}} ($MN, M_1N_1$, рис. \ref{1938/ris-193}), \textbf{\emph{пересекаемые рядом прямых}} ($OA, OB, OC, \dots$), \textbf{\emph{исходящих из одной и той же точки}} ($O$), \textbf{\emph{рассекаются ими на пропорциональные части.}} 34 | 35 | 36 | Требуется доказать, что отрезки $AB$, $BC$, $CD,\dots$ 37 | прямой $MN$ пропорциональны отрезкам $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1,\dots$ 38 | прямой $M_1N_1$. 39 | 40 | \begin{figure}[!ht] 41 | \centering 42 | \includegraphics{mppics/ris-193} 43 | \caption{}\label{1938/ris-193} 44 | \end{figure} 45 | 46 | Из подобия треугольников $OAB$ и $O_1A_1B_1$ (§~\ref{1938/159}) и треугольников $OBC$ и $OB_1C_1$ выводим: 47 | \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BO}{B_1O} 48 | \quad\text{и}\quad 49 | \frac{BO}{B_1O}=\frac{BC}{B_1C_1}, 50 | \] 51 | откуда 52 | \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}, 53 | \] 54 | Подобным же образом доказывается пропорциональность и прочих отрезков. 55 | 56 | \paragraph{}\label{1938/184} 57 | \so{Задача}. 58 | \emph{Разделить отрезок прямой $AB$ \emph{(рис.~\ref{1938/ris-194})} на три части в отношении $m:n:p$, где $m$, $n$, $p$ — данные отрезки или данные числа.} 59 | 60 | \begin{figure}[!ht] 61 | \centering 62 | \includegraphics{mppics/ris-194} 63 | \caption{}\label{1938/ris-194} 64 | \end{figure} 65 | 66 | Проведя луч $AC$ под произвольным углом к $AB$, отложим на нём от точки $A$ отрезки, равные отрезкам $m$, $n$ и $p$. 67 | Точку $F$ — конец отрезка $p$ — соединяем с $B$ прямой $BF$ и через концы $G$ и $H$ отложенных отрезков проводим прямые $GD$ и $HE$, параллельные $BF$. 68 | Тогда отрезок $AB$ разделится в точках $D$ и $E$ на части в отношении $m:n:p$. 69 | 70 | Если $m$, $n$ и $p$ означают какие-нибудь числа, например 2, 5, 3, то построение выполняется так же, с той лишь разницей, что на $AC$ откладываются отрезки, равные 2, 5 и 3 произвольным единицам длины. 71 | 72 | Конечно, указанное построение применимо к делению отрезка не только на три части, но на какое угодно иное число частей. 73 | 74 | \paragraph{}\label{1938/185} 75 | \so{Задача}. 76 | \emph{К трём данным отрезкам $a$, $b$ и $c$ найти четвёртый пропорциональный} (рис.~\ref{1938/ris-195}), то есть 77 | найти такой отрезок $x$, который удовлетворял бы пропорции $a:b=c:x$. 78 | 79 | \begin{figure}[!ht] 80 | \centering 81 | \includegraphics{mppics/ris-195} 82 | \caption{}\label{1938/ris-195} 83 | \end{figure} 84 | 85 | На сторонах произвольного угла $ABC$ откладываем отрезки: 86 | $BD\z=a$, $BF=b$, $DE=c$. 87 | Проведя затем через $D$ и $F$ прямую, построим $EG\parallel DF$. 88 | Отрезок $FG$ будет искомый. 89 | 90 | \subsection*{Свойство биссектрисы угла треугольника} 91 | 92 | \paragraph{}\label{1938/186} 93 | \so{Теорема}. 94 | \textbf{\emph{Биссектриса}} ($BD$, рис.~\ref{1938/ris-196}) \textbf{\emph{любого угла треугольника}} ($ABC$) \textbf{\emph{делит противоположную сторону на части}} ($AD$ и $CD$), \textbf{\emph{пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.}} 95 | 96 | \begin{wrapfigure}{r}{30mm} 97 | \vskip-4mm 98 | \centering 99 | \includegraphics{mppics/ris-196} 100 | \caption{}\label{1938/ris-196} 101 | \end{wrapfigure} 102 | 103 | Требуется доказать, что если $\angle ABD\z=\angle DBC$, то 104 | \[\frac{AD}{DC}\z=\frac{AB}{BC}.\] 105 | 106 | Проведём $CE \parallel BD$ до пересечения в точке $E$ с продолжением стороны $AB$. 107 | Тогда, согласно теореме в §~\ref{1938/182}, мы будем иметь пропорцию: 108 | \[\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BE}.\] 109 | Чтобы от этой пропорции перейти к той, которую требуется доказать, достаточно обнаружить, что $BE=BC$, то есть что $\triangle BCE$ равнобедренный. 110 | В этом треугольнике $\angle E=\angle ABD$ (как углы, соответственные при параллельных прямых) и $\angle BCE \z= \angle DBC$ (как углы, накрест лежащие при тех же параллельных прямых). 111 | Но $\angle ABD=\angle DBC$ по условию; 112 | значит, $\angle E = \angle BCE$, а потому равны и стороны $BC$ и $BE$, лежащие против равных углов. 113 | Заменив в написанной выше пропорции $BE$ на $BC$, получим ту пропорцию, которую требуется доказать. 114 | 115 | \medskip 116 | 117 | \smallskip 118 | \so{Численный пример}. 119 | Пусть $AB = 10$, 120 | $BC = 7$ и $AC \z= 6$. 121 | Тогда, обозначив $AD$ буквой $x$, можем написать пропорцию: 122 | \[\frac{x}{6 - x} = \frac{10}7;\] 123 | отсюда найдём: 124 | \begin{align*} 125 | 7x&=60-10x; 126 | \\ 127 | 7x+10x&=60; 128 | \\ 129 | 17x&=60; 130 | \\ 131 | x&=\tfrac{60}{17}=3\tfrac9{17}. 132 | \end{align*} 133 | Следовательно, 134 | \[DC=66-x=6-3\tfrac9{17}=2\tfrac8{17}.\] 135 | 136 | {\small 137 | 138 | \paragraph{}\label{1938/187} 139 | \so{Теорема} (выражающая свойство биссектрисы внешнего угла треугольника). 140 | \textbf{\emph{Если биссектриса}} ($BD$, рис.~\ref{1938/ris-197}) \textbf{\emph{внешнего угла}} ($CBF$) \textbf{\emph{треугольника}} ($ABC$) \textbf{\emph{пересекает продолжение противоположной стороны}} ($AC$) \textbf{\emph{в некоторой точке}} ($D$), \textbf{\emph{тогда расстояния}} ($AD$ и $DC$) \textbf{\emph{от этой точки до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника}} ($AB$ и $BC$). 141 | Требуется доказать, что если $\angle CBD\z=\angle FBD$, то $DA:DC=AB:BC$. 142 | 143 | \begin{wrapfigure}[9]{o}{45mm} 144 | \vskip-4mm 145 | \centering 146 | \includegraphics{mppics/ris-197} 147 | \caption{}\label{1938/ris-197} 148 | \end{wrapfigure} 149 | 150 | Проведя $CE \parallel BD$, получим пропорцию 151 | \[\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BE}.\] 152 | 153 | Так как $\angle BEC=\angle FBD$ (как соответственные), а $\angle BCE\z=\angle CBD$ (как накрест лежащие при параллельных прямых) и углы $FBD$ и $CBD$ равны по условию, то $\angle BEC\z=\angle BCE$; 154 | значит, $\triangle BCE$ равнобедренный, то есть $BE=BC$. 