├── 5.tex ├── fig ├── 1.jpg ├── 2.jpg ├── fig2.pdf └── fig1-8.pdf ├── main.pdf ├── README.md ├── preface.tex ├── fig_tikz.tex ├── main.tex ├── 4.tex ├── 1.tex └── 3.tex /5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | -------------------------------------------------------------------------------- /fig/1.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/algebra1/HEAD/fig/1.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /fig/2.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/algebra1/HEAD/fig/2.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /main.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/algebra1/HEAD/main.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /fig/fig2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/algebra1/HEAD/fig/fig2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /fig/fig1-8.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/algebra1/HEAD/fig/fig1-8.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 北京四中高中教学讲义 代数（第一册） 2 | 3 | 本项目对1995年4月出版发行的《北京四中高中教学讲义——代数（第一册）》进行了重排。这套讲义包括六册：高中代数第一、二、三册，三角、立体几何、解析几何各一册。 4 | 5 | 原书的末尾附有习题答案，此次重排将这块的内容单独出来，形成一个新的项目。 6 | 7 | 书中的矢量图片使用Tikz制作。其余的部分点阵图则是来自于扫描版电子文档（限于作者的能力和精力，无法将所有内容均以矢量图全部重绘）。 8 | 9 | 注意：本项目的内容勿用于商业目的。 10 | 11 | 12 | ## 第一章 集合 13 | - 集合 14 | - 集合间的包含关系 15 | - 集合的运算 16 | - 充要条件 17 | - 本章小结 18 | 19 | ## 第二章 映射与函数 20 | - 对应与映射 21 | - 一一映射和逆映射 22 | - 函数 23 | - 函数的单调性 24 | - 函数的奇偶性 25 | - 反函数 26 | - 复合函数 27 | - 函数的值域 28 | - 本章小结 29 | 30 | ## 第三章 幂函数、指数函数与对数函数 31 | - 幂函数 32 | - 指数函数 33 | - 对数 34 | - 对数函数及其图象和性质 35 | - 指数方程和对数方程 36 | - 本章小结 37 | 38 | ## 附录：命题与命题的等价 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /preface.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{出版说明} 2 | 3 | 当前，中学教学改革已经深入到课程设置和教材改革领域。 4 | 我校数学教材的改革，以发展学生的数学思维为目标，以不改变现行教学大纲规定的教学闪容为前提，试图通过对知识结构及其展开方式的统盘考虑，实现整体优化。经多年反复探索、实验，编成了这套尝试融教材与教法、学法于一体的《北京四中高中教学讲义》。 5 | 6 | 这套讲义的产生可以上溯到 1982 年。从那时起，为了发展学生智能，提高数学素养，我校部分同志就开始对高中数学教学进行以教材改革为龙头，以学法教育为重点的“整体优化实验研究”。正是在这项研究的基础上，逐步形成了这套讲义编写的特色和风格。这就是： 7 | \begin{enumerate} 8 | \item 为形成学生良好的认知结构，讲义的知识结构力求脉络分明，使学生能从整体上理解教材。 9 | \item 为了提高学生的数学素养，本讲义把数学思想的阐述放到了重要位置。数学思想既包含对数学知识点（概念、定理、公式、法则和方法）的本质认识，也包含对问题解决的数学基本观点。它是数学中的精华，对形成和发展学生的数学能力具有特别重要的意义。为此，讲义注重展现思维过程（概念、法则被概括的过程，教学关系被抽象的过程，解题思路探索形成的过程）。在过程中认识知识点的本质，在过程中总结思维规律，在过程中揭示数学思想的指导作用。力图使学生能深刻领悟教材。 10 | \item “再创造，再发现”在数学学习中对培养创造维能力至关重要，为引导学生积极参与“发现”，讲义在设计上做了某些尝试。 11 | \item 例题和习题的选配，力求典型、适量、成龙配套。习题分为 A 组（基本题）、 B 组（提高题）和 C 组（研究题）。教师可根据学生不同的学习水平适当选用。 12 | \item 教材是学生学习的依据。应有利于培养自学能力，本书注重启迪学法，并在书末附有全部习题的答案或提示，以供学习时参考。 13 | \end{enumerate} 14 | 15 | 这套讲义在研究、试教和成书的过程中，始终得到了北京市和西城区教育部门有关领导的关怀和帮助，得到了北京师范大学数学系钟善基教授、曹才翰教授的热情指导，清华附中的瞿宁远老师也积极参与了我们的实验研究，并对这套教材做出了贡献，在此一并致以诚挚的谢意。 16 | 17 | 在编写过程中，北京四中数学组的教师们积极参加研讨，对他们的热情支持表示感谢。 18 | 19 | 这套讲义包括六册：高中代数第一、二、三册，三角、立体几何、解析几何各一册。 20 | 21 | 编写适应素质教育的教材，对我们来说是个尝试。由于水平所限，书中不当之处在所难免，诚恳希望专家、同行和同学们提出宝贵意见。 22 | 23 | \begin{flushright} 24 | 北京四中教学处\\ 25 | 1996 年 1 月 26 | \end{flushright} -------------------------------------------------------------------------------- /fig_tikz.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{landscape} 2 | 3 | 4 | 5 | \begin{tikzpicture}[>=stealth] 6 | \node[draw, rectangle](A) at (-5, 5)[text width=2cm, align=center]{对应类型\\“1对1”\\“多对1”\\“1对多”\\其他}; 7 | \node[draw, rectangle](B) at (0, 5)[text width=2.5cm ]{从$A$到$B$的映射：任取$x\in A$，都有唯一的$y\in B$，使$\map{f}{x}{y}$，记作$\map{f}{A}{B}$}; 8 | \node[draw, rectangle](C) at (5, 5)[text width=2cm, align=center]{从$A$到$B$的一一映射\\$\map{f}{A}{B}$}; 9 | \node[draw, rectangle](D) at (9, 5)[text width=2.5cm, align=center]{映射\\$\map{f}{A}{B}$\\的逆映射\\$\map{f^{-1}}{B}{A}$}; 10 | 11 | \draw[->, very thick](A)--node[above]{任意性}(B); 12 | \draw[->, very thick](B)--node[above]{单射}(C); 13 | \draw[->, very thick](C)--(D); 14 | \draw(A)--node[below]{唯一性}(B); 15 | \draw(B)--node[below]{满射}(C); 16 | 17 | \node[draw, rectangle] (E1) at (0,0){函数的定义}; 18 | \node[draw, rectangle] (E2) at (9,0){反函数的定义}; 19 | 20 | \draw[->, very thick](B)--node{$A$, $B$都是非空数集时}(E1); 21 | \draw[->, very thick](D)--(E2); 22 | \draw[->, very thick](E1)--(E2); 23 | \end{tikzpicture} 24 | \end{landscape} 25 | 26 | 27 | \newpage 28 | 29 | \begin{tikzpicture}[>=stealth] 30 | \node[draw, rectangle](A) at (1,3+.75)[text width=1.5cm, align=center] {复合函数}; 31 | \node[draw, rectangle](B) at (1,0.75)[text width=1.5cm, align=center] {函数的\\定义}; 32 | \node[draw, rectangle](C) at (1,-3+.75)[text width=1.5cm, align=center] {函数\\表示法}; 33 | \draw[->, very thick](B)--(A); 34 | \draw[->, very thick](B)--(C); 35 | 36 | \node (E1) at (4,6)[right]{定义域（求法：归结为解不等式组）}; 37 | \node (E2) at (4,4.5)[right]{值域$\Bigg\{$}; 38 | \node (E21) at (5.25,5)[right]{值域的定义、求法}; 39 | \node (E22) at (5.25,4.5)[right]{特殊值（最大值、最小值）的求法}; 40 | \node (E23) at (5.25,4)[right]{给函数值的范围，求自变量的取值范围}; 41 | \node (E3) at (4,2.75)[right]{增减性$\Big\{$}; 42 | \node (E31) at (5.5,3)[right]{单调函数的定义、实质及判断}; 43 | \node (E32) at (5.5,2.5)[right]{单调区间的求法}; 44 | \node (E4) at (4,1.25)[right]{奇偶性$\Big\{$}; 45 | \node (E41) at (5.5,1.5)[right]{奇（偶）函数的定义、实质及判断}; 46 | \node (E42) at (5.5,1)[right]{奇偶性的应用}; 47 | 48 | \node (E5) at (4,.25)[right]{周期性（三角中待学）}; 49 | 50 | \node (E6) at (4,-1)[right]{画法$\Big\{$}; 51 | \node (E7) at (4,-2.5)[right]{看图认性质：函数性质与图象的一致性}; 52 | \node (E61) at (5.25,-.75)[right]{先讨论函数性质}; 53 | \node (E62) at (5.25,-1.25)[right]{再用描点法画图$\Big\{$}; 54 | 55 | \node (E71) at (8.5,-1)[right]{体现性质}; 56 | \node (E72) at (8.5,-1.5)[right]{标记特殊点}; 57 | 58 | \draw[decorate, very thick, decoration={brace, amplitude=10pt}](4,.25)--node[left=10pt]{性质}(4,6); 59 | 60 | \draw[decorate, very thick, decoration={brace, amplitude=5pt}](4,-2.5)--node[left=7pt]{图象}(4,-1); 61 | 62 | \draw[decorate, decoration={brace, amplitude=10pt}, very thick](2.5,-1.75)--(2.5,3); 63 | 64 | 65 | \end{tikzpicture} 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | -------------------------------------------------------------------------------- /main.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[b5paper, openany]{ctexbook} 2 | \usepackage{zref-abspage} 3 | \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} 4 | 5 | 6 | \usepackage{pifont} 7 | \usepackage[perpage,symbol*]{footmisc} 8 | \DefineFNsymbols{circled}{{\ding{192}}{\ding{193}}{\ding{194}} 9 | {\ding{195}}{\ding{196}}{\ding{197}}{\ding{198}}{\ding{199}}{\ding{200}}{\ding{201}}} 10 | \setfnsymbol{circled} 11 | 12 | 13 | 14 | \usepackage{amsmath,amsfonts,mathrsfs,amssymb} 15 | \usepackage{graphicx} 16 | 17 | \usepackage[font=bf,labelfont=bf,labelsep=quad]{caption} 18 | 19 | \usepackage{tikz} 20 | 21 | 22 | \usepackage{ntheorem} 23 | \theoremseparator{\;} 24 | 25 | 26 | 27 | \usepackage{blkarray} 28 | \usepackage{bm} 29 | \usepackage[colorlinks=true, linkcolor=black]{hyperref} 30 | 31 | 32 | 33 | \theoremstyle{plain} 34 | \theoremheaderfont{\normalfont\bfseries} 35 | \theorembodyfont{\normalfont} 36 | 37 | 38 | \usepackage[framemethod=tikz]{mdframed} 39 | 40 | 41 | \newtheorem{example}{\bf 例}[chapter] 42 | \newenvironment{solution}{\noindent {\bf 解：}}{} 43 | \newenvironment{analyze}{\noindent {\bf 分析：}}{} 44 | \newenvironment{rmk}{ {\bf 注意：}}{} 45 | \newenvironment{note}{ {\bf 说明：}}{} 46 | 47 | \renewcommand{\emptyset}{\varnothing} 48 | 49 | \renewcommand{\proofname}{\bf 证明：} 50 | \newenvironment{proof}{{\noindent \bf 证明：}}{}%{\hfill $\square$\par} 51 | 52 | \newcommand{\E}{\mathbb{E}} 53 | \renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}} 54 | \newcommand{\EP}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}} 55 | \newcommand{\EQ}{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}} 56 | \newcommand{\dif}{\,{\rm d}} 57 | \newcommand{\Var}{{\rm Var}} 58 | \newcommand{\Cov}{{\rm Cov}} 59 | \newcommand{\x}{\times} 60 | \renewcommand{\Longrightarrow}{\;\Rightarrow\;} 61 | \newcommand{\map}[3]{#1:\; #2\mapsto #3} 62 | 63 | 64 | 65 | \usepackage{tcolorbox} 66 | \tcbuselibrary{breakable} 67 | \tcbuselibrary{most} 68 | 69 | 70 | 71 | \newtcolorbox{ex}[1][] 72 | {colback = white, colframe = cyan!75!black, fonttitle = \bfseries, 73 | colbacktitle = cyan!85!black, enhanced, 74 | attach boxed title to top center={yshift=-2mm},breakable, 75 | title=练习, #1} 76 | 77 | \newtcolorbox{blk}[1][] 78 | {colback = white, colframe = magenta!75!black, fonttitle = \bfseries, 79 | colbacktitle = magenta!85!black, enhanced, 80 | attach boxed title to top left={xshift=5mm, yshift=-2mm},breakable, 81 | title=思考题, #1} 82 | 83 | \newtcolorbox{thm}[2][] 84 | {colback = white, colframe = magenta!75!black, fonttitle = \bfseries, 85 | colbacktitle = magenta!85!black, enhanced, 86 | attach boxed title to top left={xshift=5mm, yshift=-2mm},breakable, 87 | title=#2, #1} 88 | 89 | % \newtcolorbox{note}[1][] 90 | % {colback = white, colframe = blue!75!black, fonttitle = \bfseries, 91 | % colbacktitle = blue!85!black, enhanced, 92 | % attach boxed title to top left={xshift=5mm, yshift=-2mm},breakable, 93 | % title=说明, #1} 94 | 95 | 96 | 97 | \setcounter{tocdepth}{1} 98 | 99 | \setcounter{secnumdepth}{2} 100 | 101 | 102 | 103 | % \ctexset { 104 | % section = { 105 | % name = {第,节}, 106 | % number = \chinese{section}}, 107 | % subsection = { 108 | % name = {,、\hspace{-1em}}, 109 | % number = \chinese{subsection} 110 | % }, 111 | % subsubsection = { 112 | % name = {（,）\hspace{-1em}}, 113 | % number = \chinese{subsubsection}, 114 | % } 115 | % } 116 | 117 | 118 | 119 | \renewcommand{\contentsname}{目~~录} 120 | 121 | \newcommand{\poly}{\polynomial[reciprocal]} 122 | \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 123 | \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 124 | \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 125 | \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 126 | 127 | 128 | \usepackage{mathtools} 129 | 130 | \setlength{\abovecaptionskip}{0.cm} 131 | \setlength{\belowcaptionskip}{-0.cm} 132 | 133 | \usetikzlibrary{decorations.pathmorphing, patterns} 134 | \usetikzlibrary{calc, patterns, decorations.markings} 135 | \usetikzlibrary{positioning, snakes, hobby} 136 | 137 | \usepackage{lscape} 138 | 139 | \usepackage{yhmath} 140 | \usepackage{longdivision} 141 | \usepackage{polynom} 142 | \usepackage{polynomial} 143 | \usepackage{cancel} 144 | 145 | \renewcommand{\frac}{\dfrac} 146 | \newcommand{\oc}{$^{\circ}{\rm C}$} 147 | \newcommand{\blank}{\underline{\qquad}} 148 | 149 | \usepackage{multicol} 150 | \usepackage{cases} 151 | % \usepackage{enumitem} 152 | \usepackage{ulem} 153 | \usepackage{enumerate} 154 | 155 | \begin{document} 156 | 157 | 158 | 159 | \title{\Huge\bfseries 北京四中高中教学讲义\\代数（第一册）} 160 | 161 | 162 | 163 | \author{\Large 北京四中教学处~~编} 164 | \date{\Large 1995年4月} 165 | 166 | \maketitle 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | \frontmatter 172 | 173 | \input{preface.tex} 174 | \tableofcontents 175 | 176 | 177 | \mainmatter 178 | 179 | \input{1.tex} 180 | 181 | \input{2.tex} 182 | \input{3.tex} 183 | \backmatter 184 | \input{4.tex} 185 | 186 | % \input{fig_tikz.tex} 187 | 188 | 189 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{附录：命题与命题的等价} 2 | 3 | \section*{命题} 4 | 5 | \subsection*{什么是命题} 6 | 7 | 在初中曾经学过： 8 | 能判断真假的语句（包括式子）叫\textbf{命题}。如： 9 | \begin{enumerate}[(1)] 10 | \item $12>5$;\hfill （真命题） 11 | \item 3是12的约数；\hfill （真命题） 12 | \item $2=5$.\hfill（假命题） 13 | \end{enumerate} 14 | 15 | “真命题”也可以说成是“命题成立”；“假命题”也可以说成是“命题不成立”。 16 | 17 | \subsection*{简单命题与复合命题} 18 | 上面举出的是一些比较简单的命题。再来看下面的一些命题： 19 | \begin{enumerate}[(1)] 20 | \setcounter{enumi}{3} 21 | \item $12>5$或者$12>20$; 22 | \item 3是12的约数，并且3还是15的约数； 23 | \item 5不是方程$x^2=4$的根； 24 | \item 若四边形是正方形，则它的四个边长相等． 25 | \end{enumerate} 26 | 27 | 这里，命题（4）是用连词“或者”把命题“$12>5$”和命题“$12>20$”联结成了一个新命题；命题（5）是用连词“并且”把两个命题联结成了一个新命题；命题（6）是用“不是” 28 | 来表示对命题“5是方程$x^2=4$的根”的否定而得出的新命题。 29 | 30 | “或者”、“并且”和“不是”（简记为“或”、“且”、“非”）称为\textbf{逻辑联结词}。“若”……，“则”也是逻辑联结词。 31 | 32 | 不含逻辑联结词的命题称为\textbf{简单命题}。如（1）、（2）、（3），由简单命题和逻辑联结词构成的新命题称为复合命题，如（4）、（5）、（6）、（7）。 33 | 34 | \subsection*{命题的标记} 35 | 数学上常用小写拉丁字母$p,q,r,s,\ldots$来表示命题。这样，复合命题就有下述四种形式： 36 | \begin{multicols}{4} 37 | \begin{enumerate} 38 | \item “$p$或$q$”; 39 | \item “$p$且$q$”; 40 | \item “非$p$”; 41 | \item “若$p$则$q$”. 42 | \end{enumerate} 43 | \end{multicols} 44 | 45 | \begin{blk} 46 | 下列复合命题中，各属上述哪一种： 47 | \begin{enumerate}[(1)] 48 | \item 24是8与6的倍数； 49 | \item 5是方程$f(x)=0$的根或是方程$g(x)=0$的根； 50 | \item 对顶角相等； 51 | \item $\angle A$与$\angle B$不相等。 52 | \end{enumerate} 53 | \end{blk} 54 | 55 | \subsection*{复合命题的真假} 56 | \begin{enumerate}[(1)] 57 | \item “$p$或$q$”——$p,q$中至少有一个为真时，就为真。如： 58 | \begin{itemize} 59 | \item “圆是直线形或多边形”是假命题； 60 | \item “3是12的约数或是16的约数”是真命题， 61 | \item “$7\ge 5$”是真命题， 62 | \item “$3\ge 3$是真命题。 63 | \end{itemize} 64 | \item “$p$且$q$”——$p,q$同时为真时，才为真。如： 65 | \begin{itemize} 66 | \item 67 | “零既不是正数，又不是负数”是真命题； 68 | \item “ 69 | $\sqrt{2}$既是正数，又是有理数”是假命题； 70 | \item 71 | “3既是15的约数，又是18的约数”是真命题。 72 | \end{itemize} 73 | \item “非$p$”——$p$为真时，非$p$假；$p$为假时，非$p$真。 74 | \item “若$p$则$q$”——由$p$能推出$q$，则称“若$p$则$q$”为真，记作$p\Rightarrow q$，否则就称“若$p$则$q$”为假. 75 | \end{enumerate} 76 | 77 | \begin{example} 78 | 指出下列复合命题的真假： 79 | \begin{enumerate}[(1)] 80 | \item 81 | “$2\le 3$”（表示$2<3$或$2=3$)\hfill（真命题）； 82 | \item 83 | “$2\ge 2$”（表示$2>2$或$2=2$)\hfill（真命题）； 84 | \item $5\le 4$ 85 | （表示$5<4$或$5=4$)\hfill（假命题）； 86 | \item 87 | “$5>3$且$5>4$”\hfill（真命题）； 88 | \item 89 | “24既是8的倍数，又是5的倍数”。\hfill（假命题）； 90 | \item 91 | “三角形不是多边形”。\hfill（假命题）； 92 | \item 93 | “1既不是质数又不是合数”.\hfill（真命题）。 94 | \end{enumerate} 95 | \end{example} 96 | 97 | \section*{开语句} 98 | \begin{thm}{问1} 99 | 下列含有变量的语句为什么不能叫做命题？试述理由。 100 | \begin{enumerate}[(1)] 101 | \item $3x<0$; 102 | \item $x+5=8$; 103 | \item $(x-2)(x+6)<0$. 104 | \end{enumerate} 105 | 106 | \end{thm} 107 | 108 | \begin{analyze} 109 | 这些语句的真假随变量的取值而变化，如（1），当$x<0$时是真；当$x>0$时为假。也就是说，这些语句的真假当未确定变量的取值时不能判断，所以不能叫做命题。 110 | 111 | 含有变量的语句（如方程、不等式）称为\textbf{开语句}（有的书称为条件命题）．如问1所列举的三个语句。开语句通常记作$p(x),q(x),r(x),\ldots$. 112 | 113 | 对一个开语句，当给变量赋值以后，这个开语句就变成了命题。如上面的（1），当令$x=5$时，为$3\x5<0$就成了一个命题。 114 | 115 | 在全集中，能使$p(x)$为真命题的变量$x$的取值范围称为开语句$p(x)$的\textbf{真值集合}，记为$\{x\mid p(x)\}$. 116 | \end{analyze} 117 | 118 | \begin{example} 119 | 写出问1中开语句的真值集合： 120 | \end{example} 121 | 122 | \begin{solution} 123 | \begin{enumerate}[(1)] 124 | \item $\{x\mid p(x)\}=\{x\mid 3x<0\}=(-\infty,0)$ 125 | \item $\{x\mid p(x)\}=\{x\mid x+5=8\}=\{3\}$ 126 | \item $\{x\mid p(x)\}=\{x\mid (x-2)(x+6)<0\}=(-6,2)$ 127 | \end{enumerate} 128 | \end{solution} 129 | 130 | \section*{命题的等价} 131 | \subsection*{命题间的逻辑关系} 132 | 若由$p$真可以断定$q$真，则称$p$能够推出$q$，记作$p\Rightarrow q$. 133 | 134 | 若$p\Rightarrow q$，且$q\Rightarrow p$，则称$p$与$q$为\textbf{等价命题}，或称命题$p$与$q$\textbf{逻辑等价}，记作$p\Longleftrightarrow q$. 若$p$与$q$不是逻辑等价，可记作$p\not\Leftrightarrow q$. 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 如在$\triangle ABC$中，$a,b,c$是$\angle A,\angle B, \angle C$的对边，则 140 | \begin{itemize} 141 | \item $\angle C=90^{\circ}\Longleftrightarrow c^2=a^2+b^2$; 142 | \item $\angle C=90^{\circ}\not\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$; 143 | \item $\angle A=90^{\circ}\Longleftrightarrow \angle B+\angle C=90^{\circ}$. 144 | \end{itemize} 145 | 146 | 若开语句$p(x)$与$q(x)$具有相同的真值集合，则称$p(x)$与$q(x)$为\textbf{逻辑等价}，记作$p(x)\Longleftrightarrow q (x)$. 