├── newcommands_replace.tex
├── README.md
├── index.qq
├── odebook.py
├── userdef_environments.py
├── template_bootstrap_wtoc.html
├── chapter08.qq
├── gear.js
├── nesode.py
├── chapter11.qq
├── chapter03.qq
├── chapter02.qq
├── chapter05.qq
├── chapter07.qq
├── chapter09.qq
├── make.py
├── chapter01.qq
├── chapter10_prim.qq
└── chapter14.qq


/newcommands_replace.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \newcommand{\ph}{\varphi}
2 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/README.md:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | # odebook
 2 | Здесь хранятся исходные тексты готовящегося учебника по дифференциальным уравнениям. 
 3 | 
 4 | **Внимание!** Это черновая и постоянно обновляемая версия учебника. Об ошибках и опечатках просьба сообщать автору. Pull requests также будут приняты с благодарностью.
 5 | 
 6 | ## Информация об авторстве и благодарности
 7 | Автор учебника: И. В. Щуров. 
 8 | 
 9 | Учебник основан на [конспекте лекций](http://math-info.hse.ru/s13/n) по курсу «Дифференциальные уравнения», прочитанных И. В. Щуровым в 2013-14 учебном году на отделении «Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и РЭШ». Курс разработан И. В. Щуровым и И. А. Хованской. В подготовке конспекта лекций принимал участие А. Петрин.
10 | 
11 | Библиотека `nesode`, используемая при подготовке иллюстраций, написана И. В. Щуровым и А. Петриным, распространяется на условиях лицензии MIT.
12 | 
13 | И. В. Щуров является доцентом кафедры высшей математики НИУ ВШЭ. В 2012-2015 годах был поддержан фондом «Династия».
14 | 
15 | ## Техническая реализация
16 | Текст учебника размечен в формате [qqDoc](http://github.com/ischurov/qqmbr) (ранее использовался [DocOnce](https://github.com/hplgit/doconce)) и автоматически преобразуется в HTML (для веб-версии) и pdfLaTeX (для печатной версии). Иллюстрации построены с помощью языка программирования *Python*, соответствующий код включён в исходный текст учебника.
17 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/index.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | \meta
 2 |     \title Обыкновенные дифференциальные уравнения
 3 |     \subtitle Интерактивный учебник
 4 |     \author
 5 |         Илья Щуров
 6 |         \affiliation
 7 |             НИУ ВШЭ
 8 |     \link
 9 |         Дополнительные материалы
10 |         \role course
11 |         \url http://math-info.hse.ru/s19/g
12 |     \link
13 |         Исходные коды
14 |         \role source
15 |         \url http://github.com/ischurov/odebook
16 |     \link
17 |         Другие учебники
18 |         \url http://mathbook.info/
19 |     \link
20 |         Хочу бумажную книгу!
21 |         \url http://mathbook.info/#subscribe
22 |     \lang ru
23 |     \preamble
24 |         \newcommand{\ph}{\varphi}
25 |         \newcommand{\eps}{\varepsilon}
26 |         \newcommand{\padi}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
27 |         \newcommand{\mb}{\mathbf}
28 |         \newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
29 |         \newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
30 | 
31 | \_include chapter01.qq
32 | \_include chapter02.qq
33 | \_include chapter03.qq
34 | \_include chapter04.qq
35 | \_include chapter05.qq
36 | \_include chapter06.qq
37 | \_include chapter07.qq
38 | \_include chapter08.qq
39 | \_include chapter09.qq
40 | \_include chapter10.qq
41 | \_include chapter10_prim.qq
42 | \_include chapter11.qq
43 | \_include chapter12.qq
44 | \_include chapter13.qq
45 | \_include chapter14.qq
46 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/odebook.py:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | # Copyright (c) 2016 Ilya V. Schurov
 2 | #
 3 | # Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
 4 | # of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal
 5 | # in the Software without restriction, including without limitation the rights
 6 | # to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell
 7 | # copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
 8 | # furnished to do so, subject to the following conditions:
 9 | # 
10 | # The above copyright notice and this permission notice shall be included in all
11 | # copies or substantial portions of the Software.
12 | # 
13 | # THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
14 | # IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
15 | # FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE
16 | # AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
17 | # LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM,
18 | # OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE
19 | # SOFTWARE.
20 | 
21 | import os
22 | import matplotlib.pyplot as plt
23 | 
24 | cf = None
25 | # cf stands for 'current figure', it is the name of current figure
26 | # to use in allsave, labels and so on
27 | # it is modified with needfigure
28 | 
29 | def needfigure(basename, ext='exists', prefix='fig'):
30 |     """
31 |     Checks whether figure with name <basename> already created or no.
32 |     Returns False if there exists file ._<basename>_exists (or ._<basename>_<ext>,
33 |     if the latter is given) in the appropriate figure dir.
34 |     Returns True and creates <basename>.exists if it does not exists
35 | 
36 |     Also sets cf global to <basename>.
37 |     """
38 | 
39 |     global cf
40 |     cf = basename
41 | 
42 |     filename = os.path.join(prefix, "._" + basename) + "_" + ext
43 |     if os.path.exists(filename):
44 |         return False
45 |     else:
46 |         with open(filename,'w'):
47 |             pass
48 |         return True
49 | 
50 | 
51 | def savefigs(basename=None, exts=("svg", "pdf"), prefix="fig", tight_layout=True):
52 |     if basename is None:
53 |         basename = cf
54 |     if tight_layout:
55 |         plt.tight_layout()
56 |     for ext in exts:
57 |         plt.savefig(os.path.join(prefix, basename) + "." + ext)
58 | 
59 | def mkfig(title="", width='responsive', frac=0.9, basename=None, prefix="fig"):
60 |     if basename is None:
61 |         basename = cf
62 |     filename = os.path.join(prefix, basename)
63 |     return u"FIGURE: [{filename}, width={width} frac={frac}] {title} label{{fig:{basename}}}".format(title=title, width=width, frac=frac, filename=filename, basename=basename)
64 | 
65 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/userdef_environments.py:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | #!/usr/bin/env python
 2 | # -*- coding: utf-8 -*-
 3 | from mako.template import Template
 4 | import re
 5 | 
 6 | envir2format = {
 7 |     'intro': {
 8 |         'latex': u"""
 9 | \\usepackage{amsthm}
10 | \\theoremstyle{definition}
11 | \\newtheorem{remark}{Замечание}
12 | \\newtheorem{example}{Example}
13 | \\newtheorem{definition}{Definition}
14 | """,}
15 | }
16 | envirs = ['remark', 'example', 'definition']
17 | for env in envirs:
18 |     envir2format.update({
19 |         env: {
20 |             'latex': lambda text, titleline, counter, format, env=env: latex_env(env, text, titleline, counter, format),
21 |             'do': lambda text, titleline, counter, format, env=env: do_env(env, text, titleline, counter, format),
22 |             'html': lambda text, titleline, counter, format, env=env: html_env(env, text, titleline, counter, format),
23 |         },
24 |     })
25 | 
26 | def get_label(titleline):
27 |     """
28 |     Extract label from title line in begin environment.
29 |     Return label and title (without label).
30 |     """
31 |     label = ''
32 |     if 'label=' in titleline:
33 |         pattern = r'label=([^\s]+)'
34 |         m = re.search(pattern, titleline)
35 |         if m:
36 |             label = m.group(1)
37 |             titleline = re.sub(pattern, '', titleline).strip()
38 |     return label, titleline
39 | 
40 | def latex_env(env, text, titleline, counter, format):
41 |     """LaTeX typesetting of theorem-style environment."""
42 |     label, titleline = get_label(titleline)
43 |     titleline = titleline.strip()
44 |     template = ur"""
45 | \begin{${env}}
46 | % if label:
47 | label{${label}}
48 | % endif
49 | % if titleline:
50 | \noindent\emph{${titleline}.
51 | %endif
52 | ${text}
53 | \end{${env}}
54 | """
55 |     return Template(template).render(**vars())
56 | 
57 | def do_env(env, text, titleline, counter, format):
58 |     """General typesetting of theorem-style environment via a section."""
59 |     label, titleline = get_label(titleline)
60 |     titleline = titleline.strip()
61 |     if titleline:
62 |         titleline = ": "+titleline
63 |     template = ur"""
64 | ===== ${env.capitalize()} ${counter} ${titleline} =====
65 | % if label:
66 | label{${label}}
67 | % endif
68 | ${text}
69 | 
70 | """
71 |     return Template(template).render(**vars())
72 | 
73 | def html_env(env, text, titleline, counter, format):
74 |     """HTML typesetting of theorem-style environment."""
75 |     label, titleline = get_label(titleline)
76 |     titleline = titleline.strip()
77 |     template = ur"""
78 | % if label:
79 | <!-- custom environment: label=${label}, number=${counter} -->
80 | % endif
81 | <p class='env-${env}'><b>${env.capitalize()} ${counter}${titleline}.</b> 
82 | ${text}
83 | </p>
84 | """
85 |     return Template(template).render(**vars())
86 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/template_bootstrap_wtoc.html:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | <!DOCTYPE html>
  2 | <html lang="en">
  3 | <head>
  4 | <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
  5 | <meta charset="utf-8">
  6 | <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
  7 | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1">
  8 | 
  9 | <title>%(title)s</title>
 10 | 
 11 | <!-- Bootstrap style: http://getbootstrap.com/getting-started/
 12 | 
 13 | What to change in this template:
 14 | 
 15 | URL to the document (edit http://some.website.net/some/path)
 16 | 
 17 | LINK1, LINK2 links in the navigation topbar (remove, edit, or add more)
 18 | 
 19 | Footer with author(s) and copyright (remove or edit)
 20 | -->
 21 | 
 22 | <link href="http://getbootstrap.com/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet">
 23 | <link type="text/css" rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/qtip2/2.2.1/jquery.qtip.min.css" />
 24 | 
 25 | <!-- Can add other themes and adjust colors in the navigation sidebar -->
 26 | <!--
 27 | <link href="http://netdna.bootstrapcdn.com/bootswatch/3.1.1/journal/bootstrap.min.css" rel="stylesheet">
 28 | -->
 29 | 
 30 | <!-- Potential adjustment of styles -->
 31 | <style type="text/css">
 32 | /* Colors in the navigation sidebar */
 33 | .bs-docs-sidebar .nav > li > a {
 34 |   color: #999;
 35 | }
 36 | .bs-docs-sidebar .nav > li > a:hover,
 37 | .bs-docs-sidebar .nav > li > a:focus {
 38 |   color: #999;
 39 | }
 40 | .bs-docs-sidebar .nav > .active > a,
 41 | .bs-docs-sidebar .nav > .active:hover > a,
 42 | .bs-docs-sidebar .nav > .active:focus > a {
 43 |   color: #563d7c;
 44 | }
 45 | 
 46 | a.snippet-ref {
 47 |     color: inherit;
 48 |     border-bottom: 1px dashed #999;
 49 |     cursor: default;
 50 | }
 51 | </style>
 52 | 
 53 | </head>
 54 | 
 55 | <body>
 56 | <a class="sr-only sr-only-focusable" href="#content">К началу</a>
 57 | 
 58 | <!-- Docs master nav -->
 59 | <header class="navbar navbar-static-top bs-docs-nav" id="top" role="banner">
 60 | <div class="container">
 61 |   <div class="navbar-header">
 62 |     <button class="navbar-toggle" type="button" data-toggle="collapse" data-target=".bs-navbar-collapse">
 63 |       <span class="sr-only">Включить/выключить навигацию</span>
 64 |       <span class="icon-bar"></span>
 65 |       <span class="icon-bar"></span>
 66 |       <span class="icon-bar"></span>
 67 |     </button>
 68 |     <a href="thebook.html" class="navbar-brand">%(title)s</a> 
 69 |   </div>
 70 |   <nav class="collapse navbar-collapse bs-navbar-collapse" role="navigation">
 71 |     <ul class="nav navbar-nav navbar-right">
 72 |       <li><a href="http://math-info.hse.ru/s15/1a">Страница курса</a></li>
 73 |       <li><a href="https://github.com/ischurov/odebook">Исходные коды</a></li>
 74 |     </ul>
 75 |   </nav>
 76 | </div>
 77 | </header>
 78 | 
 79 | 
 80 | <!-- Docs page layout -->
 81 | 
 82 | <!-- A purple header field with the title is optional, but it requires
 83 | the docs.min.css style, which makes orange math...
 84 | <div class="bs-docs-header" id="content">
 85 |  <div class="container">
 86 |   <h1>%(title)s</h1>
 87 |   <p>SHORT EXPLANATION</p>
 88 |  </div>
 89 | </div>
 90 | -->
 91 | 
 92 | <div class="container bs-docs-container">
 93 | 
 94 |  <div class="row">
 95 | 
 96 |   <!-- main content -->
 97 |   <div class="col-md-9" role="main">
 98 | %(main)s
 99 |   </div>
100 | 
101 |   <!-- sidebar with navigation -->
102 |   <div class="col-md-3">
103 |    <div class="bs-docs-sidebar hidden-print hidden-xs hidden-sm" role="complementary">
104 |     <ul class="nav bs-docs-sidenav">
105 | %(table_of_contents)s
106 |     </ul>
107 |     <a class="back-to-top" href="#top">К началу главы</a>
108 |    </div>
109 |   </div>
110 |  </div>
111 | 
112 |  <div class="row Footer">
113 |   <div class="span12">
114 |    <center>
115 |   <!-- footer --> &copy; 2016 И. В. Щуров, НИУ ВШЭ. <a
116 |        href="https://github.com/ischurov/odebook/blob/master/README.md">Подробнее
117 |        об авторстве</a>. Учебник в процессе написания. Нашли ошибку? <a
118 |        href="https://gitreports.com/issue/ischurov/odebook">Сообщите!</a>
119 |    </center>
120 |   </div>
121 |  </div>
122 | </div>
123 | 
124 | <!-- JavaScript placed at the end of the document so the pages load faster -->
125 | <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.11.1/jquery.min.js"></script>
126 | <script src="http://getbootstrap.com/dist/js/bootstrap.min.js"></script>
127 | <!-- NOTE: replace rawgit.com by cdn.rawgit.com for production or
128 | sites with heavy traffic -->
129 | <script src="https://rawgit.com/hplgit/doconce/master/bundled/html_styles/style_bootstrap_wtoc/js/docs.min.js"></script>
130 | <!-- Include either the minifed or production version, NOT both!! -->
131 | <script type="text/javascript" src="https://cdn.jsdelivr.net/qtip2/2.2.1/jquery.qtip.min.js"></script>
132 | 
133 | <!-- Optional: imagesLoaded script to better support images inside your tooltips -->
134 | <script src="https://unpkg.com/imagesloaded@4.1/imagesloaded.pkgd.min.js"></script>
135 | <script type="text/javascript">
136 | $('[data-url]').qtip({
137 |     style: 'qtip-bootstrap',
138 |     hide: {
139 |                     fixed: true,
140 |                     delay: 300
141 |     },
142 |     show: {
143 |             delay: 500
144 |     },
145 |     content: {
146 |         text: function(event, api) {
147 |             $.ajax({
148 |                 url: api.elements.target.attr('data-url') // Use data-url attribute for the URL
149 |             })
150 |             .then(function(content) {
151 |                 // Set the tooltip content upon successful retrieval
152 |                 api.set('content.text', content);
153 | 
154 |                 // Update math
155 |                 MathJax.Hub.Queue(["Typeset",MathJax.Hub]);
156 |             }, function(xhr, status, error) {
157 |                 // Upon failure... set the tooltip content to the status and error value
158 |                 api.set('content.text', status + ': ' + error);
159 |             });
160 | 
161 |             return 'Загружается...'; // Set some initial text
162 |         }
163 |     }
164 | });
165 | </script>
166 | </html>
167 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter08.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Первые интегралы и теорема о выпрямлении
  2 |     \label chap:8:rect
  3 | 
  4 | Идея об использовании координат является одним из главных достижений математики.
  5 | Однако, ещё более важной является идея о том, что системы координат нужно
  6 | выбирать с умом. Мы уже сталкивались с этим в линейной алгебре: один и тот же
  7 | оператор в одной системе координат может записываться ужасной непонятной
  8 | матрицей, в которой все элементы ненулевые, а в другой — замечательной
  9 | диагональной матрицей, в которой ненулевые элементы стоят только на диагонали,
 10 | и работать с которой — одно удовольствие.
 11 | 
 12 | Анализируя дифференциальное уравнение также полезно перейти в такую систему
 13 | координат, в которой это уравнение записывается в самом простом виде.
 14 | Оказывается, если мы работаем локально, то есть вблизи некоторой точки, и эта
 15 | точка является неособой (то есть векторное поле в ней не обращается в ноль), то
 16 | выбором системы координат можно привести уравнение к чрезвычайно простому виду.
 17 | 
 18 | К сожалению, это не поможет нам его решить (потому что найти такую систему
 19 | координат в явном виде не проще, чем найти решение исходного уравнения), но для
 20 | теории факт важный и полезный, и пройти мимо мы не можем.
 21 | 
 22 | \section Мотивирующий пример
 23 | Рассмотрим систему
 24 | 
 25 | \equation \label eq:08:xy
 26 |     \dot x=x,\quad \dot y=-y
 27 | 
 28 | Нетрудно видеть, что функция $H(x,y)=xy$ является её первым интегралом, а фазовыми кривыми являются гиперболы.
 29 | 
 30 | \figure \showcode \collapsed
 31 |     \pythonfigure \style max-width: 450px;
 32 |         plt.figure(figsize=(6,6))
 33 |         ob.mcontour(np.linspace(-4,4),
 34 |                     np.linspace(-4,4),
 35 |                     lambda x,y: x*y,
 36 |                     list(np.arange(-15,15,1))+list(np.arange(-1,1,0.5)))    
 37 |         ob.axes4x4(labels=('x','y'))
 38 |         ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5),np.arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,-y))
 39 |     \caption Фазовые кривые системы \eqref{eq:08:xy}
 40 | 
 41 | Сделаем замену переменных: $(x,y)\mapsto (x,xy)=:(u,v)$. Заметим, что замена не
 42 | взаимно однозначна: не всегда можно сделать обратное отображение. Напрмер, если
 43 | $u=v=0$, то нет шансов восстановить $y$. Зато в области $x,y>0$ (следовательно
 44 | $u,v>0$) отображение является взаимно однозначным. Произведя замену, мы получим новую
 45 | систему такого вида:
 46 | 
 47 | \eq
 48 |     \dot u=u,\quad \dot v=0
 49 | Фазовые кривые этой системы — прямые, а векторное поле — параллельные векторы. Таким образом, мы \em{выпрямили} векторное поле. 
 50 | 
 51 | \figure \showcode \collapsed
 52 |     \pythonfigure \style max-width: 450px;
 53 |         plt.figure(figsize=(6,6))
 54 |         ob.axes4x4(labels=('u','v'))
 55 |         ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5), np.arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,0*y))
 56 |     \caption Векторное поле после выпрямления
 57 | 
 58 | Мы могли бы пойти дальше, и в качестве второй новой координаты взять функцию
 59 | $w=\ln x$. В этом случае (проверьте!) в новой системе координат система
 60 | записалась бы в простейшем виде:
 61 | 
 62 | \eq
 63 |     \dot w=1, \quad \dot v = 0
 64 | Оказывается, к такому виду можно привести любую систему вблизи неособой точки.
 65 | 
 66 | \theorem 
 67 |     Пусть $P=(x_0,y_0)$ — неособая точка векторного поля v: $(\dot x, \dot y) =
 68 |     v(x,y)$. Тогда в некоторой окрестности $U \ni (x_0,y_0)$ существуют
 69 |     координаты (криволинейные), такие, что в этих координатах векторное поле $v$
 70 |     выпрямляется.
 71 | 
 72 | \proof 
 73 |     Идея доказательства: в качестве новой координаты возьмём проекцию вдоль
 74 |     траектории на вертикальную или горизонтальную прямую.
 75 | 
 76 |     Давайте считать, что $v=(v_x,v_y)$, при этом $v_x(x_0,y_0)\ne 0$. Без
 77 |     ограничения общности, считаем, что $v_x |_P > C > 0$. (Случай, когда $v_x$
 78 |     отрицательно, рассматривается аналогично.)
 79 | 
 80 |     Пусть $y=\psi(x;x_1,y_1)$ — уравнение фазовой кривой, проходящей через точку
 81 |     $(x_1,y_1)\in U$. Фазовая кривая является графиком функции в области $U$,
 82 |     поскольку эту область можно выбрать достаточно маленькой, чтобы в ней
 83 |     выполнялась теорема существования и единственности для уравнения
 84 |     $dy/dx=v_y/v_x$, правая часть гладка и ограничена, поскольку $v_x$ отделена
 85 |     от нуля в области $U$. 
 86 | 
 87 | 
 88 |     \figure \showcode \collapsed
 89 |         \pythonfigure \style max-width: 350px;
 90 |             plt.figure(figsize=(5,5))
 91 |             plt.axis('off')
 92 |             ob.mplot(np.linspace(-2,2), lambda x: x**2/10-0.5)
 93 |             plt.plot([0,0], [-2,2], color='red', lw=2)
 94 |             ob.mcontour(np.linspace(-2,2), 
 95 |                         np.linspace(-2,2),
 96 |                         lambda x,y:x**2 + y**2,
 97 |                         levels=[4], linestyles='--')
 98 |             plt.plot([0,0,1],[0.5,-0.5,0.1-0.5],'o')
 99 |             plt.text(0.05,0.5,"$(x_0,y_0)$",fontsize=16)
100 |             plt.text(1,-0.7,"$(x_1,y_1)$",fontsize=16)
101 |             plt.text(-0.05, -0.5, "$(x_0,z_1)$",
102 |                     fontsize=16, horizontalalignment="right",
103 |                     verticalalignment="top")
104 | 
105 |     Проведем через точку $(x_1,y_1)$ фазовую кривую до точки пересечения с
106 |     прямой $x=x_0$. Обозначим $y$-координату точки пересечения через $z_1$.
107 |     Иными словами,
108 | 
109 |     \eq
110 |         z_1=\psi(x_0;x_1,y_1)
111 | 
112 |     В качестве новых координат точки $(x_1,y_1)$ возьмём $u=x_1,v=z_1$.
113 | 
114 |     Нетрудно видеть, что разным точкам, лежащим на одной и той же фазовой
115 |     кривой, соответствует одна и та же точка $(x_0, z_1)$, и значит одна и та же
116 |     новая координата $v$. Таким образом, координата $v$ не меняется вдоль
117 |     фазовой кривой.
118 | 
119 |     Итак, в новых координатах уравнение принимает следующий вид: 
120 | 
121 |     \eq
122 |         \begin{cases} 
123 |             \dot u = v_u(u,v) \\\\ 
124 |             \dot v = 0 
125 |         \end{cases}
126 | 
127 |     Что и требовалось.
128 | 
129 | \remark 
130 |     Строго говоря, необходимо ещё доказать, что выбранная замена координат
131 |     является гладкой и невырожденной — отображение перехода от одних координат к
132 |     другим имеет невырожденную матрицу Якоби. Чтобы это сделать, требуются
133 |     дополнительные соображения, которые мы пока не обсуждали.
134 | 
135 | \proposition Первый интеграл всегда существует (локально, вблизи неособой точки).
136 | 
137 | \proof После выпрямления, в качестве первого интеграла можно взять функцию $F(u,v)=v$.
138 | 
139 | \subsection Нормализация на прямой
140 | 
141 | Рассмотрим уравнение
142 | 
143 | \eq
144 |     \dot x=v(x), \quad x \in \mathbb R^1
145 | 
146 | \proposition 
147 |     Вне окрестности особой точки это уравнение заменой неизвестной функции
148 |     приводится к виду
149 |     \eq
150 |         \dot u=1
151 | 
152 | \proof 
153 |     Возьмём в качестве новой фазовой переменной время движения от фиксированной
154 |     точки $x_0$ до $x$, которое равно $\int_{x_0}^x \frac {ds} {v(s)}$.
155 |     Действительно, $\dot u =
156 |     \frac{du}{dt}=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{1}{v(x)} \cdot v(x)=1$.
157 | 
158 | Это утверждение можно интерпретировать следующим образом: если измерять
159 | расстояния в днях пути (такое часто практиковалось в древности), то скорость
160 | движения всегда равна «1 день в день».
161 | 
162 | Таким образом, если векторное поле можно выпрямить, его можно и нормализовать
163 | (на каждой прямой $v=const$ по-своему), и таким образом привести любую систему к
164 | виду
165 | 
166 | 
167 | \eq
168 |     \dot u=1,\quad \dot v=0.
169 | 
170 | У этого утверждения имеется многомерный аналог, но мы его пока не будем
171 | обсуждать.
172 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/gear.js:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | function mkgear(element, num_of_trajs=5, spiral_step=1, gear_r=0.5) {
  2 |     var state = 1;
  3 |     var s = state;
  4 | 
  5 |     /* 
  6 |        FROM: https://github.com/liabru/gears-d3-js/blob/master/gears.d3.js
  7 |        SEEALSO: http://brm.io/gears-d3-js/
  8 |        LICENSE: MIT
  9 |        */
 10 | 
 11 |     function gear_paths(options) {
 12 |         var addendum = options.addendum || 8,
 13 |             dedendum = options.dedendum || 3,
 14 |             thickness = options.thickness || 0.7,
 15 |             profileSlope = options.profileSlope || 0.5,
 16 |             holeRadius = options.holeRadius || 5,
 17 |             teeth = Math.round(options.teeth) || 16,
 18 |             radius = options.radius - addendum,
 19 |             rootRadius = radius - dedendum,
 20 |             outsideRadius = radius + addendum,
 21 |             circularPitch = (1 - thickness) * 2 * Math.PI / teeth,
 22 |             pitchAngle = thickness * 2 * Math.PI / teeth,
 23 |             slopeAngle = pitchAngle * profileSlope * 0.5,
 24 |             addendumAngle = pitchAngle * (1 - profileSlope),
 25 |             theta = (addendumAngle * 0.5 + slopeAngle),
 26 |             path = ['M', rootRadius * Math.cos(theta), ',', 
 27 |                 rootRadius * Math.sin(theta)];
 28 | 
 29 |         for(var i = 0; i < teeth; i++) {
 30 |             theta += circularPitch;
 31 | 
 32 |             path.push(
 33 |                       'A', rootRadius, ',', rootRadius, ' 0 0,1 ', 
 34 |                       rootRadius * Math.cos(theta), ',', rootRadius * Math.sin(theta),
 35 |                       'L', radius * Math.cos(theta), ',', radius * Math.sin(theta)
 36 |             );
 37 | 
 38 |             theta += slopeAngle;
 39 |             path.push(
 40 |                       'L', outsideRadius * Math.cos(theta), ',', 
 41 |                       outsideRadius * Math.sin(theta));
 42 |             theta += addendumAngle;
 43 |             path.push(
 44 |                       'A', outsideRadius, ',', outsideRadius, ' 0 0,1 ', 
 45 |                       outsideRadius * Math.cos(theta), ',', 
 46 |                       outsideRadius * Math.sin(theta));
 47 | 
 48 |             theta += slopeAngle;
 49 | 
 50 |             path.push(
 51 |                       'L', radius * Math.cos(theta), ',', 
 52 |                       radius * Math.sin(theta),
 53 |                       'L', rootRadius * Math.cos(theta), ',', rootRadius * Math.sin(theta)
 54 |             );
 55 |         }
 56 | 
 57 |         function circle(radius, swap_flag) {
 58 |             return ['M0,', -radius, 'A', radius, ',', radius, 
 59 |                 ' 0 0,' + swap_flag + ' 0,', radius, 'A', radius, 
 60 |                 ',', radius, ' 0 0,' + swap_flag + ' 0,', -radius, 'Z']
 61 |         }
 62 | 
 63 |         Array.prototype.push.apply(path, circle(holeRadius, '0'));
 64 |         var ring_path  = circle(outsideRadius, '1')
 65 |             .concat(circle(holeRadius, '0'))
 66 |         return {gear: path.join(''), 'ring': ring_path.join('')};
 67 |     }
 68 | 
 69 |     /* END FROM */
 70 | 
 71 |     function gear_path(options) {
 72 |         return gear_paths(options).gear
 73 |     }
 74 | 
 75 |     function gear_ring_path(options) {
 76 |         return gear_paths(options).ring
 77 |     }
 78 | 
 79 |     function theta0(n) {
 80 |         return n * 2 * Math.PI / num_of_trajs;
 81 |     }
 82 | 
 83 |     function points(n) {
 84 |         return d3.range(0, 20 * Math.PI, 0.1).map(function(t) {
 85 |             return {
 86 |                 theta: s * t + theta0(n), 
 87 |                 r: Math.exp(-t / spiral_step), 
 88 |             };
 89 |         });
 90 |     }
 91 | 
 92 |     function mktraj() {
 93 |         var traj = d3.range(num_of_trajs).map(function(n) {
 94 |             return points(n);
 95 |         });
 96 |         return traj;
 97 |     }
 98 | 
 99 |     var width = 450,
100 |         height = 450,
101 |         radius = Math.min(width, height) / 2;
102 | 
103 |     var r = d3.scaleLinear()
104 |         .domain([0, 1])
105 |         .range([0, radius]);
106 | 
107 |     var svg = d3.select(element)
108 |         .attr("width", width)
109 |         .attr("height", height)
110 |         .append("g")
111 |         .attr("transform", "translate(" + 
112 |               width / 2 + "," + height / 2 + ")");
113 |     var line = d3.radialLine()
114 |         .radius(function(d) { return r(d.r); })
115 |         .angle(function(d) {
116 |             return -d.theta + Math.PI / 2; });
117 | 
118 |     function gear_rotate(d) {
119 |         return 'rotate(' + d.angle * (180 / Math.PI) + ')';
120 |     }
121 | 
122 |     function gear_angle() {
123 |         return s * Math.log(gear_r) * spiral_step;
124 |     }
125 | 
126 |     function gear_data() {
127 |         return [{radius: r(gear_r),
128 |             holeRadius: r(gear_r-0.06),
129 |             addendum: 4,
130 |             dedendum: 3,
131 |             thickness: 0.6,
132 |             teeth: Math.round(10 + gear_r * 30),
133 |             profileSlope: 0.7,
134 |             angle: gear_angle()}];
135 |     }
136 | 
137 |     function clamp(n, min, max) {
138 |         return Math.min(Math.max(n, min), max);
139 |     };
140 | 
141 |     function dragstarted(d) {
142 |         d3.select(this).raise().classed("dragging", true);
143 |         delta_r = gear_r - r.invert(Math.sqrt(Math.pow(d3.event.x, 2) + 
144 |             Math.pow(d3.event.y, 2)))
145 |     }
146 | 
147 |     function dragged(d) {
148 |         gear_r = clamp(delta_r + 
149 |                        r.invert(Math.sqrt(Math.pow(d3.event.x, 2) + 
150 |                                           Math.pow(d3.event.y, 2))), 
151 |             0.08, 1);
152 |         Object.assign(d, gear_data()[0])
153 |         update()
154 |     }
155 | 
156 |     function dragended(d) {
157 |         d3.select(this).classed("dragging", false);
158 |     }
159 | 
160 |     function update(first) {
161 |         var trajs = svg.selectAll(".line")
162 |             .data(mktraj());
163 |         trajs.enter().append("path").attr("class", "line")
164 |             .merge(trajs)
165 |             .attr("d", line)
166 | 
167 |         var gear = svg.selectAll(".gear")
168 |             .data(gear_data());
169 |         gear.enter().append("path").attr("class", "gear")
170 |             .merge(gear)
171 |             .attr("d", gear_path)
172 |             .attr("transform", gear_rotate);
173 | 
174 |         var gear_ring = svg.selectAll('.gear_ring')
175 |             .data(gear_data());
176 |         gear_ring = gear_ring.enter()
177 |             .append("path").attr("class", "gear_ring")
178 |             .merge(gear_ring).attr("d", gear_ring_path);
179 |         if (first) {
180 |             gear_ring.call(d3.drag()
181 |                            .on("start", dragstarted)
182 |                            .on("drag", dragged)
183 |                            .on("end", dragended));
184 |         }
185 |     }
186 | 
187 |     function do_transition() {
188 |         var duration = 2000;
189 |         var ease = d3.easeCubic;
190 |         d3.select(element).on("click", null);
191 |         var newstate = 1 - state;
192 |         timer = d3.timer(function (elapsed) {
193 |             // compute how far through the animation we are (0 to 1)
194 |             var t = Math.min(1, ease(elapsed / duration));
195 |             s = t * newstate + (1-t)*state
196 |             update()
197 |             if (t === 1) {
198 |                 // stop this timer since we are done animating.
