├── README.md ├── colloq.aux ├── colloq.log ├── colloq.pdf ├── colloq.tex ├── hw-theory.pdf ├── hw-theory.tex ├── lab ├── contest-mathlog-2021-ru.pdf ├── problem-b │ ├── a.good │ ├── b.good │ ├── c.wrong │ └── d.wrong └── problem-c │ ├── a.wrong │ ├── a.wrong.answer │ ├── b.good │ ├── c.good │ ├── d.good │ └── e.good ├── questions.pdf └── questions.tex /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Курс математической логики, КТ, весна 2020 2 | ========================== 3 | ## Материалы 4 | + [Конспект 2018 года](https://github.com/shd/logic2018/blob/master/conspect.pdf) 5 | + [Конспект 2011 года](https://github.com/shd/logic2011/blob/master/conspect.pdf) 6 | + [Теоретические домашние задания](https://github.com/shd/logic2021/blob/master/hw-theory.pdf) 7 | 8 | + [Краткая инструкция по утилите make](https://github.com/shd/logic2018/blob/master/make.pdf) 9 | 10 | ## Лекция 1 11 | ### Исчисление высказываний 12 | + Немного об истории вопроса 13 | + Язык исчисления высказываний 14 | + Оценка высказываний 15 | + Общезначимость, следование, выполнимость 16 | + Доказательство высказываний, выводимость 17 | ### Где почитать 18 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 19 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 20 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 21 | + Джордж Беркли, «Аналитик. Беседа, адресованная неверному математику: 22 | где исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливо 23 | задуманы или более явно выведены, чем религиозные мистерии и точки веры» --- М.: Мысль, 1978 24 | 25 | ## Лекция 2 26 | ### Теоремы об исчислении высказываний 27 | + Базовые определения: следование, корректность и полнота 28 | + Теорема о дедукции 29 | + Теорема о корректности И.В. 30 | + Теорема о полноте И.В. 31 | + Введение в интуиционистское исчисление высказываний 32 | ### Где почитать 33 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 34 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 35 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 36 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 37 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 38 | + В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 (http://lpcs.math.msu.su/~plisko/intlog.pdf) 39 | 40 | ## Лекция 3 41 | ### Варианты и модели интуиционистского исчисления высказываний. 42 | + Натуральный вывод. Аксиоматика ИИВ и натуральный вывод. 43 | + Решётки. 44 | + Импликация. Дистрибутивные и импликативные решётки. 45 | + Алгебра Гейтинга и булева алгебра. 46 | + Топология. Топология как алгебра Гейтинга. 47 | ### Где почитать 48 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 49 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 50 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 51 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 52 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 53 | + В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 (http://lpcs.math.msu.su/~plisko/intlog.pdf) 54 | 55 | ## Лекция 4 56 | ### Теоремы об интуиционистской логике. 57 | + Нетабличность интуиционистской логики. 58 | + Гёделевы алгебры. 59 | + Дизъюнктивность интуиционистской логики. 60 | ### Где почитать 61 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 62 | + В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 (http://lpcs.math.msu.su/~plisko/intlog.pdf) 63 | 64 | ## Лекция 5 65 | ### Изоморфизм Карри-Ховарда; исчисление предикатов 66 | + Изоморфизм Карри-Ховарда. 67 | + Алгебраические типы. 68 | + Язык исчисления предикатов. 69 | + Оценка формул исчисления предикатов. 70 | + Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов. 71 | ### Где почитать 72 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 73 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 74 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 75 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 76 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 77 | 78 | ## Лекция 6. 79 | ### Теорема о полноте исчисления предикатов (1 часть). 80 | + Непротиворечивые множества замкнутых (бескванторных) формул 81 | + Модели непротиворечивых множеств замкнутых бескванторных формул 82 | + Формулировка теоремы Гёделя о полноте исчисления предикатов 83 | + Полнота исчисления предикатов (следствие из теоремы Гёделя)\ 84 | ### Где почитать 85 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 86 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 87 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 88 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 89 | 90 | ## Лекция 7. 91 | ### Теорема о полноте исчисления предикатов (2 часть). 92 | + Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов, доказательство 93 | + Неразрешимость исчисления предикатов 94 | ### Где почитать 95 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 96 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 97 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 98 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 99 | 100 | ## Лекция 8. 101 | ### Формальная арифметика 102 | + Теории первого порядка 103 | + Аксиоматика Пеано 104 | + Формальная арифметика 105 | + Выразимость отношений и представимость функций в формальной арифметике 106 | ### Где почтитать 107 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 108 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 109 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 110 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 111 | + Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971. 112 | 113 | ## Лекция 9. 114 | ### Рекурсивные функции. 115 | + Примитивно-рекурсивные функции 116 | + Операция минимизации, рекурсивные функции, функция Аккермана 117 | + Бета-функция Гёделя 118 | + Представимость рекурсивных функций в формальной арифметике 119 | ### Где почтитать 120 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 121 | + Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971. 122 | 123 | ## Лекция 10. 124 | ### Теоремы Гёделя о неполноте арифметики 125 | + Гёделева нумерация. 126 | + Рекурсивность представимых функций в формальной арифметике. 127 | + Теорема Гёделя №1 о неполноте формальной арифметики. 128 | + Теорема Гёделя №1 о неполноте формальной арифметики в форме Россера. 129 | + Теорема Гёделя №2 о неполноте формальной арифметики. 130 | ### Где почтитать 131 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 132 | + Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971. 133 | + Гилберт Д., Бернайс П., Основания математики --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1982. 134 | 135 | ## Лекция 11. 136 | ### Теория множеств 137 | + Наивная теория множеств Георга Кантора и парадоксы в ней. 138 | + Теория множеств как теория первого порядка. 139 | + Аксиоматика Цермело-Френкеля 140 | + Ординальные числа 141 | ### Где почитать 142 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 143 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 144 | + Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010 145 | 146 | ## Лекция 12. 147 | ### Теоремы о теории множеств 148 | + Аксиома выбора 149 | + Аксиома фундирования и схема аксиом подстановки 150 | + Кардинальные числа 151 | + Теорема Кантора 152 | + Теорема Кантора-Бернштейна 153 | ### Где почитать 154 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 155 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 156 | + Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010 157 | -------------------------------------------------------------------------------- /colloq.aux: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \relax 2 | \@nameuse{bbl@beforestart} 3 | \catcode `"\active 4 | \babel@aux{russian}{} 5 | -------------------------------------------------------------------------------- /colloq.log: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.20 (TeX Live 2019/Debian) (preloaded format=pdflatex 2020.10.8) 22 APR 2021 23:01 2 | entering extended mode 3 | restricted \write18 enabled. 4 | %&-line parsing enabled. 5 | **colloq.tex 6 | (./colloq.tex 7 | LaTeX2e <2020-02-02> patch level 2 8 | L3 programming layer <2020-02-14> 9 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls 10 | Document Class: article 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX document class 11 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo 12 | File: size11.clo 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX file (size option) 13 | ) 14 | \c@part=\count167 15 | \c@section=\count168 16 | \c@subsection=\count169 17 | \c@subsubsection=\count170 18 | \c@paragraph=\count171 19 | \c@subparagraph=\count172 20 | \c@figure=\count173 21 | \c@table=\count174 22 | \abovecaptionskip=\skip47 23 | \belowcaptionskip=\skip48 24 | \bibindent=\dimen134 25 | ) 26 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty 27 | Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file 28 | \inpenc@prehook=\toks14 29 | \inpenc@posthook=\toks15 30 | ) 31 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty 32 | Package: babel 2020/02/14 3.40 The Babel package 33 | 34 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/switch.def 35 | File: switch.def 2020/02/14 3.40 Babel switching mechanism 36 | ) 37 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-english/english.ldf 38 | Language: english 2017/06/06 v3.3r English support from the babel system 39 | 40 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def 41 | File: babel.def 2020/02/14 3.40 Babel common definitions 42 | \babel@savecnt=\count175 43 | \U@D=\dimen135 44 | 45 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def) 46 | \bbl@readstream=\read2 47 | \bbl@dirlevel=\count176 48 | ) 49 | Package babel Info: \l@canadian = using hyphenrules for english 50 | (babel) (\language0) on input line 102. 51 | Package babel Info: \l@australian = using hyphenrules for ukenglish 52 | (babel) (\language6) on input line 105. 53 | Package babel Info: \l@newzealand = using hyphenrules for ukenglish 54 | (babel) (\language6) on input line 108. 55 | ) 56 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-russian/russianb.ldf 57 | Language: russian 2017/08/12 1.3j Russian support for the Babel system 58 | 59 | 60 | Package babel Warning: No Cyrillic font encoding has been loaded so far. 61 | (babel) A font encoding should be declared before babel. 62 | (babel) Default `T2A' encoding will be loaded on input line 74. 63 | 64 | 65 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2aenc.def 66 | File: t2aenc.def 2005/09/27 v1.0i Cyrillic encoding definition file 67 | Now handling font encoding T2A ... 