├── PoC.tex ├── README.md ├── body ├── AppendixI.tex ├── AppendixII.tex ├── AppendixIII.tex ├── AppendixIV.tex ├── AppendixV.tex ├── AppendixVI.tex ├── AppendixVII.tex ├── AppendixVIII.tex ├── ChapterI.tex ├── ChapterII.tex ├── ChapterIII.tex ├── ChapterIV.tex ├── ChapterV.tex ├── ChapterVI.tex └── image │ ├── 2DNormalDistribution.pdf │ ├── 2FSKPSD.pdf │ ├── FMnoise1.pdf │ ├── FMnoise2.pdf │ ├── NormalDistribution.pdf │ ├── book422a.pdf │ ├── book422b.pdf │ ├── book423.pdf │ ├── book426AMmt.pdf │ ├── book426AMst.pdf │ ├── book582.pdf │ ├── book583.pdf │ ├── book626.pdf │ ├── chap4SSBa.pdf │ ├── chap4SSBb.pdf │ ├── chap4SSBc.pdf │ ├── chap4SSBd.pdf │ └── image.md ├── log.tex └── template ├── buptlogo.jpg ├── buptname.jpg ├── cover.tex ├── preset.tex └── toc.tex /PoC.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[cs4size,a4paper,AutoFakeBold]{ctexart} 2 | \input{template/preset.tex} 3 | %\syntaxonly 4 | \begin{document} 5 | %封面页 ============================== 6 | \input{template/cover.tex}\newpage 7 | %目录================================= 8 | \input{template/toc.tex} 9 | %正文================================= 10 | \input{body/ChapterI.tex}\newpage 11 | \input{body/ChapterII.tex}\newpage 12 | \input{body/ChapterIII.tex}\newpage 13 | \input{body/ChapterIV.tex}\newpage 14 | \input{body/ChapterV.tex}\newpage 15 | \input{body/ChapterVI.tex}\newpage 16 | %附录================================= 17 | \appendix 18 | \input{body/AppendixI.tex}\newpage 19 | \input{body/AppendixII.tex}\newpage 20 | \input{body/AppendixIII.tex}\newpage 21 | \input{body/AppendixIV.tex}\newpage 22 | \input{body/AppendixV.tex}\newpage 23 | \input{body/AppendixVI.tex}\newpage 24 | \input{body/AppendixVII.tex}\newpage 25 | \input{body/AppendixVIII.tex}\newpage 26 | %更新日志============================= 27 | \input{log.tex} 28 | \end{document} 29 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # BuptPoCNoteBook 2 | 北邮《通信原理》个人学习笔记 3 | 4 | 希望这个懒蛋能坚持更新下去 5 | 6 | PS.这货时隔两个月终于记得更新github了 7 | 8 | ## 文件结构 9 | ### body文件夹 10 | 文章主题内容，其中章节按照Chapter命名，附录按照Appendix命名 11 | 12 | ### template文件夹 13 | 文章的格式设定，包括导言区文件preset.tex，目录文件toc.tex，封面文件cover.tex 14 | 15 | ### PoC.tex 16 | 主文件，其实没写啥东西，主要就input了一堆文件，编译的的话要编译这个文件。 17 | 18 | ### PoC.pdf 19 | 这还用说？结果啊！ 20 | 21 | 22 | ## 问题反馈 23 | 对于内容有疑问请通过QQ联系我。 24 | 25 | 对于内容错误的反馈...也请用QQ联系我，在第一章里写着。我会把你写进附录的更新日志log.tex里的 26 | 27 | 28 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixI.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixI.tex 2 | \section{傅里叶变换及其性质}\label{appendix:I} 3 | \subsection{傅里叶变换的定义} 4 | \begin{mydef}{傅里叶级数}\label{def:fs} 5 | 任意周期为 $T$ 的周期信号 $s(t)$ 可以展开为傅里叶级数 6 | \begin{equation} 7 | \begin{split} 8 | s(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}s_ne^{j\frac{2\pi}{T}nt}\\ 9 | s_n &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s(t)e^{-j\frac{2\pi}{T}nt}\dif t 10 | \end{split} 11 | \end{equation} 12 | \end{mydef} 13 | 当$T\to\infty$后，离散谱趋向于连续谱，则得到如下的傅里叶变换: 14 | \begin{mydef}{傅里叶变换}\label{def:ft} 15 | 任意信号\footnote{书中提到的“任意信号”在没有特殊说明下均为有物理意义的信号，无需讨论傅里叶变换的成立条件} 16 | $x(t)$ 可以进行傅里叶变换 17 | \begin{equation} 18 | \begin{split} 19 | x(t) =\mathscr{F}^{-1} [X(f)]=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\dif f\\ 20 | X(f) =\mathscr{F} [x(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\dif t 21 | \end{split} 22 | \end{equation} 23 | \end{mydef} 24 | \subsection{傅里叶变换的性质} 25 | \paragraph{线性} 26 | 设有$X(f)=\mathscr{F}[x(t)]$，记作$x(t)\leftrightarrow X(f)$，（$y(t)\leftrightarrow Y(f)$同理） 27 | 对于任意常数$c_1,c_2$总有 28 | \begin{equation} 29 | c_1x(t)+c_2y(t)\leftrightarrow c_1X(f)+c_2Y(f) 30 | \end{equation} 31 | \Proof 32 | \begin{equation*} 33 | \begin{split} 34 | \mathscr{F}[c_1x(t)+c_2y(t)] &=\int_{-\infty}^{\infty} [c_1x(t)+c_2y(t)]e^{-j2\pi ft}\dif t\\ 35 | &=c_1\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\dif t+c_2\int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-j2\pi ft}\dif t\\ 36 | &=c_1X(f)+c_2Y(f) 37 | \end{split} 38 | \end{equation*} 39 | 40 | \paragraph{对称性} 41 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，则 42 | \begin{equation} 43 | X(t)\leftrightarrow x(-f) 44 | \end{equation} 45 | \Proof 根据反变换公式 46 | \begin{align*} 47 | x(t) =\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\dif f\\ 48 | \intertext{做换元$t\rightarrow -t$得}\\ 49 | x(-t) =\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{-j2\pi ft}\dif f 50 | \end{align*} 51 | 交换上式中的$t$与$f$得 52 | \begin{equation*} 53 | x(-f) =\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{-j2\pi ft}\dif t 54 | \end{equation*} 55 | 对照\defref{def:ft}即得$X(t)\leftrightarrow x(-f)$ 56 | 57 | \paragraph{尺度变换性质} 58 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，对于任意实数$a$有 59 | \begin{equation} 60 | x(at)\leftrightarrow \frac{1}{\vert a \vert}X\left(\frac{f}{a}\right) 61 | \end{equation} 62 | \Proof 63 | 64 | \subparagraph{}若$a>0$，令$\tau=at$，$t=\tau /a$，$\dif t=\dif \tau /a$，则 65 | \begin{equation*} 66 | \mathscr{F}[x(at)]=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi f\frac{\tau}{a}}\dif \tau=\frac{1}{a}X\left(\frac{f}{a}\right) 67 | \end{equation*} 68 | \subparagraph{}若$a<0$，即$a=-\abs{a}$，令$\tau=at$，$t=\tau /a$，$\dif t=\dif \tau /a$，则 69 | \begin{equation*} 70 | \mathscr{F}[x(at)]=\frac{-1}{\abs{a}}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi f\frac{\tau}{a}}\dif \tau=\frac{1}{\abs{a}}X\left(\frac{f}{a}\right) 71 | \end{equation*} 72 | 73 | 综上，该性质得证。 74 | \paragraph{时移性质} 75 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，则 76 | \begin{equation} 77 | x(t-t_0)\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0} 78 | \end{equation} 79 | \Proof 80 | \begin{equation*} 81 | \mathscr{F}[x(t-t_0)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t-t_0)e^{-j2\pi ft}\dif t 82 | \end{equation*} 83 | 令$t-t_0=\tau$ 84 | \begin{equation*} 85 | \mathscr{F}[x(t-t_0)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi f(\tau +t_0)}\dif \tau =X(f)e^{-j2\pi ft_0} 86 | \end{equation*} 87 | 88 | \paragraph{频移性质} 89 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，则 90 | \begin{equation} 91 | x(t)e^{j2\pi f_0t}\leftrightarrow X(f-f_0) 92 | \end{equation} 93 | \Proof 94 | \begin{equation*} 95 | \mathscr{F}^{-1}[X(f-f_0)]=\int_{-\infty}^{\infty}X(f-f_0)e^{j2\pi ft}\dif f 96 | \end{equation*} 97 | 令$f-f_0=\mu$ 98 | \begin{equation*} 99 | \mathscr{F}^{-1}[X(f-f_0)]=\int_{-\infty}^{\infty}X(\mu)e^{-j2\pi (\mu +f_0)t)}\dif \mu = x(t)e^{j2\pi f_0t} 100 | \end{equation*} 101 | \paragraph{时域微分性质} 102 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，则 103 | \begin{equation} 104 | \frac{\dif x(t)}{\dif t}\leftrightarrow (j2\pi f)X(f) 105 | \end{equation} 106 | \Proof 由\defref{def:ft}得 107 | \begin{equation*} 108 | x(t) =\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\dif f 109 | \end{equation*} 110 | 将等式两端对$t$求导，则有 111 | \begin{equation*} 112 | \frac{\dif x(t)}{\dif t} =\frac{\dif}{\dif t}\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\dif f 113 | \end{equation*} 114 | 交换微分和积分的次序,可得 115 | \begin{equation*} 116 | \frac{\dif x(t)}{\dif t} =\int_{-\infty}^{\infty}[(j2\pi f)X(f)]e^{j2\pi ft}\dif f 117 | \end{equation*} 118 | 对照\defref{def:ft}可知 119 | \begin{equation*} 120 | \frac{\dif x(t)}{\dif t} \leftrightarrow (j2\pi f)X(f) 121 | \end{equation*} 122 | 123 | \paragraph{频域微分性质} 124 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，则 125 | \begin{equation} 126 | (-j2\pi t)x(t) \leftrightarrow \frac{\dif X(f)}{\dif f} 127 | \end{equation} 128 | \Proof 由\defref{def:ft}得 129 | \begin{equation*} 130 | X(f) =\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\dif t 131 | \end{equation*} 132 | 将等式两端对$f$求导，则有 133 | \begin{equation*} 134 | \frac{\dif X(f)}{\dif f} =\frac{\dif}{\dif f}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\dif t 135 | \end{equation*} 136 | 交换微分和积分的次序,可得 137 | \begin{equation*} 138 | \frac{\dif X(f)}{\dif f} =\int_{-\infty}^{\infty}[(-j2\pi t)x(t)]e^{-j2\pi ft}\dif t 139 | \end{equation*} 140 | 对照\defref{def:ft}可知 141 | \begin{equation*} 142 | (-j2\pi t)x(t) \leftrightarrow \frac{\dif X(f)}{\dif f} 143 | \end{equation*} 144 | 145 | \paragraph{共轭对称性} 146 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，则 147 | \begin{equation} 148 | x^*(t)\leftrightarrow X^*(-f) 149 | \end{equation} 150 | \Proof 151 | \begin{equation*} 152 | \begin{split} 153 | \mathscr{F}[x^*(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j2\pi ft}\dif t\\ 154 | &= \left[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi (-f)t}\dif t\right]^*\\ 155 | &= X^*(-f) 156 | \end{split} 157 | \end{equation*} 158 | 159 | \paragraph{内积性质}对于$x(t)\leftrightarrow X(f)$，$y(x)\leftrightarrow Y(x)$ 160 | \begin{equation}\label{eq:inner} 161 | \int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^*(t)\dif t=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)Y^*(f)\dif f 162 | \end{equation} 163 | \Proof 164 | \begin{equation*} 165 | \begin{split} 166 | \int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^*(t)\dif t &= \int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\dif f\right]y^*(t)\dif t\\ 167 | &= \int_{-\infty}^{\infty}X(f)\left[\int_{-\infty}^{\infty}y^*(t)e^{j2\pi ft}\dif t\right]\dif f\\ 168 | &= \int_{-\infty}^{\infty}X(f)\left[\int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-j2\pi ft}\dif t\right]^*\dif f\\ 169 | &= \int_{-\infty}^{\infty}X(f)Y^*(f)\dif f 170 | \end{split} 171 | \end{equation*} 172 | 173 | \subsection{卷积定理} 174 | 卷积的定义如下 175 | \begin{mydef}{卷积}\label{def:conv} 176 | 对于$t\in\mathbb{R}$有函数$f(t),g(t)\in\mathbb{C}$ 177 | 则规定卷积运算符$*$为 178 | \begin{equation} 179 | h(t)=f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\dif \tau 180 | \end{equation} 181 | \end{mydef} 182 | \subsubsection{时域卷积定理} 183 | \begin{mythm}{时域卷积定理}\label{thm:tconv} 184 | 若$x_1(t)\leftrightarrow X_1(f),x_2(t)\leftrightarrow X_2(f)$，则 185 | \begin{equation} 186 | x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow F_1(f)F_2(f) 187 | \end{equation} 188 | \end{mythm} 189 | \Proof 190 | \begin{equation*} 191 | \begin{split} 192 | \mathscr{F}[x_1(t)*x_2(t)] &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ft}\left[\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)\dif \tau\right]\dif t\\ 193 | &=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi ft}x_2(t-\tau)\dif t\right]\dif \tau\\ 194 | &=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)e^{-j2\pi f\tau}X_2(f)\dif\tau\\ 195 | &=X_1(f)X_2(f) 196 | \end{split} 197 | \end{equation*} 198 | 199 | \subsubsection{频域卷积定理} 200 | \begin{mythm}{频域卷积定理}\label{thm:fconv} 201 | 若$x_1(t)\leftrightarrow X_1(f),x_2(t)\leftrightarrow X_2(f)$，则 202 | \begin{equation} 203 | x_1(t)x_2(t)\leftrightarrow F_1(f)*F_2(f) 204 | \end{equation} 205 | \end{mythm} 206 | \Proof 207 | \begin{equation*} 208 | \begin{split} 209 | \mathscr{F}^{-1}[X_1(f)*X_2(f)] &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi ft}\left[\int_{-\infty}^{\infty}X_1(\mu)X_2(f-\mu)\dif \mu\right]\dif f\\ 210 | &=\int_{-\infty}^{\infty}X_1(\mu)\left[\int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi ft}X_2(f-\mu)\dif f\right]\dif \mu\\ 211 | &=\int_{-\infty}^{\infty}X_1(\mu)e^{j2\pi f\mu}x_2(t)\dif\mu\\ 212 | &=x_1(t)x_2(t) 213 | \end{split} 214 | \end{equation*} 215 | 216 | \subsection{帕塞瓦尔定理} 217 | 帕塞瓦尔定理是傅里叶变换的基函数$e^{-j2\pi ft}$正交性的体现 218 | \begin{mythm}{帕塞瓦尔定理}\label{thm:parseval} 219 | 若$x(t)\leftrightarrow X(f)$，则 220 | \begin{equation} 221 | \int_{-\infty}^{\infty}\abs{x(t)}^2\dif t = \int_{-\infty}^{\infty}\abs{X(f)}^2\dif f 222 | \end{equation} 223 | \end{mythm} 224 | \Proof 225 | \begin{equation*} 226 | \begin{split} 227 | \int_{-\infty}^{\infty}\abs{x(t)}^2\dif t &= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t)\dif t\\ 228 | &= \int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\dif f\right]x^*(t)\dif t\\ 229 | &= \int_{-\infty}^{\infty}X(f)\left[\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j2\pi ft}\dif t\right]\dif f\\ 230 | &= \int_{-\infty}^{\infty}X(f)\left[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\dif t\right]^*\dif f\\ 231 | &= \int_{-\infty}^{\infty}X(f)X^*(f) \dif f= \int_{-\infty}^{\infty}\abs{X(f)}^2\dif f 232 | \end{split} 233 | \end{equation*} 234 | 235 | \subsection{典型信号的傅里叶变换} 236 | \paragraph{矩形脉冲信号与抽样函数} 矩形脉冲信号表达式为 237 | \begin{equation} 238 | x(t)=E\text{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)= 239 | \begin{cases} 240 | E\phantom{0}\hspace{10pt}\left(\abs{t}<\frac{\tau}{2}\right)\\ 241 | 0\phantom{E}\hspace{10pt}\left(\abs{t}>\frac{\tau}{2}\right)\\ 242 | \end{cases} 243 | \end{equation} 244 | \begin{equation*} 245 | \begin{split} 246 | X(f)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\dif t\\ 247 | &=E\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}e^{-j2\pi ft}\dif t\\ 248 | &=-\frac{E}{j2\pi f}(e^{-j2\pi f\frac{\tau}{2}}-e^{j2\pi f\frac{\tau}{2}})\\ 249 | &=\frac{E}{\pi f}\sin{2\pi f\frac{\tau}{2}}\\ 250 | &=E\tau \text{sinc}(f\tau) 251 | \end{split} 252 | \end{equation*} 253 | 即 254 | \begin{equation} 255 | E\text{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)\leftrightarrow E\tau \text{sinc}(f\tau) 256 | \end{equation} 257 | 相应的，由对称性得到 258 | \begin{equation} 259 | 2WE\text{sinc}(2Wt)\leftrightarrow E\text{rect}\left(\frac{f}{2W}\right) 260 | \end{equation} 261 | \paragraph{直流信号与冲激函数} 262 | \begin{equation} 263 | \begin{split} 264 | \mathscr{F}[\delta(t)] &=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j2\pi ft}\dif t\\ 265 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\dif t\\ 266 | &=1 267 | \end{split} 268 | \end{equation} 269 | 由对称性得到 270 | \begin{equation} 271 | \mathscr{F}[1]=\delta (-f)=\delta (f) 272 | \end{equation} 273 | 274 | \paragraph{符号函数} 275 | \begin{align*} 276 | \text{sgn}(t)\leftrightarrow X(f) 277 | \intertext{应用时域微分性质得} 278 | 2\delta (f) \leftrightarrow (j2\pi f)X(f) 279 | \end{align*} 280 | 即得 281 | \begin{equation} 282 | \mathscr{F}[\text{sgn}(t)]= \frac{1}{j\pi f} 283 | \end{equation} 284 | 由对称性得 285 | \begin{equation}\label{eq:hilb} 286 | \mathscr{F}[\frac{1}{\pi t}]= j\text{sgn}(-t)=-j\text{sgn}(t) 287 | \end{equation} 288 | 289 | \subsection{周期冲激序列} 290 | \subsubsection{一般周期信号的傅里叶变换} 291 | 对于一个周期为$T$的信号，其基频记作$f_0=1/T$ 292 | 由\defref{def:fs}逆变换式得一般周期信号的傅里叶级数为 293 | \begin{equation*} 294 | s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}s_ne^{j\frac{2\pi}{T}nt} 295 | \end{equation*} 296 | 对上式两边做傅里叶变换得 297 | \begin{equation*} 298 | \begin{split} 299 | S(f)&=\mathscr{F}[s(t)]=\mathscr{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}s_ne^{j\frac{2\pi}{T}nt}\right]\\ 300 | &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}s_n\mathscr{F}[e^{j\frac{2\pi}{T}nt}]\\ 301 | &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}s_n\delta(f-nf_0) 302 | \end{split} 303 | \end{equation*} 304 | 其中 305 | \begin{equation*} 306 | s_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s(t)e^{-j\frac{2\pi}{T}nt}\dif t 307 | \end{equation*} 308 | 可以知道，一个信号以周期为$T$周期化之后， 309 | 频域相当于原信号频谱以$f_0$间隔用$\delta(f)$进行理想抽样。 310 | 抽样后的冲激函数强度恰等于谱系数$s_n$。 311 | 312 | \subsubsection{周期冲击序列的傅里叶变换} 313 | 取原信号为$\delta(t)$，其傅里叶变换为$\mathscr{F}[\delta(t)]=1$。 314 | 将该信号一周期$T$进行周期化，记作 315 | \begin{equation} 316 | \Delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) 317 | \end{equation} 318 | 根据上一节的推导 319 | \begin{equation*} 320 | s_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta(t)e^{-j\frac{2\pi}{T}nt}\dif t =\frac{1}{T} 321 | \end{equation*} 322 | 故有 323 | \begin{equation} 324 | \mathscr{F}[\Delta_T(t)]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-nf_0) 325 | \end{equation} 326 | 327 | \subsubsection{理想采样} 328 | 对信号$x(t)$在时域进行理想采样，频域体现为周期性搬移： 329 | \begin{equation}\label{eq:FourierofDelta} 330 | \begin{split} 331 | \mathscr{F}[x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)]&= X(f)*\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-nf_0)\\ 332 | &= \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-nf_0) 333 | \end{split} 334 | \end{equation} 335 | 对频谱$X(f)$在频域进行理想采样，时域体现为周期性搬移： 336 | \begin{equation} 337 | \begin{split} 338 | \mathscr{F}^{-1}[X(f)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-nf_0)] &= x(t)*T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\\ 339 | &= T\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT) 340 | \end{split} 341 | \end{equation} 342 | 343 | \subsection{离散时间傅里叶变换及连续系统的时域仿真} 344 | \subsubsection{离散时间傅里叶变换} 345 | 在计算机中，不能存储连续信号每一时刻的所有数据， 346 | 所以为了方便模拟，便对连续信号进行抽样。 347 | 在满足\emph{奈奎斯特采样定理}的情况下进行采样， 348 | 由\eqaref{eq:FourierofDelta}表明： 349 | 信号经过理想抽样后的频谱仅在幅度上放大了$1/T$倍并进行了周期化。 