├── 2-guia ├── ejercicios-2 │ ├── ej-23-2.tex │ ├── ej-3-2.tex │ ├── ej-13-2.tex │ ├── ej-2-2.tex │ └── ej-21-2.tex ├── 2-sol.pdf ├── 2-sol.tex └── ejercicios-2-extra │ ├── ej-extra-11-2.tex │ ├── ej-extra-1-2.tex │ ├── ej-extra-6-2.tex │ └── ej-extra-9-2.tex ├── 7-guia ├── ejercicios-7 │ ├── ej-28-7.tex │ ├── ej-29-7.tex │ ├── ej-30-7.tex │ ├── ej-31-7.tex │ ├── ej-33-7.tex │ ├── ej-34-7.tex │ ├── ej-27-7.tex │ ├── ej-36-7.tex │ ├── ej-13-7.tex │ ├── ej-23-7.tex │ ├── ej-17-7.tex │ ├── ej-22-7.tex │ ├── ej-18-7.tex │ ├── ej-26-7.tex │ ├── ej-39-7.tex │ ├── ej-10-7.tex │ ├── ej-11-7.tex │ ├── ej-12-7.tex │ ├── ej-21-7.tex │ ├── ej-14-7.tex │ └── ej-37-7.tex ├── 7-sol.pdf ├── ejercicios-7-extra │ ├── ej-extra-16-7.tex │ ├── ej-extra-12-7.tex │ ├── ej-extra-2-7.tex │ ├── ej-extra-10-7.tex │ ├── ej-extra-13-7.tex │ ├── ej-extra-9-7.tex │ ├── ej-extra-15-7.tex │ └── ej-extra-18-7.tex └── 7-sol.tex ├── 1-guia ├── 1-sol.pdf ├── ejercicios-1 │ ├── ej-5-1.tex │ ├── ej-15-1.tex │ ├── ej-11-1.tex │ ├── ej-18-1.tex │ ├── ej-4-1.tex │ ├── ej-6-1.tex │ ├── ej-32-1.tex │ ├── ej-2-1.tex │ ├── ej-7-1.tex │ ├── ej-8-1.tex │ ├── ej-20-1.tex │ ├── ej-23-1.tex │ ├── ej-1-1.tex │ └── ej-10-1.tex ├── 1-sol.tex └── ejercicios-1-extra │ ├── ej-extra-1-1.tex │ └── ej-extra-2-1.tex ├── 3-guia ├── 3-sol.pdf ├── teoria-3 │ └── teoria-3.tex ├── ejercicios-3 │ ├── ej-1-3.tex │ ├── ej-7-3.tex │ ├── ej-3-3.tex │ ├── ej-14-3.tex │ ├── ej-30-3.tex │ ├── ej-11-3.tex │ ├── ej-16-3.tex │ ├── ej-6-3.tex │ ├── ej-31-3.tex │ ├── ej-8-3.tex │ ├── ej-26-3.tex │ ├── ej-20-3.tex │ ├── ej-29-3.tex │ ├── ej-13-3.tex │ └── ej-15-3.tex ├── 3-sol.tex └── ejercicios-3-extra │ ├── ej-extra-4-3.tex │ └── ej-extra-3-3.tex ├── 4-guia ├── 4-sol.pdf ├── 4-sol.tex ├── ejercicios-4 │ ├── ej-31-4.tex │ ├── ej-21-4.tex │ ├── ej-19-4.tex │ ├── ej-17-4.tex │ ├── ej-29-4.tex │ ├── ej-28-4.tex │ ├── ej-32-4.tex │ ├── ej-36-4.tex │ ├── ej-30-4.tex │ ├── ej-34-4.tex │ ├── ej-15-4.tex │ ├── ej-27-4.tex │ ├── ej-26-4.tex │ ├── ej-25-4.tex │ ├── ej-39-4.tex │ ├── ej-22-4.tex │ └── ej-4-4.tex └── ejercicios-4-extra │ ├── ej-extra-4-4.tex │ ├── ej-extra-13-4.tex │ ├── ej-extra-1-4.tex │ ├── ej-extra-6-4.tex │ ├── ej-extra-19-4.tex │ ├── ej-extra-5-4.tex │ ├── ej-extra-2-4.tex │ ├── ej-extra-17-4.tex │ └── ej-extra-21-4.tex ├── 5-guia ├── 5-sol.pdf ├── 5-sol.tex ├── ejercicios-5 │ ├── ej-6-5.tex │ ├── ej-3-5.tex │ ├── ej-29-5.tex │ ├── ej-18-5.tex │ ├── ej-16-5.tex │ ├── ej-1-5.tex │ ├── ej-22-5.tex │ ├── ej-5-5.tex │ ├── ej-9-5.tex │ ├── ej-28-5.tex │ ├── ej-8-5.tex │ ├── ej-2-5.tex │ ├── ej-15-5.tex │ └── ej-7-5.tex └── ejercicios-5-extra │ ├── ej-extra-10-5.tex │ └── ej-extra-6-5.tex ├── 6-guia ├── 6-sol.pdf ├── 6-sol.tex ├── ejercicios-6-extra │ ├── ej-extra-1-6.tex │ ├── ej-extra-11-6.tex │ ├── ej-extra-8-6.tex │ ├── ej-extra-4-6.tex │ └── ej-extra-7-6.tex └── ejercicios-6 │ └── ej-9-6.tex ├── enunciados-guias ├── practica1.pdf ├── practica2.pdf ├── practica3.pdf ├── practica4.pdf ├── practica5.pdf ├── practica6.pdf └── practica7.pdf └── macros ├── indice.tex ├── qr.tex ├── estructura-ejercicios.tex └── encabezado-pie.tex /2-guia/ejercicios-2/ej-23-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ejercicio\hacer 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-28-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ejercicio\hacer 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-29-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ejercicio\hacer 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-30-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ejercicio\hacer 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-31-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ejercicio\hacer 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-33-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ejercicio\hacer 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-34-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ejercicio\hacer 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/1-sol.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/1-guia/1-sol.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/2-sol.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/2-guia/2-sol.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/3-sol.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/3-guia/3-sol.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/teoria-3/teoria-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Te debo la teoría \faIcon{grin-beam-sweat} 2 | 3 | \hacer 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/4-sol.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/4-guia/4-sol.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/5-sol.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/5-guia/5-sol.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/6-sol.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/6-guia/6-sol.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/7-sol.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/7-guia/7-sol.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/practica1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/enunciados-guias/practica1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/practica2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/enunciados-guias/practica2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/practica3.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/enunciados-guias/practica3.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/practica4.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/enunciados-guias/practica4.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/practica5.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/enunciados-guias/practica5.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/practica6.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/enunciados-guias/practica6.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /enunciados-guias/practica7.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/nad-garraz/algebraUno/HEAD/enunciados-guias/practica7.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-16-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} \fechaEjercicio{final 09/04/2024} 2 | Hallar todos los números $a \en \racionales$ para los cuales $f = X^5 - aX^4 + X^3 - aX^2 + X - a$ 3 | y $g = 2x^3 - 4x^2 + 11/2x - 2$ no son coprimos. Factorizar a $f$ como producto de 4 | irreducibles en $\racionales[X]$, en $\reales[X]$ y en $\complejos[X]$. 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | \hacer 8 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-5-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dados los subconjuntos $A,B,C$ de un conjunto referencial $V$, describir $(A \union B \union C)^c$ en términos 3 | de intersecciones y complementos, y $(A \inter B \inter C)^c$ en términos de uniones y complementos 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 7 | \item $\quad (A \union B \union C)^c \igual{(c)} (A \union B)^c \inter C^c \igual{(c)} A^c \inter B^c \inter C^c$\Tilde 8 | \item $\quad (A \inter B \inter C)^c \igual{(d)} (A \inter B)^c \union C^c \igual{(d)} A^c \union B^c \union C^c$\Tilde 9 | \end{enumerate} 10 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-1-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dado el conjunto referencial $V = \set{n \en \naturales : n \text{ es múltiplo de } 15}$, determinar el cardinal del 3 | complemento del subconjunto $A$ de $V$ definido por $A = \set{n \en V : n \geq 132}$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Se tiene al complemento: 7 | $$ 8 | A^c = \set{n \en V : n < 132}. 9 | $$ 10 | 11 | Así los $n \en \naturales$ tales que $n = k \cdot 15$ con $k\en \enteros$ y $n < 132$: 12 | $$ 13 | 15 \cdot k < 132 \sii k \en \set{1,2,3,4,5,6,7,8} 14 | $$ 15 | 16 | El cardinal pedido es: 17 | $$ 18 | \#A^c = 8 19 | $$ 20 | 21 | \begin{aportes} 22 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 23 | \end{aportes} 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-27-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 3 | \item Hallar todas la raíces racionales de 4 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 5 | \item $2X^5 + 3X^4 + 2X^3 - X$, 6 | \item $X^5 - \frac{1}{2} X^4 - 2X^3 + \frac{1}{2} X^2 - \frac{7}{3}X -3$, 7 | \end{enumerate} 8 | \item Probar que $X^4 + 2X^3 - 3X^2 - 2$ no tiene raíces racionales. 9 | \end{enumerate} 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 13 | \item 14 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 15 | \item \hacer 16 | \item \hacer 17 | \end{enumerate} 18 | \item \hacer 19 | \end{enumerate} 20 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/1-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{1} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{36} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{10} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/3-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular 9 | \def\guia{3} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{32} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{8} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/4-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{4} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{40} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{24} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/5-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{5} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{30} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{14} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/6-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{6} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{15} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{11} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/2-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{2} % <-- El número de la guía 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{22} 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{13} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-36-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 3 | \item En cada caso, hallar un polinomio $f \en \racionales[X]$ de grado 4 | mínimo tal que: 5 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 6 | \item $X^2(X^2 + 1) \divideA (f:f')$. 7 | \item $(f:f') = X^5 - 5X^4 + \frac{25}{4}X^3 \ytext f(1) = 3$. 8 | \item $X + 2 \divideA f,\, (f:(X - \sqrt{2})^2) = X - \sqrt{2} 9 | \ytext f$ mónico. 10 | \end{enumerate} 11 | 12 | \item 13 | Determinar todos los $f \en \racionales[X]$ mónicos de grado 5 que satisfacen 14 | simultáneamente que $(f: f')$ tiene grado $2,\, 1+2i$ es raíz de $f$ y $f(1) = \frac{1}{2}$. 15 | \end{enumerate} 16 | \end{enunciado} 17 | 18 | \hacer 19 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/7-sol.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{../macros/preamble-general.tex} 2 | 3 | % Definiciones y macros para que se me haga más ameno el codeo. 4 | \input{../macros/definiciones.tex} 5 | 6 | \begin{document} 7 | 8 | % IMPORTANTE: Estos valores son lo único referente a la guía en particular. 9 | \def\guia{7} % <-- El número de la guía. 10 | \def\cantidadEjerciciosGuia{40} % <-- Cantidad de ejercicios de la guía en cuestión. 11 | \def\cantidadEjerciciosExtras{18} % <-- Modificar si se agrega un ejercicio EXTRA. 12 | 13 | \input{../macros/encabezado-pie.tex} % <-- Inyecto código de encabezado y pie 14 | \input{../macros/indice.tex} % <-- Inyecto código del índice y carátula 15 | \input{../macros/estructura-ejercicios.tex} % <-- Inyecto código teoría, ejercicios y ejercicio extra 16 | 17 | \end{document} 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-13-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $w = e^{\frac{2\pi}{7}i}$. 3 | Probar que $w + w^2 + w^4$ es raíz del polinomio $X^2 + X + 2$ 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Voy a usar los resultados para la familias de $G_n$ 7 | $$ 8 | w \en G_7 \entonces 9 | \llave{l}{ 10 | \sumatoria{j=0}{6} w^j = 0 \quad (w \distinto 1)\\ 11 | w^k = w^{r_7(k)} 12 | } 13 | $$ 14 | Es cuestión de evaluar y rezar {\tiny\faIcon{pray}}. Tengo que $f(X) = X^2 + X + 2$ y $w + w^2 + w^4$ es raíz de $f$: 15 | $$ 16 | f(w + w^2 + w^4) = 17 | (w + w^2 + w^4)^2 + w + w^2 + w^4 + 2 = 18 | \ua{w^8}{= w} + 2w^6 + 2w^5 + 2w^4 + 2w^3 + 2w^2 + w + 2 19 | \igual{\red{!}} 20 | 2\cdot \sumatoria{j=0}{6}w^j = 0 21 | $$ 22 | Listo efectivamente $w + w^2 + w^4$ es raíz de $f$. 23 | 24 | \begin{aportes} 25 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 26 | \end{aportes} 27 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-6-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar el resto de la división de un entero $a$ por 18, sabiendo que el resto de la división de $7a$ por 18 es 5. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Buscamos $r_{18}(a)$ sabiendo que $r_{18}(7a)= 5$. Entonces, partimos de lo que sabemos:\\ 6 | 7 | 8 | $ 9 | r_{18}(7a)= 5 10 | \sisolosi 11 | \congruencia{7a}{5}{18} 12 | \Sii{$(5:18) = 1$}[] 13 | \congruencia{5.7a}{5.5}{18} 14 | \sisolosi 15 | \congruencia{35a}{25}{18} 16 | \Sii{$\congruencia{35}{-1}{18}$}[$\congruencia{25}{7}{18}$] 17 | \congruencia{-a}{7}{18} 18 | $ 19 | \\ 20 | $ 21 | \congruencia{-a}{7}{18} 22 | \sisolosi 23 | \congruencia{a}{-7}{18} 24 | \sisolosi 25 | \congruencia{a}{11}{18} 26 | \sisolosi 27 | \boxed{ 28 | r_{18}(a) = 11 29 | } 30 | $ 31 | 32 | 33 | 34 | \begin{aportes} 35 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 36 | \end{aportes} 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-7-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | María tiene una colección de 17 libros distintos que quiere guardar en 3 cajas: 3 | una roja, una amarilla y una azul. 4 | ¿De cuántas maneras distintas puede distribuir los libros en las cajas? 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | Tenemos un conjunto de libros y otro de cajas, todos los libros van a ir a parar a al menos una caja. 8 | Esto quiere decir que basicamente lo que queremos buscar son todas las funciones de libros a cajas. 9 | Que se obtiene haciendo $\#(\text{cajas})^{\#(\text{libros})} = \cajaResultado{3^{17}}$ \\ 10 | Otra forma de pensarlo es que por cada libro tenemos $3$ opciones de mandarlo a cualquiera de las cajas, 11 | como tenemos 17 libros, esto es 12 | \[\overbrace{3 \times 3 \times \cdots \times 3}^{17\ \text{veces}} = 3^{17}\] 13 | 14 | \begin{aportes} 15 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 16 | \end{aportes} 17 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-3-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dados subconjuntos finitos $A, B, C$ de un conjunto referencial $V$, calcular $\#(A \union B \union C)$\\ 3 | en términos de los cadinales de $A, B, C$ y sus intersecciones. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | \begin{align*} 7 | \#(A \union B \union C) & = \#(A \union (B \union C) \\ 8 | & = \#A + \#(B \union C) - \#(A \inter (B \union C)) \\ 9 | & = \#A + \#B + \#C - \#(B \inter C) - \#[(A \inter B) \union (A \inter C)] \\ 10 | & = \#A + \#B + \#C - \#(B \inter C) - [\#(A \inter B) + \#(A \inter C) - \#(A \inter B \inter C)] \\ 11 | & = \#A + \#B + \#C - \#(B \inter C) - \#(A \inter B) - \#(A \inter C) + \#(A \inter B \inter C) 12 | \end{align*} 13 | 14 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6-extra/ej-extra-1-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Para $w \en G_6$, calcular 3 | $S = w^{71} + w^{-14} + 5\conj w^4 + w^{39} - 4w^{-22} + w^{2023}$ 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | \textit{Si $w = 1$: }\par 7 | $$ 8 | S = 1 + 1+ 5 \cdot 1 + 1 - 4 \cdot 1 + 1 = 5 9 | $$ 10 | 11 | \textit{Si $w \distinto 1$: }\par 12 | $$ 13 | \begin{array}{rcl} 14 | S & = & w^{71} + w^{-14} + 5\conj w^4 + w^{39} - 4w^{-22} + w^{2023} \\ 15 | & \igual{\red{!}} & w^5 + w^4 + 5 w^2 + w^3 - 4w^2 + w^1 \\ 16 | & \igual{\red{!}} & w^1 + w^2 + w^3 + w^4 + w^5 = \magenta{-1} + \ub{\magenta{1} + w^1 + w^2 + w^3 + w^4 + w^5}{=0} = -1 17 | \end{array} 18 | $$ 19 | 20 | % Contribuciones 21 | \begin{aportes} 22 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 23 | %\aporte{url}{nombre icono} 24 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 25 | \item \aporte{https://github.com/JowinTeran}{Ale Teran \github} 26 | \end{aportes} 27 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-3-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Si se sabe que cada unidad de un cierto producto $A$ cuesta $39$ pesos y que cada unidad de un cierto 3 | producto $B$ cuesta 48 pesos, ¿cuántas unidades de cada producto se pueden comprar gastando exactamente 4 | 135 pesos? 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | Armo diofántica con enunciado, tengo en cuenta que 8 | $A \geq 0 \ytext B \geq 0$, dado que son productos físicos {\color{pink}{\faIcon{brain}}}. 9 | 10 | La ecuación \textit{presupuestaria} queda: 11 | $$ 12 | 39A + 48B = 135 13 | $$ 14 | Siempre que puedo coprimizar lo hago: 15 | $$ 16 | (A:B) = 3 17 | \entonces 18 | 13 \blue{A} + 16\green{B} = 45, 19 | $$ 20 | Veo que hay solución dado que, 21 | $$ 22 | (13:16) \divideA 45 23 | $$ 24 | Resuelvo a ojo. Si no lo ves hacé Euclides combinación entera y zarasa: 25 | $$ 26 | \cajaResultado{ 27 | (\blue{A},\green{B}) = (\blue{1},\green{2}) 28 | } 29 | $$ 30 | 31 | \begin{aportes} 32 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz} 33 | \item \aporte{https://github.com/rlgarro}{Román LG \github} 34 | \end{aportes} 35 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/indice.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %========================= 2 | % Un poco de Bling-Bling, carátula e índice 3 | %========================= 4 | 5 | %\guia está definido en padres de este archivo 6 | 7 | \vfill 8 | 9 | \begin{center} 10 | \hypertarget{indice-\guia}{\Large\textit{Choose your destiny: }}\par 11 | {\tiny\textit{(dobleclick en los ejercicio para saltar) }} 12 | 13 | \begin{itemize} 14 | \item[\tiny\faIcon{meh-blank}] \hyperlink{teoria-\guia}{Notas teóricas} 15 | 16 | \item[\tiny\faIcon{meh}] 17 | Ejercicios de la guía: 18 | \begin{multicols}{8} 19 | \foreach \ejer in {1,...,\cantidadEjerciciosGuia}{ 20 | \refEjercicio{ej:\ejer}\\ 21 | } 22 | \end{multicols} 23 | 24 | \item[\tiny\faIcon{angry}] Ejercicios de Parciales 25 | \begin{multicols}{8} 26 | \foreach \extras in {1,...,\cantidadEjerciciosExtras}{ 27 | \refEjExtra{ejExtra:\extras}\\ 28 | } 29 | \end{multicols} 30 | 31 | \end{itemize} 32 | \end{center} 33 | 34 | \vfill 35 | 36 | \newpage % nueva página 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-23-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $n \en \naturales$. 3 | Probar que $\sumatoria{k=0}{n}\frac{X^k}{k!} \en \complejos[X]$ tiene todas sus raíces complejas simples. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | $$ 7 | P = \sumatoria{k=0}{n}\frac{X^k}{k!} = 8 | 1 + X + \frac{1}{2!}X^2 + \frac{1}{3!}X^3 + \frac{1}{4!}X^4 + \cdots + \frac{1}{n!}X^n 9 | $$ 10 | 11 | Su derivada primera: 12 | $$ 13 | P' = \sumatoria{k=1}{n}\frac{X^{k-1}}{(k-1)!} = 14 | 1 + X + \frac{1}{2!}X^2 + \frac{1}{3!}X^3 + \cdots + \frac{1}{(n-1)!}X^{n-1} 15 | $$ 16 | 17 | Noto que: 18 | $$ 19 | P' = P - \frac{1}{n!}X^n 20 | $$ 21 | 22 | Entonces si $\blue{\alpha}$ es una raíz de $P$: 23 | $$ 24 | P(\blue{\alpha}) = 0 25 | \entonces 26 | P'(\blue{\alpha}) = 27 | \ub{P(\blue{\alpha})}{0} - \frac{1}{n!}\blue{\alpha}^n = - \frac{1}{n!}\blue{\alpha}^n \distinto 0 28 | $$ 29 | Así queda probado que las raíces van a ser \textit{simples}. 30 | 31 | Atención que, $\blue{\alpha} = 0$ \underline{no me importa} porque $P(0) \distinto 0$, boludeces no. 32 | 33 | \begin{aportes} 34 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 35 | \end{aportes} 36 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-31-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar el menor número natural $n$ tal que $6552n$ sea un cuadrado, es decir, que exista $k \en \naturales$ tal que $6552n=k^2$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Como $k \en \naturales$ y como claramente $k \neq 1$, por TFA, se tiene que 6 | 7 | $$ 8 | k = (P_1)^{m_1} \cdot (P_2)^{m_2} \cdots (P_r)^{m_r}, ~ m_1, m_2, \dots, m_r ~ \en \naturales 9 | \entonces 10 | k^2= (P_1)^{2m_1} \cdot (P_2)^{2m_2} \cdots (P_r)^{2m_r} 11 | $$ 12 | 13 | Entonces 14 | 15 | $$ 16 | 6552n=k^2 17 | \sisolosi 18 | 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot n = (P_1)^{2m_1} \cdot (P_2)^{2m_2} \cdots (P_r)^{2m_r} 19 | $$ 20 | 21 | Esto nos dice que todos los primos del lado izquierdo de la igualdad deben estar elevados a un número de la forma $2k, ~ k \en \naturales$. \par 22 | Para lograr esto, notemos que es necesario que $n$ contenga en su factorización un 2, un 7 y un 13 y como nos piden el menor $n$, esto resulta suficiente. \par 23 | Luego, $n = 2 \cdot 7 \cdot 13 = \boxed{182}$ 24 | 25 | 26 | \begin{aportes} 27 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 28 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-21-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $a,b \en \enteros$ coprimos. 3 | Probar que $7a - 3b \ytext 2a -b$ son coprimos. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Puedo buscar divisores comunes para ver si son coprimos: 7 | $$ 8 | \llave{l}{ 9 | d \divideA 7a-3b\\ 10 | d \divideA 2a-b 11 | } 12 | \Entonces{$2F_1 - 7F_2 \to F_1$} 13 | \llave{l}{ 14 | d \divideA b\\ 15 | d \divideA 2a-b 16 | } 17 | $$ 18 | Pero también: 19 | $$ 20 | \llave{l}{ 21 | d \divideA 7a-3b\\ 22 | d \divideA 2a-b 23 | } 24 | \Entonces{$F_1 - 3F_2 \to F_2$} 25 | \llave{l}{ 26 | d \divideA 7a-3b\\ 27 | d \divideA a 28 | } 29 | $$ 30 | Es decir que $d$ es un divisor común de $a$ y $b$, peeeeeero por enunciado sé que $(a:b) = 1$. 31 | Por lo tanto el único divisor común que tienen 2 números coprimos es 1, así que $d$ puede valer 32 | $d = \pm 1$, a los fines del ejercicio $d = 1$: 33 | $$ 34 | d = 1 = (7a - 3b : 2a -b) 35 | $$ 36 | La expresiones son números coprimos porque el único divisor común que tienen es 1. 37 | 38 | \begin{aportes} 39 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 40 | \end{aportes} 41 | 42 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/qr.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%% MACRO LOCAL 2 | \newcommand{\qrWeb}[1]{ 3 | \qrcode{#1}\par 4 | \texttt{\tiny#1} 5 | } 6 | %%% FIN MACRO LOCAL 7 | \thispagestyle{empty} 8 | 9 | \vspace*{\fill} 10 | 11 | \noindent\makebox[\textwidth]{ 12 | \begin{minipage}{0.7\textwidth} 13 | \centering 14 | 15 | {\LARGE 16 | Esta Guía \guia\ que tenés se actualizó por última vez: 17 | 18 | \red{\updateDos} 19 | 20 | Escaneá el QR para bajarte (quizás) una versión 21 | más nueva: 22 | \par 23 | 24 | \bigskip 25 | 26 | Guía \guia \par\medskip 27 | } 28 | \qrcode[height=4cm]{\dirGuia{\guia}} 29 | \vspace{2cm} 30 | 31 | { \Large 32 | El resto de las guías repo en \href{\dirRepo}{github\github} para 33 | descargar las guías con los últimos updates.\par\medskip 34 | } 35 | \qrcode[height=4cm]{\dirRepo} 36 | \vspace{2cm} 37 | 38 | { \Large 39 | Si querés mandar un ejercicio o avisar de algún error, 40 | lo más fácil es por \href{\dirTelegram}{Telegram \telegram}.\par\medskip 41 | } 42 | \qrcode[height=4cm]{\dirTelegram} 43 | \end{minipage} 44 | } 45 | 46 | \vspace*{\fill} 47 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-15-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $A = \set{1, 2, 3},\, B = \set{1, 3, 5, 7}.$ 3 | Hallar $A \times A, A \times B, (A \inter B) \times (A \union B).$ 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | \begin{itemize} 7 | \item $A \times A = 8 | \llave{l}{ 9 | \set{a \en A, b \en A \talque (a, b) \en A \times A} \to \text{Comprensión}\\ 10 | \set{(1,1), (1,2), (1,3),(2,1),(2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} \to \text{Extensión} 11 | }$ 12 | 13 | \item $A \times B = \cdots$ 14 | 15 | \item $(A \inter B) \times (A \union B) = \\ 16 | \llave{l}{ 17 | \set{1, 3} \times \set{1,2,3,5,7} = 18 | \begin{array}{c|c|c|c|c|c} 19 | \times & 1 & 2 & 3 & 5 & 7 \\ 20 | \hline 21 | 1 & (1,1) & \cdots & \cdots & \cdots & (1,7) \\ 22 | \hline 23 | 3 & (3,1) & \cdots & \cdots & \cdots & (3,7) \\ 24 | \hline 25 | \end{array}\\ 26 | 27 | (A \inter B) \times (A \union B) = \set{s \en (A \inter B), t \en (A \union B) \talque (s, t) \en (A \inter B) \times (A \union B)} 28 | }$ 29 | \end{itemize} 30 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-3-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Calcular 3 | \begin{multicols}{2} 4 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 5 | \item $ \sumatoria{i=1}{n} (4i + 1) $ 6 | \item $\sumatoria{i=6}{n} 2(i-5)$ 7 | \end{enumerate} 8 | \end{multicols} 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | Para resolver estos ejercicios haremos uso la notas teóricas, en particular 12 | \ref{2-teoria:suma-prod} y \ref{2-teoria:suma-gauss}. 13 | 14 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 15 | \item 16 | $ \sumatoria{i=1}{n} (4i + 1) 17 | = (\sumatoria{i=1}{n} 4i) + (\sumatoria{i=1}{n} 1) 18 | = (4 \cdot \sumatoria{i=1}{n} i) + n 19 | = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n 20 | = \boxed{2n^2 + 3n} 21 | $\par 22 | 23 | \item 24 | $ \sumatoria{i=6}{n} 2(i-5) 25 | = 2 \cdot \sumatoria{i=6}{n} (i - 5) 26 | = 2 \cdot [(\sumatoria{i=6}{n} i) - (\sumatoria{i=6}{n} 5)] 27 | = 2 \cdot [(\sumatoria{i=0}{n} i) - (\sumatoria{i=0}{5} i) - 5(n-5)]\\ 28 | = 2 \cdot (\frac{n(n+1)}{2} - \frac{5(5+1)}{2} - 5n + 25) 29 | = 2 \cdot (\frac{n(n+1)}{2} - 5n + 10) 30 | = n(n+1) - 10n + 20 31 | = \boxed{n^2 - 9n + 20} 32 | $ 33 | \end{enumerate} 34 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-11-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar contraejemplos para mostrar que las siguientes proposiciones son falsas: 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \item $\paratodo a \en \naturales,\, \frac{a - 1}{a}$ no es un número entero. 5 | \item $\paratodo x,\, y \en \reales$ con $x,\, y$ positivos, $\sqrt{x + y} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$. 6 | \item $\paratodo x \en \reales,\, x^2 > 4 \entonces x > 2$. 7 | \end{enumerate} 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 11 | \item La proposición es falsa, dado que si: 12 | $a = \green{1} 13 | \entonces 14 | \frac{\green{1} - 1}{\green{1}} = 15 | \frac{0}{1} = 16 | 0 \en \enteros$ 17 | 18 | \item La proposición es falsa, dado que si: 19 | $$ 20 | x = 2 21 | ~ \land ~ 22 | y = 2 23 | \entonces 24 | \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \distinto \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} 25 | $$ 26 | 27 | \item La proposición es falsa, dado que si: 28 | $$ 29 | x = -3 \entonces 9 > 4 \Entonces{\red{\skull}} -3 > 2 30 | $$ 31 | Y eso no es verdad. 