├── .gitattributes ├── .gitignore ├── 1000.tex ├── LICENSE ├── README.md ├── chapter ├── chap0.tex ├── chap1.tex ├── chap2.tex ├── chap3.tex ├── sec1-1.tex ├── sec1-2.tex ├── sec1-3.tex ├── sec1-4.tex ├── sec10-1.tex ├── sec10-10.tex ├── sec10-11.tex ├── sec10-12.tex ├── sec10-2.tex ├── sec10-3.tex ├── sec10-4.tex ├── sec10-5.tex ├── sec10-6.tex ├── sec10-7.tex ├── sec10-8.tex ├── sec10-9.tex ├── sec11-1.tex ├── sec11-2.tex ├── sec11-3.tex ├── sec11-4.tex ├── sec11-5.tex ├── sec11-6.tex ├── sec11-7.tex ├── sec11-8.tex ├── sec2-1.tex ├── sec2-2.tex ├── sec2-3.tex ├── sec2-4.tex ├── sec3-1.tex ├── sec3-10.tex ├── sec3-11.tex ├── sec3-12.tex ├── sec3-13.tex ├── sec3-14.tex ├── sec3-15.tex ├── sec3-2.tex ├── sec3-3.tex ├── sec3-4.tex ├── sec3-5.tex ├── sec3-6.tex ├── sec3-7.tex ├── sec3-8.tex ├── sec3-9.tex ├── sec4-1.tex ├── sec4-2.tex ├── sec4-3.tex ├── sec5-1.tex ├── sec5-2.tex ├── sec5-3.tex ├── sec6.tex ├── sec7-1.tex ├── sec7-2.tex ├── sec7-3.tex ├── sec7-4.tex ├── sec7-5.tex ├── sec7-6.tex ├── sec8.tex ├── sec9-1.tex ├── sec9-2.tex ├── sec9-3.tex ├── sec9-4.tex ├── sec9-5.tex └── sec9-6.tex ├── ctex-fontset-zy.def └── figure ├── fig0.png ├── fig1-1-1.pdf ├── fig1-1-1.tex ├── fig1-2-1.pdf ├── fig1-2-1.tex ├── fig1-3-1.pdf ├── fig1-3-1.tex ├── fig1-3-2.pdf ├── fig1-3-2.tex ├── fig1-3-3-a.pdf ├── fig1-3-3-a.tex ├── fig1-3-3-b.pdf ├── fig1-3-3-b.tex ├── fig1-3-4.pdf ├── fig1-3-4.tex ├── fig1-3-5.pdf ├── fig1-3-5.tex ├── fig1-5-1.pdf ├── fig1-5-1.tex ├── fig1-7-1.pdf ├── fig1-7-1.tex ├── fig1-7-2.pdf ├── fig1-7-2.tex ├── fig1-7-3.pdf ├── fig1-7-3.tex ├── fig1-8-1.pdf └── fig1-8-1.tex /.gitattributes: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Auto detect text files and perform LF normalization 2 | * text=auto 3 | -------------------------------------------------------------------------------- /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## Core latex/pdflatex auxiliary files: 2 | *.aux 3 | *.lof 4 | *.log 5 | *.lot 6 | *.fls 7 | *.out 8 | *.toc 9 | *.fmt 10 | *.fot 11 | *.cb 12 | *.cb2 13 | .*.lb 14 | 15 | ## Intermediate documents: 16 | *.dvi 17 | *.xdv 18 | *-converted-to.* 19 | # these rules might exclude image files for figures etc. 20 | # *.ps 21 | # *.eps 22 | # *.pdf 23 | 24 | ## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" 25 | .pdf 26 | 27 | ## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): 28 | *.bbl 29 | *.bcf 30 | *.blg 31 | *-blx.aux 32 | *-blx.bib 33 | *.run.xml 34 | 35 | ## Build tool auxiliary files: 36 | *.fdb_latexmk 37 | *.synctex 38 | *.synctex(busy) 39 | *.synctex.gz 40 | *.synctex.gz(busy) 41 | *.pdfsync 42 | 43 | ## Build tool directories for auxiliary files 44 | # latexrun 45 | latex.out/ 46 | 47 | ## Auxiliary and intermediate files from other packages: 48 | # algorithms 49 | *.alg 50 | *.loa 51 | 52 | # achemso 53 | acs-*.bib 54 | 55 | # amsthm 56 | *.thm 57 | 58 | # beamer 59 | *.nav 60 | *.pre 61 | *.snm 62 | *.vrb 63 | 64 | # changes 65 | *.soc 66 | 67 | # comment 68 | *.cut 69 | 70 | # cprotect 71 | *.cpt 72 | 73 | # elsarticle (documentclass of Elsevier journals) 74 | *.spl 75 | 76 | # endnotes 77 | *.ent 78 | 79 | # fixme 80 | *.lox 81 | 82 | # feynmf/feynmp 83 | *.mf 84 | *.mp 85 | *.t[1-9] 86 | *.t[1-9][0-9] 87 | *.tfm 88 | 89 | #(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar 90 | *.end 91 | *.?end 92 | *.