├── .gitignore ├── .travis.yml ├── LICENSE ├── README.md ├── acoms_18_3course ├── acoms_18_3course.tex ├── header.sty └── lectures │ ├── .DS_Store │ ├── lecture_1_[19.01.2018].tex │ ├── lecture_2_[26.01.2018].tex │ ├── lecture_3_[02.02.2018].tex │ ├── lecture_4_[09.02.2018].tex │ ├── lecture_5_[16.02.2018].tex │ ├── lecture_6_[02.03.2018].tex │ ├── lecture_7_[09.03.2018].tex │ └── lecture_8_[16.03.2018].tex ├── algebra_1course ├── README.md ├── algebra_01_[04.04.2016].tex ├── algebra_02_[11.04.2016].tex ├── algebra_03_[18.04.2016].tex ├── algebra_04_[25.04.2016].tex ├── algebra_05_[29.04.2016].tex ├── algebra_06_[16.05.2016].tex ├── algebra_07_[23.05.2016].tex ├── algebra_08_[27.05.2016].tex ├── algebra_09_[04.06.2015].tex ├── algebra_10_[11.06.2015].tex └── algebra_1course.tex ├── algo_15-16_1course_standart ├── 09_intervals.png ├── algo_15-16_1course_standart.tex ├── asymptotic.tex ├── cormen.tex ├── hanoi.tex ├── lectures.sty ├── mini-kormen.jpg └── spanning.pdf ├── algo_16-17_1course_pilot ├── 0_intro.tex ├── 1_lecture.tex ├── 2_lecture.tex ├── 3_lecture.tex ├── 4_lecture.tex ├── algo_16-17_1course_pilot.tex ├── header_book.sty ├── hse_algo_pilot_01_[02.09.2016].tex └── images │ ├── Airat.jpg │ ├── Nebudem.jpg │ ├── alpha.png │ ├── graph.png │ └── velosiped.jpg ├── algo_16-17_1course_standart ├── README.md ├── algo-header.sty ├── algo_16-17_1course_standart.tex ├── algo_16-17_1course_standart_control1.tex ├── caution.tex ├── images │ ├── aist-eps-converted-to.pdf │ ├── aist.eps │ ├── aist.jpg │ └── aist.svg └── lectures │ ├── lecture-01-12.01.2017.tex │ ├── lecture-02-19.01.2017.tex │ ├── lecture-03-26.01.2017.tex │ ├── lecture-04-02.02.2017.tex │ ├── lecture-05-09.02.2017.tex │ ├── lecture-06-16.02.2017.tex │ ├── lecture-07-02.03.2017.tex │ ├── lecture-08-09.03.2017.tex │ ├── lecture-09-16.03.2017.tex │ └── lecture-XX-dd.mm.yyyy.tex ├── algo_16_2course_pilot ├── algo_16_2course_pilot.tex ├── header_book.sty ├── hse_algo_pilot_01_[02.09.2016].tex ├── hse_algo_pilot_02_[06.09.2016].tex ├── hse_algo_pilot_03_[16.09.2016].tex ├── hse_algo_pilot_04_[20.09.2016].tex ├── hse_algo_pilot_05_[27.09.2016].tex ├── hse_algo_pilot_06_[30.09.2016].tex ├── hse_algo_pilot_07_[04.10.2016].tex ├── hse_algo_pilot_08_[11.10.2016].tex ├── hse_algo_pilot_09_[14.10.2016].tex ├── hse_algo_pilot_10_[18.10.2016].tex └── images │ ├── Airat.jpg │ ├── Nebudem.jpg │ ├── alpha.png │ ├── graph.png │ └── velosiped.jpg ├── algo_16_2course_standart ├── algo_16_2course_standart.tex └── mini-kormen-2.jpg ├── calculus_16-17_2course ├── Stoks.tex ├── calculus_16-17_2course.tex ├── header.sty ├── images │ ├── 03-01.png │ ├── 14-1.png │ ├── 14-2.png │ ├── 14-3.png │ └── Title.png └── lectures │ ├── calculus_01_[05.09.2016].tex │ ├── calculus_02_[12.09.2016].tex │ ├── calculus_03_[19.09.2016].tex │ ├── calculus_04_[26.09.2016].tex │ ├── calculus_05_[03.10.2016].tex │ ├── calculus_06_[10.10.2016].tex │ ├── calculus_07_[17.10.2016].tex │ ├── calculus_08_[31.10.2016].tex │ ├── calculus_09_[07.11.2016].tex │ ├── calculus_10_[14.11.2016].tex │ ├── calculus_11_[21.11.2016].tex │ ├── calculus_12_[28.11.2016].tex │ ├── calculus_13_[12.12.2016].tex │ ├── calculus_14_[17.01.2017].tex │ ├── calculus_15_[23.01.2017].tex │ ├── calculus_16_[30.01.2017].tex │ ├── calculus_17_[06.02.2017].tex │ ├── calculus_18_[13.02.2017].tex │ ├── calculus_19_[20.02.2017].tex │ ├── calculus_20_[27.02.2017].tex │ ├── calculus_21_[06.03.2017].tex │ ├── calculus_22_[13.03.2017].tex │ ├── calculus_23_[20.03.2017].tex │ ├── calculus_24_[03.04.2017].tex │ ├── calculus_25_[10.07.2017].tex │ ├── calculus_26_[17.04.2017].tex │ ├── calculus_27_[15.05.2017].tex │ ├── calculus_29_[22.05.2017].tex │ ├── calculus_30_[29.05.2017].tex │ ├── calculus_31_[29.05.2017].tex │ └── calculus_32_[05.06.2017].tex ├── continuous-optimization_17-18_3course ├── continuous-optimization_17-18_3course.tex ├── header.sty ├── optimization_01_[09.01.2018].tex ├── optimization_02_[16.01.2018].tex ├── optimization_03_[23.01.2018].tex ├── optimization_04_[30.01.18].tex ├── optimization_05_[5.02.18].tex ├── optimization_06.tex └── optimization_07.tex ├── differential-equations_16-17_2course ├── differential-equations_16-17_2course_lectures.tex └── differential-equations_16-17_2course_seminars.tex ├── discrete-math_15-16_1course ├── 01.02.2016 │ ├── images │ │ ├── kantorbern1.jpg │ │ ├── kantorbern2.jpg │ │ └── kantorbern3.jpg │ └── main.tex ├── 08.02.2016 │ └── main.tex ├── 11.01.2016 │ ├── discrete-math_15_[11.01.2016].tex │ └── images │ │ ├── 1.png │ │ ├── 2.png │ │ └── 3.png ├── 18.01.2016 │ └── discrete-math_16_[18.01.2016].tex ├── 22.02.2016 │ └── main.tex ├── 25.01.2016 │ ├── discrete-math_17_[25.01.2016].tex │ └── main.tex ├── discrete-math_colloquium-definitions.tex ├── discrete-math_colloquium-proofs.tex └── images │ ├── 1.png │ ├── 2.png │ ├── 3.png │ ├── Comp.png │ ├── CompAs.png │ ├── MTboarder.png │ ├── Tab2MT.png │ ├── TabMT.png │ ├── bi.png │ ├── in.png │ ├── kantorbern1.jpg │ ├── kantorbern2.jpg │ ├── kantorbern3.jpg │ └── sur.png ├── functional-analysis_17-18 ├── README.md ├── caution.tex ├── functional-analysis_17-18.tex ├── header.sty ├── images │ ├── aist.eps │ ├── aist.jpg │ └── aist.svg ├── lectures │ ├── lecture-01.tex │ ├── lecture-02.tex │ └── lecture-XX.tex └── program.tex ├── linear-algebra_15-16_1course ├── colloc │ ├── definitions.tex │ └── questions.tex ├── header.sty ├── lectures │ ├── linear-algebra_15_[11.01.2016].tex │ ├── linear-algebra_16_[18.01.2016].tex │ ├── linear-algebra_17_[25.01.2016].tex │ ├── linear-algebra_18_[29.01.2016].tex │ ├── linear-algebra_19_[01.02.2016].tex │ ├── linear-algebra_20_[08.02.2016].tex │ ├── linear-algebra_21_[15.02.2016].tex │ ├── linear-algebra_22_[22.02.2016].tex │ ├── linear-algebra_23_[29.02.2016].tex │ ├── linear-algebra_24_[14.03.2016].tex │ ├── linear-algebra_25_[21.03.2016].tex │ ├── linear-algebra_26_[06.04.2016].tex │ ├── linear-algebra_27_[13.04.2016].tex │ ├── linear-algebra_28_[20.04.2016].tex │ ├── linear-algebra_29_[27.04.2016].tex │ ├── linear-algebra_30_[11.05.2016].tex │ └── linear-algebra_31_[17.05.2016].tex └── linear-algebra_15-16_1course.tex ├── mathematical-statistics_17_2course ├── header.sty ├── image.png ├── lecture_01_17.02.2017.tex ├── lecture_02_03.03.2017.tex ├── lecture_03_10.03.2017.tex ├── lecture_04_17.03.2017.tex ├── lecture_05_24.03.2017.tex ├── lecture_06_07.04.2017.tex ├── lecture_07_14.04.2017.tex ├── lecture_08_21.04.2017.tex ├── lecture_09_28.04.2017.tex ├── lecture_10_12.05.2017.tex ├── lecture_11_19.05.2017.tex ├── lecture_12_26.05.2017.tex ├── lecture_13_02.06.2017.tex ├── lecture_14_09.06.2017.tex └── mathematical-statistics_17_2course.tex ├── probability-theory_16-17_2course ├── definitions.sty ├── header.sty ├── image.png ├── main-lectures │ ├── images │ │ ├── Lec_8_1.pdf │ │ ├── Lec_8_2.pdf │ │ ├── Lec_8_3.pdf │ │ ├── Lec_8_4.pdf │ │ ├── Lec_8_5.pdf │ │ ├── Lec_8_6.pdf │ │ └── Lec_8_7.pdf │ ├── lecture_01_09.09.2016.tex │ ├── lecture_02_16.09.2016.tex │ ├── lecture_03_23.09.2016.tex │ ├── lecture_04_30.09.2016.tex │ ├── lecture_05_07.10.2016.tex │ ├── lecture_06_14.10.2016.tex │ ├── lecture_07_21.10.2016.tex │ ├── lecture_08_01.11.2016.tex │ ├── lecture_09_08.11.2016.tex │ ├── lecture_10_15.11.2016.tex │ ├── lecture_11_22.11.2016.tex │ ├── lecture_12_29.11.2016.tex │ ├── lecture_13_06.12.2016.tex │ ├── lecture_14_13.12.2016.tex │ ├── lecture_15_20.12.2016.tex │ ├── lecture_16_13.01.2017.tex │ ├── lecture_17_20.01.2017.tex │ ├── lecture_18_27.01.2017.tex │ ├── lecture_19_03.02.2017.tex │ └── lecture_20_10.02.2017.tex ├── main-seminars │ ├── seminar_10_15.11.2016.tex │ ├── seminar_11_22.11.2016.tex │ ├── seminar_12_29.11.2016.tex │ ├── seminar_1_09.09.2016.tex │ ├── seminar_2_16.09.2016.tex │ ├── seminar_3_23.09.2016.tex │ ├── seminar_4_30.09.2016.tex │ ├── seminar_5_07.10.2016.tex │ └── seminar_6_21.10.2016.tex ├── probability-theory_16-17_2course_lectures.tex ├── probability-theory_16-17_2course_raidboss.tex ├── probability-theory_16-17_2course_seminars.tex └── raidboss-lectures │ ├── lecture_raidboss_01_24.01.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_02_31.01.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_03_07.02.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_04_14.02.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_05_21.02.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_06_28.02.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_07_07.03.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_08_14.03.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_09_25.03.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_10_30.03.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_11_04.04.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_12_11.04.2017.tex │ ├── lecture_raidboss_13_18.04.2017.tex │ └── lecture_raidboss_14_25.04.2017.tex └── utils ├── dropbox_uploader.sh └── upload_all.sh /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | *.log 2 | *.aux 3 | *.out 4 | *.toc 5 | *.synctex.gz 6 | *.fdb_latexmk 7 | *.fls 8 | **/.ropeproject/ 9 | *.bcf 10 | *.pdf 11 | _build/ 12 | 13 | *.kilepr 14 | -------------------------------------------------------------------------------- /.travis.yml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \sudo: required 2 | dist: trusty 3 | before_install: 4 | - sudo apt-get install -y --no-install-recommends 5 | texlive-fonts-recommended texlive-generic-recommended 6 | texlive-latex-extra texlive-fonts-extra dvipng texlive-latex-recommended 7 | texlive-base texlive-pictures texlive-lang-cyrillic texlive-science texlive-generic-extra 8 | pgf 9 | script: 10 | - mkdir _build 11 | - cd algebra_1course 12 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algebra_1course.tex 13 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algebra_1course.tex 14 | - cd ../algo_15-16_1course_standart 15 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_15-16_1course_standart.tex 16 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_15-16_1course_standart.tex 17 | - cd ../algo_16-17_1course_pilot 18 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16-17_1course_pilot.tex 19 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16-17_1course_pilot.tex 20 | - cd ../algo_16-17_1course_standart 21 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16-17_1course_standart.tex 22 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16-17_1course_standart.tex 23 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16-17_1course_standart_control1.tex 24 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16-17_1course_standart_control1.tex 25 | - cd ../algo_16_2course_pilot 26 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16_2course_pilot.tex 27 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16_2course_pilot.tex 28 | - cd ../algo_16_2course_standart 29 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16_2course_standart.tex 30 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build algo_16_2course_standart.tex 31 | - cd ../differential-equations_16-17_2course 32 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build differential-equations_16-17_2course_lectures.tex 33 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build differential-equations_16-17_2course_lectures.tex 34 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build differential-equations_16-17_2course_seminars.tex 35 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build differential-equations_16-17_2course_seminars.tex 36 | - cd ../mathematical-statistics_17_2course 37 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build mathematical-statistics_17_2course.tex 38 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build mathematical-statistics_17_2course.tex 39 | - cd ../probability-theory_16-17_2course 40 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build probability-theory_16-17_2course_lectures.tex 41 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build probability-theory_16-17_2course_lectures.tex 42 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build probability-theory_16-17_2course_raidboss.tex 43 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build probability-theory_16-17_2course_raidboss.tex 44 | - cd ../calculus_16-17_2course 45 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build calculus_16-17_2course.tex 46 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build calculus_16-17_2course.tex 47 | - cd ../linear-algebra_15-16_1course 48 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build linear-algebra_15-16_1course.tex 49 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build linear-algebra_15-16_1course.tex 50 | - cd ../continuous-optimization_17-18_3course 51 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build continuous-optimization_17-18_3course.tex 52 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build continuous-optimization_17-18_3course.tex 53 | - cd ../acoms_18_3course 54 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build acoms_18_3course.tex 55 | - pdflatex -interaction=nonstopmode -halt-on-error -output-directory ../_build acoms_18_3course.tex 56 | - cd .. 57 | - utils/upload_all.sh 58 | -------------------------------------------------------------------------------- /LICENSE: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | The MIT License (MIT) 2 | 3 | Copyright (c) 2016 knkeer 4 | 5 | Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy 6 | of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal 7 | in the Software without restriction, including without limitation the rights 8 | to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell 9 | copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is 10 | furnished to do so, subject to the following conditions: 11 | 12 | The above copyright notice and this permission notice shall be included in all 13 | copies or substantial portions of the Software. 14 | 15 | THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR 16 | IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, 17 | FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE 18 | AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER 19 | LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, 20 | OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE 21 | SOFTWARE. 22 | 23 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # hse-ami-lectures 2 | 3 | Travis CI status 4 | [![Build Status](https://travis-ci.org/hse-ami/lectures.svg?branch=master)](https://travis-ci.org/hse-ami/lectures) 5 | 6 | ## **[Здесь](http://bit.ly/2nSIpKC) хранятся все pdf** 7 | 8 | Здесь будут храниться и изменяться конспекты лекций 1-2-го курса ПМИ. 9 | 10 | Разделение по папкам: 11 | * 1 курс: 12 | * algebra_1course – алгебра 13 | * algo\_15-16\_1course\_standart – алгоритмы и структуры данных (версия прошлого года) обычного потока 14 | * algo\_16-17\_1course\_pilot -- алгоритмы и струкруты данных (новая версия) пилотного потока 15 | * linear-algebra\_15-16\_1course – линейная алгебра и геометрия первого курса пилотного потока 16 | * 2 курс: 17 | * calculus\_16-17\_2course – математический анализ-3 пилотного потока 18 | * probability-theory\_16-17\_2course – лекции пилотного потока по теории вероятностей, а также ДГТВ 19 | * algo\_16-17\_2course\_standart – алгоритмы обычного потока второго курса 20 | * algo\_16-17\_2course\_pilot – алгоритмы пилотного потока второго курса 21 | * differential-equations\_16-17\_2course -- семинары диффуров и правки лекций второго курса 22 | 23 | Команда, стоящая за конспектами 1-2-го курса на текущий момент: 24 | 25 | * Теория вероятностей 26 | * Алексей Хачиянц 27 | * Никита Попов 28 | * Денис Беляков 29 | * Математическая статистика 30 | * Алексей Хачиянц 31 | * Математический анализ-3 32 | * Руслан Хайдуров 33 | * Анастасия Иовлева 34 | * Михаил Дискин 35 | * Алгоритмы и структуры данных (основной поток) 36 | * Никита Орлов 37 | * Алгоритмы и струтуры данных (пилотный поток) 38 | * Глеб Новиков 39 | * Дифференциальные Уравнения 40 | * Вадим Гринберг 41 | * Дополнительные главы теории вероятностей 42 | * Кутенин Данила 43 | -------------------------------------------------------------------------------- /acoms_18_3course/acoms_18_3course.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper,10pt]{article} 2 | \usepackage{header} 3 | 4 | \title{Лекции по математической статистике} 5 | \author{Алексей Хачиянц} 6 | \date{} 7 | 8 | \begin{document} 9 | \pagestyle{empty} 10 | \maketitle 11 | \tableofcontents{} 12 | \newpage 13 | \pagestyle{plain} 14 | \input{lectures/lecture_1_[19.01.2018].tex} 15 | \input{lectures/lecture_2_[26.01.2018].tex} 16 | \input{lectures/lecture_3_[02.02.2018].tex} 17 | \input{lectures/lecture_4_[09.02.2018].tex} 18 | \input{lectures/lecture_5_[16.02.2018].tex} 19 | \input{lectures/lecture_6_[02.03.2018].tex} 20 | \input{lectures/lecture_7_[09.03.2018].tex} 21 | \input{lectures/lecture_8_[16.03.2018].tex} 22 | \end{document} 23 | -------------------------------------------------------------------------------- /acoms_18_3course/header.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \usepackage{cmap} 2 | \usepackage[T1,T2A]{fontenc} 3 | \usepackage[utf8]{inputenc} 4 | \usepackage[english,russian]{babel} 5 | 6 | \usepackage[top=0.8in,bottom=0.8in,left=0.8in,right=0.8in,headheight=110pt]{geometry} 7 | \usepackage{mathtools,amssymb,amsthm,bm} 8 | \usepackage{enumitem} 9 | \usepackage{tikz,pgfplots} 10 | \usepackage{wrapfig} 11 | \usepackage{indentfirst} 12 | \usepackage{physics} 13 | \usepackage{braket} 14 | \usepackage[colorlinks=true, linkcolor=red]{hyperref} 15 | 16 | 17 | \renewcommand{\Pr}{\mathsf{P}} 18 | \newcommand{\QQ}{\mathsf{Q}} 19 | \newcommand{\EE}{\operatorname{\mathsf{E}}} 20 | \newcommand{\DD}{\operatorname{\mathsf{D}}} 21 | \renewcommand{\geq}{\geqslant} 22 | \renewcommand{\leq}{\leqslant} 23 | \newcommand{\diff}{\mathop{}\!\mathrm{d}} 24 | \renewcommand{\vec}[1]{\bm{#1}} 25 | \newcommand{\matr}[1]{\mathbf{#1}} 26 | \newcommand{\Ell}{\mathcal{L}} 27 | \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 28 | \newcommand{\Uniform}{\mathrm{U}} 29 | 30 | 31 | \theoremstyle{definition} 32 | \newtheorem{definition}{Определение} 33 | \newtheorem*{consequence}{Следствие} 34 | \newtheorem*{example}{Пример} 35 | 36 | \theoremstyle{remark} 37 | \newtheorem*{exercise}{Упражнение} 38 | \newtheorem*{remark}{Примечание} 39 | \newtheorem*{answer}{Ответ} 40 | \newtheorem*{hint}{Подсказка} 41 | 42 | \theoremstyle{plain} 43 | \newtheorem*{lemma}{Лемма} 44 | \newtheorem{theorem}{Теорема} 45 | \newtheorem{problem}{Задача} -------------------------------------------------------------------------------- /acoms_18_3course/lectures/.DS_Store: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/acoms_18_3course/lectures/.DS_Store -------------------------------------------------------------------------------- /algebra_1course/README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Алгебра 2 | 3 | Лекция 1 (4.04.2016). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. 4 | 5 | Лекция 2 (11.04.2016). Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Прямое произведение групп. Разложение конечной циклической группы. 6 | 7 | Лекция 3 (18.04.2016). Факторизация по сомножителям. Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы 8 | свободных абелевых групп. 9 | 10 | Лекция 4 (25.04.2016). Теорема о согласованных базисах. Алгоритм 11 | приведения целочисленной матрицы к диагональному виду. Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. 12 | 13 | Лекция 5 (29.04.2016). Строение конечно порождённых абелевых груп (продолжение). Экспонента 14 | конечной абелевой группы. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. 15 | 16 | Лекция 6 (16.05.2016). Три действия группы на себе. Теорема Кэли. Классы сопряжённости. 17 | Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты. Поля и алгебры. 18 | Идеалы. 19 | 20 | Лекция 7 (23.05.2016). Факторкольца. Теорема о 21 | гомоморфизме колец. Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные 22 | кольца. 23 | 24 | Лекция 8 (27.05.2016). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. 25 | 26 | Лекция 9 (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность 27 | 28 | Лекция 10 (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля. 29 | -------------------------------------------------------------------------------- /algo_15-16_1course_standart/09_intervals.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_15-16_1course_standart/09_intervals.png -------------------------------------------------------------------------------- /algo_15-16_1course_standart/asymptotic.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{$O$-, $o$-, $\Omega$-, $\omega$-, $\Theta$- обозначения. Оценка сложности алгоритмов.} 2 | \subsection{Асимптотические обозначения} 3 | 4 | Введем следующие обозначения: 5 | 6 | \[ 7 | \Theta(g(n)) = \left\{ f(n)\mid \exists c_1>0, c_2>0 \exists n_0: \forall n 8 | \geqslant n_0 \implies 0\leqslant c_1g(n)\leqslant f(n) \leqslant c_2g(n) \right\}, 9 | \] 10 | 11 | $\Theta$ --- \emph{асимптотическое} $\mathcal{=}$. Например, $2n = \Theta(n)$. 12 | По определению, $c_1n \leqslant 2n \leqslant c_2n$. Тогда $c_1 = 1, c_2 = 2$. 13 | 14 | \[ 15 | O(g(n)) = \left\{ f(n)\mid \exists c_2>0 \exists n_0: \forall n \geqslant n_0 16 | \implies 0\leqslant f(n) \leqslant c_2g(n) \right\} 17 | \] 18 | 19 | $O$ --- \emph{асимптотическое} $\leqslant$. Например, по этому определению 20 | $n = O(n \log{n})$, так как при достаточно больших $n_0$ следует, что 21 | $\log n_0 > 1$. Тогда $c_2 = 1$. 22 | 23 | \[ 24 | \Omega(g(n)) = \left\{ f(n)\mid \exists c_1>0 \exists n_0: \forall n \geqslant 25 | n_0 \implies 0\leqslant c_1g(n)\leqslant f(n) \right\} 26 | \] 27 | 28 | $\Omega$ --- \emph{асимптотическое} $\geqslant$. Например, $n \log n = \Omega(n 29 | \log n)$ и $n \log n = \Omega(n)$. В обоих случаях подходит $c_1 = 1$. 30 | 31 | \[ 32 | o(g(n)) = \left\{ f(n)\mid \forall c_2>0 \exists n_0: \forall n \geqslant n_0 33 | \implies 0\leqslant f(n) \leqslant c_2g(n) \right\} 34 | \] 35 | 36 | $o$ --- \emph{асимптотическое} $<$. Например, $n = o(n \log n)$. Покажем это. 37 | Пусть $n < c_2 n \log n \iff 1 < c_2 \log n \iff n > 2^{1/c_2}$. Тогда $n_0 = [2^{1/c_2} + 1]$ 38 | 39 | \[ 40 | \omega(g(n)) = \left\{ f(n)\mid \forall c_1>0 \exists n_0: \forall n \geqslant 41 | n_0 \implies 0\leqslant c_1g(n)\leqslant f(n) \right\} 42 | \] 43 | 44 | $\omega$ --- \emph{асимптотическое} $>$. Например, нельзя сказать, что $n \log n 45 | = \omega(n \log n)$. Но можно сказать, что $n \log n = \omega(n)$. 46 | 47 | Заметим, что в логарифмах можно свободно менять основание: $\log_c n = \frac 48 | {\log_2 n}{\log_2 c}$. Именно поэтому не пишут основание логарифма. 49 | -------------------------------------------------------------------------------- /algo_15-16_1course_standart/cormen.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Формат документа и размер шрифта 2 | \documentclass[a4paper,12pt]{article} 3 | \usepackage{lectures} 4 | \begin{document} 5 | 6 | \begin{titlepage} 7 | \begin{center} 8 | 9 | {\HugeАлгоритмы и Структуры Данных} 10 | \\ \ 11 | \\ \ 12 | \\ \ 13 | {\Huge \textbf{Мини-Кормен}} 14 | \\ \ 15 | \\ \ 16 | 17 | \begin{figure}[h] 18 | \begin{center} 19 | \begin{minipage}[h]{0.8\linewidth} 20 | \includegraphics[height=18cm, width=\linewidth]{mini-kormen.jpg} 21 | \end{minipage} 22 | \end{center} 23 | \end{figure} 24 | \ \\ 25 | 26 | {\Large Вадим Гринберг} \\ 27 | \ \\ 28 | {\Large Алексей Хачиянц} \\ 29 | 30 | \end{center} 31 | \end{titlepage} 32 | 33 | \tableofcontents 34 | 35 | \newpage 36 | 37 | \include{hanoi} 38 | \newpage 39 | \include{asymptotic} 40 | \newpage 41 | 42 | \end{document} 43 | -------------------------------------------------------------------------------- /algo_15-16_1course_standart/lectures.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \usepackage[T1,T2A]{fontenc} % Кодировки шрифтов 3 | \usepackage[utf8]{inputenc} % Кодировка текста 4 | \usepackage[english,russian]{babel} % Поддержка языков 5 | \usepackage{cmap} % Поддержка поиска в тексте 6 | 7 | % Изменение границ страницы 8 | \usepackage[margin=2cm]{geometry} 9 | 10 | \usepackage{indentfirst} % Красная строка в начале текста 11 | 12 | % Различные математические пакеты 13 | \usepackage{mathtools} 14 | \usepackage{amssymb} 15 | \usepackage{amsthm} 16 | \usepackage{amsfonts} 17 | \usepackage{amstext} 18 | \usepackage{icomma} 19 | \usepackage{units} 20 | \usepackage{array} 21 | \usepackage{stackrel} 22 | 23 | % Пакеты для алгоритмов 24 | \usepackage{algorithm} 25 | \usepackage{algorithmicx} 26 | \usepackage[noend]{algpseudocode} 27 | \usepackage{listings} 28 | 29 | \renewcommand{\algorithmicrequire}{\textbf{Вход:}} 30 | \renewcommand{\algorithmicensure}{\textbf{Выход:}} 31 | \renewcommand{\algorithmiccomment}[1]{\hspace*{\fill}\{#1\}} 32 | \floatname{algorithm}{Алгоритм} 33 | \newcommand{\algname}[1]{\textsc{#1}} 34 | 35 | % Пакеты для работы с графикой 36 | % \usepackage{esvect} 37 | \usepackage{graphicx} 38 | \usepackage{tikz} 39 | \usetikzlibrary{calc,matrix} 40 | %\usepackage{qtree} 41 | \usepackage{pgfplots} 42 | % \pgfplotsset{compat=1.12} 43 | \usepackage{forest} 44 | 45 | %% Прочие пакеты 46 | \usepackage{titlesec} % Изменение формата заголовков 47 | \usepackage[normalem]{ulem} % Для зачёркиваний 48 | % \usepackage[autocite=footnote]{biblatex} % Кавычки для цитат и прочее 49 | \usepackage[makeroom]{cancel} % И снова зачёркивание (на этот раз косое) 50 | 51 | % Перенос знаков в формулах (по Львовскому) 52 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} 53 | 54 | \newtheorem*{on1n}{Задача} 55 | \newtheorem*{fulllemma}{Лемма} 56 | \newtheorem*{sl1}{Следствие 1} 57 | \newtheorem*{sl2}{Следствие 2} 58 | \newtheorem*{scheme}{Утверждение 1} 59 | \newtheorem*{n2}{Утверждение 2} 60 | \newtheorem*{theorem}{Теорема} 61 | \newtheorem*{proposal}{Предложение} 62 | \newtheorem*{notice}{Замечание} 63 | \newtheorem*{example}{Пример} 64 | \newtheorem*{statement}{Утверждение} 65 | \newtheorem*{definition}{Определение} 66 | \newtheorem*{consequence}{Следствие} 67 | \newtheorem*{lemma}{Лемма} 68 | \newtheorem*{pumping-lemma}{Лемма о накачке} 69 | 70 | \newcommand{\definitions}{\underline{Определения:} } 71 | \newcommand{\definitionone}{\underline{Определение 1:} } 72 | \newcommand{\definitiontwo}{\underline{Определение 2:} } 73 | 74 | \newcommand{\note}{\underline{Замечание:} } 75 | \newcommand{\sign}{\underline{Обозначения:} } 76 | \newcommand{\statements}{\underline{Утверждения:} } 77 | 78 | \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 79 | \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 80 | \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 81 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 82 | 83 | % Ссылки 84 | \usepackage[colorlinks=true, linkcolor=blue]{hyperref} 85 | 86 | \title{\Huge{Алгоритмы и Структуры Данных \\ Мини-Кормен}} 87 | \author{Вадим Гринберг \\ Алексей Хачиянц} 88 | \date{} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_15-16_1course_standart/mini-kormen.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_15-16_1course_standart/mini-kormen.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_15-16_1course_standart/spanning.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_15-16_1course_standart/spanning.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/0_intro.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Какое-то введение} 2 | 3 | В этой книжке отражено с относительной точностью содержание лекций Глеба Олеговича Евстропова, которые читаются на пилотном потоке в Высшей Школе Экономики на образовательной программе «Прикладная математика и информатика». Этот конспект лекций нельзя назвать «учебником» (надеюсь, что пока нельзя). Его автор первый раз сталкивается почти со всем, что пишет, поэтому, безусловно, текст требует правки. -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/1_lecture.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Немного теории вероятностей} 2 | 3 | \textbf{Disclaimer 1.} Это первая из двух глав теории вероятностей. В них мы будем говорить исключительно о дискретной (с конечными вероятностными пространствами) вероятности, так как в алгоритмах ничего другого особо не понадобится. Кроме того, эти две главы не заслуживают даже названия «Начала теории вероятностей», так как являются совсем частным случаем общей теории вероятностей. Несмотря на это, изложенный в них кусочек начала теорвера достаточен для того, чтобы понимать, что происходит. \par 4 | 5 | \textbf{Disclaimer 2.