├── 1. Números-índices.ipynb
├── 2. Probabilidade.ipynb
├── 3. Variáveis_aleatórias.ipynb
├── 4. Distribuições.ipynb
├── 5. Distribuições_conjuntas.ipynb
├── 6. Introdução à Inferência Estatística.ipynb
├── 7. Continuação Inferência e Teoremas.ipynb
├── 8. Intervalo_Confiança.ipynb
├── 9. Testes.ipynb
├── Econometrics1.ipynb
├── Formulários
├── Formulário1.html
└── Formulário1.ipynb
├── README.md
└── TeoriaConjuntos.ipynb
/2. Probabilidade.ipynb:
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1 | {
2 | "cells": [
3 | {
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7 | "# Probabilidade"
8 | ]
9 | },
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13 | "source": [
14 | "* Modelo determinístico: admite-se que o resultado efetivo (numérico ou de outra espécie) seja determinado pelas condições sob as quais o experimento ou o procedimento seja executado;\n",
15 | "* Modelo não-determinístico (probabilístico ou estocástico): as condições da experimentação determinam somento o comportamento probabilístico (lei probabilística) do resultado observável."
16 | ]
17 | },
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22 | "Experimentos aleatórios"
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28 | "source": [
29 | "Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado."
30 | ]
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35 | "source": [
36 | "Experimentos determinísticos"
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42 | "source": [
43 | "Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições conduzem ao mesmo resultado."
44 | ]
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49 | "source": [
50 | "Espaço amostral"
51 | ]
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56 | "source": [
57 | "Definição: para um dado experimento $\\varepsilon$ (estocástico), definimos o espaço amostral $S$ como o conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento."
58 | ]
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62 | "metadata": {},
63 | "source": [
64 | "Evento"
65 | ]
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69 | "metadata": {},
70 | "source": [
71 | "Definição: Um evento $A$ é um subconjunto do espaço amostral: $A \\subset S$. Se o espaço amostral for finito ou infinito numerável, todo subconjunto poderá ser considerado um evento, tal que se $S$ possui n elementos, então existirão $2^n$ subconjuntos associados (eventos).Contudo, se o espaço amostral for infinito não-numerável, verifica-se que nem todo subconjunto associado poderá ser considerado um evento deste."
72 | ]
73 | },
74 | {
75 | "cell_type": "markdown",
76 | "metadata": {},
77 | "source": [
78 | "Usando as técnicas da teoria dos conjuntos exposta previamente, se $A$ e $B$ forem eventos, temos que:\n",
79 | "1. $A\\cup B$ será o evento que ocorrerá se, e somente se, $A$ ou $B$ (ou ambos) ocorrerem;\n",
80 | "2. $A \\cap B$ será o evento que ocorrerá se, e somente se, $A$ e $B$ ocorrerem;\n",
81 | "3. $\\overline{A}$ ocorrerá se, e somente se, o evento A não ocorrer;\n",
82 | "4. Sendo $A_1, \\dots A_n$ uma coleção finita de eventos, então o evento $\\bigcup\\limits_{i=1}^{n}A_i$ ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos $A_{i}$ ocorrer;\n",
83 | "5. Sendo $A_1, \\dots A_n$ uma coleção finita de eventos, então o evento $\\bigcap\\limits_{i=1}^{n}A_i$ ocorrerá se, e somente se, todos os eventos $A_{i}$ ocorrerem;\n",
84 | "6. Sendo $A_1, \\dots A_n$ uma coleção infinita (numerável) de eventos, então o evento $\\bigcup\\limits_{i=1}^{\\infty}$ ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos $A_i$ ocorrer;\n",
85 | "7. Sendo $A_1, \\dots A_n$ uma coleção infinita (numerável) de eventos, então o evento $\\bigcap\\limits_{i=1}^{\\infty}A_i$ ocorrerá se, e somente se, todos os eventos $A_i$ ocorrerem;\n",
86 | "8. Seja $n$ a quantidade de repetições de um experimente $\\varepsilon$ de um espaço amostral $S$, então o conjunto de todos os possíveis resultados quando $\\varepsilon$ for executado $n$ vezes será denotado como: $S \\times S \\times S \\times \\dots \\times S = \\{\\left(s_1,s_2, \\dots ,s_n \\right),s_i \\in S, \\forall i=i, \\dots, n \\}$"
87 | ]
88 | },
89 | {
90 | "cell_type": "markdown",
91 | "metadata": {},
92 | "source": [
93 | "Definição: A e B são denominados eventos mutuamente excludentes (ou disjuntos) se $A \\cap B = \\emptyset$ (não podem ocorrer juntos tal que a interseção entre ambos seja um conjunto vazio)."
94 | ]
95 | },
96 | {
97 | "cell_type": "markdown",
98 | "metadata": {},
99 | "source": [
100 | "Adicionalmente se o evento é um entendido como impossível de ocorrer temos então que $P \\left( A \\right) = 0$, mas se A ocorre com certeza então, $P \\left( A \\right) = 1$. Além do que, a probabilidade de um evento impossível ocorrer é tal que $P \\left( \\emptyset \\right) = 0$."
101 | ]
102 | },
103 | {
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105 | "metadata": {},
106 | "source": [
107 | "De forma simplificada podemos definir a probabilidade de ocorrência de um evento A da seguinte forma:
\n",
108 | "$P \\left( A \\right) = \\dfrac{\\text{número de vezes em que A ocorre}}{\\text{número de vezes em que todos os eventos ocorrem}} = \\dfrac{n_A}{n}$"
109 | ]
110 | },
111 | {
112 | "cell_type": "markdown",
113 | "metadata": {},
114 | "source": [
115 | "Definição frequentista de probabilidade, sendo $n$ o número de vezes em que o experimento é feito:
\n",
116 | "$P\\left(A \\right) = \\lim_{n\\rightarrow \\infty} \\frac{n_A}{n}$"
117 | ]
118 | },
119 | {
120 | "cell_type": "markdown",
121 | "metadata": {},
122 | "source": [
123 | "Definição: Seja $\\varepsilon$ um experimento. Seja $S$ um espaço amostral associado a $\\varepsilon$ . A cada evento $A$ associaremos um número real representado por $P(A)$ e denominado probabilidade de $A$, que satisfaça as seguintes propriedades:\n",
124 | "1. $0 \\leq P\\left(A\\right) \\leq 1$\n",
125 | "2. $P(S)=1$\n",
126 | "3. Se $A$ e $B$ forem eventos mutuamente excludentes então $P\\left(A \\cup B \\right) = P\\left(A\\right)+P\\left(B\\right)$\n",
127 | "4. Se $A_1,A_2,\\ldots,A_n,\\ldots$ forem eventos, dois a dois, eventos mutuamente excludentes então: \n",
128 | " $P\\left(\\bigcup_{i=1}^{\\infty}A_i\\right) = P\\left(A_1\\right)+P\\left(A_2\\right)+\\ldots+P\\left(A_n\\right)+\\ldots$"
129 | ]
130 | },
131 | {
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133 | "metadata": {},
134 | "source": [
135 | "De (3) decorre que, para um $n$ finito:"
136 | ]
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140 | "metadata": {},
141 | "source": [
142 | "$P\\left(\\bigcup_{i=1}^{n} A_i \\right) = \\sum_{i=1}^{n}P\\left(A_i \\right)$"
143 | ]
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145 | {
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147 | "metadata": {},
148 | "source": [
149 | "* $\\mathrm{P(\\emptyset)} = 0$\n",
150 | "* $P( \\overline{A} ) = 1 - P(A)$\n",
151 | " * $P(S) = P(A \\cup \\overline{A}) = P(A)+P(\\overline{A}) \\Rightarrow 1 = P(A)+P(\\overline{A})$\n",
152 | "* Se $A \\subset B$, então $P(A) \\leq P(B)$.\n",
153 | " "
154 | ]
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160 | "União e interseção de eventos"
161 | ]
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166 | "source": [
167 | "* A união de dois eventos $A$ e $B$, $A \\cup B$, é o evento que ocorre se pelo menos um deles ocorre."
168 | ]
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173 | "source": [
174 | " * A interseção de dois eventos $A$ e $B$, $A \\cap B$, é o evento que ocorre se ambos os eventos ocorrem."
175 | ]
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179 | "metadata": {},
180 | "source": [
181 | "Sejam $A$ e $B$ dois eventos quaisquer, então:"
182 | ]
183 | },
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186 | "metadata": {},
187 | "source": [
188 | "$P \\left( A \\text{ e } B\\right) = P \\left( A \\cap B\\right)$"
189 | ]
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193 | "metadata": {},
194 | "source": [
195 | "$P \\left( A \\text{ ou } B\\right) = P \\left( A \\cup B\\right) = P(A)+P(B)-P(A \\cap B)$"
196 | ]
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201 | "source": [
202 | "Sejam $A$,$B$ e $C$ eventos quaisquer, entao:
\n",
203 | "$$P\\left(A \\cup B \\cup C \\right) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A \\cap B)-P(A \\cap C)-P(B \\cap C)+P(A \\cap B \\cap C) $$"
204 | ]
205 | },
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209 | "source": [
210 | "Se $A$ e $B$ são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos, em que $A \\cap B = \\emptyset$):
$P\\left(A \\cup B\\right) = P(A)+P(B)$."
211 | ]
212 | },
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215 | "metadata": {},
216 | "source": [
217 | "Se $A$, $B$ e $C$ são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos, em que $A \\cap B = \\emptyset$, $A \\cap C = \\emptyset$, $B \\cap C = \\emptyset$ e como implicação $A \\cap B \\cap C = \\emptyset$):\n",
218 | "
$$P\\left(A \\cup B \\cup C\\right) = P(A)+P(B)+P(C)$$"
219 | ]
220 | },
221 | {
222 | "cell_type": "markdown",
223 | "metadata": {},
224 | "source": [
225 | "Exemplo: Duas crianças gêmeas têm o seguinte comportamento: uma delas, a mais chorona, chora 65% do dia; a outra chora 45% do dia, e ambas choram, ao mesmo tempo, 30% do dia. Qual a probabilidade de que pelo menos uma chore? E qual a probabilidade de que nenhuma chore?"
226 | ]
227 | },
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231 | "source": [
232 | "* C1: primeira criança chora\n",
233 | "* C2: segunda criança chora"
234 | ]
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239 | "source": [
240 | "$P(C1 \\text{ ou } C2) = P(C1)+P(C2)-P(C1 \\text{ e } C2) = 0,65+0,45-0,3 = 0,8$"
241 | ]
242 | },
243 | {
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245 | "metadata": {},
246 | "source": [
247 | "$P(\\text{nenhuma chora}) = 1-P(C1 \\text{ ou } C2) = 1-0,8 = 0,2$"
248 | ]
249 | },
250 | {
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253 | "source": [
254 | " Probabilidade Condicional e Incondicional"
255 | ]
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259 | "metadata": {},
260 | "source": [
261 | "Qual a probabilidade de $A$ ocorrer dado que $B$ ocorreu (ou vai ocorrer)?"
262 | ]
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266 | "metadata": {},
267 | "source": [
268 | "Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um espaço amostral e $P(A)>0$, então a probabilidade condicional de $B$ dado $A$ é definida como segue:"
269 | ]
270 | },
271 | {
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274 | "source": [
275 | "$$P(B|A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}$$"
276 | ]
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278 | {
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280 | "metadata": {},
281 | "source": [
282 | "De igual modo definimos a probabilidade de $A$ dado $B$, com $P(B)>0$:"
283 | ]
284 | },
285 | {
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287 | "metadata": {},
288 | "source": [
289 | "$$P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$$"
290 | ]
291 | },
292 | {
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294 | "metadata": {},
295 | "source": [
296 | "$$P\\left(A \\cap B \\right) = P\\left(A | B\\right) P\\left(B\\right)$$"
297 | ]
298 | },
299 | {
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301 | "metadata": {},
302 | "source": [
303 | "$$P\\left(A \\cap B \\right) = P\\left(B | A\\right) P\\left(A\\right)$$"
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306 | {
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309 | "source": [
310 | "Então (Regra da Multiplicação):"
311 | ]
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316 | "source": [
317 | "$P(A \\cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$"
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323 | "source": [
324 | "E se B nao tiver efeito sobre $P(A)$ (vice-versa)?"
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329 | "metadata": {},
330 | "source": [
331 | "Sejam $A$ e $B$ dois eventos, então o evento $B$ é dito independente do evento $A$ se (ou seja, a ocorrência do evento $A$ não afeta a ocorrência de $B$):"
332 | ]
333 | },
334 | {
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336 | "metadata": {},
337 | "source": [
338 | "$$P(B|A) = P(B)$$"
339 | ]
340 | },
341 | {
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343 | "metadata": {},
344 | "source": [
345 | "O evento $A$ é dito independente do evento $B$ se:"
346 | ]
347 | },
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349 | "cell_type": "markdown",
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351 | "source": [
352 | "$$P(A|B) = P(A)$$"
353 | ]
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357 | "metadata": {},
358 | "source": [
359 | "Logo, se $A$ e $B$ são independentes temos que:"
360 | ]
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366 | "$$P(A \\cap B) = P(A).P(B)$$"
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373 | "$$P\\left(A \\cup B\\right) = P(A)+P(B)-P(A).P(B)$$"
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379 | "source": [
380 | "Então, os eventos $A$ e $B$ sao ditos independentes (a probabilidade condicional é igual a probabilidade não condicional)."
381 | ]
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386 | "source": [
387 | "Se $A$, $B$ e $C$ são eventos independentes, então:
\n",
388 | "$$\\mathrm{P(A \\cap B \\cap C)} = \\mathrm{P(A)P(B)P(C)}$$\n",
389 | "
Se $A$, $B$ e $C$ são dois a dois independentes, vale: $\\mathrm{P(A \\cap B)} = \\mathrm{P(A)P(B)}$, $\\mathrm{P(A \\cap C)} = \\mathrm{P(A)P(C)}$ e $\\mathrm{P(B \\cap C)} = \\mathrm{P(B)P(C)}$ e $\\mathrm{P(A \\cap B \\cap C)} = \\mathrm{P(A)P(B)P(C)}$, então os eventos $A$, $B$ e $C$ são independentes."
390 | ]
391 | },
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394 | "metadata": {},
395 | "source": [
396 | "Exemplo:"
397 | ]
398 | },
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402 | "source": [
403 | "Foi feita uma pesquisa com 100 pessoas sobre as preferências a respeito de programas na televisão. Os resultados obtidos são mostrados na tabela a seguir."
404 | ]
405 | },
406 | {
407 | "cell_type": "markdown",
408 | "metadata": {},
409 | "source": [
410 | "\n",
411 | " \n",
412 | " | \n",
413 | " Homens | \n",
414 | " Mulheres | \n",
415 | " Total | \n",
416 | "
\n",
417 | " \n",
418 | " | Futebol | \n",
419 | " 40 | \n",
420 | " 20 | \n",
421 | " 60 | \n",
422 | "
\n",
423 | " \n",
424 | " | Novela | \n",
425 | " 5 | \n",
426 | " 35 | \n",
427 | " 40 | \n",
428 | "
\n",
429 | " \n",
430 | " | Total | \n",
431 | " 45 | \n",
432 | " 55 | \n",
433 | " 100 | \n",
434 | "
\n",
435 | "
"
436 | ]
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441 | "source": [
442 | "Entre o grupo de entrevistados, qual a probabilidade de preferir novela? E futebol?"
443 | ]
444 | },
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448 | "source": [
449 | "$P(\\text{novela}) = \\dfrac{40}{100} = 0,4 = 40$%"
450 | ]
451 | },
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454 | "metadata": {},
455 | "source": [
456 | "$P(\\text{futebol}) = \\dfrac{60}{100} = 0,6 = 60$%"
457 | ]
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462 | "source": [
463 | "Qual a probabilidade de ser mulher e preferir futebol?"
464 | ]
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469 | "source": [
470 | "$P(\\text{mulher e futebol}) = \\dfrac{20}{100} = 0,2 = 20$%"
471 | ]
472 | },
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477 | "Qual a probabilidade de,sendo homem, preferir futebol?"
478 | ]
479 | },
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483 | "source": [
484 | "$P(\\text{futebol|homem}) = \\dfrac{P(\\text{homem e futebol})}{P(\\text{homem})} = \\dfrac{\\frac{40}{100}}{\\frac{45}{100}} = 0,888... = 88,88$%"
485 | ]
486 | },
487 | {
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490 | "source": [
491 | "Qual a probabilidade de, se preferir novela, ser mulher?"
492 | ]
493 | },
494 | {
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497 | "source": [
498 | "$P(\\text{mulher|novela}) = \\dfrac{P(\\text{mulher e novela})}{P(\\text{novela})} = \\dfrac{\\frac{35}{100}}{\\frac{40}{100}} = 0,875 = 87,5$%"
499 | ]
500 | },
501 | {
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503 | "metadata": {},
504 | "source": [
505 | "Partição do Espaço Amostral"
506 | ]
507 | },
508 | {
509 | "cell_type": "markdown",
510 | "metadata": {},
511 | "source": [
512 | "Definimos a partição de um espaço amostral como um conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja união forma o espaço amostral."
513 | ]
514 | },
515 | {
516 | "cell_type": "markdown",
517 | "metadata": {},
518 | "source": [
519 | "* $A_i \\cap A_j = \\emptyset , \\forall i \\neq j$ (eventos mutuamente excludentes)\n",
520 | "* $\\bigcup_{i = 1}^{n}A_i = S$ (união dos eventos corresponde ao espaço amostral)\n",
521 | "* $P(A_i)>0 , \\forall i=1, \\dots, n$"
522 | ]
523 | },
524 | {
525 | "cell_type": "markdown",
526 | "metadata": {},
527 | "source": [
528 | "Teorema da Probabilidade Total"
529 | ]
530 | },
531 | {
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534 | "source": [
535 | "Se $B_1, \\dots B_k$ formam uma partição do espaço amostral $S$, então qualquer evento $A$ neste espaço amostral satisfaz:"
536 | ]
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538 | {
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541 | "source": [
542 | "$\\mathrm{P(A)} = \\sum_{i = 1}^{k}\\mathrm{P(B_i)P(A|B_i)} $"
543 | ]
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549 | "Podemos escrever $A$ da seguinte forma:"
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555 | "source": [
556 | "$A =(A \\cap B_1) \\cup (A \\cap B_2) \\cup \\dots \\cup (A \\cap B_k)$"
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563 | "$\\mathrm{P(A)}= \\mathrm{P\\left[ (A \\cap B_1) \\cup (A \\cap B_2) \\cup \\dots \\cup (A \\cap B_k)\\right]}$"
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569 | "source": [
570 | "$\\mathrm{P(A)}= \\mathrm{P(A \\cap B_1)}+\\mathrm{P(A \\cap B_2)}+\\dots+\\mathrm{P(A \\cap B_k)}$"
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576 | "source": [
577 | "Usando: $\\mathrm{P(A \\cap B_i)} = \\mathrm{P(A|B_i)P(B_i)}$"
578 | ]
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583 | "source": [
584 | "$\\mathrm{P(A)}= \\mathrm{P(A|B_1)P(B_1)}+\\mathrm{P(A|B_2)P(B_2)}+\\dots+\\mathrm{P(A|B_k)P(B_k)}$"
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591 | "Regra Bayes"
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598 | "Do Teorema da Probabilidade Total derivamos:"
599 | ]
600 | },
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604 | "source": [
605 | "$\\mathrm{P(B_i|A)} = \\dfrac{\\mathrm{P(A \\cap B_i)}}{\\mathrm{P(A)}} = \\dfrac{\\mathrm{P(B_i)P(A|B_i)}}{\\sum_{i=1}^{k}P(B_i)P(A|B_i)}$"
606 | ]
607 | },
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612 | "Exemplo:"
613 | ]
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618 | "source": [
619 | "Suponha que, numa eleição para governador em um estado norte-americano, temos um candidato democrata e um republicano. Entre os eleitores brancos, 30% votam no democrata, proporção que sobe para 60% entre eleitores negros e é de 50% entre os eleitores de outras etnias. Sabendo-se que há 70% de eleitores brancos, 20% de negros e 10% de outras etnias. Qual a probabilidade de o voto ser de um eleitor negro, dado que o voto é para o candidato democrata?"
620 | ]
621 | },
622 | {
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626 | "Notação:\n",
627 | "* B - branco\n",
628 | "* N - negro\n",
629 | "* O - outras etnias\n",
630 | "* D - democrata\n",
631 | "* R - republicano"
632 | ]
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634 | {
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637 | "source": [
638 | "* $P(B) = 0,7$\n",
639 | "* $P(N) = 0,2$\n",
640 | "* $P(O) = 0,1$\n",
641 | "* $P(D|N) = 0,6$\n",
642 | "* $P(D|B) = 0,3$\n",
643 | "* $P(D|O) = 0,5$"
644 | ]
645 | },
646 | {
647 | "cell_type": "markdown",
648 | "metadata": {},
649 | "source": [
650 | "$P(N|D) = ?$
\n",
651 | "$P(N|D) = \\dfrac{P(\\text{N e D})}{P(D)}$"
652 | ]
653 | },
654 | {
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656 | "metadata": {},
657 | "source": [
658 | "Probabilidade de ser negro e democrata:"
659 | ]
660 | },
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664 | "source": [
665 | "$P(\\text{N e D}) = P(N) \\times P(D|N) = 0,2 \\times 0,6 = 0,12$"
666 | ]
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672 | "Probabilidade de ser democrata:"
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678 | "source": [
679 | "$P(D) = P(\\text{D e B})+P(\\text{D e N})+P(\\text{D e O}) = 0,7 \\times 0,3+0,2 \\times 0,6 +0,1 \\times 0,5 = 0,38$"
680 | ]
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684 | "metadata": {},
685 | "source": [
686 | "$P(N|D) = \\dfrac{0,12}{0,38} = 0,3158 = 31,58$%"
687 | ]
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692 | "source": [
693 | "31,58% dos votos democratas são de eleitores negros."
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700 | "# Questões de fixação"
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706 | "source": [
707 | "Q12- 2006
Em uma região, 25% da população são pobres. As mulheres são sobrerrepresentadas neste grupo, pois constituem 75% dos pobres, mas 50% da população. Calcule a proporção de pobres entre as mulheres. Multiplique o resultado por 100 e omita os valores após a vírgula.\n"
708 | ]
709 | },
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713 | "source": [
714 | "$\\mathrm{P}\\left(\\text{Pobre}\\cap\\text{Mulher}\\right) = \\mathrm{P}\\left(\\text{Mulher|Pobre}\\right) \\times \\mathrm{P} \\left(\\text{Pobre}\\right) $"
715 | ]
716 | },
717 | {
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720 | "source": [
721 | "$\\mathrm{P}\\left(\\text{Pobre|Mulher}\\right) = \\dfrac{\\mathrm{P}\\left(\\text{Pobre} \\cap \\text{Mulher}\\right)}{\\mathrm{P} \\left(\\text{Mulher}\\right)} = \\dfrac{0,75 \\times 0,25}{0,5} = 37,5$"
722 | ]
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724 | {
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726 | "metadata": {},
727 | "source": [
728 | "Q13-2017
Considere dois eventos, $A$ e $B$, os quais são mutuamente excludentes, sendo $P(A)$ a probabilidade de ocorrência de $A$ e $P(B)$ a probabilidade de ocorrência de $B$, então:
\n",
729 | "0 - $\\mathrm{P(A|B)}=0$;
\n",
730 | "1 - $\\mathrm{P(B|A)}=1$;
\n",
731 | "2 - A e B são independentes se, e somente se, $\\mathrm{P(A|B)}=\\mathrm{P(A)}$ e $\\mathrm{P(B|A)} = \\mathrm{P(B)}$;
\n",
732 | "3 - A e B são independentes se $\\mathrm{P(A|B)} = \\mathrm{P(A)}$;
\n",
733 | "4 - A e B são independentes se $\\mathrm{P(B|A)} = \\mathrm{P(B)}$."