350 | \begin{mydef}{离散时间傅里叶变换(DTFT)} 351 | 对于满足绝对可和连续序列$x(n)$有 352 | \begin{equation} 353 | X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jn\omega} 354 | \end{equation} 355 | \end{mydef} 356 | 不难知道，如果$x(n)$是$x_a(t)$的抽样的话，即$x(n)=x_a(nT)$， 357 | 则有 358 | \begin{equation*} 359 | X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\Omega-n\Omega_0) 360 | \end{equation*} 361 | 其中采用另一种傅里叶变换的形式: 362 | \begin{equation} 363 | \begin{split} 364 | x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\Omega)e^{j\Omega t}\dif\Omega\\ 365 | X(\Omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}\dif t 366 | \end{split} 367 | \end{equation} 368 | 369 | \subsubsection{傅里叶变换的数值计算} 370 | 由上一节的内容可以知道，若想数值计算一个信号的频谱， 371 | 可以先对其以充分小\footnote{严格满足或较好地满足奈奎斯特采样定理}的$T$进行采样， 372 | 对采样后的结果乘$T$倍做DTFT，即近似得到信号的频谱的周期化结果。 373 | 考虑到DTFT的结果为连续值，不方便存储和显示， 374 | 可以使用快速傅里叶变换（FFT）进行计算，得到其频谱的采样\footnote{具体阐述可以见\url{https://zhuanlan.zhihu.com/p/136812943}}。 375 | 376 | \subsubsection{卷积的仿真} 377 | 以下不加证明地给出结论。 378 | 对于严格带限或近似带限的连续信号$x_a(t),h_a(t),y_a(t)$， 379 | 若有 380 | \begin{equation*} 381 | y_a(t)=x_a(t)*h_a(t) 382 | \end{equation*} 383 | 在以充分小的间隔$T$采样后，得到三个序列 384 | $x(n)=x_a(nT),h(n)=Th_a(nT),y=y_a(nT)$ 385 | 则有 386 | \begin{equation*} 387 | y(n)=x(n)\otimes h(n) 388 | \end{equation*} 389 | 其中$\otimes$为离散卷积，可以使用循环卷积实现，进而使用快速傅里叶变换进行优化。 390 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixII.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixII.tex 2 | \section{希尔伯特变换相关性质}\label{appendix:II} 3 | \subsection{希尔伯特变换的定义} 4 | 希尔伯特变换(Hilbert Transform)是一种积分变换，定义如下 5 | \begin{mydef}{希尔伯特变换}\label{def:Hilbert} 6 | 实函数$f(t)$的希尔伯特变换及其逆变换定义为 7 | \begin{equation} 8 | \begin{split} 9 | \hat{x}(t)=\mathscr{H}[x(t)]&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\dif \tau\\ 10 | x(t)=\mathscr{H}^{-1}[\hat{x}(t)]&=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{x}(\tau)}{t-\tau}\dif \tau 11 | \end{split} 12 | \end{equation} 13 | \end{mydef} 14 | 根据\defref{def:conv}，\defref{def:Hilbert}可以写成如下形式 15 | \begin{equation} 16 | \begin{split} 17 | \hat{x}(t)&=x(t)*\frac{1}{\pi t}\\ 18 | x(t)&=\hat{x}(t)*\left(-\frac{1}{\pi t}\right) 19 | \end{split} 20 | \end{equation} 21 | 可知希尔伯特变换相当于通过一个单位冲激响应为$\dfrac{1}{\pi t}$的相移全通滤波器 22 | 23 | 由\eqaref{eq:hilb}知，该滤波器系统函数为 24 | \begin{equation} 25 | H(f)=-j\text{sgn}(f) 26 | \end{equation} 27 | 28 | \subsection{因果信号} 29 | \emph{因果信号（系统）的频谱（网络函数）的实部和虚部是一对希尔伯特变换对。} 30 | 31 | \Proof 32 | 因果信号$h(t)$满足 33 | \begin{equation} 34 | h(t)=h(t)\cdot u(t) 35 | \end{equation} 36 | 两侧做傅里叶变换得 37 | \begin{equation*} 38 | \begin{split} 39 | H(f)&=H(f)*\left[\frac{1}{2}\delta(f)+\frac{1}{j2\pi f}\right]\\ 40 | R(f)+jX(f)&=[R(f)+jX(f)]*\left[\frac{1}{2}\delta(f)+\frac{1}{j2\pi f}\right]\\ 41 | \end{split} 42 | \end{equation*} 43 | \begin{equation*} 44 | \begin{split} 45 | R(f)+jX(f)&=\frac{1}{2}R(f)+R(f)*\frac{1}{j2\pi f}+\frac{j}{2}X(f)+X(f)*\frac{1}{2\pi f}\\ 46 | R(f)+jX(f)&=X(f)*\frac{1}{\pi f}+jR(f)*\left(-\frac{1}{\pi f}\right) 47 | \end{split} 48 | \end{equation*} 49 | 对比得 50 | \begin{equation*} 51 | \begin{split} 52 | R(f)&=\mathscr{H}[X(f)]\\ 53 | X(f)&=\mathscr{H}^{-1}[R(f)] 54 | \end{split} 55 | \end{equation*} 56 | 57 | \subsection{解析信号} 58 | 解析信号的形式如下 59 | \begin{equation} 60 | z(t)=x(t)+j\hat{x}(t) 61 | \end{equation} 62 | 性质如下，自证不难： 63 | \paragraph{}解析信号的实部和虚部是一对希尔伯特变换对。 64 | 65 | \paragraph{}解析信号的频谱密度是单边的，只有正频率才有值。 66 | 67 | \paragraph{}解析信号的实部是实值信号，具有双边频谱密度，幅度是解析信号频谱的一半。 68 | 69 | \paragraph{}解析信号$z(t)$的共轭信号$z^*(t)$的频谱也是单边的，只有负频率。 70 | 71 | \paragraph{}解析信号的实部$x(t)$与虚部$\hat{x}(t)$正交且能量相等，$z(t)$的能量是其实部$x(t)$的两倍。 72 | 73 | \subsection{希尔伯特变换对} 74 | \begin{table}[H] 75 | \caption{希尔伯特变换对} 76 | \centering 77 | \begin{tabular}{c|c} 78 | \hline 79 | \rowcolor{bupt} 80 | \makebox[16em][c]{\color{white}$x(t)$} & \makebox[16em][c]{\color{white}$\hat{x}(t)$}\\ 81 | \hline 82 | $m(t)e^{j2\pi f_0t}$ & $-jm(t)e^{j2\pi f_0t}$\\\hline 83 | $m(t)\cos (2\pi ft)$ & $m(t)\sin (2\pi ft)$\\\hline 84 | $m(t)\sin (2\pi ft)$ & $-m(t)\cos (2\pi ft)$\\\hline 85 | $e^{j2\pi f_0t}$ & $-je^{j2\pi f_0t}$\\\hline 86 | $\cos (2\pi ft)$ & $\sin (2\pi ft)$\\\hline 87 | $\sin (2\pi ft)$ & $-\cos (2\pi ft)$\\ 88 | \hline 89 | \end{tabular} 90 | \end{table} 91 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixIII.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixIII.tex 2 | \section{施瓦茨不等式的证明}\label{appendix:III} 3 | 对于任意两个信号$x(t),y(t)$有$\abs{\rho_{xy}}\leq 1$，当且仅当$y(t)=K\cdot x(t)$时取等，其中$K$是任一常数。 4 | 5 | \noindent\Proof 6 | 7 | 构造信号$z(t)=y(t)-\dfrac{E_{yx}}{E_x}x(t)$ 8 | \begin{equation*} 9 | \begin{split} 10 | &=\int_{-\infty}^{\infty}z(t)x^*(t)\dif t\\ 11 | &=\int_{-\infty}^{\infty}[y(t)x^*(t)-\frac{E_{yx}}{E_x}x(t)x^*(t)]\dif t\\ 12 | &=E_{y_x}-\frac{E_{yx}}{E_x}E_x\\ 13 | &=0 14 | \end{split} 15 | \end{equation*} 16 | 可见$z(t)$,$x(t)$正交，其和的能量等于各自能量的和。那么对于$y(t)=z(t)+\dfrac{E_{yx}}{E_x}x(t)$， 17 | 其两侧的能量为 18 | \begin{equation*} 19 | E_y=E_z+\frac{\abs{E_{yx}}^2}{E_x^2}E_x 20 | \end{equation*} 21 | 整理移项得 22 | \begin{equation*} 23 | E_y-\frac{\abs{E_{yx}}^2}{E_x}=E_z 24 | \end{equation*} 25 | 考虑到能量具有非负性，即$E_z\geq 0$，得 26 | \begin{equation*} 27 | \begin{split} 28 | E_y-\frac{\abs{E_{xy}}^2}{E_x}&\geq 0\\ 29 | E_yE_x&\geq \abs{E_{xy}}^2\\ 30 | \rho_{xy}=\frac{\abs{E_{xy}}^2}{E_xE_y}\leq 1 31 | \end{split} 32 | \end{equation*} 33 | 34 | 取等得充要条件是$E_z= 0$，即$z(t)=0$，故 35 | \begin{equation*} 36 | y(t)=z(t)+\frac{E_{yx}}{E_x}x(t)=\frac{E_{yx}}{E_x}x(t)=K\cdot x(t) 37 | \end{equation*} 38 | 39 | \hfill\Emph{证毕} 40 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixIV.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixIV.tex 2 | \section{相关函数公式总结}\label{appendix:IV} 3 | \subsection{能量信号} 4 | \paragraph{互能量谱密度} 5 | \begin{equation} 6 | \begin{split} 7 | E_{xy}(f)=X(f)Y^*(f)\\ 8 | E_{yx}(f)=Y(f)X^*(f) 9 | \end{split} 10 | \end{equation} 11 | \paragraph{自能量谱密度} 12 | \begin{equation} 13 | E_x(f)=X(f)X^*(f)=\abs{X(f)}^2 14 | \end{equation} 15 | \paragraph{能量} 16 | \begin{align} 17 | E_{xy}=\int_{-\infty}^{\infty}E_{xy}(f)\dif f=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^*(t)\dif t\\ 18 | E_{yx}=\int_{-\infty}^{\infty}E_{yx}(f)\dif f=\int_{-\infty}^{\infty}y(t)x^*(t)\dif t\\ 19 | E_x=\int_{-\infty}^{\infty}E_x(f)\dif f=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t)\dif t 20 | \end{align} 21 | \paragraph{互相关函数} 22 | \begin{equation} 23 | \begin{split} 24 | R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau)y^*(t)\dif t\\ 25 | R_{yx}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}y(t+\tau)x^*(t)\dif t 26 | \end{split} 27 | \end{equation} 28 | \paragraph{自相关函数} 29 | \begin{equation} 30 | R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau)x^*(t)\dif t 31 | \end{equation} 32 | \paragraph{对称性} 33 | \begin{align} 34 | R_{yx}(\tau)=R_{xy}^*(-\tau)\\ 35 | R_x(\tau)=R_x^*(-\tau) 36 | \end{align} 37 | \paragraph{傅里叶变换对} 38 | \begin{align} 39 | R_{xy}(\tau)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}E_{xy}(f)\\ 40 | R_{yx}(\tau)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}E_{yx}(f)\\ 41 | R_x(\tau)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}E_x(f) 42 | \end{align} 43 | \paragraph{施瓦茨不等式} 44 | \begin{equation} 45 | R_x(\tau)\leq E_x\hspace{2em}\abs{R_{xy}(\tau)}^2\leq E_x\cdot E_y 46 | \end{equation} 47 | \paragraph{加和公式} 48 | \begin{align} 49 | E_{x+y}(f)=E_x(f)+E_y(f)+E_{xy}(f)+E_{yx}(f)\\ 50 | R_{x+y}(f)=R_x(f)+R_y(f)+R_{xy}(f)+R_{yx}(f)\\ 51 | \end{align} 52 | \paragraph{在$\tau=0$处的值} 53 | \begin{equation} 54 | R_x(0)=E_x\hspace{2em}R_{xy}(0)=E_{xy}\hspace{2em}R_{yx}(0)=E_{yx} 55 | \end{equation} 56 | 57 | \vspace{3ex} 58 | 59 | \subsection{功率信号} 60 | 截短函数$x_T(t)=\text{rect}(\dfrac{t}{T})x(t)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}X_T(f)$ 61 | \paragraph{互功率谱密度} 62 | \begin{equation} 63 | \begin{split} 64 | P_{xy}(f)=\lim_{T\to\infty}\left\{\frac{1}{T}X_T(f)Y_T^*(f)\right\}\\ 65 | P_{xy}(f)=\lim_{T\to\infty}\left\{\frac{1}{T}Y_T(f)X_T^*(f)\right\}\\ 66 | \end{split} 67 | \end{equation} 68 | \paragraph{功率谱密度} 69 | \begin{equation} 70 | P_x(f)=\lim_{T\to\infty}\left\{\frac{1}{T}\abs{X_T(f)}^2\right\} 71 | \end{equation} 72 | \paragraph{功率} 73 | \begin{align} 74 | P_{xy}=\int_{-\infty}^{\infty}P_{xy}(f)\dif f=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)y^*(t)\dif t\right]\\ 75 | P_{yx}=\int_{-\infty}^{\infty}P_{yx}(f)\dif f=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}y(t)x^*(t)\dif t\right]\\ 76 | P_x=\int_{-\infty}^{\infty}P_x(f)\dif f=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\abs{x(t)}^2\dif t\right] 77 | \end{align} 78 | \paragraph{互相关函数} 79 | \begin{equation} 80 | \begin{split} 81 | R_{xy}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t+\tau)y^*(t)\dif t\right]\\ 82 | R_{yx}(\tau)=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}y(t+\tau)x^*(t)\dif t\right] 83 | \end{split} 84 | \end{equation} 85 | \paragraph{自相关函数} 86 | \begin{equation} 87 | R_x(\tau)=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t+\tau)x^*(t)\dif t\right] 88 | \end{equation} 89 | \paragraph{对称性} 90 | \begin{align} 91 | R_{yx}(\tau)=R_{xy}^*(-\tau)\\ 92 | R_x(\tau)=R_x^*(-\tau) 93 | \end{align} 94 | \paragraph{傅里叶变换对} 95 | \begin{align} 96 | R_{xy}(\tau)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}P_{xy}(f)\\ 97 | R_{yx}(\tau)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}P_{yx}(f)\\ 98 | R_x(\tau)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}P_x(f) 99 | \end{align} 100 | \paragraph{施瓦茨不等式} 101 | \begin{equation} 102 | R_x(\tau)\leq P_x\hspace{2em}\abs{R_{xy}(\tau)}^2\leq P_x\cdot P_y 103 | \end{equation} 104 | \paragraph{加和公式} 105 | \begin{align} 106 | P_{x+y}(f)=P_x(f)+P_y(f)+P_{xy}(f)+P_{yx}(f)\\ 107 | R_{x+y}(f)=R_x(f)+R_y(f)+R_{xy}(f)+R_{yx}(f)\\ 108 | \end{align} 109 | \paragraph{在$\tau=0$处的值} 110 | \begin{equation} 111 | R_x(0)=P_x\hspace{2em}R_{xy}(0)=P_{xy}\hspace{2em}R_{yx}(0)=P_{yx} 112 | \end{equation} -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixV.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixV.tex 2 | \section{维纳--辛钦定理的证明}\label{appendix:V} 3 | \Proof 4 | 5 | \begin{equation*} 6 | \begin{split} 7 | \frac{\mathscr{E}\left[\abs{F_T(f)}^2\right]}{T}&=\mathscr{E}\left\{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}X_T(t_1)e^{-j2\pi ft_1}\dif t_1\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}X_T(t_2)e^{-j2\pi ft_2}\dif t_2\right\} \\ 8 | &=\mathscr{E}\left\{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}X_T(t_1)X_T(t_2)e^{-j2\pi f(t_1-t_2)}\dif t_1\dif t_2\right\}\\ 9 | &\xrightarrow[]{\tau=t_1-t_2}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}-t_2}^{\frac{T}{2}-t_2}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\dif \tau\dif t_2 10 | \end{split} 11 | \end{equation*} 12 | 交换积分次序，并分为两部分积分 13 | 14 | $\tau>0$: 15 | \begin{equation*} 16 | \frac{1}{T}\int_{0}^{T}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\left(\int_{\frac{T}{2}-\tau}^{-\frac{T}{2}}\dif t_2\right)\dif\tau=\int_{0}^{T}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\left(1-\frac{\tau}{T}\right)\dif\tau 17 | \end{equation*} 18 | 19 | $\tau<0$: 20 | \begin{equation*} 21 | \frac{1}{T}\int_{-T}^{0}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\left(\int_{\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}-\tau}\dif t_2\right)\dif\tau=\int_{-T}^{0}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\left(1+\frac{\tau}{T}\right)\dif\tau 22 | \end{equation*} 23 | 24 | 上两式相加得： 25 | \begin{equation*} 26 | \frac{\mathscr{E}\left[\abs{F_T(f)}^2\right]}{T}=\int_{-T}^{T}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\left(1-\frac{\abs{\tau}}{T}\right)\dif\tau 27 | \end{equation*} 28 | 故 29 | \begin{equation*} 30 | \begin{split} 31 | \overline{P}_X(f) &=\lim_{T\to\infty}\frac{\mathscr{E}\left[\abs{F_T(f)}^2\right]}{T}\\ 32 | &=\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^{T}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\left(1-\frac{\abs{\tau}}{T}\right)\dif\tau\\ 33 | &=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\dif\tau\\ 34 | &=\mathscr{F}[R_X(\tau)] 35 | \end{split} 36 | \end{equation*} 37 | 得证。 -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixVI.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixVI.tex 2 | \section{PAM信号的频谱特性的推导} 3 | 对于映射后的波形 4 | \begin{equation*} 5 | s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s) 6 | \end{equation*} 7 | 其均值 8 | \begin{equation*} 9 | \mathscr{E}[s(t)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathscr{E}[a_n]g_T(t-nT_s)=m_a\sum_{n=-\infty}^{\infty}g_T(t-nT_s) 10 | \end{equation*} 11 | 自相关 12 | \begin{equation*} 13 | \begin{split} 14 | R(t+\tau,t) &=\mathscr{E}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s+\tau)\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_mg_T(t-mT_s)\right]\\ 15 | &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\mathscr{E}[a_na_m]g_T(t-nT_s+\tau)g_T(t-mT_s)\\ 16 | &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}R_a(n-m)g_T(t-nT_s+\tau)g_T(t-mT_s) 17 | \end{split} 18 | \end{equation*} 19 | 是周期平稳过程。 20 | 21 | 把$s(t)$看作 22 | \begin{equation*} 23 | s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-nT_s)*g_T(t) 24 | \end{equation*} 25 | 左半部分$s_a(t)$是承载信息的离散的冲击序列，右边则是每个码的波形$g_T(t)$。 26 | 左半部的时间平均自相关函数 27 | \begin{equation*} 28 | \begin{split} 29 | \overline{R_a(t+\tau,t)}&=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}R_a(t+\tau+t)\dif t\\ 30 | &=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}R_a(n-m)\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}\delta(t-nT_s+\tau)\delta(t-mT_s)\dif t\\ 31 | &=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}\delta(t-mT_s-kT_s+\tau)\delta(t-mT_s)\dif t\\ 32 | &=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\frac{T_s}{2}-mT_s}^{\frac{T_s}{2}-mT_s}\delta(t-kT_s+\tau)\delta(t)\dif t\\ 33 | &=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_s+\tau)\delta(t)\dif t\\ 34 | &=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)\delta(\tau-kT_s) 35 | \end{split} 36 | \end{equation*} 37 | 根据\hyperref[thm:Wiener_Khinchin]{纳辛--维钦定理}， 38 | 其功率谱为 39 | \begin{equation*} 40 | P_a(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)e^{j2\pi kT_sf} 41 | \end{equation*} 42 | 再根据\hyperref[subsubsec:LITsystem]{随机过程通过线性系统}的知识， 43 | $s(t)$的功率谱密度为 44 | \begin{equation*} 45 | P_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)e^{j2\pi kT_sf}\abs{G_T(f)}^2 46 | \end{equation*} 47 | 48 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixVII.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixVII.tex 2 | \section{MASK中数列求和的计算问题} 3 | 在第六章$M$ASK的部分中我们遇到一个\hyperref[question:sum_of_serises]{数列求和的问题}。 4 | \begin{equation*} 5 | \sum_{i=1}^{\frac{M}{2}}(2i-1)^2 6 | \end{equation*} 7 | 其中$M$是一个偶数。 8 | 9 | 首先给出\href{https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%83%A8%E6%B1%82%E5%92%8C%E6%B3%95}{阿贝尔求和}： 10 | \begin{equation*} 11 | \sum^{n}_{i=1}a_ib_i=S_nb_n-\sum_{i=1}^{n-1}S_i(b_{i+1}-b_i) 12 | \end{equation*} 13 | 其中$S_n$是$a_n$的前$n$项和，即$S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i$。 14 | 15 | 然后令$a_n=1$，$b_n=n^2$，$S_n=n$，带入上式有 16 | \begin{equation*} 17 | \sum^{n}_{i=1}i^2=n^3-\sum_{i=1}^{n-1}i(2i+1)=n^3-2\sum_{i=1}^{n-1}i^2-\sum_{i=1}^{n-1}i=n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{n}{2}-2\sum_{i=1}^{n}i^2 18 | \end{equation*} 19 | 移相整理得 20 | \begin{equation*} 21 | \sum^{n}_{i=1}i^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6} 22 | \end{equation*} 23 | 再回到原来的问题 24 | \begin{equation*} 25 | \begin{split} 26 | \sum_{i=1}^{\frac{M}{2}}(2i-1)^2&=\sum_{i=1}^{M}i^2-\sum_{i=1}^{\frac{M}{2}}(2i)^2\\ 27 | &=\frac{M(2M+1)(M+1)}{6}-4\frac{\dfrac{M}{2}\left(2\dfrac{M}{2}+1\right)\left(\dfrac{M}{2}+1\right)}{6}\\ 28 | &=\frac{M(2M+1)(M+1)}{6}-\frac{M(M+1)(M+2)}{6}\\ 29 | &=\frac{M(M^2-1)}{6} 30 | \end{split} 31 | \end{equation*} -------------------------------------------------------------------------------- /body/AppendixVIII.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %AppendixVIII.tex 2 | \section{MFSK中误符号率与误比特率的换算关系} 3 | \label{appendix:VIII} 4 | 假设$K$个比特对应着$M=2^K$个不同的符号。 5 | 在$M$FSK中，当发生错误的时候，可能会\emph{等概率}地变成另外$M-1$个符号之一。 6 | 7 | 这$M-1$个符号中，与正确的信号相比，至少有1位比特的不同，最多有$K$位。 8 | 有n位比特不同的符号的个数可以用组合数表达为$C_K^n$。 9 | 那么每次误判后错误的比特的平均量为 10 | \begin{equation*} 11 | \bar{n}=\frac{1}{M-1}\sum_{n=1}^{K}nC_K^n 12 | \end{equation*} 13 | 14 | 接下来进行对上式中求和进行计算： 15 | \begin{equation*} 16 | \sum_{n=1}^{K}nC_K^n=1C_K^1+2C_K^2+\cdots+(n-1)C_K^{n-1}+nC_K^n 17 | \end{equation*} 18 | 在前面加入值为0的$0C_K^0$，并利用等式$C_n^m=C_n^{n-m}$进行变换得 19 | \begin{equation*} 20 | \begin{split} 21 | \sum_{n=1}^{K}nC_K^n&=0C_K^0+1C_K^1++\cdots+(K-1)C_K^{K-1}+nC_K^K\\ 22 | \sum_{n=1}^{K}nC_K^{K-n}&=0C_K^K+1C_K^{K-1}+\cdots+(K-1)C_K^1+KC_K^0 23 | \end{split} 24 | \end{equation*} 25 | 上下两式相加得 26 | \begin{equation*} 27 | 2\sum_{n=1}^{K}nC_K^n=K\left(C_K^0+C_K^1++\cdots+C_K^{K-1}+C_K^K\right)=K2^K 28 | \end{equation*} 29 | 那么有 30 | \begin{equation*} 31 | \bar{n}=\frac{K2^K}{2(M-1)}=\frac{K\cdot M}{2(M-1)} 32 | \end{equation*} 33 | 34 | 因为一个符号对应$K$个比特，那么 35 | \begin{equation*} 36 | \begin{split} 37 | \text{BER} &=\frac{\text{错误比特数}}{\text{总比特数}}\\ 38 | &=\frac{\bar{n}\cdot\text{错误符号数}}{K\cdot\text{总符号数}}\\ 39 | &=\frac{K\cdot M}{2K(M-1)}\cdot\frac{\text{错误符号数}}{\text{总符号数}}\\ 40 | &=\frac{M}{2(M-1)}\text{SER} 41 | \end{split} 42 | \end{equation*} 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/ChapterI.