} Иногда (примерно всегда) мы будем ставить знак «$=$» между числами тогда, когда его ставить в строгом смысле не очень честно. Однако, поскольку нас всюду интересует ассимптотическое поведение величин, то этот знак будет стоять вполне себе честно. \par 6 | 7 | \begin{definition} 8 | \textit{Вероятностное пространство} $\left( \Omega, 2^{\Omega}, \P \right)$ -- структура, состоящая из: 9 | \begin{itemize} 10 | \item $\Omega$ -- множество элементарных исходов (конечное); 11 | \item $2^{\Omega}$ -- множество всевозможных событий (наборов исходов); 12 | \item $\P$ -- функция вероятности $\P: 2^{\Omega} \to [0, 1]$ такая, что $\P(\Omega) = 1$. 13 | \end{itemize} 14 | \end{definition} 15 | 16 | Теперь договоримся о некоторых обозначениях и лексике. Вместо $\P(\lbrace\omega\rbrace)$ мы всегда будем писать $\P(\omega)$ и называть это \textit{вероятностью исхода $\omega$}. Если вероятность какого-то события $B \in 2^{\Omega}$ равна нулю, то есть $\P(B) = 0$, то событие $B$ называется \textit{невозможным}. Если же $\P(B) = 1$, то $B$ называется \textit{достоверным} событием. \par 17 | 18 | Через $\P(A \vert B)$ будем обозначать вероятность события при условии наступления события $B$. Такая вероятность считается по формуле 19 | \[ 20 | \P(A \vert B) = \frac{\P(A \cap B)}{\P(B)} 21 | \] 22 | 23 | \begin{definition} 24 | \textit{Независимыми} называются события $A$ и $B$, если $\P(A \vert B) = \P(A)$ или $\P(A) \cdot \P(B) = \P(A \cap B)$. \par 25 | \textit{Несовместными} называются события, для которых $\P(A \vert B) = 0$. 26 | \end{definition} 27 | 28 | \begin{definition} 29 | $A_1, \ldots, A_n$ - множство попарно несовместных событий, то есть $\forall i, j \ \P(A_i \vert A_j) = 0$. Если $\P(\bigcup \limits_{i = 1}^{n} A_i) = 1$, тогда набор $\set{A_i}_{i = 1}^{n}$ называется \textit{полной группой событий}. 30 | \end{definition} 31 | 32 | Тогда если есть событие $B$ и полная группа событий $\set{A_i}_{i = 1}^{n}$, тогда $B = \bigcup \limits_{i = 1}^{n} B \cap A_i$ и 33 | \[ 34 | \P(B) = \sum \limits_{i = 1}^{n} \P(B \cap A_i) = \sum \limits_{i = 1}^{n} \P(B \vert A_i) \cdot \P(A_i) 35 | \] -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/4_lecture.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Сортируем двоичные последовательности длины $m$} 2 | 3 | Обозначим $2^m = U$. 4 | 5 | \subsection{Сортировка подсчётом} 6 | Пусть есть набор элементов $a_1, \ldots, a_n$. Пусть имеются два массива размера $U$: $cnt$ и $sum$. 7 | 8 | \begin{algorithm} 9 | \caption{Counting sort} 10 | \begin{algorithmic} 11 | \For{$i: 1 \to n$} 12 | \Let{$cnt_{a_i}$}{$cnt_{a_i} + 1$} 13 | \Let{$cur\_sum$}{$cur\_sum + cnt_{a_i}$} 14 | \EndFor 15 | \end{algorithmic} 16 | \end{algorithm} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/algo_16-17_1course_pilot.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \usepackage{header_book} 3 | 4 | \begin{document} 5 | \titlepage 6 | \thispagestyle{empty} 7 | \pagestyle{fancy} 8 | 9 | 10 | \smallskip 11 | 12 | \input{0_intro} 13 | \newpage 14 | \input{1_lecture} 15 | \newpage 16 | \input{2_lecture} 17 | \newpage 18 | \input{3_lecture} 19 | \newpage 20 | 21 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/images/Airat.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16-17_1course_pilot/images/Airat.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/images/Nebudem.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16-17_1course_pilot/images/Nebudem.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/images/alpha.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16-17_1course_pilot/images/alpha.png -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/images/graph.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16-17_1course_pilot/images/graph.png -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_pilot/images/velosiped.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16-17_1course_pilot/images/velosiped.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # HSE-Algo-1 2 | 3 | Конспекты лекций 1 курса 2016 года по алгоритмам. 4 | 5 | Выделенные лекции вычитаны. 6 | * Содержание: 7 | * Лекция 1. Асимптотика, простые алгоритмы, сортировка вставками 8 | * Лекция 2. Merge sort, Binary search, рекуррентные соотношения 9 | * Лекция 3. Быстрая сортировка, оптимальность сортировки слиянием. 10 | * Лекция 4. Алгоритмы стратегии "разделяй и властвуй" 11 | 12 | 13 | -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/algo_16-17_1course_standart.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4letter,12pt]{article} 2 | \usepackage{amsmath} 3 | \usepackage{subfiles} 4 | \usepackage{algo-header} 5 | 6 | \usepackage{epigraph} 7 | 8 | \begin{document} 9 | %\begin{comment} 10 | \titlepage 11 | 12 | 13 | \tableofcontents 14 | 15 | \pagebreak 16 | 17 | %\subfile{caution.tex} 18 | 19 | \subfile{lectures/lecture-01-12.01.2017} 20 | 21 | \subfile{lectures/lecture-02-19.01.2017} 22 | 23 | \subfile{lectures/lecture-03-26.01.2017} 24 | 25 | \subfile{lectures/lecture-04-02.02.2017} 26 | 27 | \subfile{lectures/lecture-05-09.02.2017} 28 | 29 | \subfile{lectures/lecture-06-16.02.2017} 30 | 31 | \subfile{lectures/lecture-07-02.03.2017} 32 | 33 | \subfile{lectures/lecture-08-09.03.2017} 34 | %\end{comment} 35 | \subfile{lectures/lecture-09-16.03.2017} 36 | 37 | \end{document} 38 | -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/algo_16-17_1course_standart_control1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4letter,12pt]{article} 2 | \usepackage{amsmath} 3 | \usepackage{subfiles} 4 | \usepackage{algo-header} 5 | 6 | \usepackage{epigraph} 7 | 8 | \newcommand{\doverline}[1]{\overline{\overline{#1}}} 9 | 10 | \begin{document} 11 | \title{Разбор примерной контрольной работы по алгоритмам} 12 | \author{Орлов Никита} 13 | \maketitle 14 | 15 | \subsection*{Задача 1} 16 | Приведите примеры функций $f(n)$ и $g(n)$, таких что $f(n) = \Theta(g(n))$ и одновременно $2^{f(n)} = \doverline{o}(2^{g(n)})$, или докажите, что таких функций не существует. 17 | 18 | \subsubsection*{Решение} 19 | Рассмотрим фукнции $f(n) = n$ и $g(n) = 10n$. Такие функции удовлетворяют условию. 20 | 21 | \subsection*{Задача 2} 22 | 23 | Решите рекуррентное соотношение в терминах $\Theta$: 24 | \[ 25 | T(n) = T\left(\frac n3\right) + T\left(\frac n4\right) + 5n 26 | \] 27 | 28 | \subsubsection*{Решение} 29 | Оценим сумму сверху и снизу. Так как 30 | \[ 31 | 2T\left(\frac n3\right)+5n \leqslant T\left(\frac n3\right) + T\left(\frac n4\right) + 5n \leqslant 2T\left(\frac n4\right) + 5n 32 | \] 33 | 34 | По основной теореме о рекуррентных соотношениях, 35 | \[ 36 | \Theta(n) \leqslant T\left(\frac n3\right) + T\left(\frac n4\right) + 5n \leqslant \Theta(n) \Rightarrow T(n) = \Theta(n) 37 | \] 38 | \subsection*{Задача 3} 39 | Медиана упорядоченного по возрастанию множества из $k$ элементов -- это $\frac k2$-ый по порядку элемент этого множества в предположении, что $k$ -- четно. Пусть $X[1..n]$ и $Y[1..n]$ -- два отсортированных массива, каждый из которых содержит по $n$ элементов. Опишите алгоритм, в котором поиск медианы всех $2n$ элементов, содержащихся в массивах $X, \ Y$, выполнялся бы за время $O(\log n)$. 40 | 41 | \subsubsection*{Решение} 42 | Будем поступать следующим образом. Возьмем медианы в этих массивах, пусть их индексы в массивах равны соответственно $m_1$ и $m_2$. Если $X[m_1] < Y[m_2]$, то будем искать медиану в массивах $X[:m_1]$ и $Y[m_2:]$, если $X[m_1] > Y[m_2]$, то будем искать медиану в массивах $X[m_1:]$ и $Y[:m_2]$ рекурсивно. Если же медианы равны, то выдаем одну из них. Этот алгоритм на каждом шаге уменьшает в два раза размер задачи, а значит сложность - сумма убывающей геометрической прогрессии - равна $O(\log n)$ 43 | 44 | \subsection*{Задача 4} 45 | Опишите, как реализовать структуру данных, поддерживающую два стека, используя один массив $A[1..n]$ из $n$ элементов. Опишите реализацию процедур $IsEmpty1(), \ Push1(v), \ Pop1()$ и аналогичные для второго стека. Переполнение должно происходить при попытке вставки нового элемента в один из стеков в ситуации, когда суммарное число элементов в обоих стеках равно $n$. 46 | 47 | \subsubsection*{Решение} 48 | 49 | Так как нам известен размер массива, будем заполнять один стек с начала массива, а другой с конца. Будем хранить индексы последних элементов каждого стека. Примерная реализация структуры: 50 | 51 | \begin{struct}{double-ended stack}[H] 52 | \State array $A[1..n]$ 53 | \State integer $end1 = 1, \ end2 = n$ 54 | 55 | \State 56 | 57 | \Function{$Push1$}{$v$} 58 | \If{$end1 + 1 == end2}$ 59 | \State \Return \textbf{error} 60 | \EndIf 61 | \State $end1 := end1 + 1$ 62 | \State $A[end1] = v$ 63 | \EndFunction 64 | 65 | \State 66 | 67 | \Function{$Pop1$}{$ $} 68 | \If{$end1 - 1 == -1$} 69 | \State \Return \textbf{error} 70 | \EndIf 71 | \State $res := A[end1]$ 72 | \State $end1 := end1 - 1$ 73 | \State \Return $res$ 74 | \EndFunction 75 | 76 | \State 77 | 78 | \Function{$IsEmpty1$}{$ $} 79 | \State \Return $end1 == 0$ 80 | \EndFunction 81 | 82 | \State 83 | 84 | \Function{$Push2$}{$v$} 85 | \If{$end2 - 1 == end2}$ 86 | \State \Return \textbf{error} 87 | \EndIf 88 | \State $end2 := end2 - 1$ 89 | \State $A[end2] = v$ 90 | \EndFunction 91 | 92 | \State 93 | 94 | \Function{$Pop2$}{$ $} 95 | \If{$end2 + 1 == n + 1$} 96 | \State \Return \textbf{error} 97 | \EndIf 98 | \State $res := A[end2]$ 99 | \State $end2 := end2 + 1$ 100 | \State \Return $res$ 101 | \EndFunction 102 | 103 | \State 104 | 105 | \Function{$IsEmpty2$}{$ $} 106 | \State \Return $end2 == n + 1$ 107 | \EndFunction 108 | \end{struct} 109 | 110 | 111 | \subsection*{Задача 5} 112 | Структура данных поддерживает операцию, такую что последовательность из $n$ вызовов той операции занимает время $\Theta(n\log n)$ в худшем случае. Какова амортизированная сложность этой операции? Какой может быть сложность этой операции в худшем случае? Приведите пример структуры данных и операции, для которых достигается этот худший случай? 113 | 114 | \subsubsection*{Решение} 115 | 116 | Получить амортизированную стоимость просто: поделим время последовательности вызовов на число вызовов. Получим: 117 | \[ 118 | \frac{n\log n}{n} = \log n 119 | \] 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | \end{document} 137 | -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/caution.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../main.tex]{subfiles} 2 | 3 | \begin{document} 4 | \section*{Используемые обозначения} 5 | 6 | 7 | 8 | \pagebreak 9 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/images/aist-eps-converted-to.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16-17_1course_standart/images/aist-eps-converted-to.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/images/aist.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16-17_1course_standart/images/aist.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/lectures/lecture-02-19.01.2017.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../book.tex]{subfiles} 2 | 3 | 4 | \begin{document} 5 | \section{Лекция 2. Merge sort, Binary search, рекуррентные соотношения} 6 | 7 | \textit{Лекция будет дополнена примерами решения рекуррентных соотношений без основной теоремы, а так же доказательством теоремы. Текущая версия вычитана лектором.} 8 | 9 | Поговорим еще немного про сортировки. Сортировка вставками имеет квадратичную сложность, что не оптимально. Есть более быстрые алгоритмы, один из них называется \textit{сортировкой слиянием}. 10 | 11 | \subsection{Сортировка слиянием} 12 | 13 | Суть сортировки достаточно проста: если у нас есть две отсортированные последовательности, мы можем их объединить в одну отсортированную, а последовательность длины один уже отсортирована, а значит мы можем разбить наш массив на блоки одинаковой длины, и рекурсивно отсортировать. 14 | 15 | 16 | Опишем функцию слияния двух массивов разной длины. 17 | \begin{algorithm}[H] 18 | \caption{Функция слияния отсортированных массивов} 19 | \begin{algorithmic}[1] 20 | \Require Отсортированные массивы $A, B$. 21 | \Ensure Отсортированный массив $C$ 22 | \Function{merge}{$A, B$} 23 | \State $ i := 0 $ 24 | \State $ j := 0 $ 25 | \State vector $C$ 26 | \While{$ i < len(A) $ \textbf{and} $ j < len(B)$} 27 | \If{$ A[i] \leqslant B[j]$} 28 | \State $C.push\_back(A[i])$ 29 | \State $i := i + 1$ 30 | \Else 31 | \State $C.push\_back(B[i])$ 32 | \State $j := j + 1$ 33 | \EndIf 34 | \EndWhile 35 | \State $ C := C + A[i:len(A)] + B[j:len(B)]$ 36 | \State \Return $C$ 37 | \EndFunction 38 | \end{algorithmic} 39 | \end{algorithm} 40 | 41 | 42 | \begin{proof_cor} 43 | На входе отсортированные массивы. На каждой итерации цикла выбирается наименьший из еще не выбранных элементов. 44 | \end{proof_cor} 45 | \begin{time} 46 | Алгоритм смотрит на каждый элемент каждого массива, тогда его сложность получается $\Theta(len(A) + len(B))$. 47 | \end{time} 48 | 49 | Теперь сам алгоритм сортировки слиянием: 50 | \begin{algorithm}[H] 51 | \caption{Merge Sort} 52 | \begin{algorithmic}[1] 53 | \Require Массив $A$ 54 | \Ensure Отсортированный массив $C$ 55 | \Function{merge\_sort}{$A$} 56 | \If{$ len(A) < 2$} 57 | \State \Return A 58 | \Else 59 | \State $n := len(A)$ 60 | \State $A_1 := merge\_sort(A[0: n/2])$ 61 | \State $A_2 := merge\_sort(A[n/2: n])$ 62 | \State \Return $merge(A_1, A_2)$ 63 | \EndIf 64 | 65 | \EndFunction 66 | \end{algorithmic} 67 | \end{algorithm} 68 | \begin{remark} 69 | Сортировку слиянием можно написать разными способами. Например, изначально разбить массив на куски длиной 10, каждую из них отсортировать вставками, а потом уже последовательно слить в один отсортированный массив. 70 | \end{remark} 71 | \begin{proof_cor} 72 | Пока корректна функция \textit{merge}, весь алгоритм корректен, так как вся задача разбивается на меньшие подзадачи, а рекурсия остановится на массивах размера 1. 73 | \end{proof_cor} 74 | \begin{time} 75 | Время работы данного алгоритма $T(n) = \Theta(n\cdot \log(n))$: У нас $\log(n)$ - глубина рекурсии, а на каждом шаге мы пройдемся в сумме по всему массиву. 76 | 77 | %время работы описывается реккурентным соотношением. через теорему 78 | \end{time} 79 | 80 | 81 | Время работы сортировки слиянием можно записать и по-другому, с помощью \textit{рекуррентной формулы}. В нашем случае она будет иметь вид 82 | \[ 83 | T(n) = 84 | \begin{cases} 85 | c, & n = 1; \\ 86 | 2T(\frac{n}{2}) + O(n), & n > 1; 87 | \end{cases} 88 | \] 89 | где $2T(\frac{n}{2})$ - сложность рекурсивных вызовов, $O(n)$ - сложность слияния. Для таких соотношений хочется получить правило их раскрытия в явную формулу. О таком преобразовании говорит \textit{основная теорема о рекуррентных соотношениях}. 90 | 91 | \subsection{Основная теорема} 92 | 93 | \begin{theorem} 94 | Пусть у нас есть рекуррентное соотношение, записанное в виде 95 | \[ 96 | T(n) \leqslant 97 | \begin{cases} 98 | c, & n = 2\\ 99 | aT(\frac{n}{b}) + cn^d, & n > 2 100 | \end{cases} 101 | \] 102 | Тогда его можно представить в следующем виде: 103 | \[ 104 | T(n) = 105 | \begin{cases} 106 | O(n^d \log(n)), & a = b^d \\ 107 | O(n^d), & a < b^d \\ 108 | O(n^{\log_b(a)}), & a > b^d 109 | \end{cases} 110 | \] 111 | \end{theorem} 112 | 113 | \TODO{Доказательство} 114 | \begin{proof} 115 | Рассмотрим алгоритм, который нашу задачу делит на каждом шаге на $b$ подзадач. 116 | \begin{center} 117 | \begin{tikzpicture} 118 | \begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}] 119 | \node[label=\large$ cn^d $] (top) at (10, 10) {}; 120 | 121 | \node[label=left:\Large $ \frac{cn^d}{b^d}$] (mid-left) at (7, 8) {}; 122 | \node (mid-right) at (13, 8) {}; 123 | 124 | \node (bot-left) at (5, 6) {}; 125 | \node[label=right:\Large $ \frac{cn^d}{b^{2d}} $] (bot-right) at (9, 6) {}; 126 | \end{scope} 127 | 128 | \begin{scope} 129 | \path [->] (top) edge (mid-left); 130 | \path [->] (top) edge (mid-right); 131 | 132 | \path [->] (mid-left) edge (bot-left); 133 | \path [->] (mid-left) edge (bot-right); 134 | 135 | \draw[dashed] (mid-left) -- node[above] {$a$} (mid-right); 136 | \draw[dashed] (bot-left) -- node[above] {$a$} (bot-right); 137 | \end{scope} 138 | \end{tikzpicture} 139 | \end{center} 140 | На каждом уровне мы делим задачу на a подзадач, размер каждой отличается от другого уровня в b раз. 141 | \begin{comment} 142 | на i уровне, n/b^i -- размер подзадачи 143 | всего на каждом уровне a^i подзадач. 144 | на каждом уровне a_i * (n/b^i)^d * c 145 | отсюда основная теорема. 146 | \end{comment} 147 | \end{proof} 148 | Эта теорема может раскрыть не все рекуррентные соотношения, поэтому покажем еще несколько способов решения. 149 | 150 | \subsection{Binary Search} 151 | 152 | Теперь давайте разберем другой рекуррентный алгоритм - \textit{бинарный поиск}. Это алгоритм ищет в отсортированном элементе некоторый элемент и возвращает его индекс. 153 | 154 | \begin{algorithm}[H] 155 | \caption{Binary Search} 156 | \begin{algorithmic}[1] 157 | \Require Отсортированный массив $A$, элемент $x$ 158 | \Ensure Индекс элемента $e$ если он есть в массиве, -1 в противном случае. 159 | \Function{binary\_search}{$A$, $x$} 160 | \State $b := 0$ 161 | \State $e := len(A)$ 162 | \While {$b < e$} 163 | \State $m = round(\frac{b + e}{2})$ 164 | \If {$A[m] == x$} 165 | \State \Return m 166 | \ElsIf {$A[m] < x$} 167 | \State $b := m + 1$ 168 | \Else 169 | \State $e := m$ 170 | \EndIf 171 | \EndWhile 172 | \State \Return -1 173 | \EndFunction 174 | \end{algorithmic} 175 | \end{algorithm} 176 | 177 | Словами: смотрим в середину, сравниваем, сдвигаем границы поиска в сторону, где элемент может быть, повторяем пока не нашли или пока $b != e$. 178 | 179 | 180 | \begin{time} 181 | Формула времени нашего алгоритма: 182 | \[ 183 | T(n) = 184 | \begin{cases} 185 | c, & n = 2 \\ 186 | T(\frac{n}{2}) + c, & n > 2 187 | \end{cases} 188 | \] 189 | По основной теореме 190 | \[ 191 | a = 1, \ b = 2, \ d = 0 192 | \] 193 | \[ 194 | T(n) = O(\log(n)) 195 | \] 196 | \end{time} 197 | 198 | 199 | 200 | \pagebreak 201 | 202 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/lectures/lecture-04-02.02.2017.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../book.tex]{subfiles} 2 | 3 | 4 | \begin{document} 5 | \section{Лекция 4. Алгоритмы стратегии <<разделяй и властвуй>>} 6 | \textit{Это черновик лекции, окончательный релиз будет как только вычитаю у лектора.} 7 | 8 | 9 | Стратегия <<разделяй и властвуй>> используется в еще некоторых полезных алгоритмах. Относительно простым является алгоритм быстрого возведения в степень. 10 | 11 | \subsection{Возведение в степень} 12 | 13 | Для начала приведем тривиальный алгоритм. 14 | 15 | %\TODO{Число цифр в записи} 16 | \begin{algorithm}[H] 17 | \caption{Возведение в степень} 18 | \begin{algorithmic}[1] 19 | \Require Числа $x, y \in Z$. 20 | \Ensure Число $x^y$. 21 | \Function{power}{$x, y$} 22 | \State $z := 1$ 23 | \For{$i := 1$\textbf{ to }$y$} 24 | \State $z := z * x$ 25 | \EndFor 26 | \State \Return $z$ 27 | \EndFunction 28 | \end{algorithmic} 29 | \end{algorithm} 30 | 31 | \begin{time} 32 | Так как ответ на задачу имеет экспоненциальный размер, то и сложность будет по крайней мере экспоненциальная. Если смотреть точнее, то получится $T(n) = O(n^210^n)$, где $n$ - число цифр в записи числа.ответ 33 | \end{time} 34 | 35 | Алгоритм невероятно медленен, так как он выполнит честно каждое умножение, но есть способ вычислить степень быстрее. Для этого мы воспользуемся свойством степеней, а именно: 36 | 37 | \[ 38 | x^n = 39 | \begin{cases} 40 | x^{2^\frac{n}{2}},& n = 2k \\ 41 | x \cdot x^{n - 1},& n = 2k + 1 42 | \end{cases} 43 | \] 44 | 45 | Отсюда мы получаем рекуррентное соотношение для построения алгоритма, причем сделаем маленькую оптимизацию -- будем вычислять ответ по какому-то модулю $p$. На практике арифметика работы с целыми числами в компьютере сама по себе модульная: при переполнении типа данных мы начнем с нуля. Псевдокод будет выглядеть так: 46 | 47 | %\TODO{поменять рекуррентное соотношение} 48 | \begin{algorithm}[H] 49 | \caption{Бинарное возведение в степень} 50 | \begin{algorithmic}[1] 51 | \Require Числа $x, y, p\in Z$. 52 | \Ensure Число $x^y \mod \ p$. 53 | \Function{power2}{$x, y, p$} 54 | \If{$y == 0$} 55 | \State \Return 1 56 | \Else 57 | \State $t := \text{power2(x, y/2, p)}$ 58 | \If{$y \ \text{mod} \ 2 == 0$} 59 | \State \Return $t^2 \ \text{mod} \ p$ 60 | \Else 61 | \State \Return $t^2 \cdot x \ \text{mod} \ p$ 62 | \EndIf 63 | \EndIf 64 | \EndFunction 65 | \end{algorithmic} 66 | \end{algorithm} 67 | 68 | \begin{time} 69 | При использовании этой оптимизации мы используем $O(n)$ возведений в квадрат чисел длины n. 70 | \end{time} 71 | 72 | \subsection{Вычисление медианы} 73 | 74 | Вернемся к самому нашему первому алгоритму. Вычисление медианы является частным случаем другой задачи - выбора $k$-ой порядковой статистики, поэтому логичнее решить более общую задачу. 75 | 76 | \begin{algorithm}[H] 77 | \caption{Рандомизированный алгоритм выбора к-ой порядковой статистики} 78 | \begin{algorithmic}[1] 79 | \Require Массив $A$, порядок $k$. 80 | \Ensure . 81 | \Function{select}{$A, k$} 82 | \State choose p 83 | \State i = Partition(A, p) 84 | \If{i == k} 85 | \State \Return b[i] 86 | \ElsIf{i < k} 87 | \State \Return Select(A[i:], k - i) 88 | \Else 89 | \State \Return Select(A[:i], k) 90 | \EndIf 91 | \EndFunction 92 | \end{algorithmic} 93 | \end{algorithm} 94 | 95 | Словами: выбираем случайный элемент $p$, запускаем Partition. Если попали в цель, то все хорошо, иначе же отправляем алгоритм в ту часть, где элемент заведомо будет. 96 | 97 | Все хорошо, но такой алгоритм дает в худшем случае асимптотику $O(n^2)$ из-за случайности выбора $p$. Посчитаем сколько времени потребуется алгоритму при таком случайном выборе. 98 | 99 | \begin{definition} 100 | Назовем текущий рекурсивный шаг алгоритма $j$-фазой, если для некоторого $j$ обрабатываемая часть массива $n'$ имеет размер 101 | \[ 102 | \left(\frac{3}{4}\right)^{j + 1} \cdot n < n' \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^{j} \cdot n 103 | \] 104 | \end{definition} 105 | 106 | Для подсчета сложности будем использовать факт, что в данном алгоритме время, проведенное в одной $j$ фазе в среднем равно двум. Это понятно на уровне интуиции, ибо если нам не повезло с первого раза попасть в нужную половину, со второго раза мы попадем с большей вероятностью. 107 | 108 | Отсюда получаем время работы: 109 | \[\mathbb{E}(T(n)) 110 | \leqslant 111 | \mathbb{E} 112 | \left( 113 | \sum_{j = 0}^{\log_\frac{4}{3}n} 2c 114 | \left( 115 | {\frac{3}{4}} 116 | \right)^j n 117 | \right) = 118 | 8cn 119 | \] 120 | 121 | Получили линейное время в среднем случае. Для улучшения асимптотики алгоритм можно переписать, сделав выбор опорного элемента детерминированным. 122 | 123 | %\TODO{индексы} 124 | \begin{algorithm}[H] 125 | \caption{Детерменированный алгоритм выбора к-ой порядковой статистики} 126 | \begin{algorithmic}[1] 127 | \Require Массив $A$, число $1 \leqslant k \leqslant A.size$. 128 | \Ensure $k$ порядковая статистика. 129 | \Function{dselect}{$A, k$} 130 | \State $a_1$ = A[0:5], $a_2$ = A[5:10], \ldots 131 | \State sort($a_1$, \ldots, $a_n$) 132 | \State $m_1$ = $a_1[2]$, \ldots, 133 | \State p = dselect(($m_1$, \ldots,), n/10) 134 | \State i = Partition(A, p) 135 | \If{i == k} 136 | \State \Return b[i] 137 | \ElsIf{i < k} 138 | \State \Return Select(A[i:], k - i) 139 | \Else 140 | \State \Return Select(A[:i], k) 141 | \EndIf 142 | \EndFunction 143 | \end{algorithmic} 144 | \end{algorithm} 145 | 146 | Суть этого алгоритма в том, что опорный элемент выбирается более-менее близко к медианному элементу, а значит и сложность будет более или менее близкой к линейной. На практике же на этот выбор тратится уйма времени, так что быстрее работает рандомизированный алгоритм. 147 | 148 | \begin{comment} 149 | 150 | пусть $y$ содержит 10 десятичных цифр 151 | 152 | $x^y < \le (10^n)^(10^n)$ 153 | тогда числ цифр оценивается как $n\cdot10^n$, то есть полиномиального алгоритма 154 | не существует 155 | алгоритм экспоненциальный 156 | 157 | 158 | % ... 159 | 160 | вычислить $x^{2^k}$ для всех $2^k$: 161 | $x^{999} = x\cdot x^{2}\cdot x^{4}\cdot x^{32}\cdot x^{64}\cdot\ldos\cdot x^{512}$ 162 | 163 | 164 | %кусок лекции безнадёжно утерян 165 | 166 | $T(n) \leq T(\frac{n}{5}) + T(\frac{7n}{10} + cn$ 167 | Покажем, что $T(n) \leq \frac{dn}{5} + \frac{7dn}{10}+cn \leq dn$ при $с 168 | \geq 10n$ 169 | 170 | \end{comment} 171 | \pagebreak 172 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/lectures/lecture-06-16.02.2017.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../main.tex]{subfiles} 2 | 3 | 4 | \begin{document} 5 | \section{Лекция 6. Продолжение амортизационного анализа. Динамический массив. Стек.} 6 | 7 | \epigraph{<<Функция <<фи>> будет оценивать все то плохое, что у нас есть>>}{С. А. Объедков} 8 | 9 | CAUTION! MATHS IS HERE! 10 | 11 | \subsection{Динамический массив} 12 | Рассмотрим нам уже знакомую из курса программирования структуру данных: \textit{динамический массив}. Суть его в том, что его размер ограничен только доступной нам памятью. Эта структура поддерживает следующие операции: 13 | 14 | \begin{center} 15 | \begin{tabular}{c|c|c} 16 | Название & Описание & Сложность \\ \hline 17 | insert(el) & Вставляет в конец массива элемент & $ O(n) $ в худшем случае \\ \hline 18 | get(i) & Получает элемент по индексу & O(1) \\ \hline 19 | remove\_back() & Удаляет элемент из конца массива & O(1) \\ % проверить 20 | \end{tabular} 21 | \end{center} 22 | 23 | Алгоритм вставки тривиален: если нам не хватило уже выделенной памяти, чтобы вставить элемент, мы просто выделяем новую память, размер которой будет в два раза больше, чем есть сейчас, копируем уже записанные элементы и приписываем в конец новый элемент. Именно поэтому сложность добавления $O(n)$ в худшем случае. 24 | 25 | Оценим время, требуемое на $n$ операций вставок в худшем случае. Для примера распишем таблицу нескольких первых вызовов insert'а. 26 | 27 | \begin{center} 28 | \begin{tabular}{c|c|c|c} 29 | Шаг & Стоимость & Вместимость до & Вместимость после \\ \hline 30 | 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 31 | 2 & 2 & 1 & 2 \\ \hline 32 | 3 & 3 & 2 & 4 \\ \hline 33 | 4 & 1 & 4 & 4 \\ \hline 34 | 5 & 5 & 4 & 8 \\ 35 | \end{tabular} 36 | \end{center} 37 | 38 | Пусть $\forall i: \hat c_i = 3$. Тогда %расписать, почему 3 монетки 39 | \[ 40 | \sum_{i = 1}^{n} c_i \leqslant \sum_{i = 1}^{n} 3 = O(n) 41 | \] 42 | 43 | Значит время работы $n$ операций, а значит амортизированное время выполнения одной операции - константа. 44 | 45 | \subsection{Потенциальный анализ} 46 | 47 | \subsubsection{Теория} 48 | 49 | \begin{definition} 50 | \textit{Потенциал} -- величина $\Phi$, зависимая от некоторого состояния $D_i$ структуры данных, на которую накладываются следующие условия: 51 | \[ 52 | \begin{cases} 53 | \Phi(D_0) = 0 \\ 54 | \Phi(D_i) \geqslant 0 & \forall i 55 | \end{cases} 56 | \] 57 | \end{definition} 58 | 59 | %можно отказаться от первого условия 60 | 61 | Неформально можно сказать, что при приближении структуры данных к <<плохому>> состоянию потенциал растет. Так, например, в динамическом массиве потенциал перед реаллокацией максимален. 62 | 63 | %мы хотим так определить 64 | 65 | Основная формула, связывающая амортизированную и фактическую стоимость операции: 66 | %определение 67 | \[ 68 | \hat c_i = c_i + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i-1}) 69 | \] 70 | 71 | 72 | Отсюда при анализе $n$ операций получаем, что 73 | \[ 74 | \sum_{i = 0}^{n} c_i 75 | = 76 | \sum_{i = 0}^{n} 77 | \Big( 78 | \hat c_i + \Phi(D_{i-1}) - \Phi(D_i) 79 | \Big) 80 | = 81 | \sum_{i = 0}^{n}\big(\hat c_i\big) + \Phi(D_0) - \Phi(D_n) 82 | \leqslant \sum_{i = 0}^{n} \hat c_i 83 | \] 84 | 85 | Значит наш метод дает ту же амортизированную оценку, но другим способом. 86 | 87 | 88 | \subsubsection{Потенциальный анализ вектора} 89 | Проведем анализ для вектора. Пусть $\Phi(D_i) = 2 \cdot D.size_i + D.cap_i$, где $D.size_i$ -- размер массива на $i$ шаге, $D.cap_i$ -- вместимость массива том же шаге. 90 | 91 | Тогда возможны два случая: 92 | \begin{enumerate} 93 | \item Вставка элемента происходит без реаллокации. Тогда 94 | \[ 95 | \hat c_i 96 | = 97 | c_i + \Phi(D_i) - \Phi(D_{i - 1}) 98 | = 99 | 1 + (2size_i - cap_i) - (2size_{i - 1} - cap_{i - 1}) 100 | = 101 | 3 102 | \] 103 | \item Вставка с реаллокацией. Тогда 104 | \[ 105 | \hat c_i 106 | = 107 | size_i + (2size_i - cap_i) - (2size_{i - 1} - cap_{i - 1}) % 108 | =3 109 | \] 110 | \end{enumerate} 111 | 112 | Отсюда делаем вывод, что в среднем вставка в вектор занимает константное время. 113 | 114 | \subsubsection{Анализ операции delete.} 115 | 116 | Доопределим в нашей структуре данных операцию удаления последнего элемента. При этом возникает вопрос: в какой момент стоит уменьшать вместимость структуры? Ответ прост: тогда, когда занята четверть памяти, уменьшать вместимость в два раза. Тогда мы гарантируем, что при последующем добавлении не будет происходить частых реаллокаций. 117 | 118 | Введем характеристику $\alpha_i = \frac{size_i}{cap_i}$ и переопределим наш потенциал следующим образом: 119 | \[ 120 | \Phi(D_i) = 121 | \begin{cases} 122 | 0, & i = 0 \\ 123 | 2size_i - cap_i, & i > 0, \alpha_i \geqslant \frac12 \\ 124 | \frac{cap_i}{2} - size_i, & i > 0, \alpha_i < 0 125 | \end{cases} 126 | \] 127 | 128 | %\TODO{Затехать формулы} 129 | 130 | \textit{Тут будут формулы с лекции. Суть в том, что мы для каждого случая расписываем $\hat c_i$ и получаем везде константу.