32 | \end{enumerate} 33 | 34 | \begin{aportes} 35 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 36 | \end{aportes} 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-4-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $n \en \naturales$. Probar que 3 | $ 4 | 81 \divideA (16 n^2 + 8^{2n} - 15n - 7)^{2024} 5 | $ si y solo si 6 | $3 \divideA n$. 7 | \end{enunciado} 8 | Probar usando propiedades: 9 | $$ 10 | \begin{array}{rcl} 11 | 81 \divideA (16 n^2 + 8^{2n} - 15n - 7)^{2024} 12 | & \Sii{\red{!!!}} & 13 | 3 \divideA (16 n^2 + 8^{2n} - 15n - 7)^{506} \\ 14 | & \Sii{def} & 15 | \congruencia{(16 n^2 + 8^{2n} - 15n - 7)^{506}}{0}{3} \\ 16 | & \Sii{\red{!}} & 17 | \congruencia{(n^2)^{506}}{0}{3} \\ 18 | & \Sii{\red{!!}} & 19 | \congruencia{n}{0}{3} \\ 20 | & \Sii{def} & 21 | 3 \divideA n 22 | \end{array} 23 | $$ 24 | $$ 25 | \cajaResultado{ 26 | 81 \divideA (16 n^2 + 8^{2n} - 15n - 7)^{2024} 27 | \sisolosi 28 | 3 \divideA n 29 | } 30 | $$ 31 | Son todas dobles implicaciones. 32 | En el \red{!!!} uso \hyperlink{teoria4:exponentes}{esto $p^n \divideA a^n \sii p \divideA a$}. 33 | En \red{!} son cuentas de congruencia. 34 | Y en \red{!!} uso \hyperlink{teoria4:priProductos}{esto, $p \divideA a^n \sisolosi p \divideA a$}. 35 | 36 | \begin{aportes} 37 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 38 | \end{aportes} 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-19-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $a,b \in \enteros$. Sabiendo que el resto de dividir a $a$ por $b$ es $27$ y que el resto de dividir $b$ por $27$ 3 | es $21$, calcular $(a:b)$ 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Traducimos lo que nos da el enunciado a congruencias y tenemos: 7 | $$ 8 | \llave{rcl}{ 9 | \congruencia{a}{27}{b} & \Sii{def} & a = b \cdot \magenta{j} + 27 \text{ con } \magenta{j} \en \enteros \llamada1\\ 10 | \congruencia{b}{21}{27} & \Sii{def} & b = 27 \cdot \green{k} + 21 \text{ con } \green{k} \en \enteros \llamada2. 11 | } 12 | $$ 13 | Reescribimos el \textit{máximo común divisor} $(a:b)$: 14 | $$ 15 | (a:b) 16 | \igual{$\llamada1$} 17 | (b \cdot \magenta{j} + 27 : b) 18 | \igual{\red{!}} 19 | (27 : b) 20 | \igual{$\llamada2$} 21 | \big(27 : (27 \cdot \green{k} + 21)\big) 22 | \igual{\red{!}} 23 | (27 : 21) 24 | \igual{\red{!}} 25 | (21 : 6) 26 | \igual{\red{!}} 27 | (6 : 3) 28 | = 29 | (3^2 : 3^1) 30 | =3 31 | $$ 32 | Quizás los últimos pasos son medio un \textit{overkill}, pero quedó claro. 33 | 34 | Si en los \red{!} te quedás pensando: No es otra cosa que el algoritmo de Euclides. 35 | 36 | \begin{aportes} 37 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 38 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 39 | \end{aportes} 40 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-18-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $A = \set{1, 2, 3}$ y $B = \set{1, 3, 5, 7}$. Describir por extensión cada una de las 3 | siguientes relaciones de $A$ en $B$: 4 | 5 | \begin{multicols}{2} 6 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 7 | \item $(a,b) \en \relacion \sisolosi a \leq b $ 8 | 9 | \item $(a,b) \en \relacion \sisolosi a > b$ 10 | 11 | \item $(a,b) \en \relacion \sisolosi a \cdot b$ es par 12 | 13 | \item $(a,b) \en \relacion \sisolosi a + b > 6$ 14 | \end{enumerate} 15 | \end{multicols} 16 | \end{enunciado} 17 | Describir por extensión es mostrar todos los elementos de forma explícita. Para estos conjuntos finitos con esas relaciones, 18 | se hace así: 19 | 20 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 21 | \item $(a,b) \en \relacion \sii a\leq b \sii \set{(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7)}$ 22 | 23 | \item $(a,b) \en \relacion \sii a > b \to (a,b) \en \relacion \sii \set{(2,1), (3, 1)}$ 24 | 25 | \item $(a,b) \en \relacion \sii a \cdot b \to (a,b) \en \relacion \sii \set{(2,1), (2,3), (2,5), (2,7)}$ 26 | 27 | \item $(a,b) \en \relacion \sii a + b > 6 \to (a,b) \en \relacion \sii\set{(1,7), (2,5), (2, 7), (3, 5), (3, 7)}$ 28 | \end{enumerate} 29 | 30 | \begin{aportes} 31 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 32 | \end{aportes} 33 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-4-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dados los subconjuntos: $A = \set{1, -2, 7, 3}$, $B = \set{1, \set{3}, 10}$ y $C = \set{-2,\set{1,2,3},3}$ 3 | del conjunto referencial: $V = \set{1,\set{3}, -2,7, 10, \set{1,2,3},3}$, hallar 4 | 5 | \begin{multicols}{3} 6 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 7 | \item $A \inter (B \triangle C)$ 8 | \item $(A \inter B) \triangle (A \inter C)$ 9 | \item $A^c \inter B^c \inter C^c$ 10 | \end{enumerate} 11 | \end{multicols} 12 | 13 | \end{enunciado} 14 | 15 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 16 | \item $B \triangle C = \set{ -2, 1, 3, 10, \set{1,2,3}, \set{3}}$ 17 | $$ 18 | A \inter (B \triangle C) = \set{-2,1,3} 19 | $$ 20 | 21 | \item $A \inter B = \set{1} \ytext (A \inter C) = \set{-2,3}$ 22 | $$ 23 | (A \inter B) \triangle (A \inter C) = \set{-2,1 ,3} 24 | $$ 25 | 26 | \item $A^c = \set{10, \set{1,2,3},\set{3}}, \quad B^c = \set{-2, 7, 3, \set{1,2,3}} \ytext C^c = \set{1,\set{3}, 7, 10}$ 27 | $$ 28 | A^c \inter B^c \inter C^c = \vacio 29 | $$ 30 | \end{enumerate} 31 | 32 | \begin{aportes} 33 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 34 | \item \aporte{https://www.instagram.com/juaanparajo}{Juan Parajó \instagram} 35 | \item \aporte{https://github.com/fransureda}{Francisco Sureda \github} 36 | \end{aportes} 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-6-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean A,B y C conjuntos. Representar en un diagrama de Venn 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \item $(A \union B^c) \inter C$ 5 | \item $A \triangle (B \union C)$ 6 | \item $A \union (B \triangle C)$ 7 | \end{enumerate} 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | \begin{multicols}{3} 11 | \tikzset{ 12 | } 13 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 14 | \item 15 | \begin{venndiagram3sets}[shade=gray!20!white, showframe = false,hgap=0, vgap=0, overlap = 1.1cm] 16 | \fillOnlyC 17 | \fillCCapA 18 | \fillOnlyC 19 | \end{venndiagram3sets} 20 | 21 | \item 22 | \begin{venndiagram3sets}[shade=gray!20!white, showframe = false,hgap=0, vgap=0, overlap = 1.1cm] 23 | \fillOnlyB 24 | \fillOnlyC 25 | \fillCCapBNotA 26 | \fillOnlyA 27 | \end{venndiagram3sets} 28 | 29 | \item 30 | \begin{venndiagram3sets}[shade=gray!20!white, showframe = false,hgap=0, vgap=0, overlap = 1.1cm] 31 | \fillA 32 | \fillOnlyB 33 | \fillOnlyC 34 | \end{venndiagram3sets} 35 | \end{enumerate} 36 | \end{multicols} 37 | 38 | \begin{aportes} 39 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 40 | \item \aporte{https://github.com/matiasasantos}{Matías Santos \github} 41 | \end{aportes} 42 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-17-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $n \en \naturales$. Determinar todos los $a \en \complejos$ tales que 3 | $f = nX^{n+1} - (n+1)X^n + a$ tiene solo raíces simples en $\complejos$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Quiero raíces simples, entonces laburo para que $(f:f') = 1$ 7 | $$ 8 | f = nX^{n+1} - (n+1)X^n + a 9 | \ytext 10 | f' = n(n+1)X^n - n(n+1)X^{n-1} = 11 | n(n+1)X^{n-1}(X-1) 12 | $$ 13 | Sea $\blue{\alpha}$ una raíz de $f'$, es decir: 14 | $$ 15 | f'(\blue{\alpha}) = 16 | n(n+1)\blue{\alpha}^{n-1}(\blue{\alpha} - 1) = 0 17 | \sii 18 | \llave{l}{ 19 | \blue{\alpha} = 1 \text{ con } n = 1 ~ \llamada1\\ 20 | \blue{\alpha} \en \set{0, 1} \text{ con } n > 1 21 | } 22 | $$ 23 | Pido entonces: 24 | $$ 25 | \llave{l}{ 26 | f(\blue{1}) = n - (n+1) + a \distinto 0 \sii \cajaResultado{a \distinto 1}\\ 27 | f(\blue{0}) = a \sii \cajaResultado{a \distinto 0} 28 | } 29 | $$ 30 | 31 | \textit{Caso $a = 0$, $n = 1$}: 32 | $$ 33 | f = X\cdot (X - 2) 34 | \quad \text{ Tiene solo raíces simples.} 35 | $$ 36 | \textit{Caso $a \distinto 0 $, $n \en \naturales_{>1}$}: 37 | $$ 38 | f \quad \text{ Tiene solo raíces simples.} 39 | $$ 40 | 41 | \textit{Caso $a \distinto 1 $, $n \en \naturales$}: 42 | $$ 43 | f \quad \text{ Tiene solo raíces simples.} 44 | $$ 45 | 46 | \begin{aportes} 47 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 48 | \end{aportes} 49 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-22-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Determinar todos los $a \en \complejos$ tales que 1 sea raíz \textit{doble} 3 | $X^4 - aX^3 - 3X^2 + (2 + 3a)X -2a$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Si uno es raíz \textit{doble} de $f = X^4 - aX^3 - 3X^2 + (2 + 3a)X -2a$ tiene que ocurrir que: 7 | $$ 8 | f(1) = f'(1) = 0 \ytext \magenta{f^{''} \distinto 0} 9 | $$ 10 | 11 | Planteamos eso: 12 | $$ 13 | f(\blue{1}) = \blue{1}^4 - a\blue{1}^3 - 3\blue{1}^2 + (2 + 3a) \blue{1} -2a = 0 14 | \sii 15 | \blue{1} - a - 3 + (2 + 3a) - 2a = 0 16 | \sii 17 | 0 = 0 \paratodo a \en \complejos 18 | $$ 19 | Oka, no nos dio mucha info. Ahora con $f'$: 20 | $$ 21 | f'(\blue{1}) = 4\blue{1}^3 - 3a\blue{1}^2 - 6\blue{1} + (2 + 3a) = 0 22 | \sii 23 | 4 - 3a - 6 + (2 + 3a) = 0 24 | \sii 25 | 0 = 0 \paratodo a \en \complejos 26 | $$ 27 | Bueh, el ejercicio apunta que no nos olvidemos la última condición con la $f^{''}$: 28 | $$ 29 | f''(\blue{1}) = 12\blue{1}^2 - 6a\blue{1} - 6 \distinto 0 30 | \sii 31 | 12 - 6a - 6 \distinto 0 32 | \sii 33 | a \distinto 1 \paratodo a \en \complejos 34 | $$ 35 | 36 | Por lo tanto si: 37 | $$ 38 | \cajaResultado{ 39 | a \distinto 1 40 | } 41 | $$ 42 | 1 será una raíz \textit{doble} del polinomio $X^4 - aX^3 - 3X^2 + (2 + 3a)X -2a$. 43 | De otra forma sería \textit{por lo menos una raíz triple} 44 | 45 | \begin{aportes} 46 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 47 | \end{aportes} 48 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-12-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Factorizar como producto de polinomios mónicos irreducibles en $\enteros/(3\enteros)[X]$ el polinomio 3 | $$ 4 | f(X) = X^4 + X^3 + X + 2 \en \enteros / (3 \enteros)[X]. 5 | $$ 6 | \end{enunciado} 7 | 8 | Busco una raíz: 9 | $$ 10 | f(i) = i^4 + i^3 + i + 2 = 1 + -i + i + 2 = 3 \conga3 0 11 | $$ 12 | El conjugado de $i$ también, es raíz, por lo tanto bajo el grado del polinomio dividiendo por 13 | $$ 14 | (X - i) \cdot (X + i) = X^2 + 1 15 | $$ 16 | 17 | $$ 18 | \divPol{X^4 + X^3 + X + 2}{X^2 + 1} 19 | $$ 20 | Por lo tanto: 21 | $$ 22 | X^4 + X^3 + X + 2 = 23 | (X^2 + 1) \cdot (X^2 + X \blue{- 1}) + \magenta{3} 24 | \conga3 25 | (X^2 + 1) \cdot (X^2 + X \blue{+ 2}) + \magenta{0} 26 | $$ 27 | 28 | Al buscar las raíces de $(X^2 + X + 2)$, con la resolvente: 29 | $$ 30 | r_1 = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{7}}{2} 31 | \ytext 32 | r_2 = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{7}}{2} 33 | $$ 34 | Raíces que no tienen número enteros, así que no van a figurar en la factorización. 35 | 36 | Nos piden factorización en $\enteros/(3\enteros)$ por lo que: 37 | $$ 38 | \cajaResultado{ 39 | f(X) = (X^2 + 1) \cdot (X^2 + X + 2) 40 | } 41 | $$ 42 | 43 | % Contribuciones 44 | \begin{aportes} 45 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 46 | %\aporte{url}{nombre icono} 47 | \item \aporte{\dirRepo}{Nad Garraz \github} 48 | \end{aportes} 49 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-17-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 3 | \item Sea $k \en \naturales, k = (aaaa)_7$. Probar que $8 \divideA k$ 4 | \item Sea $k \en \naturales, k = (\underbrace{a \ldots a}_{d})_7$. Determinar para qué valores de $d \en \naturales$ 5 | se tiene que $8 \divideA k$ 6 | \end{enumerate} 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 10 | \item Expreamos $k$ en base 10: $7^3 \cdot a + 7^2 \cdot a + 7^1 \cdot a + a = a(7^3 + 7^2 + 7 + 1) 11 | = a(400), 8 \divideA 400 \implies 8 \divideA a(400) = k$ 12 | 13 | \item Expresamos $k$ en base 10: 14 | $$ 15 | a(7^{d-1} + 7^{d-2} + \cdots 7 + 1). 16 | $$ 17 | Queremos que lo adentro sea múltiplo de 8, motivado por el ejercicio anterior, 18 | vemos que si agrupamos dos potencias de 7 contiguas tal que la primera potencia sea 19 | par obtenemos un múltiplo de 8, veamos que onda. 20 | 21 | Propongo que: 22 | $$ 23 | 8 \divideA 7^{2k} + 7^{2k + 1} = 7^{2k}(1 + 7), 24 | $$ 25 | claramente divisible por 8, entonces necesitamos que vengan potencias de 7 de a pares, 26 | luego $d$ tiene que ser par. Entonces el enunciado se cumple siempre que $\congruencia{d}{0}{2}$. 27 | \end{enumerate} 28 | 29 | \begin{aportes} 30 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 31 | \end{aportes} 32 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-18-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Determinar todos los $a \en \reales$ para los cuales $f = X^{2n+1} -(2n+1) X + a$ tiene al menos una raíz múltiple en $\complejos$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Si $r$ es raíz múltiple de $f$ \ul{debe} ocurrir que: 6 | $$ 7 | \llave{rcl}{ 8 | f(r) & = & 0\\ 9 | f'(r) & = & 0 10 | } 11 | $$ 12 | Derivo $f$ y acomodo: 13 | $$ 14 | f' = (2n+1) \cdot (X^{2n} - 1) 15 | \Entonces{evalúo}[$r$] 16 | f'(r) = (2n+1) \cdot (r^{2n} - 1) = 0 17 | \sii 18 | (r^{2n} - 1) = 0 \quad \llamada1 19 | $$ 20 | Volviendo a $f$, si evalúo en $r$ 21 | $$ 22 | \begin{array}{rcl} 23 | f(r) = 0 24 | \sii 25 | r^{2n+1} - (2n+1)r + a = 0 26 | & \sii & 27 | r \cdot (\ob{r^{2n} - 1}{\igual{$\llamada1$} 0} - 2n) + a = 0 \\ 28 | & \Sii{\red{!}} & 29 | a = 2n \cdot r 30 | \end{array} 31 | $$ 32 | Por lo tanto \ul{$r \en \reales$} $\llamada2$. 33 | 34 | \medskip 35 | 36 | Volviendo a $\llamada1$ y con el resultado de que las raíces $r \en \reales$: 37 | $$ 38 | (r^{2n} - 1) = 0 39 | \Sii{\red{!}} 40 | (r^n - 1)(r^n + 1) = 0 41 | \Sii{$\llamada2$} 42 | r = \pm 1 43 | $$ 44 | Por lo tanto los valores de $a \en \reales$ para que el polinomio tenga por lo menos una raíz múltiple: 45 | $$ 46 | \cajaResultado{ 47 | a = \pm 2n 48 | } 49 | $$ 50 | 51 | \begin{aportes} 52 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 53 | \end{aportes} 54 | 55 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-29-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Determinar cuántos divisores positivos tiene 9000, $15^4 \cdot 42^3 \cdot 56^5$ y $10^n \cdot 11^{n+1}$. ¿Y cuántos divisores en total? 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Lo único que hay que hacer en este ejercicio es factorizar en primos cada número y 6 | utiizar la formula de cantidad de divisores (poco interesante). 7 | 8 | \begin{itemize} 9 | 10 | \item 9000 11 | 12 | $$ 13 | 9000=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 14 | \entonces 15 | \llave{l}{ 16 | \#Div_+(9000)=(3+1)(2+1)(3+1)= \boxed{48} \\ 17 | \#Div(9000)=2 \cdot 48 = \boxed{96} 18 | } 19 | $$ 20 | 21 | \item $15^4 \cdot 42^3 \cdot 56^5$ 22 | 23 | $$ 24 | 15^4 \cdot 42^3 \cdot 56^5 =2^{18} \cdot 3^7 \cdot 5^4 \cdot 7^8 25 | \entonces 26 | \llave{l}{ 27 | \#Div_+(15^4 \cdot 42^3 \cdot 56^5)=(18+1)(7+1)(4+1)(8+1)= \boxed{6840} \\ 28 | \#Div(15^4 \cdot 42^3 \cdot 56^5)= 2 \cdot 6840 = \boxed{13680} 29 | } 30 | $$ 31 | 32 | \item $10^n \cdot 11^{n+1}$ 33 | 34 | $$ 35 | 10^n \cdot 11^{n+1}=2^n \cdot 5^n \cdot 11^{n+1} 36 | \entonces 37 | \llave{l}{ 38 | \#Div_+(10^n \cdot 11^{n+1})=(n+1)(n+1)(n+1+1)= \boxed{(n+2)(n+1)^2} \\ 39 | \#Div(10^n \cdot 11^{n+1})= \boxed{2(n+2)(n+1)^2} 40 | } 41 | $$ 42 | 43 | 44 | \end{itemize} 45 | 46 | \begin{aportes} 47 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 48 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-29-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $p$ un primo. Probar que en $\enteros/p\enteros$ vale que $(\bar{a} + \bar{b})^p = \bar{a}^p + \bar{b}^p, \paratodo \bar{a}, \bar{b} \in \enteros/p\enteros$ 3 | (sug: ver Ej. 25 Practica 4). Vale lo mismo en $\enteros/m\enteros$ si $m$ no es primo? 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Expandimos con Newton la expresion: 7 | 8 | \begin{align} 9 | (\bar{a} + \bar{b})^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} \bar{a}^{k} \cdot \bar{b}^{p-k} = \\ 10 | = \bar{a}^p + \red{\sum_{k=1}^{p - 1} \blue{\binom{p}{k}} \bar{a}^{k} \cdot \bar{b}^{p-k}} + \bar{b}^p 11 | \end{align} 12 | 13 | En el ejercicio 25 de la practica 4 se probó que $p \divideA \blue{\binom{p}{k}}, 0 < k < p$, por lo tanto: 14 | $$ 15 | \red{\sum_{k=1}^{p - 1} \blue{\binom{p}{k}} \bar{a}^{k} \cdot \bar{b}^{p-k}} = \bar{0} 16 | $$ 17 | Entonces 18 | $$ 19 | \bar{a}^p + \red{\sum_{k=1}^{p - 1} \blue{\binom{p}{k}} \bar{a}^{k} \cdot \bar{b}^{p-k}} + \bar{b}^p = \bar{a}^p + \bar{b}^p 20 | $$ 21 | Como se queria probar. 22 | Ahora veamos si lo mismo se cumple para $\enteros/m\enteros, m$ compuesto. Con un contraejemplo basta para desmotrar que no se cumple. 23 | Consideremos $\enteros/6\enteros$, elijamos $a = \bar{2}$, $b = \bar{4}$. 24 | $$ 25 | (\bar{2} + \bar{4})^6 = \bar{0} \text{ pero } \bar{2}^6 + \bar{4}^6 = \bar{4} + \bar{4} = \bar{2} \neq \bar{0} 26 | $$ 27 | 28 | \begin{aportes} 29 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 30 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-32-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar $f \circ g$ y $g \circ f$ (cuando sea posible) en los casos 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \item $f : \reales \to \reales,\, f(x) = 2x^2 - 18 \ytext g: \reales \to \reales,\, g(x) = x + 3.$ 5 | \item $f : \naturales \to \naturales,\, f(n) = 6 | \llave{ll}{ 7 | n - 2 & \text{si $n$ es divisible por 4}\\ 8 | n + 1 & \text{si $n$ no es divisible por 4} 9 | } 10 | \ytext g: \naturales \to \naturales,\, g(n) = 4n. 11 | $ 12 | 13 | \item $f : \reales \to \reales \times \reales, \, f(x) = (x + 5, 3x) \ytext g: \naturales \to \reales,\, g(n) = \sqrt{n}$. 14 | \end{enumerate} 15 | \end{enunciado} 16 | 17 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 18 | \item $f \circ g = f(x + 3) = 2(x+3)^2 - 18 = 2x^2 + 12x$ 19 | 20 | $g \circ f = g(2x^2 - 18) = 2x^2 - 18 + 3 = 2x^2 - 15$ 21 | \item $f \circ g = f(4n) = 4n - 2$ 22 | 23 | $g \circ f =$ 24 | $ 25 | \begin{cases} 26 | g(n - 2) = 4n - 8 \text{ si $n$ es divisible por 4}\\ 27 | g(n + 1) = 4n + 4 \text{ si $n$ no es divisible por 4} 28 | \end{cases} 29 | $ 30 | \item En este caso $f \circ g$ se puede componer, pero al revés no (no coinciden las salidas con las entradas). 31 | 32 | $f \circ g = f(\sqrt{n}) = (\sqrt{n} + 5, 3\sqrt{n})$ 33 | \end{enumerate} 34 | 35 | \begin{aportes} 36 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 37 | \end{aportes} 38 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-28-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $p$ y $q$ primos positivos distintos. Probar que $p^{113} \cdot q^{201} \divideA a^{378}$ si y sólo si $pq \divideA a$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Antes de empezar, notemos que como $p \neq q$ y ambos son primos, se tiene que $(p:q)=1$ 6 | 7 | 8 | \begin{itemize} 9 | 10 | \item $p^{113} \cdot q^{201} \divideA a^{378} \entonces pq \divideA a$. 11 | 12 | $$ 13 | p^{113} \cdot q^{201} \divideA a^{378} 14 | \sisolosi 15 | a^{378}= p^{113} \cdot q^{201} \cdot k ~ , ~ k \en \enteros 16 | \entonces 17 | \llave{l}{ 18 | p \divideA a^{378} \Entonces{p primo} p \divideA a \\ 19 | q \divideA a^{378} \Entonces{q primo} q \divideA a 20 | } 21 | \Entonces{$(p:q)=1$} 22 | pq \divideA a \Tilde 23 | $$ 24 | 25 | 26 | \item $pq \divideA a \entonces p^{113} \cdot q^{201} \divideA a^{378}$ 27 | 28 | $$ 29 | pq \divideA a 30 | \sisolosi 31 | a = pq \cdot k ~ , ~ k \en \enteros 32 | \entonces 33 | a^{378} = p^{378} \cdot q^{378} \cdot k^{378} 34 | \sisolosi 35 | a^{378} = p^{113} \cdot q^{201} (p^{265} \cdot p^{177} \cdot k^{378}) 36 | $$ 37 | 38 | $$ 39 | \Entonces{$(p^{265} \cdot p^{177} \cdot k^{378}) \en \enteros$} 40 | p^{113} \cdot q^{201} \divideA a^{378} \Tilde 41 | $$ 42 | 43 | 44 | \end{itemize} 45 | 46 | 47 | \begin{aportes} 48 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 49 | \end{aportes} 50 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-18-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $a \en \enteros$ coprimo con 561. Probar que $\congruencia{a^{560}}{1}{561}$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Partiendo de la hipótesis: 6 | $$ 7 | (a:561)=1 8 | \sisolosi 9 | (a:3\cdot11\cdot17)=1 10 | \entonces 11 | \llave{l}{ 12 | (a:3)=1 \\ 13 | (a:11)=1 \\ 14 | (a:17)=1 15 | } 16 | $$ 17 | 18 | Es decir que $a \noDivide 3, 11, 17$. Además, como 3, 11 y 17 son primos, por PTF, tenemos que 19 | 20 | $$ 21 | \llave{l}{ 22 | \congruencia{a^{2}}{1}{3} \\ 23 | \congruencia{a^{10}}{1}{11} \\ 24 | \congruencia{a^{16}}{1}{17} 25 | } 26 | \Sii{$a \cop 3, 11, 17$} 27 | \llave{l}{ 28 | \congruencia{(a^{2})^{280}}{1^{280}}{3} \\ 29 | \congruencia{(a^{10})^{56}}{1^{56}}{11} \\ 30 | \congruencia{(a^{16})^{35}}{1^{35}}{17} 31 | } 32 | \sisolosi 33 | \llave{l}{ 34 | \congruencia{a^{560}}{1}{3} \\ 35 | \congruencia{a^{560}}{1}{11} \\ 36 | \congruencia{a^{560}}{1}{17} 37 | } 38 | $$ 39 | 40 | Por útimo, utilizando que 3, 11 y 17 son coprimos dos a dos y haciendo TCR, obtenemos 41 | 42 | $$ 43 | \llave{l}{ 44 | \congruencia{a^{560}}{1}{3} \\ 45 | \congruencia{a^{560}}{1}{11} \\ 46 | \congruencia{a^{560}}{1}{17} 47 | } 48 | \sisolosi 49 | \congruencia{a^{560}}{1}{3\cdot11\cdot17} 50 | \sisolosi 51 | \cajaResultado{\congruencia{a^{560}}{1}{561}} \Tilde 52 | $$ 53 | 54 | \begin{aportes} 55 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 56 | \end{aportes} 57 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-16-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Resolver en $\enteros$ las siguientes eecuaciones de congruencia: 3 | \begin{multicols}{2} 4 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 5 | \item $\congruencia{2^{194}X}{7}{97}$ 6 | \item $\congruencia{5^{86}X}{3}{89}$ 7 | \end{enumerate} 8 | \end{multicols} 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 12 | \item Hay que \textit{toquetear} ese exponente feo, para que sea algo útil para usar 13 | PTF con ese 97 que está en el divisor.\par 14 | Propiedades de exponente: 15 | $$ 16 | 2^{194} \igual{\red{!}} (2^2)^{97} = 4^{97} 17 | $$ 18 | La ecuación queda: 19 | $$ 20 | \begin{array}{l} 21 | \congruencia{4^{97} X}{7}{97} 22 | \Sii{$97 \noDivide 4 $}[PTF] 23 | \congruencia{4X}{7}{97} 24 | \Sii{$24 \cop 97 $}[\red{!!}] 25 | \congruencia{X}{-168}{97} 26 | \sii 27 | \congruencia{X}{26}{97} 28 | \end{array} 29 | $$ 30 | 31 | \item 32 | Hay que pensar como podemos modificar la ecuación para aplicar PTF: 33 | $$ 34 | \congruencia{5^{86}X}{3}{89} 35 | \Sii{$89 \cop 5^2$}[\red{!}] 36 | \congruencia{5^{88}X}{75}{89} 37 | \Sii{$89 \noDivide 5$}{} 38 | \congruencia{X}{75}{89} 39 | $$ 40 | 41 | \end{enumerate} 42 | 43 | \begin{aportes} 44 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz}{Nad Garraz \github} 45 | \end{aportes} 46 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-14-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | ¿Cuántas funciones biyectivas 3 | $f: \set{1,2,3,4,5,6,7} \to \set{1,2,3,4,5,6,7}$ tales que 4 | $f(\set{1,2,3}) \subseteq \set{3,4,5,6,7}$ hay? 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | Primero veo la condición $f(\set{1,2,3}) \subseteq \set{3,4,5,6,7}$, donde podría formar 8 | $$ 9 | \frac{5!}{(5-3)!} = 60 10 | $$ 11 | combinaciones biyectivas. 12 | 13 | Para obtener la cantidad de funciones pedidas, tengo que usar todos los valores del 14 | conjunto $\set{1,2,3,4,5,6,7}$. 15 | 16 | Primero fijo la cantidad de valores que pueden tomar $f(\set{1,2,3}) \subseteq \set{3,4,5,6,7}$ 17 | luego lo que reste: 18 | $$ 19 | \llave{c c c c c c c}{ 20 | \#5 & \#4 & \#3 & \#4 & \#3 & \#2 & \#1 \\ 21 | \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 22 | f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) \\ 23 | \multicolumn{3}{c}{\blue{\text{Condiciones pedidas}}} & \multicolumn{4}{c}{\magenta{\text{Lo que resta para completar}}} 24 | } 25 | \to 26 | \cajaResultado{ 27 | \blue{5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot \magenta{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5!}{(5-3)!} \cdot 4! 28 | } 29 | $$ 30 | 31 | \begin{aportes} 32 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 33 | \end{aportes} 34 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5-extra/ej-extra-10-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Hallar todos los $a \en \enteros$ tales que $(855 : a^{126} + 15) = 5$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Como $855 = 5\cdot 3^2 \cdot 19$, hay que pedir que: 6 | $$ 7 | \begin{array}{l} 8 | \congruencia{a^{126} + 15}{0}{5} \llamada1 \\ 9 | \noCongruencia{a^{126} + 15}{0}{3} \llamada2 \\ 10 | \noCongruencia{a^{126} + 15}{0}{19}\llamada3 11 | \end{array} 12 | $$ 13 | 14 | Resulta que $\llamada1$ vale para: 15 | $$ 16 | \congruencia{a}{0}{5} 17 | $$ 18 | 19 | $\llamada2$ vale para: 20 | $$ 21 | \congruencia{a}{1}{3} 22 | \otext 23 | \congruencia{a}{2}{3} 24 | $$ 25 | y por último $\llamada3$ vale para: 26 | $$ 27 | \paratodo a \en \enteros 28 | $$ 29 | 30 | lo cual es bueno porque los siguientes sistemas quedan más fáciles. 31 | 32 | \bigskip 33 | 34 | Resolver los sistemas \textit{que ya tienen divisores coprimos} nos da la solución: 35 | $$ 36 | \llamada4 37 | \llave{l}{ 38 | \congruencia{a}{0}{5} \\ 39 | \congruencia{a}{1}{3} 40 | } 41 | \ytext 42 | \llamada5 43 | \llave{l}{ 44 | \congruencia{a}{0}{5} \\ 45 | \congruencia{a}{2}{3} 46 | } 47 | $$ 48 | nos devuelve los posibles valores que puede tomar $a$ para que se cumpla lo pedido: 49 | $$ 50 | \llamada4 51 | \congruencia{a}{10}{15} 52 | \otext 53 | \llamada5 54 | \congruencia{a}{5}{15} 55 | $$ 56 | 57 | % Contribuciones 58 | \begin{aportes} 59 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 60 | %\aporte{url}{nombre icono} 61 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz}{Nad Garraz \github} 62 | \end{aportes} 63 | 64 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-30-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $X = \set{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$, y sea $R$ la relación de equivalencia en $\partes(X)$ definida por: 3 | $$ 4 | A \relacion B \sisolosi A \inter \set{1,2,3} = B \inter \set{1,2,3}. 5 | $$ 6 | ¿Cuántos conjuntos $B \en \partes(X)$ de exactamente 5 elementos tiene la clase de equivalencia $\overline A $ de $A = \set{1,3,5}$? 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | Como $A = \set{1,3,5}$: 10 | $$ 11 | A \inter \set{1,2,3} = \set{1,3}. 