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7 | # 影音頻道
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7 | # 程式人文集
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7 | # 程式人短訊
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7 | # 人物速寫
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- 從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」 18 |
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1 | ## 偉大「數學家」的悲慘人生 -- 圖靈、牛頓、哥德爾
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3 | 從前我總認為，那些在教科書中提到的偉大數學家，他們必然是備受推崇，令人尊敬的。因此他們應該都是屬於「人生勝利組」的那群人，但是後來，我發現我錯了！
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5 | 圖靈 (Alan Turing) 應該是「電腦領域」最為人所之的偉大數學家了吧，但是如果你知道圖靈怎麼死的，那應該會覺得很驚訝且難過，因為圖靈在 1952 年由於同性戀而受審，結果在兩年後吃了一顆塗有「氰化物」的蘋果死了。
6 |
7 | 而物理學之父「牛頓」應該算是人生較為順利的了，他還創建了「微積分」這門重要的學問，而且曾經擔任英國皇家鑄幣局局長，擔任局長讓他的薪水大增，並且因為表現優秀，還被英國女皇授予「艾薩克爵士」的貴族稱號，這應該算是人生勝利組了吧？
8 |
9 | 但是在牛頓的生命中，除了關心物理與數學之外，他其實很著迷於「鍊金術」這門學問，他在鑄幣局局長任內，將黃金價格定為「每金衡盎司等於三英鎊十七先令10.5便士，讓英鎊成為金本位貨幣。
10 |
11 | 但也因為迷戀黃金的緣故，讓牛頓用個人儲蓄大舉投資「南海公司」，結果到了 1720 年暴發了「南海泡沫」事件，南海公司的股價從 1,000英鎊狂跌到 190 英磅以下，結果牛頓損失了超過兩萬英鎊的美元 (這相當於牛頓十幾年的鑄幣局長薪水)，於是他說了下列這句經典名言：
12 |
13 | > 我能精準計算天體的運行規律，卻無法預測人類行為的瘋狂。
14 | >
15 | > I can calculate the motions of heavenly bodies, but not the madness of people.
16 |
17 | 而且、在牛頓死後，他的身體內發現了大量水銀，這很可能是研究鍊金術導致汞中毒，因此也讓牛頓晚年的一些怪異行徑得到了解釋。
18 |
19 | 而「哥德爾」這位二十世紀的傳奇數學家，他的人生也同樣並不精彩，而且可以說是充滿悲劇的！
20 |
21 | 「哥德爾」自幼多病，而且從小就患了強迫症，後來還得了憂鬱症，並且自殺過幾次。
22 |
23 | 在哥德爾的晚年，他疑神疑鬼，由於他認為別人給的飯菜有毒，因此拒絕吃其他人給的飯菜，只相信他太太 Adele Nimbursky 給的，但是後來他的太太也病倒了，結果最後哥德爾死於營養不良與進食不足，死時體重只有 65 磅，享年 72 歲。
24 |
25 | ### 參考文獻
26 | * [哥德尔轶事](http://blog.sina.com.cn/s/blog_71329a960100sauh.html)
27 | * [庫爾特·哥德爾](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%93%E5%B0%94%E7%89%B9%C2%B7%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94)
28 | * [維基百科：南海泡沫事件](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8D%97%E6%B5%B7%E6%B3%A1%E6%B2%AB%E4%BA%8B%E4%BB%B6)
29 |
30 | 【本文由陳鍾誠取材並修改自 [維基百科]，採用創作共用的 [姓名標示、相同方式分享] 授權】
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1 | ## 根號求解 (作者：Bridan)
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3 | 可能有人會好奇，計算機如何求得開根號數值，這裡提供個人所知的兩種方法。
4 |
5 | **方法一：** [長除式演算法](http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9&variant=zh-tw)，可直接筆算求平方根值。
6 |
7 | 運用 (a + b)2- (2a + b) b = a2，初值 a = 0，反覆求 a 的後一位數值 b 。
8 |
9 | 例 Square(152.276)
10 |
11 | ```
12 | 1 2. 3 4
13 | ------------ 列式時以小數點為基準，兩位兩位一組。
14 | / 1 52.27 60 (2a + b) b
15 | 1 = (2 x 0 + 1) x 1 , a = 0
16 | ------------
17 | 52
18 | 44 = (2 x 10 + 2) x 2 , a = 10
19 | ------------
20 | 8 27
21 | 7 29 = (2 x 120 + 3) x 3 , a = 120
22 | ------------
23 | 98 60
24 | 98 56 = (2 x 1230 + 4) x 4 , a = 1230
25 | ------------
26 | 6
27 | ```
28 |
29 |
30 | **方法二：** 以 [牛頓迭代法](http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9&variant=zh-tw) 計算求解
31 |
32 | ```
33 | X = A1/N，將 A 開 N 次方根，
34 |
35 | Xn+1 = [(N-1)Xn + A/XnN-1]/N ，(N＞0)
36 |
37 | N = 2 時 ，A＞1，1＜Xn＜A
38 | Xn+1 = [Xn + A/Xn]/2 ，(挑選適當的 Xn 初值可以快速收斂，只要計算兩三次就可得到正確數值)
39 | ```
40 |
41 | 其原理為，
42 |
43 | ```
44 | X = [X + A/X]/2
45 | 2X = X + A/X
46 | 2X2 = X2 + A
47 | X2 = A
48 | X = A1/2
49 | ```
50 |
51 | 這方法是我從 [Engineering Formulas](http://www.anobii.com/books/01e14970c407f6b3a5/) 這本書學到的，此書為 *Reiner Gieck, Kurt Gieck* 合著 McGraw-Hill 出版 ISBN 9780070234550，它是我在公司文管中心發現的寶藏。
52 |
53 | 在網際網路尚未發達前，這類工具書對工程師是非常重要的，尤其需要常常查工程或數學公式很有用。
54 |
55 | (本文來自「研發養成所」 Bridan 的網誌，原文網址為
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1 | ### 關於程式人雜誌
2 |
3 | 程式人雜誌是一個結合「開放原始碼與公益捐款活動」的雜誌，簡稱「開放公益雜誌」。開放公益雜誌本著「讀書做善事、寫書做公益」的精神，我們非常歡迎程式人認養專欄、或者捐出您的網誌。
4 |
5 | ### 雜誌下載
6 |
7 | 出刊年月 epub ipad:PDF A4:PDF 單頁 HTM 原始碼 全部下載
8 | ------------ ---------- ----------- -------- ----------- ---------- -------------
9 | 2014年2月 [epub] [ipad.pdf] [A4.pdf] [pmag.html] [code.zip] [github]
10 |
11 | ### 本期內容 (焦點：邏輯推論的歷史)
12 | * 前言
13 | * [編輯小語](editor.html)
14 | * [授權聲明](license.html)
15 | * 本期焦點
16 | * [邏輯世界的歷史](focus1.html)
17 | * [布林邏輯與推論系統 -- 何謂嚴格的數學證明？](focus2.html)
18 | * [謂詞邏輯、一階邏輯與「哥德爾完備定理」](focus3.html)
19 | * [從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」](focus4.html)
20 | * 人物速寫
21 | * [橫跨「數學、哲學、文學」的諾貝爾大師：伯特蘭·羅素 (Bertrand Arthur William Russell)](people1.html)
22 | * [偉大「數學家」的悲慘人生 -- 圖靈、牛頓、哥德爾](people2.html)
23 | * 程式人文集
24 | * [Arduino入門教學(15) – Amarino 的 SensorGraph 範例程式 (作者：Cooper Maa)](article1.html)
25 | * [OpenNI 2 基本程式範例 (作者：Heresy Ku)](article2.html)
26 | * [根號求解 (作者：研發養成所 Bridan)](article3.html)
27 | * [Visual Basic 6.0:大整數運算-加法與乘法 (使用 Array 字串) (作者：廖憲得 0xde)](article4.html)
28 | * [開放電腦計畫 (9) – 16 位元微控制器 MCU0 的輸出入 -- 輪詢篇 (作者：陳鍾誠)](article5.html)
29 | * [雜誌訊息](info.html)
30 |
31 | ### 雜誌取得
32 |
33 | 程式人雜誌預定於每個月 1 日出刊，您可以從下列網址取得程式人雜誌的所有內容 (包含當月最新出刊的雜誌)。
34 |
35 | *
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21 | -
18 |
- 編輯小語 19 |
編輯小語
22 |在本期的「程式人雜誌」中，聚焦的主題是「邏輯推論的歷史」，包含理論與演進過程！
23 |邏輯推論在「離散數學」「計算理論」與「人工智慧」當中通常是課程的焦點之一，也是電腦的重要技術之一，理解邏輯理論與歷史可以讓程式人具備足夠的理論基礎，對修鍊「內功」是有些幫助的。
24 |當然、本期不只有「邏輯推論」的相關文章，還有更精彩的 Arduino, VB, OpenNI, 開放電腦計畫等內容，希望讀者會喜歡這期的「程式人雜誌」！
25 |---- （程式人雜誌編輯 - 陳鍾誠）
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1 | ## Visual Basic 6.0:大整數運算 加法與乘法 (使用 Array 字串) (作者：廖憲得 0xde)
2 |
3 | ### 大整數加法
4 |
5 | 
6 |
7 | ```monobasic
8 | Private Sub Command1_Click()
9 | Text3 = ""
10 | ReDim TempArray(999)
11 |
12 | K = 0
13 |
14 | For i = Len(Text1) To 1 Step -1
15 | TempArray(K) = Mid(Text1, i, 1)
16 | K = K + 1
17 | Next i
18 |
19 | K = 0
20 |
21 | For i = Len(Text2) To 1 Step -1
22 | Temp = Val(TempArray(K)) + Val(Mid(Text2, i, 1))
23 | TempArray(K) = Temp Mod 10
24 | K = K + 1
25 | TempArray(K) = Val(TempArray(K)) + Val(Temp \ 10)
26 | Next i
27 |
28 | For i = 0 To UBound(TempArray)
29 | If Val(TempArray(i)) > 9 Then
30 | Temp = TempArray(i)
31 | TempArray(K) = Temp Mod 10
32 | K = K + 1
33 | TempArray(K) = Val(TempArray(K)) + Val(Temp \ 10)
34 | End If
35 | Next i
36 |
37 | For i = UBound(TempArray) To 0 Step -1
38 | Text3 = Text3 & TempArray(i)
39 | Next i
40 |
41 | Do Until Val(Mid(Text3, 1, 1)) <> 0
42 | Text3 = Mid(Text3, 2)
43 | Loop
44 | End Sub
45 | ```
46 |
47 | * 原始碼下載： [大數運算-大數加法.rar](http://files.dotblogs.com.tw/0xde/1311/20131113113943512.rar)
48 |
49 |
50 | ### 大整數乘法
51 |
52 | 
53 |
54 | ```monobasic
55 | Private Sub Command1_Click()
56 | Text3 = ""
57 | ReDim TempArray(999)
58 |
59 | K = 0
60 |
61 | For i = Len(Text1) To 1 Step -1
62 | NowIndex = K
63 | For j = Len(Text2) To 1 Step -1
64 | Temp = TempArray(NowIndex) + Mid(Text1, i, 1) * Mid(Text2, j, 1)
65 | TempArray(NowIndex + 1) = Temp \ 10 + TempArray(NowIndex + 1)
66 | TempArray(NowIndex) = Temp Mod 10
67 | NowIndex = NowIndex + 1
68 | Next j
69 | K = K + 1
70 | Next i
71 |
72 | For i = UBound(TempArray) To 0 Step -1
73 | Text3 = Text3 & TempArray(i)
74 | Next i
75 |
76 | Do Until Val(Mid(Text3, 1, 1)) <> 0
77 | Text3 = Mid(Text3, 2)
78 | Loop
79 | End Sub
80 |
81 | ```
82 |
83 | * 原始碼下載： [大數運算-大數乘法.rar](http://files.dotblogs.com.tw/0xde/1311/20131113112231481.rar)
84 |
85 | 【本文作者為「廖憲得」，原文網址為：
17 |
21 | -
18 |
- 授權聲明 19 |
授權聲明
22 |本雜誌許多資料修改自維基百科，採用 創作共用：姓名標示、相同方式分享 授權，若您想要修改本書產生衍生著作時，至少應該遵守下列授權條件：
23 |-
24 |
- 標示原作者姓名 (包含該文章作者，若有來自維基百科的部份也請一併標示)。 25 |
- 採用 創作共用：姓名標示、相同方式分享 的方式公開衍生著作。 26 |
另外、當本雜誌中有文章或素材並非採用 姓名標示、相同方式分享 時，將會在該文章或素材後面標示其授權，此時該文章將以該標示的方式授權釋出，請修改者注意這些授權標示，以避免產生侵權糾紛。
28 |例如有些文章可能不希望被作為「商業性使用」，此時就可能會採用創作共用：姓名標示、非商業性、相同方式分享 的授權，此時您就不應當將該文章用於商業用途上。
29 |最後、懇請勿移除公益捐贈的相關描述，以便讓愛心得以持續散播！
30 |顱顏患者 銀行：009彰化銀行民生分行
33 |
(如唇顎裂、小耳症或其他罕見顱顏缺陷） 帳號：5234-01-41778-800 34 | 02-27190408分機 232 35 | 36 | 社團法人台灣省兒童少年成長協會
單親、隔代教養.弱勢及一般家庭之兒童青少年 銀行：新光銀行
37 |
戶名：台灣省兒童少年成長協會
38 | 04-23058005 帳號：103-0912-10-000212-0 39 | ------------------------------- ----------------------------- ----------------------------------------- ------------------------------------------- 40 | 41 | [看影片學 markdown 編輯出版流程]:https://dl.dropboxusercontent.com/u/101584453/pmag/201304/htm/video1.html 42 | -------------------------------------------------------------------------------- /htm/discuss1.html: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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/source/people1.md:
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1 | ## 橫跨「數學、哲學、文學」的諾貝爾大師：伯特蘭·羅素 (Bertrand Arthur William Russell)
2 |
3 | 羅素出生於1872年的一個貴族家庭，當時大英帝國正值巔峰，逝於1970年，此時英國經歷過兩次世界大戰，其帝國已經沒落。
4 |
5 | 羅素的家族相當顯赫，祖父約翰·羅素勛爵在1840年代曾兩次出任英國首相，是「輝格黨」的核心成員。羅素的父母分別在他兩歲與四歲時過世，因此羅素是擔任兩次首相的祖父所扶養長大的。
6 |
7 | 
8 |
9 | 在婚姻生活方面，羅素於 17 歲時便與美國籍的 Alys Pearsall Smith 墜入情網，22 歲時兩人結婚，但由於羅素有婚外情的關係，所以在 39 歲時離婚了。49 歲時又娶了 Dora Black 並育有兩個孩子，55 歲時夫妻兩人一起創立了「皮肯·希爾教育實驗學校」（Beacon Hill School），後來羅素因反戰活動而被劍橋大學開除。接著羅素又有了婚外情，於是與 Dora Black 又離婚了。64 歲時羅素與牛津大學學生 Patricia Spence 結婚。72 歲時羅素回到英國，並重新執教於劍橋大學三一學院。80 歲時羅素再度離婚，並與一名美國的英語教授結婚。88 歲時羅素出版了自傳，並曾參與了甘迺迪遇刺事件的調查。後來羅素活到了 98 歲高齡，於1970年去世。
10 |
11 | 在學術方面，羅素 18 歲時進入劍橋大學三一學院學習哲學、邏輯學和數學。他起初對數學感興趣，並認為數學是邏輯學的一部分，於是試圖用邏輯建構整個數學體系，1901 年他發現了「理髮師悖論」，並於 1910 年與老師懷海德一起發表了《數學原理》這部巨著。
12 |
13 | 所謂的「羅素理髮師悖論」，是有「一位理髮師，宣稱要為所有不自己理頭髮的人理髮，但是不為任何自己理頭髮的人理髮」。這句話是有問題的，因為該理髮師會在要不要為自己理頭髮這件事情上產生矛盾。
14 |
15 | 羅素發現的悖論，也讓他開始思考邏輯學的問題，後來他與「摩爾、弗雷格、維根斯坦和懷特海」等人創立了「邏輯分析哲學」，企圖將哲學問題轉化為邏輯符號，讓哲學家們就能夠更容易地推導出結果，而不會被不夠嚴謹的語言所誤導。
16 |
17 | 他們企圖建構出能夠解釋世界本質的理想邏輯語言。但是「哥德爾」所證明的「不完備定理」卻毀了這個想法，
18 |
19 | 1920年羅素訪問俄國和中國，並在北京與杜威同時期進行一年的講學，在長沙時期，青年毛澤東曾經擔任記錄員。他回到歐洲後解了一本《中國問題》，孫中山並稱羅素為「唯一真正理解中國的西方人」。
20 |
21 | 徐志摩年輕時曾經到英國劍橋想拜羅素為師，但那時羅素已經離開劍橋大學，否則徐志摩很可能會成為羅素的學生。
22 |
23 | 羅素的著作很多，列舉如下：
24 |
25 | ```
26 | 《幾何學基礎》（1897年）
27 | 《數學原理》（懷特海合著，1910, 1912, 1913年）
28 | 《哲學論文集》（1910年）
29 | 《哲學問題》（1912年）
30 | 《社會重建原則》（1916年）
31 | 《自由之路》（1918年）
32 | 《中國問題》（1922年）
33 | 《工業文明的前景》（合著，1923年）
34 | 《科學的未來》（1924年）
35 | 《相對論入門》（1925年）
36 | 《論兒童教育》（1926）
37 | 《物之分析》（The Analysis of Matter，1927年）
38 | 《我為什麼不是基督徒》（1927年）
39 | 《心靈分析》（1927年）
40 | 《懷疑論》（1928年）
41 | 《婚姻與道德》（1929年），（1950年，羅素因此書而獲得諾貝爾文學獎）
42 | 《幸福的贏得》（1930年）
43 | 《哲學與現代世界》（1932年）
44 | 《自由與組織》（1934年）
45 | 《宗教與科學》（1935年）
46 | 《權力：一種新的社會分析》（1938年）
47 | 《西方哲學史》（1945年）
48 | 《權威與個人》（1949年）
49 | 《名人的惡夢》（1954年）
50 | 《羅素回憶錄》（1956年）
51 | 《我的哲學發展》（1959年）
52 | 《人類有將來嗎》（1962年）
53 | 《文明之路》
54 | 《人類為什麼戰鬥》
55 | ```
56 |
57 | 羅素於 67 歲時搬到美國，但卻因為《婚姻與道德》這部作品而被法官「麥吉漢」認為有道德問題，取消了「紐約城市大學聘任羅素為哲學教授的任命」一案，但是到了 78 歲的時候，羅素卻又因這部作品而得到「諾貝爾文學獎」，成為第一個非文學領域作家得到諾貝爾文學獎的人。
58 |
59 | 筆者對羅素為何會以《婚姻與道德》獲得「諾貝爾文學獎」這件事較有興趣，於是上網查了一下這本書，其內容如下：
60 |
61 | ```
62 | 第一章 為什麼需要性道德
63 | 第二章 無父之鄉
64 | 第三章 父親的勢力範圍
65 | 第四章 生殖器崇拜，制慾主義，與罪惡
66 | 第五章 基督教的道德
67 | 第六章 浪漫的愛
68 | 第七章 婦女的解放
69 | 第八章 性知識的禁忌
70 | 第九章 愛在人生中的地位
71 | 第十章 婚姻
72 | 第十一章 娼妓
73 | 第十二章 試婚制
74 | 第十三章 現在的家庭
75 | 第十四章 家庭對個人心理的影響
76 | 第十五章 家庭與國家
77 | 第十六章 離婚
78 | 第十七章 人口
79 | 第十八章 優生學
80 | 第十九章 性與個人的福利
81 | 第二十章 性在人類價值中的地位
82 | 第二十一章 結論
83 | ```
84 |
85 | 從這本書的目錄中，我想大家應該也可以理解為何羅素結婚、外遇與離婚的次數那麼的頻繁了，以及為何會遭受到那麼多的爭議，我想這應該也與他的學術思想有關吧！
86 |
87 | ### 參考文獻
88 |
89 | * [維基百科：伯特蘭·羅素](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E7%89%B9%E5%85%B0%C2%B7%E7%BD%97%E7%B4%A0)
90 | * [性道德(原:婚姻與道德)](http://www.books.com.tw/products/0010046583), 羅素著, 水牛出版社。
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92 | 【本文由陳鍾誠取材並修改自 [維基百科]，採用創作共用的 [姓名標示、相同方式分享] 授權】
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- 討論：本月討論精選 19 |
討論：本月討論精選
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- 簡單的圖表說明各種不同的開放原始碼授權 -- https://www.facebook.com/groups/programmerMagazine/permalink/779281538755231/ 24 | 28 |
- 直接用JavaScript對網頁圖片裡的英文字做文字辨識(OCR),需要插入一個大約1mb大小的JavaScript檔案在網頁裡,有demo,不過效果沒很好. 29 | 32 |
- 不錯的雜誌：编程狂人 - 推酷 -- https://www.facebook.com/groups/programmerMagazine/permalink/775421112474607/
33 |
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34 |
- http://www.tuicool.com/mags/ 35 |
36 | 機器語言,是由什麼語言寫的? -- https://www.facebook.com/groups/programmerMagazine/permalink/780470388636346/
37 | 是否有文章介紹如何做出一個程式語言?一個程式語言設計的極限是什麼? -- https://www.facebook.com/groups/programmerMagazine/permalink/780457841970934/
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參考文獻
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- 根號求解 (作者：Bridan) 19 |
根號求解 (作者：Bridan)
22 |可能有人會好奇，計算機如何求得開根號數值，這裡提供個人所知的兩種方法。
23 |方法一： 長除式演算法，可直接筆算求平方根值。
24 |運用 (a + b)2- (2a + b) b = a2，初值 a = 0，反覆求 a 的後一位數值 b 。
25 |例 Square(152.276)
26 | 1 2. 3 4
27 | ------------ 列式時以小數點為基準，兩位兩位一組。
28 | / 1 52.27 60 (2a + b) b
29 | 1 = (2 x 0 + 1) x 1 , a = 0
30 | ------------
31 | 52
32 | 44 = (2 x 10 + 2) x 2 , a = 10
33 | ------------
34 | 8 27
35 | 7 29 = (2 x 120 + 3) x 3 , a = 120
36 | ------------
37 | 98 60
38 | 98 56 = (2 x 1230 + 4) x 4 , a = 1230
39 | ------------
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方法二： 以 牛頓迭代法 計算求解
43 |X = A1/N，將 A 開 N 次方根，
44 |
45 | Xn+1 = [(N-1)Xn + A/XnN-1]/N ，(N＞0)
46 |
47 | N = 2 時 ，A＞1，1＜Xn＜A
48 | Xn+1 = [Xn + A/Xn]/2 ，(挑選適當的 Xn 初值可以快速收斂，只要計算兩三次就可得到正確數值)其原理為，
50 |X = [X + A/X]/2
51 | 2X = X + A/X
52 | 2X2 = X2 + A
53 | X2 = A
54 | X = A1/2這方法是我從 Engineering Formulas 這本書學到的，此書為 Reiner Gieck, Kurt Gieck 合著 McGraw-Hill 出版 ISBN 9780070234550，它是我在公司文管中心發現的寶藏。
56 |在網際網路尚未發達前，這類工具書對工程師是非常重要的，尤其需要常常查工程或數學公式很有用。
57 |(本文來自「研發養成所」 Bridan 的網誌，原文網址為 http://4rdp.blogspot.tw/2008/04/blog-post_9406.html ，由陳鍾誠編輯後納入程式人雜誌)
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1 | ## 謂詞邏輯、一階邏輯與「哥德爾完備定理」
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3 | ### 前言
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5 | 在 [布林邏輯與推論系統 -- 何謂嚴格的數學證明？](https://dl.dropboxusercontent.com/u/101584453/pmag/201403/htm/focus2.html) 這篇文章中，我們介紹了「布林邏輯」(Boolean Logic) 這種簡單的推論系統，這種邏輯系統又稱為「命題邏輯」(Propositional Logic)。
6 |
7 | 在本文中，我們將介紹一個能力較強大的邏輯系統，稱為「一階邏輯」(First Order Logic) 系統，這是一種「謂詞邏輯」(Predicate Logic) 的實例，然後再說明這種邏輯系統中的一個重要定理，稱為「哥德爾完備定理」。
8 |
9 | ### 謂詞邏輯
10 |
11 | 在布林邏輯中，只有用來代表真假值的簡單變數，像是 A, B, C, X, Y, Z .... 等，所以邏輯算式看來通常如下：
12 |
13 | * P & (P=>Q) => Q.