734 | ]
735 | },
736 | {
737 | "cell_type": "markdown",
738 | "metadata": {},
739 | "source": [
740 | "$A \\cap B = \\emptyset \\Rightarrow \\mathrm{P(A\\cap B)} = \\mathrm{P(\\emptyset)} = 0$ "
741 | ]
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743 | {
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747 | "0 - (V)"
748 | ]
749 | },
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754 | "$\\mathrm{P(A|B)} = \\dfrac{\\mathrm{P(A \\cap B)}}{\\mathrm{P(B)}} = \\dfrac{0}{\\mathrm{P(B)}} = 0$"
755 | ]
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768 | "$\\mathrm{P(B|A)} = \\dfrac{\\mathrm{P(A \\cap B)}}{\\mathrm{P(A)}} = \\dfrac{0}{\\mathrm{P(A)}} = 0$"
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775 | "2 - (F)"
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778 | {
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781 | "source": [
782 | "Vimos anteriormente que: $\\mathrm{P(A|B)} = \\mathrm{P(B|A)} = 0$. Para que os eventos $A$ e $B$ sejam independentes devemos ter $\\mathrm{P(A \\cap B)} = \\mathrm{P(A)P(B)}$,o que implicaria $\\mathrm{P(A)} = 0$ ou $\\mathrm{P(B)} = 0$."
783 | ]
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789 | "3 - (F)"
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796 | "Conforme item (2)."
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809 | "source": [
810 | "Conforme item (2)."
811 | ]
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836 |
--------------------------------------------------------------------------------
/4. Distribuições.ipynb:
--------------------------------------------------------------------------------
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7 | "# Distribuições discretas"
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14 | "#### 1. Distribuição de Bernouilli"
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21 | "Características/uso"
22 | ]
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27 | "source": [
28 | "* Caracteriza-se pela existência de dois eventos, sucesso e fracasso, realizados uma única vez, com probabalidade de sucessso $p$ e probabilidade de fracasso $(1-p)$. \n",
29 | "* Exemplo: lançamento de uma moeda uma única vez. A probabilidade de sucesso (cara) é $p=1/2$ e a probabilidade de fracasso (coroa) $(1-p) = 1/2$ (Mostre que neste caso, para $p = 1$: $E(X) = 0.5$,$Var(X) = 0.25$).\n",
30 | " * $E(X) = 1 \\times p +0\\times (1-p) = p$\n",
31 | " * $E(X^2) = 1^2 \\times p+0^2 \\times (1-p) = p$\n",
32 | " * $Var(X) = 1/2 - (1/2)^2 = 1/4$\n",
33 | "* O lançamento de um dado: a aposta em um determinado número implica em uma probabilidade de sucesso $p = 1/6$ e que a probabilidade de fracasso seja $(1-p) = 5/6$\n",
34 | "* v.a.:obter sucesso em uma única rodada."
35 | ]
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41 | "Forma geral $P(X = k)$"
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48 | "$P(X = k) = p^{k}\\left(1-p\\right)^{1-k}$,$k=0,1$"
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55 | "Esperança"
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62 | "$\\mathrm{E(X)} = 1 \\times p+ 0 \\times (1-p) = p$"
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69 | "$\\mathrm{E(X)} = p$"
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76 | "Variância"
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83 | "$\\mathrm{E(X^2)} = X_1^{2}P(X_1)+X_{2}^{2}P(X_2)$
\n",
84 | "$\\mathrm{E{(X^2)}} = 1^2 \\times p + 0^2 \\times (1-p) = p$
\n",
85 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\mathrm{E(X^2)}-\\left[\\mathrm{E(X)}\\right]^2$
\n",
86 | "$\\mathrm{Var(X)} = p-p^2$"
87 | ]
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93 | "$\\mathrm{Var(X)} = p(1-p)$"
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100 | "$X \\sim Ber(p)$"
101 | ]
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103 | {
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106 | "source": [
107 | "(Q10-2006) 0 - Se a variável aleatória $Y$ segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro $p$, então $E(Y) = p$ (V)."
108 | ]
109 | },
110 | {
111 | "cell_type": "markdown",
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113 | "source": [
114 | "#### 2. Distribuição de Binomial"
115 | ]
116 | },
117 | {
118 | "cell_type": "markdown",
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120 | "source": [
121 | "Características/uso
\n",
122 | "* Generalização da distribuição de Bernouilli: $p$ é denotada como a probabilidade de sucesso, $(1-p)$ a probabilidade de fracasso, para $n$ experimentos.\n",
123 | "* Número de tentativas independentes de um experimetno com dois resultados, em que a v.a. é obter um determinando número de sucessos em $n$ tentativas."
124 | ]
125 | },
126 | {
127 | "cell_type": "markdown",
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129 | "source": [
130 | "Forma geral $P(X = k)$"
131 | ]
132 | },
133 | {
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135 | "metadata": {},
136 | "source": [
137 | "Então, para um determinado experimento, com $p$ probabilidade de sucesso e $(1-p)$ probabilidade de fracasso, a probabilidade de que, em $n$ repetições, obtenhamos um número $k$ de sucesos é dada por :"
138 | ]
139 | },
140 | {
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142 | "metadata": {},
143 | "source": [
144 | "$P(X=k)=\n",
145 | " \\left(\n",
146 | " \\begin{array}{ccc}\n",
147 | " n\\\\\n",
148 | " k\n",
149 | " \\end{array}\n",
150 | " \\right)\n",
151 | " p^k(1-p)^{n-k}$"
152 | ]
153 | },
154 | {
155 | "cell_type": "markdown",
156 | "metadata": {},
157 | "source": [
158 | "$\\left(\n",
159 | " \\begin{array}{ccc}\n",
160 | " n\\\\\n",
161 | " k\n",
162 | " \\end{array}\n",
163 | " \\right) = \\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$"
164 | ]
165 | },
166 | {
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168 | "metadata": {},
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170 | "Esperança"
171 | ]
172 | },
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177 | "$E(X) = np$"
178 | ]
179 | },
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184 | "Variância"
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191 | "$Var(X) = np(1-p)$"
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198 | "$X \\sim b(n,p)$"
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201 | {
202 | "cell_type": "markdown",
203 | "metadata": {},
204 | "source": [
205 | "(Q10-2006)
\n",
206 | "0 - Se a variável aleatória Y segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, então E(Y) = p (V).
\n",
207 | "1 - Uma soma de variáveis aleatórias Binomiais segue uma distribuição Bernoulli. (F)
"
208 | ]
209 | },
210 | {
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212 | "metadata": {},
213 | "source": [
214 | "Em (1) o certo seria afirmar que uma soma de variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli e com mesma probabilidade, seguem uma distribuição Binomial."
215 | ]
216 | },
217 | {
218 | "cell_type": "markdown",
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220 | "source": [
221 | "#### 3. Distribuição de Geométrica"
222 | ]
223 | },
224 | {
225 | "cell_type": "markdown",
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227 | "source": [
228 | "Características/uso"
229 | ]
230 | },
231 | {
232 | "cell_type": "markdown",
233 | "metadata": {},
234 | "source": [
235 | "* Número de tentativas independentes de um experimento com dois resultados possíveis.\n",
236 | "* v.a.: número de tentativas até a ocorrência do primeiro sucesso.\n",
237 | " * Probabilidade de que o sucesso ocorra na k-ésima jogada.\n",
238 | " * Qual a probabilidade de que o dado dê sucesso (número desejado) na quarta jogada?\n",
239 | " * Teremos uma sequência de fracassos nas $k-1$ primeiras jogadas e sucesso apenas na k-ésima jogadas."
240 | ]
241 | },
242 | {
243 | "cell_type": "markdown",
244 | "metadata": {},
245 | "source": [
246 | "Forma geral $P(X = k)$"
247 | ]
248 | },
249 | {
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251 | "metadata": {},
252 | "source": [
253 | "$p+q = 1 \\Rightarrow q = 1-p$"
254 | ]
255 | },
256 | {
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258 | "metadata": {},
259 | "source": [
260 | "$P(X=k)= (q)^{k-1}p = (1-p)^{k-1}p$"
261 | ]
262 | },
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265 | "metadata": {},
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267 | "Esperança"
268 | ]
269 | },
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272 | "metadata": {},
273 | "source": [
274 | "$E(X) = \\dfrac{1}{p}$"
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281 | "Variância"
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287 | "source": [
288 | "$Var(X) = \\dfrac{1-p}{p^2}$"
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295 | "$X \\sim G(p)$"
296 | ]
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299 | "cell_type": "markdown",
300 | "metadata": {},
301 | "source": [
302 | "#### 4. Distribuição de Hipergeométrica"
303 | ]
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308 | "source": [
309 | "Características/uso"
310 | ]
311 | },
312 | {
313 | "cell_type": "markdown",
314 | "metadata": {},
315 | "source": [
316 | "* Podemos aplicar tal distribuição se consideramos extrações casuais feitas sem reposição de uma determinada população dividida por dois atributos. Consideremos um população de $N$ objetos, $r$ dos quais têm o atributo $A$ e $N-r$ atributo B. Um grupo de $n$ elementos é escolhido ao acaso, sem reposição. Nosso interesse é calcular a probabilidade de que esse grupo contenha $k$ elementos com o atributo $A$.\n",
317 | "* v.a.:número de elementos na amostra que têm o atributo $A$."
318 | ]
319 | },
320 | {
321 | "cell_type": "markdown",
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324 | "Forma geral $P(X = k)$"
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330 | "source": [
331 | " $P(X=k)=\\dfrac{\\left(\\begin{array}{ccc}r\\\\k\\end{array}\\right) \\left(\\begin{array}{ccc}N-r\\\\n-k\\end{array}\\right)}{\\left(\\begin{array}{ccc}N\\\\n\\end{array}\\right)}$"
332 | ]
333 | },
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338 | "Esperança"
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345 | "$E(X) = np$"
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358 | "source": [
359 | "$Var(X) = np(1-p)\\dfrac{N-n}{N-1}$"
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366 | "Em que: $p = \\dfrac{r}{N}$."
367 | ]
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373 | "$X \\sim hip(N,r,n)$"
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380 | "#### 5. Distribuição de Poisson"
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387 | "Características/uso"
388 | ]
389 | },
390 | {
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392 | "metadata": {},
393 | "source": [
394 | "* Podemos empregar a distribuição de Poisson quando desejamos contar o número de eventos de certo tipo que ocorrem num intervalo de tempo, ou superfície ou volume.\n",
395 | " * Número de chamadas recebidas por um telefone durante cinco minutos;\n",
396 | " * Número de falhas de um computador em um determinado dia;\n",
397 | " * Número de relatórios de acidentes enviados a uma companhia de seguros em uma dada semana.\n",
398 | "* Partimos de uma distribuição binominal, com o $p$ muito pequeno (tende a zero) e $n$ muito grande (tende a infinito).\n",
399 | "* v.a.:número de sucessos em um intervalo de tempo."
400 | ]
401 | },
402 | {
403 | "cell_type": "markdown",
404 | "metadata": {},
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406 | "Forma geral $P(X = k)$"
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411 | "metadata": {},
412 | "source": [
413 | "$P(X=k)= \\dfrac{e^{- \\lambda}\\lambda^{k}}{k!}$"
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420 | "Esperança"
421 | ]
422 | },
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427 | "$E(X)= \\lambda $"
428 | ]
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434 | "Variância"
435 | ]
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440 | "source": [
441 | "$Var(X) = \\lambda $"
442 | ]
443 | },
444 | {
445 | "cell_type": "markdown",
446 | "metadata": {},
447 | "source": [
448 | "(Q6-2007) Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson dada por $p_{x}(X) = \\dfrac{\\lambda^x e^{-\\lambda}}{x!}$ , $x = 0, 1, 2, \\dots$ . É correto afirmar que:
\n",
449 | "0 - $\\mathrm{E(X)} = \\lambda$ e $\\mathrm{Var(X)} = \\lambda^2$.
\n",
450 | "1 - $\\mathrm{E(X^2)} = \\lambda +\\lambda^2$.
\n",
451 | "2 - $\\mathrm{E(X)} = e^{-\\lambda}$.
\n",
452 | "3 - $\\mathrm{E(X)} = \\mathrm{Var(X)} = \\lambda$ .
\n",
453 | "4 - $\\mathrm{E(X)} = \\dfrac{\\lambda}{2}$ e $\\mathrm{Var(X)} = \\lambda$
"
454 | ]
455 | },
456 | {
457 | "cell_type": "markdown",
458 | "metadata": {},
459 | "source": [
460 | "Sabemos que $\\mathrm{E(X)} =\\mathrm{Var(X)} = \\lambda $ e $E(X^2) = \\mathrm{Var(X)}+(\\mathrm{E(X)})^2 = \\lambda+\\lambda^2$. Então é fácil verificar que: 0-(F), 1-(V),2-(F),3-(V) e 4-(F)."
461 | ]
462 | },
463 | {
464 | "cell_type": "markdown",
465 | "metadata": {},
466 | "source": [
467 | "Q3-2005
\n",
468 | "(1) Se $X_1, \\dots, X_n$ são variáveis aleatórias identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli com parâmetro $p$, então, $Z = \\sum_{i = 1}^{n}X_i$ segue uma distribuição Poisson (F).
\n",
469 | "(3)Se $X$ é uma variável aleatória Poisson com média $\\lambda$, então, a variância de $X$ é $\\lambda^2$ (F)."
470 | ]
471 | },
472 | {
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475 | "source": [
476 | "# Distribuições contínuas"
477 | ]
478 | },
479 | {
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481 | "metadata": {},
482 | "source": [
483 | "Uma função densidade de probabilidade $f(x)$ deve atender as seguintes restrições:\n",
484 | "1. $f(x) \\geq 0$\n",
485 | "2. $\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x)dx = 1$"
486 | ]
487 | },
488 | {
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491 | "source": [
492 | "#### 1. Distribuição Uniforme"
493 | ]
494 | },
495 | {
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497 | "metadata": {},
498 | "source": [
499 | "Uma variável aleatória contínua é dita uniforme no intervalo $\\left[a,b \\right]$, se sua fdp é definida como, tal que $X \\sim U\\left(\\left[a,b\\right]\\right)$:"
500 | ]
501 | },
502 | {
503 | "cell_type": "markdown",
504 | "metadata": {},
505 | "source": [
506 | "$f(x) = \n",
507 | "\\begin{cases}\n",
508 | "k, \\;\\textrm{ se } a \\leq x \\leq b \\\\\n",
509 | "0, \\;\\textrm{ caso contrário} \\\\\n",
510 | "\\end{cases}\n",
511 | "$"
512 | ]
513 | },
514 | {
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516 | "metadata": {},
517 | "source": [
518 | "Para encontrar o valor de $k$ aplicamos a condição $\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x)dx = 1$ de variável aleatória:"
519 | ]
520 | },
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523 | "metadata": {},
524 | "source": [
525 | "$\\int_{a}^{b}kdx = 1 \\Rightarrow k\\int_{a}^{b}dx =1 \\Rightarrow kx |_{a}^{b} =1$"
526 | ]
527 | },
528 | {
529 | "cell_type": "markdown",
530 | "metadata": {},
531 | "source": [
532 | "Então:
\n",
533 | "$k(b-a)=1 \\Rightarrow$ $k = \\dfrac{1}{b-a}$"
534 | ]
535 | },
536 | {
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539 | "source": [
540 | "Logo:"
541 | ]
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546 | "source": [
547 | "$ f(x)=\n",
548 | "\\begin{cases}\n",
549 | "\\dfrac{1}{b-a},\\;\\textrm{ se } a \\leq x \\leq b \\\\\n",
550 | "0, \\;\\textrm{ caso contrário} \\\\\n",
551 | "\\end{cases}$"
552 | ]
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554 | {
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557 | "source": [
558 | "Forma geral $P(X = k)$"
559 | ]
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564 | "source": [
565 | "$f(x) = \\dfrac{1}{b-a}$, $\\forall x \\in \\left[a,b\\right]$"
566 | ]
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571 | "source": [
572 | "Esperança"
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578 | "source": [
579 | "$E(X) = \\dfrac{a+b}{2}$"
580 | ]
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586 | "Variância"
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592 | "source": [
593 | "$Var(X) = \\dfrac{\\left(b-a \\right)^2}{12}$"
594 | ]
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599 | "source": [
600 | "(Q10-2006) 4 - A variância de uma distribuição uniforme entre 0 e 2 é igual a 0,5 (F)."
601 | ]
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606 | "source": [
607 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\dfrac{(b-a)^2}{12} = \\dfrac{(2-0)^2}{12} = \\dfrac{1}{3}$"
608 | ]
609 | },
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613 | "source": [
614 | "(Q2-2008) 2 - Uma distribuição uniforme no intervalo [0,10] tem variância igual a 25/3. (V)"
615 | ]
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619 | "metadata": {},
620 | "source": [
621 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\dfrac{(b-a)^2}{12} = \\dfrac{(10-0)^2}{12} = \\dfrac{100}{12} = \\dfrac{25}{3} $"
622 | ]
623 | },
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626 | "metadata": {},
627 | "source": [
628 | "(Q1-2019)
\n",
629 | "0 - Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2,5] tem média\n",
630 | "igual a 3,50. (V)
\n",
631 | "1 - Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2,5] tem variância\n",
632 | "igual a 0,75 (V)."
633 | ]
634 | },
635 | {
636 | "cell_type": "markdown",
637 | "metadata": {},
638 | "source": [
639 | "Resolução:"
640 | ]
641 | },
642 | {
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644 | "metadata": {},
645 | "source": [
646 | "0 - $\\mathrm{E(X)} = \\dfrac{2+5}{2} = 3,5 (V)$
\n",
647 | "1 - $\\mathrm{Var(X)} = \\dfrac{(5-2)^2}{12} = \\dfrac{3}{4} = 0,75 (V)$"
648 | ]
649 | },
650 | {
651 | "cell_type": "markdown",
652 | "metadata": {},
653 | "source": [
654 | "(Q14-2019) Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b], em que b > a, e\n",
655 | "função densidade de probabilidade dada por:"
656 | ]
657 | },
658 | {
659 | "cell_type": "markdown",
660 | "metadata": {},
661 | "source": [
662 | "$ f(x)=\n",
663 | "\\begin{cases}\n",
664 | "\\dfrac{1}{b-a},\\;\\textrm{ para } a \\leq x \\leq b \\\\\n",
665 | "0, \\;\\textrm{ para qualquer outro valor} \\\\\n",
666 | "\\end{cases}$"
667 | ]
668 | },
669 | {
670 | "cell_type": "markdown",
671 | "metadata": {},
672 | "source": [
673 | "Então, considerando que c e d são constantes, podemos afirmar:
\n",
674 | "0 - A função distribuição acumulada de X é dada por: $F(X) = \\dfrac{x-a}{b-a}$ para $a \\leq x \\leq b$ e $F(X)=1$ para $x \\geq b$.
\n",
675 | "1 - $\\textrm{Prob}(c \\leq X \\leq d) = \\dfrac{d-a}{b-a}$, em que $a \\leq c < d \\leq b$.
