├── _config.yml ├── adoc ├── .gitignore ├── convert.py └── index.adoc ├── AnalisiUno.paux ├── docs └── index.css ├── figures ├── ex843.pdf ├── koch.png ├── darboux.pdf ├── edo_463.pdf ├── fourier.png ├── darboux2.pdf ├── edo_4630b.pdf ├── fig43856.png ├── fig_43856.pdf ├── fig_94467.pdf ├── fig_ex_3.png ├── fig_ex_4.png ├── fig_ex_5.png ├── fig_ex_6.png ├── fig_ex_7.png ├── fig_ex_8.png ├── mandelbrot.png ├── derivata_00.png ├── derivata_01.png ├── koch_picture.pdf ├── ode_volterra.pdf ├── sistemi_nodo.pdf ├── fig_fibonacci.png ├── napier_tables.jpg ├── ode_logistica.pdf ├── paolini-qrcode.png ├── sistemi_centro.pdf ├── sistemi_fuoco.pdf ├── sistemi_sella.pdf ├── sistemi_stella.pdf ├── fig_edo_separabile.pdf ├── sistemi_nodo_improprio.pdf ├── figurePJ_standalone.tex ├── qr.tex ├── koch.ps ├── Makefile ├── figurePJ.tex ├── polyrectangle.py ├── figurePJBinside.tex ├── figurePJBoutside.tex ├── figurePJAinside.tex └── figurePJAoutside.tex ├── .latexmkrc ├── code ├── series.py ├── compute_pi.py ├── compute_e.py ├── napier.py ├── fourier.py ├── Mandelbrot.py ├── Koch.py └── bisection.py ├── Dockerfile ├── chapters ├── 07_ricorrenza.tex ├── 08_edo.tex ├── 06_spazi.tex ├── 02_limiti.tex ├── 03_serie.tex ├── 05_integrali.tex ├── 01_fondamenti.tex ├── 04_derivate.tex ├── 06_spazi │ ├── 90_storia.tex │ └── 01_metrici.tex ├── 03_serie │ ├── 90_esercizi.tex │ ├── 01_telescopiche.tex │ ├── 03_decimali.tex │ ├── 07_insiemi.tex │ ├── 08_prodotti.tex │ └── 04_assoluta.tex ├── 99_appendix.tex ├── 05_integrali │ ├── 09_speciali.tex │ ├── 04_interpretazione.tex │ ├── 11_studio.tex │ └── 08_sostituzioni.tex ├── algebra.tex ├── 04_derivate │ ├── 13_complessa.tex │ ├── 02_parziali.tex │ ├── 03_punti_notevoli.tex │ ├── 06_darboux.tex │ └── 04_monotonia.tex ├── 07_ricorrenza │ ├── 02_approfondimenti.tex │ ├── 00_introduzione.tex │ └── 04_complessa.tex ├── 02_limiti │ ├── 05_weierstrass.tex │ ├── 07_iperboliche.tex │ ├── 03_infiniti.tex │ └── 08_esponenziale_complesso.tex ├── 08_edo │ ├── 04_cauchy_n.tex │ └── 05_lineari.tex └── 01_fondamenti │ └── 90_storia.tex ├── .gitignore ├── Makefile ├── biblio.bib ├── .github └── workflows │ └── compile.yml ├── plastex.py ├── convert.py ├── Plain.tex ├── AnalisiUnoPlain.tex ├── README.md ├── mykaobook.cls └── AnalisiUno.tex /_config.yml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | theme: jekyll-theme-minimal -------------------------------------------------------------------------------- /adoc/.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | chap-??-*.adoc 2 | index.html -------------------------------------------------------------------------------- /AnalisiUno.paux: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/paolini/AnalisiUno/HEAD/AnalisiUno.paux -------------------------------------------------------------------------------- /docs/index.css: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | body { 2 | background-color: #60C0FF; 3 | max-width: 60em; 4 | } 5 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/ex843.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/paolini/AnalisiUno/HEAD/figures/ex843.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figures/koch.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/paolini/AnalisiUno/HEAD/figures/koch.png -------------------------------------------------------------------------------- /figures/darboux.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/paolini/AnalisiUno/HEAD/figures/darboux.pdf 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https://raw.githubusercontent.com/paolini/AnalisiUno/HEAD/figures/sistemi_nodo_improprio.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /.latexmkrc: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | $pdf_mode = 1; 2 | @default_files = ('AnalisiUno.tex'); 3 | # Riduci l'output mostrato da latexmk 4 | $silent = 1; 5 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/figurePJ_standalone.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[preview]{standalone} 2 | \usepackage{tikz} 3 | \begin{document} 4 | \input{figurePJ} 5 | \end{document} 6 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/qr.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass{article} 2 | \usepackage{qrcode} 3 | \begin{document} 4 | \qrcode{http://pagine.dm.unipi.it/paolini/} 5 | \end{document} 6 | -------------------------------------------------------------------------------- /code/series.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | """ 2 | Calcola la somma della serie 1/k^2 con un errore prefissato 3 | """ 4 | 5 | err = 0.5E-6 # errore al di sotto della sesta cifra decimale 6 | S = 0.0 7 | k = 1 8 | while k < 1/err: 9 | S += 1.0/k**2 10 | k += 1 11 | print("somma della serie 1/k^2: {:.7}".format(S)) 12 | -------------------------------------------------------------------------------- /Dockerfile: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | FROM ghcr.io/xu-cheng/texlive-full:latest 2 | WORKDIR /analisi 3 | COPY AnalisiUno.tex AnalisiUno-custom.tex mykaobook.cls mykao.sty ./ 4 | COPY chapters/*.tex chapters/ 5 | COPY figures/* figures/ 6 | COPY code/* code/ 7 | RUN latexmk -pdf -file-line-error -halt-on-error -interaction=nonstopmode AnalisiUno 8 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/07_ricorrenza.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{successioni ricorsive} 2 | \label{ch:successioni_ricorsive} 3 | 4 | \input{chapters/07_ricorrenza/00_introduzione} 5 | \input{chapters/07_ricorrenza/01_ricorrenza} 6 | \input{chapters/07_ricorrenza/02_approfondimenti} 7 | \input{chapters/07_ricorrenza/03_lineari} 8 | \input{chapters/07_ricorrenza/04_complessa} 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/08_edo.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{equazioni differenziali} 2 | \label{ch:edo} 3 | 4 | \input{chapters/08_edo/01_classificazione} 5 | \input{chapters/08_edo/02_metodi} 6 | \input{chapters/08_edo/03_cauchy} 7 | \input{chapters/08_edo/04_cauchy_n} 8 | \input{chapters/08_edo/05_lineari} 9 | \input{chapters/08_edo/06_lineari_costanti} 10 | \input{chapters/08_edo/07_sistemi_lineari} 11 | \input{chapters/08_edo/08_modelli} 12 | \input{chapters/08_edo/09_qualitativo} -------------------------------------------------------------------------------- /code/compute_pi.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | from decimal import Decimal, getcontext 2 | 3 | def compute_pi(digits): 4 | sum = Decimal(0) 5 | k = 0 6 | factor = Decimal(1)/2 7 | while 3*(2*k+1)*4**k < 4*10**digits: 8 | sum += factor / (2*k+1) 9 | factor *= Decimal(2*k+1) / (2*k+2) / 4 10 | k += 1 11 | return sum * 6 12 | 13 | getcontext().prec = 1100 # numero di cifre da utilizzare nei calcoli 14 | print("pi: {:.1001}".format(compute_pi(1100))) 15 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/06_spazi.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{spazi di funzioni} 2 | 3 | \input{chapters/06_spazi/00_introduzione} 4 | \input{chapters/06_spazi/01_metrici} 5 | \input{chapters/06_spazi/02_topologici} 6 | \input{chapters/06_spazi/03_completezza} 7 | \input{chapters/06_spazi/04_convergenza_uniforme} 8 | \input{chapters/06_spazi/05_integrale} 9 | \input{chapters/06_spazi/06_derivata} 10 | \input{chapters/06_spazi/07_convergenza_integrale} 11 | \input{chapters/06_spazi/08_frattali} 12 | \input{chapters/06_spazi/90_storia} 13 | 14 | -------------------------------------------------------------------------------- /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | AnalisiUno.pdf 2 | AnalisiUnoPlain.pdf 3 | AnalisiUnoFonts.pdf 4 | Book.pdf 5 | PlasTex.pdf 6 | AnalisiUno-????-??-??.pdf 7 | AnalisiUno-????????.pdf 8 | AnalisiUno.fdb_latexmk 9 | AnalisiUno.fls 10 | AnalisiUno.synctex* 11 | figures/figurePJ?.tif 12 | figures/figurePJ?.pdf 13 | PlasTex 14 | *.aux 15 | *.log 16 | *.out 17 | *.toc 18 | *.idx 19 | *.ilg 20 | *.ind 21 | *.bbl 22 | *.blg 23 | *.myaux 24 | *.mw 25 | *.xdv 26 | *.fls 27 | *_latexmk 28 | *checkpoint* 29 | AnalisiUno-custom.fdb_latexmk 30 | .vscode 31 | -------------------------------------------------------------------------------- /code/compute_e.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # la libreria decimal ci permette di effettuare calcoli su numeri 2 | # con sviluppo decimale arbitrariamente lungo 3 | from decimal import Decimal, getcontext 4 | def compute_e(digits): 5 | sum = Decimal(0) 6 | k = 0 7 | k_factorial = 1 8 | while k_factorial * k < 10**digits: 9 | sum += Decimal(1)/Decimal(k_factorial) 10 | k += 1 11 | k_factorial *= k 12 | return sum 13 | 14 | getcontext().prec = 1100 # numero di cifre da utilizzare nei calcoli 15 | print("e: {:.1001}".format(compute_e(1100))) 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/02_limiti.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{continuità e limiti} 2 | \label{ch:successioni} 3 | 4 | \input{chapters/02_limiti/01_continuita.tex} 5 | \input{chapters/02_limiti/02_successioni.tex} 6 | \input{chapters/02_limiti/03_infiniti.tex} 7 | \input{chapters/02_limiti/04_estratte.tex} 8 | \input{chapters/02_limiti/05_weierstrass.tex} 9 | \input{chapters/02_limiti/06_radianti.tex} 10 | \input{chapters/02_limiti/07_iperboliche.tex} 11 | \input{chapters/02_limiti/08_esponenziale_complesso.tex} 12 | \input{chapters/02_limiti/09_polinomi_complessi.tex} 13 | \input{chapters/02_limiti/90_storia.tex} 14 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/03_serie.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{serie} 2 | 3 | \input{chapters/03_serie/00_introduzione} 4 | \input{chapters/03_serie/01_telescopiche} 5 | \input{chapters/03_serie/02_positive} 6 | \input{chapters/03_serie/03_decimali} 7 | \input{chapters/03_serie/04_assoluta} 8 | \input{chapters/03_serie/05_segno_variabile} 9 | \input{chapters/03_serie/06_per_parti} 10 | \input{chapters/03_serie/07_insiemi} 11 | \input{chapters/03_serie/08_prodotti} 12 | \input{chapters/03_serie/09_potenze} 13 | \input{chapters/03_serie/10_esponenziale} 14 | \input{chapters/03_serie/90_esercizi} 15 | \input{chapters/03_serie/91_storia} 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /code/napier.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | from math import * 2 | deg = pi / 180 # deg = 1 grado (in radianti) 3 | min = deg / 60 # min = 1 minuto (in radianti) 4 | 5 | d = 9 # calcoliamo la tavola dei 9 gradi 6 | 7 | daM = 10**7 # i numeri sono moltiplicati per 10 milioni 8 | for m in range(31): # m = minuti da 0 a 30 9 | x = d*deg + m*min 10 | print("{:2} {:7} {:7} {:7} {:7} {:7} {:2}".format( 11 | m, 12 | round(sin(x)*daM), 13 | round(-log(sin(x))*daM), 14 | round(-(log(sin(x))-log(cos(x)))*daM), 15 | round(-log(cos(x))*daM), 16 | round(cos(x)*daM), 17 | 60-m 18 | )) 19 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/05_integrali.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{calcolo integrale} 2 | \input{chapters/05_integrali/01_misura} 3 | \input{chapters/05_integrali/02_riemann} 4 | \input{chapters/05_integrali/03_proprieta} 5 | \input{chapters/05_integrali/04_interpretazione} 6 | \input{chapters/05_integrali/05_fondamentale} 7 | \input{chapters/05_integrali/06_primitive} 8 | \input{chapters/05_integrali/07_razionale} 9 | \input{chapters/05_integrali/08_sostituzioni} 10 | \input{chapters/05_integrali/09_speciali} 11 | \input{chapters/05_integrali/10_impropri} 12 | \input{chapters/05_integrali/11_studio} 13 | \input{chapters/05_integrali/12_applicazioni} 14 | 15 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/01_fondamenti.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{fondamenti} 2 | \label{ch:fondamenti} 3 | 4 | \input{chapters/01_fondamenti/01_logica} 5 | \input{chapters/01_fondamenti/02_insiemi} 6 | \input{chapters/01_fondamenti/03_funzioni} 7 | \input{chapters/01_fondamenti/04_strutture} 8 | \input{chapters/01_fondamenti/05_naturali} 9 | \input{chapters/01_fondamenti/06_interi} 10 | \input{chapters/01_fondamenti/07_reali} 11 | \input{chapters/01_fondamenti/08_complessi} 12 | \input{chapters/01_fondamenti/09_trigonometria} 13 | \input{chapters/01_fondamenti/10_polinomi} 14 | \input{chapters/01_fondamenti/11_cardinali} 15 | \input{chapters/01_fondamenti/90_storia} 16 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/04_derivate.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{calcolo differenziale} 2 | \label{ch:differenziale} 3 | 4 | \input{chapters/04_derivate/01_derivata} 5 | \input{chapters/04_derivate/02_parziali} 6 | \input{chapters/04_derivate/03_punti_notevoli} 7 | \input{chapters/04_derivate/04_monotonia} 8 | \input{chapters/04_derivate/05_studio_funzione} 9 | \input{chapters/04_derivate/06_darboux} 10 | \input{chapters/04_derivate/07_convessita} 11 | \input{chapters/04_derivate/08_cauchy} 12 | \input{chapters/04_derivate/09_regolarita} 13 | \input{chapters/04_derivate/10_taylor} 14 | \input{chapters/04_derivate/11_landau} 15 | \input{chapters/04_derivate/12_analitiche} 16 | \input{chapters/04_derivate/13_complessa} 17 | 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/koch.ps: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0 2 | %%Title: Curva di Koch - by Emanuele Paolini 3 | %%BoundingBox: 20 499 520 645 4 | %%Pages: 1 5 | %%EndComments 6 | %%EndProlog 7 | 8 | %%Page: 1 1 9 | /koch { 10 | dup 1 ge { 11 | 1 sub gsave 12 | 1 3 div dup scale dup koch 13 | 1 0 translate 60 rotate dup koch 14 | 1 0 translate -120 rotate dup koch 15 | 1 0 translate 60 rotate dup koch 16 | grestore} {newpath 0 0 moveto 1 0 lineto stroke} 17 | ifelse pop 18 | } def 19 | 20 | 20 500 translate 21 | 500 500 scale 22 | 0.1 setlinewidth 23 | 24 | %numero di iterazioni: 25 | 4 26 | 27 | dup koch 28 | %1 0 translate -120 rotate dup koch 29 | %1 0 translate -120 rotate dup koch 30 | showpage 31 | 32 | %%Trailer 33 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/06_spazi/90_storia.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{note storiche} 2 | 3 | \label{note:Basilea}% 4 | Il problema di Basilea è un problema posto da Mengoli nel 1650 5 | e risolto da Eulero nel 1734 dopo che i maggiori matematici del tempo 6 | (tra cui i famosi membri della famiglia Bernoulli che vivevano appunto a Basilea) 7 | avevano tentato invano di risolverlo. 8 | Si tratta di determinare la somma della serie \eqref{eq:basilea}. 9 | La soluzione di Eulero (completamente diversa da quella che stiamo proponendo qui) 10 | è stata poi ripresa da Riemann che ha definito la celebre funzione \emph{zeta} 11 | \index{Riemann!funzione $\zeta$}% 12 | \index{$\zeta$!di Riemann}% 13 | \index{Basilea!problema di}% 14 | \index{problema!di Basilea}% 15 | \index{Eulero!problema di Basilea}% 16 | \index{$\pi$!problema di Basilea}% 17 | \[ 18 | \zeta(s) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^s} 19 | \] 20 | di grandissima rilevanza nella teoria dei numeri. 21 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/Makefile: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | all: figurePJAinside.tex figurePJBinside.tex figurePJAoutside.tex figurePJBoutside.tex 2 | 3 | figurePJA.pdf: figurePJ_standalone.tex figurePJ.tex 4 | pdflatex "\\def\\figurePJA{1} \\input{$<}" 5 | mv figurePJ_standalone.pdf $@ 6 | 7 | figurePJA.tif: figurePJA.pdf 8 | pdftoppm $< figurePJA -r 600 -tiff -singlefile -mono 9 | 10 | figurePJB.pdf: figurePJ_standalone.tex figurePJ.tex 11 | pdflatex "\\def\\figurePJB{1} \\input{$<}" 12 | mv figurePJ_standalone.pdf $@ 13 | 14 | figurePJB.tif: figurePJB.pdf 15 | pdftoppm $< figurePJB -r 600 -tiff -singlefile -mono 16 | 17 | figurePJAinside.tex: polyrectangle.py figurePJA.tif 18 | python $^ inside 61 50 > $@ 19 | 20 | figurePJBinside.tex: polyrectangle.py figurePJB.tif 21 | python $^ inside 57 49 > $@ 22 | 23 | figurePJAoutside.tex: polyrectangle.py figurePJA.tif 24 | python $^ outside 61 50 > $@ 25 | 26 | figurePJBoutside.tex: polyrectangle.py figurePJB.tif 27 | python $^ outside 57 49 > $@ 28 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/03_serie/90_esercizi.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{esercizi} 2 | 3 | \begin{exercise} 4 | Utilizzando il teorema~\ref{th:approx_e} dimostrare che 5 | \[ 6 | \lim_{n\to +\infty} n \cdot \sin(2\pi \cdot e\cdot n!) = 2\pi. 7 | \] 8 | \end{exercise} 9 | 10 | \begin{exercise} 11 | Determinare il carattere delle seguenti serie 12 | \[ 13 | \sum_n \frac{n^2-n^3}{3^n}, \qquad 14 | \sum_n \frac{(n!)^2}{(2n)!} 15 | \] 16 | \[ 17 | \sum_n \frac{(-1)^n}{\ln\abs{n^7 - 10n^5 + 3}}, \qquad 18 | \sum_n \frac{n-10}{n^2+10} 19 | \] 20 | \end{exercise} 21 | 22 | \begin{exercise} 23 | Determinare il carattere delle seguenti serie 24 | \[ 25 | \sum_n \enclose{\frac 1 n - \sin \frac 1 n},\qquad 26 | \sum_n \sin\enclose{\pi n + \frac 1 n} 27 | \] 28 | \end{exercise} 29 | 30 | \begin{exercise} 31 | Calcolare la somma della serie: 32 | \[ 33 | \sum_{n=2}^{+\infty} \ln\enclose{1+\frac{(-1)^n}{n}}. 34 | \] 35 | (suggerimento: raggruppare i termini 2 a 2) 36 | \end{exercise} 37 | 38 | -------------------------------------------------------------------------------- /adoc/convert.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import re 2 | import subprocess 3 | import os 4 | 5 | chaps = [ 6 | '00-introduzione', 7 | '01-reali', 8 | '02-successioni', 9 | '03-serie', 10 | '04-complessi', 11 | '05-derivate', 12 | '06-integrali', 13 | '07-spazi', 14 | '08-ricorrenza', 15 | '09-edo', 16 | '98-algebra', 17 | '99-appendix', 18 | ] 19 | 20 | def main(): 21 | for chap in chaps: 22 | print(chap) 23 | subprocess.run([ 24 | "pandoc", 25 | "--katex", 26 | "../chapters/AnalisiUno-{}.tex".format(chap), 27 | "--to", 28 | "asciidoc", 29 | "--output", 30 | "chap-{}.adoc".format(chap) 31 | ]) 32 | #convert("chapters/AnalisiUno-{}.tex".format(chap) , "xml/chap-{}.xml".format(chap)) 33 | subprocess.run([ 34 | 'asciidoctor', 35 | 'index.adoc' 36 | ]) 37 | 38 | if __name__ == "__main__": 39 | main() 40 | 41 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/figurePJ.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ifdefined\figurePJA 2 | \begin{tikzpicture}[x=0.5cm, y=0.5cm] 3 | \draw[draw=none,fill=white] (0,0) -- (14,00) -- (14,10) -- (0,10) -- (0,0); 4 | \draw[fill=black,draw=none] plot [smooth cycle] coordinates {(1,4) (5,3) (7,1) (9,5) (5,8) (1,6)}; 5 | \end{tikzpicture} 6 | \else 7 | \ifdefined\figurePJB 8 | %% draw set B 9 | \begin{tikzpicture}[x=0.5cm, y=0.5cm] 10 | \draw[draw=none,fill=white] (0,0) -- (14,00) -- (14,10) -- (0,10) -- (0,0); 11 | \draw[fill=black,draw=none] plot [smooth cycle] coordinates {(10,1) (13,4) (10,8) (6,4)}; 12 | \end{tikzpicture} 13 | \else 14 | % 15 | \begin{tikzpicture}[x=0.5cm, y=0.5cm] 16 | \input{figures/figurePJAoutside} 17 | \input{figures/figurePJBoutside} 18 | \input{figures/figurePJAinside} 19 | \input{figures/figurePJBinside} 20 | \draw[thick] plot [smooth cycle] coordinates {(1,4) (5,3) (7,1) (9,5) (5,8) (1,6)}; 21 | \draw[thick] plot [smooth cycle] coordinates {(10,1) (13,4) (10,8) (6,4)}; 22 | \node at (4,5) {$E$}; 23 | \node at (10,5) {$F$}; 24 | \end{tikzpicture} 25 | \fi 26 | \fi 27 | -------------------------------------------------------------------------------- /Makefile: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | all: AnalisiUnoFonts.pdf AnalisiUno.pdf README.md 2 | 3 | README.md: make-docs.sh AnalisiUno.myaux 4 | bash $< 5 | 6 | AnalisiUnoFonts.pdf: AnalisiUno.pdf 7 | gs -o AnalisiUnoFonts.pdf -sDEVICE=pdfwrite -dEmbedAllFonts=true AnalisiUno.pdf 8 | 9 | AnalisiUno.pdf AnalisiUno.myaux: AnalisiUno.tex chapters/*.tex figures/* code/* figures/figurePJAinside.tex figures/figurePJBinside.tex figures/figurePJAoutside.tex figures/figurePJBoutside.tex 10 | latexmk -pdf -file-line-error -halt-on-error -interaction=nonstopmode $< 11 | 12 | strutture.pdf: strutture.gv 13 | dot -Tpdf $< -o $@ 14 | 15 | check_repeated_labels: 16 | grep 'label{.*}' -o chapters/*.tex | cut -f 2 -d{ | cut -f1 -d} | sort | uniq -d 17 | 18 | clean: 19 | latexmk -C AnalisiUno.tex 20 | @rm *.mw 21 | 22 | # devi scaricare il renderer MathJax e installarlo: 23 | # sudo mv MathJax MathJaxS5 /usr/local/lib/python3.8/dist-packages/ 24 | html: 25 | plastex --renderer=MathJax --imager gspdfpng --split-level=1 PlasTex.tex 26 | # plastex --renderer=MathJax --imager=gspdfpng PlasTex.tex 27 | 28 | build_site: all 29 | -------------------------------------------------------------------------------- /code/fourier.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | from sympy import * 2 | from sympy.plotting import plot 3 | # se usi jupyter: %matplotlib inline 4 | 5 | def e(k): 6 | """ 7 | k-esimo elemento della base hilbertiana 8 | """ 9 | k = Integer(k) 10 | if k == 0: 11 | return lambda x: 1/sqrt(2*pi) 12 | elif k % 2 == 0: 13 | return lambda x: cos(k/2 * x)/sqrt(pi) 14 | else: 15 | return lambda x: sin((k+1)/2 * x)/sqrt(pi) 16 | 17 | def f(g): 18 | """ 19 | integra g contro la funzione che vale -1 20 | in (-pi,0) e 1 in (0,pi) 21 | """ 22 | x = symbols("x") 23 | return integrate(g(x), (x, 0, pi)) - integrate(g(x), (x, pi, 2*pi)) 24 | 25 | def fourier(f, n): 26 | """ 27 | calcola l'n-esimo polinomio trigonometrico approssimante f 28 | """ 29 | return lambda x: sum([f(e(k)) * e(k)(x) for k in range(n+1)]) 30 | 31 | 32 | """ 33 | Calcola e disegna lo sviluppo di Fourier 34 | """ 35 | x = symbols('x') 36 | n = 61 37 | print("polinomio trigonometrico di ordine {}".format(n)) 38 | pol = fourier(f,n)(x) 39 | print(pol) 40 | fig = plot(pol, (x, 0, 2*pi)) 41 | if hasattr(fig, "savefig"): 42 | fig.savefig("fourier.png", dpi=600) 43 | else: 44 | fig.save("fourier.png") -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/03_serie/01_telescopiche.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{serie telescopiche} 2 | 3 | Una serie scritta nella forma 4 | \[ 5 | \sum (a_{k} - a_{k+1}) 6 | \] 7 | viene detta \emph{telescopica} 8 | \mymargin{serie telescopica}% 9 | \index{serie!telescopica} 10 | in quanto i singoli termini della somma (come i tubi di un cannocchiale), 11 | si semplificano uno con l'altro (permettendo al cannocchiale di chiudersi): 12 | \[ 13 | S_n 14 | = \sum_{k=0}^{n-1} (a_{k} - a_{k+1}) 15 | = \sum_{k=0}^{n-1} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k 16 | = a_0 - a_n. 17 | \] 18 | 19 | In linea teorica ogni serie può essere scritta in forma telescopica, 20 | data $S_n$ basta infatti scegliere $a_n=-S_n$, 21 | affinché valga la relazione precedente. 22 | Scrivere una serie in forma telescopica è quindi equivalente a 23 | determinare la successione delle somme parziali. 24 | 25 | \begin{example}[serie di Mengoli] 26 | \mymark{**} 27 | Si ha 28 | \[ 29 | \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1. 30 | \] 31 | \end{example} 32 | % 33 | \begin{proof} 34 | \mymark{**} 35 | Infatti 36 | \[ 37 | \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} 38 | = \sum_{k=1}^n \enclose{\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}} 39 | = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} 40 | = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1. 41 | \] 42 | \end{proof} 43 | 44 | -------------------------------------------------------------------------------- /biblio.bib: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | @book{forallx, 2 | author = {T. Button}, 3 | title = {Forall x: An Introduction to Formal Logic}, 4 | year = {2015}, 5 | edition = {1st}, 6 | publisher = {Open Logic Project}, 7 | url = {https://forallx.openlogicproject.org/}, 8 | note = {Open access textbook}, 9 | } 10 | 11 | @BOOK {Giusti, 12 | AUTHOR={E. Giusti}, 13 | TITLE={Analisi matematica 1}, 14 | PUBLISHER={Bollati Boringhieri}, 15 | YEAR=2012 16 | }, 17 | @BOOK {Courant, 18 | AUTHOR={R. Courant and F. John}, 19 | TITLE={Introduction to calculus and analysis}, 20 | PUBLISHER={Interscience Publishers}, 21 | YEAR=1965 22 | }, 23 | @BOOK {Marcellini, 24 | AUTHOR={P. Marcellini and C. Sbordone}, 25 | TITLE={Analisi matematica uno}, 26 | PUBLISHER={Liguori Editore}, 27 | YEAR=1998 28 | }, 29 | @BOOK {Rudin, 30 | AUTHOR={W. Rudin}, 31 | TITLE={Analisi matematica}, 32 | PUBLISHER={McGraw-Hill}, 33 | YEAR=1991 34 | }, 35 | @BOOK {PaganiSalsa, 36 | AUTHOR={C. D. Pagani and S. Salsa}, 37 | TITLE={Analisi matematica Volume 1}, 38 | PUBLISHER={Zanichelli}, 39 | YEAR=1993 40 | }, 41 | @misc{appunti_logica, 42 | title = {Appunti di Logica}, 43 | author={E. Paolini}, 44 | howpublished = {\myqrcode{http://pagine.dm.unipi.it/paolini/didattica/appunti/logica.pdf}{(download)}{appunti di logica}% 45 | \url{http://pagine.dm.unipi.it/paolini/didattica/appunti/logica.pdf}}, 46 | } 47 | -------------------------------------------------------------------------------- /code/Mandelbrot.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # per funzionare anche con python2 2 | from __future__ import print_function 3 | 4 | # la libreria numerica numpy ci permette di fare velocemente 5 | # operazioni su matrici di numeri complessi 6 | import numpy as np 7 | 8 | xres, yres = 6400, 4800 9 | iterations = 40 10 | 11 | # cx e' una suddivisione dell'intervallo [-2,1] in xres punti 12 | cx = np.linspace(-2,1,xres) 13 | 14 | # cy e' una suddivisione dell'intervallo [-1,1] in yres punti 15 | cy = np.linspace(-1,1,yres) 16 | 17 | # c e' una matrice yres x xres contenente i numeri complessi 18 | # con parte reale cx e parte immaginaria cy. 19 | c = cx[np.newaxis,:] + 1j * cy[:,np.newaxis] 20 | 21 | # z e' una matrice di numeri complessi, inizialmente nulli, su cui 22 | # faremo l'iterazione con ognuno dei dati iniziali 23 | # presi dalla matrice c 24 | z = np.zeros((yres, xres), dtype=complex) 25 | for n in range(iterations): 26 | print("{}% completed".format(n*100//iterations)) 27 | z = z*z + c 28 | 29 | # consideriamo l'insieme dei punti che dopo iterations iterazioni 30 | # non sono usciti dal disco di raggio 2. 31 | mandelbrot = np.logical_not(np.abs(z) < 2.0) 32 | 33 | filename = 'mandelbrot.png' 34 | print("saving image to", filename) 35 | 36 | from PIL import Image as im 37 | # creating image object of 38 | # above array 39 | img = im.fromarray(mandelbrot) 40 | 41 | # saving the final output 42 | # as a PNG file 43 | img.save(filename) 44 | -------------------------------------------------------------------------------- /code/Koch.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import sys 2 | from math import * 3 | 4 | def affine_koch(t, s, iter): 5 | """ 6 | t, s are affine (triangular) coordinates 7 | @return positive if inside, negative if outside 8 | """ 9 | if t+s > 1: return 1. 10 | if t<=0 or s<=0: return -1. 11 | if 3*(t+s) < 2: return -.5 12 | if iter <= 0: return 0. 