} 131 | 132 | \subsection{Стек} 133 | 134 | Рассмотрим еще одну структуру данных под названием \textit{стек}. Она поддерживает всего 4 операции: 135 | 136 | \begin{center} 137 | \begin{tabular}{c|c|c} 138 | Название & Описание & Сложность \\ \hline 139 | push(el) & Положить на стек элемент $el$ & $ O(1) $ \\ \hline 140 | pop() & Вернуть и удалить верхний элемент & $ O(1) $ \\ \hline 141 | top() & Вернуть верхний элемент & $ O(1) $ \\ \hline 142 | is\_empty() & Вернуть истину, если стек пуст & $ O(1) $ 143 | \end{tabular} 144 | \end{center} 145 | 146 | Реализуется стек очень просто: у нас есть массив, для него мы храним указатель на последний элемент. При добавлении мы передвигаем указатель на одну позицию вперед и пишем туда элемент. 147 | 148 | Иногда может возникнуть желание знать максимальный элемент на стеке. Так как наша структура не поддерживает поиск и произвольную адресацию, нам нужно завести отдельный стек только на хранение максимумов. 149 | 150 | Тогда алгоритм будет следующим: при каждом добавлении элемента мы будем класть в другой стек текущий максимум. При удалении мы будем делать pop у этого дополнительного стека. 151 | 152 | \pagebreak 153 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/lectures/lecture-08-09.03.2017.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../main.tex]{subfiles} 2 | 3 | \begin{document} 4 | \section{Лекция 8. Двоичные деревья поиска.} 5 | 6 | Пусть мы хотим реализовать структуру данных, моделирующую множество. Для этого нам надо уметь быстро \textit{вставлять, искать} и \textit{удалять} элементы из множества. В этом нам поможет такая структура, как \textit{двоичное дерево поиска}. 7 | 8 | \subsection{Двоичное дерево поиска} 9 | 10 | \subsubsection{Построение} 11 | 12 | Будем называть двоичное дерево $T$ \textit{деревом поиска}, если для него выполняются следующие условия: 13 | \begin{enumerate} 14 | \item У любого узла существует не более двух детей 15 | \item Если узел $y$ лежит в левом поддереве с корнем $x$, то $y.key \leqslant x.key$; если в правом, то $y.key \geqslant x.key$. 16 | \end{enumerate} 17 | 18 | \begin{remark} 19 | Строгость неравенства зависит от поставленной задачи. Например, при реализации multiset'а неравенство нестрогое, а при реализиации set'а -- строгое. 20 | \end{remark} 21 | 22 | Приведем пример двоичного дерева поиска: 23 | 24 | \begin{center} 25 | \begin{tikzpicture} 26 | \begin{scope}[every node/.style={circle,thick,draw}] 27 | \node (top) at (10, 10) {$9$}; 28 | 29 | \node (2-1) at (6, 8) {$7$}; 30 | \node (2-2) at (14, 8) {$20$}; 31 | 32 | \node (3-1) at (5, 6) {$2$}; 33 | \node (3-2) at (7, 6) {$8$}; 34 | \node (3-3) at (12, 6) {$15$}; 35 | 36 | \node (4-2) at (6, 4) {$4$}; 37 | \node (4-3) at (11, 4) {$12$}; 38 | \node (4-4) at (13, 4) {$17$}; 39 | 40 | \node (5-1) at (5, 3) {$3$}; 41 | \node (5-2) at (7, 3) {$5$}; 42 | \end{scope} 43 | 44 | 45 | \path [->] (top) edge (2-1); 46 | \path [->] (top) edge (2-2); 47 | 48 | 49 | \path [->] (2-1) edge (3-1); 50 | \path [->] (2-1) edge (3-2); 51 | \path [->] (2-2) edge (3-3); 52 | 53 | \path [->] (3-1) edge (4-2); 54 | \path [->] (3-3) edge (4-3); 55 | \path [->] (3-3) edge (4-4); 56 | 57 | 58 | \path [->] (4-2) edge (5-1); 59 | \path [->] (4-2) edge (5-2); 60 | 61 | \end{tikzpicture} 62 | \end{center} 63 | 64 | \textit{Весь код в этой лекции будет написан в Python-подобном синтаксисе} 65 | 66 | Для начала опишем поиск в такой структуре: 67 | \begin{lstlisting}[language=python] 68 | def tree_search(x, k): 69 | if x: 70 | if k < x.key: 71 | return tree_search(x.left, k) 72 | elif k > x.key: 73 | return tree_search(x.right, k) 74 | else: 75 | return x 76 | return None 77 | \end{lstlisting} 78 | 79 | Словами: на каждом шаге сравниваем с текущим и идем в нужную ветку. 80 | 81 | \begin{time} 82 | В худшем случае время работы данного алгоритма займет $O(height(T))$, где $T$ -- дерево. 83 | \end{time} 84 | 85 | Затем нужно научиться вставлять ноды в дерево. Основная идея: вставляем в корень, проверяем выполнение инварианта, останавливаемся, если все хорошо, и идем дальше иначе. 86 | 87 | \begin{lstlisting}[language=python] 88 | def tree_insert(t, k): # t -- tree 89 | z = Node(k) 90 | x = t.root 91 | while x: 92 | z.parent = x 93 | if z.key > x.key: 94 | x = x.right 95 | else: 96 | x = x.left 97 | 98 | if z.parent: 99 | if z.key > z.parent.key: 100 | z.parent.right = z 101 | else: 102 | z.parent.left = z 103 | else: 104 | t.root = z 105 | \end{lstlisting} 106 | 107 | 108 | \subsubsection{Сортировка} 109 | 110 | Дерево хорошо тем, что если оно у нас уже есть, мы можем за $O(n)$ вывести все элементы по порядку. Идея проста: на каждой ноде сначала выводим правое поддерево, а потом левое поддерево. 111 | 112 | \begin{lstlisting}[language=python] 113 | def in_order(x): 114 | if x.left: 115 | in_order(x.left) 116 | print(x.key) 117 | if x.right: 118 | in_order(x.right) 119 | \end{lstlisting} 120 | 121 | Если же дерево не построено, то достаточно легко построить такое дерево и просто вывести: 122 | 123 | \begin{lstlisting}[language=python] 124 | def sort(l): 125 | Tree t 126 | for key in l: 127 | tree_insert(t, key) 128 | in_order(t.root) 129 | \end{lstlisting} 130 | 131 | \begin{remark} 132 | Сортировка, построенная таким образом эквивалентна алгоритму QuickSort в силу построения дерева: на каждом шаге как будто выбирается \textit{опорный} элемент, относительно которого и происходит разделение массива 133 | \end{remark} 134 | 135 | 136 | \subsection{Сбалансированное дерево} 137 | 138 | \begin{definition} 139 | \textit{Сбалансированные деревья поиска} -- это такие деревья поиска, что их максимальная высота является $O(\log n)$. Также такие деревья называются \textit{полными} деревьями поиска. 140 | \end{definition} 141 | 142 | Рассмотрим семейство деревьев $\mathcal{F}$, для которых выполняется следующий инвариант: 143 | \[ 144 | \exists c > 0 \ \forall n \in T: \ |height(n.left) - height(n.right)| \leqslant c 145 | \] 146 | 147 | \begin{theorem} 148 | Все деревья из $\mathcal{F}$ сбалансированны. 149 | \end{theorem} 150 | \begin{proof} 151 | Пусть $n(h)$ -- минимально возможное число узлов в дереве $t \in \mathcal{F}$ высоты $h$. Тогда если выполнится 152 | \[ 153 | \exists \alpha : \ n(h) \geqslant (1 + \alpha)^n - 1, 154 | \] 155 | 156 | то $$h \leqslant \log_{1+\alpha} n + 1 = O(\log n)$$ 157 | 158 | \textit{База индукции.} $h = 0 \Rightarrow \forall \alpha 1 \geqslant (1 + \alpha)^n - 1$ 159 | 160 | \textit{Шаг индукции.} Пусть $\forall k < h: \ n(k) \geqslant (1 + \alpha)^n - 1$. Тогда зафиксируем $t$ -- дерево высоты $h$, при этом 161 | \[ 162 | height(left(t)) = h - 1 163 | \] 164 | \[ 165 | height(right(t)) \geqslant h - 1 - c 166 | \] 167 | \[ 168 | n(h) 169 | \geqslant 170 | n(h - 1) + n(h - 1 - c) + 1 171 | \geqslant 172 | (1 + \alpha)^{h - 1} + (1 + \alpha)^{h - 1 - c} - 1 - 1 + 1 173 | \geqslant 174 | 2(1 + \alpha)^{h - 1 - c} - 1 175 | \] 176 | 177 | Для маленьких $\displaystyle \alpha: \ 1 + \alpha < 2^{\frac{1}{c + 1}}$. Отсюда получаем, что 178 | \[ 179 | n(h) \geqslant 180 | 2(1 + \alpha)^{h-1-c} - 1 \geqslant (1 + \alpha)^n - 1 181 | \] 182 | \end{proof} 183 | 184 | \pagebreak 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 191 | 192 | 193 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16-17_1course_standart/lectures/lecture-XX-dd.mm.yyyy.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../main.tex]{subfiles} 2 | 3 | %Sample lecture 4 | 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | 9 | 10 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16_2course_pilot/algo_16_2course_pilot.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \usepackage{header_book} 3 | 4 | \begin{document} 5 | \titlepage 6 | \thispagestyle{empty} 7 | \pagestyle{fancy} 8 | 9 | \newpage 10 | \section*{Предисловие} 11 | Так уж вышло, что предисловие к этой книжке становится в первую очередь послесловием 12 | групп 151 и 153 к нашему лектору. Послесловие --- это всегда грустный жанр, но есть одно 13 | замечательное свойство: послесловия всегда дают надежду на продолжение разговора, 14 | даже если уже много чего было сказано. 15 | 16 | Многие из нас провели с тобой больше года, но все мы надеемся, что всё, что 17 | происходило было не зря в первую очередь для нас. Да, было много трудностей, 18 | которые и мы, и ты преодолевали все 5 модулей. Для тебя мы --- первые студенты, 19 | которых ты учил. Для нас ты первый и, пожалуй, единственный лектор по алгоритмам. 20 | 21 | Эта маленькая книжечка не отражает всё, что мы проходили, но в этом модуле были 22 | рассмотрены одновременно практически и теоретически важные алгоритмы. 23 | 24 | Мы называли тебя по-сердитому <<Глебас>>, но ты не обижайся, ладно? Отнесись 25 | с юмором :) 26 | 27 | Люди, которые прошли все 5 модулей рядом с тобой: 28 | 29 | \begin{minipage}{0.45\textwidth} 30 | \def\baselinestretch{1.2} 31 | \textbf{Группа 151:} 32 | 33 | \it{ 34 | 35 | Бирюков Валентин 36 | 37 | Воробьев Петр 38 | 39 | Калинов Алексей 40 | 41 | Когтенков Алексей 42 | 43 | Корозевцев Павел 44 | 45 | Кутенин Данила 46 | 47 | Лазарев Владислав 48 | 49 | Лукьянов Илья 50 | 51 | Мельников Артем 52 | 53 | Мусаткина Дарья 54 | 55 | Проскуряков Александр 56 | 57 | Смалюк Арсений 58 | 59 | Смирнов Александр 60 | 61 | Старченко \sout{Владаимир} Владимир 62 | 63 | Тульчинский Эдуард 64 | } 65 | \end{minipage} 66 | \hfill 67 | \begin{minipage}{0.45\textwidth} 68 | \def\baselinestretch{1.2} 69 | 70 | \textbf{Группа 153:} 71 | \it{ 72 | 73 | Абдумуталов Рустам 74 | 75 | Андреев Александр 76 | 77 | Баранов Юрий 78 | 79 | Бесчетнов Павел 80 | 81 | Богомолов Павел 82 | 83 | Гурциева Тамара 84 | 85 | Зойкин Александр 86 | 87 | Зубанов Виктор 88 | 89 | Капранов Иван 90 | 91 | Кнышов Александр 92 | 93 | Латышев Павел 94 | 95 | Остяков Павел 96 | 97 | Сидоров Евгений 98 | 99 | Харламов Алексей 100 | } 101 | \end{minipage} 102 | 103 | \begin{quote} 104 | \textit{ 105 | Глеб, читай курс всегда с таким же диким интересом и на одной волне с 106 | аудиторией, это просто топ. Чтобы через лет 10 можно было завалиться к тебе на 107 | лекцию, и слышать, что определения ещё набрасываются на вентилятор, а аутисты 108 | в аудитории никогда не спят. Спасибо тебе за бодрые пять модулей. Курс просто 109 | огонь. 110 | } 111 | \end{quote} 112 | \begin{flushright} 113 | \textit{Какой-то аутист} 114 | \end{flushright} 115 | % \medskip 116 | \begin{quote} 117 | \textit{ 118 | Было очень классно тебя слушать. Надеюсь, что в будущем ты защитишь 119 | кандидатскую, а каждый из нас найдёт область, которая будет востребована, 120 | чтобы она вызывала бурную реакцию для того, чтобы что-то делать и создавать. 121 | Никогда не забуду, как мне снизили за <<Кутенин Д.>> 122 | } 123 | \end{quote} 124 | \begin{flushright} 125 | \textit{Автор конспектов} 126 | \end{flushright} 127 | 128 | \begin{quote} 129 | \textit{ 130 | Глеб! 131 | Твой курс был очень полезным для меня. Я вынес много нового и надеюсь мне это 132 | пригодится в жизни. У тебя отличная подача материала и замечательное чувство 133 | юмора. Спасибо за все пять модулей, которые ты нас терпел. Надеюсь, мы ещё 134 | встретимся :) 135 | } 136 | \end{quote} 137 | \begin{flushright} 138 | \textit{Андреев А.} 139 | \end{flushright} 140 | 141 | \begin{quote} 142 | \textit{ 143 | Этот курс был чертовски полезен и крут. Пусть я и не всё понимал, но на 144 | лекциях было всегда интересно, к тому же у тебя отличное чувство юмора. 145 | Эта книжечка тебе, чтобы не терять листочки в сумке. 146 | } 147 | \end{quote} 148 | \begin{flushright} 149 | \textit{Иван Капранов} 150 | \end{flushright} 151 | 152 | \newpage 153 | 154 | \tableofcontents 155 | \newpage 156 | \setcounter{page}{7} 157 | 158 | \smallskip 159 | 160 | \input{hse_algo_pilot_01_[02.09.2016]} 161 | \oball 162 | \newpage 163 | \input{hse_algo_pilot_02_[06.09.2016]} 164 | \oball 165 | \clearpage 166 | \input{hse_algo_pilot_03_[16.09.2016]} 167 | \oball 168 | \newpage 169 | \input{hse_algo_pilot_04_[20.09.2016]} 170 | \oball 171 | \newpage 172 | \input{hse_algo_pilot_05_[27.09.2016]} 173 | \oball 174 | \newpage 175 | \input{hse_algo_pilot_06_[30.09.2016]} 176 | \oball 177 | \newpage 178 | \input{hse_algo_pilot_07_[04.10.2016]} 179 | \oball 180 | \newpage 181 | \input{hse_algo_pilot_08_[11.10.2016]} 182 | \oball 183 | \newpage 184 | \input{hse_algo_pilot_09_[14.10.2016]} 185 | \oball 186 | \newpage 187 | \input{hse_algo_pilot_10_[18.10.2016]} 188 | \oball 189 | 190 | \section*{Благодарности} 191 | 192 | Спасибо большое за вычитку конспектов следующим людям: Павлу Корозевцеву, Алексею 193 | Данилюку, Тамаре Гурциевой, Александру Андрееву за 194 | нахождение огромного количества опечаток и неточностей, Алексею Калинову 195 | за вычитку лекции про RSA, Михаилу Дискину за 196 | вычитку лекции про $\Pclass$ и $\NPclass$. 197 | 198 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16_2course_pilot/images/Airat.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16_2course_pilot/images/Airat.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16_2course_pilot/images/Nebudem.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16_2course_pilot/images/Nebudem.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16_2course_pilot/images/alpha.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16_2course_pilot/images/alpha.png -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16_2course_pilot/images/graph.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16_2course_pilot/images/graph.png -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16_2course_pilot/images/velosiped.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16_2course_pilot/images/velosiped.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /algo_16_2course_standart/mini-kormen-2.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/algo_16_2course_standart/mini-kormen-2.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/Stoks.tex: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/calculus_16-17_2course/Stoks.tex -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/calculus_16-17_2course.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \input{header.sty} 3 | 4 | \begin{document} 5 | \maketitle 6 | \thispagestyle{empty} 7 | \mbox{} 8 | \pagestyle{fancy} 9 | \newpage 10 | \tableofcontents 11 | \newpage 12 | \input{lectures/calculus_01_[05.09.2016]} 13 | \newpage 14 | \input{lectures/calculus_02_[12.09.2016]} 15 | \newpage 16 | \input{lectures/calculus_03_[19.09.2016]} 17 | \newpage 18 | \input{lectures/calculus_04_[26.09.2016]} 19 | \newpage 20 | \input{lectures/calculus_05_[03.10.2016]} 21 | \newpage 22 | \input{lectures/calculus_06_[10.10.2016]} 23 | \newpage 24 | \input{lectures/calculus_07_[17.10.2016]} 25 | \newpage 26 | \input{lectures/calculus_08_[31.10.2016]} 27 | \newpage 28 | \input{lectures/calculus_09_[07.11.2016]} 29 | \newpage 30 | \input{lectures/calculus_10_[14.11.2016]} 31 | \newpage 32 | \input{lectures/calculus_11_[21.11.2016]} 33 | \newpage 34 | \input{lectures/calculus_12_[28.11.2016]} 35 | \newpage 36 | \input{lectures/calculus_13_[12.12.2016]} 37 | \newpage 38 | \input{lectures/calculus_14_[17.01.2017]} 39 | \newpage 40 | \input{lectures/calculus_15_[23.01.2017]} 41 | \newpage 42 | \input{lectures/calculus_16_[30.01.2017]} 43 | \newpage 44 | \input{lectures/calculus_17_[06.02.2017]} 45 | \newpage 46 | \input{lectures/calculus_18_[13.02.2017]} 47 | \newpage 48 | \input{lectures/calculus_19_[20.02.2017]} 49 | \newpage 50 | \input{lectures/calculus_20_[27.02.2017]} 51 | \newpage 52 | \input{lectures/calculus_21_[06.03.2017]} 53 | \newpage 54 | \input{lectures/calculus_22_[13.03.2017]} 55 | \newpage 56 | \input{lectures/calculus_23_[20.03.2017]} 57 | \newpage 58 | \input{lectures/calculus_24_[03.04.2017]} 59 | \newpage 60 | \input{lectures/calculus_25_[10.07.2017]} 61 | \newpage 62 | \input{lectures/calculus_26_[17.04.2017]} 63 | \newpage 64 | \input{lectures/calculus_27_[15.05.2017]} 65 | \newpage 66 | \input{lectures/calculus_29_[22.05.2017]} 67 | \newpage 68 | \input{lectures/calculus_30_[29.05.2017]} 69 | \newpage 70 | \input{lectures/calculus_31_[29.05.2017]} 71 | \newpage 72 | \input{lectures/calculus_32_[05.06.2017]} 73 | \end{document} 74 | -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/header.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %% Работа с русским языком 2 | \usepackage{cmap} % поиск в PDF 3 | \usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах 4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка 5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста. НИКОГДА НЕ МЕНЯТЬ. 6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы 7 | \usepackage{epigraph} % делать эпичные эпиграфы 8 | \usepackage{fancybox,fancyhdr} % для колонтитулов 9 | \usepackage{multicol} 10 | \usepackage{float} 11 | %% Отступы между абзацами и в начале абзаца 12 | \setlength{\parindent}{0pt} 13 | \setlength{\parskip}{\medskipamount} 14 | 15 | %% Изменяем размер полей 16 | \usepackage[top=0.7in, bottom=0.75in, left=0.625in, right=0.625in]{geometry} 17 | 18 | %% Изменяем размер отступов колонтитулов 19 | \renewcommand{\headrulewidth}{1.8pt} 20 | \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt} 21 | 22 | %% Графика 23 | \usepackage[pdftex]{graphicx} 24 | \graphicspath{{images/}} 25 | 26 | %% Различные пакеты для работы с математикой 27 | \usepackage{mathtools} % Тот же amsmath, только с некоторыми поправками 28 | 29 | \usepackage{amssymb} % Математические символы 30 | \usepackage{amsthm} % Пакет для написания теорем 31 | \usepackage{amstext} 32 | \usepackage{array} 33 | \usepackage{amsfonts} 34 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление 35 | \usepackage{enumitem} % Для выравнивания itemize (\begin{itemize}[align=left]) 36 | \usepackage{wrapfig} 37 | % Номера формул 38 | \mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте. 39 | 40 | 41 | \usepackage{mathdots} 42 | \usepackage{floatflt} 43 | 44 | % Ссылки 45 | \usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue, bookmarks=false]{hyperref} 46 | 47 | % Шрифты 48 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид 49 | \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт 50 | 51 | % Свои команды\textbf{} 52 | \DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}} 53 | 54 | % Перенос знаков в формулах (по Львовскому) 55 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{} 56 | {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} 57 | 58 | % Графики 59 | \usepackage{tikz} 60 | 61 | % Изменим формат \section и \subsection: 62 | \usepackage{titlesec} 63 | \titleformat{\section} 64 | {\vspace{1cm}\centering\LARGE\bfseries} % Стиль заголовка 65 | {} % префикс 66 | {0pt} % Расстояние между префиксом и заголовком 67 | {} % Как отображается префикс 68 | \titleformat{\subsection} % Аналогично для \subsection 69 | {\Large\bfseries} 70 | {} 71 | {0pt} 72 | {} 73 | 74 | %% Титульный лист 75 | \renewcommand{\maketitle}{\begingroup 76 | \hbox{ 77 | \hspace*{0.12\textwidth} 78 | \rule{1pt}{\textheight} 79 | \hspace*{0.05\textwidth} 80 | \parbox[b]{0.775\textwidth}{ 81 | {\includegraphics[width=\linewidth]{images/Title.png}}\\[2\baselineskip] 82 | {\noindent\Huge\bfseries Математический анализ}\\[\baselineskip] 83 | {\large\textrm{Конспекты лекций}}\\[3\baselineskip] 84 | {\Large\textsc{Лектор: В.В. Галатенко}}\\[\baselineskip] 85 | {Конспекты вели Дискин Михаил, Анастасия Иовлева и Руслан Хайдуров}\\[6\baselineskip] 86 | {\noindent НИУ ВШЭ, 2016-2017}\\[\baselineskip] 87 | } 88 | } 89 | \endgroup 90 | } 91 | 92 | \setlength{\headheight}{15pt} 93 | %% Для колонтитула 94 | \def\head{ 95 | {\it \small НИУ ВШЭ $\bullet$ Факультет компьютерных наук $\bullet$ Прикладная математика и информатика}} 96 | 97 | %% Делаем верхний и нижний колонтитулы 98 | \fancyhf{} 99 | \fancyhead[R]{\head} 100 | \fancyfoot[L]{{\small {\it М. Дискин, А. Иовлева, Р. Хайдуров. Математический анализ-3}}} 101 | \fancyhead[L]{\thepage} 102 | \fancyfoot[R]{{\small {\it Лекция \thesection }}} 103 | 104 | 105 | 106 | %% Теоремы и иже с ними 107 | \theoremstyle{remark} 108 | \newtheorem*{Comment}{Замечание} 109 | \newtheorem*{Task}{Упражнение} 110 | \newtheorem*{Examples}{Пример} 111 | \newtheorem*{Designation}{Обозначение} 112 | 113 | \theoremstyle{definition} 114 | \newtheorem{Def}{Определение} 115 | 116 | \theoremstyle{plain} 117 | \newtheorem{Lemma}{Лемма} 118 | \newtheorem{Theorem}{Теорема} 119 | \newtheorem{Test}{Признак} 120 | \newtheorem*{Statement}{Утверждение} 121 | \newtheorem{Problem}{Задача} 122 | \newtheorem*{Hypothesis}{Гипотеза} 123 | \newtheorem*{Consequence}{Следствие} 124 | \newtheorem{Properties}{Свойство} 125 | 126 | 127 | 128 | \newcommand{\0}{\vec{0}} 129 | \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re\:}} 130 | \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im\:}} 131 | \newcommand{\Arg}{\mathrm{Arg\:}} 132 | \renewcommand{\arg}{\mathrm{arg\:}} 133 | \newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}} 134 | \newcommand{\id}{\mathrm{id}} 135 | \newcommand{\isom}{\xrightarrow{\sim}} 136 | \newcommand{\leftisom}{\xleftarrow{\sim}} 137 | \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} 138 | \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\:} 139 | \newcommand{\rk}{\mathrm{rk}\:} 140 | \newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} 141 | \newcommand{\ort}{\mathrm{ort}} 142 | \newcommand{\pr}{\mathrm{pr}} 143 | \newcommand{\vol}{\mathrm{vol\:}} 144 | \def\limref#1#2{{#1}\negmedspace\mid_{#2}} 145 | \newcommand{\eps}{\varepsilon} 146 | 147 | \renewcommand{\phi}{\varphi} % плохо, так как есть \phi в англ раскладке. 148 | \newcommand{\e}{\mathbb{e}} 149 | \renewcommand{\l}{\lambda} 150 | \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 151 | \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 152 | \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 153 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 154 | \renewcommand{\C}{\mathbb{C}} 155 | \newcommand{\E}{\mathbb{E}} 156 | \newcommand{\B}{\mathcal{B}} 157 | \newcommand{\D}{\mathcal{D}} 158 | \newcommand{\Ri}{\mathcal{R}} % Риман 159 | 160 | \newcommand{\vvector}[1]{\begin{pmatrix}{#1}_1 \\\vdots\\{#1}_n\end{pmatrix}} 161 | \renewcommand{\vector}[1]{({#1}_1, \ldots, {#1}_n)} 162 | 163 | \newcommand{\rarr}{\rightarrow} 164 | \renewcommand{\leq}{\leqslant} 165 | \renewcommand{\geq}{\geqslant} 166 | \renewcommand{\le}{\leqslant} 167 | \renewcommand{\ge}{\geqslant} 168 | \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} 169 | \newcommand{\x}{\hat{x}} 170 | \newcommand{\y}{\hat{y}} 171 | 172 | \newcommand{\series}[2]{\sum\limits_{n=#1}^{#2}} 173 | \newcommand{\sseries}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}} 174 | \newcommand{\zseries}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}} 175 | \newcommand{\infprod}{\prod\limits_{n=1}^{\infty}} 176 | \newcommand{\uconv}[2]{\overset{#1}{\underset{#2}{\rightrightarrows}}} 177 | \newcommand{\ito}{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}} 178 | 179 | \newcommand{\lmao}{неотрицательная непрерывная $2\pi$-периодическая аппроксимативная единица} 180 | \newcommand{\I}{\widetilde{I}} 181 | \newcommand{\PPi}{\widetilde{\Pi}} 182 | \newcommand{\diam}{\mathrm{diam}} 183 | \newcommand{\osc}{\mathrm{osc}} 184 | 185 | \setlist[itemize]{itemsep=0pt, topsep=0pt} 186 | \setlist[enumerate]{itemsep=0pt, topsep=0pt} -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/images/03-01.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/calculus_16-17_2course/images/03-01.png -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/images/14-1.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/calculus_16-17_2course/images/14-1.png -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/images/14-2.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/calculus_16-17_2course/images/14-2.png -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/images/14-3.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/calculus_16-17_2course/images/14-3.png -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/images/Title.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/calculus_16-17_2course/images/Title.png -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_01_[05.09.2016].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 01 от 05.09.2016 \\ Основные определения и свойства рядов. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости} 2 | \begin{Def} 3 | Пусть \(\{a_n\}^{\infty}_{n=1}\) --- последовательность действительных чисел. Числовым рядом называется выражение вида \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\), записываемое также как \(a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots \). 4 | 5 | \end{Def} 6 | \begin{Def} 7 | \(N\)-й частичной суммой ряда называется сумма первых \(N\) членов. 8 | $$S_n = a_1~+~\ldots~+~a_N$$ 9 | \end{Def} 10 | 11 | \begin{Def} 12 | Последовательность \(\{S_n\}^{\infty}_{n=1}\) 13 | называется последовательностью частичных сумм ряда $\series{1}{\infty}a_n$. 14 | \end{Def} 15 | 16 | Говорят, что ряд \textit{сходится (к числу $A$)}, если (к числу $A$) сходится последовательность его частичных сумм. Аналогично, ряд \textit{расходится к $+\infty$ (к $-\infty$)}, если к $+\infty$ (к $-\infty$) расходится последовательность его частичных сумм. Если последовательность частичных сумм расходится, ряд называют \textit{расходящимся}. 17 | 18 | \begin{Def} 19 | Суммой ряда называется предел $\lim\limits_{n \to \infty} S_n$. 20 | \end{Def} 21 | Вспоминая, что $a_n = S_{n} - S_{n-1}$, можно заключить, что особой разницы между самим рядом и последовательностью его частичных сумм нет --- из одного можно получить другое и наоборот. Следовательно, вместо ряда можно рассматривать его частичные суммы. 22 | 23 | \begin{Examples}[Предел Коши для последовательностей] 24 | Последовательность $\{S_n\}_{n=1}^\infty$ сходится тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию Коши, т.е. 25 | $$ 26 | \forall \varepsilon>0\; \exists N\in \N\colon \forall m,k > N \Rightarrow |S_m - S_k|<\varepsilon. 27 | $$ 28 | \end{Examples} 29 | Таким образом, мы нахаляву получили первую теорему. 30 | \begin{Theorem}[Критерий Коши сходимости ряда] 31 | Для сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ необходимо и достаточно, чтобы 32 | $$ 33 | \forall \varepsilon>0\; \exists N\in \N\colon \forall k>N,\; \forall p\in \N \Rightarrow |a_{k+1} + a_{k+2} \ldots + a_{k+p}| < \varepsilon. 34 | $$ 35 | 36 | \end{Theorem} 37 | Отсюда сразу же очевидно следует утверждение. 38 | \begin{Statement}[Необходимое условие сходимости ряда] 39 | Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, то $\lim\limits_{n\to \infty} a_n~=~0$. 40 | \end{Statement} 41 | \begin{proof} 42 | Ряд сходится, значит, 43 | $$ 44 | \forall \varepsilon>0\; \exists N \in \N\colon \forall k>N, p = 1 \Rightarrow |a_{k+1}| < \varepsilon. 45 | $$ 46 | А это и есть определение предела, равного нулю. 47 | \par Другой способ доказательства: вспомним, что $a_n = S_n - S_{n-1}$ и что $S_n$, как и $S_{n-1}$, стремятся к одному пределу при стремлении $n$ к бесконечности. Итого, получаем, что 48 | $$ 49 | \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n\to \infty} S_n - \lim\limits_{n\to \infty} S_n = 0. 50 | $$ 51 | \end{proof} 52 | 53 | Теперь сформулируем и докажем несколько тривиальных свойств. 54 | \begin{Properties} 55 | Пусть $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n = A$, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}b_n = B$. Тогда $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\left(a_n + b_n\right) = A + B$. 56 | \end{Properties} 57 | \begin{proof} 58 | Это напрямую следует из свойств предела последовательности и того, что $S^{a+b}_n = S_n^a + S_n^b$. 59 | \end{proof} 60 | \begin{Properties} 61 | Пусть $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n~=~A$. Тогда $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha a_n = \alpha A$ для любого действительного $\alpha$. 62 | \end{Properties} 63 | \begin{proof} 64 | Аналогично вытекает из свойств предела последовательности. 65 | \end{proof} 66 | 67 | Введём еще одно определение. 68 | 69 | \begin{Def} 70 | Пусть дан ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$. Обозначим некоторые его подсуммы, 71 | $$ 72 | \underbrace{a_1 + \ldots + a_{n_1}}_{b_1} + \underbrace{a_{n_1+1} + \ldots + a_{n_2}}_{b_2} + \underbrace{a_{n_2 + 1} \ldots + a_{n_3}}_{b_3} + a_{n_3 + 1} + \ldots, 73 | $$ 74 | где $\{n_j\}_{j=1}^{\infty}$ --- возрастающая последовательность натуральных чисел. В таком случае говорят, что ряд $\sum\limits_{k =1}^{\infty} b_k$ получен из исходного \emph{расстановкой скобок}. 