155 | Подставив в пропорцию вместо $BE$ равный отрезок $BC$, получим ту пропорцию, которую требовалось доказать: 156 | \[\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}.\] 157 | 158 | {\small 159 | 160 | \smallskip 161 | \so{Примечание}. 162 | Особый случай представляет биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, которая параллельна основанию. 163 | 164 | } 165 | 166 | \paragraph{}\label{1914/227} 167 | \so{Обратная теорема.} 168 | \textbf{\emph{Если прямая, исходящая из вершины треугольника, пересекает противоположную сторону (или её продолжение) в точке, расстояния от которой до концов противоположной стороны пропорциональны соответственно двум другим сторонам, то она есть биссектриса угла треугольника (внутреннего или внешнего).}} 169 | 170 | 171 | Пусть $E$ есть точка лежащая на стороне $AC$ треугольника $ABC$ или на её продолжении, такая, что 172 | $AE:EC=AB:BC$. 173 | По доказанному (§~\ref{1938/186}), для основания $D$ биссектрисы угла $B$, а также для основания $D'$ биссектрисы его внешнего угла к $B$ выполнена та же пропорция, то есть 174 | \[\frac{AD}{DC}=\frac{AD'}{D'C}=\frac{AB}{BC}.\] 175 | 176 | Но если $AB\ne BC$, то существует только две точки (§~\ref{extra/proportions}). 177 | Значит $E$ совпадает с $D$ или $D'$ и следовательно прямая $BE$ сливается с биссектрисой угла $B$ или его внешнего угла. 178 | 179 | Если $AB=BC$, то точка $E$ есть середина основания $AC$ и треугольник $ABC$ равнобедренный. 180 | То есть $BE$ есть медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, 181 | по доказанному (§~\ref{1938/38}), совпадает с биссектрисой угла $B$. 182 | (Биссектриса внешнего угла в этом случае параллельна основанию.) 183 | 184 | 185 | 186 | \paragraph{}\label{1914/228} 187 | \so{Теорема}. 188 | \textbf{\emph{Геометрическое место точек, до которых расстояния от двух данных точек находятся в постоянном отношении $\bm{m:n}$, есть окружность, когда $\bm{m\ne n}$, и прямая, когда $\bm{m=n}$.}} 189 | 190 | Обозначим данные точки буквами $A$ и $B$. 191 | 192 | Если $m\z=n$, то искомое место точек есть срединный перпендикуляр к отрезку $AB$ (§~\ref{1938/58}). 193 | 194 | \begin{wrapfigure}{o}{50mm} 195 | \centering 196 | \includegraphics{mppics/ris-1914-209} 197 | \caption{}\label{1914/ris-209} 198 | \end{wrapfigure} 199 | 200 | Предположим, что $m>n$. 201 | Тогда на прямой $AB$, можно найти две точки $C$ и $C'$ (рис. \ref{1914/ris-209}), 202 | принадлежащие искомому геометрическому месту (§~\ref{extra/proportions}); то есть такие, что 203 | \[\frac{CA}{CB}=\frac{C'A}{C'B}=\frac mn.\] 204 | Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, а точка $C'$ на его продолжении. 205 | 206 | Пусть ещё другая точка $M$ удовлетворяет пропорции 207 | \[\frac{MA}{MB}=\frac mn.\eqno(1)\] 208 | Проведя $MC$ и $MC'$ мы должны заключить (§~\ref{1914/227}), что первая из этих прямых есть биссектриса угла $AMB$, а вторая — биссектриса угла $BMN$; 209 | вследствие этого угол $CMC'$, составленный из двух половин смежных углов, должен быть прямой. 210 | Поэтому вершина $M$ лежит на окружности, описанной на $CC'$ как на диаметре (§~\ref{1938/125}). 211 | 212 | Таким образом, мы доказали, что всякая точка $M$ удовлетворяющая пропорции (1), лежит на окружности с диаметром $CC'$. 213 | Докажем обратное предложение, то есть, что всякая точка $M$, лежащая на окружности с диаметром $CC'$, удовлетворяет пропорции (1). 214 | Обозначим центр этой окружности буквой $O$, это середина отрезка $CC'$. 215 | 216 | Найдём сначала пропорции $\frac{OA}{OC}$ и $\frac{OC}{OB}$. 217 | Поскольку 218 | \[\frac{AC}{BC}=\frac{AC'}{BC'}=\frac{m}{n}\] 219 | верны также следующие пропорции 220 | \[\frac{AC'+AC}{BC'+BC}=\frac{AC'-AC}{BC'-BC}=\frac{m}{n}. \eqno(2)\] 221 | 222 | Поскольку $OC=OC'$, 223 | \begin{align*} 224 | 2\cdot AO&=AC'-OC'+AC+OC= 225 | \\ 226 | &=AC'+AC. 227 | \\ 228 | 2\cdot BO&=BC'-OC'+OC-BC= 229 | \\ 230 | &=BC'-BC. 231 | \\ 232 | 2\cdot CO&=CC'=AC'-AC= 233 | \\ 234 | &=BC'+BC. 235 | \end{align*} 236 | Подставляя в эти значения в пропорции (2) получаем 237 | \[\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}=\frac mn.\] 238 | 239 | Пусть $M$ произвольная точка окружности отличная от $C$ и $C'$. 240 | Тогда $OM=OC$, следовательно 241 | \[\frac{OA}{OM}=\frac{OM}{OB}=\frac mn.\] 242 | Значит $\triangle OBM\sim\triangle OMA$ и в частности 243 | \[\frac{AM}{BM}=\frac{OA}{OM}=\frac mn,\] 244 | то есть выполняется пропорция (1). 245 | 246 | Случай $mCD$) есть такой третий отрезок, сумма которого с $CD$ равна $AB$; 123 | произведение отрезка $AB$ на число $3$ есть сумма трёх отрезков, из которых каждый равен $AB$; 124 | частное от деления отрезка $AB$ на число $3$ есть третья часть $AB$ и так далее. 125 | 126 | Если данные отрезки измерены какой-нибудь линейной единицей (например, сантиметром), и длины их выражены соответствующими числами, то длина суммы отрезков выразится суммой чисел, измеряющих эти отрезки, разность выразится разностью чисел и~т.~д. 127 | 128 | \subsection*{Понятие об окружности} 129 | 130 | \paragraph{Окружность.}\label{1938/9} 131 | Если дадим циркулю произвольный раствор и, поставив одну его ножку остриём в какую-нибудь точку $O$ плоскости (рис.~\ref{1938/ris-6}), станем вращать циркуль вокруг этой точки, то другая его ножка, снабжённая карандашом или пером, прикасающимся к плоскости, опишет на плоскости непрерывную линию, все точки которой одинаково удалены от точки $O$. 132 | Эта линия называется \rindex{окружность}\textbf{окружностью}, и точка $O$ — её \rindex{центр!окружности}\textbf{центром}. 