68 | ... processing UTF-8 mapping file for font encoding T2A 69 | 70 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/t2aenc.dfu 71 | File: t2aenc.dfu 2019/11/14 v1.2k UTF-8 support for inputenc 72 | defining Unicode char U+00A4 (decimal 164) 73 | defining Unicode char U+00A7 (decimal 167) 74 | defining Unicode char U+00AB (decimal 171) 75 | defining Unicode char U+00BB (decimal 187) 76 | defining Unicode char U+0131 (decimal 305) 77 | defining Unicode char U+0237 (decimal 567) 78 | defining Unicode char U+0400 (decimal 1024) 79 | defining Unicode char U+0401 (decimal 1025) 80 | defining Unicode char U+0402 (decimal 1026) 81 | defining Unicode char U+0403 (decimal 1027) 82 | defining Unicode char U+0404 (decimal 1028) 83 | defining Unicode char U+0405 (decimal 1029) 84 | defining Unicode char U+0406 (decimal 1030) 85 | defining Unicode char U+0407 (decimal 1031) 86 | defining Unicode char U+0408 (decimal 1032) 87 | defining Unicode char U+0409 (decimal 1033) 88 | defining Unicode char U+040A (decimal 1034) 89 | defining Unicode char U+040B (decimal 1035) 90 | defining Unicode char U+040C (decimal 1036) 91 | defining Unicode char U+040D (decimal 1037) 92 | defining Unicode char U+040E (decimal 1038) 93 | defining Unicode char U+040F (decimal 1039) 94 | defining Unicode char U+0410 (decimal 1040) 95 | defining Unicode char U+0411 (decimal 1041) 96 | defining Unicode char U+0412 (decimal 1042) 97 | defining Unicode char U+0413 (decimal 1043) 98 | defining Unicode char U+0414 (decimal 1044) 99 | defining Unicode char U+0415 (decimal 1045) 100 | defining Unicode char U+0416 (decimal 1046) 101 | defining Unicode char U+0417 (decimal 1047) 102 | defining Unicode char U+0418 (decimal 1048) 103 | defining Unicode char U+0419 (decimal 1049) 104 | defining Unicode char U+041A (decimal 1050) 105 | defining Unicode char U+041B (decimal 1051) 106 | defining Unicode char U+041C (decimal 1052) 107 | defining Unicode char U+041D (decimal 1053) 108 | defining Unicode char U+041E (decimal 1054) 109 | defining Unicode char U+041F (decimal 1055) 110 | defining Unicode char U+0420 (decimal 1056) 111 | defining Unicode char U+0421 (decimal 1057) 112 | defining Unicode char U+0422 (decimal 1058) 113 | defining Unicode char U+0423 (decimal 1059) 114 | defining Unicode char U+0424 (decimal 1060) 115 | defining Unicode char U+0425 (decimal 1061) 116 | defining Unicode char U+0426 (decimal 1062) 117 | defining Unicode char U+0427 (decimal 1063) 118 | defining Unicode char U+0428 (decimal 1064) 119 | defining Unicode char U+0429 (decimal 1065) 120 | defining Unicode char U+042A (decimal 1066) 121 | defining Unicode char U+042B (decimal 1067) 122 | defining Unicode char U+042C (decimal 1068) 123 | defining Unicode char U+042D (decimal 1069) 124 | defining Unicode char U+042E (decimal 1070) 125 | defining Unicode char U+042F (decimal 1071) 126 | defining Unicode char U+0430 (decimal 1072) 127 | defining Unicode char U+0431 (decimal 1073) 128 | defining Unicode char U+0432 (decimal 1074) 129 | defining Unicode char U+0433 (decimal 1075) 130 | defining Unicode char U+0434 (decimal 1076) 131 | defining Unicode char U+0435 (decimal 1077) 132 | defining Unicode char U+0436 (decimal 1078) 133 | defining Unicode char U+0437 (decimal 1079) 134 | defining Unicode char U+0438 (decimal 1080) 135 | defining Unicode char U+0439 (decimal 1081) 136 | defining Unicode char U+043A (decimal 1082) 137 | defining Unicode char U+043B (decimal 1083) 138 | defining Unicode char U+043C (decimal 1084) 139 | defining Unicode char U+043D (decimal 1085) 140 | defining Unicode char U+043E (decimal 1086) 141 | defining Unicode char U+043F (decimal 1087) 142 | defining Unicode char U+0440 (decimal 1088) 143 | defining Unicode char U+0441 (decimal 1089) 144 | defining Unicode char U+0442 (decimal 1090) 145 | defining Unicode char U+0443 (decimal 1091) 146 | defining Unicode char U+0444 (decimal 1092) 147 | defining Unicode char U+0445 (decimal 1093) 148 | defining Unicode char U+0446 (decimal 1094) 149 | defining Unicode char U+0447 (decimal 1095) 150 | defining Unicode char U+0448 (decimal 1096) 151 | defining Unicode char U+0449 (decimal 1097) 152 | defining Unicode char U+044A (decimal 1098) 153 | defining Unicode char U+044B (decimal 1099) 154 | defining Unicode char U+044C (decimal 1100) 155 | defining Unicode char U+044D (decimal 1101) 156 | defining Unicode char U+044E (decimal 1102) 157 | defining Unicode char U+044F (decimal 1103) 158 | defining Unicode char U+0450 (decimal 1104) 159 | defining Unicode char U+0451 (decimal 1105) 160 | defining Unicode char U+0452 (decimal 1106) 161 | defining Unicode char U+0453 (decimal 1107) 162 | defining Unicode char U+0454 (decimal 1108) 163 | defining Unicode char U+0455 (decimal 1109) 164 | defining Unicode char U+0456 (decimal 1110) 165 | defining Unicode char U+0457 (decimal 1111) 166 | defining Unicode char U+0458 (decimal 1112) 167 | defining Unicode char U+0459 (decimal 1113) 168 | defining Unicode char U+045A (decimal 1114) 169 | defining Unicode char U+045B (decimal 1115) 170 | defining Unicode char U+045C (decimal 1116) 171 | defining Unicode char U+045D (decimal 1117) 172 | defining Unicode char U+045E (decimal 1118) 173 | defining Unicode char U+045F (decimal 1119) 174 | defining Unicode char U+0490 (decimal 1168) 175 | defining Unicode char U+0491 (decimal 1169) 176 | defining Unicode char U+0492 (decimal 1170) 177 | defining Unicode char U+0493 (decimal 1171) 178 | defining Unicode char U+0496 (decimal 1174) 179 | defining Unicode char U+0497 (decimal 1175) 180 | defining Unicode char U+0498 (decimal 1176) 181 | defining Unicode char U+0499 (decimal 1177) 182 | defining Unicode char U+049A (decimal 1178) 183 | defining Unicode char U+049B (decimal 1179) 184 | defining Unicode char U+049C (decimal 1180) 185 | defining Unicode char U+049D (decimal 1181) 186 | defining Unicode char U+04A0 (decimal 1184) 187 | defining Unicode char U+04A1 (decimal 1185) 188 | defining Unicode char U+04A2 (decimal 1186) 189 | defining Unicode char U+04A3 (decimal 1187) 190 | defining Unicode char U+04A4 (decimal 1188) 191 | defining Unicode char U+04A5 (decimal 1189) 192 | defining Unicode char U+04AA (decimal 1194) 193 | defining Unicode char U+04AB (decimal 1195) 194 | defining Unicode char U+04AE (decimal 1198) 195 | defining Unicode char U+04AF (decimal 1199) 196 | defining Unicode char U+04B0 (decimal 1200) 197 | defining Unicode char U+04B1 (decimal 1201) 198 | defining Unicode char U+04B2 (decimal 1202) 199 | defining Unicode char U+04B3 (decimal 1203) 200 | defining Unicode char U+04B6 (decimal 1206) 201 | defining Unicode char U+04B7 (decimal 1207) 202 | defining Unicode char U+04B8 (decimal 1208) 203 | defining Unicode char U+04B9 (decimal 1209) 204 | defining Unicode char U+04BA (decimal 1210) 205 | defining Unicode char U+04BB (decimal 1211) 206 | defining Unicode char U+04C0 (decimal 1216) 207 | defining Unicode char U+04C1 (decimal 1217) 208 | defining Unicode char U+04C2 (decimal 1218) 209 | defining Unicode char U+04D0 (decimal 1232) 210 | defining Unicode char U+04D1 (decimal 1233) 211 | defining Unicode char U+04D2 (decimal 1234) 212 | defining Unicode char U+04D3 (decimal 1235) 213 | defining Unicode char U+04D4 (decimal 1236) 214 | defining Unicode char U+04D5 (decimal 1237) 215 | defining Unicode char U+04D6 (decimal 1238) 216 | defining Unicode char U+04D7 (decimal 1239) 217 | defining Unicode char U+04D8 (decimal 1240) 218 | defining Unicode char U+04D9 (decimal 1241) 219 | defining Unicode char U+04DA (decimal 1242) 220 | defining Unicode char U+04DB (decimal 1243) 221 | defining Unicode char U+04DC (decimal 1244) 222 | defining Unicode char U+04DD (decimal 1245) 223 | defining Unicode char U+04DE (decimal 1246) 224 | defining Unicode char U+04DF (decimal 1247) 225 | defining Unicode char U+04E2 (decimal 1250) 226 | defining Unicode char U+04E3 (decimal 1251) 227 | defining Unicode char U+04E4 (decimal 1252) 228 | defining Unicode char U+04E5 (decimal 1253) 229 | defining Unicode char U+04E6 (decimal 1254) 230 | defining Unicode char U+04E7 (decimal 1255) 231 | defining Unicode char U+04E8 (decimal 1256) 232 | defining Unicode char U+04E9 (decimal 1257) 233 | defining Unicode char U+04EC (decimal 1260) 234 | defining Unicode char U+04ED (decimal 1261) 235 | defining Unicode char U+04EE (decimal 1262) 236 | defining Unicode char U+04EF (decimal 1263) 237 | defining Unicode char U+04F0 (decimal 1264) 238 | defining Unicode char U+04F1 (decimal 1265) 239 | defining Unicode char U+04F2 (decimal 1266) 240 | defining Unicode char U+04F3 (decimal 1267) 241 | defining Unicode char U+04F4 (decimal 1268) 242 | defining Unicode char U+04F5 (decimal 1269) 243 | defining Unicode char U+04F8 (decimal 1272) 244 | defining Unicode char U+04F9 (decimal 1273) 245 | defining Unicode char U+200C (decimal 8204) 246 | defining Unicode char U+2013 (decimal 8211) 247 | defining Unicode char U+2014 (decimal 8212) 248 | defining Unicode char U+2018 (decimal 8216) 249 | defining Unicode char U+2019 (decimal 8217) 250 | defining Unicode char U+201C (decimal 8220) 251 | defining Unicode char U+201D (decimal 8221) 252 | defining Unicode char U+201E (decimal 8222) 253 | defining Unicode char U+2030 (decimal 8240) 254 | defining Unicode char U+2031 (decimal 8241) 255 | defining Unicode char U+2116 (decimal 8470) 256 | defining Unicode char U+2329 (decimal 9001) 257 | defining Unicode char U+232A (decimal 9002) 258 | defining Unicode char U+2423 (decimal 9251) 259 | defining Unicode char U+27E8 (decimal 10216) 260 | defining Unicode char U+27E9 (decimal 10217) 261 | defining Unicode char U+FB00 (decimal 64256) 262 | defining Unicode char U+FB01 (decimal 64257) 263 | defining Unicode char U+FB02 (decimal 64258) 264 | defining Unicode char U+FB03 (decimal 64259) 265 | defining Unicode char U+FB04 (decimal 64260) 266 | defining Unicode char U+FB05 (decimal 64261) 267 | defining Unicode char U+FB06 (decimal 64262) 268 | )) 269 | Package babel Info: Making " an active character on input line 120. 270 | Package babel Info: Default for \cyrdash is provided on input line 157. 271 | )) 272 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty 273 | Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols 274 | 275 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty 276 | Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support 277 | \@emptytoks=\toks16 278 | \symAMSa=\mathgroup4 279 | \symAMSb=\mathgroup5 280 | LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98. 