12 | $$ 13 | 14 | Los conjuntos $B \en \partes(X)$ que tienen $\#B = 5$ pertenecientes a la clase $\clase{A}$ 15 | deberían cumplir: 16 | $$ 17 | B \subseteq \clase{A} 18 | \entonces 19 | 1 \en B 20 | \ytext 21 | 3 \en B 22 | \ytext 23 | 2 \notin B, 24 | $$ 25 | donde la última condición es necesaria, dado que si: 26 | $$ 27 | 2 \en B 28 | \entonces 29 | 2 \en (B \inter \set{1,2,3}) 30 | \entonces 31 | A \norelacion B 32 | $$ 33 | 34 | Con esta info, los conjuntos $B$ con $\#B = 5$ serán de la forma: 35 | $$ 36 | B = \set{ 1, 3, \text{\faIcon[regular]{smile}}, \text{\faIcon[regular]{grimace}}, \text{\faIcon[regular]{smile-wink}} } 37 | $$ 38 | Es decir tengo que agarrar 3 elementos de lo que queda del conjunto $X$. 39 | Los 7 números que quedan para elegir son $\set{4,5,6,7,8,9,10}$ y tengo: 40 | $$ 41 | \binom{7}{3} = 35 42 | $$ 43 | formas de agarrarlos. 44 | 45 | La cantidad de conjuntos $B \en \partes(X)$ que cumplen lo pedido son \cajaResultado{35} 46 | 47 | \begin{aportes} 48 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 49 | \end{aportes} 50 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-11-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $A = \set{1,2,3,4,5,6,7}$ y $\set{8,9,10,11,12,13,14}$. 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \item ¿Cuántas funciones biyectivas $f: A \to B$ hay? 5 | \item ¿Cuántas funciones biyectivas $f: A \to B$ hay tales que $f(\set{1,2,3}) = \set{12,13,14}$? 6 | \end{enumerate} 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | Cuando cuento funciones biyectivas, el ejercicio es como reordenar los elementos del conjunto de llegada de todas las 10 | formas posibles. Dado un conjunto $\im(f)$, la cantidad de funciones biyectivas será: 11 | $$ 12 | \#\im(f)! 13 | $$ 14 | 15 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 16 | \item 17 | Hay un total de 18 | $$ 19 | \cajaResultado{ 20 | 7! = 5040 21 | } 22 | $$ 23 | funciones biyectivas. 24 | 25 | \item Del enunciado puedo formarme con $f(\set{1,2,3}) = \set{12,13,14}$ un total de: 26 | $$ 27 | 3! 28 | $$ 29 | combinaciones para respetar esa condición. Luego para definir el resto de la funciones tengo 30 | que contar: 31 | $$ 32 | f(\set{4,5,6,7}) = \set{8,9,10,11}. 33 | $$ 34 | Esto me da un total de $4!$ combinaciones por cada una de las $3!$ combinaciones encontradas antes. 35 | Por lo tanto el total de funciones será: 36 | $$ 37 | \cajaResultado{ 38 | 3! \cdot 4! = 144 39 | } 40 | $$ 41 | \end{enumerate} 42 | 43 | \begin{aportes} 44 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 45 | \end{aportes} 46 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-1-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Determinar, cuando existan, todos los $(a,b) \en \enteros^2$ que satisfacen 3 | \begin{multicols}{4} 4 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 5 | \item $7a+11b=10$ 6 | \item $20a+16b=36$ 7 | \item $39a-24b=6$ 8 | \item $1555a-300b=11$ 9 | \end{enumerate} 10 | \end{multicols} 11 | \end{enunciado} 12 | 13 | 14 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 15 | 16 | \item 17 | Tiene solución, pues $(7:11)=1 \divideA 10$ \\ 18 | Una solución particular es $(a_0,b_0)=(3,-1)$. Luego, la solución general es \\ 19 | $$\boxed{(a,b)=(-11k+3,7k-1), k \en \enteros}$$ 20 | 21 | 22 | \item 23 | Tiene solución, pues $(20:16)=4 \divideA 36$ \\ 24 | Coprimizando la ecuación: 25 | $$ 26 | 20a+16b=36 27 | \leftrightsquigarrow 28 | 5a+4b=9 29 | $$ 30 | \\ 31 | Una solución particular de la ecuación equivalente es $(a_0,b_0)=(1,1)$. Luego, la solución general es \\ 32 | $$\boxed{(a,b)=(4k+1,-5k+1), k \en \enteros}$$ 33 | 34 | \item 35 | Tiene solución, pues $(39:-24)=3 \divideA 6$ \\ 36 | Coprimizando la ecuación: 37 | $$ 38 | 39a-24b=6 39 | \leftrightsquigarrow 40 | 13a-8b=2 41 | $$ 42 | \\ 43 | Una solución particular de la ecuación equivalente es $(a_0,b_0)= (2,3)$. Luego, la solución general es \\ 44 | $$\boxed{(a,b)=(8k+2,13k+3), k \en \enteros}$$ 45 | 46 | \item 47 | No tiene solución, pues $(1555:-300)=5 \noDivide 11$ 48 | 49 | 50 | \begin{aportes} 51 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 52 | \end{aportes} 53 | 54 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6-extra/ej-extra-11-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} \fechaEjercicio{recuperatorio integrador 16/12/2025} 2 | 3 | Sea $\relacion$ la relación de equivalencia en $G_{100}$ definida por 4 | $$ 5 | z \relacion w \sii z^5 = w^5. 6 | $$ 7 | Hallar la clase de equivalencia de $-i$. 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | La clase de equivalencia va a estar formada por los número de $G_{100}$ que satisfagan ecuación de la relación. 11 | 12 | Teniendo en cuenta que: 13 | $$ 14 | z = -i \sii z^5 = (-i)^5 = -i = e^{i\frac{3}{2} \pi} \llamada1 15 | $$ 16 | 17 | Quiero los números $w = e^{i\theta} \en G_{100}$ tal que: 18 | $$ 19 | \llamada1 20 | \to e^{i\frac{3}{2}\pi} = (e^{i\theta})^5 21 | \Sii{\red{!}} 22 | \theta = \frac{3}{10} \pi + \frac{2}{5}k \pi 23 | $$ 24 | Condicionando el argumento: 25 | $$ 26 | 0 \leq \theta < 2\pi \sii k \en \set{0,1,2,3,4} 27 | \entonces 28 | w \en \set{ 29 | e^{i\frac{3}{10}\pi} , 30 | e^{i\frac{7}{10}\pi} , 31 | e^{i\frac{11}{10}\pi} , 32 | e^{i\frac{15}{10}\pi} , 33 | e^{i\frac{19}{10}\pi} 34 | } 35 | $$ 36 | 37 | Los números de ese conjunto satisfacen estar relacionados con $z = -i$. Solo falta ver si pertenecen a $G_{100}$. 38 | 39 | Dado que una propiedad de cualquier número de $w \en G_{100}$ es que $w^{100} = 1$, puedo fácilmente comprobar 40 | que esos números están en $G_{100}$, porque los argumentos quedan como múltiplos pares de $\pi$. 41 | 42 | \begin{aportes} 43 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 44 | \item \aporte{https://github.com/fransureda}{Francisco Sureda \github} 45 | \end{aportes} 46 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-32-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $a,b \en \naturales, a,b \geq 2$. Probar que si $ab$ es un cuadrado en $\naturales$ y $(a:b)= 1$, entonces, tanto $a$ como $b$ son cuadrados en $\naturales$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | $$ 6 | \text{$ab$ es un cuadrado en $\naturales$} 7 | \sisolosi 8 | ab = k^2, ~ k \en \naturales 9 | $$ 10 | 11 | Esto implica que todos los primos en la factorización de $ab$ son de la forma $2q$, con $q \en \naturales$. Es decir 12 | 13 | $$ 14 | ab = (P_1)^{2n_1} \cdots (P_r)^{2n_r}, ~ n_1, \dots, n_r \en \naturales 15 | $$ 16 | 17 | Luego, usando que $(a:b)=1$, se tiene que $a$ y $b$ no poseen primos en común, de modo que cada primo con su respectivo exponente de $ab$ esta en la factorización de $a$ o de $b$, pero no en ambas. \par 18 | Entonces, podemos escribir a ambos números en su factorización correspondiente: 19 | 20 | $$ 21 | a = (Q_1)^{2m_1} \cdots (Q_t)^{2m_t}, ~ m_1, \dots, m_t \en \naturales 22 | $$ 23 | 24 | $$ 25 | b = (S_1)^{2l_1} \cdots (S_c)^{2l_c}, ~ l_1, \dots, l_c \en \naturales 26 | $$ 27 | 28 | De esta manera 29 | 30 | $$ 31 | \existe k_1, k_2 \en \naturales 32 | ~ \text{con} ~ 33 | \llave{l}{ 34 | k_1 = (Q_1)^{m_1} \cdots (Q_t)^{m_t} \\ 35 | k_2 = (S_1)^{l_1} \cdots (S_c)^{l_c} 36 | } 37 | ~ \text{tal que} ~ 38 | \llave{l}{ 39 | a=(k_1)^2 \\ 40 | b=(k_2)^2 41 | } 42 | $$ 43 | 44 | Esto precisamente quiere decir que $a$ y $b$ son cuadrados en $\naturales$, que era lo que queriamos probar. 45 | 46 | 47 | \begin{aportes} 48 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 49 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-36-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $a, b \en \enteros$. Probar que si $(a:b)=1$ entonces $(a^{2} \cdot b^{3}: a+b)=1$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | La estrategia es suponer que $(a^{2} \cdot b^{3}: a+b) \neq 1$ sabiendo que $(a:b)=1$ y llegar a una contradicción. \par 6 | Sea $d = (a^{2} \cdot b^{3}: a+b)$ con $d \neq 1$, entonces $\existe p$ primo positivo tal que $p \divideA d$. \par 7 | Luego 8 | 9 | $$ 10 | \llave{l}{ 11 | d \divideA a^2 \cdot b^3 \\ 12 | d \divideA a+b 13 | } 14 | \Entonces{Transitividad} 15 | \llave{l}{ 16 | p \divideA a^2 \cdot b^3 \Entonces{p primo} p \divideA a \otext p \divideA b \\ 17 | p \divideA a+b 18 | } 19 | $$ 20 | 21 | Esto nos deja dos opciones: 22 | 23 | \begin{itemize} 24 | 25 | \item Caso $p \divideA a$ 26 | 27 | $$ 28 | \llave{l}{ 29 | p \divideA a \\ 30 | p \divideA a+b 31 | } 32 | \Entonces{$F_2 - F_1$} 33 | p \divideA b 34 | $$ 35 | 36 | Lo cual es absurdo, pues $p \divideA a$ y $p \divideA b$, pero dijimos que $(a:b)=1$. 37 | 38 | \item Caso $p \divideA b$ 39 | 40 | $$ 41 | \llave{l}{ 42 | p \divideA b \\ 43 | p \divideA a+b 44 | } 45 | \Entonces{$F_2 - F_1$} 46 | p \divideA a 47 | $$ 48 | 49 | Lo cual es absurdo, pues $p \divideA a$ y $p \divideA b$, pero dijimos que $(a:b)=1$. 50 | 51 | \end{itemize} 52 | 53 | Sea como fuera, en ambos casos llegamos a un absurdo suponiendo que $d \neq 1$. Luego, $d=1 \Tilde$ 54 | 55 | 56 | \begin{aportes} 57 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 58 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-26-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $\alpha \en \complejos$ raíz de multiplicidad 3 de $f \en \complejos[X]$. Probar que el resto de dividir a $f'$ por 3 | $(X - \alpha)^3$ es $a(X - \alpha)^2$, con $a \en \complejos$, $a \distinto 0$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Sé que cuando derivo el algoritmo de división es: 7 | $$ 8 | f = D \cdot Q + R 9 | $$ 10 | En este caso $D = (X - \alpha)^3$ 11 | $$ 12 | (X - \alpha)^3 \divideA f 13 | \sii 14 | f = \magenta{q} \cdot (X - \alpha)^3 + 0 15 | \quad \text{con } 16 | q \en \complejos[X] 17 | $$ 18 | Derivo esa expresión de $f$: 19 | $$ 20 | f' = q' \cdot (X - \alpha)^3 + 3q \cdot (X-\alpha)^2 21 | $$ 22 | El dato dice que $\alpha$ es una raíz triple de $f$, por lo tanto si derivo $f$, $(X - \alpha)^3$: 23 | $$ 24 | f' = \ub{q'}{Q} \cdot \ub{(X - \alpha)^3}{D} + \ub{3q \cdot (X - \alpha)^2}{R} 25 | $$ 26 | No me acuerdo si es \textit{teorema del resto} o algo así que dice que especializar a $f$ en algún valor te da lo que vale el resto, 27 | lo cual es \textit{razonable cuando hacés Ruffini}, pero ahora que se está dividiendo por una potencia de 3, es más raro. 28 | pero esta es la primera vez que aparece en 29 | En fin, especializo en $\alpha$, recordando que es raíz triple de $f$, por lo tanto me va a dar cero: 30 | $$ 31 | f'(\alpha) = R(\alpha) = 32 | \ub{3\magenta{q}(\alpha)}{\distinto 0} \cdot (\alpha - \alpha)^2 = 0 33 | $$ 34 | Por lo tanto $R$ cumple condición de resto y además es de la forma $\ua{a}{\distinto 0 \en \complejos} \cdot (X - \alpha)^2$ 35 | 36 | \begin{aportes} 37 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 38 | \end{aportes} 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-30-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar la suma de los divisores positivos de $2^4 \cdot 5^{123}$ y de $10^n \cdot 11^{n+1}$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | \begin{itemize} 6 | 7 | \item $2^4 \cdot 5^{123}$ 8 | 9 | Sabemos que $Div_+(2^4 \cdot 5^{123})= \set{2^i \cdot 5^j, ~ 0 \leq i \leq 4 \ytext 0 \leq j \leq 123}$ \par 10 | Entonces, la suma de los divisores será igual a: 11 | 12 | $$ 13 | \sumatoria{i=0}{4} \sumatoria{j=0}{123} 2^i \cdot 5^j = 14 | \parentesis{\sumatoria{i=0}{4} 2^i} \cdot \parentesis{\sumatoria{j=0}{123} 5^j}= 15 | \parentesis{\frac{1-2^{4+1}}{1-2}} \cdot \parentesis{\frac{1-5^{123+1}}{1-5}}= 16 | \boxed{\frac{31}{4}(5^{124}-1)} 17 | $$ 18 | 19 | \item $10^n \cdot 11^{n+1}$ \par 20 | $10^n \cdot 11^{n+1}= 2^n \cdot 5^n \cdot 11^{n+1}$ \par 21 | Sabemos que $Div_+(10^n \cdot 11^{n+1})= \set{2^i \cdot 5^j \cdot 11^k, ~ 0 \leq i \leq n, ~ 0 \leq j \leq n \ytext 0 \leq k \leq n+1}$ \par 22 | Entonces, la suma de los divisores será igual a: 23 | 24 | $$ 25 | \sumatoria{i=0}{n} \sumatoria{j=0}{n} \sumatoria{k=0}{n+1} 2^i \cdot 5^j \cdot 11^k = 26 | \parentesis{\sumatoria{i=0}{n} 2^i} \cdot \parentesis{\sumatoria{j=0}{n} 5^j} \cdot \parentesis{\sumatoria{k=0}{n+1} 11^k}= 27 | \parentesis{\frac{1-2^{n+1}}{1-2}} \cdot \parentesis{\frac{1-5^{n+1}}{1-5}} \cdot \parentesis{\frac{1-11^{n+1+1}}{1-11}} = 28 | $$ 29 | 30 | $$ 31 | = \boxed{\frac{1}{40}(2^{n+1}-1)(5^{n+1}-1)(11^{n+2}-1)} 32 | $$ 33 | 34 | \end{itemize} 35 | 36 | 37 | \begin{aportes} 38 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 39 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /macros/estructura-ejercicios.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %========================= 2 | % Disclaimer y QR 3 | %========================= 4 | 5 | \input{../macros/disclaimer.tex} 6 | 7 | \newpage 8 | 9 | \input{../macros/qr.tex} 10 | 11 | \newpage 12 | 13 | 14 | %========================= 15 | % Un poco de teoría 16 | %========================= 17 | \subsubsection*{\hypertarget{teoria-\guia}{Notas teóricas:}} 18 | \input{./teoria-\guia/teoria-\guia.tex} 19 | 20 | \newpage % página nueva 21 | 22 | %========================= 23 | % Ejercicios guia 24 | %========================= 25 | \subsubsection*{Ejercicios de la guía:} 26 | 27 | \foreach \x in {1,...,\cantidadEjerciciosGuia} { % cantidad de ejercicios de la guía 28 | \IfFileExists{./ejercicios-\guia/ej-\x-\guia.tex}{ 29 | \input{./ejercicios-\guia/ej-\x-\guia.tex} 30 | }{ 31 | \typeout{¡Atención! El archivo ./ejercicios-\guia/ej-\x-\guia.tex no está. 32 | Revisar variable: 'cantidadEjerciciosGuia` en \guia-sol.tex} 33 | } 34 | } 35 | 36 | \newpage % página nueva 37 | 38 | %========================= 39 | % Ejercicios extras, parciales, etc. 40 | %========================= 41 | 42 | \subsubsection*{\hypertarget{extras-\guia}{{\Large\color{orange}{\faIcon{fire}}} Ejercicios de parciales:}} 43 | 44 | \foreach \x in {1,...,\cantidadEjerciciosExtras} { % cantidad de ejercicios extras 45 | \IfFileExists{./ejercicios-\guia-extra/ej-extra-\x-\guia.tex}{ 46 | \input{./ejercicios-\guia-extra/ej-extra-\x-\guia.tex} 47 | }{ 48 | \typeout{¡Atención! El archivo ./ejercicios-\guia-extra/ej-extra-\x-\guia.tex no está. 49 | Revisar variable: 'cantidadEjerciciosExtras' en \guia-sol.tex} 50 | } 51 | } 52 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-2-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dado el conjunto $A = \set{1,2,\set{3},\set{1,2}}$, 3 | determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: 4 | \begin{multicols}{4} 5 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 6 | \item $3 \en A $ 7 | \item $\set{3} \subseteq A $ 8 | \item $\set{3} \en A $ 9 | \item $\set{\set{3}} \subseteq A $ 10 | \item $\set{1,2} \en A $ 11 | \item $\set{1,2} \subseteq A $ 12 | \item $\set{\set{1,2}} \subseteq A $ 13 | \item $\set{\set{1,2}, 3} \subseteq A $ 14 | \item $\vacio \en A $ 15 | \item $\vacio \subseteq A $ 16 | \item $A \en A $ 17 | \item $A \subseteq A $ 18 | \end{enumerate} 19 | \end{multicols} 20 | \end{enunciado} 21 | 22 | Muy parecido al ejercicio anterior. 23 | 24 | \begin{multicols}{3} 25 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 26 | \item $3 \en A \to F $ 27 | 28 | \item $\set{3} \subseteq A \to F$ 29 | 30 | \item $\set{3} \en A \to V$ 31 | 32 | \item $\set{\set{3}} \subseteq A \to V$ 33 | 34 | \item $\set{1,2} \en A \to V$ 35 | 36 | \item $\set{1,2} \subseteq A \to V $ 37 | 38 | \item $\set{\set{1,2}} \subseteq A \to V $ 39 | 40 | \item $\set{\set{1,2}, 3} \subseteq A \to F$ 41 | 42 | \item $\vacio \en A \to F $ 43 | 44 | \item $\vacio \subseteq A \to V $ 45 | 46 | \item $A \en A \to F $ 47 | 48 | \item $A \subseteq A \to V $ 49 | \end{enumerate} 50 | \end{multicols} 51 | 52 | \begin{aportes} 53 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 54 | \item \aporte{https://github.com/luxreduxdelux}{Juan Iglesias \github} 55 | \end{aportes} 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-22-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Resolver en $\enteros$ la ecuación de congruencia $\congruencia{7X^{45}}{1}{46}$. 3 | 4 | \end{enunciado} 5 | Acomodo un poco la ecuación que esta fea: 6 | $$ 7 | \congruencia{7X^{45}}{1}{46} 8 | \Sii{$13 \cop 46$} 9 | \congruencia{91X^{45}}{13}{46} 10 | \Sii{\red{!}} 11 | \congruencia{X^{45}}{33}{46} 12 | $$ 13 | 14 | La idea es quebrar para poder el PTF: 15 | 16 | $$ 17 | \flecha{quiebro}[\red{!}] 18 | \llave{l}{ 19 | \congruencia{X^{45}}{10}{23} 20 | \Sii{$23\noDivide X$}[\red{!!!}] 21 | X^{22} X^{22} X^1 \conga{(23)}[\text{PTF}] \congruencia{X}{10}{23} \\ 22 | 23 | \congruencia{X^{45}}{1}{2} \Sii{$X^{45}$ es impar}[entonces X también] 24 | \congruencia{X}{1}{2} \\ 25 | } 26 | $$ 27 | 28 | En el \red{!!!} acomodo $X^{45}$ para poder usar el PTF y $\congruencia{X^{22}}{X^0}{23}$ 29 | 30 | Se tiene hasta el momento: 31 | $$ 32 | \congruencia{7X^{45}}{1}{46} 33 | \leftrightsquigarrow 34 | \llave{l}{ 35 | \congruencia{X}{10}{23} \\ 36 | \congruencia{X}{1}{2} 37 | } 38 | $$ 39 | 40 | Sacar de acá, meter allá y coso: 41 | 42 | $$ 43 | X = 23\magenta{k} + 10 \conga2 \magenta{k} \congruente 1\ (2) \Sii{def} \magenta{k} = 2\yellow{j} + 1 44 | $$ 45 | Por lo tanto: 46 | $$ 47 | X = 23(2\yellow{j} +1 ) + 10 = 46 \yellow{j} + 33 \Sii{def} \congruencia{X}{33}{46} 48 | $$ 49 | 50 | % Contribuciones 51 | \begin{aportes} 52 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 53 | %\aporte{url}{nombre icono} 54 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz}{Nad Garraz \github} 55 | \end{aportes} 56 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-7-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Encontrar fórmulas que describen las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn, utilizando 3 | únicamente intersecciones, uniones y complementos. 4 | 5 | \begin{multicols}{3} 6 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 7 | \item 8 | \begin{venndiagram3sets}[shade=gray!20!white, showframe = false,hgap=0, vgap=0, overlap = 1.1cm] 9 | \fillOnlyA 10 | \fillBCapCNotA 11 | \fillACapCNotB 12 | \end{venndiagram3sets} 13 | 14 | \item 15 | \begin{venndiagram3sets}[shade=gray!20!white, showframe = false,hgap=0, vgap=0, overlap = 1.1cm] 16 | \fillOnlyA 17 | \fillOnlyC 18 | \end{venndiagram3sets} 19 | 20 | \item 21 | \begin{venndiagram3sets}[shade=gray!20!white, showframe = false,hgap=0, vgap=0, overlap = 1.1cm] 22 | \fillACapBNotC 23 | \fillACapCNotB 24 | \fillCCapBNotA 25 | \end{venndiagram3sets} 26 | \end{enumerate} 27 | \end{multicols} 28 | \end{enunciado} 29 | 30 | \begin{multicols}{2} 31 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 32 | \item $(A \inter B^c) \union (A^c \inter B \inter C)$ 33 | 34 | \item $ 35 | \green{(A \triangle C)} \inter B^c 36 | \igual{\red{!}} 37 | \green{(A \union C) \inter (A \inter C)^c} \inter B^c $ 38 | 39 | \item $((A \inter B) \union (B \inter C) \union (A \inter C)) \inter (A \inter B \inter C)^c $ 40 | \end{enumerate} 41 | \end{multicols} 42 | 43 | \begin{aportes} 44 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 45 | \end{aportes} 46 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-34-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar el menor número natural $n$ tal que $(n : 3150) = 45$ y $n$ tenga exactamente 12 divisores positivos. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Trabajemos con la primera condición: 6 | \\ 7 | $$ 8 | (n:3150)=45 9 | \sisolosi 10 | (n:2\cdot3^{2}\cdot5^{2}\cdot7)=3^{2}\cdot5 11 | $$ 12 | 13 | 14 | Utilizando que el MCD se calcula como primos en común a la menor potencia, concluimos que $n$ no tiene en su factorización al 2 ni al 7 15 | y que si tiene en su factorización un 5 y un $3^{i}$, con $i \geq 2$. Es decir: 16 | \\ 17 | 18 | $$ 19 | n = 3^{i}\cdot5\cdot(P_1)^{m_1}...(P_k)^{m_k} ~,~ i \geq 2 ~ y ~ m_j \geq 0 20 | $$ 21 | 22 | De la segunda condición tenemos que 23 | \\ 24 | $$ 25 | 12 =2(i+1)(m_1+1)...(m_k+1) 26 | \sisolosi 27 | 6=(i+1)(m_1+1)...(m_k+1) 28 | $$ 29 | 30 | Como $i \geq 2 \entonces i+1 \geq 3$ y como queremos que el producto nos de 6, esto nos deja dos opciones: 31 | 32 | \begin{itemize} 33 | \item $(i+1)= 6 \ytext (m_1+1)...(m_k+1)= 1$ 34 | \item $(i+1)=3 \ytext (m_1+1)...(m_k+1)=2$ 35 | \end{itemize} 36 | 37 | De la primera tenemos que $i=5$ y que no hay otro primo en la factorización. De modo que $n=3^{5}\cdot5=1215$ 38 | \\ 39 | \\ 40 | De la segunda tenemos que $i=2$ y que solo puede haber otro primo en la factorización con $m_1=1$. 41 | Como nos piden el menor $n$, elegimos el menor primo que le sigue a 5 que no sea el 7, es decir, el 11. Entonces, $n=3^{2}\cdot5\cdot11=495$ 42 | \\ 43 | \\ 44 | Luego, elegiendo el menor entre los dos, la respuesta es $\boxed{n=495}$ 45 | 46 | \begin{aportes} 47 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 48 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-16-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Determinar cuántas funciones $f : \set{1,2,3,4,5,6,7,8} \to \set{\foreach \i in {1,...,11}{ \i, }12}$ satisfacen 3 | simultáneamente las condiciones: 4 | \begin{multicols}{3} 5 | \begin{itemize} 6 | \item $f$ es inyectiva, 7 | \item $f(5) + f(6) = 6$, 8 | \item $f(1) \leq 6$. 9 | \end{itemize} 10 | \end{multicols} 11 | \end{enunciado} 12 | 13 | \begin{enumerate}[label=\faIcon{calculator}] 14 | \item $f$ inyectiva hace que mi conjunto de llegada se reduzca en 1 con cada elección. 15 | 16 | \item Si $f(5) + f(6) = 6$ entonces $f: \set{5,6} \to \set{1,2,4,5}$. Una vez que $f(5)$ tome 17 | un valor de los 4 posibles e.g. $f(5) = 1 \flecha{condiciona}[única opción] f(6) = 5 $ 18 | 19 | \item $f(1) \leq 6 \to f : \set{1} \to \set{\cancel{1},2,3,\cancel{4},5,6}$ donde cancelé el 1 20 | y el 4, para sacar 2 números que sí o sí deben irse en la condición 21 | de $f(5) + f(6) = 6$. Por lo 22 | tanto $f(1)$ puede tomar 4 valores. Por lo que sobrarían 9 elementos del conjunto de llegada para repartir 23 | en las $f$ que no tienen condición. 24 | \end{enumerate} 25 | 26 | $$ 27 | \llave{c c c c c c c c} { 28 | f(1) & f(2) &f(3) &f(4) &f(5) &f(6) & f(7) & f(8)\\ 29 | \downarrow & \downarrow & \downarrow &\downarrow & \downarrow & \downarrow &\downarrow &\downarrow\\ 30 | \#4 & \#9 & \#8 & \#7 & \#4 & \#1 & \#6 & \#5 31 | } 32 | \flecha{cuento} 33 | 4 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 = 4 \cdot 4 \cdot \frac{9!}{4!} = 241.920 34 | $$ 35 | 36 | \begin{aportes} 37 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 38 | \end{aportes} 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-5-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar todos los $(a,b) \en \enteros^2$ tales que $\congruencia{b}{2a}{5}$ y $28a + 10b = 26$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Este es parecido al \refEjercicio{ej:2}. Voy a despejar de una ecuación y meter en la otra: 6 | 7 | Despejo: 8 | $$ \congruencia{b}{2a}{5} 9 | \Sii{def} 10 | \magenta{b} = 5\blue{k} + 2a \llamada1 11 | $$ 12 | 13 | Meto ahora en la otra ecuación: 14 | $$ 15 | 28a + 10\magenta{b} = 26 16 | \Sii{$\llamada1$} 17 | 48a + 50\blue{k} = 26 18 | $$ 19 | 20 | ¿Esta última ecuación tiene solución? Sí, dado que: $(48:50) = 2$ y $2 \divideA 26$. 21 | 22 | Coprimizo: 23 | $$ 24 | 24a + 25k = 13 25 | $$ 26 | 27 | A ojo veo que {\tiny(si no se ve a ojo, se puede hacer Euclides)}: 28 | $$ 29 | (a,k) = q\cdot (-25, 24) + (-13, 13) 30 | \sii 31 | \llave{rcl}{ 32 | a & = & -13 + (-25)q\\ 33 | k & = & 13 + 24 q 34 | } 35 | $$ 36 | 37 | \textit{Let's corroborate:} Uso esos valores para comprobar que se cumplen las ecuaciones del enunciado: 38 | $$ 39 | b = 5\cdot \ub{(13 + 24q)}{k} + 2\cdot \ub{(-13 + (-25)q)}{a} = 40 | 39 + 70q 41 | \Entonces{módulo}[5] 42 | b = \congruencia{39 + 70 q}{4}{5} 43 | \sii 44 | \cajaResultado{ 45 | \congruencia{b}{4}{5} 46 | } 47 | $$ 48 | 49 | Por otro lado: 50 | $$ 51 | 2a = \congruencia{-26-50q}{-1}{5} \congruente 4\ (5) 52 | \sii 53 | \cajaResultado{ 54 | \congruencia{2a}{4}{5} 55 | } 56 | $$ 57 | 58 | Concluyendo que efectivamente: 59 | $$ 60 | \congruencia{b}{2a}{5} 61 | $$ 62 | 63 | \begin{aportes} 64 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 65 | \item \aporte{https://github.com/MPoncini}{M Poncini \github} 66 | \end{aportes} 67 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-15-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $a = (a_d a_{d-1} \ldots a_1 a_0)_2$ un número escrito en base $2$ (o sea escrito en bits). Determinar 3 | simplemente como son las escrituras en base $2$ del número $2a$ y del número $a/2$ cuando $a$ es par, o sea 4 | las operaciónes "multiplicar por 2" y "dividir por 2" cuando se puede. Estas operaciónes se llaman $shift$ en inglés, 5 | o sea corrimiento, y son operaciónes que una computadora hacer en forma sencilla. 6 | 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | $$ 10 | a = (\blue{a_d a_{d-1} \ldots a_1 a_0})_2 11 | $$ 12 | podemos escribirlo en base 10 como: 13 | $$ 14 | \llamada1 15 | a = 2^d \cdot \blue{a_d} + 2^{d-1} \cdot \blue{a_{d-1}} + \cdots + 2^1 \cdot \blue{a_1} + 2^0 \cdot \blue{a_0}. 16 | $$ 17 | Multiplicamos por $2$ y obtenemos: 18 | $$ 19 | 2a = 2^{d + 1} \cdot \blue{a_d} + 2^d \cdot \blue{a_{d-1}} + \cdots + 2^1 \cdot \blue{a_0} + \red{2^0 \cdot 0} 20 | $$ 21 | En base $2$ este número sería: 22 | $$ 23 | 2a = (\blue{a_d a_{d-1} \ldots a_1 a_0 \red{0}})_2. 24 | $$ 25 | Vemos que los números se \textit{corrieron a la izquierda}. 26 | Esta operación es el \textit{left shift}. 27 | 28 | \bigskip 29 | 30 | Hacemos lo mismo pero dividiendo $\llamada1$ por 2: 31 | $$ 32 | \frac{a}{2} = 2^{d - 1} \cdot \blue{a_d} + 2^{d - 2} \cdot \blue{a_{d-1}} + \cdots + 2^1 \blue{a_2} + 2^0 \blue{a_1} + \red{r}, 33 | $$ 34 | escrito en base $2$ sería: 35 | $$ 36 | \frac{a}{2} = (\blue{a_{d} a_{d-1} \ldots a_2 a_1})_2 37 | $$ 38 | ya que el resto se elimina. Vemos que perdimos información del último dígito, porque dividimos por 2 y truncamos. 39 | 40 | \begin{aportes} 41 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 42 | \end{aportes} 43 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-9-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Describir los valores de $(5a+8:7a+3)$ en funcion de los valores de $a \en \enteros$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Sea $d=(5a+8:7a+3)$. Entonces: 6 | $$ 7 | \llave{l}{ 8 | d \divideA 5a+8 \Entonces{$\times 7$} d \divideA 35a+56 \\ 9 | d \divideA 7a+3 \Entonces{$\times 5$} d \divideA 35a+15 10 | } 11 | \Entonces{$F_1-F_2$} 12 | d \divideA 41 13 | \entonces 14 | d \en \set{1,41} 15 | $$ 16 | \\ 17 | Ahora debemos ver cuando $41 \divideA 5a+8 \y 41 \divideA 7a+3$ simultáneamente. 