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ALC_1C2025_Practica2.pdf ├── ALC_1C2025_Practica3.pdf ├── ALC_1C2025_Practica4.pdf ├── ALC_1C2025_Practica5.pdf ├── ALC_1C2025_Practica6.pdf └── ALC_1C2025_Practica7.pdf ├── macros ├── indice.tex ├── qr.tex ├── encabezado-pie.tex ├── estructura-ejercicios.tex └── preamble-general.tex └── README.md /1-guia/ejercicios-1/ej-3-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-7/codigo2-7-e.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | a = 1e-323 2 | 3 | print(f"r: {a}\na == 0 => {a == 0}") 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-7/codigo2-7-f.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | a = 1e-324 2 | 3 | print(f"r: {a}\na == 0 => {a == 0}") 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-5-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-8-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-14-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-21-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-22-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-23-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-24-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-6-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-7-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-8-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-18-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-20-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-21-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-22-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-23-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-18-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-19-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-20-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-21-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-22-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6/ej-1-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6/ej-10-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | 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-------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6/ej-7-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6/ej-8-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6/ej-9-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-1-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-10-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-11-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-12-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-13-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-14-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-15-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-16-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-6-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-7-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-8-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \hacer 3 | \end{enunciado} 4 | 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-------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/HEAD/enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica3.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/HEAD/enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica3.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica4.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/HEAD/enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica4.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica5.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/HEAD/enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica5.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica6.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/HEAD/enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica6.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica7.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/HEAD/enunciados-guias/ALC_1C2025_Practica7.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-1/codigo1-1-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | v1 = np.array([10, 5, -7, 1]) 4 | print(v1) 5 | 6 | v2 = np.array([5, 0, 3 / 2, 2]) 7 | print(v2) 8 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/teoria-6/teoria-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enumerate}[label=\tiny\purple{\faIcon{snowman}}] 2 | \item \textit{Ecuaciones normales:} 3 | $$ 4 | A^t(Ax - b) = 0 5 | \sii 6 | A^tAx = A^t b 7 | $$ 8 | \end{enumerate} 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/codigos-3/ej-9/codigo3-9-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | L_tilde = np.array([[1,0,0],[0.5,1,0],[-.5, 1.5, 1]]) 4 | U = np.array([[4,2,-2],[0,4,6],[0, 0, 1]]) 5 | 6 | print(f"L_tilde U=\n{L_tilde@U}") 7 | # [ 4 2 -2] 8 | # = [ 2 5 5] 9 | # [-2 5 11] 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-9/codigo3-9-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | L_tilde = np.array([[1,0,0],[0.5,1,0],[-.5, 1.5, 1]]) 4 | U = np.array([[4,2,-2],[0,4,6],[0, 0, 1]]) 5 | 6 | print(f"L_tilde U=\n{L_tilde@U}") 7 | # [ 4 2 -2] 8 | # = [ 2 5 5] 9 | # [-2 5 11] 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-7/codigo1-7-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Matriz del ejercicio 4 | A = np.array([[1,0,-3],[1,1,-1],[1,0,-1]]) 5 | b = [0, 0, 0] 6 | 7 | # Resuelvo el sistema A x = b, y lo devuelvo en 8 | x, y, z = np.linalg.solve(A, b) 9 | 10 | print(f"x = {x}\ny = {y}\nz = {z}") 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/codigos-3/ej-9/codigo3-9-3.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | L_tilde = np.array([[1,0,0],[0.5,1,0],[-.5, 1.5, 1]]) 4 | D_sqrt = np.array([[2,0,0],[0,2,0],[0, 0, 1]]) 5 | L_chole = L_tilde @ D_sqrt 6 | 7 | print(f"A=LL_traspuesta=\n{L_chole@np.transpose(L_chole)}") 8 | # [4 2 -2] 9 | # = [2 5 5] 10 | # [-2 5 11] 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-9/codigo3-9-3.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | L_tilde = np.array([[1,0,0],[0.5,1,0],[-.5, 1.5, 1]]) 4 | D_sqrt = np.array([[2,0,0],[0,2,0],[0, 0, 1]]) 5 | L_chole = L_tilde @ D_sqrt 6 | 7 | print(f"A=LL_traspuesta=\n{L_chole@np.transpose(L_chole)}") 8 | # [4 2 -2] 9 | # = [2 5 5] 10 | # [-2 5 11] 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-15/codigo1-15-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Matriz del ejercicio 4 | A = np.array([[-1,2,1],[1,0,-1],[1,1,3]]) 5 | b = [1, 1, 0] 6 | 7 | # Resuelvo el sistema A x = b, y lo devuelvo en 8 | # las variables con los nombres adecuados 9 | a, b, c = np.linalg.solve(A, b) 10 | 11 | print(f"a = {a}\nb = {b}\nc = {c}") 12 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-7/codigo2-7-a.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | epsilon = np.finfo(float).eps 4 | 5 | print(f"epsilon = {epsilon}") # epsilon = 2.220446049250313e-16 6 | 7 | p = 1e34 # p = 10000000000000000000000000000000000 8 | q = 1 9 | 10 | calculo = p + q - p # calculo = 0 11 | 12 | print(f"p = {p}\nq = {q}\np + q - p = {calculo}") 13 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/codigos-3/ej-9/codigo3-9-2.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | L_tilde = np.array([[1,0,0],[0.5,1,0],[-.5, 1.5, 1]]) 4 | D = np.array([[4,0,0],[0,4,0],[0, 0, 1]]) 5 | 6 | print(f"D L_tilde_traspuesta=\n{D@np.transpose(L_tilde)}") 7 | # [4 2 -2] 8 | # = [0 4 6] 9 | # [0 0 1] 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-3-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Escribir funciones de \python que calculen la solución de un sistema: 3 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 4 | \item $Ly = b$, siendo $L$ triangular inferior. 5 | \item $Ux = y$, siendo $U$ triangular inferior. 6 | \end{enumerate} 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | \hacer 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-9/codigo3-9-2.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | L_tilde = np.array([[1,0,0],[0.5,1,0],[-.5, 1.5, 1]]) 4 | D = np.array([[4,0,0],[0,4,0],[0, 0, 1]]) 5 | 6 | print(f"D L_tilde_traspuesta=\n{D@np.transpose(L_tilde)}") 7 | # [4 2 -2] 8 | # = [0 4 6] 9 | # [0 0 1] 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-10/codigo1-10-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Matriz del ejercicio 4 | A = np.array([[1-1j, 2], [1j, -1 + 1j]]) 5 | b = [0, 0] 6 | 7 | print(A) 8 | 9 | # Resuelvo el sistema A x = b, y lo devuelvo en 10 | # las variables con los nombres adecuados 11 | alpha, beta = np.linalg.solve(A, b) 12 | 13 | print(f"alpha = {alpha}\nbeta = {beta}") 14 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/codigos-3/ej-15/codigo3-15-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | c_BE = np.array([[-1,-1,1], [1,0,1], [0,1,1]]) 4 | 5 | c_EB = np.linalg.inv(c_BE) 6 | 7 | P = np.array([[-1,-1,0], [1,0,0], [0,1,0]]) 8 | p_ee = P@c_EB 9 | p_bb = c_EB@P 10 | 11 | # print(c_BE) 12 | # print(c_EB) 13 | print(p_bb) 14 | # print(f"pop: {p_ee@p_ee}") 15 | print(f"popbb: {p_bb@p_bb}") 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-15/codigo1-15-2.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Matriz del ejercicio 4 | A = np.array([[-1,2,1],[1,0,-1],[1,1,3]]) 5 | b = [1, 1, 0] 6 | 7 | a1, b1, c1 = np.linalg.solve(A, b) 8 | print(f"a1 = {a1}\nb1 = {b1}\nc1 = {c1}\n") 9 | 10 | b = [0, 1, 1] 11 | a2, b2, c2 = np.linalg.solve(A, b) 12 | print(f"a2 = {a2}\nb2 = {b2}\nc2 = {c2}\n") 13 | 14 | b = [1, 0, 1] 15 | a3, b3, c3 = np.linalg.solve(A, b) 16 | print(f"a3 = {a3}\nb3 = {b3}\nc3 = {c3}\n") 17 | 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-21/codigo1-21-3.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Ingresar matriz 4 | A = np.array([[3, 2], [3, 6], [-6, -8]]) 5 | tamanio = A.shape 6 | print(f"A=\n{A}\nCantidad de filas: {tamanio[0]}\nCantidad de columnas: {tamanio[1]}") 7 | 8 | # Oneliner falopa listas por comprensión. 9 | resultado = sum([sum(fila) for fila in A]); 10 | 11 | if (resultado > 0): 12 | respuesta = True 13 | else: 14 | respuesta = False 15 | 16 | print(f"Ganan los positivos? Respuesta: {respuesta}") 17 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-4/codigo1-4-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt # librería para graficar. 3 | 4 | # ... 5 | # Acá , crear la matriz y resolver el sistema para calcularl a , b y c. 6 | # ... 7 | 8 | xx = np.array([1, 2, 3]) 9 | yy = np.array([1, 2, 0]) 10 | 11 | x = np.linspace(0, 4, 100) # genera100 puntos equiespaciados entre 0 y 4. 12 | f = lambda t: a * t**2 + b * t + c # esto genera una función f de t. 13 | plt.plot(xx, yy, "*") 14 | plt.plot(x, f(x)) 15 | plt.show() 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-7/codigo2-7-b.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | epsilon = np.finfo(float).eps 4 | 5 | print(f"epsilon = {epsilon}") # epsilon = 2.220446049250313e-16 6 | 7 | p = 100 8 | q = 1e-15 9 | 10 | calculo1 = (p + q) + q 11 | calculo2 = ((p + q) + q) + q 12 | calculo3 = p + 2*q 13 | calculo4 = p + 3*q 14 | 15 | 16 | print(f"p = {p}\nq = {q}") 17 | print(f"(p + q) + q = {calculo1}") 18 | print(f"((p + q) + q) + q = {calculo2}") 19 | print(f"p + 2q = {calculo3}") 20 | print(f"p + 3q = {calculo4}") 21 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/codigos-3/ej-3/codigo3-3-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | from numpy.ma.core import argsort 4 | import pandas as pd # Para leer archivos 5 | import geopandas as gpd # Para hacer cosas geográficas 6 | import seaborn as sns # Para hacer plots lindos 7 | import networkx as nx # Construcción de la red en NetworkX 8 | import scipy 9 | y = scipy.linalg.solve_triangular(L, b, lower=True, unit_diagonal=True) 10 | p = scipy.linalg.solve_triangular(U, y, lower=False, unit_diagonal=False) 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-3/codigo3-3-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | from numpy.ma.core import argsort 4 | import pandas as pd # Para leer archivos 5 | import geopandas as gpd # Para hacer cosas geográficas 6 | import seaborn as sns # Para hacer plots lindos 7 | import networkx as nx # Construcción de la red en NetworkX 8 | import scipy 9 | y = scipy.linalg.solve_triangular(L, b, lower=True, unit_diagonal=True) 10 | p = scipy.linalg.solve_triangular(U, y, lower=False, unit_diagonal=False) 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/codigos-3/ej-2/codigo3-2-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import scipy 3 | 4 | # Matriz A 5 | A = np.array([[1, -1, 0, 1], [0, 1, 4, 0], [2, -1, 0, -2], [-3, 3, 0, -1]]) 6 | L = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [2, 1, 1, 0], [-3, 0, 0, 1]]) 7 | U = np.array([[1, -1, 0, 1], [0, 1, 4, 0], [0, 0, -4, -4], [0, 0, 0, 2]]) 8 | b = np.array([[1],[-7],[-5],[1]]) 9 | 10 | print(f"A =\n {A}") 11 | print(f"L =\n {L}") 12 | print(f"U =\n {U}") 13 | 14 | print(f"\nA == LU --> {np.array_equal(A,L @ U)}") 15 | print(f"Ax = b --> x = {np.transpose(np.linalg.solve(A,b))}") 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-14/codigo4-14-2.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | A = np.array( 4 | # Matriz de Markov P 5 | [[0.25, 0.5, 0.5, 0.5], 6 | [0.25, 0.5, 0, 0], 7 | [0.25, 0, 0.5, 0], 8 | [0.25, 0, 0, 0.5]] 9 | ) 10 | 11 | # No importa el estado inicial, de donde partas, siempre llegás al equilibrio 12 | v = np.array([20, 0, 0, 0]) # Estado inicial 13 | #v = np.array([5, 5, 5, 5]) 14 | 15 | hasta_estado = 10 16 | for i in range(hasta_estado + 1): 17 | print(f"v{i}: {v}") 18 | if i <= hasta_estado: 19 | v = A @ v # Estado siguiente 20 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-2/codigo3-2-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import scipy 3 | 4 | # Matriz A 5 | A = np.array([[1, -1, 0, 1], [0, 1, 4, 0], [2, -1, 0, -2], [-3, 3, 0, -1]]) 6 | L = np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [2, 1, 1, 0], [-3, 0, 0, 1]]) 7 | U = np.array([[1, -1, 0, 1], [0, 1, 4, 0], [0, 0, -4, -4], [0, 0, 0, 2]]) 8 | b = np.array([[1],[-7],[-5],[1]]) 9 | 10 | print(f"A =\n {A}") 11 | print(f"L =\n {L}") 12 | print(f"U =\n {U}") 13 | 14 | print(f"\nA == LU --> {np.array_equal(A,L @ U)}") 15 | print(f"Ax = b --> x = {np.transpose(np.linalg.solve(A,b))}") 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-4/codigo1-4-2.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | # Matriz del ejercicio 5 | 6 | A = [[1, 1, 1], [4, 2, 1], [9, 3, 1]] 7 | b = [1, 2, 0] 8 | 9 | # Resuelvo el sistema A x = b, y lo devuelvo en 10 | # las variables con los nombres adecuados 11 | a, b, c = np.linalg.solve(A, b) 12 | 13 | xx = np.array([1, 2, 3]) 14 | yy = np.array([1, 2, 0]) 15 | 16 | x = np.linspace(0, 4, 100) # genera100 puntos equiespaciados entre 0 y 4. 17 | 18 | f = lambda t: a * t**2 + b * t + c 19 | 20 | plt.plot(xx, yy, "*") 21 | plt.plot(x, f(x)) 22 | plt.show() 23 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/codigos-5/ej-15/codigo15-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | A = np.array([[1, 4, 0], [-4, -1, 0], [0, 0, 2]]) 4 | U = np.array([[1, -1, 0], [-1, -1, 0], [0, 0, np.sqrt(2)]]) 5 | V = np.array([[1, 1, 0], [1, -1, 0], [0, 0, np.sqrt(2)]]) 6 | S = np.array([[5, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 2]]) 7 | S_1 = np.array([[5, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 0]]) 8 | S_2 = np.array([[5, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]) 9 | H = np.transpose(A) @ A 10 | 11 | # print(np.linalg.eig(H)) 12 | # avas = np.linalg.eig(H) 13 | print(U @ S_1 @ np.transpose(V)) 14 | print(U @ S_2 @ np.transpose(V)) 15 | # print(U @ S @ np.transpose(V)) 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-21/codigo1-21-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Ingresar matriz 4 | A = np.array([[3, 2], [0, 1], [6, 8]]) 5 | tamanio = A.shape 6 | print(f"A=\n{A}\nCantidad de filas: {tamanio[0]}\nCantidad de columnas: {tamanio[1]}") 7 | 8 | # método de numpy 9 | print(f"Forma Numpy: tr(A) = {np.trace(A)}") 10 | 11 | # ====================METODO 2==================== 12 | # A manopla 13 | contar_hasta = min(A.shape[0], A.shape[1]) 14 | elemento = 0 15 | traza = 0 16 | 17 | while elemento < contar_hasta: 18 | traza += A[elemento][elemento] 19 | elemento += 1 20 | 21 | print(f"Forma a manopla: tr(A) = {traza}") 22 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-14/codigo4-14-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | # Matriz de Markov P 3 | A = np.array( 4 | [[0.25, 0.5, 0.5, 0.5], 5 | [0.25, 0.5, 0, 0], 6 | [0.25, 0, 0.5, 0], 7 | [0.25, 0, 0, 0.5]] 8 | ) 9 | 10 | print(np.linalg.eig(A)[0]) # autovalores --> [-0.25 1. 0.5 0.5 ] 11 | print(np.linalg.eig(A)[1]) # autovectores: 12 | # [-8.66e-01 7.55e-01 -1.81e-16 0.00e+00] 13 | # [ 2.88e-01 3.77e-01 -8.16e-01 0.00e+00] 14 | # [ 2.88e-01 3.77e-01 4.08e-01 -7.07e-01] 15 | # [ 2.88e-01 3.77e-01 4.08e-01 7.07e-01] 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-4-extra/codigo4-extra-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | A = np.array([[0.8, 0.1, 0.3], [0.2, 0.8, 0.3], [0, 0.1, 0.4]]) 4 | 5 | v_0 = np.array([0.3, 0.34, 0.36]) 6 | 7 | v_eq = np.array([-0.59473674, 0.79410449, -0.47596315]) 8 | v_eq = np.abs(v_eq / np.sum(np.abs(v_eq))) 9 | 10 | print(f"El eq: {v_eq}") 11 | print(f"El A @ eq: {A @ v_eq}") 12 | # v_eq = np.abs(v_eq / np.linalg.norm([-0.59473674, 0.79410449, -0.47596315],1)) 13 | 14 | print(f"El 13 de agosto: {A @ v_0}") 15 | print(f"El 22 de octubre: {A @ A @ v_0}") 16 | 17 | print(f"El eq normalizado: {v_eq}") 18 | print(f"El eq: {A @ v_eq}") 19 | print(f"Autovalores de a: {np.linalg.eig(A)}") 20 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-19-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Mostrar que si en el Ejercicio \ref{ej:17} se toma una funcional lineal $\varphi_k$ distinta en 3 | cada paso, el método converfe igualemente a $\lambda_1$. Concluir que los cocientes de Raleigh: 4 | $$ 5 | r_k = \frac{v^{(k)t} A v^{(k)}}{v^{(k)t} v^{(k)}}, 6 | $$ 7 | convergen a $\lambda_1$. Observar que si $v^{(0)}$ es tal que $a_1 \distinto 0$, las aplicaciones $\varphi_k$ 8 | correspondientes a los cocientes de Raleigh nunca se anulan en $v_1$. Modificar el programa del ejercicio anterior de modo de utilizar el cociente 9 | de Raleigh como aproximación de $\lambda_1$. 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | \hacer 13 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/codigos-5/ej-1/codigo5-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | A = np.array([[13, 8, 8], [-1, 7, -2], [-1, -2, 7]]) 4 | U = np.array([[-2/np.sqrt(5), -2/(3*np.sqrt(5)), 1/3], [1/np.sqrt(5), -4/(3*np.sqrt(5)), 2/3], [0, 5/(3*np.sqrt(5)), 2/3]]) 5 | U2 =np.array([[-6, -2, np.sqrt(5)], 6 | [3, -4, 2*np.sqrt(5)], 7 | [0, 5, 2*np.sqrt(5)]]) 8 | T = np.array([[9,0,-9/np.sqrt(5)],[0,9,-9/np.sqrt(5)],[0,0,9]]) 9 | v = np.array([1/3,2/3,2/3]) 10 | v1 = np.array([-2/(3*np.sqrt(5)),-4/(3*np.sqrt(5)),5/(3*np.sqrt(5))]) 11 | 12 | print( (1/45) * np.transpose(U2) @ A @ U2) 13 | # print(U @ T @ np.transpose(U)) 14 | print((np.transpose(U) @ A @ v1)) 15 | # print(np.linalg.eig(A)[0]) 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/1-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{1} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{21} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{5} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/2-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{2} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{25} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{5} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/3-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{3} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{24} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{9} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/4-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{4} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{21} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{8} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/5-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{5} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{23} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{6} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/6-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{6} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{14} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{5} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/7-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{7} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{16} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{3} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-2-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Para cada una de la matrices $A$ del ejercicio anterior, sea $f: K^n \to K^n$ la 3 | transformación lineal tal que $[f]_{EE} = A$. Decidir si es posible encontrar una base 4 | $B$ de $K^n$ tal que $[f]_{EE}$ sea diagonal. En caso afirmativo, calcular $C_{BE}$. 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | Sea $A \en K^{n \times n}$ criterios para saber si una matriz es diagonalizable: 8 | \parrafoDestacado{ 9 | $A$ es diagonalizable $\quad\sii\quad$ tiene $n$ \textit{autovectores linealmente independientes}. 10 | 11 | $A$ es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. 12 | 13 | $A$ es diagonalizable si $\multiGeo(\lambda_i) = \multiAri(\lambda_i)$ para cada $\lambda_i$ de $A$. 14 | } 15 | \hacer 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-10-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Considerar las matrices: 3 | $$ 4 | A = 5 | \matriz{ccc}{ 6 | 1 & n & 5n \\ 7 | 1 & 3n & 3n \\ 8 | 1 & n & 2n 9 | } 10 | \ytext 11 | \matriz{ccc}{ 12 | \frac{2n}{3} \\ 13 | \frac{2n}{3} \\ 14 | \frac{n}{3} 15 | }, 16 | $$ 17 | con $n \en \naturales$. 18 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 19 | \item Para $n = 10^4$, resolver el sistema $Ax = b$ por eliminación gaussiana sin intercambio de filas utilizando 20 | aritmética de 4 dígitos con redondeo (en base 10). 21 | 22 | \item Verificar que, para todo $n \en \naturales$, la solución exacta del sistema es $x = (0, \frac{1}{9}, \frac{1}{9})$ 23 | y comparar, para $n = 10^4$, la solución aproximada con la solución exacta. 24 | \end{enumerate} 25 | \end{enunciado} 26 | 27 | \hacer 28 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-2-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Probar que si $A \en K^{n \times n}$ es hermitiana, entonces los elementos de la diagonal $a_{ii} \en \reales$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Si $A$ es hermitiana, entonces: 6 | $$ 7 | A \cdot A^* = A^* \cdot A 8 | $$ 9 | Para probar que los elementos diagonales pertenecen a $\reales$ se puede usar la definición: 10 | $$ 11 | A \cdot A^* \en K^{n \times n} 12 | $$ 13 | la matriz transpuesta y conjugada va a tener la misma diagonal: 14 | $$ 15 | a_{\blue{i}\magenta{i}} 16 | \flecha{trasponer y}[conjugar] 17 | \conj{(a_{\blue{i}\magenta{i}})^t} = 18 | \conj{a_{\magenta{i}\blue{i}}} 19 | \igual{\red{!