14 | * A & B & C => D | E.
15 | * -(A & B) <=> -A | -B.
16 |
17 | 這種命題邏輯裏沒有函數的概念，只有簡單的命題 (Proposition)，因此才稱為命題邏輯。
18 |
19 | 而在謂詞邏輯裏，則有「布林函數」的概念，因此其表達能力較強，例如以下是一些謂詞邏輯的範例。
20 |
21 | * Parent(x,y) <= Father(x,y).
22 | * Parent(John, Johnson).
23 | * Ancestor(x,y) <= Parent(x,y).
24 | * Ancestor(x,y) <= Ancestor(x,z) & Parent(z,y).
25 |
26 | 您可以看到在這種邏輯系統裏，有「布林變數」的概念 (像是 x, y, z 等等)，也有函數的概念，像是 Parent(), Father(), Ancestor() 等等。
27 |
28 | ### 一階邏輯
29 |
30 | 在上述這種謂詞邏輯系統中，如果我們加上 $\forall$ (對於所有) 或 $\exist$ (存在) 這兩個變數限定符號，而其中的謂詞不可以是變項，而必須要是常項，這種邏輯就稱為一階邏輯。
31 |
32 | * $\forall People(x) => Mortal(x)$ ; 人都是會死的。
33 | * $People(Socrates)$ ; 蘇格拉底是人。
34 | * $Mortal(Socrates)$ ; 蘇格拉底會死。
35 |
36 | 當然、規則可以更複雜，像是以下這個範例，就說明了「存在一些人可以永遠被欺騙」。
37 |
38 | * $\exists x (Person(x) & \forall y (Time(y) => Canfool(x,y))).$
39 |
40 | ### 二階邏輯
41 |
42 | 如果一階邏輯中的謂詞，放寬成可以是變項的話 (這些變項可以加上 $\forall$ 與 $\exists$ 等符號的約束)，那就變成了二階邏輯，以下是一些二階邏輯的規則範例。
43 |
44 | * $\exists P (P(x) & P(y)).$
45 | * $\forall P \forall x (x \in P | x \notin P).$
46 | * $\forall P (P(0) & \forall y( P(y)=>P(succ(y)) ) => \forall y P(y) ).$ ; 數學歸納法。
47 |
48 | ### 一致性與完備性
49 |
50 | 在邏輯系統中，所謂的「一致性」，是指公理系統本身不會具有矛盾的現象。假如我們用 A 代表該公理系統，那麼 A 具有一致性就是 A 不可能導出兩個矛盾的結論，也就是 A => P 與 A=> -P 不可能同時成立。
51 |
52 | ### 哥德爾完備性定理
53 |
54 | 哥德爾於 1929 年證明了「哥德爾完備定理」(Gödel's Complete Theorem)，這個定理較簡化的陳述形式如下：
55 |
56 | * 一階邏輯系統是一致且完備的，也就是所有的一階邏輯定理都可以透過機械性的推論程序證明出來，而且不會導出矛盾的結論。
57 |
58 | 以下是哥德爾完備定理的兩種陳述形式，詳細的證明方法請參考 [Wikipedia:Original proof of Gödel's completeness theorem]。
59 |
60 | * Theorem 1. Every formula valid in all structures is provable.
61 |
62 | * Theorem 2. Every formula φ is either refutable or satisfiable in some structure
63 |
64 | ### 結語
65 |
66 | 「哥德爾完備性定理」似乎得到了一個很正向的結果，讓人對邏輯系統的能力擁有了一定的信心。
67 |
68 | 但是、當哥德爾進一步擴展這個邏輯系統，加入了「自然數的加法與乘法」等運算之後，卻發現了一個令人沮喪的結果，那就是「包含自然數加法與乘法的一階邏輯系統，如果不是不一致的，那就肯定是不完備的，不可能兩者都成立」。
69 |
70 | 這將引出我們的下一篇文章， [從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」](https://dl.dropboxusercontent.com/u/101584453/pmag/201403/htm/focus4.html)。
71 |
72 | ### 參考文獻
73 | * [維基百科：謂詞邏輯](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%93%E8%AF%8D%E9%80%BB%E8%BE%91)
74 | * [維基百科：一階邏輯](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%98%B6%E9%80%BB%E8%BE%91)
75 | * [維基百科：二階邏輯](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E9%82%8F%E8%BC%AF)
76 | * [Wikipedia:First-order logic](http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic)
77 | * [Wikipedia:Second-order_logic](http://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic)
78 | * [維基百科：哥德爾完備性定理](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E5%AE%8C%E5%A4%87%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86)
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- 偉大「數學家」的悲慘人生 -- 圖靈、牛頓、哥德爾 19 |
偉大「數學家」的悲慘人生 -- 圖靈、牛頓、哥德爾
22 |從前我總認為，那些在教科書中提到的偉大數學家，他們必然是備受推崇，令人尊敬的。因此他們應該都是屬於「人生勝利組」的那群人，但是後來，我發現我錯了！
23 |圖靈 (Alan Turing) 應該是「電腦領域」最為人所之的偉大數學家了吧，但是如果你知道圖靈怎麼死的，那應該會覺得很驚訝且難過，因為圖靈在 1952 年由於同性戀而受審，結果在兩年後吃了一顆塗有「氰化物」的蘋果死了。
24 |而物理學之父「牛頓」應該算是人生較為順利的了，他還創建了「微積分」這門重要的學問，而且曾經擔任英國皇家鑄幣局局長，擔任局長讓他的薪水大增，並且因為表現優秀，還被英國女皇授予「艾薩克爵士」的貴族稱號，這應該算是人生勝利組了吧？
25 |但是在牛頓的生命中，除了關心物理與數學之外，他其實很著迷於「鍊金術」這門學問，他在鑄幣局局長任內，將黃金價格定為「每金衡盎司等於三英鎊十七先令10.5便士，讓英鎊成為金本位貨幣。
26 |但也因為迷戀黃金的緣故，讓牛頓用個人儲蓄大舉投資「南海公司」，結果到了 1720 年暴發了「南海泡沫」事件，南海公司的股價從 1,000英鎊狂跌到 190 英磅以下，結果牛頓損失了超過兩萬英鎊的美元 (這相當於牛頓十幾年的鑄幣局長薪水)，於是他說了下列這句經典名言：
27 |28 |31 |我能精準計算天體的運行規律，卻無法預測人類行為的瘋狂。
29 |I can calculate the motions of heavenly bodies, but not the madness of people.
30 |
而且、在牛頓死後，他的身體內發現了大量水銀，這很可能是研究鍊金術導致汞中毒，因此也讓牛頓晚年的一些怪異行徑得到了解釋。
32 |而「哥德爾」這位二十世紀的傳奇數學家，他的人生也同樣並不精彩，而且可以說是充滿悲劇的！
33 |「哥德爾」自幼多病，而且從小就患了強迫症，後來還得了憂鬱症，並且自殺過幾次。
34 |在哥德爾的晚年，他疑神疑鬼，由於他認為別人給的飯菜有毒，因此拒絕吃其他人給的飯菜，只相信他太太 Adele Nimbursky 給的，但是後來他的太太也病倒了，結果最後哥德爾死於營養不良與進食不足，死時體重只有 65 磅，享年 72 歲。
35 |參考文獻
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37 |
- 哥德尔轶事 38 |
- 庫爾特·哥德爾 39 |
- 維基百科：南海泡沫事件 40 |
【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科，採用創作共用的 姓名標示、相同方式分享 授權】
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- 看影片學 Lua 程式設計 19 |
看影片學 Lua 程式設計
22 |Lua 的語法很簡單，執行環境也很簡單，如果您用的是 Linux，應該從 Lua 官網上下載 建置一下就可以了，以下是官網所提供的建置方法：
23 |curl -R -O http://www.lua.org/ftp/lua-5.2.3.tar.gz
24 | tar zxf lua-5.2.3.tar.gz
25 | cd lua-5.2.3
26 | make linux test如果您用 MS. Windows ，那麼就可以安裝 Lua for Windows，以下是其網址：
28 |-
29 |
- http://luaforwindows.luaforge.net/ 30 |
下載安裝後，您會發現在「開始/所有程式」裏有個 Lua 的資料夾，裏面有「iLua, Lua Command Line, Lua Examples, QuickLuaTour」等項目，建議您看看「QuickLuaTour」，它會帶領你快速的熟悉 Lua 的語法與範例。
32 |接著您可以直接起動命令列，然後用任何的編輯器，像是「Notepad++」等，開始寫一些簡單的程式，然後直接用 lua <程式名稱> 去執行您的程式即可。以下是筆者執行幾個 Lua 程式的過程：
D:\Dropbox\Public\pmag\201402\code>lua hello.lua
34 | Hello World!
35 |
36 | D:\Dropbox\Public\pmag\201402\code>lua fact.lua
37 | factorial(5)=120
38 |
39 | D:\Dropbox\Public\pmag\201402\code>lua obj.lua
40 | 10,20
41 | 30,40
42 | 50,60
43 |
44 | D:\Dropbox\Public\pmag\201402\code>lua obj.lua
45 | point(10,20)
46 | point(30,40)
47 | point(50,60)您可以以看看下列 Lua 的影片，以便瞭解 Lua 的程式寫法：
49 || 影片 | 53 |連結 | 54 |
|---|---|
| Lua Tutorial #1: Introduction and Setup | 59 |http://youtu.be/dHURyRLMOK0 | 60 |
| Lua Tutorial #2: Hello World | 63 |http://youtu.be/aSxoOCn6Y4E | 64 |
| Lua Tutorial #3: Variables and User Input | 67 |http://youtu.be/ClThmOGuMi4 | 68 |
| Lua Tutorial #4: Basic Mathematics | 71 |http://youtu.be/jQ40M1DObl4 | 72 |
| Lua Tutorial #5: If and Else | 75 |http://youtu.be/vlJftHgeByg | 76 |
當然、多寫多看，應該是學習程式的不二法門。學程式與學習游泳一樣，只有下水開始扭動身體，才有機會真正學會游泳，也只有真正開始上機寫程式，才有可能真正學會寫程式。對於 Lua 、當然也是如此！
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7 | 關於程式人雜誌
17 |程式人雜誌是一個結合「開放原始碼與公益捐款活動」的雜誌，簡稱「開放公益雜誌」。開放公益雜誌本著「讀書做善事、寫書做公益」的精神，我們非常歡迎程式人認養專欄、或者捐出您的網誌。
18 |雜誌下載
19 || 出刊年月 | 23 |epub | 24 |ipad:PDF | 25 |A4:PDF | 26 |單頁 HTM | 27 |原始碼 | 28 |全部下載 | 29 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2014年2月 | 34 |epub | 35 |ipad.pdf | 36 |A4.pdf | 37 |pmag.html | 38 |code.zip | 39 |github | 40 |
本期內容 (焦點：邏輯推論的歷史)
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- 前言 46 | 50 |
- 本期焦點
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- 邏輯世界的歷史 53 |
- 布林邏輯與推論系統 -- 何謂嚴格的數學證明？ 54 |
- 謂詞邏輯、一階邏輯與「哥德爾完備定理」 55 |
- 從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」 56 |
57 | - 人物速寫 58 | 62 |
- 程式人文集 63 | 70 |
- 雜誌訊息 71 |
雜誌取得
73 |程式人雜誌預定於每個月 1 日出刊，您可以從下列網址取得程式人雜誌的所有內容 (包含當月最新出刊的雜誌)。
74 | 77 |連絡我們
78 |竭誠歡迎程式人投稿，或者成為本雜誌的專欄作家，現在就可以加入 程式人雜誌社團 一同共襄盛舉。
79 |本雜誌編輯為「陳鍾誠 (@ccckmit)」，若要聯絡編輯，請寄信到 。
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21 | 橫跨「數學、哲學、文學」的諾貝爾大師：伯特蘭·羅素 (Bertrand Arthur William Russell)
22 |羅素出生於1872年的一個貴族家庭，當時大英帝國正值巔峰，逝於1970年，此時英國經歷過兩次世界大戰，其帝國已經沒落。
23 |羅素的家族相當顯赫，祖父約翰·羅素勛爵在1840年代曾兩次出任英國首相，是「輝格黨」的核心成員。羅素的父母分別在他兩歲與四歲時過世，因此羅素是擔任兩次首相的祖父所扶養長大的。
24 |
25 | 
27 | 圖、伯特蘭·羅素 (Bertrand Arthur William Russell)
26 |在婚姻生活方面，羅素於 17 歲時便與美國籍的 Alys Pearsall Smith 墜入情網，22 歲時兩人結婚，但由於羅素有婚外情的關係，所以在 39 歲時離婚了。49 歲時又娶了 Dora Black 並育有兩個孩子，55 歲時夫妻兩人一起創立了「皮肯·希爾教育實驗學校」（Beacon Hill School），後來羅素因反戰活動而被劍橋大學開除。接著羅素又有了婚外情，於是與 Dora Black 又離婚了。64 歲時羅素與牛津大學學生 Patricia Spence 結婚。72 歲時羅素回到英國，並重新執教於劍橋大學三一學院。80 歲時羅素再度離婚，並與一名美國的英語教授結婚。88 歲時羅素出版了自傳，並曾參與了甘迺迪遇刺事件的調查。後來羅素活到了 98 歲高齡，於1970年去世。
28 |在學術方面，羅素 18 歲時進入劍橋大學三一學院學習哲學、邏輯學和數學。他起初對數學感興趣，並認為數學是邏輯學的一部分，於是試圖用邏輯建構整個數學體系，1901 年他發現了「理髮師悖論」，並於 1910 年與老師懷海德一起發表了《數學原理》這部巨著。
29 |所謂的「羅素理髮師悖論」，是有「一位理髮師，宣稱要為所有不自己理頭髮的人理髮，但是不為任何自己理頭髮的人理髮」。這句話是有問題的，因為該理髮師會在要不要為自己理頭髮這件事情上產生矛盾。
30 |羅素發現的悖論，也讓他開始思考邏輯學的問題，後來他與「摩爾、弗雷格、維根斯坦和懷特海」等人創立了「邏輯分析哲學」，企圖將哲學問題轉化為邏輯符號，讓哲學家們就能夠更容易地推導出結果，而不會被不夠嚴謹的語言所誤導。
31 |他們企圖建構出能夠解釋世界本質的理想邏輯語言。但是「哥德爾」所證明的「不完備定理」卻毀了這個想法，
32 |1920年羅素訪問俄國和中國，並在北京與杜威同時期進行一年的講學，在長沙時期，青年毛澤東曾經擔任記錄員。他回到歐洲後解了一本《中國問題》，孫中山並稱羅素為「唯一真正理解中國的西方人」。
33 |徐志摩年輕時曾經到英國劍橋想拜羅素為師，但那時羅素已經離開劍橋大學，否則徐志摩很可能會成為羅素的學生。
34 |羅素的著作很多，列舉如下：
35 |《幾何學基礎》（1897年）
36 | 《數學原理》（懷特海合著，1910, 1912, 1913年）
37 | 《哲學論文集》（1910年）
38 | 《哲學問題》（1912年）
39 | 《社會重建原則》（1916年）
40 | 《自由之路》（1918年）
41 | 《中國問題》（1922年）
42 | 《工業文明的前景》（合著，1923年）
43 | 《科學的未來》（1924年）
44 | 《相對論入門》（1925年）
45 | 《論兒童教育》（1926）
46 | 《物之分析》（The Analysis of Matter，1927年）
47 | 《我為什麼不是基督徒》（1927年）
48 | 《心靈分析》（1927年）
49 | 《懷疑論》（1928年）
50 | 《婚姻與道德》（1929年），（1950年，羅素因此書而獲得諾貝爾文學獎）
51 | 《幸福的贏得》（1930年）
52 | 《哲學與現代世界》（1932年）
53 | 《自由與組織》（1934年）
54 | 《宗教與科學》（1935年）
55 | 《權力：一種新的社會分析》（1938年）
56 | 《西方哲學史》（1945年）
57 | 《權威與個人》（1949年）
58 | 《名人的惡夢》（1954年）
59 | 《羅素回憶錄》（1956年）
60 | 《我的哲學發展》（1959年）
61 | 《人類有將來嗎》（1962年）
62 | 《文明之路》
63 | 《人類為什麼戰鬥》羅素於 67 歲時搬到美國，但卻因為《婚姻與道德》這部作品而被法官「麥吉漢」認為有道德問題，取消了「紐約城市大學聘任羅素為哲學教授的任命」一案，但是到了 78 歲的時候，羅素卻又因這部作品而得到「諾貝爾文學獎」，成為第一個非文學領域作家得到諾貝爾文學獎的人。
65 |筆者對羅素為何會以《婚姻與道德》獲得「諾貝爾文學獎」這件事較有興趣，於是上網查了一下這本書，其內容如下：
66 |第一章 為什麼需要性道德
67 | 第二章 無父之鄉
68 | 第三章 父親的勢力範圍
69 | 第四章 生殖器崇拜，制慾主義，與罪惡
70 | 第五章 基督教的道德
71 | 第六章 浪漫的愛
72 | 第七章 婦女的解放
73 | 第八章 性知識的禁忌
74 | 第九章 愛在人生中的地位
75 | 第十章 婚姻
76 | 第十一章 娼妓
77 | 第十二章 試婚制
78 | 第十三章 現在的家庭
79 | 第十四章 家庭對個人心理的影響
80 | 第十五章 家庭與國家
81 | 第十六章 離婚
82 | 第十七章 人口
83 | 第十八章 優生學
84 | 第十九章 性與個人的福利
85 | 第二十章 性在人類價值中的地位
86 | 第二十一章 結論從這本書的目錄中，我想大家應該也可以理解為何羅素結婚、外遇與離婚的次數那麼的頻繁了，以及為何會遭受到那麼多的爭議，我想這應該也與他的學術思想有關吧！
88 |參考文獻
89 |-
90 |
- 維基百科：伯特蘭·羅素 91 |
- 性道德(原:婚姻與道德), 羅素著, 水牛出版社。 92 |
【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科，採用創作共用的 姓名標示、相同方式分享 授權】
94 |
13 |
15 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
14 |
16 |
26 |
41 |
78 |
79 |
82 |
83 |
84 |
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1 | ## 從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」
2 |
3 | 1900 年，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
4 |
5 | > 證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
6 |
7 | 在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
8 |
9 | 為此、許多數學家花費了一輩子的心力，企圖建構出一個「既一致又完備」的邏輯推論系統，像是「羅素與懷德海」就寫了一本「數學原理」，希望為數學建構出非常扎實的「公理系統」。
10 |
11 | 結果、這樣的企圖心被哥德爾的一個定理給毀了，那個定理就是「哥德爾不完備定理」。
12 |
13 | 要瞭解「哥德爾不完備定理」之前，最好先瞭解一下「邏輯悖論」這個概念。
14 |
15 | 當初、羅素在努力的建構數學原理時，卻發現了數學中存在著邏輯悖論，於是發出感嘆：「當我所建構的科學大廈即將完工之時，卻發現它的地基已經動搖了...」。
16 |
17 | 羅素的話，其原文是德文，據說翻譯成英文之後意義如下：
18 |
19 | > Hardly anything more unwelcome can befall a scientific writer than that one of the foundations of his edifice be shaken after the work is finished
20 |
21 | 結果，在 1950年，羅素穫得諾貝爾文學獎 (天啊！羅素不是數學家嗎！但是看他上面那句話的文筆，我很能體會他得諾貝爾文學獎的原因了 ...)
