├── .gitignore ├── README.md ├── hw-theory.pdf ├── hw-theory.tex ├── lection-01.pdf ├── lection-01.tex ├── lection-02.pdf ├── lection-02.tex ├── lection-03.pdf ├── lection-03.tex ├── lection-04.pdf ├── lection-04.tex ├── lection-05.pdf ├── lection-05.tex ├── lection-06.pdf ├── lection-06.tex ├── lection-07.pdf ├── lection-07.tex ├── lection-08.pdf ├── lection-08.tex ├── lection-09.pdf ├── lection-09.tex ├── lection-10-ghc.png ├── lection-10.pdf ├── lection-10.tex ├── lection-11.pdf ├── lection-11.tex ├── lection-12.pdf ├── lection-12.tex ├── lection-13.pdf ├── lection-13.tex ├── lection-14.pdf ├── lection-14.tex ├── lection-15.pdf ├── lection-15.tex ├── names.pdf ├── names.tex ├── questions-ml.pdf ├── questions-ml.tex ├── questions.pdf └── questions.tex /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | *.aux 2 | *.log 3 | *.nav 4 | *.out 5 | *.snm 6 | *.toc 7 | *.vrb -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Курс математической логики, КТ, весна 2023 2 | ========================== 3 | ## Материалы 4 | + [Конспект 2018 года](https://github.com/shd/logic2018/blob/master/conspect.pdf) 5 | + [Конспект 2011 года](https://github.com/shd/logic2011/blob/master/conspect.pdf) 6 | + [Теоретические домашние задания](https://github.com/shd/logic2023/blob/master/hw-theory.pdf) 7 | + [Список вопросов к зачёту/экзамену](https://github.com/shd/logic2023/blob/master/questions.pdf) 8 | 9 | + [Краткая инструкция по утилите make](https://github.com/shd/logic2018/blob/master/make.pdf) 10 | 11 | ## Лекция 1 12 | ### Исчисление высказываний 13 | + Немного об истории вопроса 14 | + Язык исчисления высказываний 15 | + Теория моделей, оценка высказываний 16 | + Теория доказательств, доказательства, выводимость 17 | + Теорема о корректности классического исчисления высказываний 18 | ### Где почитать 19 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 20 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 21 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 22 | + О противоречиях в математическом анализе: Джордж Беркли, «Аналитик. Беседа, адресованная неверному математику: 23 | где исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливо 24 | задуманы или более явно выведены, чем религиозные мистерии и точки веры» --- М.: Мысль, 1978 25 | + О разных вариантах исчисления высказываний (включая варианты с одной схемой аксиом): 26 | https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Hilbert_systems 27 | 28 | ## Лекция 2 29 | ### Теоремы об исчислении высказываний 30 | + Теорема о дедукции 31 | + Теорема о полноте классическое И.В. 32 | + Введение в интуиционистское исчисление высказываний: история 33 | + BHK-интерпретация связок 34 | + Топологическая интерпретация интуиционистского исчисления высказываний 35 | ### Где почитать 36 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 37 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 38 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 39 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 40 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 41 | + В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 42 | http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf 43 | 44 | ## Лекция 3 45 | ### Модели интуиционистского исчисления высказываний 46 | + Общая топология, базовые определения 47 | + Решётки, алгебра Гейтинга и булева алгебра 48 | + Алгебра Линденбаума 49 | ### Где почитать 50 | + О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. --- М.: Издательство МЦНМО, 2010 51 | + В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 52 | http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf 53 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 54 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 55 | 56 | ## Лекция 4 57 | ### Теоремы об интуиционистском исчислении высказываний 58 | + Модели Крипке, их соответствие алгебрам Гейтинга 59 | + Нетабличность ИИВ 60 | + Дизъюнктивность ИИВ 61 | + Естественный вывод для ИИВ 62 | ### Где почитать 63 | + В.Е.Плиско, В.Х.Хаханян, Интуиционистская логика, Мех-Мат МГУ 2009 64 | http://logic.math.msu.ru/wp-content/uploads/plisko/intlog.pdf 65 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 66 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 67 | 68 | ## Лекция 5 69 | ### Исчисление предикатов 70 | + Язык исчисления предикатов 71 | + Теория моделей, теория доказательств 72 | + Теорема о дедукции 73 | + Теорема о корректности 74 | ### Где почитать 75 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 76 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 77 | 78 | ## Лекция 6 79 | ### Теорема о полноте исчисления предикатов 80 | + Непротиворечивые множества формул 81 | + Модели для непротиворечивых множеств формул 82 | + Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов 83 | + Следствие о полноте исчисления предикатов 84 | + Непротиворечивость исчисления предикатов 85 | ### Где почитать 86 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 87 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 88 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 89 | 90 | ## Лекция 7 91 | ### Аксиоматика Пеано и формальная арифметика 92 | + Неразрешимость исчисления предикатов 93 | + Аксиоматика Пеано 94 | + Теории первого порядка 95 | + Формальная арифметика 96 | ### Где почитать 97 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 98 | 99 | ## Лекция 8 100 | ### Рекурсивные функции и представимость функций в формальной арифметике 101 | + О разрешимости интуиционистского исчисления высказываний 102 | + Рекурсивные функции 103 | + Функция Аккермана, доказательство того, что она не является примитивно-рекурсивной 104 | + Выразимость отношений, представимость функций в формальной арифметике 105 | + Все рекурсивные функции представимы 106 | + Гёделева нумерация, все представимые функции рекурсивны 107 | ### Где почитать 108 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 109 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 110 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Языки и исчисления. 111 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf 112 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 113 | + Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971. 114 | 115 | ## Лекция 9 116 | ### Теоремы Гёделя о неполноте арифметики 117 | + Омега-непротиворечивость, семантическая и синтаксическая полнота. 118 | + Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики. 119 | + Теорема Гёделя о неполноте арифметики в форме Россера. 120 | + Consis 121 | + Условия выводимости Гильберта-Бернайса-Лёфа. 122 | + Лемма об автоссылках, другая формулировка теоремы Гёделя о неполноте арифметики. 123 | + Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики. 124 | ### Где почитать 125 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 126 | + Гилберт Д., Бернайс П., Основания математики --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1982. 127 | 128 | ## Лекция 10 129 | ### Теория множеств 130 | + История возникновения теории 131 | + Аксиомы теории множеств 132 | + Ординалы 133 | ### Где почитать 134 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 135 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 136 | + Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010 137 | 138 | ## Лекция 11 139 | ### Мощность множеств 140 | + Равномощные множества 141 | + Кардинальные числа 142 | + Теорема Кантора-Бернштейна 143 | + Теорема Кантора 144 | + Счётная аксиоматизация теории 145 | + Теорема Лёвенгейма-Сколема 146 | + Парадокс Сколема 147 | ### Где почитать 148 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 149 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 150 | + Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010 151 | + Н.К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств. 152 | https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1.pdf 153 | 154 | ## Лекция 12 155 | ### Аксиома выбора 156 | + Альтернативные формулировки (Лемма Цорна, Теорема Цермело, существование частичной обратной) 157 | + Пример применения аксиомы выбора в математике: эквивалентность определений по Коши или по Гейне 158 | + Теорема Диаконеску 159 | + Ослабленные варианты аксиомы 160 | + Универсум фон-Неймана и аксиома конструктивности. 161 | ### Где почитать 162 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 163 | + Конспекты 2011 и 2018 года по логике. 164 | + Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010 165 | 166 | ## Лекция 13 167 | ### Трансфинитная индукция. Доказательство непротиворечивости формальной арифметики 168 | + Математическая и трансфинитная индукция, различные формулировки. 169 | + Система S-бесконечность 170 | + Сечения. Теорема об устранении сечений 171 | + Теорема о непротиворечивости формальной арифметики 172 | ### Где почитать 173 | + П.Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза --- М.: Изд-во <<Мир>>, 1969. 174 | + Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. --- УРСС, 2010 175 | + Э. Мендельсон, Введение в математическую логику --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1971. 176 | 177 | ## Лекция 14 178 | ### Лямбда-исчисление 179 | + Бестиповое лямбда-исчисление 180 | + Просто-типизированное лямбда исчисление, изоморфизм Карри-Ховарда 181 | + Обзор различных теорий, основанных на лямбда-исчислении и их приложений в математике и программировании. 182 | ### Где почитать 183 | + Morten Heine B. Sørensen, Pawel Urzyczyn: Lections on the Curry-Howard Isomorphism 184 | https://disi.unitn.it/~bernardi/RSISE11/Papers/curry-howard.pdf 185 | 186 | ## Лекция 15 187 | ### Метод резолюций 188 | + Теорема Гёделя о компактности исчисления предикатов 189 | + Сколемизация 190 | + Эрбранов универсум 191 | + Метод резолюций 192 | ### Где почитать 193 | + Ч. Чень, Р. Ли, Математическая логика и автоматическое доказательство теорем --- М.: Изд-во <<Наука>>, 1983. 194 | -------------------------------------------------------------------------------- /hw-theory.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/hw-theory.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-01.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-01.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-02.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-02.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-03.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-03.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-03.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{amssymb} 5 | \usepackage{stmaryrd} 6 | \usepackage{cmll} 7 | \usepackage{xcolor} 8 | \usepackage{proof} 9 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usetikzlibrary{hobby,fit,backgrounds,calc,shapes.geometric,patterns} 12 | \begin{document} 13 | 14 | \newtheorem{axiom}{Аксиома} 15 | \newtheorem{exmprus}{Пример} 16 | \newtheorem{defrus}{Определение} 17 | \newtheorem{lemmarus}{Лемма} 18 | \newtheorem{thmrus}{Теорема} 19 | 20 | \begin{frame}{} 21 | \begin{center}\Large Немного об общей топологии.\end{center} 22 | \end{frame} 23 | 24 | \begin{frame}{Топологическое пространство} 25 | 26 | \begin{defrus}Топологическим пространством называется упорядоченная пара $\langle X, \Omega \rangle$, 27 | где $X$ --- некоторое множество, а $\Omega \subseteq \mathcal{P}(X)$, причём: 28 | \begin{enumerate} 29 | \item $\varnothing, X \in \Omega$ 30 | \item если $A_1, \dots, A_n \in \Omega$, то $A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n \in \Omega$; 31 | \item если $\{A_\alpha\}$ --- семейство множеств из $\Omega$, то и $\bigcup_\alpha A_\alpha \in \Omega$. 32 | \end{enumerate} 33 | 34 | Множество $\Omega$ называется \emph{топологией}. 35 | Элементы $\Omega$ называются открытыми множествами. 36 | \end{defrus} 37 | 38 | %\begin{defrus} 39 | %Если $X \setminus A \in \Omega$, то $A$ --- замкнутое. 40 | %\end{defrus} 41 | 42 | \begin{defrus}$\mathcal{B}$ --- \emph{база} топологического пространства $\langle X, \Omega\rangle$ ($\mathcal{B} \subseteq \Omega$), 43 | если всевозможные объединения множеств из $\mathcal{B}$ дают $\Omega$. 44 | \end{defrus} 45 | \end{frame} 46 | 47 | \begin{frame}{Примеры топологических пространств} 48 | \begin{defrus}Евклидово пространство (евклидова топология) на $\mathbb{R}$: база топологии $\{(x,y)\ |\ x,y \in \mathbb{R}\}$.\end{defrus} 49 | \begin{defrus}Дискретная топология: $\langle X, \mathcal{P}(X) \rangle$ --- все множества открыты.\end{defrus} 50 | \begin{defrus}Топология стрелки: $\langle \mathbb{R}, \{(x,+\infty)\ |\ x\in\mathbb{R}\}\cup\{\varnothing,\mathbb{R}\}\rangle$ --- открыты все положительные лучи.\end{defrus} 51 | \end{frame} 52 | 53 | \begin{frame}{Подпространства и связные множества} 54 | \begin{defrus}Пространство $\langle X_1, \Omega_1\rangle$ --- подпространство пространства $\langle X, \Omega\rangle$, 55 | если $X_1 \subseteq X$ и $\Omega_1 = \{ A\cap X_1 | A \in \Omega\}$. 56 | \end{defrus} 57 | \begin{exmprus} $[0,1]$ с евклидовой топологией на отрезке --- подпространство $\mathbb{R}$. 58 | В нём множество $[0,0.5)$ открыто, так как $[0,0.5) = (-0.5,0.5) \cap [0,1]$.\end{exmprus} 59 | 60 | \begin{defrus}Пространство $\langle X, \Omega\rangle$ связно, если нет $A,B \in \Omega$, что $A\cup B = X$, 61 | $A \cap B = \varnothing$ и $A,B \ne \varnothing$.\end{defrus} 62 | 63 | \begin{exmprus}Пространство $(0,1]\cup[2,3)$ в $\mathbb{R}$ несвязно: возьмём $A=(0,1]$ и $B = [2,3)$. 64 | 65 | Дискретное топологическое пространство $\langle X, \mathcal{P}(X)\rangle$ несвязно при $|X| > 1$: пусть $a \in X$, 66 | тогда $A = \{a\}$ и $B = X \setminus A$. 67 | \end{exmprus} 68 | \end{frame} 69 | 70 | \begin{frame}{Топология на деревьях} 71 | \begin{defrus}Пусть некоторый лес задан конечным множеством вершин $V$ и 72 | отношением $(\preceq)$, связывающим предков и потомков ($a \preceq b$, если $b$ --- потомок $a$). Тогда подмножество его вершин $X\subseteq V$ назовём открытым, 73 | если из $a \in X$ и $a \preceq b$ следует, что $b \in X$.\end{defrus} 74 | 75 | \begin{exmprus} 76 | \begin{center}\tikz[every fit/.style={trapezium,draw,inner sep=-2pt}]{ 77 | \node at (0,2.5) (Title) {Открыты}; 78 | \node at (1,2) (A) {$W_1$}; 79 | \node at (0,0.5) (B) {$W_2$}; 80 | \node at (1,0.5) (C) {$W_3$}; 81 | \node at (2,0.5) (D) {$W_4$}; 82 | \node at (0,-1) (E) {$W_5$}; 83 | \node at (2,-1) (F) {$W_6$}; 84 | \draw[->] (A) to (B); \draw[->] (B) to (E); 85 | \draw[->] (A) to (C); 86 | \draw[->] (A) to (D); \draw[->] (D) to (F); 87 | \begin{pgfonlayer}{background} 88 | \draw[red,fill=red,opacity=0.2](B.north west) 89 | to[closed,curve through={ 90 | (B.south west) .. 91 | (E.south west) .. (E.south east) .. ($(E.north east)!0.5!(C.south west)$) .. (C.south east) 92 | }] (C.north east); 93 | \draw[blue,fill=blue,opacity=0.2](D.north west) to 94 | [closed, curve through={ (D.south west) .. (F.south west) .. (F.south east) .. (D.south east) } 95 | ] (D.north east); 96 | \end{pgfonlayer} 97 | } 98 | \tikz[every fit/.style={trapezium,draw,inner sep=-2pt}]{ 99 | \node at (0,2.8) (Title) {Не открыты}; 100 | \node at (1,2) (A) {$W_1$}; 101 | \node at (0,0.5) (B) {$W_2$}; 102 | \node at (1,0.5) (C) {$W_3$}; 103 | \node at (2,0.5) (D) {$W_4$}; 104 | \node at (0,-1) (E) {$W_5$}; 105 | \node at (2,-1) (F) {$W_6$}; 106 | \draw[->] (A) to (B); \draw[->] (B) to (E); 107 | \draw[->] (A) to (C); 108 | \draw[->] (A) to (D); \draw[->] (D) to (F); 109 | \begin{pgfonlayer}{background} 110 | \draw[brown,pattern color=brown!50,pattern=north east lines](A.north west) to 111 | [closed, curve through={ (A.south west) .. (C.north west) .. (C.south west) .. (D.south east) } 112 | ] (A.north east); 113 | \draw[brown,pattern color=brown!50,pattern=north east lines](B.north west) to 114 | [closed, curve through={ (B.south west) } 115 | ] (B.south east); 116 | \end{pgfonlayer} 117 | } 118 | \end{center} 119 | \end{exmprus} 120 | \end{frame} 121 | 122 | \begin{frame}{Связность деревьев} 123 | 124 | \begin{lemmarus}Лес связен (является одним деревом) тогда и только тогда, когда соответствующее ему 125 | топологическое пространство связно.\end{lemmarus} 126 | 127 | \begin{proof}\begin{enumerate}\item Лес связен: пусть не так и найдутся открытые непустые $A$,$B$, что 128 | $A \cup B = V$ и $A \cap B = \varnothing$. Пусть $v \in V$ --- корень 129 | дерева и пусть $v \in A$ (для определённости). Тогда $A = \{ x \ |\ v \preceq x \}$ и $B = \varnothing$. 130 | \item Пусть лес топологически связен, но есть несколько разных корней $v_1, v_2, \dots, v_k$. 131 | Возьмём $A_i = \{ x\ |\ v_i \preceq x \}$. Тогда все $A_i$ открыты, непусты, дизъюнктны и $V = \cup A_i$. 132 | \end{enumerate} 133 | \end{proof} 134 | \end{frame} 135 | 136 | \begin{frame}[fragile]{Пишем скобки или нет?} 137 | 138 | Вы как пишете: $\sin x$ или $\sin (x)$? \pause 139 | 140 | \begin{verbatim} 141 | int main () { 142 | return sizeof 0; 143 | } 144 | \end{verbatim} 145 | \pause 146 | 147 | Соглашение о записи: 148 | $$\text{sizeof}\ \varnothing = \text{sizeof}(\varnothing) = 0$$ 149 | 150 | но: 151 | $$\text{sizeof}\{\varnothing\} = \text{sizeof}(\{\varnothing\}) = 1$$ 152 | 153 | \end{frame} 154 | 155 | \begin{frame}{Минимальные и максимальные элементы} 156 | 157 | \begin{defrus} 158 | Множество нижних граней $X\subseteq\mathcal{U}$: $\mbox{\upshape lwb}_\mathcal{U} X = \{ y\in \mathcal{U}\ |\ y \preceq x\text{ при всех } x \in X\}$. 159 | Множество верхних граней $X\subseteq\mathcal{U}$: $\mbox{\upshape upb}_\mathcal{U} X = \{ y\in\mathcal{U}\ |\ x \preceq y \text{ при всех } x \in X\}$. 160 | \end{defrus} 161 | 162 | \begin{defrus} 163 | \begin{tabular}{ll} 164 | минимальный ($m \in X$): нет меньшего & при всех $y \in X$, $y \preceq m$ влечёт $y = m$ \\ 165 | максимальный ($m \in X$): нет большего & при всех $y \in X$, $m \preceq y$ влечёт $y = m$ \\ 166 | наименьший ($m \in X$): меньше всех & при всех $y \in X$ выполнено $m \preceq y$\\ 167 | наибольший ($m \in X$): больше всех & при всех $y \in X$ выполнено $y \preceq m$\\ 168 | инфимум: наибольшая нижняя грань & $\inf_\mathcal{U} X = \mbox{\upshape наиб}(\mbox{\upshape lwb}_\mathcal{U} X)$\\ 169 | супремум: наименьшая верхняя грань & $\sup_\mathcal{U} X = \mbox{\upshape наим}(\mbox{\upshape upb}_\mathcal{U} X)$ 170 | \end{tabular} 171 | \end{defrus} 172 | 173 | \begin{exmprus}\vspace{-0.5cm} 174 | \begin{center}\tikz{ 175 | \draw[-stealth, line width=1, color=gray] (-1,0) to (9,0); 176 | \foreach \n [evaluate=\n as \rev using {int(ln(1/\n+1)*1000)}] in {1,...,100} { \draw[line width=0.7,color=black!\rev] ({2+3/\n},-0.1) to ({2+3/\n},0.1); } 177 | \node (hdr) at (3.5,0.5) { $\left\{ \frac{1}{n}\ |\ n \in \mathbb{N}\right\}$ }; 178 | \draw[circle] (2,0); 179 | \node[text height=3ex] (lwb) at (0.5,-0.3) {$\text{\upshape lwb}_\mathbb{R}$}; 180 | \node[text height=3ex] (lwb) at (7.5,-0.3) {$\text{\upshape upb}_\mathbb{R}$}; 181 | \foreach \x in {2,5} { 182 | \node[draw,isosceles triangle,rotate=90,fill=black,scale=0.3] (s\x) at (\x,-0.4) {}; 183 | } 184 | \node[text height=3ex] (bsup) at (5,-0.7) {наиб, max, sup}; 185 | \node[text height=3ex] (binf) at (2,-0.7) {inf}; 186 | \path[pattern=north east lines] (-0.5,-0.1) rectangle (2,0.1); 187 | \path[pattern=north west lines] (5,-0.1) rectangle (8.5,0.1); 188 | }\end{center} 189 | \end{exmprus} 190 | \end{frame} 191 | 192 | \begin{frame}{Пример: делимость} 193 | На $\mathbb{N}$ положим $a \preceq b$, если $b\ \raisebox{-0.75pt}{\vdots}\ a$. 194 | \begin{exmprus}Множество $\{2,3,6\}$\vspace{0.2cm} 195 | 196 | \begin{tabular}{lll} 197 | Минимальные: & 2,3 & $2\ \raisebox{-0.75pt}{\vdots}\ x$ влечёт $x = 1$ или $x = 2$, то же про 3\\ 198 | Наименьший: & отсутствует & $2 \not\preceq 3$ и $3 \not\preceq 2$\\ 199 | Инфимум: & 1 & $1 \preceq x$ при всех $x \in \mathbb{N}$ 200 | \end{tabular} 201 | \end{exmprus} 202 | 203 | \tikz{ 204 | \draw[-stealth, line width=1, color=gray] (0,-0.5) to (7,-0.5); 205 | \foreach \i in {1,2,3,6} { \draw[-] (\i,-0.6) to (\i,-0.4); } 206 | \node[circle] (1) at (1,0) {$1$}; 207 | \node[circle] (2) at (2,0) {$2$}; 208 | \node[circle] (3) at (3,0) {$3$}; 209 | \node[circle] (6) at (6,0) {$6$}; 210 | \draw [dashed,rounded corners=4,gray,line width=0.5] (1.7,-0.3) rectangle (6.3,0.3); 211 | \foreach \b/\e in {1/2, 1/3, 2/6, 3/6} { 212 | \draw[stealth-, line width=1, color=black!50!green] (\b,-0.55) to [curve through={({(\b+\e)/2},{-0.55-(\e-\b)/5})}] (\e,-0.55); 213 | } 214 | 215 | \node[circle,inner sep=0.3] (1) at (10,-1.3) {$1$}; 216 | \node[circle,inner sep=0.3] (2) at (9.5,-0.5) {$2$}; 217 | \node[circle,inner sep=0.3] (3) at (10.5,-0.5) {$3$}; 218 | \node[circle,inner sep=0.3] (6) at (10,0.3) {$6$}; 219 | \draw [dashed,rounded corners=4,gray,line width=0.5] (9,-0.8) rectangle (11,0.6); 220 | \foreach \b/\e in {1/2, 1/3, 2/6, 3/6} { 221 | \draw[stealth-, line width=1, color=black!50!green] (\b) to (\e); 222 | } 223 | }\pause 224 | \vspace{-0.3cm} 225 | \begin{exmprus} 226 | Рассмотрим $X=\{1;1.4;1.41;1.414;1.4142;\ldots\}$~--- множество десятичных приближений $\sqrt{2}$, ${\preceq}={\leqslant}$. 227 | Тогда $\operatorname{upb}_{\mathbb{Q}}X$ состоит из рациональных чисел, б\'{о}льших $\sqrt{2}$. При этом $\sqrt{2}\notin\operatorname{upb}_{\mathbb{Q}}X$, а значит $\sup_{\mathbb{Q}}X$ не определён. 228 | \end{exmprus} 229 | 230 | \end{frame} 231 | 232 | \begin{frame}{Пример: внутренность множества} 233 | \begin{defrus}[внутренность множества] Рассмотрим $\langle X, \Omega\rangle$ и возьмём $(\subseteq)$ как отношение частичного порядка на $\mathcal{P}(X)$. 234 | Тогда $A^\circ := \inf_\Omega (\{ A\})$. %То есть, $A^\circ = \text{\upshape наиб}_\Omega\{ Q \in \Omega\ |\ Q \subseteq A\}$. 235 | \end{defrus} 236 | 237 | \begin{thmrus}$A^\circ$ определена для любого $A$.\end{thmrus} 238 | \begin{proof} 239 | 240 | Пусть $V = \text{lwb}_\Omega\{ A \} = \{ Q \in \Omega\ |\ Q \subseteq A\}$. Тогда $\inf_\Omega \{A\} = \bigcup V$. 241 | 242 | Напомним, $\inf_\mathcal{U} T = \text{наиб}(\text{lwb}_\mathcal{U} T)$. 243 | 244 | \begin{enumerate} 245 | \item Покажем принадлежность: $\bigcup V \subseteq A$ и $\bigcup V \in \Omega$ как объединение открытых. 246 | \item Покажем, что все из $V$ меньше или равны: пусть $X \in V$, то есть $V = \{ X, \dots \}$, тогда $X \subseteq X \cup \dots$, тогда $X \subseteq \bigcup V$ 247 | \end{enumerate} 248 | \end{proof} 249 | \end{frame} 250 | 251 | \begin{frame}{Решётка} 252 | \begin{defrus}Решёткой называется упорядоченная пара: $\langle X, (\preceq)\rangle$, 253 | где $X$ --- некоторое множество, а $(\preceq)$ --- частичный порядок на $X$, такой, 254 | что для любых $a,b \in X$ определены $a + b = \sup\{a,b\}$ и $a \cdot b = \inf\{a,b\}$. 255 | \end{defrus} 256 | 257 | То есть, $a + b$ --- наименьший элемент $c$, что $a \preceq c$ и $b \preceq c$. 258 | 259 | \begin{exmprus} 260 | $\langle\Omega, (\subseteq)\rangle$ --- решётка. 261 | $\langle\mathbb{N}\setminus\{1\}, (\raisebox{-0.75pt}{\vdots})\rangle$ --- не решётка. 262 | \end{exmprus} 263 | \end{frame} 264 | 265 | \begin{frame}{Псевдодополнение} 266 | Псевдодополнением $a \rightarrow b$ называется наибольший из $\{ x \ |\ a \cdot x \preceq b\}$. 267 | 268 | \begin{exmprus}\vspace{-0.3cm} 269 | \begin{center}\tikz{ 270 | \node[circle,inner sep=0.3] (A) at (1,-1.3) {$a$}; 271 | \node[fill=cyan!0.2,circle,inner sep=0.3] (B) at (0.5,-0.5) {$b$}; 272 | \node[circle,inner sep=0.3] (C) at (1.5,-0.5) {$c$}; 273 | \node[circle,inner sep=0.3] (D) at (1,0.3) {$d$}; 274 | \foreach \b/\e in {A/B, A/C, B/D, C/D} { 275 | \draw[stealth-, line width=1, color=black!50!green] (\b) to (\e); 276 | } 277 | 278 | \node (txt) at (4,-0.5) { \begin{tabular}{l} $a \cdot b = a$ \\ $b \cdot b = b$ \\ $c \cdot b = a$ \\ $d \cdot b = b$ \end{tabular} }; 279 | \draw[fill=cyan,fill=cyan,opacity=0.2](C.north west) 280 | to[closed,curve through={ 281 | (A.south west) .. (A.south east) 282 | }] (C.north east); 283 | }\end{center} 284 | 285 | Здесь $b \rightarrow c = \text{наиб}\{x\ |\ b \cdot x \preceq c\} = \text{наиб}\{ a, c \} = c$ 286 | \end{exmprus} 287 | 288 | \begin{exmprus}[нет псевдодополнения: диамант и пентагон]\vspace{-0.3cm} 289 | \begin{center}\tikz{ 290 | \node[circle,inner sep=0.3] (A) at (1,-1.3) {$a$}; 291 | \node[circle,inner sep=0.3] (B) at (0,-0.5) {$b$}; 292 | \node[circle,inner sep=0.3] (C) at (1,-0.5) {$c$}; 293 | \node[circle,inner sep=0.3] (D) at (2,-0.5) {$d$}; 294 | \node[circle,inner sep=0.3] (E) at (1,0.3) {$e$}; 295 | \foreach \b/\e in {A/B, A/C, A/D, B/E, C/E, D/E} { 296 | \draw[stealth-, line width=1, color=black!50!green] (\b) to (\e); 297 | } 298 | \draw[pattern=north west lines,opacity=0.5,pattern color=olive](C.north west) 299 | to[closed,curve through={ 300 | (A.south west) .. (A.south east) .. (D.south east) 301 | }] (D.north east); 302 | \node (BC) at (1,-1.8) {$b \rightarrow c = \text{наиб}\{ a, c, d \}$}; 303 | 304 | \node[circle,inner sep=0.3] (A1) at (9,-1.3) {$a$}; 305 | \node[circle,inner sep=0.3] (B1) at (8,-1) {$b$}; 306 | \node[circle,inner sep=0.3] (C1) at (8,0) {$c$}; 307 | \node[circle,inner sep=0.3] (D1) at (10,-0.5) {$d$}; 308 | \node[circle,inner sep=0.3] (E1) at (9,0.3) {$e$}; 309 | \foreach \b/\e in {A1/B1, B1/C1, C1/E1, A1/D1, D1/E1} { 310 | \draw[stealth-, line width=1, color=black!50!green] (\b) to (\e); 311 | } 312 | 313 | \node (B1C1) at (9,-1.8) {$c \rightarrow b = \text{наиб}\{ a, b, d \}$}; 314 | \draw[pattern=north west lines,opacity=0.5,pattern color=olive](B1.north west) 315 | to[closed,curve through={ 316 | (A1.south east) .. (D1.south east) .. (D1.north east) 317 | }] (B1.north east); 318 | }\end{center} 319 | \end{exmprus} 320 | \end{frame} 321 | 322 | \begin{frame}{Особые решётки} 323 | \begin{defrus}Дистрибутивной решёткой называется такая, что для любых $a,b,c$ выполнено 324 | $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. 325 | \end{defrus} 326 | 327 | \begin{defrus}Импликативная решётка --- такая, в которой для любых элементов есть псевдодополнение.\end{defrus} 328 | 329 | \begin{lemmarus}Любая импликативная решётка --- дистрибутивна.\end{lemmarus} 330 | \end{frame} 331 | 332 | \begin{frame}{Ноль и один} 333 | \begin{defrus}0 --- наименьший элемент решётки, а 1 --- наибольший элемент решётки\end{defrus} 334 | \begin{lemmarus}В любой импликативной решётке $\langle X, (\preceq)\rangle$ есть 1\end{lemmarus} 335 | \begin{proof} Рассмотрим $a \rightarrow a$, тогда $a \rightarrow a = \text{наиб}\{ c \ |\ a \cdot c \preceq a\} = 336 | \text{наиб} X = 1$. 337 | \end{proof} 338 | \begin{defrus}Импликативная решётка с 0 --- псевдобулева алгебра (алгебра Гейтинга). 339 | В такой решётке определено $\sim a := a \rightarrow 0$ \end{defrus} 340 | \begin{defrus}Булева алгебра --- псевдобулева алгебра, в которой $a\ + \sim a = 1$ для всех $a$.\end{defrus} 341 | \end{frame} 342 | 343 | \begin{frame}{Булева алгебра является булевой алгеброй в смысле решёток} 344 | \begin{proof} 345 | Символы булевой алгебры: $(\with),(\vee),(\neg),\text{Л},\text{И}$.\\ 346 | Символы решёток: $(+),(\cdot),(\rightarrow),(\sim),0,1$\\ 347 | Упорядочивание: $\text{Л} \le \text{И}$. 348 | 349 | \begin{enumerate} 350 | \item $a \with b = \min(a,b)$, $a \vee b = \max(a,b)$ 351 | (анализ таблицы истинности), отсюда $a \cdot b = a \with b$ и $a + b = a \vee b$. 352 | 353 | \item $a \rightarrow b = \neg a \vee b$, так как: 354 | $$a \rightarrow b = \text{наиб}\{ c | c \with a \le b\} = \left\{\begin{array}{ll}\neg a,& b = \text{Л}\\ 355 | \text{И},& b = \text{И}\end{array}\right.$$ 356 | 357 | \item $0 = \min\{\text{И},\text{Л}\} = \text{Л}$, $1 = \max\{\text{И},\text{Л}\} = \text{И}$, $\sim a = a \rightarrow 0 = \neg a \vee \text{Л} = \neg a$. 358 | Заметим, что $a\ + \sim a = a \vee \neg a = \text{И}$. 359 | \end{enumerate} 360 | Итого: булева алгебра --- импликативная решётка с 0 и с $a\ + \sim a = 1$. 361 | 362 | \end{proof} 363 | \end{frame} 364 | 365 | \begin{frame}{Множества и топологии как решётки} 366 | \begin{lemmarus} 367 | $\langle \mathcal{P}(X), (\subseteq) \rangle$ --- булева алгебра. 368 | \end{lemmarus} 369 | 370 | \begin{proof} 371 | $a \rightarrow b = \text{наиб}\{ c \subseteq X\ |\ a \cap c \subseteq b\}$. Т.е. наибольшее, не содержащее точек из $a \setminus b$. 372 | Т.е. $X \setminus (a \setminus b)$. То есть $(X \setminus a) \cup b$. 373 | 374 | $a\ +\sim a = a \cup (X \setminus a) \cup \varnothing = X$ 375 | \end{proof} 376 | 377 | \begin{lemmarus} 378 | $\langle \Omega, (\subseteq) \rangle$ --- псевдобулева алгебра. 379 | \end{lemmarus} 380 | 381 | \begin{proof} 382 | $a \rightarrow b = \text{наиб}\{ c \in \Omega\ |\ a \cap c \subseteq b\}$. 383 | Т.е. наибольшее открытое, не содержащее точек из $a \setminus b$. 384 | То есть, $(X \setminus (a \setminus b))^\circ$. То есть, $((X \setminus a) \cup b)^\circ$. 385 | \end{proof} 386 | 387 | \end{frame} 388 | 389 | \begin{frame}{Решётки и исчисление высказываний} 390 | \begin{defrus}Пусть некоторое исчисление высказываний оценивается значениями из некоторой решётки. 391 | Назовём оценку согласованной с исчислением, если 392 | $\llbracket\alpha\with\beta\rrbracket = \llbracket\alpha\rrbracket\cdot\llbracket\beta\rrbracket$, 393 | $\llbracket\alpha\vee\beta\rrbracket = \llbracket\alpha\rrbracket+\llbracket\beta\rrbracket$, 394 | $\llbracket\alpha\rightarrow\beta\rrbracket = \llbracket\alpha\rrbracket\rightarrow\llbracket\beta\rrbracket$, 395 | $\llbracket\neg\alpha\rrbracket =\ \sim\llbracket\alpha\rrbracket$, 396 | $\llbracket A \with\neg A\rrbracket = 0$, $\llbracket A\rightarrow A \rrbracket = 1$. 