}}[] 20 | a_{\magenta{i}\blue{i}} 21 | $$ 22 | Por lo tanto si $a_{ii}$ es igual a su conjugado debe ser un número real. 23 | 24 | \begin{aportes} 25 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 26 | \end{aportes} 27 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/codigo2-9-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | epsilon = 0.001 4 | 5 | # La matriz a resolver A: 6 | A = np.array([[1, 2, 1],\ 7 | [2, 3 - epsilon, 2 + epsilon],\ 8 | [0, 1 + epsilon, epsilon]]) 9 | b = np.array([0,0.1,0.1]) 10 | 11 | # Que lo resuelva python 12 | x, y, z = np.linalg.solve(A, b) # x = -100.0000000000055 13 | print(f"x = {x}\ny = {y}\nz = {z}") # y = -5.50397778192042e-15 14 | # z = 100.00000000000551 15 | 16 | # Solución mantisa 3 floating point corroboración: 17 | X = np.array([-200, -0.1, 200]) 18 | print(f"Corroborar cuentas de punto flotante\nA X = {A @ X}") 19 | #A X = [-0.2 -0.0999 0.0999] 20 | 21 | # Solución exacta a mano corroboración: 22 | X = np.array([-100, 0, 100]) 23 | print(f"Corroborar las cuentas horribles esas\nA X = {A @ X}") 24 | # A X = [0. 0.1 0.1] 25 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-4-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Escribir funciones de \python que realicen las siguientes tareas: 3 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 4 | \item Calcular la descomposición $LU$ de una matriz dada $A$, asumiendo que no es 5 | necesario realizar pivoteos. 6 | 7 | \item Resolver un sistema $Ax = b$, utilizando la función del ítem anterior y las 8 | del ejercicio \ref{ej:3}. Aplicar esta función para resolver el ítem \ref{ej:2-item-c} del 9 | ejercicio \ref{ej:2}. 10 | \end{enumerate} 11 | \end{enunciado} 12 | 13 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 14 | \item El siguiente \textit{snippet} es en gran parte código para generar 15 | la matriz y después del cálculo de la triangulación formar las 16 | matrices $L$ y $U$. 17 | 18 | \copyPaste 19 | \codigoPython{/ej-4/codigo3-4-1.py} 20 | \end{enumerate} 21 | 22 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-9/codigo2-9-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | epsilon = 0.001 4 | 5 | # La matriz a resolver A: 6 | A = np.array([[1, 2, 1],\ 7 | [2, 3 - epsilon, 2 + epsilon],\ 8 | [0, 1 + epsilon, epsilon]]) 9 | b = np.array([0,0.1,0.1]) 10 | 11 | # Que lo resuelva python 12 | x, y, z = np.linalg.solve(A, b) # x = -100.0000000000055 13 | print(f"x = {x}\ny = {y}\nz = {z}") # y = -5.50397778192042e-15 14 | # z = 100.00000000000551 15 | 16 | # Solución mantisa 3 floating point corroboración: 17 | X = np.array([-200, -0.1, 200]) 18 | print(f"Corroborar cuentas de punto flotante\nA X = {A @ X}") 19 | #A X = [-0.2 -0.0999 0.0999] 20 | 21 | # Solución exacta a mano corroboración: 22 | X = np.array([-100, 0, 100]) 23 | print(f"Corroborar las cuentas horribles esas\nA X = {A @ X}") 24 | # A X = [0. 0.1 0.1] 25 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-4-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dada $A \en K^{n \times n}$ hermitiana y $S \subset K^n$ un subespacio invariante por $A$, es decir 3 | $Av \en S$ para todo $v \en S$. Probar que $S^\perp$ es invariante por $A$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Si tomo un $v \en S$ y un $w \en S^\perp$: 7 | $$ 8 | \ua{w^*}{\en S^\perp} \cdot \oa{v}{\en S} = 0 9 | $$ 10 | Ahora que sé que $S$ es un subespacio invariante por $A$: 11 | $$ 12 | Av = \lambda v 13 | \Sii{$\times A^*$} 14 | A^*A v \igual{\red{!}} 15 | A^2 \lambda Av = \lambda^2 v \igual{$\llamada1$} \blue{k} v \en S 16 | $$ 17 | Con esos ingredientes: 18 | $$ 19 | (Aw)^* \cdot \oa{Av}{\en S} = 20 | w^* A^* \cdot Av 21 | \igual{$\llamada1$} 22 | \blue{k} (w^* \cdot v) = 0 23 | $$ 24 | 25 | Por lo tanto $Aw \en S^\perp \paratodo w \en S^\perp$. 26 | 27 | \begin{aportes} 28 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 29 | \end{aportes} 30 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/0-step-item-b.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.5000000000e-02 3 | 1.0000000000e+00 2.5000000000e-02 4 | 2.0000000000e+00 5.0000000000e-02 5 | 3.0000000000e+00 5.0000000000e-02 6 | 4.0000000000e+00 5.0000000000e-02 7 | 5.0000000000e+00 5.0000000000e-02 8 | 6.0000000000e+00 5.0000000000e-02 9 | 7.0000000000e+00 5.0000000000e-02 10 | 8.0000000000e+00 5.0000000000e-02 11 | 9.0000000000e+00 5.0000000000e-02 12 | 1.0000000000e+01 5.0000000000e-02 13 | 1.1000000000e+01 5.0000000000e-02 14 | 1.2000000000e+01 5.0000000000e-02 15 | 1.3000000000e+01 5.0000000000e-02 16 | 1.4000000000e+01 5.0000000000e-02 17 | 1.5000000000e+01 5.0000000000e-02 18 | 1.6000000000e+01 5.0000000000e-02 19 | 1.7000000000e+01 5.0000000000e-02 20 | 1.8000000000e+01 5.0000000000e-02 21 | 1.9000000000e+01 5.0000000000e-02 22 | 2.0000000000e+01 2.5000000000e-02 23 | 2.1000000000e+01 2.5000000000e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/1-step-item-b.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 6.8750000000e-02 3 | 1.0000000000e+00 1.5625000000e-02 4 | 2.0000000000e+00 3.1250000000e-02 5 | 3.0000000000e+00 3.9062500000e-02 6 | 4.0000000000e+00 4.6875000000e-02 7 | 5.0000000000e+00 4.8437500000e-02 8 | 6.0000000000e+00 5.0000000000e-02 9 | 7.0000000000e+00 5.0000000000e-02 10 | 8.0000000000e+00 5.0000000000e-02 11 | 9.0000000000e+00 5.0000000000e-02 12 | 1.0000000000e+01 5.0000000000e-02 13 | 1.1000000000e+01 5.0000000000e-02 14 | 1.2000000000e+01 5.0000000000e-02 15 | 1.3000000000e+01 5.0000000000e-02 16 | 1.4000000000e+01 5.0000000000e-02 17 | 1.5000000000e+01 5.0000000000e-02 18 | 1.6000000000e+01 4.8437500000e-02 19 | 1.7000000000e+01 4.6875000000e-02 20 | 1.8000000000e+01 3.9062500000e-02 21 | 1.9000000000e+01 3.1250000000e-02 22 | 2.0000000000e+01 1.5625000000e-02 23 | 2.1000000000e+01 6.8750000000e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/2-step-item-b.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.0419921875e-01 3 | 1.0000000000e+00 1.2304687500e-02 4 | 2.0000000000e+00 2.2558593750e-02 5 | 3.0000000000e+00 3.2812500000e-02 6 | 4.0000000000e+00 3.8671875000e-02 7 | 5.0000000000e+00 4.4531250000e-02 8 | 6.0000000000e+00 4.6728515625e-02 9 | 7.0000000000e+00 4.8925781250e-02 10 | 8.0000000000e+00 4.9414062500e-02 11 | 9.0000000000e+00 4.9902343750e-02 12 | 1.0000000000e+01 4.9951171875e-02 13 | 1.1000000000e+01 4.9951171875e-02 14 | 1.2000000000e+01 4.9902343750e-02 15 | 1.3000000000e+01 4.9414062500e-02 16 | 1.4000000000e+01 4.8925781250e-02 17 | 1.5000000000e+01 4.6728515625e-02 18 | 1.6000000000e+01 4.4531250000e-02 19 | 1.7000000000e+01 3.8671875000e-02 20 | 1.8000000000e+01 3.2812500000e-02 21 | 1.9000000000e+01 2.2558593750e-02 22 | 2.0000000000e+01 1.2304687500e-02 23 | 2.1000000000e+01 1.0419921875e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/3-step-item-b.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.6000688076e-01 3 | 1.0000000000e+00 8.4093570709e-03 4 | 2.0000000000e+00 1.6818261147e-02 5 | 3.0000000000e+00 2.3825597763e-02 6 | 4.0000000000e+00 3.0828428268e-02 7 | 5.0000000000e+00 3.5675001144e-02 8 | 6.0000000000e+00 4.0494871140e-02 9 | 7.0000000000e+00 4.3235492706e-02 10 | 8.0000000000e+00 4.5865130424e-02 11 | 9.0000000000e+00 4.7016191483e-02 12 | 1.0000000000e+01 4.7824788094e-02 13 | 1.1000000000e+01 4.7824788094e-02 14 | 1.2000000000e+01 4.7016191483e-02 15 | 1.3000000000e+01 4.5865130424e-02 16 | 1.4000000000e+01 4.3235492706e-02 17 | 1.5000000000e+01 4.0494871140e-02 18 | 1.6000000000e+01 3.5675001144e-02 19 | 1.7000000000e+01 3.0828428268e-02 20 | 1.8000000000e+01 2.3825597763e-02 21 | 1.9000000000e+01 1.6818261147e-02 22 | 2.0000000000e+01 8.4093570709e-03 23 | 2.1000000000e+01 1.6000688076e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/0-step-item-c.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 5.0000000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 0.0000000000e+00 4 | 2.0000000000e+00 5.0000000000e-01 5 | 3.0000000000e+00 0.0000000000e+00 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 0.0000000000e+00 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 0.0000000000e+00 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 0.0000000000e+00 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 0.0000000000e+00 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 0.0000000000e+00 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/1-step-item-c.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 6.8750000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 0.0000000000e+00 4 | 2.0000000000e+00 1.5625000000e-01 5 | 3.0000000000e+00 0.0000000000e+00 6 | 4.0000000000e+00 1.2500000000e-01 7 | 5.0000000000e+00 0.0000000000e+00 8 | 6.0000000000e+00 3.1250000000e-02 9 | 7.0000000000e+00 0.0000000000e+00 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 0.0000000000e+00 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 0.0000000000e+00 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 0.0000000000e+00 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/2-step-item-c.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 7.5390625000e-01 3 | 1.0000000000e+00 4.1015625000e-02 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 8.7890625000e-02 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 7.3242187500e-02 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 3.4179687500e-02 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 8.7890625000e-03 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 9.7656250000e-04 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 0.0000000000e+00 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/3-step-item-c.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 8.3181190491e-01 3 | 1.0000000000e+00 0.0000000000e+00 4 | 2.0000000000e+00 2.8031349182e-02 5 | 3.0000000000e+00 0.0000000000e+00 6 | 4.0000000000e+00 4.3125152588e-02 7 | 5.0000000000e+00 0.0000000000e+00 8 | 6.0000000000e+00 4.1584968567e-02 9 | 7.0000000000e+00 0.0000000000e+00 10 | 8.0000000000e+00 2.9571533203e-02 11 | 9.0000000000e+00 0.0000000000e+00 12 | 1.0000000000e+01 1.6171932220e-02 13 | 1.1000000000e+01 0.0000000000e+00 14 | 1.2000000000e+01 6.8492889404e-03 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 2.2196769714e-03 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 5.3405761719e-04 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 9.0122222900e-05 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 9.0599060059e-06 23 | 2.1000000000e+01 9.5367431641e-07 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/0-step-item-d.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.0000000000e-02 3 | 1.0000000000e+00 1.0000000000e-02 4 | 2.0000000000e+00 5.0000000000e-02 5 | 3.0000000000e+00 5.0000000000e-02 6 | 4.0000000000e+00 5.0000000000e-02 7 | 5.0000000000e+00 5.0000000000e-02 8 | 6.0000000000e+00 5.0000000000e-02 9 | 7.0000000000e+00 5.0000000000e-02 10 | 8.0000000000e+00 5.0000000000e-02 11 | 9.0000000000e+00 5.0000000000e-02 12 | 1.0000000000e+01 5.0000000000e-02 13 | 1.1000000000e+01 5.0000000000e-02 14 | 1.2000000000e+01 5.0000000000e-02 15 | 1.3000000000e+01 5.0000000000e-02 16 | 1.4000000000e+01 5.0000000000e-02 17 | 1.5000000000e+01 5.0000000000e-02 18 | 1.6000000000e+01 5.0000000000e-02 19 | 1.7000000000e+01 5.0000000000e-02 20 | 1.8000000000e+01 5.0000000000e-02 21 | 1.9000000000e+01 5.0000000000e-02 22 | 2.0000000000e+01 4.0000000000e-02 23 | 2.1000000000e+01 4.0000000000e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/0-step-item-d2.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.0000000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 0.0000000000e+00 4 | 2.0000000000e+00 8.0000000000e-01 5 | 3.0000000000e+00 0.0000000000e+00 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 0.0000000000e+00 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 0.0000000000e+00 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 0.0000000000e+00 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 0.0000000000e+00 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 0.0000000000e+00 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/1-step-item-d.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.5440000000e-02 3 | 1.0000000000e+00 1.5520000000e-03 4 | 2.0000000000e+00 7.7600000000e-03 5 | 3.0000000000e+00 1.2112000000e-02 6 | 4.0000000000e+00 2.9520000000e-02 7 | 5.0000000000e+00 3.3616000000e-02 8 | 6.0000000000e+00 5.0000000000e-02 9 | 7.0000000000e+00 5.0000000000e-02 10 | 8.0000000000e+00 5.0000000000e-02 11 | 9.0000000000e+00 5.0000000000e-02 12 | 1.0000000000e+01 5.0000000000e-02 13 | 1.1000000000e+01 5.0000000000e-02 14 | 1.2000000000e+01 5.0000000000e-02 15 | 1.3000000000e+01 5.0000000000e-02 16 | 1.4000000000e+01 5.0000000000e-02 17 | 1.5000000000e+01 5.0000000000e-02 18 | 1.6000000000e+01 4.9984000000e-02 19 | 1.7000000000e+01 4.9920000000e-02 20 | 1.8000000000e+01 4.9408000000e-02 21 | 1.9000000000e+01 4.7360000000e-02 22 | 2.0000000000e+01 3.7888000000e-02 23 | 2.1000000000e+01 1.6544000000e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/1-step-item-d2.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.4224000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 0.0000000000e+00 4 | 2.0000000000e+00 1.0240000000e-01 5 | 3.0000000000e+00 0.0000000000e+00 6 | 4.0000000000e+00 3.2768000000e-01 7 | 5.0000000000e+00 0.0000000000e+00 8 | 6.0000000000e+00 3.2768000000e-01 9 | 7.0000000000e+00 0.0000000000e+00 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 0.0000000000e+00 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 0.0000000000e+00 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 0.0000000000e+00 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/2-step-item-d.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.6427079680e-02 3 | 1.0000000000e+00 3.6579840000e-04 4 | 2.0000000000e+00 9.4818816000e-04 5 | 3.0000000000e+00 3.2777472000e-03 6 | 4.0000000000e+00 5.0462361600e-03 7 | 5.0000000000e+00 1.2120192000e-02 8 | 6.0000000000e+00 1.5250191360e-02 9 | 7.0000000000e+00 2.7770188800e-02 10 | 8.0000000000e+00 3.0873973760e-02 11 | 9.0000000000e+00 4.3289113600e-02 12 | 1.0000000000e+01 4.4631290880e-02 13 | 1.1000000000e+01 4.9999994880e-02 14 | 1.2000000000e+01 4.9999974400e-02 15 | 1.3000000000e+01 4.9999708160e-02 16 | 1.4000000000e+01 4.9998643200e-02 17 | 1.5000000000e+01 4.9991516160e-02 18 | 1.6000000000e+01 4.9963008000e-02 19 | 1.7000000000e+01 4.9824399360e-02 20 | 1.8000000000e+01 4.9269964800e-02 21 | 1.9000000000e+01 4.6934261760e-02 22 | 2.0000000000e+01 3.7591449600e-02 23 | 2.1000000000e+01 3.1642707968e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/2-step-item-d2.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.4817100800e-01 3 | 1.0000000000e+00 4.4040192000e-03 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 3.7748736000e-02 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 1.2582912000e-01 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 2.3488102400e-01 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 2.4159191040e-01 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 1.0737418240e-01 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 0.0000000000e+00 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/3-step-item-d.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.6657504878e-02 3 | 1.0000000000e+00 9.6716715811e-06 4 | 2.0000000000e+00 4.8358357897e-05 5 | 3.0000000000e+00 9.9687678282e-05 6 | 4.0000000000e+00 3.0500495950e-04 7 | 5.0000000000e+00 4.8985916205e-04 8 | 6.0000000000e+00 1.2292759647e-03 9 | 7.0000000000e+00 1.7321999035e-03 10 | 8.0000000000e+00 3.7438955337e-03 11 | 9.0000000000e+00 4.8082971920e-03 12 | 1.0000000000e+01 9.0659022832e-03 13 | 1.1000000000e+01 1.0822364512e-02 14 | 1.2000000000e+01 1.7848198859e-02 15 | 1.3000000000e+01 2.0075654229e-02 16 | 1.4000000000e+01 2.8985369168e-02 17 | 1.5000000000e+01 3.1081418899e-02 18 | 1.6000000000e+01 3.9465018521e-02 19 | 1.7000000000e+01 4.0717614878e-02 20 | 1.8000000000e+01 4.5725514309e-02 21 | 1.9000000000e+01 4.3966895598e-02 22 | 2.0000000000e+01 3.6925957166e-02 23 | 2.1000000000e+01 6.4619633628e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/3-step-item-d2.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.4995164164e-01 3 | 1.0000000000e+00 0.0000000000e+00 4 | 2.0000000000e+00 5.1708712440e-04 5 | 3.0000000000e+00 0.0000000000e+00 6 | 4.0000000000e+00 3.1820746117e-03 7 | 5.0000000000e+00 0.0000000000e+00 8 | 6.0000000000e+00 1.2273716359e-02 9 | 7.0000000000e+00 0.0000000000e+00 10 | 8.0000000000e+00 3.4911904311e-02 11 | 9.0000000000e+00 0.0000000000e+00 12 | 1.0000000000e+01 7.6369790681e-02 13 | 1.1000000000e+01 0.0000000000e+00 14 | 1.2000000000e+01 1.2937941010e-01 15 | 1.3000000000e+01 0.0000000000e+00 16 | 1.4000000000e+01 1.6771405012e-01 17 | 1.5000000000e+01 0.0000000000e+00 18 | 1.6000000000e+01 1.6140901064e-01 19 | 1.7000000000e+01 0.0000000000e+00 20 | 1.8000000000e+01 1.0895108219e-01 21 | 1.9000000000e+01 0.0000000000e+00 22 | 2.0000000000e+01 4.3811017175e-02 23 | 2.1000000000e+01 1.1529215046e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/0-step-item-b-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 3.6210984623e-01 3 | 1.0000000000e+00 3.0827109571e-03 4 | 2.0000000000e+00 6.0877699098e-03 5 | 3.0000000000e+00 8.9734611360e-03 6 | 4.0000000000e+00 1.1635405646e-02 7 | 5.0000000000e+00 1.4064937900e-02 8 | 6.0000000000e+00 1.6150621404e-02 9 | 7.0000000000e+00 1.7904395454e-02 10 | 8.0000000000e+00 1.9232529102e-02 11 | 9.0000000000e+00 2.0151260388e-02 12 | 1.0000000000e+01 2.0607061876e-02 13 | 1.1000000000e+01 2.0607061876e-02 14 | 1.2000000000e+01 2.0151260388e-02 15 | 1.3000000000e+01 1.9232529102e-02 16 | 1.4000000000e+01 1.7904395454e-02 17 | 1.5000000000e+01 1.6150621404e-02 18 | 1.6000000000e+01 1.4064937900e-02 19 | 1.7000000000e+01 1.1635405646e-02 20 | 1.8000000000e+01 8.9734611360e-03 21 | 1.9000000000e+01 6.0877699098e-03 22 | 2.0000000000e+01 3.0827109571e-03 23 | 2.1000000000e+01 3.6210984623e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/1-step-item-b-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 4.5515366770e-01 3 | 1.0000000000e+00 1.0018167162e-03 4 | 2.0000000000e+00 1.9811616040e-03 5 | 3.0000000000e+00 2.9164281527e-03 6 | 4.0000000000e+00 3.7863001050e-03 7 | 5.0000000000e+00 4.5718857473e-03 8 | 6.0000000000e+00 5.2550287285e-03 9 | 7.0000000000e+00 5.8210903154e-03 10 | 8.0000000000e+00 6.2568454210e-03 11 | 9.0000000000e+00 6.5530473085e-03 12 | 1.0000000000e+01 6.7027282043e-03 13 | 1.1000000000e+01 6.7027282043e-03 14 | 1.2000000000e+01 6.5530473085e-03 15 | 1.3000000000e+01 6.2568454210e-03 16 | 1.4000000000e+01 5.8210903154e-03 17 | 1.5000000000e+01 5.2550287285e-03 18 | 1.6000000000e+01 4.5718857473e-03 19 | 1.7000000000e+01 3.7863001050e-03 20 | 1.8000000000e+01 2.9164281527e-03 21 | 1.9000000000e+01 1.9811616040e-03 22 | 2.0000000000e+01 1.0018167162e-03 23 | 2.1000000000e+01 4.5515366770e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/2-step-item-b-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 4.9845714213e-01 3 | 1.0000000000e+00 3.4464895424e-05 4 | 2.0000000000e+00 6.8159901924e-05 5 | 3.0000000000e+00 1.0033232906e-04 6 | 4.0000000000e+00 1.3026349746e-04 7 | 5.0000000000e+00 1.5728479494e-04 8 | 6.0000000000e+00 1.8079260962e-04 9 | 7.0000000000e+00 2.0026181653e-04 10 | 8.0000000000e+00 2.1525750505e-04 11 | 9.0000000000e+00 2.2544469686e-04 12 | 1.0000000000e+01 2.3059582652e-04 13 | 1.1000000000e+01 2.3059582652e-04 14 | 1.2000000000e+01 2.2544469686e-04 15 | 1.3000000000e+01 2.1525750505e-04 16 | 1.4000000000e+01 2.0026181653e-04 17 | 1.5000000000e+01 1.8079260962e-04 18 | 1.6000000000e+01 1.5728479494e-04 19 | 1.7000000000e+01 1.3026349746e-04 20 | 1.8000000000e+01 1.0033232906e-04 21 | 1.9000000000e+01 6.8159901924e-05 22 | 2.0000000000e+01 3.4464895424e-05 23 | 2.1000000000e+01 4.9845714213e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-b-plot/3-step-item-b-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 4.9999438533e-01 3 | 1.0000000000e+00 1.2542247927e-07 4 | 2.0000000000e+00 2.4804322760e-07 5 | 3.0000000000e+00 3.6512310011e-07 6 | 4.0000000000e+00 4.7404672591e-07 7 | 5.0000000000e+00 5.7238093119e-07 8 | 6.0000000000e+00 6.5792909230e-07 9 | 7.0000000000e+00 7.2878020468e-07 10 | 8.0000000000e+00 7.8335157157e-07 11 | 9.0000000000e+00 8.2042415879e-07 12 | 1.0000000000e+01 8.3916982602e-07 13 | 1.1000000000e+01 8.3916982602e-07 14 | 1.2000000000e+01 8.2042415879e-07 15 | 1.3000000000e+01 7.8335157157e-07 16 | 1.4000000000e+01 7.2878020468e-07 17 | 1.5000000000e+01 6.5792909230e-07 18 | 1.6000000000e+01 5.7238093119e-07 19 | 1.7000000000e+01 4.7404672591e-07 20 | 1.8000000000e+01 3.6512310011e-07 21 | 1.9000000000e+01 2.4804322760e-07 22 | 2.0000000000e+01 1.2542247927e-07 23 | 2.1000000000e+01 4.9999438533e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/0-step-item-c-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 9.2039118175e-01 3 | 1.0000000000e+00 1.5530400881e-03 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 4.4749343185e-03 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 6.8769750164e-03 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 8.5128080405e-03 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 9.2585959531e-03 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 9.1160297658e-03 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 8.1880472452e-03 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 6.6381890618e-03 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 4.6482451222e-03 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 2.3873545307e-03 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 1.7954599110e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/1-step-item-c-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 9.4229600999e-01 3 | 1.0000000000e+00 4.4943657058e-04 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 1.3078919281e-03 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 2.0488532234e-03 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 2.6061296269e-03 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 2.9304198336e-03 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 2.9936179161e-03 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 2.7910643617e-03 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 2.3416278852e-03 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 1.6857261995e-03 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 8.8156677983e-04 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 3.7667655684e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/2-step-item-c-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 9.5203436788e-01 3 | 1.0000000000e+00 1.5397778474e-05 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 4.4825174653e-05 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 7.0269655814e-05 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 8.9470367720e-05 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 1.0072124312e-04 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 1.0302259320e-04 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 9.6169934063e-05 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 8.0772155589e-05 