199 |                 state = newstate;
200 |                 timer.stop();
201 |                 d3.select(element).on("click", do_transition);
202 |             }
203 |         });
204 |     }
205 | 
206 |     update(true);
207 |     /*
208 |     svg.append('circle')
209 |         .attr('cx', 0)
210 |         .attr('cy', 0)
211 |         .attr('r', 5)
212 |         .attr("class", "singpoint");
213 |     */
214 |     d3.select(element).on("click", do_transition);
215 | };
216 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/nesode.py:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | # encoding: utf-8
  2 | #
  3 | # Copyright (c) 2013-2016 Ilya V. Schurov, Andrey. Petrin.
  4 | #
  5 | # Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
  6 | # of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal
  7 | # in the Software without restriction, including without limitation the rights
  8 | # to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell
  9 | # copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
 10 | # furnished to do so, subject to the following conditions:
 11 | # 
 12 | # The above copyright notice and this permission notice shall be included in all
 13 | # copies or substantial portions of the Software.
 14 | # 
 15 | # THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
 16 | # IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
 17 | # FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE
 18 | # AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
 19 | # LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM,
 20 | # OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE
 21 | # SOFTWARE.
 22 | #
 23 | from numpy import *
 24 | from matplotlib.pyplot import *
 25 | import matplotlib as mpl
 26 | import matplotlib.pyplot as plt
 27 | from scipy import integrate
 28 | 
 29 | def mquiver(xs,ys,v,**kw):
 30 |     """wrapper function for quiver
 31 |     xs and ys are arrays of x's and y's
 32 |     v is a function R^2 -> R^2, representing vector field
 33 |     kw are passed to quiver verbatim"""
 34 |     X,Y=meshgrid(xs,ys)
 35 |     V=[[v(x,y) for x in xs] for y in ys]
 36 |     VX=[[w[0] for w in q] for q in V]
 37 |     VY=[[w[1] for w in q] for q in V]
 38 |     quiver(X,Y,VX,VY,**kw)
 39 | 
 40 | def dirfield(xs,ys,f,**kw):
 41 |     """
 42 |     wrapper function of mquiver that plots the direction field
 43 |     xs and ys are arrays of x's and y's
 44 |     f is a function R^2->R
 45 |     kw are passed to quiver verbatim
 46 |     """
 47 |     xs, ys = list(xs), list(ys) #in case something wrong was given
 48 |     mquiver(xs,ys,lambda x,y: (1,f(x,y)),scale=90,headwidth=0.0, 
 49 |                    headlength=0.0, 
 50 |                    headaxislength=0.0,pivot='middle',angles='xy',**kw)
 51 | def mplot(xs,f,**kw):
 52 |     """wrapper function for plot,
 53 |     xs is an array of x's
 54 |     f is a function R^1 -> R^1
 55 |     the rest of arguments are passed to plot"""
 56 |     plot(xs,map(f,xs),**kw)
 57 | 
 58 | def axes4x4(labels=("t","x")):
 59 |     """Функция устанавливает размер картинки в [-4,4]×[-4,4] и подписывает оси
 60 |     
 61 |     args
 62 |     ====
 63 |     - labels — метки осей (абсцисса, ордината)
 64 |     """
 65 |     axis([-4,4,-4,4])
 66 |     center_spines()
 67 |     text(3.8,0.2,"$%s$" % labels[0],fontsize=20)
 68 |     text(0.1,3.7,"$%s$"% labels[1],fontsize=20)
 69 | 
 70 | def normdirfield(xs,ys,f,**kw):
 71 |     """
 72 |     plot normalized direction field
 73 |     
 74 |     kwargs
 75 |     ======
 76 |     
 77 |     - length is a desired length of the lines (default: 1)
 78 |     - the rest of kwards are passed to plot
 79 |     
 80 |     uses a trick with None delimeters in plot from 
 81 |     http://exnumerus.blogspot.ru/2011/02/how-to-quickly-plot-multiple-line.html
 82 |     """
 83 |     length= kw.pop('length') if 'length' in kw else 1
 84 |     xlist=[]
 85 |     ylist=[]
 86 |     for x in xs:
 87 |         for y in ys:
 88 |             vy=f(x,y)
 89 |             prelen=sqrt(1+vy**2)
 90 |             deltax=1/prelen*length
 91 |             deltay=vy/prelen*length
 92 |             xlist.extend([x-deltax/2,x+deltax/2,None])
 93 |             ylist.extend([(-deltax/2)*vy+y,(deltax/2)*vy+y,None])
 94 |     plot(xlist,ylist,**kw)
 95 | 
 96 | #center_spines and CenteredFormatter are adapted from
 97 | #http://stackoverflow.com/questions/4694478/center-origin-in-matplotlib/4718438#4718438
 98 | #by Joe Kington
 99 | #licensed under CC BY-SA
100 | 
101 | def center_spines(ax=None, centerx=0, centery=0):
102 |     """Centers the axis spines at <centerx, centery> on the axis "ax", and
103 |     places arrows at the end of the axis spines."""
104 |     if ax is None:
105 |         ax = gca()
106 | 
107 |     # Set the axis's spines to be centered at the given point
108 |     # (Setting all 4 spines so that the tick marks go in both directions)
109 |     ax.spines['left'].set_position(('data', centerx))
110 |     ax.spines['bottom'].set_position(('data', centery))
111 |     ax.spines['right'].set_position(('data', centerx))
112 |     ax.spines['top'].set_position(('data', centery))
113 | 
114 |     # Hide the line (but not ticks) for "extra" spines
115 |     for side in ['right', 'top']:
116 |         ax.spines[side].set_color('none')
117 | 
118 |     # On both the x and y axes...
119 |     for axis, center in zip([ax.xaxis, ax.yaxis], [centerx, centery]):
120 |         # Turn on minor and major gridlines and ticks
121 |         axis.set_ticks_position('both')
122 |         axis.grid(True, 'major', ls='solid', lw=0.5, color='gray')
123 |         axis.grid(True, 'minor', ls='solid', lw=0.1, color='gray')
124 |         axis.set_minor_locator(mpl.ticker.AutoMinorLocator())
125 | 
126 |         # Hide the ticklabels at <centerx, centery>
127 |         formatter = CenteredFormatter()
128 |         formatter.center = center
129 |         axis.set_major_formatter(formatter)
130 | 
131 |     # Add offset ticklabels at <centerx, centery> using annotation
132 |     # (Should probably make these update when the plot is redrawn...)
133 |     xlabel, ylabel = map(formatter.format_data, [centerx, centery])
134 |     ax.annotate('(%s, %s)' % (xlabel, ylabel), (centerx, centery),
135 |             xytext=(-4, -4), textcoords='offset points',
136 |             ha='right', va='top')
137 |  
138 | class CenteredFormatter(mpl.ticker.ScalarFormatter):
139 |     """Acts exactly like the default Scalar Formatter, but yields an empty
140 |     label for ticks at "center"."""
141 |     center = 0
142 |     def __call__(self, value, pos=None):
143 |         if value == self.center:
144 |             return ''
145 |         else:
146 |             return mpl.ticker.ScalarFormatter.__call__(self, value, pos)
147 | def axes4x4(labels=("t","x")):
148 |     """Функция устанавливает размер картинки в [-4,4]×[-4,4] и подписывает оси
149 | 
150 |     args
151 |     ====
152 | 
153 |     labels: обозначения осей.
154 |     """
155 |     axis([-4,4,-4,4])
156 |     center_spines()
157 |     text(3.8,0.2,"$%s$" % labels[0],fontsize=20)
158 |     text(0.1,3.7,"$%s$" % labels[1],fontsize=20)
159 | 
160 | def eulersplot(f, xa, xb, ya, n = 500, **kw):
161 |     """plots numerical solution y'=f
162 | 
163 |     args
164 |     ====
165 | 
166 |     - xa: initial value of independent variable
167 |     - xb: final value of independent variable
168 |     - ya: initial value of dependent variable
169 |     - n : number of steps (higher the better)
170 |     """
171 |     h = (xb - xa) / float(n)
172 |     x = [xa] 
173 |     y = [ya]
174 |     for i in range(1,n+1):
175 |         y.append(y[-1] + h * f(x[-1], y[-1]))
176 |         x.append(x[-1] + h)
177 |     plot(x,y, **kw)
178 | 
179 | def normvectorfield(xs,ys,fs,**kw):
180 |     """
181 |     plot normalized vector field
182 |     
183 |     kwargs
184 |     ======
185 |     
186 |     - length is a desired length of the lines (default: 1)
187 |     - the rest of kwards are passed to plot
188 |     """
189 |     length= kw.pop('length') if 'length' in kw else 1
190 |     x, y=meshgrid(xs, ys)
191 |     # calculate vector field
192 |     vx,vy=fs(x,y)
193 |     # plot vecor field
194 |     norm = length /sqrt(vx**2+vy**2)
195 |     quiver(x, y, vx * norm, vy * norm, angles='xy',**kw)
196 | 
197 | def vectorfield(xs,ys,fs,**kw):
198 |     """
199 |     plot vector field (no normalization!)
200 | 
201 |     args
202 |     ====
203 |     fs is a function that returns tuple (vx,vy)
204 |     
205 |     kwargs
206 |     ======
207 |     
208 |     - length is a desired length of the lines (default: 1)
209 |     - the rest of kwards are passed to plot
210 |     """
211 |     length= kw.pop('length') if 'length' in kw else 1
212 |     x, y=meshgrid(xs, ys)
213 |     # calculate vector field
214 |     vx,vy=fs(x,y)
215 |     # plot vecor field
216 |     norm = length 
217 |     quiver(x, y, vx * norm, vy * norm, angles='xy',**kw)
218 | 
219 | def plottrajectories(fs,x0,t=linspace(1,400,10000),**kw):
220 |     """
221 |     plots trajectory of the solution
222 |     
223 |     f  -- must accept an array of X and t=0, and return a 2D array of \dot y and \dot x
224 |     x0 -- vector
225 |     
226 |     Example
227 |     =======
228 | 
229 |     plottrajectories(lambda X,t=0:array([ X[0] -   X[0]*X[1] ,
230 |                    -X[1] + X[0]*X[1] ]), [ 5,5], color='red')
231 |     """
232 |     x0 = array(x0)
233 |     #f = lambda X,t=0: array(fs(X[0],X[1]))
234 |     #fa = lambda X,t=0:array(fs(X[0],X[1]))
235 |     X = integrate.odeint( fs, x0, t)
236 |     plot( X[:,0], X[:,1], **kw )
237 | 
238 | def phaseportrait(fs,inits,t=[-5,5],n=100,**kw):
239 |     """
240 |     plots phase portrait of the differential equation (\dot x,\dot y)=fs(x,y)
241 | 
242 |     f  -- must accept an array of X and t=0, and return a 2D array of \dot y and \dot x
243 |     inits -- list of vectors representing inital conditions
244 |     t -- time interval
245 |     n -- number of points
246 | 
247 |     Example
248 |     =======
249 |     
250 |     from itertools import product
251 |     phaseportrait(lambda X, t=0: array([X[0],2*X[1]]), product(linspace(-4,4,15),linspace(-4,4,15)), [-2,0.3], n=20)
252 |     """
253 |     assert(t[0]<t[1] and t[1]>0)
254 |     X=[]
255 |     Y=[]
256 |     for x0 in inits:
257 |         x0=array(x0)
258 |         if t[0]<0:
259 |             segments=[linspace(0,t[0],n),linspace(0,t[1],n)]
260 |         else:
261 |             segments=[linspace(t[0],t[1],2*n)]
262 |         for s in segments:
263 |             points=integrate.odeint(fs,x0,s)
264 |             for i,Z in enumerate([X,Y]):
265 |                 Z.extend(points[:,i])
266 |                 Z.append(None)
267 |         diriv = fs(x0)
268 |         arrow(x0[0]-diriv[0],x0[1]-diriv[1],diriv[0],diriv[1], 
269 |               head_width=0.2, lw=0.0)
270 |     plot(X,Y,**kw)
271 | 
272 | def mcontour(xs,ys, fs, levels=None,**kw):
273 |     """
274 |     wrapper function for contour
275 | 
276 |     example
277 |     ======
278 |     mcontour(linspace(-4,4),linspace(-4,4),lambda x,y: x*y)
279 |     """
280 |     x,y=meshgrid(xs,ys)
281 |     z=fs(x,y)
282 |     if levels!=None:
283 |         contour(x,y,z,levels,**kw)
284 |     else:
285 |         contour(x,y,z,**kw)
286 | 
287 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter11.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Многомерные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
  2 |     \label chap:11:multidim-linear
  3 | 
  4 | \section Оператор монодромии 
  5 | 
  6 | Рассмотрим линейное уравнение
  7 | \equation \label eq:11:main
  8 |     \dot{\mb z}=A\mb z,\quad \mb z(t)\in\mathbb R^n
  9 | 
 10 | Ранее мы разобрали случаи уравнений на плоскости (когда $n=2$). Сегодня мы рассмотрим общий случай.
 11 | 
 12 | Когда мы рассматривали линейные системы на плоскости, у нас получалось, что решение задается в виде
 13 | 
 14 | \eq
 15 |     \mb z(t)=M(t) \mb z^0,
 16 | где $M(t)$ — некоторая матрица (зависящая от $t$), причём $M(0)=E$: см. уравнения \ref{eq:10:z-of-t} и \ref{eq:10:a-o-sol} \ref[предыдущей главы\nonumber][chap:10:linear-systems]. Это неспроста.
 17 | 
 18 | Пусть $\varphi(t;\mb z^0)$ — решение уравнения \ref{eq:11:main} с начальным условием $\mb z(0)=\mb z^0$. Зафиксируем некоторое $t$ и рассмотрим \em{отображение последования} (оно также называется \em{преобразованием фазового потока}) за время $t$:
 19 | 
 20 | \eq
 21 |     g^t(\mb z^0)=\varphi(t;\mb z^0)
 22 | 
 23 | То есть для каждой точки фазового пространства $z^0$ отобразим её туда, где она окажется через время $t$. 
 24 | 
 25 | \example
 26 |     Рассмотрим систему 
 27 |     \eq
 28 |         \dot x = 2x, \quad \dot y = 3y
 29 |     Для неё 
 30 |     \eq
 31 |         g^1
 32 |         \begin{pmatrix} 
 33 |             x_0 \\\\ 
 34 |             y_0 
 35 |         \end{pmatrix} 
 36 |         = 
 37 |         \begin{pmatrix} 
 38 |             e^2 & 0 \\\\ 
 39 |             0 & e^3  
 40 |         \end{pmatrix}\cdot
 41 |         \begin{pmatrix} 
 42 |             x_0 \\\\ 
 43 |             y_0 
 44 |         \end{pmatrix},
 45 |     а в общем виде 
 46 |     \eq
 47 |         g^t
 48 |         \begin{pmatrix} 
 49 |             x_0 \\\\ 
 50 |             y_0 
 51 |         \end{pmatrix} 
 52 |         = 
 53 |         \begin{pmatrix} 
 54 |             e^{2t} & 0 \\\\
 55 |             0 & e^{3t} 
 56 |         \end{pmatrix} 
 57 |         \begin{pmatrix}
 58 |             x_0\\\\
 59 |             y_0
 60 |         \end{pmatrix}
 61 |     или просто 
 62 |     \eq
 63 |         g^t=
 64 |         \begin{pmatrix} 
 65 |             e^{2t} & 0 \\\\ 
 66 |             0 & e^{3t} 
 67 |         \end{pmatrix} 
 68 | 
 69 | \theorem 
 70 |     Для системы \ref{eq:11:main} и любого $t$ отображение $g^t$ является линейным.
 71 | 
 72 | \proof
 73 |     Пусть $\mb u$ и $\mb v$ — некоторые векторы из фазового пространства
 74 |     $\mathbb R^n$. Тогда
 75 | 
 76 |     \eq
 77 |         g^t(\mb u+\mb v)=\varphi(t;\mb u+ \mb v)
 78 | 
 79 |     Пусть $\psi(t)=\varphi(t;\mb u)+\varphi(t;\mb v)$. Функция $\psi$ является
 80 |     решением уравнения \ref{eq:11:main} (в силу линейности). При этом
 81 |     $\psi(0)=\varphi(0;\mb u)+\varphi(0;\mb v)=\mb u+\mb v$. Значит, это решение
 82 |     с начальным условием $\mb u+\mb v$. Но решение с начальным условием $\mb
 83 |     u+\mb v$ задаётся функцией $\varphi(t;\mb u+\mb v)$. Значит (по теореме о
 84 |     существовании и единственности), $\psi(t)=\varphi(t;\mb u+\mb v)$. Таким
 85 |     образом,
 86 | 
 87 |     \eq
 88 |         g^t(\mb u+\mb v)=\varphi(t;\mb u)+\varphi(t; \mb v)=g^t (\mb u)+g^t (\mb v)
 89 | 
 90 |     Аналогично проверяется и вторая аксиома линейности для $g^t$. (Упражнение:
 91 |     завершить доказательство.)
 92 | 
 93 | 
 94 | \corollary 
 95 |     Пространство решений линейного дифференциального уравнения имеет такую же
 96 |     размерность, как фазовое пространство.
 97 | 
 98 | \section Матричная экспонента
 99 | 
100 | Таким образом, для решения уравнения \ref{eq:11:main} нам нужно будет найти
101 | матрицу $M(t)$ (она иногда называется «матрицей монодромии»), которая задаёт
102 | решение. Как её найти? Если бы $A$ была не матрицей, а числом (вещественным и
103 | комплексным), мы бы мгновенно записали решение в виде экспоненты. Нельзя ли с
104 | матрицей сделать то же самое, то есть записать решение уравнения
105 | \ref{eq:11:main} в виде \em{экспоненты от матрицы}?
106 | 
107 | \equation \label eq:11:eAt
108 |     \mb z(t)=e^{At} \mb z^0
109 | 
110 | На первый взгляд, это кажется безумием. (Хотя возможно вас с ним уже познакомили на курсе линейной алгебры.) Что значит «возвести число $e$ в степень матрицы»? Ерунда какая-то. Впрочем, не большая ерунда, чем возведение числа $e$ в степень $\pi$ (вы ведь помните, что изначально возвести число в степень — это умножить его на себя сколько-то раз — как это можно сделать иррациональное число раз?). Так что может быть и с матрицей получится?
111 | 
112 | Напомним, что экспоненту от числа $x$ можно определить как сумму ряда
113 | 
114 | \eq
115 |     e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
116 | 
117 | Оказывается, нет ничего невозможного в том, чтобы подставить в этот ряд матрицу $A$. Действительно, чтобы посчитать значение этого ряда, нам нужно только уметь складывать матрицы и возводить их в натуральные степени — а это мы делать умеем. Итак, по определению,
118 | 
119 | \equation \label eq:11:eA
120 |     e^A=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{n!}, \quad A^0=E
121 | 
122 | Вы, безусловно, изучали анализ, и при взгляде на такую запись у вас неминуемо должен возникнуть вопрос: а почему этот ряд сходится? И всегда ли он сходится? Оказывается, да, сходится, причём всегда и, более того, абсолютно сходится. Мы не будем давать аккуратного доказательства, но наметим его основные шаги:
123 | 
124 | \enumerate
125 |     \item Ввести норму на пространстве линейных операторов. Делается это так:
126 |         пусть $\\|\mb v\\|$ — норма вектора $\mb v$ (то есть на фазовом
127 |         пространстве какая-то норма введена). В этом случае определим норму
128 |         оператора $A$ следующим образом:
129 |         \eq
130 |             \\|A\\| = \sup_{\mb v\colon \\|\mb v\\| = 1} \\|A \mb v\\|
131 |     \item 
132 |         Доказать, что эта норма обладает следующим свойством:
133 |         \eq
134 |             \\|A \cdot B \\| \le \\|A \\| \cdot \\| B \\|.
135 |     \item 
136 |         Доказать, что каждое слагаемое ряда \ref{eq:11:eA} ограничено сверху
137 |         по норме соответствующим слагаемым для ряда $e^{\\|A\\|}$.
138 |     \item 
139 |         Ряд для $e^{\\|A\\|}$ сходится абсолютно, а значит и ряд
140 |         \ref{eq:11:eA}  тоже сходится абсолютно.
141 | 
142 | 
143 | \subsection Матричная экспонента даёт решение линейного уравнения
144 | 
145 | Покажем, функция, заданная формулой \ref{eq:11:eAt}, является решением уравнения
146 | \ref{eq:11:main}. Действительно,
147 | 
148 | \eq
149 |     \frac{d}{dt}e^{At}\mb z^0=\frac{d}{dt}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n A^n \mb z^0}{n!}=\sum_{n=1}^\infty \frac{nt^{n-1} A^n \mb z^0}{n!}=A\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n A^n}{n!}=Ae^{At}\mb z^0.
150 | Дифференцирование ряда допустимо, поскольку он сходится абсолютно (чего мы правда не доказали).
151 | 
152 | \question
153 |     Правда ли, что $e^{A+B}=e^A e^B$?
154 |     \quiz
155 |         \choice Правда, потому что это верно для обычной экспоненты
156 |             \comment Ну тогда попробуйте это доказать.
157 |         \choice Неправда. \correct
158 |             \comment Действительно, в отличие от чисел, матрицы не обязаны
159 |                 коммутировать по умножению. Поэтому ожидать выполнения этого
160 |                 равенства кажется странно: его левая часть не меняется от того, что
161 |                 мы поменяем $A$ и $B$ местами, а правая часть может и измениться.
162 |                 Подобрать теперь конкретный контрпример не очень сложно: сделайте
163 |                 это самостоятельно. На самом деле, именно отсутствие коммутирования
164 |                 для матриц не даёт нам доказать это утверждение.
165 | 
166 | \subsection Нахождение матричной экспоненты
167 | 
168 | \proposition
169 |     Справедливо следующее соотношение
170 |     \eq
171 |         e^{CAC^{-1}}=Ce^{A}C^{-1}
172 |     Оно означает, что вычисление экспоненты корректно определено на пространстве
173 |     операторов: оно «дружит» с заменой базиса.
174 | 
175 | \proof
176 |     Имеем:
177 |     \eq
178 |         Ce^AC^{-1} = C\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ A^n}{n!}\right) C^{-1}
179 |         = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ C A^n C^{-1}}{n!}=e^{CAC^{-1}} 
180 | 
181 | Это означает, что для нахождения экспоненты можно перейти в «хороший» базис
182 | (например, собственный или на худой конец жорданов), найти экспоненту там, а
183 | затем перейти в исходный базис. Рассмотрим теперь два случая.
184 | 
185 | \subsection Экспонента диагонализируемой матрицы
186 | 
187 | Пусть $A$ диагонализируема, то есть существует такая матрица $C$, что  $CA C^{-1}$ диагональная. Обозначим её за $D$. Тогда $A=C^{-1}DC$. Заметим, что
188 | \eq
189 |     \exp \begin{pmatrix} 
190 |         \lambda_1 &\dots& 0 \\\\ 
191 |         \vdots& \ddots & \vdots \\\\ 
192 |         0& \dots & \lambda_n 
193 |     \end{pmatrix} 
194 |     =
195 |     \begin{pmatrix} 
196 |         \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda_1^k}{k!} &\dots& 0 \\\\
197 |         \vdots& \ddots & \vdots \\\\
198 |         0& \dots & \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda_n^k}{k!} 
199 |     \end{pmatrix}  
200 |     =
201 |     \begin{pmatrix} 
202 |         e^{\lambda_1} &\dots& 0 \\\\
203 |         \vdots& \ddots & \vdots \\\\ 
204 |         0& \dots & e^{\lambda_n }
205 |     \end{pmatrix} 
206 | Решение уравнения \ref{eq:11:main} для диагонализируемой матрицы
207 | $A$ теперь представляется в виде: 
208 | \eq
209 |     \mb z(t) = \exp(At) \mb z^0 = C^{-1} \cdot \exp(Dt) \cdot C \cdot \mb z^0,
210 | где $\mb z^0$ — начальное условие.
211 | 
212 | \subsection Экспонента жордановой клетки
213 | 
214 | Если матрица не диагонализируема, то она по крайней мере приводится к жордановой
215 | нормальной форме. Рассмотрим случай жордановой клетки.
216 | 
217 | Пусть
218 | \eq
219 |     J_\lambda = 
220 |     \begin{pmatrix} 
221 |         \lambda & 1 &\dots& 0 \\\\ 
222 |         \vdots& \ddots & \ddots & \vdots \\\\ 
223 |         \vdots& \dots & \lambda &1 \\\\ 
224 |         0& \dots & 0 & \lambda 
225 |     \end{pmatrix}
226 | Чтобы найти $e^{J_\lambda}$, заметим для начала, что
227 | \eq
228 |     J_\lambda = \lambda E + N,
229 | где $N$ — это нильпотентный оператор, матрица которого состоит из единичек на
230 | диагонали, сдвинутой на 1 вверх. 
231 | 
232 | Заметим, что $\lambda E$ коммутирует с любой другой матрицей, в том числе и с
233 | матрицей $N$. Можно показать (мы этого не делали), что благодаря коммутированию
234 | \eq
235 |     e^{\lambda E + N} = e^{\lambda E} e^N = e^\lambda e^N.
236 | 
237 | Однако матрица $N$ нильпотентная, то есть существует такое $k$, что
238 | $N^k=0$. В этом случае ряд для экспоненты имеет лишь конечное число ненулевых
239 | слагаемых и становится полиномом: 
240 | \eq
241 |     \sum_{i=0}^\infty \frac{N^i}{i!} = \sum_{i=0}^k \frac{N^i}{i!}
242 | Его можно посчитать явно, а значит можно найти экспоненту от жордановой клетки.
243 | 
244 | \remark 
245 |     Для нашего рассуждения требовалась только нильпотентность матрицы $N$: тот
246 |     факт, что она состоит именно из единиц, не является принципиальным. В
247 |     частности, абсолютно аналогично можно вычислять экспоненту от матрицы,
248 |     пропорциональной жордановой клетке.
249 | 
250 | \example 
251 |     Рассмотрим линейное уравнение на плоскости с оператором $A$, имеющим
252 |     совпадающие собственные значения (равные $\lambda$), но не являющимся
253 |     диагональным. Для нахождения решения по формуле \ref{eq:11:eAt} нам
254 |     потребуется найти экспоненту от матрицы, пропорциональной жордановой клетке:
255 | 
256 |     \eq
257 |         \exp 
258 |         \left( 
259 |             \begin{pmatrix} 
260 |                 \lambda & 1 \\\\ 
261 |                 0 & \lambda \end{pmatrix} 
262 |             t
263 |         \right) 
264 |         = 
265 |         \exp 
266 |         \left( 
267 |             \begin{pmatrix} 
268 |                 \lambda t & 0 \\\\ 
269 |                 0 & \lambda t
270 |             \end{pmatrix} \right) 
271 |         \cdot 
272 |         \left[
273 |             \begin{pmatrix}
274 |                 1 & 0 \\\\
275 |                 0 & 1
276 |             \end{pmatrix}
277 |             +
278 |             \frac{1}{1!}
279 |             \begin{pmatrix}
280 |                 0 & t \\\\
281 |                 0 & 0
282 |             \end{pmatrix}
283 |         \right]
284 |         =
285 |         e^{\lambda t}
286 |         \begin{pmatrix} 
287 |             1 & t \\\\
288 |             0 & 1
289 |         \end{pmatrix} 
290 |         = 
291 |         \begin{pmatrix} 
292 |             e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} \\\\ 
293 |             0 & e^{\lambda t} 
294 |         \end{pmatrix} 
295 |     Фазовый портрет этой системы см. на \ref[рис.][fig:10:node-degenerate].
296 | 
297 | \subsection Общий случай
298 | 
299 | Пусть ЖНФ матрицы имеет несколько клеток. Каждая из них соответствует некоторому
300 | инвариантному подпространству линейного оператора: оператор действует на
301 | различных инвариантных подпространствах независимо. Это означает, что мы можем
302 | вычислить экспоненту от каждой жордановой клетки и затем составить большую
303 | блочно-диагональную матрицу, состоящую из таких же блоков, как исходная (в ЖНФ).
304 | 
305 | Таким образом, мы можем вычислить экспоненту от любой матрицы — самым сложным
306 | этапом при этом является её приведение к ЖНФ и отыскание жорданова базиса.
307 | 
308 | Значит, мы умеем решать любые системы линейных уравнений!
309 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter03.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Существование и единственность решений дифференциального уравнения
  2 |     \label chap:3:eu
  3 | 
  4 | В этой главе мы обсудим главную теорему теории дифференциальных уравнений:
  5 | теорему существования и единственности решений. Для начала мы сформулируем и
  6 | докажем её в самом простом случае автономных уравнений на прямой.
  7 | 
  8 | \section Автономные уравнения на прямой
  9 | \theorem \label thm:3:exuniq_line
 10 |     В некоторой окрестности любой точки $t_0$ существует и единственно решение
 11 |     $x=x(t)$ задачи Коши
 12 |     \equation \label eq:3:Cauchy
 13 |         \dot x=f(x),\quad x(t_0)=x_0,\quad x(t)\in \mathbb R,\quad f\in C^1,
 14 |     условие $f\in C^1$ означает, что функция $f$ является
 15 |     непрерывно-дифференцируемой по крайней мере в некоторой окрестности точки
 16 |     $x_0$ (то есть имеет непрерывную первую производную). Единственность
 17 |     означает, что любое другое решение с таким же начальным условием совпадает с
 18 |     $x(t)$ для всех $t$ из некоторой окрестности $t_0$.
 19 | 
 20 | \proof 
 21 |     Рассмотрим два случая.
 22 |     \paragraph Неособая точка
 23 |     Если точка $x_0$ является \em{неособой}, то есть $f(x_0)≠0$, решение
 24 |     находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:
 25 |     \equation \label eq:3:Barrow
 26 |         t-t_0=\int_{x_0}^x \frac{1}{f(y)} dy
 27 |     Из теоремы об обратной функции мгновенно следует, что это соотношение вблизи
 28 |     точки $x_0$ задаёт единственно возможную функцию
 29 |     $x=x(t)$. Действительно, пусть 
 30 |     \equation \label eq:3:F
 31 |         F(x)=\int^x_{x_0}\frac{d\xi}{f(\xi)}+t_0
 32 |     Условие \eqref{eq:3:Barrow} запишется в виде
 33 |     \eq
 34 |         F(x) = t 
 35 |     При этом $F'(x_0)=\frac{1}{f(x_0)}≠0$ по предположению. Следовательно,
 36 |     существует обратная функция $x=F^{-1}(t)$, удовлетворяющая
 37 |     \eqref{eq:3:Barrow} и таким образом являющаяся решением задачи
 38 |     Коши \eqref{eq:3:Cauchy}.