18 | Veamos primero cuando $41 \divideA 7a+3$ : 19 | \\ 20 | $$ 21 | 41 \divideA 7a+3 22 | \sisolosi 23 | \congruencia{7a+3}{0}{41} 24 | \sisolosi 25 | \congruencia{7a}{-3}{41} 26 | \Sii{$(6:41)=1$}[] 27 | \congruencia{6\cdot7a}{6\cdot(-3)}{41} 28 | \sisolosi 29 | \congruencia{42a}{-18}{41} 30 | \sisolosi 31 | $$ 32 | \\ 33 | $$ 34 | \sisolosi 35 | \congruencia{a}{23}{41} 36 | $$ 37 | \\ 38 | Ahora debemos ver si cuando $\congruencia{a}{23}{41}$ se verifica que $41 \divideA 5a+8$. Veamoslo: 39 | \\ 40 | $$ 41 | 41 \divideA 5a+8 42 | \sisolosi 43 | \congruencia{5a+8}{0}{41} 44 | \Sii{$\congruencia{a}{23}{41}$}[] 45 | \congruencia{5\cdot23+8}{0}{41} 46 | \sisolosi 47 | \congruencia{123}{0}{41} 48 | \sisolosi 49 | 41 \divideA 123 \Tilde 50 | $$ 51 | 52 | 53 | Luego, $41 \divideA 5a+8 \y 41 \divideA 7a+3 \sisolosi \congruencia{a}{23}{41}$ 54 | \\ 55 | De modo que 56 | $$ 57 | \llave{ll}{ 58 | \boxed{d=41} ~ si ~ \congruencia{a}{23}{41} \\ 59 | \boxed{d=1} ~ si ~ \noCongruencia{a}{23}{41} 60 | } 61 | $$ 62 | 63 | 64 | \begin{aportes} 65 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 66 | \end{aportes} 67 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-13-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Calcular $(a\cdot b^2 : 3a^2 + 3b^2) $ para cada par de enteros $a$ y $b$ tales que $(a:b) = 3$. 3 | \end{enunciado} 4 | Hay que \textit{comprimizar}, \textit{encontrar posibles divisores}, \textit{interpretar resultado}. 5 | 6 | \textit{Coprimizar:} \par 7 | $$ 8 | (a:b) = 3 \sii (\frac{a}{3}: \frac{b}{3}) = 1 \Sii{$a=3A$}[$b=3B$] (A:B) = 1 \sii A \cop B. 9 | $$ 10 | 11 | \textit{Reemplazo y acomodo:} 12 | $$ 13 | d = (a\cdot b^2 : 3a^2 + 3b^2) 14 | \Sii{\red{!}} 15 | d = 27(A \cdot B^2 : A^2 + B^2) 16 | \Sii{d = 27D } 17 | D = (A \cdot B^2 : A^2 + B^2) 18 | \text{ con } A \cop B 19 | $$ 20 | 21 | Dado que $D$ es el mcd, tiene que cumplir que: 22 | 23 | $$ 24 | \llave{l}{ 25 | D \divideA A \cdot B^2 \\ 26 | D \divideA A^2 + B^2 27 | } 28 | \Sii{\red{!!}} 29 | \llave{l}{ 30 | D \divideA A^3 \\ 31 | D \divideA B^4 32 | } 33 | $$ 34 | Oka, ahí en el \red{!!} hice lo de siempre: Multipliqué una fila por $A$, la otra por $B^2$ y resté y coso. 35 | 36 | Lo que nos queda es algo muy parecido a lo que pasó en el ejercicio \hyperlink{ejExtra:4-12-coprimos}{éste{\tiny(click)}}. 37 | 38 | \medskip 39 | 40 | \textit{Interpretación:} 41 | 42 | Tenemos que $D$ por su condición de divisor común debe dividir a dos número \textit{coprimos}, 43 | dado que si $A \cop B$ también sucede que $A^3 \cop B^4$, 44 | \textit{because primos and shit}, y bueh, ¿Puede ser eso posible?.. Sí! Cuando $D = 1$. 45 | 46 | Entonces: 47 | $$ 48 | D = 1 \entonces d = 27 \text{ para cada par } (a,b) \en \enteros \big/ (a:b) = 3 49 | $$ 50 | 51 | % Contribuciones 52 | \begin{aportes} 53 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 54 | \end{aportes} 55 | -------------------------------------------------------------------------------- /macros/encabezado-pie.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Info para armar título. 2 | 3 | \title{\setulcolor{red}\ul{Apunte Único}: Álgebra I - Práctica \guia} % título 4 | \author{Por alumnos de Álgebra I\\ 5 | Facultad de Ciencias Exactas y Naturales \\ 6 | UBA\\ 7 | {\tiny última actualización \update}} % autores y lugar 8 | \date{} % Así no aparece la fecha 9 | 10 | \maketitle % para que aparezca el título en el documento 11 | \thispagestyle{empty} % borro el número de la primera página 12 | 13 | \pagestyle{fancy} % activo los headers y footers 14 | \fancyhead{} % borro lo que haya en los headers 15 | \fancyfoot{} % borro lo que haya en los headers 16 | \fancyhead[L]{Álgebra I} % encabezado izquierdo 17 | \fancyhead[C]{Práctica \guia} % encabezado central 18 | \fancyhead[R]{Página \thepage} %% encabezado derecho 19 | 20 | \fancyfoot[EL]{ 21 | \small\github 22 | ¡Aportá con correcciones, mandando ejercicios, \yellow{\faIcon{star}} \href{\dirRepo}{al repo}, críticas, todo sirve.\\ 23 | La idea es que la guía esté actualizada y con el mínimo de errores. 24 | 25 | } % pie izquierdo pares 26 | \fancyfoot[OL]{ 27 | \small \telegram ¿Errores? \href{\dirTelegram}{Avisá acá} así se corrige y ganamos todos.\\ 28 | \small Compilado: \update. Chequeá si hay una \href{\dirGuia{\guia}}{versión nueva $\to$ acá.} 29 | } % pie izquierdo impares 30 | 31 | % \fancyfoot[EC]{\small \update} % pie izquierdo pares 32 | \fancyfoot[OR]{ 33 | \small\hyperlink{indice-\guia}{ 34 | Ir a índice $\uparrow$ 35 | } 36 | } % pie derecho pares 37 | 38 | \fancyfoot[ER]{ 39 | \small \hyperlink{indice-\guia}{Ir al índice $\uparrow$} 40 | } % pie derecho impares 41 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-28-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label = \roman*)] 3 | \item Probar que $\{\bar{2}^n : n \in \naturales\} = \enteros/11\enteros - \{\bar{0}\}$ 4 | \item Hallar $\bar{a} \in \enteros/7\enteros$ tal que $\{\bar{a}^n : n \in \naturales\} = \enteros/7\enteros - \{\bar{0}\}$ 5 | \end{enumerate} 6 | \end{enunciado} 7 | 8 | \begin{enumerate}[label = \roman*)] 9 | \item 10 | Bueno, en definitiva lo que queremos es que elevando 2 a potencias podamos construir todo $\enteros/11\enteros$, 11 | estamos elevando 2 a potencias, y luego tomando modulo $11$, es decir, en algun momento se van a repetir \href{https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_palomar}{(Ppio del palomar)}. 12 | Vamos a ver casos individuales que es la manera mas facil de probarlo porque $11$ no es un numero grande. 13 | $$ 14 | \begin{array}{c} 15 | \bar{2}^1 = \red{\bar{2}} \\ 16 | \bar{2}^2 = \bar{4} \\ 17 | \bar{2}^3 = \bar{8} \\ 18 | \bar{2}^4 = \bar{5} \\ 19 | \bar{2}^5 = \bar{10} \\ 20 | \bar{2}^6 = \bar{9} \\ 21 | \bar{2}^7 = \bar{7} \\ 22 | \bar{2}^8 = \bar{3} \\ 23 | \bar{2}^9 = \bar{6} \\ 24 | \bar{2}^{10} = \bar{1} \\ 25 | \bar{2}^{11} = \red{\bar{2}} \\ 26 | \end{array} 27 | $$ 28 | Vemos que a partir de $\bar{2}^{11}$ se va a volver a repetir todo el ciclo de vuelta. 29 | Obtuvimos todos los elementos de $\enteros/11\enteros$, sin incluir el 0 (igual esto no podria haber pasado pues $11 \noDivide 2^k \paratodo k \in \naturales$). 30 | \item \hacer 31 | 32 | \end{enumerate} 33 | 34 | \begin{aportes} 35 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 36 | \end{aportes} 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-1-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | 4400 ¿Cuántos divisores distintos tiene? ¿Cuánto vale la suma de sus divisores? 3 | \end{enunciado} 4 | Factorizo el número a estudiar: 5 | $$ 6 | 4400 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11 7 | $$ 8 | Quiero encontrar los divisores $m$ de 4400, por lo tanto: 9 | $$ 10 | m \divideA 4400 11 | \sii 12 | m = \pm 2^\alpha \cdot 5^\beta \cdot 11^\gamma 13 | \quad\text{con}\quad 14 | \llaves{c}{ 15 | 0 \leq \alpha\leq \magenta{4}\\ 16 | 0 \leq \beta \leq \magenta{2}\\ 17 | 0 \leq \gamma \leq\magenta{1} 18 | } 19 | $$ 20 | 21 | \hyperlink{teoria-4:cantidadDivisores}{Acá un poco de teoría sobre esto}. 22 | Hay entonces un total de $(\magenta{4} + 1) \cdot (\magenta{2}+1) \cdot (\magenta{1} + 1) = 30$ divisores positivos y $60$ enteros.\\ 23 | Busco ahora la suma de esos divisores: 24 | $$ 25 | \sumatoria{i=0}{4} \sumatoria{j=0}{2}\sumatoria{k=0}{1} 2^i \cdot 5^j \cdot 11^k 26 | \igual{\red{!}} 27 | \parentesis{\sumatoria{i=0}{4} 2^i } \cdot \parentesis{ \sumatoria{j=0}{2} 5^j } \cdot \parentesis{ \sumatoria{k=0}{1} 11^k}\\ 28 | \igual{\red{!!}} 29 | \frac{2^{4+1} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{5^{2+1} - 1}{5 - 1} \cdot \frac{11^{1+1} - 1}{11 - 1} = 31 \cdot 31 \cdot 12 = 11532. 30 | $$ 31 | 32 | Donde se separaran las sumatorias, porque los factores son independientes y luego se usó la fórmula geométrica. 33 | 34 | \bigskip 35 | 36 | Concluyendo hay un total de \yellow{60 divisores distintos}, cuya \yellow{suma es 11532}. 37 | 38 | % Contribuciones 39 | \begin{aportes} 40 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 41 | %\aporte{url}{nombre icono} 42 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 43 | \item \aporte{https://github.com/TobLoni}{Tobia Loni \github} 44 | \end{aportes} 45 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-27-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $n \en \naturales, n \geq 2$. Probar que si $p$ es un número primo positivo entonces $\sqrt[n]{p} \notin \racionales$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Supongamos que $\sqrt[n]{p} \en \racionales$ y lleguemos a una contradicción. 6 | 7 | $$ 8 | \sqrt[n]{p} \en \racionales 9 | \entonces 10 | \sqrt[n]{p}=\frac{a}{b}, ~ a,b ~ \en \enteros \ytext b \neq 0 11 | $$ 12 | 13 | Tomemos $\frac{a}{b}$ como una fracción irreducible, es decir, con $a$ y $b$ coprimos. 14 | 15 | Luego, 16 | 17 | $$ 18 | \sqrt[n]{p}=\frac{a}{b} 19 | \entonces 20 | b\cdot\sqrt[n]{p}=a 21 | \entonces 22 | b^{n} \cdot p=a^{n} 23 | \entonces 24 | p \divideA a^{n} 25 | \Entonces{$p$ primo} 26 | p \divideA a 27 | $$ 28 | 29 | Como $p \divideA a$, entonces $a= p \cdot k, \ k \en \enteros$. Reemplazando, tenemos que 30 | 31 | $$ 32 | b^{n} \cdot p=a^{n} 33 | \entonces 34 | b^{n} \cdot p=(p \cdot k)^{n} 35 | \entonces 36 | b^{n} \cdot p=p^n \cdot k^{n} 37 | \Entonces{\red{!!}} 38 | b^{n}=p^{n-1} \cdot k^{n} 39 | \Entonces{\red{!!!}} 40 | b^{n}=p \cdot p^{n-2} \cdot k^{n} 41 | \entonces 42 | p \divideA b^{n} 43 | \Entonces{$p$ primo} 44 | p \divideA b 45 | $$ 46 | 47 | El paso en $\red{!!}$ tiene sentido porque $n \en \naturales$ y en $\red{!!!}$ porque $n \geq 2$. Esto asegura que las 48 | expresiones $p^{n-1}$ y $p^{n-2}$ pertenezcan $\naturales_0$. \bigskip 49 | 50 | Así, obtuvimos que $p \divideA a$ y $p \divideA b$, lo cual contradice el hecho que $a$ y $b$ son coprimos. 51 | La contradicción proviene de la única suposición que hicimos, que $\sqrt[n]{p} \en \racionales$. 52 | Luego, $\sqrt[n]{p} \notin \racionales$, tal como queriamos probar. 53 | 54 | 55 | \begin{aportes} 56 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 57 | \end{aportes} -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-8-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar todos los $a\en \enteros$ para los cuales $(2a-3:4a^{2}+10a-10) \neq 1$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Sea $d=(2a-3:4a^{2}+10a-10)$. Entonces: 6 | 7 | $$ 8 | \llave{l}{ 9 | d \divideA 2a-3 \Entonces{$\times 2a$} d \divideA 4a^{2} - 6a \\ 10 | d \divideA 4a^{2}+10a-10 11 | } 12 | \llave{l}{ 13 | d \divideA 4a^{2}-6a \\ 14 | d \divideA 4a^{2}+10a-10 15 | } 16 | \Entonces{$F_2- F_1$}[] 17 | d \divideA 16a-10 18 | $$ 19 | 20 | Luego, tenemos 21 | 22 | $$ 23 | \llave{l}{ 24 | d \divideA 16a-10 \\ 25 | d \divideA 2a-3 \Entonces{$\times (-8)$} d \divideA -16a+24 26 | } 27 | \Entonces{$F_1 + F_2$} 28 | d \divideA 14 29 | \entonces d \en \set{1, 2, 7, 14} 30 | $$ 31 | 32 | Veo tabla de restos con $d=2$ con la expresión $2a-3$ 33 | 34 | $$ 35 | \begin{array}{|r|c|c|} 36 | \hline 37 | r_2(a) & 0 & 1 \\ \hline 38 | r_2(2a-3) & 1 & 1 \\ \hline 39 | \end{array} 40 | $$ 41 | 42 | Entonces, como $2 \noDivide 2a-3 \paratodo a \en \enteros$, tenemos que $d \neq 2 \ytext d \neq 14 \paratodo a \en \enteros$. \\ 43 | De modo que queremos hallar los valores de $a$ para los cuales $d=7$. 44 | 45 | Veo la tabla de restos con $d=7$ con ambas expresiones. 46 | 47 | $$ 48 | \begin{array}{|r|c|c|c|c|c|c|c|} 49 | \hline 50 | r_7(a) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 51 | r_7(2a-3) & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 & \red{0} & 2 \\ \hline 52 | r_7( 4a^{2}+10a-10) & 4 & 4 & 5 & 0 & 3 & \red{0} & 5 \\ \hline 53 | \end{array} 54 | $$ 55 | 56 | Entonces, $d=7 \sisolosi \congruencia{a}{5}{7}$. 57 | Particularmente, $d \neq 1 \sisolosi \boxed{\congruencia{a}{5}{7}}$. 58 | 59 | \begin{aportes} 60 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 61 | \end{aportes} 62 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-26-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Decidir si existen enteros $a$ y $b$ no nulos que satisfagan 3 | \begin{multicols}{2} 4 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 5 | \item $a^2=3b^3$ 6 | \item $7a^2=8b^2$ 7 | \end{enumerate} 8 | \end{multicols} 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 12 | \item 13 | Observando que hay un 3 del lado derecho, a ojo se puede ver que, por ejemplo, $(a,b)= (3^2,3)$ cumple. 14 | 15 | \item 16 | A simple vista, no parece haber una solución obvia. Veamos la factorización en primos para ver si encontramos una contradicción. \par 17 | Por TFA, se tiene que 18 | 19 | $$ 20 | \llave{l}{ 21 | a = (P_1)^{m_1}...(P_r)^{m_r}, ~ m_1,...,m_r ~ \en \naturales_0 \\ 22 | b = (P_1)^{n_1}...(P_r)^{n_r}, ~ n_1,...,n_r ~ \en \naturales_0 23 | } 24 | \entonces 25 | \llave{l}{ 26 | a^{2} = (P_1)^{2m_1}...(P_r)^{2m_r} \\ 27 | b^{2} = (P_1)^{2n_1}...(P_r)^{2n_r} 28 | } 29 | $$ 30 | 31 | Entonces 32 | 33 | $$ 34 | 7a^2=8b^2 35 | \sisolosi 36 | 7^1 \cdot (P_1)^{2m_1}...(P_r)^{2m_r} = 2^3 \cdot (P_1)^{2n_1}...(P_r)^{2n_r} 37 | $$ 38 | 39 | Del lado izquierdo de la igualdad, el 7 aparece con el exponente $2m_7 +1$. \par 40 | Del lado derecho de la igualdad, el 7 aparece con el exponente $2n_7$. \par 41 | Entonces, por unicidad de la factorización, se deberia tener que 42 | 43 | $$ 44 | 2m_7 +1=2n_7 45 | $$ 46 | 47 | Lo cual es absurdo, pues un número es impar y el otro par. \par 48 | Luego, $\noexiste a, b \en \enteros$ no nulos tal que $7a^2=8b^2$ 49 | 50 | \end{enumerate} 51 | 52 | 53 | \begin{aportes} 54 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 55 | \end{aportes} 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-39-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $p$ un número primo. ¿Cuántos polinomios mónicos de grado 2 hay en $(\enteros/p\enteros)[X]$? ¿Cuántos de ellos 3 | son reducibles y cuántos irreducibles? 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | La estructura de un polinomio mónico de grado $2$ es la siguiente: 7 | $$ 8 | X^2 + aX + b \quad a, b \en (\enteros/p\enteros) 9 | $$ 10 | 11 | Tenemos que elegir un valor para $a$ y otro para $b$, entre $0$ y $p-1$, o sea 12 | $p$ distintos, dos veces. 13 | Así que la cantidad de polinomios mónicos de grado dos \ul{total}: 14 | $$ 15 | \cajaResultado{\green{p^2}}. 16 | $$ 17 | 18 | Para buscar aquellos que sean \ul{reducibles}, es decir que puedan factorizarse en mónicos de $(\enteros/p\enteros)[X]$: 19 | $$ 20 | X^2 + aX + b 21 | = 22 | (X - p_1) \cdot (X - p_2) 23 | $$ 24 | \textit{Caso donde $p_1 \distinto p_2$:} 25 | 26 | Hay $\blue{p \cdot (p - 1)}$ opciones, pero como el orden de los factores no va a alterar el polinomio, 27 | por ejemplo: 28 | $$ 29 | (X - 2)(X - 3) = (X - 3)(X - 2). 30 | $$ 31 | \textit{¡Hay que dividir por $\blue{2}$ para no contar dos veces lo mismo!}. 32 | 33 | \textit{Caso donde $p_1 = p_2$:} 34 | 35 | Los elementos de la forma $(X - p_0)^2$ están contados solo una vez, 36 | de estos hay exactamente $\magenta{p}$ elementos. 37 | 38 | La cantidad de polinomios en $(\enteros/p\enteros)$ \ul{reducibles}: 39 | $$ 40 | \cajaResultado{\blue{\frac{p^2 - p}{2}} + \magenta{p} = \frac{p^2 + p}{2}} 41 | $$ 42 | 43 | La cantidad de polinomios en $(\enteros/p\enteros)$ \ul{irreducibles}: 44 | $$ 45 | \cajaResultado{ 46 | \green{p^2} - \frac{p^2 + p}{2} = \frac{p^2 - p}{2} 47 | } 48 | $$ 49 | 50 | \begin{aportes} 51 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 52 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 53 | \end{aportes} 54 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-10-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \label{guia7-ej10} 3 | Sea $f \en \racionales[X]$ tal que $f(1) = -2, f(2) = 1 \ytext f(-1) = 0.$ Hallar el resto de la división de $f$ por $X^3 - 2X^2 - X + 2$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | \textit{En general $P \en \K[X] \entonces $ el resto de dividir a $P$ por $X - a$ es $P(a)$}, es decir: 7 | $$ 8 | P = Q \cdot (X-a) + \ub{r}{P(a)} 9 | \quad\text{con}\quad 10 | Q \en \K[X] 11 | $$ 12 | 13 | A ver con lo que nos dieron en el enunciado: 14 | $$ 15 | f(X) = q(X) \cdot \ub{X^3 - 2X^2 -X + 2}{g(X)} + r(X) 16 | \quad\text{con}\quad 17 | g(X) = \ub{(X-2) \cdot (X-1)\cdot(X+1)}{\red{!!!}} 18 | \ytext 19 | r(X) = aX^2 + bX + c, 20 | $$ 21 | hay que notar que $r(X)$ cumple condición de resto, ya que el $\gr(r) < \gr(g)$. Y ese $g$ nos queda hermoso para los valores del 22 | enunciado como habrás (o no) notado. 23 | 24 | $$ 25 | \llave{rclcl}{ 26 | f(1) &=& q(1) \cdot \cancelto{0}{g(1)} + r(1) &=& -2\\ 27 | f(2) &=& q(2) \cdot \cancelto{0}{g(2)} + r(2) &=& 1\\ 28 | f(-1) &=& q(-1) \cdot \cancelto{0}{g(-1)} + r(-1) &=& 0 29 | } 30 | \sii 31 | \llave{l}{ 32 | r(1) = a + b +c = -2 \\ 33 | r(2) = 4a + 2b +c = 1 \\ 34 | r(-1) = a - b +c = 0 35 | } 36 | $$ 37 | Sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Resuelvo con matriz, porque pinta, pero es innecesario: 38 | $$ 39 | \matriz{ccc|c}{ 40 | 1 & 1 & 1 & -2 \\ 41 | 4 & 2 & 1 & 1 \\ 42 | 1 & -1 & 1 & 0 43 | } 44 | \to 45 | \matriz{ccc|c}{ 46 | 1 & 0 & 0 & \frac{4}{3} \\ 47 | 0 & 1 & 0 & -1 \\ 48 | 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{3} 49 | } 50 | $$ 51 | Por lo tanto el resto pedido es: 52 | $$ 53 | \cajaResultado{ 54 | r(X) = \frac{4}{3} X^2 - X - \frac{7}{3} 55 | } 56 | $$ 57 | 58 | \begin{aportes} 59 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 60 | \end{aportes} 61 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-25-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $p$ primo positivo. 3 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 4 | \item Probar que si $0 < k < p$, entonces $p \divideA \binom{p}{k}$. 5 | \item Probar que si $a, b \en \enteros$, entonces $\congruencia{(a+b)^p}{a^p + b^p}{\text{mod } p}$. 6 | \end{enumerate} 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 10 | \item 11 | 12 | Como $ 0 < k < p$, tenemos que $p \noDivide k!$ y que $p \noDivide (p-k)!$, pues $p$ \textit{es primo y no divide a ningún factor de ambos números}. 13 | Por la misma razón, se tiene que $\llamada1 p \noDivide k!(p-k)!$. 14 | Entonces 15 | 16 | $$ 17 | \frac{p!}{k!(p-k)!}=\binom{p}{k} 18 | \sii 19 | p!=\binom{p}{k} \cdot k!(p-k)! 20 | \sii 21 | p(p-1)!=\binom{p}{k} \cdot k!(p-k)! 22 | \Entonces{$(p-1)! \en \enteros$}[\red{!!}] 23 | p \divideA \binom{p}{k} \cdot k!(p-k)! 24 | $$ 25 | 26 | $$ 27 | p \divideA \binom{p}{k} \cdot k!(p-k)! 28 | \Sii{$p$ primo}[$\llamada1 p \noDivide k!(p-k)!$] 29 | p \divideA \binom{p}{k} \Tilde 30 | $$ 31 | 32 | \item 33 | Usando el binomio de Newton, tenemos que 34 | 35 | $$ 36 | (a+b)^{p}=\sumatoria{k=0}{p} \binom{p}{k} \cdot a^{k} \cdot b^{p-k}=a^{p}+b^{p} + \sumatoria{k=1}{p-1} \binom{p}{k} \cdot a^{k} \cdot b^{p-k} 37 | $$ 38 | 39 | Como en la nueva sumatoria tenemos que $0 < k < p$, podemos aplicar lo probado en el inciso (a), obteniendo que 40 | 41 | $$ 42 | \congruencia{\sumatoria{k=1}{p-1} \binom{p}{k} \cdot a^{k} \cdot b^{p-k}}{0}{p} 43 | $$ 44 | 45 | Ahora solo queda juntar todo 46 | 47 | $$ 48 | (a+b)^{p} = a^{p}+b^{p} + \sumatoria{k=1}{p-1} \binom{p}{k} \cdot a^{k} \cdot b^{p-k} \equiv a^{p}+b^{p} \pmod{p} \Tilde 49 | $$ 50 | 51 | \begin{aportes} 52 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 53 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 54 | \end{aportes} 55 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-11-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $n \en \naturales,\, n\geq 3$. Hallar el resto de la división de $X^{2n} + 3X^{n+1} + 3X^n - 5X^2 +2X + 1$ 3 | por $X^3 - X$ en $\racionales[X]$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Es parecido al ejercicio \ref{guia7-ej10}? Creo que sí: 7 | $$ 8 | \llave{l}{ 9 | f(X) = X^{2n} + 3X^{n+1} + 3X^n - 5X^2 +2X + 1 \\ 10 | g(X) \igual{\red{!!}} X \cdot (X-1) \cdot (X+1) 11 | } 12 | \entonces 13 | f = q(X) \cdot g(X) + r(X) 14 | \text{ con } 15 | \gr(\ub{aX^2 + bX + c}{r(X)} ) 16 | \menorIgual{\red{!}} 17 | 2 18 | $$ 19 | Evalúo para armar un sistema: 20 | $$ 21 | \llave{l}{ 22 | f(0) = q(0) \cdot \ub{g(0)}{=0} + r(0) = 1\\ 23 | f(1) = q(1) \cdot \ub{g(1)}{=0} + r(1) = 5\\ 24 | f(-1) = q(-1) \cdot \ub{g(-1)}{=0} + r(-1) = 1 + 3(-1)^{n+1} + 3(-1)^n - 5 -2 + 1 \igual{\red{!}} -5 25 | } 26 | $$ 27 | Habemos sistemus de ecuaciunus para encontrar a $r(X)$: 28 | $$ 29 | \llave{l}{ 30 | r(0) = c = 1 \\ 31 | r(1) = a + b + 1 = 5 \sii a + b = 4 \\ 32 | r(-1) = a - b + 1 = - 5 \sii a - b = -6 33 | } 34 | $$ 35 | Nuevamente el uso de matrices es totalmente opcional. Entonces resuelvo para $a$ y $b$, porque ya tengo $c$: 36 | $$ 37 | \begin{array}{ccc} 38 | \matriz{cc|c}{ 39 | 1 & 1 & 4 \\ 40 | 1 & -1 & -6 41 | } 42 | \sii 43 | \matriz{cc|c}{ 44 | 1 & 1 & 4 \\ 45 | 0 & -2 & -10 46 | } 47 | \sii 48 | \matriz{cc|c}{ 49 | 1 & 0 & -1 \\ 50 | 0 & 1 & 5 51 | } 52 | & \to & 53 | \cajaResultado{ 54 | r(X) = -X^2 + 5X + 1 55 | } 56 | \end{array} 57 | $$ 58 | 59 | \begin{aportes} 60 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 61 | \item \aporte{https://github.com/olivportero}{Olivia Portero \github} 62 | \item \aporte{https://github.com/RamaEche}{Ramiro E. \github} 63 | \end{aportes} 64 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-13-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar todos los valores de $n \en \naturales$ tales que $n^2 + 1 < 2^n$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Pruebo algunos valores de $n$: 6 | \begin{itemize} 7 | \item $n = 1 \to 1^2 + 1 = 2 \not< 2$ 8 | \item $n = 2 \to 2^2 + 1 = 5 \not< 4$ 9 | \item $n = 3 \to 3^2 + 1 = 10 \not< 8$ 10 | \item $n = 4 \to 4^2 + 1 = 17 \not< 16$ 11 | \item $n = 5 \to 5^2 + 1 = 26 < 32$ \Tilde 12 | \end{itemize} 13 | 14 | Parece ser que se cumple para los $n \geq 5$. Lo pruebo por inducción. 15 | Quiero probar que la siguiente proposición es verdadera: 16 | $$ 17 | p(n) : n^2 + 1 < 2^n \quad \paratodo n \en \naturales_{\geq 5} 18 | $$ 19 | 20 | \textit{Caso Base}: 21 | $$ 22 | p(5) \text{Verdadero} 23 | \sisolosi 5^2 + 1 < 2^5 24 | \sisolosi 26 < 32 \Tilde 25 | $$ 26 | 27 | \textit{Paso Inductivo}: 28 | 29 | Asumo que para algún valor $k \en \naturales_{\geq 5}$ 30 | $$ 31 | p(k) : 32 | \ub{ 33 | k^2 + 1 < 2^k 34 | }{ 35 | \text{\purple{hipótesis inductiva}} 36 | } 37 | $$ 38 | es verdadera, entonces quiero ver que: 39 | $$ 40 | p(k+1) : 41 | (k+1)^2 + 1 < 2^{k+1} 42 | $$ 43 | también lo sea. 44 | 45 | Masajeo $p(k+1)$ para usar la \purple{hipótesis inductiva}: 46 | $$ 47 | \begin{array}{rcl} 48 | (k+1)^2 + 1 & = & k^2 + 1 + 2k + 1 \menor{\purple{HI}} 2^k + 2k + 1 \\ 49 | & \sii & k^2 + 1 < 2^k \\ 50 | & \sii & k^2 + 1 \menorIgual{\red{!}} 2^{k+1} \\ 51 | & \sii & 52 | \cajaResultado{ 53 | (k+1)^2 + 1 < 2^{k+1} 54 | } 55 | \end{array} 56 | $$ 57 | Se cumple el caso base y el paso inductivo, 58 | por el principio de inducción $p(n)$ es verdadero $\paratodo n \en \naturales_{\geq 5}$. 59 | 60 | \begin{aportes} 61 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 62 | \end{aportes} 63 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-8-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar el conjunto $\partes(A)$ de partes de $A$ en los casos. 3 | \begin{multicols}{3} 4 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 5 | \item $A = \set{1}$ 6 | \item $A = \set{a,b}$ 7 | \item $A = \set{1,\set{1,2},3}$ 8 | \end{enumerate} 9 | \end{multicols} 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | Recordando la definición de conjunto de partes: 13 | 14 | El conjunto de partes de $A$, $\partes(A)$, está formado por todos los conjuntos $B$ tal que $B$ es un subconjunto de $A$ 15 | $$ 16 | \begin{cases} 17 | \partes(A) = \set{B \talque B \subseteq A} 18 | \end{cases} 19 | $$ 20 | Los elemntos del conjunto de $\partes(A)$ son conjuntos. 21 | 22 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 23 | \item $A = \set{1}$ entonces $\partes(A)$: 24 | $$ 25 | \cajaResultado{ 26 | \partes(A) = \set{\vacio, A} 27 | } 28 | $$ 29 | 30 | \item $A = 31 | \set{a, b} 32 | $ entonces $\partes(A)$: 33 | $$ 34 | \cajaResultado{ 35 | \partes(A) = 36 | \set{ 37 | \vacio, 38 | \set{a}, 39 | \set{b}, 40 | A 41 | } 42 | } 43 | $$ 44 | 45 | \item $ 46 | A = 47 | \set{1, \set{1,2}, 3} 48 | $ enteonces $\partes(A)$: 49 | $$ 50 | \cajaResultado{ 51 | \partes(A) = 52 | \set{ 53 | \vacio, 54 | \set{1}, 55 | \set{\set{1,2}}, 56 | \set{3}, 57 | \set{1,\set{1,2}}, 58 | \set{1,3}, 59 | \set{\set{1,2},3}, 60 | A 61 | } 62 | } 63 | $$ 64 | \end{enumerate} 65 | 66 | \begin{aportes} 67 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 68 | \end{aportes} 69 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-6-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 3 | \item ¿Cuántos números de exactamente 4 cifras (no pueden empezar con 0) 4 | hay que no contienen al dígito 5? 5 | \item ¿Cuántos números de exactamente 4 cifras hay que contienen al dígito 7? 6 | \end{enumerate} 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 10 | \item 11 | Como las cifras no pueden ser 5 y la primer cifra no puede empezar con 0, se tiene lo siguiente: 12 | $$ 13 | \begin{array}{r|cccc} 14 | \text{cifras} & \_ & \_ & \_ & \_ \\ 15 | \text{posibilidades} & 8 & 9 & 9 & 9 16 | \end{array} 17 | $$ 18 | 19 | entonces hay $8 \cdot 9^3 = 5832$ posibiles números. 20 | 21 | \item Para hallar la cantidad de números de 4 cifras que contienen al 7 lo calculo con 22 | el complemento, o sea 23 | 24 | $\# \text{números de 4 cifras con el 7} = \# \text{números de 4 cifras} - \# \text{números de 4 cifras sin el 7}$\\ 25 | 26 | \begin{itemize} 27 | \item \# números de 4 cifras: 28 | 29 | $$ 30 | \begin{array}{r|cccc} 31 | \text{cifras} & \_ & \_ & \_ & \_ \\ 32 | \text{posibilidades} & 9 & 10 & 10 & 10 33 | \end{array} 34 | $$ 35 | Entonces hay $9 \cdot 10^3 = 9000$ números de 4 cifras. 36 | 37 | \item \# números de 4 cifras sin el 7: 38 | 39 | En el ítem anterior calculamos la cantidad de números de 4 cifras que no contienen al 5, que es la misma cantidad que números de 4 cifras que no contienen al 7, por lo tanto hay 5832 números posibles. 40 | \end{itemize} 41 | 42 | Así, $\# \text{números de 4 cifras con el 7} = 9000 - 5832 = 3168$ 43 | \end{enumerate} 44 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3-extra/ej-extra-4-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Hallar la cantidad de números naturales de exactamente 20 dígitos (o sea que no empiezan con 0) que se pueden 3 | formar con los dígitos 0, 2, 3 y 9 y que cumplen que la suma de los 7 últimos dígitos es igual a 6. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Un número de 20 dígitos, donde solo puedo poner, 0, 2, 3 o 9: 7 | 8 | \begin{enumerate}[label=\purple{\faIcon{calculator}$_{\arabic*)}$}] 9 | \item El dígito más \textit{significativo}, digamos el vigésimo, tiene \blue{3} posibles valores 2, 3 o 9. 10 | 11 | \item Los dígitos $\ub{\text{desde el décimo noveno hasta el octavo}}{\orange{12} \text{ dígitos en total}}$ pueden tomar \orange{4} posibles valores, 0, 2, 3 o 9. 