281 | LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold' 282 | (Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106. 283 | )) 284 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/stmaryrd.sty 285 | Package: stmaryrd 1994/03/03 St Mary's Road symbol package 286 | \symstmry=\mathgroup6 287 | LaTeX Font Info: Overwriting symbol font `stmry' in version `bold' 288 | (Font) U/stmry/m/n --> U/stmry/b/n on input line 89. 289 | ) 290 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/geometry/geometry.sty 291 | Package: geometry 2020/01/02 v5.9 Page Geometry 292 | 293 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty 294 | Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC) 295 | \KV@toks@=\toks17 296 | ) 297 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/ifvtex.sty 298 | Package: ifvtex 2019/10/25 v1.7 ifvtex legacy package. Use iftex instead. 299 | 300 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty 301 | Package: iftex 2019/11/07 v1.0c TeX engine tests 302 | )) 303 | \Gm@cnth=\count177 304 | \Gm@cntv=\count178 305 | \c@Gm@tempcnt=\count179 306 | \Gm@bindingoffset=\dimen136 307 | \Gm@wd@mp=\dimen137 308 | \Gm@odd@mp=\dimen138 309 | \Gm@even@mp=\dimen139 310 | \Gm@layoutwidth=\dimen140 311 | \Gm@layoutheight=\dimen141 312 | \Gm@layouthoffset=\dimen142 313 | \Gm@layoutvoffset=\dimen143 314 | \Gm@dimlist=\toks18 315 | ) 316 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def 317 | File: l3backend-pdfmode.def 2020-02-03 L3 backend support: PDF mode 318 | \l__kernel_color_stack_int=\count180 319 | \l__pdf_internal_box=\box45 320 | ) 321 | No file colloq.aux. 322 | \openout1 = `colloq.aux'. 323 | 324 | LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 12. 325 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 326 | LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 12. 327 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 328 | LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 12. 329 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 330 | LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 12. 331 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 332 | LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 12. 333 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 334 | LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 12. 335 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 336 | LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 12. 337 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 338 | LaTeX Font Info: Checking defaults for T2A/cmr/m/n on input line 12. 339 | LaTeX Font Info: Trying to load font information for T2A+cmr on input line 1 340 | 2. 341 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/cyrillic/t2acmr.fd 342 | File: t2acmr.fd 2001/08/11 v1.0a Computer Modern Cyrillic font definitions 343 | ) 344 | LaTeX Font Info: ... okay on input line 12. 345 | 346 | *geometry* driver: auto-detecting 347 | *geometry* detected driver: pdftex 348 | *geometry* verbose mode - [ preamble ] result: 349 | * driver: pdftex 350 | * paper: a4paper 351 | * layout: 352 | * layoutoffset:(h,v)=(0.0pt,0.0pt) 353 | * modes: 354 | * h-part:(L,W,R)=(56.9055pt, 483.69687pt, 56.9055pt) 355 | * v-part:(T,H,B)=(56.9055pt, 731.23584pt, 56.9055pt) 356 | * \paperwidth=597.50787pt 357 | * \paperheight=845.04684pt 358 | * \textwidth=483.69687pt 359 | * \textheight=731.23584pt 360 | * \oddsidemargin=-15.36449pt 361 | * \evensidemargin=-15.36449pt 362 | * \topmargin=-52.36449pt 363 | * \headheight=12.0pt 364 | * \headsep=25.0pt 365 | * \topskip=11.0pt 366 | * \footskip=30.0pt 367 | * \marginparwidth=50.0pt 368 | * \marginparsep=10.0pt 369 | * \columnsep=10.0pt 370 | * \skip\footins=10.0pt plus 4.0pt minus 2.0pt 371 | * \hoffset=0.0pt 372 | * \voffset=0.0pt 373 | * \mag=1000 374 | * \@twocolumnfalse 375 | * \@twosidefalse 376 | * \@mparswitchfalse 377 | * \@reversemarginfalse 378 | * (1in=72.27pt=25.4mm, 1cm=28.453pt) 379 | 380 | LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 50. 381 | 382 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd 383 | File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A 384 | ) 385 | LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 50. 386 | 387 | 388 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd 389 | File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B 390 | ) 391 | LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+stmry on input line 5 392 | 0. 393 | 394 | (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/stmaryrd/Ustmry.fd) [1 395 | 396 | {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] (./colloq.aux) ) 397 | Here is how much of TeX's memory you used: 398 | 2969 strings out of 481239 399 | 37870 string characters out of 5920377 400 | 281830 words of memory out of 5000000 401 | 18227 multiletter control sequences out of 15000+600000 402 | 542045 words of font info for 51 fonts, out of 8000000 for 9000 403 | 1141 hyphenation exceptions out of 8191 404 | 30i,4n,31p,238b,137s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s 405 | {/usr/shar 406 | e/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-ts1.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/d 407 | vips/cm-super/cm-super-t2a.enc} 413 | Output written on colloq.pdf (1 page, 84767 bytes). 414 | PDF statistics: 415 | 36 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) 416 | 26 compressed objects within 1 object stream 417 | 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 418 | 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) 419 | 420 | -------------------------------------------------------------------------------- /colloq.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2021/7dbea3c997352c9f53cac30755915f1f92b43a33/colloq.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /colloq.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{amssymb} 5 | %\usepackage{amsmath} 6 | %\usepackage{mathabx} 7 | \usepackage{stmaryrd} 8 | \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry} 9 | %\usepackage{bnf} 10 | \newcommand{\lit}[1]{\mbox{`\texttt{#1}'}} 11 | \newcommand{\ntm}[1]{<\mbox{#1}>} 12 | \begin{document} 13 | 14 | 15 | \begin{center} 16 | \begin{Large}{\bfseries Вопросы к коллоквиуму по курсу <<Математическая логика>>}\end{Large}\\ 17 | \vspace{1mm} 18 | \begin{small} ИТМО, группы M3234..M3239\end{small}\\ 19 | \small 23 апреля 2021 г. 20 | \end{center} 21 | 22 | Порядок проведения коллоквиума: каждому будет задано два вопроса --- либо 23 | определение (формулировка теоремы) из списка ниже, либо простая очевидная 24 | задача в одно действие на понимание указанных понятий и определений 25 | (\emph{пример:} приведите высказывание, недоказуемое в 26 | классическом исчислении высказываний). Если понятие прямо не перечислено 27 | в списке, но необходимо для формулировки теоремы или другого понятия из 28 | списка (\emph{пример:} понятие нетабличности исчисления), то его определение 29 | также может быть задано в качестве вопроса. 30 | 31 | Ответ на каждый вопрос оценивается в 0, 2 или 4 балла (в зависимости от полноты 32 | ответа); всего за коллоквиум можно получить от 0 до 8 баллов. 33 | 34 | \begin{itemize} 35 | \item Топология: топологическое пространство, 36 | открытое и замкнутое множество, внутренность и замыкание множества, топология стрелки, 37 | дискретная топология, топология на частично упорядоченном множестве, 38 | индуцированная топология на подпространстве, связность. 39 | \item Исчисление высказываний: метапеременные, пропозициональные переменные, 40 | высказывания, аксиомы, схемы аксиом, правило Modus Ponens, доказательство, 41 | вывод из гипотез, доказуемость, множество истинностных значений, 42 | модель (оценка переменных), оценка высказывания, общезначимость, 43 | выполнимость, невыполнимость, следование, корректность, полнота, 44 | противоречивость; формулировка теорем о дедукции, о корректности и о полноте И.В. 45 | \item Интуиционистское исчисление высказываний: 46 | закон исключённого третьего, закон снятия двойного отрицания, 47 | закон Пирса, BHK-интер\-пре\-та\-ция логических связок, теорема Гливенко, 48 | решётка, дистрибутивная решётка, импликативная решётка, 49 | алгебра Гейтинга, булева алгебра, 50 | Гёделева алгебра, операция $\Gamma(A)$, алгебра Линденбаума, 51 | формулировка свойства дизъюнктивности И.И.В, формулировка свойства нетабличности И.И.В., 52 | модели Крипке, вынужденность. 53 | \item Исчисление предикатов: 54 | предикатные и функциональные символы, константы и пропозициональные переменные, 55 | свободные и связанные вхождения предметных переменных в формулу, 56 | свобода для подстановки, правила вывода для кванторов, аксиомы исчисления предикатов 57 | для кванторов, оценки и модели в исчислении предикатов, теорема о дедукции для 58 | исчисления предикатов (формулировка), теорема о корректности для исчисления 59 | предикатов (формулировка), полное множество (бескванторных) формул, 60 | модель для формулы, теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов (формулировка), 61 | следствие из теоремы Гёделя о полноте исчисления предикатов, неразрешимость 62 | исчисления предикатов (формулировка, что такое неразрешимость). 63 | \item Арифметика и теории первого порядка: 64 | теория первого порядка, модели и структуры теорий первого порядка, 65 | аксиоматика Пеано, определение операций (сложение, умножение, возведение в степень), 66 | формальная арифметика (язык, схема аксиом индукции и общая характеристика остальных аксиом). 67 | \end{itemize} 68 | 69 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /hw-theory.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2021/7dbea3c997352c9f53cac30755915f1f92b43a33/hw-theory.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /hw-theory.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[10pt,a4paper,oneside]{article} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{amsmath} 5 | \usepackage{amsthm} 6 | \usepackage{amssymb} 7 | \usepackage{enumerate} 8 | \usepackage{stmaryrd} 9 | \usepackage{cmll} 10 | \usepackage{mathrsfs} 11 | \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,bindingoffset=0cm]{geometry} 12 | \usepackage{proof} 13 | \usepackage{tikz} 14 | \usepackage{multicol} 15 | \usepackage{mathabx} 16 | 17 | \makeatletter 18 | \newcommand{\dotminus}{\mathbin{\text{\@dotminus}}} 19 | 20 | \newcommand{\@dotminus}{% 21 | \ooalign{\hidewidth\raise1ex\hbox{.