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %ChapterI 2 | \section{绪论}\label{chapter:I} 3 | \HyperBack{chapter:I} 4 | \subsection{引言} 5 | 本章为《通信原理》的绪论，以介绍课程内容为主。 6 | 本笔记与北京邮电大学出版社的《通信原理（第四版）》（周炯槃等著）相配。 7 | 若无特殊说明，本笔记中所提及的"书中页码"均指如上这本书。 8 | \begin{figure}[H] 9 | \begin{equation*} 10 | \xymatrix{ 11 | *+<1.5em>[F]\txt{信源}\ar[r] & *+<1.5em>[F]\txt{编码}\ar[r] & *+<1.5em>[F]\txt{信道}\ar[r] & *+<1.5em>[F]\txt{译码}\ar[r] & *+<1.5em>[F]\txt{信宿} 12 | } 13 | \end{equation*} 14 | \caption{通信系统模型} 15 | \end{figure} 16 | 《通信原理I》的主要内容以数字信号和模拟信号的调制与解调为主, 17 | 《通信原理II》则涉及到关于信道与信道编码等问题。 18 | 19 | \subsection{关于本笔记} 20 | 本笔记是我自己课后整理记录一些重要的或驳杂的知识点，以备复习使用的。 21 | 全文及代码不同步发行于\href{https://github.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/}{GitHub}。 22 | 23 | 文中的粉色的为超链接，点击转跳。而蓝色的公式、图标编号则为交叉引用，点击可以转跳。 24 | 页眉上的\hspace{0.2em}\firstpageofchapter\hspace{0.2em} 代表返回本章首页，\hspace{0.2em}\firstpageofcontent\hspace{0.2em} 则直接返回目录首页，均为点击转跳。 25 | 26 | 有问题请联系笔者， 27 | 直接发QQ\footnote{1310541573}也可以。 28 | 本人也提供一定量的\textcolor{bupt}{\LaTeX{}}论文排版以及\textcolor{bupt}{\LaTeX{}}基础教学。 29 | 30 | 封面上的日期是由 31 | \begin{lstlisting}[language=TeX] 32 | \fcolorbox{bupt}{bupt}{\textbf{\textcolor{white}\today}} 33 | \end{lstlisting} 34 | 生成，保证与编译日期一致。 35 | 36 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/ChapterII.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %ChapterII.tex 2 | \section{确定信号分析}\label{chapter:II} 3 | \HyperBack{chapter:II} 4 | \subsection{傅里叶级数与傅里叶变换} 5 | \paragraph{傅里叶变换与傅里叶级数}\mbox{} 6 | 7 | \begin{align} 8 | &\left\{ \begin{aligned} 9 | x(t) &=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\dif f\\ 10 | X(f) &=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\dif t 11 | \end{aligned} \right.\label{eq:ft_f}\\ 12 | &\left\{ \begin{aligned} 13 | f(t) &=\int_{-\infty}^{\infty}F(\Omega)e^{j\Omega t}\dif \Omega\\ 14 | F(\Omega) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\Omega t}\dif t 15 | \end{aligned} \right.\label{eq:ft_omega}\\ 16 | &\left\{ \begin{aligned} 17 | h(t) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}H(\Omega)e^{j\Omega t}\dif \Omega\\ 18 | H(\Omega) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-j\Omega t}\dif t 19 | \end{aligned} \right. 20 | \end{align} 21 | 22 | 上面是常见的傅里叶变换的三种写法。《信号与系统》多采用\eqaref{eq:ft_omega}的形式， 23 | 本笔记为与书中保持一致， 24 | 使用\eqaref{eq:ft_f}的形式。其性质可以参考\appref{appendix:I}。 25 | 26 | \paragraph{内积、能量与许瓦茨不等式}\mbox{} 27 | 28 | \begin{mydef}{内积}\label{def:inner} 29 | 令$x(t)$，$y(t)$为任意信号，一般情况下可以是时间的复函数，称 30 | \begin{equation} 31 | =\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^*(t)\dif t 32 | \end{equation} 33 | 为信号$x(t)$，$y(t)$的内积。 34 | \end{mydef} 35 | 36 | 通过内积可以定义信号的能量与互能量 37 | \begin{mydef}{能量与互能量}\label{def:energy} 38 | 信号与其自身的内积就是\emph{能量} 39 | \begin{equation} 40 | E_x=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t)\dif t=\int_{-\infty}^{\infty}\abs{x^2(t)}\dif t 41 | \end{equation} 42 | 43 | 而两个信号之间的内积则称作\emph{互能量} 44 | \begin{equation} 45 | E_{xy}=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^*(t)\dif t 46 | \end{equation} 47 | \end{mydef} 48 | 不难发现，互能量满足$E_{xy}=E_{yx}^*$。 49 | 若果两个信号的内积，即互能量为0，则称之为\emph{正交}。 50 | 对于两个信号之和的能量 51 | \begin{equation} 52 | \begin{split} 53 | E_{x+y}&=\int_{-\infty}^{\infty}[x(t)+y(t)]\cdot[x(t)+y(t)]^*\dif t\\ 54 | &=\int_{-\infty}^{\infty}[x(t)x^*(t)+x(t)y^*(t)+y(t)x^*(t)+y(t)y^*(t)]\dif t\\ 55 | &=E_x+E_{xy}+E_{yx}+E_y 56 | \end{split} 57 | \end{equation} 58 | 59 | 可见，当两个信号正交的时候，两个信号之和的能量等于各自能量的加和。 60 | 61 | $x(t)$除以$\sqrt{E_x}$的结果$\dfrac{x(t)}{\sqrt{E_x}}$的能量是 $1$。又有如下定义 62 | \begin{mydef}{归一化相关系数} 63 | 两个能量归一化的信号内积成为归一化相关系数 64 | \begin{equation}\label{eq:Correlation-coefficient} 65 | \rho_{xy}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(t)}{\sqrt{E_x}}\cdot\frac{y(t)}{\sqrt{E_y}}\dif t 66 | \end{equation} 67 | \end{mydef} 68 | 69 | 根据\makebox[0pt][l]{洗袜子}\makebox[0pt][l]{\rule[0.3ex]{3em}{0.7pt}}\rule[1.2ex]{3em}{0.7pt}\footnote{理学院刘吉佑老师的奇妙口音\hspace{-13em}\rule[0.7ex]{13em}{0.7pt}} 70 | 施瓦茨不等式，不难得\footnote{证明见\appref{appendix:III}}: 71 | \begin{align} 72 | \abs{\rho_{xy}}\leq 1\\ 73 | E_{xy}E_{yx}\leq E_xE_y 74 | \end{align} 75 | 当且仅当$y(t)=K\cdot x(t)$时取等，其中$K$是任一常数。 76 | 77 | \subsection{能量谱密度与功率谱密度} 78 | 这一部分的公式总结见\appref{appendix:IV} 79 | 80 | \Emph{需要注意的是，这一部分使用的记号与书上不同}， 81 | 笔记采用的是杨鸿文老师公开课\footnote{\url{https://www.bilibili.com/video/BV11x411G79C}} 82 | 上推导使用的记号，其目的是为了与\defref{def:inner}保持一致， 83 | 把第一个角标对应的信号做时延，放在二元内积运算 $ $ 的左侧 $f$ 的位置上； 84 | 第二个角标对应的信号取共轭，放在二元内积运算 $ $ 的左侧 $g$ 的位置上。 85 | 实际上此记号也与《信号与系统》\footnote{高等教育出版社，吕玉琴版，P240}保持了一致。 86 | 87 | 记号与龙老师给出的记号不一致但仍然等价，使用时请注意\emph{自洽性}。 88 | 89 | \paragraph{能量谱密度与互能量谱密度}\mbox{} 90 | 91 | 如果$x(t)$的能量有限，有$x(t)\leftrightarrow X(f)$，称 92 | \begin{equation} 93 | E_x(f)=\abs{X(f)}^2 94 | \end{equation} 95 | 为$x(t)$的\emph{能量谱密度}。 96 | 97 | $x(t)$与$x(t+\tau)$的内积称为$x(t)$的\emph{自相关函数}： 98 | \begin{equation}\label{eq:RX} 99 | R_x(\tau)==\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau)x^*(t)\dif t 100 | \end{equation} 101 | 可以进行如下的变形处理 102 | \begin{equation} 103 | \begin{split} 104 | R_x(\tau) &=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau)x^*(t)\dif t\\ 105 | &\xrightarrow[\text{变为卷积}]{t=t-\tau}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*[-(\tau-t)]\dif t\\ 106 | &=x(\tau)*x^*(-\tau)\\ 107 | &=\mathscr{F}^{-1}[X(f)X^*(f)]\\ 108 | &=\int_{-\infty}^{\infty}E_x(f)e^{j2\pi f\tau}\dif f 109 | \end{split} 110 | \end{equation} 111 | 112 | 自相关函数$R_x(\tau)$有如下性质： 113 | \subparagraph{\hspace{-1em}}自相关函数与能量谱密度是傅里叶变换对。 114 | \subparagraph{\hspace{-1em}}$R_x(\tau)$在$\tau=0$的时候最大，且$\abs{R_x(\tau)}\leq R_x(0)=E_x$。 115 | 116 | \Proof 117 | 根据施瓦兹不等式\footnote{见\appref{appendix:III}}， 118 | 记$x'(t)=x(t+\tau)$，$R_x(\tau)==E_{x'x}$，则 119 | \begin{equation} 120 | \abs{R_x(\tau)}\leq \sqrt{E_{x'}E_x}=E_x 121 | \end{equation} 122 | 当$x'(t)=K\cdot x(t)$时取等。考虑到$x(t)$是能量信号，为非周期信号， 123 | 则取等条件为$\tau=0$，故自相关函数在$\tau =0$时最大，且最大能量值等于能量。 124 | \subparagraph{\hspace{-1em}}自相关函数满足共轭偶对称$R_x(\tau)=R^*_x(-\tau)$。当$x(t)$为实数时则退化为实偶函数。 125 | 126 | \Proof 注意到$R_x(\tau)\leftrightarrow E(f)$，因为$E(f)$是实函数，所以$R_x(\tau)$是共轭对称函数。 127 | 128 | 结合\eqaref{eq:inner}和\defref{def:energy}可以自然将互谱密度定义为 129 | \begin{mydef}{互能量谱密度} 130 | 两个能量信号$x(t)$,$y(t)$的互能量谱密度为 131 | \begin{equation} 132 | E_{xy}=X(f)Y^*(f);E_{yx}=Y(f)X^*(f) 133 | \end{equation} 134 | \end{mydef} 135 | 相似的，也可以定义互相关函数 136 | \begin{mydef}{互相关函数} 137 | 能量信号$x(t)$,$y(t)$的互相关函数定义为 138 | \begin{equation} 139 | R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau)y^*(t)\dif t 140 | \end{equation} 141 | \end{mydef} 142 | 易得$R_{yx}(\tau)=R_{xy}^*(-\tau)$，当$x=y$时便退化为自相关 143 | 144 | 不难推出，两个能量信号$x(t)$,$y(t)$的和$z(t)=x(t)+z(t)$的自相关函数为 145 | \begin{equation} 146 | R_z=R_x+R_{xy}+R_{yx}+R_y 147 | \end{equation} 148 | 149 | 互相关的施瓦茨不等式的形式为 150 | \begin{equation} 151 | \abs{R_{xy}(\tau)}\leq\sqrt{E_x\cdot E_y} 152 | \end{equation} 153 | \newpage%微调 154 | \paragraph{功率谱密度与互功率谱密度}\mbox{} 155 | 156 | 若$x(t)$的能量无限，先将其截短$x_T(t)=\text{rect}(\dfrac{t}{T})x(t)$，若$x(t)$有界， 157 | 则$x_T(t)$是能量信号 158 | \begin{equation} 159 | E_T=\int_{-\infty}^{\infty}\abs{x_T(t)}^2\dif t=\int_{-\infty}^{\infty}\abs{X_T(f)}^2\dif f 160 | \end{equation} 161 | 则可自然引出: 162 | \begin{mydef}{平均功率与功率谱密度} 163 | x(t)在$\mathbb{R}$上的功率是 164 | \begin{equation} 165 | P_x=\overline{\abs{x(t)}^2}=\lim_{T\to\infty}\frac{E_T}{T}=\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{T\to\infty}\frac{\abs{X_T(f)}^2}{T}\dif f 166 | \end{equation} 167 | 称其中 168 | \begin{equation} 169 | P_x(f)=\lim_{T\to\infty}\frac{\abs{X_T(f)}^2}{T} 170 | \end{equation} 171 | 为功率谱密度 172 | \end{mydef} 173 | 174 | 功率信号的\emph{自相关函数}可以定义如下： 175 | \begin{equation} 176 | R_x(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t+\tau)x^*(t)\dif t 177 | \end{equation} 178 | 179 | 自相关函数$R_x(\tau)$有如下性质： 180 | \subparagraph{\hspace{-1em}}自相关函数与功率谱密度是傅里叶变换对。 181 | 182 | \subparagraph{\hspace{-1em}}$R_x(\tau)$在$\tau=0$的时候最大，且$\abs{R_x(\tau)}\leq R_x(0)=P_x$。 183 | 184 | \subparagraph{\hspace{-1em}}自相关函数满足共轭偶对称$R_x(\tau)=R^*_x(-\tau)$。当$x(t)$为实数时则退化为实偶函数。 185 | 186 | 相似的，互能量谱、互相关函数也可以推广到功率信号上，具体的公式见\appref{appendix:IV}。 187 | 188 | \emph{此处举一例}： 189 | 对于复单频信号$x(t)=e^{j2\pi f_0t}$，不难知其为功率信号。 190 | 其功率为 191 | \begin{equation} 192 | \begin{split} 193 | P_x &=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x^*(t)\dif t\right]\\ 194 | &=\lim_{T\to\infty}\left(\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}1\dif t\right)=1 195 | \end{split} 196 | \end{equation} 197 | 其截短信号$x_T(t)=e^{j2\pi f_0t}\text{rect}(\dfrac{t}{T})$，对应的频谱为： 198 | \begin{equation} 199 | \begin{split} 200 | X_T(f) &=\mathscr{F}[x_T(t)]\\ 201 | &=\mathscr{F}[e^{j2\pi f_0t}\text{rect}(\frac{t}{T})]\\ 202 | &=\mathscr{F}[e^{j2\pi f_0t}]*\mathscr{F}[\text{rect}(\frac{t}{T})]\\ 203 | &=\delta (f-f_0)*T\text{sinc}(Tf)\\ 204 | &=T\text{sinc}[T(f-f_0)] 205 | \end{split} 206 | \end{equation} 207 | 则有 208 | \begin{equation} 209 | \begin{split} 210 | P_x(f) &=\lim_{T\to\infty}\frac{\abs{X_T(f)}^2}{T}\\ 211 | &=\lim_{T\to\infty}T\text{sinc}^2[T(f-f_0)] 212 | \end{split} 213 | \end{equation} 214 | 上极限并不易求得，但是可以根据其性质判断； 215 | 216 | \emph{（1）}对于$f\neq f_0$： 217 | \begin{equation*} 218 | \begin{split} 219 | P_x(f) &=\lim_{T\to\infty}T\text{sinc}^2[T(f-f_0)]\\ 220 | &=\lim_{T\to\infty}\frac{\sin^2[\pi^2 T(f-f_0)]}{\pi^2T(f-f_0)^2}\\ 221 | &\leq\lim_{T\to\infty}\frac{1}{\pi^2 T(f-f_0)^2}=0 222 | \end{split} 223 | \end{equation*} 224 | 同时不难知$P_x(f)$非负，故对于$f\neq f_0$，$P_x(f)=0$。 225 | 226 | \emph{（2）}在整个区间$\mathbb{R}$上的积分(即功率)： 227 | \begin{equation*} 228 | \begin{split} 229 | &\phantom{=}\int_{-\infty}^{\infty}P_x(f)\dif f\\ 230 | &=\lim_{T\to\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}T\text{sinc}^2[T(f-f_0)]\dif f\right\}\\ 231 | &=\lim_{T\to\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}T\text{sinc}^2(Tf)\dif f\right]\\ 232 | &=\lim_{T\to\infty}\left\{T\mathscr{F}\left[\text{sinc}(Tf)\text{sinc}(Tf)\right]\middle\vert_{t=0}\right\}\\ 233 | &=\lim_{T\to\infty}\left\{\frac{T}{T^2}\left[\text{rect}(\frac{t}{T})*\text{rect}(\frac{t}{T})\right]\middle\vert_{t=0}\right\}\\ 234 | &=\lim_{T\to\infty}\left\{\frac{1}{T}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\text{rect}(\frac{\tau}{T})*\text{rect}(\frac{0-\tau}{T})\dif\tau\right]\right\}\\ 235 | &=\lim_{T\to\infty}\frac{T}{T}=1 236 | \end{split} 237 | \end{equation*} 238 | 而考虑到\emph{性质（1）}，可以推测 239 | \begin{equation} 240 | P_x(f)=\delta(f-f_0) 241 | \end{equation} 242 | 243 | 自相关函数 244 | \begin{equation} 245 | \begin{split} 246 | R_x(\tau) &=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t+\tau)x^*(t)\dif t\right]\\ 247 | &=\lim_{T\to\infty}\left[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{j2\pi f_0(t+\tau)}e^{-j2\pi t}\dif t\right]\\ 248 | &=\lim_{T\to\infty}\left(\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{j2\pi f_0\tau}\dif t\right)\\ 249 | &=e^{j2\pi f_0\tau}\lim_{T\to\infty}\left(\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\dif t\right)\\ 250 | &=e^{j2\pi f_0\tau}\lim_{T\to\infty}\left(\frac{T}{T}\right)\\ 251 | &=e^{j2\pi f_0\tau} 252 | \end{split} 253 | \end{equation} 254 | 考虑到自相关函数和功率谱密度为傅里叶变换对，得 255 | \begin{equation} 256 | P_x(f)=\mathscr{F}[R_x(\tau)]=\delta(f-f_0) 257 | \end{equation} 258 | 259 | 结合基函数$e^{j2\pi ft}$的\emph{正交性}，也可以知道： 260 | 对于可以表示成傅里叶级数的周期信号 261 | \begin{equation*} 262 | s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}s_ne^{j\frac{2\pi}{T}nt} 263 | \end{equation*} 264 | 其功率谱密度为 265 | \begin{equation} 266 | P_s(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}s_n^2\delta(f-\frac{2\pi}{T}n) 267 | \end{equation} 268 | 269 | \paragraph{单边谱}\mbox{} 270 | 因为工程中常见的信号为实信号，其其能量谱密度或功率谱密度是一个偶函数， 271 | 故将负数部分折到整数，即 272 | \begin{equation} 273 | P_x^{\text{单边}}(f)=P_x(f)+P_x(-f)=2P_x(f) 274 | \end{equation} 275 | 可以得到 276 | \begin{equation} 277 | P_x=\int_{0}^{\infty}P_x^{\text{单边}}(f)\dif f 278 | \end{equation} 279 | 280 | \paragraph{信号的带宽}\mbox{} 281 | 282 | 带宽是信号频谱的宽度，是信号的能量或功率主要所处的频率范围。 283 | 以下为几种基带信号带宽的定义： 284 | 285 | \subparagraph{\hspace{1em}绝对带宽：\protect\footnote{时间受限的信号一般频域无限，因为绝对带宽只对一些理想模型有意义}} 286 | 如果$P_x(f)$在$[-W,W]$之外确定为0，在$[-W,W]$内基本不为零，则称其\emph{绝对带宽}为$W$。 287 | 288 | \subparagraph{\hspace{1em}主瓣带宽：}若$P_x(f)$的绝对带宽无限，若其存在一些零点（一般是周期性零点）， 289 | 并且大部分功率集中在第一个零点$P_x(W)=0$之内，则称这第一个零点$W$为$x(t)$的\emph{主瓣带宽}。 290 | 291 | \subparagraph{\hspace{1em}3dB带宽：}很多基带信号功率谱的最大值点为$f=0$，即$P_x(0)\geq P_x(f)$。 292 | 此时，功率谱密度相对于最大值下降一半(3dB)的位置就是3dB带宽，即$P_x(W)=\dfrac{1}{2}P_x(0)$。 293 | 294 | \subparagraph{\hspace{1em}等效矩形带宽：}用一个面积相同且高度相同的矩形代替，该矩形的宽度即为等效矩形带宽 295 | \begin{equation} 296 | W=\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}P_x(f)\dif f}{2P_x(0)}=\frac{P_x}{2P_x(0)} 297 | \end{equation} 298 | 299 | \subparagraph{\hspace{1em}功率占比带宽：}如99\% 的含义为 300 | \begin{equation} 301 | \frac{\displaystyle\int_{-W}^{W}P_x(f)\dif f}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}P_x(f)\dif f}=99\% 302 | \end{equation} 303 | 304 | 能量信号号的带宽可以类似定义。 305 | 306 | \subsection{线性时不变系统} 307 | 308 | \paragraph{输入输出关系}\mbox{} 309 | 310 | 线性时不变系统简称线性系统，其输入为$x(t)$，输出为$y(t)$、单位冲激响应为$h(t)$，其关系为$y(t)=x(t)*h(t)$， 311 | 其中$*$为卷积\footnote{见\defref{def:conv}}。对应频域的乘积$Y(f)=X(f)H(f)$。 312 | 313 | 其能量谱与功率谱也有类似变换： 314 | \begin{align} 315 | E_y(f)=E_x(f)\abs{H(f)}^2\\ 316 | P_y(f)=P_x(f)\abs{H(f)}^2 317 | \end{align} 318 | 319 | \paragraph{理想低通与带通滤波器}\mbox{} 320 | 321 | 带宽为$W$的理想低通滤波器的传递函数为 322 | \begin{equation} 323 | H(f)= 324 | \begin{cases} 325 | 1,\hspace{1em}\abs{f}\leq W\\ 326 | 0,\hspace{1em}\abs{f}> W 327 | \end{cases} 328 | \end{equation} 329 | 330 | 带宽为$B$的理想带通滤波器的传递函数为 331 | \begin{equation} 332 | H(f)= 333 | \begin{cases} 334 | 1,\hspace{1em}\mathmakebox[6em][c]{f_L\leq\abs{f}\leq f_H} \\ 335 | 0,\hspace{1em}\mathmakebox[6em][c]{\text{else}} 336 | \end{cases} 337 | \end{equation} 338 | 其中$00$则有： 401 | \begin{equation} 402 | \begin{split} 403 | X(f)=\frac12X_L(f-f_c)\\ 404 | Y(f)=\frac12Y_L(f-f_c)\\ 405 | H(f)=\frac12H_L(f-f_c) 406 | \end{split} 407 | \end{equation} 408 | 记 409 | \begin{equation} 410 | \begin{split} 411 | H_e(f)&=\frac12H_L(f)\\ 412 | h_e(f)&=\frac12h_L(t)\\ 413 | \end{split} 414 | \end{equation} 415 | 不难得到： 416 | \begin{equation} 417 | \begin{split} 418 | Y_L(f)&=X_L(f)H_e(f)\\ 419 | y_L(f)&=x_L(t)*h_e(t) 420 | \end{split} 421 | \end{equation} 422 | 这说明频带信号通过带通系统等效于其复包络通过一个等效的基带系统。 423 | 424 | \subsection{无失真系统} 425 | \paragraph{波形无失真}\mbox{} 426 | 427 | 波形无失真要求所有频率成分的时延相同，仅有幅度发生变化。 428 | 要求在频带内，增益$\abs{H(f)}$为常数，相位则与频率成正比，即相频特性过原点。 429 | \begin{mydef}{时延特性} 430 | 系统的时延特性为 431 | \begin{equation} 432 | \tau(f)=-\frac{\varphi(f)}{2\pi f}\hspace{1em}f>0 433 | \end{equation} 434 | \end{mydef} 435 | 如果$\tau(f)$为定值，不难知道，该定值就是输出相对于输入落后的时间。 436 | 437 | \paragraph{复包络无失真}\mbox{} 438 | 439 | 复包络无失真要求幅频特性为常数，相频特性是一条直线。 440 | \begin{mydef}{群时延特性} 441 | 带通系统的群时延特性为 442 | \begin{equation} 443 | \tau_G(f)=-\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\dif\varphi(f)}{\dif f} 444 | \end{equation} 445 | \end{mydef} 446 | 447 | 若群时延特性为常数，不难知道系统的复包络仅在幅度上发生变化，可以粗略的理解为信号的"轮廓"没有发生该改变。 448 | （这里建议多做几个实验或者仿真计算体会一下） -------------------------------------------------------------------------------- /body/ChapterIII.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %ChapterIII.tex 2 | \section{随机过程}\label{chapter:III} 3 | \HyperBack{chapter:III} 4 | 随机过程就像一个每一个面画着不同波形的骰子\footnote{\url{https://www.bilibili.com/video/BV11x411G79C?p=17}中杨鸿文老师的比喻。}。 5 | 每次掷骰子获得的是一个在时域上的波形，如果单就个时间点看来，获得的就算是一个随机样本了\footnote{具体定义还是看书上27页叭}。 6 | 7 | 随机过程的两个含义： 8 | \vspace{-2ex} 9 | \paragraph{}某一个确定的时刻，随机过程表现为一个随机变量。 10 | \vspace{-2ex} 11 | \paragraph{}随机过程$X(t)$的一个具体取值形成一个样本函数，用$x(t)$表示。 12 | \vspace{1ex} 13 | 14 | 与书中相似的，使用大写字母表示随机变量或随机过程，小写字母表示具体的实现（或者说样本）。 15 | 16 | \subsection{随机过程的统计特性} 17 | 随机过程的统计性质可由其\emph{分布函数}和\emph{概率密度}函数描述 18 | 19 | \subsubsection{单个随机过程的数字特征} 20 | 21 | 随机过程$X(t)$的一维\emph{分布函数}： 22 | \begin{equation} 23 | F_1(x_1,t_2)=\text{Pr}\{X(t_1)\leq x_1\} 24 | \end{equation} 25 | 26 | 随机过程$X(t)$的一维\emph{概率密度函数}： 27 | \begin{equation} 28 | \frac{\partial F_1(x_1,t_1)}{\partial x_1}=p_1(x_1,t_1) 29 | \end{equation} 30 | 31 | 随机过程$X(t)$的$n$维\emph{分布函数}： 32 | \begin{equation} 33 | \begin{split} 34 | &F_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)\\ 35 | &\phantom{F_n}=\text{Pr}\{X(t_1)\leq x_1,X(t_2)\leq x_2,\cdots ,X(t_n)\leq x_n\} 36 | \end{split} 37 | \end{equation} 38 | 39 | 随机过程$X(t)$的$n$维\emph{概率密度函数}： 40 | \begin{equation} 41 | \frac{\partial^n F_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)}{\partial x_1\partial x_2\cdots\partial x_n}=p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n) 42 | \end{equation} 43 | 44 | 使用算子$\mathscr{E}$或$E$代表\emph{统计平均}，统计平均是对某一个确定时刻$t$时所有可能的样本的期望值， 45 | 与之相对的$\overline{(\cdot)}$则是某个算式（可能是关于时间的函数）在整个时域上的平均值。 