75 | \end{Def} 76 | \begin{Statement} 77 | Если ряд сходится или расходится к $\pm \infty$, то после любой расстановки скобок он сходится, неформально говоря, туда же. 78 | \end{Statement} 79 | 80 | \begin{proof} 81 | Достаточно заметить, что частичные суммы ряда, полученного расстановкой скобок, образуют подпоследовательость в последовательности частичных сумм исходного ряда: 82 | $$ 83 | S^b_1 = S^a_{n_1}, \quad S^b_{2} = S^a_{n_2}, \quad S^b_3 = S^a_{n_3}, \quad \ldots 84 | $$ 85 | Осталось только вспомнить, что любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится туда же, куда и сама последовательность. 86 | \end{proof} 87 | \emph{Обратное неверно!!!} Пример такого ряда: 88 | $$ 89 | 1 - 1 + 1 - \ldots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \left(-1\right)^n. 90 | $$ 91 | При расстановке скобок $(1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0$ получается сходящийся ряд, в то время как исходный ряд расходится, хотя бы потому что не выполняется необходимое условие о стремлении членов ряда к нулю. 92 | 93 | Однако сходимость элементов к нулю не единственное препятствие. Например, можно <<распилить>> единицы из предыдущего примера и получить следующий ряд: 94 | $$ 95 | 1 - 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots 96 | $$ 97 | Его элементы стремятся к нулю, но он все еще расходится. Однако расставив скобки, можно получить сходящийся ряд: 98 | $$ 99 | (1 - 1) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right) + \ldots = 0. 100 | $$ 101 | \begin{Statement} 102 | Если $a_n \to 0$ и длины скобок ограничены (т.е. существует такое $C~\in~\R$, что $n_{k+1} - n_{k} < C$ при всех $k$), то из сходимости ряда, полученного расстановкой таких скобок, следует сходимость исходного ряда. 103 | \end{Statement} 104 | \begin{proof} 105 | Доказать предлагается самостоятельно. Указание: найти $N$ такое что\\ $\forall n>N|a_n| < \frac{\eps}{C}$. 106 | \end{proof} 107 | \begin{Statement} 108 | Изменение, удаление или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, но, разумеется, влияет на его сумму. 109 | \end{Statement} 110 | 111 | Поговорим теперь об абсолютной сходимости. 112 | \begin{Def} 113 | Если сходится ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}|a_n|$, то говорят, что ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n$ сходится абсолютно. 114 | \end{Def} 115 | \begin{Def} 116 | Если ряд сходится, но не сходится абсолютно, то говорят, что ряд сходится условно. 117 | \end{Def} 118 | \begin{Statement} 119 | Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится абслютно, то он сходится. 120 | \end{Statement} 121 | \begin{proof} 122 | Сразу следует из критерия Коши. Возьмём произвольное $\varepsilon>0$. Так как ряд из модулей сходится, то $$\exists N\in \N\colon \forall k>N,\; \forall p\in \N \Rightarrow \sum\limits_{k+1}^{k+p}|a_k| < \varepsilon$$ 123 | Тогда $$\left| \sum\limits_{n=k+1}^{k+p}a_n\right| \leqslant \sum\limits_{n=k+1}^{k+p}|a_n| < \varepsilon$$ 124 | \end{proof} 125 | 126 | \begin{Def} 127 | Для ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n$ $N$--м хвостом или $N$--м остатком называется сумма \\ 128 | $ 129 | r_N = \sum \limits_{n=N+1}^{\infty}a_n. 130 | $ 131 | \end{Def} 132 | 133 | Иногда хвостом называют сам ряд $\series{N+1}{\infty} a_n$, а остатком --- сумму этого ряда. 134 | 135 | Для сходящегося ряда очевидно, что каждый его хвост сходится. 136 | -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_04_[26.09.2016].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 04 от 26.09.2016 \\ Признаки сходимости знакопеременных рядов и перестановки ряда} 2 | \subsection{Снова признаки сходимости знакопеременных рядов} 3 | 4 | В прошлый раз мы с вами сформулировали и доказали признак Лейбница. Будем пользоваться в этот раз слабой его формулировкой: 5 | \begin{Test} 6 | Пусть последовательность $\{b_n\}_{n = 1}^{\infty}$ монотонно убывает к нулю. Тогда ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(-1)^n b_n$ сходится. 7 | \end{Test} 8 | 9 | Оказывается, этот признак является частным случаем более общего признака, который мы сейчас сформулируем и докажем. 10 | \begin{Test}[Признак Дирихле] 11 | Пусть частичные суммы ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ ограничены (то есть $\exists C>0$ такое, что $\forall n\ |A_n| = |a_1 + a_2 + \ldots + a_n| < C$), а $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ --- монотонно стремящаяся к нулю последовательность. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится (отметим, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ может влёгкую расходиться). 12 | \end{Test} 13 | Подставляя сюда вместо $a_n$ последовательность $a_n = (-1)^n$ (частичные суммы равны $1, 0, 1, 0, \ldots$ и ограничены), получаем формулировку первого утверждения. 14 | \begin{Comment} 15 | В признаке Лейбница дополнительно к утверждению о сходимости ряда присутствует оценка остатка, которой в признаке Дирихле нет. 16 | \end{Comment} 17 | \begin{proof} 18 | Для доказательства мы применим трюк, подобный интегрированию по частям, именуемый в дискретном случае \textit{преобразованием Абеля} (<<название умнее, чем само преобразование>> \textcopyright\ лектор). 19 | 20 | Рассмотрим случай $b_n \searrow 0$ (случай $b_n \nearrow 0$ --- аналогично). 21 | 22 | Зафиксируем произвольное $\varepsilon>0$. Найдём такое $N \in \N$, что 23 | $$ 24 | \forall n\geqslant N\; b_n < \cfrac{\varepsilon}{4C} 25 | $$ 26 | Возьмём $m>N$, произвольное $p\in \N$ и оценим сумму $\left|\sum\limits_{n=m + 1}^{m+p}a_n b_n\right|$. 27 | \begin{gather*} 28 | \sum\limits_{n=m+1}^{m+p} a_n b_n = \sum\limits_{n=m+1}^{m+p}\left(A_n - A_{n-1}\right)b_n = \sum\limits_{n=m+1}^{m+p} A_nb_n - \sum\limits_{n=m+1}^{m+p} A_{n-1} b_n = \sum\limits_{n=m+1}^{m+p}A_nb_n - \sum\limits_{n=m}^{m+p - 1}A_nb_{n+1} = \\ 29 | = A_{m+p} b_{m+p} - A_mb_{m+1} + \sum\limits_{n=m+1}^{m+p - 1}A_n\left(b_n-b_{n+1}\right). 30 | \end{gather*} 31 | Следовательно, используя монотонное убывание $b_n$: 32 | \begin{gather*} 33 | \left|\sum\limits_{n=m+1}^{m+p} a_n b_n\right| \leqslant |A_{m+p}b_{m+p}| + |A_mb_{m+1}| + \sum\limits_{n=m+1}^{m+p-1} |A_n||b_n - b_{n+1}| <\\ < C\cfrac{\varepsilon}{4C} + C \cfrac{\varepsilon}{4C} + C \sum\limits_{n=m+1}^{m+p-1}( b_n - b_{n+1}) =\\= \cfrac{\varepsilon}{2} + C(b_{m+1} -b_{m+2} + b_{m + 2} - b_{m+3} + \ldots -b_{m+p}) = \cfrac{\varepsilon}{2} + C(b_{m+1} - b_{m+p}) < \cfrac{\varepsilon}{2} + C\cfrac{\varepsilon}{4C} < \varepsilon. 34 | \end{gather*} 35 | Итого, по критерию Коши ряд $\series{1}{\infty}a_nb_n$ сходится. 36 | \end{proof} 37 | \begin{Examples} 38 | Попробуем поисследовать на сходимость какой-нибудь ряд, хороший пример --- ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cfrac{\cos n\alpha}{n}$, при $\alpha \neq 2\pi k,\; k\in \Z$ или такой же с синусом. Пусть $a_n = \cos n\alpha $, $b_n = \cfrac{1}{n}$. Исследуем ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ на ограниченность частичных сумм: 39 | \begin{gather*} 40 | |A_n| = \cfrac{|\cos \alpha + \cos 2\alpha + \ldots + \cos n\alpha|\cdot| \sin(\alpha/2)|}{|\sin(\alpha/2)|} =\\ 41 | =\left| \cfrac{-\sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{3\alpha}{2}-\sin\frac{3\alpha}{2} + \sin\frac{5\alpha}{2} - \ldots + \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)\alpha}{2|\sin\frac{\alpha}{2}|}\right| =\\ 42 | = \cfrac{\left|-\sin \frac{\alpha}{2} + \sin\left(n + \frac{1}{2}\right)\alpha\right|}{2\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|} \leqslant \cfrac{2}{2\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|} = \cfrac{1}{\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|} 43 | \end{gather*} 44 | Тогда тут применим признак Дирихле и ряд сходится. 45 | Теперь покажем его условную сходимость, то есть тот факт, что ряд из модулей расходится. 46 | \begin{gather} 47 | \cfrac{|\cos n\alpha|}{n} \geq \cfrac{(\cos n\alpha)^2}{n} = \cfrac{\cos 2n\alpha + 1}{2n} = 48 | \cfrac{1}{2}\left(\underbrace{\cfrac{\cos 2n\alpha}{n}}_{\text{ряд сход.}} + \underbrace{\cfrac{1}{n}}_{\text{ряд расх.}}\right) 49 | \end{gather} 50 | \end{Examples} 51 | Сформулируем и докажем ещё один признак. 52 | \begin{Test}[Признак Абеля] 53 | Пусть $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, а $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ --- монотонная ограниченная последовательность. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится. 54 | \end{Test} 55 | \begin{proof} 56 | Последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, а значит ограничена. Последовательность $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонна и ограничена, а значит имеет предел $B = \lim\limits_{n\to \infty} b_n$. То есть последовательность $b_n$ представима в виде $B + \beta_n$, где $\beta_n$ --- монотонно стремящаяся к нулю последовательность. 57 | $$ 58 | \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n(B+\beta_n) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_nB + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\beta_n 59 | $$ 60 | Первое слагаемое сходится по условию (умножение на константу ничего не меняет), а второе по признаку Дирихле. 61 | \end{proof} 62 | 63 | \subsection{Перестановки ряда} 64 | \begin{Def} 65 | Пусть $\sigma$ --- биекция (перестановка) $\N \to \N$. Тогда говорят, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}$ является перестановкой ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$. 66 | \end{Def} 67 | Сформулируем две теоремы, которые докажем в следующий раз. 68 | \begin{Theorem}[Коши] 69 | Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, и его сумма равна $A$. Тогда любая его перестановка также сходится абсолютно, и ее сумма равна $A$. 70 | \end{Theorem} 71 | \begin{Theorem}[Римана] 72 | Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится условно. Тогда: 73 | \begin{enumerate} 74 | \item для любого $A \in \mathbb{R}$ найдётся такая перестановка $\sigma$, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)} = A $; 75 | \item существует такая перестановка $\sigma$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}$ расходится к $+\infty$; 76 | \item существует такая перестановка $\sigma$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}$ расходится к $-\infty$; 77 | \item существует такая перестановка $\sigma$, что для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{\sigma(n)}$ последовательность частичных сумм предела не имеет. 78 | \end{enumerate} 79 | \end{Theorem} 80 | -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_08_[31.10.2016].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 08 от 31.10.2016 \\ Функциональные ряды. Признаки сходимости} 2 | 3 | Довольно естественно желание понимать, когда ряд сходится, а когда нет. Для числовых рядов мы рассмотрели большое количество разнообразных признаков сходимости. Аналогично, изучим несколько признаков равномерной сходимости функциональных рядов. 4 | 5 | \subsection{Признак Вейерштрасса} 6 | 7 | \begin{Test}[Признак Вейерштрасса] 8 | 9 | Пусть существует последовательность $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ такая, что $\forall n \in N$ и для любого $x\in X$ выполняется неравенство $|f_n(x)|\leq a_n$, и кроме того, ряд $\sum_{n=1}\limits^{\infty}a_n$ сходится. Тогда ряд $\sum_{n=1}\limits^{\infty}f_n(x)$ сходится равномерно на множестве $X$, и $\forall x \in X$ числовой ряд $\sum_{n=1}\limits^{\infty}f_n(x)$ сходится абсолютно. 10 | \end{Test} 11 | 12 | \begin{proof} 13 | Вторая часть прямо следует из доказанных в самом начале семестра признаков сравнения. Осталось доказать равномерную сходимость. 14 | 15 | Возьмём произвольное $\varepsilon>0$. Из критерия Коши для числовых рядов следует, что $\exists N\in \mathbb{N}: \ \forall n>N, \ \forall p\in \mathbb{N}, \ \sum_{n+1}\limits^{n+p}a_n < \varepsilon$. 16 | 17 | Тогда $\forall m>N, \forall p\in \mathbb{N}, \forall x \in X:$ 18 | \[ 19 | \left| \sum_{m+1}\limits^{m+p}f_n(x)\right| \leq \sum_{m+1}\limits^{m+p} |f_n(x)| \leq \sum_{m+1}\limits^{m+p}a_m < \varepsilon. 20 | \] 21 | То есть по критерию Коши для функциональных рядов наш ряд равномерно сходится. 22 | \end{proof} 23 | 24 | \subsection{Примеры рядов, которые не ловятся п. Вейерштрасса} 25 | 26 | А существует ли равномерно сходящийся ряд, который не ловится признаком Вейерштрасса? Конечно. Например: 27 | $$ 28 | \sseries \frac{x^n}{n}, \qquad X = \{-1\}. 29 | $$ 30 | Если хочется, чтобы ряд был неотрицательный, можно пойти на хитрость. Возьмем последовательность $\{f_n\}$ такую, что 31 | $$ 32 | f_n(x) = \begin{cases} 33 | 1/n, & x = n; \\ 34 | 0, & x \neq n. 35 | \end{cases} 36 | $$ 37 | Тогда ряд $\sseries f_n(x)$ будет сходиться равномерно на $(0, +\infty)$, но не будет подпадать под условие признака Вейерширасса. 38 | 39 | Подобный подход можно распространить на непрерывные функции $f_n(x)$ --- например, они могут задавать равнобедренные треугольники, стоящие на оси $OX$, с непересекающимися основаниями и постепенно убывающей высотой (например, то же $1/n$). 40 | 41 | Хотя классическими примерами, конечно же, являются следующие ряды: 42 | $$ 43 | \sseries \frac{\sin nx}{n}, \qquad \sseries \frac{\cos nx}{n}. 44 | $$ 45 | 46 | \subsection{Признак Дирихле} 47 | 48 | \begin{Test}[Признак Дирихле] 49 | Если выполняются следующие условия: 50 | \begin{enumerate} 51 | \item последовательность частичных сумм $\sum\limits_{n = 1}^k a_n(x) $ равномерно ограничена на $X$, то есть $\exists C>0 : \forall N\in \mathbb{N} \ \forall x \in X: \ \left| \sum\limits_{n = 1}^N a_n(x)\right| 0$. Положим $\varepsilon_1 := \frac{\varepsilon}{4C}$. Найдём такое $N\in \mathbb{N}$, что $\forall n > N, \forall x \in X: \ \left| b_n(x) \right| < \varepsilon_1.$ 60 | Тогда $\forall m>N, \forall p \in \mathbb{N}, \ \forall x \in X:$ 61 | \begin{multline} 62 | \left| \sum\limits_{n = m+1}^{m+p} a_n(x) b_n(x)\right| = \left| A_{m+p}(x)b_{m+p}(x) - A_{m}(x)b_{m+1}(x)+ \sum\limits_{n = m+1}^{m+p-1} A_n(x)( b_n(x)-b_{n+1}(x)) \right| <\\ 63 | < C\varepsilon_1+C\varepsilon_1+C\sum\limits_{n = m+1}^{m+p-1} | b_n(x)-b_{n+1}(x)|=\frac{\varepsilon}{2} + C\left|b_{m+1}(x) - b_{m+p}(x) \right| \leq \frac{\eps}{2} + 2C\eps_1 \leq \varepsilon. 64 | \end{multline} 65 | Здесь мы воспользовались преобразованием Абеля (см. лекцию 4), а также тем, что последовательность $b_n(x)$ монотонна, поэтому в последней сумме все модули раскроются с одинаковым знаком. 66 | \end{proof} 67 | 68 | \subsection{Признак Абеля} 69 | 70 | \begin{Test}[Признак Абеля] 71 | Если выполняются следующие условия: 72 | \begin{enumerate} 73 | \item ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {a_n}(x)$ равномерно сходится на $X$; 74 | \item последовательность функций $\{b_n(x)\}$ равномерно ограничена на $X$ и монотонна $\forall x\in X$, 75 | \end{enumerate} 76 | то ряд $\sum_{n=1}\limits^\infty {{a_n}(x)}{{b_n}(x)}$ сходится равномерно на $X$. 77 | \end{Test} 78 | 79 | \begin{proof} 80 | Доказать так же, как в случае числовых рядов, не получится. Действительно, если разложить функции $b_n$ как $b_n(x) = b(x) + e_n(x)$, то последовательность $\{e_n(x)\}$ не обязательно равномерно сходится к нулю. Например, при $b_n(x) = x^n$ на множестве $X = \{0, 1\}$. 81 | 82 | Доказательство, естественно, очень похоже на доказательство предыдущего признака. 83 | 84 | Так как $\{b_n(x)\}$ равномерно ограничена, то $\exists C>0:\ \forall n \in \mathbb{N}, \forall x\in X\ |b_n(x)| < C.$ 85 | 86 | Возьмём произвольное $\varepsilon>0$. Положим $\varepsilon_1 := \frac{\varepsilon}{4C}$. Найдём такое $N\in \mathbb{N}$, что $\forall n > N, \forall p \in \mathbb{N}, \forall x \in X: \ \left| \sum\limits_{n = m+1}^{m+p} a_{n}(x) \right| < \varepsilon_1.$ 87 | 88 | Положим для $n>N:$ $\tilde{A}_n(x)=a_{N+1}(x)+\dots+a_{n}(x)$, $\tilde{A}_N(x) = 0.$ 89 | 90 | Очевидно, что $\forall n\geq N, \forall x \in X: |\tilde{A}_n(x)|<\varepsilon_1.$ Тогда $\forall m>N, \forall p \in \mathbb{N}, \ \forall x \in X:$ 91 | \begin{multline} 92 | \left| \sum\limits_{n = m+1}^{m+p} a_n(x) b_n(x)\right| = \left|\sum\limits_{n = m+1}^{m+p} (\tilde{A}_n(x)-\tilde{A}_{n-1}(x)) b_n(x)\right|=\\ = \left| \tilde{A}_{m+p}(x)b_{m+p}(x) - \tilde{A}_{m}(x)b_{m+1}(x)+ \sum\limits_{n = m+1}^{m+p-1} \tilde{A}_n(x)( b_n(x)-b_{n+1}(x)) \right| <\\ 93 | < C\varepsilon_1+C\varepsilon_1+\eps_1\sum\limits_{n = m+1}^{m+p-1} |b_n(x)-b_{n+1}(x)|=\frac{\varepsilon}{2} + \eps_1\left|b_{m+1}(x) - b_{m+p}(x) \right| \leq \frac{\eps}{2} + 2C\eps_1 \leq \varepsilon. 94 | \end{multline} 95 | \end{proof} %% Возможно тут есть чушь. Особенно в конце. 96 | 97 | 98 | Рассмотрим один из классических примеров, который мы упоминали в начале лекции. 99 | \begin{Examples} 100 | $\forall \alpha > 0$ ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ равномерно сходится на $X=(\alpha, 2\pi-\alpha)$. 101 | \end{Examples} 102 | 103 | \begin{proof} 104 | Здесь применим признак Дирихле. Действительно, пусть $a_n(x) = \sin nx$, а $b_n(x) = 1/n$. Тогда $|A_n(x)| \leq \dfrac{1}{\sin \frac{x}{2}} < \dfrac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}}$ и можно взять $C:= \dfrac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}}$. А с $b_n(x)$ все очевидно. 105 | \end{proof} 106 | 107 | С другой стороны: 108 | \begin{Examples} 109 | Ряд $\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ не сходится равномерно на $X=(0, 2\pi)$. 110 | \end{Examples} 111 | \begin{proof} 112 | Здесь признак Дирихле уже не применим. Докажем отсутствие равномерной сходимости через отрицание критерия Коши. 113 | 114 | Возьмем $\eps = 1/100$. Тогда $\forall N \in \N$ зафиксируем $m = N+1$, $p = m$, $x = \pi/4m$. Получаем: 115 | $$ 116 | \left| \series{m+1}{m+p} \frac{\sin nx}{n} \right| \geq \dfrac{m\sqrt{2} / 2}{2m} \geq \eps. 117 | $$ 118 | \end{proof} 119 | 120 | -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_10_[14.11.2016].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 10 от 14.11.2016 \\ Предел по базе. Перестановка пределов} 2 | В прошлый раз мы узнали, что такое база множества и понятие предела по базе, и теперь будем продолжать работать с этим. 3 | 4 | \subsection{Проблема равенства двойного предела} 5 | 6 | Рассмотрим такую задачу 7 | \begin{Problem} 8 | Пусть $X$ и $Y$ --- непустые множества с базами $\B$ и $\D$ соответственно. Рассмотрим некоторую функцию $h\colon \;X\times Y \to \mathbb{R}$. Пусть про неё известно, что 9 | \begin{gather*} 10 | \forall x \in X\; \exists \lim\limits_{\D}h(x,y) = f(x) \\ 11 | \forall y \in Y\; \exists \lim\limits_{\B} h(x,y) = g(y) 12 | \end{gather*} 13 | Требуется узнать, равны ли пределы $\lim\limits_{\B} f(x)$ и $\lim\limits_{\D} g(x)$. То есть верно ли, что 14 | $$ 15 | \lim\limits_{\B}\lim\limits_{\D} h(x,y) = \lim\limits_{\D}\lim\limits_{\B} h(x,y)? 16 | $$ 17 | \end{Problem} 18 | Возможно, некоторые скажут, что эти пределы равны всегда, но это отнюдь не так. Хороший контрпример --- функция 19 | \begin{gather*} 20 | h(x,y) = 21 | \begin{cases*} 22 | \cfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& \text{если $(x,y) \neq (0, 0)$;}\\ 23 | 0, & \text{иначе.} 24 | \end{cases*} 25 | \end{gather*} 26 | Для неё легко посчитать повторные пределы в нуле и показать, что они не равны. Действительно, 27 | \begin{gather} 28 | \lim\limits_{y\to 0} h(x,y) = 29 | \begin{cases*} 30 | 1, & \text{если $x\neq 0$;}\\ 31 | -1,& \text{иначе.} 32 | \end{cases*} 33 | \end{gather} 34 | Тогда легко понять, что $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0} h(x,y) = 1$. Аналогично показывается, что $\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}h(x,y) = -1$. 35 | 36 | Что же поможет нам идентифицировать такие ситуации? 37 | 38 | \subsection{Критерий Гордона} 39 | 40 | \begin{Theorem}[Критерий Гордона] 41 | Следующие утверждения эквивалентны (внимание: здесь используются обозначения, аналогичные введённым ранее): 42 | \begin{enumerate} 43 | \item повторные пределы $\lim\limits_{\B}f(x)$ и $\lim\limits_{\D} g(y)$ существуют и равны; 44 | \item $\forall \eps>0\; \exists B_\eps \in \B\colon\; \forall x\in B_\eps\; \exists D_x\in\D\colon \; \forall y \in D_x\; |h(x,y) -g(y)|<\eps$. 45 | \end{enumerate} 46 | \end{Theorem} 47 | \begin{proof}\ 48 | 49 | [(1) $\Rightarrow$ (2)] Пусть $\lim\limits_\B f(x) = \lim\limits_\D g(y) = A$. 50 | \par Зафиксируем произвольное $\eps > 0$, $\eps_1 = \eps/3$. Тогда: 51 | \begin{itemize} 52 | \item $\exists B_0\in \B\colon\; \forall x\in B_0\; |f(x) - A| <\eps_1$; 53 | \item $\exists D_0\in \D\colon\; \forall y\in D_0\; |g(y) - A| <\eps_1$. 54 | \end{itemize} 55 | В качестве $B_\eps$ возьмём $B_0$. Тогда 56 | \begin{gather*} 57 | \forall x\in B_0\; \exists \widetilde{D}_x \in \D\colon \forall y \in \widetilde{D}_x\; |h(x,y) -f(x)| < \eps_1,\\ 58 | \exists D_x \in \widetilde{D}_x\cap D_0. 59 | \end{gather*} 60 | Тогда $$ 61 | \forall y\in D_x\; |h(x,y) - g(y)| \leqslant |h(x,y) - f(x)| + |f(x) - A| + |A- g(y)| < \eps_1 + \eps_1 + \eps_1 = \eps. 62 | $$ 63 | Получили требуемое. 64 | \par [$(2) \Rightarrow (1)$] Докажем для начала, что пределы есть. Зафиксируем произвольное $\eps > 0$, $\eps_1 = \eps/4$. Перепишем условие второго пункта: 65 | $$ 66 | \exists B_{\eps_1} \in \B\; \forall x\in B_{\eps_1}\; \exists D_x \in \D\colon\; \forall y \in D_x \; |h(x,y) - g(y)| < \eps_1. 67 | $$ 68 | Пусть $x_1, x_2 \in B_{\eps_1}$ --- произвольные. Рассмотрим следующие элементы: 69 | \begin{gather*} 70 | \exists D_{x_1} \in \D\colon \; \forall y\in D_{x_1}\colon \; |h(x_1,y) - g(y)|<\eps_1;\\ 71 | \exists D_{x_2}\in \D\colon \; \forall y \in D_{x_2}\colon \; |h(x_2, y) - g(y)| < \eps_1;\\ 72 | \exists \widetilde{D}_{x_1}\in \D\colon \; \forall y\in \widetilde{D}_{x_1}\colon \; |h(x_1,y) - f(x_1)| < \eps_1;\\ 73 | \exists \widetilde{D}_{x_2} \in \D\colon \; \forall y\in \widetilde{D}_{x_2}\colon \; |h(x_2,y) - f(x_2)| < \eps_1.\\ 74 | \end{gather*} 75 | Возьмём произвольное $y\in D_{x_1} \cap D_{x_2} \cap \widetilde{D}_{x_1}\cap \widetilde{D}_{x_2}$. Тогда: 76 | \begin{gather} 77 | |f(x_1) - f(x_2)| \leqslant |f(x_1) - h(x_1, y)| + |h(x_1, y) - g(y)| + |g(y) - h(x_2, y)| + |h(x_2, y) - f(x_2)|<\\ < \eps_1 + \eps_1 + \eps_1 + \eps_1 = \eps. 78 | \end{gather} 79 | Следовательно, по критерию Коши $\exists \lim\limits_{\B} f(x) =: A$. Докажем, что $\exists \lim \limits_{\D} g(y) = A$. 80 | 81 | Зафиксируем произвольное $\eps > 0$. Найдём $B_0 \in \B$ такое, что $\forall x\in B_0\; |f(x) - A| < \eps/3$. Найдём такое $B_{\eps/3} \in \B$, что: 82 | $$ 83 | \forall x\in B_{\eps/3}\; \exists D_x\in \D\colon \; \forall y\in D_x\; |h(x,y) - g(y)| < \eps/3. 84 | $$ 85 | Зафиксируем $x\in B_0\cap B_{\eps/3}$. Рассмотрим следующие элементы: 86 | \begin{gather} 87 | \exists D_x \in \D\colon\;\forall y\in D_x \; |h(x,y) - g(y)| <\eps/3;\\ 88 | \exists \widetilde{D}_x\in \D\colon \; \forall y\in \widetilde{D}_x\; |h(x,y) - f(x)| < \eps/3. 89 | \end{gather} 90 | 91 | Тогда $\exists D\in \D:\; D \subset D_x \cap \widetilde{D}_x$ и $\forall y \in D$: 92 | \begin{gather} 93 | |g(y) - A| \leqslant |g(y) - h(x,y)| + |h(x,y) - f(x)| + |f(x) - A| < \eps/3 + \eps/3 + \eps/3 = \eps. 94 | \end{gather} 95 | Получили требуемое. 96 | \end{proof} 97 | 98 | \subsection{Следствия} 99 | 100 | \begin{Theorem} 101 | Пусть $X\subset \R$, $x_0$ --- его предельная точка (конечная или бесконечная). Пусть 102 | $$ 103 | \forall n \in \N\; \exists \lim\limits_{X\owns x \to x_0} f_n(x) = a_n, 104 | $$ 105 | а также $f_n(x)\overset{X}{\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows}} f(x)$. Тогда существуют и равны пределы $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ и $\lim\limits_{X \owns x\to x_0} f(x)$. 106 | \end{Theorem} 107 | \begin{proof} 108 | Так как $f_n(x)\overset{X}{\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows}} f(x)$, то 109 | $$ 110 | \forall \eps >0\; \exists N\in \N\; \forall n>N\; \forall x \in X\; |f_n(x) - f(x)| < \eps. 111 | $$ 112 | Для существования и равенства пределов необходимо и достаточно, чтобы 113 | $$ 114 | \forall \eps > 0\; \exists N \in \N\; \forall n>N\; \exists \delta >0\; \forall x\in \delta(x_0)\cap X\; |f_n(x) - f(x)| < \eps. 115 | $$ 116 | Применяя критерий Гордона, получаем требуемое. 117 | \end{proof} 118 | \begin{Consequence} 119 | Пусть $I$ --- невырожденный промежуток на $\R$ и для последовательности функций $f_n(x)$ известно, что $f_n(x) \in C(I)$ и $f_n(x)\overset{I}{\underset{n\to\infty}{\rightrightarrows}} f(x)$ 120 | Тогда $f(x) \in C(I)$. 121 | \end{Consequence} 122 | -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_12_[28.11.2016].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 12 от 28.11.2016 \\ Степенные ряды} 2 | 3 | \subsection{Основные определения и свойства} 4 | \begin{Def} 5 | Степенной ряд --- это функциональный ряд вида $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n (x-x_0)^n$, где $\{c_n\}$ --- \textit{последовательность коэффициентов}, а $x_0 \in \mathbb{R}$ --- \textit{центр ряда}. 6 | \end{Def} 7 | 8 | Отметим, что ряд начинается с $n = 0$. Это будет важно в дальнейшем, давая возможность представлять рядами функции, в нуле (точнее, в $x_0$) не равные нулю. 9 | 10 | В процессе всех дальнейших рассуждений в рамках этой лекции будем полагать, что $x_0 = 0$. Это не умаляет общности, так как фактически это сдвиг по оси (иными словами, замена переменной). 11 | 12 | \begin{Theorem} [Абеля I] 13 | Пусть ряд $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n x^n$ сходится в точке $x_1$. Тогда $\forall x:\ |x| < |x_1|$ этот ряд сходится абсолютно. Более того, $\forall x_2 \in (0, |x_1|)$ сходимость на $[-x_2, x_2]$ --- равномерная. 14 | \end{Theorem} 15 | \begin{proof} 16 | Так как ряд $\zseries c_nx_1^n$ сходится, то его члены стремятся к нулю, а значит, $\exists C\ \forall n \in \N:\ |c_nx_1^n| < C$. 17 | 18 | Тогда $\forall x:\ |x| < |x_1|$ верно, что 19 | $$ 20 | |c_nx^n| \leq |c_nx_1^n| \cdot \left| \dfrac{x}{x_1} \right|^n \leq C \left| \dfrac{x}{x_1} \right|^n. 21 | $$ 22 | Вместе с тем, несложно заметить, что ряд $\zseries C \left|\dfrac{x}{x_1}\right|^n$ сходится как геометрическая прогрессия с $q = |x/x_1| < 1$, а значит, по признаку сравнения сходится и ряд $\zseries |c_nx^n|$, то есть ряд $\zseries c_nx^n$ сходится абсолютно. 23 | 24 | Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса: 25 | $$ 26 | \forall n \in \N\ \forall x \in [-x_2; x_2]:\ |c_nx^n| \leq C\left|\frac{x}{x_1} \right|^n \leq C\left|\frac{x_2}{x_1}\right|^n. 27 | $$ 28 | 29 | Так как ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} C\left|\frac{x_2}{x_1} \right|^n$ сходится, то ряд $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n x^n$ сходится равномерно на $[-x_2; x_2]$. 30 | \end{proof} 31 | 32 | 33 | \begin{Def} 34 | Радиусом сходимости $R$ степенного ряда $\zseries c_nx^n$ называется точная верхняя грань множества модулей точек, в которых ряд сходится. 35 | \end{Def} 36 | 37 | \begin{Def} 38 | Интервал $(-R, R)$ называется интервалом сходимости степенного ряда. 39 | \end{Def} 40 | 41 | \begin{Consequence} 42 | Ряд $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n x^n$ сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости, расходится в каждой точке $x \not\in [-R, R]$, и более того, $\forall r \in (0, R)$ сходимость на $[-r, r]$ равномерная. 43 | \end{Consequence} 44 | \begin{proof} 45 | Для $x \not \in [-R, R]$ --- следует из определения радиуса сходимости. 46 | 47 | Пусть теперь $x \in (-R, R)$. Так как $|x|$ меньше точной верхней грани множества модулей точек сходимости, то существует такая точка $x_1$, что $\zseries c_nx_1^n$ сходится, и при этом $|x_1| > |x|$. Аналогично для равномерной сходимости на $[-r, r]$ при $r \in (0, R)$. 48 | 49 | Теперь осталось просто воспользоваться теоремой Абеля. 50 | \end{proof} 51 | 52 | \subsection{Нахождение радиуса сходимости} 53 | 54 | Факт существования у рядов радиуса сходимости --- это прекрасно, но хотелось бы уметь его находить. 55 | 56 | 57 | \begin{Theorem} [Формула Коши--Адамара] 58 | Пусть $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n x^n$ --- степенной ряд. Тогда радиус сходимости этого ряда $R= \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$ (полагая при $\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \infty$, что $R = 0$ и при $\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = 0$, что $R = \infty$ ). 59 | \end{Theorem} 60 | \begin{proof} 61 | Заметим, что если $b_n \to b$, $b \geq 0$, то $\varlimsup\limits_{n \to \infty} (a_nb_n) = b\varlimsup\limits_{n \to \infty} a_n$. 62 | 63 | Вспомним радикальный признак Коши: пусть $\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_nx^n|} = A$, тогда если $A < 1$, то ряд $\zseries |c_nx^n|$ сходится, а если $A > 1$, то расходится. Но вместе с тем, $\sqrt[n]{|c_nx^n|} = |x|\sqrt[n]{|c_n|}$. 64 | 65 | Следовательно, если $|x| < 1 / \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = R$, то ряд сходится, а если $|x| > R$ --- расходится. 66 | \end{proof} 67 | 68 | Зная эту формулу, можно легко придумать ряд с любым радиусом сходимости. 