22 |
23 | ### 理髮師悖論
24 |
25 | 理髮師悖論可以描述如下：
26 |
27 | > 在某一個小世界裏，有一個理髮師，他宣稱要為該世界中所有不自己理頭髮的人理髮，但是不為任何一個自己理頭髮的人理髮！
28 | >
29 | > 請問、他做得到嗎？
30 |
31 | 您覺得呢？
32 |
33 | 這個問題的答案是，他絕對做不到，原因出在他自己身上：
34 |
35 | > 如果他「為」自己理頭髮，那麼他就為「一個自己理頭髮的人理髮」，違反了後面的宣言。
36 | >
37 | > 如果他「不為」自己理頭髮，那麼他就沒有為「該世界中 "所有" 不自己理頭髮的人理髮」，因此違反了前面的宣言。
38 |
39 | 於是、他理也不是、不理也不是，這就像中國傳說故事裏「矛與盾」的故事一樣，他的問題陷入兩難，產生「矛盾」了。
40 |
41 | 所以、該理髮師想做的事情是不可能做得到的！
42 |
43 | 這樣的悖論，在邏輯與電腦的理論裏有很深遠的影響，哥德爾正是因為找到了邏輯體系的悖論而發展出「哥德爾不完備定理」，而電腦之父圖靈也事發現了「停止問題」會造成悖論而證明了有些事情電腦做不到 ....
44 |
45 | ### 哥德爾不完備定理的描述
46 |
47 | 當初「哥德爾」提出的「不完備定理」，大致有下列兩種描述方法，後來簡稱為「哥德爾第一不完備定理」與「哥德爾第二不完備定理」，如下所示。
48 |
49 | 哥德爾第一不完備定理
50 |
51 | > 定理 G1：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 中存在一種語句 S，但是你無法用 T 證明 S ，卻也無法否證 S。
52 |
53 |
54 | 哥德爾第二不完備定理
55 |
56 | > 定理 G2：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 無法證明自己的一致性。
57 |
58 |
59 | 但是、對於「程式人」而言，上述描述都太邏輯了，讓我們改用「程式人」的角度來看這個問題，提出另一種「程式型版本」的說法：
60 |
61 |
62 | 哥德爾不完備定理的程式型：
63 |
64 | > 定理 G3：不存在一個程式，可以正確判斷一個「包含算術的一階邏輯字串」是否為定理。
65 |
66 |
67 | ### 哥德爾不完備定理的程式型證明
68 |
69 | 接著、就讓我們來「證明」一下上述的程式型「哥德爾不完備定理」吧！
70 |
71 | 由於牽涉到矛盾，所以我們將採用反證法：
72 |
73 | 證明：
74 |
75 | 假如這樣一個程式存在，那麼代表我們可以寫出一個具有下列功能的函數。
76 |
77 | ```javascript
78 | function Proveable(str)
79 | if (str is a theorem)
80 | return 1;
81 | else
82 | return 0;
83 | end
84 | ```
85 |
86 | 這樣的函數本身，並不會造成甚麼問題，「包含算術的一階邏輯」(簡稱為 AFOL) 夠強，強到可以用邏輯式描述 Provable(str) 這件事，因此我們可以寫出 `Provable(s)` 這樣一個邏輯陳述。
87 |
88 | 更厲害的是，我們也可以將一個字串在 AFOL 裏，是否為定理這件事情，寫成邏輯陳述 (註：邏輯符號 ∃ 代表存在，- 代表 not， & 代表 and， | 代表 or)。
89 |
90 | 接著、我們就可以問一個奇怪的問題了！那個問題描述如下。
91 |
92 | > 請問 isTheorem(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是否為真呢？
93 |
94 | 讓我們先用 T 代表 ∃s -Provable(s) & -Provable(-s) 這個邏輯式的字串，然後分別討論「真假」這兩個情況：
95 |
96 | 1. 如果 isTheorem(T) 為真，那麼代表存在無法證明的定理，也就是 Provable 函數沒辦法證明所有的定理。
97 |
98 | 2. 如果 isTheorem(T) 為假，那麼代表 -T 應該為真。這樣的話，請問 Provable(-T) 會傳回甚麼呢？讓我們分析看看：
99 |
100 | ```javascript
101 | function Proveable(-T)
102 | if (-T is a theorem) // 2.1 這代表 -(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是個定理，也就是 Provable() 可以正確證明所有定理。
103 | return 1; // 但這樣的話，就違反了上述 「2. 如果 isTheorem(T) 為假」的條件了。
104 | else // 2.2 否則代表 -T 不是個定理，也就是存在 (∃) 某些定理 s 是無法證明的。
105 | return 0; // 但這樣的話，又違反上述「2. 如果 isTheorem(T) 為假」的條件了。
106 | end
107 | ```
108 |
109 | 於是我們斷定：如果 Provable() 對所有輸入都判斷正確的話，那麼 2 便是不可能的，因為 (2.1, 2.2) 這兩條路都違反 2 的假設，也就是只有 1 是可能的，所以我們可以斷定 Provable(s) 沒辦法正確證明所有定理。
110 |
111 |
112 | ### 結語
113 |
114 | 在本文中，我們沒有寫出 Provable(s) 的邏輯陳述，也沒有寫出 isTheorem() 的邏輯陳述，因為這需要對「程式的指令集」，也就是 CPU 做一個邏輯描述，這樣說來故事就太長了！
115 |
116 | 而這個 CPU，通常後來的「計算理論」書籍裏會用「圖靈機」來描述，但這並不是哥德爾當初的證明，因為「哥德爾證明不完備定理」的年代，圖靈還沒有提出「圖靈機」的概念。
117 |
118 | 事實上、當初「哥德爾」的證明，根本也沒有「程式與電腦的概念」，所以「哥德爾」花了很多力氣建構了一個「哥德爾化的字串編碼概念」，這種字串編碼是建構在包含「+, *」兩個運算的算術系統上，也就是「皮亞諾公設」所描述的那種系統。這也是為何要引進「算術」到一階邏輯中，才能證明「哥德爾不完備定理」的原因了。
119 |
120 | 1931 年「哥德爾」證明出「不完備定理」之後，後來「圖靈」於 1936 年又提出了一個電腦絕對無法完全做到的「停止問題」(Halting Problem)，該問題乃是希望設計出一個函數 isHalting(code, data) ，可以判斷程式 code 在輸入 data 之後會不會停，也就是 code(data) 會不會停。圖靈利用圖靈機的架構，證明了該問題同樣是不可判定的，也就是沒有任何一個程式可以完全正確的判定這樣的問題。
121 |
122 | 「圖靈」的手法，與「哥德爾」非常類似，但是卻又更加簡單清楚。(不過既使如此，我還是很難直接理解圖靈的證明，因為本人在碩博士時連續被「圖靈機」荼毒了兩次，再也不希望跟「圖靈機」有任何瓜葛了 ....)
123 |
124 |
125 | 但是、我們仍然希望能夠讓「對程式有興趣」的朋友們，能夠清楚的理解「圖靈」與「哥德爾」在「計算理論」上的成就與貢獻，以免過於自大的想寫出一個「可以解決所有問題的程式」，我想只有站在前人的肩膀上，才能看清楚「程式」到底是個甚麼東西吧！
126 |
127 | (當然、其實想要「寫出一個可以解決所有問題的程式」是非常好的想法。雖然「圖靈」與「哥德爾」已經都告訴過我們這是不可能的，但是身為一個程式人，就應該有挑戰不可能任務的決心，不是嗎？ ........ 雖然、不一定要去做這種不可能的問題啦 ....)
128 |
129 | ### 參考文獻
130 |
131 | * [Wikipedia:Russell's paradox](http://en.wikipedia.org/wiki/Russells_paradox)
132 | * [維基百科:羅素悖論](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA)
133 | * [An Outline of the Proof of Gödel's Incompleteness Theorem](http://www.apronus.com/math/goedel.htm), All essential ideas - without the final technical details.
134 | * [Godel's Incompleteness Theorem](http://www.math.hawaii.edu/~dale/godel/godel.html), By Dale Myers
135 | * [哥德尔轶事](http://blog.sina.com.cn/s/blog_71329a960100sauh.html)
136 | * [A Short Guide to Godel's Second Incomplete Theorem (PDF)](http://sammelpunkt.philo.at:8080/1126/1/Bagaria.pdf), Joan Bagaria.
137 | * [Wikipedia:Proof sketch for Gödel's first incompleteness theorem](http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_sketch_for_G%C3%B6del%27s_first_incompleteness_theorem)
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141 | 【本文由陳鍾誠取材並修改自 [維基百科]，採用創作共用的 [姓名標示、相同方式分享] 授權】
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1 | ## 從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」
2 |
3 | 1900 年，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
4 |
5 | > 證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
6 |
7 | 在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
8 |
9 | 為此、許多數學家花費了一輩子的心力，企圖建構出一個「既一致又完備」的邏輯推論系統，像是「羅素與懷德海」就寫了一本「數學原理」，希望為數學建構出非常扎實的「公理系統」。
10 |
11 | 結果、這樣的企圖心被哥德爾的一個定理給毀了，那個定理就是「哥德爾不完備定理」。
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13 | 要瞭解「哥德爾不完備定理」之前，最好先瞭解一下「邏輯悖論」這個概念。
14 |
15 | 當初、羅素在努力的建構數學原理時，卻發現了數學中存在著邏輯悖論，於是發出感嘆：「當我所建構的科學大廈即將完工之時，卻發現它的地基已經動搖了...」。
16 |
17 | 羅素的話，其原文是德文，據說翻譯成英文之後意義如下：
18 |
19 | > Hardly anything more unwelcome can befall a scientific writer than that one of the foundations of his edifice be shaken after the work is finished
20 |
21 | 結果，在 1950年，羅素穫得諾貝爾文學獎 (天啊！羅素不是數學家嗎！但是看他上面那句話的文筆，我很能體會他得諾貝爾文學獎的原因了 ...)
22 |
23 | ### 理髮師悖論
24 |
25 | 理髮師悖論可以描述如下：
26 |
27 | > 在某一個小世界裏，有一個理髮師，他宣稱要為該世界中所有不自己理頭髮的人理髮，但是不為任何一個自己理頭髮的人理髮！
28 | >
29 | > 請問、他做得到嗎？
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31 | 您覺得呢？
32 |
33 | 這個問題的答案是，他絕對做不到，原因出在他自己身上：
34 |
35 | > 如果他「為」自己理頭髮，那麼他就為「一個自己理頭髮的人理髮」，違反了後面的宣言。
36 | >
37 | > 如果他「不為」自己理頭髮，那麼他就沒有為「該世界中 "所有" 不自己理頭髮的人理髮」，因此違反了前面的宣言。
38 |
39 | 於是、他理也不是、不理也不是，這就像中國傳說故事裏「矛與盾」的故事一樣，他的問題陷入兩難，產生「矛盾」了。
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41 | 所以、該理髮師想做的事情是不可能做得到的！
42 |
43 | 這樣的悖論，在邏輯與電腦的理論裏有很深遠的影響，哥德爾正是因為找到了邏輯體系的悖論而發展出「哥德爾不完備定理」，而電腦之父圖靈也事發現了「停止問題」會造成悖論而證明了有些事情電腦做不到 ....
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45 | ### 哥德爾不完備定理的描述
46 |
47 | 當初「哥德爾」提出的「不完備定理」，大致有下列兩種描述方法，後來簡稱為「哥德爾第一不完備定理」與「哥德爾第二不完備定理」，如下所示。
48 |
49 | 哥德爾第一不完備定理
50 |
51 | > 定理 G1：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 中存在一種語句 S，但是你無法用 T 證明 S ，卻也無法否證 S。
52 |
53 |
54 | 哥德爾第二不完備定理
55 |
56 | > 定理 G2：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 無法證明自己的一致性。
57 |
58 |
59 | 但是、對於「程式人」而言，上述描述都太邏輯了，讓我們改用「程式人」的角度來看這個問題，提出另一種「程式型版本」的說法：
60 |
61 |
62 | 哥德爾不完備定理的程式型：
63 |
64 | > 定理 G3：不存在一個程式，可以正確判斷一個「包含算術的一階邏輯字串」是否為定理。
65 |
66 |
67 | ### 哥德爾不完備定理的程式型證明
68 |
69 | 接著、就讓我們來「證明」一下上述的程式型「哥德爾不完備定理」吧！
70 |
71 | 由於牽涉到矛盾，所以我們將採用反證法：
72 |
73 | 證明：
74 |
75 | 假如這樣一個程式存在，那麼代表我們可以寫出一個具有下列功能的函數。
76 |
77 | ```javascript
78 | function Proveable(str)
79 | if (str is a theorem)
80 | return 1;
81 | else
82 | return 0;
83 | end
84 | ```
85 |
86 | 這樣的函數本身，並不會造成甚麼問題，「包含算術的一階邏輯」(簡稱為 AFOL) 夠強，強到可以用邏輯式描述 Provable(str) 這件事，因此我們可以寫出 `Provable(s)` 這樣一個邏輯陳述。
87 |
88 | 更厲害的是，我們也可以將一個字串在 AFOL 裏，是否為定理這件事情，寫成邏輯陳述 (註：邏輯符號 ∃ 代表存在，- 代表 not， & 代表 and， | 代表 or)。
89 |
90 | 接著、我們就可以問一個奇怪的問題了！那個問題描述如下。
91 |
92 | > 請問 isTheorem(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是否為真呢？
93 |
94 | 讓我們先用 T 代表 ∃s -Provable(s) & -Provable(-s) 這個邏輯式的字串，然後分別討論「真假」這兩個情況：
95 |
96 | 1. 如果 isTheorem(T) 為真，那麼代表存在無法證明的定理，也就是 Provable 函數沒辦法證明所有的定理。
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98 | 2. 如果 isTheorem(T) 為假，那麼代表 -T 應該為真。這樣的話，請問 Provable(-T) 會傳回甚麼呢？讓我們分析看看：
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100 | ```javascript
101 | function Proveable(-T)
102 | if (-T is a theorem) // 2.1 這代表 -(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是個定理，也就是 Provable() 可以正確證明所有定理。
103 | return 1; // 但這樣的話，就違反了上述 「2. 如果 isTheorem(T) 為假」的條件了。
104 | else // 2.2 否則代表 -T 不是個定理，也就是存在 (∃) 某些定理 s 是無法證明的。
105 | return 0; // 但這樣的話，又違反上述「2. 如果 isTheorem(T) 為假」的條件了。
106 | end
107 | ```
108 |
109 | 於是我們斷定：如果 Provable() 對所有輸入都判斷正確的話，那麼 2 便是不可能的，因為 (2.1, 2.2) 這兩條路都違反 2 的假設，也就是只有 1 是可能的，所以我們可以斷定 Provable(s) 沒辦法正確證明所有定理。
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112 | ### 結語
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114 | 在本文中，我們沒有寫出 Provable(s) 的邏輯陳述，也沒有寫出 isTheorem() 的邏輯陳述，因為這需要對「程式的指令集」，也就是 CPU 做一個邏輯描述，這樣說來故事就太長了！
115 |
116 | 而這個 CPU，通常後來的「計算理論」書籍裏會用「圖靈機」來描述，但這並不是哥德爾當初的證明，因為「哥德爾證明不完備定理」的年代，圖靈還沒有提出「圖靈機」的概念。
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118 | 事實上、當初「哥德爾」的證明，根本也沒有「程式與電腦的概念」，所以「哥德爾」花了很多力氣建構了一個「哥德爾化的字串編碼概念」，這種字串編碼是建構在包含「+, *」兩個運算的算術系統上，也就是「皮亞諾公設」所描述的那種系統。這也是為何要引進「算術」到一階邏輯中，才能證明「哥德爾不完備定理」的原因了。
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120 | 1931 年「哥德爾」證明出「不完備定理」之後，後來「圖靈」於 1936 年又提出了一個電腦絕對無法完全做到的「停止問題」(Halting Problem)，該問題乃是希望設計出一個函數 isHalting(code, data) ，可以判斷程式 code 在輸入 data 之後會不會停，也就是 code(data) 會不會停。圖靈利用圖靈機的架構，證明了該問題同樣是不可判定的，也就是沒有任何一個程式可以完全正確的判定這樣的問題。
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122 | 「圖靈」的手法，與「哥德爾」非常類似，但是卻又更加簡單清楚。(不過既使如此，我還是很難直接理解圖靈的證明，因為本人在碩博士時連續被「圖靈機」荼毒了兩次，再也不希望跟「圖靈機」有任何瓜葛了 ....)
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125 | 但是、我們仍然希望能夠讓「對程式有興趣」的朋友們，能夠清楚的理解「圖靈」與「哥德爾」在「計算理論」上的成就與貢獻，以免過於自大的想寫出一個「可以解決所有問題的程式」，我想只有站在前人的肩膀上，才能看清楚「程式」到底是個甚麼東西吧！
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127 | (當然、其實想要「寫出一個可以解決所有問題的程式」是非常好的想法。雖然「圖靈」與「哥德爾」已經都告訴過我們這是不可能的，但是身為一個程式人，就應該有挑戰不可能任務的決心，不是嗎？ ........ 雖然、不一定要去做這種不可能的問題啦 ....)
128 |
129 | ### 參考文獻
130 |
131 | * [Wikipedia:Russell's paradox](http://en.wikipedia.org/wiki/Russells_paradox)
132 | * [維基百科:羅素悖論](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA)
133 | * [An Outline of the Proof of Gödel's Incompleteness Theorem](http://www.apronus.com/math/goedel.htm), All essential ideas - without the final technical details.
134 | * [Godel's Incompleteness Theorem](http://www.math.hawaii.edu/~dale/godel/godel.html), By Dale Myers
135 | * [哥德尔轶事](http://blog.sina.com.cn/s/blog_71329a960100sauh.html)
136 | * [A Short Guide to Godel's Second Incomplete Theorem (PDF)](http://sammelpunkt.philo.at:8080/1126/1/Bagaria.pdf), Joan Bagaria.