46 | 47 | 随机过程$X(t)$的\emph{数学期望}： 48 | \begin{equation} 49 | \mathscr{E}[X(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}xp_1(x,t)\dif x=m_X(t) 50 | \end{equation} 51 | 显而易见的，任意个随机过程总可以看作是一个\emph{零均值}的随机过程和一个确定函数的和 52 | \begin{equation} 53 | X(t)=\widetilde{X}(t)+m_X(t) 54 | \end{equation} 55 | 56 | 同样的，随机过程$X(t)$的\emph{方差}： 57 | \begin{equation} 58 | \mathscr{D}[X(t)]=\mathscr{E}[X^2(t)]-m_X^2(t)=\sigma_X^2(t) 59 | \end{equation} 60 | 61 | 随机过程$X(t)$的\emph{自协方差函数}： 62 | \begin{equation} 63 | C_X(t_1,t_2)=\mathscr{E}\{[X(t_1)-m_X(t_1)][X(t_2)-m_X(t_2)]\} 64 | \end{equation} 65 | 66 | \emph{自相关函数}的定义为 67 | \begin{equation} 68 | R_X(t_1,t_2)=\mathscr{E}[X(t_1)X(t_2)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x_1x_2p_2(x_1,x_2;t_1,t_2)\dif x_1\dif x_2 69 | \end{equation} 70 | 可见，当$X(t)$为零均值函数时，自协方差函数与自相关函数定义等价。 71 | 72 | \subsubsection{两个随机过程的数字特征} 73 | $X(t)$ 、$Y(t)$是两个随机过程，其$n+m$维\emph{联合分布函数}： 74 | \begin{equation} 75 | \begin{split} 76 | &F_{n,m}(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n;y_1,y_2,\cdots,y_m;t^{'}_1,t^{'}_2,\cdots,t^{'}_m)\\ 77 | &\phantom{F_{n,m}}=\text{Pr}\{ X(t_1)\leq x_1,X(t_2)\leq x_2,\cdots ,X(t_n)\leq x_n;\phantom{\}}\\ 78 | &\phantom{ F_{n,m}=\text{Pr}\{\thinspace}Y(t^{'}_1)\leq x_1,Y(t^{'}_2)\leq x_2,\cdots ,Y(t^{'}_n)\leq x_n\} 79 | \end{split} 80 | \end{equation} 81 | 82 | $X(t)$ 、$Y(t)$的$n+m$维\emph{联合概率密度函数}： 83 | \begin{equation} 84 | \begin{split} 85 | \frac{\partial^{n+m}F_{n,m}(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n;y_1,y_2,\cdots,y_m;t^{'}_1,t^{'}_2,\cdots,t^{'}_m)}{\partial x_1\partial x_2\cdots\partial x_n\partial y_1\partial y_2\cdots\partial y_m}\\ 86 | =p_{n+m}(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n;y_1,y_2,\cdots,y_m;t^{'}_1,t^{'}_2,\cdots,t^{'}_m) 87 | \end{split} 88 | \end{equation} 89 | 90 | $X(t)$ 、$Y(t)$的\emph{互协方差系数}： 91 | \begin{equation} 92 | C_{XY}(t_1,t_2)=\mathscr{E}\{[X(t_1)-m_X(t_1)][Y(t_2)-m_Y(t_2)]\} 93 | \end{equation} 94 | 如果对于任意的$t_1,t_2$，总有$C_{XY}(t_1,t_2)=0$,则称这两个随机过程\emph{不相关} 95 | \footnote{严格来讲应该称作\emph{不线性相关}，如由$\Theta\sim U(0,2\pi)$产生的两个随机变量$x=\cos\Theta$、$y=\sin\Theta$，虽然满足$C_{XY}=0$，但实际上出现仍受对方影响。}。 96 | 如果两个随机过程相独立，则必不相关；反之不一定成立。独立是比不相关更强的约束条件。 97 | 98 | 99 | $X(t)$ 、$Y(t)$的\emph{互相关函数}： 100 | \begin{equation} 101 | \begin{split} 102 | R_{XY}(t_1,t_2) &=\mathscr{E}[X(t_1)Y(t_2)]\\ 103 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x_1y_1p_x(x_1;t_1)p_y(y_1,t_2)\dif x_1\dif x_2 104 | \end{split} 105 | \end{equation} 106 | 如果对于任意的$t_1,t_2$，总有$R_{XY}(t_1,t_2)=0$,则称这两个随机过程\emph{正交}。 107 | 而且不难发现，当$X(t)$ 、$Y(t)$都是零均值随机过程的时候，互协方差系数就会退化到互相关函数 108 | 109 | 如果$X(t)$ 、$Y(t)$\emph{不相关}，则有 110 | \begin{align} 111 | \mathscr{E}[X(t_1)Y(t_2)]&=\mathscr{E}[X(t_1)]\mathscr{E}[Y(t_2)]\\ 112 | R_{XY}(t_1,t_2)&=m_X(t_1)m_Y(t_2)\\ 113 | R_{XY}(t+\tau,t)&=m_X(t+\tau)m_Y(t) 114 | \end{align} 115 | 116 | 如果退化到$t_1=t_2=t$，则称$X(t)$ 、$Y(t)$在\emph{同一时刻不相关}，则有 117 | \begin{align} 118 | \mathscr{E}[X(t)Y(t)]&=\mathscr{E}[X(t)]\mathscr{E}[Y(t)]\\ 119 | R_{XY}(t,t)&=m_X(t)m_Y(t)\\ 120 | \end{align} 121 | 122 | \subsubsection{随机过程的功率谱密度} 123 | 确定信号的自相关函数与功率谱密度见\appref{appendix:IV}， 124 | 而对于随机信号， 125 | 平均功率谱密度定义为各样本函数的功率谱密度的\emph{统计平均}； 126 | 平均自相关函数定义为各样本函数的自相关函数的\emph{统计平均}: 127 | \begin{align} 128 | \overline{P}_X(f)=\mathscr{E}[P_x(f)]\hspace{10em}\label{eq:avgPXf}\\ 129 | \overline{R}_X(\tau)=\mathscr{E}[\overline{X(t)X(t+\tau)}]=\overline{\mathscr{E}[X(t)X(t+\tau)]}=\overline{R_X(t,t+\tau)}\label{eq:avgRXtau} 130 | \end{align} 131 | 132 | 随机过程功率谱密度有如下性质： 133 | \vspace{-1ex} 134 | 135 | \paragraph{}{维纳--辛钦定理(证明见\appref{appendix:V}。)} 136 | \begin{mythm}{维纳--辛钦定理}\label{thm:Wiener_Khinchin} 137 | 对于随机过程$X(t)$有 138 | \begin{equation} 139 | \overline{R}_X(\tau)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}\overline{P}_X(f) 140 | \end{equation} 141 | \end{mythm} 142 | 143 | \paragraph{}功率谱密度非负：$\overline{P}_X(f)\geq 0$。 144 | 145 | \paragraph{}对于实随机过程，$\overline{P}_X(f)$是偶函数。 146 | 147 | \paragraph{}随机过程的平均功率为 148 | \begin{equation} 149 | \overline{R}_X(0)=\overline{\mathscr{E}[X^2(t)]}=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{P}_X(f)\dif f=\overline{P}_X 150 | \end{equation} 151 | 152 | \paragraph{}随机过程$X(t)$的一个样本$x(t)$通过传递函数为$H(f)$的系统后成为$y(t)$， 153 | 输入的随机性决定了输出的随机性，所有可能的$y(t)$构成了输出的随机过程$Y(t)$的样本空间。 154 | 不难知： 155 | \begin{equation} 156 | \overline{P}_Y(f)=\overline{P}_X(f)\abs{H(f)}^2 157 | \end{equation} 158 | 159 | \paragraph{}若零均值随机过程$X(t)$、$Y(t)$\emph{不相关}， 160 | 则$X(t)+Y(t)$的功率谱密度就是各自的功率谱密度之和：$\overline{P}_X(f)+\overline{P}_Y(f)$。 161 | 162 | \paragraph{}任意个随机过程总可以看作是一个\emph{零均值}的随机过程和一个确定函数的和$X(t)=\widetilde{X}(t)+m_X(t)$， 163 | 那么其功率谱也可以写成$\overline{P}_X(f)=\overline{P}_{\widetilde{X}}(f)+P_M(f)$。 164 | 165 | \subsection{平稳随机过程} 166 | 所谓平稳性，就是随机过程的概率特性或统计特性不随\emph{时间}改变而改变。 167 | \subsubsection{宽平稳与严平稳} 168 | \paragraph{严平稳(狭义平稳)} 169 | 对于随机过程$X(t)$有任意的$n\in N_+$、$\tau \in \mathbb{R}$都有： 170 | \begin{equation} 171 | \begin{split} 172 | F_n &(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)\\ 173 | &=(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1+\tau,t_2+\tau,\cdots,t_n+\tau) 174 | \end{split} 175 | \end{equation} 176 | 177 | 可见其一维分布与时间无关： 178 | \begin{equation} 179 | F_1(x_1;t_1)=F_1(x_1;t_1+\tau)=F_1(x_1) 180 | \end{equation} 181 | 期望和方差也相应地退化为： 182 | \begin{align} 183 | \mathscr{E}[X(t)]=m_X\\ 184 | \mathscr{D}[X(t)]=\sigma_X^2 185 | \end{align} 186 | 187 | 二维分布则仅与时间差\footnote{有发现什么微妙的地方吗，这里的时间差$\tau$用的也是前面减后面，和\eqaref{eq:RX}一样都是。这一点也是\textcolor{bupt}{自洽性}的一部分！不过和龙sir给的恰好相反就是了。}有关： 188 | \begin{equation} 189 | F_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=F_2(x_1,x_2;t_1-t_2,t_2-t_2)=F_2(x_1,x_2;\tau),\hspace{1em}\tau=t_1-t_2 190 | \end{equation} 191 | 自相关函数和自协方差函数也相应退化为： 192 | \begin{align} 193 | R_X(t_1,t_2)=R_X(t_1-t_2)=R_X(\tau)\\ 194 | C_x(t_1,t_2)=R_X(\tau)-m_X^2=C_X(\tau) 195 | \end{align} 196 | 197 | \paragraph{宽平稳(广义平稳)} 198 | 相对于严平稳，宽平稳只要求数学期望和自相关函数不随绝对时间变化，或者说不因观测的时间起点而变化，即 199 | \begin{align} 200 | \mathscr{E}[X(t)]=m_X\hspace{5em}\\ 201 | R_X(t_1,t_2)=R_X(t_1-t_2)=R_X(\tau) 202 | \end{align} 203 | 204 | \subsubsection[各态经历性]{各态经历性（遍历性）} 205 | 随机过程的统计平均特性和其样本函数相应的时间平均特性以概率1相等\footnote{有时候会感觉这句话说起来挺废话的$\ldots$，但不使用“直接相等”而是用“概率1相等”这种说法，应该是与测度论有一定关系。比如说，从实数集$\mathbb{R}$里抽出一个数，应该说是“以概率1不等于0”，而不是直接说不等于0，因为0也在实数集里。有被抽到的"可能性"，但概率是0。}。 206 | 207 | \paragraph{均值遍历过程}\mbox{} 208 | 209 | 若$x(t)$是$X(t)$的一个实现，时间均值为 210 | \begin{equation} 211 | \overline{x(t)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\dif t 212 | \end{equation} 213 | 若$X(t)$的统计平均与其样本函数的时间平均以\emph{概率1相等}，即 214 | \begin{equation} 215 | \text{Pr}\left\{\overline{x(t)}=m_X \right\}=1 216 | \end{equation} 217 | 则称之为\emph{均值遍历过程} 218 | 219 | \paragraph{自相关遍历过程}\mbox{} 220 | 221 | 若$x(t)$是$X(t)$的一个实现，时间均值为 222 | \begin{equation} 223 | \overline{x(t)x(t+\tau)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau)\dif t 224 | \end{equation} 225 | 若随机变量$\overline{x(t)x(t+\tau)}$与$X(t)$的样本函数的自相关函数以\emph{概率1相等}，即 226 | \begin{equation} 227 | \text{Pr}\left\{\overline{x(t)x(t+\tau)}=R_X(\tau) \right\}=1 228 | \end{equation} 229 | 则称之为\emph{自相关遍历过程} 230 | 231 | \subsubsection{联合平稳} 232 | 如果两个$X(t)$和$Y(t)$分别为宽平稳过程，即 233 | \begin{equation*} 234 | \left\{\begin{aligned} 235 | &\mathscr{E}[X(t)]=m_X\\ 236 | &\mathscr{E}[X(t+\tau)X(t)]=R_X(\tau) 237 | \end{aligned}\right. 238 | \hspace{3em} 239 | \left\{\begin{aligned} 240 | &\mathscr{E}[Y(t)]=m_Y\\ 241 | &\mathscr{E}[Y(t+\tau)Y(t)]=R_Y(\tau) 242 | \end{aligned}\right. 243 | \end{equation*} 244 | 此外，还满足 245 | \begin{equation} 246 | \mathscr{E}[X(t+\tau)Y(t)]=R_{XY}(\tau) 247 | \end{equation} 248 | 则称$X(t)$和$Y(t)$联合平稳。 249 | 250 | \subsubsection{复平稳过程} 251 | 复随机过程是一对实随机过程 252 | \begin{equation} 253 | Z(t)=X(t)+jY(t) 254 | \end{equation} 255 | 其中 256 | \begin{align} 257 | X(t)&=\text{Re}[Z(t)]=\frac{1}{2}[Z(t)+Z^*(t)]\\ 258 | Y(t)&=\text{Im}[Z(t)]=\frac{1}{2j}[Z(t)-Z^*(t)] 259 | \end{align} 260 | 261 | 定义\emph{互相关函数}: 262 | \begin{equation} 263 | R_{Z_1Z_2}(t_1,t_2)=\mathscr{E}[Z_1(t_1)Z^*_2(t_2)] 264 | \end{equation} 265 | 进而可以得到\emph{自相关函数} 266 | \begin{equation} 267 | R_{Z}(t_1,t_2)=\mathscr{E}[Z(t_1)Z^*(t_2)] 268 | \end{equation} 269 | 和\emph{共轭自相关函数} 270 | \begin{equation} 271 | R_{ZZ^*}(t_1,t_2)=\mathscr{E}[Z_1(t_1)Z_2(t_2)] 272 | \end{equation} 273 | 274 | 复平稳，要求$Z(t)$的实部$X(t)$和虚部$Y(t)$联合平稳，即 275 | \begin{equation} 276 | \begin{split} 277 | \left\{\begin{aligned} 278 | &\mathscr{E}[X(t)]=m_X\\ 279 | &\mathscr{E}[X(t+\tau)X(t)]=R_X(\tau) 280 | \end{aligned}\right. 281 | \hspace{2em} 282 | \left\{\begin{aligned} 283 | &\mathscr{E}[Y(t)]=m_Y\\ 284 | &\mathscr{E}[Y(t+\tau)Y(t)]=R_Y(\tau) 285 | \end{aligned}\right.\\ 286 | \mathscr{E}[X(t+\tau)Y(t)]=R_{XY}(\tau)\hspace{5em} 287 | \end{split} 288 | \end{equation} 289 | 如果使用之前的定义，可以得到其等价的定义 290 | \begin{equation} 291 | \left\{\begin{aligned} 292 | &\mathscr{E}[Z(t)]=m_Z=m_X+jm_Y\\ 293 | &\mathscr{E}[Z(t+\tau)Z^*(t)]=R_Z(\tau)\\ 294 | &\mathscr{E}[Z(t+\tau)Z(t)]=R_{ZZ^*}(\tau) 295 | \end{aligned}\right. 296 | \end{equation} 297 | 298 | \subsubsection{平稳过程通过线性系统}\label{subsubsec:LITsystem} 299 | \emph{平稳随机过程}$X(t)$，其任一实现为$x(t)$，通过单位冲激响应为$h(t)$，传递函数为$H(f)$的线性时不变系统， 300 | 输出为一随机过程$Y(t)$，其与$x(t)$对应的实现为$y(t)$。 301 | 那么有： 302 | \begin{align} 303 | y(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(u)h(t-u)\dif u\\ 304 | Y(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}X(u)h(t-u)\dif u \label{eq:stochastic_conv}\\ 305 | \mathscr{F}[y(t)]&=H(f)\mathscr{F}[x(t)] 306 | \end{align} 307 | 308 | 对\eqaref{eq:stochastic_conv}两侧求期望有： 309 | \begin{equation} 310 | \begin{split} 311 | m_Y &=\mathscr{E}[Y(t)]\\ 312 | &=\mathscr{E}\left[\int_{-\infty}^{\infty}X(u)h(t-u)\dif u\right]\\ 313 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{E}[X(u)]h(t-u)\dif u\\ 314 | &=m_X\int_{-\infty}^{\infty}h(t-u)\dif u\\ 315 | &=H(0)m_X 316 | \end{split} 317 | \end{equation} 318 | 与时间$t$无关。类似的 319 | \begin{equation}\label{eq:stoc_RY} 320 | \begin{split} 321 | R_Y(\tau) &=\mathscr{E}[Y(t+\tau)Y(t)]\\ 322 | &=\mathscr{E}\left[\int_{-\infty}^{\infty}X(t+\tau-u)h(u)\dif u\int_{-\infty}^{\infty}X(t-v)h(v)\dif v\right]\\ 323 | &=\mathscr{E}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(t+\tau-u)X(t-v)h(u)h(v)\dif u\dif v\right]\\ 324 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{E}\left[X(t+\tau-u)X(t-v)\right]h(u)h(v)\dif u\dif v\\ 325 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}R_X[(t+\tau-u)-(t-v)]h(u)h(v)\dif u\dif v\\ 326 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau-u+v)h(u)h(v)\dif u\dif v 327 | \end{split} 328 | \end{equation} 329 | 仍与$t$无关，可见$Y(t)$也是一个平稳过程。 330 | 再考虑输入输出之间的互相关函数 331 | \begin{equation} 332 | \begin{split} 333 | R_{YX}(t_1,t_2) &=\mathscr{E}[Y(t_1)X(t_2)]\\ 334 | &=\mathscr{E}\left[X(t_2)\int_{-\infty}^{\infty}X(t_1-u)h(u)\dif u\right]\\ 335 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\mathscr{E}[X(t_1-u)X(t_2)]h(u)\dif u\\ 336 | &=\int_{-\infty}^{\infty}R_X[(t_1-u)-t_2]h(u)\dif u\\ 337 | &=\int_{-\infty}^{\infty}R_X[(t_1-t_2)-u]h(u)\dif u\\ 338 | &=R_X(t_1-t_2)*h(u) 339 | \end{split} 340 | \end{equation} 341 | 可见输入输出的互相关函数与时间$t$无关。仅与时间差$\tau=t_1-t_2$有关，即 342 | \begin{equation} 343 | R_{YX}(\tau)=R_X(\tau)*h(\tau) 344 | \end{equation} 345 | 346 | 综上，可见平稳过程通过线性时不变系统，其\emph{输出和输入联合平稳}。 347 | 348 | 对于随机平稳过程$Y(t)$，其功率谱密度与自相关函数是互相关函数， 349 | 对\eqaref{eq:stoc_RY}两侧做傅里叶变换得： 350 | \begin{equation} 351 | \begin{split} 352 | P_Y(f) &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}P_X(f)e^{-j2\pi f(u-v)}h(u)h(v)\dif u\dif v\\ 353 | &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}P_X(f)e^{-j2\pi f u}e^{-j2\pi f(-v)}h(u)h(v)\dif u\dif v\\ 354 | &=P_X(f)\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(u)e^{-j2\pi f u}\dif u\right]\cdot\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(v)e^{-j2\pi f (-v)}\dif v\right]\\ 355 | &=P_X(f)H(f)H(-f) 356 | \end{split} 357 | \end{equation} 358 | 对于实系统，$h(t)$是一个实信号，$H(f)$是一个共轭偶对称函数，所以 359 | \begin{equation} 360 | P_Y(f)=P_X(f)H(f)H^*(f)=P_X(f)\abs{H(f)}^2 361 | \end{equation} 362 | 363 | \subsubsection{窄带平稳过程的解析信号与复包络} 364 | 有一\emph{零均值}得实过程$X(t)$，其解析信号为 365 | \begin{equation} 366 | Z(t)=X(t)+j\hat{X}(t) 367 | \end{equation} 368 | 其中$\hat{X}(t)$是$X(t)$通过希尔伯特变换器的输出。 369 | 由上一节的内容可知，$Z(t)$是一零均值复平稳过程。 370 | 371 | 可以知道，其功率谱$P_{\hat{X}}(f)=P_X(f)\abs{\text{sgn}(f)}^2=P_X(f)$， 372 | 而且自相关函数和功率谱密度为傅里叶变换对,故 373 | \begin{equation} 374 | R_{\hat{X}}(\tau)=R_X(\tau) 375 | \end{equation} 376 | 377 | 而输入输出的互相关函数有 378 | \begin{align} 379 | R_{\hat{X}X}(\tau)&=R_X(\tau)*h(\tau)=\hat{R}_X(\tau)\\ 380 | R_{X\hat{X}}(\tau)&=\hat{R}_X(-\tau)=-\hat{R}_X(\tau) 381 | \end{align} 382 | 383 | 解析信号$Z(t)$的自相关函数 384 | \begin{equation} 385 | \begin{split} 386 | R_Z(\tau)&=\mathscr{E}[Z(t+\tau)Z^*(t)]\\ 387 | &=\mathscr{E}\{[X(t+\tau)+j\hat{X}(t+\tau)][X(t)-j\hat{X}(t)]\}\\ 388 | &=\mathscr{E}[X(t+\tau)X(t)]-j\mathscr{E}[X(t+\tau)\hat{X}(t)]\\ 389 | &\phantom{=}+j\mathscr{E}[\hat{X}(t+\tau)X(t)]+\mathscr{E}[\hat{X}(t+\tau)\hat{X}(t)] 390 | \end{split} 391 | \end{equation} 392 | 结合定义与之前的结果有 393 | \begin{equation} 394 | \begin{split} 395 | R_Z(\tau)&=R_X(\tau)-jR_{X\hat{X}}(\tau)+jR_{\hat{X}X}(\tau)+R_{\hat{X}}\\ 396 | &=2[R_X(\tau)+j\hat{R}_X(\tau)] 397 | \end{split} 398 | \end{equation} 399 | 是自相关的解析信号的二倍，类似于上面的推导也可以得到$R_{ZZ^*}(\tau)=0$，即零均值平稳过程的解析信号与其共轭信号\emph{不相关}。 400 | 401 | 由自相关函数进而不难知道，解析信号的功率谱密度为 402 | \begin{equation}\label{eq:jiexigonglv} 403 | P_Z(f)=\left\{ 404 | \begin{aligned} 405 | 4P_X(f),\phantom{000}f>0\\ 406 | 0,\phantom{4P_X(f)00}f<0 407 | \end{aligned} 408 | \right. 409 | \end{equation} 410 | 411 | 412 | 与确定信号类似的，也可以定义\emph{零均值平稳过程}的复包络 413 | \begin{equation} 414 | X_L(t)=Z(t)e^{-j2\pi f_ct} 415 | \end{equation} 416 | 可以知道的是 417 | 统计平均 418 | \begin{equation} 419 | \mathscr{E}[X_L(t)]=\mathscr{E}[Z(t)]e^{-j2\pi f_ct}=0\\ 420 | \end{equation} 421 | 自相关函数 422 | \begin{equation}\label{eq:fubaoluozixiangguan} 423 | \begin{split} 424 | R_{X_L}(\tau)&=\mathscr{E}[X_L(t+\tau)X^*_L(t)]\\ 425 | &=\mathscr{E}[Z(t+\tau)e^{-j2\pi f_c(t+\tau)}Z^*(t)e^{j2\pi f_ct}]\\ 426 | &=R_Z(\tau)e^{-j2\pi f_c\tau} 427 | \end{split} 428 | \end{equation} 429 | 共轭自相关函数 430 | \begin{equation} 431 | \begin{split} 432 | R_{X_LX_L^*}(\tau) &=\mathscr{E}[X_L(t+\tau)X_L(t)]\\ 433 | &=\mathscr{E}[Z(t+\tau)e^{-j2\pi f_c(t+\tau)}Z(t)e^{-j2\pi f_ct}]\\ 434 | &=0 435 | \end{split} 436 | \end{equation} 437 | 438 | 可见，零均值平稳带通过程的复包络是零均值复平稳过程。 439 | 440 | 对\eqaref{eq:fubaoluozixiangguan}两侧做傅里叶变换，带入\eqaref{eq:jiexigonglv}，得 441 | \begin{equation} 442 | P_L(f)=4P_X(f+f_c),\hspace{1em}\abs{f}x\right\}=Q\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right) 631 | \end{equation} 632 | \subsubsection{联合高斯} 633 | 设$\bm Z=(Z_1,Z_2,\cdots,Z_n)^T$是一个随机列向量，其中$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$是独立同分布的标准正态随机变量， 634 | 那么这$n$个随机变量和常数的线性组合$\bm X$服从联合分布，即 635 | \begin{equation} 636 | \bm X=\bm{AZ}+\bm b 637 | \end{equation} 638 | 这一点通过之前的对角化也可以体现出来。 639 | 640 | \subsubsection{高斯过程} 641 | 随机过程$X(t)$在$t_1,t_2,\cdots,t_n$时刻采样得到$n$个随机变量$X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n)$， 642 | 若对于任意的$n$和任意$t_1,t_2,\cdots,t_n$，$X(t_1),X(t_2),\cdots,X(t_n)$服从联合高斯分布， 643 | 则称其为\emph{高斯过程} 644 | 645 | 而且不难知道，高斯过程与确定信号的\emph{乘积}、\emph{卷积}之后的结果都是高斯过程。 646 | 647 | \subsection{高斯白噪声} 648 | \subsubsection{定义} 649 | 加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise,AWGN) 650 | 651 | \paragraph{加}代表噪声是以线性的加法叠加在信号上，与之相对的是乘性。 652 | 653 | \paragraph{高斯}零均值高斯随机过程，而且高斯随机过程是所有结果中最坏的，以其作为模型可以估算出下界。 654 | 655 | \paragraph{白}借用光学中白的概念，白光是所有波长均匀混合在一起的结果，白噪声代表着各频率上的功率均匀相等。 656 | 657 | $n(t)$为高斯白噪声，其功率谱密度为 658 | \begin{equation} 659 | p_n(f)=\frac{N_0}{2},\hspace{1em}-\infty\beta+1$的边频分量(从功率角度)可忽略不计。 527 | 可以得到\Emph{卡松公式} 528 | \begin{equation}\label{eq:Carson} 529 | B_c=2(\beta+1)W=2\Delta f_{\text{max}}+2W 530 | \end{equation} 531 | 532 | 当原信号调制指数足够小时,$\abs{\varphi(t))}\ll 1$，已调信号 533 | \begin{equation} 534 | \begin{split} 535 | s(t)&=A_c\cos[2\pi f_ct+\varphi(t)]\\ 536 | &=A_c\cos(2\pi f_ct)\cos\varphi(t)-\sin(2\pi f_ct)\sin\varphi(t)\\ 537 | &\approx A_c\cos(2\pi f_ct)-\sin(2\pi f_ct)\varphi(t) 538 | \end{split} 539 | \end{equation} 540 | 此时类似于DSB调制或AM调制。称为\emph{窄带角度调制}，其信号的带宽是基带信号带宽的两倍， 541 | 可以验证卡松公式$B_c=2\Delta f_{\text{max}}+2W\approx 2W$。 542 | \emph{其实际应用较少} 543 | 544 | \subsubsection[调制与解调的物理实现]{调制与解调的物理实现{\hspace{0pt}}\raisebox{1ex}{$\star$}} 545 | 角度调制的调制器主要有两种，\emph{直接调频}和\emph{间接调频}。 546 | 547 | 直接调频是利用压控震荡器(VCO)：当输入电压为零时，振荡器产生一频率为$f_0$的正弦波；当输入基 548 | 带信号的电压变化时，该振荡频率作相应变化。VCO可满足宽带调频的大频偏要求,但很难保证中心频率的稳定性， 549 | 一般通过负反馈的方式进行稳定。 550 | 551 | 间接调频则是首先产生窄带角调信号，然后通过倍频、混频的方式将它变换成宽带角调信号。 