}\hidewidth\cr$\m@th-$\cr}% 22 | } 23 | \makeatother 24 | 25 | \usetikzlibrary{arrows,backgrounds,patterns,matrix,shapes,fit,calc,shadows,plotmarks} 26 | 27 | \newtheorem{definition}{Определение} 28 | \begin{document} 29 | 30 | \begin{center}{\Large\textsc{\textbf{Теоретические (``малые'') домашние задания}}}\\ 31 | \it Математическая логика, ИТМО, М3235-М3239, весна 2021 года\end{center} 32 | 33 | \section*{Задание №1. Знакомство с исчислением высказываний.} 34 | 35 | В рамках данного задания мы рассматриваем классическое исчисление высказываний с классическим 36 | множеством истинностных значений $\{\text{И}, \text{Л}\}$. 37 | 38 | \begin{enumerate} 39 | 40 | \item Будем говорить, что высказывание общезначимо, если выполнено при любой оценке. 41 | Высказывание выполнимо, если существует оценка, при которой оно истинно. 42 | Высказывание опровержимо, если существует оценка, при которой оно ложно. 43 | Высказывание невыполнимо, если нет оценки, при которой оно истинно. 44 | Укажите про каждое из следующих высказываний, общезначимо, выполнимо, опровержимо или невыполнимо ли оно: 45 | \begin{enumerate} 46 | \item $\neg A\vee\neg\neg A$ 47 | \item $(A\rightarrow\neg B)\vee(B\rightarrow\neg C)\vee(C\rightarrow\neg A)$ 48 | \item $(((P\rightarrow Q)\rightarrow P)\rightarrow P)$ 49 | \item $\neg A \with \neg \neg A$ 50 | \item $\neg (A \with \neg A)$ 51 | \item $A$ 52 | \item $A \rightarrow A$ 53 | \item $A \rightarrow \neg A$ 54 | \item $(A \rightarrow B) \vee (B \rightarrow A)$ 55 | \end{enumerate} 56 | 57 | \item Простые доказательства. Рассмотрим доказательства в классическом исчислении 58 | высказываний, здесь используются следующие десять схем аксиом: 59 | 60 | \begin{tabular}{ll} 61 | (1) & $\phi \rightarrow (\psi \rightarrow \phi)$ \\ 62 | (2) & $(\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (\phi \rightarrow \psi \rightarrow \pi) \rightarrow (\phi \rightarrow \pi)$ \\ 63 | (3) & $\phi \rightarrow \psi \rightarrow \phi \with \psi$\\ 64 | (4) & $\phi \with \psi \rightarrow \phi$\\ 65 | (5) & $\phi \with \psi \rightarrow \psi$\\ 66 | (6) & $\phi \rightarrow \phi \vee \psi$\\ 67 | (7) & $\psi \rightarrow \phi \vee \psi$\\ 68 | (8) & $(\phi \rightarrow \pi) \rightarrow (\psi \rightarrow \pi) \rightarrow (\phi \vee \psi \rightarrow \pi)$\\ 69 | (9) & $(\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (\phi \rightarrow \neg \psi) \rightarrow \neg \phi$\\ 70 | (10) & $\neg \neg \phi \rightarrow \phi$ 71 | \end{tabular} 72 | 73 | Докажите: 74 | \begin{enumerate} 75 | \item $\vdash A \rightarrow A$ 76 | \item $\vdash (A \rightarrow A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow B)$ 77 | \item $\vdash \neg (A \with \neg A)$ 78 | \item $\vdash A \with B \rightarrow B \with A$ 79 | \item $\vdash A \rightarrow \neg \neg A$ 80 | \item $A \with \neg A \vdash B$ 81 | \end{enumerate} 82 | 83 | \item Известна теорема о дедукции: $\Gamma, \alpha \vdash \beta$ тогда и только тогда, 84 | когда $\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$. Докажите с её использованием: 85 | \begin{enumerate} 86 | \item $\neg A, B \vdash \neg(A\& B)$ 87 | \item $A,\neg B \vdash \neg( A\& B)$ 88 | \item $\neg A,\neg B \vdash \neg( A\& B)$ 89 | \item $\neg A,\neg B \vdash \neg( A\vee B)$ 90 | \item $ A,\neg B \vdash \neg( A\rightarrow B)$ 91 | \item $\neg A, B \vdash A\rightarrow B$ 92 | \item $\neg A,\neg B \vdash A\rightarrow B$ 93 | \item $\vdash (A \rightarrow B) \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C)$ 94 | \item $\vdash (A \rightarrow B) \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow (C \rightarrow A)$ 95 | \item Закон контрапозиции: $\vdash (A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$ 96 | \end{enumerate} 97 | 98 | \item Докажите: 99 | \begin{enumerate} 100 | \item $\vdash A \vee \neg A$ \emph{(правило исключённого третьего)} 101 | \item $\vdash A \with B \rightarrow \neg (\neg A \vee \neg B)$ 102 | \item $\vdash \neg (\neg A \with \neg B) \rightarrow A \vee B$ 103 | \item $\vdash A \with B \rightarrow A \vee B$ 104 | \item $\vdash ((A \rightarrow B) \rightarrow A)\rightarrow A$ \emph{(закон Пирса)} 105 | \end{enumerate} 106 | 107 | \item Даны высказывания $\alpha$ и $\beta$, причём $\vdash \alpha\rightarrow\beta$ и $\alpha\not\equiv\beta$. 108 | Укажите способ построения высказывания $\gamma$, такого, что 109 | $\vdash\alpha\rightarrow\gamma$ и $\vdash\gamma\rightarrow\beta$, причём $\alpha\not\equiv\gamma$ и 110 | $\beta\not\equiv\gamma$. 111 | 112 | \item Покажите, что если $\alpha \vdash \beta$ и $\neg\alpha\vdash\beta$, то $\vdash\beta$. 113 | \end{enumerate} 114 | 115 | \section*{Задание №2. Теоремы о полноте и корректности классической логики, интуиционистская логика.} 116 | 117 | \begin{enumerate} 118 | \item Покажите, что если $\Gamma \vdash \alpha$, то $\Gamma \models \alpha$. 119 | 120 | \item Покажите, что если $\Gamma \models \alpha$, то $\Gamma \vdash \alpha$. 121 | 122 | \item \emph{О законе исключённого третьего.} Покажите, что в интуиционистском исчислении высказываний 123 | доказуемо следующее: 124 | 125 | \begin{enumerate} 126 | \item $((A\rightarrow B)\rightarrow A)\rightarrow A \vdash \neg\neg A \rightarrow A$ 127 | \item $A \vee \neg A \vdash \neg\neg A \rightarrow A$ 128 | \end{enumerate} 129 | 130 | \item Предложим следующий способ оценки интуиционистских высказываний. 131 | Фиксируем некоторое топологическое пространство с носителем $X$ и топологией 132 | (множеством всех открытых множеств) $\Omega\subseteq\wp(X)$. 133 | Множеством истинностных значений выберем $\Omega$. 134 | Соответственно, функция оценок для переменных задаётся как $f_\mathcal{P}: \mathcal{P}\rightarrow\Omega$. 135 | Определим функции оценок для связок так: 136 | $$\begin{array}{rcl} 137 | f_\rightarrow(a,b) &:=& ((X\setminus a) \cup b)^\circ\\ 138 | f_\with(a,b) &:=& a \cap b\\ 139 | f_\vee(a,b) &:=& a \cup b\\ 140 | f_\neg(a) &:=& (X \setminus a)^\circ 141 | \end{array}$$ 142 | Будем считать высказывание истинным, если его оценка --- всё пространство $X$. 143 | Например, при $X = \mathbb{R}$ и $A := (0,\infty), B := (-\infty,1)$ высказывание $A\vee B$ 144 | истинно, но при $A := (0,\infty), B := (-\infty,0)$ оно ложно. 145 | 146 | Известно, что интуиционистское исчисление высказываний корректно и полно при таком способе 147 | оценки --- в частности это значит, что если формула $\alpha$ недоказуема, 148 | то найдётся такое топологическое пространство $X$ 149 | и такие оценки для пропозициональных переменных, что $\llbracket\alpha\rrbracket \neq X$. 150 | Это позволяет показывать недоказуемость высказываний. Например, $\not\vdash A \vee \neg A$: 151 | возьмём $X = \mathbb{R}$ и $A := (0,\infty)$. Тогда $\llbracket \neg A \rrbracket = (-\infty,0)$ 152 | и $\llbracket A \vee \neg A\rrbracket = \mathbb{R}\setminus\{0\} \ne \mathbb{R}$. 153 | 154 | Предложите топологические пространства и оценку для пропозициональных переменных, 155 | опровергающие следующие выскзывания: 156 | 157 | \begin{enumerate} 158 | \item $\neg A \vee \neg\neg A $ 159 | \item $(((A \rightarrow B) \rightarrow A) \rightarrow A)$ 160 | \item $\neg\neg A \rightarrow A$ 161 | \item $(A \rightarrow (B \vee \neg B)) \vee (\neg A \rightarrow (B \vee \neg B))$ 162 | \item $(A \rightarrow B) \vee (B \rightarrow C) \vee (C \rightarrow A)$ 163 | \end{enumerate} 164 | 165 | \item Можно ли, имея $(A \rightarrow B) \vee (B \rightarrow C) \vee (C \rightarrow A)$, доказать 166 | закон исключённого третьего в интуиционистской логике? 167 | 168 | \item Известно, что в классической логике любая связка может быть \emph{выражена} как композиция 169 | конъюнкций и отрицаний: существует схема высказываний, использующая только конъюнкции и отрицания, 170 | задающая высказывание, логически эквивалентное исходной связке. 171 | Например, для импликации можно взять $\neg(\alpha\with\neg\beta)$, ведь 172 | $\alpha\rightarrow\beta\vdash\neg(\alpha\with\neg\beta)$ и $\neg(\alpha\with\neg\beta)\vdash\alpha\rightarrow\beta$. 173 | Возможно ли в интуиционистской логике выразить через остальные связки: 174 | \begin{enumerate} 175 | \item конъюнкцию? 176 | \item дизъюнкцию? 177 | \item импликацию? 178 | \item отрицание? 179 | \end{enumerate} 180 | Если да, предложите формулу и два вывода. Если нет --- докажите это. 181 | 182 | \item Назовём теорию \emph{противоречивой}, если в ней найдётся такое $\alpha$, что $\vdash\alpha$ и $\vdash\neg\alpha$. 183 | Покажите, что исчисления высказываний (классическое и интуиционистское) противоречивы тогда и только тогда, 184 | когда в них доказуема любая формула. 185 | 186 | \item \emph{Теорема Гливенко.} Обозначим доказуемость высказывания $\alpha$ в классической логике 187 | как $\vdash_\text{к}\alpha$, а в интуиционистской --- как $\vdash_\text{и}\alpha$. 188 | Оказывается возможным показать, что какое бы ни было $\alpha$, если $\vdash_\text{к}\alpha$, 189 | то $\vdash_\text{и}\neg\neg\alpha$. А именно, покажите, что: 190 | 191 | \begin{enumerate} 192 | \item Если $\alpha$ --- аксиома, полученная из схем 1--9 исчисления высказываний, то $\vdash_\text{и}\neg\neg\alpha$. 193 | \item $\vdash_\text{и}\neg\neg(\neg\neg\alpha\rightarrow\alpha)$ 194 | \item $\neg\neg\alpha,\neg\neg(\alpha\rightarrow\beta) \vdash_\text{и}\neg\neg\beta$ 195 | \item Докажите утверждение теоремы ($\vdash_\text{к}\alpha$ влечёт $\vdash_\text{и}\neg\neg\alpha$), 196 | опираясь на предыдущие пункты, и покажите, что классическое исчисление высказываний противоречиво 197 | тогда и только тогда, когда противоречиво интуиционистское. 198 | \end{enumerate} 199 | 200 | \end{enumerate} 201 | 202 | \section*{Задание №3. Интуиционистская логика и натуральный вывод.} 203 | \begin{enumerate} 204 | \item Обозначим выводимость в ИИВ <<гильбертовского стиля>> как $\vdash_\text{и}$, 205 | а выводимость в ИИВ <<системы натурального (естественного) вывода>> как $\vdash_\text{е}$. 206 | 207 | Заметим, что хоть языки этих исчислений и отличаются, мы можем построить преобразование 208 | высказываний этих исчислений друг в друга: приняв $\bot \Rightarrow A\with\neg A$ и $\neg \alpha \Rightarrow (\alpha\rightarrow\bot)$. 209 | Будем обозначать высказывания в гильбертовском ИИВ обычными греческими буквами, 210 | а соответствующие им высказывания в ИИВ натурального вывода --- 211 | буквами с апострофами: $\alpha', \beta', \dots$. 212 | 213 | \begin{enumerate} 214 | \item Пусть $\Gamma\vdash_\text{и}\alpha$. Покажите, что $\Gamma\vdash_\text{е}\alpha'$: предложите общую схему 215 | перестроения доказательства, постройте доказательства для одного случая базы и одного случая перехода индукции. 216 | \item Пусть $\Gamma\vdash_\text{е}\alpha'$. Покажите, что $\Gamma\vdash_\text{и}\alpha$. 