├── semestre2 └── k ├── canivete-suico-cpp ├── include │ └── k └── src │ └── k ├── logo-exodus.png ├── semestre1 ├── fundamentos-da-matematica │ ├── 4.2-arcos-notaveis.md │ ├── 5.6-aplicacoes-praticas-da-geometria-plana.md │ ├── 5.4-perimetros-das-figuras-planas.md │ ├── 5.2-poligonos-regulares.md │ ├── 5.3-circunferencia-circulo-arco-e-setor.md │ ├── 6.2-prismas.md │ ├── 5.5-area-das-figuras-planas.md │ ├── 4.4-arcos-congruentes-e-reducao-ao-primeiro-quadrante.md │ ├── 6.3-piramides.md │ ├── 6.4-cilindro.md │ ├── 1.2-semelhanca-triangulos.md │ ├── 4.3-sinais-das-funcoes-trignometricas-nos-quadrantes.md │ ├── 6.5-cone.md │ ├── 1.6-teorema-das-areas.md │ ├── 2.2-equacoes-exponenciais.md │ ├── 1.1-teorema-de-tales.md │ ├── 6.6-esfera.md │ ├── 3.3-progressao-geometrica.md │ ├── 4.6-exercicios-de-fixacao.md │ ├── 1.3-relacoes-metricas.md │ ├── 1.5-lei-dos-senos-e-cossenos.md │ ├── 2.4-equacoes-logaritmicas.md │ ├── 5.1-quadrilateros-notaveis.md │ ├── 2.3-logaritmo.md │ ├── 1.4-relacoes-trigonometricas.md │ ├── 3.1-sequencias-e-fibonacci.md │ ├── 2.1-potenciacao.md │ ├── 6.1-poliedros.md │ ├── 3.4-exercicios-de-fixacao.md │ ├── 4.1-angulos-em-graus-radianos-e-o-ciclo-trigonometrico.md │ ├── 3.2-progressao-aritmetica.md │ ├── 4.5-relacoes-fundamentais-da-trigonometria.md │ ├── README.md │ ├── 7.2-exercicios.md │ └── 7.1-exercicios.md └── introducao-a-geometria-analitica │ ├── 3.3-equacao-da-parabola.md │ ├── 4.3-parabola-como-lugar-geometrico.md │ ├── 3.4-hiperbole-como-lugar-geometrico.md │ ├── 4.4-hiperbole-como-lugar-geometrico.md │ ├── 4.3-elipse-como-lugar-geometrico.md │ ├── 4.1-circunferencia-como-lugar-geometrico.md │ ├── 1.2-equacao-da-reta-no-plano-cartesiano.md │ ├── 1.4-parabolas-no-plano-cartesiano.md │ ├── 2.5-distancia-entre-dois-pontos-e-medicoes-no-plano.md │ ├── 3.2-equacao-parametrica-da-circunferencia.md │ ├── 2.4-area-do-triangulo-e-alinhamento-de-pontos.md │ ├── 3.4-equacao-da-elipse.md │ ├── 5.4-equacao-completa-do-2-grau.md │ ├── 6.3-vetores-opostos-colineares-e-ortogonais.md │ ├── 2.3-segmento-de-reta-ponto-medio-e-comprimento.md │ ├── 1.5-elipse-no-plano-cartesiano.md │ ├── 1.6-hiperbole-no-plano-cartesiano.md │ ├── 3.5-equacao-da-hiperbole.md │ ├── 3.1-equacao-da-circunferencia.md │ ├── 5.5-discriminante-e-a-ordem-das-transformacoes.md │ ├── 1.3-circunferencia-no-plano.md │ ├── 6.2-operacoes-vetoriais.md │ ├── 2.1-equacao-geral-da-reta-e-posicao-relativa.md │ ├── 1.1-introducao-a-geometria-analitica.md │ ├── 6.5-condicao-de-ponto-pertencer-ao-segmento.md │ ├── 6.1-introducao-a-vetores-no-plano.md │ ├── README.md │ ├── 5.2-transladacao-de-coordenadas-no-plano.md │ ├── 5.1-algoritmos-para-encontrar-o-centro-ou-o-vertice-da-conica.md │ └── 5.3-rotacao-de-eixos-no-plano.md └── README.md /semestre2/k: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | -------------------------------------------------------------------------------- /canivete-suico-cpp/include/k: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | -------------------------------------------------------------------------------- /canivete-suico-cpp/src/k: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | -------------------------------------------------------------------------------- /logo-exodus.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/bragaus/MATEMATICA-UNINTER/HEAD/logo-exodus.png -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/4.2-arcos-notaveis.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🌠 TEMA 2 – Arcos Notáveis 2 | 3 | Existem ângulos que são considerados **notáveis** por aparecerem frequentemente nas aplicações da trigonometria. São eles: 4 | 5 | $$ 6 | 30^\circ,\quad 45^\circ,\quad 60^\circ,\quad 90^\circ,\quad 120^\circ,\quad 135^\circ,\quad 150^\circ,\quad 180^\circ, \dots 7 | $$ 8 | 9 | Convertendo para radianos: 10 | 11 | $$ 12 | \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{4},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{\pi}{2},\quad \frac{2\pi}{3},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \pi, \dots 13 | $$ 14 | 15 | ### 🌈 Valores Trigonométricos dos Arcos Notáveis 16 | 17 | $$ 18 | \begin{array}{|c|c|c|c|} 19 | \hline 20 | \theta & \sin(\theta) & \cos(\theta) & \tan(\theta) \\ 21 | \hline 22 | 30^\circ \left(\frac{\pi}{6}\right) & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 23 | 45^\circ \left(\frac{\pi}{4}\right) & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\ 24 | 60^\circ \left(\frac{\pi}{3}\right) & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & \sqrt{3} \\ 25 | \hline 26 | \end{array} 27 | $$ 28 | 29 | Esses valores são fundamentais para resolver triângulos, desenvolver gráficos de funções trigonométricas e interpretar comportamentos cíclicos. 30 | 31 | --- 32 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/5.6-aplicacoes-praticas-da-geometria-plana.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🔧 TEMA 6 – Aplicações Práticas da Geometria Plana 2 | 3 | A geometria plana é muito mais do que uma abstração matemática: ela molda o mundo físico e digital, conecta civilizações e orienta tecnologias. 4 | 5 | ### 🏗️ Engenharia e Arquitetura 6 | 7 | * Cálculo de áreas e perímetros de terrenos 8 | * Planejamento de estruturas arquitetônicas 9 | * Projeção de plantas e cortes 10 | 11 | ### 🛰️ Tecnologia e Espaço 12 | 13 | * Design de componentes em circuitos integrados 14 | * Engenharia de satélites e espaçonaves (painéis solares, escudos) 15 | * Simulações em CAD e modelagem geométrica 16 | 17 | ### 📈 Mercado Financeiro 18 | 19 | * Representação gráfica de candles e figuras técnicas 20 | * Cálculo de amplitude de movimentos 21 | * Visualização de padrões como triângulos e retângulos em gráficos 22 | 23 | ### 🎮 Games e Design 24 | 25 | * Detecção de colisão entre objetos 26 | * Geração procedural de mapas 27 | * Modelagem básica de personagens e interfaces 28 | 29 | ### 💻 C++ – Cálculo de Área para Simulações 30 | 31 | ```cpp 32 | #include 33 | using namespace std; 34 | 35 | // Função genérica para calcular a área de um triângulo em jogos ou simulações físicas 36 | float areaTriangulo(float base, float altura) { 37 | return (base * altura) / 2.0f; 38 | } 39 | 40 | int main() { 41 | float b = 12.0f; 42 | float h = 7.5f; 43 | cout << "Área simulada do triângulo: " << areaTriangulo(b, h) << endl; 44 | return 0; 45 | } 46 | ``` 47 | 48 | --- 49 | 50 | ### ✨ Analogias Psicodélicas 51 | 52 | > A geometria plana é o **alfabeto do espaço visível**. Com ela, desenhamos realidades, construímos cidades e exploramos os contornos da existência. 53 | 54 | --- 55 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/5.4-perimetros-das-figuras-planas.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 📏 TEMA 4 – Perímetro das Figuras Planas 2 | 3 | O **perímetro** é a medida do contorno de uma figura. Ele representa o caminho total ao redor da forma, o limite entre o conhecido e o infinito. 4 | 5 | ### 📐 Fórmulas para Figuras Planas 6 | 7 | * **Triângulo:** 8 | $P = a + b + c$ 9 | 10 | * **Quadrado:** 11 | $P = 4 \cdot l$ 12 | 13 | * **Retângulo:** 14 | $P = 2 \cdot (b + h)$ 15 | 16 | * **Paralelogramo:** 17 | $P = 2 \cdot (b + l)$ 18 | 19 | * **Losango:** 20 | $P = 4 \cdot l$ 21 | 22 | * **Circunferência:** 23 | $P = C = 2\pi r$ 24 | 25 | ### 💡 Exemplo 26 | 27 | > Um retângulo com base $8$ cm e altura $5$ cm tem perímetro: 28 | > $P = 2 \cdot (8 + 5) = 26 \text{ cm}$ 29 | 30 | > **Aplicação no Mercado Financeiro:** O perímetro pode representar o “caminho percorrido” por um ativo em um gráfico de candles, somando variações entre máximas e mínimas. 31 | 32 | --- 33 | 34 | ### 💻 C++ – Cálculo de Perímetros 35 | 36 | ```cpp 37 | #include 38 | using namespace std; 39 | 40 | int main() { 41 | double base = 8.0; 42 | double altura = 5.0; 43 | double lado = 6.0; 44 | double raio = 7.0; 45 | const double PI = 3.141592653589793; 46 | 47 | double perimetroRet = 2 * (base + altura); 48 | double perimetroQuad = 4 * lado; 49 | double perimetroCirc = 2 * PI * raio; 50 | 51 | cout << "Perímetro do retângulo: " << perimetroRet << endl; 52 | cout << "Perímetro do quadrado: " << perimetroQuad << endl; 53 | cout << "Perímetro da circunferência: " << perimetroCirc << endl; 54 | 55 | return 0; 56 | } 57 | ``` 58 | 59 | --- 60 | 61 | ### ✨ Analogias Psicodélicas 62 | 63 | > O perímetro é o **limiar da forma**, a linha onde a matéria toca o vazio. Percorrê-lo é como contornar a borda do conhecido antes de mergulhar no desconhecido. 64 | 65 | --- 66 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/5.2-poligonos-regulares.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🔺 TEMA 2 – Polígonos Regulares 2 | 3 | Um **polígono regular** é uma figura plana com todos os lados e ângulos congruentes. Essas formas encerram uma **simetria sagrada** e são pilares das construções geométricas perfeitas. 4 | 5 | ### 🌟 Características: 6 | 7 | * Todos os lados são **iguais** 8 | * Todos os ângulos internos são **iguais** 9 | * Possui **simetria rotacional e reflexiva** 10 | 11 | ### 🔢 Fórmulas Fundamentais: 12 | 13 | $\text{Soma dos ângulos internos: } S = (n - 2) \cdot 180^\circ$ 14 | $\text{Ângulo interno: } \alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ 15 | $\text{Ângulo externo: } \beta = 180^\circ - \alpha = \frac{360^\circ}{n}$ 16 | 17 | Onde $n$ é o número de lados. 18 | 19 | ### 💡 Exemplo: Hexágono Regular ($n = 6$) 20 | 21 | * Soma dos ângulos internos: $(6 - 2) \cdot 180 = 720^\circ$ 22 | * Cada ângulo interno: $720 / 6 = 120^\circ$ 23 | * Ângulo externo: $360 / 6 = 60^\circ$ 24 | 25 | > **Aplicação no Universo:** As estruturas moleculares de carbono (como o grafeno) são formadas por **hexágonos regulares** — a geometria da matéria. 26 | 27 | --- 28 | 29 | ### 💻 C++ – Cálculo de Ângulos em Polígonos Regulares 30 | 31 | ```cpp 32 | #include 33 | using namespace std; 34 | 35 | int main() { 36 | int lados = 6; 37 | double somaInternos = (lados - 2) * 180.0; 38 | double anguloInterno = somaInternos / lados; 39 | double anguloExterno = 180.0 - anguloInterno; 40 | 41 | cout << "Soma dos ângulos internos: " << somaInternos << "°\n"; 42 | cout << "Ângulo interno: " << anguloInterno << "°\n"; 43 | cout << "Ângulo externo: " << anguloExterno << "°\n"; 44 | return 0; 45 | } 46 | ``` 47 | 48 | ### ✨ Analogias Psicodélicas 49 | 50 | > Cada polígono regular é um **mandala geométrica**, refletindo a harmonia estrutural que rege o cosmos. São como antenas sagradas da arquitetura universal. 51 | 52 | --- 53 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/5.3-circunferencia-circulo-arco-e-setor.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🔵 TEMA 3 – Circunferência, Círculo, Arco e Setor 2 | 3 | A circunferência é a curva perfeita que traça o limite de todos os pontos equidistantes de um centro. O círculo é a plenitude preenchida desta curva. Juntos, revelam o fluxo contínuo do espaço plano. 4 | 5 | ### 📏 Elementos Fundamentais 6 | 7 | * **Centro (O):** ponto equidistante de todos os pontos da circunferência 8 | * **Raio (r):** segmento de O a um ponto da circunferência 9 | * **Diâmetro (d):** segmento que passa pelo centro ligando dois pontos da circunferência ($d = 2r$) 10 | * **Arco:** parte da circunferência delimitada por dois pontos 11 | * **Setor Circular:** porção do círculo entre dois raios e o arco correspondente 12 | 13 | ### 🔢 Fórmulas Essenciais 14 | 15 | * Comprimento da circunferência: 16 | $C = 2\pi r$ 17 | 18 | * Área do círculo: 19 | $A = \pi r^2$ 20 | 21 | * Comprimento de um arco (ângulo em graus): 22 | $L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r$ 23 | 24 | * Área de um setor circular: 25 | $A_s = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2$ 26 | 27 | > **Aplicação Financeira:** A oscilação cíclica de preços pode ser modelada por setores circulares, representando áreas de ação dos mercados. 28 | 29 | --- 30 | 31 | ### 💻 C++ – Cálculo de Comprimento de Arco e Área de Setor 32 | 33 | ```cpp 34 | #include 35 | #define PI 3.141592653589793 36 | using namespace std; 37 | 38 | int main() { 39 | double raio = 10.0; 40 | double angulo = 60.0; // graus 41 | 42 | double comprimentoArco = (angulo / 360.0) * 2 * PI * raio; 43 | double areaSetor = (angulo / 360.0) * PI * raio * raio; 44 | 45 | cout << "Comprimento do arco: " << comprimentoArco << endl; 46 | cout << "Área do setor: " << areaSetor << endl; 47 | return 0; 48 | } 49 | ``` 50 | 51 | --- 52 | 53 | ### ✨ Analogias Psicodélicas 54 | 55 | > A circunferência é o **batimento cardíaco do plano**. Cada arco é um suspiro do infinito, e cada setor é uma lente de observação da realidade. 56 | 57 | --- 58 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # [![Cosmic Explorer](https://img.shields.io/badge/Bacharelado_em_Matematica-UNINTER-9cf?logo=starship&style=for-the-badge)](https://github.com/bragaus/MATEMATICA-UNINTER) 2 | 3 | > *"Não quero só aprender matemática... quero **codificar** o universo."* 4 | > — Eu, programando às 3 da manhã 5 | 6 | Bem-vindo ao meu repositório de estudos, códigos, anotações e projetos enquanto curso o **Bacharelado em Matemática**, com um foco em **engenharia de software** (**C++**), **mercado financeiro**, **ciência espacial**, **modelagem computacional do universo**. 7 | 8 | --- 9 | 10 | ## 🌌 O Projeto: **Exodus** 11 | 12 |

13 | Logo do Projeto Exodus 14 |

15 | 16 | **Exodus** é uma *visão*: usar matemática, programação e arte para entender, representar e navegar pelo espaço. 17 | 18 | --- 19 | 20 | ## 📂 Estrutura do Repositório 21 | 22 | ```text 23 | MATEMATICA-UNINTER/ 24 | ├── semestre1/ 25 | │ ├── fundamentos-da-matematica/ # Leis básicas do cosmos e suas expressões em C++ 26 | │ └── introducao-a-geometria-analitica/ # Eixos, vetores, curvas... o mapa para outras galáxias 27 | ├── semestre2/ 28 | │ └── ... # (o universo está em expansão) 29 | ├── canivete-matematico-cpp/ # Minha biblioteca pessoal de matemática em C++ 30 | │ ├── include/ # Headers com fórmulas, constantes, structs 31 | │ └── src/ # Implementações, testes, algoritmos aplicados 32 | └── README.md # Você está aqui (ou talvez já esteja em Alpha Centauri) 33 | ``` 34 | --- 35 | 36 | ```text 37 | //=============================================== 38 | // CYBER-MATH ++ | [A MATRIX É VOCÊ] 39 | // (c) 2025 - AGENTE [REDACTED] 40 | // DISCLAIMER: Esse código atravessa dimensões 41 | //=============================================== 42 | 43 | while (vida) { 44 | estudar(); 45 | codar(); 46 | compilar_com_raiva(); 47 | } 48 | ``` 49 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/6.2-prismas.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 📐 Fórmulas do Prisma 2 | 3 | ### 📏 Área Total: 4 | 5 | $$ 6 | A_{prisma} = 2 \cdot A_{base} + n \cdot A_{face} 7 | $$ 8 | 9 | Onde: 10 | 11 | * $n$ = número de lados da base (e de faces laterais) 12 | * $A_{base}$ = área da base 13 | * $A_{face}$ = área de uma face lateral 14 | 15 | ### 📦 Volume: 16 | 17 | $$ 18 | V = A_{base} \cdot h 19 | $$ 20 | 21 | Onde $h$ é a **altura do prisma** 22 | 23 | --- 24 | 25 | ## 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 26 | 27 | Um prisma é como um fundo de investimento: 28 | 29 | * As **bases** representam o capital inicial e final. 30 | * As **faces laterais** representam os aportes mensais ou contribuições. 31 | 32 | O volume do prisma é o **crescimento acumulado**, enquanto a área representa a **exposição do portfólio ao risco**. 33 | 34 | --- 35 | 36 | ## 👨‍💻 Exemplo em C++ 37 | 38 | ```cpp 39 | #include 40 | using namespace std; 41 | 42 | float area_prisma(float area_base, float area_face, int n_lados, float altura) { 43 | float area_total = 2 * area_base + n_lados * area_face; 44 | float volume = area_base * altura; 45 | cout << "Área Total: " << area_total << endl; 46 | cout << "Volume: " << volume << endl; 47 | return volume; 48 | } 49 | 50 | int main() { 51 | float area_base = 10; // exemplo 52 | float area_face = 6; // exemplo 53 | int n_lados = 5; // prisma pentagonal 54 | float altura = 12; 55 | 56 | area_prisma(area_base, area_face, n_lados, altura); 57 | return 0; 58 | } 59 | ``` 60 | 61 | --- 62 | 63 | ## 🌌 Aplicação Cósmica 64 | 65 | Visualize um **prisma estelar** como o formato de estruturas espaciais: 66 | 67 | * Torres de comunicação interplanetárias 68 | * Estações espaciais modulares 69 | * Compartimentos de naves Exodus 70 | 71 | Cada prisma representa uma **estrutura sólida** entre dois planos de realidade: as bases são portais e as faces, os caminhos estruturais entre eles. 72 | 73 | > *Na engenharia espacial da missão Exodus, prismas são a base arquitetônica das fundações energéticas da nave.* 74 | 75 | --- 76 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/3.3-equacao-da-parabola.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌀 TEMA 3 – Equação da Parábola 2 | 3 | > “A parábola é o salto do infinito que toca o plano. Toda curva tem um propósito, toda abertura tem uma direção.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📐 Definição Matemática 8 | 9 | Uma **parábola** é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo chamado **foco** e de uma reta fixa chamada **diretriz**. 10 | 11 | ### Equação da parábola com vértice na origem e eixo horizontal: 12 | 13 | $$ 14 | y^2 = 4ax 15 | $$ 16 | 17 | ### Equação da parábola com vértice na origem e eixo vertical: 18 | 19 | $$ 20 | x^2 = 4ay 21 | $$ 22 | 23 | Onde $a$ representa a distância do vértice ao foco (ou à diretriz). 24 | 25 | --- 26 | 27 | ## ✍️ C++ 28 | 29 | ```cpp 30 | void gerarPontosDaParabolaHorizontal(float parametroA) { 31 | float passoY = 0.5f; 32 | 33 | for (float coordenadaY = -10.0f; coordenadaY <= 10.0f; coordenadaY += passoY) { 34 | float coordenadaX = (coordenadaY * coordenadaY) / (4.0f * parametroA); 35 | 36 | cout << "Ponto: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")" << endl; 37 | } 38 | } 39 | ``` 40 | 41 | --- 42 | 43 | ## 🧭 Interpretação Geométrica 44 | 45 | * **Vértice**: ponto de mínima ou máxima curvatura 46 | * **Foco**: destino da reflexão 47 | * **Diretriz**: linha de referência 48 | 49 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* A parábola é o portal que canaliza uma força do espaço para um ponto de máxima tensão — o vértice. Ela curva a realidade com elegância e precisão. 50 | 51 | --- 52 | 53 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 54 | 55 | * Reflexão de sinais em antenas parabólicas 56 | * Óptica de espelhos curvos 57 | * Trajetória de projéteis em campo gravitacional uniforme 58 | 59 | --- 60 | 61 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 62 | 63 | * Modelagem de reversão parabólica de preços 64 | * Padrões gráficos de exaustão e impulso 65 | * Simulação de comportamento de ativos em aceleração 66 | 67 | > *Toda reversão precisa de uma força. A parábola revela essa força silenciosa.* 68 | 69 | --- 70 | 71 | **Próximo tema: Elipse e Hipérbole – as curvas da dualidade cósmica...** 72 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/5.5-area-das-figuras-planas.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🔳 TEMA 5 – Área das Figuras Planas 2 | 3 | A **área** de uma figura plana representa o espaço interno que ela ocupa. É a energia espacial encapsulada por seus limites. Cada fórmula é um feitiço de medição. 4 | 5 | ### 📐 Fórmulas para Figuras Planas 6 | 7 | * **Triângulo:** 8 | $A = \frac{b \cdot h}{2}$ 9 | 10 | * **Quadrado:** 11 | $A = l^2$ 12 | 13 | * **Retângulo:** 14 | $A = b \cdot h$ 15 | 16 | * **Paralelogramo:** 17 | $A = b \cdot h$ 18 | 19 | * **Losango:** 20 | $A = \frac{D \cdot d}{2}$ 21 | 22 | * **Trapézio:** 23 | $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$ 24 | 25 | * **Círculo:** 26 | $A = \pi r^2$ 27 | 28 | ### 💡 Exemplo 29 | 30 | > Um trapézio com bases 6 cm e 10 cm, e altura de 4 cm: 31 | > $A = \frac{(6 + 10) \cdot 4}{2} = 32 \text{ cm}^2$ 32 | 33 | > **Aplicação Cósmica:** O cálculo de áreas é vital na engenharia aeroespacial, onde cada mm² conta na aerodinâmica de naves. 34 | 35 | --- 36 | 37 | ### 💻 C++ – Cálculo de Áreas 38 | 39 | ```cpp 40 | #include 41 | #define PI 3.141592653589793 42 | using namespace std; 43 | 44 | int main() { 45 | double base = 10.0, altura = 5.0; 46 | double lado = 6.0; 47 | double D = 8.0, d = 5.0; 48 | double B = 10.0, b = 6.0; 49 | double raio = 7.0; 50 | 51 | double areaRet = base * altura; 52 | double areaQuad = lado * lado; 53 | double areaTri = (base * altura) / 2.0; 54 | double areaLos = (D * d) / 2.0; 55 | double areaTrap = ((B + b) * altura) / 2.0; 56 | double areaCirc = PI * raio * raio; 57 | 58 | cout << "Área do retângulo: " << areaRet << endl; 59 | cout << "Área do quadrado: " << areaQuad << endl; 60 | cout << "Área do triângulo: " << areaTri << endl; 61 | cout << "Área do losango: " << areaLos << endl; 62 | cout << "Área do trapézio: " << areaTrap << endl; 63 | cout << "Área do círculo: " << areaCirc << endl; 64 | 65 | return 0; 66 | } 67 | ``` 68 | 69 | --- 70 | 71 | ### ✨ Analogias Psicodélicas 72 | 73 | > A área é a **essência da superfície**, a respiração plana da forma. Medir área é como decifrar quantos pensamentos cabem dentro de um sonho. 74 | 75 | --- 76 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/4.4-arcos-congruentes-e-reducao-ao-primeiro-quadrante.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧮 TEMA 4 – Arcos Congruentes e Redução ao Primeiro Quadrante 2 | 3 | Quando um ângulo ultrapassa $360^\circ$ ou é negativo, podemos **reduzi-lo a um ângulo equivalente** no primeiro giro completo. Isso é chamado de **redução ao primeiro giro (ou congruência)**. 4 | 5 | ### 🔁 Arcos Congruentes 6 | 7 | Dois ângulos são chamados **congruentes módulo $360^\circ$** se a diferença entre eles for múltipla de $360^\circ$: 8 | 9 | $$ 10 | \theta_1 \equiv \theta_2 \ (\text{mod} \ 360^\circ) 11 | $$ 12 | 13 | Exemplo: 14 | 15 | $$ 16 | 450^\circ \equiv 90^\circ \ (\text{mod} \ 360^\circ) 17 | $$ 18 | 19 | ### 🔽 Redução ao Primeiro Quadrante 20 | 21 | Qualquer ângulo pode ser **convertido** em um ângulo agudo (entre $0^\circ$ e $90^\circ$) para facilitar o cálculo das funções trigonométricas, utilizando simetrias do ciclo. 22 | 23 | | Quadrante | Expressão de Redução | 24 | | --------- | -------------------- | 25 | | I | $\theta$ | 26 | | II | $180^\circ - \theta$ | 27 | | III | $\theta - 180^\circ$ | 28 | | IV | $360^\circ - \theta$ | 29 | 30 | Essas expressões nos ajudam a usar os valores dos **arcos notáveis**, mesmo quando o ângulo original está em outro quadrante. 31 | 32 | ### 💻 C++ – Redução ao Primeiro Quadrante 33 | 34 | ```cpp 35 | #include 36 | using namespace std; 37 | 38 | int reduzirAoPrimeiroQuadrante(int angulo) { 39 | angulo = angulo % 360; 40 | if (angulo < 0) angulo += 360; 41 | 42 | if (angulo <= 90) return angulo; 43 | else if (angulo <= 180) return 180 - angulo; 44 | else if (angulo <= 270) return angulo - 180; 45 | else return 360 - angulo; 46 | } 47 | 48 | int main() { 49 | int angulo = 225; 50 | int reduzido = reduzirAoPrimeiroQuadrante(angulo); 51 | cout << "O ângulo " << angulo << "° reduzido ao 1º quadrante é " << reduzido << "°" << endl; 52 | return 0; 53 | } 54 | ``` 55 | 56 | ### ✨ Analogia Psicodélica 57 | 58 | > Como ondas que se repetem no tempo, todo ângulo está destinado a **reencontrar sua essência** dentro do primeiro giro. Reduzir é lembrar a origem, é voltar ao ponto inicial do fluxo angular do universo. 59 | 60 | --- 61 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/4.3-parabola-como-lugar-geometrico.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧭 TEMA 3 – Parábola como Lugar Geométrico 2 | 3 | A **parábola** é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e uma reta fixa (diretriz). 4 | 5 | ### 📐 Equação reduzida: 6 | 7 | $$ 8 | y^2 = 4ax \quad \text{ou} \quad x^2 = 4ay 9 | $$ 10 | 11 | --- 12 | 13 | ### ✍️ C++: 14 | 15 | ```cpp 16 | // Calcula a raiz quadrada via método de Newton-Raphson 17 | float calcularRaizQuadrada(float numero) { 18 | if (numero < 0) return -1; 19 | if (numero == 0) return 0; 20 | 21 | float estimativa = numero / 2.0f; 22 | for (int i = 0; i < 20; ++i) { 23 | estimativa = 0.5f * (estimativa + numero / estimativa); 24 | } 25 | return estimativa; 26 | } 27 | 28 | // Calcula o valor absoluto de um número real 29 | float valorAbsoluto(float valor) { 30 | return (valor < 0) ? -valor : valor; 31 | } 32 | 33 | // Gera pontos da parábola padrão: 34 | // Vertical: y² = 4·a·x → y = ±√(4·a·x) 35 | // Horizontal: x² = 4·a·y → x = ±√(4·a·y) 36 | void gerarPontosDaParabola(float parametroA, bool parabolaVertical = true) { 37 | float passo = 0.5f; 38 | 39 | for (float coordenada = -10.0f; coordenada <= 10.0f; coordenada += passo) { 40 | float termoInterno = 4.0f * parametroA * valorAbsoluto(coordenada); 41 | float valorDaRaiz = calcularRaizQuadrada(termoInterno); 42 | 43 | if (valorDaRaiz < 0) continue; // ignora valores indefinidos 44 | 45 | if (parabolaVertical) { 46 | cout << "Parábola: (" << coordenada << ", " << valorDaRaiz << ")\n"; 47 | cout << "Parábola: (" << coordenada << ", " << -valorDaRaiz << ")\n"; 48 | } else { 49 | cout << "Parábola: (" << valorDaRaiz << ", " << coordenada << ")\n"; 50 | cout << "Parábola: (" << -valorDaRaiz << ", " << coordenada << ")\n"; 51 | } 52 | } 53 | } 54 | ``` 55 | 56 | --- 57 | 58 | ### 🌌 Aplicações Cósmicas: 59 | 60 | * Lançamentos de foguetes 61 | * Refletores parabólicos 62 | 63 | ### 💹 Aplicações Financeiras: 64 | 65 | * Análise de picos e reversões 66 | * Comportamento de bolhas especulativas 67 | 68 | > A parábola é o portal entre a ascensão e a queda — entre a gravidade e a liberdade. 69 | 70 | --- 71 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/6.3-piramides.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🔺 TEMA 3 – Pirâmide 2 | 3 | Uma **pirâmide** é um poliedro com uma única base e um vértice fora do plano da base. Todos os vértices da base são conectados a esse ponto externo, formando as arestas laterais. 4 | 5 | ## ⛰️ Tipos de Pirâmides 6 | 7 | | Tipo | Número de Lados da Base | 8 | | ------------------- | ----------------------- | 9 | | Pirâmide Triangular | 3 | 10 | | Pirâmide Quadrada | 4 | 11 | | Pirâmide Pentagonal | 5 | 12 | 13 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: Cada pirâmide é um feixe de energia convergente — um único ápice unindo todas as dimensões da base, como a mente se conectando ao cosmos. 14 | 15 | --- 16 | 17 | ## 📐 Fórmulas da Pirâmide 18 | 19 | ### 📏 Área Total: 20 | 21 | $$ 22 | A_{pirâmide} = A_{base} + A_{lateral} 23 | $$ 24 | 25 | * $A_{lateral}$: soma das áreas das faces laterais 26 | 27 | ### 📦 Volume: 28 | 29 | $$ 30 | V = \frac{A_{base} \cdot h}{3} 31 | $$ 32 | 33 | Onde $h$ é a altura da pirâmide (do vértice até o plano da base). 34 | 35 | --- 36 | 37 | ## 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 38 | 39 | Uma pirâmide representa **crescimento exponencial com ponto de concentração**. A base representa o número de investidores e o vértice, o retorno concentrado de capital ou risco. 40 | 41 | > *Atenção*: Isso não tem relação com pirâmides financeiras ilegais, mas com estruturas hierárquicas legítimas! 42 | 43 | --- 44 | 45 | ## 👨‍💻 Exemplo em C++ 46 | 47 | ```cpp 48 | #include 49 | using namespace std; 50 | 51 | float volume_piramide(float area_base, float altura) { 52 | return (area_base * altura) / 3; 53 | } 54 | 55 | int main() { 56 | float area_base = 25; // exemplo 57 | float altura = 9; 58 | 59 | float volume = volume_piramide(area_base, altura); 60 | cout << "Volume da pirâmide: " << volume << endl; 61 | return 0; 62 | } 63 | ``` 64 | 65 | --- 66 | 67 | ## 🌌 Aplicação Cósmica 68 | 69 | As **pirâmides** são símbolos de alinhamento cósmico desde o Antigo Egito até civilizações galácticas: 70 | 71 | * Alinhadas com constelações 72 | * Canais de energia universal 73 | * Antenas dimensionais 74 | 75 | > *Na nave Exodus, pirâmides são centros de comando espiritual — pontos onde as decisões são canalizadas do plano superior ao plano estrutural.* 76 | 77 | --- 78 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/6.4-cilindro.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌀 TEMA 4 – Cilindro 2 | 3 | Um **cilindro** é gerado pela rotação de um **retângulo** ao redor de um de seus lados, formando uma figura tridimensional com duas bases circulares e uma face lateral curva. 4 | 5 | ## 🧪 Planificação do Cilindro 6 | 7 | * 2 **bases** circulares (área: $A_{base} = \pi r^2$) 8 | * 1 **face lateral** (um retângulo com altura $h$ e comprimento $2\pi r$) 9 | 10 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: O cilindro é um túnel de translação cósmica — um vórtice onde o tempo gira sobre si mesmo, como se o plano da matéria tivesse colapsado em forma de fluxo. 11 | 12 | --- 13 | 14 | ## 📐 Fórmulas do Cilindro 15 | 16 | ### 📏 Área Total: 17 | 18 | $$ 19 | A_{cilindro} = 2\pi r^2 + 2\pi r h 20 | $$ 21 | 22 | * $2\pi r^2$ → áreas das duas bases 23 | * $2\pi r h$ → área lateral 24 | 25 | ### 📦 Volume: 26 | 27 | $$ 28 | V = \pi r^2 h 29 | $$ 30 | 31 | Onde: 32 | 33 | * $r$ → raio da base 34 | * $h$ → altura do cilindro 35 | 36 | --- 37 | 38 | ## 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 39 | 40 | O cilindro representa o **fluxo constante de capital**: 41 | 42 | * A área da base é o **poder de investimento inicial**. 