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 5.8197418546e-05 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 3.0451587302e-05 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 4.7276334209e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-c-plot/3-step-item-c-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 9.5237969111e-01 3 | 1.0000000000e+00 5.6034618648e-08 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 1.6312493417e-07 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 2.5572088344e-07 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 3.2559490999e-07 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 3.6653839995e-07 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 3.7491334454e-07 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 3.4997559319e-07 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 2.9394097454e-07 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 2.1178841036e-07 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 1.1081751651e-07 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 4.7617800438e-02 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/0-step-item-d-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.6666666666e-02 3 | 1.0000000000e+00 3.3429290457e-14 4 | 2.0000000000e+00 1.0387448164e-13 5 | 3.0000000000e+00 3.8565515362e-13 6 | 4.0000000000e+00 7.8352966568e-13 7 | 5.0000000000e+00 2.3750269915e-12 8 | 6.0000000000e+00 4.2582497295e-12 9 | 7.0000000000e+00 1.1791136555e-11 10 | 8.0000000000e+00 1.9726336670e-11 11 | 9.0000000000e+00 5.1467116772e-11 12 | 1.0000000000e+01 8.1866560782e-11 13 | 1.1000000000e+01 2.0346424615e-10 14 | 1.2000000000e+01 3.0954792904e-10 15 | 1.3000000000e+01 7.3388229223e-10 16 | 1.4000000000e+01 1.0648476540e-09 17 | 1.5000000000e+01 2.3887077462e-09 18 | 1.6000000000e+01 3.2531838093e-09 19 | 1.7000000000e+01 6.7110836842e-09 20 | 1.8000000000e+01 8.1319440325e-09 21 | 1.9000000000e+01 1.3815374031e-08 22 | 2.0000000000e+01 1.1052302389e-08 23 | 2.1000000000e+01 9.8333328550e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/0-step-item-d2-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.5000000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 3.1635985321e-13 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 3.6462408794e-12 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 2.2413832827e-11 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 1.1098173592e-10 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 4.8281838200e-10 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 1.9015352929e-09 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 6.8318604552e-09 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 2.2154821528e-08 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 6.2053695755e-08 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 1.2748395819e-07 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 7.4999977895e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/1-step-item-d-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.6666666666e-02 3 | 1.0000000000e+00 1.9926128971e-24 4 | 2.0000000000e+00 6.2331763918e-24 5 | 3.0000000000e+00 2.3195423393e-23 6 | 4.0000000000e+00 4.7627468054e-23 7 | 5.0000000000e+00 1.4535559333e-22 8 | 6.0000000000e+00 2.6421214728e-22 9 | 7.0000000000e+00 7.3963806654e-22 10 | 8.0000000000e+00 1.2571272845e-21 11 | 9.0000000000e+00 3.3270827428e-21 12 | 1.0000000000e+01 5.3810753417e-21 13 | 1.1000000000e+01 1.3597039672e-20 14 | 1.2000000000e+01 2.1020509613e-20 15 | 1.3000000000e+01 5.0714365629e-20 16 | 1.4000000000e+01 7.4613609028e-20 17 | 1.5000000000e+01 1.7021049814e-19 18 | 1.6000000000e+01 2.3420380565e-19 19 | 1.7000000000e+01 4.9017677000e-19 20 | 1.8000000000e+01 5.9722691990e-19 21 | 1.9000000000e+01 1.0254268411e-18 22 | 2.0000000000e+01 8.2034165936e-19 23 | 2.1000000000e+01 9.8333333333e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/1-step-item-d2-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.5000000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 1.8649440468e-23 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 2.1708471673e-22 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 1.3602797358e-21 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 6.9210722952e-21 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 3.1129146171e-20 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 1.2720193690e-19 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 4.7438090332e-19 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 1.5919712446e-18 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 4.5842085377e-18 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 9.5894243322e-18 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 7.5000000000e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/2-step-item-d-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.6666666666e-02 3 | 1.0000000000e+00 5.7728270280e-55 4 | 2.0000000000e+00 1.8062697595e-54 5 | 3.0000000000e+00 6.7222159492e-54 6 | 4.0000000000e+00 1.3808177868e-53 7 | 5.0000000000e+00 4.2152009970e-53 8 | 6.0000000000e+00 7.6657436481e-53 9 | 7.0000000000e+00 2.1467905607e-52 10 | 8.0000000000e+00 3.6508324107e-52 11 | 9.0000000000e+00 9.6669956934e-52 12 | 1.0000000000e+01 1.5643899348e-51 13 | 1.1000000000e+01 3.9551496321e-51 14 | 1.2000000000e+01 6.1177759618e-51 15 | 1.3000000000e+01 1.4768274381e-50 16 | 1.4000000000e+01 2.1737603952e-50 17 | 1.5000000000e+01 4.9614897720e-50 18 | 1.6000000000e+01 6.8290491648e-50 19 | 1.7000000000e+01 1.4299279034e-49 20 | 1.8000000000e+01 1.7425063711e-49 21 | 1.9000000000e+01 2.9928182766e-49 22 | 2.0000000000e+01 2.3942551613e-49 23 | 2.1000000000e+01 9.8333333333e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/2-step-item-d2-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.5000000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 5.4007187723e-54 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 6.2889114200e-53 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 3.9434950949e-52 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 2.0084114667e-51 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 9.0438747383e-51 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 3.7002062297e-50 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 1.3816332052e-49 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 4.6416790573e-49 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 1.3377567400e-48 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 2.7999053686e-48 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 7.5000000000e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/3-step-item-d2-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 2.5000000000e-01 3 | 1.0000000000e+00 6.8935576607e-105 4 | 2.0000000000e+00 0.0000000000e+00 5 | 3.0000000000e+00 8.0272600528e-104 6 | 4.0000000000e+00 0.0000000000e+00 7 | 5.0000000000e+00 5.0335359035e-103 8 | 6.0000000000e+00 0.0000000000e+00 9 | 7.0000000000e+00 2.5635664126e-102 10 | 8.0000000000e+00 0.0000000000e+00 11 | 9.0000000000e+00 1.1543737352e-101 12 | 1.0000000000e+01 0.0000000000e+00 13 | 1.1000000000e+01 4.7229989324e-101 14 | 1.2000000000e+01 0.0000000000e+00 15 | 1.3000000000e+01 1.7635374969e-100 16 | 1.4000000000e+01 0.0000000000e+00 17 | 1.5000000000e+01 5.9247095007e-100 18 | 1.6000000000e+01 0.0000000000e+00 19 | 1.7000000000e+01 1.7075330297e-99 20 | 1.8000000000e+01 0.0000000000e+00 21 | 1.9000000000e+01 3.5738418242e-99 22 | 2.0000000000e+01 0.0000000000e+00 23 | 2.1000000000e+01 7.5000000000e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/codigos-1/ej-21/codigo1-21-2.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Ingresar matriz 4 | A = [[3, 2], [0, 1], [6, 8]] 5 | cantidad_filas = len(A) 6 | cantidad_columnas = len(A[0]) 7 | print( 8 | f"A=\n{A}\nCantidad de filas: {cantidad_filas}\nCantidad de columnas: {cantidad_columnas}" 9 | ) 10 | 11 | # ====================METODO 1==================== 12 | # inicializo los índices 13 | fila = 0 14 | columna = 0 15 | suma_elementos = 0 16 | 17 | while fila < cantidad_filas: 18 | while columna < cantidad_columnas: 19 | suma_elementos += A[fila][columna] 20 | columna += 1 # actualizo las columnas 21 | columna = 0 # reseteo las columnas 22 | fila += 1 # actualizo las filas 23 | 24 | print(f"Suma de elementos a manopla: {suma_elementos}") 25 | 26 | # ====================METODO 2==================== 27 | # Con listas por comprensión. Oneliner falopa, 28 | suma_total_oneliner = sum([sum(fila) for fila in A]) 29 | print(f"Suma de elementos oneliner: {suma_total_oneliner}") 30 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/dataFiles/item-d-plot/3-step-item-d-final.data: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Data pasos vs probabilidadOutput para la simulación de ejercicio de Markov borracho 2 | 0.0000000000e+00 1.6666666666e-02 3 | 1.0000000000e+00 7.3685222722e-106 4 | 2.0000000000e+00 2.3055496040e-105 5 | 3.0000000000e+00 8.5803365106e-105 6 | 4.0000000000e+00 1.7624964031e-104 7 | 5.0000000000e+00 5.3803454237e-104 8 | 6.0000000000e+00 9.7846696988e-104 9 | 7.0000000000e+00 2.7401955764e-103 10 | 8.0000000000e+00 4.6599771772e-103 11 | 9.0000000000e+00 1.2339098325e-102 12 | 1.0000000000e+01 1.9968108211e-102 13 | 1.1000000000e+01 5.0484125234e-102 14 | 1.2000000000e+01 7.8088214679e-102 15 | 1.3000000000e+01 1.8850448438e-101 16 | 1.4000000000e+01 2.7746206382e-101 17 | 1.5000000000e+01 6.3329206863e-101 18 | 1.6000000000e+01 8.7167018774e-101 19 | 1.7000000000e+01 1.8251816811e-100 20 | 1.8000000000e+01 2.2241615950e-100 21 | 1.9000000000e+01 3.8200787424e-100 22 | 2.0000000000e+01 3.0560636832e-100 23 | 2.1000000000e+01 9.8333333333e-01 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-3-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dada $A \en K^{n \times n}$ hermitiana, probar que existen matrices $B$, $C \en \reales^{n \times n}$ con $B$ simétrica y 3 | C antisimétrica ($C^t = -C$) tales que $A = B + iC$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | A apartir de una matriz \textit{hermitiana} me puedo construir las matrices $B$ y $C$ como: 7 | $$ 8 | B = \frac{A + A^*}{2} 9 | \ytext 10 | C = \frac{A - A^*}{2}, 11 | $$ 12 | Donde las matrices $B$ y $C \en \reales$ y además son simétrica y antisimétrica respectivamente. 13 | 14 | Ahora quiero ver la cuenta: 15 | $$ 16 | \begin{array}{rcl} 17 | B + iC 18 | = 19 | \frac{A + A^*}{2} + i \frac{A - A^*}{2} 20 | = 21 | \frac{A + A^*}{2} + i \frac{A - A^*}{2} 22 | & = & 23 | \frac{A + iA}{2} + \frac{A^* -i A^*}{2} \\ 24 | & \igual{\red{!}} & 25 | \frac{A + iA}{2} + \frac{A -i A}{2} \\ 26 | & \igual{\red{!}} & 27 | A 28 | \end{array} 29 | $$ 30 | 31 | \begin{aportes} 32 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 33 | \end{aportes} 34 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-18-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Se quiere estimar la norma 2 de una matriz $A \en \reales^{n \times n}$ como el máximo del valor 3 | $ \norma{Ax}_2 / \norma{x}_2 $ entre varios vectores $x \en \reales^3$ no nulos generadosal azar. 4 | Hacer un programa quereciba una matriz $A$ y luego 5 | \begin{itemize} 6 | \item Genere los primeros 100 términos de la siguiente sucesión: 7 | $$ 8 | s_1 = 0, \quad s_{k+1} = \maximo\set{s_k, \frac{\norma{Ax_k}_2}{\norma{x}_2}} 9 | $$ 10 | donde los $x_k \en \reales^3$ son vectores no nulos generados al azar en la bola unitaria: 11 | $B = \set{x : \norma{x}_2 \leq 1}$. 12 | 13 | \item Grafique la sucesión calculada, junto con el valor exacto de la norma de la matriz. 14 | \end{itemize} 15 | 16 | Recordar que tanto la norma 2 puede calcularse con el comando \texttt{np.linalg.norm}. Tener en cuenta 17 | que los vectores generados al azar (comando \texttt{np.random.rand}) tienen coordenadas en el intervalor $[0,1]$. 18 | \end{enunciado} 19 | 20 | 21 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-18/codigo2-18-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | # Nuestra Matriz de 3 x 3 5 | A = np.array([[0.1, 3, 9], [0.01, 0.1, 0.1], [89, 0.1, 0]]) 6 | 7 | s_k = 0 8 | sucesion = [s_k] 9 | x_k = np.array([0, 0, 0]) 10 | 11 | for k in range(1, 101): 12 | x = np.random.rand(3, 1) - 0.5 13 | # Vectores en r 3 con de norma = 1 14 | x_k = x / np.linalg.norm(x, axis=0) 15 | 16 | Ax_k = A @ x_k 17 | norma_Ax_k = np.linalg.norm(Ax_k, axis=0) 18 | s_k = max(s_k, norma_Ax_k) 19 | sucesion.append(s_k) 20 | 21 | 22 | # Printeo el resultado 23 | for i in range(0, 100): 24 | print(f"término k = {i} --> {sucesion[i]}") 25 | 26 | # Ploteo dos figuras, una para radio 1 y otra para radio 3 27 | fig, ax1 = plt.subplots(1) 28 | 29 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], label="v_uni") 30 | ax1.scatter(MV_uni[0], MV_uni[1], label="Av_uni") 31 | ax1.legend() 32 | ax1.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 33 | ax2.set_title('Puntos que distan 1 del origen y su transformación con A') 34 | 35 | 36 | # plt.tight_layout() 37 | plt.show() 38 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/indice.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %========================= 2 | % Un poco de Bling-Bling, carátula e índice 3 | %========================= 4 | 5 | %------IMPORTANTE 6 | %el comando "\guia" está definido en padres de este archivo 7 | %------ 8 | 9 | 10 | \vfill 11 | 12 | \begin{center} 13 | \hypertarget{indice-\guia}{\Large\textit{Choose your destiny: }}\par 14 | {\tiny\texttt{(click click {\tiny\faIcon{mouse}} en el ejercicio para saltar) }} 15 | 16 | \begin{itemize} 17 | \item[\tiny\mehBlank] \hyperlink{teoria-\guia}{Notas teóricas} 18 | 19 | \item[\tiny\meh] 20 | Ejercicios de la guía: 21 | \begin{multicols}{8} 22 | \foreach \ejer in {1,...,\cantidadEjerciciosGuia}{ 23 | \refEjercicio{ej:\ejer}\\ 24 | } 25 | \end{multicols} 26 | 27 | \item[\tiny\angry] Ejercicios de Parciales 28 | \begin{multicols}{8} 29 | \foreach \extras in {1,...,\cantidadEjerciciosExtras}{ 30 | \refEjExtra{ejExtra:\extras}\\ 31 | } 32 | \end{multicols} 33 | 34 | \end{itemize} 35 | \end{center} 36 | 37 | \vfill 38 | 39 | \newpage % nueva página 40 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/qr.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%% MACRO LOCAL 2 | \newcommand{\qrWeb}[1]{ 3 | \qrcode{#1}\par 4 | \texttt{\tiny#1} 5 | } 6 | %%% FIN MACRO LOCAL 7 | \thispagestyle{empty} 8 | 9 | \vspace*{\fill} 10 | 11 | \noindent\makebox[\textwidth]{ 12 | \begin{minipage}{0.7\textwidth} 13 | \centering 14 | 15 | {\LARGE 16 | Esta Guía \guia\ que tenés se actualizó por última vez: 17 | 18 | \red{\updateDos} 19 | 20 | Escaneá el QR para bajarte (quizás) una versión 21 | más nueva: 22 | \par 23 | 24 | \bigskip 25 | 26 | Guía \guia \par\medskip 27 | } 28 | \qrcode[height=4cm]{\dirGuia{\guia}} 29 | \vspace{2cm} 30 | 31 | { \Large 32 | El resto de las guías repo en \href{\dirRepo}{github\github} para 33 | descargar las guías con los últimos updates.\par\medskip 34 | } 35 | \qrcode[height=4cm]{\dirRepo} 36 | \vspace{2cm} 37 | 38 | { \Large 39 | Si querés mandar un ejercicio o avisar de algún error, 40 | lo más fácil es por \href{\dirTelegram}{Telegram \telegram}.\par\medskip 41 | } 42 | \qrcode[height=4cm]{\dirTelegram} 43 | \end{minipage} 44 | } 45 | 46 | \vspace*{\fill} 47 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-15/codigo4-15-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | 3 | # Quiero darle el input n y p y que devuelva la matriz 4 | # de transición del proceso. 5 | 6 | 7 | def generar_matriz_transicion(n, p): 8 | orden_matriz = n + 2 9 | matriz_transicion = np.zeros((orden_matriz, orden_matriz)) 10 | matriz_transicion[0][0] = 1 11 | matriz_transicion[orden_matriz - 1][orden_matriz - 1] = 1 12 | 13 | for col in range(1, orden_matriz - 1): 14 | row = col - 1 15 | matriz_transicion[row][col] = 1 - p 16 | matriz_transicion[row + 2][col] = p 17 | # [1 0.5 0 0 0 0 0] 18 | return matriz_transicion # [0 0 0.5 0 0 0 0] 19 | # [0 0.5 0 0.5 0 0 0] 20 | print(generar_matriz_transicion(5, 0.5)) # -> # [0 0 0.5 0 0.5 0 0] 21 | # [0 0 0 0.5 0 0.5 0] 22 | # [0 0 0 0 0.5 0 0] 23 | # [0 0 0 0 0 0.5 1] 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/codigos-3/ej-4/codigo3-4-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | """ 2 | Eliminacion Gausianna 3 | """ 4 | 5 | import numpy as np 6 | 7 | 8 | def elim_gaussiana(A): 9 | m = A.shape[0] 10 | n = A.shape[1] 11 | Ac = A.copy() 12 | 13 | if m != n: 14 | print("Matriz no cuadrada") 15 | return 16 | 17 | 18 | for i in range(0, n - 1): 19 | divisor = Ac[i][i] 20 | for j in range(i, n - 1): 21 | coef = Ac[j + 1][i] / divisor 22 | Ac[j + 1][i:] = np.subtract(Ac[j + 1][i:], coef * Ac[i][i:]) 23 | Ac[j + 1][i] = coef 24 | 25 | 26 | L = np.tril(Ac, -1) + np.eye(A.shape[0]) 27 | U = np.triu(Ac) 28 | 29 | return L, U 30 | 31 | def main(): 32 | n = 7 33 | B = np.eye(n) - np.tril(np.ones((n, n)), -1) 34 | B[:n, n - 1] = 1 35 | print(f"Matriz B = \n{B}\n") 36 | 37 | L, U = elim_gaussiana(B) 38 | 39 | print(f"Matriz L = \n{L}\n") 40 | print(f"Matriz U = \n{U}\n") 41 | print("B = LU? ", "Sí!" if np.allclose(np.linalg.norm(B - L @ U, 1), 0) else "No!") 42 | print("Norma infinito de U: ", np.max(np.sum(np.abs(U), axis=1))) 43 | 44 | 45 | if __name__ == "__main__": 46 | main() 47 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-4/codigo3-4-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | """ 2 | Eliminacion Gausianna 3 | """ 4 | 5 | import numpy as np 6 | 7 | 8 | def elim_gaussiana(A): 9 | m = A.shape[0] 10 | n = A.shape[1] 11 | Ac = A.copy() 12 | 13 | if m != n: 14 | print("Matriz no cuadrada") 15 | return 16 | 17 | 18 | for i in range(0, n - 1): 19 | divisor = Ac[i][i] 20 | for j in range(i, n - 1): 21 | coef = Ac[j + 1][i] / divisor 22 | Ac[j + 1][i:] = np.subtract(Ac[j + 1][i:], coef * Ac[i][i:]) 23 | Ac[j + 1][i] = coef 24 | 25 | 26 | L = np.tril(Ac, -1) + np.eye(A.shape[0]) 27 | U = np.triu(Ac) 28 | 29 | return L, U 30 | 31 | def main(): 32 | n = 7 33 | B = np.eye(n) - np.tril(np.ones((n, n)), -1) 34 | B[:n, n - 1] = 1 35 | print(f"Matriz B = \n{B}\n") 36 | 37 | L, U = elim_gaussiana(B) 38 | 39 | print(f"Matriz L = \n{L}\n") 40 | print(f"Matriz U = \n{U}\n") 41 | print("B = LU? ", "Sí!" if np.allclose(np.linalg.norm(B - L @ U, 1), 0) else "No!") 42 | print("Norma infinito de U: ", np.max(np.sum(np.abs(U), axis=1))) 43 | 44 | 45 | if __name__ == "__main__": 46 | main() 47 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-2/codigo2-2-a.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | # Nuestra Matriz 5 | M = np.array([[1,0],[0,0]]) 6 | 7 | # Genero 100 puntos aleatorios 8 | # de distancia 1 al origen. Y otros 100 puntos 9 | # a distancia 3 del origen. 10 | V = np.random.rand(2, 100) - 0.5 11 | V_uni = V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 12 | V_3 = 3*V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 13 | 14 | # Multiplico la matriz por todos esos vectoes 15 | # para ver el efecto 16 | MV_uni = M @ V_uni 17 | MV_3 = M @ V_3 18 | 19 | # Ploteo dos figuras, una para radio 1 y otra para radio 3 20 | fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5)) 21 | 22 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], label="v_uni") 23 | ax1.scatter(MV_uni[0], MV_uni[1], label="Av_uni") 24 | ax1.legend() 25 | ax1.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 26 | ax2.set_title('Puntos que distan 1 del origen y su transformación con A') 27 | 28 | ax2.scatter(V_3[0], V_3[1], label="v_3") 29 | ax2.scatter(MV_3[0], MV_3[1], label="Av_3") 30 | ax2.legend() 31 | ax2.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 32 | ax2.set_title('Puntos que distan 3 del origen y su transformación con A') 33 | 34 | # plt.tight_layout() 35 | plt.show() 36 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-2/codigo2-2-b.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | # Nuestra Matriz 5 | M = np.array([[1,0],[0,-1]]) 6 | 7 | # Genero 10 puntos aleatorios 8 | # de distancia 1 al origen. Y otros 10 puntos 9 | # a distancia 3 del origen. 10 | V = np.random.rand(2, 10) - 0.5 11 | V_uni = V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 12 | V_3 = 3*V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 13 | 14 | # Multiplico la matriz por todos esos vectoes 15 | # para ver el efecto 16 | MV_uni = M @ V_uni 17 | MV_3 = M @ V_3 18 | 19 | # Ploteo dos figuras, una para radio 1 y otra para radio 3 20 | fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5)) 21 | 22 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], label="v_uni") 23 | ax1.scatter(MV_uni[0], MV_uni[1], label="Av_uni") 24 | ax1.legend() 25 | ax1.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 26 | ax2.set_title('Puntos que distan 1 del origen y su transformación con A') 27 | 28 | ax2.scatter(V_3[0], V_3[1], label="v_3") 29 | ax2.scatter(MV_3[0], MV_3[1], label="Av_3") 30 | ax2.legend() 31 | ax2.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 32 | ax2.set_title('Puntos que distan 3 del origen y su transformación con A') 33 | 34 | # plt.tight_layout() 35 | plt.show() 36 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-2/codigo2-2-c.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | # Nuestra Matriz 5 | M = np.array([[0.5,0.5],[0.5,0.5]]) 6 | 7 | # Genero 15 puntos aleatorios 8 | # de distancia 1 al origen. También 15 puntos 9 | # a distancia 3 del origen. 10 | 11 | V = np.random.rand(2, 15) - 0.5 12 | V_uni = V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 13 | V_3 = 3*V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 14 | 15 | # Multiplico la matriz por todos esos vectoes 16 | # para ver el efecto 17 | MV_uni = M @ V_uni 18 | MV_3 = M @ V_3 19 | 20 | # Ploteo dos figuras, una para radio 1 y otra para radio 3 21 | fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5)) 22 | 23 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], label="v_uni") 24 | ax1.scatter(MV_uni[0], MV_uni[1], label="Av_uni") 25 | ax1.legend() 26 | ax1.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 27 | ax2.set_title('Puntos que distan 1 del origen y su transformación con A') 28 | 29 | ax2.scatter(V_3[0], V_3[1], label="v_3") 30 | ax2.scatter(MV_3[0], MV_3[1], label="Av_3") 31 | ax2.legend() 32 | ax2.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 33 | ax2.set_title('Puntos que distan 3 del origen y su transformación con A') 34 | 35 | # plt.tight_layout() 36 | plt.show() 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/codigos-2/ej-2/codigo2-2-d.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | # Nuestra Matriz 5 | M = np.array([[0.5,0.5],[0.5,0.5]]) 6 | 7 | # Genero 15 puntos aleatorios 8 | # de distancia 1 al origen. También 15 puntos 9 | # a distancia 3 del origen. 10 | 11 | V = np.random.rand(2, 15) - 0.5 12 | V_uni = V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 13 | V_3 = 3*V/np.linalg.norm(V, axis = 0) 14 | 15 | # Multiplico la matriz por todos esos vectoes 16 | # para ver el efecto 17 | MV_uni = M @ V_uni 18 | MV_3 = M @ V_3 19 | 20 | # Ploteo dos figuras, una para radio 1 y otra para radio 3 21 | fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5)) 22 | 23 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], label="v_uni") 24 | ax1.scatter(MV_uni[0], MV_uni[1], label="Av_uni") 25 | ax1.legend() 26 | ax1.