147 | 148 | \begin{example} 149 | 设$p(x):\; -3<2x+3\le 5$，试写出与$p(x)$逻辑等价的形式，并使结果尽量简单。 150 | \end{example} 151 | 152 | \begin{solution} 153 | \[\begin{split} 154 | -3<2x+3\le 5 &\Longleftrightarrow -6<2x\le 2\\ 155 | &\Longleftrightarrow -3=stealth] 192 | \node (A)[draw, rectangle, text width=2.5cm, align=center] at (0,0) {原命题\\若$p$则$q$}; 193 | \node (B)[draw, rectangle, text width=2.5cm, align=center] at (7,0) {逆命题\\若$q$则$p$}; 194 | \node (C)[draw, rectangle, text width=2.5cm, align=center] at (0,-4) {否命题\\若非$p$则非$q$}; 195 | \node (D)[draw, rectangle, text width=2.5cm, align=center] at (7,-4) {逆否命题\\若非$p$则非$q$}; 196 | \draw[<->, very thick](A)--node[above]{互逆}(B); 197 | \draw[<->, very thick](C)--node[below]{互逆}(D); 198 | \draw[<->, very thick](C)--node[left]{互否}(A); 199 | \draw[<->, very thick](B)--node[right]{互否}(D); 200 | \draw[<->, very thick](A)--node[above, sloped, pos=.25]{互为逆否}(D); 201 | \draw[<->, very thick](B)--node[below, sloped, pos=.25]{互为逆否}(C); 202 | 203 | 204 | \end{tikzpicture} 205 | \end{center} 206 | 207 | 208 | 209 | 210 | 211 | 212 | -------------------------------------------------------------------------------- /1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{集合} 2 | 3 | “集合论”是现代数学各个分支的共同基础和语言。 4 | 5 | 集合的思想是很重要的数学思想，运用这种思想，能把很多关系复杂的数学问题表述得很清楚，从而有利于问题的解决。它几乎渗透到自然科学的各个部门。 6 | 7 | “集合论”还是使逻辑推理成为算法化的基础（使用数学符号和运算就能进行逻辑推理），因而它也是学习数理逻辑和计算机科学所必备的基础。 8 | 9 | 在初中，我们已接触到一些分别由数、式、点、图形组成集合。在本章我们将系统学习关于集合的一些初步知识。 10 | 11 | \section{集合} 12 | 13 | 在初中我们已经遇到过集合这个词，例如： 14 | \begin{enumerate}[(1)] 15 | \item “正数的集合”，“自然数的集合”； 16 | \item “单项式集合”； 17 | \item 线段$AB$的垂直平分线就是到$A$、$B$ 两点的距离相等的点的集合； 18 | \item “平行四边形集合”； 19 | \item 不等式$x- 7 < 5$ 的所有的解，组成这个不等式的解的集合（简称解集）， 20 | \end{enumerate} 21 | 22 | 23 | 一般地，某些指定的对象的\underline{全体}就构成一个\textbf{集合}（简称 24 | \textbf{集}）。其中各个对象叫做这个集合的\textbf{元素}。如，在自然数集中，每个自然数都是它的元素。构成集合的对象可是数、式、点、图形，也可以是其他事物。如，中国古代技术上的四大发明也可以构成一个集合，它的元素是火药、指南针、造纸术和印刷术。 25 | 26 | 集合通常用大写拉丁字母$A,B,C,\ldots$标记，集合的元素用小写拉丁字母$a,b,c,\ldots$标记。如果$a$是集合$A$的元素，就说$a$属于$A$记作$a\in A$（符号 $\in$ 表示“属于”）；如果$a$不是集合$A$的元素，就说$a$不属于$A$，记作$a\notin A$（符号$\notin$表示“不属于”）\footnote{有的书也用$\overline{\in}$表示“不属于”。}。例如，若$A$表示“小于 10 的素数”的集合，那么，$2\in A$，$9\notin A$，$1\notin A$。 27 | 28 | 集合是数学中的不加定义的概念之一（逻辑学上称之为原始概念或原名），对这类概念通常仅仅做出必要的描述． 29 | 30 | 在描述一个集合的时候，首先必须明确表示\textbf{对象的确定性}，即对于任何一个对象，应能判断它是否属于这个集合。如，“我班不低于 1.60 米的同学”能构成一个集合，而“我班高个子的同学”却不能构成一个集合，这是因为“高个子”没有指出确定的标准，因而，对我班任何一个同学都无法实行上述判断。同样，“我国著名的科学家”也不能构成一个集合。 31 | 32 | 其次，通常约定只研究由不同元素构成的集合。因此，在同一个集合中是绝对不允许存在相同元素的。这就是所谓集合中\textbf{元素的互异性}。 33 | 34 | 集合的表示法，常用的有列举法和描述法。 35 | 36 | 把集合中的所有元素一一列出（注意用逗号隔开，写在花括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。例如：由$a,b,c$三个字母构成的集合为$\{a,b,c\}$；小于 10 的素数的集合是$\{ 2 , 3 , 5 , 7\}$；由单项式$ab,\; -x^2,\; 15,\; -m,\; pqr$构成的集合可以写成$\{ab,\; -x^2,\; 15,\; -m,\; pqr\}$ 37 | ； 38 | 方程$x- 4 = 0$ 的解的集合是$\{4\}$。 39 | 40 | 在用列举法表示集合时，不必考虑元素的书写顺序。如$\{ 1 , 2 , 3 \}$，$\{ 3 , 2 , 1\}$，$\{2 , 1 , 3 \}$都表示同一个集合，这就是所谓集合中\textbf{元素的无序性}。 41 | 42 | 应该注意，$a$与$\{a\}$是不同的。$a$表示一个元素，而$\{a\}$表示只含有一个元素的集合（只含一个元素的集合称为\textbf{单元素集}）。$a$与$\{a\}$之间的关系应该是$a\in\{a\}$。 43 | 44 | \begin{note} 45 | 集合元素的确定性、互异性、无序性是刻画集合这个概念的三条属性，有了它就使我们对集合的认识更加明确了。 46 | \end{note} 47 | 48 | 有些集合不能或难以用列举法表示，例如小于 5 的正数的集合。对于这样的集合，可把诸元素的共同的特征性质（或称之谓公共属性）描述出来，写在花括号内。这种表示集合的方法叫做\textbf{描述法}。如，上面的集合可以表示成\{小于5 的正数\}或$\{x\mid 0 a$，$x\le b$，$x, >=stealth](-2,0)--(3,0)node[below]{$x$}; 629 | \foreach \x/\y in {-.5/-1, 0/0, .5/1, 1/2, 1.5/3} 630 | { 631 | \draw(\x,0)node[below]{$\y$}--(\x,.1); 632 | } 633 | \draw(-.5,0)--(-.25,.5)--(2.75,.5)node[above]{$A$}; 634 | \draw(1,0)--(1-.25,.8)--(-1.75,.8)node[above]{$B$}; 635 | 636 | \fill[draw] (1,0) circle(.08); 637 | \draw[fill=white] (-.5,0) circle(.08); 638 | 639 | \end{tikzpicture} 640 | \caption{} 641 | \end{minipage} 642 | \end{figure} 643 | 644 | \begin{example} 645 | 设$A=\{x\mid x>-1\}$，$B=\{x\mid x\le 2\}$，求$A\cap B$. 646 | \end{example} 647 | 648 | \begin{solution} 649 | 如图1.4所示 650 | \[A\cap B=\{x\mid x>-1\}\cap\{x\mid x\le 2\}=\{x\mid -1, >=stealth](-2,0)--(4,0)node[below]{$x$}; 753 | \foreach \x/\y in {-.5/-1, 0/0, .5/1, 1/2, 1.5/3, 2/4} 754 | { 755 | \draw(\x,0)node[below]{$\y$}--(\x,.1); 756 | } 757 | 758 | \draw(-2,1.2)--(-.25,1.2)--(0,0); 759 | \draw(1,0)--(1.25,1.2)--(3.5,1.2); 760 | \draw(-.5,0)--(-.3,.8)--(2-.2,.8)--(2,0); 761 | 762 | \fill[draw] (0,0) circle(.08); 763 | 764 | \foreach \x in {-.5, 2, 1} 765 | { 766 | \draw[fill=white] (\x,0) circle(.08); 767 | } 768 | 769 | \end{tikzpicture} 770 | \caption{} 771 | \end{minipage} 772 | \end{figure} 773 | 774 | 775 | \begin{example} 776 | 设$A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$, 求$A\cup B$, 777 | $A\cap B$. 778 | \end{example} 779 | 780 | \begin{solution} 781 | $A\cup B=\{1,2,3,4,5\},\qquad A\cap B=\{3,4\}$ 782 | \end{solution} 783 | 784 | \begin{example} 785 | 设$A=\{\text{锐角三角形}\}$，$B=\{\text{钝角三角形}\}$，求$A\cup B$, 786 | $A\cap B$. 787 | \end{example} 788 | 789 | \begin{solution} 790 | $A\cup B=\{\text{锐角三角形或钝角三角形}\}=\{\text{斜三角形 791 | }\}$ 792 | 793 | $A\cap B=\emptyset$ 794 | \end{solution} 795 | 796 | \begin{example} 797 | 设$A=\{x\mid x=2,\;\text{或}x=5\}$，$B=\{ 798 | \text{小于5的非负整数}\}$，求$A\cup B$, $A\cap B$. 799 | \end{example} 800 | 801 | \begin{solution} 802 | $\because\quad A=\{2,5\},\quad B=\{0,1,2,3,4\}$ 803 | 804 | $\therefore\quad A\cup B=\{0,1,2,3,4,5\},\quad A\cap B=\{2\}$ 805 | \end{solution} 806 | 807 | \begin{example} 808 | 设$A=\{x\mid -12\}$， 求$A\cup B$, $A\cap B$. 809 | \end{example} 810 | 811 | \begin{solution} 812 | 如图1.6，$A\cup B=\mathbb{R}$，$A\cap B=\{x\mid -14\}$,求$A\cap B$ 839 | \end{enumerate} 840 | \item 设$A=\{a,b,c,d,d\}$, $B=\{b,c,d,e\}$, $C=\{c,d,e\}$, 求$(A\cap B)\cap C$, $A\cap(B\cap C)$. 841 | \item 求$\{x\mid (x-1)(x+2)=0\}\cap\{x\mid 2x+7=2x-5\}$. 842 | 843 | 844 | \item 设$A=\{(x,y)\mid 3x+2y=1\}$，$B=\{(x,y)\mid x-y=2\}$，$C=\{(x,y)\mid 2x-2y=3\}$，$D=\{(x,y)\mid 6x+4y=2\}$，$E=\{(x,y)\mid x^2-5xy+6y^2=0\}$ 845 | 846 | 求$A\cap B,\; B\cap C,\; A\cap D,\; C\cap E$. 847 | 848 | \item 设$A=\{x\mid x=2k,k\in \mathbb{Z}\}$, $B=\{x\mid x=2k+1,k\in \mathbb{Z}\}$，$C=\{x\mid x=2(k+1), k\in\mathbb{Z}\}$，$D=\{x\mid x=2k-1, k\in\mathbb{Z}\}$ 849 | 850 | 问$A$、$B$、$C$、$D$中哪些集合相等，哪些集合的交集是空 851 | 集。 852 | \item 设$A=\{a,b,c\}$, $B=\{b,c,d\}$, 求 853 | $A\cap B$, $A\cup B$, $B\cup A$. 854 | 855 | \item 设$A=\{\text{不大于10的非负偶数}\}$, $B=\{\text{6 856 | 的正约数}\}$，求$A\cap B$, $A\cup B$. 857 | 858 | \item 用适当的符号（$\subseteq,\; \subset,\; \supseteq,\; \supset,\; =$） 859 | 填空： 860 | \begin{enumerate}[(1)] 861 | \item $A\blank A\cup B,\quad B\blank A\cup B,\quad A\cup B\blank B\cup A,\quad A\cup B\blank A\cup B$ 862 | \item 若$A\subseteq B$，$A\cup B\blank B,\quad A\cap B\blank A,\quad A\cap B\blank B$ 863 | \item 若把条件$A\subseteq B$加强为 864 | $A\subset B$, (2)中哪些结论一 865 | 定会改变？ 866 | \end{enumerate} 867 | 868 | \item 对第5题的条件，分别去求$A\cup B$. 869 | \end{enumerate} 870 | 871 | \begin{center} 872 | \bfseries B 873 | \end{center} 874 | 875 | \begin{enumerate} 876 | \setcounter{enumi}{13} 877 | \item \begin{enumerate}[(1)] 878 | \item 已知$A=\{x\mid x=4k-1,\; k\in\mathbb{Z}\}$, $B=\{x\mid x=4k+1,\; k\in\mathbb{Z}\}$, 879 | 880 | 求$A\cap B$, $A\cup B$. 881 | \item 已知$A=\{x\mid x=3k+1,\; k\in\mathbb{Z}\}$, $B=\{x\mid x=3k+2,\; k\in\mathbb{Z}\}$, $C=\{x\mid x=3k-1,\; k\in\mathbb{Z}\}$, 求$A\cup B$, $A\cap B$, $A\cup C$, $A\cap C$, $B\cup C$, $B\cap C$. 882 | \end{enumerate} 883 | 884 | \item 已知$A=\{x\mid x^2-ax+a^2-19=0\}$, $B=\{x\mid x^2-5x+8=2\}$, $C=\{x\mid x^2+2x-8=0\}$，且$A\cap B\supset \emptyset$, $A\cap C=\emptyset$，求$a$的值。 885 | \item 设$A=\{x\mid x^2-2x-8<0\}$，$B=\{x\mid x^2+2x-3>0\}$，$C=\{x\mid x^2-3ax+2a^2<0\}$，求实数$a$的取值范围，使$C\subseteq A\cap B$ 886 | 887 | \item 设$A=\{x\mid x^2-3x+2<0\}$, $B=\{x\mid x\le a\}$ 888 | \begin{enumerate} 889 | \item 若$A\cap B\ne \emptyset$，求$a$的范围； 890 | \item 若$A\cap B= \emptyset$，求$a$的范围； 891 | \item 若$A\subseteq B$，求$a$的范围. 892 | \end{enumerate} 893 | \end{enumerate} 894 | 895 | \begin{center} 896 | \bfseries C 897 | \end{center} 898 | 899 | \begin{enumerate} 900 | \setcounter{enumi}{17} 901 | \item 对第6题所求得两个结果，你能得出什么结论。对于 902 | $(A\cup B)\cup C$与$A\cup (B\cup C)$是否也有如上的结果？这说 903 | 明对于交与并两种运算是否存在结合律？并证明你所给 904 | 出的结论。 905 | \item 利用文氏图解释下列两对集合之间的关系： 906 | \begin{enumerate}[(1)] 907 | \item $A\cap (B\cup C)$与$(A\cap B)\cup (A\cap C)$; 908 | \item $A\cup (B\cap C)$与$(A\cup B)\cap (A\cup C)$. 909 | \end{enumerate} 910 | 并指出集合中并与交运算是否满足分配律。 911 | \item 设已知三个有限集合$A,B,C$, 利用文氏图求出$n(A)$, 912 | $n(B)$, $n(C)$, $n(A\cap B)$, $n(A\cap C)$, 913 | $n(B\cap C)$ 914 | $n(A\cap B\cap C)$和$n(A\cup B\cup C)$之间的关系式。这里$n(A)$ 915 | 表示有限集合$A$的元素的个数等。 916 | \item 向某校高一(1)班学生了解他们对三位歌唱家$A,B, 917 | C$的演唱艺术是否欣赏。了解的结果是：22人欣赏$A$的 918 | 演唱，25人欣赏$B$的演唱，39人欣赏$C$的演唱，9人对$A, 919 | B$的演唱都欣赏，17人对$A,C$的演唱都欣赏，20人对 920 | $B,C$的演唱都欣赏，6人对三位歌唱家都欣赏，4人对 921 | 其中任何人的演唱都不欣赏。全班被问到的共有多少人？ 922 | 欣赏且只欣赏两位歌唱家演唱的有多少人？ 923 | \end{enumerate} 924 | 925 | 926 | \subsection{集合的补} 927 | 在研究集合的问题时，常常把问题中出现的一切集合， 928 | 都看作是某个特定集合的子集。如，当我们研究奇数集与偶 929 | 数集时，常常把它们看作是\{整数\}这个特定集合的子集。又 930 | 如，当我们研究平面$\alpha$上的图形时，又常常把平面$\alpha$上的一切 931 | 图形看作是\{平面$\alpha$上的点\}这一特定集合的子集。 932 | 933 | \begin{thm} 934 | {定义6} 在研究集合与集合之间的关系时，如果所给集 935 | 合都是某一个特定的集合的子集，这个特定的集合就叫做\textbf{全 936 | 集}，用符号$I$表示。也就是说，全集含有我们所要研究的各 937 | 个集合的全部元素。 938 | \end{thm} 939 | 940 | \begin{thm}{定义7} 941 | 已知全集$I$, 集合 942 | $A\subseteq I$，由$I$中所有不属于$A$的 943 | 元素组成的集合，叫做集合$A$在集合$I$中的\textbf{补集}，记作$\overline{A}$（读 944 | 作“$A$补”），即： 945 | \[ \overline{A}=\{x\mid x\in I,\;\text{且}x\notin A\}\] 946 | \end{thm} 947 | 948 | 图1.7中的长方形内表示 949 | 全集$I$, 圆内表示集合$A$, 阴 950 | 影部分表示集合$A$在集合$I$中 951 | 的补集$\overline{A}$. 952 | 953 | \begin{figure}[htp] 954 | \centering 955 | \begin{tikzpicture} 956 | \draw[pattern=north east lines](-2,-1) rectangle (1,1); 957 | \draw[fill=white](0,0)node{$A$}circle(.7); 958 | \end{tikzpicture} 959 | \caption{} 960 | \end{figure} 961 | 962 | 由全集和补集的定义容易知道，对于任意集合$A$, 有 963 | \[A\cup \overline{A}=I,\qquad A\cap \overline{A}=\emptyset,\qquad \overline{\overline{A}}=A\] 964 | 其中$\overline{\overline{A}}$表示 965 | $\overline{A}$ 966 | 在$I$中的补集。 967 | 968 | \begin{example} 969 | 设$I=$\{甲班学生\}, $A=$\{甲班男生\}, 那么$\overline{A}=$\{甲班女生\}. 970 | \end{example} 971 | 972 | \begin{example} 973 | 设$I=$ \{ 奇数\} , $A=$ \{ 正奇数\}, 那么$\overline{A}=$\{负奇数\}。 974 | \end{example} 975 | 976 | \begin{example} 977 | \begin{enumerate}[(1)] 978 | \item 设$I=\mathbb{Q}$, $A=\{x\mid x^2-2=0\}$, 求$\overline{A}$; 979 | \item 设$I=\mathbb{R}$, $A=\{x\mid x^{2}-2=0\}$, 求$\overline{A}$。 980 | \end{enumerate} 981 | \end{example} 982 | 983 | \begin{solution} 984 | \begin{enumerate}[(1)] 985 | \item $\because\quad I=\mathbb{Q}$, 方程$x^{2}-2=0$在$\mathbb{Q}$上无解， 986 | 987 | $\therefore\quad A= \varnothing$从而$\overline A= \Q$. 988 | \item $\because\quad I=\R$, 方程$x^{2}-2=0$在$\R$ 上有两个根$\pm\sqrt{2}$。 989 | 990 | $\therefore\quad \overline{A}=\{x\mid x\in \mathbb{R}, \;\text{且}x\ne\pm\sqrt{2}\}$. 991 | \end{enumerate} 992 | \end{solution} 993 | 994 | \begin{example} 995 | 设$I=\{a,b,c,d,e,f\}$, $A=\{a,b\}$, $B=\{b,c,d\}$. 996 | \begin{enumerate}[(1)] 997 | \item 求$\overline{A}\cap\overline{B}$, $\overline{A\cup B}$, $\overline{A}\cup\overline{B}$, $\overline{A\cap B}$; 998 | \item 由(1)的计算，你有什么发现？ 999 | \end{enumerate} 1000 | \end{example} 1001 | 1002 | \begin{solution} 1003 | $\because\quad \overline{A}=\{c,d,e,f\},\quad \overline{B}=\{a,e, f\}$. 1004 | \begin{enumerate}[(1)] 1005 | \item $\overline{A}\cap \overline{B}=\{e, f\}$,\quad $A\cup B=\{a,b,c,d\}$; 1006 | 1007 | $\overline{A\cup B}=\{e,f\}$, \quad $\overline{A}\cup\overline{B}=\{a,c,d,e,f\}$; 1008 | 1009 | $A\cap B=\{b\}$,\quad $\overline{A\cap B}=\{a,c,b,e,f\}$. 1010 | 1011 | \item 由上述计算结果发现： 1012 | \begin{align} 1013 | \overline{A}\cap\overline{B}&=\overline{A\cup B}\tag{*}\\ 1014 | \overline{A}\cup\overline{B}&=\overline{A\cap B}\tag{**} 1015 | \end{align} 1016 | \end{enumerate} 1017 | 1018 | \end{solution} 1019 | 1020 | \begin{note} 1021 | \begin{enumerate} 1022 | \item 由上述特定的$A$、$B$计算发现的关于两个集合间的 1023 | 交、并、补关系式(*)与(**)具有普遍意义，也就是 1024 | 说，对任意的两个集合$A$、$B$, 在确定全集之后它们都是恒等式。这两个公式称为\textbf{摩根定律}； 1025 | \item 从左往右使用上述两个公式可把三次运算化为两次 1026 | 运算，从而能达到简化计算的目的。 1027 | \end{enumerate} 1028 | \end{note} 1029 | 1030 | \begin{example} 1031 | 设$I=\{a,b,c,d,e,f\}$ 1032 | \begin{enumerate}[(1)] 1033 | \item 若$\overline{A}\cap \overline{B}=\{a,c,e\}$，求$A\cup B$； 1034 | \item 若$\overline{A}\cup \overline{B}=\{a,f\}$，求$A\cap B$； 1035 | \item 若${A}\cup \overline{B}=\{a\}$，求$\overline{A}\cap B$. 1036 | \end{enumerate} 1037 | \end{example} 1038 | 1039 | \begin{analyze} 1040 | 从已知和所求式子的结构特征可以联想到交并补 1041 | 关系式。 1042 | \end{analyze} 1043 | 1044 | \begin{solution} 1045 | (1) \textbf{方法1:} 由已知和$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$， 1046 | 可得： 1047 | \[\overline{A\cup B}=\{a,c,e\}\Longrightarrow A\cup B=\{x\mid x\in I,\; \text{且}x\notin \overline{A\cup B}\}\] 1048 | $\therefore\quad A\cup B=\{b,d,f\}$. 1049 | 1050 | \textbf{方法2:} 也可由$\overline{A}\cap \overline{B}=\{a,c,e\}$ 1051 | 两边“取补”得： 1052 | \[\overline{\overline{A}\cap \overline{B}} =\overline{\{a,c,e\}}\] 1053 | 即 1054 | \[\overline{\overline{A}}\cup \overline{\overline{B}}=\{b,d, 1055 | f\}\Longrightarrow A\cup B=\{b,d,f\}\] 1056 | 1057 | 其余两小题由读者完成。 1058 | \end{solution} 1059 | 1060 | 1061 | \section*{习题四} 1062 | \begin{center} 1063 | \bfseries A 1064 | \end{center} 1065 | 1066 | \begin{enumerate} 1067 | \item 已知$\N$为自然数集。 1068 | \begin{enumerate}[(1)] 1069 | \item 设$I=\{\text{整数}\}$，求$\overline{\N}$； 1070 | \item 设$I=\{\text{非负整数}\}$，求$\overline{\N}$. 1071 | \end{enumerate} 1072 | \item 设$I=\R$，$\overline{\Q}=\{\text{无理数}\}$，求$\overline{\Q}$ 1073 | 的补集$\overline{\overline{\Q}}$ 1074 | 1075 | \item 设$I=\{\text{四边形}\}$，$A=\{\text{至少有一组对边平行的四边形}\}$，求$\overline{A}$. 1076 | 1077 | \item 设$A=\{1,3,5\}$，$A=\{2,4,6\}$, $B=\{1,2\}$, 1078 | 1079 | 求$\overline{B}$, $\overline{A\cup B}$, $\overline{A}\cup\overline{B}$. 1080 | 1081 | \item 设$I=\Z$, $A=\{x\mid x=2k,\; k\in\Z\}$, $B=\{x\mid x=2k+1,\; k\in\Z\}$, 1082 | 1083 | 求$\overline{A}$, $\overline{B}$. 1084 | 1085 | \item 设$I=\R$, $A=\{x\mid x\le 6\}$，求 1086 | \begin{multicols}{2} 1087 | \begin{enumerate}[(1)] 1088 | \item $A\cap\emptyset$, $A\cup\emptyset$; 1089 | \item $A\cap \R$, $A\cup \R$; 1090 | \item $\overline{A}$; 1091 | \item $A\cap\overline{A}$, $A\cup\overline{A}$. 1092 | \end{enumerate} 1093 | \end{multicols} 1094 | 1095 | \item 设$I=\{\text{小于7的非负整数}\}$，$A=\{6的正约数\}$， 1096 | $B=\{\text{不大于6的素数}\}$， 1097 | 1098 | 求$\overline{A}$, $\overline{A}\cap B$, $A\cup\overline{B}$. 1099 | 1100 | \item 设$I=\{\text{三角形}\}$，$A=\{\text{锐角三角形}\}$， 1101 | $B=\{\text{钝角三角形}\}$. 1102 | 1103 | 求$\overline{A}\cap\overline{B}$, $\overline{A\cap B}$. 1104 | \item 设$I=\{\text{小于20的素数}\}$，$\overline{A}\cap\overline{B}=\{3,7,11,17\}$，求$A\cup B$. 