43 | * A altura é o **tempo de aplicação**. 44 | * O volume é o **acúmulo de capital com rendimento constante**. 45 | 46 | > *Investidores com perfil conservador buscam estruturas cilíndricas: crescimento estável, contínuo e com previsibilidade.* 47 | 48 | --- 49 | 50 | ## 👨‍💻 Exemplo em C++ 51 | 52 | ```cpp 53 | #include 54 | #define PI 3.14159 55 | using namespace std; 56 | 57 | float area_cilindro(float r, float h) { 58 | return 2 * PI * r * r + 2 * PI * r * h; 59 | } 60 | 61 | float volume_cilindro(float r, float h) { 62 | return PI * r * r * h; 63 | } 64 | 65 | int main() { 66 | float r = 3.0; // raio 67 | float h = 10.0; // altura 68 | 69 | cout << "Área total: " << area_cilindro(r, h) << endl; 70 | cout << "Volume: " << volume_cilindro(r, h) << endl; 71 | return 0; 72 | } 73 | ``` 74 | 75 | --- 76 | 77 | ## 🌌 Aplicação Cósmica 78 | 79 | Cilindros são formas recorrentes em: 80 | 81 | * Tubulações de energia de naves interplanetárias 82 | * Reatores de dobra temporal 83 | * Câmaras criogênicas cilíndricas 84 | 85 | > *Na nave Exodus, cilindros são usados para armazenar energia em estado rotacional — o combustível do infinito.* 86 | 87 | --- 88 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/1.2-semelhanca-triangulos.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🔺 Semelhança de Triângulos 2 | 3 | A **Semelhança de Triângulos** revela como estruturas geométricas aparentemente fragmentadas guardam correspondências perfeitas, desde moléculas até constelações. É um conceito central para entender como mapas estelares e navegadores interplanetários são calibrados. 4 | 5 | > “Triângulos semelhantes são ecos fractais que se repetem do micro ao macrocosmo.” 6 | 7 | --- 8 | 9 | ## 📐 Condições de Semelhança 10 | 11 | Dados dois triângulos \( \triangle ABC \) e \( \triangle A'B'C' \): 12 | 13 | 1. **Ângulos Congruentes (AA)** 14 | \[ 15 | \angle A = \angle A',\quad \angle B = \angle B',\quad \angle C = \angle C' 16 | \] 17 | 18 | 2. **Lado-Ângulo-Lado (LAL)** 19 | \[ 20 | \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \quad \text{e} \quad \angle A = \angle A' 21 | \] 22 | 23 | 3. **Lado-Lado-Lado (LLL)** 24 | \[ 25 | \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} 26 | \] 27 | 28 | Em essência, **proporções lineares** se mantêm, como linhas de força que conectam galáxias no “tecido do espaço”. 29 | 30 | --- 31 | 32 | ## 🌀 Analogias Psicodélicas 33 | 34 | - Imagine um triângulo como uma **paleta cromática quântica**. Ao girar essa paleta (rotacionar no plano), todas as proporções internas se mantêm, mesmo que as cores externas mudem. 35 | - No hiperespaço, um triângulo de coordenadas (X, Y, Z) pode se “auto-similar” quando projetado em outra dimensão. 36 | 37 | --- 38 | 39 | ## 🌌 Aplicações no Cosmos 40 | 41 | 1. **Cartografia Lunar e Marciana** 42 | - Em missões robóticas, calibra-se a câmera estereoscópica usando triângulos semelhantes para extrair altimetria de crateras. 43 | 44 | 2. **Análise de Imagens Astronômicas** 45 | - Ao comparar padrões de nuvens de poeira interestelar, astrônomos identificam “triângulos de estrelas” que mantêm relações angulares similares em diferentes escalas (ex.: Regulus–Denebola–Vega vs. Sirius–Procyon–Betelgeuse). 46 | 47 | 3. **Engenharia de Antenas** 48 | - Antenas parabólicas são projetadas com base em seções triangulares semelhantes para garantir que os feixes de rádio recebam sinais focados de satélites. 49 | 50 | --- 51 | 52 | ## 📚 Referências 53 | 54 | - IEZZI, G. *Fundamentos de Matemática Elementar*, Vol. 3 55 | - LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. *Geometria Plana e Trigonometria* 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/4.3-sinais-das-funcoes-trignometricas-nos-quadrantes.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧭 TEMA 3 – Sinais das Funções Trigonométricas nos Quadrantes 2 | 3 | No plano cartesiano, o ciclo trigonométrico está dividido em quatro **quadrantes**. Em cada um deles, as funções trigonométricas assumem **sinais diferentes**. 4 | 5 | | Quadrante | Intervalo Angular | Seno | Cosseno | Tangente | 6 | | --------- | -------------------------------- | ---- | ------- | -------- | 7 | | I | $0 < \theta < 90^\circ$ | + | + | + | 8 | | II | $90^\circ < \theta < 180^\circ$ | + | – | – | 9 | | III | $180^\circ < \theta < 270^\circ$ | – | – | + | 10 | | IV | $270^\circ < \theta < 360^\circ$ | – | + | – | 11 | 12 | ### 🌀 Analogia Psicodélica 13 | 14 | > Cada quadrante é como uma estação interdimensional de frequência. O sinal da função não é apenas positivo ou negativo — ele é **um fluxo de energia matemática** que muda conforme a rotação. 15 | 16 | ### 💡 Regra do CAST (Lembrete) 17 | 18 | Para lembrar os sinais, usamos o **sentido horário da palavra CAST**: 19 | 20 | * **C** (Cosseno) no 4º quadrante é positivo 21 | * **A** (Todos) no 1º quadrante: todas as funções são positivas 22 | * **S** (Seno) no 2º quadrante é positivo 23 | * **T** (Tangente) no 3º quadrante é positiva 24 | 25 | $$ 26 | \text{4ª (C)} \rightarrow \text{1ª (A)} \rightarrow \text{2ª (S)} \rightarrow \text{3ª (T)} 27 | $$ 28 | 29 | ### 💻 Exemplo em C++ – Verificando o sinal por quadrante 30 | 31 | ```cpp 32 | #include 33 | using namespace std; 34 | 35 | void sinaisTrigonometria(int angulo) { 36 | angulo = angulo % 360; 37 | if (angulo < 0) angulo += 360; 38 | 39 | if (angulo > 0 && angulo < 90) 40 | cout << "Quadrante I: seno(+), cosseno(+), tangente(+)\n"; 41 | else if (angulo > 90 && angulo < 180) 42 | cout << "Quadrante II: seno(+), cosseno(-), tangente(-)\n"; 43 | else if (angulo > 180 && angulo < 270) 44 | cout << "Quadrante III: seno(-), cosseno(-), tangente(+)\n"; 45 | else if (angulo > 270 && angulo < 360) 46 | cout << "Quadrante IV: seno(-), cosseno(+), tangente(-)\n"; 47 | else 48 | cout << "Ângulo sobre o eixo: valores exatos.\n"; 49 | } 50 | 51 | int main() { 52 | sinaisTrigonometria(135); 53 | return 0; 54 | } 55 | ``` 56 | 57 | --- 58 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/6.5-cone.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🔺➡️🌀 TEMA 5 – Cone 2 | 3 | Um **cone** é formado pela rotação de um **triângulo retângulo** ao redor de um de seus catetos. Essa rotação cria uma superfície curva que converge para um ponto: o vértice do cone. 4 | 5 | ## 🔄 Estrutura do Cone 6 | 7 | * **Base**: um círculo (área $A_{base} = \pi r^2$) 8 | * **Geratriz** $g$: segmento do vértice até a borda da base 9 | * **Altura** $h$: distância do vértice até o centro da base 10 | 11 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: O cone é o megafone do universo. Um foco de energia que emana ou absorve informações cósmicas por um único ponto de contato com a realidade. 12 | 13 | --- 14 | 15 | ## 📐 Fórmulas do Cone 16 | 17 | ### 📏 Área Total: 18 | 19 | $$ 20 | A_{cone} = \pi r^2 + \pi r g 21 | $$ 22 | 23 | * $\pi r^2$: área da base 24 | * $\pi r g$: área lateral 25 | 26 | ### 📦 Volume: 27 | 28 | $$ 29 | V = \frac{\pi r^2 h}{3} 30 | $$ 31 | 32 | Onde: 33 | 34 | * $r$: raio da base 35 | * $g$: geratriz 36 | * $h$: altura do cone 37 | 38 | --- 39 | 40 | ## 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 41 | 42 | O cone representa **crescimento exponencial com decaimento de participação**: 43 | 44 | * A base: grande massa de entrada de capital 45 | * O vértice: ponto de máxima concentração (lucro ou perda) 46 | 47 | > *Estratégias assimétricas, onde muitos contribuem e poucos recebem retornos, seguem esse formato geométrico.* 48 | 49 | --- 50 | 51 | ## 👨‍💻 Exemplo em C++ 52 | 53 | ```cpp 54 | #include 55 | #define PI 3.14159 56 | using namespace std; 57 | 58 | float area_cone(float r, float g) { 59 | return PI * r * r + PI * r * g; 60 | } 61 | 62 | float volume_cone(float r, float h) { 63 | return (PI * r * r * h) / 3; 64 | } 65 | 66 | int main() { 67 | float r = 4.0; // raio 68 | float g = 5.0; // geratriz 69 | float h = 9.0; // altura 70 | 71 | cout << "Área total: " << area_cone(r, g) << endl; 72 | cout << "Volume: " << volume_cone(r, h) << endl; 73 | return 0; 74 | } 75 | ``` 76 | 77 | --- 78 | 79 | ## 🌌 Aplicação Cósmica 80 | 81 | Cones aparecem como: 82 | 83 | * Emissores de energia direcional (ex: propulsores ionizados) 84 | * Antenas parabólicas cônicas 85 | * Geometrias de aterramento vibracional em civilizações antigas 86 | 87 | > *Na nave Exodus, cones são usados para redirecionar vibrações dimensionais — eles transmitem a intenção da nave ao hiperespaço.* 88 | 89 | --- 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/1.6-teorema-das-areas.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📏 Teorema das Áreas de Triângulos 2 | 3 | O **Teorema das Áreas** conecta diretamente lados e ângulos, transformando “profundidade” em “área” — assim como espectros eletromagnéticos convertem luz em calor nas superfícies planetárias. 4 | 5 | > “Área é a medida do ‘tecido espacial’ que um triângulo ocupa, assim como a nebulosa ocupa volumes no espaço interestelar.” 6 | 7 | --- 8 | 9 | ## ✅ Fórmula Geral 10 | 11 | Para um triângulo de lados \( a, b, c \) e respectivos ângulos \( \alpha, \beta, \theta \): 12 | 13 | \[ 14 | A_\triangle = \frac{1}{2}\,a\,b\,\sen(\alpha) \;=\; \frac{1}{2}\,b\,c\,\sen(\theta) \;=\; \frac{1}{2}\,c\,a\,\sen(\beta) 15 | \] 16 | 17 | > _Interpretação:_ “Ao multiplicar dois lados e o seno do ângulo, calculamos a ‘vibração transversal’ que resulta na ‘tela’ do triângulo.” 18 | 19 | --- 20 | 21 | ## ⚛️ Relação com a Trigonometria 22 | 23 | Essa fórmula deriva diretamente das definições de seno como **projeção perpendicular**. Em física de plasma ou eixos magnéticos, integra-se a “força de Lorentz” em um triângulo formado pelas direções de campo. 24 | 25 | --- 26 | 27 | ## 🌀 Comparação de Fórmulas 28 | 29 | | Tipo de Triângulo | Fórmula de Área | 30 | |-----------------------|-------------------------------------| 31 | | Base e altura | \( A = \tfrac{b \cdot h}{2} \) | 32 | | Três lados (Heron) | \( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) | 33 | | Dois lados e ângulo | \( A = \tfrac{1}{2}ab \sen(\alpha) \) | 34 | 35 | Onde \( s = \tfrac{a + b + c}{2} \) (semiperímetro). 36 | 37 | --- 38 | 39 | ## 🔭 Aplicações Cosmológicas 40 | 41 | 1. **Cálculo de Áreas de Crateras** 42 | - UAVs orbitais fazem mapeamento a laser. Cada triângulo formado entre raio, cratera e centro define a área de projeção. 43 | 2. **Estudo de Superfícies Planetesimais** 44 | - Em visão estereoscópica, cada par de imagens forma triângulos pixel por pixel, calculando áreas de regiões de interesse (ex.: dunas de Titã). 45 | 3. **Engenharia de Painéis Fotovoltaicos em Satélites** 46 | - O “ângulo de inclinação” dos painéis, a orientação do Sol e o eixo do satélite formam um triângulo; a área projetada da captação de energia é calculada via \( \tfrac{1}{2}ab\sen(\alpha) \). 47 | 48 | --- 49 | 50 | ## 📚 Referências 51 | 52 | - IEZZI, G. *Fundamentos de Matemática Elementar*, Vol. 3 53 | - LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. *Geometria Plana e Trigonometria* 54 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/3.4-hiperbole-como-lugar-geometrico.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧭 TEMA 4 – Hipérbole como Lugar Geométrico 2 | 3 | A **hipérbole** é o conjunto de pontos cuja **diferença das distâncias** a dois focos $F_1$ e $F_2$ é constante. 4 | 5 | ### 📐 Equação reduzida: 6 | 7 | $$ 8 | \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{ou} \quad \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 9 | $$ 10 | 11 | > Relação: $c^2 = a^2 + b^2$ 12 | 13 | --- 14 | 15 | ### ✍️ C++: 16 | 17 | ```cpp 18 | // Calcula a raiz quadrada via método de Newton-Raphson 19 | float calcularRaizQuadrada(float numeroOriginal) { 20 | if (numeroOriginal < 0) return -1; 21 | if (numeroOriginal == 0) return 0; 22 | 23 | float estimativaAtual = numeroOriginal / 2.0f; 24 | if (estimativaAtual < 1.0f) estimativaAtual = 1.0f; 25 | 26 | for (int i = 0; i < 20; ++i) { 27 | estimativaAtual = 0.5f * (estimativaAtual + numeroOriginal / estimativaAtual); 28 | } 29 | 30 | return estimativaAtual; 31 | } 32 | 33 | // Gera pontos da hipérbole centrada na origem (sem rotação) 34 | // Equação usada: y = ±b·√[(x² / a²) − 1] 35 | void gerarPontosDaHiperbolePadrao(float semiEixoA, float semiEixoB) { 36 | float passo = 0.5f; 37 | 38 | for (float coordenadaX = -10.0f; coordenadaX <= -1.0f; coordenadaX += passo) { 39 | float argumento = (coordenadaX * coordenadaX) / (semiEixoA * semiEixoA) - 1.0f; 40 | float coordenadaY = semiEixoB * calcularRaizQuadrada(argumento); 41 | 42 | cout << "Hiperbole: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")\n"; 43 | cout << "Hiperbole: (" << coordenadaX << ", " << -coordenadaY << ")\n"; 44 | } 45 | 46 | for (float coordenadaX = 1.0f; coordenadaX <= 10.0f; coordenadaX += passo) { 47 | float argumento = (coordenadaX * coordenadaX) / (semiEixoA * semiEixoA) - 1.0f; 48 | float coordenadaY = semiEixoB * calcularRaizQuadrada(argumento); 49 | 50 | cout << "Hiperbole: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")\n"; 51 | cout << "Hiperbole: (" << coordenadaX << ", " << -coordenadaY << ")\n"; 52 | } 53 | } 54 | 55 | ``` 56 | 57 | --- 58 | 59 | ### 🌌 Aplicações Cósmicas: 60 | 61 | * Trajetórias de fuga gravitacional 62 | * Interseção de ondas cósmicas 63 | 64 | ### 💹 Aplicações Financeiras: 65 | 66 | * Movimentos extremos de volatilidade 67 | * Análise de crise e recuperação brusca 68 | 69 | > A hipérbole é a assinatura do colapso e da expansão — o pulso acelerado do espaço-tempo financeiro. 70 | 71 | --- 72 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/4.4-hiperbole-como-lugar-geometrico.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧭 TEMA 4 – Hipérbole como Lugar Geométrico 2 | 3 | A **hipérbole** é o conjunto de pontos cuja **diferença das distâncias** a dois focos $F_1$ e $F_2$ é constante. 4 | 5 | ### 📐 Equação reduzida: 6 | 7 | $$ 8 | \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{ou} \quad \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 9 | $$ 10 | 11 | > Relação: $c^2 = a^2 + b^2$ 12 | 13 | --- 14 | 15 | ### ✍️ Exemplo em C++: 16 | 17 | ```cpp 18 | // Calcula a raiz quadrada usando o método de Newton-Raphson 19 | float calcularRaizQuadrada(float numero) { 20 | if (numero < 0) return -1; 21 | if (numero == 0) return 0; 22 | 23 | float estimativa = numero / 2.0f; 24 | for (int i = 0; i < 20; ++i) { 25 | estimativa = 0.5f * (estimativa + numero / estimativa); 26 | } 27 | return estimativa; 28 | } 29 | 30 | // Gera os pontos da hipérbole com equação padrão: 31 | // (x² / a²) − (y² / b²) = 1 → y = ± b · √((x² / a²) − 1) 32 | void desenharHiperboleHorizontal(float semiEixoRealA, float semiEixoImaginarioB) { 33 | float incremento = 0.5f; 34 | 35 | for (float coordenadaX = -10.0f; coordenadaX <= -1.0f; coordenadaX += incremento) { 36 | float termoInterno = (coordenadaX * coordenadaX) / (semiEixoRealA * semiEixoRealA) - 1.0f; 37 | float coordenadaY = semiEixoImaginarioB * calcularRaizQuadrada(termoInterno); 38 | 39 | if (coordenadaY >= 0) { 40 | cout << "Hipérbole: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")\n"; 41 | cout << "Hipérbole: (" << coordenadaX << ", " << -coordenadaY << ")\n"; 42 | } 43 | } 44 | 45 | for (float coordenadaX = 1.0f; coordenadaX <= 10.0f; coordenadaX += incremento) { 46 | float termoInterno = (coordenadaX * coordenadaX) / (semiEixoRealA * semiEixoRealA) - 1.0f; 47 | float coordenadaY = semiEixoImaginarioB * calcularRaizQuadrada(termoInterno); 48 | 49 | if (coordenadaY >= 0) { 50 | cout << "Hipérbole: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")\n"; 51 | cout << "Hipérbole: (" << coordenadaX << ", " << -coordenadaY << ")\n"; 52 | } 53 | } 54 | } 55 | ``` 56 | 57 | --- 58 | 59 | ### 🌌 Aplicações Cósmicas: 60 | 61 | * Trajetórias de fuga gravitacional 62 | * Interseção de ondas cósmicas 63 | 64 | ### 💹 Aplicações Financeiras: 65 | 66 | * Movimentos extremos de volatilidade 67 | * Análise de crise e recuperação brusca 68 | 69 | > A hipérbole é a assinatura do colapso e da expansão — o pulso acelerado do espaço-tempo financeiro. 70 | 71 | --- 72 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/2.2-equacoes-exponenciais.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🔹 TEMA 2 – Equações e Inequações Exponenciais 2 | 3 | ### 📘 Equações Exponenciais 4 | 5 | Uma **equação exponencial** é aquela em que a incógnita aparece no expoente: 6 | 7 | \[2^{x+3} = 8 \quad \text{ou} \quad 4^x = 64\] 8 | 9 | Para resolver, transformamos ambos os lados em potências de mesma base: 10 | 11 | \[a^x = a^y \Rightarrow x = y\] 12 | 13 | **Exemplo:** 14 | \[ 15 | 2^{x+3} = 8 \Rightarrow 2^{x+3} = 2^3 \Rightarrow x+3 = 3 \Rightarrow x = 0 16 | \] 17 | 18 | --- 19 | 20 | ### 📘 Inequações Exponenciais 21 | 22 | São desigualdades com a incógnita no expoente: 23 | 24 | **Exemplo:** 25 | \[2^{x+4} > 8 \Rightarrow 2^{x+4} > 2^3 \Rightarrow x+4 > 3 \Rightarrow x > -1\] 26 | 27 | **Importante:** o comportamento muda conforme a base: 28 | 29 | - Se \(a > 1\): o sinal da desigualdade se mantém 30 | - Se \(0 < a < 1\): o sinal **se inverte** 31 | 32 | **Exemplo com base entre 0 e 1:** 33 | \[ 34 | \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow x - 1 \le 2 \Rightarrow x \le 3 35 | \] 36 | 37 | --- 38 | 39 | ### 💡 Analogia Psicodélica 40 | 41 | Imagine uma espiral de energia que cresce ou se dissolve com base na sua vibração. Se a frequência estiver acima de 1, ela se expande (\(a > 1\)). Se estiver abaixo de 1, ela colapsa — invertendo o fluxo (\(0 < a < 1\)). As inequações exponenciais são os **limiares entre expansão e contração**, como portas dimensionais. 42 | 43 | --- 44 | 45 | ### 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 46 | 47 | Você deseja saber **quando** um investimento com crescimento de 3% ao dia ultrapassa R\$ 10.000, a partir de R\$ 1.000: 48 | 49 | \[1000 \cdot (1{,}03)^x > 10000 \Rightarrow (1{,}03)^x > 10\] 50 | 51 | Aplicando logaritmo: 52 | \[ 53 | x \cdot \log(1{,}03) > \log(10) \Rightarrow x > \frac{\log(10)}{\log(1{,}03)} \approx 80 54 | \] 55 | 56 | **Resposta:** Após aproximadamente 80 dias. 57 | 58 | --- 59 | 60 | ### 💻 Exemplo em C++ 61 | 62 | ```cpp 63 | #include 64 | #include 65 | 66 | int main() { 67 | double resultado = pow(2, 3 + 4); // 2^(3+4) = 128 68 | std::cout << "Resultado: " << resultado << std::endl; 69 | return 0; 70 | } 71 | ``` 72 | 73 | --- 74 | 75 | ### 🌌 Aplicabilidade no Universo 76 | 77 | A **meia-vida de partículas radioativas** é um exemplo direto de inequações exponenciais. A cada instante, a quantidade remanescente decresce exponencialmente. 78 | 79 | Além disso, o **crescimento de buracos negros**, o resfriamento de planetas ou a dissipação de energia no vácuo cósmico obedecem **limites exponenciais**. 80 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/4.3-elipse-como-lugar-geometrico.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧭 TEMA 2 – Elipse como Lugar Geométrico 2 | 3 | A **elipse** é o conjunto dos pontos cuja **soma das distâncias** a dois focos $F_1$ e $F_2$ é constante. 4 | 5 | ### 📐 Equação reduzida: 6 | 7 | $$ 8 | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 9 | $$ 10 | 11 | > Onde $a$ é o semi-eixo maior e $b$ o semi-eixo menor. Os focos estão ao longo do eixo maior, separados por $2c$, com $c^2 = a^2 - b^2$. 12 | 13 | --- 14 | 15 | ### ✍️ Exemplo em C++: 16 | 17 | ```cpp 18 | // Calcula o cosseno de um ângulo em radianos usando série de Taylor 19 | float calcularCosseno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 20 | float resultado = 1.0f; 21 | float termoAtual = 1.0f; 22 | int sinal = -1; 23 | 24 | for (int i = 1; i < termos; ++i) { 25 | termoAtual *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i - 1) * (2 * i)); 26 | resultado += sinal * termoAtual; 27 | sinal *= -1; 28 | } 29 | 30 | return resultado; 31 | } 32 | 33 | // Calcula o seno de um ângulo em radianos usando série de Taylor 34 | float calcularSeno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 35 | float resultado = 0.0f; 36 | float termoAtual = anguloEmRadianos; 37 | int sinal = 1; 38 | 39 | for (int i = 1; i <= termos; ++i) { 40 | resultado += sinal * termoAtual; 41 | termoAtual *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i) * (2 * i + 1)); 42 | sinal *= -1; 43 | } 44 | 45 | return resultado; 46 | } 47 | 48 | // Gera pontos de uma elipse centrada na origem 49 | // Equações paramétricas da elipse: 50 | // x(t) = a · cos(t) 51 | // y(t) = b · sen(t) 52 | // com t ∈ [0, 2π] 53 | void gerarPontosDaElipse(float semiEixoHorizontalA, float semiEixoVerticalB) { 54 | float passo = 0.1f; 55 | float doisPi = 6.2832f; 56 | 57 | for (float parametroT = 0.0f; parametroT <= doisPi; parametroT += passo) { 58 | float coordenadaX = semiEixoHorizontalA * calcularCosseno(parametroT); 59 | float coordenadaY = semiEixoVerticalB * calcularSeno(parametroT); 60 | 61 | cout << "Elipse: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")\n"; 62 | } 63 | } 64 | ``` 65 | 66 | --- 67 | 68 | ### 🌌 Aplicações Cósmicas: 69 | 70 | * Órbitas planetárias (1ª Lei de Kepler) 71 | * Simulações de sistemas binários 72 | 73 | ### 💹 Aplicações Financeiras: 74 | 75 | * Flutuação de ativos em ciclos irregulares 76 | * Previsões de comportamento não linear 77 | 78 | > A elipse revela a beleza da imperfeição cíclica — o coração elíptico do universo financeiro. 79 | 80 | --- 81 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/1.1-teorema-de-tales.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📏 Teorema de Tales 2 | 3 | O **Teorema de Tales** é um pilar da geometria e da proporcionalidade. Ao analisar feixes de retas paralelas interceptados por transversais, percebemos uma semelhança de padrão que ecoa desde a escala atômica até a dinâmica orbital de astros. 4 | 5 | > “Quando medimos sombras na Terra, projetamos padrões que ecoam nas órbitas planetárias.” 6 | 7 | --- 8 | 9 | ## 🔬 Enunciado Científico 10 | 11 | Seja um conjunto de retas paralelas \( r_1, r_2, \dots, r_n \) interceptado por duas (ou mais) transversais \( t_1, t_2 \). Denotando \( A, B, C \) pontos em \( t_1 \) e \( A', B', C' \) correspondentes em \( t_2 \): 12 | 13 | \[ 14 | \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = \text{constante} 15 | \] 16 | 17 | Em termos de construção espacial, essa razão constante pode ser interpretada como uma “frequência harmônica” que se repete quando cristais (microscópicos) e galáxias (macroscópicas) desenham a mesma “assinatura” geométrica. 18 | 19 | --- 20 | 21 | ## 🧠 Analogias Psicodélicas 22 | 23 | - Imagine cada reta paralela como **camadas ginásticas do espaço**: ao interceptar essas camadas, sua nave gera padrões de proporção que ressoam como fractais cósmicos. 24 | - Ao fazer medidas de sombra na superfície lunar, você está, em certa medida, replicando o mesmo princípio que Galileo usou para estimar alturas na Terra — uma ponte entre escalas. 25 | 26 | --- 27 | 28 | ## 🔭 Aplicações no Universo 29 | 30 | 1. **Navegação Planetária** 31 | - Sondas solares usam triangulação de sombras (ângulos de incidência) para calibrar sensores de altitude sobre Vênus, Marte etc. 32 | - Quando um rover mede a distância até um ponto remoto, usa relações proporcionais similares. 33 | 34 | 2. **Telescopia e Escalas de Imagens** 35 | - Em astrofotografia, o sensor CCD captura projeções, e o Teorema de Tales determina a relação entre pixel *e* campo de visão (FOV) do telescópio. 36 | - Ajustar a lente para compensar aberrações ópticas é uma aplicação direta de semelhança de triângulos. 37 | 38 | --- 39 | 40 | ## 📌 Exemplo 41 | 42 | Um satélite em 3D mapeia um asteroide. Ele projeta um feixe laser de 10 m de comprimento que gera sombra de 2 m no terreno. À distância, detecta sombra de 8 m sobre a cratera. Qual é a altura teórica do relevo? 43 | 44 | \[ 45 | \frac{10}{2} = \frac{h}{8} \quad \Rightarrow \quad h = 40 \text{ m} 46 | \] 47 | 48 | Essa projeção é análoga a “projetar” o relevo em um “videowall cósmico” e medir dados de altimetria. 49 | 50 | --- 51 | 52 | ## 📚 Referências 53 | 54 | - IEZZI, G. *Fundamentos de Matemática Elementar*, Vol. 3 55 | - DOLCE, O.; POMPEO, J. N. *Fundamentos de Matemática Elementar*, Vol. 9 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/6.6-esfera.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌐✨ TEMA 6 – Esfera 2 | 3 | A **esfera** é o corpo sólido mais simétrico e perfeito do universo tridimensional. Todos os pontos de sua superfície estão à mesma distância de um ponto central: o **centro**. 4 | 5 | ## 🧭 Estrutura da Esfera 6 | 7 | * **Raio (r)**: distância do centro a qualquer ponto da superfície 8 | * **Diâmetro (d)**: duas vezes o raio ($d = 2r$) 9 | * **Centro**: ponto interno equidistante da superfície 10 | 11 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: A esfera é o **átomo da forma**. Tudo no universo, desde planetas até bolhas quânticas, tende à forma esférica quando o equilíbrio absoluto se manifesta. É o suspiro da geometria. 12 | 13 | --- 14 | 15 | ## 📐 Fórmulas da Esfera 16 | 17 | ### 📏 Área da Superfície: 18 | 19 | $$ 20 | A = 4\pi r^2 21 | $$ 22 | 23 | ### 📦 Volume: 24 | 25 | $$ 26 | V = \frac{4}{3} \pi r^3 27 | $$ 28 | 29 | --- 30 | 31 | ## 🌍 Exemplo Real: Planeta Terra 32 | 33 | Sabemos que a Terra se aproxima de uma esfera com raio médio: 34 | 35 | $$ 36 | r \approx 6.371\,\text{km} 37 | $$ 38 | 39 | Volume aproximado: 40 | 41 | $$ 42 | V = \frac{4}{3}\pi (6371)^3 \approx 1.082 \times 10^{12}\,\text{km}^3 43 | $$ 44 | 45 | > *Apesar de não ser uma esfera perfeita (é um geoide), a esfera é a forma teórica mais próxima do equilíbrio gravitacional planetário.* 46 | 47 | --- 48 | 49 | ## 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 50 | 51 | A esfera representa **portfólios balanceados**, onde o risco é distribuído igualmente em todas as direções: 52 | 53 | * Sem vértices, sem arestas — sem pontos de tensão 54 | * Tudo gira em torno do **centro de massa financeira** 55 | 56 | > *Investimentos com diversificação total se aproximam do comportamento esférico: estabilidade, harmonia e defesa contra choques externos.* 57 | 58 | --- 59 | 60 | ## 👨‍💻 Exemplo em C++ 61 | 62 | ```cpp 63 | #include 64 | #define PI 3.14159 65 | using namespace std; 66 | 67 | float area_esfera(float r) { 68 | return 4 * PI * r * r; 69 | } 70 | 71 | float volume_esfera(float r) { 72 | return (4.0 / 3.0) * PI * r * r * r; 73 | } 74 | 75 | int main() { 76 | float r = 6.371; // raio da Terra em mil km 77 | cout << "Área da superfície: " << area_esfera(r) << " km²" << endl; 78 | cout << "Volume: " << volume_esfera(r) << " km³" << endl; 79 | return 0; 80 | } 81 | ``` 82 | 83 | --- 84 | 85 | ## 🌌 Aplicação Cósmica 86 | 87 | A forma esférica está presente em: 88 | 89 | * Planetas, estrelas, buracos negros 90 | * Campos de força e escudos energéticos 91 | * Núcleos de informação em estruturas alienígenas 92 | 93 | > *Na nave Exodus, a sala de comando é uma esfera translúcida — onde o tempo e o espaço são percebidos de forma igualitária em todas as direções.* 94 | 95 | --- 96 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/3.3-progressao-geometrica.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧬 TEMA 3 – Progressão Geométrica (PG) 2 | 3 | A **Progressão Geométrica (PG)** é uma sequência em que **cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante**, chamada de **razão geométrica** $q$. 4 | 5 | ### ✍️ Lei de Formação da PG 6 | 7 | Seja uma PG $(a_1, a_2, a_3, \dots)$, temos: 8 | 9 | $$ 10 | a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} 11 | $$ 12 | 13 | * $a_1$: primeiro termo 14 | * $q$: razão 15 | * $n$: posição do termo 16 | 17 | ### 🧠 Exemplo 1 18 | 19 | Considere uma PG com $a_1 = 2$ e $q = 3$: 20 | 21 | $$ 22 | a_2 = 2 \cdot 3 = 6 \quad a_3 = 6 \cdot 3 = 18 \quad a_4 = 18 \cdot 3 = 54 23 | $$ 24 | 25 | ### 📐 Soma dos termos da PG finita 26 | 27 | Se $q \neq 1$, a soma dos $n$ primeiros termos de uma PG é dada por: 28 | 29 | $$ 30 | S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} 31 | $$ 32 | 33 | ### 📉 Soma da PG infinita (|q| < 1) 34 | 35 | Para PGs infinitas com $|q| < 1$: 36 | 37 | $$ 38 | S = \frac{a_1}{1 - q} 39 | $$ 40 | 41 | ### 💹 Exemplo Financeiro 42 | 43 | Um investidor aplica R\$ 100 e reinveste os rendimentos com taxa de crescimento de 10% ao mês. Os valores formam uma PG com $a_1 = 100$, $q = 1{,}1$. 