137 | * [Wikipedia:Proof sketch for Gödel's first incompleteness theorem](http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_sketch_for_G%C3%B6del%27s_first_incompleteness_theorem)
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|---|---|---|---|
| 財團法人羅慧夫顱顏基金會 | 56 |http://www.nncf.org/ 02-27190408分機 232 |
62 | 顱顏患者 (如唇顎裂、小耳症或其他罕見顱顏缺陷） | 63 |銀行：009彰化銀行民生分行 帳號：5234-01-41778-800 |
64 |
| 社團法人台灣省兒童少年成長協會 | 67 |http://www.cyga.org/ 04-23058005 |
73 | 單親、隔代教養.弱勢及一般家庭之兒童青少年 | 74 |銀行：新光銀行 戶名：台灣省兒童少年成長協會 帳號：103-0912-10-000212-0 |
75 |
13 |
15 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
14 |
16 |
88 |
91 |
92 |
93 |
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52 | h5, h5 a { font-size: small ; color:#708090; font-weight: bold; font-family: 'DFKai-sb', 'Tahoma'; }
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54 | h6, h6 a { font-size: x-small; color:#000080; }
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231 | code > span.er { color: #ff0000; font-weight: bold; }
232 |
233 |
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/htm/article4.html:
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18 |
- 謂詞邏輯、一階邏輯與「哥德爾完備定理」 19 |
謂詞邏輯、一階邏輯與「哥德爾完備定理」
22 |前言
23 |在 布林邏輯與推論系統 -- 何謂嚴格的數學證明？ 這篇文章中，我們介紹了「布林邏輯」(Boolean Logic) 這種簡單的推論系統，這種邏輯系統又稱為「命題邏輯」(Propositional Logic)。
24 |在本文中，我們將介紹一個能力較強大的邏輯系統，稱為「一階邏輯」(First Order Logic) 系統，這是一種「謂詞邏輯」(Predicate Logic) 的實例，然後再說明這種邏輯系統中的一個重要定理，稱為「哥德爾完備定理」。
25 |謂詞邏輯
26 |在布林邏輯中，只有用來代表真假值的簡單變數，像是 A, B, C, X, Y, Z .... 等，所以邏輯算式看來通常如下：
27 |-
28 |
- P & (P=>Q) => Q. 29 |
- A & B & C => D | E. 30 |
- -(A & B) <=> -A | -B. 31 |
這種命題邏輯裏沒有函數的概念，只有簡單的命題 (Proposition)，因此才稱為命題邏輯。
33 |而在謂詞邏輯裏，則有「布林函數」的概念，因此其表達能力較強，例如以下是一些謂詞邏輯的範例。
34 |-
35 |
- Parent(x,y) <= Father(x,y). 36 |
- Parent(John, Johnson). 37 |
- Ancestor(x,y) <= Parent(x,y). 38 |
- Ancestor(x,y) <= Ancestor(x,z) & Parent(z,y). 39 |
您可以看到在這種邏輯系統裏，有「布林變數」的概念 (像是 x, y, z 等等)，也有函數的概念，像是 Parent(), Father(), Ancestor() 等等。
41 |一階邏輯
42 |在上述這種謂詞邏輯系統中，如果我們加上 
(對於所有) 或 
(存在) 這兩個變數限定符號，而其中的謂詞不可以是變項，而必須要是常項，這種邏輯就稱為一階邏輯。
-
44 |
; 人都是會死的。
45 | 
; 蘇格拉底是人。
46 | 
; 蘇格拉底會死。
47 |
當然、規則可以更複雜，像是以下這個範例，就說明了「存在一些人可以永遠被欺騙」。
49 |-
50 |
51 |
二階邏輯
53 |如果一階邏輯中的謂詞，放寬成可以是變項的話 (這些變項可以加上 與 
等符號的約束)，那就變成了二階邏輯，以下是一些二階邏輯的規則範例。
-
55 |
56 | 
57 | 
; 數學歸納法。
58 |
一致性與完備性
60 |在邏輯系統中，所謂的「一致性」，是指公理系統本身不會具有矛盾的現象。假如我們用 A 代表該公理系統，那麼 A 具有一致性就是 A 不可能導出兩個矛盾的結論，也就是 A => P 與 A=> -P 不可能同時成立。
61 |哥德爾完備性定理
62 |哥德爾於 1929 年證明了「哥德爾完備定理」(Gödel's Complete Theorem)，這個定理較簡化的陳述形式如下：
63 |-
64 |
- 一階邏輯系統是一致且完備的，也就是所有的一階邏輯定理都可以透過機械性的推論程序證明出來，而且不會導出矛盾的結論。 65 |
以下是哥德爾完備定理的兩種陳述形式，詳細的證明方法請參考 Wikipedia:Original proof of Gödel's completeness theorem。
67 |-
68 |
Theorem 1. Every formula valid in all structures is provable.
69 | Theorem 2. Every formula φ is either refutable or satisfiable in some structure
70 |
結語
72 |「哥德爾完備性定理」似乎得到了一個很正向的結果，讓人對邏輯系統的能力擁有了一定的信心。
73 |但是、當哥德爾進一步擴展這個邏輯系統，加入了「自然數的加法與乘法」等運算之後，卻發現了一個令人沮喪的結果，那就是「包含自然數加法與乘法的一階邏輯系統，如果不是不一致的，那就肯定是不完備的，不可能兩者都成立」。
74 |這將引出我們的下一篇文章， 從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」。
75 |參考文獻
76 |-
77 |
- 維基百科：謂詞邏輯 78 |
- 維基百科：一階邏輯 79 |
- 維基百科：二階邏輯 80 |
- Wikipedia:First-order logic 81 |
- Wikipedia:Second-order_logic 82 |
- 維基百科：哥德爾完備性定理 83 |
- http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Henkin_construction 84 |
- Wikipedia:Original proof of Gödel's completeness theorem 85 |
【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科，採用創作共用的 姓名標示、相同方式分享 授權】
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34 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
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3 |
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5 |
6 |
7 |
36 |
39 |
40 | Visual Basic 6.0:大整數運算 加法與乘法 (使用 Array 字串) (作者：廖憲得 0xde)
41 |大整數加法
42 |
43 | 
44 |
45 |
44 | Private Sub Command1_Click()
46 | Text3 = ""
47 | ReDim TempArray(999)
48 |
49 | K = 0
50 |
51 | For i = Len(Text1) To 1 Step -1
52 | TempArray(K) = Mid(Text1, i, 1)
53 | K = K + 1
54 | Next i
55 |
56 | K = 0
57 |
58 | For i = Len(Text2) To 1 Step -1
59 | Temp = Val(TempArray(K)) + Val(Mid(Text2, i, 1))
60 | TempArray(K) = Temp Mod 10
61 | K = K + 1
62 | TempArray(K) = Val(TempArray(K)) + Val(Temp \ 10)
63 | Next i
64 |
65 | For i = 0 To UBound(TempArray)
66 | If Val(TempArray(i)) > 9 Then
67 | Temp = TempArray(i)
68 | TempArray(K) = Temp Mod 10
69 | K = K + 1
70 | TempArray(K) = Val(TempArray(K)) + Val(Temp \ 10)
71 | End If
72 | Next i
73 |
74 | For i = UBound(TempArray) To 0 Step -1
75 | Text3 = Text3 & TempArray(i)
76 | Next i
77 |
78 | Do Until Val(Mid(Text3, 1, 1)) <> 0
79 | Text3 = Mid(Text3, 2)
80 | Loop
81 | End Sub-
83 |
- 原始碼下載： 大數運算-大數加法.rar 84 |
大整數乘法
86 |
87 | 
88 |
89 |
88 | Private Sub Command1_Click()
90 | Text3 = ""
91 | ReDim TempArray(999)
92 |
93 | K = 0
94 |
95 | For i = Len(Text1) To 1 Step -1
96 | NowIndex = K
97 | For j = Len(Text2) To 1 Step -1
98 | Temp = TempArray(NowIndex) + Mid(Text1, i, 1) * Mid(Text2, j, 1)
99 | TempArray(NowIndex + 1) = Temp \ 10 + TempArray(NowIndex + 1)
100 | TempArray(NowIndex) = Temp Mod 10
101 | NowIndex = NowIndex + 1
102 | Next j
103 | K = K + 1
104 | Next i
105 |
106 | For i = UBound(TempArray) To 0 Step -1
107 | Text3 = Text3 & TempArray(i)
108 | Next i
109 |
110 | Do Until Val(Mid(Text3, 1, 1)) <> 0
111 | Text3 = Mid(Text3, 2)
112 | Loop
113 | End Sub-
115 |
- 原始碼下載： 大數運算-大數乘法.rar 116 |
【本文作者為「廖憲得」，原文網址為： http://www.dotblogs.com.tw/0xde/archive/2013/11/13/129111.aspx 與 http://www.dotblogs.com.tw/0xde/archive/2013/11/13/129101.aspx ，由陳鍾誠編輯後納入本雜誌】
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15 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
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68 |
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133 |
134 |
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/source/focus1.md:
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1 | ## 數學短訊：邏輯世界的歷史
2 |
3 | ### 簡介
4 |
5 | 邏輯學是西方科學中淵遠流長的一門學問，從西元前 350 年亞里斯多德的三段論開始，就開啟了歐洲文明對邏輯學的興趣之窗。然而這一個興趣同樣隨著西方文明的發展而起伏不定，直到西元 1850 年左右，George Boole (布爾) 開始研究布林代數，才讓邏輯學成為近代數學的一個重要領域。接著，Gottlob Frege 在 1870 年左右所提出的一階邏輯系統，繼承布林系統並向上延伸，形成一個數學基礎穩固且強大的邏輯系統，於是整個經典的邏輯系統建立完成。
6 |
7 | 雖然如此，這些邏輯系統仍然是掌上的玩物，而且沒有人能確定這樣的邏輯系統，其能力到底有多強，是否一致且完備，是否有某些極限。希爾伯特在 1900 年所提出的 25 個數學問題中，這個問題被排在第二個提出。然而，希爾伯特並沒有能證明一階邏輯系統的完備性，而是在 1929 年由哥德爾證明完成了。
8 |
9 | 哥德爾的成就不僅於此，1931 年他更進一步證明了一個非常令人驚訝的定理，在「一階邏輯的擴充系統 - 皮諾數論系統」當中，不具有完備性，而且它證明了假如該系統是完備的，將會導致矛盾。
10 |
11 | 哥德爾在證明完備定理與不完備定理時，採用的都是矛盾証法，也就是透過排中律所證明的，這樣的証明並非建構性的，因此即使建立了完備定理，也沒有人能構造出一個建構式的証明方法，可以檢證一階邏輯的定理。
12 |
13 | 1965 年，Robinson 提出了一條非常簡單的邏輯證明規則 -- Resolution，並且說明了如何利用矛盾檢證程序 Refutation，證明邏輯規則在某系統中的真假，這個方法既簡單又優美，因此廣為數學界與計算機科學界所稱道。以下，我們將更詳細的說明上述人物在邏輯學上的貢獻。
14 |
15 | ### 亞里斯多德 (Aristotle) (出生於西元前 322 年)
16 |
17 | 亞里斯多德在其其理則學 (zoology) 研究中，提出了下列的三段式推論規則 Barbara，簡稱為三段論。
18 |
19 | | 類型 | 語句 | 說明 |
20 | |--------|-------------------|----------|
21 | | 大前提 | 所有人都終會死亡 | 普遍原理 |
22 | | 小前提 | 蘇格拉底是人 | 特殊陳述 |
23 | | 結論 | 蘇格拉底終會死亡 | 推論結果 |
24 |
25 |
26 | ### 布爾 (Boole) (出生於 1815年)
27 |
28 | Boole 研究邏輯時，提出了一種只有真值與假值的邏輯，稱為二值邏輯，通常我們用 0 代表假值，1 代表真值。布爾研究這種邏輯系統，並寫出了一些代數規則，稱為布林代數，以下是其中的一些代數規則。
29 |
30 | | 規則 (數學寫法) | 名稱 |
31 | |-------------------------------------------------|---------------|
32 | |  | OR 的結合律 |
33 | |  | OR 的交換律 |
34 | |  | AND 的結合律 |
35 | |  | AND 的交換律 |
36 | |  | 狄摩根定律(1) |
37 | |  | 狄摩根定律(2) |
38 |
39 | 說明：上述規則中的  代表邏輯或 (AND) (在程式語言裏常寫為 `&` 或 and)，  代表邏輯或 (OR) (在程式語言裏常寫為 `|` 或 or)。所以若改用程式領域的寫法，可改寫如下。
40 |
41 | | 規則 (數學寫法) | 名稱 |
42 | |-----------------------------|---------------|
43 | | `x | (y | z) = (x | y) | z` | OR 的結合律 |
44 | | `x | y = y | z` | OR 的交換律 |
45 | | `x & (y & z) = (x & y) & z` | AND 的結合律 |
46 | | `x & y = y & x` | AND 的交換律 |
47 | | `-(x|y) = -x & -y` | 狄摩根定律(1) |
48 | | `-(x&y) = -x | -y` | 狄摩根定律(2) |
49 |
50 | ### 福雷格 (Frege) (出生於 1848年)
51 |
52 | Frege 在研究邏輯系統時，將函數的概念引入到邏輯系統當中，這種函數被稱為謂詞，因此該邏輯系統被稱為謂詞邏輯。然後，Frege 又引入了兩個量詞運算，  (對於所有) 與  (存在)，透過謂詞的限定作用，以及這兩個量詞，Frege 架構出了這種具有函數的邏輯系統，後來被稱為一階邏輯系統 (First Order Logic)。
53 |
54 | 以下是我們將亞里斯多德的三段論，轉化為一階邏輯後，所寫出的一階邏輯規則。
55 |
56 | | 類型 | 語句 | 說明 |
57 | |--------|----------------------------------------------------|------------------|
58 | | 大前提 |  | 所有人都終會死亡 |
59 | | 小前提 |  | 蘇格拉底是人 |
60 | | 結論 |  | 蘇格拉底終會死亡 |
61 |
62 | ### 希爾伯特 (David Hilbert) (出生於 1862年)
63 |
64 | 事實上，在電腦被發明之前，數學界早已開始探索「公理系統」的能力極限。在西元 1900 年時，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
65 |
66 | > 證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
67 |
68 | 在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
69 |
70 | 所謂的「一致性」，是指公理系統本身不會具有矛盾的現象。假如我們用 A 代表該公理系統，那麼 A 具有一致性就是 A 不可能導出兩個矛盾的結論，也就是 A => P 與 A=> -P 不可能同時成立。
71 |
72 | 所謂的「完備性」，是指所有「永遠為真的算式」(也就是定理) 都是可以被証明的，沒有任何一個定理可以逃出該公理系統的掌握範圍。
73 |
74 | 然而，希爾伯特耗盡了整個後半生，卻也無法證明整數公理系統的一致性與完備性。或許是造化弄人，這個任務竟然被希爾伯特的一位優秀學生 - 哥德爾 (Godel) 所解決了，或者應該說是否決了。
75 |
76 | ### 哥德爾 (Kurt Gödel) (出生於 1906 年)
77 |
78 | 哥德爾實際上證明了兩個定理，第一個是 1929 年提出的「哥德爾完備定理」(Gödel's Complete Theorem)，第二個是 1931 年證明的「哥德爾不完備定理」(Gödel's Incomplete Theorem)，這兩個定理看來似乎相當矛盾，但事實上不然，因為兩者所討論的是不同的公理系統，前者的焦點是「一階邏輯系統」(First Order Logic)，而後者的焦點則是「具備整數運算體系的一階邏輯系統」。
79 |
80 | 哥德爾完備定理證明了下列數學陳述：
81 |
82 | > 一階邏輯系統是一致且完備的
83 |
84 | 一致性代表一階邏輯系統不會具有矛盾的情況，而完備性則說明了一階邏輯當中的所有算式都可以被証明或否証。
85 |
86 | 哥德爾不完備定理證明了下列數學陳述：
87 |
88 | > 任何一致且完備的「數學形式化系統」中，只要它強到足以蘊涵「皮亞諾算術公理」，就可以在其中構造在體系內「既不能證明也不能否證的命題」。
89 |
90 | 哥德爾不完備定理改用另一個說法，如下所示：
91 |
92 | > 如果一個包含算術的公理系統可以用來描述它自身時，那麼它要麼是不完備的，要麼是不一致的，不可能兩者皆有！
93 |
94 | (筆者註：若該公理系統包含無限條公理時，必須是可列舉的 recursive enumerable)
95 |
96 | ### 羅賓遜 (John Alan Robinson) (出生於 1928 年)
97 |
98 | 雖然哥德爾證明了一階邏輯是完備的，但是卻沒有給出一個建構式的方法，可以推理出所有的的一階邏輯定理。這個問題由 John Alan Robinson 在 1965 年解決了。
99 |
100 | Robinson 提出的 refutation 邏輯推論法是一種反證法，任何一階邏輯的算式 P 只要在系統 S 當中是真的，只要將 -P 加入該系統 S 中，就可以經由反證法導出矛盾。如果 P 在系統 S 當中不是真的，那麼將 P 加入 S 當中就無法導出矛盾。
101 |
102 | 所謂的 refutation 反證法是依靠一個稱為 resolution 的邏輯規則，該規則如下所示：
103 |
104 | 
105 |
106 | 假如我們將上述算式中的  寫為 A，將  寫為 B，則上述算式可以改寫如下：
107 |
108 | 
109 |
110 | ### 結語
111 |
112 | 邏輯學在西方文化中扮演了非常重要的角色，而且可以說是「現代科學」會出現在歐洲的重要原因，假如將「邏輯學」從西方文化中拿掉，或許工業革命就不會出現在歐洲了？
113 |
114 | 您可以想像「孔子」整天追根究柢，常常和人辯論一件事情到底是真的還假，而且要轉換成符號，並且用邏輯的方式去證明嗎？
115 |
116 | 但是「亞里斯多德」在那個年代就是這樣追根究柢的，所以他才會去研究解剖學，把動物給切開看看裡面有甚麼，我想這也是他提出三段論背後的原因吧！
117 |
118 |
119 | ### 參考文獻
120 | * [維基百科：亞里斯多德](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BA%9A%E9%87%8C%E5%A3%AB%E5%A4%9A%E5%BE%B7)
121 | * [維基百科：喬治·布爾](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B9%94%E6%B2%BB%C2%B7%E5%B8%83%E5%B0%94)
122 | * [維基百科：三段論](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B8%89%E6%AE%B5%E8%AB%96)
123 | * [維基百科：哥德爾不完備定理](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86)
124 | * [維基百科：哥德爾完全性定理](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E5%AE%8C%E5%A4%87%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86)
125 | * [維基百科：戈特洛布·弗雷格](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%88%88%E7%89%B9%E6%B4%9B%E5%B8%83%C2%B7%E5%BC%97%E9%9B%B7%E6%A0%BC)
126 | * [維基百科：大衛·希爾伯特](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E5%8D%AB%C2%B7%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9)
127 | * [維基百科：希爾伯特的23個問題](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%9A%8423%E4%B8%AA%E9%97%AE%E9%A2%98)
128 | * [維基百科：庫爾特·哥德爾](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%93%E5%B0%94%E7%89%B9%C2%B7%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94)
129 | * [Wikipedia:Zoology](http://en.wikipedia.org/wiki/Zoology)
130 | * [Wikipedia:Aristotle](http://en.wikipedia.org/wiki/Aristotle)
131 | * [Wikipedia:Boolean Logic](http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_logic)
132 | * [Wikipedia:George Boole](http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole)
133 | * [Wikipedia:Frege](http://en.wikipedia.org/wiki/Frege)
134 | * [Wikipedia:Hilbert's_problems](http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_problem)
135 | * [Wikipedia:John Alan Robinson](http://en.wikipedia.org/wiki/J._Alan_Robinson)
136 | * [Wikipedia:Resolution (Logic)](http://en.wikipedia.org/wiki/Resolution_logic)
137 | * [Hilbert's Mathematical Problems](http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html)
138 | * [Wikipedia:Kurt_Gödel](http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel)
139 |
140 | 【本文由陳鍾誠取材並修改自 [維基百科]，採用創作共用的 [姓名標示、相同方式分享] 授權】
141 |
142 |
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/source/message1.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | ## 數學短訊：邏輯世界的歷史
2 |
3 | ### 簡介
4 |