397 | \end{defrus} 398 | 399 | \begin{thmrus}Любая псевдобулева алгебра, являющаяся согласованной оценкой интуиционистского исчисления высказываний, 400 | является его корректной моделью: если $\vdash\alpha$, то $\llbracket\alpha\rrbracket = 1$. 401 | \end{thmrus} 402 | 403 | \begin{thmrus}Любая булева алгебра, являющаяся согласованной оценкой классического исчисления высказываний, 404 | является его корректной моделью: если $\vdash\alpha$, то $\llbracket\alpha\rrbracket = 1$ 405 | \end{thmrus} 406 | 407 | \end{frame} 408 | 409 | \begin{frame}{Алгебра Линденбаума} 410 | \begin{defrus}Определим предпорядок на высказываниях: $\alpha \preceq \beta := \alpha \vdash \beta$ в интуиционистском исчислении высказываний. 411 | Также $\alpha\approx\beta$, если $\alpha\preceq\beta$ и $\beta\preceq\alpha$.\end{defrus} 412 | \begin{defrus}Пусть $L$ --- множество всех высказываний. Тогда алгебра Линденбаума $\mathcal{L} = L/_\approx$.\end{defrus} 413 | \begin{thmrus}$\mathcal{L}$ --- псевдобулева алгебра.\end{thmrus} 414 | \begin{proof}[Схема доказательства] Надо показать, что $(\preceq)$ есть отношение порядка на $\mathcal{L}$, что 415 | $[\alpha\vee\beta]_\mathcal{L} = [\alpha]_\mathcal{L}+[\beta]_\mathcal{L}$, 416 | $[\alpha\with\beta]_\mathcal{L} = [\alpha]_\mathcal{L}\cdot[\beta]_\mathcal{L}$, импликация есть псевдодополнение, 417 | $[A\with\neg A]_\mathcal{L} = 0$, $[\alpha]_\mathcal{L}\rightarrow 0 = [\neg\alpha]_\mathcal{L}$.\end{proof} 418 | \end{frame} 419 | 420 | \begin{frame}{Полнота псевдобулевых алгебр} 421 | \begin{thmrus}Пусть $\llbracket\alpha\rrbracket = [\alpha]_\mathcal{L}$. 422 | Такая оценка интуиционистского исчисления высказываний алгеброй Линденбаума является согласованной. 423 | \end{thmrus} 424 | 425 | \begin{thmrus}Интуиционистское исчисление высказываний полно в псевдобулевых алгебрах: 426 | если $\models\alpha$ во всех псевдобулевых алгебрах, то $\vdash\alpha$. \end{thmrus} 427 | \begin{proof}Возьмём в качестве модели исчисления алгебру Линденбаума: 428 | $\llbracket \alpha \rrbracket = [\alpha]_\mathcal{L}$. 429 | 430 | Пусть $\models\alpha$. Тогда $\llbracket\alpha\rrbracket = 1$ во всех псевдобулевых алгебрах, в том числе 431 | и $\llbracket\alpha\rrbracket = 1_\mathcal{L}$. То есть $[\alpha]_\mathcal{L} = [A\rightarrow A]_\mathcal{L}$. 432 | То есть $A \rightarrow A \approx \alpha$. Значит, в частности, $A \rightarrow A \vdash \alpha$. 433 | Значит, $\vdash\alpha$.\end{proof} 434 | \end{frame} 435 | 436 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /lection-04.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-04.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-04.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{amssymb} 5 | \usepackage{stmaryrd} 6 | \usepackage{cmll} 7 | \usepackage{xcolor} 8 | \usepackage{proof} 9 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usetikzlibrary{hobby,fit,backgrounds,calc,shapes.geometric,patterns} 12 | \begin{document} 13 | 14 | \newtheorem{axiom}{Аксиома} 15 | \newtheorem{exmprus}{Пример} 16 | \newtheorem{defrus}{Определение} 17 | \newtheorem{lemmarus}{Лемма} 18 | \newtheorem{thmrus}{Теорема} 19 | 20 | \begin{frame}{} 21 | \begin{center}\Large Теоремы об интуиционистском исчислении высказываний\end{center} 22 | \end{frame} 23 | 24 | \begin{frame}{Модели Крипке} 25 | \begin{defrus}Модель Крипке $\langle \mathcal{W}, \preceq, (\Vdash)\rangle$: 26 | \begin{itemize} 27 | \item $\mathcal{W}$ --- множество миров, $(\preceq)$ --- нестрогий частичный порядок на $\mathcal{W}$; 28 | \item $(\Vdash)\subseteq \mathcal{W}\times P$ --- отношение вынуждения 29 | между мирами и переменными, причём, если $W_i \preceq W_j$ и $W_i \Vdash X$, то $W_j \Vdash X$. 30 | \end{itemize} 31 | \end{defrus} 32 | 33 | Доопределим вынужденность: 34 | \begin{itemize} 35 | \item $W \Vdash \alpha\with\beta$, если $W \Vdash \alpha$ и $W \Vdash \beta$; 36 | \item $W \Vdash \alpha\vee\beta$, если $W \Vdash \alpha$ или $W \Vdash \beta$; 37 | \item $W \Vdash \alpha\rightarrow\beta$, если всегда при $W \preceq W_1$ и $W_1 \Vdash \alpha$ выполнено $W_1 \Vdash \beta$ 38 | \item $W \Vdash \neg\alpha$, если всегда при $W \preceq W_1$ выполнено $W_1 \not\Vdash \alpha$. 39 | \end{itemize} 40 | 41 | Будем говорить, что $\Vdash\alpha$, если $W\Vdash\alpha$ при всех $W \in \mathcal{W}$. 42 | Будем говорить, что $\models\alpha$, если $\Vdash\alpha$ во всех моделях Крипке. 43 | \end{frame} 44 | 45 | \begin{frame}{Исключённое третье} 46 | \begin{exmprus} 47 | Покажем, что $\not\models A \vee \neg A$. 48 | \begin{center}\tikz{ 49 | \node at (0,0) (A) {$W_1$}; 50 | \node at (2,1) (B) {$W_2\ (\Vdash A)$}; 51 | \node at (2,-1) (C) {$W_3$}; 52 | \draw[->] (A) to (B); 53 | \draw[->] (A) to (C); 54 | }\end{center} 55 | 56 | Тогда, $W_3 \Vdash \neg A$, но $W_1 \not\Vdash A$ (по определению) и $W_1 \not\Vdash \neg A$ (так как 57 | $W_1 \preceq W_2$ и $W_2 \Vdash A$). Значит, $W_1 \not\Vdash A \vee \neg A$. 58 | \end{exmprus} 59 | \end{frame} 60 | 61 | \begin{frame}{Корректность моделей Крипке} 62 | \begin{lemmarus}Если $W_1 \Vdash \alpha$ и $W_1 \preceq W_2$, то $W_2 \Vdash \alpha$\end{lemmarus} 63 | \begin{thmrus}Пусть $\langle \mathcal{W}, (\preceq), (\Vdash)\rangle$ --- 64 | некоторая модель Крипке. 65 | Тогда она есть корректная модель интуиционистского исчисления высказываний. 66 | \end{thmrus} 67 | \begin{proof} 68 | Доказательство для древовидного $(\preceq)$, обобщение на произвольный порядок легко построить. 69 | 70 | Заметим, что $V(\alpha) := \{ w \in \mathcal{W}\ |\ w\Vdash\alpha\}$ открыто в топологии для деревьев. 71 | Значит, положив $V = \{\ S\ |\ S \subseteq \mathcal{W}\ \with\ S \text{ --- открыто }\}$ и 72 | $\llbracket \alpha \rrbracket = V(\alpha)$, получим алгебру Гейтинга. 73 | \end{proof} 74 | \end{frame} 75 | 76 | \begin{frame}{Табличные модели} 77 | \begin{defrus} 78 | Пусть задано $V$, значение $T \in V$ (<<истина>>), функция $f_P: P \rightarrow V$, 79 | функции $f_\with, f_\vee, f_\rightarrow : V \times V \rightarrow V$, 80 | функция $f_\neg: V \rightarrow V$. 81 | 82 | Тогда оценка $\llbracket X \rrbracket = f_P(X)$, 83 | $\llbracket \alpha\star\beta \rrbracket = f_\star(\llbracket \alpha \rrbracket, \llbracket \beta \rrbracket)$, 84 | $\llbracket \neg\alpha \rrbracket = f_\neg(\llbracket\alpha\rrbracket)$ --- табличная. 85 | 86 | Если $\vdash \alpha$ влечёт $\llbracket\alpha\rrbracket = T$ при всех оценках пропозициональных переменных $f_P$, 87 | то $\mathcal{M} := \langle V, T, f_\with, f_\vee, f_\rightarrow, f_\neg\rangle$ --- табличная модель. 88 | \end{defrus} 89 | 90 | \begin{defrus}Табличная модель конечна, если $V$ конечно.\end{defrus} 91 | %\begin{defrus}$\models_\mathcal{M} \alpha$, если $\llbracket \alpha \rrbracket = Т$ при всех оценках пропозициональных переменных $f_P$.\end{defrus} 92 | 93 | \begin{thmrus}Не существует полной конечной табличной модели для интуиционистского исчисления высказываний\end{thmrus} 94 | \end{frame} 95 | 96 | \begin{frame}{Доказательство нетабличности: $\alpha_n$} 97 | Пусть существует полная конечная табличная модель $\mathcal{M}$, $V = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$. 98 | То есть, если $\models_\mathcal{M}\alpha$, то $\vdash\alpha$. 99 | 100 | Рассмотрим $$\alpha_n = 101 | \bigvee_{1 \le p < q \le n+1} A_p \rightarrow A_q 102 | $$ 103 | Рассмотрим оценку $f_P: \{A_1 \dots A_{n+1}\} \rightarrow \{v_1 \dots v_n\}$. 104 | По принципу Дирихле существуют $p \ne q$, что $\llbracket A_p \rrbracket = \llbracket A_q \rrbracket$. 105 | Значит, $$\llbracket A_p \rightarrow A_q \rrbracket = f_\rightarrow (\llbracket A_p \rrbracket, \llbracket A_q \rrbracket) = f_\rightarrow(v,v)$$ 106 | С другой стороны, $\vdash X \rightarrow X$ --- поэтому $f_\rightarrow(\llbracket X \rrbracket, \llbracket X \rrbracket) = T$, 107 | значит, $$\llbracket A_p \rightarrow A_q \rrbracket = f_\rightarrow(v,v) = f_\rightarrow(\llbracket X \rrbracket, \llbracket X \rrbracket) = T$$ 108 | 109 | Аналогично, $\vdash \sigma \vee (X \rightarrow X) \vee \tau$, отсюда $\llbracket \alpha_n \rrbracket = \llbracket \sigma \vee (X \rightarrow X) \vee \tau \rrbracket = T$. 110 | \end{frame} 111 | 112 | \begin{frame}{Доказательство нетабличности: противоречие} 113 | Однако, в такой модели $\not\Vdash \alpha_n$: 114 | 115 | \begin{center}\tikz{ 116 | \node at (0,0) (R) {$W_R$}; 117 | \node at (3,1.5) (A1) {$W_1$}; \node[right] at (3.5,1.5) (A11) {\color{black!50!red} $\Vdash A_1$}; 118 | \draw[red,fill=red,opacity=0.2](A1.south west) 119 | to[closed,curve through={($(A1.south west)!0.5!(A1.south east)$) .. (A1.north east)}] (A1.north west); 120 | 121 | \node at (3,0.5) (A2) {$W_2$}; \node[right] at (3.5,0.5) (A21) {\color{black!50!magenta} $\Vdash A_2$}; 122 | \draw[red,fill=magenta,opacity=0.2](A2.north west) 123 | to[closed,curve through={(A2.south west) .. (A2.south east)}] (A2.north east); 124 | \node at (3,-0.2) (A3) {$\dots$}; 125 | \node at (3,-0.9) (A4) {$W_n$}; \node[right] at (3.5,-0.9) (A41) {\color{teal} $\Vdash A_n$}; 126 | \draw[red,fill=teal,opacity=0.2](A4.north west) 127 | to[closed,curve through={($(A4.north west)!0.5!(A4.north east)$) .. (A4.south east)}] (A4.south west); 128 | 129 | \draw[->] (R) to (A1); 130 | \draw[->] (R) to (A2); 131 | \draw[->] (R) to (A4); 132 | 133 | \node[right] at (6,1.5) {Если $q > 1$, то}; \node[right] at (8.6, 1.5) {$W_1 \not\Vdash A_q$ и $W_1 \not\Vdash A_1 \rightarrow A_q$}; 134 | \node[right] at (6,0.5) {Если $q > 2$, то}; \node[right] at (8.6, 0.5) { $W_2 \not\Vdash A_q$ и $W_2 \not\Vdash A_2 \rightarrow A_q$}; 135 | \node[right] at (8.6,-0.5) {$W_n \not\Vdash A_{n+1}$; $W_n \not\Vdash A_n \rightarrow A_{n+1}$}; 136 | \node[right] at (6,-1.5) {Если $p < q$, то}; \node[right] at (8.6, -1.5) { $W_p \not\Vdash A_q$ и $W_p \not\Vdash A_p \rightarrow A_q$}; 137 | } 138 | \end{center} 139 | 140 | Если $p < q$, то $W_p \not\Vdash A_p \rightarrow A_q$, то есть $W_R \not\Vdash A_p \rightarrow A_q$. 141 | 142 | Отсюда: $W_R \not\Vdash \bigvee_{p < q} A_p \rightarrow A_q$, $W_R \not\Vdash \alpha_n$, 143 | потому $\not\models \alpha_n$ и $\not\vdash \alpha_n$. 144 | \end{frame} 145 | 146 | \begin{frame}{Дизъюнктивность ИИВ} 147 | \begin{defrus}Исчисление дизъюнктивно, если при любых $\alpha$ и $\beta$ из $\vdash\alpha\vee\beta$ следует $\vdash\alpha$ или $\vdash\beta$.\end{defrus} 148 | \begin{defrus}Решётка гёделева, если $a + b = 1$ влечёт $a = 1$ или $b = 1$.\end{defrus} 149 | \begin{thmrus}Интуиционистское исчисление высказываний дизъюнктивно\end{thmrus} 150 | \end{frame} 151 | 152 | \begin{frame}{<<Гёделевизация>> (операция $\Gamma(\mathcal{A})$)} 153 | \begin{defrus}Для алгебры Гейтинга $\mathcal{A} = \langle A, (\preceq) \rangle$ определим операцию <<гёделевизации>>: 154 | $\Gamma(\mathcal{A}) = \langle A\cup\{\omega\}, (\preceq_{\Gamma(\mathcal{A})}) \rangle$, где 155 | отношение $(\preceq_{\Gamma(\mathcal{A})})$ --- минимальное отношение порядка, 156 | удовлетворяющее условиям: 157 | 158 | \vspace{-0.5cm} 159 | \begin{center}\begin{tabular}{cc} 160 | \begin{minipage}{9cm} 161 | \begin{itemize} 162 | \item $a \preceq_{\Gamma(\mathcal{A})} b$, если $a \preceq_\mathcal{A} b$ и $a,b \notin \{\omega,1\}$; 163 | \item $a \preceq_{\Gamma(\mathcal{A})} \omega$, если $a \ne 1$; 164 | \item $\omega \preceq_{\Gamma(\mathcal{A})} 1$ 165 | \end{itemize} 166 | \end{minipage} 167 | & 168 | \begin{minipage}{4cm}\begin{center} 169 | \tikz{ 170 | \filldraw[pattern=north west lines,pattern color=gray] (1,-1) circle (1cm); 171 | \node[right] at (2.2,-1) (A) {$A \setminus \{1\}$}; 172 | \node[circle,fill,inner sep=2pt, outer sep=0pt,label=right:$1$] at (1,1) (Max) {}; 173 | \node[circle,fill,inner sep=2pt, outer sep=0pt,label=above right:$\omega$] at (1,0) (Omega) {}; 174 | \draw[-stealth,line width=1] (Max) to (Omega); 175 | }\end{center} 176 | \end{minipage} 177 | \end{tabular}\end{center} 178 | \end{defrus} 179 | \vspace{-1.2cm} 180 | \begin{thmrus}$\Gamma(\mathcal{A})$ --- гёделева алгебра.\end{thmrus} 181 | \begin{proof} 182 | Проверка определения алгебры Гейтинга и наблюдение: если $a \preceq \omega$ и $b \preceq \omega$, то $a + b \preceq \omega$.\end{proof} 183 | \end{frame} 184 | 185 | \begin{frame}{Оценка $\Gamma(\mathcal{L})$} 186 | \begin{thmrus}Рассмотрим оценку $\llbracket \alpha \rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} = \llbracket \alpha \rrbracket_\mathcal{L}$. 187 | Тогда она является согласованной с ИИВ. 188 | \end{thmrus} 189 | Индукция по структуре формулы и перебор операций. Рассмотрим $(\with)$. Неформально: почти везде 190 | $\llbracket \alpha \rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})}\cdot\llbracket \beta \rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} = 191 | \llbracket \alpha \rrbracket_\mathcal{L}\cdot \llbracket \beta \rrbracket_{\mathcal{L}}$, 192 | поскольку $\llbracket \sigma \rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} \ne \omega$, 193 | 194 | \vspace{0.2cm} 195 | \begin{tabular}{ll} 196 | \begin{minipage}{7cm} 197 | ... но нет ли случаев, когда\\ 198 | $\omega = \text{наиб}\{ x \ |\ x \preceq \llbracket\alpha\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} \with x \preceq \llbracket\beta\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})}\}$? 199 | \end{minipage} & 200 | \begin{minipage}{6cm}\begin{center}\tikz{ 201 | \node at (2,0) (AB) {$\llbracket \alpha \with \beta \rrbracket$}; 202 | \node at (0,1.5) (A) {$\llbracket \alpha \rrbracket$}; 203 | \node at (3,1.5) (B) {$\llbracket \beta \rrbracket$}; 204 | \node[black!50!red] at (1.5,1) (Omega) {$\omega$}; 205 | \draw[-stealth,line width=1pt] (A) to (AB); 206 | \draw[-stealth,line width=1pt] (B) to (AB); 207 | \draw[-stealth,line width=1pt,black!30!red] (A) to (Omega); 208 | \draw[-stealth,line width=1pt,black!30!red] (B) to (Omega); 209 | \draw[-stealth,line width=1pt,black!30!red] (Omega) to (AB); 210 | }\end{center}\end{minipage} 211 | \end{tabular}\vspace{0.3cm} 212 | 213 | Чтобы убедиться, что всегда $\llbracket \alpha \with \beta \rrbracket 214 | _{\Gamma(\mathcal{L})} = \llbracket \alpha \rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} 215 | \cdot \llbracket \beta \rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})}$, надо показать: 216 | \begin{itemize} 217 | \item $[\alpha\with\beta]$ --- из множества нижних граней: $\alpha\with\beta\vdash\alpha$ и $\alpha\with\beta\vdash\beta$; 218 | \item $[\alpha\with\beta]$ --- наибольшая нижняя грань: $x \preceq [\alpha]$ и $x \preceq [\beta]$ влечёт $x \preceq [\alpha\with\beta]$\\ 219 | Разбор случаев ($x \in \mathcal{L}$, $x = \omega$). $\omega \preceq [\alpha]$ и $\omega \preceq [\beta]$ влечёт $[\alpha]=[\beta]=1$, отсюда $[\alpha\with\beta] = [\alpha]\cdot[\beta] = 1$ 220 | \end{itemize} 221 | \end{frame} 222 | 223 | \begin{frame}{Гомоморфизм алгебр} 224 | \begin{defrus}Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ --- алгебры Гейтинга. Тогда $g: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ --- гомоморфизм, 225 | если $g(a \star b) = g(a) \star g(b)$, $g(0_\mathcal{A}) = 0_\mathcal{B}$ и $g(1_\mathcal{A}) = 1_\mathcal{B}$.\end{defrus} 226 | \begin{defrus}Будем говорить, что оценка $\llbracket\cdot\rrbracket_\mathcal{A}$ согласована 227 | с $\llbracket\cdot\rrbracket_\mathcal{B}$ и гомоморфизмом $g$, если $g(\mathcal{A}) = \mathcal{B}$ и 228 | $g(\llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{A}) = \llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{B}$. 229 | \end{defrus} 230 | %\begin{lemmarus}Если $\llbracket\cdot\rrbracket_\mathcal{A}$ согласована 231 | %с $\llbracket\cdot\rrbracket_\mathcal{B}$ и гомоморфизмом $g$, то из 232 | %$\llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{A} = 1_\mathcal{A}$ следует $\llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{B} = 1_\mathcal{B}$. 233 | %\end{lemmarus} 234 | %\begin{proof} 235 | %$\llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{A} = 1_\mathcal{A}$, 236 | %тогда $g(\llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{A}) = \llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{B} = 1_\mathcal{B}$. 237 | %\end{proof} 238 | \end{frame} 239 | 240 | \begin{frame}{Доказательство дизъюнктивности ИИВ} 241 | \begin{defrus}[$\mathcal{G}: \Gamma(\mathcal{L}) \rightarrow \mathcal{L}$]\vspace{-0.5cm} 242 | $$\mathcal{G}(a) = \left\{\begin{array}{ll} a, & a \ne \omega\\ 243 | 1, & a = \omega\end{array}\right.$$\vspace{-0.5cm} 244 | \end{defrus} 245 | \begin{lemmarus}$\mathcal{G}$ --- гомоморфизм $\Gamma(\mathcal{L})$ и $\mathcal{L}$, причём 246 | оценка $\llbracket\cdot\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})}$ согласована с $\mathcal{G}$ 247 | и $\llbracket\cdot\rrbracket_\mathcal{L}$. 248 | \end{lemmarus} 249 | \begin{thmrus}Если $\vdash \alpha\vee\beta$, то либо $\vdash\alpha$, либо $\vdash\beta$.\end{thmrus} 250 | \begin{proof}Пусть $\vdash\alpha\vee\beta$. Тогда $\llbracket\alpha\vee\beta\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} = 1$ 251 | (так как данная оценка согласована с ИИВ). Тогда $\llbracket\alpha\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} = 1$ или 252 | $\llbracket\beta\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} = 1$ (так как $\Gamma(\mathcal{L})$ гёделева). 253 | 254 | Пусть $\llbracket\alpha\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})} = 1$, 255 | тогда $\mathcal{G}(\llbracket\alpha\rrbracket_{\Gamma(\mathcal{L})}) = \llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{L} = 1$, 256 | тогда $\vdash\alpha$ (по полноте $\mathcal{L}$). 257 | \end{proof} 258 | \end{frame} 259 | 260 | \begin{frame}{Интуиционистское И.В. (натуральный, естественный вывод)} 261 | \begin{itemize} 262 | \item Формулы языка (секвенции) имеют вид: $\Gamma\vdash\alpha$. 263 | Правила вывода: 264 | \begin{flushright}$\quad\quad\quad\infer[(\text{аннотация})]{\text{заключение}}{\text{посылка 1}\quad\quad\text{посылка 2}\quad\quad\dots}$\end{flushright} 265 | \vspace{-0.7cm} 266 | \item Аксиома:\\$\infer[\text{(акс.)}]{\Gamma,\alpha\vdash\alpha}{\vphantom{\Gamma}}$ 267 | 268 | \item Правила введения связок:\\$\infer{\Gamma\vdash\alpha\rightarrow\beta}{\Gamma,\alpha\vdash\beta}\quad\quad\infer{\Gamma\vdash\alpha\vee\beta}{\Gamma\vdash\alpha}$, $\infer{\Gamma\vdash\alpha\vee\beta}{\Gamma\vdash\beta}\quad\quad\infer{\Gamma\vdash\alpha\with\beta}{\Gamma\vdash\alpha\quad\quad\Gamma\vdash\beta}$ 269 | 270 | \item Правила удаления связок:\\$\infer{\Gamma\vdash\beta}{\Gamma\vdash\alpha\quad\Gamma\vdash\alpha\rightarrow\beta}\quad\quad\infer{\Gamma\vdash\gamma}{\Gamma\vdash\alpha\rightarrow\gamma\quad\Gamma\vdash\beta\rightarrow\gamma\quad\Gamma\vdash\alpha\vee\beta}$ 271 | $\infer{\Gamma\vdash\alpha}{\Gamma\vdash\alpha\with\beta}\quad\quad\infer{\Gamma\vdash\beta}{\Gamma\vdash\alpha\with\beta}\quad\quad\infer{\Gamma\vdash\alpha}{\Gamma\vdash\bot}$ 272 | \item Пример доказательства:\vspace{-0.3cm} 273 | $$\infer[(\text{введ}\with)]{A\with B\vdash B \with A}{\infer[(\text{удал}\with)]{A \with B \vdash B}{\infer[(\text{акс.})]{A \with B\vdash A \with B}{}} 274 | \quad\quad\infer[(\text{удал}\with)]{A \with B \vdash A}{\infer[(\text{акс.})]{A \with B\vdash A \with B}{}}}$$ 275 | \end{itemize} 276 | \end{frame} 277 | 278 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /lection-05.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-05.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-06.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-06.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-06.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 17 | %\usetheme{Warsaw} 18 | 19 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 20 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 21 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 22 | \newtheorem{flw}{Следствие}[section] 23 | 24 | \begin{document} 25 | 26 | \begin{frame} 27 | 28 | 29 | \begin{center}\LARGE Теорема о полноте исчисления предикатов\end{center} 30 | 31 | \end{frame} 32 | 33 | \begin{frame}{Общая идея доказательства} 34 | \begin{enumerate} 35 | \item Надо справиться со слишком большим количеством вариантов. 36 | Модель задаётся как $\langle D,F,P,X \rangle$.\pause 37 | \item Для оценки в модели важно только какие формулы истинны. 38 | Модели $\mathcal{M}_1$ и $\mathcal{M}_2$ <<похожи>>, если 39 | $\llbracket \varphi \rrbracket_{\mathcal{M}_1} = \llbracket \varphi \rrbracket_{\mathcal{M}_2}$ 40 | при всех $\varphi$.\pause 41 | \item Поступим так: 42 | \begin{enumerate} 43 | \item построим эталонное множество моделей $\mathfrak{M}$, каждая модель соответствует списку истинных формул, \emph{но им не является};\pause 44 | \item докажем полноту $\mathfrak{M}$: если каждая $\mathcal{M} \in \mathfrak{M}$ предполагает $\mathcal{M}\models\varphi$, 45 | то $\vdash\varphi$;\pause 46 | \item заметим, что если $\models\varphi$, то каждая $\mathcal{M} \in \mathfrak{M}$ предполагает $\mathcal{M}\models\varphi$.\pause 47 | \end{enumerate} 48 | \item В ходе доказательства нас ждёт множество технических препятствий. 49 | \end{enumerate} 50 | \end{frame} 51 | 52 | \begin{frame}{Непротиворечивое множество формул} 53 | \begin{dfn}$\Gamma$ --- \emph{непротиворечивое множество формул}, 54 | если $\Gamma\not\vdash\alpha\with\neg\alpha$ для любого $\alpha$ 55 | \end{dfn}\pause 56 | 57 | Примеры: 58 | \begin{itemize} 59 | \item непротиворечиво: \begin{itemize} 60 | \item $\Gamma = \{A \rightarrow B \rightarrow A\}$\pause 61 | \item $\Gamma = \{P(x,y)\rightarrow\neg P(x,y), \forall x.\forall y.\neg P(x,y)\}$; 62 | \end{itemize}\pause 63 | \item противоречиво: \begin{itemize} 64 | \item $\Gamma = \{P\rightarrow\neg P, \neg P \rightarrow P\}$ 65 | 66 | так как 67 | $P\rightarrow\neg P, \neg P \rightarrow P \ \vdash\ \neg P \with \neg\neg P$\pause 68 | \end{itemize} 69 | \item пусть $D = \mathbb{Z}$ и $P(x) \equiv (x > 0)$, аналогом для этой модели 70 | будет $\Gamma = \{P(1), P(2), P(3), \dots\}$ 71 | \end{itemize} 72 | \end{frame} 73 | 74 | \begin{frame}{Полное непротиворечивое множество формул} 75 | \begin{dfn}$\Gamma$ --- \emph{полное} непротиворечивое множество замкнутых бескванторных формул, 76 | если: 77 | \begin{enumerate}\item $\Gamma$ содержит только замкнутые бескванторные формулы; 78 | \item если $\alpha$ --- некоторая замкнутая бескванторная формула, то $\alpha\in\Gamma$ или $\neg\alpha\in\Gamma$. 79 | \end{enumerate} 80 | \end{dfn}\pause 81 | 82 | \begin{dfn}$\Gamma$ --- \emph{полное} непротиворечивое множество замкнутых формул, если: 83 | \begin{enumerate}\item $\Gamma$ содержит только замкнутые формулы; 84 | \item если $\alpha$ --- некоторая замкнутая формула, то $\alpha \in \Gamma$, или $\neg\alpha \in \Gamma$. 85 | \end{enumerate} 86 | \end{dfn} 87 | \end{frame} 88 | 89 | \begin{frame}{Пополнение непротиворечивого множества формул} 90 | \begin{thm}Пусть $\Gamma$ --- непротиворечивое множество замкнутых (бескванторных) формул. Тогда, какова бы ни была 91 | замкнутая (бескванторная) формула $\varphi$, хотя бы $\Gamma \cup \{\varphi\}$ или $\Gamma \cup \{\neg\varphi\}$ --- 92 | непротиворечиво\end{thm}\pause 93 | 94 | \begin{proof} 95 | Пусть это не так и найдутся такие $\Gamma$, $\varphi$ и $\alpha$, что 96 | $$\begin{array}{rl}\Gamma,\varphi & \vdash \alpha\with\neg\alpha\\ 97 | \Gamma,\neg\varphi & \vdash \alpha \with\neg\alpha\end{array}$$\pause\vspace{-0.3cm} 98 | 99 | Тогда по лемме об исключении гипотезы 100 | $$\Gamma\vdash \alpha\with\neg\alpha$$\pause\vspace{-0.4cm} 101 | 102 | То есть $\Gamma$ не является непротиворечивым. Противоречие. 103 | \end{proof} 104 | \end{frame} 105 | 106 | \begin{frame}{Дополнение непротиворечивого множества формул до полного} 107 | \begin{thm}Пусть $\Gamma$ --- непротиворечивое множество замкнутых (бескванторных) формул. Тогда 108 | найдётся полное непротиворечивое множество замкнутых (бескванторных) формул $\Delta$, что 109 | $\Gamma \subseteq \Delta$ 110 | \end{thm}\pause 111 | 112 | \begin{proof} 113 | \begin{enumerate} 114 | \item Занумеруем все формулы (их счётное количество): $\varphi_1, \varphi_2, \dots$\pause 115 | \item Построим семейство множеств $\{\Gamma_i\}$: 116 | \begin{tabular}{cc} 117 | $\Gamma_0 = \Gamma$ & 118 | \begin{minipage}{12cm} 119 | $$\Gamma_{i+1} = \left\{\begin{array}{ll}\Gamma_i \cup \{\varphi_i\},& \mbox{ если } \Gamma_i \cup \{\varphi_i\} \mbox{ непротиворечиво}\\ 120 | \Gamma_i \cup \{\neg\varphi_i\},& \mbox{ иначе}\end{array}\right.$$ 121 | \end{minipage}\end{tabular}\pause 122 | \item Итоговое множество $$\Delta = \bigcup_i \Gamma_i$$\pause\vspace{-0.2cm} 123 | \item Непротиворечивость $\Delta$ не следует из индукции --- индукция гарантирует непротиворечивость 124 | только $\Gamma_i$ при натуральном (т.е. \emph{конечном}) $i$, потому\dots 125 | \end{enumerate} 126 | \end{proof} 127 | \end{frame} 128 | 129 | \begin{frame}{Дополнение\dots (завершение доказательства)}\vspace{-1cm} 130 | \begin{block}{} 131 | \begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3} 132 | \item $\Delta$ непротиворечиво: 133 | \begin{enumerate} 134 | \item Пусть $\Delta$ противоречиво, то есть $$\Delta \vdash \alpha\with\neg\alpha$$\pause\vspace{-0.2cm} 135 | \item Доказательство конечной длины и использует конечное количество гипотез $\{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n\} \subset \Delta$, 136 | то есть $$\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \vdash \alpha\with\neg\alpha$$\pause\vspace{-0.2cm} 137 | \item Пусть $\delta_i \in \Gamma_{d_i}$, тогда $$\Gamma_{d_1}\cup \Gamma_{d_2}\cup \dots\cup \Gamma_{d_n} \vdash \alpha\with\neg\alpha$$\pause\vspace{-0.2cm} 138 | \item Но $\Gamma_{d_1} \cup \Gamma_{d_2} \cup \dots \cup \Gamma_{d_n} = \Gamma_{\max(d_1,d_2,\dots,d_n)}$, 139 | которое непротиворечиво, и потому $$\Gamma_{d_1}\cup \Gamma_{d_2}\cup \dots\cup \Gamma_{d_n} \not\vdash \alpha\with\neg\alpha$$ 140 | \end{enumerate}\pause\vspace{-0.5cm} 141 | \end{enumerate} 142 | \qed 143 | \end{block} 144 | \end{frame} 145 | 146 | \begin{frame}{Модель для множества формул} 147 | \begin{dfn}Моделью для множества формул $F$ назовём такую модель $\mathcal{M}$, что 148 | при всяком $\varphi \in F$ выполнено $\llbracket\varphi\rrbracket_\mathcal{M} = \text{И}$.\pause 149 | 150 | Альтернативное обозначение: $\mathcal{M}\models\varphi$. 151 | \end{dfn} 152 | \end{frame} 153 | 154 | %\begin{frame}{О доказательстве непротиворечивости множества формул} 155 | %\begin{thm} Если у множества формул $M$ есть модель $\mathcal{M}$, оно непротиворечиво. \end{thm}\pause 156 | %\begin{proof}Пусть противоречиво: $M\vdash A\with\neg A$, в доказательстве использованы гипотезы 157 | %$\delta_1, \delta_2,\dots,\delta_n$. \pause Тогда $\vdash \delta_1\to\delta_2\to\dots\to\delta_n\to A\with\neg A$, 158 | %то есть $\llbracket\delta_1\to\delta_2\to\dots\to\delta_n\to A\with\neg A\rrbracket = \text{И}$ (корректность). 159 | %\pause Поскольку все $\llbracket \delta_i \rrbracket_\mathcal{M} = \text{И}$, то 160 | %и $\llbracket A\with\neg A\rrbracket_\mathcal{M} = \text{И}$ (анализ таблицы истинности импликации). \pause 161 | %Однако $\llbracket A \with\neg A \rrbracket = \text{Л}$. Противоречие.\end{proof}\pause 162 | %\begin{flw} Исчисление предикатов непротиворечиво \end{flw}\pause 163 | %\begin{proof} Рассмотрим $M = \varnothing$ и любую классическую модель.\end{proof}\pause 164 | %Доказательства опираются на непротиворечивость метатеории. 165 | %\end{frame} 166 | 167 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 168 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 169 | 170 | \begin{frame}{Модели для непротиворечивых множеств замкнутых бескванторных формул} 171 | \begin{thm} 172 | Любое непротиворечивое множество замкнутых бескванторных формул имеет модель. 173 | \end{thm} 174 | 175 | \end{frame} 176 | 177 | \begin{frame}{Конструкция для модели} 178 | \begin{dfn} 179 | Пусть $M$ --- полное непротиворечивое множество замкнутых бескванторных формул. Тогда 180 | модель $\mathcal{M}$ задаётся так:\pause 181 | \begin{enumerate} 182 | \item $D$ --- множество всевозможных предметных выражений без предметных переменных и дополнительная строка ``ошибка!''\pause 183 | \item $\llbracket f(\theta_1,\dots,\theta_n) \rrbracket = \mbox{``f(''} \mdoubleplus \llbracket\theta_1\rrbracket \mdoubleplus \mbox{ ``,'' } 184 | \mdoubleplus \dots \mdoubleplus \mbox{ ``,'' } \mdoubleplus \llbracket\theta_n\rrbracket \mdoubleplus \mbox {``)'' } $\pause 185 | \item $\llbracket P(\theta_1,\dots,\theta_n)\rrbracket = \left\{ 186 | \begin{array}{ll} \mbox{И}, &\mbox{ если } P(\theta_1,\dots,\theta_n) \in M\\ 187 | \mbox{Л}, &\mbox{ иначе}\end{array}\right.$\pause 188 | \item $\llbracket x \rrbracket = \mbox{``ошибка!''}$, так как формулы замкнуты. 189 | \end{enumerate} 190 | \end{dfn} 191 | \end{frame} 192 | 193 | \begin{frame}{Доказательство корректности} 194 | \begin{lmm}Пусть $\varphi$ --- бескванторная формула, тогда $\mathcal{M}\models\varphi$ тогда и только тогда, когда $\varphi\in M$. 195 | \end{lmm}\pause 196 | 197 | \begin{proof}[Доказательство (индукция по длине формулы $\varphi$)] 198 | \begin{enumerate} 199 | \item База. $\varphi$ --- предикат. Требуемое очевидно по определению $\mathcal{M}$.\pause 200 | \item Переход. Пусть $\varphi = \alpha\star\beta$ (или $\varphi=\neg\alpha$), причём $\mathcal{M}\models\alpha$ ($\mathcal{M}\models\beta$) 201 | тогда и только тогда, когда $\alpha\in M$ ($\beta\in M$).