12 | 13 | \item Los últimos dígitos, del séptimo hasta el primero tienen que sumar 6. Solo es posible eso haciendo cosas de la pinta: 14 | $$ 15 | \dots \ub{0. 0 0 0. 2 2 2}{\text{\magenta{3} bolitas en \magenta{7} cajitas}} 16 | \quad \otext \quad 17 | \dots \ub{0. 0 0 0 .0 3 3}{\text{\magenta{2} bolitas en \magenta{7} cajitas}} 18 | $$ 19 | \end{enumerate} 20 | 21 | Con toda esa info, la cantidad de números de 20 cifras sería: 22 | $$ 23 | \cajaResultado{ 24 | \blue{3} \cdot 25 | \ub{ 26 | \orange{4}\cdot 27 | \orange{4}\cdot 28 | \orange{4}\cdot 29 | \orange{4}\cdot 30 | \orange{4}\cdot 31 | \orange{4}\cdot 32 | \orange{4}\cdot 33 | \orange{4}\cdot 34 | \orange{4}\cdot 35 | \orange{4}\cdot 36 | \orange{4}\cdot 37 | \orange{4}\cdot 38 | }{\orange{{4}^{12}}} 39 | \left( 40 | \binom{\magenta{7}}{\magenta{3}} 41 | + 42 | \binom{\magenta{7}}{\magenta{2}} 43 | \right) 44 | } 45 | $$ 46 | 47 | \begin{aportes} 48 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 49 | \item \aporte{\neverGonnaGiveYouUp}{Santino \youtube} 50 | \end{aportes} 51 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-6-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sean $a$, $b \en \enteros$ tal que $(a:b) = 6$. 3 | Hallar todos los $d = (2a + b : 3a - 2b)$ y dar un ejemplo en cada caso. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Conviene \textit{coprimizar} para hacer menos cuentas: 7 | $$ 8 | (a:b) = 6 9 | \sisolosi 10 | \llaves{l}{ 11 | a = 6A\\ 12 | b = 6B 13 | } 14 | ~\text{con}~ 15 | (A:B) \igual{$\llamada{1}$} 1 16 | $$ 17 | 18 | Uso ahora las nuevas variables coprimas entre sí, $A$ y $B$. Con esto la expresión de $d$ queda: 19 | $$ 20 | d = 21 | (2\cdot 6A + 6B : 3\cdot 6A - 2\cdot 6B) = 22 | (6\cdot( 2 \cdot A + B) : 6\cdot (3\cdot A - 2\cdot B)) = 23 | 6 \cdot (2A + B : 3A - 2B) = D 24 | $$ 25 | 26 | Entonces ahora puedo estudiar $D = (2A + B : 3A - 2B)$. Busco \textit{divisores comunes}: 27 | $$ 28 | \llave{l}{ 29 | D \divideA 2A + B \\ 30 | D \divideA 3A - 2B 31 | } \Sii{\red{!}} 32 | \llave{l}{ 33 | D \divideA 7B \\ 34 | D \divideA 7A 35 | } 36 | \sii 37 | D = (7A:7B) = 7 \cdot (A:B) \igual{$\llamada{1}$} 7 38 | $$ 39 | Por lo tanto los posibles divisores comúnes: 40 | $$ 41 | D \en \divsetP{7}{1,7}, 42 | $$ 43 | pero yo quiero encontrar ejemplos de $A$ y $B$: 44 | 45 | \textit{Para $D = 7$} 46 | $$ 47 | A = 2 48 | \ytext 49 | B = 3 50 | $$ 51 | Traduciendo esto para los valores de $a, b$ y $d$: 52 | $$ 53 | \cajaResultado{ 54 | d = 42 55 | \ytext 56 | \llave{l}{ 57 | a = 12\\ 58 | b = 18 59 | } 60 | } 61 | $$ 62 | 63 | \bigskip 64 | 65 | \textit{Para $D = 1$} 66 | $$ 67 | A = 0 68 | \ytext 69 | B = 1 70 | $$ 71 | Traduciendo esto para los valores de $a, b$ y $d$: 72 | $$ 73 | \cajaResultado{ 74 | d = 6 75 | \ytext 76 | \llave{l}{ 77 | a = 0\\ 78 | b = 6 79 | } 80 | } 81 | $$ 82 | 83 | \begin{aportes} 84 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 85 | \end{aportes} 86 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-39-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar todos los $n \en \naturales$ tales que 3 | \begin{multicols}{2} 4 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 5 | \item $[n:130]=260$. 6 | \item $[n:420]=7560$. 7 | \end{enumerate} 8 | \end{multicols} 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | 12 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 13 | 14 | \item 15 | 16 | $$ 17 | [n:130]=260 18 | \sisolosi 19 | [n:2 \cdot 5 \cdot 13]=2^2 \cdot 5 \cdot 13 20 | $$ 21 | 22 | Como el mínimo común múltiplo se calcula con los primos a la máxima potencia, tenemos que $n$ tiene un $2^2$ y luego tenemos que 23 | puede tener al 5 y al 13, a ambos o a ninguno, pues el 5 y el 13 ya están en la factorización del 130. \par 24 | 25 | Entonces, los $n$ que cumplen son: 26 | 27 | \begin{align*} 28 | n =2^2= \boxed{4} \\ 29 | n =2^2 \cdot 5 = \boxed{20} \\ 30 | n =2^2 \cdot 13= \boxed{52} \\ 31 | n =2^2 \cdot 5 \cdot 13= \boxed{260} 32 | \end{align*} 33 | 34 | 35 | 36 | \item 37 | 38 | $$ 39 | [n:420]=7560 40 | \sisolosi 41 | [n:2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7]=2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 42 | $$ 43 | 44 | Como el mínimo común múltiplo se calcula con los primos a la máxima potencia, tenemos que $n$ tiene un $2^3$, un $3^3$ y luego tenemos que 45 | puede tener al 5 y al 7, a ambos o a ninguno, pues el 5 y el 7 ya están en la factorización del 420. \par 46 | 47 | Entonces, los $n$ que cumplen son: 48 | 49 | \begin{align*} 50 | n =2^3 \cdot 3^3= \boxed{216} \\ 51 | n =2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 = \boxed{1080} \\ 52 | n =2^3 \cdot 3^3 \cdot 7= \boxed{1512} \\ 53 | n =2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7= \boxed{7560} 54 | \end{align*} 55 | 56 | 57 | \begin{aportes} 58 | \item \aporte{https://github.com/Nunezca}{Nunezca \github} 59 | \end{aportes} 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-19-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Probar que $6^{2n} - 35n -1$ es divisible por 245 para todo $n \en \naturales$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Noto que: 6 | $$ 7 | 245 = 5^2 \cdot 7 8 | $$ 9 | 10 | Los que nos piden se puede escribir como: 11 | $$ 12 | \congruencia{6^{2n} - 35n -1}{0}{245} 13 | $$ 14 | 15 | \textit{Inducción:} 16 | 17 | Quiero probar que: 18 | $$ 19 | p(n) : \congruencia{6^{2n} - 35n -1}{0}{245} \quad \paratodo n \en \naturales 20 | $$ 21 | 22 | \medskip 23 | 24 | \textit{Caso base:} 25 | $$ 26 | p(\blue{1}) : 27 | \congruencia{ 28 | 6^{2 \cdot \blue{1}} - 35 \cdot {\blue{1}} -1 = 0 }{0}{245} 29 | $$ 30 | Por lo que $p(1)$ resultó ser verdadera. 31 | 32 | \medskip 33 | 34 | \textit{Paso inductivo:} 35 | Asumo que 36 | $$ 37 | p(\blue{k}) : \ub{\congruencia{ 6^{2 \cdot \blue{k}} - 35 \cdot {\blue{k}} -1}{0}{245}}{\purple{\text{hipótesis inductiva}}} 38 | $$ 39 | es verdadera para algún $k \en \naturales$. Entonces quiero probar que: 40 | $$ 41 | p(\blue{k+1}) : \congruencia{ 6^{2 \cdot (\blue{k+1})} - 35 \cdot ({\blue{k+1}}) -1}{0}{245} 42 | $$ 43 | Partiendo de esto último: 44 | $$ 45 | 6^{2 \cdot (\blue{k+1})} - 35 \cdot ({\blue{k+1}}) -1 46 | = 47 | 36 \cdot 6^{2k} - 35k -35 -1 48 | = 49 | 36 \cdot (6^{2k} - 1) - 35k \congruente 0 \ (245) \llamada1 50 | $$ 51 | Acomodo la \purple{hipótesis inductiva}: 52 | $$ 53 | \congruencia{ 6^{2 \blue{k}} - 35 \cdot {\blue{k}} -1}{0}{245} 54 | \sisolosi 55 | \congruencia{ 6^{2 k} -1 }{35k}{245} \llamada2 56 | $$ 57 | Uso $\llamada2$ eso en $\llamada1$ 58 | $$ 59 | 36 \cdot (\purple{35k}) - 35k = 35^2k = 5^2 \cdot 7^2= 245 \cdot 7 \congruente 0 \ (245) \llamada1 60 | $$ 61 | Es así que $p(k+1)$ también es verdadera. 62 | 63 | \bigskip 64 | 65 | Dado que $p(1),\, p(k),\, p(k+1)$ resultaron verdaderas por principio de inducción $p(n)$ también lo es $\paratodo n \en \naturales$ 66 | 67 | \begin{aportes} 68 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 69 | \end{aportes} 70 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-12-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar la forma binomial de cada una de las raíces complejas del polinomio $f(X) = X^6 + X^3 - 2$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Primera raíz a \textit{ojímetro}: 6 | $$ 7 | f(\alpha_1 = 1) = 0 8 | \sisolosi 9 | f(X) = q(X) \cdot (X - 1) 10 | \sisolosi 11 | (X - 1) \divideA f 12 | \sisolosi 13 | r_{_{(X-1)}}(f) = 0 14 | $$ 15 | Busco $q(X)$ con algoritmo de división. 16 | {\footnotesize 17 | $$ 18 | \polylongdiv[style=D]{X^6 + X^3 - 2 }{X - 1} 19 | $$ 20 | } 21 | 22 | El cociente $q(X)$ se puede factorizar en grupos como: 23 | $$ 24 | q(X) = 25 | X^5 + X^4 + X^3 + 2X^2 + 2X + 2 26 | \igual{\red{!}} 27 | (X^2+X+1) \cdot (X^3 + 2). 28 | $$ 29 | Entonces las 5 raíces que me faltan para tener las 6 que debe tener $f \en \complejos[X]$ salen de esos dos polinomios. 30 | Salen fácil las del polinomio de grado 2: 31 | $$ 32 | X^2 + X +1 = 0 33 | \sii 34 | \cajaResultado{ 35 | \begin{array}{l} 36 | \alpha_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 37 | \alpha_3 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} 38 | \end{array} 39 | } 40 | $$ 41 | 42 | Resuelvo la ecuación $ X^3 + 2 = 0$ usando la notación exponencial del número complejo: 43 | $$ 44 | X = re^{i\theta} 45 | $$ 46 | Reemplazo y máquina de hacer chorizos: 47 | $$ 48 | \llaves{l}{ 49 | r^3 = 2 \to r = \sqrt[3]{2}\\ 50 | 3\theta = \pi + \magenta{2k\pi} \to \theta = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} \text{ con } k = 0,\, 1,\, 2. 51 | } \to 52 | \cajaResultado{ 53 | \begin{array}{l} 54 | \alpha_4 = \sqrt[3]{2} e^{i \frac{\pi}{3}} = \sqrt[3]{2} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ 55 | \alpha_5 = \sqrt[3]{2} e^{i \pi} = -\sqrt[3]{2} \\ 56 | \alpha_6 = \sqrt[3]{2} e^{i \frac{5\pi}{3}} = \sqrt[3]{2} (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) 57 | \end{array} 58 | } 59 | $$ 60 | 61 | \begin{aportes} 62 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 63 | \end{aportes} 64 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-21-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 3 | \item Probar que para todo $a \en \complejos$, 4 | el polinomio 5 | $f = X^6 - 2X^5 + (1+a)X^4 -2aX^3 + (1+a)X^2 - 2X + 1$ 6 | es divisible por $(X-1)^2$. 7 | 8 | \item Determinar todos los $a \en \complejos$ 9 | para los cuales 10 | $f$ es divisible por $(X-1)^3$. 11 | \end{enumerate} 12 | \end{enunciado} 13 | 14 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 15 | \item 16 | $(X-1)^2 \divideA f \paratodo a \en \complejos \sii 1 \textit{ es por lo menos raíz doble de } f \sii f(1) = f'(1) = 0$. 17 | 18 | $$ 19 | \begin{array}{rcl} 20 | f = X^6 - 2X^5 + (1+a)X^4 -2aX^3 + (1+a)X^2 - 2X + 1 & \flecha{evalúo}[$X=1$] f(1) = 0 \ \paratodo a \en \complejos \\ 21 | f' = 6X^5 - 10 X^4 + 4(1+a)X^3 -6aX^2 + 2(1+a)X - 2 & \flecha{evalúo}[$X=1$] f'(1) = 0 \ \paratodo a \en \complejos 22 | \end{array} 23 | $$ 24 | Calculando $f(1) \ytext f'(1)$ se comprueba lo pedido. 25 | 26 | \item 27 | $$ 28 | (X-1)^3 \divideA f 29 | \sii 30 | f^{''}(1) = 0 31 | $$ 32 | Parecido a antes vuelvo a derivar y evalúo: 33 | $$ 34 | f^{''} = 30X^4 - 40 X^3 + 12(1+a)X^2 - 12aX + 2(1+a) 35 | \flecha{evalúo}[$X=1$] 36 | f^{''}(1) = 4 + 2a 37 | \entonces 38 | f^{''}(1) = 0 39 | \sii 40 | a = -2 41 | $$ 42 | Por lo tanto: 43 | $$ 44 | \cajaResultado{ 45 | (X-1)^3 \divideA f \sisolosi a = -2 46 | } 47 | $$ 48 | Observar que si $a \distinto -2$, 1 es una raíz \textit{doble} de $f$ de otra forma es una raíz \textit{por lo menos} triple. 49 | \end{enumerate} 50 | 51 | \begin{aportes} 52 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 53 | \item \aporte{https://github.com/olivportero}{Olivia Portero \github} 54 | \end{aportes} 55 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-31-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $X = \set{n \en \naturales : n\leq 100}$ y $A = \set{1}$ 3 | ¿Cuántos subconjuntos $B\subseteq X$ satisfacen que el conjunto $A \triangle B$ 4 | tiene a lo sumo 2 elementos? 5 | \end{enunciado} 6 | $$ 7 | ...\\ 8 | \textit{a lo sumo = como mucho = como máximo}\\ 9 | $$ 10 | $$ 11 | \textit{al menos = por poco = como mínimo}\\ 12 | ...\\ 13 | $$ 14 | 15 | La diferencia simétrica es la unión de los elementos no comunes 16 | a los conjuntos $A$ y $B$. Si me piden que: 17 | 18 | $$ 19 | \#( A \triangle B) \leq 2 \entonces 20 | \llave{ccl}{ 21 | \blue{1} \en B & \entonces & 1\leq \#B \leq 3 22 | \flecha{Conjuntos}[de la forma] 23 | \llave{lll}{ 24 | \#B = 3 \to \set{\blue{1}; \text{\faIcon[regular]{grimace}}; \text{\faIcon[regular]{smile-wink}} } & \flecha{el 1 está usado, de}[99 números elijo 2] & \binom{99}{2} \\ 25 | \#B = 2 \to \set{\blue{1} ; \text{\faIcon[regular]{grimace}} } & \flecha{el 1 está usado, de}[99 números elijo 1] & \binom{99}{1} \\ 26 | \#B = 1 \to \set{\blue{1}} & \flecha{el 1 está usado, de}[99 números elijo 0] & \binom{99}{0} 27 | } 28 | \\ 29 | \\ 30 | \blue{1} \notin B & \entonces & 0\leq\#B \leq 1 31 | \flecha{Conjuntos}[de la forma] 32 | \llave{lll}{ 33 | \#B = 1 \to \set{ \text{\faIcon[regular]{grimace}}} & \flecha{De 99 números para}[elegir \red{$1 \notin B$}. Elijo 1] & \binom{99}{1} \\ 34 | \#B = 0 \to \vacio & \flecha{De 99 números para}[elegir \red{$1 \notin B$}. Elijo 0] & \binom{99}{0} 35 | } 36 | } 37 | $$ 38 | 39 | Por último el total de subconjuntos $B \subseteq X$ que cumplen lo pedido sería: 40 | $$ 41 | \cajaResultado{ 42 | \binom{99}{2} + \binom{99}{1} + \binom{99}{0} +\binom{99}{1} + \binom{99}{0} = \binom{99}{2} + 200 43 | } 44 | $$ 45 | 46 | \begin{aportes} 47 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 48 | \end{aportes} 49 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2-extra/ej-extra-11-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $(F_k)_{k\en \naturales_0}$ la sucesión de números enteros, conocida como sucesión de Fibonacci, 3 | definida recursivamente por 4 | $$ 5 | F_0 = 0,~ F_1= 1 6 | \ytext 7 | F_{k+2} = F_k + F_{k+1},~ \paratodo k \geq 0 . 8 | $$ 9 | Probar que para todo $n \geq 1$ se tiene que $3 \divideA F_{4n}$. 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | Inducción: 13 | 14 | Quiero probar el siguiente \textit{predicado}: 15 | $$ 16 | p(n) : 3 \divideA F_{4n} \paratodo n \en \naturales 17 | $$ 18 | 19 | \textit{Caso base:} 20 | $$ 21 | p(\blue{1}) : 3 \divideA F_{4 \cdot \blue{1}} 22 | $$ 23 | Proposición que resulta verdadera dado que: 24 | $$ 25 | F_4 \igual{def} 26 | F_2 + F_3 \igual{def} 27 | 2F_0 + 3F_1 = 3 28 | \sii 29 | 3 \divideA F_4 30 | $$ 31 | 32 | \textit{Paso inductivo}: 33 | 34 | Asumo que para algún $\blue{h} \en \naturales$ la siguiente proposición: 35 | $$ 36 | p(\blue{h}) : 37 | \ub{ 38 | 3 \divideA F_{4\blue{h}} 39 | }{ 40 | \text{\purple{hipótesis inductiva}} 41 | } 42 | $$ 43 | es verdadera. Entonces quiero probar que la proposición: 44 | $$ 45 | p(\blue{h+1}) : 3 \divideA F_{4(\blue{h+1})}, 46 | $$ 47 | también lo sea. 48 | 49 | \medskip 50 | 51 | Parto del paso $\blue{h+1}$, por definición se tiene que: 52 | $$ 53 | F_{4(\blue{h+1})} = 54 | F_{4h+4} \igual{def} 55 | F_{4h+2} + F_{4h+3} \igual{def} 56 | F_{4h} + 2F_{4h+1} + F_{4h+2} \igual{def} 57 | 2F_{4h} + 3F_{4h+1} \conga{3}[\text{\purple{HI}}] 0 58 | $$ 59 | Por lo tanto la proposición $p(\blue{h+1})$ también resultó verdadera. Si no viste bien porque la congruencia da 0, pensá que le primer 60 | término es \textit{\purple{por algo}} y el segundo término \textit{por otra cosa}. 61 | 62 | \bigskip 63 | 64 | Como $p(\blue{1}), p(\blue{h}) \ytext p(\blue{h + 1})$ resultaron verdaderas, por el principio de inducción también 65 | lo es $p(n) \paratodo n \en \naturales$. 66 | 67 | \begin{aportes} 68 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 69 | \end{aportes} 70 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6-extra/ej-extra-8-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $\omega = e^{\frac{2\pi i}{33}}$. Encuentre todos los $n \en \naturales$ tales que 3 | $\conj{\omega}^6 \en G_{2n+1}$ y 4 | $$ 5 | \sumatoria{j=0}{n+4} \omega^{11j} = 0. 6 | $$ 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | \begin{center} 10 | $\to$ Mirá \hyperlink{teoria6:propiedadesGn}{estas propiedades} y \hyperlink{teoria6:gruposGn}{estos gráficos} para sacar intuición de lo que viene 11 | \end{center} 12 | 13 | Del enunciado y propiedades de estos números de $G_n$: 14 | $$ 15 | \omega = e^{i\frac{2\pi }{33}} 16 | \Sii{\red{!}} 17 | \conj{\omega}^6 = e^{i\frac{18\pi }{11}} 18 | $$ 19 | 20 | Para que ese número espantoso $\conj{\omega}^6 \en G_{2n+1}$ debe ocurrir que \red{!!}: 21 | $$ 22 | 11 \divideA 2n+1 23 | \Sii{def} 24 | \congruencia{2n+1}{0}{11} 25 | \sii 26 | \congruencia{n}{5}{11} \llamada1 27 | $$ 28 | 29 | Por otro lado para que la sumatoria del enunciado de cero, sabiendo que $\omega \distinto 1$, uso suma geométrica: 30 | $$ 31 | \sumatoria{j=0}{n+4} \omega^{11j} 32 | = 33 | \frac{\left(\omega^{11} \right)^{n + 5} - 1}{\omega - 1} = 0 34 | \sii 35 | \left(\omega^{11} \right)^{n + 5} = 1 36 | \sii 37 | \left(e^{\frac{2\pi i}{33}}\right)^{11n + 55} \igual{\red{!}} e^{2\blue{h}\pi} 38 | \Sii{\red{!}} 39 | \frac{22\pi}{33}n + \frac{110\pi}{33}n = 2\blue{h}\pi 40 | $$ 41 | Esa última ecuación da {\tiny salacadula chalchicomula} \magic: 42 | $$ 43 | \congruencia{n}{1}{3} \llamada2 44 | $$ 45 | 46 | Por lo tanto $n \en \naturales$ debe cumplir $\llamada1$ y $\llamada2$: 47 | $$ 48 | \llave{l}{ 49 | \congruencia{n}{5}{11}\\ 50 | \congruencia{n}{1}{3} 51 | } 52 | \Sii{\href{\chinito}{TCH}} 53 | \congruencia{n}{16}{33} 54 | $$ 55 | 56 | Y si no mandé mucha fruta los $n \en \naturales$ que cumplen serían: 57 | $$ 58 | \cajaResultado{ 59 | \congruencia{n}{16}{33} 60 | \quad \text{con} \quad 61 | n > 0 62 | } 63 | $$ 64 | 65 | \begin{aportes} 66 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 67 | \end{aportes} 68 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-2-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Determinar todos los $(a,b)$ que simultáneamente $4 \divideA a,\, 8 \divideA b \ytext 33a + 9b = 120$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Para que la ecuación tenga solución necesito que el MCD entre 33 y 9 divida al 120, es decir: 6 | $$ 7 | (33:9) \divideA 120 \entonces 33a + 9b = 120 8 | $$ 9 | y dado que $(33:9) = 3 10 | \ytext 11 | 3\divideA 120$ sé que puedo encontrar dicha solución. Pero tengo más restricciones sobre 12 | los valores de $a \ytext b$. 13 | 14 | $$ 15 | \llave{l}{ 16 | 4 \divideA a \Sii{def} a = 4k_1 \\ 17 | 8 \divideA b \Sii{def} b = 8k_2 18 | } \llamada1 19 | $$ 20 | Pongo esa info en la ecuación: 21 | $$ 22 | \flecha{$\llamada1$} 23 | 33a + 9b = 120 24 | \to 25 | 132 k_1 + 72 k_2 = 120 26 | $$ 27 | Siempre que puedo tengo que coprimizar: 28 | $$ 29 | 132 k_1 + 72 k_2 = 120 30 | \Sii{coprimizo} 31 | 11 k_1 + 6 k_2 = 10 32 | $$ 33 | Busco \textit{solución particular} con Euclides, busco escribir al número 1 como combinación entera de \blue{11} y \blue{6}: 34 | $$ 35 | \llave{rcl}{ 36 | 11 & = & 6 \cdot 1 + 5 \\ 37 | 6 & = & 5 \cdot 1 + 1 38 | } 39 | \entonces 40 | 1 = \blue{11} \cdot (-1) + \blue{6} \cdot 2 \llamada2 41 | $$ 42 | Obtengo así la \textit{solución particular}: 43 | $$ 44 | \Entonces{$\llamada2 \times 10$} 45 | 10 = \blue{11}\cdot(-10) + \blue{6} \cdot 20 46 | \entonces 47 | (k_1, k_2) = (-10, 20) 48 | $$ 49 | La solución del homogéneo queda: 50 | $$ 51 | 11 k_{1_h} + 6 k_{2_h} = 0 \entonces (k_{1_h}, k_{2_h}) = (-6, 11) 52 | $$ 53 | Por lo que la solución general: 54 | $$ 55 | (k_{1_g}, k_{2_g}) = (k_{1_p}, k_{2_p}) + \purple{k} \cdot (k_{1_h}, k_{2_h}) = 56 | (-10, 20) + \purple{k} \cdot (-6, 11) = 57 | (-10 - 6\purple{k}, 20 + 11\purple{k}) 58 | $$ 59 | Pero me pidieron los pares $(a,b)$ con $a \divideA 4 \ytext b \divideA 8$: 60 | $$ 61 | \Entonces{$\llamada1$} 62 | \cajaResultado{ 63 | (a,b) = (-40 - 24k, 160 + 88k) 64 | } 65 | $$ 66 | 67 | \begin{aportes} 68 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 69 | \end{aportes} 70 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-5-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Determinar los posibles valores de $d = (a^2 - 2a -5: a-1)$ para $a \en \enteros$. Exhibir un valor de $a$ 3 | correspondiente a cada uno de los valores de $d$ hallados. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Parecido a cosas que ya se hicieron en otros ejercicios. Simplificamos si se puede con Euclides y después con tabla de restos 7 | filtramos los máximos común divisores que quedaron. 8 | 9 | \bigskip 10 | 11 | \textit{Euclides con División de polinomios} 12 | $$ 13 | \polyset{vars=a} 14 | \divPol{a^2 - 2a -5}{a-1} 15 | $$ 16 | 17 | Que en el resto quede un número es una excelente noticia, podemos reescribir al mcd: 18 | $$ 19 | d = (a^2 - 2a -5: a-1) = (a-1 : -6) 20 | $$ 21 | 22 | Con ese resultado y dado que $d \divideA a - 1$ y también $d\divideA 6$: 23 | $$ 24 | d \en \set{1, 2, 3, 6} 25 | $$ 26 | 27 | Tabla de restos para ver para que valores de $a$ se divide la expresión $a-1$ 28 | $$ 29 | \begin{array}{|r|cc|} 30 | \hline 31 | r_2(a) & 0 & 1 \\ \hline 32 | r_2(a - 1) & 1 & \magenta{0} \\ \hline 33 | \end{array} 34 | \quad 35 | \begin{array}{|r|ccc|} 36 | \hline 37 | r_3(a) & 0 & 1 & 2 \\ \hline 38 | r_3(a - 1) & 2 & \magenta{0} & 1 \\ \hline 39 | \end{array} 40 | \quad 41 | \begin{array}{|r|cccccc|} 42 | \hline 43 | r_6(a) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 44 | r_6(a - 1) & 5 & \magenta{0} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 45 | \end{array} 46 | $$ 47 | Ahora hay que elegir un valor $a$ de forma tal que $d$ sea un valor que cumpla con los resultados. 48 | 49 | Hay que tener cuidado, porque los conjuntos de $a$ que salen de la tabla de restos no son disjuntos. 50 | 51 | Los siguientes valores salen a ojímetro: 52 | $$ 53 | \begin{array}{c} 54 | \text{si } a = 0 \entonces d = 1 \\ 55 | \text{si } a = 5 \entonces d = 2 \\ 56 | \text{si } a = 4 \entonces d = 3 \\ 57 | \text{si } a = 7 \entonces d = 6 58 | \end{array} 59 | $$ 60 | 61 | \begin{aportes} 62 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 63 | \end{aportes} 64 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2-extra/ej-extra-1-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Probar para todo $n \en \naturales$ se cumple la siguiente desigualdad: 3 | $$ 4 | \frac{(2n)!}{(n!)^2} \leq (n+1)! 5 | $$ 6 | \end{enunciado} 7 | 8 | Se prueba usando el principio de inducción $\en \naturales$.\par 9 | 10 | \textit{Proposición: }\par 11 | $$ 12 | p(n): \frac{(2n)!}{(n!)^2} \leq (n+1)! 13 | $$ 14 | 15 | \textit{Caso base: } Evalúo en $n=1$. 16 | 17 | $$ 18 | p(\blue{1}): 19 | \frac{(2 \cdot \blue{1})!}{\blue{1}!^2} = 2 \leq (1+1)! \Tilde 20 | $$ 21 | Se concluye que $p(1)$ es verdadera. 22 | 23 | \textit{Paso inductivo: } 24 | $$ 25 | p(k): \ub{\frac{(2k)!}{(k!)^2} \leq (k+1)!}{\text{\purple{hipótesis inductiva}}} 26 | $$ la supongo verdadera. 27 | 28 | Quiero probar que: 29 | $$ 30 | p(k+1): \frac{(2(k + \magenta{1}))!}{(k + \magenta{1})!^2} \leq (k + \magenta{1} + 1)! 31 | $$ también lo es.\par 32 | 33 | $$ 34 | \frac{(2k+2)!}{(k+1)!^2} \leq (k+2)! 35 | \Sii{abro}[factorial] 36 | \frac{(2k + 2) \cdot (2k + 1) \cdot \blue{(2k)!}}{(k + 1)^2 \cdot \blue{(k!)^2}} 37 | \menorIgual{\purple{HI}} 38 | \frac{ 39 | \ob{ 40 | (2k + 2) \cdot (2k + 1) 41 | }{ 4\cdot \cancel{(k+1)} (k + \frac{1}{2}) } 42 | } {(k + 1)^{\cancel{2}} } \blue{(k + 1)!} 43 | = 44 | \frac{4 \cdot (k + \frac{1}{2})}{k + 1} (k+1)! 45 | \llamada1 46 | $$ 47 | En $\llamada1$ fácil probar que: 48 | $$ 49 | \frac{ 50 | 4\cdot (k + \frac{1}{2})}{k + 1} 51 | \menorIgual{$\llamada2$} 52 | \yellow{(k+2)} 53 | $$ 54 | Por lo tanto queda: 55 | $$ 56 | \llamada1 \leq \yellow{(k+2)}(k+1)! = (k+2)! 57 | $$ 58 | Y con este último resultado se llega a que: 59 | $$ 60 | \cajaResultado{ 61 | \frac{(2(k+1))!}{(k+1)!^2} \leq (k+2)! 62 | } 63 | $$ 64 | $\llamada2$ se prueba fácil en 2 cuentas, queda como ejercicio para vos 65 | \purple{\faIcon{hands-wash}}. 66 | 67 | Es así que $p(1), p(k), \ytext p(k+1)$ resultaron verdaderas y por el principio de inducción 68 | $p(n)$ también lo será $\paratodo n \en \naturales$. 69 | 70 | \begin{aportes} 71 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 72 | \end{aportes} 73 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-14-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 3 | \item Probar que si $w = e^{\frac{2\pi}{5}i} \en G_5$, entonces $X^2 + X -1 = [X - (w + w^{-1})] \cdot [X - (w^2 + w^{-2})]$. 4 | 5 | \item Calcula, justificando cuidadosamente, el valor exacto de $\cos(\frac{2\pi}{5})$. 6 | \end{enumerate} 7 | \end{enunciado} 8 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 9 | \item\label{ej14:item} 10 | Voy a usar que si $w \en G_5 11 | \entonces 12 | \llave{l}{ 13 | \sumatoria{j=0}{4} w^j = 0 \quad (w \distinto 1) \llamada2\\ 14 | w^k = w^{r_5(k)} \llamada{1} 15 | }$\\ 16 | 17 | $ X^2 + X -1 = 18 | [X - (w + w^{-1})] \cdot [X - (w^2 + w^{-2})] =\\ 19 | X^2 - (w^2 + w^{-2}) X - (w + w^{-1}) X + \ub{(w + w^{-1})(w^2 + w^{-2})}{\llamada1}=\\ 20 | = X^2 - X(\ub{w^2 + w^{-2} + w + w^{-1}}{\llamada1}) + \ub{ w + w^2 + w^3 + w^4 }{\llamada2}=\\ 21 | = X^2 - X(\ub{w + w^2 + w^3 + w^4}{\llamada2}) + \magenta{-1} + \ub{ \magenta{1} + w + w^2 + w^3 + w^4}{ = 0} = 22 | {X^2 - X(\magenta{-1} + \ub{ \magenta{1} + w + w^2 + w^3 + w^4}{ = 0}) - 1 =}\\ 23 | = X^2 + X - 1 \Tilde 24 | $ 25 | 26 | \item Calculando las raíces a mano de 27 | $$ 28 | X^2 + X - 1 29 | \to 30 | \llave{c}{ 31 | \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\ 32 | \text{y}\\ 33 | \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} 34 | } 35 | $$ 36 | 37 | Pero del resultado del inciso \ref{ej14:item} tengo que :\\ 38 | $ 39 | w = e^{i\frac{2\pi}{5}} 40 | \flecha{sé que una raíz dada}[la factorización es] 41 | w + w^{-1} = 42 | w + \conj w = 43 | 2\re(w) = 44 | 2\cdot \ub{\cos(\frac{2\pi}{5})}{\cos{\theta} \geq 0,\, \theta \en [0,2\pi]} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\ 45 | \to 46 | \boxed{\cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}} \Tilde 47 | $ 48 | \end{enumerate} 49 | 50 | \begin{aportes} 51 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 52 | \end{aportes} 53 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-2-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Hallar el menor $n \en \naturales$ tal que:\par 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \item $(n : 2528) = 316$ 5 | \item $n$ tiene exáctamente 48 divisores positivos 6 | \item $27 \noDivide n$ 7 | \end{enumerate} 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | Analizo los números: 11 | $$ 12 | \llave{l}{ 13 | \flecha{factorizo}[2528] 2528 = 2^5 \cdot 79 \Tilde \\ 14 | \flecha{factorizo}[316] 316 = 2^2 \cdot 79 \Tilde \\ 15 | \flecha{reescribo}[condición] (n:2^5 \cdot 79) = 2^2 \cdot 79 16 | } 17 | \flecha{quiero}[encontrar] n = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdot 5^{\alpha_5} \cdot 7^{\alpha_7} \cdots 79^{\alpha_79} \cdots .\\ 18 | $$ 19 | 20 | $ 21 | \flecha{como} (n:2^5 \cdot 79) = 2^2 \cdot 79 22 | \flecha{tengo}[que] 23 | \llave{ll}{ 24 | \alpha_2 = 2, & \text{dado que $2^2 \cdot 79 \divideA n$. \blue{busco el menor $n$!}.} \\ 25 | \alpha_{79} \geq 1, & \text{Al igual que antes.