[1-9] 93 | *.[1-9][0-9] 94 | *.[1-9][0-9][0-9] 95 | *.[1-9]R 96 | *.[1-9][0-9]R 97 | *.[1-9][0-9][0-9]R 98 | *.eledsec[1-9] 99 | *.eledsec[1-9]R 100 | *.eledsec[1-9][0-9] 101 | *.eledsec[1-9][0-9]R 102 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9] 103 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9]R 104 | 105 | # glossaries 106 | *.acn 107 | *.acr 108 | *.glg 109 | *.glo 110 | *.gls 111 | *.glsdefs 112 | 113 | # gnuplottex 114 | *-gnuplottex-* 115 | 116 | # gregoriotex 117 | *.gaux 118 | *.gtex 119 | 120 | # htlatex 121 | *.4ct 122 | *.4tc 123 | *.idv 124 | *.lg 125 | *.trc 126 | *.xref 127 | 128 | # hyperref 129 | *.brf 130 | 131 | # knitr 132 | *-concordance.tex 133 | # TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files 134 | *.tikz 135 | *-tikzDictionary 136 | 137 | # listings 138 | *.lol 139 | 140 | # luatexja-ruby 141 | *.ltjruby 142 | 143 | # makeidx 144 | *.idx 145 | *.ilg 146 | *.ind 147 | 148 | # minitoc 149 | *.maf 150 | *.mlf 151 | *.mlt 152 | *.mtc[0-9]* 153 | *.slf[0-9]* 154 | *.slt[0-9]* 155 | *.stc[0-9]* 156 | 157 | # minted 158 | _minted* 159 | *.pyg 160 | 161 | # morewrites 162 | *.mw 163 | 164 | # nomencl 165 | *.nlg 166 | *.nlo 167 | *.nls 168 | 169 | # pax 170 | *.pax 171 | 172 | # pdfpcnotes 173 | *.pdfpc 174 | 175 | # sagetex 176 | *.sagetex.sage 177 | *.sagetex.py 178 | *.sagetex.scmd 179 | 180 | # scrwfile 181 | *.wrt 182 | 183 | # sympy 184 | *.sout 185 | *.sympy 186 | sympy-plots-for-*.tex/ 187 | 188 | # pdfcomment 189 | *.upa 190 | *.upb 191 | 192 | # pythontex 193 | *.pytxcode 194 | pythontex-files-*/ 195 | 196 | # tcolorbox 197 | *.listing 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-------------------------------------------------------------------------------- 1 | \documentclass[openany,twocolumn,fontset=zy]{ctexbook} 2 | \setmainfont{XITS} 3 | \usepackage{sourcesanspro,sourcecodepro} 4 | \usepackage{xeCJKfntef} 5 | \usepackage{amsmath,mathtools,unicode-math} 6 | \setmathfont[partial=upright,StylisticSet=8]{XITS Math} 7 | \makeatletter 8 | \def\vdots@i#1#2#3{\vbox{ 9 | #1\baselineskip#2\p@ \lineskiplimit\z@ 10 | \kern#3\p@\hbox{.}\hbox{.}\hbox{.