\n",
676 | "2 - $E(X) = \\dfrac{a+b}{2}$
\n",
677 | "3 - $Var(X) = \\dfrac{\\left(b-a\\right)^2}{4}$
\n",
678 | "4 - $\\textrm{Prob}(c \\leq X \\leq b) = \\dfrac{b-c}{b-a}$, em que $a \\leq c < b$
"
679 | ]
680 | },
681 | {
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683 | "metadata": {},
684 | "source": [
685 | "Resolução:"
686 | ]
687 | },
688 | {
689 | "cell_type": "markdown",
690 | "metadata": {},
691 | "source": [
692 | "0 - $F(X) = \\int_{-\\infty}^{x}f(t)dt = \\int_{a}^{x}\\dfrac{1}{b-a}dt = \\dfrac{1}{b-a}t|_{a}^{x} = \\dfrac{x-a}{b-a}$ (V)
\n",
693 | "1 - $\\textrm{Prob}(c \\leq X \\leq d) = \\int_{c}^{d}\\dfrac{1}{b-a}dx = \\dfrac{d-c}{b-a}$ (F)
\n",
694 | "2 - $\\mathrm{E(X)} = \\dfrac{a+b}{2}$ (V)
\n",
695 | "3 - $\\mathrm{Var(X)} = \\dfrac{(b-a)^2}{12} (F)$
\n",
696 | "4 - $\\textrm{Prob}(c \\leq X \\leq b) = \\dfrac{b-c}{b-a} (V)$
"
697 | ]
698 | },
699 | {
700 | "cell_type": "markdown",
701 | "metadata": {},
702 | "source": [
703 | "Demonstrações:"
704 | ]
705 | },
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708 | "metadata": {},
709 | "source": [
710 | "\\begin{eqnarray}\n",
711 | "\\mathrm{E(X)} & = & \\int_{a}^{b}\\dfrac{1}{b-a}xdx\\\\\n",
712 | "& = & \\dfrac{1}{b-a}\\dfrac{x^2}{2}|_{a}^{b} \\\\\n",
713 | "& = & \\dfrac{1}{b-a}\\left(\\dfrac{b^2}{2}-\\dfrac{a^2}{2}\\right) \\\\\n",
714 | "& = & \\dfrac{1}{b-a}\\left(\\dfrac{b^2-a^2}{2}\\right) \\\\\n",
715 | "& = & \\dfrac{(b-a)(b+a)}{(b-2)2} \\\\\n",
716 | "& = & \\dfrac{a+b}{2} \\\\\n",
717 | "\\end{eqnarray}"
718 | ]
719 | },
720 | {
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723 | "source": [
724 | "\\begin{eqnarray}\n",
725 | "\\mathrm{E(X^2)} & = & \\int_{a}^{b}\\dfrac{1}{b-a}x^2dx\\\\\n",
726 | "& = & \\dfrac{1}{b-a}\\dfrac{x^3}{3}|_{a}^{b}\\\\\n",
727 | "& = & \\dfrac{1}{3(b-a)}(b^3-a^3)\n",
728 | "\\end{eqnarray}"
729 | ]
730 | },
731 | {
732 | "cell_type": "markdown",
733 | "metadata": {},
734 | "source": [
735 | "\\begin{eqnarray}\n",
736 | "\\mathrm{Var(X)} & = & \\dfrac{b^3-a^3}{3(b-a)}-\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2 \\\\\n",
737 | "& = & \\dfrac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3(b-a)}-\\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\\\\\n",
738 | "& = & \\dfrac{b^2+ab+a^2}{3}-\\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4} \\\\\n",
739 | "& = & \\dfrac{(b-a)^2}{12} \\\\\n",
740 | "\\end{eqnarray}"
741 | ]
742 | },
743 | {
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747 | "#### 2. Distribuição Exponencial"
748 | ]
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750 | {
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753 | "source": [
754 | "Forma geral $P(X = k)$"
755 | ]
756 | },
757 | {
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760 | "source": [
761 | "Uma variável $X$ tem distribuição de probablidade exponencial com $\\beta>0$ se, e somente se, sua f.d.p. é dada por, $X \\sim \\textrm{Exp}\\left(\\beta\\right)$:"
762 | ]
763 | },
764 | {
765 | "cell_type": "markdown",
766 | "metadata": {},
767 | "source": [
768 | "$f(x) = \n",
769 | "\\begin{cases}\n",
770 | "\\dfrac{1}{\\beta}e^{(-\\frac{x}{\\beta})}, \\;\\forall x\\geq 0 \\\\\n",
771 | "0, \\;\\textrm{ caso contrário} \\\\\n",
772 | "\\end{cases}\n",
773 | "$"
774 | ]
775 | },
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780 | "Esperança: $\\mathrm{E(X)} = \\beta$
\n",
781 | "Variância: $\\mathrm{Var(X)} = \\beta^2$"
782 | ]
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788 | "Ou ainda se:"
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795 | "$f(x) = \n",
796 | "\\begin{cases}\n",
797 | "\\beta e^{-\\beta x}, \\;\\forall x\\geq 0 \\\\\n",
798 | "0, \\;\\textrm{ caso contrário} \\\\\n",
799 | "\\end{cases}\n",
800 | "$"
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807 | "Esperança: $\\mathrm{E(X)} = \\dfrac{1}{\\beta}$
\n",
808 | "Variância: $\\mathrm{Var(X)} = \\dfrac{1}{\\beta^2}$"
809 | ]
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815 | "#### 3. Distribuição Normal"
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821 | "source": [
822 | "Uma v.a. tem distribuição normal com parâmetros $\\mu$ e $\\sigma^2$, ${-\\infty}<\\mu<{+\\infty}$ e $0<\\sigma^2<{\\infty}$ se sua densidade é dada por:"
823 | ]
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828 | "source": [
829 | "$$f(X;\\mu,\\sigma^2) = \\dfrac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\left(X-\\mu\\right)^2/2\\sigma^2}, {-\\infty}0$"
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895 | "source": [
896 | "Dizemos que uma variável aleatória $X$ tem distribuição lognormal se, e somente se, o seu logaritmo tem distribuição normal (istoe é, uma outra distribuição igual a $Y = \\log{X}$, normalmente distribuída), com parâmetros $\\mu$ (valor esperado) e $\\sigma^2$ (variância).Usamos a notação: $X \\sim \\textrm{Lognormal}\\left(\\mu,\\sigma^2\\right), -\\infty< \\mu < +\\infty, \\sigma>0$. "
897 | ]
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903 | "$\\mathrm{E(X)} = e^{\\mu+\\sigma^2/2}$"
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909 | "source": [
910 | "$\\mathrm{Var(X)} = e^{2(\\mu+\\sigma^2)}-e^{2\\mu+\\sigma^2}$"
911 | ]
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917 | "$Md(X) = e^{\\mu}$
\n",
918 | "$Mo(X) = e^{\\mu-\\sigma^2}$"
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925 | "$E(X)>Md(X)>Mo(X) \\Rightarrow \\textrm{ distribuição assimétrica positiva ou assimétrica à direita}$"
926 | ]
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931 | "source": [
932 | "(Q3-2005) 4 - Se a variável X = lnY segue uma distribuição Normal, então, Y segue uma distribuição Lognormal (V).É exatamente a definição da distribuição."
933 | ]
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939 | "(Q10-2006) - Uma distribuição Lognormal é assimétrica à direita. (V)"
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946 | "(Q6-2012) \n",
947 | "3 - Suponha que $X$ seja uma variável aleatória com distribuição log normal com parâmetros $\\mu$ e $\\sigma$. Então, $Y = \\log(X)\\sim N\\left(\\mu,\\sigma^2\\right)$ (V).
\n",
948 | "4 - Suponha que $X$ seja uma variável aleatória com distribuição log normal com parâmetros $\\mu$ e $\\sigma$. Então, a esperança de $X$ é igual a $\\mu$ (F)."
949 | ]
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955 | "O item (3) é exatamente a definição da distribuição, então é verdadeiro. Já 4-(F) pois vimos que $\\mathrm{E(X)}= e^{\\left(\\mu+\\dfrac{1}{2}\\sigma^2 \\right)}$."
956 | ]
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962 | "#### 5. Distribuição Qui-quadrada"
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968 | "source": [
969 | "Uma distribuição contínua $X$, com valores positivos, terá distribuição qui-quadrado com $v$ graus de liberdade se sua função densidade for:"
970 | ]
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975 | "source": [
976 | "$f(x,v) = \n",
977 | "\\begin{cases}\n",
978 | "\\dfrac{1}{\\Gamma\\left(v/2\\right)2^{\\frac{v}{2}}}x^{(v/2)-1} e^{\\left(-\\frac{x}{2}\\right)},\\; x>0, v>0 \\\\\n",
979 | "0, \\; x<0 \\\\\n",
980 | "\\end{cases}\n",
981 | "$"
982 | ]
983 | },
984 | {
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987 | "source": [
988 | "$\\mathrm{E(X)}= v$
\n",
989 | "$\\mathrm{Var(X)} = 2v$"
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996 | "* O quadrado de uma v.a. com distribuição normal padrão é uma v.a. com distribuição $\\chi^2(1)$."
997 | ]
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1003 | "* Se $X_1, \\dots, X_n$ são variáveis aleatórias independentes, com distribuições normais padronizadas, então, $\\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}$ possui distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade."
1004 | ]
1005 | },
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1007 | "cell_type": "markdown",
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1009 | "source": [
1010 | "(Q3-2005) 0 - Se $X$ é uma variável aleatória com distribuição Normal de média $\\mu$ e variância $\\sigma^2$ , então, $Z = \\dfrac{(X-\\mu)^2}{\\sigma^2}$ segue uma distribuição $\\chi^2$ com 1 grau de liberdade (V)."
1011 | ]
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1016 | "source": [
1017 | "(Q2-2006) 3 - Sejam Y e X variáveis aleatórias com distribuições Qui-quadrado com $p$ e $q$ graus de liberdade, respectivamente. Portanto, $Z = (Y/p)/(X/q)$ segue uma distribuição $F$ com $p$ e $q$ graus de liberdade(F)."
1018 | ]
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1024 | "(Q2-2008) 1 - Se X segue uma distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade, então E(X) = n e\n",
1025 | "V(X) = 2n. (V)"
1026 | ]
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1032 | "#### 6. Distribuição $t$ de Student"
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1038 | "source": [
1039 | "Sejam Z e Y variáveis independentes, tal que $X \\sim N\\left(0,1\\right)$ e $Y \\sim \\chi^2{(v)} $, então a variável aleatória dada pela expressão a seguir tem distribuição $t$ de Student com $k$ graus de liberdade."
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1046 | "$t = \\dfrac{X}{\\sqrt{\\dfrac{Y}{v}}}$"
1047 | ]
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1053 | "$\\mathrm{E(X)} = 0$
\n",
1054 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\dfrac{v}{\\left(v-2\\right)}$, $v>2$"
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1061 | "#### 7. Distribuição F de Snedecor"
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1067 | "source": [
1068 | "Sejam $U$ e $V$ duas v.a. independentes, cada uma com distribuição qui-quadrado, com $v_1$ e $v_2$ graus de liberdade, respectivamente. Então, a v.a. $W = \\dfrac{\\frac{U}{v_1}}{\\frac{V}{v_2}}$ tem distribuição $F$ de Snedecor com $v_1$ e $v_2$ graus de liberdade, $W \\sim F(v_1,v_2)$."
1069 | ]
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1075 | "$U \\sim \\chi_{v1}^{2}$ e $V \\sim \\chi_{v2}^{2}$"
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1082 | "$E(W) = \\dfrac{v_2}{v_2-2}$"
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1089 | "$\\mathrm{Var(W)} = \\dfrac{2v_2^{2}\\left(v_1+v_2-2\\right)}{v_1\\left(v_2-2\\right)^2\\left(v_2-4\\right)}$"
1090 | ]
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1095 | "source": [
1096 | "(Q2-2008) 4 - Sejam $X_1$ e $X_2$ duas variáveis aleatórias independentes, com distribuição qui-quadrado com $n_1$ e $n_2$ graus de liberdade, respectivamente. Então $z = \\dfrac{\\frac{x_1}{n_1}}{\\frac{x_2}{n_2}}$ segue uma distribuição $F$ com $n_1$ e $n_2$ graus de liberdade. (V) É exatamente a definição."
1097 | ]
1098 | },
1099 | {
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1102 | "source": [
1103 | "#### 8. Relações importantes"
1104 | ]
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1106 | {
1107 | "cell_type": "markdown",
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1109 | "source": [
1110 | "* Sejam $Z_i$, para $i = 1, \\cdots , n$, são normais independentes, então $\\sum Z_{i}^{2} \\sim \\chi_{(n)}^{2}$.\n",
1111 | "* Sejam $Z \\sim N(0,1)$ e $X \\sim \\chi_{(v)}^{2}$, independentes. Então : $\\dfrac{Z}{\\sqrt{\\frac{X}{v}}} \\sim t_{(v)}$.\n",
1112 | "* Se $t \\sim t_n$ temos que: $t_n^2 \\sim F(1,n)$.\n",
1113 | "* Se $x_1, \\cdots, x_n$, $n$ variáveis $\\chi_{(1)}^2$ independentes: $\\sum x_i \\sim \\chi_{(n)}^{2}$."
1114 | ]
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1116 | {
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1119 | "source": [
1120 | "#### Questões ANPEC"
1121 | ]
1122 | },
1123 | {
1124 | "cell_type": "markdown",
1125 | "metadata": {},
1126 | "source": [
1127 | "Q3-2017.
\n",
1128 | "São corretas as afirmativas:
\n",
1129 | "(0) - Se $X$ é uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros $n$ e $p$, em que $n$ é um número inteiro positivo e $0\n",
1130 | "(1) - Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se $E(X) = \\lambda$, então a variância de $X$ é $\\lambda$.
\n",
1131 | "(2) - Se $X$ é uma variável aleatória uniformemente distribuída em $[-c,c]$, em que $c>0$, então $E(X) = 0$.
\n",
1132 | "(3) - Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição de probabilidade $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, em que $0\n",
1133 | "(4) - Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição de probabilidade $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, em que $0"
1134 | ]
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1136 | {
1137 | "cell_type": "markdown",
1138 | "metadata": {},
1139 | "source": [
1140 | "(0) (F) $E(X) = np$ e $Var(X) = np(1-p)$.
\n",
1141 | "(1) (V)
\n",
1142 | "(2) (V) $E(X) = \\dfrac{-c+c}{2} = 0$
\n",
1143 | "(3) Distribuição Geométrica: $E(X) = \\frac{1}{p}$.
\n",
1144 | "(4) (V) Distribuição Geométrica: $Var(X) = \\dfrac{(1-p)}{p^2}$."
1145 | ]
1146 | },
1147 | {
1148 | "cell_type": "markdown",
1149 | "metadata": {},
1150 | "source": [
1151 | "Q14-2017"
1152 | ]
1153 | },
1154 | {
1155 | "cell_type": "markdown",
1156 | "metadata": {},
1157 | "source": [
1158 | "Suponha que as vendas $(Q)$ do produto $X$ são aleatoriamente distribuídas na economia e possuem uma distribuição binomial com parâmetro $p$ (preço), sendo $n$ o número de vendas observado, então:\n",
1159 | "(0) - A esperança matemática de $Q$ é $E(Q) = n(1-p)$;
\n",
1160 | "(1) - A média das vendas é dada por $E(Q) = np$;
\n",
1161 | "(2) - A variância das vendas por $Q$ ou $V(Q) = np(1-p)$;
\n",
1162 | "(3) - O preço que maximiza a variância é $p = \\frac{1}{2}$;
\n",
1163 | "(4) - O preço está no intervalo $0$ e $1$.
"
1164 | ]
1165 | }
1166 | ],
1167 | "metadata": {
1168 | "kernelspec": {
1169 | "display_name": "Python 3",
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/5. Distribuições_conjuntas.ipynb:
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7 | "# Distribuições conjuntas"
8 | ]
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14 | "#### 1. Distribuição conjunta de variáveis discretas"
15 | ]
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19 | "metadata": {},
20 | "source": [
21 | "Sejam duas variáveis aleatórias discretas $X$ e $Y$, com os respectivos valores $X_1,X_2,\\dots,X_n$,$Y_1,Y_2,\\dots,Y_k$. Então $\\mathrm{P(X_i,Y_j)}$ é a probabilidade associada ao par $(X_i,Y_j)$. O conjunto de valores $X_i$,$Y_j$ e das respectivas probabilidades $P(X_i,Y_j)$ constitui a distribuição conjunta de $X,Y$. Temos ainda: $\\sum_i\\sum_j\\mathrm{P(X_i,Y_j)} = 1$."
22 | ]
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25 | "cell_type": "markdown",
26 | "metadata": {},
27 | "source": [
28 | " Exemplo"
29 | ]
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31 | {
32 | "cell_type": "markdown",
33 | "metadata": {},
34 | "source": [
35 | "* Um time de vôlei em um campeonato possui probabilidade de ganhar ou perder igual a 0,5.\n",
36 | "* X é o número de vitórias obtidas nos três primeiros jogos.\n",
37 | "* Y assume o valor 1 se a vitória ocorrer no primeiro jogo, e 0 caso contrário.\n",
38 | "* V = vitória; D = derrota."
39 | ]
40 | },
41 | {
42 | "cell_type": "markdown",
43 | "metadata": {},
44 | "source": [
45 | "\n",
46 | " \n",
47 | " | Resultados possíveis | \n",
48 | " X | \n",
49 | " Y | \n",
50 | "
\n",
51 | " \n",
52 | " | VVV | \n",
53 | " 3 | \n",
54 | " 1 | \n",
55 | "
\n",
56 | " \n",
57 | " | VVD | \n",
58 | " 2 | \n",
59 | " 1 | \n",
60 | "
\n",
61 | " \n",
62 | " | VDV | \n",
63 | " 2 | \n",
64 | " 1 | \n",
65 | "
\n",
66 | " \n",
67 | " | VDD | \n",
68 | " 1 | \n",
69 | " 1 | \n",
70 | "
\n",
71 | " \n",
72 | " | DVV | \n",
73 | " 2 | \n",
74 | " 0 | \n",
75 | "
\n",
76 | " \n",
77 | " | DDV | \n",
78 | " 1 | \n",
79 | " 0 | \n",
80 | "
\n",
81 | " \n",
82 | " | DVD | \n",
83 | " 1 | \n",
84 | " 0 | \n",
85 | "
\n",
86 | " \n",
87 | " | DDD | \n",
88 | " 0 | \n",
89 | " 0 | \n",
90 | "
\n",
91 | "
"
92 | ]
93 | },
94 | {
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96 | "metadata": {},
97 | "source": [
98 | "Probabilidades conjuntas de X e Y:"
99 | ]
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101 | {
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105 | "\n",
106 | " \n",
107 | " | \n",
108 | " | \n",
109 | " | \n",
110 | " X | \n",
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112 | "
\n",
113 | " \n",
114 | " | \n",
115 | " | \n",
116 | " 0 | \n",
117 | " 1 | \n",
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120 | " P(Y) | \n",
121 | "
\n",
122 | " \n",
123 | " | Y | \n",
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\n",
131 | " \n",
132 | " | \n",
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\n",
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141 | " | \n",
142 | " P(X) | \n",
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147 | " 1 | \n",
148 | "
\n",
149 | "
"
150 | ]
151 | },
152 | {
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154 | "metadata": {},
155 | "source": [
156 | "$P(X = 1) = P[(X=1 \\text{ e } Y=0) \\text{ ou } (X=1 \\text{ e } Y = 1)] = \\dfrac{2}{8}+\\dfrac{1}{8} = \\dfrac{3}{8}$"
157 | ]
158 | },
159 | {
160 | "cell_type": "markdown",
161 | "metadata": {},
162 | "source": [
163 | "$P(Y = 0) = P(Y = 0 \\text{ e } X = 0)+P(Y = 0 \\text{ e } X = 1)+P(Y = 0 \\text{ e } X = 2)+P(Y = 0 \\text{ e } X = 3)=\\dfrac{1}{8}+\\dfrac{2}{8}+\\dfrac{1}{8}+0 = \\dfrac{1}{2}$"
164 | ]
165 | },
166 | {
167 | "cell_type": "markdown",
168 | "metadata": {},
169 | "source": [
170 | "$P(X = 1 | Y = 1) = \\dfrac{P(X=1 \\text{ e } Y = 1)}{P(Y = 1)} = \\dfrac{1/8}{1/2} = \\dfrac{1}{4}$"
171 | ]
172 | },
173 | {
174 | "cell_type": "markdown",
175 | "metadata": {},
176 | "source": [
177 | "$P(Y = 0 | X = 2) = \\dfrac{P(Y = 0 | X = 2)}{P(X = 2)} = \\dfrac{1/8}{3/8} = \\dfrac{1}{3}$"
178 | ]
179 | },
180 | {
181 | "cell_type": "markdown",
182 | "metadata": {},
183 | "source": [
184 | "* Probabilidade de $X$ (ou seja, sem considerar $Y$) é a soma das probabilidades ao longo da coluna (distribuição marginal de $X$).\n",
185 | "* A distribuição de $Y$ é obtida da mesma forma somando-se as probabilidades ao longo da linha."
186 | ]
187 | },
188 | {
189 | "cell_type": "markdown",
190 | "metadata": {},
191 | "source": [
192 | "* X e Y são independentes? (intuição)
\n",
193 | " * Se Y é 0, então é impossível que X seja 3;\n",
194 | " * Se Y é 1, então é impossível que X seja 0;\n",
195 | " * Podemos pensar então que X e Y não são independentes.\n",
196 | " "
197 | ]
198 | },
199 | {
200 | "cell_type": "markdown",
201 | "metadata": {},
202 | "source": [
203 | "Vejamos outra forma de verificar se X e Y não são independentes."
204 | ]
205 | },
206 | {
207 | "cell_type": "markdown",
208 | "metadata": {},
209 | "source": [
210 | "$P(X = 1 | Y = 1) = \\dfrac{1}{4}$
\n",
211 | "$P(X = 1) = \\dfrac{3}{8}$
\n",
212 | "Então, temos que $P(X = 1 | Y = 1) \\neq P(X = 1)$, e X e Y são dependentes, visto que a igualdade não se verificou."
213 | ]
214 | },
215 | {
216 | "cell_type": "markdown",
217 | "metadata": {},
218 | "source": [
219 | "Vamos calcular agora $\\mathrm{E(X)}$, $\\mathrm{E(Y)}$, $\\mathrm{Var(X)}$, $\\mathrm{Var(Y)}$, $\\mathrm{Cov(X,Y)}$ e $\\mathrm{Corr(X, Y)}$."
220 | ]
221 | },
222 | {
223 | "cell_type": "markdown",
224 | "metadata": {},
225 | "source": [
226 | "$\\mathrm{E(X)} = \\sum_{i = 1}^{n} X_iP(X_i)$
\n",
227 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\mathrm{E(X^2)}-\\left[\\mathrm{E(X)}\\right]^2$
\n",
228 | "$\\mathrm{Var(Y)} = \\mathrm{E(Y^2)}-\\left[\\mathrm{E(Y)}\\right]^2$
\n",
229 | "$\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\mathrm{E(XY)} - \\mathrm{E(X)E(Y)}$
\n",
230 | "$\\mathrm{Corr(X,Y)} = \\dfrac{\\mathrm{Cov(X,Y)}}{\\mathrm{dp(X)dp(Y)}}$
\n",
231 | "
\n",
232 | "
\n",
233 | "$\\mathrm{E(X)} = 0 \\times \\dfrac{1}{8} + 1 \\times \\dfrac{3}{8} +2 \\times \\dfrac{3}{8} +3 \\times \\dfrac{1}{8} = \\dfrac{10}{8} = 1,25$
\n",
234 | "$\\mathrm{E(Y)} = 0 \\times \\dfrac{1}{2}+1 \\times \\dfrac{1}{2} = 0,5$
\n",
235 | "\n",
236 | "$\\mathrm{E(X^2)} = 0^2 \\times \\dfrac{1}{8} + 1^2 \\times \\dfrac{3}{8} +2^2 \\times \\dfrac{3}{8} +3^2 \\times \\dfrac{1}{8}= \\dfrac{24}{8} = 3$
\n",
237 | "$\\mathrm{E(Y^2)} = 0^2 \\times \\dfrac{1}{2}+1^2 \\times \\dfrac{1}{2} = 0,5 $
\n",
238 | "$\\mathrm{Var(X)} = 1,4375$
\n",
239 | "$\\mathrm{Var(Y)} = 0,25$"
240 | ]
241 | },
242 | {
243 | "cell_type": "markdown",
244 | "metadata": {},
245 | "source": [
246 | "Calculemos agora $\\mathrm{Cov(X,Y)}$."