69 | 70 | \begin{Statement} 71 | Пусть существует предел $\lim \left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n} \right| = A$. Тогда радиус сходимости ряда $\zseries c_nx^n$ равен $\dfrac{1}{A}$. 72 | \end{Statement} 73 | 74 | \begin{proof} 75 | Для $x \neq 0$ рассмотрим предел $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{|c_{n+1}x^{n+1}|}{|c_nx^n|} = A|x|$. Тогда, по признаку Д'Аламбера, если $A|x| < 1$, то ряд сходится, а если $A|x| > 1$, то расходится. 76 | \end{proof} 77 | 78 | \subsection{Поведение в концах интервала сходимости} 79 | 80 | В концах интервала сходимости может происходить разное. 81 | Простые примеры: 82 | \\$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}x^n$ --- радиус сходимости равен 1, при $x= \pm1$ ряд расходится. 83 | \\$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n} x^n$ --- радиус сходимости равен 1, при $x= 1$ ряд расходится, при $x = -1$ ряд сходится условно. 84 | \\$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n^2} x^n$ --- радиус сходимости равен 1, при $x= \pm 1$ ряд сходится абсолютно. 85 | 86 | 87 | 88 | \begin{Theorem} [Абеля II] 89 | Пусть ряд $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n x^n$ сходится в точке $x_1$. Тогда он равномерно сходится на отрезке с концами $0$ и $x_1$. 90 | \end{Theorem} 91 | 92 | \begin{proof} 93 | Рассмотрим $x$ из отрезка с концами 0 и $x_1$. Представим исходный ряд в уже знакомом нам виде $\zseries c_n x^n = \zseries c_n x_1^n \left|\dfrac{x}{x_1} \right|^n$. 94 | 95 | Посмотрим на члены этого ряда как на произведение. Ряд $\zseries c_nx_1^n$ сходится (и не зависит от $x$), а последовательность $\left\{\left|x/x_1\right|^n \right\}$ либо монотонно убывает к нулю, либо постоянна (когда $x=1x_1$), и ограничена единицей. Следовательно, по признаку Абеля ряд $\zseries c_n x_1^n \left|\dfrac{x}{x_1} \right|^n$ равномерно сходится, то есть ряд $\zseries c_nx^n$ равномерно сходится на $[0, x_1]$. 96 | \end{proof} 97 | 98 | \begin{Consequence} 99 | Сумма степенного ряда непрерывна на всём множестве сходимости. 100 | \end{Consequence} 101 | 102 | \begin{proof} 103 | Согласно первой теореме Абеля, ряд равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ] \subset \left ( -R, R \right )$, однако про весь интервал это точно утверждать нельзя, так как на интервале $\left ( -R, R \right )$ ряд может сходиться и неравномерно. Пусть $x_{0}\in\left ( -R, R \right )$. Выберем такое $r$, что $|x_{0}|> рядом). Он будет иметь вид 7 | \[ 8 | \sum\limits_{n = 1}^{\infty}nc_n x^{n - 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}(n+1)c_{n + 1} x^n. 9 | \] 10 | \begin{Statement} 11 | Радиус сходимости нового ряда и исходного совпадают. 12 | \end{Statement} 13 | \begin{proof} 14 | Радиус сходимости нового ряда совпадает с радиусом сходимости ряда $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}c_n n x^n$, так как мы просто умножаем на фиксированное число $x$. Тогда по формуле Коши-Адамара: 15 | \[ 16 | R = \cfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|c_n|n}} = \cfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}_{\to 1}} = \cfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}}. 17 | \] 18 | А это и есть исходный радиус. 19 | \end{proof} 20 | Выведем отсюда следствие, которое назовём теоремой. 21 | \begin{Theorem} 22 | Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx_n$ дифференцируема и её производная равна $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n n x^{n-1}$. 23 | \end{Theorem} 24 | \begin{proof} 25 | Возьмём произвольную точку $x$ из интервала сходимости. Найдём $\delta > 0$ такое, что $[x-\delta, x + \delta]$ лежит в интервале сходимости и используем теорему о почленном дифференцировании функциональных рядов. 26 | \end{proof} 27 | \begin{Consequence} 28 | Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема, и её $k$-я производная совпадает с суммой ряда из $k$-х производных. 29 | \end{Consequence} 30 | \begin{Consequence} 31 | Сумма ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n \cfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, и внутри интервала сходимости является первообразной суммы исходного ряда. 32 | \end{Consequence} 33 | Из равномерной сходимости степенного ряда на каждом отрезке множества сходимости можно вывести следующее: 34 | \begin{Consequence} 35 | Пусть $[a,b]$ лежит в множестве сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n x^n$. Тогда 36 | $$ 37 | \int\limits_a^b\left(\sum\limits_{n = 0}^{\infty}c_n x^n\right)dx = \sum\limits_{n= 0}^{\infty} \int\limits_a^bc_n x^ndx = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}. 38 | $$ 39 | \end{Consequence} 40 | 41 | \subsection{Функции, представимые как сумма степенного ряда} 42 | 43 | Из следствия 1 сразу следует утверждение: 44 | \begin{Statement} 45 | Пусть $I$ --- невырожденный промежуток. Если функция $f$ представима в виде суммы степенного ряда, то она бесконечно дифференцируема. 46 | \end{Statement} 47 | 48 | Покажем теперь, что функция не может представляться разными степенными рядами. Действительно, будем поочерёдно дифференцировать левую и правую части нашего равенства функции и её степенного ряда (считаем, что радиус сходимости не нулевой): 49 | \begin{gather*} 50 | S(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_n x^n;\\ 51 | S'(0) = c_1, \qquad S'(x) = \sseries c_n n x^{n-1};\\ 52 | S''(0) = c_2\cdot 2!, \qquad S''(x) = \sum\limits_{n=2}^{\infty} c_n n(n-1) x^{n-2}; \\ 53 | \ldots\\ 54 | S^{(k)}(0) = c_k \cdot k!, \qquad S^{(k)}(x) = \sum\limits_{n=k}^{\infty} c_n \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}, \\ 55 | \ldots 56 | \end{gather*} 57 | 58 | Отсюда сразу следует, что \textbf{если функция представима в виде степенного ряда на некотором множестве, то этот ряд совпадает с её рядом Тейлора}. 59 | 60 | При этом не любая бесконечно дифференцируемая функция представима степенными рядом. Вспомним пример Коши --- бесконечно дифференцируемая функция, которая представима в ряд Тейлора лишь в точке 0: 61 | \[ 62 | f(x) = 63 | \begin{cases} 64 | e^{-1/x^2}, & x \neq 0;\\ 65 | 0, & x = 0. 66 | \end{cases} 67 | \] 68 | \begin{Consequence} 69 | Если суммы степенных рядов $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n x^n$ и $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\widetilde{c_n} x^n$ совпадают в некоторой окрестности нуля, то эти ряды совпадают. 70 | \end{Consequence} 71 | \begin{proof} 72 | \[ 73 | f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n x^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \widetilde{c_n} x^n. 74 | \] 75 | А в силу единственности разложения на невырожденном промежутке получим требуемое. 76 | $$ 77 | c_n = \widetilde{c_n} = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}. 78 | $$ 79 | \end{proof} 80 | \begin{Comment} 81 | Совпадение в окрестности нуля тут можно заменить на совпадение в точках $x_n \neq 0$, $\lim\limits_{n\to \infty} x_n = 0$: 82 | \begin{gather*} 83 | c_0 = S(0) = \lim\limits_{n \to \infty} S(x_n) = \lim\limits_{n \to \infty} \widetilde{S}(x_n) = \widetilde{S}(0) = \widetilde{c_0}. 84 | \end{gather*} 85 | Теперь вычитаем $c_0$ и делим на $x$. Тогда равенство останется. И так далее. 86 | \end{Comment} 87 | 88 | \subsection{Представимость в виде ряда Тейлора} 89 | 90 | \begin{Theorem} 91 | Пусть $I$ --- невырожденный промежуток и $f \in C^{\infty}(I),\; x_0 \in I$. Также пусть известно, что $\exists A, B>0,\; \forall n\in \N,\; \forall x\in I,\; |f^{(n)}(x)| \leq A\cdot B^n$. Тогда 92 | \[ 93 | \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x) 94 | \] 95 | на промежутке $I$. Иными словами, функция представима своим рядом Тейлора. 96 | \end{Theorem} 97 | Перед доказательством заметим, что ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{C^n}{n!}$ сходится по признаку Д'Аламбера для всякого положительного $C$, откуда получаем, что $\lim\limits_{n \to \infty}\cfrac{C^n}{n!} = 0$. 98 | \begin{proof} 99 | Запишем разность частичной суммы ряда и значения функции, используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: 100 | \begin{gather*} 101 | \left| f(x) - \sum\limits_{n=0}^{N} \cfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n\right| = 102 | \left| \cfrac{f^{(N+1)}(\xi) (x-x_0)^{N+1}}{(N+1)!} \right| \leqslant \cfrac{AB^{N+1}|x-x_0|^{N+1}}{(N+1)!} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0. 103 | \end{gather*} 104 | \end{proof} 105 | 106 | 107 | Теперь рассмотрим, как получаются классические разложения в ряд Тейлора. 108 | \begin{enumerate} 109 | \item $\sin(x)$ и $\cos(x)$. Ограничивая производные константой 1, получим требуемое: 110 | \begin{align*} 111 | &\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ 112 | &\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} 113 | \end{align*} 114 | \item $e^x$. Пусть $A>0$ --- произвольное число. Тогда на промежутке $(-A, A)$ ряд сходится, если мы применим ограничение производных как $e^A$. 115 | \item $\ln(1+x)$. <<Если делать в лоб, с ним всё грустно>>\copyright Лектор. Можно воспользоваться вспомогательным рядом: 116 | \[ 117 | \cfrac{1}{x+1} = 1 - x + x^2 - \ldots\\ 118 | \] 119 | который сходится на $(-1, 1)$ как геометрическая прогрессия, а затем почленно проинтегрировать, получив 120 | \[ 121 | \ln(1+x) = x - \cfrac{x^2}{2} + \cfrac{x^3}{3} - \ldots. 122 | \] 123 | Из непрерывности равенство с интервала $(-1, 1)$ можно продолжить на полуотрезок $(-1, 1]$. 124 | \end{enumerate} 125 | -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_18_[13.02.2017].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 18 от 13.02.2017 \\ Тригонометрические многочлены и что-то ещё} 2 | Вспомним, что мы хотели доказать замкнутость тригонометрической системы в $\mathcal{R}^2[-\pi;\pi]$. 3 | \begin{Def} 4 | \textit{Тригонометрическим многочленом} называется выражение вида 5 | $$ 6 | \frac{\alpha_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^N\left(\alpha_n \cos(nx) +\beta_n \sin(nx)\right). 7 | $$ 8 | \end{Def} 9 | \begin{Theorem}[Вейерштрасса] 10 | Для любой непрерывной на $\R$ $2\pi$-периодической функции \\$\forall \eps>0\ \exists T$ --- тригонометрический многочлен, такой что $\forall x \in \R \ |f(x)-T(x)|<\eps.$ 11 | \end{Theorem} 12 | Доказывать теорему Вейерштрасса мы сейчас не будем, но зато выясним, что из неё, когда мы её докажем, будет сразу следовать замкнутость тригонометрической системы. Для этого докажем несколько подводящих нас к этому лемм. 13 | \begin{Comment} 14 | В рамках этой лекции рассматриваются кусочно-постоянные функции с конечным числом точек разрыва. 15 | \end{Comment} 16 | \begin{Lemma} 17 | $\forall f \in \mathcal{R}^2[-\pi;\pi]\ \forall \eps > 0$ существует функция $ h(x)$ --- кусочно-постоянная на $[-\pi, \pi]$, такая что $||f-h||_2 < \eps$. 18 | \end{Lemma} 19 | \begin{proof} 20 | Начнём с того, что зафиксируем произвольное $\eps >0$. Теперь найдём $C>0$, такое что $\forall x \in [-\pi, \pi]\ |f(x)|~<~C$. Положим $\eps_1 = \frac{\eps^2}{100C}$. Существует разбиение $\tau$ отрезка $[-\pi, \pi]$ такое что $S^*(\tau, f)- s_*(\tau, f) = \sum\limits_{n=1}^N (M_n-m_n)|\Delta_n|< \eps_1.$\\ 21 | Определим $h(x) = M_n$ при $x \in \Delta_n$. Тогда 22 | \begin{multline} ||f-h||_2 = \sqrt{\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-h(x))^2\dx} \leq \sqrt{2C\int\limits_{-\pi}^{\pi}\left| h(x)-f(x)\right| \dx}\\ \leq \sqrt{2C\sum\limits_{n=1}^N (M_n-m_n)|\Delta_n|} < \sqrt{2C\eps_1} < \eps. \end{multline} 23 | \end{proof} 24 | 25 | \begin{Lemma} 26 | $\forall h$ --- кусочно-постоянной функции на $[-\pi, \pi]$, $ \forall \eps > 0\ $ существует функция $ g(x)\in C[-\pi, \pi]$, такая что $||h-g||_2 < \eps$. 27 | \end{Lemma} 28 | \begin{proof} 29 | $\exists C: |h| < C.$ 30 | 31 | Для всякого достаточно большого $m \in \N$ определим $g_m(x)$ следующим образом: на расстоянии больше или равном $\frac{1}{m}$ от точек разрыва функции $h$ наша $g_m(x) = h(x)$, а в $\frac{1}{m}$-окрестности точек разрыва $g_m$ --- линейная функция, соединяющая значения $h$ слева и справа от разрыва. 32 | 33 | Обозначив количество точек разрыва за $N$ мы можем оценить $||h-g_m||_2$: 34 | $$ ||h-g_m||_2 = \sqrt{\int\limits_{-\pi}^{\pi}(h(x)-g_m(x))^2\dx}\leq\sqrt{N\cdot\frac{2}{m}\cdot4C^2 } .$$ 35 | А значит $||h-g_m||_2\rarr0$ при $m \rarr \infty$, то есть $\forall \eps>0 \exists m: ||h-g_m||_2 < \eps$ (а $g_m \in C[-\pi, \pi]$ по построению). 36 | \end{proof} 37 | 38 | 39 | \begin{Lemma} 40 | $\forall g \in C[-\pi, \pi]\ \forall \eps > 0$\ существует $\tilde{g}(x)$ --- $2\pi$-периодическая, непрерывная на $\R$ функция, такая что $||g-\tilde{g}||_2 < \eps$. 41 | \end{Lemma} 42 | \begin{proof} 43 | Аналогично предыдущему доказательству, изменим функцию на линейную на $(\pi- \frac{1}{m}; \pi)$. 44 | \end{proof} 45 | Теперь наконец воспользуемся ранее сформулированной теоремой Вейерштрасса. 46 | \begin{Lemma} 47 | $\forall \eps > 0\ \forall\tilde{g}(x)$ --- $2\pi$-периодической, непрерывной на $\R$ функции существует тригонометрический многочлен $T$, такой что $||\tilde{g}-T||_2 < \eps$. 48 | \end{Lemma} 49 | \begin{proof} 50 | Возьмём $\eps_1 = \frac{\eps}{\sqrt{100\pi}}$. 51 | Пусть $T$ --- многочлен из теоремы Вейерштрасса для $\tilde{g}$ и $\eps_1$. 52 | Тогда $$||\tilde{g}-T||_2=\sqrt{\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\tilde{g}(x)-T)^2dx}\leq \sqrt{\int\limits_{-\pi}^{\pi}(\eps_1)^2dx} = \sqrt{2\pi(\eps_1)^2}=\eps_1\sqrt{2\pi} < \eps.$$ 53 | \end{proof} 54 | Объединяя доказанные леммы получаем, что из теоремы Вейерштрасса следует, что $\forall \eps >0 \forall f \in \mathcal{R}^2[-\pi;\pi] \exists T$--- тригонометрический многочлен, такой что $||f-T||_2 < \epsilon$, то есть тригонометрическая система замкнута в $ \mathcal{R}^2[-\pi;\pi]$. 55 | 56 | \begin{Def} 57 | \textit{Сверткой} функций $f$ и $g$ на $\mathcal{R}^2[-\pi;\pi]$ называется 58 | $$ 59 | f*g(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t)g(x-t)dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-t)g(t)dt. 60 | $$ 61 | \end{Def} 62 | 63 | \begin{Def} 64 | Последовательность функций $\{K_n(t)\}_{n=1}^\infty$ называется \textit{ $2\pi$-периодической непрерывной неотрицательной аппроксимативной единицей}, если 65 | \begin{enumerate} 66 | \item все $K_n$ --- $2\pi$-периодические, непрерывные и неотрицательные функции на $\R$; 67 | \item $\forall n \in \N\ \int\limits_{-\pi}^{\pi} K_n(t)dt = 1;$ \item $\forall \delta \in (0; \pi)\ \int\limits_{-\pi}^{-\delta} K_n(t)dt + \int\limits_{\delta}^{\pi} K_n(t)dt\rarr 0$ при $n \rarr \infty.$ 68 | \end{enumerate} 69 | \end{Def} 70 | -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_21_[06.03.2017].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \pagestyle{fancy} 2 | \section{Лекция 21 от 06.03.2017 \\ Равномерная сходимость рядов Фурье. Ядро Дирихле.} 3 | \subsection{Равномерная сходимость рядов Фурье} 4 | Мы уже пользовались в задачах почленным интегрированием ряда Фурье. Сформулируем общее утверждение. 5 | \begin{Statement} 6 | Если $f$ --- интегрируемая по Риману на отрезку $[-\pi;\pi]$ функция, и её ряд Фурье по тригонометрической системе есть 7 | $$ 8 | \cfrac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n(f)\cos(nx) + b_n(f)\sin(nx)), 9 | $$ 10 | то на любом подотрезке $[a;b] \subset [-\pi; \pi]$ интеграл по этому отрезку равен сумме числового ряда, полученного почленным интегрированием из ряда Фурье. 11 | \end{Statement} 12 | \begin{proof} 13 | Достаточно применить равенство Парсеваля (теорема \ref{pars}, четвёртый пункт) и заметить, что $\int\limits_a^bf(x)\dx$ равен $(f, I\{a; b\})$, где $I\{a; b\}$ --- индикатор отрезка $[a; b]$. 14 | \end{proof} 15 | Изначально сходимость ряда Фурье в метрике $\mathcal{R}^2[-\pi; \pi]$ не гарантирует нам ни поточечной, ни равномерной сходимости ряда. Помогает следующая теорема 16 | \begin{Theorem} 17 | Пусть $f(x)$ --- непрерывно дифференцируемая на $\R$ $2\pi$-периодическая функция. Тогда её ряд Фурье сходится к ней равномерно. 18 | \end{Theorem} 19 | \begin{proof} 20 | Заметим, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n(f)| + |b_n(f)|$ сходится. Действительно, 21 | $$ 22 | |a_n(f)| = \left|\cfrac{b_n(f')}{n}\right| \leqslant \cfrac{1}{2} |b_n^2(f')| + \cfrac{1}{n^2}. 23 | $$ 24 | Но 25 | \begin{enumerate} 26 | \item $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n^2(f')$ сходится по неравенству Бесселя. 27 | \item $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}$ тоже сходится. 28 | \end{enumerate} 29 | Следовательно, сходится и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(b_n^2(f') + \cfrac{1}{n^2}\right)$, потому сходится и $\sum \limits_{n=1}^{\infty}|a_n(f)|$. Аналогично сходится и ряд $\sum \limits_{n=1}^{\infty}|b_n(f)|$. Таким образом, ряд 30 | $$ 31 | \cfrac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n(f)\cos(nx)+ b_n(f)\sin(nx)) \overset{\R}{\rightrightarrows} g(x) 32 | $$ 33 | для некоторой функции $g$ по признаку Вейерштрасса. Поэтому мы можем утверждать, что 34 | $$ 35 | \cfrac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n(f)\cos(nx)+ b_n(f)\sin(nx)) \overset{\mathcal{R}^2}{=} g. 36 | $$ 37 | По теореме единственности для ортогональной системы получаем, что коэффициенты Фурье функций $f$ и $g$ по тригонометрической системе совпадают. 38 | \par Таким образом, $f-g$ ортогональна всем элементам тригонометрической системы. Но тригонометрическая система замкнута, а, следовательно, полна. Следовательно, $f-g \overset{\mathcal{R}^2}{=} 0$. А в силу непрерывности $f \equiv g$. 39 | \end{proof} 40 | 41 | \subsection{Ядро Дирихле} 42 | Посмотрим, чему будет равна частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции $f$ в точке $x$. 43 | \begin{gather} 44 | S_N(x,f) = \cfrac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{N}(a_n(f) \cos(nx) + b_n(f) \sin(nx)) = \cfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t)dt +\\ 45 | +\sum\limits_{n=1}^{N}\left(\left( \cfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt) dt\right)\cos(nx) + 46 | \left( \cfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt) dt\right)\sin(nx) \right) = \\ 47 | = [\cos(nt)\cos(nx) + \sin(nt)\sin(nx) = \cos(n(x-t))] 48 | =\cfrac{1}{\pi}\left( \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t) \cdot \left( \cfrac{1}{2} + \sum \limits_{n=1}^{N}\cos(n(x-t))\right)dt\right). 49 | \end{gather} 50 | Ведём обозначение: 51 | $$ 52 | D_N(u) = \cfrac{1}{2} + \sum\limits_{n=1}^{N}\cos (nu). 53 | $$ 54 | \begin{Def} 55 | $D_N(u)$ называется $N$-м ядром Дирихле. 56 | \end{Def} 57 | Тогда мы можем переписать нашу частичную сумму как свёртку с ядром Дирихле: 58 | \[ 59 | S_N(x, f) = \cfrac{1}{\pi} f*D_N(x).\tag{*} 60 | \label{21aster} 61 | \] 62 | Но определение ядра через сумму не очень удобно само по себе. Попробуем выписать её в более удобном виде. Пусть $\sin(u/2) \neq 0$. Тогда мы вправе умножить и разделить на него. 63 | \begin{gather} 64 | D_N(u) = \cfrac{1}{2} + \sum\limits_{n=1}^{N}\cos(nu) = \cfrac{\sin(u/2)}{2\sin(u/2)} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \cfrac{\cos(nu)\sin(u/2)}{\sin(u/2)} =\\ 65 | = \left[\cos(nu)\sin(u/2) = \cfrac{\sin((n + 1/2)u) - \sin((n-1/2)u)}{2}\right]=\\ 66 | = \cfrac{\sin(u/2) - \sin(u/2) + \sin(3u/2) - \sin(3u/2) + \ldots + \sin((N + 1/2)u)}{2\sin(u/2)} = \cfrac{\sin((N + 1/2)u)}{2\sin(u/2)}. 67 | \end{gather} 68 | Из равенства \eqref{21aster} сразу следует, что $D_N(u)$ --- непрерывная четная $2\pi$-периодическая функция и $\int\limits_{-\pi}^{\pi}D_N(t) = \pi.$ -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_22_[13.03.2017].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \pagestyle{fancy} 2 | \section{Лекция 22 от 13.03.2017 \\ Признак Дини. Принцип локализации} 3 | \subsection{Признак Дини} 4 | \begin{Theorem}[Признак Дини] 5 | Пусть $f$ --- $2\pi$--периодическая функция, $f \in \Ri[-\pi, \pi]$, $x_0$ --- некоторая точка. Если существуют $S \in \R$ и $\delta > 0$ такие, что несобственный интеграл 6 | $$ 7 | \int\limits_{0}^{\delta}\dfrac{f(x_0 + t) + f(x_0 - t) - 2S}{t}\d t 8 | $$ 9 | абсолютно сходится, то $S_N(x_0, f) \ito S$. 10 | \end{Theorem} 11 | \begin{proof} 12 | Надо доказать, что при больших $N$ достаточно маленькой является разность $|S_N(x_0, f) -~S|$. Распишем свертку: 13 | \begin{gather*} 14 | |S_N(x_0, f) - S| = \left| \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x_0 - t)D_N(t)\d t - \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}SD_N(t)\d t \right|. 15 | \end{gather*} 16 | В первом интеграле сделаем замену $t \to -t$ и воспользуемся четностью ядра Дирихле, то есть из $\int_{-\pi}^{0}f(x_0 - t)D_N(t)\d t$ получим $\int_0^\pi f(x_0 + t)D_N(t)\d t$. 17 | \begin{gather*} 18 | |S_N(x_0, f) - S| = \dfrac{1}{\pi} \left| \int\limits_0^\pi f(x_0 - t)D_n(t)\d t + \int\limits_0^{\pi} f(x_0 + t)D_N(t)\d t - 2\int\limits_0^\pi SD_N(t) \d t \right| = \\ = \dfrac{1}{\pi} \left| \int\limits_0^\pi \left( f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S \right) D_N(t) \d t \right| \leq \\ 19 | \leq \dfrac{1}{\pi} \left( \left| \int\limits_0^\delta \left( f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S \right) D_N(t) \d t \right| + \left| \int\limits_\delta^\pi \left( f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S \right) D_N(t) \d t \right| \right). 20 | \end{gather*} 21 | На последнем шаге мы просто разделили один интеграл на два, а также внесли модуль внутрь суммы. 22 | 23 | Зафиксируем произвольное $\eps > 0$ и положим $\eps_1 = \eps / 3$. Тогда найдется такое $\delta_0 > 0$, что $\left|\displaystyle \int\limits_0^{\delta_0} \dfrac{f(x_0 + t) + f(x_0 - t) - 2S}{t}\d t \right| < \eps_1$ (так как нам дана абсолютная сходимость этого интеграла на $[0, \delta]$, его <<хвосты>>, как у рядов, стремятся к нулю). Заменим теперь в последнем полученном выражении $\delta$ на $\delta_0$: 24 | $$ 25 | \dfrac{1}{\pi} \left( \left| \int\limits_0^{\delta_0} \left( f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S \right) D_N(t) \d t \right| + \left| \int\limits_{\delta_0}^\pi \left( f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S \right) D_N(t) \d t \right| \right). 26 | $$ 27 | Напомним, мы хотим, чтобы оба этих интеграла были малы при больших $N$. 28 | 29 | Рассмотрим первый: 30 | \begin{multline} 31 | \dfrac{1}{\pi} \left| \int\limits_0^{\delta_0} ( f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S ) D_N(t) \d t \right|\leq \\ \leq \dfrac{1}{\pi} \int\limits_0^{\delta_0} \left| \dfrac{(f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S) \sin (N + 1/2)t \cdot t}{2 \sin t/2 \cdot t} \right|\d t \leq \\ 32 | \leq \dfrac{1}{\pi} \int\limits_0^{\delta_0} \left| \dfrac{f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S}{t} \right| \cdot \dfrac{1 \cdot t}{2 \frac{t}{2} \frac{2}{\pi}} \d t < \dfrac{\eps_1}{2} < \eps_1. 33 | \end{multline} 34 | Здесь мы воспользовались ограничением синуса снизу: $\sin u \geq \dfrac{2u}{\pi}$ при $ u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ (следует из выпуклости). 35 | 36 | Со вторым интегралом все не так просто. Нам понадобится \textit{фокус} --- свести все к коэффициентам Фурье, которые при $n\to \infty$ сходятся к нулю. 37 | 38 | Напомним, что $I_{[a, b]}(t)$ --- индикатор $[a, b]$. 39 | \begin{multline} 40 | \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{\delta_0}^{\pi} (f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S)D_N(t)\d t = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{\delta_0}^{\pi} \dfrac{(f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S) \sin (N + 1/2)t}{2 \sin t/2} \d t = \\ 41 | = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \dfrac{f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S}{2 \sin t/2} \cdot I_{[\delta_0, \pi]}(t) \cdot \underbrace{(\sin t/2 \cos Nt + \cos t/2 \sin Nt)}_{=\sin(N + 1/2)t}\d t = 42 | \\ 43 | = \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \underbrace{\dfrac{f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S}{2} \cdot I_{[\delta_0, \pi]}(t)}_{g(t) \in \Ri[-\pi, \pi]} \cos Nt \d t + \\ + \dfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \underbrace{\dfrac{(f(x_0 - t) + f(x_0 + t) - 2S)\cos t/2}{2\sin t/2} \cdot I_{[\delta_0, \pi]}(t)}_{h(t) \in \Ri[-\pi, \pi]} \sin Nt \d t = 44 | \end{multline} 45 | $$ 46 | = a_N(g) + b_N(h) \underset{N\to \infty}{\longrightarrow} 0. 47 | $$ 48 | Отметим, что несмотря на то, что в определении функции $h(t)$ в знаменателе есть $\sin t/2$, он не будет создавать проблем, так как благодаря индикатору носитель функции отделен от нуля. 49 | 50 | Таким образом, введя функции $g(t)$ и $h(t)$, мы свели второй интеграл к сумме двух коэффициентов Фурье. А значит, $\exists N_0: \forall N > N_0\ |a_N(g) + b_N(h)| < \eps_1$. 51 | 52 | Итого, собрав все воедино: 53 | \begin{gather*} 54 | \forall N> N_0: \ |S_N(x_0, f) - S| \leq \eps_1 + \eps_1 < \eps. 55 | \end{gather*} 56 | А значит, $S_N(x_0, f) \underset{N\to \infty}{\longrightarrow} S$. 57 | \end{proof} 58 | \begin{Comment} 59 | Такой странный фокус в конце доказательства нужен из-за того, что ядро Дирихле очень плохо ведет себя около нуля. 60 | \end{Comment} 61 | \subsection{Следствия и продолжения признака Дини} 62 | Хорошо, мы доказали теорему. Но что вообще имеет смысл брать в качестве такого $S$? 63 | \begin{Comment} 64 | Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то условие из признака Дини выполняется для $S = f(x_0)$. 65 | \end{Comment} 66 | \begin{proof} 67 | Подынтегральная функция из условия имеет вид 68 | $$ 69 | \dfrac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} + \dfrac{f(x_0 - t) - f(x_0)}{t}. 70 | $$ 71 | Первая часть при $t \to 0+$ стремится к $f'(x_0)$. Во второй части удобно сделать замену $\Delta = -t$ и тогда становится понятно, что при $\Delta \to 0-$ выражение стремится к $-f'(x_0)$. 72 | 73 | Итого, около нуля функция ограничена, следовательно, интеграл сходится. 74 | \end{proof} 75 | 76 | Фактически мы только что доказали, что во всех точках, где функция дифференцируема, ее ряд Фурье сходится к значению самой функции. Однако условие дифференцируемости можно ослабить. 77 | \begin{Comment} 78 | Если в точке $x_0$ существуют правая и левая производные, то условие из признака Дини выполняется для $S = f(x_0)$. 79 | \end{Comment} 80 | \begin{Comment} 81 | Пусть $x_0$ --- точка разрыва I--го рода, и существуют пределы $\lim\limits_{t \to 0+}\frac{f(x_0 + t) - f(x_0 + 0)}{t}$ и $\lim\limits_{t \to 0+} \frac{f(x_0-t) - f(x_0 - 0)}{t}$ (фактически --- правая и левая производные). Тогда условие из признака Дини выполняется для $S = \frac{f(x_0 + 0) + f(x_0 - 0)}{2}$. 82 | \end{Comment} 83 | А вот только непрерывности не хватит. 84 | 85 | \subsection{Принцип локализации Римана} 86 | Теперь сформулируем теорему, которая на самом деле является простым следствием признака Дини. 87 | 88 | \begin{Theorem}[Принцип локализации Римана] 89 | Пусть $f$ и $g$ --- интегрируемые по Риману на $[-\pi, \pi]$ $2\pi$--периодические функции, совпадающие в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда в каждой точке этой окрестности ряды Фурье $f$ и $g$ по тригонометрической системе равносходятся (то есть сходятся или расходятся одновременно, а если сходятся, то к одной величине). 90 | \end{Theorem} 91 | \begin{proof} 92 | Ряды Фурье равносходятся, если $S_N(x, f) - S_N(x, g) = S_N(x, f - g) \to 0$. Но в рассматриваемой окрестности $f - g \equiv 0$, и тогда по признаку Дини $S_N(x, f - g) \ito 0$. 93 | \end{proof} 94 | 95 | На самом деле, это самый неожиданный результат по рядам Фурье, который мы получали в данном курсе. Действительно, при составлении ряда мы используем \textit{всю} функцию на $[-\pi, \pi]$, и если ее поменять где-то на концах отрезка, то коэффициенты Фурье поменяются и мы получим дугой ряд. Но несмотря на это, значения в совпадающих точках останутся теми же. -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_23_[20.03.2017].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \pagestyle{fancy} 2 | \section{Лекция 23 от 20.03.2017 \\ Средние Чезаро. Многомерный интеграл Римана (начало). Брусья и их свойства} 3 | \subsection{Средние Чезаро. Ядро Фейера} 4 | Начнем сразу с определений в тему лекции: 5 | \begin{Def} 6 | Средними Чезаро (иногда называемыми средними Фейера) порядка $N$ функции $f$ в точке $x$ будем называть: 7 | $$ 8 | \sigma_N(x) = \cfrac{1}{N} \sum\limits_{n =0}^{N -1}S_n(x,f), 9 | $$ 10 | где $S_n(x,f)$ есть $n$-ая частичная сумма ряда Фурье по тригонометрической системе. 11 | \end{Def} 12 | Вспоминая материал предыдущего раза, можем переписать $S_n$ как 13 | $$ 14 | S_n(x,f) = \cfrac{1}{\pi} f*D_n(x), 15 | $$ 16 | то есть как свёртку с ядром Дирихле. 17 | \begin{Theorem} 18 | Пусть $f$ --- непрерывная на $\R$ $2\pi$-периодическая функция. Тогда её средние Фейера сходятся к ней равномерно на $\R$. 19 | \end{Theorem} 20 | Для доказательства введем понятие ядра Фейера. 21 | \begin{Def} 22 | Выражение 23 | $$ 24 | K_n(t) = \cfrac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}D_n(t) 25 | $$ 26 | называют ядром Фейера. 