552 | 553 | 普通鉴频器的实现方法则是微分器与包络检波器串联。接收到的信号 554 | \begin{equation} 555 | s_{\text{FM}}(t)=A_c\cos\left[2\pi f_ct+2\pi K_f\int_{0}^{t}m(\tau)\dif \tau\right] 556 | \end{equation} 557 | 通过理想微分器的输出是 558 | \begin{equation} 559 | s_{\dif}(t)=\frac{\dif s_{\text{FM}}(t)}{\dif t}=-2\pi A_c\left[f_c+K_fm(t)\right]\sin\left[2\pi f_ct+2\pi K_f\int_{0}^{t}m(\tau)\dif \tau\right] 560 | \end{equation} 561 | 562 | 通过包络检波器并滤掉直流得到 563 | \begin{equation} 564 | y_o(t)=2\pi A_cK_fm(t) 565 | \end{equation} 566 | 实现了对原来信号的解调。 567 | 568 | \subsection{角度调制的抗噪声性能} 569 | FM信号的接收机的形式为：先将接收信号BPF滤波并限幅后进行鉴频，通过LPF后输出。 570 | 571 | 接收机输入信号为 572 | \begin{equation} 573 | \begin{split} 574 | s_i(t)&=A_c\cos\left[2\pi f_ct+\varphi(t)\right]\\ 575 | &=A_c\cos\left[2\pi f_ct+2\pi K_f\int_{0}^{t}m(\tau)\dif \tau\right] 576 | \end{split} 577 | \end{equation} 578 | 579 | 输入噪声为\footnote{这个式子的理解请参考\eqaref{eq:baoluo}和\eqaref{eq:Rayleigh}} 580 | \begin{equation} 581 | n_i(t)=V_n(t)\cos\left[2\pi f_ct+\phi_n(t)\right] 582 | \end{equation} 583 | 584 | 总的输入信号为 585 | \begin{equation} 586 | \begin{split} 587 | r(t)&=A_c\cos\left[2\pi f_ct+2\pi K_f\int_{0}^{t}m(\tau)\dif \tau\right]+V_n(t)\cos\left[2\pi f_ct+\phi_n(t)\right]\\ 588 | &=B(t)\cos[2\pi f_ct+\psi(t)] 589 | \end{split} 590 | \end{equation} 591 | 其信噪比为$\dfrac{A_c^2}{2N_0B}$ 592 | 593 | \begin{figure}[H] 594 | \centering 595 | \includegraphics[scale=0.5]{body/image/FMnoise1.pdf} 596 | \hspace{30pt} 597 | \includegraphics[scale=0.5]{body/image/FMnoise2.pdf} 598 | \caption{矢量合成示意图} 599 | \end{figure} 600 | 601 | 得到$r(t)$类似于矢量和合成，如上图，在大信噪比下，不难知，新合成的的信号$B(t)$的相位为 602 | \begin{equation} 603 | \begin{split} 604 | \psi(t) &=\varphi(t)+\arctan\frac{V_n(t)\sin[\phi_n(t)-\varphi(t)]}{A_c+V_n(t)\cos[\phi_n(t)-\varphi(t)]}\\ 605 | &\approx\varphi(t)+\arctan\frac{V_n(t)\sin[\phi_n(t)-\varphi(t)]}{A_c}\\ 606 | &\approx\varphi(t)+\frac{V_n(t)\sin[\phi_n(t)-\varphi(t)]}{A_c} 607 | \end{split} 608 | \end{equation} 609 | 因为AWGN是各向同性的，$\phi_n(t)$是在$[0,2\pi]$上的均匀分布， 610 | 故$V_n(t)\sin[\phi_n(t)-\varphi(t)]$仍是$n_i(t)$的正交分量$n_s(t)$ 611 | \footnote{当然也可以是同相分量$n_c(t)$，这里乘的是$\sin$，就姑且用正交分量了}。 612 | 613 | 所以瞬时相位偏移 614 | \begin{equation} 615 | \psi(t)\approx\varphi(t)+\frac{n_s(t)}{A_c} 616 | \end{equation} 617 | 618 | 鉴频器输出 619 | \begin{equation} 620 | y_o(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\dif}{\dif t}\psi(t)=\underbrace{K_fm(t)}_{\text{有用信号}}+\underbrace{\frac{1}{2\pi A_c}\frac{\dif n_s(t)}{\dif t}}_{\text{噪声}} 621 | \end{equation} 622 | 623 | 输出信号的功率为$P_s=K_f^2P_m$，其带宽W，通过滤波器将噪声信号频域截短，其功率为 624 | \begin{equation} 625 | P_n=\left(\frac{1}{2\pi A}\right)^2\int_{-W}^{W}N_0\abs{j2\pi f}^2\dif f=\int_{-W}^{W}\frac{N_0f^2}{A^2}\dif f=\frac{2N_0W^3}{3A^2} 626 | \end{equation} 627 | 628 | 可见解调输出信噪比为 629 | \begin{equation} 630 | \left(\frac{S}{N}\right)_o=\frac{3A^2K_f^2}{2W^2}\frac{P_m}{N_0W}=\frac{3A^2}{2}\left[\frac{\beta_f}{\text{max}\abs{m(t)}}\right]^2\frac{P_m}{N_0W}=3P_{m_n}\beta_f^2\frac{P_R}{N_0W} 631 | \end{equation} 632 | 其中$P_{m_n}=\dfrac{P_m}{[\text{max}\abs{m(t)}]^2}$，是信号归一化之后的功率，也叫做调制信号功率的均峰比。 633 | 特别的，对于单音正弦信号，$P_{m_n}=0.5$，则 634 | \begin{equation} 635 | \left(\frac{S}{N}\right)_o=1.5\beta_f^2\frac{P_R}{N_0W} 636 | \end{equation} 637 | 638 | FM的调制指数通常大于5，因此FM解调增益很大。FM信号带宽扩展倍数为$2\beta+2$，降低频谱效率换取抗干扰性能。 639 | 640 | 相干解调无门限效应，包络检波存在门限效应。 641 | 如果输入信号的信噪比不够大，比如小于一定的门限，则有用信号的相位会被"淹没"在噪声的相位里，造成接收机不能正常工作。 642 | 643 | 644 | \subsection{各种模拟调制的对比} 645 | 假设原信号$m(t)$为幅度为1、带宽为W的基带平稳过程，有$\mathscr{E}[m(t)]=0$，$\mathscr{E}[m^2(t)]=0.5$(如单音正弦信号)。 646 | 接收机输入端有用信号的功率均为$P_R$。 647 | 648 | 四种调制方式的解调输出信噪比为： 649 | \begin{align} 650 | &\left(\frac{S}{N}\right)_{\text{DSB}}=G_{\text{DSB}}\frac{P_R}{N_02W}=\frac{P_R}{N_0W}\\ 651 | &\left(\frac{S}{N}\right)_{\text{SSB}}=\frac{P_R}{N_0W}\\ 652 | &\left(\frac{S}{N}\right)_{\text{AM}}=\eta\left(\frac{S}{N}\right)_{\text{DSB}}=\frac{P_M}{1+P_M}\frac{P_R}{N_0W}=\frac{1}{3}\frac{P_R}{N_0W}\\ 653 | &\left(\frac{S}{N}\right)_{\text{FM}}=3P_{m_n}\beta_f^2\frac{P_R}{N_0W}=1.5\beta_f^2\frac{P_R}{N_0W} 654 | \end{align} 655 | \begin{table}[H] 656 | \centering 657 | \caption{模拟调制的对比} 658 | \begin{tabular}{c|c|c|c} 659 | \Xhline{1pt} 660 | \textcolor{bupt}{调制} & \textcolor{bupt}{传输带宽} & \textcolor{bupt}{设备复杂性} & \textcolor{bupt}{主要应用} \\ \Xhline{0.5pt} 661 | \textcolor{bupt}{DSB} & 2W & \parbox[t]{12em}{中等；要求相干解调} & \parbox[t]{14em}{模拟数据传输，低带宽多路复用} \\ \Xhline{0.5pt} 662 | \textcolor{bupt}{AM} & 2W & \parbox[t]{12em}{较小；调制与解调简单} & \parbox[t]{14em}{无线电广播系统} \\ \Xhline{0.5pt} 663 | \textcolor{bupt}{SSB} & W & \parbox[t]{12em}{较大；调制解调都比较复杂} & \parbox[t]{14em}{音话通信、音话频分多路通信} \\ \Xhline{0.5pt} 664 | \textcolor{bupt}{VSB} & 略大于W & \parbox[t]{12em}{较大；需要对称滤波} & \parbox[t]{14em}{数据传输、模拟电视} \\ \Xhline{0.5pt} 665 | \textcolor{bupt}{FM} & 2($\beta$+1)W & \parbox[t]{12em}{中等；调制复杂，解调简单} & \parbox[t]{14em}{数据传输、无线广播、微波中继} \\ \Xhline{1pt} 666 | \end{tabular} 667 | \end{table} -------------------------------------------------------------------------------- /body/ChapterV.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %ChapterV.tex 2 | \section{数字信号的基带传输}\label{chapter:V} 3 | \HyperBack{chapter:V} 4 | 5 | 本章及下一章主要研究二进制序列通过数值调制器后在信道中传输并进行解调的基本理论， 6 | 本章是基于基带的调制和基带信道，下一章则是频带信号与频带信道。 7 | 8 | \subsection{数字系统的指标} 9 | 10 | 数字信源与模拟信源最大的区别是\emph{幅值离散、时间离散}。 11 | 12 | \paragraph{信息量的单位}\mbox{} 13 | 14 | 如果离散信源是由"0" 、"1"两个符号构成集合，而且输出的二进制序列中 15 | 这两个符号出现概率相等且各符号之间统计独立，则每个符号的信息量为 16 | \begin{equation} 17 | I=P_1\log_2\frac{1}{P_1}+P_2\log_2\frac{1}{P_2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1~\text{bit} 18 | \end{equation} 19 | 若不满足上述条件，即不等概率出现或符号间相关的情况下，每个符号携带的信息量小于1个比特。 20 | 21 | \paragraph{信息传输速率}\mbox{} 22 | 23 | 在二进制数字通信系统中每秒传送的二进制符号数可以用每秒传送的最大信息量来表征， 24 | 单位为比特每秒(bit/s)。对于二进制系统，若符号间隔为$T_b$(s)， 25 | 每个符号携带的信息为1 bit ，故信息传输速率为$R_b=\dfrac{1}{T_b}$。 26 | 27 | \paragraph{码元传输速率}\mbox{} 28 | 29 | 对于$M$\footnote{因为这里的$M$是一个变量，所以要用斜体，笔者：虽然就是加两个\$但也感觉有点麻烦...有的时候还要考虑因为M的右斜要不要补充间距。} 30 | 进制的数字通信系统，每秒传送的$M$的进制符号数被称为码元传输速率或符号速率，单位为波特(Baud)，简写Bd，或symbol/s。 31 | 32 | 通常$M$是2的整数次幂，即$M=2^K$，表示着每$K$个二进制符号与$M$进制符号之一相对应，则$M$进制符号速率(码元速率)$R_s$ 33 | 与二进制信息速率$R_b$的转换关系为 34 | \begin{equation} 35 | R_s=\frac{R_b}{\displaystyle\log_2M}=\frac{R_b}{K}\hspace{1em}\text{(Baud)} 36 | \end{equation} 37 | 38 | \paragraph{误比特率与误符号率}\mbox{} 39 | 40 | 误比特率，BER\footnote{龙老师：就一个音节别给我拼成[bɜː]！}（Symbol Error Ratio）与误符号率，SER（Symbol Error Ratio）。 41 | 对于$M$进制的数字通信系统中，误符号率是在符号间隔$T_s$内，发送端发出$M$进制符号$s_i$，经过传输后，结束端接收到的信号$\hat s$不为$s_i$的概率， 42 | 用$P\left(\hat s\neq s_i\mid s_i\right)$表示。当$M=2$的时候，符号退化为比特，即误比特率。 43 | 44 | \paragraph{频带利用率}\mbox{} 45 | 46 | 数字通信传输系统的频带利用率定义为：所传输的信息速率(或符号速率)与系统带宽的比值，其单位为bit/s/Hz，而Hz本身就是/s，故单位相当于bit。 47 | 48 | \subsection{数字基带信号的波形及其功率谱密度} 49 | 数字脉冲调制有三种基本方法： 50 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 51 | \item 脉冲幅度调制(PAM)信号 52 | \item 脉冲位置调制(PPM)信号 53 | \item 脉冲宽度调制(PDM)信号 54 | \end{enumerate} 55 | 由于幅度调制的频带利用率高，故本章只考虑PAM。 56 | 57 | \subsubsection{M-ary PAM信号原理} 58 | $M$PMA是将不同取值的符号映射为相同的波形函数，仅幅度不同。过程是先将输入的序列 59 | $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_b\delta(t-nT_b)$进行2/$M$进制转换， 60 | 变为冲击序列$\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-nT_s)$，对于$M=2^K$有$T_s=KT_b$， 61 | 通过发送滤波器变为$s(t)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s)$。 62 | 63 | 这里的幅度$a_n$的选取控制着码型，比如对于二进制信号$M=2$， 64 | 选取$a_n\in\{\pm 1\}$或者$a_n\in\{0,1\}$就是两种不同的码型。 65 | 66 | \subsubsection{常用的数字PAM信号波形/码型极其功率谱} 67 | \emph{这一部分的定义和波形主要见书上80--84页，笔记只作为补充\footnote{其实是技术力不够没办法把波形迅速做成矢量图于是就传球了。}} 68 | 69 | 这里给出对于$s(t)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s)$的一般化的功率谱表达。 70 | 设发送滤波器$g_T(t)\leftrightarrow G_T(f)$，信号$s(t)$的功率谱密度为\footnote{千万不要忘记系数$1/T_s$} 71 | \begin{equation}\label{eq:PAM-Pf} 72 | P_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)e^{j2\pi kT_sf}\abs{G_T(f)}^2 73 | \end{equation} 74 | 75 | 对于i.i.d.二进制信源，每个符号相互独立，而且各符号等概率出现。 76 | 77 | 当$k=0$时 78 | \begin{equation} 79 | R_a(k)=\mathscr{E}[a_n^2]=\sigma_a^2+m_a^2 80 | \end{equation} 81 | 82 | 当$k\neq 0$时 83 | \begin{equation} 84 | R_a(k)=\mathscr{E}[a_na_{n+k}]\mathscr{E}[a_n]\mathscr{E}[a_{n+k}]=m_a^2 85 | \end{equation} 86 | 87 | 那么 88 | \begin{equation}\label{eq:idd-PAM-Pf} 89 | \begin{split} 90 | P_s(f)&=\frac{\sigma_a^2}{T_s}\abs{G_T(f)}^2+\frac{m_a^2}{T_s}\abs{G_T(f)}^2\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi kT_sf}\\ 91 | &=\underbrace{\frac{\sigma_a^2}{T_s}\abs{G_T(f)}^2}_{\text{连续谱}}+\underbrace{\frac{m_a^2}{T_s^2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\abs{G_T\left(\frac{n}{T_s}\right)}^2\delta\left(f-\frac{n}{T_s}\right)}_{\text{离散的周期谱线}} 92 | \end{split} 93 | \end{equation} 94 | 而我们主要关注功率谱如下几方面： 95 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 96 | \item 调制信号的带宽 97 | \item 有无直流分量 98 | \item 有无定时分量等 99 | \end{enumerate} 100 | 101 | %第二点实际上说明了信号是否有无用的功率消耗在了直流上，我们希望的是在一个较短时间内，总可以做到均值接近于零。 102 | 103 | %第三点在实际应用中可以把周期(定时)的分量滤波出来用作抽样。 104 | 105 | \begin{table}[H] 106 | \centering 107 | \caption{六种基本码型的对比} 108 | \begin{tabular}{c|c|c|c} 109 | \Xhline{1pt} 110 | \textcolor{bupt}{码型} & \textcolor{bupt}{主瓣宽度} & \textcolor{bupt}{直流分量} & \textcolor{bupt}{定时分量}\\ \Xhline{0.5pt} 111 | \textcolor{bupt}{单极不归零码} & $R_b$ & 有 & 无 \\ \Xhline{0.5pt} 112 | \textcolor{bupt}{双极不归零码} & $R_b$ & 无 & 无 \\ \Xhline{0.5pt} 113 | \textcolor{bupt}{单极归零码} & $2R_b$ & 有 & 有 \\ \Xhline{0.5pt} 114 | \textcolor{bupt}{双极归零码} & $2R_b$ & 无 & 无 \\ \Xhline{0.5pt} 115 | \textcolor{bupt}{差分码} & $R_b$ & \multicolumn{2}{c}{取决于码型} \\ \Xhline{0.5pt} 116 | \textcolor{bupt}{$M$PAM} & $R_s$ & 无 & 无 \\ \Xhline{1pt} 117 | \end{tabular} 118 | \end{table} 119 | 120 | 举一道应用的例题，书上\emph{[例题5.2.10]}: 121 | 122 | 二进制信息序列$\{b_n\}$的取值为$+1$或$-1$，出现概率相等且符间不相关。 123 | 由其经前后算数加运算得到的前后相关序列$\{a_n\}$， 124 | \begin{equation} 125 | a_n=b_n+b_{n-1}\hspace{1em}\text{(算数加)} 126 | \end{equation} 127 | 若发送滤波器冲激响应$g_T(t)$为矩形不归零脉冲，请写出由此发送的PAM信号$s(t)$的功率谱。 128 | 129 | \paragraph{方法一}： 130 | 131 | \vspace{-2ex} 132 | \begin{equation} 133 | m_a=\mathscr{E}[a_n]=\mathscr{E}[b_n+b_{n-1}]=0\hspace{0.8em} 134 | \end{equation} 135 | \vspace{-6ex} 136 | \begin{equation} 137 | \begin{split} 138 | R_a(k) &=\mathscr{E}[a_na_{n+k}]\\ 139 | &=\mathscr{E}[(b_n+b_{n-1})(b_{n+k}+b_{n+k-1})]\\ 140 | &=\begin{cases} 141 | 2\hspace{2em}m=0\\ 142 | 1\hspace{2em}m=\pm 1\\ 143 | 0\hspace{2em}\text{else} 144 | \end{cases} 145 | \end{split} 146 | \end{equation} 147 | 发送滤波器的冲激响应为 148 | \begin{equation} 149 | g_T(s)=\text{rect}\left[\frac{1}{T_b}(t-\frac{T_b}{2})\right]\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}T_b\text{sinc}\left(T_bf\right)e^{-j2\pi f\frac{T_b}{2}} 150 | \end{equation} 151 | 带入\eqaref{eq:PAM-Pf}得， 152 | \begin{equation} 153 | \begin{split} 154 | P_s(f) &=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_a(k)e^{j2\pi kT_sf}\abs{G_T(f)}^2\\ 155 | &=\frac{1}{T_b}(e^{-j2\pi T_bf}+2+e^{j2\pi T_bf})\abs{T_b\text{sinc}\left(T_bf\right)e^{-j2\pi f\frac{T_b}{2}}}^2\\ 156 | &=2T_b[1+\cos(2\pi T_bf)]\text{sinc}^2\left(T_bf\right)\\ 157 | &=4T_b\cos^2(\pi T_bf)\text{sinc}^2\left(T_bf\right) 158 | \end{split} 159 | \end{equation} 160 | 161 | \paragraph{方法二}： 162 | 163 | 将原系统视作由i.i.d数字信源$\{b_n\}$产生的信号通过发送滤波器后，再通过冲激响应为 164 | $h(t)=\delta(t)+\delta(t-T_b)$的线性时不变系统。 165 | 由\eqaref{eq:idd-PAM-Pf}得通过发送滤波器后的信号的功率谱为 166 | \begin{equation} 167 | \begin{split} 168 | P_{s'}(f) &=\frac{1}{T_b}\abs{T_b\text{sinc}\left(T_bf\right)e^{-j2\pi f\frac{T_b}{2}}}^2\\ 169 | &=T_b\text{sinc}^2\left(T_bf\right) 170 | \end{split} 171 | \end{equation} 172 | 173 | $h(t)$的功率谱为 174 | \begin{equation} 175 | P_h(f)=\abs{1+e^{-j2\pi fT_b}}^2=e^{-j2\pi T_bf}+2+e^{j2\pi T_bf}=4\cos^2(\pi T_bf) 176 | \end{equation} 177 | 总的输出信号的功率谱为 178 | \begin{equation} 179 | P_s(f)=P_{s'}(f)P_h(f)=4T_b\cos^2(\pi T_bf)\text{sinc}^2\left(T_bf\right) 180 | \end{equation} 181 | 182 | \paragraph{方法三}\footnote{实际上这个方法对于更一般的情况，要比前两个情况的计算更复杂。但是对于本题，两个冲激响应平移后拼接而成的新的冲激响应恰好有一个简单的形式，故便于计算。}： 183 | 184 | 沿用上一方法思路，但把$g_T(t)$和$h(t)$视作一个系统。总的冲激响应为 185 | \begin{equation} 186 | \begin{split} 187 | g_{T'}(t)&=g_T(t)*h(t)\\ 188 | &=\text{rect}\left[\frac{1}{T_b}(t-\frac{T_b}{2})\right]+\text{rect}\left[\frac{1}{T_b}(t-\frac{T_b}{2}+T_b)\right]\\ 189 | &=\text{rect}\left[\frac{1}{2T_b}(t-T_b)\right] 190 | \end{split} 191 | \end{equation} 192 | 其功率谱为 193 | \begin{equation} 194 | P_{T'}(f)=\abs{2T_b\text{sinc}(2T_bf)e^{-j2\pi fT_b}}^2=4T_b^2\text{sinc}^2(2T_bf) 195 | \end{equation} 196 | 再由\eqaref{eq:idd-PAM-Pf}得 197 | \begin{equation} 198 | \begin{split} 199 | P_s(f) &=\frac{1}{T_b}4T_b^2\text{sinc}^2(2T_bf)\\ 200 | &=4T_b\frac{\sin^2(2\pi T_bf)}{(2\pi T_bf)^2}\\ 201 | &=4T_b\frac{4\sin^2(\pi T_bf)\cos^2(\pi T_bf)}{4(\pi T_bf)^2}\\ 202 | &=4T_b\cos^2(\pi T_bf)\text{sinc}^2\left(T_bf\right) 203 | \end{split} 204 | \end{equation} 205 | 206 | \subsubsection{常用线路码型} 207 | 线路码型的设计应遵守以下原则 208 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 209 | \item 线路码的功率谱特性与基带信道的频率特性相匹配：无直流分量，减少低频分量。 210 | \item 减少线路码频谱中的高频分量：节省频带，不产生\hyperref[subsubsec:ISI]{ISI}。 211 | \item 便于符号同步信号提取：线路码频谱特性不受信源的统计特性影响；对用户透明，不限制用户的使用。 212 | \item 减少误码扩散。 213 | \item 便于误码检测。 214 | \item 尽量提高编码效率。 215 | \end{enumerate} 216 | 217 | \paragraph{AMI码：传号交替反转码}\mbox{} 218 | 219 | AMI是一种三元码, “1”交替的变换为“+1”和“-1”, “0”保持不变。每个码型都是归零码, 脉冲宽度为符号\emph{宽度的一半}。 220 | 221 | 其优点 222 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 223 | \item 无直流；高频、低频分量小。 224 | \item 全波整流后即为单极性RZ码，可提取定时信息。 225 | \item 具有检错能力，根据极性的交替性可以做出判断。 226 | \end{enumerate} 227 | 228 | 其缺点 229 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 230 | \item 功率谱特性与信源特性密切相关。 231 | \item 连0多时，AMI整流后连0也多，不利于提取高质量的位同步信号。 232 | \end{enumerate} 233 | 234 | 例： 235 | \begin{table}[H] 236 | \centering 237 | \begin{tabular}{c|*{19}{c}c} 238 | \textcolor{bupt}{$b_n$} &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\ \Xhline{0.3pt} 239 | \textcolor{bupt}{$a_n$} &+1 &0 &-1 &+1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &-1 &+1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &-1 240 | \end{tabular} 241 | \end{table} 242 | 243 | \paragraph{HDB3码：三阶高密度双极性码}\mbox{} 244 | 245 | 其特点为“1”交替变换为“+1”和“-1”的半占空归零码,连“0”数不超过3。 246 | 编码规则为 247 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 248 | \item 先变为AMI码, 将连“0”按每4个一组进行划分, 并将4个连“0”用“000V”或“B00V”取代。 249 | \item V的极性与前一个非零符号保持一致, B与前一个非0码极性相反。\footnote{实际上说明BV是同极性} 250 | \item 相邻V满足极性交替反转特性: 相邻V之间有奇数个非0时用“000V”,否则用“B00V”。 251 | \item B符号后的非0符号从V符号开始再交替反转极性。 252 | \end{enumerate} 253 | 其中B代表Balance，保持极性交替规则:与前非0符号极性相反。 254 | V代表Violence，破坏极性交替规则:与前非0符号极性相同。 255 | 256 | 其保持了AMI码的优点；改善了长连0问题，定时提取方便，但直流特性较AMI稍差一点(毕竟V破坏了交替性)。 257 | \emph{与AMI一样，虽然为归零码元，但其交替性使得其频谱主瓣宽度与非归零码一样，都是$R_b$，而且分布在低频\footnote{工作在低频容易受到50Hz的市电干扰。}和高频分布较少。} 258 | 具体图见书上92页图5.2.17。 259 | 260 | 例1： 261 | \begin{table}[H] 262 | \centering 263 | \begin{tabular}{c|*{19}{c}c} 264 | \textcolor{bupt}{\hspace{-3pt}$b_n$\hspace{-3pt}} &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\ \Xhline{0.3pt} 265 | \textcolor{bupt}{\hspace{-3pt}$AMI$\hspace{-3pt}} &+1 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &0 &0 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &0 &0 &-1 \\ \Xhline{0.3pt} 266 | \textcolor{bupt}{} &+1 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{?} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{+V} &0 &0 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{?} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{-V} &0 &0 &-1 \\ \Xhline{0.3pt} 267 | \textcolor{bupt}{\hspace{-3pt}HDB${}_3$\hspace{-3pt}} &+1 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{+V} &0 &0 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{-B} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{-V} &0 &0 &\textcolor{red}{+1} \\\Xhline{0.3pt} 268 | \textcolor{bupt}{}&+1 &0 &-1 &+1 &0 &0 &0 &+1 &0 &0 &0 &-1 &+1 &-1 &0 &0 &-1 &0 &0 &+1 269 | \end{tabular} 270 | \end{table} 271 | 272 | 其译码相对比较简单，每个破坏极性交替的即是V，将其与前3个替换为0并全波整流即可： 273 | \begin{table}[H] 274 | \centering 275 | \begin{tabular}{c|*{19}{c}c} 276 | \textcolor{bupt}{HDB${}_3$\hspace{-2pt}} &+1 &0 &-1 &+1 &0 &0 &0 &\textcolor{red}{+1} &0 &0 &0 &-1 &+1 &-1 &0 &0 &\textcolor{red}{-1} &0 &0 &+1 \\ \Xhline{0.3pt} 277 | {}&+1 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &0 &0 &0 &-1 &+1 &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &\textcolor{pur}{0} &0 &0 &+1 \\ \Xhline{0.3pt} 278 | \textcolor{bupt}{$b_n$\hspace{-2pt}} &1 &0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 279 | \end{tabular} 280 | \end{table} 281 | 282 | \paragraph{nBmB码}\mbox{} 283 | 284 | 是把原信息码流的n位二进制码作为一组，变换为m位二进制码作为新的码组。 285 | 286 | 如下文的双相码、Miller码、CMI码都是1B2B码；光纤数字传输系统则用到5B6B码；ASCII则是一种7B8B码，为7bit + 1CRC。 287 | 288 | \paragraph{CMI (coded mark inversion)码：传号反转码}\mbox{} 289 | 290 | 把“1”交替用11和00, “0”用01来表示。具有检错能力；有较多的电平跃变，定时信息丰富。 291 | 292 | \paragraph{双相码/分相码/Manchester码}\mbox{} 293 | 294 | 曼切斯特码把“1”用10表示, “0”用01表示，频谱中含有丰富的定时信息，严格\emph{无直流漂移}，但功率谱的主瓣宽度比AMI、HDB3功率谱的主瓣宽一倍。 