133 | Отрезки $OA$, $OB$, $OC,\dots$, соединяющие центр с какими-нибудь точками окружности, называются \rindex{радиус}\textbf{радиусами}. 134 | Все радиусы одной окружности равны между собой. 135 | 136 | \begin{wrapfigure}{o}{39 mm} 137 | \vskip-3mm 138 | \centering 139 | \includegraphics{mppics/ris-6} 140 | \caption{}\label{1938/ris-6} 141 | \end{wrapfigure} 142 | 143 | Окружности, описанные одинаковыми радиусами, равны, так как они при совмещении их центров совмещаются всеми своими точками. 144 | Прямая ($MN$, рис.~\ref{1938/ris-6}), проходящая через какие-нибудь две точки окружности, называется \rindex{секущая}\textbf{секущей}. 145 | 146 | Отрезок ($EF$), соединяющий две какие-нибудь точки окружности, называется \rindex{хорда}\textbf{хордой}. 147 | 148 | Всякая хорда ($AD$), проходящая через центр, называется \rindex{диаметр}\textbf{диаметром}. 149 | Диаметр равен сумме двух радиусов, и потому все диаметры одной окружности равны между собой. 150 | Какая-нибудь часть окружности (например, $EmF$) называется \rindex{дуга}\textbf{дугой}. 151 | 152 | О хорде ($EF$), соединяющей концы какой-нибудь дуги, говорят, что она \textbf{стягивает} эту дугу. 153 | 154 | Дуга обозначается иногда знаком $\smallsmile$; 155 | например, вместо «дуга $EmF$» пишут «${\smallsmile} EmF$». 156 | Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется \rindex{круг}\textbf{кругом}% 157 | \footnote{Иногда слово «круг» употребляют в том же смысле, как и окружность. 158 | Но этого следует избегать, так как употребление одного и того же термина для разных понятий может приводить к ошибкам.}% 159 | . 160 | 161 | Часть круга, заключённая между двумя радиусами (часть $COB$, покрытая штрихами на рис.~\ref{1938/ris-6}), называется \rindex{сектор}\textbf{сектором}, а часть, отсекаемая от круга какой-нибудь секущей (часть $EmF$), называется \rindex{сегмент}\textbf{сегментом}. 162 | 163 | \paragraph{Равенство и неравенство дуг.}\label{1938/10} 164 | Две дуги одной и той же окружности (или равных окружностей) равны между собой, если они могут быть совмещены так, что их концы совпадут. 165 | Положим, например, что мы накладываем дугу $AB$ (рис.~\ref{1938/ris-7}) на дугу $CD$ так, чтобы точка $A$ совпала с точкой $C$ и дуга $AB$ пошла по дуге $CD$; 166 | если при этом концы $B$ и $D$ совпадут, то совпадут и все промежуточные точки этих дуг, так как они находятся на одинаковом расстоянии от центра, значит, ${\smallsmile} AB={\smallsmile} CD$; 167 | если же $B$ и $D$ не совпадут, то дуги не равны, причём та считается меньше, которая составит часть другой. 168 | 169 | \begin{wrapfigure}{r}{39 mm} 170 | \vskip-4mm 171 | \centering 172 | \includegraphics{mppics/ris-7} 173 | \caption{}\label{1938/ris-7} 174 | \end{wrapfigure} 175 | 176 | \paragraph{Сумма дуг.}\label{1938/11} 177 | \rindex{сумма!дуг} 178 | Суммой нескольких данных дуг одинакового радиуса называется такая дуга того же радиуса, которая составлена из частей, соответственно равных данным дугам. 179 | Так, если от произвольной точки $M$ (рис.~\ref{1938/ris-7}) окружности отложим часть $MN$, равную $AB$, и затем от точки $N$ в том же направлении отложим часть $NP$, равную $CD$, то дуга $MP$ будет суммой дуг $AB$ и $CD$. 180 | Подобно этому можно составить сумму трёх и более дуг. 181 | 182 | При сложении дуг одинакового радиуса их сумма может не уместиться на одной окружности, одна из дуг может частично покрыть другую. 183 | В таком случае суммой дуг будет являться дуга, б\'{о}льшая целой окружности. 184 | Так, например, при сложении дуги $AmB$ с дугой $CnD$ (рис.~\ref{1938/ris-8}) получаем дугу, состоящую из целой окружности и дуги $AD$. 185 | 186 | \begin{figure}[!ht] 187 | \centering 188 | \includegraphics{mppics/ris-8} 189 | \caption{}\label{1938/ris-8} 190 | \end{figure} 191 | 192 | 193 | Сумма дуг, как и сумма отрезков, обладает свойствами \textbf{переместительным} и \textbf{сочетательным}. 194 | 195 | Из понятия о сумме дуг выводятся понятия о разности дуг, умножении и делении дуги на число, так же как и для отрезков. 196 | 197 | 198 | \paragraph{Разделение геометрии.}\label{1938/12} 199 | Геометрия разделяется на две части: 200 | \textbf{планиметрию} и \textbf{стереометрию}. 201 | Первая рассматривает свойства таких фигур, все части которых помещаются на одной плоскости; 202 | вторая — свойства таких фигур, у которых не все части помещаются на одной плоскости. 203 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/izmereniya.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Измерение отрезков} 2 | 3 | \paragraph{Задача измерения отрезка.}\label{1938/144} 4 | До сих пор, сравнивая между собой два отрезка, мы могли определить, равны ли они между собой, и если не равны, то какой из них больше (§~\ref{1938/6}). 5 | Нам приходилось это делать при изучении соотношений между сторонами и углами треугольника (§§~\ref{1938/46}, \ref{1938/47}), при сравнении отрезка прямой с ломаной (§~\ref{1938/50}, \ref{1938/51}) и в некоторых других случаях (§§~\ref{1938/63}, \ref{1938/54}, \ref{1938/55}). 6 | Но такое сравнение отрезков между собой ещё не даёт точного представления о величине каждого из них. 7 | 8 | Наша задача установить точное понятие о длине отрезка и найти способы выражать эту длину при помощи числа. 9 | 10 | \paragraph{Понятие об измерении отрезков.}\label{1938/150} 11 | Чтобы составить ясное представление о величине данного отрезка, его сравнивают с другим, уже известным нам отрезком, например с метром. 12 | Этот известный отрезок, с которым сравнивают другие отрезки, называется \rindex{единица длины}\textbf{единицей длины}. 13 | 14 | \begin{figure}[!ht] 15 | \centering 16 | \includegraphics{mppics/ris-168} 17 | \caption{}\label{1938/ris-168} 18 | \end{figure} 19 | 20 | Пусть, например, надо измерить отрезок $a$ (рис.