}}} 11 | \DeclareRobustCommand\vdots{ 12 | \mathchoice 13 | {\vdots@i{}{4}{6}} 14 | {\vdots@i{}{4}{6}} 15 | {\vdots@i{\scriptsize}{2}{1}} 16 | {\vdots@i{\tiny}{2}{1}} 17 | } 18 | \makeatother 19 | \usepackage{physics,siunitx,lastpage,graphicx} 20 | \numberwithin{figure}{section} 21 | \renewcommand\thefigure{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{figure}} 22 | \usepackage{floatrow,subcaption} 23 | \renewcommand\thesubfigure{(\alph{subfigure})} 24 | \captionsetup[sub]{labelformat=simple} 25 | \xeCJKDeclareCharClass{FullRight}{"2236} 26 | \newcommand\ratio[2]{#1^^^^2236#2} 27 | 28 | \usepackage[a4paper,top=2.5cm,bottom=2.5cm,inner=1.5cm,outer=3cm]{geometry} 29 | \usepackage[toc]{multitoc} 30 | \setlength{\lineskip}{2.5pt} 31 | \setlength{\lineskiplimit}{2.5pt} 32 | 33 | \usepackage{tikz} 34 | \usetikzlibrary{shapes.geometric,calc} 35 | \newcommand*{\circled}[1]{\lower.7ex\hbox{\tikz\draw (0pt, 0pt)% 36 | circle (.5em) node {\makebox[1em][c]{\small #1}};}} 37 | \let\libcirc\circled 38 | 39 | \makeatletter 40 | \newcommand{\rmnum}[1]{\romannumeral #1} 41 | \newcommand{\Rmnum}[1]{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@} 42 | \makeatother 43 | 44 | \usepackage{wallpaper} 45 | \renewcommand{\CenterWallPaper}[2]{% 46 | \AddToShipoutPicture{\put(\LenToUnit{\wpXoffset},\LenToUnit{\wpYoffset}){% 47 | \parbox[b][\paperheight]{\paperwidth}{% 48 | \vfill 49 | \centering 50 | \tikz[opacity=0.075] \node[inner sep=0pt] {\includegraphics[angle=90,width=#1\paperwidth,height=#1\paperheight,keepaspectratio]{#2}};% 51 | \vfill 52 | }} 53 | } 54 | } 55 | 56 | \usepackage{tabularx,diagbox} 57 | 58 | \setlength{\headheight}{13pt} 59 | \makeatletter 60 | \usepackage{fancyhdr} 61 | \pagestyle{fancy} 62 | \fancyhf{} 63 | \fancyhead[LO]{\bfseries \rightmark} 64 | \fancyhead[RE]{\bfseries \leftmark} 65 | \fancyhead[C]{\bfseries 仅供学习使用，严禁商业使用} 66 | \fancyfoot[C]{\zihao{-5} {\kaishu 不论一个人的数学水平有多高，只要对数学拥有一颗真诚的心，他就在自己的心灵上得到了升华。}——{\itshape SCIbird}} 67 | \fancyhead[LE,RO]{\bfseries --\thepage/\pageref{LastPage}--} 68 | \makeatother 69 | 70 | \usepackage{caption} 71 | \captionsetup{labelsep=space} 72 | 73 | 74 | \usepackage{theorem} 75 | \ctexset{ 76 | chapter={ 77 | name={}, 78 | number=0\arabic{chapter}, 79 | }, 80 | section={ 81 | format={\zihao{4}\bfseries\centering}, 82 | name={第,章}, 83 | aftername={\hspace{1em}}, 84 | number=\chinese{section}, 85 | }, 86 | subsection={ 87 | 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\ifthenelse{\lengthtest{\maxlength>0.22\linewidth}} 151 | {% 152 | \noindent% 153 | \begin{tabular}{@{}p{0.48\linewidth}@{\hspace*{0.04\linewidth}}p{0.48\linewidth}@{}} 154 | \setlength\tabcolsep{0pt} 155 | \@hangfrom{\texttt A．}#1 & \@hangfrom{\texttt B．}#2 \\ 156 | \@hangfrom{\texttt C．}#3 & \@hangfrom{\texttt D．}#4 \\ 157 | \end{tabular} 158 | }% 159 | {% 160 | \noindent% 161 | \begin{tabular}{@{}*{3}{p{0.22\linewidth}@{\hspace*{0.04\linewidth}}}p{0.22\linewidth}@{}} 162 | \setlength\tabcolsep{0pt} 163 | \@hangfrom{\texttt A．}#1 & \@hangfrom{\texttt B．}#2 & \@hangfrom{\texttt C．}#3 & \@hangfrom{\texttt D．