1105 | \item 图中的圆形区域分别表示集合$A$、$B$、$C$, 用集合符号写 1106 | 出下图中的阴影表示的区域： 1107 | \begin{figure}[htp] 1108 | \centering 1109 | \begin{tikzpicture} 1110 | \begin{scope}[xshift=-6cm] 1111 | \draw[fill, pattern=north east lines](-2,-1) rectangle (2,1); 1112 | \draw[fill=white](-.6,0)node{$A$} circle(.7); 1113 | \draw[fill, pattern=north east lines](0.7,0)node{$B$} circle (.85); 1114 | \node at (0,-1.5){(1)}; 1115 | 1116 | \end{scope} 1117 | \begin{scope} 1118 | \node at (0,-1.5){(2)}; 1119 | \draw(-2,-1) rectangle (2,1); 1120 | \draw(0,.3)node[above]{$A$}circle(.5); 1121 | \draw(-.4,-.3)node[left]{$B$}circle(.5); 1122 | \draw(.4,-.3)node[right]{$C$}circle(.5); 1123 | 1124 | \clip(.4,-.3) circle(.5); 1125 | \draw[fill, pattern=north east lines](0,.3)circle(.5); 1126 | \end{scope} 1127 | \begin{scope} 1128 | \clip(-.4,-.3) circle(.5); 1129 | \draw[fill, pattern=north east lines](0,.3)circle(.5); 1130 | \end{scope} 1131 | \end{tikzpicture} 1132 | \caption*{（第10题）} 1133 | \end{figure} 1134 | \end{enumerate} 1135 | 1136 | \begin{center} 1137 | \bfseries B 1138 | \end{center} 1139 | 1140 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{10} 1141 | \item 已知$I= \{\text{小于20的质数}\}$, $\overline A\cap \overline {B}= \{ 3, 7, 11, 17\}$, 求$A\cup B$. 1142 | \item 已知$I=\{x\mid x=3n,\; x<30,\; n\in \N\}$，$\overline{A}\cap B=\{6, 15\}$， 1143 | $A\cap\overline{B}=\{3,21\}$，$\overline{A}\cap\overline{B}=\{9,18,24\}$, 利用文氏图求$A,B$. 1144 | 1145 | \item 已知$I=\{(x, y)\mid x\in \R,\; y\in \R\}$，$A=\{(x,y)\mid y= 1146 | 2x+3\}$，$B=\left\{(x,y)\, \left|\, \frac{y+1}{x+2}=2\right.\right\}$，求：$A\cap\overline{B}$. 1147 | 1148 | \item 利用文氏图验证两个摩根定律。 1149 | \end{enumerate} 1150 | 1151 | \section{充要条件} 1152 | 1153 | 充要条件\footnote{学习本节前，应适当复习初中学过的有关“命题”的一些内容（可参看 1154 | 本书附录）.}是表述两个命题之间的逻辑关系（谁推出谁） 1155 | 的概念，在数学中十分重要，有着广泛的应用。 1156 | 1157 | \subsection{充分条件} 1158 | 1159 | 若$p\Longrightarrow q$ （这表示由命题$p$成立能推出命题$q$成立），则 1160 | 称$p$是$q$的充分条件。例如： 1161 | \begin{enumerate}[(1)] 1162 | \item 由于两个三角形全等$\Longrightarrow$两个三角形面积相等 1163 | 1164 | $\therefore\quad $“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的充 1165 | 分条件； 1166 | \item 由于$x=y\Longrightarrow x^2=y^2$， 1167 | 1168 | $\therefore\quad $“$x=y$” 1169 | 是“$x^2=y^2$” 1170 | 的充分条件； 1171 | \item 由于$x\ge y\Longrightarrow \sqrt{(x-y)^2}=x-y$, 1172 | 1173 | $\therefore\quad $“$x\ge y$” 1174 | 是“$\sqrt{(x-y)^2}=x-y$”的充分条件。 1175 | \end{enumerate} 1176 | 1177 | 从上述定义可以看出，所谓$p$是$q$的\underline{充分}条件（即 1178 | $p\Longrightarrow q$），意指为使$q$成立，具备条件$p$就\underline{足够}了。 1179 | 1180 | \begin{blk} 1181 | \begin{enumerate}[(1)] 1182 | \item 你自己举几个充分条件的例子。 1183 | \item 怎样判断$p$是$q$的充分条件？ 1184 | \end{enumerate} 1185 | \end{blk} 1186 | 1187 | \subsection{必要条件} 1188 | 若$p\Longrightarrow q$，则称$q$ 1189 | 是$p$的必要条件。 1190 | 1191 | \begin{note} 1192 | 在初中我们已经学过，命题$p\Longrightarrow q$ 1193 | 与它的逆否命题$\overline{p}\;\Leftarrow \; \overline{q}$ 1194 | （即$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$） 1195 | 是等价的，而$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$ 1196 | 表明若$q$不成 1197 | 立，必能推出$p$也不成立。可见，$q$成立是$p$成立所必须的。必 1198 | 要条件正是由此而得名。 1199 | \end{note} 1200 | 1201 | 看例子： 1202 | \begin{enumerate}[(1)] 1203 | \item 由于 1204 | $a=0\Longrightarrow ab=0$, 1205 | 1206 | $\therefore\quad$“$ab=0$” 1207 | 是“$a=0$” 1208 | 的必要条件； 1209 | \item 由于$a>0$，且$b>0\Longrightarrow a+b>0$, 1210 | 1211 | $\therefore\quad $“$a+b>0$” 1212 | 是“$a>0$且$b>0$”的必要条件； 1213 | \item 由于四边形是正方形$\Longrightarrow$ 1214 | 四边形的四条边相等. 1215 | 1216 | $\therefore\quad $“四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件。 1217 | \end{enumerate} 1218 | 1219 | \begin{blk} 1220 | \begin{enumerate}[(1)] 1221 | \item 你自己举几个必要条件的例子。 1222 | \item 怎样判断$q$是$p$的必要条件？ 1223 | \end{enumerate} 1224 | \end{blk} 1225 | 1226 | 1227 | \subsection{充要条件} 1228 | 1229 | 若$p$是$q$的充分条件（记作$p\Longrightarrow q$）， 1230 | 且$p$又是$q$的必要条件（记作$q\Longrightarrow p$）， 1231 | 就称\textbf{$p$是$q$的充分必要条件}（简称$p$是$q$的\textbf{充要条件}）记作 1232 | $p\Longleftrightarrow q$. 1233 | 1234 | 例如： 1235 | \begin{itemize} 1236 | \item “有两个内角相等”是“三角形为等腰三角形”的充要条 1237 | 件； 1238 | \item “对角线互相平分”是“四边形为平行四边形”的充要条件 1239 | \item “$x=y$”是“$x-y=0$”的充要条件； 1240 | \item “$A\subseteq B$”，且“$B\subseteq A$”是“$A=B$”的充要条件。 1241 | \end{itemize} 1242 | 1243 | \begin{blk} 1244 | \begin{enumerate}[(1)] 1245 | \item 你自己举几个充要条件的例子。 1246 | \item 怎样判断$p$是$q$的充要条件？ 1247 | \end{enumerate} 1248 | \end{blk} 1249 | 1250 | 应该注意，对某个结论来说，条件$p$可能是它的充分条 1251 | 件，但不是必要条件；或者条件$p$可能是它的必要条件，但 1252 | 不是充分条件。 1253 | 1254 | 1255 | 例如，“$x>y$”是“$\sqrt{(x-y)^2}=x-y$”的充分条件，但不 1256 | 是必要条件，因为要使$\sqrt{(x-y)^2}=x-y$ 1257 | ，不一定要有$x>y$，有 1258 | $x=y$ 1259 | 也可以。 1260 | 1261 | 又如，“$ab=0$”是“$a=0$” 1262 | 的必要条件，但不是充分条件。 1263 | 因为由$ab=0$并不一定能推出$a=0$ 1264 | ，还有可能$b=0$. 1265 | 1266 | \begin{blk} 1267 | \begin{enumerate}[(1)] 1268 | \item 试举是充分条件，但不是必要条件的例子。 1269 | \item 试举是必要条件，但不是充分条件的例子。 1270 | \item 试举既不是充分条件，又不是必要条件的例子。 1271 | \end{enumerate} 1272 | \end{blk} 1273 | 1274 | 综上所述，充分条件、必要条件和充要条件讲的是两个 1275 | 命题之间的逻辑关系——\underline{谁推出谁}，抓住了这一点就抓住了 1276 | 这三个概念的本质。 1277 | 1278 | \section*{习题五} 1279 | \begin{center} 1280 | \bfseries A 1281 | \end{center} 1282 | 1283 | \begin{enumerate} 1284 | \item 将下列各题中的条件先“翻译”成因果关系（用箭头标 1285 | 出），再填空： 1286 | \begin{enumerate}[(1)] 1287 | \item 若$p$是$q$的充分条件，则$q$是$p$的\blank 条件； 1288 | \item 若$p$是$q$的必要条件，则$q$是$p$的\blank 条件； 1289 | \item 若$p$是$q$的充要条件，则$q$是$p$的\blank 条件； 1290 | \item 若$A$是$B$的充分条件，$C$是$B$的必要条件，$C$是$D$的 1291 | 充分条件，$E$是$D$的必要条件，$F$是$E$的充要条件， 1292 | 那么，$A$是$F$的\blank 条件，$E$是$B$的\blank 条件。 1293 | \end{enumerate} 1294 | \item 填空： 1295 | \begin{enumerate}[(1)] 1296 | \item $a^{2}=b^{2}$是使$a=b$成立的\blank 条件； 1297 | \item $a^{3}=b^{3}$是使$a=b$成立的\blank 条件； 1298 | \item 使$ab=0$成立的必要条件是\blank ； 1299 | \item 使$ab=0$成立的充分条件是\blank ； 1300 | \item 使$ab\ne 0$成立的充要条件是\blank ； 1301 | \item 欲证$A$是$B$的充分条件，由定义，只要证出\blank ； 1302 | \item 欲证$A$是$B$的必要条件，由定义，只要证出\blank ； 1303 | \item 欲证$A$是$B$的充要条件，由定义，只要证出\blank . 1304 | \end{enumerate} 1305 | 1306 | \item 若$x\in\R$, 试求使$(1-|x|)(1+x)$ 1307 | 为正数的充要条件。 1308 | \item 在下列各题的括号中填写“充分但不必要条件”、“必要但 1309 | 不充分条件”和“充分必要条件”中的某一种： 1310 | \begin{enumerate}[(1)] 1311 | \item “$a^2-1=0$”是“$a-1=0$”的（\qquad\qquad）; 1312 | \item “四条边相等”是“四边形是正方形”的（\qquad\qquad）; 1313 | \item “$x<5$”是“$x<3$”的（\qquad\qquad）; 1314 | \item “$ABCD$是矩形”是“$ABCD$是平行四边形”的（\qquad\qquad）; 1315 | \item “同位角相等”是“二直线平行”的（\qquad\qquad）; 1316 | \item “$a\ne 0$”是“$ab\ne 0$”的（\qquad\qquad）; 1317 | \item “$a^3+b^3$是奇数”是“$a+b$为奇数”($a,b\in \Z$)的（\qquad\qquad）; 1318 | \item “$a^{3}-b^{3}$是偶数”是“$a-b$为偶数”($a,b\in \Z)$的（\qquad\qquad）. 1319 | \end{enumerate} 1320 | \end{enumerate} 1321 | 1322 | \begin{center} 1323 | \bfseries B 1324 | \end{center} 1325 | 1326 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4} 1327 | \item 填空： 1328 | \begin{enumerate}[(1)] 1329 | \item “$a>2$”是“$a\ge 2$”的\blank 条件; 1330 | \item “$a,b$不全是0”是“$a,b$全不是0”的\blank 条件; 1331 | \item “到定点距离等于定长的点的集合”是“圆”的\blank 条件; 1332 | \item “$|a-2|\ne 2-a$”是“$a\ge 2$”的\blank 条件. 1333 | \end{enumerate} 1334 | \end{enumerate} 1335 | 1336 | \section{本章小结} 1337 | \subsection{知识结构分析} 1338 | 见图1.8 1339 | 1340 | 1341 | \begin{landscape} 1342 | \begin{figure}[htp] 1343 | \centering 1344 | \includegraphics[scale=.7]{fig/fig1-8.pdf} 1345 | \caption{} 1346 | \end{figure} 1347 | \end{landscape} 1348 | 1349 | 1350 | \subsection{几点说明} 1351 | 1352 | \begin{enumerate} 1353 | \item 要认真读书。既要对每个概念、符号、结论正确理 1354 | 解，正确表达，又要把它们之间逻辑上的联系弄清记牢。这 1355 | 就是常言所说的“既看树木，又见森林”。要弄清逻辑上的联 1356 | 系，一个有效的办法是根据讲课的顺序画出理论发展的逻辑 1357 | 结构图（如图1.8）. 1358 | 1359 | 经过这样整理后的知识，由于揭示了知识间的内在联系，理论发展的来龙去脉一目了然，每个知识点在系统中的 1360 | 地位、作用比较清楚，因而能深化对理论的理解，有利于从 1361 | 整体上掌握知识。结合这张图： 1362 | \begin{enumerate}[(1)] 1363 | \item 应能对每个概念正确叙述，并能指出它们在知识 1364 | 系统中的地位与作用； 1365 | \item 应能通过对子、交、并、补集的图示法正确地掌 1366 | 握它们的性质。 1367 | \end{enumerate} 1368 | 1369 | \item 本章中要注意理解、掌握的数学思想有： 1370 | \begin{enumerate}[(1)] 1371 | \item 用集合的观点处理问题的思想； 1372 | \item 把对象分类讨论的思想； 1373 | \item 数与形互相转化的思想。 1374 | \end{enumerate} 1375 | \end{enumerate} 1376 | 1377 | 1378 | 1379 | \section*{复习题一} 1380 | \begin{center} 1381 | \bfseries A 1382 | \end{center} 1383 | 1384 | \begin{enumerate} 1385 | \item 已知$A=\{x\mid x\text{是小于6的自然数}\}$, 1386 | $B=\{x\mid x\text{是小于10的素数(质数)}\}$, $C=\{x\mid x\text{是24和36的正的公约数}\}$。 1387 | 用列举法写出： 1388 | \begin{enumerate}[(1)] 1389 | \item $\{y\mid y\in A,\;\text{且} y\in C\}$; 1390 | \item $\{y\mid y\in A,\;\text{或} y\in B\}$; 1391 | \item $\{y\mid y\in B,\; \text{且}y\notin C\}$. 1392 | \end{enumerate} 1393 | \item 已知$A=\{x\mid x=5k+1,\; k\in \Z\}$, $B=\{x\mid x=5k+2,\; k\in \Z\}$, $C=\{x\mid x=5k+3,\; k\in \Z\}$, $D=\{x\mid x=5k-1,\; k\in \Z\}$ 1394 | \begin{enumerate}[(1)] 1395 | \item 将集合$A\cup B\cup C\cup D$化简。 1396 | \item 填空：$A\cap B=\blank$, $C\cap D=\blank$。 1397 | \end{enumerate} 1398 | 1399 | \item 用适当的符号（$\subset$, $=$, $\supset$）填空： 1400 | \begin{enumerate}[(1)] 1401 | \item 已知$A=\{x\mid x=2k+1,\; k\in \Z\}$, $B=\{y\mid y=4k\pm 1,\; k\in \Z\}$, 则$A\blank B$； 1402 | \item 已知$A=\{x\mid x\in\Z,\; x\ne 3n,\; n\in \Z\}$, $B=\{y\mid y=3n\pm 1,\; n\in \Z\}$, 则$A\blank B$； 1403 | \item 已知$A=\{x\mid x=4n,\; n\in \Z\}$, $B=\{x\mid x=6n,\; n\in \Z\}$, 则$A\cap B=\blank $. 1404 | \end{enumerate} 1405 | 1406 | \item 已知$A=\{x\mid x=4k,\; k\in \Z\}$, $B=\{x\mid x=4k+2,\; k\in \Z\}$，则$A\cup B=\blank$，$A\cap B=\blank$. 1407 | 1408 | \item 已知$A=\left\{x\left|\; \left|x-\frac{1}{3}\right|>\frac{2}{3}\right.\right\}$, $B=\left\{x\mid |x-2|<3\right\}$，则$A\cap B=\blank$，$\overline{A}\cap \overline{B}=\blank$. 1409 | 1410 | \item 用阴影表示： 1411 | \begin{enumerate}[(1)] 1412 | \item $\overline{\overline{A}\cup B}$（其中$A\cap B\ne \emptyset$） 1413 | \item $\overline{C\cap \overline{D}}$（其中$C\cap D\ne \emptyset$） 1414 | \end{enumerate} 1415 | 1416 | \item 若$A=\{x\mid 2x^{2}+px+q=0\}$, $B=\{x\mid 6x^{2}+\left(2-p\right)x+5+q=0\}$，且$A \cap B=\left\{\frac{1}{2}\right\}$ 1417 | ，则$A\cup B=\blank$. 1418 | \item 设$A=\{-4, 2a-1,a^{2}\}$, $B=\{a-5,1-a,9\}$, 又已知 1419 | $A\cap B=\{9\}$, 求$a$. 1420 | \end{enumerate} 1421 | 1422 | \begin{center} 1423 | \bfseries B 1424 | \end{center} 1425 | 1426 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{8} 1427 | \item 若$(x-1)^2+\sqrt{y+2}=0$ 1428 | 的解集为$B$, $A=\{1,-2,3\}$， 则下列关系中正确的是（\qquad ） 1429 | \begin{multicols}{4} 1430 | \begin{enumerate}[(1)] 1431 | \item $B\subset A$ 1432 | \item $B\in A$ 1433 | \item $B\cap A=\{1,-2\}$ 1434 | \item $B\cap A=\emptyset$ 1435 | \end{enumerate} 1436 | \end{multicols} 1437 | 1438 | \item 设$I=\{1,2,5,a^2-3a\}$, $A=\{2,5\}$, $B=\{a,5\}$, $\overline{A\cup B}=\{a-3\}$，$a$有可能取什么值。 1439 | 1440 | \item 已知$I=\R$，$A=\{x\mid |x-a|<4\}$，$B=\{x\mid |x-2|>3\}$，且$A\cup B=\R$，求$a$的范围。 1441 | \item 已知$I=\R$，$A=\{x\mid |x-1|\ge a\}$，$B=\left\{x\left|\begin{cases} 1442 | 2x-1<3x+5\\ 5x-2<3x+6 1443 | \end{cases}\right.\right\}$，且$A\cap B=\emptyset$，求$a$的范围。 1444 | 1445 | \end{enumerate} 1446 | 1447 | 1448 | \begin{center} 1449 | \bfseries C 1450 | \end{center} 1451 | 1452 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{12} 1453 | \item 设$S$为满足如下条件的自然数构成的集合： 1454 | 若$x\in S$, 则$(10-x)\in S$, 1455 | \begin{enumerate}[(1)] 1456 | \item 试求单元素集$S$; 1457 | \item 试求双元素集$S$; 1458 | \item 满足条件的集合$S$共有多少个？ 1459 | \end{enumerate} 1460 | 1461 | \end{enumerate} 1462 | 1463 | -------------------------------------------------------------------------------- /3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{幂函数、指数函数与对数函数} 2 | 上一章，通过“函数概论”的学习初步理解了研究函数的 3 | 基本途径和方法。本章将运用这些思想研究几类重要的初等 4 | 函数：幂函数、指数函数和对数函数。 5 | 6 | \section{幂函数} 7 | 我们已经学过函数$y=x$, 8 | $y=x^2$ 9 | 和 10 | $y=x^{-1}$（即 11 | $y=\frac{1}{x}$）， 12 | 这些都是幂函数。 13 | 14 | 一般地，函数$y=x^{\alpha}$ 15 | （$\alpha$是常数， 16 | $\alpha\in\R$) 17 | 叫做幂函数，其 18 | 中$x$是自变量。 19 | 20 | 限于知识水平，本章只研究$\alpha$为有理数的情况，此时记 21 | 作 22 | $y=x\; (n\in \Q)$. 23 | 24 | 先讨论幂函数 25 | 的定义域。 26 | 27 | \begin{enumerate}[(1)] 28 | \item $n$为正整数时，$x^n$ 29 | 的意义是$x=x\cdot x\cdots$（共有 30 | $n$个$x$相乘）其定义域为 31 | $D=(-\infty,+\infty)$; 32 | \item $n$为正分数时，我们只研究$n$是既约分数$\frac{p}{q}$ 33 | 的情况（$p$、$q$是正整数，且 34 | $q\ge 2$）这时$x^n$ 35 | 的意义是$x^{\tfrac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p}$，函数定义域为使$\sqrt[q]{x^p}$有意义的实数$x$的集合，即当$q$ 36 | 为奇数时，定义域 37 | $D=(-\infty,+\infty)$，$q$ 38 | 为偶数时（$p$必为奇数），定 39 | 义域 40 | $D=[0,+\infty)$ 41 | \item $n=0$时，$x^n=x^0$ 42 | ，定义域 43 | $D=(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$; 44 | \item $n$是负整数时，设 45 | $n=-m,\; x^n=x^{-m}=\frac{1}{x^m},\; (m\in\N)$， 46 | 其定义域为$D=(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$; 47 | \item $n$是负分数时， 48 | $n=-\frac{p}{q}$（$p,q$为互质的正整数， 49 | 且$q\ge 2$）时， 50 | \[x^n=\frac{1}{x^{\tfrac{p}{q}}}=\frac{1}{\sqrt[q]{x^p}}\] 51 | 当$q$为奇数时，定义域为 52 | $D=(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$; $q$为偶数时， 53 | $D=(0,+\infty)$. 54 | 55 | \end{enumerate} 56 | 57 | 总之，对于幂函数 58 | $y=x^n\; (n\in\Q)$ 59 | 来说，\textbf{使$x^n$ 60 | 有意义的实 61 | 数$x$的集合就是它的定义域}。 62 | 63 | \begin{example} 64 | 说出下列幂函数的定义域： 65 | \[y=x^0,\quad y=x^3,\quad y=x^{-2},\quad y=x^{\tfrac{1}{3}},\quad y=x^{\tfrac{1}{2}},\quad y=x^{-\tfrac{1}{2}}\] 66 | \end{example} 67 | 68 | \begin{solution} 69 | $y=x^{0}$和$y=x^{-2}$的定义域为$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$; 70 | 71 | $y=x^3$ 和 $y=x^{\tfrac13}$的定义域都是$(-\infty; +\infty)$; 72 | 73 | $y=x^{\tfrac12}$的定义域为$[0, +\infty)$,\quad $y=x^{-\tfrac12}$的定义域为$(0,+\infty)$。 74 | 75 | \end{solution} 76 | 77 | 以下研究幂函数的图象和性质。 78 | 79 | 当$n=0$ 时，$y=x^{n}=1\; (x\neq0)$, 它的图象是与$y=1$ 重合 80 | 的一条直线 (除去点$(0,1)$). 81 | 82 | 下面着重研究$n\neq0$的情况。 83 | 84 | 当$n$是整数时。若$n$是奇数，可知$y=x^{n}$为奇函数，其图 85 | 象关于坐标原点对称，且图象在第一、三象限内；若$n$是偶 86 | 数，可知$y=x^n$ 87 | 为偶函数，其图象关于$y$轴对称，且图象在第 88 | 一、二象限内； 89 | 90 | 当$n$为既约分数$\frac pq$（$p$、$q$为整数，$q{\geq}2$, $p{\neq}0$）时：若 $q$、$p$ 均为奇数，可知函数$y=x^{\tfrac pq}$为奇函数，图象关 于 坐标原点对称，且图象在第一、三象限内；若$q$为奇数，$p$为偶数，可知函 数 $y=x^{\tfrac pq}$为偶函数，图象关于$y$轴对称，且图象在第一、二象限内；若$q$为偶数($p$ 只能是奇数), 可知函数$y=x^{\tfrac pq}$为非奇非偶函数，且图象只在第一象限内。 91 | 92 | 综上所述，只要把函数$y=x^n$ 在第一象限内的图象及其 93 | 特征搞清了，问题便迎刃而解。 94 | 95 | \subsection{$n>0$时} 96 | 在同一坐标系内画出 97 | $y=x^3$, $y=x^2$, $y=x$, $y=x^{\tfrac{1}{2}}$，$y=x^{\tfrac{1}{3}}$ 98 | 在区间$[0,+\infty)$ 99 | 上的图象如下： 100 | \begin{figure}[htp] 101 | \centering 102 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=2] 103 | \draw[->](-.5,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 104 | \draw[->](0,-.5)--(0,3)node[right]{$y$}; 105 | \draw[domain=0:2.5, smooth, very thick]plot(\x, \x)node[right]{$y=x$}; 106 | \draw[domain=0:1.5, smooth, very thick]plot(\x, \x^2)node[right]{$y=x^2$}; 107 | \draw[domain=0:1.35, smooth, very thick]plot(\x, \x^3)node[above right]{$y=x^3$}; 108 | \draw[domain=0:1.5, smooth, very thick]plot(\x^2,\x)node[above right]{$y=x^{\tfrac{1}{2}}$}; 109 | \draw[domain=0:1.35, smooth, very thick]plot(\x^3,\x)node[right]{$y=x^{\tfrac{1}{3}}$}; 110 | \draw[dashed](0,1)node[left]{1}--(1,1)--(1,0)node[below]{1}; 111 | \node[below left]{$O$}; 112 | 113 | 114 | \end{tikzpicture} 115 | \caption{} 116 | \end{figure} 117 | 118 | 由图3.1可见，幂函数$y=x^n\; (n>0)$，当$x\in[0,+\infty)$时： 119 | \begin{enumerate}[(1)] 120 | \item 图象都过点$(0,0)$和$ (1, 1)$, 121 | \item 都是单调增函数， 122 | \item 对于$n_1>n_2>0$, 若$x_0\in ( 1, + \infty) $时，有$x_0^{n_1}>x_0^{n_2}$; 若$x_0\in(0,1)$ 时，$x_0^{n_1}=stealth, scale=.6] 156 | \draw[->](-6,0)--(6,0)node[right]{$x$}; 157 | \draw[->](0,-.5)--(0,5)node[right]{$y$}; 158 | \draw[domain=0:5.75, smooth, very thick]plot(\x, {\x^(2/3)})node[above]{$y=x^{\tfrac{2}{3}}$}; 159 | \draw[domain=0:5.75, smooth, very thick]plot(-\x, {\x^(2/3)}); 160 | \foreach \x in {-5,-3,-1,1,3,5} 161 | { 162 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.2); 163 | } 164 | \draw[dashed](-1,1)--(1,1); 165 | \node at (0,4)[right]{4}; 166 | \node at (0,2)[right]{2}; 167 | \draw[dashed](-2.828,2)--(2.828,2); 168 | \draw[dashed](-1.732*3,3)--(1.732*3,3); 169 | \draw(0,4)--(-.2,4); 170 | 171 | \node[below right]{$O$}; 172 | 173 | \end{tikzpicture} 174 | \caption{} 175 | \end{minipage} \hfill 176 | \begin{minipage}{.3\textwidth} 177 | \begin{tikzpicture}[>=stealth] 178 | \draw[->](-.5,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 179 | \draw[->](0,-.5)--(0,3)node[right]{$y$}; 180 | \draw[domain=0:2.5, smooth, very thick]plot(\x, {\x^(3/4)})node[above]{$y=x^{\tfrac{3}{4}}$}; 181 | \foreach \x in {1,2} 182 | { 183 | \draw(\x,0)node[below]{\x}--(\x,.1); 184 | \draw(0,\x)node[left]{\x}--(.1,\x); 185 | } 186 | \node[below left]{$O$}; 187 | 188 | \end{tikzpicture} 189 | \caption{} 190 | \end{minipage} 191 | \end{figure} 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | \begin{example} 199 | 画出函数$y=x^{\tfrac{3}{4}}$ 200 | 的图象（草图），并说明其增减性。 