\pause 202 | 203 | Тогда покажем требуемое для каждой связки в отдельности. А именно, для каждой связки покажем два утверждения: 204 | \begin{enumerate} 205 | \item если $\mathcal{M}\models\alpha\star\beta$, то $\alpha\star\beta \in M$. 206 | 207 | \item если $\mathcal{M}\not\models\alpha\star\beta$, то $\alpha\star\beta \notin M$. 208 | \end{enumerate} 209 | \end{enumerate} 210 | \end{proof} 211 | \end{frame} 212 | 213 | \begin{frame}{Доказательство утверждений для связок} 214 | Если $\varphi = \alpha\to\beta$ и для любой формулы $\zeta$, более короткой, чем $\varphi$, выполнено 215 | $\mathcal{M}\models\zeta$ тогда и только тогда, когда $\zeta\in M$, тогда: 216 | \begin{enumerate} 217 | \item если $\mathcal{M}\models\alpha\to\beta$, то $\alpha\to\beta\in M$; 218 | \item если $\mathcal{M}\not\models\alpha\to\beta$, то $\alpha\to\beta\notin M$. 219 | \end{enumerate} 220 | \begin{proof}[Доказательство (разбором случаев)] 221 | \begin{enumerate}\pause 222 | \item $\mathcal{M}\models\alpha\to\beta$: $\llbracket\alpha\rrbracket = \text{Л}$. \pause 223 | Тогда по предположению $\alpha\notin M$, потому по полноте 224 | $\neg\alpha\in M$. \pause И, поскольку в ИВ $\neg\alpha\vdash\alpha\to\beta$, то $M \vdash \alpha\to\beta$. \pause 225 | Значит, $\alpha\to\beta \in M$, иначе по полноте $\neg(\alpha\to\beta) \in M$, что делает $M$ противоречивым.\pause 226 | \item $\mathcal{M}\models\alpha\to\beta$: $\llbracket\alpha\rrbracket = \text{И}$ и $\llbracket\beta\rrbracket = \text{И}$. Рассуждая аналогично, 227 | используя $\alpha,\beta\vdash\alpha\to\beta$, приходим к $\alpha\to\beta \in M$.\pause 228 | \item $\mathcal{M}\not\models\alpha\to\beta$. Тогда $\llbracket\alpha\rrbracket=\text{И}$, 229 | $\llbracket\beta\rrbracket=\text{Л}$, \pause то есть $\alpha\in M$ и $\neg\beta\in M$. \pause 230 | Также, $\alpha,\neg\beta\vdash\neg(\alpha\to\beta)$, отсюда $M\vdash\neg(\alpha\to\beta)$. \pause 231 | Предположим, что $\alpha\to\beta\in M$, то $M\vdash\alpha\to\beta$ --- отсюда 232 | $\alpha\to\beta\notin M$. 233 | \end{enumerate} 234 | \end{proof} 235 | \end{frame} 236 | 237 | \begin{frame}{Доказательство теоремы о существовании модели} 238 | \begin{proof} 239 | Пусть $M$ --- непротиворечивое множество замкнутых бескванторных формул.\pause 240 | 241 | По теореме о пополнении существует $M'$ --- полное непротиворечивое множество замкнутых бескванторных формул, 242 | что $M \subseteq M'$.\pause 243 | 244 | По лемме $M'$ имеет модель, эта модель подойдёт для $M$. 245 | \end{proof} 246 | \end{frame} 247 | 248 | \begin{frame}{Формулировка и схема доказательства теоремы Гёделя о полноте} 249 | 250 | \begin{thm}[Гёделя о полноте исчисления предикатов] 251 | Если $M$ --- непротиворечивое множество замкнутых формул, то оно имеет модель. 252 | \end{thm} 253 | \begin{proof}[Схема доказательства] 254 | \tikz{ 255 | \node (M) at (0,3) {$M$}; 256 | \node (M1) at (1,0) {$M^\text{Б}$}; 257 | \node (Md1) at (6,0) {$\mathcal{M}$}; 258 | \node (Md) at (7,3) {$\mathcal{M}$}; 259 | \draw[->] (M) -- node[pos=0.2,right]{\hspace{0.2cm}\begin{minipage}{4cm}сохраняет\\непротиворечивость\end{minipage}} (M1); 260 | \draw[->] (M1) -- node[below]{\begin{minipage}{4cm}теорема о\\существовании модели\end{minipage}} (Md1); 261 | \draw[->] (Md1) -- node[pos=0.8,right]{тоже модель} (Md); 262 | \draw[dashed] (-2,1) -- (9,1); 263 | \node[above] (Q) at (-2,1) {\it Формулы с кванторами}; 264 | \node[below] (Qf) at (-2,1) {\it Бескванторные}; 265 | } 266 | \end{proof} 267 | \end{frame} 268 | 269 | \begin{frame}{Поверхностные кванторы (предварённая форма)} 270 | \begin{dfn} 271 | Формула $\varphi$ имеет поверхностные кванторы (находится в предварённой форме), если 272 | соответствует грамматике 273 | $$\varphi ::= \forall x.\varphi\ |\ \exists x.\varphi\ |\ \tau$$ 274 | где $\tau$ --- формула без кванторов 275 | \end{dfn}\pause 276 | \begin{thm} 277 | Для любой замкнутой формулы $\psi$ найдётся такая формула $\varphi$ с поверхностными кванторами, 278 | что $\vdash \psi\to\varphi$ и $\vdash\varphi\to\psi$ 279 | \end{thm} 280 | \begin{proof}Индукция по структуре, применение теорем о перемещении кванторов. 281 | \end{proof} 282 | \end{frame} 283 | 284 | \begin{frame}{Построение $M^*$} 285 | \begin{itemize} 286 | \item Пусть $M$ --- полное непротиворечивое множество замкнутых формул с поверхностными кванторами (очевидно, счётное). \pause 287 | Построим семейство непротиворечивых множеств замкнутых формул $M_k$.\pause 288 | \item Пусть $d^k_i$ --- семейство \emph{свежих} констант, в $M$ не встречающихся.\pause 289 | \item Индуктивно построим $M_k$: 290 | \begin{itemize} 291 | \item База: $M_0 = M$\pause 292 | \item Переход: положим $M_{k+1} = M_k \cup S$, где множество $S$ получается перебором всех формул $\varphi_i \in M_k$.\pause 293 | \begin{enumerate} 294 | \item $\varphi_i$ --- формула без кванторов, пропустим;\pause 295 | \item $\varphi_i = \forall x.\psi$ --- добавим к $S$ все формулы вида $\psi [x := \theta]$, где 296 | $\theta$ --- всевозможные замкнутые термы, использующие символы из $M_k$;\pause 297 | \item $\varphi_i = \exists x.\psi$ --- добавим к $S$ формулу $\psi [x := d^{k+1}_i]$, где $d^{k+1}_i$ --- некоторая 298 | свежая, ранее не использовавшаяся в $M_k$, константа.\pause 299 | \end{enumerate} 300 | \end{itemize} 301 | \end{itemize} 302 | \end{frame} 303 | 304 | \begin{frame}{Непротиворечивость $M_k$} 305 | \begin{lmm}Если $M$ непротиворечиво, то каждое множество из $M_k$ --- непротиворечиво\end{lmm} 306 | \begin{proof}Доказательство по индукции, база очевидна ($M_0 = M$). \pause 307 | Переход: \begin{itemize} 308 | \item пусть $M_k$ непротиворечиво, но $M_{k+1}$ --- противоречиво: $M_k, M_{k+1}\setminus M_k \vdash A\with\neg A$. \pause 309 | \item Тогда (т.к. доказательство конечной длины): 310 | $M_k, \gamma_1, \gamma_2, \dots,\gamma_n\vdash A\with\neg A$ 311 | , где $\gamma_i \in M_{k+1}\setminus M_k$. \pause 312 | \item По теореме о дедукции: $M_k\vdash \gamma_1\to\gamma_2\to\dots\to\gamma_n\to A\with\neg A$. \pause 313 | \item Научимся выкидывать первую посылку: $M_k\vdash \gamma_2\to\dots\to\gamma_n\to A\with\neg A$. \pause 314 | \item И по индукции придём к противоречию: $M_k \vdash A\with\neg A$. 315 | \end{itemize} 316 | 317 | \end{proof} 318 | \end{frame} 319 | 320 | \begin{frame}{Устранение посылки} 321 | \begin{lmm} 322 | Если $M_k\vdash\gamma\to W$ и $\gamma\in M_{k+1}\setminus M_k$, то $M_k\vdash W$. 323 | \end{lmm} 324 | \begin{proof} 325 | Покажем, как дополнить доказательство до $M_k\vdash W$, в зависимости от происхождения $\gamma$: 326 | \pause 327 | 328 | \begin{itemize} 329 | \item Случай $\forall x.\varphi$: $\gamma = \varphi[x:=\theta]$. 330 | \pause 331 | Допишем в конец доказательства: 332 | 333 | \begin{tabular}{ll} 334 | $\forall x.\varphi$ & (гипотеза)\\\pause 335 | $(\forall x.\varphi)\to(\varphi[x:=\theta])$ & (сх. акс. 11)\\\pause 336 | $\gamma$ & (M.P.) \\\pause 337 | $W$ & (M.P.) 338 | \end{tabular} 339 | \end{itemize} 340 | \end{proof} 341 | \end{frame} 342 | 343 | \begin{frame}{Случай $\exists x.\varphi$} 344 | \begin{itemize}\item $\gamma = \varphi[x := d^{k+1}_i]$\pause 345 | 346 | 347 | \item Перестроим доказательство $M_k\vdash \gamma\to W$: 348 | заменим во всём доказательстве $d^{k+1}_i$ на $y$. 349 | Коллизий нет: под квантором $d^{k+1}_i$ не стоит, переменной не является. \pause 350 | \item Получим доказательство $M_k\vdash \gamma[d^{k+1}_i := y]\to W$ и дополним его: 351 | 352 | \begin{tabular}{ll} 353 | $\varphi[x := y]\to W$ & $\varphi[x := d^{k+1}_i][d^{k+1}_i := y]$\\\pause 354 | $(\exists y.\varphi[x:=y])\to W$ & $y$ не входит в $W$ \\\pause 355 | $(\exists x.\varphi)\to(\exists y.\varphi[x:=y])$ & доказуемо (упражнение)\\\pause 356 | \dots \\ 357 | $(\exists x.\varphi)\to W$ & доказуемо как $(\alpha\to\beta)\to(\beta\to\gamma)\vdash\alpha\to\gamma$ \\\pause 358 | $\exists x.\varphi$ & гипотеза\\\pause 359 | $W$ 360 | \end{tabular} 361 | \end{itemize} 362 | \qed 363 | \end{frame} 364 | 365 | \begin{frame}{Построение $M^\text{Б}$} 366 | \begin{dfn} $M^* = \bigcup_k M_k$\end{dfn}\pause 367 | \begin{thm} $M^*$ непротиворечиво.\end{thm}\pause 368 | \begin{proof} От противного: доказательство противоречия конечной длины, гипотезы лежат в максимальном $M_k$, тогда $M_k$ противоречив.\pause 369 | \end{proof} 370 | \begin{dfn}$M^\text{Б}$ --- множество всех бескванторных формул из $M^*$.\pause\end{dfn}\pause 371 | По непротиворечивому множеству $M$ можем построить $M^\text{Б}$ и для него построить модель $\mathcal{M}$. 372 | Покажем, что эта модель годится для $M^*$ (и для $M$, так как $M \subset M^*$). 373 | \end{frame} 374 | 375 | \begin{frame}{Модель для $M^*$} 376 | \begin{lmm}$\mathcal{M}$ есть модель для $M^*$.\end{lmm}\pause 377 | \begin{proof} 378 | Покажем, что при $\varphi\in M^*$ выполнено $\mathcal{M}\models\varphi$. Докажем индукцией по количеству кванторов в $\varphi$.\pause 379 | \begin{itemize} 380 | \item База: $\varphi$ без кванторов. Тогда $\varphi\in M^\text{Б}$, отсюда $\mathcal{M}\models\varphi$ по построению $\mathcal{M}$.\pause 381 | \item Переход: пусть утверждение выполнено для всех формул с $n$ кванторами. Покажем, что это выполнено и для $n+1$ кванторов.\pause 382 | \begin{itemize} 383 | \item Рассмотрим $\varphi = \exists x.\psi$, случай квантор всеобщности --- аналогично.\pause 384 | 385 | \item Раз $\exists x.\psi \in M^*$, то существует $k$, что $\exists x.\psi \in M_k$.\pause 386 | \item Значит, $\psi[x := d^{k+1}_i] \in M_{k+1}$. \pause 387 | \item По индукционному предположению, $\mathcal{M}\models\psi[x := d^{k+1}_i]$ --- в формуле $n$ кванторов.\pause 388 | \item Но тогда $\llbracket \psi \rrbracket^{x := \llbracket d^{k+1}_i\rrbracket} = \text{И}$.\pause 389 | \item Отсюда $\mathcal{M}\models\exists x.\psi$. 390 | \end{itemize} 391 | \end{itemize} 392 | \end{proof} 393 | \end{frame} 394 | 395 | \begin{frame}{Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов} 396 | \begin{thm}[Гёделя о полноте исчисления предикатов] 397 | Если $M$ --- замкнутое непротиворечивое множество формул, то оно имеет модель.\pause 398 | \end{thm} 399 | \begin{proof} 400 | \begin{itemize} 401 | \item Построим по $M$ множество формул с поверхностными кванторами $M'$.\pause 402 | \item По $M'$ построим непротиворечивое множество замкнутых бескванторных формул $M^\text{Б}$ ($M^\text{Б}\subseteq M^*$, теорема о непротиворечивости $M^*$).\pause 403 | \item Дополним его до полного, построим для него модель $\mathcal{M}$ (теорема о существовании модели).\pause 404 | \item $\mathcal{M}$ будет моделью и для $M'$ ($M'\subseteq M^*$, лемма о модели для $M^*$), и, очевидно, для $M$. 405 | \end{itemize} 406 | \end{proof} 407 | \end{frame} 408 | 409 | \begin{frame}{Полнота исчисления предикатов} 410 | \begin{flw}[из теоремы Гёделя о полноте] 411 | Исчисление предикатов полно. 412 | \end{flw} 413 | \begin{proof} 414 | \begin{itemize} 415 | \item Пусть это не так, и существует формула $\varphi$, что $\models\varphi$, но $\not\vdash\varphi$.\pause 416 | \item Тогда рассмотрим $M = \{\neg\varphi\}$. \pause 417 | \item $M$ непротиворечиво: если $\neg\varphi \vdash A\with\neg A$, то $\vdash \varphi$ (упражнение).\pause 418 | \item Значит, у $M$ есть модель $\mathcal{M}$, и $\mathcal{M}\models\neg\varphi$. \pause 419 | \item Значит, $\llbracket \neg\varphi \rrbracket = \text{И}$, поэтому $\llbracket \varphi \rrbracket = \text{Л}$, 420 | поэтому $\not\models\varphi$. Противоречие. 421 | \end{itemize} 422 | \end{proof} 423 | \end{frame} 424 | 425 | \begin{frame}{Непротиворечивость исчисления предикатов} 426 | \begin{thm} Если у множества формул $M$ есть модель $\mathcal{M}$, оно непротиворечиво. \end{thm}\pause 427 | \begin{proof}Пусть противоречиво: $M\vdash A\with\neg A$, в доказательстве использованы гипотезы 428 | $\delta_1, \delta_2,\dots,\delta_n$. \pause Тогда $\vdash \delta_1\to\delta_2\to\dots\to\delta_n\to A\with\neg A$, 429 | то есть $\llbracket\delta_1\to\delta_2\to\dots\to\delta_n\to A\with\neg A\rrbracket = \text{И}$ (корректность). 430 | \pause Поскольку все $\llbracket \delta_i \rrbracket_\mathcal{M} = \text{И}$, то 431 | и $\llbracket A\with\neg A\rrbracket_\mathcal{M} = \text{И}$ (анализ таблицы истинности импликации). \pause 432 | Однако $\llbracket A \with\neg A \rrbracket = \text{Л}$. Противоречие.\end{proof}\pause 433 | \begin{flw} Исчисление предикатов непротиворечиво \end{flw}\pause 434 | \begin{proof} Рассмотрим $M = \varnothing$ и любую классическую модель.\end{proof}\pause 435 | Доказательства опираются на непротиворечивость метатеории. 436 | \end{frame} 437 | 438 | \end{document} 439 | -------------------------------------------------------------------------------- /lection-07.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-07.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-07.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usetikzlibrary{patterns} 12 | \usepackage{chronosys} 13 | \usepackage{proof} 14 | \usepackage{multirow} 15 | \usepackage{multicol} 16 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 17 | %\usetheme{Warsaw} 18 | 19 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 20 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 21 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 22 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 23 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 24 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 25 | 26 | \begin{document} 27 | 28 | \begin{frame} 29 | \begin{center}\Large {\it Лекция 7}\\\vspace{0.5cm} 30 | Неразрешимость исчисления предикатов\\ 31 | Аксиоматика Пеано и формальная арифметика 32 | \end{center} 33 | \end{frame} 34 | 35 | \begin{frame}{Общие результаты об исчислениях} 36 | \begin{tabular}{llll} 37 | & К.И.В. & И.И.В. & К.И.П.\\\hline 38 | корректность & да (лекция 1) & да (ДЗ III.9) & да (лекция 5)\\ 39 | непротиворечивость & да (очев.) & да (из непр. КИВ) & да (лекция 6)\\ 40 | полнота & да (лекция 2) & да (будет в лабах) & да (лекция 6)\\ 41 | разрешимость & да (лекция 2) & да (лекция 8) & \pause\color{red}Нет (сейчас) 42 | \end{tabular} 43 | \end{frame} 44 | 45 | \begin{frame}{Полнота ИП доказывается от противного} 46 | \begin{enumerate} 47 | \item Противоречиво ли $\{\neg\varphi\}$? Видимо, <<метод Британского музея>>: перебрать все доказуемые формулы. 48 | \item Если в процессе нашли $\neg\varphi \vdash \alpha \with \neg \alpha$, то $\vdash\varphi$ (способ перестроения --- см. ДЗ VI.3). 49 | \item Если, {\color{olive}перебрав все $\aleph_0$ формул,} противоречия не нашли --- значит, есть модель $\{\neg\varphi\}$, и $\not\vdash\varphi$. 50 | \item Итого: теорема о полноте ИП не поможет найти доказательство. 51 | \end{enumerate} 52 | \end{frame} 53 | 54 | \begin{frame}{Машина Тьюринга} 55 | \begin{dfn}Машина Тьюринга: 56 | \begin{enumerate} 57 | \item Внешний алфавит $q_1, \dots, q_n$, выделенный символ-заполнитель $q_\varepsilon$ 58 | \item Внутренний алфавит (состояний) $s_1, \dots, s_k$; $s_s$ --- начальное, $s_f$ --- допускающее, $s_r$ --- отвергающее. 59 | \item Таблица переходов $\langle k, s \rangle \Rightarrow \langle k', s', \leftrightarrow \rangle$ 60 | \end{enumerate} 61 | \end{dfn} 62 | 63 | \begin{dfn}Состояние машины Тьюринга: 64 | \begin{enumerate} 65 | \item Бесконечная лента с символом-заполнителем $q_\varepsilon$, текст конечной длины. 66 | \item Головка над определённым символом. 67 | \item Символ состояния (состояние в узком смысле) --- символ внутреннего алфавита. 68 | \end{enumerate} 69 | \end{dfn} 70 | 71 | \end{frame} 72 | 73 | \begin{frame}{Машина, меняющая все 0 на 1, а все 1 --- на 0} 74 | \begin{enumerate} 75 | \item Внешний алфавит $\varepsilon, 0, 1$. 76 | \item Внутренний алфавит $s_s, s_f$ (начальное и допускающее состояния соответственно). 77 | \item Переходы: 78 | 79 | \begin{tabular}{l|lll} 80 | & $\varepsilon$ & 0 & 1\\\hline 81 | $s_s$ & $\langle s_f,\varepsilon,\cdot\rangle$ & $\langle s_s,1,\rightarrow\rangle$ & $\langle s_s,0,\rightarrow\rangle$\\ 82 | $s_f$ & $\langle s_f,\varepsilon,\cdot\rangle$ & $\langle s_f,0,\cdot\rangle$ & $\langle s_f,1,\cdot\rangle$ 83 | \end{tabular} 84 | \end{enumerate}\pause 85 | 86 | \begin{exm} 87 | Головка --- на первом символе $011$, состояние $s_s$.\pause 88 | 89 | $\underline{0}11$ \pause $\Rightarrow 1\underline{1}1$ \pause $\Rightarrow 10\underline{1}$ \pause $\Rightarrow 100\underline{\varepsilon}$ 90 | \pause 91 | 92 | Состояние $s_f$, допускающее. 93 | \end{exm} 94 | 95 | \end{frame} 96 | 97 | \begin{frame}{Разрешимость} 98 | \begin{dfn}Язык --- множество строк\end{dfn} 99 | \begin{dfn}Язык $L$ разрешим, если существует машина Тьюринга, которая для любого слова $w$ переходит в допускающее состояние, если $w \in L$, 100 | и в отвергающее, если $w \notin L$.\end{dfn} 101 | \end{frame} 102 | 103 | \begin{frame}{Неразрешимость задачи останова} 104 | \begin{dfn}Рассмотрим все возможные описания машин Тьюринга. Составим упорядоченные пары: описание машины Тьюринга и входная строка. 105 | Из них выделим язык останавливающихся на данном входе машин Тьюринга.\end{dfn} 106 | \begin{thm}Язык всех останавливающихся машин Тьюринга неразрешим\end{thm} 107 | \begin{proof}От противного. Пусть $S(x,y)$ --- машина Тьюринга, определяющая, остановится ли машина $x$, примененная к строке $y$.\pause 108 | \begin{center}W(x) = if (S(x,x)) \{ while (true); return 0; \} else \{ return 1; \}\end{center}\pause 109 | Что вернёт $S(code(W),code(W))$? 110 | \end{proof} 111 | \end{frame} 112 | 113 | \begin{frame}{Кодируем состояние} 114 | \begin{enumerate} 115 | \item внешний алфавит: $n$ 0-местных функциональных символов $q_1, \dots, q_n$; $q_\varepsilon$ --- символ-заполнитель. 116 | \item список: $\varepsilon$ и $c(l,s)$; <> представим как $c(q_a,c(q_b,c(q_c,\varepsilon)))$. 117 | \item положение головки: <<$ab\underline{p}q$>> как $(c(q_b,c(q_a,\varepsilon)), c(q_p,c(q_q,\varepsilon)))$. 118 | \item внутренний алфавит: $k$ 0-местных функциональных символов $s_1, \dots, s_k$. Из них выделенные $s_s$ --- начальное и 119 | $s_f$ --- допускающее состояние. 120 | \end{enumerate} 121 | \end{frame} 122 | OA 123 | \begin{frame}{Достижимые состояния} 124 | Предикатный символ $F_{x,y}(w_l,w_r,s)$: если у машины $x$ с начальной строкой $y$ состояние $s$ достижимо на строке $rev(w_l) @ w_r$. 125 | \pause 126 | Будем накладывать условия: семейство формул $C_m$. \pause 127 | Очевидно, начальное состояние достижимо: 128 | $$C_0 = F_{x,y}(\varepsilon,y,s_s)$$ 129 | \end{frame} 130 | 131 | 132 | \begin{frame}{Кодируем переходы} 133 | \begin{enumerate} 134 | \item Занумеруем переходы.\pause 135 | \item Закодируем переход $m$: $$\langle k, s \rangle \Rightarrow \langle k', s', \rightarrow \rangle$$ 136 | $C_m = \forall w_l.\forall w_r.F_{x,y}(w_l,c(q_k,w_r),s_s) \rightarrow F_{x,y}(c(q_{k'},w_l),w_r,s_{s'})$\pause 137 | 138 | \item Переход посложнее: 139 | $$\langle k, s \rangle \Rightarrow \langle k', s', \leftarrow \rangle$$ 140 | $C_m = \forall w_l.\forall w_r.\forall t.F_{x,y}(c(t,w_l),c(q_k,w_r),s_s) \rightarrow F_{x,y}(w_l,c(t,c(q_{k'},w_r)),s_{s'}) \with 141 | \forall w_l.\forall w_r.F_{x,y}(\varepsilon,c(q_k,w_r),s_s) \rightarrow F_{x,y}(\varepsilon,c(q_\varepsilon,c(q_{k'},w_r)),s_{s'})$\\ 142 | \pause 143 | \item и т.п. 144 | \end{enumerate} 145 | \end{frame} 146 | 147 | \begin{frame}{Итоговая формула} 148 | $$C = C_0 \with C_1 \with \dots \with C_n$$ 149 | <<правильное начальное состояние и правильные переходы между состояниями>>\pause 150 | 151 | \begin{thm} 152 | Состояние $s$ со строкой $rev(w_l)@w_r$ достижимо тогда и только тогда, когда 153 | $C \vdash F_{x,y}(w_l,w_r,s)$\pause 154 | \end{thm} 155 | \begin{proof} 156 | $(\Leftarrow)$ Рассмотрим модель: предикат $F_{x,y}(w_l,w_r,s)$ положим истинным, если состояние достижимо. \pause 157 | Это --- модель для $C$ (по построению $C_m$). \pause 158 | Значит, доказуемость влечёт истинность (по корректности). \pause 159 | 160 | $(\Rightarrow)$ Индукция по длине лога исполнения. 161 | \end{proof} 162 | \end{frame} 163 | 164 | \begin{frame}{Неразрешимость исчисления предикатов: доказательство} 165 | \begin{thm}Язык всех доказуемых формул исчисления предикатов неразрешим\end{thm} 166 | Т.е. нет машины Тьюринга, которая бы по любой формуле $\alpha$ определяла, доказуема ли она.\pause 167 | \begin{proof} $s_f$ --- допускающее состояние.\pause 168 | 169 | Умение определять доказуемость формулы $\exists w_l.\exists w_r.F_{x,\alpha}(w_l,w_r,s_f)$ разрешает задачу останова. 170 | \end{proof} 171 | \end{frame} 172 | 173 | \begin{frame} 174 | \begin{center}{\LARGE Аксиоматика Пеано и формальная арифметика}\end{center} 175 | 176 | \end{frame} 177 | 178 | 179 | \begin{frame}{Формализуем дальше: числа} 180 | 181 | {\itshape \hfill \begin{tabular}{r} <<Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека.>>\\ 182 | Леопольд Кронекер, 1886 г.\end{tabular}}\pause 183 | \begin{enumerate} 184 | \item Рациональные ($\mathbb{Q}$).\pause 185 | 186 | $Q = \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ --- множество всех простых дробей.\pause 187 | 188 | $\langle p,q \rangle$ --- то же, что $\frac{p}{q}$ \pause 189 | 190 | $\langle p_1,q_1 \rangle \equiv \langle p_2, q_2 \rangle$, если $p_1q_2 = p_2q_1$\pause 191 | 192 | \vspace{0.1cm} 193 | $\mathbb{Q} = Q/_\equiv$ 194 | 195 | \item Вещественные ($\mathbb{R}$). \pause $X = \{ A, B \}$, где $A,B \subseteq \mathbb{Q}$ --- дедекиндово сечение, если:\pause 196 | \begin{enumerate} 197 | \item $A\cup B = \mathbb{Q}$\pause 198 | \item Если $a \in A$, $x \in \mathbb{Q}$ и $x \le a$, то $x \in A$\pause 199 | \item Если $b \in B$, $x \in \mathbb{Q}$ и $b \le x$, то $x \in B$\pause 200 | \item $A$ не содержит наибольшего.\pause 201 | \end{enumerate} 202 | 203 | $\mathbb{R}$ --- множество всех возможных дедекиндовых сечений. \pause 204 | 205 | $\sqrt 2 = \{\{ x\in\mathbb{Q}\ |\ x^2 < 2 \}, \{ x\in\mathbb{Q}\ |\ x^2 > 2\}\}$ 206 | \end{enumerate} 207 | \end{frame} 208 | 209 | \begin{frame}{Целые числа тоже попробуем определить} 210 | 211 | $$\mathbb{Z}: \dots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$\pause\vspace{-0.5cm} 212 | \begin{itemize} 213 | \item $Z = \{\langle x, y \rangle\ |\ x,y\in \mathbb{N}_0\}$ \pause 214 | \item Интуиция: $\langle x,y\rangle = x-y$\pause 215 | \item $$\begin{array}{rcl} 216 | \langle a, b \rangle + \langle c, d \rangle & = & \langle a + c, b + d \rangle \\ \pause 217 | \langle a, b \rangle - \langle c, d \rangle & = & \langle a + d, b + c \rangle 218 | \end{array}$$\pause 219 | \item Пусть $\langle a, b \rangle \equiv \langle c,d\rangle$, если $a + d = b + c$. Тогда $\mathbb{Z} = Z/_\equiv$\pause 220 | \item $0 = [\langle 0,0 \rangle],\; 1 = [\langle 1,0\rangle],\; -7 = [\langle 0,7 \rangle]$ 221 | 222 | \end{itemize} 223 | \end{frame} 224 | 225 | \begin{frame}{Натуральные числа: аксиоматика Пеано, 1889}\vspace{-0.5cm} 226 | $$\mathbb{N}: 1, 2, \dots \mbox{ или } \mathbb{N}_0: 0, 1, 2, \dots$$\vspace{-1cm}\pause 227 | \begin{dfn} 228 | $N$ (или, более точно, $\langle N, 0, (')\rangle$) \emph{соответствует} аксиоматике Пеано, 229 | если следующее определено/выполнено:\pause 230 | \begin{enumerate} 231 | \item Операция <<штрих>> $('): N \to N$, причём нет $a,b \in N$, что $a \ne b$, но $a' = b'$.\pause 232 | 233 | Если $x = y'$, то $x$ назовём следующим за $y$, а $y$ --- предшествующим $x$.\pause 234 | \item Константа $0 \in N$: нет $x \in N$, что $x' = 0$.\pause 235 | \item Индукция. Каково бы ни было свойство (<<предикат>>) $P: N \to V$, если: 236 | \begin{enumerate} 237 | \item $P(0)$ 238 | \item При любом $x\in N$ из $P(x)$ следует $P(x')$ 239 | \end{enumerate} 240 | то при любом $x \in N$ выполнено $P(x)$. 241 | \end{enumerate} 242 | \end{dfn}\pause 243 | Как построить? Например, в стиле алгебры Линденбаума:\pause 244 | \begin{enumerate} 245 | \item $N$ --- язык, порождённый грамматикой $\nu ::= \texttt{0}\ |\ \nu \texttt{<<'>>}$\pause 246 | \item $0$ --- это $\texttt{<<0>>}$, $x'$ --- это $x \doubleplus \texttt{<<'>>}$ 247 | \end{enumerate} 248 | \end{frame} 249 | 250 | 251 | \begin{frame}{Примеры: что не соответствует аксиомам Пеано} 252 | \begin{enumerate} 253 | \item $\mathbb{Z}$, где $x' = x^2$\\\pause 254 | 255 | Функция <<штрих>> не инъективна: $-3^2 = 3^2 = 9$\pause 256 | 257 | \item Кольцо вычетов $\mathbb{Z}/{7\mathbb{Z}}$, где $x' = x+1$\\\pause 258 | 259 | $6' = 0$, что нарушает свойства $0$\pause 260 | 261 | \item $\mathbb{R^+}\cup\{0\}$, где $x' = x+1$\\\pause 262 | 263 | Пусть $P(x)$ означает <<$x \in \mathbb{Z}$>>:\pause \begin{enumerate} 264 | \item $P(0)$ выполнено: $0 \in \mathbb{Z}$.\pause 265 | \item Если $P(x)$, то есть $x \in \mathbb{Z}$, то и $x+1 \in \mathbb{Z}$ --- так 266 | что и $P(x')$ выполнено.\pause 267 | \end{enumerate} 268 | Однако $P(0.5)$ ложно. 269 | \end{enumerate} 270 | \end{frame} 271 | 272 | \begin{frame}{Пример доказательства} 273 | \begin{thm}0 единственен: если $t$ таков, что при любом $y$ 274 | выполнено $y' \ne t$, то $t = 0$. 275 | \end{thm}\pause 276 | \begin{proof} 277 | 278 | \begin{itemize} 279 | \item Определим $P(x)$ как <<либо $x = 0$, либо $x = y'$ для некоторого $y \in N$>>.\pause 280 | \begin{enumerate} 281 | \item $P(0)$ выполнено, так как $0 = 0$.\pause 282 | \item Если $P(x)$ выполнено, то возьмём $x$ в качестве $y$: тогда для $P(x')$ 283 | будет выполнено $x' = y'$.\pause 284 | \end{enumerate} 285 | Значит, $P(x)$ для любого $x \in N$.\pause 286 | 287 | \item Рассмотрим $P(t)$: <<либо $t = 0$, либо $t = y'$ для некоторого $y \in N$>>. 288 | Но так как такого $y$ нет, то неизбежно $t = 0$. 289 | \end{itemize} 290 | \end{proof} 291 | \end{frame} 292 | 293 | \begin{frame}{Обозначения и определения} 294 | \begin{dfn} 295 | $1 = 0'$, $2 = 0''$, $3 = 0'''$, $4 = 0''''$, $5 = 0'''''$, $6 = 0''''''$, 296 | $7 = 0'''''''$, $8 = 0''''''''$, $9 = 0'''''''''$ 297 | \end{dfn}\pause 298 | \begin{dfn}\vspace{-0.3cm} 299 | $$a + b = \left\{ \begin{array}{ll} a, & \mbox{если } b = 0\\ 300 | (a + c)', & \mbox{если } b = c' 301 | \end{array}\right.$$ 302 | \end{dfn}\pause\vspace{-0.3cm} 303 | Например, $$2 + 2 = 0'' + 0'' = \pause (0'' + 0')' = \pause ((0'' + 0)')' = \pause ((0'')')' = 0'''' = 4$$\pause\vspace{-0.3cm} 304 | \begin{dfn}\vspace{-0.3cm} 305 | $$a \cdot b = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \mbox{если } b = 0\\ 306 | a \cdot c + a, & \mbox{если } b = c' 307 | \end{array}\right.$$ 308 | \end{dfn} 309 | %\pause 310 | %\begin{dfn} 311 | %$$a^b = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{если } b = 0\\ 312 | % a^c \cdot a, & \mbox{если } b = c' 313 | % \end{array}\right.$$ 314 | %\end{dfn} 315 | \end{frame} 316 | 317 | \begin{frame}{Пример: коммутативность сложения (лемма 1)} 318 | 319 | \begin{multicols}{2} 320 | \begin{lmm}[1] 321 | $a + 0 = 0 + a$ 322 | \end{lmm} \pause 323 | {\color{gray} 324 | $$a + b = \left\{ \begin{array}{ll} a, & \mbox{если } b = 0\\ 325 | (a + c)', & \mbox{если } b = c' 326 | \end{array}\right.$$} \end{multicols}\pause 327 | \vspace{-1.5cm}\begin{proof} Пусть $P(x)$ --- это $x + 0 = 0 + x$. 328 | \begin{enumerate}\pause 329 | \item Покажем $P(0)$. $0 + 0 = 0 + 0$ \pause 330 | \item Покажем, что если $P(x)$, то $P(x')$. Покажем $P(x')$, то есть $x' + 0 = \dots$ \pause 331 | 332 | \begin{center} 333 | \begin{tabular}{lrl} %Равенство & обоснование \\\hline 334 | $\dots = x'$ & $a=x',b=0$: & $x' + 0 \Rightarrow x'$ \\\pause 335 | $\dots = (x)'$ & \\ \pause 336 | $\dots = (x + 0)'$ & $a=x,b=0$: &$(x + 0) \Leftarrow (x)$ \\ \pause 337 | $\dots = (0 + x)'$ & $P(x)$: &$(x + 0) \Rightarrow (0 + x)$ \\ \pause 338 | $\dots = 0 + x'$ & $a=0,b=x'$: &$0 + x' \Leftarrow (0 + x)'$ 339 | \end{tabular} 340 | \end{center} 341 | \end{enumerate}\pause 342 | Значит, $P(a)$ выполнено для любого $a \in N$. 343 | \end{proof} 344 | \end{frame} 345 | 346 | \begin{frame}{Пример: коммутативность сложения (завершение)} 347 | \begin{lmm}[2] 348 | $a + b' = a' + b$ 349 | \end{lmm}\pause 350 | \begin{proof} $P(x)$ --- это $a + x' = a' + x$\pause 351 | \begin{enumerate} 352 | \item $a + 0' = (a + 0)' = (a)' = a' = a' + 0$\pause 353 | \item Покажем, что $P(x')$ следует из $P(x)$: $a + x'' = (a + x')' = (a' + x)' = a' + x'$ 354 | \end{enumerate} 355 | \end{proof}\pause 356 | 357 | \begin{thm} 358 | $a + b = b + a$ 359 | \end{thm}\pause 360 | \begin{proof}[Доказательство индукцией по $b$: $P(x)$ --- это $a + x = x + a$] 361 | \begin{enumerate} 362 | \item $a + 0 = 0 + a$ (лемма 1)\pause 363 | \item $a + x' = (a + x)' = (x + a)' = x + a' = x' + a$ 364 | \end{enumerate} 365 | \end{proof} 366 | \end{frame} 367 | 368 | \begin{frame}{Уточнение исчисления предикатов} 369 | \begin{itemize} 370 | \item Пусть требуется доказывать утверждения про равенство. Введём $E(p,q)$ --- предикат <<равенство>>.\pause 371 | \item Однако $\not\vdash E(p,q)\to E(q,p)$: если $D = \{0,1\}$ и $E(p,q) ::= (p>q)$, 372 | то $\not\models E(p,q)\to E(q,p)$.\pause 373 | \item Конечно, можем указывать $\forall p.\forall q.E(p,q)\to E(q,p) \vdash \varphi$.\pause 374 | \item Но лучше добавим аксиому $\forall p.\forall q.E(p,q)\to E(q,p)$.\pause 375 | \item Добавив необходимые аксиомы, получим \emph{теорию первого порядка}. 376 | \end{itemize} 377 | \end{frame} 378 | 379 | \begin{frame}{Теория первого порядка} 380 | \begin{dfn} 381 | Теорией первого порядка назовём исчисление предикатов с дополнительными (<<нелогическими>> 382 | или <<математическими>>): 383 | \begin{itemize} 384 | \item предикатными и функциональными символами; 385 | \item аксиомами. 