}#4 \\ 164 | \end{tabular} 165 | }% 166 | }% 167 | \unskip\unskip 168 | } 169 | \makeatother 170 | \let\twoch=\fourch 171 | \let\onech=\fourch 172 | 173 | \let\bm=\symbfit 174 | \let\mathrm=\symup 175 | \let\mathbb=\symbb 176 | \def\ee{\mathrm{e}} 177 | \def\CC{\mathrm{C}} 178 | \def\TT{\mathrm{T}} 179 | \def\AA{\mathrm{A}} 180 | \def\astt{*} 181 | \AtBeginDocument{ 182 | \let\div\relax 183 | \DeclareMathOperator{\div}{div} 184 | \def\leq{\leqslant} 185 | \def\geq{\geqslant} 186 | \let\mylim=\lim 187 | \def\lim{\mylim\limits} 188 | \let\mysum=\sum 189 | \def\sum{\mysum\limits} 190 | } 191 | \let\grad\relax 192 | \DeclareMathOperator{\grad}{grad} 193 | \DeclareMathOperator{\rot}{rot} 194 | \DeclareMathOperator{\Cov}{Cov} 195 | \long\def\guanggao{ 196 | \vspace*{\fill} 197 | \begin{center} 198 | \bfseries 广告位招租 199 | \end{center} 200 | \vspace*{\fill} 201 | } 202 | \def\theenumi{\arabic{enumi}} 203 | \def\labelenumi{(\theenumi)} 204 | 205 | \usepackage[bookmarksopen=true,bookmarksnumbered=true,hidelinks,pdftitle=2020张宇1000题（数一）,pdfauthor=张宇]{hyperref} 206 | 207 | \title{《考研数学题源探析经典 1000 题》（习题分册·数学一）\\\LaTeX{}重排版\thanks{Final build time：\today，Releases：v1.2}} 208 | \author{张宇} 209 | \date{2019 年 3 月} 210 | 211 | 212 | \begin{document} 213 | \frontmatter 214 | \maketitle 215 | \input{chapter/chap0.tex} 216 | \tableofcontents 217 | \mainmatter 218 | \input{chapter/chap1.tex} 219 | \input{chapter/chap2.tex} 220 | \input{chapter/chap3.tex} 221 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # zhangyu1000 2 | 重排2020张宇1000题 3 | -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/chap0.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \onecolumn 2 | \chapter{前言} 3 | 4 | 按照考研数学历年的命题规律和风格，结合最新的信息，考生在2020年考研复习备考中应做到以下五点：一是将考研基础知识和常规题目作为复习主体；二是要加强综合性试题的训练；三是加强计算能力的培养，使自己具备较强的处理数学计算过程的本领，要知道，绝大多数数学题都是要通过准确的计算才能得到正确答案的；四是要加强应用能力的培养，多做用数学基础知识解决实际问题的题目；五是要全面复习，将考研大纲中的所有知识作为复习范围，不要有所偏颇。以上五点也将是2020考研命题的趋势，请各位考生重视。 5 | 6 | 本书是对题源的最新研究成果，它尽力搜集和命制了题源本身或与题源相关的重要考题，值得考生在复习全过程中认真做题、消化。我也将在各种场合对本书的题目进行详细讲解并予以重点提示，以期让考生把握住考试命题方向，准确复习备考。题源和题库研究是公共资源，从2019年考研命题的情况来看，它并不回避市面上已经公开的题源，甚至可考到原题，于是，我很高兴把我们所掌握的信息提供给全国考生，并乐于与大家分享这些资料。这对消除考研数学的神秘感，进一步促进考试的公正性与科学性都会起到重要作用。 7 | 8 | 这本《张宇考研数学题源探析经典1000题》最初是按照数学一、数学二、数学三平均1000道题左右来命名的，多年来一直这样叫下来，成为了考研习题集的一个经典名称。事实上，数学一考试内容最多，题目不止1000道，数学二考试内容最少，题目少于1000道，数学三的考试内容居中，近于1000道。 9 | 10 | 衷心感谢原命题专家们给予的指导与帮助。希望考生认真研读、操练本书中的每一道题目，提高解题能力，争取考研得到高分。 11 | 12 | \phantom{1}\hspace{\fill} {\includegraphics[width=5pc]{figure/fig0.png}} 13 | 14 | \phantom{1}\hspace{\fill} {2019 年 2 月\quad 于北京} 15 | \twocolumn -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/chap1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{高等数学} 2 | 高等数学是硕士研究生招生考试考查内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。在考研数学一试卷中分值为82分，约占 \SI{56}{\percent}。 3 | \input{chapter/sec1-1.tex} 4 | \input{chapter/sec1-2.tex} 5 | \input{chapter/sec1-3.tex} 6 | \input{chapter/sec1-4.tex} 7 | \input{chapter/sec2-1.tex} 8 | \input{chapter/sec2-2.tex} 9 | \input{chapter/sec2-3.tex} 10 | \input{chapter/sec2-4.tex} 11 | \input{chapter/sec3-1.tex} 12 | \input{chapter/sec3-2.tex} 13 | \input{chapter/sec3-3.tex} 14 | \input{chapter/sec3-4.tex} 15 | \input{chapter/sec3-5.tex} 16 | \input{chapter/sec3-6.tex} 17 | \input{chapter/sec3-7.tex} 