201 | \end{example} 202 | 203 | \begin{solution} 204 | 应先讨论函数的性质，再画图象。 205 | 206 | 函数$y=x^{\tfrac{3}{4}}$的定义域为$[0,+\infty)$， 207 | 值域为$[0,+\infty)$， 208 | 为非奇非偶函数，图象在第一象限（含原点），见图3.3. 209 | 210 | 由图象可知，函数$y=x^{\tfrac{3}{4}}$ 211 | 为单调增函数。 212 | \end{solution} 213 | 214 | \subsection{$n<0$时} 215 | 在同一坐标系内，画出 216 | $y=x^{-2}$，$y=x^{-1}$和 217 | $y=x^{-\tfrac{1}{2}}$ 218 | 在区间$(0,+\infty)$ 219 | 上的图象： 220 | 221 | \begin{figure}[htp] 222 | \centering 223 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=2] 224 | \draw[->](-.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$}; 225 | \draw[->](0,-.5)--(0,3.5)node[right]{$y$}; 226 | \draw[domain=0.55:2.5, smooth, very thick]plot(\x, {\x^(-2)})node[right]{$y=x^{-2}$}; 227 | \draw[domain=0.3:2.5, smooth, very thick]plot(\x, {\x^(-1)})node[right]{$y=x^{-1}$}; 228 | \draw[domain=0.1:2.5, smooth, very thick]plot(\x, {\x^(-0.5)})node[above right]{$y=x^{-\tfrac{1}{2}}$}; 229 | \foreach \x in {1,2,3} 230 | { 231 | \draw(\x,0)node[below]{\x}--(\x,.1); 232 | \draw(0,\x)node[left]{\x}--(.1,\x); 233 | } 234 | \node [below left]{$O$}; 235 | \draw[dashed](0,1)--(1,1)node[above right]{$(1,1)$}--(1,0); 236 | 237 | 238 | \end{tikzpicture} 239 | \caption{} 240 | \end{figure} 241 | 242 | 由图3.4可见，幂函数$y=x^n\; (n<0)$，当$x\in(0,+\infty)$时： 243 | \begin{enumerate}[(1)] 244 | \item 图象都过点$(1,1)$; 245 | \item 都是单调减函数； 246 | \item 在第一象限内，图象向上与$y$轴无限地接近，向 247 | 右与$x$轴无限地接近。称图象分别以$y$ 248 | 轴和$x$轴为\textbf{渐近线}。 249 | \item 对于$n_1x_0^{n_2}$. 250 | \end{enumerate} 251 | 252 | \begin{example} 253 | 在同一坐标系内，画出函数 $y= x^{-\tfrac{1}{2}}$, $ y= x^{\tfrac{1}{3}}$ 和 254 | $y=x^{-2}$的图象。 255 | \end{example} 256 | 257 | \begin{solution} 258 | 首先根据上述 $y=x^n$ 的图象和性质，作出这三个函 259 | 数在第一象限内的图象，再根据它们各自的奇偶性，分别作 260 | 出它们各自的完整的图象(图3.5)。 261 | \end{solution} 262 | 263 | \begin{figure}[htp] 264 | \centering 265 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=1.5] 266 | \draw[->](-2.5,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 267 | \draw[->](0,-1.5)--(0,2.5)node[right]{$y$}; 268 | \draw[domain=0.25:2.5, smooth, very thick]plot(\x, {\x^(-1/2)})node[above right]{$y=x^{-\tfrac12}$}; 269 | \draw[domain=0:2.5, smooth, samples=100]plot(\x, {\x^(1/3)})node[above right]{$y=x^{\tfrac13}$}; 270 | \draw[domain=0.65:2.5, smooth, ultra thick]plot(\x, {\x^(-2)})node[right]{$y=x^{-2}$}; 271 | \foreach \x in {1,2} 272 | { 273 | \draw(\x,0)node[below]{\x}--(\x,.1); 274 | \draw(0,\x)node[left]{\x}--(.1,\x); 275 | } 276 | \node [below left]{$O$}; 277 | \draw[dashed](0,-1)node[right]{$-1$}--(-1,-1)--(-1,0)node[below left]{$-1$}--(-1,1)--(1,1)--(1,0); 278 | 279 | \draw[domain=0.65:2.5, smooth, ultra thick]plot(-\x, {\x^(-2)})node[above right]{$y=x^{-2}$}; 280 | 281 | \draw[domain=0:2.5, smooth, samples=100]plot(-\x, -{\x^(1/3)})node[below right]{$y=x^{\tfrac13}$}; 282 | 283 | \end{tikzpicture} 284 | \caption{} 285 | \end{figure} 286 | 287 | \begin{note} 288 | 本例题给出了作幂函数图象的步骤。 289 | \begin{enumerate}[(1)] 290 | \item 先作出第一象限内的图象， 291 | \item 若幂函数的定义域为$(0, +\infty)$（或$[0,+\infty)$）， 292 | 作图已完成；若在$(-\infty,0)$或$(-\infty,0]$上有意义，则 293 | 只需根据函数的奇偶性，利用其图象的对称关系，作出第一象限图象关于原点或$y$轴的对称图象即可。 294 | \end{enumerate} 295 | \end{note} 296 | 297 | 298 | \begin{example} 299 | 比较下列各组数的大小： 300 | \begin{multicols}{2} 301 | \begin{enumerate}[(1)] 302 | \item $1.5^{\tfrac{2}{3}}$与$1.7^{\tfrac{2}{3}}$ 303 | \item $\left(\sqrt{3}\right)^{\tfrac{5}{4}}$与$\left(\frac{5}{3}\right)^{\tfrac{5}{4}}$ 304 | \item $3.14^{-\tfrac{4}{3}}$与$\pi^{-\tfrac{4}{3}}$ 305 | \item $(-6.3)^{\tfrac{4}{3}}$与$(-6.4)^{\tfrac{4}{3}}$ 306 | \item $\left(-\sqrt{2}\right)^{-\tfrac{3}{5}}$与$\left(-\sqrt{3}\right)^{-\tfrac{3}{5}}$ 307 | \end{enumerate} 308 | \end{multicols} 309 | \end{example} 310 | 311 | \begin{analyze} 312 | 各题中的两个值都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值。从而可据幂函数的单调性做出判断. 313 | \end{analyze} 314 | 315 | \begin{solution} 316 | \begin{enumerate}[(1)] 317 | \item 由于幂函数$y=x^{\tfrac{2}{3}}\; (x>0)$单调递增，且$1.5<1.7$ 318 | 319 | $\therefore\quad 1.5^{\tfrac{2}{3}} < 1.7^{\tfrac{2}{3}}$ 320 | \item 由于幂函数$y=x^{\tfrac{5}{4}}\; (x>0)$单调递增，且$\sqrt{3}>\frac{5}{3}$ 321 | 322 | $\therefore\quad \left(\sqrt{3}\right)^{\tfrac{5}{4}} > \left(\frac{5}{3}\right)^{\tfrac{5}{4}}$ 323 | \item 由于幂函数$y=x^{-\tfrac{4}{3}}\; (x>0)$单调递减，且$3.14<\pi$ 324 | 325 | $\therefore\quad 3.14^{-\tfrac{4}{3}} < \pi^{-\tfrac{4}{3}}$ 326 | \item 由于幂函数$y=x^{\tfrac{4}{3}}$是偶函数 327 | 328 | $\therefore\quad f(-x)=f(x)$，由此： 329 | \[(-6.3)^{\tfrac{4}{3}}=6.3^{\tfrac{4}{3}},\qquad (-6.4)^{\tfrac{4}{3}}=6.4^{\tfrac{4}{3}}\] 330 | 而$y=x^{\tfrac{4}{3}}\; (x>0)$单调递增，且$6.3<6.4$， 331 | 332 | $\therefore\quad 6.3^{\tfrac{4}{3}} < 6.4^{\tfrac{4}{3}}$，从而：$(-6.3)^{\tfrac{4}{3}} < (-6.4)^{\tfrac{4}{3}}$ 333 | \item 由于幂函数$y=x^{-\tfrac{3}{5}}$是个奇函数 334 | 335 | $\therefore\quad f(-x)=-f(x)$，由此 336 | \[\left(-\sqrt{2}\right)^{-\tfrac{3}{5}}=-\left(\sqrt{2}\right)^{-\tfrac{3}{5}},\qquad \left(-\sqrt{3}\right)^{-\tfrac{3}{5}}=-\left(\sqrt{3}\right)^{-\tfrac{3}{5}}\] 337 | 338 | 而$y=x^{-\tfrac{3}{5}}\; (x>0)$单调递减，且$\sqrt{2}<\sqrt{3}$ 339 | 340 | $\therefore\quad \left(\sqrt{2}\right)^{-\tfrac{3}{5}}>\left(\sqrt{3}\right)^{-\tfrac{3}{5}}\Longrightarrow -\left(\sqrt{2}\right)^{-\tfrac{3}{5}}<-\left(\sqrt{3}\right)^{-\tfrac{3}{5}}$ 341 | 342 | $\therefore\quad \left(-\sqrt{2}\right)^{-\tfrac{3}{5}}< \left(-\sqrt{3}\right)^{-\tfrac{3}{5}}$ 343 | \end{enumerate} 344 | \end{solution} 345 | 346 | \begin{note} 347 | （4）、（5）两题中，我们是利用幂函数的奇、偶 348 | 性，先把底为负数的幂转化为正数的幂解决问题。当然，若直接利用$x<0$上的幂函数的单调性解决问题也是可行的。 349 | \end{note} 350 | 351 | \begin{example} 352 | 求函数$y=(x-3)^{-2}$的定义域，并讨论其增减性。 353 | \end{example} 354 | 355 | \begin{solution} 356 | \[y=(x-3)^{-2}=\frac{1}{(x-3)^2}\] 357 | 定义域为$D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)$. 358 | 359 | 因为$y=(x-3)^{-2}$可看作是由函数$y=x^{-2}$的图象向右平移3个单位后的结果，所以，当$x\in (-\infty,3)$时，函数单调递增；而当$x\in(3,+\infty)$时，函数单调递减。 360 | \end{solution} 361 | 362 | \begin{note} 363 | 把所要研究的问题\underline{化归}为熟知的事实，这是数学中处理问题的常用思维方式。 364 | \end{note} 365 | 366 | 367 | \section*{习题一} 368 | \begin{center} 369 | \bfseries A 370 | \end{center} 371 | 372 | \begin{enumerate} 373 | \item 写出下列函数的定义域，值域，并讨论其奇偶性： 374 | \begin{multicols}{2} 375 | \begin{enumerate}[(1)] 376 | \item $y=x^{-2}$ 377 | \item $y=x^{\tfrac{5}{7}}$ 378 | \item $y=x^{\tfrac{4}{5}}$ 379 | \item $y=x^{\tfrac{5}{6}}$ 380 | \item $y=x^{-\tfrac{3}{2}}$ 381 | \item $y=x^{-\tfrac{4}{5}}$ 382 | \end{enumerate} 383 | \end{multicols} 384 | \item 写出下列函数的定义域，并讨论其奇偶性： 385 | \begin{multicols}{2} 386 | \begin{enumerate}[(1)] 387 | \item $f_1(x)=x^2+x^{-2}$ 388 | \item $f_2(x)=x+3x^{\tfrac{2}{3}}$ 389 | \item $f_3(x)=2x+\sqrt[3]{x}$ 390 | \item $f_4(x)=2x^{-4}-3x^{-2}$ 391 | \end{enumerate} 392 | \end{multicols} 393 | \item 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性，并画出函数的图象： 394 | \begin{multicols}{3} 395 | \begin{enumerate}[(1)] 396 | \item $y=x^{\tfrac{3}{4}}$ 397 | \item $y=x^{-\tfrac{2}{3}}$ 398 | \item $y=x^{-\tfrac{1}{2}}$ 399 | \end{enumerate} 400 | \end{multicols} 401 | 402 | \item 在同一坐标系内，画出下列各题中的两个函数的图象，并加以比较： 403 | \begin{multicols}{2} 404 | \begin{enumerate}[(1)] 405 | \item $y=x^3,\quad y=x^4$ 406 | \item $y=x^{-3},\quad y=x^{-4}$ 407 | \end{enumerate} 408 | \end{multicols} 409 | 410 | \item 比较下列各题中两个值的大小： 411 | \begin{multicols}{2} 412 | \begin{enumerate}[(1)] 413 | \item $2.3^{\tfrac{3}{4}}$与$2.4^{\tfrac{3}{4}}$ 414 | \item $0.7^{\tfrac{2}{3}}$与$0.8^{\tfrac{2}{3}}$ 415 | \item $\left(\sqrt{2}\right)^{-\tfrac{3}{2}}$与$\left(\sqrt{3}\right)^{-\tfrac{3}{2}}$ 416 | \item $1.1^{-\tfrac{1}{2}}$与$0.9^{-\tfrac{1}{2}}$ 417 | \item $\left(\frac{3}{7}\right)^{-\tfrac{4}{3}}$与$\left(\frac{5}{8}\right)^{-\tfrac{4}{3}}$ 418 | \item $(-\pi)^{\tfrac{2}{3}}$与$(-3.1)^{\tfrac{2}{3}}$ 419 | \item $\left(-\frac{10}{11}\right)^{\tfrac{3}{5}}$与$\left(-\frac{11}{12}\right)^{\tfrac{3}{5}}$ 420 | \end{enumerate} 421 | \end{multicols} 422 | 423 | \end{enumerate} 424 | 425 | \begin{center} 426 | \bfseries B 427 | \end{center} 428 | 429 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{5} 430 | \item 求函数$y=(x+2)^{-2}$的定义域、值域，画出它的图象，并写出它的单调区间。 431 | \item 把幂函数$y=x^r\; (r\in\Q)$的图象经过怎样平移，可得到$y=(x+m)^r+n\; (mn\ne 0)$的图象？ 432 | \item 把幂函数$y=\frac{1}{x}$的图象经过怎样平移，可得到 433 | $y=\frac{3x+7}{x+2}$的图象？ 434 | \end{enumerate} 435 | 436 | 437 | \begin{center} 438 | \bfseries C 439 | \end{center} 440 | 441 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{8} 442 | \item \begin{enumerate}[(1)] 443 | \item 由$y=x$的图象，经过取倒数变换画出$y=\frac{1}{x}$的图象（草图）。 444 | \item 由$y=x^3$的图象，经过取倒数变换画出$y=x^{-3}$的图象（草图）。 445 | \item 由$y=x^{\tfrac{1}{2}}$的图象，经过取倒数变换可以画出哪个函数的图象？试画一下。 446 | \end{enumerate} 447 | \end{enumerate} 448 | 449 | \section{指数函数} 450 | \subsection{指数函数的概念} 451 | 452 | 在幂函数$y=x^{\alpha}$（常数$\alpha\in\R$）中，底数是自变量，指数$\alpha$是常数，即“底数变、指数不变”。若令“底数不变、指数变”，如$y=2^x,\; y=10^x\; y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$等等，则称$y$是$x$的指数函数。 453 | 454 | 一般地，函数$y=a^x$ $(00$时，若$x$是无理数，$a^x$是一个确定的实数；对于无理指数幂，过去学过的有理指数幂的性质和运算法则都适用，有关概念与定理证明在本书中从略. 455 | 456 | 若$a=1$, $y=1^x$极其简单，没有研究的价值. 457 | 458 | 若$a<0$, $y=a^x$不是对任意实数$x$都有意义，并且极为复杂，因此我们也不去研究它.}．函数的定义域$D=\R$. 459 | 460 | \subsection*{指数函数的实例} 461 | \begin{example} 462 | 某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个，……，一个这样的细胞分裂$x$次后，得到的个数$y$与$x$的函数关系是 463 | \[y=2^x,\qquad x\in\N\] 464 | 这是一个指数型函数。 465 | \end{example} 466 | 467 | \begin{example} 468 | 某速生林区现有森林资源$M$立方米。如果平均年增长率为10\%，计算一年后，两年后，三年后，……，$x$年后各有森林资源多少立方米。 469 | \end{example} 470 | 471 | \begin{figure}[htp] 472 | \centering 473 | \begin{tikzpicture}[xscale=.7, yscale=.9] 474 | \draw(0,0)--(12,0); 475 | \draw[fill=gray](1,0)node[below]{基数} rectangle (1.2,4)node[above]{$M$}; 476 | \draw[fill=gray](4,0)node[below]{一年后} rectangle (4.2,4.4)node[above]{$y_1$}; 477 | \draw[fill=gray](7,0)node[below]{两年后} rectangle (7.2,4.84)node[above]{$y_2$}; 478 | \draw[fill=gray](10,0)node[below]{三年后} rectangle (10.2,4.84*1.1)node[above]{$y_3$}; 479 | \draw[dashed](1,4)--(4,4); 480 | \draw[dashed](4,4.4)--(7,4.4); 481 | \draw[dashed](7,4.84)--(10,4.84); 482 | \draw[decorate, decoration=brace, xshift=-2pt](4,0)--node[left]{$M$}(4,4); 483 | \draw[decorate, decoration=brace, xshift=-2pt](7,0)--node[left]{$y_1$}(7,4.4); 484 | \draw[decorate, decoration=brace, xshift=-2pt](10,0)--node[left]{$y_2$}(10,4.84); 485 | \draw[decorate, decoration=brace, xshift=2pt](4.2,4.4)--node[right]{$M\times 10\%$}(4.2,4); 486 | \draw[decorate, decoration=brace, xshift=2pt](7.2,4.84)--node[right]{$y_1\times 10\%$}(7.2,4.4); 487 | \draw[decorate, decoration=brace, xshift=2pt](10.2,4.84*1.1)--node[right]{$y_2\times 10\%$}(10.2,4.84); 488 | 489 | 490 | 491 | 492 | \end{tikzpicture} 493 | \caption{} 494 | \end{figure} 495 | 496 | 497 | 498 | \begin{solution} 499 | 设$x$年后林区森林资源为$y_x$立方米（图3.6），则 500 | \[\begin{split} 501 | y_1&=M+M\times 10\%=M(1+10\%)\\ 502 | y_2&=y_1+y_1\times 10\%=y_1(1+10\%)=M(1+10\%)^2\\ 503 | y_3&=y_2+y_2\times 10\%=y_2(1+10\%)=M(1+10\%)^3\\ 504 | \cdots&\cdots\\ 505 | y_x&=M(1+10\%)^x\\ 506 | \end{split}\] 507 | 其中表达式$(1+10\%)^x=1.1^x$也是一个指数型函数。 508 | \end{solution} 509 | 510 | 511 | \begin{ex} 512 | （填空）某厂去年12月份产值为32万元。今年1月份比上一个月份增产8\%．2月份比1月份减产5\%．3月份比2月份又减产7\%．4月份比3月份增产10\%。那么4月份的产值是\blank 万元。 513 | \end{ex} 514 | 515 | \subsection{指数函数的图象} 516 | 517 | 先画出一些指数函数的图象，例如，画出$y=2^x$, 518 | $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y=10^x$的图象。 519 | 520 | 列表，用描点法画图（图3.7） 521 | \begin{table}[htp] 522 | \centering 523 | \caption{} 524 | \begin{tabular}{c|ccccccccc} 525 | \hline 526 | $x$ & $\cdots $&$-3$&$-2$&$-1$&0&1&2&3&$\cdots$\\ 527 | \hline 528 | $y=2^x$ & $\cdots$&$\frac{1}{8}$ &$\frac{1}{4}$& $\frac{1}{2}$& 1&2&4&8&$\cdots$\\ 529 | $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ &$\cdots$&8&4&2&1&$\frac{1}{2}$&$\frac{1}{4}$&$\frac{1}{8}$&$\cdots$\\ 530 | \hline 531 | \end{tabular} 532 | 533 | \begin{tabular}{c|ccccccc} 534 | \hline 535 | $x$&$\cdots$&$-1$&$-\frac{1}{2}$&0&$\frac{1}{2}$&1&$\cdots$\\ 536 | \hline 537 | $y=10^x$&$\cdots$0.1&0.32&1&3.16&10&$\cdots$\\ 538 | \hline 539 | \end{tabular} 540 | \end{table} 541 | 542 | \begin{figure}[htp] 543 | \centering 544 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=.6] 545 | \draw[->](-5,0)--(5,0)node[right]{$x$}; 546 | \draw[->](0,-2)--(0,11)node[right]{$y$}; 547 | \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3} 548 | { 549 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.2); 550 | } 551 | \foreach \x in{1,2,3,...,10} 552 | { 553 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.2,\x); 554 | } 555 | \draw[domain=-4:1, smooth, very thick]plot(\x, 10^\x)node[right]{$y=10^x$}; 556 | \draw[domain=-3:4, smooth, very thick]plot(\x, 0.5^\x); 557 | \node [below right]{$O$}; 558 | \node at (-3,8)[above]{$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$}; 559 | \draw[domain=-4:3, smooth, very thick]plot(\x, 2^\x)node[right]{$y=2^x$}; 560 | 561 | 562 | \end{tikzpicture} 563 | \caption{} 564 | \end{figure} 565 | 566 | 567 | 我们看到这些图象的共同点是： 568 | 569 | 图象都在$x$轴上方，即对任何$x\in\R$，都有$y>0$；图象都通过$(0,1)$点，即当$x=0$时，恒有$y=a^0=1\; (01$时，曲线以$x$轴负方向为渐近线，且当$x$增加时，曲线是上升的（即$y$是$\R$上的增函数）；当$01$&$01,& x>0 590 | \end{cases}$ & $a^x=\begin{cases} 591 | >1,& x<0\\ 592 | =1,& x=0\\ 593 | <1,& x>0 594 | \end{cases}$\\ 595 | 关键点&\multicolumn{2}{c}{$(0,1),\quad (1,a),\quad \left(-1,\frac{1}{a}\right)$}\\ 596 | 底数对图象的影响&\multicolumn{2}{c}{$y=a^x$与$y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$的图象关于$y$轴对称}\\ 597 | \hline 598 | \end{tabular} 599 | \end{table} 600 | 601 | \begin{center} 602 | \begin{tikzpicture}[>=stealth] 603 | \begin{scope} 604 | \draw[->](-2,0)--(2,0)node[right]{$x$}; 605 | \draw[->](0,-1)--(0,4)node[right]{$y$}; 606 | \node [below left]{$O$}; 607 | 608 | \foreach \x in {1,2,3} 609 | { 610 | \draw(0,\x)--(-.1,\x)node[left]{$\x$}; 611 | } 612 | \foreach \x in{-1,1} 613 | { 614 | \draw(\x,0)--(\x,-.1)node[below]{$\x$}; 615 | } 616 | \draw[domain=-1.5:1.5, smooth, very thick]plot(\x, 2^\x)node[above]{$y=a^x$}; 617 | \node at (1,1)[right]{$(a>1)$}; 618 | \end{scope} 619 | \begin{scope}[xshift=6cm] 620 | \draw[->](-2,0)--(2,0)node[right]{$x$}; 621 | \draw[->](0,-1)--(0,4)node[right]{$y$}; 622 | \foreach \x in {1,2,3} 623 | { 624 | \draw(0,\x)--(-.1,\x)node[left]{$\x$}; 625 | } 626 | \foreach \x in{-1,1} 627 | { 628 | \draw(\x,0)--(\x,-.1)node[below]{$\x$}; 629 | } 630 | \draw[domain=1.5:-1.5, smooth, very thick]plot(\x, 0.5^\x)node[above]{$y=a^x$}; 631 | \node at (-.5,1)[left]{$(01$时，由于$y=a^x$是$a$的增函数，且过$(0,1)$点，立刻可得 644 | \[a^x \begin{cases} 645 | <1,& x<0\\ 646 | =1,& x=0\\ 647 | >1,& x>1 648 | \end{cases}\] 649 | （从图象上看，这一点十分清楚！） 