217 | \end{enumerate} 218 | 219 | \item Рассмотрим $\mathbb{N}_0$ (натуральные числа с нулём) с традиционным отношением порядка как решётку. 220 | Каков будет смысл операций $(+)$ и $(\cdot)$ в данной решётке, есть ли в ней псевдодополнение, 221 | определены ли 0 или 1? Приведите несколько свойств традиционных определений $(+)$ и $(\cdot)$, 222 | которые будут всё равно выполнены при таком переопределении, и несколько свойств, которые перестанут выполняться. 223 | 224 | \item Постройте следующие примеры: 225 | \begin{enumerate} 226 | \item непустого частично-упорядоченного множества, не имеющего операций $(+)$ и $(\cdot)$ ни для каких элементов; 227 | имеющего операцию $(+)$ для всех элементов, но не имеющего $(\cdot)$ для некоторых; 228 | имеющего опреацию $(\cdot)$ для всех элементов, но не имеющего $(+)$ для некоторых. 229 | \item решётки, не являющейся дистрибутивной решёткой; 230 | дистрибутивной, но не импликативной решётки; импликативной решётки без 0. 231 | \end{enumerate} 232 | 233 | \item Покажите следующие тождества и свойства для импликативных решёток: 234 | \begin{enumerate} 235 | \item ассоциативность: $a + (b + c) = (a + b) + c$ и $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$; 236 | \item монотонность: пусть $a \preceq b$ и $c \preceq d$, тогда $a + c \preceq b + d$ и $a \cdot c \preceq b \cdot d$; 237 | \item \emph{Законы поглощения:} $a \cdot (a + b) = a$; $a + (a \cdot b) = a$; 238 | \item $a \preceq b$ выполнено тогда и только тогда, когда $a \rightarrow b = 1$; 239 | \item из $a \preceq b$ следует $b\rightarrow c \preceq a\rightarrow c$ и $c\rightarrow a \preceq c \rightarrow b$; 240 | \item из $a \preceq b \rightarrow c$ следует $a \cdot b \preceq c$; 241 | \item $b \preceq a \rightarrow b$ и $a \rightarrow (b \rightarrow a) = 1$; 242 | \item $a \rightarrow b \preceq ((a \rightarrow (b \rightarrow c)) \rightarrow (a \rightarrow c))$; 243 | \item $a \preceq b \rightarrow a \cdot b$ и $a \rightarrow (b \rightarrow (a \cdot b)) = 1$ 244 | \item $a \rightarrow c \preceq (b \rightarrow c) \rightarrow (a + b \rightarrow c)$ 245 | \end{enumerate} 246 | 247 | \item Покажите, что импликативная решётка дистрибутивна. 248 | \item Покажите, что в дистрибутивной решётке (всегда $(a + b)\cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$) также выполнено 249 | и $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$. 250 | 251 | \item Рассмотрим топологическое пространство $\langle X, \Omega \rangle$, упорядочим его топологию $\Omega$ отношением $\subseteq$. 252 | Покажите, что такая конструкция является псевдобулевой алгеброй, а если топология --- дискретная (любое подмножество $X$ открыто), 253 | то булевой алгеброй. 254 | 255 | \item Докажите, что ИИВ корректно, если в качестве модели выбрать псевдобулеву алгебру, а функции оценок определить так: 256 | $$\begin{array}{ccc} 257 | \llbracket\alpha \with \beta\rrbracket & = & \llbracket\alpha\rrbracket \cdot \llbracket\beta\rrbracket \\ 258 | \llbracket\alpha \vee \beta\rrbracket & = & \llbracket\alpha\rrbracket + \llbracket\beta\rrbracket \\ 259 | \llbracket\alpha \rightarrow \beta\rrbracket & = & \llbracket\alpha\rrbracket \rightarrow \llbracket\beta\rrbracket \\ 260 | \llbracket\neg\alpha\rrbracket & = & \llbracket\alpha\rrbracket \rightarrow 0 \\ 261 | \llbracket\bot\rrbracket & = & 0 \\ 262 | \end{array}$$ 263 | 264 | \item Пусть задано отношение \emph{предпорядка} $R$ (транзитивное и рефлексивное, но необязательно антисимметричное) на множестве $A$. 265 | Напомним несколько определений: 266 | \begin{itemize} 267 | \item определим отношение $R^= := \{ \langle x,y \rangle\ |\ xRy \text{ и } yRx \}$; 268 | \item $[a]_{R^=} := \{ x\ |\ aR^=x \}$ --- класс эквивалентности, порождённый элементом $a$; 269 | \item фактор-множество $A/{R^=} := \{ [a]_{R^=}\ |\ a \in A \}$; 270 | \item на $A/{R^=}$ можно перенести отношение $R^* := \{ \langle [a],[b] \rangle\ |\ aRb \}$. 271 | \end{itemize} 272 | 273 | Покажите, что: отношение $R^=$ --- отношение эквивалентности; если $x \in [a]_{R^=}$, $y \in [b]_{R^=}$ и $aRb$, то $xRy$; отношение $R^*$ --- 274 | отношение порядка на $A/{R^=}$. 275 | 276 | \item Покажем, что конструкция из определения алгебры Линденбаума действительно является решёткой: 277 | \begin{enumerate} 278 | \item Покажите, что отношение $(\approx)$ --- отношение эквивалентности (напомним, что $\alpha\preceq\beta$, если $\alpha\vdash\beta$, а $\alpha\approx\beta$, если 279 | $\alpha\vdash\beta$ и $\beta\vdash\alpha$). \emph{Подсказка:} воспользуйтесь предыдущим заданием. 280 | \item Покажите, что $[\alpha]_\approx\cdot[\beta]_\approx = [\alpha\with\beta]_\approx$. Для этого, например, можно показать: 281 | \begin{itemize} 282 | \item $\alpha\with\beta \preceq \alpha$; 283 | \item если $\gamma \preceq \alpha$ и $\gamma\preceq\beta$, то $\gamma\preceq\alpha\with\beta$; 284 | \item операция однозначно определена для всех элементов решётки (то есть определена для всех классов 285 | эквивалентности и не зависит от выбора представителей). \emph{Подсказка:} воспользуйтесь предыдущим заданием. 286 | \end{itemize} 287 | \item Покажите, что $[\alpha]+[\beta]=[\alpha\vee\beta]$. 288 | \item Покажите, что $[\alpha]\rightarrow[\beta]=[\alpha\rightarrow\beta]$. 289 | \item Найдите классы эквивалентности для 0 и 1. 290 | \end{enumerate} 291 | 292 | \end{enumerate} 293 | 294 | \section*{Задание №4. Модели Крипке, нетабличность и дизъюнктивность ИИВ.} 295 | 296 | \begin{enumerate} 297 | \item Рассмотрим табличную модель $\mathfrak{V}$ с $n$ истинностными значениями, 298 | и с выделенным значением $T$ для истины. 299 | Покажите, что $$\models\bigvee_{1 \le i\ne j \le n+1} (P_i \rightarrow P_j)\with(P_j\rightarrow P_i)$$ 300 | В частности, покажите, что в любой корректной модели если $\llbracket\alpha\rrbracket = \llbracket\beta\rrbracket$, то 301 | $\llbracket\alpha\rightarrow\beta\rrbracket = T$; если $\llbracket\gamma\rrbracket = \llbracket\delta\rrbracket = T$, то 302 | $\llbracket\gamma\with\delta\rrbracket = T$; 303 | если $\llbracket\gamma\rrbracket = T$, то $\llbracket\gamma\vee\eta\rrbracket = \llbracket\eta\vee\gamma\rrbracket = T$. 304 | 305 | \item Покажите, что какая бы ни была формула $\alpha$ и модель Крипке, 306 | если $W_i \Vdash \alpha$ и $W_i \preceq W_j$, то $W_j \Vdash \alpha$. 307 | 308 | \item Общезначимы ли следующие высказывания в ИИВ? Опровергните, построив модель Крипке, или докажите, построив натуральный вывод. 309 | \begin{enumerate} 310 | \item $P \vee \neg P$; 311 | \item $\neg\neg P \rightarrow P$; 312 | \item $P \vee \neg P \vee \neg\neg P \vee \neg\neg\neg P$; 313 | \item $((P \rightarrow Q) \rightarrow P) \rightarrow P$; 314 | \item $(A \rightarrow B) \vee (B \rightarrow C) \vee (C \rightarrow A)$; 315 | \item $\neg(\neg A \with \neg B) \rightarrow A \vee B$; 316 | \item $(\neg A \vee B) \rightarrow (A \rightarrow B)$; 317 | \item $(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg A \vee B)$; 318 | \item $\neg\bot$. 319 | \end{enumerate} 320 | 321 | \item Рассмотрим некоторую модель Крипке $\langle\mathfrak{W},\preceq,\Vdash\rangle$. 322 | Пусть $\Omega = \{ \mathcal{W} \subseteq \mathfrak{W}\ |\ \text{если }W_i \in \mathcal{W}\text{ и }W_i \preceq W_j\text{, то } W_j \in \mathcal{W}\}$. 323 | Пусть $\mathcal{W}_\alpha := \{ W_i \in \mathfrak{W}\ |\ W_i \Vdash \alpha \}$ (множество миров, где вынуждена формула $\alpha$). 324 | \begin{enumerate} 325 | \item На лекции формулировалась теорема без доказательства, что пара $\langle\mathfrak{W}, \Omega\rangle$ --- топологическое пространство. Докажите её. 326 | \item Пусть $\mathcal{W}_\alpha$ и $\mathcal{W}_\beta$ --- открытые множества. Выразите $\mathcal{W}_{\alpha\with\beta}$ и $\mathcal{W}_{\alpha\vee\beta}$ 327 | через $\mathcal{W}_\alpha$ и $\mathcal{W}_\beta$ и покажите, что они также открыты. 328 | \item Пусть $\mathcal{W}_\alpha$ и $\mathcal{W}_\beta$ --- открытые множества. Выразите $\mathcal{W}_{\alpha\rightarrow\beta}$ через 329 | них и покажите, что оно также открыто. 330 | \item Покажите, что $\Omega$ --- в точности множество всех множеств миров, на которых может быть вынуждена какая-либо формула. 331 | А именно, покажите, что для любой формулы $\alpha$ множество миров $\mathcal{W}_\alpha$, где она вынуждена, всегда открыто 332 | ($\mathcal{W}_\alpha \in \Omega$) --- и что для любого открытого множества найдётся формула, которая вынуждена ровно на нём 333 | (для $Q \in \Omega$ существует формула $\alpha$, что $\mathcal{W}_\alpha = Q$). 334 | \end{enumerate} 335 | 336 | \item Постройте топологическое пространство, соответствующее (в смысле предыдущего задания) модели Крипке, опровергающей 337 | высказывание $\neg\neg P\rightarrow P$. 338 | Постройте соответствующую ему табличную модель. 339 | 340 | \item Назовём \emph{древовидной} моделью Крипке модель, в которой множество 341 | миров $\mathfrak{W}$ упорядочено как дерево: (a) существует наименьший мир 342 | $W_0$; (b) для любого $W_i \ne W_0$ существует единственный предшествующий мир 343 | $W_k: W_k \prec W_i$. 344 | \begin{enumerate} 345 | \item Докажите, что любое высказывание, опровергаемое моделью Крипке, может 346 | быть опровергнуто древовидной моделью Крипке. 347 | \item Найдите высказывание, которое не может быть опровергнуто древовидной моделью Крипке 348 | высотой менее 2. 349 | \item Покажите, что для любого натурального $n$ найдётся опровержимое в моделях Крипке высказывание, 350 | неопровергаемое никакой моделью с $n$ мирами. 351 | \end{enumerate} 352 | 353 | \item Будем говорить, что топологическое пространство $\langle X, \Omega\rangle$ \emph{связно}, если нет таких 354 | открытых множеств $A$ и $B$, что $X = A \cup B$, но $A \cap B = \varnothing$. Пусть задана некоторая модель Крипке. 355 | Докажите, что соответствующее модели Крипке топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда её граф 356 | миров связен в смысле теории графов. 357 | 358 | \item Покажите, что модель Крипке с единственным миром задаёт классическую модель (в ней выполнены 359 | все доказуемые в КИВ высказывания). 360 | 361 | \item Пусть заданы алгебры Гейтинга $\mathcal{A},\mathcal{B}$, гомоморфизм $\varphi: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ 362 | и согласованные оценки $\llbracket\rrbracket_\mathcal{A}$ и $\llbracket\rrbracket_\mathcal{B}$: 363 | $\varphi(\llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{A}) = \llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{B}$. 364 | \begin{enumerate} 365 | \item Покажите, что гомоморфизм сохраняет порядок: если $a_1\preceq a_2$, то $\varphi(a_1) \preceq \varphi(a_2)$. 