44 | 45 | Valor após 4 meses: 46 | 47 | $$ 48 | a_4 = 100 \cdot 1{,}1^3 \approx 133{,}1 49 | $$ 50 | 51 | Soma dos 4 primeiros: 52 | 53 | $$ 54 | S_4 = 100 \cdot \frac{1{,}1^4 - 1}{1{,}1 - 1} \approx 100 \cdot \frac{1{,}4641 - 1}{0{,}1} = 100 \cdot 4{,}641 = 464{,}1 55 | $$ 56 | 57 | ### 💻 Exemplo em C++ 58 | 59 | ```cpp 60 | // Função para calcular potência base^expo (expoente inteiro não-negativo) 61 | double potencia(double base, int expoente) { 62 | double resultado = 1.0; 63 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) { 64 | resultado *= base; 65 | } 66 | return resultado; 67 | } 68 | 69 | double termoPG(double primeiroTermo, double razao, int posicaoTermo) { 70 | // Fórmula: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ 71 | return primeiroTermo * potencia(razao, posicaoTermo - 1); 72 | } 73 | 74 | double somaPG(double primeiroTermo, double razao, int quantidadeTermos) { 75 | // Fórmula da soma dos n primeiros termos: Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ⁄ (q − 1), para q ≠ 1 76 | return primeiroTermo * (potencia(razao, quantidadeTermos) - 1.0) / (razao - 1.0); 77 | } 78 | 79 | int main() { 80 | double primeiroTermo = 100.0; 81 | double razao = 1.1; 82 | int termoDesejado = 4; 83 | int quantidadeTermos = 4; 84 | 85 | cout << "Termo " << termoDesejado << " da PG: " 86 | << termoPG(primeiroTermo, razao, termoDesejado) << endl; 87 | cout << "Soma dos " << quantidadeTermos << " primeiros termos: " 88 | << somaPG(primeiroTermo, razao, quantidadeTermos) << endl; 89 | return 0; 90 | } 91 | 92 | ``` 93 | 94 | --- 95 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/4.6-exercicios-de-fixacao.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧠 TEMA 6 – Exercícios de Fixação 2 | 3 | Vamos agora aplicar os conhecimentos adquiridos. A cada exercício, um elo mais forte na corrente cósmica do saber. 4 | 5 | ### 🔹 Exercício 1 6 | 7 | **Converta os seguintes ângulos de graus para radianos:** 8 | 9 | $a)\ 60^\circ \quad b)\ 135^\circ \quad c)\ 225^\circ$ 10 | 11 | #### 💻 Código C++ 12 | 13 | ```cpp 14 | #include 15 | #define PI 3.141592653589793 16 | using namespace std; 17 | 18 | double grausParaRadianos(double graus) { 19 | return graus * PI / 180.0; 20 | } 21 | 22 | int main() { 23 | double angulos[] = {60, 135, 225}; 24 | for (double g : angulos) { 25 | cout << g << "° = " << grausParaRadianos(g) << " rad" << endl; 26 | } 27 | return 0; 28 | } 29 | ``` 30 | 31 | --- 32 | 33 | ### 🔹 Exercício 2 34 | 35 | **Determine o quadrante dos seguintes ângulos:** 36 | 37 | $a)\ 120^\circ \quad b)\ 200^\circ \quad c)\ 315^\circ$ 38 | 39 | #### 💻 Código C++ 40 | 41 | ```cpp 42 | #include 43 | using namespace std; 44 | 45 | void quadrante(int angulo) { 46 | angulo = angulo % 360; 47 | if (angulo < 0) angulo += 360; 48 | 49 | if (angulo > 0 && angulo < 90) cout << angulo << "° está no 1º quadrante\n"; 50 | else if (angulo < 180) cout << angulo << "° está no 2º quadrante\n"; 51 | else if (angulo < 270) cout << angulo << "° está no 3º quadrante\n"; 52 | else if (angulo < 360) cout << angulo << "° está no 4º quadrante\n"; 53 | else cout << angulo << "° está sobre o eixo\n"; 54 | } 55 | 56 | int main() { 57 | int angulos[] = {120, 200, 315}; 58 | for (int a : angulos) quadrante(a); 59 | return 0; 60 | } 61 | ``` 62 | 63 | --- 64 | 65 | ### 🔹 Exercício 3 66 | 67 | **Calcule o seno, cosseno e tangente de $\theta = 30^\circ$** 68 | 69 | #### 💻 Código C++ 70 | 71 | ```cpp 72 | #include 73 | #include 74 | #define PI 3.141592653589793 75 | using namespace std; 76 | 77 | int main() { 78 | double graus = 30; 79 | double rad = graus * PI / 180.0; 80 | 81 | cout << "Seno: " << sin(rad) << endl; 82 | cout << "Cosseno: " << cos(rad) << endl; 83 | cout << "Tangente: " << tan(rad) << endl; 84 | 85 | return 0; 86 | } 87 | ``` 88 | 89 | --- 90 | 91 | ### 🔹 Exercício 4 92 | 93 | **Verifique se $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$** para $\theta = 60^\circ$ 94 | 95 | #### 💻 Código C++ 96 | 97 | ```cpp 98 | #include 99 | #include 100 | #define PI 3.141592653589793 101 | using namespace std; 102 | 103 | int main() { 104 | double graus = 60; 105 | double rad = graus * PI / 180.0; 106 | double resultado = pow(sin(rad), 2) + pow(cos(rad), 2); 107 | 108 | cout << "sin² + cos² = " << resultado << endl; 109 | return 0; 110 | } 111 | ``` 112 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/4.1-circunferencia-como-lugar-geometrico.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌌 AULA 4 – CONSTRUÇÃO DAS CÔNICAS EM GEOMETRIA ANALÍTICA 2 | 3 | > “As cônicas são portais matemáticos entre o finito e o infinito. Cada curva guarda um segredo do cosmos.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🧭 TEMA 1 – Circunferência como Lugar Geométrico 8 | 9 | A **circunferência** é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo chamado **centro**. 10 | 11 | ### 📐 Equação Geral: 12 | 13 | $$ 14 | x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 15 | $$ 16 | 17 | ### 📐 Equação reduzida: 18 | 19 | $$ 20 | (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 21 | $$ 22 | 23 | > Onde $(a, b)$ é o centro e $R$ o raio da circunferência. 24 | 25 | --- 26 | 27 | ### ✍️ C++: 28 | 29 | ```cpp 30 | // Aproximação de cosseno via série de Taylor 31 | // cos(t) = 1 − t²/2! + t⁴/4! − t⁶/6! + ... 32 | float calcularCosseno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 33 | float resultado = 1.0f; 34 | float termoAtual = 1.0f; 35 | int sinal = -1; 36 | 37 | for (int i = 1; i < termos; ++i) { 38 | termoAtual *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i - 1) * (2 * i)); 39 | resultado += sinal * termoAtual; 40 | sinal *= -1; 41 | } 42 | 43 | return resultado; 44 | } 45 | 46 | // Aproximação de seno via série de Taylor 47 | // sen(t) = t − t³/3! + t⁵/5! − t⁷/7! + ... 48 | float calcularSeno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 49 | float resultado = 0.0f; 50 | float termoAtual = anguloEmRadianos; 51 | int sinal = 1; 52 | 53 | for (int i = 1; i <= termos; ++i) { 54 | resultado += sinal * termoAtual; 55 | termoAtual *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i) * (2 * i + 1)); 56 | sinal *= -1; 57 | } 58 | 59 | return resultado; 60 | } 61 | 62 | // Gera pontos da circunferência com centro (cx, cy) e raio R 63 | // Fórmulas paramétricas: 64 | // x = cx + R · cos(t) 65 | // y = cy + R · sen(t) 66 | // com t ∈ [0, 2π] 67 | void gerarPontosDaCircunferencia(float raioDaCircunferencia, float coordenadaXDoCentro = 0, float coordenadaYDoCentro = 0) { 68 | float passo = 0.1f; 69 | float doisPi = 6.2832f; 70 | 71 | for (float parametroT = 0.0f; parametroT <= doisPi; parametroT += passo) { 72 | float coordenadaX = coordenadaXDoCentro + raioDaCircunferencia * calcularCosseno(parametroT); 73 | float coordenadaY = coordenadaYDoCentro + raioDaCircunferencia * calcularSeno(parametroT); 74 | 75 | cout << "Ponto: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")\n"; 76 | } 77 | } 78 | 79 | ``` 80 | 81 | --- 82 | 83 | ### 🌌 Aplicações Cósmicas: 84 | 85 | * Definição de órbitas circulares 86 | * Satélites geoestacionários 87 | 88 | ### 💹 Aplicações Financeiras: 89 | 90 | * Representação de variações cíclicas de mercado 91 | * Modelagem de risco circular 92 | 93 | > A circunferência é o primeiro passo para compreender a dança orbital dos ativos e dos astros. 94 | 95 | --- 96 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/1.3-relacoes-metricas.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📐 Relações Métricas no Triângulo Retângulo 2 | 3 | No **triângulo retângulo**, um conjunto de relações métricas descreve como catetos, hipotenusa, altura e projeções formam uma rede harmônica — semelhante a como **ondas gravitacionais** interagem em torno de um buraco negro. 4 | 5 | > “Medir a hipotenusa é desvendar o pulso subjacente que mantém o triângulo coerente, assim como sondar a curvatura do espaço-tempo.” 6 | 7 | --- 8 | 9 | ## 🔍 Definições 10 | 11 | - \( a \): **Hipotenusa**, lado oposto ao ângulo reto (\(90^\circ\)). 12 | - \( b, c \): **Catetos**, os outros dois lados que formam o ângulo reto. 13 | - \( h \): **Altura** traçada da hipotenusa até o vértice do ângulo reto. 14 | - \( m \): **Projeção** de \( b \) sobre \( a \). 15 | - \( n \): **Projeção** de \( c \) sobre \( a \). 16 | 17 | Essas grandezas se relacionam como partículas de uma onda de matéria, cada uma influenciando a outra. 18 | 19 | --- 20 | 21 | ## ✅ Teorema de Pitágoras 22 | 23 | \[ 24 | a^2 = b^2 + c^2 25 | \] 26 | 27 | Interpretado como a **energia total** (a²) distribuída nos “modos de vibração” b² e c² — análogo à conservação de energia em sistemas gravitacionais. 28 | 29 | --- 30 | 31 | ## 🔗 Outras Relações Métricas 32 | 33 | 1. **Altura ao quadrado** 34 | \[ 35 | h^2 = m \cdot n 36 | \] 37 | _Como se a “altura” fosse uma ponte quântica entre as projeções m e n._ 38 | 39 | 2. **Cateto c ao quadrado** 40 | \[ 41 | c^2 = a \cdot n 42 | \] 43 | _O cateto c extrai “potência” da hipotenusa a, via projeção n._ 44 | 45 | 3. **Cateto b ao quadrado** 46 | \[ 47 | b^2 = a \cdot m 48 | \] 49 | _Mesma ideia, mas agora b se conecta a a via m._ 50 | 51 | 4. **Produto hipotenusa × altura** 52 | \[ 53 | a \cdot h = b \cdot c 54 | \] 55 | _Equilíbrio de “fluxos energéticos” entre as dimensões cateto e hipotenusa._ 56 | 57 | 5. **Soma das projeções** 58 | \[ 59 | a = m + n 60 | \] 61 | _A hipotenusa se decompõe em duas projeções, como partículas de luz emergindo em feixes separados._ 62 | 63 | --- 64 | 65 | ## ⚙️ Aplicações no Universo 66 | 67 | - **Sensoriamento Remoto de Terrenos Planetários** 68 | - Sondas usam essas relações para inferir altitudes de crateras em Marte: ao medir distância e altura de um ponto, extrai-se projeções que delineiam o relevo. 69 | - **Design de Painéis Solares** 70 | - Em satélites, monta-se triângulos retângulos entre o centro de massa, células fotovoltaicas e gerador – maximiza-se eficiência ao conhecer as relações métricas. 71 | - **Simulações de Trajetórias Orbitais** 72 | - Em simulações simplificadas, a órbita circular é aproximada por polígonos, e cada “lado” forma segmentos retângulos cuja hipotenusa aproximaria o raio efetivo. 73 | 74 | --- 75 | 76 | ## 📚 Referências 77 | 78 | - IEZZI, G. *Fundamentos de Matemática Elementar*, Vol. 3 79 | - LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. *Geometria Plana e Trigonometria* 80 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/1.5-lei-dos-senos-e-cossenos.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📐 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 2 | 3 | As **Leis dos Senos e dos Cossenos** são ferramentas fundamentais para entender **triângulos quaisquer**, conectando lados e ângulos por meio de relações harmônicas — muito semelhante à forma como **ondas gravitacionais** recebem e transmitem energia nos sistemas estelares. 4 | 5 | > “Ao estudar a Lei dos Senos, desenhamos na mente a circunferência que envolve cada triângulo, como se “sintonizássemos” a frequência orbital de um planeta.” 6 | 7 | --- 8 | 9 | ## 🔹 Lei dos Senos 10 | 11 | Para um triângulo qualquer, com lados \( a, b, c \) e ângulos \( A, B, C \) opostos, vale: 12 | 13 | \[ 14 | \frac{a}{\sen(A)} = \frac{b}{\sen(B)} = \frac{c}{\sen(C)} 15 | \] 16 | 17 | Se o triângulo estiver inscrito em uma circunferência de raio \( R \), então: 18 | 19 | \[ 20 | \frac{a}{\sen(A)} = \frac{b}{\sen(B)} = \frac{c}{\sen(C)} = 2R 21 | \] 22 | 23 | > _Visão astronômica:_ “Cada razão \( \tfrac{a}{\sen(A)} \) é a coordenada rítmica de um astro ao percorrer sua órbita, onde \( 2R \) equivale ao ‘caminho esférico’ de sintonização.” 24 | 25 | --- 26 | 27 | ## 🔹 Lei dos Cossenos 28 | 29 | Generalização do Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo: 30 | 31 | \[ 32 | a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\,\cos(A) 33 | \] 34 | \[ 35 | b^2 = a^2 + c^2 - 2\,a\,c\,\cos(B) 36 | \] 37 | \[ 38 | c^2 = a^2 + b^2 - 2\,a\,b\,\cos(C) 39 | \] 40 | 41 | > _Visão cósmica:_ “Quando \( A = 90^\circ \), temos \(\cos(90^\circ) = 0\), retornando ao Teorema de Pitágoras. Esse “zero” é como um buraco negro momentâneo que anula a componente de energia angular.” 42 | 43 | --- 44 | 45 | ## 🧠 Critérios de Escolha 46 | 47 | - **Lei dos Senos** 48 | - Útil se soubermos dois ângulos e um lado oposto (AAL ou ASA) 49 | - Útil em casos SSA (lados opostos ao ângulo) 50 | - **Lei dos Cossenos** 51 | - Útil se soubermos dois lados e o ângulo entre eles (SAS) 52 | - Útil para encontrar um ângulo quando conhecemos os três lados (SSS) 53 | 54 | --- 55 | 56 | ## 💡 Exemplos de Aplicação Astronômica 57 | 58 | 1. **Determinação de Distâncias Estelares** 59 | - Ao medir paralaxes, astrônomos formam triângulos com a Terra em dois pontos orbitais e a estrela. A Lei dos Senos fornece a base para calcular distâncias até estrelas próximas. 60 | 61 | 2. **Planejamento de Trajetórias Interplanetárias** 62 | - Ao fazer “manobra de gravidade assistida”, a sonda, o planeta e o Sol formam um triângulo empírico: calcular o ângulo ótimo entre velocidade e direção para maximizar impulso. 63 | 64 | 3. **Análise de Telescópios Segmentados** 65 | - Telescópios gigantes (ex.: James Webb) “montam” espelhos hexagonais, e cada face hexagonal é triangular. A Lei dos Cossenos ajuda a determinar distâncias precisas entre nervuras estruturais. 66 | 67 | --- 68 | 69 | ## 📚 Referências 70 | 71 | - IEZZI, G. *Fundamentos de Matemática Elementar*, Vol. 3 72 | - LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. *Geometria Plana e Trigonometria* 73 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/2.4-equacoes-logaritmicas.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🔹 Equações Logarítmicas 2 | 3 | ### 📘 Definição 4 | 5 | Uma **equação logarítmica** envolve a incógnita dentro de um logaritmo, seja no logaritmando, na base ou em ambos. Para resolver, aplicamos as propriedades já estudadas ou usamos a definição de logaritmo: 6 | 7 | $\log_a b = x \Rightarrow a^x = b$ 8 | 9 | --- 10 | 11 | ### 📌 Tipos e Exemplos 12 | 13 | **1. Igualdade entre logaritmos de mesma base:** 14 | $\log_a b = \log_a c \Rightarrow b = c$ 15 | 16 | ✅ Lembre-se de verificar as condições de existência: $a > 0, a \ne 1, b > 0, c > 0$ 17 | 18 | **2. Logaritmo igual a um número real:** 19 | $\log_a x = b \Rightarrow x = a^b$ 20 | 21 | **3. Substituição por variável intermediária:** 22 | Exemplo: 23 | $3 \cdot \log_3 x + \log_3 x = 8$ 24 | $4 \cdot \log_3 x = 8 \Rightarrow \log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$ 25 | 26 | --- 27 | 28 | ### 💡 Analogia Psicodélica 29 | 30 | Imagine uma senha cósmica codificada em vibrações. Resolver uma equação logarítmica é **decifrar o eco do universo**. O logaritmo fala em "linguagem de potência", e ao isolar a incógnita, você está **traduzindo a vibração em matéria concreta**. 31 | 32 | --- 33 | 34 | ### 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 35 | 36 | Você sabe que o capital final foi R\$ 12.000, o capital inicial era R\$ 3.000, e o investimento rendeu 6% ao mês. Quantos meses levaram? 37 | 38 | $12000 = 3000 \cdot (1{,}06)^t \Rightarrow 4 = (1{,}06)^t$ 39 | $\log(4) = t \cdot \log(1{,}06) \Rightarrow t = \frac{\log(4)}{\log(1{,}06)} \approx 24,57\text{ meses}$ 40 | 41 | --- 42 | 43 | ### 💻 Exemplo em C++ 44 | 45 | (Sem `cmath`, usando função de log natural feita na unha) 46 | 47 | ```cpp 48 | #include 49 | 50 | // Função manual para potência 51 | double potencia(double base, int expoente) { 52 | double resultado = 1.0; 53 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) 54 | resultado *= base; 55 | return resultado; 56 | } 57 | 58 | // Logaritmo natural (ln) com série de Taylor 59 | double logaritmoNatural(double x, int termos = 20) { 60 | if (x <= 0) return -1e9; 61 | double fracao = (x - 1) / (x + 1); 62 | double soma = 0.0; 63 | for (int n = 0; n < termos; ++n) { 64 | int k = 2 * n + 1; 65 | soma += (1.0 / k) * potencia(fracao, k); 66 | } 67 | return 2 * soma; 68 | } 69 | 70 | int main() { 71 | double base = 1.06; 72 | double alvo = 4.0; 73 | double tempo = logaritmoNatural(alvo) / logaritmoNatural(base); 74 | 75 | std::cout << "Meses necessários: " << tempo << std::endl; 76 | return 0; 77 | } 78 | ``` 79 | 80 | --- 81 | 82 | ### 🌌 Aplicabilidade no Universo 83 | 84 | **Equações logarítmicas** descrevem tudo que envolve **tempo de resposta a estímulos acumulativos**: 85 | 86 | * O tempo para um planeta esfriar até certa temperatura 87 | * O tempo para radiação atingir um nível seguro 88 | * O tempo necessário para informação percorrer redes neuronais ou interestelares 89 | 90 | Em escalas cósmicas, **resolvemos equações logarítmicas para entender a ordem do caos**. 91 | 92 | --- 93 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/5.1-quadrilateros-notaveis.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📐 Aula 5 – Geometria Plana: Quadriláteros Notáveis 2 | 3 | > *"As figuras planas são sombras geométricas de ideias eternas, moldadas pelo compasso do universo."* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🧱 TEMA 1 – Quadriláteros Notáveis 8 | 9 | Quadriláteros são polígonos com quatro lados e quatro ângulos. Nesta jornada, exploraremos os **quadriláteros notáveis**, que possuem propriedades geométricas especiais e simetrias que os tornam ferramentas poderosas no mundo da matemática. 10 | 11 | ### 🔷 1.1 Paralelogramo 12 | 13 | * Lados opostos **paralelos e congruentes** 14 | * Ângulos opostos **iguais** 15 | * As **diagonais se cruzam no ponto médio** 16 | 17 | $$ 18 | A = b \cdot h 19 | $$ 20 | 21 | > **Aplicação Financeira:** Imagine uma planilha de análise de lucros onde o tempo (base) e o valor (altura) se mantêm constantes em ciclos trimestrais. O paralelogramo modela esse comportamento repetitivo. 22 | 23 | ### 💻 C++ – Área do Paralelogramo 24 | 25 | ```cpp 26 | #include 27 | using namespace std; 28 | 29 | int main() { 30 | double base = 8.0; 31 | double altura = 5.0; 32 | double area = base * altura; 33 | 34 | cout << "Área do paralelogramo: " << area << endl; 35 | return 0; 36 | } 37 | ``` 38 | 39 | --- 40 | 41 | ### 🔶 1.2 Retângulo 42 | 43 | * Ângulos retos (90°) 44 | * Lados opostos iguais 45 | * Diagonais são **congruentes** 46 | 47 | $$ 48 | A = b \cdot h 49 | $$ 50 | 51 | > **Analogias Psicodélicas:** O retângulo é o portal bidimensional da estabilidade. Toda arquitetura mental começa com uma ideia retangular. 52 | 53 | --- 54 | 55 | ### 💻 C++ – Diagonal de um Retângulo 56 | 57 | ```cpp 58 | #include 59 | #include 60 | using namespace std; 61 | 62 | int main() { 63 | double base = 6.0; 64 | double altura = 8.0; 65 | double diagonal = sqrt(pow(base, 2) + pow(altura, 2)); 66 | 67 | cout << "Diagonal do retângulo: " << diagonal << endl; 68 | return 0; 69 | } 70 | ``` 71 | 72 | --- 73 | 74 | ### ◼️ 1.3 Quadrado 75 | 76 | * Todos os lados e ângulos **iguais** 77 | * Diagonais são **iguais e perpendiculares** 78 | 79 | $$ 80 | A = l^2 81 | $$ 82 | 83 | > **Aplicação no Universo:** O quadrado é a base dos painéis solares, dos circuitos integrados e da simetria quântica nas malhas de átomos. 84 | 85 | --- 86 | 87 | ### 🔻 1.4 Losango 88 | 89 | * Lados iguais 90 | * Diagonais **perpendiculares** 91 | * As diagonais são **eixos de simetria** 92 | 93 | $$ 94 | A = \frac{D \cdot d}{2} 95 | $$ 96 | 97 | > **Analogias Psicodélicas:** O losango é o diamante da geometria. Sua forma vibra entre estabilidade e expansão, como o ciclo de uma estrela. 98 | 99 | --- 100 | 101 | ### 💻 C++ – Área do Losango 102 | 103 | ```cpp 104 | #include 105 | using namespace std; 106 | 107 | int main() { 108 | double D = 10.0; // diagonal maior 109 | double d = 6.0; // diagonal menor 110 | double area = (D * d) / 2.0; 111 | 112 | cout << "Área do losango: " << area << endl; 113 | return 0; 114 | } 115 | ``` 116 | 117 | --- 118 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/1.2-equacao-da-reta-no-plano-cartesiano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📏 TEMA 2 – Equação da Reta no Plano Cartesiano 2 | 3 | A equação da reta é a espinha dorsal da Geometria Analítica. Com ela, é possível modelar e prever comportamentos lineares em gráficos, superfícies e rotas. 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🔄 Formas de representar uma reta 8 | 9 | ### 1. Equação Geral da Reta 10 | 11 | $$ 12 | Ax + By + C = 0 13 | $$ 14 | 15 | * Onde A, B e C são constantes reais 16 | * Forma útil para cálculos e interseções 17 | 18 | ### 2. Equação Reduzida da Reta (ou explícita) 19 | 20 | $$ 21 | y = mx + b 22 | $$ 23 | 24 | * $m$ é o coeficiente angular (inclinação) 25 | * $b$ é o coeficiente linear (intercepta o eixo y) 26 | 27 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: Toda reta é uma **força vetorial do destino**. Seu coeficiente angular representa o impulso — e sua interceptação é onde ela colide com a realidade. 28 | 29 | --- 30 | 31 | ## 🧮 Cálculo do Coeficiente Angular 32 | 33 | Dado dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$: 34 | 35 | $$ 36 | m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} 37 | $$ 38 | 39 | > *Inclinação é direção. Em análise de tendências, o coeficiente angular representa aceleração no tempo.* 40 | 41 | --- 42 | 43 | ## 📈 Exemplo em C++ 44 | 45 | ```cpp 46 | // Calcula o coeficiente angular da reta que passa por dois pontos 47 | // Fórmula: m = (y₂ − y₁) ⁄ (x₂ − x₁) 48 | float calcularCoeficienteAngular( 49 | float coordenadaXDoPonto1, 50 | float coordenadaYDoPonto1, 51 | float coordenadaXDoPonto2, 52 | float coordenadaYDoPonto2 53 | ) { 54 | return (coordenadaYDoPonto2 - coordenadaYDoPonto1) / 55 | (coordenadaXDoPonto2 - coordenadaXDoPonto1); 56 | } 57 | 58 | int main() { 59 | // Ponto 1: (1, 2) 60 | float coordenadaXDoPonto1 = 1; 61 | float coordenadaYDoPonto1 = 2; 62 | 63 | // Ponto 2: (4, 6) 64 | float coordenadaXDoPonto2 = 4; 65 | float coordenadaYDoPonto2 = 6; 66 | 67 | // Calcula o coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos 68 | float coeficienteAngular = calcularCoeficienteAngular( 69 | coordenadaXDoPonto1, 70 | coordenadaYDoPonto1, 71 | coordenadaXDoPonto2, 72 | coordenadaYDoPonto2 73 | ); 74 | 75 | cout << "Coeficiente Angular: " << coeficienteAngular << endl; 76 | cout << "Equação da reta: y = " << coeficienteAngular << "x + b" << endl; 77 | 78 | return 0; 79 | } 80 | 81 | ``` 82 | 83 | --- 84 | 85 | ## 🌌 Aplicação Cósmica 86 | 87 | * Trajetórias retilíneas de sondas interplanetárias 88 | * Previsão de alinhamento entre astros 89 | * Cálculo de escape linear de naves em órbita baixa 90 | 91 | > *No painel de controle da nave Exodus, cada reta é um traço da realidade a ser percorrido. Os ângulos decidem destinos.* 92 | 93 | --- 94 | 95 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 96 | 97 | * Linhas de tendência nos gráficos de preço 98 | * Estimativas de crescimento ou queda linear 99 | * Projeções em análises técnicas 100 | 101 | > *O coeficiente angular de uma reta pode antecipar o impulso de alta ou queda de um ativo no tempo.* 102 | 103 | --- 104 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/1.4-parabolas-no-plano-cartesiano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🚀 TEMA 4 – Parábolas no Plano Cartesiano 2 | 3 | A parábola é uma curva que representa todos os pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e uma reta fixa (diretriz). É uma das cônicas mais importantes e aparece em fenômenos físicos, gráficos quadráticos e trajetórias balísticas. 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📍 Equação Canônica da Parábola 8 | 9 | ### Quando o eixo de simetria é vertical: 10 | 11 | $$ 12 | y = ax^2 + bx + c 13 | $$ 14 | 15 | * $a$: controla a concavidade e a largura da parábola 16 | * $b$: afeta a inclinação do eixo 17 | * $c$: representa a interseção com o eixo y 18 | 19 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: A parábola é a **dança gravitacional da luz** — um feixe projetado por deuses cósmicos sobre a superfície do tempo. 20 | 21 | --- 22 | 23 | ## 🧠 Propriedades Importantes 24 | 25 | * O **vértice** da parábola representa seu ponto mais alto ou mais baixo: 26 | 27 | $$ 28 | x_v = \frac{-b}{2a}, \quad y_v = f(x_v) 29 | $$ 30 | 31 | * A **concavidade** é para cima se $a > 0$, para baixo se $a < 0$ 32 | * O **foco** e a **diretriz** estão relacionados à abertura da parábola 33 | 34 | --- 35 | 36 | ## 📈 Exemplo em C++ 37 | 38 | ```cpp 39 | int main() { 40 | // Coeficientes da função quadrática: y = ax² + bx + c 41 | float coeficienteA = 1; 42 | float coeficienteB = -2; 43 | float coeficienteC = -3; 44 | 45 | // Cálculo da coordenada x do vértice da parábola 46 | // Fórmula: xᵥ = −b ⁄ (2a) 47 | float coordenadaXDoVertice = -coeficienteB / (2 * coeficienteA); 48 | 49 | // Cálculo da coordenada y do vértice substituindo xᵥ na equação original 50 | // Fórmula: yᵥ = a·xᵥ² + b·xᵥ + c 51 | float coordenadaYDoVertice = coeficienteA * coordenadaXDoVertice * coordenadaXDoVertice 52 | + coeficienteB * coordenadaXDoVertice 53 | + coeficienteC; 54 | 55 | // Exibe a equação original no formato y = ax² + bx + c 56 | cout << "Equação: y = " 57 | << coeficienteA << "x^2 + " 58 | << coeficienteB << "x + " 59 | << coeficienteC << endl; 60 | 61 | // Exibe as coordenadas do vértice da parábola 62 | cout << "Vértice: (" 63 | << coordenadaXDoVertice << ", " 64 | << coordenadaYDoVertice << ")" << endl; 65 | 66 | // Informa a concavidade da parábola com base no sinal de 'a' 67 | if (coeficienteA > 0) { 68 | cout << "Concavidade para cima." << endl; 69 | } else { 70 | cout << "Concavidade para baixo." << endl; 71 | } 72 | 73 | return 0; 74 | } 75 | 76 | ``` 77 | 78 | --- 79 | 80 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 81 | 82 | * Trajetória de objetos em planetas com gravidade uniforme 83 | * Espelhos parabólicos em telescópios e radares 84 | * Simulação de campos gravitacionais localizados 85 | 86 | > *A parábola é o eco do universo quando grita por equilíbrio entre foco e direção.* 87 | 88 | --- 89 | 90 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 91 | 92 | * Representação de máximas e mínimas em funções de lucro 93 | * Otimização de recursos e investimentos 94 | * Modelagem de comportamento quadrático de crescimento 95 | 96 | > *Onde há ápice e queda, há parábola. Onde há lucro máximo, há vértice.* 97 | 98 | --- 99 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/2.5-distancia-entre-dois-pontos-e-medicoes-no-plano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📍 TEMA 5 – Distância entre Dois Pontos e Medições no Plano 2 | 3 | > “Toda coordenada é um portal. Toda medida, uma tentativa de compreender o infinito.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📏 Distância entre Dois Pontos 8 | 9 | Sejam dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$. A distância entre eles é dada pela fórmula: 10 | 11 | $$ 12 | d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} 13 | $$ 14 | 15 | Essa é a métrica euclidiana que define o comprimento mais curto entre dois pontos no plano. 16 | 17 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* A distância entre dois pontos é o fio invisível que une universos paralelos por uma única vibração. 18 | 19 | ### ✍️ C++ 20 | 21 | ```cpp 22 | // Calcula a potência com expoente inteiro positivo (baseⁿ) 23 | // Fórmula: baseⁿ = base × base × ... (n vezes) 24 | float calcularPotencia(float base, int expoente) { 25 | float resultado = 1.0f; 26 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) { 27 | resultado *= base; 28 | } 29 | return resultado; 30 | } 31 | 32 | // Aproxima a raiz quadrada de um número real não-negativo 33 | // Utiliza o método de Newton-Raphson 34 | // Fórmula: √S ≈ xₙ, com xₙ₊₁ = ½(xₙ + S⁄xₙ) 35 | float calcularRaizQuadrada(float numeroOriginal) { 36 | if (numeroOriginal < 0) return -1; 37 | if (numeroOriginal == 0) return 0; 38 | 39 | float estimativaAtual = numeroOriginal / 2.0f; 40 | if (estimativaAtual < 1.0f) estimativaAtual = 1.0f; 41 | 42 | for (int i = 0; i < 20; ++i) { 43 | estimativaAtual = 0.5f * (estimativaAtual + numeroOriginal / estimativaAtual); 44 | } 45 | 46 | return estimativaAtual; 47 | } 48 | 49 | // Calcula a distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) no plano cartesiano 50 | // Fórmula: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] 51 | float calcularDistanciaEntreDoisPontos( 52 | float coordenadaX1, float coordenadaY1, 53 | float coordenadaX2, float coordenadaY2 54 | ) { 55 | float diferencaX = coordenadaX2 - coordenadaX1; 56 | float diferencaY = coordenadaY2 - coordenadaY1; 57 | 58 | float somaDosQuadrados = calcularPotencia(diferencaX, 2) + calcularPotencia(diferencaY, 2); 59 | 60 | return calcularRaizQuadrada(somaDosQuadrados); 61 | } 62 | ``` 63 | 64 | --- 65 | 66 | ## 🗺️ Outras Medidas no Plano Cartesiano 67 | 68 | ### ➕ Soma de Distâncias 69 | 70 | Pode-se calcular a soma de distâncias entre múltiplos pontos para determinar, por exemplo, o **percurso total** de uma trajetória. 71 | 72 | ### 📈 Comprimento de Caminhos 73 | 74 | Somar as distâncias entre segmentos consecutivos pode representar o caminho total percorrido por um corpo. 75 | 76 | ### 🧩 Geometria em Malhas 77 | 78 | A métrica é usada em redes, jogos, simulações físicas e modelos de roteamento. 