 39 | 
 40 |     Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так.
 41 |     Известно, что $f(x_0)≠0$; допустим для определённости (как говорят «без
 42 |     ограничения общности»), что $f(x_0)>0$ (обратный случай рассматривается
 43 |     полностью аналогично).  Поскольку функция $f$ непрерывна вблизи точки $x_0$, 
 44 |     существует её окрестность $U$, на которой функция $f$ принимает
 45 |     только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция
 46 |     $\frac{1}{f}$, являющаяся подынтегральным выражением в \eqref{eq:3:F}.
 47 |     Следовательно, функция $F$ монотонно возрастает на $U$. Следовательно, у неё
 48 |     существует обратная функция.
 49 | 
 50 |     Рассмотрим теперь второй возможный случай.
 51 | 
 52 |     \paragraph Особая точка
 53 |     Если $f(x_0)=0$, очевидно, решением является константа $x=x_0$: в точке
 54 |     $x_0$ уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть
 55 |     решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным.
 56 | 
 57 | Вот такое доказательство. Убедительно?
 58 | 
 59 | Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.
 60 | 
 61 | \example 
 62 |     Рассмотрим задачу
 63 |     \equation \label eq:3:x23
 64 |         \dot x=x^{2/3},\quad x\ge 0,\quad x(0)=0
 65 |     Очевидно, функция $x(t)=0$ является решением этой задачи. В то же время,
 66 |     функция $x(t)=t^3/27$ также является решением. (Проверьте, что это так!) 
 67 |     
 68 | Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной
 69 | обман?
 70 | 
 71 | А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы
 72 | сказали, что существует решение $x=x_0$, но мы не доказали на самом деле, что
 73 | других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция $x=t^3$ имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.
 74 | 
 75 | Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет.  Теорема верна. Если вы
 76 | внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение,
 77 | рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть
 78 | $f(x)=x^{2/3}$ не является гладкой функцией в точке $x=0$: её производная там
 79 | стремится к бесконечности.
 80 | 
 81 | Этот пример показывает, что требование $C^1$-гладкости правой части в
 82 | формулировке теоремы \ref{thm:3:exuniq_line} является важным: если его
 83 | выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить:
 84 | вместо гладкости требовать \em{липшицевости} правой части.) Если же это требование
 85 | выполняется, теорема верна. Докажем это.
 86 | 
 87 | \proof \of теоремы \ref{thm:3:exuniq_line} (дополнение)
 88 |     Для случая $f(x_0)≠0$ наше доказательство не имеет изъянов. 
 89 | 
 90 |     Пусть $f(x_0)=0$. Функция $x(t)=x_0$ в этом случае всегда будет решением
 91 |     уравнения $\dot x=f(x)$. Нам необходимо показать, что других решений не будет,
 92 |     то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение $x_0$ (быть может,
 93 |     на некотором отрезке по оси $y$), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем,
 94 |     что если $f\in C^1$, то «побег» запрещен. 
 95 |     
 96 |     Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки $x_0$ в какую-то
 97 |     точку $x_2$, то есть существует решение $x=x(t)$, принимающее значение $x_0$
 98 |     при $t=t_0$ и значение $x_2$ при каком-то другом $t=t_2$. Возьмём какую-то
 99 |     точку $x_1$ между $x_0$ и $x_2$. Поскольку решение непрерывно, должен
100 |     существовать момент времени $t_1\in (t_0, t_2)$, в который мы окажемся в
101 |     точке $x_1$ (то есть $x(t_1)=x_1$). Посчитаем время $t_2-t_1$, которое
102 |     потребуется, чтобы от $x_1$ добраться до $x_2$, см. рис. \ref{fig:3:escape}.
103 | 
104 |     \figure \label fig:3:escape \showcode \collapsed
105 |         \pythonfigure
106 |             plt.axis([-1,5,-1,5])
107 |             ob.center_spines()
108 |             ob.mplot(np.linspace(1,5),lambda x: (x - 1)**2 / 2, 
109 |                      color='steelblue', linewidth=3)
110 |             ob.mplot(np.linspace(0,1),lambda x: 0, color='steelblue', 
111 |                      linewidth=3)
112 |             plt.text(4.8,0.2,"$t$",fontsize=15)
113 |             plt.text(0.1,4.7,"$x$",fontsize=15)
114 |             plt.plot([2.5, 2.5, 0], [0, 1.125, 1.125], 'k--', 
115 |                      [3.5, 3.5, 0], [0, 3.125, 3.125], 'k--',
116 |                      [0, 0], [1.125, 3.125], 'ro')
117 |             plt.text(0.1, 1.3, "$x_1$", fontsize=20)
118 |             plt.text(0.1, 3.3, "$x_2$", fontsize=20)
119 |         \caption План побега из точки $x_0$ (на картинке $x_0=0$).
120 | 
121 |     По формуле Барроу, оно вычисляется следующим образом: 
122 | 
123 |     \equation \label{eq:3:t2t1}
124 |         t_2-t_1 = \int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{f(x)}
125 | 
126 |     \proposition \label{prop:3:int}
127 |         Если $f\in C^1$, то $\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{f(x)} \to \infty$ при
128 |         $x_1 \to 0+$. 
129 | 
130 |     Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам
131 |     удалось убежать за конечное время из $x_0$ в какую-то другую точку: понятно,
132 |     что $t_2 - t_0 > t_2 - t_1$ и если вторая величина может быть сколь угодно
133 |     большой, то первая не может быть конечным числом.
134 | 
135 |     \lemma \label lem:Lip
136 |         Пусть $f\in  C^1(B(x_0))$, где $B(x_0)$ — некоторый \em{замкнутый}
137 |         отрезок, содержащий фиксированную точку $x_0$, причём $f(x_0)=0$. Тогда
138 |         существует такая константа $C>0$, что $|f(x)|\le C|x-x_0|$ для всех
139 |         $x\in B$.
140 | 
141 |     \paragraph Смысл
142 |     Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего
143 |     нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко
144 |     поверить. Предположим для простоты, что $x_0=0$. Возьмём функцию $f(x)$,
145 |     такую, что $f(0)=0$. Вблизи нуля она хорошо приближается касательной
146 |     $y=f'(0)x$, хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если
147 |     построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон
148 |     касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её
149 |     отражением относительно горизонтальной оси.  (См. рис \ref{fig:3:cone}.)
150 |     \figure \label fig:3:cone \showcode \collapsed
151 |         \pythonfigure
152 |             plt.cla()
153 |             plt.axis([-4,4,-4,4])
154 |             ob.center_spines()
155 |             ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: 0.5 * x, 
156 |                      color="grey",
157 |                      label="tangent line")
158 |             ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: x, color="red")
159 |             ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: -x, color="red")
160 |             ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: 0.5 * (x**3+x))
161 |             plt.text(3.8,0.2,"$x$",fontsize=15)
162 |             plt.text(0.1,3.8,"$y$",fontsize=15)
163 |             plt.legend(loc=4)
164 |         \caption Оценка гладкой функции
165 |             
166 |     \proof \of леммы \ref{lem:Lip}
167 | 
168 |         Поскольку функция $f$ является \em{гладкой} на $B(x_0)$, её производная $f'$
169 |         непрерывна на том же отрезке; таким же свойством обладает функция $|f'|$.
170 |         Следовательно, существует максимум $|f'|$ на отрезке $B(x_0)$; обозначим его
171 |         через $C$. Тогда
172 |         \eq
173 |             f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^x f'(\xi) d\xi\le 
174 |             0 + |\int_{x_0}^x C d\xi| = C|x-x_0|
175 |     \exercise 
176 |         Привести доказательство этой же леммы, опирающееся на теорему Лагранжа о
177 |         конечных приращениях.
178 | 
179 |     \proof \of утверждения \ref{prop:3:int}
180 |         Получив в лемме \ref{lem:Lip} оценку на $f(x)$ сверху, мы получили оценку на
181 |         $1/f(x)$ снизу: 
182 |         
183 |         \eq
184 |             \frac 1 {|f(x)|} \geq \frac 1 {C|x-x_1|} \quad \forall x \in \overset{\circ}{U}_\delta (x_0)
185 |         используем её теперь для доказательства расходимости интеграла
186 |         \eqref{eq:3:t2t1}: 
187 |         \eq 
188 |             \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {|f(x)|} \geq \int_{x_1}^{x_2}\frac 1 {C|x-x_1|} \to \infty\quad \text{при } x_1 \to 0^+
189 | 
190 | \section Общий случай
191 | Результат, аналогичный \ref[теореме][thm:3:exuniq_line], справедлив и в общем случае. Мы приведём здесь только формулировку: доказательство этого фундаментального факта выходит за рамки нашего курса.
192 | 
193 | \theorem \label{thm:3:exuniq}
194 |     (Существования и единственности решения дифференциального уравнения). 
195 |     Рассмотрим задачу Коши
196 |     \equation \label eq:3:Cauchy:generic
197 |         \dot x = f(t, x),\quad x(t_0)=x_0,\quad f\in C^1,
198 |     где функция $x$ принимает значения в многомерном фазовом пространстве
199 |     $\mathbb R^n$.
200 | 
201 |     Существует такая окрестность $U\ni t_0$, что на $U$ существует и единственно
202 |     решение $x\colon U\to \mathbb R^n$ задачи \eqref{eq:3:Cauchy:generic}.
203 | 
204 | \remark
205 |     Может возникнуть вопрос, зачем эта «локальность» в формулировке теоремы:
206 |     почему нельзя обойтись без окрестности $U$? Есть два ответа: во-первых,
207 |     доказательство проводится именно таким образом, оно локальное; во-вторых —
208 |     сформулировать сразу глобальное утверждение не так просто: мы уже
209 |     сталкивались с ситуациями, когда уравнение, определённое на всей прямой,
210 |     имеет решение, определённое только на некотором луче (например, $\dot
211 |     x=x^2$). Глобальный результат о решениях дифференциальных уравнений также
212 |     можно сформулировать — мы сделаем это чуть позже.
213 | 
214 | \section Метод разделения переменных: магия продолжается \label sec:3:sep-var
215 | 
216 | В предыдущей главе мы обсудили, как решить уравнение вида $\dot x=f(x)$. Сейчас мы научимся решать более широкий класс уравнений с помощью той же магии, которую использовали в прошлый раз.
217 | 
218 | \snippet \hidden \label snip:sep-var \flabel уравнение с разделяющимися переменными
219 |     \backref sec:3:sep-var
220 |     \em{Уравнением с разделяющимися переменными} называется уравнение вида
221 |     \eq
222 |         \frac{dy}{dx}=\frac{f(y)}{g(x)}.
223 |     Его решение можно получить из соотношения
224 |     \eq
225 |         \int \frac{dy}{f(y)} = \int \frac{dx}{g(x)}
226 | Рассмотрим уравнение
227 | \equation \label eq:3:sep
228 |     \dot x=\frac{f(x)}{g(t)}.
229 | Оно называется «уравнением с разделяющимися переменными». Запишем его в виде:
230 | 
231 | \eq
232 |     \frac{dx}{dt}=\frac{f(x)}{g(t)}
233 | Дальше магия:
234 | \eq
235 |     \frac{dx}{f(x)}=\frac{dt}{g(t)}
236 | Интегрируем:
237 | \eq
238 |     \int\frac{dx}{f(x)}=\int\frac{dt}{g(t)}
239 | Или, если была поставлена задача Коши с начальным условием $x(t_0)=x_0$, имеем:
240 | \equation \label eq:3:sep:sol
241 |     \int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=\int_{t_0}^t \frac{d\tau}{g(\tau)}
242 | 
243 | \paragraph Обоснование
244 | Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это
245 | не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и
246 | слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое
247 | доказательство, но оно потребует дополнительных построений.
248 | 
249 | Итак, пусть $x=x(t)$ — функция, удовлетворяющая соотношению \eqref{eq:3:sep:sol}. Продифференцируем почленно это соотношение по переменной $t$.
250 | 
251 | \eq
252 |     \frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=\frac{d}{dt}\int_{t_0}^t
253 |     \frac{d\tau}{g(\tau)}
254 | Левую часть можно рассматривать как сложную функцию. По теореме о производной сложной функции:
255 | \eq
256 |     \frac{d}{dt}\int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{f(\xi)}=
257 |     \left(\frac{d}{dx}\int_{x_0}^{x}\frac{d\xi}{f(\xi)}\right)\dot
258 |     x=\frac{\dot x}{f(x)}
259 | 
260 | Таким образом,
261 | \eq
262 |     \frac{\dot x}{f(x)}=\frac{1}{g(t)},
263 | 
264 | Что совпадает с исходным уравнением при $f(x)≠0$.
265 | 
266 | \remark
267 |     Как и в случае с формулой Барроу, при использовании метода разделения
268 |     переменных есть риск потерять решения, связанные с обнулением функции $f$.
269 |     За этим надо аккуратно следить.
270 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter02.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Автономные дифференциальные уравнения на прямой
  2 |     \label chap:2:auto
  3 | 
  4 | Итак, давайте научимся решать какие-нибудь дифференциальные уравнения. Для
  5 | начала — очень простые.
  6 | 
  7 | В этой главе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида
  8 | 
  9 | \equation \label eq:2:general
 10 |     \dot x = f(t, x),
 11 | где $x\colon D \to \mathbb R$ — неизвестная функция, $D$ — связное подмножество
 12 | прямой (вся прямая, луч, отрезок, полуинтервал, интервал), $f\colon D\times
 13 | \mathbb R\to \mathbb R$ — некоторая по меньшей мере непрерывная (а лучше бы
 14 | гладкая, как мы увидим чуть позже) функция от двух переменных.
 15 | 
 16 | Напомним, что решением уравнения \ref{eq:2:general} называется дифференцируемая
 17 | функция $\ph$, такая, что выполнено тождество
 18 | \eq
 19 |     \dot \ph(t)=f(t,\ph(t))\quad \forall t \in D
 20 | 
 21 | Обсудим для начала, как можно было бы находить значение функции $\ph$, не
 22 | пытаясь выписать решение в виде явной формулы. Оказывается, с помощью компьютера
 23 | это довольно несложно сделать — правда, решение будет не точным, а приближённым.
 24 | Обсуждение этого метода окажется полезным и для наших дальнейших аналитических
 25 | построений.
 26 | 
 27 | \section Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера 
 28 |     \label sec:2:euler
 29 | 
 30 | Пусть поставлена \snref[задача Коши][snip:Cauchy_problem]:
 31 | \equation \label eq:2:Cauchy
 32 |     \dot x=f(t, x),\quad x(t_0)=x_0.
 33 | Мы можем приблизительно решать её таким образом. Возьмём произвольную точку
 34 | $(t_0, x_0)$ расширенного фазового пространства. Интегральная кривая, проходящая
 35 | через эту точку, имеет в ней касательную с угловым коэффициентом $f(t_0, x_0)$.
 36 | Касательная — это прямая, которая хорошо приближает график функции. Давайте на
 37 | секундочку представим, что \snref[интегральная кривая][snip:integral_curve] в
 38 | точности совпадает с касательной на некотором небольшом промежутке времени —
 39 | начиная с момента $t_0$ и заканчивая $t_0+\Delta t$, где $\Delta t$ — некоторое
 40 | маленькое число. Иными словами, мы считаем, что на этом промежутке двигаемся с
 41 | постоянной скоростью — той, которая была в момент времени $t_0$, то есть $f(t_0,
 42 | x_0)$. В этом случае к моменту времени $t_0+\Delta t$ мы пройдём расстояние,
 43 | равное $f(t_0, x_0)\cdot \Delta t$ и попадём в точку $(t_1, x_1)$, задаваемую
 44 | следующим образом:
 45 | \align \nonumber
 46 |     \item x_1&=x_0+f(t_0, x_0)\cdot \Delta t
 47 |     \item t_1&=t_0+\Delta t
 48 | Точка $(t_1, x_1)$ лежит на касательной, проходящей через точку $(t_0, x_0)$.
 49 | Если $\Delta t$ мало, эта точка должна лежать близко к графику настоящего
 50 | решения. Теперь мы можем взять точку $(t_1, x_1)$ за стартовую, построить в ней
 51 | уже новую касательную и пройти по этой касательной ещё на $\Delta t$ вправо.
 52 | Действуя таким образом, получим набор точек, связанных соотношением:
 53 | \align \nonumber
 54 |     \item x_{n+1}&=x_n+f(t_n, x_n)\cdot \Delta t 
 55 |     \item t_{n+1}&=t_{n}+\Delta t=t_0+(n+1)\Delta t
 56 | Если соединить эти точки отрезками прямых, они будут проходить близко к
 57 | касательным к графику решения, и сама получающаяся ломаная будет приближаться к
 58 | настоящему решению. Естественно, с уменьшением шага точность приближения
 59 | увеличивается.
 60 | 
 61 | Этот метод приближённого нахождения решений называется \em{методом
 62 | Эйлера}. Он даёт представление о том, как можно использовать компьютер для
 63 | исследования дифференциальных уравнений. На практике, впрочем, используются
 64 | более сложные методы, хотя принцип их работы в целом очень схож.
 65 | 
 66 | На рис. \ref{fig:2:euler} синим изображено истинное решение уравнения $\dot x =
 67 | t$ с начальным условием $x(-3)=4$, а красным, розовым, фиолетовым и зеленым
 68 | изображены численные решения уравнения методом Эйлера 5, 10, 20 и 100 шагами
 69 | соответственно.  Заметим, что уже сто шагов дает достаточно хорошее приближение
 70 | решения.
 71 | 
 72 | \figure \label fig:2:euler \showcode \collapsed
 73 |     \pythonfigure
 74 |         ob.axes4x4()
 75 |         ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 5, color='red')
 76 |         ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 10, color='pink')
 77 |         ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 20, color='purple')
 78 |         ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 100, color='green')
 79 |         ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda x: x**2 / 2 - 0.5, 
 80 |             color='steelblue')
 81 |     \caption Приближённые решения
 82 | 
 83 | 
 84 | \exercise
 85 |     Используя метод Эйлера (но не используя компьютер), найти решение
 86 |     дифференциального уравнения $\dot x = x$, удовлетворяюее начальному
 87 |     условию $x(0) = 1$. Отсюда найти одну из известных формул для числа $e$.
 88 | 
 89 | \section Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой 
 90 | 
 91 | Вернёмся к аналитическому поиску решений. В отличие от численных методов, даже
 92 | для уравнений в размерности 1 найти решение аналитически не всегда возможно — а
 93 | чаще так и невозможно. Но если несколько сузить класс рассматриваемых уравнений,
 94 | то у нас всё получится.
 95 | 
 96 | \definition \label def:2:auto
 97 |     \snippet \label snip:auto \flabel Автономное
 98 |         \em{Автономным} называется дифференциальное уравнение, правая
 99 |         часть которого не зависит от времени явно. Такое уравнение
100 |         имеет вид
101 |         \equation \label{eq:2:auto}
102 |             \dot x=f(x)
103 | \hide
104 |     \snippet \hidden \label snip:nonauto \flabel Неавтономное
105 |         \backref def:2:auto
106 |         \emph{Неавтономным} называется дифференциальное уравнение, правая часть
107 |         которого явно зависит от времени: $\dot x = f(t, x)$.
108 | 
109 | Рассмотрим задачу Коши для автономного дифференциального уравнения
110 | \ref{eq:2:auto} с
111 | начальным условием $x(t_0)=x_0$. Пусть $f(x_0)\ne 0$. В этом случае решение
112 | задаётся явной формулой (она называется \em{формулой Барроу}). Мы обсудим
113 | несколько способов её вывода и интерпретации.
114 | 
115 | \subsection Геометрические соображения 
116 | В предыдущей главе мы обсуждали, что существует специальный класс дифференциальных
117 | уравнений, которые очень просто решаются: это уравнения вида $\dot x = f(t)$,
118 | мгновенно сводящиеся к интегрированию (см. \ref[параграф][par:1:onlytime]). Мы
119 | будем называть такие уравнения \em{простейшими}, хотя это не общепринятый термин.
120 | 
121 | Рассмотрим поля направлений двух уравнений: первое является простейшим, а второе
122 | автономным, см. рис. \ref{fig:2:xt}.
123 | \figure \label fig:2:xt \showcode \collapsed
124 |     \pythonfigure
125 |         plt.figure(figsize=(8, 4))
126 |         plt.subplot(121)
127 |         ob.axes4x4()
128 |         ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5),
129 |                         np.arange(-4, 4, 0.5),
130 |                         lambda t, x: t,
131 |                         color='red',
132 |                         linewidth=1,
133 |                         length=0.6)
134 |         plt.subplot(122)
135 |         ob.axes4x4()
136 |         ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5),
137 |                         np.arange(-4, 4, 0.5),
138 |                         lambda t, x: x,
139 |                         color='red',
140 |                         linewidth=1,
141 |                         length=0.6)
142 | 
143 |     \caption Поля направлений для уравнения $\dot x = t$ (слева) и $\dot x = x$ (справа)
144 | 
145 | Это совсем разные уравнения, но их поля направлений обладают неким сходством:
146 | они не меняются при сдвигах. Разница в том, что первое поле направлений не
147 | меняется при \em{вертикальных} сдвигах, а второе — при \em{горизонтальных}.
148 | Нетрудно понять, что аналогичными свойствами обладают все уравнения этих двух
149 | классов.
150 | 
151 | Напомним, что задача отыскания решения дифференциального уравнения имеет простую
152 | геометрическую интерпретацию: нужно найти кривую, касающуюся в каждой своей
153 | точке соответствующего поля направлений. Вместе со сходством полей направлений
154 | это даёт надежду, что нам удастся придумать метод решения автономных уравнений,
155 | сводящий их к некоторым простейшим.
156 | 
157 | Оказывается, сделать это довольно просто: достаточно поменять роль осей и
158 | считать независимой переменной $x$, а неизвестной функцией — время. Ниже мы
159 | обсудим два способа реализации этого замысла.
160 | 
161 | \subsection Механический подход \label{par:2:mech}
162 | 
163 | Решить дифференциальное уравнение — это значит научиться отвечать на вопрос о
164 | том, где окажется решение в произвольный момент времени $t$, если в момент
165 | времени $t_0$ оно находилось в точке $x_0$. В соответствии с
166 | выводами предыдущего пункта, поменяем роли переменных и зададим другой вопрос:
167 | сколько времени потребуется, чтобы добраться из точки $x_0$ до некоторой другой точки
168 | $x$? 
169 | 
170 | Попробуем ответить на этот вопрос (хотя бы приближённо) с помощью аналога метода
171 | Эйлера (см. \ref[раздел][sec:2:euler]).  Предположим для определённости, что
172 | $x>x_0$ и $f(x_0)>0$ (вблизи $x_0$ движение происходит вправо; обратный случай
173 | рассматривается полностью аналогично). Предположим также, что на всём отрезке
174 | $[x_0, x]$ функция $f$ принимает только положительные значения (чуть ниже мы
175 | обсудим, что это вполне разумное предположение). Разобьем отрезок $[x_0, x]$ на
176 | $n$ равных маленьких отрезочков длины $\Delta x$. Пусть $x_k = x_0 + k\cdot
177 | \Delta x$ — концы наших отрезочков. Сколько времени нужно, чтобы попасть из
178 | точки $x_k$ в точку $x_{k+1}$? Для этого нам придётся пройти расстояние, равное
179 | $\Delta x$. Мгновенная скорость движения в точке $x_k$ равна $f(x_k)$. Поскольку
180 | $\Delta x$ мало, а функция $f$ непрерывна, можно ожидать, что её значение не
181 | слишком сильно изменится, по крайней мере, пока мы находимся на том же
182 | отрезочке. Значит, можно считать (совершая некоторую ошибку, малую при малых
183 | $\Delta x$), что движение на всём отрезочке происходит с постоянной скоростью,
184 | равной $f(x_k)$. Тогда время движения вычисляется по школьной формуле: нужно
185 | расстояние $\Delta x$ поделить на скорость $f(x_k)$. Обозначим вычисленное таким
186 | образом время прохождения $k$-го отрезочка через $\Delta t_k$. Имеем:
187 | 
188 | \equation \label{eq:2:Delta_t}
189 |     \Delta t_k = \frac{\Delta x}{f(x_k)}
190 | Пусть мы оказались в точке $x$ в момент времени $t$. Тогда время прохождения
191 | всего отрезка от $x_0$ до $x$ равна $t-t_0$ и получается сложением всех
192 | $\Delta t_k$ для $k=0, \ldots, n-1$:
193 | 
194 | \equation \label{eq:2:T}
195 |     t-t_0 \approx \sum_{k=0}^{n-1} \Delta t_k = \sum_{k=0}^{n-1}
196 |     \frac{1}{f(x_k)}\Delta x
197 | Ну-ка, что у нас тут в правой части? Это же интегральные суммы для функции
198 | $\frac{1}{f(x)}$! Равенство \ref{eq:2:T} является приближённым, но когда мы
199 | перейдём к
200 | пределу при $\Delta x \to 0$ (или, что то же самое, при $n\to \infty$), оно
201 | превратится в точное:
202 | 
203 | \equation \label{eq:2:Barrow}
204 |     t-t_0 = \int_{x_0}^x \frac{dy}{f(y)}.
205 | Это соотношение и называется формулой Барроу. Его можно понимать как неявное
206 | выражение $x$ через $t$. В некоторых ситуациях из него можно выразить функцию
207 | $x(t)$ явно.
208 | 
209 | \subsection Аналитический подход 
210 | Приведём более формальный вывод формулы Барроу, опирающийся на математический
211 | анализ.  Пусть функция $x=\ph(t)$ является решением уравнения \ref{eq:2:auto} и
212 | удовлетворяет начальному условию $\ph(t_0)=x_0$. Рассмотрим функцию $t=\psi(x)$,
213 | обратную к функции $x=\ph(t)$.  Рассмотрим произвольную точку $(t_1, x_1)$,
214 | лежащую на графике решения: для неё выполняются соотношения $x_1 = \ph(t_1)$,
215 | $t_1 = \psi(x_1)$ и $\dot \ph(t_1)=f(x_1)$ (поскольку $\ph$ является решением
216 | уравнения). Тогда по теореме о производной сложной функции
217 | 
218 | \eq
219 |     \psi'(x_1)=\frac{1}{\dot \ph(t_1)}=\frac{1}{f(x_1)}
220 | Это равенство выполняется в любой точке $x_1$. Значит, функция $\psi$ является
221 | решением дифференциального уравнения
222 | \eq
223 |     \psi'(x)=\frac{1}{f(x)},
224 | где $x$ выступает в роли независимой переменной. Правая часть теперь не зависит
225 | от неизвестной функции и такое уравнение мы умеем решать:
226 | \eq
227 |     \psi(x)=\int_{x_0}^x \frac{dy}{f(y)}+t_0
228 | Вспоминая, что $t=\psi(x)$ — обратная функция к решению $x=\ph(t)$, имеем:
229 | \eq
230 |     t-t_0=\int_{x_0}^{\ph(t)} \frac{dy}{f(y)}
231 | Мы снова получили формулу Барроу.
232 | 
233 | \subsection Магия
234 | Часто для вывода формулы Барроу используют такую символическую запись:
235 | 
236 | \align
237 |     \item \dot x&=f(x)
238 |     \item \frac{dx}{dt}&=f(x) 
239 |     \item dt & =\frac{dx}{f(x)} \label{eq:2:magic}
240 |     \item \int_{t_0}^t dt&= \int_{x_0}^x \frac{dx}{f(x)} \label{eq:2:int}
241 | Это может показаться некоторой магией — особенно загадочно выглядит уравнение \ref{eq:2:magic}. Чуть позже мы дадим определение \em{дифференциальной 1-формы}, с помощью которого можно придать этим формулам аккуратный смысл, а пока обратим внимание, что уравнение \ref{eq:2:magic} очень похоже на уравнение \ref{eq:2:Delta_t}. В целом, эта формальная запись фактически повторяет наш вывод в параграфе \ref{par:2:mech}.
242 | 
243 | \example
244 |     Решим уравнение $\dot x=x$ с начальным условием $x(t_0)=x_0$. Пусть $x=\ph(t)$ —
245 |     решение и $t=\ph^{-1}(x)$ — обратная функция к решению. Имеем:
246 | 
247 |     \align \nonumber
248 |         \item 
249 |             (\ph^{-1}(x))'&=\frac{1}{x}
250 |         \item 
251 |             \ph^{-1}(x) &= \psi (x)
252 |         \item 
253 |             \psi' (x)  &= \frac 1 x
254 |         \item 
255 |             \psi (x) &= \int \frac{dx} x = \ln |x| + C
256 |         \item 
257 |             t&=\ln|x|+C
258 |         \item 
259 |             x &= \pm e^{-C}e^t = C_1 e^t
260 |     Заметим, что если бы мы забыли модуль под логарифмом при интегрировании, то
261 |     константа $C_1=e^{-C}$ принимала бы только положительные значения. Но из-за
262 |     модуля она может принимать и отрицательные значения.
263 | 
264 |     Заметим также, что в ходе преобразований (деления на $x$) мы «потеряли»
265 |     решение $x=0$. Если в ответ подставить значение $C_1=0$, получим как раз
266 |     его. Таким образом, формула $x(t)=Ce^t$, $C\in \mathbb R$ даёт все известные
267 |     нам решения. Мы пока не доказали, что других нет — на следующей лекции мы
268 |     обсудим этот вопрос.
269 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter05.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Ещё о многомерных уравнениях
  2 |     \label chap:5:multidim
  3 | 
  4 | \section Напоминание: автономные системы и неавтономные уравнения
  5 | 
  6 | Напомним теорему о связи между \snref{автономными} и \snref{неавтономными}
  7 | уравнениями, которая обсуждалась на прошлой лекции.
  8 | 
  9 | \theorem \label thm:5:auto-nonauto
 10 |     Рассмотрим систему
 11 | 
 12 |     \equation \label eq:5:auto2d
 13 |         \begin{cases}
 14 |         \dot x=f(x,y)\\\\
 15 |         \dot y=g(x,y)
 16 |         \end{cases}
 17 | 
 18 |     Для любой точки $P=(x_0, y_0)$, такой, что $f(x_0,y_0)≠0$, фазовая кривая
 19 |     системы \ref{eq:5:auto2d}, проходящая через $P$, совпадает с интегральной кривой для
 20 |     уравнения 
 21 | 
 22 |     \equation \label eq:5:nonauto
 23 |         \frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}
 24 | 
 25 | Эта теорема была доказана в предыдущей главе. Приведём ещё одно доказательство,
 26 | в большей степени аналитическое.
 27 | 
 28 | \proof 
 29 |     Пусть фазовая кривая системы \ref{eq:5:auto2d} задаётся как вектор-функция
 30 |     $(x(t),y(t))$.
 31 |     В силу условия $f(x_0,y_0)\ne 0$, вблизи точки $P$ существует обратная
 32 |     функция к функции $x(t)$. Обозначим её через $t(x)$, её производная
 33 |     $t'(x)=1/\dot x$. Рассмотрим функцию $y=y(t(x))$, её график задаёт фазовую
 34 |     кривую \ref{eq:5:auto2d}. По теореме о производной сложной функции:
 35 |     \eq
 36 |         \frac{dy}{dx}=\dot y(t(x))t'(x)=\frac{\dot y}{\dot x}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}.
 37 |     Таким образом, кривая является интегральной для уравнения \ref{eq:5:nonauto}.