27 | \end{Def} 28 | Теперь перейдем к доказательству 29 | \begin{proof} 30 | Попытаемся переписать средние Фейера в удобной форме как свертку функций: 31 | \begin{multline} 32 | \sigma_n(x,f) = \cfrac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}S_n(x,f) = \cfrac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\cfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_N(t)dt = \\ 33 | = \cfrac{1}{N\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-t)\sum\limits_{n=0}^{N-1}D_n(t)dt = \cfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-t)K_N(t)dt = \cfrac{1}{\pi}f*K_n(x). 34 | \end{multline} 35 | Нам будет вполне достаточно доказать, что $\left\{\frac{1}{\pi}K_n(t)\right\}_{n=1}^{\infty}$ --- \lmao. 36 | $2\pi$-периодичность и непрерывность очевидны. Далее 37 | $$ 38 | \int\limits_{-\pi}^{\pi}D_n(t) = \pi \Rightarrow \cfrac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}K_N(t) dt = 1. 39 | $$ 40 | Далее докажем неотрицательность. Для всех $t \in (0; \pi]$ мы можем записать ядро Дирихле как 41 | $$ 42 | D_n(t) = \cfrac{\sin((n + 1/2)t)}{2\sin(t/2)}. 43 | $$ 44 | Пользуясь тригонометрическими формулами произведения синусов и понижения степени, получаем 45 | \begin{align} 46 | K_N(t) =& \cfrac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1} D_n(t) = \cfrac{1}{N}\sum\limits_{n}^{N-1} \cfrac{\sin((n + 1/2)t)}{2\sin(t/2)}\cdot\cfrac{\sin(t/2)}{\sin(t/2)} = \\ 47 | =& \cfrac{1}{N}\cdot \cfrac{1 - \cos(t) + \cos(t) - \cos(2t) + \cos(2t) - \ldots - \cos(Nt)}{2\cdot 2\sin^2(t/2)} = \cfrac{1}{N}\cdot \cfrac{1 - \cos(Nt)}{4\sin^2(t/2)} =\\ 48 | =&\cfrac{1}{N}\cdot \cfrac{\sin^2\left(\frac{Nt}{2}\right)}{2\sin^2(t/2)} 49 | \end{align} 50 | Отсюда следует неотрицательность. 51 | Далее для произвольного $\delta \in (0;\pi)$ грубо оценим интеграл 52 | \begin{gather} 53 | \cfrac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-\pi}^{-\delta}K_N(t)dt + \int\limits_{\delta}^{\pi}K_N(t)dt\right) = \cfrac{2}{\pi}\int\limits_{\delta}^{\pi}\cfrac{\sin^2(Nt/2)}{2N\sin^2(t/2)}dt \leqslant \cfrac{2}{\pi}\int\limits_{\delta}^{\pi} \cfrac{1}{2N\sin^2(t/2)}dt \leqslant \cfrac{2}{\pi}\cfrac{\pi}{2N \sin^2(\delta/2)}. 54 | \end{gather} 55 | И видно в последнем выражении, что оно стремится к 0 при $N \to \infty.$ 56 | \end{proof} 57 | На этом мы завершим разговор о рядах Фурье. 58 | \subsection{Многомерный интеграл Римана (начало). \\Брусья и их свойства} 59 | Мы, было дело, уже вводили понятие определенного интеграла Римана по отрезку. Для этого мы для функции $f$ разбивали отрезок $[a; b]$ на $N$ подотрезков, выбирали по одной точке на отрезках и составляли интегральную сумму Римана 60 | $$ 61 | \sigma(f, \tau, \xi) = \sum\limits_{n =1}^{N}f(\xi_n)|\Delta_n|. 62 | $$ 63 | Хотелось бы поступать подобным образом и с пространством произвольной размерности, не только с одномерной прямой. Например в случае с двумерным пространством и интегралом по области, разбивать область на кусочки и брать не длину, а площадь каждого кусочка. 64 | \par Стоп. С длиной отрезка все понятно --- это просто разность правого конца и левого. А что делать с площадью (а что такое площадь четырёх- и более многомерной области)? Попробуем ввести её! 65 | \begin{Def} 66 | Брусом в $\R^n$ будем называть декартово произведение $I_1\times I_2\times\ldots \times I_n$, где $I_i,\ i = 1\dots n$ --- ограниченные промежутки. 67 | \end{Def} 68 | Брус невырожден, если все $I_i$ невырождены. 69 | \begin{Def} 70 | Простое множество в $\R^n$ --- это объединение конечного числа брусов. 71 | \end{Def} 72 | И сразу же теорема. 73 | \begin{Theorem} 74 | Простое множество можно представить в виде конечного числа попарно непересекающихся брусов. 75 | \end{Theorem} 76 | \begin{proof} 77 | Пусть $\Pi = I_1 \times \ldots I_n$ и $\widetilde{\Pi} = \I_1 \times \ldots \I_n$ --- два бруса в $\R^n$. Их пересечение $\Pi \cap \widetilde{\Pi} = (I_1 \cap \I_1) \times \ldots (I_n\cap \I_n)$ --- тоже брус, поскольку пересечение промежутков --- промежуток. 78 | Докажем сначала, что разность двух брусов $\Pi \setminus \widetilde{\Pi}$ представима как конечное объединение попарно непересекающихся брусов в количестве не более $2n$ штук. Докажем это индукцией по $n$. 79 | \par Базовый случай $n=1$ оставим как упражнение (это и впрямь очевидно). 80 | \par Пусть для всех $n \leqslant k$ уже все доказано. Докажем для $n = k + 1$. 81 | \par Вспомним, что для произвольных множеств $A, B, C, D$ верно 82 | $$ 83 | (A\times B) \setminus (C \times D) = (A \setminus C) \times B \sqcup (A\cap C)\times (B \setminus D), 84 | $$ 85 | где значок $\sqcup$ означает объединение непересекающихся множеств. 86 | Обозначим за $\Pi' = I_1 \times \ldots \times I_k$, $\widetilde{\Pi}' = \I_1 \times \ldots \times \I_k$. Тогда 87 | $$ 88 | \Pi \setminus \widetilde{\Pi} = (\Pi' \times I_{k+1}) \setminus (\widetilde{\Pi}' \times \I_{k + 1}) = (\Pi' \setminus \widetilde{\Pi}')\times I_{k + 1} \sqcup (\Pi' \cap \widetilde{\Pi}')\times (I_{k + 1} \setminus \I_{k + 1}). 89 | $$ 90 | Применяя предположение индукции, получаем то, что нужно. 91 | \par Теперь пусть $\Pi_1, \ldots, \Pi_k$ --- брусы. Докажем, что их объединение можно представить как объединение попарно непересекающихся брусов. Сделаем это индукцией по $k$. Для $k = 1$ это верно. Докажем для $k = k + 1$. 92 | $$ 93 | \Pi_1 \cup \Pi_2 \ldots \cup \Pi_{k + 1} = \Pi_1 \cup \ldots \cup \Pi_{k} \sqcup \left(\Pi_{k + 1} \setminus \bigcup\limits_{n =1}^k\Pi_k\right). 94 | $$ 95 | Первое объединение представимо в искомом виде по предположению индукции. Вторая разность есть ни что иное как 96 | $$ 97 | \left(\Pi_{k + 1} \setminus \bigcup\limits_{n =1}^k\Pi_k\right) = \bigcap\limits_{n=1}^{k}(\Pi_{k + 1} \setminus \Pi_n). 98 | $$ 99 | Выражение в скобках, по доказанному выше, есть объединение попарно непересекающихся брусов, а пересечение брусов --- брус. Получаем то, что нужно. 100 | \end{proof} -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_24_[03.04.2017].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \pagestyle{fancy} 2 | \section{Лекция 24 от 03.04.2017 \\ Простые множества. Измеримость по Жордану} 3 | 4 | \subsection{Свойства простых множеств} 5 | 6 | \begin{Statement} 7 | Если $I_1, \ldots, I_n$ --- невырожденные интервалы, то $\Pi = I_1 \times \ldots \times I_n$ --- открытое множество (открытый брус). 8 | 9 | Если $I_1, \ldots, I_n$ --- невырожденные отрезки, то $\Pi = I_1 \times \ldots \times I_n$ --- замкнутое множество (замкнутый брус). 10 | \end{Statement} 11 | 12 | \begin{Statement} 13 | Объединение, пересечение и разность простых множеств --- простое множество. 14 | \end{Statement} 15 | 16 | \begin{proof}\ \\ 17 | Объединение --- все ясно. 18 | 19 | Пересечение: $\left( \bigcup\limits^J_{j=1}\Pi_j \right) \cap \left( \bigcup\limits^K_{k=1}\PPi_k \right) = \bigcup\limits^{J, K}_{j = 1, k=1}\left(\underbrace{\Pi_j \cap \PPi_k}_{\text{брус}} \right)$. 20 | 21 | Разность: $\left( \bigcup\limits^J_{j=1}\Pi_j \right) \setminus \left( \bigcup\limits^K_{k=1}\PPi_k \right) = \bigcup\limits^{J}_{j=1}\left( \Pi_j \setminus \bigcup\limits^K_{k=1}\PPi_k \right) = \bigcup\limits^J_{j=1} \overbrace{\left( \bigcap\limits^K_{k=1}\left(\underbrace{\Pi_j \setminus \PPi_k}_{\substack{\text{простое}\\\text{множество}}} \right) \right)}^{\text{простое множество}}$. 22 | \end{proof} 23 | 24 | \begin{Def} 25 | Пусть $P = \bigsqcup\limits^J_{j=1}\Pi_j$ --- простое множество. Тогда $\mu P = \sum\limits^J_{j=1} \mu\Pi_j$. 26 | \end{Def} 27 | 28 | \begin{Def} 29 | Брусы \textit{не перекрываются}, если мера их пересечения равна нулю. 30 | \end{Def} 31 | 32 | \begin{Statement} 33 | Если брус $\Pi$ является конечным объединением попарно не перекрывающихся брусов $\pi_j$, то $\mu \Pi = \sum\limits^J_{j=1} \mu \pi_j$. 34 | \end{Statement} 35 | \begin{proof}[Идея доказательства] 36 | Проблема исключительно в том, что <<нарезка>> бруса $\Pi$ может быть нерегулярной (не <<сеточкой>>). Но в таком случае можно просто продлить все разрезы и получить таки регулярную нарезку. 37 | 38 | Рассмотрим регулярную нарезку в двумерном случае. Пусть ширину бруса мы разрезали на отрезки $I_1, \ldots, I_n$, а длину на $\I_1, \ldots, \I_m$. Тогда $\mu\Pi = (|I_1| + \ldots + |I_n|) \cdot (|\I_1| + \ldots + |\I_m|) \hm= \sum\limits^n_{i=1}\sum\limits^m_{k=1}|I_i||\I_k| = \sum\mu\pi_j$. 39 | \end{proof} 40 | 41 | \begin{Statement} 42 | Определение меры простого множества корректно. 43 | \end{Statement} 44 | \begin{proof} 45 | Пусть простое множество представимо как объедение двух разных наборов брусов: $P = \bigsqcup\limits^J_{j=1}\Pi_j = \bigsqcup\limits^K_{k=1}\PPi_k$. Пусть также $\Pi_j \cap \PPi_k = \Delta_{jk}$. Тогда $\sum\limits^J_{j=1} \mu\Pi_j = \sum\limits^J_{j=1}\left( \underbrace{\sum\limits^K_{k=1} \mu \Delta_{jk}}_{\mu\Pi_j} \right)$ и $\sum\limits^K_{k=1}\mu \PPi_k = \sum\limits^K_{k=1}\left( \underbrace{\sum\limits^J_{j=1}\mu \Delta_{jk}}_{\mu\PPi_k} \right)$. Но фактически это одна и та же сумма, следовательно, мера простого равна $\sum\limits^J_{j=1}\mu\Pi_j = \mu P = \sum\limits^K_{k=1}\PPi_k$ и определена корректно. 46 | \end{proof} 47 | \begin{Statement} 48 | Пусть $P_1$ и $P_2$ --- простые множества. Тогда 49 | \begin{itemize} 50 | \item $\mu(P_1 \sqcup P_2) = \mu P_1 + \mu P_2$; 51 | \item $\mu(P_1 \cup P_2) = \mu P_1 + \mu P_2 - \mu(P_1 \cap P_2)$; 52 | \item если $P_1 \subset P_2$, то $\mu P_1 \leq \mu P_2$. 53 | \end{itemize} 54 | \end{Statement} 55 | 56 | \subsection{Измеримость по Жордану} 57 | 58 | Вспомним наконец, что наша задача --- определить площадь/объем. 59 | 60 | Пусть $A$ --- ограниченное подмножество $\R^n$. 61 | 62 | \begin{Def}\ \\ 63 | \textit{Нижняя мера Жордана} множества $A$: $\mu_*A = \sup\limits_{\substack{P \text{ --- простые},\\ P \subset A}} \mu P$. 64 | 65 | \textit{Верхняя мера Жордана} множества $A$: $\mu^*A = \inf\limits_{\substack{P \text{ --- простые},\\ A \subset P}} \mu P$. 66 | \end{Def} 67 | 68 | \begin{Def} 69 | Множество $A$ называется \textit{измеримым по Жордану (по $J$)}, если $\mu_*A = \mu^*A$. В этом случае мера множества $A$ равна $\mu A = \mu^*A=\mu_*A$ (иногда это обозначается как $\mu_J A$). 70 | \end{Def} 71 | 72 | \begin{Statement} 73 | Для любого ограниченного множества $A$ нижняя мера Жордана не больше верхней меры Жордана: $\mu_*A \leq \mu^*A$. 74 | \end{Statement} 75 | \begin{proof} 76 | Пусть $p$ и $P$ --- произвольные простые множества такие, что $p \subset A \subset P$. Очевидно, что $\mu p \leq \mu P$. Соответственно, $\mu_* A = \sup\limits_{p \subset A} \mu p \leq \mu P$. Значит, $\mu_*A \leq \inf\limits_{A \subset P} = \mu^* A$. Итого, $\mu_* A \leq \mu^* A$. 77 | \end{proof} 78 | 79 | \begin{Statement} 80 | Если $A$ --- простое, то его мера Жордана совпадает с его мерой в старом смысле. 81 | \end{Statement} 82 | 83 | \begin{Statement}[Критерий измеримости 1] 84 | Ограниченное множество $A$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда $\forall \eps > 0 \exists p, P$ --- простые множества такие, что $p \subset A \subset P$ и $\mu P - \mu p < \eps$. 85 | \end{Statement} 86 | \begin{proof} 87 | Очевидно. 88 | \end{proof} 89 | 90 | \begin{Comment} 91 | В этом утверждении множество $p$ можно считать открытым, а $P$ --- замкнутым множеством. 92 | \end{Comment} 93 | 94 | \begin{Statement}[Критерий измеримости 2] 95 | Пусть $A$ --- ограниченное подмножество $\R^n$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 96 | \begin{enumerate} 97 | \item $A$ --- измеримо по Жордану; 98 | \item $\mu^* \partial A = 0$, где $\partial 99 | A$ --- граница множества. 100 | \end{enumerate} 101 | \end{Statement} 102 | \begin{proof}\ \\ 103 | $(1) \Rightarrow (2)$. Зафиксируем произвольное $\eps > 0$. Тогда существуют открытое множество $p$ и замкнутое множество $P$ такие, что $p \subset A \subset P$ и $\mu P- \mu p < \eps$. Но $\partial 104 | A \subset P$ и $p \subset \mathrm{int} A$, где $\mathrm{int} A$ --- совокупность внутренних точек множества. Получается, что $P \setminus p \supset \partial 105 | A$. Но $P \setminus p$ --- простое множество меры меньше $\eps$. Значит, $\partial 106 | A$ можно покрыть простым множеством сколь угодно малой меры, то есть $\mu^* \partial 107 | A = 0$. 108 | 109 | $(2) \Rightarrow (1)$. В следующий раз. 110 | \end{proof} 111 | 112 | \begin{Comment} 113 | На основе этого критерия строится классический пример неизмеримого по Жордану множества. Берем квадрат, и пусть в $A$ входят все его внутренние точки с рациональными координатами. Границей такого множества будет весь квадрат, и его мера очевидно не равна нулю, соответственно, множество $A$ не измеримо. 114 | \end{Comment} 115 | \begin{Comment} 116 | Из измеримости по Жордану следует измеримость по Лебегу, но не наоборот. Это связано с тем, что в измеримости по Лебегу используется не более чем \textit{счетное} объединение, а по Жордану --- \textit{конечное}. 117 | \end{Comment} -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_25_[10.07.2017].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \pagestyle{fancy} 2 | \section{Лекция 25 от 10.04.2017 \\ Критерий измеримости по Жордану и иже с ним} 3 | 4 | Вспомним утверждение 5 | \begin{Statement}[Критерий измеримости] 6 | Пусть $A$ --- ограниченное подмножество $\R^n$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 7 | \begin{enumerate} 8 | \item $A$ --- измеримо по Жордану; 9 | \item $\mu^* \partial 10 | A = 0$, где $\partial 11 | A$ --- граница множества. 12 | \end{enumerate} 13 | \end{Statement} 14 | Для доказательства $(2) \Rightarrow (1)$ нам потребуется лемма: 15 | \begin{Lemma} 16 | Пусть есть брус $\Pi$ такой, что 17 | \begin{enumerate} 18 | \item $\Pi \cap \mathrm{int} A \neq \varnothing$ 19 | \item $\Pi \cap \mathrm{ext} A \neq \varnothing$ 20 | \end{enumerate} 21 | Тогда $\Pi \cap \partial 22 | A \neq \varnothing$. 23 | \end{Lemma} 24 | И сначала ещё одно вспомогательное определение: 25 | \begin{Def} 26 | Отрезком в $\R^n$ с концами $a$ и $b$ назовём множество точек $\{x = a + t(b-a)\;|\; t\in[0;1], a,b \in \R^n\}$ 27 | \end{Def} 28 | \begin{proof} [Первый способ доказательства леммы] 29 | Пусть $a \in \Pi\cap \mathrm{int}A$, $b \in \Pi \cap \mathrm{ext}A$. Отрезок с концами $a$ и $b$ полностью лежит в брусе. Будем делить его пополам и выбирать ту половину, у которой один конец в $A$, а другой --- нет. Полученная последовательность есть последовательность вложенных отрезков. У такой последовательности есть общая точка. Она и будет искомой. 30 | \end{proof} 31 | \begin{proof}[Второй способ доказательства леммы] 32 | Введём функцию $f\colon \Pi \to \R$ такую, что: 33 | $$ 34 | f(x) = \begin{cases} 35 | 0,\; x\notin A\\ 36 | 1,\; x \in A 37 | \end{cases}, 38 | $$ 39 | то есть, иначе говоря, индикатор множества $A$. Эта функция непрерывна во всех внутренних и внешних точках $A$, а значит, при доказательстве от противного, и на всём брусе. Рассмотрим другую функцию $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$. Она непрерывна на отрезке $[0;1]$, при этом принимает на нём ровно два значения. Противоречие. 40 | \end{proof} 41 | \begin{proof}[Доказательство критерия измеримости] 42 | Найдём открытый брус $\Pi_0$, содержащий $A$. Зафиксируем произвольное $\eps >0$. Существует простое множество $P_0\supset \partial A$ такое что $\mu P_0 < \eps$. Будем считать $P_0 \subset \Pi_0$ (иначе возьмём вместо $P_0$ множество $P_0\cap \Pi_0$). Заметим, что $\Pi_0 \setminus P_0$ --- простое множество. Представим его как объединение попарно непересекающихся брусов. 43 | \begin{gather} 44 | \Pi_0 \setminus P_0 = \pi_1 \sqcup \ldots \sqcup \pi_K\\ 45 | \pi_k \cap \partial A = \varnothing, \text{так как}\ \partial A \subset P_0 46 | \end{gather} 47 | То есть либо $\pi_k \subset \mathrm{int}A$ либо $\pi_k \subset \mathrm{ext}A$. Положим $p = \bigsqcup\limits_{k\colon \pi_k \subset \mathrm{int}A} \pi_k$, $P = p \sqcup P_0 = \Pi_0 \setminus \bigsqcup\limits_{k\colon \pi_k \subset \mathrm{ext}A}\pi_k$. 48 | Заметим, что $p \subset A$, $P\supset A$. Тогда $\mu P - \mu p = \mu(P \setminus p) = \mu(P_0) < \eps$. В силу произвольности $\eps$, получаем то, что нужно (используем критерий измеримости 1 из предыдущей лекции). 49 | \end{proof} 50 | \begin{Consequence} 51 | Пусть множества $A$ и $B$ измеримы по Жордану. Тогда $A \cup B$, $A \cap B$, $A \setminus B$ измеримы по Жордану. 52 | \end{Consequence} 53 | \begin{proof} 54 | Достаточно воспользоваться тем, что $\partial (A\cup B) \subset \partial A\cup \partial B$, аналогично$ \partial (A\cap B) \subset \partial A\cup \partial B $ и $\partial (A\setminus B) \subset \partial A\cup \partial B $. 55 | \end{proof} 56 | \begin{Comment}\ 57 | \begin{enumerate} 58 | \item Подмножество множества меры 0 по Жордану имеет меру 0 по Жордану. 59 | \item Объединение конечного числа множеств меры 0 по Жордану --- также множество меры 0 Жордану. 60 | \end{enumerate} 61 | \end{Comment} 62 | \begin{Statement} 63 | Если $A$ и $B$ измеримые подмножества $\R^n$, то $\mu(A \sqcup B) = \mu A + \mu B$. 64 | \end{Statement} 65 | \begin{proof} 66 | Мы докажем лишь половину утверждения, так как вторая отличается лишь разворотом знака. Зафиксируем произвольное $\eps > 0$. Найдём такие простые множества $p_A$ и $p_B$, что 67 | \begin{gather} 68 | p_A \subset A\\, 69 | p_B \subset B\\, 70 | \mu p_A > \mu_*A - \eps/2\\, 71 | \mu p_B > \mu_*B - \eps/2. 72 | \end{gather} 73 | $p_A \cup p_B$ --- простое множество, причём 74 | $$ 75 | p_A \cup p_B \supset A \sqcup B. 76 | $$ 77 | Тогда $\mu(p_A \sqcup p_B) = \mu p_A + \mu p_B > \mu A + \mu B - \eps$. Следовательно $\mu_*(A \sqcup B)\geqslant \mu A + \mu B$. Аналогично для верхней меры. Итого получаем 78 | \begin{gather} 79 | \mu_*(A \sqcup B)\geqslant \mu A + \mu B\\, 80 | \mu^*(A \sqcup B)\leqslant \mu A + \mu B, 81 | \end{gather} 82 | то есть $\mu_*(A \sqcup B) = \mu^*(A \sqcup B) = \mu A + \mu B.$ 83 | \end{proof} 84 | \begin{Consequence} 85 | Если $A$ и $B$ измеримы по Жордану, то $\mu (A \cup B) = \mu A + \mu B - \mu(A \cap B)$. 86 | \end{Consequence} 87 | \begin{proof} 88 | Можно и без слов: 89 | \begin{gather} 90 | A \cup B = A \sqcup (B\setminus A)\\ 91 | \mu (A \cup B) = \mu A + \mu(B \setminus A)\\ 92 | B = (B \cap A) \sqcup (B \setminus A)\\ 93 | \mu(B) = \mu(A \cap B) + \mu(B \setminus A)\\ 94 | \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A \cap B)\\ 95 | \mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \cap B) 96 | \end{gather} 97 | \end{proof} 98 | \begin{Def} 99 | $A$ и $B$ будем называть \textit{неперекрывающимися}, если их пересечение лежит в объединении границ: $A\cap B \subset \partial A \cup \partial B$. 100 | \end{Def} 101 | \begin{Comment} 102 | Очевидно, что если $A$ и $B$ --- измеримые неперекрывающиеся множества, то $\mu(\partial A \cap \partial B) \leq \mu \partial A +\mu \partial B = 0$. 103 | \end{Comment} 104 | \begin{Statement} 105 | Если $A$ и $B$ перекрывающиеся и измеримые, то $\mu(A \cap B) > 0$. 106 | \end{Statement} 107 | \begin{proof} 108 | Пусть $A$ и $B$ перекрываются. Тогда $\exists x \in \mathrm{int} A \cap \mathrm{int}B$. Следовательно, существует такое $\delta > 0$, что $B_\delta \subset A \cap B$, отсюда следует $\mu(A \cap B) > \mu(B_\delta) > 0$. 109 | 110 | \end{proof} 111 | Итого, измеримые множества $A$ и $B$ не перекрываются тогда и только тогда, когда $\mu(A \cap B) = 0.$ -------------------------------------------------------------------------------- /calculus_16-17_2course/lectures/calculus_30_[29.05.2017].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 30 от 29.05.2017 \\ Замена переменной, интегрирование индикатора} 2 | 3 | \subsection{Замена переменной в кратном интеграле} 4 | Пусть у нас есть две системы координат в $n$--мерном пространстве, $\{x_1, \ldots, x_n\}$ и $\{ t_1, \ldots, t_n \}$, и $\Omega_x$ и $\Omega_t$ --- две области (т.е. открытые связные множества) в этих координатах соответственно. Пусть также эти области не независимы, и существует такое биективное отображение $\phi: \Omega_x \to \Omega_t$, причем $\phi \in C(\Omega_x)$. Но вот проблема -- обратная функция $\phi^{-1}$ не обязательно дифференцируема, а без этого внятной замены координат в интеграле не сделаешь. 5 | 6 | Пусть для удобства наша функция $\phi$ покоординатно складывается из других функций: $\phi(x_1, \ldots, x_n) = (\phi_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, \phi_n(x_1, \ldots, x_n))$. Рассмотрим тогда соответствующий ей определитель Якоби: 7 | $$ 8 | J(\overline x) = \det \left(\frac{\partial \phi_i}{\partial x_k} \right)_{i, k = 1 \ldots n}. 9 | $$ 10 | 11 | \begin{Statement} 12 | Чтобы функция $\phi^{-1}$ тоже была дифференцируемой, достаточно, чтобы ее определитель Якоби не обращался в ноль на $\Omega_x$. 13 | \end{Statement} 14 | 15 | Пусть $\overline A_x \in \Omega_x$, $A_t = \phi(A_x)$ и $\overline A_t \in \Omega_t$. Рассмотрим функцию $f: A_t \to \R$, ограниченную на $A_t$. 16 | 17 | \begin{Statement} 18 | $A_x$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда $A_t$ измеримо по Жордану. 19 | \end{Statement} 20 | 21 | Пусть далее $A_x$ измеримо. 22 | 23 | \begin{Statement} 24 | Функция $f(\overline t) \in \Ri(A_t)$ тогда и только тогда, когда $f(\phi(\overline x)) \cdot|J(\overline x)| \in \Ri(A_x)$. Причем в случае интегрирования эти интегралы равны: $\int\limits_{A_t} f(\overline t) \d t = \int\limits_{A_x} f(\overline x) \cdot |J(\overline{x})| \d x$. 25 | \end{Statement} 26 | \begin{proof} 27 | Расскажем идею доказательства второй части. 28 | 29 | Разбиению множества $A_x$ соответствует разбиение множества $A_t$ (просто воспользовавшись отображением $\phi$). Соответственно, мы хотим показать, что следующие суммы примерно равны (приближение будет тем лучше, чем более мелко разбиение): 30 | $$ 31 | \sum f(\xi_j) \cdot |J(\phi^{-1}(\xi_j))| \cdot \mu \phi^{-1}(\Delta_j) \approx \sum f(\xi_j) \mu \Delta_j. 32 | $$ 33 | Поскольку мы потребовали, чтобы $J(x) \neq 0$, то у $J(x)$ невырождена линейная составляющая. Кусочки $\Delta_j$ маленькие, так что мы хорошо можем приблизить его линейной частью: 34 | $$ 35 | \mu \phi^{-1}(\Delta_j) \equiv \mu \Delta_j \cdot \underbrace{\left| \det \dfrac{\d x_j}{\d t_k} \right|}_{|J(\xi_j)|}. 36 | $$ 37 | 38 | Вот примерно из этого и следует желаемое нами приближение. В целом, для экзамена достаточно понимать (и донести) идею, что при мелких разбиениях коэффициенты изменения меры равны якобиану. 39 | \end{proof} 40 | 41 | Рассмотрим самую популярную замену в $\R^2$ --- полярную, и попробуем перевести в нее обычный круг. Казалось бы, простейшая фигура, но уже тут мы сталкиваемся с проблемами и вообще говоря нам надо вырезать все $\eps$--окрестность $OX$, чтобы мы могли воспользоваться утверждениями выше. Хотя вообще говоря, если рассматриваемая функция непрерывна, то этот разрез можно устремить к нулю, и в пределе мы получаем что хотели изначально. 42 | 43 | \subsection{Индикатор в кратных интегралах} 44 | 45 | Ладно, завершающая вещь про кратные интегралы. Пусть $\Pi \in \R^n$ --- брус, $A \in \Pi$ и $I_A$ --- индикатор множества $A$. 46 | 47 | \begin{Statement} 48 | $I_A \in \Ri(\Pi)$ тогда и только тогда, когда $A$ --- измеримо, при этом $\mu A = \int\limits_\Pi I_A dx$. 49 | \end{Statement} 50 | \begin{proof} 51 | Без доказательства. Хотя в одну сторону очевидно. 52 | \end{proof} 53 | Пусть $A$ --- измеримое подмножество $\R^n$, $f: A \to [0, +\infty)$ --- ограниченная функция. Тогда $A_f = \{ (x, y) \in \R^{n+1} \mid x\in A, y \in [i, f(x)] \}$ --- многомерный аналог криволинейной трапеции. 54 | \begin{Statement} 55 | $A_f$ измеримо тогда и только тогда, когда $f\in \Ri(A)$, и в случае измеримости $\mu A_f = \int\limits_A f\dx$. 56 | \end{Statement} 57 | 58 | \begin{Examples} 59 | А теперь давайте посчитаем интеграл $I = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx$. И сделаем это с помощью кратных интегралов. 60 | 61 | С одной стороны: 62 | $$ 63 | \iint_{\R^2} e^{-x^2 -y^2}\dx \d y = \int_{-\infty}^{+\infty}\dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}e^{-y^2}\d y = I^2. 64 | $$ 65 | Но с другой: 66 | $$ 67 | \iint_{\R^2} e^{-x^2 -y^2}\dx \d y = \int_0^{2\pi}\d \phi \int_0^\infty e^{-r^2}r\d r = 2\pi\left( -\dfrac{1}{2} e^{-r^2} \Big|_{r=0}^\infty \right) = \pi. 68 | $$ 69 | Отсюда получаем, что $I = \sqrt{\pi}$. 70 | \end{Examples} 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | -------------------------------------------------------------------------------- /continuous-optimization_17-18_3course/continuous-optimization_17-18_3course.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \input{header.sty} 3 | \usepackage{subfiles} 4 | 5 | \begin{document} 6 | \maketitle 7 | 8 | \subfile{optimization_01_[09.01.2018].tex} 9 | \subfile{optimization_02_[16.01.2018].tex} 10 | \subfile{optimization_03_[23.01.2018].tex} 11 | \subfile{optimization_04_[30.01.18].tex} 12 | \subfile{optimization_05_[5.02.18].tex} 13 | \subfile{optimization_06.tex} 14 | \subfile{optimization_07.tex} 15 | 16 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /continuous-optimization_17-18_3course/header.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %% Работа с русским языком 2 | \usepackage{cmap} % поиск в PDF 3 | \usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах 4 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка 5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста. НИКОГДА НЕ МЕНЯТЬ. 6 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы 7 | \usepackage{epigraph} % делать эпичные эпиграфы 8 | \usepackage{fancybox,fancyhdr} % для колонтитулов 9 | \usepackage{multicol} 10 | \usepackage{float} 11 | \usepackage{algorithm} 12 | \usepackage[noend]{algpseudocode} 13 | \usepackage{tikz} 14 | % Отступы между абзацами и в начале абзаца 15 | \setlength{\parindent}{0pt} 16 | \setlength{\parskip}{\medskipamount} 17 | 18 | %% Изменяем размер полей 19 | \usepackage[top=0.7in, bottom=0.75in, left=0.625in, right=0.625in]{geometry} 20 | 21 | %% Изменяем размер отступов колонтитулов 22 | \renewcommand{\headrulewidth}{1.8pt} 23 | \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt} 24 | 25 | %% Графика 26 | \usepackage[pdftex]{graphicx} 27 | %\graphicspath{{images/}} 28 | 29 | %% Различные пакеты для работы с математикой 30 | \usepackage{mathtools} % Тот же amsmath, только с некоторыми поправками 31 | 32 | \usepackage{amssymb} % Математические символы 33 | \usepackage{amsthm} % Пакет для написания теорем 34 | \usepackage{amstext} 35 | \usepackage{array} 36 | \usepackage{amsfonts} 37 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление 38 | \usepackage{enumitem} % Для выравнивания itemize (\begin{itemize}[align=left]) 39 | \usepackage{wrapfig} 40 | % Номера формул 41 | \mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте. 42 | 43 | 44 | \usepackage{mathdots} 45 | \usepackage{floatflt} 46 | 47 | % Ссылки 48 | \usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue, bookmarks=false]{hyperref} 49 | 50 | % Шрифты 51 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид 52 | \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт 53 | 54 | % Свои команды\textbf{} 55 | \DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}} 56 | \DeclareMathOperator{\opint}{\mathop{int}} 57 | \DeclareMathOperator{\dom}{\mathop{dom}} 58 | \DeclareMathOperator{\fl}{\mathop{fl}} 59 | 60 | % Перенос знаков в формулах (по Львовскому) 61 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{} 62 | {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} 63 | 64 | % Графики 65 | \usepackage{tikz} 66 | 67 | % Изменим формат \section и \subsection: 68 | \usepackage{titlesec} 69 | \titleformat{\section} 70 | {\vspace{1cm}\centering\LARGE\bfseries} % Стиль заголовка 71 | {} % префикс 72 | {0pt} % Расстояние между префиксом и заголовком 73 | {} % Как отображается префикс 74 | \titleformat{\subsection} % Аналогично для \subsection 75 | {\Large\bfseries} 76 | {} 77 | {0pt} 78 | {} 79 | 80 | %% Титульный лист 81 | \renewcommand{\maketitle}{\begingroup 82 | \hbox{ 83 | \hspace*{0.12\textwidth} 84 | \rule{1pt}{\textheight} 85 | \hspace*{0.05\textwidth} 86 | \parbox[b]{0.775\textwidth}{ 87 | {\noindent\Huge\bfseries Непрерывная оптимизация}\\[\baselineskip] 88 | {\large\textrm{Конспекты лекций}}\\[3\baselineskip] 89 | {\Large\textsc{Лектор: Д.