386 | \end{itemize} 387 | 388 | Сущности, взятые из исходного исчисления предикатов, назовём \emph{логическими} 389 | \end{dfn} 390 | \end{frame} 391 | 392 | \begin{frame}{Порядок логики/теории} 393 | \begin{tabular}{llll} 394 | Порядок & Кванторы & Формализует суждения\dots & Пример\\\hline 395 | нулевой & запрещены & об отдельных значениях & И.В.\\ 396 | первый & по предметным переменным & о множествах & И.П.\\ 397 | % & & $S = \{ t\ |\ \psi[x := t] \}$ \\ 398 | & \multicolumn{2}{l}{\color{olive}$\{2,3,5,7,\dots\} = \{ t\ |\ \forall p.\forall q.(p \ne 1 \with q \ne 1) \rightarrow (t \ne p\cdot q)\}$}\\ 399 | второй & по предикатным переменным & о множествах множеств & Типы\\ 400 | & \multicolumn{2}{l}{\color{olive}$S = \{ \{t\ |\ P(t)\}\ |\ \varphi[p := P] \}$}\\ 401 | & \dots 402 | \end{tabular} 403 | \pause\vspace{0.3cm} 404 | 405 | \begin{exm}[логики 2 порядка]\upshape 406 | \begin{tabular}{ll} 407 | $\alpha\rightarrow\beta\rightarrow\alpha$ (сх. акс. 1) & $\forall a.\forall b.a \rightarrow b \rightarrow a$ \vspace{0.1cm}\\ 408 | \texttt{let rec map f l = match l with} & $map: \forall a.\forall b.(a \rightarrow b) \rightarrow a\texttt{ list} \rightarrow b\texttt{ list}$ \\ 409 | \texttt{| [] -> []} \\ 410 | \texttt{| l1::ls -> f l1 :: map f l1}\vspace{0.1cm}\\ 411 | \texttt{map ((+) 1) [1;2;3] = [2;3;4]} 412 | \end{tabular} 413 | \end{exm} 414 | 415 | \end{frame} 416 | 417 | \begin{frame}{Формальная арифметика} 418 | \begin{dfn} 419 | Формальная арифметика --- теория первого порядка, со следующими добавленными нелогическими \dots 420 | \begin{itemize} 421 | \item двухместными функциональными символами $(+)$, $(\cdot)$; одноместным функциональным символом $(')$, 422 | нульместным функциональным символом $0$;\pause 423 | \item двухместным предикатным символом $(=)$;\pause 424 | \item восемью нелогическими \emph{аксиомами}:\vspace{0.1cm} 425 | \begin{tabular}{ll} 426 | (A1) $a=b \to a=c \to b=c$ &(A5) $a+0 = a$ \\ 427 | (A2) $a=b \to a'=b'$ &(A6) $a+b' = (a+b)'$ \\ 428 | (A3) $a'=b' \to a=b$ &(A7) $a\cdot 0 = 0$ \\ 429 | (A4) $\neg a' = 0$ &(A8) $a\cdot b' = a \cdot b + a$ 430 | \end{tabular}\pause 431 | \item нелогической схемой аксиом индукции $\psi[x:=0]\with(\forall x.\psi\to \psi[x:=x'])\to \psi$ с метапеременными $x$ и $\psi$. 432 | \end{itemize} 433 | \end{dfn} 434 | \end{frame} 435 | 436 | \begin{frame}{Докажем, что $a=a$} 437 | \small 438 | Пусть $\top ::= 0=0\to 0=0 \to 0=0$, тогда:\pause 439 | 440 | \begin{tabular}{lll} 441 | (1) & $a=b\to a=c \to b=c$ & (Акс. А1)\\ 442 | (2) & $(a=b\to a=c \to b=c) \to \top \to (a=b\to a=c \to b=c)$ & (Сх. акс. 1)\\ 443 | (3) & $\top \to (a=b\to a=c \to b=c)$ & (M.P. 1, 2)\\ 444 | (4) & $\top \to (\forall c.a = b\to a = c \to b = c)$ & (Введ. $\forall$)\\\pause 445 | (5) & $\top \to (\forall b.\forall c.a = b\to a = c \to b = c)$ & (Введ. $\forall$)\\ 446 | (6) & $\top \to (\forall a.\forall b.\forall c.a = b\to a = c \to b = c)$ & (Введ. $\forall$)\\\pause 447 | (7) & $\top$ & (Сх. акс 1)\\ 448 | (8) & $(\forall a.\forall b.\forall c.a = b\to a = c \to b = c)$ & (M.P. 7, 6)\\\pause 449 | (9) & $(\forall a.\forall b.\forall c.a = b\to a = c \to b = c) \to $\\ 450 | & $\to (\forall b.\forall c.a+0 = b\to a+0 = c \to b = c)$ & (Сх. акс. 11)\\\pause 451 | (10) & $\forall b.\forall c.a+0 = b\to a+0 = c \to b = c$ & (M.P. 8, 9)\\\pause 452 | (12) & $\forall c.a+0 = a\to a+0 = c \to a = c$ & (M.P. 10, 11)\\\pause 453 | (14) & $a+0 = a\to a+0 = a \to a = a$ & (M.P. 12, 13)\\\pause 454 | (15) & $a+0 = a$ & (Акс. А5)\\ 455 | (16) & $a+0 = a \to a = a$ & (M.P. 15, 14)\\ 456 | (17) & $a = a$ & (M.P. 15, 16) 457 | \end{tabular} 458 | \end{frame} 459 | 460 | \end{document} 461 | -------------------------------------------------------------------------------- /lection-08.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-08.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-09.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-09.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-09.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 17 | %\usetheme{Warsaw} 18 | 19 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 20 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 21 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 22 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 23 | \newtheorem{snote}{Пояснение}[section] 24 | 25 | \newcommand{\divisible}% 26 | {\mathrel{\lower.2ex% 27 | \vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 28 | \kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 29 | }} 30 | 31 | \begin{document} 32 | 33 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 34 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 35 | 36 | \begin{frame}{} 37 | \LARGE\begin{center}Теоремы Гёделя о неполноте арифметики\end{center} 38 | \end{frame} 39 | 40 | \begin{frame}{Самоприменимость} 41 | \begin{dfn}Пусть $\xi$ --- формула с единственной свободной 42 | переменной $x_1$. Тогда: 43 | $\langle\ulcorner \xi \urcorner,p\rangle \in W_1$, если $\vdash \xi(\overline{\ulcorner \xi \urcorner})$ и $p$ --- номер доказательства. 44 | \end{dfn} 45 | 46 | \begin{lmm}Отношение $W_1$ рекурсивно, поэтому выражено в Ф.А. формулой $\omega_1$ со свободными переменными $x_1$ и $x_2$, причём: 47 | \begin{enumerate} 48 | \item $\vdash \omega_1(\overline{\ulcorner \varphi \urcorner},\overline{p})$, если $p$ --- гёделев номер 49 | доказательства самоприменения $\varphi$; 50 | \item $\vdash \neg\omega_1(\overline{\ulcorner \varphi \urcorner},\overline{p})$ иначе. 51 | \end{enumerate} 52 | \end{lmm} 53 | 54 | \begin{dfn} 55 | Определим формулу $\sigma(x_1) := \forall p.\neg\omega_1(x_1,p)$. 56 | \end{dfn} 57 | \end{frame} 58 | 59 | \begin{frame}{Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики} 60 | \begin{dfn}Если для любой формулы $\phi(x)$ из $\vdash\phi(0)$, $\vdash\phi(\overline{1})$, 61 | $\vdash\phi(\overline{2})$, $\dots$ выполнено $\not\vdash\exists x.\neg\phi(x)$, 62 | то теория \emph{омега-непротиворечива}. 63 | \end{dfn} 64 | 65 | \begin{thm}{Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики} 66 | \begin{itemize} 67 | \item Если формальная арифметика непротиворечива, то $\not\vdash\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. 68 | \item Если формальная арифметика $\omega$-непротиворечива, то $\not\vdash\neg\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. 69 | \end{itemize} 70 | \end{thm} 71 | \end{frame} 72 | 73 | \begin{frame}{Доказательство теоремы Гёделя} 74 | Напомним: $\sigma(x_1) := \forall p.\neg\omega_1(x_1,p)$. $W_1(\ulcorner\xi\urcorner,p)$ --- $p$ есть доказательство самоприменения $\xi$. 75 | \begin{proof} 76 | \begin{itemize} 77 | \item Пусть $\vdash\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. Значит, $p$ --- номер доказательства. \pause Тогда 78 | $\langle\ulcorner\sigma\urcorner,p\rangle \in W_1$. \pause Тогда $\vdash\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},\overline{p})$. \pause 79 | Тогда $\vdash\exists p.\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},p)$. \pause То есть 80 | $\vdash\neg\forall p.\neg\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},p)$. \pause То есть $\vdash\neg\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. Противоречие. 81 | \pause 82 | \item Пусть $\vdash\neg\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. \pause То есть $\vdash\exists p.\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},p)$. 83 | \begin{itemize} 84 | \item 85 | \pause Но найдётся ли натуральное число $p$, что $\vdash\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},\overline{p})$? 86 | \pause Пусть нет. То есть $\vdash\neg\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},\overline{0})$, 87 | $\vdash\neg\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},\overline{1})$, 88 | \dots \pause По $\omega$-непротиворечивости $\not\vdash\exists p.\neg\neg\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},p)$. \pause 89 | \end{itemize} 90 | Значит, найдётся натуральное $p$, что $\vdash\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},\overline{p})$. \pause 91 | То есть, $\langle\ulcorner\sigma\urcorner, p\rangle\in W_1$. \pause 92 | То есть, $p$ --- доказательство самоприменения $W_1$: $\vdash\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. \pause Противоречие. 93 | \end{itemize} 94 | \end{proof} 95 | \end{frame} 96 | 97 | \begin{frame}{Почему теорема о неполноте?} 98 | \begin{dfn}\emph{Семантически} полная теория --- теория, в которой любая общезначимая формула доказуема.\\ 99 | \emph{Синтаксически} полная теория --- теория, в которой для каждой замкнутой формулы $\alpha$ выполнено $\vdash\alpha$ или $\vdash\neg\alpha$.\end{dfn} 100 | \begin{thm}Формальная арифметика с классической моделью семантически неполна.\end{thm} \pause 101 | \begin{proof} 102 | Рассмотрим Ф.А. с классической моделью. \pause 103 | Из теоремы Гёделя имеем $\not\vdash\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. \pause 104 | Рассмотрим $\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner}) \equiv \forall p.\neg\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner}),p$: 105 | нет числа $p$, что $p$ --- номер доказательства $\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. \pause 106 | То есть, $\llbracket \forall p.\neg\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner}),p) \rrbracket = \text{И}$. \pause 107 | То есть, $\models \sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. 108 | \end{proof} 109 | 110 | \end{frame} 111 | 112 | \begin{frame}{Первая теорема Гёделя о неполноте в форме Россера} 113 | \begin{dfn}$\theta_1\le\theta_2 \equiv \exists p.p+\theta_1=\theta_2\quad\quad\theta_1<\theta_2\equiv\theta_1\le\theta_2\with\neg\theta_1=\theta_2$\end{dfn}\pause 114 | \begin{dfn}Пусть $\langle \ulcorner\xi\urcorner,p\rangle \in W_2$, если $\vdash\neg\xi(\overline{\ulcorner\xi\urcorner})$. 115 | Пусть $\omega_2$ выражает $W_2$ в формальной арифметике.\end{dfn}\pause 116 | \begin{thm}Рассмотрим $\rho(x_1) = \forall p.\omega_1(x_1,p)\rightarrow\exists q.q \le p \with \omega_2(x_1,q)$. \pause 117 | Тогда $\not\vdash\rho(\overline{\ulcorner\rho\urcorner})$ и $\not\vdash\neg\rho(\overline{\ulcorner\rho\urcorner})$. \pause 118 | $\rho(\overline{\ulcorner\rho\urcorner})$: <<Меня легче опровергнуть, чем доказать>> 119 | \end{thm}%\pause 120 | %\begin{proof}Сложное техническое доказательство, использующее утверждения 121 | %вида $\vdash a \le \overline{n} \leftrightarrow a = \overline{0} \vee a = \overline{1} \vee \dots \vee a = \overline{n}$ 122 | %\end{proof} \pause 123 | \end{frame} 124 | 125 | \begin{frame}{Формальное доказательство} 126 | Неполнота варианта теории, изложенной выше, формально доказана на Coq, Russell O'Connor, 2005:\\ 127 | \vspace{0.5cm} 128 | ``My proof, excluding standard libraries and the library for Pocklington’s criterion, 129 | consists of 46 source files, 7 036 lines of specifications, 37 906 lines of proof, 130 | and 1 267 747 total characters. The size of the gzipped tarball (gzip -9) of all 131 | the source files is 146 008 bytes, which is an estimate of the information content of my proof.''\\ 132 | \vspace{0.5cm} 133 | \texttt{Theorem Incompleteness : forall T : System,}\\ 134 | \hspace{0.5cm}\texttt{Included Formula NN T ->}\\ 135 | \hspace{0.5cm}\texttt{RepresentsInSelf T ->}\\ 136 | \hspace{0.5cm}\texttt{DecidableSet Formula T ->}\\ 137 | \hspace{0.5cm}\texttt{exists f : Formula,}\\ 138 | \hspace{0.5cm}\texttt{Sentence f/\textbackslash (SysPrf T f \textbackslash/ SysPrf T (notH f) -> Inconsistent LNN T)}. 139 | \end{frame} 140 | 141 | \begin{frame}{Consis} 142 | \begin{lmm} 143 | $\vdash 1=0$ тогда и только тогда, когда $\vdash\alpha$ при любом $\alpha$. 144 | \end{lmm} 145 | \begin{dfn} 146 | Обозначим за $\psi(x,p)$ формулу, выражающую в формальной арифметике рекурсивное 147 | отношение Proof: $\langle \ulcorner\xi\urcorner,p\rangle \in \text{Proof}$, если $p$ --- гёделев номер 148 | доказательства $\xi$. \pause\\ 149 | Обозначим $\pi(x)\equiv\exists p.\psi(x,p)$ 150 | \end{dfn} \pause 151 | \begin{dfn}Формулой Consis назовём формулу 152 | $\neg \pi(\overline{\ulcorner 1=0 \urcorner})$ 153 | \end{dfn} \pause 154 | Неформальный смысл: <<формальная арифметика непротиворечива>> 155 | \end{frame} 156 | 157 | \begin{frame}{Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики} 158 | \begin{thm}Если Consis доказуем, то формальная арифметика противоречива.\end{thm} 159 | \begin{proof}(неформально) \pause 160 | Формулировка 1 теоремы Гёделя о неполноте арифметики: 161 | <<если Ф.А. непротиворечива, то недоказуемо $\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$>>. \pause 162 | То есть, $\forall p.\neg\omega_1(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner},p)$. \pause То есть, 163 | если $\text{Consis}$, то $\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. \pause 164 | То есть, если $\text{Consis}$, то $\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$, --- и это можно доказать, 165 | то есть $\vdash\text{Consis}\rightarrow\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. \pause Однако 166 | если формальная арифметика непротиворечива, то $\not\vdash\sigma(\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})$. 167 | \end{proof} 168 | \end{frame} 169 | 170 | \begin{frame}{Слишком много неформальности} 171 | Рассмотрим такой особый $\text{Consis}'$: 172 | $$\begin{array}{l}\pi'(x) := \exists p.\psi(x,p) \with \neg\psi(\overline{\ulcorner 1 = 0 \urcorner},p)\\ 173 | \text{Consis}' := \pi'(\overline{\ulcorner 1 = 0 \urcorner})\end{array}$$ 174 | 175 | Заметим: 176 | \begin{enumerate} 177 | \item Если ФА непротиворечива, то $\llbracket \pi'(x) \rrbracket = \llbracket \pi(x) \rrbracket$: 178 | \begin{itemize} 179 | \item если $x \ne \ulcorner 1 = 0 \urcorner$ и $\llbracket\psi(x,p)\rrbracket = \text{И}$, 180 | то $\llbracket\psi(\overline{\ulcorner 1 = 0\urcorner},p)\rrbracket = \text{Л}$ 181 | \item если $x = \ulcorner 1 = 0 \urcorner$, то $\psi(\overline{\ulcorner 1 = 0 \urcorner},p) = \text{Л}$ при любом $p$. 182 | \end{itemize} 183 | \item Но $\vdash \text{Consis}'$. 184 | \end{enumerate} 185 | \end{frame} 186 | 187 | \begin{frame}{Условия выводимости Гильберта-Бернайса-Лёба} 188 | \begin{dfn} 189 | Будем говорить, что формула $\psi$, выражающая отношение Proof, 190 | формула $\pi$ и формула Consis соответствуют 191 | условиям Гильберта-Бернайса-Лёба, если следующие условия выполнены для любой формулы $\alpha$: 192 | 193 | \begin{enumerate} 194 | \item $\vdash \alpha$ влечет $\vdash \pi(\overline{\ulcorner\alpha\urcorner})$ 195 | \item $\vdash \pi (\overline{\ulcorner\alpha\urcorner}) \rightarrow \pi(\overline{\ulcorner\pi(\overline{\ulcorner\alpha\urcorner})\urcorner})$ 196 | \item $\vdash \pi (\overline{\ulcorner\alpha\rightarrow \beta\urcorner}) \rightarrow \pi(\overline{\ulcorner\alpha\urcorner}) \rightarrow \pi(\overline{\ulcorner\beta\urcorner})$ 197 | \end{enumerate} 198 | \end{dfn} 199 | \end{frame} 200 | 201 | \begin{frame}{Первая теорема Гёделя о неполноте ещё раз} 202 | \begin{lmm}Лемма об автоссылках. Для любой формулы $\phi(x_1)$ можно построить 203 | такую замкнутую формулу $\alpha$ (не использующую неаксиоматических предикатных 204 | и функциональных символов), что $\vdash \phi(\overline{\ulcorner\alpha\urcorner}) \leftrightarrow \alpha$. 205 | \end{lmm} 206 | 207 | \begin{thm}Существует такая замкнутая формула $\gamma$, что если Ф.А. непротиворечива, то 208 | $\not\vdash \gamma$, а если Ф.А. $\omega$-непротиворечива, то и $\not\vdash\neg\gamma$. 209 | \end{thm} 210 | \begin{proof}Рассмотрим $\phi(x_1) \equiv \neg\pi(x_1)$. Тогда по лемме об автоссылках существует 211 | $\gamma$, что $\vdash \gamma \leftrightarrow \neg\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})$. 212 | 213 | \begin{itemize} 214 | \item Предположим, что $\vdash \gamma$. Тогда $\vdash \gamma \rightarrow \neg\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})$, то есть $\not\vdash\gamma$ 215 | \item Предположим, что $\vdash \neg\gamma$. Тогда $\vdash \pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})$, 216 | то есть $\vdash \exists p.\psi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner},p)$. Тогда по $\omega$-непротиворечивости 217 | найдётся $p$, что $\vdash \psi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner},\overline{p})$, то есть $\vdash \gamma$. 218 | \end{itemize} 219 | \end{proof} 220 | \end{frame} 221 | 222 | \begin{frame}{Доказательство второй теоремы Гёделя} 223 | \begin{enumerate} 224 | \item Пусть $\gamma$ таково, что $\vdash \gamma \leftrightarrow \neg\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})$. 225 | \item Покажем $\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\vdash \pi(\overline{\ulcorner 1=0\urcorner})$. 226 | 227 | \begin{enumerate} 228 | \item По условию 2, $\vdash \pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner}) \rightarrow \pi(\overline{\ulcorner\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\urcorner})$. 229 | По теореме о дедукции $\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\vdash \pi(\overline{\ulcorner\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\urcorner})$; 230 | 231 | \item Так как $\vdash \pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\rightarrow\neg\gamma$, то 232 | по условию 1 $\vdash \pi(\overline{\ulcorner\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\rightarrow\neg\gamma\urcorner})$; 233 | 234 | \item По условию 3, $\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\vdash \pi(\overline{\ulcorner\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\urcorner}) 235 | \rightarrow \pi(\overline{\ulcorner\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\rightarrow\neg\gamma\urcorner})\rightarrow 236 | \pi(\overline{\ulcorner\neg\gamma\urcorner})$; 237 | 238 | \item Таким образом, $\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\vdash\pi(\overline{\ulcorner\neg\gamma\urcorner})$; 239 | 240 | \item Однако $\vdash \gamma\rightarrow\neg\gamma\rightarrow 1=0$. Условие 3 (применить два раза) даст $\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})\vdash \pi(\overline{\ulcorner 1=0 \urcorner})$. 241 | \end{enumerate} 242 | 243 | \item $\neg\pi(\overline{\ulcorner 1=0 \urcorner})\rightarrow\neg\pi(\overline{\ulcorner\gamma\urcorner})$ (т. о дедукции, контрапозиция). 244 | \item $\vdash \neg\pi(\overline{\ulcorner 1=0 \urcorner})\rightarrow\gamma$ (определение $\gamma$). 245 | \end{enumerate} 246 | \end{frame} 247 | 248 | \begin{frame}{Расширение на другие теории} 249 | \begin{dfn}Теория $\mathcal{S}$ --- расширение теории $\mathcal{T}$, если 250 | из $\vdash_\mathcal{T} \alpha$ следует $\vdash_\mathcal{S} \alpha$\end{dfn} 251 | 252 | \begin{dfn}Теория $\mathcal{S}$ --- рекурсивно-аксиоматизируемая, если найдётся теория $\mathcal{S'}$ с тем же языком, что: 253 | \begin{enumerate} 254 | \item $\vdash_\mathcal{S} \alpha$ тогда и только тогда, когда $\vdash_\mathcal{S'} \alpha$; 255 | \item Множество аксиом теории $\mathcal{S'}$ рекурсивно. 256 | \end{enumerate} 257 | \end{dfn} 258 | 259 | \begin{thm}Если $\mathcal{S}$ --- непротиворечивое рекурсивно-аксиоматизируемое расширение формальной арифметики, то 260 | в ней можно доказать аналоги теорем Гёделя о неполноте арифметики. 261 | \end{thm} 262 | \end{frame} 263 | 264 | \begin{frame}{Сужение: система Робинсона} 265 | \begin{dfn}Теория первого порядка, использующая нелогические функциональные символы $0$, $(+)$ и $(\cdot)$, нелогический 266 | предикатный символ $(=)$ и следующие нелогические аксиомы, называется системой Робинсона. 267 | 268 | \vspace{-0.4cm} 269 | $$\begin{array}{ll} 270 | a = a & a = b \rightarrow b = a \\ 271 | a = b \rightarrow b = c \rightarrow a = c & a = b \rightarrow a' = b' \\ 272 | a' = b' \rightarrow a = b & \neg 0 = a' \\ 273 | a = b \rightarrow a + c = b + c \with c + a = c + b & a = b \rightarrow a \cdot c = b \cdot c \with c \cdot a = c \cdot b \\ 274 | \neg a = 0 \rightarrow \exists b. a = b' & a + 0 = a\\ 275 | a + b' = (a + b)' & a \cdot 0 = 0 \\ 276 | a \cdot b' = a \cdot b + a 277 | \end{array}$$ 278 | \end{dfn} 279 | 280 | \vspace{-0.3cm} 281 | Система Робинсона неполна: аксиомы --- в точности утверждения, необходимые для доказательства теорем Гёделя. 282 | Система Робинсона не имеет схем аксиом. 283 | \end{frame} 284 | 285 | \begin{frame}{Арифметика Пресбургера} 286 | \begin{dfn}Теория первого порядка, использующая нелогические функциональные символы $0$, $1$, $(+)$, нелогический 287 | предикатный символ $(=)$ и следующие нелогические аксиомы, называется арифметикой Пресбургера. 288 | 289 | $$\begin{array}{l} 290 | \neg (0 = x + 1) \\ 291 | x + 1 = y + 1 \rightarrow x = y\\ 292 | x + 0 = x \\ 293 | x + (y + 1) = (x + y) + 1\\ 294 | (\varphi(0) \with \forall x.\varphi(x) \rightarrow \varphi(x+1)) \rightarrow \forall y.\varphi(y) 295 | \end{array}$$\end{dfn} 296 | 297 | \begin{thm}Арифметика Пресбургера разрешима и синтаксически и семантически полна.\end{thm} 298 | \end{frame} 299 | 300 | \begin{frame}{Невыразимость доказуемости} 301 | \begin{dfn} 302 | $\text{Th}_\mathcal{S} = \{ \ulcorner\alpha\urcorner\ |\ \vdash_\mathcal{S}\alpha \}$; 303 | $\text{Tr}_\mathcal{S} = \{ \ulcorner\alpha\urcorner\ |\ \llbracket\alpha\rrbracket_\mathcal{S} = \text{И} \}$ 304 | \end{dfn} 305 | 306 | \begin{lmm}Пусть $D(\ulcorner\alpha\urcorner) = \ulcorner\alpha(\overline{\ulcorner\alpha\urcorner})\urcorner$ для 307 | любой формулы $\alpha(x)$. Тогда $D$ представима в формальной арифметике. 308 | \end{lmm} 309 | 310 | 311 | \begin{thm}Если расширение Ф.А. $\mathcal{S}$ непротиворечиво и $D$ представима в нём, то $\text{Th}_\mathcal{S}$ невыразимо в $\mathcal{S}$\end{thm} 312 | 313 | \begin{proof}Пусть $\delta(a,p)$ представляет $D$, и пусть $\sigma(x)$ выражает множество $\text{Th}_\mathcal{S}$ (рассматриваемое как 314 | одноместное отношение). 315 | 316 | Пусть $\alpha(x) := \forall p.\delta(x,p)\rightarrow\neg\sigma(p)$. Верно ли, что $\ulcorner\alpha\urcorner\in\text{Th}$? 317 | \end{proof} 318 | \end{frame} 319 | 320 | \begin{frame}{Теорема Тарского} 321 | \begin{thm}[Тарского о невыразимости истины] 322 | Не существует формулы $\varphi(x)$, что $\llbracket \varphi(x) \rrbracket = \text{И}$ (в стандартной интерпретации) тогда и только 323 | тогда, когда $x \in \text{Tr}_\text{ФА}$. \end{thm} 324 | \begin{proof} 325 | Пусть теория $\mathcal{S}$ --- формальная арифметика + аксиомы: все истинные в стандартной интерпретации формулы. 326 | Очевидно, что $\text{Th}_\mathcal{S} = \text{Tr}_\mathcal{S} = \text{Tr}_\text{ФА}$. 327 | То есть $\text{Tr}_\text{ФА}$ невыразимо в $\mathcal{S}$. 328 | 329 | Пусть $\varphi$ таково, что $\llbracket\varphi(x)\rrbracket = \text{И}$ при $x \in \text{Tr}$. 330 | Тогда $\vdash\varphi(x)$, если $x \in \text{Tr}$ и $\vdash\neg\varphi(x)$, если $x \notin\text{Tr}$. 331 | 332 | Тогда $\text{Tr}$ выразимо в $\mathcal{S}$. Противоречие. 333 | \end{proof} 334 | \end{frame} 335 | 336 | \end{document} 337 | -------------------------------------------------------------------------------- /lection-10-ghc.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-10-ghc.png -------------------------------------------------------------------------------- /lection-10.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-10.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-10.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 17 | %\usetheme{Warsaw} 18 | 19 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 20 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 21 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 22 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 23 | \newtheorem{snote}{Пояснение}[section] 24 | 25 | \newcommand{\divisible}% 26 | {\mathrel{\lower.2ex% 27 | \vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 28 | \kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 29 | }} 30 | 31 | \begin{document} 32 | 33 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 34 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 35 | 36 | \begin{frame}{} 37 | \LARGE\begin{center}Теория множеств\end{center} 38 | \end{frame} 39 | 40 | \begin{frame}{Теория множеств} 41 | \begin{enumerate} 42 | \item Георг Кантор: 1877 год, <<наивная теория множеств>>. Множество --- это «объединение в одно 43 | целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».\pause 44 | \item Неограниченный принцип абстракции $\{ x\ |\ P(x)\}$ \pause 45 | \item Парадокс Бурали-Форте (1895, Кантор). Парадокс Рассела: $X := \{ x\ |\ x \notin x\}$; $X\in X$?\pause 46 | \item Вариант решения парадокса: а, может, запретить все <<опасные>> ситуации? \pause 47 | \item Аксиоматика Цермело --- 1908 год, оставим только то, что используют математики. \pause 48 | \item Что такое множество? Неформально мы понимаем, формально:\pause 49 | 50 | \begin{dfn} Теория множеств --- теория первого порядка, 51 | с дополнительным нелогическим двухместным функциональным символом $\in$, и следующими 52 | дополнительными нелогическими аксиомами и схемами аксиом. 53 | \end{dfn} 54 | \end{enumerate} 55 | \end{frame} 56 | 57 | \begin{frame}{Аксиоматика ZF, равенство} 58 | \begin{dfn} Равенство <<по Лейбницу>>: объекты равны, если неразличимы.\end{dfn} Если нечто ходит как утка, выглядит как 59 | утка и крякает как утка, то это утка.\pause 60 | \begin{dfn} Принцип объёмности: объекты равны, если состоят из одинаковых частей\end{dfn}\pause 61 | 62 | \begin{dfn} $A \subseteq B \equiv \forall x.x \in A \rightarrow x \in B$ \\\pause 63 | $A = B \equiv A \subseteq B \with B \subseteq A$ \end{dfn}\pause 64 | \begin{dfn} Аксиома равенства: равные множества содержатся в одних и тех же множествах. 65 | $\forall x. \forall y. \forall z. x = y \with x \in z \rightarrow y \in z$. 66 | \end{dfn} 67 | \end{frame} 68 | 69 | \begin{frame}{Аксиоматика ZF, конструктивные аксиомы} 70 | \begin{dfn} Аксиома пустого. Существует пустое множество $\varnothing$. $$\exists s.\forall t.\neg t \in s$$ \end{dfn}\pause 71 | \begin{dfn} Аксиома пары. Существует $\{a,b\}$. 72 | Каковы бы ни были два множества $a$ и $b$, существует множество, состоящее 73 | в точности из них. 74 | 75 | $$\forall a.\forall b.\exists s.a \in s \with b \in s \with \forall c.c \in s \rightarrow c = a \vee c = b$$ \end{dfn} 76 | \end{frame} 77 | 78 | \begin{frame}{Аксиоматика ZF, конструктивные аксиомы 2} 79 | \begin{dfn} Аксиома объединения: существует $\cup x$. 80 | Для любого непустого множества $x$ найдется такое множество, состоящее в точности 81 | из тех элементов, из которых состоят элементы $x$. 82 | $$\forall x.(\exists y.y \in x) \rightarrow \exists p.\forall y.y \in p \leftrightarrow \exists s.y \in s \with s \in x$$ 83 | \end{dfn}\pause 84 | \begin{dfn} Аксиома степени: существует $\mathcal{P}(x)$. 85 | Каково бы ни было множество $x$, существует множество, содержащее в точности 86 | все возможные подмножества множества $x$. 87 | $$\forall x.\exists p.\forall y.y \in p \leftrightarrow y \subseteq x$$ 88 | \end{dfn} 89 | \end{frame} 90 | 91 | \begin{frame}{Аксиоматика ZF. Схема аксиом выделения} 92 | \begin{dfn} Схема аксиом выделения: существует $\{ t \in x\ |\ \varphi(t)\}$. 93 | Для любого множества $x$ и любой формулы от одного аргумента $\varphi(y)$ 94 | ($b$ не входит свободно в $\varphi$), найдется $b$, в которое 95 | входят те и только те элементы из множества $x$, что $\phi(y)$ истинно. 96 | 97 | $$\forall x.\exists b.\forall y.y \in b \leftrightarrow (y \in x \with \varphi(y))$$ 98 | \end{dfn} 99 | \end{frame} 100 | 101 | \begin{frame}{Немного теорем} 102 | \begin{thm}Для любого множества $X$ существует множество $\{X\}$, содержащее в точности $X$.\end{thm}\pause 103 | \begin{proof}Воспользуемся аксиомой пары: $\{X,X\}$\end{proof}\pause 104 | \begin{thm}Пустое множество единственно.\end{thm}\pause 105 | \begin{proof}Пусть $\forall p.\neg p \in s$ и $\forall p.\neg p \in t$. 106 | Тогда $s \subseteq t$ и $t \subseteq s$.\end{proof}\pause 107 | \begin{thm}Для двух множеств $s$ и $t$ существует множество, являющееся их пересечением.\end{thm}\pause 108 | \begin{proof}$s \cap t = \{ x\in s\ |\ x \in t\}$\end{proof} 109 | \end{frame} 110 | 111 | \begin{frame}{Упорядоченная пара} 112 | \begin{dfn}{Упорядоченная пара.} 113 | Упорядоченной парой двух множеств $a$ и $b$ назовём 114 | $\{\{a\},\{a,b\}\}$, или $\langle{}a,b\rangle$ 115 | \end{dfn} 116 | 117 | \begin{thm} 118 | Упорядоченную пару можно построить для любых множеств. 119 | \end{thm} 120 | \begin{proof}Применить аксиому пары, теорему о существовании $\{X\}$, аксиому пары.\end{proof} 121 | 122 | \begin{thm} 123 | $\langle{}a,b\rangle = \langle{}c,d\rangle$ тогда и только тогда, 124 | когда $a = c$ и $b = d$. 125 | \end{thm} 126 | \end{frame} 127 | 128 | \begin{frame}{Аксиома бесконечности} 129 | \begin{dfn}Инкремент: $x' \equiv x \cup \{x\}$\end{dfn}\pause 130 | \begin{dfn}Аксиома бесконечности. Существует $N: \varnothing \in N \with \forall x.x \in N\rightarrow x' \in N$\end{dfn}\pause 131 | 132 | В $N$ есть всевозможные множества вида $\varnothing$\pause, $\{\varnothing\}$\pause, $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, \pause 133 | $\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$, \dots\pause 134 | \\\vspace{0.5cm} 135 | (неформально) $\omega = \{\varnothing, \varnothing', \varnothing'', \dots\}$. \pause 136 | Тогда $N_1 = \omega\cup\{\omega,\omega',\omega'',\dots\}$ подходит. 