~\ref{1938/ris-168}) при помощи единицы $b$. 21 | Тогда поступают так: 22 | положим, что мы желаем найти отрезки, которые отличались бы от $a$ меньше, чем на 23 | $\tfrac1{10}$ единицы длины $b$. 24 | Тогда делим единицу $b$ на 10 равных частей (рис.~\ref{1938/ris-168}) и одну такую долю откладываем на отрезке $a$ столько раз, сколько возможно. 25 | Пусть она уложится 13 раз с некоторым остатком меньшим $\tfrac1{10}b$. 26 | Тогда получим отрезок $a_1=\tfrac{13}{10}b$ и меньший, чем~$a$. 27 | Отложив $\tfrac1{10}b$ ещё один раз, получим другой отрезок, $a_2=\tfrac{14}{10}b$, больший, чем $a$, который разнится от $a$ менее чем на $\tfrac1{10}$ единицы. 28 | Длины отрезков $a_1$ и $a_2$ выражаются числами $\tfrac{13}{10}$ и $\tfrac{14}{10}$. 29 | Эти числа рассматриваются как \so{приближённые меры} длины отрезка $a$: 30 | первое с недостатком, второе — с избытком. 31 | При этом, так как отрезок $a$ разнится от $a_1$ и от $a_2$ менее чем на $\tfrac1{10}$ единицы, то принято говорить, что каждое из этих чисел выражает длину отрезка $a$ с точностью до $\tfrac1{10}$. 32 | 33 | Вообще, чтобы найти приближённые меры длины отрезка $a$ с точностью до $\tfrac1n$ единицы, делят единицу $b$ на $n$ равных частей и узнают, сколько раз $\tfrac1n$-я доля единицы содержится в $a$; 34 | если она содержится $m$ раз с некоторым остатком, меньшим $\tfrac1n b$, то числа $\tfrac mn$ и $\tfrac {m+1}n$ считаются приближёнными мерами длины отрезка $a$ с точностью до $\tfrac1n$-й, первое с недостатком, второе — с избытком. 35 | 36 | Может случиться, что этим путём мы найдём точный результат, то есть если отрезок $\tfrac1n b$ уложится целое число раз в отрезке $a$. 37 | 38 | Для получения того числа, которое можно было бы принять за точную меру длины отрезка $a$, поступают следующим образом. 39 | 40 | Вычисляют последовательно приближённую меру длины отрезка $a$ с недостатком с точностью до $0{,}1$, затем ту же меру с недостатком с точностью до $0{,}01$, затем её же с точностью до $0{,}001$ и продолжают беспредельно этот процесс последовательного вычисления приближённой меры длины $a$, каждый раз повышая точность в 10 раз. 41 | При таком процессе будут получаться последовательно десятичные дроби сначала с одним десятичным знаком, затем с двумя, тремя и дальше всё с б\'{о}льшим и б\'{о}льшим числом десятичных знаков. 42 | Неограниченное продолжение описанного процесса построения десятичных дробей определяет бесконечную десятичную дробь. 43 | 44 | Бесконечную десятичную дробь нельзя, конечно, полностью записать на листе бумаги, так как число её десятичных знаков бесконечно. 45 | Тем не менее её считают известной, если известен способ, при помощи которого можно определить любое число её десятичных знаков. 46 | 47 | 48 | \paragraph{Бесконечные десятичные дроби.}\label{1938/151} 49 | Введение бесконечных десятичных дробей производится в алгебре на основе следующих определений. 50 | 51 | 1) Бесконечная десятичная дробь называется вещественным числом. 52 | 53 | 2) Две бесконечные десятичные дроби считаются равными, если их десятичные знаки одинакового порядка равны. 54 | 55 | 3) Из двух неравных бесконечных десятичных дробей считается б\'{о}льшим вещественным числом та дробь, в которой первый из неравных десятичных знаков одинакового порядка со второй дробью больше. 56 | 57 | 4) Если в бесконечной десятичной дроби все десятичные знаки, начиная с некоторого порядка, равны нулю, то дробь считается равной той конечной десятичной дроби, которая получится из данной зачёркиванием всех нулей, стоящих справа от последней значащей цифры. 58 | Так, бесконечная десятичная дробь $7{,}8530078000\dots$ 59 | равна конечной дроби $7{,}8530078$. 60 | 61 | 5) Бесконечная периодическая дробь с периодом 9 всегда заменяется конечной десятичной дробью, получаемой из данной увеличением на единицу её последнего десятичного знака, отличного от $9$, и отбрасыванием всех последующих девяток. 62 | Так, дробь $3{,}72999\dots$ заменяют конечной дробью $3{,}73$. 63 | 64 | \paragraph{Приближённые значения бесконечной десятичной дроби.}\label{1938/152} 65 | Если оборвать данную бесконечную десятичную дробь на её $n$-м знаке, то полученная конечная дробь называется приближённым значением бесконечной десятичной дроби с точностью до $\tfrac1{10^n}$ с недостатком. 66 | Если же в этой дроби увеличить на единицу её последний десятичный знак, то есть 67 | прибавить к ней $\tfrac1{10^n}$, то получится новая конечная дробь, которая называется приближённым значением бесконечной дроби с той же точностью с избытком. 68 | Если приближённое значение вещественного числа $\alpha$ с $n$ десятичными знаками с недостатком обозначим через $\alpha_n$, а с избытком через $\alpha_n'$, то $\alpha_n'=\alpha_n+\tfrac1{10^n}$. 69 | Из определения неравенства вещественных чисел следует, что 70 | \[\alpha_n\le \alpha<\alpha_n';\] 71 | то есть приближённое значение взятое с недостатком не превосходит само число, 72 | а само число меньше своего приближённого значения с избытком. 73 | 74 | Пусть, например, дано вещественное число, определяющее $\sqrt{2} \z= 1{,}414\dots$; 75 | его приближённое значение с точностью до $0{,}01$ с недостатком: 76 | $1{,}41$, с избытком: 77 | $1{,}42$; 78 | так как 79 | $1{,}41 = 1{,}41000$ 80 | и 81 | $1{,}42 = 1{,}42000$, 82 | то в силу определения неравенства вещественных чисел имеем: 83 | \[ 84 | 1{,}41000\ldots 85 | < 1{,}414\ldots 86 | < 1{,}42000\ldots, 87 | \qquad\text{или}\qquad 88 | 1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42. 89 | \] 90 | 91 | \paragraph{Сложение вещественных чисел.}\label{1938/153} 92 | 93 | Пусть даны два вещественных числа $\alpha$ и $\beta$. 