13 | if 3*s >= 2: return affine_koch(3*t, 3*s-2, iter-1) 14 | if 3*t >= 2: return affine_koch(3*t-2, 3*s, iter-1) 15 | if 3*t <= 1: return affine_koch(3*t-2+3*s, 2-3*s, iter-1) 16 | return affine_koch(2-3*t,3*s-2+3*t, iter-1) 17 | 18 | RAD_3 = sqrt(3) 19 | 20 | def koch(x, y, iter): 21 | return affine_koch(1 - x - y/RAD_3, x - y/RAD_3, iter) 22 | 23 | def pbm_image(out, xres, yres): 24 | iter = 1 + log(max(xres, yres))/log(3) 25 | out.write("P1\n") 26 | out.write("# koch PBM by Emanuele Paolini\n") 27 | out.write("{} {}\n".format(xres, yres)) 28 | for y in range(yres): 29 | for x in range(xres): 30 | k = koch(x*1./xres, (yres-1-y)*1./xres, iter) 31 | out.write('0' if k<=0 else '1') 32 | out.write("\n") 33 | 34 | xres = 6400 35 | yres = 2000 36 | filename = "koch.pbm" 37 | 38 | if len(sys.argv) >= 2: 39 | filename = sys.argv[1] 40 | 41 | if len(sys.argv) == 4: 42 | xres, yres = map(int,argv[2:]) 43 | 44 | print("Writing to file: {}\n".format(filename)) 45 | with open(filename, "w") as out: 46 | pbm_image(out, xres, yres); 47 | -------------------------------------------------------------------------------- /adoc/index.adoc: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | = Appunti di Analisi Matematica 2 | Emanuele Paolini 3 | :stem: latexmath 4 | :toc: 5 | 6 | [latexmath] 7 | ++++ 8 | \newcommand{\eps}{\varepsilon} 9 | \newcommand{\ENCLOSE}[1]{\left\{#1\right\}} 10 | \newcommand{\Enclose}[1]{\left[#1\right]} 11 | \newcommand{\enclose}[1]{\left(#1\right)} 12 | \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} 13 | \newcommand{\Abs}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} 14 | \newcommand{\closeinterval}[1]{\left[#1\right]} 15 | \newcommand{\openinterval}[1]{\left(#1\right)} 16 | \newcommand{\closeopeninterval}[1]{\left[#1\right)} 17 | \newcommand{\opencloseinterval}[1]{\left(#1\right]} 18 | \renewcommand{\B}{\mathcal B} 19 | \renewcommand{\P}{\mathcal P} 20 | \newcommand{\F}{\mathcal F} 21 | \newcommand{\NN}{\mathbb N} 22 | \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} 23 | \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} 24 | \newcommand{\RR}{\mathbb R} 25 | \newcommand{\CC}{\mathbb C} 26 | \newcommand{\KK}{\mathbb K} 27 | \newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn}} 28 | \newcommand{\tg}{\mathrm{tg}} 29 | \newcommand{\arctg}{\mathrm{arctg}} 30 | \newcommand{\tgh}{\mathrm{tgh}} 31 | \newcommand{\settsinh}{\mathrm{settsinh}} 32 | \newcommand{\settcosh}{\mathrm{settcosh}} 33 | \newcommand{\setttgh}{\mathrm{setttgh}} 34 | \newcommand{\MoveEqLeft}[1]{#1} 35 | ++++ 36 | 37 | include::chap-00-introduzione.adoc[] 38 | 39 | include::chap-01-reali.adoc[] 40 | 41 | include::chap-02-successioni.adoc[] 42 | 43 | include::chap-03-serie.adoc[] 44 | 45 | include::chap-04-complessi.adoc[] 46 | 47 | include::chap-05-derivate.adoc[] 48 | 49 | include::chap-06-integrali.adoc[] 50 | 51 | include::chap-07-spazi.adoc[] 52 | 53 | include::chap-08-ricorrenza.adoc[] 54 | 55 | include::chap-09-edo.adoc[] 56 | 57 | include::chap-98-algebra.adoc[] 58 | 59 | include::chap-99-appendix.adoc[] 60 | -------------------------------------------------------------------------------- /code/bisection.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | def bisection(f, a, b, digits=10): 2 | fa = f(a) 3 | fb = f(b) 4 | assert fb*fa <= 0 5 | while 2 * 10**digits * (b-a) > 1: 6 | c = (a+b)/2 7 | fc = f(c) 8 | if fc*fa < 0: 9 | b = c 10 | fb = fc 11 | else: 12 | a = c 13 | fa = fc 14 | return (a+b)/2 15 | 16 | # la libreria decimal ci permette di effettuare calcoli su numeri 17 | # con sviluppo decimale arbitrariamente lungo 18 | from decimal import Decimal, getcontext 19 | getcontext().prec = 110 # numero di cifre da utilizzare nei calcoli 20 | 21 | # l'operatore lambda permette di definire una 22 | # funzione senza dovergli dare un nome 23 | 24 | x = bisection(lambda x: x*x-2, Decimal(0), Decimal(2), digits=100) 25 | print("solution to x^2 = 2: x={:.101}".format(x)) 26 | 27 | x = bisection(lambda x: x*x-3, Decimal(0), Decimal(2), digits=100) 28 | print("solution to x^2 = 3: x={:.101}".format(x)) 29 | 30 | x = bisection(lambda x: x*x-x-1, Decimal(0), Decimal(2), digits=100) 31 | print("solution to x^2 = x+1: x={:.101}".format(x)) 32 | 33 | x = bisection(lambda x: x*x*x*x*x - x - 1, 34 | Decimal(0), Decimal(2), digits=100) 35 | print("solution to x^5 - x = 1: x={:.100}".format(x)) 36 | 37 | # expected output: 38 | # solution to x^2 = 2: x=1.41421356237309504880168872420969807856967 39 | # 1875376948073176679737990732478462107038850 40 | # 3875343276415727 41 | # solution to x^2 = 3: x=1.73205080756887729352744634150587236694280 42 | # 5253810380628055806979451933016908800037081 43 | # 1461867572485757 44 | # solution to x^2 = x+1: x=1.618033988749894848204586834365638117720 45 | # 30917980576286213544862270526046281890244 46 | # 97072072041893911375 47 | # solution to x^5 - x = 1: x=1.1673039782614186842560458998548421807 48 | # 205603715254890391400824492756519034295 49 | # 27053180685205049728673 50 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/99_appendix.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{Listati} 2 | 3 | Il seguente codice è scritto in \emph{python 3}% 4 | \mymargin{python 3}\index{python 3} 5 | un linguaggio di programmazione 6 | molto utilizzato per il calcolo numerico e scientifico. 7 | 8 | \lstset{% general command to set parameter(s) 9 | language=python, 10 | basicstyle=\small\ttfamily, % print whole listing small 11 | keywordstyle=\color{black}\bfseries, 12 | % underlined bold black keywords 13 | identifierstyle=, % nothing happens 14 | commentstyle=\color{black!50}, % white comments 15 | stringstyle=\color{Maroon}\ttfamily, % typewriter type for strings 16 | showstringspaces=false} % no special string spaces 17 | 18 | \section{bisection.py} 19 | 20 | Vedi esempio~\ref{ex:75445}. 21 | \myshortqrcode{bisection}{github}{bisection.py} 22 | \label{code:bisection} 23 | \lstinputlisting{code/bisection.py} 24 | 25 | \section{napier.py} 26 | 27 | Vedi Figura~\ref{fig:napier}. 28 | \myshortqrcode{napier}{github}{napier.py} 29 | \label{code:napier} 30 | \lstinputlisting{code/napier.py} 31 | 32 | \section{series.py} 33 | 34 | Vedi esempio~\ref{ex:52573}. 35 | \myshortqrcode{series}{github}{series.py} 36 | \label{code:series} 37 | \lstinputlisting{code/series.py} 38 | 39 | \section{compute\_e.py} 40 | 41 | Vedi tabella~\ref{fig:cifre_e}. 42 | \myshortqrcode{computee}{github}{compute_e.py} 43 | \label{code:compute_e} 44 | \lstinputlisting{code/compute_e.py} 45 | 46 | \section{compute\_pi.py} 47 | 48 | Vedi esercizio~\ref{ex:cifre_pi}. 49 | \myshortqrcode{computepi}{github}{compute_pi.py} 50 | \label{code:compute_pi} 51 | \lstinputlisting{code/compute_pi.py} 52 | 53 | \section{Mandelbrot.py} 54 | 55 | Vedi figura~\ref{fig:mandelbrot}. 56 | \myshortqrcode{Mandelbrot}{github}{Mandelbrot.py} 57 | \label{code:Mandelbrot} 58 | \lstinputlisting{code/Mandelbrot.py} 59 | 60 | \section{Koch.py} 61 | 62 | Vedi figura~\ref{fig:koch}. 63 | \myshortqrcode{Koch}{github}{Koch.py} 64 | \label{code:Koch} 65 | \lstinputlisting{code/Koch.py} 66 | 67 | \section{Fourier.py} 68 | 69 | Vedi figura~\ref{fig:fourier} 70 | \myshortqrcode{Fourier}{github}{Fourier.py} 71 | \label{code:Fourier} 72 | \lstinputlisting{code/fourier.py} 73 | -------------------------------------------------------------------------------- /.github/workflows/compile.yml: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | name: compile, build, commit and release 2 | on: [push] 3 | jobs: 4 | Compile-LaTeX: 5 | runs-on: ubuntu-latest 6 | steps: 7 | - run: echo "🎉 The job was automatically triggered by a ${{ github.event_name }} event." 8 | - run: echo "🔎 The name of your branch is ${{ github.ref }} and your repository is ${{ github.repository }}." 9 | - name: Check out repository code 10 | uses: actions/checkout@v4 11 | - name: compile LaTeX project 12 | uses: xu-cheng/latex-action@v2 13 | with: 14 | root_file: AnalisiUno.tex 15 | - name: upload PDF artifact 16 | uses: actions/upload-artifact@v4 17 | with: 18 | name: AnalisiUno.pdf 19 | path: AnalisiUno.pdf 20 | - name: upload myaux artifact 21 | uses: actions/upload-artifact@v4 22 | with: 23 | name: AnalisiUno.myaux 24 | path: AnalisiUno.myaux 25 | Build-Docs: 26 | runs-on: ubuntu-latest 27 | needs: Compile-LaTeX 28 | if: startsWith(github.ref, 'refs/heads/') 29 | steps: 30 | - name: Check out repository code 31 | uses: actions/checkout@v4 32 | - name: download myaux artifact 33 | uses: actions/download-artifact@v4 34 | with: 35 | name: AnalisiUno.myaux 36 | - name: make-docs 37 | run: bash make-docs.sh 38 | - name: commit doc changes 39 | uses: EndBug/add-and-commit@v7 40 | with: 41 | author_name: automated push 42 | message: 'automatic creation of docs' 43 | add: '["docs", "README.md"]' 44 | - run: echo "🍏 This job's status is ${{ job.status }}." 45 | Create-Release: 46 | runs-on: ubuntu-latest 47 | needs: Compile-LaTeX 48 | if: startsWith(github.ref, 'refs/tags/20') # expect a tag like 2021-10-28 for releases 49 | steps: 50 | - name: download PDF artifact 51 | uses: actions/download-artifact@v4 52 | with: 53 | name: AnalisiUno.pdf 54 | - name: create Release 55 | uses: ncipollo/release-action@v1 56 | with: 57 | artifacts: "AnalisiUno.pdf" 58 | artifactContentType: "application/pdf" 59 | body: "${{ github.event.head_commit.message }}" 60 | token: ${{ secrets.GITHUB_TOKEN }} 61 | - run: echo "this job's status is ${{ job.status }}." 62 | 63 | -------------------------------------------------------------------------------- /plastex.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import sys 2 | assert sys.version_info[0] >= 3, "python 3 required" 3 | from plasTeX.TeX import TeX 4 | #from plasTeX.Renderers.XHTML import Renderer 5 | import string 6 | from plasTeX.Renderers import Renderer 7 | 8 | 9 | class MyRenderer(Renderer): 10 | def __init__(self, *args, **kwargs): 11 | super().__init__(*args, **kwargs) 12 | 13 | def default(self, node): 14 | """ Rendering method for all non-text nodes """ 15 | if hasattr(self, node.nodeName): 16 | return getattr(self, node.nodeName)(node) 17 | s = [] 18 | 19 | # Handle characters like \&, \$, \%, etc. 20 | if len(node.nodeName) == 1 and node.nodeName not in string.ascii_letters: 21 | return self.textDefault(node.nodeName) 22 | 23 | # Start tag 24 | s.append('<%s>' % node.nodeName) 25 | 26 | # See if we have any attributes to render 27 | if node.hasAttributes(): 28 | s.append('') 29 | for key, value in node.attributes.items(): 30 | # If the key is 'self', don't render it 31 | # these nodes are the same as the child nodes 32 | if key == 'self': 33 | continue 34 | s.append('<%s>%s' % (key, str(value), key)) 35 | s.append('') 36 | 37 | # Invoke rendering on child nodes 38 | s.append(str(node)) 39 | 40 | # End tag 41 | s.append('' % node.nodeName) 42 | 43 | return u'\n'.join(s) 44 | 45 | def document(self, node): 46 | return "{}".format(node) 47 | 48 | def par(self, node): 49 | return "

{}

".format(node) 50 | 51 | def textDefault(self, node): 52 | """ Rendering method for all text nodes """ 53 | return node.replace('&','&').replace('<','<').replace('>','>') 54 | 55 | def main(): 56 | tex = TeX(myfile="PlasTex.tex") 57 | outfile = 'test.html' 58 | print('outfile: ', outfile) 59 | tex.ownerDocument.config['files']['split-level'] = -100 60 | tex.ownerDocument.config['files']['filename'] = outfile 61 | 62 | print("tex: ", tex) 63 | parse = tex.parse() 64 | print("parse: ", parse) 65 | renderer = MyRenderer() 66 | # help(renderer) 67 | print("renderer: ", renderer) 68 | render = renderer.render(parse) 69 | print("render: ", render) 70 | 71 | if __name__ == '__main__': 72 | main() -------------------------------------------------------------------------------- /convert.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | import re 2 | 3 | stack = [] 4 | 5 | def my_replace(m, line, replace): 6 | return line[:m.start()] + replace + line[m.end():] 7 | 8 | def convert_line(line): 9 | line = re.compile(r'^\%(.*)').sub(r'', line) 10 | line = re.compile(r'\\chapter{(.*?)}').sub(r'

\1

', line) 11 | line = re.compile(r'\\section{(.*?)}').sub(r'

\1

', line) 12 | line = re.compile(r'\\emph{(.*?)}').sub(r'\1', line) 13 | line = re.compile(r'\\myemph{(.*?)}').sub(r'\1', line) 14 | line = re.compile(r'\\myemph\[(.*?)\]{(.*?)}').sub(r'\2', line) 15 | line = re.compile(r'\\label{(.*?)}').sub(r'', line) 16 | line = re.compile(r'\\ref{(.*?)}').sub(r'\1', line) 17 | 18 | m = re.search(r'\\begin{(.*?)}', line) 19 | if m: 20 | env = m[1] 21 | stack.append(env) 22 | line = my_replace(m, line, '
'.format(env)) 23 | 24 | m = re.search(r'\\end{(.*?)}', line) 25 | if m: 26 | env = m[1] 27 | assert(stack and stack[-1] == env), "stack error while popping {} from {}".format(env, stack) 28 | stack.pop() 29 | line = my_replace(m, line, '
') 30 | 31 | line = re.compile(r'``').sub(r'“', line) 32 | line = re.compile(r"''").sub(r'”', line) 33 | return line 34 | 35 | def convert(filename_in, filename_out): 36 | print("converting {} => {}".format(filename_in, filename_out)) 37 | buffer = "" 38 | line_count = 0 39 | with open(filename_in) as file_in: 40 | try: 41 | for line in file_in: 42 | line_count += 1 43 | buffer += convert_line(line) 44 | except Exception as e: 45 | print("file {} line {}:".format(filename_in, line_count)) 46 | raise e 47 | with open(filename_out, "w") as file_out: 48 | file_out.write(buffer) 49 | 50 | def main(): 51 | for chap in [ 52 | '00-introduzione', 53 | '01-reali', 54 | '02-successioni', 55 | '03-serie', 56 | '04-complessi', 57 | '05-derivate', 58 | '06-integrali', 59 | '07-spazi', 60 | '08-ricorrenza', 61 | '09-edo', 62 | '98-algebra', 63 | '99-appendix', 64 | ]: 65 | convert("chapters/AnalisiUno-{}.tex".format(chap) , "xml/chap-{}.xml".format(chap)) 66 | 67 | 68 | if __name__ == "__main__": 69 | main() 70 | 71 | -------------------------------------------------------------------------------- /Plain.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[fontsize=10pt]{book} 2 | \usepackage[italian]{babel} % Load characters and hyphenation 3 | \usepackage[dvipsnames]{xcolor} 4 | \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,thmtools} 5 | \usepackage{mathtools} % MoveEqLeft 6 | \usepackage{comment} 7 | \usepackage{qrcode} 8 | \usepackage[type={CC},modifier={by-nc-sa},version={4.0},lang={en}]{doclicense} 9 | \usepackage{eucal} 10 | \usepackage{tcolorbox} 11 | \usepackage{parnotes} 12 | \usepackage{marginnote} 13 | \usepackage{marginfix} 14 | \usepackage{caption,subcaption} 15 | \usepackage{tikz} 16 | \usepackage{pgfplots} % per disegnare i grafici di funzione 17 | \usetikzlibrary{cd,calc,backgrounds} % commutative diagrams 18 | \usepackage{cite} 19 | \usepackage{listings} 20 | \usepackage{imakeidx} 21 | \usepackage{eucal} 22 | \usepackage{array} 23 | \usepackage{hyphenat} 24 | 25 | \makeindex 26 | 27 | \input{AnalisiUno-custom.tex} 28 | \widemarginfalse 29 | 30 | \graphicspath{{figures/}} 31 | 32 | %% per compilare un solo capitolo scommenta 33 | %% una delle righe seguenti: 34 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-00-introduzione} 35 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-01-reali} 36 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-02-successioni} 37 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-03-serie} 38 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-04-complessi} 39 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-05-derivate} 40 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-06-integrali} 41 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-07-spazi} 42 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-08-ricorrenza} 43 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-09-edo} 44 | %\includeonly{chapters/AnalisiUno-98-algebra} 45 | 46 | 47 | \begin{document} 48 | \title{Appunti di\\Analisi Matematica Uno} 49 | \author{Emanuele Paolini} 50 | \date{\today} 51 | \publishers{manu-fatto} 52 | 53 | \frontmatter % Denotes the start of the pre-document content, uses roman numerals 54 | 55 | \maketitle 56 | 57 | \thispagestyle{empty} 58 | \mbox{} 59 | \vfill 60 | \doclicenseThis 61 | 62 | \include{chapters/chapter-00-introduzione} 63 | 64 | \tableofcontents 65 | 66 | \mainmatter 67 | 68 | \include{chapters/chapter-01-reali} 69 | \include{chapters/chapter-02-successioni} 70 | \include{chapters/chapter-03-serie} 71 | \include{chapters/chapter-04-derivate} 72 | \include{chapters/chapter-05-integrali} 73 | \include{chapters/chapter-06-spazi} 74 | \include{chapters/chapter-07-ricorrenza} 75 | \include{chapters/chapter-08-edo} 76 | 77 | \appendix 78 | 79 | \include{chapters/AnalisiUno-99-appendix} 80 | 81 | \backmatter 82 | 83 | \nocite{Giusti} 84 | \nocite{Courant} 85 | \nocite{Marcellini} 86 | \nocite{Rudin} 87 | \nocite{PaganiSalsa} 88 | \nocite{appunti_logica} 89 | 90 | 91 | \bibliography{biblio}{} 92 | \bibliographystyle{plain} 93 | 94 | \printindex 95 | 96 | \end{document} 97 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/05_integrali/09_speciali.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{funzioni speciali} 2 | 3 | E' certamente molto utile conoscere i metodi di integrazione 4 | per poter scrivere esplicitamente la primitiva di una 5 | generica funzione. 6 | Ma è anche molto utile sapere che esistono alcune funzioni 7 | elementari la cui primitiva non è una funzione elementare. 8 | Un esempio su tutti è la 9 | \emph{campana di Gauss}% 10 | \mymargin{campana di Gauss}% 11 | \index{campana!di Gauss} 12 | \index{Gauss!funzione di}% 13 | \index{funzione!gaussiana}% 14 | $f(x) = e^{-x^2}$ la cui funzione integrale 15 | \[ 16 | F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\, dt 17 | \] 18 | non può essere espressa mediante composizione di funzioni 19 | elementari. 20 | Questo fatto non ci deve scoraggiare più di tanto, 21 | daremo un nome alla funzione $F$ e ne studieremo le proprietà 22 | utilizzando la teoria che abbiamo sviluppato. 23 | Ovviamente è probabile che prima di noi qualcun'altro 24 | si sia imbattutto in tali funzioni e gli abbia già dato 25 | un nome e ne abbia studiato le proprietà. 26 | Queste funzioni si chiamano usualmente \emph{funzioni speciali} 27 | per distinguerle dalle \emph{funzioni elementari}. 28 | \index{funzione!speciale}% 29 | \index{speciale!funzione}% 30 | \index{funzioni!elementari}% 31 | \index{elementare!funzione}% 32 | Nell'esempio specifico è stata definita la 33 | \emph{funzione di errore}% 34 | \mymargin{funzione di errore}% 35 | \index{funzione!di errore} 36 | \[ 37 | \erf x = \frac{2}{\sqrt \pi} \int_0^x e^{-t^2}\, dt. 38 | \] 39 | 40 | Altri esempi di funzioni la cui primitiva non si esprime mediante 41 | funzioni elementari sono i seguenti: 42 | \[ 43 | \frac{1}{\ln x}, \qquad 44 | \frac{e^x}{x}, \qquad 45 | \frac{\sin x}{x}, \qquad \sin\frac{\pi x^2}{2} 46 | \] 47 | per le quali si definiscono le rispettive primitive: 48 | \emph{logaritmo integrale}, \emph{integrale esponenziale}, 49 | \emph{seno integrale}, 50 | \emph{integrale di Fresnel}: 51 | \[ 52 | \li x, \qquad 53 | \ei x, \qquad 54 | \Si x, \qquad 55 | S x. 56 | \] 57 | 58 | Il teorema tramite il quale si dimostra che queste 59 | funzioni non ammettono una primitiva esprimibile come 60 | composizione di funzioni elementari (funzioni razionali, 61 | esponenziali, trigonometriche e loro inverse) si chiama 62 | Teorema di Liouville.% 63 | \newsavebox{\qrDeLellis}\sbox{\qrDeLellis}{% 64 | \myqrdoclink{http://cvgmt.sns.it/paper/3456/}{}{Il teorema di Liouville}}% 65 | \mynote{% 66 | Il teorema di Liouville è un teorema di tipo algebrico 67 | e quindi va ben lontano dagli scopi di questo corso. 68 | Per chi fosse interessato a vederne la dimostrazione 69 | una lettura piacevole può essere l'articolo di Camillo De Lellis: 70 | \emph{Il teorema di Liouville ovvero perché ``non esiste'' la primitiva 71 | di $\exp(x^2)$}.\\ 72 | \usebox{\qrDeLellis} 73 | } 74 | 75 | -------------------------------------------------------------------------------- /AnalisiUnoPlain.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[ 2 | fontsize=10pt, % Base font size 3 | ]{scrbook} 4 | \usepackage[italian]{babel} % Load characters and hyphenation 5 | \usepackage[dvipsnames]{xcolor} 6 | \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,thmtools} 7 | \usepackage{mathtools} % MoveEqLeft 8 | \usepackage{comment} 9 | \usepackage{qrcode} 10 | \usepackage[type={CC},modifier={by-nc-sa},version={4.0},lang={en}]{doclicense} 11 | \usepackage{eucal} 12 | \usepackage{tcolorbox} 13 | \usepackage{parnotes} 14 | \usepackage{marginnote} 15 | \usepackage{marginfix} 16 | \usepackage{caption,subcaption} 17 | \usepackage{tikz} 18 | \usepackage{pgfplots} % per disegnare i grafici di funzione 19 | \usetikzlibrary{cd,calc,backgrounds} % commutative diagrams 20 | \usepackage{cite} 21 | \usepackage{listings} 22 | \usepackage{imakeidx} 23 | \usepackage{eucal} 24 | \usepackage{array} 25 | \usepackage{hyphenat} 26 | \usepackage{hyperref} 27 | 28 | \hypersetup{ 29 | colorlinks=true, 30 | linkcolor=black, 31 | filecolor=black, 32 | urlcolor=black, 33 | pdftitle={Paolini: Appunti di Analisi Matematica Uno}, 34 | } 35 | 36 | \makeindex 37 | 38 | \input{AnalisiUno-custom.tex} 39 | \widemarginfalse 40 | 41 | \graphicspath{{figures/}} 42 | 43 | %% per compilare un solo capitolo scommenta 44 | %% una delle righe seguenti: 45 | %\includeonly{chapters/introduzione} 46 | %\includeonly{chapters/reali} 47 | %\includeonly{chapters/successioni} 48 | %\includeonly{chapters/serie} 49 | %\includeonly{chapters/complessi} 50 | %\includeonly{chapters/derivate} 51 | %\includeonly{chapters/integrali} 52 | %\includeonly{chapters/spazi} 53 | %\includeonly{chapters/ricorrenza} 54 | %\includeonly{chapters/edo} 55 | %\includeonly{chapters/algebra} 56 | 57 | 58 | \begin{document} 59 | \title{Appunti di\\Analisi Matematica Uno} 60 | \author{Emanuele Paolini} 61 | \date{\today} 62 | \publishers{manu-fatto} 63 | 64 | \frontmatter % Denotes the start of the pre-document content, uses roman numerals 65 | 66 | \maketitle 67 | 68 | \thispagestyle{empty} 69 | \mbox{} 70 | \vfill 71 | \doclicenseThis 72 | 73 | \include{chapters/introduzione} 74 | 75 | \tableofcontents 76 | 77 | \mainmatter 78 | 79 | \include{chapters/fondamenti} 80 | \include{chapters/limiti} 81 | \include{chapters/serie} 82 | \include{chapters/derivate} 83 | \include{chapters/integrali} 84 | \include{chapters/spazi} 85 | \include{chapters/ricorrenza} 86 | \include{chapters/edo} 87 | 88 | \appendix 89 | 90 | \include{chapters/AnalisiUno-99-appendix} 91 | 92 | \backmatter 93 | 94 | \nocite{Giusti} 95 | \nocite{Courant} 96 | \nocite{Marcellini} 97 | \nocite{Rudin} 98 | \nocite{PaganiSalsa} 99 | \nocite{appunti_logica} 100 | 101 | 102 | \bibliography{biblio}{} 103 | \bibliographystyle{plain} 104 | 105 | \printindex 106 | 107 | \end{document} 108 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/polyrectangle.py: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | from collections import defaultdict 2 | from operator import itemgetter 3 | from sys import argv 4 | from PIL import Image 5 | 6 | filename, inside, nx, ny = argv[1:] 7 | 8 | nx = int(nx) 9 | ny = int(ny) 10 | inside = {'inside': True, 'outside': False}[inside] 11 | 12 | print '%', inside 13 | 14 | im = Image.open(filename) # Can be many different formats. 15 | pix = im.load() 16 | print '%', pix[0,0], pix[1,1], pix[2,2] 17 | width, height = im.size # Get the width and hight of the image for iterating over 18 | # print pix[10,10] 19 | 20 | scale = 10.0 / height 21 | 22 | dx = width // nx 23 | dy = height // ny 24 | 25 | h = defaultdict(int) 26 | 27 | for j in range(height): 28 | for i in range(width): 29 | h[pix[i,j]] += 1 30 | 31 | # print sorted(h.items(), key = itemgetter(1), reverse=True)[:10] 32 | 33 | # print nx,ny 34 | 35 | def mypix(i,j): 36 | return pix[max(0,min(i,width-1)), max(0,min(j,height-1))] 37 | 38 | path = [] 39 | 40 | squares = [[None] * nx] * ny 41 | for j in range(ny): 42 | first = None 43 | last = None 44 | for i in range(nx): 45 | pixels = [mypix(i*dx+ii,height-1-(j*dy+jj)) for jj in range(-1,dy+1) for ii in range(-1,dx+1)] 46 | good_pixels = [x < 128 for x in pixels] 47 | # print '%', j,i, sum(good_pixels) 48 | if inside: 49 | good = sum(good_pixels) == len(pixels) 50 | else: 51 | good = sum(good_pixels) > 0 52 | if (good): 53 | if first is None: 54 | first = i 55 | last = i+1 56 | if first is not None: 57 | if not path: 58 | path = [(i,j) for i in range(first,last+1)] 59 | else: 60 | if first <= path[0][0]: 61 | path = [(i,j) for i in range(first, path[0][0]+1)] + path 62 | else: 63 | path = [(i,j) for i in range(first, path[0][0]-1,-1)] + path 64 | if (last <= path[-1][0]): 65 | path = path + [(i,j) for i in range(path[-1][0],last-1,-1)] 66 | else: 67 | path = path + [(i,j) for i in range(path[-1][0],last+1,1)] 68 | else: 69 | if path: 70 | path = path + [(i,j) for i in range(path[-1][0],path[0][0]-1,-1)] 71 | path = path + [path[0]] 72 | if inside: 73 | color = 'blue' 74 | else: 75 | color = 'red' 76 | print("\\draw[draw={}] ".format(color)) 77 | print '--'.join(['({:.3},{:.3})'.format(i*dx*scale,j*dy*scale) for (i,j) in path]) 78 | print(";") 79 | print("\\begin{scope}[on background layer]") 80 | print("\\draw[draw=none,fill={}!10] ".format(color)) 81 | print '--'.join(['({:.3},{:.3})'.format(i*dx*scale,j*dy*scale) for (i,j) in path]) 82 | print(";") 83 | print("\\end{scope}") 84 | path = [] 85 | # print("%",j,first,last,path) 86 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/algebra.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{richiami di algebra lineare} 2 | 3 | \begin{definition}[autovalori e autovettori] 4 | Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $\KK$ (con $\KK = \RR$ o $\KK=\CC$) 5 | e $A\colon V\to V$ un operatore lineare. 6 | Diremo che $\lambda\in \KK$ è un \emph{autovalore}% 7 | \mymargin{autovalore}\index{autovalore} di $A$ 8 | e esiste $v\in V$, $v\neq 0$ tale che 9 | \[ 10 | Av = \lambda v. 11 | \] 12 | In tal caso $v$ si dice essere un \emph{autovettore}% 13 | \mymargin{autovettore}\index{autovettore} di $A$ relativo 14 | all'autovalore $\lambda$. 15 | 16 | Denotiamo con $A-\lambda$ l'operatore lineare $A-\lambda I$ 17 | dove $I\colon V\to V$ è l'identità. 18 | Lo spazio vettoriale 19 | \[ 20 | \ker (A-\lambda I) 21 | \] 22 | si chiama \emph{autospazio}% 23 | \mymargin{autospazio}\index{autospazio} relativo all'autovalore $\lambda$. 24 | L'autospazio è composto dal vettore $0$ e da tutti gli autovalori 25 | relativi all'autovalore $\lambda$. 26 | 27 | Diremo che $v$ è un autovettore generalizzato di grado $m$ ($m\ge 1$ intero) 28 | relativo all'autovalore $\lambda$ 29 | se 30 | \[ 31 | (D-\lambda)^m v = 0 32 | \qquad \text{ma} \qquad 33 | (D-\lambda)^{m-1} v \neq 0. 34 | \] 35 | 36 | Gli autovettori generalizzati di grado $1$ sono esattamente gli 37 | autovettori. 38 | \end{definition} 39 | 40 | \begin{proposition}[proprietà degli autovettori] 41 | Sia $A\colon V \to V$ un operatore lineare. 42 | Denotiamo con 43 | \[ 44 | W_\lambda^m = \ker (A-\lambda)^m \setminus \ker (A-\lambda)^{m-1} 45 | \] 46 | l'insieme (non è uno spazio vettoriale!) di tutti gli autovettori 47 | generalizzati di $A$ di grado $m$ relativi all'autovalore $\lambda$. 