137 | \end{frame} 138 | 139 | \begin{frame}{Полный порядок (вполне упорядоченные множества)} 140 | \begin{enumerate} 141 | \item Частичный: рефлексивность ($a \preceq a$), антисимметричность ($a \preceq b \rightarrow b \preceq a\rightarrow a=b$), 142 | транзитивность ($a \preceq b \rightarrow b \preceq c \rightarrow a \preceq c$).\pause 143 | \item Линейный: частичный + $\forall a.\forall b.a \preceq b \vee b \preceq a$.\pause 144 | \item Полный: линейный + в любом непустом подмножестве есть наименьший элемент.\pause 145 | \end{enumerate} 146 | 147 | \begin{exm}$\mathbb{Z}$ не вполне упорядочено: в $\mathbb{Z}$ нет наименьшего.\end{exm}\pause 148 | \begin{exm}Отрезок $[0,1]$ не вполне упорядочен: $(0,1)$ не имеет наименьшего.\end{exm}\pause 149 | \begin{exm}$\mathbb{N}$ вполне упорядочено.\end{exm} 150 | \end{frame} 151 | 152 | \begin{frame}{Ординалы (порядковые числа)} 153 | \begin{dfn}Транзитивное множество $X$: $\forall x.\forall y.x \in y \with y \in X \rightarrow x \in X$.\end{dfn}\pause 154 | \begin{dfn}Ординал (порядковое число) --- вполне упорядоченное отношением $(\in)$ транзитивное множество.\end{dfn}\pause 155 | \begin{exm}Ординалы: $\varnothing$, \pause $\varnothing'$, \pause $\varnothing''$, \dots\end{exm}\pause 156 | \begin{dfn}Предельный ординал: такой $x$, что $x \ne \varnothing$ и нет $y: y' = x$\end{dfn}\pause 157 | \begin{dfn}Ординал $x$ конечный, если он меньше любого предельного.\end{dfn}\pause 158 | \begin{thm}Если $x,y$ --- ординалы, то $x = y$, или $x\in y$, или $y \in x$.\end{thm} 159 | \end{frame} 160 | \begin{frame}{Предельные ординалы, $\omega$} 161 | \begin{dfn}$\omega$ --- наименьший предельный ординал.\end{dfn}\pause 162 | \begin{thm}$\omega$ существует.\end{thm}\pause 163 | \begin{proof}Пусть $\omega = \{ x \in N\ |\ x\text{ конечен}\}$. 164 | Пусть $\theta$ таков, что $\theta \in \omega$. Тогда $\theta$ конечен. \pause 165 | Пусть $\theta$ таков, что $\theta' = \omega$. Тогда $\theta \in \omega$.\end{proof} 166 | \begin{exm}$\omega'$ --- тоже ординал.\end{exm} 167 | \end{frame} 168 | 169 | \begin{frame}{Операции над ординалами} 170 | \begin{dfn}$\sup x$ --- наименьший ординал, содержащий $x$: $x \subseteq \sup x$.\end{dfn} \pause 171 | \begin{exm}$\sup \{ \varnothing', \varnothing'', \varnothing'''' \} = \{ {\color{blue}\varnothing}, 172 | \varnothing', \varnothing'', {\color{blue} \varnothing '''}, \varnothing'''' \} = \pause \varnothing'''''$\end{exm} \pause 173 | $$a + b \equiv \left\{ \begin{array}{rl} 174 | a, & b \equiv \varnothing\\ 175 | (a + c)', & b \equiv c'\\ 176 | \sup \{ a+c \mid c \prec b \}, &\mbox{$b$ --- предельный ординал }\end{array}\right.$$\pause 177 | 178 | \begin{exm}$\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$; \pause $1 + \omega = \sup\{ 1+\varnothing, 1+1, 1+2, \dots \} \pause = \omega$\end{exm} 179 | \end{frame} 180 | 181 | \begin{frame}{Ещё операции над ординалами} 182 | $$a \cdot b \equiv \left\{ \begin{array}{rl} 183 | 0, & b \equiv \varnothing\\ 184 | (a \cdot c) + a, & b \equiv c'\\ 185 | \sup \{ a \cdot c \mid c \prec b \}, &\mbox{$b$ --- предельный ординал }\end{array}\right.$$ 186 | \pause 187 | $$a ^ b \equiv \left\{ \begin{array}{rl} 188 | 1, & b \equiv \varnothing\\ 189 | (a ^ c) \cdot a, & b \equiv c'\\ 190 | \sup \{ a^c \mid c \prec b \}, &\mbox{$b$ --- предельный ординал }\end{array}\right.$$ 191 | \pause 192 | \begin{exm}$\omega \cdot \omega = \sup\{\omega \cdot 0, \omega \cdot 1,\omega\cdot 2, \omega\cdot 3, \dots\} = \sup\{0, \omega,\omega\cdot 2, \omega\cdot 3, \dots\}$\end{exm} 193 | \end{frame} 194 | 195 | \begin{frame}{Ординалы (порядковые числа) и порядок} 196 | \begin{dfn}Будем говорить, что $\langle S, (\prec)\rangle$ имеет порядковое число (тип) $X$, если существует биекция 197 | $f: S \rightarrow X$, причём $a \prec b$ тогда и только тогда, когда $f(a) \in f(b)$.\end{dfn} 198 | \begin{exm}\begin{itemize} 199 | \item Добавить элемент перед бесконечностью: $\mathbb{N}$ и $\mathbb{N}_0$. 200 | \pause 201 | $1 + \omega = \omega$. \pause 202 | \item Добавить элемент после бесконечности $(+\infty)$. \pause $\omega + 1 \ne \omega$ \pause 203 | \includegraphics[scale=0.9]{lection-10-ghc} 204 | \end{itemize}\end{exm} 205 | \end{frame} 206 | 207 | \begin{frame}{Пары и списки} 208 | \begin{exm}Упорядоченные пары натуральных чисел имеют порядковый тип $\omega^2$.\pause 209 | 210 | \begin{center}$\langle 3,5 \rangle < \langle 4,3 \rangle\quad\quad\omega \cdot 3 + 5 < \omega \cdot 4 + 3$.\end{center}\end{exm}\pause 211 | 212 | \begin{exm}Списки натуральных чисел --- порядковый тип $\omega^\omega$. 213 | $$\langle 3,1,4,1,5,9\rangle\quad\quad \omega^5 \cdot 3 + \omega^4 \cdot 1 + \omega^3 \cdot 4 + \omega^2 \cdot 1 + \omega^1 \cdot 5 + 9$$\end{exm} 214 | \end{frame} 215 | 216 | \begin{frame}{Дизъюнктные множества} 217 | \begin{dfn}Дизъюнктное (разделённое) множество --- множество, элементы которого 218 | не пересекаются. 219 | $$Dj(x) \equiv \forall y.\forall z.(y \in x \with z \in x \with \neg y=z) \rightarrow 220 | \neg \exists t.t \in y \with t \in z$$ 221 | \end{dfn}\pause 222 | 223 | \begin{exm}Дизъюнктное: $\{\{1,2\},\{\rightarrow\},\{\alpha,\beta,\gamma\}\}$\\ \pause 224 | Не дизъюнктное: $\{\{1,2\},\{\rightarrow\},\{\alpha,\beta,\gamma,1\}\}$ 225 | \end{exm} 226 | \end{frame} 227 | 228 | \begin{frame}{Прямое произведение множеств} 229 | \begin{dfn}Прямое произведение дизъюнктного множества $a$ --- 230 | множество $\times a$ всех таких множеств $b$, что: 231 | \begin{itemize} 232 | \item $b$ пересекается с каждым из элементов множества $a$ в точности в одном элементе 233 | \item $b$ содержит элементы только из $\cup a$. 234 | \end{itemize} 235 | 236 | $$\forall b .b \in \times a \leftrightarrow (b \subseteq \cup a \with \forall y .y \in a \rightarrow \exists ! x .x \in y \with x \in b)$$ 237 | \end{dfn}\pause 238 | 239 | \begin{exm} 240 | $\times\{\{\triangle,\square\},\{1,2,3\}\} = \{\{\triangle,1\},\{\triangle,2\},\{\triangle,3\},\{\square,1\},\{\square,2\},\{\square,3\}\}$ 241 | \end{exm} 242 | 243 | \end{frame} 244 | 245 | \begin{frame}{Аксиома выбора} 246 | \begin{dfn} 247 | Прямое произведение непустого дизъюнктного множества, 248 | не содержащего пустых элементов, не пусто. 249 | 250 | $$\forall t.Dj (t) \rightarrow 251 | (\forall x.x \in t \rightarrow \exists p.p \in x) \rightarrow 252 | (\exists p.p \in \times t)$$ 253 | \end{dfn}\pause 254 | 255 | Альтернативные варианты: любое множество можно вполне упорядочить, \pause любая сюръективная функция имеет частичную обратную, 256 | и т.п. 257 | \begin{dfn}Аксиоматика ZF + аксиома выбора = ZFC\end{dfn}\pause 258 | \end{frame} 259 | 260 | \begin{frame}{Дискуссия вокруг аксиомы выбора} 261 | \begin{exm}Парадокс Банаха-Тарского: трёхмерный шар равносоставен двум своим копиям.\end{exm}\pause 262 | \begin{thm}Теорема (Гёдель, 1938): аксиома выбора не добавляет противоречий в ZF.\end{thm}\pause 263 | \begin{thm}Теорема (Коэн, 1963): аксиома выбора не следует из других аксиом ZF.\end{thm}\pause 264 | \begin{exm}Односторонние функции: Sha256 и т.п. У Sha256 есть обратная.\end{exm}\pause 265 | \begin{thm}Теорема Диаконеску: ZFC поверх интуиционистского исчисления предикатов содержит правило исключённого третьего.\end{thm} 266 | \end{frame} 267 | 268 | \begin{frame}{Аксиома фундирования} 269 | \begin{dfn}Аксиома фундирования. 270 | В каждом непустом множестве найдется элемент, не пересекающийся с исходным множеством. 271 | $$\forall x .x = \varnothing \vee \exists y .y \in x \with \forall z.z \in x \rightarrow z \notin y$$ 272 | \end{dfn} 273 | 274 | Иными словами, в каждом множестве есть элемент, минимальный по отношению $(\in)$. 275 | 276 | Идея Рассела: каждому множеству припишем \emph{тип} (тип пустого 0, тип множеств 1, 277 | тип множеств множеств 2 и т.п.). Тогда конструкция невозможна: $\{ x\ |\ x \in x\}$. 278 | Аксиома фундирования позволяет определить функцию ранга: 279 | $$rk(x) = \sup\{rk(y)\ |\ y\in x\}$$. 280 | \end{frame} 281 | 282 | \begin{frame}{Схема аксиом подстановки} 283 | \begin{dfn}Схема аксиом подстановки. 284 | Пусть задана некоторая функция f, представимая в исчислении предикатов: 285 | то есть задана некоторая формула $\phi$, такая, что $f(x) = y$ 286 | тогда и только тогда, когда $\phi(x,y) \with \exists ! z. \phi(x,z)$. 287 | Тогда для любого множества S существует множество f(S) --- образ 288 | множества S при отображении f. 289 | $$\forall s .(\forall x .\forall y_1 .\forall y_2 .x \in s \with \phi (x,y_1) \with \phi 290 | (x,y_2) \rightarrow y_1=y_2) \rightarrow 291 | (\exists t .\forall y .y \in t 292 | \leftrightarrow \exists x . x \in s \with \phi (x,y)) $$ 293 | \end{dfn} 294 | \end{frame} 295 | 296 | \end{document} 297 | -------------------------------------------------------------------------------- /lection-11.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-11.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-11.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns,calc} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \usepackage{marvosym} 17 | \usepackage{hyperref} 18 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 19 | %\usetheme{Warsaw} 20 | 21 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 22 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 23 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 24 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 25 | \newtheorem{snote}{Пояснение}[section] 26 | 27 | \newcommand{\divisible}% 28 | {\mathrel{\lower.2ex% 29 | \vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 30 | \kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 31 | }} 32 | 33 | \begin{document} 34 | 35 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 36 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 37 | 38 | \begin{frame}{} 39 | \LARGE\begin{center}Мощность множеств\end{center} 40 | \end{frame} 41 | 42 | \begin{frame}{Отношения} 43 | \begin{dfn}$A \times B := \{\langle a,b \rangle\ |\ a \in A, b \in B\}$ 44 | 45 | Бинарное отношение --- $R \subseteq A \times B$ 46 | 47 | Функциональное бинарное отношение (функция) $R$ --- такое, что $\forall x.x\in A\rightarrow\exists !y.\langle x,y\rangle \in R$ 48 | 49 | $R$ --- инъективная функция, если $\forall x.\forall y.\langle x,t\rangle \in R\with \langle y,t\rangle \in R \rightarrow x=y$. 50 | 51 | $R$ --- сюръективная функция, если $\forall y.y \in B\rightarrow\exists x.\langle x,y\rangle\in R$.\end{dfn} 52 | \end{frame} 53 | 54 | \begin{frame}{Равномощные множества} 55 | \begin{dfn}Множество $A$ \emph{равномощно} $B$ $(|A|=|B|)$, если существует биекция 56 | $f: A \rightarrow B$. 57 | 58 | Множество $A$ имеет мощность, не превышающую мощности $B$ $(|A|\le|B|)$, если существует инъекция $f: A \rightarrow B$. 59 | \end{dfn} 60 | \end{frame} 61 | 62 | \begin{frame}{Теорема Кантора-Бернштейна} 63 | \begin{thm}Если $|A| \le |B|$ и $|B| \le |A|$, то $|A| = |B|$.\end{thm} 64 | Заметим, $f: A \rightarrow B$, $g: B \rightarrow A$ --- инъекции, но не обязательно $g(f(x)) = x$. 65 | \begin{proof} 66 | %Пусть $f: A \rightarrow B$ и $g: B \rightarrow A$. Построим биекцию в явном виде. %\begin{enumerate} 67 | 68 | Избавимся от множества $B$: пусть $A_0 = A$; $A_1 = g(B)$; $A_{k+2} = g(f(A_k))$. 69 | 70 | \vspace{-0.2cm} 71 | \begin{center}\tikz{ 72 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A0) at (0,0) {}; 73 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A1) at (2,0) {}; 74 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A2) at (3,0) {}; 75 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A3) at (3.5,0) {}; 76 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A4) at (3.75,0) {}; 77 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (AN) at (4,0) {}; 78 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (AE) at (6,0) {}; 79 | 80 | \node (B0) at (0,-1.5) {}; 81 | \node (B1) at (2,-1.5) {}; 82 | \node (B2) at (3,-1.5) {}; 83 | \node (B3) at (3.5,-1.5) {}; 84 | \node (B4) at (3.75,-1.5) {}; 85 | \node (BN) at (4,-1.5) {}; 86 | \node (BE) at (6,-1.5) {}; 87 | 88 | \fill[gray!80] ($(A0)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $A_0$} ($(AE)+(0,0.15)$); 89 | \fill[gray!30] ($(A1)+(0,0.2)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $A_1$} ($(AE)+(0,0.25)$); 90 | \fill[gray!80] ($(A2)+(0,0.3)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $A_2$} ($(AE)+(0,0.35)$); 91 | \fill[gray!30] ($(A3)+(0,0.4)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $A_3$} ($(AE)+(0,0.45)$); 92 | \fill[gray!80] ($(AN)+(0,0.5)$) rectangle node[midway,above]{\color{gray} $\cap A_k$} ($(AE)+(0,0.55)$); 93 | %\draw (A3) -- node[midway,above]{$\dots$} (AN) (AE); 94 | %\draw (B0) to (BE); 95 | 96 | %\draw (AN) to (BN); 97 | 98 | \fill[gray!80] ($(B0)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_0$} ($(BE)-(0,0.15)$); 99 | \fill[gray!80] ($(B1)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_1$} ($(BE)-(0,0.15)$); 100 | \fill[gray!80] ($(B2)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_2$} ($(BE)-(0,0.15)$); 101 | \fill[gray!80] ($(B3)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_3$} ($(BE)-(0,0.15)$); 102 | \fill[gray!80] ($(BN)-(0,0.1)$) rectangle node[midway,below]{\color{gray} $\cap B_k$} ($(BE)-(0,0.15)$); 103 | 104 | \fill[gray!30] (4,0) -- (6,0) -- (6,-1.5) -- (4,-1.5); 105 | 106 | \fill[gray!30] (3,-1.5) -- (3.5,-1.5) -- (3.75,0) -- (3.5,0); 107 | \fill[gray!30] (0,-1.5) -- (2,-1.5) -- (3,0) -- (2,0); 108 | \fill[gray!30] (3.75,-1.5) -- (3.875,-1.5) -- (3.875+0.0625,0) -- (3.875,0); 109 | \fill[gray!80] (0,0) -- (2,-1.5) -- (3,-1.5) -- (2,0); 110 | \fill[gray!80] (3,0) -- (3.5,-1.5) -- (3.75,-1.5) -- (3.5,0); 111 | \fill[gray!80] (3.75,0) -- (3.875,-1.5) -- (3.875+0.0625,-1.5) -- (3.875,0); 112 | %\draw[dashed,->] (B3) -- (A4); 113 | 114 | }\end{center} 115 | 116 | \vspace{-0.4cm} 117 | 118 | Тогда, если существует $h: A_0 \rightarrow A_1$ --- биекция, то тогда $g^{-1}\circ h: A \rightarrow B$ --- 119 | требуемая биекция. 120 | 121 | %\item Построим биекцию $h: A_0 \rightarrow A_1$\end{enumerate} 122 | \end{proof} 123 | 124 | \end{frame} 125 | 126 | \begin{frame}{Построение биекции $h: A_0 \rightarrow A_1$} 127 | Пусть $C_k = A_k \setminus A_{k+1}$. Тогда $g(f(C_k)) = g(f(A_k))\setminus g(f(A_{k+1})) = A_{k+2}\setminus A_{k+3} = C_{k+2}$. 128 | 129 | \begin{center}\tikz{ 130 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A0) at (0,0) {}; 131 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A1) at (2,0) {}; 132 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A2) at (3,0) {}; 133 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A3) at (3.5,0) {}; 134 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A4) at (3.75,0) {}; 135 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (AN) at (4,0) {}; 136 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (AE) at (6,0) {}; 137 | 138 | \node (B0) at (0,-1.5) {}; 139 | \node (B1) at (2,-1.5) {}; 140 | \node (B2) at (3,-1.5) {}; 141 | \node (B3) at (3.5,-1.5) {}; 142 | \node (B4) at (3.75,-1.5) {}; 143 | \node (BN) at (4,-1.5) {}; 144 | \node (BE) at (6,-1.5) {}; 145 | 146 | \fill[gray!80] ($(A0)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $C_0$} ($(AE)+(0,0.15)$); 147 | \fill[gray!30] ($(A1)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $C_1$} ($(AE)+(0,0.15)$); 148 | \fill[gray!80] ($(A2)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $C_2$} ($(AE)+(0,0.15)$); 149 | \fill[gray!30] ($(A3)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $C_3$} ($(AE)+(0,0.15)$); 150 | \fill[gray!80] ($(AN)+(0,0.1)$) rectangle node[midway,above]{\color{gray} $\cap A_k$} ($(AE)+(0,0.15)$); 151 | \fill[white] ($(A4)+(0,0.1)$) rectangle ($(AN)+(0,0.15)$); 152 | %\draw (A3) -- node[midway,above]{$\dots$} (AN) (AE); 153 | %\draw (B0) to (BE); 154 | 155 | %\draw (AN) to (BN); 156 | 157 | %\fill[gray!80] ($(B0)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_0$} ($(BE)-(0,0.15)$); 158 | %\fill[gray!80] ($(B1)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_1$} ($(BE)-(0,0.15)$); 159 | %\fill[gray!80] ($(B2)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_2$} ($(BE)-(0,0.15)$); 160 | %\fill[gray!80] ($(B3)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $B_3$} ($(BE)-(0,0.15)$); 161 | %\fill[gray!80] ($(BN)-(0,0.1)$) rectangle node[midway,below]{\color{gray} $\cap B_k$} ($(BE)-(0,0.15)$); 162 | 163 | \fill[gray!30] (4,0) -- (6,0) -- (6,-1.5) -- (4,-1.5); 164 | 165 | \fill[gray!30] (3,-1.5) -- (3.5,-1.5) -- (3.75,0) -- (3.5,0); 166 | \fill[gray!30] (0,-1.5) -- (2,-1.5) -- (3,0) -- (2,0); 167 | \fill[gray!30] (3.75,-1.5) -- (3.875,-1.5) -- (3.875+0.0625,0) -- (3.875,0); 168 | \fill[gray!80] (0,0) -- (2,-1.5) -- (3,-1.5) -- (2,0); 169 | \fill[gray!80] (3,0) -- (3.5,-1.5) -- (3.75,-1.5) -- (3.5,0); 170 | \fill[gray!80] (3.75,0) -- (3.875,-1.5) -- (3.875+0.0625,-1.5) -- (3.875,0); 171 | %\draw[dashed,->] (B3) -- (A4); 172 | 173 | }\end{center} 174 | 175 | Тогда определим $h(x)$ следующим образом: 176 | 177 | \tikz{ 178 | \node (F) at (-3,-1) {$h(x) = \left\{\begin{array}{ll} x, & x \in C_{2k+1} \vee x \in \cap A_k\\ 179 | g(f(x)), & x \in C_{2k}\end{array}\right.$}; 180 | 181 | 182 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A0) at (0,0) {}; 183 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A1) at (2,0) {}; 184 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A2) at (3,0) {}; 185 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A3) at (3.5,0) {}; 186 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (A4) at (3.75,0) {}; 187 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (AN) at (4,0) {}; 188 | \node[inner sep=0, outer sep=0] (AE) at (6,0) {}; 189 | 190 | \node (B0) at (0,-1.5) {}; 191 | \node (B1) at (2,-1.5) {}; 192 | \node (B2) at (3,-1.5) {}; 193 | \node (B3) at (3.5,-1.5) {}; 194 | \node (B4) at (3.75,-1.5) {}; 195 | \node (BN) at (4,-1.5) {}; 196 | \node (BE) at (6,-1.5) {}; 197 | 198 | \fill[gray!80] ($(A0)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $C_0$} ($(AE)+(0,0.15)$); 199 | \fill[gray!30] ($(A1)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,above]{\color{gray} $C_1$} ($(AE)+(0,0.15)$); 200 | \fill[gray!80] ($(A2)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.08,above]{\color{gray} $C_2$} ($(AE)+(0,0.15)$); 201 | \fill[gray!30] ($(A3)+(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.08,above]{\color{gray} $C_3$} ($(AE)+(0,0.15)$); 202 | \fill[gray!80] ($(AN)+(0,0.1)$) rectangle node[midway,above]{\color{gray} $\cap A_k$} ($(AE)+(0,0.15)$); 203 | \fill[white] ($(A4)+(0,0.1)$) rectangle ($(AN)+(0,0.15)$); 204 | %\draw (A3) -- node[midway,above]{$\dots$} (AN) (AE); 205 | %\draw (B0) to (BE); 206 | 207 | %\draw (AN) to (BN); 208 | 209 | %\fill[gray!80] ($(B0)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $C_0$} ($(BE)-(0,0.15)$); 210 | \fill[gray!30] ($(B1)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.1,below]{\color{gray} $C_1$} ($(BE)-(0,0.15)$); 211 | \fill[gray!80] ($(B2)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.08,below]{\color{gray} $C_2$} ($(BE)-(0,0.15)$); 212 | \fill[gray!30] ($(B3)-(0,0.1)$) rectangle node[pos=0.08,below]{\color{gray} $C_3$} ($(BE)-(0,0.15)$); 213 | \fill[gray!80] ($(BN)-(0,0.1)$) rectangle node[midway,below]{\color{gray} $\cap A_k$} ($(BE)-(0,0.15)$); 214 | \fill[white] ($(B4)-(0,0.1)$) rectangle ($(BN)-(0,0.15)$); 215 | 216 | \fill[gray!30] (4,0) -- (6,0) -- (6,-1.5) -- (4,-1.5); 217 | \fill[gray!30] (2,-1.5) -- (3,-1.5) -- (3,0) -- (2,0); 218 | %\fill[gray!30] (0,-1.5) -- (2,-1.5) -- (3.5,0) -- (3,0); 219 | \fill[gray!30] (3.5,-1.5) -- (3.75,-1.5) -- (3.75,0) -- (3.5,0); 220 | \fill[gray!80] (0,0) -- (3,-1.5) -- (3.5,-1.5) -- (2,0); 221 | \fill[gray!80] (3,0) -- (3.75,-1.5) -- (3.875,-1.5) -- (3.5,0); 222 | %\fill[gray!80] (3.75,0) -- (3.875,-1.5) -- (3.875+0.0625,-1.5) -- (3.875,0); 223 | %\draw[dashed,->] (B3) -- (A4); 224 | 225 | } 226 | 227 | \end{frame} 228 | 229 | \begin{frame}{Кардинальные числа} 230 | \begin{dfn}Кардинальное число --- наименьший ординал, не равномощный никакому меньшему: 231 | $$\forall x.x \in c \rightarrow |x| < |c|$$\end{dfn} 232 | \begin{thm}Конечные ординалы --- кардинальные числа.\end{thm} 233 | \begin{dfn}Мощность множества $(|S|)$ --- равномощное ему кардинальное число.\end{dfn} 234 | \end{frame} 235 | 236 | \begin{frame}{Диагональный метод} 237 | \begin{lmm}$|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|$\end{lmm} 238 | \begin{proof}Рассмотрим $a \in (0,1)$ и десятичную запись: $0.a_0a_1a_2\dots$. 239 | Пусть существует биективная $f: \mathbb{N}\rightarrow (0,1)$. 240 | По функции найдём значение $\sigma$, не являющееся образом никакого натурального числа. 241 | 242 | \begin{center}\begin{tabular}{cc|ccccccl} 243 | $n$ & $f(n)$ & $f(n)_0$ & $f(n)_1$ & $f(n)_2$ & $f(n)_3$ & $f(n)_4$ & $f(n)_5$ & $\dots$ \\\hline 244 | $n_0$ & 0.3 & \color{red}3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & $\dots$ \\ 245 | $n_1$ & $\pi/10$ & 3 & \color{red}1 & 4 & 1 & 5 & 9 & $\dots$ \\ 246 | $n_2$ & $1/7$ & 1 & 4 & \color{red}2 & 8 & 5 & 7 & $\dots$ \\\hline\pause 247 | & $\sigma$ & 8 & 6 & 7 & \multicolumn{4}{l}{$\dots \sigma_k = (f(n_k)_k+5) \% 10$} 248 | \end{tabular}\end{center} 249 | 250 | %Заметим, что при любом $n \in \mathbb{N}$ выполнено $|\sigma_n - f(n)_n| = 5$. 251 | \end{proof} 252 | \end{frame} 253 | 254 | \begin{frame}{Теорема Кантора} 255 | \begin{thm}$|\mathcal{P}(S)| > |S|$\end{thm} 256 | \begin{proof}Пусть $S = \{a,b,c,\dots\}$ 257 | 258 | \begin{center}\begin{tabular}{c|cccl} 259 | $n$ & $a \in f(n)$ & $b \in f(n)$ & $c \in f(n)$ & $\dots$ \\\hline 260 | $a$ & \color{red}И & Л & И \\ 261 | $b$ & Л & \color{red}Л& И \\ 262 | $c$ & И & И & \color{red}И\\\hline 263 | & Л & И & Л & $y \notin f(y)$ 264 | \end{tabular}\end{center}\pause 265 | 266 | Пусть $f: S \rightarrow \mathcal{P}(S)$ --- биекция. Тогда 267 | $\sigma = \{ y\in S\ |\ y\notin f(y)\}$. Пусть $f(x) = \sigma$. 268 | Но $x \in f(x)$ тогда и только тогда, когда $x \notin \sigma$, то есть $f(x) \ne \sigma$. 269 | \end{proof} 270 | \end{frame} 271 | 272 | \begin{frame}{О буквах} 273 | \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Proto-Sinaitic_script} 274 | \begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{letters}\end{center} 275 | \end{frame} 276 | 277 | \begin{frame}{Иерархии $\aleph_n$ и $\beth_n$} 278 | \begin{dfn}$\aleph_0 := |\omega|$; $\aleph_{k+1} := \min\{ a\ |\ a\text{ -- ординал},\aleph_k < |a|\}$\end{dfn} 279 | \begin{dfn}$\beth_0 := |\omega|$; $\beth_{k+1} := |\mathcal{P}(\beth_k)|$\end{dfn} 280 | 281 | Континуум-гипотеза (Г.Кантор, 1877): $\aleph_1 = \beth_1$ (не существует мощности, промежуточной 282 | между счётной и континуумом). 283 | 284 | Обобщённая континуум-гипотеза: $\aleph_n = \beth_n$ при всех $n$. 285 | 286 | \begin{dfn}Утверждение $\alpha$ противоречит аксиоматике: $\vdash\alpha$ ведёт к противоречию. 287 | 288 | Утверждение $\alpha$ не зависит от аксиоматики: $\not\vdash\alpha$ и $\not\vdash\neg\alpha$.\end{dfn}\pause 289 | 290 | \begin{thm}[О независимости континуум-гипотезы, Дж.Коэн, 1963] Утверждение $\aleph_1 = \beth_1$ 291 | не зависит от аксиоматики ZFC.\end{thm} 292 | \end{frame} 293 | 294 | \begin{frame}{Примеры мощностей множеств} 295 | \begin{center}\begin{tabular}{l|l}Пример & мощность\\\hline 296 | $\omega$ & $\aleph_0$\\ 297 | $\omega^2$, $\omega^\omega$ & $\aleph_0$\\ 298 | $\mathbb{R}$ & $\beth_1$\\ 299 | все непрерывные функции $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ & $\beth_1$\\ 300 | все функции $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ & $\beth_2$ 301 | \end{tabular}\end{center} 302 | 303 | \end{frame} 304 | 305 | %\newcommand{\divisible}% 306 | %{\mathrel{\lower.2ex% 307 | %\vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 308 | %\kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 309 | %}} 310 | 311 | %\begin{document} 312 | 313 | %\newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 314 | %\newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 315 | 316 | %\begin{frame}{} 317 | %\LARGE\begin{center}Теорема Лёвенгейма-Сколема\end{center} 318 | %\end{frame} 319 | 320 | \begin{frame}{Как пересчитать вещественные числа (неформально)?} 321 | \begin{enumerate} 322 | \item Номер вещественного числа --- первое упоминание в литературе, т.е. $\langle j, y, n, p, r, c \rangle$:\\ 323 | j --- гёделев номер названия научного журнала (книги);\\ 324 | y --- год издания;\\ 325 | n --- номер;\\ 326 | p --- страница;\\ 327 | r --- строка;\\ 328 | c --- позиция\pause 329 | \item Попробуете предъявить число $x$, не имеющее номера? Это рассуждение сразу даст номер.\\ 330 | \end{enumerate} 331 | \end{frame} 332 | 333 | \begin{frame}{Мощность модели и аксиоматизации} 334 | \begin{dfn} Пусть задана модель $\langle D, F_n, P_n \rangle$ для некоторой теории первого порядка. 335 | Её мощностью будем считать мощность $D$. 336 | \end{dfn}\pause 337 | 338 | \begin{dfn} Пусть задана формальная теория с аксиомами $\alpha_n$. Её мощность --- мощность множества $\{\alpha_n\}$. 339 | \end{dfn}\pause 340 | 341 | \begin{exm} Формальная арифметика, исчисление предикатов, исчисление высказываний --- счётно-аксиоматизируемые. 342 | \end{exm} 343 | \end{frame} 344 | 345 | \begin{frame}{Элементарная подмодель} 346 | \begin{dfn}$\mathcal{M}' = \langle D', F'_n, P'_n \rangle$ --- элементарная подмодель $\mathcal{M} = \langle D, F_n, P_n \rangle$, 347 | если: \pause 348 | \begin{enumerate} 349 | \item $D' \subseteq D$, \pause $F'_n$, $P'_n$ --- сужение $F_n$, $P_n$ (замкнутое на $D'$). \pause 350 | \item $\mathcal{M}\models \varphi(x_1,\dots,x_n)$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{M}'\models \varphi(x_1,\dots,x_n)$ 351 | при $x_i \in D'$. \pause 352 | \end{enumerate} 353 | \end{dfn} 354 | 355 | \begin{exm}Когда сужение $M$ не является элементарной подмоделью? \pause 356 | 357 | $\forall x.\exists y.x \ne y$. Истинно в $\mathbb{N}$. \pause Но пусть $D' = \{ 0 \}$. 358 | \end{exm} 359 | \end{frame} 360 | 361 | \begin{frame}{Теорема Лёвенгейма-Сколема} 362 | \begin{thm}Пусть $T$ --- множество всех формул теории первого порядка. 363 | Пусть теория имеет некоторую модель $\mathcal{M}$. 364 | Тогда найдётся элементарная подмодель $\mathcal{M'}$, причём $|\mathcal{M'}| = \max(\aleph_0, |T|)$. 365 | \end{thm}\pause 366 | 367 | \begin{proof} (Схема доказательства) 368 | \begin{enumerate} 369 | \item Построим $D_0$ --- множество всех значений, которые упомянуты в языке теории. \pause 370 | \item Будем последовательно пополнять $D_i$: $D_0 \subseteq D_1 \subseteq D_2 \dots$, следя за мощностью. 371 | $D' = \cup D_i$. 372 | \item Покажем, что $\langle D', F_n, P_n\rangle$ --- требуемая подмодель. 373 | \end{enumerate} 374 | \end{proof} 375 | \end{frame} 376 | 377 | \begin{frame}{Начальный $D_0$} 378 | Пусть $\{f^0_k\}$ --- все 0-местные функциональные символы теории. \pause 379 | \begin{enumerate} 380 | \item $D_0 = \{ \llbracket f^0_k \rrbracket \}$, если есть хотя бы один $f^0_k$. \pause 381 | \item Если таких $f^0_k$ нет, возьмём какое-нибудь одно значение из $D$. \pause 382 | \end{enumerate}\pause 383 | 384 | Очевидно, $|D_0| \le |T|$. 385 | \end{frame} 386 | 387 | \begin{frame}{Пополнение $D$} 388 | Фиксируем некоторый $D_k$. Напомним, $T$ --- множество всех формул теории. Рассмотрим $\varphi \in T$.\pause 389 | \begin{enumerate} 390 | \item $\varphi$ не имеет свободных переменных --- пропустим. \pause 391 | \item $\varphi$ имеет хотя бы одну свободную переменную $y$. \pause 392 | \begin{enumerate} 393 | \item $\varphi (y, x_1, \dots, x_n)$ при $y,x_i \in D_k$ бывает истинным и ложным --- ничего не меняем \pause 394 | \item $\varphi (y, x_1, \dots, x_n)$ при $y \in D$ и $x_i \in D_k$ либо всегда истинен, либо всегда ложен --- ничего не меняем \pause 395 | \item $\varphi (y, x_1, \dots, x_n)$ при $y,x_i \in D_k$ тождественно истинен или ложен, но при 396 | $y' \in D \setminus D_k$ отличается --- добавим $y'$ к $D_{k+1}$. \pause 397 | Вместе добавим всевозможные $\llbracket\theta(y')\rrbracket$. 398 | \end{enumerate} 399 | \end{enumerate}\pause 400 | 401 | Всего добавили не больше $|T| \cdot |D_k|$. \pause $|\cup D_i| \le |T| \cdot |D_k| \cdot |\aleph_0| = \max (|T|, |\aleph_0|)$ 402 | \end{frame} 403 | 404 | \begin{frame}{$\mathcal{M}'$ --- элементарная подмодель} 405 | Индукцией по структуре формул $\tau \in T$ покажем, 406 | что все формулы можно вычислить, и что $\llbracket \varphi \rrbracket_\mathcal{M'} = \llbracket \varphi \rrbracket_\mathcal{M}$.\pause 407 | 408 | \begin{enumerate} 409 | \item База, 0 связок. $\tau \equiv P(f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_n(x_1,\dots,x_n))$. \pause Если $x_i \in D'$, то значит, 410 | добавлены на некоторых шагах (максимальный пусть $t$). Поэтому в $D_{t+1}$ можно вычислить формулу, и её значение сохранилось. \pause 411 | \item Переход. Пусть формулы из $k$ связок сохраняют значения. Рассмотрим $\tau$ с $k+1$ связкой. \pause 412 | \begin{enumerate} 413 | \item $\tau \equiv \rho \star \sigma$ --- очевидно. \pause 414 | \item $\tau\equiv\forall y.\varphi(y,x_1,\dots,x_n)$. \pause 415 | Каждый $x_i$ добавлен на каком-то шаге --- максимум $t$. \pause 416 | Если $\varphi(y,x_1,\dots,x_n)$ бывает истинен и ложен при $y_t, y_f \in D$, то $y_t, y_f \in D_{t+1}$ (по построению). \pause 417 | Поэтому, если $\mathcal{M}\not\models\forall y.