А. Кропотов}}\\[\baselineskip] 90 | {Конспекты вели Екатерина Глазкова, Ксения Закирова, Павел Хрушков}\\[6\baselineskip] 91 | {\noindent НИУ ВШЭ, 2018}\\[\baselineskip] 92 | } 93 | } 94 | \endgroup 95 | } 96 | 97 | \setlength{\headheight}{15pt} 98 | %% Для колонтитула 99 | \def\head{ 100 | {\it \small НИУ ВШЭ $\bullet$ Факультет компьютерных наук $\bullet$ Прикладная математика и информатика}} 101 | 102 | %% Делаем верхний и нижний колонтитулы 103 | \fancyhf{} 104 | \fancyhead[R]{\head} 105 | \fancyfoot[L]{{\small {\it П. Хрушков, К. Закирова, 106 | Е. Глазкова 107 | }}} 108 | \fancyhead[L]{\thepage} 109 | \fancyfoot[R]{{\small {\it Лекция \thesection }}} 110 | 111 | 112 | 113 | %% Теоремы и иже с ними 114 | \theoremstyle{remark} 115 | %\newtheorem*{Comment}{Замечание} 116 | \newtheorem*{Task}{Упражнение} 117 | \newtheorem*{Examples}{Пример} 118 | \newtheorem*{Designation}{Обозначение} 119 | 120 | \theoremstyle{definition} 121 | \newtheorem{Def}{Определение} 122 | 123 | \theoremstyle{plain} 124 | \newtheorem{Lemma}{Лемма} 125 | \newtheorem{Theorem}{Теорема} 126 | \newtheorem{Test}{Признак} 127 | \newtheorem*{Statement}{Утверждение} 128 | \newtheorem{Problem}{Задача} 129 | \newtheorem*{Hypothesis}{Гипотеза} 130 | \newtheorem*{Consequence}{Следствие} 131 | \newtheorem{Properties}{Свойство} 132 | 133 | 134 | 135 | \newcommand{\0}{\vec{0}} 136 | \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re\:}} 137 | \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im\:}} 138 | \newcommand{\Arg}{\mathrm{Arg\:}} 139 | \renewcommand{\arg}{\mathrm{arg\:}} 140 | \newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}} 141 | \newcommand{\id}{\mathrm{id}} 142 | \newcommand{\isom}{\xrightarrow{\sim}} 143 | \newcommand{\leftisom}{\xleftarrow{\sim}} 144 | \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} 145 | \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\:} 146 | \newcommand{\rk}{\mathrm{rk}\:} 147 | \newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} 148 | \newcommand{\ort}{\mathrm{ort}} 149 | \newcommand{\pr}{\mathrm{pr}} 150 | \newcommand{\vol}{\mathrm{vol\:}} 151 | \def\limref#1#2{{#1}\negmedspace\mid_{#2}} 152 | \newcommand{\eps}{\varepsilon} 153 | 154 | \newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{argmin}}} 155 | 156 | \renewcommand{\phi}{\varphi} % плохо, так как есть \phi в англ раскладке. 157 | \newcommand{\e}{\mathbb{e}} 158 | \renewcommand{\l}{\lambda} 159 | \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 160 | \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 161 | \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 162 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 163 | \renewcommand{\C}{\mathbb{C}} 164 | \newcommand{\E}{\mathbb{E}} 165 | \newcommand{\B}{\mathcal{B}} 166 | \newcommand{\D}{\mathcal{D}} 167 | \newcommand{\Ri}{\mathcal{R}} % Риман 168 | 169 | \newcommand{\vvector}[1]{\begin{pmatrix}{#1}_1 \\\vdots\\{#1}_n\end{pmatrix}} 170 | \renewcommand{\vector}[1]{({#1}_1, \ldots, {#1}_n)} 171 | 172 | \newcommand{\rarr}{\rightarrow} 173 | \renewcommand{\leq}{\leqslant} 174 | \renewcommand{\geq}{\geqslant} 175 | \renewcommand{\le}{\leqslant} 176 | \renewcommand{\ge}{\geqslant} 177 | \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} 178 | \newcommand{\x}{\hat{x}} 179 | \newcommand{\y}{\hat{y}} 180 | 181 | \newcommand{\series}[2]{\sum\limits_{n=#1}^{#2}} 182 | \newcommand{\sseries}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}} 183 | \newcommand{\zseries}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}} 184 | \newcommand{\infprod}{\prod\limits_{n=1}^{\infty}} 185 | \newcommand{\uconv}[2]{\overset{#1}{\underset{#2}{\rightrightarrows}}} 186 | \newcommand{\ito}{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow}} 187 | 188 | \newcommand{\lmao}{неотрицательная непрерывная $2\pi$-периодическая аппроксимативная единица} 189 | \newcommand{\I}{\widetilde{I}} 190 | \newcommand{\PPi}{\widetilde{\Pi}} 191 | \newcommand{\diam}{\mathrm{diam}} 192 | \newcommand{\osc}{\mathrm{osc}} 193 | 194 | \setlist[itemize]{itemsep=0pt, topsep=0pt} 195 | \setlist[enumerate]{itemsep=0pt, topsep=0pt} -------------------------------------------------------------------------------- /continuous-optimization_17-18_3course/optimization_02_[16.01.2018].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | %\input{header.sty} 3 | 4 | \begin{document} 5 | %\maketitle 6 | 7 | \section{Лекция 2. Одномерная оптимизация (минимизация)} 8 | 9 | Рассмотрим функцию $f: \R \to \R, f \in C^1$, функция унимодальная (на отрезке $[a, b]$ существует одна и только одна точка $x$, которая $f'(x) = 0$). Цель --- найти минимум функции на отрезке $[a, b]$, для этого мы будем постепенно уменьшать отрезок поиска. В том, чтобы найти минимум, нам поможет \textit{оракул} --- совокупность величин, которые возможность вычислить в каждой точке $x \in [a, b]$. В нашем случае имеет место оракул нулевого порядка: $O(x) = \{f(x)\}$ --- то есть в каждой точке можно вычислить только саму функцию $f$. 10 | 11 | Рассмотрим функцию, представленную на графике: 12 | 13 | %TODO: рисунок 14 | 15 | Пусть нам известны значения $f(a), f(b), f(x)$, где $x \in [a, b]$. Можем ли мы сократить отрезок поиска, обладая только данной информацией? Нет, не можем: по этим же трем точкам возможно построить унимодальную непрерывную функцию с минимумом в другом отрезке: 16 | 17 | %TODO: рисунок 18 | 19 | Теперь почитаем еще одну точку $f(y)$, где $x, y \in [a, b]$. 20 | 21 | %TODO: рисунок 22 | 23 | С этой информацией можно сократить отрезок поиска: если $f(y) < f(x),$ то переходим к интервалу $[x, b]$, иначе к интервалу $[a, y]$. Сокращение отрезка возможно из-за свойства унимодальности функции. На этом принципе построен \textit{метод золотого сечения.} 24 | 25 | \subsection{Метод золотого сечения} 26 | Некоторые предварительные замечания: 27 | \begin{itemize} 28 | \item Оракул может быть очень дорогим в вычислении, поэтому необходимо минимизировать число обращений к нему. В методе золотого сечения мы будем использовать старые точки повторно. 29 | \item Потенциальные интервалы сокращения равны по длине. 30 | \item Интервал сокращается на одну и ту же величину. 31 | \end{itemize} 32 | Последние два предложения позволяют однозначно определить процесс генерации новых точек. 33 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/01.02.2016/images/kantorbern1.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/01.02.2016/images/kantorbern1.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/01.02.2016/images/kantorbern2.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/01.02.2016/images/kantorbern2.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/01.02.2016/images/kantorbern3.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/01.02.2016/images/kantorbern3.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/11.01.2016/images/1.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/11.01.2016/images/1.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/11.01.2016/images/2.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/11.01.2016/images/2.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/11.01.2016/images/3.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/11.01.2016/images/3.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/1.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/1.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/2.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/2.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/3.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/3.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/Comp.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/Comp.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/CompAs.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/CompAs.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/MTboarder.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/MTboarder.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/Tab2MT.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/Tab2MT.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/TabMT.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/TabMT.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/bi.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/bi.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/in.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/in.png -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/kantorbern1.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/kantorbern1.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/kantorbern2.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/kantorbern2.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/kantorbern3.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/kantorbern3.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /discrete-math_15-16_1course/images/sur.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/discrete-math_15-16_1course/images/sur.png -------------------------------------------------------------------------------- /functional-analysis_17-18/README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # functional-analysis_17-18 2 | Functional analysis lectures on CSF, AMI, HSE, in 2017-2018. 3 | -------------------------------------------------------------------------------- /functional-analysis_17-18/caution.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../main.tex]{subfiles} 2 | 3 | \begin{document} 4 | \section*{Используемые обозначения} 5 | 6 | 7 | 8 | \pagebreak 9 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /functional-analysis_17-18/functional-analysis_17-18.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4letter,12pt]{article} 2 | \usepackage{amsmath} 3 | \usepackage{subfiles} 4 | \usepackage{header} 5 | \usepackage{epigraph} 6 | 7 | \renewcommand{\leq}{\leqslant} 8 | \renewcommand{\geq}{\geqslant} 9 | \renewcommand{\rho}{\varrho} 10 | \newcommand{\then}{\Rightarrow} 11 | 12 | \begin{document} 13 | \titlepage 14 | 15 | \tableofcontents 16 | 17 | \pagebreak 18 | 19 | \subfile{lectures/lecture-01} 20 | \subfile{lectures/lecture-02} 21 | 22 | 23 | \end{document} 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /functional-analysis_17-18/images/aist.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/functional-analysis_17-18/images/aist.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /functional-analysis_17-18/lectures/lecture-XX.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[../main.tex]{subfiles} 2 | 3 | %Sample lecture 4 | 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | 9 | 10 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /functional-analysis_17-18/program.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[functional-analysis_17-18.tex]{subfiles} 2 | 3 | %Sample lecture 4 | 5 | 6 | \begin{document} 7 | \section{Примерная программа курса} 8 | \begin{enumerate} 9 | \item 18.01.18 -- Метрические и нормированные пространства. Полные пространства и пополнения. Пространство орграниченных функций и пространство непрерывный функций. Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. 10 | 11 | \end{enumerate} 12 | 13 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra_15-16_1course/header.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | %% Работа с русским языком 3 | \usepackage{cmap} % поиск в PDF 4 | \usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах 5 | \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка 6 | \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста 7 | \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы 8 | 9 | %% Отступы между абзацами и в начале абзаца 10 | \setlength{\parindent}{0pt} 11 | \setlength{\parskip}{\medskipamount} 12 | 13 | %% Изменяем размер полей 14 | \usepackage[top=0.5in, bottom=0.75in, left=0.625in, right=0.625in]{geometry} 15 | 16 | %% Графика 17 | \usepackage[pdftex]{graphicx} 18 | \graphicspath{{images/}} 19 | 20 | %% Различные пакеты для работы с математикой 21 | \usepackage{mathtools} % Тот же amsmath, только с некоторыми поправками 22 | 23 | \usepackage{amssymb} % Математические символы 24 | \usepackage{amsmath} % Математические символы 25 | \usepackage{amsthm} % Пакет для написания теорем 26 | \usepackage{amstext} 27 | \usepackage{array} 28 | \usepackage{amsfonts} 29 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление 30 | % \usepackage{bbm} % Для красивого (!) \mathbb с буквами и цифрами 31 | \usepackage{enumitem} % Для выравнивания itemise (\begin{itemize}[align=left]) 32 | 33 | % Номера формул 34 | \mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте. 35 | 36 | % Ссылки 37 | \usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref} 38 | 39 | % Шрифты 40 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид 41 | \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт 42 | 43 | % Свои команды\textbf{} 44 | \DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}} 45 | 46 | % Перенос знаков в формулах (по Львовскому) 47 | \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{} 48 | {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} 49 | 50 | % Графики 51 | \usepackage{tikz} 52 | \usepackage{pgfplots} 53 | %\pgfplotsset{compat=1.12} 54 | 55 | % Изменим формат \section и \subsection: 56 | \usepackage{titlesec} 57 | \titleformat{\section} 58 | {\vspace{1cm}\centering\LARGE\bfseries} % Стиль заголовка 59 | {} % префикс 60 | {0pt} % Расстояние между префиксом и заголовком 61 | {} % Как отображается префикс 62 | \titleformat{\subsection} % Аналогично для \subsection 63 | {\Large\bfseries} 64 | {} 65 | {0pt} 66 | {} 67 | 68 | % Информация об авторах 69 | \author{Группа лектория ФКН ПМИ 2015-2016 \\ 70 | Анастасия Иовлева \\ 71 | Ксюша Закирова \\ 72 | Руслан Хайдуров} 73 | \title{Лекции по предмету \\ 74 | \textbf{Линейная алгебра и геометрия}} 75 | \date{2016 год} 76 | 77 | \newtheorem*{Def}{Определение} 78 | \newtheorem*{Lemma}{Лемма} 79 | \newtheorem*{Suggestion}{Предложение} 80 | \newtheorem*{Examples}{Пример} 81 | \newtheorem*{Comment}{Замечание} 82 | \newtheorem*{Consequence}{Следствие} 83 | \newtheorem*{Theorem}{Теорема} 84 | \newtheorem*{Statement}{Утверждение} 85 | \newtheorem*{Task}{Упражнение} 86 | \newtheorem*{Designation}{Обозначение} 87 | \newtheorem*{Generalization}{Обобщение} 88 | \newtheorem*{Thedream}{Предел мечтаний} 89 | \newtheorem*{Properties}{Свойства} 90 | 91 | \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re\:}} 92 | \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im\:}} 93 | \newcommand{\Arg}{\mathrm{Arg\:}} 94 | \renewcommand{\arg}{\mathrm{arg\:}} 95 | \newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}} 96 | \newcommand{\id}{\mathrm{id}} 97 | \newcommand{\isom}{\xrightarrow{\sim}} 98 | \newcommand{\leftisom}{\xleftarrow{\sim}} 99 | \newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} 100 | \newcommand{\Ker}{\mathrm{Ker}\:} 101 | \newcommand{\rk}{\mathrm{rk}\:} 102 | \newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} 103 | \newcommand{\ort}{\mathrm{ort}} 104 | \newcommand{\pr}{\mathrm{pr}} 105 | \newcommand{\vol}{\mathrm{vol\:}} 106 | \def\limref#1#2{{#1}\negmedspace\mid_{#2}} 107 | \newcommand{\eps}{\varepsilon} 108 | 109 | \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} 110 | \renewcommand{\phi}{\varphi} 111 | \newcommand{\e}{\mathbb{e}} 112 | \renewcommand{\l}{\lambda} 113 | \renewcommand{\C}{\mathbb{C}} 114 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 115 | \newcommand{\E}{\mathbb{E}} 116 | 117 | \newcommand{\vvector}[1]{\begin{pmatrix}{#1}_1 \\\vdots\\{#1}_n\end{pmatrix}} 118 | \renewcommand{\vector}[1]{({#1}_1, \ldots, {#1}_n)} -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra_15-16_1course/lectures/linear-algebra_16_[18.01.2016].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 16 от 18.01.2016} 2 | Вспомним предыдущую лекцию и кое-что дополним 3 | \begin{Comment} 4 | \ 5 | \begin{enumerate} 6 | \item Элемент $0$ --- единственный. 7 | \item И элемент $-a$ единственный. 8 | \item Даже элемент $1$ единственный. 9 | \item Как это ни удивительно, но $a^{-1}$ тоже единственный. 10 | \end{enumerate} 11 | \end{Comment} 12 | Легко увидеть, что пункты 2 и 4 доказываются одинаково с точностью до замены операции, как и пункты 1 и 3. 13 | 14 | \begin{proof} 15 | Докажем пункт 3. Если существует $1'$ --- еще одна единица, тогда по аксиомам $1'=1'\cdot1=1$. 16 | 17 | Докажем теперь пункт 4. Пусть $b$ и $c$ таковы, что $b \neq c$ и $ba = ab = ac = ca = 1$. Тогда 18 | \[ 19 | bac = \left(ba\right)c = b\left(ac\right) = 1\cdot c = c = 1 \cdot b = b 20 | \] 21 | 22 | То есть $b = c$. 23 | \end{proof} 24 | 25 | \subsection{Комплексные числа (продолжение)} 26 | 27 | \begin{Suggestion} 28 | Пусть $z_1 = |z_1|\left(\cos{\varphi_1}+i\sin{\varphi_1}\right)$, $z_2 = |z_2|\left(\cos{\varphi_2} + i\sin{\varphi_2}\right)$. Тогда 29 | \[ 30 | z_1z_2 = |z_1||z_2|\left(\cos\left(\varphi_1 + \varphi_2\right) + i\sin\left(\varphi_1 + \varphi_2\right)\right) 31 | \] 32 | Иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. 33 | \end{Suggestion} 34 | 35 | \begin{proof} 36 | Просто раскроем скобки и приведём подобные. 37 | \begin{gather*} 38 | z_1z_2 = |z_1||z_2|\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2 + i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sin\varphi_1\right)\right) = \\ =|z_1||z_2|\left(\cos\left(\varphi_1 + \varphi_2\right) + i\sin\left(\varphi_1 + \varphi_2\right)\right) 39 | \end{gather*} 40 | \end{proof} 41 | 42 | \begin{Consequence} 43 | $\cfrac{z_1}{z_2} = \cfrac{|z_1|}{|z_2|}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right) + i\sin\left(\varphi_1 - \varphi_2\right)\right)$ 44 | \end{Consequence} 45 | 46 | \begin{Consequence}[Формула Муавра] 47 | Пусть $z = |z|\left(\cos\varphi + i \sin \varphi\right)$. Тогда: 48 | \[z^n = |z|^n\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right) \quad \forall n \in \mathbb{Z}. 49 | \] 50 | \end{Consequence} 51 | 52 | \begin{Comment} 53 | В комплексном анализе функция $\exp x\colon\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ доопределяется до $\exp z\colon \ \mathbb{C}~\rightarrow~\mathbb{C}$ следующим образом: 54 | \[ 55 | \exp z =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{z^n}{n!}\ . 56 | \] 57 | И тогда оказывается, что $\exp z$ обладает теми же свойствами, кроме того: 58 | \[ 59 | e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \quad \forall \varphi \in \mathbb{C}. 60 | \] 61 | \end{Comment} 62 | 63 | Всякое $z \in \mathbb{C}$ можно представить в виде $z = |z|e^{i\varphi}$, где $\varphi \in \Arg\left(z\right)$. Тогда формула Муавра приобретает совсем очевидный вид: 64 | \[ 65 | |z_1|e^{i\varphi_2}\cdot|z_2|e^{i\varphi_2} = |z_1||z_2|e^{i\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}. 66 | \] 67 | 68 | \begin{Comment} 69 | Отображение $R_\varphi \colon \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$, $z\rightarrow ze^{i\varphi}$, $\varphi \in \mathbb{R}$ определяет поворот на угол $\varphi$ вокруг $0$. 70 | \end{Comment} 71 | 72 | \subsection{Корни из комплексного числа} 73 | 74 | Пусть $n\in\mathbb N$ и $n\geqslant2$. 75 | 76 | \begin{Def} 77 | Корнем $n$-й степени из числа $z$ называется всякое $w\in\mathbb C$: $w^n=z$. То есть 78 | \[ 79 | \sqrt[n]{z} = \{w\in\mathbb C\ |\ w^n = z\}. 80 | \] 81 | \end{Def} 82 | 83 | Если $z=0$, то $|z| = 0$, а значит $|w| = 0$, $w=0$. Получается, 0 --- единственное комплексное число, у которого корень определён однозначно. 84 | 85 | Далее рассмотрим случай $z \neq 0$. 86 | \begin{gather*} 87 | z = |z|\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)\\ 88 | w = |w|\left(\cos\psi+i\sin\psi\right) 89 | \end{gather*} 90 | \[ 91 | z = w^n \Leftrightarrow 92 | \begin{cases} 93 | |z| = |w|^n \\ 94 | n\psi\in\Arg\left(z\right) 95 | \end{cases} 96 | \Leftrightarrow 97 | \begin{cases} 98 | |w|= \sqrt[n]{|z|}\\ 99 | n\psi= \varphi+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z 100 | \end{cases}\\ 101 | \Leftrightarrow 102 | \begin{cases} 103 | |w|=\sqrt[n]{|z|}\\ 104 | \psi = \cfrac{\varphi+2\pi k}{n},\quad k \in \mathbb{Z} 105 | \end{cases} 106 | \] 107 | 108 | С точностью до кратного $2\pi$ различные значения в формуле $\psi = \cfrac{\varphi+2\pi k }{n}$ получаются при $k = 0,\ 1,\ldots,n-1$. Значит $z$ имеет ровно $n$ корней $n$-й степени. 109 | 110 | \[ \sqrt[n]{z} = \Biggl\{\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\cfrac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\cfrac{\varphi+2\pi k }{n}\right)\ \biggl|\ k=0,\ldots,n-1\Biggr\} 111 | \] 112 | 113 | \begin{Comment} 114 | Точки из множества $\sqrt[n]{z}$ при $z\neq 0$ лежат в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{|z|}$. 115 | \end{Comment} 116 | 117 | \begin{Examples} $z=-1=\cos\pi+i\sin\pi $ 118 | $$\sqrt[3]{z} = \biggl\{ \cos\cfrac\pi3+i\sin\cfrac\pi3;\ \cos\pi+i\sin\pi;\ \cos\cfrac{5\pi}{3}+i\sin\cfrac{5\pi}{3} \biggl\} 119 | $$ 120 | \begin{center} 121 | \begin{tikzpicture}[scale=0.5] 122 | \begin{scope}[thick,font=\scriptsize] 123 | \draw [->] (-5,0) -- (5,0) node [above left] {$\Re z$}; 124 | \draw [->] (0,-5) -- (0,5) node [below right] {$\Im z$}; 125 | \draw (-3,-3pt) -- (-3,3pt) node [above left] {$-1$} node [below left] {$w_1$}; 126 | \draw (0,0) -- (1.5, 2.6) node [right] {$w_0$}; 127 | \draw (0,0) -- (1.5, -2.6) node [below right] {$w_2$}; 128 | \end{scope} 129 | \path [draw=black,fill=none] (0,0) circle (3); 130 | \end{tikzpicture} 131 | \end{center} 132 | 133 | \end{Examples} 134 | 135 | \subsection{Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами} 136 | 137 | Пусть дано квадратное уравнение $az^2+bz+c=0$, где $a,\ b,\ c\in\mathbb{C}$ и $ a \neq 0$. Тогда имеем: 138 | \begin{gather*} 139 | z^2+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a} = 0\\ 140 | z^2+2\frac{b}{2a}z+\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} = 0\\ 141 | \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ 142 | z+\frac{b}{2a} \in \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 143 | \end{gather*} 144 | 145 | То есть все решения --- это $z_1 = \cfrac{-b+d_1}{2a},\ z_2 = \cfrac{-b+d_2}{2a}$, где $\{d_1,d_2\} = \sqrt[2]{b^2-4ac}$. В частности, квадратное уравнение всегда имеет комплексный корень, а при $b^2-4ac\neq0$ два корня. 146 | 147 | \begin{Theorem}[Основная теорема алгебры] 148 | Всякий многочлен $P\left(z\right) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots \hm{+} a_1z + a_0$ степени $n$, где $n \geqslant 1$, $a_n \neq 0$, и $a_0,\ldots,a_n \in \mathbb{C}$ имеет корень. 149 | \end{Theorem} 150 | 151 | \subsection{Векторные пространства над произвольным полем} 152 | 153 | И снова вспомним, что такое векторное пространство: 154 | 155 | \begin{itemize} 156 | \item некоторое множество $V$; 157 | \item есть операция сложения $V\times V\rightarrow V$; 158 | \item есть операция умножения на скаляр $F\times V\rightarrow V$; 159 | \item выполняются 8 аксиом. 160 | \end{itemize} 161 | 162 | Все основные понятия и результаты теории векторных пространств из прошлого полугодия можно перенести на случай пространства над произвольным полем $F$ без изменений. 163 | 164 | \begin{Examples} 165 | Пусть $V$ --- векторное пространство над полем из двух элементов, $\dim V = n$. Тогда $|V| = 2^n$. Действительно, каждое конечномерное пространство обладает базисом (в данном случае $e_1,\ldots,e_n$). Тогда $V = \{k_1e_1+k_2e_2+\ldots+k_ne_n\ |\ k_i\in F\}$. Но очень легко заметить, что всего таких линейных комбинаций $2^n$ 166 | \end{Examples} 167 | -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra_15-16_1course/lectures/linear-algebra_27_[13.04.2016].tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \renewcommand{\f}{\mathbb{f}} 2 | 3 | \section{Лекция 27 от 13.04.2016} 4 | 5 | \subsection*{Привидение к каноническому и нормальному виду} 6 | 7 | Пусть $V$ --- векторное пространство, $\dim V = n$, $\e = \vector{e}$ --- базис $V$, $Q \colon V \rightarrow F$ --- квадратичная функция на $V$. 8 | 9 | \begin{Theorem} 10 | Для любой квадратичной функции $Q$ существует такой базис, в котором $Q$ имеет канонический вид. 11 | \end{Theorem} 12 | 13 | \begin{proof} Метод Лагранжа. 14 | 15 | Докажем индукцией по $n$. 16 | 17 | При $n = 1$ имеем, что $Q(x) = ax^2$, то есть уже имеем канонический вид. 18 | 19 | Предположим, что для всех значений меньших $n$ доказано. Докажем тогда для $n$. 20 | 21 | Пусть $A = (a_{ij})$ --- матрица квадратичной функции $Q$ в исходном базисе. Тогда: 22 | $$ 23 | Q(x) = Q(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i = 1}^{n}a_{ii}x_i^2 + 2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_{ij}x_ix_j 24 | $$ 25 | 26 | \underline{Случай 0}: пусть $a_{ij} = 0$ для всех пар $(i, j)$. Тогда $Q(x) = 0x_1^2 + \ldots + 0x_n^2$ --- уже канонический вид. 27 | 28 | \underline{Случай 1}: пусть существует такое $i$, что $a_{ii} \neq 0$. Перенумеровав переменные, считаем, что $a_{11} \neq 0$. Тогда: 29 | \begin{gather*} 30 | Q(x_1, \ldots, x_n) = (a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \ldots + 2a_{1n}x_1x_n) + Q_1(x_2, \ldots, x_n) = \\ 31 | = \frac{1}{a_{11}}\left((a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n)^2 - (a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n)^2 \right) + Q_1(x_2, \ldots, x_n) = \\ 32 | = \frac{1}{a_{11}}(a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n)^2 + Q_2(x_2, \ldots, x_n) 33 | \end{gather*} 34 | Теперь сделаем следующую замену переменных: 35 | \begin{gather*} 36 | x_1' = a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n \\ 37 | x_2' = x_2, \ldots, x_n' = x_n 38 | \end{gather*} 39 | Получаем: 40 | $$ 41 | Q(x_1', \ldots, x_n') = \frac{1}{a_{11}}x_1' + Q_2(x_2', \ldots, x_n') 42 | $$ 43 | Дальше пользуемся предположением индукции для $Q_2$, окончательно получая канонический вид для исходной $Q$. 44 | 45 | \underline{Случай 2}: пусть $a_{ii} = 0$ для всех $i$, но существует такая пара $(i, j)$, где $i < j$, что $a_{ij} \neq 0$. Переименовываем переменные так, чтобы $a_{12} \neq 0$ и делаем замену: 46 | \begin{gather*} 47 | x_1 = x_1' - x_2' \\ 48 | x_2 = x_1' + x_2' \\ 49 | x_3 = x_3', \ldots, x_n = x_n' 50 | \end{gather*} 51 | Тогда $2a_{12}x_1x_2 = 2a_{12}x_1'^2 - 2a_{12}x_2'^2$. Следовательно: 52 | $$ 53 | Q(x_1', \ldots, x_n') = 2a_{12}x_1'^2 - 2a_{12}x_2'^2 + 2\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}a_{ij}x_i'x_j' 54 | $$ 55 | Таким образом, мы пришли к случаю 1, который уже умеем решать. 56 | \end{proof} 57 | 58 | \begin{Consequence} 59 | Всякую квадратичную функцию над полем $\R$ можно заменой базиса привести к нормальному виду. 60 | \end{Consequence} 61 | 62 | \begin{proof} 63 | Существует такой базис, в котором $Q(x_1, \ldots, x_n) = a_1x_1^2 + \ldots + a_nx_n^2$. Сделаем замену: 64 | $$ 65 | x_i' = 66 | \begin{cases} 67 | \sqrt{|a_i|}x_i, & \text{если } a_i \neq 0 \\ 68 | x_i, & \text{если } a_i = 0 69 | \end{cases} 70 | $$ 71 | Второе условие нужно для того, чтобы можно было выразить старые переменные через новые, не деля при этом на ноль. 72 | 73 | Получаем, что $Q(x_1', \ldots, x_n') = \epsilon_1x_1'^2 + \ldots + \epsilon_nx_n'^2$, где $\epsilon_i = \sgn a_i \in \{-1, 0, 1\}$. Что нам и было надо. 74 | \end{proof} 75 | 76 | \begin{Comment} 77 | Если $F = \C$, то любую квадратичную функцию $Q$ можно привести к виду $Q(x_1, \ldots, x_n) = x_1^2 + \ldots + x_k^2$, где $k \leqslant n$ ($k = \rk Q$), то есть $B(Q, \e) = \diag(1, \ldots, 1, 0, \ldots, 0)$. 78 | \end{Comment} 79 | 80 | \subsection*{Закон инерции, индексы инерции} 81 | 82 | Пусть $Q$ --- квадратичная функция над $\R$, которая в базисе $\e$ имеет нормальный вид: 83 | $$ 84 | Q(x_1, \ldots, x_n) = x_1^2 + \ldots + x_s^2 - x_{s + 1}^2 - \ldots - x_{s + t}^2, 85 | $$ 86 | где $s$ --- это количество положительных слагаемых, а $t$ --- отрицательных. 87 | 88 | \begin{Theorem}[Закон инерции] 89 | Числа $s,\ t$ не зависят от выбора базиса, в котором $Q$ имеет нормальный вид. 90 | \end{Theorem} 91 | 92 | \begin{proof} 93 | Пусть $\e = \vector{e}$ --- базис такой, что $v = x_1e_1 + \ldots + x_ne_n$ и $Q$ имеет в нем нормальный вид: $Q(v) = x_1^2 + \ldots + x_s^2 - x_{s + 1}^2 - \ldots - x_{s + t}^2$. 94 | 95 | Пусть также $\f = \vector{f}$ --- другой базис такой, что $v = y_1e_1 + \ldots + y_ne_n$ и $Q$ также имеет в нем нормальный вид: $Q(v) = y_1^2 + \ldots + y_p^2 - y_{p + 1}^2 - \ldots - y_{p + q}^2$. 96 | 97 | Заметим, что $s + t = p + q$, так как обе эти суммы равны $\rk Q$. В допущении, что $s \neq p$, не умоляя общности будем считать, что $s > p$. 98 | 99 | Положим $L_1 = \langle e_1, \ldots, e_s \rangle,\ \dim L_1 = s$ и $L_2 = \langle f_{p + 1}, \ldots, f_{n}\rangle,\ \dim L_2 = n - p$. Видно, что $L_1 + L_2 \subset V$, а значит, $\dim(L_1 + L_2) \leqslant n$. Тогда: 100 | $$ 101 | \dim(L_1 \cap L_2) = \dim L_1 + \dim L_2 - \dim(L_1 + L_2) \geqslant s + n - p - n = s - p > 0. 102 | $$ 103 | Следовательно, существует ненулевой вектор $v \in L_1 \cap L_2$. Разложим тогда этот вектор в базисах данных линейных оболочек: 104 | \begin{gather*} 105 | v = x_1e_1 + \ldots + x_se_s,\ \exists x_i \neq 0 \Rightarrow Q(v) = x_1^2 + \ldots + x_s^2 >0 \\ 106 | v = y_{p + 1}f_{p + 1} + \ldots + y_nf_n \Rightarrow Q(v) = -y_{p+1}^2 - \ldots - y_{p + q}^2 \leqslant 0 107 | \end{gather*} 108 | 109 | Получили противоречие. Значит, исходное предположение неверно и $s = p$. Откуда в свою очередь следует, что $t = q$. 110 | \end{proof} 111 | 112 | \begin{Def} 113 | Эти числа имеют свои названия: 114 | \begin{enumerate} 115 | \item $i_+ := s$ --- положительный индекс инерции; 116 | \item $i_- := t$ --- отрицательный индекс инерции; 117 | \item $i_0 := n - s - t$ --- нулевой индекс инерции. 