├── main.pdf ├── main - 4A.pdf ├── main - 4B.pdf ├── README.md ├── preface.tex ├── main - 4A.tex ├── main.tex ├── main - 4B.tex ├── 5.tex ├── 6.tex ├── 10.tex └── 8.tex /main.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/math4/HEAD/main.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /main - 4A.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/math4/HEAD/main - 4A.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /main - 4B.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/jamesfang8499/math4/HEAD/main - 4B.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 中学数学实验教材 第四册（上、下册） 2 | 本项目对1980年代初出版发行的《中学数学实验教材 第四册》进行了重排。 3 | 4 | 这一套中学数学实验教材是教育部委托北京师范大学、中国科学院数学研究所、人民教育出版社、北京师范学院、北京景山学校等单位组成的领导小组组织“中学数学实验教材编写组”，根据美国加州大学伯克利分校数学系项武义教授的《关于中学实验数学教材的设想》编写的。 5 | 6 | 本重排本，将原教材的上下两册合排成一本，当中涉及的部分内容从现在看来已经超纲或过时，请阅读时仔细甄别。 7 | 8 | 由于扫描版书籍的解析度限制，部分内容可能无法全面准确地呈现。部分原书中的印刷错误已更正，可能仍存在部分未更正的内容，请阅读时仔细鉴别。 9 | 10 | 书中的矢量图片使用Tikz和Tkz-euclide制作。其余的点阵图则是来自于扫描版电子文档（限于作者的能力和精力，无法将所有内容均以矢量图全部重绘）。 11 | 12 | **main - 4A.pdf和main - 4B.pdf分别是经过拆分后的上、下两册。** 13 | 14 | **注意：本项目的内容勿用于商业目的。** 15 | 16 | # 目录 17 | ## 前言 18 | 19 | ## 第一章 两角和与差的三角函数 20 | * 两角和与差的三角函数 21 | * 二倍角的正弦、余弦和正切 22 | * 三角函数的和差化积与积化和差 23 | * 简单三角方程 24 | 25 | ## 第二章 线性方程组 26 | * 高斯消元法 27 | * 二阶行列式与二元线性方程组 28 | * 三阶行列式与三元线性方程组 29 | * 四阶行列式与四元线性方程组 30 | * 特殊的线性方程组 31 | 32 | ## 第三章 多项式的基础理论 33 | * 多项式及其代数运算 34 | * 余式定理与因式定理 35 | * 最高公因式与辗转相除法 36 | * 插值公式 37 | * 多项式的导数与换元展开式 38 | 39 | ## 第四章 多项式的根 40 | * 多项式的根及求根公式 41 | * 有理系数多项式的整数根和有理根 42 | * 两个多项式的公根与多项式的重根 43 | * 实系数多项式的实数根 44 | * 二元二次方程组 45 | 46 | ## 第五章 数列和数列求和 47 | * 数列的概念 48 | * 数列求和举例 49 | * 数学归纳法 50 | 51 | ## 第六章 实数 52 | * 度量与实数 53 | * 不等式与绝对值 54 | 55 | ## 第七章 数列的极限 56 | * 数列的极限概念 57 | * 具有极限的数列的性质 58 | * 数列极限的四则运算 59 | * 无穷级数和无限小数 60 | * 数列极限在几何上的应用 61 | * 数列极限存在定理 62 | 63 | ## 第八章 单变量函数 64 | * 函数的概念 65 | * 函数的运算与复合函数 66 | * 函数的图象 67 | * 函数的连续性 68 | * 反函数和它的图象 69 | 70 | ## 第九章 反三角函数与简单三角方程的解法 71 | * 反正弦函数 72 | * 反余弦函数 73 | * 反正切函数 74 | * 反余切函数 75 | * 最简单的三角方程 76 | * 三角不等式的解法 77 | 78 | ## 第十章 指数函数与对数函数 79 | * 有理指数函数 80 | * 无理指数幂的定义 81 | * 实指数函数 82 | * 对数函数 83 | * 指数方程与对数方程 84 | 85 | 86 | -------------------------------------------------------------------------------- /preface.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{前~~言} 2 | 3 | 这一套中学数学实验教材，内容的选取原则是精简实 4 | 用，教材的处理力求深入浅出，顺理成章，尽量作到使人人 5 | 能懂，到处有用． 6 | 7 | 本教材适用于重点中学，侧重在满足学生将来从事理工 8 | 方面学习和工作的需要． 9 | 10 | 本教材的教学目的是：使学生切实学好从事现代生产、 11 | 特别是学习现代科学技术所必需的数学基础知识；通过对数 12 | 学理论、应用、思想和方法的学习，培养学生运算能力，思 13 | 维能力，空间想象力，从而逐步培养运用数学的思想和方法 14 | 去分析和解决实际问题的能力；通过数学的教学和学习，培 15 | 养学生良好的学习习惯，严谨的治学态度和科学的思想方 16 | 法，逐步形成辩证唯物主义世界观． 17 | 18 | 根据上述教学目的，本教材精选了传统数学那些普遍实 19 | 用的最基础的部分，这就是在理论上、应用上和思想方法上 20 | 都是基本的、长远起作用的通性、通法．比如，代数中的数 21 | 系运算律，式的运算，解代数方程，待定系数法；几何中的 22 | 图形的基本概念和主要性质，向量，解析几何；分析中的函 23 | 数，极限，连续，微分，积分；概率统计以及逻辑、推理论 24 | 证等知识．对于那些理论和应用上虽有一定作用，但发展余 25 | 地不大，或没有普遍意义和实用价值，或不必要的重复和过 26 | 于繁琐的内容，如立体几何中的空间作图，几何体的体积、 27 | 表面积计算，几何难题，因式分解，对数计算等作了较大的 28 | 精简或删减． 29 | 30 | 全套教材共分六册．第一册是代数．在总结小学所学自 31 | 然数、小数、分数基础上，明确提出运算律，把数扩充到有 32 | 理数和实数系．灵活运用运算律解一元一次、二次方程，二 33 | 元、三元一次方程组，然后进一步系统化，引进多项式运 34 | 算，综合除法，辗转相除，余式定理及其推论，学到根式、 35 | 分式、部分分式．第二册是几何．由直观几何形象分析归纳 36 | 出几何基本概念和基本性质，通过集合术语、简易逻辑转入 37 | 欧氏推理几何，处理直线形，圆、基本轨迹与作图，三角比 38 | 与解三角形等基本内容．第三册是函数．数形结合引入坐 39 | 标，研究多项式函数，指数、对数、三角函数，不等式等． 40 | 第四册是代数．把数扩充到复数系，进一步加强多项式理论， 41 | 方程式论，讲线性方程组理论，概率（离散的）统计的初步 42 | 知识．第五册是几何．引进向量，用向量和初等几何方法综 43 | 合处理几何问题，坐标化处理直线、圆、锥线，坐标变换与 44 | 二次曲线讨论，然后讲立体几何，并引进空间向量研究空间 45 | 解析几何初步知识．第六册是微积分初步．突出逼近法，讲 46 | 实数完备性，函数，极限，连续，变率与微分，求和与积分． 47 | 48 | 本教材基本上采取代数、几何、分析分科，初中、高中 49 | 循环排列的安排体系．教学可按初一、初二代数、几何双科 50 | 并进，初三学分析，高一、高二代数（包括概率统计）、几 51 | 何双科并进，高三学微积分的程序来安排． 52 | 53 | 本教材的处理力求符合历史发展和认识发展的规律，深 54 | 入浅出，顺理成章．突出由算术到代数，由实验几何到论证 55 | 几何，由综合几何到解析几何，由常量数学到变量数学等四 56 | 个重大转折，着力采取措施引导学生合乎规律地实现这些转 57 | 折，为此，强调数系运算律，集合逻辑，向量和逼近法分别 58 | 在实现这四个转折中的作用．这样既遵循历史发展的规律， 59 | 又突出了几个转折关头，缩短了认识过程，有利于学生掌握 60 | 数学思想发展的脉络，提高数学教学的思想性． 61 | 62 | 这一套中学数学实验教材是教育部委托北京师范大学、 63 | 中国科学院数学研究所、人民教育出版社、北京师范学院、 64 | 北京景山学校等单位组成的领导小组组织“中学数学实验教 65 | 材编写组”，根据美国加州大学伯克利分校数学系项武义教 66 | 授的《关于中学实验数学教材的设想》编写的．第一版印出 67 | 后，由教育部实验研究组和有关省市实验研究组指导在北 68 | 京景山学校、北京师院附中、上海大同中学、天津南开中 69 | 学、天津十六中学、广东省实验中学、华南师院附中、长春 70 | 市实验中学等校试教过两遍，在这个基础上编写组吸收了实 71 | 验学校老师们的经验和意见，修改成这一版《中学数学实验 72 | 教材》，正式出版，内部发行，供中学选作实验教材，教师 73 | 参考书或学生课外读物．在编写和修订过程中，项武义教授 74 | 曾数次详细修改过原稿，提出过许多宝贵意见． 75 | 76 | 本教材虽然试用过两遍，但是实验基础仍然很不够，这 77 | 次修改出版，目的是通过更大范围的实验研究，逐步形成另 78 | 一套现代化而又适合我国国情的中学数学教科书．在实验过 79 | 程中，我们热忱希望大家多提意见，以便进一步把它修改好． 80 | 81 | \begin{flushright} 82 | 中学数学实验教材编写组\\ 83 | 一九八一年三月 84 | \end{flushright} 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | -------------------------------------------------------------------------------- /main - 4A.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[b5paper, openany]{ctexbook} 2 | 3 | 4 | \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} 5 | 6 | 7 | \usepackage{pifont} 8 | \usepackage[perpage,symbol*]{footmisc} 9 | \DefineFNsymbols{circled}{{\ding{192}}{\ding{193}}{\ding{194}} 10 | {\ding{195}}{\ding{196}}{\ding{197}}{\ding{198}}{\ding{199}}{\ding{200}}{\ding{201}}} 11 | \setfnsymbol{circled} 12 | 13 | \usepackage{ulem} 14 | 15 | \usepackage{amsmath,amsfonts,mathrsfs,amssymb} 16 | \usepackage{graphicx} 17 | 18 | \usepackage[font=bf,labelfont=bf,labelsep=quad]{caption} 19 | 20 | \usepackage{tikz} 21 | 22 | 23 | \usepackage{ntheorem} 24 | \theoremseparator{\;} 25 | 26 | 27 | 28 | \usepackage{blkarray} 29 | \usepackage{bm} 30 | 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\renewcommand{\contentsname}{目~~录} 107 | 108 | \newcommand{\poly}{\polynomial[reciprocal]} 109 | 110 | 111 | 112 | \usepackage{mathtools} 113 | 114 | \setlength{\abovecaptionskip}{0.cm} 115 | \setlength{\belowcaptionskip}{-0.cm} 116 | 117 | \usetikzlibrary{decorations.pathmorphing, patterns} 118 | \usetikzlibrary{calc, patterns, decorations.markings} 119 | \usetikzlibrary{positioning, snakes} 120 | 121 | 122 | 123 | \usepackage{yhmath} 124 | \usepackage{longdivision} 125 | 126 | \usepackage{cancel} 127 | 128 | \renewcommand{\frac}{\dfrac} 129 | \newcommand{\oc}{$^{\circ}{\rm C}$} 130 | \newcommand{\Lim}{\displaystyle\lim} 131 | \newcommand{\arccot}{{\rm arccot\; }} 132 | 133 | 134 | \usepackage{multicol} 135 | \usepackage{cases} 136 | 137 | \begin{document} 138 | 139 | 140 | \title{\Huge\bfseries 中学数学实验教材\\第四册（上）} 141 | 142 | 143 | \author{\Large 中学数学实验教材编写组编} 144 | \date{\Large 1984年6月} 145 | 146 | \maketitle 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | \frontmatter 152 | 153 | \input{preface.tex} 154 | \tableofcontents 155 | 156 | 157 | \mainmatter 158 | 159 | \input{1.tex} 160 | \input{2.tex} 161 | \input{3.tex} 162 | \input{4.tex} 163 | % \input{5.tex} 164 | % \input{6.tex} 165 | % \input{7.tex} 166 | % \input{8.tex} 167 | % \input{9.tex} 168 | % \input{10.tex} 169 | 170 | 171 | 172 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /main.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[b5paper, openany]{ctexbook} 2 | 3 | 4 | \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} 5 | 6 | 7 | \usepackage{pifont} 8 | \usepackage[perpage,symbol*]{footmisc} 9 | \DefineFNsymbols{circled}{{\ding{192}}{\ding{193}}{\ding{194}} 10 | {\ding{195}}{\ding{196}}{\ding{197}}{\ding{198}}{\ding{199}}{\ding{200}}{\ding{201}}} 11 | \setfnsymbol{circled} 12 | 13 | \usepackage{ulem} 14 | 15 | \usepackage{amsmath,amsfonts,mathrsfs,amssymb} 16 | \usepackage{graphicx} 17 | 18 | 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= \chinese{subsection} 96 | }, 97 | subsubsection = { 98 | name = {（,）\hspace{-1em}}, 99 | number = \chinese{subsubsection}, 100 | } 101 | } 102 | 103 | 104 | \usepackage{polynom} 105 | \usepackage{polynomial} 106 | \renewcommand{\contentsname}{目~~录} 107 | 108 | \newcommand{\poly}{\polynomial[reciprocal]} 109 | 110 | 111 | 112 | \usepackage{mathtools} 113 | 114 | \setlength{\abovecaptionskip}{0.cm} 115 | \setlength{\belowcaptionskip}{-0.cm} 116 | 117 | \usetikzlibrary{decorations.pathmorphing, patterns} 118 | \usetikzlibrary{calc, patterns, decorations.markings} 119 | \usetikzlibrary{positioning, snakes} 120 | 121 | 122 | 123 | \usepackage{yhmath} 124 | \usepackage{longdivision} 125 | 126 | \usepackage{cancel} 127 | 128 | \renewcommand{\frac}{\dfrac} 129 | \newcommand{\oc}{$^{\circ}{\rm C}$} 130 | \newcommand{\Lim}{\displaystyle\lim} 131 | \newcommand{\arccot}{{\rm arccot\; }} 132 | 133 | 134 | \usepackage{multicol} 135 | \usepackage{cases} 136 | 137 | \begin{document} 138 | 139 | 140 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\newenvironment{note}{\noindent {\bf 说明：}}{} 48 | 49 | 50 | 51 | \renewcommand{\proofname}{\bf 证明：} 52 | \newenvironment{proof}{{\noindent \bf 证明：}}{}%{\hfill $\square$\par} 53 | 54 | \newcommand{\E}{\mathbb{E}} 55 | \renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}} 56 | \newcommand{\EP}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}} 57 | \newcommand{\EQ}{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}} 58 | \newcommand{\dif}{\,{\rm d}} 59 | \newcommand{\Var}{{\rm Var}} 60 | \newcommand{\Cov}{{\rm Cov}} 61 | \newcommand{\x}{\times} 62 | 63 | 64 | \usepackage{tcolorbox} 65 | \tcbuselibrary{breakable} 66 | \tcbuselibrary{most} 67 | 68 | 69 | 70 | \newtcolorbox{ex}[1][] 71 | {colback = white, colframe = cyan!75!black, fonttitle = \bfseries, 72 | colbacktitle = cyan!85!black, enhanced, 73 | attach boxed title to top center={yshift=-2mm},breakable, 74 | title=练习, #1} 75 | 76 | \newtcolorbox{blk}[2][] 77 | {colback = white, colframe = magenta!75!black, fonttitle = \bfseries, 78 | colbacktitle = magenta!85!black, enhanced, 79 | attach boxed title to top 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| \usepackage{cancel} 127 | 128 | \renewcommand{\frac}{\dfrac} 129 | \newcommand{\oc}{$^{\circ}{\rm C}$} 130 | \newcommand{\Lim}{\displaystyle\lim} 131 | \newcommand{\arccot}{{\rm arccot\; }} 132 | 133 | 134 | \usepackage{multicol} 135 | \usepackage{cases} 136 | 137 | \begin{document} 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | \title{\Huge\bfseries 中学数学实验教材\\第四册（下）} 153 | 154 | 155 | 156 | \author{\Large 中学数学实验教材编写组编} 157 | \date{\Large 1985年5月} 158 | 159 | \maketitle 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | \frontmatter 165 | 166 | \input{preface.tex} 167 | \tableofcontents 168 | 169 | 170 | \mainmatter 171 | 172 | % \input{1.tex} 173 | % \input{2.tex} 174 | % \input{3.tex} 175 | % \input{4.tex} 176 | \setcounter{chapter}{4} 177 | \input{5.tex} 178 | \input{6.tex} 179 | \input{7.tex} 180 | \input{8.tex} 181 | \input{9.tex} 182 | \input{10.tex} 183 | 184 | 185 | 186 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{数列和数列求和} 2 | 3 | \section{数列的概念} 4 | \subsection{数列的定义} 5 | 6 | 首先让我们再来看一看人类最先认识的数——自然数： 7 | $1,2,3,4,\ldots,n,n+1,\ldots$, 它们是一串依次排列的 8 | 数，从1开始，逐次加1至无穷，这就是本节要讲的数列的 9 | 一个原始的例子．下面再举几个数列的例子： 10 | 11 | \begin{example} 12 | 在自然数里，把被3整除，被3除余1,被3除 13 | 余2的那些数，分别由小到大排列成数列． 14 | \end{example} 15 | 16 | \begin{solution} 17 | 被3整除的数：$3,3\x2,3\x3,3\x4,\ldots,3n,3(n+1),\ldots$ 18 | 19 | 被3除余1的数：$3+1,3\x2+1,3\x3+1,3\x4+1,\ldots,3n+1,3(n+1)+1,\ldots$ 20 | 21 | 被3除余2的数：$3+2,3\x2+2,3\x3+2,3\x4+2,\ldots , 3n+2,3(n+1) +2,\ldots$ 22 | \end{solution} 23 | 24 | \begin{example} 25 | 某人考察，一对兔子经过一年的繁殖，总共可以 26 | 有多少对兔子，假设兔子的生殖力是这样的：每一对兔子每 27 | 一个月可以生一对兔子，并且兔子在生出两个月以后就具有 28 | 生殖后代的能力，在各月份里观察到的兔子的对数如下表所 29 | 示： 30 | \begin{center} 31 | \begin{tabular}{c|cccccccccccc} 32 | \hline 33 | $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ 34 | \hline 35 | $u_n$&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144&233&377\\ 36 | \hline 37 | \end{tabular} 38 | \end{center} 39 | 40 | 设$n$代表月份，$u_n$代表该月内兔子对数．在第一个月里， 41 | 第一对兔子生了一对后代，因此$u_1=2$, 在这两对中，只有 42 | 第一对能够在下一个月里生一对兔子，所以$u_2=3$, 以后各 43 | 月的兔子总对数除了上一个月的兔子总对数外，再加上其中1 44 | 能够在这个月产生后代的兔子对数，即前一个月的兔子的总 45 | 对数，因此以后各月的兔子总对数可以由公式： 46 | \[u_n=u_{n-1}+u_{n-2},\qquad (2 a_n,\quad (n=1,2,3,4,\ldots,n,\ldots)$，那么数 122 | 列叫做\textbf{递增的}； 123 | \item 如果$a_{n+1}= a_n,\quad (n=1,2,3,4,\ldots,n,\ldots)$，那么数 124 | 列叫做\textbf{常数列}； 125 | \item 如果$a_{n+1}\le a_n,\quad (n=1,2,3,4,\ldots,n,\ldots)$，那么数 126 | 列叫做\textbf{不增的}； 127 | \item 如果$a_{n+1}< a_n,\quad (n=1,2,3,4,\ldots,n,\ldots)$，那么数 128 | 列叫\textbf{递减的}． 129 | \end{itemize} 130 | 131 | 以上各种数列统称为\textbf{单调数列}． 132 | 133 | 数列$\{a_n\}$中的项，如果总有一些项大于前面的项，又总 134 | 有一些项小于前面的项，那么数列叫做\textbf{摆动数列}． 135 | 136 | 例如：以下数列都是摆动数列 137 | \begin{itemize} 138 | \item 数列$\{(-1)^{n+1}\}$：$1,-1,1,-1,\ldots$ 139 | \item 数列$a_n=\begin{cases} 140 | \frac{1}{n}, & \text{$n$是奇数}\\ 141 | \frac{n}{n+1}, & \text{$n$是偶数}\\ 142 | \end{cases}$：$1,\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{5},\frac{1}{5},\frac{6}{7},\ldots$ 143 | \item 数列$\{(-1)^{n}n\}$：$-1,2,-3,4,\ldots$ 144 | \end{itemize} 145 | 146 | \subsubsection{有界数列和无界数列} 147 | 有穷数列一定有最大项和最小项，无穷数列就不一定有 148 | 此性质．无穷数列可分成有界数列和无界数列． 149 | 150 | \begin{blk}{定义} 151 | 任何一项的绝对值都小于某一正数，即$|a_n|0)$的数列叫做\textbf{有界数列}；没有这样正数存在的数列 152 | 叫做\textbf{无界数列}． 153 | \end{blk} 154 | 155 | 例如，数列$\{(-1)^n\}$和$\{n+(-1)^n n\}$都是无界数列． 156 | 157 | 数列$\left\{(-1)^{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}$ 158 | 是有界数列，因为 159 | \[|a_n|=\left|(-1)^{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right|=1+\frac{1}{n}\le 2,\quad (n=1, 160 | 2,3,4,\ldots)\] 161 | 162 | 若数列递增，并且所有$a_n\le M$（定数），则称\textbf{数列有上 163 | 界}$M$． 164 | 165 | \begin{blk}{推论1} 166 | 递增有上界数列一定是有界数列． 167 | \end{blk} 168 | 169 | 若数列递减，并且所有$a_n\ge M$（定数），则称\textbf{数列有下 170 | 界}$M$． 171 | 172 | \begin{blk}{推论2 } 173 | 递减有下界数列一定是有界数列． 174 | \end{blk} 175 | 176 | \begin{blk}{推论3} 177 | 有穷数列一定是有界数列． 178 | \end{blk} 179 | 180 | 图示数列的最简单的方法是直接把点$a_1,a_2,a_3,\ldots$标 181 | 在数轴上，这种图象可以清楚地表示数列变化的状态和趋 182 | 势．图5.1是几个数列的图象． 183 | 184 | \begin{figure}[htp] 185 | \centering 186 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 187 | \begin{scope} 188 | \draw[->] (-0.5,0)--(8,0)node[above]{$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$}; 189 | \foreach \x/\xtext in {{1/2}/a_1, {2/3}/a_2, {3/4}/a_3, {4/5}/a_4} 190 | { 191 | \draw (\x*7,0)--(\x*7,.1)node[above]{$\xtext$}; 192 | } 193 | \foreach \x in {0,1} 194 | { 195 | \draw (\x*7,0)node[below]{$\x$}--(\x*7,.1); 196 | } 197 | \end{scope} 198 | \begin{scope}[yshift=-1.5cm] 199 | \draw[->] (-0.5,0)--(8,0)node[above]{$\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}$}; 200 | \foreach \x/\xtext in {{1/2}/a_1, {1/4}/a_2, {1/8}/a_3, {1/16}/a_4, {1/32}/a_5} 201 | { 202 | \draw (\x*14,0)--(\x*14,.1)node[above]{$\xtext$}; 203 | } 204 | \foreach \x/\xtext in {0/0,1/\frac{1}{2}} 205 | { 206 | \draw (\x*7,0)node[below]{$\xtext$}--(\x*7,.1); 207 | } 208 | \end{scope} 209 | \begin{scope}[yshift=-3cm] 210 | \draw[->] (-0.5,0)--(8,0)node[above]{$\left\{\sin n\pi\right\}$}; 211 | \draw (0,0)node[below]{0}--(0,.1); 212 | \node at (-.2,.5)[right]{$a_1=a_2=a_3=\cdots$}; 213 | \end{scope} 214 | \begin{scope}[yshift=-4.5cm] 215 | \draw[->] (-0.5,0)--(8,0)node[above]{$\left\{(-1)^n n\right\}$}; 216 | \foreach \x/\xtext in {-5/a_5,-3/a_3,-1/a_1,2/a_2,4/a_4} 217 | { 218 | \draw (\x*.7+3.5,0)--(\x*.7+3.5,.1)node[above]{$\xtext$}; 219 | } 220 | \foreach \x in {-1,0} 221 | { 222 | \draw (\x*.7+3.5,0)node[below]{$\x$}--(\x*.7+3.5,.1); 223 | } 224 | 225 | 226 | \end{scope} 227 | \begin{scope}[yshift=-6cm] 228 | \draw[->] (-0.5,0)--(8,0)node[above]{$\left\{n+(-1)^n n\right\}$}; 229 | \node at (-.2,.5)[right]{$a_1=a_3=a_5=\cdots$}; 230 | \foreach \x/\xtext in {0/0, 2/a_2,4/a_4,6/a_6} 231 | { 232 | \draw (\x*.5,0)node[below]{$\xtext$}--(\x*.5,.1); 233 | } 234 | \end{scope} 235 | \end{tikzpicture} 236 | \caption{} 237 | \end{figure} 238 | 239 | 240 | \section*{习题5.1} 241 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题5.1} 242 | \begin{enumerate} 243 | \item 自然数里的质数由小到大排成一个数列，试依次写出 244 | 它的前10个质数． 245 | \item 分别用通项公式表示由小到大排列着的偶数数列和奇数数列． 246 | \item 试写出下列各数列的通项公式 247 | \begin{multicols}{2} 248 | \begin{enumerate} 249 | \item $1^2,\; 2^2,\; 3^2,\; 4^2,\; \ldots$ 250 | \item $1,\; -\frac{1}{2},\; \frac{1}{2}-\frac{1}{3},\; \frac{1}{3}- 251 | \frac{1}{4},\; \ldots$ 252 | \item $\frac{3}{2},\; \frac{4}{3},\; \frac{5}{4},\; \frac{6}{5},\; \ldots$ 253 | \item $\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4},\; \frac{3\cdot 5}{4\cdot 6},\; \frac{5\cdot 7}{6\cdot 8},\; \frac{7\cdot 9}{8\cdot 10},\; \ldots$ 254 | \item $\frac{10}{3},\; \frac{20}{9},\; \frac{30}{27},\; \frac{40}{81},\; \ldots$ 255 | \item $1,\; 1\cdot 2,\; 1\cdot 2\cdot 3,\; 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,\;\ldots $ 256 | \item $-1,\; 1,\; -1,\; 1,\; -1,\; \ldots$ 257 | \item $1,\; -\frac{1}{2},\; \frac{1}{3},\; -\frac{1}{4},\; \frac{1}{5},\; \ldots$ 258 | \item $\frac{1}{1\cdot 2},\; -\frac{1}{3\cdot 4},\; \frac{1}{5\cdot 6},\; -\frac{1}{7\cdot 8},\; \ldots$ 259 | \end{enumerate} 260 | \end{multicols} 261 | 262 | \item 根据下列各数列的通项公式，写出它的前10项． 263 | \begin{enumerate} 264 | \item $a_n=\cos n\pi,\quad (n=1,2,3,\ldots)$ 265 | \item $a_n=\frac{2+(-1)^n}{n},\quad (n=1,2,3,\ldots)$ 266 | \item $f(n)=\begin{cases} 267 | \frac{1}{n},& \text{$n$为奇数}\\ 268 | \frac{n}{n+1},& \text{$n$为偶数}\\ 269 | \end{cases}$ 270 | \end{enumerate} 271 | 272 | \item 试将所有整数排成一个数列，并且用通项公式表示 273 | 出来． 274 | \item 数列的通项公式是 275 | \[f(n)=\frac{5+3\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\frac{5-3\sqrt{5}}{10}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n,\quad (n=1,2,3,\ldots)\] 276 | \begin{enumerate} 277 | \item 求$f(1)$, $f(2)$; 278 | \item 求证$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. 279 | \end{enumerate} 280 | 281 | \item 判断下列各数列的类型并图示它前5项． 282 | \begin{enumerate} 283 | \item $a_n=1-2n,\quad (n=1,2,3,\ldots,10)$； 284 | \item $a_n=\frac{2n+1}{n},\quad (n=1,2,3,\ldots)$； 285 | \item $a_n=\frac{(-1)^n2^n}{4},\quad (n=1,2,\ldots,5)$； 286 | \item $a_n=\frac{(-1)^{n+1}n}{n+1},\quad (n=1,2,3,\ldots)$; 287 | \item $\sqrt{2}$的准确到$1,\; 0.1,\; 0.01,\; \ldots$的过剩近似值． 288 | \item $a_n=\frac{2+(-1)^n}{n},\quad (n=1,2,3,\ldots)$； 289 | \item $a_n=(1)^n\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2,\quad (n=1,2,3,\ldots)$； 290 | \item $a_n=\frac{2n^2-3}{n},\quad (n=1,2,3,\ldots)$； 291 | \item $a_n=\frac{-2n^2-3}{n},\quad (n=1,2,3,\ldots)$； 292 | \item $a_n=\tan \frac{n\pi}{3},\quad (n=1,2,3,\ldots)$． 293 | \end{enumerate} 294 | \item 数列的通项公式是 295 | \[a_n=2n^2-3,\quad (n=1,2,3,\ldots)\] 296 | 求数列的第5项，下面三个数：84788、32352和 297 | 72197中，哪个数是数列中的项，是第几项？ 298 | \end{enumerate} 299 | 300 | \section{数列求和举例} 301 | 在本节，我们要复习第一册已经学习过的两个简单而重 302 | 要的数列，即等差数列和等比数列，同时通过例题来说明几 303 | 种常用的求数列前$n$项和的方法． 304 | 305 | 如果一个数列，从第二项起，每一项减去它的前面的一 306 | 项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做\textbf{等差数 307 | 列}，这个常数叫做等差数列的\textbf{公差}，用符号$d$表示．等差数 308 | 列的通项公式是 309 | \[a_n=a_1+(n-1)d,\qquad (n=1,2,3,\ldots)\] 310 | 它的前$n$项求和公式是 311 | \[S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\] 312 | 或 313 | \[S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\] 314 | 我们已在第一册给出上面求和公式的推导过程，现在建议读 315 | 者独立地把它们推导出来，在通项公式与求和公式中共包含 316 | 了五个数量：$a_1$, $d$, $n$, $a_n$和$S_n$．如果问题给出了其中三个 317 | 数量，那么其余两个数量便可由它们解出来． 318 | 319 | \begin{example} 320 | 在数轴上有两个点$A(4.5)$和$B(12.5)$, 在其 321 | 间插入四个等间隔的点，求这些点的坐标． 322 | \end{example} 323 | 324 | \begin{solution} 325 | 在$A$和$B$两点之间插入四个等间隔的点后，这六个 326 | 点的对应坐标成等差数列， 327 | 328 | $\because\quad a_1=4.5,\quad a_6=12.5,\quad n=6$ 329 | 330 | $\therefore\quad 12.5=4.5+(6-1)d$，解得：$d=1.6$． 331 | 332 | 所求四个点的坐标分别是 333 | $6.1,\; 7.7,\; 9.3,\; 10.9$． 334 | \end{solution} 335 | 336 | \begin{blk}{定义} 337 | 给出两个数，其间插入一个数，使成等差数列， 338 | 被插入的数叫做这二数的\textbf{等差中项}． 339 | \end{blk} 340 | 341 | \begin{blk}{推论} 342 | 若$a,b,c$三个数成等差数列，则等差中项 343 | \[b=\frac{a+c}{2}\] 344 | \end{blk} 345 | 346 | 事实上，依定义有 347 | \[b-a=c-b\] 348 | 移项，得 349 | \[2b=a+c\] 350 | 即 351 | \[b=\frac{a+c}{2}\] 352 | 353 | \begin{example} 354 | 在甲地有48根电杆，从离甲地1000米的地方树立 355 | 第一根电杆，以后每隔15米树立一根电杆，载重汽车每次只 356 | 能拖运三根电杆，问由一辆汽车去完成任务至少需要行驶多 357 | 少公里？ 358 | \end{example} 359 | 360 | \begin{solution} 361 | 汽车需运电杆$48\div 3=16$次才能完成任务，所以， 362 | $n=16$．设$a_n$为第$n$次拖运电杆再返回原地所行驶的路程，依 363 | 题意$\{a_n\}$是等差数列，且知 364 | \[ a1=2060,\qquad d=90,\qquad n=16\] 365 | 因此： 366 | \[\begin{split} 367 | S_n&=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\\ 368 | &=16\x 2060+\frac{16\x 15}{2}\x 90\\ 369 | &=43760\text{(米)}=43.76\text{(公里)} 370 | \end{split}\] 371 | 372 | 答：汽车需行驶43.76公里，才能完成任务． 373 | \end{solution} 374 | 375 | 如果一个数列，从第二项起，每一项和前面一项的比都 376 | 等于一个常数，那么，这个数列叫做\textbf{等比数列}．这个常数叫 377 | 做等比数列的\textbf{公比}，通常用字母$q$表示．换言之，等比数 378 | 列是满足递归关系$a_{n+1}=qa_{n},\quad (n=1,2,\ldots)$的数列． 379 | 380 | 显然，当$q>0$时，等比数列是单调的．若$q>1$，等 381 | 比数列是递增的；若$01$时， 387 | 等比数列是无界的． 388 | 389 | 我们已经知道等比数列的通项公式是 390 | \[a_n=a_1q^{n-1}\qquad (n=1,2,\ldots)\] 391 | 它前$n$项和公式是 392 | \[S_n=\frac{a_nq-a_1}{q-1}\] 393 | 若$q<1$, 上式改写为 394 | \[S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}\] 395 | 显然，若$q=1$, 则 $S_n=na_1$． 396 | 397 | 将$a_n=a_1q^{n-1}$代入求和公式中，得到 398 | \[S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\] 399 | 400 | \begin{blk}{定义} 401 | 任给两个数，在其间插入一个数，使成等比数 402 | 列，则所插入的数叫做所给两数的\textbf{等比中项}． 403 | \end{blk} 404 | 405 | \begin{blk}{推论} 406 | 若$a,b,c$三个数成等比数列，则等比中项$b=\pm\sqrt{ac}$，（或$b^2=ac$）． 407 | \end{blk} 408 | 409 | 事实上，依定义有$$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$$ 410 | 因此：$b^2=ac$，或者$b=\pm\sqrt{ac}$． 411 | 412 | \begin{example} 413 | 在81和1之间，插入三个实数，使它们和这两个 414 | 数成等比数列． 415 | \end{example} 416 | 417 | \begin{solution} 418 | 在81和1之间，插入三个数后，1就成为等比数列 419 | 的第5项，因此 420 | \[\begin{split} 421 | a_5=81q^4&=1\\ 422 | (9q^2+1)(9q^2-1)&=0 423 | \end{split}\] 424 | $\because\quad q$为实数，$\therefore\quad 9q^2+1\ne 0$，由此得： 425 | \[9q^2-1=0\quad \Rightarrow\quad q=\pm\frac{1}{3}\] 426 | 故所求三个实数为$27,9,3$或$-27,9,-3$． 427 | \end{solution} 428 | 429 | 430 | \begin{example} 431 | 已知一个正三角形，边长为$a$，以此正三角形的 432 | 高线为边做第二个三角形，依此类推，求前10个正三角形的 433 | 面积的和． 434 | \end{example} 435 | 436 | \begin{figure}[htp] 437 | \centering 438 | \begin{tikzpicture}[scale=1.8, thick] 439 | \foreach \x/\xlen in {-150/2, -120/1.732, -90/2, -60/1.732, -30/1.5} 440 | { 441 | \draw(0,0)--(\x:\xlen); 442 | } 443 | \draw (-150:2)--(-90:2); 444 | \draw (-120:1.732)--(-60:1.732); 445 | \draw (-90:1.5)--(-30:1.5); 446 | 447 | \foreach \x in {1,2,3,4} 448 | { 449 | \node at (-180+30*\x:1)[left]{$a_{\x}$}; 450 | } 451 | \end{tikzpicture} 452 | \caption{} 453 | \end{figure} 454 | 455 | 456 | \begin{solution} 457 | 如图5.2, 设第$k$个这样的正三角形的边长为$a_k$, 高 458 | 为$h_k$, 面积为$A_k,\; (k=1,2,\ldots,10)$, 于是 459 | \[a_1=a,\qquad h_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a,\qquad A_1=\frac{1}{2}a_1h_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\] 460 | 因为所有正三角形都相似，故对应边与对应高线成比例，即 461 | \[\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{h_{k+1}}{h_k}\] 462 | 又依三角形的作法，知 463 | \[a_{k+1}=h_k,\qquad (k=1,2,3,\ldots,10)\] 464 | $\therefore\quad \frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{h_{k+1}}{a_{k+1}}=\frac{h_1}{a_1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， 465 | 466 | 根据相似三角形面积之比等于对应边平方之比，故 467 | \[q=\frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{a^2_{k+1}}{a^2_k}=\left(\frac{a_{k+1}}{a_k}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\] 468 | 469 | 因此，前10个正三角形面积之和 470 | \[S_{10}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\left[1-\left(\frac{3}{4}\right)^{10}\right]}{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{3}a^2\left[1-\left(\frac{3}{4}\right)^{10}\right]\] 471 | \end{solution} 472 | 473 | 为书写简便起见，我们用符号$\displaystyle\sum^n_{i=m}a_i$ 474 | 表示数列$\{a_i\}$的相邻 475 | 的一些项的和．