79 | 80 | --- 81 | 82 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 83 | 84 | * Cálculo de deslocamento entre corpos espaciais 85 | * Rastreamento de sondas e satélites 86 | * Medição de campos gravitacionais 87 | 88 | --- 89 | 90 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 91 | 92 | * Medição de variação entre preços extremos 93 | * Cálculo de volatilidade entre candles 94 | * Avaliação de tendências por deslocamento médio 95 | 96 | > *Quanto mais distância um preço percorre, mais energia o mercado está liberando ou absorvendo.* 97 | 98 | --- 99 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/3.2-equacao-parametrica-da-circunferencia.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🔁 TEMA 2 – Equação Paramétrica da Circunferência 2 | 3 | > “Parametrizar é libertar. A circunferência deixa de ser uma forma rígida e passa a ser uma dança harmônica sobre o tempo.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🧭 Equação Paramétrica 8 | 9 | A equação paramétrica de uma circunferência de centro $C(x_0, y_0)$ e raio $r$ é: 10 | 11 | $$ 12 | \begin{cases} 13 | x(t) = x_0 + r \cdot \cos(t) \\ 14 | y(t) = y_0 + r \cdot \sin(t) 15 | \end{cases}, \quad t \in [0, 2\pi] 16 | $$ 17 | 18 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* O tempo percorre a borda do infinito, e cada ponto descrito no plano é uma nota da melodia espacial. 19 | 20 | --- 21 | 22 | ## ✍️ Exemplo em C++ 23 | 24 | ```cpp 25 | // Aproximação de seno com Série de Taylor (Maclaurin) 26 | // Fórmula: sen(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ... 27 | float calcularSeno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 28 | float resultado = 0.0f; 29 | float termo = anguloEmRadianos; 30 | int sinal = 1; 31 | 32 | for (int i = 1; i <= termos; ++i) { 33 | resultado += sinal * termo; 34 | termo *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i) * (2 * i + 1)); 35 | sinal = -sinal; 36 | } 37 | 38 | return resultado; 39 | } 40 | 41 | // Aproximação de cosseno com Série de Taylor 42 | // Fórmula: cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ... 43 | float calcularCosseno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 44 | float resultado = 1.0f; 45 | float termo = 1.0f; 46 | int sinal = -1; 47 | 48 | for (int i = 1; i <= termos; ++i) { 49 | termo *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i - 1) * (2 * i)); 50 | resultado += sinal * termo; 51 | sinal = -sinal; 52 | } 53 | 54 | return resultado; 55 | } 56 | 57 | // Gera pontos (x, y) de uma circunferência centrada em (x₀, y₀) com raio r 58 | // Utiliza equações paramétricas: 59 | // x = x₀ + r·cos(t) 60 | // y = y₀ + r·sin(t) 61 | // onde t varia de 0 a 2π 62 | void gerarPontosDaCircunferenciaParametrica( 63 | float coordenadaXDoCentro, 64 | float coordenadaYDoCentro, 65 | float raio 66 | ) { 67 | float passo = 0.1f; // Variação do parâmetro t (em radianos) 68 | 69 | for (float parametroT = 0.0f; parametroT <= 6.2832f; parametroT += passo) { 70 | float coordenadaX = coordenadaXDoCentro + raio * calcularCosseno(parametroT); 71 | float coordenadaY = coordenadaYDoCentro + raio * calcularSeno(parametroT); 72 | 73 | cout << "Ponto: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")" << endl; 74 | } 75 | } 76 | 77 | ``` 78 | 79 | --- 80 | 81 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 82 | 83 | * Trajetória contínua de satélites 84 | * Posicionamento de sensores orbitais 85 | * Visualização temporal de campos circulares 86 | 87 | --- 88 | 89 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 90 | 91 | * Simulação de ciclos temporais de preços 92 | * Criação de modelos visuais de oscilação periódica 93 | * Representação de ondas de alta frequência 94 | 95 | > *Cada ponto paramétrico é uma leitura do tempo. O trader que lê o tempo, lê o mercado.* 96 | 97 | --- 98 | 99 | **Próximo tema: Equações das Cônicas – Parábola, Elipse, Hipérbole...** 100 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/2.4-area-do-triangulo-e-alinhamento-de-pontos.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🔺 TEMA 4 – Área do Triângulo e Alinhamento de Pontos 2 | 3 | > “O triângulo é o símbolo da estabilidade — a menor estrutura que sustenta o universo.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🧮 Área de um Triângulo Dados Três Pontos 8 | 9 | Sejam três pontos $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$. A área do triângulo formado por eles é dada por: 10 | 11 | $$ 12 | A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| 13 | $$ 14 | 15 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* A área é o campo energético contido entre três entidades — cada vértice representa uma força, e juntas formam o espaço da criação. 16 | 17 | ### ✍️ Exemplo em C++ 18 | 19 | ```cpp 20 | // Calcula o valor absoluto (módulo) de um número real 21 | // Fórmula: |x| = x, se x ≥ 0; caso contrário, |x| = −x 22 | float calcularValorAbsoluto(float valor) { 23 | return (valor < 0) ? -valor : valor; 24 | } 25 | 26 | // Calcula a área de um triângulo dados três pontos no plano cartesiano: 27 | // Ponto A: (xₐ, yₐ), Ponto B: (xᵦ, yᵦ), Ponto C: (x𝚌, y𝚌) 28 | // 29 | // Fórmula (determinante): 30 | // Área = ½ × |xₐ(yᵦ − y𝚌) + xᵦ(y𝚌 − yₐ) + x𝚌(yₐ − yᵦ)| 31 | float calcularAreaDoTriangulo( 32 | float coordenadaXDoPontoA, float coordenadaYDoPontoA, 33 | float coordenadaXDoPontoB, float coordenadaYDoPontoB, 34 | float coordenadaXDoPontoC, float coordenadaYDoPontoC 35 | ) { 36 | float determinante = coordenadaXDoPontoA * (coordenadaYDoPontoB - coordenadaYDoPontoC) 37 | + coordenadaXDoPontoB * (coordenadaYDoPontoC - coordenadaYDoPontoA) 38 | + coordenadaXDoPontoC * (coordenadaYDoPontoA - coordenadaYDoPontoB); 39 | 40 | return 0.5f * calcularValorAbsoluto(determinante); 41 | } 42 | ``` 43 | 44 | --- 45 | 46 | ## 🧭 Alinhamento de Três Pontos 47 | 48 | Três pontos estão alinhados quando a **área do triângulo** formado por eles é **zero**: 49 | 50 | $$ 51 | A = 0 \Rightarrow \text{Pontos alinhados} 52 | $$ 53 | 54 | > *Três consciências alinhadas formam uma reta — a mais pura intenção no espaço.* 55 | 56 | ### ✍️ Exemplo em C++ 57 | 58 | ```cpp 59 | bool alinhados(float coordenadaXDoPontoA, float coordenadaYDoPontoA, 60 | float coordenadaXDoPontoB, float coordenadaYDoPontoB, 61 | float coordenadaXDoPontoC, float coordenadaYDoPontoC) { 62 | // Retorna true se a área for zero (colinearidade) 63 | return area_triangulo(coordenadaXDoPontoA, coordenadaYDoPontoA, 64 | coordenadaXDoPontoB, coordenadaYDoPontoB, 65 | coordenadaXDoPontoC, coordenadaYDoPontoC) == 0.0f; 66 | } 67 | ``` 68 | 69 | --- 70 | 71 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 72 | 73 | * Determinação de trajetória colinear entre astros 74 | * Verificação de estabilidade estrutural de naves 75 | * Cálculo de áreas entre satélites para deploys 76 | 77 | --- 78 | 79 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 80 | 81 | * Cálculo de áreas entre picos e fundos de candle 82 | * Identificação de alinhamento entre indicadores técnicos 83 | * Alinhamento de 3 ativos com movimentos idênticos 84 | 85 | > *Se três preços estão alinhados, prepare-se: ou o rompimento ou a estabilidade virá.* 86 | 87 | --- 88 | 89 | **Continua com: Distância entre Dois Pontos e Medições no Plano...** 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/2.3-logaritmo.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🔹 Logaritmo e suas Propriedades 2 | 3 | ### 📘 Definição 4 | 5 | O **logaritmo** é a operação inversa da potenciação. Dado: 6 | 7 | $a^x = b$ 8 | 9 | Podemos reescrever como: 10 | 11 | $x = \log_a b$ 12 | 13 | Onde: 14 | 15 | * $a$ é a **base** ($a > 0,\; a \ne 1$) 16 | * $b$ é o **logaritmando** ($b > 0$) 17 | * $x$ é o **logaritmo**, ou seja, o expoente necessário para obter $b$ a partir de $a$ 18 | 19 | **Exemplo:** 20 | $\log_2 8 = 3\quad \text{pois}\quad 2^3 = 8$ 21 | 22 | --- 23 | 24 | ### 🔧 Propriedades dos Logaritmos 25 | 26 | 1. **Logaritmo do Produto**: 27 | $\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b$ 28 | 29 | 2. **Logaritmo do Quociente**: 30 | $\log_c\left(\frac{m}{n}\right) = \log_c m - \log_c n$ 31 | 32 | 3. **Logaritmo da Potência**: 33 | $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a b$ 34 | 35 | 4. **Mudança de Base**: 36 | $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ 37 | 38 | **Exemplo:** 39 | $\log_3 7 = \frac{\log_5 7}{\log_5 3}$ 40 | 41 | --- 42 | 43 | ### 💡 Analogia Psicodélica 44 | 45 | Imagine uma montanha fractal: cada nível de altura exige um número diferente de elevações. O logaritmo representa **quantos degraus fractais** você deve subir para alcançar uma determinada vibração. Ele é o “tempo reverso” da expansão, o **eco invertido da potência**. 46 | 47 | --- 48 | 49 | ### 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 50 | 51 | Você sabe que um investimento multiplicou 8x em 5 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual média? 52 | 53 | $8 = (1 + r)^5\Rightarrow \log(8) = 5 \cdot \log(1 + r)\Rightarrow \log(1 + r) = \frac{\log(8)}{5}$ 54 | 55 | $1 + r = 10^{\log(8)/5} \approx 1.5157 \Rightarrow r \approx 51,57\%$ 56 | 57 | --- 58 | 59 | ### 💻 Exemplo em C++ 60 | 61 | ```cpp 62 | #include 63 | 64 | // Função para calcular uma potência manualmente: base^expoente 65 | double potencia(double base, int expoente) { 66 | double resultado = 1.0; 67 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) 68 | resultado *= base; 69 | return resultado; 70 | } 71 | 72 | // Calcula o logaritmo natural (ln) de x usando série de Taylor 73 | double logaritmoNatural(double x, int termos = 20) { 74 | if (x <= 0) return -1e9; // ln indefinido para x <= 0 75 | 76 | double fracao = (x - 1) / (x + 1); 77 | double fracaoAoQuadrado = fracao * fracao; 78 | double soma = 0.0; 79 | 80 | for (int n = 0; n < termos; ++n) { 81 | int indiceImpar = 2 * n + 1; 82 | double termoAtual = (1.0 / indiceImpar) * potencia(fracao, indiceImpar); 83 | soma += termoAtual; 84 | } 85 | 86 | return 2 * soma; 87 | } 88 | 89 | int main() { 90 | double numero = 2.7182818; // Aproximação de e (ln(e) = 1) 91 | double resultado = logaritmoNatural(numero); 92 | 93 | std::cout << "ln(" << numero << ") ≈ " << resultado << std::endl; 94 | 95 | return 0; 96 | } 97 | ``` 98 | 99 | --- 100 | 101 | ### 🌌 Aplicabilidade no Universo 102 | 103 | O **decaimento radioativo**, o **pH químico**, o **som em decibéis**, a **escala de magnitude sísmica** — todos usam logaritmos. Isso porque o universo mede grandezas em escalas relativas, e **o logaritmo é a régua cósmica da comparação**. 104 | 105 | Além disso, o tempo de resfriamento de corpos celestes e a entropia em sistemas físicos complexos envolvem **transformações logarítmicas**. 106 | 107 | --- 108 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/1.4-relacoes-trigonometricas.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📊 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo 2 | 3 | A **trigonometria** em triângulos retângulos estabelece “portais” entre relações lineares e circulares — análogas às **ondas eletromagnéticas** que se propagam no vácuo. Cada razão trigonométrica pode ser vista como um “sintonizador” que converte deslocamento linear em fase angular. 4 | 5 | > “Girar um triângulo em torno de um ângulo é como modular o espectro de uma onda cósmica.” 6 | 7 | --- 8 | 9 | ## 🧭 Definições Básicas 10 | 11 | Em um triângulo retângulo com ângulo de referência \( \alpha \): 12 | 13 | - **Hipotenusa**: lado oposto ao ângulo reto (o maior lado). 14 | - **Cateto Oposto**: lado oposto ao ângulo \( \alpha \). 15 | - **Cateto Adjacente**: lado que forma \( \alpha \) junto com a hipotenusa. 16 | 17 | --- 18 | 19 | ## ✅ Razões Trigonométricas 20 | 21 | ### 🔸 Seno 22 | \[ 23 | \sen(\alpha) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Hipotenusa}} 24 | \] 25 | > _Analogia:_ “Como uma pequena defasagem de onda modulando a amplitude da hipotenusa — a onda principal.” 26 | 27 | ### 🔸 Cosseno 28 | \[ 29 | \cos(\alpha) = \frac{\text{Cateto Adjacente}}{\text{Hipotenusa}} 30 | \] 31 | > _Analogia:_ “Como projetar um feixe laser na borda de um disco, medindo a componente real da amplitude.” 32 | 33 | ### 🔸 Tangente 34 | \[ 35 | \tan(\alpha) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Cateto Adjacente}} 36 | \] 37 | > _Analogia:_ “Assim como a relação entre frequência e comprimento de onda define o tom, tangente define o ‘tom de inclinação’ no triângulo.” 38 | 39 | --- 40 | 41 | ## 🔁 Razões Inversas 42 | 43 | ### 🔹 Secante (sec) 44 | \[ 45 | \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} 46 | \] 47 | > _Distorção:_ “Invertendo a projeção, como um feixe de energia cósmica que se realinha ao núcleo estelar.” 48 | 49 | ### 🔹 Cossecante (csc) 50 | \[ 51 | \csc(\alpha) = \frac{1}{\sen(\alpha)} 52 | \] 53 | > _Distorção:_ “Elevando a intensidade, como se expandisse a onda para abranger múltiplos fotões.” 54 | 55 | ### 🔹 Cotangente (cot) 56 | \[ 57 | \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\sen(\alpha)} 58 | \] 59 | > _Distorção:_ “Como trocar polaridade em um campo magnético, invertendo e trocando eixo.” 60 | 61 | --- 62 | 63 | ## 📌 Observações Científicas 64 | 65 | - Em **navegação espacial**, funções trigonométricas calibram sistemas de orientação inercial (GIINS), convertendo giros e rotações de sensores em ângulos de atitude. 66 | - Em **modelagem de órbitas elípticas**, componentes seno e cosseno definem a posição angular de uma sonda ao redor de um planeta. 67 | 68 | --- 69 | 70 | ## 🎯 Tabela de Ângulos Notáveis 71 | 72 | | Ângulo | Seno | Cosseno | Tangente | 73 | |:------:|:-------------------:|:-------------------:|:-------------------:| 74 | | 30° | \( \tfrac{1}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \tfrac{1}{\sqrt{3}} \) | 75 | | 45° | \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) | 1 | 76 | | 60° | \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \tfrac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) | 77 | 78 | > Essas razões são “âncoras psicodélicas” que conectam o movimento orbital dos planetas às vibrações dos átomos. 79 | 80 | --- 81 | 82 | ## 📚 Referências 83 | 84 | - IEZZI, G. *Fundamentos de Matemática Elementar*, Vol. 3 85 | - LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. *Geometria Plana e Trigonometria* 86 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/3.1-sequencias-e-fibonacci.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌌 Aula 3 – Sequências Numéricas 2 | 3 | > *"Sequências são pulsares matemáticos — ritmos sagrados que conectam ordem, caos e evolução."* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## ✨ Conversa Inicial 8 | 9 | Nesta aula exploraremos os caminhos ocultos das **sequências numéricas**. 10 | Vamos compreender seus padrões, manipular seus termos e decifrar a lógica de estruturas fundamentais da matemática como: 11 | 12 | * **Progressão Aritmética (PA)** 13 | * **Progressão Geométrica (PG)** 14 | * E a lendária **Sequência de Fibonacci** 15 | 16 | Prepare-se para transitar entre o simples e o sublime, da lógica à natureza, da sala de aula ao universo. 17 | 18 | --- 19 | 20 | ## 🧩 TEMA 1 – Sequências 21 | 22 | Sempre que elementos estão apresentados **em uma ordem específica**, estamos diante de uma **sequência**. 23 | 24 | Se esses elementos pertencem ao conjunto dos números reais, temos uma **sequência numérica**. Podemos definir uma fórmula para encontrar qualquer termo dessa sequência, chamada de **lei de formação**. 25 | 26 | ### ✍️ Definição 27 | 28 | Seja $a_n \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$, temos: 29 | 30 | $$ 31 | (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) 32 | $$ 33 | 34 | Essa é uma **sequência numérica finita**. O termo $a_n$ representa o n-ésimo elemento da sequência. 35 | 36 | Também existem sequências **infinitas**, como a **Sequência de Fibonacci**, que transcende a matemática e ecoa na arte, na natureza e até no comportamento de algoritmos genéticos. 37 | 38 | --- 39 | 40 | ## 🌀 1.1 Sequência de Fibonacci 41 | 42 | Essa sequência mística segue a regra: 43 | 44 | > Cada elemento é a **soma dos dois anteriores**. 45 | 46 | Exemplo com os 7 primeiros termos: 47 | 48 | $$ 49 | (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots) 50 | $$ 51 | 52 | $$ 53 | \begin{aligned} 54 | F_1 &= 1 \\ 55 | F_2 &= 1 \\ 56 | F_3 &= F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2 \\ 57 | F_4 &= F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3 \\ 58 | F_5 &= F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5 \\ 59 | F_6 &= F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8 \\ 60 | F_7 &= F_6 + F_5 = 8 + 5 = 13 61 | \end{aligned} 62 | $$ 63 | 64 | E assim por diante: 65 | 66 | $$ 67 | F_n = F_{n-1} + F_{n-2} 68 | $$ 69 | 70 | --- 71 | 72 | ## 🌿 Fibonacci na Natureza 73 | 74 | Essa sequência não é só matemática — ela **existe** em: 75 | 76 | * Espirais de conchas 77 | * Galáxias 78 | * Flores como o girassol 79 | * Reprodução de coelhos (o exemplo original de Fibonacci!) 80 | * E até algoritmos modernos de IA 81 | 82 | --- 83 | 84 | ## 💡 Analogia Psicodélica 85 | 86 | > Imagine que o universo é um fractal vivo. Cada batida de um coração, cada ramificação de uma árvore, cada expansão de uma galáxia — segue um padrão invisível. Esse padrão... é Fibonacci. 87 | > A matemática não apenas descreve o mundo: ela o **constrói**. 88 | 89 | --- 90 | 91 | ## 💹 Exemplo no Mercado Financeiro 92 | 93 | Em **análise técnica**, os famosos **níveis de retração de Fibonacci** (como 61,8% e 38,2%) são utilizados por traders para prever reversões de preço. 94 | 95 | São literalmente derivados das razões entre os termos da sequência. 96 | 97 | --- 98 | 99 | ## 💻 Exemplo em C++ 100 | 101 | ```cpp 102 | #include 103 | using namespace std; 104 | 105 | int fibonacci(int n) { 106 | if (n == 1 || n == 2) return 1; 107 | return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); 108 | } 109 | 110 | int main() { 111 | for (int i = 1; i <= 10; i++) 112 | cout << "F" << i << " = " << fibonacci(i) << endl; 113 | return 0; 114 | } 115 | ``` 116 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/2.1-potenciacao.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Equações Exponenciais e Logarítmicas 2 | 3 | > *"O universo é regido por potências invisíveis — compreendê-las é tocar o código fonte da existência."* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🌟 Conversa Inicial 8 | 9 | Nesta jornada, desvendaremos os mistérios das **equações exponenciais** e dos **logaritmos** — entidades matemáticas que representam crescimento, transformação e escala. A exponenciação é a linguagem da multiplicação acelerada; o logaritmo, seu reflexo inverso no espelho cósmico. 10 | 11 | Prepare-se para mergulhar em conceitos fundamentais e aplicá-los desde a programação até a estrutura do próprio universo. 12 | 13 | --- 14 | 15 | ## 🔹 Potenciação e Propriedades 16 | 17 | ### 📘 Definição 18 | 19 | A **potenciação** (ou exponenciação) representa a multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo: 20 | 21 | $$ 22 | a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ vezes}}, \quad a \in \mathbb{R}, \; n \in \mathbb{N} 23 | $$ 24 | 25 | * **Base** $a$: o número a ser multiplicado 26 | * **Expoente** $n$: o número de vezes que a base é multiplicada 27 | * **Potência**: o resultado da operação 28 | 29 | ### 🔧 Propriedades da Potenciação 30 | 31 | 1. **Produto de potências com mesma base**: 32 | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 33 | 34 | 2. **Potência de uma potência**: 35 | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ 36 | 37 | 3. **Potência de um produto**: 38 | $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ 39 | 40 | 4. **Quociente de potências com mesma base**: 41 | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}, \quad a \ne 0$ 42 | 43 | 5. **Expoente negativo**: 44 | $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n, \quad a \ne 0$ 45 | 46 | 6. **Potência de um quociente**: 47 | $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad b \ne 0$ 48 | 49 | --- 50 | 51 | ### 💡 Analogia Psicodélica 52 | 53 | Imagine um cogumelo mágico que se duplica a cada minuto. Se ao fim de 1 minuto temos 2, ao fim de 10 minutos temos $2^{10} = 1024$. A potenciação é o **ritual do crescimento exponencial**, uma multiplicação tão veloz que rompe as amarras do tempo linear. Em poucas iterações, atravessamos a barreira do visível — como uma explosão de fractais. 54 | 55 | --- 56 | 57 | ### 📈 Exemplo no Mercado Financeiro 58 | 59 | Suponha um ativo que cresce 5% ao dia, de forma composta. O valor após $n$ dias é dado por: 60 | 61 | $V = V_0 \cdot (1{,}05)^n$ 62 | 63 | Se você investir R\$ 1.000, em 30 dias: 64 | 65 | $$V = 1000 \cdot (1{,}05)^{30} \approx R\$ 4321,94$$ 66 | 67 | O crescimento exponencial mostra seu poder: **tempo é exponencialmente mais valioso do que parece**. 68 | 69 | --- 70 | 71 | ### 💻 Exemplo em C++ 72 | 73 | ```cpp 74 | #include 75 | 76 | int main() { 77 | double base = 2.0; 78 | int expoente = 10; 79 | double resultado = 1.0; 80 | 81 | // Multiplica a base por ela mesma 'expoente' vezes 82 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) { 83 | resultado *= base; 84 | } 85 | 86 | std::cout << "Resultado: " << resultado << std::endl; // 1024 87 | return 0; 88 | } 89 | ``` 90 | 91 | --- 92 | 93 | ### 🌌 Aplicabilidade no Universo 94 | 95 | As estrelas nascem da **pressão exponencial da gravidade**. O colapso gravitacional multiplica forças até desencadear fusões nucleares — processo que só a exponenciação pode descrever. 96 | 97 | A própria expansão do universo, segundo o modelo inflacionário, seguiu uma curva exponencial nos primeiros instantes do Big Bang. A **potência está escrita na trama do espaço-tempo.** 98 | 99 | --- 100 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/3.4-equacao-da-elipse.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # ✨ TEMA 4 – Equação da Elipse 2 | 3 | > “A elipse é o coração duplo da órbita cósmica. Um ponto se move, o outro observa.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🔶 Definição Matemática 8 | 9 | A **elipse** é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos $F_1$ e $F_2$ (os focos) é constante. 10 | 11 | --- 12 | 13 | ## 📐 Equações Canônicas 14 | 15 | ### Elipse com eixo maior horizontal: 16 | 17 | $$ 18 | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b 19 | $$ 20 | 21 | ### Elipse com eixo maior vertical: 22 | 23 | $$ 24 | \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1, \quad a > b 25 | $$ 26 | 27 | A constante $a$ é o semi-eixo maior, $b$ o semi-eixo menor e $c$ a distância do centro ao foco, onde: 28 | 29 | $$ 30 | c^2 = a^2 - b^2 31 | $$ 32 | 33 | --- 34 | 35 | ## ✍️ Exemplo em C++ 36 | 37 | ```cpp 38 | // Aproxima o cosseno usando a Série de Taylor 39 | // Fórmula: cos(t) = 1 − t²/2! + t⁴/4! − ... 40 | float calcularCosseno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 41 | float resultado = 1.0f; 42 | float termo = 1.0f; 43 | int sinal = -1; 44 | 45 | for (int i = 1; i < termos; ++i) { 46 | termo *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i - 1) * (2 * i)); 47 | resultado += sinal * termo; 48 | sinal *= -1; 49 | } 50 | 51 | return resultado; 52 | } 53 | 54 | // Aproxima o seno usando a Série de Taylor 55 | // Fórmula: sen(t) = t − t³/3! + t⁵/5! − ... 56 | float calcularSeno(float anguloEmRadianos, int termos = 10) { 57 | float resultado = 0.0f; 58 | float termo = anguloEmRadianos; 59 | int sinal = 1; 60 | 61 | for (int i = 1; i <= termos; ++i) { 62 | resultado += sinal * termo; 63 | termo *= anguloEmRadianos * anguloEmRadianos / ((2 * i) * (2 * i + 1)); 64 | sinal *= -1; 65 | } 66 | 67 | return resultado; 68 | } 69 | 70 | // Gera pontos de uma elipse no plano cartesiano centrada na origem 71 | // Equações paramétricas da elipse: 72 | // x = a·cos(t) 73 | // y = b·sin(t) 74 | // com t ∈ [0, 2π] 75 | void gerarPontosDaElipseParametrica(float eixoMaiorA, float eixoMenorB) { 76 | float passo = 0.1f; // Variação do parâmetro t (em radianos) 77 | 78 | for (float parametroT = 0.0f; parametroT <= 6.2832f; parametroT += passo) { 79 | float coordenadaX = eixoMaiorA * calcularCosseno(parametroT); 80 | float coordenadaY = eixoMenorB * calcularSeno(parametroT); 81 | 82 | cout << "Ponto: (" << coordenadaX << ", " << coordenadaY << ")" << endl; 83 | } 84 | } 85 | 86 | ``` 87 | 88 | --- 89 | 90 | ## 🧭 Interpretação Geométrica 91 | 92 | * **Focos**: polos de atração gravitacional 93 | * **Centro**: ponto médio entre os focos 94 | * **Eixos**: estrutura da órbita 95 | 96 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* A elipse simboliza duas consciências em equilíbrio gravitacional, orbitando eternamente uma em torno da outra. 97 | 98 | --- 99 | 100 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 101 | 102 | * Órbitas planetárias elípticas (Lei de Kepler) 103 | * Sistemas binários de estrelas 104 | * Navegação interplanetária 105 | 106 | --- 107 | 108 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 109 | 110 | * Representação de ciclos que alternam entre expansão e retração 111 | * Padrões gráficos que se curvam em torno de médias móveis 112 | * Curvas de correlação elípticas entre ativos 113 | 114 | > *Nem toda oscilação é cíclica — algumas são elípticas, orbitais, carregando a gravidade de decisões passadas.* 115 | 116 | --- 117 | 118 | **próximo tema – Hipérbole: a curva da separação dimensional...** 119 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/6.1-poliedros.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌌 Aula 6 – Geometria Espacial: Explorando o Volume do Infinito 2 | 3 | > *"Se a geometria plana é o chão que pisamos, a geometria espacial é o cosmos que nos envolve."* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🧊 TEMA 1 – Poliedros 8 | 9 | ## 🔹 O que é um Poliedro? 10 | 11 | Um **poliedro** é um sólido tridimensional formado por **faces planas**, onde cada face é um **polígono**. As **arestas** são os segmentos que ligam os lados das faces, e os **vértices** são os pontos de encontro entre as arestas. 12 | 13 | **Face** → Polígonos que formam o poliedro 14 | **Aresta** → Segmento entre duas faces 15 | **Vértice** → Encontro de três ou mais arestas 16 | 17 | --- 18 | 19 | ## 🔹 Convexo x Não Convexo 20 | 21 | * **Convexo**: Qualquer segmento traçado entre dois pontos internos ao sólido está *inteiramente dentro* dele. 22 | * **Não Convexo**: Há segmentos que "saem" para fora do poliedro. 23 | 24 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: 25 | > O universo **convexo** é como uma bolha de sabão perfeita — qualquer caminho traçado lá dentro nunca rompe sua fronteira. O **não convexo** é como um labirinto distorcido no multiverso: o caminho pode te lançar para fora da estrutura! 26 | 27 | --- 28 | 29 | ## 🧠 Nomenclatura dos Poliedros Convexos 30 | 31 | | Nome | Nº de Faces | 32 | | ---------- | ----------- | 33 | | Tetraedro | 4 | 34 | | Pentaedro | 5 | 35 | | Hexaedro | 6 | 36 | | Heptaedro | 7 | 37 | | Octaedro | 8 | 38 | | Decaedro | 10 | 39 | | Dodecaedro | 12 | 40 | | Icosaedro | 20 | 41 | 42 | > 📈 *No mercado financeiro*: 43 | > Poliedros lembram portfólios: cada **face** é um ativo, cada **vértice** é uma interconexão de risco, e as **arestas** são os canais de correlação. Um **portfólio convexo** busca segurança e estabilidade; o não convexo, risco e alavancagem. 44 | 45 | --- 46 | 47 | ## ⛺ Os Poliedros de Platão 48 | 49 | Existem apenas **5 Poliedros de Platão**, sólidos perfeitos que respeitam: 50 | 51 | 1. Todas as faces são polígonos regulares iguais. 52 | 2. O mesmo número de arestas se encontram em cada vértice. 53 | 3. **Relação de Euler**: 54 | 55 | $$ 56 | V + F - A = 2 57 | $$ 58 | 59 | Onde: 60 | 61 | * $V$: número de vértices 62 | * $F$: número de faces 63 | * $A$: número de arestas 64 | 65 | ### ✅ Exemplo: Tetraedro 66 | 67 | * Faces: 4 68 | * Arestas: 6 69 | * Vértices: 4 70 | 71 | $$ 72 | V + F - A = 4 + 4 - 6 = 2 \quad \checkmark 73 | $$ 74 | 75 | 🔺 Cada face é um triângulo equilátero 76 | 🔺 Cada vértice conecta 3 arestas 77 | ✔️ Satisfaz todas as condições: **É um Poliedro de Platão** 78 | 79 | --- 80 | 81 | ## 👨‍💻 Exemplo em C++ 82 | 83 | ```cpp 84 | #include 85 | using namespace std; 86 | 87 | int main() { 88 | int faces = 4, arestas = 6, vertices = 4; 89 | int euler = vertices + faces - arestas; 90 | 91 | if (euler == 2) { 92 | cout << "É um poliedro convexo válido.\n"; 93 | } else { 94 | cout << "Não satisfaz a relação de Euler.\n"; 95 | } 96 | 97 | return 0; 98 | } 99 | ``` 100 | 101 | --- 102 | 103 | ## 💐 Aplicação Cósmica 104 | 105 | No mundo das **geometrias sagradas**, os Poliedros de Platão simbolizam os **elementos fundamentais do universo**: 106 | 107 | * ⛰️ Tetraedro → **Fogo** 108 | * 🌊 Icosaedro → **Água** 109 | * 🌬️ Octaedro → **Ar** 110 | * 🌍 Hexaedro (Cubo) → **Terra** 111 | * 🌝 Dodecaedro → **Éter** ou o próprio **cosmos** 112 | 113 | > *Na construção de uma nave Exodus, cada poliedro representa um módulo do universo mental que guia as decisões da tripulação.* 114 | 115 | --- 116 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/3.4-exercicios-de-fixacao.