48 | Allora se $\lambda \neq \mu$ si ha 49 | \begin{enumerate} 50 | \item autovettori relativi ad autovalori distinti sono distinti: 51 | \[ 52 | W_\lambda^1 \cap W_\mu^1 = \emptyset; 53 | \] 54 | \item gli operatori $A-\lambda$ e $A-\mu$ commutano: 55 | \[ 56 | (A-\lambda)(A-\mu)v = (A-\mu)(A-\lambda); 57 | \] 58 | \item 59 | l'operatore $A-\mu$ lascia invariati gli insiemi $W_\lambda^m$: 60 | \[ 61 | v\in W_\lambda^n 62 | \implies 63 | (D-\mu)v \in W_\lambda^n. 64 | \] 65 | \end{enumerate} 66 | \end{proposition} 67 | % 68 | \begin{proof} 69 | \begin{enumerate} 70 | \item 71 | Se esistesse $v\in W_\lambda^1 \cap W_\lambda^1$ si avrebbe 72 | \[ 73 | (\lambda - \mu) v = \lambda v - \mu v = Av - Av = 0. 74 | \] 75 | Ma questo è impossibile se $v\neq 0$ e $\mu\neq \lambda$. 76 | 77 | \item 78 | Si ha 79 | \[ 80 | (A-\lambda)(A-\mu) 81 | = A(A-\mu I) - \lambda (A-\mu I) 82 | = A^2 - \mu A -\lambda A + \lambda \mu I 83 | = A^2 - (\mu+\lambda) A + \lambda\mu I. 84 | \] 85 | Visto che il lato destro dell'uguaglianza è invariante se 86 | scambiamo $\lambda$ e $\mu$ anche il lato sinistro deve esserlo. 87 | 88 | \item 89 | Se $(A-\lambda)^m v = 0$ si ha 90 | \[ 91 | (A-\lambda)^m (A-\mu) v = (A-\mu)(A-\lambda^m) v = 0. 92 | \] 93 | Vogliamo mostrare che se $(A-\lambda)^{m-1} v \neq 0$ 94 | allora anche $(A-\lambda)^{m-1} v \neq 0$. 95 | 96 | \end{enumerate} 97 | \end{proof} 98 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/figurePJBinside.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % True 2 | % 255 255 255 3 | \draw[draw=blue] 4 | (9.7,7.7)--(9.46,7.7)--(9.22,7.7)--(9.22,7.5)--(8.99,7.5)--(8.99,7.3)--(8.75,7.3)--(8.75,7.09)--(8.51,7.09)--(8.51,6.89)--(8.28,6.89)--(8.28,6.69)--(8.04,6.69)--(8.04,6.49)--(7.8,6.49)--(7.8,6.28)--(7.57,6.28)--(7.57,6.08)--(7.57,5.88)--(7.33,5.88)--(7.33,5.68)--(7.09,5.68)--(7.09,5.47)--(6.86,5.47)--(6.86,5.27)--(6.86,5.07)--(6.62,5.07)--(6.62,4.86)--(6.39,4.86)--(6.39,4.66)--(6.39,4.46)--(6.15,4.46)--(6.15,4.26)--(6.15,4.05)--(6.15,3.85)--(6.15,3.65)--(6.39,3.65)--(6.39,3.45)--(6.39,3.24)--(6.62,3.24)--(6.62,3.04)--(6.86,3.04)--(6.86,2.84)--(7.09,2.84)--(7.09,2.64)--(7.33,2.64)--(7.33,2.43)--(7.57,2.43)--(7.57,2.23)--(7.8,2.23)--(7.8,2.03)--(8.04,2.03)--(8.28,2.03)--(8.28,1.82)--(8.51,1.82)--(8.51,1.62)--(8.75,1.62)--(8.99,1.62)--(8.99,1.42)--(9.22,1.42)--(9.46,1.42)--(9.46,1.22)--(9.7,1.22)--(9.93,1.22)--(10.2,1.22)--(10.4,1.22)--(10.4,1.42)--(10.6,1.42)--(10.9,1.42)--(10.9,1.62)--(11.1,1.62)--(11.1,1.82)--(11.4,1.82)--(11.4,2.03)--(11.6,2.03)--(11.6,2.23)--(11.8,2.23)--(11.8,2.43)--(12.1,2.43)--(12.1,2.64)--(12.1,2.84)--(12.3,2.84)--(12.3,3.04)--(12.5,3.04)--(12.5,3.24)--(12.5,3.45)--(12.8,3.45)--(12.8,3.65)--(12.8,3.85)--(12.8,4.05)--(12.8,4.26)--(12.8,4.46)--(12.8,4.66)--(12.5,4.66)--(12.5,4.86)--(12.5,5.07)--(12.3,5.07)--(12.3,5.27)--(12.3,5.47)--(12.1,5.47)--(12.1,5.68)--(12.1,5.88)--(11.8,5.88)--(11.8,6.08)--(11.8,6.28)--(11.6,6.28)--(11.6,6.49)--(11.6,6.69)--(11.4,6.69)--(11.4,6.89)--(11.1,6.89)--(11.1,7.09)--(10.9,7.09)--(10.9,7.3)--(10.6,7.3)--(10.6,7.5)--(10.4,7.5)--(10.4,7.7)--(10.2,7.7)--(10.2,7.91)--(9.93,7.91)--(9.7,7.91)--(9.7,7.7) 5 | ; 6 | \begin{scope}[on background layer] 7 | \draw[draw=none,fill=blue!10] 8 | (9.7,7.7)--(9.46,7.7)--(9.22,7.7)--(9.22,7.5)--(8.99,7.5)--(8.99,7.3)--(8.75,7.3)--(8.75,7.09)--(8.51,7.09)--(8.51,6.89)--(8.28,6.89)--(8.28,6.69)--(8.04,6.69)--(8.04,6.49)--(7.8,6.49)--(7.8,6.28)--(7.57,6.28)--(7.57,6.08)--(7.57,5.88)--(7.33,5.88)--(7.33,5.68)--(7.09,5.68)--(7.09,5.47)--(6.86,5.47)--(6.86,5.27)--(6.86,5.07)--(6.62,5.07)--(6.62,4.86)--(6.39,4.86)--(6.39,4.66)--(6.39,4.46)--(6.15,4.46)--(6.15,4.26)--(6.15,4.05)--(6.15,3.85)--(6.15,3.65)--(6.39,3.65)--(6.39,3.45)--(6.39,3.24)--(6.62,3.24)--(6.62,3.04)--(6.86,3.04)--(6.86,2.84)--(7.09,2.84)--(7.09,2.64)--(7.33,2.64)--(7.33,2.43)--(7.57,2.43)--(7.57,2.23)--(7.8,2.23)--(7.8,2.03)--(8.04,2.03)--(8.28,2.03)--(8.28,1.82)--(8.51,1.82)--(8.51,1.62)--(8.75,1.62)--(8.99,1.62)--(8.99,1.42)--(9.22,1.42)--(9.46,1.42)--(9.46,1.22)--(9.7,1.22)--(9.93,1.22)--(10.2,1.22)--(10.4,1.22)--(10.4,1.42)--(10.6,1.42)--(10.9,1.42)--(10.9,1.62)--(11.1,1.62)--(11.1,1.82)--(11.4,1.82)--(11.4,2.03)--(11.6,2.03)--(11.6,2.23)--(11.8,2.23)--(11.8,2.43)--(12.1,2.43)--(12.1,2.64)--(12.1,2.84)--(12.3,2.84)--(12.3,3.04)--(12.5,3.04)--(12.5,3.24)--(12.5,3.45)--(12.8,3.45)--(12.8,3.65)--(12.8,3.85)--(12.8,4.05)--(12.8,4.26)--(12.8,4.46)--(12.8,4.66)--(12.5,4.66)--(12.5,4.86)--(12.5,5.07)--(12.3,5.07)--(12.3,5.27)--(12.3,5.47)--(12.1,5.47)--(12.1,5.68)--(12.1,5.88)--(11.8,5.88)--(11.8,6.08)--(11.8,6.28)--(11.6,6.28)--(11.6,6.49)--(11.6,6.69)--(11.4,6.69)--(11.4,6.89)--(11.1,6.89)--(11.1,7.09)--(10.9,7.09)--(10.9,7.3)--(10.6,7.3)--(10.6,7.5)--(10.4,7.5)--(10.4,7.7)--(10.2,7.7)--(10.2,7.91)--(9.93,7.91)--(9.7,7.91)--(9.7,7.7) 9 | ; 10 | \end{scope} 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/04_derivate/13_complessa.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{derivata complessa} 3 | \label{sec:derivata_complessa} 4 | 5 | Se abbiamo una funzione $f\colon A\subset \CC \to \CC$ 6 | possiamo definire la derivata (complessa) esattamente 7 | come abbiamo fatto per la derivata reale: 8 | \[ 9 | f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} 10 | \] 11 | (se il limite esiste finito). 12 | Si osservi che in questo caso $h\in \CC$, 13 | il rapporto incrementale è una divisione complessa 14 | e il limite è un limite complesso. 15 | 16 | Ad esempio la funzione $f(z)=z$ è derivabile 17 | in senso complesso e la sua derivata è $f'(z) = 1$ 18 | in quanto 19 | \[ 20 | \lim_{h\to 0} \frac{z+h-z}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h}{h}=1. 21 | \] 22 | Le dimostrazioni che riguardano la derivata della somma 23 | e la derivata del prodotto si ripetono formalmente identiche 24 | a come le abbiamo fatte per la derivata reale. 25 | Potremo quindi affermare che se $f$ e $g$ sono derivabili 26 | in senso complesso in un punto $z_0\in \CC$ risulta 27 | \begin{align*} 28 | (f+g)'(z_0) 29 | &= f'(z_0) + g'(z_0), \\ 30 | (f\cdot g)'(z_0) 31 | &= f'(z_0)\cdot g(z_0) + f(z_0)\cdot g'(z_0). 32 | \end{align*} 33 | Dunque si avrà, se $n\in \NN\setminus\ENCLOSE{0}$, 34 | \[ 35 | \enclose{z^n}' = n z^{n-1}. 36 | \] 37 | Ovviamente la derivata di una costante è nulla. 38 | La formula per la derivata della funzione composta è anch'essa valida 39 | e si dimostra ripetendo formalmente la stessa dimostrazione che 40 | abbiamo già visto: 41 | \[ 42 | \enclose{f(g(z))}' = f'(g(z))\cdot g'(z). 43 | \] 44 | Anche la formula per la derivata del reciproco si ottiene 45 | con la stessa dimostrazione che abbiamo già visto nel caso 46 | reale: 47 | \[ 48 | \enclose{\frac 1 z}' = - \frac{1}{z^2} 49 | \] 50 | e di conseguenza vale la formula per la derivata del rapporto 51 | \[ 52 | \enclose{\frac{f(z)}{g(z)}}' = \frac{f'(z)\cdot g(z) - f(z)\cdot g'(z)}{g^2(z)}. 53 | \] 54 | 55 | Abbiamo quindi che ogni funzione polinomiale a coefficienti in $\CC$ 56 | è derivabile in senso complesso. 57 | E lo stesso vale per le funzioni razionali ovvero i rapporti 58 | di polinomi. 59 | 60 | La funzione esponenziale è un'altro esempio importantissimo 61 | di funzione complessa derivabile in quanto risulta 62 | \[ 63 | \lim_{h\to 0} \frac{e^{z+h}-e^z}{h} 64 | = \lim_{h\to 0} e^z \cdot \frac{e^h-1}{h} = e^z 65 | \] 66 | in virtù del noto limite notevole di cui 67 | gode la funzione esponenziale 68 | (teorema~\ref{th:exp_complesso}). 69 | Più in generale è facile verificare che tutte le funzioni 70 | analitiche sono derivabili in senso complesso. 71 | 72 | Un risultato sorprendente dell'analisi complessa ci dice 73 | che è vero anche il viceversa: ogni funzione 74 | derivabile in senso complesso in tutti i punti del suo 75 | dominio risulta essere analitica (e in particolare di classe 76 | $C^\infty$). 77 | 78 | In effetti la derivabilità in senso complesso è una proprietà 79 | molto forte. Ad esempio la funzione $f(z) = \bar z$ 80 | non risulta essere derivabile in senso complesso in quanto 81 | \[ 82 | \frac{\overline{z+h}-\overline z}{h} = \frac{\bar h}{h} 83 | \] 84 | e per $h\to 0$ il limite non esiste visto che se 85 | $h$ è reale tale rapporto vale sempre $1$ 86 | ma se $h$ è immaginario puro tale rapporto vale sempre $-1$. 87 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/figurePJBoutside.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % False 2 | % 255 255 255 3 | \draw[draw=red] 4 | (9.46,7.91)--(9.22,7.91)--(8.99,7.91)--(8.99,7.7)--(8.75,7.7)--(8.75,7.5)--(8.51,7.5)--(8.51,7.3)--(8.28,7.3)--(8.28,7.09)--(8.04,7.09)--(8.04,6.89)--(7.8,6.89)--(7.8,6.69)--(7.57,6.69)--(7.57,6.49)--(7.33,6.49)--(7.33,6.28)--(7.09,6.28)--(7.09,6.08)--(6.86,6.08)--(6.86,5.88)--(6.86,5.68)--(6.62,5.68)--(6.62,5.47)--(6.39,5.47)--(6.39,5.27)--(6.39,5.07)--(6.15,5.07)--(6.15,4.86)--(6.15,4.66)--(5.91,4.66)--(5.91,4.46)--(5.91,4.26)--(5.91,4.05)--(5.91,3.85)--(5.91,3.65)--(5.91,3.45)--(6.15,3.45)--(6.15,3.24)--(6.15,3.04)--(6.39,3.04)--(6.39,2.84)--(6.62,2.84)--(6.62,2.64)--(6.86,2.64)--(6.86,2.43)--(7.09,2.43)--(7.09,2.23)--(7.33,2.23)--(7.33,2.03)--(7.57,2.03)--(7.57,1.82)--(7.8,1.82)--(7.8,1.62)--(8.04,1.62)--(8.28,1.62)--(8.28,1.42)--(8.51,1.42)--(8.51,1.22)--(8.75,1.22)--(8.99,1.22)--(8.99,1.01)--(9.22,1.01)--(9.46,1.01)--(9.7,1.01)--(9.7,0.811)--(9.93,0.811)--(10.2,0.811)--(10.4,0.811)--(10.4,1.01)--(10.6,1.01)--(10.9,1.01)--(10.9,1.22)--(11.1,1.22)--(11.1,1.42)--(11.4,1.42)--(11.4,1.62)--(11.6,1.62)--(11.6,1.82)--(11.8,1.82)--(11.8,2.03)--(12.1,2.03)--(12.1,2.23)--(12.3,2.23)--(12.3,2.43)--(12.5,2.43)--(12.5,2.64)--(12.5,2.84)--(12.8,2.84)--(12.8,3.04)--(12.8,3.24)--(13.0,3.24)--(13.0,3.45)--(13.0,3.65)--(13.0,3.85)--(13.0,4.05)--(13.0,4.26)--(13.0,4.46)--(13.0,4.66)--(13.0,4.86)--(13.0,5.07)--(12.8,5.07)--(12.8,5.27)--(12.8,5.47)--(12.5,5.47)--(12.5,5.68)--(12.5,5.88)--(12.3,5.88)--(12.3,6.08)--(12.3,6.28)--(12.1,6.28)--(12.1,6.49)--(11.8,6.49)--(11.8,6.69)--(11.8,6.89)--(11.6,6.89)--(11.6,7.09)--(11.4,7.09)--(11.4,7.3)--(11.4,7.5)--(11.1,7.5)--(11.1,7.7)--(10.9,7.7)--(10.9,7.91)--(10.6,7.91)--(10.6,8.11)--(10.4,8.11)--(10.2,8.11)--(9.93,8.11)--(9.7,8.11)--(9.46,8.11)--(9.46,7.91) 5 | ; 6 | \begin{scope}[on background layer] 7 | \draw[draw=none,fill=red!10] 8 | (9.46,7.91)--(9.22,7.91)--(8.99,7.91)--(8.99,7.7)--(8.75,7.7)--(8.75,7.5)--(8.51,7.5)--(8.51,7.3)--(8.28,7.3)--(8.28,7.09)--(8.04,7.09)--(8.04,6.89)--(7.8,6.89)--(7.8,6.69)--(7.57,6.69)--(7.57,6.49)--(7.33,6.49)--(7.33,6.28)--(7.09,6.28)--(7.09,6.08)--(6.86,6.08)--(6.86,5.88)--(6.86,5.68)--(6.62,5.68)--(6.62,5.47)--(6.39,5.47)--(6.39,5.27)--(6.39,5.07)--(6.15,5.07)--(6.15,4.86)--(6.15,4.66)--(5.91,4.66)--(5.91,4.46)--(5.91,4.26)--(5.91,4.05)--(5.91,3.85)--(5.91,3.65)--(5.91,3.45)--(6.15,3.45)--(6.15,3.24)--(6.15,3.04)--(6.39,3.04)--(6.39,2.84)--(6.62,2.84)--(6.62,2.64)--(6.86,2.64)--(6.86,2.43)--(7.09,2.43)--(7.09,2.23)--(7.33,2.23)--(7.33,2.03)--(7.57,2.03)--(7.57,1.82)--(7.8,1.82)--(7.8,1.62)--(8.04,1.62)--(8.28,1.62)--(8.28,1.42)--(8.51,1.42)--(8.51,1.22)--(8.75,1.22)--(8.99,1.22)--(8.99,1.01)--(9.22,1.01)--(9.46,1.01)--(9.7,1.01)--(9.7,0.811)--(9.93,0.811)--(10.2,0.811)--(10.4,0.811)--(10.4,1.01)--(10.6,1.01)--(10.9,1.01)--(10.9,1.22)--(11.1,1.22)--(11.1,1.42)--(11.4,1.42)--(11.4,1.62)--(11.6,1.62)--(11.6,1.82)--(11.8,1.82)--(11.8,2.03)--(12.1,2.03)--(12.1,2.23)--(12.3,2.23)--(12.3,2.43)--(12.5,2.43)--(12.5,2.64)--(12.5,2.84)--(12.8,2.84)--(12.8,3.04)--(12.8,3.24)--(13.0,3.24)--(13.0,3.45)--(13.0,3.65)--(13.0,3.85)--(13.0,4.05)--(13.0,4.26)--(13.0,4.46)--(13.0,4.66)--(13.0,4.86)--(13.0,5.07)--(12.8,5.07)--(12.8,5.27)--(12.8,5.47)--(12.5,5.47)--(12.5,5.68)--(12.5,5.88)--(12.3,5.88)--(12.3,6.08)--(12.3,6.28)--(12.1,6.28)--(12.1,6.49)--(11.8,6.49)--(11.8,6.69)--(11.8,6.89)--(11.6,6.89)--(11.6,7.09)--(11.4,7.09)--(11.4,7.3)--(11.4,7.5)--(11.1,7.5)--(11.1,7.7)--(10.9,7.7)--(10.9,7.91)--(10.6,7.91)--(10.6,8.11)--(10.4,8.11)--(10.2,8.11)--(9.93,8.11)--(9.7,8.11)--(9.46,8.11)--(9.46,7.91) 9 | ; 10 | \end{scope} 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/03_serie/03_decimali.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{rappresentazione posizionale dei numeri reali} 2 | \label{sec:decimali} 3 | %%% 4 | %%% 5 | Quando scriviamo $\frac{3}{8} = 0.375$ intendiamo che vale 6 | \[ 7 | \frac 3 8 = \frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3}. 8 | \] 9 | Più in generale data una base $d\in \NN$, $d\ge 2$, ($d=10$ nel 10 | caso della rappresentazione decimale) 11 | consideriamo l'insieme $\Enclose{d} = \ENCLOSE{0,1,2,\dots, d-1}$ 12 | delle cifre in base $d$. 13 | Una sequenza infinita di cifre sarà quindi un elemento 14 | $\vec a \in \Enclose{d}^\NN$, $\vec a = (a_0,a_1,\dots, a_n, \dots)$ 15 | con $a_k\in \Enclose{d}$. 16 | Potremo quindi considerare il numero ``$0.a_0 a_1 a_2 \ldots$'' rappresentato 17 | dalla sequenza di cifre $\vec a$: 18 | \[ 19 | r(\vec a) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{d^{k+1}}. 20 | \] 21 | Chiaramente $r(\vec a)\in [0,1]$ in quanto essendo $0\le a_k\le d-1$ 22 | risulta 23 | \begin{equation}\label{eq:10445934} 24 | 0 \le r(\vec a) \le \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{d-1}{d^{k+1}} 25 | = \frac{d-1}{d}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac 1 {d^k} 26 | = \frac{d-1}{d}\cdot \frac{1}{1-\frac 1 d} = 1. 27 | \end{equation} 28 | 29 | Ogni numero $x\in [0,1)$ ammette una rappresentazione in cifre $x=r(\vec a)$ 30 | con $\vec a \in \Enclose{d}^\NN$. 31 | Infatti per ogni $N\in \NN$ possiamo scrivere 32 | \[ 33 | \lfloor x\cdot 10^N \rfloor= \sum_{k=0}^{N-1} a_k 10^{N-1-k} 34 | \] 35 | e al crescere di $N$ otteniamo una sequenza di cifre $a_k\in \Enclose{d}$ 36 | tali che 37 | \[ 38 | \abs{x \cdot d^N - \sum_{k=0}^{N-1} a_k \cdot d^{N-1-k}} \le 1 39 | \] 40 | da cui 41 | \[ 42 | \abs{x - \sum_{k=0}^{N-1} \frac{a_k}{d^{k+1}}} \le \frac{1}{d^{N}} 43 | \] 44 | che, facendo tendere $N\to +\infty$, significa $r(\vec a) = x$. 45 | Il numero $x=1$ può essere anch'esso rappresentato, basta prendere 46 | $a_k=d-1$ per ogni $k\in \NN$ cosicché si ottiene l'uguaglianza 47 | nel lato destro di \eqref{eq:10445934}. 48 | In base $d=10$ questo si esprime dicendo che 49 | \[ 50 | 0.999\ldots = 1. 51 | \] 52 | 53 | Ci possiamo chiedere se è possibile che lo stesso numero 54 | abbia due rappresentazioni in cifre distinte. 55 | Supponiamo quindi che esistano $\vec a,\vec b\in \Enclose{d}^\NN$ 56 | con $\vec a \neq \vec b$ 57 | tali che $r(\vec a) = r(\vec b)$. 58 | Sia $m = \min\ENCLOSE{n\in\NN\colon a_n\neq b_n}$ la posizione 59 | della prima cifra diversa tra $\vec a$ e $\vec b$. 60 | Si ha allora 61 | \[ 62 | r(b) - r(a) = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{b_k - a_k}{d^{k+1}} 63 | = \frac{b_m - a_m}{d^{m+1}} + \sum_{k=m+1}^{+\infty} \frac{b_k - a_k}{d^{k+1}} 64 | = A+B 65 | \] 66 | con 67 | \[ 68 | \abs{A} = \abs{\frac{b_m - a_m}{d^{m+1}}} \ge \frac{1}{d^{m+1}} 69 | \] 70 | e 71 | \begin{align*} 72 | \abs{B} &= \abs{\sum_{k=m+1}^{+\infty} \frac{b_k - a_k}{d^{k+1}}} 73 | \le \sum_{k=m+1}^{+\infty} \frac{d-1}{d^{k+1}}\\ 74 | &= \frac{d-1}{d^{m+2}}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{d^k} 75 | = \frac{d-1}{d^{m+2}}\cdot \frac{1}{1-\frac 1 d} = \frac{1}{d^{m+1}}. 76 | \end{align*} 77 | Dunque, per disuguaglianza triangolare inversa, 78 | \[ 79 | 0 = \abs{r(b)-r(a)}\ge \abs{A} - \abs{B} \ge 0. 80 | \] 81 | Significa che tutte le disuguaglianze sono in realtà uguaglianze 82 | e quindi deve essere $\abs{b_m-a_m}=1$ 83 | e per ogni $k>m$ deve essere $\abs{b_k-a_k}=d-1$. 84 | Supponendo che sia $b_m=a_m+1$ (l'altro caso è analogo) 85 | per $k>m$ dovrà necessariamente essere $b_k=0$ e $a_k=d-1$. 86 | 87 | Ad esempio se $d=10$, $\vec a = (1,2,3,9,9,9,9,\dots )$ 88 | e $\vec b = (1,2,4,0,0,0,0,\dots)$ si avrà 89 | $r(\vec a) = r(\vec b) = 0.124$. 90 | 91 | %%%%%%%%%%%%% 92 | %%%%%%%%%%%%% 93 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/07_ricorrenza/02_approfondimenti.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{approfondimenti} 2 | 3 | I risultati esposti finora non richiedevano 4 | alcuna nozione del calcolo differenziale 5 | e potevano essere compresi utilizzando solamente 6 | le nozioni del capitolo~\ref{ch:successioni}. 7 | In questo capitolo useremo invece 8 | alcuni concetti che riguardano il calcolo differenziale. 9 | 10 | \begin{theorem}[criterio per la stabilità di un punto fisso] 11 | Sia $x_0\in \RR$, $R>0$, $I=(x_0 - R, x_0+R)$ e $f\colon I \to \RR$ 12 | una funzione che ha $x_0$ come punto fisso. 13 | Se $f$ è $L$-lipschitziana su $I$ con $L<1$ allora $I$ è un intervallo 14 | invariante per $f$ e se $a_n$ è una successione che soddisfa la relazione di ricorrenza $a_{n+1} = f(a_n)$ con $a_0 \in I$ 15 | allora $a_n \to x_0$ per $n\to +\infty$. 16 | 17 | In particolare se $f\in C^1(I)$ con punto fisso $x_0 \in I$ e $\sup\ENCLOSE{\abs{f'(x)}\colon x\in I} < 1$ allora $I$ è invariante ed ogni successione $a_n$ definita per ricorrenza da $a_{n+1}=f(a_n)$ con $a_0 \in I$ converge ad $x_0$. 18 | 19 | Ancora più in particolare, se $f$ è di classe $C^1$ in un intorno di un punto $x_0$, se $x_0$ è punto fisso di $f$ e $\abs{f'(x_0)}<1$ allora 20 | esiste un intorno $I$ di $x_0$ che è invariante per $f$ e ogni successione $a_n$ definita per ricorrenza tramite $a_{n+1}= f(a_n)$ con $a_0\in I$ converge ad $x_0$. 21 | \end{theorem} 22 | % 23 | \begin{proof} 24 | Osserviamo che se $f$ è di classe $C^1$ in un intorno di $x_0$ e $\abs{f'(x_0)} < 1$ allora, per continuità, esiste $L<1$ tale $\abs{f'(x)} < L$ per ogni $x$ in un intorno $I$ di $x_0$. Dunque $\sup\ENCLOSE{\abs{f'(x)}\colon x \in I} \le L < 1$ e la funzione $f$ risulta dunque essere $L$-lipschitziana. E' chiaro quindi che la seconda e la terza parte del teorema si riconducono alla prima, che è quella che andremo ora a dimostrare. 25 | 26 | Se $f$ è $L$-lipschitziana e $x_0$ è punto fisso di $f$ osserviamo che si ha 27 | \[ 28 | \abs{f(x) - x_0} = \abs{f(x) - f(x_0)} \le L \abs{x-x_0} 29 | \] 30 | da cui se $\abs{x - x_0} < R$ anche $\abs{f(x) - x_0} < R$. 31 | Dunque $I = (x_0-R, x_0+R)$ è invariante. 32 | Possiamo poi dimostrare per induzione che risulta 33 | \[ 34 | \abs{a_n - x_0} \le L^n \cdot \abs{a_0-x_0}. 35 | \] 36 | Infatti per $n=0$ la relazione è una uguaglianza. Il passo induttivo si ottiene osservando che 37 | \begin{align*} 38 | \abs{a_{n+1} - x_0} 39 | &= \abs{f(a_n) - f(x_0)} 40 | \le L \abs{a_n - x_0} \\ 41 | &\le L\cdot L^n\abs{a_0-x_0} 42 | = L^{n+1}\abs{a_0-x_0}. 43 | \end{align*} 44 | 45 | Ma ora se $L<1$ si ha $L^n\to 0$ e dunque $\abs{a_n -x_0} \to 0$ come volevamo dimostrare. 46 | \end{proof} 47 | 48 | \begin{theorem}[instabilità del punto fisso] 49 | Sia $f$ di classe $C^1$ in un intorno di un suo punto fisso $x_0$. 50 | Se $\abs{f'(x_0)}>1$ allora non esiste una successione $a_n$ che soddisfa la relazione ricorsiva $a_{n+1} = f(a_n)$ e tale che $a_n \to x_0$ a meno che non si abbia $a_n = x_0$ da un certo indice $n$ in poi. 51 | \end{theorem} 52 | % 53 | \begin{proof} 54 | Per continuità della derivata esisterà $L>1$ e un intervallo $I$ 55 | intorno di $x_0$ tale che per ogni $x\in I$ si abbia $\abs{f'(x)} > 1$. 56 | Se $a_n \to x_0$ allora da un certo indice $n$ 57 | in poi si avrà $a_n \in I$. 58 | Se $a_n$ verifica la relazione ricorsiva $a_{n+1} = f(a_n)$ possiamo 59 | allora applicare il teorema di Lagrange per ottenere che per ogni $n$ esiste $b_n$ compreso tra $x_0$ e $a_n$ tale che: 60 | \begin{align*} 61 | \abs{a_{n+1} - x_0} 62 | &= \abs{f(a_n) - f(x_0)} 63 | = \abs{f'(b_n)(a_n - x_0)} \\ 64 | &\ge L \cdot \abs{a_n - x_0} \ge \abs{a_n - x_0}. 65 | \end{align*} 66 | Risulta quindi che la distanza $\abs{a_n - x_0}$ deve essere crescente 67 | e quindi l'unica possibilità perché $a_n \to x_0$ è che sia $a_n = x_0$. 68 | \end{proof} 69 | 70 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/07_ricorrenza/00_introduzione.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Nella maggior parte di questo capitolo prenderemo in considerazione le successioni $a_n$ 2 | definite \emph{per ricorrenza} o \emph{ricorsivamente} dalle condizioni: 3 | \index{successione!ricorsiva} 4 | \index{successione!definita per ricorrenza} 5 | \index{ricorsione} 6 | \begin{equation}\label{eq1} 7 | \begin{cases} 8 | a_0 = \alpha,\\ 9 | a_{n+1} = f(a_n) 10 | \end{cases} 11 | \end{equation} 12 | 13 | Fissato il termine iniziale $\alpha$ e la legge di ricorrenza $f$, 14 | c'è una unica successione che soddisfa \eqref{eq1} e i suoi termini 15 | sono: 16 | \begin{align*} 17 | a_0 & =\alpha,\\ 18 | a_1 &= f(a_0)=f(\alpha),\\ 19 | a_2 &= f(a_1)=f(f(\alpha)),\\ 20 | a_3 &= f(a_2)=f(f(f(\alpha))),\\ 21 | &\ \vdots\\ 22 | a_n &= f(a_{n-1}) = f^n(\alpha),\\ 23 | &\ \vdots 24 | \end{align*} 25 | 26 | 27 | Il valore di $a_n$ potrebbe rappresentare lo stato di un sistema che 28 | si evolve a partire da uno stato iniziale $a_0=\alpha$ tramite la 29 | funzione $f$ che rappresenta il cambiamento di stato. 30 | Il numero naturale $n$ potrebbe quindi rappresentare un passo temporale. 31 | In tal senso \eqref{eq1} si chiama anche \emph{sistema dinamico discreto}% 32 | \mymargin{sistema dinamico discreto}\index{sistema!dinamico!discreto}. 33 | 34 | L'equazione $a_{n+1} = f(a_n)$ viene chiamata una \emph{equazione ricorsiva autonoma del primo ordine}. 35 | Ci sono altre tipologie di equazioni che considereremo 36 | solo marginalmente nei capitoli successivi. 37 | Ad esempio quando abbiamo definito 38 | il fattoriale: $a_n = n!$ abbiamo dato le condizioni: 39 | \[ 40 | \begin{cases} 41 | a_0 = 1\\ 42 | a_{n+1} = (n+1) \cdot a_n 43 | \end{cases} 44 | \] 45 | ma l'equazione $a_{n+1} = (n+1) \cdot a_n$ è della forma $a_{n+1} = 46 | f(n, a_n)$ e si dice essere \emph{non autonoma} perché la funzione di 47 | ricorrenza $f$ dipende esplicitamente da $n$ oltre che dal termine 48 | precedente $a_n$. 49 | 50 | Si potrebbero anche considerare equazioni di ordine maggiore del 51 | primo. Ad esempio la successione $F_n$ di \emph{Fibonacci} 52 | (Leonardo Pisano, 1170--1242) 53 | i cui primi termini sono riportati nella tabella~\ref{tab:Fibonacci} 54 | \begin{table} 55 | \begin{center} 56 | 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 57 | 233, 377, 610, 987\dots 58 | \end{center} 59 | \caption{I primi termini della succession di Fibonacci. 60 | Ogni termine è la somma dei due precedenti.} 61 | \label{tab:Fibonacci} 62 | \end{table} 63 | \mymargin{Fibonacci}% 64 | \index{Fibonacci}% 65 | \index{Fibonacci!successione di}% 66 | \index{successione!di Fibonacci}% 67 | soddisfa l'equazione ricorsiva: 68 | \begin{equation}\label{eq:Fibonacci} 69 | \begin{cases} 70 | F_0 = 0 \\ 71 | F_1 = 1 \\ 72 | F_{n+2} = F_{n+1} + F_n 73 | \end{cases} 74 | \end{equation} 75 | che è una relazione del secondo ordine in quanto ogni termine può 76 | essere definito utilizzando i valori dei \emph{due} termini precedenti. 77 | Se l'equazione è lineare, come in questo caso, si possono trovare delle 78 | formule esplicite per scrivere l'$n$-esimo termine della successione. 79 | Lo faremo nella sezione~\ref{sec:ricorrenza_lineare} 80 | 81 | Si potrebbero anche considerare i sistemi di equazioni ricorsive. 82 | Ad esempio se $f$ fosse una funzione complessa $f\colon \CC \to \CC$, 83 | $f(x+iy) = f_1(x,y) + i f_2(x,y)$ con $f_1,f_2 \colon \RR\times\RR\to\RR$ 84 | si potrebbe scrivere $a_n = x_n + i y_n$ con $x_n, y_n \in \RR$ 85 | e l'equazione ricorsiva $a_{n+1} = f(a_n)$ 86 | diventerebbe un sistema di due equazioni: 87 | \[ 88 | \begin{cases} 89 | x_{n+1} = f_1(x_n, y_n)\\ 90 | y_{n+1} = f_2(x_n, y_n). 91 | \end{cases} 92 | \] 93 | Lo studio dei sistemi va oltre gli scopi di questo capitolo, 94 | ma accenneremo solamente ad un esempio nella sezione~\ref{sec:mandelbrot}. 95 | 96 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/07_ricorrenza/04_complessa.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{dinamica complessa} 3 | \label{sec:mandelbrot} 4 | \index{dinamica!complessa} 5 | 6 | Più in generale potremmo considerare successioni $z_n$ a valori complessi 7 | e quindi equazioni ricorsive della forma 8 | \[ 9 | \begin{cases} 10 | z_0 = \alpha, \\ 11 | z_{n+1} = f(z_n) 12 | \end{cases} 13 | \] 14 | con $f\colon \CC \to \CC$. 15 | Se $f$ fosse lineare si potrebbe scrivere esplicitamente la soluzione 16 | seguendo le idee presentate nella sezione~\ref{sec:ricorrenza_lineare}. 17 | 18 | Possiamo provare a considerare la più semplice funzione non lineare che ci possa 19 | venire in mente cioè $f(z) = z^2 + c$ e il più semplice dato iniziale $\alpha = 0$ 20 | e il problema diventa quello di studiare il comportamento delle successioni: 21 | \begin{equation}\label{eq:mandelbrot} 22 | \begin{cases} 23 | z_0 = 0, \\ 24 | z_{n+1} = z_n^2 + c 25 | \end{cases} 26 | \end{equation} 27 | con $c\in \CC$. 28 | 29 | L'insieme dei numeri reali è invariante, dunque se $c\in \RR$ la successione 30 | $z_n$ rimane reale e coincide con la successione che abbiamo 31 | studiato nell'esercizio~\ref{ex:mandelbrot_reale}. 32 | 33 | \begin{figure} 34 | \begin{center} 35 | \includegraphics[width=\textwidth]{mandelbrot.png} 36 | \end{center} 37 | \caption{L'insieme di Mandelbrot generato al computer. Si veda il 38 | codice a pagina \pageref{code:Mandelbrot}.} 39 | \label{fig:mandelbrot} 40 | \end{figure} 41 | 42 | E' molto complicato determinare il carattere delle successioni definite 43 | dal sistema~\eqref{eq:mandelbrot}. 44 | Solo con l'utilizzo dei primi calcolatori 45 | Mandelbrot (1924-2010) riuscì a rappresentare graficamente 46 | \mymargin{insieme di Mandelbrot}% 47 | \index{insieme!di Mandelbrot}% 48 | \index{Mandelbrot!insieme di}% 49 | l'insieme $M$ dei punti $c\in \CC$ per i quali la successione $z_n$ non diverge: 50 | si veda la figura~\ref{fig:mandelbrot}. 51 | 52 | Con l'esercizio~\ref{ex:mandelbrot_reale} 53 | abbiamo trovato l'intersezione $M\cap \RR = [-2,1/4]$. 54 | Nel seguente esercizio ci proponiamo ora di dimostrare un'altra semplice 55 | proprietà che può essere 56 | molto utile negli algoritmi numerici utilizzati per disegnare tale insieme. 57 | 58 | \begin{exercise}[raggio di fuga] 59 | Dimostrare che se $z_n$ è soluzione di \eqref{eq:mandelbrot} 60 | se per un qualche $N\in \NN$ si ha $\abs{z_N}> 2$ allora $\abs{z_n}\to +\infty$ 61 | per $n\to +\infty$. In particolare l'insieme $M$ di Mandelbrot 62 | è contenuto nel disco $\ENCLOSE{z\in \CC \colon \abs{z}\le 2}$. 63 | \end{exercise} 64 | % 65 | \begin{proof}[Soluzione] 66 | Sia $c\in \CC$ fissato e si $z_n$ la successione definita da~\eqref{eq:mandelbrot}. 67 | Per ogni $\eps>0$ consideriamo l'insieme: 68 | \[ 69 | A_\eps = \ENCLOSE{z \in \CC \colon \abs{z}\ge c \text{ e } \abs{z}\ge 2+\eps}. 70 | \] 71 | Possiamo mostrare che l'insieme $A_\eps$ è invariante in quanto se $z_n\in A_\eps$ 72 | si ha 73 | \begin{equation}\label{eq:473244} 74 | \begin{aligned} 75 | \abs{z_{n+1}} 76 | &= \abs{z_n^2+c} 77 | \ge \abs{z_n}^2 - \abs{c} 78 | \ge \abs{z_n}^2 - \abs{z_n} 79 | = (\abs{z_n}-1)\abs{z_n}\\ 80 | &\ge (1+\eps)\abs{z_n} 81 | \ge (1+\eps)(2+\eps) 82 | \ge 2+\eps. 83 | \end{aligned} 84 | \end{equation} 85 | Dunque $A_\eps$ è invariante ma non solo, se $z_n \in A_\eps$ abbiamo 86 | trovato che risulta $\abs{z_{n+1}} \ge (1+\eps) \abs{z_n}$ 87 | e dunque $\abs{z_{n+k}} \ge (1+\eps)^k \abs{z_n}$ e dunque 88 | $\abs{z_n}\to +\infty$ per $n\to +\infty$. 