\varphi(y,x_1,\dots,x_n)$, то и 418 | $\mathcal{M'}\not\models\forall y.\varphi(y,x_1,\dots,x_n)$. \pause 419 | Если же $\varphi(y,x_1,\dots,x_n)$ не меняется от $y$, то тем более 420 | $\llbracket \varphi \rrbracket_\mathcal{M'} = \llbracket \varphi \rrbracket_\mathcal{M}$. \pause 421 | \item $\tau\equiv\exists y.\varphi(y,x_1,\dots,x_n)$ --- аналогично. 422 | \end{enumerate} 423 | \end{enumerate} 424 | \end{frame} 425 | 426 | \begin{frame}{<<Парадокс>> Сколема} 427 | \begin{enumerate} 428 | \item Как известно, $|\mathbb{R}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| > |\mathbb{N}| = \aleph_0$. \pause Однако, ZFC --- теория со счётным 429 | количеством формул. \pause 430 | Значит, существует счётная модель ZFC, то есть $|\mathbb{R}| = \aleph_0$. \pause В чём ошибка? \pause 431 | \item У равенств разный смысл, первое --- в предметном языке, второе --- в метаязыке. 432 | \end{enumerate} 433 | \end{frame} 434 | 435 | \end{document} 436 | -------------------------------------------------------------------------------- /lection-12.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-12.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-12.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns,calc} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \usepackage{marvosym} 17 | \usepackage{hyperref} 18 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 19 | %\usetheme{Warsaw} 20 | 21 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 22 | \newtheorem{axm}{Аксиома}[section] 23 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 24 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 25 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 26 | \newtheorem{snote}{Пояснение}[section] 27 | 28 | \newcommand{\divisible}% 29 | {\mathrel{\lower.2ex% 30 | \vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 31 | \kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 32 | }} 33 | 34 | \begin{document} 35 | 36 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 37 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 38 | 39 | \begin{frame} 40 | \begin{center}\LARGE Аксиома выбора \end{center} 41 | \end{frame} 42 | 43 | %\begin{frame} 44 | %\end{frame} 45 | 46 | \begin{frame}{Аксиома выбора} 47 | \begin{axm}[Аксиома выбора] 48 | Из любого семейства дизъюнктных непустых множеств $\{A_i\}$ можно выбрать непустую трансверсаль --- 49 | множество $S$, что $S \cap A_i = \{ x_i \}$. Иначе, $S \in \times \{A_i\}$. 50 | \end{axm} 51 | 52 | \begin{thm}[Аксиома выбора] 53 | Пусть $\{A_i\}$ --- семейство непустых множеств. Тогда существует 54 | $f : \{A_i\} \rightarrow \cup A_i$, причём $\forall a.a \in \{A_i\} \rightarrow f(a) \in a$ 55 | \end{thm} 56 | 57 | \begin{proof}По семейству $A_i$ рассмотрим семейство множеств $X(A_i)$: 58 | $X(A_i) = \{ \langle A_i, a \rangle \ |\ a \in A_i \}$, если $A_i \ne A_j$, то $X(A_i) \cap X(A_j) = \varnothing$, 59 | тогда $\exists f.f \in \times \{ X(A_i) \}$. 60 | \end{proof} 61 | Обратное утверждение также легко показать. 62 | \end{frame} 63 | 64 | \begin{frame}{Аксиома выбора: альтернативные формулировки} 65 | \begin{thm}[Лемма Цорна] 66 | Если задано $\langle M, (\preceq) \rangle$ и для всякого линейно-упорядоченного $S \subseteq M$ выполнено 67 | $\text{upb}_M S \in M$, то в $M$ существует максимальный элемент. 68 | \end{thm} 69 | \begin{thm}[Теорема Цермело] 70 | На любом множестве можно задать полный порядок. 71 | \end{thm} 72 | \begin{thm} 73 | У любой сюръективной функции существует частичная обратная. 74 | \end{thm} 75 | 76 | \begin{thm} 77 | Аксиома выбора $\Rightarrow$ лемма Цорна: без доказательства 78 | \end{thm} 79 | \end{frame} 80 | 81 | \begin{frame}{Начальный отрезок} 82 | 83 | \begin{dfn}Будем говорить, что $\langle S, (\prec_S)\rangle$ --- начальный отрезок $\langle T, (\prec_T) \rangle$, 84 | если:\begin{itemize} 85 | \item $S \subseteq T$; 86 | \item если $a,b \in S$, то $a \prec_S b$ тогда и только тогда, когда $a \prec_T b$; 87 | \item если $a \in S$, $b \in T\setminus S$, то $a \prec_T b$. 88 | \end{itemize} 89 | 90 | Будем записывать это как $S \prec T$. 91 | \end{dfn} 92 | 93 | \begin{thm}Если множество начальных отрезков $X$ линейно упорядочено, то в нём есть наибольший элемент. 94 | \end{thm} 95 | 96 | \begin{proof}Пусть $M = \cup \{ T | \langle T, (\prec) \rangle \in X \}$ и 97 | $(\prec)_M = \cup \{ (\prec) | \langle T, (\prec) \rangle \in X \}$. 98 | 99 | Раз все элементы $X$ сравнимы, значит, любые два отношения порядка не противоречат друг другу 100 | (одно -- продолжение другого). Поэтому что все множества в $X$ --- начальные отрезки $M$. 101 | \end{proof} 102 | 103 | \end{frame} 104 | 105 | \begin{frame}{Лемма Цорна $\Rightarrow$ теорема Цермело} 106 | %\begin{thm}Любое множество $X$ можно вполне упорядочить\end{thm} 107 | %\begin{proof} 108 | Пусть выполнена лемма Цорна и дано некоторое $X$. Покажем, что на нём можно ввести линейный порядок. 109 | \begin{itemize} 110 | \item Пусть $S = \{ \langle P, (\prec)\rangle \ |\ P \subseteq X, (\prec)\text{ --- полный порядок} \}$. 111 | Например, для $X = \{0,1\}$ множество 112 | $S = \{ 113 | \langle\varnothing,\varnothing\rangle, 114 | \langle \{0\},\varnothing\rangle, 115 | \langle\{1\},\varnothing\rangle, 116 | \langle X, 0 \prec 1\rangle, 117 | \langle X, 1 \prec 0\rangle 118 | \}$ 119 | 120 | \item Введём порядок на $S$: положим $\langle P, (\prec_p)\rangle < \langle Q, (\prec_q)\rangle$, если $P \subseteq Q$, 121 | $a \prec_p b$ тогда и только тогда, когда $a \prec_q b$, при $a,b \in P$, $a \prec_q b$ при $a \in P, b \in Q\setminus P$. 122 | 123 | \item Заметим, что $\langle \varnothing,\varnothing \rangle < \langle \{0\},\varnothing\rangle$, 124 | но $\langle X, 0 \prec 1\rangle$ несравним с $\langle X, 1 \prec 0\rangle$. 125 | 126 | \item Любое линейно-упорядоченное подмножество $\langle T, (<) \rangle$ (где $T \subseteq S$) имеет 127 | верхнюю грань (она же максимальный элемент): $\langle \cup T, \cup(\prec)\rangle$ (например, 128 | для $\{\langle\varnothing,\varnothing\rangle, 129 | \langle \{0\},\varnothing\rangle, 130 | \langle X, 0 \prec 1\rangle\}$ это $\langle X, 0 \prec 1\rangle$. 131 | 132 | \item По лемме Цорна тогда есть $\langle R, \sqsubset\rangle = \max S$. Заметим, что $R = X$, потому что иначе пусть 133 | $a \in X\setminus R$. Тогда положив $M = \langle R\cup\{a\}, (\prec_R)\cup\{x\prec a\ |\ x \in R\} \rangle$ 134 | получим, что $M$ тоже вполне упорядоченное (и потому $M \in S$), значит, $R$ не максимальное. 135 | \end{itemize} 136 | %\end{proof} 137 | \end{frame} 138 | 139 | \begin{frame}{Теорема Цермело $\Rightarrow$ существование обратной $\Rightarrow$ аксиома выбора} 140 | \begin{thm}Теорема Цермело $\Rightarrow$ у сюрьективных функций существует частичная обратная.\end{thm} 141 | \begin{proof} 142 | Рассмотрим сюрьективную $f: A \rightarrow B$. Рассмотрим семейство $R_b = \{ a \in A\ |\ f(a) = b \}$. 143 | Построим полный порядок на каждом из $R_b$. Тогда $f^{-1}(b) = \min R_b$. 144 | \end{proof} 145 | \begin{thm}Существует частичная обратная у сюръективных функций $\Rightarrow$ существует трансверсаль у дизъюнктных множеств.\end{thm} 146 | \begin{proof} 147 | Пусть дано семейство дизъюнктных множеств $\{ A_i \}$. 148 | Рассмотрим $f: \cup A_i \rightarrow \{A_i\}$, что 149 | $f(a) = \cup\{ A_i \in \{ A_i \}\ |\ a \in A_i \}$. Поскольку $A_i$ дизъюнктны, 150 | $f(a) = A_i$ при всех $a$. Тогда существует $f^{-1}(A_i) \in A_i$. Тогда $\{ f^{-1}(A_i) \} \in \times \{A_i\}$. 151 | \end{proof} 152 | \end{frame} 153 | 154 | 155 | \begin{frame}{Зачем нужна аксиома выбора?} 156 | \begin{dfn}Пределом функции $f$ в точке $x_0$ по \emph{Коши} называется такой $y$, что 157 | $$\forall \varepsilon\in\mathbb{R}^+.\exists \delta.\forall x.|x-x_0| < \delta \rightarrow |f(x) - y| < \varepsilon$$ 158 | \end{dfn} 159 | 160 | \vspace{-0.5cm} 161 | \begin{dfn}Пределом функции $f$ в точке $x_0$ по \emph{Гейне} называется такой $y$, что 162 | для любой $x_n \rightarrow x_0$ выполнено $f(x_n) \rightarrow y$. 163 | \end{dfn} 164 | \end{frame} 165 | 166 | \begin{frame}{Предел по Гейне влечёт предел по Коши} 167 | \begin{thm} 168 | Пусть $\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = y$ по Гейне, тогда 169 | $\forall \varepsilon.\exists \delta.\forall x.|x_\delta-x_0|<\delta \rightarrow |f(x_\delta)-y| < \varepsilon$. 170 | \end{thm} 171 | 172 | \begin{proof} 173 | Пусть не так. То есть, 174 | $\exists \varepsilon.\forall \delta.\exists x_\delta.|x_\delta-x_0|<\delta \with |f(x_\delta)-y| \ge \varepsilon$. 175 | Фиксируем $\varepsilon$ и возьмём $\delta_n = \frac{1}{n}$ и $p_n = x_{\delta_n}$. 176 | $p_n \rightarrow x_0$, так как $|x_\frac{1}{n} - x_0| < \frac{1}{n}$, 177 | {\color{blue}по определению предела по Гейне} $f(p_n) \rightarrow y$, 178 | но по предположению $|f(p_n) - y| \ge \varepsilon$. 179 | \end{proof}\pause 180 | 181 | \begin{snote} 182 | Для применения предела по Гейне нужна $p_n$ --- как множество. $\langle p_1, p_2, p_3, \dots\rangle$?\pause 183 | %$\langle x_\frac{1}{1}: |x_\frac{1}{1}-x_0|<1 \with |f(x_\frac{1}{1})-y| \ge \varepsilon$; $x_\frac{1}{2}: |x_\frac{1}{2}-x_0|<\frac{1}{2} \with |f(x_\frac{1}{2})-y| \ge \varepsilon; ...\rangle$ 184 | %\pause 185 | 186 | %\vspace{0.3cm} 187 | ... %$\exists \varepsilon.\forall \delta.\exists x_\delta.|x_\delta-x_0|<\delta \with |f(x_\delta)-y| \ge \varepsilon$.\\ 188 | Фиксируем $\varepsilon$ и рассмотрим $X_\delta = \{ x_\delta \ |\ |x_\delta-x_0| <\delta \with |f(x_\delta)-y| \ge \varepsilon\}$. 189 | Возьмём $\delta_n = \frac{1}{n}$ и $x_{\frac{1}{n}} \in X_\frac{1}{n}$.\pause 190 | 191 | ... То есть, по семейству непустых множеств $\{ X_\delta \}$ по аксиоме выбора построим $p: \{ X_\delta \} \rightarrow \cup X_\delta$, 192 | что $p(X_\delta) \in X_\delta$, и построим последовательность $p(X_\frac{1}{n}) \rightarrow x_0$. 193 | \end{snote} 194 | \end{frame} 195 | 196 | \begin{frame}{Предел по Коши влечёт предел по Гейне} 197 | \begin{thm}Пусть $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = y$ и дана $x_n \rightarrow x_0$. 198 | Тогда $f(x_n) \rightarrow y$.\end{thm} 199 | \begin{proof} 200 | %Пусть $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = y$ и дана $x_n \rightarrow x_0$. 201 | Фиксируем $\varepsilon > 0$. 202 | \begin{itemize} 203 | \item (определение предела по Коши) существует $\delta$, что $\forall x.|x - x_0| < \delta \rightarrow |f(x) - y| < \varepsilon$. 204 | \item (сходимость $x_n$ к $x_0$) найдётся $N$, что $\forall n.n > N \rightarrow |x_n - x_0|<\delta$. 205 | \item (предыдущие два пункта) $\forall n.n > N \rightarrow |f(x_n) - y| < \varepsilon$. 206 | \end{itemize} 207 | \end{proof}\pause 208 | 209 | Почему здесь не требуется аксиома выбора? Потому что нам нужен $\delta$ из единственного множества 210 | $\{ \delta \in \mathbb{R}\ |\ \forall x.|x - x_0| < \delta \rightarrow |f(x) - y| < \varepsilon\}$. 211 | То же про $N$. Аксиома выбора для конечного семейства множеств доказуема в ZF. 212 | \end{frame} 213 | 214 | \begin{frame}{Равенство и функции} 215 | \begin{exm} 216 | Пусть $A_0 = \{0,1,3,5\}$ и $A_1 = \{3,5,1,0,0,5,3\}$. 217 | Верно ли, что $A_0 = A_1$?\pause 218 | 219 | Да, так как $\forall x.x \in \{0,1,3,5\} \leftrightarrow x \in \{3,5,1,0,0,5,3\}$.\end{exm}\pause 220 | 221 | \begin{thm} 222 | Если $f: A \rightarrow B$, также $a,b\in A$ и $a=b$, то $f(a) = f(b)$. 223 | \end{thm} 224 | 225 | \begin{proof} 226 | Пусть $F \subseteq A\times B$ --- график функции $f$. 227 | 228 | Легко показать, что если $a=b$ и $y_1 = y_2$, то $\langle a, y_1\rangle = \langle b,y_2\rangle$.\\ 229 | %Значит (по аксиоме равенства), $\langle a,x\rangle \in F$ тогда и только тогда, 230 | %когда $\langle b,x\rangle \in F$. 231 | По определению функции, $\forall x.\forall y_1.\forall y_2.\langle x,y_1\rangle \in F \with \langle x,y_2 \rangle \in F \rightarrow y_1 = y_2$.\\ 232 | Также, если $f(a) = y_1$, $f(b) = y_2$, то $\langle a,y_1 \rangle \in F$ и $\langle b,y_2 \rangle \in F$.\\ 233 | Тогда: $\langle a,y_1\rangle = \langle b,y_1\rangle = \langle b,y_2 \rangle = \langle a,y_2\rangle$, 234 | то есть $f(a) = y_2 = f(b)$. 235 | 236 | %Пусть $\langle a,x \rangle \in F$ (поскольку $f$ --- функция, такое $x$ должно существовать). 237 | %Тогда из $a=b$ следует $\langle b,x \rangle = \langle a,x \rangle$ (по свойствам упорядоченной пары), значит, $f(b) = x$. 238 | \end{proof} 239 | % следует $f(A_0) = f(A_1)$ 240 | %по определению функционального бинарного отношения: 241 | %$$\forall x.\exists y.F(x, y) \with \forall y_0.\forall y_1.F(x,y_0) \with F(x,y_1) \rightarrow y_0=y_1$$. 242 | %\end{exm} 243 | \end{frame} 244 | 245 | \begin{frame}{Теорема Диаконеску} 246 | \begin{thm}Если рассмотреть ИИП с ZFC, то для любого $P$ выполнено $\vdash P \vee \neg P$.\end{thm} 247 | \begin{proof}Рассмотрим $\mathcal{B} = \{0,1\}$, $A_0 = \{ x \in \mathcal{B} | x = 0 \vee P \}$ и 248 | $A_1 = \{ x \in \mathcal{B} | x = 1 \vee P\}$. 249 | $\{A_0,A_1\}$ --- непустое семейство непустых множеств, и по акс. выбора существует 250 | $f: \{A_0,A_1\} \rightarrow \cup A_i$, что $f(A_i) \in A_i$. (Если $P$, то $A_0 = A_1$ и $\{A_0,A_1\} = \{\mathcal{B}\}$). 251 | 252 | \vspace{0.3cm} 253 | \begin{tabular}{ll} 254 | $\vdash f(A_0) \in A_0 \with f(A_1) \in A_1$ & $f(A_i) \in A_i$\\ 255 | $\vdash({\color{olive}f(A_0) \in \mathcal{B}} \with f(A_0) = 0 \vee P) \with ({\color{olive}f(A_1) \in \mathcal{B}} \with f(A_1) = 1 \vee P)$ & Опр. $A_i$\\ 256 | %$\vdash(f(A_0) = 0 \vee P) \with (f(A_1) = 1 \vee P)$ & Удал. $(\with)$\\ 257 | $\vdash (f(A_0) = 0 \with f(A_1) = 1) \vee P$ & Удал. $(\with)$ + дист.\\ 258 | $\vdash P\vee{\color{blue}f(A_0) \ne f(A_1)}$ & Перегруппировка\\\pause 259 | $\vdash P \rightarrow A_0 = A_1$ & Определение $A_i$\\ 260 | $\vdash A_0 = A_1 \rightarrow f(A_0) = f(A_1)$ & Теорема выше\\ 261 | $\vdash \color{blue} f(A_0) \ne f(A_1) \rightarrow \neg P$ & Контрапозиция\\ 262 | $\vdash P \vee \neg P$ & Подставили 263 | \end{tabular} 264 | 265 | \end{proof} 266 | \end{frame} 267 | 268 | \begin{frame}{Слабые варианты аксиомы выбора} 269 | 270 | \begin{thm}[конечного выбора] 271 | Если $X_1\ne\varnothing, \dots, X_n\ne\varnothing$, $X_i\cap X_j = \varnothing$ при $i \ne j$, то $\times \{X_1, \dots, X_n\} \ne \varnothing$. 272 | \end{thm} 273 | 274 | \begin{proof} 275 | \begin{itemize}\item База: $n=1$. Тогда $\exists x_1.x_1 \in X_1$, поэтому $\exists x_1.\{x_1\} \in \times \{X_1\}$. 276 | 277 | \item Переход: %если $\exists v.v \in \times \{X_{1,n}\}$ и $\exists x_{n+1}.x_{n+1} \in X_{n+1}$, то 278 | $\exists v.v \in \times \{X_{1,n}\}\rightarrow\exists x_{n+1}.x_{n+1} \in X_{n+1}\rightarrow 279 | v \cup \{x_{n+1}\} \in \times (X_{1,n}\cup\{X_{n+1}\})$ 280 | \end{itemize}\vspace{-0.3cm}\end{proof} 281 | 282 | %Построим явно: $(\exists x_1.x_1 \in X_1) \rightarrow \exists f.\exists x_1.f = \{\langle X_1, x_1 \rangle\}\with x_1 \in X_1$ 283 | 284 | %Построим явно: $$\exists x_1.\dots\exists x_n.x_1 \in X_1 \with \dots \with x_n \in X_1 \rightarrow \varphi(\langle X_1, x_1\rangle, \dots, \langle X_n, x_n\rangle)$$ 285 | %И потом: 286 | %$$X_1 \ne \varnothing \with \dots \with X_n \ne \varnothing \rightarrow \exists f.\varphi(f)$$ 287 | 288 | %Докажем явным выписыванием: 289 | %$x_1 \in X_1 \with \dots \with x_n \in X_n \rightarrow \varphi(\{\langle X_1, x_1\rangle, \dots, \langle X_n, x_n\rangle\})$\\ 290 | %$\exists x_1 \in X_1 \with \dots \with (\exists x_n \in X_n)\rightarrow \exists f.\varphi(f)$ 291 | %$$(x_1 \in X_1) \with \dots \with (x_n \in X_n) \rightarrow (f = \{\langle X_1, x_1 \rangle, \dots, \langle X_n, x_n \rangle\} \rightarrow f(X_1) = x_1 \with \dots \with f(X_n) = x_n)$$ 292 | %$$(f = \{\langle X_1, x_1 \rangle, \dots, \langle X_n, x_n \rangle\} \rightarrow f(X_1) = x_1 \with \dots \with f(X_n) = x_n)$$ 293 | %$$(\exists x_1. x_1 \in X_1)\with\dots\with(\exists x_n.x_n \in X_n)\rightarrow\exists f.f(X_1) \in X_1 \with \dots \with f(X_n) \in X_n$$ 294 | 295 | \begin{axm}[счётного выбора] 296 | Для счётного семейства непустых множеств существует функция, каждому из которых сопоставляющая один из своих элементов 297 | \end{axm} 298 | 299 | \begin{axm}[зависимого выбора] 300 | если $\forall x \in E.\exists y \in E. x R y$, то существует последовательность $x_n: \forall n.x_n R x_{n+1}$ 301 | \end{axm} 302 | \end{frame} 303 | 304 | \begin{frame}{Аксиома конструктивности: V=L} 305 | 306 | \begin{dfn} 307 | \emph{Универсум фон Неймана} $V$ --- все наследственные фундированные множества. 308 | 309 | Конструктивный универсум $L = \cup_a L_a$, где: 310 | $$L_a = \left\{\begin{array}{ll} 311 | \varnothing, & a=0\\ 312 | \{ \{ x\in L_b\ |\ \varphi(x,t_1,\dots,t_k) \}\ |\ \varphi\text{ --- формула}, t_i \in L_b\}, & a = b'\\ 313 | \bigcup_{b < a}(L_b), & a \text{ --- пред.} 314 | \end{array}\right.$$ 315 | \end{dfn} 316 | 317 | 318 | \vspace{-0.3cm}При наличии аксиомы фундирования можно показать, что $V = \cup_a V_a$, где: 319 | $$V_a = \left\{\begin{array}{ll} 320 | \varnothing, & a=0\\ 321 | \mathcal{P}(V_b), & a = b'\\ 322 | \bigcup_{b < a}(V_b), & a \text{ --- предельный} 323 | \end{array}\right.$$ 324 | 325 | Аксиома конструктивности: $V=L$, то есть все фундированные множества задаются формулами. 326 | 327 | %Тогда $V = \bigcup_\alpha V_\alpha$ 328 | 329 | \end{frame} 330 | 331 | 332 | %Проблема: данная аксиома сильнее (т.е. слишком ограничивающа). 333 | 334 | %\begin{frame}{Аксиома детерменированности} 335 | % 336 | %\end{frame} 337 | 338 | %\subsection*{Соответствие между аксиомой детерменированности и аксиомой выбора} 339 | % 340 | %- Аксиома детерменированности несовместима с аксиомой выбора (ZF+CD парадоксален). 341 | %- Аксиома детерменированности влечёт аксиомы счётного/зависимого выбора. 342 | % 343 | %\subsection*{Надёжнее ли эта математика?} 344 | % 345 | %Аксиома детерменированности позволяет построить формальную арифметику, значит, согласно следствиям из теорем Гёделя о неполноте 346 | %арифметики, ZF+D также неполна, и её непротиворечивость также не может быть доказана средствами теории. 347 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /lection-13.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-13.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-13.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 17 | %\usetheme{Warsaw} 18 | 19 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 20 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 21 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 22 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 23 | \newtheorem{snote}{Пояснение}[section] 24 | 25 | \newcommand{\divisible}% 26 | {\mathrel{\lower.2ex% 27 | \vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 28 | \kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 29 | }} 30 | 31 | \begin{document} 32 | 33 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 34 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 35 | 36 | \begin{frame}{} 37 | \LARGE\begin{center}Теорема о непротиворечивости формальной арифметики\end{center} 38 | \end{frame} 39 | 40 | \begin{frame}{Два вида индукции} 41 | \begin{dfn}[принцип математической индукции] 42 | Какое бы ни было $\varphi(x)$, если $\varphi(0)$ и при всех $x$ выполнено $\varphi(x)\rightarrow \varphi(x')$, то 43 | при всех $x$ выполнено и само $\varphi(x)$. 44 | \end{dfn} 45 | 46 | \begin{dfn}[принцип полной математической индукции] 47 | Какое бы ни было $\psi(x)$, если $\psi(0)$ и при всех $x$ выполнено $(\forall t.t \leq x \rightarrow \psi(t))\rightarrow \psi(x')$, то 48 | при всех $x$ выполнено и само $\psi(x)$. 49 | \end{dfn} 50 | 51 | \begin{thm}Принципы математической индукции эквивалентны\end{thm} 52 | \begin{proof} 53 | $(\Rightarrow)$ взяв $\varphi := \psi$, имеем выполненность $\varphi(x)\rightarrow\varphi(x')$, значит, $\forall x.\psi(x)$. \pause\\ 54 | $(\Leftarrow)$ возьмём $\psi(x) := \forall t.t\le x\rightarrow\varphi(t)$. 55 | \end{proof} 56 | \end{frame} 57 | 58 | \begin{frame}{Наследственные множества} 59 | \begin{dfn} Назовём вполне упорядоченное отношением $(\in)$ множество $S$ наследственным подмножеством $A$, если 60 | $\forall x.x \in A \rightarrow (\forall t.t \in x \rightarrow t \in S) \rightarrow x \in S$. 61 | \end{dfn} 62 | \begin{thm}Единственным наследственным подмножеством вполне упорядоченного множества является оно само.\end{thm} 63 | \begin{proof}Пусть $B \subseteq A$ --- наследственное и $B \ne A$. 64 | Тогда существует $a = \min (A \setminus B)$. Тогда $(\forall t.t \in a \rightarrow t \in B) \rightarrow a \in B$ по наследственности $B$, 65 | и выполнено $\forall t.t \in a \rightarrow t \in B$ (по минимальности $a$). Значит, $a \in B$. 66 | \end{proof} 67 | \end{frame} 68 | 69 | \begin{frame}{Трансфинитная индукция} 70 | \begin{thm}[Принцип <<полной>> трансфинитной индукции] Если для $\varphi(x)$ (некоторого утверждения 71 | теории множеств) и некоторого ординала $\varepsilon$ выполнено 72 | $\forall x.x \in \varepsilon \rightarrow (\forall t.t \in x \rightarrow \varphi(t)) \rightarrow \varphi(x)$, 73 | то $\forall x.x \in \varepsilon \rightarrow \varphi(x)$. 74 | \end{thm} 75 | \begin{proof}Рассмотрим $S = \{ x\in \varepsilon\ |\ \varphi(x) \}$. Тогда $x \in S$ равносильно $\varphi(x)$. 76 | Тогда перепишем: $\forall e.e \in \varepsilon \rightarrow (\forall x.x \in e \rightarrow x \in S) \rightarrow e \in S$. 77 | Отсюда по теореме о наследственных множествах $S = \varepsilon$.\end{proof} 78 | \end{frame} 79 | 80 | \begin{frame}{Альтернативная формулировка} 81 | \begin{thm}Для ординала $\varepsilon$ подмножество $S \in \varepsilon$ --- наследственное, % тогда и только тогда, когда 82 | если одновременно:\\ 83 | Если $x \in \varepsilon$ и $x = \varnothing$, то $x \in S$;\\ 84 | Если $x \in \varepsilon$ и существует $y$: $y' = x$, то $y \in S \rightarrow x \in S$;\\ 85 | Если $x \in \varepsilon$ и $x$ --- предельный, то $(\forall t.t \in x \rightarrow t \in S) \rightarrow (x \in S)$. 86 | \end{thm} 87 | 88 | \begin{proof}$(\Rightarrow)$ очевидно. \pause Докажем $(\Leftarrow)$: пусть $S$ не наследственное: 89 | $E := \{e \in \varepsilon \ |\ (\forall t.t \in e \rightarrow t \in S) \with e \notin S \}$ 90 | и $E \ne \varnothing$. Тогда пусть $e = \min E$. %Возможны три варианта: 91 | 92 | \begin{enumerate} 93 | \item $e = \varnothing$ или предельный. Тогда $(\forall t.t \in e \rightarrow t \in S) \rightarrow (e \in S)$. 94 | \item $e = y'$. Тогда $y \in \varepsilon$ ($\varepsilon$ --- ординал) и 95 | $(\forall t.t \in y \rightarrow t \in S) \rightarrow (y \in S)$ (так как $e$ минимальный, для которого $S$ не наследственное). \pause 96 | По условию, $(y \in S) \rightarrow (e \in S)$, отсюда $(\forall t.t \in e \rightarrow t \in S) \rightarrow (e \in S)$. 97 | 98 | \begin{center}\tikz{\draw[thick,-stealth] (0,0) -- (7,0); 99 | \filldraw (2,0) circle (1pt); 100 | \filldraw (1,0) circle (1pt); 101 | \filldraw (3,0) node[above] {$t \in y$} circle (2pt); 102 | \filldraw[red] (4,0) node[above] {$y$} circle (2pt) ; 103 | \filldraw (5,0) node[above] {$e\vphantom{y}$} circle (2pt) ; }\end{center} 104 | 105 | \end{enumerate}\vspace{-0.3cm} 106 | \end{proof} 107 | 108 | %\begin{thm}[Принцип трансфинитной индукции] Если для $\varphi(x)$ и некоторого ординала $\varepsilon$ выполнено: 109 | %$\varphi(\varnothing) \with \varphi(x) \rightarrow \varphi(x') \with asdf 110 | %\end{thm} 111 | \end{frame} 112 | 113 | %\begin{enumerate} 114 | %\item $\varphi(\varnothing)$ 115 | %\item Если $\forall u.u \in \upsilon \rightarrow \varphi(u)$, то $\varphi(\upsilon)$ (где $\upsilon$ - это ординал) 116 | %\end{enumerate} 117 | %то $\forall u\in\varepsilon.\varphi(u)$ 118 | %\end{thm} 119 | %\begin{proof} 120 | %\end{proof} 121 | %\end{frame} 122 | 123 | %\begin{frame}{Индукция для натуральных чисел} 124 | %\begin{lmm}Свойство индукции выполнено для натуральных чисел: 125 | %если $\varphi(0)$ и $\forall x\in\mathbb{N}_0.f(x) \rightarrow f(x')$, то $\forall x\in\mathbb{N}_0.f(x)$. 126 | %\end{lmm} 127 | % 128 | %\begin{proof} 129 | %Пусть $\varphi(\varnothing)$ и $\forall u.(u \in \omega) \rightarrow \varphi(u) \rightarrow \varphi(u')$. 130 | %Рассмотрим $\tau(n) = \forall u.u \in n \rightarrow \varphi(u)$. Очевидно, 131 | %что если $m \in n$, то $\tau(n) \rightarrow \tau(m)$. Значит, выполнены условия принципа 132 | %трансфинитной индукции для $\omega$, отсюда $\tau(\omega)$, отсюда $\forall u.(u \in \omega) \rightarrow \varphi(u)$. 133 | %\end{proof} 134 | %\end{frame} 135 | 136 | \begin{frame}{Исчисление $S_\infty$} 137 | \begin{enumerate} 138 | \item Язык: связки $\neg$, $\vee$, $\forall$, $=$; нелогические символы: $(+)$,$(\cdot)$,$(')$,$0$; переменные: $x$. 139 | \item Аксиомы: все истинные формулы вида $\theta_1=\theta_2$; все истинные отрицания формул вида $\neg\theta_1=\theta_2$ 140 | ($\theta_i$ --- термы без переменных). 141 | \item Структурные (слабые) правила: 142 | $$\infer{\zeta\vee\beta\vee\alpha\vee\delta}{\zeta\vee\alpha\vee\beta\vee\delta} \quad\quad 143 | \infer{\alpha\vee\delta}{\alpha\vee\alpha\vee\delta}$$ 144 | 145 | сильные правила 146 | $$\infer{\alpha\vee\delta}{\delta}\quad 147 | \infer{\neg(\alpha\vee\beta)\vee\delta}{\neg\alpha\vee\delta\quad\neg\beta\vee\delta}\quad 148 | \infer{\neg\neg\alpha\vee\delta}{\alpha\vee\delta}\quad 149 | \infer{(\neg\forall x.\alpha)\vee\delta}{\neg\alpha[x := \theta]\vee\delta}\quad$$ 150 | 151 | и ещё два правила \dots 152 | \end{enumerate} 153 | \end{frame} 154 | 155 | \begin{frame}{Ещё правила $S_\infty$} 156 | бесконечная индукция 157 | $$\infer{(\forall x.\alpha)\vee\delta}{\alpha[x:=\overline{0}]\vee\delta 158 | \quad\alpha[x:=\overline{1}]\vee\delta 159 | \quad\alpha[x:=\overline{2}]\vee\delta\quad\dots}$$ 160 | 161 | сечение 162 | $$\infer{\zeta\vee\delta}{\zeta\vee\alpha\quad\quad\neg\alpha\vee\delta}$$ 163 | Здесь: \\ 164 | $\alpha$ --- секущая формула \\ 165 | Число связок в $\neg\alpha$ --- степень сечения. 166 | \end{frame} 167 | 168 | \begin{frame}{Дерево доказательства} 169 | \begin{enumerate} 170 | \item Доказательства образуют деревья. 171 | \item Каждой формуле в дереве сопоставим порядковое число (ординал). 172 | \item Порядковое число заключения любого неструктурного правила строго больше порядкового числа его посылок 173 | (больше или равно в случае структурного правила). 174 | 175 | %$$%\infer{(\forall a.a = a)_\omega}{ 176 | % % \infer{(0 = 0)_1}{}\quad 177 | % % \infer{(0'= 0')_2}{\infer{\dots\vphantom{0}}{\infer{(0= 0)_1}{}}}\quad 178 | % % \infer{0''= 0''}{\infer{\dots\vphantom{0}}{\infer{0'= 0'}{\infer{\dots\vphantom{0}}{\infer{0= 0}{}}}}}\quad\dots 179 | %\infer{(\forall a.a = a)_\omega}{ 180 | % \infer{(0 = 0)_1}{}\quad 181 | % \infer{(0'= 0')_2}{}\quad 182 | % \infer{(0''= 0'')_3}{}\quad\dots 183 | %}\quad\quad 184 | %\infer{(\forall a.a = a)_1}{ 185 | % \infer{(0 = 0)_0}{}\quad 186 | % \infer{(0'= 0')_0}{}\quad 187 | % \infer{(0''= 0'')_0}{}\quad\dots 188 | %}$$ 189 | 190 | $$\infer{(\neg\neg\forall x.\neg x'=0)_{\omega+1}}{\infer{(\forall x.\neg x' = 0)_\omega}{(\neg 1=0)_1\quad (\neg 2=0)_2 \quad (\neg 3=0)_4 \quad (\neg 4 = 0)_8 \dots}}$$ 191 | 192 | \item Существует конечная максимальная степень сечения в дереве (назовём её степенью вывода). 193 | \end{enumerate} 194 | \end{frame} 195 | 196 | \begin{frame}{Любая теорема Ф.А. --- теорема $S_\infty$} 197 | \begin{thm}Если $\vdash_\text{фа}\alpha$, то $\vdash_\infty|\alpha|_\infty$ \end{thm} 198 | \begin{exm}Обратное неверно: $$\infer{\forall x.\neg\omega(x,\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})} 199 | {\neg\omega(\overline{0},\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})\quad\quad 200 | \neg\omega(\overline{1},\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})\quad\quad 201 | \neg\omega(\overline{2},\overline{\ulcorner\sigma\urcorner})\quad\quad\dots}$$ 202 | \end{exm} 203 | \begin{thm}Если Ф.А. противоречива, то противоречива и $S_\infty$\end{thm} 204 | \end{frame} 205 | 206 | \begin{frame}{Обратимость правил де Моргана, отрицания, бесконечной индукции} 207 | \begin{thm}\vspace{-0.3cm} 208 | $$\infer{\neg\alpha\vee\delta\quad\neg\beta\vee\delta\vphantom{overline{1}]}}{\neg(\alpha\vee\beta)\vee\delta}\quad 209 | \infer{\alpha\vee\delta\vphantom{overline{1}]}}{\neg\neg\alpha\vee\delta}\quad 210 | \infer{\alpha[x:=\overline{0}]\vee\delta 211 | \quad\alpha[x:=\overline{1}]\vee\delta 212 | \quad\alpha[x:=\overline{2}]\vee\delta\quad\dots}{(\forall x.\alpha)\vee\delta} 213 | $$\vspace{-0.5cm} 214 | %Если формула $\alpha$ доказана и имеет вид, похожий на заключение правил де Моргана, 215 | %отрицания и бесконечной индукции --- то посылки соответствующих правил могут быть получены из самой 216 | %формулы $\alpha$ доказательством, причём доказательством с не большей степенью и не большим порядком. 217 | \end{thm} 218 | \begin{proof}\vspace{0.3cm} 219 | \begin{tabular}{ll}\begin{minipage}{0.5\linewidth} 220 | Например, формула вида $\neg\neg \alpha\vee\delta$. \pause 221 | 222 | \vspace{0.2cm}Проследим историю $\alpha$; она могла быть получена: 223 | \begin{enumerate} 224 | \item ослаблением --- заменим $\neg\neg\alpha$ на $\alpha$ в этом узле и последующих. 225 | \item отрицанием --- выбросим правило, заменим $\neg\neg\alpha$ на $\alpha$ в последующих. 226 | \end{enumerate} 227 | %Изменённый вывод --- доказательство требуемого. 