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14 | El Argumento Principal
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18 | En este texto la notación $\textbf{arg} (z)$ se usa para designar un
19 | argumento arbitrario de $z,$ lo cual significa que $\textbf{arg} (z)$ es un conjunto de números. En
20 | particular,
21 | la relación $$\textbf{arg} (z_1) = \textbf{arg} (z_2)$$ no es una ecuación, sino que expresa una
22 | igualdad entre dos conjuntos.
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24 | Como consecuencia, dos números complejos $r_1 (\cos \varphi_1 + i \,\text{sen }\varphi_1)$ y $r_2
25 | (\cos \varphi_2 + i \,\text{sen }\varphi_2)$
26 | son iguales si y sólo si
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28 | $$r_1=r_2,\quad \text{and}\quad \varphi_1 = \varphi_2+ 2 k \pi,$$
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donde $k \in \mathbb Z.$
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32 | Para hacer que el argumento de $z$ sea un número bien definido, es conveniente
33 | restringir su valor al intervalo $(-\pi, \pi].$ Esta elección especial se
34 | denomina argumento principal o la
35 | rama principal del argumento y se denota como $\textbf{Arg}(z).$
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38 | Notemos que no existe una convención general acerca de la definición del valor principal,
39 | algunas veces sus valores se consideran definidos en el intervalo $[0, 2\pi).$
40 | Esta ambigüedad es una fuente perpetua de mal entendidos y errores. En este libro siempre
41 | utilizaremos
42 | el intervalo $(-\pi, \pi].$
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52 | El argumento principal $\textbf{Arg}(z)$ de un número complejo $z=x+iy$ normalmente está dado por
53 | $$\Theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right),$$
54 | donde $y/x$ es la pendiente, y $\arctan$ convierte la pendiente en ángulo. Pero esto es correcto solo
55 | cuando $x \neq 0,$
56 | cuando el cociente está definido y el ángulo está entre $-\pi/2$ and $\pi/2.$
57 | Necesitamos extender esta definición a los casos donde
58 | $x$ no es positivo, considerando el valor principal del argumento de forma separada en los cuatro
59 | cuadrantes del plano complejo.
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62 | La función $\textbf{Arg}(z)$ $:\mathbb C \setminus \{0\} \rightarrow \left(-\pi,\pi\right]$ está definida
63 | como:
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65 | \begin{eqnarray*}
66 | \textbf{Arg}(z)= \left\{\def\arraystretch{1.2}%
67 | \begin{array}{@{}c@{\quad}r@{}}
68 | \arctan \frac{y}{x} & \;\text{if $x>0,$ $y\in \mathbb R$}\\
69 | \arctan \frac{y}{x}+\pi & \;\text{if $x <0,$ $y\geq 0$}\\
70 | \arctan \frac{y}{x}-\pi & \;\text{if $x < 0,$ $y < 0$}\\
71 | \frac{\pi}{2} & \;\text{if $x=0,$ $y> 0$}\\
72 | -\frac{\pi}{2} & \;\text{if $x=0,$ $y < 0$}\\
73 | \text{undefined}& \;\text{if $x=0,$ $y=0$}\\
74 | \end{array}\right.
75 | \end{eqnarray*}
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77 | De esta forma, si $z=r(\cos \Theta +i\,\text{sen } \Theta),$ con $r>0$ y $-\pi < \Theta \leq \pi,$
78 | entonces
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80 | \begin{eqnarray*}
81 | \textbf{arg}(z)= \{ \textbf{Arg}(z)+2n\pi \mid n \in \mathbb{Z} \}.
82 | \end{eqnarray*}
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86 | Podemos visualizar los múltiples valores de $\textbf{arg}(z)$ al usar superficies de Riemann.
88 | El siguiente applet interactivo muestra algunas ramas (o valores) de $\textbf{arg}(z).$
89 | Cada rama se identifica con un color diferente.
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97 | Argumentos de productos y cocientes
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101 | Si $z_1= r_1e^{i\theta_1}$ y $z_2= r_2e^{i\theta_2},$ entonces
102 | \begin{eqnarray}\label{product}
103 | z_1z_2 = \left(r_1r_2\right)e^{i\left(\theta_1 + \theta_2\right)}
104 | \end{eqnarray}
105 | implica
106 | \begin{eqnarray}\label{arg-product}
107 | \arg\left(z_1z_2\right) = \arg\left(z_1\right) + \arg\left(z_2\right).
108 | \end{eqnarray}
109 | Podemos probar fácilmente (\ref{arg-product}) dejando que $\theta_1$ y $\theta_2$ representen cualquier
110 | valor de $\arg\left(z_1\right)$ y $\arg\left(z_2\right),$ respectivamente.
111 | Entonces la expresión (\ref{product}) nos dice que $\theta_1+\theta_2$ es
112 | un valor de $\arg\left(z_1z_2\right).$ Si los valores de
113 | $\arg\left(z_1z_2\right)$ y $\arg\left(z_1\right)$ están especificados, estos valores
114 | corresponden a elecciones particulares de $n$ y $k$ en las expresiones
115 | \[
116 | \arg\left(z_1z_2\right) = \left(\theta_1 + \theta_2\right)+ 2n\pi\quad (n\in \Z)
117 | \]
118 | y
119 | \[
120 | \arg\left(z_1\right) =\theta_1 + 2k\pi\quad (k\in \Z)
121 | \]
122 | Ahora, dado que
123 | \[
124 | \left(\theta_1 + \theta_2\right)+ 2n\pi = \theta_1 + 2k\pi + \left[\theta_2 + 2(n-k)\pi\right],
125 | \]
126 | la ecuación (\ref{arg-product}) se satisface al elegir el valor
127 | \[
128 | \arg\left(z_2\right) =\theta_2 + 2(n-k)\pi.
129 | \]
130 | La verificación cuando los valores de
131 | $\arg\left(z_1z_2\right)$ y $\arg\left(z_2\right)$ están especificados sigue por simetría.
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135 | La afirmación (\ref{arg-product}) a veces es válida cuando se reemplaza
136 | $\arg$ por $\Arg$ en todas partes. Sin embargo, como ilustra el siguiente ejemplo, no es
137 | siempre el caso.
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142 | Ejemplo:
143 | Considera $z_1 = -1$ y $z_2=i.$ Entonces
144 | \[
145 | \Arg\left(z_1z_2\right) = \Arg(-i)=-\frac{\pi}{2}
146 | \]
147 | pero
148 | \[
149 | \Arg\left(z_1\right)+\Arg\left(z_2\right) = \pi +\frac{\pi}{2}= \frac{3\pi}{2}.
150 | \]
151 | Sin embargo, si tomamos los valores de $\arg (z_1)$ y $\arg (z_2)$
152 | que acabamos de usar y seleccionamos el valor
153 | \[
154 | \Arg\left(z_1z_2\right) + 2\pi = -\frac{\pi}{2}+ 2\pi = \frac{3\pi}{2}
155 | \]
156 | de $\arg (z_1z_2),$ encontramos que la ecuación (\ref{arg-product}) se satisface.
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162 | Ejercicio:
163 | Recuerda que $\dfrac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}.$ Usa la afirmación (\ref{arg-product})
164 | para mostrar que
165 | \[
166 | \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg\left(z_1\right) -\arg\left(z_2\right).
167 | \]
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