650 | 651 | 这是一组十分重要的不等关系。连同$0=stealth] 676 | \draw[->](-1,0)--(7,0)node[right]{$x$}; 677 | \draw[->](0,-.15)--(0,1.1)node[left]{$y$}; 678 | \foreach \x in {1,2,...,6} 679 | { 680 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.03); 681 | } 682 | \foreach \x in {0.2,0.4,0.6,0.8} 683 | { 684 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.2,\x); 685 | } 686 | \draw[domain=0:6, smooth, very thick]plot(\x, 0.84^\x); 687 | \node [below left]{$O$}; 688 | \draw[dashed](0,.5)--(6,.5); 689 | \draw[dashed](4,0)--(4,.5); 690 | 691 | \end{tikzpicture} 692 | \caption{} 693 | \end{figure} 694 | 695 | 答：约过4年，剩留质量为原来之半。 696 | \end{solution} 697 | 698 | \begin{ex} 699 | 由$y=2^x$的图象，你能简捷地作出下列函数的图象吗？ 700 | \begin{multicols}{2} 701 | \begin{enumerate}[(1)] 702 | \item $y=2^{x+3}-1$ 703 | \item $y=2^{x-3}+1$ 704 | \item $y=4\cdot 2^x$ 705 | \item $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 706 | \item $y=-2^{x}$ 707 | \item $y=2^{|x|}$ 708 | \end{enumerate} 709 | \end{multicols} 710 | \end{ex} 711 | 712 | \begin{analyze} 713 | 运用图象几何变换的方法（见2.9节）能简捷地作出这些函数的图象。 714 | \end{analyze} 715 | 716 | \begin{example} 717 | 求出$y=2^{x+3}-1$与$y=2^{|x|}$的定义域、值域和单调区间。 718 | \end{example} 719 | 720 | \begin{solution} 721 | \begin{enumerate}[(1)] 722 | \item 由$y=2^x$的图象左移3个单位，再下移1个 723 | 单位，可得到$y=2^{x+3}-1$的图象（图3.9）．从而可知，$D=\R$，值域是$(-1,+\infty)$, 它的增区间是$(-\infty,+\infty)$。 724 | \item 因为$y=2^{|x|}$是偶函数，当$x\ge 0$时与$y=2^x\; (x\ge 0)$的图象重合。由对称性可作出$x<0$时的图象（图3.10）．所以，$y=2^{|x|}$的定义域是$\R$，值域是$[1,+\infty)$, $(-\infty,0]$是减区间，$[0,+\infty)$是增区间。 725 | \end{enumerate} 726 | \begin{figure}[htp] 727 | \centering 728 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 729 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=.7] 730 | \draw[->](-4,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 731 | \draw[->](0,-1)--(0,4)node[right]{$y$}; 732 | \draw[domain=-4:-1, smooth, very thick]plot(\x, 8*2^\x -1)node[above left]{$y=2^{x+3}-1$}; 733 | \draw[domain=-3:1.7, smooth, dashed, very thick]plot(\x, 2^\x)node[right]{$y=2^{x}$}; 734 | \node [below right]{$O$}; 735 | \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2} 736 | { 737 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 738 | } 739 | \foreach \x in{1,2,3} 740 | { 741 | \draw(0,\x)--(.1,\x)node[right]{$\x$}; 742 | } 743 | 744 | \end{tikzpicture} 745 | \caption{} 746 | \end{minipage} 747 | \hfill 748 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 749 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=.6] 750 | \draw[->](-2.5,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 751 | \draw[->](0,-1)--(0,5)node[right]{$y$}; 752 | \draw[domain=0:2, smooth, very thick]plot(\x, 2^\x)node[above]{$y=2^{|x|}$}; 753 | \draw[domain=0:2, smooth, very thick]plot(-\x, 2^\x); 754 | \draw[domain=-2:0, smooth, dashed, very thick]plot(\x, 2^\x); 755 | \node [below right]{$O$}; 756 | \foreach \x in {-2,-1,1,2} 757 | { 758 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 759 | } 760 | \foreach \x in{1,2,3,4} 761 | { 762 | \draw(0,\x)--(.1,\x)node[right]{$\x$}; 763 | } 764 | \end{tikzpicture} 765 | \caption{} 766 | \end{minipage} 767 | \end{figure} 768 | 769 | 770 | \end{solution} 771 | 772 | \begin{example} 773 | 比较下列每题中两个数的大小。 774 | \begin{multicols}{2} 775 | \begin{enumerate}[(1)] 776 | \item $0.6^{-2.1}$与$0.8^{- 2.1}$ 777 | \item $( 2\sqrt 2) ^{\tfrac 13}$与$\left(\frac7{18}\right)^{-\tfrac{1}{3}}$ 778 | \item $1.7^{-2.5}$与$1.7^{-2.1}$ 779 | \item $0.9^{0.1}$与$0.9^{0.2}$ 780 | \end{enumerate} 781 | \end{multicols} 782 | \end{example} 783 | 784 | \begin{analyze} 785 | (1)、(2)题是“同指数”的幂，可利用幂函数 786 | 的单调性比大小，(3)、(4)题是“同底数”的幂，可利用指数函数的单调性比大小。 787 | \end{analyze} 788 | 789 | \begin{solution} 790 | \begin{enumerate}[(1)] 791 | \item $\because \quad $幂函数 $y=x^{-2.1}\; (x>0)$单调递减，且$0.6<0.8$， 792 | 793 | $\therefore\quad 0.6^{-2.1}>0.8^{-2.1}$ 794 | 795 | \item $\because\quad $幂函数$y=x^{\tfrac13}\; (x>0)$单调递增，且 796 | $2\sqrt{2}<\frac{18}{7}$， 797 | 798 | $\therefore\quad ( 2\sqrt 2) ^{\tfrac 13}<\left(\frac7{18}\right)^{-\tfrac{1}{3}}$ 799 | 800 | \item $\because \quad $指数函数$y=1.7^x$单调递增，且$-2.5<-2.1$， 801 | 802 | $\therefore\quad 1.7^{-2.5}<1.7^{-2.1}$ 803 | 804 | \item $\because \quad $指数函数$y=0.9^x$单调递减，且$0.1<0.2$， 805 | 806 | $\therefore\quad 0.9^{0.1}>0.9^{0.2}$ 807 | \end{enumerate} 808 | \end{solution} 809 | 810 | \begin{example} 811 | 比较下列各题中两个数的大小： 812 | \begin{multicols}{2} 813 | \begin{enumerate}[(1)] 814 | \item $2.6^{3.2}$与$\left ( \frac 1{\sqrt {5}}\right ) ^{- 3.2} $, 815 | \item $1.8^{3.4}$与$3^{1.7}$, 816 | \item $\left(\frac7{10}\right)^{-0.81}$与$\left(1\frac37\right)^{0.92}$, 817 | \item $1.7^{0.3}$与$0.9^{3.1}$ 818 | \end{enumerate} 819 | \end{multicols} 820 | \end{example} 821 | 822 | \begin{analyze} 823 | 这些幂既不同指数，又不同底数，但除(4)以 824 | 外，有的能化成“同底”，有的能化成“同指”。 825 | \end{analyze} 826 | 827 | \begin{solution} 828 | \begin{enumerate}[(1)] 829 | \item $\because\quad \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-3.2}=(\sqrt{5})^{3.2}$，幂函数$y=x^{3.2}\; (x>0)$单调递增，且$2.6>\sqrt{5}$， 830 | 831 | $\therefore\quad 2.6^{3.2}>\left ({\sqrt {5}}\right ) ^{3.2}\Longrightarrow 2.6^{3.2}>\left ( \frac 1{\sqrt {5}}\right ) ^{- 3.2}$ 832 | 833 | \item $\because\quad 3^{1.7}=\left(\sqrt{3}\right)^{3.4}$，幂函数$y=x^{3.4}\; (x>0)$单调递增，且$1.8>\sqrt{3}$， 834 | 835 | $\therefore\quad 1.8^{3.4}>\left ({\sqrt {3}}\right ) ^{3.4}\Longrightarrow 1.8^{3.4}>3^{1.7}$. 836 | 837 | \item $\because\quad \left(1\frac{3}{7}\right)^{0.92}=\left(\frac{7}{10}\right)^{-0.92}$，指数函数$y=\left(\frac{7}{10}\right)^x$单调递减，且$-0.81>-0.92$， 838 | 839 | $\therefore\quad \left(\frac{7}{10}\right)^{-0.81}<\left(\frac{7}{10}\right)^{-0.92}\Longrightarrow \left(\frac{7}{10}\right)^{-0.81}<\left(1\frac{3}{7}\right)^{0.92}$. 840 | 841 | \item 分析：因为$1.7^{0.3}$与$0.9^{3.1}$既不“同底”，也不“同 842 | 指”，又化不成“同底”或“同指”。所以，不能直接利用某个指数函数（或幂函数）的单调性比大小。现在考虑能否在这两个数值之间寻找一个中间值，使它比其中一个数大，而比另外一个数小. 843 | 844 | \textbf{方法1：} 由指数函数的单调性，有 845 | \[1.7^{0.3}>1.7^0=1,\qquad 0.9^{3.1}<0.9^0=1\] 846 | 即：$1.7^{0.3}>1,\quad 0.9^{3.1}<1$\hfill （图3.11） 847 | 848 | $\therefore\quad 1.7^{0.3}>0.9^{3.1}$. 849 | 850 | \textbf{方法2：} 由幂函数的单调性，有 851 | \[1.7^{0.3}>1^{0.3}=1,\qquad 0.9^{3.1}<1^{3.1}=1\] 852 | 即 853 | $1.7^{0.3}>0.9^{3.1}$\hfill （图3.12） 854 | \end{enumerate} 855 | \end{solution} 856 | 857 | \begin{figure}[htp] 858 | \centering 859 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 860 | \begin{tikzpicture}[scale=.8, >=stealth] 861 | \draw[->](-2,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 862 | \draw[->](0,-1)--(0,4)node[right]{$y$}; 863 | \node [below left]{$O$}; 864 | \draw[domain=-1.5:2.5, smooth, very thick]plot(\x, 1.7^\x)node[right]{$y=1.7^x$}; 865 | \draw[domain=-2:3.5, smooth, very thick]plot(\x, 0.9^\x)node[above]{$y=0.9^x$}; 866 | \draw[dashed](0.3,0)--(0.3,1.7^0.3); 867 | \draw[dashed](3.1,0)--(3.1,0.9^3.1); 868 | \foreach \x in {1,2,3} 869 | { 870 | \draw(\x,0)node[below]{\x}--(\x,.1); 871 | } 872 | 873 | \end{tikzpicture} 874 | \caption{} 875 | \end{minipage}\hfill 876 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 877 | \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth] 878 | \draw[->](-.5,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 879 | \draw[->](0,-.5)--(0,3)node[right]{$y$}; 880 | \node [below left]{$O$}; 881 | \draw[domain=0:1.3, smooth, very thick, samples=100]plot(\x, \x^3.1)node[above right]{$y=x^{3.1}\; (x>0)$}; 882 | \draw[domain=0:2.7, smooth, very thick, samples=1000]plot(\x, \x^0.3)node[above]{$y=x^{0.3}\; (x>0)$}; 883 | \draw[dashed](1,0)node[below]{1}--(1,1)node[below right]{$(1,1)$}; 884 | \draw[dashed](0,1)--(.1,1)node[right]{1}; 885 | \draw[dashed](1.7,0)node[below]{1.7}--(1.7,1.7^0.3); 886 | \draw[dashed](0.9,0)--(0.9,0.9^3.1); 887 | 888 | 889 | \end{tikzpicture} 890 | \caption{} 891 | \end{minipage} 892 | \end{figure} 893 | 894 | 895 | 896 | 897 | \begin{note} 898 | （1）、（2）、（3）题是把要比大小的幂“转化”为同底幂或同指数幂加以处理。第（4）题方法的实质是在要比大小的两个幂之间搭一个桥（找一个中间值），间接达到比大小的目的，这种方法不妨称为中间值法（也是一种有用的思考方法）.本题在寻找中间值的过程中，利用了指数函数的关键点$(0,1)$与幂函数的关键点$(1,1)$附近的函数的性质. 899 | \end{note} 900 | 901 | \begin{example} 902 | 解不等式：\begin{multicols}{2} 903 | \begin{enumerate}[(1)] 904 | \item $a^{2x^2-7x+3}>1\; (a>1)$ 905 | \item $a^{2x^2-3x+1}>a^{x^2+2x-5}\; (0a^0\quad (a>1)$$ 914 | 因为$a>1$时$y=a^{u}$单调递增，由上式可得 915 | \begin{equation} 916 | 2x^2-7x+3>0 \tag{*} 917 | \end{equation} 918 | 解(*), 得$x<\frac{1}{2}$或$x>3$, 919 | 920 | $\therefore \quad (1)$ 的解集为$\left ( - \infty, \frac 12\right ) \cup ( 3, + \infty) $ 921 | 922 | \item 当$04^{2x^2+6x}$ 1032 | \item $a^{2x^2+3x+1}\ge a^{x^2-x-2}\; (0=stealth] 1060 | \draw[->](0,0)--(2.5,0)node[right]{$x$}; 1061 | \draw[->](0,0)--(0,210)node[right]{$y$}; 1062 | \draw[domain=0:2.3, very thick, smooth]plot(\x, 10^\x)node[right]{$y=10^x$}; 1063 | \foreach \x in {20,40,...,200} 1064 | { 1065 | \draw(0,\x)node[left]{\x}--(.03,\x); 1066 | } 1067 | \node at (1,0)[below]{1}; 1068 | \node at (2,0)[above]{2}; 1069 | \node [below left]{$O$}; 1070 | \foreach \x in {.1,.2,...,2.3} 1071 | { 1072 | \draw(\x,0)--(\x,2); 1073 | } 1074 | \draw[dashed](0,126)node[left]{$y_0$}--(2.1,126)node[right]{$A(x_0,y_0)$}--(2.1,0)node[below]{$x_0$}; 1075 | 1076 | \end{tikzpicture} 1077 | \caption{} 1078 | \end{figure} 1079 | 1080 | 1081 | 利用指数函数$y=10^x$的图象（图3.13），可以把上式中有关的数写成指数形式： 1082 | \[35\approx 10^{1.54},\quad 145\approx 10^{2.16},\quad 1083 | 20\approx 10^{1.80},\quad 157\approx 10^{2.20}\] 1084 | 那么 1085 | \[y_0\approx \frac{10^{1.54}\cdot 10^{2.16}}{\sqrt[3]{10^{2\times 1.80}\cdot 10^{2.20}}}\] 1086 | 再回到图3.13，可以看出当$x_0\approx 2.10$时，$y_0\approx 126$. 1087 | 1088 | 这种办法简捷就在于：它用幂的指数的加、减、乘、除运算分别替代了原来数字的乘、除、乘方、开方运算。办法得以实施的条件是把有关的数写成了指数形式（幂的形式）， 1089 | \begin{center} 1090 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, thick] 1091 | \node at (0,0){\huge $145=10^{2.16}$}; 1092 | \node at (3,-1)[right]{幂的底数}; 1093 | \node at (3,1)[right]{幂的指数}; 1094 | \draw[->](3,1)--(1.5,1)--(1.5,0.5); 1095 | \draw[->](3,-1)--(0.5,-1)--(0.5,-.5); 1096 | 1097 | \end{tikzpicture} 1098 | \end{center} 1099 | 如这里，幂的指数2.16又称为以10为底145的对数。一般有下面的定义 1100 | 1101 | \begin{thm}{定义} 1102 | 设$a>0$，且$a\ne 1$，对于数$N$，若能找到实数$x$，使得 1103 | \begin{equation} 1104 | N=a^x\tag{1} 1105 | \end{equation} 1106 | 那么，数$x$就称为\textbf{以$a$为底$N$的对数}\footnote{$\log_a N$是英语“logarithm（对数） of $N$”的缩写。}，记作 1107 | \begin{equation} 1108 | x=\log_a N \tag{2} 1109 | \end{equation} 1110 | 其中$a$叫做\textbf{底数}（简称\textbf{底}），$N$叫做\textbf{真数}。 1111 | \end{thm} 1112 | 1113 | \begin{note} 1114 | \begin{enumerate} 1115 | \item 以$a\; (00)\] 1129 | 其中：$0=stealth] 1139 | 1140 | \node[draw, rectangle] at (-3,0){\huge $a^b=N$}; 1141 | \node[draw, rectangle] at (3,0){\huge $\log_a N=b$}; 1142 | \draw[<->, thick](-4,-.5)--(-4,-1.5)--node[fill=white]{底数}(2.4,-1.5)--(2.4,-.5); 1143 | \draw[<->, thick](-3.6,.5)--(-3.6,1.5)--node[fill=white]{指数\quad 对数}(4.6,1.5)--(4.6,.5); 1144 | \draw[<->, thick](-2.1,.5)--(-2.1,.8)--node[fill=white]{幂\quad\quad 真数}(3,.8)--(3,.5); 1145 | \draw[dashed](.5,0)--(.5,3); 1146 | \node at (-1,2.5){指数式}; 1147 | \node at (2,2.5){对数式}; 1148 | 1149 | \end{tikzpicture} 1150 | \caption{} 1151 | \end{figure} 1152 | 1153 | \begin{example} 1154 | \begin{enumerate}[(1)] 1155 | \item 已知$\log_{10}N=-2$, 求$N$, 1156 | \item 已知$\log_2 M=5$, 求$M$. 1157 | \end{enumerate} 1158 | \end{example} 1159 | 1160 | 1161 | \begin{solution} 1162 | \begin{enumerate}[(1)] 1163 | \item 由$\log_{10}N=-2$, 得$N=10^{-2}=\frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{100}$. 1164 | \item 由$\log _2M= 5$, 得 $M= 2^5= 32$ 1165 | \end{enumerate} 1166 | \end{solution} 1167 | 1168 | \begin{multicols}{2} 1169 | \begin{example} 1170 | 求下列各式的值： 1171 | \begin{enumerate}[(1)] 1172 | \item $\log_9 81$, 1173 | \item $\log_3\frac 1{27}$, 1174 | \item $\log_{10} 1000$. 1175 | \end{enumerate} 1176 | 1177 | \end{example} 1178 | 1179 | \begin{solution} 1180 | \begin{enumerate}[(1)] 1181 | \item $\log_{3}81=\log_9 9^2=2$ 1182 | \item $\log_3\frac 1{27}=\log_{3}3^{- 3}= - 3$ 1183 | \item $\log_{10}1000=\log_{10}10^3=3$ 1184 | \end{enumerate} 1185 | \end{solution} 1186 | \end{multicols} 1187 | 1188 | 1189 | \begin{rmk} 1190 | 此例也可以先化成指数式来解。如(1): 1191 | 设$\log_9 81=x$，则$9^x=81$， 1192 | 1193 | $\because\quad 9^2=81$ 1194 | 1195 | $\therefore\quad x=2\Longrightarrow \log_9 81=2$ 1196 | \end{rmk} 1197 | 1198 | \begin{multicols}{2} 1199 | \begin{example} 1200 | 求下列各式的值： 1201 | \begin{enumerate}[(1)] 1202 | \item $\log_4 4$ 1203 | \item $\log_3 1$ 1204 | \end{enumerate} 1205 | \end{example} 1206 | 1207 | \begin{solution} 1208 | \begin{enumerate}[(1)] 1209 | \item $\log_4 4=\log_4 4^1=1$ 1210 | \item $\log_3 1=\log_3 3^0=0$ 1211 | \end{enumerate} 1212 | \end{solution} 1213 | \end{multicols} 1214 | 1215 | 1216 | \begin{example} 1217 | 求下列各式的值： 1218 | \begin{multicols}{3} 1219 | \begin{enumerate}[(1)] 1220 | \item $2^{\log_2 3}$ 1221 | \item $2^{3\log_2 3}$ 1222 | \item $2^{-\tfrac{1}{2}\log_2 3}$ 1223 | \end{enumerate} 1224 | \end{multicols} 1225 | \end{example} 1226 | 1227 | \begin{solution} 1228 | \begin{enumerate}[(1)] 1229 | \item $2^{\log_2 3}=3$ 1230 | \item $2^{3\log_2 3}=\left(2^{\log_2 3}\right)^3=3^3=27$ 1231 | \item $2^{-\tfrac{1}{2}\log_2 3}=\left(2^{\log_2 3}\right)^{-\tfrac{1}{2}}=3^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 1232 | \end{enumerate} 1233 | \end{solution} 1234 | 1235 | \begin{ex} 1236 | \begin{enumerate} 1237 | \item 把下列指数式写成对数式： 1238 | \begin{multicols}{3} 1239 | \begin{enumerate}[(1)] 1240 | \item $2^4=16$ 1241 | \item $5^{-2}=\frac{1}{25}$ 1242 | \item $10^4=10000$ 1243 | \item $10^0=1$ 1244 | \item $8^{\tfrac{2}{3}}=4$ 1245 | \item $27^{-\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{3}$ 1246 | \end{enumerate} 1247 | \end{multicols} 1248 | \item 把下列对数式写成指数式： 1249 | \begin{multicols}{2} 1250 | \begin{enumerate}[(1)] 1251 | \item $\log_4 16=2$ 1252 | \item $\log_3\frac{1}{81}=-4$ 1253 | \item $\log_8 2=\frac{1}{3}$ 1254 | \item $\log_{10}0.0001=-4$ 1255 | \item $\log_7 7 =1$ 1256 | \item $\log_{81} 3=\frac{1}{4}$ 1257 | \item $\log_{27}\frac{1}{9}=-\frac{2}{3}$ 1258 | \item $\log_{\tfrac{1}{5}}125=-3$ 1259 | \end{enumerate} 1260 | \end{multicols} 1261 | \item 求下列各式的值： 1262 | \begin{multicols}{3} 1263 | \begin{enumerate}[(1)] 1264 | \item $\log_4 64$ 1265 | \item $\log_2 \frac{1}{16}$ 1266 | \item $\log_3 243$ 1267 | \item $\log_{10}0.0001$ 1268 | \item $\log_{\tfrac{1}{5}}625$ 1269 | \end{enumerate} 1270 | \end{multicols} 1271 | \item 求下列对数式中的真数$x$: 1272 | \begin{multicols}{2} 1273 | \begin{enumerate}[(1)] 1274 | \item $\log_3 x=3$ 1275 | \item $\log_{\tfrac{1}{2}} x=-3$ 1276 | \item $\log_5 x=1$ 1277 | \item $\log_4 x=0$ 1278 | \end{enumerate} 1279 | \end{multicols} 1280 | \item 求下列各式的值： 1281 | \begin{multicols}{3} 1282 | \begin{enumerate}[(1)] 1283 | \item $\log_{15}15 $ 1284 | \item $\log_{0.4}1 $ 1285 | \item $\log_{\tfrac{1}{3}}9 $ 1286 | \item $\log_{3} 1$ 1287 | \item $\log_{3.6} 3.6$ 1288 | \item $\log_{2} 1024$ 1289 | \end{enumerate} 1290 | \end{multicols} 1291 | \item 求下列各式的值： 1292 | \begin{multicols}{3} 1293 | \begin{enumerate}[(1)] 1294 | \item $7^{\log_7 5}$ 1295 | \item $3^{-2\log_3 5}$ 1296 | \item $\left(\frac{1}{2}\right)^{-\log_2 3}$ 1297 | \item $4^{-\log_2 3}$ 1298 | \item $5^{-\tfrac{2}{3}\log_5 4}$ 1299 | \item $125^{-2\log_5 2}$ 1300 | \end{enumerate} 1301 | \end{multicols} 1302 | \end{enumerate} 1303 | \end{ex} 1304 | 1305 | \subsection{正数的积、商、幂、方根的对数} 1306 | 1307 | 我们知道，指数运算有下列法则： 1308 | \[\begin{split} 1309 | a^p\cdot a^q&=a^{p+q}\\ 1310 | a^p\div a^q&=a^{p-q}\\ 1311 | (a^p)^n&=a^{np}\\ 1312 | \sqrt[n]{a^p}&=a^{\tfrac{p}{n}}\\ 1313 | \end{split}\qquad \text{(其中$00,\; N>0)\] 1319 | 由于“对数源于指数”，因而只要把$(M\cdot N)$ 1320 | 改写成以$a$为底的指数形式就可以了。 