366 | \item Покажите, что если $\llbracket \alpha \rrbracket_\mathcal{A} = 1_\mathcal{A}$, то $\llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{B} = 1_\mathcal{B}$. 367 | \end{enumerate} 368 | 369 | \item Пусть заданы алгебры Гейтинга $\mathcal{A},\mathcal{B}$. Всегда ли можно построить гомоморфизм $\varphi: \mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$? 370 | 371 | \item Пусть $\mathcal{A}$ --- алгебра Гейтинга. Покажите, что $\Gamma(\mathcal{A})$ --- алгебра Гейтинга и гёделева алгебра. 372 | 373 | \item Пусть $\mathcal{A}$ --- булева алгебра. Всегда ли (возможно ли, что) $\Gamma(\mathcal{A})$ будет булевой алгеброй? 374 | \end{enumerate} 375 | 376 | \section*{Задание №5.} 377 | 378 | \begin{enumerate} 379 | \item \emph{Алгебраические типы} --- это семейство составных типов, 380 | позволяющих строить <<алгебраические>> выражения на типах: 381 | 382 | \begin{tabular}{lll} 383 | название & обозначение & алгебраический смысл\\\hline 384 | тип-сумма, <<алгебраический>> & $\alpha\vee\beta$ & $\alpha+\beta$\\ 385 | тип-произведение, пара & $\alpha\with\beta$ & $\alpha\times\beta$\\ 386 | тип-степень, функция & $\alpha\to\beta$&$\beta^\alpha$ 387 | \end{tabular} 388 | 389 | Название <<алгебраический>> закрепилось в первую очередь за типом-суммой (видимо потому, 390 | что остальные типы имеют устоявшиеся названия), однако, может быть отнесено и к другим 391 | типам. 392 | 393 | Поясните <<типовый>> (программистский) смысл следующих алгебраических тождеств --- и постройте 394 | программы, их доказывающие: $\gamma\times(\alpha+\beta) = \gamma\times\alpha + \gamma\times\beta$, 395 | $\gamma^{\alpha\times\beta} = {(\gamma^\alpha)}^\beta$ (\emph{карринг}), 396 | $\gamma^{\alpha+\beta} = \gamma^\alpha\times\gamma^\beta$. 397 | 398 | \item Докажите следующие формулы в исчислении предикатов: 399 | \begin{enumerate} 400 | \item $\forall x.\phi\rightarrow \phi$ 401 | \item $(\forall x.\phi)\rightarrow (\exists x.\phi)$ 402 | \item $(\forall x.\forall x.\phi) \rightarrow (\forall x.\phi)$ 403 | \item $(\forall x.\phi) \rightarrow (\neg \exists x.\neg \phi)$ 404 | \item $(\exists x.\phi) \rightarrow (\neg \forall x.\neg \phi)$ 405 | \item $(\forall x.\neg\phi) \rightarrow (\neg \exists x.\phi)$ 406 | \item $(\exists x.\neg\phi) \rightarrow (\neg \forall x.\phi)$ 407 | \end{enumerate} 408 | 409 | \item Опровергните формулы $\phi\rightarrow\forall x. \phi$ и $(\exists x.\phi)\rightarrow (\forall x.\phi)$ 410 | 411 | \item Рассмотрим формулу $\alpha$ с двумя свободными переменными $x$ и $y$ (мы предполагаем, 412 | что эти метапеременные соответствуют разным переменным). 413 | Определите, какие из сочетаний кванторов выводятся из каких --- и приведите соответствующие 414 | доказательства или опровержения: 415 | \begin{enumerate} 416 | \item $\forall x.\forall y.\alpha$, $\forall y.\forall x.\alpha$ 417 | \item $\exists x.\exists y.\alpha$, $\exists y.\exists x.\alpha$ 418 | \item $\forall x.\forall y.\alpha$, $\forall x.\exists y.\alpha$, $\exists x.\forall y.\alpha$, $\exists x.\exists y.\alpha$ 419 | \item $\forall x.\exists y.\alpha$, $\exists y.\forall x.\alpha$ 420 | \end{enumerate} 421 | 422 | \item Научимся выносить квантор всеобщности <<наружу>>: 423 | \begin{enumerate} 424 | \item Покажите, что если $x$ не входит свободно в $\alpha$, то 425 | $$ 426 | \vdash(\alpha \vee \forall x.\beta) \rightarrow (\forall x.\alpha\vee\beta)\quad 427 | \mbox{и}\quad 428 | \vdash((\forall x.\beta)\vee\alpha) \rightarrow (\forall x.\beta\vee\alpha)\quad 429 | $$ 430 | \item Покажите, что $$\vdash((\forall x.\alpha) \vee (\forall y.\beta)) \rightarrow \forall p.\forall q.\alpha[x:=p]\vee\beta[y := q]$$ 431 | где $p$ и $q$ --- свежие переменные, не входящие в формулу. Заметим, что в частном случае $x$ может совпадать с $y$. 432 | Нужно ли наложить какие-нибудь ещё ограничения на переменные? 433 | \item Докажите аналогичные утверждения для $\with$. 434 | \item Как будут сформулированы аналогичные утверждения для $\rightarrow$ и $\neg$? Сформулируйте и докажите их. 435 | \end{enumerate} 436 | 437 | \item Научимся вносить квантор всеобщности <<внутрь>>: 438 | \begin{enumerate} 439 | \item Покажите, что если $x$ не входит свободно в $\alpha$, то 440 | $$ 441 | \vdash (\forall x.\alpha\vee\beta)\rightarrow(\alpha \vee \forall x.\beta)\quad 442 | \mbox{и}\quad 443 | \vdash (\forall x.\beta\vee\alpha)\rightarrow((\forall x.\beta)\vee\alpha)\quad 444 | $$ 445 | 446 | \item Покажите, что если $p$ не входит свободно в $\beta$ и $q$ не входит свободно в $\alpha$, то 447 | $$\vdash(\forall p.\forall q.\alpha\vee\beta) \rightarrow (\forall x.\alpha[p := x]) \vee (\forall y.\beta[q := y])$$ 448 | при условии, что $x$ свободно для подстановки вместо $p$ в $\alpha$ и $y$ свободно для подстановки вместо $q$ в $\beta$. 449 | Нужно ли наложить какие-нибудь ещё ограничения на переменные? 450 | \item Докажите аналогичные утверждения для $\with$. 451 | \item Как будут сформулированы аналогичные утверждения для $\rightarrow$ и $\neg$? Сформулируйте и докажите их. 452 | \end{enumerate} 453 | 454 | %\item Сформулируйте и докажите аналогичные предыдущим пунктам утверждения для квантора существования. 455 | 456 | \item Научимся работать со спрятанными глубоко кванторами. Пусть $\vdash\alpha\rightarrow\beta$, тогда: 457 | \begin{enumerate} 458 | \item Докажите: $$\vdash\psi\vee\alpha \rightarrow \psi\vee\beta\quad\vdash\psi\with\alpha \rightarrow \psi\with\beta\quad 459 | \vdash(\psi\rightarrow\alpha) \rightarrow (\psi\rightarrow\beta)\quad\vdash(\beta\rightarrow\psi) \rightarrow (\alpha\rightarrow\psi)$$ 460 | \item Сформулируйте и докажите аналогичное свойство для отрицания. 461 | \item Докажите $\vdash(\forall x.\alpha)\rightarrow(\forall x.\beta)$. 462 | Надо ли наложить на формулы $\alpha$ и $\beta$ какие-либо ограничения? 463 | \item Докажите $\vdash(\exists x.\alpha)\rightarrow(\exists x.\beta)$. 464 | Надо ли наложить на формулы $\alpha$ и $\beta$ какие-либо ограничения? 465 | \end{enumerate} 466 | 467 | \end{enumerate} 468 | 469 | \section*{Задание №6.} 470 | 471 | \begin{enumerate} 472 | \item Простые задачи. Каждый пункт --- на 1 балл. Имеется ли свобода для подстановки в следующих примерах? 473 | \begin{enumerate} 474 | \item $\forall x.P(x,y) \rightarrow Q(y,x)\ [ x := y ]$ 475 | \item $\forall x.P(x,y)\ [ z := x ]$ 476 | \item $\forall z.(\forall y.P(z)) \rightarrow P(z)\ [ z:= y]$ 477 | \item $(\forall y.(\forall x.P(z))) \vee P(z)\ [ z:= y ]$ 478 | \item $(\forall y.P(a)) \vee P(b)\ [a := y]$ 479 | \end{enumerate} 480 | 481 | \item 482 | Пусть выполняется замена $x$ на $\theta$ в формуле $\alpha$. 483 | 484 | \begin{enumerate} 485 | \item 486 | Докажите, что если свобода для подстановки есть, 487 | то $\llbracket \alpha \rrbracket ^{x := \llbracket\theta\rrbracket} = \llbracket\alpha[x := \theta]\rrbracket$. 488 | 489 | \item Постройте пример, когда 490 | $\llbracket \alpha \rrbracket ^{x := \llbracket\theta\rrbracket} \ne \llbracket\alpha[x := \theta]\rrbracket$. 491 | \end{enumerate} 492 | 493 | \item Будем говорить, что формула $\alpha$ \emph{следует} из контекста $\Gamma$, 494 | если при любой оценке, такой, что при всех $\gamma\in\Gamma$ выполнено $\llbracket\gamma\rrbracket = \text{И}$, 495 | также выполнено и $\llbracket\alpha\rrbracket=\text{И}$. 496 | 497 | Возможно показать, что если $\Gamma \vdash \alpha$, то $\Gamma \models \alpha$, при условии, что в выводе 498 | отсутствуют применения правил для кванторов по свободным переменным из контекста. 499 | Доказательство аналогично таковому для исчисления высказываний, однако, требуется разобрать два новых случая: 500 | 501 | \begin{enumerate} 502 | \item Покажите, что формулы, полученные из 11 и 12 схем аксиом, всегда общезначимы. 503 | \item Покажите, что формулы, полученные применением правил для кванторов из общезначимых утверждений, также окажутся 504 | общезначимыми. 505 | \end{enumerate} 506 | 507 | Заметим, что если в выводе присутствуют запрещённые выше применения правил, то получившееся выражение может оказаться некорректным: 508 | 509 | \begin{tabular}{lll} 510 | (1) & $x = 0\vdash x = 0$\\ 511 | (2) & $x = 0\vdash A \rightarrow A \rightarrow A$ \\ 512 | (3) & $x = 0\vdash (x = 0) \rightarrow (A \rightarrow A \rightarrow A) \rightarrow (x=0)$ \\ 513 | (4) & $x = 0\vdash (A \rightarrow A \rightarrow A) \rightarrow (x=0)$\\ 514 | (5) & $x = 0\vdash (A \rightarrow A \rightarrow A) \rightarrow (\forall x.x=0)$ & запрещённое применение правила для $\forall$\\ 515 | (6) & $x = 0\vdash \forall x.x=0$ 516 | \end{tabular} 517 | 518 | При этом $x = 0 \models x = 0$, но $x = 0\not\models \forall x.x = 0$. 519 | 520 | Почему мы вводим сложные ограничения, а не запретим, например, незамкнутые гипотезы с самого начала? Мы 521 | не хотим чрезмерно ограничивать язык. 522 | 523 | \item Пусть некоторая формула выполнена на всех оценках с двухэлементным предметным множеством $D$. 524 | Верно ли, что эта формула общезначима? 525 | 526 | \item Пусть формула выполнена на всех оценках с конечным предметным множеством $D$. Верно ли, что эта формула общезначима? 527 | 528 | \end{enumerate} 529 | 530 | \section*{Задание №7.} 531 | \begin{enumerate} 532 | \item Покажите, что связанную переменную под квантором можно переименовывать: $(\forall x.\varphi) \rightarrow \forall y.(\varphi[x := y])$ 533 | и $(\exists x.\varphi) \rightarrow \exists y.(\varphi[x := y])$, 534 | если $y$ свободен для подстановки вместо $x$ в $\varphi$. 535 | 536 | \item Для следующих формул найдите эквивалентные им формулы с поверхностными кванторами и наметьте план доказательства 537 | эквивалентности (укажите, какие и в каком порядке применять леммы из предыдущего задания). 538 | \begin{enumerate} 539 | \item $((\forall x.P(x)) \rightarrow P(x)) \rightarrow P(x)$ 540 | \item $((\forall x.P(x))\rightarrow (\forall x.Q(x)))\rightarrow (\forall x.R(x))$ 541 | \item $(\neg\forall x.P(x)) \vee (\exists y.\forall x.Q(x,y))$ 542 | %\item $\neg\forall x.(\neg \forall y.P(y)) \with (\neg\forall z.Q(z))$ 543 | \end{enumerate} 544 | 545 | \item Рассмотрим полное непротиворечивое множество формул исчисления предикатов $\Gamma$. 546 | Рассмотрим оценку формул, определённую на лекции ($D$ --- множество всех строк, составленных из функциональных символов, 547 | $\llbracket P (\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n) \rrbracket = \text{И}$ тогда и только тогда, когда 548 | $P (\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n) \in \Gamma$ и т.