228 | \end{minipage} & 229 | \begin{minipage}{0.5\linewidth} 230 | \tikz{ 231 | \node at (-1.5,3) (J1) { $\delta(0)$ }; 232 | \node at (1.5,3) (J2) { $\alpha\vee\delta(2)$ }; 233 | \node at (-1.5,1.5) (I1) { ${\color{red}\neg\neg}\alpha\vee\delta(0)$ }; 234 | \node at (1.5,1.5) (I2) { $\color{red}\neg\neg\alpha\vee\delta(2)$ }; 235 | \node at (1.5,0) (C) { ${\color{red}\neg\neg}\alpha\vee\forall x.\delta(x)$ }; 236 | \node at (3.5,1.5) (D) { $\dots$ }; 237 | \draw[->] (J1) -- (I1); \draw[->] (I1) -- (C); 238 | \draw[red,->] (J2) -- (I2); \draw[red,->] (I2) -- (C); 239 | \draw[->] (D) -- (C); 240 | \draw[blue,->,bend right=20] (J2) .. controls (0,1.5) .. (C); 241 | }\end{minipage} 242 | \end{tabular} 243 | \end{proof} 244 | \end{frame} 245 | 246 | \begin{frame}{Устранение сечений} 247 | \begin{thm}Если $\alpha$ имеет вывод степени $m>0$ порядка $t$, то 248 | можно найти вывод степени строго меньшей $m$ с порядком $2^t$. 249 | \end{thm} 250 | 251 | \begin{proof}Трансфинитная индукция. Пусть для всех деревьев порядка $t_1 < t$ 252 | условие выполнено. Покажем, что оно выполнено для порядка $t$. 253 | Рассмотрим заключительное правило. Это может быть... 254 | 255 | \begin{enumerate} 256 | \item Не сечение. 257 | \item Сечение, секущая формула --- элементарная. 258 | \item Сечение, секущая формула --- $\neg\alpha$. 259 | \item Сечение, секущая формула --- $\alpha\vee\beta$. 260 | \item Сечение, секущая формула --- $\forall x.\alpha$. 261 | \end{enumerate} 262 | \end{proof} 263 | \end{frame} 264 | 265 | \begin{frame}{Случай 1. Не сечение} 266 | $$\infer{(\alpha)_{t}}{(\pi_0)_{t_0}\quad(\pi_1)_{t_1}\quad(\pi_2){t_2}\quad\dots}$$ 267 | Заменим доказательства посылок $(\pi_i)_{t_i}$ на $(\pi'_i)_{2^{t_i}}$ по индукционному предположению. 268 | 269 | \begin{enumerate} 270 | \item Поскольку степени посылок $m'_i < m_i$, то $\max m'_i < \max m_i$. 271 | \item Поскольку $t_i \le t$, то $2^{t_i} \le 2^t$. 272 | \end{enumerate} 273 | \end{frame} 274 | 275 | \begin{frame}{Случай 5. Сечение с формулой вида $\forall x.\alpha$} 276 | \vspace{-0.1cm}$$\infer{\zeta\vee\delta}{\zeta\vee\forall x.\alpha\quad\quad(\neg\forall x.\alpha)\vee\delta}$$\vspace{-0.1cm} 277 | Причём степень и порядок выводов компонент, соответственно, $(m_1,t_1)$ и $(m_2,t_2)$.\vspace{-0.1cm} 278 | \begin{enumerate} 279 | \item По индукции, вывод $\zeta\vee\forall x.\alpha$ можно упростить до $(m_1',2^{t_1})$. 280 | \item По обратимости, можно построить вывод $\zeta\vee\alpha[x := \theta]$ за $(m_1',2^{t_1})$. 281 | \item В формуле $(\neg \forall x. \alpha)\vee\delta$ формула $\neg\forall x.\alpha$ получена 282 | либо ослаблением, либо квантификацией из $\neg\alpha[x := \theta_k]\vee\delta_k$. 283 | \begin{enumerate} 284 | \item Каждое правило квантификации заменим на: 285 | $$\infer{\zeta\vee\delta_k}{\zeta\vee\alpha[x := \theta_k]\quad\quad(\neg\alpha[x := \theta_k])\vee\delta_k}$$ 286 | \item Остальные вхождения $\neg\forall x.\alpha$ заменим на $\zeta$ (в правилах ослабления). 287 | \end{enumerate} 288 | \item В получившемся дереве меньше степень --- так как в $\neg\alpha[x := \theta]$ меньше связок, чем в $\neg\forall x.\alpha$. 289 | %\item Нумерацию можно также перестроить. 290 | \end{enumerate} 291 | \end{frame} 292 | 293 | \begin{frame}{Случай 5. Как перестроим доказательство} 294 | \begin{center}\tikz{ 295 | \node (RRW) at (6,5.5) {$\delta_l$}; 296 | \node (RR) at (6,4) {${\color{red}(\neg\forall x.\alpha)}\vee\delta_l$}; 297 | \node (RRnew) at (6.5,3) {$\color{blue}\zeta\vee\delta_l$}; 298 | \node (LL) at (-2,5) {$\dots$}; 299 | 300 | \node (R) at (3.2,3) {${\color{red}(\neg\forall x.\alpha)}\vee\delta_k$}; 301 | \node (Rnew) at (1,3) {$\color{blue}\zeta\vee\delta_k$}; 302 | \node (RQ) at (3,5) {$\neg\alpha[x := \theta]\vee\delta_k$}; 303 | \node (L1) at (0,4) {$\color{blue}\zeta\vee\alpha[x := \theta]$}; 304 | \node (L) at (-2,2) {$\color{red}\zeta\vee\forall x.\alpha$}; 305 | 306 | \node (CR) at (4.5,2) {${\color{red}(\neg\forall x.\alpha)}\vee\delta$}; 307 | \node (CRnew) at (5,1) {$\color{blue}\zeta\vee\delta$}; 308 | \node (C) at (0,0) {$\color{red}\zeta\vee\delta$}; 309 | \draw[red,->] (L) -- (C); 310 | \draw[red,->] (LL) -- (L); 311 | \draw[red,->] (CR) -- (C); 312 | \draw[blue,->,bend right=30] (LL) to (L1); 313 | \draw[dashed,->] (R) -- (CR); 314 | \draw[dashed,->] (RR) -- (CR); 315 | \draw[double,->,blue] (RR) -- (RRnew); 316 | \draw[double,->,blue] (CR) -- (CRnew); 317 | \draw[double,->,blue] (R) -- (Rnew); 318 | \draw[->] (RRW) -- (RR); 319 | \draw[->] (RQ) -- (R); 320 | \draw[blue,->,bend right=20] (RQ) to (Rnew); 321 | \draw[blue,->] (L1) -- (Rnew); 322 | }\end{center} 323 | \end{frame} 324 | 325 | \begin{frame}{Теорема об устранении сечений} 326 | \begin{dfn}Итерационная экспонента 327 | $$(a\uparrow)^m(t 328 | ) = 329 | \left\{ 330 | \begin{array}{ll} t,&m=0\\ 331 | a^{(a\uparrow)^{m-1}(t)},&m > 0 332 | \end{array} 333 | \right. 334 | $$ 335 | \end{dfn} 336 | \begin{thm}Если $\vdash_\infty\sigma$ степени $m$ порядка $t$, то найдётся доказательство без сечений 337 | порядка $(2\uparrow)^m(t)$ 338 | \end{thm} 339 | \begin{proof} 340 | В силу конечности $m$ воспользуемся индукцией по $m$ и теоремой об уменьшении степени. 341 | \end{proof} 342 | \end{frame} 343 | 344 | \begin{frame}{Порядок трансфинитной индукции} 345 | \begin{dfn}$\varepsilon_0$ --- неподвижная точка $\varepsilon_0 = \omega^{\varepsilon_0}$\end{dfn} 346 | 347 | Иначе говоря, $\varepsilon_0 = \{ \omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, (\omega \uparrow)^3(\omega), (\omega\uparrow)^4(\omega), \dots \}$. 348 | 349 | Очевидно, что теорема об устранении сечений может быть доказана трансфинитной индукцией до ординала $\varepsilon_0$ 350 | (максимальный порядок дерева вывода, при правильной нумерации вершин). 351 | \end{frame} 352 | 353 | \begin{frame}{Непротиворечивость формальной арифметики} 354 | \begin{thm}Система $S_\infty$ непротиворечива\end{thm} 355 | \begin{proof} \pause 356 | Рассмотрим формулу $\neg 0=0$. 357 | Если эта формула выводима в $S_\infty$, то она выводима и в $S_\infty$ без сечений. 358 | Тогда какое заключительное правило? \pause 359 | \begin{enumerate} 360 | \item Правило Де-Моргана? \pause Нет отрицаний дизъюнкции ($\neg(\alpha\vee\beta)\vee\delta$). \pause 361 | \item Отрицание? \pause Нет двойного отрицания ($\neg\neg\alpha\vee\delta$). \pause 362 | \item Бесконечная индукция или квантификация? \pause Нет квантора. \pause 363 | \item Ослабление? \pause Нет дизъюнкции ($\alpha \vee \delta$). \pause 364 | \end{enumerate} 365 | 366 | То есть, неизбежно, $\neg 0=0$ --- аксиома, что также неверно. 367 | \end{proof} 368 | \end{frame} 369 | 370 | \end{document} 371 | -------------------------------------------------------------------------------- /lection-14.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-14.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-14.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 17 | %\usetheme{Warsaw} 18 | 19 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 20 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 21 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 22 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 23 | \newtheorem{snote}{Пояснение}[section] 24 | 25 | \newcommand{\divisible}% 26 | {\mathrel{\lower.2ex% 27 | \vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 28 | \kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 29 | }} 30 | 31 | \begin{document} 32 | 33 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 34 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 35 | 36 | \begin{frame}{} 37 | \begin{center}\Large Лямбда-исчисление \end{center} 38 | \end{frame} 39 | 40 | \begin{frame}{Лямбда-исчисление, синтаксис} 41 | $$\Lambda ::= (\lambda x.\Lambda) | (\Lambda\ \Lambda) | x$$ 42 | 43 | Мета-язык: 44 | \begin{itemize} 45 | \item Мета-переменные:\begin{itemize} 46 | \item $A\dots Z$ --- мета-переменные для термов. 47 | \item $x,y,z$ --- мета-переменные для переменных. 48 | \end{itemize} 49 | 50 | \item Правила расстановки скобок аналогичны правилам для кванторов: 51 | \begin{itemize} 52 | \item Лямбда-выражение ест всё до конца строки 53 | \item Аппликация левоассоциативна 54 | \end{itemize} 55 | \end{itemize} 56 | 57 | \begin{exm} 58 | \begin{itemize} 59 | \item $a\ b\ c\ (\lambda d.e\ f\ \lambda g.h)\ i \equiv \Big({\color{red}\Big(}((a\ b)\ c)\ {\color{blue}\Big(}\lambda d.((e\ f)\ (\lambda g.h)){\color{blue}\Big)}{\color{red}\Big)}\ i\Big)$ 60 | \item $0 := \lambda f.\lambda x.x;\quad(+1) := \lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ f\ (f\ x);\quad(+2) := \lambda x.(+1)\ ((+1)\ x)$ 61 | \end{itemize} 62 | \end{exm} 63 | \end{frame} 64 | 65 | \begin{frame}{Альфа-эквивалентность} 66 | $$FV(A) = \left\{\begin{array}{ll} \{x\}, & A \equiv x\\ 67 | FV(P)\cup FV(Q), & A \equiv P\ Q\\ 68 | FV(P)\setminus\{x\}, & A \equiv \lambda x.P\end{array}\right.$$ 69 | 70 | Примеры: 71 | \begin{itemize} 72 | \item $M := \lambda b.\lambda c.a\ c\ (b\ c)$; $FV(M) = \{a\}$ 73 | \item $N := x\ (\lambda x.(x\ (\lambda y.x)))$; $FV(N) = \{x\}$ 74 | \end{itemize} 75 | 76 | \begin{dfn}$A=_\alpha B$, если и только если выполнено одно из трёх: 77 | \begin{enumerate} 78 | \item $A \equiv x$, $B \equiv y$, $x \equiv y$; 79 | \item $A \equiv P_a Q_a$, $B \equiv P_b Q_b$ и $P_a =_\alpha P_b$, $Q_a =_\alpha Q_b$; 80 | \item $A \equiv (\lambda x.P)$, $B \equiv (\lambda y.Q)$, $P[x := t] =_\alpha Q[y := t]$, где $t$ не входит в $A$ и $B$. 81 | \end{enumerate}\end{dfn} 82 | 83 | \begin{dfn}$L = \Lambda/=_\alpha$\end{dfn} 84 | \end{frame} 85 | 86 | \begin{frame}{Альфа-эквивалентность, пример} 87 | \begin{enumerate} 88 | \item \color{gray}$A \equiv x$, $B \equiv y$, $x \equiv y$; 89 | \item \color{gray}$A \equiv P_a Q_a$, $B \equiv P_b Q_b$ и $P_a =_\alpha P_b$, $Q_a =_\alpha Q_b$; 90 | \item \color{gray}$A \equiv (\lambda x.P)$, $B \equiv (\lambda y.Q)$, $P[x := t] =_\alpha Q[y := t]$, где $t$ не входит в $A$ и $B$. 91 | \end{enumerate}\vspace{-0.2cm}\begin{lmm}\vspace{-0.3cm} 92 | $$\lambda a.\lambda b.a\ b =_\alpha \lambda b.\lambda a.b\ a$$\vspace{-0.3cm} 93 | \end{lmm}\vspace{-0.3cm} 94 | \begin{proof} 95 | \begin{center}\begin{tabular}{rcll} 96 | $t$ & $=_\alpha$ &$t$& Правило 1\\ 97 | $s$ & $=_\alpha$ &$s$& Правило 1\\ 98 | $t\ s$ & $=_\alpha$ &$t\ s$& Правило 2\\ 99 | $\lambda b.(t\ b)$ & $=_\alpha$ &$\lambda a.(t\ a)$ & Правило 3\\ 100 | $\lambda a.\lambda b.(a\ b)$ & $=_\alpha$ &$\lambda b.\lambda a.(b\ a)$ & Правило 3\\ 101 | \end{tabular}\end{center}\vspace{-0.3cm} 102 | \end{proof} 103 | \end{frame} 104 | 105 | \begin{frame}{Бета-редукция} 106 | Интуиция: вызов функции. 107 | \begin{center}\begin{tabular}{l|l} 108 | $\lambda$-выражение & Python \\\hline 109 | $\lambda f.\lambda x.f\ x$ & \texttt{def one(f,x): return f(x)}\\ 110 | $(\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.x\ x)$ & \texttt{(lambda x: x x) (lambda x: x x)}\\ 111 | & \texttt{def omega(x): return x(x); omega(omega)} 112 | \end{tabular}\end{center} 113 | 114 | \pause 115 | \begin{dfn} Терм вида $(\lambda x.P)\ Q$ --- бета-редекс.\end{dfn} 116 | \begin{dfn} $A \rightarrow_\beta B$, если: 117 | \begin{enumerate} 118 | \item $A \equiv (\lambda x.P)\ Q$, $B \equiv P\ [x := Q]$, при условии свободы для подстановки; 119 | \item $A \equiv (P\ Q)$, $B \equiv (P'\ Q')$, при этом $P \rightarrow_\beta P'$ и $Q = Q'$, либо $P = P'$ и $Q \rightarrow_\beta Q'$; 120 | \item $A \equiv (\lambda x.P)$, $B \equiv (\lambda x.P')$, и $P \rightarrow_\beta P'$. 121 | \end{enumerate} 122 | \end{dfn}\end{frame} 123 | 124 | \begin{frame}{Бета-редукция, пример} 125 | \begin{exm} 126 | $(\lambda x.x\ x)\ (\lambda n.n) \rightarrow_\beta (\lambda n.n)\ (\lambda n.n) \rightarrow_\beta \lambda n.n$ 127 | \end{exm} 128 | \begin{exm} 129 | $(\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.x\ x) \rightarrow_\beta (\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.x\ x)$ 130 | \end{exm} 131 | \end{frame} 132 | 133 | \begin{frame}{Нормальная форма} 134 | \begin{dfn}Лямбда-терм $N$ находится в нормальной форме, если нет $Q$: $N \rightarrow_\beta Q$.\end{dfn} 135 | \begin{exm}В нормальной форме:\\ 136 | $\lambda f.\lambda x.x\ (f\ (f\ \lambda g.x))$\end{exm}\pause 137 | \begin{exm}Не в нормальной форме (редексы подчёркнуты):\\ 138 | $\lambda f.\lambda x.\underline{(\lambda g.x)\ (f\ (f\ x))}$\\ 139 | $(\underline{(\lambda x.x)\ (\lambda x.x)})\ (\underline{(\lambda x.x)\ (\lambda x.x)})$ 140 | \end{exm} 141 | \begin{dfn}$(\twoheadrightarrow_\beta)$ --- транзитивное и рефлексивное замыкание $(\rightarrow_\beta)$.\end{dfn} 142 | \end{frame} 143 | 144 | \begin{frame}{Булевские значения} 145 | $T := \lambda x.\lambda y.x$ 146 | $F := \lambda x.\lambda y.y$ 147 | 148 | Тогда: $Or := \lambda a.\lambda b.a\ T\ b$: 149 | 150 | $Or\ F\ T = \underline{((\lambda a.\lambda b.a\ T\ b)\ F)}\ T \rightarrow_\beta (\lambda b.F\ T\ b)\ T 151 | \rightarrow_\beta F\ T\ T =$ 152 | 153 | $=(\lambda x.\lambda y.y)\ T\ T\rightarrow_\beta (\lambda y.y)\ T \rightarrow_\beta T$ 154 | \end{frame} 155 | 156 | \begin{frame}{Чёрчевские нумералы} 157 | $$f^{(n)}(x) = \left\{\begin{array}{ll}x, & n = 0\\f(f^{(n-1)}(x)), & n > 0\end{array}\right.$$ 158 | 159 | \begin{dfn} 160 | Чёрчевский нумерал $\overline{n} = \lambda f.\lambda x.f^{(n)}(x)$ 161 | \end{dfn} 162 | 163 | \begin{exm} 164 | $\overline{3} = \lambda f.\lambda x.f(f(f(x)))$ 165 | 166 | Инкремент: $Inc = \lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ f\ (f\ x)$ 167 | \end{exm}\vspace{-0.3cm} 168 | 169 | $$\begin{array}{l}(\lambda n.\lambda f.\lambda x 170 | 171 | .n\ f\ (f\ x))\ \overline{0} = (\lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ f\ (f\ x))\ (\lambda f'.\lambda x'.x') \rightarrow_\beta \pause\\ 172 | \dots\lambda f.\lambda x.(\lambda f'.\lambda x'.x')\ f\ (f\ x) \rightarrow_\beta \pause\\ 173 | \dots\lambda f.\lambda x.(\lambda x'.x')\ (f\ x) \rightarrow_\beta \pause\\ 174 | \dots\lambda f.\lambda x.f\ x = \overline{1}\end{array}$$ 175 | \pause 176 | 177 | Декремент: $Dec = \lambda n.\lambda f.\lambda x.n\ (\lambda g.\lambda h.h\ (g\ f))\ (\lambda u.x)\ (\lambda u.u)$ 178 | \end{frame} 179 | 180 | \begin{frame}{Упорядоченная пара и алгебраический тип} 181 | \begin{dfn}$Pair(a,b) := \lambda s.s\ a\ b$\\ 182 | $Fst := \lambda p.p\ T$\\ 183 | $Snd := \lambda p.p\ F$ 184 | \end{dfn} 185 | 186 | \begin{exm} 187 | $Fst (Pair (a,b)) = (\lambda p.p\ T)\ \lambda s.s\ a\ b \twoheadrightarrow_\beta (\lambda s.s\ a\ b)\ T \twoheadrightarrow_\beta a$ 188 | \end{exm} 189 | 190 | \begin{dfn} 191 | $InL\ L := \lambda p.\lambda q.p\ L$\\ 192 | $InR\ R := \lambda p.\lambda q.q\ R$\\ 193 | $Case\ t\ f\ g := t\ f\ g$ 194 | \end{dfn} 195 | 196 | \end{frame} 197 | 198 | \begin{frame}{Теорема Чёрча-Россера} 199 | \begin{thm}[Чёрча-Россера] Для любых термов $N$, $P$, $Q$, если $N \twoheadrightarrow_\beta P$, $N \twoheadrightarrow_\beta Q$, 200 | и $P \ne Q$, то найдётся $T$: $P \twoheadrightarrow_\beta T$ и $Q \twoheadrightarrow_\beta T$.\end{thm} 201 | \begin{thm}Если у терма $N$ существует нормальная форма, то она единственна\end{thm} 202 | \begin{proof}Пусть не так и $N \twoheadrightarrow_\beta P$ вместе с $N \twoheadrightarrow_\beta Q$, $P \ne Q$. 203 | Тогда по теореме Чёрча-Россера существует $T$: $P \twoheadrightarrow_\beta T$ и $Q \twoheadrightarrow_\beta T$, 204 | причём $T \ne P$ или $T \ne Q$ в силу транзитивности $(\twoheadrightarrow_\beta)$\end{proof} 205 | \end{frame} 206 | 207 | \begin{frame}{Бета-эквивалентность, неподвижная точка} 208 | \begin{exm}$\Omega = (\lambda x.x\ x)\ (\lambda x.\ x)$ не имеет нормальной формы: 209 | $\Omega \rightarrow_\beta \Omega$\end{exm} 210 | \begin{dfn}$(=_\beta)$ --- транзитивное, рефлексивное и симметричное замыкание $(\rightarrow_\beta)$.\end{dfn} 211 | \begin{thm}Для любого терма $N$ найдётся такой терм $R$, что $R =_\beta N\ R$.\end{thm} 212 | \begin{proof}Пусть $Y = \lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$. 213 | Тогда $R := Y\ N$: 214 | 215 | $$Y\ N =_\beta (\lambda x.N\ ({\color{red}x}\ {\color{blue}x}))\ (\lambda x.N\ (x\ x)) =_\beta N\ ({\color{red}(\lambda x.N\ (x\ x)})\ ({\color{blue}\lambda x.N\ (x\ x)}))$$ 216 | \end{proof} 217 | \end{frame} 218 | 219 | \begin{frame}{Просто-типизированное лямбда-исчисление} 220 | \begin{dfn}Импликационный фрагмент интуиционистской логики: 221 | 222 | $$\infer{\Gamma,\varphi \vdash \varphi}{} \quad\quad 223 | \infer{\Gamma\vdash\varphi\rightarrow\psi}{\Gamma,\varphi\vdash\psi} \quad\quad 224 | \infer{\Gamma\vdash\psi}{\Gamma\vdash\varphi\quad\quad\Gamma\vdash\varphi\rightarrow\psi}$$ 225 | \end{dfn} 226 | 227 | \begin{dfn} 228 | Просто-типизированное лямбда-исчисление. \pause Типы: $\tau ::= \alpha | (\tau\rightarrow\tau)$. \pause Язык: $\Gamma\vdash A:\varphi$ 229 | $$\infer[x \notin \Gamma]{\Gamma,x:\varphi \vdash x:\varphi}{} \quad\quad 230 | \infer[x \notin \Gamma]{\Gamma\vdash \lambda x.A: \varphi\rightarrow\psi}{\Gamma,x:\varphi\vdash A:\psi} \quad\quad 231 | \infer{\Gamma\vdash B A:\psi}{\Gamma\vdash A:\varphi\quad\quad\Gamma\vdash B:\varphi\rightarrow\psi}$$ 232 | \end{dfn} 233 | \end{frame} 234 | 235 | \begin{frame}{Пример: тип чёрчевских нумералов} 236 | Пусть $\Gamma = f:\alpha\rightarrow\alpha, x: \alpha$ 237 | 238 | $$\infer[\lambda]{\vdash \lambda f.\lambda x.f\ (f\ x) : (\alpha\rightarrow\alpha)\rightarrow(\alpha\rightarrow\alpha)}{ 239 | \infer[\lambda]{f: \alpha\rightarrow\alpha \vdash \lambda x.f\ (f\ x) : (\alpha\rightarrow\alpha)}{ 240 | \infer[App]{{\color{blue}\{ f:\alpha\rightarrow\alpha, x: \alpha\}\ }\Gamma \vdash f\ (f\ x): \alpha}{ 241 | \infer[App]{\Gamma \vdash f\ x: \alpha}{ 242 | \infer[Ax]{\Gamma \vdash x: \alpha}{}\quad\quad\infer[Ax]{\Gamma \vdash f: \alpha\rightarrow\alpha}{} 243 | }\quad\quad 244 | \infer[Ax]{\Gamma \vdash f: \alpha\rightarrow\alpha}{} 245 | } 246 | } 247 | }$$ 248 | \end{frame} 249 | 250 | \begin{frame}{Изоморфизм Карри-Ховарда} 251 | 252 | \begin{tabular}{ll} 253 | $\lambda$-исчисление & исчисление высказываний\\\hline 254 | Выражение & доказательство\\ 255 | Тип выражения & высказывание\\ 256 | Тип функции & импликация\\ 257 | Упорядоченная пара & Конъюнкция\\ 258 | Алгебраический тип & Дизъюнкция\\ 259 | Необитаемый тип & Ложь 260 | \end{tabular} 261 | 262 | \end{frame} 263 | 264 | \begin{frame}{Изоморфизм Карри-Ховарда: отрицание} 265 | 266 | \begin{dfn}Ложь ($\bot$) --- необитаемый тип; 267 | $\texttt{failwith/raise/throw} : \alpha\rightarrow\bot$; $\neg\varphi\equiv\varphi\rightarrow\bot$ 268 | \end{dfn} 269 | 270 | Например, контрапозиция: 271 | $(\alpha\rightarrow\beta)\rightarrow(\neg\beta\rightarrow\neg\alpha)$ 272 | 273 | $$\infer[\lambda]{\lambda f^{\alpha\rightarrow\beta}.\lambda n^{\beta\rightarrow\bot}.\lambda a^\alpha.n\ (f\ a): (\alpha\rightarrow\beta)\rightarrow(\neg\beta\rightarrow\neg\alpha)} 274 | {\infer[\lambda]{f:\alpha\rightarrow\beta\vdash\lambda n^{\beta\rightarrow\bot}.\lambda a^\alpha.n\ (f\ a): \neg\beta\rightarrow\neg\alpha} 275 | {\infer[\lambda]{f:\alpha\rightarrow\beta,n:\beta\rightarrow\bot\vdash\lambda a^\alpha.n\ (f\ a): \neg\alpha}{ 276 | \infer[App]{f:\alpha\rightarrow\beta,n:\beta\rightarrow\bot, a:\alpha \vdash n\ (f\ a): \bot}{ 277 | \infer[App]{\Phi \vdash f\ a: \beta}{\infer[Ax]{\Phi \vdash a: \alpha}{}\quad\quad\infer[Ax]{\Phi \vdash f:\alpha\rightarrow\beta}{}} 278 | \quad\quad \infer[Ax]{\Phi \vdash n: \beta\rightarrow\bot}{} 279 | } 280 | }}}$$ 281 | 282 | Снятие двойного отрицания: $((\alpha\rightarrow\bot)\rightarrow\bot)\rightarrow\alpha$, то есть $\lambda f^{(\alpha\rightarrow\bot)\rightarrow\bot}.?: \alpha$.\\ 283 | $f$ угадывает, что передать $x: \alpha\rightarrow\bot$. Тогда надо по $f$ угадать, что передать $x$. 284 | \end{frame} 285 | 286 | \begin{frame}{Исчисление по Чёрчу и по Карри} 287 | \begin{dfn} 288 | Просто-типизированное лямбда-исчисление по Карри. 289 | $$\infer[x \notin \Gamma]{\Gamma,x:\varphi \vdash x:\varphi}{} \quad\quad 290 | \infer[x \notin \Gamma]{\Gamma\vdash \lambda x.A: \varphi\rightarrow\psi}{\Gamma,x:\varphi\vdash A:\psi} \quad\quad 291 | \infer{\Gamma\vdash B A:\psi}{\Gamma\vdash A:\varphi\quad\quad\Gamma\vdash B:\varphi\rightarrow\psi}$$ 292 | 293 | Просто-типизированное лямбда-исчисление по Чёрчу. 294 | $$\infer[x \notin \Gamma]{\Gamma,x:\varphi \vdash x:\varphi}{} \quad\quad 295 | \infer[x \notin \Gamma]{\Gamma\vdash \lambda x^{\color{blue}\varphi}.A: \varphi\rightarrow\psi}{\Gamma,x:\varphi\vdash A:\psi} \quad\quad 296 | \infer{\Gamma\vdash B A:\psi}{\Gamma\vdash A:\varphi\quad\quad\Gamma\vdash B:\varphi\rightarrow\psi}$$ 297 | \end{dfn}\pause 298 | 299 | \begin{exm} 300 | \begin{tabular}{l|l} 301 | По Карри & По Чёрчу\\\hline 302 | $\lambda f.\lambda x.f\ (f\ x) : (\alpha\rightarrow\alpha)\rightarrow(\alpha\rightarrow\alpha)$ & $\lambda f^{\alpha\rightarrow\alpha}.\lambda x^\alpha.f\ (f\ x) : (\alpha\rightarrow\alpha)\rightarrow(\alpha\rightarrow\alpha)$\\\pause 303 | $\lambda f.\lambda x.f\ (f\ x) : (\beta\rightarrow\beta)\rightarrow(\beta\rightarrow\beta)$ & $\lambda f^{\beta\rightarrow\beta}.\lambda x^\beta.f\ (f\ x) : (\beta\rightarrow\beta)\rightarrow(\beta\rightarrow\beta)$ 304 | \end{tabular} 305 | \end{exm} 306 | 307 | %Изоморофизм Карри-Ховарда:\\ 308 | %Типизированы по Чёрчу: Си, Паскаль, Джава, ...\\ 309 | %Типизированы по Карри: Окамль, Хаскель, ... 310 | \end{frame} 311 | 312 | \begin{frame}{Комбинаторы S,K} 313 | \begin{dfn}Комбинатор --- лямбда-терм без свободных переменных 314 | \end{dfn} 315 | \begin{dfn}$S := \lambda x.\lambda y.\lambda z.x\ z\ (y\ z)$, $K := \lambda x.\lambda y.x$, $I := \lambda x.x$\end{dfn} 316 | 317 | \begin{thm}Пусть $N$ --- некоторый замкнутый лямбда-терм. Тогда найдётся выражение $C$, состоящее из комбинаторов $S$,$K$, 318 | что $N =_\beta C$\end{thm} 319 | %\begin{exm}$I =_\beta S\ K\ K$\end{exm} 320 | \pause 321 | \begin{exm} 322 | \begin{tabular}{ll} 323 | $K := \lambda x^\alpha.\lambda y^\beta.x$ & $\alpha\rightarrow\beta\rightarrow\alpha$\\ 324 | $S := \lambda x^{\alpha\rightarrow\beta\rightarrow\gamma}.\lambda y^{\alpha\rightarrow\beta}.\lambda z^\alpha.x\ z\ (y\ z)$ & $(\alpha\rightarrow\beta\rightarrow\gamma)\rightarrow(\alpha\rightarrow\beta)\rightarrow\alpha\rightarrow\gamma$\\ 325 | \end{tabular} 326 | $$I =_\beta S\ K\ K$$ 327 | \end{exm} 328 | \end{frame} 329 | 330 | \begin{frame}\begin{center}\Large Дальнейшее развитие: изоморфизм Карри-Ховарда и вокруг него\end{center}\end{frame} 331 | 332 | \begin{frame}{Исчисление второго порядка} 333 | \begin{itemize} 334 | \item Напомним о порядках: 335 | 336 | \begin{tabular}{lll} 337 | Порядок & Объекты & Пример\\\hline 338 | 0 (И.В.) & Атомарные & $P$ \\ 339 | 1 (И.П. 1) & Множества & $\{ x | P(x) \}$ \\ 340 | 2 (И.П. 2) & Множества множеств & $\{ P | \forall t.t > 0 \rightarrow P(t) \}$ 341 | \end{tabular}\pause 342 | 343 | \item Можно заменить схемы аксиом на аксиомы: 344 | $\forall a.\forall b.a \rightarrow b \rightarrow a$\pause 345 | 346 | \item 347 | Острый угол: импредикативность (формулы могут говорить о себе). Что такое <<предикат>>? Произвольное выражение, 348 | а подстановка --- буквальная замена текста? Тогда каково $\llbracket p(p) \rrbracket$ при 349 | $p(x) = x(x) \rightarrow \bot$? 350 | 351 | \pause Нужна точная формализация. 352 | \item Самый простой вариант: переменные второго порядка --- только булевские пропозициональные переменные. 353 | \pause 354 | $$\llbracket\forall p.Q\rrbracket = \left\{\begin{array}{ll}\text{И}, & 355 | \llbracket Q \rrbracket^{p := \text{И}} = \llbracket Q \rrbracket^{p := \text{Л}} = \text{И}\\ 356 | \text{Л}, & \text{иначе}\end{array}\right.$$ 357 | 358 | 359 | \end{itemize} 360 | \end{frame} 361 | 362 | 363 | \begin{frame}{Изоморфизм Карри-Ховарда для логики второго порядка} 364 | Типы и значения, зависящие от типов. 365 | \begin{itemize} 366 | \item Что такое $T: \forall x.x \rightarrow x$? \pause \\ 367 | \texttt{template class T \{ x f (x); \}} \pause 368 | \item Что такое $T: \exists x.\tau(x)$? \pause \\ 369 | Абстрактный тип данных: $\texttt{interface T \{$\tau$\}; f(T x)}$ 370 | \end{itemize} 371 | \end{frame} 372 | 373 | \begin{frame}{Зависимые типы} 374 | \begin{itemize}\item Рассмотрим код\\ \texttt{int n; cin >{}>{} n; int arr[n];} \\ 375 | Каков тип \texttt{arr}? \pause 376 | \item $\texttt{sizeof(arr)} = n \cdot \texttt{sizeof(int)}$ \pause 377 | \item $arr = \Pi n^{\texttt{int}}.\texttt{int[}n\texttt{]}$ \pause 378 | \item Аналогично, \texttt{printf(const char*, ...)} --- капитуляция. \pause 379 | \item Есть языки, где тип выписывается (например, Идрис). 380 | \end{itemize} 381 | \end{frame} 382 | 383 | \begin{frame}{Прямолинейное: доказательства в коде} 384 | \begin{itemize} 385 | \item \texttt{Div2: (l: int) -> (even l) -> int}\pause 386 | \item \texttt{even l} --- что это?\pause 387 | \item $$even (x) ::= \left\{\begin{array}{ll} EZ, & x = 0\\ EP(even(y)), & x = y''\end{array}\right.$$\pause 388 | \item \texttt{Div2 10 (EP (EP (EP (EP (EP EZ)))))}\pause 389 | \item А если \texttt{Div2 p}? В общем случае сложно. 390 | 391 | \texttt{Plus2: (l: int) -> (p: even l) -> (l+2, even (l+2)) = (l+2, EP p)} 392 | \end{itemize} 393 | \end{frame} 394 | 395 | \begin{frame}{Интереснее: доказательства утверждений} 396 | 397 | Натуральные числа: $\texttt{Nat} ::= 0 | \texttt{suc Nat}$, 398 | 399 | $$a + b = \left\{\begin{array}{ll} a, & b = 0\\ \texttt{suc }(a + c), & b = \texttt{suc }c\end{array}\right.$$ 400 | 401 | \texttt{\\func pmap {A B : \\} (f : A -> B) \{a a' : A\} (p : a = a') : f a = f a' => ...} 402 | 403 | \texttt{\\func +-comm (n m : Nat) : n + m = m + n\\ 404 | | 0, 0 => idp\\ 405 | | suc n, 0 => pmap suc (+-comm n 0)\\ 406 | | 0, suc m => pmap suc (+-comm 0 m)\\ 407 | | suc n, suc m => pmap suc (+-comm (suc n) m *> \\ 408 | pmap suc (inv (+-comm n m)) *> +-comm n (suc m))} 409 | 410 | \end{frame} 411 | 412 | \begin{frame}{Гомотопическая теория типов} 413 | \begin{dfn}Изоморфизм Карри-Ховарда-Воеводского. 414 | 415 | \begin{tabular}{lll} 416 | Логика & $\lambda$-исчисление & Топология\\\hline 417 | Утверждение & Тип & Пространство \\ 418 | Доказательство & Значение & Точка в пространстве\\ 419 | Предикат $(=)$ & Зависимый тип $(=)$ & Путь между точками 420 | \end{tabular}\end{dfn} 421 | 422 | \begin{enumerate} 423 | \item Точный смысл равенства. 424 | \item Позволяет легко формулировать утверждения про топологию, гомологическую алгебру и т.п. 425 | \item Можно реализовать (кубическая теория типов). Реализации для Агды, Кока, ..., отдельные языки (Аренд) 426 | \end{enumerate} 427 | \end{frame} 428 | 429 | \begin{frame}{Какие вопросы пытаемся решать?} 430 | \begin{exm}Самое простое: $x=y$. Почему $x^2 = y^2$?\end{exm} \pause 431 | 432 | А что если так $(a = b) = \{ \langle a,b \rangle | a < 10 \with b < 10 \}$? 433 | Тогда $5=7$, но $25 \ne 49$. \pause 434 | 435 | Постулируется в формальной арифметике: $(A2)\ a = b \rightarrow a' = b'$ \pause 436 | 437 | \begin{proof}Путь $x$ в $y$ --- функция $f: [0,1] \rightarrow S$, 438 | $f(0)=x$, $f(1)=y$. $f(x) = x^2$ --- непрерывная функция. Тогда $f(x^2)$ --- тоже непрерывная, 439 | то есть $x^2 = y^2$.\end{proof} 440 | \end{frame} 441 | 442 | \begin{frame}{Что ещё} 443 | \begin{itemize} 444 | \item Метод резолюций и рядом --- Prolog, SMT-солверы,... 445 | \item Можно пытаться совмещать (F*, ...) 446 | \end{itemize} 447 | \end{frame} 448 | \end{document} 449 | -------------------------------------------------------------------------------- /lection-15.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/lection-15.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /lection-15.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[aspectratio=169]{beamer} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage{cancel} 5 | \usepackage{amssymb} 6 | \usepackage{stmaryrd} 7 | \usepackage{cmll} 8 | \usepackage{graphicx} 9 | \usepackage{amsthm} 10 | \usepackage{tikz} 11 | \usepackage{multicol} 12 | \usetikzlibrary{patterns} 13 | \usepackage{chronosys} 14 | \usepackage{proof} 15 | \usepackage{multirow} 16 | \usepackage{comment} 17 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{} 18 | %\usetheme{Warsaw} 19 | 20 | \newtheorem{thm}{Теорема}[section] 21 | \newtheorem{dfn}{Определение}[section] 22 | \newtheorem{lmm}{Лемма}[section] 23 | \newtheorem{exm}{Пример}[section] 24 | \newtheorem{snote}{Пояснение}[section] 25 | 26 | \newcommand{\divisible}% 27 | {\mathrel{\lower.2ex% 28 | \vbox{\baselineskip=0.7ex\lineskiplimit=0pt% 29 | \kern6pt \hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}% 30 | }} 31 | 32 | \begin{document} 33 | 34 | \newcommand\doubleplus{+\kern-1.3ex+\kern0.8ex} 35 | \newcommand\mdoubleplus{\ensuremath{\mathbin{+\mkern-10mu+}}} 36 | 37 | \begin{frame}{} 38 | \begin{center}\Large Метод резолюций \end{center} 39 | \end{frame} 40 | \begin{comment} 41 | \begin{frame}{Компактность} 42 | \begin{dfn} 43 | Пространство $X$ компактно, если из любого его открытого покрытия $U$ можно выделить конечное подпокрытие: 44 | 45 | $X = \cup U$, существует $V \subseteq U$, что $|V| < \aleph_0$ и $X = \cup V$. 46 | \end{dfn} 47 | 48 | \begin{exm} 49 | $(0,1)$ не компактен. Например, $U = \{(\varepsilon/2,\varepsilon)\ |\ \varepsilon\in(0,1)\}$. 50 | Пусть $V \subset U$ и $|V| < \aleph_0$. Тогда $\min \{ a\ |\ (a,b) \in V \} > 0$. 51 | \end{exm} 52 | 53 | \begin{exm} 54 | $[0,1]$ компактен. Выберем $U$ и покажем, что в нём есть подпокрытие. 55 | Рассмотрим все подотрезки вида $[a,x]$ где $a < x$, имеющие конечное покрытие. 56 | Несложно показать, что $\max x = 1$. 