 38 | 
 39 |     Наоборот, рассмотрим интегральную кривую \ref{eq:5:nonauto}, заданную
 40 |     функцией $y=y(x)$. Подставим её в первое из уравнений \ref{eq:5:auto2d},
 41 |     получим автономное дифференциальное уравнение на $x$. Решая его, найдём
 42 |     зависимость $x(t)$. Рассмотрим теперь функцию $y(x(t))$. По теореме о
 43 |     производной сложной функции, 
 44 |     \eq
 45 |         \dot y(x(t))=y'(x(t)) \dot x(t)=\frac{g(x,y)}{f(x,y)} f(x,y)=g(x,y).
 46 |     Следовательно, вектор-функция $(x(t), y(t))$ является решением системы
 47 |     \ref{eq:5:auto2d}.
 48 | 
 49 |     Доказательство завершено.
 50 | 
 51 | \section Прямые произведения и разделение переменных
 52 | 
 53 | Рассмотрим \em{прямое произведение} двух одномерных уравнений:
 54 | 
 55 | \equation \label eq:5:cartesian
 56 |     \begin{cases}
 57 |         \dot x=f(x)\\\\
 58 |         \dot y=g(y)
 59 |     \end{cases}
 60 | \snippet \hidden \label snip:cartesian-product \flabel Прямое произведение уравнений
 61 |     Система
 62 |     \eq
 63 |         \dot x=f(x),\quad \dot y = f(y)
 64 |     называется \em{прямым произведением} уравнений $\dot x = f(x)$ и $\dot y
 65 |     = g(y)$. Уравнения, входящие в прямое произведение, никак не
 66 |     взаимодействуют друг с другом. Их можно решать по отдельности.
 67 | 
 68 | Соответствующее этой системе неавтономное уравнение имеет вид:
 69 | \eq
 70 |     \frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)}
 71 | 
 72 | Это \snref{уравнение с разделяющимися переменными}. \ref[Теорема][thm:5:auto-nonauto]  даёт возможность нового доказательства корректности метода разделения переменных.
 73 | 
 74 | Пусть $f(x_0)\ne 0$ и $g(x_0)\ne 0$. Решая каждое из уравнений
 75 | \ref{eq:5:cartesian} по отдельности, имеем:
 76 | 
 77 | \align
 78 |     \item t-t_0&=\int_{x_0}^x \frac{d\xi}{f(\xi)};
 79 |     \item t-t_0&=\int_{y_0}^y \frac{ds}{g(s)}.
 80 | Левые части совпадают — это время движения от точки $(x_0, y_0)$ до точки $(x,y)$. Приравнивая правые части, получаем соотношение, которое даёт нам метод решения уравнений с разделяющимися переменными.
 81 | 
 82 | \section Сведение различных уравнений к автономным
 83 | В дальнейшем нас будут интересовать в основном системы автономных
 84 | дифференциальных уравнений. Оказывается, другие типы уравнений к ним легко
 85 | сводятся.
 86 | 
 87 | \subsection Автономное уравнение из неавтономного
 88 | От неавтономного уравнения можно перейти к автономному, добавив дополнительную фазовую переменную (увеличив размерность на один). Действительно, рассмотрим систему
 89 | 
 90 | \equation \label eq:5:nonauto-general
 91 |     \dot x=f(t,x),\quad x\in\mathbb R^n.
 92 | 
 93 | Введем дополнительную переменную $y$ и положим
 94 | 
 95 | \eq
 96 |     \dot y=1
 97 | 
 98 | Тогда систему \ref{eq:5:nonauto-general} можно переписать в виде
 99 | 
100 | \eq
101 |     \begin{cases}
102 |         \dot x=f(x,y),\\\\
103 |         \dot y=1,
104 |     \end{cases} \quad (x,y)\in\mathbb R^{n+1}
105 | И это уже автономная система.
106 | 
107 | \subsection Автономное уравнение из уравнения высшего порядка
108 | Рассмотрим пример, который мы обсуждали на первой лекции: свободное падение (см. \ref[параграф][par:1:freefall]). Оно задаётся уравнением
109 | 
110 | \equation \label eq:5:freefall
111 |     \ddot y=-g
112 | 
113 | Это уравнение \em{второго порядка}: оно содержит вторую производную. Оказывается, его можно свести к системе уравнений первого порядка. Для этого введем дополнительную переменную $v$, которая будет обозначать скорость падения. Имеем:
114 | 
115 | \equation \label eq:5:freefall-system
116 |     \begin{cases}
117 |         \dot y=v\\\\
118 |         \dot v=-g
119 |     \end{cases}
120 | 
121 | Решение получившейся системы, очевидно, будет являться также решением исходного уравнения.
122 | 
123 | \figure \label fig:5:freefall \showcode
124 |     \pythonfigure \style max-width: 500px;
125 |         plt.figure(figsize=(5,5))
126 |         ob.draw_axes(-10, 10, -10, 10, labels=("y", "v"))
127 |         fs = lambda x, y: (y,-10)
128 |         ob.mquiver(np.linspace(-10, 10, 15), np.linspace(-10, 10, 15), fs,
129 |                 color='Teal', headlength=7, scale=10, scale_units='x')
130 |     \caption Векторное поле уравнения свободного падения
131 | 
132 | \remark
133 |     Как было показано в \ref[параграфе][par:4:reparam], если умножить все векторы
134 |     векторного поля на одно и то же число, это не поменяет фазовые кривые. К тому же,
135 |     векторы, хоть и рисуются стрелочками на фазовом пространстве, не принадлежат
136 |     на самом деле фазовому пространству — они принадлежат пространству скоростей
137 |     (математик скажет «касательному пространству»), масштаб на котором можно
138 |     выбрать отличным от масштаба самого фазового пространства. Мы будем
139 |     пользоваться этим фактом, выбирая этот масштаб подходящим с визуальной точки
140 |     зрения образом.
141 | \remark
142 |     Фазовое пространство системы \ref{eq:5:freefall-system} двумерно: скорость
143 |     становится второй фазовой переменной. Для уравнения \ref{eq:5:freefall} мы
144 |     ранее не определяли понятие фазового пространства. Положим по определению,
145 |     что оно совпадает с фазовым пространством системы
146 |     \ref{eq:5:freefall-system}. Заметим, что начальное условие системы
147 |     \ref{eq:5:freefall-system} задаётся двумя числами: начальным положением
148 |     мячика и его начальной скоростью. Аналогично начальное условие для уравнения
149 |     \ref{eq:5:freefall} задаётся двумя числами: $y(t_0)=y_0$ и $\dot
150 |     y(t_0)=v_0$. Это соответствует нашей интуиции: чтобы знать, где находится
151 |     мячик в произвольный момент времени, нам нужно знать не только его начальное
152 |     положение, но и начальную скорость.
153 | 
154 | \subsection Уравнение колебаний осциллятора \label par:5:oscillator
155 | 
156 | Аналогично можно сводить и другие уравнения высших порядков к системам
157 | автономных уравнений. Рассмотрим ещё один пример.
158 | 
159 | Рассмотрим \em{гармонический осциллятор}: математическую модель колебаний,
160 | например, маятника, слабо отклонённого от положения равновесия, или шарика на
161 | пружинке. Его динамика в подходящих координатах описывается уравнением:
162 | 
163 | \equation \label eq:5:oscillator
164 |     \ddot x=-kx
165 | Для простоты мы будем считать, что $k=1$. Тогда уравнение \ref{eq:5:oscillator}
166 | соответствует следующей системе:
167 | 
168 | \equation \label eq:5:osc-system
169 |     \begin{cases}
170 |     \dot x=y\\\\
171 |     \dot y=-x\end{cases}
172 | Его векторное поле изображено на \ref[рис.][fig:5:osc]. Уже можно догадаться,
173 | какие кривые будут траекториями уравнения.
174 | \figure \label fig:5:osc \showcode \collapsed
175 |     \pythonfigure \style max-width: 500px;
176 |         plt.figure(figsize=(5, 5))
177 |         ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
178 |         fs = lambda x, y: (y, -x)
179 |         ob.mquiver(np.linspace(-4, 4, 15), np.linspace(-4, 4, 15),
180 |                    fs, color='Teal', headlength=7, scale=10, scale_units='x')
181 |     \caption Векторное поле осциллятора
182 | 
183 | Эта система, в свою очередь, соответствует неавтономному уравнению
184 | 
185 | \eq
186 |     y'=-x/y
187 | 
188 | Решим это уравнение:
189 | 
190 | \align
191 |     \item \frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y}
192 |     \item \label{eq:5:osc2} y\,dy&=-x\,dx
193 |     \item \int y\,dy&=-\int x\,dx
194 |     \item \frac{y^2}{2}&=-\frac{x^2}{2}+C
195 |     \item x^2 + y^2 &= C
196 | 
197 | Итак, фазовыми кривыми системы \ref{eq:5:osc-system} являются окружности.
198 | Нетрудно показать, что движение по каждой окружности является равномерным:
199 | действительно, вектор скорости равен $(y, -x)$, его длина $\sqrt{y^2+x^2}$
200 | равна радиусу окружности и следовательно постоянна.
201 | 
202 | Таким образом, движение осциллятора можно представлять себе не как колебания
203 | «влево-вправо», а как равномерное движение по окружности в подходящем фазовом
204 | пространстве.
205 | 
206 | \section Ковекторы и дифференциальные 1-формы
207 | 
208 | Для дальнейшего нам понадобится вспомнить некоторые понятия из линейной алгебры.
209 | 
210 | \definition
211 |     \snippet \label snip:covector \flabel ковектор
212 |         \em{Линейным функционалом} или \em{ковектором} на $n$-мерном векторном
213 |         пространстве  $V_n$ называется отображение $\ph\colon V_n \to \mathbb R$,
214 |         являющееся линейным, то есть таким, что для всяких $u, v\in V_n$ и любого
215 |         числа $\lambda \in \mathbb R$, верны равенства 
216 |         \eq
217 |             \ph(u+v)=\ph(u)+\ph(v),\quad \ph(\lambda u)=\lambda \ph(u).
218 | 
219 | \exercise
220 |     Доказать, что пространство ковекторов на пространстве $V_n$ само является
221 |     линейным пространством. Оно называется \em{сопряжённым пространством} к
222 |     $V_n$ и обозначается $V_n^*$. Найти его размерность.
223 |     
224 | Ранее мы рассматривали векторные поля: каждой точке в некотором множестве
225 | ставился в соответствие вектор. Теперь нам понадобятся \em{ковекторные поля},
226 | также называемые \em{дифференциальными 1-формами}.
227 | 
228 | \definition \label def:5:1-form
229 |     \em{Дифференциальной 1-формой} или \em{ковекторным полем}, заданным в
230 |     \snref{области} $U\subset \mathbb R^n$, называется отображение
231 |     \eq
232 |         \omega \colon U \to V_n^*
233 |     Иными словами, дифференциальная 1-форма ставит в соответствие каждой точке
234 |     из $U$ некоторый линейный функционал на $V_n$.
235 | 
236 | Можно дать другое определение:
237 | \snippet \label snip:1-form-alt \flabel дифференциальная 1-форма
238 |     \definition \label def:5:1-form-alt
239 |         \em{Дифференциальная 1-форма} задаётся отображением
240 |         \align
241 |             \item \Omega & \colon U\times V_n \to \mathbb R,
242 |             \item \Omega & \colon (P, v) \mapsto \Omega(P, v),
243 |         линейным по второму аргументу.
244 | 
245 | Определения \ref{def:5:1-form} и \ref{def:5:1-form-alt} эквивалентны: можно
246 | зафиксировать точку $P\in U$ и рассматривать $\Omega$ как функцию второго
247 | аргумента: в силу линейности $\Omega$ по второму аргументу, такая функция
248 | является линейным функционалом на $V_n$. Таким образом, $\Omega$ задаёт
249 | отображение $\omega$ из $U$ в $V_n^*$.
250 | 
251 | \example \label ex:5:1-form
252 |     Пусть $P=(x,y)\in U \subset \mathbb R^2$ и $v=(v_x, v_y)\in V_2$. Тогда
253 |     отображение $\Omega(P, v)=x^2 v_x+y^2 v_y$ будет дифференциальной 1-формой,
254 |     поскольку при фиксированных $x$ и $y$ она линейна по вектору $v$.
255 | 
256 | Среди всех ковекторов выделяются \emph{координатные ковекторы}, возвращающие
257 | некоторую координату вектора. Например, для вектора $v=(v_x, v_y)\in V_2$
258 | координатными ковекторами будут $dx(v)=v_x$ и $dy(v)=v_y$. Здесь $dx$ и $dy$ —
259 | просто обозначения для указанных ковекторов, сейчас они не имеют отношения ни к
260 | каким производным.
261 | 
262 | Пользуясь координатными ковекторами, можно записать дифференциальную 1-форму из \ref[примера][ex:5:1-form] в виде 
263 | \eq
264 |     \omega(x,y) = x^2 dx+y^2 dy
265 | В дальнейшем мы будем использовать именно такие обозначения.
266 | 
267 | \subsection Дифференциальные 1-формы и поля направлений \label{par:5:forms_n_fields}
268 | 
269 | Рассмотрим ковектор $A\cdot dx+B\cdot dy$. Найдём множество всех векторов, на
270 | которых этот ковектор обнуляется, то есть множество решений уравнения
271 | \equation \label eq:5:cov0
272 |     A\cdot dx+B\cdot dy=0.
273 | Если хотя бы один из коэффициентов $A$, $B$ не равен нулю, это уравнение задаёт
274 | прямую $A v_x+B v_y=0$, проходящую через $(0,0)$. Если оба коэффициента равны
275 | нулю, любой вектор является решением этого уравнения: в этом случае говорят о
276 | вырожденном ковекторе (или вырожденной 1-форме).
277 | \question
278 |     Можно ли с помощью уравнения \ref{eq:5:cov0} задать вертикальную прямую?
279 |     \quiz
280 |         \choice
281 |             Нет, нельзя. Она же вертикальная!
282 |             \comment
283 |                 А вот и можно!
284 |         \choice 
285 |             Можно, нужно положить $A=0, B\ne 0$.
286 |             \comment
287 |                 Нет, так получится горизонтальная прямая: останется условие
288 |                 $dy=0$, то есть $y$-координата нулевая.
289 |         \choice \correct
290 |             Можно, нужно положить $A\ne 0$, $B=0$.
291 |             \comment
292 |                 Верно! Останется условие $dx=0$, то есть $x$-координата вектора
293 |                 нулевая, а значит вектор имеет вертикальное направление.
294 | 
295 | Мы показали, что любой невырожденный ковектор задаёт прямую. Рассмотрим теперь
296 | дифференциальную 1-форму
297 | \eq
298 |     \omega(x,y) = f(x,y)dx+g(x,y)dy
299 | Для каждой точки $(x_0, y_0)$, такой, что в ней функции $f$ и $g$ одновременно не
300 | обнуляются, форма $\omega$ задаёт некоторую прямую. Проведём теперь через каждую 
301 | такую точку $(x_0, y_0)$ соответствующую прямую. Получим поле прямых (поле
302 | направлений), заданное дифференциальной 1-формой.
303 | 
304 | \exercise \label{ex:5:ode-to-form}
305 |     Рассмотрим дифференциальное уравнение
306 |     \equation \label eq:5:dydx
307 |         \frac{dy}{dx}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)}
308 |     и поле направлений, заданное дифференциальной 1-формой:
309 |     \equation \label eq:5:fdx_gdy
310 |         f(x,y)dx - g(x,y) dy=0.
311 |     Доказать, что поля направлений, соответствующих уравнениям
312 |     \ref{eq:5:dydx} и \ref{eq:5:fdx_gdy}, совпадают.
313 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter07.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Консервативные системы с одной степенью свободы \label{chap:7:cons}
  2 | 
  3 | \section Отступление: уравнения в Гамильтоновой форме
  4 | 
  5 | \definition \label def:7:Ham
  6 |     Пусть $H(x,y)$ — какая-то гладкая функция, $H(x,y):\mathbb{ R}^2 \to
  7 |     \mathbb{ R}$. Система
  8 |     \equation \label{eq:7:Ham}
  9 |         \begin{cases}
 10 |             \dot x=\frac{\partial H}{\partial y}\\\\
 11 |             \dot y=-\frac{\partial H}{\partial x}
 12 |         \end{cases}
 13 |     называется системой \em{в гамильтоновой форме}. Функция $H$ называется
 14 |     \em{функцией Гамильтона}
 15 | 
 16 | \proposition
 17 |     Функция $H$ является \snref[первым интегралом] системы \ref{eq:7:Ham}
 18 | 
 19 | \proof 
 20 |     Посчитаем \snref[производную функции $H$ вдоль векторного
 21 |     поля][snip:Lie-deriv] 
 22 |     \eq
 23 |         v=\left(\frac{\partial H}{\partial y}, -\frac{\partial H}{\partial x}\right). 
 24 |     Имеем:
 25 | 
 26 |     \eq
 27 |         L_v H=\frac{\partial H}{\partial x} \dot x + \frac{\partial H}{\partial
 28 |             y}\dot y=\frac{\partial H}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial
 29 |             y}-\frac{\partial H}{\partial y}\frac{\partial H}{\partial x}=0
 30 |     
 31 |     Иными словами, скорость изменения функции $H$ при движении вдоль решений
 32 |     дифференциального уравнения \ref{eq:7:Ham} равна нулю, то есть $H$ — первый
 33 |     интеграл. (См. \ref[утверждение][prop:6:crit] из
 34 |     \ref[главы][chap:6:firstint]).
 35 | 
 36 | Функция Гамильтона $H$ является аналогом полной энергии — которая, как известно, сохраняется. (Слово «консервативные» в заголовке лекции означает, что что-то сохраняется.) Конечно, не всякая система, обладающая первым интегралом, является гамильтоновой. Однако, если вам дали функцию и попросили придумать систему, для которой эта функция является первым интегралом, то вы можете смело использовать гамильтонову форму.
 37 | 
 38 | \section Уравнение Ньютона
 39 | Рассмотрим уравнение
 40 | 
 41 | \equation \label eq:7:newton
 42 |     \ddot x=F(x).
 43 | Оно задает поведение частицы с единичной массой, движущейся в одномерном фазовом
 44 | пространстве под действием силы $F$, которая зависит только от положения
 45 | частицы.
 46 | 
 47 | \figure \showcode \collapsed
 48 |     \pythonfigure \style max-width: 300px;
 49 |         plt.figure(figsize=(3,1))
 50 |         plt.axis([-6,6,-1,2])
 51 |         plt.axis('off')
 52 |         plt.arrow( -5, 0, 10, 0, fc="k", ec="k", head_width=.5, head_length=1  )
 53 |         plt.plot([0],[0],'o',linewidth=1)
 54 |         plt.arrow( 0, 1, -1, 0, fc="k", ec="k", head_width=.5, head_length=.5)
 55 |         plt.text(-1,1.6,"$F(x)$",fontsize=16)
 56 |         plt.text(4.5, 1, "$x$", fontsize=16)
 57 |     \caption На точечное тело с координатой $x$ действует сила $F(x)$
 58 | 
 59 | Перепишем уравнение \ref{eq:7:newton} в виде системы:
 60 | 
 61 | \equation \label eq:7:newton-system
 62 |     \begin{cases}
 63 |         \dot x=y\\\\
 64 |         \dot y=F(x)
 65 |     \end{cases}
 66 | Можно найти фазовые кривые этого уравнения
 67 | \align
 68 |     \item
 69 |         \frac{dy}{dx}& = \frac{F(x)}{y}
 70 |     \item 
 71 |         y\,dy &= F(x)\,dx
 72 |     \item
 73 |         \int y\, dy &= \int F(x)\, dx
 74 |     \item \label eq:7:phasecurves
 75 |         \frac{y^2}{2} & - \int F(x)\, dx = C
 76 |         
 77 | Введём следующие функции:
 78 | \itemize
 79 |     \item $U(x)=-\int F(x)\, dx$ — потенциальная энергия.
 80 |     \item $V(y)=\frac{y^2}{2}$ — кинетическая энергия.
 81 |     \item $H(x,y)=U(x)+V(y)$ — полная энергия.
 82 | 
 83 | \proposition 
 84 |     Функция $H$ является первым интегралом системы \ref{eq:7:newton-system}.
 85 | 
 86 | \proof 
 87 |     Во-первых, это следует из \ref{eq:7:phasecurves}. Во-вторых, можно заметить,
 88 |     что система \ref{eq:7:newton-system} — гамильтонова. Наконец, можно явно
 89 |     посчитать \snref[производную вдоль векторного поля][snip:Lie-deriv]: 
 90 |     \eq
 91 |         L_{(y,F(x))} H = \frac{\partial H}{\partial x}y+\frac{\partial
 92 |             H}{\partial y} F(x)=-F(x)y+yF(x)=0
 93 |     Утверждение доказано.
 94 | 
 95 | Итак, полная энергия системы является первым интегралом. Это позволяет нам рисовать фазовые кривые любых уравнений вида \ref{eq:7:newton}
 96 | 
 97 | \example \label ex:07:oscillator
 98 |     Уже знакомое нам уравнение осциллятора.
 99 |     \eq F(x)=-x.
100 |     Его потенциальная энергия:
101 |     $U(x)=\frac{x^2}{2}$, полная энергия $H(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$.
102 |     Построим график полной энергии:
103 | 
104 |     \figure \showcode 
105 |         \plotly
106 |             X, Y = np.mgrid[-2:2:100j, -2:2:100j]
107 |             Z = X**2/2 + Y**2/2
108 | 
109 |             data = go.Surface(x = X, y = Y, z = Z)
110 |             plot([data])
111 |         \caption
112 |             График полной энергии гармонического осциллятора
113 | 
114 | 
115 | И его линии уровня (они же — фазовые кривые):
116 | 
117 | \figure \showcode \collapsed
118 |     \pythonfigure \style max-width: 400px;
119 |         plt.figure(figsize=(6,6))
120 |         ob.axes4x4(labels=('x','y'))
121 |         F = lambda x, y: y**2 / 2 + x**2 / 2
122 |         ob.mcontour(np.linspace(-5,5,300),np.linspace(-5,5,300),F, 
123 |                  levels=[0.01,-0.5,0.5,0,-3,3,6,-6,12],linewidths=2,
124 |                  vmin=0,vmax=25,cmap=plt.cm.coolwarm)
125 |         ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5),np.arange(-4,4,0.5), lambda x, y: (y, -x))
126 |     \caption
127 |         Линии уровня функции полной энергии гармонического осциллятора
128 | 
129 | Заметим, что тут есть единственная особая точка (положение равновесия), где правая часть системы \ref{eq:7:newton-system} равна нулевому вектору — это точка $(0,0)$.
130 | 
131 | \example \label ex:07:inverse-pendulum
132 |     «Перевернутый маятник» вблизи положения равновесия.
133 |     \eq
134 |         F(x)=x.
135 |     Здесь сила пропорциональна отклонению и действует в сторону увеличения
136 |     отклонения.
137 |         
138 |     Потенциальная энергия $U(x)=-\frac{x^2}{2}$, полная энергия
139 |     $H(x,y)=\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}$. Как и в предыдущем примере, построим
140 |     график и линии уровня полной энергии.
141 | 
142 |     \figure \showcode \collapsed
143 |         \plotly
144 |             X, Y = np.mgrid[-2:2:100j, -2:2:100j]
145 |             Z = -X**2/2 + Y**2/2
146 | 
147 |             data = go.Surface(x = X, y = Y, z = Z)
148 |             plot([data])
149 | 
150 |         \pythonfigure \style max-width: 400px;
151 |             ob.axes4x4(labels=('x','y'))
152 |             F=lambda x, y: y**2 / 2 - x**2 / 2
153 |             ob.mcontour(np.linspace(-5, 5, 300), np.linspace(-5, 5, 300),
154 |                      F, levels=[-0.5, 0.5, 0, -3, 3, 6, -6],
155 |                      linewidths=2, cmap=plt.cm.coolwarm, vmin=-15, vmax=15)
156 |             ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5),np.arange(-4,4,0.5), lambda x, y: (y, x))
157 | 
158 |         \caption
159 |             График и линии уровня полной энергии перевернутого маятника вблизи положения
160 |             равновесия 
161 | 
162 | Фазовыми кривыми этого уравнения является семейства гипербол, а также пять специальных кривых: четыре прямолинейных луча, выходящих из начала координат (не содержащих при этом начало координат) и само начало координат.
163 | 
164 | \section Математический маятник
165 |     \label sec:7:pendulum
166 | 
167 | \definition
168 |     \em{Математическим маятником} называется механическая система, состоящая из
169 |     стержня, один конец которого закреплён, а к другому прикреплен
170 |     маленький грузик (материальная точка). Стержень может свободно вращаться
171 |     вокруг закрепленного конца. Трение отсутствует. Масса стержня считается
172 |     нулевой.
173 | 
174 | \figure \label fig:07:pendulum-forces
175 |     \rawhtml
176 |         <img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/Pendulum_gravity.svg" style='max-width:300px'>
177 |     \caption 
178 |         Силы, действующие на маятник. Автор изображения: \href[Krishnavedala /
179 |         Wikimedia
180 |         Commons][https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Krishnavedala], лицензия
181 |         \href[CC BY-SA][https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.ru].
182 |         \href[Оригинальное
183 |         изображение][https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pendulum_gravity.svg].
184 | 
185 | Пусть маятник отклонён от положения равновесия на угол $\theta$. Рассмотрим
186 | силы, действующие на грузик (см. рис.  \ref{fig:07:pendulum-forces}).  На него
187 | действует сила тяжести $mg$ (здесь $g$ — ускорение свободного падения вблизи
188 | поверхности Земли), направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры
189 | со стороны стержня, направленная вдоль стержня. Разложим силу тяжести в сумму
190 | двух сил: действующей в направлении стержня ($mg \cos \theta$) и перпендикулярно
191 | ему ($mg \sin \theta$). Сила реакции опоры заставляет грузик двигаться по
192 | окружности, не позволяя ему отдаляться от центра вращения или приближаться к
193 | нему: это означает, что она в точности компенсирует проекцию силы тяжести
194 | на ось стержня, равную $mg\cos \theta$. Интересующая нас проекция силы тяжести
195 | направлена перпендикулярно к направлению стержня и равна $mg \sin \theta$: её
196 | никто не компенсирует и именно она приводит маятник в движение.
197 | 
198 | Теперь нам нужно записать соответствующее дифференциальное уравнение с помощью
199 | второго закона Ньютона. В качестве фазовой координаты мы рассматриваем угол
200 | $\theta$, но положение (а значит и скорость, и ускорение) грузика зависит не
201 | только от $\theta$, но и от длины маятника $l$. Нетрудно видеть, что скорость и
202 | ускорение грузика пропорциональны соответственно угловой скорости и ускорению
203 | (то есть $d\theta/dt$ и $d^2\theta/dt^2$), а также длине маятника.
204 | Действительно, если увеличить длину вдвое, при такой же угловой скорости
205 | реальная скорость грузика увеличится также вдвое. Это означает, что реальное
206 | ускорение равно $l\cdot d^2 \theta/d\theta^2$ и второй закон Ньютона в проекции
207 | на направление, перпендикулярное к стержню, запишется в следующем виде:
208 | 
209 | \eq
210 |     ml\frac{d^2 \theta}{dt^2}=-mg\sin \theta
211 | Знак минус в правой части связан с тем фактом, что сила направлена в направлении
212 | уменьшения $\theta$. Сокращая на $m$ и перенося $l$ в правую часть, имеем:
213 | 
214 | \eq
215 |     \frac{d^2 \theta}{dt^2}=\frac{g}{l}\sin \theta
216 | 
217 | Будем считать для простоты, что у нас $l=g$.
218 | 
219 | \eq
220 |     \frac{d^2 \theta}{dt^2}=-\sin \theta
221 | 
222 | Потенциальная энергия имеет вид:
223 | \eq
224 |     U(\theta)=-\int \sin \theta d\theta = - \cos \theta
225 | 
226 | Полная энергия:
227 | 
228 | \eq
229 |     E(\theta, v) = \frac{v^2}{2} - \cos \theta.
230 | Здесь мы считаем, что $m=1$.
231 | 
232 | Построим график полной энергии и её линии уровня.
233 | 
234 | \figure \showcode \collapsed
235 |     \plotly
236 |         x, y = np.mgrid[-2*np.pi:2*np.pi:300j, -2:2:300j]
237 |         surface = go.Surface(
238 |             x=x, y=y, z=-np.cos(x)+y**2/2, 
239 |             contours=dict(
240 |                 y=dict(show=False), 
241 |                 x=dict(show=True), 
242 |                 z=dict(show=True, project=dict(z=True)))
243 |         )
244 |         plot([surface])
245 |     
246 | 
247 | Построим также график функции потенциальной энергии и линии уровня полной
248 | энергии один под другим (они связаны).
249 | 
250 | \figure \showcode \collapsed
251 |     \pythonfigure \style max-width: 400px;
252 |         fig = plt.figure(figsize=(6,12))
253 |         ax=fig.add_subplot(211) #FIGURE 1
254 |         plt.plot([3.14,3.14],[4,-4],'--k',[-3.14,-3.14],[4,-4],'--k',[0,0],[4,-4],'--k')
255 |         ob.axes4x4(labels=('\\\\theta', 'U'))
256 |         ob.mplot(np.linspace(-4, 4), lambda x: -np.cos(x))
257 |         ax=fig.add_subplot(212) #FIGURE 2
258 |         ob.axes4x4(labels=('\\\\theta','v'))
259 |         ob.mcontour(np.linspace(-5, 5, 300), np.linspace(-5, 5, 300),
260 |             lambda x, y: y**2/2-np.cos(x), 
261 |             levels=list(np.arange(-1, 5, 0.5)) + [0.1, -1 + 0.1, -1 + 0.01])
262 |         plt.plot([3.14,3.14],[4,-4],'--k',[-3.14,-3.14],[4,-4],'--k',[0,0],[4,-4],'--k')
263 |     \caption Потенциальная энергия и линии уровня полной энергии
264 | 
265 | \question В какую сторону должны быть направлены стрелки на картинке в фазовом
266 |     пространстве?
267 | 
268 | \subsection Интерпретация
269 | 
270 | Положениями равновесия системы Ньютона являются точки в фазовом пространстве, в которых сила равна нулю и скорость равна нулю (то есть это точки горизонтальной оси, в которых $F(x)=0$). Они же соответствуют точкам максимума и минимума для потенциальной энергии (что неудивительно, потому что последняя с точностью до знака равна интегралу от силы). Вблизи точек минимума потенциальной энергии система ведёт себя подобно
271 | осциллятору (см. \ref[пример][ex:07:oscillator]), а вблизи точек максимума
272 | потенциальной энергии — подобно системе из \ref[примера][ex:07:inverse-pendulum].
273 | 
274 | Положения равновесия, соответствующие минимумам потенциальной энергии, являются
275 | устойчивыми — точнее, \em{устойчивыми по Ляпунову}. Точное определение этого
276 | термина мы дадим позже, но его суть состоит в том, что малое отклонение от
277 | положения равновесия не приводит к кардинальному изменению траектории: вместо
278 | состояния покоя мы будем наблюдать колебания вблизи положения равновесия с
279 | небольшой амплитудой, которые остаются в некоторой окрестности этого положения
280 | равновесия.
281 | 
282 | Положения равновесия, соответствующие максимумам потенциальной энергии, являются
283 | неустойчивыми: сколь угодно малое отклонение от такого равновесия чаще всего приводит к
284 | уходу траектории далеко от равновесия.
285 | 
286 | В случае перевернутого маятника, если мы немного сдвинулись из положения равновесия, например, вправо, сохраняя нулевую начальную скорость, мы будем смещаться по траектории вверх и вправо (отклоняясь всё сильнее и набирая скорость). Отклонившись немного влево, мы попадем на траектории, движение вдоль которой происходит в направление «влево и вниз».