п.). Пусть для любой формулы $\alpha$ с не более чем $n$ связками 549 | выполнено, что $\llbracket\alpha\rrbracket = \text{И}$ тогда и только тогда, когда $\alpha\in\Gamma$. Тогда покажите: 550 | \begin{enumerate} 551 | \item Пусть $\alpha$ и $\beta$ имеют не более $n$ связок. Тогда 552 | $\alpha\with\beta \in \Gamma$ тогда и только тогда, когда $\llbracket \alpha\with\beta \rrbracket = \text{И}$ 553 | \item Пусть $\alpha$ и $\beta$ имеют не более $n$ связок. Тогда 554 | $\alpha\vee\beta \in \Gamma$ тогда и только тогда, когда $\llbracket \alpha\vee\beta \rrbracket = \text{И}$ 555 | \item Пусть $\alpha$ и $\beta$ имеют не более $n$ связок. Тогда 556 | $\alpha\rightarrow\beta \in \Gamma$ тогда и только тогда, когда $\llbracket \alpha\rightarrow\beta \rrbracket = \text{И}$ 557 | \item Пусть $\alpha$ и $\beta$ имеют не более $n$ связок. Тогда 558 | $\neg\alpha \in \Gamma$ тогда и только тогда, когда $\llbracket \neg\alpha \rrbracket = \text{И}$ 559 | \end{enumerate} 560 | \end{enumerate} 561 | 562 | \section*{Задание №8.} 563 | \begin{enumerate} 564 | \item \emph{Теорией первого порядка} назовём исчисление предикатов с расширенным языком (добавлены новые функциональные и 565 | предикатные символы) и набором аксиом. 566 | Добавленные символы и аксиомы мы назовём \emph{нелогическими} или \emph{математическими}, в противоположность \emph{логическим} 567 | аксиомам и символам из исчисления высказываний. 568 | 569 | Введём теорию первого порядка для теории групп, добавив к исчислению предикатов двуместный функциональный символ $(\cdot)$, 570 | одноместный функциональный символ $({}^{-1})$, константу (нульместный функциональный символ) $1$, 571 | двуместный предикатный символ $(=)$ и следующие нелогические схемы аксиом: 572 | \begin{itemize} 573 | \item Схемы аксиом равенства: $x = y \with x = z \rightarrow y = z$ (транзитивность); $x = y \rightarrow x\cdot z = y\cdot z$; 574 | $x = y \rightarrow z \cdot x = z \cdot y$ (правое и левое домножение). 575 | \item Схема аксиом ассоциативности: $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$. 576 | \item Схемы аксиом обратного элемента: $x^{-1} \cdot x = 1$; $x \cdot x^{-1} = 1$. 577 | \item Схемы аксиом нейтрального элемента: $1 \cdot x = x$; $x \cdot 1 = x$. 578 | \end{itemize} 579 | 580 | Докажите следующее: 581 | \begin{enumerate} 582 | \item $\vdash 1 = 1$ 583 | \item $\vdash \forall a.a = a$ 584 | \item $\vdash \forall a.\forall b.a = b \rightarrow b = a$ 585 | \item $\vdash 1 ^ {-1} = 1$ 586 | \item $\vdash \forall a.(a^{-1})^{-1} = a$ 587 | \item $\vdash \forall a. \forall b. a \cdot b = 1 \rightarrow b = a^{-1}$ 588 | \item $\vdash \forall a.\forall b.\forall c. c \cdot a = c \cdot b \rightarrow a = b$ 589 | \item $a \cdot p = b, a \cdot q = b \vdash p = q$ 590 | \end{enumerate} 591 | 592 | \item Назовём \emph{структурой} теории первого порядка такую модель исчисления предикатов, что для всех нелогических 593 | функциональных и предикатных символов теории в ней задана оценка. 594 | Назовём \emph{моделью} теории первого порядка такую структуру, что все нелогические аксиомы данной теории в ней 595 | истинны. 596 | 597 | Постройте модель теории групп и структуру теории групп, не являющуюся моделью теории групп. 598 | 599 | \item Рассмотрим теорию групп с добавленной аксиомой $\forall a.\forall b.a\cdot b = 1$. 600 | Докажите, что $\vdash \forall a.\forall b.a = b$. Верно ли, что предметное множество данной модели также одноэлементное? 601 | Что можно сказать про его мощность, если это не так? 602 | 603 | \item Определите теорию первого порядка, формализующую решётки. Докажите в ней закон поглощения: $\forall a.\forall b.a + a \cdot b = a$. 604 | 605 | \end{enumerate} 606 | 607 | \section*{Задание №9. Арифметика.} 608 | \begin{enumerate} 609 | \item Постройте множества $N$, удовлетворяющие следующим изменённым аксиоматикам Пеано: 610 | \begin{enumerate} 611 | \item не выполняется аксиома индукции --- покажите, что остальные аксиомы выполняются; 612 | \item без инъективности операции $(')$ --- покажите, что остальные аксиомы выполняются; обязательно ли в таком множестве $0$ единственен? 613 | \item с выделенным элементом $0$, не имеющим свойства отсуствия предшественников (т.е. существует $x: x' = 0$) --- покажите, что остальные аксиомы выполняются. 614 | \end{enumerate} 615 | 616 | \item Покажите в аксиоматике Пеано: 617 | \begin{enumerate} 618 | \item ассоциативность сложения; 619 | \item коммутативность умножения; 620 | \item дистрибутивность $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$; 621 | \end{enumerate} 622 | 623 | \item Рассмотрим аксиоматику Пеано. Определим отношение <<меньше или равно>> так: $0 \le a$ и $a' \le b'$, если $a \le b$. Покажите, что: 624 | \begin{enumerate} 625 | \item $x \le x+y$; 626 | \item $a'' + b'' \le (a'') \cdot (b'')$; 627 | \item Если существует $n$, что $x + n = y$, то $x \le y$. 628 | \item Будем говорить, что $a$ делится на $b$ с остатком, если существуют такие $p$ и $q$, что 629 | $a = b \cdot p + q$ и $0 \le q < b$. Покажите, что $p$ и $q$ всегда существуют и единственны, 630 | если $b > 0$. 631 | \end{enumerate} 632 | 633 | \item Докажите в формальной арифметике: 634 | \begin{enumerate} 635 | \item $\vdash \overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{4}$ (теперь вы знаете правду); 636 | \item $\vdash \forall p.(\exists q.q' = p) \vee p = 0$ (единственность нуля --- нужна ли здесь аксиома А6?); 637 | \item $\vdash p \cdot q = 0 \rightarrow p = 0 \vee q = 0$ (отсутствие делителей нуля); 638 | \end{enumerate} 639 | 640 | \item Выразите (представьте) в формальной арифметике: 641 | \begin{enumerate} 642 | \item <<полное>> отношение $R = \mathbb{N}^2$; 643 | \item отношение $(=)$; 644 | \item функцию $f(x) = 0$; 645 | \item функцию $f(x) = x + 1$; 646 | \end{enumerate} 647 | 648 | \end{enumerate} 649 | 650 | \section*{Задание №10. Рекурсивные функции.} 651 | \begin{enumerate} 652 | \item Покажите, что следующие функции примитивно-рекурсивны. Ответ предполагает написание интерпретатора 653 | для рекурсивных функций и демонстрацию реализации функции как программы для данного интерпретатора. В качестве 654 | интерпретатора подойдёт, например, библиотека примитивов для C++, реализованная с использованием шаблонов. 655 | \begin{enumerate} 656 | \item Умножение. 657 | \item Ограниченное вычитание 1: 658 | 659 | $$x\dotdiv 1 = \left\{\begin{array}{ll}x-1, & x > 0\\ 660 | 0, & x = 0 661 | \end{array}\right.$$ 662 | \item Ограниченное вычитание: $x \dotdiv y$ (аналогично, 0 при $x < y$). 663 | 664 | \item Деление нацело. 665 | \item Остаток от деления нацело. 666 | \item Частичный логарифм: $\text{plog}_a b = \max \{ x \in \mathbb{N}_0 : b \mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}} a ^ x \}$ 667 | \item Проверка числа на простоту. 668 | \item Вычисление $p_n$ ($n$-го простого числа). Подсказка: используйте постулат Бертрана (для любого натурального $n \ge 2$ найдётся 669 | простое число $p$ в интервале $n < p < 2n$). 670 | \item Длина списка, представленного в гёделевой нумерации: по $p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_n^{k_n}$ вернуть $n$. 671 | \item Элемент списка с номером $k$. 672 | \item Операция cons: $\text{cons}(k_0, p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_n^{k_n}) = p_1^{k_0} \cdot p_2^{k_1} \cdot \dots \cdot p_{n+1}^{k_n}$. 673 | \end{enumerate} 674 | 675 | \item Покажите (аналогично предыдущему заданию), что функция Аккермана --- рекурсивная. 676 | 677 | \item Положим, что \emph{гёделев номер} открывающейся скобки равен трём: $\ulcorner ( \urcorner = 3$, а закрывающейся --- пяти: $\ulcorner ) \urcorner = 5$. 678 | Аналогично, \emph{гёделевым номером} строки назовём гёделево представление списка гёделевых номеров символов этой строки: 679 | $\ulcorner ()( \urcorner = 2^3 \cdot 3^5 \cdot 5^3 = 243\,000$. 680 | Покажите, что функция проверки скобочной записи на корректность (на вход функции поступает гёделев номер строки) --- примитивно-рекурсивная. 681 | 682 | \item Назовём \emph{характериситческим отношением} $C_f$ для функции $f: \mathbb{N}^n \rightarrow \mathbb{N}$ 683 | такое отношение $C_f\subseteq\mathbb{N}^{n+1}$, что 684 | $\langle k_1,k_2,\dots,k_{n+1} \rangle \in C_f$ тогда и только тогда, когда $f(k_1,k_2,\dots,k_n) = k_{n+1}$. 685 | Покажите, что если функция представима в формальной арифметике, то её характеристическое отношение выразимо в формальной арифметике. 686 | \end{enumerate} 687 | 688 | \section*{Задание 11. Теоремы о неполноте формальной арифметики} 689 | \begin{enumerate} 690 | \item Пусть $\mathcal{S}$ --- теория первого порядка, расширяющая формальную арифметику (помимо аксиом формальной арифметики добавлены 691 | ещё какие-то нелогические аксиомы). Покажите, что в ней также выполнен аналог Первой теоремы Гёделя о неполноте формальной арифметики. 692 | \item Поясните, почему Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики в форме Россера также влечёт неполноту стандартной интерпретации 693 | формальной арифметики. 694 | \item Добавим к формальной арифметике аксиому $\neg\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. Будет ли получившаяся теория 695 | $\omega$-непро\-ти\-во\-ре\-чивой? 696 | \item Покажите, что формальная арифметика противоречива тогда и только тогда, когда $\vdash \overline{1} = 0$. 697 | \end{enumerate} 698 | 699 | \section*{Задание 12. Теория множеств} 700 | \begin{enumerate} 701 | \item Докажите, что пустое множество единственно. 702 | \item Определим упорядоченную пару $\langle a,b\rangle := \{\{a\},\{a,b\}\}$. Покажите, что: 703 | \begin{enumerate} 704 | \item Упорядоченная пара --- множество. 705 | \item $\langle a,b \rangle = \langle c,d\rangle$ тогда и только тогда, когда $a = c$ и $b = d$. 706 | \end{enumerate} 707 | \item Докажите, что следующие конструкции являются множествами: 708 | \begin{enumerate}\item пересечение множеств ($a \cap b$) также является множеством; 709 | \item пересечение всех элементов множества ($\bigcap a$); 710 | \item $a\ \setminus\ b$ (разность множеств); 711 | \item $a \uplus b$ (дизъюнктное объединение множеств); 712 | \item $a \times b$ (декартово произведение множеств: $\{\langle p,q\rangle\ |\ p\in a, q\in b\}$). 713 | \end{enumerate} 714 | \item Определите формулу $\phi(x)$ для свойства <<$x$ --- конечный ординал>>. 715 | Покажите с помощью схемы аксиом выделения и аксиомы бесконечности, что ординал $\omega$ определён. 716 | \item Покажите, что на множестве $\omega$ выполняется аксиоматика Пеано (полная формализация рассуждений не требуется, 717 | но из изложения должно быть понятно, как эту формализацию в рамках теории первого порядка получить): 718 | \begin{enumerate} 719 | \item $\forall x.x \in \omega \rightarrow \neg x' = \varnothing$ 720 | \item $\forall x.