94 | Возьмём их приближённые значения с произвольным числом $n$ десятичных знаков, сначала с недостатком, а затем с избытком. 95 | Приближённые значения чисел $\alpha$ и $\beta$ с недостатком обозначим соответственно через $\alpha_n$ и $\beta_n$, а приближённые значения с избытком — через $\alpha_n'$ и $\beta_n'$. 96 | При этом: 97 | \[\alpha_n'=\alpha_n +\tfrac1{10^n}, 98 | \quad 99 | \beta_n'=\beta_n +\tfrac1{10^n}.\eqno(1) 100 | \] 101 | Составим теперь суммы $\alpha_n+\beta_n$ и $\alpha_n'+ \beta_n'$. 102 | Каждая из них есть десятичная дробь, содержащая $n$ десятичных знаков. 103 | 104 | Назовём первую $\gamma_n$, а вторую $\gamma_n'$: 105 | \[\alpha_n+\beta_n=\gamma_n,\quad\alpha_n'+\beta_n'=\gamma_n'.\] 106 | Складывая почленно равенства (1), получим: 107 | \[\alpha_n'+\beta_n'= \alpha_n + \beta_n + \tfrac2{10^n},\] 108 | или $\gamma_n'=\gamma_n+ \tfrac2{10^n}$. 109 | Это равенство показывает, что дробь $\gamma_n$ получается из 110 | дроби $\gamma_n$ прибавлением двух единиц к её последнему десятичному знаку. 111 | 112 | Будем теперь увеличивать $n$; 113 | в таком случае дробь $\gamma_n$ приведёт к образованию бесконечной десятичной дроби, которую обозначим~$\gamma$. 114 | Эта дробь может оказаться или периодической, или непериодической. 115 | 116 | Допустим, что дробь $\gamma$ непериодическая. 117 | В таком случае она должна содержать бесчисленное множество десятичных знаков, отличных от 9. 118 | В этом случае в дроби $\gamma$ число десятичных знаков, отличных от 9, должно возрастать с возрастанием~$n$. 119 | Так как прибавка в дроби $\gamma$ числа $\tfrac2{10^n}$ не может оказать влияния на её десятичные знаки, стоящие левее двух последних знаков, отличных от 9, то число общих первых десятичных знаков в дробях $\gamma_n$ и $\gamma_n'$ будет неограниченно возрастать с возрастанием~$n$. 120 | Следовательно, дробь $\gamma_n'$ будет приводить к той же бесконечной десятичной дроби, что и дробь $\gamma_n$. 121 | При этом из предыдущего следует, что при любом~$n$ 122 | \[\gamma_n\le \gamma<\gamma_n'.\eqno(2)\] 123 | 124 | Допустим теперь, что дробь $\gamma$ периодическая. 125 | В таком случае она представляет собой некоторое рациональное число. 126 | Это число и только оно удовлетворяет неравенству (2) при всех~$n$. 127 | 128 | \smallskip 129 | \so{Определение}. 130 | \emph{Вещественное число $\gamma$, удовлетворяющее неравенствам (2) при всех $n$, называется суммой вещественных чисел $\alpha$ и $\beta$.} 131 | \[\gamma=\alpha+\beta.\] 132 | 133 | \paragraph{Другие действия с вещественными числами.}\label{1938/154} 134 | Совершенно аналогичным образом можно определить разность двух вещественных чисел, их произведение и частное от деления одного вещественного числа на другое. 135 | Более подробное изучение результатов этих действий показывает, что определённые таким образом сумма и произведение вещественных чисел подчиняются основным законам действий, имеющим место для чисел рациональных: 136 | сложение подчиняется переместительному и сочетательному законам. 137 | 138 | \[\alpha+\beta=\beta+\alpha, 139 | \quad 140 | (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma), 141 | \] 142 | а умножение — переместительному, сочетательному и распределительному законам. 143 | \[\alpha\beta=\beta\alpha, 144 | \quad 145 | (\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma), 146 | \quad 147 | (\alpha+\beta)\gamma=\alpha\gamma+\beta\gamma. 148 | \] 149 | 150 | В тех случаях, когда бесконечные десятичные дроби будут периодическими, определённые выше действия над ними будут приводить, как легко показать, к тем же результатам, что и действия над обыкновенными дробями, получаемыми после обращения периодических дробей в простые. 151 | 152 | Таким образом, рациональные числа являются лишь частным видом вещественных чисел. 153 | 154 | \paragraph{Длины отрезков и их отношения.}\label{1938/155} 155 | Число, получаемое в результате измерения отрезка $a$, называется \rindex{длина}\textbf{длиной} этого отрезка. 156 | 157 | Заметим, что равенство длин отрезков и равенство отрезков, определённое нами с помощью наложения (§~\ref{1938/6}), эквивалентны, конечно, если для измерения отрезков мы пользовались одной единицей длины. 158 | То же верно и для сравнения, сложения и других действий над отрезками и их длинами (§§~\ref{1938/6}—\ref{1938/8}). 159 | 160 | Например неравенство $AB>2\cdot CD$ может пониматься двояко — то что отрезок $CD$ укладывается два раза в отрезке $AB$ с некоторым остатком и то, что длина отрезка $AB$ больше чем удвоенная длина отрезка $CD$ измеренная той же единицей длины. 161 | При этом выражение «измеренная той же единицей длины» мы будем опускать, предполагая что 162 | в каждой конкретной задаче, измерения производятся только одной единицей. 163 | 164 | Под отношением двух отрезков мы понимаем отношение их длин. 165 | Это же отношение равно длине первого, если второй взять за единицу длины. 166 | 167 | Заметим, что отношение двух отрезков не зависит от того, как выбрана единица измерения. 168 | В самом деле, если, например, вместо одной уже выбранной единицы измерения взять другую, в 3 раза меньшую, то в каждом отрезке эта новая единица уложится втрое большее число раз, чем прежняя. 169 | В той дроби, которая представляет отношение отрезков, числитель и знаменатель оба увеличатся в 3 раза. 170 | Величина же самой дроби от этого не изменится. 171 | 172 | \paragraph{Пропорции.}\label{extra/proportions} 173 | В геометрических задачах часто появляется уравнение типа 174 | \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\eqno(1)\] 175 | на длины $a$, $b$, $c$ и $d$ некоторых отрезков. 176 | Такое уравнение называется \rindex{пропорция}\textbf{пропорцией}. 