18 | \input{chapter/sec3-8.tex} 19 | \input{chapter/sec3-9.tex} 20 | \input{chapter/sec3-10.tex} 21 | \input{chapter/sec3-11.tex} 22 | \input{chapter/sec3-12.tex} 23 | \input{chapter/sec3-13.tex} 24 | \input{chapter/sec3-14.tex} 25 | \input{chapter/sec3-15.tex} 26 | \input{chapter/sec4-1.tex} 27 | \input{chapter/sec4-2.tex} 28 | \input{chapter/sec4-3.tex} 29 | \input{chapter/sec5-1.tex} 30 | \input{chapter/sec5-2.tex} 31 | \input{chapter/sec5-3.tex} 32 | \input{chapter/sec6.tex} 33 | \input{chapter/sec7-1.tex} 34 | \input{chapter/sec7-2.tex} 35 | \input{chapter/sec7-3.tex} 36 | \input{chapter/sec7-4.tex} 37 | \input{chapter/sec7-5.tex} 38 | \input{chapter/sec7-6.tex} 39 | \input{chapter/sec8.tex} 40 | \input{chapter/sec9-1.tex} 41 | \input{chapter/sec9-2.tex} 42 | \input{chapter/sec9-3.tex} 43 | \input{chapter/sec9-4.tex} 44 | \input{chapter/sec9-5.tex} 45 | \input{chapter/sec9-6.tex} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/chap2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \ctexset{ 2 | section={ 3 | format={\zihao{4}\bfseries\raggedright}, 4 | name={,、}, 5 | aftername={\hspace{0em}}, 6 | number=\chinese{section}, 7 | }, 8 | } 9 | \input{chapter/sec10-1.tex} 10 | \input{chapter/sec10-2.tex} 11 | \input{chapter/sec10-3.tex} 12 | \input{chapter/sec10-4.tex} 13 | \input{chapter/sec10-5.tex} 14 | \input{chapter/sec10-6.tex} 15 | \input{chapter/sec10-7.tex} 16 | \input{chapter/sec10-8.tex} 17 | \input{chapter/sec10-9.tex} 18 | \input{chapter/sec10-10.tex} 19 | \input{chapter/sec10-11.tex} 20 | \input{chapter/sec10-12.tex} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/chap3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{chapter/sec11-1.tex} 2 | \input{chapter/sec11-2.tex} 3 | \input{chapter/sec11-3.tex} 4 | \input{chapter/sec11-4.tex} 5 | \input{chapter/sec11-5.tex} 6 | \input{chapter/sec11-6.tex} 7 | \input{chapter/sec11-7.tex} 8 | \input{chapter/sec11-8.tex} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec1-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{极限、连续} 2 | \subsection{函数极限} 3 | \begin{ti} 4 | 求 $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1 - \frac{x}{2}}{\ee^{x^{2}}-1}$. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\ee^{x} + \ln(1 - x) - 1}{x - \arctan x}$. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}} - \ee^{2}[1 - \ln(1+x)]}{x}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\left(1 + x^{2}\right)(1 - \cos 2x) - 2x^{2}}{x^{4}}$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x^{2}} \sin^{2}x - \tan^{2}x }{x^{2}[\ln(1+x)]^{2}}$. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{(3 + 2 \tan x)^{x} - 3^{x}}{3 \sin^{2}x + x^{3} \cos\frac{1}{x}}$. 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 求 $\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt{2x + 5}}{x^{2} - 4}$. 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 求 $\lim_{x \to 0}\int_{0}^{x} \frac{\sin 2t}{\sqrt{4+t^{2}}\int_{0}^{x} \left(\sqrt{t+1} - 1\right)\dd{t}} \dd{t}$. 