89 | 90 | Se $\abs{c}\le 2$ e se $\abs{z_N}> 2$ allora $z_N \in A_\eps$ per 91 | un qualche $\eps>0$ e dunque possiamo concludere che 92 | $z_n\to \infty\in \bar \CC$. 93 | Se invece $\abs{c}>2$ è facile osservare che $z_0 = 0$, $z_1=c$, $z_2=c^2+c$ 94 | e quindi 95 | \[ 96 | \abs{z_2} 97 | = \abs{c^2+c} 98 | \ge \abs{c}^2 - \abs{c} 99 | = \abs{c}(\abs{c}-1) 100 | \ge \abs{c} > 2 101 | \] 102 | dunque $z_2 \in A_\eps$ e quindi, comunque, $z_n\to \infty$. 103 | 104 | \end{proof} 105 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/04_derivate/02_parziali.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{derivate parziali} 2 | 3 | Capita a volte di avere funzioni che dipendono da più variabili o da parametri. 4 | Ad esempio la funzione $f(x,y) = x^2y+y^2$ è una funzione definita 5 | sulle coppie di numeri reali: $f\colon \RR^2\to \RR$. 6 | Se considero una delle due variabili, ad esempio la prima variabile $x$, 7 | come un parametro fissato, posso identificare la funzione $f$ con 8 | una funzione $g\colon \RR \to (\RR^\RR)$ 9 | che ad ogni valore del parametro $x$ restituisce una funzione 10 | della variabile $y$: 11 | \[ 12 | g(x)(y) = f(x,y). 13 | \] 14 | Dunque per ogni $x$ fissato, posso considerare la funzione $h=g(x)$ 15 | che è una funzione della sola variabile $y$: $h(y) = g(x)(y) = f(x,y)$. 16 | E posso quindi farne la derivata $h'(y)$ in qualunque punto $y$. 17 | Il valore che ottengo si chiama \emph{derivata parziale}% 18 | \mymargin{derivata parziale}% 19 | \index{derivata!parziale} 20 | della funzione $f$ rispetto alla variabile $y$ calcolata nel punto $(x,y)$. 21 | Per fare il calcolo della derivata possiamo applicare le usuali regole di 22 | derivazione facendo attenzione che se stiamo 23 | facendo la derivata rispetto a $y$ la variabile $x$ va trattata come se 24 | fosse costante, perché stiamo in effetti fissando $x$ prima di fare la derivata. 25 | Se $f(x,y) = x^2y+y^2$ si ottiene dunque% 26 | \mynote{Se non siamo abituati a pensare che $x$ possa essere un valore fissato 27 | si provi a sostituire la variabile $x$ con una lettera diversa come $c$ o $\pi$ che ci dà l'idea 28 | di una quantità costante.}: 29 | $h'(y) = x^2 + 2y$. 30 | Se ora consideriamo anche $x$ variabile otteniamo una nuova funzione di due 31 | variabili $(x,y)\mapsto (g(x))'(y) = h'(y)$ che può essere scritta 32 | con le seguenti notazioni% 33 | \mynote{% 34 | Si osservi che per le funzioni di più variabili c'è una ambiguità di fondo nelle notazioni. 35 | Infatti se ho una espressione in due variabili come $x^2 y + y^2$ è chiaro 36 | che questa rappresenta una funzione di due variabili ma non è del tutto ovvio dire quale 37 | è la prima variabile e quale è la seconda. 38 | Normalmente le variabili vengono indicate in ordine alfabetico a partire dalla $x$... 39 | ma è solo una convenzione. In principio l'espressione $x^2y + y^2$ 40 | potrebbe anche rappresentare una funzione di tre variabili $x,y,z$. 41 | Dunque se ho una espressione che utilizza certi nomi per le variabili è naturale 42 | usare gli stessi nomi nel simbolo utilizzato per la derivata parziale come 43 | nella notazione $D_y$. 44 | Se invece le variabili non hanno un nome sarebbe più sensato indicare la variabile dandone 45 | la posizione numerica come nella notazione $D_2$. 46 | Ci sono casi in cui la notazione può essere molto ambigua, come ad esempio 47 | se scrivessi $\frac{\partial f(y,x)}{\partial y}$: 48 | sto derivando $f$ rispetto alla prima variabile oppure derivo $f(x,y)$ rispetto alla seconda 49 | variabile e poi scambio le due variabili? 50 | }: 51 | \begin{align*} 52 | \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} 53 | &= \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) 54 | = D_y f(x,y) 55 | = f_y (x,y) \\ 56 | &= D_2 f(x,y) = f_{,2} (x,y) \\ 57 | &= h'(y) 58 | \end{align*} 59 | 60 | Analogamente potremmo fare la derivata parziale di $f$ rispetto alla prima 61 | variabile $x$. Se $f(x,y) = x^2y+y^2$ si ottiene 62 | \[ 63 | \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2xy. 64 | \] 65 | 66 | Stiamo qui trattando le funzioni di più variabili come se fossero funzioni di una sola 67 | variabile dipendenti da altri parametri. 68 | Questo perché stiamo facendo un corso di analisi sulle funzioni di \emph{una} variabile (reale). 69 | \index{una!variabile}% 70 | \index{funzione!di una variabile}% 71 | \index{variabile!funzione di una}% 72 | Per trattare tutte le variabili come una unica variabile multidimensionale 73 | bisogna fare diverse considerazioni 74 | aggiuntive che vengono trattate nei corsi di analisi sulle funzioni di 75 | \emph{più} 76 | \index{più!variabili}% 77 | \index{funzione!di più variabili}% 78 | \index{variabili!funzione di più}% 79 | variabili (reali). 80 | Verranno in tal caso introdotti i concetti di \emph{gradiente} $\nabla f$, 81 | \emph{derivata} $Df$ e \emph{differenziale} $df$ che noi non affronteremo qui. 82 | 83 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/02_limiti/05_weierstrass.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{il teorema di Weierstrass} 2 | 3 | Ricordiamo che nella definizione~\ref{def:funzione_limitata} 4 | abbiamo definito i concetti di massimo, minimo, estremo superiore 5 | e inferiore di una funzione a valori reali. 6 | 7 | \begin{lemma}[successioni minimizzanti/massimizzanti]% 8 | \mymargin{successioni mi\-ni\-miz\-zan\-ti}% 9 | \index{successione!minimizzanti}% 10 | \index{successione!massimizzanti}% 11 | Sia $A$ un insieme non vuoto e 12 | sia $f\colon A \to \RR$ una funzione. Allora esistono 13 | due successioni $a_n$ e $b_n$ di punti di $A$ tali che 14 | \[ 15 | \lim_{n\to +\infty} f(a_n) = \inf f(A), \qquad 16 | \lim_{n\to +\infty} f(b_n) = \sup f(A). 17 | \] 18 | \end{lemma} 19 | \mymargin{successioni mi\-ni\-miz\-zan\-ti} 20 | % 21 | \begin{proof} 22 | Ricordiamo che $f(A) = \ENCLOSE{f(x)\colon x \in A}$ è l'immagine 23 | della funzione $f$. Facciamo la dimostrazione per l'estremo inferiore, 24 | risultato analogo si potrà ottenere per l'estremo superiore. 25 | 26 | Sia $m=\inf f(A)$. 27 | Se $m=-\infty$ significa che $f(A)$ non è inferiormente limitato, 28 | in particolare per ogni $n\in \RR$ esiste $a_n$ tale che 29 | $f(a_n) < - n$. 30 | Dunque (per confronto) $f(a_n) \to -\infty$ 31 | come volevamo dimostrare. 32 | 33 | Se $m\in \RR$ per le proprietà caratterizzanti l'estremo inferiore 34 | sappiamo che per ogni $\eps>0$ esiste $a\in A$ tale che 35 | $f(a) < m + \eps$. 36 | Per ogni $n\in\NN$ possiamo scegliere $\eps=1/n$ e ottenere quindi 37 | una successione $a_n$ tale che $f(a_n) < m + 1/n$. 38 | D'altra parte essendo $m$ un minorante di $f(A)$ sappiamo che 39 | $m \le f(a_n)$. 40 | Abbiamo dunque $m \le f(a_n) < m+ 1/n$ e per il teorema dei 41 | carabinieri possiamo quindi concludere che $f(a_n) \to m$ 42 | per $n\to +\infty$. 43 | \end{proof} 44 | 45 | \begin{theorem}[Weierstrass]% 46 | \label{th:weierstrass}% 47 | \mymark{***}% 48 | \mymargin{teorema di Weierstrass}% 49 | \index{teorema!di Weierstrass}% 50 | \index{Weierstrass!teorema di}% 51 | \mynote{vedi note storiche a pag~\pageref{note:isoperimetrico}}% 52 | Siano $a,b\in \RR$, $a\le b$ e $f\colon [a,b]\to \RR$ una funzione continua. 53 | Allora esistono punti di massimo e di minimo per $f$ su $[a,b]$. 54 | \end{theorem} 55 | % 56 | \begin{proof} 57 | \mymark{***}% 58 | Dimostriamo solamente che $f$ ha minimo, per il massimo la dimostrazione procede 59 | infatti in maniera del tutto analoga. 60 | 61 | Sia $m= \inf f([a,b])$. 62 | Per il lemma precedente sappiamo che esiste una successione $a_n$ minimizzante ovvero tale che 63 | $a_n \in A$ e $f(a_n)\to m$ per $n\to +\infty$. 64 | 65 | Per il teorema di Bolzano-Weierstrass dalla successione $a_n$ possiamo estrarre una sottosuccessione 66 | $a_{n_k}$ convergente: $a_{n_k} \to x_0$. 67 | Visto che $a_{n_k} \in [a,b]$ si avrà, per il teorema della permanenza del segno, anche 68 | $x_0 \in [a,b]$ (si applichi la permanenza del segno alle successioni $a_{n_k}-a$ e $b-a_{n_k}$). 69 | 70 | Dunque abbiamo una successione $a_{n_k}\to x_0$ con $a_{n_k}\in [a,b]$ e 71 | $x_0 \in [a,b]$. Essendo $f$ continua si avrà dunque $f(a_{n_k}) \to f(x_0)$. 72 | Ma noi sapevamo che $f(a_n)\to m$ e dunque anche $f(a_{n_k}) \to m$. 73 | Concludiamo quindi che $f(x_0) = m$ cioè $m$, l'estremo inferiore, 74 | è un valore assunto dalla funzione ed è quindi un minimo. 75 | Dal canto suo $x_0$ è un punto di minimo assoluto. 76 | \end{proof} 77 | 78 | \begin{corollary}[limitatezza delle funzioni continue] 79 | Sia $f\colon [a,b]\to \RR$ una funzione continua. Allora $f$ è limitata. 80 | \end{corollary} 81 | \begin{proof} 82 | Visto che $f$ ha massimo $M$ e minimo $m$ si ha $f(x)\in [m,M]$ per ogni $x\in[a,b]$. 83 | Ovviamente $m>-\infty$ e $M<+\infty$ in quanto $m$ e $M$ sono valori della funzione $f$. 84 | \end{proof} 85 | 86 | \begin{exercise} 87 | In ognuno dei seguenti casi decidere se esiste o meno una funzione 88 | con le caratteristiche indicate: 89 | \begin{enumerate} 90 | \item $f\colon \RR\to (0,1)$ continua e bigettiva; 91 | \item $f\colon \RR\to [0,1]$ continua e surgettiva; 92 | \item $f\colon [0,1]\to \RR$ continua e surgettiva; 93 | \item $f\colon (0,1]\to \RR$ continua e surgettiva; 94 | \item $f\colon (0,1]\to \RR$ bigettiva. 95 | \end{enumerate} 96 | \end{exercise} 97 | %%%%%%%%%%% 98 | %%%%%%%%%%% 99 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/figurePJAinside.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % True 2 | % 255 255 255 3 | \draw[draw=blue] 4 | (4.46,7.77)--(4.26,7.77)--(4.05,7.77)--(3.85,7.77)--(3.85,7.6)--(3.65,7.6)--(3.45,7.6)--(3.45,7.43)--(3.24,7.43)--(3.24,7.26)--(3.04,7.26)--(2.84,7.26)--(2.84,7.09)--(2.64,7.09)--(2.64,6.93)--(2.43,6.93)--(2.23,6.93)--(2.23,6.76)--(2.03,6.76)--(2.03,6.59)--(1.82,6.59)--(1.82,6.42)--(1.62,6.42)--(1.62,6.25)--(1.42,6.25)--(1.42,6.08)--(1.22,6.08)--(1.22,5.91)--(1.01,5.91)--(1.01,5.74)--(0.811,5.74)--(0.811,5.57)--(0.811,5.41)--(0.811,5.24)--(0.608,5.24)--(0.608,5.07)--(0.608,4.9)--(0.608,4.73)--(0.811,4.73)--(0.811,4.56)--(0.811,4.39)--(0.811,4.22)--(1.01,4.22)--(1.01,4.05)--(1.22,4.05)--(1.42,4.05)--(1.42,3.89)--(1.62,3.89)--(1.82,3.89)--(2.03,3.89)--(2.03,3.72)--(2.23,3.72)--(2.43,3.72)--(2.64,3.72)--(2.84,3.72)--(2.84,3.55)--(3.04,3.55)--(3.24,3.55)--(3.45,3.55)--(3.65,3.55)--(3.85,3.55)--(3.85,3.38)--(4.05,3.38)--(4.26,3.38)--(4.46,3.38)--(4.46,3.21)--(4.66,3.21)--(4.86,3.21)--(5.07,3.21)--(5.07,3.04)--(5.27,3.04)--(5.27,2.87)--(5.47,2.87)--(5.47,2.7)--(5.68,2.7)--(5.68,2.53)--(5.68,2.36)--(5.88,2.36)--(5.88,2.2)--(6.08,2.2)--(6.08,2.03)--(6.08,1.86)--(6.28,1.86)--(6.28,1.69)--(6.28,1.52)--(6.49,1.52)--(6.49,1.35)--(6.69,1.35)--(6.69,1.18)--(6.89,1.18)--(7.09,1.18)--(7.09,1.35)--(7.3,1.35)--(7.3,1.52)--(7.3,1.69)--(7.5,1.69)--(7.5,1.86)--(7.7,1.86)--(7.7,2.03)--(7.7,2.2)--(7.91,2.2)--(7.91,2.36)--(7.91,2.53)--(8.11,2.53)--(8.11,2.7)--(8.11,2.87)--(8.31,2.87)--(8.31,3.04)--(8.31,3.21)--(8.51,3.21)--(8.51,3.38)--(8.51,3.55)--(8.51,3.72)--(8.72,3.72)--(8.72,3.89)--(8.72,4.05)--(8.72,4.22)--(8.92,4.22)--(8.92,4.39)--(8.92,4.56)--(8.92,4.73)--(8.92,4.9)--(8.92,5.07)--(8.72,5.07)--(8.72,5.24)--(8.72,5.41)--(8.51,5.41)--(8.51,5.57)--(8.31,5.57)--(8.31,5.74)--(8.31,5.91)--(8.11,5.91)--(8.11,6.08)--(7.91,6.08)--(7.91,6.25)--(7.7,6.25)--(7.7,6.42)--(7.5,6.42)--(7.5,6.59)--(7.3,6.59)--(7.3,6.76)--(7.09,6.76)--(7.09,6.93)--(6.89,6.93)--(6.89,7.09)--(6.69,7.09)--(6.49,7.09)--(6.49,7.26)--(6.28,7.26)--(6.28,7.43)--(6.08,7.43)--(5.88,7.43)--(5.88,7.6)--(5.68,7.6)--(5.68,7.77)--(5.47,7.77)--(5.27,7.77)--(5.27,7.94)--(5.07,7.94)--(4.86,7.94)--(4.66,7.94)--(4.46,7.94)--(4.46,7.77) 5 | ; 6 | \begin{scope}[on background layer] 7 | \draw[draw=none,fill=blue!10] 8 | (4.46,7.77)--(4.26,7.77)--(4.05,7.77)--(3.85,7.77)--(3.85,7.6)--(3.65,7.6)--(3.45,7.6)--(3.45,7.43)--(3.24,7.43)--(3.24,7.26)--(3.04,7.26)--(2.84,7.26)--(2.84,7.09)--(2.64,7.09)--(2.64,6.93)--(2.43,6.93)--(2.23,6.93)--(2.23,6.76)--(2.03,6.76)--(2.03,6.59)--(1.82,6.59)--(1.82,6.42)--(1.62,6.42)--(1.62,6.25)--(1.42,6.25)--(1.42,6.08)--(1.22,6.08)--(1.22,5.91)--(1.01,5.91)--(1.01,5.74)--(0.811,5.74)--(0.811,5.57)--(0.811,5.41)--(0.811,5.24)--(0.608,5.24)--(0.608,5.07)--(0.608,4.9)--(0.608,4.73)--(0.811,4.73)--(0.811,4.56)--(0.811,4.39)--(0.811,4.22)--(1.01,4.22)--(1.01,4.05)--(1.22,4.05)--(1.42,4.05)--(1.42,3.89)--(1.62,3.89)--(1.82,3.89)--(2.03,3.89)--(2.03,3.72)--(2.23,3.72)--(2.43,3.72)--(2.64,3.72)--(2.84,3.72)--(2.84,3.55)--(3.04,3.55)--(3.24,3.55)--(3.45,3.55)--(3.65,3.55)--(3.85,3.55)--(3.85,3.38)--(4.05,3.38)--(4.26,3.38)--(4.46,3.38)--(4.46,3.21)--(4.66,3.21)--(4.86,3.21)--(5.07,3.21)--(5.07,3.04)--(5.27,3.04)--(5.27,2.87)--(5.47,2.87)--(5.47,2.7)--(5.68,2.7)--(5.68,2.53)--(5.68,2.36)--(5.88,2.36)--(5.88,2.2)--(6.08,2.2)--(6.08,2.03)--(6.08,1.86)--(6.28,1.86)--(6.28,1.69)--(6.28,1.52)--(6.49,1.52)--(6.49,1.35)--(6.69,1.35)--(6.69,1.18)--(6.89,1.18)--(7.09,1.18)--(7.09,1.35)--(7.3,1.35)--(7.3,1.52)--(7.3,1.69)--(7.5,1.69)--(7.5,1.86)--(7.7,1.86)--(7.7,2.03)--(7.7,2.2)--(7.91,2.2)--(7.91,2.36)--(7.91,2.53)--(8.11,2.53)--(8.11,2.7)--(8.11,2.87)--(8.31,2.87)--(8.31,3.04)--(8.31,3.21)--(8.51,3.21)--(8.51,3.38)--(8.51,3.55)--(8.51,3.72)--(8.72,3.72)--(8.72,3.89)--(8.72,4.05)--(8.72,4.22)--(8.92,4.22)--(8.92,4.39)--(8.92,4.56)--(8.92,4.73)--(8.92,4.9)--(8.92,5.07)--(8.72,5.07)--(8.72,5.24)--(8.72,5.41)--(8.51,5.41)--(8.51,5.57)--(8.31,5.57)--(8.31,5.74)--(8.31,5.91)--(8.11,5.91)--(8.11,6.08)--(7.91,6.08)--(7.91,6.25)--(7.7,6.25)--(7.7,6.42)--(7.5,6.42)--(7.5,6.59)--(7.3,6.59)--(7.3,6.76)--(7.09,6.76)--(7.09,6.93)--(6.89,6.93)--(6.89,7.09)--(6.69,7.09)--(6.49,7.09)--(6.49,7.26)--(6.28,7.26)--(6.28,7.43)--(6.08,7.43)--(5.88,7.43)--(5.88,7.6)--(5.68,7.6)--(5.68,7.77)--(5.47,7.77)--(5.27,7.77)--(5.27,7.94)--(5.07,7.94)--(4.86,7.94)--(4.66,7.94)--(4.46,7.94)--(4.46,7.77) 9 | ; 10 | \end{scope} 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/03_serie/07_insiemi.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{somme su insiemi arbitrari} 2 | \index{serie!su insiemi arbitrari}% 3 | \index{somme!su insiemi arbitrari}% 4 | %%%%%%%%%% 5 | 6 | \begin{lemma}\label{lemma:12734} 7 | Sia $A$ un insieme numerabile e siano 8 | $\alpha\colon \NN\to A$ e $\beta\colon \NN\to A$ 9 | due funzioni bigettive. 10 | Sia $f\colon A\to \RR$ (o 11 | $f\colon A \to \CC$) una funzione tale che 12 | \begin{equation}\label{eq:12734} 13 | \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{f(\alpha(k))} < +\infty, 14 | \end{equation} 15 | oppure sia $f\colon A\to [0,+\infty)$ una funzione 16 | qualunque. 17 | Allora si ha 18 | \begin{equation}\label{eq:12735} 19 | \sum_{k=0}^{+\infty} f(\alpha(k)) = 20 | \sum_{j=0}^{+\infty} f(\beta(j)). 21 | \end{equation} 22 | \end{lemma} 23 | % 24 | \begin{proof} 25 | Posto $a_k=f(\alpha (k))$ e $\sigma = \alpha^{-1}\circ \beta$ si ha 26 | $a_{\sigma(j)} = f(\beta (j))$. 27 | Dunque se vale~\eqref{eq:12734} si può 28 | applicare il teorema~\ref{th:convergenza_incondizionata} 29 | per ottenere~\eqref{eq:12735}. 30 | 31 | Se invece $f(x)\ge 0$ si ha ovviamente $\abs{f(x)}=f(x)$ 32 | dunque se almeno una delle due somme in~\eqref{eq:12735} 33 | è finita allora si applica il teorema~\ref{th:convergenza_incondizionata} 34 | alla serie $\sum a_k$ e si ottiene dunque l'uguaglianza 35 | in~\eqref{eq:12735}. 36 | Se invece entrambe le serie sono divergenti 37 | (essendo serie a termini positivi non ci sono altre possibilità!) 38 | l'uguaglianza~\eqref{eq:12735} è comunque valida 39 | essendo $+\infty = +\infty$. 40 | \end{proof} 41 | 42 | \begin{definition}[somme arbitrarie] 43 | Sia $f\colon A\to [0,+\infty]$ una funzione definita su un insieme 44 | $A$ numerabile (cioè $\#A \le \#\NN$). 45 | Allora definiamo 46 | \[ 47 | \sum_{x\in A}f(x) 48 | = \sum_{k=0}^{+\infty} f(\sigma(k)) 49 | \] 50 | dove $\sigma\colon \NN\to A$ è una qualunque funzione bigettiva 51 | (il risultato non dipende da $\sigma$ grazie al lemma~\ref{lemma:12734}). 52 | 53 | Se $f\colon A\to \CC$ o $f\colon A\to \RR$ (sempre con $A$ numerabile) 54 | diremo che $f$ è sommabile se $\sum_{x\in A}\abs{f(x)}<+\infty$. 55 | In tal caso possiamo definire $\sum_{x\in A} f(x)$ come prima, 56 | visto che anche in questo caso la somma non dipende 57 | dall'ordine degli addendi. 58 | 59 | Se $A=\ENCLOSE{a_0, \dots, a_{n-1}}$ è un insieme finito si può definire 60 | \[ 61 | \sum_{x\in A} f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} f(a_k) 62 | \] 63 | ed è chiaro che la somma non dipende dall'ordine degli addendi. 64 | \end{definition} 65 | 66 | \begin{theorem}[famiglie sommabili] 67 | Sia $A = \displaystyle\bigcup_{n\in \NN} A_n$ una unione di insiemi 68 | disgiunti: $A_n\cap A_m=\emptyset$ se $n\neq m$. 69 | Supponiamo che $A$ sia numerabile (o finito). 70 | Sia $f\colon A \to \RR$ non negativa oppure $f\colon A \to \CC$ 71 | una funzione sommabile (cioè $\displaystyle\sum_{x\in A}\abs{f(x)}< +\infty$). 72 | Allora 73 | \[ 74 | \sum_{x\in A}f(x) = \sum_{n\in \NN} \sum_{x\in A_n} f(x). 75 | \] 76 | \end{theorem} 77 | % 78 | \begin{proof} 79 | Sia $x_k$ una numerazione degli elementi di $A$ e definiamo 80 | la successione a due indici: 81 | \[ 82 | a_{n,k} = \begin{cases} 83 | f(x_k) & \text{se $x_k\in A_n$}\\ 84 | 0 & \text{altrimenti.} 85 | \end{cases} 86 | \] 87 | Per ogni $k\in \NN$ la seguente somma 88 | ha un solo addendo non nullo: 89 | \[ 90 | \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n,k} = f(x_k) 91 | \] 92 | mentre per ogni $n\in \NN$ si ha 93 | \[ 94 | \sum_{k=0}^{+\infty} a_{n,k} = \sum_{x\in A_n} f(x) 95 | \] 96 | in quanto i termini non nulli della successione 97 | $a_{n,k}$ sono uguali al valore di $f$ su una enumerazione 98 | degli elementi di $A_n$. 99 | 100 | Allora si ha 101 | \[ 102 | \sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty} \abs{a_{n,k}} 103 | = \sum_{k=0}^{+\infty} {f(x_k)} = \sum_{x\in A} \abs{f(x_k)}. 104 | \] 105 | Se quest'ultima somma è finita oppure se i termini sono tutti non negativi 106 | possiamo allora scambiare le due somme grazie al teorema~\ref{th:scambio_somma}: 107 | \[ 108 | \sum_{x\in A} f(x) 109 | = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n,k} 110 | = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} a_{n,k} 111 | = \sum_{n\in \NN} \sum_{x\in A_n}f(x). 112 | \] 113 | \end{proof} 114 | 115 | %%% 116 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/08_edo/04_cauchy_n.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{il problema di Cauchy per equazioni di ordine $n$} 2 | 3 | Il problema di Cauchy per le equazioni di ordine $n$ è il problema di 4 | determinare la soluzione di una equazione differenziale ordinaria di ordine $n$ 5 | in forma normale accoppiato ad una condizione iniziale per il valore della 6 | funzione e di tutte le sue derivate fino all'ordine $n-1$. 7 | Dato $\Omega\subset \RR\times \RR^n$ aperto, $f\in C^0(\Omega)$, 8 | $\vec y = (y_1, \dots, y_n) \in \RR^n$ 9 | si tratta quindi di trovare un intervallo $I\subset \RR$ e una funzione 10 | $u\in C^n(I)$ che soddisfi le seguenti condizioni: 11 | \begin{equation}\label{eq:problema_cauchy_ordine_n} 12 | \begin{cases} 13 | u^{(n)}(x) = f(x,u(x), u'(x), \dots, u^{(n-1)}(x))\\ 14 | u(x_0) = y_1 \\ 15 | u'(x_0) = y_2 \\ 16 | \ \vdots \\ 17 | u^{(n-1)}(x_0) = y_n. 18 | \end{cases} 19 | \end{equation} 20 | 21 | \begin{theorem}[esistenza e unicità per le equazioni di ordine $n$] 22 | \label{th:cauchy_lipschitz_ordine_n} 23 | \mymargin{esistenza e unicità locale}% 24 | \index{esistenza e unicità locale} 25 | Sia $f\colon \Omega\to \RR$ 26 | una funzione che soddisfa la condizione di Cauchy-Lipschitz. 27 | Allora il problema di Cauchy~\eqref{eq:problema_cauchy_ordine_n} 28 | ammette una unica soluzione locale. 29 | Esiste cioè un $\delta>0$ tale che per ogni intervallo 30 | $I\subset [x_0-\delta,x_0+\delta]$ esiste una unica $u\in C^n(I)$ che 31 | soddisfa~\eqref{eq:problema_cauchy_ordine_n}. 32 | 33 | \mymargin{esistenza e unicità globale}% 34 | \index{esistenza e unicità globale} 35 | Se poi $\Omega$ è della forma $\Omega = I \times \RR^n$ con $I\subset \RR$ intervallo aperto e se 36 | $f$ è anche sublineare (come nelle ipotesi di esistenza globale) allora il problema di Cauchy~\eqref{eq:problema_cauchy_ordine_n} ammette una unica soluzione definita su tutto $I$. 37 | \end{theorem} 38 | % 39 | \begin{proof} 40 | Se $u\in C^n$ è una funzione scalare possiamo considerare la funzione vettoriale $\vec u \in C^1$ le cui componenti sono $u$ e le sue prime $n-1$ derivate: 41 | \[ 42 | \vec u(x) = (u(x), u'(x), \dots, u^{(n-1)}(x)) 43 | \] 44 | ovvero $u_k(x) = u^{(k-1)}(x)$ per $k=1,\dots ,n$ essendo $\vec u(x) = (u_1(x), \dots, u_n(x))$. 45 | 46 | Con questa trasformazione il problema~\eqref{eq:problema_cauchy_ordine_n} si può scrivere nella forma: 47 | \[ 48 | \begin{cases} 49 | u_1'(x) = u_2 \\ 50 | %u_2'(x) = u_3 \\ 51 | \ \vdots \\ 52 | u_{n-1}'(x) = u_n \\ 53 | u_n'(x) = f(x, u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x))\\\\ 54 | u_1(x_0) = y_1\\ 55 | \ \vdots \\ 56 | u_{n}(x_0) = y_n 57 | \end{cases} 58 | \] 59 | ovvero posto $\vec f(x,\vec y) = (y_2, y_3, \dots, y_n, f(x, \vec y))$ abbiamo una funzione vettoriale $\vec f\colon \Omega \to \RR^n$ e il problema~\eqref{eq:problema_cauchy_ordine_n} risulta equivalente a 60 | \begin{equation}\label{eq:437583} 61 | \begin{cases} 62 | \vec u'(x) = \vec f(x,\vec u(x))\\ 63 | \vec u(x_0) = \vec y. 64 | \end{cases} 65 | \end{equation} 66 | Visto che $f$ è continua, anche $\vec f$ risulta continua. 67 | Verifichiamo se $\vec f$ soddisfa la condizione di Lipschitz. 68 | Per ipotesi $f$ la soddisfa, cioè 69 | esiste $L>0$ tale che: 70 | \[ 71 | \abs{f(x,\vec y)-f(x,\vec z)} \le L\abs{\vec y - \vec z}. 72 | \] 73 | Ma allora si ha 74 | \begin{align*} 75 | \abs{\vec f(x,\vec y) - \vec f(x,\vec z)} 76 | &= \sqrt{\sum_{k=2}^n \abs{y_k-z_k}^2 + \abs{f(x,\vec y)-f(x,\vec z)}^2} \\ 77 | &\le \sqrt{\abs{\vec y - \vec z}^2 + L^2 \abs{\vec y - \vec z}^2} 78 | = \sqrt{1+L^2}\cdot \abs{\vec y - \vec z}. 79 | \end{align*} 80 | Dunque la funzione $\vec f$ verifica le ipotesi del teorema di Cauchy\hyp{}Lipschitz: esiste dunque una soluzione $\vec u$ di tale problema in un opportuno intervallo centrato nel punto $x_0$. 81 | Ponendo $u=u_1$ (la prima componente di $\vec u$) 82 | si osserva che $u$ è di classe $C^n$. 83 | Infatti sappiamo che $\vec u$ è di classe $C^1$ 84 | ed essendo 85 | $u_1' = u_2$, 86 | $u_2' = u_3$, \dots, 87 | $u_{n-1}'=u_n$ 88 | ed essendo $u_n\in C^1$, 89 | si scopre che $u=u_1$ è di classe $C^n$ 90 | ed è una soluzione del problema \eqref{eq:problema_cauchy_ordine_n}. 91 | Anche l'unicità segue direttamente dall'equivalenza delle due formulazioni. 92 | 93 | L'esistenza globale segue in maniera analoga dal teorema per i sistemi del primo ordine. Basti osservare che se la funzione $f$ soddisfa l'ipotesi di sublinearità anche $\vec f$ la soddisfa. 94 | \end{proof} 95 | 96 | -------------------------------------------------------------------------------- /figures/figurePJAoutside.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % False 2 | % 255 255 255 3 | \draw[draw=red] 4 | (4.05,7.94)--(3.85,7.94)--(3.65,7.94)--(3.65,7.77)--(3.45,7.77)--(3.24,7.77)--(3.24,7.6)--(3.04,7.6)--(2.84,7.6)--(2.84,7.43)--(2.64,7.43)--(2.64,7.26)--(2.43,7.26)--(2.23,7.26)--(2.23,7.09)--(2.03,7.09)--(2.03,6.93)--(1.82,6.93)--(1.82,6.76)--(1.62,6.76)--(1.62,6.59)--(1.42,6.59)--(1.22,6.59)--(1.22,6.42)--(1.01,6.42)--(1.01,6.25)--(0.811,6.25)--(0.811,6.08)--(0.811,5.91)--(0.608,5.91)--(0.608,5.74)--(0.608,5.57)--(0.405,5.57)--(0.405,5.41)--(0.405,5.24)--(0.405,5.07)--(0.405,4.9)--(0.405,4.73)--(0.405,4.56)--(0.405,4.39)--(0.608,4.39)--(0.608,4.22)--(0.608,4.05)--(0.811,4.05)--(0.811,3.89)--(1.01,3.89)--(1.01,3.72)--(1.22,3.72)--(1.42,3.72)--(1.62,3.72)--(1.62,3.55)--(1.82,3.55)--(2.03,3.55)--(2.23,3.55)--(2.43,3.55)--(2.43,3.38)--(2.64,3.38)--(2.84,3.38)--(3.04,3.38)--(3.24,3.38)--(3.24,3.21)--(3.45,3.21)--(3.65,3.21)--(3.85,3.21)--(4.05,3.21)--(4.26,3.21)--(4.26,3.04)--(4.46,3.04)--(4.66,3.04)--(4.66,2.87)--(4.86,2.87)--(5.07,2.87)--(5.07,2.7)--(5.27,2.7)--(5.27,2.53)--(5.47,2.53)--(5.47,2.36)--(5.47,2.2)--(5.68,2.2)--(5.68,2.03)--(5.68,1.86)--(5.88,1.86)--(5.88,1.69)--(5.88,1.52)--(6.08,1.52)--(6.08,1.35)--(6.28,1.35)--(6.28,1.18)--(6.28,1.01)--(6.49,1.01)--(6.49,0.845)--(6.69,0.845)--(6.89,0.845)--(7.09,0.845)--(7.09,1.01)--(7.3,1.01)--(7.3,1.18)--(7.5,1.18)--(7.5,1.35)--(7.7,1.35)--(7.7,1.52)--(7.7,1.69)--(7.91,1.69)--(7.91,1.86)--(8.11,1.86)--(8.11,2.03)--(8.11,2.2)--(8.31,2.2)--(8.31,2.36)--(8.31,2.53)--(8.51,2.53)--(8.51,2.7)--(8.51,2.87)--(8.51,3.04)--(8.72,3.04)--(8.72,3.21)--(8.72,3.38)--(8.92,3.38)--(8.92,3.55)--(8.92,3.72)--(8.92,3.89)--(8.92,4.05)--(9.12,4.05)--(9.12,4.22)--(9.12,4.39)--(9.12,4.56)--(9.12,4.73)--(9.12,4.9)--(9.12,5.07)--(9.12,5.24)--(9.12,5.41)--(8.92,5.41)--(8.92,5.57)--(8.72,5.57)--(8.72,5.74)--(8.72,5.91)--(8.51,5.91)--(8.51,6.08)--(8.31,6.08)--(8.31,6.25)--(8.11,6.25)--(8.11,6.42)--(7.91,6.42)--(7.91,6.59)--(7.7,6.59)--(7.7,6.76)--(7.5,6.76)--(7.5,6.93)--(7.3,6.93)--(7.3,7.09)--(7.09,7.09)--(7.09,7.26)--(6.89,7.26)--(6.89,7.43)--(6.69,7.43)--(6.49,7.43)--(6.49,7.6)--(6.28,7.6)--(6.28,7.77)--(6.08,7.77)--(5.88,7.77)--(5.88,7.94)--(5.68,7.94)--(5.47,7.94)--(5.47,8.11)--(5.27,8.11)--(5.07,8.11)--(4.86,8.11)--(4.66,8.11)--(4.46,8.11)--(4.26,8.11)--(4.05,8.11)--(4.05,7.94) 5 | ; 6 | \begin{scope}[on background layer] 7 | \draw[draw=none,fill=red!10] 8 | (4.05,7.94)--(3.85,7.94)--(3.65,7.94)--(3.65,7.77)--(3.45,7.77)--(3.24,7.77)--(3.24,7.6)--(3.04,7.6)--(2.84,7.6)--(2.84,7.43)--(2.64,7.43)--(2.64,7.26)--(2.43,7.26)--(2.23,7.26)--(2.23,7.09)--(2.03,7.09)--(2.03,6.93)--(1.82,6.93)--(1.82,6.76)--(1.62,6.76)--(1.62,6.59)--(1.42,6.59)--(1.22,6.59)--(1.22,6.42)--(1.01,6.42)--(1.01,6.25)--(0.811,6.25)--(0.811,6.08)--(0.811,5.91)--(0.608,5.91)--(0.608,5.74)--(0.608,5.57)--(0.405,5.57)--(0.405,5.41)--(0.405,5.24)--(0.405,5.07)--(0.405,4.9)--(0.405,4.73)--(0.405,4.56)--(0.405,4.39)--(0.608,4.39)--(0.608,4.22)--(0.608,4.05)--(0.811,4.05)--(0.811,3.89)--(1.01,3.89)--(1.01,3.72)--(1.22,3.72)--(1.42,3.72)--(1.62,3.72)--(1.62,3.55)--(1.82,3.55)--(2.03,3.55)--(2.23,3.55)--(2.43,3.55)--(2.43,3.38)--(2.64,3.38)--(2.84,3.38)--(3.04,3.38)--(3.24,3.38)--(3.24,3.21)--(3.45,3.21)--(3.65,3.21)--(3.85,3.21)--(4.05,3.21)--(4.26,3.21)--(4.26,3.04)--(4.46,3.04)--(4.66,3.04)--(4.66,2.87)--(4.86,2.87)--(5.07,2.87)--(5.07,2.7)--(5.27,2.7)--(5.27,2.53)--(5.47,2.53)--(5.47,2.36)--(5.47,2.2)--(5.68,2.2)--(5.68,2.03)--(5.68,1.86)--(5.88,1.86)--(5.88,1.69)--(5.88,1.52)--(6.08,1.52)--(6.08,1.35)--(6.28,1.35)--(6.28,1.18)--(6.28,1.01)--(6.49,1.01)--(6.49,0.845)--(6.69,0.845)--(6.89,0.845)--(7.09,0.845)--(7.09,1.01)--(7.3,1.01)--(7.3,1.18)--(7.5,1.18)--(7.5,1.35)--(7.7,1.35)--(7.7,1.52)--(7.7,1.69)--(7.91,1.69)--(7.91,1.86)--(8.11,1.86)--(8.11,2.03)--(8.11,2.2)--(8.31,2.2)--(8.31,2.36)--(8.31,2.53)--(8.51,2.53)--(8.51,2.7)--(8.51,2.87)--(8.51,3.04)--(8.72,3.04)--(8.72,3.21)--(8.72,3.38)--(8.92,3.38)--(8.92,3.55)--(8.92,3.72)--(8.92,3.89)--(8.92,4.05)--(9.12,4.05)--(9.12,4.22)--(9.12,4.39)--(9.12,4.56)--(9.12,4.73)--(9.12,4.9)--(9.12,5.07)--(9.12,5.24)--(9.12,5.41)--(8.92,5.41)--(8.92,5.57)--(8.72,5.57)--(8.72,5.74)--(8.72,5.91)--(8.51,5.91)--(8.51,6.08)--(8.31,6.08)--(8.31,6.25)--(8.11,6.25)--(8.11,6.42)--(7.91,6.42)--(7.91,6.59)--(7.7,6.59)--(7.7,6.76)--(7.5,6.76)--(7.5,6.93)--(7.3,6.93)--(7.3,7.09)--(7.09,7.09)--(7.09,7.26)--(6.89,7.26)--(6.89,7.43)--(6.69,7.43)--(6.49,7.43)--(6.49,7.6)--(6.28,7.6)--(6.28,7.77)--(6.08,7.77)--(5.88,7.77)--(5.88,7.94)--(5.68,7.94)--(5.47,7.94)--(5.47,8.11)--(5.27,8.11)--(5.07,8.11)--(4.86,8.11)--(4.66,8.11)--(4.46,8.11)--(4.26,8.11)--(4.05,8.11)--(4.05,7.94) 9 | ; 10 | \end{scope} 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 3 | del corso di studi in Fisica dell'Università 4 | di Pisa negli anni accademici dal 2017/18 al 2024/25. 