整数$i$在确定了的界限内变动，在$\Sigma$的下 476 | 面和上面的数字分别表示求和的起止项的序号，符号“$\Sigma$” 477 | 读作sigma．例如 478 | \[\begin{split} 479 | \sum^n_{i=1}a_i&=a_1+a_2+\cdots+a_n\\ 480 | \sum^n_{i=k}a_i&=a_k+a_{k+1}+\cdots+a_n\\ 481 | \end{split}\] 482 | 483 | 在许多数学问题里，我们需要求出以下标$i$的$k$次多 484 | 项式$f(i)$为通项的前$n$项和的公式： 485 | \[S_k(n)=\sum^{n-1}_{i=0}f(i)=f(0)+f(1)+\cdots+f(n-1)\] 486 | 这里的指标集是非负整数集． 487 | 488 | 数列$\{S_k(n)\}$称为数列$\{f(n)\}$的和数列，即 489 | \[\begin{split} 490 | S_k(1)&=f(0)\\ 491 | S_k(2)&=f(0)+f(1)\\ 492 | S_k(3)&=f(0)+f(1)+f(2)\\ 493 | \cdots&\cdots\cdots 494 | \end{split}\] 495 | 496 | 为讨论方便起见，规定$S_k(0)=0$, 于是和数列$\{S_k(n)\}$满 497 | 足下面两个性质： 498 | \begin{enumerate} 499 | \item $S_k(0)=0$ 500 | \item $S_k(n+1)-S_k(n)=f(n),\qquad n=0,1,2,\ldots$ 501 | \end{enumerate} 502 | 503 | 我们来考虑这样一个多项式，它在$k$个点$0,1,2,\ldots, 504 | k-1$处与横坐标轴相交，又通过$(k,1)$点，显然这个关于 505 | $n$的多项式为 506 | \[q_k(n)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\] 507 | 下面来求数列$\{q_k(n)\},\; n=0,1,2,\ldots$的前$n$项和的公式． 508 | 509 | \begin{example} 510 | 设$q_k(n)=\frac{1}{k!}n(n-1)\cdots(n-k+1)$，则前$n$项的和 511 | \[\begin{split} 512 | S_k(n)&=\sum^{n-1}_{i=0} q_k(i)=q_k(0)+q_k(1)+\cdots+q_k(n-1)\\ 513 | &=\frac{1}{(k+1)!}n(n-1)\cdots(n-k) 514 | \end{split}\] 515 | 换言之，其和是这样一个多项式，它在$0,1,2,\ldots,(k-1)$，共$k$个点处与坐标轴相交且通过$((k+1),1)$点． 516 | \end{example} 517 | 518 | \begin{solution} 519 | 设$S_k(n)$是一个$n$的$k+1$次多项式，且让$S_k(n)$满 520 | 足条件： 521 | \begin{align} 522 | S_k(0)&=0\\ 523 | S_k(n+1)-S_k(n)&=q_k(n) 524 | \end{align} 525 | 由于$q_k(0)=q_k(1)=\cdots=q_k(k-1)=0$, 且 526 | $q_k(k)=1$, 于是 527 | \begin{equation} 528 | \begin{split} 529 | S_k(n)&=q_k(0)+q_k(1)+\cdots+q_k(n-1)\\ 530 | &=\underbrace{0+0+\cdots+0}_{\text{$k$项}}+1+(k+1)+\\ 531 | &\qquad \cdots+ 532 | \frac{1}{k!}(n-1)(n-2)\cdots(n-k) 533 | \end{split} 534 | \end{equation} 535 | 536 | 由等式(5.1)和(5.3)得到 537 | \begin{align} 538 | S_k(0)=S_k(1)=\cdots=S_k(k)=0\\ 539 | S_k(k+1)=1 540 | \end{align} 541 | 从而知道$S_k(n)$有下面$k+1$个因式，即 542 | \[S_k(n)=Cn(n-1)(n-2)\cdots(n-k)\] 543 | 这里$C$是未定的常数因子． 544 | 545 | 常数因子$C$可由(5.5)确定， 546 | \[S_k(k+1)=C(k+1)k(k-1)\cdots2\cdot 1=1\] 547 | $\therefore\quad C=\frac{1}{(k+1)!}$ 548 | 549 | 此处记$(k+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots k(k+1)$． 550 | 551 | 因此， 552 | \[\begin{split} 553 | S_k(n)&=\sum^{n-1}_{i=0} q_k(i)=\sum^{n-1}_{i=0} \frac{1}{k!}i(i-1)\cdots (i-k+1)\\ 554 | &=\frac{1}{(k+1)!}n(n-1)\cdots (n-k) 555 | \end{split}\] 556 | \end{solution} 557 | 558 | 我们也常用这样一种想法来求数列前$n$项和的公式，即 559 | 如果数列的通项能分解成另一个数列相邻两项的差： 560 | 561 | $f(n)=F(n+1)-F(n),\; n=0,1,2,\ldots$时，那么前 562 | $n$项的和 563 | \[\begin{split} 564 | S(n)&= \sum^{n-1}_{i=0} f(i)= \sum^{n-1}_{i=0} [F(i+1)-F(i)]\\ 565 | &=[F(1)-F(0)]+[F(2)-F(1)]+\cdots +[F(n)-F(n-1)]\\ 566 | &=F(n)-F(0) 567 | \end{split}\] 568 | 569 | 570 | \begin{example} 571 | 求$S(n)=\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\cdots +\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$的和． 572 | \end{example} 573 | 574 | \begin{solution} 575 | $\because\quad \frac{1}{(3i-2)(3i+1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3i-2}-\frac{1}{3i+1}\right)$ 576 | 577 | 当$i=1,2,3,\ldots,n$时，有 578 | \[\begin{split} 579 | \frac{1}{1\cdot 4}&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right)\\ 580 | \frac{1}{4\cdot 7}&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)\\ 581 | \cdots &\cdots\\ 582 | \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right) 583 | \end{split}\] 584 | 因此： 585 | \[\begin{split} 586 | S(n)&=\sum^n_{i=1}\frac{1}{(3i-2)(3i+1)}\\ 587 | &=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3n+1}\right)\\ 588 | &=\frac{n}{3n+1} 589 | \end{split}\] 590 | \end{solution} 591 | 592 | 如果数列的通项是以其它形式的$k$次多项式给出的，我 593 | 们可以用待定系数法把它变形为例5.8的形式． 594 | 595 | 596 | \begin{example} 597 | 求$S_2(n+1)=0^2+1^2+2^2+\cdots+n^2$的和． 598 | \end{example} 599 | 600 | \begin{solution} 601 | 设$i^2=\lambda \frac{i(i-1)}{2!}+\mu i,\; (i=0,1,2,\ldots,n)$，由待定系数法求得： 602 | \[\lambda=2,\qquad \mu=1\] 603 | 于是： 604 | \[S_2(n+1)=\sum^n_{i=0}i^2=2\sum^n_{i=0}\frac{i(i-1)}{2!}+\sum^n_{i=0}i\] 605 | 应用例5.8的结果，得到： 606 | \[\begin{split} 607 | S_2(n+1)&=2\frac{(n+1)n(n-1)}{3!}+\frac{n(n+1)}{2}\\ 608 | &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 609 | \end{split}\] 610 | \end{solution} 611 | 612 | \begin{example} 613 | 设$a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$成等差数列，求 614 | $S_n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n$的和． 615 | \end{example} 616 | 617 | \begin{solution} 618 | \begin{equation} 619 | S_n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n 620 | \end{equation} 621 | 由于(5.6)式中的系数成等差数列，文字$1,x,x^2,\ldots,x^n$成等比数列，利用等差数列的任意相邻的三项有递归关系： 622 | \begin{equation} 623 | a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}=0,\qquad n\ge 2 624 | \end{equation} 625 | 知道(5.6)相邻的三项下面等式成立： 626 | \begin{equation} 627 | a_nx^n-2x(a_{n-1}x^{n-1})+x^2(a_{n-2}x^{n-2})=0,\qquad n\ge 2 628 | \end{equation} 629 | 让(5.6)的两边分别乘以$1,2x,x^2$, 然后相加，得 630 | \[\begin{split} 631 | S_n&=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\\ 632 | -2xS_n&=-2a_0x-2a_1x^2-2a_2x^3-\cdots-2a_{n-1}x^n-2a_nx^{n+1}\\ 633 | x^2S_n&=a_0x^2+a_1x^3+a_2x^4+\cdots+a_{n-1}x^{n+1}+a_nx^{n+2} 634 | \end{split}\] 635 | 所以： 636 | \[(1-x)^2 S_n=a_0+(a_1-2a_0)x+0+\cdots+0+(a_{n-1}-2a_n)x^{n+1}+a_nx^{n+2}\] 637 | 由(5.8)可知在上面等式中，其余各项为0, 若$x=1$, 两边 638 | 除以$(1-x)^2$, 得 639 | \[S_n=\frac{a_0+(a_1-2a_0)x+0+\cdots+0+(a_{n-1}-2a_n)x^{n+1}+a_nx^{n+2}}{(1-x)^2}\] 640 | 若$x=1$，原题就变成求等差数列前$n$项的和，这时， 641 | \[S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\] 642 | \end{solution} 643 | 644 | \begin{example} 645 | 数列$\{v_n\}$由下面递归定义给出： 646 | \[ v_{n+1}=3v_n-2v_{n-1},\quad v_0=2,\quad v_1=3,\; n=1,2,3,\ldots\] 647 | 求：$v_n$，$S_n=\sum^{n-1}_{i=0}v_i$． 648 | \end{example} 649 | 650 | \begin{solution} 651 | 由$v_{n+1}=3v_n-2v_{n-1}$容易看出 652 | \[ v_{n+1}-v_{n}=2(v_n-v_{n-1})\] 653 | 设$q_n=v_{n+1}-v_n$, $q_{n-1}=v_n-v_{n-1}$, 则$q_n=2q_{n-1},\; (n=1,2,\ldots)$, 换言之，$\{q_n\}$是公比为2的等比数列， 654 | \[\therefore\quad q_n=2q_{n-1}=2^2q_{n-2}=\cdots=2^n(v_1-v_0)=2^n(3-2)=2^n\] 655 | 从而： 656 | \[\begin{split} 657 | q_{n-1}&=v_n-v_{n-1}=2^{n-1}\\ 658 | v_n&=(v_n-v_{n-1})+(v_{n-1}-v_{n-2})+\cdots+(v_1-v_0)+v_0\\ 659 | &=2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots +2+1+2\\ 660 | &=(2^n-1)+2=2^n+1\\ 661 | \end{split}\] 662 | \[\begin{split} 663 | S_n=\sum^{n-1}_{i=0}v_i&=\sum^{n-1}_{i=0}(2^i+1)\\ 664 | &=\sum^{n-1}_{i=0}2^i+\sum^{n-1}_{i=0}1\\ 665 | &=(2^n-1)+n=2^n+(n-1) 666 | \end{split}\] 667 | \end{solution} 668 | 669 | \section*{习题5.2} 670 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题5.2} 671 | \begin{enumerate} 672 | \item 在等差数列中 673 | \begin{multicols}{2} 674 | \begin{enumerate} 675 | \item 若$a_5=100$, $d=\frac{1}{2}$, 676 | 求$a_{100}$； 677 | \item 若$a_3=-4$, $a_5=2$, 求 678 | $a_{10}$； 679 | \item 若$a_p=q$, $a_q=p$, 求$a_{p+q}$； 680 | \item 用$a_s$, $a_1$, $d$表示$a_n$． 681 | \end{enumerate} 682 | \end{multicols} 683 | 684 | \item 在7和35之间插入6个数使它们和已给两数组成等 685 | 差数列． 686 | \item 在8和32之间应插入多少个等差中项，可使等差中 687 | 项中的前两个数的和与后两个数的和之比为$7:25$． 688 | \item 求证含有奇数个项的等差数列里，第一项，中间 689 | 项，最后项也成等差数列． 690 | \item 在三位数里有几个是6的倍数，求它们的和． 691 | \item 求$S_n=1-2+3-4+5-\cdots+(-1)^{n+1}n$的和． 692 | \item 一等差数列前$n$项之和为$S_n=5n^2+3n$, 求$a_n$． 693 | \item 在等差数列中 694 | \begin{enumerate} 695 | \item 已知$d=2$, $n=15$, $a_{15}=-10$, 求$S_{15}$； 696 | \item 已知$a_n$, $S_n$和$a_1$，求$d$； 697 | \item 已知$d$, $S_n$ 和$a_1$，求$n$； 698 | \item 已知$a_n$, $S_n$和$d$, 求$a_1$． 699 | \end{enumerate} 700 | 701 | \item 求等差数列$2\frac{1}{2},1\frac{5}{6},1\frac{1}{6},\ldots$的第$n$项，并求这个等 702 | 差级数的最大和． 703 | \item 在等差数列中，若$S_1=a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}=44$, 704 | $S_2=a_2+a_4+\cdots+a_{2n-2}=33$, 求$a_n$． 705 | \item 某化工厂为了加固烟囱，要在烟囱上打32道铁箍， 706 | 且使每两道铁箍之间的距离相等，已知最上面一道铁箍处烟 707 | 囱的外直径为1.5m，最下面一道箍处烟囱的外直径为3.5m． 708 | 求全部铁箍用料的总长． 709 | 710 | \item 若$a_1,a_2,\ldots,a_n$成等差数列，求证： 711 | \[\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}\] 712 | 713 | \item 求下列各等比数列的通项公式 714 | \begin{multicols}{2} 715 | \begin{enumerate} 716 | \item $-1,\;-2,\;-4,\;\ldots$ 717 | \item $\frac{2}{3},\;\frac{1}{2},\;\frac{3}{8},\;\ldots$ 718 | \item $\sqrt{2},\;1,\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;\ldots$ 719 | \item $-1,\;1,\;-1,\;\ldots$ 720 | \item $1,\;-\sqrt{\frac{1}{3}},\;\frac{1}{3},\;\ldots$ 721 | \end{enumerate} 722 | \end{multicols} 723 | 724 | \item 在等比数列里 725 | \begin{enumerate} 726 | \item $a_1=36$, $a_5=2\frac{1}{4}$，求$q$和$S_5$； 727 | \item $a_n=1296$, $q=6$, $S_n=625$，求$a_0$和$a_1$； 728 | \item $a_1=3$, $q=\frac{1}{3}$, $n=8$，求$S_8$； 729 | \item $S_5=242$, $q=3$，求$a_5$． 730 | \end{enumerate} 731 | \item 在等比数列里，若$a_7-a_5=a_6+a_5=48$, 求$a_1$, $q$和 732 | $S_{10}$． 733 | \item 在160和5之间插入4个数，使这6个数成等比数 734 | 列，求这4个数． 735 | \item 求证若$a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\; (a_i>0,i=1,2,3, 736 | \ldots)$成等比数列，则以下数列均成等比数列： 737 | \begin{multicols}{2} 738 | \begin{enumerate} 739 | \item $a_1,\; a_3,\; \ldots, a_{2n-1},\; \ldots$； 740 | \item $ka_1,\; ka_3,\; \ldots, ka_{2n-1},\; \ldots$； 741 | \item $\frac{1}{a_1},\; \frac{1}{a_2},\; \ldots, \frac{1}{a_{n}},\; \ldots$； 742 | \item $a^2_1,\; a^2_2,\; \ldots, a^2_{n},\; \ldots$； 743 | \item $\sqrt{a_1},\; \sqrt{a_2},\; \ldots, \sqrt{a_n},\; \ldots$． 744 | \end{enumerate} 745 | \end{multicols} 746 | 747 | \item 从盛满20升纯酒精的容器里倒出一升，然后用水填 748 | 满，再倒出一升混合溶液，用水填满，这样继续进行，一共 749 | 倒三次，这时容器里有纯酒精多少？ 750 | \item 甲厂产量是乙厂产量的40.96\%, 甲厂产品每年增 751 | 长的百分率比乙厂产品每年增长的百分率多30\%, 若第四年 752 | 甲厂产量和乙厂产量相同，求甲厂每年产品平均增长的百分 753 | 率是多少？ 754 | \item 一个机器制造厂的原订的三年计划，每年比上一年 755 | 增产的机器台数相同，但到了第三年，由于实际需要，须比 756 | 原计划多生产1000台，那么每年比上一年的增长百分数就相 757 | 同，而且第三年的台数恰为原计划总台数的一半，问实际上 758 | 每年生产了多少台？每年比上一年增长的百分数是多少？ 759 | 760 | \item 某农机厂去年十月份生产拖拉机1000台，这样连同 761 | 一月至九月的产量恰好完成全年生产任务，为加速农业机械 762 | 化，全厂在年底前又生产了2310台，于是就超额完成全年计 763 | 划的21\%．求 764 | \begin{enumerate} 765 | \item 今年十一，十二月份每月平均增长率； 766 | \item 今年原计划生产量． 767 | \end{enumerate} 768 | 769 | \item 若一个三角形的三个角成等差数列，而它的边成等 770 | 比数列，求这个三角形的形状． 771 | \item 已知一个正三角形边长为$a$, 以此正三角形的高线 772 | 为边做第二个三角形，依此类推，求前10个正三角形的周长 773 | 的和． 774 | \item 求$(x+y)+(x^2+xy+y^2)+(x^3+x^2y+xy^2+y^3)+\cdots$的前$n$项的和． 775 | \item 求$7+77+777+\cdots$的前$n$项的和． 776 | 777 | \item 设等比数列$a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$的公比是$q$． 778 | 779 | 求证：$a_1a_2\cdots a_n=a^n_1q^{\tfrac{n(n-1)}{2}}$ 780 | 781 | \item 求下列各数列的和 782 | \begin{multicols}{2} 783 | \begin{enumerate} 784 | \item $\displaystyle \sum^{n-1}_{i=0} i^3$ 785 | \item $\displaystyle \sum^{n-1}_{i=0} i^4$ 786 | \item $\displaystyle \sum^{n-1}_{i=0} (i-1)i$ 787 | \item $\displaystyle \sum^{n-1}_{i=0} (2i-1)^2$ 788 | \item $\displaystyle \sum^{n-1}_{i=0} \frac{2i+1}{i^2\cdot (i+1)^2}$ 789 | \end{enumerate} 790 | \end{multicols} 791 | 792 | \item 数列$a_0,a_1,\ldots, a_n,\ldots$中的$a_0,a_1$为已知，且 793 | $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2},\; n=2,3,4,\ldots$, 求$a_n$． 794 | 795 | \item 数列$a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$中，$a_1=2$, 且$a_n=3a_{n-1}+1\; (n=2,3,4,\ldots )$, 求$a_1+a_2+\cdots +a_n$． 796 | \item 已知数列$a_1,a_2,\ldots ,a_n,\ldots$的相邻两项$a_n$, 797 | $a_{n+1}$是方程$x^2+3nx+c_n=0,\; (n=1,2,\ldots)$的两根，当$a_1= 798 | 1$时，求$\sum^{2p}_{n=1}c_n$． 799 | \item $n$是非负的整数，试问同时满足下面三个不等式的 800 | 整数对$(x,y)$共有多少组？ 801 | \[y\ge x,\qquad y\le 3x,\qquad y\le n\] 802 | \item 三角形三条边的长分别是$\ell$, $m$和$n$，这里$\ell$，$m$, 803 | $n$都是正整数，且$\ell\le m\le n$，对于每一个给定的$n$（取 804 | $n=1,2,3,\ldots$），所说的不同形状的三角形有多少个？求 805 | 出三角形的个数用$n$表示的一般公式． 806 | \item 数列$\{a_n\}$是： 807 | \[a_1=\frac{1}{3},\qquad \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2n+3\quad (n=1,2,3,4,\ldots)\] 808 | \begin{enumerate} 809 | \item 用3的式子表示一般项； 810 | \item 用$n$的式子表示前$n$项的和 $\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k$ 811 | \end{enumerate} 812 | 813 | \item 若数列$\{a_n\}$是等差数列， 814 | 求证：\[\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_{n-1}a_n}=\frac{n-1}{a_1a_n}\] 815 | \end{enumerate} 816 | 817 | \section{数学归纳法} 818 | 现在我们研究在数学中常用的一种证明方法——数学归 819 | 纳法． 820 | 821 | 我们常常从一些特殊事实归纳出一般结论，这种推理方 822 | 法就是通常说的归纳法，用归纳法可以帮助我们从特殊情况 823 | 发现一般规律，但如果归纳时所根据的特殊事实没有完全包 824 | 括结论中所涉及到的所有情况，结论可能不正确，这就是 825 | 说：命题可能对于一系列的特别情形是对的，但是一般并不 826 | 正确． 827 | 828 | 例如，已知函数$f(n)=(n^2-5n+5)^2$，则 829 | \[f(1)=1,\qquad f(2)=1,\qquad f(3)=1,\qquad f(4)=1 \] 830 | 如果我们由此得出结论$f(n)=(n^2-5n+5)^2=1$ （$n$是任何自 831 | 然数），那就是错误的，事实上，$f(5)=25$, 不等于1． 832 | 833 | 为了克服这种归纳法的不完全性，我们常采用下述的数 834 | 学归纳法来证明一个关于自然数$n$的命题． 835 | 836 | 数学归纳法的证明逻辑是： 837 | 838 | 对于一个依赖于自然数$n=1,2,3,\ldots$的命题$p(n)$,如 839 | 果 840 | \begin{enumerate} 841 | \item 当$n=1$时，命题$p(1)$正确； 842 | \item 假设$n=k,\; (k\ge 1)$时，命题$p(k)$正确，可以 843 | 推出$n=k+1$时，命题$p(k+1)$正确，那么，命题$p(n)$对 844 | 于一切自然数$n=1,2,3,\ldots$都正确． 845 | \end{enumerate} 846 | 847 | 这个方法的根据，就是自然数的基本性质： 848 | 849 | \begin{blk}{自然数的基本性质} 850 | 令$A$是自然数集$\mathbb{N}$中具有下面性质的子集： 851 | \begin{enumerate} 852 | \item $1\in A$； 853 | \item 若$n\in A$，则$n+1\in A$ 854 | \end{enumerate} 855 | 那么：$A=\mathbb{N}$． 856 | \end{blk} 857 | 858 | 现在，我们来证明数学归纳法的正确性，设使命题$p(n)$ 859 | 成立的自然数是自然数集$\mathbb{N}$中的子集$A$, 即$A\subseteq \mathbb{N}$． 860 | 861 | 根据数学归纳法中的1, $1\in A$; 再根据数学归纳法中 862 | 的2，若$n\in A$，则$n+1\in A$．于是，根据自然数的基 863 | 本性质，得到 864 | $$A=\mathbb{N}$$ 865 | 因此，命题$p(n)$对于一切自然数成立． 866 | 867 | 下面举一些例子说明这个方法的应用． 868 | 869 | \begin{example} 870 | 求证： 871 | \begin{equation} 872 | 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} 873 | \end{equation} 874 | \end{example} 875 | 876 | \begin{analyze} 877 | 我们注意到和式：$ 1+2+3+\cdots+n$可以递归地定 878 | 义为 879 | \[\begin{cases} 880 | S(1)=1\\ 881 | S(n)=S(n-1)+n,\qquad n=2,3,\ldots 882 | \end{cases}\] 883 | 上面的等式为应用数学归纳法去证明打下了基础． 884 | \end{analyze} 885 | 886 | \begin{proof} 887 | \begin{enumerate} 888 | \item 当$n=1$时，$\because\quad S(1)=1,\quad \frac{1(1+1)}{2}=1$, 889 | 890 | $\therefore\quad $等式(5.9)成立． 891 | 892 | \item 假设$n=k,\; (k\ge 1)$时，等式(5.9)成立，即有 893 | \[S(k)=1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}\] 894 | 那么，当$n=k+1$时， 895 | \[S(k+1)=1+2+3+\cdots+k+(k+1)=S(k)+(k+1)\] 896 | 应用数学归纳法假设于上面的等式，得到 897 | \[\begin{split} 898 | S(k+1)&=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=(k+1)\left(\frac{k}{2}+1\right)\\ 899 | &=\frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ 900 | &=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} 901 | \end{split}\] 902 | 即等式(5.9)仍成立． 903 | 904 | 由所证1和2两步知： 905 | \[1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\] 906 | 对于一切自然数$n$都成立． 907 | \end{enumerate} 908 | \end{proof} 909 | 910 | 从上例明显地看出，用数学归纳法证明一个命题的步 911 | 骤是： 912 | \begin{enumerate} 913 | \item 验证命题$p(n)$, 当$n$取第一个值$n=1$时，$p(1)$正 914 | 确．这一条是数学归纳法的基础． 915 | \item 假设当$n=k,\; (k\ge 1)$时，命题$p(k)$正确，证明 916 | 当$n=k+1$时，命题$p(k+1)$也正确．这一条是说性质$p(n)$ 917 | 具有遗传性，可以一代一代地传下去．完成了这两步以后， 918 | 就可以断定命题$p(n)$对于一切自然数$n$都正确．因为首先 919 | 证明$p(1)$正确，另外由$p(1)$正确推出$p(2)$正确，由$p(2)$正 920 | 确推出了$p(3)$正确，依次下去，便可知对于一切自然数$n$, 921 | $p(n)$正确． 922 | \end{enumerate} 923 | 924 | 925 | 有时不一定从1开始，也就是数学归纳法里两句话，可 926 | 以改成 927 | \begin{enumerate} 928 | \item 当$n=k_0$时，命题$p(k_0)$正确． 929 | \item 从假设$n=k,\; (k\ge k_0)$时，这个命题$p(k)$正确， 930 | 可以推出当$n=k+1$时，这个命题$p(k+1)$也正确，那么$p(n)$ 931 | 对于$n\ge k_0$都正确． 932 | \end{enumerate} 933 | 934 | \begin{example} 935 | 假设我们只有面额是3分和5分的两种邮票，试证 936 | 明可以用面额是3分和5分的两种邮票去付多于7分的任意一 937 | 笔邮资． 938 | 939 | 如果我们对于每一种情形逐一地去证明，譬如，用3分 940 | 和5分的邮票各一张可以付8分的邮资；用3分的邮票3张可 941 | 以付9分的邮资，用5分的邮票2张可以付10分的邮资等等， 942 | 照这样一个一个地验证下去，不是有成效的，因为有无数多 943 | 种的情况需要去验证，让我们用数学归纳法来证明． 944 | \end{example} 945 | 946 | \begin{proof} 947 | \begin{enumerate} 948 | \item 我们对于8分的邮资，可以用3分和5分的 949 | 邮票各一张去付，因此，当$n=8$时，命题正确． 950 | \item 假设用3分邮票和5分的邮票可以付$k$分的邮资， 951 | 我们要证明这两种邮票也可以用来付$k+1$分的邮资． 952 | 953 | 因为$k\ge 8$, 有两种可能的情形：$k$分的邮资至少要 954 | 用一张5分的邮票去付；$k$分的邮资完全可以用3分的邮 955 | 票去付． 956 | 957 | 在第一种情形下，要付$k+1$分的邮资，只要原来的某一 958 | 张5分的邮票换以两张3分的邮票就可以了； 959 | 960 | 在第二种情形下，3分的邮票至少要有3张．要付$k+1$分 961 | 的邮资，只要把原来的三张3分邮票换以两张5分的邮票就可 962 | 以了． 963 | 964 | 根据1和2，可以断定$n$为任何大于7的自然数，命 965 | 题正确． 966 | \end{enumerate} 967 | 968 | 969 | 数学归纳法这两步骤，是缺一不可的，从求函数$f(n)= 970 | (n^2-5n+5)^2$的值可知，缺少了步骤2就得出不正确的结 971 | 论，同样缺少了步骤1也可能得出不正确的结论．例如，由 972 | 于没有验证数学归纳法中的第一条，而得出下面荒谬的结论： 973 | \[2+4+6+\cdots+2n=n^2+n+1\] 974 | 975 | 我们在下面只证明数学归纳法中的2． 976 | 977 | 假设$n=k,\; (k>1)$,等式 978 | $2+4+6+\cdots+2k=k^2+k+1$ 979 | 成立，那么，当$n=k+1$时， 980 | \begin{align*} 981 | 2+4+6+\cdots+2k+2(k+1)&=(2+4+6+\cdots+2k)+2(k+1)\\ 982 | &=k^2+k+1+2(k+1) \tag{数学归纳法假设}\\ 983 | &=(k+1)^2+(k+1)+1 984 | \end{align*} 985 | 由此知，当$n=k+1$时，等式仍成立．如果仅从数学归纳法 986 | 中的2就得出等式对于任何自然数都成立，那是错误的． 987 | 988 | 事实上，当$n=1$时，等式左边$=2$, 右边$=12+1+1= 989 | 3$，因此，上面的等式是错误的． 990 | \end{proof} 991 | 992 | \begin{example} 993 | 证明： 994 | \[S(n)=1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}\] 995 | \end{example} 996 | 997 | \begin{proof} 998 | \begin{enumerate} 999 | \item 当$n=1$时，$S(1)=1$，又$(-1)^0\frac{1(1+1)}{2}=1$，所以等式成立． 1000 | 1001 | \item 假设$n=k$时，有 1002 | \[S(k)=1-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{k-1}k^2=(-1)^{k-1}\frac{k(k+1)}{2}\] 1003 | 那么，当$n=k+1$时，有 1004 | \[\begin{split} 1005 | S(k+1)=S(k)+(-1)^k(k+1)^2&=(-1)^{k-1}\frac{k(k+1)}{2}+(-1)^k(k+1)^2\\ 1006 | &=(-1)^k(k+1)\left[-\frac{k}{2}+(k+1)\right]\\ 1007 | &=(-1)^k \frac{(k+1)(k+2)}{2}\\ 1008 | &=(-1)^k \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2} 1009 | \end{split}\] 1010 | \end{enumerate} 1011 | 1012 | 由1和2知，等式对于一切自然数$n$都成立． 1013 | \end{proof} 1014 | 1015 | 1016 | \begin{example} 1017 | 证明： 1018 | \[\begin{split} 1019 | S(n)&= \sin \alpha+\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha+2 \beta)+\cdots+\sin (a+(n-1) \beta) \\ 1020 | &= \frac{\sin \frac{n \beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} \sin \left(\alpha+\frac{n-1}{2} \beta\right) 1021 | \end{split}\] 1022 | \end{example} 1023 | 1024 | \begin{proof} 1025 | \begin{enumerate} 1026 | \item 当$n=1$时， 1027 | \[\because\quad \text{左边}=S(1)=\sin\alpha,\qquad \text{右边}=\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}}\sin(\alpha+0\cdot \beta)=\sin\alpha\] 1028 | $\therefore\quad $等式成立． 1029 | 1030 | \item 假设 $n=k$ 时, 1031 | \[\begin{split} 1032 | S(k)&=\sin \alpha+\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha+2 \beta)+\cdots+\sin (\alpha+(k-1) \beta) \\ 1033 | &=\frac{\sin \frac{k \beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} \sin \left(a+\frac{k-1}{2} \beta\right) 1034 | \end{split}\] 1035 | 成立，那么： 1036 | \[\begin{split} 1037 | S(k+1)&= S(k)+\sin(\alpha+k\beta)\\ 1038 | &=\frac{\sin \frac{k \beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} \sin \left(a+\frac{k-1}{2} \beta\right)+\sin(\alpha+k\beta)\\ 1039 | &=\frac{1}{\sin \frac{\beta}{2}}\left[\sin\left(\alpha+\frac{k-1}{2}\beta\right)\sin\frac{k\beta}{2}+\sin(\alpha+k\beta)\sin\frac{\beta}{2}\right]\\ 1040 | &=\frac{1}{2\sin \frac{\beta}{2}}\left[\cos\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)-\cos\left(\alpha+k\beta-\frac{\beta}{2}\right)\right. \\ 1041 | &\qquad \qquad \left. +\cos\left(\alpha+k\beta -\frac{\beta}{2}\right)-\cos\left(\alpha+k\beta+\frac{\beta}{2}\right)\right]\\ 1042 | &=\frac{1}{2\sin \frac{\beta}{2}}\left[\cos\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)-\cos\left(\alpha+k\beta+\frac{\beta}{2}\right)\right] 1043 | \end{split}\] 1044 | \[\begin{split} 1045 | S(k+1)&= \frac{(-2)}{2\sin \frac{\beta}{2}}\sin\left(\frac{2\alpha+k\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{-k\beta-\beta}{2}\right)\\ 1046 | &=\frac{1}{\sin \frac{\beta}{2}}\cdot \sin\left(\alpha+\frac{k}{2}\beta\right)\cdot \sin\frac{(k+1)\beta}{2}\\ 1047 | &=\frac{\sin \frac{(k+1)\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\sin\left[\alpha+\frac{(k+1)-1}{2}\beta\right]\\ 1048 | \end{split}\] 1049 | 即当$n=k+1$时，等式仍成立．由1和2可知，等式 1050 | 对任何自然数$n$都成立． 1051 | \end{enumerate} 1052 | \end{proof} 1053 | 1054 | \begin{example} 1055 | 用数学归纳法证明，如果$n$是一个正整数，那么 1056 | $x^{2n}-y^{2n}$能被$x+y$整除． 1057 | \end{example} 1058 | 1059 | \begin{proof} 1060 | \begin{enumerate} 1061 | \item 当$n=1$时，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$能被 1062 | $x+y$整除． 1063 | \item 假设当$n=k$， （$k$是自然数），$x^{2k}-y^{2k}$能被$x+y$ 1064 | 整除，那么当$n=k+1$时， 1065 | \[\begin{split} 1066 | x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)} 1067 | &=x^2\cdot x^{2k}-y^2\cdot y^{2k}\\ 1068 | &=x^2\cdot x^{2k}-x^2y^{2k}+x^2y^{2k}-y^2\cdot y^{2k}\\ 1069 | &=x^2(x^{2k}-y^{2k})+(x^2-y^2)\cdot y^{2k} 1070 | \end{split}\] 1071 | 1072 | 因为$x^{2k}-y^{2k}$与$x^2-y^2$都能被$x+y$整除，所以$x^2(x^{2k}-y^{2k})+(x^2-y^2)y^{2k}$也能被$x+y$整除，这就是说，$x^{2k+1}-y^{2k+1}$能 1073 | 被$x+y$整除． 1074 | \end{enumerate} 1075 | 1076 | 根据1和2, 命题成立． 1077 | \end{proof} 1078 | 1079 | \begin{example} 1080 | 平面上有$n$条直线，其中任何两条不平行，任何 1081 | 三条不过同一点，证明这$n$条直线把平面分成$f(n)=\frac{1}{2} 1082 | (n^2+n+2)$个部分． 1083 | \end{example} 1084 | 1085 | \begin{proof} 1086 | \begin{enumerate} 1087 | \item 当$n=1$时，直线把平面分成两部分（为了 1088 | 简单起见，也说分成两块），又 1089 | \[ f(1)=\frac{1}{2}(1^2+1+2)=2\] 1090 | 因此，$n=1$时命题成立． 1091 | \item 假设$n=k$时命题成立，就是 1092 | \[f(k)=\frac{1}{2}(k^2+k+2)\] 1093 | 1094 | 我们要设法找出$f(k+1)$与$f(k)$的递归关系，即由 1095 | $f(k)$求得$f(k+1)$的关系．为此，我们在平面上再增加 1096 | 一条直线$\ell$（图5.3），因为已知任何两条直线不平行，所以直 1097 | 线$\ell$与平面上的原$k$条直线都相交，而且这$k$个交点互不相 1098 | 同，否则与任何三条直线不过同一点的已知条件矛盾，这$k$ 1099 | 个交点将直线$\ell$分成$k+1$段，因此直线$\ell$越过原来的$k+1$ 1100 | 块平面部分，直线上的每段将它所在的原平面块分成两块， 1101 | 因此要给原来的平面部分的总数$f(k)$增加$k+1$块新的平面 1102 | 部分，就是 1103 | \[f(k+1)=f(k)+(k+1)\] 1104 | 将$f(k)=\frac{1}{2}(k^2+k+2)$代入上式，得到 1105 | \[\begin{split} 1106 | f(k+1)&=\frac{1}{2}(k^2+k+2)+(k+1)\\ 1107 | &=\frac{1}{2}(k^2+3k+4)\\ 1108 | &=\frac{1}{2}[(k+1)^2+(k+1)+2] 1109 | \end{split}\] 1110 | 这就是说，当$n=k+1$时，命题也成立． 1111 | 1112 | \begin{figure}[htp] 1113 | \centering 1114 | \begin{tikzpicture}[very thick] 1115 | \draw (1.5,-1)--(-.5,2.5); 1116 | \draw (-1.5,-1)--(.5,2.5); 1117 | \draw (-3,-.75)--(2,2); 1118 | \draw (3,-.75)--(-2,2); 1119 | 1120 | \node at (-2.5,-.5) [above] {$A_1$}; 1121 | \node at (-1.2,-.5) [below] {$A_2$}; 1122 | \node at (2.5,-.5) [above] {$A_k$}; 1123 | 1124 | \draw[dashed, thick] (-3,-.5)--(3.5,-.5)node[right]{$\ell $}; 1125 | 1126 | \end{tikzpicture} 1127 | \caption{} 1128 | \end{figure} 1129 | 1130 | 1131 | 根据1和2，可知命题成立． 