247 | ]
248 | },
249 | {
250 | "cell_type": "markdown",
251 | "metadata": {},
252 | "source": [
253 | "\n",
254 | " \n",
255 | " | X | \n",
256 | " Y | \n",
257 | " XY | \n",
258 | "
\n",
259 | " \n",
260 | " | 3 | \n",
261 | " 1 | \n",
262 | " 3 | \n",
263 | "
\n",
264 | " \n",
265 | " | 2 | \n",
266 | " 1 | \n",
267 | " 2 | \n",
268 | "
\n",
269 | " \n",
270 | " | 2 | \n",
271 | " 1 | \n",
272 | " 2 | \n",
273 | "
\n",
274 | " \n",
275 | " | 1 | \n",
276 | " 1 | \n",
277 | " 1 | \n",
278 | "
\n",
279 | " \n",
280 | " | 2 | \n",
281 | " 0 | \n",
282 | " 0 | \n",
283 | "
\n",
284 | " \n",
285 | " | 1 | \n",
286 | " 0 | \n",
287 | " 0 | \n",
288 | "
\n",
289 | " \n",
290 | " | 1 | \n",
291 | " 0 | \n",
292 | " 0 | \n",
293 | "
\n",
294 | " \n",
295 | " | 0 | \n",
296 | " 0 | \n",
297 | " 0 | \n",
298 | "
\n",
299 | "
"
300 | ]
301 | },
302 | {
303 | "cell_type": "markdown",
304 | "metadata": {},
305 | "source": [
306 | "$\\mathrm{P(XY = 0)} = \\dfrac{4}{8}$
\n",
307 | "$\\mathrm{P(XY = 1)} = \\dfrac{1}{8}$
\n",
308 | "$\\mathrm{P(XY = 2)} = \\dfrac{2}{8}$
\n",
309 | "$\\mathrm{P(XY = 3)} = \\dfrac{1}{8}$
"
310 | ]
311 | },
312 | {
313 | "cell_type": "markdown",
314 | "metadata": {},
315 | "source": [
316 | "$\\mathrm{E(XY)} = 0 \\times \\dfrac{4}{8}+1 \\times \\dfrac{1}{8} +2 \\times \\dfrac{2}{8} +3 \\times \\dfrac{1}{8} =1 $
\n",
317 | "$\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\mathrm{E(XY)}-\\mathrm{E(X)E(Y)} = 0,375$
\n",
318 | "$\\mathrm{Corr(X,Y)} = \\dfrac{0,375}{\\sqrt{1,4375 \\times 0,25}} = 0,6255 $"
319 | ]
320 | },
321 | {
322 | "cell_type": "markdown",
323 | "metadata": {},
324 | "source": [
325 | "Vamos calcular $\\mathrm{E(X|Y=0)}$."
326 | ]
327 | },
328 | {
329 | "cell_type": "markdown",
330 | "metadata": {},
331 | "source": [
332 | "$P(X = 0 | Y = 0) = \\dfrac{1/8}{1/2} = \\dfrac{1}{4}$
\n",
333 | "$P(X = 1 | Y = 0) = \\dfrac{1}{2}$
\n",
334 | "$P(X = 2 | Y = 0) = \\dfrac{1}{4}$
\n",
335 | "$P(X = 3 | Y = 0) = 0$
\n",
336 | "$E(X|Y=0) = 0 \\times \\dfrac{1}{4} + 1 \\times \\dfrac{1}{2} + 2 \\times \\dfrac{1}{4}+3 \\times 0 = 1$"
337 | ]
338 | },
339 | {
340 | "cell_type": "markdown",
341 | "metadata": {},
342 | "source": [
343 | "(Q10-2017) Considere a distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias $X$ e $Y$, de acordo com a tabela abaixo:"
344 | ]
345 | },
346 | {
347 | "cell_type": "markdown",
348 | "metadata": {},
349 | "source": [
350 | "\n",
351 | " \n",
352 | " | \n",
353 | " | \n",
354 | " | \n",
355 | " X | \n",
356 | " | \n",
357 | "
\n",
358 | " \n",
359 | " | \n",
360 | " | \n",
361 | " 0 | \n",
362 | " 1 | \n",
363 | " 2 | \n",
364 | " 3 | \n",
365 | "
\n",
366 | " \n",
367 | " | Y | \n",
368 | " 1 | \n",
369 | " 1/4 | \n",
370 | " 1/8 | \n",
371 | " 1/8 | \n",
372 | " 1/4 | \n",
373 | "
\n",
374 | " \n",
375 | " | \n",
376 | " 2 | \n",
377 | " 0 | \n",
378 | " 1/8 | \n",
379 | " 1/8 | \n",
380 | " 0 | \n",
381 | "
\n",
382 | "
"
383 | ]
384 | },
385 | {
386 | "cell_type": "markdown",
387 | "metadata": {},
388 | "source": [
389 | "Pode-se afirmar que:"
390 | ]
391 | },
392 | {
393 | "cell_type": "markdown",
394 | "metadata": {},
395 | "source": [
396 | "0 - $\\mathrm{E(X)} = \\dfrac{3}{2}$. (V)
\n",
397 | "1 - $\\mathrm{Var(X)} = 1$. (F)
\n",
398 | "2 - $\\mathrm{Cov(X,Y)} = 0$.(V)
\n",
399 | "3 - $\\mathrm{Var(X|Y=2)} = 1$.(F)
\n",
400 | "4 - Se $Z = 2X+4Y$, então $\\mathrm{Var(Z)} = 4$. (F)
"
401 | ]
402 | },
403 | {
404 | "cell_type": "markdown",
405 | "metadata": {},
406 | "source": [
407 | "\n",
408 | " \n",
409 | " | \n",
410 | " | \n",
411 | " | \n",
412 | " X | \n",
413 | " | \n",
414 | " | \n",
415 | "
\n",
416 | " \n",
417 | " | \n",
418 | " | \n",
419 | " 0 | \n",
420 | " 1 | \n",
421 | " 2 | \n",
422 | " 3 | \n",
423 | " P(Y) | \n",
424 | "
\n",
425 | " \n",
426 | " | Y | \n",
427 | " 1 | \n",
428 | " 1/4 | \n",
429 | " 1/8 | \n",
430 | " 1/8 | \n",
431 | " 1/4 | \n",
432 | " 3/4 | \n",
433 | "
\n",
434 | " \n",
435 | " | \n",
436 | " 2 | \n",
437 | " 0 | \n",
438 | " 1/8 | \n",
439 | " 1/8 | \n",
440 | " 0 | \n",
441 | " 1/4 | \n",
442 | "
\n",
443 | " \n",
444 | " | \n",
445 | " P(X) | \n",
446 | " 1/4 | \n",
447 | " 1/4 | \n",
448 | " 1/4 | \n",
449 | " 1/4 | \n",
450 | " 1 | \n",
451 | "
\n",
452 | "
"
453 | ]
454 | },
455 | {
456 | "cell_type": "markdown",
457 | "metadata": {},
458 | "source": [
459 | "0 - $E(X) = 0 \\times \\dfrac{1}{4}+1 \\times \\dfrac{1}{4}+2 \\times \\dfrac{1}{4}+3 \\times \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{6}{4} = \\dfrac{3}{2}$
\n",
460 | "1 - Lembrete: $\\mathrm{Var(X)} = \\mathrm{E(X^2)}-\\left[\\mathrm{E(X)}\\right]^2$.
\n",
461 | "$E(X^2) = 0^2 \\times \\dfrac{1}{4}+1^2 \\times \\dfrac{1}{4}+2^2 \\times \\dfrac{1}{4}+3^2 \\times \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{14}{4} = \\dfrac{7}{2} $
\n",
462 | "$Var(X) = \\dfrac{7}{2}-\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2 = \\dfrac{5}{4}$
\n",
463 | "2 - Lembrete: $\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\mathrm{E(XY)}-\\mathrm{E(X)E(Y)}$."
464 | ]
465 | },
466 | {
467 | "cell_type": "markdown",
468 | "metadata": {},
469 | "source": [
470 | "$E(XY) = \\frac{1}{4} \\times 1 \\times 0+\\frac{1}{8} \\times 1 \\times 1 + \\frac{1}{8} \\times 2 \\times 1 + \\frac{1}{4} \\times 1 \\times 3+0 \\times 2 \\times 0 +\\frac{1}{8}\\times 2 \\times 1+\\frac{1}{8}\\times 2 \\times 2 +0 \\times 2 \\times 3 = \\frac{15}{8}$"
471 | ]
472 | },
473 | {
474 | "cell_type": "markdown",
475 | "metadata": {},
476 | "source": [
477 | "Precisamos agora calcular $E(Y)$."
478 | ]
479 | },
480 | {
481 | "cell_type": "markdown",
482 | "metadata": {},
483 | "source": [
484 | "$\\mathrm{E(Y)} = \\dfrac{3}{4} \\times 1+ \\dfrac{1}{4}\\times 2 = \\dfrac{5}{4}$
\n",
485 | "$\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\dfrac{15}{8}-\\dfrac{3}{2}\\times\\dfrac{5}{4} = 0$"
486 | ]
487 | },
488 | {
489 | "cell_type": "markdown",
490 | "metadata": {},
491 | "source": [
492 | "3 -
$\\mathrm{E(X|Y=2)} = \\dfrac{1}{8} \\times 1 + \\dfrac{1}{8} \\times 2 = \\dfrac{3}{8}$\n",
493 | "
$\\mathrm{E(X^2|Y=2)} = \\dfrac{1}{8} \\times 1^2 + \\dfrac{1}{8} \\times 2^2 = \\dfrac{5}{8}$
\n",
494 | "$\\mathrm{Var(X|Y = 2)} = \\mathrm{E(X^2|Y=2)}-\\left(\\mathrm{E(X|Y=2)}\\right)^2 = \\dfrac{5}{8}-\\left(\\dfrac{3}{8}\\right)^2 = \\dfrac{31}{64}$
\n",
495 | "4 - \n",
496 | "
$\\mathrm{Var(Z)} = \\mathrm{Var(2X+4Y)} = \\mathrm{Var(2X)}+\\mathrm{Var(4Y)}+2\\times2\\times\\times4\\mathrm{Cov(X,Y)} =4\\mathrm{Var(X)}+16\\mathrm{Var(Y)}+16\\mathrm{Cov(X,Y)}$"
497 | ]
498 | },
499 | {
500 | "cell_type": "markdown",
501 | "metadata": {},
502 | "source": [
503 | "Precisamos calcular $\\mathrm{Var(Y)}$."
504 | ]
505 | },
506 | {
507 | "cell_type": "markdown",
508 | "metadata": {},
509 | "source": [
510 | "$E(Y^2) = 1^2 \\times \\dfrac{3}{4}+2^2\\times\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{7}{4}$"
511 | ]
512 | },
513 | {
514 | "cell_type": "markdown",
515 | "metadata": {},
516 | "source": [
517 | "$Var(Y) = \\dfrac{7}{4}-\\left(\\dfrac{5}{4}\\right)^2 = \\dfrac{3}{16}$"
518 | ]
519 | },
520 | {
521 | "cell_type": "markdown",
522 | "metadata": {},
523 | "source": [
524 | "$Var(Z) = 4Var(X)+16Var(Y)+16Cov(X,Y) = 4 \\times \\dfrac{5}{4}+16\\times \\dfrac{3}{16}+16 \\times 0 = 8$"
525 | ]
526 | },
527 | {
528 | "cell_type": "markdown",
529 | "metadata": {},
530 | "source": [
531 | "#### 2. Distribuição conjunta de variáveis contínuas"
532 | ]
533 | },
534 | {
535 | "cell_type": "markdown",
536 | "metadata": {},
537 | "source": [
538 | "Seja uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) conjunta $f(x,y)$, a probabilidade de que $x$ esteja entre $]a,b[$ e $y$ em $]c,d[$ é:\n",
539 | "$$\\mathrm{P(a\n",
584 | "$g(x)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y)dy$
\n",
585 | "$h(y) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y)dx$"
586 | ]
587 | },
588 | {
589 | "cell_type": "markdown",
590 | "metadata": {},
591 | "source": [
592 | "Podemos definir então a esperança e a variância em termos das funções marginais definidas anteriormente:"
593 | ]
594 | },
595 | {
596 | "cell_type": "markdown",
597 | "metadata": {},
598 | "source": [
599 | "$\\mathrm{E(X)} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}xg(x)dx$"
600 | ]
601 | },
602 | {
603 | "cell_type": "markdown",
604 | "metadata": {},
605 | "source": [
606 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2g(x)dx-\\left[ \\int_{-\\infty}^{+\\infty}xg(x)dx \\right]^2$"
607 | ]
608 | },
609 | {
610 | "cell_type": "markdown",
611 | "metadata": {},
612 | "source": [
613 | "A covariância é definida como:
\n",
614 | "$\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\mathrm{E(XY)}-\\mathrm{E(X)}\\mathrm{E(Y)}$
\n",
615 | "$\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\left(X-\\mathrm{E(X)}\\right)\\left(Y-\\mathrm{E(Y)}\\right)dx dy = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xyf(x,y)dxdy-\\left[ \\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf(x,y)dxdy \\right]\\left[ \\int_{-\\infty}^{+\\infty}yf(x,y)dxdy \\right]$
\n",
616 | "Podemos ainda definir a covariância em termos das funções marginais:
\n",
617 | "$\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xyf(x,y)dxdy-\\left[\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xg(x)dx \\right] \\left[\\int_{-\\infty}^{+\\infty}yh(y)dy \\right]$"
618 | ]
619 | },
620 | {
621 | "cell_type": "markdown",
622 | "metadata": {},
623 | "source": [
624 | "A esperança condicional de $X$ será dada por:
\n",
625 | "$\\mathrm{E(x|y=y_{0})} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_{x|y}dx$"
626 | ]
627 | },
628 | {
629 | "cell_type": "markdown",
630 | "metadata": {},
631 | "source": [
632 | "Lembremos que a probabilidade condicional é definida como $P(A|B)=\\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)}$. Definiremos então a probabilidade condicional de uma v.a. conjunta. Notemos que, $P(A \\cap B)$ é a própria probabilidade conjunta (a probabilidade de $x$ e $y$ é obtida pela f.d.p. conjunta). Então a f.d.p. condicional de $x$ (dado $y$), $f_{x|y}$ é:
\n",
633 | "$f_{x|y} = \\dfrac{f(x,y)}{h(y)}$
\n",
634 | "Igualmente, definimos $f_{y|x}$:
\n",
635 | "$f_{y|x} = \\dfrac{f(x,y)}{g(x)}$"
636 | ]
637 | },
638 | {
639 | "cell_type": "markdown",
640 | "metadata": {},
641 | "source": [
642 | "Se $f_{x|y} = g(x)$ e $f_{y|x} = h(y)$, ou seja, as probabilidades condicionais são iguais às não-condicionais, dizemos que $X$ e $Y$ são independentes tal que $f(x,y)=g(x)h(y)$."
643 | ]
644 | },
645 | {
646 | "cell_type": "markdown",
647 | "metadata": {},
648 | "source": [
649 | "Então, no caso contínuo se $X$ e $Y$ são independentes $f(x,y) = g(x)h(y)$."
650 | ]
651 | },
652 | {
653 | "cell_type": "markdown",
654 | "metadata": {},
655 | "source": [
656 | "Vamos definir agora uma f.d.p conjunta para três variáveis $f: \\mathbb{R}^3 \\rightarrow \\mathbb{R}$, com as propriedades a seguir:
\n",
657 | "1. $f(x,y,z) \\geq 0 $\n",
658 | "2. $\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y,z)dxdydz = 1$"
659 | ]
660 | },
661 | {
662 | "cell_type": "markdown",
663 | "metadata": {},
664 | "source": [
665 | "Podemos então definir a probabilidade em intervalo :
\n",
666 | "$P(a\n",
674 | "$g(x) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y,z)dydz = \\int_{z}\\int_{y}f(x,y,z)dydz$
\n",
675 | "$h(y) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y,z)dxdz = \\int_{z}\\int_{x}f(x,y,z)dxdz$
\n",
676 | "$k(z) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y,z)dxdy = \\int_{y}\\int_{x}f(x,y,z)dxdy$
\n"
677 | ]
678 | },
679 | {
680 | "cell_type": "markdown",
681 | "metadata": {},
682 | "source": [
683 | "# Questões Anpec"
684 | ]
685 | },
686 | {
687 | "cell_type": "markdown",
688 | "metadata": {},
689 | "source": [
690 | "Q14-2017"
691 | ]
692 | },
693 | {
694 | "cell_type": "markdown",
695 | "metadata": {},
696 | "source": [
697 | "Suponha que as vendas $(Q)$ do produto $X$ são aleatoriamente distribuídas na economia e possuem uma distribuição binomial com parâmetro $p$ (preço), sendo $n$ o número de vendas observado, então:
\n",
698 | "(0) - A esperança matemática de $Q$ é $E(Q) = n(1-p)$;
\n",
699 | "(1) - A média das vendas é dada por $E(Q) = np$;
\n",
700 | "(2) - A variância das vendas por $Q$ ou $V(Q) = np(1-p)$;
\n",
701 | "(3) - O preço que maximiza a variância é $p = \\frac{1}{2}$;
\n",
702 | "(4) - O preço está no intervalo $0$ e $1$.
"
703 | ]
704 | },
705 | {
706 | "cell_type": "markdown",
707 | "metadata": {},
708 | "source": [
709 | "(0) (F)Se $(Q)$ segue uma distribuição binomial então: $E(Q) = np$.
\n",
710 | "(1) (V)
\n",
711 | "(2) (V) $V(Q) = np(1-p)$
\n",
712 | "(3) $\\max_{p} Var(Q) = np(1-p) = np-np^2$; $\\dfrac{dVar(Q)}{dp} = n-2np = 0 \\Rightarrow p = \\frac{1}{2}$; CSO: $\\dfrac{dVar(Q)}{d^2p} = -2n < 0 $
\n",
713 | "(4) (V) Parâmetro da v.a. que denota a probabilidade de ocorrência de uma venda tal que $p \\in [0,1]$.
"
714 | ]
715 | },
716 | {
717 | "cell_type": "markdown",
718 | "metadata": {},
719 | "source": [
720 | "(Q7-2011) Considere a seguinte função de densidade conjunta de duas variávis aleatórias contínuas X e Y dada por: "
721 | ]
722 | },
723 | {
724 | "cell_type": "markdown",
725 | "metadata": {},
726 | "source": [
727 | "$f_{xy}(x,y) = \n",
728 | "\\begin{cases}\n",
729 | "kx^2y, \\; 0 \\leq x \\leq 1, 0 \\leq y \\leq 1 \\\\\n",
730 | "0, \\;\\textrm{ caso contrário} \\\\\n",
731 | "\\end{cases}\n",
732 | "$"
733 | ]
734 | },
735 | {
736 | "cell_type": "markdown",
737 | "metadata": {},
738 | "source": [
739 | "\n",
740 | "0 - Para que $f_{xy}(x,y)$ satisfaça as propriedades de uma função densidade conjunta, $k=6$. (V)
\n",
741 | "1 - A densidade marginal de $Y$ é dada por $f_{y}(y) = 3y^2$. (F)
\n",
742 | "2 - A densidade de Y, condicional em $X=2$, é igual a $f_{y|x}(y|x=2) = 2y$. (V)
\n",
743 | "3 - X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas.(V)
\n",
744 | "4 - A variância de $Y$, condicional em $X=2$,é igual a $\\dfrac{1}{9}$.(F)
"
745 | ]
746 | },
747 | {
748 | "cell_type": "markdown",
749 | "metadata": {},
750 | "source": [
751 | "(0) (V)- Lembrete: $\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y)dxdy = 1$."
752 | ]
753 | },
754 | {
755 | "cell_type": "markdown",
756 | "metadata": {},
757 | "source": [
758 | "$\\int_{0}^{1}\\int_{0}^{1} kx^2y dxdy = 1 \\Rightarrow k\\int_{0}^{1}\\left[y\\dfrac{x^3}{3}\\right]_{0}^{1}dy = 1 \\Rightarrow \\dfrac{k}{3}\\int_{0}^{1}ydy = 1 \\Rightarrow \\dfrac{k}{3}\\dfrac{y^2}{2}|_{0}^{1} = 1 \\Rightarrow k = 6$"
759 | ]
760 | },
761 | {
762 | "cell_type": "markdown",
763 | "metadata": {},
764 | "source": [
765 | "(1) (F) - Lembrete: $f(y) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x,y)dx$."
766 | ]
767 | },
768 | {
769 | "cell_type": "markdown",
770 | "metadata": {},
771 | "source": [
772 | "$f_y(y) = \\int_{0}^{1}6x^2y dx = 6y \\int_{0}^{1} x^2 dx = 6y \\dfrac{x^3}{3}|_0^1 = 2y$"
773 | ]
774 | },
775 | {
776 | "cell_type": "markdown",
777 | "metadata": {},
778 | "source": [
779 | "(2) (A) $f_{y|x} = \\dfrac{f(x,y)}{f_x(x)}$"
780 | ]
781 | },
782 | {
783 | "cell_type": "markdown",
784 | "metadata": {},
785 | "source": [
786 | "$f_x(x) = \\int_{0}^{1} 6x^2 y dy = 6x^2 \\int_{0}^{1}ydy = 6x^2 \\dfrac{y^2}{2}|_0^1 = 3x^2$"
787 | ]
788 | },
789 | {
790 | "cell_type": "markdown",
791 | "metadata": {},
792 | "source": [
793 | "$f_{y|x} = \\dfrac{6x^2y}{3x} = 2y , 0 \\le y \\le 1$ e $f_{y|x} = 0$ caso contrário."
794 | ]
795 | },
796 | {
797 | "cell_type": "markdown",
798 | "metadata": {},
799 | "source": [
800 | "Logo: $f_{y|x} = f(y)$."
801 | ]
802 | },
803 | {
804 | "cell_type": "markdown",
805 | "metadata": {},
806 | "source": [
807 | "(3) (V)"
808 | ]
809 | },
810 | {
811 | "cell_type": "markdown",
812 | "metadata": {},
813 | "source": [
814 | "$X$ e $Y$ são independentes, logo não correlacionadas. Note ainda que : $f(x,y) = f_x(x)f_y(y)$."
815 | ]
816 | },
817 | {
818 | "cell_type": "markdown",
819 | "metadata": {},
820 | "source": [
821 | "(4) (F)"
822 | ]
823 | },
824 | {
825 | "cell_type": "markdown",
826 | "metadata": {},
827 | "source": [
828 | "$Var(Y|X) = E(Y^2|X) - \\left[E(Y|X)\\right]^2$"
829 | ]
830 | },
831 | {
832 | "cell_type": "markdown",
833 | "metadata": {},
834 | "source": [
835 | "$E(Y | X) = \\int_{0}^{1} y f(y|x) dy = \\int_{0}^{1} 2y^2 dy = \\dfrac{2}{3}y^3|_0^1 = \\frac{2}{3}$"
836 | ]
837 | },
838 | {
839 | "cell_type": "markdown",
840 | "metadata": {},
841 | "source": [
842 | "$E(Y^2|X) = \\int_{0}^{1}y^2 f(y|x)dy = \\int_{0}^{1} 2y^3 dy = \\frac{1}{2}y^4|_0^1 = \\frac{1}{2}$"
843 | ]
844 | },
845 | {
846 | "cell_type": "markdown",
847 | "metadata": {},
848 | "source": [
849 | "$Var(Y|X) = \\dfrac{1}{2}-\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^2 = \\dfrac{9-8}{18} = \\dfrac{1}{18}$"
850 | ]
851 | },
852 | {
853 | "cell_type": "markdown",
854 | "metadata": {},
855 | "source": [
856 | "(Q14-2003) Considere o vetor aleatório $X = (X_1,X_2,X_3)$ com distribuição de probabilidade:"
857 | ]
858 | },
859 | {
860 | "cell_type": "markdown",
861 | "metadata": {},
862 | "source": [
863 | "$f_{X}(X_1,X_2,X_3) = \n",
864 | "\\begin{cases}\n",
865 | "6x_1x_2^{2}x_3, \\; 0 \\leq x_1 \\leq 1, 0 \\leq x_2 \\leq 1, 0 \\leq x_3 \\leq \\sqrt{2} \\\\\n",
866 | "0, \\;\\textrm{ caso contrário} \\\\\n",
867 | "\\end{cases}\n",
868 | "$"
869 | ]
870 | },
871 | {
872 | "cell_type": "markdown",
873 | "metadata": {},
874 | "source": [
875 | "Encontre a probabilidade de $0 \\leq x_1 \\leq 0,5$. (Multiplique o resultado por 100)."