5 | 6 | Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 7 | riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 8 | reale. 9 | Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 10 | successioni ricorsive, 11 | il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 12 | Viene fatta un minimo di analisi funzionale allo scopo di considerare, 13 | come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 14 | Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 15 | laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 16 | più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 17 | di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 18 | 19 | Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 20 | L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 21 | possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 22 | Troveremo, ad esempio, 23 | definizioni equivalenti della funzione esponenziale e 24 | delle funzioni trigonometriche (con $e$ e $\pi$). 25 | Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 26 | della formula di Stirling e di Wallis, 27 | e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 28 | Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 29 | $o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 30 | Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 31 | Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 32 | giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 33 | delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 34 | lineari con il metodo di similarità. 35 | 36 | Il primo capitolo, dedicato ai sistemi formali, alla costruzione 37 | degli insiemi numerici e alla definizione delle funzioni elementari, 38 | vorrebbe dare fondamento matematico a tutte quelle nozioni che 39 | lo studente dovrebbe avere già appreso nel curriculum scolastico. 40 | Alcuni argomenti trattati nel primo capitolo possono risultare 41 | di difficile comprensione in quanto molto tecnici: 42 | si potranno comunque saltare in quanto trattano di concetti 43 | che almeno intuitivamente dovrebbero risultare già noti. 44 | In particolare la definizione assiomatica dell'insieme 45 | dei numeri reali risulta probabilmente molto diversa da 46 | come viene usualmente svolta nella maggior parte dei libri di testo 47 | che introducono all'analisi matematica: 48 | invece di assumere le proprietà di campo (e quindi l'esistenza 49 | a priori delle due operazioni di addizione e moltiplicazione) 50 | si considera solamente l'operazione di addizione 51 | mentre la moltiplicazione viene costruita di conseguenza. 52 | Questo approccio è giustificato dall'osservazione che 53 | la costruzione della moltiplicazione è esattamente la stessa 54 | costruzione che viene usualmente utilizzata per costruire 55 | l'operazione di elevamento a potenza. 56 | Dunque lo stesso teorema astratto 57 | (isomorfismo dei gruppi totalmente ordinati densi e continui) 58 | viene utilizzato per costruire la moltiplicazione, 59 | le funzioni esponenziali e le funzioni trigonometriche. 60 | Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse 61 | è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 62 | che permette di accedere alla figura 63 | *online* e modicarne i parametri. 64 | Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 65 | con i collegamenti alle figure interattive. 66 | 67 | Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 68 | in forma di sorgente 69 | LaTeX. 70 | Il materiale è costantemente in evoluzione 71 | e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 72 | benvenuto! 73 | # release 74 | 75 | Releases (PDF format) are available at the github repository: 76 | 77 | # compiling 78 | 79 | files `README.md` and `docs/index.html` are created from sources with the command: 80 | 81 | bash make-docs.sh 82 | 83 | the `pdf` file can be obtained with the command: 84 | 85 | latexmk --pdf AnalisiUno 86 | 87 | The `Makefile` should automate the previous commands. 88 | 89 | # compilation with docker 90 | 91 | docker run -it -w /app -v "${PWD}:/app" ghcr.io/xu-cheng/texlive-full latexmk --pdf AnalisiUno -file-line-error -halt-on-error -interaction=nonstopmode 92 | 93 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/03_serie/08_prodotti.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{prodotti infiniti} 2 | %%% 3 | \index{prodotti infiniti} 4 | 5 | Così come abbiamo fatto la teoria per le somme infinite si potrebbe fare 6 | la teoria dei prodotti infiniti ponendo 7 | \[ 8 | \prod_{k=0}^{+\infty} a_k = \lim_{n\to +\infty} \prod_{k=0}^n a_k 9 | = \lim_{n\to +\infty} a_0 \cdot a_1 \cdots a_n. 10 | \] 11 | 12 | Supporremo sempre $a_k>0$ altrimenti il segno del prodotto difficilmente 13 | sarebbe definito. 14 | Allora, utilizzando il logaritmo (che trasforma prodotti in somme) possiamo 15 | ricondurre i prodotti infiniti 16 | alle serie: 17 | \[ 18 | \prod_{k=0}^{+\infty} a_k = \lim_{n\to +\infty} e^{\sum_{k=0}^n \ln a_k}. 19 | \] 20 | 21 | Osserviamo che se la serie dei logaritmi diverge a $-\infty$ il prodotto infinito 22 | ha limite $0$. Avendo richiesto che i termini $a_k$ siano tutti positivi il prodotto 23 | non potrà mai essere minore di zero. Per mantenere l'analogia con le serie diremo 24 | che il prodotto infinito converge se il limite dei prodotti parziali è finito e positivo. 25 | Diremo che diverge se il limite è $+\infty$ oppure $0$. 26 | 27 | Dunque potremo dire che il prodotto infinito converge se e solo se la serie dei logaritmi converge. 28 | 29 | Osserviamo quindi che condizione necessaria affinché un prodotto infinito 30 | $\prod a_k$ sia convergente 31 | dovrà essere $\ln a_k\to 0$ ovvero $a_k \to 1$. In tal caso visto che 32 | \[ 33 | \ln a_k = \ln (1+(a_k-1)) \sim a_k - 1 34 | \] 35 | si osserva che se $a_k\to 1$ e $a_k\ge 1$ il prodotto infinito $\prod a_k$ converge 36 | se e solo se converge la serie $\sum (a_k-1)$. 37 | 38 | \begin{example}[somma dei reciproci dei primi] 39 | \index{primi!somma dei reciproci}% 40 | \index{somma!dei reciproci dei primi}% 41 | Possiamo utilizzare i prodotti infiniti per dimostrare che la somma 42 | dei reciproci dei numeri primi è divergente. 43 | Sia $p_k$ la successione dei numeri 44 | primi ($p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $\dots$ stiamo dando per scontato che i numeri 45 | primi sono infiniti). Allora vogliamo dimostrare che 46 | \begin{equation}\label{eq:489467523} 47 | \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{p_k} = +\infty. 48 | \end{equation} 49 | 50 | Questo risultato ha una certa rilevanza nell'ambito della teoria dei numeri 51 | in quanto ci dice che $p_k$ non può andare all'infinito come una 52 | potenza $k^\alpha$ con $\alpha>1$ in quanto la serie $\sum 1/k^\alpha$ 53 | è convergente. 54 | 55 | Mostriamo quindi che vale~\eqref{eq:489467523}. 56 | Si noti che per ogni $n\in \NN$ il termine $\frac 1 n$ 57 | può essere decomposto come il prodotto di 58 | potenze dei reciproci dei numeri primi. 59 | L'idea è quella di considerare il prodotto: 60 | \begin{align*} 61 | \prod_{k=1}^{N} \sum_{j=0}^{M} \frac{1}{p_k^j} 62 | &= 63 | (1 + \frac 1 2 + \frac 1 {2^2} + \dots + \frac{1}{2^M}) \cdot 64 | (1 + \frac 1 3 + \frac 1 {3^2} + \dots + \frac{1}{3^M}) \cdot \\ 65 | &\quad \cdot(1 + \frac 1 5 + \frac 1 {5^2} + \dots + \frac{1}{5^M}) \cdots 66 | (1 + \frac 1 {p_N} + \frac 1 {p_N^2} + \dots + \frac{1}{p_N^M}) 67 | \end{align*} 68 | osservando che nello sviluppare tale prodotto si ottengono 69 | come addendi i reciproci dei prodotti di tutte le potenze dei numeri primi 70 | $p_1,\dots, p_N$ con esponenti non superiori a $M$. 71 | Dunque se $n < p_{N+1}$ e $n \le 2^M$ 72 | allora $n$ è uno di tali prodotti e dunque $\frac 1 n$ 73 | compare nello sviluppo di cui sopra. 74 | Dunque possiamo affermare che 75 | \begin{equation}\label{eq:8834884} 76 | \prod_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}} 77 | = \prod_{k=1}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{p_k^j} 78 | \ge \prod_{k=1}^{N} \sum_{j=0}^{M} \frac{1}{p_k^j} 79 | \ge \sum_{n=1}^{K-1} \frac 1 n 80 | \end{equation} 81 | dove $K$ è il più piccolo tra $p_{N+1}$ e $2^M$. 82 | Visto che $K$ può essere reso arbitrariamente grande 83 | scegliendo $N$ e $M$ sufficientemente grandi, 84 | e visto che $\sum \frac 1 n =+\infty$ significa che il prodotto 85 | al lato sinistro di \eqref{eq:8834884} deve essere 86 | esso stesso divergente. 87 | Ricordiamo allora che tale prodotto ha lo stesso carattere 88 | della seguente serie 89 | \[ 90 | \sum_{k=1}^{+\infty} \enclose{\frac{1}{1-\frac 1 {p_k}}-1} 91 | = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\frac 1 {p_k}}{1-\frac{1}{p_k}} 92 | \] 93 | ma visto che $1/p_k\to 0$ si ha 94 | \[ 95 | \frac{\frac 1 {p_k}}{1-\frac{1}{p_k}} 96 | \sim \frac 1 {p_k} 97 | \] 98 | e dunque, per il criterio del confronto asintotico, la serie precedente ha 99 | lo stesso carattere della serie 100 | \[ 101 | \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{p_k} 102 | \] 103 | che quindi è divergente. 104 | \end{example} 105 | 106 | %%% 107 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/05_integrali/04_interpretazione.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{interpretazione geometrica dell'integrale} 2 | \index{integrale!interpretazione geometrica}% 3 | \index{interpretazione!geometrica dell'integrale}% 4 | %%%% 5 | 6 | Il seguente risultato mette in corrispondenza l'integrale di Riemann 7 | con la misura di Peano-Jordan ed è un modo formale per dare all'integrale 8 | di Riemann il significato di area (con segno) del sottografico della 9 | funzione integranda. 10 | Nel seguito non faremo mai uso di questo risultato che serve solo 11 | a soddisfare la nostra intuizione. 12 | 13 | \begin{theorem}[interpretazione geometrica dell'integrale] 14 | Sia $f\colon[a,b]\to \RR$, una funzione limitata, $a\leq b$. Posto 15 | \begin{align*} 16 | E^+ &= \ENCLOSE{(x,y)\in [a,b]\times\RR\colon 0\le y \le f(x)}, \\ 17 | E^- &= \ENCLOSE{(x,y)\in [a,b]\times\RR\colon f(x)\le y \le 0} 18 | \end{align*} 19 | si ha che $f$ è Riemann-integrabile su $[a,b]$ se e solo se 20 | gli insiemi $E^+$ ed $E^-$ sono misurabili secondo Peano-Jordan. 21 | E in tal caso risulta: 22 | \[ 23 | \int_a^b f = m(E^+) - m(E^-) 24 | \] 25 | dove $m$ è la misura di Peano-Jordan. 26 | \end{theorem} 27 | % 28 | \begin{proof} 29 | \emph{Passo 1:} supponiamo che sia $f(x)\ge 0$ per ogni $x\in [a,b]$. 30 | Se $P=\ENCLOSE{x_0,x_1, \dots, x_N}$ è una suddivione di $[a,b]$ 31 | è chiaro che posto $I_k = [x_k,x_{k+1}]$ l'unione dei rettangoli 32 | $R_k = I_k \times [0,\inf f(I_k)]$ ci dà 33 | un polirettangolo contenuto in $E^+$. 34 | E $S_*(f,P)$ rappresenta proprio la misura di tale polirettangolo. 35 | Dunque $m_*(E^+)\ge S_*(f,P)$ per ogni suddivisione $P$ 36 | e quindi $m_*(E^+)\ge I_*(f,P)$. 37 | Ragionando in maniera analoga con i rettangoli la cui altezza 38 | è il $\sup$ di $f$, si osserva che $S^*(f,P)$ rappresenta 39 | la misura di un polirettangolo contenente $E^+$ e dunque 40 | $m^*(E^+)\le I^*(f,P)$. 41 | 42 | D'altra parte preso un qualunque polirettangolo contenuto in $E^+$ 43 | possiamo considerare la suddivisione $P$ formata da $a$, $b$ e da tutte le coordinate $x$ 44 | dei lati verticali dei rettangoli che compongono il polirettangolo. 45 | E' chiaro che il polirettangolo sarà allora contenuto nell'unione 46 | dei rettangoli determinati da $P$ con altezza l'estremo inferiore di $f$. 47 | Dunque $m_*(E^+)\le I_*(f)$. 48 | Analogamente se prendiamo un polirettangolo che contiene $E^+$ possiamo 49 | innanzitutto tagliare tutti i rettangoli con le rette $x=a$ e $x=b$ 50 | e rimuovere eventuali rettangoli che si trovino a sinistra di $x=a$ 51 | o a destra di $x=b$. 52 | Questo diminuisce la misura del polirettangolo e mantiene l'inclusione di $E^+$. 53 | A questo punto consideriamo la suddivisione $P$ ottenuta prendendo i punti 54 | $a$, $b$ e tutte le coordinate $x$ dei lati verticali dei rettangoli che formano 55 | il polirettangolo. 56 | E' chiaro allora che la misura del polirettangolo originario è maggiore o uguale 57 | a $S^*(f,P)$ e dunque $m^*(E^+)\ge I^*(f)$. 58 | 59 | Essendo dunque $m_*(E^+)=I_*(f)$ e $m^*(E^+)=I_*(f)$ risulta 60 | che se $f\ge0$ allora $f$ è Riemann-integrabile se e solo se $E^+$ è Peano-Jordan 61 | misurabile e in tal caso si ha $\int_a^b f = m(E^+)$. 62 | 63 | \emph{Passo 2:} sia $f\colon[a,b]\to \RR$ qualunque. 64 | Allora si avrà $f = f^+ - f^-$. 65 | A $f^+$ e $f^-$ potremo applicare il passo precedente. 66 | Osserviamo che l'insieme $E^+$ di $f^-$ non è altro che la riflessione 67 | (rispetto all'asse delle ascisse) dell'insieme $E^-$ di $f$ 68 | e questi insiemi hanno la stessa misura di Peano-Jordan. 69 | Dunque, se $f$ è Riemann-integrabile anche $f^+$ e $f^-$ 70 | lo sono (Teorema~\ref{th:reticolo}) 71 | dunque $E^+$ ed $E^-$ sono Peano-Jordan misurabili per il passo precedente 72 | e si ha 73 | \begin{equation} 74 | \label{47694} 75 | \int_a^b f = \int_a^b f^+ - \int_a^b f^- = m(E^+) - m(E^-). 76 | \end{equation} 77 | Viceversa se $E^+$ ed $E^-$ sono Peano-Jordan misurabili 78 | allora $f^+$ ed $f^-$ sono Riemann-integrabili (per il passo precedente) 79 | e anche $f=f^+-f^-$ è Riemann-integrabile (Teorema~\ref{th:integrale_lineare}) 80 | e di nuovo deve valere~\eqref{47694}. 81 | \end{proof} 82 | 83 | \begin{example}[area del trapezio] 84 | Sia $f(x) = mx + q$ una funzione lineare definita 85 | su un intervallo $[a,b]$ e supponiamo che $f(a)\ge 0$ 86 | e $f(b)\ge 0$. 87 | L'insieme $E^+=\ENCLOSE{(x,y)\colon x\in [a,b], 0\le y \le f(x)}$ 88 | è dunque un trapezio di basi (verticali) $f(a)$ e $f(b)$ 89 | e altezza (orizzontale) $b-a$. La sua area sarà dunque 90 | \begin{align*} 91 | \int_a^b f 92 | &= \int_a^b (mx+q)\, dx 93 | = m\int_a^b x\, dx + \int_a^b q\, dx 94 | = \frac{m}{2}(b^2-a^2) + (b-a) q\\ 95 | &= \frac 1 2 (b-a)(mb+ma+2q) 96 | = \frac 1 2 (b-a)(f(a) + f(b)) 97 | \end{align*} 98 | che è effettivamente la formula elementare per 99 | calcolare l'area di un trapezio. 100 | \end{example} 101 | 102 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/04_derivate/03_punti_notevoli.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{punti notevoli} 2 | 3 | In questa sezione introdurremo una terminologia che è largamente utilizzata 4 | nello studio di funzione. 5 | Cercheremo di dare delle definizioni anche per alcuni termini su cui potrebbe 6 | non esserci un consenso univoco. 7 | Ricordiamoci di non usare queste definizioni in modo troppo formale: 8 | sarà sempre meglio 9 | verificare che il nostro interlocutore ci comprenda 10 | perché spesso alcuni termini potrebbero essere utilizzati in maniera 11 | impropria o con significati leggermente diversi. 12 | 13 | Nel dubbio potremo sempre evitare di utilizzare questa terminologia 14 | riconducendoci ai concetti sottostanti. 15 | 16 | \begin{definition}[punti notevoli] 17 | Sia $f\colon A \subset \RR \to \RR$ una funzione. Se $f$ è derivabile in un 18 | punto $x_0\in A$ e $f'(x_0) = 0$ diremo che $x_0$ è un \emph{punto critico}% 19 | \mymargin{punto critico}% 20 | \index{punto!critico} 21 | o 22 | \emph{punto stazionario} 23 | \index{punto!stazionario} 24 | di $f$. 25 | 26 | Se $x_0\in A$ ed esiste un intorno $U$ di $x_0$ per cui $x_0$ risulta 27 | essere un punto di minimo (rispettivamente di massimo) per $f$ ristretta ad $U$ 28 | diremo che $x_0$ è un punto di \emph{minimo relativo}% 29 | \mymargin{minimo relativo}% 30 | \index{minimo!relativo} o \emph{minimo locale} 31 | (rispettivamente \emph{massimo relativo} o \emph{massimo locale}). 32 | Per contrapposizione i punti di massimo e minimo su tutto il dominio $A$ 33 | vengono anche 34 | chiamati massimo/minimo \emph{assoluto} di $f$. 35 | 36 | Diremo che $x_0\in A$ è un \emph{punto di flesso}% 37 | \mymargin{punto di flesso}% 38 | \index{punto!di flesso} per $f$ se 39 | $f$ è derivabile in un intorno di $x_0$ e $x_0$ è un punto di massimo 40 | o minimo relativo per $f'$. Nel punto $x_0$ la retta tangente 41 | ha equazione $y=r(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)$. Se $x_0$ è 42 | minimo per $f'$ risulta che $f(x)-r(x)$ è crescente 43 | quindi $f(x)\ge r(x)$ per $x\ge x_0$ e $f(x)\le r(x)$ per $x\le x_0$ 44 | (il grafico della funzione attraversa la retta tangente da sotto a sopra) 45 | mentre se $x_0$ è massimo per $f'$ risulta che $f(x)\le r(x)$ per $x\ge x_0$ 46 | e $f(x) \ge r(x)$ per $x\le x_0$ (il grafico della funzione attraversa 47 | la tangente da sopra a sotto). 48 | Se la funzione $f$ non è derivabile in $x_0$ ma il limite del rapporto 49 | incrementale esiste ed è infinito, diremo che $x_0$ è un 50 | \emph{flesso verticale}% 51 | \mymargin{flesso verticale}% 52 | \index{flesso!verticale}. In tale punto la retta tangente è verticale 53 | e il grafico della funzione attraversa tale retta. 54 | 55 | Sia $x_0\in A$ un punto in cui la funzione $f$ è continua ed esistono 56 | i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale 57 | (che si chiamano \emph{derivata destra} e \emph{derivata sinistra}) 58 | \[ 59 | m^{\pm} = \lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}. 60 | \] 61 | Se $m^+ \neq m^-$ chiaramente $f$ non è derivabile in $x_0$. 62 | Se entrambi $m^+$ ed $m^-$ sono finiti diremo che $x_0$ è un 63 | \emph{punto angoloso}% 64 | \mymargin{punto angoloso}% 65 | \index{punto!angoloso} in quanto le due semirette tangenti 66 | in $x_0$ (da destra e da sinistra) formano un angolo non piatto. 67 | Se $m^+=-m^-=+\infty$ oppure se $m^+=-m^-=-\infty$ 68 | diremo che il punto $x_0$ è un \emph{punto di cuspide}% 69 | \mymargin{punto di cuspide}% 70 | \index{punto!di cuspide} (c'è una 71 | semiretta tangente verticale). 72 | \end{definition} 73 | 74 | \begin{definition}[asintoti] 75 | Diremo che la retta $y=mx+q$ è un asintoto per il grafico di $f$ 76 | per $x\to +\infty$ se risulta 77 | \[ 78 | \lim_{x\to +\infty} f(x) - (mx+q) = 0. 79 | \] 80 | Se $m=0$ diremo che il grafico di $f$ ha un \emph{asintoto orizzontale} $y=q$ 81 | \mymargin{asintoto orizzontale e obliquo}% 82 | \index{asintoto orizzontale e obliquo}% 83 | \index{asintoto!orizzontale}% 84 | \index{asintoto!obliquo}% 85 | altrimenti diremo che $y=mx+q$ è un \emph{asintoto obliquo}. 86 | Stessa cosa si può dire per $x\to -\infty$. 87 | 88 | Se $x_0\in \RR$ e si ha 89 | \[ 90 | \lim_{x\to x_0} \abs{f(x)} = +\infty 91 | \] 92 | diremo che la retta $x=x_0$ è un \emph{asintoto verticale}% 93 | \mymargin{asintoto verticale}% 94 | \index{asintoto!verticale} per il 95 | grafico della funzione $f$. 96 | \end{definition} 97 | 98 | \begin{definition}[punti di discontinuità] 99 | Se per $x_0\in \RR$ si ha 100 | \[ 101 | \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \ell_1, 102 | \qquad 103 | \lim_{x\to x_0^+} f(x) = \ell_2 104 | \] 105 | e se $\ell_1\neq \ell_2$ diremo che nel punto $x_0$ 106 | la funzione $f$ ha una \emph{discontinuità a salto}% 107 | \mymargin{discontinuità a salto}% 108 | \index{discontinuità!a salto}. 109 | Se $\ell_1=\ell_2$ e se $f$ non è definita nel punto $x_0$ 110 | oppure se $f(x_0)\neq \ell_1$ diremo che 111 | nel punto $x_0$ la funzione $f$ 112 | ha una \emph{discontinuità eliminabile}% 113 | \mymargin{discontinuità eliminabile}% 114 | \index{discontinuità!eliminabile}. 115 | \end{definition} 116 | 117 | Si osservi che, nonostante la terminologia utilizzata, 118 | una funzione continua può avere una discontinuità 119 | a salto (ad esempio: $f(x)=\frac{x}{\abs{x}}$) 120 | e può anche avere una discontinuità eliminabile 121 | (ad esempio: $f(x) = \frac{x}{x}$). 122 | 123 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/01_fondamenti/90_storia.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{note storiche} 2 | 3 | \label{nota:Peano}% 4 | \index{Peano!Giuseppe}% 5 | \emph{Giuseppe Peano} (1858--1932), matematico torinese, contribuì a porre 6 | i fondamenti della logica matematica. 7 | La notazione $\exists$ per il quantificatore universale si deve a lui. 8 | La definizione originale di Peano prendeva $1$ come primo numero 9 | naturale ma nella matematica moderna risulta più comodo includere anche $0$ 10 | tra i numeri naturali, così come si considera il vuoto tra gli insiemi. 11 | 12 | \label{nota:Galileo}% 13 | \index{Galileo!Galilei}% 14 | \emph{Galileo Galilei} (1564--1642) osservò che i quadrati 15 | perfetti: $1,4,9,16,\dots$ sono da un lato una piccola parte 16 | di tutti i numeri naturali (questi numeri si distanziano 17 | sempre di più tra loro) ma d'altro canto sono tanti quanti i numeri naturali 18 | perché la corrispondenza $n\mapsto n^2$ è biunivoca. 19 | 20 | \label{nota:Cantor}% 21 | \index{Cantor!Georg}% 22 | \label{nota:Russell}% 23 | \index{Russell!Bertrand}% 24 | \label{nota:Frege}% 25 | \index{Frege!Gottlob}% 26 | La teoria degli insiemi 27 | è stata introdotta da \emph{Georg Cantor} (1845--1918) senza una vera formalizzazione logica 28 | (oggi la chiameremmo \emph{teoria ingenua degli insiemi}). 29 | \emph{Gottlob Frege} (1848--1925) fu il primo matematico che tentò di formalizzare 30 | la teoria degli insiemi di Cantor. 31 | Nel 1902 \emph{Bertrand Russell}, avendo letto il lavoro di Frege, 32 | gli invio una lettera che enunciava il paradosso da lui scovato: 33 | ``Mi trovo in completo accordo con lei in tutte le parti essenziali, in particolare 34 | quando lei rifiuta ogni elemento psicologico dando un grande valore 35 | all'ideografia %[Begriffsschrift] 36 | per il fondamento della matematica e della logica formale [\dots] c'è solo 37 | un punto dove ho incontrato una difficoltà [...]''. 38 | La risposta di Frege (22 giugno 1902) è deprimente: 39 | ``La sua scoperta della contraddizione mi ha causato una grandissima sorpresa e, 40 | direi, costernazione, perché ha scosso le basi su cui intendevo costruire l'aritmetica.'' 41 | 42 | \label{nota:Euclide}% 43 | \label{nota:Hilbert}% 44 | \index{Euclide}% 45 | \index{assiomi!di Euclide}% 46 | \index{Hilbert!David}% 47 | \index{geometria euclidea}% 48 | \emph{Euclide} (circa 300 a.C.) ha introdotto il metodo assiomatico in geometria. 49 | Il suo trattato ``gli Elementi'', è considerato il libro 50 | che in assoluto ha avuto maggiore impatto nella storia della matematica. 51 | Gli assiomi introdotti da Euclide corrispondono alle costruzioni geometriche fatte 52 | con riga e compasso. 53 | Se consideriamo l'insieme dei punti che possono essere costruiti a partire da 54 | un insieme finito di punti dati, otteniamo un insieme denso che però 55 | non è completo. 56 | E' ben noto, infatti, che tramite riga e compasso non è possibile 57 | fare la \emph{trisezione dell'angolo} (cioè dividere 58 | un angolo generico in tre parti uguali) 59 | né la \emph{duplicazione del cubo} 60 | (cioè costruire il lato di un cubo il cui volume sia il doppio di un cubo di dato lato) 61 | né la \emph{quadratura del cerchio} (cioè costruire il lato di un quadrato 62 | con la stessa area di un cerchio di dato raggio). 63 | I primi due problemi richiedono la costruzione delle radici cubiche, mentre 64 | il terzo problema richiede la costruzione di $\sqrt\pi$. 65 | Tramite la teoria di Galois si è dimostrato che tramite costruzioni con riga e 66 | compasso si possono costruire solo quei numeri che si possono esprimere 67 | a partire dai numeri interi utilizzando, oltre alle quattro operazioni, 68 | l'estrazione di radice quadrata. 69 | E' facile costruire, ad esempio, la diagonale di un quadrato di dato lato: 70 | questo corrisponde alla costruzione di $\sqrt 2$. 71 | Ovvio invece che i numeri trascendenti (come $\sqrt\pi$) non possono essere costruiti, visto 72 | che le operazioni ammissibili non ci fanno uscire dall'insieme dei numeri algebrici. 73 | La costruzione di un poligono regolare inscritto in un cerchio di dato raggio 74 | è equivalente alla costruzione delle radici complesse $n$-esime dell'unità, ed 75 | è quindi legato alla costruibilità di particolari numeri algebrici. 76 | Solo grazie all'apporto di Gauss (1777-1855) c'è stato un avanzamento rispetto alle conoscenze di Euclide 77 | su quali fossero i poligoni regolari costruibili. 78 | Sorprendentemente 79 | mentre i poligoni regolari con $7$, $9$, $11$ e $13$ lati non sono costruibili 80 | con riga e compasso, il poligono regolare con $17$ lati è costruibile 81 | (Gauss-Wentzel). 82 | 83 | Tutta questa discussione dovrebbe rendere chiaro che non è ovvio come si possa 84 | definire lo spazio geometrico in modo rigoroso 85 | in modo che risulti essere completo. 86 | In effetti solo nel 1900 \emph{David Hilbert} (1862--1943) ha dato una definizione assiomatica rigorosa 87 | della geometria euclidea. 88 | La proprietà di completezza viene catturata da Hilbert mediante un assioma di massimalità: 89 | lo spazio euclideo è un insieme di punti che soddisfano certi assiomi 90 | (gli usuali postulati di Euclide risistemati da Hilbert) e inoltre 91 | è il più grande insieme di punti con tali proprietà. 92 | Dunque deve contenere i limiti delle successioni di Cauchy 93 | (oppure i punti di separazione degli insiemi lineari separati, 94 | se pensiamo alla continuità dell'ordinamento invece che alla completezza) 95 | perché altrimenti tali punti potrebbero essere aggiunti allo spazio senza 96 | violare gli altri assiomi ma violando quindi la massimalità. 97 | 98 | 99 | \label{nota:Dedekind} 100 | \index{Dedekind!Richard}% 101 | Richard Dedekind (1831--1916) per spiegare 102 | le motivazioni che lo hanno portato a trovare una 103 | definizione rigorosa dei numeri reali, 104 | scrive: 105 | ``Viene spesso sostenuto che il calcolo differenziale 106 | tratta le grandezze continue e, 107 | tuttavia, non viene mai data una spiegazione 108 | di questa continuità; perfino le esposizioni 109 | più rigorose del calcolo differenziale non basano 110 | le loro dimostrazioni sulla continuità ma, 111 | in maniera più o meno consapevole, si appellano o 112 | a nozioni geometriche o suggerite dalla geometria, 113 | oppure, dipendono da teoremi che non 114 | non sono stati dimostrati in modo 115 | puramente aritmetico.'' -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/04_derivate/06_darboux.