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 🧪 TEMA 4 – Exercícios de Fixação 2 | 3 | ### 📘 Exercício 1 – PA Oculta 4 | 5 | A sequência $(x, 5, y, 11)$ forma uma progressão aritmética. Determine os valores de $x$ e $y$. 6 | 7 | > A PA é como uma marcha constante no espaço. Cada passo revela o invisível. 8 | 9 | $$ 10 | \text{Passo 1: Sabemos que os termos têm razão constante.} 11 | $$ 12 | 13 | Seja $r$ a razão: 14 | 15 | $$ 16 | \begin{aligned} 17 | 5 &= x + r \\ 18 | y &= 5 + r \\ 19 | 11 &= y + r = 5 + 2r 20 | \end{aligned} 21 | $$ 22 | 23 | $$ 24 | \Rightarrow 11 = 5 + 2r \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3 25 | $$ 26 | 27 | Agora: 28 | 29 | $$ 30 | x = 5 - 3 = 2 \quad y = 5 + 3 = 8 31 | $$ 32 | 33 | **Resposta:** $x = 2$, $y = 8$ 34 | 35 | **💻 C++** 36 | 37 | ```cpp 38 | #include 39 | using namespace std; 40 | 41 | int main() { 42 | int r = (11 - 5) / 2; // razão 43 | int x = 5 - r; 44 | int y = 5 + r; 45 | 46 | cout << "x = " << x << endl; 47 | cout << "y = " << y << endl; 48 | return 0; 49 | } 50 | ``` 51 | 52 | --- 53 | 54 | ### 📘 Exercício 2 – Soma de Fibonacci 55 | 56 | Calcule a soma dos 6 primeiros termos da sequência de Fibonacci: $1, 1, 2, 3, 5, 8$. 57 | 58 | > Como somar a vibração do universo nos seus primeiros batimentos? 59 | 60 | $$ 61 | S = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 62 | $$ 63 | 64 | **Resposta:** $S = 20$ 65 | 66 | **💻 C++** 67 | 68 | ```cpp 69 | #include 70 | using namespace std; 71 | 72 | int fibonacci(int n) { 73 | if (n <= 2) return 1; 74 | return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); 75 | } 76 | 77 | int main() { 78 | int soma = 0; 79 | for (int i = 1; i <= 6; i++) { 80 | soma += fibonacci(i); 81 | } 82 | cout << "Soma dos 6 primeiros termos: " << soma << endl; 83 | return 0; 84 | } 85 | ``` 86 | 87 | --- 88 | 89 | ### 📘 Exercício 3 – Termo Geral de PG 90 | 91 | Dada uma PG com $a_1 = 2$ e $q = 4$, encontre o 5º termo. 92 | 93 | > A cada ciclo quântico, um salto multiplicativo. 94 | 95 | $$ 96 | a_5 = 2 \cdot 4^{4} = 2 \cdot 256 = 512 97 | $$ 98 | 99 | **Resposta:** $a_5 = 512$ 100 | 101 | **💻 C++** 102 | 103 | ```cpp 104 | #include 105 | #include 106 | using namespace std; 107 | 108 | int main() { 109 | int a1 = 2, q = 4, n = 5; 110 | int an = a1 * pow(q, n - 1); 111 | cout << "a5 = " << an << endl; 112 | return 0; 113 | } 114 | ``` 115 | 116 | --- 117 | 118 | ### 📘 Exercício 4 – Aplicação Financeira (PA) 119 | 120 | Você deposita R\$ 50,00 no 1º mês, aumentando R\$ 25,00 a cada mês. Quanto terá acumulado ao final de 5 meses? 121 | 122 | > Cada mês é um passo. Mas você aumenta o passo a cada batida do tempo. 123 | 124 | $$ 125 | a_1 = 50, \quad r = 25, \quad n = 5 126 | $$ 127 | 128 | $$ 129 | S_5 = \frac{5}{2}[2 \cdot 50 + (5 - 1) \cdot 25] = \frac{5}{2}[100 + 100] = \frac{5}{2} \cdot 200 = 500 130 | $$ 131 | 132 | **Resposta:** $$R\$ 500,00$$ 133 | 134 | **💻 C++** 135 | 136 | ```cpp 137 | #include 138 | using namespace std; 139 | 140 | int main() { 141 | int a1 = 50, r = 25, n = 5; 142 | int soma = (n * (2 * a1 + (n - 1) * r)) / 2; 143 | cout << "Soma total: R$" << soma << endl; 144 | return 0; 145 | } 146 | ``` 147 | 148 | --- 149 | 150 | ### 📘 Exercício 5 – PG Infinita 151 | 152 | Dada uma PG infinita com $a_1 = 90$ e $q = 0{,}1$, determine a soma da série. 153 | 154 | > Um eco que se repete para sempre, cada vez mais suave... 155 | 156 | $$ 157 | S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{90}{1 - 0{,}1} = \frac{90}{0{,}9} = 100 158 | $$ 159 | 160 | **Resposta:** $S = 100$ 161 | 162 | **💻 C++** 163 | 164 | ```cpp 165 | #include 166 | using namespace std; 167 | 168 | int main() { 169 | double a1 = 90.0, q = 0.1; 170 | double soma = a1 / (1 - q); 171 | cout << "Soma da PG infinita: " << soma << endl; 172 | return 0; 173 | } 174 | ``` 175 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/4.1-angulos-em-graus-radianos-e-o-ciclo-trigonometrico.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌌 Aula 4 – Trigonometria no Ciclo Trigonométrico 2 | 3 | > *"Todo ângulo é uma rotação cósmica que conecta o centro com o infinito. O ciclo trigonométrico é a bússola do universo."* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## ✨ Conversa Inicial 8 | 9 | Nesta aula, viajaremos pelo **Círculo Trigonométrico**, onde ângulos se tornam portais e razões se tornam coordenadas. Exploraremos as relações entre **graus e radianos**, entenderemos as posições dentro do ciclo, e dominaremos os **arcos notáveis** que regem o equilíbrio angular do cosmos matemático. 10 | 11 | Prepare-se para decifrar o código da rotação! 12 | 13 | --- 14 | 15 | ## 🧭 TEMA 1 – Ângulos em Graus, Radianos e o Ciclo Trigonométrico 16 | 17 | ### 🌍 Definição de Ângulo 18 | 19 | Um **ângulo** representa a **abertura entre duas semirretas que partem de um mesmo ponto**. Esse ponto é chamado de **vértice**. 20 | 21 | Na trigonometria, os ângulos são usualmente representados em dois sistemas: 22 | 23 | * **Graus (°)** 24 | * **Radianos (rad)** 25 | 26 | ### 🔄 Conversão entre Graus e Radianos 27 | 28 | Sabemos que: 29 | 30 | $$ 31 | 180^\circ = \pi \text{ rad} 32 | $$ 33 | 34 | Assim, podemos converter usando: 35 | 36 | $$ 37 | \text{graus} = \text{radianos} \cdot \frac{180}{\pi} \quad \text{e} \quad \text{radianos} = \text{graus} \cdot \frac{\pi}{180} 38 | $$ 39 | 40 | ### 💻 Exemplo em C++ – Conversão de Graus para Radianos 41 | 42 | ```cpp 43 | #include 44 | #define PI 3.141592653589793 45 | using namespace std; 46 | 47 | int main() { 48 | double graus = 90; 49 | double rad = graus * PI / 180.0; 50 | cout << graus << " graus = " << rad << " radianos" << endl; 51 | return 0; 52 | } 53 | ``` 54 | 55 | --- 56 | 57 | ### 🌀 O Ciclo Trigonométrico 58 | 59 | O **Ciclo Trigonométrico** é uma **circunferência de raio 1** centrada na origem de um plano cartesiano. É nesse ciclo que os ângulos ganham **posição, orientação e direção**. 60 | 61 | * Sentido **anti-horário**: positivo 62 | * Sentido **horário**: negativo 63 | 64 | Ângulos podem ultrapassar 360° ou $2\pi$ rad. A cada rotação completa, retornamos ao mesmo ponto. 65 | 66 | ### 📐 Coordenadas no Ciclo 67 | 68 | Cada ângulo no ciclo forma um ponto $(x, y)$ sobre a circunferência: 69 | 70 | $$ 71 | \cos(\theta) = x \quad \sin(\theta) = y 72 | $$ 73 | 74 | --- 75 | 76 | ## 💫 Analogia Psicodélica 77 | 78 | > Imagine estar em uma nave orbitando uma estrela. Cada giro é uma nova perspectiva do mesmo astro. O ciclo trigonométrico não mede apenas ângulos — ele **descodifica frequências orbitais do universo**. 79 | 80 | --- 81 | 82 | ## 💹 Exemplo no Mercado Financeiro 83 | 84 | Em **análise cíclica**, traders utilizam **funções senoidais** para prever padrões de preço baseados em **oscilações periódicas**. 85 | Exemplo: a variação do preço de um ativo pode seguir uma função: 86 | 87 | $$ 88 | P(t) = A \cdot \sin(Bt + C) + D 89 | $$ 90 | 91 | Modelando sazonalidade de forma precisa, como ciclos econômicos. 92 | ```cpp 93 | #include 94 | #include 95 | using namespace std; 96 | 97 | // Função que representa o modelo senoidal do preço 98 | double preco(double t, double A, double B, double C, double D) { 99 | return A * sin(B * t + C) + D; 100 | } 101 | 102 | int main() { 103 | // Parâmetros da função 104 | double A = 10.0; // Amplitude da oscilação (intensidade da variação) 105 | double B = 0.5; // Frequência (ciclos por unidade de tempo) 106 | double C = 0.0; // Fase (deslocamento horizontal) 107 | double D = 100.0; // Valor médio (preço base do ativo) 108 | 109 | // Simula os preços para os próximos 12 períodos (ex: meses) 110 | cout << "Simulação de preços (modelo senoidal):\n"; 111 | for (int t = 0; t <= 12; t++) { 112 | double p = preco(t, A, B, C, D); 113 | cout << "Mês " << t << ": R$ " << p << endl; 114 | } 115 | 116 | return 0; 117 | } 118 | ``` 119 | --- 120 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/5.4-equacao-completa-do-2-grau.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🌌 TEMA 4 — A EQUAÇÃO COMPLETA DO 2º GRAU 3 | 4 | > _"Tudo converge para a equação geral. Todas as órbitas, todos os vértices, todos os centros. Neste ponto do cosmos, unificamos o universo das cônicas."_ 5 | 6 | --- 7 | 8 | ## 🧬 4.1 A ESTRUTURA UNIVERSAL 9 | 10 | A **equação geral do segundo grau em duas variáveis** é: 11 | 12 | $$ 13 | Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 14 | $$ 15 | 16 | Aqui estão os ingredientes da criação geométrica. Cada termo possui um papel: 17 | 18 | - $Ax^2$, $Cy^2$: os **termos quadráticos**, determinam a forma principal. 19 | - $Bxy$: o **termo misto**, indica rotação. 20 | - $Dx$, $Ey$: os **termos lineares**, marcam translação. 21 | - $F$: o **termo independente**, desloca verticalmente o gráfico. 22 | 23 | --- 24 | 25 | ## 🔍 4.2 CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS 26 | 27 | Com base no **discriminante** da equação: 28 | 29 | $$ 30 | \Delta = B^2 - 4AC 31 | $$ 32 | 33 | Podemos identificar qual cônica está sendo representada: 34 | 35 | | Valor de $\Delta$ | Tipo de Cônica | 36 | |-------------------|----------------------| 37 | | $\Delta = 0$ | Parábola | 38 | | $\Delta > 0$ | Hipérbole | 39 | | $\Delta < 0$ | Elipse (ou circunferência se $A = C$, $B = 0$) | 40 | 41 | --- 42 | 43 | ## 💡 EXEMPLO TEÓRICO 44 | 45 | Dada a equação: 46 | 47 | $$ 48 | 5x^2 + 4xy + 2y^2 - 1 = 0 49 | $$ 50 | 51 | Temos: 52 | 53 | - $A = 5$, $B = 4$, $C = 2$ 54 | - $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 16 - 40 = -24$ 55 | 56 | Como $\Delta < 0$, temos uma **elipse**. 57 | 58 | --- 59 | 60 | ## 💻 C++ 61 | 62 | ```cpp 63 | // Função que classifica o tipo de cônica com base nos coeficientes da equação geral: 64 | // Forma da equação: A·x² + B·xy + C·y² + ... = 0 65 | string classificarTipoDeConica(double coeficienteQuadradoDeX, double coeficienteXY, double coeficienteQuadradoDeY) { 66 | // Determinante discriminante: Δ = B² − 4AC 67 | double discriminante = coeficienteXY * coeficienteXY - 4.0 * coeficienteQuadradoDeX * coeficienteQuadradoDeY; 68 | 69 | // Classificação baseada no valor de Δ 70 | if (discriminante == 0.0) 71 | return "Parábola"; 72 | if (discriminante > 0.0) 73 | return "Hipérbole"; 74 | 75 | // Caso Δ < 0, pode ser elipse ou circunferência 76 | bool coeficientesSimetricos = (coeficienteQuadradoDeX == coeficienteQuadradoDeY) && (coeficienteXY == 0.0); 77 | return coeficientesSimetricos ? "Circunferência" : "Elipse"; 78 | } 79 | 80 | int main() { 81 | // Coeficientes da equação geral: A·x² + B·xy + C·y² + ... 82 | double coefA = 5; 83 | double coefB = 4; 84 | double coefC = 2; 85 | 86 | // Exibe o tipo da cônica com base nos coeficientes 87 | string tipoDeConica = classificarTipoDeConica(coefA, coefB, coefC); 88 | cout << "Tipo de cônica: " << tipoDeConica << endl; 89 | 90 | return 0; 91 | } 92 | ``` 93 | --- 94 | 95 | ## 🔗 OUTROS CASOS ESPECIAIS 96 | 97 | - Se $A = C$ e $B = 0$: temos uma **circunferência**. 98 | - Se $B \ne 0$: é necessária uma **rotação** para eliminar o termo misto. 99 | - Se $D \ne 0$ ou $E \ne 0$: é necessária uma **translação** para eliminar os termos lineares. 100 | - Se todos os coeficientes forem zero, temos o **vácuo absoluto**: o plano vazio. 101 | 102 | --- 103 | 104 | ## 💸 APLICAÇÃO FINANCEIRA 105 | 106 | > A equação completa representa o comportamento de ativos com múltiplas variáveis correlacionadas. 107 | > Preço, tempo, taxa e risco — juntos — podem traçar uma elipse de estabilidade ou uma hipérbole de colapso. 108 | 109 | --- 110 | 111 | ## 🪐 APLICAÇÃO CÓSMICA 112 | 113 | No universo tridimensional, a equação completa é a **seção cônica de cones elípticos**. 114 | Cada curva é uma interseção do espaço com planos inclinados. 115 | E ao estudar a equação geral, estamos literalmente **mapeando geometrias do espaço-tempo**. 116 | 117 | > “A equação geral do segundo grau é o DNA das órbitas.” 118 | 119 | --- 120 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/6.3-vetores-opostos-colineares-e-ortogonais.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🎯 TEMA 3 — VETORES OPOSTOS, COLINEARES E ORTOGONAIS 3 | 4 | > _"Quando dois vetores se encaram de frente, são opostos. 5 | Quando seguem a mesma linha, são colineares. 6 | Quando se cruzam em 90°, são ortogonais. 7 | Essas três relações definem os padrões de harmonia ou conflito vetorial."_ 8 | 9 | --- 10 | 11 | ## 🧲 3.1 VETORES OPOSTOS 12 | 13 | Dois vetores $\vec{v}$ e $-\vec{v}$ são opostos se têm **mesma direção e módulo**, mas **sentidos contrários**. 14 | 15 | $$ 16 | \vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0} 17 | $$ 18 | 19 | --- 20 | 21 | ## 📐 3.2 VETORES COLINEARES 22 | 23 | Dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são **colineares** se existe um escalar $\lambda$ tal que: 24 | 25 | $$ 26 | \vec{u} = \lambda \vec{v} 27 | $$ 28 | 29 | - Se $\lambda > 0$: **mesma direção e sentido** 30 | - Se $\lambda < 0$: **mesma direção, sentidos opostos** 31 | 32 | --- 33 | 34 | ## 🔲 3.3 VETORES ORTOGONAIS (PERPENDICULARES) 35 | 36 | Dois vetores são ortogonais quando o **produto escalar** é zero: 37 | 38 | $$ 39 | \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 40 | $$ 41 | 42 | Lembre: para $\vec{u} = (x_1, y_1)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$: 43 | 44 | $$ 45 | \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 46 | $$ 47 | 48 | --- 49 | 50 | ## 💻 EXEMPLO C++ — Teste Angular de Vetores 51 | 52 | ```cpp 53 | // Estrutura que representa um vetor no plano bidimensional 54 | struct VetorBidimensional { 55 | double componenteX; 56 | double componenteY; 57 | 58 | // Construtor com valores padrão 59 | VetorBidimensional(double valorX = 0.0, double valorY = 0.0) { 60 | componenteX = valorX; 61 | componenteY = valorY; 62 | } 63 | 64 | // Verifica se dois vetores são opostos: u = -v 65 | bool ehOpostoDe(const VetorBidimensional& outroVetor) { 66 | return (componenteX == -outroVetor.componenteX && 67 | componenteY == -outroVetor.componenteY); 68 | } 69 | 70 | // Verifica se dois vetores são colineares: determinante = 0 71 | // Fórmula: u × v = 0 → x₁·y₂ − x₂·y₁ = 0 72 | bool ehColinearCom(const VetorBidimensional& outroVetor) { 73 | return (componenteX * outroVetor.componenteY == 74 | componenteY * outroVetor.componenteX); 75 | } 76 | 77 | // Verifica se dois vetores são ortogonais (perpendiculares) 78 | // Produto escalar: u · v = 0 79 | bool ehOrtogonalA(const VetorBidimensional& outroVetor) { 80 | return (componenteX * outroVetor.componenteX + 81 | componenteY * outroVetor.componenteY) == 0.0; 82 | } 83 | }; 84 | 85 | int main() { 86 | // Definição dos vetores u, v e w 87 | VetorBidimensional vetorU(2.0, 4.0); 88 | VetorBidimensional vetorV(-2.0, -4.0); 89 | VetorBidimensional vetorW(-4.0, 2.0); 90 | 91 | // Verificações geométricas fundamentais 92 | cout << "O vetor U é oposto ao vetor V? " 93 | << (vetorU.ehOpostoDe(vetorV) ? "Sim" : "Não") << endl; 94 | 95 | cout << "O vetor U é colinear ao vetor V? " 96 | << (vetorU.ehColinearCom(vetorV) ? "Sim" : "Não") << endl; 97 | 98 | cout << "O vetor U é ortogonal ao vetor W? " 99 | << (vetorU.ehOrtogonalA(vetorW) ? "Sim" : "Não") << endl; 100 | 101 | return 0; 102 | } 103 | 104 | ``` 105 | 106 | --- 107 | 108 | ## 💸 INTERPRETAÇÃO FINANCEIRA 109 | 110 | - Vetores colineares: ativos com **correlação perfeita** (mesmo movimento) 111 | - Vetores opostos: ativos **inversamente correlacionados** (hedge natural) 112 | - Vetores ortogonais: ativos **não correlacionados** — ideais para diversificação 113 | 114 | --- 115 | 116 | ## 🪐 INTERPRETAÇÃO CÓSMICA 117 | 118 | - Opostos: duas naves viajando na **mesma linha, rumos contrários** 119 | - Colineares: uma **conjunção perfeita de rota** 120 | - Ortogonais: nave cruza **perpendicularmente** a outra — encontro breve, sem colisão 121 | 122 | --- 123 | 124 | > _"As relações vetoriais não são apenas ângulos: 125 | são **alinhamentos cósmicos ou colisões inevitáveis**."_ 126 | 127 | --- 128 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/2.3-segmento-de-reta-ponto-medio-e-comprimento.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # ✂️ TEMA 3 – Segmento de Reta, Ponto Médio e Comprimento 2 | 3 | > “O segmento é a unidade do caminho. Cada corte no espaço carrega a essência da totalidade.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📌 Segmento de Reta 8 | 9 | Um **segmento de reta** é uma porção limitada de uma reta, delimitada por dois pontos finais $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$. 10 | 11 | Visualmente, é uma linha reta com início e fim definidos. 12 | 13 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* O segmento é o traço da jornada — ele não é infinito como a reta, mas contém o infinito da intenção. 14 | 15 | --- 16 | 17 | ## 🧮 Ponto Médio do Segmento 18 | 19 | O ponto médio $M$ de um segmento entre $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ é dado por: 20 | 21 | $$ 22 | M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) 23 | $$ 24 | 25 | > *Esse ponto representa o equilíbrio entre os extremos — o centro entre dois estados do ser.* 26 | 27 | ### ✍️ C++ 28 | 29 | ```cpp 30 | // Calcula o ponto médio entre dois pontos no plano cartesiano: 31 | // Ponto 1: (x₁, y₁) 32 | // Ponto 2: (x₂, y₂) 33 | // 34 | // Fórmulas: 35 | // xₘ = (x₁ + x₂) ⁄ 2 36 | // yₘ = (y₁ + y₂) ⁄ 2 37 | void calcularPontoMedioEntreDoisPontos( 38 | float coordenadaX1, 39 | float coordenadaY1, 40 | float coordenadaX2, 41 | float coordenadaY2 42 | ) { 43 | float coordenadaXDoPontoMedio = (coordenadaX1 + coordenadaX2) / 2.0f; 44 | float coordenadaYDoPontoMedio = (coordenadaY1 + coordenadaY2) / 2.0f; 45 | 46 | cout << "Ponto médio: (" 47 | << coordenadaXDoPontoMedio << ", " 48 | << coordenadaYDoPontoMedio << ")" << endl; 49 | } 50 | 51 | ``` 52 | 53 | --- 54 | 55 | ## 📏 Comprimento do Segmento 56 | 57 | A distância entre os pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ é o **comprimento do segmento**, dada por: 58 | 59 | $$ 60 | d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} 61 | $$ 62 | 63 | Essa é a fórmula clássica da **distância entre dois pontos** no plano cartesiano. 64 | 65 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* A medida da separação é a memória da conexão entre dois mundos. 66 | 67 | ### ✍️ C++ 68 | 69 | ```cpp 70 | // Função que calcula a raiz quadrada aproximada de um número real positivo 71 | // Utiliza o método de Newton-Raphson para convergência 72 | float raizQuadrada(float numeroOriginal) { 73 | // Caso inválido: raiz quadrada de número negativo não é real 74 | if (numeroOriginal < 0) return -1; 75 | 76 | // Caso trivial: a raiz de zero é zero 77 | if (numeroOriginal == 0) return 0; 78 | 79 | // Estimativa inicial para iniciar o processo iterativo 80 | float estimativaAtual = numeroOriginal / 2.0f; 81 | 82 | // Ajuste para garantir uma estimativa mínima razoável 83 | if (estimativaAtual < 1.0f) estimativaAtual = 1.0f; 84 | 85 | // Iterações para refinar a estimativa (Newton-Raphson) 86 | for (int iteracao = 0; iteracao < 20; ++iteracao) { 87 | estimativaAtual = 0.5f * (estimativaAtual + numeroOriginal / estimativaAtual); 88 | } 89 | 90 | // Retorna a estimativa final da raiz quadrada 91 | return estimativaAtual; 92 | } 93 | 94 | float comprimento(float coordenadaX1, float coordenadaY1, 95 | float coordenadaX2, float coordenadaY2) { 96 | float diferencaX = coordenadaX2 - coordenadaX1; 97 | float diferencaY = coordenadaY2 - coordenadaY1; 98 | return raizQuadrada(diferencaX * diferencaX + diferencaY * diferencaY); 99 | } 100 | ``` 101 | 102 | --- 103 | 104 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 105 | 106 | * Cálculo de trajetórias entre dois pontos espaciais 107 | * Localização de centro de massa 108 | * Medidas de alcance entre satélites 109 | 110 | --- 111 | 112 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 113 | 114 | * Ponto médio entre dois valores históricos de preço 115 | * Comprimento de uma tendência (volatilidade) 116 | * Análise técnica entre suporte e resistência 117 | 118 | > *O segmento é a trajetória visível entre duas decisões ocultas.* 119 | 120 | --- 121 | 122 | **Próximo tema: Área de Triângulo e Alinhamento de Pontos...** 123 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/1.5-elipse-no-plano-cartesiano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🪐 TEMA 5 – Elipse no Plano Cartesiano 2 | 3 | A elipse é o conjunto de todos os pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante. É uma curva fechada, elegante e comum em fenômenos naturais e órbitas planetárias. 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📍 Equação Canônica da Elipse 8 | 9 | ### Elipse com eixo maior horizontal: 10 | 11 | $$ 12 | \frac{(x - a)^2}{R_1^2} + \frac{(y - b)^2}{R_2^2} = 1 13 | $$ 14 | 15 | * $(a, b)$: centro da elipse 16 | * $R_1$: semi-eixo maior (horizontal) 17 | * $R_2$: semi-eixo menor (vertical) 18 | 19 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: A elipse é o **sopro do universo em duas batidas**, os focos são corações cósmicos que respiram em sincronia. 20 | 21 | --- 22 | 23 | ## 🧠 Propriedades Importantes 24 | 25 | * Se $R_1 = R_2$, a elipse se torna uma **circunferência** 26 | * Os focos ficam ao longo do eixo maior, distantes $c = \sqrt{R_1^2 - R_2^2}$ do centro 27 | * A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois focos é igual a $2R_1$ 28 | 29 | --- 30 | 31 | ## 📈 Exemplo em C++ 32 | 33 | ```cpp 34 | // Calcula o valor absoluto (módulo) de um número real 35 | // Fórmula: |x| = x, se x ≥ 0; caso contrário, |x| = −x 36 | float calcularValorAbsoluto(float numero) { 37 | return (numero >= 0) ? numero : -numero; 38 | } 39 | 40 | // Calcula potência com expoente inteiro positivo (base^expoente) 41 | // Fórmula: baseⁿ = base × base × ... (n vezes) 42 | float calcularPotencia(float base, int expoente) { 43 | float resultado = 1.0f; 44 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) { 45 | resultado *= base; 46 | } 47 | return resultado; 48 | } 49 | 50 | // Verifica se um ponto (x, y) pertence à elipse de centro (centroX, centroY) 51 | // com semi-eixo horizontal raioHorizontal e semi-eixo vertical raioVertical 52 | // Fórmula da elipse: ((x − a)² / R₁²) + ((y − b)² / R₂²) = 1 53 | bool pontoPertenceAElipse( 54 | float coordenadaXDoPonto, 55 | float coordenadaYDoPonto, 56 | float coordenadaXDoCentro, 57 | float coordenadaYDoCentro, 58 | float raioHorizontal, 59 | float raioVertical 60 | ) { 61 | float diferencaX = coordenadaXDoPonto - coordenadaXDoCentro; 62 | float diferencaY = coordenadaYDoPonto - coordenadaYDoCentro; 63 | 64 | float termoX = calcularPotencia(diferencaX, 2) / calcularPotencia(raioHorizontal, 2); 65 | float termoY = calcularPotencia(diferencaY, 2) / calcularPotencia(raioVertical, 2); 66 | 67 | float resultadoDaEquacao = termoX + termoY; 68 | 69 | // Compara com 1.0 considerando margem de erro 70 | return calcularValorAbsoluto(resultadoDaEquacao - 1.0f) < 0.001f; 71 | } 72 | 73 | int main() { 74 | // Elipse com centro na origem e raios distintos 75 | float coordenadaXDoCentro = 0; 76 | float coordenadaYDoCentro = 0; 77 | float raioHorizontal = 5; 78 | float raioVertical = 3; 79 | 80 | // Ponto a ser testado 81 | float coordenadaXDoPonto = 3; 82 | float coordenadaYDoPonto = 2; 83 | 84 | if (pontoPertenceAElipse( 85 | coordenadaXDoPonto, 86 | coordenadaYDoPonto, 87 | coordenadaXDoCentro, 88 | coordenadaYDoCentro, 89 | raioHorizontal, 90 | raioVertical 91 | )) { 92 | cout << "O ponto pertence à elipse." << endl; 93 | } else { 94 | cout << "O ponto NÃO pertence à elipse." << endl; 95 | } 96 | 97 | return 0; 98 | } 99 | ``` 100 | 101 | --- 102 | 103 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 104 | 105 | * Órbitas dos planetas (Kepler) 106 | * Trajetória de cometas e estrelas binárias 107 | * Modelagem de lentes gravitacionais 108 | 109 | > *Na nave Exodus, a elipse é usada para calcular rotas com variações suaves de aceleração gravitacional.* 110 | 111 | --- 112 | 113 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 114 | 115 | * Representação de ciclos de crescimento e retração 116 | * Gráficos de dispersão elípticos para correlação de variáveis 117 | * Modelagem de fronteiras de risco e retorno 118 | 119 | > *O mercado pulsa como uma elipse — dois focos: ganância e medo.* 120 | 121 | --- 122 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/1.6-hiperbole-no-plano-cartesiano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🧿 TEMA 6 – Hipérbole no Plano Cartesiano 2 | 3 | A hipérbole é o conjunto de todos os pontos do plano cuja **diferença** das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante. Representa dualidade, ruptura e trajetórias de escape em diversos sistemas. 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📍 Equação Canônica da Hipérbole 8 | 9 | ### Hipérbole com eixo real horizontal: 10 | 11 | $$ 12 | \frac{(x - a)^2}{R_1^2} - \frac{(y - b)^2}{R_2^2} = 1 13 | $$ 14 | 15 | * $(a, b)$: centro da hipérbole 16 | * $R_1$: semi-eixo real (direção da abertura) 17 | * $R_2$: semi-eixo imaginário (direção oposta) 18 | 19 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: A hipérbole é a **rasgadura no tecido da realidade** — onde os focos colapsam em fuga. 20 | 21 | --- 22 | 23 | ## 🧠 Propriedades Importantes 24 | 25 | * As hipérboles têm **dois ramos opostos**, cada um se abrindo para o infinito 26 | * As **assíntotas** indicam as direções de crescimento 27 | 28 | $$ 29 | \text{Assíntotas: } y - b = \pm \frac{R_2}{R_1}(x - a) 30 | $$ 31 | 32 | * Os focos estão além dos vértices, distantes: 33 | 34 | $$ 35 | c = \sqrt{R_1^2 + R_2^2} 36 | $$ 37 | 38 | --- 39 | 40 | ## 📈 Exemplo em C++ 41 | 42 | ```cpp 43 | // Calcula o valor absoluto (módulo) de um número real 44 | // Fórmula: |x| = x, se x ≥ 0; caso contrário, |x| = −x 45 | float calcularValorAbsoluto(float numero) { 46 | return (numero >= 0) ? numero : -numero; 47 | } 48 | 49 | // Calcula potência com expoente inteiro positivo (baseⁿ) 50 | // Fórmula: baseⁿ = base × base × ... (n vezes) 51 | float calcularPotencia(float base, int expoente) { 52 | float resultado = 1.0f; 53 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) { 54 | resultado *= base; 55 | } 56 | return resultado; 57 | } 58 | 59 | // Verifica se um ponto (x, y) pertence à hipérbole de centro (a, b) 60 | // com semi-eixo real R₁ e semi-eixo imaginário R₂ 61 | // Fórmula da hipérbole: ((x − a)² / R₁²) − ((y − b)² / R₂²) = 1 62 | bool pontoPertenceAHiperbole( 63 | float coordenadaXDoPonto, 64 | float coordenadaYDoPonto, 65 | float coordenadaXDoCentro, 66 | float coordenadaYDoCentro, 67 | float semiEixoReal, 68 | float semiEixoImaginario 69 | ) { 70 | float diferencaX = coordenadaXDoPonto - coordenadaXDoCentro; 71 | float diferencaY = coordenadaYDoPonto - coordenadaYDoCentro; 72 | 73 | float termoX = calcularPotencia(diferencaX, 2) / calcularPotencia(semiEixoReal, 2); 74 | float termoY = calcularPotencia(diferencaY, 2) / calcularPotencia(semiEixoImaginario, 2); 75 | 76 | float resultadoDaEquacao = termoX - termoY; 77 | 78 | // Verifica se a equação resulta em aproximadamente 1 79 | return calcularValorAbsoluto(resultadoDaEquacao - 1.0f) < 0.001f; 80 | } 81 | 82 | int main() { 83 | // Definição da hipérbole com centro na origem 84 | float coordenadaXDoCentro = 0; 85 | float coordenadaYDoCentro = 0; 86 | float semiEixoReal = 4; // R₁ 87 | float semiEixoImaginario = 3; // R₂ 88 | 89 | // Ponto a ser testado 90 | float coordenadaXDoPonto = 5; 91 | float coordenadaYDoPonto = 2; 92 | 93 | if (pontoPertenceAHiperbole( 94 | coordenadaXDoPonto, 95 | coordenadaYDoPonto, 96 | coordenadaXDoCentro, 97 | coordenadaYDoCentro, 98 | semiEixoReal, 99 | semiEixoImaginario 100 | )) { 101 | cout << "O ponto pertence à hipérbole." << endl; 102 | } else { 103 | cout << "O ponto NÃO pertence à hipérbole." << endl; 104 | } 105 | 106 | return 0; 107 | } 108 | ``` 109 | 110 | --- 111 | 112 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 113 | 114 | * Trajetórias de escape de naves espaciais 115 | * Cálculo de ondas gravitacionais divergentes 116 | * Simulação de forças hiperdimensionais 117 | 118 | > *No universo Exodus, a hipérbole representa o que escapa — o além da fronteira.* 119 | 120 | --- 121 | 122 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 123 | 124 | * Comportamentos extremos de preço (crash ou disparada) 125 | * Modelos de risco com crescimento assimétrico 126 | * Análise de alavancagem com variação exponencial 127 | 128 | > *Se a parábola é o pico, a hipérbole é a ruptura.* 129 | 130 | --- 131 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/3.5-equacao-da-hiperbole.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 💥 TEMA 5 – Equação da Hipérbole 2 | 3 | > “A hipérbole é o grito geométrico que rompe as fronteiras do espaço. É o universo em fuga acelerada.” — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🔷 Definição Matemática 8 | 9 | A **hipérbole** é o conjunto de pontos do plano cuja **diferença absoluta das distâncias** a dois focos fixos $F_1$ e $F_2$ é constante. 