5 | 邏輯學是西方科學中淵遠流長的一門學問，從西元前 350 年亞里斯多德的三段論開始，就開啟了歐洲文明對邏輯學的興趣之窗。然而這一個興趣同樣隨著西方文明的發展而起伏不定，直到西元 1850 年左右，George Boole (布爾) 開始研究布林代數，才讓邏輯學成為近代數學的一個重要領域。接著，Gottlob Frege 在 1870 年左右所提出的一階邏輯系統，繼承布林系統並向上延伸，形成一個數學基礎穩固且強大的邏輯系統，於是整個經典的邏輯系統建立完成。
6 |
7 | 雖然如此，這些邏輯系統仍然是掌上的玩物，而且沒有人能確定這樣的邏輯系統，其能力到底有多強，是否一致且完備，是否有某些極限。希爾伯特在 1900 年所提出的 25 個數學問題中，這個問題被排在第二個提出。然而，希爾伯特並沒有能證明一階邏輯系統的完備性，而是在 1929 年由哥德爾證明完成了。
8 |
9 | 哥德爾的成就不僅於此，1931 年他更進一步證明了一個非常令人驚訝的定理，在「一階邏輯的擴充系統 - 皮諾數論系統」當中，不具有完備性，而且它證明了假如該系統是完備的，將會導致矛盾。
10 |
11 | 哥德爾在證明完備定理與不完備定理時，採用的都是矛盾証法，也就是透過排中律所證明的，這樣的証明並非建構性的，因此即使建立了完備定理，也沒有人能構造出一個建構式的証明方法，可以檢證一階邏輯的定理。
12 |
13 | 1965 年，Robinson 提出了一條非常簡單的邏輯證明規則 -- Resolution，並且說明了如何利用矛盾檢證程序 Refutation，證明邏輯規則在某系統中的真假，這個方法既簡單又優美，因此廣為數學界與計算機科學界所稱道。以下，我們將更詳細的說明上述人物在邏輯學上的貢獻。
14 |
15 | ### 亞里斯多德 (Aristotle) (出生於西元前 322 年)
16 |
17 | 亞里斯多德在其其理則學 (zoology) 研究中，提出了下列的三段式推論規則 Barbara，簡稱為三段論。
18 |
19 | | 類型 | 語句 | 說明 |
20 | |--------|-------------------|----------|
21 | | 大前提 | 所有人都終會死亡 | 普遍原理 |
22 | | 小前提 | 蘇格拉底是人 | 特殊陳述 |
23 | | 結論 | 蘇格拉底終會死亡 | 推論結果 |
24 |
25 |
26 | ### 布爾 (Boole) (出生於 1815年)
27 |
28 | Boole 研究邏輯時，提出了一種只有真值與假值的邏輯，稱為二值邏輯，通常我們用 0 代表假值，1 代表真值。布爾研究這種邏輯系統，並寫出了一些代數規則，稱為布林代數，以下是其中的一些代數規則。
29 |
30 | | 規則 (數學寫法) | 名稱 |
31 | |-------------------------------------------------|---------------|
32 | |  | OR 的結合律 |
33 | |  | OR 的交換律 |
34 | |  | AND 的結合律 |
35 | |  | AND 的交換律 |
36 | |  | 狄摩根定律(1) |
37 | |  | 狄摩根定律(2) |
38 |
39 | 說明：上述規則中的  代表邏輯或 (AND) (在程式語言裏常寫為 `&` 或 and)，  代表邏輯或 (OR) (在程式語言裏常寫為 `|` 或 or)。所以若改用程式領域的寫法，可改寫如下。
40 |
41 | | 規則 (數學寫法) | 名稱 |
42 | |-----------------------------|---------------|
43 | | `x | (y | z) = (x | y) | z` | OR 的結合律 |
44 | | `x | y = y | z` | OR 的交換律 |
45 | | `x & (y & z) = (x & y) & z` | AND 的結合律 |
46 | | `x & y = y & x` | AND 的交換律 |
47 | | `-(x|y) = -x & -y` | 狄摩根定律(1) |
48 | | `-(x&y) = -x | -y` | 狄摩根定律(2) |
49 |
50 | ### 福雷格 (Frege) (出生於 1848年)
51 |
52 | Frege 在研究邏輯系統時，將函數的概念引入到邏輯系統當中，這種函數被稱為謂詞，因此該邏輯系統被稱為謂詞邏輯。然後，Frege 又引入了兩個量詞運算，  (對於所有) 與  (存在)，透過謂詞的限定作用，以及這兩個量詞，Frege 架構出了這種具有函數的邏輯系統，後來被稱為一階邏輯系統 (First Order Logic)。
53 |
54 | 以下是我們將亞里斯多德的三段論，轉化為一階邏輯後，所寫出的一階邏輯規則。
55 |
56 | | 類型 | 語句 | 說明 |
57 | |--------|----------------------------------------------------|------------------|
58 | | 大前提 |  | 所有人都終會死亡 |
59 | | 小前提 |  | 蘇格拉底是人 |
60 | | 結論 |  | 蘇格拉底終會死亡 |
61 |
62 | ### 希爾伯特 (David Hilbert) (出生於 1862年)
63 |
64 | 事實上，在電腦被發明之前，數學界早已開始探索「公理系統」的能力極限。在西元 1900 年時，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
65 |
66 | > 證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
67 |
68 | 在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
69 |
70 | 所謂的「一致性」，是指公理系統本身不會具有矛盾的現象。假如我們用 A 代表該公理系統，那麼 A 具有一致性就是 A 不可能導出兩個矛盾的結論，也就是 A => P 與 A=> -P 不可能同時成立。
71 |
72 | 所謂的「完備性」，是指所有「永遠為真的算式」(也就是定理) 都是可以被証明的，沒有任何一個定理可以逃出該公理系統的掌握範圍。
73 |
74 | 然而，希爾伯特耗盡了整個後半生，卻也無法證明整數公理系統的一致性與完備性。或許是造化弄人，這個任務竟然被希爾伯特的一位優秀學生 - 哥德爾 (Godel) 所解決了，或者應該說是否決了。
75 |
76 | ### 哥德爾 (Kurt Gödel) (出生於 1906 年)
77 |
78 | 哥德爾實際上證明了兩個定理，第一個是 1929 年提出的「哥德爾完備定理」(Gödel's Complete Theorem)，第二個是 1931 年證明的「哥德爾不完備定理」(Gödel's Incomplete Theorem)，這兩個定理看來似乎相當矛盾，但事實上不然，因為兩者所討論的是不同的公理系統，前者的焦點是「一階邏輯系統」(First Order Logic)，而後者的焦點則是「具備整數運算體系的一階邏輯系統」。
79 |
80 | 哥德爾完備定理證明了下列數學陳述：
81 |
82 | > 一階邏輯系統是一致且完備的
83 |
84 | 一致性代表一階邏輯系統不會具有矛盾的情況，而完備性則說明了一階邏輯當中的所有算式都可以被証明或否証。
85 |
86 | 哥德爾不完備定理證明了下列數學陳述：
87 |
88 | > 任何一致且完備的「數學形式化系統」中，只要它強到足以蘊涵「皮亞諾算術公理」，就可以在其中構造在體系內「既不能證明也不能否證的命題」。
89 |
90 | 哥德爾不完備定理改用另一個說法，如下所示：
91 |
92 | > 如果一個包含算術的公理系統可以用來描述它自身時，那麼它要麼是不完備的，要麼是不一致的，不可能兩者皆有！
93 |
94 | (筆者註：若該公理系統包含無限條公理時，必須是可列舉的 recursive enumerable)
95 |
96 | ### 羅賓遜 (John Alan Robinson) (出生於 1928 年)
97 |
98 | 雖然哥德爾證明了一階邏輯是完備的，但是卻沒有給出一個建構式的方法，可以推理出所有的的一階邏輯定理。這個問題由 John Alan Robinson 在 1965 年解決了。
99 |
100 | Robinson 提出的 refutation 邏輯推論法是一種反證法，任何一階邏輯的算式 P 只要在系統 S 當中是真的，只要將 -P 加入該系統 S 中，就可以經由反證法導出矛盾。如果 P 在系統 S 當中不是真的，那麼將 P 加入 S 當中就無法導出矛盾。
101 |
102 | 所謂的 refutation 反證法是依靠一個稱為 resolution 的邏輯規則，該規則如下所示：
103 |
104 | 
105 |
106 | 假如我們將上述算式中的  寫為 A，將  寫為 B，則上述算式可以改寫如下：
107 |
108 | 
109 |
110 | ### 結語
111 |
112 | 邏輯學在西方文化中扮演了非常重要的角色，而且可以說是「現代科學」會出現在歐洲的重要原因，假如將「邏輯學」從西方文化中拿掉，或許工業革命就不會出現在歐洲了？
113 |
114 | 您可以想像「孔子」整天追根究柢，常常和人辯論一件事情到底是真的還假，而且要轉換成符號，並且用邏輯的方式去證明嗎？
115 |
116 | 但是「亞里斯多德」在那個年代就是這樣追根究柢的，所以他才會去研究解剖學，把動物給切開看看裡面有甚麼，我想這也是他提出三段論背後的原因吧！
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119 | ### 參考文獻
120 | * [維基百科：亞里斯多德](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BA%9A%E9%87%8C%E5%A3%AB%E5%A4%9A%E5%BE%B7)
121 | * [維基百科：喬治·布爾](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B9%94%E6%B2%BB%C2%B7%E5%B8%83%E5%B0%94)
122 | * [維基百科：三段論](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B8%89%E6%AE%B5%E8%AB%96)
123 | * [維基百科：哥德爾不完備定理](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86)
124 | * [維基百科：哥德爾完全性定理](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E5%AE%8C%E5%A4%87%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86)
125 | * [維基百科：戈特洛布·弗雷格](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%88%88%E7%89%B9%E6%B4%9B%E5%B8%83%C2%B7%E5%BC%97%E9%9B%B7%E6%A0%BC)
126 | * [維基百科：大衛·希爾伯特](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E5%8D%AB%C2%B7%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9)
127 | * [維基百科：希爾伯特的23個問題](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%9A%8423%E4%B8%AA%E9%97%AE%E9%A2%98)
128 | * [維基百科：庫爾特·哥德爾](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%93%E5%B0%94%E7%89%B9%C2%B7%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94)
129 | * [Wikipedia:Zoology](http://en.wikipedia.org/wiki/Zoology)
130 | * [Wikipedia:Aristotle](http://en.wikipedia.org/wiki/Aristotle)
131 | * [Wikipedia:Boolean Logic](http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_logic)
132 | * [Wikipedia:George Boole](http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole)
133 | * [Wikipedia:Frege](http://en.wikipedia.org/wiki/Frege)
134 | * [Wikipedia:Hilbert's_problems](http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_problem)
135 | * [Wikipedia:John Alan Robinson](http://en.wikipedia.org/wiki/J._Alan_Robinson)
136 | * [Wikipedia:Resolution (Logic)](http://en.wikipedia.org/wiki/Resolution_logic)
137 | * [Hilbert's Mathematical Problems](http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html)
138 | * [Wikipedia:Kurt_Gödel](http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel)
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140 | 【本文由陳鍾誠取材並修改自 [維基百科]，採用創作共用的 [姓名標示、相同方式分享] 授權】
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1 | ## 數學短訊：邏輯世界的歷史
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3 | ### 簡介
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5 | 邏輯學是西方科學中淵遠流長的一門學問，從西元前 350 年亞里斯多德的三段論開始，就開啟了歐洲文明對邏輯學的興趣之窗。然而這一個興趣同樣隨著西方文明的發展而起伏不定，直到西元 1850 年左右，George Boole (布爾) 開始研究布林代數，才讓邏輯學成為近代數學的一個重要領域。接著，Gottlob Frege 在 1870 年左右所提出的一階邏輯系統，繼承布林系統並向上延伸，形成一個數學基礎穩固且強大的邏輯系統，於是整個經典的邏輯系統建立完成。
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7 | 雖然如此，這些邏輯系統仍然是掌上的玩物，而且沒有人能確定這樣的邏輯系統，其能力到底有多強，是否一致且完備，是否有某些極限。希爾伯特在 1900 年所提出的 25 個數學問題中，這個問題被排在第二個提出。然而，希爾伯特並沒有能證明一階邏輯系統的完備性，而是在 1929 年由哥德爾證明完成了。
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9 | 哥德爾的成就不僅於此，1931 年他更進一步證明了一個非常令人驚訝的定理，在「一階邏輯的擴充系統 - 皮諾數論系統」當中，不具有完備性，而且它證明了假如該系統是完備的，將會導致矛盾。
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11 | 哥德爾在證明完備定理與不完備定理時，採用的都是矛盾証法，也就是透過排中律所證明的，這樣的証明並非建構性的，因此即使建立了完備定理，也沒有人能構造出一個建構式的証明方法，可以檢證一階邏輯的定理。
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13 | 1965 年，Robinson 提出了一條非常簡單的邏輯證明規則 -- Resolution，並且說明了如何利用矛盾檢證程序 Refutation，證明邏輯規則在某系統中的真假，這個方法既簡單又優美，因此廣為數學界與計算機科學界所稱道。以下，我們將更詳細的說明上述人物在邏輯學上的貢獻。
14 |
15 | ### 亞里斯多德 (Aristotle) (出生於西元前 322 年)
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17 | 亞里斯多德在其其理則學 (zoology) 研究中，提出了下列的三段式推論規則 Barbara，簡稱為三段論。
18 |
19 | | 類型 | 語句 | 說明 |
20 | |--------|-------------------|----------|
21 | | 大前提 | 所有人都終會死亡 | 普遍原理 |
22 | | 小前提 | 蘇格拉底是人 | 特殊陳述 |
23 | | 結論 | 蘇格拉底終會死亡 | 推論結果 |
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26 | ### 布爾 (Boole) (出生於 1815年)
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28 | Boole 研究邏輯時，提出了一種只有真值與假值的邏輯，稱為二值邏輯，通常我們用 0 代表假值，1 代表真值。布爾研究這種邏輯系統，並寫出了一些代數規則，稱為布林代數，以下是其中的一些代數規則。
29 |
30 | | 規則 (數學寫法) | 名稱 |
31 | |-------------------------------------------------|---------------|
32 | | $x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$ | OR 的結合律 |
33 | | $x \vee y = y \vee x$ | OR 的交換律 |
34 | | $x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$ | AND 的結合律 |
35 | | $x \wedge y = y \wedge x$ | AND 的交換律 |
36 | | $\bar{x\vee y} = \bar{x} \wedge \bar{y}$ | 狄摩根定律(1) |
37 | | $\bar{x\wedge y} = \bar{x} \vee \bar{y}$ | 狄摩根定律(2) |
38 |
39 | 說明：上述規則中的 $\wedge$ 代表邏輯或 (AND) (在程式語言裏常寫為 `&` 或 and)， $\vee$ 代表邏輯或 (OR) (在程式語言裏常寫為 `|` 或 or)。所以若改用程式領域的寫法，可改寫如下。
40 |
41 | | 規則 (數學寫法) | 名稱 |
42 | |-----------------------------|---------------|
43 | | `x | (y | z) = (x | y) | z` | OR 的結合律 |
44 | | `x | y = y | z` | OR 的交換律 |
45 | | `x & (y & z) = (x & y) & z` | AND 的結合律 |
46 | | `x & y = y & x` | AND 的交換律 |
47 | | `-(x|y) = -x & -y` | 狄摩根定律(1) |
48 | | `-(x&y) = -x | -y` | 狄摩根定律(2) |
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50 | ### 福雷格 (Frege) (出生於 1848年)
51 |
52 | Frege 在研究邏輯系統時，將函數的概念引入到邏輯系統當中，這種函數被稱為謂詞，因此該邏輯系統被稱為謂詞邏輯。然後，Frege 又引入了兩個量詞運算， $\forall$ (對於所有) 與 $\exists$ (存在)，透過謂詞的限定作用，以及這兩個量詞，Frege 架構出了這種具有函數的邏輯系統，後來被稱為一階邏輯系統 (First Order Logic)。
53 |
54 | 以下是我們將亞里斯多德的三段論，轉化為一階邏輯後，所寫出的一階邏輯規則。
55 |
56 | | 類型 | 語句 | 說明 |
57 | |--------|----------------------------------------------------|------------------|
58 | | 大前提 | $\forall x \quad people(x) \rightarrow mortal(x)$ | 所有人都終會死亡 |
59 | | 小前提 | $people(Socrates)$ | 蘇格拉底是人 |
60 | | 結論 | $mortal(Socrates)$ | 蘇格拉底終會死亡 |
61 |
62 | ### 希爾伯特 (David Hilbert) (出生於 1862年)
63 |
64 | 事實上，在電腦被發明之前，數學界早已開始探索「公理系統」的能力極限。在西元 1900 年時，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
65 |
66 | > 證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
67 |
68 | 在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
69 |
70 | 所謂的「一致性」，是指公理系統本身不會具有矛盾的現象。假如我們用 A 代表該公理系統，那麼 A 具有一致性就是 A 不可能導出兩個矛盾的結論，也就是 A => P 與 A=> -P 不可能同時成立。
71 |
72 | 所謂的「完備性」，是指所有「永遠為真的算式」(也就是定理) 都是可以被証明的，沒有任何一個定理可以逃出該公理系統的掌握範圍。
73 |
74 | 然而，希爾伯特耗盡了整個後半生，卻也無法證明整數公理系統的一致性與完備性。或許是造化弄人，這個任務竟然被希爾伯特的一位優秀學生 - 哥德爾 (Godel) 所解決了，或者應該說是否決了。
75 |
76 | ### 哥德爾 (Kurt Gödel) (出生於 1906 年)
77 |
78 | 哥德爾實際上證明了兩個定理，第一個是 1929 年提出的「哥德爾完備定理」(Gödel's Complete Theorem)，第二個是 1931 年證明的「哥德爾不完備定理」(Gödel's Incomplete Theorem)，這兩個定理看來似乎相當矛盾，但事實上不然，因為兩者所討論的是不同的公理系統，前者的焦點是「一階邏輯系統」(First Order Logic)，而後者的焦點則是「具備整數運算體系的一階邏輯系統」。
79 |
80 | 哥德爾完備定理證明了下列數學陳述：
81 |
82 | > 一階邏輯系統是一致且完備的
83 |
84 | 一致性代表一階邏輯系統不會具有矛盾的情況，而完備性則說明了一階邏輯當中的所有算式都可以被証明或否証。
85 |
86 | 哥德爾不完備定理證明了下列數學陳述：
87 |
88 | > 任何一致且完備的「數學形式化系統」中，只要它強到足以蘊涵「皮亞諾算術公理」，就可以在其中構造在體系內「既不能證明也不能否證的命題」。
89 |
90 | 哥德爾不完備定理改用另一個說法，如下所示：
91 |
92 | > 如果一個包含算術的公理系統可以用來描述它自身時，那麼它要麼是不完備的，要麼是不一致的，不可能兩者皆有！
93 |
94 | (筆者註：若該公理系統包含無限條公理時，必須是可列舉的 recursive enumerable)
95 |
96 | ### 羅賓遜 (John Alan Robinson) (出生於 1928 年)
97 |
98 | 雖然哥德爾證明了一階邏輯是完備的，但是卻沒有給出一個建構式的方法，可以推理出所有的的一階邏輯定理。這個問題由 John Alan Robinson 在 1965 年解決了。
99 |
100 | Robinson 提出的 refutation 邏輯推論法是一種反證法，任何一階邏輯的算式 P 只要在系統 S 當中是真的，只要將 -P 加入該系統 S 中，就可以經由反證法導出矛盾。如果 P 在系統 S 當中不是真的，那麼將 P 加入 S 當中就無法導出矛盾。
101 |
102 | 所謂的 refutation 反證法是依靠一個稱為 resolution 的邏輯規則，該規則如下所示：
103 |
104 | $\frac{a_1 | \ldots | a_i | \ldots | a_n \;\;\; ; \;\; b_1 | \ldots | -a_i | \ldots | b_m}{a_1 | \ldots | a_{i-1} | a_{i+1} | \ldots | a_n | b_1 | \ldots | b_{j-1} | b_{j+1} | \ldots | b_m}$
105 |
106 | 假如我們將上述算式中的 $a_1 | \ldots | a_{i-1} | a_{i+1} | \ldots | a_n$ 寫為 A，將 $ b_1 | \ldots | b_{j-1} | b_{j+1} \ldots | b_m$ 寫為 B，則上述算式可以改寫如下：
107 |
108 | $\frac{A | a_i \;\;\; ; \;\; B | -a_i}{A | B}$
109 |
110 | ### 結語
111 |
112 | 邏輯學在西方文化中扮演了非常重要的角色，而且可以說是「現代科學」會出現在歐洲的重要原因，假如將「邏輯學」從西方文化中拿掉，或許工業革命就不會出現在歐洲了？
113 |
114 | 您可以想像「孔子」整天追根究柢，常常和人辯論一件事情到底是真的還假，而且要轉換成符號，並且用邏輯的方式去證明嗎？
115 |
116 | 但是「亞里斯多德」在那個年代就是這樣追根究柢的，所以他才會去研究解剖學，把動物給切開看看裡面有甚麼，我想這也是他提出三段論背後的原因吧！
117 |
118 |
119 | ### 參考文獻
120 | * [維基百科：亞里斯多德](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BA%9A%E9%87%8C%E5%A3%AB%E5%A4%9A%E5%BE%B7)
121 | * [維基百科：喬治·布爾](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B9%94%E6%B2%BB%C2%B7%E5%B8%83%E5%B0%94)
122 | * [維基百科：三段論](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B8%89%E6%AE%B5%E8%AB%96)
123 | * [維基百科：哥德爾不完備定理](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86)
124 | * [維基百科：哥德爾完全性定理](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E5%AE%8C%E5%A4%87%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86)