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{Proprietà di Darboux per le derivate} 2 | 3 | \begin{theorem}[proprietà di Darboux] 4 | \label{th:darboux}% 5 | Sia $f\colon I \to \RR$ una funzione derivabile su un intervallo $I\subset \RR$. 6 | Allora la derivata soddisfa la proprietà dei valori intermedi: 7 | se $a,b\in I$, $a\neq b$ allora per ogni $m\in \openinterval{f'(a)}{f'(b)}$ 8 | \mynote{Si intende che $\openinterval{f'(a)}{f'(b)} = \openinterval{f'(b)}{f'(a)}$ 9 | se $f'(b)] (-0.5, 0) -- (0.5, 0) node[above] {$x$}; 42 | \draw[->] (0, -0.3) -- (0, 0.3) node[right] {$y$}; 43 | \draw[domain=-0.51:0.5, smooth, variable=\x, gray] plot ({\x}, {\x*\x}); 44 | \draw[domain=-0.51:0.5, smooth, variable=\x, gray] plot ({\x}, {-\x*\x}); 45 | \draw[domain=-0.51:0.5, variable=\x, samples=200, blue, thick] plot ({\x}, {\x*\x*sin(deg(1/\x))}); 46 | \end{tikzpicture} 47 | \begin{tikzpicture}[scale=5000] 48 | \draw[->] (0.0045, 0) -- (0.0055, 0) node[above] {$x$}; 49 | \draw[domain=0.0045:0.0055, smooth, variable=\x, gray] plot ({\x}, {\x*\x}); 50 | \draw[domain=0.0045:0.0055, smooth, variable=\x, gray] plot ({\x}, {-\x*\x}); 51 | \draw[domain=0.0045:0.0055, variable=\x, samples=200, blue, thick] plot ({\x}, {\x*\x*sin(deg(1/\x))}); 52 | \end{tikzpicture} 53 | \end{comment} 54 | \caption{Il grafico di una funzione derivabile ma con 55 | derivata non continua (vedi esempio~\ref{ex:derivata_non_continua}). 56 | L'ingrandimento nel disegno in basso rende evidente 57 | il fatto che la derivata oscilla tra i valori 58 | $-1$ e $1$ in ogni intorno di $0$. 59 | La proprietà di Darboux (teorema~\ref{th:darboux}) 60 | rimane comunque soddisfatta: la derivata assume tutti i valori 61 | compresi tra $1$ e $-1$ in ogni intorno di $x=0$ ma 62 | non ha limite per $x\to 0$.\\\\ 63 | \usebox{\qrdarboux} 64 | } 65 | \end{figure} 66 | 67 | \begin{example} 68 | [funzione derivabile con derivata non continua] 69 | \label{ex:derivata_non_continua}% 70 | \mymark{**}% 71 | \index{funzione!derivabile con derivata non continua}% 72 | \index{derivata!non continua}% 73 | La funzione $f\colon \RR \to \RR$ definita da 74 | \[ 75 | f(x) 76 | = \begin{cases} 77 | x^2 \sin(1/x) & \text{se $x \neq 0$} \\ 78 | 0 & \text{se $x=0$.} 79 | \end{cases} 80 | \] 81 | è derivabile su tutto $\RR$, $f'(0)=0$ ma il limite 82 | \[ 83 | \lim_{x\to 0} f'(x) 84 | \] 85 | non esiste (e dunque $f'\colon \RR\to\RR$ non è continua in $x=0$). 86 | \end{example} 87 | % 88 | \begin{proof} 89 | La funzione $x^2 \sin(1/x)$ è derivabile infinite volte su tutto il suo dominio $\RR\setminus\ENCLOSE{0}$ in quanto composizione di funzioni elementari derivabili infinite volte. 90 | Dunque, per la località della derivata, anche la funzione $f$ è derivabile infinite volte su $\RR\setminus\ENCLOSE{0}$. 91 | Per $x\neq 0$ possiamo quindi calcolare $f'(x)$ utilizzando le regole di derivazione 92 | \[ 93 | f'(x) 94 | = D \enclose{x^2\sin \frac 1 x} 95 | = 2x \sin \frac 1 x + x^2 \enclose{\cos \frac 1 x} \cdot\frac{-1}{x^2} 96 | = 2x \sin \frac 1 x - \cos \frac 1 x. 97 | \] 98 | 99 | Verifichiamo ora che $f$ è continua e derivabile anche in $0$. 100 | Si ha infatti 101 | \[ 102 | \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} 103 | = \lim_{h\to 0} h \sin \frac 1 h = 0 104 | \] 105 | e dunque $f'(0) = 0$. 106 | Osserviamo però che $f'(x)$ non ammette limite per $x\to 0$ 107 | in quanto per $x \to 0$ si ha $2x \sin(1/x) \to 0$ ma il limite di $\cos (1/x)$ invece non esiste. Dunque $f'(x)$ è la somma di una funzione che ha limite zero e di una funzione il cui limite non esiste per $x\to 0$. Dunque $f'(x)$ non ammette limite per $x\to 0$. 108 | \end{proof} 109 | 110 | \begin{proposition}[criterio di derivabilità]% 111 | \label{prop:4384774}\mymark{**}% 112 | Sia $I\subset \RR$ un intervallo, $x_0\in I$, 113 | $f\colon I \to \RR$ una funzione continua su tutto $I$ 114 | e derivabile in $I\setminus\ENCLOSE{x_0}$. 115 | Se il limite della derivata 116 | \[ 117 | \lim_{x\to x_0} f'(x) = m 118 | \] 119 | esiste ed è finito la funzione $f$ è derivabile anche in $x_0$ e vale $f'(x_0) = m$. 120 | \end{proposition} 121 | % 122 | \begin{proof} 123 | \mymark{*} 124 | Prendiamo un generico punto $x>x_0$ (il caso $x] (-6,0) -- (6,0) node[right] {$x$}; 76 | \draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$}; 77 | \foreach \y in {1, -1} { 78 | \draw[shift={(0,\y)},lightgray] (-6,0) -- (6,0); 79 | } 80 | \draw (0,1) node [above right] {$1$}; 81 | \draw (0,-1) node [below right] {$-1$}; 82 | \draw[domain=-6:6,smooth,variable=\x,brown,thick] plot ({\x},{tanh(\x)}); 83 | \draw[domain=-1.75:1.75,smooth,variable=\x,blue,thick] plot ({\x},{cosh(\x)}); 84 | \draw[domain=-1.75:1.75,smooth,variable=\x,red,thick] plot ({\x},{sinh(\x)}); 85 | \draw (-2.5,2) node[blue,below] {$y=\cosh x$}; 86 | \draw (2.7,1.5) node[red,above] {$y=\sinh x$}; 87 | \draw (5,1) node[brown,above] {$y=\tgh x$}; 88 | \end{tikzpicture} 89 | \caption{% 90 | I grafici delle funzioni $\sinh$, $\cosh$ e $\tgh$. 91 | \ifwidemargin\\\\\fi% 92 | \usebox{\qrfigiperb}% 93 | } 94 | \end{figure} 95 | 96 | \begin{proof} 97 | I primi tre punti si dimostrano facilmente per verifica diretta, 98 | utilizzando la definizione~\eqref{eq:sinh_cosh}. 99 | 100 | % Gli sviluppi in serie si ottengono anch'essi sostituendo 101 | % gli sviluppi dell'esponenziale nella definizione. 102 | % Nel $\cosh$ i termini di grado dispari si cancellano, nel $\sinh$ si cancellano 103 | % i termini di grado pari. 104 | 105 | Per quanto riguarda la monotonia si osserva che se $x\ge 0$ ogni 106 | addendo delle due serie esposte nel punto 4 è strettamente crescente 107 | (in quanto i coefficienti sono tutti positivi) e dunque le somme delle serie, 108 | cioè la funzione $\cosh$ e la funzione $\sinh$ sono strettamente crescenti 109 | sull'intervallo $[0,+\infty)$. La funzione $\sinh$, essendo dispari, 110 | risulta inoltre crescente anche sull'intervallo $(-\infty,0]$ e quindi 111 | è crescente su tutto $\RR$. 112 | 113 | Per l'ultima proprietà basterà usare la definizione~\eqref{eq:sinh_cosh} 114 | e ricordare che (teorema~\ref{th:ordine_infinito}) 115 | se $x\to +\infty$ allora 116 | $e^x\to +\infty$ ed $e^{-x}=\frac{1}{e^{x}} \to 0$. 117 | \end{proof} 118 | 119 | Osserviamo che $\cosh 0 = 1$ e, per le proprietà di monotonia viste nel teorema 120 | precedente si ha $\cosh x \ge \cosh 0 = 1 > 0$. Dunque $\cosh x$ non si annulla 121 | mai e si può definire per ogni $x\in \RR$ la \emph{tangente iperbolica} 122 | \index{tangente!iperbolica}% 123 | \mymargin{$\tgh$}% 124 | \index{$\tgh$}% 125 | \[ 126 | \tgh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}. 127 | \] 128 | 129 | La funzione $\sinh\colon \RR\to\RR$ è iniettiva in quanto strettamente crescente ed 130 | è surgettiva in quanto è continua e quindi assume tutti i valori compresi tra 131 | $\lim_{x\to+\infty} \sinh(x) = +\infty$ e $\lim_{x\to -\infty} \sinh(x) = -\infty$. 132 | Dunque $\sinh\colon \RR \to \RR$ 133 | è invertibile e la funzione inversa si chiama \emph{settore di seno iperbolico} 134 | e si denota con 135 | \mymargin{$\settsinh$}% 136 | \index{$\settsinh$} 137 | \index{settore!di seno iperbolico} 138 | \[ 139 | \settsinh \colon \RR \to \RR. 140 | \] 141 | Analogamente la funzione ristretta $\cosh\colon [0,+\infty)\to [1,+\infty)$ è 142 | iniettiva in quanto strettamente crescente ed è surgettiva in quanto 143 | è continua e assume su $[0,+\infty)$ tutti i valori compresi tra $\cosh(0)=1$ e 144 | $\lim_{x\to +\infty} \cosh x = +\infty$. 145 | Dunque la funzione $\cosh x$ ristretta a $[0,+\infty)\to [1,+\infty)$ 146 | è invertibile e la funzione inversa si chiama \emph{settore di coseno iperbolico} 147 | \mymargin{$\settcosh$}% 148 | \index{$\settcosh$} 149 | \index{settore!di coseno iperbolico} 150 | \[ 151 | \settcosh \colon [1,+\infty)\to [0,+\infty). 152 | \] 153 | 154 | La funzione $\tgh x$ è strettamente crescente su tutto $\RR$ e assume tutti i valori strettamente compresi tra $-1$ e $1$. 155 | La funzione inversa si chiama $\setttgh$. 156 | 157 | \begin{exercise} 158 | Fissato $y\in \RR$ si risolva l'equazione 159 | \[ 160 | \frac{e^x - e^{-x}}{2} = y 161 | \] 162 | riconducendola ad una equazione di secondo grado nella variabile $t=e^x$. 163 | Si dimostri quindi che vale 164 | \[ 165 | \settsinh x = \ln\enclose{x + \sqrt{x^2 + 1}}. 166 | \] 167 | In modo analogo si dimostri che vale 168 | \[ 169 | \settcosh x = \ln\enclose{x + \sqrt{x^2 - 1}} 170 | \] 171 | e 172 | \[ 173 | \setttgh x = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}. 174 | \] 175 | \end{exercise} 176 | 177 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/05_integrali/11_studio.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{studio di funzioni integrali} 2 | 3 | \begin{theorem}[derivata di una funzione integrale] 4 | Sia $I\subset \RR$ un intervallo e $f\colon I \to \RR$ 5 | una funzione localmente Riemann-integrabile. 6 | Siano $a,b\colon A \to I$ funzioni definite 7 | su un insieme $A \subset \RR$. 8 | Allora è ben definita la funzione $F\colon A \to \RR$ 9 | \[ 10 | F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, dt. 11 | \] 12 | Se inoltre $f$ è continua e se $a,b$ sono derivabili 13 | allora anche $F$ è derivabile e si ha 14 | \[ 15 | F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x). 16 | \] 17 | \end{theorem} 18 | % 19 | \begin{proof} 20 | Per le ipotesi enunciate per ogni $x\in A$ risulta 21 | che $f$ è integrabile sull'intervallo $[a(x),b(x)]$ 22 | e dunque la funzione $F$ è ben definita. 23 | Fissato $x_0\in I$ 24 | possiamo considerare la funzione integrale 25 | \[ 26 | G(x) = \int_{x_0}^x f(t)\, dt 27 | \] 28 | e scrivere 29 | \[ 30 | F(x) 31 | = \Enclose{G(x)}_{a(x)}^{b(x)} 32 | = G(b(x)) - G(a(x)). 33 | \] 34 | Se $f$ è continua possiamo applicare il 35 | teorema fondamentale del calcolo integrale 36 | che garantisce che $G$ è derivabile e $G'(x) = f(x)$ 37 | per ogni $x\in I$. Dunque se anche $a$ e $b$ 38 | sono derivabili si ha, per la formula di derivazione 39 | della funzione composta: 40 | \[ 41 | F'(x) 42 | = G'(b(x)) \cdot b'(x) - G'(a(x)) \cdot a'(x) 43 | = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x). 44 | \] 45 | \end{proof} 46 | 47 | \begin{example} 48 | La funzione 49 | \[ 50 | F(x) = \int_{x^2}^{x^4} \frac{1}{\ln t}\, dt 51 | \] 52 | è definita per ogni $x\in \RR\setminus\ENCLOSE{0,1,-1}$ 53 | in quanto in tal caso l'intervallo 54 | $[x^2,x^4]$ è contenuto nell'insieme di definizione 55 | della funzione integranda. 56 | Si ha inoltre 57 | \[ 58 | F'(x) 59 | = \frac{4x^3}{\ln (x^4)} - \frac{2x}{\ln (x^2)} 60 | = \frac{x^3-x}{\ln \abs{x}}. 61 | \] 62 | \end{example} 63 | 64 | \begin{theorem}[integrale dell'$o$-piccolo] 65 | Sia $f(x)$ una funzione continua definita 66 | su un intervallo $[0,b]$ e tale che 67 | per $x\to 0^+$ si ha 68 | $f(x) = o(x^\alpha)$ per un qualche $\alpha\ge 0$. 69 | Allora posto 70 | \[ 71 | F(x) = \int_0^x f(t)\, dt 72 | \] 73 | risulta $F(x) = o(x^{\alpha+1})$. 74 | In modo più conciso si può dunque scrivere 75 | \[ 76 | \int_0^x o(t^\alpha)\, dt = o (x^{\alpha+1}), 77 | \qquad \text{per $x\to 0^+$} 78 | \] 79 | se la funzione integranda è continua. 80 | \end{theorem} 81 | % 82 | \begin{proof} 83 | Per il teorema della media integrale (teorema~\ref{th:media_integrale}) 84 | per ogni $x\in [0,b]$ deve esistere $c(x)\in[0,x]$ tale che 85 | \[ 86 | F(x) 87 | = \int_0^x f(t)\, dt 88 | = x \cdot f(c(x)). 89 | \] 90 | Dunque, essendo $0\le c(x)\le x$ si ha 91 | \[ 92 | \abs{\frac{F(x)}{x^{\alpha+1}}} 93 | = \abs{\frac{f(c(x))}{x^\alpha}} 94 | = \abs{\frac{f(c(x))}{c^\alpha(x)}} 95 | \cdot \abs{\frac{c(x)}{x}}^\alpha 96 | \le \abs{\frac{f(c(x))}{c^\alpha(x)}} \to 0 97 | \] 98 | visto che $f(x) = o(x^\alpha)$ 99 | e che per $x\to 0$ anche $c(x)\to 0$ 100 | si ha infatti 101 | \[ 102 | \lim_{x\to 0} \frac{f(c(x))}{c^\alpha(x)} = 0. 103 | \] 104 | \end{proof} 105 | 106 | \begin{example} 107 | Si voglia calcolare 108 | \[ 109 | \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^4}\int_{\sin^2 x}^{\sin x} \frac{2- t\sin t - 2 \cos t}{e^t - 1}\, dt. 110 | \] 111 | Chiamata $f(x)$ la funzione integranda non è difficile 112 | verificare, tramite le formule di Taylor, che risulta 113 | \[ 114 | f(x) 115 | = \frac{\frac{x^4}{12}-o(x^4)}{x+o(x)} 116 | = \frac{x^3}{12} + o(x^3), \qquad \text{per $x\to 0$}. 117 | \] 118 | In particolare la funzione $f$ può essere estesa per 119 | continuità ponendo $f(0)=0$. 120 | Si ha dunque, per il teorema precedente, 121 | \[ 122 | F(x) = \int_0^x f(t)\, dt 123 | = \int_0^x \enclose{\frac{t^3}{12}+o(t^3)}\, dt 124 | = \frac{x^4}{48} + o(x^4) 125 | \] 126 | da cui 127 | \begin{align*} 128 | \frac{1}{x^4} \int_{\sin^2 x}^{\sin x} 129 | f(t) \, dt 130 | &= \frac{F(\sin x) - F(\sin^2 x)}{x^4}\\ 131 | &= \frac{\frac{(\sin x)^4}{48} + o(\sin^4 x) - \frac{(\sin^2 x)^4}{48} + o(\sin^8 x)}{x^4} \\ 132 | &= \frac{\frac{x^4}{48} + o(x^4)}{x^4} \to \frac{1}{48}. 133 | \end{align*} 134 | \end{example} 135 | 136 | \begin{example} 137 | Si voglia calcolare 138 | \[ 139 | \lim_{x\to 0^+} \int_{x}^{2x} \frac{1}{t+\sin t}\, dt. 140 | \] 141 | Posto 142 | \[ 143 | f(x) = \frac{1}{x+\sin x} 144 | \] 145 | si ha 146 | \[ 147 | f(x) 148 | = \frac{1}{2x+o(x^2)} = \frac{1}{2x(1+o(x))} 149 | = \frac{1+o(x)}{2x} = \frac{1}{2x} + o(1). 150 | \] 151 | La funzione $f(x)-\frac 1{2x} = o(1)$ 152 | può essere estesa per continuità anche in $x=0$ 153 | e dunque possiamo applicare il teorema precedente 154 | per ottenere 155 | \begin{align*} 156 | \int_x^{2x} f(t)\, dt 157 | &= \int_x^{2x} \enclose{\frac 1 {2t} + o(1)}\, dt \\ 158 | &= \frac 1 2 \Enclose{\ln t}_x^{2x} + \Enclose{o(t)}_x^{2x} \\ 159 | &= \frac {\ln 2x - \ln x} 2 + o(2x) - o(x) 160 | = \frac {\ln 2} 2 + o(x) \to \frac{\ln 2}{2}. 161 | \end{align*} 162 | \end{example} 163 | 164 | \begin{theorem} 165 | Siano $a,b\colon J \to \RR$ due funzioni definite 166 | su un intervallo $J$ a valori in un intervallo $I$. 167 | Sia $x_0$ un punto di accumulazione di $J$ e sia $a$ un punto 168 | di accumulazione di $I$. Supponiamo inoltre 169 | che per $x\to x_0$ si abbia $a(x)\to a$, $b(x)\to a$. 170 | Siano $f,g\colon I \to \RR$ funzioni continue. 171 | Se $f(x)\sim g(x)$ per $x\to a$ allora si ha 172 | \[ 173 | \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, dt 174 | \sim \int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\, dt 175 | \qquad \text{per $x\to x_0$}. 176 | \] 177 | \end{theorem} 178 | % 179 | \begin{proof} 180 | Sia $F$ una primitiva di $f$ e $G$ una primitiva di $g$. 181 | Allora 182 | \[ 183 | \frac{\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\, dt}{\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\, dt} 184 | = \frac{F(b(x)) - F(a(x))}{G(b(x))-G(a(x))}. 185 | \] 186 | Applicando il teorema~\ref{th:cauchy} di Cauchy si ha 187 | \[ 188 | \frac{F(b(x)) - F(a(x))}{G(b(x))-G(a(x))} 189 | = \frac{F'(c(x))}{G'(c(x))} 190 | = \frac{f(c(x))}{g(c(x))} 191 | \] 192 | per un certo $c(x)$ compreso tra $a(x)$ e $b(x)$. 193 | Visto che $a(x)\to a$ e $b(x)\to a$ si avrà anche $c(x)\to a$ 194 | per $x\to x_0$. Essendo inoltre $f(x)\sim g(x)$ per $x\to a$ 195 | facendo un cambio di variabile nel limite possiamo dedurre che 196 | \[ 197 | \frac{f(c(x))}{g(c(x))} \to 1 \qquad \text{per $x\to x_0$}. 198 | \] 199 | \end{proof} 200 | 201 | \begin{example} 202 | Si voglia calcolare 203 | \[ 204 | \lim_{x\to 0 }\int_{x^2}^{3x^2} \frac{\tg t}{t^2}\, dt. 205 | \] 206 | Visto che per $x\to 0$ si ha 207 | \[ 208 | \frac{\tg x}{x^2} \sim \frac 1 x 209 | \] 210 | e visto che 211 | \[ 212 | \int_{x^2}^{3x^2}\frac{1}{t}\, dt 213 | = \ln(3x^2) - \ln(x^2) = \ln 3 214 | \] 215 | grazie al teorema precedente 216 | possiamo dedurre che il limite cercato è proprio $\ln 3$. 217 | \end{example} 218 | 219 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/05_integrali/08_sostituzioni.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{integrali che si riconducono a funzioni razionali} 2 | 3 | E' importante sapere che di qualunque funzione razionale è possibile 4 | scriverne la primitiva utilizzando i metodi della sezione precedente. 5 | Allo stesso modo è utile sapere che ci sono altre casistiche che si 6 | riconducono all'integrazione di una funzione razionale. 7 | 8 | \emph{Funzioni razionali in $e^x$.} 9 | Se la funzione integranda $f(x)$ si scrive nella forma 10 | \[ 11 | f(x) = R(e^{\lambda x}) 12 | \] 13 | con $R$ funzione razionale e $\lambda\neq 0$, 14 | allora si può risolvere l'integrale tramite la 15 | sostituzione $t = e^{\lambda x}$. Infatti si ha 16 | \[ 17 | \begin{cases} 18 | e^{\lambda x} = t\\ 19 | x = \frac{\ln t}{\lambda}\\ 20 | dx = \frac{1}{\lambda t}\, dt 21 | \end{cases} 22 | \] 23 | e la funzione integranda diventa una funzione razionale: 24 | \[ 25 | \int R(e^{\lambda x})\, dx = \Enclose{\int \frac{R(t)}{\lambda t}\, dt}_{t=e^{\lambda x}} 26 | \] 27 | 28 | \begin{example} 29 | Si voglia risolvere l'integrale 30 | \[ 31 | \int \frac{2\sqrt{e^x} + e^{2x}}{e^x-4}\, dx. 32 | \] 33 | \end{example} 34 | \begin{proof}[Soluzione.] 35 | Scriviamo la funzione integranda in funzione di $e^{\frac x 2}$: 36 | \[ 37 | \frac{2\sqrt{e^x} + e^{2x}}{e^x-4} 38 | =\frac{2e^{\frac x 2}+e^{4\frac x 2}}{e^{2\frac x 2}-4}. 39 | \] 40 | Facendo il cambio di variabile $t=e^{\frac x 2}$, $x=2\ln t$, $dx=\frac 2 t\, dt$ 41 | si ottiene una funzione razionale in $t$: 42 | \[ 43 | \int \frac{2\sqrt{e^x} + e^{2x}}{e^x-4}\, dx 44 | = \int \frac{2t + t^4}{t^2-4}\cdot \frac 2 t dt 45 | = 2\int \frac{2+t^3}{t^2-4}\, dt. 46 | \] 47 | Facendo la divisione tra i polinomi e la riduzione ai fratti semplici si ottiene 48 | \[ 49 | \int 2t\, dt + \int \frac{5}{t-2}\, dt + \int \frac{3}{t+2}\, dt 50 | = t^2 + 5\ln\abs{t-2} + 3\ln\abs{t+2} 51 | \] 52 | e quindi sostituendo $t=e^{\frac x 2}$ si ottiene il risultato 53 | \[ 54 | e^x + 5 \ln \abs{\sqrt{e^x}-2} + 3 \ln\enclose{\sqrt{e^x}+2}. 55 | \] 56 | \end{proof} 57 | 58 | \emph{Funzioni razionali in $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\sin x \cdot \cos x$.} 59 | Se la funzione integranda $f(x)$ si scrive nella forma 60 | \[ 61 | f(x) = R(\sin^2 x, \cos^2 x, \sin x \cdot \cos x) 62 | \] 63 | con $R$ funzione razionale (cioè rapporto di polinomi nelle tre variabili indicate) 64 | allora si può risolvere l'integrale 65 | tramite la sostituzione $t=\tg x$. Infatti 66 | osservando che risulta 67 | \[ 68 | 1 + \tg^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} 69 | \] 70 | da cui 71 | \begin{align*} 72 | \cos^2 x &= \frac{1}{1+\tg^2 x}\\ 73 | \sin^2 x &= \tg^2 x \cdot\cos^2 x\\ 74 | \sin x \cdot \cos x &= \tg x \cdot \cos^2 x 75 | \end{align*} 76 | ponendo $t = \tg x$ si ha: 77 | \begin{equation}\label{eq:466324} 78 | \begin{cases} 79 | \cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}\\ 80 | \sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}\\ 81 | \sin x \cdot \cos x = \frac{t}{1+t^2}\\ 82 | dx = \frac{1}{1+t^2}\, dt 83 | \end{cases} 84 | \end{equation} 85 | e la funzione integranda diventa una funzione razionale. 86 | 87 | \begin{example} 88 | \label{ex:35663} 89 | Si voglia calcolare 90 | \[ 91 | \int \frac{1}{\cos x \cdot ( \sin x + \cos x)}\, dx. 92 | \] 93 | \end{example} 94 | \begin{proof}[Soluzione.] 95 | La funzione integranda si può scrivere nella forma 96 | \[ 97 | \frac{1}{\sin x \cdot \cos x + \cos^2x}. 98 | \] 99 | Effettuando la sostituzione~\eqref{eq:466324} 100 | si ottiene 101 | \[ 102 | \int \frac{1}{\frac t {1+t^2} + \frac{1}{1+t^2}}\cdot \frac{1}{1+t^2}\, dt 103 | = \int \frac{1}{t+1}\, dt = \ln \abs{t+1} = \ln \abs{\tg x + 1}. 104 | \] 105 | \end{proof} 106 | 107 | \emph{Più in generale funzioni razionali di $\sin x$ e $\cos x$.} 108 | Se la funzione integranda $f(x)$ si scrive nella forma 109 | \[ 110 | f(x) = R(\sin x, \cos x) 111 | \] 112 | con $R$ funzione razionale, allora si può risolvere l'integrale 113 | tramite la sostituzione $t=\tg \frac{x}{2}$. Infatti con tale sostituzione si ha 114 | (usando le formule di bisezione e riconducendosi al caso precedente) 115 | \begin{equation}\label{eq:3675323} 116 | \begin{cases} 117 | \cos x = \cos^2 \frac x 2 - \sin^2 \frac x 2 = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ 118 | \sin x = 2 \sin \frac x 2 \cos \frac x 2 = \frac{2t}{1+t^2}\\ 119 | dx = \frac{2}{1+t^2}\, dt. 120 | \end{cases} 121 | \end{equation} 122 | Di nuovo con questa sostituzione la funzione integranda diventa razionale. 123 | 124 | \begin{remark} 125 | Si osservi che la sostituzione~\eqref{eq:3675323} potrebbe essere 126 | sempre utilizzata al posto della~\eqref{eq:466324} in quanto più generale. 127 | Ma, usualmente, se è possibile usare la sostituzione~\eqref{eq:466324} 128 | l'integrale risulta 129 | poi più semplice da calcolare. Si faccia la prova con l'integrale 130 | dell'esempio~\ref{ex:35663}! 131 | \end{remark} 132 | 133 | \begin{example} 134 | Si voglia calcolare 135 | \[ 136 | \int \frac{1}{\sin x}\, dx. 137 | \] 138 | \end{example} 139 | \begin{proof}[Soluzione.] 140 | Utilizzando la sostituzione~\eqref{eq:3675323} 141 | si ottiene 142 | \begin{align*} 143 | \int \frac{1}{\sin x}\, dx 144 | &= \int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}\, dt \\ 145 | &= \int \frac{1}{t}\, dt = \ln\abs t = \ln \abs{\tg \frac x 2}. 146 | \end{align*} 147 | \end{proof} 148 | 149 | \emph{Funzioni razionali con radicali.} 150 | Se la funzione $f(x)$ si scrive nella forma: 151 | \[ 152 | f(x) = R(\sqrt[n] x) 153 | \] 154 | con $R$ funzione razionale, allora si può risolvere l'integrale tramite 155 | la sostituzione $x = t^n$. Infatti con tale sostituzione si ha 156 | \begin{equation}\label{eq:4675821} 157 | \begin{cases} 158 | \sqrt[n] x = t\\ 159 | dx = n t^{n-1}\, dt. 160 | \end{cases} 161 | \end{equation} 162 | 163 | \begin{example} 164 | Si voglia calcolare 165 | \[ 166 | \int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt[2]{x} + \sqrt[3]{x}}\, dx. 167 | \] 168 | \end{example} 169 | \begin{proof}[Soluzione.] 170 | Si osservi che la funzione integranda può essere scritta 171 | come funzione razionale di $t=\sqrt[12]{x}$ (abbiamo scelto 172 | il minimo comune multiplo tra i radicandi in gioco: $12 = \mathit{mcm}\ENCLOSE{4,2,3}$) 173 | \[ 174 | \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} 175 | = \frac{\sqrt[12]{x^3}}{\sqrt[12]{x^6} + \sqrt[12]{x^4}}. 176 | \] 177 | Dunque utilizzando la sostituzione \eqref{eq:4675821} con $n=12$ si ha 178 | \begin{align*} 179 | \int \frac{t^3}{t^6 + t^4}\cdot 12 t^{11}\, dt 180 | &= 12 \int \frac{t^{14}}{t^6+t^4}\, dt 181 | = 12 \int \frac{t^{10}}{t^2+1}\, dt. 182 | \end{align*} 183 | Procedendo con la divisione tra polinomi si ottiene 184 | \begin{align*} 185 | \MoveEqLeft{12 \int \Enclose{t^8 - t^6 + t^4 - t^2 + 1 - \frac{1}{t^2+1}}\, dt} \\ 186 | &= 12 \Enclose{\frac{t^9}{9} - \frac{t^7}{7} + \frac{t^5}{t} - \frac{t^3}{3} + t - \arctg t} \\ 187 | &= \frac 4 3 \sqrt[4]{x^3} - \frac{12}{7}\sqrt[12]{x^7} 188 | + \frac{12}{5}\sqrt[12]{x^5} - 4 \sqrt[4]{x} + 12 \sqrt[12]{x} - 12 \arctg \sqrt[12]{x}. 189 | \end{align*} 190 | \end{proof} 191 | 192 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/08_edo/05_lineari.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{equazioni lineari di ordine $n$} 2 | \label{sec:edo_lineari} 3 | 4 | \index{equazione!differenziale!lineari di ordine $n$} 5 | \mymargin{equazioni lineari di ordine $n$} 6 | Le equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine $n$ in forma normale possono essere scritte nella forma: 7 | \begin{equation}\label{eq:edo_lineare_ordine_n} 8 | u^{(n)}(x) + a_{n-1}(x) \cdot u^{(n-1)}(x) + \dots + a_1(x) \cdot u'(x) + a_0(x) \cdot u(x) = b(x) 9 | \end{equation} 10 | con $a_k\colon A \to \RR$, $b\colon A\to \RR$ funzioni continue definite su uno stesso dominio $A\subset \RR$. 11 | Nel caso $b(x) = 0$ l'equazione si dice essere \emph{omogenea}% 12 | \mymargin{omogenea}\index{omogenea} 13 | e si può scrivere come: 14 | \begin{equation}\label{eq:edo_lineare_omogenea_ordine_n} 15 | u^{(n)}(x) + a_{n-1}(x) \cdot u^{(n-1)}(x) + \dots + a_1(x)\cdot u'(x) + a_0(x)\cdot u(x) = 0. 16 | \end{equation} 17 | In generale l'equazione \eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} 18 | viene chiamata \emph{equazione non omogenea} 19 | \mymargin{equazione non omogenea} 20 | \index{equazione!differenziale!non omogenea} 21 | e la corrispondente equazione~\eqref{eq:edo_lineare_omogenea_ordine_n} 22 | viene chiamata \emph{equazione omogenea associata}. 23 | \mymargin{equazione omogenea associata} 24 | \index{equazione!differenziale!omogenea associata} 25 | 26 | \begin{theorem}[struttura delle soluzioni di una equazione lineare]% 27 | \label{th:edo_lineare_ordine_n}% 28 | \mymark{***}% 29 | Siano $a_k\in C^0(I)$ con $I\subset \RR$ 30 | un intervallo aperto. 31 | 32 | \begin{enumerate} 33 | \item 34 | L'insieme $V$ delle soluzioni dell'equazione lineare omogenea~\eqref{eq:edo_lineare_omogenea_ordine_n} 35 | è un sottospazio vettoriale di $C^n(I)$ di dimensione $n$. 36 | Inoltre, fissato un punto qualunque $x_0\in I$ l'operatore $J\colon V \to \RR^n$ 37 | (chiamato \emph{jet}% 38 | \mymargin{jet}\index{jet}) definito da 39 | \begin{equation}\label{eq:jet} 40 | J[u] = (u(x_0), u'(x_0), u''(x_0), \dots, u^{(n-1)}(x_0)) 41 | \end{equation} 42 | è un operatore lineare bigettivo (cioè un isomorfismo di spazi vettoriali). 43 | 44 | \item 45 | L'insieme delle soluzioni dell'equazione non omogenea~\eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} 46 | è un sottospazio affine di $C^n(A)$ di dimensione $n$, 47 | parallelo al sottospazio delle soluzioni dell'equazione omogenea 48 | associata~\eqref{eq:edo_lineare_omogenea_ordine_n}. 49 | In particolare se $u_*$ è una soluzione particolare dell'equazione non 50 | omogenea~\eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} ogni altra soluzione $u$ di 51 | \eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} si scrive nella forma 52 | \[ 53 | u = u_* + v 54 | \] 55 | con $v$ soluzione dell'equazione omogenea associata. 56 | \end{enumerate} 57 | \end{theorem} 58 | % 59 | \begin{proof} 60 | \mymark{***} 61 | Innanzitutto il teorema~\ref{th:edo_esistenza_globale} di esistenza globale garantisce che 62 | le soluzioni delle equazioni~\eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} 63 | e~\eqref{eq:edo_lineare_omogenea_ordine_n} esistono e sono funzioni in $C^n(I)$. 64 | 65 | Possiamo riscrivere l'equazione~\eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} nella forma 66 | \[ 67 | L[u] = b 68 | \] 69 | (usiamo le parentesi quadre per delimitare l'argomento quando si tratta di una 70 | applicazione lineare) 71 | con 72 | \[ 73 | L[u] = u^{(n)} + \sum_{k=0}^{n-1} a_k u^{(k)} 74 | \] 75 | 76 | L'equazione omogenea~\eqref{eq:edo_lineare_omogenea_ordine_n} 77 | risulta quindi essere 78 | \[ 79 | L[u] = 0. 