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | 求 $\lim_{x \to \infty} \ee^{-x} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x^{2}}$. 37 | \end{ti} 38 | 39 | \begin{ti} 40 | 求 $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{\cos x \ln (x - 3)}{\ln\left( \ee^{x} - \ee^{3} \right)}$. 41 | \end{ti} 42 | 43 | \begin{ti} 44 | 求 $\lim_{x \to \infty} x^{2} \left( a^{\frac{1}{x}} + a^{-\frac{1}{x}} - 2 \right)$，其中常数 $a > 0$. 45 | \end{ti} 46 | 47 | \begin{ti} 48 | 求 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\left( \cot x - \frac{1}{x} \right)$. 49 | \end{ti} 50 | 51 | \begin{ti} 52 | 求 $\lim_{x \to +\infty}\left( \sqrt[3]{x^{3} + 2x^{2} + 1} - x\ee^{\frac{1}{x}} \right)$. 53 | \end{ti} 54 | 55 | \begin{ti} 56 | 求 $\lim_{x \to 0}\left( \frac{1+x}{1-e^{-x}} - \frac{1}{x} \right)$. 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | 求 $\lim_{x \to 0^{+}} x^{\ln\left( \frac{\ln x - 1}{\ln x + 1} \right)}$. 61 | \end{ti} 62 | 63 | \begin{ti} 64 | 求 $\lim_{x \to \infty} \left( \tan\frac{\uppi x}{1 + 2x} \right)^{\frac{1}{x}}$. 65 | \end{ti} 66 | 67 | \begin{ti} 68 | 求 $\lim_{x \to 0^{+}} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{1 - \cos x}}$. 69 | \end{ti} 70 | 71 | \begin{ti} 72 | 求 $\lim_{x \to 0}\left( \frac{\cos x}{\cos 2x} \right)^{\frac{1}{x^{2}}}$. 73 | \end{ti} 74 | 75 | \begin{ti} 76 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x - \sin x}$. 77 | \end{ti} 78 | 79 | \begin{ti} 80 | 求 $\lim_{x \to 0}\frac{1 + \frac{1}{2}x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{\left( \cos x - \ee^{\frac{x^{2}}{2}} \right) \sin \frac{x^{2}}{2}}$. 81 | \end{ti} 82 | 83 | \begin{ti} 84 | 求 $\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[6]{x^{6} + x^{5}} - \sqrt[6]{x^{6} - x^{5}} \right)$. 85 | \end{ti} 86 | 87 | \begin{ti} 88 | 求 $\lim_{x \to +\infty}\left[ \left( x^{3} + \frac{x}{2} - \tan \frac{1}{x} \right) \ee^{\frac{1}{x}} - \sqrt{1 + x^{6}} \right]$. 89 | \end{ti} 90 | 91 | \begin{ti} 92 | 求 $\lim_{x \to 0}\frac{\ee^{\tan x} - \ee^{\sin x}}{x \sin^{2} x}$. 93 | \end{ti} 94 | 95 | \begin{ti} 96 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x^{2} \sin\frac{1}{x}}{(1 + \cos x)\ln(1 + x)}$. 97 | \end{ti} 98 | 99 | \begin{ti} 100 | 求 $\lim_{x \to 0}\left[ \frac{a}{x} - \left( \frac{1}{x^{2}} - a^{2} \right) \ln(1 + ax) \right]$，其中 $a \ne 0$. 101 | \end{ti} 102 | 103 | \begin{ti} 104 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2x)^{\frac{1}{2x}}}{\sin x}$. 105 | \end{ti} 106 | 107 | \begin{ti} 108 | 求 $\lim_{x \to 0}\frac{\int_{0}^{\sin^{2}x} \ln(1 + t)\dd{t}}{\left( \sqrt[3]{1 + x^{3}} - 1 \right)\sin x}$. 109 | \end{ti} 110 | 111 | \begin{ti} 112 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{ \int_{0}^{x} \left[ \int_{0}^{u^{2}} \arctan(1 + t) \dd{t} \right] \dd{u} }{x(1 - \cos x)}$. 113 | \end{ti} 114 | 115 | \begin{ti} 116 | 求 $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{x} - ( \sin x )^{x}}{x^{2}\ln(1 + x)}$. 