177 | 178 | Следующие наблюдения часто оказываются полезными: 179 | 180 | 1) Пропорцию (1) можно переписать как произведение: 181 | \begin{align*} 182 | a\cdot d&=b\cdot c. 183 | \end{align*} 184 | 185 | 2) Пропорцию (1) можно продолжить складывая или вычитая соответствующие члены: 186 | \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}=\frac{2a+3c}{2b+3d}=\dots\] 187 | конечно если знаменатели в новых дробях не равны нулю. 188 | 189 | 3) По пропорции (1) можно написать другие пропорции, например: 190 | \begin{align*} 191 | \frac{a}{c}&=\frac{b}{d}, 192 | & 193 | \frac{a+b}{b}&=\frac{d+c}{d}, 194 | & 195 | \frac{a}{b-a}&=\frac{c}{d-c}\quad \text{и так далее.} 196 | \end{align*} 197 | 198 | Приведём пример использования этих наблюдений. 199 | 200 | \smallskip 201 | \so{Задача 1}. Предположим для точек $C$ и $C'$ лежащих на отрезке $AB$ выполняется пропорция 202 | \[\frac{AC}{CB}=\frac{AC'}{C'B}.\eqno(2)\] 203 | Доказать, что $C=C'$. 204 | 205 | Из пропорции (2) можно написать другую 206 | \[\frac{AC}{AC+CB}=\frac{AC'}{AC'+C'B}.\] 207 | Поскольку точки $C$ и $C'$ лежат на отрезке $AB$, 208 | \[AC+CB=AC'+C'B=AB.\] 209 | Значит 210 | \[\frac{AC}{AB}=\frac{AC'}{AB};\] 211 | следовательно $AC=AC'$ и $C=C'$. 212 | 213 | Аналогично решается следующая задача: 214 | 215 | \smallskip 216 | \so{Задача 2}. Предположим для точек $C$ и $C'$ лежащих на продолжении отрезка $AB$ выполняется пропорция 217 | \[\frac{AC}{CB}=\frac{AC'}{C'B}.\eqno(3)\] 218 | Доказать, что $C=C'$. 219 | 220 | Не умаляя общности можно предположить, что $AC>CB$; 221 | тогда из пропорции (3) следует, что $AC'>C'B$, 222 | то есть обе точки $C$ и $C'$ лежат на продолжении $AB$ за точку $B$ и значит 223 | \[AC-CB=AC'-C'B=AB.\] 224 | Из пропорции (3) можно написать другую 225 | \[\frac{AC}{AC-CB}=\frac{AC'}{AC'-C'B}\] 226 | или 227 | \[\frac{AC}{AB}=\frac{AC'}{AB};\] 228 | следовательно $AC=AC'$ и $C=C'$. 229 | -------------------------------------------------------------------------------- /2D/podobie-trig.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Подобие треугольников} 2 | 3 | \paragraph{Предварительные понятия.}\label{1938/156} 4 | В окружающей нас жизни часто встречаются фигуры, имеющие различные размеры, но одинаковую форму. 5 | Таковы, например, одинаковые фотографии одного и того же лица, изготовленные в различных размерах, или планы здания или целого города, вычерченные в различных масштабах. 6 | Такие фигуры принято называть подобными. 7 | Умение измерять длины отрезков позволяет точно определить понятие о геометрическом подобии фигур и дать способы изменения размера фигуры без изменений её формы. 8 | 9 | Изучение подобия фигур мы начнём с простейшего случая, именно с подобия треугольников. 10 | 11 | \paragraph{}\label{1938/158} 12 | \so{Определение}. 13 | \emph{Два треугольника называются \rindex{подобные!треугольники}подобными, если: 14 | 1) углы одного соответственно равны углам другого и 15 | 2) стороны одного пропорциональны соответственным сторонам другого.} 16 | 17 | \begin{wrapfigure}{r}{51mm} 18 | \centering 19 | \includegraphics{mppics/ris-extra-4} 20 | \caption{}\label{extra/ris-4} 21 | \end{wrapfigure} 22 | 23 | Подобие треугольников обозначается знаком $\sim$; 24 | например, 25 | \[\triangle ABC\z\sim \triangle DEF\] 26 | означает, что треугольники $ABC$ и $DEF$ подобны. 27 | При этом принято выписывать соответственные вершины треугольников в том же порядке; 28 | то есть $\triangle ABC\z\sim \triangle DEF$ обычно означает, что 29 | \[\angle A=\angle D,\quad 30 | \angle B=\angle E,\quad 31 | \angle C=\angle F 32 | \] 33 | и 34 | \[\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}.\] 35 | 36 | То, что подобные треугольники существуют, показывает следующая \rindex{лемма}лемма\footnote{Леммой называется вспомогательная теорема, которая излагается для того, чтобы при её помощи доказать следующую за ней теорему.}. 37 | 38 | \paragraph{}\label{1938/159} 39 | \so{Лемма}. 40 | \textbf{\emph{Прямая}} ($DE$, рис.~\ref{1938/ris-169}), \textbf{\emph{параллельная какой-нибудь стороне}} ($AC$) \textbf{\emph{треугольника}} ($ABC$), \textbf{\emph{отсекает от него треугольник}} ($DBE$), \textbf{\emph{подобный данному.}} 41 | 42 | Пусть в треугольнике $ABC$ прямая $DE$ параллельна стороне $AC$. 43 | Требуется доказать, что $\triangle DBE\sim \triangle ABC$. 44 | 45 | Предстоит доказать, во-первых, равенство соответственных углов и, во-вторых, пропорциональность соответственных сторон треугольников $ABC$ и $DBE$. 46 | 47 | 1. 48 | Углы треугольников соответственно равны, так как угол $B$ у них общий, а $\angle D = \angle A$ и $\angle E= \angle C$, как соответственные углы при параллельных $DE$ и $AC$ и секущих $AB$ и $CB$. 49 | 50 | \begin{wrapfigure}[13]{r}{51mm} 51 | \centering 52 | \includegraphics{mppics/ris-169} 53 | \caption{}\label{1938/ris-169} 54 | \end{wrapfigure} 55 | 56 | 2. 57 | Докажем, что стороны $\triangle DBE$ пропорциональны соответственным сторонам $\triangle ABC$, то есть что 58 | \[\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}.\] 59 | 60 | Для этого рассмотрим отдельно следующие два случая: 61 | 62 | 1. 63 | \mbox{\so{Стороны}} $AB$ \so{и $BD$ имеют общую меру}. 64 | 65 | Разделим $AB$ на части, равные этой общей мере. 66 | Тогда $BD$ разделится на целое число таких частей. 67 | Пусть этих частей содержится $m$ в $BD$ и $n$ в $AB$. 68 | Проведём из точек деления ряд прямых, параллельных $AC$, и другой ряд прямых, параллельных $BC$. 69 | Тогда $BE$ и $BC$ разделятся на равные части (§~\ref{1938/95}), которых будет $m$ в $BE$ и $n$ в $BC$. 70 | Точно так же $DE$ разделится на $m$ равных частей, а $AC$ на $n$ равных частей, причём части $BE$ равны частям $AC$ (как противоположные стороны параллелограммов). 