118 | \end{enumerate} 119 | \end{Def} 120 | 121 | \begin{Def} 122 | Квадратичная функция $Q$ над полем $\R$ называется 123 | \begin{center} 124 | \begin{tabular}{c|c|c} 125 | Термин & Обозначение & Условие \\ \hline 126 | положительно определенной & $Q > 0$ & $Q(x) > 0\ \forall x \neq 0$ \\ 127 | отрицательно определенной & $Q < 0$ & $Q(x) < 0\ \forall x \neq 0$ \\ 128 | неотрицательно определенной & $Q \geqslant 0$ & $Q(x) \geqslant 0\ \forall x$ \\ 129 | неположительно определенной & $Q \leqslant 0$ & $Q(x) \leqslant 0\ \forall x$ \\ 130 | неопределенной & $-$ & $\exists x, y \colon Q(x) > 0,\ Q(y) < 0$ 131 | \end{tabular} 132 | 133 | \begin{tabular}{c|c|c} 134 | Термин & Нормальный вид & Индексы инерции \\ \hline 135 | положительно определенной & $x_1^2 + \ldots + x_n^2$ & $i_+=n,\ i_- = 0$ \\ 136 | отрицательно определенной & $-x_1^2 - \ldots - x_n^2$ & $i_+=0,\ i_-=n$ \\ 137 | неотрицательно определенной & $x_1^2 + \ldots + x_k^2,\ k \leqslant n$ & $i_+=k,\ i_-=0$ \\ 138 | неположительно определенной & $-x_1^2 - \ldots - x_k^2,\ k \leqslant n$ & $i_+=0, i_-=k$ \\ 139 | неопределенной & $x_1^2+\ldots+x_s^2-x_{s + 1}^2-\ldots-x_{s + t}^2,\ s,t\geqslant1$ & $i_+=s,\ i_-=t$ 140 | \end{tabular} 141 | \end{center} 142 | \end{Def} 143 | 144 | \begin{Examples} $V = \R^2$. 145 | \begin{enumerate} 146 | \item $Q(x, y) = x^2 + y^2,\ Q > 0$; 147 | \item $Q(x, y) = - x^2 - y^2,\ Q < 0$; 148 | \item $Q(x, y) = x^2 - y^2$; 149 | \item $Q(x, y) = x^2,\ Q \geqslant 0$; 150 | \item $Q(x, y) = -x^2,\ Q \leqslant 0$. 151 | \end{enumerate} 152 | \end{Examples} 153 | -------------------------------------------------------------------------------- /linear-algebra_15-16_1course/linear-algebra_15-16_1course.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper, 12pt]{article} 2 | \usepackage{header} 3 | 4 | \begin{document} 5 | \maketitle 6 | \thispagestyle{empty} 7 | \tableofcontents 8 | \input{lectures/linear-algebra_15_[11.01.2016]} 9 | \newpage 10 | \input{lectures/linear-algebra_16_[18.01.2016]} 11 | \newpage 12 | \input{lectures/linear-algebra_17_[25.01.2016]} 13 | \newpage 14 | \input{lectures/linear-algebra_18_[29.01.2016]} 15 | \newpage 16 | \input{lectures/linear-algebra_19_[01.02.2016]} 17 | \newpage 18 | \input{lectures/linear-algebra_20_[08.02.2016]} 19 | \newpage 20 | \input{lectures/linear-algebra_21_[15.02.2016]} 21 | \newpage 22 | \input{lectures/linear-algebra_22_[22.02.2016]} 23 | \newpage 24 | \input{lectures/linear-algebra_23_[29.02.2016]} 25 | \newpage 26 | \input{lectures/linear-algebra_24_[14.03.2016]} 27 | \newpage 28 | \input{lectures/linear-algebra_25_[21.03.2016]} 29 | \newpage 30 | \input{lectures/linear-algebra_26_[06.04.2016]} 31 | \newpage 32 | \input{lectures/linear-algebra_27_[13.04.2016]} 33 | \newpage 34 | \input{lectures/linear-algebra_28_[20.04.2016]} 35 | \newpage 36 | \input{lectures/linear-algebra_29_[27.04.2016]} 37 | \newpage 38 | \input{lectures/linear-algebra_30_[11.05.2016]} 39 | \newpage 40 | \input{lectures/linear-algebra_31_[17.05.2016]} 41 | \newpage 42 | \end{document} 43 | -------------------------------------------------------------------------------- /mathematical-statistics_17_2course/image.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/mathematical-statistics_17_2course/image.png -------------------------------------------------------------------------------- /mathematical-statistics_17_2course/lecture_02_03.03.2017.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Лекция 2 от 03.03.2017} 2 | \subsection{Вариационный ряд. Порядковые статистики} 3 | На прошлой лекции мы ввели квантили. Для их оценивания можно ввести так 4 | называемые порядковые статистики. Перед этим введём понятие вариационного ряда. 5 | \begin{definition} 6 | Пусть есть некоторая реализация \((x_{1}, \dots, x_{n})\). Построим по ней 7 | набор \((x_{(1)}, \dots, x_{(n)})\) такой, что \(x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq 8 | \dots \leq x_{(n)}\). Полученный набор называется \emph{вариационым 9 | рядом}. 10 | \end{definition} 11 | На прошлой лекции мы показали, что \(x_{(k)}\) из выборки размера \(n\) есть 12 | квантиль порядка \(k/n\) для эмпирической функции распределения. 13 | 14 | \begin{definition} 15 | Пусть есть выборка \((X_{1}, \dots, X_{n})\). Тогда \(k\)-й 16 | \emph{порядковой статистикой} называется случайная величина \(X_{(k)}\), 17 | которая на любой реализации выборки принимает значение \(x_{(k)}\). 18 | \end{definition} 19 | Несложно понять, какое распределение имеет \(k\)-я порядковая статистика. 20 | Найдём его. 21 | \begin{theorem} 22 | Пусть \((X_{1}, \dots, X_{n})\)~--- случайные вектор из независимых и 23 | одинаково распределённых случайных величин с функцией распределения 24 | \(F(x)\). Тогда 25 | \[ 26 | \Pr{X_{(k)} \leq y} = \sum_{i = k}^{n} C_{n}^{i}F^{i}(y)(1 - 27 | F(y))^{n - i}. 28 | \] 29 | \end{theorem} 30 | \begin{proof} 31 | Для доказательства этого утвердждения сделаем одно наблюдение. Если среди 32 | \(n\) случайных величин хотя бы \(k\) из них меньше \(y\), то и \(k\)-я 33 | порядковая статистика тоже будет меньше \(y\). Тогда, введя величину 34 | \(\mu_{n}(y)\), равную количеству случайных величин, меньших \(y\), 35 | получаем, что 36 | \[ 37 | \Pr{X_{(k)} \leq y} = \Pr{\mu_{n}(y) \geq k}, \text{ где } \mu_{n}(y) = 38 | \sum_{k = 1}^{n} \mathrm{I}\{X_{k} \leq y\}. 39 | \] 40 | 41 | Теперь заметим, что \(\mu_{n}(y) \sim \mathrm{Bin}(n, F(y))\), так как 42 | \(\mathrm{I}\{X_{k} \leq y\} \sim \mathrm{Bern}(F(y))\). Тогда 43 | \[ 44 | \Pr{X_{(k)} \leq y} = \sum_{i = k}^{n} \Pr{\mu_{n}(y) = i} = \sum_{i = 45 | k}^{n} C_{n}^{i}F^{i}(y)(1 - F(y))^{n - i}. \qedhere 46 | \] 47 | \end{proof} 48 | 49 | \subsection{Точечные оценки} 50 | Вернёмся к статистической структуре. Ранее говорилось, что общая задача 51 | статистики состоит в том, что нужно построить <<наилучшую>> вероятностную меру 52 | по результатам измерений. Другими словами, мы оцениваем параметры меры. Сам вид 53 | меры обычно выбирается исследователем из списка известных и соответствующих 54 | задаче: например, нормальное, экспоненциальное или же биномилаьное. 55 | \begin{definition} 56 | \emph{Оценка} (или \emph{статистка})~--- это борелевская функция от выборки. 57 | \end{definition} 58 | 59 | Теперь обратим внимание на слово <<наилучшую>>. Вообще, что это значит? Как 60 | понять, что оценка будет в каком-то смысле лучше другой? Для этого введём два 61 | понятия: несмещённость и состоятельность. 62 | \begin{definition} 63 | Оценку \(T = T(X_{1}, \dots, X_{n})\) будем называть \emph{несмещённой} 64 | оценкой параметра \(\theta\), если \(\E{T} = \theta\) для любого \(\theta 65 | \in \Theta\). 66 | \end{definition} 67 | \begin{definition} 68 | Оценку \(T = T(X_{1}, \dots, X_{n})\) будем называть \emph{состоятельной} 69 | оценкой параметра \(\theta\), если \(T \prto \theta\) для любого \(\theta 70 | \in \Theta\) при \(n \to \infty\). 71 | \end{definition} 72 | \begin{remark} 73 | Вообще говоря, обычно вводятся два типа состоятельности: слабая и сильная. 74 | Слабая состоятельность означает сходимость по вероятности, сильная же~--- 75 | почти наверное. Но в нашем курсе под состоятельностью понимается слабая 76 | состоятельность, так как почти все состоятельные оценки, которые нам 77 | попадаются на практике, являются сильно состоятельными. 78 | \end{remark} 79 | 80 | Но с этими видами оценок есть проблемы. Например, они могут просто не 81 | существовать. 82 | \begin{problem} 83 | Пусть \(\xi \sim \mathrm{Pois}(\theta)\). Докажите, что не существует 84 | несмещённой оценки для \(1/\theta\). 85 | \end{problem} 86 | \begin{proof} 87 | Достаточно показать, что ни для одной функции \(T = T(\xi)\) её матожидание 88 | не будет равно \(1/\theta\). Предположим обратное: 89 | \[ 90 | \frac{1}{\theta} = \E{T(\xi)} = \sum_{k = 0}^{\infty} 91 | T(k)\frac{\theta^{k}}{k!}e^{-\theta} \iff \frac{e^{\theta}}{\theta} = 92 | \sum_{k = 0}^{\infty} 93 | \frac{T(k)}{k!}\theta^{k} 94 | \] 95 | 96 | Устремляя \(\theta\) к нулю, получаем, что \(T(0) = +\infty\). Но тогда 97 | \(\E{T(\xi)} = +\infty\). 98 | \end{proof} -------------------------------------------------------------------------------- /mathematical-statistics_17_2course/mathematical-statistics_17_2course.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper,12pt]{book} 2 | \usepackage{header} 3 | 4 | \begin{document} 5 | \pagestyle{empty} 6 | \titlepage 7 | \tableofcontents 8 | 9 | \chapter{Лекции} 10 | \pagestyle{fancy} 11 | \input{lecture_01_17.02.2017} 12 | \input{lecture_02_03.03.2017} 13 | \input{lecture_03_10.03.2017} 14 | \input{lecture_04_17.03.2017} 15 | \input{lecture_05_24.03.2017} 16 | \input{lecture_06_07.04.2017} 17 | \input{lecture_07_14.04.2017} 18 | \input{lecture_08_21.04.2017} 19 | \input{lecture_09_28.04.2017} 20 | \input{lecture_10_12.05.2017} 21 | \input{lecture_11_19.05.2017} 22 | \input{lecture_12_26.05.2017} 23 | \input{lecture_13_02.06.2017} 24 | \input{lecture_14_09.06.2017} 25 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/definitions.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %% Символы 2 | \newcommand\independent{\protect\mathpalette{\protect\independenT}{\perp}} % Знак "независимы" 3 | \def\independenT#1#2{\mathrel{\rlap{$#1#2$}\mkern2mu{#1#2}}} 4 | 5 | \providecommand\given{} 6 | \DeclarePairedDelimiterX\brackets[1]{(}{)}{ 7 | \renewcommand\given{ \nonscript\: 8 | \delimsize\vert 9 | \nonscript\: 10 | \mathopen{} 11 | \allowbreak} 12 | #1 13 | } 14 | \DeclarePairedDelimiterX\squarebrackets[1]{[}{]}{ 15 | \renewcommand\given{ \nonscript\: 16 | \delimsize\vert 17 | \nonscript\: 18 | \mathopen{} 19 | \allowbreak} 20 | #1 21 | } 22 | \let\Pr\undefined 23 | \NewDocumentCommand{\Pr}{g}{\operatorname{\mathsf{P}}\IfNoValueTF{#1}{}{\brackets*{#1}}} 24 | \NewDocumentCommand{\E}{g}{\operatorname{\mathsf{E}}\IfNoValueTF{#1}{}{\squarebrackets*{#1}}} 25 | \NewDocumentCommand{\D}{g}{\operatorname{\mathsf{D}}\IfNoValueTF{#1}{}{\squarebrackets*{#1}}} 26 | \newcommand{\cov}{\operatorname{\mathsf{cov}}} % Ковариация 27 | \newcommand{\eqdist}{\overset{d}{=}} % Одинаково распределённые величины 28 | \newcommand{\prto}{\xrightarrow{\Pr}} % Сходимость по вероятности (probably to) 29 | \newcommand{\asto}{\xrightarrow{\text{п.н.}}} % Сходимость почти наверное (almost surely to) 30 | \newcommand{\as}{_{\textit{п.н.}}} % почти наверное (almost sure) 31 | \newcommand{\dto}{\xrightarrow{\mathrm{d}}} 32 | \newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Натуральные числа 33 | \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Целые числа 34 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 35 | \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Действительные числа 36 | \newcommand{\F}{\mathcal{F}} % 37 | \newcommand{\A}{\mathcal{A}} 38 | \newcommand{\B}{\mathcal{B}} 39 | \newcommand{\I}{\mathop{\mathbf{I}}} 40 | \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Меньше или равно 41 | \renewcommand{\geq}{\geqslant} % Больше или равно 42 | \renewcommand{\phi}{\varphi} % Фи 43 | \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} % Эпсилон 44 | \renewcommand{\emptyset}{\varnothing} % Пустое множество 45 | \newcommand{\diff}{\mathop{}\!\mathrm{d}} 46 | 47 | %% Алгоритмы 48 | \renewcommand{\algorithmicrequire}{\textbf{Вход:}} 49 | \renewcommand{\algorithmicensure}{\textbf{Выход:}} 50 | \renewcommand{\algorithmiccomment}[1]{\hspace*{\fill}\{#1\}} 51 | \floatname{algorithm}{Алгоритм} 52 | \newcommand{\algname}[1]{\textsc{#1}} 53 | 54 | %% Теоремы и иже с ними 55 | \theoremstyle{remark} 56 | \newtheorem*{remark}{Примечание} 57 | \newtheorem*{exercise}{Упражнение} 58 | \newtheorem*{point}{Утверждение} 59 | \newtheorem*{example}{Пример} 60 | 61 | \theoremstyle{definition} 62 | \newtheorem{definition}{Определение} 63 | 64 | \theoremstyle{plain} 65 | \newtheorem*{frequency-stability}{Принцип устойчивости частоты} 66 | \newtheorem*{law-of-total-probability}{Формула полной вероятности} 67 | \newtheorem*{lemma}{Лемма} 68 | \newtheorem{theorem}{Теорема} 69 | \newtheorem{problem}{Задача} 70 | \newtheorem*{hypothesis}{Гипотеза} 71 | \newtheorem*{consequence}{Следствие} 72 | \newtheorem{property}{Свойство} 73 | 74 | 75 | 76 | \makeatletter 77 | \@addtoreset{theorem}{chapter} 78 | \@addtoreset{problem}{section} 79 | \@addtoreset{property}{subsection} 80 | \makeatother 81 | 82 | \tikzset{ 83 | if/.code n args=3{\pgfmathparse{#1}\ifnum\pgfmathresult=0 84 | \pgfkeysalso{#3}\else\pgfkeysalso{#2}\fi}, 85 | lower cantor/.initial=.3333, upper cantor/.initial=.6667, y cantor/.initial=.5, 86 | declare function={ 87 | cantor_l(\lowerBound,\upperBound)= 88 | (\pgfkeysvalueof{/tikz/lower\space cantor})*(\upperBound-\lowerBound)+\lowerBound; 89 | cantor_u(\lowerBound,\upperBound)= 90 | (\pgfkeysvalueof{/tikz/upper\space cantor})*(\upperBound-\lowerBound)+\lowerBound; 91 | cantor(\lowerBound,\upperBound)=% fun definition 92 | (\pgfkeysvalueof{/tikz/y\space cantor})*(\upperBound-\lowerBound)+\lowerBound;}, 93 | cantor start/.style n args=5{% 94 | insert path={(#1,#3)}, 95 | cantor={#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{0}, 96 | insert path={to[every cantor edge/.try, cantor 1 edge/.try] (#2,#4)}}, 97 | cantor/.style n args=6{% 98 | /utils/exec=% 99 | \pgfmathsetmacro\lBx{cantor_l(#1,#2)}% 100 | \pgfmathsetmacro\uBx{cantor_u(#1,#2)}% 101 | % \pgfmathsetmacro\y{.5*(#3+#4)},% proper definition 102 | \pgfmathsetmacro\y{cantor(#3,#4)},% fun 103 | style/.expanded={ 104 | if={#6<#5}{cantor={#1}{\lBx}{#3}{\y}{#5}{#6+1}}{}, 105 | insert path={ 106 | to[every cantor edge/.try, cantor 1 edge/.try] (\lBx,\y) 107 | to[every cantor edge/.try, cantor 2 edge/.try] (\uBx,\y)}, 108 | if={#6<#5}{cantor={\uBx}{#2}{\y}{#4}{#5}{#6+1}}{}}}} 109 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/header.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %% Настройка поддержки русского языка 2 | \usepackage{cmap} % Поиск по кириллице 3 | \usepackage{mathtext} % Кириллица в формулах 4 | \usepackage[T1,T2A]{fontenc} % Кодировки шрифтов 5 | \usepackage[utf8]{inputenc} % Кодировка текста 6 | \usepackage[english,russian]{babel} % Подключение поддержки языков 7 | 8 | %% Настройка размеров полей 9 | \usepackage[top=1in, bottom=1in, left=0.8in, right=0.8in, headheight=110pt]{geometry} 10 | 11 | \usepackage{xparse} 12 | 13 | %% Математические пакеты 14 | \usepackage{mathtools} % Тот же amsmath, только с некоторыми поправками 15 | \usepackage{amssymb} % Математические символы 16 | \usepackage{amsthm} % Оформление теорем 17 | \usepackage{amstext} % Текстовые вставки в формулы 18 | \usepackage{amsfonts} % Математические шрифты 19 | \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление 20 | \usepackage{enumitem} % Для выравнивания itemize (\begin{itemize}[align=left]) 21 | \usepackage{array} % Таблицы и матрицы 22 | 23 | % Пакеты для алгоритмов 24 | \usepackage{algorithm} 25 | \usepackage{algorithmicx} 26 | \usepackage[noend]{algpseudocode} 27 | \usepackage{listings} 28 | 29 | %% Шрифты 30 | \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид 31 | \usepackage{mathrsfs} % \mathscr{} 32 | 33 | %% Графика 34 | \usepackage[pdftex]{graphicx} % Вставка картинок 35 | \graphicspath{{images/}} % Стандартный путь к картинкам 36 | \usepackage{tikz} % Рисование всего 37 | \usepackage{pgfplots} % Графики 38 | %\pgfplotsset{compat=1.12} 39 | \usepackage{circuitikz} % Электрические цепи 40 | \usepackage{wrapfig} % Обволакивание изображений текстом 41 | \usetikzlibrary{patterns} 42 | \usetikzlibrary{calc,intersections,through,backgrounds} 43 | \usepackage{tkz-euclide} 44 | \usetkzobj{all} 45 | \usepackage{blindtext} 46 | 47 | %% Прочие пакеты 48 | \usepackage{indentfirst} % Красная строка в начале текста 49 | \usepackage{epigraph} % Эпиграфы 50 | \usepackage{fancybox,fancyhdr} % Колонтитулы 51 | \usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref} % Ссылки 52 | \usepackage{titlesec} % Изменение формата заголовков 53 | \usepackage[normalem]{ulem} % Для зачёркиваний 54 | \usepackage[makeroom]{cancel} % И снова зачёркивание (на этот раз косое) 55 | \usepackage{makecell} % Разбиение клетки по диагонали 56 | \usepackage{xifthen} % if-else в определениях комманд 57 | 58 | %% Прочее 59 | \mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, 60 | % на которые есть \eqref{} в тексте. 61 | \renewcommand{\headrulewidth}{1.8pt} % Изменяем размер верхнего отступа колонтитула 62 | \renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt} % Изменяем размер нижнего отступа колонтитула 63 | 64 | 65 | %% Замена цвета гиперссылки на заметку на синий 66 | \makeatletter 67 | \def\@footnotecolor{red} 68 | \define@key{Hyp}{footnotecolor}{% 69 | \HyColor@HyperrefColor{#1}\@footnotecolor% 70 | } 71 | \def\@footnotemark{% 72 | \leavevmode 73 | \ifhmode\edef\@x@sf{\the\spacefactor}\nobreak\fi 74 | \stepcounter{Hfootnote}% 75 | \global\let\Hy@saved@currentHref\@currentHref 76 | \hyper@makecurrent{Hfootnote}% 77 | \global\let\Hy@footnote@currentHref\@currentHref 78 | \global\let\@currentHref\Hy@saved@currentHref 79 | \hyper@linkstart{footnote}{\Hy@footnote@currentHref}% 80 | \@makefnmark 81 | \hyper@linkend 82 | \ifhmode\spacefactor\@x@sf\fi 83 | \relax 84 | }% 85 | \makeatother 86 | 87 | %% Параметры колонтитулов 88 | \hypersetup{footnotecolor=blue} 89 | \fancyfoot{} 90 | \fancyhead[RO,LE]{\thepage} 91 | \fancyhead[LO]{\leftmark} 92 | \fancyhead[RE]{\rightmark} 93 | 94 | %% Титульный лист 95 | \renewcommand{\titlepage}{\begingroup 96 | \hbox{ 97 | \hspace*{0.12\textwidth} 98 | \rule{1pt}{\textheight} 99 | \hspace*{0.05\textwidth} 100 | \parbox[b]{0.775\textwidth}{ 101 | {\includegraphics[width=\linewidth]{image}}\\[2\baselineskip] 102 | {\noindent\Huge\bfseries Теория вероятностей}\\[\baselineskip] 103 | {\large\textrm{Конспекты лекций и семинаров}}\\[3\baselineskip] 104 | {\Large\textsc{Лектор: Д.А. Шабанов}}\\[\baselineskip] 105 | {Конспекты вели Денис Беляков, Никита Попов и Алексей Хачиянц}\\[6\baselineskip] 106 | {\noindent НИУ ВШЭ, 2016-2017}\\[\baselineskip] 107 | } 108 | } 109 | \endgroup 110 | } 111 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/image.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/image.png -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_3.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_3.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_4.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_4.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_5.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_5.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_6.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_6.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_7.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/hse-ami/lectures/3106855be64a9cf1a93a14ddc72aaaf20160c2cd/probability-theory_16-17_2course/main-lectures/images/Lec_8_7.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-seminars/seminar_10_15.11.2016.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Семинар от 15.11.2016} 2 | Начни свой день с разбора домашнего задания. 3 | \begin{problem} 4 | Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(\xi\), если 5 | \begin{enumerate} 6 | \item \(\xi \sim U(a, b)\)~--- равномерное распределение на отрезке \([a, b]\), 7 | \item \(\xi \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\)~--- экспоненциальное распределение с параметром \(\lambda > 0\). 8 | \end{enumerate} 9 | \end{problem} 10 | \begin{proof} 11 | Идея этой задачи состоит в следующем: нужно найти плотность случайной величины, после чего посчитать первый и второй моменты. 12 | \begin{enumerate} 13 | \item В случае равномерного распределения \(p_{\xi}(x) = \frac{1}{b - a}I\left\{x \in [a, b]\right\}\). Тогда 14 | \begin{align} 15 | \E{\xi} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{b - a}I\left\{x \in [a, b]\right\}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{b - a}\int\limits_{a}^{b} x\,\mathrm{d}x = \frac{a + b}{2}. 16 | \end{align} 17 | 18 | Теперь посчитаем второй момент: 19 | \begin{align} 20 | \E{\xi^2} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{b - a}I\left\{x \in [a, b]\right\}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{b - a}\int\limits_{a}^{b} x^2\,\mathrm{d}x = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}. 21 | \end{align} 22 | 23 | Тогда 24 | \begin{align} 25 | \D{\xi} = \E{\xi^2} - \left(\E{\xi}\right)^2 = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = \frac{(b - a)^2}{12}. 26 | \end{align} 27 | 28 | \item Вспомним, что \(p_{\xi}(x) = \lambda e^{-\lambda x}I\left\{x \geq 0\right\}\). Тогда 29 | \begin{align} 30 | \E{\xi} &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lambda x e^{-\lambda x}I\left\{x \geq 0\right\}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda}\int\limits_{0}^{+\infty} te^{-t}\,\mathrm{d}t \\ 31 | &= \frac{1}{\lambda}\left(\left.(-te^{-t})\right|_{0}^{\infty} + \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t\right) = \frac{1}{\lambda}. 32 | \end{align} 33 | 34 | Теперь посчитаем второй момент: 35 | \begin{align} 36 | \E{\xi^2} &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lambda x^2 e^{-\lambda x}I\left\{x \geq 0\right\}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda^2}\int\limits_{0}^{+\infty} t^{2}e^{-t}\,\mathrm{d}t \\ 37 | &= \frac{1}{\lambda}\left(\left.(-t^{2}e^{-t})\right|_{0}^{\infty} + 2\int\limits_{0}^{+\infty} te^{-t}\,\mathrm{d}t\right) = \frac{2}{\lambda^2}. 38 | \end{align} 39 | 40 | Отсюда получаем, что 41 | \[\D{\xi} = \E{\xi^2} - \left(\E{\xi}\right)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}.\qedhere\] 42 | \end{enumerate} 43 | \end{proof} -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/main-seminars/seminar_12_29.11.2016.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Семинар от 29.11.2016} 2 | Разбор домашки ждать не будет. 3 | \begin{problem} 4 | Случайные величины \(\xi_1\), \(\xi_2\) независимы и имеют равномерное распределение на отрезке \([0, 1]\). Найдите плотности случайных величин \(\xi_1 + \xi_2\), \(\xi_1 - \xi_2\) и \(\xi_1\xi_2\). 5 | \end{problem} 6 | \begin{proof} 7 | Перед тем, как пользоваться формулами свёртки, найдём распределение \(\eta = -\xi_2\): 8 | \[F_{\eta}(x) = \Pr{\eta \leq x} = \Pr{\xi \geq -x} = 1 - \Pr{\xi \leq -x} = 1 - F_{\xi}(-x).\] 9 | \[p_{\eta} = p_{\xi}(-x) = I\left\{x \in [-1, 0]\right\}.\] 10 | 11 | Напомню формулу свёртки: 12 | \[p_{\xi + \eta} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} p_{\xi}(x - y)p_{\eta}(y)\,\mathrm{d}y.\] 13 | 14 | Теперь можем считать: 15 | \begin{enumerate} 16 | \item Для начала рассмотрим сумму. Заметим, что \(0 \leq \xi_1 + \xi_2 \leq 2\), поэтому при \(x \not\in [0, 2]\) \(p_{\xi_1 + \xi_2}(x) = 0\). Иначе же 17 | \begin{align} 18 | p_{\xi_1 + \xi_2}(x) &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} I\left\{(x - y) \in [0, 1]\right\}I\{y \in [0, 1]\}\,\mathrm{d}y \\ 19 | &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} I\left\{y \in [x - 1, x]\right\}I\{y \in [0, 1]\}\,\mathrm{d}y. 20 | \end{align} 21 | Осталось рассмотреть два случая. Если \(x \in [0, 1]\), то \(p_{\xi_1 + \xi_2}(x) = x\). Если же \(x \in [1, 2]\), то \(p_{\xi_1 + \xi_2}(x) = 1 - x + 1 = 2 - x\). 22 | 23 | Запишем ответ: 24 | \[p_{\xi_1 + \xi_2}(x) = \begin{cases} 25 | x,& x \in [0, 1]; \\ 26 | 2 - x,& x \in [1, 2]; \\ 27 | 0,& \text{иначе}. 28 | \end{cases}\] 29 | 30 | \item 31 | \end{enumerate} 32 | \end{proof} -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/probability-theory_16-17_2course_lectures.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper,12pt]{book} 2 | \usepackage{header} 3 | \usepackage{definitions} 4 | \usepackage{enumitem} 5 | 6 | \begin{document} 7 | \selectlanguage{russian} 8 | \pagestyle{empty} 9 | \titlepage 10 | \tableofcontents 11 | 12 | \chapter{Лекции} 13 | \pagestyle{fancy} 14 | \input{main-lectures/lecture_01_09.09.2016} 15 | \input{main-lectures/lecture_02_16.09.2016} 16 | \input{main-lectures/lecture_03_23.09.2016} 17 | \input{main-lectures/lecture_04_30.09.2016} 18 | \input{main-lectures/lecture_05_07.10.2016} 19 | \input{main-lectures/lecture_06_14.10.2016} 20 | \input{main-lectures/lecture_07_21.10.2016} 21 | \input{main-lectures/lecture_08_01.11.2016} 22 | \input{main-lectures/lecture_09_08.11.2016} 23 | \input{main-lectures/lecture_10_15.11.2016} 24 | \input{main-lectures/lecture_11_22.11.2016} 25 | \input{main-lectures/lecture_12_29.11.2016} 26 | \input{main-lectures/lecture_13_06.12.2016} 27 | \input{main-lectures/lecture_14_13.12.2016} 28 | \input{main-lectures/lecture_15_20.12.2016} 29 | \input{main-lectures/lecture_16_13.01.2017} 30 | \input{main-lectures/lecture_17_20.01.2017} 31 | \input{main-lectures/lecture_18_27.01.2017} 32 | \input{main-lectures/lecture_19_03.02.2017} 33 | \input{main-lectures/lecture_20_10.02.2017} 34 | 35 | % \setcounter{theorem}{0} 36 | % \setcounter{definition}{0} 37 | % \pagestyle{empty} 38 | % \chapter{Допополнительные главы теории вероятностей} 39 | % \pagestyle{fancy} 40 | % \input{lecture_raidboss_01_24.01.2017} 41 | % \input{lecture_raidboss_02_31.01.2017} 42 | % \input{lecture_raidboss_03_07.02.2017} 43 | % \input{lecture_raidboss_04_14.02.2017} 44 | \end{document} 45 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/probability-theory_16-17_2course_raidboss.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper,12pt]{book} 2 | \usepackage{header} 3 | \usepackage{definitions} 4 | \usepackage{enumitem} 5 | 6 | \renewcommand{\titlepage}{\begingroup 7 | \hbox{ 8 | \hspace*{0.12\textwidth} 9 | \rule{1pt}{\textheight} 10 | \hspace*{0.05\textwidth} 11 | \parbox[b]{0.775\textwidth}{ 12 | {\includegraphics[width=\linewidth]{image}}\\[2\baselineskip] 13 | {\noindent\Huge\bfseries Дополнительные главы теории вероятностей}\\[\baselineskip] 14 | {\large\textrm{Конспекты лекций}}\\[3\baselineskip] 15 | {\Large\textsc{Лектор: Д.А. Шабанов}}\\[\baselineskip] 16 | {Конспект вел Данила Кутенин}\\[6\baselineskip] 17 | {\noindent НИУ ВШЭ, 2016-2017}\\[\baselineskip] 18 | } 19 | } 20 | \endgroup 21 | } 22 | 23 | 24 | \begin{document} 25 | \selectlanguage{russian} 26 | \pagestyle{empty} 27 | \titlepage 28 | \tableofcontents 29 | 30 | \setcounter{theorem}{0} 31 | \setcounter{definition}{0} 32 | \pagestyle{empty} 33 | \chapter{Допополнительные главы теории вероятностей} 34 | \pagestyle{fancy} 35 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_01_24.01.2017} 36 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_02_31.01.2017} 37 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_03_07.02.2017} 38 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_04_14.02.2017} 39 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_05_21.02.2017} 40 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_06_28.02.2017} 41 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_07_07.03.2017} 42 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_08_14.03.2017} 43 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_09_25.03.2017} 44 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_10_30.03.2017} 45 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_11_04.04.2017} 46 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_12_11.04.2017} 47 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_13_18.04.2017} 48 | \input{raidboss-lectures/lecture_raidboss_14_25.04.2017} 49 | \end{document} 50 | -------------------------------------------------------------------------------- /probability-theory_16-17_2course/probability-theory_16-17_2course_seminars.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[a4paper,12pt]{book} 2 | \usepackage{header} 3 | \usepackage{definitions} 4 | \usepackage{enumitem} 5 | 6 | \begin{document} 7 | \selectlanguage{russian} 8 | \pagestyle{empty} 9 | \titlepage 10 | \tableofcontents 11 | 12 | \chapter{Семинары} 13 | \pagestyle{fancy} 14 | \input{main-seminars/seminar_1_09.09.2016.tex} 15 | \input{main-seminars/seminar_2_16.09.2016.tex} 16 | \input{main-seminars/seminar_3_23.09.2016.tex} 17 | \input{main-seminars/seminar_4_30.09.2016.tex} 18 | \input{main-seminars/seminar_5_07.10.2016.tex} 19 | \input{main-seminars/seminar_6_21.10.2016.tex} 20 | \input{main-seminars/seminar_10_15.11.2016.tex} 21 | \input{main-seminars/seminar_11_22.11.2016.tex} 22 | \input{main-seminars/seminar_12_29.11.2016.tex} 23 | 24 | % \setcounter{theorem}{0} 25 | % \setcounter{definition}{0} 26 | % \pagestyle{empty} 27 | % \chapter{Допополнительные главы теории вероятностей} 28 | % \pagestyle{fancy} 29 | % \input{lecture_raidboss_01_24.01.2017} 30 | % \input{lecture_raidboss_02_31.01.2017} 31 | % \input{lecture_raidboss_03_07.02.2017} 32 | % \input{lecture_raidboss_04_14.02.2017} 33 | \end{document} 34 | -------------------------------------------------------------------------------- /utils/upload_all.sh: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | #!/usr/bin/env bash 2 | for i in _build/*.pdf; 3 | do 4 | utils/dropbox_uploader.sh upload $i Notes/`basename $i`; 5 | done 6 | --------------------------------------------------------------------------------