80 | \] 81 | Si osservi che $L\colon C^n(I) \to C^0(I)$ è un operatore lineare in quanto la 82 | somma, la derivata e la moltiplicazione per una funzione sono operatori lineari 83 | sullo spazio vettoriale delle funzioni. 84 | Dunque l'insieme $V$ delle soluzioni dell'equazione omogenea non è altro che 85 | $\ker L$ che notoriamente è uno spazio vettoriale visto che se $L[u]=0$ e $L[v]=0$ 86 | allora anche $L[\lambda u + \mu v] = \lambda L[u] + \mu L[v] = 0$. 87 | 88 | Possiamo ora determinare la dimensione di tale spazio, mettendo in 89 | corrispondenza le soluzioni dell'equazione con un loro dato iniziale, 90 | tramite l'applicazione $J[u]$ definita da~\eqref{eq:jet}. 91 | Chiaramente $J$ è lineare perché l'operatore derivata e la valutazione in un 92 | punto sono operatori lineari. Osserviamo che $J$ è suriettivo perché dato un 93 | qualunque $\vec y\in \RR^n$ per il teorema \ref{th:cauchy_lipschitz_ordine_n} 94 | di esistenza (globale) di soluzioni per il problema di Cauchy di ordine $n$ 95 | sappiamo esistere una soluzione $u\in V$ tale che $J[u]=\vec y$. Ma $J$ è anche 96 | iniettivo perché se $u,v\in V$ sono due soluzioni con $J[u]=J[v]$ significa 97 | che $u$ e $v$ verificano lo stesso problema di Cauchy. 98 | Per l'unicità della soluzione risulta quindi $u=v$. 99 | Abbiamo quindi mostrato che $J\colon V \to \RR^n$ è un isomorfismo di spazi 100 | vettoriali, quindi $\dim V=n$. 101 | 102 | Per quanto riguarda l'equazione non omogenea 103 | sia 104 | \[ 105 | W = \ENCLOSE{v\in C^n(A)\colon L[v] = b} 106 | \] 107 | l'insieme di tutte le soluzioni. 108 | Se consideriamo una soluzione particolare $v_0\in W$ e se $v\in W$ è una 109 | qualunque altra soluzione, si osserva che 110 | \[ 111 | L[v-v_0] = L[v] - L[v_0] = b-b = 0. 112 | \] 113 | Significa che $u=v-v_0$ è soluzione dell'equazione omogenea associata: 114 | $u\in V=\ker L$. 115 | Dunque ogni soluzione $v$ dell'equazione non omogenea si può scrivere nella 116 | forma $v = v_0 + u$ con $v_0$ soluzione particolare della non omogenea e 117 | $u$ soluzione generale dell'equazione omogenea associata ovvero 118 | \[ 119 | W = v_0 + V. 120 | \] 121 | \end{proof} 122 | 123 | \begin{theorem}[maggiore regolarità delle soluzioni]% 124 | \label{th:maggiore_regolarita}% 125 | Se $u(x)$ è una soluzione dell'equazione differenziale lineare~\eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} e se i coefficienti $a_1, \dots, a_{n-1}, b$ sono funzioni di classe $C^m$ per un certo $m\in \NN$ allora la soluzione è di classe $C^{m+n}$. In particolare se i coefficienti sono di classe $C^\infty$ le soluzioni sono anch'esse di classe $C^\infty$. 126 | \end{theorem} 127 | % 128 | \begin{proof} 129 | Se $u$ è soluzione di~\eqref{eq:edo_lineare_ordine_n} 130 | per definizione sappiamo che $u$ è derivabile $n$ volte nell'intervallo $I$ 131 | su cui è definita. 132 | Se scriviamo l'equazione in forma normale: 133 | \[ 134 | u^{(n)}(x) = b(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) u^{(k)}(x) 135 | \] 136 | essendo $a_k \in C^0$ sappiamo che $u^{(n)}$ è continua dunque $u$ è di classe $C^n$. 137 | Supponiamo ora che sia $u\in C^j$ per qualche $j\ge n$. 138 | I coefficienti dell'equazione sono di classe $C^m$ e vengono moltiplicati per le derivate di $u$ che sono almeno di classe $C^{j-n+1}$. 139 | Se $j-n+1 \le m$ allora il lato destro della precedente equazione è di classe $j-n+1$. 140 | Dunque $u^{(n)}\in C^{j-n+1}$ da cui $u\in C^{j+1}$. 141 | Un passo alla volta è quindi possibile incrementare la regolarità di $u\in C^j$ finché $j-n+1\le m$ cioè finché $j\le m+n-1$. A quel punto otteniamo $u\in C^{j+1} = C^{m+n}$. 142 | 143 | Se i coefficienti sono di classe $C^\infty$ il procedimento non termina mai 144 | e si ottiene dunque che anche $u$ è di classe $C^\infty$. 145 | \end{proof} 146 | 147 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/02_limiti/03_infiniti.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{ordini di infinito, equivalenza asintotica} 2 | %%%%% 3 | %%%%% 4 | 5 | \begin{definition}[ordine di infinito/infinitesimo]% 6 | \label{def:ordine_infinito}% 7 | \mymark{***}% 8 | \mymargin{ordine di infinito/infinitesimo}% 9 | \index{ordine di infinito/infinitesimo}% 10 | \index{ordine!di infinito}% 11 | \index{infinito}% 12 | \index{infinitesimo}% 13 | Sia $A\subset \RR$, $f,g\colon A \to (0,+\infty)$. 14 | Sia $x_0\in \bar \RR$ un punto di accumulazione di $A$. 15 | \begin{enumerate} 16 | \item 17 | Diremo che 18 | per $x\to x_0$ la funzione $f$ è \emph{molto più piccola} 19 | della funzione $g$ e scriveremo $f(x) \ll g(x)$ se vale 20 | \mymargin{$\ll$}% 21 | \index{$\ll$} 22 | \[ 23 | \frac{f(x)}{g(x)} \to 0, \qquad \text{per $x\to x_0$} 24 | \] 25 | diremo invece che $f$ è \emph{molto più grande} 26 | di $g$ e scriveremo $f(x) \gg g(x)$ se 27 | \mymargin{$\gg$}% 28 | \index{$\gg$} 29 | \[ 30 | \frac{f(x)}{g(x)} \to +\infty, \qquad \text{per $x\to x_0$.} 31 | \] 32 | \item 33 | Diremo infine che $f$ e $g$ 34 | sono \emph{asintoticamente equivalenti}% 35 | \mymargin{equivalenza asintotica}% 36 | \index{asintoticamente equivalenti} 37 | \mymargin{equivalenza asintotica}% 38 | \index{equivalenza!asintotica}% 39 | per $x\to x_0$ 40 | e scriveremo $f(x) \sim g(x)$ se 41 | \mymargin{$\sim$}% 42 | \index{$\sim$} 43 | \[ 44 | \frac{f(x)}{g(x)} \to 1, \qquad \text{per $x\to x_0.$} 45 | \] 46 | \end{enumerate} 47 | \end{definition} 48 | 49 | Ad esempio è facile verificare che se $\alpha > \beta > 0$ 50 | allora $x^\alpha \gg x^\beta$ per $x\to +\infty$ 51 | mentre $x^\alpha \ll x^\beta$ per $x\to 0^+$. 52 | Analogamente se $a>b>1$ allora $a^x\gg b^x$ per $x\to +\infty$ 53 | mentre $a^x \ll b^x$ per $x\to -\infty$. 54 | 55 | E' molto facile verificare che le relazioni 56 | $\ll$ e $\gg$ sono una l'inversa dell'altra 57 | e soddisfano la proprietà transitiva 58 | mentre la relazione $\sim$ soddisfa la proprietà simmetrica 59 | e la proprietà transitiva. 60 | 61 | \begin{theorem}[ordini di infinito] 62 | \label{th:ordine_infinito}% 63 | \mymargin{ordini di infinito}% 64 | \index{ordini di infinito}% 65 | \mymark{***}% 66 | Siano $a>1$ e $\alpha>0$. Per $n\to +\infty$, $n\in\NN$ 67 | si ha 68 | \[ 69 | n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n 70 | \] 71 | e per $x\to +\infty$, $x\in \RR$ si ha 72 | \[ 73 | \log_a x \ll x^\alpha \ll a^x. 74 | \] 75 | \end{theorem} 76 | % 77 | \begin{proof} 78 | \mymark{**} 79 | Cominciamo col mostrare che $a^n \ll n!$ 80 | applicando il criterio del rapporto alla successione $\frac{a^n}{n!}$: 81 | \[ 82 | \frac{\displaystyle \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle \frac{a^n}{n!}} 83 | = \frac{a^{n+1}}{a^n}\cdot \frac{n!}{(n+1)!} 84 | = a \cdot \frac {1}{n + 1} \to 0 < 1. 85 | \] 86 | Dunque si ha, come richiesto, $a^n / n! \to 0$. 87 | Si procede in modo analogo per mostrare che $n! \ll n^n$: 88 | \begin{align*} 89 | \frac{(n+1)!}{n!}\cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} 90 | &= (n+1) \cdot \enclose{\frac{n}{n+1}}^n \frac {1}{n+1}\\ 91 | &= \frac{1}{\enclose{1+\frac 1 n}^n} \to \frac 1 e < 1. 92 | \end{align*} 93 | 94 | Per dimostrare che 95 | $n^\alpha \ll a^n$ 96 | si può procedere con il criterio del rapporto, come nei casi precedenti: 97 | \[ 98 | \frac{(n+1)^\alpha}{n^\alpha}\cdot \frac{a^n}{a^{n+1}} 99 | = \frac 1 a \cdot \enclose{\frac{n+1}{n}}^\alpha \to \frac 1 a \cdot 1^\alpha = \frac 1 a < 1 100 | \] 101 | da cui $n^\alpha / a^n \to 0$. 102 | 103 | Per $x\in \RR$, 104 | cerchiamo di ricondurci ad una successione a valori interi. 105 | Osserviamo che si ha 106 | \[ 107 | \lfloor x \rfloor 108 | \le x 109 | \le \lfloor x \rfloor + 1 110 | \] 111 | da cui, per monotonia, 112 | \[ 113 | \lfloor x \rfloor^\alpha 114 | \le x^\alpha 115 | \le (\lfloor x \rfloor + 1)^\alpha 116 | = \lfloor x \rfloor^\alpha \enclose{1+ \frac{1}{\lfloor x \rfloor}}^\alpha 117 | \] 118 | e 119 | \[ 120 | a^{\lfloor x \rfloor} 121 | \le a^{x} 122 | \le a^{\lfloor x \rfloor + 1} 123 | = a \cdot a^{\lfloor x \rfloor}. 124 | \] 125 | Dunque 126 | \[ 127 | \frac{\lfloor x \rfloor^\alpha}{a \cdot a^{\lfloor x \rfloor}} 128 | \le \frac{x^\alpha}{a^{x}} 129 | \le \frac{\lfloor x \rfloor^\alpha \enclose{1+ \frac{1}{\lfloor x \rfloor}}^\alpha} 130 | {a^{\lfloor x \rfloor}}. 131 | \] 132 | Ma ora, se $x\to +\infty$ sapendo che $n = \lfloor x\rfloor \to +\infty$ 133 | possiamo effettuare un cambio di variabile nel limite 134 | \[ 135 | \lim_{x\to +\infty} \frac{\lfloor x \rfloor^\alpha}{a^{\lfloor x \rfloor}} 136 | = \lim_{n\to+\infty} \frac{n^\alpha}{a^n} = 0 137 | \] 138 | da cui segue che $\frac{x^\alpha}{a^{x}}\to 0$. 139 | 140 | Per dimostrare l'ultima relazione, $\log_a x\ll x^\alpha$, 141 | operiamo il cambio di variabile $y = \alpha \cdot \log_a x$ 142 | cosicché $a^y = x^\alpha$. 143 | Notiamo che se $x\to +\infty$ 144 | anche $y \to +\infty$. 145 | Dunque, per le proprietà precedenti, 146 | sappiamo che $y \ll a^y$ e dunque 147 | \[ 148 | \frac{\log_a x}{x^\alpha} 149 | = \frac{1}{\alpha}\cdot\frac{y}{a^{y}} \to 0. 150 | \] 151 | \end{proof} 152 | 153 | Le notazioni e gli 154 | ordini di infinito individuati nel teorema precedente 155 | sono strumenti molto utili nel calcolo dei limiti. 156 | 157 | L'equivalenza asintotica 158 | si mantiene per prodotto e rapporto: 159 | se $f\sim F$ e $g\sim G$ allora 160 | \[ 161 | f \cdot g \sim F \cdot G, 162 | \qquad 163 | \frac{f}{g} \sim \frac{F}{G}. 164 | \] 165 | Osserviamo inoltre che se 166 | $f \sim g$ e se $f\to \ell$ allora 167 | anche $g\to \ell$. 168 | Se poi $\ell\in(0,+\infty)$ 169 | la relazione $f\sim \ell$ è equivalente ad $f\to \ell$. 170 | 171 | Per quanto riguarda la somma 172 | è facile verificare che se $f\ll g$ allora 173 | $(f+g) \sim g$ in quanto 174 | \[ 175 | \frac{f + g}{g} = \frac{f}{g} + 1 \to 1. 176 | \] 177 | 178 | In un limite in cui compaiono somme di termini 179 | di ordini diversi potremo allora raccogliere i termini di ordine 180 | massimo per individuare il limite, come facciamo 181 | nel seguente. 182 | 183 | \begin{example} 184 | Calcolare il limite 185 | \[ 186 | \lim_{n\to+\infty} 187 | \frac{2n^4 + 3^n - 3 \ln n}{n! - 3\sqrt n}. 188 | \] 189 | \end{example} 190 | \begin{proof}[Svolgimento.] 191 | Si ha 192 | \[ 193 | \frac{2n^4 + 3^n - 3 \ln n}{n! - 3\sqrt{n}} 194 | = \frac 195 | {3^n \cdot \enclose{2\frac{n^4}{3^n}+ 1 - 3\frac{\ln n}{3^n}}} 196 | {n!\cdot \enclose{1-3\frac{\sqrt n}{n!}}} 197 | \] 198 | e ricordando che risulta (teorema~\ref{th:ordine_infinito}) 199 | \[ 200 | n^4 \ll 3^n, \qquad 201 | \ln n \ll 3^n, \qquad 202 | \sqrt n \ll n!, \qquad 203 | 3^n \ll n! 204 | \] 205 | avremo 206 | \[ 207 | \frac{2n^4 + 3^n - 3 \ln n}{n! - 3\sqrt{n}} 208 | \sim \frac{3^n}{n!} \to 0. 209 | \] 210 | \end{proof} 211 | 212 | 213 | \begin{exercise} 214 | Calcolare i seguenti limiti 215 | \begin{gather*} 216 | \lim_{n\to +\infty} \frac{\displaystyle \ln\sqrt{n^2+n^n}} 217 | {\displaystyle e^{1 + \ln n}\cdot \ln(n^2-n\sqrt n)}, \qquad 218 | \lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{n! + 2^n}}{3^n}, \\ 219 | \lim_{n\to +\infty} \frac{\sqrt{(2n)!}}{n^n}, \qquad 220 | \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{e^n + \sqrt{10^n}}. 221 | \end{gather*} 222 | \end{exercise} 223 | 224 | \begin{exercise} 225 | Dimostrare che $\sqrt[n]{n}\to 1$ per $n\to +\infty$. 226 | \end{exercise} 227 | 228 | 229 | 230 | %%%%%%%%%%% 231 | %%%%%%%%%%% 232 | -------------------------------------------------------------------------------- /mykaobook.cls: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 | % kaobook 3 | % LaTeX Class 4 | % Version 0.9.6 (2021/03/23) 5 | % 6 | % This template originates from: 7 | % https://www.LaTeXTemplates.com 8 | % 9 | % For the latest template development version and to make contributions: 10 | % https://github.com/fmarotta/kaobook 11 | % 12 | % Authors: 13 | % Federico Marotta (federicomarotta@mail.com) 14 | % Based on the doctoral thesis of Ken Arroyo Ohori (https://3d.bk.tudelft.nl/ken/en) 15 | % and on the Tufte-LaTeX class. 16 | % Modified for LaTeX Templates by Vel (vel@latextemplates.com) 17 | % 18 | % License: 19 | % LPPL (see included MANIFEST.md file) 20 | % 21 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 22 | 23 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 24 | % CLASS CONFIGURATION 25 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 26 | 27 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 28 | \ProvidesClass{mykaobook}[2021/03/23 v0.9.6 kaobook] 29 | \newcommand{\@baseclass}{scrbook} % Base class name 30 | 31 | \RequirePackage{kvoptions} % Manage class key-value options 32 | 33 | \SetupKeyvalOptions{ 34 | family = kao, 35 | prefix = kao@ 36 | } 37 | 38 | % Set the default options 39 | \PassOptionsToClass{a4paper}{\@baseclass} 40 | \PassOptionsToClass{fontsize=10pt}{\@baseclass} 41 | \PassOptionsToClass{parskip=half}{\@baseclass} 42 | \PassOptionsToClass{headings=optiontoheadandtoc}{\@baseclass} 43 | 44 | % Define kao-specific options 45 | \DeclareStringOption[1]{secnumdepth} 46 | \DeclareStringOption[1]{pagewidth} 47 | \DeclareStringOption[1]{pageheight} 48 | 49 | % Pass through any other options to the base class 50 | \DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{\@baseclass}} 51 | 52 | \ProcessKeyvalOptions* 53 | \ProcessOptions\relax % Process the options 54 | 55 | \LoadClass{\@baseclass} % Load the base class 56 | \RequirePackage{mykao} % Load the code common to all classes 57 | 58 | \renewcommand{\autodot}{} % rimuovi i punti dopo le numerazioni delle sezioni etc... 59 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 60 | % FRONT-, MAIN-, BACK- MATTERS BEHAVIOUR 61 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 62 | 63 | % Front matter 64 | \let\oldfrontmatter\frontmatter % Store the old command 65 | \renewcommand{\frontmatter}{% 66 | \oldfrontmatter% First of all, call the old command 67 | \pagestyle{plain.scrheadings}% Use a plain style for the header and the footer 68 | \pagelayout{wide}% Use a wide page layout 69 | \setchapterstyle{plain} % Choose the default chapter heading style 70 | % \sloppy % Required to better break long lines 71 | } 72 | 73 | %------------------------------------------------ 74 | 75 | % Main matter 76 | \let\oldmainmatter\mainmatter % Store the old command 77 | \renewcommand{\mainmatter}{% 78 | % Add a blank page before the main matter if the front matter has an 79 | % odd number of pages 80 | \Ifthispageodd{% 81 | \afterpage{\blankpage}% 82 | }{}% 83 | \oldmainmatter% Call the old command 84 | \pagestyle{scrheadings}% Use a fancy style for the header and the footer 85 | \pagelayout{margin}% Use a 1.5 column layout 86 | \setchapterstyle{kao} % Choose the default chapter heading style 87 | } 88 | 89 | %------------------------------------------------ 90 | 91 | % Appendix 92 | \let\oldappendix\appendix% Store the old command 93 | \renewcommand{\appendix}{% 94 | \oldappendix% Call the old command 95 | \bookmarksetup{startatroot}% Reset the bookmark depth 96 | } 97 | 98 | %------------------------------------------------ 99 | 100 | % Back matter 101 | \let\oldbackmatter\backmatter% Store the old command 102 | \renewcommand{\backmatter}{% 103 | \oldbackmatter% Call the old command 104 | \bookmarksetup{startatroot}% Reset the bookmark depth 105 | \pagestyle{plain.scrheadings}% Use a plain style for the header and the footer 106 | \pagelayout{wide}% Use a wide page layout 107 | \setchapterstyle{kao} % Choose the default chapter heading style 108 | } 109 | 110 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 111 | % CHAPTER HEADING STYLES 112 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 113 | 114 | \DeclareDocumentCommand{\setchapterstyle}{m}{% 115 | \ifthenelse{\equal{plain}{#1}}{\chapterstyleplain}{} 116 | \ifthenelse{\equal{lines}{#1}}{\chapterstylelines}{} 117 | \ifthenelse{\equal{kao}{#1}}{\chapterstylekao}{} 118 | } 119 | 120 | % The default definition in KOMA script 121 | \DeclareDocumentCommand{\chapterstyleplain}{}{% 122 | \renewcommand{\chapterlinesformat}[3]{% 123 | \@hangfrom{##2}{##3}} 124 | \renewcommand*{\chapterformat}{% 125 | \mbox{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}\thechapter% 126 | \autodot\IfUsePrefixLine{}{\enskip}}} 127 | 128 | \RedeclareSectionCommand[beforeskip=0cm,afterskip=10\vscale]{chapter} 129 | \setlength{\mtocshift}{-1\vscale} 130 | } 131 | 132 | 133 | % The Kao style 134 | \DeclareDocumentCommand{\chapterstylekao}{}{% 135 | \renewcommand*{\chapterformat}{% 136 | \mbox{\chapappifchapterprefix{\nobreakspace}\scalebox{2.85}{\thechapter%\autodot 137 | }}% 138 | }% 139 | \renewcommand\chapterlinesformat[3]{% 140 | \vspace{3.5\vscale}% 141 | \smash{\makebox[0pt][l]{% 142 | \parbox[b]{\textwidth}{\flushright{##3}}% 143 | \makebox[\marginparsep][c]{\rule[-2\vscale]{0pt}{1.4\vscale+\f@size mm}}% 144 | \parbox[b]{\marginparwidth}{##2}% 145 | }}% 146 | }% 147 | \RedeclareSectionCommand[beforeskip=0cm,afterskip=10\vscale]{chapter}% 148 | \setlength{\mtocshift}{-3\vscale}% 149 | } 150 | 151 | 152 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 153 | % FONTS AND STYLES 154 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 155 | 156 | % Set KOMA fonts for book-specific elements 157 | \addtokomafont{part}{\normalfont\scshape\bfseries} 158 | \addtokomafont{partentry}{\normalfont\scshape\bfseries} 159 | \addtokomafont{chapter}{\normalfont\bfseries} 160 | \addtokomafont{chapterentry}{\normalfont\bfseries} 161 | 162 | % Set KOMA fonts for elements common to all classes 163 | \addtokomafont{section}{\normalfont\bfseries} 164 | \addtokomafont{subsection}{\normalfont\bfseries} 165 | \addtokomafont{subsubsection}{\normalfont\bfseries} 166 | \addtokomafont{paragraph}{\normalfont\bfseries} 167 | \setkomafont{descriptionlabel}{\normalfont\bfseries} 168 | 169 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 170 | % TOC, LOF & LOT 171 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 172 | 173 | \PassOptionsToClass{toc=listof}{\@baseclass} 174 | \PassOptionsToClass{toc=index}{\@baseclass} 175 | \PassOptionsToClass{toc=bibliography}{\@baseclass} 176 | 177 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 178 | % NUMBERING 179 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 180 | 181 | \setcounter{secnumdepth}{\kao@secnumdepth} % Set section numbering depth 182 | 183 | \counterwithin*{sidenote}{chapter} % Uncomment to reset the sidenote counter at each chapter 184 | %\counterwithout{sidenote}{chapter} % Uncomment to have one sidenote counter for the whole document 185 | -------------------------------------------------------------------------------- /AnalisiUno.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Load the kaobook class 2 | \documentclass[ 3 | fontsize=10pt, % Base font size 4 | twoside=true, % Use different layouts for even and odd pages (in particular, if twoside=true, the margin column will be always on the outside) 5 | pagewidth=8.5in, % 21.59 cm 6 | pageheight=11.0in, % 27.94 cm §(US letter) 7 | %open=any, % If twoside=true, uncomment this to force new chapters to start on any page, not only on right (odd) pages 8 | %secnumdepth=1, % How deep to number headings. Defaults to 1 (sections) 9 | numbers=noenddots, % non sembra essere utile, ridefinito \autodot in mykaobook.cls 10 | ]{mykaobook} 11 | % Choose the language 12 | \usepackage[italian]{babel} % Load characters and hyphenation 13 | %\usepackage[english=british]{csquotes} % English quotes 14 | 15 | % Load packages for testing 16 | \usepackage{blindtext} 17 | %\usepackage{showframe} % Uncomment to show boxes around the text area, margin, header and footer 18 | %\usepackage{showlabels} % Uncomment to output the content of \label commands to the document where they are used 19 | 20 | \let\openbox\relax %% avoid clash between amsthm and kaobook 21 | \usepackage{amsmath,amsthm,thmtools} 22 | \usepackage{mathtools} % MoveEqLeft 23 | \usepackage{comment} 24 | \usepackage{qrcode} 25 | \usepackage[type={CC},modifier={by-nc-sa},version={4.0},lang={en}]{doclicense} 26 | \usepackage{eucal} 27 | \usepackage{tcolorbox} 28 | %\usepackage{textpos} %% for textblock environment 29 | %\usepackage{mparhack} % fix margin notes (otherwise sometime they go to wrong margin!) 30 | \usepackage{marginfix} % 31 | \usepackage{caption,subcaption} 32 | \usepackage{tikz} 33 | \usepackage{pgfplots} % per disegnare i grafici di funzione 34 | \usetikzlibrary{cd,calc,backgrounds} % commutative diagrams 35 | \usepackage{cite} 36 | \usepackage{csquotes} 37 | \allowdisplaybreaks % break displayed equations if needed 38 | 39 | %\renewcommand{\footnote}[1]{*\marginnote{* #1}} 40 | 41 | %\usepackage{showkeys} % print labels 42 | 43 | \input{AnalisiUno-custom.tex} 44 | \widemargintrue 45 | 46 | \graphicspath{{figures/}} 47 | 48 | \makeindex[columns=3, title=Indice analitico, intoc] % Make LaTeX produce the files required to compile the index 49 | 50 | %% per compilare un solo capitolo scommenta 51 | %% una delle righe seguenti: 52 | %\includeonly{chapters/00_introduzione} 53 | %\includeonly{chapters/01_fondamenti} 54 | %\includeonly{chapters/02_limiti} 55 | %\includeonly{chapters/03_serie} 56 | 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%---------------------------------------------------------------------------------------- 82 | % COPYRIGHT PAGE 83 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 84 | 85 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 86 | % OUTPUT TITLE PAGE AND PREVIOUS 87 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 88 | 89 | % Note that \maketitle outputs the pages before here 90 | \maketitle 91 | 92 | \thispagestyle{empty} 93 | \mbox{} 94 | \vfill 95 | \doclicenseThis 96 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 97 | % PREFACE 98 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 99 | 100 | \pagelayout{margin} % Restore margins 101 | \setchapterstyle{kao} % Choose the default chapter heading style 102 | 103 | \include{chapters/00_introduzione} 104 | 105 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 106 | % TABLE OF CONTENTS & LIST OF FIGURES/TABLES 107 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 108 | 109 | \begingroup % Local scope for the following commands 110 | 111 | \setlength{\textheight}{230\vscale} % Manually adjust the height of the ToC pages 112 | 113 | % Turn on compatibility mode for the etoc package 114 | \etocstandarddisplaystyle % "toc display" as if etoc was not loaded 115 | \etocstandardlines % "toc lines as if etoc was not loaded 116 | 117 | \tableofcontents % Output the table of contents 118 | 119 | 120 | \endgroup 121 | 122 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 123 | % MAIN BODY 124 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 125 | 126 | \mainmatter % Denotes the start of the main document content, resets page numbering and uses arabic numbers 127 | \setchapterstyle{kao} % Choose the default chapter heading style 128 | 129 | \include{chapters/01_fondamenti} 130 | \include{chapters/02_limiti} 131 | \include{chapters/03_serie} 132 | \include{chapters/04_derivate} 133 | \include{chapters/05_integrali} 134 | \include{chapters/06_spazi} 135 | \include{chapters/07_ricorrenza} 136 | \include{chapters/08_edo} 137 | 138 | \appendix % From here onwards, chapters are numbered with letters, as is the appendix convention 139 | 140 | \pagelayout{margin} % Restore margins 141 | 142 | \include{chapters/99_appendix} 143 | 144 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 145 | 146 | \backmatter % Denotes the end of the main document content 147 | 148 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 149 | % BIBLIOGRAPHY 150 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 151 | 152 | \nocite{Giusti} 153 | \nocite{Courant} 154 | \nocite{Marcellini} 155 | \nocite{Rudin} 156 | \nocite{PaganiSalsa} 157 | 158 | % The bibliography needs to be compiled with biber using your LaTeX editor, or on the command line with 'biber main' from the template directory 159 | 160 | % \defbibnote{bibnote}{Here are the references in citation order.\par\bigskip} % Prepend this text to the bibliography 161 | % \printbibliography[heading=bibintoc, title=Bibliography, prenote=bibnote] % Add the bibliography heading to the ToC, set the title of the bibliography and output the bibliography note 162 | 163 | \pagelayout{margin} % Restore margins 164 | 165 | \bibliography{biblio}{} 166 | \bibliographystyle{plain} 167 | 168 | \pagelayout{wide} % No margins 169 | 170 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 171 | % INDEX 172 | %---------------------------------------------------------------------------------------- 173 | 174 | % The index needs to 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induce 17 | su $X$ una struttura di spazio metrico. Se $X$ non è un sottospazio vettoriale di $\RR^n$ abbiamo quindi esempi di spazi metrici che non sono spazi normati. Ad esempio 18 | la \emph{sfera $n$-dimensionale}% 19 | \mymargin{sfera $n$-dimensionale}% 20 | \index{sfera} 21 | \[ 22 | \mathbb S^n = \ENCLOSE{\vec x \in \RR^{n+1}\colon \abs{\vec x} = 1} 23 | \] 24 | è uno spazio metrico con la distanza indotta da $\RR^n$. 25 | 26 | Per $n=1$ si osserva che $\mathbb S^1$ è la circonferenza unitaria nel piano, 27 | per $n=2$ si ottiene l'usuale sfera unitaria immersa nello spazio tridimensionale. 28 | \end{example} 29 | 30 | \begin{definition}[palla]% 31 | \label{def:palla}% 32 | \mymark{*}% 33 | Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. 34 | Per ogni $r>0$ e per ogni $x_0\in X$ 35 | definiamo la \emph{palla}% 36 | \mymargin{palla}% 37 | \index{palla} di raggio $r$ centrata in 38 | $x_0$ come l'insieme 39 | \[ 40 | B_r(x_0) = \ENCLOSE{x\in X \colon d(x,x_0) < r}. 41 | \] 42 | \end{definition} 43 | 44 | \begin{figure} 45 | \centering 46 | \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm] 47 | \draw[white] (2,-2) -- (2,2) -- (-2,2) -- (-2,-2) -- (2,-2); 48 | \fill[black!50] (0,0) circle (1); 49 | \draw[thick] (0,1) arc (90:270:1); 50 | \foreach \x in {0.5,0.75,0.88,0.97,1.0} 51 | \fill (\x,1) circle (0.5pt); 52 | \draw (0,0) node {$A$}; 53 | \end{tikzpicture} 54 | \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm] 55 | \draw[white] (2,-2) -- (2,2) -- (-2,2) -- (-2,-2) -- (2,-2); 56 | \fill[black!50] (0,0) circle (1); 57 | \draw (0,0) node {$\stackrel \circ A$}; 58 | \end{tikzpicture} 59 | \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm] 60 | \fill[black!50] (2,-2) -- (2,2) -- (-2,2) -- (-2,-2) -- (2,-2); 61 | \foreach \x in {0.5,0.75,0.88,0.97,1.0} 62 | \fill[white] (\x,1) circle (0.5pt); 63 | \fill[white] (0,0) circle (1); 64 | \draw (0,1.5) node {parte esterna di $A$}; 65 | \end{tikzpicture} 66 | \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm] 67 | \draw[white] (2,-2) -- (2,2) -- (-2,2) -- (-2,-2) -- (2,-2); 68 | \foreach \x in {0.5,0.75,0.88,0.97,1.0} 69 | \fill (\x,1) circle (0.5pt); 70 | \draw[thick] (1,0) arc (0:360:1); 71 | \draw (0,0) node {$\partial A$}; 72 | \end{tikzpicture} 73 | \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm] 74 | \draw[white] (2,-2) -- (2,2) -- (-2,2) -- (-2,-2) -- (2,-2); 75 | \foreach \x in {0.5,0.75,0.88,0.97,1.0} 76 | \fill (\x,1) circle (0.5pt); 77 | \fill[black!50] (0,0) circle (1); 78 | \draw[thick] (1,0) arc (0:360:1); 79 | \draw (0,0) node {$\bar A$}; 80 | \end{tikzpicture} 81 | \begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm] 82 | \draw[white] (2,-2) -- (2,2) -- (-2,2) -- (-2,-2) -- (2,-2); 83 | \fill (1,1) circle (0.5pt); 84 | \fill[black!50] (0,0) circle (1); 85 | \draw[thick] (1,0) arc (0:360:1); 86 | \draw (0,0) node {$A'$}; 87 | \end{tikzpicture} 88 | \caption{Un insieme $A$ 89 | e la sua parte interna $\stackrel \circ A$, 90 | parte esterna, frontiera $\partial A$, chiusura $\bar A$ e punti di 91 | accumulazione $A'$.