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 27 | ax2.set_title('Puntos que distan 1 del origen y su transformación con A') 28 | 29 | ax2.scatter(V_3[0], V_3[1], label="v_3") 30 | ax2.scatter(MV_3[0], MV_3[1], label="Av_3") 31 | ax2.legend() 32 | ax2.set_aspect('equal') # aspect ratio para que se vea cuadradito 33 | ax2.set_title('Puntos que distan 3 del origen y su transformación con A') 34 | 35 | # plt.tight_layout() 36 | plt.show() 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-21-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Escribir funciones de \texttt{\python} que realicen las siguientes operaciones: 3 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 4 | \item Calcular la traza de una matriz. 5 | 6 | \item Calcular la sumatoria de todos los elementos de una matriz. 7 | 8 | \item Determinar si la sumatoria de elementos positivos es mayor que la sumatoria (en módulo) 9 | de los elementos negativos de una matriz. 10 | \end{enumerate} 11 | \end{enunciado} 12 | 13 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 14 | \item Sea $A \en K^{n \times n}$. Se llama \textit{traza} de la matriz $A$, y se nota $tr(A)$, al 15 | escalar $tr(A) = \sumatoria{i=1}{n}A_{ii}$ 16 | 17 | Para calcular la suma de los elmentos de la diagonal principal: 18 | \copyPaste 19 | \codigoPython{ej-21/codigo1-21-1.py} 20 | 21 | \item Para sumar todos los elmentos 2 formas: 22 | \codigoPython{ej-21/codigo1-21-2.py} 23 | 24 | \item Sumo todo. Igual que en el item anterior. Si es positivo devuelvo \textit{verdadero} sino \textit{falso}. 25 | \codigoPython{ej-21/codigo1-21-3.py} 26 | \end{enumerate} 27 | 28 | \begin{aportes} 29 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 30 | \end{aportes} 31 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-24-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $D_n = \frac{1}{10} I_n$. Verificar que $\det(D_n) \to 0$ si $n \to \infinito$. ¿$D_n$ está mal 3 | condicionada? ¿Es el determinante un buen indicador de cuan cerca está una matriz de ser 4 | singular? 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | \medskip 8 | 9 | $D_n$ es la matriz identidad de $n \times n$ multiplicado por $\frac{1}{10}$, 10 | por lo tanto es la matriz de $n \times n$ 11 | que en su diagonal tiene $\frac{1}{10}$. 12 | Al ser una matriz diagonal su determinante es el producto de los elementos en su diagonal: 13 | $$ 14 | \det(D_n) = 15 | \productoria{1}{n} \frac{1}{10} = 16 | \left(\frac{1}{10}\right)^n= 17 | \frac{1}{10^n} 18 | $$ 19 | 20 | para verificar $\det(D_n) \to 0$ si $n \to \infinito$ tomo límite: 21 | 22 | $$ 23 | \limite{n}{\infinito}\frac{1}{10^n} = 0 24 | $$ 25 | La matriz está bien condicionada, se ve fácilmente que: 26 | $$ 27 | \norma{A}_\infinito = \frac{1}{10} \ytext \norma{A^{-1}}_\infinito = 10, 28 | $$ 29 | ya que tiene todos 10 en la diagonal (inversa de matriz diagonal). Entonces: $\condicion_\infinito(A) = 1$ por lo que está perfectamente condicionada. 30 | 31 | \begin{aportes} 32 | \item \aporte{https://github.com/juandelia03}{Juan D Elia \github} 33 | \end{aportes} 34 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6/ej-3-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Para cada uno de los conjuntos de datos, plantear las ecuaciones normales y calcular los polinomios de grado 1, 2 y 3 que 3 | mejor aproximan la tabla en el sentido de cuadrados mínimos. Graficar los datos juntos con los tres polinomios. 4 | ¿Qué se observa? ¿Qué se puede decir del polinomio de grado 3? 5 | $$ 6 | \begin{array}{|c||c|c|c|c|} 7 | \hline 8 | x & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline 9 | y & -1 & 3 & 11 & 27 \\ \hline 10 | \end{array} 11 | \quad 12 | \begin{array}{|c||c|c|c|c|} 13 | \hline 14 | x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 15 | y & -3 & 1 & 1 & 3 \\ \hline 16 | \end{array} 17 | $$ 18 | \end{enunciado} 19 | 20 | Quiero hacer cuadrados mínimos en los conjuntos dados para los polinomios: 21 | $$ 22 | \llave{rcl}{ 23 | y & = & ax + b \\ 24 | y & = & ax^2 + bx + c \\ 25 | y & = & ax^3 + bx^2 + cx + d 26 | } 27 | $$ 28 | $$ 29 | A x = y 30 | \sii 31 | \matriz{cc}{ 32 | -1 & 1 \\ 33 | 0 & 1 \\ 34 | 2 & 1 \\ 35 | 3 & 1 36 | } 37 | \matriz{cc}{ 38 | a\\ 39 | b 40 | } 41 | = 42 | \matriz{c}{ 43 | -1 \\ 44 | 3 \\ 45 | 11 \\ 46 | 27 47 | } 48 | \sii 49 | A^tAx = A^ty 50 | \sii 51 | $$ 52 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/codigos-5/ej-9/codigo9-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | A = np.array([[4, 14], [8, -19], [20, -10]]) 5 | At = np.transpose(A) 6 | H = np.transpose(A) @ A 7 | # 8 | # print(np.linalg.eig(H)) 9 | # print(np.linalg.svd(A)) 10 | # 11 | V = np.random.rand(2, 500) - 0.5 # circunferencia unitaria 12 | V_uni = V / np.linalg.norm(V, axis=0) 13 | AV_uni = A @ V_uni 14 | print(AV_uni) 15 | ## TikZ----------------------------------------------- 16 | np.savetxt( 17 | f"../../ejercicios-5/dataFiles/9-ej-data/circulo.data", 18 | np.transpose([V_uni[0], V_uni[1], np.zeros(500)]), 19 | fmt="%.10e", 20 | header="circulo y producto por matriz", 21 | comments="# SVD circulo unitario", 22 | ) 23 | np.savetxt( # matriz A 24 | f"../../ejercicios-5/dataFiles/9-ej-data/matrizDotCirculo.data", 25 | np.transpose([AV_uni[0], AV_uni[1], AV_uni[2]]), 26 | fmt="%.10e", 27 | header="circulo y producto por matriz", 28 | comments="# SVD Matriz por circulo unitario", 29 | ) 30 | ## ----------------------------------------------- 31 | # Ploteo dos figuras, una para radio 1 y otra para radio 3 32 | fig, (ax1) = plt.subplots(1, 1, figsize=(12, 5)) 33 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], label="v_uni") 34 | ax1.scatter(AV_uni[0], AV_uni[1], label="Av_uni") 35 | ax1.legend() 36 | ax1.grid() 37 | ax1.set_aspect("equal") # aspect ratio para que se vea cuadradito 38 | # plt.show() 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/codigos-5/ej-17/codigo17-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | A = np.array( [ 5 | [20 - 4 * np.sqrt(5), 20 + 4 * np.sqrt(5), 20 + 2 * np.sqrt(5)], 6 | [40 + 2 * np.sqrt(5), 20 - 2 * np.sqrt(5), 40 + np.sqrt(5)] 7 | ]) 8 | # 9 | total_puntos = 500 10 | 11 | V = np.random.rand(3, total_puntos) - 0.5 # circunferencia unitaria 12 | V_uni = V / np.linalg.norm(V, axis=0) 13 | AV_uni = A @ V_uni 14 | # print(AV_uni) 15 | 16 | ## TikZ----------------------------------------------- 17 | np.savetxt( 18 | f"../../ejercicios-5/dataFiles/17-ej-data/circulo.data", 19 | np.transpose([V_uni[0], V_uni[1], V_uni[2]]), 20 | fmt="%.2e", 21 | header="circulo y producto por matriz", 22 | comments="# SVD circulo unitario", 23 | ) 24 | np.savetxt( # matriz A 25 | f"../../ejercicios-5/dataFiles/17-ej-data/matrizDotCirculo.data", 26 | np.transpose([AV_uni[0], AV_uni[1], np.zeros(total_puntos)]), 27 | fmt="%.2e", 28 | header="circulo y producto por matriz", 29 | comments="# SVD Matriz por circulo unitario", 30 | ) 31 | ## ----------------------------------------------- 32 | fig, ax1 = plt.subplots(1, 1, figsize=(12, 5)) 33 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], V_uni[2], label="v_uni") 34 | ax1.scatter(AV_uni[0], AV_uni[1], label="Av_uni") 35 | ax1.legend() 36 | ax1.grid() 37 | ax1.set_aspect("equal") # aspect ratio para que se vea cuadradito 38 | plt.show() 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-4-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra}{\tiny\violet{[segundo parcial 8/7/23]}} 2 | Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones 3 | $$ 4 | \llave{rcl}{ 5 | x + ay & = & 1 \\ 6 | x + y + z & = & 1 \\ 7 | by + z & = & 1 8 | } 9 | $$ 10 | 11 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 12 | \item Determinar todos los valores de $a$ y $b$ para que el sistema tenga solución única. 13 | 14 | \item Para la matriz asociada al sistema dado, demostrar que el método de Jacobi converge 15 | si y solo si el método de Gauss-Seidel converge. 16 | 17 | \item Determinar todos los valores de $a$ y $b$ para asegurar la convergencia de ambos métodos. 18 | ¿Cuál de los dos métodos elegiría? 19 | \end{enumerate} 20 | \end{enunciado} 21 | 22 | 23 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 24 | \item Calcular determinante de la matriz de coeficientes: 25 | $$ 26 | \det(A) = 27 | \deter{ccc}{ 28 | 1 & a & 0 \\ 29 | 1 & 1 & 1 \\ 30 | 0 & b & 1 31 | } 32 | = 33 | (a - 1) b = 0 34 | \sii 35 | \llave{c}{ 36 | a = 1 \\ 37 | o \\ 38 | b = 0 39 | } 40 | $$ 41 | Si $\det(A) \distinto 0$ entonces el sistema tendrá solución única, por lo tanto: 42 | $$ 43 | \cajaResultado{ 44 | \paratodo a \distinto 0 \ytext b \distinto 0 45 | } 46 | $$ 47 | 48 | \item Matriz tridiagonal, comparo los radios espectrales. 49 | 50 | \item \hacer 51 | \end{enumerate} 52 | 53 | 54 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-17-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A \en \reales^{n \times n}$ tal que admite una base de autovectores $\mathcal{B} = \set{v_1, \ldots, v_n}$ 3 | (que supondremos normalizados) y, además, tiene un único autovalor de máximo módulo (digamos: $\lambda_1$). 4 | Es decir, sus autovalores satisfacen: 5 | $$ 6 | |\lambda_1| > 7 | |\lambda_2| > 8 | |\lambda_3| > 9 | \dots > 10 | |\lambda_n|. 11 | $$ 12 | Dado $v^{(0)}$ un vector cualquiera tal que sus coordenadas en base $\mathcal{B}$ son $(a_1, \ldots, a_n),$ con $a_1 \distinto 0$. 13 | 14 | Definimos $v^{(k+1)} = Av^{(k)} = A^k v^{(0)}$. 15 | 16 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 17 | \item Probar que $A v^{(k)} = a_1 \lambda_1^k v_1 + \cdots + a_n \lambda_n^k v_n$. 18 | 19 | \item Deducir que $Av^{(k)} = \lambda_1^k(a_1v_1 + \varepsilon_k)$, donde $\varepsilon_k \to 0$ cuando $k \to \infinito$. 20 | 21 | \item Sea $\varphi : \complejos^n \to \complejos$ una funcional lineal tal que $\varphi(v_1) \distinto 0$. Probar que: 22 | $$ 23 | \frac{\varphi(Av^{(k)})}{\varphi(v^{(k)})} \to \lambda_1. 24 | $$ 25 | 26 | \item Para evitar que $\norma{v^{(k)}}$ tianda a $0$ o a $\infinito$ es usual normalizar $v^{(k)}$ al cabo de cada iteración. 27 | Probar que en tal caso, si $\lambda_1$ es real positivo, se tiene que $v^{(k)} \to v_1$. 28 | \end{enumerate} 29 | \end{enunciado} 30 | 31 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 32 | \item \hacer 33 | \item \hacer 34 | \item \hacer 35 | \item \hacer 36 | \end{enumerate} 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-10-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Mostrar que $A \en \complejos^{n \times n}$ tiene un valor singular nulo si y solo si tiene un autovalor nulo. 3 | \end{enunciado} 4 | \begin{itemize} 5 | \item[$(\red{\Leftarrow})$] 6 | Si $A$ tiene un autovalor $\lambda_i = 0$ tiene $\nucleo(A) \distinto 0$ y existe $Av = 0$ para algún $v$. 7 | Entonces $A^*A$: 8 | $$ 9 | A^* A v = 0 10 | $$ 11 | Por lo tanto $A^*A$ tiene un autovalor nulo y como $\sigma_i^2 = \lambda_i$ hay un valor singular nulo. 12 | 13 | \item[$(\red{\Rightarrow})$] 14 | Si $A$ es cuadrada, su descomposición \textit{en valores singulares} es el producto de matrices cuadradas: 15 | $$ 16 | A = U \Sigma V^* 17 | \flecha{calculo}[determinante] 18 | |A| = 19 | |U \Sigma V^*| = 20 | \ua{|U|}{\distinto 0} \cdot \ua{|\Sigma|}{= 0} \cdot \ua{|V^*|}{\distinto 0} = 0 21 | $$ 22 | Porque sigma tiene la forma: 23 | $$ 24 | [\Sigma]_{ij} = 25 | \llave{rcl}{ 26 | \sigma_i & si & i = j\\ 27 | 0 & si & i \distinto j 28 | } 29 | $$ 30 | Y si uno de los $\sigma_i = 0$, bueh, $\det(A) = 0$. Por lo tanto 31 | $$ 32 | \nucleo(A) \distinto \set{0} 33 | $$ 34 | Entonces existe un $v$ tal que: 35 | $$ 36 | Av = 0 \sii Av = \ua{0}{\lambda_i} \cdot v 37 | $$ 38 | \end{itemize} 39 | 40 | \begin{aportes} 41 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 42 | \end{aportes} 43 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-13-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A \en \complejos^{n \times n}$, probar que los valores singulares de $A^t,\, \bar{A} \ytext A^*$ son 3 | iguales a los de $A$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Una matriz $A \en \complejos^{n \times n}$ tiene una \textit{descomposición en valores singulares}: 7 | $$ 8 | A = U \Sigma V^* 9 | $$ 10 | Donde $\Sigma$ tiene en sus elementos diagonales, $\sigma_{ii} = \sqrt{\lambda_i}$ donde esos $\lambda_i$ 11 | son los autovalores de $A^* A$. 12 | La matriz $V$ tiene como columnas a los autovectores de $A^*A$ y 13 | la matriz $U$ tiene como columnas a una base ortonormal con los vectores $u_i = \frac{Av}{\sigma_i}$ con $\sigma_i \distinto 0$ 14 | 15 | \bigskip 16 | 17 | \textit{Para $A^t$}: 18 | $$ 19 | A = U \Sigma V^* 20 | \Sii{transpongo} 21 | A^t = \bar{V} \Sigma^t U^t 22 | $$ 23 | Como $A$ es una matriz cuadrada entonces $\Sigma$ también lo es, por lo tanto $\Sigma = \Sigma^t$, por lo que 24 | $A$ y $A^t$ tienen \ul{los mismos valores singulares}. 25 | 26 | \bigskip 27 | 28 | \textit{Para $\bar{A}$}: 29 | $$ 30 | A = U \Sigma V^* 31 | \Sii{conjugo} 32 | \bar{A} = \bar{U} \bar{\Sigma} V^t 33 | $$ 34 | $\Sigma$ tiene a todos sus elementos no negativos y reales, por lo tanto $\Sigma = \bar{\Sigma}$. 35 | Es así que $A$ y $\bar{A}$ tienen \ul{los mismos valores singulares}. 36 | 37 | \bigskip 38 | 39 | \textit{Para $A^*$}: 40 | $$ 41 | A = U \Sigma V^* 42 | \Sii{autoadjunto} 43 | A^* = V \Sigma^* U^* 44 | $$ 45 | Un mix de los resultados anteriores muestran que $A$ y $A^*$ tienen \ul{los mismos valores singulares}. 46 | 47 | \begin{aportes} 48 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 49 | \end{aportes} 50 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-4-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Encontrar los coeficientes de la parábola $y = ax^2 + bx + c$ que pasa por los puntos 3 | $(1, 1), (2, 2) \ytext (3, 0)$. Verificar el resultado obtenido usando \python. 4 | Graficar los puntos y la parábola aprovechando el siguiente código: 5 | 6 | \codigoPython{ej-4/codigo1-4-1.py} 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | Hay que armar la matriz para luego resolverla: 10 | $$ 11 | \llave{l}{ 12 | y(\blue{1}) = a \cdot \blue{1}^2 + b \cdot \blue{1} + c = \blue{1}\\ 13 | y(\blue{2}) = a \cdot \blue{2}^2 + b \cdot \blue{2} + c = \blue{2}\\ 14 | y(\blue{3}) = a \cdot \blue{3}^2 + b \cdot \blue{3} + c = \blue{0} 15 | } 16 | $$ 17 | El sistema a resolver en forma matricial: 18 | $$ 19 | \matriz{ccc}{ 20 | 1 & 1 & 1 \\ 21 | 4 & 2 & 1 \\ 22 | 9 & 3 & 1 \\ 23 | } 24 | \cdot 25 | \matriz{c}{ 26 | a\\ 27 | b\\ 28 | c 29 | } 30 | = 31 | \matriz{c}{ 32 | 1\\ 33 | 2\\ 34 | 0 35 | } 36 | $$ 37 | Ampliamos la matriz de coeficientes: 38 | $$ 39 | \matriz{ccc|c}{ 40 | 1 & 1 & 1 & 1\\ 41 | 4 & 2 & 1 & 2\\ 42 | 9 & 3 & 1 & 0 43 | } 44 | \Sii{\magic} 45 | \matriz{ccc|c}{ 46 | 1 & 1 & 1 & 1\\ 47 | 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1\\ 48 | 0 & 0 & 1 & -3 49 | } 50 | \entonces 51 | \llave{ccc}{ 52 | a & = & -\frac{3}{2} \\ 53 | b & = & \frac{11}{2} \\ 54 | c & = & -3 55 | } 56 | $$ 57 | La parábola queda: 58 | $$ 59 | \cajaResultado{ 60 | y = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{2}x - 3 61 | } 62 | $$ 63 | 64 | \bigskip 65 | 66 | \copyPaste 67 | 68 | \codigoPython{ej-4/codigo1-4-2.py} 69 | 70 | \begin{aportes} 71 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 72 | \end{aportes} 73 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-15-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dada una sucesión de vectores $\set{\bm{x}_n}_{n \en \naturales} \subset \reales^k$ probar 3 | $$ 4 | \norma{\bm{x}_n}_1 \flecha{}[$n \to \infty$] 0 5 | \sisolosi 6 | (x_n)_i \flecha{}[$n \to \infty$] 0, 1 \leq i \leq k 7 | $$ 8 | donde $(x_n)_i$ es la $i$-ésima coordenada de $x_n$. 9 | 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | \medskip 13 | 14 | Tener en cuenta que: $\norma{x_n}_1 \flecha{}[$n \to \infty$] 0$ es $\limite{n}{\infty} \sumatoria{i=1}{n} |x_i| = 0$ 15 | 16 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 17 | \item Veo la ida: 18 | 19 | Como $\norma{x_n}_1 \flecha{}[$n \to \infty$] 0$ y la norma se compone de sumar valores mayores o iguales a cero, se puede 20 | implicar que cada elemento con n tendiendo a infinito debe ser 0, es decir $(x_n)_i \flecha{}[$n \to \infty$] 0$ para todo i. 21 | 22 | Más formal: 23 | 24 | Por el absurdo: asumo que existe un $(x_n)_i$ distinto de cero 25 | por la implicacion se que $\limite{n}{\infty} \sumatoria{i=1}{n} |x_i| = 0$, 26 | como solo sumo positivos es absurdo si hay algun $x_i$ tal que: $x_i$ no es cero 27 | 28 | \item Veo la vuelta: 29 | 30 | Si $(x_n)_i \flecha{}[$n \to \infty$] 0$ para todo i, puedo implicar que 31 | $\norma{\bm{x}_n}_1 \flecha{}[$n \to \infty$] 0$, porque es sumar todos esos elementos. Más formal: 32 | 33 | $\limite{n}{\infty} \sumatoria{i=1}{n} |x_i| = 0$ con cada $x_i = 0$ con n tendiendo a infinito: 34 | 35 | $\limite{n}{\infty} \sumatoria{i=1}{n} 0 = 0$ vale 36 | \end{enumerate} 37 | 38 | \begin{aportes} 39 | \item \aporte{https://github.com/juandelia03}{Juan D Elia \github} 40 | \end{aportes} 41 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/encabezado-pie.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Info para armar título. 2 | 3 | \title{\setulcolor{red}\ul{Apunte Único}: Álgebra Lineal Computacional - Práctica \guia} % título 4 | \author{Por alumnos de ALC\\ 5 | Facultad de Ciencias Exactas y Naturales \\ 6 | UBA\\ 7 | {\tiny última actualización \update}} % autores y lugar 8 | 9 | \date{} % Así no aparece la fecha 10 | 11 | \maketitle % para que aparezca el título en el documento 12 | \thispagestyle{empty} % borro el número de la primera página 13 | 14 | \pagestyle{fancy} % activo los headers y footers 15 | \fancyhead{} % borro lo que haya en los headers 16 | \fancyfoot{} % borro lo que haya en los headers 17 | \fancyhead[L]{ALC} % encabezado izquierdo 18 | \fancyhead[C]{Práctica \guia} % encabezado central 19 | \fancyhead[R]{Página \thepage} %% encabezado derecho 20 | 21 | \fancyfoot[EL]{ 22 | \small\github 23 | ¡Aportá con correcciones, mandando ejercicios, \yellow{\faIcon{star}} \href{\dirRepo}{al repo}, críticas, todo sirve.\\ 24 | La idea es que la guía esté actualizada y con el mínimo de errores. 25 | 26 | } % pie izquierdo pares 27 | \fancyfoot[OL]{ 28 | \small \telegram ¿Errores? \href{\dirTelegram}{Avisá acá} así se corrige y ganamos todos.\\ 29 | \small Compilado: \update. Chequeá si hay una \href{\dirGuia{\guia}}{versión nueva $\to$ acá.} 30 | } % pie izquierdo impares 31 | 32 | % \fancyfoot[EC]{\small \update} % pie izquierdo pares 33 | \fancyfoot[OR]{ 34 | \small\hyperlink{indice-\guia}{ 35 | Ir a índice $\uparrow$ 36 | } 37 | } % pie derecho pares 38 | 39 | \fancyfoot[ER]{ 40 | \small \hyperlink{indice-\guia}{Ir al índice $\uparrow$} 41 | } % pie derecho impares 42 | 43 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-11-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A \en \complejos^{m \times n}$, demostrar que los valores singulares de la matriz 3 | $\matriz{c}{ 4 | I_n\\ 5 | A 6 | }$ 7 | son $\sqrt{1 + \sigma_i^2}$ donde $I_n$ es la matriz identidad de $\complejos^{n \times n}$ y $\sigma_i$ es 8 | el $i$-ésimo valor singular de $A$. 9 | \end{enunciado} 10 | Apunto a obtener los \textit{valores singulares}, $\blue{\varsigma_i}$ de la matriz: 11 | $$ 12 | \blue{G} = 13 | \ub{ 14 | (I_n\ A^*) 15 | }{ 16 | \en \complejos^{n \times (n + m)} 17 | } 18 | \cdot 19 | \ob{ 20 | \matriz{c}{ 21 | I_n\\ 22 | A 23 | } 24 | }{ 25 | \en \complejos^{(n + m) \times n} 26 | } 27 | = 28 | I_n + \ub{A^* A}{\en \complejos^{n \times n}} = I_n + \purple{H} 29 | $$ 30 | Donde bauticé a $A^*A$ como $\purple{H}$. 31 | Calculo los autovalores de $\blue{G} = I_n + \purple{H}$: 32 | $$ 33 | |I_n + \purple{H} - \lambda \cdot I_n| = 34 | |\purple{H} - \ub{(\lambda - 1)}{\mu}\cdot I_n| = 35 | |\purple{H} - \mu \cdot I_n| = 0 36 | \Sii{\red{!}} 37 | \mu \text{ autovalores de } \purple{H} 38 | $$ 39 | Ahora identificando bien cada cosa: 40 | 41 | Si $\mu_i$ es un autovalor de $\purple{H}$, entonces los valores singulares de $A$: 42 | $$ 43 | \sigma_i = \sqrt{\mu_i} = \sqrt{\lambda_i - 1}\ \llamada1 44 | $$ 45 | es un valor singular de $A$. 46 | 47 | Y si tengo que $\lambda_i$ es un autovalor de $\blue{G}$, entonces los valores singulares de 48 | $ 49 | \matriz{c}{ 50 | I_n\\ 51 | A 52 | } 53 | $: 54 | $$ 55 | \cajaResultado{ 56 | \blue{\varsigma_i} = \sqrt{\lambda_i} \igual{$\llamada1$} \sqrt{1 + \sigma_i^2} 57 | } 58 | $$ 59 | 60 | \begin{aportes} 61 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 62 | \end{aportes} 63 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3-extra/ej-extra-1-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $c \en \reales, c \distinto 0$ y las siguientes matrices 3 | $$ 4 | \matriz{ccc}{ 5 | 0 & c & c \\ 6 | c & c & 0 \\ 7 | c & 0 & 0 8 | } 9 | \ytext 10 | \matriz{ccc}{ 11 | 1 & 1 & 3 \\ 12 | 0 & 0 & 0 \\ 13 | 1 & 1 & 0 14 | } 15 | $$ 16 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 17 | \item Probar que no existen matrices $L$ triangular inferior con unos en la diagonal y $U$ 18 | triangular superior tales que $C = LU$. 19 | 20 | \item Hallar $P, L, U \en \reales^{3 \times 3}$ tales que $PP = I_3$ y $PC = LU$ con $L$ triangular inferior con unos 21 | en la diagonal y $U$ trianfular superior. 22 | 23 | \item ¿Cuántas factorizaciones $LU$ ($L$ con unos en la diagonal) existen para la matriz $CB$? 24 | Si no existe ninguna, demostrarlo; si existe solo una, hallarla; si existe más de una, decir cuántas y mostrar dos distintas. 25 | 26 | \item Probar que $\condicion_1(C+B) \to \infinito$ para $c \to -3$. 27 | \end{enumerate} 28 | \end{enunciado} 29 | 30 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 31 | \item Planteo existencia con una $LU$ genérica y llego a contradicción. 32 | \item row swap y luego voy a encontrar: 33 | $$ 34 | P_{13} C = LU 35 | \quad 36 | \text{con} 37 | \quad 38 | L = 39 | \matriz{ccc}{ 40 | 1 & 0 & 0 \\ 41 | 1 & 1 & 0 \\ 42 | 1 & 0 & 1 43 | } 44 | $$ 45 | \item \hacer 46 | \item Matriz singular a usar: 47 | $$ 48 | \matriz{ccc}{ 49 | 1 & c+1 & 0 \\ 50 | c & c & 0 \\ 51 | c+1 & 1 & 0 52 | } 53 | $$ 54 | \end{enumerate} 55 | 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-18-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A = 3 | \matriz{cc}{ 4 | 1 & 0 \\ 5 | 0 & 1 \\ 6 | 1 & 0 7 | } 8 | $. Calcular la matriz de la proyección ortogonal sobre $\imagen(A)$. 