876 | ]
877 | },
878 | {
879 | "cell_type": "markdown",
880 | "metadata": {},
881 | "source": [
882 | "$ P(0 \\le x_1 \\le \\frac{1}{2}) = \\int_{0}^{\\frac{1}{2}}\\int_{0}^{1}\\int_{0}^{\\sqrt{2}}6x_1x_2^2x_3dx_3dx_2dx_1$"
883 | ]
884 | },
885 | {
886 | "cell_type": "markdown",
887 | "metadata": {},
888 | "source": [
889 | "$ = \\int_{0}^{\\frac{1}{2}}\\int_{0}^{1} \\left[6x_1x_2^2\\frac{x_3^2}{2}|_{0}^{\\sqrt{2}}\\right]dx_2dx_1$"
890 | ]
891 | },
892 | {
893 | "cell_type": "markdown",
894 | "metadata": {},
895 | "source": [
896 | "$ = \\int_{0}^{\\frac{1}{2}}\\int_{0}^{1} \\left[6x_1x_2^2\\frac{(\\sqrt{2})^2-0}{2}\\right]dx_2dx_1$"
897 | ]
898 | },
899 | {
900 | "cell_type": "markdown",
901 | "metadata": {},
902 | "source": [
903 | "$ = \\int_{0}^{\\frac{1}{2}}\\int_{0}^{1} 6x_1x_2^2dx_2dx_1$"
904 | ]
905 | },
906 | {
907 | "cell_type": "markdown",
908 | "metadata": {},
909 | "source": [
910 | "$ = \\int_{0}^{\\frac{1}{2}}\\left[6x_1\\frac{x_2^3}{3}|_0^1\\right]dx_1$"
911 | ]
912 | },
913 | {
914 | "cell_type": "markdown",
915 | "metadata": {},
916 | "source": [
917 | "$ = \\int_{0}^{\\frac{1}{2}} 2x_1dx_1$"
918 | ]
919 | },
920 | {
921 | "cell_type": "markdown",
922 | "metadata": {},
923 | "source": [
924 | "$ = 2\\int_{0}^{\\frac{1}{2}}x_1dx_1$"
925 | ]
926 | },
927 | {
928 | "cell_type": "markdown",
929 | "metadata": {},
930 | "source": [
931 | "$ =2 \\dfrac{x_1^2}{2}|_{0}^{\\frac{1}{2}} = \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2-0^2 = \\dfrac{1}{4} \\times 100 = 25$"
932 | ]
933 | },
934 | {
935 | "cell_type": "markdown",
936 | "metadata": {},
937 | "source": [
938 | "(Q15 - 2005) Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional $(X,Y)$ seja dada por:"
939 | ]
940 | },
941 | {
942 | "cell_type": "markdown",
943 | "metadata": {},
944 | "source": [
945 | "$f_{(x,y)} = \n",
946 | "\\begin{cases}\n",
947 | "x^2+\\dfrac{xy}{3}, \\; 0 \\leq x \\leq 1, 0 \\leq y \\leq 2 \\\\\n",
948 | "0, \\;\\textrm{ caso contrário} \\\\\n",
949 | "\\end{cases}\n",
950 | "$"
951 | ]
952 | },
953 | {
954 | "cell_type": "markdown",
955 | "metadata": {},
956 | "source": [
957 | "Calcule a $P(YMultiplique o resultado por 48."
958 | ]
959 | },
960 | {
961 | "cell_type": "markdown",
962 | "metadata": {},
963 | "source": [
964 | "$P(Y\n",
965 | "$P(Y\n",
966 | "$P(Y\n",
967 | "$P(Y\n",
976 | "0 - A função densidade de probabilidade marginal de $X$ é: $f(x)= \\dfrac{\\partial f(x,y)}{\\partial y}$.
\n",
977 | "1 - Se $F(y)$ é a função distribuição de probabilidade marginal de $Y$, então $f(y) = dF(Y)/dy$, para $F(Y)$ derivável em todo o $y$.
\n",
978 | "2 - $X$ e $Y$ serão independentes se $f(x) = f(x|y)$.
\n",
979 | "3 - $\\mathrm{E_X\\left[E(Y|x)\\right]} = \\mathrm{E[Y]}$.
"
980 | ]
981 | },
982 | {
983 | "cell_type": "markdown",
984 | "metadata": {},
985 | "source": [
986 | "0 - (F)"
987 | ]
988 | },
989 | {
990 | "cell_type": "markdown",
991 | "metadata": {},
992 | "source": [
993 | "$f(x) = {\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}}f(x,y)dy$"
994 | ]
995 | },
996 | {
997 | "cell_type": "markdown",
998 | "metadata": {},
999 | "source": [
1000 | "1 - (V)"
1001 | ]
1002 | },
1003 | {
1004 | "cell_type": "markdown",
1005 | "metadata": {},
1006 | "source": [
1007 | "$f(y) = \\dfrac{dF(y)}{dy}$, sendo F diferenciável em todo o seu domínio."
1008 | ]
1009 | },
1010 | {
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1013 | "source": [
1014 | "2 - (V)"
1015 | ]
1016 | },
1017 | {
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1019 | "metadata": {},
1020 | "source": [
1021 | "Sabemos que: $f_{x|y} = \\dfrac{f(x,y)}{f(y)}$, mas se X e Y são independentes então: $f(x,y) = f(x)f(y)$ e $f_{x|y} = f(x)$."
1022 | ]
1023 | },
1024 | {
1025 | "cell_type": "markdown",
1026 | "metadata": {},
1027 | "source": [
1028 | "3 - (V)"
1029 | ]
1030 | },
1031 | {
1032 | "cell_type": "markdown",
1033 | "metadata": {},
1034 | "source": [
1035 | "$E_x\\left[\\mathrm{E(Y|X)}\\right] = \\mathrm{E(Y)}$"
1036 | ]
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1039 | "cell_type": "markdown",
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1041 | "source": [
1042 | "Exercícios de fixação"
1043 | ]
1044 | },
1045 | {
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1047 | "metadata": {},
1048 | "source": [
1049 | "1. Seja a f.d.p. $f(x,y)$ definida a seguir, obtenha:
\n",
1050 | "a) Determinar o valor de A para que $f(x,y)$ seja uma f.d.p.
\n",
1051 | "b) $P(0,2 < x<0,4 \\textrm{ e } 0,6\n",
1052 | "c) Determinar as f.d.p. marginais de x e y
\n",
1053 | "d) Determinar a probabilidade de x estar entre 0,3 e 0,7
\n",
1054 | "e) Determinar as f.d.p. condicionais de x e y
\n",
1055 | "f) Determinar $\\mathrm{E(X)}$
\n",
1056 | "g) Determinar $\\mathrm{Var(X)}$
\n",
1057 | "h) Determinar $\\mathrm{Cov(X,Y)}$
"
1058 | ]
1059 | },
1060 | {
1061 | "cell_type": "markdown",
1062 | "metadata": {},
1063 | "source": [
1064 | "$f(x,y) = \n",
1065 | "\\begin{cases}\n",
1066 | "Axy, \\;0\n",
1084 | "$\\int_{0}^{1}\\int_{0}^{1}A xy dxdy = 1 \\Rightarrow \\int_{0}^{1} A y \\int_{0}^{1} x dxdy =1 \\Rightarrow \\int_{0}^{1} A y \\left[ \\dfrac{x^2}{2} \\right]_0^1 dy = 1 $
\n",
1085 | "$\\int_{0}^{1} A y 1/2 dy = 1 \\Rightarrow A/2 \\int_{0}^{1}ydy =1 \\Rightarrow \\dfrac{A}{2}\\left[\\dfrac{y^2}{2} \\right]_0^1 = 1$
\n",
1086 | "$\\dfrac{A}{4} = 1 \\Rightarrow A = 4 $\n"
1087 | ]
1088 | },
1089 | {
1090 | "cell_type": "markdown",
1091 | "metadata": {},
1092 | "source": [
1093 | "b)"
1094 | ]
1095 | },
1096 | {
1097 | "cell_type": "markdown",
1098 | "metadata": {},
1099 | "source": [
1100 | "$P(0,2 < x <0,4 \\textrm{ e } 0,6\n",
1115 | "$h(y) = \\int_{0}^{1} 4xy dx = 2y$"
1116 | ]
1117 | },
1118 | {
1119 | "cell_type": "markdown",
1120 | "metadata": {},
1121 | "source": [
1122 | "d)"
1123 | ]
1124 | },
1125 | {
1126 | "cell_type": "markdown",
1127 | "metadata": {},
1128 | "source": [
1129 | "$P(0,3\n",
1144 | "$f_{y|x} = \\dfrac{4xy}{2x} = 2y$"
1145 | ]
1146 | },
1147 | {
1148 | "cell_type": "markdown",
1149 | "metadata": {},
1150 | "source": [
1151 | "Note que: $f_{x|y} = g(x)$ e $f_{y|x} = h(y)$ e x e y são independentes, tal que $f(x,y) = g(x)h(y) = (2x)(2y) = 4xy$."
1152 | ]
1153 | },
1154 | {
1155 | "cell_type": "markdown",
1156 | "metadata": {},
1157 | "source": [
1158 | "f)"
1159 | ]
1160 | },
1161 | {
1162 | "cell_type": "markdown",
1163 | "metadata": {},
1164 | "source": [
1165 | "$\\mathrm{E(X)} = \\int_{0}^{1}\\int_{0}^{1} x 4xy dxdy = \\dfrac{2}{3}$"
1166 | ]
1167 | },
1168 | {
1169 | "cell_type": "markdown",
1170 | "metadata": {},
1171 | "source": [
1172 | "g)"
1173 | ]
1174 | },
1175 | {
1176 | "cell_type": "markdown",
1177 | "metadata": {},
1178 | "source": [
1179 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\int_{0}^{1}\\int_{0}^{1}x^2 4xydxdy-\\left[\\int_{0}^{1}\\int_{0}^{1}x4xydxdy\\right]^2 = \\dfrac{1}{18} $"
1180 | ]
1181 | },
1182 | {
1183 | "cell_type": "markdown",
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1185 | "source": [
1186 | "h)"
1187 | ]
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1189 | {
1190 | "cell_type": "markdown",
1191 | "metadata": {},
1192 | "source": [
1193 | "$\\mathrm{Cov(X,Y)} = \\int_{0}^{1}\\int_{0}^{1}xy4xydxdy -\\dfrac{2}{3}\\dfrac{2}{3} = 0$"
1194 | ]
1195 | },
1196 | {
1197 | "cell_type": "markdown",
1198 | "metadata": {},
1199 | "source": [
1200 | "2. Seja a f.d.p. $f(x,y)$ definida a seguir, obtenha:
\n",
1201 | "a) Determinar o valor de B para que $f(x,y)$ seja uma f.d.p.
\n",
1202 | "b) Determinar as f.d.p. marginais de $x$ e $y$
\n",
1203 | "c) Determinar as f.d.p. condicionais de $x$ e $y$
\n",
1204 | "d) Verificar se $x$ e $y$ são v.a. independentes \n",
1205 | "e) $P(X<0,5|y=0,5)$
\n",
1206 | "f) $\\mathrm{E(X|y=0,5)}$
"
1207 | ]
1208 | },
1209 | {
1210 | "cell_type": "markdown",
1211 | "metadata": {},
1212 | "source": [
1213 | "$f(x,y) = \n",
1214 | "\\begin{cases}\n",
1215 | "B(x^2+y^2), \\;0\n",
1233 | "$B\\int_{0}^{1}\\int_{0}^{1}\\left(x^2+y^2\\right) dx dy = 1$
\n",
1234 | "$B\\int_{0}^{1}\\left[\\dfrac{x^3}{3}+xy^2 \\right]_{0}^{1} dy = 1$
\n",
1235 | "$B\\int_{0}^{1}\\left(\\dfrac{1}{3}+y^2 \\right) dy = 1$
\n",
1236 | "$B\\left[ \\dfrac{y}{3}+\\dfrac{y^3}{3} \\right]_{0}^{1} dy = 1$
\n",
1237 | "$B\\left[\\dfrac{2}{3} \\right] =1$
\n",
1238 | "$B = \\dfrac{3}{2}$\n"
1239 | ]
1240 | },
1241 | {
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1245 | "b)"
1246 | ]
1247 | },
1248 | {
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1250 | "metadata": {},
1251 | "source": [
1252 | "$g(x) = \\int_{0}^{1}\\dfrac{3}{2} \\left(x^2+y^2 \\right)dy = \\dfrac{3}{2}\\left(x^2+\\dfrac{1}{3} \\right) $
\n",
1253 | "$h(y) = \\int_{0}^{1}\\dfrac{3}{2} \\left(x^2+y^2 \\right)dx = \\dfrac{3}{2}\\left(\\dfrac{1}{3}+y^2 \\right)$"
1254 | ]
1255 | },
1256 | {
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1260 | "c)"
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1266 | "source": [
1267 | "$f_{x|y} = \\dfrac{\\dfrac{3}{2}\\left(x^2+y^2\\right)}{\\dfrac{3}{2}\\left(\\dfrac{1}{3}+y^2 \\right)} = \\dfrac{x^2+y^2}{\\dfrac{1}{3}+y^2}$
\n",
1268 | "$f_{y|x} = \\dfrac{\\dfrac{3}{2}\\left(x^2+y^2\\right)}{\\dfrac{3}{2}\\left(\\dfrac{1}{3}+x^2 \\right)} = \\dfrac{x^2+y^2}{\\dfrac{1}{3}+x^2}$"
1269 | ]
1270 | },
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1275 | "d)"
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1278 | {
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1280 | "metadata": {},
1281 | "source": [
1282 | "$X$ e $Y$ são dependentes, já que $f_{x|y} \\neq g(x)$ e $f_{y|x} \\neq h(y)$."
1283 | ]
1284 | },
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1289 | "e)"
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1295 | "source": [
1296 | "$f_{x|y = 0.5} \\Rightarrow f_{x|y} = \\dfrac{x^2+\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2}{\\dfrac{1}{3}+\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2} = \\dfrac{12}{7}\\left(x^2+\\dfrac{1}{4}\\right)$"
1297 | ]
1298 | },
1299 | {
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1303 | "$P(X<0,5|y=0,5) = \\dfrac{12}{7}\\int_{0}^{0,5}\\left(x^2+\\dfrac{1}{4} \\right)dx \\cong 0,2857$"
1304 | ]
1305 | },
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1310 | "f)"
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1316 | "source": [
1317 | "$\\mathrm{E(X|y=y_0)} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_{x|y}dx$"
1318 | ]
1319 | },
1320 | {
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1324 | "$E(X|y=0,5) = \\dfrac{12}{7}\\int_0^1 x \\left(x^2+\\dfrac{1}{4} \\right)dx = \\dfrac{9}{14}$"
1325 | ]
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1330 | "display_name": "Python 3",
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/7. Continuação Inferência e Teoremas.ipynb:
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1 | {
2 | "cells": [
3 | {
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6 | "source": [
7 | "# Continuação Inferência estatística e principais Teoremas de probabilidade"
8 | ]
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13 | "source": [
14 | "## 1. Estimadores de máxima verossimilhança"
15 | ]
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19 | "metadata": {},
20 | "source": [
21 | "Esta seção baseia-se integralmente no Bussab."
22 | ]
23 | },
24 | {
25 | "cell_type": "markdown",
26 | "metadata": {},
27 | "source": [
28 | "O que seria uma amostra verossímil?\n",
29 | "* Seria uma amostra que fornecesse a melhor informação possível sobre um parâmetro de interesse da população, desconhecido, e que desejamos estimar.\n",
30 | "* O princípio da verossimilhança afirma que devemos escolher aquele valor do parâmetro desconhecido que maximiza a probabilidade de obter a amostra particular observada, ou seja, o valor que torna aquela amostra a “mais provável”.\n",
31 | "* Obtemos então estimadores de máxima verossimilhança que, em geral, têm propriedades muito boas."
32 | ]
33 | },
34 | {
35 | "cell_type": "markdown",
36 | "metadata": {},
37 | "source": [
38 | "Definição (Bussab): "
39 | ]
40 | },
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43 | "metadata": {},
44 | "source": [
45 | "A função de verossimilhança é definida por:"
46 | ]
47 | },
48 | {
49 | "cell_type": "markdown",
50 | "metadata": {},
51 | "source": [
52 | "$L\\left(\\theta;x_1, \\dots, x_n\\right) = f(x_1; \\theta) \\dots f(x_n;\\theta)$"
53 | ]
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56 | "cell_type": "markdown",
57 | "metadata": {},
58 | "source": [
59 | "que deve ser encarada como uma função de $\\theta$. O estimador de máxima verossimilhança de $\\theta$ é o valor $\\hat{\\theta}_{MV}$ que maximiza a função $L(\\theta; x_i)$."
60 | ]
61 | },
62 | {
63 | "cell_type": "markdown",
64 | "metadata": {},
65 | "source": [
66 | "Outra notação:"
67 | ]
68 | },
69 | {
70 | "cell_type": "markdown",
71 | "metadata": {},
72 | "source": [
73 | "Seja $\\mathbf{x} = \\left(x_1, \\dots , x_n\\right)'$ é o vetor contendo a amostra, podemos então denotar: $L(\\theta|\\mathbf{x})$ e a log-verossimilhança por $l(\\theta|\\mathbf{x})$.\n",
74 | "O parâmetro $\\theta$ pode ser um vetor: com uma média $\\mu$ e variância $\\sigma^2$ de uma distribuição normal temos então $\\theta = (\\mu,\\sigma^2)$."
75 | ]
76 | },
77 | {
78 | "cell_type": "markdown",
79 | "metadata": {},
80 | "source": [
81 | "Exemplo: Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição normal (i.i.d.) com média e variância desconhecidas. Para a amostra $\\{x_1, x_2, \\dots, x_n\\}$ determinemos os estimadores de máxima verossimilhança para a média e a variância."
82 | ]
83 | },
84 | {
85 | "cell_type": "markdown",
86 | "metadata": {},
87 | "source": [
88 | "A função de máxima verossimilhança terá a forma funcional de uma distribuição normal multivariada:"
89 | ]
90 | },
91 | {
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93 | "metadata": {},
94 | "source": [
95 | "$L(\\mu,\\sigma^2;x_i) = \\dfrac{1}{(2\\pi\\sigma^2)^{\\frac{n}{2}}}\\exp\\left[-\\dfrac{1}{2\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{n}(x_i-\\mu)^2\\right] $"
96 | ]
97 | },
98 | {
99 | "cell_type": "markdown",
100 | "metadata": {},
101 | "source": [
102 | "$l(\\mu,\\sigma^2;x_i) \\equiv \\ln\\left[L(\\mu,\\sigma^2;x_i)\\right]$
\n",
103 | "$ = \\ln\\left\\{\\dfrac{1}{(2\\pi\\sigma^2)^{\\frac{n}{2}}}\\exp\\left[-\\dfrac{1}{2\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{n}(x_i-\\mu)^2\\right] \\right\\}$
\n",
104 | "$ = \\ln\\left[\\dfrac{1}{(2\\pi\\sigma^2)^{\\frac{n}{2}}}\\right]-\\dfrac{1}{2\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\mu\\right)^2$
\n",
105 | "$ = -\\ln\\left(2\\pi\\sigma^2\\right)^{\\frac{n}{2}}-\\dfrac{1}{2\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\mu\\right)^2$
\n",
106 | "$ = -\\frac{n}{2}\\ln\\left(2\\pi\\sigma^2\\right)-\\dfrac{1}{2\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\mu\\right)^2$
"
107 | ]
108 | },
109 | {
110 | "cell_type": "markdown",
111 | "metadata": {},
112 | "source": [
113 | "$\\therefore l(\\mu,\\sigma^2;x_i) = -\\frac{n}{2}\\ln\\left(2\\pi\\sigma^2\\right)-\\dfrac{1}{2\\sigma^2}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\mu\\right)^2$
\n",
114 | "Vamos aplicar a condição de primeira ordem:
$\\dfrac{\\partial l (\\mu,\\sigma^2;x_i)}{\\partial \\mu} = 0$
$\\dfrac{\\partial l (\\mu,\\sigma^2;x_i)}{\\partial \\sigma^2} = 0$"
115 | ]
116 | },
117 | {
118 | "cell_type": "markdown",
119 | "metadata": {},
120 | "source": [
121 | "$\\dfrac{\\partial l}{\\partial \\mu} = -\\dfrac{1}{2\\sigma^2} \\times 2 \\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\hat{\\mu}\\right) = 0$
\n",
122 | "$\\sum_{i=1}^{n}(x_i-\\hat{\\mu}) = 0 $
\n",
123 | "$\\sum_{i=1}^{n}x_i-\\sum_{i=1}^{n}\\hat{\\mu} = 0$
\n",
124 | "$\\sum_{i=1}^{n}x_i-n\\hat{\\mu} = 0$
\n",
125 | "$\\therefore \\hat{\\mu} = \\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$"
126 | ]
127 | },
128 | {
129 | "cell_type": "markdown",
130 | "metadata": {},
131 | "source": [
132 | "$\\dfrac{\\partial l }{\\partial \\sigma^2} = -\\dfrac{n}{2}\\dfrac{1}{\\hat{\\sigma}^2}+\\dfrac{1}{4\\hat{\\sigma}^2}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\overline{x}\\right)^2 = 0$
\n",
133 | "$-n\\hat{\\sigma}^2+\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\overline{x}\\right)^2 = 0$
\n",
134 | "$\\hat{\\sigma}^2 = \\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\overline{x}\\right)^2}{n}$"
135 | ]
136 | },
137 | {
138 | "cell_type": "markdown",
139 | "metadata": {},
140 | "source": [
141 | "O estimador de máxima verossimilhança da média de uma distribuição normal é a própria média amostral $\\overline{X}$.O estimador de máxima verossimilhança da variância de uma distribuição normal é a própria variância amostral $S^2$, sendo um estimador viesado."
142 | ]
143 | },
144 | {
145 | "cell_type": "markdown",
146 | "metadata": {},
147 | "source": [
148 | "Propriedades úteis dos estimadores de máxima verossimilhança:\n",
149 | "* podem ser viesados, embora não sejam assintoticamente viesados;\n",
150 | "* são consistentes;\n",
151 | "* têm distribuição assintótica normal;\n",
152 | "* são assintoticamente eficientes."