1132 | \end{enumerate} 1133 | \end{proof} 1134 | 1135 | 同学也许会问：例5.18的结果是怎样发现的？数学归纳法 1136 | 能解决这个问题吗？其实此题的证明已经解决了这个问题， 1137 | 因为我们证明了$f(n)$可以递归地定义为 1138 | \[\begin{cases} 1139 | f(1)=2\\ 1140 | f(k+1)=f(k)+(k+1),\qquad k=1,2,\ldots,(n-1) 1141 | \end{cases}\] 1142 | 首先$f(1)$有定义，其次如果知道了$f(1)$, 就知道$f(2)$, 1143 | 依次推下去，就知道$f(n)$．所以 1144 | \[\begin{split} 1145 | f(n)&=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+\cdots +[f(2)-f(1)]+f(1)\\ 1146 | &=n+(n-1)+\cdots +2+2\\ 1147 | &=[n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1]+1\\ 1148 | &=\frac{n(n+1)}{2}+1=\frac{n^2+n+2}{2} 1149 | \end{split}\] 1150 | 1151 | \section*{习题5.3} 1152 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题5.3} 1153 | \begin{enumerate} 1154 | \item 用数学归纳法证明下列各等式： 1155 | \begin{enumerate} 1156 | \item $\displaystyle\sum^n_{k=1}3^{k-1}=\frac{3^n-1}{2}$ 1157 | \item $\displaystyle\sum^n_{k=1}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ 1158 | \item $\displaystyle\sum^n_{k=1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$ 1159 | \item \[ \begin{split} 1160 | & \cos\alpha+\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+2\beta)+\cdots+\cos[\alpha+(n-1)\beta]\\ 1161 | &\qquad =\frac{\sin\frac{n\beta}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}}\cos\left(\alpha+\frac{n-1}{2}\beta\right) 1162 | \end{split}\] 1163 | \end{enumerate} 1164 | 1165 | \item 用数学归纳法证明： 1166 | \begin{enumerate} 1167 | \item 当$n$是正整数时，$x^n-y^n$能被$x-y$整除． 1168 | \item 当$n$是正奇数时，$x^n+y^n$能被$x+y$整除． 1169 | \item $(3n+1)7^n-1$能被9整除． 1170 | \item 连接的三个自然数的立方和，必定能被9整除． 1171 | \item 当$n$是正整数时，$(11)^{n+2}+(12)^{2n+1}$能被133 1172 | 整除． 1173 | \item 当$n$是正整数时，$3^{2n+2}-8n-9$能被64整除． 1174 | \end{enumerate} 1175 | 1176 | \item 数列$\{a_n\}$是这样确定的： 1177 | \[a1=1,\quad 4a_ka_{k+1}=(a_k+a_{k+1}-1)^2,\quad a_k=latex, scale=1.3] 122 | \draw[very thick, ->] (-0.8,0)--(8,0)node[right]{$\ell$}; 123 | \foreach \x/\xtext in {0/0,1/\frac{1}{q},2/\frac{2}{q},5.5/\frac{p}{q},6.5/\frac{p+1}{q}} 124 | { 125 | \draw (\x, 0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.1); 126 | } 127 | \draw (5.9,0)--(5.9,.1)node[above]{$x$}; 128 | 129 | \end{tikzpicture} 130 | \caption{} 131 | \end{figure} 132 | 133 | 在上面坐标系中，所有以整数为坐标的点，在直线$\ell$上 134 | 成一均匀分布的点集，其相邻两点间的距离都是1单位；同 135 | 样的，所有坐标是$\frac{p}{2}$, $(p=0,\pm1,\pm2,\ldots)$ 136 | 的点，在直线上 137 | 成一均匀分布的点集，其相邻两点间的距离都是$\frac{1}{2}$ 138 | 单位；设$q$为一指定的自然数，则所有坐标是$\frac{p}{q},\; p\in\mathbb{Z}$的点在直线 139 | 上成一均匀分布的点集，其相邻两点间的距离是$\frac{1}{q}$ 140 | 单位．只 141 | 要将$q$取成足够大的自然数，则能使数$\frac{1}{q}$ 142 | 想要多么小就可 143 | 以多么小．这个现象说明在直线上任何一段很短的线段中， 144 | 都有坐标是有理数的点，也就是任何两个有理数点之间都有 145 | 有理数点，这就是\textbf{有理数点集稠密性}，但是这个现象并不表 146 | 示有理点就可以填满整个直线，例如长度为$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$的线 147 | 段，若将它的一个端点放在数轴的原点，则另一端点在直线 148 | 的坐标就不是有理数．现在我们的问题是如何说明实数同原 149 | 来熟悉的有理数，因而最终同整数的关系．让我们再回到图 150 | 6.3的数轴$\ell$上，显然$\ell$上面的每一个点或者是坐标 151 | 为$\frac{p}{q}$的有理点，或者处于两个相邻的有理点 152 | $\frac{p}{q}$和$\frac{p+1}{q}$ 153 | 之间，换言之，给了任何自然数$q$之后，对于每一个实数$x$, 一定有一整 154 | 数$p$, 使得 155 | \[\frac{p}{q}\le x<\frac{p+1}{q}\] 156 | 即 157 | \[\frac{p}{q}\le x<\frac{p}{q}+\frac{1}{q}\] 158 | 从这三个数各减去$\frac{p}{q}$，得到 159 | \[0\le x-\frac{p}{q}<\frac{1}{q}\] 160 | 于是 161 | \[\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q}\] 162 | 这个不等式说明，只要将$q$取成足够大的自然数，每一个实数$x$ 163 | 与有理数$\frac{p}{q}$ 164 | 的误差想要多么小就可以多么小． 165 | 166 | 下面我们来说明每一个无理数如何通过越来越逼近它的 167 | 有理数数列来描述它． 168 | 169 | \subsubsection{二分逼近法} 170 | 171 | 现在让我们用二分逼近法来说明任何无理 172 | 数都可以用有理数数列去逼近它，使得误差小到任意小． 173 | 174 | 设某无理数$x$位于线段$A_0B_0=[a_0,b_0]$内（亦即$a_0=latex] 180 | \draw[->] (-0.5,0)--(10.5,0); 181 | \foreach \x/\xtext in {0/a_0,10/b_1=b_0,7.5/b_2,6.25/b_3} 182 | { 183 | \draw (\x,0)--(\x,.1)node[above]{$\xtext$}; 184 | } 185 | \draw (5,0)--(5,.1); 186 | 187 | \node at (5,-.3)[left]{$A_1=A_2=A_3$}; 188 | \node at (6.25,0)[below]{$B_3$}; 189 | \node at (7.5,0)[below]{$B_2$}; 190 | \node at (0,0)[below]{$A_0$}; 191 | \node at (10,0)[below]{$B_1=B_0$}; 192 | \node at (5,.5)[left]{$a_1=a_2=a_3$}; 193 | \draw[->] (5.7,.7)node[above]{$x$}--(5.7,0); 194 | \end{tikzpicture} 195 | \caption{} 196 | \end{figure} 197 | 198 | 我们将线段$A_0B_0=[a_0,b_0]$等分为两段，亦即$\left[a_0,\frac{a_0+b_0}{2}\right]$和$\left[\frac{a_0+b_0}{2},b_0\right]$；而把$x$所在的那一段叫做$A_1B_1=[a_1,b_1]$, 换句话说，当$a_0=latex] 229 | \draw[->] (-0.5,0)--(10.5,0); 230 | \foreach \x /\xtext in {0/a_0=a_1=1,10/b_0=2,5/{},2.5/a_2,3.75/a_3=a_4, 4.375/{}} 231 | { 232 | \draw(\x,0)--(\x,.1)node[above]{$\xtext$}; 233 | } 234 | 235 | \draw[->] (4.14,-.7)node[below]{$\sqrt{2}$}--(4.14,0); 236 | 237 | \node at (5,-0.3)[right]{$b_1=b_2=b_3$}; 238 | \node at (4.375,-0.3){$b_4$}; 239 | \end{tikzpicture} 240 | \caption{} 241 | \end{figure} 242 | 243 | \begin{enumerate} 244 | \item $\frac{1}{2}\left(a_{0}+b_{0}\right)=\frac{3}{2},\qquad \left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}>2 \quad\Rightarrow\quad\frac{3}{2}>\sqrt{2}$ 245 | 246 | 故 $a_{0}=a_{1}=1,\qquad b_{1}=\frac{3}{2}$ 247 | 248 | \item $\frac{1}{2}\left(a_{1}+b_{1}\right)=\frac{5}{4},\qquad \left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}<2 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{4}<\sqrt{2}$ 249 | 250 | 故$a_{2}=\frac{5}{4}, \qquad b_{2}=b_{1}=\frac{3}{2}$ 251 | 252 | \item $\frac{1}{2}\left(a_{2}+b_{2}\right)=\frac{11}{8},\qquad \left(\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}<2 \quad\Rightarrow\quad \frac{11}{8}<\sqrt{2}$ 253 | 254 | 故 $a_{3}=\frac{11}{8},\qquad b_{3}=b_{2}=\frac{3}{2}$ 255 | 256 | \item $\frac{1}{2}\left(a_{3}+b_{3}\right)=\frac{23}{16},\qquad \left(\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{529}{256}>2 \quad\Rightarrow\quad \frac{23}{16}>\sqrt{2}$ 257 | 258 | 故 $a_{4}=a_{3}=\frac{11}{8},\qquad b_{4}=\frac{23}{16}$ 259 | 260 | \item $\frac{1}{2}\left(a_{4}+b_{4}\right)=\frac{45}{32},\quad \left(\frac{45}{32}\right)^{2}=\frac{2025}{1024}<2 \quad\Rightarrow\quad \frac{45}{32}<\sqrt{2}$ 261 | 262 | 故$a_{5}=\frac{45}{32}, \qquad b_{5}=b_{4}=\frac{23}{16} 263 | $ 264 | 265 | \item $\frac{1}{2}\left(a_{5}+b_{5}\right)=\frac{91}{64},\quad \left(\frac{91}{64}\right)^{2}=\frac{8281}{4096}>2 \quad\Rightarrow\quad \frac{91}{64}>\sqrt{2}$ 266 | 267 | 故$a_{6}=a_{5}=\frac{45}{32}, \qquad b_{6}=\frac{91}{64} 268 | $ 269 | 270 | 271 | \item $\frac{1}{2}\left(a_{6}+b_{6}\right)=\frac{181}{128},\quad \left(\frac{181}{128}\right)^{2}=\frac{32761}{16314}<2 \quad\Rightarrow\quad \frac{181}{128}<\sqrt{2}$ 272 | 273 | 故$a_{7}=\frac{181}{128}, \qquad b_{7}=b_{6}=\frac{91}{64}$，这时，$\frac{181}{128}<\sqrt{2}<\frac{91}{64}$，把$\frac{181}{128}$作为$\sqrt{2}$的不足近似值，其误差小于 274 | $\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}$． 275 | \end{enumerate} 276 | 277 | 照这样逐步计算，每次只要检验$\frac{1}{2}(a_{n-1}+b_{n-1})$的平方 278 | 和2之间的大小次序关系，就能确定 279 | $\frac{1}{2}(a_{n-1}+b_{n-1})$应该是 280 | $a_n$还是$b_n$, 显然的，这样所求得的$a_n,b_n$和$\sqrt{2}$有下列关系： 281 | \[a_n<\sqrt{2}\ell$; 如果$D$点 407 | 落在线段$AB$的延长线上，那么线段$AB$的长度就小于线段 408 | $CD$的长度，记作$k<\ell$; 如果$D$点与$B$点重合则说线段$AB$与 409 | $CD$有相等长度，记作$k=\ell$． 410 | 411 | 我们定义，和$k+\ell$与差$k-\ell\; (k>\ell )$分别是线段的几何和 412 | 与差的长度． 413 | 414 | 例如线段$AB$的长度是$k$单位，$BC$的长度是$\ell$单位，则线 415 | 段$AC$的长度就是$(k+\ell)$单位，如图6.6所示． 416 | \begin{figure}[htp] 417 | \centering 418 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 419 | \draw[|<->|] (0,-.35)--node[fill=white]{$k+\ell$}(7,-.35); 420 | \draw[|<->|] (0,.35)--node[fill=white]{$k$}(5,.35); 421 | \draw[|<->|] (5,.35)--node[fill=white]{$\ell$}(7,.35); 422 | \node at (5,.5)[above]{$B$}; 423 | \draw[very thick](0,0)node[left]{$A$}--(7,0)node[right]{$C$}; 424 | 425 | \end{tikzpicture} 426 | \caption{} 427 | \end{figure} 428 | 429 | 现在我们定义积$ab$, 如图6.7(1), 画了一个任意角， 430 | 在它的一边上，从顶点开始顺次截取长度为1和$b$的线段 431 | $OA$和$AC$, 在另一边上截取长度为$a$的线段$OB$, 此外，作直 432 | 线$CD$平行于直线$AB$, $CD$截得的线段$BD$的长度，定义为积 433 | $ab$. 这个定义是合理的，因为如果我们在另一个角$O'$上类似 434 | 地作图（图2.7(2)），那么得到的线段$B'D'$的长度和线段 435 | $BD$的长度相等． 436 | 437 | \begin{figure}[htp] 438 | \centering 439 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 440 | \begin{scope} 441 | \draw[very thick] (0,0)node[left]{$O$}--(4,0); 442 | \draw[very thick] (0,0)--(4,-2); 443 | \draw[dashed] (1,1)--(1,-2); 444 | \draw[dashed] (3,1)--(3,-2); 445 | \foreach \x/\xtext in {1/B,3/D} 446 | { 447 | \node at (\x,0) [above]{$\xtext$}; 448 | } 449 | \foreach \x/\xtext in {1/A,3/C} 450 | { 451 | \node at (\x,-.5*\x) [below]{$\xtext$}; 452 | } 453 | \node at (2,-2.5){$(1)$}; 454 | \node at (.5,-.25)[below]{1}; 455 | \node at (.5,0)[above]{$a$}; 456 | \node at (2,-1)[below]{$b$}; 457 | \node at (2,0)[above]{$ab$}; 458 | \end{scope} 459 | \begin{scope}[xshift=7cm] 460 | \draw[very thick] (0,0)node[above]{$O'$}--(3.5,0); 461 | \draw[very thick] (0,0)--(-120:3); 462 | \draw[dashed] (1,0)node[above]{$B'$}--(-120:.8)node[left]{$A'$}; 463 | \draw[dashed] (2.5,0)node[above]{$D'$}--(-120:2)node[left]{$C'$}; 464 | \node at (.5,0)[above]{$a$}; 465 | \node at (-120:1.4)[left]{$b$}; 466 | \node at (3.5/2,0)[above]{$ab$}; 467 | \node at (-120:.4)[left]{$1$}; 468 | \node at (1.5,-2.5){$(2)$}; 469 | \end{scope} 470 | 471 | \end{tikzpicture} 472 | \caption{} 473 | \end{figure} 474 | 475 | 除法运算定义为乘法的逆运算．如图6.8, 在角的一边 476 | 上从顶点开始，顺次截取长度为$b$和$a$的线段，而在另一边上 477 | 截取单位线段，作$CD$平行于$AB$, 于是$AC$的长度定义为$\frac{a}{b}$ 478 | 这个定义也是合理的，并且$b\left(\frac{a}{b}\right)=a$． 479 | 480 | 最后，我们来规定负长度和零长度．在数轴上，原点$O$ 481 | 右边的点和这点与点$O$的连接线段的长度成一一对应，我们 482 | 把这种长度称为正的长度．我们把直线上关于原点$O$和点$A$ 483 | （即对应长度为$a$的点）对称的点$A'$的相应线段的长度，形 484 | 式地规定为负的长度$-a$, 规定点$O$对应于长度零．结果在 485 | 整个直线上的点和实数之间建立了一一对应． 486 | 487 | 现在从几何上容易验证实数在四则运算和大小次序这两 488 | 种结构上满足下面的基本性质，例如，用图6.9可以验证分 489 | 配律$a(b+c)=ab+ac$． 490 | 491 | \begin{figure}[htp]\centering 492 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 493 | \centering 494 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2] 495 | \draw[very thick] (0,0)node[left]{$O$}--(4,0); 496 | \draw[very thick] (0,0)--(4,-2); 497 | \draw[dashed] (1,1)--(1,-2); 498 | \draw[dashed] (3,1)--(3,-2); 499 | \foreach \x/\xtext in {1/B,3/D} 500 | { 501 | \node at (\x,0) [above]{$\xtext$}; 502 | } 503 | \foreach \x/\xtext in {1/A,3/C} 504 | { 505 | \node at (\x,-.5*\x) [below]{$\xtext$}; 506 | } 507 | 508 | \node at (.5,-.25)[below]{1}; 509 | \node at (.5,0)[above]{$b$}; 510 | \node at (2,-1)[below]{$\frac{a}{b}$}; 511 | \node at (2,0)[above]{$a$}; 512 | \end{tikzpicture} 513 | \caption{} 514 | \end{minipage} 515 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 516 | \centering 517 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2] 518 | \draw[very thick] (0,0)node[left]{$O$}--(4,0); 519 | \draw[very thick] (0,0)--(4,-2); 520 | \draw (1,0)--(1,-.5); 521 | \draw (2,0)--(2,-1); 522 | \draw (3,0)--(3,-1.5); 523 | \node at (.5,-.25)[below]{1}; 524 | \node at (.5,0)[above]{$c$}; 525 | \node at (1.5,0)[below]{$ac$}; 526 | \node at (2.5,0)[below]{$bc$}; 527 | \node at (1.5,-0.75)[right]{$a$}; 528 | \node at (2.5,-1.25)[right]{$b$}; 529 | \draw[|<->|] (1,.25)--node[above]{$(a+b)c$}(3,.25); 530 | \draw[|<->|] (1-.1,-.5-.2)--node[left]{$a+b$}(3-.1,-1.5-.2); 531 | \end{tikzpicture} 532 | \caption{} 533 | \end{minipage} 534 | \end{figure} 535 | 536 | \subsubsection{加法和乘法的运算性质} 537 | 538 | \begin{enumerate} 539 | \item 交换律：$a+b=b+a;\qquad ab=ba$ 540 | \item 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c);\qquad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 541 | \item 分配律：$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 542 | \item 可逆性：$a+x=b;\qquad a\cdot x=b\; (a\ne 0)$都是唯一可解的，第一式的解是$b-a$; 第二式的解是$b/a$． 543 | \end{enumerate} 544 | 545 | \subsubsection{顺序性} 546 | \begin{enumerate} 547 | \item 对于任意实数$a,b$, 下列关系中有一种且仅有一 548 | 种成立： 549 | \[a>b,\qquad a=b\quad \text{或}\quad a0,\qquad b>0\\ 555 | a>0,\qquad b<0\\ 556 | a<0,\qquad b<0 557 | \end{cases}\Rightarrow\quad \begin{cases} 558 | a\cdot b>0\\a\cdot b<0\\a\cdot b>0\\ 559 | \end{cases}\] 560 | \item 对于任意两个正实数，$a,b>0$, 恒存有一够大 561 | 的正整数$n$, 使得$na0$, 那么就称$a$大于$b$, 记作 654 | $a>b$; 如果$a-b<0$, 那么就称$a$小于$b$, 记作$aa$, 因此$aa$是等价的． 657 | 658 | 应用两个正实数之和或积仍然是正数这个基本事实，即 659 | 如果$a>0$和$b>0$则有$a+b>0$和$ab>0$, 而且依据不等式$a>b$ 660 | 等价于$a-b>0$, 我们容易推导出下面的性质． 661 | 662 | \begin{blk}{性质1} 663 | 若$a>b$和$c>d$, 则$a+c>b+d$．换言之，同向 664 | 的两个不等式可以相加． 665 | \end{blk} 666 | 667 | \begin{blk}{性质2} 668 | 若$a>b$且$c>0$, 则$ac>bc$． 669 | \end{blk} 670 | 671 | \begin{blk}{性质3} 672 | 若$a>b$且$c<0$, 则$acb>0$和$c>d>0$则$ac>bd$． 680 | 也就是两个同向的正数不等式可以相乘． 681 | 682 | 683 | \begin{blk}{性质4} 684 | \begin{itemize} 685 | \item 若$a>b>0$, 则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$； 686 | \item 若$a>0>b$, 则$\frac{1}{a}>0>\frac{1}{b}$； 687 | \item 若$a\frac{1}{b}$． 688 | \end{itemize} 689 | \end{blk} 690 | 691 | \begin{blk}{性质5} 692 | 若$a>b$而$b>c$, 则$a>c$． 693 | \end{blk} 694 | 695 | 这就是说不等式具有传递性，在几何上这是显然的，也可由 696 | $(a-b)+(b-c)=a-c$为正直接推出，在上述推演中，如果 697 | 我们处处都用符号$\ge $代替$>$，则各项法则仍然成立． 698 | 699 | \begin{blk}{性质6} 700 | 若$a>b>0$, 则$a^2>b^2$． 701 | \end{blk} 702 | 703 | 我们注意到$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, 因为$a+b$是正数， 704 | 由$a>b$可以推出，$a^2>b^2$. 这样正数之间不等式可以进行平 705 | 方运算． 706 | 707 | \begin{blk}{性质7} 708 | 若$a>b>0$, 则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$， 709 | 即在正实数之间的不等式两端能取平方根． 710 | \end{blk} 711 | 712 | 事实上，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 713 | ，因为$\sqrt{a}+\sqrt{b}$是 714 | 正数，从而由$a>b$就可推出$\sqrt{a}-\sqrt{b}>0$, 即$\sqrt{a}>\sqrt{b}$． 715 | 716 | 更一般地，若$a>b>0$ 且$n$是自然数，那么 717 | $a^n>b^n$． 718 | 719 | 这个结论可以用数学归纳法来证明．这个证明留给同学作为 720 | 练习． 721 | 722 | 反过来，若$a>b>0$, 且$n$是一个正整数，则$a^{\tfrac{1}{n}}>b^{\tfrac{1}{n}}$． 723 | 724 | \begin{proof} 725 | 假设$a^{\tfrac{1}{n}}=b^{\tfrac{1}{n}}$, 那么$\left(a^{\tfrac{1}{n}}\right)^n>\left(b^{\tfrac{1}{n}}\right)^n$，因而，$a=b$, 这就与已知$a>b$矛盾． 726 | 727 | 假设$a^{\tfrac{1}{n}}b>0$矛盾，故我们得出结论$a^{\tfrac{1}{n}}>b^{\tfrac{1}{n}}$． 729 | \end{proof} 730 | 731 | 732 | \subsection{绝对值不等式} 733 | 我们回想到$|x|$的定义是这样的： 734 | 735 | \begin{blk}{定义} 736 | $x$是一个实数，当$x$是一个非负数时，$x$的绝对 737 | 值$|x|$是它本身；当$x$是一个负数时，$x$的绝对值$|x|$是$x$ 738 | 的相反数． 739 | \begin{equation} 740 | |x|=\begin{cases} 741 | x,&x\ge 0\\ 742 | -x,&x<0 743 | \end{cases} 744 | \end{equation} 745 | \end{blk} 746 | 747 | 我们也可以说，当$x$不为零时，$|x|$是$x$和$-x$两数之中 748 | 的较大者；当$x$为零时，$|x|$则等于二者之中任何一个．即 749 | \begin{equation} 750 | \begin{split} 751 | |x|&=\max\{x,-x\},\qquad (x\ne 0)\\ 752 | |x|&=x=-x,\qquad (x=0) 753 | \end{split} 754 | \end{equation} 755 | 756 | \begin{example} 757 | \[|5|=\max\{5,-5\}=5,\qquad |-5|=\max\{5,-5\}=5,\qquad |0|=0\] 758 | \end{example} 759 | 760 | \subsubsection{$|x|$的几何意义} 761 | 在$Oxy$平面内，$P(x,0)$和原点$O(0,0)$之间的距离是 762 | \[d=\sqrt{(x-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{x^2}=|x|\] 763 | 因此我们可以说$|x|$是$P(x,0)$点离开原点有$x$单位的 764 | \textbf{距离}． 765 | 766 | 图6.10说明$|x_2|=|P_2O|$, $|x_1|=|OP_1|$, 其中$x_2<0$, 767 | $x_1>0$． 768 | \begin{figure}[htp] 769 | \centering 770 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 771 | \draw(-.5,0)--(8,0)node[right]{$x$}; 772 | \foreach \x/\xtext in {0/x_2,4/0,7/x_1} 773 | { 774 | \draw (\x,0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.2); 775 | } 776 | \draw[|<->|](0,.35)node[above]{$P_2$}--node[fill=white]{$|x_2|$}(4,.35); 777 | \draw[|<->|](7,.35)node[above]{$P_1$}--node[fill=white]{$|x_1|$}(4,.35); 778 | 779 | \end{tikzpicture} 780 | \caption{} 781 | \end{figure} 782 | 783 | 如果我们要在$x$轴上描述距离原点不超过2个单位的点 784 | 集，我们把这个条件可以直接写成 785 | \begin{equation} 786 | |x|\le 2 787 | \end{equation} 788 | 这个不等式的解集是位于以原点$O$为中心，长度等于4的线 789 | 段上的一切点．下图说明这些点的位置． 790 | \begin{figure}[htp] 791 | \centering 792 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 793 | \draw[->](-4,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 794 | \foreach \x in {-2,0,2} 795 | { 796 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 797 | } 798 | \draw[thick] (-2,0)--(-2,.5)--(4,.5); 799 | \draw[thick] (2,0)--(2,.8)--(-4,.8); 800 | \foreach \x in {-1,1} 801 | { 802 | \draw(\x,0)--(\x,.1); 803 | } 804 | \end{tikzpicture} 805 | \caption{} 806 | \end{figure} 807 | 808 | 从上面看出这些点的坐标满足不等式 809 | \begin{equation} 810 | -2\le x\le 2 811 | \end{equation} 812 | 这就是说(6.3)和(6.4)是等价的不等式． 813 | 今后我们将经常遇到的不等式具有下面的形式 814 | \begin{equation} 815 | |x-a|<3 816 | \end{equation} 817 | 818 | $|x-a|=\sqrt{(x-a)^2}$的几何意义是$x$轴上的$P(x,0)$点 819 | 离开$A(a,0)$点的距离．因此已给的不等式是描述在$x$轴上 820 | 距离$A(a,0)$点小于3个单位的点集，根据上面的例题的结 821 | 论，(6.5)等价于$-3=latex, xscale=1.3] 845 | \draw[->](-2,0)--(5,0)node[right]{$x$}; 846 | \foreach \x in {-2,0,2,...,8} 847 | { 848 | \draw(\x/2,0)node[below]{$\x$}--(\x/2,.1); 849 | } 850 | \foreach \x in {-1,1,...,7} 851 | { 852 | \draw(\x/2,0)--(\x/2,.1); 853 | } 854 | \draw[thick] (-1,0)--(-1,.8)--(5,.8); 855 | \draw[thick] (4,0)--(4,.5)--(-2,.5); 856 | \end{tikzpicture} 857 | 858 | \caption{} 859 | \end{figure} 860 | 861 | 同样地，我们也可以解释$x>3$的几何意义，不等式 862 | $|x|>3$是描述在$x$轴上距离原点大于3个单位的点集，图6.13 863 | 说明了这些点的位置，图中的圆圈表示去掉$\pm 3$, 因此这些 864 | 点的坐标小于$-3$或大于3, 即 865 | \[x<-3,\quad \text{或}\quad x>3\] 866 | 867 | \begin{figure}[htp] 868 | \centering 869 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 870 | \draw[->](-4,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 871 | \foreach \x in {-3,0,1,3} 872 | { 873 | \draw(\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 874 | } 875 | \foreach \x in {-2,-1,...,2} 876 | { 877 | \draw(\x,0)--(\x,.1); 878 | } 879 | \draw[thick] (-3,0)--(-3,.5)--(-4,.5); 880 | \draw[thick] (3,0)--(3,.5)--(4,.5); 881 | \foreach \x in {-3,3} 882 | { 883 | \draw (\x,0) [fill=white]circle(1.5pt); 884 | } 885 | \end{tikzpicture} 886 | 887 | \caption{} 888 | \end{figure} 889 | 890 | 这就是说，不等式$|x|>a\; (a>0)$等价于不等式$x<-a$或 891 | $x>a\; (a>0)$． 892 | \end{solution} 893 | 894 | 895 | \begin{example} 896 | 求满足不等式$(x+2)^2-16>0$的点集． 897 | \end{example} 898 | 899 | \begin{solution} 900 | 移项 901 | \[(x+2)^2>16\] 902 | 两边开平方，等价于 903 | \[|x+2|>4\] 904 | 即 905 | \[\begin{split} 906 | x+2<-4\qquad &\text{或}\qquad x+2>4\\ x<-6\qquad &\text{或}\qquad x>2 907 | \end{split}\] 908 | 因此，满足不等式的解集是$\{x|x<-6\}\cup\{x|x>2\}$． 909 | 910 | 利用二次函数$y=(x+2)^2-16$的草图，如图6.14, 就 911 | 更直接地得到$x<-6$或$x>2$． 912 | \begin{figure}[htp] 913 | \centering 914 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.5] 915 | \draw[->](-7,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 916 | \draw[->](0,-17)--(0,1)node[right]{$y$}; 917 | \draw[domain=-6.1:2.1, samples=100, thick] plot(\x,{(\x+2)*(\x+2)-16 }); 918 | \foreach \y in {-1,-2,...,-16} 919 | { 920 | \draw (0,\y)--(-.2,\y); 921 | } 922 | \foreach \x in {-6,-5,...,2} 923 | { 924 | \draw (\x,0)--(\x,.2); 925 | } 926 | \node at (2.5,0)[below]{$2$}; 927 | \node at (-6.5,0)[below]{$-6$}; 928 | \node at (.5,-.5){$O$}; 929 | \node at (0,-16)[right]{$-16$}; 930 | \end{tikzpicture} 931 | 932 | \caption{} 933 | \end{figure} 934 | \end{solution} 935 | 936 | \subsubsection{和、积、商的绝对值} 937 | 若$a$和$b$是实数，则$a\le |a|$和$b\le |b|$, 相加得到 938 | \[a+b\le |a|+|b|\] 939 | 同样 940 | \[-a\le |a|\qquad \text{和}\qquad -b\le |b|\] 941 | 于是 942 | \[-a-b\le |a|+|b|\] 943 | 因为$a+b$和$-(a+b)$都不大于$|a|+|b|$, 所以这两个数中最 944 | 大者也不大于$|a|+|b|$, 于是 945 | \[|a+b|=\max\{a+b,-(a+b)\}\le |a|+|b|\] 946 | 这个结果 947 | \begin{equation} 948 | |a+b|\le |a|+|b| 949 | \end{equation} 950 | 常叫做\textbf{三角不等式}，因为它类似于三角形中任何一边小于其 951 | 它两边之和这个定理． 952 | 953 | 有时，我们需要$|a+b|$的下限估值，注意到 954 | \[|a|=|(a+b)-b\le |a+b| +|-b| =|a+b| +|b|\] 955 | 因此下面不等式成立 956 | \begin{equation} 957 | |a+b|\ge |a|-|b| 958 | \end{equation} 959 | 960 | 若$a,b$是任何实数，则 961 | \[|ab|=\sqrt{(ab)^2}=\sqrt{a^2b^2}=\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{b^2}=|a|\cdot |b|\] 962 | 即 963 | \begin{equation} 964 | |ab|=|a|\cdot |b| 965 | \end{equation} 966 | \[\left|\frac{a}{b}\right|=\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{|a|}{|b|}\] 967 | 即 968 | \begin{equation} 969 | \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} 970 | \end{equation} 971 | 972 | \section*{习题6.2} 973 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题6.2} 974 | 975 | \begin{enumerate} 976 | \item 解不等式组： 977 | \[\begin{cases} 978 | \frac{x}{2}-\frac{x}{3}>-1\\ 979 | 2(x-3)-3(x-2)<0 980 | \end{cases}\] 981 | 982 | \item 解不等式： 983 | \begin{multicols}{2} 984 | \begin{enumerate} 985 | \item $|2x-1|<2|1-2x|-3$ 986 | \item $\left|\frac{3x}{x+1}-3\right|<0.01$ 987 | \item $|x+1|+|x-5|>3$ 988 | \item $\frac{3x-1}{x-5}<2$ 989 | \end{enumerate} 990 | \end{multicols} 991 | 992 | \item 图示满足下面不等式组的点$(x,y)$的区域$R$. 993 | \[\begin{cases} 994 | |x-1|+|y-5|<1\\ 995 | y>5+|x-1| 996 | \end{cases}\] 997 | \item 试证明若$ax^2+bx+c>0$对于任何$x$都成立的充要条 998 | 件是$a>0$且$b^2-4ac<0$． 999 | \item 等差数列与等比数列的首项相等且第$2n+1$项也相 1000 | 等，问第$n+1$项如何？ 1001 | \item 若$x+2y=1$, 求$xy$的最大值． 1002 | \item 平移$y=-\frac{1}{3}x^2$使其顶点在抛物线$y=x^2$上，试求 1003 | 这样得到任何一条抛物线都不能经过的范围，并画图表示． 1004 | \item 求证 1005 | \begin{enumerate} 1006 | \item $|a+b+c|\le |a|+|b|+|c|$ 1007 | \item $|a-b-c|\ge |a|-|b|-|c|$ 1008 | \item $\Big| |a|-|b| \Big|\le |a+b|$ 1009 | \end{enumerate} 1010 | 1011 | \item \begin{enumerate} 1012 | \item 若$|h|<\frac{\varepsilon}{4}$, $|k|<\frac{\varepsilon}{6}$，求证$|2h-3k|<\varepsilon$． 1013 | \item 若$|a_n-r|<\varepsilon$，$|a_n-a_n'|<\varepsilon$，求证$|a_n'-r|<\varepsilon$． 1014 | \item 若$|b_n|<\varepsilon$，$|a_n-b_n|<\varepsilon$，求证$|a_n|<2\varepsilon$． 1015 | \end{enumerate} 1016 | 1017 | \item 试用$a$表出从点$(0,a)$到曲线$y=\left|\frac{x^2}{2}-1\right|$上 1018 | 的点$(x,y)$的距离的最小值$(a>1)$． 1019 | 1020 | \item 解不等式$\sqrt{2x^2-3x-2}>x-1$． 1021 | \end{enumerate} 1022 | 1023 | \subsection{几个重要的不等式} 1024 | 下面我们来推导几个常用的著名不等式． 1025 | 1026 | 1027 | \begin{example} 1028 | 贝努里不等式．若$n\in\mathbb{N}$且$n\ge 2$, $a>-1$且$a\ne 0$ 1029 | （即$a>0$或$-11+na\] 1031 | \end{example} 1032 | 1033 | 1034 | \begin{proof} 1035 | \begin{enumerate} 1036 | \item 对于$n=2$, 因为$(1+a)^2=1+2a+a^2$, 又$a^2>0$, 故不等式成立． 1037 | \item 假设不等式对于$n=k$成立，即 1038 | \[(1+a)^k>1+ka\] 1039 | 我们来证明不等式对于$n=k+1$也成立，就是说 1040 | \[(1+a)^{k+1}>1+(k+1)a\] 1041 | 1042 | 事实上，由假设$1+a>0$, 故不等式 1043 | \[(1+a)^k(1+a)>(1+ka)(1+a)\] 1044 | 成立，即 1045 | \[(1+a)^{k+1}>1+(k+1)a+ka^2\] 1046 | 将上面不等式右边舍去正项$ka^2$, 就知道 1047 | \[(1+a)^{k+1}>1+(k+1)a\] 1048 | 成立，因此命题对于$n\ge 2$的自然数成立． 1049 | \end{enumerate} 1050 | \end{proof} 1051 | 1052 | \begin{example} 1053 | 无论多少个正数的几何平均数不大于其算术平均 1054 | 数，即 1055 | \[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\] 1056 | \end{example} 1057 | 1058 | \begin{proof} 1059 | 令$A=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$，则题意是说， 1060 | \begin{equation} 1061 | A^n\ge a_1a_2\cdots a_n 1062 | \end{equation} 1063 | 当$a_1=a_2=\cdots= a_n$时，则(6.11)显然成立．