125 | * [維基百科：戈特洛布·弗雷格](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%88%88%E7%89%B9%E6%B4%9B%E5%B8%83%C2%B7%E5%BC%97%E9%9B%B7%E6%A0%BC)
126 | * [維基百科：大衛·希爾伯特](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E5%8D%AB%C2%B7%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9)
127 | * [維基百科：希爾伯特的23個問題](http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%9A%8423%E4%B8%AA%E9%97%AE%E9%A2%98)
128 | * [維基百科：庫爾特·哥德爾](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%93%E5%B0%94%E7%89%B9%C2%B7%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94)
129 | * [Wikipedia:Zoology](http://en.wikipedia.org/wiki/Zoology)
130 | * [Wikipedia:Aristotle](http://en.wikipedia.org/wiki/Aristotle)
131 | * [Wikipedia:Boolean Logic](http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_logic)
132 | * [Wikipedia:George Boole](http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole)
133 | * [Wikipedia:Frege](http://en.wikipedia.org/wiki/Frege)
134 | * [Wikipedia:Hilbert's_problems](http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_problem)
135 | * [Wikipedia:John Alan Robinson](http://en.wikipedia.org/wiki/J._Alan_Robinson)
136 | * [Wikipedia:Resolution (Logic)](http://en.wikipedia.org/wiki/Resolution_logic)
137 | * [Hilbert's Mathematical Problems](http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html)
138 | * [Wikipedia:Kurt_Gödel](http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel)
139 |
140 | 【本文由陳鍾誠取材並修改自 [維基百科]，採用創作共用的 [姓名標示、相同方式分享] 授權】
141 |
142 |
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/source/focus2.md0:
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1 | ## 布林邏輯與推論系統 -- 何謂嚴格的數學證明？
2 |
3 | ### 前言
4 |
5 | 當我還是個學生時，我總是困惑著如何應付老師的考試，其中一個重要的數學困擾是，老師要我們「證明」某個運算式。
6 |
7 | 最大的問題不在於我不會「證明」，因為在很多科目的證明題當中，我也都「答對了」，但是這種答對總是讓我感到極度的沒有把握，因為有時老師說「這樣的證明是對的」，但有時卻說「這樣的證明是錯的」。
8 |
9 | 更神奇的是，老師的證明永遠都是對的，他們可以突然加入一個「推論」，而這個推論的根據好像之前沒有出現過，然後他們說：「由此可證」、「同理可證」....。
10 |
11 | 直到有一天，我終於懂了。
12 |
13 | 因為課堂上老師的證明往往不是「嚴格的證明」，因為嚴格的證明通常「非常的困難」，每個證明都可以是一篇論文，甚至在很多論文當中的證明也都不是嚴格的。
14 |
15 | 所以在課堂上，老師總是可以天外飛來一筆的，跳過了某些「無聊的步驟」，奇蹟式的證明了某些定理，而這正是我所以感到困擾的原因。
16 |
17 | ### 一般的證明
18 |
19 | 一般而言，日常生活中的證明，通常是不嚴格的。
20 |
21 | 舉例來說，我可以「證明」某人殺了死者，因為殺死死者的兇刀上有「某人」的指紋。
22 |
23 | 但是這樣的證明並不嚴格，因為有很少的可能性是「某人摸過兇刀、但是並沒有殺人」。
24 |
25 | 所以我們總是可以看到那個「外表看似小孩，智慧卻過於常人」的「名偵探柯南」，總是天外飛來一筆的「證明」了某人是兇手，這種證明與數學證明可是完全不同的。
26 |
27 | ### 嚴格的證明
28 |
29 | 數學的證明通常不能是「機率式」的，例如：「我證明他 99% 殺了人」，這樣的證明稱不上是嚴格的證明。
30 |
31 | 嚴格的證明也並非結果一定要是 100% 的正確 (當然也不是說結果不正確)，真正的證明是一種過程，而不是結果。
32 |
33 | 怎麼說呢？
34 |
35 | 數學其實很像程式領域的演算法，或者就像是電腦的運作過程，當我們設計出一顆 CPU 之後，你必須用該 CPU 的指令撰寫出某些函數，以便完成某個程式。
36 |
37 | 那麼，數學的 CPU 是甚麼呢？
38 |
39 | 答案是「公理系統」 (Axioms)！
40 |
41 | 只有透過公理系統，經由某種演算方式，計算出待證明定理在任何情況下都是真的，這樣才算是證明了該定理。
42 |
43 | 這些公理系統其實就是數學的 CPU 指令集。
44 |
45 | 布林代數大概是數學當中最簡單的系統了，因為布林代數的値只有兩種--「真與假」 (或者用 0 與 1 代表)。
46 |
47 | 為了說明嚴格的數學證明是如何進行的，我們將從布林代數的公理系統 (CPU?) 開始，說明如何證明布林代數的某些定理，就好像是如何用指令集撰寫程式一樣。
48 |
49 | ### 布林邏輯
50 |
51 | 對於單一變數 x 的布林系統而言，x 只有兩個可能的值 (0 或 1)。
52 |
53 | 對於兩個變數 x, y 的布林系統而言，(x, y) 的組合則可能有 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) 四種。
54 |
55 | 對於三個變數 x, y, z 的布林系統而言，(x, y, z) 的組合則可能有 (0,0, 0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0, 0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) 八種。
56 |
57 | 基本的布林邏輯運算有三種，AND (且), OR (或), NOT (反)，在布林代數當中，通常我們在符號上面加一個上標橫線代表 NOT，用 $\wedge$ 代表 AND，用 $\vee$ 代表 OR。
58 |
59 | 但是在程式裏面，受到 C 語言的影響，很多語言用驚嘆號 `!` 代表 NOT，用 `&` 代表 AND，用 `|` 代表 OR。以下我們將採用類似 C 語言的程式型寫法進行說明。
60 |
61 |
17 |
20 |
21 | Arduino入門教學(15) – Amarino 的 SensorGraph 範例程式 (作者：Cooper Maa)
22 |這篇是寫給 amarino 初學者看的，目的是教導你如何執行 Amarino 的 SensorGraph 範例程式。
23 |所需材料
24 |-
25 |
- Android 手機一支 26 |
- Arduino x1 27 |
- bluetooth module x 1 28 |
- 可變電阻或光敏電阻 (Light dependent resistor) x 1 29 |
Step 1：安裝 Amarino
31 |到 http://www.amarino-toolkit.net/ 下載下列 App 並安裝到 Android 手機上：
32 |-
33 |
- 34 |
- 35 |
SensorGraph (這是 buildcircuit.com 的版本)
36 |
Step 2: 安裝 Arduino IDE 與 MeetAndroid Library
38 |如果你電腦上還沒有 Arduino IDE，請先到 http://arduino.cc/en/Main/Software 下載軟體，下載後解壓縮即可。
39 |接著下載 MeetAndroid Library ，把 MeetAndroid 解到 Arduino IDE 安裝目錄下的 libraries 資料夾下。
40 |重新啟動 Arduino IDE，在 Sketch > Import Library 底下應該會看到 MeetAndroid，如下圖：
41 |
42 | 
43 |
44 |
43 | Step 3：連接可變電阻或光敏電阻
45 |參考下圖，把可變電阻中間腳位接到 Analog Input pin 5，剩下的兩支腳位，一支接到 5V，另外一支接到 GND：
46 |
47 | 
48 |
49 |
48 | 如果你使用的是光敏電阻，電路的接法請參考 這篇 。
50 |Step 4： 上傳 SensorGraph Tutorial 程式
51 |點 File > Examples > MeetAndroid > SensorGraph Tutorial 打開 SensorGraph Tutorial 程式：
52 |
53 | 
54 |
55 |
54 | 程式所用的 baud rate 預設是 57600 bps，如果你的藍芽模組不是 57600 bps，請做適當的調整：
56 |
57 | 
58 |
59 |
58 | 然後把程式上傳到 Arduino 板子上。
60 |Step 5：連接藍芽模組
61 |我用的是 廣州匯承信息科技 的 HC-0x 系列藍芽模組，下圖是 HC-0x 藍芽模組的外觀：
62 |
63 | 
65 | ▲ HC-0x 藍芽模組 (圖左：正面圖，圖右：背面圖）
64 |這個藍芽模組連接方法很簡單，照下表把 Arduino 和藍芽模組連接起來就好：
66 || Arduino | 70 |藍芽模組 | 71 |備註 | 72 |
|---|---|---|
| 5V | 77 |VCC | 78 |注意電源不可接錯 | 79 |
| GND | 82 |GND | 83 |注意電源不可接錯 | 84 |
| RXD | 87 |TXD | 88 |89 | |
| TXD | 92 |RXD | 93 |94 | |
98 | 
99 |
100 |
99 | 連接的時候有兩點要注意：第一是電源千萬不可接錯，不然可能會把藍芽模組燒壞，第二是 Arduino 的 RXD 要接藍芽模組的 TXD，而 Arduino 的 TXD 要接藍芽模組的 RXD。
101 |通電之後，藍芽模組上的 LED 會一直閃爍：
102 |
103 | 
104 |
105 |
104 | Step 6：執行 SensorGraph App
106 |首先，先利用 Amarino 搜尋藍芽設備，找到設備後，將藍芽設備的 MAC Address 抄起來（ 記得不要在 Amarino 設定任何 Event！ ）：
107 |
108 | 
109 |
110 |
109 | 打開 SensorGraph App，輸入剛剛抄下來的 MAC Address，然後按下【Set Device ID】：
111 |
112 | 
113 |
114 |
113 | 如果一切順利，Android 手機就會跟 Arduino 建立連線，並且呈現如下圖的畫面。其中，畫面上方會繒製感測讀值的圖形，而下方則顯示其即時數值（至於最底下的 SeekBar，因為我們沒有用到，所以可以忽略不管）：
115 |
116 | 
117 |
118 |
117 | 示範影片
119 |-
120 |
- 示範影片：sensor graph with LED controller 121 |
參考資料
123 |-
124 |
- SensorGraph using Android, Amarino and Arduino 125 |
- Sensor Graph 126 |
- 以 Amarino 連接 Android 與 Arduino 127 |
【本文作者為馬萬圳，原文網址為： http://coopermaa2nd.blogspot.tw/2012/06/sensorgraph.html ，由陳鍾誠編輯後納入本雜誌】
129 || NOT | AND | OR |
| 64 | 65 | | x | !x | 66 | |------|-----| 67 | | 0 | 1 | 68 | | 1 | 0 | 69 | 70 | | 71 | 72 | | x | y | x&y | 73 | |---|---|-----| 74 | | 0 | 0 | 0 | 75 | | 0 | 1 | 0 | 76 | | 1 | 0 | 0 | 77 | | 1 | 1 | 1 | 78 | 79 | | 80 | 81 | 82 | | x | y | x`|`y | 83 | |---|---|-------| 84 | | 0 | 0 | 0 | 85 | | 0 | 1 | 1 | 86 | | 1 | 0 | 1 | 87 | | 1 | 1 | 1 | 88 | 89 | | 90 |
| NOT | AND | OR |
| 64 | 65 | | x | !x | 66 | |------|-----| 67 | | 0 | 1 | 68 | | 1 | 0 | 69 | 70 | | 71 | 72 | | x | y | x&y | 73 | |---|---|-----| 74 | | 0 | 0 | 0 | 75 | | 0 | 1 | 0 | 76 | | 1 | 0 | 0 | 77 | | 1 | 1 | 1 | 78 | 79 | | 80 | 81 | 82 | | x | y | x`|`y | 83 | |---|---|-------| 84 | | 0 | 0 | 0 | 85 | | 0 | 1 | 1 | 86 | | 1 | 0 | 1 | 87 | | 1 | 1 | 1 | 88 | 89 | | 90 |
32 |
34 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
33 |
35 |
134 |
137 |
138 |
139 |
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/source/article6.md:
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1 | ## 講題分享 - 用 R 進行中文 text Mining (作者:陳嘉葳@Taiwan R User Group)
2 |
3 | 本文使用的分析方法，目前僅能在Windows上測試成功。
4 |
5 | ### 簡介
6 |
7 | 現今網路上有大量文字資料,例如 ptt, facebook, 或 mobile01等討論網站上都有大量文字留言, 由於這些資料繁多雜亂, 我們可藉由文字探勘技術萃取出有用的訊息, 讓人們有效率掌握這些網路文字所提供的訊息。而R語言是一款非常適合資料分析的工具,有一系列文字探勘的套件可供使用,本文將簡單介紹中文文字探勘套件的使用方法。
8 |
9 | ### 安裝需要工具
10 |
11 | 我的環境: Windows 7 + R 版本 2.15.3 + RStudio 0.98.484
12 |
13 | 安裝以下套件
14 |
15 | ```r
16 | install.packages("rJava")
17 | install.packages("Rwordseg", repos="http://R-Forge.R-project.org")
18 | install.packages("tm")
19 | install.packages("tmcn", repos="http://R-Forge.R-project.org", type="source")
20 | install.packages("wordcloud")
21 | install.packages("XML")
22 | install.packages("RCurl")
23 | ```
24 |
25 | Windows上安裝rJava的注意事項:
26 |
27 | - 將jvm.dll加到環境變數PATH之中
28 | - 注意java的版本(32-bit or 64-bit)必須要和R一致
29 | (Windows binary)之後再安裝，以避免
30 |
31 | ### 抓取ptt笨版文章列表
32 |
33 | 我們以分析ptt笨版文章為範例, 首先到ptt web 版抓取文章的url連結。
34 | 我們利用 RCurl套件的 getURL和 XML套件的 htmlParseApply 抓取笨版文章列表的 html網頁, 再用xpathSApply 去擷取出所有文章的url連結並儲存。
35 | 或是可以到[已下載ptt笨版文章](https://dl.dropboxusercontent.com/u/21186660/doc.rar)
36 |
37 | ```r
38 | library(XML)
39 | library(RCurl)
40 |
41 | data <- list()
42 |
43 | for( i in 1058:1118){
44 | tmp <- paste(i, '.html', sep='')
45 | url <- paste('www.ptt.cc/bbs/StupidClown/index', tmp, sep='')
46 | html <- htmlParse(getURL(url))
47 | url.list <- xpathSApply(html, "//div[@class='title']/a[@href]", xmlAttrs)
48 | data <- rbind(data, paste('www.ptt.cc', url.list, sep=''))
49 | }
50 | data <- unlist(data)
51 |
52 | ```
53 |
54 | 下載列表中的笨版文章之後，接著才開始利用所有文章的url連結去抓所有文章的html網頁, 並用xpathSApply去解析出文章的內容並儲存。
55 |
56 | ```r
57 | getdoc <- function(line){
58 | start <- regexpr('www', line)[1]
59 | end <- regexpr('html', line)[1]
60 |
61 | if(start != -1 & end != -1){
62 | url <- substr(line, start, end+3)
63 | html <- htmlParse(getURL(url), encoding='UTF-8')
64 | doc <- xpathSApply(html, "//div[@id='main-content']", xmlValue)
65 | name <- strsplit(url, '/')[[1]][4]
66 | write(doc, gsub('html', 'txt', name))
67 | }
68 | }
69 |
70 | ```
71 |
72 |
73 | 開始下載文章
74 |
75 |
76 | 先用 ```setwd(填入資料夾位置)``` 這指令, 選定文件下載位置
77 | 或是用 ```getwd()```確定目前的工作資料夾位置
78 |
79 | ```r
80 | sapply(data, getdoc)
81 |
82 | ```
83 | ### 開始文字處理
84 |
85 | 首先載入以下text mining 套件
86 |
87 |
88 | ```r
89 | library(tm)
90 | library(tmcn)
91 | ```
92 |
93 | ```
94 | ## # tmcn Version: 0.1-2
95 | ```
96 |
97 | ```r
98 | library(Rwordseg)
99 | ```
100 |
101 | ```
102 | ## Loading required package: rJava
103 | ## # Version: 0.2-1
104 | ```
105 |
106 |
107 | 匯入剛才抓完的笨版文章，doc 是儲存下載ptt文章的資料夾, 這些文章變成我們分析的語料庫。
108 |
109 |
110 | ```r
111 | d.corpus <- Corpus(DirSource("doc"), list(language = NA))
112 | ```
113 |
114 | ### 進行數據清理
115 |
116 | 1 清除標點符號, 數字
117 |
118 |
119 | ```r
120 | d.corpus <- tm_map(d.corpus, removePunctuation)
121 | d.corpus <- tm_map(d.corpus, removeNumbers)
122 | ```
123 |
124 |
125 | 2 清除大小寫英文與數字
126 |
127 |
128 | ```r
129 | d.corpus <- tm_map(d.corpus, function(word) {
130 | gsub("[A-Za-z0-9]", "", word)
131 | })
132 | ```
133 |
134 |
135 | ### 進行中文斷詞
136 |
137 | 首先，由於ptt有自己獨特的詞彙，例如發文不附沒圖、沒圖沒真相...等等，因此我們另外安裝 ptt 常用詞彙來協助斷詞。ptt常用詞彙可以從[搜狗細胞辭庫](http://wubi.sogou.com/dict/cell.php?id=9182)下載 。
138 |
139 |
140 | ```r
141 | words <- readLines("http://wubi.sogou.com/dict/download_txt.php?id=9182")
142 | words <- toTrad(words)
143 | insertWords(words)
144 | ```
145 |
146 |
147 | 接著，我們利用我們 Rwordseg套件裡的segmentCN來進行斷詞。Rwordseg是[李艦](http://jliblog.com/app/rwordseg)所撰寫的R套件，利用rJava去連結java分詞工具ansj來進行斷詞。 另外，斷詞後的詞彙有詞性，例如動詞、名詞、形容詞、介係詞等等，我們只挑出名詞來進行分析。
148 |
149 |
150 | ```r
151 | d.corpus <- tm_map(d.corpus[1:100], segmentCN, nature = TRUE)
152 | d.corpus <- tm_map(d.corpus, function(sentence) {
153 | noun <- lapply(sentence, function(w) {
154 | w[names(w) == "n"]
155 | })
156 | unlist(noun)
157 | })
158 | d.corpus <- Corpus(VectorSource(d.corpus))
159 | ```
160 |
161 |
162 | 接著進行清除停用字符，停用字符指的是一些文章中常見的單字，但卻無法提供我們資訊的冗字。例如有些、以及、因此...等等字詞。
163 |
164 |
165 | ```r
166 | myStopWords <- c(stopwordsCN(), "編輯", "時間", "標題", "發信", "實業", "作者")
167 | d.corpus <- tm_map(d.corpus, removeWords, myStopWords)
168 | ```
169 |
170 |
171 | 我們可以看看有哪些停用字符，這裡抽出前20個停用字符來看
172 |
173 |
174 | ```r
175 | head(myStopWords, 20)
176 | ```
177 |
178 | ```
179 | ## [1] "第二" "一番" "一直" "一
36 |
40 | -
37 |
- 從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」 38 |
從程式人的角度證明「哥德爾不完備定理」
41 |1900 年，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
42 |43 |45 |證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
44 |
在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
46 |為此、許多數學家花費了一輩子的心力，企圖建構出一個「既一致又完備」的邏輯推論系統，像是「羅素與懷德海」就寫了一本「數學原理」，希望為數學建構出非常扎實的「公理系統」。
47 |結果、這樣的企圖心被哥德爾的一個定理給毀了，那個定理就是「哥德爾不完備定理」。
48 |要瞭解「哥德爾不完備定理」之前，最好先瞭解一下「邏輯悖論」這個概念。
49 |當初、羅素在努力的建構數學原理時，卻發現了數學中存在著邏輯悖論，於是發出感嘆：「當我所建構的科學大廈即將完工之時，卻發現它的地基已經動搖了...」。
50 |羅素的話，其原文是德文，據說翻譯成英文之後意義如下：
51 |52 |54 |Hardly anything more unwelcome can befall a scientific writer than that one of the foundations of his edifice be shaken after the work is finished
53 |
結果，在 1950年，羅素穫得諾貝爾文學獎 (天啊！羅素不是數學家嗎！但是看他上面那句話的文筆，我很能體會他得諾貝爾文學獎的原因了 ...)
55 |理髮師悖論
56 |理髮師悖論可以描述如下：
57 |58 |61 |在某一個小世界裏，有一個理髮師，他宣稱要為該世界中所有不自己理頭髮的人理髮，但是不為任何一個自己理頭髮的人理髮！
59 |請問、他做得到嗎？
60 |
您覺得呢？
62 |這個問題的答案是，他絕對做不到，原因出在他自己身上：
63 |64 |67 |如果他「為」自己理頭髮，那麼他就為「一個自己理頭髮的人理髮」，違反了後面的宣言。
65 |如果他「不為」自己理頭髮，那麼他就沒有為「該世界中 "所有" 不自己理頭髮的人理髮」，因此違反了前面的宣言。
66 |
於是、他理也不是、不理也不是，這就像中國傳說故事裏「矛與盾」的故事一樣，他的問題陷入兩難，產生「矛盾」了。
68 |所以、該理髮師想做的事情是不可能做得到的！
69 |這樣的悖論，在邏輯與電腦的理論裏有很深遠的影響，哥德爾正是因為找到了邏輯體系的悖論而發展出「哥德爾不完備定理」，而電腦之父圖靈也事發現了「停止問題」會造成悖論而證明了有些事情電腦做不到 ....