295 | 296 | 用于Ether网、红外通信、RFID、NFC等系统中的线路传输码型。 297 | 298 | \paragraph{Miller码：延迟调制码}\mbox{} 299 | 300 | 密勒码把“1”用10或01表示，“1”码元起始不跃变，中心点出现跃变来表示； 301 | “0”用00或11表示：单个“0”时,保持0前的电平不变，即码元边界及码元中间点电平不跃变。 302 | 连续 “0”，则使连续两个“0”的边界处发生电平跃变。 303 | 304 | 双相码的下降沿对应Miller码的跃变沿，频谱主瓣宽度仍为$2R_b$。常用于磁记录接口, RFID。 305 | 306 | 例； 307 | \begin{table}[H] 308 | \centering 309 | \begin{tabular}{c|*{8}{c}} 310 | \textcolor{bupt}{$b_n$} & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \Xhline{0.3pt} 311 | \textcolor{bupt}{双相码} & 10 & 10 & 01 & 10 & 01 & 01 & 10 & 01 \\ \Xhline{0.3pt} 312 | \textcolor{bupt}{密勒码} & 01 & 10 & 00 & 01 & 11 & 00 & 01 & 11 313 | \end{tabular} 314 | \end{table} 315 | 316 | \subsection[AWGN下的数字基带信号的接收]{在加性高斯白噪声信道条件下数字基带信号的接收} 317 | 在此信道模型中，认为发送的PAM数字基带信号\footnote{在本节中只考虑} 318 | 与随机噪声是相加的，即接收的信号 319 | \begin{equation*} 320 | r(t)=s_i(t)+n_w(t)\hspace{2em}i=1\text{或}2,0\leq t\leq T_b 321 | \end{equation*} 322 | 323 | 其中$n_w(t)$的功率谱为$P(f)=\dfrac{N_0}{2}$。 324 | \subsubsection{利用匹配滤波器的最佳接收} 325 | 326 | 确定信号在受到AWGN的干扰下的最佳接收是采用\hyperref[subsec:matched-filter]{匹配滤波器}，使得在 327 | \emph{最佳采样时刻}的信噪比最大，然后选择合适的判决门限进行判决，可以使平均误比特率最小。 328 | 329 | 对于$s(t)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s)$，在$0\leq t\leq T_b$时， 330 | \vspace{-2ex} 331 | \begin{equation} 332 | s(t)=\begin{cases} 333 | a_1g_T(t)\\ 334 | a_2g_T(t) 335 | \end{cases} 336 | \end{equation} 337 | 338 | 最佳接收时刻为$t_0=T_b$的匹配滤波器的单位冲激响应为 339 | \begin{equation} 340 | h(t)=K\cdot g_T(T_b-t) 341 | \end{equation} 342 | 343 | 不妨设$K=1$，那么最佳接收时刻接收到的信号中有用信号的值为$a_iE_g,i=1,2$。 344 | 其中$E_g$是$g_T(t)$的能量；而噪声的功率则为$\dfrac{N_0}{2}E_g$。 345 | 那么此时接收的的信号可以写成 346 | \begin{equation} 347 | y(T_b)=a_iE_g+Z\sim\mathscr{N}\left(a_iE_g,\sqrt{\frac{N_0}{2}E_g}\right) 348 | \end{equation} 349 | 350 | 判决器为 351 | \vspace{-2ex} 352 | \begin{equation} 353 | \hat{s}(t)=\begin{cases} 354 | a_1,y(T_b)V_T 356 | \end{cases} 357 | \end{equation} 358 | 359 | 对于双极不归零码，$g_T(t)=A,a_1=-1,a_2=1$，每一比特的能量$E_b=E_g=A^2T_b$。 360 | 平均误比特率为 361 | \begin{equation} 362 | P_b=P\left(e\mid a_1\right)P(a_1)+P\left(e\mid a_2\right)P(a_2) 363 | \end{equation} 364 | 可以知道，使误比特率最小的\emph{最佳门限电平} 365 | \begin{equation} 366 | V_T=\frac{N_0}{4}\ln\left[\frac{P(a_1)}{P(a_2)}\right] 367 | \end{equation} 368 | 对于i.i.d信源，则$V_T=0$,误码率 369 | \begin{equation}\label{eq:BERofBNRZ} 370 | P_b=\frac{P(a_1)}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)+\frac{P(a_2)}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) 371 | \end{equation} 372 | 373 | 而对于单极不归零码，$g_T(t)=A,a_1=0,a_2=1$，平均每一比特的能量$E_b=A^2T_b/2$。 374 | 使误比特率最小的\emph{最佳门限电平} 375 | \begin{equation} 376 | V_T=\frac{E_g}{2}+\frac{N_0}{2}\ln\left[\frac{P(a_1)}{P(a_2)}\right] 377 | \end{equation} 378 | 379 | 对于i.i.d信源，则$V_T=\dfrac{E_g}{2}$,误码率 380 | \begin{equation} 381 | P_b=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_g}{4N_0}}\right)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}}\right) 382 | \end{equation} 383 | 384 | \subsection{PAM信号通过限带信道传输} 385 | 不难知道，时域上有限的信号，频域上是无限宽的； 386 | 相应的，严格限带的信号在时域上也是无线宽的。 387 | 所以对于带限信道，必须设计带限基带信号以使信号能无失真通过信道。 388 | 389 | 限带信道可以等效于理想低通滤波器。设其传递函数为$c(t)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}C(f)$， 390 | 那么从信源到判决器之间的等效信道为 391 | \begin{equation} 392 | x(t)=g_T(t)*c(t)*g_R(t)\xleftrightarrow[]{\mathscr{F}}G_T(f)C(f)G_R(f) 393 | \end{equation} 394 | 395 | 那么信源产生的序列$\displaystyle\sum_{n=\infty}^{\infty}a_n\delta(t-nT_s)$， 396 | 判决器在抽样时刻$t=mT_s+t_0$的采样值为 397 | $\displaystyle\sum_{n=\infty}^{\infty}a_nx(mT_s-nT_s)+\gamma(mT_s)$。 398 | 为使误码率足够小， 399 | 必须最大限度减少ISI(Inter Symbol Interference)和随机噪声($\gamma(t)$)的影响。 400 | 其中后者可以靠匹配滤波器来解决。前者则是接下来推导所讨论的内容。 401 | 402 | \subsubsection{符号间干扰}\label{subsubsec:ISI} 403 | 符号间干扰，ISI(Inter Symbol Interference)。 404 | 对于接收到的信号 405 | \begin{equation} 406 | \sum_{n=\infty}^{\infty}a_nx(mT_s-nT_s)=a_mx(0)+\sum_{m\neq n}a_nx(mT_s-nT_s) 407 | \end{equation} 408 | 其中$a_mx(0)$为希望接受到的信号，其余的均为符间干扰。 409 | 410 | \subsubsection{无ISI传输的Nyquist准则} 411 | 412 | 为使接收到的信号码间干扰为零，需满足 413 | \begin{equation} 414 | \begin{split} 415 | x(mT_s-nT_s)=0\hspace{2em}n\neq m\\ 416 | x(mT_s-nT_s)\neq 0\hspace{2em}n= m 417 | \end{split} 418 | \end{equation} 419 | 即相当于总的等效的信号的冲激响应满足 420 | \begin{equation} 421 | x(nT_s)=\begin{cases} 422 | 1\hspace{2em}n=0\\ 423 | 0\hspace{2em}n\neq 0 424 | \end{cases} 425 | \end{equation} 426 | 即对于理想抽样有 427 | \begin{equation} 428 | \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)=\delta(t) 429 | \end{equation} 430 | 做如下变形： 431 | \begin{equation} 432 | \begin{split} 433 | \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)&=\delta(t)\\ 434 | x(t)\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)&=\delta(t)\\ 435 | x(t)\frac{1}{T_s}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi \frac{m}{T_s}t}&=\delta(t)\\ 436 | \sum_{m=-\infty}^{\infty}x(t)e^{j2\pi \frac{m}{T_s}t}&=T_s\delta(t) 437 | \end{split} 438 | \end{equation} 439 | 上式两侧做傅里叶变换则得到 440 | \begin{equation} 441 | \sum_{m=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{m}{T_s}\right)=T_s 442 | \end{equation} 443 | 即得到无码间干扰的奈奎斯特准则： 444 | \begin{mythm}{奈奎斯特准则}\label{thm:Nyquist} 445 | 为使$x(t)$满足 446 | \begin{equation} 447 | x(nT_s)=\begin{cases} 448 | 1\hspace{2em}n=0\\ 449 | 0\hspace{2em}n\neq 0 450 | \end{cases} 451 | \end{equation} 452 | 即无符间干扰，其\emph{充分必要}条件是$x(t)$的傅里叶变换$X(f)$满足 453 | \begin{equation} 454 | \sum_{m=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{m}{T_s}\right)=T_s 455 | \end{equation} 456 | \end{mythm} 457 | 458 | 根据定理则分为以下情况进行讨论： 459 | \paragraph{$R_s>2W$}\mbox{} 460 | 461 | 在此情况下，$T_s<\dfrac{1}{2W}$，任意两个相邻的$X(f-\dfrac{m}{T_s})$与$X(f-\dfrac{m+1}{T_s})$ 462 | 之间没有重叠，必不能满足\hyperref[thm:Nyquist]{奈奎斯特准则}。 463 | 464 | \paragraph{$R_s=2W$}\mbox{} 465 | 466 | 在此情况下，称此时的系统带宽$W=\dfrac{1}{2T_s}$为\emph{奈奎斯特带宽}； 467 | 称此时的符号速率$R_s=2W$为\emph{奈奎斯特速率}； 468 | 称此时的符号周期$R_s$为\emph{奈奎斯特间隔}； 469 | 此时的频带利用率$\dfrac{R_s}{W}=2$Baud/Hz为\emph{理想极限}， 470 | 是系统的最高的频带利用率，但相应的， 471 | 要求此时的传递函数是一个低通滤波器，其物理不可实现。 472 | 473 | 假定存在冲激响应为sinc函数的理想低通滤波器， 474 | 由于\emph{拖尾衰减太慢}，衰减速度是$\dfrac{1}{t}$的，当采样时间间隔不严格等于$T_s$的时候， 475 | 实际的采样就会存在码间干扰。 476 | 477 | \paragraph{$R_s<2W$}\mbox{} 478 | 479 | 此时两个相邻的$X(f-\dfrac{m}{T_s})$与$X(f-\dfrac{m+1}{T_s})$会相互重叠， 480 | 如果想满足\hyperref[thm:Nyquist]{奈奎斯特准则}， 481 | 则需要边沿类似于VSB一样对称滚降。 482 | 483 | 可以使用升余弦型的滤波器， 484 | 其传递函数为 485 | \begin{equation} 486 | X(f)=\begin{cases} 487 | T_s\hspace{18.5em}0\leq\abs{f}\leq\dfrac{1-\alpha}{2T_s}\\ 488 | \dfrac{T_s}{2}\left\{1+\cos\left[\dfrac{\pi T_s}{\alpha}\left(\abs{f}-\dfrac{1-\alpha}{2T_s}\right)\right]\right\}\hspace{2em}\dfrac{1-\alpha}{2T_s}<\abs{f}\leq\dfrac{1+\alpha}{2T_s}\\ 489 | 0\hspace{20.7em}\abs{f}>\dfrac{1+\alpha}{2T_s} 490 | \end{cases} 491 | \end{equation} 492 | 对应的冲激响应为 493 | \begin{equation} 494 | x(t)=\text{sinc}\left(\frac{\pi t}{T_s}\right)\cdot\frac{\cos\left(\dfrac{\pi \alpha t}{T_s}\right)}{1-4\left(\dfrac{\alpha t}{T_s}\right)^2} 495 | \end{equation} 496 | 其中$\alpha$为滚降因子，取值为$0\leq\alpha\leq1$。特别的，当$\alpha=0$时，退化为理想低通滤波器； 497 | 当$\alpha=1$时，退化为一个上抬到x轴上方的余弦周期。 498 | $\alpha$的物理意义是实际的带宽比$\dfrac{1}{T_s}$多出$\alpha$倍。 499 | 一半为了能够在物理上实现，一般要求$\alpha>0.2$。 500 | 501 | \subsection{在理想限带信道及AWGN下数字PAM信号的最佳基带传输} 502 | 对于发送滤波器+信道+匹配滤波器的总体的传递函数$X(f)$， 503 | 在上一节已经证明，如果希望没有符间干扰，则需要满足 504 | \hyperref[thm:Nyquist]{奈奎斯特准则}。 505 | 其中普遍应用的为升序弦滤波器。即 506 | \begin{equation} 507 | G_T(f)C(f)G_R(t)=X(f) 508 | \end{equation} 509 | 510 | 为使判决器采样得到的信噪比最小， 511 | 需要让$G_R(f)$是$G_T(f)C(f)$的\hyperref[subsec:matched-filter]{匹配滤波器}， 512 | 考虑到理想信道的$C(t)$是理想低通滤波器， 513 | 就有 514 | \begin{equation} 515 | G_R(f)=G_T^*(f)\hspace{2em}g_R(t)=g_T(-t) 516 | \end{equation} 517 | 518 | 那么此时就有系统的总体函数为$X(f)=\abs{G_T(f)}^2=\abs{G_R(f)}^2$， 519 | 结合升余弦滤波器则有 520 | \begin{equation} 521 | G_T(f)=G_R(f)=\sqrt{X_{\text{升余弦}}(f)} 522 | \end{equation} 523 | 524 | 若使用双极码，则有发送信号的功率谱\footnote{绘图时应当注意，不同于前面的基于方波的码型，升余弦信号的频谱严格带限。} 525 | \begin{equation} 526 | P_s(f)=\frac{\sigma_a^2}{T_s}X_{\text{升余弦}}(f) 527 | \end{equation} 528 | 529 | 举一道例题:某基带系统的信道为理想信道，带宽为2000Hz，今欲以$M$PAM方式传输速率为6000bit/s的数据。 530 | 需满足：(i)进制数M尽量低; (ii)滚降系数α不低于0.25。请给出这个最佳基带传输系统的设计。 531 | 532 | 通常来讲，\emph{$M$是2的整数次幂} 533 | 534 | (1)$M=2$。此时系统的符号速率$R_s=R_b=6$k Baud/s，其奈奎斯特带宽为3kHz，大于信道的2kHz，不存在满足要求且无符间干扰的传输系统。 535 | 536 | (2)$M=4$。此时系统的符号速率$R_s=\dfrac{R_b}{\log_2M}=3$k Baud/s，其奈奎斯特带宽为1.5kHz。 537 | 为充分利用信道，取$\alpha=\dfrac{1}{3}$的升余弦，即为符合题意的最佳基带传输系统。 538 | 539 | (3)$M=8$。此时系统的符号速率$R_s=\dfrac{R_b}{\log_2M}=2$k Baud/s，其奈奎斯特带宽为1kHz。 540 | 为充分利用信道，取$\alpha=1$的升余弦，该设计仍然合理，但$M$不是最小的结果。 541 | 542 | \subsection{眼图} 543 | 眼图实际是上十一整数个信号周期为宽度在示波器上对输入的PAM信号进行扫描。 544 | 每个周期的波形受到噪声的干扰并相互重叠，产生了类似于人眼的形状，称为眼图。 545 | 从眼图中可以获取如下信息： 546 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 547 | \item 进制数$M$为眼数减一。 548 | \item 眼睛张开的程度反应噪声容限。 549 | \item 眼睛张开最大的时刻也是最佳采样时刻。 550 | \item 眼图斜边的斜率决定了系统的噪声容限，越陡峭对定时误差越敏感。 551 | \item 当码间干扰十分严重的时候，眼睛会接近闭合，此时系统无码严重。 552 | \end{enumerate} 553 | 554 | \subsection{信道均衡} 555 | 因为一般信道的传递函数并不是理想低通滤波器， 556 | 为了仍能理用奈奎斯特准则降低码间干扰， 557 | 故在\emph{接收滤波器}后边串接一个信道均衡器。 558 | 559 | \paragraph{线性均衡器}\mbox{} 560 | 561 | 如书上\emph{107页图5.7.2}，线性均衡器是一个FIR滤波器。 562 | 使用了2N个延迟单元，2N+1个抽头，以及一个加法器构成。 563 | 输入信号经过延迟单元之后，分别和抽头系数$w_n$相乘并求和(加权平均)。 564 | 565 | 关于系数$w_n$的计算一是以最小峰值畸变为准则的\emph{迫零算法}， 566 | 一个是以最小均方误差为准则的\emph{均方误差算法}。 567 | 568 | 前者可以参考\emph{书上108页}。 569 | 其缺点为没有考虑到信道上的加性高斯白噪，矩阵接近奇异矩阵的时候， 570 | 可能会导致噪声被急剧放大。故可以引出平衡符间干扰和噪声的均方误差算法。 571 | 572 | \subsection{部分相应系统} 573 | 在无符间干扰一节中，我们给出了利用升余弦滤波器来实现无符间干扰的的设计。 574 | 但是因为其带宽超过奈奎斯特带宽，降低了频带利用率。 575 | 576 | 所以在本节中使用了相关编码，人为引入\emph{可以解码的}符间干扰， 577 | 以改变频谱形状，在可实现的同时满足奈奎斯特带宽。 578 | 579 | 这里直接使用$\alpha=0$的升余弦滤波器，即带宽为$\dfrac{R_s}{2}$的低通滤波器。 580 | 但在发送滤波器和电平转换之间接入一个相关编码器，其单位冲激响应为 581 | $h(t)=\delta(t)+\delta(t-T_b)$，其功率谱为$P_h(f)=4 cos2(\pi T_bf)$。 582 | 583 | 通过滤波器后，总的传递函数 584 | \begin{equation} 585 | X_1(f)=\begin{cases} 586 | 2\cos(\pi f T_b)e^{-j\pi f T_b}\hspace{1em}\abs{f}\leq\dfrac{1}{2T_b}\\ 587 | 0\hspace{9em}f\text{为其他值} 588 | \end{cases} 589 | \end{equation} 590 | 对应的单位冲激响应为 591 | \begin{equation} 592 | h(t)=\frac{\sin\left(\dfrac{\pi t}{T_b}\right)}{\dfrac{\pi t}{T_b}}+\frac{\sin\dfrac{\pi (t-T_b)}{T_b}}{\dfrac{\pi (t-T_b)}{T_b}}=\frac{T_b^2\sin\dfrac{\pi t}{T_b}}{\pi t(T_b-t)} 593 | \end{equation} 594 | 595 | \begin{figure}[H] 596 | \centering 597 | \subcaptionbox*{(a)频域}[200pt][c]{\includegraphics[scale=0.5]{body/image/book582.pdf}} 598 | \hspace{3em} 599 | \subcaptionbox*{(b)时域}[200pt][c]{\includegraphics[scale=0.5]{body/image/book583.pdf}} 600 | \caption{第一类部分相应系统的时频域特性} 601 | \end{figure} 602 | 603 | 可见其在保证了物理可实现性的同时，加快了拖尾衰减速度，其衰减近似与$\dfrac{1}{t^2}$成正比。 604 | 605 | 接收的到的信号经过判决器后，得到接收到的序列$\{c_n\}$，恢复$\{a_n\}$的方法则为相关编码的反运算： 606 | \begin{equation} 607 | \hat{a}_n=c_n-\hat{a}_{n-1} 608 | \end{equation} 609 | 但是这种方法有一缺点，当出现一个误码之后，后边的一串码都会出现错误，这种现象称之为\emph{误码传播}。 610 | 611 | 为了解决这个这个缺点，可以将原码使用预编码进行处理。系统结构见书上\emph{116页图5.8.4}， 612 | 预编码器定义为 613 | \begin{equation} 614 | d_n=b_n\oplus d_{n-1} 615 | \end{equation} 616 | 即差分编码。 617 | 618 | 不难推导出，当采样输出$c_n=\pm 2$时，判决为0；当采样输出$c_n=0$时，判决为1。 619 | 620 | 例： 621 | \begin{table}[H] 622 | \centering 623 | \begin{tabular}{ll|*{13}{r}} 624 | \textcolor{bupt}{输入数据} & $\{b_n\}$ & & 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0\\ \Xhline{0.3pt} 625 | \textcolor{bupt}{预编码输出}& $\{d_n\}$ & 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1\\ \Xhline{0.3pt} 626 | \textcolor{bupt}{二电平序列}& $\{a_n\}$ &-1&+1&-1&+1&+1&+1&-1&-1&+1&-1&+1&+1&+1\\ \Xhline{0.3pt} 627 | \textcolor{bupt}{采样序列} & $\{c_n\}$ & & 0& 0& 0&+2&+2& 0&-2& 0& 0& 0&+2&+2\\ \Xhline{0.3pt} 628 | \textcolor{bupt}{判决输出} & $\{\hat{b}_n\}$ & & 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0 629 | \end{tabular} 630 | \end{table} 631 | 632 | \subsection{符号同步} 633 | 数字通信系统中，为了能够对接收到的信号进行周期性的采样与判决， 634 | 接收端必须要有一个与收到的数字基带信号的符号速率同步的时钟信号。 635 | 636 | 书中提及两个方法 637 | 638 | \paragraph{谱线法}\mbox{} 639 | 640 | 将原信号平方(不能是归零码)，通过窄带滤波器或者锁相环提取余弦定时信号， 641 | 再将其转化为方波信号作为时钟信号。 642 | 643 | \paragraph{超前-滞后门同步器} 644 | 645 | 具体原理见书上\emph{119}页，其核心原理是利用眼图在最佳采样时刻张开最大，且关于最佳采样时刻对称。 646 | 故在采样时刻两侧$\pm\Delta$的时刻也进行采样，比较大小，将当前采样时刻向较大一侧偏移。 647 | 648 | 649 | 650 | 651 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/ChapterVI.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %ChapterVI.tex 2 | \section{数字信号的频带传输}\label{chapter:VI} 3 | \HyperBack{chapter:VI} 4 | \subsection{引言} 5 | 数字基带信号通过正弦型载波调制成为带通型频带信号。 6 | 该数字调制的基本原理是用数字基带信号去控制正弦型载波的某\emph{参量}。 7 | 且带通型数字调制有二进制和$M$进制（$M>2$）之分。 8 | 如： 9 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 10 | \item 控制载波的幅度，称为振幅键控（ASK）； 11 | \item 控制载波的频率，称为频率键控（FSK）； 12 | \item 控制载波的相位，称为相位键控（PSK）； 13 | \item 联合控制载波的幅度和相位两个参量，称为正交幅度调制（QAM）。 14 | \end{enumerate} 15 | 16 | 数字调制还以线性调制和非线性调制分类。 17 | 线性调制要求从数字序列映射为相继的信号波形符合叠加原理。 18 | 反之则为非线性调制。 19 | 20 | 数字调制还以无记忆调制和有记忆调制来分类。 21 | 若映射的波形与前面一个或多个码元有关，则称为有记忆， 22 | 反之则为无记忆。 23 | 24 | \subsection{二进制数字信号的正弦型载波调制} 25 | \subsubsection{二进制启闭键控(OOK/2ASK)} 26 | OOK(On-Off Keying)，即用二进制数字基带信号控制正弦载波的幅度。 27 | 表达式为： 28 | \begin{equation} 29 | \begin{split} 30 | s_{\text{OOK}}(t) &=A\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_b)\right]\cos(2\pi f_c t)\hspace{2em},a_n\in\{0,1\}\\ 31 | &=\begin{cases} 32 | A\cos(2\pi f_ct)\phantom{0}\hspace{3em}\text{“传号”}\\ 33 | 0\phantom{A\cos(2\pi f_ct)}\hspace{3em}\text{“空号”} 34 | \end{cases}\hspace{1.5em},0\leq t\leq T_b 35 | \end{split} 36 | \end{equation} 37 | 38 | 由表达式可见，这种信号有两种产生方式， 39 | 一是利用类似于第五章成型滤波器的方案（即书上\emph{图6.2.1}）； 40 | 另一种则是使用数字信号通过开关电路控制余弦信号的有无， 41 | 这时候，也可以按照调制系数$a=1$的\hyperref[subsubsec:AM]{AM调制}或者 42 | 基带信号为单极性不归零码的\hyperref[subsubsec:DSB-SCAM]{DSB调制}理解。 43 | 44 | 可以根据\eqaref{eq:idd-PAM-Pf}得到OOK调制信号的功率谱密度 45 | \begin{equation} 46 | \begin{split} 47 | P_s(f)&=\frac{A^2}{4}[P_b(f-f_c)+P_b(f+f_c)]\\ 48 | P_b(f)&=\sigma_a^2T_b\text{sinc}^2(fT_b)+m_a^2\delta(f) 49 | \end{split} 50 | \end{equation} 51 | 其主瓣带宽为两倍基带带宽，即$2R_s$。 52 | 53 | OOK信号可以类比特殊的PAM数字调制，也可以类比AM模拟调制。 54 | 所以可以有三类解调方式： 55 | \vspace{-2ex} 56 | 57 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 58 | \item 匹配滤波器 59 | \item LPF相干解调 60 | \item 非相干解调（包络检波） 61 | \end{enumerate} 62 | 63 | \paragraph{匹配滤波器}\mbox{} 64 | 65 | 在$f_c\gg R_s$的时候，认为一个码元对应的波形是整数个载波周期\footnote{这样对于理论分析比较方便，实际上如果不是整数个周期，则稍微复杂，但在近似下得到的结果类似。}。 66 | 匹配滤波器输出为 67 | \begin{figure}[H] 68 | \centering 69 | \includegraphics[scale=0.8]{body/image/book626.pdf} 70 | \caption{匹配滤波器输出} 71 | \end{figure} 72 | \emph{采样值为每一比特信号的能量$E_1=\dfrac{A^2T_b}{2}$} 73 | 74 | 可见该方法对于定时要求比较高，若稍偏离最佳采样时刻，则会导致有用信号大幅减少。 75 | 76 | 因为OOK可以看作PAM单极性不归零码在$g_T(t)=A\cos(2\pi f_c t)$时候的特例， 77 | 故对于抗噪声性能可以使用类似的分析。这里直接引用结论：在平均比特能量为$E_b=\dfrac{E_1}{2}$时，误比特率 78 | \begin{equation} 79 | P_b=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_1}{4N_0}}\right)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}}\right) 80 | \end{equation} 81 | 82 | \paragraph{LPF相干解调}\mbox{} 83 | 84 | 把调制信号视作DSB信号，先与相干载波相乘得到混有高频成分的基带信号， 85 | 再通过基带\footnote{顺便滤掉了高频成分}的匹配滤波器（相关器）输出， 86 | 然后在最佳采样时刻采样。因为相乘的滤波的过程等价于频带的匹配滤波器， 87 | 所以其性能也与上一种方式相同。 88 | 89 | 但这种方式也会出现与\hyperref[subsubsec:DSB-SCAM]{DSB调制}一样的问题， 90 | 及当解调用的正弦波和接收信号的载波同频但不同相的时候，则会出现采样值受到相位差的影响。 91 | 92 | 在上两种方法中，如果需要考虑到限带系统ISI传输，也可以将发送滤波器设计成升余弦的形式， 93 | 仍然不改变信噪比公式的形式。 94 | 95 | \paragraph{非相干解调}\mbox{} 96 | 97 | 为了解决上一种方式中采样值受相位差的影响较为严重的问题， 98 | 在通过带通滤波器（频带的匹配滤波器）后，再经过包络检波器。 99 | 使用包络进行检测和判决。 100 | 101 | 当发送“传号”的时候，接收信号为余弦信号叠加AWGN， 102 | 其复包络服从\hyperref[eq:Rician-distribution]{莱斯分布}； 103 | 当发送“空号”的时候，接收到的信号只有AWGN， 104 | 其复包络服从\hyperref[eq:Rayleigh]{瑞利分布}。 105 | 106 | 在\emph{高信噪比}\footnote{看看\hyperref[subsubsec:AM]{AM调制}，也是低信噪比不能工作。} 107 | 的情况下，平均误比特率为 108 | 109 | \vspace{-2ex} 110 | \begin{equation} 111 | P_b\approx\frac{1}{2}e^{-\frac{E_b}{2N_0}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}}\right)\approx\frac{1}{2}e^{-\frac{E_b}{2N_0}} 112 | \end{equation} 113 | \vspace{-2ex} 114 | 其性能逊于相干解调。 115 | 116 | \subsubsection{二进制频移键控(2FSK)} 117 | 用二进制数字基带信号去控制正弦波载频的频率称为二进制频移键控(2FSK)。 118 | 此时不妨用$f_1$与$f_2$($f_1>f_2$)分别对应"传号"和"空号"。 119 | 2FSK可以按照相位连续和不连续分为两类。 120 | 121 | 前者使用一个数字开关，通过不同的数字信号，把不同频率的载频振荡器接入线路。 122 | 两个振荡器切换的时候，几乎不能\footnote{无内鬼，来点“实数轴几乎处处不为零”的测度论笑话}做到信号的相位连续。 123 | 124 | 后者则使用类似于角度调制时使用的压控振荡器（VCO），中心频率为$f_c$，使用\emph{双极性归零码}来控制。 125 | 不妨令$f_c=\dfrac{f_1+f_2}{2}$，则有最大频偏$\Delta f=\dfrac{f_1-f_2}{2}$。 126 | 那么发送信号 127 | \vspace{-2ex} 128 | 129 | \begin{equation} 130 | s_{\text{FSK}}(t)= 131 | \begin{cases} 132 | A\cos[2\pi(f_c+\Delta f)t]\hspace{1em}\text{“传号”}\\ 133 | A\cos[2\pi(f_c-\Delta f)t]\hspace{1em}\text{“空号”} 134 | \end{cases}\hspace{2em}0\ll t\ll T_b 135 | \end{equation} 136 | 137 | 为方便后文分析，这里先计算空号与传号之间的\hyperref[eq:Correlation-coefficient]{归一化相关系数}： 138 | \begin{equation}\label{eq:rhoof2fsk} 139 | \rho_{12}=\frac{}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}=\text{sinc}(4\Delta fT_b) 140 | \end{equation} 141 | 142 | 可见两个信号正交的条件为：$2\Delta f=n\cdot\dfrac{R_b}{2},n\in N_+$ 或$2\Delta f\gg R_b$\footnote{注意不同相的时候分析结果也会有所不同。