如果$a_1,a_2,\ldots,a_n$ 1064 | 这$n$个数有不相等的，由于 1065 | \[nA=a_1+a_2+\cdots+a_n\] 1066 | 即： 1067 | \[(a_1-A)+(a_2-A)+\cdots+(a_n-A)=0\] 1068 | 则必有一大于 1069 | $A$, 也必有一小于$A$, 不妨设$a_1>A>a_2$, 于是，$A-a_1<0$, 1070 | $A-a>0$, 把$a_1,a_2,\ldots,a_n$改换成 1071 | \begin{equation} 1072 | a_1'=A,\; a_2'=a_2+a_1-A,\; a_3'=a_3,\; \ldots, a_n'=a_n 1073 | \end{equation} 1074 | 由此可见我们新得之$n$个数，其和不变，即 1075 | \[\begin{split} 1076 | a'_1+a'_2+\cdots +a'_n&=A+(a_2+a_1-A)+a_3+\cdots +a_n\\ 1077 | &= a_1+a_2+\cdots +a_n\\ 1078 | &=nA 1079 | \end{split}\] 1080 | 但其积增大，因为 1081 | \[\begin{split} 1082 | A(a_2+a_1-A)-a_1a_2&=Aa_2+Aa_1-A^2-a_1a_2\\ 1083 | &=A(a_2-A)+a_1(A-a_2)\\ 1084 | &=(A-a_2)(a_1-A)>0 1085 | \end{split}\] 1086 | 从而 1087 | \[A(a_2+a_1-A)a_3\cdots a_n>a_1a_2\cdots a_n\] 1088 | 若(6.12)中还有不等于$A$的，比如，$a_s>A>a_m$, 我们用同法 1089 | 即用$A$取代其中较大的一个$a_c$, 用$a_m+a_s-A$代换$a_m$, 又可另 1090 | 得$n$个正数，其和同前，而其积更大．由此以往，不过$n-1$ 1091 | 次，便可得$n$个相等之正数$\underbrace{A,A,\cdots A}_{\text{$n$个}}$, 此时积最大，故有 1092 | \[A^n\ge a_1a_2\cdots a_n\] 1093 | 且当$a_1=a_2=\cdots =a_n$时，等式成立． 1094 | \end{proof} 1095 | 1096 | \begin{example} 1097 | 柯西不等式，若$a_i,b_i,\; i=1,2,\cdots ,n$是实数，则 1098 | \[(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)\le (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\] 1099 | 当且仅当 1100 | $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$ 1101 | 时，等式成立． 1102 | \end{example} 1103 | 1104 | \begin{proof} 1105 | 对于任何实数$t$, 不等式 1106 | \begin{equation} 1107 | (a_1+tb_1)^2+(a_2+tb_2)^2+\cdots +(a_n+tb_n)^2\ge 0 1108 | \end{equation} 1109 | 成立，将(6.13)的左端改写成按$t$的降幂排列，得 1110 | \begin{equation} 1111 | ( b^2_1+b^2_2+\cdots +b^2_n)t^2+2(a_1b_1+\cdots +a_nb_n)t+(a^2_1+a_2^2+ 1112 | +\cdots +a_n^2)\ge 0 1113 | \end{equation} 1114 | 设$A=a^2_1+\cdots +a_n^2$, $B=a_1b_1+\cdots +a_nb_n$, 1115 | $C=b^2_1+\cdots +b^2_n$, 1116 | 于是(6.14)写成 1117 | $Ct^2+2Bt+A>0$, 其中$C\ge 0$． 1118 | \begin{itemize} 1119 | \item 若$C=0$, 于是$b_1=b_2=\cdots =b_n=0$, 显然，柯西不等式 1120 | 成立． 1121 | \item 若$C>0$, 因而$$C\left(t+\frac{B}{C}\right)^2+\left(A-\frac{B^2}{C}\right)\ge 0$$ 1122 | 对于任意实数$t$成立．故令$t=-\frac{B}{C}$代入，得到 1123 | \[A-\frac{B^2}{C}\ge 0,\qquad \text{即}\qquad \frac{AC-B^2}{C}\ge 0\] 1124 | $\because\quad C>0,\qquad \therefore\quad B^2\le AC$, 即 1125 | \[(a_1b_1+\cdots +a_nb_n)^2\le (a^2_1+\cdots +a^2_n)(b^2_1+\cdots +b^2_n)\] 1126 | 再由(6.13)推知当且仅当$t=\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$时，等式成立． 1127 | \end{itemize} 1128 | \end{proof} 1129 | 1130 | \begin{example} 1131 | 设$a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$是实数，则 1132 | \[\sqrt{\sum^n_{i=1}(a_i+b_i)^2}\le \sqrt{\sum^n_{i=1}a^2_i}+\sqrt{\sum^n_{i=1}b^2_i}\] 1133 | \end{example} 1134 | 1135 | \begin{proof} 1136 | \[ \sum^n_{i=1}(a_i+b_i)^2=\sum^n_{i=1}a_i^2+2\sum^n_{i=1}a_ib_i+\sum^n_{i=1}b_i^2\] 1137 | 由例6.6柯西不等式知 1138 | \[\sum^n_{i=1}a_ib_i\le\left|\sum^n_{i=1}a_ib_i\right|\le \sqrt{\sum^n_{i=1}a_i^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}b_i^2}\] 1139 | 因此： 1140 | \[\begin{split} 1141 | \sum^n_{i=1}(a_i+b_i)^2&\le \sum^n_{i=1}a_i^2+2\sqrt{\sum^n_{i=1}a_i^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}b_i^2}+\sum^n_{i=1}b_i^2\\ 1142 | &=\left(\sqrt{\sum^n_{i=1}a^2_i}+\sqrt{\sum^n_{i=1}b^2_i}\right)^2 1143 | \end{split}\] 1144 | 两边开平方，取算术根即得所证． 1145 | \end{proof} 1146 | 1147 | \section*{习题6.3} 1148 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题6.3} 1149 | 1150 | \begin{enumerate} 1151 | \item 若$a,b,c,d$是不相等正数，求证： 1152 | \begin{enumerate} 1153 | \item $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}>4$ 1154 | \item $\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}>\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 1155 | \end{enumerate} 1156 | \item 若$a_1,a_2$表示正数，$p,q$表示正整数，求证： 1157 | \begin{enumerate} 1158 | \item $a_1^{p+q}+a_2^{p+q}\ge a_1^pa_2^q+a_1^qa_2^q$ 1159 | \item $\frac{a_1^{p+q}+a_2^{p+q}}{2}\ge \left(\frac{a_1^p+a_2^p}{2}\right)\left(\frac{a_1^q+a_2^q}{2}\right)$ 1160 | \end{enumerate} 1161 | 1162 | \item 用数学归纳法证明： 1163 | 若$a_1>0$, $a_2>0$, $n$是正整数，则 1164 | \[\frac{a_1^n+a_2^n}{2}\ge \left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)^n\] 1165 | \item 求证，当$n$是1或不小于5的自然数时，总有 1166 | $2^n>n^2$． 1167 | \item 设$02$, 给定数列$\{x_n\}$, 其中$x_1=a$, $x_{n+1}=\frac{x^2_n}{2(x_n-1)},\quad (n=1,2,3,\ldots)$， 1175 | 求证： 1176 | \begin{enumerate} 1177 | \item $x_n>2$, 且$\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$ 1178 | \item 如果$a<3$, 那么$x_n\le 2+\frac{1}{2^{n-1}}$ 1179 | \end{enumerate} 1180 | 1181 | \item 若长方形的体积是定值，求全面积的最小值． 1182 | \item 求证球内接长方体中，以正方体的体积为最大． 1183 | \item 求证在周长都为$2L$的所有三角形中，面积最大的必 1184 | 是等边三角形． 1185 | \item 若$a,b,c$是正数且$abc=8$． 1186 | 1187 | 求证：$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge 3\sqrt{2}(abc)^{\tfrac{1}{3}}=6\sqrt{2}$ 1188 | 1189 | \item 若$a>0$, $b>0$, 且$a+b=1$, 1190 | 求证：\[\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\ge \frac{25}{4}\] 1191 | 1192 | \item 若$a+b+c=1$, 且$a>0$, $b>0$, $c>0$, 求证： 1193 | \begin{enumerate} 1194 | \item $\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\ge 8$ 1195 | \item $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 9$ 1196 | \end{enumerate} 1197 | 1198 | \item 若$x,y$是实数，且$x^2+y^2\le 1$, 1199 | 求证：$|x^2+2xy-y^2|\le \sqrt{2}$ 1200 | 1201 | \item 对于任何实数，求证： 1202 | \[\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}\ge \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\] 1203 | 当且仅当诸数相等时，等式成立． 1204 | \item $a+b=1$, $a>0$, $b>0$, 求证$\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}\le 2sqrt{2}$． 1205 | \item 求证 1206 | $\frac{|x_1+x_2|}{|4+x_1^2| |4+x_2^2|}<\frac{1}{8}$ 1207 | \item 对于$n\ge 2$的自然数$n$, 证明不等式 1208 | $$2^n>1+n\sqrt{2^{n-1}}$$ 1209 | \item 对于任何正整数$k\le n$, 求证： 1210 | \[1+\frac{k}{n}\le \left(1+\frac{1}{n}\right)^k\le 1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2}\] 1211 | \item 已知$a,b,c,d,e$是实数，满足 1212 | \[a+b+c+d+e=8,\qquad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16\] 1213 | 试确定$e$的最大值． 1214 | \item 半径为1的圆内接三角形面积等于$\frac{1}{4}$, 1215 | 设此三角形三边长为$a,b,c$, 求证： 1216 | \begin{enumerate} 1217 | \item $abc=13$ 1218 | \item $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 1219 | \end{enumerate} 1220 | 1221 | \item 直角三角形斜边长等于10, 内切圆半径为$a$．求何 1222 | 时内切圆的半径最大，最大值是多少？ 1223 | \item 若$n>2$, 求证$(n!)^2>n^n$． 1224 | \item 有$n$个实数$a_1,a_2,\ldots,a_n$且 1225 | $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$ 1226 | \begin{enumerate} 1227 | \item 求证：$\sqrt{|a_1|}+\sqrt{|a_2|}+\cdots+\sqrt{|a_n|}\ge \sqrt{n}$ 1228 | \item 又$a^2_1+a_2^2+\cdots+a^2_n=n$, 1229 | 求$a_1,a_2,\ldots,a_n$的值． 1230 | \end{enumerate} 1231 | 1232 | \item 若 $a,b,c$是正实数， 1233 | 求证：$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\ge \frac{3}{2}$ 1234 | \end{enumerate} 1235 | 1236 | 1237 | -------------------------------------------------------------------------------- /10.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{指数函数与对数函数} 2 | \section{有理指数函数} 3 | 在本教材第三册中，已经把指数幂的定义范围从正整指 4 | 数逐步推广到“负整数”，“正、负分数”，在逐步推广过程 5 | 中，我们始终遵守的指导原则是保有指数法则： 6 | \[a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}\] 7 | 指数在有理数系$\mathbb{Q}$内，我们有下面的指数幂的定义： 8 | \[\begin{split} 9 | a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{\text{$n$个$a$}},&\qquad (n\in\mathbb{N})\\ 10 | a^0=1,&\qquad (a\ne 0)\\ 11 | a^{-n}=\frac{1}{a^n},&\qquad (a\ne 0)\\ 12 | a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m,&\qquad (a\ge 0,\; m,n\in\mathbb{N})\\ 13 | a^{-\tfrac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\tfrac{m}{n}}},&\qquad (a> 0)\\ 14 | \end{split}\] 15 | 采用上面定义后，我们在第三册中也证明了正实数$a$和$b$的有 16 | 理指数幂依然满足指数运算法则： 17 | \[a{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta},\qquad (a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta},\qquad (a\cdot b)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot b^{\alpha}\] 18 | 这里$\alpha,\beta \in \mathbb{Q}$． 19 | 20 | 这样一来，函数$a^x\; (a>0)$对于任意有理数$x$都有定义 21 | 了．我们称它为有理指数函数，这个函数具有上面所说的三 22 | 个性质．下面将进一步研讨这个函数的其它重要性质： 23 | 24 | \begin{blk}{性质1} 25 | \begin{enumerate} 26 | \item 若$a>1$, 当有理数$x>0$时，则$a^x>1$, 当有理 27 | 数$x<0$时，则$a^x<1$． 28 | \item 若当$00$时，则$a^x<1$, 当有理数$x<0$ 29 | 时，则$a^x>1$． 30 | \end{enumerate} 31 | \end{blk} 32 | 33 | \begin{proof} 34 | \begin{enumerate} 35 | \item 若$a>1$, 36 | \begin{enumerate} 37 | \item 设$x=\frac{m}{n}>0,\; (m,n\in\mathbb{N})$, 则$a^x= 38 | a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, 因为$a>1$, 所以$a^m>1$ （幂函数$f(x)=x^m$在 39 | $[0,+\infty)$上是严格递增的），又$\sqrt[n]{a^m}>1$ （幂函数$f(x)=x^{\tfrac{1}{n}}$ 40 | 在$[0,+\infty)$上是严格递增的），即$a^x>1$. 41 | \item 设$x<0$, 42 | $x=-x_1,\; (x_1>0)$，则$01$）． 43 | \end{enumerate} 44 | 45 | \item 若$01$, 则当$x>0$, $a^x=\left(\frac{1}{a_1}\right)^x=\frac{1}{a^x_1}<1$, ($\because\; a_1^{x}>1$)． 48 | \item 设$x<0$, $x=-x_1,\; (x_1>0)$则 49 | $a^x=a^{-x_1}=\frac{1}{a^{x_1}}>1$, ($\because\; a^{x_1}<1$)． 50 | \end{enumerate} 51 | \end{enumerate} 52 | \end{proof} 53 | 54 | 性质1的几何意义表明：当$a>1$时，有理指数函数$y= 55 | a^x$的图象上的点在有单斜线的区域I和II的部分；当$0=latex, scale=.7] 62 | \draw[->] (-3,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 63 | \draw[->] (0,-1)--(0,5)node[right]{$y$}; 64 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 65 | \draw[very thick](-3,1)--(3.5,1)node[right]{$y=1$}; 66 | \fill[pattern = north east lines] (-3,1) rectangle (0,0); 67 | \fill[pattern = north east lines] (3,4.5) rectangle (0,0); 68 | \fill[pattern = crosshatch] (-3,4.5) rectangle (0,1); 69 | \fill[pattern = crosshatch] (3,1) rectangle (0,0); 70 | 71 | \end{tikzpicture} 72 | \caption{} 73 | \end{figure} 74 | 75 | \begin{blk}{性质2} 76 | \begin{enumerate} 77 | \item 若$a>1$, $x_1a^{x_2}$，即底数小于1的正数的有理指数函数$a^x$是递减的． 80 | \end{enumerate} 81 | \end{blk} 82 | 83 | \begin{proof} 84 | 若$a>1$和$x_10$, $a>1$, 所以$a^{x_2-x_1}>1$, 又$a^{x_1}>0$. 因 88 | 此，$a^{x_2-x_1}>0$, 即$f(x)=a^x,\; (a>1)$是递增的． 89 | 90 | 若$00$, $00$, 因 93 | 此$a^{x_2-x_1}<0$, 即$f(x)=a^x,\; (00$，则当$n\to +\infty$时，数列$\left\{a^{\tfrac{1}{n}}\right\}$的极限是1，即 104 | \[\lim_{n\to\infty}a^{\tfrac{1}{n}}=1\] 105 | \end{blk} 106 | 107 | \begin{proof} 108 | \begin{enumerate} 109 | \item 当$a=1$时，结论自然成立． 110 | \item 当$a>1$时，因为 111 | $\frac{1}{n}>0$, 所以$a^{\tfrac{1}{n}}>1$ (性质1), 112 | 设$a^{\tfrac{1}{n}}=1+h$, 其中$h>0$, 两边$n$次方，得到 113 | \[ a=(1+h)^n\] 114 | 115 | 由贝努力不等式得 116 | \[ a=(1+h)^n>1+nh\] 117 | 所以， 118 | $ 01$, 由上面的证明 125 | 得到\[\lim_{n\to\infty}b^{\tfrac{1}{n}}=1\] 126 | 于是 127 | \[\begin{split} 128 | \lim_{n\to\infty}a^{\tfrac{1}{n}}&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{b}\right)^{\tfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b^{\tfrac{1}{n}}}\\ 129 | &=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b^{\tfrac{1}{n}}}=\frac{1}{1}=1 130 | \end{split}\] 131 | \end{enumerate} 132 | \end{proof} 133 | 134 | 性质3可以进一步推广到下面的推论： 135 | 136 | \begin{blk}{推论} 137 | 若$a>0$且$a\ne 1$, 有理数数列$\{h_i\},\; i=1,2,3,\ldots$, 138 | 以0为极限，即$\Lim_{i\to\infty}h_i=0$, 那么 139 | \[\lim_{i\to\infty}a^{h_i}=1\] 140 | \end{blk} 141 | 142 | \begin{proof} 143 | 先设$a>1$, 因为$\Lim_{i\to\infty}h_i=0$, 必定存在这样的 144 | 自然数$N$, 使得当$i\ge N$时，$|h_i|<1$, 从而$\frac{1}{|h_i|}>1$． 145 | 用$m_i$表示$\left[\frac{1}{|h_i|}\right]$, 146 | 即不大于$\frac{1}{|h_i|}$ 147 | 的最大整数，于是 148 | \begin{equation} 149 | m_i=\left[\frac{1}{|h_i|}\right]\le \frac{1}{|h_i|}\frac{1}{|h_i|}$知，$m_i\to\infty$．根据有理指数幂的单调性，得 154 | \[11)\] 155 | 156 | 仿照性质3的证明，令$b_i=a^{\tfrac{1}{m_i}}-1>0$, 于是， 157 | \[\begin{split} 158 | a^{\tfrac{1}{m_i}}&=(1+b_i)\\ 159 | a&=(1+b_i)^{m_i}>1+m_ib_i\\ 160 | & 01$, 于是 167 | \[\lim_{i\to \infty} a^{h_i}=\lim_{i\to \infty} \left(\frac{1}{b}\right)^{h_i}=\frac{1}{\Lim_{i\to \infty} b^{h_i}}=\frac{1}{1}=1\] 168 | \end{proof} 169 | 170 | 应用这个推论，我们可以说明当有理数$x$的变化够小时， 171 | 有理指数函数$f(x)=a^x$的变化可以任意小． 172 | 173 | \begin{blk}{性质4} 174 | 当指数x的变化够小时，有理指数函数$f(x)= 175 | a^x$的变化可以任意小． 176 | \end{blk} 177 | 178 | \begin{proof} 179 | 设指数$x$从有理数$x_1$变化到有理数$x_2=x_1+h_i$，（$h_i$ 180 | 是有理数），且当$(x_2-x_1)\to 0$时，数列$\{h_i\}$以0为极限，于 181 | 是 182 | \[\begin{split} 183 | \lim_{x_2\to x_1}\left(a^{x_2}-a^{x_1}\right)&=\lim_{i\to \infty}\left(a^{x_1+h_i}-a^{x_1}\right)\\ 184 | &=a^{x_1}\cdot \lim_{i\to \infty}\left(a^{x_i}-1\right)=0 185 | \end{split}\] 186 | 这就是说，只要$|h_i|$够小，那么$|a^{x_2}-a^{x_1}|$ 187 | 就小于任意给定的正数$\varepsilon$. 188 | \end{proof} 189 | 190 | 191 | 综合有理指数函数的性质，我们可以想象出$y=a^x\; (a> 192 | 1)$的图象如图10.2所示，但是我们不能用一条连续不断的 193 | 曲线把它画出来，因为指数$x$取无理数时，$a^x$还没有意义， 194 | 因而在有理指数函数的图象上，处处有空隙．下一节将由有理 195 | 指数函数的单调性和性质4, 适当给无理指数幂补充定义使 196 | 得指数函数在$\mathbb{R}$上处处连续． 197 | 198 | \begin{figure}[htp] 199 | \centering 200 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7] 201 | \draw[->] (-2,0)--(5,0)node[right]{$x$}; 202 | \draw[->] (0,-1)--(0,5)node[right]{$y$}; 203 | \node at (-.35,-.35){$O$}; 204 | \draw[dashed] (-2,1)--(4.5,1)node[right]{$y=1$}; 205 | \draw[domain=-2:3.5, samples=30, very thick, dashed]plot(\x, {1.6^(\x)}); 206 | \node at (0,1.3)[left]{$(0,1)$}; 207 | \node at (3,1.6^3)[right]{$y=a^x,\quad (a>1)$}; 208 | \end{tikzpicture} 209 | \caption{} 210 | \end{figure} 211 | 212 | \section*{习题10.1} 213 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题10.1} 214 | \begin{enumerate} 215 | \item 计算下列各式的值： 216 | \begin{enumerate} 217 | \item $25^{3 / 2} \cdot 8^{4 / 3}$ 218 | \item $(0.09)^{1 / 2}+64^{2 / 3}+0.125^{2 / 3}-\frac{1}{16^{-3 / 2}}$ 219 | \item $64^{1.5} \cdot(32)^{0.4} \div\left(\frac{9}{25}\right)^{-3 / 2}$ 220 | \item $\left(\frac{81}{16}\right)^{-0.25}\left(5^{2}-0.1^{2} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{-3}\right)^{2}$ 221 | \item $\left[\frac{3}{9}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right]^{-1}$ 222 | \item $(\sqrt{2})^{1.5}+\left(11+\frac{\sqrt[5]{5}}{5^{-0.8}}\right)^{-1 / 4}$ 223 | \item $\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{0}\right]^{-0.5}-7.5(\sqrt{4})^{2}-(-2)^{-4}+81^{0.25}$ 224 | \item $\left[\frac{1}{4}\left(0.027^{2 / 3}+15 \times 0.0016^{3 / 4}+1\right)\right]^{-1 / 2}$ 225 | \item $6\left[\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2 \sqrt{2}+\frac{2}{3^{1 / 2}}\right)\right] \times\left(3^{1 / 2}+2^{1 / 2}\right)^{-2} \times\left(3^{-1}+2^{-1}\right)$ 226 | \item 若 $a=(2+\sqrt{3})^{-1},\quad b=(2-\sqrt{3})^{-1}$, 计算 $(a+1)^{-1}+(b+1)^{-1}$ 227 | \end{enumerate} 228 | 229 | \item 化简下列各式: 230 | \begin{enumerate} 231 | \begin{multicols}{2} 232 | \item $b^{1 / 2} b^{1 / 3}$ 233 | \item $b^{1 / 2} b^{-1 / 3}$ 234 | \item $b^{-2 / 3} b^{3 / 5} ;$ 235 | \item $b^{-2 / 3} b^{3 / 5} ;$ 236 | \item $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a}$ 237 | \item $\left[1-\left(a^{-1} b^{-1}\right)^{-1}\right]^{-2}$ 238 | \end{multicols} 239 | \item $\left[a^{-1 / 2} b^{-1 / 2}+a^{-1 / 6}\left(b^{-5 / 6}-a^{-1 / 3} b^{-1 / 2}\right)\right]^{-3 / 2}$ 240 | \item $\frac{\left(a^{-1}+b^{-1}\right)(a+b)^{-1}}{\sqrt[6]{a^{4} \sqrt[5]{a^{-2}}}}$ 241 | \item $\frac{a^{2}+a^{-2}-2}{a^{2}-a^{-2}}$ 242 | \item $\left(a^{3 / 4}+b^{3 / 4}\right)\left(a^{3 / 4}-b^{3 / 4}\right) /\left(a^{1 / 2}-b^{1 / 2}\right)$ 243 | \item $\left(e^{3 / 2}+2+e^{-3 / 2}\right)\left(e^{3 / 2}-2+e^{-3 / 2}\right)$ 244 | \item $\left(a^{1 / 3}+a^{-1 / 3}\right)\left(a^{2 / 3}-1+a^{2 / 3}\right)$ 245 | \item $\frac{m-n}{m^{1 / 2}-n^{1 / 2}}+\frac{m^{3 / 2}+n^{3/2}}{m^{1 / 2}+n^{1 / 2}}$ 246 | \item $\frac{x^{2 p(q+1)}-y^{2 q(p-1)}}{x^{p(q+1)}-y^{q(p-1)}}$ 247 | \item $\left(a^{4 / 3}-2+a^{-4 / 3}\right)\left(a^{2 / 3}-a^{-2 / 3}\right)$ 248 | \item $\frac{m-n}{m^{1 / 2}-n^{1 / 2}}+\frac{m^{3 / 2}+n^{3/2}}{m^{1 / 2}+n^{1 / 2}}$ 249 | \item $\left[\frac{4 a-9 a^{-1}}{2 a^{1 / 2}-3 a^{-1 / 2}}+\frac{a-4+3 a^{-1}}{a^{1 / 2}-a^{-1 / 2}}\right]^{2}$ 250 | \end{enumerate} 251 | 252 | \item 解下列各方程： 253 | \begin{enumerate} 254 | \begin{multicols}{2} 255 | \item $\sqrt{2 x-3}=4-x$ 256 | \item $\sqrt{2 x+8}+\sqrt{x+5}=7$ 257 | \item $x^{-1 / 4}+x^{-1 / 2}-6=0$ 258 | \item $x^{1 / 2}+x^{-1 / 2}-\frac{10}{3}=0$ 259 | \end{multicols} 260 | \item $\sqrt[n]{(x+1)^{2}}+\sqrt[n]{(x-1)^{2}}=4 \sqrt[n]{x^{2}-1}$ 261 | \end{enumerate} 262 | 263 | \item 设 $h_{i}=\frac{100}{2 i+1},\quad m_{i}=\left[\frac{1}{h_{i}}\right]=\left[\frac{2 i+1}{100}\right]$ 264 | \begin{enumerate} 265 | \item 求证数列$\{h_i\}=\left\{\frac{100}{2 i+1}\right\}$递减，并求使$h_i=\frac{100}{2i+1}<1$的$i$的范围； 266 | \item 当$i=10,49,50,100,1000$时，求$m_i$的值； 267 | \item 求证当$i\ge 50$时，不等式$1<100^{\tfrac{100}{2i+1}}<100^{\tfrac{1}{m_i}}$成立； 268 | \item 求证：$\Lim_{i\to\infty}\left(100^{\tfrac{1}{m_i}}-1\right)=0,\quad \Lim_{i\to\infty}100^{h_i}=1$． 269 | \end{enumerate} 270 | \end{enumerate} 271 | 272 | \section{无理指数幂的定义} 273 | 要把指数幂的定义由有理数推广到实数，自然又得用逼 274 | 近法． 275 | 276 | 设$\beta$是一个无理数，我们可以用两个有理数列$\{r_n\}$, $\{s_n\}$ 277 | 去左、右夹逼，即$r_n\to \beta\leftarrow s_n$, 从而$\Lim_{n\to\infty}r_n=\Lim_{n\to\infty}s_n=\beta$. 现在 278 | 的问题是数列$\{a^{r_n}\}$，$\{a^{s_n}\}$，（这里$a>0$）的极限是否存 279 | 在？如果存在的话，我们就可以定义 280 | \[a^{\beta}=\Lim_{n\to\infty}a^{r_n}=\Lim_{n\to\infty}a^{s_n}\] 281 | 282 | 从而就可以把有理指数函数$a^x$开拓为在$\beta$点连续的函数： 283 | \[a^x\; (a>0,\; x\in \mathbb{Q}\cup\{\beta\})=\begin{cases} 284 | a^x\; (x\in\mathbb{Q})\\ 285 | a^{\beta}=\Lim_{n\to\infty}a^{r_n}=\Lim_{n\to\infty}a^{s_n} 286 | \end{cases}\] 287 | 288 | \begin{blk}{引理} 289 | 设 $r_{n} \rightarrow \beta \leftarrow s_{n}$, 则 290 | \begin{enumerate} 291 | \item 当$a>1$时，$a^{r_1}\le a^{r_2}\le \cdots\le a^{r_n}\le \cdots \le a^{s_n}\le \cdots\le a^{s_2}\le a^{s_1}$，且$\left(a^{r_n}-a^{s_n}\right)\to 0$ 292 | 293 | 当$01$和$01$的情形， 302 | （$a=1$时它的任何方幂都是1, 所以$1^{\beta}=1$）．我们只需 303 | 证明下述两点： 304 | \begin{enumerate} 305 | \item $a>1$, $s>r$时，则$a^s>a^r$，（性质2）． 306 | \item $\because\quad $当$n\to\infty$时，$s_n-r_n=h_n\to 0$, 307 | 308 | $\therefore\quad $由性质4得 309 | \[ a^{s_n}-a^{r_n}\to 0\] 310 | 由实数完备性，存在一个唯一实数 311 | \[ A=\lim a^{s_n}=\lim a^{r_n}\] 312 | \end{enumerate} 313 | \end{proof} 314 | 315 | \begin{blk}{定义} 316 | 设$\beta$是一任意无理数，$r_n\to\beta\leftarrow s_n$是$\beta$的左、右夹 317 | 逼数列，并且$u>0$, 则定义 318 | \[a^{\beta}=\lim a^{r_n}=\lim a^{s_n}\] 319 | \end{blk} 320 | 321 | 322 | 我们要说明这个定义的合理性，即上述定义和$\beta$的夹逼有 323 | 理数列的选取无关． 324 | 325 | 设$r'_n\to\beta\leftarrow s'_n$是另外一对夹逼数列，则 326 | \[r'_n\to\beta \leftarrow s_n,\qquad r_n\to\beta\leftarrow s'_n\] 327 | 328 | 由上述引理就有 329 | \[\lim a^{r'_n}=\lim a^{s_n}=\lim a^{r_n}=\lim a^{s'_n}\] 330 | 331 | 在实数轴$\mathbb{R}$上，对每一个无理点，都补充这样的定义， 332 | 于是我们就把有理指数函数开拓为一个在实数轴上处处有定 333 | 义的指数函数$a^x,\; (a>0,\; x\in\mathbb{R})$． 334 | 335 | 下面我们将证明这样定义的无理指数幂仍满足指数 336 | 法则． 337 | 338 | \begin{blk}{定理} 339 | 指数法则$a^{\beta}\cdot a^{\gamma}=a^{\beta+\gamma}$, $\left(a^{\beta}\right)^{\gamma}=a^{\beta\cdot \gamma}$, $(ab)^{\beta}=a^{\beta}\cdot b^{\beta}$对于任何实数$\beta$, $\gamma$都成立． 340 | \end{blk} 341 | 342 | \begin{proof} 343 | 当$\beta$, $\gamma$是有理数时，上述等式已在本教材第三册 344 | 第一章给出证明，所以我们只要说明$\beta$, $\gamma$是无理数的情形． 345 | 346 | 设$r_n\to\beta\leftarrow s_n$, $c_n\to\gamma\leftarrow d_n$分别是$\beta$, $\gamma$的左、右夹逼数列，于是 347 | \[(r_n+c_n)\to \beta+\gamma \leftarrow (s_n+d_n)\] 348 | \[\begin{split} 349 | a^{\beta+\gamma}&=\lim a^{r_n+c_n}=\lim a^{r_n}\cdot a^{c_n}\\ 350 | &=\lim a^{r_n}\cdot \lim a^{c_n}=a^{\beta}a^{\gamma} 351 | \end{split}\] 352 | 353 | 现在让我们来证明$(a^{\beta})^{\gamma}=a^{\beta\cdot \gamma}$（为了讨论的方便，我们 354 | 只讨论$a>1,\; \beta ,\gamma>0$的情形）， 355 | 356 | 设$r_n\to \beta \leftarrow s_n,\quad c_n\to \gamma\leftarrow d_n$，$r_n, s_n,c_n,d_n>0$, 则有 357 | \[r_n\cdot c_n\to \beta_{\gamma}\leftarrow s_n\cdot d_n\] 358 | 根据正分指数的幂函数与有理指数函数的单调性有 359 | \[(a^{r_n})^{c_n}<(a^{\beta})^{c_n}<(a^{\beta})^{\gamma}<(a^{\beta})^{d_n}<(a^{s_n})^{d_n}\] 360 | 所以由有理指数法则，得到 361 | \[a^{r_n\cdot c_n}=(a^{\beta})^{c_n}<(a^{\beta})^{\gamma}<(a^{s_n})^{d_n}=a^{s_n\cdot d_n}\] 362 | \[60+(u,.u,p-pus)\] 363 | $\therefore\quad $由引理知，存在唯一的极限 364 | \[(a^{\beta})^{\gamma}=\lim a^{r_n\cdot c_n} =\lim a^{s_n\cdot d_n} =a^{\beta\cdot \gamma}\] 365 | 366 | 最后证明：$(ab)^{\beta}=a^{\beta}\cdot b^{\beta}$, 只讨论$a>1$, $b>1$的情形． 367 | 368 | $\because\quad a>1,b>1$ 369 | 370 | $\therefore\quad ab>1$, 于是 371 | \[a^{r_n}b^{r_n}=(ab)^{r_n}<(ab)^{\beta}<(ab)^{s_n}=a^{s_n}b^{s_n}\] 372 | \[(ab)^{s_n}-(ab)^{r_n}\to 0\] 373 | 因此，$(ab)^{\beta}=\lim a^{r_n}b^{r_n} = \lim a^{r_n}\cdot \lim b^{r_n}=a^{\beta}\cdot b^{\beta}$ 374 | \end{proof} 375 | 376 | \begin{example} 377 | \begin{enumerate} 378 | \item $10^{\sqrt{2}}\cdot 10^{\sqrt{3}}=10^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ 379 | \item $\left[\left(\sqrt[3]{2}\right)^{\sqrt{8}}\right]^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=2^{\tfrac{1}{3}\x 2\sqrt{2}\x\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=2^{\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}$ 380 | \item $\left(5^{-\sqrt{2}}a^{\sqrt{8}}b^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=5^{-1}a^{2}b^{\tfrac{1}{2}} =\frac{a^2\sqrt{b}}{5} $ 381 | \end{enumerate} 382 | \end{example} 383 | 384 | \section{实指数函数} 385 | 总结上节推广的结果，就得到一个对任意实数$x$都有定 386 | 义的\textbf{实指数函数}： 387 | \[f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}^+,\qquad \text{这里} f(x)=a^x,\; (a>0, \; \text{且}a\ne 1)\] 388 | 389 | 这个函数就叫做\textbf{以$a$为底的指数函数}．上节还说明了指 390 | 数函数是一个满足下面两个性质的连续函数： 391 | \begin{enumerate} 392 | \item $f(x_1+x_2)=a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2}=f(x_1)\cdot f(x_2)$ 393 | \item $f(kx)=a^{kx}=(a^x)^k=[f(x)]^k$ 394 | \end{enumerate} 395 | 396 | 现在，我们还须验证实指数幂保有有理指数幂的一切性 397 | 质，并且实指数函数是连续的． 398 | 399 | \begin{blk}{性质1} 400 | \begin{enumerate} 401 | \item 若$a>1$, 当$x>0$时，则$a^x>1$； 402 | 当$x<0$时，则$a^x<1$. 403 | \item 若$00$时，则$a^x<1$； 404 | 当$x<0$时，则$a^x>1$. 405 | \end{enumerate} 406 | \end{blk} 407 | 408 | \begin{proof} 409 | 如果$x$是有理数，我们在第一节中给过证明，这里不 410 | 再重述，所以我们只要证明$x$是无理数的情形，设$x>0$, 411 | 且$c_n\to x\leftarrow d_n$是$x$的有理数夹逼数列．在数列$\{c_n\}$中一定存在 412 | 某一项$c_N$和它后面的一切项都是正数，不然的话，如果对于 413 | 所有的$n$, 有$c_n\le 0$, 于是$\lim c_n\le 0$即$x\le 0$, 这和已知的$x>0$ 414 | 矛盾． 415 | 416 | 令$c_N>0$, 则$a^{C_N}>a^0=1$, 而$a^x>a^{c_N}>1$, 这就证明了 417 | $a^x>1$. 418 | 419 | 设$x<0$, $x=-y$, 则$y>0$, $a^x=a^{-y}=\frac{1}{a^y}$ 420 | 421 | $\because\quad a^y>1,\qquad \therefore\quad a^x=\frac{1}{a^y}<1$ 422 | 423 | $01$且$x_2>x_1$, 则$a^{x_2}>a^{x_1}$ 429 | \item 若$0x_1$, 则$a^{x_2}1$且$x_2>x_1$, 435 | \[a^{x_2}-a^{x_1}=a^{x_1}\left(a^{x_2-x_1}-1\right)\] 436 | 因为$x_2-x_1>0$, 于是$a^{x_2-x_1}>1$, 因此$a^{x_2}-a^{x_1}>0$. 437 | 438 | 设$0x_1$, 439 | \[a^{x_2}-a^{x_1}=a^{x_1}\left(a^{x_2-x_1}-1\right)\] 440 | 因为$x_2-x_1>0$, 则$a^{x_2-x_1}<1$, 因此$a^{x_2}-a^{x_1}<0$. 441 | \end{proof} 442 | 443 | \begin{blk}{性质3} 444 | \[\lim_{x\to 0} a^x=1\] 445 | \end{blk} 446 | 447 | 448 | 对这个极限的证明可以仿照第一节中性质3的推论的证法 449 | 去证．利用性质3, 容易证明实指数函数处处连续． 450 | 451 | \begin{blk}{性质4} 452 | 当$x$无限增大时，$a^x,\; (a>1)$也无限增大，可以写 453 | 成$\Lim_{x\to\infty} a^x=+\infty$ （注意这个表达式并不表示此极限存在，而是 454 | 说$a^x$可以超过任何一个指定的正数），若$01$, 令$a=1+h\; (h>0)$, 因为 460 | \[(1+h)^n>1+nh,\qquad (n\in\mathbb{N})\] 461 | 可得：$a^n>1+n(a-1)$． 462 | 463 | 对于任意给定的一个正数$M$, 当$n>\frac{M-1}{a-1}$时，则 464 | \[a^n>1+n(a-1)>1+\frac{M-1}{a-1}(a-1)=M\] 465 | 所以，当$x>n$时，便有$a^x>a^n>M$． 