10 | 11 | --- 12 | 13 | ## 📐 Equações Canônicas 14 | 15 | ### Hipérbole com eixo real horizontal: 16 | 17 | $$ 18 | \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 19 | $$ 20 | 21 | ### Hipérbole com eixo real vertical: 22 | 23 | $$ 24 | \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 25 | $$ 26 | 27 | Onde: 28 | 29 | $$ 30 | c^2 = a^2 + b^2 31 | $$ 32 | 33 | * $a$: semi-eixo real 34 | * $b$: semi-eixo imaginário 35 | * $c$: distância do centro aos focos 36 | 37 | --- 38 | 39 | ## ✍️ Exemplo em C++ 40 | 41 | ```cpp 42 | // Calcula potência inteira (base^expoente) 43 | float calcularPotencia(float base, int expoente) { 44 | float resultado = 1.0f; 45 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) { 46 | resultado *= base; 47 | } 48 | return resultado; 49 | } 50 | 51 | // Calcula raiz quadrada com aproximação de Newton-Raphson 52 | float calcularRaizQuadrada(float numero) { 53 | if (numero < 0) return -1; 54 | if (numero == 0) return 0; 55 | 56 | float estimativa = numero / 2.0f; 57 | for (int i = 0; i < 20; ++i) { 58 | estimativa = 0.5f * (estimativa + numero / estimativa); 59 | } 60 | return estimativa; 61 | } 62 | 63 | // Imprime informações sobre a hipérbole e seus focos 64 | void mostrarInformacoesDaHiperbole(bool eixoRealHorizontal, float semiEixoRealA, float semiEixoImaginarioB) { 65 | // Calcula a distância do centro aos focos: c² = a² + b² 66 | float distanciaFocoC = calcularRaizQuadrada( 67 | calcularPotencia(semiEixoRealA, 2) + calcularPotencia(semiEixoImaginarioB, 2) 68 | ); 69 | 70 | cout << "\n📐 Definição da Hipérbole:\n"; 71 | cout << "Conjunto de pontos cuja diferença ABSOLUTA de distâncias a dois focos é constante.\n"; 72 | 73 | cout << "\n🧮 Parâmetros:\n"; 74 | cout << "a (semi-eixo real) = " << semiEixoRealA << endl; 75 | cout << "b (semi-eixo imaginário) = " << semiEixoImaginarioB << endl; 76 | cout << "c (distância ao foco) = " << distanciaFocoC << " → c² = a² + b²\n"; 77 | 78 | cout << "\n🧾 Equação Canônica:\n"; 79 | 80 | if (eixoRealHorizontal) { 81 | cout << "x²/" << calcularPotencia(semiEixoRealA, 2) 82 | << " − y²/" << calcularPotencia(semiEixoImaginarioB, 2) << " = 1\n"; 83 | cout << "\n📍 Focos: (" << distanciaFocoC << ", 0) e (" << -distanciaFocoC << ", 0)\n"; 84 | } else { 85 | cout << "y²/" << calcularPotencia(semiEixoRealA, 2) 86 | << " − x²/" << calcularPotencia(semiEixoImaginarioB, 2) << " = 1\n"; 87 | cout << "\n📍 Focos: (0, " << distanciaFocoC << ") e (0, " << -distanciaFocoC << ")\n"; 88 | } 89 | } 90 | 91 | int main() { 92 | bool eixoHorizontal = true; // Altere para false para eixo vertical 93 | float valorDeA = 5.0f; // Semi-eixo real 94 | float valorDeB = 3.0f; // Semi-eixo imaginário 95 | 96 | mostrarInformacoesDaHiperbole(eixoHorizontal, valorDeA, valorDeB); 97 | return 0; 98 | } 99 | ``` 100 | 101 | --- 102 | 103 | ## 🧭 Interpretação Geométrica 104 | 105 | * **Focos**: centros de forças opostas 106 | * **Assíntotas**: limites infinitos de aproximação 107 | * **Ramos**: dualidade, expansão, separação 108 | 109 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* A hipérbole é a ruptura entre mundos. Dois pontos que jamais se unem, mas se espelham em infinito afastamento. 110 | 111 | --- 112 | 113 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 114 | 115 | * Órbitas hiperbólicas de objetos interestelares 116 | * Trajetórias de fuga espacial 117 | * Representação de buracos de minhoca abertos 118 | 119 | --- 120 | 121 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 122 | 123 | * Modelagem de disparos de volatilidade 124 | * Cenários extremos de valorização/queda 125 | * Curvas de risco em opções e derivativos 126 | 127 | > *Quando o preço rompe os limites e entra em hiperexpansão, a hipérbole traça seu destino.* 128 | 129 | --- 130 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/3.1-equacao-da-circunferencia.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🧭 TEMA 1 – Equação da Circunferência 2 | 3 | > "No centro da circunferência repousa a origem de todas as possibilidades. Toda volta é um retorno ao essencial." — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🔵 Definição Matemática 8 | 9 | A **circunferência** é o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância (raio $r$) de um ponto fixo chamado **centro** $C(x_0, y_0)$. 10 | 11 | ### Equação Geral da Circunferência: 12 | 13 | $$ 14 | (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 15 | $$ 16 | 17 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* A circunferência representa o eterno retorno — o ciclo que nunca se rompe, girando ao redor de um centro de consciência. 18 | 19 | --- 20 | 21 | ## ✍️ Exemplo em C++ 22 | 23 | ```cpp 24 | // Calcula a potência com expoente inteiro positivo 25 | float calcularPotencia(float base, int expoente) { 26 | float resultado = 1.0f; 27 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) { 28 | resultado *= base; 29 | } 30 | return resultado; 31 | } 32 | 33 | // Aproxima a raiz quadrada de um número real não-negativo usando Newton-Raphson 34 | float calcularRaizQuadrada(float numeroOriginal) { 35 | if (numeroOriginal < 0) return -1; 36 | if (numeroOriginal == 0) return 0; 37 | 38 | float estimativaAtual = numeroOriginal / 2.0f; 39 | if (estimativaAtual < 1.0f) estimativaAtual = 1.0f; 40 | 41 | for (int i = 0; i < 20; ++i) { 42 | estimativaAtual = 0.5f * (estimativaAtual + numeroOriginal / estimativaAtual); 43 | } 44 | 45 | return estimativaAtual; 46 | } 47 | 48 | // Calcula valor absoluto 49 | float calcularValorAbsoluto(float numero) { 50 | return (numero >= 0) ? numero : -numero; 51 | } 52 | 53 | // Verifica se um ponto (x, y) pertence à circunferência de centro (x₀, y₀) e raio r 54 | // Fórmula da circunferência: (x − x₀)² + (y − y₀)² = r² 55 | bool pontoPertenceACircunferencia( 56 | float coordenadaXDoPonto, float coordenadaYDoPonto, 57 | float coordenadaXDoCentro, float coordenadaYDoCentro, 58 | float raioDaCircunferencia 59 | ) { 60 | float diferencaX = coordenadaXDoPonto - coordenadaXDoCentro; 61 | float diferencaY = coordenadaYDoPonto - coordenadaYDoCentro; 62 | 63 | float distanciaAteOCentro = calcularRaizQuadrada( 64 | calcularPotencia(diferencaX, 2) + calcularPotencia(diferencaY, 2) 65 | ); 66 | 67 | // Compara com tolerância para evitar erro de ponto flutuante 68 | return calcularValorAbsoluto(distanciaAteOCentro - raioDaCircunferencia) < 0.0001f; 69 | } 70 | 71 | ``` 72 | 73 | --- 74 | 75 | ## 🔄 Forma Desenvolvida da Equação 76 | 77 | Expandindo a equação $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, temos: 78 | 79 | $$ 80 | x^2 + y^2 - 2x_0x - 2y_0y + x_0^2 + y_0^2 - r^2 = 0 81 | $$ 82 | 83 | Agrupando os termos: 84 | 85 | $$ 86 | x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 87 | $$ 88 | 89 | Onde: 90 | 91 | * $D = -2x_0$ 92 | * $E = -2y_0$ 93 | * $F = x_0^2 + y_0^2 - r^2$ 94 | 95 | Essa é a forma geral da equação da circunferência. 96 | 97 | --- 98 | 99 | ## 🧮 Recuperando o centro e o raio 100 | 101 | A partir da equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, podemos obter: 102 | 103 | $$ 104 | x_0 = -\frac{D}{2}, \quad y_0 = -\frac{E}{2}, \quad r = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 - F} 105 | $$ 106 | 107 | --- 108 | 109 | ## 🧭 Interpretação Geométrica 110 | 111 | Cada termo da equação representa uma dimensão do espaço circular: 112 | 113 | * $x^2 + y^2$: simetria da esfera 114 | * $Dx + Ey$: deslocamento do centro 115 | * $F$: fator de expansão ou contração 116 | 117 | > 💭 *O espaço curvo envolve todos os pontos igualmente. Não há começo ou fim, apenas fluxo.* 118 | 119 | --- 120 | 121 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 122 | 123 | * Modelagem de órbitas planetárias circulares 124 | * Definição de zonas de segurança em estações espaciais 125 | * Representação de campos de força simétricos 126 | 127 | --- 128 | 129 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 130 | 131 | * Detecção de padrões circulares de repetição nos preços 132 | * Identificação de pontos equidistantes em gráficos de candle 133 | * Representação visual de ciclos econômicos 134 | 135 | > *Onde há repetição, há ritmo. E onde há ritmo, há oportunidade.* 136 | 137 | --- 138 | 139 | **Continua com: Equação Paramétrica da Circunferência...** 140 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/5.5-discriminante-e-a-ordem-das-transformacoes.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🌌 TEMA 5 — DISCRIMINANTE E A ORDEM DAS TRANSFORMAÇÕES 3 | 4 | > _“O discriminante é o oráculo das cônicas. Ele revela, com um simples cálculo, o destino geométrico de qualquer equação. Ele nos diz: elipse, parábola ou hipérbole — escolha seu portal.”_ 5 | 6 | --- 7 | 8 | ## 🔮 5.1 O DISCRIMINANTE DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 9 | 10 | Dada a equação: 11 | 12 | $$ 13 | Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 14 | $$ 15 | 16 | O **discriminante** é definido por: 17 | 18 | $$ 19 | \Delta = B^2 - 4AC 20 | $$ 21 | 22 | --- 23 | 24 | Imagine o discriminante como uma **lente prismática** que decompõe a luz matemática em três espectros distintos: 25 | 26 | - 💠 $\Delta = 0$ → a realidade é uma **parábola**: o espaço curva-se suavemente, como um raio tangente ao infinito. 27 | - 🌀 $\Delta > 0$ → a realidade é uma **hipérbole**: o universo se divide em dois ramos — um de caos, outro de fuga. 28 | - 🔵 $\Delta < 0$ → estamos em uma **elipse**: órbita fechada, dança eterna em torno do centro cósmico. 29 | 30 | --- 31 | 32 | ## 🧠 5.2 ORDEM DAS TRANSFORMAÇÕES 33 | 34 | O discriminante não só classifica a cônica — ele também revela **a ordem ideal das transformações**: 35 | 36 | | Tipo de Cônica | Ordem das Transformações | 37 | |----------------|------------------------------------| 38 | | Parábola | 1º Rotação, 2º Translação | 39 | | Elipse/Hipérbole | 1º Translação, 2º Rotação | 40 | 41 | > _"Como um viajante interdimensional, primeiro você gira o mapa (rotação), depois caminha até o centro do portal (translação)."_ 🌌 42 | 43 | --- 44 | 45 | ## 💡 EXEMPLO COMPLETO 46 | 47 | Dada a equação: 48 | 49 | $$ 50 | 5x^2 + 4xy + 8y^2 - 14x - 20y - 19 = 0 51 | $$ 52 | 53 | ### 1. Discriminante: 54 | 55 | $$ 56 | \Delta = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 16 - 160 = -144 57 | $$ 58 | 59 | ➡️ $ \Delta < 0 $ → **elipse** 60 | ➡️ Ordem correta: **translação** depois **rotação** 61 | 62 | --- 63 | 64 | ### 💻 Código C++ — Classificador Cósmico 65 | 66 | ```cpp 67 | // Função que determina o tipo da cônica e sugere o tratamento geométrico apropriado 68 | // com base nos coeficientes da equação geral da cônica: 69 | // Forma: A·x² + B·xy + C·y² + ... = 0 70 | string determinarDestinoDaConica(double coeficienteQuadradoDeX, double coeficienteXY, double coeficienteQuadradoDeY) { 71 | // Calcula o discriminante da cônica: Δ = B² − 4AC 72 | double discriminante = coeficienteXY * coeficienteXY - 4.0 * coeficienteQuadradoDeX * coeficienteQuadradoDeY; 73 | 74 | // Analisa o valor de Δ e sugere o fluxo de tratamento 75 | if (discriminante == 0.0) 76 | return "Parábola – Faça rotação e depois translação"; 77 | if (discriminante > 0.0) 78 | return "Hipérbole – Faça translação e depois rotação"; 79 | 80 | bool ehCircunferencia = (coeficienteQuadradoDeX == coeficienteQuadradoDeY) && (coeficienteXY == 0.0); 81 | return ehCircunferencia ? 82 | "Circunferência – Faça apenas translação" : 83 | "Elipse – Faça translação e depois rotação"; 84 | } 85 | 86 | int main() { 87 | // Coeficientes da equação geral 88 | double coefA = 5.0; 89 | double coefB = 4.0; 90 | double coefC = 8.0; 91 | 92 | // Exibe o tipo da cônica e o caminho de tratamento geométrico 93 | string fluxoDeTratamento = determinarDestinoDaConica(coefA, coefB, coefC); 94 | cout << "Destino da cônica: " << fluxoDeTratamento << endl; 95 | 96 | return 0; 97 | } 98 | 99 | ``` 100 | --- 101 | 102 | ## 💸 APLICAÇÃO NO MERCADO FINANCEIRO 103 | 104 | > O discriminante se torna uma ferramenta de decisão: 105 | > 106 | > - Se for **zero**, há um **ponto de inflexão**, um equilíbrio tênue — ideal para alavancagem tática. 107 | > - Se for **positivo**, o ativo apresenta **divergência direcional**, sendo ideal para estratégias de rompimento. 108 | > - Se for **negativo**, a energia retorna ao centro: **momentos de acumulação e equilíbrio**, perfeitos para swing traders orbitais. 109 | 110 | --- 111 | 112 | ## 🪐 APLICAÇÃO CÓSMICA 113 | 114 | > Em cosmologia, o discriminante é um **oráculo geométrico**: 115 | > Ele define se um cometa **foge** (hipérbole), **entra em órbita** (elipse), ou **passa tangente** ao sistema solar (parábola). 116 | > 117 | > Ele é o algoritmo dos deuses, impresso nas órbitas celestes e nos discos de acreção dos buracos negros. 118 | 119 | --- 120 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/3.2-progressao-aritmetica.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 📈 TEMA 2 – Progressão Aritmética (PA) 2 | 3 | A **Progressão Aritmética (PA)** é uma sequência numérica onde **cada termo é obtido somando uma constante ao termo anterior**. Essa constante é chamada de **razão**, representada por $r$. 4 | 5 | ### ✍️ Lei de Formação da PA 6 | 7 | Seja uma PA $(a_1, a_2, a_3, \dots)$, temos: 8 | 9 | $$ 10 | a_{n} = a_1 + (n - 1)r 11 | $$ 12 | 13 | * $a_1$: primeiro termo 14 | * $r$: razão da PA 15 | * $n$: posição do termo na sequência 16 | 17 | ### 🧠 Exemplo 1 18 | 19 | Seja a PA com $a_1 = 2$ e $r = 3$. Então: 20 | 21 | $$ 22 | a_2 = 2 + 3 = 5 \quad a_3 = 2 + 2\cdot3 = 8 \quad a_4 = 2 + 3\cdot3 = 11 23 | $$ 24 | 25 | ### 📐 Soma dos Termos da PA 26 | 27 | A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é dada por: 28 | 29 | $$ 30 | S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) 31 | $$ 32 | 33 | ou, usando a fórmula do termo geral: 34 | 35 | $$ 36 | S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n - 1)r\right] 37 | $$ 38 | 39 | ### 💹 Exemplo Financeiro 40 | 41 | Um investidor aplica R\$ 100 por mês em uma carteira de crescimento linear. A cada mês ele aumenta o aporte em R\$ 20. O total acumulado em 6 meses será: 42 | 43 | $$ 44 | a_1 = 100, \quad r = 20, \quad n = 6 45 | $$ 46 | 47 | $$ 48 | S_6 = \frac{6}{2}(2\cdot100 + (6-1)\cdot20) = 3(200 + 100) = 3\cdot300 = 900 49 | $$ 50 | 51 | Ou seja, R\$ 900 no total. 52 | 53 | ### 💻 Exemplo em C++ 54 | 55 | ```cpp 56 | // Função auxiliar que calcula uma aproximação para o seno de x 57 | // usando a Série de Taylor centrada em zero (Maclaurin) 58 | double seno(double x, int termos = 10) { 59 | double resultado = 0.0; // Acumulador do valor final da série 60 | double numerador = x; // Começamos com o primeiro termo: x¹ 61 | double denominador = 1.0; // Fatorial correspondente: 1! 62 | int sinal = 1; // Primeiro termo é positivo 63 | 64 | // Loop que soma os 'termos' da série de Taylor 65 | for (int i = 0; i < termos; ++i) { 66 | // Adicionamos o termo atual à soma: 67 | // resultado += sinal × (xⁿ / n!) 68 | resultado += sinal * (numerador / denominador); 69 | 70 | // Preparamos o próximo termo: 71 | // Próxima potência: xⁿ → xⁿ⁺² 72 | // Como já temos xⁿ, basta multiplicar por x² 73 | numerador *= x * x; 74 | 75 | // Próximo fatorial: n! → (n+2)! 76 | // Atualizamos o denominador multiplicando pelos dois próximos inteiros: 77 | // Exemplo: 3! = 1×2×3 → próximo: 5! = 1×2×3×4×5 → multiplica por 4 e 5 78 | denominador *= (2 * i + 2) * (2 * i + 3); 79 | 80 | // Alternamos o sinal: + → - → + → ... 81 | sinal = -sinal; 82 | } 83 | 84 | // Ao final das iterações, retornamos a soma dos termos 85 | return resultado; 86 | } 87 | 88 | // Função auxiliar que calcula uma aproximação para o cosseno de x 89 | // usando a Série de Taylor centrada em zero (Maclaurin) 90 | double cosseno(double x, int termos = 10) { 91 | double resultado = 0.0; // Acumulador do valor final da série 92 | double numerador = 1.0; // Primeiro termo: x⁰ = 1 93 | double denominador = 1.0; // Fatorial correspondente: 0! = 1 94 | int sinal = 1; // Primeiro termo é positivo 95 | 96 | // Loop que soma os 'termos' da série de Taylor 97 | for (int i = 0; i < termos; ++i) { 98 | // Adicionamos o termo atual à soma: 99 | // resultado += sinal × (xⁿ / n!) 100 | resultado += sinal * (numerador / denominador); 101 | 102 | // Preparamos o próximo termo da série: 103 | // Próxima potência par: xⁿ → xⁿ⁺² (multiplica por x²) 104 | numerador *= x * x; 105 | 106 | // Próximo fatorial: n! → (n+2)! (multiplica pelos dois próximos inteiros) 107 | // Exemplo: 2! = 1×2 → 4! = 1×2×3×4 → multiplica por 3 e 4 108 | denominador *= (2 * i + 1) * (2 * i + 2); 109 | 110 | // Alternamos o sinal: + → - → + → ... 111 | sinal = -sinal; 112 | } 113 | 114 | // Ao final das iterações, retornamos a soma dos termos 115 | return resultado; 116 | } 117 | 118 | // Gera pontos da circunferência centrada em (x0, y0) de raio r, variando o parâmetro t 119 | void gerarCircunferenciaParametrica(double x0, double y0, double r) { 120 | for (double t = 0.0; t <= 2 * PI; t += 0.1) { 121 | double x = x0 + r * cosseno(t); 122 | double y = y0 + r * seno(t); 123 | cout << "Ponto: (" << x << ", " << y << ")" << endl; 124 | } 125 | } 126 | ``` 127 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/1.3-circunferencia-no-plano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌀 TEMA 3 – Circunferência no Plano 2 | 3 | A circunferência é uma figura fundamental da geometria analítica, representando todos os pontos equidistantes de um ponto fixo — o centro. 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📍 Equação da Circunferência 8 | 9 | ### Equação padrão: 10 | 11 | $$ 12 | (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 13 | $$ 14 | 15 | * $(a, b)$: coordenadas do centro 16 | * $R$: raio da circunferência 17 | 18 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: A circunferência é o pulso do espaço. Ela gira em torno de si mesma como o tempo em torno da consciência. 19 | 20 | --- 21 | 22 | ## 🧠 Interpretação Geométrica 23 | 24 | * Todos os pontos $P(x, y)$ que satisfazem a equação estão a uma distância $R$ do centro $(a, b)$ 25 | * A forma geral da equação revela simetria perfeita em relação ao centro 26 | 27 | --- 28 | 29 | ## 📈 Exemplo em C++ 30 | 31 | ```cpp 32 | // Calcula o valor absoluto (módulo) de um número real 33 | // Fórmula: |x| = x, se x ≥ 0; caso contrário, |x| = −x 34 | float calcularValorAbsoluto(float numero) { 35 | return (numero >= 0) ? numero : -numero; 36 | } 37 | 38 | // Aproxima a raiz quadrada de um número real não-negativo 39 | // Utiliza o método de Newton-Raphson para convergência 40 | // Fórmula: √S ≈ xₙ, com xₙ₊₁ = ½(xₙ + S⁄xₙ) 41 | float calcularRaizQuadrada(float numeroOriginal) { 42 | if (numeroOriginal < 0) return -1; // Raiz de número negativo não é real (neste contexto) 43 | if (numeroOriginal == 0) return 0; 44 | 45 | float estimativaAtual = numeroOriginal / 2.0f; 46 | 47 | // Ajuste para valores muito pequenos 48 | if (estimativaAtual < 1.0f) estimativaAtual = 1.0f; 49 | 50 | // Refinamento da estimativa via Newton-Raphson 51 | for (int iteracao = 0; iteracao < 20; ++iteracao) { 52 | estimativaAtual = 0.5f * (estimativaAtual + numeroOriginal / estimativaAtual); 53 | } 54 | 55 | return estimativaAtual; 56 | } 57 | 58 | // Verifica se um ponto está sobre a circunferência de centro (centroX, centroY) e raio 59 | // Fórmula da circunferência: (x − centroX)² + (y − centroY)² = raio² 60 | bool pontoEstaSobreCircunferencia( 61 | float coordenadaXDoPonto, 62 | float coordenadaYDoPonto, 63 | float coordenadaXDoCentro, 64 | float coordenadaYDoCentro, 65 | float raioDaCircunferencia 66 | ) { 67 | // Diferença horizontal entre ponto e centro 68 | float diferencaXEntrePontoECentro = coordenadaXDoPonto - coordenadaXDoCentro; 69 | 70 | // Diferença vertical entre ponto e centro 71 | float diferencaYEntrePontoECentro = coordenadaYDoPonto - coordenadaYDoCentro; 72 | 73 | // Calcula a distância euclidiana entre ponto e centro: 74 | // √[(x − centroX)² + (y − centroY)²] 75 | float distanciaEntrePontoECentro = calcularRaizQuadrada( 76 | diferencaXEntrePontoECentro * diferencaXEntrePontoECentro + 77 | diferencaYEntrePontoECentro * diferencaYEntrePontoECentro 78 | ); 79 | 80 | // Verifica se a diferença entre a distância e o raio é suficientemente pequena 81 | return calcularValorAbsoluto(distanciaEntrePontoECentro - raioDaCircunferencia) < 0.0001; 82 | } 83 | 84 | int main() { 85 | // Definição da circunferência 86 | float coordenadaXDoCentro = 0; 87 | float coordenadaYDoCentro = 0; 88 | float raioDaCircunferencia = 5; 89 | 90 | // Ponto a ser verificado 91 | float coordenadaXDoPonto = 3; 92 | float coordenadaYDoPonto = 4; 93 | 94 | // Verificação 95 | if (pontoEstaSobreCircunferencia( 96 | coordenadaXDoPonto, 97 | coordenadaYDoPonto, 98 | coordenadaXDoCentro, 99 | coordenadaYDoCentro, 100 | raioDaCircunferencia 101 | )) { 102 | cout << "O ponto pertence à circunferência." << endl; 103 | } else { 104 | cout << "O ponto NÃO pertence à circunferência." << endl; 105 | } 106 | 107 | return 0; 108 | } 109 | ``` 110 | 111 | --- 112 | 113 | ## 💫 Aplicações Cósmicas 114 | 115 | * Modelagem de órbitas circulares 116 | * Simulação de escudos energéticos 117 | * Radares com alcance radial 118 | 119 | > *Na nave Exodus, as circunferências são campos de contenção — áreas de harmonia onde forças opostas se equilibram.* 120 | 121 | --- 122 | 123 | ## 📊 Aplicações no Mercado Financeiro 124 | 125 | * Representação de zonas de equilíbrio em gráficos de volatilidade 126 | * Simulações estatísticas com distribuições circulares 127 | 128 | > *O mercado também gira. E a circunferência revela onde o preço encontra simetria.* 129 | 130 | --- 131 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/6.2-operacoes-vetoriais.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # ⚙️ TEMA 2 — OPERAÇÕES COM VETORES 3 | 4 | > _"Somar vetores é como fundir trajetórias. 5 | Subtrair vetores é inverter destinos. 6 | Multiplicar vetores por escalares é atravessar portais de intensidade."_ 7 | 8 | --- 9 | 10 | ## ➕ 2.1 ADIÇÃO DE VETORES 11 | 12 | Dados dois vetores $\vec{u} = (x_1, y_1)$ e $\vec{v} = (x_2, y_2)$: 13 | 14 | $$ 15 | \vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2) 16 | $$ 17 | 18 | Geometricamente, é o **método do paralelogramo**. 19 | 20 | --- 21 | 22 | ## ➖ 2.2 SUBTRAÇÃO DE VETORES 23 | 24 | $$ 25 | \vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2) 26 | $$ 27 | 28 | Interpretado como: **sair de $\vec{v}$ e chegar em $\vec{u}$**. 29 | 30 | --- 31 | 32 | ## ✖️ 2.3 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR 33 | 34 | Dado um escalar $\lambda$ e um vetor $\vec{v} = (x, y)$: 35 | 36 | $$ 37 | \lambda \cdot \vec{v} = (\lambda x,\ \lambda y) 38 | $$ 39 | 40 | Aumenta ou diminui o vetor mantendo a direção (ou inverte o sentido se $\lambda < 0$). 41 | 42 | --- 43 | 44 | ## 💻 EXEMPLO C++ — Operações Vetoriais 45 | 46 | ```cpp 47 | // Estrutura que representa um vetor bidimensional com operações fundamentais 48 | struct VetorBidimensional { 49 | double componenteX; 50 | double componenteY; 51 | 52 | // Construtor padrão e personalizado 53 | VetorBidimensional(double componenteXInicial = 0.0, double componenteYInicial = 0.0) { 54 | componenteX = componenteXInicial; 55 | componenteY = componenteYInicial; 56 | } 57 | 58 | // Soma de vetores: (u + v) 59 | VetorBidimensional somar(const VetorBidimensional& outroVetor) const { 60 | return VetorBidimensional(componenteX + outroVetor.componenteX, 61 | componenteY + outroVetor.componenteY); 62 | } 63 | 64 | // Subtração de vetores: (u - v) 65 | VetorBidimensional subtrair(const VetorBidimensional& outroVetor) const { 66 | return VetorBidimensional(componenteX - outroVetor.componenteX, 67 | componenteY - outroVetor.componenteY); 68 | } 69 | 70 | // Multiplicação por escalar: (k · u) 71 | VetorBidimensional multiplicarPorEscalar(double escalar) const { 72 | return VetorBidimensional(componenteX * escalar, 73 | componenteY * escalar); 74 | } 75 | 76 | // Exibe o vetor com um nome descritivo 77 | void exibir(string nomeDoVetor = "Vetor") const { 78 | cout << nomeDoVetor << ": (" << componenteX << ", " << componenteY << ")\n"; 79 | } 80 | }; 81 | 82 | int main() { 83 | // Vetores de entrada 84 | VetorBidimensional vetorU(3.0, 4.0); 85 | VetorBidimensional vetorV(1.0, 2.0); 86 | 87 | // Operações vetoriais 88 | VetorBidimensional vetorSoma = vetorU.somar(vetorV); // u + v 89 | VetorBidimensional vetorDiferenca = vetorU.subtrair(vetorV); // u - v 90 | VetorBidimensional vetorTriplo = vetorU.multiplicarPorEscalar(3.0); // 3u 91 | 92 | // Exibição dos resultados 93 | vetorU.exibir("Vetor U"); 94 | vetorV.exibir("Vetor V"); 95 | vetorSoma.exibir("U + V"); 96 | vetorDiferenca.exibir("U - V"); 97 | vetorTriplo.exibir("3 × U"); 98 | 99 | return 0; 100 | } 101 | 102 | ``` 103 | 104 | --- 105 | 106 | ## 💸 INTERPRETAÇÃO FINANCEIRA 107 | 108 | - **Soma de vetores**: múltiplas forças agindo sobre o preço (ex: volume + tendência) 109 | - **Subtração**: separação entre dois movimentos (gap de preço) 110 | - **Multiplicação escalar**: alavancagem ou redução de risco proporcional 111 | 112 | --- 113 | 114 | ## 🪐 INTERPRETAÇÃO CÓSMICA 115 | 116 | - Somar vetores = unir trajetórias de naves 117 | - Subtrair vetores = rastrear origem de uma fuga interplanetária 118 | - Escalar vetores = modificar a intensidade de impulso de uma nave sem alterar o rumo 119 | 120 | > “Vetores não são apenas direções. 121 | São **eventos em movimento**.” 122 | 123 | --- 124 | 125 | ## 🧠 RESUMO OPERACIONAL 126 | 127 | | Operação | Fórmula | Significado | 128 | |------------------|------------------------------------|-------------------------------| 129 | | Soma | $\vec{u} + \vec{v}$ | Combinação de forças | 130 | | Subtração | $\vec{u} - \vec{v}$ | Diferença entre movimentos | 131 | | Multiplicação | $\lambda \cdot \vec{v}$ | Escalonamento do vetor | 132 | 133 | --- 134 | 135 | > _"Cada operação vetorial é uma mutação do espaço. 136 | Cada linha de código é um ritual de transformação."_ 137 | 138 | --- 139 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/4.5-relacoes-fundamentais-da-trigonometria.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 📏 TEMA 5 – Relações Fundamentais da Trigonometria 2 | 3 | As relações fundamentais conectam as funções trigonométricas como engrenagens de um mecanismo cósmico. São essenciais para resolver equações e simplificar expressões. 4 | 5 | ### ⚙️ Relação Fundamental do Seno e Cosseno 6 | 7 | $$ 8 | \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 9 | $$ 10 | 11 | Essa relação é **válida para qualquer valor de $\theta$**. É a equação da própria circunferência trigonométrica. 12 | 13 | ### ⚙️ Relações com a Tangente e Secante 14 | 15 | $$ 16 | \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \quad \text{(desde que } \cos(\theta) \ne 0) 17 | $$ 18 | 19 | $$ 20 | 1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) 21 | $$ 22 | 23 | ### ⚙️ Relações com a Cotangente e Cossecante 24 | 25 | $$ 26 | \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \quad \text{(desde que } \sin(\theta) \ne 0) 27 | $$ 28 | 29 | $$ 30 | 1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) 31 | $$ 32 | 33 | ### 💡 Interpretação Geométrica 34 | 35 | No ciclo trigonométrico, essas relações descrevem **proporções fixas** entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Elas surgem naturalmente ao aplicar o **Teorema de Pitágoras** às razões trigonométricas. 36 | 37 | ### 💻 Exemplo em C++ – Verificação da Relação Fundamental 38 | 39 | ```cpp 40 | // Função auxiliar que calcula uma aproximação para o seno de x 41 | // usando a Série de Taylor centrada em zero (Maclaurin) 42 | double seno(double x, int termos = 10) { 43 | double resultado = 0.0; // Acumulador do valor final da série 44 | double numerador = x; // Começamos com o primeiro termo: x¹ 45 | double denominador = 1.0; // Fatorial correspondente: 1! 46 | int sinal = 1; // Primeiro termo é positivo 47 | 48 | // Loop que soma os 'termos' da série de Taylor 49 | for (int i = 0; i < termos; ++i) { 50 | // Adicionamos o termo atual à soma: 51 | // resultado += sinal × (xⁿ / n!) 52 | resultado += sinal * (numerador / denominador); 53 | 54 | // Preparamos o próximo termo: 55 | // Próxima potência: xⁿ → xⁿ⁺² 56 | // Como já temos xⁿ, basta multiplicar por x² 57 | numerador *= x * x; 58 | 59 | // Próximo fatorial: n! → (n+2)! 60 | // Atualizamos o denominador multiplicando pelos dois próximos inteiros: 61 | // Exemplo: 3! = 1×2×3 → próximo: 5! = 1×2×3×4×5 → multiplica por 4 e 5 62 | denominador *= (2 * i + 2) * (2 * i + 3); 63 | 64 | // Alternamos o sinal: + → - → + → ... 