} \\ 26 | \flecha{notar}[que] \alpha_3 < 3 & \text{ si no } 3^3 = 27 \divideA n 27 | } 28 | $ 29 | 30 | La estrategia sigue con el primo más chico que haya:\par 31 | $$ 32 | \llave{l}{ 33 | 48 = \ub{(\alpha_2 + 1)}{2 + 1} \cdot (\alpha_3 + 1) \cdots \\ 34 | 48 = 3 \cdot (\alpha_3 + 1) \cdots \\ 35 | 16 = (\alpha_3 + 1) \cdot (\alpha_5 + 1) \cdot (\alpha_7 + 1) \cdots \ub{(\alpha_{79} + 1)}{=2\text{ quiero el menor}} \cdots \\ 36 | 8 = (\alpha_3 + 1) \cdot (\alpha_5 + 1) \cdot (\alpha_7 + 1) \cdots \\ 37 | 8 = \ub{(\alpha_3 + 1)}{=2} \cdot \ub{(\alpha_5 + 1)}{=2} \cdot \ub{(\alpha_7 + 1)}{=2} \cdot 1 \cdots 1 \\ 38 | } 39 | $$ 40 | 41 | El $n$ que cumple lo pedido sería $n = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 79^1$ 42 | 43 | \begin{aportes} 44 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 45 | \end{aportes} 46 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7/ej-37-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $a, b, c \en \complejos$ las raíces de $2X^3 - 3X^2 + 4X + 1$. Determinar 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \begin{multicols}{3} 5 | \item $a + b + c$, 6 | \item $ab + ac + bc$, 7 | \item $abc$ . 8 | \end{multicols} 9 | \end{enumerate} 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | Si $a, b, c$ son las 3 raíces del polinomio $P = 2X^3 - 3X^2 + 4X + 1$. El polinomio $P$ en \textit{forma factorizada}: 13 | $$ 14 | 2(X-a)(X-b)(X-c) \quad \text{con } a,\, b,\, c \en \complejos. 15 | $$ 16 | Distribuyendo todo se recupera la \textit{forma polinómica} de $P$: 17 | $$ 18 | \begin{array}{rcl} 19 | \red{2}(X-a)(X-b)(X-c) & = & \red{2}(X^2 - aX - bX + ab)(X - c) \\ 20 | & = & \red{2}(X^3 - aX^2 - bX^2 + abX -cX^2 +acX +bcX - abc) \\ 21 | & = & \red{2}X^3 - \red{2}(a + b + c)X^2 + \red{2}(ab + ac + bc)X - \red{2}abc 22 | \end{array} 23 | $$ 24 | Si comparamos esta expansión genérica con el polinomio, vemos que justamente lo que nos piden en el enunciado 25 | son los coeficientes de $P$, \ul{expresados en función de sus raíces}. 26 | {\tiny 27 | \parrafoDestacado{ 28 | Esta forma de relacionar raices con coeficientes se puede generalizar y se conoce como \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta\%27s_formulas}{Fórmulas de Viete}. 29 | } 30 | } 31 | 32 | Para resolver el ejercicio se plantea la igualdad de los polinomios: 33 | {\small 34 | $$ 35 | \red{2}X^3 - \red{2}(a + b + c)X^2 + \red{2}(ab + ac + bc)X - \red{2}abc 36 | = 37 | 2X^3 - 3X^2 + 4X + 1 38 | $$ 39 | Dos polinomios son iguales si y solo si todos sus coeficientes son iguales: 40 | $$ 41 | \llave{rcl}{ 42 | -\red{2}(a+b+c) = -3 & \sii & \cajaResultado{\textstyle a + b + c = \frac{3}{2}} \\ 43 | \red{2}(ab + ac + bc) = 4 & \sii & \cajaResultado{\textstyle ab + ac + bc = 2} \\ 44 | -\red{2}abc = 1 & \sii & \cajaResultado{\textstyle abc = -\frac{1}{2}} 45 | } 46 | $$ 47 | } 48 | 49 | \begin{aportes} 50 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 51 | \end{aportes} 52 | 53 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-8-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Un estudiante puede elegir qué cursar entre 5 materias que se dictan este cuatrimestre. ¿De cuántas 3 | maneras distintas puede elegir qué materias cursar, incluyendo como posibilidad no cursar ninguna 4 | materia? ¿Y si tiene que cursar al menos dos materias? 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | Hay 5 materias, el conjunto de materias lo bautizo $M$: 8 | $$ 9 | M = \set{m_1, m_2, m_3, m_4, m_5} 10 | \quad \text{con} \quad 11 | \#M = 5 12 | $$ 13 | 14 | Si decide cursar 0 materias, eso se puede elegir de una sola manera: 15 | $$ 16 | \binom{5}{0} = 1 17 | $$ 18 | 19 | \medskip 20 | 21 | Si decide cursar 1 materia, eso se puede elegir así: 22 | $$ 23 | \binom{5}{1} = 5 24 | $$ 25 | 26 | \medskip 27 | 28 | Si decide cursar 2 materias, eso se puede elegir así: 29 | $$ 30 | \binom{5}{2} = 10 31 | $$ 32 | 33 | \medskip 34 | 35 | Si decide cursar 3 materias, eso se puede elegir así: 36 | $$ 37 | \binom{5}{3} = 10 38 | $$ 39 | 40 | \medskip 41 | 42 | Si decide cursar 4 materias, eso se puede elegir así: 43 | $$ 44 | \binom{5}{4} = 5 45 | $$ 46 | 47 | \medskip 48 | 49 | Si decide cursar 5 materias, eso se puede elegir así: 50 | $$ 51 | \binom{5}{5} = 1 52 | $$ 53 | 54 | \bigskip 55 | 56 | Entonces la forma de elegir que cosa cursar sería la suma de todo eso: 57 | $$ 58 | \binom{5}{0} + 59 | \binom{5}{1} + 60 | \binom{5}{2} + 61 | \binom{5}{3} + 62 | \binom{5}{4} + 63 | \binom{5}{5} = 64 | \cajaResultado{ 65 | \sumatoria{i = 0}{5} \binom{5}{i} = 32 66 | } 67 | $$ 68 | 69 | De \textit{yapa} se puede expresar así: 70 | $$ 71 | (x + y)^n = \sumatoria{i = 0}{n} \binom{n}{i} x^{n-i}y^{i} 72 | \Entonces{$x = 1,\, y = 1$}[$n=5$] 73 | \cajaResultado{ 74 | 2^5 = \sumatoria{i=0}{5} \binom{5}{i} 75 | } 76 | $$ 77 | 78 | Si al menos tiene que cursar 2 materias, quiere decir que puede cursar 2, 3, 4 o 5. Sumando lo que corresponde: 79 | $$ 80 | \binom{5}{2} + 81 | \binom{5}{3} + 82 | \binom{5}{4} + 83 | \binom{5}{5} = 84 | \cajaResultado{ 85 | \sumatoria{i = 2}{5} \binom{5}{i} = 26 86 | } 87 | $$ 88 | 89 | \begin{aportes} 90 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 91 | \end{aportes} 92 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-26-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Probar que $ \binom{2n}{n} > n 2^n,$$ \paratodo n \geq 4$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Vamos a probarlo por inducción: 6 | 7 | \textit{Proposición: } 8 | $$ 9 | p(n) : \binom{2n}{n} > n2^n,\, \paratodo n \geq 4 10 | $$ 11 | 12 | \textit{Caso base: } 13 | $$ 14 | p(4) = \binom{8}{4} > 4\cdot2^4 = 70 > 64 \text{\Tilde} 15 | $$ 16 | 17 | \textit{Paso inductivo: } 18 | 19 | Ahora quiero probar que: 20 | $$ 21 | p(n) \entonces p(n + 1), 22 | $$ 23 | o sea quiero ver que: 24 | $$ 25 | \binom{2(n+1)}{n+1} > (n+1) \cdot 2^{(n+1)},\, \paratodo n \geq 4 26 | $$ 27 | Y va a ser clave tener esta expresión a mano: 28 | $$ 29 | \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} 30 | \sisolosi 31 | \ub{\displaystyle\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} > n 2^n}{\text{\purple{hipótesis inductiva}}} 32 | $$ 33 | Empezamos expandiendo el coeficiente binomial usando la fórmula con factoriales: 34 | $$ 35 | \everymath{\displaystyle} 36 | \begin{array}{rcl} 37 | \binom{2n+2}{n+1} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot (2n+2 - (n+1))!} & = & \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)!\cdot(n+1)!} \\ 38 | & = & \frac{(2n+2)(2n+1)\purple{(2n)!}}{(n+1)^2 \cdot \purple{(n!)^2}} \mayor{\purple{HI}} \frac{(2n+2)(2n+1)\purple{n 2^n}}{(n+1)^2} 39 | \end{array} 40 | $$ 41 | Ahora quiero ver que: 42 | $$ 43 | \frac{(2n+2)(2n+1)n\cdot2^n}{(n+1)^2} > (n+1)\cdot2^{(n+1)} 44 | \Sii{\red{!!}} 45 | \frac{(2n + 1)n}{n+1} > n + 1 46 | \Sii{\red{!}} 47 | n^2 - n > 1 48 | $$ 49 | En el \red{!!} y el \red{!}, son factores comunes, simplificaciones acomodar y nada raro. Pero te queda a vos, porque 50 | nada te aportaría verlas. 51 | 52 | Esto último es verdadero para $n \en \naturales_{>1}$, por ende para $n \geq 4$ la prueba inductiva será válida, y 53 | queda probado por el principio de inducción que: 54 | $$ 55 | \binom{2n}{n} > n 2^n,\, \paratodo n \geq 4 56 | $$ 57 | 58 | \begin{aportes} 59 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 60 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 61 | \end{aportes} 62 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2-extra/ej-extra-6-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $(a_n)_{n\en\naturales}$ la sucesión de números reales definida por $a_1 = 3, a_2 = 6$, y para $n \geq 1$, 3 | $$ 4 | a_{n+2} = \frac{2n + 3}{7} (a_{n+1} + 2a_n) 5 | $$ 6 | Probar que $a_n > 2^n \paratodo n \en \naturales$ 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | Sucesiones definidas por recurrencia e inducción. 10 | 11 | \textit{Proposición:} 12 | Quiero probar que 13 | $$ 14 | p(n) : a_n > 2^n \paratodo n \en \naturales 15 | $$ 16 | 17 | \textit{Casos base:} 18 | 19 | $$ 20 | \begin{array}{l} 21 | p(\blue{1}) : a_1 = 3 > 2^{\blue{1}} = 2 \to a_1 > 2^1 \\ 22 | p(\blue{2}) : a_2 = 6 > 2^{\blue{2}} = 4 \to a_2 > 2^2 \\ 23 | \end{array} 24 | $$ 25 | 26 | Los casos base $p(1), p(2)$ resultaron verdaderos. \bigskip 27 | 28 | \textit{Paso inductivo:} 29 | Asumo como verdadero para algún $k \en \naturales$: 30 | $$ 31 | \begin{array}{c} 32 | p(\blue{k}) : \ub{ a_{\blue{k}} > 2^{\blue{k}} }{\purple{\text{hipótesis inductiva}}} \\ 33 | p(\blue{k+1}) : \ub{a_{\blue{k+1}} > 2^{\blue{k+1}}}{\purple{\text{hipótesis inductiva}}} 34 | \end{array} 35 | $$ 36 | 37 | Entonces quiero probar que: 38 | 39 | $$ 40 | p(\blue{k+2}) : a_{\blue{k+2}} > 2^{\blue{k+2}} 41 | $$ 42 | también lo sea. 43 | 44 | Usando la definición: 45 | 46 | $$ 47 | a_{\blue{k+2}} 48 | \igual{def} 49 | \frac{2k+3}{7} \cdot (a_{k+1} + 2 \cdot a_k) 50 | \mayor{\purple{HI}} 51 | \frac{2k+3}{7} \cdot (2^{k+1} + 2 \cdot 2^k) 52 | = 53 | \frac{2k+3}{7} \cdot (2^{k+2}) 54 | $$ 55 | Por lo tanto se tiene que: 56 | $$ 57 | a_{k+2} > \frac{2k+3}{7} \cdot (2^{k+2}) \geq 2^{k+2} \quad \paratodo k \en \naturales_{\geq 2} 58 | $$ 59 | 60 | Es así que se cumple $p(k+2) \paratodo k \en \naturales_{\geq 2}$ 61 | 62 | El caso que faltaría es con $k = 1$ 63 | 64 | $$ 65 | p(3): a_{1 + 2} = a_3 \igual{def} \frac{5}{7} (6 + 6) = \frac{60}{7} > 2^3 = 8 \to a_3 > 2^3 66 | $$ 67 | 68 | también se cumple. 69 | 70 | Dado que $p(1), p(2), p(3), p(k), p(k+1) \ytext p(k+2)$ son todas verdaderas, por principio de inducción $p(n)$ es verdadera $\paratodo n \en \naturales$. 71 | 72 | \begin{aportes} 73 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 74 | \end{aportes} 75 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6/ej-9-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar todos los $z \en \complejos$ tales que $3z^5 + 2|z|^5 + 32 = 0$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Para que se cumpla la igualdad entre 2 números complejos, \textit{las partes reales y imaginarias} 6 | deben ser iguales: 7 | $$ 8 | 3 z^5 + 2|z|^5 +32 = 0 9 | \sii 10 | \ub{3z^5}{\en \complejos} = \ub{-2|z|^5- 32}{\en \reales} 11 | \Sii{\red{!}} 12 | \llaves{l}{ 13 | \re(3z^5) = -2|z|^5 - 32\\ 14 | \im(3z^5) = 0 15 | } 16 | $$ 17 | 18 | \textit{De la ecuación de la parte imaginaria: } 19 | {\tiny(Es útil recordar que $z = \re(z) + i\im(z) \entonces \im(z) = \frac{z - \conj{z}}{2i}$)} 20 | $$ 21 | \im(3z^5) = 3 \cdot \frac{z^5 - \conj z^5}{2i} = 0 22 | \sisolosi 23 | z^5 = \conj z^5 24 | \sisolosi 25 | |z|^5 e^{5 \theta i} = |z|^5 e^{-5 \theta i} 26 | \Sii{\red{!}}[$2k\pi$] 27 | \llave{l}{ 28 | 5 \theta = -5 \theta + \magenta{2k\pi} \\ 29 | \Sii{\red{!}}[$\llamada1$] \theta_k = \frac{1}{5}k\pi \text{ con } k \en \enteros 30 | } 31 | $$ 32 | 33 | \textit{De la ecuación de la parte real: } 34 | {\tiny(Es útil recordar que si $z = \re(z) + i\im(z)$, entonces se puede expresar $\re(z) = \frac{z + \conj{z}}{2}$)} 35 | $$ 36 | \begin{array}{l} 37 | \re(3z^5) = 3 \cdot \frac{z^5 + \conj z^5}{2} = 38 | 3 \cdot \frac{|z|^5 e^{5\theta i} + |z|^5 e^{-5\theta i}}{2} = 39 | 3|z|^5 \cos(5\theta) = -2|z|^5 - 32 \sii \\ 40 | \sii 41 | |z|^5(3\cos(5\theta) + 2) = -2^5 42 | \flecha{evaluando}[en $\theta_k \llamada1$] 43 | |z|^5(3\cos(k\pi) + 2) = -2^5 44 | \llave{cl}{ 45 | \flecha{$k$}[par] & 0 < |z|^5(3 + 2) \distinto -2^5 \quad \text{\faIcon{skull}} \\ 46 | \flecha{$k$}[impar] & |z|^5(-3 + 2) = -2^5 \sii |z| = 2 47 | } 48 | \end{array} 49 | $$ 50 | Finalmente teniendo en cuenta que $k$ tiene que ser impar, y que el $\arg(z) \en [0, 2\pi)$: 51 | $$ 52 | z_k = 2 e^{\theta_k i} \quad \text{ con $ \theta_k = \frac{1}{5}k\pi \ytext k \en \set{1,3,5,7,9}$} 53 | $$ 54 | 55 | % Contribuciones 56 | \begin{aportes} 57 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 58 | %\aporte{url}{nombre icono} 59 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz}{naD GarRaz \github} 60 | \end{aportes} 61 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-2-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | 3 | Escribir los dos primeros y los dos últimos términos de las expresiones siguientes 4 | \begin{multicols}{5} 5 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 6 | \item $\sumatoria{i=6}{n} 2(i - 5)$ 7 | \item $\sumatoria{i=n}{2n} \frac{1}{i(i+1)}$ 8 | \item $\sumatoria{i=1}{n} \frac{n + i}{2i}$ 9 | \item $\sumatoria{i=1}{n^2} \frac{n}{i}$ 10 | \item $\productoria{i=1}{n} \frac{n + i}{2i - 3}$ 11 | \end{enumerate} 12 | \end{multicols} 13 | 14 | \end{enunciado} 15 | Llamo $t_1$, $t_2$ a los primeros términos y $t_{m-1}$, $t_m$ a los últimos\\ 16 | 17 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 18 | \item $\sumatoria{i=6}{n}2(i - 5)$\par 19 | 20 | $t_1 = 2(6 - 5) = 2 \quad t_2 = 2(7 - 5) = 4$\par 21 | $t_{m-1} = 2((n - 1) - 5) = 2n - 12 \quad t_m = 2(n - 5) = 2n - 10$ 22 | 23 | \item $\sumatoria{i=n}{2n} \frac{1}{i(i+1)}$\par 24 | $t_1 = \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n^2 + n} \quad t_2 = \frac{1}{(n+1)((n+1) + 1)} = \frac{1}{n^2 + 3n + 2}$\par 25 | $t_{m-1} = \frac{1}{(2n-1)(2n-1+1)} = \frac{1}{4n^2-2n} \quad t_m = \frac{1}{2n(2n+1)} = \frac{1}{4n^2 + 2n}$ 26 | 27 | \item $\sumatoria{i=1}{n} \frac{n + i}{2i}$\par 28 | $t_1 = \frac{n + 1}{2} \quad t_2 = \frac{n + 2}{4}$\par 29 | $t_{m-1} = \frac{n + (n-1)}{2(n-1)} = \frac{2n - 1}{2n - 2} \quad t_m = \frac{n + n}{2n} = \frac{2n}{2n} = 1$ 30 | 31 | \item $\sumatoria{i=1}{n^2} \frac{n}{i}$\par 32 | $t_1 = n \quad t_2 = \frac{n}{2}$\par 33 | $t_{m-1} = \frac{n}{n^2 - 1} \quad t_m = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$ 34 | 35 | \item $\productoria{i=1}{n} \frac{n + i}{2i - 3}$\par 36 | $t_1 = \frac{n + 1}{2 - 3} = - n - 1 \quad t_2 = \frac{n + 2}{4 - 3} = n + 2$\par 37 | $t_{m-1} = \frac{n + (n-1)}{2(n-1) - 3} = \frac{2n - 1}{2n - 5} \quad t_m = \frac{n + n}{2n - 3} = \frac{2n}{2n - 3}$ 38 | \end{enumerate} 39 | 40 | % Contribuciones 41 | \begin{aportes} 42 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 43 | %\aporte{url}{nombre icono} 44 | \item \aporte{https://www.instagram.com/GabiEGV}{Gabriel Garcia \instagram} 45 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz}{Nad Garraz \github} 46 | \item \aporte{\neverGonnaGiveYouUp}{FedeMisterio \youtube} 47 | \end{aportes} 48 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-2-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Factorizar el polinomio 3 | $ 4 | P = X^6 - X^5 - 13X^4 + 14X^3 + 35X^2 -49X + 49 5 | $ 6 | como producto de irreducibles en $\complejos[X], \reales[X] \ytext \racionales[X]$ sabiendo que $\sqrt7$ es una 7 | raíz múltiple. 8 | 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | \begin{center} 12 | Un polinomio con coeficientes racionales, y una raíz irracional $\alpha = \sqrt7$, 13 | tendrá también al \textit{conjugado irracional} 14 | \footnote{Estoy usando la misma notación para \textit{conjugado racional} y 15 | \textit{conjugado complejo}. ¿Está bien? No sé, no me importa mientras se entienda.} 16 | , $\conj{\alpha} = -\sqrt{7}$\par 17 | 18 | Si agregamos la información de que $\sqrt7$ es \textit{por lo menos} raíz doble, obtenemos que:\par 19 | \end{center} 20 | $$ 21 | \llave{l}{ 22 | \sqrt7 \text{ es raíz de } f 23 | \entonces 24 | -\sqrt7 \text{ es raíz de } f 25 | \entonces 26 | (X^2 - 7) \divideA f\\ 27 | \sqrt7 \text{ es raíz doble de } f 28 | \entonces 29 | -\sqrt7 \text{ es raíz doble de } f 30 | \entonces 31 | (X^2 - 7)^2 = X^4 - 14X^2 + 49 \divideA f \Tilde\\ 32 | } 33 | $$ 34 | 35 | $$ 36 | \divPol{X^6-X^5-13X^4+14X^3+35X^2-49X+49}{X^4-14X^2+49} 37 | $$ 38 | 39 | Todo hermoso. Nos queda un polinomio de grado 2 para laburar en la factorización: 40 | $$ 41 | f = (X^4-14X^2+49) \cdot (X^2 - X + 1), 42 | $$ 43 | se fusila con la resolvente: 44 | $$ 45 | \flecha{se escribe así para}[no ofender a nadie] 46 | \llave{l}{ 47 | \alpha_{+,-} = \frac{1 \pm \blue{w}}{2}\\ 48 | \blue{w}^2 = -3 49 | } 50 | \to 51 | f = (X^4-14X^2+49) \cdot \textstyle (X - (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3 }{2})) (X - (\frac{1}{2} -i \frac{\sqrt3 }{2})) 52 | $$ 53 | Finalmente las factorizaciones en sus 3 deliciosos sabores: 54 | $$ 55 | \cajaResultado{ 56 | \llave{rcl}{ 57 | \racionales[X] & \to & f = (X^2 + 7)^2 (X^2 - X + 1) \\ 58 | \reales[X] & \to & f = (X + \sqrt7)^2(X - \sqrt7)^2 (X^2 - X + 1)\\ 59 | \complejos[X] & \to & f = (X + \sqrt7)^2(X - \sqrt7)^2 (X - (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3 }{2})) (X - (\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt3 }{2})) 60 | }} 61 | $$ 62 | 63 | \begin{aportes} 64 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 65 | \end{aportes} 66 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1-extra/ej-extra-1-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Probar la propiedad distributiva: $X \inter (Y \union Z) = (X \inter Y) \union (X \inter Z)$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Tengo que hacer una doble inclusión: 6 | 7 | \begin{enumerate}[label=\magenta{\arabic*)}] 8 | \item $X \inter (Y \union Z) \subseteq (X \inter Y) \union (X \inter Z)$ 9 | \item $X \inter Y) \union (X \inter Z) \subseteq X \inter (Y \union Z)$ 10 | \end{enumerate} 11 | 12 | \begin{enumerate}[label=\magenta{\arabic*)}] 13 | \item 14 | $x \en X \inter (Y \union Z)$ quiere decir que $x \en X$ y 15 | $\llaves{c}{ 16 | x \en Y \\ 17 | \text{o bien} \\ 18 | x \en Z 19 | } $. 20 | Por lo tanto 21 | $\to 22 | \llaves{c}{ 23 | x \en X \inter Y\\ 24 | \text{o bien} \\ 25 | x \en X \inter Z 26 | }$, lo que equivale a $x \en (X \inter Y) \union (X \inter Z)$ \Tilde. 27 | 28 | \item 29 | Ahora hay que probar la vuelta. Uso razonamiento análogo:\par 30 | 31 | $$ 32 | x \en (X \inter Y) \union (X \inter Z) 33 | \entonces x \en X 34 | \quad y \quad 35 | \llave{c}{ 36 | x \en X \inter Y \\ 37 | \otext \\ 38 | x \en X \inter Z 39 | }$$ 40 | Pero teniendo en cuenta que: 41 | $$ 42 | \llave{c}{ 43 | Y \subseteq Y \union Z \\ 44 | \text{ y que } \\ 45 | Z \subseteq Z \union Y, 46 | } 47 | \Entonces{\red{!!}} 48 | \llave{c}{ 49 | x \en X \inter (Y \union Z) \\ 50 | \text{ o bien } \\ 51 | x \en X \inter (Z \union Y) 52 | 53 | }\entonces x \en X \inter (Y \union Z) 54 | $$ 55 | En \red{!!} uso algo "obvio" pero que me sirve para seguir bien donde está $x$: Resalto que si un elemento está en 56 | $Y$ seguro va a estar en la unión de $Y$ con lo que sea. 57 | 58 | \end{enumerate} 59 | 60 | % Contribuciones 61 | \begin{aportes} 62 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 63 | %\aporte{url}{nombre icono} 64 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz}{Nad Garraz \github} 65 | \end{aportes} 66 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-10-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Determinar todos los primos $p$ positivos tales que el polinomio 3 | $$ 4 | f = p X^3 - X^2 + 13X - 1 5 | $$ 6 | tenga al menos una raíz racional positiva. Para cada valor de $p$ hallado, factorizar $f$ como producto de polinomios irreducibles en 7 | $\racionales[X],\,\reales[X] \ytext \complejos[X]$. 8 | \end{enunciado} 9 | El \hyperlink{teoria-7:lema-gauss}{lema de Gauss} dice que las raíces racionales que el polinomio puede tener, tienen que estar en el 10 | conjunto de los divisores del \textit{coeficiente principal} $p$ y el \textit{termino independiente} $-1$: 11 | $$ 12 | \set{\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3},\pm \frac{1}{5},\pm \frac{1}{7}, \dots, \pm \frac{1}{p}} 13 | $$ 14 | Ahora hay que hacer cuentas para todos los primos y ver cuál funciona, \textit{nah, mentira}. 15 | Si $\frac{1}{p}$ es raíz entonces hay que dividir {\tiny ($p^{-1} = \frac{1}{p}$, boludeces, no!)}: 16 | $$ 17 | \divPol{pX^3 - X^2 + 13X -1}{X-\frac{1}{p}} 18 | $$ 19 | Y a esto hay que pedirle que el \magenta{resto sea 0}, porque $\frac{1}{p}$ es raíz racional: 20 | $$ 21 | -1 + \frac{13}{p} = 0 \sii p = 13 22 | $$ 23 | 24 | Si $p$ tiene que ser primo y positivo entonces $p = 13$, usando el resultado de la división: 25 | $$ 26 | \begin{array}{rcl} 27 | f = 13 X^3 - X^2 + 13 X - 1 & = & 13 (X - \frac{1}{13}) \cdot (X^2 + 1) \\ 28 | & = & 13 (X - \frac{1}{13}) \cdot (X - i) \cdot (X + i) \\ 29 | \end{array} 30 | $$ 31 | Todo lindo las raíces: 32 | $$ 33 | \llave{rcl}{ 34 | X_1 & = & \frac{1}{13} \\ 35 | X_2 & = & i \\ 36 | X_3 & = & -i \\ 37 | } 38 | $$ 39 | Y factorizado en $\racionales[X],\, \reales[X] \ytext \complejos[X]$ queda. 40 | \begin{center} 41 | \cajaResultado{ 42 | \begin{array}{rcl} 43 | \racionales[X]:\quad f & = & 13\cdot(X - \frac{1}{13}) \cdot (X^2 + 1) \\ 44 | \reales[X]:\quad f & = & 13\cdot(X - \frac{1}{13}) \cdot (X^2 + 1) \\ 45 | \complejos[X]:\quad f & = & 13\cdot(X - \frac{1}{13}) \cdot (X - i) \cdot (X + i) 46 | \end{array} 47 | } 48 | \end{center} 49 | 50 | \begin{aportes} 51 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz}{Nad Garraz \github} 52 | \end{aportes} 53 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-20-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Determinar cuántas funciones $f: \set{1,2,3,\dots,11} \to \set{1,2,3,\dots,16}$ satisfacen simultáneamente las condiciones: 3 | \begin{multicols}{3} 4 | \begin{itemize} 5 | \item $f$ es inyectiva, 6 | \item Si $n$ es par, $f(n)$ es par, 7 | \item $f(1) \leq f(3) \leq f(5) \leq f(7)$. 8 | \end{itemize} 9 | \end{multicols} 10 | \end{enunciado} 11 | 12 | \begin{itemize} 13 | \item 14 | La función es inyectiva y cuando \textit{inyecto un conjunto de m elementos en uno de n elementos } 15 | $\to \frac{m!}{(m-n)!}$. 16 | 17 | \item 18 | Para cumplir la segunda condición el Dom($f$) tengo 5 números par $\set{2,4,6,8,10}$ y en el codominio tengo 8 números par 19 | $\set{\foreach \i in {2,4,...,14}{\i,}16}$ al \textit{inyectar} obtengo $\frac{8!}{(8-5)!}$ permutaciones. 20 | 21 | \item 22 | La condición de las desigualdades se piensa con los elementos de la Im($f$) restantes después de la \text{inyección}, que son $16 - 5 = 11$. 23 | De esos 11 elementos quiero tomar 4. El cuántas formas distintas de tomar 4 elementos de un conjunto de 11 elementos se calcula con $\binom{11}{4}$, 24 | número de combinación que cumple las desigualdades, porque todos los números son \underline{distintos}. Para la combinación 25 | \textbf{no hay órden}, elegir $\set{16,1,15,13}$ es lo mismo 26 | \footnote{Que sea lo mismo quiere decir que no lo cuenta nuevamente, el contador aumenta solo si cambian los 27 | elementos y \underline{no} el lugar de los elementos} 28 | que $\set{1,16,13,15}$. Es por eso que \textit{con $4$ elementos seleccionados} 29 | solo hay \underline{una} \textit{permutación} que cumple las desigualdades; en este ejemplo sería $\set{1,13,15,16}$ 30 | 31 | \item 32 | Por último inyecto los número del dominio restantes $\set{9,11}$ en los 7 elementos de Im($f$) que quedaron luego de la combinación de las 33 | desigualdades $\to \frac{7!}{(7-2)!}$ 34 | 35 | Concluyendo, habrían 36 | $$ 37 | \frac{8!}{(8-5)!} \cdot \binom{11}{4} \cdot \frac{7!}{(7-2)!} = 93.139.200 38 | $$ 39 | \end{itemize} 40 | 41 | \begin{aportes} 42 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 43 | \end{aportes} 44 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3-extra/ej-extra-3-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Calcular la cantidad de anagramas de HIPOPOTAMO que preserven el orden 3 | relativo orifinal de las letras I y A, es decir, los que tengan la I 4 | a la izquierda de la A. 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | No sé si ésta es la mejor forma de hacer esto, pero es la forma que 8 | se me ocurrió.\par 9 | En total hay \underline{10 letras}, \red{con repeticiones}. 10 | Primero voy a atacar el tema de la posición relativa de la I y la A. 11 | Calculo todas las posibles posiciones respetando que la I esté a las izquierda de la A.\par 12 | La I fija y cuento posibles lugares para la A: 13 | $$ 14 | \begin{array}{cccccccccc | l} 15 | 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \\ \hline 16 | I & A & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \to \text{ 9 posibles posiciones} \\ 17 | \_ & I & A & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \to \text{ 8 posibles posiciones} \\ 18 | \_ & \_ & I & A & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \to \text{ 7 posibles posiciones} \\ 19 | \_ & \_ & \_ & I & A & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \to \text{ 6 posibles posiciones} \\ 20 | \_ & \_ & \_ & \_ & I & A & \_ & \_ & \_ & \_ & \to \text{ 5 posibles posiciones} \\ 21 | \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & I & A & \_ & \_ & \_ & \to \text{ 4 posibles posiciones} \\ 22 | \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & I & A & \_ & \_ & \to \text{ 3 posibles posiciones} \\ 23 | \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & I & A & \_ & \to \text{ 2 posibles posiciones} \\ 24 | \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & \_ & I & A & \to \text{ 1 posible posición} 25 | \end{array} 26 | $$ 27 | De ahí salen en total $1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = \sumatoria{i=1}{9} i = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ lugares los cuales hay que 28 | rellenar con las letras faltantes.\par 29 | Para cada una de las 45 posiciones de la I y la A correctamente ubicadas tengo que ubicar 8 letras, de donde saldrían 30 | $8!$ posiciones, peeeeero, al tener repeticiones y para no contar cosas de más, divido por la cantidad de letras repetidas tanto para la O como para la P:\par 31 | $$ 32 | \text{Total de anagramas: } 45 \cdot (\frac{8!}{\ub{3!}{\text{O}} \cdot \ub{2!}{\text{P}} }). 33 | $$ 34 | 35 | \begin{aportes} 36 | \item \aporte{https://github.com/nad-garraz/algebraUno}{Nad Garraz \github} 37 | \end{aportes} 38 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-29-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $X = \set{1,2,\dots,20}$, y sea $R$ la relación de orden en $\partes(X)$ definida por: 3 | $A \relacion B \sisolosi A - B = \vacio.$ 4 | 5 | ¿Cuántos conjuntos $A \en \partes(X)$ cumplen simultáneamente $\#A \geq 2$ y $A \relacion \set{1,2,3,4,5,6,7,8,9}$? 6 | \end{enunciado} 7 | 8 | Los ingredientes: 9 | \begin{enumerate}[label=\purple{\faIcon{utensils}$_{(\arabic*)}$}] 10 | \item Para que se cumpla que $A \relacion B$ necesito que $A \en \partes(\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9})$ 11 | \item Además necesito que por lo menos tenga $\#A \geq 2$ 12 | \end{enumerate} 13 | 14 | Por lo tanto es cuestión de ir agarrando elementos de $\partes(\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9})$ teniendo en cuenta que esos 15 | elementos tienen que tener \textit{un cardinal mayor o igual a $2$}. Por favor entender que los \textit{elementos del conjunto partes son conjuntos.