466 | 467 | 这就是说，当$x\to +\infty$时，$\lim a^x=\infty$. 468 | 469 | 设$01$, $a^x=\left(\frac{1}{b}\right)^n=\frac{1}{b^n}$， 470 | 任给$\varepsilon=\frac{1}{M}>0$, 则$M=\frac{1}{\varepsilon}$, 依前段，当$x>n>\frac{M-1}{a-1}$时，有$b^x>M$. 于是$a^x=\frac{1}{b^x}<\frac{1}{M}=\varepsilon$. 这就证明了当$x\to\infty$时，$\lim a^x=0,\; (01$, $\Lim_{x\to-\infty} a^x=0$. 476 | \item 若$0\le a<1$, $\Lim_{x\to-\infty} a^x=+\infty$. 477 | \end{enumerate} 478 | \end{blk} 479 | 480 | \begin{proof} 481 | 为确定起见，设$a>1$, 令$x=-y,\; (y>0)$,则当 482 | $x\to-\infty$时，$y\to +\infty$, 所以 483 | \[\Lim_{x\to-\infty} a^x=\Lim_{y\to +\infty} a^{-y}=\Lim_{y\to +\infty}\frac{1}{a^y}=\frac{1}{\Lim_{y\to +\infty}a^y}=0\] 484 | 485 | $00\text{\; 且\; }a=1)$, 满足下列三个性质： 492 | \begin{enumerate} 493 | \item $f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2)$ 494 | \item $f(x)$是严格单调的，$a>1$时，递增；$0=latex] 503 | \draw[->](-3.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$}; 504 | \draw[->](0,-1)--(0,5)node[right]{$y$}; 505 | \draw[dashed] (-3.5,1)--(2.5,1)node[right]{$y=1$}; 506 | \draw [domain=-3:3, samples=100, very thick]plot(\x, {1.6^(\x)}); 507 | \draw [domain=-3:3, samples=100, very thick]plot(\x, {0.65^(\x)}); 508 | \node at (-3,4){$y=a^x,\; (01)$}; 510 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 511 | \node at (.1,1.3)[right]{$(0,1)$}; 512 | \end{tikzpicture} 513 | \caption{} 514 | \end{figure} 515 | 516 | \begin{blk}{逆定理} 517 | 任何一个满足上述性质1和2的函数 518 | $f(x)$必定是一个指数函数，其底为$a=f(1)$． 519 | \end{blk} 520 | 521 | \begin{proof} 522 | 由性质1, 对于任何实数$x$, 有 523 | \[f(0)f(x)=f(0+x)=f(x)\] 524 | 即得，$f(0)=1$. 当$f(x)$递增时，$f(1)=a>f(0)=1$, 而当 525 | $f(x)$递减时，$f(1)=a(ab)^{\tfrac{a+b}{2}}>a^bb^a\] 577 | \end{example} 578 | 579 | \begin{proof} 580 | 不妨设$a>b$, 则$\frac{a}{b}>1$, $a-b>0$. 581 | 于是，根据实指数幂性质1，可得： 582 | \[\frac{a^ab^b}{(ab)^{\tfrac{a+b}{2}}}=a^{\tfrac{a-b}{2}}\cdot b^{\tfrac{b-a}{2}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\tfrac{a-b}{2}}>1\] 583 | 584 | 由于$a>0,\; b>0\Rightarrow ab>0$, 因此，$(ab)^{\tfrac{a+b}{2}}>0$, 所 585 | 以，有 586 | \[ a^ab^b>(ab)^{\tfrac{a+b}{2}}\] 587 | 另外，根据同样的道理，有 588 | \[\frac{(ab)^{\tfrac{a+b}{2}}}{a^bb^a}=a^{\tfrac{a-b}{2}}\cdot b^{\tfrac{b-a}{2}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\tfrac{a-b}{2}}>1\] 589 | 又$a^b>0$, $b^a>0$. 所以$(ab)^{\tfrac{a+b}{2}}>a^b b^a$, 这就证明了 590 | \[a^ab^b>(ab)^{\tfrac{a+b}{2}}>a^b b^a\] 591 | \end{proof} 592 | 593 | \section*{习题10.2} 594 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题10.2} 595 | \begin{enumerate} 596 | \item 利用实指数幂的性质，指出下列不等式中，$a$是大 597 | 于1, 还是大于0而小于1？ 598 | \begin{multicols}{2} 599 | \begin{enumerate} 600 | \item $a^{\sqrt{2}}a^2$ 602 | \item $a^{-\sqrt{5}-\sqrt{7}}>a^{-5}$ 603 | \item $a^{1+\sqrt{5}}a^{b+c} b^{c+a} c^{a+b}$ 624 | \item $a^{a} b^{b} c^{c}>(a b c)^{\tfrac{a+b+c}{3}}$ 625 | \end{enumerate} 626 | （提示：利用例10.2的结果） 627 | 628 | \item 证明： 629 | \begin{enumerate} 630 | \item 当$n$是1或不小于5的自然数时，总有$2^n>n^2$； 631 | \item $\Lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n}=\infty$． 632 | \end{enumerate} 633 | \end{enumerate} 634 | 635 | \section{对数函数} 636 | 637 | 由实数幂的定义，我们得知指数函数 638 | \[a^x,\quad (a>0,\;a\ne 1),\qquad x\in\mathbb{R}\] 639 | 的值都是正的，现在还要进一步说明指数函数的值域是正实 640 | 数集，也就是必须证明下面的命题． 641 | 642 | \begin{blk}{命题} 643 | 给定不等于1的正实数$a$, 对于任意正数$b$, 一 644 | 定存在唯一的一个实数$c$, 满足下列方程 645 | $$a^c=b$$ 646 | \end{blk} 647 | 648 | \begin{proof} 649 | 为确定起见，设$a>1$, 依实指数函数的性质5, 650 | $\Lim_{x\to-\infty}a^x=0$, 可以找出这样一数$c_1$以使$a^{c_1}1)$ 651 | 是增函数且$\Lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$, 可以找出这样的数$c_2>c_1$, 以使 652 | $a^{c_2}>b$, 现在由连续函数中间值定理知道，在$c_1$与$c_2$之间有 653 | 实数$c$以使$a^c=b$, 再由单调性知道这个数是唯一的．类似 654 | 地可以证明$00$且$a\ne 1$, 那么$y=\log_a x$, 当且仅当 664 | $x=a^y$. 我们称$y$是以$a$为底的对数，函数$f:\mathbb{R}^+\mapsto \mathbb{R}$,这里 665 | $f(x)=\log_a x$称为\textbf{对数函数}． 666 | \end{blk} 667 | 668 | 这个定义导致下面有用的结果： 669 | \begin{enumerate} 670 | \item $a^{\log_a x}=x,\qquad \log_a a^x=x$ 671 | \item $\log_a (xy)=1ogax+\log_a y$ 672 | \item $\log_a \frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ 673 | \item $\log_a x^r=r\log_a x$ 674 | \item $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$（换底公式）． 675 | \end{enumerate} 676 | 证明过程请看第三册第一章． 677 | 678 | 从函数的图象来说：$y=\log_a x,\; (x\in\mathbb{R})$的图象能由$y=a^x,\; (x\in\mathbb{R})$的图象经$y=x$的反射而得到，如图10.4． 679 | \begin{figure}[htp] 680 | \centering 681 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 682 | \begin{scope} 683 | \draw[->](-2,0)--(3.5,0)node[right]{$x$}; 684 | \draw[->](0,-2)--(0,3.5)node[right]{$y$}; 685 | \draw[thick] (-1.5,-1.5)--(3,3)node[right]{$y=x$}; 686 | \draw[domain=-1.5:2, samples=100, very thick]plot(\x,{1.8^(\x)}); 687 | \draw[domain=-1.5:2, samples=100, very thick]plot({1.8^(\x)},\x); 688 | \node at (2,3.5){$y=a^x,\; (a>1)$}; 689 | \node at (3.2,2)[right]{$y=\log_a x,\; (a>1)$}; 690 | \node at (1,0)[below]{1}; 691 | \node at (0,1)[left]{1}; 692 | \node at (.25,-.25){$O$}; 693 | \end{scope} 694 | \begin{scope}[yshift=-6cm] 695 | \draw[->](-2.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$}; 696 | \draw[->](0,-3)--(0,3.5)node[right]{$y$}; 697 | \draw[thick] (-2,-2)node[below]{$y=x$}--(3,3); 698 | \draw[domain=-2:3, samples=100, very thick]plot(\x,{0.6^(\x)}); 699 | \draw[domain=-2:3, samples=100, very thick]plot({0.6^(\x)},\x); 700 | \node at (-2,3){$y=a^x,\; (01\\ 714 | \lim_{x\to +\infty} a^x=0&,\qquad 01\\ 719 | +\infty ,& 01$递增；当$01$时，递增；$00$半直线上，处处连续． 737 | \end{enumerate} 738 | \end{blk} 739 | 740 | \begin{blk}{逆定理} 741 | 任何一个满足性质1、2的函数$f(x)$一 742 | 定是一个对数函数，即存在适当的$a$, 使得$f(x)=\log_a x$. 743 | \end{blk} 744 | 745 | \begin{proof} 746 | 由性质1，$f(x_1)=f(x_1\cdot 1)=f(x_1)+f(1)$． 747 | 因此$f(1)=f(x_1)-f(x_2)=0$. 748 | 749 | 我们先任取一常数$A>1$, 则由性质2知 750 | \[f(A)\ne f(1)=0\] 751 | 再由性质1 752 | \[f(A^m)=\underbrace{f(A)+f(A)+\cdots+f(A)}_{\text{$m$项}}=mf(A),\qquad m\in\mathbb{N}\] 753 | 754 | 又 755 | \[\begin{split} 756 | mf(A)&=f(A^m)=f\left(\left((A)^{\tfrac{m}{n}}\right)^n\right)\\ 757 | &=\underbrace{f\left(A^{\tfrac{m}{n}}\right)+\cdots+f\left(A^{\tfrac{m}{n}}\right)}_{\text{$n$项}}=nf\left(A^{\tfrac{m}{n}}\right) 758 | \end{split} \] 759 | $\therefore\quad f\left(A^{\tfrac{m}{n}}\right)=\frac{m}{n}f(A),\qquad m,n\in\mathbb{N}$ 760 | 761 | 又$\because\quad f\left(A^{\tfrac{m}{n}}\right)+f\left(A^{-\tfrac{m}{n}}\right)=f\left(A^{\tfrac{m}{n}}\cdot A^{-\tfrac{m}{n}}\right)=f(A^0)=f(1)=0$ 762 | 763 | $\therefore\quad f\left(-A^{\tfrac{m}{n}}\right)=-f\left(A^{\tfrac{m}{n}}\right)=-\frac{m}{n}f(A)$ 764 | 765 | 综合上面所证，所以对于所有有理数$r\in\mathbb{Q}$, 都有 766 | \[f(A^r)=rf(A)\] 767 | 从此不难用单调性和极限过程，导出 768 | \begin{equation} 769 | f(A^{\beta })=\beta f(A),\qquad \beta \in\mathbb{R} 770 | \end{equation} 771 | 772 | 令$A^{\beta }=x$, 则$\beta =\log_A x$, 于是(10.5)可写成 773 | \begin{equation} 774 | f(x)=f(A)\cdot \log_A x 775 | \end{equation} 776 | 这样我们得到一个连续的单调的对数型函数(10.6). 为了化去 777 | 常数因子$f(A)$, 我们要用一些技巧如下：令$a=A^{\tfrac{1}{f(A)}}$ 778 | , 于是 779 | \[1=\log_a a=\log_a A^{\tfrac{1}{f(A)}}=\frac{1}{f(A)}\cdot \log_a A\] 780 | 即：$f(A)=\log_a A$, 代入(10.6), 得到： 781 | \[f(x)=\log_A x\cdot \log_a A=\log_a x\] 782 | \end{proof} 783 | 784 | \section*{习题10.3} 785 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题10.3} 786 | \begin{enumerate} 787 | \item 求下列各函数的定义域与值域，如果它们是可逆的， 788 | 写出以$x$为自变数的反函数． 789 | \begin{multicols}{2} 790 | \begin{enumerate} 791 | \item $y=\log_2(x-2)$ 792 | \item $y=\log_2\frac{1}{x}$ 793 | \item $y=e^{-x}$ 794 | \item $y=\sqrt{\lg\cos2\pi x}$ 795 | \end{enumerate} 796 | \end{multicols} 797 | 798 | \item 计算下列各式的值： 799 | \begin{multicols}{2} 800 | \begin{enumerate} 801 | \item $2^{\log_4 9}$ 802 | \item $5^{\log_{0.2} 7}$ 803 | \item $3^{\log_{\sqrt{2}}6}$ 804 | \item $6^{1+\log_6 5}$ 805 | \item $25^{\tfrac{1}{3} \log 5^{27}-\log_{5} 4}$ 806 | \item $10^{\lg\sqrt{100}}$ 807 | \item $\log _{\sqrt{4-\sqrt{15}}} \sqrt{4+\sqrt{15}}$ 808 | \item $4-\lg 8-3 \lg 5$ 809 | \item $ \lg ^{2} 5+\lg 2 \lg 50$ 810 | \item $\frac{3 \lg 1728}{1+\frac{1}{2} \lg 0.36+\frac{1}{3} \lg 8}$ 811 | \item $\log _{a} b \cdot \log _{b} c \cdot \log _{c} d$ 812 | \item $\left(\log _{2} 3+\log _{4} 9\right)\left(\log _{3} 4+\log _{9} 2\right)$ 813 | \end{enumerate} 814 | \end{multicols} 815 | 816 | \item 证明下面的恒等式： 817 | \begin{enumerate} 818 | \begin{multicols}{2} 819 | \item $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ 820 | \item $\log_a b\cdot \log_b a=1$ 821 | \item $\frac{\log_a x}{\log_{ab} x}=1+\log_a b$ 822 | \end{multicols} 823 | 824 | \item \[\begin{split} 825 | &\quad \frac{1}{(\log_x 2)(\log_x 4)}+ \frac{1}{(\log_x 4)(\log_x 8)}+ \frac{1}{(\log_x 8)(\log_x 16)}+\cdots \\ 826 | &+ \frac{1}{(\log_x 2^{n-1})(\log_x 2^n)}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{\log_x 2}\right)^2 827 | \end{split}\] 828 | \end{enumerate} 829 | 830 | \item \begin{enumerate} 831 | \item 已知$\lg2=a$, $\lg7=b$, 求$\log_8 9.8$； 832 | \item 已知$\log_{18}9=a$, $\log_{18}5=b$, 求$\log_{36}45$; 833 | \item 已知$\lg198=2.2966$, $\lg2=0.3010$, $\lg3=0.4771$, 求$\lg 11$; 834 | \item 已知$\log_{12}7=m$, $\log_{12}3=n$, 求$\log_{18}63$. 835 | \end{enumerate} 836 | \item 已知$\lg3=0.4771$, 问$\left(\frac{1}{3}\right)^{20}$ 837 | 表成小数时，不等于0 838 | 的第一个有效数字出现在哪里？ 839 | 840 | \item 证明下面不等式： 841 | \begin{enumerate} 842 | \item $\left|\log _{a} b\right|+\left|\log _{b} a\right| \geqslant 2$ 843 | \item $\frac{1}{\log _{2} \pi}+\frac{1}{\log _{\pi} 2}>2$ 844 | \item 若 $a>b>0$ 且 $c>1$, 则 $\log _{c} \frac{b}{a}<\log _{c} \frac{1+b}{1+a}$. 845 | \item 若 $t>-1$, $\varphi(t)=-\lg(1+t)$, 则 $\varphi\left(\frac{t_{1}+t_{2}}{3}\right)<\frac{\varphi\left(t_{1}\right)+\varphi\left(t_{2}\right)}{2}$ 846 | \end{enumerate} 847 | 848 | 849 | \item 当 $2 x+5 y=20$ 时, 求 $\log _{2} x+\log _{2} y$ 的最大值. 850 | \item 设 $x>1$, $y>1$且 $2 \log _{x} y-2 \log _{y} x+3=0$, 那么 $x^{2}-$ $4 y^{2}$ 的最小值是多少？ 851 | \item 设 $x>2$, $y>2$, 比较下列各式的大小： 852 | $$\log _{2} \frac{x+y}{2} ;\qquad \frac{1}{2} \log _{2}(x+y); \qquad \frac{1}{2}\left(\log _{2} x+\log _{2} y\right)$$ 853 | \item 求证等比数列的各项的对数组成等差数列. 854 | \item 有等比数列, 它的公比为 2, 项数为10, 如果各项 取以2 为底的对数, 它们的和是25, 求这等比数列的和． 855 | 856 | \item 试问数列 857 | $$\lg100,\; \lg\left(100\sin\frac{\pi}{4}\right),\; \lg\left(100\sin^2\frac{\pi}{4}\right),\; \ldots ,\; \lg\left(100\sin^{n-1}\frac{\pi}{4}\right),\; \ldots$$ 858 | 的前多少项的和的值最大？并求 859 | 出最大值（这里取$\lg2=0.3010$）． 860 | \end{enumerate} 861 | 862 | \section{指数方程与对数方程} 863 | 指数中含有未知数的方程叫做\textbf{指数方程}．下面我们介绍 864 | 几种常见的指数方程及其解法． 865 | 866 | \subsection{可化为$\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}\; (a>0\text{\;且\;}a\ne 1)$的指数方程} 867 | 对于这类方程，我们根据指数函数的单调性得到$\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}$成立的必要充分条件是$f(x)=g(x)$. 因此，指数方程$\alpha^{f(x)}=\alpha^{g(x)}$在$a>0$且$a\ne 1$的条件下就可以转化为代数方程$f(x)=g(x)$来解． 868 | 869 | \begin{example} 870 | 解方程$5^{-x}\cdot 50^x=\frac{1}{1000(10^{2x-1})^{-3}}$ 871 | \end{example} 872 | 873 | \begin{solution} 874 | 原方程化简为 $(5^{-1}\cdot 50)^x=\frac{10^{6x-3}}{10^3}$， 875 | 即： 876 | \[10^x=10^{6x-6}\] 877 | 878 | 由于底数$a=10>0$且$\ne 1$, 得到 879 | \[x=5x-6 \quad \Rightarrow\quad x=\frac{6}{5}\] 880 | 所以原方程的解集是$\left\{\frac{6}{5}\right\}$． 881 | \end{solution} 882 | 883 | 884 | \begin{example} 885 | 解方程$17^{3x^2+x-2}=1$ 886 | \end{example} 887 | 888 | \begin{solution} 889 | $\because\quad 1=17^0$，原方程可写成 890 | $$17^{3x^2+x-2}=17^{0}$$ 891 | 于是根据指数函数的单调性，得到 892 | \[3x^2+x-2=0\] 893 | 由此 894 | \[x_1=\frac{2}{3},\qquad x_2=-1\] 895 | 所以 原方程的解集是$\left\{-1,\frac{2}{3}\right\}$． 896 | \end{solution} 897 | 898 | \subsection{可化为形如$a^{f(x)}=b^{g(x)}$的指数方程} 899 | 这里（$a>0$, $b>0$, $a\ne 1$, $b\ne 1$），一般用两边取对数的方法来解． 900 | 901 | \begin{example} 902 | 解方程$17^x=300$ 903 | \end{example} 904 | 905 | \begin{solution} 906 | 两边取常用对数，得到 907 | \[\begin{split} 908 | x\lg17&=\lg300\\ 909 | x&=\frac{\lg300}{\lg 17}\approx \frac{2.4771}{1.2304}\approx 2.0132 910 | \end{split}\] 911 | \end{solution} 912 | 913 | \begin{example} 914 | 解方程$5^{2x}-7x-35\cdot 5^{2x}+35\cdot 7^x=0$ 915 | \end{example} 916 | 917 | \begin{solution} 918 | 原方程化简为 919 | $7^x (35-1)=5^{2x}(35-1)$ 920 | 921 | 两边除以34, 得到：$5^{2x}=7^x$ 922 | 923 | 两边取常用对数 924 | \[\begin{split} 925 | 2x\lg5&=x\lg7\\ 926 | x(2\lg5-\lg7)&=0 927 | \end{split} \] 928 | $\because\quad 2\lg5-\lg7=\lg25-\lg7\ne 0,\qquad \therefore\quad x=0$ 929 | 930 | 因此，原方程的解集是$\{0\}$． 931 | \end{solution} 932 | 933 | \subsection{可化为一元二次方程的指数方程} 934 | 935 | \begin{example} 936 | 解方程$\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x+\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^x=4$ 937 | \end{example} 938 | 939 | \begin{solution} 940 | 注意到$\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1$， 941 | 原方程的两边乘以$\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x$, 得到 942 | \[\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^{2x}+1=4\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x\] 943 | 即 944 | $\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^{2x}-4\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x+1=0$ 945 | 946 | $\therefore\quad \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=2+\sqrt{3}\quad \text{或}\quad \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=2-\sqrt{3}$ 947 | 948 | 即： 949 | \[\left({2-\sqrt{3}}\right)^{\tfrac{x}{2}}=\left({2-\sqrt{3}}\right)^{-1}\quad \text{或}\quad \left({2-\sqrt{3}}\right)^{\tfrac{x}{2}}=2-\sqrt{3}\] 950 | $\therefore\quad x=-2\quad \text{或}\quad x=2$ 951 | 952 | $\therefore\quad $原方程的解集是$\{-2,2\}$． 953 | \end{solution} 954 | 955 | 未知数前面有对数符号的方程称为对数方程．解对数方 956 | 程一般常用的方法是根据对数定义直接把对数式的等式写成 957 | 指数形式的等式．也有时根据对数函数的单调性把对数方程 958 | 化为代数方程来解．但是必须注意在解对数方程之前，应该 959 | 先确定使方程中的对数都有意义的定义域，由此便确定了方 960 | 程的根的上、下界．在求得对数方程之解后，应该舍去在根 961 | 的上、下界之外的增根，换言之，把那些使真数或底数为非 962 | 正数或使底数等于1的根舍去，下面介绍几种常见的对数 963 | 方程． 964 | 965 | \subsection{形如$\log_{f(x)}g(x)=c$\; （其中$c$是常数）的对数方程} 966 | 967 | 可以根据对数定义将它化为指数形式的等式去解． 968 | 969 | 970 | 971 | \begin{example} 972 | 解方程$\log_{x-5}(3x^2-16x+29)=2$ 973 | \end{example} 974 | 975 | \begin{solution} 976 | 方程中的对数有意义必须 977 | \[\begin{cases} 978 | x>5\quad\text{且}\quad x-5\ne 1 \\ 979 | 13x^2-16x+29>0 980 | \end{cases}\] 981 | 根据对数定义得到 982 | \[ 3x^2-16x+29=(x-5)^2\] 983 | 解得：$x_1=1,\qquad x_2=2$． 984 | 985 | 由于1和2都小于5, 所以原方程没有解，即原方程的 986 | 解集是空集． 987 | \end{solution} 988 | 989 | 990 | \begin{example} 991 | 解方程$\log_3[3+2\lg(1+x)]=0$ 992 | \end{example} 993 | 994 | \begin{solution} 995 | 根据对数定义得到$3+2\lg(1+x)=1$, 996 | 即： 997 | \[ \lg(1+x)=-1\] 998 | 再由对数定义有 999 | \[\begin{split} 1000 | 1+x&=10^{-1}\\ 1001 | x&=-0.9 1002 | \end{split}\] 1003 | 经验算可知原方程的解集是$\{-0.9\}$. 1004 | \end{solution} 1005 | 1006 | \subsection{可以化成形如$\log_a f(x)=\log_a g(x)$的对数方程} 1007 | 1008 | 由 1009 | 对数函数的单调性知道，上面方程成立的充分必要条件是 1010 | \[\begin{cases} 1011 | f(x)>0\\ 1012 | g(x)>0\\ 1013 | f(x)=g(x) 1014 | \end{cases}\] 1015 | 因此对数方程可化为代数方程和不等式来解． 1016 | 1017 | \begin{example} 1018 | 解方程$\lg x+\lg(x^2-4)=\lg3+\lg(x+2)$ 1019 | \end{example} 1020 | 1021 | \begin{solution} 1022 | 方程中的对数有意义，必须 1023 | \[\begin{cases} 1024 | x>0\\ 1025 | x^2-4>0\quad \Rightarrow\quad x>2\\ 1026 | x+2>0 1027 | \end{cases}\] 1028 | 原方程化为$\lg x(x^2-4)=\lg 3(x+2)$，由此得到 1029 | \[x(x^2-4)=3(x+2)\] 1030 | 即：$(x-2)(x^2-2x-3)=0$， 1031 | 解得： 1032 | \[x_1=2,\qquad x_2=-1,\qquad x_3=3\] 1033 | 其中只有$x_3=3>2$, 所以原方程的解集是$\{3\}$． 1034 | \end{solution} 1035 | 1036 | 根据指数函数与对数函数的单调性也可以解相应的一些 1037 | 不等式．由于作对数变形时，也有可能把原来数的定义域 1038 | 缩小了，这时就会丢掉解，因此，作对数变形时，应该避免这 1039 | 种情形发生．例如，解$\lg x=1$, 如果利用等式：$\lg x^2 1040 | =2\lg x$， 1041 | 把原方程变形为$2\lg x=1$, 这时由这个方程只能解出 1042 | $x=\sqrt{10}$, 丢失了原方程的一个根$-\sqrt{10}$． 1043 | 1044 | \begin{example} 1045 | 解不等式$\log_{\tfrac{1}{3}}[\log_4 (x^2-5)]>0$ 1046 | \end{example} 1047 | 1048 | \begin{solution} 1049 | 原不等式等价于$0<\log_4(x^2-5)<1$，由此$16\log_x a-1,\qquad (0\frac{6}{\log_a x}-1 1064 | \end{equation} 1065 | 分两种情形来解： 1066 | \begin{enumerate} 1067 | \item 设$00,\quad (00$，由此得： 1070 | \begin{equation} 1071 | \log_a x<-3 1072 | \end{equation} 1073 | 或 1074 | \begin{equation} 1075 | \log_a x>2 1076 | \end{equation} 1077 | 由(10.8)得$x>\frac{1}{a^3}>1$, 这与前设$01$, 则$\log_a x<0,\quad (00$，即： 1100 | \[\frac{\left(\log_2 x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}{\log_2 x(\log_2 x-1)}>0\] 1101 | 由此得：$\log_2 x(\log_2 x-1)>0$，因此： 1102 | \[\log_2 x<0\quad \text{或}\quad \log_2 x>1\] 1103 | 即：$02$． 1104 | 1105 | 由此原不等式的解集是$\{x|02\}$． 1106 | \end{solution} 1107 | 1108 | \begin{example} 1109 | 求函数$f(x)=\sqrt{\log_{\tfrac{1}{2}}\frac{x}{x^2-1}}$的定义域． 1110 | \end{example} 1111 | 1112 | \begin{solution} 1113 | \[\begin{split} 1114 | \text{函数$f$有意义}&\Longleftrightarrow \log_{\tfrac{1}{2}}\frac{x}{x^2-1}\text{有意义}\Longleftrightarrow \log_{\tfrac{1}{2}}\frac{x}{x^2-1}\ge 0\\ 1115 | &\Longleftrightarrow 0< \frac{x}{x^2-1}\le 1 \Longleftrightarrow \begin{cases} 1116 | \frac{x}{x^2-1}>0\\ \frac{x^2-x-1}{x^2-1}\ge 0 1117 | \end{cases} \\ 1118 | &\Longleftrightarrow \begin{cases} 1119 | -11\\ 1120 | x<-1\quad \text{或}\quad \frac{1-\sqrt{5}}{2}\frac{1+\sqrt{5}}{2} 1121 | \end{cases} \\ 1122 | &\Longleftrightarrow \begin{cases} 1123 | -11\\x>\frac{1+\sqrt{5}}{2} 1126 | \end{cases} \\ 1127 | &\Longleftrightarrow \frac{1-\sqrt{5}}{2}\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ 1128 | \end{split}\] 1129 | 故函数$f$的定义域为 1130 | \[\left\{x\Big| \frac{1-\sqrt{5}}{2}\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}\] 1131 | \end{solution} 1132 | 1133 | 1134 | \begin{example} 1135 | 解方程$\log_{\sin 3x}(\cos x-\cos2x)=1$ 1136 | \end{example} 1137 | 1138 | \begin{solution} 1139 | 要使方程中的对数有意义，$x$必须满足条件： 1140 | \begin{equation} 1141 | \begin{cases} 1142 | \sin 3x\quad \text{且}\quad \sin3 x\ne 1\\ 1143 | \cos x-\cos2x>0 1144 | \end{cases} 1145 | \end{equation} 1146 | 由原方程得$\cos x-\cos2x=\sin3x$，即： 1147 | \[\sin \frac{3x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\right)=0\] 1148 | 由此得： 1149 | \[\sin\frac{3x}{2}=0\quad \text{或}\quad \sin \frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}=0\] 1150 | 因为$\sin\frac{3x}{2}=0$的解，根据$\sin3x=2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2}$， 1151 | 知道一定也使$\sin 3x=0$成立，而这与$x$满足的条件：$\sin3x>0$ 1152 | 不合，因此，方程$\sin\frac{3x}{2}=0$的解应该舍去． 1153 | 1154 | 由$\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}=0$，得： 1155 | \[\sin \frac{x}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}\right)\] 1156 | 根据两角正弦相等条件，有 1157 | \[\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{3x}{2}+2k\pi\quad \text{或}\quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{3x}{2}+2k\pi\] 1158 | 即： 1159 | \begin{equation} 1160 | x=\frac{\pi}{4}+k\pi 1161 | \end{equation} 1162 | 或 1163 | \begin{equation} 1164 | x=-\frac{\pi}{2}-2k\pi 1165 | \end{equation} 1166 | 在单位圆上，分别作出(10.11)中和(10.12)中的诸角的终边，如图 1167 | 10.5． 1168 | 1169 | \begin{figure}[htp] 1170 | \centering 1171 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 1172 | \begin{scope} 1173 | \draw[->] (-2,0)--(2,0)node[right]{$x$}; 1174 | \draw[->] (0,-1.5)--(0,2)node[right]{$y$}; 1175 | \draw[thick] (0,0) circle (1); 1176 | \draw[very thick,->] (1,0) arc (0:180+45:1); 1177 | \draw[thick, <->] (45:1)node[above]{$\frac{\pi}{4}$}--(180+45:1)node[below]{$\frac{5\pi}{4}$}; 1178 | \node at (.25,-.25){$O$}; 1179 | \node at (1.4,0)[below]{$(1,0)$}; 1180 | \node at (0,-2.2){$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$}; 1181 | \end{scope} 1182 | \begin{scope}[xshift=5cm] 1183 | \draw[->] (-2,0)--(2,0)node[right]{$x$}; 1184 | \draw[->] (0,-1.5)--(0,2)node[right]{$y$}; 1185 | \draw[thick] (0,0) circle (1); 1186 | \draw[very thick,->] (1,0) arc (0:-90:1); 1187 | \draw[thick, ->] (0,0)--(-90:1); 1188 | \node at (-.25,-.25){$O$};\node at (1.4,0)[below]{$(1,0)$}; 1189 | \node at (0,-2.2){$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$}; 1190 | \end{scope} 1191 | \end{tikzpicture} 1192 | \caption{} 1193 | \end{figure} 1194 | 1195 | 显然(10.11)又可写成 1196 | \begin{equation} 1197 | x=\frac{\pi}{4}+2k\pi 1198 | \end{equation} 1199 | 和 1200 | \begin{equation} 1201 | x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi 1202 | \end{equation} 1203 | 再由(10.12), (10.13), (10.14)容易看出角$3x$与角$-\frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$和$-\frac{\pi}{4}$ 1204 | 有相同的终边，所以若将式(10.12)和式(10.14) 1205 | 代入$\sin3x$中，便得到 1206 | \[\begin{split} 1207 | \sin 3\left(-\frac{\pi}{2}-2k\pi\right)&=\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=-\sin\frac{3\pi}{2}=1\\ 1208 | \sin 3\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)&=\sin\frac{15\pi}{4}=\sin\left(4\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0 1209 | \end{split}\] 1210 | 因此这两组解是增解，应该舍去，经检验知 1211 | $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$满足不等式组, 1212 | 所以方程的解集是 1213 | $\left\{x\Big|x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\right\}$ 1214 | 1215 | 1216 | 1217 | 1218 | 1219 | 1220 | 1221 | 1222 | \end{solution} 1223 | 1224 | \section*{习题10.4} 1225 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题10.4} 1226 | 1227 | 1228 | \begin{enumerate} 1229 | \item 解下列各指数方程： 1230 | \begin{multicols}{2} 1231 | \begin{enumerate} 1232 | \item $3^{2 x-1}=81$ 1233 | \item $\sqrt{5^{x}}=\sqrt[3]{25}$ 1234 | \item $\sqrt[4]{7^{x}}=\sqrt[5]{343}$ 1235 | \item $\sqrt[4]{a^{x+1}}=\sqrt[3]{a^{x-3}}$ 1236 | 1237 | $(a>0,\; a \neq 1)$ 1238 | \item $\sqrt{2^{x}} \sqrt{3^{x}}=36$ 1239 | \item $\left(\frac{3}{4}\right)^x=\left(\frac{4}{3}\right)^5$ 1240 | \item $\left(\frac{4}{9}\right)^{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^{x}$ 1241 | \item $\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\left(\frac{9}{8}\right)=\frac{27}{64}$ 1242 | \item $ 4^{\sqrt{x+1}}=64 \cdot 2^{\sqrt{x+1}} $ 1243 | \item $(0.25)^{x-2}=\frac{256}{2^{x+3}}$ 1244 | \item $\left(\frac{4}{9}\right)^{x}\left(\frac{27}{8}\right)^{x-1}=\frac{2}{3}$ 1245 | \item $2^{x} \cdot 5^{4}=0.1\left(10^{x-1}\right)^{5}$ 1246 | \end{enumerate} 1247 | \end{multicols} 1248 | 1249 | 1250 | \item 解下列各指数方程： 1251 | \begin{enumerate} 1252 | \begin{multicols}{2} 1253 | \item $3^{x+2}+3^{x-1}=28$ 1254 | \item $5^{x+1}-5^{x-1}=24$ 1255 | \item $3^{2 x-1}+3^{2 x-2}-3^{2 x-4}=315$ 1256 | \item $3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=5^{x+1}+5^{x+2}$ 1257 | \item $4^{x}+2^{x+1}=80$ 1258 | \item $ 3^{x+2}+9^{x+1}-810=0$ 1259 | \item $3^{2 x+5}=3^{x+2}+2$ 1260 | \item $3^{4 \sqrt{x}}-4.3^{2 \sqrt{x}}+3=0$ 1261 | \item $4.9^{\sqrt{x}-2}-3.15^{\sqrt{x}-2}=25^{\sqrt{x}-2} $ 1262 | \item $4^{2 x}-2.18^{2 x}=3.81^{28} $ 1263 | \end{multicols} 1264 | \item $\left(\sqrt{5+2 \sqrt{6}}\right)^{x}+\left(\sqrt{5-2 \sqrt{6}}\right)^{x}=\frac{10}{3}$ 1265 | \end{enumerate} 1266 | 1267 | 1268 | \item 求最小整数指数 $x$, 使 1269 | \begin{multicols}{2} 1270 | \begin{enumerate} 1271 | \item $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}<0.000001$ 1272 | \item $\left(\frac{3}{5}\right)^{x}<0.0001$ 1273 | \item $\left(\frac{10}{9}\right)^{x}>1000000$ 1274 | \item $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}>10000000$ 1275 | \end{enumerate} 1276 | \end{multicols} 1277 | 1278 | \item 解下列各不等式 1279 | \begin{multicols}{2} 1280 | \begin{enumerate} 1281 | \item $3^{3-5 x}-\frac{1}{81}>0$ 1282 | \item $(0.3)^{2 x^{2}+5 x+2}<1$ 1283 | \item $8^{x}+16^{\tfrac{3}{4} x+1}<34$ 1284 | \item $\frac{(0.5)^{3 x^{2}+10 x+6}}{100}<0.00125$ 1285 | \item $2^{x+1} \cdot 5^{2 x-3}<\frac{24}{25}$ 1286 | \item $5^{2x}-30.5^{x}+125<0$ 1287 | \item $2^{3 x}-2^{x+1}<2^{3} $ 1288 | \item $\frac{1}{\left(\frac{1}{10}\right)^{y}-1} \leqslant \frac{2}{\left(\frac{1}{100}\right)^{y}-10}$ 1289 | \item $\frac{1}{2^{x}-1} \geqslant \frac{1}{4^{x}-3}$ 1290 | \item $\left(\frac{3}{4}\right)^{x-2}\left(\frac{4}{3}\right)^{\tfrac{1}{x}}>\frac{9}{16}$ 1291 | \end{enumerate} 1292 | \end{multicols} 1293 | 1294 | 1295 | \item 解下列各对数方程: 1296 | 1297 | \begin{enumerate} 1298 | \item $\lg x=2-\lg 5$ 1299 | \item $\lg(x+6)-\frac{1}{2}\lg(2x-3)=2-\lg 25$ 1300 | \begin{multicols}{2} 1301 | \item $\frac{2\lg x}{\lg(5x-4)}=1$ 1302 | \item $\frac{\lg x}{1-\lg x}=2$ 1303 | \item $\log_{x-1}(x^2-5x+10)=2$ 1304 | \item $2 \lg x=-\lg \left(6-x^{2}\right)$ 1305 | \item $\frac{1}{5-\lg x}+\frac{1}{1+\lg x}=1$ 1306 | \item $0.5 \lg (2 x-1)+\lg \sqrt{x-9}=1$ 1307 | \item $\log _{2} \log _{3} \log _{4} x=0$ 1308 | \item $\lg 9^{-1}+x \lg \sqrt[3]{3^{5 x-7}}=0$ 1309 | \item $\lg 10^{\lg\left(x^{2}+21\right)}-1=\lg x$ 1310 | \end{multicols} 1311 | \end{enumerate} 1312 | 1313 | 1314 | \item 解下列各对数方程： 1315 | \begin{enumerate} 1316 | \item $2 \log _{4} x+2 \log _{x} 4=5$ 1317 | \item $\log _{2}(x-1)^{2}-\log _{0.5}(x-1)=9$ 1318 | \item $\log _{8} x+\log _{4} x+\log _{2} x=7$ 1319 | \item $\log _{x}\left(5 x^{2}\right) \cdot\left(\log _{5} x\right)^{2}=1$ 1320 | \item $\sqrt{\log _{x} 5 \sqrt{5}+\log _{\sqrt{5}} 5 \sqrt{5}} \cdot \log _{\sqrt{5}} x=-\sqrt{6}$ 1321 | \item $\sqrt{\log _{x} \sqrt{3 x}} \cdot \log _{3} x=-1$ 1322 | \item $\log _{3 x}\left(\frac{3}{x}\right)+\log _{3}^{2} x=1$ 1323 | \item $\frac{\lg\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\lg\sqrt[3]{x-40}}=3$ 1324 | \end{enumerate} 1325 | 1326 | \item 解下列各方程： 1327 | \begin{enumerate} 1328 | \item $(0.4)^{\lg^2 x+1}=(6.25)^{2-\lg x^3}$ 1329 | \item $x^{\lg x+2}=1000$ 1330 | \item $\sqrt{x^{\lg \sqrt{x}}}=10$ 1331 | \item $\lg 2+\lg \left(4^{x-2}+9\right)=1+\lg \left(2^{x-2}+1\right)$ 1332 | \item $\log _{2}\left(9^{x-1}+7\right)=2+\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)$ 1333 | \item $\lg x+\lg \sqrt[3]{x}+\lg \sqrt[9]{x}+\cdots=3$ 1334 | \item $\log _{9} x+\left(\log _{9} x\right)^{2}+\left(\log _{9} x\right)^{3}+\cdots=1$, 1335 | \item $ 1+\log _{x} \frac{4-x}{x}=(\operatorname{lglg} n-1) \log _{x} 10$ 1336 | \end{enumerate} 1337 | 1338 | \item 解下列各方程组： 1339 | \begin{multicols}{2} 1340 | \begin{enumerate} 1341 | \item $\begin{cases}2^{\sqrt{{x}}+\sqrt{y}}=512 \\ \lg \sqrt{x y}=1+\lg 2\end{cases}$ 1342 | \item $\begin{cases}\log _{x} \log _{2} \log _{x} y=0 \\ \log _{y} 9=1\end{cases}$ 1343 | \item $\begin{cases}2^{\tfrac{x-y}{2}}-2^{\tfrac{x-y}{4}}=2 \\ 3^{\lg(2 y-x)}=1\end{cases}$ 1344 | \item $\begin{cases}x y=40 \\ x^{12 y}=4,\end{cases}$ 1345 | \item $\begin{cases}3.2^{x}-\log _{2} y=2 \\ 2^{x} \cdot \log _{2} y=1\end{cases}$ 1346 | \item $\begin{cases}7^{y} \cdot \log _{5} x=2 \\ 4.7^{y}+\log _{5} x=2\end{cases}$ 1347 | \item $\begin{cases} 1348 | \lg^2x+\lg^2y=5\\ 1349 | \lg x-\lg y=1 1350 | \end{cases}$ 1351 | \item 求$\begin{cases} 1352 | x^{x+y}=y^{12}\\ 1353 | y^{x+y}=x^3 1354 | \end{cases}$的整数解 1355 | \end{enumerate} 1356 | \end{multicols} 1357 | 1358 | \item 解下列各不等式： 1359 | \begin{enumerate} 1360 | \begin{multicols}{2} 1361 | \item $\lg x>3$ 1362 | \item $\lg (-x)>3$ 1363 | \item $\lg x^2>3$ 1364 | \item $\lg^2 x>3$ 1365 | \item $\lg x<2\lg x$ 1366 | \item $\lg x>2\lg x$ 1367 | \item $\log_{\tfrac{1}{2}}(3x-5)<3$ 1368 | \item $\lg x+\lg (x-3)>1$ 1369 | \item $\lg (4x^2-9)>\lg (2x-3)+2$ 1370 | \item $\lg (3-x)-1>\lg (2-x)$ 1371 | \end{multicols} 1372 | \item $\log_{\sqrt{0.5}}(26x)>\log_{\sqrt{0.5}}(5x^2+5)$ 1373 | \item $\log_{\sqrt{2}}(x^2-2x+8)+2\sqrt{\log_2(x^2-2x+8)}\ge 12$ 1374 | \item $x^{\log_a x+1}>ax^2,\qquad (a>1)$ 1375 | \end{enumerate} 1376 | 1377 | \item 求解 1378 | \begin{enumerate} 1379 | \item 试求满足不等式$2(\log_{0.5}x)^2+9\log_{0.5}x+9\le 0$的$x$的范围； 1380 | \item $x$在1中求得的范围内变动时，试求 1381 | $f(x)=\left(\log_2 \frac{x}{3}\right)\left(\log_2 \frac{x}{4}\right)$ 1382 | 的最大值$M$和最小值$L$. 1383 | \end{enumerate} 1384 | 1385 | \item 解下列方程： 1386 | \begin{multicols}{2} 1387 | \begin{enumerate} 1388 | \item $\log_{\sqrt{2}\sin x}(1+\cos x)=2$ 1389 | \item $\log_{\tfrac{1}{8\cos^2 x}}\sin x=\frac{1}{2}$ 1390 | \item $\frac{2}{\lg\left(\frac{1}{2}+\cos^2 x\right)}=\log_{\sin 2x}10$ 1391 | \item $\arcsin(\lg x)=0$ 1392 | \item $\lg(\arcsin x)=0$ 1393 | \item $\arccos(\pi\log_3\tan x)=0$ 1394 | \end{enumerate} 1395 | \end{multicols} 1396 | 1397 | \end{enumerate} -------------------------------------------------------------------------------- /8.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{单变量函数} 2 | 前面中我们已经说明了如何由量的度量而产生实数 3 | 系．在这一章中我们要进一步说明如何用变数符号去表达变 4 | 量，用变数之间的函数关系去表达变量之间的关联．变数是 5 | 变量的抽象，函数是变量相互关系的抽象．在这一章里我们 6 | 还要运用极限来分析和确立连续函数的概念． 7 | 8 | \section{函数的概念} 9 | \subsection{变数和变域} 10 | 在研究自然现象时，人们会遇到许多不同的物理量，如 11 | 时间、长度、体积、速度、质量、力等等．按照给定条件， 12 | 能取许多不同数值的量叫做\textbf{变量}；而只取一个数值的量叫做 13 | \textbf{常量}，用来表达变量的符号叫做\textbf{变数}．习惯上常用$x,y, 14 | z$等字母表示变数，从纯数学的观点来说，一个变数就是一 15 | 个“能取许多不同数值”的符号，它所能取的所有数值构成 16 | 一个集合，叫做它的\textbf{变域}．如果变数$x$的变域已经给出，我 17 | 们就认为变数$x$是已知的．一般说来，任何数集可以当作变 18 | 数的变域．常会遇到取所有自然数的变数$n$, 譬如数列中的 19 | 项数．可是在现实生活中，我们通常研究的是连续变化的变 20 | 数，如动点所经过的路程及所花的时间等物理量，就是这种 21 | 变数的原形，数的区间就是这一类变数的变域，最常用的区 22 | 间是以两个实数$a$与$b$ $(a=latex, scale=.7] 48 | \draw[->] (0.5,0)--(7.5,0); 49 | \draw[ultra thick] (2.5,0)node[below=5pt]{$a$}--(5.5,0)node[below=5pt]{$b$}; 50 | \draw (2.5,0)[fill=white] circle (2pt); 51 | \draw (5.5,0)[fill=white] circle (2pt); 52 | \end{tikzpicture} 53 | \caption{} 54 | \end{minipage} 55 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 56 | \centering 57 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7] 58 | \draw[->] (0.5,0)--(7.5,0); 59 | \draw[ultra thick] (2.5,0)node[below=5pt]{$a$}--(5.5,0)node[below=5pt]{$b$}; 60 | \node at (2.5,0){$($}; \node at (5.5,0){$)$}; 61 | \end{tikzpicture} 62 | \caption{} 63 | \end{minipage} 64 | \end{figure} 65 | 66 | \begin{figure}[htp]\centering 67 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 68 | \centering 69 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7] 70 | \draw[->] (0.5,0)--(7.5,0); 71 | \draw[ultra thick] (2.5,0)node[below=5pt]{$a$}--(5.5,0)node[below=5pt]{$b$}; 72 | \node at (2.5,0){$[$}; \node at (5.5,0){$]$}; 73 | \end{tikzpicture} 74 | \caption{} 75 | \end{minipage} 76 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 77 | \centering 78 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7] 79 | \draw[->] (0.5,0)--(7.5,0); 80 | \draw[ultra thick] (2.5,0)node[below=5pt]{$a$}--(5.5,0)node[below=5pt]{$b$}; 81 | \node at (2.5,0){$($}; \node at (5.5,0){$]$}; 82 | \end{tikzpicture} 83 | \caption{} 84 | \end{minipage} 85 | \end{figure} 86 | 87 | \begin{figure}[htp]\centering 88 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 89 | \centering 90 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7] 91 | \draw[->] (0.5,0)--(7.5,0); 92 | \draw[ultra thick] (2.5,0)node[below=5pt]{$a$}--(5.5,0)node[below=5pt]{$b$}; 93 | \node at (2.5,0){$[$}; \node at (5.5,0){$)$}; 94 | \end{tikzpicture} 95 | \caption{} 96 | \end{minipage} 97 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 98 | \centering 99 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.7] 100 | \draw[->] (0.5,0)--(7.5,0); 101 | \draw[ultra thick] (2.5,0)node[below=5pt]{$a$}--(5.5,0)node[below=5pt]{$b$}; 102 | \node at (2.5,0){$($}; \node at (5.5,0){$)$}; 103 | \draw (4,0)[fill=white] circle (2pt)node[above]{$c$}; 104 | \end{tikzpicture} 105 | \caption{} 106 | \end{minipage} 107 | \end{figure} 108 | 109 | 有时也要考虑无穷区间，用符号$-\infty,+\infty$作为一端或 110 | 两端，它们的记号和上面所引进的相类似，例如$(-\infty,+\infty)$ 111 | 是全体实数集合$\{x|x\in\mathbb{R}\}$, 区间$(a,+\infty)$表示集 112 | 合$\{x|x>a\}$, 区间$(-\infty,b]$表示集合$\{x|x\le b\}$. 无穷区间 113 | 在几何上可用两端无限伸延的直线或一端无限伸延的射线来 114 | 表示． 115 | 116 | 以后我们要常用到一点的邻域的概念．\textbf{$c$点的邻域}是包 117 | 含$c$点的任何开区间$(a,b)$, 而$c$点的去心邻域指去掉$c$ 118 | 点的任何$c$点的邻域．它的图象如图8.6． 119 | 120 | $c$点的去心邻域可写成$(a,c)\cup (c,b)$. 我们常把 121 | $c$点的邻域写成对称的形式：$(c-r,c+r)$, 对任何 122 | $r>0$, 并且称它为\textbf{$c$点的对称邻域}． 123 | 124 | \begin{example} 125 | 试写出含于区间$(1,5)$中$\pi$的对称邻域． 126 | $\left(\pi-\frac{1}{2},\pi+\frac{1}{2}\right)$是含于$(1,5)$的$\pi$对称邻域．此外 127 | $(\pi-1,\pi+1)$, $\left(\pi-\frac{3}{2},\pi+\frac{3}{2}\right)$, $(\pi-0.01,\pi+0.01)$ 128 | 等都是含于$(1,5)$中的对称邻域． 129 | \end{example} 130 | 131 | \subsection{函数的定义} 132 | 我们已经在第三册研究过许多函数，例如多项式函数、 133 | 三角函数，由于函数这个概念的重要性，并且它将是我们 134 | 的主要研究对象，因此需要回忆一般的函数的定义，下面我 135 | 们从数集之间的多对一（包括一对一）的关系重新给出函数 136 | 定义． 137 | 138 | \begin{blk}{定义} 139 | 设有数集$A,B$, 如果有一对应关系或法则$f$存 140 | 在，对于$A$的任何一个数$x$, 有数集$B$中唯一的一个数$y$与之 141 | 对应，我们就称给出了一个从数集$A$到数集$B$内的函数$f$, 用 142 | \[f:A\mapsto B\] 143 | 表示，并写成$y=f(x),\; (x\in A)$, 此时称$f(x)$为函数$f$在$x$的 144 | 函数值，并称$A$为函数$f$的\textbf{定义域}．又当$x$取遍$A$中的数时， 145 | 函数值$f(x)$全体也构成一个数集，称为函数$f$的\textbf{值域}，记作 146 | \[f(A)=\{f(x)|x\in A\}\] 147 | 要注意的是在构造一个函数$f:A\mapsto B$的时候，$f(A)$不一定等 148 | 于$B$, 而是$B$的一个真子集，即$f(A)\subset B$． 149 | \end{blk} 150 | 151 | 152 | 153 | \begin{example} 154 | 设$\mathbb{R}$是实数集，函数$f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$定义为 155 | \[f(x)=\frac{2x}{x^2+1},\quad x\in(-\infty,+\infty)\] 156 | 求它的值域． 157 | \end{example} 158 | 159 | \begin{solution} 160 | 方程$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$等价于 161 | \begin{equation} 162 | yx^2-2x+y=0 163 | \end{equation} 164 | 根据函数的值域定义，任给$y\in f(\mathbb{R})$, 方程(8.1)必有实数 165 | 解，而方程(8.1)有实数解的充要条件是 166 | \[\Delta=1-y^2\ge 0\] 167 | 即：$-1\le y\le 1$，所以 168 | \[f(\mathbb{R})=\{f(x)|-1\le f(x)\le 1\}\subset \mathbb{R}\] 169 | \end{solution} 170 | 171 | 在函数的定义中包含三个要素，即\textbf{定义域}，\textbf{多对一的对 172 | 应法则}和\textbf{函数值所在的数集}．应养成一个习惯，当给定一个 173 | 函数时，必须指明它的定义域．在实际问题中，函数的定义 174 | 域是根据实际意义来确定的，例如温度计刻有华氏温标度数 175 | $F$和摄氏温标度数$c$，因为不存在低于绝对零度的温度，因 176 | 此，这两个度数之间的函数$\varphi$是 177 | \[F=\varphi(c)=\frac{9}{5}c+32,\quad c\in (-273,+\infty)\] 178 | 179 | 以后，当我们只在数学上，一般地研究一个具体解析式 180 | 子规定的函数关系时，如果定义域$A$没有被指明，那么函数 181 | 的定义域是使解析式子具有数值意义的所有$x$的数值组成的 182 | 自然定义域，函数$y$的值域通常是不指出的，因为由对应的 183 | 规律本身就可以确定函数的值域． 184 | 185 | 186 | \begin{example} 187 | 求下列函数定义域： 188 | \begin{multicols}{2} 189 | \begin{enumerate} 190 | \item $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{x}$ 191 | \item $g(x)=\sqrt{x^2-1}$ 192 | \end{enumerate} 193 | \end{multicols} 194 | \end{example} 195 | 196 | \begin{solution} 197 | \begin{enumerate} 198 | \item \[\text{函数$f$有意义}\Leftrightarrow \begin{cases} 199 | 1-x \ge 0\\ 200 | x\ne 0 201 | \end{cases}\Rightarrow\quad x\le 1, \quad x\ne 0\] 202 | $\therefore\quad $函数$f$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,1]$． 203 | 204 | \item \[\text{函数$g$有意义}\Leftrightarrow x^2-1\ge 0 \Rightarrow\quad x\le 1, \text{ 或 } x\ge 1\] 205 | $\therefore\quad $函数$g$的定义域为$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$． 206 | \end{enumerate} 207 | \end{solution} 208 | 209 | \subsection{相等的函数} 210 | 怎样的两个函数是相等的函数？在数学中，有些函数可 211 | 以用不同的方式来定义，例如，函数$f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}^+\cup\{0\}$是由 212 | $f(x)=|x|$规定的，而函数$g:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}^+\cup\{0\}$是由$g(x)=\sqrt{x^2}$规定的，这里表示$f(x)$与$g(x)$的式子全不同，但是对 213 | 于它们的相同的定义域中的任一$x$值，经过不同规则的计算， 214 | 它们的结果是相同的，即$f(x)=g(x)$, 所以对于这个例子 215 | 来说，尽管函数$f(x),g(x)$的表达式不同，我们说$f(x)$和 216 | $g(x)$表示相同的函数．此外，解析式子相同，但定义域不同 217 | 的函数是不相同的函数．例如： 218 | \[\begin{split} 219 | f_1(x)&=\frac{1}{x},\qquad x\in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)\\ 220 | f_2(x)&=\frac{1}{x},\qquad x\in (0,+\infty)\\ 221 | f_3(x)&=\frac{1}{x},\qquad x\in (0,1) 222 | \end{split}\] 223 | 是不相同的函数，因为对于$x=-2$, $f_1$有意义而$f_2,f_3$都无 224 | 意义；对于$x=2$, $f_1$和$f_2$都有意义而$f_3$无意义． 225 | 226 | 下面给出相等（同）的两个函数的条件． 227 | 228 | \begin{blk}{定义} 229 | 两个函数$f:A\mapsto B$, $g:C\mapsto D$称为相等的当且仅 230 | 当$A=C$, $B=D$, 且对于每个$a\in A$（或$C$），有$f(a)=g(a)$． 231 | \end{blk} 232 | 233 | 读者可能会不同意上面$B=D$这个条件，提出下面这个 234 | 例子来反驳： 235 | 236 | “由$f(n)=g(n)=n$给出的两个函数$f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}$, $g: \mathbb{N}\mapsto \mathbb{Q}$是相等的函数”我们须指出两个函数不同的地方，就 237 | 函数值所在数集上看，$g$可以除以2, 因此，对于$g$我们可 238 | 以构造一个新函数， 239 | $\frac{1}{2}g:\mathbb{N}\mapsto \mathbb{Q}$, 这里 240 | \[\left(\frac{1}{2}g\right)(n)=\frac{1}{2}n\] 241 | 但是对于$f$, 不能做这种构造． 242 | 243 | \subsection{函数的几个类型——满射、单射和双射} 244 | 现在，我们来讨论函数的三个重要类型，先给出定义， 245 | 然后再举例说明． 246 | 247 | \begin{blk}{定义 } 248 | 如果在函数$f:A\mapsto B$的$B$中的每一个数$b$在函数$f$ 249 | 的作用下都是$A$中一个数或某些数的对应数，也就是说：对 250 | 于任意$b\in B$, 存在一个$a\in A$, 使得$b=f(a)$, 这样我们就说 251 | $f$是由$A$到$B$的\textbf{满射}． 252 | \end{blk} 253 | 254 | 显然，如果$f:A\mapsto B$是满射，那么$f(A)=B$． 255 | 256 | 第二类函数和满射同样地重要，叫做\textbf{单射}，定义如下： 257 | 258 | \begin{blk}{定义} 259 | 如果对于$A$中的任何两个不同的数$a_1$和$a_2$, 就在 260 | $B$中有两个不同的函数值$f(a_1)$和$f(a_2)$, 即任何$a_1,a_2\in A$, 261 | $a_1\ne a2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$, 那么我们就说$f:A\mapsto B$是\textbf{单射}（或 262 | 一对一）． 263 | \end{blk} 264 | 265 | 266 | 它的逆否命题“如果在$B$中有$f(a_1)=f(a_2)$就在$A$中有 267 | $a_1=a_2$, 那么函数$f:A\mapsto B$叫做\textbf{单射}（或一对一）．”和上面 268 | 的定义等价，也常用来说明函数是一对一的． 269 | 270 | 还有一类很重要的函数叫做\textbf{双射}． 271 | 272 | \begin{blk}{定义} 273 | 函数$f:A\mapsto B$, 如果是满射又是单射，就叫做 274 | \textbf{双射}． 275 | \end{blk} 276 | 277 | \begin{example} 278 | 函数$f:\mathbb{R}\mapsto [-1,1]$, 这里$f(x)=\sin x, x\in\mathbb{R}$ 279 | 是满射，但不是单射，因为对于 280 | $\sin x=\frac{1}{2}\in [-1,1]$， 281 | 就有无穷多个$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$或$\frac{5\pi}{6}+2k\pi\;(k\in\mathbb{Z})$的值和它 282 | 对应． 283 | \end{example} 284 | 285 | \begin{example} 286 | 函数$f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}$, 这里$f(n)=2n$是单射，但不是满射． 287 | \end{example} 288 | 289 | \begin{example} 290 | 设$2\mathbb{N}$代表偶数集，函数$f:\mathbb{N}\mapsto 2 \mathbb{N}$, 这里$f(n)=2n$就是一双射． 291 | \end{example} 292 | 293 | \section{函数的运算与复合函数} 294 | 295 | \subsection{函数的四则运算} 296 | 297 | 设$f(x),g(x)$是两个$x$的函数，它们的定义域分别为$D_f$ 298 | 和$D_g$, 我们可以用通常对于“数” 299 | 的四则运算得到它们的 300 | 和函数$(f+g)(x)$, 差函数$(f-g)(x)$, 积函数$(f\cdot g)(x)$与 301 | 商函数$\frac{f}{g}(x),\; g(x)\ne 0$．它们的定义域为$D_f\cap D_g$． 302 | 303 | 由$f(x),g(x)$的四则运算所得出来的新函数的定义 304 | 如下： 305 | \begin{itemize} 306 | \item $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ （即$(f+g)$在$x$点的值是$f$, 307 | $g$的值的和）； 308 | \item $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ （即$(f-g)$在$x$点的值是$f,g$ 309 | 的值的差）； 310 | \item $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ （即$(f\cdot g)$在$x$点的值是$f,g$的 311 | 值的积）； 312 | \item $(f/g)(x)=f(x)/g(x)$ （即$f/g$在$x$点的值是$f,g$的值 313 | 的商，但只有在$g(x)\ne 0$时才有意义）． 314 | \end{itemize} 315 | 316 | $f+g$, $f-g$和$f\cdot g$的定义域是$f$的定义域和$g$的定义 317 | 域的交集．而$f/g$的定义域要从$f$和$g$的定义域的交集中去 318 | 掉使$g(x)=0$的值． 319 | 320 | \begin{example} 321 | 已知$f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=\sqrt{1-x}$, 求$f+g$, 322 | $f-g$, $f\cdot g$, $\frac{f}{g}$, $\frac{g}{f}$． 323 | \end{example} 324 | 325 | \begin{solution} 326 | $f$和$g$的自然定义域是$D_f=\{x|x\ge 0\}$, $D_g=\{x|x\le 1\}$，$D_f$和$D_g$的交集是$D_f\cap D_g=[0,1]$． 327 | \begin{itemize} 328 | \item 和：$(f+g)(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$ 329 | \item 差：$(f-g)(x)=\sqrt{x}-\sqrt{1-x}$ 330 | \item 积：$(f\cdot g)(x)=\sqrt{x(1-x)}$ 331 | \item 商：$\frac{f}{g}(x)=\sqrt{\frac{x}{1-x}},\qquad \frac{g}{f}(x)=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$ 332 | \end{itemize} 333 | 334 | $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$的定义域是$[0,1]$．因为当$x=1$时， 335 | $g(x)=0$, 所以$\frac{f}{g}$的定义域是$[0,1)$, 同样得到$\frac{g}{f}$的定义域$(0,1]$． 336 | \end{solution} 337 | 338 | \begin{example} 339 | 设$f(x)=\sin x$, $g(x)=\cos x$，$D_f=(-\infty,+\infty)$，$D_g=(-\infty,+\infty)$，则： 340 | \[\begin{split} 341 | (f+g)(x)=\sin x+\cos x&=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)\\ 342 | &=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4} \right)\\ 343 | &=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ 344 | (f-g)(x)=\sin x-\cos x&=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\\ 345 | (f\cdot g)(x)=\sin x\cdot \cos x&=\frac{1}{2}\sin 2x\\ 346 | \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sin x}{\cos x}&=\tan x\\ 347 | \end{split}\] 348 | 349 | 这里$f+g$, $f-g$, $f\cdot g$的定义域是$(-\infty,+\infty)$, $\frac{f}{g}$的定义域是$$\left\{x\big|x\in\mathbb{R},\; x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in \mathbb{Z}\right\}$$ 350 | \end{example} 351 | 352 | \subsection{复合函数} 353 | 上面我们是用四则运算来组合已知函数为一个新函数 354 | 的，但是构成新的函数的方法，还有一个更重要的运算叫做 355 | 组成函数的函数或复合函数法． 356 | 357 | 我们先从一个简单的例子 358 | 说起，火箭从地面上的$L$点垂 359 | 直向上发射，火箭$R$在$t$秒后 360 | 离开发射点的距离是$h(t)$, 这个函数是已知的．在离发射座 361 | 1公里远的地方有一个观测站$O$，我们要求把火箭与观测站 362 | 的距离$d$确定为时间$t$的函数（图8.7）． 363 | \begin{figure}[htp] 364 | \centering 365 | \begin{tikzpicture}[thick] 366 | \draw (0,0)node[below]{$L$}--node[below]{1}(4,0)node[below]{$O$}--node[above]{$d$}(0,2.5)node[above]{$R$}--node[left]{$h$}(0,0); 367 | \end{tikzpicture} 368 | \caption{} 369 | \end{figure} 370 | 371 | 我们已经知道火箭的垂直高度$h$是$t$的函数$h(t)$, 又火 372 | 箭到观测站的距离$d$又是火箭的高度$h$的函数 373 | \[d=\sqrt{1+h^2}\] 374 | 因此在时刻$t$, $R$到$O$的距离是 375 | \[d(t)=\sqrt{1+h^2(t)}\] 376 | 377 | 上面函数$d(t)$是由$h=h(t)$和$d=f(h)=\sqrt{1+h^2}$两个函 378 | 数构成的，把其中一个函数$h(t)$代入另一个函数$f(h)$的运算 379 | 叫做复合运算，得到的函数$d(t)=f\big(h(t)\big)$叫做$t$的复合 380 | 函数． 381 | 382 | 一般说来，若$z=f(y)$, $y=g(x)$, 且$g(x)$的值域含于 383 | $f(y)$的定义域中，那么对于$g(x)$定义域内的每一个$x$值经过 384 | 中间变数$y$, 相应地得到唯一确定的一个值$z$, 变数$z$经过 385 | 中间变数$y$而成变数$x$的函数，记为$z=f\big(g(x)\big)$, 这个函 386 | 数称为前两个函数的\textbf{复合函数}．应该指出，函数$y=g(x)$的 387 | 值域不能超出函数$f(y)$的定义域，这是极重要的． 388 | 389 | 390 | \begin{example} 391 | 设$z=\sqrt{1+y}$, 它的定义域$D_y=[-1,+\infty)$, 392 | 再设$y=x^2-5$, 它的定义域$D_x=(-\infty,+\infty)$, 值域$R= 393 | [-5,+\infty)$. 394 | 395 | 作为复合函数$z=\sqrt{1+(x^2-5)}=\sqrt{x^2-4}$, 396 | 其定义域只能是$(-\infty,-2]$和$[2,+\infty)$, 这时，$y=x^2- 397 | 5$的值域是$[-1,+\infty)$, 它没有超过$D_y=[-1,+\infty)$ 398 | 的范围，这就是说复合函数$z=f\big(g(x)\big)$的定义域只能由$y= 399 | g(x)$的定义域中那些使$g(x)$属于$z=f(y)$的定义域的$x$ 400 | 组成． 401 | \end{example} 402 | 403 | \begin{example} 404 | 已知$f(g)=\frac{1}{g+1}$，$g=g(x)=x^2$． 405 | 406 | 求$f\big(g(x)\big)$和$g\big(f(x)\big)$． 407 | \end{example} 408 | 409 | \begin{solution} 410 | \[\begin{split} 411 | f\big(g(x)\big)&=\frac{1}{x^2+1}\\ 412 | g\big(f(x)\big)&=\left(\frac{1}{x+1}\right)^2=\frac{1}{x^2+2x+1} 413 | \end{split}\] 414 | 显然，$f\big(g(x)\big)\ne g\big(f(x)\big)$, 这表明函数的复合运算是不满足交换律的． 415 | \end{solution} 416 | 417 | \begin{example} 418 | 已知$f\left(\sin\frac{x}{2}\right)=\cos x+1$， 419 | 求$f\left(\cos\frac{x}{2}\right)$． 420 | \end{example} 421 | 422 | \begin{solution} 423 | 复合函数 424 | $f\left(\sin\frac{x}{2}\right)=\cos x+1=2-2\sin^2\frac{x}{2}$ 425 | 是把函 426 | 数$y=\sin\frac{x}{2}$ 427 | 代入$f(y)=2-2y^2$中复合而成．现在令 428 | $y=\cos\frac{x}{2}$代入$f(y)$，得到 429 | \[f\left(\cos\frac{x}{2}\right)=2-2\cos^2\frac{x}{2}=2-(1+\cos x)=1-\cos x\] 430 | \end{solution} 431 | 432 | 在函数的运算中，我们介绍了函数的加、减、乘、除和 433 | 函数的复合五种运算，从定义来看，我们可以用上述五种运 434 | 算，由某一简单而基本的函数去造出多种多样的新函数来， 435 | 譬如从常数函数$y=c$和恒等函数$y=x$, 用加、减、乘运算就可 436 | 以得出多项式函数．其实我们常常要用到的，并不是把所给的 437 | 函数组合成更复杂的函数；而是要把所给的函数分解成更简 438 | 单的函数的组合，把要解的问题归于比较简单的问题去解决． 439 | 440 | 441 | \begin{example} 442 | 将函数$y=x\sin\frac{1}{x}$ 443 | 分解成比较简单的函数的组 444 | 合（引进新的中间变数符号）． 445 | \end{example} 446 | 447 | \begin{solution} 448 | $y=x\sin\frac{1}{x}$ 449 | 可分解为$f(x)=x$与$g(x)=\sin\frac{1}{x}$ 450 | 之积，又$g(x)=\sin\frac{1}{x}$ 451 | 可以看作是$g(h)=\sin h$和$h=h(x)=\frac{1}{x}$ 452 | 的复合函数，于是原来的函数可以看作下面简单函数的 453 | 组合 454 | \[F(x)=f(x)\cdot g\big(h(x)\big)\] 455 | 这里$f(x)=x$, $g(h)=\sin h$, $h=h(x)=\frac{1}{x}$． 456 | \end{solution} 457 | 458 | \begin{example} 459 | 求函数$\sqrt{x-\sqrt{x+1}-2}$的定义域． 460 | \end{example} 461 | 462 | \begin{solution} 463 | 设$F(x)=\sqrt{x-\sqrt{x+1}-2}=\sqrt{(x+1)-\sqrt{x+1}-3}$，则$F(x)$可以看作$f(y)=\sqrt{y^2-y-3}$与$y=g(x)=\sqrt{x+1}$ 464 | 的复合函数，即$F(x)=f\big(g(x)\big)$且知： 465 | 466 | $f(y)$的定义域 467 | $D_f=\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right]\bigcup\left[\frac{1+\sqrt{13}}{2},+\infty\right)$ 468 | 469 | $g(x)$的定义域$D_g=[-1,+\infty)$, 它的值域$R_x=[0,+\infty)$ 470 | 471 | \[\begin{split} 472 | &\text{复合函数$F(x)=f\big(g(x)\big)$有意义}\Longleftrightarrow 473 | \begin{cases} 474 | g(x)\text{有意义}\\ 475 | g(x)\in\left[\frac{1+\sqrt{13}}{2},+\infty\right) 476 | \end{cases}\\ 477 | &\Longleftrightarrow 478 | \begin{cases} 479 | x+1\ge 0\\ 480 | \sqrt{x+1}\ge \frac{1+\sqrt{13}}{2} 481 | \end{cases}\Longleftrightarrow 482 | \begin{cases} 483 | x\ge -1\\ 484 | x+1\ge \left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^2=\frac{7+\sqrt{13}}{2} 485 | \end{cases}\\ 486 | &\Longleftrightarrow x\ge \frac{5+\sqrt{13}}{2} 487 | \end{split}\] 488 | $\therefore\quad $函数$\sqrt{x-\sqrt{x+1}-2}$的定义域是 489 | $\left[\frac{5+\sqrt{13}}{2},+\infty\right)$． 490 | 491 | 如果直接求$F(x)=\sqrt{x-\sqrt{x+1}-2}$的定义域，那 492 | 么只须： 493 | \[\begin{split} 494 | x-\sqrt{x+1}-2\ge 0& \Longleftrightarrow x-2\ge \sqrt{x+1} \Longleftrightarrow \begin{cases} 495 | x-2\ge 0\\ x+1\ge 0\\ (x-2)^2\ge (x+1) 496 | \end{cases}\\ 497 | & \Longleftrightarrow \begin{cases} 498 | x\ge 2\\x\ge -1\\ x\ge \frac{5+\sqrt{13}}{2} 499 | \end{cases} \Longleftrightarrow x\ge \frac{5+\sqrt{13}}{2} 500 | \end{split}\] 501 | $\therefore\quad $函数$\sqrt{x-\sqrt{x+1}-2}$的定义域是 502 | $\left[\frac{5+\sqrt{13}}{2},+\infty\right)$． 503 | \end{solution} 504 | 505 | \section*{习题8.1} 506 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题8.1} 507 | 508 | 试确定下面1---5里每一对函数$f$和$g$的自然定义域，并 509 | 求$f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $f/g$和$g/f$的相应的定义域． 510 | 511 | \begin{enumerate} 512 | \item $f(x)=x,\qquad g(x)=\sqrt{x-1}$ 513 | \item $f(x)=\frac{1}{x-2},\qquad g(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ 514 | \item $f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=\sqrt[4]{x+1}$ 515 | \item $f(x)=\sin x,\qquad g(x)=\cos x$ 516 | \item $f(x)=\tan x,\qquad g(x)=\tan x$ 517 | \item 证明函数$f(x)=\frac{1}{1+x}$在它的定义域上是单射的．又 518 | $x$为何值时，下列各式才有意义？ 