117 | \end{ti} 118 | 119 | \begin{ti} 120 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{ \cos x - \ee^{-\frac{x^{2}}{2}} }{x^{2} [ x + \ln(1 - x) ]}$. 121 | \end{ti} 122 | 123 | \begin{ti} 124 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3}} \left[ \left( \frac{2 + \cos x}{3} \right)^{x} - 1 \right]$. 125 | \end{ti} 126 | 127 | \begin{ti} 128 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( \sin^{2}x + \ee^{x} \right) - x}{\ln\left( x^{2} + \ee^{2x} \right) - 2x}$. 129 | \end{ti} 130 | 131 | \begin{ti} 132 | 求 $\lim_{x \to 1} \frac{x - x^{x}}{1 - x + \ln x}$. 133 | \end{ti} 134 | 135 | \begin{ti} 136 | 求 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x}}{n} \right)^{\frac{1}{x}}$，$a_{i} > 0$，且 $a_{i} \ne 1, i = 1,2,\cdots,n,n \geq 2$. 137 | \end{ti} 138 | 139 | \begin{ti} 140 | 设 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left[ 1 + \frac{f(x)}{\sin x} \right]}{a^{x} - 1} = A (a > 0, a \ne 1)$，求 $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^{2}}$. 141 | \end{ti} 142 | 143 | \begin{ti} 144 | 已知 $\lim_{x \to 1} f(x)$ 存在，且 $f(x) = \frac{x - \arctan(x - 1) - 1}{(x - 1)^{3}} + 2x^{2} \ee^{x-1} \cdot \lim_{x \to 1} f(x)$，求 $f(x)$. 145 | \end{ti} 146 | 147 | \begin{ti} 148 | 设函数 $f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}(x > 0)$，证明：存在常数 $A,B$，使得当 $x \to 0^{+}$ 时，恒有 149 | \begin{equation*} 150 | f(x) = \ee + Ax +Bx^{2} + o\left( x^{2} \right), 151 | \end{equation*} 152 | 并求常数 $A,B$. 153 | \end{ti} 154 | 155 | \begin{ti} 156 | 已知 157 | \[ 158 | \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - \left( A + Bx + Cx^{2} \right)}{x^{3}} = D \ne 0. 159 | \] 160 | 求常数 $A,B,C,D$. 161 | \end{ti} 162 | 163 | \begin{ti} 164 | 设函数 165 | \begin{align*} 166 | f(x) &= \begin{cases} 167 | \frac{\ln\left( 1 + x^{3} \right)}{\arcsin x - x}, & x < 0,\\ 168 | \frac{\ee^{-x} + \frac{1}{2}x^{2} + x - 1}{x \sin \frac{x}{6}}, & x > 0, 169 | \end{cases},\\ 170 | g(x) &= \frac{\ee^{\frac{1}{x}}\arctan\frac{1}{x}}{1 + \ee^{\frac{2}{x}}}, 171 | \end{align*} 172 | 求 $\lim_{x \to 0} f[g(x)]$. 173 | \end{ti} 174 | 175 | \begin{ti} 176 | 设 $\alpha \geq 5$ 且为常数，则 $k$ 为何值时极限 177 | \begin{equation*} 178 | I = \lim_{x \to +\infty} \left[ \left( x^{\alpha} + 8x^{4} + 2 \right)^{k} - x \right] 179 | \end{equation*} 180 | 存在，并求此极限值. 181 | \end{ti} 182 | 183 | \begin{ti} 184 | 已知极限 185 | \[ 186 | I = \lim_{x \to 0} \left( \frac{a}{x^{2}} + \frac{b}{x^{4}} + \frac{c}{x^{5}} \int_{0}^{x} \ee^{-t^{2}} \dd{t} \right) = 1, 187 | \] 188 | 求常数 $a,b,c$. 189 | \end{ti} 190 | 191 | \begin{ti} 192 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{\cos x} - \sqrt[3]{\cos x} }{\sin^{2}x}$. 193 | \end{ti} 194 | 195 | \begin{ti} 196 | 求 $\lim_{x \to 1} \frac{\left( 1 - \sqrt[3]{x} \right) \left( 1 - \sqrt[4]{x} \right) \cdots \left( 1 - \sqrt[n]{x} \right) }{(1 - x)^{n-2}}$. 197 | \end{ti} 198 | 199 | \begin{ti} 200 | 求 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x \cdot \sqrt{\cos 2x} \cdot \sqrt[3]{\cos 3x}}{x^{2}}$. 