} 16 | 17 | \medskip 18 | 19 | Esto es un trabajo para \simpleicon{burgerking}, digo el \textit{número combinatorio:} 20 | $$ 21 | \binom{9}{2} + 22 | \binom{9}{3} + 23 | \binom{9}{4} + 24 | \binom{9}{5} + 25 | \binom{9}{6} + 26 | \binom{9}{7} + 27 | \binom{9}{8} + 28 | \binom{9}{9} = \llamada1 29 | $$ 30 | Y si querés averiguar cuanto \textit{verga} es eso ahí tenés un laburo para \simpleicon{mcdonalds}, digo el \textit{binomio de Newton:} 31 | {\small 32 | $$ 33 | \textstyle 34 | (x + y)^n = \sumatoria{k=0}{n}\binom{n}{k} x^n y ^{n-k} 35 | \Entonces{$x = y = 1$}[$n = 9$] 36 | 2^9 = 37 | \sumatoria{k=0}{9}\binom{9}{k} = 38 | \ub{\binom{9}{0}}{=1} + 39 | \ub{\binom{9}{1}}{=9} + 40 | \ub{ 41 | \binom{9}{2} + 42 | \binom{9}{3} + 43 | \binom{9}{4} + 44 | \binom{9}{5} + 45 | \binom{9}{6} + 46 | \binom{9}{7} + 47 | \binom{9}{8} + 48 | \binom{9}{9} 49 | } 50 | { 51 | \llamada1 52 | } 53 | $$ 54 | } 55 | Despejando: 56 | $$ 57 | \cajaResultado{ 58 | \llamada1 = 59 | \binom{9}{2} + 60 | \binom{9}{3} + 61 | \binom{9}{4} + 62 | \binom{9}{5} + 63 | \binom{9}{6} + 64 | \binom{9}{7} + 65 | \binom{9}{8} + 66 | \binom{9}{9} = 67 | 2^9 - 10 = 502 68 | } 69 | $$ 70 | 71 | Me voy a comer algo, \faIcon{handshake}. 72 | 73 | \begin{aportes} 74 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 75 | \end{aportes} 76 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-20-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %Graficos 2 | \def\veinte{ 3 | \begin{tikzpicture}[ 4 | node distance=1.2cm, 5 | nodo/.style={circle, draw, color={##1}, inner sep=1pt, outer sep=1pt}, 6 | arista/.style={-{Latex[length=2pt]}, ultra thin, bend left=15, color={##1}}, 7 | rulo/.style 2 args = {-{Latex[length=2pt]}, out=##1, in=##1+45, looseness=4, color={##2}} 8 | ] 9 | 10 | \node[nodo=Cerulean] (1) {$1$}; 11 | \node[nodo=Cerulean, right of=1] (3) {$3$}; 12 | 13 | \node[nodo=Cerulean, below of=1] (4) {$4$}; 14 | \node[nodo=Cerulean, right of=4] (6) {$6$}; 15 | 16 | \node[nodo=Cerulean, above left of=1] (2) {$2$}; 17 | \node[nodo=Cerulean, above right of=1] (5) {$5$}; 18 | 19 | \draw[arista=Cerulean] (1) to (3); 20 | \draw[arista=Cerulean] (3) to (1); 21 | \draw[arista=Cerulean] (4) to (6); 22 | \draw[arista=Cerulean] (6) to (4); 23 | 24 | \draw[rulo={150}{Cerulean}] (1) to (1); 25 | \draw[rulo={-30}{Cerulean}] (3) to (3); 26 | \draw[rulo={150}{Cerulean}] (4) to (4); 27 | \draw[rulo={-30}{Cerulean}] (6) to (6); 28 | 29 | % Al final para que agarre todo lo graficado 30 | \draw[thick, rounded corners=5pt] 31 | ([xshift=-5pt,yshift=-5pt]current bounding box.south west) 32 | rectangle 33 | ([xshift=5pt,yshift=5pt]current bounding box.north east) node [above right] {$A$}; 34 | \end{tikzpicture} 35 | } 36 | % fin gráficos 37 | 38 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 39 | Sea $A = \set{1, 2, 3, 4, 5, 6}$. Graficar la relación, 40 | $$ 41 | \relacion = \set{(1,1), (1,3), (3,1), (3,3), (6,4), (4,6), (4,4), (6,6)} 42 | $$ 43 | como está hecho en el ejercicio anterior y determinar si es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. 44 | \end{enunciado} 45 | 46 | \begin{minipage}{0.25\textwidth} 47 | \veinte 48 | \end{minipage} 49 | \begin{minipage}{0.7\textwidth} 50 | \begin{itemize} 51 | \item No es reflexiva porque no hay bucles ni en 2 ni en 5. 52 | \item Es simétrica, porque hay ida y vuelta en todos los pares de vértices. 53 | \item No es antisimétrica, porque $1 \relacion 3$ y $3 \relacion 1$ con $1 \neq 3$. 54 | \item Es transitiva. \\ 55 | \red{Chequear. Caso particula donde no hay ternas de $x,y,z$ distintos}. 56 | \blue{Sí, el que $2$ esté ahí solo ni cumple la hipótesis de transitividad.} 57 | \end{itemize} 58 | \end{minipage} 59 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-13-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $A = \set{1,2,3,4,5,6,7}$ y $B = \set{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$. 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \item ¿Cuántas funciones inyectivas $f: A \to B$ hay? 5 | \item ¿Cuántas de ellas son tales que $f(1)$ es par? 6 | \item ¿Y cuántas tales que $f(1)$ y $f(2)$ son pares? 7 | \end{enumerate} 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 11 | \item Una pregunta equivalente a si tengo 10 pelotitas distintas y 7 cajitas cómo puedo ordenarlas. 12 | $$ 13 | \llave{c c c c c c c}{ 14 | \#10 & \#9 & \#8 & \#7 & \#6 & \#5 & \#4 \\ 15 | \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 16 | f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) 17 | } 18 | \to 19 | \cajaResultado{ 20 | \frac{10!}{3!} 21 | } = \magenta{\frac{\#B}{\#B - \#A} } 22 | $$ 23 | 24 | \item Hay 5 números pares para elegir como imagen de $f(1)$: 25 | $$ 26 | \llave{c c c c c c c}{ 27 | \#5 & \#9 & \#8 & \#7 & \#6 & \#5 & \#4 \\ 28 | \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 29 | f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) 30 | } 31 | \to 32 | \cajaResultado{ 33 | 5 \cdot \frac{9!}{3!} 34 | } 35 | $$ 36 | 37 | \item Hay 5 números pares para elegir como imagen de $f(1)$, luego habrá 4 números pares para $f(2)$\\ 38 | $$ 39 | \llave{c c c c c c c}{ 40 | \#5 & \#4 & \#8 & \#7 & \#6 & \#5 & \#4 \\ 41 | \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 42 | f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) 43 | } 44 | \to 45 | \cajaResultado{ 46 | 5 \cdot 4 \cdot \frac{8!}{3!} 47 | } 48 | $$ 49 | \end{enumerate} 50 | 51 | \begin{aportes} 52 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 53 | \end{aportes} 54 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-13-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $f \en \racionales[X]$ el polinomio mónico de grado mínimo que satisface simultáneamente 3 | \begin{enumerate}[label={\tiny $\blacksquare$}] 4 | \item $X^2 + 2X + 5$ divide a $(f:f')$, 5 | \item $X^2 - 4X + 1$ divide a $(f:f'')$, 6 | \item $f'(2-\sqrt{3}) = 0$. 7 | \end{enumerate} 8 | Hallar la factorización de $f$ en $\complejos[X]$, en $\reales[X]$ y en $\racionales[X]$. 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | Acomodo un poco el enunciado: 12 | $$ 13 | \begin{array}{l} 14 | X^2 + 2X + 5 15 | \igual{\red{!}} 16 | (X - (-1 + 2i)) \cdot (X - (-1 - 2i)) \\ 17 | X^2 -4 X + 1 18 | \igual{\red{!}} 19 | (X - (2 + \sqrt{3})) \cdot (X - (\blue{2 - \sqrt{3}})) \\ 20 | \end{array} 21 | $$ 22 | Tengo que $\blue{2 - \sqrt{3}}$ por lo menos es triple ya que por la segunda y tercera condición: 23 | $$ 24 | \begin{array}{l} 25 | (X - (\blue{2 - \sqrt{3}}) \divideA f , \\ 26 | (X - (\blue{2 - \sqrt{3}}) \divideA f' \qquad \text{ por tercerca condición} \\ 27 | \ytext \\ 28 | (X - (\blue{2 - \sqrt{3}}) \divideA f'' \qquad \text{ por segunda condición} \\ 29 | \end{array} 30 | $$ 31 | 32 | Las raíces complejas $-1 + 2i$ y $-1 - 2i$ son por lo menos dobles. 33 | 34 | \bigskip 35 | 36 | Para que se cumpla la segunda condición las 2 raíces irracionales van a tener que tener la misma multiplicidad. 37 | 38 | \medskip 39 | 40 | Factorización en $\racionales[X]$: 41 | $$ 42 | \cajaResultado{ 43 | f = 44 | (X^2 + 2X + 5)^2 45 | \cdot 46 | (X^2 - 4X + 1)^3 47 | } 48 | $$ 49 | 50 | Factorización en $\reales[X]$: 51 | $$ 52 | \cajaResultado{ 53 | f = 54 | (X^2 + 2X + 5)^2 55 | \cdot 56 | (X - (\blue{2 - \sqrt{3}}))^3 57 | \cdot 58 | (X - (2 + \sqrt{3}))^3 59 | } 60 | $$ 61 | 62 | Factorización en $\complejos[X]$: 63 | $$ 64 | \cajaResultado{ 65 | f = 66 | (X - (-1 + 2i))^2 \cdot (X - (-1 - 2i))^2 \\ 67 | \cdot 68 | (X - (\blue{2 - \sqrt{3}}))^3 69 | \cdot 70 | (X - (2 + \sqrt{3}))^3 71 | } 72 | $$ 73 | \begin{aportes} 74 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 75 | \item \aporte{https://github.com/olivportero}{Olivia Portero \github} 76 | \end{aportes} 77 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-22-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $a, b \en \enteros$ con $(a:b) = 2$. Probar que los valores posibles para 3 | $(7a + 3b: 4a - 5b)$ son $2$ y $94$. 4 | Exhibir valores de $a$ y $b$ para los cuales da $2$ y para los cuales da $94$. 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | Si $d = (7a + 3b: 4a - 5b)$, entonces $d$ divide a ambas expresiones. Podemos \textit{coprimizar} 8 | para hacer las cuentas más chicas: 9 | 10 | Dado que $(a:b) = 2 $, puedo cambiar las variables: 11 | $$ 12 | \flecha{cambio}[variables] 13 | \llamada1 14 | \llave{rcl}{ 15 | a &=& 2A \\ 16 | b &=& 2B 17 | } 18 | $$ 19 | Donde ahora $(A:B) = 1$. Reemplazando en la expresión de $d$ obtengo así una para $D$: 20 | $$ 21 | d = 22 | (7\cdot 2A + 3\cdot 2B : 4 \cdot 2A - 5 \cdot 2B) = 23 | 2\cdot \ub{(7A + 3B : 4A - 5B)}{D} \igual{$\llamada2$} 24 | 2D 25 | \entonces 26 | D = (7A + 3B : 4A - 5B) 27 | $$ 28 | Busco posibles divisores de $D$: 29 | $$ 30 | \begin{cases} 31 | D \divideA 7A + 3B \\ 32 | D \divideA 4A - 5B 33 | \end{cases} 34 | \Entonces{$4F_1 \to F_1$}[$7F_2 \to F_2$] 35 | \begin{cases} 36 | d \divideA 28A + 12B \\ 37 | d \divideA 28A - 35B 38 | \end{cases} 39 | \entonces 40 | d \divideA 47B 41 | $$ 42 | 43 | $$ 44 | \begin{cases} 45 | D \divideA 7A + 3B \\ 46 | D \divideA 4A - 5B 47 | \end{cases} 48 | \Entonces{$5F_1 \to F_1$}[$3F_2 \to F_2$] 49 | \begin{cases} 50 | D \divideA 35A + 15B \\ 51 | D \divideA 12A - 15B 52 | \end{cases} 53 | \entonces 54 | D \divideA 47A 55 | $$ 56 | \ul{Como $A$ y $B$ son coprimos} los únicos posibles divisores de $D$ son: 57 | $$ 58 | D \en \set{1, 47} 59 | $$ 60 | Para obtener el $D = 1$ por inspección saco: 61 | $$ 62 | A = 1 ~\land~ B = 0 63 | \entonces 64 | D = (7:4) = 1 65 | $$ 66 | Y en las variables originales $\llamada1$: 67 | $$ 68 | \cajaResultado{ 69 | a = 2 ~\land~ b = 0 \Entonces{$\llamada2$} d = 2 70 | } 71 | $$ 72 | 73 | Para obtener el $D = 47$ por inspección saco: 74 | $$ 75 | A = 5 ~\land~ B = 4 76 | \entonces 77 | D = (47:0) = 47 78 | $$ 79 | Y en las variables originales $\llamada1$: 80 | $$ 81 | \cajaResultado{ 82 | a = 10 ~\land~ b = 8 \Entonces{$\llamada2$} d = 94 83 | } 84 | $$ 85 | 86 | \begin{aportes} 87 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 88 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 89 | \end{aportes} 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-15-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar el resto de la división de $a$ por $p$ en los casos. 3 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 4 | \item $a = 33^{1427}, \, p =5$ 5 | \item $a = 71^{22283},\, p=11$ 6 | \item $a = 5 \cdot 7^{2451} + 3 \cdot 65^{2345} - 23 \cdot 8^{138}, \, p = 13$ 7 | \end{enumerate} 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | \begin{enumerate}[label=\alph*)] 11 | \item Escribo como ecuación de congruencia: 12 | $$ 13 | \congruencia{33^{1427}}{3^{1427}}{5} 14 | $$ 15 | Dado que 5 es primo puedo usar el PTF, notar que $r_4(1427) = 3 $ 16 | $$ 17 | \congruencia{33^{1427}}{3^{1427}}{5} 18 | \Sii{PTF} 19 | \congruencia{3^{1427}}{3^3}{5} \ytext 3^3 = 27 \conga5 2 20 | $$ 21 | Por lo tanto: 22 | $$ 23 | r_5(33^{1427}) = 2 24 | $$ 25 | \item 26 | Rescribo: $22283 = 22280 + 3$ y notar que el $r_{10}(22280) = 0$ 27 | $$ 28 | a = 71^{22283} = 29 | 71^{22280 + 3} = 30 | 71^{22280} \cdot 71^3 31 | \taa{PTF}[\red{!}]{\congruente} 71^3 \ (11) 32 | \sii 33 | \congruencia{a}{5^3 \congruente 4}{11} 34 | $$ 35 | Por lo tanto: 36 | $$ 37 | r_{11}(a) = 4 38 | $$ 39 | 40 | \item 41 | Acomodo un poco la expresión, pensando en el PTF. Los exponentes tienen que quedar lindos para encontrar los restos de $p-1$ 42 | $$ 43 | \begin{array}{l} 44 | \congruencia{a}{5 \cdot 7^{2448 + 3} + 0 - 10 \cdot 8^{132 + 6}}{13} 45 | \Sii{PTF}[\red{!}] 46 | \congruencia{a}{5 \cdot 7^3 - 10 \cdot 8^6}{13} 47 | \Sii{\red{!!}} 48 | \congruencia{a}{5 \cdot 5 - 23 \cdot 12}{13} 49 | \end{array} 50 | $$ 51 | \parrafoDestacado[\faIcon{calculator}]{ 52 | \textit{Nota que puede ser de interés:} 53 | 54 | Con la calculadora salen fácil los cálculos, pero está bueno poder calcularlos a mano masajeando las potencias, onda 55 | $8^6 = (8^2)^3 = 64^3 \conga{13} (-1)^3 = -1 \conga{13} 12$ 56 | } 57 | Un par de cuentas y calcular congruencia y queda: 58 | $$ 59 | \congruencia{a}{9}{13} 60 | $$ 61 | \end{enumerate} 62 | 63 | \begin{aportes} 64 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 65 | \end{aportes} 66 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2-extra/ej-extra-9-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Probar que $\productoria{k=1}{n}\frac{10k - 5}{2k} > n 3^{n-1}$ para todo $n \en \naturales$. 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Inducción pura y dura. 6 | 7 | \bigskip 8 | 9 | Quiero probar la siguiente proposición: 10 | $$ 11 | p(n) : 12 | \productoria{k=1}{n}\frac{10k - 5}{2k} > n 3^{n-1} \quad \paratodo n \en \naturales 13 | $$ 14 | 15 | \textit{Caso Base:} 16 | $$ 17 | p(\blue{1}) : 18 | \productoria{k=1}{\blue{1}}\frac{10k - 5}{2k} > \blue{1} 3^{\blue{1}-1} = \frac{5}{2} > \blue{1} \cdot 3^{\blue{1} - 1} = 1 19 | $$ 20 | Por lo tanto $p(\blue{1})$ resultó ser verdadera. 21 | 22 | \medskip 23 | 24 | Asumo ahora para algún $k \en \naturales$ 25 | $$ 26 | p(\blue{h}) : 27 | \ub{\productoria{k=1}{\blue{h}}\frac{10k - 5}{2k} > \blue{h} 3^{\blue{h}-1} 28 | > 29 | \blue{h} \cdot 3^{\blue{h} - 1}}{\text{\purple{hipótesis inductiva}}} 30 | $$ 31 | es verdadera. Y quiero probar que: 32 | $$ 33 | p(\blue{h+1}) : \productoria{k=1}{\blue{h+1}}\frac{10k - 5}{2k} > \blue{h+1} 3^{\blue{h+1}-1} 34 | > 35 | (\blue{h+1}) \cdot 3^{\blue{h+1} - 1} = 36 | (\blue{h+1}) \cdot 3^{\blue{h}} 37 | $$ 38 | Partiendo del paso $(\blue{h + 1})-$ésimo: 39 | $$ 40 | \begin{array}{rcl} 41 | \productoria{k=1}{\blue{h+1}}\frac{10k - 5}{2k} 42 | & \igual{\red{!}} & 43 | \frac{10(\blue{h+1}) - 5}{2(h+1)} \cdot 44 | \productoria{k=1}{\blue{h}}\frac{10k - 5}{2k} \\ 45 | & \mayor{\purple{HI}} & 46 | \frac{10\blue{h} + 5}{2(h+1)} \cdot \blue{h}\cdot 3^{\blue{h}-1} \\ 47 | & \mayor{\red{!}} & 48 | (\blue{h+1}) \cdot 3^{\blue{h}} 49 | \end{array} 50 | $$ 51 | Si podemos probar que el último $\mayor{\red{!}}$ es verdadero, listo, ganamos. Acomodo un poco, nada raro: 52 | $$ 53 | \frac{10\blue{h} + 5}{2(h+1)} \cdot \blue{h}\cdot 3^{\blue{h}-1} 54 | > 55 | (\blue{h+1}) \cdot 3^{\blue{h}} 56 | \Sii{\red{!}} 57 | 10h^2 + 5h > 6(h+1)^2 58 | \sisolosi 59 | 4h^2 - 7h -6 > 0 60 | $$ 61 | Esa última desigualdad es verdadera $ \paratodo h\en \naturales_{>2}$. Se puede probar a mano que $p(n = 2)$ es veradera. 62 | 63 | \bigskip 64 | 65 | Dado que $p(1),~ p(2),~ p(h) \ytext p(h+1)$ resultaron ser verdaderas, por el principio de inducción también lo es $p(n)$ para todo $n \en \naturales$ como se 66 | quería mostrar. 67 | 68 | \begin{aportes} 69 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 70 | \end{aportes} 71 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6-extra/ej-extra-4-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $w = e^{\frac{\pi}{18} i}$. Hallar todos los $n\en \naturales$ que cumplen simultáneamente: 3 | $$ 4 | \sumatoria{k=0}{5n+1}w^{3k} = 0 \qquad 5 | \sumatoria{k=0}{4n+6}w^{4k} = 0. 6 | $$ 7 | Expresar la solución como una única ecuación de congruencia. 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | Por enunciado tengo que: 11 | $$ 12 | w = e^{\frac{1}{18} \pi i} 13 | \sii 14 | \llave{l}{ 15 | w^3 = e^{\frac{1}{6} \pi i} \distinto 1 \\ 16 | w^4 = e^{\frac{2}{9} \pi i} \distinto 1 17 | }, 18 | $$ 19 | puedo usar la serie geométrica. 20 | 21 | $$ 22 | \sumatoria{k=0}{5n+1}w^{3k} = 23 | \sumatoria{k=0}{5n+1}(w^3)^k = 24 | \frac{(w^3)^{5n+2} - 1}{w^3 - 1} = 0 25 | \sii 26 | (w^3)^{5n+2} = 1. 27 | $$ 28 | Queda una ecuación para encontrar $w$: 29 | $$ 30 | \begin{array}{c} 31 | (w^3)^{5n+2} = 1 32 | \Sii{laburo}[exponente] 33 | \frac{15n + 6}{18}\pi = 2k\pi 34 | \sii 35 | 5n + 2 = 12k 36 | \Sii{def} 37 | \congruencia{5n}{10}{12}\llamada1 38 | \end{array} 39 | $$ 40 | Y tenemos una ecuación. Calculo la otra sumatoria: 41 | $$ 42 | \sumatoria{k=0}{4n+6}w^{4k} = 43 | \sumatoria{k=0}{4n+6}(w^4)^k = 44 | \frac{(w^4)^{4n+7} - 1}{w^4 - 1} = 0 45 | \sii 46 | (w^4)^{4n+7} = 1 \\ 47 | $$ 48 | Igual que antes, busco los $w$ que satisfacen: 49 | $$ 50 | \begin{array}{c} 51 | (w^4)^{4n+7} = 1 52 | \Sii{laburo}[exponente] 53 | \frac{16n + 28}{18}\pi = 2k\pi 54 | \sii 55 | 4n + 7 = 9k 56 | \Sii{def} 57 | \congruencia{4n}{2}{9}\llamada2 58 | \end{array} 59 | $$ 60 | Con la segunda ecuación armo sistema y \href{\chinito}{TCH}: 61 | $$ 62 | \begin{array}{c} 63 | \llamada1 \\ 64 | \llamada2 65 | \end{array} 66 | \llave{l}{ 67 | \congruencia{n}{2}{12} \\ 68 | \congruencia{n}{5}{9} 69 | } 70 | \leftrightsquigarrow 71 | \llave{l}{ 72 | \congruencia{n}{2}{3} \\ 73 | \congruencia{n}{2}{4} \\ 74 | \congruencia{n}{2}{3} 75 | } 76 | \taa{\red{!}}{\leftrightsquigarrow} 77 | \llave{l}{ 78 | \congruencia{n}{2}{4} \\ 79 | \congruencia{n}{5}{9} 80 | } 81 | \flecha{$9 \cop 4$ hay}[solución por \href{\chinito}{TCR}] 82 | \cajaResultado{\congruencia{n}{14}{36}} 83 | $$ 84 | 85 | % Contribuciones 86 | \begin{aportes} 87 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 88 | \item \aporte{https://github.com/JowinTeran}{Ale Teran \github} 89 | \end{aportes} 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-9-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Hallar $f \en \racionales[X]$ de grado mínimo tal que cumpla las siguientes condiciones 3 | \begin{itemize} 4 | \item $f$ comparte una raíz con $X^3 - 3X^2 + 7X -5$ 5 | \item $X+3-\sqrt{2} \divideA f$, 6 | \item $1-2 i$ es raíz de $f$ y $f'(1-2i) = 0$ 7 | \end{itemize} 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | Vamos con la primera. Si dos polinomios , $f$ y $g = X^3 - 3X^2 + 7X -5$, comparten raíz 11 | buscamos raíces de $g$ con el \hyperlink{teoria-7:lema-gauss}{\textit{lema de Gauss}} de donde 12 | tomaremos las raíces que nos sirvan para construir nuestro $f$ \textit{mónico y de grado mínimo}: 13 | $A = \set{\pm 1, \pm 5}$, con $\alpha = 1 \entonces g(1) = 0 \Tilde$.\par 14 | Como $\alpha = 1$ es raíz, entonces $X-1 \divideA g$: 15 | 16 | $$ 17 | \divPol{X^3 - 3X^2 + 7X -5}{X-1} 18 | $$ 19 | 20 | $g = (X - 1) \cdot (X^2 -2X + 5)$, busco raíces del cociente $X^2 - 2X + 5$, usando resolvente 21 | $$ 22 | r_{+,-} = \frac{2 \pm w}{2}, \text{ con } w^2 = -16 \to 23 | \llave{l}{ 24 | r_+ = 1 + 2i \\ 25 | r_- = 1 - 2i. 26 | } 27 | $$ 28 | 29 | Finalmente, 30 | 31 | $$ 32 | g 33 | \igual{$\llamada1$} 34 | (X - 1) \cdot \ub{(X - (1+2i)) \cdot (X - (1-2i))}{X^2 -2X + 5} \Tilde, 35 | $$ 36 | 37 | antes de elegir cuales de estas raíces serán comunes a $f$ 38 | 39 | es recomendable estudiar las otras condiciones del enunciado.\par\medskip 40 | 41 | $X + 3 - \sqrt{2} = X - (-3 + \sqrt{2}) \divideA f$, por lo que $(-3 + \sqrt{2})$ es una raíz de $f$ y dado que 42 | $f \en \racionales[X]$ también \red{debe estar} el conjugado irracional $-3 - \sqrt{2}$. 43 | 44 | $$ 45 | \llave{c}{ 46 | X - (-3 + \sqrt{2}) \divideA f \\ 47 | \ytext \\ 48 | X - (-3 - \sqrt{2}) \divideA f 49 | } 50 | \Sii{\red{!}} 51 | X^2 + 6X + 7 \divideA f \Tilde. 52 | $$ 53 | 54 | La tercera condición tiene \textit{mucha data}. Nos da una raíz compleja de $f$, por lo cual también tendremos 55 | su conjugado complejo porque $f \en \racionales[X]$. 56 | 57 | Esa raíz es una de las que está en $ g \llamada1$.\par 58 | 59 | El dato de $f'$, también nos indica que la multiplicidad de $1 - 2i$ como 60 | raíz es por lo menos 2, ya que $f'(1 - 2i) = 0$, y por lo tanto $\mult(1 + 2i;f)$ también será por lo menos 2. \par\medskip 61 | 62 | Tenemos todo para armar a $f$: 63 | 64 | $$ 65 | f = (X^2 - 2X + 5)^2 \cdot (X^2 + 6X + 7) \Tilde 66 | $$ 67 | 68 | 69 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-15-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Factorice en irreducibles de $\racionales[X], \reales[X], \text{ y } \complejos[X]$ el polinomio 3 | $$ 4 | f = x^5 - 4x^4 -6x^3 + 12 x^2 + 40 x + 32, 5 | $$ 6 | sabiendo que tiene alguna raíz en común con $g = x^4 - x^3 - 9x^2 - 16x - 10$. 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | Como los polinomios comparten una raíz, sé que $(f : g) \distinto 1$. Usando al crack, titán de Euclides busco: 10 | $$ 11 | (f:g) \text{ dado que } (f:g) \divideA f \ytext (f:g) \divideA g 12 | $$ 13 | y de ahí voy a sacar las raíces hermosas esas que tanto necesito. 14 | $$ 15 | \divPol{x^5 - 4x^4 -6x^3 + 12 x^2 + 40 x + 32}{x^4 - x^3 - 9x^2 - 16x - 10} 16 | $$ 17 | 18 | $(f : g ) = (x^4 - x^3 - 9x^2 - 16x - 10 : x^2 + 2x + 2)$, sigo con Euclides: 19 | 20 | $$ 21 | \divPol{x^4 - x^3 - 9x^2 - 16x - 10}{x^2 + 2x +2} 22 | $$ 23 | 24 | Este último resultado confirma que: 25 | $$ 26 | (f:g) = x^2 + 2x + 2 \igual{\red{!!}} (x - (-1 + i)) \cdot (x - (-1 - i)) 27 | $$ 28 | Reduzco a $f$ para buscar más raíces: 29 | $$ 30 | \divPol{x^5 - 4x^4 -6x^3 + 12 x^2 + 40 x + 32}{x^2 + 2x + 2} 31 | $$ 32 | De esta manera puedo escribir: 33 | $$ 34 | f = (x^2 + 2x + 2) \cdot (x^3 - 6x^2 + 4x + 16) 35 | $$ 36 | \rollingEyes con el \textit{lema de Gauss} posibles raíces de: 37 | $$ 38 | x^3 - 6x^2 + 4x + 16 \to \set{\pm1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16}. 39 | $$ 40 | De las cuales funciona el 4 \rollingEyes. 41 | 42 | Vuelvo a dividir \rollingEyes: 43 | $$ 44 | \divPol{x^3 - 6x^2 + 4x + 16}{x-4} 45 | $$ 46 | Podemos reescribir {\LARGE \rollingEyes}: 47 | $$ 48 | f = (x^2 + 2x + 2) \cdot (x-4) \cdot (x^2 -2x - 4) 49 | $$ 50 | {\huge \rollingEyes} el último factor tiene raíces $1 - \sqrt{5}$ y $1 + \sqrt{5}$ y ya escribo $f$ en la factorizaciones pedidas: 51 | $$ 52 | \cajaResultado{ 53 | \begin{array}{rcll} 54 | f & = & (x^2 + 2x + 2) \cdot (x - 4) \cdot (x^2 -2x - 4) & \en \racionales[X] \\ 55 | f & = & (x^2 + 2x + 2) \cdot (x - 4) \cdot (x - (1 - \sqrt{5})) \cdot (x - (1 + \sqrt{5})) & \en \reales[X] \\ 56 | f & = & (x - (-1 + i)) \cdot (x - (-1 - i)) \cdot (x - 4) \cdot (x - (1 - \sqrt{5})) \cdot (x - (1 + \sqrt{5})) & \en \complejos[X] 57 | \end{array} 58 | } 59 | $$ 60 | 61 | \begin{aportes} 62 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 63 | \item \aporte{https://github.com/nick052}{Nico Alegre \github} 64 | \end{aportes} 65 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-23-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A$ un conjunto. Describir todas las relaciones en $A$ que son a la vez 3 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 4 | \begin{multicols}{2} 5 | \item simétricas y antisimétricas 6 | \item de equivalencia y de orden 7 | \end{multicols} 8 | \end{enumerate} 9 | \end{enunciado} 10 | 11 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 12 | \item 13 | Una relación en $A$ es simétrica si $a \relacion b \entonces b \relacion a \quad a,b \in A$. 14 | 15 | Una relación en $A$ es antisimétrica si $a \relacion b \, \land \, b \relacion a \entonces a = b$ 16 | 17 | Juntando estas dos restricciones surge que los unicos elementos que sirven para construir tal relación son los de la forma 18 | $(a,a)$, ya que cumplen ambas condiciones, cualquier otro tipo de elemento no cumpliria ambas condiciones simultáneamente. 19 | Es decir $\relacion \subseteq \set{(a,a) | a \in A}$. O visto como un cuadro, todos los elementos de la diagonal, la cantidad 20 | de relaciones de este tipo que se pueden construir son $2^N$, siendo $N$ el cardinal del conjunto $A$. Notése que hay $N$ pares 21 | $(a,a) | a \in A$, luego para constuir la relación podemos elegir si usar o si no ese par, por cada par, el argumento es idéntico a porque 22 | el cardinal de las partes de un conjunto es $2^n$. 23 | 24 | \item de equivalencia y de orden 25 | Para que sea de equivalencia y de orden tienen que cumplir las cuatro propiedades que vimos: \textit{Reflexividad, Simetria, Antisimetria, Transitividad}. 26 | 27 | Por el ítem anterior ya sabemos que solo nos sirven los elementos de la diagonal, 28 | pero al tener que ser reflexiva, es decir que $\paratodo a \en A, a \relacion a$, 29 | si o si tenemos que usar todos los elementos a la vez, ya que si dejamos un elemento sin usar, no sería reflexiva la relacion. 30 | Por el lado de la transitividad, la relación va a ser transitiva siempre pues al no haber dos elementos distintos 31 | relacionados para aplicar la hipótesis, la hipótesis no se aplica nunca, entonces es transitiva. 32 | 33 | Entonces tenemos $\relacion = \set{(a,a) | a \en A}$, por lo tanto solo se puede construir una relación en $A$ que sea 34 | de equivalencia y de orden 35 | 36 | \end{enumerate} 37 | 38 | \begin{aportes} 39 | \item \aporte{https://github.com/sigfripro}{sigfripro \github} 40 | \end{aportes} 41 | -------------------------------------------------------------------------------- /3-guia/ejercicios-3/ej-15-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $A = \set{f : \set{1,2,3,4} \to \set{1,2,3,4,5,6,7,8}} \text{ tal que $f$ es una función inyectiva}.$ 3 | 4 | Sea $\relacion$ la relación de equivalencia en $A$ definida por: $f \relacion g \sisolosi f(1) + f(2) = g(1) + g(2)$. 5 | 6 | Sea $f \en A$ la función definida por $f(n) = n+2$ ¿Cuántos elementos tiene su clase de equivalencia? 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | Las funciónes $f \en A$ del enunciado tiene solo cuatro valores en su $\dom(f)$ y tiene 8 elementos en el $\cod(f)$. 10 | Me dan una $f(\blue{n})$ es específica: 11 | $$ 12 | f(\blue{n}) = \blue{n} + 2 13 | \entonces 14 | \llave{rcl}{ 15 | f(\blue{1}) & = & \blue{1} + 2 = 3 \\ 16 | f(\blue{2}) & = & \blue{2} + 2 = 4 \\ 17 | f(\blue{3}) & = & \blue{3} + 2 = 5 \\ 18 | f(\blue{4}) & = & \blue{4}+ 2 = 6 19 | } 20 | $$ 21 | La cual se relacionará según $\relacion$ con otra funciones $g(n)$ del conjunto $A$ siempre que $g(1) + g(2) = 7$. 22 | Formas de que $g(1) + g(2) = 7$ puede contarse a mano: 23 | $$ 24 | \llave{l}{ 25 | \green{g(1)} + \purple{g(2)} = \green{1} + \purple{6} = 7\\ 26 | \green{g(1)} + \purple{g(2)} = \green{2} + \purple{5} = 7\\ 27 | \green{g(1)} + \purple{g(2)} = \green{3} + \purple{4} = 7\\ 28 | \green{g(1)} + \purple{g(2)} = \green{4} + \purple{3} = 7\\ 29 | \green{g(1)} + \purple{g(2)} = \green{5} + \purple{2} = 7\\ 30 | \green{g(1)} + \purple{g(2)} = \green{6} + \purple{1} = 7 31 | } 32 | $$ 33 | \underline{Un total de $6^{\llamada1}$ formas}. Un ejemplo de una $g$ tal que $f \relacion g$ sería: 34 | $$ 35 | \llave{rcl}{ 36 | g(1) & = & 3 \to \text{ para cumplir } \relacion\\ 37 | g(2) & = & 4 \to \text{ para cumplir } \relacion\\ 38 | g(3) & = & \set{1, 2, 5, 6, 7, 8} \ot \text{alguno de esos que sea \underline{distinto} a } \magenta{g(4)} \\ 39 | g(4) & = & \set{1, 2, 5, 6, 7, 8} \ot \text{alguno de esos que sea \underline{distinto} a } \magenta{g(3)} 40 | } 41 | $$ 42 | Eso último es para que la función sea inyectiva. 43 | Formas de elegir esos últimos 2 valores para $g(3) \ytext g(4)$: 44 | $$ 45 | 6 \cdot 5 = 30 ^{\llamada2} 46 | $$ 47 | 48 | Así concluyendo que la cantidad de funciones $g \en A$ tales que $f \relacion g$ donde $f(n) = n + 2$ será: 49 | $$ 50 | \cajaResultado{ 51 | \flecha{$\llamada1\llamada2$} 6 \cdot 30 = 180 52 | }. 