287 | 
288 | Допустим теперь, что мы начинаем с положения, находящегося левее положения
289 | равновесия, соответствующего вертикально стоящему перевернутому маятнику $\theta=\pi$. Если начальная скорость не слишком велика, маятник приблизится
290 | к положению равновесия, но не достигнет его, затормозит (в момент пересечения
291 | оси $\theta$) и станет снова падать влево. Если же начальная скорость большая,
292 | маятник перелетит через положение равновесия, и упадёт направо. Наконец, есть
293 | промежуточная траектория (она называется \em{сепаратрисой}) — вдоль неё маятник
294 | будет обречен вечно приближаться к положению равновесия, но никогда его не
295 | достигнет (если бы он его достиг, нарушилась бы \snref[теорема существования и
296 | единственности]).
297 | 
298 | В окрестности точки $(0,0)$ (точнее, любой точки $(2\pi k,0)$ имеем минимум потенциальной энергии и точку устойчивого равновесия (фазовые кривые близки к окружностям), в окрестности $(\pi+2\pi k,0)$ — максимум потенциальной энергии и точку неустойчивого равновесия (фазовые кривые близки к гиперболам). Фазовые кривые, похожие на окружности, соответствуют колебательным движениям маятника. Фазовые кривые, похожие на синусоиды, соответствуют вращению маятника («солнышко» на качелях).
299 | 
300 | Эта картинка имеет ещё одну интерпретацию. Представим себе, что график
301 | потенциальной энергии сделан из тонкой проволоки, по которой может свободно
302 | скользить (без трения) маленькая бусинка. Движение бусинки в этом случае будет
303 | описываться фазовым портретом, похожим на портрет математического маятника.
304 | Например, если отпустить бусинку с нулевой начальной скоростью вблизи точек
305 | минимума потенциальной энергии бусинка будет колебаться в «ямке», а вблизи точек
306 | максимума — падать с «горки» влево или вправо. Аналогичная интерпретация
307 | работает и в случае других функций полной энергии.
308 | 
309 | Вы можете поэкспериментировать с математическим маятником с помощью \href[интерактивной демонстрации][http://math-info.hse.ru/f/2015-16/nes-ode/pendulum.html].
310 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter09.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Простейшие линейные дифференциальные уравнения \label{chap:9:linear}
  2 | 
  3 | \section Линейное и нелинейное: кто матери-теории более ценен?
  4 | 
  5 | \emph{Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему}. Л. Н. Толстой, «Анна Каренина».
  6 | 
  7 | В \ref[предыдущей главе\nonumber][chap:8:rect] мы выяснили, что все \snref[неособые
  8 | точки][snip:singular] похожи друг на друга: подходящей заменой координат
  9 | векторное поле в окрестности любой неособой точки превращается в постоянное
 10 | поле. Однако особые точки бывают особыми по-своему. Нашей целью теперь
 11 | является изучение особых точек.
 12 | 
 13 | Вообще говоря, изучение особых точек произвольных векторных полей — сложная
 14 | задача. Однако, великая наука матанализ учит нас: сложное нелинейное становится
 15 | простым и линейным, если посмотреть на него в микроскоп. Поэтому изучение
 16 | линейного — первый шаг на пути к познанию нелинейного.
 17 | 
 18 | Если мы хотим понять, как ведёт себя функция одной переменной вблизи некоторой точки, мы вычислим производную функции в этой точке, приблизим график функции графиком касательной (линейной частью) и скажем, что её поведение близко к поведению её линейной части. Скажем, если производная положительна, линейная часть возрастает, а значит и сама функция возрастает.
 19 | 
 20 | Аналогичный подход работает и в дифференциальных уравнениях.
 21 | 
 22 | \subsection Мотивирующий пример: изучение постоянного решения одномерного уравнения
 23 |     \label par:9:eq-in-var
 24 | 
 25 | Рассмотрим уравнение
 26 | \equation \label{eq:9:1d}
 27 |     \dot x=f(t, x),\quad x\in \mathbb R^1,\quad f(t, 0)\equiv 0
 28 | Иными словами, это произвольное неавтономное уравнение на прямой, обладающее
 29 | одним характерным свойством: правая часть обнуляется при $x=0$ и произвольном
 30 | $t$.
 31 | 
 32 | Рассмотрим функцию $x=\varphi(t; x_0)$, задающую решение уравнения \ref{eq:9:1d} с начальным условием $x(t_0) = \varphi (t_0; x_0)=x_0$. Очевидно, $\varphi(t;0)\equiv 0$: тождественно нулевая функция является единственным решением с нулевым начальным условием. (Если бы уравнение было автономным, мы бы сказали, что $0$ является особой точкой; в данном случае уравнение неавтономное и такой термин мы использовать не можем, хотя это и близкий сюжет.)
 33 | 
 34 | Пусть теперь нам интересно, как ведут себя решения с начальными условиями,
 35 | близкими к нулевому. Например, они могут приближаться к нулевому решению, могут
 36 | убегать от него, а могут попеременно делать то одно, то другое. Это не праздный
 37 | интерес: на практике мы никогда не можем установить или определить начальное
 38 | условие с абсолютной точностью. Всегда есть какие-то погрешности, и нам важно
 39 | понимать, как эти погрешности повлияют на выводы, которые мы сделаем из нашей
 40 | модели. Например, если мы выясним, что траектории, стартующие близко к нулю, со
 41 | временем уходят далеко от нулевого решения, это будет означать, что само нулевое
 42 | решение не имеет «предсказательной силы» на длительных промежутках времени.
 43 | 
 44 | \figure \showcode \collapsed
 45 |     \pythonfigure \style max-width: 450px;
 46 |         plt.figure(figsize=(6, 12))
 47 |         rhss = [lambda t, x: 0.4 * x,
 48 |                lambda t, x: -x,
 49 |                lambda t,x: x*np.cos(t)]
 50 |         for i, rhs in enumerate(rhss):
 51 |             plt.subplot(311 + i)
 52 |             ob.axes4x4()
 53 |             for x0 in [1, 0.5, -0.5, 0]:
 54 |                 ob.eulersplot(rhs, -3, 4, x0,color='red',lw=2)
 55 |             plt.text(-3,1,"$x_0$", fontsize=20)
 56 |             plt.text(-3,0, "$t_0$", fontsize=20, horizontalalignment='right',
 57 |                     verticalalignment="bottom")
 58 |             plt.plot([-3, -3], [-4, 4], lw=2, color='steelblue')
 59 |             # plt.text(2, 3, "$\\\\varphi(t_1;x_0)$", fontsize=20)
 60 |             plt.plot([2, 2], [-4, 4], lw=2, color='steelblue')
 61 |     \caption Различное поведение решений, близких к нулевому
 62 | 
 63 | Итак, нас интересует поведение решения с начальным условием $x(t_0)=x_0$ при $x_0$ близком к нулю. Будем считать, что на интересующем нас промежутке времени решение убежит от нуля не слишком сильно. В этом случае можно считать, что
 64 | \equation
 65 |     f(t, x)  \approx f'_x(t, 0) x.
 66 | Это следует из определения частной производной функции $f$ по переменной $x$ и
 67 | того факта, что $f(t, 0)=0$ для всех $t$. (Мы просто зафиксировали $t$ и стали
 68 | смотреть на функцию $f(t, x)$ как на функцию только от аргумента $x$, приблизив
 69 | её график соответствующей касательной.)
 70 | 
 71 | Пользуясь этим соотношением, заменим в уравнении \ref{eq:9:1d} правую часть на
 72 | $f'_x(t, 0) x$. Поскольку правая часть меняется «не слишком сильно» вблизи
 73 | прямой $x=0$, разумно ожидать, что и решения, проходящие близко к нулю, от этого
 74 | «не слишком сильно» изменятся. Однако, чтобы всё-таки помнить о том, что перед
 75 | нами новое уравнение, связанные с исходным лишь приближёнными равенствами,
 76 | заменим обозначение для неизвестной функции: вместо $x$ будем писать $y$. Имеем:
 77 | 
 78 | \equation
 79 |     \label{eq:9:1d-lin}
 80 |     \dot y = f'_x(t, 0) y.
 81 | Получившееся уравнение гораздо проще исходного и его можно решить явно: это
 82 | \snref{уравнение с разделяющимися переменными}. Действительно, функция $f'_x(t,
 83 | 0)$ зависит только от $t$ и мы мгновенно получаем:
 84 | 
 85 | \align
 86 |     \item \frac{dy}{dt} & = f'_x(t, 0) y
 87 |     \item \frac{dy}{y} & = f'_x(t, 0) dt
 88 |     \item \int_{y_0}^y \frac{d\xi}{\xi} & = \int_{t_0}^t f'_x(\tau, 0) \, d\tau
 89 |     \item \ln (y/y_0) & = \int_{t_0}^t f'_x(\tau ,0)\, d\tau 
 90 |     \item y & = y_0 \exp \int_{t_0}^t f'_x(\tau, 0) \, d\tau
 91 | Получающееся решение $y(t)$ является приближением к решению исходного уравнения.
 92 | Например, оно показывает, что  если производная $f'_x$ положительна и отделена от нуля, то есть
 93 | $f'_x(t, 0)>c>0$ при всех $t$, то любое решение, близкое к нулевому, убегает от
 94 | нулевого, как говорят, с экспоненциальной скоростью ($y(t) > e^{ct} y_0$). Даже
 95 | если $y_0$ очень мал, такое решение со временем окажется далеко от нулевого.
 96 | 
 97 | Уравнение \ref{eq:9:1d-lin} является не просто уравнением с разделяющимися
 98 | переменными. Оно является \emph{линейным} уравнением — и, как говорят,
 99 | \emph{линеаризацией} уравнения \ref{eq:9:1d} вблизи решения $x\equiv 0$.
100 | 
101 | \subsection Более строгое обоснование возможности линеаризации
102 | Этот параграф можно смело пропустить и сразу перейти к \ref[следующему разделу\nonumber][sec:9:notion-of-linear-ode]. Он содержит более аккуратное обоснование
103 | связи между уравнениями \ref{eq:9:1d} и \ref{eq:9:1d-lin}. Для дальнейшего нам
104 | пока это не понадобится.
105 | 
106 | Зафиксируем какое-нибудь $t_1>t_0$. Нас интересует отображение, которое ставит в соответствие точке $x_0$ точку $\varphi(t_1;x_0)$. Точнее, нас интересует, как эта функция ведёт себя при $x_0$ близких к нулю.
107 | 
108 | В одномерном случае ответ на вопрос «как ведёт себя функция в точке» даётся производной этой функцией в данной точке. Её-то мы и хотим найти.
109 | 
110 | Будем действовать смело и решительно. Пусть 
111 | 
112 | \eq
113 |     y(t)=\left.\frac{\partial \varphi(t;x_0)}{\partial x_0}\right|_{x_0=0}
114 | 
115 | \question Чему равно $y(t_0)$?
116 | 
117 | Ответим на более сложный вопрос: что вы можете сказать про знак $y(t_1)$? Очевидно, $y(t_1)>0$, поскольку $\varphi(t_1;x_0)$ является возрастающей по $x_0$. Действительно, если предположить, что существуют точки $x_0^2>x_0^1$ такие, что $\varphi(t_1;x_0^2)<\varphi(t_1;x_0^1)$, по теореме о промежуточном значении найдётся такая точка $t_*\in (t_0, t_1)$, что $\varphi(t_*;x_0^2)=\varphi(t_*,x_0^1)$ (см. \ref[рис.][fig:9:impossible]). А это бы противоречило \snref{теореме существования и единственности} решения дифференциального уравнения. 
118 | 
119 | \figure \label fig:9:impossible \showcode \collapsed
120 |     \pythonfigure
121 |         plt.figure(figsize=(8,6))
122 |         ob.axes4x4()
123 |         
124 |         for x0 in [1]:
125 |             ob.eulersplot(lambda t,x: x*np.cos(t), -3, 4, x0,color='red',lw=2)
126 |         ob.mplot(np.linspace(-3,4), 
127 |                  lambda x: np.cos(0.5*(x+3))*2, 
128 |                  color='red', lw=2) #fake integral curve
129 |         plt.text(-3,1,"$x_1$", fontsize=20, horizontalalignment='right')
130 |         plt.text(-3,2,"$x_2$", fontsize=20, horizontalalignment='right')
131 |         plt.text(-3,0,"$t_0$", fontsize=20, horizontalalignment='right',
132 |                  verticalalignment="bottom")
133 |         plt.plot([-3, -3], [-4, 4], lw=2, color='steelblue')
134 |         plt.text(2, 3, "$\\\\varphi(t_1;x_1)$", fontsize=20)
135 |         plt.text(2, -1.5, "$\\\\varphi(t_1;x_2)$", fontsize=20)
136 |         plt.plot([2, 2], [-4, 4], lw=2, color='steelblue')
137 |     \caption Так не бывает: интегральные кривые не умеют пересекаться
138 | 
139 | 
140 | Найдём уравнение на производную $y$ по $t$ (получим так называемое \em{уравнение в вариациях} в его простейшей форме):
141 | 
142 | \eq
143 |     \dot y= \frac{d}{d t} 
144 |         \left.\frac{\partial \varphi(t;x_0)}{\partial x_0}\right|_{x_0=0} = 
145 |         \left.\left(\frac{\partial}{\partial x_0} 
146 |             \frac{d\varphi(t;x_0)}{dt}\right)\right|_{x_0=0} =
147 |         \left.\left(\frac{\partial}{\partial x_0} 
148 |             f(\varphi(t;x_0),t)\right)\right|_{x_0=0}=
149 |         \left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right|_{x=0} 
150 |         \left.\frac{\partial \varphi(t;x_0)}{\partial x_0}\right|_{x_0=0}=
151 |         f'_x(0,t) y(t)
152 | 
153 | Обоснованность смены порядка дифференцирования мы сейчас обсуждать не будем (хотя вообще это надо сделать). Записанное уравнение называется \em{уравнением в вариациях по начальному условию}.
154 | 
155 | Получается, что уравнение на производную по начальному условию имеет вид
156 | \eq
157 |     \dot y=a(t)y
158 | Как мы узнаем чуть ниже, это пример простейшего линейного уравнения.
159 | 
160 | \section Понятие линейного дифференциального уравнения
161 |     \label sec:9:notion-of-linear-ode
162 | 
163 | Бывают \em{линейные дифференциальные операторы}. Это такая штука, которая действует на функциях, содержит какие-то там производные и ко всему прочему линейная. Вместо того, чтобы давать строгое определение, приведём несколько примеров.
164 | 
165 | \example
166 |     Пусть $\ph\colon \mathbb R \to \mathbb R$ — некоторая дифференцируемая
167 |     функция.
168 |     \itemize
169 |         \item $(D \ph)(t) = \frac{d}{dt}\ph(t)$ — простейший линейный
170 |             дифференциальный оператор (это просто оператор дифференцирования, он
171 |             линеен, поскольку дифференцирование линейно: производная сумма равна
172 |             сумме производных, константу можно выносить за знак
173 |             дифференцирования). Можно написать, что $D = \frac{d}{dt}$.
174 |         \item $(D\ph)(t)=\frac{d}{dt}\ph(t)-a(t)\ph(t)$ — также линейный дифференциальный оператор. Можно написать, что $D=\frac{d}{dt} - a$, подразумевая, что $a$ — это оператор умножения на функцию $a$.
175 |         \item $(S\ph)(t)=\frac{d}{dt} \ph(t)+a(t)$ не является линейным
176 |             оператором. (Почему?)
177 |         \item $(H\ph)(t)=\frac{d}{dt} \ph(t)+\ph^2(t)$ также не является линейным
178 |             оператором. (Почему?)
179 | 
180 |     Пусть теперь $\ph\colon \mathbb R \to \mathbb R^n$ — некоторая
181 |     дифференцируемая вектор-функция
182 | 
183 |     Тогда $(D\ph)(t)=\frac{d\ph(t)}{dt}-A\ph(t)$ — линейный дифференциальный оператор
184 |     (здесь $A$ — некоторый фиксированный линейный оператор $A\colon \mathbb
185 |     R^n\to \mathbb R^n$).
186 | 
187 | \snippet \label snip:linear \flabel линейное дифференциальное уравнение
188 |     \definition \label def:9:linear
189 |         \emph{Однородное линейное дифференциальное уравнение} — это уравнение вида
190 | 
191 |         \equation \label eq:9:linear-homog
192 |             Dx=0,
193 |         где $D$ — некоторый линейный дифференциальный оператор.
194 | 
195 |         \emph{Неоднородное} линейное дифференциальное уравнение — это уравнение вида
196 | 
197 |         \equation \label eq:9:linear-nonhomog
198 |             Dx=b(t).
199 | 
200 | \remark 
201 |     В теории дифференциальных уравнений слово \em{однородное} встречается в двух
202 |     разных контекстах. С одной стороны, это представленное выше уравнение
203 |     \ref{eq:9:linear-homog}, у которого в правой части стоит 0. Второй смысл
204 |     слово «однородное»: это уравнение вида $\dot x = F(x/t)$. Такие уравнения
205 |     также изучаются в нашем курсе (они решаются с помощью замены $z = x/t$), но
206 |     они не имеют никакого отношения к линейным однородным уравнениям. Не путайте
207 |     эти два использования одного слова!
208 | 
209 | Как подсказывает нам мотивирующий пример, чтобы исследовать линеаризацию решения надо исследовать линейные дифференциальные уравнения. Этим мы и займёмся.
210 | 
211 | \subsection Простейшие свойства линейных уравнений
212 | Для начала сформулируем две простые теоремы о линейных уравнениях. Вообще-то
213 | это теоремы из линейной алгебры: они не используют ничего, кроме линейности.
214 | 
215 | \theorem
216 |     Множество всех решений автономного линейного дифференциального уравнения —
217 |     линейное пространство.
218 | 
219 | \proof 
220 |     Нам нужно доказать, что 1) сумма решений
221 |     является решением; 2) умноженное решение на число — тоже решение. Пусть $x$
222 |     и $y$ — решения, $\lambda$ — константа. Тогда $D(x+y)=Dx+Dy=0+0=0$. То есть сумма решений является решением. Аналогично с константой: $D(\lambda x)=\lambda Dx=0$.
223 | 
224 | \theorem 
225 |     Множество всех решений неавтономного линейного дифференциального уравнения —
226 |     аффинное пространство — то есть линейное, сдвинутое на фиксированный вектор.
227 | 
228 |     Более точно: для любого дифференциального уравнения
229 |     \ref{eq:9:linear-nonhomog} найдётся такое \em{частное решение} $x^*(t)$, что
230 |     любое другое решение этого уравнения представляется в виде $x^*(t)+x^0(t)$,
231 |     где $x^0(t)$ — некоторое решение соответствующего однородного уравнения
232 |     \ref{eq:9:linear-homog}. (По правде говоря, в качестве частного решения
233 |     можно взять любое решение неоднородного уравнения.)
234 | 
235 | \proof
236 |     Пусть $x^1(t)$ — фиксированное решение, $x^2(t)$ какое-то другое
237 |     решение. Пусть $x^0=x^2-x^1$. Тогда $D(x^0)= D(x^2-x^1)=D(x^2)-D(x^1)=b-b=0$.
238 |     Таким образом, $x^0$ — решение однородного уравнения, и любое решение $x^2$
239 |     представляется в виде суммы $x^1$ и какого-то решения однородного уравнения
240 |     $x^0$.
241 | 
242 |     Наоборот, если $x^0$ — решение однородного уравнения, то прибавляя его к
243 |     решению $x^1$ неоднородного уравнения получим какое-то другое решение
244 |     неоднородного уравнения. 
245 | 
246 | \subsection Как решать неоднородные уравнения: метод вариации постоянных
247 |     \label par:9:constant-variations
248 | 
249 | Сейчас мы будем делать то, что нельзя: менять постоянные.
250 | 
251 | Пусть $x(t)\in \mathbb R$. Рассмотрим уравнение
252 | \eq
253 |     \dot x-a(t)x=b(t)
254 | Это уравнение называется \emph{линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка в размерности 1 с переменными коэффициентами} («первого порядка» потому что участвует только первая производная).
255 | 
256 | Как его решить? Решим сперва соответствующее однородное уравнение
257 | 
258 | \eq
259 |     \dot x-a(t)x=0
260 | 
261 | Его решение, как мы уже сказали, такое:
262 | 
263 | \eq
264 |     x^0(t)=Ce^{\int_{t_0}^t a(s) ds}
265 | 
266 | Скажем теперь, что $C$ — не константа, а функция от времени. И подставим функцию
267 | 
268 | \eq
269 |     x(t)=C(t)e^{\int_{t_0}^t a(s) ds}
270 | 
271 | в исходное уравнение.
272 | 
273 | Получается:
274 | 
275 | \eq
276 |     \dot C e^{\int_{t_0}^t a(s) ds}+Ca(t)e^{\int_{t_0}^t a(s) ds}=a(t)Ce^{\int_{t_0}^t a(s) ds}+b(t)
277 | 
278 | Два слагаемых магическим образом сокращаются, и получается уже простое уравнение на $C$:
279 | 
280 | \eq
281 |     \dot C=b(t)e^{-\int_{t_0}^t a(s) ds}
282 | 
283 | решая его, имеем:
284 | 
285 | \eq
286 |     C(t)=\int_{t_0}^ t b(h)e^{-\int_{h_0}^h a(s) ds} dh+C^0
287 | 
288 | \question 
289 |     Что будет, если попытаться применить метод вариации постоянных к нелинейному
290 |     уравнению — например, $\dot x=x^2+t$?
291 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/make.py:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | #!/usr/bin/env python
  2 | # -*- coding: utf-8 -*-
  3 | """
  4 | Automatically generated file for compiling doconce documents.
  5 | """
  6 | import sys, glob, os, shutil, subprocess, codecs, re
  7 | 
  8 | logfile = 'tmp_output.log'  # store all output of all operating system commands
  9 | f = open(logfile, 'w'); f.close()  # touch logfile so it can be appended
 10 | 
 11 | unix_command_recorder = []
 12 | 
 13 | def os_system(cmd):
 14 |     """Run system command cmd using the simple os.system command."""
 15 |     print cmd
 16 |     failure = os.system(cmd)
 17 |     if failure:
 18 |         print """Command
 19 |   %s
 20 | failed""" % cmd
 21 |         sys.exit(1)
 22 |     unix_command_recorder.append(cmd)  # record command for bash script
 23 | 
 24 | def system(cmd):
 25 |     """Run system command cmd using subprocess module."""
 26 |     print cmd
 27 |     try:
 28 |         output = subprocess.check_output(cmd, shell=True,
 29 |                                          stderr=subprocess.STDOUT)
 30 |     except subprocess.CalledProcessError as e:
 31 |         print """Command
 32 |   %s
 33 | failed""" % cmd
 34 |         print 'Return code:', e.returncode
 35 |         print e.output
 36 |         print("Hello")
 37 |         sys.exit(1)
 38 |     print output
 39 |     f = open(logfile, 'a'); f.write(output); f.close()
 40 |     unix_command_recorder.append(cmd)  # record command for bash script
 41 |     return output
 42 | 
 43 | def spellcheck():
 44 |     for filename in glob.glob('*.do.txt'):
 45 |         if not filename.startswith('tmp'):
 46 |             cmd = 'doconce spellcheck -d .dict4spell.txt %(filename)s' % vars()
 47 |             system(cmd)
 48 | 
 49 | def latex(name,
 50 |           latex_program='pdflatex',    # or 'latex'
 51 |           options='--latex_code_style=vrb',
 52 |           version='paper',             # or 'screen', '2up', 'A4', 'A4-2up'
 53 |           postfix='',                  # or 'auto'
 54 |           ptex2tex=None,               # only for ptex2tex step
 55 |           ):
 56 |     """
 57 |     Make latex/pdflatex (according to latex_program) PDF file from
 58 |     the doconce file name (without any .do.txt extension).
 59 | 
 60 |     version can take the following values:
 61 | 
 62 |       * paper: normal page size, --device=paper
 63 |       * 2up: normal page size, --device=paper, 2 pages per sheet
 64 |       * A4: A4 page size, --device=paper
 65 |       * A4-2up: A4 page size, --device=paper, 2 pages per sheet
 66 |       * screen: normal pages size, --device=screen
 67 | 
 68 |     If a separate ptex2tex step is wanted, fill in all necessary
 69 |     commands in the ptex2tex string.
 70 |     """
 71 |     if name.endswith('.do.txt'):
 72 |         name = name.replace('.do.txt', '')
 73 |     system('rm -f %(name)s.aux' % vars())
 74 | 
 75 |     if version in ('paper', 'A4', '2up', 'A4-2up'):
 76 |         if not '--device=paper' in options:
 77 |             options += ' --device=paper'
 78 |     elif version == 'screen' and '--device=paper' in options:
 79 |         options = options.replace('--device=paper', '')
 80 |     if version in ('A4', 'A4-2up'):
 81 |         if not '--latex_papersize=a4' in options:
 82 |             options += ' --latex_papersize=a4'
 83 |     if postfix == 'auto':
 84 |         if version == 'paper':
 85 |             postfix = '4print'
 86 |         elif version == 'screen':
 87 |             postfix = '4screen'
 88 |         else:
 89 |             postfix = version
 90 | 
 91 |     # Compile source
 92 |     cmd = 'doconce format %(latex_program)s %(name)s %(options)s ' % vars()
 93 |     system(cmd)
 94 | 
 95 |     cmd = r"doconce replace '%% insert custom LaTeX commands...' '\usepackage[russian]{babel} \usepackage{titlesec} \titleformat{\subsubsection}[runin] {\normalfont\normalsize\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{} \let\paragraph=\subsubsection' %(name)s.tex" % vars()
 96 |     system(cmd)
 97 | 
 98 |     cmd = r"doconce replace '\usepackage{lmodern}' '%%\usepackage{lmodern}' %(name)s.tex" % vars()
 99 |     system(cmd)
100 |     # Transform .p.tex to .tex?
101 |     if ptex2tex is not None:
102 |         cmd = ptex2tex
103 |         system(cmd)
104 | 
105 |     # Load latex file into string for examination
106 |     dofile = open(name + '.tex', 'r')
107 |     text = dofile.read()
108 |     dofile.close()
109 | 
110 |     latex_options = ''
111 |     if latex_program == 'pdflatex':
112 |         latex_options = '-file-line-error -interaction nonstopmode -halt-on-error'
113 | 
114 |     # Run latex
115 |     shell_escape = ' -shell-escape' if 'begin{minted}' in text else ''
116 |     cmd_latex = '%(latex_program)s%(shell_escape)s %(latex_options)s %(name)s' % vars()
117 |     system(cmd_latex)
118 | 
119 |     if 'idx{' in text:
120 |         cmd = 'makeindex %(name)s' % vars()
121 |         system(cmd)
122 | 
123 |     if 'BIBFILE:' in text:
124 |         cmd = 'bibtex %(name)s' % vars()
125 |         system(cmd)
126 |     system(cmd_latex)
127 |     system(cmd_latex)
128 |     if latex_program == 'latex':
129 |         cmd = 'dvipdf %(name)s' % vars()
130 |         system(cmd)
131 |         # Could instead of dvipdf run the old-fashioned dvips and ps2pdf
132 | 
133 |     if version in ('2up', 'A4-2up'):
134 |         # Use pdfnup to make two pages per sheet
135 |         cmd = 'pdfnup --frame true --outfile %(name)s.pdf %(name)s.pdf' % vars()
136 |         system(cmd)
137 |     if postfix:
138 |         shutil.copy(name + '.pdf', name + '-' + postfix + '.pdf')
139 | 
140 | 
141 | def html(name, options='', split=False):
142 |     """
143 |     Make HTML file from the doconce file `name`
144 |     (without any .do.txt extension).
145 |     """
146 |     if name.endswith('.do.txt'):
147 |         name = name.replace('.do.txt', '')
148 | 
149 |     # Compile source
150 |     cmd = 'doconce format html %(name)s %(options)s ' % vars()
151 |     system(cmd)
152 | 
153 | 
154 |     cmd = u"doconce replace 'Figure' 'Рис.' %(name)s.html".encode('utf-8') % vars()
155 |     system(cmd)
156 | 
157 |     cmd = u"doconce replace 'figure' 'рис.' %(name)s.html".encode('utf-8') % vars()
158 |     system(cmd)
159 | 
160 |     cmd = u"doconce replace 'width=responsive' 'class=\"img-responsive\" style=\"max-width:600px; width:100%%;\"' %(name)s.html".encode('utf-8') % vars()
161 |     system(cmd)
162 | 
163 |     if split:
164 |         cmd = 'doconce split_html %(name)s' % vars()
165 |         system(cmd)
166 |         
167 |         for filename in glob.glob("._%(name)s*.html" % vars()):
168 |             if '000' not in filename:
169 |                 cmd = u"doconce replace '&larr; Prev' '&larr; Предыдущая глава' %s".encode('utf-8') % filename
170 |                 system(cmd)
171 | 
172 |                 cmd = u"doconce replace 'Next &rarr;' ' Следующая глава &rarr;' %s".encode('utf-8') % filename
173 |                 system(cmd)
174 | 
175 |         for filename in [name, '._%s000' % name]:
176 |             print(filename)
177 |             cmd = u"doconce replace 'Read' 'Перейти к первой главе' %s.html".encode('utf-8') % filename 
178 |             system(cmd)
179 | 
180 |             cmd = u"doconce subst '.*Next.*' '' %s.html".encode('utf-8') % filename 
181 |             system(cmd)
182 | 
183 | 
184 | 
185 | 
186 | def reveal_slides(name, options='', postfix='reveal', theme='darkgray'):
187 |     """Make reveal.js HTML5 slides from the doconce file `name`."""
188 |     if name.endswith('.do.txt'):
189 |         name = name.replace('.do.txt', '')
190 | 
191 |     # Compile source
192 |     if '--pygments_html_style=' not in options:
193 |         from doconce.misc import recommended_html_styles_and_pygment_styles
194 |         combinations = recommended_html_styles_and_pygment_styles()
195 |         options += ' --pygments_html_style=%s' % combinations['reveal'][theme][0]
196 |     if '--keep_pygments_html_bg' not in options:
197 |         options += ' --keep_pygments_html_bg'
198 |     options += ' --html_output="%(name)s-%(postfi)s'
199 | 
200 |     cmd = 'doconce format html %(name)s %(options)s ' % vars()
201 |     system(cmd)
202 | 
203 |     cmd = 'doconce slides_html %(name)s-%(postfi)s reveal --html_slide_theme=%(theme)s'
204 |     system(cmd)
205 | 
206 | def deck_slides(name, options='', postfix='deck', theme='sandstone.default'):
207 |     """Make deck.js HTML5 slides from the doconce file `name`."""
208 |     if name.endswith('.do.txt'):
209 |         name = name.replace('.do.txt', '')
210 | 
211 |     # Compile source
212 |     if '--pygments_html_style=' not in options:
213 |         from doconce.misc import recommended_html_styles_and_pygment_styles
214 |         combinations = recommended_html_styles_and_pygment_styles()
215 |         options += ' --pygments_html_style=%s' % combinations['deck'][theme][0]
216 |     if '--keep_pygments_html_bg' not in options:
217 |         options += ' --keep_pygments_html_bg'
218 |     options += ' --html_output="%(name)s-%(postfi)s'
219 | 
220 |     cmd = 'doconce format html %(name)s %(options)s ' % vars()
221 |     system(cmd)
222 | 
223 |     cmd = 'doconce slides_html %(name)s-%(postfi)s deck --html_slide_theme=%(theme)s'
224 |     system(cmd)
225 | 
226 | def beamer_slides(name, options='', postfix='beamer', theme='red_shadow',
227 |                   ptex2tex_envir='minted'):
228 |     """Make latex beamer slides from the doconce file `name`."""