}。 143 | 144 | 接下来讨论2FSK信号的\emph{功率谱密度}。 145 | 146 | 分析可知，相位不连续2FSK的功率谱旁瓣以$\dfrac{1}{f^2}$的速度衰减， 147 | 而相位连续的2FSK的功率谱旁瓣以$\dfrac{1}{f^4}$的速度衰减。 148 | 所以我们主要考虑\emph{相位连续}的2FSK信号。 149 | 150 | 如果把2FSK信号视作两个“互补”的不同频率但\emph{正交}的OOK信号， 151 | 其功率谱的形状则是两个OOK的功率谱直接叠加， 152 | 两个功率谱的最大值相距为$f_1-f_2=2\Delta f$。各自由向左右延伸一个基带带宽$W$， 153 | 故总的带宽为$B_\text{2FSK}=2\Delta f+2W$。 154 | \begin{figure}[H] 155 | \centering 156 | \includegraphics[scale=0.8]{body/image/2FSKPSD.pdf} 157 | \caption{2FSK信号的功率谱} 158 | \end{figure} 159 | 带宽当然也可以类比FM调制，直接使用\hyperref[eq:Carson]{卡松公式}， 160 | 得到$B_\text{2FSK}=2\Delta f+2W$ 161 | 162 | 对于2FSK信号的解调也有相干解调与非相干解调的两种方式 163 | 164 | \paragraph{相干解调}\mbox{} 165 | 166 | 假设使用分别匹配“传号”与“空号”的匹配滤波器。如书上\emph{图6.2.14} 167 | 168 | 当发送$s_1(t)$的时候， 169 | 其匹配滤波器在最佳采样时刻的输出值为$y_{11}=E_{s_1}$， 170 | 输出的噪声为$Z_{11}$，其功率为$\dfrac{N_0}{2}E_{s_1}$； 171 | 另一支路的输出的确定信号为$s_1(t)$与$s_2(t)$的内积， 172 | 即$y_{12}=\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}\rho_{12}$， 173 | 同时有功率为$\dfrac{N_0}{2}E_{s_2}$的噪声$Z_{12}$。 174 | 175 | 当发送$s_2(t)$的时候， 176 | 其匹配滤波器在最佳采样时刻的输出值为$y_{22}=E_{s_2}$， 177 | 输出的噪声为$Z_{22}$，其功率为$\dfrac{N_0}{2}E_{s_2}$； 178 | 另一支路的输出的确定信号为$s_2(t)$与$s_1(t)$的内积， 179 | 即$y_{21}=\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}\rho_{12}$， 180 | 同时有功率为$\dfrac{N_0}{2}E_{s_1}$的噪声$Z_{21}$。 181 | 182 | 当$\rho_{12}=0$，即上文所提到的两个信号正交。 183 | 可以使用两个匹配滤波器的输出的差值作为判决器的输入。 184 | 且对于等幅调频信号，不妨有$E_b=E_{s_1}=E_{s_2}$。 185 | 186 | 当发送$s_1(t)$时，$y_1-y_2$中确定信号的值为$E_b$； 187 | 当发送$s_2(t)$时，$y_1-y_2$中确定信号的值为$-E_b$。 188 | 而且无论发送哪个信号，$y_1-y_2$中的噪声功率均为$N_0E_b$ 189 | \footnote{噪声相互线性叠加的时候，本应有 190 | \begin{equation*} 191 | \mathscr{D}[Z_1-Z_2]=\mathscr{D}[Z_1]+\mathscr{D}[Z_2]-2\mathscr{E}[Z_1Z_2] 192 | \end{equation*} 193 | 根据\eqaref{eq:AWGN-conv}可知，$\mathscr{E}[Z_1Z_2]=0$，故和的功率等于功率的和。 }。 194 | 当0、1等概出现的时候，取判决门限为$V_T=0$。可以得到误比特率 195 | \begin{equation} 196 | P_b=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{E_b}{2N_0}\right) 197 | \end{equation} 198 | 199 | 上述分析是基于$\rho_{12}=0$的前提，此时的接收机设计最简单， 200 | 但实际上，不是性能最优的设计。 201 | 对于等概率发送0、1的系统，按照最佳的设计方案，误码率可以达到\footnote{这个式子根号里的那个分子，就像是余弦定理对吧，实际上就是这样，$\sqrt{E}$对应着信号的幅度，相关系数是\emph{内积}除以各自的幅度，类比一下就是余弦角。} 202 | \begin{equation} 203 | P_b=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_{s_1}+E_{s_2}-\rho_{12}\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}{4N_0}}\right) 204 | \end{equation} 205 | 当$E_b=E_{s_1}=E_{s_2}$时，变为 206 | 207 | \vspace{-2pt} 208 | \begin{equation}\label{eq:BinaryBER} 209 | P_b=\frac{1}{2}\text{erfc}\left[\sqrt{\frac{E_b(1-\rho_{12})}{2N_0}}\right] 210 | \end{equation} 211 | 212 | 上式取$\rho_{12}=0$的时候退化为前文分析结果； 213 | 取$\rho_{12}=1$，即两个实信号相等，误码率变为0.5\footnote{“这不就是扔钢镚吗”————龙哥}； 214 | 可见对于相位连续的2FSK，若想达到最佳性能，则应该使$\text{sinc}(4\Delta fT_b)$取得最小值， 215 | 即$2\Delta f\approx 0.715R_s$，接收机会相对比较复杂； 216 | 取$\rho_{12}=-1$，误码率达到最小值$\text{erfc}\left(\sqrt{E_b/N_0}\right)/2$， 217 | 这也是\eqaref{eq:BERofBNRZ}的结果。此时$s_1(t)=-s_2(t)$，即两个信号同频但反相\footnote{这不就是后面的2PSK吗。}。 218 | 219 | \paragraph{非相干解调}\mbox{} 220 | 221 | 非相干的原理是使用两个分别以$f_1$和$f_2$为中心频率的带通滤波器， 222 | 将接收信号分离为两个OOK信号，然后使用OOK信号的非相干解调的方式（包络检波器）。 223 | 然后使用两路采样值相减进行判决，分析过程略\footnote{反正也是一个莱斯分布一个瑞利分布那一套。}， 224 | 结果为 225 | \begin{equation} 226 | P_b=\frac{1}{2}e^{-\frac{E_b}{2N_0}} 227 | \end{equation} 228 | 和非相干OOK的结果一致 229 | 230 | \subsubsection{二进制移相键控(2PSK/BPSK)} 231 | BPSK,Binary Phase Shift Keying。 232 | 即使用二进制数字基带信号控制正弦波的相位。 233 | \begin{equation} 234 | \begin{split} 235 | s_{\text{BPSK}}(t) &=A\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_b)\right]\cos(2\pi f_c t)\hspace{2em},a_n\in\{0,1\}\\ 236 | &=\begin{cases} 237 | s_1(t)=A\cos(2\pi f_ct)\\ 238 | s_2(t)=-A\cos(2\pi f_ct)=A\cos(2\pi f_ct+\pi) 239 | \end{cases}\hspace{1.5em},0\leq t\leq T_b 240 | \end{split} 241 | \end{equation} 242 | 其形式可以理解为将双极性不归零码与正弦波相乘（DSB调制）。 243 | 可以使用模拟调制法或者键控法产生。 244 | 245 | 其频谱相当于把双极性归零码的频谱向两侧平移到中心频率为$f_c$处，而且没有载频分量（如书上\emph{图6.2.17}）。 246 | 247 | 对于最佳匹配滤波及其等价的LPF相关解调，由\eqaref{eq:BinaryBER}可见， 248 | 其误码率为 249 | \begin{equation} 250 | P_b=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) 251 | \end{equation} 252 | 253 | 对于理想限带的信道，可以把数字信号的基带发送滤波器和匹配滤波器设计成根号升余弦的形式。 254 | 不影响其误比特率的形式。 255 | 256 | \subsubsection{2PSK的载波同步} 257 | 258 | 因为2PSK信号没有离散的载频分量， 259 | 所以不能像OOK一样用锁相环或者窄带滤波器提取载频分量。 260 | 故需要使用\emph{非线性变换}产生离散的载频分量。 261 | 262 | \paragraph{平方环法}\mbox{} 263 | 264 | 对于接收到的2PSK信号 265 | \begin{equation} 266 | s_{\text{2PSK}}(t)=b(t)\cos(2\pi f_ct) 267 | \end{equation} 268 | 其中$b(t)$是基带的双极不归零码，平方后 269 | \begin{equation} 270 | s^2_{\text{2PSK}}(t)=\frac{1}{2}[b^2(t)+b^2(t)\cos(4\pi f_c t)] 271 | \end{equation} 272 | 此时再提取出离散的频率分量，再进行二分频，则得到载频。 273 | 274 | \paragraph{科斯塔斯（COSTAS）环法}\mbox{} 275 | 276 | 具体系统的框图和理论分析见书上\emph{139页}。 277 | 278 | 上述两方法均有一个相同的问题：\emph{相位模糊}。 279 | 280 | 如在平方环法的分频过程中可能得到 281 | \begin{equation} 282 | \cos\left(\frac{4\pi f_ct}{2}\right)=\cos\left(2\pi f_c t\right) 283 | \end{equation} 284 | 也有可能得到 285 | \begin{equation} 286 | \cos\left(\frac{4\pi f_ct+2\pi}{2}\right)=-\cos\left(2\pi f_c t\right) 287 | \end{equation} 288 | 具体得到哪个取决于分频器初始状态。 289 | 290 | 而在科斯塔斯环中，会由电路的初始状态决定落在哪个相位上。 291 | 292 | 当出现相位模糊的情况，如果恢复的载波与接收信号的载波相位相反， 293 | 则会导致解调后的数据0、1反转。 294 | 该问题的解决办法则是使用两个比特之间的相对变化来表示一个比特，即使用差分码。 295 | 296 | \subsubsection{差分移相键控(DPSK)} 297 | 差分移相键控（DPSK）信号产生的框图见书上\emph{140页图6.2.22} 298 | \emph{从后取值模2加（异或）}预编码形成差分码。示例如下 299 | \begin{table}[H] 300 | \centering 301 | \begin{tabular}{c|*{13}{r}} 302 | \textcolor{bupt}{$\{b_n\}$} & & 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0\\ \Xhline{0.3pt} 303 | \textcolor{bupt}{$\{d_n\}$} & 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1\\ \Xhline{0.3pt} 304 | \textcolor{bupt}{$\{a_n\}$} &-1&+1&-1&+1&+1&+1&-1&-1&+1&-1&+1&+1&+1\\ \Xhline{0.3pt} 305 | \textcolor{bupt}{$\{\theta_n\}$} &$\pi$&0&$\pi$&0& 0& 0&$\pi$&$\pi$&0&$\pi$&0&0& 0\\ \Xhline{0.3pt} 306 | \textcolor{bupt}{$\{\theta_n-\theta_{n-1}\}$} & &$\pi$&$\pi$&$\pi$& 0& 0&$\pi$& 0&$\pi$&$\pi$&$\pi$& 0& 0\\ \Xhline{0.3pt} 307 | \textcolor{bupt}{$\{c_n\}$} & & 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0 308 | \end{tabular} 309 | \end{table} 310 | 311 | DPSK信号有两种解调方式： 312 | \paragraph{差分相干解调} 313 | 其原理为将接收信号与其延迟$T_b$后的信号相乘并通过低通滤波器，有 314 | \begin{equation} 315 | \begin{split} 316 | &\cos(2\pi f_ct)\cos[2\pi f_c(t-T_b)]\\ 317 | =&\frac{\cos(2\pi f_cT_b+\theta_n-\theta_{n-1})}{2}+\frac{\cos(4\pi f_ct-2\pi f_c T_b+\theta_n+\theta_{n-1})}{2} 318 | \end{split} 319 | \end{equation} 320 | 认为$T_b$的时间恰好是整数个载波的周期，即$f_c=nT_b$。 321 | 则低通滤波器输出的值为$\cos(\theta_n-\theta_{n-1})$。 322 | 可以$V_T=0$作为上式的判决门限。 323 | 可以得到其误码率为 324 | \begin{equation} 325 | P_b=\frac{1}{2}e^{-\frac{E_b}{N_0}} 326 | \end{equation} 327 | 328 | 另一种解调方式则是先按照2PSK的方式解调，然后再解调差分码， 329 | 假设2PSK的误码率为$P_b$，一个码的正确的条件为它和他前面的码同时正确或者错误，故 330 | \begin{equation} 331 | P_{\text{DPSK}}=1-[P_b^2+(1-P_b)^2]=2P_b(1-P_b)\approx 2P_b 332 | \end{equation} 333 | 334 | \subsection{四相移相键控} 335 | \subsubsection{四相移相键控 QPSK} 336 | 四相移相键控（Quadrature\footnote{原意是“正交”，故也可以叫正交移相键控，但也可以按照Quaternary（四进制）来理解。} Phase Shift Keying，QPSK）， 337 | 是指正弦波有四个可能的相位，即其信号的表达形式为 338 | \begin{equation} 339 | s_i(t)=A\cos(2\pi f_ct+\theta_i)\hspace{2em} i=1,2,3,4\hspace{2em}0\leq t \leq T_s 340 | \end{equation} 341 | 其中$\theta_i=(2i-1)\dfrac{\pi}{4},i=1,2,3,4$。 342 | 这样取的原因是： 343 | \begin{equation*} 344 | \cos\theta_i=\pm\frac{1}{\sqrt{2}};\hspace{2em}\sin\theta_i=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} 345 | \end{equation*} 346 | 那么发送的信号可以写成 347 | \begin{equation} 348 | s_i(t)=\frac{A}{\sqrt{2}}[I(t)\cos(2\pi f_ct)-Q(t)\sin(2\pi f_c t)] 349 | \end{equation} 350 | 其中$I(t)$与$Q(t)$是调制信号的同相分量与正交分量， 351 | 也是两个取值为$\pm 1$的\emph{基带数字信号}。 352 | 353 | 所以不难得到一种QPSK信号的产生方式： 354 | \begin{enumerate}[itemsep=0pt,parsep=0em,label=\color{bupt}\arabic*、,labelsep=0pt,leftmargin=4em] 355 | \item 将二进制信号串并转换按奇偶序列为两路同步的信号。 356 | \item 分别使用$\cos(2\pi f_ct)$和$-\sin(2\pi f_ct)$进行2PSK调制。 357 | \item 将两路信号相加得到QPSK信号。 358 | \end{enumerate} 359 | 360 | 从二进制码到四进制码的映射中，可以使用格雷映射\footnote{但如果使用其他的映射，则可以使用更一般的信号产生方式，即准备四个不同相位的信号，通过数字开关来选择特定的一路（键控法）。}， 361 | 使得当发生误符号的时候，误判为相邻\footnote{在信号空间中的“相邻”。}的符号时， 362 | 仅出现一个比特的变动。降低误符号率。 363 | 364 | QPSK信号是两个正交的2PSK信号的叠加，故功率谱也是两个2PSK信号的叠加。 365 | 如果在二进制信息速率相同的情况下，使用QPSK后符号速率是2PSK的一半，所以功率谱的带宽相比于通信息速率的2PSK调制也会减半。 366 | 367 | QPSK信号的接收也可以使用和2PSK一致的方法。使用两路个支路的匹配滤波器， 368 | 然后\emph{分别判决}，最后进行并串转换。那么其误码率和2PSK的误码率是一致的（毕竟两个正交正交上的信号和噪声都是独立的。） 369 | \begin{equation} 370 | P_b=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) 371 | \end{equation} 372 | 其中比特能量$E_b$是符号能量$E_s$的一半，也可以用发射机发射功率除二进制信息速率获得。 373 | 374 | 所以在信息速率、发射机发送功率，信道噪声功率谱密度一致的情况下， 375 | QPSK和2PSK的抗噪声性能一致，但是有着更小的频带带宽。 376 | 377 | \subsubsection{差分四相移相键控 DQPSK} 378 | 2PSK提取载波的相位模糊的问题，QPSK也会犯，这也是没有办法的事情（叹气）。 379 | 反正叭，差分就对了，一样是性能稍微差一点，还有非相干接收的方法，更差（半恼）。 380 | 381 | \subsubsection{偏移四相移相键控 OQPSK} 382 | 一方面，信道带宽受限，另一方面，放大器的非线性特性使得包络变化剧烈的信号可能会失真。 383 | 如限带的QPSK，如果出现两路信号同时反相的情况，就会出现包络为0的点。 384 | 为了避免这种情况，可以将某一路信号，如$Q$路，推迟半个符号周期，即一个比特周期。 385 | 这种在不影响误码率、解调方式、功率谱密度的情况下，减小了包络的波动。 386 | 387 | \subsection{M进制的数字调制} 388 | \Emph{信号空间的内容建议类比线性代数去学习}，因为没有写这个概念， 389 | 后文会通过注释进行补充， 390 | 统计判决理论建议直接参考教科书。 391 | 其核心为 392 | \begin{figure}[H] 393 | \begin{equation*} 394 | \xymatrix{ 395 | *+<1.5em>[F]\txt{MAP准则}\ar[r] & *+<1.5em>[F]\txt{ML准则}\ar[r] & *+<1.5em>[F]\txt{信号空间中最小欧氏距离} 396 | } 397 | \end{equation*} 398 | \end{figure} 399 | 400 | \subsubsection{M-ary振幅键控} 401 | $M$ASK是在一个一个符号间隔$T_s$中用$M$个可能的离散的电平对应$K=\log_2M$个二进制符号。 402 | 在实际通信中几乎不采用这种调制方式，但其分析对于$M$PSK和QAM仍有意义。 403 | 404 | $M$ASK的信号表示为 405 | \begin{equation} 406 | s_{M\text{ASK}}(t)=\left[\sum_{n=\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s)\right]\cdot \cos(2\pi f_ct) 407 | \end{equation} 408 | 在信号空间中，$M$ASK对应的归一化\footnote{类比于单位向量的模值（2范数）为1，信号的归一化实际上就是其内积、即能量为1}基函数为 409 | \begin{equation} 410 | f_1(t)=\sqrt{\frac{2}{E_g}}g_T(t)\cos(2\pi f_ct),\hspace{2em}0\leq t\leq T_s 411 | \end{equation} 412 | 那么发送的信号则可以使用一维的矢量进行表示 413 | \begin{equation} 414 | \bm s_i=[s_i]\hspace{2em}i=1,2,\cdot,M 415 | \end{equation} 416 | 其中 417 | \begin{equation} 418 | s_i=\sqrt{\frac{E_g}{2}}a_i\hspace{2em}i=1,2,\cdot,M 419 | \end{equation} 420 | 为了使\emph{最小幅度的$M$PAM信号能量为$E_g$，且相邻的两个信号间距相等}，可以取 421 | \begin{equation}\label{eq:AofMASK} 422 | a_i=2i-1-M\hspace{2em}i=1,2,\cdot,M 423 | \end{equation} 424 | 即 425 | \begin{equation*} 426 | -(M-1),\cdots,-3,-1,1,3,\cdots (M-1) 427 | \end{equation*} 428 | 此时两个相邻的信号的最小间距为$d_{\text{min}}=\sqrt{2E_g}$ 429 | 每个符号的平均能量为 430 | \begin{equation}\label{question:sum_of_serises} 431 | E_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^M(\sqrt{\frac{E_g}{2}}a_i)^2=\frac{E_g}{M}\sum_{i=1}^{\frac{M}{2}}(2i-1)^2 =\frac{M^2-1}{6}E_g 432 | \end{equation} 433 | $E_s/T_s$就是发射机的发送功率。 434 | 435 | 发送的信号的功率谱仍可以用\eqaref{eq:idd-PAM-Pf}进行计算基带部分，然后进行平移。 436 | 其中$\sigma_a^2=\dfrac{M(M^2-1)}{3}$ 437 | 438 | 当使用匹配滤波器进行接收的时候，为了计算方便，假定匹配滤波器的响应就是 439 | \begin{equation} 440 | h(t)=f_1(T_s-t) 441 | \end{equation} 442 | 此时其单位冲激响应的能量为1，那么双边功率谱密度为$\dfrac{N_0}{2}$的 443 | 加性高斯白噪通过该滤波器后功率变为$\dfrac{N_0}{2}$。 444 | 445 | 假定每个符号\emph{先验等概发送}， 446 | 接收到的信号经过匹配滤波器求得其在 $f_1(t)$上的投影。 447 | 其发生误符号变为\emph{相邻的左或右的其中一个符号}的概率为 448 | \begin{equation} 449 | p_e=\mathrm{Pr}\left\{n>\frac{d_\text{min}}{2}\right\}=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_g}{2N_0}}\right) 450 | \end{equation} 451 | 而且根据信号空间的图可知，只有$s_1$和$s_{M}$这两个位于信号空间最外侧的两个信号的误符号率是$p_e$（因为只有一个邻居）， 452 | 剩余$M-2$个信号的误符号率都是$2p_e$，故平均误符号率为 453 | \begin{equation} 454 | \mathrm{SER}=\frac{2(M-1)}{M}p_e=\frac{M-1}{M}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{3}{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right) 455 | \end{equation} 456 | 457 | 随着$M$的增大，误符号率快速上升。在误符号率不大的时候，大多数无码只会跳到相邻的判决域。 458 | 假设使用格雷映射，那么此时误比特率 459 | \begin{equation} 460 | \textrm{BER}\approx \frac{\mathrm{SER}}{\log_2M} 461 | \end{equation} 462 | 463 | \subsubsection{M-ary移相键控} 464 | $M$PSK的信号的表达式为 465 | \begin{equation} 466 | s_i(t)=g_T(t)\cos\left[2\pi f_ct+\frac{2\pi(i-1)}{M}+\varphi_0\right] 467 | \end{equation} 468 | 每个符号的能量都相等，有$E_g=2E_s$。 469 | 470 | 其归一化完备正交基是\footnote{注意这个$\sin$的负号，这里实际上为了\hyperref[eq:baoluo]{带同信号的表示}相匹配} 471 | \begin{align} 472 | f_1(t)&=\sqrt{\frac{2}{E_g}}g_T(t)\cos(2\pi f_ct),\phantom{-}\hspace{2em}0\leq t\leq T_s\\ 473 | f_2(t)&=-\sqrt{\frac{2}{E_g}}g_T(t)\sin(2\pi f_ct),\hspace{2em}0\leq t\leq T_s 474 | \end{align} 475 | 476 | 取I路和Q路的基带数字信号 477 | \begin{align} 478 | a_{i_c}=\cos\left[\frac{2\pi}{N}(i-1)+\varphi_0\right]\\ 479 | a_{i_s}=\sin\left[\frac{2\pi}{N}(i-1)+\varphi_0\right] 480 | \end{align} 481 | 原信号可以表示为 482 | \begin{equation} 483 | s_i(t)=\sqrt{E_s}[a_{i_c}f_1(t)+a_{i_s}f_2(t)] 484 | \end{equation} 485 | 486 | 在信号空间中的形状就是圆周上的M等分点，$\varphi$的意义是让$a_{i_c}$和$a_{i_s}$的取值尽可能少， 487 | 如取$\varphi=\dfrac{\pi}{M}$。 488 | 489 | 其信号空间中判决域的划分并不规整，其误符号率的积分无法给出闭式解。 490 | 这里给出其误码率的上界 491 | \begin{equation} 492 | \text{SER}<2\cdot\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{\dfrac{d_\text{min}}{2}}{\sqrt{N_0}}\right)=\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}\cdot\sin^2\frac{\pi}{M}}\right) 493 | \end{equation} 494 | 495 | 与$M$ASK类似的是，如果也是用格雷映射，那么有误比特率 496 | \begin{equation} 497 | \textrm{BER}\approx \frac{\mathrm{SER}}{\log_2M} 498 | \end{equation} 499 | 500 | \subsubsection{M-ary正交幅度调制} 501 | QAM是由两个正交载波的$M$ASK叠加而成的，两个支路I路和Q路相互独立。 502 | 其归一化的完备正交基是 503 | \begin{align} 504 | f_1(t)&=\sqrt{\frac{2}{E_g}}g_T(t)\cos(2\pi f_ct),\hspace{2em}0\leq t\leq T_s\\ 505 | f_2(t)&=-\sqrt{\frac{2}{E_g}}g_T(t)\sin(2\pi f_ct),\hspace{2em}0\leq t\leq T_s 506 | \end{align} 507 | 508 | 取I路和Q路的基带数字信号 509 | \begin{align} 510 | a_{i_c}=\cos\left[\frac{2\pi}{N}(i-1)+\varphi_0\right]\\ 511 | a_{i_s}=\sin\left[\frac{2\pi}{N}(i-1)+\varphi_0\right] 512 | \end{align} 513 | 514 | 当进制数$M$是4的整数次幂的时候，就可以分解成两个$\sqrt{M}$进制的$M$ASK。 515 | 那么其余部分即可参考上文的$M$ASK，如这里的每个支路上的幅度依旧参考\eqaref{eq:AofMASK}。 516 | 但要将上式中的$M$替换为$\sqrt{M}$。 517 | 518 | 在QPSK中，仍有$T_s=T_blog_2M$，由于正交而独立的两支路的功率可以直接叠加， 519 | 故每一路的平均符号能量为$E_s/2$，于是 520 | \begin{equation} 521 | E_s =\frac{M-1}{3}E_g 522 | \end{equation} 523 | 功率谱的形状依旧是类似于$M$ASK，带宽考虑每一支路的信息速率即可。 524 | 525 | 信号空间里两个点最小间距仍然是$d_{\text{min}}=\sqrt{2E_g}$。 526 | 误符号率也可以利用$M$ASK的结论 527 | \begin{equation} 528 | \mathrm{SER}=1-(1-p_e)^2\approx 2\text{SER}_\text{$\sqrt{M}ASK$}=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{3}{2(M-1)}\frac{E_s}{N_0}}\right) 529 | \end{equation} 530 | 如果写成Q函数的形式，则有 531 | \begin{equation} 532 | \mathrm{SER}=4\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)\text{Q}\left(\sqrt{\frac{3}{(M-1)}\frac{E_s}{N_0}}\right) 533 | \end{equation} 534 | Q函数前面系数的意义相当于信号空间中每个点邻居个数的平均值。 535 | 536 | 当$M=4$的时候，4PSK和4QAM均对应着QPSK，性能相等。 537 | 而$M=>$的时候，$M$QAM优于$M$PSK。 538 | 但$M$QAM也有其缺点，就是包络波动过大，对于卫星通信等应用环境等则不方便使用。 539 | 540 | \subsubsection{M-ary频移键控} 541 | $M$FSK是使用$M$个可能的离散频率与$K$个二进制符号相对应。 542 | 543 | 其信号的表达式为 544 | \begin{equation} 545 | \begin{split} 546 | s_i(t) &=\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}\cos(2\pi f_ct+2\pi i\Delta ft)\\ 547 | &=\text{Re}\left[\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}}e^{j2\pi i\Delta ft}e^{j2\pi f_ct}\right] 548 | \end{split} 549 | \end{equation} 550 | 551 | 其中$\Delta f=\dfrac{1}{2T_s}$，根据\eqaref{eq:rhoof2fsk}，不同的信号之间两两正交。 552 | 其完备正交基为 553 | \begin{equation} 554 | f_i(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos 2\pi(f+i\Delta f)t 555 | \end{equation} 556 | 发送信号在信号空间中的表示为 557 | \begin{equation} 558 | s_i(t)=\sqrt{E_s}s_i(t) 559 | \end{equation} 560 | 那么可以使用\hyperref[eq:Carson]{卡松公式}， 561 | 或者利用正交信号功率谱的可加性得到，$M$FSK信号的带宽是 562 | \begin{equation} 563 | B=(M-1)\Delta f+2\frac{1}{T_s}=\frac{M+3}{2T_s}\approx\frac{M}{2T_s} 564 | \end{equation} 565 | 566 | 当发送$s_i(t)$的时候，接收到的在信号空间中的矢量为 567 | \begin{equation*} 568 | ( n_1 , n_2 , \cdots , n_{i-1},n_i+\sqrt{E_s} ,\cdots ,n_M) 569 | \end{equation*} 570 | 误判为$s_{i'}$时需要有$n_{i'}>n_i+\sqrt{E_s}$， 571 | 其中$n_{i'}$和$n_i$是两个不相关\footnote{因为他们经过的滤波器就是正交的，见\eqaref{eq:AWGN-conv}。} 572 | 的高斯白噪，其功率均为$\dfrac{N_0}{2}$。 573 | 故误判的概率为 574 | \begin{equation} 575 | P(e\vert s_i)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_s}{2N_0}}\right) 576 | \end{equation} 577 | 578 | 但对于高进制的$M$FSK系统总的误码率并没有闭式解。 579 | 只能给出其上界 580 | \begin{equation} 581 | \text{SER}\leq \frac{M-1}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right) 582 | \end{equation} 583 | 584 | 关于其误比特率与误符号率之间的转换关系为 585 | \begin{equation} 586 | \text{BER}=\frac{M}{2(M-1)}\text{SER} 587 | \end{equation} 588 | 其证明见\appref{appendix:VIII}。 589 | 590 | 591 | 592 | 593 | 594 | 595 | 596 | 597 | 598 | -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/2DNormalDistribution.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/2DNormalDistribution.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/2FSKPSD.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/2FSKPSD.