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | Una proyección ortogonal $P$ debe cumplir con que $\imagen(P) \perp \nucleo(P)$: 12 | $$ 13 | \imagen(P) = \set{(1, 0, 1), (0, 1, 0)} 14 | \ytext 15 | \nucleo(P) = \set{(-1, 0, 1)} 16 | $$ 17 | Por lo tanto mi candidato a \textit{proyector ortogonal}: 18 | $$ 19 | \llave{l}{ 20 | P(1,0,1) = (1,0,1)\\ 21 | P(0,1,0) = (0,1,0)\\ 22 | P(-1,0,1) = (0,0,0) 23 | } 24 | $$ 25 | Voy a buscar la expresión funcional del proyector: 26 | $$ 27 | (x_1, x_2, x_3) 28 | \igual{$\llamada1$} 29 | \blue{a} \cdot (1,0,1) + 30 | \blue{b} \cdot (0,1,0) + 31 | \blue{c} \cdot (-1,0,1) 32 | \flecha{resolver en}[forma matricial] 33 | \matriz{ccc|c}{ 34 | 1 & 0 & -1 & x_1 \\ 35 | 0 & 1 & 0 & x_2 \\ 36 | 1 & 0 & 1 & x_3 37 | } 38 | $$ 39 | Eso queda: 40 | $$ 41 | \llave{l}{ 42 | \blue{a} = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_3 \\ 43 | \blue{b} = x_2 \\ 44 | \blue{c} = \frac{1}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_3 45 | } 46 | \flecha{reemplazando en $\llamada1$}[y transformando] 47 | P(x_1, x_2, x_3) = 48 | \left(\frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2}x_3, x_2,\frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2}x_3\right) 49 | $$ 50 | Transformo los canónicos para hallar $P$ en forma matricial: 51 | $$ 52 | [P]_{EE} = 53 | \matriz{ccc}{ 54 | \frac{1}{2} & 0 &\frac{1}{2} \\ 55 | 0 & 1 & 0 \\ 56 | \frac{1}{2} & 0 &\frac{1}{2} 57 | } 58 | $$ 59 | Quedó hermosamente simétrico, porque es un \textit{proyector ortogonal} expresado en una \textit{base ortonormal}. 60 | 61 | \begin{aportes} 62 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 63 | \end{aportes} 64 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-5-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A \en K^{n \times n}$. Probar que $A$ y $A^t$ tienen los mismos autovalores. Dar un ejemplo en el 3 | que los autovectores sean distintos. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Demostracion: 7 | 8 | Por propiedades del determinante sabemos que: 9 | $$ 10 | \det(A) = \det(A^t) 11 | $$ 12 | Sabemos que los autovalores $\lambda$ son los que tienen la siguiente propiedad: 13 | $$ 14 | \det(A - \lambda I) = 0 15 | $$ 16 | 17 | Usando la propiedad del determinante, tenemos que: 18 | $$ 19 | \det(A - \lambda I) = \det((A - \lambda I)^t) 20 | $$ 21 | 22 | Y, como sabemos que $\lambda$ es un autovalor de $A$ 23 | $$ 24 | 0 = 25 | \ub{ 26 | \det(A - \lambda I) 27 | }{\mathcal{X}_A(\lambda)} = 28 | \ub{ 29 | \det((A - \lambda I)^t) 30 | }{\mathcal{X}_{A^t}(\lambda)} 31 | \sii 32 | \mathcal{X}_A(\lambda) = \mathcal{X}_{A^t}(\lambda) = 0 33 | $$ 34 | 35 | Probando así que tienen los mismos autovalores, dado que los \textit{polinomios característicos de ambas expresiones} son iguales 36 | 37 | Si tengo la siguiente matriz: 38 | $$ 39 | \ub{ 40 | A = 41 | \matriz{cc}{ 42 | 0 & 1 \\ 43 | 0 & 0 44 | } 45 | }{ 46 | E_{\lambda_1 = \lambda_2 = 0} = \set{(1,0)} 47 | } 48 | \Entonces{transponiendo} 49 | \ub{ 50 | A^t = 51 | \matriz{cc}{ 52 | 0 & 0 \\ 53 | 1 & 0 54 | } 55 | }{ 56 | E_{\lambda_1 = \lambda_2 = 0} = \set{(0,1)} 57 | } 58 | $$ 59 | Esas matrices \underline{no son diagonalizables}. Ambas tienen los mismos autovalores $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$, 60 | pero \ul{no generan una base de autovectores} para poder diagonalizar la matriz. 61 | 62 | \begin{aportes} 63 | \item \aporte{https://github.com/misProyectosPropios}{Iñaki Frutos \github} 64 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 65 | \end{aportes} 66 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-12-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A \en \complejos^{n \times n}$ y $\sigma > 0$. Demostrar que $\sigma$ es valor singular de A 3 | si y solo si la matriz 4 | $\matriz{cc}{ 5 | A^* & -\sigma I_n \\ 6 | -\sigma I_n & A 7 | }$ 8 | es singular, donde $I_n$ es la matriz identidad de $\complejos^{n \times n}$. 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | \begin{itemize} 12 | \item[$(\red{\Rightarrow})$] Sé que $\sigma$ es un \textit{valor singular} de $A$. 13 | Entonces sé que una matriz $A$ tiene su descomposición SVD: 14 | $$ 15 | A^*A v = \lambda v 16 | \Sii{def} 17 | A^*A v = \sigma^2 v 18 | \sii 19 | (A^*A - \sigma^2 I_n) v 20 | \Sii{$v \distinto 0$} 21 | |A^*A - \sigma^2 I_n| = 0 22 | \sii \sigma \text{ es valor singular de } A 23 | $$ 24 | La expresión $|A^*A - \sigma^2 I_n|$ es igual al determinante de la matriz 25 | $\matriz{cc}{ 26 | A^* & -\sigma I_n \\ 27 | -\sigma I_n & A 28 | }$ 29 | 30 | \item[$(\red{\Leftarrow})$] 31 | La matriz es singular, lo que quiere decir que su determinante es cero: 32 | $$ 33 | \det 34 | \matriz{cc}{ 35 | A^* & -\sigma I_n \\ 36 | -\sigma I_n & A 37 | } = 38 | \det(A^*A - \sigma^2I_n) = 0. 39 | $$ 40 | Esta última expresión es la ecuación del polinomio característico de la matriz $A^*A$ en la variable $\sigma^2$, 41 | las raíces del polinomio son los autovalores de $A^*A$ y por definición la raíz de esos autovalores 42 | $\sqrt{\sigma^2} \igual{$\oa{}{\sigma \geq 0}$} \sigma$ son los valores singulares de $A$. 43 | \end{itemize} 44 | 45 | \begin{aportes} 46 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 47 | \end{aportes} 48 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-13-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Para cada una de las siguientes sucesiones de vectores $\set{\bm{x}_n}_{n\en\naturales}$ en $\reales^2$, 3 | determinar si existe $\lim_{n \to \infty} \bm{x}_n$, y en caso afirmativo hallarlo. 4 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 5 | \begin{multicols}{2} 6 | \item $\bm{x}_n = (1 + \frac{1}{n}, 3)$, 7 | 8 | \item $\bm{x}_n = ((-1)^n, e^{-n})$, 9 | 10 | \item $\bm{x}_n = 11 | \llave{rl}{ 12 | (\frac{1}{n}, 0) & \text{si $n$ es par}\\ 13 | (0,- \frac{1}{n}) & \text{si $n$ es impar} 14 | }, 15 | $ 16 | 17 | \item $ 18 | \bm{x}_n = (\frac{1}{2^n}, 4, \sin(\pi n)). 19 | $ 20 | \end{multicols} 21 | \end{enumerate} 22 | \end{enunciado} 23 | 24 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 25 | \item Calculo de una: 26 | $$ 27 | \cajaResultado{ 28 | \bm{x}_n = (1 + \frac{1}{n}, 3) \flecha{$n \to \infty$} (1,3) 29 | } 30 | $$ 31 | 32 | \item $\bm{x}_n = ((-1)^n, e^{-n})$, \orange{\underline{\negro{no existe}}} ver ejercicio \ref{ej:12} \ref{ej12-item-c} 33 | 34 | \item $\bm{x}_n = 35 | \llave{rl}{ 36 | (\frac{1}{n}, 0) & \text{si $n$ es par}\\ 37 | (0,- \frac{1}{n}) & \text{si $n$ es impar} 38 | }, 39 | $ 40 | $$ 41 | \cajaResultado{ 42 | \bm{x}_n \flecha{}[$n \to \infty$] (0,0) 43 | } 44 | $$ 45 | 46 | \item $ 47 | \bm{x}_n = (\frac{1}{2^n}, 4, \sin(\pi n)). 48 | $ 49 | 50 | Dado que $\sin(\pi \cdot n) = 0 \quad \paratodo n \en \naturales$ 51 | $$ 52 | \cajaResultado{ 53 | \bm{x}_n \flecha{}[$n \to \infty$] (0,4,0) 54 | } 55 | $$ 56 | \end{enumerate} 57 | 58 | \begin{aportes} 59 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 60 | \end{aportes} 61 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-10-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $f: \reales^3 \to \reales^3$ la transformación lineal dada por: 3 | $$ 4 | [f] = 5 | \matriz{ccc}{ 6 | -3 & 2 & 0\\ 7 | -6 & 4 & 0\\ 8 | -9 & 6 & 0 9 | } 10 | $$ 11 | Probar que $f$ es un proyector y hallar una base $B$ tal que $[f]_{BB}$ sea diagonal. 12 | \end{enunciado} 13 | 14 | Por inspección, sino calculalos, ese proyector tiene: 15 | $$ 16 | \imagen(P) = \set{(1,2,3)} 17 | \ ,\quad 18 | \nucleo(P) = \set{(2,3,0), (0,0,1)} 19 | \ytext 20 | \nucleo(P) \inter \imagen(P) = \set{0} 21 | $$ 22 | Se ve que $\underline{Pv = v} \paratodo v \en \imagen(P)$, y ya esa ecuación que escribí te dice que: 23 | $$ 24 | E_{\lambda = 1} = \set{v} = \set{(1,2,3)} = \imagen(P) 25 | $$ 26 | Similar sucede con los elementos del núcleo: 27 | $$ 28 | E_{\lambda = 0} = \set{(2,3,0), (0,0,1)} = \nucleo(P) 29 | $$ 30 | En forma diagonal para \underline{una} base $B = \set{(1,2,3),(2,3,0), (0,0,1)}$: 31 | $$ 32 | P = C D C^{-1} = 33 | \matriz{ccc}{ 34 | 1 & 2 & 0 \\ 35 | 2 & 3 & 0 \\ 36 | 3 & 0 & 1 37 | } 38 | \matriz{ccc}{ 39 | 1 & 0 & 0 \\ 40 | 0 & 0 & 0 \\ 41 | 0 & 0 & 0 42 | } 43 | \matriz{ccc}{ 44 | 1 & 2 & 0 \\ 45 | 2 & 3 & 0 \\ 46 | 3 & 0 & 1 47 | }^{-1} 48 | = 49 | \matriz{ccc}{ 50 | 1 & 2 & 0 \\ 51 | 2 & 3 & 0 \\ 52 | 3 & 0 & 1 53 | } 54 | \matriz{ccc}{ 55 | 1 & 0 & 0 \\ 56 | 0 & 0 & 0 \\ 57 | 0 & 0 & 0 58 | } 59 | \matriz{ccc}{ 60 | -3 & 2 & 0 \\ 61 | 2 & -1 & 0 \\ 62 | 9 & -6 & 1 63 | } 64 | $$ 65 | 66 | \begin{aportes} 67 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 68 | \end{aportes} 69 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-4-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar todos los \( a \in \mathbb{R} \) para los cuales exista una transformación lineal 3 | 4 | \[ 5 | f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 6 | \] 7 | 8 | que satisfaga: 9 | 10 | \[ 11 | f(1,-1,1) = (2, a, -1), 12 | \] 13 | 14 | \[ 15 | f(1,-1,2) = (a^2, -1, 1), 16 | \] 17 | 18 | \[ 19 | f(1,-1,-2) = (5, -1, -7). 20 | \] 21 | \end{enunciado} 22 | 23 | Si los vectores de la salida son linealmente independientes, la transformación lineal existe para cualquier \( a \). Si alguno de ellos es linealmente dependiente, hay que buscar \( a \) para que no indetermine el sistema. 24 | 25 | \[ 26 | \begin{bmatrix} 27 | 1 & -1 & 1 \\ 28 | 1 & -1 & 2 \\ 29 | 1 & -1 & -2 30 | \end{bmatrix} 31 | \longrightarrow 32 | \begin{bmatrix} 33 | 1 & -1 & 1 \\ 34 | 0 & 0 & 1 \\ 35 | 0 & 0 & -3 36 | \end{bmatrix} 37 | \] 38 | 39 | Como el tercer vector es LD se puede escribir: 40 | 41 | \[ 42 | \alpha (1,-1,1) + \beta (1,-1,2) = (1,-1,-2). 43 | \] 44 | 45 | Hallamos \( \alpha \) y \( \beta \) resolviendo: 46 | 47 | \[ 48 | \begin{bmatrix} 49 | 1 & 1 \\ 50 | -1 & -1 \\ 51 | 1 & 2 52 | \end{bmatrix} 53 | = 54 | \begin{bmatrix} 55 | 1 \\ 56 | -1 \\ 57 | -2 58 | \end{bmatrix} 59 | \] 60 | 61 | Resolviendo tenemos \( \alpha = 4 \), \( \beta = -3 \). 62 | 63 | Entonces: 64 | 65 | \[ 66 | f(1,-1,-2) = f(4(1,-1,1) - 3(1,-1,2)) = \\ 67 | = 4(2,a,-1) - 3(a^2,-1,1) = (8-3a^2,4a+3,-7) 68 | \] 69 | 70 | Solo es T.L si ese vector es igual al (5,-1,-7) Esto da el sistema: 71 | 72 | \[ 73 | 8 - 3a^2 = 5, 74 | \] 75 | 76 | \[ 77 | 4a + 3 = -1. 78 | \] 79 | 80 | Resolviendo: 81 | 82 | \[ 83 | 4a = -4 \Rightarrow a = -1. 84 | \] 85 | 86 | \[ 87 | 8 - 3(-1)^2 = 5 \Rightarrow 8 - 3 = 5, \quad \text{(se cumple).} 88 | \] 89 | 90 | Por lo tanto, la transformación lineal existe si y solo si \( a = -1 \). 91 | 92 | \begin{aportes} 93 | \item \aporte{https://github.com/juandelia03}{Juan D Elia \github} 94 | \end{aportes} 95 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-12-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Para cada una de ls siguientes sucesiones $\set{x_n}_{n \en \naturales}$, determinar si existe 3 | $\lim_{n\to \infty}$, y en caso afirmativo hallarlo. 4 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 5 | \begin{multicols}{2} 6 | \item $x_n = \frac{1}{n}$, 7 | \item $x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1}$, 8 | \item $x_n = (-1)^n$, 9 | \item $x_n = (-1)^n e^{-n}$. 10 | \end{multicols} 11 | \end{enumerate} 12 | \end{enunciado} 13 | 14 | Hay que calcular los límites sin ninguna cosa rara, son ejercicios \textit{premonitorios} de los límites sin muchas complicaciones 15 | que hay para \textit{acotar} las condiciones de matrices. 16 | 17 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 18 | \item $x_n = \frac{1}{n}$ 19 | $$ 20 | \limite{n}{\infty} \frac{1}{n} = 0 21 | $$ 22 | 23 | \item $x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1}$ 24 | $$ 25 | \limite{n}{\infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1} = 1 26 | $$ 27 | 28 | \item\label{ej12-item-c} $x_n = (-1)^n$ 29 | 30 | Uso subsucesiones, para mostrar que no existe. La idea es que de existir el límite, sin importar como me acerque a $\infty$ todo 31 | camino debería llegar al mismo resultado: 32 | $$ 33 | \llave{rcccc}{ 34 | \blue{a_{2n}} & = & (-1)^{2n} & \flecha{$n \to \infty$} & 1 \\ 35 | \green{a_{2n-1}} & = & (-1)^{2n-1} & \flecha{$n \to \infty$} & -1 36 | } 37 | $$ 38 | Calculo los límites 39 | $$ 40 | \limite{n}{\infty} x_{\blue{a_{2n}}} = 1 41 | \ytext 42 | \limite{n}{\infty} x_{\green{a_{2n-1}}} = -1 43 | $$ 44 | Dado que los límites no coiciden el límite no existe. 45 | 46 | \item $x_n = (-1)^n e^{-n}$ 47 | $$ 48 | \limite{n}{\infty} (-1)^n \cdot \ua{\frac{1}{e^n}}{\to 0} = \text{acotado} \cdot 0 = 0. 49 | $$ 50 | \end{enumerate} 51 | 52 | \begin{aportes} 53 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 54 | \end{aportes} 55 | 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-17-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Decidir cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de $\reales^{n \times n}$ como $\reales-$espacio 3 | vectorial: 4 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 5 | \begin{multicols}{2} 6 | \item $S_1 = \set{A \en \reales^{n \times n} : A \text{ es triangular inferior}}$ 7 | \item $S_2 = \set{A \en \reales^{n \times n} : A \text{ es simétrica}}$ 8 | \end{multicols} 9 | \end{enumerate} 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 13 | \item Si $A$ es triangular inferior: 14 | $$ 15 | [A]_{ij} = 16 | \llave{rcl}{ 17 | 0 & \text{si} & i < j \\ 18 | a_{ij} & \multicolumn{2}{r}{\text{en otro caso}} 19 | } 20 | $$ 21 | Es un subespacio cuyos elementos son matrices canónicas siempre triangulares inferiores de la pinta: 22 | $$ 23 | S_1 = \set{E^{ij} \en \reales^{n \times n} \paratodo i > j} \ytext \dim(S_1) = \frac{n^2 + n}{2} 24 | $$ 25 | La multiplicación y suma también resultará en matrices \textit{triangular inferiores} 26 | $$ 27 | \alpha E^{ij} + \beta E^{kl} \en S_2 28 | $$ 29 | 30 | \item También es un subespacio, una matriz simétrica: 31 | $$ 32 | [A]_{ij} = [A]_{ji} \paratodo i,\,j 33 | $$ 34 | $S_2$ está generado por matrices de la forma: 35 | $$ 36 | S_2^{ij} \en \reales^{n \times n} 37 | \text{ tal que } 38 | S_2^{ij} = 39 | \llave{rcl}{ 40 | E^{ij} + E^{ij} & \text{si} & j \distinto i \\ 41 | 1 & \text{si} & i = j 42 | } 43 | $$ 44 | Nuevamente la multiplicación por escalares y suma entre matrices simétricas tendrá como resultado a otra matriz simétrica: 45 | $$ 46 | \alpha \cdot S_2^{ij} + \beta \cdot S_2^{kl} \en S_2 47 | $$ 48 | \end{enumerate} 49 | 50 | \begin{aportes} 51 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 52 | \end{aportes} 53 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1-extra/ej-extra-5-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $f : \reales^4 \to \reales^4$ 3 | la proyección ortogonal sobre 4 | $$ 5 | S = \ket{(1,1,1,1), (1,2,1,0)} 6 | $$ 7 | y sean 8 | $$ 9 | T =\set{x \en \reales^4 : x_1 - x_2 + x_3 = 0, -x_2 + x_4 = 0} 10 | \ytext W = \ket{(2,0,-2,0), (-2,1,0,1), (2,1,-4,1)}. 11 | $$ 12 | \end{enunciado} 13 | 14 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 15 | \item Decidir si existe alguna transformación lineal $g$ que cumpla simultáneamente: 16 | $$ 17 | g(W) = \ket{(2,0,1,1), (0,-1,2,2)} 18 | \quad 19 | g(v) = f(v) \quad \paratodo v \en T 20 | $$ 21 | En caso afirmativo, exhibir un ejemplo. En caso negativo, explicar por qué. 22 | 23 | \item 24 | Sea $h: \reales^4 \to \reales^3$ dada por: 25 | $$ 26 | h(x_1, x_2, x_3, x_4) = (2x_1 + 4x_2 + 2x_3, -2x_1 + 4x_2 + 2x_3, 4x_4) 27 | $$ 28 | halle una base de $\imagen(h \circ f)$ y decidir si $h \circ f$ es epimorfismo ¿Puede ser monomorfismo? 29 | \end{enumerate} 30 | 31 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 32 | \item La papa está en el subespacio al que está yendo a para $g(W)$. Hay una contradicción entre esa 33 | condición y que $g(v) = f(v)$. 34 | 35 | No existe una \textit{transformación lineal que cumpla lo pedido} 36 | 37 | \item 38 | No te dan las dimensiones. $\dimension(\nucleo(f)) = 2\llamada1$ dado 39 | que es un \textit{proyector ortogonal}. 40 | Por lo tanto $h$ va a recibir como mucho a $S$, con $\dimension(S) = 2$. 41 | \parrafoDestacado{ 42 | No hay forma de que $(h \circ f)(x)$ genere más de 2 vectores 43 | \textit{linealmente independientes} de $\reales^3$. 44 | } 45 | $$ 46 | \cajaResultado{ 47 | \text{La función \underline{no} es un epimorfismo. Tampoco será mono, por $\llamada1$.} 48 | } 49 | $$ 50 | \end{enumerate} 51 | 52 | \begin{aportes} 53 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 54 | \end{aportes} 55 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-11-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Considerar la matrices 3 | $$ 4 | A = 5 | \matriz{cc}{ 6 | 1 & \frac{1}{\epsilon}\\ 7 | \epsilon & 1 8 | }, 9 | \qquad 10 | B = 11 | \matriz{cc}{ 12 | 1 & \frac{1}{\epsilon}\\ 13 | 0 & 1 14 | }, 15 | $$ 16 | donde $\epsilon \ll 1$ es arbitrario. Calcular los polinomios característicos y los autovalores de $A$ y de $B$. 17 | Concluir que pequeñas perturbaciones en los coeficientes de un polinomio pueden conducir 18 | a grandes variaciones en sus raíces (el problema está mal condicionado). En particular, esto 19 | afecta el cómputo de autovalores como raíces del polinomio característico. 20 | \end{enunciado} 21 | 22 | El polinomio característico de $A$ y $B$: 23 | $$ 24 | \mathcal{X}_A = (1 - \lambda)^2 - 1 = \lambda \cdot (\lambda - 2) = 0 25 | \sii 26 | \llave{l}{ 27 | \lambda_1 = 0 \\ 28 | \lambda_2 = 2 29 | } \\ 30 | $$ 31 | 32 | $$ 33 | \mathcal{X}_B = (1 - \lambda)^2 = 0 34 | \sii 35 | \llave{l}{ 36 | \lambda_1 = 1 \\ 37 | \lambda_2 = 1 38 | } 39 | $$ 40 | 41 | Medio que el enunciado cuenta todo. En particular se puede acotar la condición de esas matrices. 42 | 43 | Por ejemplo para 44 | $C = 45 | \matriz{cc}{ 46 | 1 & \frac{1}{\epsilon}\\ 47 | 0 & 0 48 | }$: 49 | 50 | $$ 51 | \condicion_\infinito(A) \geq \frac{\norma{A}_\infinito}{\norma{A - C}_\infinito} = 52 | \frac{1 + \frac{1}{\epsilon}}{\epsilon + 1} 53 | \flecha{$\epsilon \to 0$} 54 | \infinito 55 | $$ 56 | Lo mismo se puede hacer para la matriz $B$. Esas matrices están mal condicionadas y como se puede ver en los autovalores, 57 | a pesar de tener elementos similares los resultados en el cálculo de los \textit{autovalores} las resultados pueden variar mucho. 58 | 59 | \begin{aportes} 60 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 61 | \end{aportes} 62 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/codigos-5/ej-7/codigo7-1.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | A = np.array([[4, 0], [3, 5]]) 5 | A_inv = 0.05 * np.array([[5, 0], [-3, 4]]) 6 | # H = np.transpose(A) @ A 7 | # # H2 = A @ np.transpose(A) 8 | # 9 | # print(np.linalg.eig(H)) 10 | # 11 | # print(1 / np.sqrt(2)) 12 | # print("============") 13 | # v = np.array([1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2)]) 14 | # v2 = np.array([1/np.sqrt(2), -1/np.sqrt(2)]) 15 | # print(A @ v2) 16 | 17 | # Nuestra Matriz 18 | V = np.random.rand(2, 200) - 0.5 # circunferencia unitaria 19 | V_uni = V / np.linalg.norm(V, axis=0) 20 | AV_uni = A @ V_uni 21 | A_invV_uni = A_inv @ V_uni 22 | print(np.linalg.svd(A_inv)) 23 | 24 | ## Genero data para poder hacer el gráfico en TiKz 25 | ## ----------------------------------------------- 26 | # np.savetxt( 27 | # f"../../ejercicios-5/dataFiles/7-ej-data/item-circulo.data", 28 | # np.transpose([V_uni[0], V_uni[1]]), 29 | # fmt="%.10e", 30 | # header="circulo y producto por matriz", 31 | # comments="# SVD circulo unitario", 32 | # ) 33 | # 34 | # np.savetxt( # matriz A 35 | # f"../../ejercicios-5/dataFiles/7-ej-data/item-matrizDotCirculo.data", 36 | # np.transpose([AV_uni[0], AV_uni[1]]), 37 | # fmt="%.10e", 38 | # header="circulo y producto por matriz", 39 | # comments="# SVD Matriz por circulo unitario", 40 | # ) 41 | # np.savetxt( # matriz A inversa 42 | # f"../../ejercicios-5/dataFiles/7-ej-data/item-matrizInvDotCirculo.data", 43 | # np.transpose([A_invV_uni[0], A_invV_uni[1]]), 44 | # fmt="%.10e", 45 | # header="circulo y producto por matriz inversa", 46 | # comments="# SVD Matriz inversa por circulo unitario", 47 | # ) 48 | ## ----------------------------------------------- 49 | 50 | # Ploteo dos figuras, una para radio 1 y otra para radio 3 51 | fig, (ax1) = plt.subplots(1, 1, figsize=(12, 5)) 52 | ax1.scatter(V_uni[0], V_uni[1], label="v_uni") 53 | ax1.scatter(AV_uni[0], AV_uni[1], label="Av_uni") 54 | ax1.legend() 55 | ax1.grid() 56 | ax1.set_aspect("equal") # aspect ratio para que se vea cuadradito 57 | plt.show() 58 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1-extra/ej-extra-2-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sean $f: \reales^4 \to \reales^4$ definida por: 3 | $$ 4 | f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (2x_1 + x_2, x_1 + \alpha x_2 + \alpha x_3 - x_4, -\alpha x_3 + x_4, x_3 - x_4) 5 | $$ 6 | y los subespacios: 7 | $$ 8 | S = \set{x \en \reales^4 : x_1 - x_2 = 0, 2x_1 + x_3 + x_4 = 0}\\ 9 | $$ 10 | $$ 11 | T = \ket{(1,1,1,-3), (1,-1,0,0), (1, -3, -1, -3)} 12 | $$ 13 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 14 | \item (1 pt.) Hallar todos los valores de $\alpha \en \reales$ tales que $\dim(\imagen(f)) = 3$. 15 | 16 | \item (1 pt.) Para $\alpha = 1$, decidir si existe una transformación lineal $g: \reales^4 \to \reales^4$ 17 | tal que $g(S+T) = \imagen(f)$ y que $g(\nucleo(f)) = (0, 0, 0, 0)$. En caso afirmativo, exhibir un ejemplo. 18 | En caso negativo, explicar por qué. 19 | 20 | \item (1 pt.) Para $\alpha = 1$ y considerando $h : \reales^3 \to \reales^4$ dada por: 21 | $$ 22 | h(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_2, x_3, x_2 - 2x_3, x_1) 23 | $$ 24 | decidir si $f \circ h$ es monomorfismo. En caso contrario, hallar una base de $\nucleo(f \circ h)$. 25 | \end{enumerate} 26 | \end{enunciado} 27 | 28 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 29 | \item $\alpha = 1$ y $\alpha = \frac{1}{2}$ 30 | 31 | \item $g = f$ 32 | 33 | \item $$ 34 | [h] = 35 | \matriz{ccc}{ 36 | 1 & -1 & 0 \\ 37 | 0 & 0 & 1 \\ 38 | 0 & 1 & -2 \\ 39 | 1 & 0 & 0 40 | } 41 | , \ytext 42 | \matriz{ccc}{ 43 | 1 & -1 & 0 \\ 44 | 0 & 0 & 1 \\ 45 | 0 & 1 & -2 \\ 46 | 1 & 0 & 0 47 | } 48 | \matriz{c}{ 49 | 1 \\ 50 | 1 \\ 51 | 0 52 | } 53 | = 54 | \matriz{c}{ 55 | 0 \\ 56 | 0 \\ 57 | 1 \\ 58 | 1 59 | } 60 | \en 61 | \nucleo(f) 62 | $$ 63 | La composición $f \circ h$ no es mono 64 | \end{enumerate} 65 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-2-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 3 | \item 4 | Sea $A \en \reales^{n \times n}$. Probar que si $A$ es inversible y diagonalizable, entonces $A^{-1}$ 5 | y $A^k - kI_n$ son diagonalizables para cualquier $k \en \naturales$. 6 | \item 7 | Sea $J = 8 | \matriz{ccc}{ 9 | 2 & 0 & 0 \\ 10 | 1 & 3 & -1 \\ 11 | -1 & -1 & 3 12 | } \en \reales^{3 \times 3} 13 | $. 14 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 15 | \item Probar que $J$ es una matriz diagonalizable. 16 | \item Calcular $J^5 - 5I_3$. 17 | \end{enumerate} 18 | \end{enumerate} 19 | \end{enunciado} 20 | 21 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 22 | \item Truquito destacable: $I_n = PP^{1}$ para luego sacar factor común al calcular $A^k - kI_n$ 23 | Por otro lado, la inversibilidad de una matriz diagonalizable asegura que los autovalores son distintos de cero: 24 | $$ 25 | |A| = |P D P^{-1}| = |P| |D| |P^{-1}| \igual{\red{!}} |D| = \productoria{i=1}{n} \lambda_i 26 | $$ 27 | Las matrices inversibles tienen $\det(A) \distinto 0$. 28 | 29 | \item 30 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 31 | \item Se calculan los autovectores y autovalores: 32 | $$ 33 | E_{\lambda = 2} = \set{(1,0,1), (-1,1,0)} 34 | \ytext 35 | E_{\lambda = 4} = \set{(0,1,1)} 36 | \entonces 37 | P = 38 | \matriz{ccc}{ 39 | 1 & -1 & 0 \\ 40 | 0 & 1 & 1 \\ 41 | 1 & 0 & 1 42 | } 43 | D = 44 | \matriz{ccc}{ 45 | 2 & 0 & 0 \\ 46 | 0 & 2 & 0 \\ 47 | 0 & 0 & 4 48 | } 49 | $$ 50 | Te debo la inversa por \textit{pajilla}. 51 | 52 | \item 53 | Sale combinando lo que se usó hasta ahora. 