229 |     if name.endswith('.do.txt'):
230 |         name = name.replace('.do.txt', '')
231 |     system('rm -f %(name)s.aux' % vars())
232 | 
233 |     # Compile source
234 |     shell_escape = '-shell-escape' if ptex2tex_envir == 'minted' else ''
235 |     cmd = 'doconce format pdflatex %(name)s %(options)s ' % vars()
236 |     system(cmd)
237 |     # Run latex
238 |     cmd = 'doconce ptex2tex %(name)s envir=%(ptex2tex_envir)s' % vars()
239 |     system(cmd)
240 |     cmd = 'doconce slides_beamer %(name)s --beamer_slide_theme=%(theme)s' % vars()
241 |     system(cmd)
242 |     cmd = 'pdflatex %(shell_escape)s %(name)s'
243 |     system(cmd)
244 |     system(cmd)
245 |     system('cp %(name)s.pdf %(name)s-%(postfi).pdf' % vars())
246 | 
247 |     cmd = 'doconce slides_html %(name)s-%(postfi)s deck --html_slide_theme=%(theme)s'
248 |     system(cmd)
249 | 
250 | 
251 | def sphinx(name, options='', dirname='sphinx-rootdir',
252 |            theme='pyramid', automake_sphinx_options='',
253 |            split=False):
254 |     """
255 |     Make Sphinx HTML subdirectory from the doconce file `name`
256 |     (without any .do.txt extension).
257 |     """
258 |     if name.endswith('.do.txt'):
259 |         name = name.replace('.do.txt', '')
260 | 
261 |     if name.endswith('.do'):
262 |         name = name.replace('.do','')
263 | 
264 |     # Compile source
265 |     cmd = 'doconce format sphinx %(name)s %(options)s ' % vars()
266 |     system(cmd)
267 | 
268 |     if split:
269 |         cmd = 'doconce split_rst %(name)s' % vars()
270 | 
271 |     # Create sphinx directory
272 |     cmd = 'doconce sphinx_dir theme=%(theme)s %(name)s' % vars()
273 |     system(cmd)
274 | 
275 |     # Compile sphinx
276 |     cmd = 'python automake_sphinx.py %(automake_sphinx_options)s' % vars()
277 |     system(cmd)
278 | 
279 | def doconce2format(name, format, options=''):
280 |     """Make given format from the doconce file `name`."""
281 |     if name.endswith('.do.txt'):
282 |         name = name.replace('.do.txt', '')
283 | 
284 |     # Compile source
285 |     cmd = 'doconce format %(format)s %(name)s %(options)s ' % vars()
286 |     system(cmd)
287 | 
288 | def plain(name, options=''):
289 |     doconce2format(name, 'plain', options)
290 | 
291 | def pandoc(name, options=''):
292 |     doconce2format(name, 'pandoc', options)
293 | 
294 | def ipynb(name, options=''):
295 |     doconce2format(name, 'ipynb', options)
296 | 
297 | def cwiki(name, options=''):
298 |     doconce2format(name, 'cwiki', options)
299 | 
300 | def mwiki(name, options=''):
301 |     doconce2format(name, 'mwiki', options)
302 | 
303 | def gwiki(name, options=''):
304 |     doconce2format(name, 'gwiki', options)
305 | 
306 | def cleanup_html(fn):
307 |     show = False
308 |     out = []
309 |     with codecs.open(fn, "r", encoding='utf-8') as f:
310 |         for line in f:
311 |             if "<!-- ------------------- end of main content --------------- -->" in line:
312 |                 show = False
313 |             if show:
314 |                 out.append(line)
315 |             if "<!-- ------------------- main content ---------------------- -->" in line:
316 |                 show = True
317 |     assert out, "No output in %s" % fn
318 |     with codecs.open(fn, 'w', encoding='utf-8') as f:
319 |         f.write("".join(out))
320 | 
321 | def mksnippets():
322 |     for fn in glob.glob("._*.html"):
323 |         with codecs.open(fn, 'r', encoding='utf-8') as thebook:
324 |             snippet_name = None
325 |             snippet_content = []
326 |             snippets = {}
327 |             for line in thebook:
328 |                 if 'navigation buttons at the bottom of the page' in line \
329 |                         or 'end of snippets' in line:
330 |                     break
331 |                 if 'snippet: ' in line:
332 |                     m = re.search(ur'snippet:\s*(\w+)', line)
333 |                     if m:
334 |                         snippet_name = m.groups(1)
335 |                         snippets[snippet_name] = snippet_content
336 |                 else:
337 |                     if snippet_name:
338 |                         if re.match('<h\d', line):
339 |                             snippet_content = []
340 |                             snippet_name = None
341 |                         else:
342 |                             snippet_content.append(line)
343 | 
344 |     for snippet_name, snippet_content in snippets.items():
345 |         with codecs.open("snippets/%s.html" % snippet_name, 
346 |                 'w', encoding='utf-8') as snippet:
347 |             snippet.write("".join(snippet_content))
348 | 
349 | 
350 | def main():
351 |     """
352 |     Produce various formats from the doconce source.
353 |     """
354 | 
355 |     dofile = "thebook"
356 | 
357 |     #spellcheck()
358 | 
359 |     common_options = '--encoding=utf-8 --examples_as_exercises '
360 | 
361 |     # --- HTML ---
362 | 
363 |     common_html_options = ' '
364 | 
365 |     # HTML Bootstrap
366 |     bootstrap_options = ' --html_style=bootswatch_readable --html_code_style=inherit --html_pre_style=inherit --toc_depth=2 --pygments_html_style=default --html_template=template_bootstrap_wtoc.html --html_figure_caption=bottom --html_figure_hrule=top+bottom' 
367 | 
368 |     html(
369 |       dofile,
370 |       options=common_options + common_html_options + bootstrap_options,
371 |       split=True)
372 | 
373 |     # One long HTML file
374 |     #html(dofile, options=common_options + common_html_options + ' --html_style=bloodish --html_output=%s-1' % dofile, split=False)
375 | 
376 |     # Solarized HTML
377 |     #html(dofile, options=common_options + common_html_options + ' --html_style=solarized3 --html_output=%s-solarized' % dofile, split=True)
378 | 
379 |     mksnippets()
380 |     sys.exit(1)
381 | 
382 |     # --- latex ---
383 | 
384 |     common_latex_options = ' --latex_code_style=vrb'
385 | 
386 |     for version in 'paper', 'screen':  # , 'A4', '2up', 'A4-2up':
387 |         latex(
388 |           dofile,
389 |           latex_program='pdflatex',
390 |           options=common_options + common_latex_options,
391 |           version=version,
392 |           postfix='auto')
393 | 
394 |     # --- Sphinx ---
395 | 
396 | #    sphinx_themes = ['pyramid',]
397 | #    for theme in sphinx_themes:
398 | #        dirname = 'sphinx-rootdir' if len(sphinx_themes) == 1 else 'sphinx-rootdir-%s' % theme
399 | #        sphinx(
400 | #          dofile,
401 | #          options=common_options + '',
402 | #          dirname=dirname,
403 | #          theme=theme,
404 | #          automake_sphinx_options='',
405 | #          split=False)
406 | 
407 |     # Dump all Unix commands run above as a Bash script
408 |     bash = open('tmp_make.sh', 'w')
409 |     print 'see tmp_make.sh for an equivalent auto-generated unix script'
410 |     bash.write('''#!/bin/bash
411 | set -x  # display all commands in output
412 | 
413 | # Safe execution of a Unix command: exit if failure
414 | function system {
415 |   "$@"
416 |   if [ $? -ne 0 ]; then
417 |     echo "make.sh: unsuccessful command $@"
418 |     echo "abort!"
419 |     exit 1
420 |   fi
421 | }
422 | ''')
423 |     for cmd in unix_command_recorder:
424 |         if cmd.startswith('doconce format') or cmd.startswith('rm '):
425 |             bash.write('\n')  # delimiter line in script
426 |         bash.write('system ' + cmd + '\n')
427 |     bash.close()
428 | 
429 |     print 'see tmp_output.log for the output of all the commands'
430 | 
431 | 
432 | if __name__ == '__main__':
433 |     main()
434 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter01.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Понятие дифференциального уравнения \label chap:notion_of_ODE
  2 | 
  3 | \section Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям 
  4 | 
  5 | Прежде чем говорить о дифференциальных уравнения в общем виде, обсудим
  6 | несколько простых примеров, в которых они возникают естественным образом.
  7 | 
  8 | \subsection Рост населения. Мальтузианская модель \label par:1:Malthus
  9 | 
 10 | Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду или
 11 | бактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особей
 12 | в популяции в этот момент времени. Это предположение кажется разумным (какая-то
 13 | часть популяции за единицу времени воспроизводится), если есть достаточное
 14 | количество ресурсов. Обозначим размер популяции в момент времени $t$ через
 15 | $x(t)$. Тогда мгновенная скорость роста равна $\frac{dx(t)}{dt}$. Обычно
 16 | производная по переменной $t$ обозначается точкой $\dot x(t)$, а не штрихом.
 17 | Таким образом, наш закон роста размера популяции можно записать так:
 18 | \equation
 19 |     \dot x(t)=kx(t),
 20 | где $k>0$ — коэффициент пропорциональности (константа).
 21 | 
 22 | \snippet \hidden \label snip:Malthus \flabel Мальтузианская модель
 23 |     \backref par:1:Malthus
 24 |     \em{Мальтузианская модель} роста населения предполагает, что в каждый момент
 25 |     времени скорость прироста популяции пропорциональна размеру популяции: $\dot
 26 |     x=kx$
 27 | 
 28 | Зависимость от $t$ обычно опускают и пишут просто
 29 | \equation
 30 |     \dot x=kx.
 31 | Это — одно из простейших (и важнейших) дифференциальных уравнений. Неизвестной
 32 | величиной в ней является не число (как в обычных алгебраических уравнениях) и не
 33 | вектор (как в линейной алгебре), а функция $x(t)$.
 34 | 
 35 | \subsection Рост экономики. Модель Солоу 
 36 | \snippet \label snip:Solow \flabel Модель Солоу
 37 |     Согласно \em{модели Солоу}, скорость прироста капиталовооруженности экономики
 38 |     (количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) в
 39 |     предположении отсутствия внешней торговли, технического прогресса и роста
 40 |     населения, описывается формулой
 41 |     \eq
 42 |         \dot k=sf(k)-\delta k,
 43 |     где $k=k(t)$ — капиталовооруженность экономики в момент времени $t$, $s$ —
 44 |     норма сбережения, $\delta$ — норма выбытия капитала.
 45 | 
 46 | \subsection Механическая система. Падающий шарик 
 47 |     \label par:1:freefall
 48 | 
 49 | Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его
 50 | отпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решать
 51 | дифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз.
 52 | Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранее
 53 | накопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от времени
 54 | будем обращаться к механическим примерам.
 55 | 
 56 | Пусть вертикальная координата шарика (высота) в момент времени $t$ есть $y(t)$.
 57 | Известно, что на тело, находящееся в поле тяготения земли (на не слишком большой
 58 | высоте) действует сила тяжести, равная
 59 | \eq
 60 |     F=-mg,
 61 | где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения (примерно равно 
 62 | 9.8 \rawhtml{м/с<sup>2</sup>}),
 63 | знак «-» выбран, поскольку сила тяжести действует в направлении «вниз» (против
 64 | направления роста $y$). Трением мы будем пренебрегать и считать, что никаких
 65 | других сил на шарик не действует.
 66 | 
 67 | Чтобы перейти к дифференциальным уравнениям, нужно вспомнить второй закон
 68 | Ньютона, который гласит, что \emph{ускорение} тела пропорционально действующей
 69 | на него силе и обратно пропорционально массе:
 70 | \eq
 71 |     a=F/m\quad\Leftrightarrow\quad F=ma.
 72 | Ускорение — это вторая производная от координаты по времени, она обозначается
 73 | двумя точками. Таким образом, мы имеем дифференциальное уравнение, описывающее
 74 | движение шарика:
 75 | \equation \label eq:1:ddot
 76 |     \ddot y=-g.
 77 | 
 78 | \section Простейшие дифференциальные уравнения  \label sec:1:simple
 79 | 
 80 | Вернёмся к математической точке зрения на дифференциальные уравнения. Начнём с
 81 | относительно общего определения.
 82 | 
 83 | \subsection Дифференциальное уравнение общего вида \label ssec:1:general
 84 | 
 85 | Дифференциальным уравнением называется соотношение вида
 86 | \equation \label{eq:1:general}
 87 |     \dot x=f(t, x),
 88 | где $x=x(t)$ — неизвестная функция, $f(t, x)$ — известная функция двух
 89 | переменных. Мы пока что будем рассматривать уравнения, в которых областью
 90 | значений неизвестной функции являются вещественные числа $\mathbb R$, но чуть
 91 | позже обсудим и более сложные случаи, когда $x$ принимает значение в многомерных
 92 | пространствах. Также отметим, что в уравнении \ref{eq:1:general} фигурирует
 93 | только первая производная неизвестной функции — это уравнение \emph{первого
 94 | порядка}. Позже мы обсудим, что делать с уравнениями более высоких порядков
 95 | (например, таких как \ref{eq:1:ddot}). Пока же остановимся на рассмотрении
 96 | уравнений вида \ref{eq:1:general}.
 97 | 
 98 | \em{Решением} дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция
 99 | $x=\ph(t)$, такая, что при подстановке её в уравнение получается верное
100 | равенство:
101 | \equation
102 |     \dot \ph(t)=f(t, \ph(t))\quad \forall t\in D(f),
103 | где $D(f)$ — область определения функции $f$: это может быть вся числовая ось,
104 | луч, отрезок, интервал или полуинтервал.
105 | 
106 | \remark \nonumber
107 |     Мы будем предполагать, что областью определения решения дифференциального
108 |     уравнения является связное множество (то есть, например, объединение двух
109 |     непересекающихся отрезков запрещено): всё-таки дифференциальные уравнения
110 |     пришли из реальных физических задач и описывают модель реального процесса —
111 |     трудно представить себе, что функция, описывающая состояние некоторой
112 |     системы, была бы сначала определена, потом не определена, а потом снова
113 |     определена. 
114 | 
115 | Рассмотрим несколько примеров.
116 | 
117 | \subsection Нулевая правая часть \label ssec:1:zero-rhs
118 | 
119 | Простейшее дифференциальное уравнение, которое только можно придумать, имеет вид
120 | \eq
121 |     \dot x=0.
122 | Его решениями являются функции $x(t)=C$, где $C$ — любая константа.
123 | Действительно, если функция имеет нулевую производную и при этом всюду
124 | дифференцируема, то она не меняется и значит равна константе. Заметим, что даже
125 | в таком простейшем случае мы имеем не одно, а сразу целое семейство решений.
126 | Аналогичная ситуация будет и в более сложных примерах.
127 | 
128 | \subsection Постоянная правая часть \label ssec:1:const-rhs
129 | 
130 | Чуть более сложное уравнение:
131 | \eq
132 |     \dot x=k,
133 | где $k$ — константа. Это уравнение движения с постоянной скоростью, его
134 | решениями являются всевозможные линейные функции
135 | \eq
136 |     x(t)=kt+C,
137 | Заметим, что в этом случае константа $C$ задаёт значение функции в начальный
138 | момент времени $t=0$.
139 | 
140 | \subsection Правая часть, зависящая только от времени 
141 |     \label par:1:onlytime
142 | 
143 | Рассмотрим несколько более сложный пример: пусть функция $f(t,x)$ в правой части
144 | \ref{eq:1:general} на самом деле не зависит от $x$.
145 | 
146 | \equation
147 |     \label{eq:1:int}
148 |     \dot x=f(t).
149 | Задачу отыскания решения такого дифференциального уравнения можно сформулировать
150 | следующим образом: \em{для каждого значения независимой переменной $t$ известна
151 | производная некоторой функции; найти эту функцию}. Нетрудно видеть, что это
152 | в точности задача интегрирования (отыскания первообразной). Решение такого
153 | уравнения задаётся таким образом \em{неопределенным интегралом}, который можно
154 | записать в виде
155 | \equation
156 |     \label{eq:1:intsol}
157 |     x(t)=\int f(t) dt=\int_{t_0}^t f(\tau)d\tau+C.
158 | 
159 | Неопределенный интеграл по определению является семейством функций, а при записи
160 | его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указывать
161 | константу интегрирования явным образом.
162 | 
163 | \subsection Начальные условия. Задача Коши \label par:1:Cauchy_problem
164 | 
165 | \idx Задача Коши
166 | 
167 | Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычно
168 | вместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительное
169 | соотношение, называемое \em{начальным условием} — значение решения в какой-то
170 | момент времени (не обязательно $t=0$) полагают равным константе. 
171 | 
172 | Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, что
173 | поставлена \em{задача Коши} (по-английски \em{Initial Value Problem}).
174 | \snippet \hidden \label snip:Cauchy_problem \flabel Задача Коши
175 |     \backref par:1:Cauchy_problem
176 |     Если вместе с дифференциальным уравнением вида $\dot x = f(t, x)$ задано
177 |     \em{начальное условие} $x(t_0)=x_0$, где $t_0$ и $x_0$ — некоторые
178 |     константы, то говорят, что поставлена \em{задача Коши} (англоязычный термин
179 |     \em{Initial Value Problem}).  Само дифференциальное уравнение имеет целое
180 |     семейство решений, но начальному условию из них удовлетворяет только одно
181 |     (если дифференциальное уравнение не слишком плохое).
182 |     
183 | Например, можно рассмотреть такую задачу:
184 | 
185 | \equation
186 |     \label{eq:1:Cauchy}
187 |     \dot x=f(t),\quad x(5)=0
188 | 
189 | Eё решением будет уже только одна функция:
190 | \equation
191 |     \label{eq:1:Cauchy_sol}
192 |     x(t)=\int_5^t f(\tau)d\tau
193 | Действительно, любой интеграл вида \ref{eq:1:intsol} является решением уравнения
194 | \ref{eq:1:int}, а значит, и функция в \ref{eq:1:Cauchy_sol} им является.
195 | Остаётся проверить начальное условие. При подстановке $t=5$ решение
196 | $x(5)=\int_5^5 f(\tau)d\tau = 0$, то есть начальное условие выполняется.
197 | 
198 | \question
199 |     Каким будет решение уравнения \ref{eq:1:int} при начальном условии $x(5)=1$?
200 |     \quiz
201 |         \choice
202 |             $x(t)=\int_5^1 f(\tau)d\tau$
203 |             \comment Неверно, эта функция вообще является константой.
204 | 
205 |         \choice \correct
206 |             $x(t)=\int_5^t f(\sigma)d\sigma + 1$
207 |             \comment Верно!
208 | 
209 |         \choice $x(t)=\int_t^t f(\tau)d\tau + 1$
210 |             \comment Неверно, обратите внимание на пределы интегрирования.
211 | 
212 | \subsection Простейшее линейное уравнение \label par:1:xdotx
213 | 
214 | Положим в уравнении роста населения $k=1$. Получим следующее уравнение:
215 | \equation
216 |     \label{eq:1:xdotx}
217 |     \dot x=x
218 | Какие функции будут его решениями? Словами можно сказать, что условие,
219 | накладываемое этим уравнением, звучит так: «Производная функции равна самой этой
220 | функции». Одна известная функция обладает таким свойством — это экспонента
221 | $x(t)=e^t$. Нетрудно видеть, что если умножить экспоненту на любое число,
222 | получающаяся функция $x(t)=Ce^t$ также будет решением этого уравнения. В
223 | частности, очевидно, что решением будет функция $x(t)\equiv 0$.
224 | 
225 | \question
226 |     Является ли решением уравнения \ref{eq:1:xdotx} функция $x(t)=e^t+C$ при $C\ne 0$?
227 |     \quiz
228 |         \choice Да, при любых $C\ne 0$.
229 |             \comment 
230 |                 Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и
231 |                 посчитать производную.
232 | 
233 |         \choice При некоторых $C\ne 0$ является, а при других нет.
234 |             \comment 
235 |                 Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и
236 |                 посчитать производную.
237 | 
238 |         \choice \correct
239 |             Не является ни при каких $C\ne 0$.
240 |             \comment 
241 |                 Верно, если подставить функцию в уравнение, $C$
242 |                 уничтожится при дифференцировании в левой части, но не уничтожится в
243 |                 правой. Таким образом, уравнение \ref{eq:1:xdotx} принципиально
244 |                 отличается от уравнений вида \ref{eq:1:int}, рассмотренных ранее.
245 | 
246 | \remark \nonumber
247 |     Мы пока не доказали, что других решений, кроме перечисленных, у этого
248 |     уравнения нет. Мы вернемся к этому вопросу в \ref[главе][chap:3:eu], когда
249 |     будем обсуждать существование и единственность решений дифференциальных
250 |     уравнений. 
251 | 
252 | \section Геометрические объекты \label{par:1:geoms}
253 | 
254 | В рассмотренных выше примерах неизвестная функция $x(t)$ принимала значения во
255 | множестве вещественных чисел. В общем случае функция $x(t)$ может принимать
256 | значения в других множествах — например, в многомерных пространствах. Множество,
257 | в котором принимает значение неизвестная функция (или, иными словами, множество
258 | всевозможных значений $x(t)$ при каком-нибудь фиксированном $t$) называется
259 | \em{фазовым пространством} дифференциального уравнения. Множество точек вида
260 | $(t, x)$ (декартово произведение фазового пространства на ось времени) называется
261 | \em{расширенным фазовым пространством}. График решения называется \em{интегральной
262 | кривой}. Интегральные кривые живут в расширенном фазовом пространстве.
263 | 
264 | \snippet \hidden \label snip:integral_curve \flabel Интегральная кривая
265 |     \backref par:1:geoms
266 |     \em{Интегральная кривая} дифференциального уравнения — это просто график его
267 |     решения.  Интегральная кривая лежит в расширенном фазовом пространстве и в
268 |     каждой своей точке касается поля направлений, соответствующего
269 |     дифференциальному уравнению.
270 | 
271 | Построим некоторые интегральные кривые для уравнения $\dot x=x$. Как мы уже
272 | знаем, ими будут графики экспонент.
273 | 
274 | \figure \label fig:1:exp \showcode
275 |     \pythonfigure
276 |         plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 6)
277 |         ob.axes4x4()
278 |         initials = list(range(-5, -1)) + [0.15] + [x/np.exp(1) for x in [1, 2, 3]]
279 |         initials.extend([-x for x in initials])
280 |         initials.append(0)
281 |         for C in initials:
282 |             ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda t, C=C: C * np.exp(t),
283 |                      color='steelblue', linewidth=1.5) 
284 |     \caption Графики решений дифференциального уравнения $\dot x=x$
285 | 
286 | \snippet \hidden \label snip:direction_field \flabel Поле направлений
287 |     \em{Полем направлений} для уравнения $\dot x=f(t, x)$ называется такая
288 |     картинка: через каждую точку $(t_0, x_0)$ проведём прямую, угловой
289 |     коэффициент которой равен $f(t_0, x_0)$. Вся совокупность этих прямых
290 |     и будет полем направлений. График решения уравнения касается прямой из
291 |     поля направлений в каждой своей точке.
292 | 
293 | Если бы мы не знали, какие на самом деле решения нашего дифференциального
294 | уравнения (а это наиболее распространенный случай, чаще всего дифференциальные
295 | уравнения не решаются явно), мы всё равно могли бы примерно представить себе,
296 | как выглядят интегральные кривые. Чтобы это сделать, нам нужно построить
297 | \em{поле направлений} или \em{поле прямых}.
298 | 
299 | Вот что это такое. Возьмём произвольную точку $P=(t_0, x_0)$ расширенного
300 | фазового пространства. Например, $t_0=1$, $x_0=3$. Мы можем провести в точке $P$
301 | касательную к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Действительно,
302 | чтобы провести прямую через фиксированную точку, нужно знать только её угловой
303 | коэффициент, но угловой коэффициент касательной к графику некоторой функции
304 | равняется производной этой функции. А производную решения мы знаем, по
305 | определению решения она равна правой части уравнения. Для уравнения
306 | \ref{eq:1:xdotx} правая часть в точке $x$ равна $x$ и, значит, касательная,
307 | проходящая через точку $P$, имеет угловой коэффициент, равный $x_0=3$. Можно
308 | взять ещё несколько точек на прямой $t=1$ и провести соответствующие касательные
309 | через них. Получится такая картинка, см. \ref[рис.][fig:1:dirfield1].
310 | 
311 | \figure \label fig:1:dirfield1 \showcode \collapsed
312 |     \pythonfigure
313 |         ob.axes4x4()
314 |         xs=range(-4,5)
315 |         plt.scatter([1] * len(xs),xs)
316 |         for x0 in xs:
317 |             ob.mplot(np.linspace(0,5),
318 |                     lambda t, x0=x0: x0 * (t - 1) + x0,
319 |                     linestyle='dashed',
320 |                     linewidth=0.5,
321 |                     color='black')
322 |             ob.mplot(np.linspace(1 - 0.2, 1 + 0.2),
323 |                     lambda t, x0=x0: x0 * (t - 1) + x0,
324 |                     color='red',
325 |                     linewidth=1.5)
326 |     \caption Касательные к решениям
327 | 
328 | \question
329 |     Почему прямые пересекаются в начале координат?
330 | 
331 | Понятно, что можно, действуя аналогично, построить касательные к решениям не
332 | только в выбранных точках, но и вообще в любой точке расширенного фазового
333 | пространства. В данном случае правая часть не зависит от $t$ явно, поэтому через
334 | любые две точки, лежащие на одной горизонтальной прямой, будут проходить
335 | параллельные касательные. Мы будем рисовать только маленькие кусочки этих
336 | касательных. 
337 | 
338 | \figure \label fig:1:dirfield2 \showcode \collapsed
339 |     \pythonfigure
340 |         plt.cla()
341 |         ob.axes4x4()
342 |         ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5),
343 |                         np.arange(-4, 4, 0.5),
344 |                         lambda x, y: y,
345 |                         color='red',
346 |                         linewidth=1.5,
347 |                         length=0.6)
348 |     \caption Поле направлений
349 | 
350 | На картинке изображены прямые, проходящие через какие-то конкретные точки, но на
351 | самом деле такая прямая может быть проведена через любую точку. Вся совокупность
352 | этих прямых и будет \em{полем направлений}. 
353 | 
354 | \remark \nonumber
355 |     Часто в этом месте возникает вопрос: прямые, проходящие через каждую точку
356 |     плоскости, заполнят собой всю плоскость — значит ли это, что поле
357 |     направлений является всей плоскостью? На самом деле, нет: поле направлений
358 |     не является \em{объединением} прямых; прямые, проведённые через разные
359 |     точки, никак не взаимодействуют друг с другом. Более аккуратно было бы
360 |     сказать, что поле направлений — это отображение из расширенного фазового
361 |     пространства во множество прямых, проходящих через фиксированную точку.
362 |     Чтобы это сказать совсем аккуратно, следовало бы ввести понятие касательного
363 |     расслоения, но мы этого не делать не будем.
364 | 
365 | \figure \label fig:1:dirfield3 \showcode \collapsed
366 |     \pythonfigure
367 |         plt.cla()
368 |         ob.axes4x4()
369 |         ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5), 
370 |                         np.arange(-4, 4, 0.5),
371 |                         lambda x, y: y,color='red',
372 |                         linewidth=1.5,
373 |                         length=0.6)
374 |         initials = list(range(-5, -1)) + [0.15] + [x/np.exp(1) for x in [1, 2, 3]]
375 |         initials.extend([-x for x in initials])
376 |         initials.append(0)
377 |         for C in initials:
378 |             ob.mplot(np.linspace(-4, 4),
379 |                     lambda t, C=C: C * np.exp(t),
380 |                     color='steelblue', linewidth=1.5) 
381 |     \caption Поле направлений и интегральные кривые
382 | 
383 | Теперь задача отыскания решения дифференциального уравнения сводится к такой
384 | геометрической задаче: нужно найти кривую, которая в каждой своей точке касается
385 | прямой, принадлежащей полю направлений и проходящей через эту точку.
386 | 
387 | Эта интерпретация скоро окажется для нас очень полезной.
388 | 
389 | \section Выводы
390 | 
391 | Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, в которых
392 | участвует время. Предмет рассмотрения нашего курса — обыкновенные дифференциальные уравнения, они имеют вид $\dot x = f(t, x)$, где $x=x(t)$ — неизвестная функция,
393 | определённая на всей оси $t$ или на какой-то его связной компоненте (отрезке,
394 | интервале, полуинтервале, луче). Решением дифференциального уравнения всегда
395 | является семейство функций; чтобы выбрать из них одну, нужно задать начальное
396 | условие. Множество всех возможных значений функции $x$ называется \emph{фазовым
397 | пространством}, а его декартово произведение на ось времени — \emph{расширенным фазовым
398 | пространством}. График решения (кривая в расширенном фазовом пространстве)
399 | называется \emph{интегральной кривой}. Если в каждой точке расширенного фазового
400 | пространства провести прямую, уголовой коэффициент которой равен значению правой
401 | части уравнения в этой точке, то получится \emph{поле прямых} или \emph{поле
402 | направлений}. Всякая интегральная кривая в каждой своей точке касается прямой из поля прямых, проходящей через данную точку.
403 | 
404 | Мы рассмотрели ряд примеров и ввели много новых понятий, но пока ничего не
405 | говорили о самом интригующем: как всё-таки решать дифференциальные уравнения?
406 | Короткий ответ неутешителен: дифференциальные уравнения обычно не решаются явно.
407 | (Если вас это расстраивает, подумайте о том, что обычные алгебраические
408 | уравнения начиная с пятой степени тоже как правило не решаются явно.) Тем не
409 | менее, мы научимся решать уравнения некоторых специальных классов (займёмся этим
410 | уже в следующей главе), а затем обсудим, что можно сделать с теми уравнениями,
411 | которые не решаются.
412 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter10_prim.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Особые точки нелинейных систем на плоскости \label chap:10prim:linearization
  2 | 
  3 | В \ref[предыдущей главе\nonumber][chap:10:linear-systems] мы обсудили, как
  4 | устроены особые точки линейных систем на плоскости. Но что мы будем делать,
  5 | если нам встретится нелинейное уравнение?
  6 | 
  7 | \section Линеаризация особой точки
  8 | 
  9 | Рассмотрим систему
 10 | \equation
 11 |     \dot x = f(x, y),\quad \dot y = g(x, y).
 12 | Пусть точка $\mb z_*=(x_*, y_*)$ является положением равновесия, то есть особой
 13 | точкой нашей системы. В этом случае $f(x_*, y_*)=0$ и $g(x_*, y_*)=0$. Чтобы не
 14 | писать каждый раз две переменные, введём векторные обозначения: $\mb z = (x, y)$
 15 | и $\mb F(\mb z) = (f(\mb z), g(\mb z))$. Система принимает вид
 16 | \equation \label eq:10prim:dotz
 17 |     \dot{\mb z} = \mb F(\mb z)
 18 | 
 19 | Мы предполагаем, что функции $f$ и $g$ по крайней мере $C^1$-гладкие (то есть
 20 | имеют непрерывные частные производные) и значит отображение $\mb F$ является
 21 | дифференцируемым. Из определения производной для функции нескольких переменных
 22 | следует, что
 23 | 
 24 | \equation \label eq:10prim:Fz
 25 |     \mb F(\mb z) = \mb F(\mb z_*) + \left.\frac{\partial \mb F}{\partial \mb
 26 |         z}\right|_{\mb z = \mb z_*}(\mb z-\mb z_*) + o(\\|\mb z-\mb z_*\\|).