65 | sinal = -sinal; 66 | } 67 | 68 | // Ao final das iterações, retornamos a soma dos termos 69 | return resultado; 70 | } 71 | 72 | // Função auxiliar que calcula uma aproximação para o cosseno de x 73 | // usando a Série de Taylor centrada em zero (Maclaurin) 74 | double cosseno(double x, int termos = 10) { 75 | double resultado = 0.0; // Acumulador do valor final da série 76 | double numerador = 1.0; // Primeiro termo: x⁰ = 1 77 | double denominador = 1.0; // Fatorial correspondente: 0! = 1 78 | int sinal = 1; // Primeiro termo é positivo 79 | 80 | // Loop que soma os 'termos' da série de Taylor 81 | for (int i = 0; i < termos; ++i) { 82 | // Adicionamos o termo atual à soma: 83 | // resultado += sinal × (xⁿ / n!) 84 | resultado += sinal * (numerador / denominador); 85 | 86 | // Preparamos o próximo termo da série: 87 | // Próxima potência par: xⁿ → xⁿ⁺² (multiplica por x²) 88 | numerador *= x * x; 89 | 90 | // Próximo fatorial: n! → (n+2)! (multiplica pelos dois próximos inteiros) 91 | // Exemplo: 2! = 1×2 → 4! = 1×2×3×4 → multiplica por 3 e 4 92 | denominador *= (2 * i + 1) * (2 * i + 2); 93 | 94 | // Alternamos o sinal: + → - → + → ... 95 | sinal = -sinal; 96 | } 97 | 98 | // Ao final das iterações, retornamos a soma dos termos 99 | return resultado; 100 | } 101 | 102 | int main() { 103 | double anguloGraus = 45.0; 104 | double anguloRad = anguloGraus * PI / 180.0; 105 | 106 | double senoValor = seno(anguloRad); 107 | double cossenoValor = cosseno(anguloRad); 108 | double identidade = senoValor * senoValor + cossenoValor * cossenoValor; 109 | 110 | cout << "sin² + cos² = " << identidade << endl; 111 | return 0; 112 | } 113 | ``` 114 | 115 | ### ✨ Analogia Psicodélica 116 | 117 | > Como os três lados de um triângulo equilátero de energia, as funções trigonométricas não vivem isoladas. Elas **vibram em conjunto**, mantendo o equilíbrio do universo geométrico. 118 | 119 | --- 120 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Fundamentos da Matemática 2 | 3 | > “A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o universo.” — Galileu Galilei 4 | 5 | --- 6 | 7 | Cada arquivo segue a seguinte estrutura: 8 | 9 | - Definições matemáticas e fórmulas (com LaTeX) 10 | - Analogias interpretativas para despertar novas ideias 11 | - Aplicações cósmicas e científicas 12 | - Casos de uso em **C++** 13 | - Insights sobre mercado financeiro 14 | 15 | Aula 1 – Trigonometria nos triângulos 16 | 1.1. [Teorema de Tales](./1.1-teorema-de-tales.md) 17 | 1.2. [Semelhança de Triângulos](1.2-semelhanca-triangulos.md) 18 | 1.3. [Relações Métricas no Triângulo Retângulo](./1.3-relacoes-metricas.md) 19 | 1.4. [Relações Trigonométricas](1.4-relacoes-trigonometricas.md) 20 | 1.5. [Leis dos Senos e Cossenos](1.5-lei-dos-senos-e-cossenos.md) 21 | 1.6. [Cálculo de Áreas em Triângulos](1.6-teorema-das-areas.md) 22 | 1.7. [Aplicações técnicas, espaciais e computacionais](exemplos-praticos.md) 23 | 24 | Aula 2 – Equações exponenciais e logarítmicas 25 | 2.1. [Potenciação](./2.1-potenciacao.md) 26 | 2.2. [Equações Exponenciais](./2.2-equacoes-exponenciais.md) 27 | 2.3. [Logaritmo e suas Propriedades](./2.3-logaritmo.md) 28 | 2.4. [Equações Logarítmicas](./2.4-equacoes-logaritmicas.md) 29 | 30 | Aula 3 – Sequências Numéricas 31 | 3.1. [Sequências e Fibonacci](./3.1-sequencias-e-fibonacci.md) 32 | 3.2. [Progressão Aritmética](./3.2-progressao-aritmetica.md) 33 | 3.3. [Progressão Geométrica](./3.3-progressao-geometrica.md) 34 | 3.4. [Exercícios de Fixação](./3.4-exercicios-de-fixacao.md) 35 | 36 | Aula 4 – Trigonometria no Ciclo Trigonométrico 37 | 4.1. [Ângulos em Graus, Radianos e o Ciclo Trigonométrico](./4.1-angulos-em-graus-radianos-e-o-ciclo-trigonometrico.md) 38 | 4.2. [Arcos Notáveis](./4.2-arcos-notaveis.md) 39 | 4.3. [Sinais das Funções Trigonométricas nos Quadrantes](./4.3-sinais-das-funcoes-trignometricas-nos-quadrantes.md) 40 | 4.4. [Arcos Congruentes e Redução ao Primeiro Quadrante](./4.4-arcos-congruentes-e-reducao-ao-primeiro-quadrante.md) 41 | 4.5. [Relações Fundamentais da Trigonometria](./4.5-relacoes-fundamentais-da-trigonometria.md) 42 | 4.6. [Exercícios de Fixação](./4.6-exercicios-de-fixacao.md) 43 | 44 | Aula 5 – Geometria Plana 45 | 5.1. [Quadriláteros Notáveis](./5.1-quadrilateros-notaveis.md) 46 | 5.2. [Polígonos Regulares](./5.2-poligonos-regulares.md) 47 | 5.3. [Circunferência, Círculo, Arco e Setor](./5.3-circunferencia-circulo-arco-e-setor.md) 48 | 5.4. [Perímetro das Figuras Planas](./5.4-perimetros-das-figuras-planas.md) 49 | 5.5. [Área das Figuras Planas](./5.5-area-das-figuras-planas.md) 50 | 5.6. [Aplicações Práticas da Geometria Plana](./5.6-aplicacoes-praticas-da-geometria-plana.md) 51 | 52 | Aula 6 – Geometria Espacial 53 | 6.1. [Poliedros](6.1-poliedros.md) 54 | 6.2. [Prismas](6.2-prismas.md) 55 | 6.3. [Pirâmides](6.3-piramides.md) 56 | 6.4. [Cilindros](6.4-cilindro.md) 57 | 6.5. [Cones](6.5-cone.md) 58 | 6.6. [Esfera](6.6-esfera.md) 59 | 60 | Aula 7 – Resolução de exercícios 61 | 7.1. [Resolução de exercícios das aulas 1, 2 e 3 em C++](7.1-exercicios.md) 62 | 7.2. [Resoluçao de exercícios das aulas 4, 5 e 6 em C++](7.2-exercicios.md) 63 | 64 | --- 65 | 66 | ## 🧬 Aplicações Cósmicas e Computacionais 67 | 68 | Cada conceito aqui documentado pode ser aplicado tanto em ciência como em engenharia de software: 69 | 70 | | Tema Matemático | Aplicações no Universo | Implementações em C++ | 71 | |------------------------|------------------------------------------|-------------------------------------------------| 72 | | Teorema de Tales | Triangulação em superfícies planetárias | Algoritmos de mapeamento e renderização 2D/3D | 73 | | Semelhança de Triângulos | Cálculo de distâncias estelares | Reconhecimento de padrões e visão computacional | 74 | | Trigonometria | Navegação de satélites e robôs | Cálculo de ângulos, transformações em OpenGL | 75 | | Lei dos Senos/Cossenos| Orbitas e manobras gravitacionais | Simulação de órbitas e trajetória em n-corpos | 76 | | Áreas de Triângulos | Painéis solares em satélites | Cálculo de áreas com `struct Point` e vetores | 77 | | Relações métricas | Engenharia de módulos espaciais | Classes para geometria computacional | 78 | 79 | --- 80 | 81 | > A matemática revela o que está oculto. 82 | > A programação nos permite tocar o invisível. 83 | > E juntos, nos levam além das fronteiras conhecidas. 84 | 85 | --- 86 | 87 | ## 📥 Contribua 88 | 89 | Sinta-se livre para clonar, estudar, experimentar e contribuir. 90 | A nave Exodus aceita todos que buscam o conhecimento. 91 | 92 | --- 93 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/2.1-equacao-geral-da-reta-e-posicao-relativa.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 📚 TEMA 1 – Equação Geral da Reta e Posições Relativas 2 | 3 | > "As linhas não são apenas traços – são caminhos. E toda equação, uma viagem." — *Exodus* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 📏 Equação Geral da Reta 8 | 9 | A equação geral da reta é expressa por: 10 | 11 | $$ 12 | Ax + By + C = 0 13 | $$ 14 | 15 | * $A, B, C \in \mathbb{R}$ e $A \neq 0$ ou $B \neq 0$ 16 | * Representa todas as retas do plano (inclusive verticais e horizontais) 17 | 18 | ### 🎯 Conversão entre formas: 19 | 20 | Se a equação da reta está na forma reduzida $y = mx + n$, ela pode ser reescrita como: 21 | 22 | $$ 23 | mx - y + n = 0 \quad \Rightarrow \quad A = m,\; B = -1,\; C = n 24 | $$ 25 | 26 | --- 27 | 28 | ## 🔄 Classificação de Retas com Base na Equação Geral 29 | 30 | | Equação | Tipo de Reta | 31 | | ----------------- | --------------- | 32 | | $Ax + By + C = 0$ | Reta qualquer | 33 | | $x = a$ | Reta vertical | 34 | | $y = b$ | Reta horizontal | 35 | 36 | --- 37 | 38 | ## 🔁 Posições Relativas entre Duas Retas 39 | 40 | Considere duas retas: 41 | 42 | $$ 43 | r: A_1x + B_1y + C_1 = 0 \quad \text{e} \quad s: A_2x + B_2y + C_2 = 0 44 | $$ 45 | 46 | As possíveis posições relativas são: 47 | 48 | 1. **Coincidentes:** 49 | 50 | $$ 51 | \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} 52 | $$ 53 | 54 | 2. **Paralelas:** 55 | 56 | $$ 57 | \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} 58 | $$ 59 | 60 | 3. **Concorrentes (se interceptam em um ponto):** 61 | 62 | $$ 63 | \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} 64 | $$ 65 | 66 | > 💭 *Analogia Psicodélica:* As retas são consciências — algumas se ignoram para sempre (paralelas), outras se encontram e colapsam a realidade (concorrentes), e há as que coexistem como ecos do mesmo traço (coincidentes). 67 | 68 | --- 69 | 70 | ## 🧮 C++ 71 | ```cpp 72 | // Verifica se duas retas representadas nas formas gerais A₁x + B₁y + C₁ = 0 73 | // e A₂x + B₂y + C₂ = 0 são coincidentes, paralelas ou concorrentes. 74 | // Critério de classificação (proporcionalidade): 75 | // - Coincidentes: A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ 76 | // - Paralelas: A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂ 77 | // - Concorrentes: não há proporcionalidade entre A, B e C 78 | void classificarRelacaoEntreRetas( 79 | float coeficienteA1, 80 | float coeficienteB1, 81 | float termoIndependenteC1, 82 | float coeficienteA2, 83 | float coeficienteB2, 84 | float termoIndependenteC2 85 | ) { 86 | // Produto cruzado evita divisões e problemas com zero e precisão 87 | bool proporcaoAB = (coeficienteA1 * coeficienteB2 == coeficienteA2 * coeficienteB1); 88 | bool proporcaoAC = (coeficienteA1 * termoIndependenteC2 == coeficienteA2 * termoIndependenteC1); 89 | bool proporcaoBC = (coeficienteB1 * termoIndependenteC2 == coeficienteB2 * termoIndependenteC1); 90 | 91 | if (proporcaoAB && proporcaoAC && proporcaoBC) { 92 | cout << "Retas coincidentes." << endl; 93 | } else if (proporcaoAB && !proporcaoAC) { 94 | cout << "Retas paralelas." << endl; 95 | } else { 96 | cout << "Retas concorrentes (intersectam-se em um ponto)." << endl; 97 | } 98 | } 99 | 100 | int main() { 101 | // Coeficientes da 1ª reta: 2x − 3y + 5 = 0 102 | float coeficienteA1 = 2; 103 | float coeficienteB1 = -3; 104 | float termoIndependenteC1 = 5; 105 | 106 | // Coeficientes da 2ª reta: 4x − 6y + 10 = 0 107 | float coeficienteA2 = 4; 108 | float coeficienteB2 = -6; 109 | float termoIndependenteC2 = 10; 110 | 111 | classificarRelacaoEntreRetas( 112 | coeficienteA1, 113 | coeficienteB1, 114 | termoIndependenteC1, 115 | coeficienteA2, 116 | coeficienteB2, 117 | termoIndependenteC2 118 | ); 119 | 120 | return 0; 121 | } 122 | ``` 123 | 124 | --- 125 | 126 | ## 🌌 Aplicações Cósmicas 127 | 128 | * Análise de trajetórias em simulações gravitacionais 129 | * Modelagem de colisões ou não-colisões em campos vetoriais 130 | * Representação de luzes e sombras em engines gráficas 131 | 132 | > *Retas coincidentes são trajetórias sobrepostas no espaço-tempo. Paralelas jamais se encontrarão — como linhas de destino divergentes.* 133 | 134 | --- 135 | 136 | ## 💹 Aplicações no Mercado Financeiro 137 | 138 | * Identificação de tendências idênticas (coincidentes) 139 | * Análise de ativos que seguem caminhos paralelos (paralelas) 140 | * Detecção de pontos de interseção em estratégias (concorrentes) 141 | 142 | > *No gráfico de preços, duas retas podem indicar pontos de compra e venda onde o destino do lucro se revela.* 143 | 144 | --- 145 | 146 | **Continua na próxima aula com interseções, ângulos e distâncias entre retas...** 147 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/1.1-introducao-a-geometria-analitica.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 🌌 TEMA 1 – Introdução à Geometria Analítica 2 | 3 | > “Cogito, ergo sum” — *René Descartes* 4 | 5 | --- 6 | 7 | ## 🧭 O que é Geometria Analítica? 8 | 9 | A **Geometria Analítica** une álgebra e geometria, estudando figuras e posições no plano através de **sistemas de coordenadas**. 10 | 11 | * Permite **representar pontos, retas e curvas** com equações 12 | * Usa o **plano cartesiano** como base 13 | * É ferramenta essencial em **engenharias, física, programação e cosmologia** 14 | 15 | > 💭 *Analogia Psicodélica*: Imagine um universo onde cada estrela tem um endereço exato: (x, y). A geometria analítica é o sistema que organiza o cosmos com precisão algébrica. 16 | 17 | --- 18 | 19 | ## 📐 Plano Cartesiano 20 | 21 | O plano cartesiano é formado por dois eixos numéricos perpendiculares: 22 | 23 | * **Eixo x** (horizontal) 24 | * **Eixo y** (vertical) 25 | 26 | Esses eixos dividem o plano em quatro quadrantes: 27 | 28 | 1. (+x, +y) 29 | 2. (−x, +y) 30 | 3. (−x, −y) 31 | 4. (+x, −y) 32 | 33 | Cada ponto no plano é representado por um par ordenado: $P(x, y)$ 34 | 35 | --- 36 | 37 | ## ✨ Distância entre dois pontos 38 | 39 | Dados dois pontos $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$, a distância entre eles é dada por: 40 | 41 | $$ 42 | d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} 43 | $$ 44 | 45 | > 🪐 *Aplicação Cósmica*: Essa fórmula é usada em radares interplanetários para medir distâncias entre sondas ou naves. 46 | 47 | --- 48 | 49 | ## 📍 Ponto médio 50 | 51 | O ponto médio $M$ entre $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$ é: 52 | 53 | $$ 54 | M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) 55 | $$ 56 | 57 | > *Em manobras espaciais*, encontrar o ponto médio é essencial para traçar trajetórias equilibradas entre dois corpos celestes. 58 | 59 | --- 60 | 61 | ## 📈 Exemplo em C++ 62 | 63 | ```cpp 64 | // Função que calcula a raiz quadrada aproximada de um número real positivo 65 | // Utiliza o método de Newton-Raphson para convergência 66 | float raizQuadrada(float numeroOriginal) { 67 | // Caso inválido: raiz quadrada de número negativo não é real 68 | if (numeroOriginal < 0) return -1; 69 | 70 | // Caso trivial: a raiz de zero é zero 71 | if (numeroOriginal == 0) return 0; 72 | 73 | // Estimativa inicial para iniciar o processo iterativo 74 | float estimativaAtual = numeroOriginal / 2.0f; 75 | 76 | // Ajuste para garantir uma estimativa mínima razoável 77 | if (estimativaAtual < 1.0f) estimativaAtual = 1.0f; 78 | 79 | // Iterações para refinar a estimativa (Newton-Raphson) 80 | for (int iteracao = 0; iteracao < 20; ++iteracao) { 81 | estimativaAtual = 0.5f * (estimativaAtual + numeroOriginal / estimativaAtual); 82 | } 83 | 84 | // Retorna a estimativa final da raiz quadrada 85 | return estimativaAtual; 86 | } 87 | 88 | // Estrutura para representar um ponto no plano cartesiano 89 | struct Ponto { 90 | float coordenadaX; 91 | float coordenadaY; 92 | }; 93 | 94 | // Calcula a distância entre os pontos A e B usando a fórmula d = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2) 95 | float distancia(Ponto pontoA, Ponto pontoB) { 96 | float diferencaX = pontoB.coordenadaX - pontoA.coordenadaX; 97 | float diferencaY = pontoB.coordenadaY - pontoA.coordenadaY; 98 | // Aplicando a fórmula da distância: 99 | return raizQuadrada(diferencaX * diferencaX + diferencaY * diferencaY); 100 | } 101 | 102 | // Calcula o ponto médio entre A e B: ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2) 103 | Ponto ponto_medio(Ponto pontoA, Ponto pontoB) { 104 | Ponto resultado; 105 | resultado.coordenadaX = (pontoA.coordenadaX + pontoB.coordenadaX) / 2.0; 106 | resultado.coordenadaY = (pontoA.coordenadaY + pontoB.coordenadaY) / 2.0; 107 | return resultado; 108 | } 109 | 110 | int main() { 111 | Ponto pontoA = {2.0, 3.0}; 112 | Ponto pontoB = {6.0, 7.0}; 113 | 114 | float dist = distancia(pontoA, pontoB); 115 | cout << "Distância: " << dist << endl; 116 | 117 | Ponto pontoM = ponto_medio(pontoA, pontoB); 118 | cout << "Ponto Médio: (" << pontoM.coordenadaX << ", " << pontoM.coordenadaY << ")" << endl; 119 | return 0; 120 | } 121 | ``` 122 | 123 | --- 124 | 125 | ## 💸 Aplicação no Mercado Financeiro 126 | 127 | Na análise gráfica de ações, pontos em um gráfico de preços podem ser tratados como coordenadas no plano: 128 | 129 | * A distância entre dois preços representa **volatilidade** 130 | * O ponto médio indica **preço de equilíbrio** entre compra e venda 131 | 132 | --- 133 | 134 | > *Com a geometria analítica, a nave Exodus traça rotas no espaço e na mente — cada coordenada, uma nova possibilidade de existir.* 135 | 136 | --- 137 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/6.5-condicao-de-ponto-pertencer-ao-segmento.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🧬 TEMA 5 — CONDIÇÃO DE PONTO PERTENCER AO SEGMENTO 3 | 4 | > _“Entre os pontos do espaço e a linha do destino, 5 | existe uma única condição vetorial: 6 | a de alinhar-se com o fluxo do segmento."_ 7 | 8 | --- 9 | 10 | ## 🔎 5.1 O PROBLEMA 11 | 12 | Queremos saber se um ponto $P$ **pertence ao segmento** entre dois pontos $A$ e $B$. 13 | 14 | Se $A$, $B$ e $P$ forem colineares, o vetor $\vec{AP}$ será um **múltiplo escalar** do vetor $\vec{AB}$. 15 | 16 | --- 17 | 18 | ## ✅ CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE 19 | 20 | Sejam: 21 | 22 | - $A(x_1, y_1)$ 23 | - $B(x_2, y_2)$ 24 | - $P(x, y)$ 25 | 26 | 1. Verifique se $P$ é **colinear** com $A$ e $B$: 27 | 28 | $$ 29 | \vec{AP} = (x - x_1,\ y - y_1), \quad 30 | \vec{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) 31 | $$ 32 | 33 | Ponto $P$ é colinear com $A$ e $B$ se: 34 | 35 | $$ 36 | (x - x_1)(y_2 - y_1) = (y - y_1)(x_2 - x_1) 37 | $$ 38 | 39 | 2. Verifique se $x$ e $y$ estão **entre as coordenadas** de $A$ e $B$ (inclusivo): 40 | 41 | $$ 42 | \min(x_1, x_2) \leq x \leq \max(x_1, x_2) \\ 43 | \min(y_1, y_2) \leq y \leq \max(y_1, y_2) 44 | $$ 45 | 46 | --- 47 | 48 | ## 💻 Exemplo em C++ — Verificador de Pertinência 49 | 50 | ```cpp 51 | // Retorna o menor valor entre dois números 52 | double minimo(double primeiroValor, double segundoValor) { 53 | return (primeiroValor < segundoValor) ? primeiroValor : segundoValor; 54 | } 55 | 56 | // Retorna o maior valor entre dois números 57 | double maximo(double primeiroValor, double segundoValor) { 58 | return (primeiroValor > segundoValor) ? primeiroValor : segundoValor; 59 | } 60 | 61 | // Verifica se um ponto (x, y) pertence ao segmento de reta entre (x1, y1) e (x2, y2) 62 | bool pontoPertenceAoSegmentoDeReta(double coordenadaXInicio, double coordenadaYInicio, 63 | double coordenadaXFim, double coordenadaYFim, 64 | double coordenadaXDoPonto, double coordenadaYDoPonto) { 65 | 66 | // Vetores AB e AP 67 | double vetorX_AB = coordenadaXFim - coordenadaXInicio; 68 | double vetorY_AB = coordenadaYFim - coordenadaYInicio; 69 | 70 | double vetorX_AP = coordenadaXDoPonto - coordenadaXInicio; 71 | double vetorY_AP = coordenadaYDoPonto - coordenadaYInicio; 72 | 73 | // Verifica colinearidade pelo produto vetorial (2D) 74 | bool saoColineares = (vetorX_AP * vetorY_AB == vetorY_AP * vetorX_AB); 75 | 76 | // Verifica se o ponto está dentro dos limites do segmento 77 | bool estaDentroDosLimites = 78 | coordenadaXDoPonto >= minimo(coordenadaXInicio, coordenadaXFim) && 79 | coordenadaXDoPonto <= maximo(coordenadaXInicio, coordenadaXFim) && 80 | coordenadaYDoPonto >= minimo(coordenadaYInicio, coordenadaYFim) && 81 | coordenadaYDoPonto <= maximo(coordenadaYInicio, coordenadaYFim); 82 | 83 | return saoColineares && estaDentroDosLimites; 84 | } 85 | 86 | int main() { 87 | // Coordenadas do segmento 88 | double coordenadaX1 = 0.0; 89 | double coordenadaY1 = 0.0; 90 | double coordenadaX2 = 4.0; 91 | double coordenadaY2 = 4.0; 92 | 93 | // Ponto a ser testado 94 | double coordenadaXDoPonto = 2.0; 95 | double coordenadaYDoPonto = 2.0; 96 | 97 | // Verificação 98 | bool resultado = pontoPertenceAoSegmentoDeReta(coordenadaX1, coordenadaY1, 99 | coordenadaX2, coordenadaY2, 100 | coordenadaXDoPonto, coordenadaYDoPonto); 101 | 102 | cout << "O ponto pertence ao segmento de reta? " << (resultado ? "Sim" : "Não") << endl; 103 | 104 | return 0; 105 | } 106 | ``` 107 | 108 | --- 109 | 110 | ## 💸 INTERPRETAÇÃO FINANCEIRA 111 | 112 | > O ponto $P$ representa um **evento** (ex: candle, alvo de preço). 113 | Se pertence ao segmento $AB$, significa que **faz parte da tendência linear traçada** entre esses dois marcos. 114 | 115 | --- 116 | 117 | ## 🪐 INTERPRETAÇÃO CÓSMICA 118 | 119 | > Em uma jornada interplanetária de $A$ até $B$, 120 | o ponto $P$ representa uma **parada opcional**. 121 | Se estiver alinhado e dentro dos limites, 122 | é **um planeta visitável**. 123 | Caso contrário, é apenas uma estrela passageira. 124 | 125 | --- 126 | 127 | ## 🧠 RESUMO FINAL 128 | 129 | | Conceito | Condição matemática | 130 | |-------------------|-----------------------------------------------------| 131 | | Colinearidade | $(x - x_1)(y_2 - y_1) = (y - y_1)(x_2 - x_1)$ | 132 | | Pertinência | $x$ e $y$ entre os extremos de $A$ e $B$ | 133 | 134 | --- 135 | 136 | > _"Pontos não são estáticos. 137 | Eles vivem ou não na trajetória do tempo. 138 | Somente os alinhados, pertencem ao segmento."_ 139 | 140 | --- 141 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/6.1-introducao-a-vetores-no-plano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🌌 TEMA 1 — INTRODUÇÃO A VETORES NO PLANO 3 | 4 | > _"O vetor é a seta que guia o viajante no espaço matemático. 5 | Sua origem é uma escolha. Sua direção, um destino."_ 🛸 6 | 7 | --- 8 | 9 | ## 🧠 1.1 CONCEITO DE VETOR 10 | 11 | Um **vetor** no plano é um elemento definido por **módulo**, **direção** e **sentido**. Ele representa um deslocamento, uma força, uma tendência. 12 | 13 | ### Notação: 14 | Um vetor **$\vec{v}$** é indicado por uma seta sobre a letra. Exemplo: 15 | 16 | $$ 17 | \vec{v} = \overrightarrow{AB} 18 | $$ 19 | 20 | Significa: vetor que parte do ponto $A$ e vai até o ponto $B$. 21 | 22 | --- 23 | 24 | ## 📏 1.2 ELEMENTOS DE UM VETOR 25 | 26 | - **Módulo**: comprimento do vetor. Indicado por $|\vec{v}|$ 27 | - **Direção**: a linha sobre a qual o vetor está 28 | - **Sentido**: de $A$ para $B$ (ou de $B$ para $A$, se invertido) 29 | 30 | --- 31 | 32 | ## 🔧 1.3 REPRESENTAÇÃO NO PLANO CARTESIANO 33 | 34 | Seja $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$, então: 35 | 36 | $$ 37 | \vec{v} = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A) 38 | $$ 39 | 40 | --- 41 | 42 | ## 💻 EXEMPLO EM C++ — Vetor Hacker 43 | 44 | ```cpp 45 | // Função para calcular o valor absoluto (módulo de um número real) 46 | double calcularValorAbsoluto(double valor) { 47 | return (valor < 0.0) ? -valor : valor; 48 | } 49 | 50 | // Função para calcular a raiz quadrada de um número real não-negativo 51 | // Utiliza o Método de Newton-Raphson 52 | double calcularRaizQuadrada(double numeroOriginal) { 53 | if (numeroOriginal < 0.0) return -1; // Raiz indefinida para negativos 54 | if (numeroOriginal == 0.0) return 0.0; 55 | 56 | double estimativa = numeroOriginal / 2.0; 57 | if (estimativa < 1.0) estimativa = 1.0; 58 | 59 | for (int contador = 0; contador < 20; ++contador) { 60 | estimativa = 0.5 * (estimativa + numeroOriginal / estimativa); 61 | } 62 | 63 | return estimativa; 64 | } 65 | 66 | // Estrutura que representa um vetor bidimensional 67 | struct VetorBidimensional { 68 | double componenteX; 69 | double componenteY; 70 | 71 | VetorBidimensional(double componenteHorizontal, double componenteVertical) { 72 | componenteX = componenteHorizontal; 73 | componenteY = componenteVertical; 74 | } 75 | 76 | // Calcula o módulo do vetor (distância entre origem e o ponto final) 77 | double calcularModulo() { 78 | double somaDosQuadrados = componenteX * componenteX + componenteY * componenteY; 79 | return calcularRaizQuadrada(somaDosQuadrados); 80 | } 81 | 82 | // Exibe o vetor e seu módulo 83 | void imprimirVetor() { 84 | cout << "Vetor: (" << componenteX << ", " << componenteY << ")\n"; 85 | cout << "Módulo do vetor: " << calcularModulo() << endl; 86 | } 87 | }; 88 | 89 | // Função que constrói o vetor entre dois pontos do plano cartesiano 90 | VetorBidimensional vetorEntreDoisPontos(double coordenadaXDoPontoA, double coordenadaYDoPontoA, 91 | double coordenadaXDoPontoB, double coordenadaYDoPontoB) { 92 | double componenteHorizontal = coordenadaXDoPontoB - coordenadaXDoPontoA; 93 | double componenteVertical = coordenadaYDoPontoB - coordenadaYDoPontoA; 94 | return VetorBidimensional(componenteHorizontal, componenteVertical); 95 | } 96 | 97 | int main() { 98 | // Coordenadas dos pontos A e B 99 | double coordenadaXDoPontoA = 1.0; 100 | double coordenadaYDoPontoA = 2.0; 101 | double coordenadaXDoPontoB = 5.0; 102 | double coordenadaYDoPontoB = 7.0; 103 | 104 | // Geração do vetor AB e exibição de informações 105 | VetorBidimensional vetorAB = vetorEntreDoisPontos(coordenadaXDoPontoA, coordenadaYDoPontoA, 106 | coordenadaXDoPontoB, coordenadaYDoPontoB); 107 | vetorAB.imprimirVetor(); 108 | 109 | return 0; 110 | } 111 | ``` 112 | 113 | --- 114 | 115 | ## 💸 EXEMPLO NO MERCADO FINANCEIRO 116 | 117 | > Imagine $A$ como o **preço de abertura** e $B$ como o **preço de fechamento**. 118 | > O vetor $\vec{v}$ representa o **movimento direcional do ativo**. 119 | > Seu módulo mostra **o quanto o preço se moveu** — sua força bruta. 120 | > Sua direção pode indicar uma **tendência**. 121 | > Seu sentido: **alta ou queda**. 122 | 123 | --- 124 | 125 | ## 🪐 APLICAÇÃO CÓSMICA 126 | 127 | > Uma nave parte do planeta $A$ para o planeta $B$. 128 | > O vetor $\vec{v}$ é o **trajeto interplanetário**. 129 | > O módulo é a **distância estelar percorrida**. 130 | > Direção e sentido indicam a **rota cósmica**. 131 | > Vetores são as **estradas do hiperespaço**. 132 | 133 | --- 134 | 135 | > “Com vetores, passamos de pontos estáticos para caminhos. 136 | Cada vetor é uma decisão, uma força, uma jornada.” 137 | 138 | --- 139 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # ✨ Introdução à Geometria Analítica 2 | 3 | > “A Geometria é a arte de pensar bem, com auxílio de figuras.” — Malba Tahan 4 | 5 | --- 6 | 7 | Este módulo marca o início da jornada na **Geometria Analítica**, onde os conceitos geométricos ganham vida no plano cartesiano. 8 | Vamos traçar retas, analisar distâncias, compreender inclinações e enxergar o espaço com olhos algébricos. 9 | 10 | Cada arquivo seguirá a estrutura já consagrada do Projeto Exodus: 11 | 12 | - Conceitos matemáticos e fórmulas com LaTeX 13 | - Analogias psicodélicas e interpretações intuitivas 14 | - Aplicações cósmicas e físicas reais 15 | - Exemplos computacionais em **C++** 16 | - Relações com o **mercado financeiro**, engenharia e astronomia 17 | 18 | --- 19 | 20 | ## 📚 Conteúdo 21 | 22 | Aula 1 – ESPAÇOS BIDIMENSIONAL, TRIDIMENSIONAL E POLAR 23 | 1.1. [Introdução à Geometria Analítica](./1.1-introducao-a-geometria-analitica.md) 24 | 1.2. [Equação da Reta no Plano Cartesiano](./1.2-equacao-da-reta-no-plano-cartesiano.md) 25 | 1.3. [Circunferência no Plano](./1.3-circunferencia-no-plano.md) 26 | 1.4. [Parábolas no Plano Cartesiano](./1.4-parabolas-no-plano-cartesiano.md) 27 | 1.5. [Elipse no Plano Cartesiano](./1.5-elipse-no-plano-cartesiano.md) 28 | 1.6. [Hipérbole no Plano Cartesiano](./1.6-hiperbole-no-plano-cartesiano.md) 29 | 30 | Aula 2 - RETAS 31 | 2.1. [Equação Geral da Reta e Posições Relativas](./2.1-equacao-geral-da-reta-e-posicao-relativa.md) 32 | 2.2. [Interseção, Ângulo e Distância entre Retas](./2.2-intersecao-angulo-e-distancia-entre-retas.md) 33 | 2.3. [Segmento de Reta, Ponto Médio e Comprimento](./2.3-segmento-de-reta-ponto-medio-e-comprimento.md) 34 | 2.4. [Área do Triângulo e Alinhamento de Pontos](./2.4-area-do-triangulo-e-alinhamento-de-pontos.md) 35 | 2.5. [Distância entre Dois Pontos e Medições no Plano](./2.5-distancia-entre-dois-pontos-e-medicoes-no-plano.md) 36 | 37 | Aula 3 - CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA 38 | 3.1. [Equação da Circunferência](./3.1-equacao-da-circunferencia.md) 39 | 3.2. [Equação Paramétrica da Circunferência](./3.2-equacao-parametrica-da-circunferencia.md) 40 | 3.3. [Equação da Parábola](./3.3-equacao-da-parabola.md) 41 | 3.4. [Equação da Elipse](./3.4-equacao-da-elipse.md) 42 | 3.5. [Equação da Hipérbole](./3.5-equacao-da-hiperbole.md) 43 | 44 | Aula 4 - CÔNICAS 45 | 4.1. [Circunferência como Lugar Geométrico](./4.1-circunferencia-como-lugar-geometrico.md) 46 | 4.2. [Elipse como Lugar Geométrico](./4.3-elipse-como-lugar-geometrico.md) 47 | 4.3. [Parábola como Lugar Geométrico](./4.3-parabola-como-lugar-geometrico.md) 48 | 4.4. [Hipérbole como Lugar Geométrico](4.4-hiperbole-como-lugar-geometrico.md) 49 | 50 | Aula 5 - ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DE CÔNICAS 51 | 5.1. [Algoritmos para Encontrar o Centro ou o Vértice da Cônica](./5.1-algoritmos-para-encontrar-o-centro-ou-o-vertice-da-conica.md) 52 | 5.2. [Transladação de Coordenadas no Plano](./5.2-transladacao-de-coordenadas-no-plano.md) 53 | 5.3. [Rotação de Eixos no Plano](./5.3-rotacao-de-eixos-no-plano.md) 54 | 5.4. [Equação Completa do 2º Grau](./5.4-equacao-completa-do-2-grau.md) 55 | 5.5. [Discriminante e a Ordem das Transformações](./5.5-discriminante-e-a-ordem-das-transformacoes.md) 56 | 57 | Aula 6 - Vetores 58 | 6.1. [Introdução a Vetores no Plano](./6.1-introducao-a-vetores-no-plano.md) 59 | 6.2. [Operações Vetoriais](./6.2-operacoes-vetoriais.md) 60 | 6.3. [Vetores Opostos, Colineares e Ortogonais](./6.3-vetores-opostos-colineares-e-ortogonais.md) 61 | 6.4. [Produto Escalar, Ângulo entre Vetores e Projeções](./6.4-produto-escalar-angulo-entre-vetores-e-projecoes.md) 62 | 6.5. [Condição de Ponto Pertencer ao Segmento](./6.5-condicao-de-ponto-pertencer-ao-segmento.md) 63 | 64 | --- 65 | 66 | ## 🧬 Aplicações Cósmicas e Computacionais 67 | 68 | | Conceito | Aplicações Cósmicas | Implementações em C++ | 69 | |------------------------|---------------------------------------------|-----------------------------------------------| 70 | | Distância entre pontos | Rastreamento de astros e sondas espaciais | Funções de cálculo geométrico | 71 | | Ponto médio | Posicionamento de módulos orbitais | Algoritmos de interpolação | 72 | | Equação da reta | Controle de drones e robôs exploradores | Simulação de rotas em engines gráficos | 73 | | Inclinação angular | Lançamentos de foguetes | Cálculo de ângulo entre vetores | 74 | | Paralelas e perpendiculares | Arquitetura espacial, painéis solares | Sistemas de coordenadas e orientação | 75 | 76 | --- 77 | 78 | > Aqui, o plano cartesiano se torna o palco onde dançam as trajetórias do universo. 