70 |哥德爾不完備定理的描述
71 |當初「哥德爾」提出的「不完備定理」，大致有下列兩種描述方法，後來簡稱為「哥德爾第一不完備定理」與「哥德爾第二不完備定理」，如下所示。
72 |哥德爾第一不完備定理
73 |74 |76 |定理 G1：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 中存在一種語句 S，但是你無法用 T 證明 S ，卻也無法否證 S。
75 |
哥德爾第二不完備定理
77 |78 |80 |定理 G2：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 無法證明自己的一致性。
79 |
但是、對於「程式人」而言，上述描述都太邏輯了，讓我們改用「程式人」的角度來看這個問題，提出另一種「程式型版本」的說法：
81 |哥德爾不完備定理的程式型：
82 |83 |85 |定理 G3：不存在一個程式，可以正確判斷一個「包含算術的一階邏輯字串」是否為定理。
84 |
哥德爾不完備定理的程式型證明
86 |接著、就讓我們來「證明」一下上述的程式型「哥德爾不完備定理」吧！
87 |由於牽涉到矛盾，所以我們將採用反證法：
88 |證明：
89 |假如這樣一個程式存在，那麼代表我們可以寫出一個具有下列功能的函數。
90 |function Proveable(str)
91 | if (str is a theorem)
92 | return 1;
93 | else
94 | return 0;
95 | end這樣的函數本身，並不會造成甚麼問題，「包含算術的一階邏輯」(簡稱為 AFOL) 夠強，強到可以用邏輯式描述 Provable(str) 這件事，因此我們可以寫出 Provable(s) 這樣一個邏輯陳述。
更厲害的是，我們也可以將一個字串在 AFOL 裏，是否為定理這件事情，寫成邏輯陳述 (註：邏輯符號 ∃ 代表存在，- 代表 not， & 代表 and， | 代表 or)。
98 |接著、我們就可以問一個奇怪的問題了！那個問題描述如下。
99 |100 |102 |請問 isTheorem(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是否為真呢？
101 |
讓我們先用 T 代表 ∃s -Provable(s) & -Provable(-s) 這個邏輯式的字串，然後分別討論「真假」這兩個情況：
103 |-
104 |
如果 isTheorem(T) 為真，那麼代表存在無法證明的定理，也就是 Provable 函數沒辦法證明所有的定理。
105 | 如果 isTheorem(T) 為假，那麼代表 -T 應該為真。這樣的話，請問 Provable(-T) 會傳回甚麼呢？讓我們分析看看：
106 |
function Proveable(-T)
108 | if (-T is a theorem) // 2.1 這代表 -(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是個定理，也就是 Provable() 可以正確證明所有定理。
109 | return 1; // 但這樣的話，就違反了上述 「2. 如果 isTheorem(T) 為假」的條件了。
110 | else // 2.2 否則代表 -T 不是個定理，也就是存在 (∃) 某些定理 s 是無法證明的。
111 | return 0; // 但這樣的話，又違反上述「2. 如果 isTheorem(T) 為假」的條件了。
112 | end於是我們斷定：如果 Provable() 對所有輸入都判斷正確的話，那麼 2 便是不可能的，因為 (2.1, 2.2) 這兩條路都違反 2 的假設，也就是只有 1 是可能的，所以我們可以斷定 Provable(s) 沒辦法正確證明所有定理。
114 |結語
115 |在本文中，我們沒有寫出 Provable(s) 的邏輯陳述，也沒有寫出 isTheorem() 的邏輯陳述，因為這需要對「程式的指令集」，也就是 CPU 做一個邏輯描述，這樣說來故事就太長了！
116 |而這個 CPU，通常後來的「計算理論」書籍裏會用「圖靈機」來描述，但這並不是哥德爾當初的證明，因為「哥德爾證明不完備定理」的年代，圖靈還沒有提出「圖靈機」的概念。
117 |事實上、當初「哥德爾」的證明，根本也沒有「程式與電腦的概念」，所以「哥德爾」花了很多力氣建構了一個「哥德爾化的字串編碼概念」，這種字串編碼是建構在包含「+, *」兩個運算的算術系統上，也就是「皮亞諾公設」所描述的那種系統。這也是為何要引進「算術」到一階邏輯中，才能證明「哥德爾不完備定理」的原因了。
118 |1931 年「哥德爾」證明出「不完備定理」之後，後來「圖靈」於 1936 年又提出了一個電腦絕對無法完全做到的「停止問題」(Halting Problem)，該問題乃是希望設計出一個函數 isHalting(code, data) ，可以判斷程式 code 在輸入 data 之後會不會停，也就是 code(data) 會不會停。圖靈利用圖靈機的架構，證明了該問題同樣是不可判定的，也就是沒有任何一個程式可以完全正確的判定這樣的問題。
119 |「圖靈」的手法，與「哥德爾」非常類似，但是卻又更加簡單清楚。(不過既使如此，我還是很難直接理解圖靈的證明，因為本人在碩博士時連續被「圖靈機」荼毒了兩次，再也不希望跟「圖靈機」有任何瓜葛了 ....)
120 |但是、我們仍然希望能夠讓「對程式有興趣」的朋友們，能夠清楚的理解「圖靈」與「哥德爾」在「計算理論」上的成就與貢獻，以免過於自大的想寫出一個「可以解決所有問題的程式」，我想只有站在前人的肩膀上，才能看清楚「程式」到底是個甚麼東西吧！
121 |(當然、其實想要「寫出一個可以解決所有問題的程式」是非常好的想法。雖然「圖靈」與「哥德爾」已經都告訴過我們這是不可能的，但是身為一個程式人，就應該有挑戰不可能任務的決心，不是嗎？ ........ 雖然、不一定要去做這種不可能的問題啦 ....)
122 |參考文獻
123 |-
124 |
- Wikipedia:Russell's paradox 125 |
- 維基百科:羅素悖論 126 |
- An Outline of the Proof of Gödel's Incompleteness Theorem, All essential ideas - without the final technical details. 127 |
- Godel's Incompleteness Theorem, By Dale Myers 128 |
- 哥德尔轶事 129 |
- A Short Guide to Godel's Second Incomplete Theorem (PDF), Joan Bagaria. 130 |
- Wikipedia:Proof sketch for Gödel's first incompleteness theorem 131 |
【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科，採用創作共用的 姓名標示、相同方式分享 授權】
133 |
13 |
15 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
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- 數學短訊：邏輯世界的歷史 19 |
數學短訊：邏輯世界的歷史
22 |簡介
23 |邏輯學是西方科學中淵遠流長的一門學問，從西元前 350 年亞里斯多德的三段論開始，就開啟了歐洲文明對邏輯學的興趣之窗。然而這一個興趣同樣隨著西方文明的發展而起伏不定，直到西元 1850 年左右，George Boole (布爾) 開始研究布林代數，才讓邏輯學成為近代數學的一個重要領域。接著，Gottlob Frege 在 1870 年左右所提出的一階邏輯系統，繼承布林系統並向上延伸，形成一個數學基礎穩固且強大的邏輯系統，於是整個經典的邏輯系統建立完成。
24 |雖然如此，這些邏輯系統仍然是掌上的玩物，而且沒有人能確定這樣的邏輯系統，其能力到底有多強，是否一致且完備，是否有某些極限。希爾伯特在 1900 年所提出的 25 個數學問題中，這個問題被排在第二個提出。然而，希爾伯特並沒有能證明一階邏輯系統的完備性，而是在 1929 年由哥德爾證明完成了。
25 |哥德爾的成就不僅於此，1931 年他更進一步證明了一個非常令人驚訝的定理，在「一階邏輯的擴充系統 - 皮諾數論系統」當中，不具有完備性，而且它證明了假如該系統是完備的，將會導致矛盾。
26 |哥德爾在證明完備定理與不完備定理時，採用的都是矛盾証法，也就是透過排中律所證明的，這樣的証明並非建構性的，因此即使建立了完備定理，也沒有人能構造出一個建構式的証明方法，可以檢證一階邏輯的定理。
27 |1965 年，Robinson 提出了一條非常簡單的邏輯證明規則 -- Resolution，並且說明了如何利用矛盾檢證程序 Refutation，證明邏輯規則在某系統中的真假，這個方法既簡單又優美，因此廣為數學界與計算機科學界所稱道。以下，我們將更詳細的說明上述人物在邏輯學上的貢獻。
28 |亞里斯多德 (Aristotle) (出生於西元前 322 年)
29 |亞里斯多德在其其理則學 (zoology) 研究中，提出了下列的三段式推論規則 Barbara，簡稱為三段論。
30 || 類型 | 34 |語句 | 35 |說明 | 36 |
|---|---|---|
| 大前提 | 41 |所有人都終會死亡 | 42 |普遍原理 | 43 |
| 小前提 | 46 |蘇格拉底是人 | 47 |特殊陳述 | 48 |
| 結論 | 51 |蘇格拉底終會死亡 | 52 |推論結果 | 53 |
布爾 (Boole) (出生於 1815年)
57 |Boole 研究邏輯時，提出了一種只有真值與假值的邏輯，稱為二值邏輯，通常我們用 0 代表假值，1 代表真值。布爾研究這種邏輯系統，並寫出了一些代數規則，稱為布林代數，以下是其中的一些代數規則。
58 || 規則 (數學寫法) | 62 |名稱 | 63 |
|---|---|
 |
68 | OR 的結合律 | 69 |
 |
72 | OR 的交換律 | 73 |
 |
76 | AND 的結合律 | 77 |
 |
80 | AND 的交換律 | 81 |
 |
84 | 狄摩根定律(1) | 85 |
 |
88 | 狄摩根定律(2) | 89 |
說明：上述規則中的 
代表邏輯或 (AND) (在程式語言裏常寫為 & 或 and)， 
代表邏輯或 (OR) (在程式語言裏常寫為 | 或 or)。所以若改用程式領域的寫法，可改寫如下。
| 規則 (數學寫法) | 97 |名稱 | 98 |
|---|---|
x | (y | z) = (x | y) | z |
103 | OR 的結合律 | 104 |
x | y = y | z |
107 | OR 的交換律 | 108 |
x & (y & z) = (x & y) & z |
111 | AND 的結合律 | 112 |
x & y = y & x |
115 | AND 的交換律 | 116 |
-(x|y) = -x & -y |
119 | 狄摩根定律(1) | 120 |
-(x&y) = -x | -y |
123 | 狄摩根定律(2) | 124 |
福雷格 (Frege) (出生於 1848年)
128 |Frege 在研究邏輯系統時，將函數的概念引入到邏輯系統當中，這種函數被稱為謂詞，因此該邏輯系統被稱為謂詞邏輯。然後，Frege 又引入了兩個量詞運算， (對於所有) 與 (存在)，透過謂詞的限定作用，以及這兩個量詞，Frege 架構出了這種具有函數的邏輯系統，後來被稱為一階邏輯系統 (First Order Logic)。
以下是我們將亞里斯多德的三段論，轉化為一階邏輯後，所寫出的一階邏輯規則。
130 || 類型 | 134 |語句 | 135 |說明 | 136 |
|---|---|---|
| 大前提 | 141 | |
142 | 所有人都終會死亡 | 143 |
| 小前提 | 146 | |
147 | 蘇格拉底是人 | 148 |
| 結論 | 151 | |
152 | 蘇格拉底終會死亡 | 153 |
希爾伯特 (David Hilbert) (出生於 1862年)
157 |事實上，在電腦被發明之前，數學界早已開始探索「公理系統」的能力極限。在西元 1900 年時，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
158 |159 |161 |證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
160 |
在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
162 |所謂的「一致性」，是指公理系統本身不會具有矛盾的現象。假如我們用 A 代表該公理系統，那麼 A 具有一致性就是 A 不可能導出兩個矛盾的結論，也就是 A => P 與 A=> -P 不可能同時成立。
163 |所謂的「完備性」，是指所有「永遠為真的算式」(也就是定理) 都是可以被証明的，沒有任何一個定理可以逃出該公理系統的掌握範圍。
164 |然而，希爾伯特耗盡了整個後半生，卻也無法證明整數公理系統的一致性與完備性。或許是造化弄人，這個任務竟然被希爾伯特的一位優秀學生 - 哥德爾 (Godel) 所解決了，或者應該說是否決了。
165 |哥德爾 (Kurt Gödel) (出生於 1906 年)
166 |哥德爾實際上證明了兩個定理，第一個是 1929 年提出的「哥德爾完備定理」(Gödel's Complete Theorem)，第二個是 1931 年證明的「哥德爾不完備定理」(Gödel's Incomplete Theorem)，這兩個定理看來似乎相當矛盾，但事實上不然，因為兩者所討論的是不同的公理系統，前者的焦點是「一階邏輯系統」(First Order Logic)，而後者的焦點則是「具備整數運算體系的一階邏輯系統」。
167 |哥德爾完備定理證明了下列數學陳述：
168 |169 |171 |一階邏輯系統是一致且完備的
170 |
一致性代表一階邏輯系統不會具有矛盾的情況，而完備性則說明了一階邏輯當中的所有算式都可以被証明或否証。
172 |哥德爾不完備定理證明了下列數學陳述：
173 |174 |176 |任何一致且完備的「數學形式化系統」中，只要它強到足以蘊涵「皮亞諾算術公理」，就可以在其中構造在體系內「既不能證明也不能否證的命題」。
175 |
哥德爾不完備定理改用另一個說法，如下所示：
177 |178 |180 |如果一個包含算術的公理系統可以用來描述它自身時，那麼它要麼是不完備的，要麼是不一致的，不可能兩者皆有！
179 |
(筆者註：若該公理系統包含無限條公理時，必須是可列舉的 recursive enumerable)
181 |羅賓遜 (John Alan Robinson) (出生於 1928 年)
182 |雖然哥德爾證明了一階邏輯是完備的，但是卻沒有給出一個建構式的方法，可以推理出所有的的一階邏輯定理。這個問題由 John Alan Robinson 在 1965 年解決了。
183 |Robinson 提出的 refutation 邏輯推論法是一種反證法，任何一階邏輯的算式 P 只要在系統 S 當中是真的，只要將 -P 加入該系統 S 中，就可以經由反證法導出矛盾。如果 P 在系統 S 當中不是真的，那麼將 P 加入 S 當中就無法導出矛盾。
184 |所謂的 refutation 反證法是依靠一個稱為 resolution 的邏輯規則，該規則如下所示：
185 |
186 | 
187 |
188 |
187 | 假如我們將上述算式中的 
寫為 A，將 
寫為 B，則上述算式可以改寫如下：
190 | 
191 |
192 |
191 | 結語
193 |邏輯學在西方文化中扮演了非常重要的角色，而且可以說是「現代科學」會出現在歐洲的重要原因，假如將「邏輯學」從西方文化中拿掉，或許工業革命就不會出現在歐洲了？
194 |您可以想像「孔子」整天追根究柢，常常和人辯論一件事情到底是真的還假，而且要轉換成符號，並且用邏輯的方式去證明嗎？
195 |但是「亞里斯多德」在那個年代就是這樣追根究柢的，所以他才會去研究解剖學，把動物給切開看看裡面有甚麼，我想這也是他提出三段論背後的原因吧！
196 |參考文獻
197 |-
198 |
- 維基百科：亞里斯多德 199 |
- 維基百科：喬治·布爾 200 |
- 維基百科：三段論 201 |
- 維基百科：哥德爾不完備定理 202 |
- 維基百科：哥德爾完全性定理 203 |
- 維基百科：戈特洛布·弗雷格 204 |
- 維基百科：大衛·希爾伯特 205 |
- 維基百科：希爾伯特的23個問題 206 |
- 維基百科：庫爾特·哥德爾 207 |
- Wikipedia:Zoology 208 |
- Wikipedia:Aristotle 209 |
- Wikipedia:Boolean Logic 210 |
- Wikipedia:George Boole 211 |
- Wikipedia:Frege 212 |
- Wikipedia:Hilbert's_problems 213 |
- Wikipedia:John Alan Robinson 214 |
- Wikipedia:Resolution (Logic) 215 |
- Hilbert's Mathematical Problems 216 |
- Wikipedia:Kurt_Gödel 217 |
【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科，採用創作共用的 姓名標示、相同方式分享 授權】
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15 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
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- 數學短訊：邏輯世界的歷史 19 |
數學短訊：邏輯世界的歷史
22 |簡介
23 |邏輯學是西方科學中淵遠流長的一門學問，從西元前 350 年亞里斯多德的三段論開始，就開啟了歐洲文明對邏輯學的興趣之窗。然而這一個興趣同樣隨著西方文明的發展而起伏不定，直到西元 1850 年左右，George Boole (布爾) 開始研究布林代數，才讓邏輯學成為近代數學的一個重要領域。接著，Gottlob Frege 在 1870 年左右所提出的一階邏輯系統，繼承布林系統並向上延伸，形成一個數學基礎穩固且強大的邏輯系統，於是整個經典的邏輯系統建立完成。
24 |雖然如此，這些邏輯系統仍然是掌上的玩物，而且沒有人能確定這樣的邏輯系統，其能力到底有多強，是否一致且完備，是否有某些極限。希爾伯特在 1900 年所提出的 25 個數學問題中，這個問題被排在第二個提出。然而，希爾伯特並沒有能證明一階邏輯系統的完備性，而是在 1929 年由哥德爾證明完成了。
25 |哥德爾的成就不僅於此，1931 年他更進一步證明了一個非常令人驚訝的定理，在「一階邏輯的擴充系統 - 皮諾數論系統」當中，不具有完備性，而且它證明了假如該系統是完備的，將會導致矛盾。
26 |哥德爾在證明完備定理與不完備定理時，採用的都是矛盾証法，也就是透過排中律所證明的，這樣的証明並非建構性的，因此即使建立了完備定理，也沒有人能構造出一個建構式的証明方法，可以檢證一階邏輯的定理。
27 |1965 年，Robinson 提出了一條非常簡單的邏輯證明規則 -- Resolution，並且說明了如何利用矛盾檢證程序 Refutation，證明邏輯規則在某系統中的真假，這個方法既簡單又優美，因此廣為數學界與計算機科學界所稱道。以下，我們將更詳細的說明上述人物在邏輯學上的貢獻。
28 |亞里斯多德 (Aristotle) (出生於西元前 322 年)
29 |亞里斯多德在其其理則學 (zoology) 研究中，提出了下列的三段式推論規則 Barbara，簡稱為三段論。
30 || 類型 | 34 |語句 | 35 |說明 | 36 |
|---|---|---|
| 大前提 | 41 |所有人都終會死亡 | 42 |普遍原理 | 43 |
| 小前提 | 46 |蘇格拉底是人 | 47 |特殊陳述 | 48 |
| 結論 | 51 |蘇格拉底終會死亡 | 52 |推論結果 | 53 |
布爾 (Boole) (出生於 1815年)
57 |Boole 研究邏輯時，提出了一種只有真值與假值的邏輯，稱為二值邏輯，通常我們用 0 代表假值，1 代表真值。布爾研究這種邏輯系統，並寫出了一些代數規則，稱為布林代數，以下是其中的一些代數規則。
58 || 規則 (數學寫法) | 62 |名稱 | 63 |
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68 | OR 的結合律 | 69 |
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72 | OR 的交換律 | 73 |
|
76 | AND 的結合律 | 77 |
|
80 | AND 的交換律 | 81 |
|
84 | 狄摩根定律(1) | 85 |
|
88 | 狄摩根定律(2) | 89 |
說明：上述規則中的 代表邏輯或 (AND) (在程式語言裏常寫為 & 或 and)， 代表邏輯或 (OR) (在程式語言裏常寫為 | 或 or)。所以若改用程式領域的寫法，可改寫如下。
| 規則 (數學寫法) | 97 |名稱 | 98 |
|---|---|
x | (y | z) = (x | y) | z |
103 | OR 的結合律 | 104 |
x | y = y | z |
107 | OR 的交換律 | 108 |
x & (y & z) = (x & y) & z |
111 | AND 的結合律 | 112 |
x & y = y & x |
115 | AND 的交換律 | 116 |
-(x|y) = -x & -y |
119 | 狄摩根定律(1) | 120 |
-(x&y) = -x | -y |
123 | 狄摩根定律(2) | 124 |
福雷格 (Frege) (出生於 1848年)
128 |Frege 在研究邏輯系統時，將函數的概念引入到邏輯系統當中，這種函數被稱為謂詞，因此該邏輯系統被稱為謂詞邏輯。然後，Frege 又引入了兩個量詞運算， (對於所有) 與 (存在)，透過謂詞的限定作用，以及這兩個量詞，Frege 架構出了這種具有函數的邏輯系統，後來被稱為一階邏輯系統 (First Order Logic)。
以下是我們將亞里斯多德的三段論，轉化為一階邏輯後，所寫出的一階邏輯規則。
130 || 類型 | 134 |語句 | 135 |說明 | 136 |
|---|---|---|
| 大前提 | 141 | |
142 | 所有人都終會死亡 | 143 |
| 小前提 | 146 | |
147 | 蘇格拉底是人 | 148 |
| 結論 | 151 | |
152 | 蘇格拉底終會死亡 | 153 |
希爾伯特 (David Hilbert) (出生於 1862年)