 27 | Здесь $\frac{\partial \mb F}{\partial \mb z}$ — матрица Якоби для отображения
 28 | $\mb F$, то есть матрица, составленная из частных производных функций $f$ и $g$. Обозначим эту матрицу через $A$:
 29 | \eq
 30 |     A = \begin{pmatrix}
 31 |             f'_x(x_*, y_*) & f'_y(x_*, y_*) \\\\
 32 |             g'_x(x_*, y_*) & g'_y(x_*, y_*)
 33 |         \end{pmatrix}.
 34 | Заметим, что в \ref{eq:10prim:Fz} слагаемое $\mb F(\mb z_*)$ равно нулю, поскольку
 35 | $\mb z_*$ является особой точкой.
 36 | 
 37 | Сделаем замену переменных: $\mb w = (u, v) = \mb z - \mb z_* = (x-x_*,
 38 | y-y_*)$. Таким образом мы перенесли особую точку в начало координат. Соотношение 
 39 | \ref{eq:10prim:Fz} принимает вид
 40 | 
 41 | \equation \label eq:10prim:wA
 42 |     \mb F(\mb z_* + \mb w)=A\mb w+o(\\|\mb w\\|).
 43 | И уравнение \ref{eq:10prim:dotz} записывается таким образом:
 44 | \equation
 45 |     \dot{\mb w} = A \mb w + o(\\|\mb w\\|).
 46 | Если отбросить второе слагаемое $o(\\|\mb w\\|)$, малое по сравнению с первым,
 47 | получится система
 48 | \equation
 49 |     \dot{\mb w} = A \mb w,
 50 | являющаяся линейной. Она называется \emph{линеаризацией} нелинейной системы
 51 | \ref{eq:10prim:dotz} в особой точке $\mb z = \mb z_*$.
 52 | 
 53 | Как связаны решения нелинейной системы с решениями её линеаризации в окрестности
 54 | особой точки? Отброшенное при переходе к линеаризации слагаемое является очень
 55 | маленьким, и чем ближе мы к особой точке, тем оно меньше. Можем ли мы им
 56 | пренебречь, если нас интересует поведение системы вблизи особой точки, по
 57 | крайней мере, на каком-то качественном уровне? Оказывается, ответ зависит от
 58 | типа получившейся линейной особой точки.
 59 | 
 60 | \section Свойства нелинейных особых точек
 61 | 
 62 | Говорят, что нелинейная особая точка является, например, центром \emph{по
 63 | линейным членам}, если её линеаризация является центром. Аналогично с другими
 64 | типами особых точек.
 65 | 
 66 | Если говорить коротко, то фазовые портреты особых точек, являющихся узлами,
 67 | фокусами или сёдлами по линейным членам, очень похожи на фазовые портреты своих
 68 | линеаризаций. Для точек с линеаризацией «центр» это утверждение неверно. Ниже мы
 69 | сформулируем что это значит более строго.
 70 | 
 71 | \subsection Невырожденный узел
 72 | 
 73 | Фазовые портреты линейных узлов выглядят по-разному в зависимости от типа узла.
 74 | Если узел невырожденный, то есть собственные значения различны и существуют два
 75 | разных собственных вектора, то почти все траектории стремятся к особой точке (в прямом
 76 | или обратном времени), касаясь того собственного вектора, чьё собственное
 77 | значение меньше по модулю. Фазовые кривые похожи на ветви парабол. Исключение
 78 | составляют траектории с начальными условиями, лежащими на том собственном
 79 | векторе, у которого собственное значение больше по модулю.
 80 | 
 81 | Например, у системы
 82 | 
 83 | \eq
 84 |     \dot x = x, \quad \dot y = 2y
 85 | собственные векторы — $(1, 0)$ с собственным значением 1 и $(0, 1)$ с
 86 | собственным значением 2. Решением является вектор-функция, задаваемая компонентами $x(t)=x_0e^t$, $y(t)=y_0 e^{2t}$. При $x_0 \ne 0$ траектория лежит на параболе
 87 | \eq
 88 |     y = \frac{y_0}{x_0^2} x^2
 89 | и стремится к началу координат в обратном времени (при $t\to -\infty$), касаясь
 90 | горизонтального направления (то есть направления собственного вектора с меньшим
 91 | по модулю собственным значением). Исключением являются траектории с $x_0=0$: они
 92 | стремятся к нулю вдоль вертикального направления (то есть вдоль собственного
 93 | вектора с большим собственным значением).
 94 | 
 95 | \theorem
 96 |     Вблизи нелинейной особой точки, являющейся невырожденным узлом по линейным
 97 |     членам, почти все фазовые кривые стремятся к особой точке, касаясь
 98 |     собственного вектора с меньшим по модулю собственным значением.  Исключением
 99 |     является сама особая точка и ещё две специальные траектории, касающиеся
100 |     другого собственного вектора.
101 | 
102 | Эту и следующие теоремы можно было бы вывести из так называемой теории
103 | нормальных форм, но это выходит за рамки нашего курса. Поэтому мы ограничимся
104 | примерами.
105 | 
106 | \example
107 |     Построим фазовый портрет системы
108 |     \eq
109 |         \begin{cases}
110 |             \dot x = 2x+3y+0{,}3 x^2+0{,}2 y^2 \\\\
111 |             \dot y = x + 4y + 0{,}1 x^2
112 |         \end{cases}
113 |     вблизи особой точки $(0, 0)$.  Её линеаризация в этой точке имеет матрицу из
114 |     \ref[примера][ex:10:example] предыдущей главы.
115 |     \eq
116 |         \begin{pmatrix}
117 |             2 & 3 \\\\
118 |             1 & 4
119 |         \end{pmatrix}.
120 |     Собственные значения $1$ и $5$, собственные векторы $(-3, 1)$ и $(1, 1)$. На
121 |     рис. \ref{fig:10prim:node} видно, что почти все отмеченные траектории
122 |     касаются вектора $(-3, 1)$.
123 | 
124 |     \figure \label fig:10prim:node \showcode \collapsed
125 |         \pythonfigure \style max-width: 700px;
126 |             plt.figure(figsize=(12, 6))
127 | 
128 |             theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
129 |             r = 3
130 |             u = 1.5 * np.cos(theta) * r
131 |             v = 4 * np.sin(theta) * r
132 | 
133 |             C = np.array([[-3, 1], [1, 1]])
134 | 
135 |             def linear(X, t=0):
136 |                 return np.array([2 * X[0] + 3 * X[1], X[0] + 4 * X[1]])
137 |             def non_linear(X, t=0, linear=linear):
138 |                 return linear(X) + np.array([0.3 * X[0]**2 + 0.2 * X[1]**2, 
139 |                                              0.1 * X[0]**2])
140 | 
141 |             plt.subplot(122)
142 |             ob.axes4x4(labels=('x','y'))
143 | 
144 | 
145 |             ob.phaseportrait(linear,
146 |                              (0.25 * C @ np.array([u, v])).T, [-2, 2], n=50, 
147 |                              linewidth=1.5)
148 | 
149 |             plt.arrow(0,0,-3,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)
150 |             plt.arrow(0,0,1,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)
151 | 
152 |             plt.subplot(121)
153 |             ob.axes4x4(labels=('x','y'))
154 |             ob.phaseportrait(non_linear,
155 |                              (0.25 * C @ np.array([u, v])).T, [-2, 0.3], n=50, 
156 |                              linewidth=1.5)
157 | 
158 |             plt.arrow(0,0,-3,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)
159 |             plt.arrow(0,0,1,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)
160 |         \caption
161 |             Фазовые портреты нелинейного узла (слева) и его линеаризации
162 |             (справа) в малой окрестности особой точки $(0, 0)$.
163 | 
164 |     Заметим, что фазовые портреты похожи только в небольшой окрестности особой
165 |     точки. Если мы удаляемся от особой точки, то нелинейные слагаемые начинают
166 |     играть всё большую роль, и фазовые портреты сильно различаются, см.
167 |     \ref[рис.][fig:10prim:node-zoomout].
168 | 
169 |     \figure \label fig:10prim:node-zoomout \showcode \collapsed
170 |         \pythonfigure \style max-width: 700px;
171 |             def linear(X, t=0):
172 |                 return np.array([2 * X[0] + 3 * X[1], X[0] + 4 * X[1]])
173 |             def non_linear(X, t=0, linear=linear):
174 |                 return linear(X) + np.array([0.3 * X[0]**2 + 0.2 * X[1]**2, 
175 |                                              0.1 * X[0]**2])
176 | 
177 |             plt.figure(figsize=(12, 6))
178 | 
179 |             xmin, xmax, ymin, ymax = -10, 10, -10, 10
180 | 
181 |             x = np.linspace(xmin, xmax, 500)
182 |             y = np.linspace(ymin, ymax, 500)
183 |             X, Y = np.meshgrid(x, y)
184 |             U, V = linear([X, Y])
185 | 
186 |             plt.subplot(121)
187 |             ob.axes4x4(labels=('x', 'y'), xmin=xmin, xmax=xmax, ymin=ymin, 
188 |                        ymax=ymax, 
189 |                        fontsize=14)
190 |             plt.streamplot(x, y, U, V)
191 | 
192 |             plt.subplot(122)
193 |             ob.axes4x4(labels=('x', 'y'), xmin=xmin, xmax=xmax, ymin=ymin, 
194 |                       ymax=ymax,
195 |                       fontsize=14)
196 |             U_, V_ = non_linear([X, Y])
197 |             plt.streamplot(x, y, U_, V_)
198 |         \caption 
199 |             Фазовые портреты нелинейной системы (справа) и её линеаризации
200 |             (слева) в большой окрестности начала координат
201 | 
202 | \subsection Дикритический узел: скалярная матрица
203 | Если собственные значения совпадают и матрица линеаризации является скалярной
204 | (то есть тождественной умноженной на число), то все фазовые траектории (кроме
205 | особой точки) — лучи прямых, каждая стремится к особой точке под собственным
206 | углом. Для соответствующей нелинейной системы траектории не обязаны быть лучами
207 | прямых, но характеристическое свойство — стремиться к особой точке под своим
208 | собственным углом — у них сохраняется.
209 | 
210 | \theorem
211 |     Вблизи нелинейной особой точки, являющейся дикритическим узлом по линейным
212 |     членам, все траектории (кроме самой особой точки) стремятся к особой точке,
213 |     каждая под своим собственным углом. Для всякого ненулевого вектора,
214 |     приложенного к началу координат, существует единственная траектория, касающееся
215 |     этого вектора при $t\to +\infty$ или $t\to -\infty$.
216 | 
217 | \figure \label fig:10prim:dicritic \showcode \collapsed
218 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
219 |         plt.figure(figsize=(12, 6))
220 | 
221 |         theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
222 |         r = 4
223 |         x = np.cos(theta) * r
224 |         y = np.sin(theta) * r
225 | 
226 |         plt.subplot(122)
227 |         ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
228 |         ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0], X[1]]), 
229 |                         np.array([x, y]).T, [-4, 2], n=50, linewidth=1.5)
230 | 
231 |         plt.subplot(121)
232 |         ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
233 | 
234 |         ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0] - 0.2*X[0]**2, X[1]]), 
235 |                         np.array([x, y]).T, [-4, 0.2], n=50, linewidth=1.5)
236 |     \caption
237 |         Нелинейный дикритический узел (слева) и его линеаризация (справа).
238 | 
239 | \subsection Вырожденный узел: жорданова клетка
240 | Если собственные значения совпадают, но матрица не является скалярной, то она в
241 | некотором базисе является жордановой клеткой. У неё есть единственный
242 | собственный вектор и все траектории такой системы, кроме особой точки, стремятся
243 | к особой точке, касаясь этого собственного вектора.
244 | 
245 | \theorem
246 |     Вблизи нелинейной особой точки, являющейся вырожденным узлом по линейным
247 |     членам, все траектории (кроме самой особой точки) стремятся к особой точке,
248 |     касаясь единственного собственного вектора матрицы линеаризации.
249 | 
250 | \figure \showcode \collapsed
251 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
252 |         plt.figure(figsize=(12, 6))
253 | 
254 |         y = np.linspace(-4, 4, 21)
255 |         x = y * 0.2
256 | 
257 |         plt.subplot(122)
258 |         ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
259 | 
260 |         ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([- X[0] + 3 * X[1], -X[1]]), 
261 |                         np.array([x, y]).T, [-2, 4], n=50, linewidth=1.5)
262 | 
263 |         plt.subplot(121)
264 |         ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
265 | 
266 |         ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([- X[0] + 3 * X[1] + 0.1*X[1]**2, 
267 |                                                   -X[1] + 0.05 * X[0] ** 2]), 
268 |                         np.array([x, y]).T, [-2, 4], n=50, linewidth=1.5)
269 |     \caption
270 |         Нелинейный вырожденный узел (слева) и его линеаризация
271 |         (справа) в малой окрестности особой точки.
272 | \subsection Фокус
273 | 
274 | В отличие от узлов, траектории фокусов стремятся к особой точке, не касаясь
275 | какого-то направления, а совершая бесконечное число оборотов вокруг особой
276 | точки. Аналогичное утверждение справедливо и для соответствующих нелинейных
277 | систем.
278 | 
279 | \theorem 
280 |     Вблизи нелинейной особой точки, являющейся фокусом по линейным
281 |     членам, все траектории (кроме самой особой точки) являются спиралями,
282 |     совершающими бесконечное число оборотов при при $t\to +\infty$ или $t\to
283 |     -\infty$. 
284 | 
285 | \subsection Седло
286 | 
287 | У сёдел есть два вещественных собственных значения разных знаков и,
288 | соответственно, два собственных вектора.  Их фазовые кривые — ветви гипербол,
289 | кроме самой особой точки и четырёх прямолинейных лучей, называющихся
290 | \emph{сепаратрисами}. Две сепаратрисы стремятся к седлу при $t\to +\infty$ вдоль
291 | собственного вектора с отрицательным собственным значениям (такие сепаратрисы
292 | называются \emph{входящими}), две другие
293 | сепаратрисы стремятся к седлу при $t\to -\infty$ вдоль собственного вектора с
294 | положительным собственным значением (это \emph{исходящие} сепаратрисы).
295 | 
296 | Например, для простейшего случая
297 | 
298 | \eq
299 |     \dot x = x, \quad \dot y = -y
300 | входящие сепаратрисы — лучи $x=0, y>0$ и $x=0, y<0$, а исходящие — лучи $x>0,
301 | y=0$ и $x<0, y=0$.
302 | 
303 | У соответствующей нелинейной особой точки также существуют сепаратрисы. Они не
304 | обязаны быть прямыми, но обязаны касаться собственных векторов.
305 | 
306 | \theorem
307 |     Вблизи нелинейной особой точки, являющейся седлом по линейным
308 |     членам, существуют две траектории, стремящиеся
309 |     к особой точке при $t\to +\infty$, касаясь собственного вектора с
310 |     отрицательным собственным значением, и ещё две траектории, стремящиеся к
311 |     особой точке при $t\to -\infty$, касаясь собственного вектора с
312 |     положительным собственным значением. Эти траектории называются
313 |     \emph{сепаратрисами} нелинейного седла.
314 | 
315 | Это — знаменитая теорема Адамара — Перрона, первый результат так называемой
316 | гиперболической динамики.
317 | 
318 | \figure \showcode \collapsed
319 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
320 |         from itertools import product
321 |         from scipy.integrate import odeint
322 |         from scipy.optimize import bisect
323 | 
324 |         C = np.array([[2, 1], [1, -1]])
325 |         A = C @ np.diag([1, -1]) @ np.linalg.inv(C)
326 | 
327 |         def find_sep(f, init_func, test_func, T=10):
328 |             def my_test(s):
329 |                 init = init_func(s)
330 |                 out = odeint(f, init, [0, T])[1]
331 |                 return test_func(out)
332 |             return init_func(bisect(my_test, 0, 1))
333 | 
334 |         def linear_homotopy(A, B, s):
335 |             return A*(1-s) + B*s
336 | 
337 |         def linear(X, t=0):
338 |             return np.tensordot(A, X, axes=(1, 0))
339 | 
340 |         def non_linearity(X):
341 |             return np.array([0.2*X[0]**2, -0.1*X[0]**2])
342 | 
343 |         def non_linear(X, t=0):
344 |             return linear(X) + non_linearity(X)
345 | 
346 |         def draw_seps(field):
347 |             stable_sep_inits = [find_sep(field, 
348 |                                     lambda s: linear_homotopy(*endpoints, s),
349 |                                     lambda X: X[0] + X[1], T=20)
350 |                                 for endpoints in np.array([[[-3, 0], [0, 3]],
351 |                                                           [[0, -3], [3, 0]]])]
352 | 
353 |             unstable_sep_inits = [find_sep(lambda X, t: -field(X, t), 
354 |                                     lambda s: linear_homotopy(*endpoints, s),
355 |                                     lambda X: X[0] - X[1], T=20)
356 |                                 for endpoints in np.array([[[-3, 0], [0, -3]],
357 |                                                           [[0, 3], [3, 0]]])]
358 |             ob.phaseportrait(field, stable_sep_inits, t=(-1, 5), color='green')
359 |             ob.phaseportrait(field, unstable_sep_inits, t=(-5, 1), color='red')
360 | 
361 | 
362 |         plt.figure(figsize=(12, 6))
363 | 
364 |         plt.subplot(122)
365 |         ob.axes4x4(labels=('x','y'), fontsize=14)
366 | 
367 |         x = np.linspace(-4, 4)
368 |         y = np.linspace(-4, 4)
369 |         Z = np.meshgrid(x, y)
370 |         W = linear(Z)
371 |         plt.streamplot(*Z, *W)
372 | 
373 |         draw_seps(linear)
374 | 
375 |         plt.subplot(121)
376 |         ob.axes4x4(labels=('x','y'), fontsize=14)
377 | 
378 |         W_ = non_linear(Z)
379 | 
380 |         plt.streamplot(*Z, *W_)
381 |         draw_seps(non_linear)
382 |     \caption
383 |         Фазовый портрет нелинейного седла (слева) и его линеаризации (справа).
384 |         Зелёным выделены входящие сепаратрисы, красным исходящие.
385 | 
386 | \subsection Центр
387 | 
388 | Во всех предыдущих примерах было справедливо неформальное утверждение «фазовый
389 | портрет вблизи нелинейной особой точки качественно похож на фазовый портрет
390 | линеаризации». Для центров это утверждение неверно. Фазовые кривые линейного
391 | центра обязательно замкнуты. Фазовые кривые соответствующей нелинейной особой
392 | точки могут быть спиралями.
393 | 
394 | \example
395 |     Рассмотрим систему
396 | 
397 |     \equation \label eq:10prim:slowfocus
398 |         \begin{cases}
399 |             \dot x = y - (x^2 + y^2) x\\\\
400 |             \dot y = -x - (x^2 + y^2) y
401 |         \end{cases}
402 |     Её линеаризация в нуле имеет матрицу
403 |     \eq
404 |         \begin{pmatrix}
405 |             0 & 1 \\\\
406 |             -1 & 0
407 |         \end{pmatrix}
408 |     с собственными значениями $+i$ и $-i$, то есть соответствует центру.
409 | 
410 |     Чтобы построить фазовый портрет системы, перейдём в полярные координаты. Нам
411 |     будет проще работать не с полярным радиусом, а с его квадратом: $\rho = x^2
412 |     + y^2$. Вычислим \snref[производную][snip:Lie-deriv] функции $\rho$ вдоль
413 |     векторного поля, заданного системой \ref{eq:10prim:slowfocus}:
414 | 
415 |     \eq
416 |         \dot \rho = 2x\dot x + 2y \dot y = 2x (y-(x^2+y^2)x) + 2y(-x -
417 |         (x^2-y^2)y)=-(x^2+y^2)^2=\rho^2.
418 |     Таким образом, имеем уравнение на $\rho$:
419 |     \eq
420 |         \dot \rho = -\rho^2.
421 |     Решение этого уравнения можно найти явно, но нам достаточно того факта, что
422 |     правая часть всегда отрицательна (кроме точки $\rho=0$) и следовательно
423 |     $\rho$ будет монотонно убывать. То есть траектория будет приближаться к
424 |     началу координат.
425 | 
426 |     Можно также найти уравнение на полярный угол $\theta = \arctan (y/x)$.
427 |     Напоминим, что $(\arctan z)'=1/(1+z^2)$. Значит по теореме о производной
428 |     сложной функции:
429 |     \align
430 |         \item \nonumber
431 |             \dot \theta& = \frac{\dot y x - \dot x y}{x^2}\cdot
432 |             \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}= 
433 |         \item \nonumber
434 |             &= \frac{(-x-(x^2+y^2)y)x - (y-(x^2+y^2)x)y}{x^2+y^2}=
435 |             \frac{-x^2-y^2}{x^2+y^2}=-1
436 |     Уравнение на $\theta$ имеет вид
437 |     \eq
438 |         \dot \theta = -1.
439 |     Таким образом, двигаясь по траектории, точка приближается к началу
440 |     координат, при этом её полярный угол равномерно уменьшается. Значит, эта
441 |     траектория — спираль, наматывающаяся на особую точку, см.
442 |     \ref[рис.][fig:10prim:slowfocus].
443 |     
444 |     \figure \showcode \collapsed \label fig:10prim:slowfocus
445 |         \pythonfigure \style max-width: 400px;
446 |             plt.figure(figsize=(6, 6))
447 |             ob.axes4x4(labels=("x", "y"), xmin=-1, xmax=1,
448 |                                           ymin=-1, ymax=1)
449 |             theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1)
450 |             r = 1
451 |             x = np.cos(theta) * r
452 |             y = np.sin(theta) * r
453 |             c = 1
454 |             ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array(
455 |                                     [-X[1] - c*X[0]*(X[0]**2 + X[1]**2),
456 |                                      X[0] - c*X[1]*(X[0]**2 + X[1]**2)]), 
457 |                      np.array([x, y]).T, t=(-0.09, 200), n=5000, 
458 |                  head_width=0.04, head_length=0.07, linewidth=1.5)
459 |             plt.plot([0], [0], marker='o', mew=2, lw=0, markersize=5,
460 |                      markerfacecolor='white', markeredgecolor='steelblue')
461 |         \caption Медленный фокус. 
462 |     
463 |     Такая особая точка похожа на фокус, хотя её линеаризация является центром.
464 |     Она называется \emph{медленным фокусом}.
465 |     
466 | \section Пример исследования нелинейной особой точки
467 | 
468 | Рассмотрим систему
469 | 
470 | \equation
471 |     \begin{cases}
472 |         \dot x = \ln(x^2/8+1/2) \\\\
473 |         \dot y = \arctan(x+y+1)
474 |     \end{cases}
475 | 
476 | Найдём её особые точки. Приравнивая правые части к нулю, получаем такую систему:
477 | 
478 | \equation
479 |     \begin{cases}
480 |         \ln(x^2/8+1/2) = 0 \\\\
481 |         \arctan(x+y+1)=0
482 |     \end{cases}
483 | 
484 | Из первого уравнения мгновенно следует, что $x=\pm 2$. Подставляя эти значения
485 | для $x$ во второе уравнение находим $y$ и видим, что у системы есть две особые
486 | точки: $(2, -3)$ и $(-2, 1)$. Матрица Якоби имеет вид:
487 | 
488 | \equation
489 |     \begin{pmatrix}
490 |         \frac{x}{x^2/2+4} & 0 \\\\
491 |         \frac{1}{1+(x+y+1)^2} & \frac{1}{1+(x+y+1)^2}
492 |     \end{pmatrix}
493 | 
494 | Рассмотрим точку $(2, -3)$. Подставляя её в матрицу Якоби, получаем матрицу линаризации:
495 | 
496 | \eq
497 |     \begin{pmatrix}
498 |         1/3 & 0 \\\\
499 |         1 & 1
500 |     \end{pmatrix}
501 | 
502 | Эта матрица нижнетреугольная и значит её собственные значения стоят на диагонали. Они равны $1/3$ и $1$. Следовательно соответствующая особая точка является неустойчивым узлом.
503 | 
504 | Собственные векторы равны $(-2, 3)$ и $(0, 1)$. Первый из них имеет меньшее собственное значение, поэтому почти все траектории будут его касаться, стремясь к особой точке в обратном времени.
505 | 
506 | \question
507 |     Какой тип имеет вторая особая точка?
508 |     \quiz
509 |         \choice
510 |             Тоже узел!
511 |             \comment
512 |                 А вот и нет
513 |         \choice
514 |             Это фокус
515 |             \comment
516 |                 Нет, не фокус
517 |         \choice
518 |             Центр по линейным членам
519 |             \comment
520 |                 Нет.
521 |         \choice \correct
522 |             Седло
523 |             \comment
524 |                 Да! Собственные значения $-1/3$ и $1$. А фазовый портрет в целом
525 |                 выглядит вот так.
526 |                 \figure \showcode \collapsed
527 |                     \pythonfigure \style max-width: 500px;
528 |                         plt.figure(figsize=(6, 6))
529 | 
530 |                         ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
531 |                         x = np.linspace(-4, 4)
532 |                         y = np.linspace(-4, 4)
533 |                         X, Y = np.meshgrid(x, y)
534 |                         plt.streamplot(x, y, np.log(X**2/8 + 0.5), np.arctan(Y+X+1))
535 |                         plt.plot([-2, 2], [1, -3], marker='o', mew=2, lw=0, 
536 |                                  markersize=5, markerfacecolor='white',
537 |                                  markeredgecolor='steelblue')
538 | 
539 | \remark
540 |     Представленный способ анализа нелинейных особых точек работает только в том
541 |     случае, когда линаризация имеет невырожденную матрицу. Особые точки, матрица
542 |     линеаризации которых вырождена, то есть имеет нулевые собственные значения,
543 |     могут иметь более сложные фазовые портреты. Существуют математические
544 |     методы, которые позволяют исследовать и их тоже, но обсуждение этих методов
545 |     выходит за рамки нашего курса.
546 |     \example
547 |         В качестве примера приведём фазовые портреты двух систем с нулевой
548 |         линеаризацией, см. \ref[рис.][fig:10prim:degenerate].
549 | 
550 |         \align
551 |             \item \label eq:10prim:multisaddle
552 |                 \dot x = x^2 - y^2&, \quad \dot y = -2xy;
553 |             \item \label eq:10prim:dipole
554 |                 \dot x = x^2 - y^2&, \quad \dot y = 2xy.
555 |         
556 | 
557 |         \figure \showcode \collapsed \label fig:10prim:degenerate
558 |             \pythonfigure \style max-width: 700px;
559 |                 plt.figure(figsize=(12, 6))
560 | 
561 |                 x = np.linspace(-4, 4)
562 |                 y = np.linspace(-4, 4)
563 |                 X, Y = np.meshgrid(x, y)
564 |                 plt.subplot(121)
565 |                 ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
566 |                 plt.streamplot(x, y, X**2 - Y**2, -2*X*Y)
567 |                 plt.subplot(122)
568 |                 ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
569 |                 plt.streamplot(x, y, X**2 - Y**2, 2*X*Y)
570 |             \caption 
571 |                 Фазовые портреты систем \ref{eq:10prim:multisaddle} (слева) и
572 |                 \ref{eq:10prim:dipole} (справа)
573 | 
574 |     \exercise
575 |         Вы можете найти уравнения фазовых кривых для этих систем с помощью
576 |         перехода к неавтономному уравнению (как обсуждалось в
577 |         \ref[разделе][sec:4:auto-nonauto]) и замены $z=y/x$.
578 | \remark
579 |     С помощью линеаризации можно понять, как выглядит фазовый портрет вблизи
580 |     каждой из особых точек, но получить надежную информацию о том, что
581 |     происходит между ними, как ведут себя траектории, выходя из этих
582 |     окрестностей, и как выглядит глобальная картинка мы не можем. В общем случае
583 |     точное построение фазового портрета нелинейной системы является
584 |     исследовательской задачей, не имеющей универсального решения. Однако на
585 |     практике можно получить приближенные решения и слелать какие-то выводы с
586 |     помощью численных методов.
587 |     
588 | \section Выводы
589 | 
590 | Фазовые портреты нелинейных систем на плоскости можно исследовать, переходя к линеаризации. Для этого надо вычислить матрицу Якоби правой части системы в особой точке — она и будет матрицей линеаризованной системы. Если линеаризация имеет особую точку типа узел, фокус или седло, фазовый портрет исходной (нелинейной) системы в окрестности особой точки похож на фазовый портрет линеаризации. Для центров это неверно: центры по линейным членам могут выглядеть как фокусы. К особым точкам с вырожденной матрицей линеаризации этот метод неприменим.
591 | 
592 | Дифференциальные уравнения на плоскости изучены относительно неплохо: хотя нахождение точных решенений конкретного уравнения может составлять сложную (или даже нерешенную) проблему, в целом человечество понимает, какие эффекты в этом мире встречаются и чего от таких уравнений можно ждать. Переход к пространствам больших размерностей принципиально усложняет динамику: мы далеки от полного понимания нелинейных уравнений уже с трёхмерным фазовым пространством. Однако линейные системы в любой размерности анализируются сравнительно несложно. Ими мы и займёмся в следующей главе.
593 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/chapter14.qq:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \chapter Структурная устойчивость систем на плоскости и бифуркация Андронова — Хопфа
  2 |     \label chap:14:twodim-bifurc
  3 | 
  4 | В \ref[предыдущей главе\nonumber][chap:13:bifurc] мы дали аккуратное определение
  5 | \snref[структурной устойчивости] и \snref{бифуркаций} и обсудили
  6 | \emph{седлоузловую бифуркацию} — для этого достаточно было рассматривать
  7 | семейства на прямой. Сегодня мы поговорим о том, как устроены бифуркации на
  8 | плоскости. Мы будем обсуждать так называемые локальные бифуркации, то есть бифуркации, происходящие в маленькой области фазового пространства. 
  9 | 
 10 | \section Структурно устойчивые случаи
 11 | 
 12 | Как мы знаем из \ref[главы][chap:8:rect], в окрестности неособой точки любое векторное поле выпрямляется, то есть подходящей заменой координат превращается в постоянное поле, фазовыми кривыми которого являются параллельные прямые. Поскольку в результате малого возмущения особая точка не может появиться (докажите это!), возмущенное поле также выпрямляется (вероятно, с помощью другой замены). Любые два выпрямленных поля \snref{орбитально топологически эквивалентны} друг другу. Следовательно, в окрестности любой неособой точки возмущенная система эквивалентна невозмущённой и локальных бифуркаций происходить не будет.
 13 | 
 14 | Рассмотрим теперь окрестности особых точек. В  \ref[главе][chap:10prim:linearization] мы обсуждали, как связаны между собой фазовые портреты нелинейных особых точек и их линеаризаций. Можно думать о нелинейной особой точке как о малом возмущении линеаризации, обязательно сохраняющим линейную часть. Сейчас же нас будут интересовать произвольные малые возмущения — требование сохранения линейной части снимается.
 15 | 
 16 | \proposition \label prop:14:stablecases
 17 |     Малое возмущение невырожденного нелинейного узла — невырожденный узел, седла — седло, фокуса — фокус.
 18 | \proof
 19 |     Малое возмущение мало изменит матрицу линеаризации. Собственные значения матрицы являются корнями характеристического многочлена, коэффициенты которого непрерывно зависят от элементов матрицы. В случае матриц $2\times 2$ характеристический многочлен является квадратным трёхчленом. Его дискриминант непрерывно зависит от коэффициентов многочлена, а значит и от элементов матрицы. Если линеаризация имела два различных вещественных собственных значения, то есть дискриминант был положительным (случай невырожденного узла и седла), они могут немножко измениться, но останутся вещественными. Если собственное значение не было нулевым, оно не изменит свой знак. Следовательно, возмущение нелинейного седла остаётся седлом, а возмущение невырожденного узла — узлом. Если дискриминант отрицателен, оба собственных значения комплексны и обязательно комплексно сопряжены. В результате возмущения они могут немного сдвинуться, но остаются комплексными и комплексно-сопряженными (дискриминант не может стать положительным). Если вещественная часть собственных значений была ненулевой (это как раз случай фокуса), она не станет нулевой и не изменит знак. Следовательно, фокус остаётся фокусом (с тем же типом устойчивости).