57 | \end{exm} 58 | \end{frame} 59 | 60 | \begin{frame}{Фильтры} 61 | \begin{dfn} 62 | Фильтром $\mathcal{F}$ назовём структуру на элементах 63 | некоторой булевой алгебры $\langle L, (\preceq) \rangle$ со следующими свойствами: 64 | \begin{itemize} 65 | \item $\mathcal{F} \ne \varnothing$, $0 \notin \mathcal{F}$; 66 | \item если $a,b \in \mathcal{F}$, то $a \cdot b \in \mathcal{F}$; 67 | \item если $a \in \mathcal{F}$, $a \preceq b$, $b \in L$, то $b \in \mathcal{F}$. 68 | \end{itemize} 69 | \end{dfn} 70 | 71 | \begin{exm} 72 | Главный фильтр для множества: $\{ E\subseteq U\ |\ S \subseteq E \}$. 73 | \end{exm} 74 | \begin{exm} 75 | Фильтр Фреше: $\{ X\subseteq U\ |\ |cX| < \aleph_0\}$ при $|U| \ge \aleph_0$. 76 | \end{exm} 77 | \end{frame} 78 | 79 | \begin{frame}{База и предбаза фильтра} 80 | \begin{dfn}База фильтра --- семейство непустых множеств, что 81 | любое конечное пересечение множеств также принадлежит базе.\end{dfn} 82 | \begin{dfn}Предбаза фильтра --- семейство непустых множеств, что 83 | любое конечное пересечение множеств непусто.\end{dfn} 84 | \begin{dfn}Если $B$ --- предбаза фильтра, то $\{ X \subseteq U\ |\ X\}$\end{dfn} 85 | \end{frame} 86 | 87 | \begin{frame}{Ультрафильтры} 88 | \begin{dfn} 89 | Ультрафильтр $\mathcal{U}$ --- фильтр, не являющийся собственным подфильтром никакого 90 | другого фильтра. Нет $\mathcal{F}$, что $\mathcal{U}\subset\mathcal{F}$. 91 | \end{dfn} 92 | 93 | \begin{exm} 94 | $\{ X \subseteq \mathbb{R}\ |\ 1 \in X \}$ --- ультрафильтр. 95 | \end{exm} 96 | 97 | \begin{thm}Фильтр $\mathcal{F}$ над $L$ --- ультрафильтр тогда и только тогда, 98 | когда для всех $x \in L$ либо $x \in \mathcal{F}$, либо $\sim x \in \mathcal{F}$. 99 | \end{thm} 100 | \begin{proof}$(\Rightarrow)$. 101 | Пусть $x \notin \mathcal{F}$ и $\sim x \notin \mathcal{F}$. Тогда $\mathcal{F}\cup\{x\}$ --- предбаза 102 | фильтра, так как если $p \in \mathcal{F}$ и $p \cdot x = 0$, то $p \cdot x + \sim x = \sim x$ 103 | и далее $\sim x = (p + \sim x)\cdot (x + \sim x) = p + \sim x$. Поэтому $p \preceq \sim x$, 104 | отчего $\sim x \in \mathcal{F}$. 105 | 106 | $(\Leftarrow)$. Если есть фильтр больше, то обязательно для какого-то $t$ и $t \in \mathcal{G}$, 107 | и $\sim t \in \mathcal{G}$, но тогда $t \cdot \sim t = 0$. 108 | \end{proof} 109 | \end{frame} 110 | 111 | \begin{frame}{Произведение интерпретаций} 112 | Пусть есть две похожие математические структуры. Например, $\langle A, \prec \rangle$ 113 | и $\langle B, \prec \rangle$. 114 | Расширим это свойство на пары: $\langle a,b \rangle \prec \langle c,d\rangle$, если 115 | $a \prec c$ и $b \prec d$. 116 | 117 | \begin{dfn}Пусть даны интерпретации $M_i$ предиката $P$ 118 | Положим $\Pi_i M_i \models P(x_1,\dots,x_n)$, если $M_k \models P(x_1,\dots,x_n)$ 119 | при всех $M_k$. 120 | \end{dfn} 121 | 122 | Просто, но не всегда работает: линейный порядок можно потерять: 123 | $M_1, M_2$ --- модели с $D = \mathbb{N}$, тогда $M_1 \times M_2 \models x_1 \le x_2$ только если 124 | $M_1 \models x_1 \le x_2$ и $M_2 \models x_1 \le x_2$ (то есть отношение имеет место покомпонентно). 125 | 126 | \begin{dfn}Пусть даны интерпретации $M_i$ предиката $P$ и фильтр $F$. 127 | Положим $\Pi_i M_i/F \models P(x_1,\dots,x_n)$, если $\{ k \ |\ M_k \models P(x_1,\dots,x_n) \} \in F$ 128 | (назовём это фильтрованным произведением интерпретаций). 129 | \end{dfn} 130 | 131 | Если $F$ --- ультрафильтр, то порядок останется линейным. 132 | \end{frame} 133 | 134 | \begin{frame}{Теорема Лося} 135 | Доопределим связки на $\Pi_i M_i/F$ естественным образом. 136 | \begin{thm} 137 | Пусть $M_i$ --- семейство интерпретаций и $U$ --- некоторый ультрафильтр на индексном множестве семейства. 138 | $\Pi_i M_i/U\models \varphi$ тогда и только тогда, когда $\{ k \ |\ M_k \models \varphi\} \in U$. 139 | \end{thm} 140 | \begin{proof}Индукция по структуре\end{proof} 141 | \end{frame} 142 | 143 | \begin{frame}{Топология на полных непротиворечивых множествах формул} 144 | \begin{dfn}Пусть $\varphi$ --- формула языка $L$. Сопоставим ей $\langle \varphi\rangle$ --- множество 145 | всех полных непротиворечивых множеств формул $\Gamma$, что $\Gamma \vdash \varphi$. 146 | \end{dfn} 147 | \begin{thm}$B = \{\langle\varphi\rangle\ |\ \varphi\in L\}$ образует базу топологии.\end{thm} 148 | Назовём это пространство $\mathcal{L}$. 149 | \begin{thm}Замкнутое множество \end{thm} 150 | \end{frame} 151 | \end{comment} 152 | 153 | \begin{frame}{Ищем доказательство в исчислении предикатов} 154 | Хотим научиться проверять доказуемость формул исчисления предикатов. 155 | В общем случае невозможно, но человек как-то справляется? Может, 156 | для каких-то частных случаев мы сможем предложить метод? 157 | 158 | По теореме о полноте можем рассматривать $(\models)$ вместо $(\vdash)$. 159 | Напомним: $\models \alpha$, если для всех $M = \langle D, F, P, E \rangle$ выполнено $M \models \alpha$. 160 | Нам мешает: 161 | \begin{enumerate} 162 | \item бесконечное множество предметных множеств $D$ и оценок; 163 | \item бесконечный перебор для кванторов; 164 | \end{enumerate} 165 | Будем последовательно упрощать задачу: 166 | \begin{enumerate} 167 | \item упростим формулу; 168 | \item заменим произвольное $D$ на рекурсивно-перечислимое, устроенное некоторым фиксированным образом; 169 | \item научимся по этому перечислимому $D$ искать доказательство / противоречие. 170 | \end{enumerate} 171 | \end{frame} 172 | 173 | \begin{frame}{Компактность} 174 | \begin{dfn} 175 | Пространство $X$ компактно, если из любого его открытого покрытия $U$ можно выделить конечное подпокрытие: 176 | 177 | $X = \cup U$, существует $V \subseteq U$, что $|V| < \aleph_0$ и $X = \cup V$. 178 | \end{dfn} 179 | 180 | \begin{exm} 181 | $(0,1)$ не компактен. Например, $U = \{(\varepsilon/2,\varepsilon)\ |\ \varepsilon\in(0,1)\}$. 182 | Пусть $V \subset U$ и $|V| < \aleph_0$. Тогда $\min \{ a\ |\ (a,b) \in V \} > 0$. 183 | \end{exm} 184 | 185 | \begin{exm} 186 | $[0,1]$ компактен. Выберем $U$ и покажем, что в нём есть подпокрытие. 187 | Рассмотрим все подотрезки вида $[a,x]$ где $a < x$, имеющие конечное покрытие. 188 | Несложно показать, что $\max x = 1$. 189 | \end{exm} 190 | \end{frame} 191 | 192 | 193 | \begin{frame}{Теорема Гёделя о компактности} 194 | %\begin{thm}Пространство $\mathcal{L}$ --- вполне несвязно компактное. 195 | %\end{thm} 196 | \begin{thm}Если $\Gamma$ --- некоторое семейство формул, то $\Gamma$ имеет модель 197 | тогда и только тогда, когда любое его конечное подмножество имеет модель.\end{thm} 198 | %\begin{proof}Рассмотрим все полные семейства формул, содержащие $\Gamma$. 199 | %\end{proof} 200 | \end{frame} 201 | 202 | \begin{frame}{Сколемизация. Упрощаем формулу.} 203 | \begin{enumerate} 204 | \item Предварённая форма (поверхностные кванторы): 205 | $\psi := Q x_1.Q x_2\dots Q x_n.\varphi(x_1,\dots,x_n)$ 206 | 207 | \item Для упрощения предполагаем, что кванторы чередуются. 208 | Это не сильно уменьшает общность. Например, если $D = \mathbb{N}$, 209 | то $(\forall x.\forall y.\varphi(x,y)) \leftrightarrow (\forall p.\varphi(\text{plog}_2(p),\text{plog}_3(p))$ 210 | 211 | \item Убрать кванторы существования: 212 | $\zeta = \exists x_1.\forall x_2.\exists x_3.\forall x_4\dots\exists x_{n-1}.\forall x_n.\varphi(x_1,\dots,x_n)$ 213 | 214 | Заменим $x_{2k+1}$ функцией Сколема: $e_{2k+1}(x_2,x_4,\dots,x_{2k})$. 215 | 216 | Получим: $\eta = \forall x_2.\forall x_4\dots\forall x_n.\varphi(e_1,x_2,e_3(x_2),\dots,e_{n-1}(x_2,x_4,\dots,x_{n-2}),x_n)$ 217 | 218 | $\vdash\zeta$ эквивалентно $\models\zeta$ эквивалентно выполнимости $\eta$ при всех $D$. 219 | 220 | \item ДНФ: 221 | $$\forall x_2.\forall x_4\dots\forall x_n.\bigwedge_c\left(\bigvee_{i = \overline{1,d(c)}} (\neg)P_i(\theta_i)\right)$$ 222 | 223 | \end{enumerate} 224 | \end{frame} 225 | 226 | \begin{frame}{Эрбранов универсум} 227 | \begin{dfn}Пусть $H_0(\varphi)$ --- все константы в формуле $\varphi$ (либо особая константа $a$, если констант в $\varphi$ нет)\\ 228 | $H_1(\varphi)$ --- $H_0(\varphi)$ и все функции от значений $H_0(\varphi)$ (как строки)\\ 229 | $H_2(\varphi)$ --- $H_1(\varphi)$ и все функции от значений $H_1(\varphi)$ (как строки) 230 | 231 | $H = \cup H_n(\varphi)$ --- основные термы. 232 | \end{dfn} 233 | 234 | \begin{exm}$P(a)\vee Q(f(b))$: \\ 235 | $H_0 = \{a,b\}$\\ 236 | $H_1 = \{a,b,f(a),f(b)\}$\\ 237 | $H_2 = \{a,b,f(a),f(b),f(f(a)),f(f(b))\}$\\ 238 | $\dots$\\ 239 | $H = \{f^{(n)}(x)\ |\ n \in \mathbb{N}_0, x \in \{a,b\}\}$\end{exm} 240 | \end{frame} 241 | 242 | \begin{frame}{Выполнимость} 243 | \begin{thm}Формула выполнима тогда и только тогда, когда она выполнима на Эрбрановом универсуме.\end{thm} 244 | \begin{proof} 245 | $(\Rightarrow)$ Пусть $M \models\forall \overline{x}.\varphi$. Тогда построим отображение $\text{eval}: H \rightarrow M$ 246 | (смысл названия вдохновлён языками программирования: $\text{eval}(``f(f(b))``)$ перейдёт в $f(f(b))$, где $f$ и $b$ --- из $M$). 247 | 248 | Предикатам дадим согласованную оценку: 249 | $P_H(t_1,\dots,t_n) = P_M(h(t_1),\dots,h(t_n))$. Очевидно, любая формула сохранит своё значение, кванторы всеобщности 250 | по меньшему множеству также останутся истинными. 251 | 252 | $(\Leftarrow)$ Очевидно. 253 | \end{proof}\end{frame} 254 | 255 | \begin{frame}{Противоречивость} 256 | \begin{dfn}Система дизъюнктов $\{\delta_1,\dots,\delta_n\}$ противоречива, 257 | если для каждой интерпретации $M$ найдётся $\delta_k$ и такой набор $d_1\dots d_v$, 258 | что $\llbracket\delta_k\rrbracket^{x_1 := d_1, \dots, x_v := d_v} = \text{Л}$.\end{dfn} 259 | \begin{thm}Система дизъюнктов противоречива, если она невыполнима на Эрбрановом универсуме.\end{thm} 260 | \begin{proof}Контрапозиция теоремы о выполнимости + разбор определения. 261 | \end{proof} 262 | \end{frame} 263 | 264 | \begin{frame}{Основные примеры} 265 | \begin{dfn} 266 | Дизъюнкт с подставленными основными термами вместо переменных называется основным примером. 267 | Системой основных примеров назовём множество основных примеров опровержимых дизъюнктов: 268 | 269 | Если $M \not\models \delta_k$ для некоторой эрбрановской интерпретации, то 270 | возьмём все возможные основные примеры $\delta_k$. 271 | \end{dfn} 272 | 273 | \begin{thm}Система дизъюнктов $S$ противоречива тогда и только тогда, когда система всевозможных 274 | основных примеров $E$ противоречива\end{thm} 275 | \begin{proof}Для некоторой эрбрановой интерпретации дизъюнкт $\delta_k$ 276 | опровергается тогда и только тогда, когда соответствующая ему подстановка в $E$ опровергается. 277 | \end{proof}\end{frame} 278 | 279 | \begin{frame}{Теорема Эрбрана} 280 | \begin{thm}[Эрбрана]Система дизъюнктов $S$ противоречива тогда и только тогда, когда существует 281 | конечное противоречивое множество основных примеров системы дизъюнктов $S$\end{thm} 282 | \begin{proof}$(\Leftarrow)$ 283 | Пусть $\delta_1[\overline{x} := \overline{\theta}],\dots,\delta_k[\overline{x} := \overline{\theta}]$ 284 | --- противоречивое множество примеров дизъюнктов. Тогда интерпретация $\overline{\theta}$ 285 | опровергает хотя бы один из $\delta_k$ и система противоречива. 286 | 287 | $(\Rightarrow)$ Если $S$ противоречива, то значит, множество основных примеров $S$ 288 | противоречиво (по теореме о выполнимости Эрбранова универсума). Тогда по теореме компактности 289 | в нём найдётся конечное противоречивое подмножество. 290 | \end{proof} 291 | \end{frame} 292 | 293 | \begin{frame}{Правило резолюции (исчисление высказываний)} 294 | Пусть даны два дизъюнкта, $\alpha_1 \vee \beta$ и $\alpha_2 \vee \neg \beta$. 295 | Тогда следующее правило вывода называется правилом резолюции: 296 | 297 | $$\infer{\alpha_1\vee \alpha_2}{\alpha_1\vee \beta\quad\quad \alpha_2\vee\neg \beta}$$ 298 | 299 | \begin{thm}Система дизъюнктов противоречива, если в процессе всевозможного применения 300 | правила резолюции будет построено явное противоречие, 301 | т.е. найдено два противоречивых дизъюнкта: $\beta$ и $\neg\beta$. 302 | \end{thm} 303 | \end{frame} 304 | 305 | \begin{frame}{Расширение правила резолюции на исчисление предикатов} 306 | Заметим, что правило резолюции для исчисления высказываний не подойдёт для исчисления предикатов. 307 | 308 | $$S = \{ P(x), \neg P(0)\}$$ 309 | 310 | Здесь $P(x)$ противоречит $\neg P(0)$, но правило резолюции для исчисления высказываний здесь неприменимо: 311 | %$\beta \equiv P(x)$, тогда $\neg \beta \not\equiv \neg P(0)$. 312 | 313 | $$\infer{???}{P({\color{red}x})\quad\quad\neg P({\color{red}0})}$$ 314 | 315 | Нужно заменять $P(x)$ на основные примеры, и искать среди них. Модифицируем правило резолюции для этого. 316 | 317 | \end{frame} 318 | 319 | \begin{frame}{Алгебраические термы} 320 | \begin{dfn}Алгебраический терм $$\theta := x\:|\:(f(\theta_1,\ldots,\theta_n))$$ 321 | где $x-$переменная, $f(\theta_1,\ldots,\theta_n)-$применение функции. Напомним, что константы --- нульместные 322 | функциональные символы, собственно переменные будем обозначать последними буквами латинского алфавита. \end{dfn} 323 | %\subsection{Уравнение в алгебраических термах $\theta_1=\theta_2$\\Система уравнений в алгебраических термах} 324 | \begin{dfn}Система уравнений в алгебраических термах 325 | $ 326 | \begin{cases} 327 | \theta_1=\sigma_1&\\ 328 | \vdots&\\ 329 | \theta_n=\sigma_n&\\ 330 | \end{cases} 331 | $\par где $\theta_i \text{ и } \sigma_i-\text{термы}$\par 332 | \end{dfn} 333 | \end{frame} 334 | \begin{frame}{Уравнение в алгебраических термах} 335 | \begin{dfn}$\{x_i\}=X-$множество переменных, $\{\theta_i\}=T-$множество термов.\end{dfn} 336 | \begin{dfn}Подстановка$-$отображение вида: $\pi_0:X\to T$, тождественное почти везде. 337 | \par $\pi_0(x)$ может быть либо $\pi_0(x)=\theta_i\text{, либо }\pi_0(x)=x$.\end{dfn} 338 | Доопределим $\pi:T\to T$, где \begin{enumerate} 339 | \item $\pi(x)=\pi_0(x)$ 340 | \item $\pi(f(\theta_1, \ldots, \theta_k))=f(\pi(\theta_1), \ldots, \pi(\theta_k))$ 341 | \end{enumerate} 342 | 343 | \begin{dfn}Решить уравнение в алгебраических термах$-$найти такую наиболее общую подстановку $\pi$, 344 | что $\pi(\theta_1)=\pi(\theta_2)$. 345 | Наиболее общая подстановка --- такая, для которой другие подстановки являются её частными случаями.\end{dfn} 346 | \end{frame} 347 | 348 | \begin{frame}{Задача унификации} 349 | \begin{dfn} 350 | Пусть даны формулы $\alpha$ и $\beta$. Тогда решением задачи унификации 351 | будет такая наиболее общая подстановка $\pi = \mathcal{U}\big[\alpha,\beta\big]$, что $\pi(\alpha) = \pi(\beta)$. 352 | 353 | %Будем писать $\Sigma = \mathcal{U}\[\alpha,\beta\]$, если $\Sigma(\alpha) = \Sigma(\beta) = \eta$ и $\Sigma$ --- наиболее общая. 354 | Также, $\eta$ назовём наиболее общим унификатором. 355 | \end{dfn} 356 | 357 | \begin{exm} 358 | \begin{itemize} 359 | %\item $\mathcal{U}\[ P(x,g(b)),P(f(a),y) \] = [ x := f(a), y := f(b) ]$ 360 | %и $P(f(a),g(b))$ --- унификатор. 361 | \item Формулы $P(a,g(b))$ и $P(c,d)$ не имеют унификатора (мы считаем, что $a,b,c,d$ --- нульместные функции, а 362 | $f$ --- одноместная функция). 363 | \end{itemize} 364 | \end{exm} 365 | \end{frame} 366 | 367 | \begin{frame}{Правило резолюции для исчисления предикатов} 368 | \begin{dfn} 369 | Пусть $\sigma_1$ и $\sigma_2$ --- подстановки, заменяющие переменные в формуле на свежие. 370 | Тогда правило резолюции выглядит так: 371 | 372 | $$\infer[{\pi = \mathcal{U}\big[\sigma_1(\beta_1),\sigma_2(\beta_2)\big]}] 373 | {\pi(\sigma_1(\alpha_1)\vee \sigma_2(\alpha_2))} 374 | {\alpha_1\vee \beta_1\quad\quad\alpha_2\vee\neg \beta_2}$$ 375 | \end{dfn} 376 | 377 | $\sigma_1$ и $\sigma_2$ разделяют переменные у дизъюнктов, чтобы $\pi$ не осуществила лишние 378 | замены, ведь $\vdash(\forall x.P(x) \with Q(x)) \leftrightarrow (\forall x.P(x))\with(\forall x.Q(x))$, но 379 | $\not\vdash (\forall x.P(x) \vee Q(x)) \rightarrow (\forall x.P(x))\vee(\forall x.Q(x))$. 380 | 381 | \begin{exm}\vspace{-0.5cm} 382 | $$\infer[\text{ подстановки: } \sigma_1(x) = x', \sigma_2(x) = x'', \pi(x')=a]{Q(a)\vee T(x'')}{Q(x)\vee P(x) \quad \neg P(a)\vee T(x)}$$ 383 | \end{exm} 384 | \end{frame} 385 | 386 | \begin{frame}{Метод резолюции} 387 | Ищем $\vdash\alpha$. 388 | 389 | \begin{enumerate} 390 | \item найдём опровержение $\neg\alpha$. 391 | \item перестроим $\neg\alpha$ в ДНФ. 392 | \item будем применять правило резолюции, пока получаем новые дизъюнкты и пока 393 | не найдём явное противоречие (дизъюнкты вида $\beta$ и $\neg\beta$). 394 | \end{enumerate} 395 | 396 | Если противоречие нашлось, значит, $\vdash\neg\neg\alpha$. Если нет --- значит, $\vdash\neg\alpha$. 397 | Процесс может не закончиться. 398 | \end{frame} 399 | 400 | \begin{frame}{SMT-решатели} 401 | 402 | Обычно требуется не логическое исчисление само по себе, а теория первого порядка. 403 | То есть, <>, <<выполнимость в теории>> --- вместо SAT, выполнимости. 404 | \begin{itemize} 405 | \item Иногда можно вложить теорию в логическое исчисление, 406 | даже в исчисление высказываний: $\overline{S_2S_1S_0} = \overline{A_1A_0}+\overline{B_1B_0}$ 407 | $$\begin{array}{ll} 408 | S_0 = A_0 \oplus B_0 & C_0 = A_0 \with B_0\\ 409 | S_1 = A_1 \oplus B_1 \oplus C_0 & C_1 = (A_1 \with B_1) \vee (A_1 \with C_0) \vee (B_1 \with C_0) \\ 410 | S_2 = C_1\end{array}$$ 411 | 412 | \item А можно что-то добавить прямо на уровень унификации / резолюции: 413 | Например, можем зафиксировать арифметические функции --- и производить вычисления 414 | в правиле резолюции вместе с унификацией. 415 | 416 | Тогда противоречие в $\{x = 1+3+1,\neg x = 5\}$ можно найти за один шаг. 417 | \end{itemize} 418 | \end{frame} 419 | 420 | \end{document} 421 | -------------------------------------------------------------------------------- /names.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/names.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /names.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[11pt,a4paper,oneside]{scrartcl} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage[top=1cm,bottom=1cm,left=1cm,right=1cm]{geometry} 5 | 6 | \begin{document} 7 | \pagestyle{empty} 8 | 9 | \begin{center} 10 | {\large\scshape\bfseries Курс <<Математическая логика>>}\\ 11 | {\large\scshape Список имён и терминов для диктанта.}\\ 12 | \itshape ИТМО, группы M3232--M3239, весна 2023 г. 13 | \end{center} 14 | 15 | %\vspace{0.3cm} 16 | 17 | Вам будет предложено записать на слух некоторые термины из списка, приведённого ниже 18 | (конкретные пункты списка выбирает экзаменатор). При возможности следует записать полный вариант 19 | по краткому названию: например, <<интерпретация логических связок Брауэра-Гейтинга-Колмогорова>> 20 | по <>. 21 | 22 | Выполнение данного задания (все термины полностью записаны в правильной орфографии) 23 | оценивается в один балл. 24 | 25 | \begin{enumerate} 26 | \item Интуиционистская логика, сколемизация, предварённая нормальная форма. 27 | \item Конъюнкция и дизъюнкция, ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма). 28 | \item BHK-интерпретация (интерпретация логических связок Брауэра-Гейтинга-Колмогорова). 29 | \item Импликация, антецедент, сукцедент. 30 | \item Условия доказуемости Гильберта-Бернайса-Лёба. 31 | \item Алгебра Линденбаума, теорема Лёвенгейма-Сколема. 32 | \item Теорема Чёрча-Россера, изоморфизм Карри-Ховарда. 33 | \item Парадокс Бурали-Форте, аксиоматика ZF (Цермело-Френкеля). 34 | \item Общезначимость, универсум фон Неймана, теорема Диаконеску. 35 | \end{enumerate} 36 | \end{document} 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /questions-ml.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/questions-ml.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /questions-ml.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[11pt,a4paper,oneside]{scrartcl} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage[top=1cm,bottom=1cm,left=1cm,right=1cm]{geometry} 5 | 6 | \begin{document} 7 | \pagestyle{empty} 8 | 9 | \begin{center} 10 | {\large\scshape\bfseries Программа курса <<Математическая логика>>}\\ 11 | {\large\scshape Раздел <<Математическая логика>>}\\ 12 | \itshape ИТМО, группы M3232--M3239, весна 2023 г. 13 | \end{center} 14 | 15 | %\vspace{0.3cm} 16 | 17 | \begin{enumerate} 18 | \item Исчисление высказываний. Общезначимость, следование, доказуемость, выводимость. Корректность, полнота, непротиворечивость. 19 | Теорема о дедукции для исчисления высказываний. 20 | \item Теорема о полноте исчисления высказываний. 21 | \item Интуиционистское исчисление высказываний. Вывод в Гильбертовском стиле и натуральный вывод. 22 | BHK-интерпретация. Решётки. Булевы и псевдобулевы алгебры. 23 | \item Алгебра Линденбаума. Полнота интуиционистского исчисления высказываний в псевдобулевых алгебрах. 24 | Модели Крипке. Сведение моделей Крипке к псевдобулевым алгебрам. Нетабличность 25 | интуиционистского исчисления высказываний. 26 | \item Топологическое пространство. Примеры. Открытые и замкнутые множества. Связность. Непрерывные функции. Путь. 27 | Линейная связность. Теорема о том, что лес связен (является деревом) тогда и только тогда, когда связан в топологическом смысле. 28 | \item Гёделева алгебра. Операция $\Gamma(A)$. Дизъюнктивность интуиционистского исчисления высказываний. Разрешимость 29 | интуиционистского исчисления высказываний. 30 | \item Исчисление предикатов. Общезначимость, следование, выводимость. Теорема о дедукции в исчислении предикатов. 31 | Теорема о корректности исчисления предикатов. 32 | \item Непротиворечивые множества формул. Доказательство существования моделей у непротиворечивых множеств формул 33 | в бескванторном исчислении предикатов. 34 | Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов. Доказательство полноты исчисления предикатов. 35 | \item Машина Тьюринга. Задача об останове, её неразрешимость. Доказательство неразрешимости исчисления предикатов. 36 | \item Порядок теории (0, 1, 2). Теории первого порядка, структуры и модели. Аксиоматика Пеано. Арифметические операции. 37 | Доказательство коммутативности сложения. Формальная арифметика. 38 | \item Примитивно-рекурсивные и рекурсивные функции. Примитивная рекурсивность 39 | арифметических функций, функций вычисления простых чисел, частичного логарифма. 40 | Выразимость отношений и представимость функций в формальной арифметике. Характеристические функции. 41 | Представимость примитивов $N$, $Z$, $S$, $U$ в формальной арифметике. 42 | Функция Аккермана. Доказательство непримитивнорекурсивности функции Аккермана. 43 | \item Бета-функция Гёделя. Представимость примитивов $R$ и $M$ и рекурсивных функций в формальной арифметике. 44 | Гёделева нумерация. Рекурсивность представимых в формальной арифметике функций. 45 | \item Непротиворечивость (эквивалентные определения, доказательство эквивалентности), $\omega$-не\-про\-ти\-во\-речивость. 46 | Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики. 47 | Формулировка первой теоремы Гёделя о неполноте арифметики в форме Россера. Синтаксическая и семантическая неполнота арифметики. 48 | Ослабленные варианты: арифметика Пресбургера, система Робинсона. 49 | \item Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики, $Consis$. 50 | Лемма об автоссылках. Условия Гильберта-Бернайса-Лёфа. Теорема Тарского о невыразимости истины. 51 | %\item Теория множеств. Определения равенства. Аксиоматика Цермело-Френкеля. Частичный, линейный, полный порядок. 52 | %Ординальные числа, аксиома бесконечности. Конечные ординалы, существование ординала $\omega$, 53 | %операции над ординалами, доказательство $1+\omega\ne\omega+1$. Связь ординалов и упорядочений. 54 | %\item Кардинальные числа, мощность множеств. Теорема Кантора-Бернштейна, теорема Кантора. 55 | %\item Теорема Лёвенгейма-Сколема, парадокс Сколема. 56 | %\item Система $S_\infty$. Доказательство непротиворечивости формальной арифметики. 57 | \end{enumerate} 58 | \end{document} 59 | -------------------------------------------------------------------------------- /questions.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/shd/logic2023/e6fb92adc3b5f073296eb097bb0dd4105c50e783/questions.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /questions.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[11pt,a4paper,oneside]{scrartcl} 2 | \usepackage[utf8]{inputenc} 3 | \usepackage[english,russian]{babel} 4 | \usepackage[top=1cm,bottom=1cm,left=1cm,right=1cm]{geometry} 5 | 6 | \begin{document} 7 | \pagestyle{empty} 8 | 9 | \begin{center} 10 | {\large\scshape\bfseries Программа курса <<Математическая логика>>}\\ 11 | {\large\scshape Вопросы к зачёту и экзамену.}\\ 12 | \itshape ИТМО, группы M3232--M3239, весна 2023 г. 13 | \end{center} 14 | 15 | %\vspace{0.3cm} 16 | 17 | \begin{enumerate} 18 | \item Исчисление высказываний. Общезначимость, следование, доказуемость, выводимость. Корректность, полнота, непротиворечивость. 19 | Теорема о дедукции для исчисления высказываний. 20 | \item Теорема о полноте исчисления высказываний. 21 | \item Интуиционистское исчисление высказываний. Вывод в Гильбертовском стиле и натуральный вывод. 22 | BHK-интерпретация. Решётки. Булевы и псевдобулевы алгебры. 23 | \item Алгебра Линденбаума. Полнота интуиционистского исчисления высказываний в псевдобулевых алгебрах. 24 | Модели Крипке. Сведение моделей Крипке к псевдобулевым алгебрам. Нетабличность 25 | интуиционистского исчисления высказываний. 26 | \item Топологическое пространство. Примеры. Открытые и замкнутые множества. Связность. Компактность. Непрерывные функции. Путь. 27 | Линейная связность. Теорема о том, что лес связен (является деревом) тогда и только тогда, когда связан в топологическом смысле. 28 | \item Гёделева алгебра. Операция $\Gamma(A)$. Дизъюнктивность интуиционистского исчисления высказываний. Разрешимость 29 | интуиционистского исчисления высказываний. 30 | \item Исчисление предикатов. Общезначимость, следование, выводимость. Теорема о дедукции в исчислении предикатов. 31 | Теорема о корректности исчисления предикатов. 32 | \item Непротиворечивые множества формул. Доказательство существования моделей у непротиворечивых множеств формул 33 | в бескванторном исчислении предикатов. 34 | Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов. Доказательство полноты исчисления предикатов. 35 | \item Машина Тьюринга. Задача об останове, её неразрешимость. Доказательство неразрешимости исчисления предикатов. 36 | \item Порядок теории (0, 1, 2). Теории первого порядка, структуры и модели. Аксиоматика Пеано. Арифметические операции. 37 | Доказательство коммутативности сложения. Формальная арифметика. 38 | \item Примитивно-рекурсивные и рекурсивные функции. Примитивная рекурсивность арифметических операций, 39 | функций вычисления простых чисел, частичного логарифма. 40 | Выразимость отношений и представимость функций в формальной арифметике. Характеристические функции. 41 | Представимость примитивов $N$, $Z$, $S$, $U$ в формальной арифметике. 42 | Функция Аккермана. Доказательство того, что функция Аккермана не примитивно-рекурсивна. 43 | \item Бета-функция Гёделя. Представимость примитивов $R$ и $M$ и рекурсивных функций в формальной арифметике. 44 | Гёделева нумерация. Рекурсивность представимых в формальной арифметике функций. 45 | \item Непротиворечивость (эквивалентные определения, доказательство эквивалентности), $\omega$-не\-про\-ти\-во\-ре\-чи\-вость. 46 | Первая теорема Гёделя о неполноте арифметики. 47 | Формулировка первой теоремы Гёделя о неполноте арифметики в форме Россера. 48 | Синтаксическая и семантическая неполнота арифметики. 49 | Ослабленные варианты: арифметика Пресбургера, система Робинсона. 50 | \item Вторая теорема Гёделя о неполноте арифметики, $Consis$. 51 | Лемма об автоссылках. Условия Гильберта-Бернайса-Лёба. Теорема Тарского о невыразимости истины. 52 | \item Теория множеств. Определения равенства. Парадокс брадобрея. Аксиоматика Цермело-Френкеля. Конструктивные аксиомы 53 | (пустого, пары, объединения, множества подмножеств, выделения). 54 | Частичный, линейный, полный порядок. Ординальные числа, аксиома бесконечности. 55 | Конечные ординалы, существование ординала $\omega$, операции над ординалами, 56 | доказательство $1+\omega\ne\omega+1$. Связь ординалов и упорядочений. Аксиомы фундирования и подстановки. 57 | \item Кардинальные числа, мощность множеств. Теорема Кантора-Бернштейна, теорема Кантора. 58 | \item Мощность модели. Элементарные подмодели. Теорема Лёвенгейма-Сколема, парадокс Сколема. 59 | \item Аксиома выбора, альтернативные формулировки (лемма Цорна, теорема Цермело, существование 60 | частичной обратной), доказательство переходов (кроме доказательства леммы Цорна). 61 | \item Применение аксиомы выбора: эквивалентность определений пределов (по Коши и по Гейне). 62 | Теорема Диаконеску. Ослабленные варианты (счётный выбор и зависимый выбор), универсум фон-Неймана. 63 | Аксиома конструктивности. 64 | \item Индукция и полная индукция. Трансфинитная индукция. Система $S_\infty$. 65 | Сечение, устранение сечений. Доказательство непротиворечивости формальной арифметики. 66 | \item Лямбда-исчисление. Пред-лямбда-термы и лямбда-термы. Альфа-эквивалентность, бета-редукция 67 | и бета-эквивалентность. Теорема Чёрча-Россера (формулировка). Комбинатор неподвижной точки. Комбинаторный базис $SK$. 68 | Чёрчевские нумералы. Просто-типизированное лямбда исчисление. Изоморфизм Карри-Ховарда. 69 | \item Теорема Гёделя о компактности. Универсум Эрбрана. Унификация. Метод резолюции. 70 | \end{enumerate} 71 | \end{document} 72 | --------------------------------------------------------------------------------