1321 | 1322 | 由对数恒等式知 1323 | \begin{equation} 1324 | M=a^{\log_a M},\qquad N=a^{\log_a N} \tag{*} 1325 | \end{equation} 1326 | 于是 1327 | \[\begin{split} 1328 | \log_a(M\cdot N)&=\log_a\left(a^{\log_a M}\cdot a^{\log_a N}\right)\\ 1329 | &=\log_a a^{\log_a M+\log_a N}\\ 1330 | &=\log_a M+\log_a N 1331 | \end{split}\] 1332 | 1333 | 这就是说，\textbf{两个正数的积的对数，等于同一底数的这两 1334 | 个数的对数的和}，即 1335 | \[\log_a MN=\log_a M+\log_a N\] 1336 | 1337 | 当因数多于两个时，上述性质仍然成立。例如 1338 | \[\log_a LMN=\log_a L+\log_a M+\log_a N\] 1339 | 同理还可得出： 1340 | 1341 | \textbf{两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减 1342 | 去除数的对数的差}，即 1343 | \[\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\] 1344 | 1345 | \textbf{一个正数的幂的对数，等于幂的底数的 对数乘以幂指 1346 | 数}，即 1347 | \[\log_a M^n=n\log_a M\] 1348 | 1349 | \textbf{一个正数的算术根的对数，等于被开方数的对数除以根 1350 | 指数}，即 1351 | \[\log_a\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}\log_a M\] 1352 | 1353 | 同学们可以自己证明这些性质。 1354 | 1355 | \begin{example} 1356 | 用$\log_a x$, $\log_a y$, $\log_a z$表示下列各式： 1357 | \begin{multicols}{2} 1358 | \begin{enumerate}[(1)] 1359 | \item $\log_a \frac{xy}{z}$ 1360 | \item $\log_a (x^3\cdot y^5)$ 1361 | \item $\log_a \frac{\sqrt{x}}{yz}$ 1362 | \item $\log_a \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}$ 1363 | \end{enumerate} 1364 | \end{multicols} 1365 | \end{example} 1366 | 1367 | \begin{solution} 1368 | \begin{enumerate}[(1)] 1369 | \item $\log_a \frac{xy}{z}=\log_a(xy)-\log_a z=\log_a x+\log_a y-\log_a z$ 1370 | \item $\log_a (x^3\cdot y^5)=\log_a x^3+\log_a y^5=3\log_a x+5\log_a y$ 1371 | \item $\log_a \frac{\sqrt{x}}{yz}=\log_a\sqrt{x}-\log_a(yz)=\frac{1}{2}\log_a x-\log_a y-\log_a z$ 1372 | \item $\log_a \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}=\log_a \left(x^2\cdot \sqrt{y}\right)-\log_a\sqrt[3]{z}=2\log_a x+\frac{1}{2}\log_a y-\frac{1}{3}\log_a z$ 1373 | \end{enumerate} 1374 | \end{solution} 1375 | 1376 | \begin{example} 1377 | 计算： 1378 | \begin{multicols}{2} 1379 | \begin{enumerate}[(1)] 1380 | \item $\log_{10}\sqrt[5]{100}$ 1381 | \item $\log_2 (4^7\cdot 2^5)$ 1382 | \end{enumerate} 1383 | \end{multicols} 1384 | 1385 | \end{example} 1386 | 1387 | \begin{solution} 1388 | \begin{enumerate}[(1)] 1389 | \item $\log_{10}\sqrt[5]{100}=\frac{1}{5}\log_{10}100=\frac{1}{5}\log_{10}10^2=\frac{2}{5}$ 1390 | \item $\log_2 (4^7\cdot 2^5)=7\log_2 4+5\log_2 2=14+5=19$ 1391 | \end{enumerate} 1392 | \end{solution} 1393 | 1394 | \begin{ex} 1395 | \begin{enumerate} 1396 | \item 证明公式 1397 | \[\log_a \sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}\log_a M\quad (00,\; n\in \N)\] 1398 | \item 用$\log_a x$, $\log_a y$, $\log_a z$, $\log_a (x+y)$, $\log_a (x-y)$表示下列各式： 1399 | \begin{multicols}{2} 1400 | \begin{enumerate}[(1)] 1401 | \item $\log_a \frac{\sqrt{x}}{y^2 z}$ 1402 | \item $\log_a \left(x\cdot \sqrt[4]{\frac{z^3}{y^2}}\right)$ 1403 | \item $\log_a \left(xy^{\tfrac{1}{3}}z^{-\tfrac{2}{3}}\right)$ 1404 | \item $\log_a \frac{xy}{x^2-y^2}$ 1405 | \item $\log_a \left(\frac{x+y}{x-y}\cdot y\right)$ 1406 | \item $\log_a \left[\frac{y}{x(x-y)}\right]^3$ 1407 | \end{enumerate} 1408 | \end{multicols} 1409 | 1410 | \item 计算： 1411 | \begin{multicols}{2} 1412 | \begin{enumerate}[(1)] 1413 | \item $\log_a 2+\log_a \frac{1}{2}$ 1414 | \item $\log_3 18-\log_3 2$ 1415 | \item $2\log_5 10+\log_5 0.25$ 1416 | \item $\log_{10}\frac{1}{4}-\log_{10}25 $ 1417 | \end{enumerate} 1418 | \end{multicols} 1419 | 1420 | \item \begin{enumerate}[(1)] 1421 | \item 用$a=\log_{10}5$表示$\log_{10}2$, $\log_{10}20$； 1422 | \item 用$a=\log_{10}2$, $b=\log_{10}3$表示$\log_{10}4$, $\log_{10}5$, $\log_{10}6$, $\log_{10}15$. 1423 | \end{enumerate} 1424 | \end{enumerate} 1425 | \end{ex} 1426 | 1427 | \subsection{常用对数} 1428 | 通常我们用的是十进制记数法，所以通常用的对数也是 1429 | 以10为底的对数，这种对数叫做\textbf{常用对数}。在表示常用对数 1430 | 的时候，常常把底数10略去，并把 1431 | “log” 1432 | 简写成“ 1433 | “lg” 1434 | 。如$\log_{10}M$可写作$\lg M$, $\log_{10}8$可写作$\lg8$. 一般所说的对数如不 1435 | 做特殊说明，都是指常用对数。 1436 | 1437 | 常用对数当然具有一般对数所具有的通性（如上述对数 1438 | 恒等式和积、商、幂、方根取对数的法则）。此外，常用对数 1439 | 还有一些特殊的性质。 1440 | 1441 | 我们知道： 1442 | \begin{center} 1443 | \begin{tabular}{p{.4\textwidth}p{.4\textwidth}} 1444 | $\cdots\cdots$&$\cdots\cdots$\\ 1445 | $10^3=1000$ & $\lg 1000=3$\\ 1446 | $10^2=100$ & $\lg 100=2$\\ 1447 | $10^1=10$ & $\lg 10=1$\\ 1448 | $10^0=1$ & $\lg 1=0$\\ 1449 | $10^{-1}=0.1$ & $\lg 0.1=-1$\\ 1450 | $10^{-2}=0.01$ & $\lg 0.01=-2$\\ 1451 | $10^{-3}=0.001$ & $\lg 0.001=-3$\\ 1452 | $\cdots\cdots$&$\cdots\cdots$\\ 1453 | \end{tabular} 1454 | \end{center} 1455 | 1456 | 可以看出，10的整数次幂的对数是一个整数，并且真数 1457 | 较大的时候，它的对数也较大。 1458 | 1459 | 可以推断： 1460 | 由$1<7.2<10$ 1461 | ，得$\lg1<\lg7.2<\lg10$，即 1462 | $0<\lg7.2<1$; 由$0.01<0.072<0.1$，得 1463 | $\lg0.01<\lg0.072<\lg0.1$，即 1464 | $-2<\lg0.072<-1$; …… 1465 | 1466 | 由此，\textbf{真数若不是10的整数次幂，则它的常用对数一定 1467 | 是个小数}。特别，\textbf{若真数$\in (1,10)$, 则它的常用对数一定 1468 | 是个正的纯小数}（这个纯小数可以从《对数表》查得）。 1469 | 1470 | 我们再考察$3.408$, $34.08$, $340.8$, $0.03408$以及 1471 | $0.0003408$的常用对数有什么关系？ 1472 | 1473 | 由上可知，$\lg3.408$是个正的纯小数，查《对数表》可 1474 | 得：$\lg3.408=0.5325$ 1475 | 1476 | $\because\quad 34.08=3.408\times10$ 1477 | 1478 | $\therefore\quad \lg34.08=\lg(3.408\times10)=\lg3.408+1=1+0.5325$ 1479 | 1480 | 同理 1481 | \[\begin{split} 1482 | \lg340.8&=\lg(3.408\times10^{2})=\lg3.408+2=2+0.5325\\ 1483 | \lg0.03408&=\lg(3.408\times10^{-2})=\lg3.408+(-2) 1484 | =-2+0.5325\\ 1485 | \lg0.0003408&=\lg(3.408\times10^{-4})=\lg3.408+(-4)=-4+0.5325. 1486 | \end{split}\] 1487 | 1488 | 由此可见： 1489 | \begin{enumerate}[(1)] 1490 | \item 若真数不是10的整数次幂，则它的常用对数一定 1491 | 可以写成一个整数（正整数，零或负整数）加上一个正的纯 1492 | 小数。其中整数部分叫做这个对数的首数，正的纯小数（或 1493 | 者为零）部分叫做这个对数的尾数。 1494 | 1495 | 例如，上面的$\lg340.8=2+0.5325$中，首数是2, 尾数是0.5325; $\lg0.0003408=-4+0.5325$中，首数是$-4$, 尾数是 1496 | 0.5325. 1497 | \item \textbf{仅仅是小数点位置不同的数，它们的常用对数具 1498 | 有不同的首数，相同的尾数}。 1499 | \item 由上还可以看出，欲求一个正数$M$的常用对数， 1500 | 只要科学记数法把它写成形如 1501 | \[a\times 10^n \qquad \text{（其中$1\le a<10$, $n\in\Z$）}\] 1502 | 那么，对数的首数就是$n$, 对数的尾数$a$可从《对数表》中 1503 | 查出。 1504 | \end{enumerate} 1505 | 1506 | \begin{example} 1507 | 求下列各数的常用对数的首数： 1508 | \[37.12,\quad 7.812,\quad 0.00007890,\quad 0.2543.\] 1509 | \end{example} 1510 | 1511 | \begin{solution} 1512 | \begin{enumerate} 1513 | \item $37.12=3.712\times 10^1$, 对数的首数是1； 1514 | \item $7.812=7.812\times 10^0$，对数的首数是0； 1515 | \item $0.00007890=7.890\times 10^{-5}$，对数的首数是$-5$； 1516 | \item $0.2543=2.543\times 10^{-1}$，对数的首数是$-1$. 1517 | \end{enumerate} 1518 | \end{solution} 1519 | 1520 | 下面简介如何查《对数表》\footnote{由于电子计算器的普及，这部分内容可以不作为教学要求。}。 1521 | 1522 | 一个数的对数的尾数可以在《常用对数表》里查出。下 1523 | 面是《中学数学用表》中的表十《常用对数表》的一部分。 1524 | 表中标有$N$的直列和横行的数是真数，其余的数是对数的尾 1525 | 数（一般是近似值），但是略去了小数点，尾数部分的最后一 1526 | 栏是修正值。 1527 | 1528 | \begin{center} 1529 | \includegraphics[scale=.8]{fig/1.jpg} 1530 | \end{center} 1531 | 1532 | 1533 | 1534 | 下面说明查表求常用对数的方法： 1535 | \begin{enumerate} 1536 | \item 当$1\le N<10$时，对数的首数为零，由表中查出的 1537 | 对数的尾数就是$N$的对数。 1538 | \begin{enumerate}[(1)] 1539 | \item 若$N$有三个有效数字，由表就能直接查出$N$的对数。 1540 | 如查表求$\lg 5.08$, 从$N$所在的直列中找出$5.0$, 从$N$所在的横行中找出8, 那么，5.0所在的行与8所在的列交叉处的数 1541 | 7059表示的数是0.7059, 就是所求的数，即$\lg5.08=0.7059$。 1542 | 又如，查表可以求得 1543 | $\lg5.3=0.7243$（把5.3看成5.30再查 1544 | 表），$\lg5=0.6990$（把5看成5.00再查表）。 1545 | \item 表中右边顶上一横行是真数的第四个有效数字。若真 1546 | 数有四个有效数字，就要用到第四个有效数字所对应的修正 1547 | 值。例如，查表求$\lg5.263$. 真数5.263的第四个有效数字3 1548 | 对应的修正值2表示0.0002, 因而 1549 | $\lg5.263=0.7210+0.0002=0.7212$. 1550 | \item 若$N$有五个或更多个有效数字时，可先用四舍五入法 1551 | 把它改写成四个有效数字，再按(2)中的方法求对数。 1552 | \end{enumerate} 1553 | 1554 | \item 当真数$N<1$或 1555 | $N\ge 10$时，先用科学记数法把$N$写 1556 | 成$a\cdot 10^n$的形式，其中 1557 | $1\le a<10$, $n\in\Z$。这时$N$的对数的首数 1558 | 是$n$, 尾数可由$a$从表中查出。 1559 | \end{enumerate} 1560 | 1561 | 若知道了一个数的常用对数，欲求这个数可查《反对数 1562 | 表》。如已知$\lg N=0.2846$, 求$N$. 1563 | 1564 | 下面是《中学数学用表》中的《反对数表》的一部分。 1565 | \begin{center} 1566 | \includegraphics[scale=.8]{fig/2.jpg} 1567 | \end{center} 1568 | 1569 | 下面说明《反对数表》的查法： 1570 | \begin{enumerate} 1571 | \item 当$N$的对数的首数为0时，有$1\le N<10$. 这时从表 1572 | 中查出尾数对应的四位数字，在第一位数字后面加上小数点， 1573 | 即得所求的真数$N$. 如已知$\lg N=0.2846$ 1574 | ，求$N$. 在表中$m$所在 1575 | 的直列中找到.28, 再从$m$所在的横行中找到4, 交叉处的数 1576 | 是1923, 再查第四位数字6对应的修正值是3, 那么$1923+ 1577 | 3=1926$. 因此， 1578 | $N=1.926$ 1579 | \item 当$N$的对数的首数$n\ne 0$ 1580 | 时，从《反对数表》中查出尾数对应的真数，再将它乘以$10^n$，即得所求的真数。如已知 1581 | $\lg N=2.2635$, 求$N$. 由尾数0.2635查表得相应的真数为 1582 | 1.834, 则 1583 | $N=1.834\times 10^2=183.4$. 1584 | \end{enumerate} 1585 | 1586 | \begin{ex} 1587 | \begin{enumerate} 1588 | \item 已知$\lg x$的尾数与$\lg 7409$的尾数相同，它的首数是下列各 1589 | 数，求$x$. 1590 | \begin{multicols}{4} 1591 | \begin{enumerate}[(1)] 1592 | \item 5 1593 | \item $-2$ 1594 | \item 0 1595 | \item $-1$ 1596 | \item 1 1597 | \item 3 1598 | \item $-3$ 1599 | \item $-4$ 1600 | \end{enumerate} 1601 | \end{multicols} 1602 | \item \begin{enumerate}[(1)] 1603 | \item $\lg (100N)$比$\lg\frac{N}{100}$大多少？ 1604 | \item $\lg(0.001N)$比$\lg(1000N)$小多少？ 1605 | \end{enumerate} 1606 | \item 已知$\lg 2=0.3010$, $\lg3=0.4771$，求 1607 | $\lg0.0015$, $\lg750$. 1608 | \item 求下列指数式的值： 1609 | \[10^{1.3010},\quad 10^{2.4771},\quad 10^{1.5400},\quad 10^{2.100}\] 1610 | \item \begin{enumerate}[(1)] 1611 | \item 确定$2^{100}$ 1612 | 是几位数，并且求出它的最高的两位数字； 1613 | \item $0.3^{100}$ 在小数点后面连续有多少个零，并且求出它 1614 | 的前两位有效数字。 1615 | \end{enumerate} 1616 | \end{enumerate} 1617 | \end{ex} 1618 | 1619 | \subsection{换底公式} 1620 | 利用常用对数表，可以求出任意一个正数以10为底的对 1621 | 数。现在研究如何求出以其他正数 1622 | $a\; (00)$$ 1632 | 1633 | \begin{proof} 1634 | 设$\log_b N=x$,转化成指数式 1635 | $$b^{x}=N$$ 1636 | 两边取以$a$为底的对数，得 1637 | $$x\log_{a}b=\log_{a}N $$ 1638 | 1639 | $\because \quad b\neq1$,\qquad $\therefore \quad \log_a b\neq 0$. 1640 | 1641 | 以$\log_a b$除上式两边，有 1642 | \[x=\frac{\log_a N}{\log_a b}\] 1643 | 即: $\log_b N=\frac{\log_a N}{\log_a b}$ 1644 | \end{proof} 1645 | 1646 | \begin{note} 1647 | \begin{enumerate} 1648 | \item 有了换底公式，就可把以任何实数$a\; (00$, $n\in\R$ 1676 | 1677 | （证明留给读者完成） 1678 | \end{enumerate} 1679 | \end{example} 1680 | 1681 | \begin{blk} 1682 | 分析以下三题应怎样求值： 1683 | \begin{enumerate}[(1)] 1684 | \item $(\log_{4}3+\log_{8}3)(\log_{3}2+\log_{9}2)$ 1685 | \item $\log_{8}9\cdot \log_{27}32$ 1686 | \item $5^{\log_{25}36}$ 1687 | \end{enumerate} 1688 | \end{blk} 1689 | 1690 | \begin{example} 1691 | \begin{enumerate}[(1)] 1692 | \item 已知$\log_2 9=a$，试以$a$表示$\log_6 16$; 1693 | \item 已知$\log_{12} 27=b$，试以$b$表示$\log_6 16$. 1694 | \end{enumerate} 1695 | \end{example} 1696 | 1697 | \begin{analyze} 1698 | 先将条件式与结论式化简（最好化为同底），然 1699 | 后再去找联系。 1700 | \end{analyze} 1701 | 1702 | \begin{solution} 1703 | \begin{enumerate} 1704 | \item \begin{align} 1705 | a&=\log_2 3^2 =2\log_2 3 \tag{1}\\ 1706 | \log_{6}16 &= \frac{\log_2 2^4}{\log_2(2\times 3)}=\frac{4}{1+\log_2 3}\tag{2} 1707 | \end{align} 1708 | 由(1)得：$\log_2 3=\frac{a}{2}$，代入(2)，得： 1709 | \[\log_6 16=\frac{4}{1+\frac{a}{2}}=\frac{8}{2+a}\] 1710 | \item \begin{align} 1711 | b&=\frac{\log_2 3^3}{\log_2(4\times 3)}=\frac{3\log_2 3}{2+\log_2 3}\tag{3}\\ 1712 | \log_{6}16&=\frac{\log_2 2^4}{\log_2(2\times 3)}=\frac{4}{1+\log_2 3}\tag{4} 1713 | \end{align} 1714 | 由(3)得：$\log_2 3=\frac{2b}{3-b}$（容易看出$b\ne 3$），代入(4)，得： 1715 | \[\log_6 16=\frac{4}{1+\frac{2b}{3-b}}=\frac{4(3-b)}{3-b+2b}=\frac{12-4b}{3+b}\] 1716 | \end{enumerate} 1717 | \end{solution} 1718 | 1719 | \section*{习题三} 1720 | \begin{center} 1721 | \bfseries A 1722 | \end{center} 1723 | \begin{enumerate} 1724 | \item 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1725 | \begin{multicols}{2} 1726 | \begin{enumerate}[(1)] 1727 | \item $a^0=1$ 1728 | \item $a^1=a$ 1729 | \item $\log_a\sqrt[3]{a^2}=\frac{2}{3}$ 1730 | \item $\log_3\frac{1}{3}\sqrt{3}=-\frac{1}{2}$ 1731 | \end{enumerate} 1732 | \end{multicols} 1733 | \item 计算下列各式： 1734 | \begin{multicols}{2} 1735 | \begin{enumerate}[(1)] 1736 | \item $5^{1+\log_5 7}$ 1737 | \item $2^{8-\log_2 8}$ 1738 | \item $8^{\log_2\frac{1}{8}}$ 1739 | \item $\sqrt{81^{0.5\times \log_8 11}}$ 1740 | \item $27^{\tfrac{2}{3}\log_3 2}$ 1741 | \item $40\cdot 100^{\tfrac{1}{2}\lg 9-\lg 2}$ 1742 | \item $2^{\log_4\left(2-\sqrt{3}\right)^2}+3^{\log_9\left(2+\sqrt{3}\right)^2}$ 1743 | \end{enumerate} 1744 | \end{multicols} 1745 | \item 若$00$，下列变形中哪一种是错误 1746 | 的： 1747 | \begin{multicols}{2} 1748 | \begin{enumerate}[(1)] 1749 | \item $\log_a x^2=2\log_a x$ 1750 | \item $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$ 1751 | \item $\log_a (xy)=\log_a x+\log_a y$ 1752 | \item $\lg_a (xy)=\log_a|x|+ \log_a|y| $ 1753 | \end{enumerate} 1754 | \end{multicols} 1755 | \item 不查表，求值： 1756 | \begin{enumerate}[(1)] 1757 | \item $\log_2 (1+\sqrt{2}+\sqrt{3})+\log_2 (1+\sqrt{2}-\sqrt{3})$ 1758 | \begin{multicols}{2} 1759 | \item $\log_{2+\sqrt{3}}(2-\sqrt{3}) $ 1760 | \item $\log_{\sqrt{2}-1}(3-2\sqrt{2}) $ 1761 | \item $\log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}(5+2\sqrt{6}) $ 1762 | \item $\log_{\tfrac{1}{9}}\sqrt[5]{27}$ 1763 | \end{multicols} 1764 | \end{enumerate} 1765 | 1766 | \item \begin{enumerate}[(1)] 1767 | \item 已知$\lg3=0.4771$, $\lg786=2.8954$，求$\sqrt[5]{0.3}$的值； 1768 | \item 利用$\lg72=1.8573$, $\lg108=2.0334$，求$\lg2$与$\lg3$的值。 1769 | \end{enumerate} 1770 | 1771 | \item 已知$\lg2=0.3010$, 问$2^7\cdot 8^{11}\cdot 5^{10}$ 1772 | 是几位数？其个位数字是 1773 | 几？ 1774 | \item 不查表，求值； 1775 | \begin{enumerate}[(1)] 1776 | \item $\lg 98-\lg 2+2\sqrt{\lg^2 7-2\lg 7+1}$ 1777 | \begin{multicols}{2} 1778 | \item $\sqrt{5^{2\log_5 (\lg 3)}-2\lg 3+1}$ 1779 | \item $\lg^2 2+\lg 4\cdot \lg 50+\lg^2 50$ 1780 | \item $\frac{3\lg 2+\lg 3+\lg 5}{1+\frac{1}{2}\lg 36+\frac{1}{3}\lg 8}$ 1781 | \end{multicols} 1782 | \end{enumerate} 1783 | \end{enumerate} 1784 | 1785 | \begin{center} 1786 | \bfseries B 1787 | \end{center} 1788 | 1789 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{7} 1790 | \item \begin{enumerate}[(1)] 1791 | \item 已知$\ln y=x+\ln C$，求证：$y=Ce^x$ 1792 | \item 已知$\ln\frac{y}{x}-ax=\ln C$，求证：$y=Cxe^{ax}$ 1793 | \end{enumerate} 1794 | 1795 | 1796 | \item 设$a^2+b^2=7ab$，且$a>0$, $b>0$，求证： 1797 | \[\lg\frac{a+b}{3}=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)\] 1798 | \item 设$a^2+b^2=6ab$，且$a>b>0$，求证： 1799 | \[\lg\frac{a-b}{3}=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)\] 1800 | \item 求证： 1801 | \begin{multicols}{2} 1802 | \begin{enumerate}[(1)] 1803 | \item $\frac{\log_5 \sqrt{2}\cdot \log_7 9}{\log_5 \frac{1}{3}\cdot \log_7 \sqrt[3]{4}}=-\frac{3}{2}$ 1804 | \item $\log_4 8-\log_{\tfrac{1}{9}}3-\log_{\sqrt{2}}4=-2$ 1805 | \end{enumerate} 1806 | \end{multicols} 1807 | 1808 | \item 已知$\log_2 3=m$, $\log_3 7=n$ 1809 | 试用$m,n$表达$\log_{42}56$的值。 