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/FMnoise1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/FMnoise1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/FMnoise2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/FMnoise2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/NormalDistribution.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/NormalDistribution.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book422a.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book422a.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book422b.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book422b.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book423.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book423.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book426AMmt.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book426AMmt.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book426AMst.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book426AMst.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book582.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book582.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book583.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book583.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/book626.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/book626.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/chap4SSBa.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/chap4SSBa.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/chap4SSBb.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/chap4SSBb.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/chap4SSBc.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/chap4SSBc.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/chap4SSBd.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/body/image/chap4SSBd.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /body/image/image.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | #放插图的文件夹 2 | -------------------------------------------------------------------------------- /log.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %log.tex 2 | \section{更新日志} 3 | 当前编译日期为 4 | \fcolorbox{bupt}{bupt}{\textbf{\textcolor{white}\today}}。 5 | \paragraph{2020/9/6}模板制作完毕。 6 | 7 | 8 | -------------------------------------------------------------------------------- /template/buptlogo.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/template/buptlogo.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /template/buptname.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/phydx0803/BuptPoCNoteBook/a82d0cc7c8735cdd60c5b1ab695a052b71188622/template/buptname.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /template/cover.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | { 2 | \newcommand\dunderline[3][-1pt] 3 | { 4 | { 5 | \setbox0=\hbox{\ttfamily\textcolor{bupt}{#3}} 6 | \ooalign 7 | { 8 | \copy0\cr\rule[\dimexpr#1-#2\relax]{\wd0}{#2} 9 | } 10 | } 11 | } 12 | \newcommand{\titlelist}[2] 13 | { 14 | \centering\songti\zihao{3}\bfseries #1\dunderline[-2pt]{1pt}{\makebox[9em][c]{#2}} 15 | } 16 | \newcommand{\DATA}[2] 17 | { 18 | #1\hspace{0.3em}{\heiti\bfseries 年}\hspace{0.3em}#2\hspace{0.3em}{\heiti\bfseries 月} 19 | } 20 | \begin{titlepage}%封面 21 | \vspace*{-3mm} 22 | \begin{center} 23 | \includegraphics[scale = 0.25]{template/buptname.jpg} 24 | \end{center} 25 | \vspace{-4mm} 26 | \begin{center} 27 | \LARGE\ttfamily\bfseries 28 | \textcolor{bupt}{Beijing University of\\ Posts and Telecommunications} 29 | \end{center} 30 | \vspace{3mm} 31 | \begin{center} 32 | \includegraphics[scale = 0.3]{template/buptlogo.jpg} 33 | \end{center} 34 | \vspace{-8mm} 35 | \begin{center} 36 | \rule[0.5ex]{400pt}{2pt} 37 | \kaishu\zihao{1}\bfseries\textcolor{bupt}{ 38 | \makebox[15em][c]{ 39 | 《通信原理》课程笔记 40 | }} 41 | \rule[1.5ex]{400pt}{2pt} 42 | \end{center} 43 | \vspace{0mm} 44 | \begin{spacing}{1.6} 45 | \titlelist{姓\hspace{2em}名}{刘淙溪} 46 | 47 | %\titlelist{学\hspace{2em}院}{信息与通信工程学院} 48 | 49 | \titlelist{专\hspace{2em}业}{通信工程} 50 | 51 | %\titlelist{班\hspace{2em}级}{2018211116} 52 | 53 | \titlelist{学\hspace{2em}号}{2018210779} 54 | 55 | \titlelist{任课教师}{龙\hspace{1em}航} 56 | 57 | \vspace{5mm} 58 | \fcolorbox{bupt}{bupt}{\textbf{\textcolor{white}{\zihao{5}\today}}} 59 | \end{spacing} 60 | \vspace{\fill} 61 | 62 | \end{titlepage} 63 | } -------------------------------------------------------------------------------- /template/preset.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %preset 2 | %========================================================= 3 | %该模板依照是按照作者个人喜好编写的理工类笔记模板 4 | %适合于公式偏多的理工类课程笔记 5 | %由北京邮电大学信息与通信工程学院201821116班2018210779刘淙溪编写 6 | %如有问题可以自行修改或联系QQ1310541573 7 | %重要提示： 8 | % 1. 请确保使用 UTF-8 编码保存 9 | % 2. 请使用 XeLaTeX编译 10 | % 3. 最初编写环境为Tex Live2020 11 | %========================================================= 12 | \usepackage{syntonly} 13 | \usepackage{color,xcolor} 14 | \definecolor{winered}{rgb}{0.5,0,0} 15 | \definecolor{lightlightgray}{rgb}{0.9,0.9,0.9} 16 | \definecolor{olivegreen}{rgb}{0,0.5,0} 17 | \definecolor{pur}{rgb}{0.7,0,0.7} 18 | \definecolor{bupt}{rgb}{0.00392,0.227451,0.537255} 19 | %==================== 电子文档链接 ======================== 20 | \usepackage{setspace,hyperref} 21 | \newcommand{\linkcolor}{bupt} 22 | \hypersetup{ 23 | colorlinks=true, 24 | linkcolor=black, 25 | citecolor=\linkcolor 26 | } 27 | \usepackage{pifont} 28 | \newcommand{\firstpageofchapter}{\mbox{\makebox[0pt][l]{$\uparrow$}\rule[1.5ex]{0.5em}{0.4pt}}} 29 | \newcommand{\firstpageofcontent}{\mbox{\makebox[0pt][l]{$\Uparrow$}\rule[1.5ex]{0.6em}{0.3pt}\hspace{-0.6em}\rule[1.7ex]{0.6em}{0.3pt}}} 30 | \newcommand{\HyperBack}[1]{\fancyhead[R]{\hyperref[#1]{\firstpageofchapter}}} 31 | \newcommand{\thmref}[1]{{\texttt{\color{\linkcolor}\hyperref[#1]{定理}}{\thinspace\ref{#1}}}} 32 | \newcommand{\defref}[1]{{\texttt{\color{\linkcolor}\hyperref[#1]{定义}}{\thinspace\ref{#1}}}} 33 | \newcommand{\eqaref}[1]{{\color{\linkcolor}\texttt{\hyperref[#1]{式}}{(\thinspace\ref{#1})}}} 34 | \newcommand{\figref}[1]{{\texttt{\color{\linkcolor}\hyperref[#1]{图}}{\thinspace\ref{#1}}}} 35 | \newcommand{\tabref}[1]{{\texttt{\color{\linkcolor}\hyperref[#1]{表}}{\thinspace\ref{#1}}}} 36 | \newcommand{\appref}[1]{{\texttt{\color{\linkcolor}\hyperref[#1]{附录}}{\thinspace\ref{#1}}}} 37 | \newcommand{\secref}[1]{\texttt{\color{\linkcolor}第\ref{#1}章}} 38 | %==================== 文章字体设定 ======================== 39 | \usepackage{fontspec} 40 | %\usepackage{times} 41 | \setmainfont{Times New Roman} 42 | \setsansfont{Consolas} 43 | \setmonofont{Courier New} 44 | %==================== 数学符号公式 ======================== 45 | \usepackage{amsmath} % AMS LaTeX宏包 46 | \usepackage[style=1]{mdframed} 47 | \usepackage{amsthm} 48 | \usepackage{amsfonts} 49 | \usepackage{mathrsfs} % 英文花体字 体 50 | \usepackage{amssymb} % 数学公式中的黑斜体 51 | \usepackage{bm} 52 | \newcommand{\dif}{\text{\upshape d}} 53 | \newcommand{\degree}{^\circ} % 角度制度数符号 54 | \usepackage{mathtools} 55 | \newtagform{buptblue}[\color{bupt}]{\color{bupt}(}{\color{bupt})} 56 | \usetagform{buptblue} 57 | \newcommand{\abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert} 58 | \usepackage{extarrows} 59 | %=================== 页边距尺寸调整 ======================= 60 | \usepackage{geometry} 61 | \geometry{top=2.5cm,bottom=2.5cm,left=2.5cm,right=2.5cm} 62 | \geometry{headheight=1cm,headsep=1cm,footskip=1cm} 63 | \linespread{1.35}\selectfont 64 | %===================== 按章编号 =========================== 65 | \numberwithin{equation}{subsection} 66 | \renewcommand{\theequation}{\arabic{section}-\arabic{subsection}-\arabic{equation}} 67 | \numberwithin{table}{section} 68 | \renewcommand{\thetable}{\arabic{section}-\arabic{table}} 69 | \numberwithin{figure}{section} 70 | \renewcommand{\thefigure}{\arabic{section}-\arabic{figure}} 71 | \numberwithin{footnote}{subsection} 72 | \renewcommand{\thefootnote}{\ding{\numexpr171+\value{footnote}}} 73 | %================= 页眉页脚 =============================== 74 | \usepackage{fancyhdr} 75 | \fancyhf{} 76 | \chead{\color{\linkcolor}\zihao{-5}\leftmark} 77 | \fancyfoot[C]{\color{\linkcolor}\zihao{5} --\hspace{0.33em}{\thepage}\hspace{0.33em}--} 78 | \fancyhead[L]{\hyperlink{TableOfContents}{\firstpageofcontent}} 79 | \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} 80 | \fancypagestyle{headings}%章首页 81 | { 82 | \fancyhf{} 83 | \fancyhead[L]{\hyperlink{TableOfContents}{\firstpageofcontent}} 84 | \fancyfoot[C]{\color{\linkcolor}\zihao{5} --\hspace{0.33em}{\thepage}\hspace{0.33em}--} 85 | \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 86 | } 87 | \fancypagestyle{myheadings}%附录页 88 | { 89 | \fancyhf{} 90 | \chead{\color{\linkcolor}\zihao{5}附\hspace{2em}录} 91 | \fancyfoot[C]{\color{\linkcolor}\zihao{5} --\hspace{0.33em}{\thepage}\hspace{0.33em}--} 92 | \fancyhead[L]{\hyperlink{TableOfContents}{\firstpageofcontent}} 93 | \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} 94 | } 95 | %================= 章节格式 =============================== 96 | \usepackage{titlesec} 97 | \usepackage{titletoc} 98 | \renewcommand{\thesection}{\chinese{section}} 99 | \titleformat{\section}[display] 100 | {\normalfont\Large\filcenter\sffamily} 101 | { 102 | \clearpage\pagestyle{fancy} 103 | \thispagestyle{headings} 104 | \titlerule[1pt] 105 | \vspace{1pt} 106 | \titlerule \vspace{1pc} 107 | \begin{center} 108 | \color{\linkcolor} 109 | \LARGE{}第\hspace{0.5em}\thesection\hspace{0.5em}章 110 | \end{center} 111 | }{-1.6pc}{\LARGE\color{\linkcolor}} 112 | [\vspace{2ex}\color{black}\titlerule\vspace{4ex}] 113 | %subsection 114 | \renewcommand{\thesubsection}{\arabic{section}.\arabic{subsection}} 115 | \titleformat{\subsection}[hang] 116 | {\normalfont\zihao{4}\raggedright\heiti\color{\linkcolor}} 117 | {\vspace{0.5ex}{\bfseries\thesubsection}} 118 | {0.5em}{}[\vspace{0.2ex}] 119 | %subsubsection 120 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\arabic{subsubsection}} 121 | \titleformat{\subsubsection}[hang] 122 | {\normalfont\normalsize\raggedright\songti\bfseries\color{\linkcolor}} 123 | {\vspace{0.5ex}\hspace{2em}{\thesubsubsection}} 124 | {0.5em}{}[\vspace{0ex}] 125 | %paragraph 126 | \renewcommand{\theparagraph}{\arabic{paragraph}} 127 | \CTEXsetup[format={\rmfamily\bfseries\fangsong\zihao{-4}\color{\linkcolor}},name={,.},beforeskip={0em},afterskip={0em},aftername={\hspace{0.2em}},indent=2em]{paragraph} 128 | %subparagrapha 129 | \renewcommand{\thesubparagraph}{\arabic{subparagraph}} 130 | \CTEXsetup[format={\rmfamily\mdseries\songti\zihao{-4}},name={（,）\hspace{-1em}},beforeskip={-1ex},afterskip={-1ex},aftername={\hspace{0em}},indent=2em]{subparagraph} 131 | 132 | \setcounter{secnumdepth}{5} 133 | %=======================目录============================== 134 | \setcounter{tocdepth}{3} 135 | \renewcommand{\contentsname}{目\hspace{2em}录} 136 | \newcommand{\tocafterlength}{10pt} 137 | %section 138 | \titlecontents{section}[0pt] 139 | {\addvspace{6pt}\filright\bfseries\color{\linkcolor}} 140 | {\contentspush{\color{\linkcolor}第\thecontentslabel{}章\hspace{\tocafterlength}}} 141 | {}{\hspace{0.5em}\titlerule*[6pt]{$\cdot$}{\mdseries\rmfamily\normalsize\textcolor{\linkcolor}{\contentspage}}} 142 | [\addvspace{0em}] 143 | %subsection 144 | \titlecontents{subsection}[22pt] 145 | {\addvspace{0pt}\filright\mdseries\rmfamily\normalsize} 146 | {\contentspush{\color{\linkcolor}\thecontentslabel\hspace{\tocafterlength}}} 147 | {}{\hspace{0.5em}\titlerule*[6pt]{$\cdot$}{\mdseries\rmfamily\normalsize\textcolor{\linkcolor}{\contentspage}}} 148 | [\addvspace{0em}] 149 | %subsubsection 150 | \titlecontents{subsubsection}[44pt] 151 | {\addvspace{0pt}\filright\mdseries\rmfamily\normalsize} 152 | {\contentspush{\color{\linkcolor}\thecontentslabel\hspace{\tocafterlength}}} 153 | {}{\hspace{0.5em}\titlerule*[6pt]{$\cdot$}{\mdseries\rmfamily\normalsize\textcolor{\linkcolor}{\contentspage}}} 154 | [\addvspace{0em}] 155 | %====================== 附录 ============================= 156 | \usepackage{appendix} 157 | \let\oldappendix=\appendix 158 | \renewcommand{\appendix} 159 | { 160 | \newpage 161 | \oldappendix 162 | \pagestyle{myheadings} 163 | \renewcommand{\thesection}{\Alph{section}} 164 | \titlecontents{section}[0pt] 165 | {\addvspace{6pt}\filright\bfseries\color{\linkcolor}} 166 | {\contentspush{\color{\linkcolor}附录\thecontentslabel{}\hspace{\tocafterlength}}} 167 | {}{\hspace{0.5em}\titlerule*[6pt]{$\cdot$}{\mdseries\rmfamily\normalsize\textcolor{\linkcolor}{\contentspage}}} 168 | [\addvspace{0em}] 169 | \titleformat{\section}[hang] 170 | {\clearpage\zihao{-3}\filcenter\heiti\bfseries\color{\linkcolor}} 171 | {附录\,{\thesection}}{0.5em}{}[\vspace{2ex}] 172 | \renewcommand{\theequation}{\thesection-\arabic{subsection}-\arabic{equation}} 173 | \renewcommand{\thetable}{\thesection-\arabic{table}} 174 | \renewcommand{\thefigure}{\thesection-\arabic{figure}} 175 | \renewcommand{\themydefcounter}{\Alph{section}.\arabic{mydefcounter}} 176 | \renewcommand{\themythmcounter}{\Alph{section}.\arabic{mythmcounter}} 177 | } 178 | %===================== 定理类环境 ========================== 179 | %定理环境 180 | \newcounter{mythmcounter} 181 | \setcounter{mythmcounter}{0} 182 | \numberwithin{mythmcounter}{section} 183 | \newcommand{\mythmindent}{0em} 184 | \renewcommand{\themythmcounter}{\arabic{section}.\arabic{mythmcounter}} 185 | \newcommand{\mythmfont}{\normalsize\rmfamily\bfseries} 186 | \newcommand{\mythmlabel} 187 | { 188 | \hspace{\mythmindent} 189 | \fcolorbox{cyan}{cyan} 190 | {\mythmfont{}定理\hspace{0.5em}\themythmcounter} 191 | } 192 | \newenvironment{mythm}[1] 193 | { 194 | \refstepcounter{mythmcounter} 195 | \par\vspace{0ex} 196 | \noindent 197 | \rule[0.3ex]{16cm}{0.8pt} 198 | \par\noindent\mythmlabel\hspace{0.3em}\mbox{\mythmfont{}#1} 199 | \kaishu\par 200 | } 201 | {\par\noindent\rule[1.5ex]{16cm}{0.8pt}\par\vspace{-0.5ex}} 202 | 203 | %定义环境 204 | \newcounter{mydefcounter} 205 | \setcounter{mydefcounter}{0} 206 | \numberwithin{mydefcounter}{section} 207 | \newcommand{\mydefindent}{0em} 208 | \renewcommand{\themydefcounter}{\arabic{section}.\arabic{mydefcounter}} 209 | \newcommand{\mydeffont}{\normalsize\rmfamily\bfseries} 210 | \newcommand{\mydeflabel} 211 | { 212 | \hspace{\mydefindent} 213 | \fcolorbox{\linkcolor}{\linkcolor} 214 | {\mythmfont\textcolor{white}{定义\hspace{0.5em}\themydefcounter}} 215 | } 216 | \newenvironment{mydef}[1] 217 | { 218 | \refstepcounter{mydefcounter} 219 | \par\vspace{0ex} 220 | \noindent 221 | \rule[0.3ex]{16cm}{0.8pt} 222 | \par\noindent\mydeflabel\hspace{0.3em}\mbox{\mydeffont{}#1} 223 | \kaishu\par 224 | } 225 | {\par\noindent\rule[1.5ex]{16cm}{0.8pt}\par\vspace{-0.5ex}} 226 | 227 | \renewcommand{\emph}[1]{\textcolor{\linkcolor}{#1}} 228 | \newcommand{\Emph}[1]{\colorbox{cyan}{#1}} 229 | \newcommand{\Proof}{\emph{证明：}} 230 | %===================== 列表环境 ========================== 231 | \usepackage{enumitem} 232 | %===================== 抄录环境 ========================== 233 | \usepackage{listings} 234 | \lstset{ 235 | basicstyle=\zihao{5}\sffamily, 236 | keywordstyle=\sffamily\color{winered}, 237 | commentstyle=\sffamily\color{olivegreen}, 238 | stringstyle=\ttfamily, 239 | numbers=left, 240 | numberstyle=\zihao{-5}\ttfamily, 241 | breaklines=true, 242 | frame=tlbr, 243 | framesep=4pt, 244 | framerule=0.5pt, 245 | xleftmargin=2em, 246 | xrightmargin=2em, 247 | backgroundcolor=\color{lightlightgray}, 248 | escapeinside=``, 249 | extendedchars=false, 250 | columns=flexible, 251 | captionpos=t, 252 | lineskip=0pt, 253 | frameround=ffff 254 | %mathescape=true 255 | } 256 | %\usepackage{shortvrb} 257 | %\MakeShortVerb{(*}{*)} 258 | %=================== 图表支持宏包 ========================= 259 | \usepackage{graphicx} 260 | \usepackage{float} 261 | \usepackage{ifthen} 262 | \usepackage{longtable} 263 | \usepackage{booktabs} 264 | \usepackage{changepage} 265 | \usepackage{enumitem} 266 | \usepackage{varwidth} 267 | \usepackage{array} 268 | \usepackage{colortbl} 269 | \usepackage{subcaption} 270 | \usepackage[all,ps]{xy} 271 | \usepackage[format=hang,font=small,labelfont=normalfont,textfont=it]{caption} 272 | \usepackage{makecell} 273 | \renewcommand{\figurename}{\CJKfamily{zhkai}图} 274 | \renewcommand{\tablename}{\CJKfamily{zhkai}表} 275 | \usepackage{hologo} 276 | \pagestyle{fancy} 277 | \pagenumbering{Roman} -------------------------------------------------------------------------------- /template/toc.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %toc.tex 2 | \pagestyle{fancy} 3 | \pagenumbering{Roman} 4 | \thispagestyle{headings} 5 | \hypertarget{TableOfContents}{\mbox{}} 6 | \vspace{-4ex} 7 | \tableofcontents 8 | \clearpage 9 | \hypersetup{linkcolor=\linkcolor} 10 | \setcounter{page}{1} 11 | \pagenumbering{arabic} --------------------------------------------------------------------------------