79 | > O ponto deixa de ser mero símbolo e passa a ser coordenada do destino. 80 | > A reta, um elo entre mundos. 81 | 82 | --- 83 | 84 | ## 📥 Contribua com o Projeto Exodus 85 | 86 | Todo explorador é bem-vindo. 87 | Clone, estude, contribua, compartilhe. 88 | A missão é desvendar os segredos matemáticos do cosmos — juntos. 89 | 90 | --- 91 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/7.2-exercicios.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ```cpp 2 | // 📘 Aulas 4, 5 e 6: Trigonometria, Geometria Plana e Espacial 3 | 4 | #include 5 | #include 6 | using namespace std; 7 | 8 | // -------------------------------------------- 9 | // TEMA 1 — Aula 4: Trigonometria no Ciclo 10 | // -------------------------------------------- 11 | 12 | // Exercício 1 13 | // Enunciado: Calcule sen(15°) utilizando fórmula de arco diferença. 14 | void seno_de_quinze_graus() { 15 | double resultado = (sqrt(6) - sqrt(2)) / 4; 16 | cout << "[Exercício 1] sen(15°) = " << resultado << endl; 17 | } 18 | 19 | // Exercício 2 20 | // Enunciado: Resolva sen(x) = -√2/2. Dê todas as soluções reais. 21 | void solucoes_equacao_trigonometrica() { 22 | cout << "[Exercício 2] x ∈ {5π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ}, k ∈ Z" << endl; 23 | } 24 | 25 | // -------------------------------------------- 26 | // TEMA 2 — Aula 5: Geometria Plana 27 | // -------------------------------------------- 28 | 29 | // Exercício 3 30 | // Enunciado: Um campo de 35x55 m. 6 voltas/dia, 5 dias/semana, 4 semanas/mês. Calcule: 31 | // a) Perímetro 32 | // b) Distância total mensal 33 | // c) Área 34 | void campo_de_futebol() { 35 | int largura = 35; 36 | int comprimento = 55; 37 | int perimetro = 2 * (largura + comprimento); 38 | int voltas = 6; 39 | int dias = 5; 40 | int semanas = 4; 41 | double distancia_mensal = perimetro * voltas * dias * semanas / 1000.0; 42 | int area = largura * comprimento; 43 | 44 | cout << "[Exercício 3a] Perímetro = " << perimetro << " m" << endl; 45 | cout << "[Exercício 3b] Distância mensal = " << distancia_mensal << " km" << endl; 46 | cout << "[Exercício 3c] Área = " << area << " m²" << endl; 47 | } 48 | 49 | // Exercício 4 50 | // Enunciado: Calcule o perímetro e área de figura composta por semicircunferência + trapézio. 51 | void figura_composta() { 52 | double pi = 3.14; 53 | double perimetro = 31.4 + 12 + 8 + 12; 54 | double area_semicirculo = (pi * pow(10, 2)) / 2; 55 | double area_trapezio = ((20 + 8) * 10) / 2.0; 56 | double area_total = area_semicirculo + area_trapezio; 57 | 58 | cout << "[Exercício 4] Perímetro = " << perimetro << " cm, Área = " << area_total << " cm²" << endl; 59 | } 60 | 61 | // Exercício 5 62 | // Enunciado: Calcule a área de cada fatia de pizza com raio 15 cm e depois com raio 6 cm. 63 | void area_fatia_pizza() { 64 | double pi = 3.1416; 65 | double area1 = pi * pow(15, 2); 66 | double area_fatia1 = area1 / 6; 67 | 68 | double area2 = pi * pow(6, 2); 69 | double area_fatia2 = area2 / 6; 70 | 71 | cout << "[Exercício 5a] Fatia com raio 15 cm ≈ " << area_fatia1 << " cm²" << endl; 72 | cout << "[Exercício 5b] Fatia com raio 6 cm ≈ " << area_fatia2 << " cm²" << endl; 73 | } 74 | 75 | // Exercício 6 76 | // Enunciado: Dada área de trapézio = 60 cm², base menor = 10, altura = 4. Encontre base maior. 77 | void base_maior_trapezio() { 78 | int area = 60; 79 | int base_menor = 10; 80 | int altura = 4; 81 | int base_maior = ((2 * area) / altura) - base_menor; 82 | cout << "[Exercício 6] Base maior = " << base_maior << " cm" << endl; 83 | } 84 | 85 | // -------------------------------------------- 86 | // TEMA 3 — Aula 6: Geometria Espacial 87 | // -------------------------------------------- 88 | 89 | // Exercício 7 90 | // Enunciado: Chocolate muda de cubo 6³ cm³ para paralelepípedo 4x6xh. Determine h. 91 | void volume_equivalente_chocolate() { 92 | int volume_cubo = pow(6, 3); 93 | int volume_base = 4 * 6; 94 | int altura = volume_cubo / volume_base; 95 | cout << "[Exercício 7] Altura do novo chocolate: " << altura << " cm" << endl; 96 | } 97 | 98 | // Exercício 8 99 | // Enunciado: Caixa de forma pentagonal com parte triangular (8x2) e paralelepípedo (8x7x10). 100 | void volume_caixa_pentagonal() { 101 | int volume_triangulo = (8 * 2) / 2 * 10; 102 | int volume_paralelepipedo = 8 * 7 * 10; 103 | int volume_total = volume_triangulo + volume_paralelepipedo; 104 | cout << "[Exercício 8] Volume total da caixa = " << volume_total << " cm³" << endl; 105 | } 106 | 107 | // Exercício 9 108 | // Enunciado: Água em cone (r=8, h=9) vertida num cubo de 12x12xh. Ache h. 109 | void altura_agua_no_cubo() { 110 | int raio = 8; 111 | int altura_cone = 9; 112 | double pi = 3.0; 113 | double volume_cone = (1.0/3) * pi * pow(raio, 2) * altura_cone; 114 | double base_cubo = 12 * 12; 115 | double altura = volume_cone / base_cubo; 116 | cout << "[Exercício 9] Altura da água no cubo ≈ " << altura << " cm" << endl; 117 | } 118 | 119 | // -------------------------------------------- 120 | // Função principal 121 | // -------------------------------------------- 122 | int main() { 123 | seno_de_quinze_graus(); 124 | solucoes_equacao_trigonometrica(); 125 | campo_de_futebol(); 126 | figura_composta(); 127 | area_fatia_pizza(); 128 | base_maior_trapezio(); 129 | volume_equivalente_chocolate(); 130 | volume_caixa_pentagonal(); 131 | altura_agua_no_cubo(); 132 | return 0; 133 | } 134 | ``` 135 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/5.2-transladacao-de-coordenadas-no-plano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🌌 TEMA 2 — TRANSLADAÇÃO DE COORDENADAS NO PLANO 3 | 4 | > _“Transladar os eixos é como mover o palco do universo: o espetáculo continua, mas sob nova perspectiva.”_ 5 | 6 | --- 7 | 8 | ## 📐 2.1 CONCEITO DE TRANSLAÇÃO DE EIXOS 9 | 10 | A **translação de eixos** consiste em mover a origem do sistema cartesiano de coordenadas do ponto \( O = (0,0) \) para um novo ponto \( O' = (x_0, y_0) \), sem alterar a orientação dos eixos. 11 | 12 | Isso permite **eliminar os termos de 1º grau** de uma equação do segundo grau, simplificando sua análise e facilitando a obtenção de sua forma canônica. 13 | 14 | --- 15 | 16 | ## 🧭 2.2 FÓRMULAS DA TRANSLAÇÃO 17 | 18 | Seja um ponto \( P = (x, y) \) no sistema original. No novo sistema com origem em \( O' = (x_0, y_0) \), as novas coordenadas \( P' = (x', y') \) são dadas por: 19 | 20 | $$ 21 | x = x_0 + x' \\ 22 | y = y_0 + y' 23 | $$ 24 | 25 | --- 26 | 27 | ## 💡 EXEMPLO TEÓRICO 28 | 29 | Considere a equação: 30 | 31 | $$ 32 | 9x^2 + 16y^2 - 36x - 96y + 36 = 0 33 | $$ 34 | 35 | Desejamos transladar a origem para eliminar os termos de 1º grau. 36 | 37 | Substituímos: 38 | 39 | $$ 40 | x = x_0 + x', \quad y = y_0 + y' 41 | $$ 42 | 43 | Após substituição e expansão, obtemos: 44 | 45 | $$ 46 | 9x'^2 + 16y'^2 + (18x_0 - 36)x' + (32y_0 - 96)y' + (9x_0^2 + 16y_0^2 - 36x_0 - 96y_0 + 36) = 0 47 | $$ 48 | 49 | Anulando os coeficientes dos termos lineares: 50 | 51 | $$ 52 | x_0 = 2, \quad y_0 = 3 53 | $$ 54 | 55 | Substituindo os valores: 56 | 57 | $$ 58 | 9x'^2 + 16y'^2 - 144 = 0 59 | $$ 60 | 61 | --- 62 | 63 | ## 🧪 EXEMPLO EM C++ 64 | 65 | ```cpp 66 | // Função que calcula base elevada a uma potência inteira (expoente natural) 67 | double elevarBaseParaExpoenteInteiro(double baseReal, int expoenteNatural) { 68 | double resultadoParcial = 1.0; 69 | for (int contador = 0; contador < expoenteNatural; ++contador) { 70 | resultadoParcial *= baseReal; 71 | } 72 | return resultadoParcial; 73 | } 74 | 75 | // Função que realiza a translação da origem para o centro da cônica 76 | // Elimina os termos lineares da equação geral: A·x² + C·y² + D·x + E·y + F = 0 77 | void transladarEixosParaCentroDaConica( 78 | double coeficienteQuadradoDeX, 79 | double coeficienteMultiplicacaoXY, 80 | double coeficienteQuadradoDeY, 81 | double coeficienteLinearDeX, 82 | double coeficienteLinearDeY, 83 | double termoIndependenteDaEquacao 84 | ) { 85 | // Determina a nova origem para eliminar os termos de primeiro grau 86 | double coordenadaXDaNovaOrigem = coeficienteLinearDeX / (2.0 * coeficienteQuadradoDeX); 87 | double coordenadaYDaNovaOrigem = coeficienteLinearDeY / (2.0 * coeficienteQuadradoDeY); 88 | 89 | // Cálculo do novo termo independente após translação da origem 90 | double termoIndependenteNoSistemaTransladado = 91 | coeficienteQuadradoDeX * elevarBaseParaExpoenteInteiro(coordenadaXDaNovaOrigem, 2) + 92 | coeficienteQuadradoDeY * elevarBaseParaExpoenteInteiro(coordenadaYDaNovaOrigem, 2) - 93 | coeficienteLinearDeX * coordenadaXDaNovaOrigem - 94 | coeficienteLinearDeY * coordenadaYDaNovaOrigem + 95 | termoIndependenteDaEquacao; 96 | 97 | // Exibição do novo sistema centrado 98 | cout << "Nova origem após translação: (" 99 | << coordenadaXDaNovaOrigem << ", " << coordenadaYDaNovaOrigem << ")\n"; 100 | 101 | cout << "Equação da cônica no novo sistema de referência:\n"; 102 | cout << coeficienteQuadradoDeX << "·x'^2 + " 103 | << coeficienteQuadradoDeY << "·y'^2 + " 104 | << termoIndependenteNoSistemaTransladado << " = 0\n"; 105 | } 106 | 107 | int main() { 108 | // Exemplo de equação: 9x² + 16y² - 36x - 96y + 36 = 0 109 | double coeficienteQuadradoDeX = 9; // A 110 | double coeficienteMultiplicacaoXY = 0; // B (ignorado — sem rotação) 111 | double coeficienteQuadradoDeY = 16; // C 112 | double coeficienteLinearDeX = -36; // D 113 | double coeficienteLinearDeY = -96; // E 114 | double termoIndependenteDaEquacao = 36; // F 115 | 116 | transladarEixosParaCentroDaConica( 117 | coeficienteQuadradoDeX, 118 | coeficienteMultiplicacaoXY, 119 | coeficienteQuadradoDeY, 120 | coeficienteLinearDeX, 121 | coeficienteLinearDeY, 122 | termoIndependenteDaEquacao 123 | ); 124 | 125 | return 0; 126 | } 127 | 128 | ``` 129 | 130 | --- 131 | 132 | ## 💸 APLICAÇÃO FINANCEIRA 133 | 134 | Em análise técnica, o deslocamento da origem pode ser interpretado como uma **mudança no referencial de preço**, centrando a análise nos **níveis médios de suporte e resistência**. 135 | 136 | Ao transladar a origem para o ponto onde a curvatura da cônica é mais visível (centro de uma elipse, por exemplo), a análise gráfica se torna mais clara, permitindo detectar **zonas de reversão** ou **regiões de consolidação**. 137 | 138 | --- 139 | 140 | ## 🪐 APLICAÇÃO CÓSMICA 141 | 142 | Na cosmologia, uma translação de eixos pode ser usada para redefinir o centro de um sistema de coordenadas **em torno de um corpo celeste massivo**, facilitando o estudo de órbitas elípticas ou hiperbólicas ao redor daquele corpo. 143 | 144 | > “Ao mover a origem, encontramos onde o espaço-tempo dança com mais harmonia.” 145 | 146 | --- 147 | 148 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/5.1-algoritmos-para-encontrar-o-centro-ou-o-vertice-da-conica.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🌌 TEMA 1 — ALGORITMOS PARA ENCONTRAR O CENTRO OU O VÉRTICE DA CÔNICA 3 | 4 | > _“Uma cônica fora do eixo é como um planeta fora da órbita: confuso à primeira vista, mas com beleza oculta em seu movimento.”_ 5 | 6 | --- 7 | 8 | ## 📘 1.1 PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA ORIGEM 9 | 10 | ### 🔧 **Equação Canônica (Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo x)** 11 | 12 | $$ 13 | (y - k)^2 = 4p(x - h) 14 | $$ 15 | 16 | Ao expandirmos: 17 | 18 | $$ 19 | y^2 - 2ky + k^2 = 4px - 4ph 20 | $$ 21 | 22 | $$ 23 | y^2 - 4px - 2ky + 4ph + k^2 = 0 24 | $$ 25 | 26 | Comparando com a equação geral de segundo grau: 27 | 28 | $$ 29 | Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 30 | $$ 31 | 32 | Temos que: 33 | - \( A = 0, B = 0 \) 34 | - Equação reduzida: 35 | 36 | $$ 37 | Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 38 | $$ 39 | 40 | Dividindo por \( C \): 41 | 42 | $$ 43 | y^2 + \frac{D}{C}x + \frac{E}{C}y + \frac{F}{C} = 0 44 | $$ 45 | 46 | ### ✨ Fórmulas Mágicas: 47 | 48 | $$ 49 | p = -\frac{D}{4C}, \quad 50 | k = -\frac{E}{2C}, \quad 51 | h = \frac{F - Ck^2}{4pC} 52 | $$ 53 | 54 | --- 55 | 56 | ### 🔧 **Equação Canônica (Eixo de Simetria Paralelo ao Eixo y)** 57 | 58 | $$ 59 | (x - h)^2 = 4p(y - k) 60 | $$ 61 | 62 | Expandindo: 63 | 64 | $$ 65 | x^2 - 2hx + h^2 = 4py - 4pk 66 | $$ 67 | 68 | $$ 69 | x^2 - 2hx - 4py + 4pk + h^2 = 0 70 | $$ 71 | 72 | Comparando com: 73 | 74 | $$ 75 | Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 76 | $$ 77 | 78 | Temos que \( B = 0, C = 0 \), e a equação reduzida: 79 | 80 | $$ 81 | Ax^2 + Dx + Ey + F = 0 82 | $$ 83 | 84 | Dividindo por \( A \): 85 | 86 | $$ 87 | x^2 + \frac{D}{A}x + \frac{E}{A}y + \frac{F}{A} = 0 88 | $$ 89 | 90 | ### ✨ Fórmulas Mágicas: 91 | 92 | $$ 93 | h = -\frac{D}{2A}, \quad 94 | p = -\frac{E}{4A}, \quad 95 | k = \frac{F - Ah^2}{4pA} 96 | $$ 97 | 98 | --- 99 | 100 | ### 💡 Exemplo no Código C++ 101 | 102 | ```cpp 103 | // Eleva base à potência (expoente natural ≥ 0) 104 | double elevarPotencia(double base, int expoente) { 105 | double resultado = 1.0; 106 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) 107 | resultado *= base; 108 | return resultado; 109 | } 110 | 111 | int main() { 112 | // Coeficientes da equação geral da parábola 113 | double coeficienteXQuadrado = 0; 114 | double coeficienteYQuadrado = 0; 115 | double coeficienteX = 4; // C 116 | double coeficienteY = 1; // D 117 | double constanteIndependente = -3; // E 118 | double termoLivre = -1; // F 119 | 120 | // Cálculo do vértice da parábola 121 | // Fórmulas: 122 | // p = -D / (4·C) 123 | // k = -E / (2·C) 124 | // h = (F − C·k²) / (4·p·C) 125 | 126 | double parametroP = -coeficienteY / (4.0 * coeficienteX); 127 | double coordenadaYDoVertice = -constanteIndependente / (2.0 * coeficienteX); 128 | double coordenadaXDoVertice = (termoLivre - coeficienteX * elevarPotencia(coordenadaYDoVertice, 2)) 129 | / (4.0 * parametroP * coeficienteX); 130 | 131 | cout << "Vértice da parábola: (" << coordenadaXDoVertice << ", " << coordenadaYDoVertice << ")\n"; 132 | cout << "Parâmetro p: " << parametroP << endl; 133 | 134 | return 0; 135 | } 136 | 137 | ``` 138 | 139 | --- 140 | 141 | ### 💸 Aplicação no Mercado Financeiro: 142 | 143 | > Suponha que a trajetória de preço de um ativo esteja modelada como uma parábola voltada para a esquerda. Encontrar o **vértice** te dá o **ponto de reversão**, o “mínimo local” – ou seja, a **melhor entrada para um trade de compra**. A parábola te guia ao ponto onde o universo do preço muda de direção. 144 | 145 | --- 146 | 147 | ## 📘 1.2 ELIPSE E HIPÉRBOLE COM CENTRO FORA DA ORIGEM 148 | 149 | Para ambas as cônicas: 150 | 151 | $$ 152 | \text{Elipse:} \quad \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 153 | $$ 154 | 155 | $$ 156 | \text{Hipérbole:} \quad \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 157 | $$ 158 | 159 | Desenvolvendo as equações, encontramos: 160 | 161 | $$ 162 | A = b^2 163 | $$ 164 | 165 | $$ 166 | C = \pm a^2 167 | $$ 168 | 169 | $$ 170 | B = 0 171 | $$ 172 | 173 | $$ 174 | D = -2hA \quad \Rightarrow \quad h = \frac{-D}{2A} 175 | $$ 176 | 177 | $$ 178 | E = -2kC \quad \Rightarrow \quad k = \frac{-E}{2C} 179 | $$ 180 | 181 | --- 182 | 183 | ### 💡 Exemplo no Código C++ 184 | 185 | ```cpp 186 | int main() { 187 | // Coeficientes da equação geral da hipérbole 188 | double coeficienteQuadradoDeX = 16; // A 189 | double coeficienteMultiplicacaoXY = 0; // B 190 | double coeficienteQuadradoDeY = -9; // C 191 | double coeficienteDeX = -64; // D 192 | double coeficienteDeY = 72; // E 193 | double termoIndependente = -224; // F 194 | 195 | // Cálculo do centro da hipérbole 196 | // Fórmulas: 197 | // h = −D / (2·A) 198 | // k = −E / (2·C) 199 | double coordenadaXDoCentro = -coeficienteDeX / (2.0 * coeficienteQuadradoDeX); 200 | double coordenadaYDoCentro = -coeficienteDeY / (2.0 * coeficienteQuadradoDeY); 201 | 202 | cout << "Centro da hipérbole: (" << coordenadaXDoCentro << ", " << coordenadaYDoCentro << ")\n"; 203 | 204 | return 0; 205 | } 206 | 207 | ``` 208 | 209 | --- 210 | 211 | ### 🌌 Aplicação Cósmica: 212 | 213 | > Imagine que você é um astrônomo traçando a órbita de um cometa. A equação da hipérbole te diz a posição de sua trajetória em relação ao **centro gravitacional** – representado por (h, k). Saber esse centro é saber **onde o espaço se curva** ao seu redor. 214 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/fundamentos-da-matematica/7.1-exercicios.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ```cpp 2 | // 📘 Aulas 1, 2 e 3 — Trigonometria, Exponenciais, Logaritmos, Sequências 3 | 4 | #include 5 | #include 6 | using namespace std; 7 | 8 | // -------------------------------------------- 9 | // TEMA 1 — Exercícios da Aula 1 10 | // -------------------------------------------- 11 | 12 | // Exercício 1 13 | // Enunciado: Em um triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 45°, e a hipotenusa mede 8√2 cm. 14 | // Qual a área desse triângulo? 15 | void area_triangulo_45_graus() { 16 | double cateto = 8; 17 | double area = (cateto * cateto) / 2; 18 | cout << "[Exercício 1] Área do triângulo: " << area << " cm²" << endl; 19 | } 20 | 21 | // Exercício 2 22 | // Enunciado: Um fio de 25 m liga o topo de dois prédios. Sabendo que o prédio menor tem 12 m e a distância entre os prédios é 20 m, 23 | // qual a altura do prédio maior? 24 | void altura_predio_maior() { 25 | double cateto_diferenca = sqrt(pow(25, 2) - pow(20, 2)); 26 | double altura_total = cateto_diferenca + 12; 27 | cout << "[Exercício 2] Altura do prédio maior: " << altura_total << " m" << endl; 28 | } 29 | 30 | // Exercício 3 31 | // Enunciado: Calcule o valor de x utilizando tangentes nos triângulos formados por ângulos de 30° e 60°. 32 | void calcular_valor_x_triangulos() { 33 | double y = 5; 34 | double x = y * sqrt(3); 35 | cout << "[Exercício 3] Valor de x: " << x << endl; 36 | } 37 | 38 | // Exercício 4 39 | // Enunciado: No cubo de aresta 4, com ponto P no segmento FH formando um ângulo de 30° em C, calcule HP, CP e o ângulo CPH. 40 | void medidas_cubo() { 41 | double cateto_CH = 4; 42 | double cateto_HP = cateto_CH * sqrt(3) / 3; 43 | double hipotenusa_CP = sqrt(pow(cateto_CH, 2) + pow(cateto_HP, 2)); 44 | cout << "[Exercício 4] HP = " << cateto_HP << ", CP = " << hipotenusa_CP << endl; 45 | } 46 | 47 | // -------------------------------------------- 48 | // TEMA 2 — Exercícios da Aula 2 49 | // -------------------------------------------- 50 | 51 | // Exercício 5 52 | // Enunciado: Dada a função N(t) = 50 * 2^(t/2), calcule: 53 | // a) N(0) — número inicial de bactérias 54 | // b) N(4) — após 4 horas 55 | // c) t tal que N(t) = 1600 56 | void crescimento_bacterias() { 57 | double tempo1 = 0; 58 | double tempo2 = 4; 59 | double quantidade1 = 50 * pow(2, tempo1 / 2); 60 | double quantidade2 = 50 * pow(2, tempo2 / 2); 61 | double tempo3 = 10; 62 | double quantidade3 = 50 * pow(2, tempo3 / 2); 63 | cout << "[Exercício 5a] Bactérias inicialmente: " << quantidade1 << endl; 64 | cout << "[Exercício 5b] Bactérias após 4 horas: " << quantidade2 << endl; 65 | cout << "[Exercício 5c] Tempo para 1600 bactérias: " << tempo3 << " horas" << endl; 66 | } 67 | 68 | // Exercício 6 69 | // Enunciado: C(t) = 2^(t/3). Verificar se após 30 dias o número de contaminados passa de 1000. 70 | void contaminacao_exponencial() { 71 | double contaminados_30_dias = pow(2, 30.0 / 3); 72 | cout << "[Exercício 6] Contaminados após 30 dias: " << contaminados_30_dias << endl; 73 | } 74 | 75 | // -------------------------------------------- 76 | // TEMA 3 — Exercícios da Aula 3 77 | // -------------------------------------------- 78 | 79 | // Exercício 7 80 | // Enunciado: Painel com 150 filas de estrelinhas (1 na primeira, 2 na segunda...). Calcule o total de estrelinhas. 81 | void quantidade_estrelas() { 82 | int primeiro_termo = 1; 83 | int ultimo_termo = 150; 84 | int numero_termos = 150; 85 | int soma = (primeiro_termo + ultimo_termo) * numero_termos / 2; 86 | cout << "[Exercício 7] Total de estrelas: " << soma << endl; 87 | } 88 | 89 | // Exercício 8 90 | // Enunciado: Entre os radares nos kms 30 e 480, adicionar 8 novos radares igualmente espaçados. Qual a distância entre eles? 91 | void distancia_radares() { 92 | int primeiro_km = 30; 93 | int decimo_km = 480; 94 | int razao = (decimo_km - primeiro_km) / 9; 95 | cout << "[Exercício 8] Distância entre radares: " << razao << " km" << endl; 96 | } 97 | 98 | // -------------------------------------------- 99 | // TEMA 4 — Exercício Extra 100 | // -------------------------------------------- 101 | 102 | // Enunciado: Um observador de 1,80 m vê um balão sobre uma torre com ângulo de 45°, anda 10m e o ângulo muda para 60°. 103 | // Qual a altura total do balão? 104 | void altura_balao() { 105 | double raiz3 = 1.732; 106 | double y = 10 / (raiz3 - 1); 107 | double x = 10 + y; 108 | double altura_total = x + 1.8; 109 | cout << "[Exercício Extra 1] Altura do balão: " << altura_total << " metros" << endl; 110 | } 111 | 112 | // -------------------------------------------- 113 | // TEMA 5 — Exercício Extra 2 114 | // -------------------------------------------- 115 | 116 | // Enunciado: A quinta parcela de uma PG é 81 e a décima quinta é 59049. Determine a razão e o primeiro termo. 117 | void pg_termo_razao() { 118 | int termo5 = 81; 119 | int termo15 = 59049; 120 | int razao = pow(termo15 / termo5, 1.0 / 10); 121 | int primeiro_termo = termo5 / pow(razao, 4); 122 | cout << "[Exercício Extra 2] Razão: " << razao << ", Primeiro termo: " << primeiro_termo << endl; 123 | } 124 | 125 | // -------------------------------------------- 126 | // Função principal 127 | // -------------------------------------------- 128 | int main() { 129 | area_triangulo_45_graus(); 130 | altura_predio_maior(); 131 | calcular_valor_x_triangulos(); 132 | medidas_cubo(); 133 | crescimento_bacterias(); 134 | contaminacao_exponencial(); 135 | quantidade_estrelas(); 136 | distancia_radares(); 137 | altura_balao(); 138 | pg_termo_razao(); 139 | return 0; 140 | } 141 | ``` 142 | -------------------------------------------------------------------------------- /semestre1/introducao-a-geometria-analitica/5.3-rotacao-de-eixos-no-plano.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | # 🌌 TEMA 3 — ROTAÇÃO DE EIXOS NO PLANO 3 | 4 | > _“Giramos os eixos para que a verdade matemática surja sob um novo ângulo. O universo é o mesmo, mas o ponto de vista agora revela sua simetria secreta.”_ 5 | 6 | --- 7 | 8 | ## 🌀 3.1 CONCEITO DE ROTAÇÃO 9 | 10 | A **rotação de eixos** é uma transformação que muda a orientação dos eixos coordenados, girando-os em torno da origem por um ângulo $\theta$, sem mover o ponto $(0, 0)$. 11 | 12 | Essa operação é usada para **eliminar o termo misto \( Bxy \)** da equação do 2º grau: 13 | 14 | $$ 15 | Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 16 | $$ 17 | 18 | --- 19 | 20 | ## 🔁 3.2 FÓRMULAS DA ROTAÇÃO 21 | 22 | As transformações são dadas por: 23 | 24 | $$ 25 | x = x'' \cos\theta - y'' \sin\theta \\ 26 | y = x'' \sin\theta + y'' \cos\theta 27 | $$ 28 | 29 | O ângulo $\theta$ é determinado a partir de: 30 | 31 | $$ 32 | \tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} 33 | $$ 34 | 35 | Se $( A = C \)$, então $( \theta = 45^\circ \)$. 36 | 37 | --- 38 | 39 | ## 💡 EXEMPLO TEÓRICO 40 | 41 | Dada a equação: 42 | 43 | $$ 44 | 5x^2 + 4xy + 2y^2 - 1 = 0 45 | $$ 46 | 47 | ### 1. Encontrar o ângulo de rotação: 48 | 49 | $$ 50 | A = 5, \quad B = 4, \quad C = 2 \\ 51 | \tan(2\theta) = \frac{4}{5 - 2} = \frac{4}{3} 52 | $$ 53 | 54 | Usamos: 55 | 56 | $$ 57 | \tan(2\theta) = \frac{2 \tan\theta}{1 - \tan^2\theta} 58 | $$ 59 | 60 | Igualamos: 61 | 62 | $$ 63 | \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = \frac{4}{3} 64 | $$ 65 | 66 | Resolvendo: 67 | 68 | $$ 69 | 4\tan^2\theta + 6\tan\theta - 4 = 0 70 | $$ 71 | 72 | Raízes: 73 | 74 | $$ 75 | \tan\theta = -2 \quad \text{ou} \quad \tan\theta = \frac{1}{2} 76 | $$ 77 | 78 | Como $( 0^\circ < \theta < 90^\circ \)$, usamos $( \tan\theta = \frac{1}{2} \)$ 79 | 80 | --- 81 | 82 | ### 2. Encontrar $( \cos\theta \)$ e $( \sin\theta \)$: 83 | 84 | Se $( \tan\theta = \frac{1}{2} \)$, então: 85 | 86 | $$ 87 | \cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} 88 | $$ 89 | 90 | --- 91 | 92 | ### 3. Substituir nas fórmulas de rotação: 93 | 94 | $$ 95 | x = \frac{2x'' - y''}{\sqrt{5}}, \quad y = \frac{x'' + 2y''}{\sqrt{5}} 96 | $$ 97 | 98 | --- 99 | 100 | ### ✅ Equação resultante (após substituição e simplificação): 101 | 102 | $$ 103 | 6x''^2 + y''^2 - 1 = 0 104 | $$ 105 | 106 | --- 107 | 108 | ## 💻 EXEMPLO EM C++ 109 | 110 | ```cpp 111 | #include 112 | using namespace std; 113 | 114 | // Potência inteira (manual, sem cmath) 115 | double elevarPotencia(double base, int expoente) { 116 | double resultado = 1.0; 117 | for (int i = 0; i < expoente; ++i) 118 | resultado *= base; 119 | return resultado; 120 | } 121 | 122 | // Raiz quadrada (método de Newton-Raphson) 123 | double raizQuadrada(double valor) { 124 | if (valor < 0) return -1; 125 | if (valor == 0) return 0; 126 | double estimativa = valor / 2.0; 127 | if (estimativa < 1.0) estimativa = 1.0; 128 | for (int i = 0; i < 20; ++i) 129 | estimativa = 0.5 * (estimativa + valor / estimativa); 130 | return estimativa; 131 | } 132 | 133 | int main() { 134 | // Coeficientes da equação geral da cônica: A·x² + B·xy + C·y² + ... = 0 135 | double coeficienteQuadradoDeX = 5.0; 136 | double coeficienteXY = 4.0; 137 | double coeficienteQuadradoDeY = 2.0; 138 | 139 | // calcular a tangente do ângulo duplo 140 | // Fórmula: tan(2θ) = B / (A − C) 141 | double tangenteDoAnguloDuplo = coeficienteXY / 142 | (coeficienteQuadradoDeX - coeficienteQuadradoDeY); 143 | 144 | // resolver a equação para tan(θ) 145 | // A equação é: 2·tan²(θ) - 2·tan(2θ)·tan(θ) - tan(2θ) = 0 146 | double coefA = 2.0; 147 | double coefB = -2.0 * tangenteDoAnguloDuplo; 148 | double coefC = -tangenteDoAnguloDuplo; 149 | 150 | double discriminante = elevarPotencia(coefB, 2) - 4.0 * coefA * coefC; 151 | double raizDoDiscriminante = raizQuadrada(discriminante); 152 | 153 | // Soluções da equação do segundo grau (tangente do ângulo θ) 154 | double tangenteRaiz1 = (-coefB + raizDoDiscriminante) / (2.0 * coefA); 155 | double tangenteRaiz2 = (-coefB - raizDoDiscriminante) / (2.0 * coefA); 156 | 157 | // Escolhe a raiz positiva (ângulo entre 0 e 90 graus) 158 | double tangenteDoAngulo = (tangenteRaiz1 > 0) ? tangenteRaiz1 : tangenteRaiz2; 159 | 160 | // cálculo manual de seno e cosseno a partir da tangente 161 | // Fórmulas: 162 | // sen(θ) = tan(θ) / √(1 + tan²(θ)) 163 | // cos(θ) = 1 / √(1 + tan²(θ)) 164 | double denominadorTrigonometrico = raizQuadrada(1.0 + elevarPotencia(tangenteDoAngulo, 2)); 165 | double senoDoAngulo = tangenteDoAngulo / denominadorTrigonometrico; 166 | double cossenoDoAngulo = 1.0 / denominadorTrigonometrico; 167 | 168 | cout << "tan(θ): " << tangenteDoAngulo << endl; 169 | cout << "sen(θ): " << senoDoAngulo << endl; 170 | cout << "cos(θ): " << cossenoDoAngulo << endl; 171 | 172 | // x = cos(θ)·x'' − sen(θ)·y'' 173 | // y = sen(θ)·x'' + cos(θ)·y'' 174 | cout << "Transformação de coordenadas após rotação:" << endl; 175 | cout << "x = " << cossenoDoAngulo << " * x'' - " << senoDoAngulo << " * y''" << endl; 176 | cout << "y = " << senoDoAngulo << " * x'' + " << cossenoDoAngulo << " * y''" << endl; 177 | 178 | return 0; 179 | } 180 | ``` 181 | 182 | --- 183 | 184 | ## 💸 APLICAÇÃO FINANCEIRA 185 | 186 | Ao girar os eixos, eliminamos a correlação entre duas variáveis que estavam interligadas — **como preço e volume**, **preço e tempo**, **taxa e volatilidade**. 187 | Rotacionar o plano revela a estrutura **mais pura e linear** do movimento de mercado. 188 | 189 | --- 190 | 191 | ## 🌌 APLICAÇÃO CÓSMICA 192 | 193 | No universo, nem todas as órbitas estão alinhadas ao nosso referencial. 194 | **Rotacionar os eixos é como realinhar o telescópio com a curvatura real do espaço-tempo.** 195 | E, assim, compreender a trajetória da luz ao redor de um buraco negro ou a dança gravitacional de duas galáxias. 196 | 197 | > “A rotação nos faz ver o invisível.” 198 | 199 | --- 200 | --------------------------------------------------------------------------------