71 | Теперь очевидно, что 72 | \begin{align*} 73 | \frac{BD}{BA}&=\frac mn, 74 | & 75 | \frac{BE}{BC}&=\frac mn, 76 | & 77 | \frac{DE}{AC}&=\frac mn. 78 | \end{align*} 79 | 80 | 81 | 82 | Следовательно 83 | \[\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}.\] 84 | 85 | 2. \so{Стороны} $AB$ и $BD$ \so{не имеют общей меры} (рис.~\ref{1938/ris-170}). 86 | 87 | Найдём приближённые значения каждого из отношений $\frac{BD}{BA}$ и $\frac{BE}{BC}$, сначала с точностью до $\tfrac1{10}$; 88 | затем до $\tfrac1{100}$ и далее будем последовательно повышать степень точности в 10 раз. 89 | 90 | \begin{wrapfigure}{o}{45mm} 91 | \centering 92 | \includegraphics{mppics/ris-170} 93 | \caption{}\label{1938/ris-170} 94 | \end{wrapfigure} 95 | 96 | Для этого разделим сторону $AB$ сначала на 10 равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные $AC$. 97 | Тогда сторона $BC$ разделится также на 10 равных частей. 98 | Предположим, что $\tfrac1{10}$ доля $AB$ укладывается в $BD$ более $m$ 99 | раз, причём получается остаток, меньший $\tfrac1{10}AB$. 100 | 101 | Тогда, как видно из рис.~\ref{1938/ris-170}, $\tfrac1{10}$ доля $BC$ укладывается в $BE$ также $m$ раз с остатком, меньшим $\tfrac1{10}BC$. 102 | Следовательно, с точностью до $\tfrac1{10}$ имеем: 103 | \[\frac{BD}{AB}=\frac{m}{10}; 104 | \qquad 105 | \frac{BE}{BC}=\frac{m}{10}\] 106 | Далее, разделим $AB$ на 100 равных частей и предположим, что $\tfrac1{100}AB$ укладывается $m_1$ раз в $BD$. 107 | Проводя опять через точки деления прямые, параллельные $AC$, убеждаемся, что $\tfrac1{100}BC$ укладывается в $BE$ также $m_1$ раз. 108 | Поэтому с точностью до $\tfrac1{100}$ имеем: 109 | \[\frac{BD}{AB}=\frac{m_1}{100}; 110 | \qquad 111 | \frac{BE}{BC}=\frac{m_1}{100}\] 112 | 113 | Повышая далее степень точности в $10,100,\dots$ раз, убеждаемся, что приближённые значения соотношений $\frac{BD}{BA}$ и $\frac{BE}{BC}$, вычисленные с произвольной, но одинаковой десятичной точностью, равны. 114 | Следовательно, значения этих отношений выражаются одной и той же бесконечной десятичной дробью; 115 | значит 116 | \[\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}.\] 117 | 118 | Точно так же, проводя через точки деления стороны $AB$ прямые, параллельные стороне $BC$, найдём, что 119 | $\frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}$. 120 | Таким образом, и в этом случае имеем: 121 | \[\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}.\] 122 | 123 | {\small 124 | 125 | \paragraph{}\label{1938/160} 126 | \so{Замечание}: 127 | Доказанные соотношения представляют собой три следующие пропорции: 128 | \[\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}; 129 | \quad 130 | \frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}; 131 | \quad 132 | \frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}.\] 133 | Переставив в них средние члены, получим: 134 | \[\frac{BD}{BE}=\frac{BA}{BC}; 135 | \quad 136 | \frac{BD}{DE}=\frac{BA}{AC}; 137 | \quad 138 | \frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AC}.\] 139 | 140 | Таким образом, если в треугольниках стороны пропорциональны, то отношение любых двух сторон одного треугольника равно отношению соответственных сторон другого треугольника. 141 | } 142 | 143 | \subsection*{Признаки подобия треугольников} 144 | 145 | \paragraph{}\label{1938/161} 146 | \so{Теоремы}. 147 | \textbf{\emph{Если в двух треугольниках:}} 148 | 149 | 1) \textbf{\emph{два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого}} или 150 | 151 | 2) \textbf{\emph{две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, лежащие между этими сторонами, равны}} или 152 | 153 | 3) \textbf{\emph{если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.}} 154 | 155 | 1) Пусть $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (рис.~\ref{1938/ris-171}) будут два треугольника, у которых $\angle A = \angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$ и, следовательно, $\angle C=\angle C_1$. 156 | Требуется доказать, что такие треугольники подобны. 157 | 158 | \begin{figure}[!ht] 159 | \centering 160 | \includegraphics{mppics/ris-171} 161 | \caption{}\label{1938/ris-171} 162 | \end{figure} 163 | 164 | Отложим на $AB$ отрезок $BD$, равный $A_1B_1$, и проведём $DE\z\parallel AC$. 165 | Согласно доказанной выше лемме, $\triangle DBE\sim\triangle ABC$. 166 | 167 | С другой стороны, $\triangle DBE= \triangle A_1B_1C_1$, потому что у них: 168 | $BD\z=A_1B_1$ (по построению), $\angle B=\angle B_1$ (по условию) и $\angle D \z= \angle A_1$ (потому что $\angle D = \angle A$ и $\angle A = \angle A_1$). 169 | Но очевидно, что если из двух равных треугольников один подобен третьему, то и другой ему подобен; 170 | следовательно, 171 | \[\triangle A_1B_1C_1\sim\triangle ABC.\] 172 | 173 | 2) Пусть в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (рис.~\ref{1938/ris-172}) дано: 174 | 175 | \[\angle B=\angle B_1 176 | \quad 177 | \text{и} 178 | \quad 179 | \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}.\eqno(1)\] 180 | 181 | \begin{figure}[!ht] 182 | \centering 183 | \includegraphics{mppics/ris-172} 184 | \caption{}\label{1938/ris-172} 185 | \end{figure} 186 | 187 | Требуется доказать, что такие треугольники подобны. 188 | Отложим снова на $AB$ отрезок $BD$, равный $A_1B_1$, и проведём $DE\parallel AC$. 189 | Тогда получим вспомогательный $\triangle DBE$, подобный $\triangle ABC$. 190 | Докажем, что он равен $\triangle A_1B_1C_1$. 191 | Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует: 192 | \[\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}\eqno(2)\] 193 | 194 | Сравнивая эту пропорцию с данной пропорцией (1), замечаем, что первые отношения обеих пропорций одинаковы ($DB\z=A_1B_1$ по построению); 195 | следовательно, остальные отношения этих пропорций также равны, то есть 196 | \[\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{BC}{BE}\] 197 | Но если в пропорции предыдущие члены равны, то должны быть равны и последующие члены, значит 198 | \[B_1C_1=BE.