54 | \end{enumerate} 55 | \end{enumerate} 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-20-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea 3 | $$ 4 | A = 5 | \matriz{ccc}{ 6 | 3 & 0 & 0 \\ 7 | 0 & \frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\ 8 | 0 & \frac{3}{4} & \frac{5}{4} 9 | }$$ 10 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 11 | \item Calcular $\condicion_\infinito(A)$ 12 | \item 13 | Cuan chico debe ser el error relativo en los datos $\frac{\norma{b-\tilde{b}}}{\norma{b}}$, si se desea que el error relativo en 14 | la aproximacion de la solucion $\frac{\norma{x-\tilde{x}}}{\norma{x}}$ sea menor que $10^{-4}$ en ($\norma{.}_\infinito$) 15 | 16 | \item Realizar experimentos numéricos para verificar las estimaciones del ítem anterior. Considerar $\bm{b} = (3,2,2)^t$, que se corresponde 17 | con la solución exacta $\bm{x} = (1,1,1)^t$. Generar vectores de error aleatorios y perturbar $\bm{b}$, obteniendo $\tilde{\bm{b}}$. 18 | Finalmente, resolver $\bm{A}\bm{\tilde{x}} = \tilde{\bm{b}}$ y verificar que $\norma{\tilde{\bm{x}} - \bm{x}} < 10^{-4}$ 19 | \end{enumerate} 20 | 21 | \end{enunciado} 22 | 23 | \medskip 24 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 25 | \item Para calcular $\condicion(A)$ calculo la norma de $A$ y $A^{-1}$: 26 | 27 | $\norma{A}_\infinito = \maximo\set{3,2,2} = 3$ 28 | 29 | Calculamos $A^{-1}$: 30 | $$ 31 | \matriz{ccc}{ 32 | \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 33 | 0 & \frac{5}{4} & \frac{-3}{4} \\ 34 | 0 & \frac{-3}{4} & \frac{5}{4} 35 | } 36 | $$ 37 | 38 | Se ve a ojo que $\norma{A^{-1}}_\infinito = 2 $ 39 | 40 | Por lo tanto: $\condicion_\infinito(A) = 3.2 = 6$ 41 | 42 | \item 43 | Quiero: $\frac{\norma{x - \tilde{x}}}{\norma{x}} < 10^{-4}$ 44 | 45 | Por el ejercicio \ref{ej:19} sabemos que $\frac{\norma{x-\tilde{x}}}{\norma{x}} \leq \condicion(A) \frac{\norma{b-\tilde{b}}}{\norma{b}}$ 46 | 47 | Entonces quiero que $6 \cdot \frac{\norma{b-\tilde{b}}}{\norma{b}} < 10^4 48 | \sii 49 | \frac{\norma{b-\tilde{b}}}{\norma{b}} < \frac{10^{-4}}{6}$ 50 | 51 | \item \hacer 52 | \end{enumerate} 53 | 54 | \begin{aportes} 55 | \item \aporte{https://github.com/juandelia03}{Juan D Elia \github} 56 | \end{aportes} 57 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-14-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dada una sucesión de vectores $\set{\bm{x}_n}_{n \en \naturales} \subset \reales^k$ y dos normas $\normaBullet_a$ y $\normaBullet_b$ de 3 | $\reales^k$, usando la equivalencia de normas, probar 4 | $$ 5 | \norma{\bm{x}_n}_a \flecha{$n \to \infty$} 0 6 | \sisolosi 7 | \norma{\bm{x}_n}_b \flecha{$n \to \infty$} 0. 8 | $$ 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | \medskip 12 | 13 | En un espacio vectorial de dimension finita todas las normas son equivalentes, entonces existen $c_1,\, c_2 > 0$ tal que: 14 | $$ 15 | c_1 \norma{\bm{x}_n}_b 16 | \leq 17 | \norma{\bm{x}_n}_a 18 | \leq 19 | c_2 \norma{\bm{x}_n}_b 20 | $$ 21 | 22 | \begin{enumerate} 23 | \item[$\red{(\Rightarrow)}$] 24 | Reemplazo en la desigualdad tomada por límite: 25 | $$ 26 | \limite{n}{\infty} c_1\norma{\bm{x}_n}_b \leq \ua{0}{\text{hipótesis}} 27 | \leq 28 | \limite{n}{\infty} c_2\norma{\bm{x}_n}_b 29 | $$ 30 | sacando las constantes para afuera del límite (propiedad del límite): 31 | $$ 32 | c_1 \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}_n}_b \leq 0 \leq c_2 \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}_n}_b 33 | $$ 34 | como $c_1, c_2 > 0$: 35 | $$ 36 | c_1 \cdot \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}}_b \leq 0 37 | \sii 38 | \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}}_b \leq 0 39 | \quad \ytext \quad 40 | c_2 \cdot \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}}_b \geq 0 41 | \sii 42 | \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}}_b \geq 0 43 | $$ 44 | Por lo tanto, $\limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}_n}_b = 0$ ,como queriamos ver, vale la ida 45 | 46 | \item[$\red{(\Leftarrow)}$] 47 | Vuelvo a reemplazar tomando límite, pero en ese caso 48 | $$ 49 | \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}_n}_b = 0 50 | \entonces 51 | 0 \leq \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}_n}_a \leq 0 52 | \Sii{propiedad}[\faIcon{hamburger}] 53 | \limite{n}{\infty} \norma{\bm{x}_n}_a = 0 54 | $$ 55 | 56 | \end{enumerate} 57 | 58 | \begin{aportes} 59 | \item \aporte{https://github.com/juandelia03}{Juan D Elia \github} 60 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 61 | \end{aportes} 62 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-21-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Probar que si $A \en \reales^{n \times n}$ es una matriz inversible y $\normaBullet$ es una norma matricial, 3 | la condición de $A$ verifica la desigualdad: 4 | $$ 5 | \frac{1}{\condicion(A)} 6 | \leq 7 | \infimo\set{\frac{\norma{A - B}}{\norma{A}} : B \text{ es singular}}. 8 | $$ 9 | Deducir que 10 | $$ 11 | \condicion(A) 12 | \geq 13 | \supremo \set{\frac{\norma{A}}{\norma{A - B}} : B \text{ es singular}}. 14 | $$ 15 | Nota: En ambos casos, vale la igualdad, pero la otra desigualdad es un poco más complicada de probar. De 16 | la igualdad se puede concluir que $\condicion(A)$ mide la distancia relativa de $A$ a la matriz 17 | singular más próxima. 18 | \end{enunciado} 19 | 20 | Si $B$ es singular, significa que \textit{existe} un $x \en \reales^n$ tal que $Bx = 0$ a esto tirale un poco de \magic y sale que: 21 | $$ 22 | \begin{array}{rcl} 23 | x 24 | \igual{\red{!}} 25 | \blue{A^{-1}A}x - \blue{A^{-1}}Bx 26 | = 27 | A^{-1}(A - B)x 28 | & \Sii{tomo}[$\normaBullet$] & 29 | \norma{x} 30 | = 31 | \norma{A^{-1}(A - B)x} \\ 32 | & \Sii{\red{!!}} & 33 | \norma{x} 34 | \leq 35 | \norma{A^{-1}} \norma{A - B} \norma{x} \\ 36 | & \Sii{$\div \magenta{\norma{A}}$} & 37 | \frac{\norma{x}}{\magenta{\norma{A}} \norma{A^{-1}}} 38 | \leq 39 | \frac{\norma{A - B} \norma{x}}{\magenta{\norma{A}}} \\ 40 | & \sii & 41 | \frac{1}{\condicion(A)} 42 | \leq 43 | \frac{\norma{A - B}}{\norma{A}} 44 | \end{array} 45 | $$ 46 | Ahí quedó que los elementos del conjunto 47 | $ 48 | \set{\frac{\norma{A - B}}{\norma{A}} : B \text{ es singular}}, 49 | $ 50 | son mayores o iguales al número $\frac{1}{\condicion(A)}$, pero faltaría ver 51 | la igualdad así aparece ahí el \textit{ínfimo}. 52 | 53 | La igualdad vale debería valer para alguna $\green{B}$ singular, es decir: 54 | $$ 55 | \frac{1}{\condicion(A)} 56 | = 57 | \frac{\norma{A - \green{B}}}{\norma{A}}. 58 | $$ 59 | 60 | La igualdad se asume válida porque la demostración es \textit{falopa}. 61 | 62 | Ahora habría que mostrar que: 63 | $$ 64 | \condicion(A) 65 | \geq 66 | \supremo \set{\frac{\norma{A}}{\norma{A - B}} : B \text{ es singular}}. 67 | $$ 68 | 69 | \hacer 70 | 71 | \begin{aportes} 72 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 73 | \end{aportes} 74 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-11-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean las matrices $A, B \en \reales^{n \times n}$. Demostrar que $A$ es simétrica definida positiva y B 3 | es no singular si y solo si $BAB^t$ es simétrica definida positiva. 4 | \end{enunciado} 5 | Muestro una doble implicación: 6 | \begin{itemize} 7 | \item[$(\red{\Rightarrow})$] 8 | $A$ es definida positiva: 9 | $\paratodo x \en \reales^n$ y $x \distinto 0$, entonces $x^t A x > 0 $. Y $B$ es no singular, entonces $\det(B) \distinto 0$. 10 | 11 | $$ 12 | x^t A x > 0 13 | \sii 14 | x^tB^{-1}B A B^t(B^t)^{-1} x > 0 15 | \Sii{\red{!}} 16 | ((B^t)^{-1}x)^tB A B^t ((B^t)^{-1} x) > 0 17 | \Sii{\red{!}} 18 | \cajaResultado{ 19 | \blue{y}^tB A B^t \blue{y} > 0 20 | } 21 | \text{ con } \blue{y} \distinto 0 22 | $$ 23 | Dado que $B$ es inversible sé que $(B^t)^{-1}x \distinto 0$. 24 | 25 | No sé si es necesario mostrar esto o no, pero: 26 | $$ 27 | (BAB^t)^t = 28 | (AB^t)^tB^t 29 | = 30 | BA^tB^t 31 | \igual{\red{!}} 32 | BAB^t = 33 | $$ 34 | 35 | \item[$(\red{\Leftarrow})$] 36 | Una propiedad de las matrices simétricas definidas positivas es que son inversibles, 37 | su definición implica que $\nucleo = \set{0}$, así que su determinante es distinto de 0. 38 | En un producto matricial: 39 | $$ 40 | 0 \distinto \det(B A B^t) = 41 | \det(B) \cdot \det(A) \cdot \det(B^t) = 42 | (\det(B))^2 \cdot \det(A) 43 | \entonces 44 | \det(A) \distinto 0 \ytext \ub{\det(B) \distinto 0}{B \text{ no singular}} 45 | $$ 46 | Para demostrar que $A$ es definida positiva se puede recorrer el camino en reversa que se hizo en $(\red{\Rightarrow})$ ahora 47 | que se sabe que $\det(B) \distinto 0$. Para $x \text{ e } \blue{y} \distinto 0$, se tiene que $(B^t)^{-1} x = \blue{y}\quad \llamada1$ entonces por hipótesis: 48 | $$ 49 | \blue{y}^tB A B^t \blue{y} \ua{>}{\text{HIP}} 0 50 | \Sii{$\llamada1$} 51 | ((B^t)^{-1}x)^tB A B^t ((B^t)^{-1} x) > 0 52 | \sii 53 | x^t B^{-1}B A B^t(B^t)^{-1} x > 0 54 | \sii 55 | \cajaResultado{ 56 | x^t A x > 0 57 | } \text{ con } x \distinto 0 58 | $$ 59 | \end{itemize} 60 | 61 | \begin{aportes} 62 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 63 | \end{aportes} 64 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5-extra/ej-extra-4-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} {\tiny[\violet{segundo parcial 8/7/2023}]} 2 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 3 | \item Probar que el producto de matrices ortogonales es una matriz ortogonal. 4 | 5 | \item Sean dos matrices $A, B \en \reales^{n \times n}$. Probar que $A$ y $B$ tienen 6 | los mismos valores singulares si y solo si existen $P$ y $Q$ matrices ortogonales tales que $A = PBQ$. 7 | 8 | \item Sea $\set{c_1, c_2, c_3}$ una base ortonormal de $\reales^3$. Hallar la matriz singular (en términos de $c_1, c_2, c_3$) 9 | que mejor aproxima a la matriz $C$ en norma 2, siendo 10 | $$ 11 | C = 12 | \matriz{c|c|c}{ 13 | &&\\ 14 | 2c_1 & -5c_2 & 3c_3\\ 15 | && 16 | } 17 | $$ 18 | \end{enumerate} 19 | \end{enunciado} 20 | 21 | \hyperlink{teoria-5:matrices}{Acá algunas cosas de matrices ortogonales y otras \click} 22 | 23 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 24 | \item Si $Q$ y $P$ son dos matrices ortogonales: 25 | $$ 26 | Q^t Q = I 27 | \ytext 28 | P^t P = I 29 | \Entonces{$\llamada1$} 30 | (QP)^t (QP) = 31 | P^t\ub{Q^t Q}{I} P = P^t P = I 32 | $$ 33 | por lo tanto el producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. 34 | 35 | \item Hay que demostrar la doble implicación: 36 | \begin{itemize} 37 | \item[$\red{(\Rightarrow)}$] 38 | $$ 39 | \llave{l}{ 40 | A = U_A \blue{\Sigma} V_A^t\\ 41 | B = U_B \blue{\Sigma} V_B^t 42 | \sii 43 | \blue{U_B^t B V_B} = \blue{\Sigma} 44 | } 45 | \entonces 46 | A = \ub{U_A \blue{U_B^t}}{P} \blue{B} \ub{\blue{V_B} V_A^t}{Q} 47 | \igual{$\llamada1$} 48 | PBQ 49 | $$ 50 | 51 | \item[$\red{(\Leftarrow)}$] 52 | La matriz $B$ como cualquier hija de vecino, tiene una \textit{descomposición en valores singulares}: 53 | $$ 54 | B = U \Sigma V^t 55 | $$ 56 | Mientras que 57 | $$ 58 | A^tA = 59 | (PBQ)^t(PBQ) = 60 | Q^tB^tP^t PBQ = 61 | Q^tB^tBQ 62 | $$ 63 | Dado que $Q^t = Q^{-1}$ queda que la matrices $A^tA$ y $B^tB$ son semejantes, es decir que tienen los mismos autovalores. 64 | Dado que los valores singulares $A$ y $B$ son los $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$, se concluye que $A$ y $B$ tienen mismos 65 | valores singulares. 66 | \end{itemize} 67 | 68 | \item 69 | \end{enumerate} 70 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-18-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Calcular el determinante de $A$ en cada uno de los siguientes casos: 3 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 4 | \begin{multicols}{2} 5 | \item $A = 6 | \matriz{cccc}{ 7 | 1 & 0 & 0 & 2 \\ 8 | 0 & -2 & 3 & -1 \\ 9 | -1 & 0 & 1 & 4 \\ 10 | 0 & 1 & -2 & 0 11 | }$ 12 | 13 | \item $A = 14 | \matriz{ccc}{ 15 | i & 0 & 2 + i \\ 16 | -1 & 1-i & 0 \\ 17 | 2 & 0 & -1 18 | }$ 19 | \end{multicols} 20 | \end{enumerate} 21 | \end{enunciado} 22 | 23 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 24 | \item Acomodo un poco para ver si hago menos cuentas: 25 | $$ 26 | \matriz{cccc}{ 27 | 1 & 0 & 0 & 2 \\ 28 | 0 & -2 & 3 & -1 \\ 29 | -1 & 0 & 1 & 4 \\ 30 | 0 & 1 & -2 & 0 31 | } 32 | \triangulacion{ 33 | F_3 + F_1 \to F_3\\ 34 | 2F_4 + F_2 \to F_4 35 | } 36 | \matriz{cccc}{ 37 | 1 & 0 & 0 & 2 \\ 38 | 0 & -2 & 3 & -1 \\ 39 | 0 & 0 & 1 & 6 \\ 40 | 0 & 0 & -1 & -1 41 | } 42 | \triangulacion{ 43 | F_4 + F_3 \to F_4 44 | } 45 | \matriz{cccc}{ 46 | 1 & 0 & 0 & 2 \\ 47 | 0 & -2 & 3 & -1 \\ 48 | 0 & 0 & 1 & 6 \\ 49 | 0 & 0 & 0 & 5 50 | } 51 | $$ 52 | Ahora calculo el determinante, multiplicando los elementos de la diagonal porque es triangular: 53 | $$ 54 | \deter{cccc}{ 55 | \blue{1} & 0 & 0 & 2 \\ 56 | 0 & \blue{-2} & 3 & -1 \\ 57 | 0 & 0 & \blue{1} & 6 \\ 58 | 0 & 0 & 0 & \blue{5} 59 | } 60 | = 1 \cdot (-2) \cdot 1 \cdot 5 = \cajaResultado{ -10 } 61 | $$ 62 | 63 | \item Ataco igual que antes: 64 | $$ 65 | \matriz{ccc}{ 66 | i & 0 & 2 + i \\ 67 | -1 & 1-i & 0 \\ 68 | 2 & 0 & -1 69 | } 70 | \triangulacion{ 71 | iF_2 + F_1 \to F_2\\ 72 | iF_3 - 2F_1 \to F_3 73 | } 74 | \matriz{ccc}{ 75 | i & 0 & 2 + i \\ 76 | 0 & 1 + i & 2 + i \\ 77 | 0 & 0 & -4 -3i 78 | } 79 | $$ 80 | Ahora calculo el determinante, multiplicando los elementos de la diagonal porque es triangular: 81 | $$ 82 | \deter{ccc}{ 83 | \blue{i} & 0 & 2 + i \\ 84 | 0 & \blue{1 + i} & 2 + i \\ 85 | 0 & 0 & \blue{-4 -3i} 86 | } 87 | = 88 | i \cdot (1 + i) \cdot (-4 -3i) = 7 - i 89 | $$ 90 | \end{enumerate} 91 | 92 | \begin{aportes} 93 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 94 | \end{aportes} 95 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3-extra/ej-extra-9-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra}\fechaEjercicio{final 5/3/24} 2 | Dada la base $B = \set{1,2,0}; (0,1,1); (0,0,1)$ de $\reales^3$ y la transformación lineal 3 | $f: \reales^3 \to \reales^3$ tal que 4 | $$ 5 | |f|_{BB} = 6 | \matriz{ccc}{ 7 | 1 & 0 & 0 \\ 8 | 1 & 0 & 1 \\ 9 | 1 & 0 & 1 10 | } 11 | $$ 12 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 13 | \item Dar una base de $\nucleo(f)$ y de $\imagen(f)$. 14 | \item Decidir si $\reales^3 = \nucleo(f) \sumaDirecta \imagen(f)$. 15 | \item Definir $P: \reales^3 \to \reales^3$ proyector ortogonal tal que $\imagen(P) = \imagen(f)$. 16 | \end{enumerate} 17 | \end{enunciado} 18 | 19 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 20 | \item El subespacio imagen de una transformación está generado por los vectores columnas. Se ven a ojo \ul{dos} vectores \textit{linealmente independientes} 21 | si bien \magenta{son las coordenadas en base $B$ de los vectores} con los que se puede armar la base. 22 | 23 | Si $\dim(Im(f)) = 2$ entonces $\dim(\nucleo(f)) = 1$, por el teorema de la dimensión para transformaciones 24 | lineales. Las bases serían: 25 | $$ 26 | B_{\imagen(f)} = \set{(1,3,2)^t, (0,1,2)^t} 27 | \ytext 28 | B_{\nucleo(f)} = \set{(0,1,1)^t} 29 | $$ 30 | 31 | \item Es cuestión de ver si los vectores son \textit{linealmente independientes}. La \textit{suma directa} se da cuando los subespacios son disjuntos: 32 | $$ 33 | \matriz{ccc}{ 34 | 1 & 3 & 2 \\ 35 | 0 & 1 & 2 \\ 36 | 0 & 1 & 1 37 | } 38 | \flecha{$F_3 - F_2 \to F_3$} 39 | \matriz{ccc}{ 40 | 1 & 3 & 2 \\ 41 | 0 & 1 & 2 \\ 42 | 0 & 0 & -1 43 | } 44 | $$ 45 | Sí, el núcleo y la imagen de la transformación $f$ están en suma directa. 46 | 47 | \item Un proyector ortogonal cumple la defición de proyector (¡Dah!) y también que su $\nucleo(P) \perp \imagen(P)$. 48 | 49 | Para encontrar un vector perpendicular a la imagen de $f$ y así usarlo como núcleo de $P$: 50 | $$ 51 | \llave{rcl}{ 52 | (x_1, x_2, x_3) \cdot (1, 3, 2) = 0\\ 53 | (x_1, x_2, x_3) \cdot (0, 1, 2) = 0 54 | } 55 | \sii 56 | (x_1, x_2, x_3) = (4, -2, 1) \sii \boxed{B_{\nucleo(P)} = \set{(4,-2,1)}} 57 | $$ 58 | $$ 59 | \cajaResultado{ 60 | \llave{rcl}{ 61 | P(1,3,2) & = & (1,3,2) \\ 62 | P(0,1,2) & = & (0,1,2) \\ 63 | P(4,-2,1) & = & (0,0,0) 64 | } 65 | } 66 | $$ 67 | Queda así definido el \textit{proyector ortogonal} pedido. Se cumple que: 68 | $$ 69 | Pv = v \paratodo v \en \imagen(P),\, \nucleo(P) \perp \imagen(P) \ytext \imagen(P) = \imagen(f). 70 | $$ 71 | \end{enumerate} 72 | 73 | \begin{aportes} 74 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 75 | \end{aportes} 76 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/estructura-ejercicios.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %========================= 2 | % Disclaimer y QR 3 | %========================= 4 | 5 | 6 | %\input{../macros/disclaimer.tex} 7 | 8 | \newpage 9 | 10 | \input{../macros/qr.tex} 11 | 12 | \newpage 13 | 14 | 15 | %========================= 16 | % Un poco de teoría 17 | %========================= 18 | \subsubsection*{\hypertarget{teoria-\guia}{Notas teóricas:}} 19 | \input{./teoria-\guia/teoria-\guia.tex} 20 | 21 | \newpage % página nueva 22 | 23 | %========================= 24 | % Ejercicios guia 25 | %========================= 26 | \subsubsection*{Ejercicios de la guía:} 27 | 28 | \foreach \x in {1,...,\cantidadEjerciciosGuia} { % cantidad de ejercicios de la guía 29 | \IfFileExists{./ejercicios-\guia/ej-\x-\guia.tex}{ 30 | \input{./ejercicios-\guia/ej-\x-\guia.tex} 31 | }{ 32 | \typeout{¡Atención! El archivo ./ejercicios-\guia/ej-\x-\guia.tex no está. 33 | Revisar variable: 'cantidadEjerciciosGuia` en \guia-sol.tex} 34 | } 35 | } 36 | 37 | %------------------------------------------------------- 38 | %-------------------------------------------------------- 39 | %--------------------------------------------------------- 40 | %-----SECCION PARA PONER PARCIALES------------------------- 41 | %----------------------------------------------------------- 42 | %------------------------------------------------------------ 43 | %----------------------------------------------------------- 44 | %-----SECCION PARA PONER PARCIALES------------------------- 45 | %--------------------------------------------------------- 46 | %-------------------------------------------------------- 47 | %------------------------------------------------------- 48 | 49 | 50 | \newpage % página nueva 51 | 52 | %========================= 53 | % Ejercicios extras, parciales, etc. 54 | %========================= 55 | 56 | \subsubsection*{\hypertarget{extras-\guia}{{\Large\color{orange}{\faIcon{fire}}} Ejercicios de parciales:}} 57 | 58 | \foreach \x in {1,...,\cantidadEjerciciosExtras} { % cantidad de ejercicios extras 59 | \IfFileExists{./ejercicios-\guia-extra/ej-extra-\x-\guia.tex}{ 60 | \input{./ejercicios-\guia-extra/ej-extra-\x-\guia.tex} 61 | }{ 62 | \typeout{¡Atención! El archivo ./ejercicios-\guia-extra/ej-extra-\x-\guia.tex no está. 63 | Revisar variable: 'cantidadEjerciciosExtras' en \guia-sol.tex} 64 | } 65 | } 66 | 67 | %------------------------------------------------------- 68 | %-------------------------------------------------------- 69 | %--------------------------------------------------------- 70 | %-----SECCION PARA PONER PARCIALES------------------------- 71 | %----------------------------------------------------------- 72 | %------------------------------------------------------------ 73 | %----------------------------------------------------------- 74 | %-----SECCION PARA PONER PARCIALES------------------------- 75 | %--------------------------------------------------------- 76 | %-------------------------------------------------------- 77 | %------------------------------------------------------- 78 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2-extra/ej-extra-5-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra}\fechaEjercicio{final 21/7/25} 2 | Probar la desigualdad de Cauchy-Schwartz: $|x^*y| \leq \norma{x}_2 \norma{y}_2$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Voy a estar el producto canónico en $\complejos$: 6 | $$ 7 | (\bm{y}^* \accion \bm{x})^* = \overline{\bm{y}^* \accion \bm{x}} = (\bm{x}^* \accion \bm{y}) 8 | \entonces 9 | (\bm{x}^* \accion \bm{y})^* \cdot (\bm{x}^* \accion \bm{y}) = |\bm{x}^* \accion \bm{y}|^2 10 | $$ 11 | 12 | El inicio de la demo, \textit{es lo que es, \ul{menos averigua Dios y perdona}}. Pero está hecho para que quede la expresión buscada. 13 | Es medio particular, pero dado que $\bm{x}$ y $\bm{y}$ son genéricos, la demo vale en general: 14 | 15 | Si alguno de los vectores es nulo no hay nada que hacer, es trivial. Por lo tanto si $\bm{x},\, \bm{y}$ no nulos: 16 | $$ 17 | \textstyle 18 | \begin{array}{rcl} 19 | 0 \leq \norma{\bm{x} - \frac{\bm{y}^* \accion \bm{x}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\bm{y}}_2^2 20 | & \sii & 21 | 0 \leq (\bm{x} - \frac{\bm{y}^* \accion \bm{x}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\bm{y})^* \accion (\bm{x} - \frac{\bm{y}^* \accion \bm{x}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\bm{y}) \\\vspace{2pt} 22 | & \sii & 23 | 0 \leq (\bm{x}^* - \frac{\overline{\bm{y}^* \accion \bm{x}}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\bm{y}^*) \accion (\bm{x} - \frac{\bm{y}^* \accion \bm{x}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\bm{y}) \\\vspace{2pt} 24 | & \sii & 25 | 0 \leq \bm{x}^* \accion \bm{x} - 26 | \frac{\bm{y}^* \accion \bm{x}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\ub{ \bm{x}^* \accion \bm{y}}{\red{!}} - 27 | \frac{\overline{\bm{y}^* \accion \bm{x}}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\bm{y}^* \accion \bm{x} + 28 | \frac{\overline{\bm{y}^* \accion \bm{x}}}{\norma{\bm{y}}_2^2} \cdot \frac{\bm{y}^* \accion \bm{x}}{\norma{\bm{y}}_2^2}\bm{y}^* \accion \bm{y} \\\vspace{2pt} 29 | & \Sii{\red{!!}} & 30 | 0 \leq \norma{\bm{x}}_2^2 \red{-} 31 | \frac{ 32 | 2|\bm{y}^* \accion \bm{x}|^2 33 | }{ 34 | \norma{\bm{y}}_2^2 35 | } + 36 | \frac{|\bm{y}^* \accion \bm{x}|^2}{\norma{\bm{y}}_2^2} \\\vspace{2pt} 37 | & \sii & 38 | 0 \leq \norma{\bm{x}}_2^2 \red{-} \frac{|\bm{y}^* \accion \bm{x}|^2}{\norma{\bm{y}}_2^2} \\\vspace{2pt} 39 | & \sii & 40 | |\bm{y}^* \accion \bm{x}|^2 \leq \norma{\bm{x}}_2^2 \cdot \norma{\bm{y}}_2^2 \\\vspace{2pt} 41 | & \sii & 42 | \cajaResultado{ 43 | |\bm{y}^* \accion \bm{x}| \leq \norma{\bm{x}}_2 \cdot \norma{\bm{y}}_2 44 | } 45 | \end{array} 46 | $$ 47 | 48 | Por la forma en que armé el vector inicial quedó el miembro izquierdo al revés de la fórmula del enunciado, pero 49 | es lo mismo porque $|y^* x| = |x^* y|$, ya que el módulo de un número complejo $z$ y el módulo de su conjugado complejo $\bar{z}$ son iguales. 50 | 51 | \begin{aportes} 52 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 53 | \end{aportes} 54 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-4-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | {\tiny[Segundo cuatrimestre del 2023]} 3 | 4 | Supongamos que los resultados de las elecciones presidenciales del próximo 22 de octubre dependen únicamente de los votos de las primarias del 5 | 13 de Agosto. Consideremos los tres candidatos más votados, denominados L, T y G. 6 | Los encuestadores nos dicen que: 7 | \begin{itemize} 8 | \item Para los votantes de L: 9 | \begin{itemize} 10 | \item 80\% mantiene su voto a L 11 | \item Ninguno cambiará su voto a G 12 | \end{itemize} 13 | 14 | \item Para los votantes de T: 15 | \begin{itemize} 16 | \item El porcentaje de gente que cambia su voto a G y el porcentaje de gente que cambia su voto a L es el mismo. 