1810 | \item 已知$\log_{18}9=a$, $18^b=5$， 1811 | 试用$a$、$b$表示$\log_{36}45$的值。 1812 | \item 设正数$A$、$B$、$C$的常用对数分别是$a$、$b$、$c$, 且 1813 | $a+b+c=0$，求证 1814 | \[A^{\tfrac{1}{b}+\tfrac{1}{a}}\cdot B^{\tfrac{1}{c}+\tfrac{1}{a}}\cdot C^{\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}}=\frac{1}{1000}\] 1815 | \item 若$y=a^{\tfrac{1}{1-\log_a x}}$, $z=a^{\tfrac{1}{1-\log_a y}}$, 则$x=a^{\tfrac{1}{1-\log_a z}}$ 1816 | 1817 | \item 若$a$、$b$、$c$为${\rm Rt}\triangle$的三边长，其中$c$为斜边长。 1818 | 则 1819 | \[\log_{b+c}a+\log_{c-b}a=2\log_{b+c} a\cdot \log_{c-b} a\] 1820 | \end{enumerate} 1821 | 1822 | 1823 | \section{对数函数及其图象和性质} 1824 | 1825 | \subsection{对数函数} 1826 | 指数函数$y=a^x\; (0=stealth] 1836 | \draw[->](-2,0)--(5,0)node[right]{$x$}; 1837 | \draw[->](0,-2)--(0,5)node[right]{$y$}; 1838 | \draw[dashdotted](-1.5,-1.5)--(4,4)node[above]{$y=x$}; 1839 | \node [below right]{$O$}; 1840 | \foreach \x in {-1,1,2,3,4} 1841 | { 1842 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 1843 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 1844 | } 1845 | 1846 | \draw[domain=-1.5:.65, smooth, thick]plot(\x, 10^\x)node[above right]{$y=10^x$}; 1847 | \draw[domain=-1.5:.65, smooth, thick]plot(10^\x,\x)node[above]{$y=\log_{10}x$}; 1848 | 1849 | \draw[domain=-1.75:2, smooth, very thick]plot(\x, 2^\x)node[above right]{$y=2^x$}; 1850 | \draw[domain=-1.75:2, smooth, very thick]plot(2^\x,\x)node[above]{$y=\log_{2}x$}; 1851 | 1852 | \draw[domain=1.5:-1.75, smooth, ultra thick]plot(\x, 0.5^\x)node[above]{$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$}; 1853 | \draw[domain=1.5:-1.75, smooth, ultra thick]plot(0.5^\x,\x)node[right]{$y=\log_{\tfrac{1}{2}}x$}; 1854 | 1855 | \end{tikzpicture} 1856 | \caption{} 1857 | \end{figure} 1858 | 1859 | 1860 | 1861 | \subsection{对数函数的图象和性质} 1862 | 由于指数函数与对数函数互为反函数，因此指数函数 1863 | $y=a^x\; (01$ 1868 | 及$01$&$00, & x>1\\=0,& x=1\\ <0& x<1 1885 | \end{cases}$ & $\log_a x=\begin{cases} 1886 | <0, & x>1\\=0,& x=1\\ >0& x<1 1887 | \end{cases}$ \\ 1888 | 关键点& $(1,0)$, $(a,1)$ &$(1,0)$, $(a,1)$\\ 1889 | \hline 1890 | \end{tabular} 1891 | \end{table} 1892 | 1893 | 这里，类似于指数函数也应做几点说明（请读者自己考 1894 | 虑）。 1895 | 1896 | \begin{center} 1897 | \begin{tikzpicture}[>=stealth] 1898 | \begin{scope} 1899 | \draw[->](-1,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 1900 | \draw[->](0,-1)--(0,3)node[right]{$y$}; 1901 | \node [below left]{$O$}; 1902 | \foreach \x in {1,2} 1903 | { 1904 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 1905 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 1906 | } 1907 | \node at (1,-2){$(a>1)$}; 1908 | \draw[domain=-1:1.5, smooth, very thick]plot(2^\x, \x)node[above]{$y=\log_a x$}; 1909 | 1910 | \end{scope} 1911 | \begin{scope}[xshift=5cm] 1912 | \draw[->](-1,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 1913 | \draw[->](0,-1)--(0,3)node[right]{$y$}; 1914 | \node [below left]{$O$}; 1915 | \foreach \x in {1,2} 1916 | { 1917 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 1918 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 1919 | } 1920 | \node at (1,-2){$(01$时，$a$越大曲线越靠 1943 | 近$x$轴与$y$轴，这同指数函数的情况是一致的（为什么？）， 1944 | 而当$0=stealth] 1950 | \draw[->](-1,0)--(6,0)node[right]{$x$}; 1951 | \draw[->](0,-3)--(0,3)node[left]{$y$}; 1952 | \node [below left]{$O$}; 1953 | \foreach \x in {1,2,3,4,5} 1954 | { 1955 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 1956 | } 1957 | \foreach \x in {-1,-2,1,2} 1958 | { 1959 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 1960 | } 1961 | 1962 | \draw[domain=-1.5:1.6, smooth, thick]plot(3^\x,\x)node[below]{$y=\log_{3}x$}; 1963 | 1964 | \draw[domain=-1.75:2.4, smooth, very thick]plot(2^\x,\x)node[above]{$y=\log_{2}x$}; 1965 | 1966 | \draw[domain=-1.5:1.6, smooth, dashed, thick]plot(3^\x,-\x)node[above]{$y=\log_{\tfrac{1}{3}}x$}; 1967 | 1968 | \draw[domain=-1.75:2.4, smooth, dashed,very thick]plot(2^\x,-\x)node[below]{$y=\log_{\tfrac{1}{2}}x$}; 1969 | 1970 | \foreach \x in {(2,1), (4,2)} 1971 | { 1972 | \fill \x circle(2pt)node[above]{$\x$}; 1973 | } 1974 | 1975 | \fill (3,1) circle(2pt)node[below]{$(3,1)$}; 1976 | \foreach \x in {(2,-1), (4,-2)} 1977 | { 1978 | \fill \x circle(2pt)node[above]{$\x$}; 1979 | } 1980 | \fill (3,-1)circle(2pt)node[above right]{$(3,-1)$}; 1981 | \fill(.5,1) circle(2pt)node[above right]{$\left(\tfrac{1}{2},1\right)$}; 1982 | \fill(.5,-1) circle(2pt)node[below right]{$\left(\tfrac{1}{2},-1\right)$}; 1983 | 1984 | 1985 | \end{tikzpicture} 1986 | \caption{} 1987 | \end{figure} 1988 | 1989 | 1990 | \begin{example} 1991 | \begin{enumerate}[(1)] 1992 | \item 若$\log_a 3>\log_b 3>0$，则$a$、$b$、1的大小顺序是\blank; 1993 | \item 若$\log_a 0.3<\log_b 0.3<0$，则$a$、$b$、1的大小顺序是\blank。 1994 | \end{enumerate} 1995 | \end{example} 1996 | 1997 | \begin{analyze} 1998 | 从图3.15可以直观地看出结论，也可以通过对条件式的变形解决问题。 1999 | \end{analyze} 2000 | 2001 | \begin{solution} 2002 | \begin{enumerate}[(1)] 2003 | \item 从图3.15可见，当$x\in (1,+\infty)$时，对于相同的$x$，若$y>0$（即$a>1$)时，必有$a$越大，$y$越小，从而知道$1\log_b 3>0$变形着手，有 2006 | \[\frac{1}{\log_3 a}>\frac{1}{\log_3 b}>0 \qquad \text{（化异底为同底）}\] 2007 | 2008 | $\therefore\quad \log_3 b>\log_3 a>0\Longrightarrow \log_3 b>\log_3 a>\log_3 1$ 2009 | 2010 | 利用$\log_3 x$是增函数，立刻有$b>a>1$. 2011 | \item 当$\log_a 0.3<\log_b 0.3<0$时，有 2012 | \[\frac{1}{\log_{0.3} a}<\frac{1}{\log_{0.3} b}<0\] 2013 | 2014 | $\therefore\quad 0>\log_{0.3} a>\log_{0.3} b \Longrightarrow \log_{0.3} 1>\log_{0.3} a>\log_{0.3} b$ 2015 | 2016 | 利用$\log_{0.3} x$是减函数，立刻有$10,\; x\in(-2,2)$ 2036 | 2037 | $\therefore\quad D=(-2,2)$ 2038 | 2039 | \item 要使$y$有意义，须$\log_3(3x+5)\ne 0$，即$\begin{cases} 2040 | 3x+5\ne 1\\ 3x+5>0 2041 | \end{cases}$ 2042 | 2043 | $\therefore\quad 0<3x+5\ne 1\Longleftrightarrow -\frac{5}{3} 2076 | 5.4$ 2077 | 2078 | $\therefore\quad \log_{0.2}7.1<\log_{0.2}5.4$ 2079 | \item 当$a>1$时，$y=\log_3 x$单调递增，且$4.4<5.5$, 2080 | 2081 | $\therefore\quad \log_a 4.4< \log _{a}5.5$ 2082 | 2083 | 当$0 \log_a 5.5$ 2086 | \item 当$a\in(1,10)$时，$0<\lg a<1$, 指数函数 2087 | $y=(\lg a)^{x}$单调递减，且$3.1>2.5$, 2088 | 2089 | $\therefore\quad (\lg a)^{8.1}<(\lg a)^{2.5}$ 2090 | 2091 | 当$a\in(10,+\infty)$时，$\lg a>1$, 指数函数 2092 | $y=(\lg a)^{x}$单调递增，且$3.1>2.5$, 2093 | 2094 | $\therefore\quad (\lg a)^{8.1}>(\lg a)^{2.5}$ 2095 | \end{enumerate} 2096 | \end{solution} 2097 | 2098 | \begin{example} 2099 | 比较$\log_3 0.4$ 与$-\frac12$的大小. 2100 | \end{example} 2101 | 2102 | \begin{analyze} 2103 | 不同类的对象难以比较。根据“任一实数都能写 2104 | 成对数形式”,先把$-\frac12$写成对数. 2105 | \end{analyze} 2106 | 2107 | \begin{solution} 2108 | \[- \frac 12= \log_3 3^{- \frac 12}= \log_{3}\frac {\sqrt {3}}3\] 2109 | 2110 | $\because \quad y= \log_3 x$ 单调递增，且$0.4<\frac{\sqrt{3}}{3}.$ 2111 | 2112 | $\therefore \quad \log_3 0.4< \log_{3}\frac{\sqrt{3}}{3}$, 即$\log_3 0.4< - \frac 12.$ 2113 | \end{solution} 2114 | 2115 | \begin{example} 2116 | 比较下列各题中两个数的大小 2117 | \begin{multicols}{2} 2118 | \begin{enumerate}[(1)] 2119 | \item $\log_2 3$与$\log_7 6$ 2120 | \item $\log_{0.2}0.4$与$\log_2 0.7$ 2121 | \end{enumerate} 2122 | \end{multicols} 2123 | \end{example} 2124 | 2125 | \begin{analyze} 2126 | 因为两对数的底不同，故不能直接利用对数函数 2127 | 的单调性比大小。若用换底公式做，也难以奏效。我们用 2128 | “中间值法”试一试。 常用的中间值是0或1. 2129 | \end{analyze} 2130 | 2131 | \begin{solution} 2132 | \begin{enumerate}[(1)] 2133 | \item $\because\quad \log_2 3 >1$ （$\because\quad \log_2 3>\log_2 2=1$） 2134 | 2135 | 而$\log_7 6<1$ （$\because\quad \log_7 6<\log_7 7=1$） 2136 | 2137 | $\therefore\quad \log_2 3 >\log_7 6$ 2138 | \item $\because\quad \log_{0.2} 0.4 >0$ （$\because\quad \log_{0.2} 0.4>\log_{0.2} 1=0$） 2139 | 2140 | 而$\log_2 0.7<0$ （$\because\quad \log_2 0.7<\log_2 1=0$） 2141 | 2142 | $\therefore\quad \log_{0.2} 0.4 >\log_2 0.7$ 2143 | \end{enumerate} 2144 | \end{solution} 2145 | 2146 | \begin{example} 2147 | 解不等式： 2148 | \begin{multicols}{2} 2149 | \begin{enumerate}[(1)] 2150 | \item $\log_{0.1}(x^2-2x-2)>0$; 2151 | \item $\log_a(x^2-x)\ge \log_a (x+1)\quad (a>1)$ 2152 | \end{enumerate} 2153 | \end{multicols} 2154 | 2155 | \end{example} 2156 | 2157 | \begin{analyze} 2158 | 解不等式就是求未知数$x$的取值范围。就对数不等式而言，当然既要考虑对数函数的定义域，又要考虑对数函数的增减性。 2159 | \end{analyze} 2160 | 2161 | \begin{solution} 2162 | \begin{enumerate}[(1)] 2163 | \item 由于$\log_{0.1}1=0$，原不等式可改写成 2164 | \begin{equation} 2165 | \log_{0.1}(x^2-2x-2)>\log_{0.1}1 \tag{1} 2166 | \end{equation} 2167 | 由(1) 2168 | \begin{align} 2169 | x^2-2x-2>0, \quad \text{（由定义域）} \tag{2}\\ 2170 | x^2-2x-2>0, \quad \text{（由增减性）} \tag{3} 2171 | \end{align} 2172 | 解(2), 得 $x<1-\sqrt{3}$, 或$x>1+\sqrt{3}$ 2173 | 2174 | 解(3), 得 $-10,&\quad \text{（由定义域）} \tag{4}\\ 2181 | x+1>0,&\tag{5}\\ 2182 | x^2-x\ge x+1,&\quad \text{（由增减性）} \tag{6} 2183 | \end{align} 2184 | 2185 | 由(5)、(6)可推得(4)，所以(4)可省掉。 2186 | 2187 | 解(5)，得$x>-1$；解(6)，得$x\le 1-\sqrt{2}$，或$x\ge 1+\sqrt{2}$. 2188 | 2189 | $\therefore\quad $原不等式的解集为 2190 | \[\left(-1,1-\sqrt{2}\right]\cup \left[1+\sqrt{2},+\infty\right)\] 2191 | \end{enumerate} 2192 | \end{solution} 2193 | 2194 | \begin{note} 2195 | 解对数不等式的基本方法是转化为代数不等式组，这种转化既要考虑定义域，又要考虑增减性，否则前后可能不同解（不等价）。 2196 | 2197 | 当式子中含参数时，要树立“讨论”的意识，如例4中的(3)、(4)。 2198 | \end{note} 2199 | 2200 | \begin{example} 2201 | 求证：$2<\frac{1}{\log_2 19}+\frac{2}{\log_3 19}+\frac{2}{\log_5 19}<3$ 2202 | \end{example} 2203 | 2204 | \begin{analyze} 2205 | 将三个不同底的对数化成同底。 2206 | \end{analyze} 2207 | 2208 | \begin{proof} 2209 | \[\begin{split} 2210 | \frac{1}{\log_2 19}+\frac{2}{\log_3 19}+\frac{2}{\log_5 19}&=\log_{19}2+2\log_{19}3+2\log_{19}5\\ 2211 | &=\log_{19}(2\times 3^2\times 5^2)=\log_{19}450 2212 | \end{split} \] 2213 | 利用$\log_{19}x$是增函数，得 2214 | \[2=\log_{19}19^2<\log_{19}450<\log_{19}19^3=3\] 2215 | 2216 | $\therefore\quad 2<\frac{1}{\log_2 19}+\frac{2}{\log_3 19}+\frac{2}{\log_5 19}<3$ 2217 | \end{proof} 2218 | 2219 | \begin{example} 2220 | 求函数$y=\log_a(x^2-2x)$的单调区间。 2221 | \end{example} 2222 | 2223 | \begin{analyze} 2224 | 这个函数可看作是由$y=\log_a u\; (01$时$\log_a u$的增减性不同，因此应分情况进行讨论；另一方面又要考虑到函数$y=\log_a(x^2-2x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup (2,+\infty)$. 2225 | \end{analyze} 2226 | 2227 | \begin{solution} 2228 | \begin{enumerate}[(1)] 2229 | \item 若$01$时，则$(-\infty,0)$ 是函数$y=\log_a(x^2-2x)$的单调减区间，$(2,+\infty)$是函数的单调增区间。 2231 | \end{enumerate} 2232 | \end{solution} 2233 | 2234 | \section*{习题四} 2235 | \begin{center} 2236 | \bfseries A 2237 | \end{center} 2238 | 2239 | \begin{enumerate} 2240 | \item 证明：在同一坐标系中函数$y=\log_a x$与$y=\log_{\tfrac1a}x\; (01)$ 2271 | \item $\log_{10}a$与$\log_a 10\quad (a>1)$ 2272 | \item $\log_a b$与$\log_{\tfrac{1}{a}}b\quad (0f(x^2)$的解集是\blank. 2282 | \end{enumerate} 2283 | 2284 | \item 解下列不等式： 2285 | \begin{enumerate}[(1)] 2286 | \item $\log_{0.2}(x^2+x-1)\ge 0$ 2287 | \item $\lg (x^2+21x)>2$ 2288 | \item $\log_{0.2}(x^2-3x-4)\ge \log_{0.2}(2x+10)$ 2289 | \end{enumerate} 2290 | \end{enumerate} 2291 | 2292 | \begin{center} 2293 | \bfseries B 2294 | \end{center} 2295 | 2296 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{6} 2297 | \item 设$\frac{1}{\log_{\tfrac{1}{2}}\frac{1}{3}}+\frac{1}{\log_{\tfrac{1}{5}}\frac{1}{3}}=n$，那么$n$属于下列哪个区间： 2298 | \[(-2,-1),\quad (1,2),\quad (-3,-2),\quad (2,3)\] 2299 | \item 求证： 2300 | \begin{enumerate}[(1)] 2301 | \item $2< \frac 1{\log _{13}7}+ \frac 1{\log _{5}7}< 3$ , 2302 | 2303 | \item $4< \frac 3{\log _{2}e}+ \frac 2{\log _{3}e}< 5$ , 2304 | 2305 | \item $1< \frac 1{\log _{2}11}$ $+ \frac 1{\log _{3}11}$ $+ \frac 1{\log _{4}11}$ $+ \frac 1{\log _{5}11}< 2$. 2306 | \end{enumerate} 2307 | \item 若$\log_m(e-2)>\log_n(e-2)>0$, 试指出$m,n$与1的大 2308 | 小顺序。 2309 | \item 解不等式： 2310 | $\log_{a}\left(2x^{2}-4x\right)\ge \log_{a}\left(x^{2}-4x+1\right)、\quad (0 3\quad ( x> 1) $ 2315 | \item $\log_2\left(\frac23\right)^x+\log_2\left(\frac49\right)^{2x}<\log_2\left(\frac23\right)^5$ 2316 | \item $\log_2 x-\log_{\sqrt{x}}2<1 $ 2317 | \item $\log_{kx}x+\log_x (kx)^2>0\quad (00$ 2319 | \item $\log_{\tfrac{1}{2}}\left|\frac{1}{x-1}\right|>\log_{\tfrac{1}{2}}\left|\frac{2}{x+3}\right|+1$ 2320 | \end{enumerate} 2321 | 2322 | \item 求下列函数的单调减区间： 2323 | \begin{multicols}{2} 2324 | \begin{enumerate}[(1)] 2325 | \item $y=\log_a (-x^2+6x-5)$ 2326 | \item $y=2^{|\lg x|}$ 2327 | \end{enumerate} 2328 | \end{multicols} 2329 | \item 判断函数$f(x)=\lg\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$的奇偶性。 2330 | \end{enumerate} 2331 | 2332 | \section{指数方程和对数方程} 2333 | 在指数中含有未知数的方程叫做\textbf{指数方程}。 2334 | 2335 | 在对数记号中的真数或底数中含有未知数的方程叫做\textbf{对数方程}。 2336 | 2337 | 在这两类方程中，我们只能解一些特殊的方程。请看下面的例子。 2338 | 2339 | \begin{example} 2340 | 解方程$4^x=2^{x+1}$. 2341 | \end{example} 2342 | 2343 | \begin{solution} 2344 | 原方程可化为$$2^{2x}=2^{x+1}$$ 2345 | 根据指数函数 2346 | $y=2^u\; (u\in\R)$ 2347 | 的单调性，两个同底的幂相等， 2348 | 当且仅当它们的幂指数相等，所以上面的方程同解于（或说 2349 | 成“等价于”，记为$\Longleftrightarrow$） 2350 | \[2x=x+1\] 2351 | $\therefore\quad x=1$. 2352 | \end{solution} 2353 | 2354 | \begin{note} 2355 | 这里决定性的一步是把两个幂“化成同底”。 2356 | \end{note} 2357 | 2358 | \begin{example} 2359 | 解方程$3^{x+1}+9^x-18=0$. 2360 | \end{example} 2361 | 2362 | \begin{solution} 2363 | 原方程可化为 2364 | \[3\cdot 3^x +(3^x)^2-18=0\] 2365 | 令$3^x=y$，这个方程就写成 2366 | \[y^2+3y-18=0\] 2367 | 解之得：$y_1=3,\qquad y_2=-6$ 2368 | 2369 | 由$3^x=3$，得$x=1$； 2370 | $3^x=-6$ 2371 | 不符合指数函数的性质，应 2372 | 舍去。 2373 | 2374 | $\therefore\quad $原方程的解是 2375 | $x=1$. 2376 | \end{solution} 2377 | 2378 | \begin{note} 2379 | 这里使用换元法： 2380 | $y=3^x$，是解方程或不等式常 2381 | 用的方法之一。 2382 | \end{note} 2383 | 2384 | \begin{blk} 2385 | 方程 2386 | $2^{x+1}+3\cdot 2^{1-x}-8=0$ 2387 | 能用换元法解吗？ 2388 | \end{blk} 2389 | 2390 | \begin{example} 2391 | 某厂生产的彩电的台数，如果每年平均比上一年 2392 | 增长10.4\%，约过多少年产量才能翻一番（结果保留一个有 2393 | 效数字）？ 2394 | \end{example} 2395 | 2396 | \begin{solution} 2397 | 设约过$x$年，产量可以翻一番，由题意可得 2398 | \[1\cdot (1+10.4\%)^x=2\] 2399 | 即：$1.104^x=2$，两边取对数，得： 2400 | \[x\lg 1.104=\lg 2\] 2401 | 2402 | $\therefore\quad x=\frac{\lg 2}{\lg 1.104}=\frac{0.3010}{0.0429}\approx 7$ 2403 | 2404 | 答：约经过7年. 2405 | \end{solution} 2406 | 2407 | 以上三例讲的是\textbf{解指数方程的基本方法}：同底法（关键 2408 | 是能化成 2409 | $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ 2410 | 的形式，其中 2411 | $00,&\text{（由定义域）}\\ 2425 | x+1>0,&\text{（由定义域）}\\ 2426 | \lg\frac{x^2+11x+8}{x+1}=\lg10,&\text{（由单调性）}\\ 2427 | \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 2428 | x^2+11x+8>0,&(2)\\ 2429 | x+1>0,&(3)\\ 2430 | \frac{x^2+11x+8}{x+1}=10,&(4) 2431 | \end{cases}\] 2432 | 解(4)，得：$x_1=-2,\quad x_2=1$ 2433 | 2434 | $x_1$不满足(3), 舍去；$x_2$满足(2)、(3) 2435 | 2436 | $\therefore\quad x=1$是(1)的解. 2437 | \end{solution} 2438 | 2439 | \begin{note} 2440 | 解对数方程时，首先应考虑定义域，从而转化为 2441 | 代数不等式与方程的混合组。\textbf{解混合组的一般方法}是先求出 2442 | 方程的解，再把它代入不等式。若都适合，它就是混合组的 2443 | 解，否则，一定不是混合组的解。 2444 | \end{note} 2445 | 2446 | \begin{example} 2447 | 解方程 2448 | \begin{equation} 2449 | \log_2(5x^2-1)-1=\log_2 x+log_2 2x \tag{1} 2450 | \end{equation} 2451 | \end{example} 2452 | 2453 | \begin{solution} 2454 | \[\text{方程(1)}\Longleftrightarrow\begin{cases} 2455 | x>0, \quad \text{（由定义域）}& (2)\\ 2456 | \log_2\frac{5x^2-1}{2}=\log_2(x\cdot 2x), &(3) 2457 | \end{cases}\] 2458 | \[(3)\Longleftrightarrow \begin{cases} 2459 | 5x^2-1>0\\ 2460 | x\ne 0\\ 2461 | \frac{5x^2-1}{2}=2x^2 2462 | \end{cases}\] 2463 | 解之，得：$x_1=1,\quad x_2=-1$. 2464 | 2465 | $x_1=1$适合(2)；$x_2=-1$不适合(2)，舍去。 2466 | 2467 | $\therefore\quad x=1$是(1)的解。 