519 | \begin{multicols}{2} 520 | \begin{enumerate} 521 | \item $f\big(f(x)\big)$ 522 | \item $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 523 | \item $f(cx)$ 524 | \item 对于哪些数$c$,有一数$x$ 525 | 能使$f(cx)=f(x)$ 526 | \end{enumerate} 527 | \end{multicols} 528 | 529 | \item 下列函数能否构成复合函数$y=f\big(\varphi(x)\big)$, 如果能够 530 | 构成，则指出复合函数的定义域和值域： 531 | \begin{enumerate} 532 | \item $y=f(u)=2u+1,\qquad u=\varphi(x)=x^2$ 533 | \item $y=f(u)=\sqrt{u},\qquad u=\varphi(x)=1-x^2$ 534 | \item $y=f(u)=u^2+u^3, \qquad u=\varphi(x)=\begin{cases} 535 | 1,& \text{当$x$为有理数}\\ 536 | 2,&\text{当$x$为无理数}\\ 537 | \end{cases}$ 538 | \item $y=f(u)=2$, 定义域为$U_1$,\qquad $u=\varphi(x)$, 定义域为 539 | $X$, 值域为$U_2$． 540 | \end{enumerate} 541 | 542 | \item 设$f(x)=ax^2+bx+c$, 证明 543 | $f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x)=0$． 544 | \item \begin{enumerate} 545 | \item 设$y=f(x)=a+bx+\frac{c}{x}$, 求$f\left(\frac{2}{x}\right)$． 546 | \item 设$y=f(x)=\sqrt{1+x+x^2}$, 求$f(x^2)$, $f(-x^2)$． 547 | \end{enumerate} 548 | 549 | \item 若$\varphi(x)=x^3+1$, 求$\varphi(x^2)$, $\big(\varphi(x)\big)^2$, $\varphi\big(\varphi(x)\big)$． 550 | \item 求下列函数定义域： 551 | \begin{multicols}{2} 552 | \begin{enumerate} 553 | \item $y=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$ 554 | \item $y=\sqrt[4]{\frac{(x-2)(x-3)}{x^2}}$ 555 | \end{enumerate} 556 | \end{multicols} 557 | 558 | \item $a,b,c,d$取什么值，才能使函数$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$$对所有$x$满足$f\big(f(x)\big)=x$？ 559 | \end{enumerate} 560 | 561 | \section{函数的图象} 562 | 563 | 从平面上一条曲线（对这条曲线应该要求：与纵轴平行 564 | 的直线与它的交点不能多于一个）可以引出一个函数，反过 565 | 来，给了一个函数$y=f(x)$, 那么通常采用直角坐标系，就 566 | 可以用图形来表示$y$是$x$的函数． 567 | 568 | 定义在某一变域$D$上的函数的图象就是让$x$取遍$D$中所 569 | 有值，所有点$(x,f(x))$的集合便形成平面上的一个\textbf{图形}， 570 | 这个图形称为函数$y=f(x)$的\textbf{图象}，而这个方程$y=f(x)$称 571 | 为\textbf{图象的方程}． 572 | 573 | 利用函数图象的几何直观可以更清楚地看出函数的一些 574 | 性质，下面我们把函数的解析性质和它的图象上相应的几何 575 | 性质对照着列出来： 576 | \begin{center} 577 | \begin{tabular}{cp{.45\textwidth}p{.45\textwidth}} 578 | \hline 579 | & 解析性质 &几何性质\\ 580 | \hline 581 | 1 &$f$是$x$的增函数，即对于任意的$a\in D$, $b\in D$, 当$af(b)$ &$f$的图象随着向右移动而下降\\ 584 | 3&$f$是偶函数，即对于任意的$x\in D$, 恒有$f(-x)=f(x)$ &函数$f$的图象关于$y$轴对称\\ 585 | 4& $f$是奇函数，即对于任意的$x\in D$, 恒有$f(-x)=-f(x)$ & 函数$f$的图象关于原点对称\\ 586 | 5 & $f$是周期函数，即对于任意的$x\in\mathbb{R}$, 恒有$f(x+p)=f(x)$, 这里$p$是一个正的常数& 函数$f$在区间 587 | $[0,p]$或$\left[-\frac{p}{2},\frac{p}{2}\right]$上的 588 | 图象可以沿$x$轴左、右连续推移，重复出现\\ 589 | \hline 590 | \end{tabular} 591 | \end{center} 592 | 593 | 下面我们给出几个常见的函数的图象． 594 | 595 | \subsubsection{常值函数} 596 | 常值函数$f(x)=c$的图象是一条平行$x$轴的直线，它 597 | 至$x$轴的距离为$|c|$, 如图8.8． 598 | 599 | \subsubsection{取整函数} 600 | 函数$f(x)=[x]$代表不超过$x$的最大整数，即： 601 | 若$n\le x=latex, scale=1] 608 | \draw[->] (-2.5,0)--(2.5,0)node[right]{$x$}; 609 | \draw[->] (0,-1)--(0,2.5)node[right]{$y$}; 610 | \draw[very thick] (-2,1.5)--(2,1.5)node[above]{$f(x)=c$}; 611 | \draw[<->] (-1,0)--node[right]{$c$}(-1,1.5); 612 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 613 | \end{tikzpicture} 614 | \caption{} 615 | \end{minipage} 616 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 617 | \centering 618 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1] 619 | \draw[->] (-2.5,0)--(3.5,0)node[right]{$x$}; 620 | \draw[->] (0,-2.5)--(0,2.5)node[right]{$y$}; 621 | \foreach \x in {-2,-1,1,2,3} 622 | { 623 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 624 | } 625 | \foreach \x in {1,2} 626 | { 627 | \draw (0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 628 | } 629 | \foreach \x in {-1,-2} 630 | { 631 | \draw (0,\x)--(.1,\x)node[right]{$\x$}; 632 | } 633 | 634 | \foreach \x in {-2,-1,...,2} 635 | { 636 | \draw [very thick](\x,\x)--(\x+1,\x); 637 | \draw (\x+1,\x)[fill=white] circle(1.5pt); 638 | } 639 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 640 | \end{tikzpicture} 641 | \caption{} 642 | \end{minipage} 643 | \end{figure} 644 | 645 | \subsubsection{一次函数} 646 | 647 | 我们已经在第三册中知道，一次函数$f(x)=kx+b\; (k\ne 0)$的图象是不平行于$x$轴和$y$轴的直线．$k$称为直线的斜 648 | 率，$b$称为直线的$y$截距．若知一次函数图象上的两个点， 649 | 我们用直线方程的两点式： 650 | \[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\] 651 | 就可以写出一次函数的关系式． 652 | 653 | 下面给出的函数的图象是有间断点的直线： 654 | 655 | 函数$f(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{x^2-1}{x-1}$, 656 | $x\in (-\infty,1)\cup(1,+\infty)$的 657 | 图象是一条有间断点$\left(1,1\frac{1}{2}\right)$的直线，除去点$\left(1,1\frac{1}{2}\right)$外， 658 | 它与直线$y=\frac{3}{4}(x+1)$一致．（见图8.10） 659 | 660 | \begin{figure}[htp] 661 | \centering 662 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1] 663 | \draw[->] (-2.5,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 664 | \draw[->] (0,-1)--(0,2.5)node[right]{$y$}; 665 | \foreach \x in {-1,1} 666 | { 667 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 668 | } 669 | \draw[domain=-2:2, samples=10, very thick]plot(\x, {0.75*(\x+1)}); 670 | 671 | \draw[dashed] (0,1.5)node[left]{$1\frac{1}{2}$}--(1,1.5)--(1,0); 672 | \draw (1,1.5) [fill=white] circle(1.5pt)node[right]{$\left(1,1\tfrac{1}{2}\right)$}; 673 | \node at (2,2)[above]{$y=\frac{3}{4}(x+1)$}; 674 | \node at (.25,-.25){$O$}; 675 | \end{tikzpicture} 676 | \caption{} 677 | \end{figure} 678 | 679 | \subsubsection{阶梯函数} 680 | 设点列$\{x_i\},\; i=0,1,\ldots,n$是闭区间$[a,b]$中的递增 681 | 点列，使得$x_0=a$, $x_n=b$, 即 682 | $a=x_0=latex, scale=.73] 702 | \draw[->] (-.5,0)--(7,0)node[right]{$x$}; 703 | \draw[->] (0,-1.5)--(0,3.5)node[right]{$y$}; 704 | \foreach \x in {1,2,...,6} 705 | { 706 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 707 | } 708 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 709 | \foreach \x in {-1,1,2,2.5} 710 | { 711 | \draw (0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 712 | } 713 | 714 | \draw[very thick] (0,2)--(1,2); 715 | \draw[very thick] (1,0)--(2,0); 716 | \draw[very thick] (2,-1)--(4,-1); 717 | \draw[very thick] (4,2)--(6,2); 718 | \foreach \x in {{0,2},{1,0},{2,-1},{4,2}} 719 | { 720 | \draw (\x)[fill=white] circle(2.5pt); 721 | } 722 | \draw (0,2.5)[fill=black] circle(2.5pt); 723 | \end{tikzpicture} 724 | \caption{} 725 | \end{minipage} 726 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 727 | \centering 728 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.73] 729 | \draw[->] (-.5,0)--(7,0)node[right]{$x$}; 730 | \draw[->] (0,-5)--(0,2)node[right]{$y$}; 731 | \foreach \x in {1,2,...,6} 732 | { 733 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.1); 734 | } 735 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 736 | \foreach \x in {1,-1,-2,...,-4} 737 | { 738 | \draw (0,\x)node[left]{$\x$}--(.1,\x); 739 | } 740 | 741 | \draw[very thick] (1,0)node[above]{$A$}--(2,.5)node[above]{$B$}--(3,-1)node[below]{$C$}--(4,0)node[above]{$D$}--(6,-4)node[below]{$E$}; 742 | 743 | \end{tikzpicture} 744 | \caption{} 745 | \end{minipage} 746 | \end{figure} 747 | 748 | \subsubsection{折线函数} 749 | 我们定义$g$： 750 | \[g(x)=\begin{cases} 751 | \frac{1}{2}(x-1), & x\in[1,2]\\ 752 | -\frac{3}{2}(x-2)+\frac{1}{2}(2-1),& x\in [2,3]\\ 753 | (x-3)-\frac{3}{2}(3-2)+\frac{1}{2}(2-1),& x\in [3,4]\\ 754 | -2(x-4)+(4-3)-\frac{3}{2}(3-2)+\frac{1}{2}(2-1),& x\in [4,6]\\ 755 | \end{cases}\] 756 | 它的图象是一条折线$ABCDE$, 如图4.12． 757 | 758 | 759 | \subsubsection{幂函数} 760 | 函数$f(x)=x^n$，其中$n$为任意自然数，称为正整指数幂 761 | 函数． 762 | 763 | 为了了解正整指数幂函数的一般性质，我们在同一个坐 764 | 标系内，绘出几个这样的函数，如图4.13． 765 | 766 | 显然，当$n$为奇数时，因为$f(-x)=(-x)^n=-x^n=-f(x)$, 767 | 所以函数是奇函数．又所有正整指数幂函数，当$x=0$时， 768 | $f(0)=0$．故每个奇次幂函数的图象通过原点，位于第一和 769 | 第三象限内且关于原点对称．所有这样的函数都是增函数． 770 | 771 | 当$n$为偶数时，因为$f(-x)=(-x)^n=x^n=f(x)$，所以 772 | 函数是偶函数，每个图象通过原点，位于第一和第二象限内 773 | 且关于$y$轴对称． 774 | 775 | 由于当$x=1$时，$f(1)=1^n=1$, 每个正整指数幂函数的 776 | 图象都通过点$(1,1)$． 777 | 778 | \begin{figure}[htp] 779 | \centering 780 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=3] 781 | \draw[->] (-1.3,0)--(1.3,0)node[right]{$x$}; 782 | \draw[->] (0,-1.3)--(0,1.3)node[right]{$y$}; 783 | \foreach \x in {-1,1} 784 | { 785 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.02); 786 | } 787 | \node at (.1,-.1){$O$}; 788 | \draw[dashed](-1,-1)--(-1,1)--(1,1)--(1,0); 789 | 790 | \draw (-1.2,-1.2)--(1.2,1.2); 791 | \draw [domain=-1.15:1.15, samples=100, thick]plot(\x, {\x*\x}); 792 | \draw [domain=-1.1:1.1, samples=100, very thick]plot(\x, {\x*\x*\x}); 793 | \draw [domain=-1.05:1.05, samples=100, ultra thick]plot(\x, {\x*\x*\x*\x}); 794 | \node at (0,1)[right]{1}; 795 | \node at (1,1)[right]{$(1,1)$}; 796 | \node at (-.75,-.75)[right]{$y=x$}; 797 | \node at (-.8,-.512)[left]{$y=x^3$}; 798 | \node at (-.75,.5625)[right]{$y=x^2$}; 799 | \node at (-.8,.41)[left]{$y=x^4$}; 800 | \end{tikzpicture} 801 | \caption{} 802 | \end{figure} 803 | 804 | 现在让指数$n$逐次增大，看看图象的变化，从图8.14, 805 | 8.15可以清楚地看出每个图象的平坦部分和陡峭部分，曲线 806 | 最终以图8.14和8.15中的粗黑线为极限位置． 807 | 808 | 函数$f(x)=x^{-n}$（$x\ne 0$, $n$为自然数）称为负整指数幂函数． 809 | 在同一坐标系内，绘出$y=x^{-1}$, $y=x^{-2}$, $y=x^{-3}$, $y=x^{-4}$ 810 | 的图象如图8.16所示．当$x=0$时，这些函数都无意义，函数 811 | 的图象在此点断开，它的二支以$y$轴为渐近线． 812 | 813 | 当指数为负奇数时，这些函数是奇函数．图象的二支分 814 | 别位于第一和第三象限内，随$x$向右移动下降，且关于原点 815 | 对称．因此，函数在$(-\infty,0)$或$(0,+\infty)$内是减函数． 816 | 817 | 当指数是负偶数时，这些函数是偶函数，每个函数的图 818 | 象在原点处断开，分为二支，位于第一和第二象限内，都以 819 | $y$轴为渐近线，且关于$y$轴对称．从图象明 显地看出，当 820 | $x<0$时，函数是增函数，当$x>0$时，函数是减函数． 821 | 822 | 下面我们来说明一些函数的图象如何由另一些函数的已 823 | 知图象经过某些几何变换得到． 824 | 825 | 若对于任意的$x\in D$, 函数$f$和$g$满足$g(x)=f(x-c)$, 826 | 这里$c$是常数，则若$c>0\; (c<0)$，$y=g(x)$的图象可以由 827 | $y=f(x)$的图象，平行$x$轴右移（或左移）$|c|$个单位得到． 828 | 829 | 若函数$f$和$g$满足等式$g(x)=f(kx)$, 这里$k$是常数，则若 830 | $k>1\; (01\; (0=latex, scale=2.2] 844 | \draw[->] (-1.3,0)--(1.3,0)node[right]{$x$}; 845 | \draw[->] (0,-.5)--(0,1.6)node[right]{$y$}; 846 | \foreach \x in {-1,1} 847 | { 848 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.02); 849 | } 850 | \node at (.1,-.1){$O$}; 851 | \draw[ultra thick](-1,1.5)--(-1,0)--(1,0)--(1,1.5); 852 | \draw [domain=-1.25:1.25, samples=100, thick]plot(\x, {\x*\x}); 853 | \draw [domain=-1.15:1.15, samples=100, dashed]plot(\x, {\x*\x*\x*\x}); 854 | \node at (-.75,.5625)[right]{$y=x^2$}; 855 | \node at (-1.2,1.7)[right]{$y=x^4$}; 856 | \end{tikzpicture} 857 | \caption{} 858 | \end{minipage} 859 | \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth} 860 | \centering 861 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=2] 862 | \draw[->] (-1.3,0)--(1.3,0)node[right]{$x$}; 863 | \draw[->] (0,-1.3)--(0,1.3)node[right]{$y$}; 864 | \foreach \x in {-1,1} 865 | { 866 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.02); 867 | } 868 | \node at (.1,-.1){$O$}; 869 | \draw[ultra thick](-1,-1.2)--(-1,0)--(1,0)--(1,1.2); 870 | \draw (-1.2,-1.2)--(1.2,1.2); 871 | \draw [domain=-1.1:1.1, samples=100, thick]plot(\x, {\x*\x*\x}); 872 | \node at (0,1)[right]{1}; 873 | \node at (.75,.75)[left]{$y=x$}; 874 | \node at (.8,.512)[right]{$y=x^3$}; 875 | \end{tikzpicture} 876 | \caption{} 877 | \end{minipage} 878 | \end{figure} 879 | 880 | \begin{figure}[htp] 881 | \centering 882 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.2] 883 | \draw[->] (-4,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 884 | \draw[->] (0,-5)--(0,5)node[right]{$y$}; 885 | \draw [domain=-4:-.22, samples=100]plot(\x, {1/\x}); 886 | \draw [domain=-3.5:-.45, samples=100, thick]plot(\x, {1/(\x*\x)}); 887 | \draw [domain=-3:-.6, samples=100, very thick]plot(\x, {1/(\x*\x*\x)}); 888 | \draw [domain=-3:-.68, samples=100, ultra thick]plot(\x, {1/(\x*\x*\x*\x)}); 889 | \node at (.2,-.2){$O$}; 890 | \draw [domain=.22:4, samples=100]plot(\x, {1/\x}); 891 | \draw [domain=.45:3.5, samples=100, thick]plot(\x, {1/(\x*\x)}); 892 | \draw [domain=.6:3, samples=100, very thick]plot(\x, {1/(\x*\x*\x)}); 893 | \draw [domain=.68:3, samples=100, ultra thick]plot(\x, {1/(\x*\x*\x*\x)}); 894 | 895 | \draw[dashed](1,0)--(1,1)node[right]{$(1,1)$}--(-1,1)node[left]{$(-1,1)$}--(-1,-1)node[left]{$(-1,-1)$}--(0,-1); 896 | 897 | \draw (1,-1)--(1.5,-1)node[right]{$y=x^{-1}$}; 898 | \draw[thick] (1,-1.5)--(1.5,-1.5)node[right]{$y=x^{-2}$}; 899 | \draw[very thick] (1,-2)--(1.5,-2)node[right]{$y=x^{-3}$}; 900 | \draw[ultra thick] (1,-2.5)--(1.5,-2.5)node[right]{$y=x^{-4}$}; 901 | \draw (.75,-.6) rectangle (3,-2.9); 902 | 903 | 904 | \end{tikzpicture} 905 | \caption{} 906 | \end{figure} 907 | 908 | 909 | 910 | \begin{example} 911 | 说明$y=f(x)=\sin x$和$y=g(x)=\cos x$的图象的 912 | 关系． 913 | \end{example} 914 | 915 | 916 | \begin{solution} 917 | 这两个函数的定义域都是$(-\infty,+\infty)$，根据$f(x)= 918 | \sin x$和$g(x)=\cos x$是周期等于$2\pi$的函数，因此我们可以先在 919 | 长度等于$2\pi$的区间上来讨论这两个函数． 920 | 921 | 设$f(x)=\sin x$的定义域$D_y=[0,2\pi]$, 因为余弦函数 922 | $g(x)=\cos x$可以看作正弦函数$\sin x$ 与$x'=x+\frac{\pi}{2}$ 923 | 的复合函数，即$g(x)=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$, 924 | 所以复合函数$\sin\left(x+\frac{\pi}{2} \right)$ 925 | 有意义，必须且只须$0\le x+\frac{\pi}{2}\le 2\pi$， 926 | 由此得到$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{3\pi}{2}$． 927 | 928 | 这就是说$y=g(x)=\cos x$ 的定义域是 929 | $D_g=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$． 930 | 因为区间$D_g$是把区间$D_f$左移了$\frac{\pi}{2}$ 931 | 个单位的结果，并且对于$D_g=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$中 932 | 的每一个$x$都可以在$D_f=[0,2\pi ]$中找 933 | 到相应的$x+\frac{\pi}{2}$ 934 | 使得 935 | $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$, 936 | 所以$y=\sin x$在 937 | 区间$D_f=[0,2\pi]$ 上的一段图象左移 938 | $\frac{\pi}{2}$个单位就得到$y=\cos x$在区间$D_g= 939 | \left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$上 940 | 的一段，因此，将$y=\sin x$的整个图象左移$\frac{\pi}{2}$ 941 | 个单位就得到整个$y=\cos x$的图象了，如图 942 | 8.17所示． 943 | \begin{figure}[htp] 944 | \centering 945 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8] 946 | \draw[->] (-5.5,0)--(9,0)node[right]{$x$}; 947 | \draw[->] (0,-2)--(0,2)node[right]{$y$}; 948 | \foreach \x/\xtext in {-3/-\tfrac{3\pi}{2},-1/-\tfrac{\pi}{2},1/\tfrac{\pi}{2},3/\tfrac{3\pi}{2},5/\tfrac{5\pi}{2}} 949 | { 950 | \draw(\x*pi/2, 0)node[below]{$\xtext$}--(\x*pi/2,.2); 951 | } 952 | \foreach \x/\xtext in {-1/-\pi, 1/\pi, 2/2\pi} 953 | { 954 | \draw(\x*pi, 0)--(\x*pi,.2)node[above]{$\xtext$}; 955 | } 956 | \draw [domain=-pi:2.5*pi, samples=100, very thick]plot(\x, {cos(\x r)}); 957 | \draw [domain=-1.5*pi:2.5*pi, samples=100, thick]plot(\x, {sin(\x r)}); 958 | \node at (.4,-.4){$O$}; 959 | \node at (-pi,-1)[below]{$y=\cos x$}; 960 | \node at (2.5*pi,1)[right]{$y=\sin x$}; 961 | \end{tikzpicture} 962 | \caption{} 963 | \end{figure} 964 | 965 | $\because\quad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \therefore\quad y=\sin x$的图象关于原点对称． 966 | 967 | $\because\quad \cos(-x)=\cos x,\qquad \therefore\quad y=\cos x$的图象关于$y$轴对称． 968 | 969 | \end{solution} 970 | 971 | \begin{example} 972 | 说明函数$y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$, $D_f=[-1,1]$和 973 | $y=g(x)=\sqrt{1-4x^2}$的图象的关系． 974 | \end{example} 975 | 976 | \begin{solution} 977 | 我们已经知道$f$的定义域是$D_f=[-1,1]$且$g(x)$可 978 | 以看作$f(x')$与$x'=2x$的复合函数，即 979 | \[g(x)=f(2x)=\sqrt{1-(2x)^2}\] 980 | 981 | 复合函数$f(2x)$有意义必须且只须$-1\le 2x\le 1$, 即： 982 | \[-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\] 983 | 因此，$g(x)$的定义域是$D_g=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$． 984 | 因为对于$D_g=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$中 985 | 的每一个$x$, 在$D_f$中一定有一个相应的$2x$使 986 | 得$g(x)=f(2x)$成立，这就说明了将$y=f(x)$的图象上所有 987 | 点的横坐标垂直$y$轴压缩一半而使点的纵坐标不变便得 988 | $g(x)=\sqrt{1-4x^2}$的图象，如图4.18所示． 989 | 990 | \begin{figure}[htp] 991 | \centering 992 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=2.5] 993 | \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0)node[right]{$x$}; 994 | \draw[->] (0,-.5)--(0,1.5)node[right]{$y$}; 995 | \draw [very thick](-1,0) arc (180:0:1); 996 | \draw[domain=-.5:.5, samples=1000, thick] plot(\x, {sqrt(1-4*\x*\x)}); 997 | \foreach \x/\xtext in {-1/-1,-.5/-\frac{1}{2},.5/\frac{1}{2},1/1} 998 | { 999 | \draw (\x,0)node[below]{$\xtext$}--(\x,.1); 1000 | } 1001 | \node at (.1,-.1){$O$}; 1002 | 1003 | \draw[thick] (1,1)--(1.25,1)node[right]{$y=g(x)=\sqrt{1-4x^2}$}; 1004 | \draw[very thick] (1,1.25)--(1.25,1.25)node[right]{$y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$}; 1005 | \draw (.9,.8) rectangle (2.7,1.4); 1006 | \end{tikzpicture} 1007 | \caption{} 1008 | \end{figure} 1009 | \end{solution} 1010 | 1011 | \begin{ex} 1012 | \begin{enumerate} 1013 | \item 试由函数增减性的定义，说明下面函数的增减性： 1014 | \begin{multicols}{2} 1015 | \begin{enumerate} 1016 | \item $y=x^3$ 1017 | \item $y=x^{-2}$ 1018 | \item $f(x)=\sqrt{x}$ 1019 | \item $g(x)=\sqrt[3]{x}$ 1020 | \item $h(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 1021 | \end{enumerate} 1022 | \end{multicols} 1023 | 1024 | \item 作下列函数的图象： 1025 | \begin{multicols}{2} 1026 | \begin{enumerate} 1027 | \item $y=\sqrt{x}$ 1028 | \item $y=x-[x]$ 1029 | \item $y=\sqrt{x-[x]}$ 1030 | \item $y=[x]+\sqrt{x-[x]} $ 1031 | \end{enumerate} 1032 | \end{multicols} 1033 | \item 若一折线函数的图象$ABCDE$的顶点坐标是 1034 | \[A\left(-1,-1\frac{1}{2}\right),\quad B(1,1),\quad C(3,-1),\quad D(6,2.5),\quad E(7,2.5)\] 1035 | 写出这个函数的解析式． 1036 | 1037 | \item 作下列函数的图象： 1038 | \begin{multicols}{2} 1039 | \begin{enumerate} 1040 | \item $f(x)=|2x|$ 1041 | \item $f(x)=\frac{|x|}{x}$ 1042 | \item $y=|4-x^2|,\quad -3\le x\le 3$ 1043 | \item $y=|x^2-2x-3|$ 1044 | \end{enumerate} 1045 | \end{multicols} 1046 | \item 已知点$P(\alpha,\beta)$和一水平线$L$即$g(x)=\gamma$的图象．证 1047 | 明至$P$与$L$等距离的所有点$(x,y)$的集合，是具有$f(x)= 1048 | ax^2+bx+c$形式的函数的图象． 1049 | \end{enumerate} 1050 | \end{ex} 1051 | 1052 | \section{函数的连续性} 1053 | 在初中一年级讨论平方根时，我们曾用下面的想法初步 1054 | 地肯定$\sqrt{2}$的“存在性”：边长是1米的正方形面积是1平 1055 | 方米；边长是2米的正方形面积是4平方米，所以，当一个正 1056 | 方形的边长逐渐增加时，它的面积逐渐由1平方米增加到4 1057 | 平方米，中间应该会有那么一个2平方米的正方形． 1058 | 1059 | 上面这段话只是一个粗略的想法，用数学语言来表达 1060 | 如下： 1061 | 1062 | $y=f(x)=x^2$, 这个幂函数的函数值，在$x=1$时，$f(1)=1^2=1$； 1063 | $x=2$时，$f(2)=2^2=4$; 当$x$由1变到2时，$x$的值应 1064 | 该由1“连续地”变到4, 所以$x$应该能取一个值$x_0$使 1065 | $f(x_0)=x^2_0=2$． 1066 | 1067 | 上面说的“连续地”这个术语究竟是什么意思呢？在这 1068 | 一节中，我们就是要把“连续性”的涵意加以分析、确立． 1069 | 并且，把上面这个粗略的想法体现成一个明确有用的定 1070 | 理——中间值定理． 1071 | 1072 | \subsection{连续函数的概念} 1073 | 从几何的直观来看，连续与间断的意思是一目了然的， 1074 | 一条曲线是连续的，指这条曲线没有间断点，在上一节考察 1075 | 的函数，展示了函数图象有间断点的情形，函数$f$在点$x_0$是 1076 | 否连续只依赖于它在$x_0$的一个（任意小的）邻域内的变化情 1077 | 况．直观地看来，如果 1078 | \begin{enumerate} 1079 | \item $f$在其定义域的点$x_0$的邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$内 1080 | 有定义； 1081 | \item 当$x$充分接近$x_0$时，函数值$f(x)$同$f(x_0)$相差任 1082 | 意小，即自变量$x$的微小变化只能引起函数值的微小变化， 1083 | 从而排除了函数值的跳跃，就函数的图象来看，在这一点 1084 | $x_0$的邻近，函数图象是由一条曲线组成的，而没有在这一点 1085 | 断开成为两个分支，那么称函数$f$在点$x_0$连续． 1086 | \end{enumerate} 1087 | 1088 | 1089 | “充分接近”和“相差任意小”这两句话是不够明确的，而 1090 | 必须用定量的术语给以严格的表述．现在我们可以用数列极 1091 | 限的概念把“当$x$充分接近$x_0$时，$f(x)$与$f(x_0)$相差任意小” 1092 | 这句话定量地描述如下： 1093 | 1094 | 如果在函数定义域$I$中，自变量$x$取任何一个收敛于$x_0\in I$ 1095 | （即$\displaystyle\lim_{i\to\infty}x_i=x_0$）的数列$\{x_i\}$的项$x_i\; (i=1,2,\ldots)$, 那么对应 1096 | 的函数数列： 1097 | \[f(x_1),\; f(x_2),\; \ldots,\; f(x_i),\ldots\] 1098 | 总有极限值$f(x_0)$, 即 1099 | \[\lim_{i\to\infty} f(x_i)=f(x_0)\] 1100 | 1101 | 于是我们得到下述连续性的严格定义： 1102 | 1103 | \begin{blk}{定义} 1104 | 定义在区间$I$上的一个函数$f$在点$a\in I$称做连 1105 | 续，如果 1106 | \begin{enumerate} 1107 | \item $f(a)$有一个确定值， 1108 | \item 对于$I$中每一个收敛于$a$的数列$\{x_i\}$, 对应的函数 1109 | 数列$\{f(x_i)\}$总以$f(a)$为极限，即有关系式： 1110 | $\displaystyle\lim_{i\to \infty}f(x_i)=f(a)=f\left(\displaystyle\lim_{i\to \infty}x_i\right)$ 1111 | 成立． 1112 | \end{enumerate} 1113 | \end{blk} 1114 | 1115 | 1116 | 这个定义表明对于一个连续函数$f$, 记号lim可以和记号 1117 | $f$互换． 1118 | 1119 | 我们举几个例子说明如何用这个定义来验证函数$f$在点 1120 | $a$处连续或间断． 1121 | 1122 | 1123 | \begin{example} 1124 | 函数$f(x)=\frac{3}{4}\cdot\frac{x^2-1}{x-1}$ 1125 | 在点$x=1$处不连续，因为 1126 | $f(1)$没有意义． 1127 | \end{example} 1128 | 1129 | \begin{example} 1130 | 函数$f(x)=[x]$在整数点$n$处不连续，因为当 1131 | $x=n,\; (n\in\mathbb{Z})$时，函数$f(x)=[x]$有确定值$f(n)=[n]=n$． 1132 | 虽然当$x$取的数列$\{x_i\}$的值，从$x=n$的右边趋于$n$时， 1133 | 有$\Lim_{i\to\infty}f(x_i)=\Lim_{i\to\infty}[x_i]=n=f(n)$, 但是当$x$取的数列$\{x'_n\}$从$x=n$的左边趋于$n$时，即当$x'_i$满足条件：$n-1\le x'_i 0$, $x_i\to 0$时，即$x_i$从右边趋近于原点时，有 1146 | $\Lim_{i\to\infty}\frac{1}{x_i}=+\infty$； 1147 | 1148 | 当$x_i<0$, $x_i\to 0$时，即$x_i$从左边趋近于原点时，有 1149 | $\Lim_{i\to\infty}\frac{1}{x_i}=-\infty$； 1150 | 1151 | 当$\{x_i\}$是任意一个趋于0的数列时，则$\Lim_{i\to\infty}\left|\frac{1}{x_i}\right|=\infty$． 1152 | 1153 | 无论哪种情形，数列$\left\{\frac{1}{x_i}\right\}$ 1154 | 趋向无穷大． 1155 | \end{example} 1156 | 1157 | \begin{rmk} 1158 | 例8.16和例8.18的分母的零点都是函数的不连续点， 1159 | 但是例8.16中的分式：$f(x)=\frac{3}{4}\cdot\frac{x^2-1}{x-1}$， 1160 | 当$x=1$时，代数恒等式 1161 | \[\frac{3}{4}\cdot\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{3}{4}(x+1)\] 1162 | 是成立的．因此任何数列$x_i\; (\ne 1)$趋于1时，由于$x_i\ne 1$， 1163 | \[\begin{split} 1164 | \Lim_{i\to\infty}f(x_i)&=\Lim_{i\to\infty}\frac{3}{4}\cdot \frac{x^2_i-1}{x_i-1}=\Lim_{i\to\infty}\frac{3}{4}(x_i+1)\\ 1165 | &=\frac{3}{4}(1+1)=\frac{3}{2} 1166 | \end{split}\] 1167 | 1168 | 这就是说，对于任何收敛于1的数列$\{x_i\}$, 对应的函数数 1169 | 列$\{f(x_i)\}$都以$\frac{3}{2}$为极限． 1170 | 1171 | 如果我们定义一个新函数$F$： 1172 | \[F(x)=\begin{cases} 1173 | \frac{3}{4}\cdot\frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1\\ 1174 | \frac{3}{2}, & x=1 1175 | \end{cases}\] 1176 | 那么$F(x)$在点$x=1$处就连续了． 1177 | \end{rmk} 1178 | 1179 | \begin{blk}{定义} 1180 | 如果对于任何收敛于$a$的数列$\{x_i\}$, $\Lim_{i\to\infty}f(x_i)$存在，并且彼此相等，但不等于$f(a)$, 或者$f(a)$没有定义，则 1181 | 称$f$在$a$处有可去间断点． 1182 | \end{blk} 1183 | 1184 | 例8.16中的$x=1$就是$f$的可去间断点． 1185 | 1186 | \begin{blk}{定义} 1187 | 如果函数$f$在定义域$I$中每一点都连续，就说$f$ 1188 | 是$I$上的一个连续函数，或简称为连续函数． 1189 | \end{blk} 1190 | 1191 | \subsection{连续函数的运算} 1192 | 由连续函数定义知道，函数$f$在$a\in I$连续当且仅当：若 1193 | $I$里的每个数列$\{x_i\}$收敛于$a$时，数列$\{f(x_i)\}$也收敛于 1194 | $f(a)$． 1195 | 1196 | 我们可以把上述条件： 1197 | \[\lim_{i\to \infty}x_i=a \quad \Longrightarrow\quad \lim_{i\to \infty}f(x_i)=f(a)\] 1198 | 简写成： 1199 | \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=f\left(\lim_{x\to a}x\right)\] 1200 | 1201 | 由数列极限运算定理直接得出下面定理． 1202 | 1203 | \begin{blk}{定理1} 1204 | 设$f$和$g$在$a$处连续，即 1205 | \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a),\qquad \lim_{x\to a}g(x)=g(a)\] 1206 | 则 1207 | \begin{enumerate} 1208 | \item $\Lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=f(a)\pm g(a)$，（即$f\pm g$在$a$处连续）． 1209 | \item $\Lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)=f(a)\cdot g(a)$，（即$f\cdot g$在$a$处连续）． 1210 | \item 若$g(a)\ne 0$，$\Lim_{x\to a}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{g(a)}$，（即$1/g$在$a$处连续）． 1211 | \end{enumerate} 1212 | \end{blk} 1213 | 1214 | \begin{example} 1215 | 函数$f(x)=x^k$ ($k$是一个正整数，$x\in\mathbb{R}$) 到处连 1216 | 续，即$\Lim_{x\to a}x^k=a^k,\; (a\in\mathbb{R})$． 1217 | \end{example} 1218 | 1219 | \begin{proof} 1220 | 对$k$用数学归纳法来证明，设$a$是$f$的定义域$\mathbb{R}$ 1221 | 中任何一点． 1222 | 1223 | 当$k=1$时，显然，$\Lim_{x\to a}x=a$, 命题成立． 1224 | 1225 | 假设当$k=i\; (i\in\mathbb{N})$时，有 1226 | \[\Lim_{x\to a} x^i=a^i\qquad (i\in\mathbb{N})\] 1227 | 那么，当$k=i+1$时，有 1228 | \[\Lim_{x\to a}x^{i+1}=\Lim_{x\to a} x^i\cdot x=\Lim_{x\to a} x^i\cdot \Lim_{x\to a} x=a^i\cdot a=a^{i+1}\] 1229 | 于是，对于所有正整数$k$, $f(x)=x$在任何一点$a$连续，也 1230 | 即$f(x)=x$到处连续． 1231 | \end{proof} 1232 | 1233 | 1234 | 由定理1和$f(x)=x^k\; (k\in\mathbb{N})$, 及常数函数$g(x)=c$ ($c$是常数）的到处连续性，我们可以证明下面的命题 1235 | 成立． 1236 | 1237 | \begin{blk}{命题1} 1238 | 任何多项式函数到处连续． 