53 | $$ 54 | 55 | \begin{aportes} 56 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 57 | \end{aportes} 58 | -------------------------------------------------------------------------------- /7-guia/ejercicios-7-extra/ej-extra-18-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} \fechaEjercicio{recuperatorio integrador 16/12/2025} 2 | 3 | Sea $f = X^5 + 2X^3 + 2a^3 X^2 + 21X + 2a^2$. Determinar para qué valores de $a \en \complejos$ sucede que 4 | $(X + 1)^2 \divideA (f:f')$. Para cada valor de $a$ hallado, factorizar el polinomio correspondiente como producto 5 | de polinomios irreducibles en $\racionales[X], \reales[X] \ytext \complejos[X]$. 6 | \end{enunciado} 7 | 8 | La condición: 9 | $ 10 | (X + 1)^2 \divideA (f:f') 11 | $ 12 | dice entre otras cosas que $r = -1$ es una raíz \textit{al menos} doble de $f$. 13 | $$ 14 | \llave{ccl}{ 15 | f(-1) = 0 16 | & \sii & 17 | -1 - 2 + 2a^3 - 21 + 2a^2 = 18 | 2a^3 + 2a^2 - 24 = 0 19 | \sii 20 | a^3 + a^2 - 12 = 0 \\ 21 | f'(-1) = 0 22 | & \sii & 23 | 5 + 6 - 4a^3 + 21 = 24 | -4a^3 + 32 = 0 \sii a^3 = 8 25 | \Sii{casi}[$G_3$] 26 | \llave{rcl}{ 27 | a_1 & = & 2\\ 28 | a_2 & = & - 1 +i \sqrt{3}\\ 29 | a_3 & = & - 1 -i \sqrt{3} 30 | } 31 | } 32 | $$ 33 | 34 | A ojímetro $f(a_1) = f(2) = 0$: 35 | $$ 36 | \polyset{vars=a} 37 | \divPol{a^3 + a^2 -12}{a-2} 38 | $$ 39 | 40 | Dado que las raíces del cociente $a^2 + 3a + 6$ no son ni $a_2$ ni $a_3$, el único valor de $a$ que divide simultáneamente 41 | a $f$ y a $f'$ es: 42 | $$ 43 | \magenta{a = 2} 44 | $$ 45 | 46 | Ahora hay que factorizar: 47 | $$ 48 | f = X^5 + 2X^3 + 16 X^2 + 21X + 8 49 | $$ 50 | Bajo grado: 51 | $$ 52 | \polyset{vars=X} 53 | \divPol{X^5 + 2X^3 + 16 X^2 + 21X + 8}{(X + 1)^2} 54 | $$ 55 | Con \textit{Gauss} se puede calcular una raíz o con la calcu o preguntale a tu vieja, en fin $-1$ era una raíz triple: 56 | $$ 57 | \polyset{vars=X} 58 | \divPol{X^3 - 2X^2 + 5X+ 8}{X + 1} 59 | $$ 60 | 61 | Las raíces de 62 | $X^2 - 3X + 8 = 63 | \llave{rcl}{ 64 | r_1 &=& \frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{23}}{2}\\ 65 | r_2 &=& \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{23}}{2} 66 | } 67 | $ 68 | 69 | \textit{Factorizaciones:} 70 | $$ 71 | \cajaResultado{ 72 | \begin{array}{rcl} 73 | Q[X] \ytext R[X] & \to & f = (X-1)^3 (X^2 - 3X + 8) \\ 74 | C[X] \ytext R[X] & \to & f = (X-1)^3 \cdot (X - (\frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{23}}{2})) \cdot (X - (\frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{23}}{2})) 75 | \end{array} 76 | } 77 | $$ 78 | 79 | \begin{aportes} 80 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 81 | \end{aportes} 82 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5-extra/ej-extra-6-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Hallar el resto de la división de $12^{2^n}$ por 7 para cada $n \en \naturales$ 3 | \end{enunciado} 4 | 5 | Arrancamos con un descontracturante masajeo del enunciado: 6 | $$ 7 | \congruencia{12^{2^n}}{5^{2^n}}{7} 8 | $$ 9 | Busco entonces: 10 | $$ 11 | r_7(12^{2^n}) = r_7(5^{2^n}) 12 | $$ 13 | 14 | Ataco con PTF, 7 es primo y $7 \noDivide 5$: 15 | $$ 16 | r_7(5^{2^n}) = \orange{X} 17 | \Sii{def} 18 | \congruencia{\orange{X}}{5^{2^n}}{7} 19 | \Sii{PTF} 20 | \congruencia{\orange{X}}{5^{r_6(2^n)}}{7} \llamada1 21 | $$ 22 | Estudio $r_6(2^n)$: 23 | $$ 24 | r_6(2^n) = \blue{Y} 25 | \Sii{def} 26 | \congruencia{2^n}{\blue{Y}}{6} 27 | \taa{\red{!}}\equivalente 28 | \llave{l}{ 29 | \congruencia{2^n}{\blue{Y}}{3} 30 | \Sii{\red{!!}} 31 | \llave{rl}{ 32 | \congruencia{\blue{Y}}{2}{3} &\text{ si $n$ impar}\\ 33 | \congruencia{\blue{Y}}{1}{3} &\text{ si $n$ par} 34 | } 35 | \\ 36 | \congruencia{2^n \conga2 0}{\blue{Y}}{2} 37 | } 38 | $$ 39 | En \red{!!} pensalo como $2^{2k + 1} = 4^k \cdot 2 \conga3 2$. 40 | Es así que quedan dos sistemas: 41 | $$ 42 | \text{para $n$ impar } 43 | \llave{l}{ 44 | \congruencia{\blue{Y}}{2}{3}\\ 45 | \congruencia{\blue{Y}}{0}{2} 46 | } 47 | \Sii{\href{\chinito}{TCR}} 48 | \congruencia{\blue{Y}}{2}{6} 49 | \quad 50 | \ytext 51 | \quad 52 | \text{para $n$ par } 53 | \llave{l}{ 54 | \congruencia{\blue{Y}}{1}{3}\\ 55 | \congruencia{\blue{Y}}{0}{2} 56 | } 57 | \Sii{\href{\chinito}{TCR}} 58 | \congruencia{\blue{Y}}{4}{6} 59 | $$ 60 | Volviendo a $\llamada1$ sé que los posibles valores que puede 61 | tomar el exponente $\blue{Y} = r_6(2^n)$ son 2 o 4. Es decir que: 62 | $$ 63 | \llave{rl}{ 64 | \congruencia{\orange{X}}{5^2 \conga7 4}{7} & \text{ si $n$ impar} \\ 65 | \congruencia{\orange{X}}{5^4 \conga7 2}{7} & \text{ si $n$ par} \\ 66 | } 67 | $$ 68 | Finalmente: 69 | $$ 70 | \cajaResultado { 71 | r_7(12^{2^n}) = 72 | \llave{ll}{ 73 | 2 & \text{ si } n \text{ par} \\ 74 | 4 & \text{ si } n \text{ impar} 75 | } 76 | } 77 | $$ 78 | 79 | % Contribuciones 80 | \begin{aportes} 81 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 82 | \item \aporte{https://github.com/daniTadd}{Dani Tadd \github} 83 | \item \aporte{https://github.com/nick052}{Nico Alegre \github} 84 | \item \aporte{https://github.com/RamaEche}{Ramiro E. \github} 85 | \end{aportes} 86 | 87 | -------------------------------------------------------------------------------- /5-guia/ejercicios-5/ej-7-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Hallar todas las soluciones $(x,y) \en \enteros^2$ de la ecuación 3 | $$ 4 | 110x + 250y = 100 5 | $$ 6 | que satisfacen simultáneamente que $37^2 \divideA (x - y)^{4321}$. 7 | \end{enunciado} 8 | 9 | La solución de la diofántica: 10 | $$ 11 | (x,y) = k\cdot (25, - 11) + (410, -180) \flecha{$\llamada1$} 12 | \llave{rcl}{ 13 | x &=& 25k + 410 \\ 14 | y &=& -11k - 180 15 | } 16 | $$ 17 | 18 | Entonces hay que ver para que valores de $k$ se cumple que: 19 | 20 | $$ 21 | 37^2 \divideA (\magenta{x - y})^{4321} \flecha{$\llamada1$} 22 | 37^2 \divideA (\magenta{ 590 + 36k })^{4321} 23 | $$ 24 | 25 | Buscamos posibles valores: 26 | $$ 27 | \llamada2 28 | 37^2 \divideA ( 590 + 36k )^{4321} 29 | \Entonces{transitividad}[$\llamada3$] 30 | 37 \divideA ( 590 + 36k )^{4321} 31 | \Sii{$p \divideA a^n \sii p \divideA a$}[$p$ primo] 32 | 37 \divideA 590 + 36k 33 | $$ 34 | Que como ecuación de congruencia queda: 35 | $$ 36 | \congruencia{-36k}{590}{37} \sii 37 | \congruencia{k}{35}{37} 38 | $$ 39 | 40 | Por lo tanto de $\llamada2$ solo faltaría probar la vuelta ($\Leftarrow$) en $\llamada3$ se tiene que para los $k$: 41 | $$ 42 | \congruencia{k}{35}{37} 43 | \sii 44 | 37^{\yellow{1}} \divideA (590 + 36k)^{4321} \Sii{\red{??}} 45 | 37^{\blue{2}} \divideA (590 + 36k)^{4321} 46 | $$ 47 | Veamos: 48 | $$ 49 | \begin{array}{c} 50 | 37^{\yellow{1}} \divideA (590 + 36k)^{4321} 51 | \Entonces{37 es}[ primo] 52 | 37 \divideA 590 + 36k 53 | \Entonces{\red{!}} 54 | 37^2 \divideA (590 + 36k)^2 \\ 55 | \entonces 56 | 37^2 \divideA (590 + 36k)^2 \cdot (50 + 36k)^{4319} 57 | \sii 58 | 37^{\blue{2}} \divideA (590 + 36k)^{4321} 59 | \end{array} 60 | $$ 61 | 62 | De esa manera queda demostrado que 63 | 64 | $$ 65 | 37^2 \divideA ( 590 + 36k )^{4321} 66 | \sii 67 | 37 \divideA ( 590 + 36k )^{4321} 68 | \sii 69 | 37 \divideA 590 + 36k 70 | \sii 71 | 37 \divideA 590 + 36k 72 | \sii 73 | \congruencia{k}{35}{37}. 74 | $$ 75 | Por último el resultado serán los pares $(x,y) \en \enteros^2$ tales que 76 | $$ 77 | \llave{rcl}{ 78 | x &=& 25k + 410 \\ 79 | y &=& -11k - 180 80 | } \qquad \text{con }\quad 81 | \congruencia{k}{35}{37}. 82 | $$ 83 | 84 | % Contribuciones 85 | \begin{aportes} 86 | %% iconos : \github, \instagram, \tiktok, \linkedin 87 | %\aporte{url}{nombre icono} 88 | \item \aporte{https://github.com/JowinTeran}{Ale Teran \github} 89 | \end{aportes} 90 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-17-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Hallar todos los valores de $a \en \enteros$ tales que $(3a+6 : 7a^2 - a -3) \distinto 1$. 3 | \end{enunciado} 4 | Si el mcd es $d$: 5 | $$ 6 | d = (3a+6 : 7a^2 - a -3) 7 | $$ 8 | % Puedo usar Euclides para simplificar la expresión del mcd: 9 | % $$ 10 | % \polyset{vars=a} 11 | % \divPol{7a^2-a-3}{3a+6} 12 | % $$ 13 | % Por lo tanto $d$ queda: 14 | % $$ 15 | % d = (3a+6 : 7a^2 - a -3) = 16 | % \cajaResultado{(3a + 6 : 27)} 17 | % $$ 18 | Tengo que $d$ es un \textit{divisor común a ambas expresiones:} 19 | $$ 20 | \llave{l}{ 21 | d \divideA 7a^2 - a - 3\\ 22 | d \divideA 3a + 6 23 | } 24 | \Sii{$3F_1 - 7aF_2 \to F_1$} 25 | \llave{l}{ 26 | d \divideA - 45a - 9\\ 27 | d \divideA 3a + 6 28 | } 29 | \Sii{$F_1 + 15F_2 \to F_1$} 30 | \llave{l}{ 31 | d \divideA 81 \\ 32 | d \divideA 3a + 6 33 | } 34 | $$ 35 | Como $81 = 3^4$, los posibles divisores $d$: 36 | $$ 37 | d \en \set{1, 3, 9, 27, 81} 38 | $$ 39 | Empiezo a ver si es divisible por $d = 3$: 40 | Tabla de restos para $d = 3$: 41 | $$ 42 | \begin{array}{|r||c|c|c|} 43 | \hline 44 | r_3(a) & 0 & 1 & 2 \\ \hline\hline 45 | r_3(3a+6) & 0 & 0 & 0 \\ \hline 46 | r_3(7a^2 - a - 3) & 0 & 0 & \red{2} \\ \hline 47 | \end{array} 48 | $$ 49 | Cuando tenga valores de: 50 | $$ 51 | \llave{l}{ 52 | \congruencia{a}{0}{3} \\ 53 | \otext \\ 54 | \congruencia{a}{1}{3} 55 | } 56 | \sisolosi 57 | d \distinto 1 58 | $$ 59 | Cuando 60 | $ 61 | \congruencia{a}{2}{3} 62 | $ 63 | no son \underline{ambas expresiones} divisibles por 3, por eso se descarta. 64 | 65 | Dado que los otros posibles divisores (9, 27, 81) son potencias de 3, se concluye que solo valdrá que: 66 | $$ 67 | \cajaResultado{ 68 | d \neq 1 69 | \sisolosi 70 | \llave{l}{ 71 | \congruencia{a}{0}{3} \\ 72 | \otext \\ 73 | \congruencia{a}{1}{3} 74 | } 75 | } 76 | $$ 77 | 78 | Importante que en este ejercicio no pidieron encontrar los posibles valores de $d$, solo que fueran \underline{distintos de uno}. De no ser así 79 | habría que haber hecho, por ejemplo la tabla de restos 9, para ver si el nuevo era un posible $d$ y así con los posibles divisores. 80 | 81 | \begin{aportes} 82 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 83 | \item \aporte{https://github.com/daniTadd}{Dani Tadd \github} 84 | \item \aporte{https://github.com/olivportero}{Olivia Portero \github} 85 | \end{aportes} 86 | -------------------------------------------------------------------------------- /6-guia/ejercicios-6-extra/ej-extra-7-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $\omega \en G_{10}$ tal que $\omega^5 \distinto 1$. Encuentre la parte real de 3 | $$ 4 | \omega + \omega^{-7} + \conj{\omega}^6 + \omega^8 + \sumatoria{k=5}{98}\omega^{5k}. 5 | $$ 6 | \end{enunciado} 7 | \hyperlink{teoria6:propiedadesGn}{Algunas resultados de este tema acá {\tiny $\ot$ click} } 8 | 9 | Dado que $\omega \en G_{10}$ ocurre que: 10 | $$ 11 | \omega^5 = \left(e^{i \frac{2k\pi}{10}}\right)^5 12 | \sii 13 | \omega^5 = 14 | \llave{cl}{ 15 | 1 & \text{si $k$ es par}\\ 16 | -1 & \text{si $k$ es impar} 17 | } 18 | \Entonces{\red{enunciado}} 19 | \omega^5 = -1 20 | $$ 21 | Con ese \textit{resultadillo} ahora podemos reescribir el enunciado como: 22 | $$ 23 | \begin{array}{rcl} 24 | \omega + \omega^{-7} + \conj{\omega}^6 + \omega^8 + \sumatoria{k = 5}{98}\omega^{5k} 25 | & \igual{$\llamada1$}[\red{!!}] & 26 | \omega + \omega^3 + \omega^4 + \omega^8 + \red{0} \\ 27 | & \igual{\red{!}} & \omega + \omega^3 + \omega^4 + (-1) \cdot \omega^3 \\ 28 | & \igual{\red{!}} & \omega + \omega^4 \\ 29 | & \igual{$\llamada2$} & \omega + (-1) \cdot \conj{\omega} \\ 30 | & \igual{\red{!}} & \omega - \conj{\omega} = i \cdot 2\im(\omega) 31 | \end{array} 32 | $$ 33 | 34 | En $\llamada1$ la sumatoria es una suma onda $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ donde 35 | se cancela todo. 36 | 37 | En $\llamada2$ hago $\omega^4 = \frac{1}{\omega} \cdot \omega^5$ y un poco de acomodar. 38 | 39 | Es así que si la expresión es igual a un número imaginario puro se concluye: 40 | $$ 41 | \cajaResultado{ 42 | \re(\omega + \omega^{-7} + \conj{\omega}^6 + \omega^8 + \sumatoria{k = 5}{98}\omega^{5k}) = 0. 43 | } 44 | $$ 45 | 46 | \textit{Nota que puede serte útil o no, chupala:} 47 | 48 | A varias personas les \textit{tentó} poner en el valor de $\omega = -1$, o quizás $\omega = e^{i\frac{1}{5}\pi}$, porque $\omega^1$, bueh. 49 | $\omega$ es un número cualquiera de los 10 valores que forman $G_{10}$, entonces no es cosa de que uno pueda elegir. Ojo con confundir: 50 | $$ 51 | \omega^1 \en G_{10} 52 | \Entonces{pongo}[$\blue{k = 1}$] 53 | e^{i\frac{2\blue{1}}{10}\pi} = e^{i\frac{1}{5}\pi}, 54 | $$ 55 | onda, no. Nada que ver. Abrazo. 56 | 57 | \textit{ Fin de nota que puede serte útil o no, chupala.} 58 | 59 | \begin{aportes} 60 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 61 | \end{aportes} 62 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-1-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Dado el conjunto $A = \set{1,2,3}$, determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas 3 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 4 | \begin{multicols}{5} 5 | \item $1 \en A $ 6 | \item $\set{1} \subseteq A $ 7 | \item $\set{2,1} \subseteq A $ 8 | \item $\set{1,3} \en A $ 9 | \item $\set{2} \en A $ 10 | \end{multicols} 11 | \end{enumerate} 12 | \end{enunciado} 13 | 14 | El símbolo \textit{pertenece}: $\en$ se usa para decir si un elemento cualquiera está en un dado conjunto. El símbolo \textit{subconjunto o inclusión}: $\subseteq$ , es para decir que un conjunto está incluido en otro conjunto. 15 | 16 | Por ejemplo: 17 | $$ 18 | \begin{array}{c} 19 | C_1 = \set{1, 2, \set{1,2,3}} \ytext C_2 = \set{1, 2, \set{1,2}} \\ 20 | \llave{rl}{ 21 | 1 \en C_1 & \text{ y también }\set{1} \subseteq C_1 \text{ pero } \set{\set{1}} \not\subseteq C_1 \\ 22 | \set{1,2,3} \en C_1 & \text{ pero } \set{1,2,3} \not\subseteq C_1 \\ 23 | \set{1,2} \en C_2 & \text{ y también } \set{1,2} \subseteq C_2 \\ 24 | 25 | } 26 | \end{array} 27 | $$ 28 | 29 | $$ 30 | A = \set{1,2,3} 31 | $$ 32 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] 33 | \item $1 \en A$. Es verdadero, porque 1 es un elemento que pertenece al conjunto $A$. 34 | 35 | \item $\set{1} \subseteq A$. Es verdadero, porque el conjunto, lo bautizo, $B = \set{1}$, 36 | es un conjunto cuyos elementos están todos (en este caso particular solo el 1) en $A$. Se dice que $B$ es un subconjunto de $A$. 37 | 38 | \item $\set{2,1} \subseteq A$. Es verdadero, porque el conjunto, lo bautizo, $C = \set{2,1}$, 39 | es un conjunto cuyos elementos están todos en $A$. Se dice que $C$ es un subconjunto de $A$. 40 | 41 | \item\label{ej-1:item4} $\set{1,3} \en A$. Es falso, porque el \ul{elemento} \textit{conjunto que tiene al 1 y a 3}: $\ub{\set{1,3}}{\text{Sí, esto es \red{un}}\\ \text{\red{solo} elemento}}$ no está en el conjunto $A$. 42 | Peeero ojo que $\set{1,3} \subseteq A$, ¿Comprás? 43 | 44 | \item $\set{2} \en A$ Es falso, por lo mismo que el ítem \ref{ej-1:item4}. El \ul{elemento} \textit{conjunto que tiene al 2} : $\set{2}$, no es un elemento de $A$, 45 | peeero como antes $\set{2} \subseteq A$. 46 | \end{enumerate} 47 | 48 | \begin{aportes} 49 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 50 | \end{aportes} 51 | -------------------------------------------------------------------------------- /2-guia/ejercicios-2/ej-21-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $f:\reales -\{0,1\} \to \reales -\{0,1\}$ definida por $f(x) = \frac{1}{1-x}$. Para 3 | $n \en \naturales $ se define: 4 | \begin{align*} 5 | f^n = \ub{f \circ f \circ \cdots \circ f}{\text{$n$ veces}} 6 | \end{align*} 7 | Probar que $f^{3k}(x) = x$ para todo $k \en \naturales $. 8 | \end{enunciado} 9 | 10 | Sea $f:\reales - \set{0,1} \to \reales - \set{0,1}$ definida por 11 | \setcounter{equation}{0} 12 | \begin{align} 13 | f(x) = \frac{1}{1-x} 14 | \end{align} 15 | Sea $n \en \naturales $, definimos $f^n$ como la composición de $f$ consigo misma $n$ veces 16 | 17 | \begin{align} 18 | f^n = \ub{f \circ f \circ \cdots \circ f}{\text{$n$ veces}} 19 | \end{align} 20 | 21 | Probemos lo que pide el ejercicio por inducción 22 | 23 | \begin{align*} 24 | P(k):f^{3k}(x) = x,\, k \en \naturales 25 | \end{align*} 26 | 27 | \underline{Caso Base}, $k = 1$: 28 | \begin{align*} 29 | P(1): f^{3 \cdot 1}(x) & = f^3(x) \igual{(2)} f \circ f \circ f(x) = f(f(f(x))) 30 | \igual{(1)} f \left(f\left(\frac{1}{1-x}\right)\right) 31 | \igual{(1)} f \left(\frac{1}{1 - \displaystyle \frac{1}{1-x} }\right) \\ 32 | & = f \left(\frac{1}{\displaystyle \frac{1-x-1}{1-x}}\right) 33 | = f \left(\frac{1}{\displaystyle \frac{-x}{1-x}}\right) = f \left(\frac{1-x}{-x}\right) 34 | = f \left(\frac{x-1}{x}\right) \\ 35 | \overset{(1)} & {=} \frac{1}{1 - \displaystyle \frac{x-1}{x}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{x-x+1}{x}} 36 | = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{x}} = x \\ 37 | P(1): f^3(x) & = x \entonces P(1):V 38 | \end{align*} 39 | 40 | \underline{Paso inductivo.} Sea $k \geq 1$: 41 | \begin{enumerate} 42 | \item[HI.] $P(k): V$ 43 | \item[TI.] $P(k+1): f^{3(k+1)}(x) = x$ 44 | \end{enumerate} 45 | 46 | Desarrollemos el lado izquierdo de la igualdad en la TI 47 | \begin{align*} 48 | f^{3(k+1)}(x) & = f^{3k+3}(x) \igual{(2)} f^{3k} \circ f^3(x) = f^{3k}\left( f^3(x)\right) 49 | \overset{P(1)}{=} f^{3k}(x) \overset{\text{HI}}{=} x \\ 50 | f^{3(k+1)}(x) & = x \entonces P(k+1):V 51 | \end{align*} 52 | 53 | Hemos probado el caso base y el paso inductivo. Concluimos que $P(k):V,$ $\paratodo k \en \naturales $. 54 | 55 | \begin{aportes} 56 | \item \aporte{https://github.com/koopardo/}{Marcos Zea \github} 57 | \end{aportes} 58 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4-extra/ej-extra-21-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | Sea $a \en \enteros$. Calcule todos los posibles valores de $d = (a^2 + a : a^3 + 3a^2 + 2a + 14)$. Para 3 | cada posibilidad de $d$ hallada, caracterice todos los $a \en \enteros$ para los cuales se obtiene dicho valor de $d$. 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Simplifico al MCD, $d$ usando Euclides: 7 | $$ 8 | \polyset{vars=a} 9 | \divPol{a^3 + 3a^2 + 2a + 14}{a^2 + a} 10 | $$ 11 | Por lo tanto: 12 | $$ 13 | d = (a^2 + a : 14) 14 | \entonces 15 | \llave{l}{ 16 | d \divideA a^2 + a\\ 17 | \ytext\\ 18 | d \divideA 14 19 | } 20 | d \en \set{1,2,7,14} 21 | $$ 22 | 23 | \bigskip 24 | 25 | \textit{Tabla de restos:} 26 | 27 | Empiezo por los números menores. 28 | 29 | \medskip 30 | 31 | \textit{¿$d = 2$ divide las expresiones?:} 32 | $$ 33 | \begin{array}{|c|c|c|} 34 | \hline 35 | r_2(a) & 0 & 1 \\\hline 36 | r_2(a^2 + a) & \magenta{0} & \magenta{0} \\\hline 37 | \end{array} 38 | $$ 39 | Se concluye que el 2 es un \textit{divisor común} para \underline{cualquier valor de $a$}. Peeeeero como yo quiero al \textit{MAYOR divisor común}, sigo 40 | probando con los otros posibles valores de $d$. 41 | 42 | \medskip 43 | 44 | \textit{¿$d = 7$ divide las expresiones?:} 45 | $$ 46 | \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} 47 | \hline 48 | r_2(a) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline 49 | r_2(a^2 + a) & \magenta{0} & 2 & 6 & 5 & 6 & 2 & \magenta{0} \\\hline 50 | \end{array} 51 | $$ 52 | Se concluye que el 7 es un \textit{divisor común} para: 53 | $$ 54 | \congruencia{a}{0}{7} 55 | \otext 56 | \congruencia{a}{6}{7} 57 | $$ 58 | 59 | \medskip 60 | 61 | \textit{¿$d = 14$ divide las expresiones?:} 62 | 63 | No hace falta hacer la tabla. ¿Por qué? 64 | 65 | Bueno, resulta que 14 va a ser un \textit{divisor común} ¡Cuando tanto 2 y 7 lo sean! Por 66 | lo tanto 14 es un \textit{divisor común} cuando: 67 | $$ 68 | \congruencia{a}{0}{7} 69 | \otext 70 | \congruencia{a}{6}{7} 71 | $$ 72 | 73 | Vamos redondeando. Los valores de el MCD, $d$ van a ser: 74 | $$ 75 | \cajaResultado{ 76 | d = 77 | \llave{ccl}{ 78 | 14 &\sii& 79 | \llave{l}{ 80 | \congruencia{a}{0}{7}\\ 81 | \otext\\ 82 | \congruencia{a}{6}{7} 83 | }\\ 84 | \\ 85 | 2 &\sii& \text{otro caso} 86 | }. 87 | } 88 | $$ 89 | 90 | \begin{aportes} 91 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 92 | \item \aporte{https://github.com/daniTadd}{Dani Tadd \github} 93 | \end{aportes} 94 | 95 | -------------------------------------------------------------------------------- /4-guia/ejercicios-4/ej-4-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sea $a \in \enteros$ impar. 3 | Probar que $2^{n+2} \divideA a^{2^n} - 1$ para todo $n \en \naturales$ 4 | \end{enunciado} 5 | 6 | Pruebo por inducción: 7 | 8 | $$ 9 | p(n): 2^{n+2} \divideA a^{2^n} - 1,\, \text{ con } a \en \enteros \text{ e impar.} \paratodo n \en \naturales. 10 | $$ 11 | 12 | \textit{Caso base: } 13 | $$ 14 | p(1) : 2^3 = 8 \divideA a^2 - 1 = (a - 1) \cdot (a + 1) 15 | $$ 16 | Como $a \en \enteros$ es impar, puedo escrirla como: 17 | $$ 18 | a \igual{$\llamada1$} 2m -1 19 | $$ 20 | Entonces 21 | $$ 22 | \begin{array}{rcl} 23 | (a - 1) \cdot (a + 1) & \igual{$\llamada1$} & (2m - 2)\cdot(2m) \\ 24 | & \igual{\red{!}} & 4 \cdot \ub{m \cdot (m-1)}{\text{seguro} \\\text{es par} } \\ 25 | & \igual{\red{!!}} & 4 \cdot 2 \violet{h} = 8 \cdot \violet{h} 26 | \end{array} 27 | $$ 28 | Es decir que $a^2 - 1 = 8 \cdot \violet{h}$ con $\violet{h} \en \enteros$. Por lo tanto: 29 | $$ 30 | 8 \divideA 8h = (a - 1) \cdot (a + 1) \text{ para algún } h \en \enteros 31 | $$ 32 | 33 | La proposición $p(1)$ es verdadera. 34 | 35 | \textit{Paso inductivo: } 36 | Asumo que para algún valor de $\blue{k} \en \naturales$ que: 37 | $$ 38 | p(\blue{k}): \ob{ 39 | 2^{\blue{k}+2} \divideA a^{2^{\blue{k}}} - 1 40 | }{ 41 | \purple{\text{hipótesis inductiva}} 42 | }, 43 | $$ 44 | es verdadera, entonces quiero probar que la proposición: 45 | $$ 46 | p(\blue{k}+1) : 2^{\blue{k} + 3} \divideA a^{2^{\blue{k} + 1}} - 1, 47 | $$ 48 | también lo sea. 49 | $$ 50 | \begin{array}{c} 51 | 2^{k+3} \divideA a^{2^{k+1}} - 1 52 | \Sii{\red{!!}} 53 | 2^{k+2} \cdot 2 \divideA (a^{2^k} - 1) 54 | \cdot 55 | \ob{(a^{2^k} + 1)}{\text{\green{par !}}} \\ 56 | \Sii{Si $a \divideA b \ytext c \divideA d \entonces ac \divideA bd$}[\purple{hipótesis inductiva}] \\ 57 | \purple{2^{k+2}} \cdot 2 \divideA \purple{(a^{2^k} - 1)} \cdot \ub{(a^{2^k} + 1)}{\text{\green{par}}}. 58 | \end{array} 59 | $$ 60 | 61 | El \red{!!} es todo tuyo (\textit{hints:} diferencia de cuadrados, propiedades de exponentes... \faIcon{hands-wash}) 62 | 63 | En el último paso se comprueba que $p(k+1)$ es verdadera. 64 | 65 | Como $p(1), p(k) \ytext p(k+1)$ resultaron verdaderas, por el principio de inducción también lo será ${p(n) \paratodo n \en \naturales}$. 66 | 67 | \begin{aportes} 68 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 69 | \end{aportes} 70 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1-extra/ej-extra-2-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejExtra} 2 | \textbf{Este no es de parcial, pero está por razones históricas {\small\faIcon[regular]{grin-beam-sweat}}:} 3 | 4 | Probar la propiedad $(A \inter B)^c = A^c \union B^c$. 5 | \end{enunciado} 6 | 7 | Tengo que hacer una doble inclusión 8 | $\to \begin{cases} 9 | 1) & (A \inter B)^c \subseteq A^c \union B^c \\ 10 | 2) & A^c \union B^c \subseteq (A \inter B)^c 11 | \end{cases} 12 | $ 13 | \begin{enumerate}[label=\arabic*)] 14 | \item Prueba directa: Si $x \en (A \inter B)^c \entonces x \en A^c \union B^c $ 15 | 16 | Por hipótesis $x \en (A \inter B)^c \Sii{def} x \notin A \otext x \notin B 17 | \entonces x \en A^c \otext x \en B^c \entonces x \en A^c \union B^c$ 18 | $$\begin{array}{|c|c|c|c|} 19 | \hline 20 | A & B & A^c \union B^c & (A \inter B)^c \\ \hline\rowcolor{Cerulean!10} 21 | V & V & \orange{F} & \orange{F} \\ 22 | V & F & \orange{V} & \orange{V} \\\rowcolor{Cerulean!10} 23 | F & V & \orange{V} & \orange{V} \\ 24 | F & F & \orange{V} & \orange{V} \\ \hline 25 | \end{array} 26 | $$ 27 | 28 | Uso la tabla para ver la definición $x \en (A \inter B)^c \Sii{def} x \notin A \otext x \notin B$ 29 | 30 | \item Pruebo por absurdo. Si $\paratodo x \en A^c \union B^c \entonces x \en (A \inter B)^c$\\ 31 | \green{Supongo} que $ x \notin (A \inter B)^c \Sii{def} x \en (A \inter B) \flecha{por}[hipótesis] x \en A^c \union B^c \to 32 | \llaves{c}{ 33 | x \notin A\\ 34 | \otext \\ 35 | x \notin B\\ 36 | }$, por lo que $x \notin A \union B \entonces x \notin A \inter B$ contradiciendo el \green{supuesto}, absurdo. Debe ocurrir que $x \en (A \inter B)^c $ 37 | 38 | $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} 39 | \hline 40 | A & B & A \inter B & (A \union B) & (A \inter B) \subseteq (A \union B) \\ \hline\rowcolor{Cerulean!10} 41 | V & V & V & V & V \\ 42 | V & F & F & V & V \\\rowcolor{Cerulean!10} 43 | F & V & F & V & V \\ 44 | F & F & F & F & V \\ \hline 45 | \end{array} 46 | $$ 47 | \end{enumerate} 48 | 49 | \begin{aportes} 50 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 51 | \end{aportes} 52 | -------------------------------------------------------------------------------- /1-guia/ejercicios-1/ej-10-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \begin{enunciado}{\ejercicio} 2 | Sean $p,\, q$ proposiciones. Verificar que las siguientes expresiones tienen la misma tabla de verdad para 3 | concluir que son equivalentes: 4 | 5 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 6 | \item\label{10-1-i} $p \entonces q, 7 | \qquad 8 | \neg q \entonces \neg p, \qquad \neg p \otext q \qquad \ytext \qquad \neg (p \y \neg q)$. 9 | 10 | Esto nos dice que podemos demostrar una afirmación de la forma $p \entonces q$ probando en su lugar 11 | $\neg q \entonces \neg p$ (es decir \textit{demostrando el contrarrecíproco}), o probando $\neg (p \y \neg q)$ (esto 12 | es una \textit{demostración por reducción al absurdo}). 13 | 14 | \item $\neg(p \entonces q)\qquad \ytext \qquad \neg q$. 15 | \end{enumerate} 16 | \end{enunciado} 17 | 18 | \begin{enumerate}[label=\roman*)] 19 | \item 20 | Sean p, q proposiciones. Verificar que las siguientes expresiones tienen la misma tabla de verdad para 21 | concluir que son equivalentes: 22 | $$ 23 | \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} 24 | \hline 25 | p & q & \neg p & \neg q & p \entonces q & \neg q \entonces \neg p & \neg p \lor q & \neg(p \land \neg q) \\ \hline \hline\rowcolor{Cerulean!10} 26 | V & V & F & F & V & V & V & V \\ 27 | V & F & F & V & F & F & F & F \\\rowcolor{Cerulean!10} 28 | F & V & V & F & V & V & V & V \\ 29 | F & F & V & V & V & V & V & V \\ 30 | \hline 31 | \end{array} 32 | $$ 33 | \item 34 | $$ 35 | \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} 36 | \hline 37 | p & q & \neg q & p \entonces q & \neg (p \entonces q) & p\, \y \neg q \\ \hline \hline\rowcolor{Cerulean!10} 38 | V & V & F & V & F & F \\ 39 | V & F & V & F & V & V \\\rowcolor{Cerulean!10} 40 | F & V & F & V & F & F \\ 41 | F & F & V & V & F & F \\ \hline 42 | \end{array} 43 | $$ 44 | \end{enumerate} 45 | 46 | \begin{aportes} 47 | \item \aporte{\dirRepo}{naD GarRaz \github} 48 | \end{aportes} 49 | --------------------------------------------------------------------------------