2468 | \end{solution} 2469 | 2470 | 2471 | \begin{example} 2472 | 解方程 2473 | \begin{equation} 2474 | 2log_{25}x+\log_x 25=3 \tag{1} 2475 | \end{equation} 2476 | \end{example} 2477 | 2478 | \begin{solution} 2479 | \begin{equation} 2480 | (1)\Longleftrightarrow 2\log_{25}x+\frac{1}{\log_{25}x}=3 \tag{2} 2481 | \end{equation} 2482 | 令$\log_{25}x=y$，则(2)变为 2483 | \[2y+\frac{1}{y}=3\Longleftrightarrow 2y^2-3y+1=0\; (y\ne 0)\] 2484 | 解之，得：$y_1=1,\quad y_2=\frac{1}{2}$. 2485 | 2486 | 由$\log_{25}x=1$，得$x_1=25$； 2487 | 由$\log_{25}x=\frac{1}{2}$，得$x_2=25^{\tfrac{1}{2}}=5$. $x_1,x_2$都适合(2) 2488 | 2489 | $\therefore\quad $方程(1)的解集是$\{25,5\}$ 2490 | \end{solution} 2491 | 2492 | 2493 | \begin{example} 2494 | 解方程 2495 | \begin{equation} 2496 | \log_{2x^2-1}(3x^{2}-2x-1)=1 \tag{1} 2497 | \end{equation} 2498 | \end{example} 2499 | 2500 | \begin{solution} 2501 | \[\text{方程(1)}\Longleftrightarrow \begin{cases} 2502 | 3x^{2}-2x-1>0,\quad \text{（由定义域）}& (2)\\ 2503 | 0<2x^2-1\ne 1 & (3)\\ 2504 | 3x^{2}-2x-1=2x^2-1 ,\quad \text{（由单调性）}& (4) 2505 | \end{cases}\] 2506 | 解(4), 得 $x_1=0,\quad x_2=2$。 2507 | 2508 | $x_1$不满足(2), 是增根，舍；$x_2$满足(2)、(3). 2509 | 2510 | $\therefore \quad x= 2$是原方程的解。 2511 | \end{solution} 2512 | 2513 | 以上四例讲的是\textbf{解对数方程的基本方法}：转化成同解的 2514 | 混合组，或者用换元法处理。 2515 | 2516 | 再研究几个例题。 2517 | 2518 | \begin{example} 2519 | 解方程$x^{2\lg x}=10\cdot x$ 2520 | \end{example} 2521 | 2522 | \begin{analyze} 2523 | 在幂$x^{2\lg x}$的底数与指数中都含有$x$, 但等号两边同取以10为底的对数（应该想到，两边都为正数，所以允许取对数），原方程就变成以$\lg x$为元的方程了。 2524 | \end{analyze} 2525 | 2526 | \begin{solution} 2527 | 由于$x>0$, 方程两边皆正，取常用对数，得 2528 | $$2\lg x\cdot \lg x=1+lg x$$ 2529 | 令$\lg x= y$, 得$2y^2- y- 1= 0$。解之，得$y_1=1,\quad y_2=-\frac{1}{2}$. 2530 | 2531 | 由$\lg x=1$，得$x=10$；由$\lg x=-\frac{1}{2}$，得$x=\frac{\sqrt{10}}{10}$. 2532 | 2533 | 经检验，$x_1=10$，$x_2=\frac{\sqrt{10}}{10}$都是原方程的解。 2534 | \end{solution} 2535 | 2536 | \begin{example} 2537 | 解不等式$x^{\log_a x}>\frac{x^{\tfrac{9}{2}}}{a^2}$ 2538 | \end{example} 2539 | 2540 | \begin{analyze} 2541 | 取以$a$为底的对数，就变成以$\log_a x$为元的不等式了。 2542 | \end{analyze} 2543 | 2544 | \begin{solution} 2545 | 由于$x>0$，不等式两边皆正，可以取以$a$为底的对数。 2546 | \begin{enumerate} 2547 | \item 当$a>1$时，$\log_a u$是$u$的增函数，得： 2548 | \[\log_a x\cdot \log_a x>\frac{9}{2}\log_a x-2\log_a a\] 2549 | 令$\log_a x=y$，得：$2y^2-9y+4>0$，解之，得：$y<\frac{1}{2}$或$y>4$，即： 2550 | \[\log_a x<\frac{1}{2},\quad \text{或}\quad \log_a x>4\] 2551 | 2552 | $\therefore\quad 0a^4$. 2553 | 2554 | \item 当$0x>a^4$ 2560 | \end{enumerate} 2561 | \end{solution} 2562 | 2563 | \begin{note} 2564 | 解题中，当需要对不等式两边取以$a$为底的对数 2565 | 时，要特别注意参数$a$的不同取值对对数函数增减性的影响， 2566 | 通过此例应很好地理解这一点。 2567 | \end{note} 2568 | 2569 | 2570 | 2571 | \begin{example} 2572 | 解方程： 2573 | \begin{multicols}{2} 2574 | \begin{enumerate}[(1)] 2575 | \item $x+\lg x=3$ 2576 | \item $2^x=\log_3(x+3)$ 2577 | \end{enumerate} 2578 | \end{multicols} 2579 | \end{example} 2580 | 2581 | \begin{analyze} 2582 | 这两个方程都是我们未曾见过的类型。无现成模 2583 | 式可用。此时，“转化”的思想有可能使我们找到解决问题的 2584 | 途径。 2585 | 2586 | 对于(1)原方程改写作 2587 | \begin{equation} 2588 | \lg x=3-x\tag{1} 2589 | \end{equation} 2590 | 令$f(x)=\lg x$，$g(x)=3-x$ 2591 | 。以函数的观点来看，方程(1)的解 2592 | 就是使$f(x)$与$g(x)$ 2593 | 的函数值相等的$x$值。而这两个函数都是 2594 | 我们所熟知的，从而，可用图象法解决问题。 2595 | \end{analyze} 2596 | 2597 | \begin{figure}[htp] 2598 | \centering 2599 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 2600 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=.7] 2601 | \draw[->](-1,0)--(5,0)node[right]{$x$}; 2602 | \draw[->](0,-2)--(0,5)node[left]{$y$}; 2603 | \node[below left]{$O$}; 2604 | \draw[domain=-1:4.5, very thick]plot(\x, 3-\x)node[left]{$y=3-x$}; 2605 | \draw[domain=.1:4.5, very thick, smooth]plot(\x,{log10(\x)})node[above]{$y=\lg x$}; 2606 | \foreach \x in {1,2,3,4} 2607 | { 2608 | \draw(\x,0)node[below]{\x}--(\x,.1); 2609 | } 2610 | \node at (2.6,.5)[above]{$A$}; 2611 | \end{tikzpicture} 2612 | \caption{} 2613 | \end{minipage}\hfill 2614 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 2615 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=.7] 2616 | \draw[->](-4,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 2617 | \draw[->](0,-3)--(0,4)node[left]{$y$}; 2618 | \node[below left]{$O$}; 2619 | 2620 | \draw[domain=-3:1.5, very thick]plot(\x, 2^\x)node[above]{$y=2^x$}; 2621 | \draw[domain=-2.8:2.5, very thick, smooth]plot(\x,{log2(\x+3)/log2(3)})node[below]{$y=\log_3(x+3)$}; 2622 | \foreach \x in {1,-2,-3,-1,2} 2623 | { 2624 | \draw(\x,0)node[below]{\x}--(\x,.1); 2625 | } 2626 | \foreach \x in {1,2} 2627 | { 2628 | \draw(0,\x)node[left]{\x}--(.1,\x); 2629 | } 2630 | \node at (0,1)[below right]{$B$}; 2631 | \node at (-1.8,.4)[above]{$A$}; 2632 | \end{tikzpicture} 2633 | \caption{} 2634 | \end{minipage} 2635 | \end{figure} 2636 | 2637 | 2638 | 2639 | 2640 | \begin{solution} 2641 | \begin{enumerate}[(1)] 2642 | \item 在同一坐标系中分别作出$f(x) = \lg x$与$g(x)=3-x$的图象（图3.17）. 两图象相交于$A$ 点（此时，两个函数值相等），$A$的横坐标$x\approx2.6$. 这个值近 似地使$f(x)=g(x)$. 所以，$x=2.6$ 是方程(1)的近 似解，也就是原方程的近似解。（应该看 到，对于(1)我们是无法 求出它的准确解的，想想这是为什么？） 2643 | \item 类似于(1), 用图象法。在同一坐标系中分别作出函数$f(x)=2^{x}$与$g(x)=\log_{3}(x+3)$的图象（图3.18）。两图象相交于$A,B$两点。从图上可以看出点$A$的横坐标$x_1\approx-1.8$, 点$B$的横坐标$x_2=0$. 所以$x_1=-1.8$是方程(2)的近似解，$x_2=0$是(2)的解。 2644 | \end{enumerate} 2645 | \end{solution} 2646 | 2647 | \begin{note} 2648 | 此例使我们又一次看到：方程、不等式、函数之 2649 | 间的密切关系。一般说来，运用函数的观点去透视方程和不 2650 | 等式的问题常常有助于问题的解决。 2651 | \end{note} 2652 | 2653 | \begin{example} 2654 | 方程$\lg(ax)\lg(ax^2)=4$的所有的解都大于1，求实数$a$的范围。 2655 | \end{example} 2656 | 2657 | \begin{solution} 2658 | $\because\quad ax^2>0,\; ax>0$, \qquad $\therefore\quad a>0,\; x>0$. 2659 | 2660 | 原方程可写成 2661 | \begin{equation} 2662 | 2\lg^2 x+3\lg a\cdot \lg x+\lg^2 a-4=0 \tag{1} 2663 | \end{equation} 2664 | 2665 | $\because\quad $方程所有的解都大于1， 2666 | 2667 | $\therefore\quad $以$\lg x$为元的方程(1)的所有的解都大于0。于是： 2668 | \[\begin{cases} 2669 | \Delta =(3\lg a)^2-4\cdot 2(\lg^2 a-4)\ge 0\\ 2670 | \frac{-3\lg a}{2\cdot 2}>0\\ 2671 | \frac{\lg^a-4}{2}>0 2672 | \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} 2673 | \lg^2 a+32>0\\ 2674 | \lg a<0\\ 2675 | |\lg a|>2 2676 | \end{cases}\] 2677 | $\therefore\quad \lg a<-2$， 2678 | 即：$03$ 2746 | 2747 | \item 解方程$\log_{4}(3x+10)\cdot\log_x 2=1$ 2748 | \item 解方程$\log_{4}(2-x)=\log_{2}(x-1)-1$ 2749 | \item 解方程$\log_{2}(2^{-x}-1)\cdot\log_{\tfrac{1}{1}}(2^{-x+1}-2)=-2$ 2750 | 2751 | \item 已知：$2\lg ( x- 2y) = \lg x+ \lg y$, 求$\frac xy$. 2752 | 2753 | \item 求下列方程的解或近似解(精确到0.1)。 2754 | \begin{multicols}{2} 2755 | \begin{enumerate}[(1)] 2756 | \item $3^{x}=4-x$ 2757 | \item $\lg x+x^{2}=0$ 2758 | \item $2^{x }- 1= \sqrt {x}$ 2759 | \item $|\log_3 x|- 3^{-x}= 0$ 2760 | \end{enumerate} 2761 | \end{multicols} 2762 | 2763 | \end{enumerate} 2764 | 2765 | \begin{center} 2766 | \bfseries C 2767 | \end{center} 2768 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{11} 2769 | \item 解方程 $3^x+4^x=5^x$. 2770 | \item 若$\lg 2x\cdot\lg3x=-a^2$有相异两实数解，求 2771 | \begin{enumerate}[(1)] 2772 | \item 实数$a$的取值范围； 2773 | \item 两实数解的乘积。 2774 | \end{enumerate} 2775 | \end{enumerate} 2776 | 2777 | \section{本章小结} 2778 | 2779 | \subsection{知识结构分析} 2780 | 2781 | \subsubsection{幂函数的定义、图象和性质} 2782 | 2783 | \begin{enumerate} 2784 | \item 定义：函数$y=x^a\; (a\in \R$)叫做幂函数。中学阶段 2785 | 只研究$a\in \Q$的情况，记作$y= x^n\; ( n \in \Q)$. 2786 | \item 由于$n\in \Q$, $n$可表示为$\frac qp$, 其中$p\in\mathbb{N}$, $q\in \Z$, 且 2787 | $|q|$、$p$互质。为便于研究，可分为$n>0$ 和 $n<0$ 两类情况。不妨设$p, q\in\mathbb{N}$, 且$p$、$q$互质，则$x^{n}$的意义分别为$\sqrt[p]{x^{q}}$和 2788 | $\frac{1}{\sqrt[p]{x^q}}$. 由此便可得出幂函数的基本性质(详见课文)。 2789 | \end{enumerate} 2790 | 2791 | \subsubsection{指数函数和对数函数} 2792 | 2793 | 函数$y= a^x\quad ( a> 0,\; a\neq1) $叫指数 函数，函数$y=\log_{a}x\quad (a>0,\; a\neq1)$叫对数函数。它们互为反函数，其图象关于直线$y=x$成轴对称图形. 2794 | 2795 | \subsubsection{对数概念} 2796 | 对数的运算法则、换底公式及对数恒等式（详见课文）. 2797 | 2798 | \subsubsection{指数方程和对数方程} 2799 | 指数函数与对数函数都是一一映射，这是解指数方程与对数方程的主要依据，并由此转化为代数方程，解对数方程时应注意验根。 2800 | 2801 | \subsection{几点说明} 2802 | \begin{enumerate} 2803 | 2804 | \item 上一章学了函数概论——研究函数的基本思想和方法。本章就是运用这些思想研究了几类重要的初等函数——幂函数、指数函数和对数函数. 2805 | 2806 | \item \textbf{数形结合}是研究函数的重要数学思想之一，要做到“依性作图，依图识性”。 2807 | \begin{enumerate}[(1)] 2808 | \item 幂函数的性质可结合图3.19来掌握与记忆： 2809 | \begin{figure}[htp] 2810 | \centering 2811 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=1.5] 2812 | \draw[->](-.5,0)--(3,0)node[below]{$x$}; 2813 | \draw[->](0,-.5)--(0,3)node[left]{$y$}; 2814 | \draw[dashed](1,0)node[below]{1}--(1,1)--(0,1)node[left]{1}; 2815 | \draw[domain=0:2.5]plot(\x, \x)node[right]{$y=x$}; 2816 | \draw[domain=0:1.65, smooth, dashed]plot(\x, \x^2)node[right]{$y=x^2$}; 2817 | \draw[domain=0:1.4, smooth, dashed, very thick]plot(\x, \x^3)node[above]{$y=x^3$}; 2818 | \draw[domain=0:2.5, smooth, samples=1000,thick]plot(\x, {\x^(0.5)})node[above right]{$y=x^{\tfrac{1}{2}}$}; 2819 | \draw[domain=0:2.5, smooth, samples=1000, very thick]plot(\x, {\x^(1/3)})node[right]{$y=x^{\tfrac13}$}; 2820 | \draw[domain=0.35:2.5, smooth, ultra thick]plot(\x, 1/\x)node[right]{$y=x^{-1}$}; 2821 | \draw[domain=0.58:2.5, smooth]plot(\x, {\x^(-2)})node[right]{$y=x^{-2}$}; 2822 | 2823 | \node[below left]{$O$}; 2824 | \end{tikzpicture} 2825 | \caption{} 2826 | \end{figure} 2827 | 2828 | 2829 | 例如，幂函数在第一象限内的图象均过点$(1,1)$，并在该点交汇；在区间$(1,+\infty)$上，$n$值越小，图象越靠近$x$轴，等等。 2830 | 2831 | \item 指数函数和对数函数的性质可分别结合图3.20和图3.21，来理解与记忆： 2832 | \begin{figure}[htp] 2833 | \centering 2834 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 2835 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=.6] 2836 | \draw[->](-4,0)--(4,0)node[below]{$x$}; 2837 | \draw[->](0,-1)--(0,11)node[left]{$y$}; 2838 | \foreach \x in {1,2,...,10} 2839 | { 2840 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 2841 | } 2842 | \foreach \x in {1,2,3,-1,-2,-3} 2843 | { 2844 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 2845 | } 2846 | \draw[domain=3:-3.3, smooth, thick]plot(\x, 0.5^\x)node[above]{$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$}; 2847 | \draw[domain=-2:1.02, smooth, very thick]plot(\x, 10^\x)node[above right]{$y=10^x$}; 2848 | \draw[domain=-3:3.3, smooth, ultra thick]plot(\x, 2^\x)node[right]{$y=2^x$}; 2849 | \node[below left]{$O$}; 2850 | \end{tikzpicture} 2851 | \caption{} 2852 | \end{minipage} \hfill 2853 | \begin{minipage}{.45\textwidth} 2854 | \begin{tikzpicture}[>=stealth, scale=.8] 2855 | \node[below left]{$O$}; 2856 | \draw[->](-1,0)--(6,0)node[below]{$x$}; 2857 | \draw[->](0,-3)--(0,3)node[left]{$y$}; 2858 | \draw[domain=.25:5, smooth, ultra thick]plot(\x, {log2(\x)})node[right]{$y=\log_2 x$}; 2859 | \draw[domain=.25:5, smooth, very thick]plot(\x, {log2(\x)/log2(3)})node[right]{$y=\log_3 x$}; 2860 | \draw[domain=.25:5, smooth, thick]plot(\x, -{log2(\x)})node[right]{$y=\log_{\tfrac{1}{2}} x$}; 2861 | \foreach \x in {-2,-1,1,2} 2862 | { 2863 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 2864 | } 2865 | \foreach \x in {1,2,3,4,5} 2866 | { 2867 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 2868 | } 2869 | \end{tikzpicture} 2870 | \caption{} 2871 | \end{minipage} 2872 | \end{figure} 2873 | 2874 | 2875 | 例如，指数函数的图象均在$x$轴上方，并且均过点$(0,1)$；指数函数$y=a^x$与$y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$图象关于$y$轴对称。对于函数$y=a^x\; (a>1)$，在$(0,+\infty)$上$a$越大图象越接近$y$轴，在$(-\infty,0)$上$a$越大，图象越接近$x$轴。 2876 | 2877 | 对数函数图象均在$y$轴右侧，且均过点$(1,0)$；$y=\log_a x$与$y=\log_{\tfrac{1}{a}}x$图象关于$x$轴对称。对于$y=\log_a x$，在区间$(1,+\infty)$上，$a>1$时图象在$x$轴上方，且$a$越大越接近$x$轴；$0\frac{3}{2}$时，$y=\left(\frac{1}{2}\right)^t$为单调减函数。 2893 | 2894 | 从而得出$\left(-\infty, \frac{3}{2}\right)$是$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x}$的单调增区间。$\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$是$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x}$的单调减区间。 2895 | \end{enumerate} 2896 | 2897 | \section*{复习题三} 2898 | \begin{center} 2899 | \bfseries A 2900 | \end{center} 2901 | 2902 | 一、选择题（有且只有一个正确答案）： 2903 | \begin{enumerate} 2904 | \item 若函数$y=(m^2-3m-17)x^{4m-m^2}$是幂函数，且其图象不经过坐标原点，则$m$的取值为\hfill (\qquad ) 2905 | \begin{enumerate}[(A)] 2906 | \item $m<0$或$m>4$ 2907 | \item $m<0$，或$m>4$，且$m\ne \frac{-3\pm\sqrt{77}}{2}$ 2908 | \item $m=-6$ 2909 | \item $m=3$ 2910 | \end{enumerate} 2911 | 2912 | \item 设$x=0.3^{-0.4}$, $y=\log_{0.3}0.4$, $z=\log_4 0.3$，则$x,y,z$间的大小顺序为\hfill (\qquad ) 2913 | \begin{multicols}{4} 2914 | \begin{enumerate}[(A)] 2915 | \item $z1$；当$x$\blank 时，$y=1$；当$x$\blank 时，$y<1$. 2958 | \item 函数$y=3^x$与$y=-3^x$的图象关于\blank 对称；$y=4^x$与$y=4^{-x}$的图象关于\blank 对称；$y=3^x$与$y=-3^{-x}$的图象关于\blank 对称. 2959 | \item $y=2^{x^2-2x-3},\quad x\in [-2,2]$，$y$的最小值是\blank； 最大值是\blank. 2960 | \end{enumerate} 2961 | 2962 | 三、解答题： 2963 | \begin{enumerate} 2964 | \item 设$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$，求证： 2965 | \begin{multicols}{2} 2966 | \begin{enumerate}[(1)] 2967 | \item $f(x)$为偶函数 2968 | \item $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$ 2969 | \end{enumerate} 2970 | \end{multicols} 2971 | 2972 | \item 设$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，求证： 2973 | \begin{enumerate}[(1)] 2974 | \item $[g(x)]^2-[f(x)]^2=1$ 2975 | \item $f(2x)=2f(x)\cdot g(x)$ 2976 | \item $g(2x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2$ 2977 | \end{enumerate} 2978 | 2979 | \item 在公共的定义域内，求证： 2980 | \begin{enumerate}[(1)] 2981 | \item 奇函数与奇函数的和仍为奇函数，偶函数与偶函数的和仍是偶函数； 2982 | \item 奇函数与奇函数的积是偶函数； 2983 | \item 奇函数与偶函数的积是奇函数； 2984 | \item 偶函数与偶函数的积是偶函数。 2985 | \end{enumerate} 2986 | 2987 | \item 解下列方程： 2988 | \begin{multicols}{2} 2989 | \begin{enumerate}[(1)] 2990 | \item $5^x+5^{x-1}=750$ 2991 | \item $4^x-2\times 6^x+9^x=0$ 2992 | \item $\log_7(\log_3 x)=-1$ 2993 | \item $\log_x x^x=2$ 2994 | \item $\lg(x-1)+\lg(x-2)=\lg(x+2)$ 2995 | \item $x^{2\lg x}=10x$ 2996 | \end{enumerate} 2997 | \end{multicols} 2998 | \end{enumerate} 2999 | 3000 | \begin{center} 3001 | \bfseries B 3002 | \end{center} 3003 | 3004 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4} 3005 | \item 求下列函数的定义域、值域： 3006 | \begin{multicols}{2} 3007 | \begin{enumerate}[(1)] 3008 | \item $y=\frac{x+1}{x+2}$ 3009 | \item $y=-\sqrt{x^2+25}$ 3010 | \item $y=\frac{1}{(x-1)(2x-1)}$ 3011 | \item $y=x+\sqrt{1-2x}$ 3012 | \end{enumerate} 3013 | \end{multicols} 3014 | 3015 | \item 求下列函数的定义域： 3016 | \begin{enumerate}[(1)] 3017 | \item $y=\sqrt{3^x-9}$ 3018 | \item $y=\sqrt{1-a^x}\quad (00,\;\text{且}a\ne 1)$ 3020 | \item $y=\log_a(-x^2+4x-3)\quad (a>0,\;\text{且}a\ne 1)$ 3021 | \end{enumerate} 3022 | 3023 | \item \begin{enumerate}[(1)] 3024 | \item 方程$3^{2x^2}=3^{5x+7}$与方程$2x^2=5x+7$的解集是否相等，为什么？ 3025 | \item 方程$\log_2 2x^2=\log_2 (x+6)$与方程$2x^2=x+6$的解集是否相等，为什么？ 3026 | \item 方程$\lg(x-1)+\lg(x-2)=\lg(x+2)$与方程$(x-1)(x-2)=x+2$的解集是否相等，为什么？ 3027 | \end{enumerate} 3028 | 3029 | \item 解下列方程组： 3030 | \begin{multicols}{2} 3031 | \begin{enumerate}[(1)] 3032 | \item $\begin{cases} 3033 | 9^{x+y}=729\\ 3^{x-y-1}=1 3034 | \end{cases}$ 3035 | \item $\begin{cases} 3036 | 2^x\cdot 3^y=648\\ 3037 | 3^x\cdot 2^y=432 3038 | \end{cases}$ 3039 | \item $\begin{cases} 3040 | \lg x+\lg y=5\\ \lg x-\lg y=3 3041 | \end{cases}$ 3042 | \item $\begin{cases} 3043 | x-y=90\\ \lg x+\lg y=3 3044 | \end{cases}$ 3045 | \end{enumerate} 3046 | \end{multicols} 3047 | 3048 | \end{enumerate} 3049 | --------------------------------------------------------------------------------