 20 | 
 21 | \exercise
 22 |     Докажите, что система, единственная особая точка которой является асимптотически устойчивой, не может быть орбитально топологически эквивалентной системе, единственная особая точка которой асимптотически неустойчива.
 23 |     
 24 | То же самое верно для устойчивости по Ляпунову. Говорят, что устойчивость — \emph{инвариант топологической классификации}.
 25 | 
 26 | В дальнейшем, обсуждая вопрос об орбитально топологической эквивалентности двух особых точек, мы будем рассматривать только случай, при котором они имеют одинаковую устойчивость.
 27 | 
 28 | Можно доказать, что любые два узла, фокуса и седла орбитально топологически эквивалентны друг другу. Для узлов и фокусов это не очень сложная задача, для сёдел — известная теорема Гробмана — Хартмана. Мы не будем их доказывать — в эти утвеждения легко поверить, учитывая визуальное сходство между фазовыми портретами.
 29 | 
 30 | Удивительным может показаться тот факт, что узел и фокус также орбитально
 31 | топологически эквивалентны друг другу. Но это правда! Общее утверждение мы
 32 | доказывать не будем, но посмотрим на пример, демонстрирующий основную идею.
 33 | 
 34 | \example \label ex:14:strange
 35 |     Рассмотрим устойчивый дикритический узел, заданный системой
 36 |     \equation \label eq:14:node
 37 |         \dot x = -x, \quad \dot y = -y,
 38 |     и устойчивый фокус, заданный системой
 39 |     \equation \label eq:14:focus
 40 |         \dot x = -x - 2y, \quad \dot y =  2x - y.
 41 |     В полярных координатах система \ref{eq:14:node} имеет вид:
 42 |     \equation
 43 |         \dot r=-1, \quad \dot \theta =0,
 44 |     а система \ref{eq:14:focus} принимает такой вид:
 45 |     \equation
 46 |         \dot r=-1, \quad \dot \theta = 2.
 47 |     
 48 |     Фазовые кривые узла — прямолинейные лучи
 49 |     \equation \label eq:14:node_polar
 50 |         r(t)=e^{-t}, \quad \theta(t)=\theta_0,
 51 |     а фокуса — спирали 
 52 |     \equation \label eq:14:spiral
 53 |         r(t)=e^{-t}, \quad \theta(t)  = \theta_0 + 2t.
 54 |     Для простоты дальнейших вычислений мы взяли начальное условие на единичной
 55 |     окружности. Любая траектория (кроме особой точки) в какой-то момент
 56 |     пересекает единичную окружность, поэтому мы ничего не потеряли.
 57 | 
 58 |     \figure \showcode \collapsed \label fig:14:node_and_focus
 59 |         \pythonfigure
 60 |             plt.figure(figsize=(12, 6))
 61 |             theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 10, endpoint=False)
 62 |             inits = np.concatenate([np.array([np.sin(theta), np.cos(theta)]).T,
 63 |                                    np.array([[0, 0]])])
 64 | 
 65 |             def clear():
 66 |                 plt.axis('off')
 67 | 
 68 |             def draw(f):
 69 |                 ob.phaseportrait(f, inits, t=(-0.1, 10), 
 70 |                                  arrow_size=0.4, singpoint_size=2)
 71 | 
 72 |             plt.subplot(121)
 73 |             clear()
 74 |             
 75 |             def node(X):
 76 |                 return -X
 77 |             draw(node)
 78 | 
 79 |             plt.subplot(122)
 80 |             clear()
 81 | 
 82 |             def focus(X):
 83 |                 return np.array([[-1, -2], [2, -1]]) @ X
 84 |             draw(focus)
 85 |         \caption
 86 |             Фазовые портреты систем \ref{eq:14:node} (слева) и \ref{eq:14:spiral}
 87 |             (справа).
 88 | 
 89 |     
 90 |     Чтобы превратить фазовый портрет фокуса в фазовый портрет узла, нужно
 91 |     «раскрутить» спирали в прямые. И это можно сделать с помощью гомеоморфизма!
 92 |     
 93 |     Действительно, рассмотрим отображение $H$, которое устроено следующим
 94 |     образом. Начало координат оно переводит в начало координат, а произвольную
 95 |     окружность радиуса $r>0$ поворачивает на угол $2\ln r$ против часовой стрелки
 96 |     (при $r<1$ логарифм отрицателен, поэтому на самом деле поворот будет по
 97 |     часовой стрелке). Посмотрите на интерактивный \ref[рис.][fig:14:gear] —
 98 |     кликнув по нему, можно увидеть, как работает отображение.
 99 | 
100 |     \figure \showcode \collapsed \label fig:14:gear
101 |         \rawhtml
102 |             <svg id="fig_14_gear"></svg>
103 |             <script src="//d3js.org/d3.v4.min.js"></script>
104 |             <style>
105 |                 .line  {
106 |                   fill: none;
107 |                   stroke: salmon;
108 |                   stroke-width: 1.5px;
109 |                 }
110 | 
111 |                 .singpoint {
112 |                     fill: white;
113 |                     stroke: salmon;
114 |                     stroke-width: 3px;
115 |                 }
116 | 
117 |                 .gear {
118 |                   fill: steelblue;
119 |                   fill-opacity: 0.3;
120 |                   stroke: steelblue;
121 |                   stroke-width: 1px;
122 |                 }
123 | 
124 |                 .gear_ring {
125 |                   fill: steelblue;
126 |                   fill-opacity: 0.0;
127 |                   stroke: steelblue;
128 |                   stroke-width: 1px;
129 |                 }
130 | 
131 |                 .dragging {
132 |                   fill-opacity: 0.5;
133 |                 }
134 |             </style>
135 |             <script>
136 |                 \_include gear.js
137 |                 mkgear("#fig_14_gear", 10, 2)
138 |             </script>
139 |         \caption 
140 |             Демонстрация действия отображения $H$ на фазовые кривые фокуса.
141 |             Кликните по картинке, чтобы включить/выключить отображение. Движение
142 |             гайки показывает, как поворачивается фиксированная окружность под
143 |             действием отображение. Её радиус можно менять — чем больше радиус,
144 |             тем меньше угол поворота.
145 |     
146 |     Давайте запишем отображение $H$ с помощью формул. Проще всего это сделать в
147 |     полярных координатах:
148 |     \equation
149 |         H(r, \theta) = (r, \theta + 2\ln r).
150 |     Из этой формулы может сложиться впечатление, что наше отображение не
151 |     является непрерывным при $r=0$, поскольку логарифм стремится к минус
152 |     бесконечности, но это на самом деле оптический обман, связанный с
153 |     особенностью самих полярных координат. Несмотря на то, что окружности с
154 |     маленькими радиусами действительно поворачиваются на «очень большой» (по
155 |     модулю) угол, точки в окрестности начала координат сдвигаются не сильно —
156 |     как окружность ни крути вокруг своего центра, никакая её точка не сдвинется
157 |     больше, чем на два радиуса. Точки, близкие к нулю, остаются близкими к нулю,
158 |     поэтому отображение является непрерывным.
159 | 
160 |     \exercise
161 |         Докажите аккуратно, что отображение $H$ является гомеоморфизмом. Не
162 |         забудьте про непрерывность обратного отображения!
163 |     Остается понять, как $H$ действует на спирали \ref{eq:14:spiral}:
164 |     \equation
165 |         H(e^{-t},  \theta_0 + 2t) = (e^{-t}, \theta_0 + 2t + 2\ln e^{-t}) =
166 |         (e^{-t}, \theta_0 + 2t - 2t) = (e^{-t}, \theta_0).
167 |     Теперь $\theta$ не зависит от времени, то есть траектории превратились в
168 |     прямые (вернее, лучи прямых). Что и требовалось!
169 | 
170 |     
171 | В \ref[предложении][prop:14:stablecases] остались два неразобранных случая: узлы
172 | с равными собственными значениями (вырожденные и дикритические) и центры.
173 | Посмотрим на узлы. Если собственные значения совпадают, значит, дискриминант
174 | характеристического многочлена равен нулю. Немножко пошевелив уравнение, его
175 | можно сделать как положительным, так и отрицательным. Изначально единственное
176 | собственное значение было ненулевым (иначе особая точка была бы вырожденной, мы
177 | такие случаи сейчас не рассматриваем), значит после возмущения мы получили либо
178 | два вещественных собственных значения одного знака, либо пару
179 | комплексно-сопряженных собственных значений с ненулевой вещественной частью. В
180 | первом случае узел станет невырожденным, а во втором превратится в фокус. При
181 | этом, однако, в обоих случаях система останется орбитально топологически
182 | эквивалентной исходной! После рассмотрения \ref[примера][ex:14:strange] это уже
183 | не должно вас сильно удивлять.
184 | 
185 | \exercise
186 |     Докажите, что вырожденный узел \ref{eq:14:node} орбитально топологически
187 |     эквивалентен невырожденному узлу
188 |     \eq
189 |         \dot x = -x, \quad \dot y = -2y.
190 |     Указание: рассмотрите отображение $H(x, y)=(x, y\cdot|y|)$.
191 | 
192 | Итак, в случае узлов (а также фокусов и сёдел) никаких бифуркаций не происходит.
193 | Что насчёт центров?
194 | 
195 | \section Бифуркация Андронова — Хопфа
196 | \subsection Модельное семейство
197 | Рассмотрим вот такое семейство:
198 | \equation \label eq:14:AH
199 |     \begin{cases}
200 |         \dot x=\eps x - y + cx(x^2 + y^2) \\\\
201 |         \dot y=x  + \eps y +cy(x^2 + y^2)
202 |     \end{cases}
203 | Оно зависит от двух параметров: $c$ и $\eps$. Рассмотрим сначала случай $c=0$,
204 | при котором система является линейной. Собственные значения матрицы равны $\eps
205 | \pm i$. Если $\eps < 0$, система имеет устойчивый фокус, при $\eps=0$ — центр,
206 | при $\eps>0$ — неустойчивый фокус, см. \ref[рис.][fig:14:linear_case].
207 | 
208 | \figure \showcode \collapsed \label fig:14:linear_case
209 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
210 |         plt.figure(figsize=(12, 4))
211 | 
212 |         theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 10, endpoint=False)
213 | 
214 |         def inits(eps):
215 |             if eps == 0:
216 |                 xs = np.linspace(0, 1.5, 12)
217 |                 return np.array([xs, xs]).T
218 |             else:
219 |                 return np.concatenate([np.array([np.sin(theta), np.cos(theta)]).T,
220 |                                np.array([[0, 0]])])
221 |         def f(X, eps):
222 |             return np.array([[eps, -1], [1, eps]]) @ X
223 | 
224 |         def draw(eps):
225 |             if eps == 0:
226 |                 firstint = lambda X:  X[0]**2 + X[1]**2
227 |             else:
228 |                 firstint = None
229 |             ob.phaseportrait(lambda X: f(X, eps), inits(eps), 
230 |                                  firstint=firstint, t=(-20, 20), n=1000,
231 |                                  gridstep=1000,
232 |                                  arrow_size=0.4, singpoint_size=2,
233 |                                  xmin=-1, xmax=1, ymin=-1, ymax=1)
234 |             
235 |         def clear():
236 |             plt.xlim(-1, 1)
237 |             plt.ylim(-1, 1)
238 |             plt.axis('off')
239 | 
240 |         for i, eps in enumerate([-0.2, 0, 0.2]):
241 |             plt.subplot(131 + i)
242 |             clear()
243 |             draw(eps)
244 |     \caption
245 |         Фазовый портрет семейства \ref{eq:14:AH} при $c=0$ и $\eps<0$ (слева),
246 |         $\eps=0$ (в центре), $\eps>0$ (справа).
247 |     
248 | 
249 | Пусть теперь $c \ne 0$. В этом случае у системы появляется нелинейная часть.
250 | Чтобы понять, как устроена динамика, снова перейдем в полярные координаты.
251 | Вместо полярного радиуса будем использовать его квадрат $\rho=x^2+y^2$. Имеем:
252 | 
253 | \align \nonumber
254 |     \item 
255 |         \dot \rho & = 2x\dot x + 2y \dot y=2(x(\eps x - y + cx(x^2+y^2))+y(x +
256 |         \eps y + cy(x^2+y^2)))=
257 |     \item
258 |         & = 2(\eps(x^2+y^2)+c(x^2+y^2)^2)=2\rho(\eps+c\rho)
259 | Уравнение на $\rho$ принимает вид:
260 | \equation \label eq:14:rho
261 |     \dot \rho = 2\rho(\eps+c\rho),
262 | где $\rho>0$.
263 |     
264 | \question
265 |     Найдите уравнение на $\theta=\arctan y/x$.
266 |     \quiz
267 |         \choice \correct
268 |             $\dot \theta = 1$
269 |             \comment
270 |                 Верно!
271 |         \choice
272 |             $\dot \theta =-1$
273 |             \comment
274 |                 Нет, не так.
275 | Итак, по углу происходит вращение с постоянной угловой скоростью, но расстояние
276 | до начала координат может меняться со временем в соответствии с уравнением
277 | \ref{eq:14:rho}. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $с$.
278 | 
279 | \subsection Нелинейное притягивание
280 | 
281 | Пусть $c<0$. График правой части \ref{eq:14:rho} — парабола с ветвями,
282 | направленными вниз, см. \ref[рис.][fig:14:rho_c_neg]. У неё обязательно есть корень $\rho=0$. Второй корень
283 | находится как $\rho_*=-\eps/c$, но при $\eps < 0$ мы получим отрицательное
284 | число, в то время как $\rho$ обязано быть положительным. При $\eps=0$ оба корня
285 | совпадают и равны нулю. При $\eps>0$ второй корень положителен и имеет смысл.
286 | 
287 | \figure \label fig:14:rho_c_neg
288 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
289 |         plt.figure(figsize=(10, 3))
290 |         x = np.linspace(0, 1.5)
291 | 
292 |         c = -0.5
293 | 
294 |         for i, eps in enumerate([-0.3, 0, 0.3]):
295 |             plt.subplot2grid((5, 9), (0, i*3), rowspan=4, colspan=3)
296 |             ob.axes4x4(labels=(r'\\rho', r'\\dot \\rho'), ymin=-1.5, ymax=1, 
297 |                        xmin=-0.2, xmax=1.5, fontsize=14)
298 |             plt.plot(x, 2*x*(eps + c * x), '-', lw=2)
299 |             if eps > 0:
300 |                 root = -eps / c
301 |                 plt.plot([root, root], [-1.5, 4], '--',
302 |                          color='gray')
303 |                 plt.text(root + 0.05, 0.2 * (1.5+1) / 8, r"$\\rho_{*}$",
304 |                          va='bottom', fontsize=14)
305 | 
306 |             plt.subplot2grid((5, 9), (4, i*3), colspan=3)
307 |             plt.xlim(-0.2, 1.5)
308 |             plt.ylim(-0.2, 0.2)
309 |             plt.yticks([])
310 |             if eps > 0:
311 |                 ob.onedim_phasecurves(0, 1.5, [0, root], [-1, 1, -1],
312 |                                       orientation='horizontal')
313 |             else:
314 |                 ob.onedim_phasecurves(0, 1.5, [0], [1, -1], orientation='horizontal')
315 |         plt.tight_layout(pad=0)
316 |     \caption
317 |         График правой части и фазовый портрет уравнения \ref{eq:14:rho} при $c<0$ и
318 |         $\eps<0$ (слева), $\eps=0$ (в центре) и $\eps>0$ (справа).
319 | При $\eps<0$ динамика очень простая: $\rho$ монотонно уменьшается со временем,
320 | фазовые кривые являются спиралями, приближающимися к началу координат, как в
321 | линейном фокусе, см. \ref[рис.][fig:14:phase_c_neg]. При $\eps =0$ происходит примерно то же самое, только спирали
322 | наматываются чаще — мы уже сталкивались с этой системой, это медленный фокус. А
323 | вот при $\eps > 0$ происходит нечто новое. 
324 | 
325 | Для начальных условий с $\rho \in (0, \rho_*)$ производная $\dot \rho$
326 | положительна и значит решения будут приближаться к началу координат с
327 | \emph{уменьшением} $t$ и убегать от него с ростом $t$. Но далеко они не убегут:
328 | по мере приближения $\rho$ к значению $\rho_*$ скорость «убегания» уменьшается и
329 | траектория наматывается на окружность $\rho=\rho_*$ изнутри. Если начальное
330 | условие лежит на этой окружности, то $\rho$ не меняется со временем (это
331 | положение равновесия для уравнения \ref{eq:14:rho}) и значит траектория сама
332 | является окружностью. При $\rho>\rho_*$ производная отрицательна, траектория
333 | будет приближаться к началу координат, но не сможет пересечь окружность
334 | $\rho=\rho_*$ (поскольку траектории не умеют пересекаться). Значит, она
335 | наматываться на эту окружность извне.
336 | 
337 | \figure \showcode \collapsed \label fig:14:phase_c_neg
338 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
339 |         plt.figure(figsize=(12, 4))
340 | 
341 |         theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 6, endpoint=False)
342 | 
343 |         def inits(eps, c):
344 |             inits = np.concatenate([np.array([np.sin(theta), np.cos(theta)]).T,
345 |                         np.array([[0, 0]])])
346 |             if eps > 0:
347 |                 inits = np.concatenate([inits*0.9, 
348 |                     np.array([[0, np.sqrt(-eps/c)*0.5],
349 |                         [0, -np.sqrt(-eps/c)*0.5]])])
350 |             else:
351 |                 inits *= 0.9
352 |             return inits
353 |         def f(X, eps, c):
354 |             return (np.array([[eps, -1], [1, eps]]) @ X + 
355 |                 c * X * (X[0]**2 + X[1]**2))
356 | 
357 |         def draw(eps, c):
358 |             ob.phaseportrait(lambda X: f(X, eps, c), inits(eps, c), 
359 |                                  t=(-6, 6), n=100,
360 |                                  arrow_size=0.4, head_length=0.2, singpoint_size=2,
361 |                                  xmin=-1, xmax=1, ymin=-1, ymax=1)
362 |             
363 |         def clear():
364 |             plt.xlim(-1, 1)
365 |             plt.ylim(-1, 1)
366 |             plt.axis('off')
367 | 
368 |         for i, eps in enumerate([-0.3, 0, 0.2]):
369 |             plt.subplot(131 + i)
370 |             clear()
371 |             draw(eps, -1.)
372 |     \caption Фазовый портрет семейства \ref{eq:14:AH} при $c<0$ и $\eps<0$
373 |         (слева), $\eps=0$ (в центре) и $\eps>0$ (справа).
374 | Итак, мы получили динамику, с которой раньше не сталкивались: траектория не
375 | стремится к особой точке и не уходит на бесконечность, а приближается к другой,
376 | замкнутой траектории. Такая замкнутая траектория, к которой стремятся (в прямом
377 | или обратном времени) другие траектории, называется \emph{предельным циклом}.
378 | 
379 | Нетрудно видеть, что при $\eps=0$ система не является струтурно устойчивой.
380 | Например, особая точка, находящаяся в начале координат, при $\eps=0$ является
381 | асимптотически устойчивой, а при любом положительном $\eps$ становится
382 | неустойчивой. Такие системы не могут быть орбитально топологически
383 | эквивалентными и значит при $\eps=0$ происходит бифуркация. Это и есть
384 | бифуркация Андронова — Хопфа.
385 | 
386 | Можно сказать, что при $\eps=0$ особая точка теряет устойчивость: была
387 | устойчивой (при $\eps \le 0$), а стала неустойчивой (при $\eps>0$). Потеря
388 | устойчивости сопровождается рождением устойчивого предельного цикла, к которому
389 | стремятся все траектории, кроме самой особой точки.
390 | 
391 | \remark
392 |     Появление предельного цикла можно было предсказать, исходя из качественных
393 |     соображений, без выкладок. При $\eps>0$ особая точка является нелинейным
394 |     отталкивающим фокусом. Мы обсуждали, что в её малой окрестности фазовый
395 |     портрет должен быть похож на фазовый портрет линеаризации, то есть трактории
396 |     должны удаляться от начала координат. С другой стороны, при $c<0$ нелинейная
397 |     добавка в системе \ref{eq:14:AH} состоит из векторов, направленных к началу
398 |     координат. Если уйти далеко от нуля, эта нелинейная добавка станет большой и
399 |     «победит» линейную часть. Значит вне некоторой окрестности особой точки
400 |     траектории будут приближаться к ней. Где-то посередине неминуемо возникнет
401 |     предельный цикл — иначе траекториям просто некуда деться.
402 |     
403 |     Это рассуждение ни в коей мере не претендует на строгость, но даёт некоторую интуицию.
404 | 
405 | \remark
406 |     Посмотрим ещё раз на утверждение «фазовый портрет нелинейного фокуса вблизи
407 |     особой точки похож на фазовый портрет его линеаризации». Для любого $\eps>0$
408 |     система \ref{eq:14:AH} имеет особую точку, являющуюся неустойчивым
409 |     нелинейным фокусом. Для каждого конкретного $\eps>0$ существует своя
410 |     окрестность, в которой фазовый портрет системы похож на фазовый портрет
411 |     линеаризации. Но для разных $\eps$ эта окрестность разная: при уменьшении
412 |     $\eps$ она также уменьшается. Нет никакой единой окрестности, в которой это
413 |     утверждение было бы верным для всех $\eps>0$: выбирая достаточно маленькое
414 |     значение $\eps$ мы можем поместить предельный цикл внутрь любой
415 |     фиксированной окрестности особой точки. Фазовый портрет системы с предельным
416 |     циклом никак не может считаться похожим на фазовый портрет линейной системе,
417 |     в котором предельных циклов не бывает. Возможность появления таких эффектов
418 |     необходимо учитывать, анализируя нелинейные особые точки в системах,
419 |     зависящих от параметров.
420 | 
421 | \subsection Нелинейное отталкивание
422 | 
423 | Рассмотрим теперь случай $c>0$. Технически разница не очень большая. График
424 | правой части уравнения \ref{eq:14:rho} теперь является параболой, направленной
425 | ветвями вверх, см. \ref[fig:14:rho_c_pos]. Корень $\rho_*$ положителен при
426 | $\eps<0$. Предельный цикл, следовательно, существует тоже при $\eps<0$, см.
427 | \ref[fig:14:phase_c_pos]. При этом
428 | траектории, стартующие с $\rho \in (0, \rho_*)$ притягиваются к особой точке и
429 | отталкиваются от предельного цикла при увеличении $t$. При $\rho>\rho_*$
430 | траектории также отталкиваются от предельного цикла и уходят на бесконечность.
431 | При стремлении $\eps$ к нулю предельный цикл уменьшается и схлопывается в точку.
432 | 
433 | \figure \label fig:14:rho_c_pos
434 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
435 |         plt.figure(figsize=(10, 3))
436 |         x = np.linspace(0, 1.5)
437 | 
438 |         c = 0.5
439 | 
440 |         for i, eps in enumerate([-0.3, 0, 0.3]):
441 |             plt.subplot2grid((5, 9), (0, i*3), rowspan=4, colspan=3)
442 |             ob.axes4x4(labels=(r'\\rho', r'\\dot \\rho'), ymin=-1, ymax=1.5, 
443 |                        xmin=-0.2, xmax=1.5, fontsize=14)
444 |             plt.plot(x, 2*x*(eps + c * x), '-', lw=2)
445 |             if eps < 0:
446 |                 root = -eps / c
447 |                 plt.plot([root, root], [-1.5, 4], '--',
448 |                          color='gray')
449 |                 plt.text(root + 0.05, -0.2 * (1.5+1) / 8, r"$\\rho_{*}$",
450 |                          va='top', fontsize=14)
451 | 
452 |             plt.subplot2grid((5, 9), (4, i*3), colspan=3)
453 |             plt.xlim(-0.2, 1.5)
454 |             plt.ylim(-0.2, 0.2)
455 |             plt.yticks([])
456 |             if eps < 0:
457 |                 ob.onedim_phasecurves(0, 1.5, [0, root], [1, -1, 1],
458 |                                       orientation='horizontal')
459 |             else:
460 |                 ob.onedim_phasecurves(0, 1.5, [0], [-1, 1], orientation='horizontal')
461 |         plt.tight_layout(pad=0)
462 |     \caption
463 |         График правой части и фазовый портрет уравнения \ref{eq:14:rho} при $c>0$ и
464 |         $\eps<0$ (слева), $\eps=0$ (в центре) и $\eps>0$ (справа).
465 | 
466 | При $\eps \ge 0$ правая часть уравнения \ref{eq:14:rho} положительна для всех
467 | $\rho>0$ и траектории удаляются от особой точки.
468 | 
469 | \figure \showcode \collapsed \label fig:14:phase_c_pos
470 |     \pythonfigure \style max-width: 700px;
471 |         plt.figure(figsize=(12, 4))
472 | 
473 |         theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 6, endpoint=False)
474 | 
475 |         def inits(eps, c):
476 |             inits = np.concatenate([np.array([np.sin(theta), np.cos(theta)]).T,
477 |                         np.array([[0, 0]])])
478 |             if eps < 0:
479 |                 inits = np.concatenate([inits*0.9, 
480 |                     np.array([[0, np.sqrt(-eps/c)*0.5],
481 |                         [0, -np.sqrt(-eps/c)*0.5]])])
482 |             else:
483 |                 inits *= 0.9
484 |             return inits
485 |         def f(X, eps, c):
486 |             return (np.array([[eps, -1], [1, eps]]) @ X + 
487 |                 c * X * (X[0]**2 + X[1]**2))
488 | 
489 |         def draw(eps, c):
490 |             ob.phaseportrait(lambda X: f(X, eps, c), inits(eps, c), 
491 |                                  t=(-6, 6), n=100,
492 |                                  arrow_size=0.4, head_length=0.2, singpoint_size=2,
493 |                                  xmin=-1, xmax=1, ymin=-1, ymax=1)
494 |             
495 |         def clear():
496 |             plt.xlim(-1, 1)
497 |             plt.ylim(-1, 1)
498 |             plt.axis('off')
499 | 
500 |         for i, eps in enumerate([-0.3, 0, 0.2]):
501 |             plt.subplot(131 + i)
502 |             clear()
503 |             draw(eps, 1.)
504 |     \caption Фазовый портрет семейства \ref{eq:14:AH} при $c>0$ и $\eps<0$
505 |         (слева), $\eps=0$ (в центре) и $\eps>0$ (справа).
506 | Несмотря на сходство, между этими двумя сценариями есть существенное различие.
507 | 
508 | Пусть $c<0$. Давайте представим себе, что мы следим за решением с каким-то
509 | конкретным начальным условием, выбранным наугад. При этом само решение нам
510 | доступно с некоторой погрешностью: в каждый момент времени мы видим положение
511 | точки в фазовом пространстве с небольшой случайной ошибкой. Несмотря на
512 | «дрожание» картинки мы всё-таки можем сделать какие-то качественные выводы о
513 | том, как меняется динамика при различных значениях $\eps$. Мы видим, что при
514 | $\eps \le 0$ решение стремится куда-то к началу координат и там живет при $t \to
515 | +\infty$. Установившийся режим — небольшие случайные колебания, вызванные
516 | погрешностью нашего наблюдения, вокруг устойчивого положения равновесия. При
517 | небольших значениях $\eps>0$ положение равновесия становится неустойчивым, но мы
518 | этого не заметим: траектория будет притягиваться к маленькому устойчивому
519 | предельному циклу, что будет соответствовать колебательному движению с небольшой
520 | амплитудой. Отличить такие маленькие колебания от случайного шума будет
521 | невозможно до тех пор, пока их амплитуда значимо не вырастет. То есть сам момент
522 | бифуркации мы скорее всего «не заметим». В. И. Арнольд предлагает называть такой
523 | тип потери устойчивости «мягкой потерей устойчивости». По отношению к бифуркации
524 | Андронова — Хопфа, происходящей по этому сценарию, ипользуют также термин
525 | \emph{суперкритическая бифуркация} (\emph{supercritical bifurcation}).
526 | 
527 | Для $c>0$ ситуация иная. При $\eps<0$ предельное поведение нашей траектории
528 | существенно зависит от того, находится ли начальное условие внутри предельного
529 | цикла или вне его. В первом случае решение будет стремиться к началу координат и
530 | останется где-то там. А во втором случае оно уйдет куда-то на бесконечность.
531 | Никаких колебаний с малой амплитудой в этом случае мы не увидим (и с не малой
532 | тоже):  предельный цикл неустойчивый и значит выбранная наугад траектория будет
533 | от него быстро отдаляться с течением времени. 
534 | 
535 | Если постепенно увеличивать $\eps$, приближая его к нулю, при некотором значении
536 | предельный цикл пересечет наше начальное условие и траектория «резко» изменит
537 | свое предельное поведение. Говорят, что произойдет «жесткая» потеря устойчивости
538 | или \emph{субкритическая} (\emph{subcritical}) бифуркация Андронова — Хопфа.
539 | 
540 | Мы разобрали конкретный пример, в котором всё было легко посчитать. Тем не
541 | менее, рассмотренный сценарий оказывается  довольно универсальным. Можно
542 | показать, что в «типичном случае» в однопараметрических семействах в фазовых
543 | пространствах любой размерности происходят только два типа локальных бифуркаций,
544 | которые мы сейчас рассмотрели: седлоузловая бифуркация и бифуркация Андронова —
545 | Хопфа. (Система \ref{eq:14:AH} зависит от двух параметров, но нас интересует
546 | только один из них: при анализе
547 | бифуркации параметр $c$ считался  фиксированным.) Однако, уже для семейств с двумя параметрами ситуация становится
548 | гораздо более сложной.
549 | 
550 | \section Предельные циклы и 16-я проблема Гильберта
551 | 
552 | В этой главе мы познакомились с новым явлением в дифференциальных уравнениях:
553 | предельными циклами. Они отвечают за возникновение устойчивых колебаний, которые
554 | можно наблюдать в реальной жизни. Например, часы с маятником или радиоприёмник —
555 | это системы с предельными циклами.
556 | 
557 | Мы многое знаем про дифференциальные уравнения, но на многие, казалось бы,
558 | простые вопросы отвечать до сих пор не умеем. Давайте рассмотрим систему
559 | дифференциальных уравнений на плоскости, заданную простыми формулами:
560 | 
561 | \equation \label eq:14:H16
562 |     \dot x=P_n(x, y),\quad \dot y = Q_n(x, y),
563 | где $P_n$ и $Q_n$ — произвольные многочлены от двух переменных, степень которых
564 | не больше $n$.
565 | 
566 | \emph{Что мы можем сказать о числе и расположении предельных циклов такой
567 | системы в зависимости от $n$?} Этот вопрос (в несколько иной формулировке)
568 | поставил Д. Гильберт в 1900 году (это известная 16-я проблема Гильберта) — и он
569 | до сих пор открыт. Мы даже не знаем, является ли ограниченным число предельных
570 | циклов для $n=2$. Известно лишь, что это число конечно для каждой конкретной
571 | системы такого вида при любом $n$ (результат Ю. С. Ильяшенко и Ж. Экаля).
572 | 
573 | Закончим книгу на чём-нибудь жизнеутверждающем.
574 | 
575 | \exercise
576 |     Решите 16-ю проблему Гильберта. Хотя бы для $n=1$.
577 | 


--------------------------------------------------------------------------------