153 | ]
154 | },
155 | {
156 | "cell_type": "markdown",
157 | "metadata": {},
158 | "source": [
159 | "## 2. Principais teoremas de probabilidade"
160 | ]
161 | },
162 | {
163 | "cell_type": "markdown",
164 | "metadata": {},
165 | "source": [
166 | "* Lei dos Grandes Números: quando o tamanho da amostra (ou tende a infinito) cresce a média amostral converge para a média populacional. Isso implica que na medida que a amostra cresce, a média amostral estará mais próxima do valor populacional."
167 | ]
168 | },
169 | {
170 | "cell_type": "markdown",
171 | "metadata": {},
172 | "source": [
173 | "* Teorema do Limite Central: Seja $X$ uma variável i.i.d. com médias $\\mu$ e variância $\\sigma^2$, a média amostral $\\overline{X}$ segue (desde que a amostra seja suficientemente grande) uma distribuição normal, com médias $\\mu$ e variância $\\dfrac{\\sigma^2}{n}$, qualquer que seja a distribuição de $X$."
174 | ]
175 | },
176 | {
177 | "cell_type": "markdown",
178 | "metadata": {},
179 | "source": [
180 | "* Se $\\overline{X}$ for padronizada ($\\frac{\\overline{X}-\\mu}{\\sigma}$) obtemos:
\n",
181 | "$\\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\sqrt{\\frac{\\sigma^2}{n}}} = \\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} = \\sqrt{n}\\dfrac{\\left(\\overline{X}-\\mu\\right)}{\\sigma}$"
182 | ]
183 | },
184 | {
185 | "cell_type": "markdown",
186 | "metadata": {},
187 | "source": [
188 | "$\\sqrt{n}\\dfrac{\\left(\\overline{X}-\\mu\\right)}{\\sigma} \\rightarrow^{^D} N(0,1)$"
189 | ]
190 | },
191 | {
192 | "cell_type": "markdown",
193 | "metadata": {},
194 | "source": [
195 | "$\\sqrt{n}\\dfrac{\\left(\\overline{X}-\\mu\\right)}{\\sigma}$ converge em distribuição (D) para uma normal padrão."
196 | ]
197 | },
198 | {
199 | "cell_type": "markdown",
200 | "metadata": {},
201 | "source": [
202 | "* Teorema de Chebyshev: com uma f.d.p. de uma variável podemos conhecer sua média e variância. Mas o inverso não é verdade. $x$ é uma variável aleatória $x$ com média $\\mu$ e desvio padrão $\\sigma$. Então, a probabiidade de essa variável estar acima ou abaixo da média, no máximo, $k$ desvios padrão ($k$ é uma constante positiva) é, no mínimo, igual $1-\\frac{1}{k^2}$. Isto é:
\n",
203 | "$P(|x-\\mu| < k\\sigma) \\geq 1-\\frac{1}{k^2} $\n"
204 | ]
205 | },
206 | {
207 | "cell_type": "markdown",
208 | "metadata": {},
209 | "source": [
210 | "A probabilidade de ultrapassar esse valor é, no máximo, $\\frac{1}{k^2}$:"
211 | ]
212 | },
213 | {
214 | "cell_type": "markdown",
215 | "metadata": {},
216 | "source": [
217 | "$P(|x-\\mu|\\geq k\\sigma) \\geq \\dfrac{1}{k^2}$"
218 | ]
219 | },
220 | {
221 | "cell_type": "markdown",
222 | "metadata": {},
223 | "source": [
224 | "## Questões Anpec"
225 | ]
226 | },
227 | {
228 | "cell_type": "markdown",
229 | "metadata": {},
230 | "source": [
231 | "Q5-2006"
232 | ]
233 | },
234 | {
235 | "cell_type": "markdown",
236 | "metadata": {},
237 | "source": [
238 | "São corretas as afirmativas:"
239 | ]
240 | },
241 | {
242 | "cell_type": "markdown",
243 | "metadata": {},
244 | "source": [
245 | "1 - Um estimador não tendencioso pode não ser consistente.
\n",
246 | "2 - Um estimador consistente pode não ser eficiente."
247 | ]
248 | },
249 | {
250 | "cell_type": "markdown",
251 | "metadata": {},
252 | "source": [
253 | "1 - (V) Para ser consistente o estimador deve atender aos seguintes critérios: (i) $\\lim_{n \\to \\infty}\\mathrm{E(\\hat{\\theta})} = \\theta$ ; (ii)$\\lim_{n \\to \\infty}\\mathrm{Var(\\hat{\\theta})} = 0$. O estimador não viesado satisfaz a condição (i), mas pode nã satisfazer a segunda condição."
254 | ]
255 | },
256 | {
257 | "cell_type": "markdown",
258 | "metadata": {},
259 | "source": [
260 | "2 - (V) O estimador pode ser consistente mas não apresentar a menor variância."
261 | ]
262 | },
263 | {
264 | "cell_type": "markdown",
265 | "metadata": {},
266 | "source": [
267 | "Q2-2007"
268 | ]
269 | },
270 | {
271 | "cell_type": "markdown",
272 | "metadata": {},
273 | "source": [
274 | "Considere uma amostra aleatória de $n$ variáveis $x_1, x_2, \\dots, x_n$, normalmente distribuídas com média $\\mu$ e variância $\\sigma^2$. Sejam $\\overline{x} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}x_i$ e $s^2 = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_i-\\overline{x}\\right)^2$. É corretor afirmar que:"
275 | ]
276 | },
277 | {
278 | "cell_type": "markdown",
279 | "metadata": {},
280 | "source": [
281 | "1 - $\\overline{x}$ e $s^2$ são não viesados.
\n",
282 | "2 - $\\overline{x}$ e $s^2$ são consistentes
\n",
283 | "3 - Apenas $\\overline{x}$ é consistente.
\n",
284 | "4 - Apenas $\\overline{x}$ é não viesado.
"
285 | ]
286 | },
287 | {
288 | "cell_type": "markdown",
289 | "metadata": {},
290 | "source": [
291 | "1 - (F) O estimador $s^2$ é viesado.
\n",
292 | "2 - (V) O estimador $s^2$ é viesado, mas consistente, assim como $\\overline{X}$, pois : $\\lim_{n \\to \\infty}\\mathrm{E(\\overline{X})} = \\lim_{n \\to \\infty} \\mu = \\mu$ e $\\lim_{n \\to \\infty}\\mathrm{Var(\\overline{X})} = \\lim_{n \\to \\infty}\\dfrac{\\sigma^2}{n} = 0$.
\n",
293 | "3 - (F) $s^2$ também é consistente.
\n",
294 | "4 - (V) Vimos que $\\overline{x}$ é não viesado.
"
295 | ]
296 | },
297 | {
298 | "cell_type": "markdown",
299 | "metadata": {},
300 | "source": [
301 | "Q4-2010"
302 | ]
303 | },
304 | {
305 | "cell_type": "markdown",
306 | "metadata": {},
307 | "source": [
308 | "4 - Se um estimador convergir em média quadrática para o parâmetro, ele será consistente\n",
309 | "(convergirá em probabilidade para o parâmetro)."
310 | ]
311 | },
312 | {
313 | "cell_type": "markdown",
314 | "metadata": {},
315 | "source": [
316 | "4 - (V) $\\lim_{n \\to \\infty}\\mathrm{EQM(\\hat{\\theta})} = 0$"
317 | ]
318 | },
319 | {
320 | "cell_type": "markdown",
321 | "metadata": {},
322 | "source": [
323 | "Q5-2010"
324 | ]
325 | },
326 | {
327 | "cell_type": "markdown",
328 | "metadata": {},
329 | "source": [
330 | "0 - Considere dois estimadores não tendenciosos, $\\hat{\\theta}_1$ e $\\hat{\\theta}_2$, de um parâmetro $\\theta$. $\\hat{\\theta}_1$ é eficiente relativamente a $\\hat{\\theta}_2$ se $\\mathrm{Var(\\hat{\\theta}_1)} < \\mathrm{Var(\\hat{\\theta_2})}$.
\n",
331 | "1 - Um estimador $\\hat{\\theta}$ de um parâmetro $\\theta$ é consistente se $\\hat{\\theta}$ converge em probabilidade para $\\theta$.
\n",
332 | "2 - Um estimador $\\hat{\\theta}$ de um parâmetro $\\theta$ é consistente se, e somente se, $\\hat{\\theta}$ é não viesado e a variância de $\\hat{\\theta}$ converge para 0 à medida que o tamanho da amostra tende ao infinito.
"
333 | ]
334 | },
335 | {
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337 | "metadata": {},
338 | "source": [
339 | "0 - (V) Como não há viés basta comparar a variância.
\n",
340 | "1 - (V) Consistência: $\\hat{\\theta} \\rightarrow^{^P} \\theta$
\n",
341 | "2 - (F) Vimos as condições para $\\hat{\\theta}$ anteriormente. Além da segunda parte do item, temos que ter: $\\lim_{n \\to \\infty} E(\\hat{\\theta}) = \\theta$."
342 | ]
343 | },
344 | {
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348 | "Q4-2017"
349 | ]
350 | },
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354 | "source": [
355 | "Sejam $X_1, X_2, \\dots, X_n$, variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal $(\\mu,\\sigma^2)$, em que $\\mu$ e $\\sigma^2$ são desconhecidos e $\\sigma^2>0$. Podemos definir também \n",
356 | "$\\overline{X} = \\frac{1}{n} \\sum_{i=1}^{n}X_i$ e $S^2 = \\frac{1}{n-1}\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2$. Podemos afirmar que:"
357 | ]
358 | },
359 | {
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361 | "metadata": {},
362 | "source": [
363 | "0 - $S^2$ é um estimador não tendencioso de $\\sigma^2$.
\n",
364 | "1 - A variância de $\\overline{X}$ é igual a $\\dfrac{\\sigma^2}{n}$.
\n",
365 | "2 - $S^2$ é um estimador não tendencioso para a variância de $\\overline{X}$.
\n",
366 | "3 - $S^2$ é um estimador consistente de $\\sigma^2$.
\n",
367 | "4 - $\\overline{X}$ é um estimador consistente de $\\mu$.
"
368 | ]
369 | },
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372 | "metadata": {},
373 | "source": [
374 | "0 - (V)
\n",
375 | "1 - (V) De fato: $\\mathrm{Var(\\overline{X})} = \\frac{\\sigma^2}{n}$.
\n",
376 | "2 - (F) $S^2$ é um estimador não tendencioso da variância populacional.
\n",
377 | "3 - (V) Temos que: $\\lim_{n \\to \\infty}\\mathrm{E(S^2)} = \\sigma^2$ e $\\lim_{n \\to \\infty} \\mathrm{Var(S^2)} = 0$.
\n",
378 | "4 - (V)
"
379 | ]
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385 | "Referências:"
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391 | "source": [
392 | "SARTORIS, A. Estatística e introdução à econometria. São Paulo: Saraiva, 2013."
393 | ]
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398 | "source": [
399 | "MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2010."
400 | ]
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/8. Intervalo_Confiança.ipynb:
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21 | "Considere $X_i \\sim N(\\mu, \\sigma^2)$ e um $\\sigma^2$ conhecido. Assim teremos:"
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35 | "$Z = \\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\sigma} = \\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\sqrt{\\dfrac{\\sigma^2}{n}}}= \\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}} \\sim N(0,1)$"
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49 | "Uma v.a. tem distribuição normal com parâmetros $\\mu$ e $\\sigma^2$, ${-\\infty}<\\mu<{+\\infty}$ e $0<\\sigma^2<{\\infty}$ se sua densidade é dada por:"
50 | ]
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56 | "$$f(X;\\mu,\\sigma^2) = \\dfrac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\left(X-\\mu\\right)^2/2\\sigma^2}, {-\\infty}0, v>0 \\\\\n",
119 | "0, \\; x<0 \\\\\n",
120 | "\\end{cases}\n",
121 | "$"
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128 | "$\\mathrm{E(X)}= v$
\n",
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136 | "* O quadrado de uma v.a. com distribuição normal padrão é uma v.a. com distribuição $\\chi^2(1)$."
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143 | "* Se $X_1, \\dots, X_n$ são variáveis aleatórias independentes, com distribuições normais padronizadas, então, $\\sum_{i=1}^{n}X_i^{2}$ possui distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade."
144 | ]
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150 | "* Distribuição assimétrica.\n",
151 | "* Quando aumentamos os graus de liberdade a distribuição se torna menos assimétrica.\n",
152 | "* Seus valores podem ser positivos ou zero, mas nunca poderão ser negativos.\n",
153 | "* Quando o número de graus de liberdade da distribuiçã Qui-Quadrado aumenta, nos aproximamos para uma distribuição normal."
154 | ]
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162 | "import numpy as np\n",
163 | "import seaborn as sns"
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172 | "n = 10_000\n",
173 | "array1 = np.random.chisquare(10, size = n)\n",
174 | "array2 = np.random.chisquare(50, size = n)"
175 | ]
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201 | "#### Distribuição $t$ de Student"
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208 | "Sejam Z e Y variáveis independentes, tal que $X \\sim N\\left(0,1\\right)$ e $Y \\sim \\chi^2{(v)} $, então a variável aleatória dada pela expressão a seguir tem distribuição $t$ de Student com $k$ graus de liberdade."
209 | ]
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215 | "$t = \\dfrac{X}{\\sqrt{\\dfrac{Y}{v}}}$"
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222 | "$\\mathrm{E(X)} = 0$
\n",
223 | "$\\mathrm{Var(X)} = \\dfrac{v}{\\left(v-2\\right)}$, $v>2$"
224 | ]
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230 | "Intervalo de confiança para a média com variância conhecida"
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237 | "Vamos fixar uma probabilidade $1-\\alpha$ tal que: $P(\\overline{x}_{LI}<\\mu<\\overline{x}_{LS}) = 1-\\alpha$,com $ 0<\\alpha<1$."
238 | ]
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244 | "$P(|Z|
\n",
266 | "$-z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}<\\overline{X}-\\mu
\n",
267 | "$\\overline{X}-z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}<\\mu<\\overline{X}+z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$"
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274 | "$(1-\\alpha) = \\text{nível de confiança}$"
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281 | "$\\text{IC} \\left(\\mu; 1-\\alpha\\right)= \\left[\\overline{X}-z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}};\\overline{X}+z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right]$"
282 | ]
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288 | "Limites do intervalo de confiança:"
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295 | "* Limite Inferior: $\\overline{X}-z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$\n",
296 | "* Limite Superior:$\\overline{X}+z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$"
297 | ]
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303 | "Amplitude do intervalo de confiança:"
304 | ]
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310 | "$A = LS-LI = \\left(\\overline{X}-z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right)-\\left(\\overline{X}+z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right) = 2 \\left(z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right)$"
311 | ]
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317 | "Intepretação:"
318 | ]
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324 | "* Obtemos várias amostras de mesmo tamanho;\n",
325 | "* Para cada uma das amostras calculamos os IC correspondentes $1-\\alpha$;\n",
326 | "* A proporção de intervalos que deverão conter o valor da média populacional será igual a $1-\\alpha$."
327 | ]
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333 | "Exemplo: Suponha que tenhamos obtido um intervalo de 95% de confiança ($\\text{IC}(\\mu) = [\\overline{X}_{LI},\\overline{X}_{LS}]$). A interpretação correta seria: temos 95% de confiança de que o intervalo entre o limite inferior e o limite superior contém a média populacional $\\mu$."
334 | ]
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340 | "Note ainda que se aumentarmos o tamanho da amostra $n$ aumentaremos a precisão do intervalo, com efeito teremos uma redução do erro."
341 | ]
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347 | "Q6 - 2004"
348 | ]
349 | },
350 | {
351 | "cell_type": "markdown",
352 | "metadata": {},
353 | "source": [
354 | "Seja $X$ uma variável aleatória normalmente distribuída com média $\\mu$ e variância conhe-\n",
355 | "cida $\\sigma^2 =1$, da qual se obtém a amostra aleatória $X_1 , X_2 , \\dots, X_n$ (com $n$ observações). É\n",
356 | "correto afirmar que:"
357 | ]
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363 | "0 - A média amostral é uma variável aleatória normalmente distribuída com média μ e\n",
364 | "variância $1/n$.
\n",
365 | "1 - A probabilidade de o intervalo de confiança $[\\overline{X}- 1,96 \\sqrt{n} , \\overline{X}+ 1,96\\sqrt{n} ]$ conter a média da população, $\\mu$, é de 95%.
\n",
366 | "2 - A probabilidade de o intervalo de confiança $[\\overline{X}- 1,96 \\sqrt{n} , \\overline{X}+ 1,96\\sqrt{n} ]$ conter a média amostral, $\\mu$, é de 95%.
\n",
367 | "3 - O intervalo de 95% para a média populacional independe do tamanho da amostra.
\n",
368 | "4- Em um intervalo de confiança de 95% para a média populacional, μ, espera-se que,\n",
369 | "extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo\n",
370 | "conterá μ 95% das vezes."
371 | ]
372 | },
373 | {
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377 | "0 - (V)
\n",
378 | "Lembre que: $\\overline{X} \\sim \\left(\\mu,\\dfrac{\\sigma^2}{n}\\right)$
\n",
379 | "$\\mathrm{E}(\\overline{X}) = \\mathrm{E}\\left(\\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}\\right) = \\dfrac{1}{n}\\mathrm{E}\\left(\\sum_{i=1}^{n}X_i\\right) = \\dfrac{1}{n}\\left[\\sum_{i=1}^{n}\\mathrm{E}(X_i)\\right] = \\dfrac{1}{n}n\\mu = \\mu$"
380 | ]
381 | },
382 | {
383 | "cell_type": "markdown",
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385 | "source": [
386 | "$\\mathrm{Var}(\\overline{X}) = \\mathrm{Var}\\left(\\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}\\right) = \\dfrac{1}{n^2}\\mathrm{Var}\\left(\\sum_{i=1}^{n}X_i\\right) = \\dfrac{1}{n^2} \\sum_{i=1}^{n} \\mathrm{Var}(X_i) = \\dfrac{1}{n^2}n\\sigma^2=\\dfrac{\\sigma^2}{n}$"
387 | ]
388 | },
389 | {
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391 | "metadata": {},
392 | "source": [
393 | "Do enunciado temos que $\\sigma^2 = 1$, então: $\\mathrm{Var}(\\overline{X}) = \\dfrac{1}{n}$."
394 | ]
395 | },
396 | {
397 | "cell_type": "markdown",
398 | "metadata": {},
399 | "source": [
400 | "1 - (F)
\n",
401 | "Do que vimos anteriormente:
\n",
402 | "$P(\\overline{X}-1,96\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}<\\mu<\\overline{X}+1,96\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}) = 0.95$"
403 | ]
404 | },
405 | {
406 | "cell_type": "markdown",
407 | "metadata": {},
408 | "source": [
409 | "Além do que, a interpretação do item acerca do Intervalo de Confiança é incorreta. Uma interpretação mais adequada seria imaginarmos que, se repetirmos a amostragem de $n$ dessas observações (número infitino), em 95% dessas repetições o intervalo de confiança conteria o valor verdadeiro da média populaiconal."
410 | ]
411 | },
412 | {
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414 | "metadata": {},
415 | "source": [
416 | "2 - (F)
\n",
417 | "Novamente a interpretação é incorreta e o intervalo é construído para a média amostral."
418 | ]
419 | },
420 | {
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422 | "metadata": {},
423 | "source": [
424 | "3 - (F)
\n",
425 | "Note que quanto maior o tamanho da amostra $n$, menor será o intervalo de confiança."
426 | ]
427 | },
428 | {
429 | "cell_type": "markdown",
430 | "metadata": {},
431 | "source": [
432 | "4 - (V)"
433 | ]
434 | },
435 | {
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437 | "metadata": {},
438 | "source": [
439 | "Fixação"
440 | ]
441 | },
442 | {
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444 | "metadata": {},
445 | "source": [
446 | "Exemplo extraído do Sartoris (2013, p. 195):"
447 | ]
448 | },
449 | {
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451 | "metadata": {},
452 | "source": [
453 | "Após entrevistar 49 membros de uma categoria profissional, um pesquisador encontrou um salário médio de 820,00. O desvio padrão dos salários dessa categoria, conhecido, é 140,00. Construa um intervalo de confiança para a média:\n",
454 | "a) com 80% de confiança;\n",
455 | "b) com 90% de confiança."
456 | ]
457 | },
458 | {
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461 | "source": [
462 | "Intervalo de confiança para a média com variância desconhecida"
463 | ]
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468 | "source": [
469 | "Teremos duas possibilidades a depender do tamanho da amostra."
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476 | "(1) Para $n<30$ teremos:"
477 | ]
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482 | "source": [
483 | "Vamos considerar uma amostra aleatória tal que $X_1, X_2, \\dots , X_n$ obtida de uma população normal com média conhecida, mas variância desconhecida. Então temos que:"
484 | ]
485 | },
486 | {
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489 | "source": [
490 | "$\\overline{X}\\sim T = \\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\dfrac{S}{\\sqrt{n}}} \\sim t$ com $n-1$ graus de liberdade."