1239 | \end{blk} 1240 | 1241 | 进一步推得下面命题： 1242 | 1243 | \begin{blk}{命题2} 1244 | 若$f$和$g$是两个多项式，$g\ne 0$, 那么有理函 1245 | 数$r=f/g$， 1246 | 除去$g$的零点集合，函数$r$是有定义的而且是 1247 | 连续的． 1248 | \end{blk} 1249 | 1250 | \begin{blk}{命题3} 1251 | $f(x)=\sqrt[n]{x}$在区间$(0,+\infty)$上连续，即 1252 | \[\lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{x_0}\qquad (x\in[0,+\infty))\] 1253 | \end{blk} 1254 | 1255 | \begin{proof} 1256 | 设$x_0$是一个任给正数，数列$\{x_i\}$是在$[0,+\infty)$ 1257 | 内任何一个收敛到$x_0$的数列，即$\Lim_{i\to \infty} x_i=x_0$．我们要证明，当 1258 | $\Lim_{i\to\infty} x_i=x_0$时，$\Lim_{i\to\infty} (\sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0})=0$． 1259 | 1260 | 在代数恒等式： 1261 | \[(A-B)\left(A^{n-1}+A^{n-2}B+\cdots +AB^{n-2}+B^{n-1}\right)=A^n-B^n\] 1262 | 中，以$A=x_i^{\tfrac{1}{n}}$, $B=x_0^{\tfrac{1}{n}}$代入，即得： 1263 | \begin{equation} 1264 | \sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0}=\frac{x_i-x_0}{x_i^{\tfrac{n-1}{n}}+x^{\tfrac{n-2}{n}}_i\cdot x_0^{\tfrac{1}{n}}+\cdots +x^{\tfrac{1}{n}}_i\cdot x_0^{\tfrac{n-2}{n}} + x_0^{\tfrac{n-1}{n}}} 1265 | \end{equation} 1266 | 由于$\Lim_{i\to\infty}x_i=x_0$, 根据数列极限定义，取 1267 | $\varepsilon=\frac{x_0}{2}$， 1268 | 则存在正整数$N$, 使得当$i>N$时，有 1269 | \[x_i>x_0-\frac{x_0}{2}=\frac{x_0}{2}\] 1270 | 从而，当$i>N$时，有 1271 | \begin{equation} 1272 | (x_i)^{\tfrac{1}{n}}=\left(\frac{x_0}{2}\right)^{\tfrac{1}{n}} 1273 | \end{equation} 1274 | 此外，显然有 1275 | \begin{equation} 1276 | (x_0)^{\tfrac{1}{n}}=\left(\frac{x_0}{2}\right)^{\tfrac{1}{n}} 1277 | \end{equation} 1278 | 1279 | 由(8.2)---(8.4)立即得 1280 | \[\left|\sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0}\right|<\frac{|x_i-x_0|}{n\left(\sqrt[n]{\frac{x_0}{2}}\right)^{n-1}}\] 1281 | 当$i\to\infty$时，$|x_i-x0|\to 0$, 又因为$n\left(\sqrt[n]{\frac{x_0}{2}}\right)^{n-1}$ 1282 | 是一个和$i$ 1283 | 无关的常数，所以 1284 | \[\left|\sqrt[n]{x_i}-\sqrt[n]{x_0}\right|\to 0\] 1285 | 即 1286 | \[\lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{x_0}\] 1287 | 这也就证明了$f(x)=\sqrt[n]{x}$ 在区间$[0,\infty)$上到处连续． 1288 | \end{proof} 1289 | 1290 | 我们在这里介绍了函数连续性的严格定义，对于初学者 1291 | 只要能够正确理解这一分析定义的涵义就可以了，以后在第 1292 | 六册微积分中，我们还要对它进行研究． 1293 | 1294 | \subsection{连续函数的中间值定理} 1295 | 平面上一个一目了然的性质是：一条直线把平面分割成 1296 | 两半，例如，在$(x,y)$坐标平面上，直线$y=c$就把平 1297 | 面分成$yc$这两半，从上半平面走到下半平面的 1298 | 连续通路，必须和分界线$y=c$相交，下述中间值定理也就 1299 | 是上述直观现象的代数化： 1300 | 1301 | \subsubsection{中间值定理} 1302 | 1303 | 设$y=f(x)$是一个在闭区间$[a,b]$ 1304 | 上到处连续的函数，设$c$是一个介于$f(a)$和$f(b)$之 1305 | 间的常数，则必存在一个介于$a,b$之间的实数$x_0$, 使得 1306 | $f(x_0)=c$．用几何术语来说：$y=f(x)$, $a\le x\le b$的图象 1307 | 是一条还结$P(a,f(a))$点和$Q(b,f(b))$点的连 1308 | 续曲线，而$P,Q$分居于直线$y=c$的两侧，则曲线$y= 1309 | f(x),\; a\le x\le b$至少和直线$y=c$有一个交点$(x_0, 1310 | f(x_0)=c)$，（图8.19）． 1311 | 1312 | \begin{figure}[htp] 1313 | \centering 1314 | \begin{tikzpicture}[>=latex, yscale=1.3] 1315 | \draw[->] (-1,0)--(6,0)node[right]{$x$}; 1316 | \draw[->] (0,-1)--(0,2)node[right]{$y$}; 1317 | \draw(-1,1)--(5,1)node[right]{$y=c$}; 1318 | \node at (.25,-.25){$O$}; 1319 | \draw[ thick] plot[smooth] coordinates{(-.5,-.5)(0,.2) (.5,.5) (1.5,.45) (2.4,1.2)(3.3,.7)(4.6,1.2)}; 1320 | \node at (-.5,-.5)[below]{$P(a,f(a))$}; 1321 | \node at (4.6,1.3)[above]{$Q(b,f(b))$}; 1322 | \draw[dashed] (2.8,0)node[below]{$x_0$}--(2.8,1); 1323 | \end{tikzpicture} 1324 | \caption{} 1325 | \end{figure} 1326 | 1327 | 1328 | 在给出这个定理的证明之前，我们先讨论一个特例，让 1329 | $f(x)=x^3+x-3$, $a=1$, $b=2$. 由于$f(1)=-1$与$f(2)=7$异号，我们将说明在1, 1330 | 2之间一定存在$f(x)=x^3+x-3$的根$k$, 使$f(k)=0$． 1331 | 1332 | 从$y=x^3+x-3$的图象 1333 | （图8.20）上看，这个命题是一 1334 | 目了然的，现在我们要把二分 1335 | 逼近法与实数完备性，函数连 1336 | 续性配合一起来说明它的根的 1337 | 存在和根的求法． 1338 | 1339 | \begin{figure}[htp] 1340 | \centering 1341 | \begin{tikzpicture}[>=latex, yscale=.6] 1342 | \draw[->] (-2,0)--(3,0)node[right]{$x$}; 1343 | \draw[->] (0,-9)--(0,8)node[right]{$y$}; 1344 | \foreach \x in {-8,-7,...,-1,1,2,...,7} 1345 | { 1346 | \draw (-.1,\x) node[left]{$\x$} --(0,\x); 1347 | } 1348 | \node at (.4,-.4){$O$}; 1349 | \draw[domain=-1.6:2, samples=100, very thick] plot(\x, {\x*\x*\x+\x-3}); 1350 | \node at (2,5)[right]{$y=x^3+x-3$}; 1351 | \end{tikzpicture} 1352 | \caption{} 1353 | \end{figure} 1354 | 1355 | 1356 | 首先，我们容易验证这个 1357 | 方程没有整数根$\pm 1$和$\pm 3$, 1358 | 因此所求的根一定是一个无理 1359 | 数，由于闭区间$[a,b]= 1360 | [1,2]$具有性质$P:f(a)\cdot f(b)<0$, 即$f(a)$与 1361 | $f(b)$异号．当我们把它二 1362 | 等分时，至少会有一个分段保 1363 | 有这个性质$P$, 照这样，不断地二等分保有性质$P$的分段， 1364 | 我们就可以得到保有性质$P$的两串左、右夹逼数列如下： 1365 | 1366 | 令$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$, 1367 | 显然$f\left(\frac{3}{2}\right)\ne 0$, 否则$f(x)$就 1368 | 会有有理数根$\frac{3}{2}$， 1369 | 无论$f\left(\frac{3}{2}\right)$是正还是负，在$\left[1,\frac{3}{2}\right]$和$\left[\frac{3}{2},2\right]$ 1370 | 这两个分段中一定有一段具有性质$P$, 算出 1371 | \[f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{8}>0\] 1372 | 1373 | 取$a_1=1$, $b_1=\frac{3}{2}$, 1374 | 闭区间$[a_1,b_1]=\left[1,\frac{3}{2}\right]$ 1375 | 保有性质$P$, 照这样进行有限次后，由于$f(x)$没有有理根， 1376 | 所以$f\left(\frac{a_m+b_m}{2}\right)\ne 0$, 这就使我们每次由$[a_m,b_m]$选取保 1377 | 有性质$P$的一个分段$[a_{m+1},b_{m+1}]$之后，还可以细分下去， 1378 | 因此，这个过程是无终止的． 1379 | \begin{itemize} 1380 | \item 令$x=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{1+\frac{3}{2}}{2}=\frac{5}{4}$,算出$f\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{13}{64}>0$，取$[a_2,b_2]=\left[1,\frac{5}{4}\right]$； 1381 | \item 1382 | 令$x=\frac{a_2+b_2}{2}=\frac{1+1.25}{2}=1.125$, 算出$f\left(1.125\right)=-0.4512<0$，取$[a_3,b_3]=\left[1.125,1.25\right]$； 1383 | \item 1384 | 令$x=\frac{a_3+b_3}{2}=\frac{1.125+1.25}{2}=1.1875$, 算出$f\left(1.1875\right)=-0.1379<0$，取$[a_3,b_3]=\left[1.1875,1.25\right]$； 1385 | \item 1386 | 令$x=\frac{1.1875+1.25}{2}=1.2188$, 算出$f\left(1.2188\right)=0.029>0$，取$[a_4,b_4]=\left[1.1875,1.2188\right]$； 1387 | 1388 | \item 1389 | 令$x=\frac{1.1875+1.2188}{2}=1.203$, 算出$f\left(1.203\right)=-0.0552<0$，取$[a_5,b_5]=\left[1.203,1.2188\right]$； 1390 | 1391 | \item 1392 | 令$x=\frac{1.203+1.2188}{2}=1.211$, 算出$f\left(1.211\right)=-0.0132<0$，取$[a_6,b_6]=\left[1.211,1.2188\right]$； 1393 | 1394 | \item 1395 | 令$x=\frac{1.211+1.2188}{2}=1.215$, 算出$f\left(1.215\right)=0.008>0$，取$[a_7,b_7]=\left[1.211,1.215\right]$； 1396 | 1397 | \item 1398 | 令$x=\frac{1.211+1.215}{2}=1.213$, 算出$f\left(1.213\right)=-0.0025<0$，取$[a_8,b_8]=\left[1.213,1.215\right]$； 1399 | 1400 | \end{itemize} 1401 | 1402 | 这样继续下去，我们得到无穷个闭区间满足下面的 1403 | 条件： 1404 | \begin{enumerate} 1405 | \item $[a,b]=[1,2]\supseteq [a_1,b_1]=\left[1,\frac{3}{2}\right]\supseteq [a_2,b_2]=\left[1,\frac{5}{4}\right]\supseteq [a_3,b_3]=\left[1.1875,1.25\right] 1406 | \supseteq [a_4,b_4]=\left[1.1875,1.2188\right]\supseteq [a_5,b_5]=\left[1.203,1.2188\right]\supseteq [a_6,b_6]=\left[1.211,1.2188\right]\supseteq [a_7,b_7]=\left[1.211,1.215\right]\supseteq [a_8,b_8]=\left[1.213,1.215\right]\supseteq \cdots 1407 | \supseteq 1408 | [a_n,b_n]=\supseteq\cdots $ 1409 | \item $[a_n,b_n]=\frac{1}{2}[a_{n-1},b_{n-1}]=\frac{1}{2^2}[a_{n-2},b_{n-2}]=\cdots=\frac{1}{2^n}[a,b]$ 1410 | 1411 | 因此，闭区间$[a_n,b_n]$的长$=\frac{1}{2^n}\to 0$． 1412 | \item $f(a_n)<0$,\; $f(b_n)>0$恒成立． 1413 | \end{enumerate} 1414 | 1415 | 换言之，得到满足下面性质的夹逼数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$: 1416 | \begin{enumerate} 1417 | \item $a=1\le a_1=1\le a_2=1\le a_3=1.1875\le a_4=1.1875 \le a_5=1.203 \le a_6=1.211 \le a_7=1.211 \le a_8=1.213 \le\cdots\le a_n\le\cdots\le b_n\le \cdots \le b_8=1.215 \le b_7=1.215 \le b_6=1.2188 \le b_5=1.2188 \le b_4= 1.2188 \le b_3= 1.25 \le b_2=1.25 \le b_1=1.5 \le b=2$ 1418 | 1419 | 并且$(b_n-a_n)=\frac{1}{2^n}\to 0$． 1420 | 1421 | \item $f(a_n)<0$,\; $f(b_n)>0$恒成立． 1422 | \end{enumerate} 1423 | 1424 | 由1和实数完备性，就得到唯一实数$k$满足 1425 | \[a_n\to k\leftarrow b_n,\qquad \text{即}\quad \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} b_n=k\] 1426 | 再由函数$f(x)=x^3+x-3$的到处连续性，即有 1427 | \[\lim_{n\to\infty} f(a_n)=f(k) \qquad \lim_{n\to\infty} f(b_n)=f(k)\] 1428 | \begin{itemize} 1429 | \item 由$f(a_n)<0$得知$f(k)\le 0$, 1430 | \item 由$f(b_n)>0$得知$f(k)\ge 0$． 1431 | \end{itemize} 1432 | 所以只有$f(k)=0$才能同时满足上述两种条件． 1433 | 1434 | 仿照上面的推理，我们得到了连续函数中间值定理的 1435 | 证明如下： 1436 | 1437 | 为了叙述方便，我们不妨设$f(a)f(b)$时，我们可以对$-f(x)$和$-c$来作同 1439 | 样的讨论]．由图8.19所示，交点可能有好几个，但是我们 1440 | 所要证的是至少有一个交点，我们将用二分法去逼近其中一 1441 | 个交点的坐标$x_0$． 1442 | 1443 | 取$a_1=a$, $b_1=b$, 把闭区间$[a,b]$二等分． 1444 | \begin{itemize} 1445 | \item 若 1446 | $f\left(\frac{a_1+b_1}{2}\right)=c$, 则 1447 | 就是一个所求的$x_0$, 自 1448 | 然不必再费任何手脚了； 1449 | \item 若 1450 | $f\left(\frac{a_1+b_1}{2}\right)c$, 1454 | 则取前半段为$[a_2,b_2]$． 1455 | \end{itemize} 1456 | 照这样逐次地由$[a_m,b_m]$去求出它的半段为$[a_{m+1},b_{m+1}]$. 1457 | 因为$f(a_m)c$, 取$x_0=\frac{a_m+b_m}{2}$ 1458 | \begin{itemize} 1459 | \item 若$f\left(\frac{a_m+b_m}{2}\right)c$ 1462 | 则取前半段为$[a_{m+1},b_{m+1}]$； 1463 | \item 若$f\left(\frac{a_m+b_m}{2}\right)=c$ 1464 | 则$\frac{a_{m}+b_{m}}{2}$也就是所求的$x_0$, 1465 | 而定理得证． 1466 | \end{itemize} 1467 | 1468 | 总结上述逐步二等分过程，就只有两种可能：一种可能 1469 | 是经过有限次二等分后，有这样的分点$\frac{a_m+b_m}{2}$ 1470 | 使$f\left(\frac{a_m+b_m}{2}\right)=c$, 于是定理得证，另一种可能是没有这样的 1471 | 分点$\frac{a_m+b_m}{2}$ 1472 | 使$f\left(\frac{a_m+b_m}{2}\right)=c$成立，在这种情形下，继 1473 | 续不断二等分，我们得到无限多个退缩闭区间套$[a_n,b_n]$满 1474 | 足下列条件： 1475 | 1476 | \begin{enumerate} 1477 | \item 闭区间的端点形成夹逼数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$, 适合 1478 | \[a_1\le a_2\le \cdots\le a_n\le \cdots \le b_n\le \cdots\le b_2\le b_1\] 1479 | 并且$(b_n-a_n)\to 0$． 1480 | \item $f(a_n)c$恒成立． 1481 | 1482 | \end{enumerate} 1483 | 1484 | 由条件1和数完备性就得到唯一实数$x_0$ 1485 | \[\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} b_n=x_0\quad \text{即}\quad a_n\to x\leftarrow b_n\] 1486 | 再由函数$f(x)$在$x_0$连续性即有 1487 | \[ \lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(x_0),\qquad \lim_{n\to\infty} f(b_n)=f(x_0)\] 1488 | 1489 | 由$f(a_n)c$, 得知它的极限值$f(x_0)\ge c$． 1491 | 1492 | 所以，只有$f(x_0)=c$才能同时满足上述两个条件，定理得证． 1493 | 1494 | 1495 | \begin{blk}{命题1} 1496 | 当$a>0$时，$f(x)=x^n-a=0$存在唯一的正实 1497 | 数根，叫做$a$的$n$次算术方根，用符号$\sqrt[n]{a}$表示． 1498 | \end{blk} 1499 | 1500 | \begin{proof} 1501 | 先证存在性．$f(0)=-a<0$, 而 1502 | \[f(1+a)=(1+a)^n-a>0\] 1503 | 所以，由中间值定理$f(x)=x^n-a$在0和$(1+a)$之间至少 1504 | 有一个根$x_0$, 使得$f(x_0)=x_0^n-a=0$成立． 1505 | 1506 | 再证唯一性．因在$x>0$时，$x$愈大则它的$n$次方幂$x^n$ 1507 | 也愈大，所以$f(x)$在$x>0$时是严格递增的，当然不可 1508 | 能有两个不同的正实数满足$f(x)=0$． 1509 | \end{proof} 1510 | 1511 | 上面的命题给常用的“$n$次方根函数$y=\sqrt[n]{x},\; x\ge0$” 1512 | 提供了理论基础．为了进一步把中间值定理应用到一般的多 1513 | 项式函数上，我们给出下面的命题． 1514 | 1515 | \begin{blk}{命题2 } 1516 | 对于实系数的多项式 1517 | $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,\quad (a_0\ne 0)$, 总可以求出 1518 | 一个正数$P$, 使得当$x>P$时，$f(x)$的值与$a_0x^n$的值有相同的 1519 | 符号． 1520 | \end{blk} 1521 | 1522 | \begin{proof} 1523 | $f(x)=x^n[a_0+\varphi(x)]$, 这里 1524 | $\varphi(x)=\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^n},\; (x\ne 0)$是一个$\frac{1}{x}$的 1525 | 实系数多项式．显然， 1526 | \[\lim_{x\to\infty} \varphi(x)=0\] 1527 | 这也就是说，对于给定的$\varepsilon=|a_0|$, 存在一个正数$P$, 使得 1528 | 当$x>P$时，从而$0<\frac{1}{x}<\frac{1}{P}$时，有 1529 | \[|\varphi(x)|<|a_0|\] 1530 | 于是$a_0+\varphi(x)$, $(x>P)$与$a_0$同号，因此$f(x)$与$a_0x^n$ 1531 | 同号． 1532 | \end{proof} 1533 | 1534 | 但是要具体地求出$P$的值，还得用一些技巧． 1535 | 令$g=\max(|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_n|)$, 并且先设$x>P> 1536 | 1$, 于是$0<\frac{1}{x}<\frac{1}{P}<1$, 从而 1537 | \[\begin{split} 1538 | |\varphi(x)|&=\left|\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}\right|\\ 1539 | &\le g\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^n}\right)< g\cdot \frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} 1540 | \end{split}\] 1541 | 要使 1542 | \[|\varphi(x)|1+\frac{g}{|a_0|}$． 1544 | 1545 | 取$P=1+\frac{g}{|a_0|}$，因此，当$x>1+\frac{g}{|a_0|}$时，就可以使$f(x)$与$a_0x^n$有相同符号． 1546 | 1547 | 如果令$x=-X\; (X>0)$, 前面的情形说明当$X$是一个 1548 | 充分大的正数时，$f(-X)$的值的符号就与$(-1)^na_0X^n$ 1549 | 的值有相同符号．因此我们得到下面的推论： 1550 | 1551 | \begin{blk}{推论} 1552 | 对于实系数多项式$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a^n\; (a_0\ne 0)$ 1553 | \begin{itemize} 1554 | \item 当$x$充分大时，$f(x)$与$a_0$同号； 1555 | \item 当$x$取负值而$|x|$充分大时，若$n$是偶数，则$f(x)$与$a_0$同 1556 | 号；若$n$是奇数，则$f(x)$与$a_0$异号． 1557 | \end{itemize} 1558 | \end{blk} 1559 | 1560 | 由上面的推论直接得到下面的命题： 1561 | \begin{blk}{命题2} 1562 | 若$n$为奇数，则实系数方程$x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_0=0$ 1563 | 有一个根． 1564 | \end{blk} 1565 | 1566 | \section*{习题8.2} 1567 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题8.2} 1568 | \begin{enumerate} 1569 | \item 证明下列各函数是到处连续的函数： 1570 | \begin{multicols}{2} 1571 | \begin{enumerate} 1572 | \item $f(x)=|x|$ 1573 | \item $g(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$ 1574 | \item $h(x)=x|x|-\frac{1}{2}$ 1575 | \item $\varphi(x)=\sqrt{x}$ 1576 | \end{enumerate} 1577 | \end{multicols} 1578 | 1579 | \item 设函数$f(x)=\frac{x^2+1}{2x-1}$, 1580 | 则$f(0)=-1$, $f(1)=2$ 1581 | 符号相反，讨论方程式$f(x)=0$在$0\le x\le 1$中是否有解？ 1582 | \item 下列函数各在哪些点不连续： 1583 | \begin{multicols}{2} 1584 | \begin{enumerate} 1585 | \item $f(x)=\frac{x+2}{x^2-1}$ 1586 | \item $f(x)=\frac{x-1}{(x^2+1)(2x+3)}$ 1587 | \item $g(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x^2-4}}$ 1588 | \item $h(x)=\frac{2}{|x|-1}$ 1589 | \item $\varphi(x)=\frac{|x|-1}{|x-1|-4}$ 1590 | \item $F(x)=\frac{1}{x-[x]}$ 1591 | \end{enumerate} 1592 | \end{multicols} 1593 | 1594 | \item 试证下列多项式有唯一的正实根． 1595 | \begin{multicols}{2} 1596 | \begin{enumerate} 1597 | \item $x^3+x^2-1=0$; 1598 | \item $x^3-3x^2+3x-4=0$. 1599 | \end{enumerate} 1600 | \end{multicols} 1601 | \item 证明$8x^3-4x^2-18x+9=0$的一根在0和1之间，一 1602 | 根在1和2之间，一根在$-2$和$-1$之间． 1603 | \item 对于下列各多项式函数$f$, 求一整数$n$使在$n$和 1604 | $n+1$之间的某一$x$满足$f(x)=0$: 1605 | \begin{multicols}{2} 1606 | \begin{enumerate} 1607 | \item $f(x)=x^3-x+3$; 1608 | \item $f(x)=x^5+x+1$. 1609 | \end{enumerate} 1610 | \end{multicols} 1611 | \item 设$f(x),g(x)$是两个连续函数而且$f(a)> 1612 | g(a)$, $f(b)=latex] 1678 | \draw (0,0) ellipse [x radius=1, y radius=1.5]; 1679 | \draw (4,0) ellipse [x radius=1 ,y radius=1.5]; 1680 | 1681 | \draw(0,1)to [bend left=15] node[above]{$f$} (4,.7); 1682 | \draw (0,.5)to [bend left=-15]node[above]{$f$} (4,.7); 1683 | \draw (0,-1)to [bend left=-15]node[below]{$f$}(4,-.7); 1684 | \draw (0,-.5)to [bend left=15]node[below]{$f$} (4,-.7); 1685 | 1686 | \draw[->](1.75,0)--(2.25,0); 1687 | 1688 | \foreach \x/\xtext in {1/2,.5/-2,-.5/a,-1/-a} 1689 | { 1690 | \draw (0,\x) [fill=white]circle (1.5pt)node[left]{$\xtext$}; 1691 | } 1692 | \foreach \x/\xtext in {.7/4,-.7/2} 1693 | { 1694 | \draw (4,\x) [fill=white]circle (1.5pt)node[right]{$\xtext$}; 1695 | } 1696 | \end{tikzpicture} 1697 | \caption{} 1698 | \end{figure} 1699 | 1700 | 1701 | 下面我们来说明具有怎样性质的函数才有反函数． 1702 | 1703 | 假如函数$y=f(x)$具有这样的性质：“若$x_1\ne x_2\; \Rightarrow\; f(x_1)\ne f(x_2)$, 也就是说对于定义域$X$中任意不同的$x_1$, $x_2$, 它们在值域$Y=f(X)$中的对应值$f(x_1)$, $f(x_2)$也不相同”．那么 1704 | 对于$Y=f(X)$内任何一个$y$, 通过函数$f$, 可以逆对应出一 1705 | 个且只有一个$x$, 使得$y$和这个$x$对应，这样一个函数叫做由 1706 | $X$到$Y=f(X)$的一一对应函数，或双射（满射且单射），简 1707 | 称这个函数是\textbf{可逆}的．对于一个可逆函数$f:\; x\mapsto f(x)$, 我 1708 | 们可以交换自变数与因变数的地位，于是对于$Y=f(X)$的 1709 | 每一个$y$就有$X$内唯一一个逆象$x$, 这就是说我们得到了一 1710 | 个新函数： 1711 | \[ g:\; Y=f(X)\mapsto X,\qquad \text{使得}\; y\mapsto x=g(y)\] 1712 | 假如$y=f(x)$． 1713 | 1714 | 新函数和原来函数的这种关系可以用下图来说明： 1715 | \begin{center} 1716 | \begin{tikzpicture} 1717 | \node (A) at (1,0) {$x$}; 1718 | \node[rectangle, draw] (B) at (2,0) {$f$}; 1719 | \node (C) at (4,0) {$y=f(x)$}; 1720 | \node[rectangle, draw] (D) at (6,0) {$g$}; 1721 | \node (E) at (7,0) {$x$}; 1722 | \draw (A)--(B)--(C)--(D)--(E); 1723 | \end{tikzpicture} 1724 | \end{center} 1725 | 1726 | 1727 | 根据上面的分析，我们得到反函数的一般定义如下： 1728 | 1729 | \begin{blk}{定义} 1730 | 设给了一个函数$y=f(x)$, 其定义域为$X$, 值域 1731 | 为$Y=f(X)$, 如果对于$Y=f(X)$中每一个$y$值，都可以从关 1732 | 系式$y=f(x)$确定唯一的一个$x$值，则得到一个定义在$Y= 1733 | f(X)$上而且把$f(X)=Y$映射到$X$上的以$y$为自变数的新函 1734 | 数$x=g(y)$, 这个函数称为函数$y=f(x)$的反函数． 1735 | \end{blk} 1736 | 1737 | 不难理解$f$也是$g$的反函数，并且函数$y=f(x)$与它 1738 | 的反函数$x=g(y)$组成的复合函数一定是一个恒等函数，即 1739 | \[ g\big(f(x)\big)=x,\qquad f\big(g(y)\big)= y\] 1740 | 有时用符号$f^{-1}$表示反函数比较方便，如 1741 | \[f^{-1}\big(f(x)\big)=x,\qquad f\big(f^{-1}(y)\big)=y\] 1742 | 1743 | 按照函数$y=f(x)$的图象容易判断函数$y=f(x)$是否 1744 | 有反函数存在，就是在值域$Y=f(X)$内，任意给一个值$y_0$, 1745 | 作和$x$轴平行的直线$y=y_0$．如果函数$y=f(x),\; x\in X$的图 1746 | 象和直线$y=y_0$的交点多于一个，那么这个函数的反函数就 1747 | 不存在．如果只有一个交点，那么这个函数就有反函数．如 1748 | 图8.22所示． 1749 | 1750 | \begin{figure}[htp] 1751 | \centering 1752 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 1753 | \begin{scope} 1754 | \draw[->] (-2,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 1755 | \draw[->] (0,-1)--(0,2)node[right]{$y$}; 1756 | \draw(-2,1)--(3,1)node[right]{$y=y_0$}; 1757 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 1758 | \draw[ thick] plot[smooth] coordinates{(-1.7,-.5)(-1.0,.6)(0,1.2) (1.2,-.3)(1.6,-.5)(2,-.3) (2.5,1.2) }; 1759 | \node at (2.5,1.2)[above]{$y=f(x)$是不可逆的}; 1760 | \end{scope} 1761 | \begin{scope}[yshift=-3.5cm] 1762 | \draw[->] (-2,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 1763 | \draw[->] (0,-1)--(0,2)node[right]{$y$}; 1764 | \draw(-2,1)--(3,1)node[right]{$y=y_0$}; 1765 | \node at (-.25,-.25){$O$}; 1766 | \draw[ thick] plot[smooth] coordinates{(-1.5,-.5)(-.7,.3) (0,.5) (1.3,.7) (2.5,1.8)}; 1767 | \node at (2.5,1.8)[above]{$y=f(x)$是可逆的}; 1768 | \end{scope} 1769 | \end{tikzpicture} 1770 | \caption{} 1771 | \end{figure} 1772 | 1773 | 现在我们来研究互为反函数的图象的关系，因为互为反 1774 | 函数的两个函数$y=f(x)$和$x=g(y)$事实上就是同一个关系，在 1775 | 几何上就是同一条曲线．例如函数$y=2x+3$的图象和它的反 1776 | 函数$x=\frac{1}{2}(y-3)$的图象就是通过两个 1777 | 点$\left(-\frac{3}{2},0\right)$, $(0,3)$的同一条直线$2x-y+3=0$, 只是就函数$y=f(x)=2x+ 1778 | 3$的图象去看，横轴是自变量轴，而就反函数$x=g(y)=\frac{1}{2} 1779 | (y-3)$的图象来看，纵轴是自变量轴，但是在同一个坐标系 1780 | 内，一般我们总规定用横坐标$x$表示自变数，纵坐标$y$表示 1781 | 因变数，所以我们还需要把反函数关系式$x=g(y)$的$x,y$对 1782 | 调一下，得到习惯上的反函数$y=g(x)$．我们也称$y=g(x)$ 1783 | 是$y=f(x)$的反函数，当然反过来$y=f(x)$也是$y=g(x)$的反 1784 | 函数，例如函数$y=2x+3$和 $y=\frac{1}{2}(x-3)$互为反函数． 1785 | 1786 | 函数$y=f(x)$和它的反函数$y=f^{-1}(x)$的图象之间有如 1787 | 下关系： 1788 | 1789 | 若点$(a,b)$在曲线$y=f(x)$上，那么点$(b,a)$就在曲线 1790 | $y=f^{-1}(x)$上． 1791 | 1792 | 事实上，因为点$(a,b)$在曲线$y=f(x)$上，所以$b=f(a)$ 1793 | 成立，此等式也可以写成$a=f^{-1}(b)$, 这表示点$(b,a)$在曲 1794 | 线$y=f^{-1}(x)$上，于是当点$(a,b)$走遍曲线$y=f(x)$时，点 1795 | $(b,a)$就走遍曲线$y=f^{-1}(x)$. 通过初等几何的方法可以证 1796 | 明点$(a,b)$和$(b,a)$关于第一象限角和第三象限角的平分线 1797 | $y=x$对称．因此，为了得到反函数$y=f^{-1}(x)$的图象，我 1798 | 们只要把$y=f(x)$的图象关于直线$y=x$反射过来就可以．如 1799 | 图8.23所示． 1800 | \begin{figure}[htp] 1801 | \centering 1802 | \begin{tikzpicture}[>=latex] 1803 | \draw[->] (-2,0)--(4,0)node[right]{$x$}; 1804 | \draw[->] (0,-2)--(0,4)node[right]{$y$}; 1805 | \draw [domain=-1:1.3, samples=100, very thick]plot(\x, {exp(\x)}); 1806 | \draw [domain=exp(-1):exp(1.3), samples=100, very thick]plot(\x, {ln(\x)}); 1807 | \draw[dashed] (-1.5,-1.5)--(3.5,3.5)node[right]{$y=x$}; 1808 | \draw[dashed] (2.46,0)--(2.46,.9)node[right]{$(b,a)$}--(0,.9); 1809 | \draw[dashed] (.9,0)--(.9,2.46)node[right]{$(a,b)$}--(0,2.46); 1810 | \draw[dashed] (-.7,.5)--(.5,-.7); 1811 | \node at (.25,-.25){$O$}; 1812 | \node at (3.67,1.3)[right]{$y=f^{-1}(x)$}; 1813 | \node at (1.3,3.67)[above]{$y=f(x)$}; 1814 | \end{tikzpicture} 1815 | \caption{} 1816 | \end{figure} 1817 | 1818 | 1819 | 最后，我们给出一个反函数定理： 1820 | 1821 | \begin{blk}{定理} 1822 | 设$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上严格递增（递减） 1823 | 且连续，又$f(a)=\alpha$, $f(b)=\beta$, 则在闭区间$[\alpha,\beta]$ 上存在着 1824 | $y=f(x)$的反函数$x=f^{-1}(y)$, 又$x=f^{-1}(y)$在$[\alpha,\beta]$ （或$[\beta,\alpha]$）上也是严格递增（或递减）且连续的． 1825 | \end{blk} 1826 | 1827 | \begin{proof} 1828 | \begin{enumerate} 1829 | \item 先证$y=f(x)$的值域是闭区间$[\alpha,\beta]$, 设$y$ 1830 | 是$[\alpha,\beta]$中任意一点，如果$y=\alpha$或$\beta$,那么相应的$x=a$或$b$, 即 1831 | 有$f(a)=\alpha$或$f(b)=\beta$, 换言之，$\alpha ,\beta$ 在$f(x)$的值域中．又如 1832 | 果$\alpha=f(a)x_2$． 1848 | 1849 | 如果$x_1\ge x_2$, 由于$f$的递增性质，知道 1850 | \[y_1=f(x_1)\ge f(x_2)=y_2\] 1851 | 这与$y_1=latex, scale=.8] 1890 | \draw[->] (-3,0)--(5,0)node[right]{$x$}; 1891 | \draw[->] (0,-3)--(0,5)node[right]{$y$}; 1892 | \node at (.25,-.25){$O$}; 1893 | \draw [domain=-2:2, samples=50, very thick]plot(\x, {\x*\x}); 1894 | \draw [domain=0:4, samples=50,ultra thick]plot(\x, {sqrt(\x)}); 1895 | \draw [domain=0:4, samples=50,ultra thick]plot(\x, {-sqrt(\x)}); 1896 | \draw (-2,-2)--(3.5,3.5)node[right]{$y=x$}; 1897 | \node at (-2,4)[above]{$f_2(x)=x^2$}; 1898 | \node at (2,4)[above]{$f_1(x)=x^2$}; 1899 | \node at (4,-2)[below]{$f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x}$}; 1900 | \node at (4,2)[above]{$f_1^{-1}(x)=\sqrt{x}$}; 1901 | 1902 | \end{tikzpicture} 1903 | \caption{} 1904 | \end{figure} 1905 | 1906 | 1907 | 一般地，函数$y=f(x)=x^n,\; (n\in\mathbb{N})$在半开区间$[0,+\infty)$上 1908 | 连续和严格递增，函数$f$有反函数 1909 | \[x=f^{-1}(y)=\sqrt[n]{y}=y^{\tfrac{1}{n}},\qquad y\in [0,+\infty)\] 1910 | 它是连续的和严格递增的． 1911 | 1912 | 在图8.25中，我们画出几个幂函数和它们的反函数的 1913 | 图象： 1914 | \begin{figure}[htp] 1915 | \centering 1916 | \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=2] 1917 | \draw[->] (0,0)--(3.5,0)node[right]{$x$}; 1918 | \draw[->] (0,0)--(0,3.5)node[right]{$y$}; 1919 | \draw [domain=0:1.8, samples=100, thick] plot (\x, {\x^2}); 1920 | \draw [domain=0:1.5, samples=100, very thick] plot (\x, {\x^3}); 1921 | \draw [domain=0:1.35, samples=100, ultra thick] plot (\x, {\x^4}); 1922 | \draw [domain=0:3, samples=100, semithick] plot (\x, {\x}); 1923 | \draw [domain=0:3.25, samples=100, thick] plot (\x, {\x^(1/2)}); 1924 | \draw [domain=0:3.25, samples=100, very thick] plot (\x, {\x^(1/3)}); 1925 | \draw [domain=0:3.25, samples=100, ultra thick] plot (\x, {\x^(1/4)}); 1926 | \foreach \x in {1,2,3} 1927 | { 1928 | \draw (\x,0)node[below]{$\x$}--(\x,.05); 1929 | \draw(0,\x)node[left]{$\x$}--(.05,\x); 1930 | } 1931 | \node at (-.1,-.1){$O$}; 1932 | \node at (3,3)[right]{$y=x$}; 1933 | \node at (1.2,.9){$(1,1)$}; 1934 | \node at (1.8,{1.8^2})[right]{$y=x^2$}; 1935 | \node at (1.5,{1.5^3})[above]{$y=x^3$}; 1936 | \node at (1.35,{1.35^4})[left]{$y=x^4$}; 1937 | \node at (3.25,{3.25^(1/2)})[above]{$y=x^{\tfrac{1}{2}}$}; 1938 | \node at (3.25,{3.25^(1/3)})[right]{$y=x^{\tfrac{1}{3}}$}; 1939 | \node at (3.25,{3.25^(1/4)})[below]{$y=x^{\tfrac{1}{4}}$}; 1940 | 1941 | 1942 | 1943 | 1944 | \end{tikzpicture} 1945 | \caption{} 1946 | \end{figure} 1947 | 1948 | 1949 | 1950 | 1951 | 1952 | 1953 | \section*{习题8.3} 1954 | \addcontentsline{toc}{subsection}{习题8.3} 1955 | \begin{enumerate} 1956 | \item 下列函数在哪些范围内是严格单调的？ 1957 | \begin{multicols}{2} 1958 | \begin{enumerate} 1959 | \item $f(x)=x^3$ 1960 | \item $\varphi(x)=x^4$ 1961 | \item $y=\sqrt{x}$ 1962 | \item $y=\sqrt[3]{x}$ 1963 | \item $f(x)=|x+1|$ 1964 | \end{enumerate} 1965 | \end{multicols} 1966 | 1967 | 1968 | \item 对于下列各函数分别找出它们的最大定义域和值域 1969 | 使得它们有反函数，并分别写出它们的变数$x$表出的反 1970 | 函数． 1971 | \begin{multicols}{2} 1972 | \begin{enumerate} 1973 | \item $y=\sqrt{2x+1}$ 1974 | \item $y=x^{\tfrac{3}{2}}$ 1975 | \item $y=x^2-1$ 1976 | \item $y=\sqrt{1-x^2}$ 1977 | \item $f(x)=\frac{x}{1-x^2},\quad -1