} 92 | \label{fig:} 93 | \end{figure} 94 | 95 | 96 | \begin{definition}[relazioni e proprietà topologiche]% 97 | \mymark{*}% 98 | \label{def:466342}% 99 | Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. 100 | Un insieme $A\subset X$ si dirà essere un insieme 101 | \emph{aperto}% 102 | \mymargin{aperto}% 103 | \index{aperto} in $X$ se per ogni $x\in A$ esiste $r>0$ 104 | tale che $B_r(x) \subset A$. 105 | Un insieme $A\subset X$ si dirà essere un insieme 106 | \emph{chiuso}% 107 | \mymargin{chiuso}% 108 | \index{chiuso} in $X$ se il suo complementare $X\setminus A$ è aperto. 109 | 110 | La famiglia di tutti gli insiemi aperti si chiama \emph{topologia}% 111 | \mymargin{topologia}% 112 | \index{topologia} dello spazio metrico $X$. 113 | Tutte le definizioni che seguono non dipendono dalla distanza $d$ ma solamente dalla topologia: 114 | basterà usare aperti qualunque al posto delle palle $B_r(x)$. 115 | 116 | Se $A\subset X$ è un insieme qualunque 117 | $x\in X$ è un punto qualunque diremo che: 118 | \begin{enumerate} 119 | \item 120 | $x$ è \emph{punto interno}% 121 | \mymargin{punto interno}% 122 | \index{punto!interno} ad $A$ se esiste $r>0$ tale che $B_r(x) \subset A$; 123 | chiameremo 124 | \emph{parte interna}% 125 | \mymargin{parte interna}% 126 | \index{parte!interna} 127 | di $A$ l'insieme dei punti interni di $A$ 128 | e la denoteremo con $\stackrel\circ A$; 129 | \item 130 | $A$ è un \emph{intorno}% 131 | \mymargin{intorno}% 132 | \index{intorno} di $x$ se $x$ è punto interno ad $A$ 133 | ovvero esiste $r>0$ tale che $B_r(x)\subset A$; 134 | \item 135 | $x$ è \emph{punto esterno}% 136 | \mymargin{punto esterno}% 137 | \index{punto!esterno} ad $A$ se è interno al complementare di $A$ ovvero esiste $r>0$ tale che $B_r(x) \cap A = \emptyset$; 138 | chiameremo \emph{parte esterna}% 139 | \mymargin{parte esterna}% 140 | \index{parte!esterna} di $A$ l'insieme dei punti esterni ad $A$; 141 | \item 142 | $x$ è \emph{punto di frontiera}% 143 | \mymargin{punto di frontiera}% 144 | \index{punto!di frontiera} per $A$ se non è né interno né esterno ad $A$ ovvero per ogni $r>0$ l'insieme $B_r(x)$ contiene punti di $A$ e di $X\setminus A$; 145 | chiameremo \emph{frontiera}% 146 | \mymargin{frontiera}% 147 | \index{frontiera} (o bordo) di $A$ l'insieme dei punti di frontiera che denoteremo con $\partial A$. 148 | \item 149 | $x$ è \emph{punto di aderenza}% 150 | \mymargin{punto di aderenza}% 151 | \index{punto!di aderenza} di $A$ se è interno o di frontiera ovvero se per ogni $r>0$ si ha $B_r(x) \cap A \neq \emptyset$; 152 | chiameremo \emph{chiusura} di $A$ l'insieme dei punti di aderenza, 153 | che denoteremo con $\bar A$; 154 | \mymargin{chiusura}% 155 | \index{chiusura} 156 | \index{chiusura} 157 | \item 158 | $x$ è \emph{punto di accumulazione}% 159 | \mymargin{punto di accumulazione}% 160 | \index{punto!di accumulazione} di $A$ se 161 | è punto di aderenza per $A \setminus \ENCLOSE{x}$ ovvero se 162 | per ogni $r>0$ l'insieme $A \cap B_r(x)$ contiene punti diversi da $x$, chiameremo \emph{derivato}% 163 | \mymargin{derivato}\index{derivato} di $A$ l'insieme dei punti di accumulazione (che si potrebbe denotare con $A'$); 164 | \item 165 | $x$ è \emph{punto isolato}% 166 | \mymargin{punto isolato}\index{punto!isolato} di $A$ se è un punto di $A$ ma non di accumulazione per $A$ cioè se esiste $r>0$ per cui 167 | $B_r(x) \cap A = \ENCLOSE{x}$. 168 | \end{enumerate} 169 | \end{definition} 170 | 171 | \begin{theorem}[le palle sono aperte] 172 | Sia $(X,d)$ uno spazio metrico, sia $x\in X$ e $r>0$. Allora la palla $B_r(x)$ è un insieme aperto in $X$. 173 | \end{theorem} 174 | % 175 | \begin{proof} 176 | Sia $y\in B_r(x)$: è sufficiente trovare $\rho>0$ tale che $B_\rho(y) \subset B_r(x)$. Prendendo $\rho = r-d(y,x)$ si osserva che $\rho >0 $ e, per la disuguaglianza triangolare, 177 | dato $z \in B_\rho(y)$ si ha 178 | \[ 179 | d(z,x) \le d(z,y) + d(y,x) < \rho + d(y,x) = r 180 | \] 181 | da cui $B_\rho(y)\subset B_r(x)$ come volevamo dimostrare. 182 | \end{proof} 183 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/04_derivate/04_monotonia.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{criteri di monotonia} 2 | 3 | \begin{theorem}[Fermat] 4 | \mymark{***} 5 | Sia $f\colon (a,b)\to \RR$ una funzione derivabile. 6 | Se $x_0\in (a,b)$ è un punto di massimo o minimo per $f$ allora 7 | $f'(x_0)=0$. 8 | \end{theorem} 9 | % 10 | \begin{proof} 11 | \mymark{***} 12 | Senza perdere di generalità possiamo suppore che $x_0$ sia un punto di massimo per $f$. 13 | Sappiamo che 14 | \[ 15 | f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. 16 | \] 17 | Visto che $x_0$ è un punto dell'intervallo aperto $(a,b)$ la funzione $f$ è definita in un intorno destro di $x_0$ e quindi possiamo restingere il limite ai valori $x>x_0$ ottenendo: 18 | \[ 19 | f'(x_0) = \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}. 20 | \] 21 | Visto che $x_0$ è un punto di massimo per $f$ sappiamo che $f(x)-f(x_0)\le 0$. Essendo $x-x_0>0$ l'intero rapporto incrementale risulta essere non positivo. 22 | Dunque, per il teorema della permanenza del segno, 23 | possiamo concludere che $f'(x_0)\le 0$. 24 | 25 | Ma possiamo anche restringere la funzione ad un intorno sinistro di $x_0$ e osservare che 26 | \[ 27 | f'(x_0) = \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. 28 | \] 29 | Ma ora il numeratore è, come prima, non positivo mentre il denominatore $x-x_0$ è negativo. Dunque il rapporto incrementale stavolta è non negativo e quindi, per la permanenza del segno, $f'(x_0) \ge 0$. 30 | 31 | Abbiamo scoperto quindi che $f'(x_0)\le 0$ e $f'(x_0)\ge 0$ 32 | da cui deduciamo $f'(x_0)=0$. 33 | \end{proof} 34 | 35 | Il teorema di Fermat si può 36 | enunciare dicendo che ogni punto di massimo o minimo relativo interno 37 | al dominio di una funzione in cui la funzione è derivabile 38 | è necessariamente un punto critico. 39 | In particolare per determinare massimi e minimi assoluti e relativi 40 | di una funzione sarà sufficiente esaminare i punti di frontiera, 41 | i punti di non derivabilità e i punti critici. 42 | 43 | 44 | \begin{theorem}[Rolle] 45 | \mymark{***} 46 | \index{teorema!di Rolle} 47 | \mymargin{Rolle}% 48 | \index{Rolle} 49 | Sia $f\colon [a,b]\to \RR$, $a,b\in \RR$, $a0)$ 126 | $\implies$ 127 | $f$ è strettamente crescente (su tutto $I$); 128 | \item 129 | $(\forall x \in J\colon f'(x)<0)$ 130 | $\implies$ 131 | $f$ è strettamente decrescente (su tutto $I$). 132 | \end{enumerate} 133 | \end{theorem} 134 | % 135 | \begin{proof} 136 | \mymark{***} 137 | Dimostriamo innanzitutto le implicazioni da sinistra verso destra. 138 | 139 | Per la prima, se $f$ non fosse crescente ci dovrebbero essere due punti $a, b \in I$ tali che $a < b$ ma $f(a) > f(b)$. 140 | Dunque si avrebbe 141 | \[ 142 | \frac{f(b) - f(a)}{b - a} < 0. 143 | \] 144 | Applicando il teorema di Lagrange all'intervallo $[a,b]$ si troverebbe un punto $x\in (a,b)$ tale che $f'(x) < 0$. Chiaramente $(a,b)\subset J$ e quindi questo contraddice l'ipotesi $f'(x) \ge 0$. 145 | 146 | La seconda implicazione (per le funzioni decrescenti) si dimostra in maniera analoga cambiando verso alle disuguaglianze. 147 | 148 | Anche la terza implicazione si dimostra tramite il teorema di Lagrange in modo analogo alle precedenti. Oppure basta osservare che se $f'(x)=0$ allora valgono contemporaneamente $f'(x)\ge 0$ e $f'(x)\le 0$ quindi mettendo insieme le prime due implicazioni si ottiene che $f$ è contemporaneamente crescente e decrescente dunque è costante. 149 | 150 | Per la quarta implicazione si procede come per la prima. Per assurdo si avrebbero $a 0$. 155 | 156 | La quinta implicazione si dimostra in maniera analoga cambiando verso alle disuguaglianze. 157 | 158 | Vediamo ora le implicazioni da destra verso sinistra. 159 | Per la prima, supponiamo che $f$ sia crescente e prendiamo $x\in J$. Allora è chiaro che per ogni $h>0$ si avrà $f(x+h) \ge f(x)$ e dunque 160 | \[ 161 | \frac{f(x+h)- f(x)}{h} \ge 0. 162 | \] 163 | Facendo il limite per $h \to 0^+$ si ottiene $f'(x)$ e, per la permanenza del segno, dovra essere $f'(x) \ge 0$. 164 | 165 | In maniera analoga (invertendo le disuguaglianze) si dimostra la seconda implicazione. 166 | 167 | La terza discende dalle prime due oppure, più semplicemente, dalle regole di derivazione, in quanto la derivata di una costante è zero. 168 | \end{proof} 169 | 170 | \begin{example} 171 | La funzione $f(x) = 1/x$ è definita su $\RR \setminus \ENCLOSE{0}$, è derivabile 172 | e la derivata $f'(x) = -1/x^2$ è ovunque negativa. La funzione $f$ è quindi strettamente 173 | decrescente separatamente sui due intervalli $(0,+\infty)$ e $(-\infty,0)$ sui quali 174 | possiamo applicare il criterio di monotonia. Ma non è 175 | decrescente su tutto il suo dominio in quanto, ad esempio, $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$. 176 | Questo esempio mostra che nei criteri di monotonia l'ipotesi che il dominio sia un intervallo 177 | è fondamentale. 178 | \end{example} 179 | 180 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/02_limiti/08_esponenziale_complesso.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{l'esponenziale complesso} 2 | \label{sec:esponenziale_complesso}% 3 | 4 | L'esponenziale reale e le funzioni trigonometriche possono essere pensate 5 | come strumenti intermedi per definire un isomorfismo naturale 6 | da $\CC$ come gruppo additivo in $\CC$ come gruppo moltiplicativo. 7 | 8 | Possiamo infatti definire la funzione $\exp \colon \CC \to \CC$ mediante 9 | la \emph{formula di Eulero} 10 | \[ 11 | \exp(x+iy) = e^x \cdot (\cos y + i \sin y). 12 | \] 13 | Questa funzione ha le seguenti proprietà: 14 | \begin{enumerate} 15 | \item $\exp(z+w) = \exp z \cdot \exp w$; 16 | \item $\exp\bar z = \overline{\exp z}$; 17 | \item $\abs{\exp z} = e^{\Re z}$; 18 | \item $\exp x = e^x$ se $x\in \RR$. 19 | \end{enumerate} 20 | Visto che $\exp$ estende la funzione esponenziale reale $e^x$ 21 | sarà anche naturale usare la stessa notazione ponendo: 22 | \mynote{% 23 | La notazione $e^z$ non ci deve far pensare che abbiamo definito 24 | una operazione di elevamento a potenza tra numeri complessi. 25 | In effetti non è possibile definire in maniera sensata e univoca 26 | la potenza $z^w$ se la base $z$ non è un numero reale positivo. 27 | Questo è legato al fatto che la funzione esponenziale $e^z$ 28 | non è univocamente invertibile e quindi non si può definire il 29 | logaritmo $\ln z$ se non come funzione \emph{multivoca}. 30 | }% 31 | \[ 32 | e^z = \exp z = e^x\cdot (\cos y + i\sin y), \qquad \text{se $z=x+iy$}. 33 | \] 34 | 35 | Si noti che la funzione esponenziale complessa è $2\pi i$ periodica, infatti 36 | se $z=x+iy$ si ha 37 | \[ 38 | \exp(z+2\pi i) 39 | = e^x\cdot (\cos(y+2\pi) + i\sin(y+2\pi)) 40 | = e^x\cdot (\cos y + i \sin y) 41 | = \exp(z). 42 | \] 43 | 44 | % Nel capitolo precedente abbiamo introdotto l'esponenziale complesso ed 45 | % abbiamo osservato che la funzione $f\colon \RR \to \CC$ definita da 46 | % $f(t) = e^{it}$ ha valori sulla circonferenza unitaria in quanto 47 | % $\abs{e^{it}}=1$. Tramite la definizione~\ref{def:sincos} 48 | % abbiamo introdotto le funzioni seno e coseno in 49 | % modo che risulti $f(t) = \cos t + i \sin t$. 50 | % Sappiamo che $f(0) = e^0 = 1$ e, per come abbiamo definito $\pi$, 51 | % sappiamo che $f(\pi/2) = i$. 52 | 53 | \subsection{rappresentazione polare dei numeri complessi} 54 | 55 | Per come li abbiamo definiti i numeri complessi $z\in \CC$ si possono 56 | rappresentare nella forma: 57 | \[ 58 | z = x + i y. 59 | \] 60 | Questa rappresentazione dei numeri complessi viene chiamata \emph{cartesiana} 61 | perché fa corrispondere ogni numero $z$ alle sue coordinate $(x,y)$ nel 62 | piano complesso (piano di Gauss). 63 | 64 | Grazie alla definizione di esponenziale complesso possiamo anche 65 | dare una rappresentazione \emph{polare} dei numeri complessi. 66 | Se $z=x+iy$ è un qualunque numero complesso possiamo definire 67 | $\rho = \abs{z} = \sqrt{x^2+y^2}$ il suo \emph{modulo} 68 | ovvero la distanza geometrica tra il punto $z$ del piano complesso 69 | e l'origine $0\in \CC$. 70 | Se $z\neq 0$ possiamo definire la misura dell'angolo individuato 71 | da $z$ con l'asse delle $x$ come quell'unico 72 | $\theta \in \closeopeninterval{0}{2\pi}$ tale che 73 | \[ 74 | \begin{cases} 75 | x = \rho \cos \theta,\\ 76 | y = \rho \sin \theta. 77 | \end{cases} 78 | \] 79 | Si ha quindi 80 | \[ 81 | z = \rho \cdot (\cos \theta + i \sin \theta). 82 | \] 83 | La coppia di numeri $(\theta,\rho)$ con $\rho>0$ e $\theta\in\closeopeninterval{0}{2\pi}$ 84 | si chiamano \emph{coordinate polari} del numero complesso $z$ 85 | e identificano univocamente $z$. 86 | Per la periodicità delle funzioni $\sin$ e $\cos$ risulta chiaro 87 | che l'angolo $\theta$ può essere sostitutito con $\theta +2k\pi$ 88 | per qualunque $k\in \ZZ$ lasciando invariato il punto $z$. 89 | Se $z=0$ allora $\rho=\abs{z}=0$ e la coordinata $\theta$ è irrilevante. 90 | 91 | La rappresentazione \emph{esponenziale} di un numero complesso 92 | è sostanzialmente identica alla rappresentazione polare 93 | ma utilizza l'esponenziale complesso invece che 94 | le funzioni trigonometriche. 95 | Essendo $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ 96 | se $z=\rho\cdot (\cos \theta + i \sin \theta)$ potremo scrivere: 97 | \[ 98 | z = \rho \cdot e^{i\theta}. 99 | \] 100 | 101 | Se $z=\rho e^{i\theta}$ 102 | il numero $\theta$ viene usualmente chiamato \emph{argomento} 103 | del numero complesso $z$ e si denota a volte 104 | in questo modo: 105 | \[ 106 | \theta = \arg z. 107 | \] 108 | La definizione di argomento è intrinsecamente ambigua 109 | in quanto $\theta$ non è univocamente determinato 110 | (al posto di $\theta$ possiamo scegliere $\theta+2k\pi)$ 111 | con qualunque $k\in \ZZ$). 112 | Per avere una definizione univoca si può imporre 113 | la condizione $\theta\in\closeopeninterval{0}{2\pi}$. 114 | \mynote{Ma la condizione 115 | $\theta\in\closeinterval{-\pi}{\pi}$ 116 | andrebbe ugualmente bene.} 117 | Se $z=0$ possiamo definire, arbitrariamente, 118 | $\arg z = 0$. 119 | In formule si ha: 120 | \[ 121 | \arg z = 122 | \begin{cases} 123 | % \arctg \frac y x & \text{se $x>0$,} \\ 124 | \frac \pi 2 - \arctg \frac x y & \text{se $y>0$,} \\ 125 | \frac 3 2 \pi- \arctg \frac x y & \text{se $y<0$,} \\ 126 | \pi & \text{se $y=0$ e $x<0$,} \\ 127 | 0 & \text{se $y=0$ e $x\ge 0$.} 128 | \end{cases} 129 | \] 130 | 131 | \subsection{radici complesse $n$-esime} 132 | 133 | Sia $c\in \CC$ un numero 134 | complesso $c\neq 0$. 135 | Ci poniamo il problema di determinare le soluzioni complesse 136 | dell'equazione 137 | \[ 138 | z^n = c. 139 | \] 140 | Tali soluzioni saranno chiamate \emph{radici $n$-esime}% 141 | \mymargin{radici $n$-esime}% 142 | \index{radice!$n$-esima} di $c$. 143 | 144 | Scriviamo $c$ e $z$ in forma esponenziale: 145 | \[ 146 | c = r e^{i\alpha}, \qquad 147 | z = \rho e^{i\theta}. 148 | \] 149 | Si avrà allora 150 | \[ 151 | z^n = \rho^n (e^{i\theta})^n = \rho^n e^{i n \theta}. 152 | \] 153 | Affinche sia $z^n = c$ si dovrà avere l'uguaglianza dei moduli, cioè $\rho^n = r$ e l'uguaglianza a meno di multipli interi di $2\pi$ degli argomenti: 154 | $n \theta = \alpha + 2 k \pi$ con $k\in \ZZ$. 155 | Dunque si trova 156 | \[ 157 | \theta = \frac{\alpha}{n} + k\frac{2\pi}{n} 158 | \qquad k \in \ZZ. 159 | \] 160 | Osserviamo ora che per $k=0,\dots, n-1$ il secondo addendo 161 | $k 2\pi /n$ assume $n$ valori distinti compresi in $[0,2\pi)$. 162 | Per gli altri valori di $k$ si ottengono degli angoli che differiscono 163 | da questi di un multiplo di $2\pi$ e quindi non si trovano 164 | altre soluzioni. 165 | 166 | Dunque l'equazione $z^n = c$ per $c\neq 0$ ha $n$ soluzioni distinte date 167 | da 168 | \[ 169 | z_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\alpha/n + 2k\pi i /n}, 170 | \qquad k=0,1, \dots, n-1 171 | \] 172 | dove $\alpha = \arg(c)$ e $r = \abs{c}$. 173 | Dal punto di vista geometrico si osserva che 174 | $z_0$ è il numero complesso con modulo la radice $n$-esima del numero 175 | dato $c$ e argomento pari ad un $n$-esimo dell'argomento di $c$. 176 | Tutte le altre soluzioni si trovano sulla circonferenza centrata in $0$ 177 | e passante per $z_0$ e risultano essere, insieme ad $z_0$, i vertici 178 | di un $n$-agono regolare. 179 | 180 | In particolare nel caso $c=1$ si osserva che le radici $n$-esime dell'unità 181 | si rappresentano geometricamente come i vertici dell'$n$-agono regolare iscritto 182 | nella circonferenza unitaria e con un vertice in $z_0=1$. 183 | 184 | \begin{exercise} 185 | Si trovino le soluzioni $z \in \CC$ delle seguenti equazioni. 186 | Scrivere le soluzioni in forma polare e cartesiana. 187 | \begin{gather*} 188 | z^4 = -4 \\ 189 | z^6 = i\\ 190 | z^3 = -8i \\ 191 | z^4 = z\\ 192 | z^2 + 1 = i\sqrt{3} \\ 193 | (z-i)^4 = 1\\ 194 | 1 + z + z^2 + z^3 = 0\\ 195 | z^{14} - z^6 - z^8 + 1 = 0 196 | \end{gather*} 197 | \end{exercise} 198 | 199 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapters/03_serie/04_assoluta.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{convergenza assoluta} 2 | 3 | Per le serie a termini positivi abbiamo molti criteri di convergenza 4 | che invece, in generale, non si applicano alle serie di segno qualunque 5 | o alle serie di numeri complessi. 6 | La convergenza di queste ultime, però, può a volte ricondursi 7 | facilmente 8 | alla 9 | convergenza delle serie a termini positivi, passando al modulo 10 | ogni termine. 11 | 12 | \begin{definition}[convergenza assoluta] 13 | \mymark{***} 14 | Diremo che una serie (a termini reali o complessi) $\sum a_n$ 15 | è \emph{assolutamente convergente}% 16 | \mymargin{assolutamente convergente}% 17 | \index{assolutamente!convergente} se la serie $\sum \abs{a_n}$ 18 | è convergente. 19 | \end{definition} 20 | 21 | \begin{theorem}[convergenza assoluta]\label{th:convergenza_assoluta} 22 | \mymark{***}% 23 | Se una serie $\sum a_n$ (reale o complessa) 24 | è assolutamente convergente allora è convergente e vale 25 | \[ 26 | \abs{\sum_{k=0}^{+\infty} a_k} \le \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{a_k}. 27 | \] 28 | \end{theorem} 29 | % 30 | \begin{proof} 31 | \mymark{*} 32 | Supponiamo inizialmente che gli $a_n$ siano numeri reali. 33 | Definiamo $a_n^+ = \max\ENCLOSE{0, a_n}$ e $a_n^- = -\min \ENCLOSE{0, a_n}$. 34 | Cioè se $a_n\ge 0$ si ha $a_n^+ = a_n$ e $a_n^-=0$ se invece $a_n\le 0$ 35 | si ha $a_n^+ =0$ e $a_n^- = -a_n$. 36 | Dunque $a_n^+\ge 0$, $a_n^-\ge 0$, 37 | \[ 38 | a_n = a_n^+ - a_n^- 39 | \qquad\text{e}\qquad 40 | \abs{a_n} = a_n^+ + a_n^-. 41 | \] 42 | Allora se $\sum \abs{a_n}$ converge, 43 | per confronto anche $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$ convergono. 44 | Dunque, per il teorema sulla somma dei limiti, 45 | $\sum a_n = \sum a_n^+ - \sum a_n^-$ 46 | e quindi anche $\sum a_n$ converge. 47 | 48 | Se abbiamo una successione di complessi $a_n = x_n + i y_n$ 49 | e se 50 | $\sum \abs{a_n}$ converge allora, per confronto, 51 | anche $\sum \abs{x_n}$ e $\sum\abs{y_n}$ convergono 52 | (si osservi infatti che $\abs{x} \le \abs{x+iy}$ e $\abs{y}\le \abs{x+iy}$). 53 | Dunque $\sum x_n$ e $\sum y_n$ convergono per quanto 54 | già dimostrato sulle serie a termini reali. 55 | Ma allora anche $\sum i y_n$ e $\sum a_n = \sum (x + iy_n)$ convergono. 56 | 57 | Poniamo ora 58 | \[ 59 | S_n = \sum_{k=0}^n a_k. 60 | \] 61 | Per la subadditività 62 | del modulo sappiamo che per le somme finite si ha 63 | \[ 64 | \abs{S_n} =\abs{\sum_{k=0}^n a_k} 65 | \le \sum_{k=0}^n \abs{a_k} \le \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{a_k}. 66 | \] 67 | E per continuità del modulo, posto $S= \lim S_n$ si ha 68 | \[ 69 | \abs{\sum_{k=0}^{+\infty} a_k} 70 | = \abs{S} 71 | = \lim_{n\to +\infty} \abs{S_n} 72 | \le \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{a_k}. 73 | \] 74 | \end{proof} 75 | 76 | \begin{theorem}[scambio delle serie] 77 | \label{th:scambio_somma} 78 | Sia $a_{k,j}\in \RR$ o $a_{k,j}\in \CC$ una successione a due indici $k\in \NN$, $j\in \NN$. 79 | Se 80 | \begin{equation}\label{eq:499655} 81 | \sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}\abs{a_{k,j}}<+\infty 82 | \qquad \text{oppure} \qquad 83 | \sum_{j=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\abs{a_{k,j}}<+\infty 84 | \end{equation} 85 | allora 86 | \begin{equation}\label{eq:scambio_somma} 87 | \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j} 88 | = \sum_{j=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k,j}. 89 | \end{equation} 90 | \end{theorem} 91 | % 92 | \begin{proof} 93 | Visto che l'enunciato è simmetrico in $k$ e $j$ 94 | possiamo supporre che sia soddisfatta la prima 95 | delle due alternative nell'ipotesi~\eqref{eq:499655}: 96 | $\sum_k \sum_j \abs{a_{k,j}}<+\infty$. 97 | 98 | Si intende, ovviamente, che per ogni $k$ 99 | la serie $\sum_j \abs{a_{k,j}}$ è convergente 100 | dunque $\sum_j a_{k,j}$ è assolutamente convergente. 101 | % e, per il teorema~\ref{th:convergenza_assoluta}, 102 | % anche $\sum_k \abs{\sum_j a_{k,j}} 103 | % \le \sum_k \sum_j \abs{a_{k,j}}$ 104 | % è assolutamente convergente. 105 | Ovviamente 106 | $\sum_k \abs{a_{k,j}} \le \sum_k \sum_j \abs{a_{k,j}}$ 107 | e dunque per ogni $j$ anche la serie 108 | $\sum_k a_{k,j}$ è assolutamente convergente. 109 | Posto 110 | \[ 111 | S = \sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j}, 112 | \qquad 113 | S_n = \sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{+\infty} a_{k,j} 114 | \] 115 | dobbiamo dimostrare che $S_n \to S$ 116 | per $n\to +\infty$. 117 | Applichiamo la definizione di limite: 118 | sia $\eps>0$ fissato. 119 | Per il teorema~\ref{th:coda} della coda 120 | esiste $K$ tale che 121 | \[ 122 | \sum_{k=K}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}}<\frac \eps 2 123 | \] 124 | e per ogni $kJ$ si ha: 130 | \begin{align*} 131 | \abs{S-S_n} 132 | &= \abs{\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}a_{k,j} 133 | - \sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k,j}} 134 | = 135 | \abs{\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty}a_{k,j} 136 | - \sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=0}^{n-1}a_{k,j}}\\ 137 | &= 138 | \abs{\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j=n}^{+\infty}a_{k,j} } 139 | = \abs{\sum_{k=0}^{K-1}\sum_{j=n}^{+\infty} a_{k,j} 140 | + \sum_{k=K}^{+\infty}\sum_{j=n}^{+\infty} a_{k,j}}\\ 141 | &\le \sum_{k=0}^{K-1}\sum_{j=n}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} 142 | + \sum_{k=K}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} 143 | \le \sum_{k=0}^{K-1}\sum_{j=J_k}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} 144 | + \frac \eps 2 145 | \le \frac \eps 2 + \frac \eps 2 = \eps 146 | \end{align*} 147 | come volevamo dimostrare. 148 | \end{proof} 149 | 150 | \begin{theorem}[convergenza incondizionata]% 151 | \label{th:convergenza_incondizionata}% 152 | \mymark{*}% 153 | \index{convergenza!incondizionata}% 154 | Se $\sum a_k$ è una serie assolutamente convergente e $\sigma\colon \NN \to \NN$ 155 | è una qualunque funzione biettiva (permutazione dei numeri naturali) 156 | si ha 157 | \[ 158 | \sum_{k=0}^{+\infty} a_k 159 | = \sum_{j=0}^{+\infty} a_{\sigma(j)}. 160 | \] 161 | \end{theorem} 162 | \begin{proof} 163 | Definiamo la successione $b_{k,j}$ a due indici: 164 | \[ 165 | b_{k,j} = \begin{cases} 166 | a_k & \text{se $k=\sigma(j)$},\\ 167 | 0 & \text{altrimenti}. 168 | \end{cases} 169 | \] 170 | Chiaramente $\sum_j \abs{b_{k,j}} = \abs{a_k}$ 171 | e dunque $\sum_k \sum_j \abs{b_{k,j}} = \sum_k \abs{a_k} < +\infty$. 172 | Dunque, per il teorema~\ref{th:scambio_somma} 173 | \[ 174 | \sum_{k=0}^{+\infty} a_k 175 | = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty}b_{k,j} 176 | = \sum_{j=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty}b_{k,j} 177 | = \sum_{j=0}^{+\infty} a_{\sigma(j)}. 178 | \] 179 | \end{proof} 180 | 181 | \begin{theorem}[somme alla Cauchy] 182 | \label{th:somma_Cauchy}% 183 | Sia $a_{k,j}\in \RR$ o $a_{k,j}\in \CC$ una successione a due indici $k\in \NN$, $j\in\NN$. 184 | Se 185 | \[ 186 | \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} < +\infty 187 | \qquad\text{oppure}\qquad 188 | \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^n \abs{a_{k,n-k}} < +\infty 189 | \] 190 | allora 191 | \begin{equation}\label{eq:somma_Cauchy} 192 | \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j} 193 | = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n} a_{k,n-k}. 194 | \end{equation} 195 | \end{theorem} 196 | % 197 | \begin{proof} 198 | Poniamo 199 | \[ 200 | b_{k,n} = \begin{cases} 201 | a_{k,n-k} & \text{se $k\le n$}\\ 202 | 0 & \text{se $k>n$}. 203 | \end{cases} 204 | \] 205 | Osserviamo allora che 206 | \begin{align*} 207 | \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} b_{k,n} 208 | &= \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty} a_{k,n-k} 209 | = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j} 210 | \\ 211 | \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty} b_{k,n} 212 | &= \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^{n} a_{k,n-k} 213 | \end{align*} 214 | e analogamente 215 | \begin{align*} 216 | \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} \abs{b_{k,n}} 217 | &= \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} 218 | \\ 219 | \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{b_{k,n}} 220 | &= \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n} \abs{a_{k,n-k}}. 221 | \end{align*} 222 | Dunque si può applicare il teorema~\ref{th:scambio_somma} 223 | per scambiare le somme delle serie con termini $b_{k,n}$ 224 | per ottenere il risultato: 225 | \[ 226 | \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j} 227 | = \sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty} b_{k,n} 228 | = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} b_{k,n} 229 | = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n} a_{k,n-k}. 230 | \] 231 | %da cui~\eqref{eq:somma_Cauchy}. 232 | \end{proof} 233 | 234 | %%%%%%%%%%% 235 | %%%%%%%%%%% 236 | --------------------------------------------------------------------------------