491 | ]
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497 | "Então temos que:"
498 | ]
499 | },
500 | {
501 | "cell_type": "markdown",
502 | "metadata": {},
503 | "source": [
504 | "$P\\left(\\overline{X}-t_{\\frac{\\alpha}{2},n-1}\\dfrac{S}{\\sqrt{n}}<\\mu<\\overline{X}+t_{\\frac{\\alpha}{2},n-1}\\dfrac{S}{\\sqrt{n}}\\right) = 1-\\alpha$"
505 | ]
506 | },
507 | {
508 | "cell_type": "markdown",
509 | "metadata": {},
510 | "source": [
511 | "$\\text{IC}\\left(\\mu,1-\\alpha\\right) = \\left[\\overline{X}-t_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{S}{\\sqrt{n}};\\overline{X}+t_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{S}{\\sqrt{n}}\\right]$"
512 | ]
513 | },
514 | {
515 | "cell_type": "markdown",
516 | "metadata": {},
517 | "source": [
518 | "(2) Para $n>30$ teremos:"
519 | ]
520 | },
521 | {
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523 | "metadata": {},
524 | "source": [
525 | "$\\overline{X} \\sim Z =\\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\sqrt{\\dfrac{S^2}{n}}} =\\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\dfrac{S}{\\sqrt{n}}} \\sim N(0,1)$"
526 | ]
527 | },
528 | {
529 | "cell_type": "markdown",
530 | "metadata": {},
531 | "source": [
532 | "$P\\left(\\overline{X}-Z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\dfrac{S}{\\sqrt{n}}<\\mu<\\overline{X}+Z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\dfrac{S}{\\sqrt{n}}\\right) =1-\\alpha$"
533 | ]
534 | },
535 | {
536 | "cell_type": "markdown",
537 | "metadata": {},
538 | "source": [
539 | "Observações e definições:"
540 | ]
541 | },
542 | {
543 | "cell_type": "markdown",
544 | "metadata": {},
545 | "source": [
546 | "* Margem de erro: $e = Z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. Neste caso estamos assumindo que a população seja infinita ou que a amostragem seja feita com reposição (o que significa que nossa população seja grande).\n",
547 | "* Se a população for finita e a amostragem feita sem reposição: $e = Z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\sqrt{\\dfrac{N-n}{n-1}}$. Em que: $N$ é o tamanho da população (finita) e $n$ é o tamanho da amostra. "
548 | ]
549 | },
550 | {
551 | "cell_type": "markdown",
552 | "metadata": {},
553 | "source": [
554 | "Intervalo de confiança para a proporção"
555 | ]
556 | },
557 | {
558 | "cell_type": "markdown",
559 | "metadata": {},
560 | "source": [
561 | "Lembre que: $X \\sim \\text{Bernoulli}(p) \\Rightarrow E(X) = p \\text{ e } Var(X) = p(1-p)$"
562 | ]
563 | },
564 | {
565 | "cell_type": "markdown",
566 | "metadata": {},
567 | "source": [
568 | "$\\hat{p} \\sim N\\left(p, \\dfrac{p(1-p)}{n}\\right)$"
569 | ]
570 | },
571 | {
572 | "cell_type": "markdown",
573 | "metadata": {},
574 | "source": [
575 | "$P\\left(\\hat{p}-Z_{\\frac{\\alpha}{2}}\\sqrt{\\dfrac{\\hat{p}\\left(1-\\hat{p}\\right)}{n}}\n",
36 | "$H_a : \\theta \\neq \\theta_0 $"
37 | ]
38 | },
39 | {
40 | "cell_type": "markdown",
41 | "metadata": {},
42 | "source": [
43 | "Monocaudal:"
44 | ]
45 | },
46 | {
47 | "cell_type": "markdown",
48 | "metadata": {},
49 | "source": [
50 | "$H_0: \\theta = \\theta_0$
\n",
51 | "$H_a : \\theta < \\theta_0 $"
52 | ]
53 | },
54 | {
55 | "cell_type": "markdown",
56 | "metadata": {},
57 | "source": [
58 | "$H_0: \\theta = \\theta_0$
\n",
59 | "$H_a : \\theta > \\theta_0 $"
60 | ]
61 | },
62 | {
63 | "cell_type": "markdown",
64 | "metadata": {},
65 | "source": [
66 | "A altura média dos jogadores de basquete que disputam uma determinada liga é 1,95 m. Numa amostra de 36 jogadores, foi encontrada uma média de 1,93 m. Sabe-se que o desvio padrão da altura dos jogadores é 12 cm. Teste, com um nível de significância de 10%, se a afirmação é verdadeira."
67 | ]
68 | },
69 | {
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71 | "metadata": {},
72 | "source": [
73 | "$H_0: \\mu = 1,95$
\n",
74 | "$H_a : \\mu \\neq 1,95 $"
75 | ]
76 | },
77 | {
78 | "cell_type": "markdown",
79 | "metadata": {},
80 | "source": [
81 | "Conhecida a distribuição de probabilidade, vamos construir o intervalo de confiança supondo que a hipótese nula seja verdadeira e contenha 90% dos possíveis valores amostrais."
82 | ]
83 | },
84 | {
85 | "cell_type": "markdown",
86 | "metadata": {},
87 | "source": [
88 | "$\\dfrac{|\\overline{X}-\\mu|}{\\sigma_{\\overline{X}}} = 1,645$"
89 | ]
90 | },
91 | {
92 | "cell_type": "markdown",
93 | "metadata": {},
94 | "source": [
95 | "$\\sigma_{\\overline{X}} = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\dfrac{0,12}{\\sqrt{36}} = 0,02$"
96 | ]
97 | },
98 | {
99 | "cell_type": "markdown",
100 | "metadata": {},
101 | "source": [
102 | "$\\dfrac{|\\overline{X}-\\mu|}{0,02} = 1,645$"
103 | ]
104 | },
105 | {
106 | "cell_type": "markdown",
107 | "metadata": {},
108 | "source": [
109 | "Região de aceitação: os valores que podem ocorrer numa amostra de 36 jogadores, com 90% de probabilidade, estão entre 1,95+0,033 e 1,95-0,033. \n",
110 | "* Se o valor amostral estiver nesse intervalo, então aceitamos a hipótese nula."
111 | ]
112 | },
113 | {
114 | "cell_type": "markdown",
115 | "metadata": {},
116 | "source": [
117 | "$RA = [1,917;1,983]$"
118 | ]
119 | },
120 | {
121 | "cell_type": "markdown",
122 | "metadata": {},
123 | "source": [
124 | "O valor amostral foi 1,93, então aceitamos a hipótese nula."
125 | ]
126 | },
127 | {
128 | "cell_type": "markdown",
129 | "metadata": {},
130 | "source": [
131 | "Em uma amostra com 100 famílias em uma cidade do interior, foi encontrada uma renda média de 580,00 reais. Segundo o prefeito, esta pesquisa está errada, pois a renda média em sua cidade é de, no mínimo, 650 reais. Teste a afirmação do prefeito com 10% de significância, sabendo-se que o desvio padrão da renda é de 120,00 reais."
132 | ]
133 | },
134 | {
135 | "cell_type": "markdown",
136 | "metadata": {},
137 | "source": [
138 | "Temos então um teste monocaudal:"
139 | ]
140 | },
141 | {
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143 | "metadata": {},
144 | "source": [
145 | "$H_0: \\mu = 650$
\n",
146 | "$H_a : \\mu < 650 $"
147 | ]
148 | },
149 | {
150 | "cell_type": "markdown",
151 | "metadata": {},
152 | "source": [
153 | "$\\dfrac{|\\overline{X}-\\mu|}{\\sigma_{\\overline{X}}} = 1,28$
\n",
154 | "$\\sigma_{\\overline{X}} = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\dfrac{120}{\\sqrt{100}} = 12$
\n",
155 | "$\\dfrac{|\\overline{X}-650|}{12} = 1,28$"
156 | ]
157 | },
158 | {
159 | "cell_type": "markdown",
160 | "metadata": {},
161 | "source": [
162 | "$RA = [634,36;\\infty]$"
163 | ]
164 | },
165 | {
166 | "cell_type": "markdown",
167 | "metadata": {},
168 | "source": [
169 | "Portanto, a hipótese nula não aceita."
170 | ]
171 | },
172 | {
173 | "cell_type": "markdown",
174 | "metadata": {},
175 | "source": [
176 | "Fez-se um estudo sobre aluguéis em dois bairros, A e B. No primeiro, em 12 residências, o aluguel médio encontrado foi de 330,00 reais. No segundo, em 19 residências, aluguel médio foi de 280,00 reais. Sabe-se que o desvio padrão dos aluguéis no bairro A é 50 reais e no bairro B é 40 reais. Afirma-se que os aluguéis médios são iguais nos dois bairros. Teste a afirmação com 10% de significância."
177 | ]
178 | },
179 | {
180 | "cell_type": "markdown",
181 | "metadata": {},
182 | "source": [
183 | "Vamos assumir que as variáveis sejam independentes."
184 | ]
185 | },
186 | {
187 | "cell_type": "markdown",
188 | "metadata": {},
189 | "source": [
190 | "$H_0: \\mu_A = \\mu_B$
\n",
191 | "$H_a: \\mu_A \\neq \\mu_B$ "
192 | ]
193 | },
194 | {
195 | "cell_type": "markdown",
196 | "metadata": {},
197 | "source": [
198 | "$H_0: \\mu_A - \\mu_B = 0$
\n",
199 | "$H_a: \\mu_A - \\mu_B \\neq 0$ "
200 | ]
201 | },
202 | {
203 | "cell_type": "markdown",
204 | "metadata": {},
205 | "source": [
206 | "Definimos então $Y = X_A-X_B$."
207 | ]
208 | },
209 | {
210 | "cell_type": "markdown",
211 | "metadata": {},
212 | "source": [
213 | "$\\mathrm{Var(Y)} = \\mathrm{Var(X_A-X_B)} =\\mathrm{Var(X_A)}+\\mathrm{Var(X_B)}-2\\mathrm{cov(X_A,X_B)}$
\n",
214 | "$\\mathrm{Var(Y)} = \\mathrm{Var(X_A-X_B)} = \\mathrm{Var(\\overline{X}_A)}+\\mathrm{Var(\\overline{X}_B)}$
\n",
215 | "$\\mathrm{Var(\\overline{Y})} = \\mathrm{Var(\\overline{X}_A)}+\\mathrm{Var(\\overline{X}_B)}$
\n",
216 | "$\\mathrm{Var(\\overline{X}_A)} = \\dfrac{50^2}{12} \\cong 208,33$
\n",
217 | "$\\mathrm{Var(\\overline{X}_B)} = \\dfrac{40^2}{19} \\cong 84,21$"
218 | ]
219 | },
220 | {
221 | "cell_type": "markdown",
222 | "metadata": {},
223 | "source": [
224 | "$\\mathrm{Var(\\overline{Y})} \\cong = 292,54$
\n",
225 | "$\\sigma_{\\overline{Y}} = \\sqrt{\\mathrm{Var(\\overline{Y})}} \\cong 17,10$
\n",
226 | "$\\dfrac{|\\overline{Y}-0 |}{17,1} = 1,645$
\n",
227 | "$|\\overline{Y}-0| = 28,13$"
228 | ]
229 | },
230 | {
231 | "cell_type": "markdown",
232 | "metadata": {},
233 | "source": [
234 | "Lembrando que $Y = X_A-X_B = 330-280 = 50$"
235 | ]
236 | },
237 | {
238 | "cell_type": "markdown",
239 | "metadata": {},
240 | "source": [
241 | "$RA = [-28,13;28,13]$"
242 | ]
243 | },
244 | {
245 | "cell_type": "markdown",
246 | "metadata": {},
247 | "source": [
248 | "O valor não está contido dentro da região de aceitação, portanto a hipótese nula não é aceita."
249 | ]
250 | },
251 | {
252 | "cell_type": "markdown",
253 | "metadata": {},
254 | "source": [
255 | "#### Testando a variância"
256 | ]
257 | },
258 | {
259 | "cell_type": "markdown",
260 | "metadata": {},
261 | "source": [
262 | "Antes tínhamos um procedimento de fazer um teste para a média, visto que não conhecíamos seu verdadeiro valor populacional. O desvio-padrão era conhecido."
263 | ]
264 | },
265 | {
266 | "cell_type": "markdown",
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268 | "source": [
269 | "Sabemos que a variância amostral é definida como:"
270 | ]
271 | },
272 | {
273 | "cell_type": "markdown",
274 | "metadata": {},
275 | "source": [
276 | "$S^2 = \\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2}{n-1}$"
277 | ]
278 | },
279 | {
280 | "cell_type": "markdown",
281 | "metadata": {},
282 | "source": [
283 | "$\\left(n-1\\right)S^2 = \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2$"
284 | ]
285 | },
286 | {
287 | "cell_type": "markdown",
288 | "metadata": {},
289 | "source": [
290 | "Vamos dividir por $\\sigma^2$:"
291 | ]
292 | },
293 | {
294 | "cell_type": "markdown",
295 | "metadata": {},
296 | "source": [
297 | "$\\left(n-1\\right)\\dfrac{S^2 }{\\sigma^2}= \\sum_{i=1}^{n}\\dfrac{\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2}{\\sigma^2}$"
298 | ]
299 | },
300 | {
301 | "cell_type": "markdown",
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303 | "source": [
304 | "$\\left(n-1\\right)\\dfrac{S^2 }{\\sigma^2}= \\sum_{i=1}^{n}\\left(\\dfrac{X_i-\\overline{X}}{\\sigma}\\right)^2$"
305 | ]
306 | },
307 | {
308 | "cell_type": "markdown",
309 | "metadata": {},
310 | "source": [
311 | "A expressão em parênteses será uma normal padronizada se tivermos a média populacional no lugar da média amostral."
312 | ]
313 | },
314 | {
315 | "cell_type": "markdown",
316 | "metadata": {},
317 | "source": [
318 | "Podemos escrever:"
319 | ]
320 | },
321 | {
322 | "cell_type": "markdown",
323 | "metadata": {},
324 | "source": [
325 | "$\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2 = \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\mu+\\mu-\\overline{X}\\right)^2$
\n",
326 | "$\\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2 = \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\mu\\right)^2-\\sum_{i=1}^{n}\\left(\\overline{X}-\\mu\\right)^2$"
327 | ]
328 | },
329 | {
330 | "cell_type": "markdown",
331 | "metadata": {},
332 | "source": [
333 | "$\\therefore \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2 = \\sum_{i=1}^{n}\\left(X_i-\\mu\\right)^2-n\\left(\\overline{X}-\\mu\\right)^2$"
334 | ]
335 | },
336 | {
337 | "cell_type": "markdown",
338 | "metadata": {},
339 | "source": [
340 | "Então:"
341 | ]
342 | },
343 | {
344 | "cell_type": "markdown",
345 | "metadata": {},
346 | "source": [
347 | "$(n-1)\\dfrac{S^2}{\\sigma^2} = \\sum_{i=1}^{n}\\left(\\dfrac{X_i-\\mu}{\\sigma}\\right)^2-n\\left(\\dfrac{\\overline{X}-\\mu}{\\sigma}\\right)^2$"
348 | ]
349 | },
350 | {
351 | "cell_type": "markdown",
352 | "metadata": {},
353 | "source": [
354 | "No lado direito da expressão anterior temos um somatório de $n$ variáveis normais padronizadas, menos uma outra variável normal padronizada ($\\overline{X}$ que tem média $\\mu$ e desvio-padrão $\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$). Desta forma, temos uma soma de $n-1$ variáveis normais padronizadas. Sabemos que a distribuição $\\chi^2$ é a distribuição de uma variável que é a soma de variáveis normais padronizadas."
355 | ]
356 | },
357 | {
358 | "cell_type": "markdown",
359 | "metadata": {},
360 | "source": [
361 | "$(n-1)\\dfrac{S^2}{\\sigma^2} \\sim \\chi_{(n-1)}^2$"
362 | ]
363 | },
364 | {
365 | "cell_type": "markdown",
366 | "metadata": {},
367 | "source": [
368 | "Numa determinada empresa, empregados que desempenham a mesma função têm salários diferentes em função do tempo de casa de bonificações por desempenho. Segunda a empresa, o desvio-padrão para o salário de uma certa função é de 150,00 reais. Entrevistando cinco funcionários que desempenham essa função, verificou-se que seus salários eram respectivamente, 1.000,00 , 1.200,00, 1.500,00, 1.300,00 e 900,00. Testemos a afirmação da empresa com significância de 5%, supondo que os salários sejam normalmente distribúidos. A hipótese apresentada pela empresa é de que o desvio-padrão é 150, portanto, a variância é $150^2 = 22.500$."
369 | ]
370 | },
371 | {
372 | "cell_type": "markdown",
373 | "metadata": {},
374 | "source": [
375 | "$H_0: \\sigma^2 = 22.500$
\n",
376 | "$H_a: \\sigma^2 \\neq 22.500$ "
377 | ]
378 | },
379 | {
380 | "cell_type": "markdown",
381 | "metadata": {},
382 | "source": [
383 | "$(n-1) = 5-1 = 4$"
384 | ]
385 | },
386 | {
387 | "cell_type": "markdown",
388 | "metadata": {},
389 | "source": [
390 | "$RA = [0,48,11,14]$"
391 | ]
392 | },
393 | {
394 | "cell_type": "markdown",
395 | "metadata": {},
396 | "source": [
397 | "$\\overline{X} = 1180$"
398 | ]
399 | },
400 | {
401 | "cell_type": "markdown",
402 | "metadata": {},
403 | "source": [
404 | "$S^2=\\dfrac{(1000-1180)^2+(1200-1180)^2+(1500-1180)^2+(1300-1180)^2+(900-1180)^2}{4}=57.000$"
405 | ]
406 | },
407 | {
408 | "cell_type": "markdown",
409 | "metadata": {},
410 | "source": [
411 | "$S^2 = 57.000$"
412 | ]
413 | },
414 | {
415 | "cell_type": "markdown",
416 | "metadata": {},
417 | "source": [
418 | "$(n-1)\\dfrac{S^2}{\\sigma^2} = 4 \\times \\dfrac{57.000}{22.500} \\cong 10,13$"
419 | ]
420 | },
421 | {
422 | "cell_type": "markdown",
423 | "metadata": {},
424 | "source": [
425 | "A hipótese nula é aceita,pois o valor está dentro da região de aceitação. Desta forma, aceitamos a hipótese nula para um nível de 5% de significância."
426 | ]
427 | },
428 | {
429 | "cell_type": "markdown",
430 | "metadata": {},
431 | "source": [
432 | "Uma caixa de fósforos de certa marca vem com a inscrição: 'Contém, em média, 40 palitos'. Segundo a fabricante, o desvio-padrão é de, no máximo, dois palitos. Em uma amostra com 51 caixas, entretando, foi encontrado um desvio-padrão amostral de três palitos. Supondo que o número de palitos por caixa seja uma variável normal, testemos a afirmativa do fabricante utilizando um nível de significância de 1%."
433 | ]
434 | },
435 | {
436 | "cell_type": "markdown",
437 | "metadata": {},
438 | "source": [
439 | "Temos então um teste de comparação entre variâncias monocaudal."
440 | ]
441 | },
442 | {
443 | "cell_type": "markdown",
444 | "metadata": {},
445 | "source": [
446 | "$H_0:\\sigma^2 = 4$
\n",
447 | "$H_a:\\sigma^2 > 4$
\n"
448 | ]
449 | },
450 | {
451 | "cell_type": "markdown",
452 | "metadata": {},
453 | "source": [
454 | "$(n-1)\\dfrac{S^2}{\\sigma^2} = (51-1)\\times \\dfrac{3^2}{2^2} = 112,5$"
455 | ]
456 | },
457 | {
458 | "cell_type": "markdown",
459 | "metadata": {},
460 | "source": [
461 | "$RA = [0;76,15]$"
462 | ]
463 | },
464 | {
465 | "cell_type": "markdown",
466 | "metadata": {},
467 | "source": [
468 | "Rejeitamos a hipótese nula com nível de significância de 1%."
469 | ]
470 | },
471 | {
472 | "cell_type": "markdown",
473 | "metadata": {},
474 | "source": [
475 | "Testando a média quando a variância é desconhecida"
476 | ]
477 | },
478 | {
479 | "cell_type": "markdown",
480 | "metadata": {},
481 | "source": [
482 | "A variância populacional $\\sigma^2$ não é conhecida e, portanto, só é possível obter $S^2$. Neste caso da expressão:"
483 | ]
484 | },
485 | {
486 | "cell_type": "markdown",
487 | "metadata": {},
488 | "source": [
489 | "$\\dfrac{|\\overline{X}-\\mu|}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}}$"
490 | ]
491 | },
492 | {
493 | "cell_type": "markdown",
494 | "metadata": {},
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496 | "Usaremos:"
497 | ]
498 | },
499 | {
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502 | "source": [
503 | "$\\dfrac{|\\overline{X}-\\mu|}{\\frac{S}{\\sqrt{n}}}$"
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506 | {
507 | "cell_type": "markdown",
508 | "metadata": {},
509 | "source": [
510 | "Vamos dividir esta expressão por $\\sigma$:"
511 | ]
512 | },
513 | {
514 | "cell_type": "markdown",
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516 | "source": [
517 | "$\\sqrt{n}\\dfrac{\\dfrac{|\\overline{X}-\\mu|}{\\sigma}}{\\dfrac{S}{\\sigma}}$"
518 | ]
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524 | "Sabemos que:"
525 | ]
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530 | "source": [
531 | "$\\dfrac{|\\overline{X}-\\mu|}{\\dfrac{S}{\\sqrt{n}}} \\sim t_{(n-1)} \\text{ Distribuição t de Student}$"
532 | ]
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534 | {
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537 | "source": [
538 | "#### Erro de poder de um teste"
539 | ]
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541 | {
542 | "cell_type": "markdown",
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544 | "source": [
545 | "* Erro tipo I: ocorre quando rejeitamos a hipótese nula quando ela é verdadeira (condenar um inocente).\n",
546 | "* Erro tipo II: aceitamos a hipótese nula quando ela é falsa (absolver um culpado)."
547 | ]
548 | },
549 | {
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551 | "metadata": {},
552 | "source": [
553 | "$P(\\text{erro do tipo I}) = \\alpha = \\text{significância do teste}$, a significância do teste é definida a priori."
554 | ]
555 | },
556 | {
557 | "cell_type": "markdown",
558 | "metadata": {},
559 | "source": [
560 | "Poder de um teste é a probabilidade de não cometer o erro do tipo II, ou seja, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa."
561 | ]
562 | },
563 | {
564 | "cell_type": "markdown",
565 | "metadata": {},
566 | "source": [
567 | "$\\text{Poder do teste} = 1-\\beta, \\beta = P(\\text{erro do tipo II})$"
568 | ]
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570 | {
571 | "cell_type": "markdown",
572 | "metadata": {},
573 | "source": [
574 | "# Questões ANPEC"
575 | ]
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577 | {
578 | "cell_type": "markdown",
579 | "metadata": {},
580 | "source": [
581 | "Q5-2003
\n",
582 | "Com relação a testes de hipótese, é correto afirmar que:
\n",
583 | "1 - O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo I.
\n",
584 | "2 - A potência do teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo II.
\n",
585 | "4- O nível de significância de um teste de hipótese cresce com o tamanho da amostra."
586 | ]
587 | },
588 | {
589 | "cell_type": "markdown",
590 | "metadata": {},
591 | "source": [
592 | "1 - (V) É exatamente a definição que vimos anteriormente.
\n",
593 | "2 - (F) Vimos antes que $\\text{Poder do teste} = 1-\\beta$.
\n",
594 | "4 - (F) É definido a priori."
595 | ]
596 | },
597 | {
598 | "cell_type": "markdown",
599 | "metadata": {},
600 | "source": [
601 | "Q6-2005
\n",
602 | "Seja $X_1 , X_2 , X_3 ,\\dots, X_n$ uma amostra aleatória de tamanho $n$ de uma população normal com média $\\mu$ e variância $\\sigma^2$ . Julgue as afirmativas:"
603 | ]
604 | },
605 | {
606 | "cell_type": "markdown",
607 | "metadata": {},
608 | "source": [
609 | "0 - A probabilidade de a média populacional, $\\mu$, estar contida no intervalo de confiança $\\left[\\overline{X}-1,96\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}},\\overline{X}+1,96\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}\\right]$ é igual a 95%.
\n",
610 | "1 - Se a variância $\\sigma^2$ é desconhecida, o intervalo de confiança de 95% para a média $\\mu$ será $\\left[\\overline{X}-t_c\\dfrac{s}{\\sqrt{n}},\\overline{X}+t_c\\dfrac{s}{\\sqrt{n}}\\right]$, em que $s$ é o desvio padrão da amostra, $t_c$ é calculado de forma que $P(|t|\n",
611 | "2 - Se construirmos vários intervalos de confiança para a média $\\mu$ com amostras de idêntico tamanho, mesma variância $\\sigma^2$ e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.