\forall y.x \in \omega \with y \in \omega \rightarrow x' = y' \rightarrow x = y$ 721 | \item (\emph{указание к следующему пункту}) покажите, что если $\vdash\forall x.\neg\phi(x)\rightarrow A\with\neg A$, то $\vdash\forall x.\phi(x)$. 722 | \item Если $\phi(\varnothing)$ и $\forall x.x \in \omega \rightarrow \phi(x) \rightarrow \phi(x')$, 723 | то $\forall x.x \in \omega \rightarrow \phi(x)$. 724 | \end{enumerate} 725 | \item Проверьте следующие равенства: 726 | \begin{enumerate} 727 | \item $\omega\cdot\overline{3} = \overline{3}\cdot\omega$ 728 | \item $\omega\cdot\overline{2} = \omega + \omega$ 729 | \item $(\omega+\overline{1})^{\overline{2}} = \omega^{\overline{2}} + \overline{2}\cdot \omega + \overline{1}$ 730 | \item $\omega ^ \omega = (\omega ^ {\overline{2}}) ^ \omega$ 731 | \item $\omega ^ {\omega + \overline{1}} = \omega ^ \omega + \overline{1}$ 732 | \end{enumerate} 733 | \end{enumerate} 734 | 735 | \section*{Задание 13. Аксиома выбора. Мощность множеств} 736 | В данном задании вам может потребоваться использовать аксиому выбора или её альтернативную формулировку 737 | (любое множество может быть вполне упорядочено, у любой сюрьективной функции существует частичная обратная, 738 | лемма Цорна и т.п.). 739 | \begin{enumerate} 740 | \item Покажите, что следующие множества имеют счётную мощность: $\omega\cdot\omega$, $\omega^\omega$. 741 | \item Покажите следующее (обозначим за $\mathcal{F}(p,q)$ множество функций из $p$ в $q$): 742 | \begin{enumerate} 743 | \item $|a|=0$ тогда и только тогда, когда $a = \varnothing$; 744 | \item если $|a|\le|b|$, то $|\mathcal{F}(g,a)| \le |\mathcal{F}(g,b)|$; 745 | \item если $|a|\le|b|$ и $\overline{0}<|g|$, то $|\mathcal{F}(a,g)| \le |\mathcal{F}(b,g)|$; 746 | \item $|\mathcal{F}(\overline{0},a)| = \overline{1}$, $|\mathcal{F}(\overline{1},a)| = \overline{1}$; если $|a| > 0$, то $|\mathcal{F}(a,\overline{0})| = \overline{0}$; 747 | \item если $|a|\ge\aleph_0$ и $0 < |n| < \aleph_0$, то $|\mathcal{F}(a,n)| = a$ 748 | \end{enumerate} 749 | \item Покажите эквивалентность следующих определений конечного множества (задание $(k)$ предполагает доказательство 750 | импликации $(k)\rightarrow(k')$; возможно, некоторые из переходов потребуют аксиому выбора): 751 | \begin{enumerate} 752 | \item $a$ конечно, если каждое непустое семейство подмножеств $a$ имеет максимальный по включению элемент. 753 | Например, при $a = \{0,1,2\}$ в семействе подмножеств $\{\varnothing,\{0,1\},\{1,2\}\}$ элементы $\{0,1\}$ и $\{1,2\}$ --- максимальны. 754 | \item $a$ конечно, если $\mathcal{P}(a)$ не равномощно своему собственному подмножеству (собственное подмножество --- подмножество, не совпадающее с множеством). 755 | \item $a$ конечно, если оно не равномощно своему собственному подмножеству. 756 | \item $a$ конечно, если $|a|=\varnothing$ или $|a|\cdot\overline{2} > |a|$. 757 | \item $a$ конечно, если $|a|=\varnothing$ или $|a|=\overline{1}$ или $|a|^2 > |a|$. 758 | \item $a$ конечно, если $|a|<\aleph_0$. 759 | \end{enumerate} 760 | \item Покажите, что функция $f: a \rightarrow b$ биективна (т.е. инъективна и сюрьективна) тогда и только тогда, 761 | когда $\forall y.\exists!x.\phi(x,y)$. Здесь за $\phi(x,y)$ мы обозначаем формулу, представляющую функцию $f$ 762 | в теории множеств, по аналогии с формальной арифметикой. 763 | \item Покажите, что если $a$ и $b$ --- непустые множества, то существует функция из $a$ в $b$ 764 | (однако, функция не обязана быть инъективной или сюрьективной). 765 | \item Если существует функция $f: a \rightarrow b$ на вполне упорядоченных множествах $a$ и $b$, 766 | сохраняющая порядок (если $x < y$, то $f(x) < f(y)$), то либо она --- биекция, либо найдётся 767 | такой элемент $x \in b$, что $\{f(i)|i \in a\} = \{t \in b | t < x\}$. 768 | \item Покажите, что если $a$ и $b$ --- множества, то $|a| \le |b| \vee |b| \le |a|$. 769 | \item Покажите, что для любого множества $a$ определено его кардинальное число $|a|$. 770 | \end{enumerate} 771 | 772 | \end{document} 773 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/contest-mathlog-2021-ru.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2021/7dbea3c997352c9f53cac30755915f1f92b43a33/lab/contest-mathlog-2021-ru.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-b/a.good: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | A|- A -> A 2 | A->A->A 3 | A 4 | A->A 5 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-b/b.good: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | A->B, !B |- !A 2 | A->B 3 | !B 4 | !B -> A -> !B 5 | A -> !B 6 | (A -> B) -> (A -> !B) -> !A 7 | (A -> !B) -> !A 8 | !A 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-b/c.wrong: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | A, C |- B' 2 | B' 3 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-b/d.wrong: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | |- !!A->A 2 | A->B->A 3 | (A->B)->(A->B->C)->(A->C) 4 | A&B->A 5 | A&B->B 6 | A->B->A&B 7 | A->A|B 8 | B->A|B 9 | (A->Q)->(B->Q)->(A|B->Q) 10 | (A->B)->(A->!B)->!A 11 | !!A->A 12 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-c/a.wrong: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | |-a+0=a 2 | (((a)+0))=a 3 | (@y.y+0*0'=y)->(?x.@y.x=y) 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-c/a.wrong.answer: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | |-((a+0)=a) 2 | [1. Ax. A5] ((a+0)=a) 3 | Expression 2: variable x is not free for term (y+(0*0')) in ?-axiom. 4 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-c/b.good: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | |-A->W->A 2 | A->B->A&B 3 | A->A|B 4 | (A->P)->(B->P)->(A|B->P) 5 | (@a.a+0=a)->b+0=b 6 | 0=0->(?x.x=0) 7 | a=b->a=c->b=c 8 | a=b->a'=b' 9 | a'=b'->a=b 10 | 0=0&(@x.x=x->x'=x')->x=x 11 | A->W->A 12 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-c/c.good: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | |-(?x.X->X->X)->(@x.X->X->X) 2 | X->X->X 3 | (X->X->X)->(X->X->X)->(X->X->X) 4 | (X->X->X)->(X->X->X) 5 | (X->X->X)->@x.(X->X->X) 6 | (?x.(X->X->X))->(X->X->X) 7 | (?x.(X->X->X))->@x.(X->X->X) 8 | -------------------------------------------------------------------------------- /lab/problem-c/d.good: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | |-b+0=b 2 | A->B->A 3 | 0=0->0=0->0=0 4 | (A->B->A)->(A->(B->A)->C)->(A->C) 5 | A&B->A 6 | A&B->B 7 | A->B->A&B 8 | A->A|B 9 | B->A|B 10 | (A->P)->(B->P)->(A|B->P) 11 | (A->P)->(A->!P)->!A 12 | !!A->A 13 | (@a.a+0=a)->b+0=b 14 | 0=0->(?x.x=0) 15 | a=b->a=c->b=c 16 | a=b->a'=b' 17 | a'=b'->a=b 18 | !a'=0 19 | a+0=a 20 | a+b'=(a+b)' 21 | a*0=0 22 | a*b'=a*b+a 23 | 0=0&(@x.x=x->x'=x')->x=x 24 | A->W->A 25 | (A->(B->A)->C)->(A->C) 26 | (a+0=a)->(0=0->0=0->0=0)->(a+0=a) 27 | (0=0->0=0->0=0)->(a+0=a) 28 | (0=0->0=0->0=0)->(@a.(a+0=a)) 29 | (@a.a+0=a) 30 | b+0=b 31 | -------------------------------------------------------------------------------- /questions.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2021/7dbea3c997352c9f53cac30755915f1f92b43a33/questions.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /questions.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[11pt,a4paper,oneside]{scrartcl} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage[top=1cm,bottom=1cm,left=1cm,right=1cm]{geometry} 5 | 6 | \begin{document} 7 | \pagestyle{empty} 8 | 9 | \begin{center} 10 | {\large\scshape\bfseries Список вопросов к курсу <<Математическая логика>>}\\ 11 | ИТМО, группы M3234--M3239, весна 2021 г. 12 | \end{center} 13 | 14 | %\vspace{0.3cm} 15 | 16 | \begin{enumerate} 17 | \item Исчисление высказываний. Общезначимость, следование, доказуемость, выводимость. Корректность, полнота, непротиворечивость. 18 | Теорема о дедукции для исчисления высказываний. 19 | \item Теорема о полноте исчисления высказываний. 20 | \item Интуиционистское исчисление высказываний. Вывод в Гильбертовском стиле и натуральный вывод. 21 | BHK-интерпретация. Решётки. Булевы и псевдобулевы алгебры. 22 | \item Алгебра Линденбаума. Полнота интуиционистского исчисления высказываний в псевдобулевых алгебрах. 23 | Модели Крипке. Сведение моделей Крипке к псевдобулевым алгебрам. Нетабличность 24 | интуиционистского исчисления высказываний. 25 | \item Гёделева алгебра. Операция $\Gamma(A)$. Дизъюнктивность интуиционистского исчисления высказываний. 26 | \item Исчисление предикатов. Общезначимость, следование, выводимость. Теорема о дедукции в исчислении предикатов. 27 | Теорема о корректности исчисления предикатов. 28 | \item Непротиворечивые множества формул. Доказательство существования моделей у непротиворечивых множеств формул 29 | в бескванторном исчислении предикатов. 30 | Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов. Доказательство полноты исчисления предикатов. 31 | \item Машина Тьюринга. Задача об останове, её неразрешимость. Доказательство неразрешимости исчисления предикатов. 32 | \item Теории первого порядка, структуры и модели. Аксиоматика Пеано. Арифметические операции. Формальная арифметика. 33 | \item Примитивно-рекурсивные и рекурсивные функции. Примитивная рекурсивность 34 | арифметических функций, функций вычисления простых чисел, частичного логарифма. 35 | Выразимость отношений и представимость функций в формальной арифметике. Харктеристические функции. 36 | Представимость примитивов $N$, $Z$, $S$, $U$ в формальной арифметике. 37 | \item Бета-функция Гёделя. Представимость примитивов $R$ и $M$ и рекурсивных функций в формальной арифметике. 38 | Гёделева нумерация. Рекурсивность представимых в формальной арифметике функций. 39 | \item Непротиворечивость (эквивалентные определения, доказательство эквивалентности) и $\omega$-не\-про\-ти\-во\-речивость. 40 | Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики. 41 | Формулировка первой теоремы Гёделя о неполноте арифметики в форме Россера. Неполнота арифметики. 42 | Формулировка второй теоремы Гёделя о неполноте арифметики, $Consis$. 43 | Неформальное пояснение метода доказательства. 44 | \item Теория множеств. Определения равенства. Аксиоматика Цермело-Френкеля. Частичный, линейный, полный порядок. 45 | Ординальные числа, аксиома бесконечности. Схема доказательства существования ординала $\omega$, 46 | операции над ординалами, доказательство $1+\omega\ne\omega+1$. Связь ординалов и упорядочений. 47 | \item Кардинальные числа, мощность множеств. Теорема Кантора-Бернштейна (формулировка), теорема Кантора. 48 | Аксиома выбора, теорема Диаконеску (формулировка). Теорема Лёвенгейма-Сколема (формулировка), парадокс Сколема. 49 | 50 | \end{enumerate} 51 | 52 | \end{document} --------------------------------------------------------------------------------