17 | \item El porcentaje de gente que cambia su voto es el mismo porcentaje de gente que cambia su voto para los 18 | votantes de L. 19 | \end{itemize} 20 | 21 | \item Para los votantes de G: 22 | \begin{itemize} 23 | \item 40\% mantiene su voto a G 24 | \item El resto se divide equitativamente entre L y T. 25 | \end{itemize} 26 | \end{itemize} 27 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 28 | \item Construir la matriz de transición $A$ del proceso. 29 | \item Si el 13 de Agosto la cantidad de votos para cada uno de los candidatos fue 30 | \begin{itemize} 31 | \item L: 30\% 32 | \item T: 34\% 33 | \item G: 36\% 34 | \end{itemize} 35 | determinar el porcentaje esperado para cada candidato en las elecciones del 22 de octubre. 36 | \item Asumiendo que el proceso seguirá a largo plazo para próximas elecciones 37 | (considerando como una unidad de tiempo el tiempo entre una elección y la siguiente), 38 | decidir si existe un estado límite para los datos iniciales datos, y calcular, si existe, $A^{(\infinito)}$ 39 | \end{enumerate} 40 | \end{enunciado} 41 | 42 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 43 | \item Teniendo en cuenta la interpretación de los elementos de una matriz de $Markov$ , pensando 44 | que las columnas tienen que sumar 1, \hyperlink{teoria-4:markov}{mirá acá el resumen \click}: 45 | $$ 46 | \matriz{ccc}{ 47 | 0.8 & 0.1 & 0.3 \\ 48 | 0.2 & 0.8 & 0.3 \\ 49 | 0 & 0.1 & 0.4 50 | } 51 | $$ 52 | 53 | \item $$ 54 | A \cdot 55 | \matriz{c}{ 56 | 0.3\\ 57 | 0.34\\ 58 | 0.36 59 | } 60 | = 61 | \matriz{c}{ 62 | 0.403\\ 63 | 0.4818\\ 64 | 0.1152 65 | } 66 | $$ 67 | 68 | \item $A$ tiene un autovalor igual a 1 y ninguno igual a $-1$. Listo con eso sé que va a existir $A^{(\infinito)}$ 69 | más aún sé que las columnas de $A^{(\infinito)}$ son el autovector $v_1$, autovector asociado a $\lambda = 1$ 70 | $$ 71 | A = 72 | \matriz{c|c|c}{ 73 | && \\ 74 | v_1 &\ldots& v_1\\ 75 | && 76 | } 77 | $$ 78 | \end{enumerate} 79 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-11-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Si $x \en \reales^n$, probar que las constantes de equialencia 3 | entre las normas $\normaBullet_1$ y $\normaBullet_2$ 4 | y entre las normas $\normaBullet_2$ y $\normaBullet_\infty$ vienen dadas por: 5 | $$ 6 | \begin{array}{c} 7 | \norma{x}_\infty \leq \norma{x}_2 \leq \sqrt{n} \norma{x}_\infty \\ 8 | \frac{1}{\sqrt{n}}\norma{x}_1 \leq \norma{x}_2 \leq \norma{x}_1 9 | \end{array} 10 | $$ 11 | \end{enunciado} 12 | 13 | \hyperlink{teoria-2:normas}{Acá están las definiciones de las normas que se usan en el ejercicio {\tiny \click }}) 14 | 15 | Si $x = (0,\ldots, 0)$ la desigualdad es el caso de la igualdad. Entonces si tengo un $x \en \reales^n$ y $x \distinto 0$: 16 | $$ 17 | x = (x_1, \cdots, x_n) 18 | \flecha{calculo}[$\normaBullet_2$] 19 | \norma{x}_2 = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} 20 | \igual{\red{!}} 21 | \maximo_{1\leq i \leq n} |x_i| 22 | \cdot 23 | \ub{ 24 | \sqrt{ 25 | \parentesis{\frac{x_1}{x_i}}^2 + \cdots + \ua{1}{i-\text{ésimo lugar}} + \cdots + \parentesis{\frac{x_n}{x_i}}^2 26 | } 27 | }{ 28 | \geq 1 29 | } 30 | \mayorIgual{\red{!}} 31 | |x_i|= 32 | \norma{x}_\infty 33 | $$ 34 | Ahí queda mostrado que: 35 | $$ 36 | \cajaResultado{ 37 | \norma{x}_\infty \leq \norma{x}_2 38 | } 39 | $$ 40 | Parecido: 41 | $$ 42 | \norma{x}_2 = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2} 43 | \ua{\menorIgual{\red{!}}}{|x_i| = \maximo\set{|x_1|,\ldots,|x_n|}} 44 | \sqrt{|x_i|^2 + \cdots + |x_i|^2} = 45 | \sqrt{n \cdot |x_i|^2} = 46 | \sqrt{n} \cdot |x_i| = 47 | \sqrt{n} \cdot \norma{x}_\infty 48 | $$ 49 | Ahí queda mostrado que: 50 | $$ 51 | \cajaResultado{ 52 | \norma{x}_2 \leq \sqrt{n}\cdot \norma{x}_\infty 53 | } 54 | $$ 55 | 56 | Ahora para la relación entre $\normaBullet_1$ y $\normaBullet_2$: 57 | 58 | Recuerdo Desigualdad de \textit{Cauchy Schwartz:} 59 | 60 | $$ 61 | |x^T y| \menorIgual{$\llamada1$} \norma{x}_2 \cdot \norma{y}_2 62 | $$ 63 | Con $y = \ub{(1,\ldots,1)}{\text{\magic}} \entonces \norma{y}_2 = \sqrt{n}$ y tomo el módulo de las coordenadas de $x$: 64 | $$ 65 | (|x_1|, \ldots, |x_n|) \cdot 66 | \matriz{c}{ 67 | 1\\ 68 | \vdots\\ 69 | 1 70 | } 71 | \menorIgual{$\llamada1$} 72 | \sqrt{n} \cdot \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2} 73 | \sii 74 | \ub{|x_1| + \cdots + |x_n|}{\norma{x}_1} \leq \sqrt{n} \cdot \ub{\sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}}{\norma{x}_2} 75 | $$ 76 | De donde pasando para acá y para allá queda que: 77 | $$ 78 | \cajaResultado{ 79 | \frac{1}{\sqrt{n}}\norma{x}_1 \leq \norma{x}_2 80 | } 81 | $$ 82 | La última que queda también usando al desigualdad de \textit{Cauchy Schwartz}: 83 | $$ 84 | |x^t \cdot y| \menorIgual{$\llamada2$} \norma{x}_1 \cdot \norma{y}_1 85 | $$ 86 | Ahora uso $y = x$ 87 | $$ 88 | |x^t \cdot x| \menorIgual{$\llamada2$} \norma{x}_1 \cdot \norma{x}_1 89 | \sii 90 | (\norma{x}_2)^2 \leq (\norma{x}_1)^2 91 | \sii 92 | \cajaResultado{ 93 | \norma{x}_2 \leq \norma{x}_1 94 | } 95 | $$ 96 | 97 | \begin{aportes} 98 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 99 | \end{aportes} 100 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-9-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Una transformación lineal $f: K^n \to K^n$ se llama \textit{proyector} si verifica $f(f(x)) = f(x)$ para todo $x \en K^n$. 3 | Probar que los únicos autovalores de un proyector son 1 y 0. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Dejame escribir al proyector como $P$ en vez de $f$, porque me da \textit{cosita} sino. 7 | Tenemos un proyector y por definición: 8 | $$ 9 | P \circ P = P 10 | \ytext 11 | Pv = v 12 | $$ 13 | Una forma de ver esto, dado un $v$ autovector asociado a $\lambda$: 14 | $$ 15 | \llave{c}{ 16 | Pv = \lambda v\\ 17 | \quad \land \quad\\ 18 | P(Pv) = \lambda^2v 19 | } 20 | \Sii{def} 21 | \lambda v = \lambda^2 v 22 | \sii 23 | \lambda( \lambda - 1) v = 0 24 | \sii 25 | \llave{rcl}{ 26 | \lambda_1 &=& 1 \\ 27 | & \text{ o } & \\ 28 | \lambda_2 &=& 0 29 | } 30 | $$ 31 | Suponiendo que el proyector siempre puede ser diagonalizado ¿Es esto cierto? Sí. ¿Por qué? Me contó un \href{https://youtu.be/5Zdi2UaqIFE?t=47}{\faIcon{twitter}}: 32 | $$ 33 | \begin{array}{c} 34 | P = C D C^{-1} 35 | \sii 36 | P = C 37 | \matriz{ccc}{ 38 | \lambda_1 & \dots & 0 \\ 39 | 0 & \ddots & 0 \\ 40 | 0 & \dots & \lambda_n 41 | } 42 | C^{-1} \\ 43 | \\ 44 | P \circ P = C D C^{-1} C D C^{-1} = C D^2 C^{-1} = 45 | \ub{ 46 | C 47 | \matriz{ccc}{ 48 | \lambda_1^2 & \dots & 0 \\ 49 | 0 & \ddots & 0 \\ 50 | 0 & \dots & \lambda_n^2 51 | } 52 | C^{-1} 53 | }{ 54 | P \circ P 55 | } 56 | = 57 | \ub{ 58 | C 59 | \matriz{ccc}{ 60 | \lambda_1 & \dots & 0 \\ 61 | 0 & \ddots & 0 \\ 62 | 0 & \dots & \lambda_n 63 | } 64 | C^{-1} 65 | }{P} \\ 66 | \\ 67 | \sii 68 | \matriz{ccc}{ 69 | \lambda_1^2 & \dots & 0 \\ 70 | 0 & \ddots & 0 \\ 71 | 0 & \dots & \lambda_n^2 72 | } 73 | = 74 | \matriz{ccc}{ 75 | \lambda_1 & \dots & 0 \\ 76 | 0 & \ddots & 0 \\ 77 | 0 & \dots & \lambda_n 78 | } 79 | \sii 80 | \llave{ccc}{ 81 | \lambda_1^2 = \lambda_1 & \sii & \cajaResultado{ \lambda_1 \en \set{0,1}} \\ 82 | \vdots & \vdots & \vdots \\ 83 | \lambda_n^2 = \lambda_n & \sii & \cajaResultado{ \lambda_n \en \set{0,1}} 84 | } 85 | \end{array} 86 | $$ 87 | 88 | \begin{aportes} 89 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 90 | \end{aportes} 91 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-9-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Considerar la matriz 3 | $$ 4 | \matriz{ccc}{ 5 | 4 & 2 & -2 \\ 6 | 2 & 5 & 5 \\ 7 | -2 & 5 & 11 8 | } 9 | $$ 10 | Mostrar que es definida positiva y calcular su descomposición de Cholesky. 11 | \end{enunciado} 12 | 13 | \hyperlink{teoria-3:definida-positiva}{\textit{según la definición de matriz definida positiva:}} 14 | $$ 15 | \begin{array}{rcl} 16 | \bm{x}^t 17 | \matriz{ccc}{ 18 | 4 & 2 & -2 \\ 19 | 2 & 5 & 5 \\ 20 | -2 & 5 & 11 21 | } 22 | \bm{x} 23 | = 4 x^2 - 4 x z + 5 y^2 + 10 y z + 11 z^2 24 | & \igual{\red{!!}} & 25 | (4 x^2 - 4 x z + z^2) + 5( y^2 + 2 y z + z^2) + 5z^2 \\ 26 | & = & 5z^2 + 5(y+z)^2 + (2x-z)^2 > 0 27 | \end{array} 28 | $$ 29 | 30 | La matriz cumple la defición de 31 | \hyperlink{teoria-3:definida-positiva}{\textit{matriz definida positiva}} $\paratodo \bm{x}\distinto \bm{0} \en \reales^3$. 32 | Sí, oka, hacer eso es una locura, más fácil es hacer lo que sigue y mirar los elementos de la matriz $D$: 33 | 34 | Hay un teorema que dice algo así: 35 | \parrafoDestacado{ 36 | Sea $A \en \reales^{n\times n}$ una matriz simétrica y definida positiva si y solo sí existe $L\en \reales^{n\times n}$ 37 | triangular inferior con diagonal positiva tal que $A = LL^t$. 38 | } 39 | 40 | \textit{Arranco como buscando la descomposición $LU$:} 41 | 42 | $$ 43 | \matriz{ccc}{ 44 | 4 & 2 & -2 \\ 45 | 2 & 5 & 5 \\ 46 | -2 & 5 & 11 47 | } 48 | \triangulacion{ 49 | \flecha{$F_2 \magenta{- \frac{1}{2}}F_1$}\\ 50 | \flecha{$F_3 \magenta{+ \frac{1}{2}}F_1$} 51 | } 52 | \matriz{ccc}{ 53 | 4 & 2 & -2 \\ 54 | 0 & 4 & 6 \\ 55 | 0 & 6 & 10 56 | } 57 | \triangulacion{ 58 | \flecha{$F_3 \magenta{- \frac{3}{2}}F_2$}\\ 59 | } 60 | \matriz{ccc}{ 61 | 4 & 2 & -2 \\ 62 | 0 & 4 & 6 \\ 63 | 0 & 0 & 1 64 | } 65 | = U 66 | $$ 67 | \parrafoDestacado[\red{\angry}]{¡Sí! Ver los valores diagonales de $U$ alcanza para ver que la matriz era efectivamente definida positiva. 68 | ¿Pero quién puede quitarnos el placer de haberlo comprobado de ambas formas?} 69 | Y ahora me formo la $\tilde{L}$ a partir de la \textit{eliminación gaussiana:} 70 | $$ 71 | \tilde{L} = 72 | \matriz{ccc}{ 73 | 1 & 0 & 0 \\ 74 | \magenta{\frac{1}{2}} & 1 & 0 \\ 75 | \magenta{-\frac{1}{2}} & \magenta{\frac{3}{2}} & 1 76 | } 77 | $$ 78 | Con esto ya casi estamos: 79 | $$ 80 | A = 81 | \tilde{L}U = 82 | \tilde{L}D\tilde{L}^t = 83 | \tilde{L}\sqrt{D}\sqrt{D}\tilde{L}^t = 84 | \tilde{L}\sqrt{D}(\tilde{L}\sqrt{D})^t = LL^t 85 | \text{ con } 86 | L = 87 | \matriz{ccc}{ 88 | 2 & 0 & 0 \\ 89 | 1 & 2 & 0 \\ 90 | -1 & 3 & 1 91 | } 92 | $$ 93 | 94 | Pequeña verificación: 95 | { 96 | \tiny 97 | \begin{multicols}{3} 98 | \codigoPython{ej-9/codigo3-9-1.py} 99 | \codigoPython{ej-9/codigo3-9-2.py} 100 | \codigoPython{ej-9/codigo3-9-3.py} 101 | \end{multicols} 102 | } 103 | 104 | \begin{aportes} 105 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 106 | \end{aportes} 107 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-14-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A \en \reales^{m \times n}$, de rango $r$, con valores singulares no nulos: $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r$ 3 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 4 | \item Probar que $A$ puede escribirse como una suma de $r$ matrices de rango 1. 5 | 6 | \item Probar que dado $s < r$ se pueden sumar $s$ matrices de rango 1, matrices adecuadamente elegidas, de manera de obtener 7 | una matriz $A_s$ que satisface: 8 | $$ 9 | \norma{A - A_s}_2 = \sigma_{s+1} 10 | $$ 11 | \textit{Nota:} $A_s$ resulta ser la mejor aproximación a $A$ (en norma 2), entre todas las matrices de rango $s$. 12 | \end{enumerate} 13 | \end{enunciado} 14 | 15 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 16 | \item Para el caso en que la matriz $A$ tiene más filas que columnas, es decir que $m > n$ 17 | $$ 18 | A = \ua{U}{m\times m} \ \oa{\Sigma}{m \times n} \ \ua{V^t}{n \times n} 19 | $$ 20 | Donde la $\Sigma$ tiene a los $r$ \textit{valores sigulares} no nulos ordenados de menor a mayor. 21 | Esa matriz puede escribirse como una suma: 22 | $$ 23 | \Sigma = \sumatoria{i = 1}{\magenta{r}} \hat{\Sigma}_i, 24 | $$ 25 | donde las $\hat{\Sigma}_i$ son las matrices de $m \times n$ que tienen solo al \textit{valor singular} $\sigma_i$ 26 | en la posición $ii$ y ceros en los demás lugares. La suma es hasta $r$ dado que el resto de los $n - r$ \textit{demás valores sigulares son nulos} 27 | son nulos, por lo tanto las $\hat{\Sigma}_i$ con $i > r$ son matrices de todos elementos cero. 28 | $$ 29 | A = \sumatoria{i = 1}{\magenta{r}} U \hat{\Sigma}_i V^t, 30 | $$ 31 | donde queda que $A$ se puede expresar como una suma de $r$ matrices singulares de $\rango(\Sigma_i) = 1$, dado que solo tienen una 32 | columna no nula. 33 | 34 | \item Dado $s < r$ puedo escribir así la suma del ítem anterior: 35 | $$ 36 | A = 37 | \ub{ 38 | \sumatoria{i = 1}{\blue{s}} U \hat{\Sigma}_i V^t 39 | }{ 40 | A_{\blue{s}} 41 | } 42 | + \sumatoria{i = \blue{s + 1}}{\magenta{r}} U \hat{\Sigma}_i V^t 43 | \sii 44 | A - A_{\blue{s}} = 45 | \sumatoria{i = \blue{s + 1}}{\magenta{r}} U \hat{\Sigma}_i V^t 46 | $$ 47 | Ahora tomo norma a $A - A_{\blue{s}}$: 48 | $$ 49 | \norma{A - A_{\blue{s}}}_2 = 50 | \norma{\sumatoria{i = \blue{s + 1}}{\magenta{r}} U \hat{\Sigma}_i V^t}_2 = \sigma_{\blue{s+1}}. 51 | $$ 52 | Dado que la norma 2 de una matriz, es el mayor de los \textit{valores singulares}. 53 | 54 | \parrafoDestacado[\faIcon{atom}] 55 | { 56 | Como ya se vio en ejercicios pasados, una matriz $A$ funciona como una transformación que \textit{escala} 57 | a un vector $v$ al hacer $Av$. Esa escala es proporcional a los \textit{valores singulares}. 58 | La matriz $A_{\blue{s}}$, es entonces similar o cercana a $A$, ya que tiene las \textit{mismas} $s$ mayores 59 | componentes de mayor escalamiento. 60 | } 61 | \end{enumerate} 62 | 63 | \begin{aportes} 64 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 65 | \end{aportes} 66 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-7-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 3 | \item Sea $A \en \reales^{3 \times 3}$ diagonalizable con $\traza(A) = -4$. Calcular los autovalores de 4 | $A$ sabiendo que los autovalores de $A^2 + 2A$ son $-1,\,3$ y $8$. 5 | 6 | \item Sea $A \en \reales^{4 \times 4}$ tal que $\det(A) = 6;\ 1 $ y $-2$ son autovalores de $A$ y $-4$ es 7 | autovalor de la matriz $A - 3I$. Hallar los restantes autovalores de $A$. 8 | \end{enumerate} 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 12 | \item 13 | Truquini de escribir la cosita y sacar factor común las cositas de los costaditos: 14 | $$ 15 | A = C D C^{-1} 16 | \entonces 17 | \llave{l}{ 18 | A^2 = C D^2 C^{-1} \\ 19 | 2A = C 2D C^{-1} 20 | } 21 | \entonces 22 | A^2 + 2A = C D^2 C^{-1} + C 2D C^{-1} 23 | \igual{\red{!}} 24 | C 25 | \ub{ 26 | (D^2 + 2D) 27 | }{ 28 | \lambda'_i = \magenta{\lambda_i}^2 + 2\magenta{\lambda_i} 29 | } 30 | C^{-1} 31 | $$ 32 | Donde $\lambda'_i$ son los autovalores de $A^2 + 2A$ mientras que los $\magenta{\lambda_i}$ los autovalores de $A$. Por enunciado: 33 | $$ 34 | \llave{rcl}{ 35 | -1 & = & \magenta{\lambda_1}^2 + 2\magenta{\lambda_1} \sii \magenta{\lambda_1} = -1\\ 36 | 3 & = & \magenta{\lambda_2}^2 + 2\magenta{\lambda_2} \sii \magenta{\lambda_2} \en \set{-3, 1} \\ 37 | 8 & = & \magenta{\lambda_3}^2 + 2\magenta{\lambda_3} \sii \magenta{\lambda_3} \en \set{-4, 2} 38 | } 39 | $$ 40 | Tenemos un millón de \textit{posibles autovalores} para $A$, busquemos la combineta que haga que $\traza(A) = -4$: 41 | $$ 42 | \cajaResultado{ 43 | \llave{rcc}{ 44 | \magenta{\lambda_1} & = & -1\\ 45 | \magenta{\lambda_2} & = & 1\\ 46 | \magenta{\lambda_3} & = & -4 47 | } 48 | } 49 | $$ 50 | 51 | \item Sabemos que determinante de una matriz es igual al producto de sus autovalores: 52 | $$ 53 | \det(A) = \productoria{i = 1}{n} \lambda_i 54 | $$ 55 | En este caso: 56 | $$ 57 | \det(A) = 6 = 58 | \ua{\lambda_1}{1} \cdot 59 | \ua{\lambda_2}{-2} \cdot 60 | \lambda_3 \cdot 61 | \lambda_4 62 | \sii 63 | \lambda_3 \cdot 64 | \lambda_4 65 | = -3 66 | $$ 67 | Luego tenemos por la \textit{definición} de lo que es un autovector: 68 | $$ 69 | (A - 3I)v = -4v \sii Av = -v 70 | $$ 71 | Es decir que encontré otro autovalor: 72 | $$ 73 | \lambda_3 = -1 74 | \entonces 75 | \ua{\lambda_3}{-1} \cdot 76 | \lambda_4 77 | = -3 78 | \sii 79 | \lambda_4 80 | = 3 81 | $$ 82 | Los autovalores de $A$: 83 | $$ 84 | \cajaResultado{ 85 | \llave{rcc}{ 86 | \lambda_1 & = & 1 \\ 87 | \lambda_2 & = & -2 \\ 88 | \lambda_3 & = & -1 \\ 89 | \lambda_4 & = & 3 90 | } 91 | } 92 | $$ 93 | \end{enumerate} 94 | 95 | \begin{aportes} 96 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 97 | \end{aportes} 98 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1-extra/ej-extra-4-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sean $a$, $b \en \reales$, 3 | $$ 4 | S = \set{(x_1,x_2,x_3,x_4) \en \reales^4 : x_1 + ax_2 + bx_3 + ax_4 = 0} 5 | $$ 6 | y 7 | $$ 8 | T = \set{(x_1,x_2,x_3,x_4) \en \reales^4 : 9 | -2x_1 + 3x_3 + x_4 = 0,\ 10 | x_2 - x_3 + 4x_4 = 0} 11 | $$ 12 | subespacios de $\reales^4$. 13 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 14 | \item Hallar todos los valores de $a, b \en \reales$ para los que $\dimension(S \inter T) = 1$. 15 | \item Para el caso en que $a = -1$ y $b = 1$. Hallar $f: \reales^4 \to \reales^4$ una transformación lineal 16 | tal que $\nucleo(f) = S \inter T$ e $\imagen(f) = S$. 17 | \end{enumerate} 18 | \end{enunciado} 19 | 20 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 21 | \item Para encontrar la intersección entre dos subespacios dados con ecuaciones, puedo resover todas las ecuaciones en simultáneo: 22 | $$ 23 | \llamada1 24 | \llave{rcl}{ 25 | x_1 + ax_2 + bx_3 + ax_4 & = & 0\\ 26 | -2x_1 + 3x_3 + x_4 & = & 0\\ 27 | x_2 - x_3 + 4x_4 & = & 0 28 | } 29 | $$ 30 | Ahora el sistema en forma matricial y triangulo. 31 | La idea es que me queden \red{3 ecuaciones} \textit{linealmente independientes}, de esa 32 | manera quedará \underline{solo una variables libre}, por lo tanto la solución al sistema tendrá dimensión 1: 33 | $$ 34 | \llamada1 35 | \equivalente 36 | \begin{array}{rcl} 37 | \matriz{cccc|c}{ 38 | 1 & a & b & a & 0 \\ 39 | -2 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 40 | 0 & 1 & -1 & 4 & 0 41 | } 42 | & \flecha{$F_2 + 2F_1 \to F_2$} & 43 | \matriz{cccc|c}{ 44 | 1 & a & b & a & 0 \\ 45 | 0 & 2a & 3 + 2b & 1 + 2a & 0 \\ 46 | 0 & 1 & -1 & 4 & 0 47 | } \\ 48 | & \flecha{$2aF_3 - F_2 \to F_3$}[$a\distinto 0$] & 49 | \matriz{cccc|c}{ 50 | 1 & a & b & a & 0 \\ 51 | 0 & 2a & 3 + 2b & 1 + 2a & 0 \\ 52 | 0 & 0 & -2a - 3 -2b & 6a - 1 & 0 53 | } 54 | \end{array} 55 | $$ 56 | Por un lado se puede ver a ojo que cuando $a = 0$ quedan 3 ecuaciones \textit{linealmente independientes} así que no jode. 57 | Ahora quiero ver para cuales valores de $a \ytext b$ se borra la última fila: 58 | $$ 59 | \llave{rcl}{ 60 | -2a - 3 - 2b & = & 0 \Sii{$a = \frac{1}{6}$} b = -\frac{5}{3}\\ 61 | 6a - 1 & = & 0 \sii a = \frac{1}{6} 62 | } 63 | $$ 64 | Por lo tanto la intersección va a tener dimensión 1, $\dimension(S \inter T) = 1$ cuando: 65 | $$ 66 | \cajaResultado{ 67 | \llave{l}{ 68 | a = \frac{1}{6} \\ 69 | b = - \frac{5}{3} 70 | } 71 | } 72 | $$ 73 | 74 | \end{enumerate} 75 | \begin{aportes} 76 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 77 | \end{aportes} 78 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-25-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A_n \en \reales^{n \times n}$ la matriz dada por $A_n = (a_{ij})$, 3 | $$ 4 | a_{ij} = 5 | \llave{cl}{ 6 | 1 & \text{ si } i = 1 \text{ o } j = 1 \\ 7 | 1/i & \text{ si } i = j \\ 8 | 0 & \text{ en otro caso} 9 | } 10 | $$ 11 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 12 | \item Probar que $\condicion_\infinito (A_n) \geq f(n)$ para alguna función $f(n) \en O(n^2)$. 13 | \item Probar que $\condicion_2(A_n) \to \infinito$ cuando $n \to \infinito$. 14 | \end{enumerate} 15 | \end{enunciado} 16 | 17 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 18 | \item 19 | Hay que encontrar una $B$ (antes de verla, mirá el ejercicio \refEjercicio{ej:23} para inspirarte) 20 | $$ 21 | \condicion_\infinito(A) 22 | \geq 23 | \supremo \set{\frac{\norma{A}_\infinito}{\norma{A - B}_\infinito} : B \text{ es singular}} 24 | $$ 25 | El caso con $n = 2$ se puede calcular a mano: 26 | $$ 27 | A = 28 | \matriz{cc}{ 29 | 1 & 1 \\ 30 | 1 & \frac{1}{2} 31 | } 32 | \ytext 33 | A^{-1} = 34 | \matriz{cc}{ 35 | -1 & 2 \\ 36 | 2 & -2 37 | } 38 | \entonces 39 | \condicion_\infinito(A) = 40 | \norma{A}_\infinito \cdot 41 | \norma{A^{-1}}_\infinito = 2 \cdot 4 = 8 42 | $$ 43 | Para $n \geq 3$: 44 | $$ 45 | b_{ij} = 46 | \llave{cl}{ 47 | 1 & \text{ si } i = 1 ~ \lor ~ j = 1 \\ 48 | 1/i & \text{ si } i = j ~ \land ~ \magenta{i,j < n - 1}\\ 49 | 0 & \text{ en otro caso} 50 | } 51 | $$ 52 | Las últimas 2 filas son iguales, así que \ul{$B$ es singular} con solo 2 entradas distintas de cero: 53 | $$ 54 | A - B = 55 | \llave{cl}{ 56 | \frac{1}{n-1} & \text{ si } i = j = n - 1\\ 57 | \frac{1}{n} & \text{ si } i = j = n\\ 58 | 0 & \text{ en otro caso} 59 | } 60 | $$ 61 | Entonces queda que: 62 | $$ 63 | \condicion_\infinito(A) \geq \frac{\norma{A}_\infinito}{\norma{A - B}_\infinito} = \frac{n}{\frac{1}{n - 1}} = n^2 - n \en O(n^2) 64 | $$ 65 | 66 | \item Pispeá el ejercicio \refEjercicio{ej:16}, ahí están las acotaciones falopa de la normas. 67 | 68 | Entonces usando que: 69 | $$ 70 | \frac{1}{\sqrt{n}} \norma{A}_\infinito \menorIgual{$\llamada1$} \norma{A}_2 \leq \sqrt{n} \norma{A}_\infinito 71 | $$ 72 | sale con fritas \simpleicon{kfc}. 73 | $$ 74 | \begin{array}{rcl} 75 | \limite{n}{\infinito} \condicion_2(A) 76 | & = & 77 | \limite{n}{\infinito} \norma{A}_2 \cdot \norma{A^{-1}}_2 \\ 78 | & \mayorIgual{$\llamada1$} & 79 | \limite{n}{\infinito} \frac{1}{\sqrt{n}}\norma{A}_\infinito \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\norma{A^{-1}}_\infinito \\ 80 | & = & 81 | \limite{n}{\infinito} \frac{1}{n} \norma{A}_\infinito \cdot \norma{A^{-1}}_\infinito \\ 82 | & \igual{def} & 83 | \limite{n}{\infinito} 84 | \ub{ 85 | \frac{1}{n} \ob{\condicion_\infinito(A)}{\en O(n^2)} 86 | }{ 87 | \en O(n) 88 | } \flecha{$n \to \infinito$} \infinito 89 | \end{array} 90 | $$ 91 | \end{enumerate} 92 | 93 | \begin{aportes} 94 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 95 | \end{aportes} 96 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/preamble-general.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[11pt, a4paper, spanish, twoside]{article} 2 | % Sacar draft para que aparezcan las imagenes. 3 | % Opciones: 12pt, 10pt, 11pt, landscape, twocolumn, fleqn, leqno... 4 | % Opciones de clase: article, report, letter, beamer... 5 | 6 | % Paquetes: 7 | % ========= 8 | \usepackage[headheight=110pt, top = 2cm, bottom = 2cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} %modifico márgenes 9 | \usepackage[T1]{fontenc} % tildes 10 | \usepackage[utf8]{inputenc} % Para poder escribir con tildes en el editor. 11 | \usepackage[english]{babel} % Para cortar las palabras en silabas, creo. 12 | \usepackage[ddmmyy]{datetime} 13 | \usepackage{amsmath} % Soporte de mathmatics 14 | \usepackage{bm} % Fuentes negrita en math mode 15 | \usepackage{mathtools} % Más herramientas para matemáctica 16 | \usepackage{amssymb} % fuentes de mathmatics 17 | \usepackage{array} % Para tablas y eso 18 | \usepackage[dvipsnames,table]{xcolor} % Para colorear el texto: black, blue, brown, cyan, darkgray, gray, green, lightgray, lime, magenta, olive, orange, pink, purple, red, teal, violet, white, yellow. 