157 |事實上，在電腦被發明之前，數學界早已開始探索「公理系統」的能力極限。在西元 1900 年時，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，提出了著名的 23 個數學問題，其中的第二個問題如下所示。
158 |159 |161 |證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
160 |
在上述問題中，希爾伯特的意思是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
162 |所謂的「一致性」，是指公理系統本身不會具有矛盾的現象。假如我們用 A 代表該公理系統，那麼 A 具有一致性就是 A 不可能導出兩個矛盾的結論，也就是 A => P 與 A=> -P 不可能同時成立。
163 |所謂的「完備性」，是指所有「永遠為真的算式」(也就是定理) 都是可以被証明的，沒有任何一個定理可以逃出該公理系統的掌握範圍。
164 |然而，希爾伯特耗盡了整個後半生，卻也無法證明整數公理系統的一致性與完備性。或許是造化弄人，這個任務竟然被希爾伯特的一位優秀學生 - 哥德爾 (Godel) 所解決了，或者應該說是否決了。
165 |哥德爾 (Kurt Gödel) (出生於 1906 年)
166 |哥德爾實際上證明了兩個定理，第一個是 1929 年提出的「哥德爾完備定理」(Gödel's Complete Theorem)，第二個是 1931 年證明的「哥德爾不完備定理」(Gödel's Incomplete Theorem)，這兩個定理看來似乎相當矛盾，但事實上不然，因為兩者所討論的是不同的公理系統，前者的焦點是「一階邏輯系統」(First Order Logic)，而後者的焦點則是「具備整數運算體系的一階邏輯系統」。
167 |哥德爾完備定理證明了下列數學陳述：
168 |169 |171 |一階邏輯系統是一致且完備的
170 |
一致性代表一階邏輯系統不會具有矛盾的情況，而完備性則說明了一階邏輯當中的所有算式都可以被証明或否証。
172 |哥德爾不完備定理證明了下列數學陳述：
173 |174 |176 |任何一致且完備的「數學形式化系統」中，只要它強到足以蘊涵「皮亞諾算術公理」，就可以在其中構造在體系內「既不能證明也不能否證的命題」。
175 |
哥德爾不完備定理改用另一個說法，如下所示：
177 |178 |180 |如果一個包含算術的公理系統可以用來描述它自身時，那麼它要麼是不完備的，要麼是不一致的，不可能兩者皆有！
179 |
(筆者註：若該公理系統包含無限條公理時，必須是可列舉的 recursive enumerable)
181 |羅賓遜 (John Alan Robinson) (出生於 1928 年)
182 |雖然哥德爾證明了一階邏輯是完備的，但是卻沒有給出一個建構式的方法，可以推理出所有的的一階邏輯定理。這個問題由 John Alan Robinson 在 1965 年解決了。
183 |Robinson 提出的 refutation 邏輯推論法是一種反證法，任何一階邏輯的算式 P 只要在系統 S 當中是真的，只要將 -P 加入該系統 S 中，就可以經由反證法導出矛盾。如果 P 在系統 S 當中不是真的，那麼將 P 加入 S 當中就無法導出矛盾。
184 |所謂的 refutation 反證法是依靠一個稱為 resolution 的邏輯規則，該規則如下所示：
185 |
186 |
187 |
188 |
187 | 假如我們將上述算式中的 寫為 A，將 寫為 B，則上述算式可以改寫如下：
190 |
191 |
192 |
191 | 結語
193 |邏輯學在西方文化中扮演了非常重要的角色，而且可以說是「現代科學」會出現在歐洲的重要原因，假如將「邏輯學」從西方文化中拿掉，或許工業革命就不會出現在歐洲了？
194 |您可以想像「孔子」整天追根究柢，常常和人辯論一件事情到底是真的還假，而且要轉換成符號，並且用邏輯的方式去證明嗎？
195 |但是「亞里斯多德」在那個年代就是這樣追根究柢的，所以他才會去研究解剖學，把動物給切開看看裡面有甚麼，我想這也是他提出三段論背後的原因吧！
196 |參考文獻
197 |-
198 |
- 維基百科：亞里斯多德 199 |
- 維基百科：喬治·布爾 200 |
- 維基百科：三段論 201 |
- 維基百科：哥德爾不完備定理 202 |
- 維基百科：哥德爾完全性定理 203 |
- 維基百科：戈特洛布·弗雷格 204 |
- 維基百科：大衛·希爾伯特 205 |
- 維基百科：希爾伯特的23個問題 206 |
- 維基百科：庫爾特·哥德爾 207 |
- Wikipedia:Zoology 208 |
- Wikipedia:Aristotle 209 |
- Wikipedia:Boolean Logic 210 |
- Wikipedia:George Boole 211 |
- Wikipedia:Frege 212 |
- Wikipedia:Hilbert's_problems 213 |
- Wikipedia:John Alan Robinson 214 |
- Wikipedia:Resolution (Logic) 215 |
- Hilbert's Mathematical Problems 216 |
- Wikipedia:Kurt_Gödel 217 |
【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科，採用創作共用的 姓名標示、相同方式分享 授權】
219 |
32 |
34 | 程式人雜誌 -- 2014 年 3 月號 (開放公益出版品)
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97 |
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36 |
40 | -
37 |
- OpenNI 2 基本程式範例 (作者： Heresy Ku ) 38 |
OpenNI 2 基本程式範例 (作者： Heresy Ku )
41 |在前一篇 《OpenNI 2 簡介》 裡，Heresy 大概解釋了 OpenNI 2.0 的基本功能以及他的架構。而接下來的這一篇，就是要來講怎麼寫 OpenNI 2 的程式了～如果是要了解 OpenNI 1.x 版的程式開發的話，請參考 《OpenNI 1.x 教學文章》 這系列的文章。
42 |首先，在安裝好 OpenNI 2.0 的 SDK 後，在安裝目錄（預設是 C:Files2）裡面，會有下列的資料夾：
43 || 目錄 | 47 |用途 | 48 |32 位元 | 49 |64 位元 | 50 |
|---|---|---|---|
| Documentation | 55 |OpenNI SDK 開發程式的參考文件 | 56 |57 | | 58 | |
| Driver | 61 |官方支援硬體的驅動程式 | 62 |63 | | 64 | |
| Include | 67 |程式開發時必須的 header 檔 | 68 |$(OPENNI2_INCLUDE) |
69 | $(OPENNI2_INCLUDE64) |
70 |
| Lib | 73 |程式開發時必須的 lib 檔 | 74 |$(OPENNI2_LIB) |
75 | $(OPENNI2_LIB64) |
76 |
| Redist | 79 |程式執行時必須的 runtime library（dll） | 80 |$(OPENNI2_REDIST) |
81 | $(OPENNI2_REDIST64) |
82 |
| Samples | 85 |範例程式 | 86 |87 | | 88 | |
| Tools | 91 |工具，目前只有 NiViewer | 92 |93 | | 94 | |
VisualStudio 2010 專案設定
98 |而如果是使用 Visual Studio 2010 來開發 OpenNI 2 的程式的話，基本上要在新建立的專案、或是現有專案裡，針對 including 和 linking 做設定，他的基本方法如下（附註 1）：
99 |-
100 |
- 在專案上方點滑鼠右鍵，點選跳出選單最底下的「Properties」（屬性），叫出專案設定的視窗。 （中文版畫面 、英文版畫面 ） 101 |
- 在左側導覽窗格中的「 Configuration Properties 」（組態屬性）下，可以找到「 C/C++ 」，點開後選擇第一項的「 Gerenal 」（一般）後，右側的列表會有一個「 Additional Include Directories 」（其他 Include 目錄）。 要使用 OpenNI 2 的話，就需要在這裡面加入 OpenNI 2 的 header 檔所在的路徑，如果是 32 位元的專案，就是加上
$(OPENNI2_INCLUDE)，如果是 64 位元的專案，則是加上$(OPENNI2_INCLUDE64)。 （附註 2）
102 |
104 | 
106 | （中文版畫面）
105 |-
107 |
- 在左側導覽窗格中，剛剛的「C/C++」下方會有一個「Linker」（連結器），點開後，裡面第一個會是「Gerenal」（一般），點選之後，在右側可以找到「Additional Library Directories」（其他程式庫目錄）。 在這裡面加入 OpenNI 2 的 lib 檔、也就是 OpenNI2.lib 這個檔案的所在的路徑，如果是 32 位元的專案，就是加上
$(OPENNI2_LIB)，如果是 64 位元的專案，則是加上$(OPENNI2_LIB64)。
108 |
110 | 
112 | （中文版畫面）
111 |-
113 |
- 接下來，在左側的「Linker」（連結器）下，「General」（一般）的下面會有一個「Input」（輸入），點選後右邊可以找到「Additional Dependencies」（其他相依性）；在這邊加入 OpenNI 2.0 的 lib 檔檔案名稱，也就是「OpenNI2.lib」。 114 |
116 | 
118 | （中文版畫面）
117 |這樣，基本的專案設定就完成了。
119 |要注意的是，在 Visual Studio 裡，不同的建置組態，例如 debug、release、Win32、x64，這些設定都是不同的～所以如果變更建置組態後，這些設定也是需要另外設定的。 另外，在執行時要注意的是，OpenNI 2 的運作模式和 OpenNI 1.x 不一樣，所以它是設計成讓每個應用程式，可以個別擁有各自的 runtime library（dll 檔）等檔案，所以要執行的時候，就必須要讓程式找的到 OpenNI 2 安裝資料夾中，Redist 目錄下的檔案，否則程式執行時，就會出現找不到 OpenNI2.dll 的錯誤（如下圖）。這點，其實算是比較接近一般 C++ 函式庫的使用方法的。 在 Windows 下，基本上應用程式在執行的時候，會優先去找程式執行的目錄下、是否有所需要的 dll 檔；所以最簡單的方法，就是把 Redist 目錄下所有的檔案，都複製一份到程式執行檔所在目錄就可以了。
120 |
121 | 
123 | 圖、找不到 OpenNI2.dll 的錯誤
122 |不過如果是在 Visual Srudio 裡面進行開發的話，由於 VisualStduio 是可以設定執行時的工作目錄的，而工作目錄並不一定會是執行檔所在的路徑（預設不是），所以直接把 Redist 目錄下的檔案複製到執行檔所在路徑，在進行偵錯的時候並不一定有用。
124 |而要確定 Visual Studio 的工作路徑在哪，可以透過點選專案、按右鍵後選擇右鍵選單的「Properties」（屬性），然後在左側選擇「Configuration Properties」（組態屬性）底下的「Debugging」（偵錯）；這之後右邊會有「Working Directory」（工作目錄），他的值就代表了在透過 VisualStudio 針對這個專案進行偵錯時，他的工作目錄（英文版螢幕截圖、中文版螢幕截圖）。而如果是 Visual Studio 的預設值的話，他的值應該是「 $(ProjectDir) 」，也就是專案所在目錄（vcxproj 檔所在的地方）。
這時候可以採取的方法主要有幾種：
126 |-
127 |
- 將 OpenNI2 Redist 目錄下所有的檔案，都複製到專案所在目錄。 128 |
- 修改 VisualStudio 偵錯階段的工作路徑，例如修改成
$(OPENNI2_REDIST)。
129 | - 將
$(OPENNI2_REDIST)加入到系統路徑（參考）。
130 |
哪種方法好？基本上是看狀況，見仁見智的。由於很多時候，程式還會用到其他函式庫，也有可能會需要用到他們各自的 dll 檔，所以把這些 dll 檔統一放在一起，其實也是一種解決方案。
132 |基礎流程
133 |在專案設定好後，要使用 OpenNI 2 來讀取感應器的資料的話，他的基本流程，大致如下：
134 |-
135 |
include OpenNI.h這個檔案。之後，OpenNI C++ API的東西，都會在 openni 這個 namespace 下。
136 | - 呼叫
openni::OpenNI::initialize()這個函式來完成 OpenNI 2 環境的初始化。
137 | - 宣告一個
openni::Device的物件，並透過他所提供的open()這個函式，來完成裝置初始化。 138 |-
139 |
- 3.1 如果有多個裝置，想要指定要用哪個裝置的話，需要先透過
openni::OpenNI::enumerateDevices()這個函式，來取得可使用的裝置列表，再透過指定 URI 的方式，來指定要開啟哪個裝置。
140 | - 3.2 如果沒有要特別指定的話，則是以
openni::ANY_DEVICE當作 URI，讓系統自動決定要使用哪個裝置。
141 |
142 | - 3.1 如果有多個裝置，想要指定要用哪個裝置的話，需要先透過
- 建立
openni::VideoStream的物件，透過他的create()這個函式，指定這個 video stream 要使用哪個裝置的哪種感應器（紅外線、彩色影像、深度影像）。 建立完成後，則是可以透過start()和stop()，來控制資料的讀取。
143 | - 進入主迴圈，如果要讀取 video stream 當下的資料的話，則是呼叫 VideoStream 所提供的
readFrame()這個函式，來把資料寫到 openni::VideoFrameRef 裡；而之後則是再透過 VideoFrameRef 所提供的函式，來做資料處理。
144 | - 當不再需要使用感應器的資料的時候，要記得關閉所建立出來的資料。
145 |
-
146 |
- 6.1 呼叫
openni::VideoStream的destory()這個函式，關閉 video stream。
147 | - 6.2 呼叫
openni::Device的close()，關閉裝置。
148 |
149 | - 6.1 呼叫
- 最後，則是呼叫
openni::OpenNI::shutdown()，來關閉整個 OpenNI 的環境。
150 |
簡單的範例
152 |上面是用文字來做描述，實際上寫成程式碼，就會類似 OpenNI 官方所提供的「SimpleRead」這個範例一樣（預設位置在 C:\Program Files\OpenNI2\Samples\SimpleRead ）。而下面，Heresy 則是在把程式碼做進一步的簡化（主要是刪掉錯誤偵測的部分），變成：
// STL Header
154 | #include <iostream>
155 |
156 | // 1. include OpenNI Header
157 | #include "OpenNI.h"
158 |
159 | int main( int argc, char** argv )
160 | {
161 | // 2. initialize OpenNI
162 | openni::OpenNI::initialize();
163 |
164 | // 3. open a device
165 | openni::Device devAnyDevice;
166 | devAnyDevice.open( openni::ANY_DEVICE );
167 |
168 | // 4. create depth stream
169 | openni::VideoStream streamDepth;
170 | streamDepth.create( devAnyDevice, openni::SENSOR_DEPTH );
171 | streamDepth.start();
172 |
173 | // 5 main loop, continue read
174 | openni::VideoFrameRef frameDepth;
175 | for( int i = 0; i < 100; ++ i )
176 | {
177 | // 5.1 get frame
178 | streamDepth.readFrame( &frameDepth );
179 |
180 | // 5.2 get data array
181 | const openni::DepthPixel* pDepth
182 | = (const openni::DepthPixel*)frameDepth.getData();
183 |
184 | // 5.3 output the depth value of center point
185 | int idx = frameDepth.getWidth() * ( frameDepth.getHeight() + 1 ) / 2;
186 | std::cout << pDepth[idx] << std::endl;
187 | }
188 |
189 | // 6. close
190 | streamDepth.destroy();
191 | devAnyDevice.close();
192 |
193 | // 7. shutdown
194 | openni::OpenNI::shutdown();
195 |
196 | return 0;
197 | }程式碼的內容，大致上就如同上一個段落所說明的，所以基本上這邊就只針對部分地方做補充的說明。 首先是第四部份，建立 VideoStream 的部分。這邊基本上是透過 VideoStream 物件（devAnyDevice）本身的 create() 函式，來指定這個 video stream 要使用哪個裝置的哪種感應器；在這個例子裡，所使用的是 openni::SENSOR_DEPTH，也就是深度感應器的部分。而在目前的 OpenNI 2 裡，除了 SENSOR_DEPTH 外，還有對應到彩色影像的 SENSOR_COLOR，以及對應到紅外線影像的 SENSOR_IR 可以使用。
而在資料讀取、也就是「5」的部分，在透過 VideoStream 的 readFrame() 這個函式，把這個時間點的影像資料，寫到 VideoFrameRef 後，要讀取深度資料，就是要透過 VideoFrameRef 的物件（frameDepth）來做存取了～在一般狀況下，主要是透過他的 getWidth() 和 getHeight() 這兩個函式，來取得這個影像的大小。而透過 getData()，則可以取得這個影像的資料；他所回傳的型別，是無型別的指標、 void* ，實際上是指到一個儲存影像資料的陣列的指標。 由於 OpenNI 2 把影像資料的讀取統一化了，同時也把 OpenNI 1.x 的 MapMetaData 的概念拿掉了，所以在資料的讀取上，會變得比較「低階」一點。首先，如果要做資料的讀取，需要自己根據影像的類型，來做轉型的動作。像在這邊由於是使用深度感應器，影像中每一個像素的資料型別都是 openni::DepthPixel；所以在這邊，就是需要把 void* 強制轉型成為 DepthPixel 的指標來使用（上方範例 5.2 的部分）（附註 3）。
經過這樣的處理，pDpeth 就是一個指到這張深度影像資料的一維振烈的指標，而這個陣列的大小，就是他的寬（透過 getWidth() 取得）乘上高（透過 getHieght() 取得）；如果是 640 x 480 的話，pDpeth 所指到的陣列，大小就是 640 x480 = 307,200 了～而其中每一項，都代表一個點的深度；如果是要取得 ( x, y ) 這個點的值的話，就是要做一個簡單的座標換算，去取得他在陣列中的 index。這個基本的換算公式，就是：
202 |204 |int idx = x + y * width;
203 |
只要把 x 和 y 帶入上面的公式，就可以簡單地算出每一個點在陣列中的位置，並取出他的值了。 而如果是要使用彩色影像的話，他預設的型別是 openni::RGB888Pixel 這個 structure，裡面是以三個 unsigned char 的變數，分別儲存著 RGB 三種顏色的值；而如果是紅外線影像的話，型別則是 openni::Grayscale16Pixel ，實際型別則是和 DepthPixel 一樣，是 unsigned short。
小結
206 |這篇算是 OpenNI 2 的第一篇教學文章，就先寫到這了～這邊的範例，基本上應該就算是一個算是最簡單，透過 OpenNI 2 來做深度資料讀取的範例了；其中有很大的篇幅，其實是在講如何設定專案就是了。
207 |而這個範例程式在執行後，會讀取深度感應器的 100 個畫面，並把影像中樣的深度值做輸出，所以在執行後，會看到畫面上有一堆數字出現；由於這部分的程式並沒有繪圖的部分，所以執行後只會看到一串數字，是不會有影像出現的。
208 |實際上，這個範例程式比較好的寫法，應該還是要像官方的「SimpleRead」這個範例一樣，加上錯誤偵測會更好，不過這邊為了篇幅，還是先把它拿掉了。而另外，這邊基本上是只針對單一個 video stream 做操作的寫法，如果是要同時讀取的彩色影像和深度影像的話，則可能還要再做一點的修改。
209 |接下來…就期待下一篇文章吧～
210 |附註
211 |-
212 |
- 這邊的英文版是 Visual Studio 2010 的畫面、文字，中文版則是 Visual Studio 2012 的畫面與文字；不同的版本、不同的設定，選項可能會不盡相同，請自行根據狀況調整。 如果有多個項目的話，可以用「;」做區隔。 213 |
- 在 OpenNI 2 裡面，透過 Kinect 或 Xtion 取得的深度影像的每一個像素、DepthPixel 的單位，預設應該還是一樣是「mm」（公釐、毫米）；不過實際上，他也有定義了幾種不同的 PixelFormat，代表其實是有可能可以娶到其他單位的深度的～所以其實要比較保險一點的話，還是得檢查 VideoMode 裡的 PixelFormat，才能確定 DepthPixel 代表的意義。 214 |
【本文來自 Heresy's Space 的網誌，原文網址為： http://kheresy.wordpress.com/2012/12/24/openni2-basic-example/ ，由 Heresy 捐出網誌給程式人雜誌，經陳鍾誠編輯後納入雜誌】
216 |