\n",
612 | "3 - Num teste de hipótese: $H_0 : \\mu = \\mu_0$ contra $H_a : \\mu \\neq \\mu_0$ , se o intervalo de confiança\n",
613 | "estimado para a média $\\mu$ não contiver o valor de $\\mu_0$ , então deve-se aceitar a hipótese de que $\\mu = \\mu_0 $.
\n",
614 | "4 - Se a amostra aleatória $X_1 , X_2 , X_3 ,\\dots, X_n$ não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um intervalo de confiança para a média $\\mu$, ainda que a amostra seja muito grande.
"
615 | ]
616 | },
617 | {
618 | "cell_type": "markdown",
619 | "metadata": {},
620 | "source": [
621 | "0 - (F) Note que a interpretação do IC não está correta.
\n",
622 | "1 - (V)
\n",
623 | "2 - (V) Ilustra a essência do que fazemos ao construir um IC.
\n",
624 | "3 - (F) Não devemos aceitar $\\mu = \\mu_0$.
\n",
625 | "4 - (F) $\\overline{X} \\sim N(\\mu,\\frac{\\sigma^2}{n})$."
626 | ]
627 | },
628 | {
629 | "cell_type": "markdown",
630 | "metadata": {},
631 | "source": [
632 | "Q6-2004
\n",
633 | "Com relação a testes de hipóteses, julgue as afirmativas:
\n",
634 | "0 - Em um teste de hipóteses, comete-se um erro do tipo I quando se rejeita uma hipótese nula verdadeira.
\n",
635 | "1 - O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer o erro tipo II.
\n",
636 | "2 - A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a 1.
\n",
637 | "3 - Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o valor-p a ele associado.
\n",
638 | "4 - Se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, a hipótese nula será rejeitada a 5%, mas não a 1%.
"
639 | ]
640 | },
641 | {
642 | "cell_type": "markdown",
643 | "metadata": {},
644 | "source": [
645 | "Q11-2007
\n",
646 | "Julgue as afirmativas:
\n",
647 | "0 - O valor p de um teste de hipótese é a probabilidade de a hipótese nula ser rejeitada.
\n",
648 | "1 - O poder de um teste de hipótese é a probabilidade de se rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa.
"
649 | ]
650 | },
651 | {
652 | "cell_type": "markdown",
653 | "metadata": {},
654 | "source": [
655 | "Q4 - 2008
\n",
656 | "A respeito de testes de hipótese, é correto afirmar:
\n",
657 | "0 - Potência de um teste é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa.
\n",
658 | "1 - O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer um erro tipo 1.
\n",
659 | "2 - O teste F de significância conjunta dos parâmetros em um modelo de regressão linear\n",
660 | "é unilateral.
\n",
661 | "3 - Se uma variável é significativa ao nível de 1%, então ela é significativa ao nível de 5%.\n",
662 | "4 - $p-\\text{valor } = 1 – P(H_0 \\text{ falsa })$, em que $P(A)$ é a probabilidade do evento $A$ ocorrer."
663 | ]
664 | },
665 | {
666 | "cell_type": "markdown",
667 | "metadata": {},
668 | "source": [
669 | "Q8-2009
\n",
670 | "2 - Um intervalo de confiança de 99% para a média μ de uma população, calculado para\n",
671 | "uma amostra aleatória, como [2,75;8,25], pode ser interpretado como: a probabilidade\n",
672 | "de $\\mu$ estar no intervalo calculado é de 99%."
673 | ]
674 | },
675 | {
676 | "cell_type": "markdown",
677 | "metadata": {},
678 | "source": [
679 | "Q1 - 2012
\n",
680 | "Julgue as afirmativas:\n",
681 | "0 - O erro tipo I é definido como a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é verdadeira.
\n",
682 | "1 - O erro tipo II é definido como a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é verdadeira.
\n",
683 | "2 - O nível de significância de um teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira.
\n",
684 | "3 - Se o p-valor de um teste é maior do que o nível de significância adotado, rejeita-se a hipótese nula."
685 | ]
686 | }
687 | ],
688 | "metadata": {
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/Formulários/Formulário1.ipynb:
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7 | "# Fórmulário: Estatística Básica e Números-Índice"
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35 | "$W = \\dfrac{\\sum\\limits_{i=1}^{n} X_i q_i}{\\sum\\limits_{i=1}^{n} q_i}$"
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105 | "Desvio em relação a média"
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112 | "$d_i = X_i-\\overline{X}$"
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119 | "$\\mathrm{\\sigma^2}\n",
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123 | "}{N}$"
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130 | "$\\sigma^2 = \\dfrac{\\sum_\\limits{i=1}^{N}\\left(X_i-\\mu \\right)^2}{N}$"
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137 | "Variância amostral"
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144 | "$S^2 = \\dfrac{\\sum_\\limits{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2}{n-1}$"
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158 | "$\\mathrm{dm(X)} = \\dfrac{\\left|X_1-\\overline{X} \\right|+\\left|X_2-\\overline{X} \\right|+\\cdots+\\left|X_n-\\overline{X} \\right|}{n}$"
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172 | "Desvio padrão"
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179 | "$\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{\\dfrac{\\sum_\\limits{i=1}^{N}\\left(X_i-\\mu\\right)^2}{N}}$"
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186 | "$S = \\sqrt{S^2} = \\sqrt{\\dfrac{\\sum_\\limits{i=1}^{n}\\left(X_i-\\overline{X}\\right)^2}{n-1}}$"
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200 | "$\\mathrm{cov(X,Y)} = \\dfrac{1}{n}\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\left( X_{i}-\\overline{X} \\right)\\left(Y_{i}-\\overline{Y} \\right)$"
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207 | "$\\mathrm{cov(X,Y)} = \\dfrac{1}{n}\\sum\\limits_{i=1}^{n}X_iY_i-\\overline{X}\\overline{Y}$"
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214 | "##### Coeficiente de correlação"
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228 | "Índice de Laspeyres de preço: "
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235 | "$L_{p}^{t} = \\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{1}q_{i}^{0}}{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{0}q_{i}^{0}} = \\dfrac{\\mathbf{p^tq^0}}{\\mathbf{p^0q^0}}$"
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242 | "Índice de Laspeyres de quantidade: "
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249 | "$L_{q}^{t} = \\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{0}q_{i}^{t}}{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{0}q_{i}^{0}} = \\dfrac{\\mathbf{p^{0}q^{t}}}{\\mathbf{p^{0}q^0}}$"
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263 | "$w_i^{0} = \\dfrac{p_i^0q_i^0}{\\sum_{i=1}^{n}p_i^{0}q_i^{0}}$"
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270 | "Índice de Paasche de preço:"
271 | ]
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276 | "source": [
277 | "$P_{p}^{t} = \\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{1}q_{i}^{1}}{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{0}q_{i}^{1}} = \\dfrac{\\mathbf{p^tq^t}}{\\mathbf{p^0q^t}}$"
278 | ]
279 | },
280 | {
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284 | "Índice de Paasche de quantidade:"
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291 | "$P_{q}^{t} = \\dfrac{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{1}q_{i}^{1}}{\\sum_{i=1}^{n}p_{i}^{1}q_{i}^{0}} = \\dfrac{\\mathbf{p^tq^t}}{\\mathbf{p^tq^0}}$"
292 | ]
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294 | {
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298 | "$P_p = \\dfrac{1}{\\sum_\\limits{i =1}^{n}\\dfrac{p_i^0}{p_i^1}\\times w_i^1}$"
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305 | "$w_i^1 = \\frac{p_i^1q_i^1}{\\sum_{i=1}^{n}p_i^1q_i^1}$"
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312 | "Índice Valor"
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319 | "$I_V = \\dfrac{\\mathbf{p_tq_t}}{\\mathbf{p_0q_0}}$"
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326 | "Índice de Fisher"
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332 | "source": [
333 | "$F = \\sqrt{L \\times P}$"
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336 | {
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339 | "source": [
340 | "Propriedades ideais para Números-Índices e outras propriedades"
341 | ]
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343 | {
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345 | "metadata": {},
346 | "source": [
347 | "* Identidade: $I_{00} = 1$ (Todos satisfazem)\n",
348 | "* Reversibilidade no tempo: $I_{t,0} \\times I_{0,t} = 1$\n",
349 | "* Encadeamento (ou circulariadade): $I_{0,1} \\times I_{1,2} \\times I_{2, 3} \\times \\dots \\times I_{t-1, t} = I_{0,t}$\n",
350 | " * $I_{0,1} \\times I_{1,2} = I_{0,2}$\n",
351 | "* Decomposição das causas (ou reversão de fatores): $I_p \\times I_q = I_{V}$\n",
352 | "* $\\rho_{pq} < 0 \\Rightarrow L>P$\n",
353 | "* $\\rho_{pq} > 0 \\Rightarrow P>L$\n",
354 | "* $\\rho_{pq} = 0 \\Rightarrow L=P$\n",
355 | "* $L_{p} \\times P_{q} = I_{V} = P_{p} \\times L_{q}$\n",
356 | "* $P_{p} \\times P_{q} \\le I_{V} \\le L_{p} \\times L_{q}$ "
357 | ]
358 | }
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382 |
--------------------------------------------------------------------------------
/README.md:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | # Statistical
2 | Este repositório armazena notas de aula de Estatística e Econometria. Adicionalmente, busca armazenar resumos teóricos de estatística e aplicações em Python.
3 |
4 | #### 0. [Teoria dos Conjuntos](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/1.%20N%C3%BAmeros-%C3%ADndices.ipynb)
5 | #### 1. [Números-Índices e Estatística Descritiva](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/1.%20N%C3%BAmeros-%C3%ADndices.ipynb)
6 | #### 2. [Probabilidade básica](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/2.%20Probabilidade.ipynb)
7 | #### 3. [Variáveis aleatórias discretas e contínuas](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/3.%20Vari%C3%A1veis_aleat%C3%B3rias.ipynb)
8 | #### 4. [Distribuições discretas e contínuas](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/4.%20Distribui%C3%A7%C3%B5es.ipynb)
9 | #### 4. [Distribuições conjuntas](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/5.%20Distribui%C3%A7%C3%B5es_conjuntas.ipynb)
10 | #### 6. [Inferência estatística: uma introdução](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/6.%20Introdu%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A0%20Infer%C3%AAncia%20Estat%C3%ADstica.ipynb)
11 | #### 7. [Inferência estatística (continuação)](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/7.%20Continua%C3%A7%C3%A3o%20Infer%C3%AAncia%20e%20Teoremas.ipynb)
12 | #### 8. [Intervalo de confiança](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/8.%20Intervalo_Confian%C3%A7a.ipynb)
13 | #### 9. [Testes de hipótese](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/9.%20Testes.ipynb)
14 |
15 | #### Formulários
16 | [Números-índice e estatística básica](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/3.%20Vari%C3%A1veis_aleat%C3%B3rias.ipynb)
17 |
18 | #### Implementações em Python
19 | * [Regressão linear simples](https://github.com/ronissonlucas/Statistical/blob/main/Econometrics1.ipynb)
20 |
21 |
22 |
--------------------------------------------------------------------------------
/TeoriaConjuntos.ipynb:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | {
2 | "cells": [
3 | {
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7 | "# Teoria dos Conjuntos"
8 | ]
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14 | "Autor: Ronisson Lucas Calmon da Conceição"
15 | ]
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20 | "source": [
21 | "Definição: conjunto é uma coleção de elementos de U (denominado conjunto fundamental ou conjunto universal)."
22 | ]
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24 | {
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26 | "metadata": {},
27 | "source": [
28 | "Definição: um conjunto nulo ou vazio é definido como o conjunto que não contém qualquer elemento. Denota-se: $\\emptyset$ ou $\\{\\}$. O conjunto $\\{x \\in \\mathbb{R}|x>0 \\mbox{ e } x<0 \\}$ é vazio, pois não existe um número real que satisfaça tal restrição."
29 | ]
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31 | {
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34 | "source": [
35 | "Se $x$ for um elemento de $A$ denotamos $x \\in A$, caso contrário $x \\not\\in A$."
36 | ]
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38 | {
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41 | "source": [
42 | "Subconjunto: $A \\subset B$ tal que se $x\\in A$ então, $x \\in B$. Inversamento, se $B \\subset A$ e $x \\in B$, então $x \\in A$."
43 | ]
44 | },
45 | {
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47 | "metadata": {},
48 | "source": [
49 | "Igualdade: $A=B$ se, e somente se, $A \\subset B$ e $B \\subset A$. Ou seja, dois conjuntos serã iguais se, e somente se, eles contiverem os mesmo elementos."
50 | ]
51 | },
52 | {
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54 | "metadata": {},
55 | "source": [
56 | "Consequências imediatas:\n",
57 | "1. $\\forall A$, temos que $\\emptyset \\subset A$.\n",
58 | "2. Para um dado conjunto fundamental definido, para todo conjunto $A$, considerado da composição de $U$ , temos que $A \\subset U$."
59 | ]
60 | },
61 | {
62 | "cell_type": "markdown",
63 | "metadata": {},
64 | "source": [
65 | "* Exemplo: Seja $ U = \\mathbb{R}$, e os subconjuntos $A, B, C$, tais que $A = \\{x|x^{2}+2x-3=0 \\}$,$B=\\{x|\\left(x-2\\right)\\left(x^{2}+2x-3\\right)=0\\} $ e $C = \\{x|x=-3,1,2 \\}$. Logo, $A\\subset B$ e $B=C$"
66 | ]
67 | },
68 | {
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70 | "metadata": {},
71 | "source": [
72 | "Operações com conjuntos"
73 | ]
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75 | {
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77 | "metadata": {},
78 | "source": [
79 | "União (ou soma)
\n",
80 | "$A\\cup B=\\{x\\,|\\, x\\in A \\mbox{ ou }x\\in B\\}$ (ou ambos). Então $A \\cup B$ é composto por todos os elementos que estejam no conjunto $A$, ou em $B$, ou então em ambos."
81 | ]
82 | },
83 | {
84 | "cell_type": "markdown",
85 | "metadata": {},
86 | "source": [
87 | "Interseção
\n",
88 | "$A\\cap B=\\{x\\,|\\, x\\in A \\mbox{ e }x\\in B\\}$. O conjunto $A \\cap B$ é formado por todos os elementos que estão em A e B."
89 | ]
90 | },
91 | {
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93 | "metadata": {},
94 | "source": [
95 | "Diferença
\n",
96 | "$A-B = \\{x \\in U |x \\in A \\mbox{ e } x \\not\\in B\\}$"
97 | ]
98 | },
99 | {
100 | "cell_type": "markdown",
101 | "metadata": {},
102 | "source": [
103 | "Definiremos agora o complementar de um conjunto $A$ : $A^{c} = \\overline{A}$ é um conjunto formado por todos os elementos que não estejam em A (mas estejam no conjunto fundamental). Assim: $\\overline{A} = U-A = \\{x|x\\not\\in A \\}$.Temos que: $A \\cup \\overline{A} = U$ e $A \\cap A = \\emptyset$."
104 | ]
105 | },
106 | {
107 | "cell_type": "markdown",
108 | "metadata": {},
109 | "source": [
110 | "* Exemplo: Seja $ U = \\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\\}$, $A = \\{1,2,3,4\\}$, $B = \\{3,4,5,6\\}$. Então: $\\overline{A} = {5,6,7,8,9,10}$, $A \\cup B = \\{1,2,3,4,5,6\\}$ e $A \\cap B = \\{3,4\\}$."
111 | ]
112 | },
113 | {
114 | "cell_type": "markdown",
115 | "metadata": {},
116 | "source": [
117 | "Conjunto das partes: O conjunto das partes de um dado A, denotado $P(A) = $, como o conjunto dos subconjuntos de A:\n",
118 | "
$P(A) = \\{B\\subset U | B \\subset A \\}$."
119 | ]
120 | },
121 | {
122 | "cell_type": "markdown",
123 | "metadata": {},
124 | "source": [
125 | "Famílias de conjuntos"
126 | ]
127 | },
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130 | "metadata": {},
131 | "source": [
132 | "Seja $K$ um conjunto, denominado conjunto índice. Então, se $\\forall i \\in K$ existe um conjunto $A_{i}$ associado a $i$, tal que $\\{A_{i}\\}_{i \\in K}$ é uma família de conjuntos. \n",
133 | "Para $K = 1,2,3,\\cdots,n$ denotamos $\\{A_{i}\\}_{i \\in K}$ como uma família finita de conjuntos. \n",
134 | "Já uma família infinita enumerável de conjuntos, para $K = 1,2,3, \\cdots, n$ denotamos $\\{A_{i}\\}_{i=1}^{\\infty}$."
135 | ]
136 | },
137 | {
138 | "cell_type": "markdown",
139 | "metadata": {},
140 | "source": [
141 | "União finita de conjuntos:\n",
142 | "
$A_{1}\\cup A_{2} \\cup A_{3} \\cup \\cdots \\cup A_{n} = \\bigcup_{i=1}^{N} A_n$"
143 | ]
144 | },
145 | {
146 | "cell_type": "markdown",
147 | "metadata": {},
148 | "source": [
149 | "Interseções finitas de conjuntos:"
150 | ]
151 | },
152 | {
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155 | "source": [
156 | "$A_{1} \\cap A_{2} \\cap A_{3} \\cap \\cdots \\cap A_{n} = \\bigcap_{n=1}^{N} A_{n}$"
157 | ]
158 | },
159 | {
160 | "cell_type": "markdown",
161 | "metadata": {},
162 | "source": [
163 | "Para um conjunto enumerável(ou contável no infinito) temos $\\bigcup_{n=1}^{\\infty}A_{n}$ e $\\bigcap_{n=1}^{\\infty}A_{n}$."
164 | ]
165 | },
166 | {
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169 | "source": [
170 | "Propriedades:\n",
171 | "1. $A \\cup B = B \\cup A$\n",
172 | "2. $A \\cap B = B \\cap A$\n",
173 | "3. $A \\cup \\left(B \\cup C \\right) = \\left(A \\cup B\\right) \\cup C$\n",
174 | "4. $A \\cap \\left(B \\cap C\\right) = \\left(A \\cap B\\right) \\cap C$\n",
175 | "5. $A \\cup \\left(B\\cap C\\right) = \\left(A \\cup B\\right) \\cap \\left(A \\cup C\\right)$\n",
176 | "6. $A \\cap \\left(B \\cup C \\right) = \\left(A \\cap B \\right) \\cup \\left(A \\cap C\\right) $\n",
177 | "7. $A \\cap \\emptyset = \\emptyset$\n",
178 | "8. $A \\cup \\emptyset = A$\n",
179 | "9. $\\overline{\\left(A \\cap B\\right)} = \\overline{A} \\cup \\overline{B}$\n",
180 | "10. $\\overline{\\left(A \\cup B\\right)} = \\overline{A} \\cap \\overline{B}$\n",
181 | "11. $\\overline{\\overline{A}} = A$"
182 | ]
183 | },
184 | {
185 | "cell_type": "markdown",
186 | "metadata": {},
187 | "source": [
188 | "(1) e (2) são leis comutativas e (3) e (4) são leis associativas. Já (5) e (6) são leis distributivas."
189 | ]
190 | },
191 | {
192 | "cell_type": "markdown",
193 | "metadata": {},
194 | "source": [
195 | "Leis de Morgan:"
196 | ]
197 | },
198 | {
199 | "cell_type": "markdown",
200 | "metadata": {},
201 | "source": [
202 | "1. $\\left(A \\cup B\\right)^{c} = A^{c} \\cap B^{c}$\n",
203 | "2. $\\left(A \\cap B\\right)^{c} = A^{c} \\cup B^{c}$"
204 | ]
205 | },
206 | {
207 | "cell_type": "markdown",
208 | "metadata": {},
209 | "source": [
210 | "Conjuntos disjuntos: A e B são dito disjuntos se $A \\cap B = \\emptyset$."
211 | ]
212 | },
213 | {
214 | "cell_type": "markdown",
215 | "metadata": {},
216 | "source": [
217 | "Produto cartesiano
\n",
218 | "Definição: Sejam dois conjuntos $A$ e $B$. O produto cartesiano de $A$ e $B$, denotado $A \\times B$ é o conjunto $\\{\\left(a,b\\right):a \\in A, b \\in B \\}$, é o conjunto de todos os pares ordenados nos quais o primeiro elemento é tirado de $A$ e o segundo de $B$. Em geral, $A \\times B \\neq B \\times A$. Sejam os conjuntos $A_{1},\\cdots, A_{n}$, então o produto cartesiano $A_{1} \\times A_{2} \\times A_{3} \\times \\cdots \\times A_{n}$ $n$ vezes, $A^{n}$ é dado por $A^{n} = \\{\\left(a_{1},a_{2},a_{3},\\cdots,a_{n}\\right),a_{i} \\in A_{i}\\}$, isto é, o conjunto de todas as ênuplas ordenadas."
219 | ]
220 | },
221 | {
222 | "cell_type": "markdown",
223 | "metadata": {},
224 | "source": [
225 | "Notação:\n",
226 | "
$\\prod\\limits_{i=1}^{n}A_{i} = A_{1}\\times A_{2} \\times A_{3} \\times \\cdots \\times A_{n}$"
227 | ]
228 | },
229 | {
230 | "cell_type": "markdown",
231 | "metadata": {},
232 | "source": [
233 | "* Exemplo: Sejam $A = \\{1,2,3\\}$ e $B = \\{1,2,3,4\\}$. Então: $A \\times B = \\{\\left(1,1\\right),\\left(1,2\\right),\\left(1,2\\right),\\left(1,3\\right),\\left(1,4\\right),\\left(2,1\\right) \\cdots \\left(3,4\\right)\\}$."
234 | ]
235 | },
236 | {
237 | "cell_type": "markdown",
238 | "metadata": {},
239 | "source": [
240 | "Número de elementos de um conjunto"
241 | ]
242 | },
243 | {
244 | "cell_type": "markdown",
245 | "metadata": {},
246 | "source": [
247 | "* Se existir um número finito de elementos no conjunto $A$, $a_{1},a_{2},a_{3}, \\dots a_{n}$, diremos que $A$ é finito.\n",
248 | "* Se existir um número infinito de elementos em $A$, os quais possam ser postos em correspondência biunívoca com os inteiros positivos, então diremos que $A$ é numerável ou infinito numerável.\n",
249 | "* Um conjunto que possui um número infinito de elementos que não podem ser enumerados, é dito conjunto infinito não-numerável."
250 | ]
251 | }
252 | ],
253 | "metadata": {
254 | "kernelspec": {
255 | "display_name": "Python 3",
256 | "language": "python",
257 | "name": "python3"
258 | },
259 | "language_info": {
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263 | },
264 | "file_extension": ".py",
265 | "mimetype": "text/x-python",
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268 | "pygments_lexer": "ipython3",
269 | "version": "3.8.10"
270 | }
271 | },
272 | "nbformat": 4,
273 | "nbformat_minor": 4
274 | }
275 |
--------------------------------------------------------------------------------