19 | \usepackage{color} % Para colorear el texto: black, blue, brown, cyan, darkgray, gray, green, lightgray, lime, magenta, olive, orange, pink, purple, red, teal, violet, white, yellow. 20 | \usepackage{enumitem} % Cambiar labels y más flexibilidad para el enumerate 21 | \usepackage{multicol} 22 | \usepackage{tikz} % para graficar 23 | \usepackage{pgfplots} % scatter plots y más 24 | \pgfplotsset{compat=1.5} % scatter plots y más 25 | \usepackage{cancel} % cancelar fórmulas 26 | \usepackage{titlesec} % para editar titulos y hacer secciones con formato a medida 27 | \usepackage{ulem} 28 | \usepackage{centernot} % tacha cosas 29 | \usepackage{soul} % Para tachar texto en text y math mode 30 | \usepackage{fontawesome5} % fuentes "extras" 31 | \usepackage{simpleicons} % fuentes "extras" 32 | \usepackage{qrcode} % genera código qr 33 | \usepackage{xspace}% para control de espacios en macros 34 | 35 | \usepackage{listings} % Escribir código 36 | \usepackage{framed} % para hacer recuadros y sombrear el codigo 37 | 38 | \usepackage{tcolorbox} 39 | \tcbuselibrary{listings,breakable} 40 | 41 | \renewcommand{\ttdefault}{pcr} 42 | \lstset{ 43 | emph={row_echelon}, 44 | emphstyle={\bfseries}, 45 | breaklines=true, 46 | basicstyle=\ttfamily, 47 | columns=fullflexible, 48 | keepspaces=true, 49 | showspaces=false, 50 | showstringspaces=false, 51 | inputencoding=utf8, 52 | literate=% 53 | {á}{{\'a}}1 54 | {é}{{\'e}}1 55 | {í}{{\'i}}1 56 | {ó}{{\'o}}1 57 | {ú}{{\'u}}1 58 | {ñ}{{\~n}}1 59 | } 60 | 61 | \usepackage{fancyhdr} % Encabezados y pie de páginas 62 | 63 | % para hacer los graficos tipo grafos 64 | \usetikzlibrary{shapes,arrows.meta, chains, matrix, calc, trees, positioning, fit} 65 | \usetikzlibrary{external,decorations.pathreplacing,angles,quotes} 66 | 67 | % En general quiero que este paquete sea el último en importarse 68 | \usepackage{hyperref} % para que haya links navegables en el PDF 69 | \hypersetup{ 70 | pdftitle={Apunté Único de Álgebra Lineal Computacional}, 71 | pdfauthor={Por los alumnos y exalumnos de ALC}, 72 | pdfkeywords={algebra lineal computacional, ALC, resueltos, guías resueltas}, 73 | colorlinks=true, 74 | pdfborder={0 0 0}, % sin border 75 | citecolor=cyan, 76 | %refcolor=magenta, 77 | linkcolor=blue!80!red, 78 | filecolor=green, 79 | urlcolor=red!10!purple, 80 | } 81 | \urlstyle{same} 82 | 83 | \setlength{\parindent}{0pt} % Para que no haya indentación en las nuevas líneas. 84 | 85 | 86 | %% Info SOCIAL 87 | \def\dirRepo{https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional} 88 | \def\dirTelegram{https://t.me/+1znt2GV1i8cwMTNh} 89 | \newcommand{\dirGuia}[1]{\dirRepo/blob/main/#1-guia/#1-sol.pdf} 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6-extra/ej-extra-2-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} \fechaEjercicio{parcial 8/7/23} 2 | Se sabe que cierto sistema físico que evoluciona con el tiempo cumple con el modelo $f(t) = a 2^{-2t} + b2^{-t}$ y se cuenta con la siguiente 3 | tabla con mediciones en el tiempo 4 | $$ 5 | \begin{array}{|c||c|c|c|} 6 | \hline 7 | t & 0 & 1 & 2 \\\hline 8 | f(t) & 10 & 3 & 3/4 \\\hline 9 | \end{array} 10 | $$ 11 | Encontrar los valores $a$ y $b$ para que el modelo aproxime a los datos de la mejor forma en el sentido de cuadrados mínimos. 12 | ¿Los valores encontrados son únicos? 13 | \end{enunciado} 14 | 15 | Armar sistema matricial con los datos: 16 | $$ 17 | \llave{rcllllc}{ 18 | f(0) & = & 10 & = & a2^{-2\cdot 0} + b 2^{-0} & = & a + b \\ 19 | f(1) & = & 3 & = & a2^{-2\cdot 1} + b 2^{-1} & = & \frac{1}{4} a + \frac{1}{2}b \\ 20 | f(2) & = & \frac{3}{4} & = & a2^{-2\cdot 2} + b 2^{-2} & = & \frac{1}{16} a + \frac{1}{4} b 21 | } 22 | \flecha{forma}[matricial] 23 | A \vec{t} = \vec{f}(t) 24 | \sii 25 | \matriz{cc}{ 26 | 1 & 1 \\ 27 | \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ 28 | \frac{1}{16} & \frac{1}{4} 29 | } 30 | \matriz{c}{ 31 | a \\ 32 | b 33 | } 34 | = 35 | \matriz{c}{ 36 | 10 \\ 37 | 3 \\ 38 | \frac{3}{4} 39 | } 40 | $$ 41 | Las ecuaciones normales: 42 | $$ 43 | A^tA \vec{f}(t) = A^t\vec{f}(t) 44 | \sii 45 | \matriz{cc}{ 46 | \frac{273}{256} & \frac{73}{64} \\ 47 | \frac{73}{64} & \frac{21}{16} 48 | } 49 | \matriz{c}{ 50 | a \\ 51 | b 52 | } 53 | = 54 | \matriz{c}{ 55 | \frac{691}{64} \\ 56 | \frac{187}{16} 57 | } 58 | \Sii{\red{!!}} 59 | \matriz{cc}{ 60 | 273 & 292 \\ 61 | 292 & 336 62 | } 63 | \matriz{c}{ 64 | a \\ 65 | b 66 | } 67 | = 68 | 16 69 | \matriz{c}{ 70 | \frac{691}{4} \\ 71 | 187 72 | } 73 | \sii 74 | \llave{rcl}{ 75 | a \approx 8.51 \\ 76 | b \approx 1.50 77 | } 78 | $$ 79 | El modelo tiene solución única. La matriz del sistema $A$ tiene rango 2 y el sistema lineal a resolver tiene 2 parámetros $a$ y $b$. 80 | $$ 81 | \cajaResultado{ 82 | f(t) = 8.51 \cdot 2^{-2t} + 1.5 \cdot 2^{-t} 83 | } 84 | $$ 85 | Algo así, nada mal la verdad! 86 | $$ 87 | \begin{tikzpicture} 88 | \begin{axis}[ 89 | axis lines = left, 90 | xlabel = {$t$}, 91 | ylabel = {$f(t)$}, 92 | xmin = -0.5, xmax = 2.5, 93 | ymin = 0, ymax = 11, 94 | grid = major, 95 | grid style = {very thin, gray!30}, 96 | minor tick num = 1, 97 | minor grid style = {very thin, gray!15}, 98 | width = 12cm, 99 | height = 8cm, 100 | samples = 200, 101 | smooth, 102 | legend pos = north east 103 | ] 104 | 105 | \addplot[ 106 | domain=-0.5:2.5, 107 | Cerulean, 108 | thick 109 | ] {8.51 * 2^(-2*x) + 1.5 * 2^(-x)}; 110 | \addlegendentry{$f(t) = 8.51 \cdot 2^{-2t} + 1.5 \cdot 2^{-t}$} 111 | 112 | \addplot[ 113 | only marks, 114 | mark = *, 115 | mark size = 1pt, 116 | purple 117 | ] coordinates { 118 | (0, 10) 119 | (1, 3) 120 | (2, 0.75) 121 | }; 122 | \addlegendentry{Mediciones en el tiempo} 123 | 124 | \node[above right, purple] at (axis cs:0,10) {$(0, 10)$}; 125 | \node[above right, purple] at (axis cs:1,3) {$(1, 3)$}; 126 | \node[above right, purple] at (axis cs:2,0.75) {$(2, 0.75)$}; 127 | 128 | \end{axis} 129 | \end{tikzpicture} 130 | $$ 131 | 132 | \begin{aportes} 133 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 134 | \end{aportes} 135 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-15/codigo4-15-bcd.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | # Genera la matriz de transición 5 | def generar_matriz_transicion(n, p): 6 | cantidad_pasos = n 7 | casa = cantidad_pasos + 1 8 | bar = 0 9 | matriz_transicion = np.zeros((cantidad_pasos + 2, cantidad_pasos + 2)) 10 | matriz_transicion[bar][bar] = 1 11 | matriz_transicion[casa][casa] = 1 12 | 13 | for col in range(1, cantidad_pasos + 1): 14 | row = col - 1 15 | matriz_transicion[row][col] = 1 - p 16 | matriz_transicion[row + 2][col] = p 17 | 18 | return np.array(matriz_transicion) 19 | 20 | 21 | def generar_estado_inicial1(n): 22 | cantidad_pasos = n 23 | v = np.zeros(cantidad_pasos + 2) # inicializo en ceros y luego lleno. 24 | for estado in range(1, cantidad_pasos + 1): 25 | v[estado] = 1 / cantidad_pasos 26 | 27 | return np.array(v) 28 | 29 | 30 | def generar_estado_inicial2(n): # Estado inicial del INCISO C 31 | cantidad_pasos = n 32 | v = np.zeros(cantidad_pasos + 2) 33 | v[1] = 1 34 | return np.array(v) 35 | 36 | 37 | def generar_plot_evolucion( # Código para generar figuras con la info de los estados 38 | pasos_entre_bar_casa, p, iteraciones, muestras, v, state, dir, file 39 | ): 40 | P = generar_matriz_transicion(pasos_entre_bar_casa, p) 41 | 42 | estados_a_plotear = np.array(np.zeros((iteraciones + 1, pasos_entre_bar_casa + 2))) 43 | estados_a_plotear[0] = v 44 | 45 | for i in range(1, iteraciones): 46 | if i <= iteraciones: 47 | v = P @ v # Estado siguiente 48 | estados_a_plotear[i] = v 49 | 50 | pasos_vector = np.arange(0.0, 22.0, 1) # data para el eje x 51 | 52 | # Ploteo 53 | # Genero el gráfico loopeando en algunos resultados de la matriz 54 | fig = plt.figure() 55 | ax1 = fig.subplots(1, 1, sharex=True) 56 | 57 | for i in range(0, muestras): 58 | ax1.scatter( 59 | pasos_vector, 60 | estados_a_plotear[state[i]], 61 | label=f"estado {state[i]}", 62 | alpha=0.7, 63 | ) 64 | 65 | # Genero data para poder hacer el gráfico en TiKz 66 | np.savetxt( 67 | f"./dataFiles/{dir}/{i}{file}", 68 | np.transpose( [pasos_vector, estados_a_plotear[state[i]]]), 69 | fmt="%.10e", 70 | header="Output para la simulación de ejercicio de Markov borracho", 71 | comments="# Data pasos vs probabilidad" 72 | ) 73 | 74 | ax1.legend(loc="upper center") 75 | ax1.set_yscale("log") 76 | ax1.grid(True, alpha=0.3) 77 | ax1.set_title(f"Estados del beodo que dio {iteraciones} pasos") 78 | 79 | plt.show() 80 | 81 | 82 | estado_inicial1 = generar_estado_inicial1(20) 83 | estado_inicial2 = generar_estado_inicial2(20) 84 | 85 | principio = [1, 5, 10, 21] 86 | final = [100, 200, 500, 1000] 87 | generar_plot_evolucion( 20, 0.5, 30, 4, estado_inicial1, principio, "item-b-plot/", "-step-item-b.data") 88 | generar_plot_evolucion( 20, 0.5, 1001, 4, estado_inicial1, final, "item-b-plot/", "-step-item-b-final.data") 89 | generar_plot_evolucion( 20, 0.5, 30, 4, estado_inicial2, principio, "item-c-plot/", "-step-item-c.data") 90 | generar_plot_evolucion( 20, 0.5, 1001, 4, estado_inicial2, final, "item-c-plot/", "-step-item-c-final.data") 91 | generar_plot_evolucion( 20, 0.8, 30, 4, estado_inicial1, principio, "item-d-plot/", "-step-item-d.data") 92 | generar_plot_evolucion( 20, 0.8, 1001, 4, estado_inicial1, final, "item-d-plot/", "-step-item-d-final.data") 93 | generar_plot_evolucion( 20, 0.8, 30, 4, estado_inicial2, principio, "item-d-plot/", "-step-item-d2.data") 94 | generar_plot_evolucion( 20, 0.8, 1001, 4, estado_inicial2, final, "item-d-plot/", "-step-item-d2-final.data") 95 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-23-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Para la matriz 3 | $$ 4 | A = 5 | \matriz{ccc}{ 6 | 1 & n & 5n \\ 7 | 1 & 3n & 3n \\ 8 | 1 & n & 2n 9 | }$$ 10 | 11 | con $n \en \naturales$, probar que existe una constante $c > 0$ tal que $\condicion_\infinito(A) \geq cn$ para todo $n \en \naturales$, 12 | y deducir que $\condicion_\infinito(A) \to \infinito$ cuando $n \to \infinito$ 13 | \end{enunciado} 14 | 15 | \bigskip 16 | 17 | Como sobra la creatividad en este repo, acá van 2 formas de resolver el ejercicio: 18 | \begin{enumerate}[label=\red{\angry$_{(\arabic*)}$}] 19 | \item Es fácil calcular $A_\infinito$: 20 | $$ 21 | \norma{A}_\infinito = 6n + 1 22 | $$ 23 | Ahora voy a buscar una matriz singular $B$, conveniente para usar: 24 | $$ 25 | \condicion_\infinito(A) 26 | \geq 27 | \supremo \set{\frac{\norma{A}_\infinito}{\norma{A - B}_\infinito} : B \text{ es singular}} 28 | $$ 29 | por ejemplo: 30 | $$ 31 | B = 32 | \matriz{ccc}{ 33 | 0 & n & 5n \\ 34 | 0 & 3n & 3n \\ 35 | 0 & n & 2n 36 | } 37 | \entonces 38 | A - B = 39 | \matriz{ccc}{ 40 | 1 & 0 & 0 \\ 41 | 1 & 0 & 0 \\ 42 | 1 & 0 & 0 43 | } 44 | \entonces 45 | \frac{\norma{A}_{\infinito}}{\norma{A - B}_\infinito} = 46 | \frac{6n + 1}{1} = 6n + 1 > \ua{6}{c}n \quad \paratodo n \en \naturales 47 | $$ 48 | Y ahí quedó esa constante $c$: 49 | $$ 50 | \cajaResultado{ 51 | c = 6 52 | } 53 | $$ 54 | 55 | \bigskip 56 | 57 | \item 58 | Primero voy a calcular el número de condición. Para eso tengo que ver la norma de $A$ y $A^{-1}$ 59 | 60 | \textit{Para $A$:} 61 | 62 | La norma infinito es sumar los elementos de cada fila en módulo y quedarnos con la suma más grande. 63 | En este caso se ve a ojo que: 64 | $$ 65 | \norma{A}_\infinito = 1 + 6n 66 | $$ 67 | 68 | \textit{Para $A^{-1}$:} 69 | 70 | Aca hay que calcular la inversa de $A$, $A^{-1}$, no voy a escribir todos los pasos (ninguno de hecho). 71 | $$ 72 | \everymath{\displaystyle} 73 | A^{-1} = 74 | \matriz{ccc}{ 75 | \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} & 2 \\ \\ 76 | \frac{-1}{6n} & \frac{1}{2n} & \frac{-1}{3n} \\\\ 77 | \frac{1}{3n} & 0 & \frac{-1}{3n} 78 | } 79 | $$ 80 | y se ve que $|\frac{-1}{2}| + |\frac{-1}{2}| + |2|$ es la fila que más suma 81 | (el resto tiene elementos con $n$ el denominador con $n > 0$) 82 | $$ 83 | \norma{A^{-1}}_\infinito = 3 84 | $$ 85 | Por lo tanto: 86 | $$ 87 | \condicion(A)_\infinito = 3(1 + 6n) = 3 + 18n 88 | $$ 89 | 90 | El enunciado pide que muestre que existe una $c$ que cumpla $\condicion(A)_\infinito \geq cn$ para todo n. 91 | 92 | Elijo $c = 2$: 93 | $$ 94 | 3 + 18n \geq 2n \sii 3 + 16n \geq 0 \sii n \geq \frac{-3}{16}. 95 | $$ 96 | Como $n \en \naturales$ vale para todo $n$. 97 | 98 | Por último deducir que $\condicion_\infinito(A) \to \infinito$ cuando $n \to \infinito$: 99 | 100 | $$ 101 | \limite{n}{\infinito}\condicion_\infinito(A) = \limite{n}{\infinito} 3+18n = \infinito 102 | $$ 103 | \end{enumerate} 104 | 105 | \begin{aportes} 106 | \item \aporte{https://github.com/juandelia03}{Juan D Elia \github} 107 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 108 | \end{aportes} 109 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ``` 2 | // 3 | _ _ _ 4 | / \ | | __ _ ___| |__ _ __ __ _ 5 | / _ \ | |/ _` |/ _ \ '_ \| '__/ _` | 6 | / ___ \| | (_| | __/ |_) | | | (_| | 7 | /_/ \_\_|\__, |\___|_.__/|_| \__,_| 8 | |___/ 9 | 10 | _ _ _ 11 | | | (_)_ __ ___ __ _| | 12 | | | | | '_ \ / _ \/ _` | | 13 | | |___| | | | | __/ (_| | | 14 | |_____|_|_| |_|\___|\__,_|_| 15 | 16 | ____ _ _ _ 17 | / ___|___ _ __ ___ _ __ _ _| |_ __ _ ___(_) ___ _ __ __ _| | 18 | | | / _ \| '_ ` _ \| '_ \| | | | __/ _` |/ __| |/ _ \| '_ \ / _` | | 19 | | |__| (_) | | | | | | |_) | |_| | || (_| | (__| | (_) | | | | (_| | | 20 | \____\___/|_| |_| |_| .__/ \__,_|\__\__,_|\___|_|\___/|_| |_|\__,_|_| 21 | |_| 22 | 23 | ``` 24 | 25 | Los pdfs que querés están en: 26 | 27 | - [Guía 1](https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/blob/main/1-guia/1-sol.pdf) 28 | - [Guía 2](https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/blob/main/2-guia/2-sol.pdf) 29 | - [Guía 3](https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/blob/main/3-guia/3-sol.pdf) 30 | - [Guía 4](https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/blob/main/4-guia/4-sol.pdf) 31 | - [Guía 5](https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/blob/main/5-guia/5-sol.pdf) 32 | - [Guía 6](https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/blob/main/6-guia/6-sol.pdf) 33 | - [Guía 7](https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional/blob/main/7-guia/7-sol.pdf) 34 | 35 | ## Apunte Único ALC. Empezado en el primer cuatrimestre 2025: 36 | 37 | ### La idea es siempre la misma: 38 | 39 | Entre todos seguramente podemos hacer un material de calidad. Mandar fotos 40 | es muy lindo, pero es una manera poco eficiente de transmitir la info. 41 | En este formato se pueden corregir y mejorar los aportes, ya sea en estilo o didáctica. 42 | 43 | Para contribuir: 44 | 45 | 1 - Clonás el repo: 46 | ``` 47 | git clone https://github.com/nad-garraz/algebraLinealComputacional 48 | ``` 49 | 50 | 2 - Creas una rama en la cual laburar, con un nombre descriptivo onda _"ej-10-guia-2"_ y la pusheas así 51 | los demás nos enteramos de la existencia de esa rama 52 | ``` 53 | git switch -c nombre-nueva-rama 54 | git push origin nombre-nueva-rama 55 | ``` 56 | 57 | 3 - Codeas en el archivo del ejercicio que querés hacer, por ejemplo el "ej-10-2.tex". Agregas el archivo para que git lo sepa y 58 | commiteas los cambios con un comentario descriptivo, "Agrego ej-10-2.tex inciso a y b" 59 | ``` 60 | git add ej-10-2.tex 61 | git commit -m "Comentario descriptivo sobre lo que hiciste" 62 | ``` 63 | 64 | 4 - Si ya terminaste y querés subir los cambios a github vas a primero hacer un pull, 65 | por si alguien cambió algo mientras laburabas en tu rama. Luego vas a hacer un push 66 | ``` 67 | git pull 68 | git push origin nombre-nueva-rama 69 | ``` 70 | 5 - Los cambios deberían aparecer en github, EN TU RAMA. Para fusionar vas a hacer una PULL REQUEST 71 | desde la página. Cuando estés ahí vas a tener que esperar el visto bueno para la fusión y luego 72 | se mergea y listo. La rama nombre-nueva-rama va desaparecer. 73 | 74 | 6 - Si en tu repositorio local todavía ves la rama y la querés borrar: 75 | ``` 76 | git branch 77 | git switch main 78 | git branch -D nombre-nueva-rama 79 | ``` 80 | 81 | Si tenés preguntas sobre el workflow preguntá en el grupo de [Telegram](https://t.me/+1znt2GV1i8cwMTNh) 82 | 83 | 84 | Podés usar el código como quieras siguiendo esta licencia: [CC BY-NC](https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) 85 | 86 | _"Un Apunte para gobernarlos a todos, un Apunte para encontrarlos, Un Apunte para atraerlos a todos y en la tinieblas atraparlos"_ 87 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/codigos-4/ej-15/codigo4-15-bcd-tikz.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import numpy as np 2 | import matplotlib.pyplot as plt 3 | 4 | 5 | def generar_matriz_transicion(n, p): 6 | cantidad_pasos = n 7 | casa = cantidad_pasos + 1 8 | bar = 0 9 | matriz_transicion = np.zeros((cantidad_pasos + 2, cantidad_pasos + 2)) 10 | matriz_transicion[bar][bar] = 1 11 | matriz_transicion[casa][casa] = 1 12 | 13 | for col in range(1, cantidad_pasos + 1): 14 | row = col - 1 15 | matriz_transicion[row][col] = 1 - p 16 | matriz_transicion[row + 2][col] = p 17 | 18 | return np.array(matriz_transicion) 19 | 20 | 21 | def generar_estado_inicial1(n): 22 | cantidad_pasos = n 23 | v = np.zeros(cantidad_pasos + 2) 24 | for estado in range(1, cantidad_pasos + 1): 25 | v[estado] = 1 / cantidad_pasos 26 | 27 | return np.array(v) 28 | 29 | 30 | def generar_estado_inicial2(n): 31 | cantidad_pasos = n 32 | v = np.zeros(cantidad_pasos + 2) 33 | v[1] = 1 34 | return np.array(v) 35 | 36 | 37 | def generar_plot_evolucion( 38 | pasos_entre_bar_casa, p, iteraciones, muestras, v, state, dir, file 39 | ): 40 | P = generar_matriz_transicion(pasos_entre_bar_casa, p) 41 | 42 | estados_a_plotear = np.array(np.zeros((iteraciones + 1, pasos_entre_bar_casa + 2))) 43 | estados_a_plotear[0] = v 44 | 45 | for i in range(1, iteraciones): 46 | if i <= iteraciones: 47 | v = P @ v # Estado siguiente 48 | estados_a_plotear[i] = v 49 | 50 | pasos_vector = np.arange(0.0, 22.0, 1) # data para el eje x 51 | 52 | # Plotear 53 | # Genero el gráfico loopeando en algunos resultados de la matriz 54 | fig = plt.figure() 55 | ax1 = fig.subplots(1, 1, sharex=True) 56 | 57 | for i in range(0, muestras): 58 | ax1.scatter( 59 | pasos_vector, 60 | estados_a_plotear[state[i]], 61 | label=f"estado {state[i]}", 62 | alpha=0.7, 63 | ) 64 | 65 | # Genero data para poder hacer el gráfico en TiKz 66 | np.savetxt( 67 | f"./dataFiles/{dir}/{i}{file}", 68 | np.transpose( 69 | [pasos_vector, estados_a_plotear[state[i]]] 70 | ), 71 | fmt="%.10e", 72 | header="Output para la simulación de ejercicio de Markov borracho", 73 | comments="# Data pasos vs probabilidad", 74 | ) 75 | 76 | ax1.legend(loc="upper center") 77 | ax1.set_yscale("log") 78 | ax1.grid(True, alpha=0.3) 79 | ax1.set_title(f"Estados del beodo que dio {iteraciones} pasos") 80 | 81 | plt.show() 82 | 83 | 84 | estado_inicial1 = generar_estado_inicial1(20) 85 | estado_inicial2 = generar_estado_inicial2(20) 86 | 87 | principio = [1, 5, 10, 21] 88 | final = [100, 200, 500, 1000] 89 | generar_plot_evolucion( 90 | 20, 0.5, 30, 4, estado_inicial1, principio, "item-b-plot/", "-step-item-b.data" 91 | ) 92 | generar_plot_evolucion( 93 | 20, 0.5, 1001, 4, estado_inicial1, final, "item-b-plot/", "-step-item-b-final.data" 94 | ) 95 | generar_plot_evolucion( 96 | 20, 0.5, 30, 4, estado_inicial2, principio, "item-c-plot/", "-step-item-c.data" 97 | ) 98 | generar_plot_evolucion( 99 | 20, 0.5, 1001, 4, estado_inicial2, final, "item-c-plot/", "-step-item-c-final.data" 100 | ) 101 | generar_plot_evolucion( 102 | 20, 0.8, 30, 4, estado_inicial1, principio, "item-d-plot/", "-step-item-d.data" 103 | ) 104 | generar_plot_evolucion( 105 | 20, 0.8, 1001, 4, estado_inicial1, final, "item-d-plot/", "-step-item-d-final.data" 106 | ) 107 | generar_plot_evolucion( 108 | 20, 0.8, 30, 4, estado_inicial2, principio, "item-d-plot/", "-step-item-d2.data" 109 | ) 110 | generar_plot_evolucion( 111 | 20, 0.8, 1001, 4, estado_inicial2, final, "item-d-plot/", "-step-item-d2-final.data" 112 | ) 113 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-13-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $m, n$ y $r \en \naturales$. 3 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 4 | \item Probar que si $A \en K^{m \times n}$ satisface que $Ax = 0 \paratodo x \en K^n$, entonces $A=0$. 5 | Deducir que si $A,B \en K^{m \times n}$ satisfacen que $Ax = Bx \paratodo x \en K^n$, entonces $A = B$. 6 | 7 | \item Probar que si $A \en K^{m \times n}, B \en K^{n \times r}$ con $B = (b_{ij})$ y, para $1 \leq j \leq r$, 8 | $B_j = 9 | \matriz{c}{ 10 | b_{ij}\\ 11 | \vdots\\ 12 | b_{nj} 13 | } 14 | $ 15 | es la columna $j-$ésima de $B$, entonces $AB = (AB_1 | \cdots | AB_r)$ (es decir, $AB_j$ es la columna $j-$ésima de $AB$). 16 | \end{enumerate} 17 | \end{enunciado} 18 | 19 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 20 | \item Tengo $A \en K^{n \times n}$ entonces $Ax$: 21 | $$ 22 | \matriz{ccc}{ 23 | a_{11} & \dots & a_{1n} \\ 24 | \vdots & \ddots & \vdots \\ 25 | a_{m1} & \dots & a_{mn} 26 | } 27 | \cdot 28 | \matriz{c}{ 29 | x_1 \\ 30 | \vdots \\ 31 | x_n 32 | } 33 | = 34 | x_1 \cdot 35 | \matriz{c}{ 36 | a_{11} \\ 37 | \vdots \\ 38 | a_{m1} 39 | } 40 | + 41 | \dots 42 | + 43 | x_n \cdot 44 | \matriz{c}{ 45 | a_{1n} \\ 46 | \vdots \\ 47 | a_{mn} 48 | } 49 | = 0 50 | $$ 51 | Probando particularmente con la base canónica de $K^n$ $x \en K^n$ con $x \en B$, donde 52 | $$ 53 | B = \set{(1, 0, \dots, 0); (0, 1, \dots, 0); \dots; (0, \dots, 1)} 54 | $$ muestro así que las columnas de $A$ son siempre nulas. 55 | 56 | Usando el resultado de recién: 57 | $$ 58 | Ax = Bx \sisolosi \blue{(A - B)} x = 0 \sisolosi \blue{C}x = 0 59 | $$ 60 | Dado que $Cx = 0 \paratodo x \en K^n$ se muestra que $A = B$. 61 | 62 | \item Puedo escribir a los elementos de producto de una matriz $A^{m \times n}$ por otra $B^{n \times r}$ como: 63 | $$ 64 | [AB]_{ij} = \sumatoria{\blue{k} = 1}{n} A_{i\blue{k}} B_{\blue{k}j} \paratodo i,j \text{ con } 1 \leq i \leq m;\; 1 \leq j \leq r 65 | $$ 66 | Si fijo $\magenta{j = 1}$ 67 | $$ 68 | [AB]_{i\magenta{1}} = \sumatoria{\blue{k} = 1}{n} A_{i\blue{k}} B_{\blue{k}\magenta{1}} \paratodo i \text{ con } 1 \leq i \leq m 69 | $$ 70 | Obtengo así el elemento del producto de la $i-$ésima fila de $A$ 71 | por columna \magenta{1} de $B$. Haciendo para todos los valores de $i$ obtengo: 72 | $$ 73 | A B_{\magenta{1}}= 74 | \matriz{ccc}{ 75 | a_{11} & \dots & a_{1n} \\ 76 | \vdots & \ddots & \vdots \\ 77 | a_{m1} & \dots & a_{mn} 78 | } 79 | \matriz{c}{ 80 | b_{i\magenta{1}}\\ 81 | \vdots\\ 82 | b_{n\magenta{1}} 83 | } 84 | = 85 | \ub{ 86 | \matriz{c}{ 87 | \sumatoria{\blue{k} = 1}{n} A_{\yellow{i}\blue{k}} B_{\blue{k}\magenta{1}}\\ 88 | \vdots\\ 89 | \sumatoria{\blue{k} = 1}{n} A_{\yellow{m}\blue{k}} B_{\blue{k}\magenta{1}} 90 | \\ 91 | }}{ \en K^{m \times 1}} 92 | $$ 93 | Hacer eso para $1 \leq j \leq r$ da: 94 | $$ 95 | AB = (AB_1 | \cdots | AB_r) 96 | $$ 97 | o eso espero \surprise, como querías mostrar. 98 | \end{enumerate} 99 | 100 | \begin{aportes} 101 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 102 | \end{aportes} 103 | --------------------------------------------------------------------------------