\] 199 | 200 | Теперь видим, что треугольники $DBE$ и $A_1B_1C_1$ имеют по равному углу ($\angle B=\angle B_1$), заключённому между соответственно равными сторонами; 201 | значит, эти треугольники равны. 202 | Но $\triangle DBE$ подобен $\triangle ABC$, поэтому и $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle ABC$. 203 | 204 | 3) Пусть в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (рис.~\ref{1938/ris-173}) дано: 205 | \[ 206 | \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.\eqno(1)\] 207 | Требуется доказать, что такие треугольники подобны. 208 | 209 | \begin{figure}[!ht] 210 | \centering 211 | \includegraphics{mppics/ris-173} 212 | \caption{}\label{1938/ris-173} 213 | \end{figure} 214 | 215 | Сделав построение такое же, как и прежде, покажем, что $\triangle DBE\z=\triangle A_1B_1C_1$. 216 | Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует: 217 | \[\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC}{DE}\eqno(2)\] 218 | 219 | Сравнивая этот ряд отношений с данным рядом (1), замечаем, что первые отношения у них равны, следовательно, и остальные отношения равны, и потому 220 | \[\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{BC}{BE}, 221 | \qquad\text{откуда}\qquad 222 | B_1C_1=BE,\] 223 | и 224 | \[\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AC}{DE}, 225 | \qquad\text{откуда}\qquad 226 | A_1C_1=DE.\] 227 | 228 | То есть треугольники $DBE$ и $A_1B_1C_1$ имеют по три соответственно равные стороны; 229 | значит, они равны. 230 | Но один из них, именно $\triangle DBE$, подобен $\triangle ABC$; 231 | следовательно, и другой $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle ABC$. 232 | 233 | {\small 234 | \paragraph{Замечания о приёме доказательства.}\label{1938/162} 235 | Полезно обратить внимание на то, что приём доказательства, употреблённый нами в трёх предыдущих теоремах, один и тот же, а именно: 236 | отложив на стороне большего треугольника отрезок, равный соответственной стороне меньшего, и проведя прямую, параллельную другой стороне, мы образуем вспомогательный треугольник, подобный большему данному. 237 | После этого, в силу условия доказываемой теоремы и свойства подобных треугольников, мы обнаруживаем равенство вспомогательного треугольника меньшему данному и, наконец, делаем заключение о подобии данных треугольников. 238 | } 239 | 240 | \renewcommand{\bottomtitlespace}{.15\textheight}%определяет минимальную часть текста внизу страницы после заголовка 241 | 242 | \subsection*{Признаки подобия прямоугольных треугольников} 243 | 244 | \renewcommand{\bottomtitlespace}{.1\textheight}%определяет минимальную часть текста внизу страницы после заголовка 245 | 246 | \paragraph{Признаки, не требующие особого доказательства.}\label{1938/163} 247 | Так как прямые углы всегда равны друг другу, то на основании доказанных признаков подобия треугольников мы можем утверждать, что если в двух прямоугольных треугольниках: 248 | 249 | 1) \textbf{\emph{острый угол одного равен острому углу другого}} или 250 | 251 | 2) \textbf{\emph{катеты одного пропорциональны катетам другого, то такие треугольники подобны.}} 252 | 253 | 254 | \paragraph{Признак, требующий особого доказательства.}\label{1938/164}\ 255 | 256 | \smallskip 257 | \so{Теорема}. 258 | \textbf{\emph{Если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники подобны.}} 259 | 260 | Пусть $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — два треугольника (рис.~\ref{1938/ris-174}), у которых углы $B$ и $B_1$ прямые и 261 | \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.\eqno(1)\] 262 | Требуется доказать, что такие треугольники подобны. 263 | 264 | \begin{figure}[!ht] 265 | \centering 266 | \includegraphics{mppics/ris-174} 267 | \caption{}\label{1938/ris-174} 268 | \end{figure} 269 | 270 | Для доказательства применим тот же приём, которым мы пользовались ранее. 271 | На $AB$ отложим $BD=A_1B_1$ и проведём $DE\parallel AC$. 272 | Тогда получим вспомогательный $\triangle DBE$, подобный $\triangle ABC$. 273 | Докажем, что он равен $\triangle A_1B_1C_1$. 274 | Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует: 275 | \[\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DE}.\eqno(2)\] 276 | 277 | Сравнивая эту пропорцию с данной (1), находим, что первые отношения их одинаковы; 278 | следовательно, равны и вторые отношения, то есть 279 | \[\frac{AC}{DE}=\frac{AC}{A_1C_1},\] 280 | откуда 281 | \[DE=A_1C_1.\] 282 | 283 | Теперь видим, что треугольники $BDE$ и $A_1B_1C_1$ имеют по равной гипотенузе и равному катету, следовательно, они равны; 284 | а так как один из них подобен $\triangle ABC$, то и другой ему подобен. 285 | 286 | \paragraph{}\label{1938/165} 287 | \so{Теорема} (об отношении высот). 288 | \textbf{\emph{В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны соответственным высотам}}, то есть тем высотам, которые опущены на соответственные стороны. 289 | 290 | \begin{figure}[!ht] 291 | \centering 292 | \includegraphics{mppics/ris-175} 293 | \caption{}\label{1938/ris-175} 294 | \end{figure} 295 | 296 | 297 | Действительно, если треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (рис.~\ref{1938/ris-175}) подобны, то прямоугольные треугольники $BAD$ и $B_1A_1D_1$ также подобны ($\angle A = \angle A_1$ и $\angle D=\angle D_1$); 298 | поэтому: 299 | \[\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.\] 300 | --------------------------------------------------------------------------------