201 | \end{ti} 202 | 203 | \begin{ti} 204 | 设函数 $f(x)$ 满足 $f(1) = 1$，且有 $f'(x) = \frac{1}{x^{2} + f^{2}(x)}$，证明：极限 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ 存在，且极限值小于 $1 + \frac{\uppi}{4}$. 205 | \end{ti} 206 | 207 | \begin{ti} 208 | 设 $x \geq 0$ 时，$f(x)$ 满足 $f'(x) = \frac{1}{x^{2} + f^{2}(x)}$，且 $f(0) = 1$，证明：$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在且极限值小于 $1 + \frac{\uppi}{2}$. 209 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec1-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{无穷小比阶} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 当 $x \to 0$ ，$(1 - \cos x)\ln\left( 1 + 2x^{3} \right)$ 是比 $x \sin x^{n}$ 高阶的无穷小，而 $x \sin x^{n}$ 是比 $\ee^{x\tan^{2} x} - 1$ 高阶的无穷小，则正整数 $n = $ \htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 当 $x \to 0^{+}$ 时，$\sqrt{1 + \tan \sqrt{x}} - \sqrt{1 + \sin\sqrt{x}}$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小，则 $k =$ \htwo. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 当 $x \to 0$ 时，$f(x) = \ln\left( 1+x^{2} \right) - 2\sqrt[3]{\left( \ee^{x} - 1 \right)^{2}}$ 是无穷小量 $x^{k}$ 的同阶无穷小，则 $k = $ \kuo. 13 | 14 | \fourch{$1$}{$2$}{$\frac{2}{3}$}{$\frac{3}{2}$} 15 | \end{ti} 16 | 17 | \begin{ti} 18 | 当 $x \to 0$ 时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是\kuo. 19 | 20 | \twoch{$\ln\left( x + \sqrt{1 + x^{2}} \right)$}{$1 - \cos x$}{$\tan x - \sin x$}{$\ee^{x} + \ee^{-x} - 2$} 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 当 $x \to 0^{+}$ 时，下列无穷小量中，与 $x$ 同阶的无穷小是\kuo. 25 | 26 | \twoch{$\sqrt{1 + x} - 1$}{$\ln(1 + x) - x$}{$\cos(\sin x) - 1$}{$x^{x} - 1$} 27 | \end{ti} 28 | 29 | \begin{ti} 30 | 当 $x \to 0$ 时，$f(x) = x - \sin x + \int_{0}^{x} t^{2} \ee^{t^{2}} \dd{t}$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小，则 $k=$ \kuo. 31 | 32 | \fourch{$3$}{$4$}{$5$}{$6$} 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | 当 $x \to 0^{+}$ 时，试比较无穷小量 $\alpha$，$\beta$ 和 $\gamma$ 三者之间的阶，其中 37 | \[ 38 | \alpha = \int_{0}^{x} \cos t^{2} \dd{t},\beta = \int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \dd{t},\gamma = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} \dd{t}. 39 | \] 40 | \end{ti} 41 | 42 | \begin{ti} 43 | 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \left( \cos x - 4 \right) + 3x$ 为 $x$ 的几阶无穷小？ 44 | \end{ti} 45 | 46 | \begin{ti} 47 | 当 $x \to 0$ 时，确定下列无穷小量的阶数： 48 | \begin{enumerate} 49 | \item $\tan\left( \sqrt{x+2} - \sqrt{2} \right)$; 50 | \item $\sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{x}} - 1$; 51 | \item $3^{\sqrt{x}} - 1$. 52 | \end{enumerate} 53 | \end{ti} 54 | 55 | \begin{ti} 56 | 当 $x \to 0$ 时，$x - \sin x \cos x \cos 2x$ 与 $cx^{k}$ 为等价无穷小，则 $c=$ \htwo，$k=$ \htwo. 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | 当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \cos 2x \cos 3x$ 对于无穷小 $x$ 的阶数等于 \htwo. 61 | \end{ti} 62 | 63 | \begin{ti} 64 | 极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ee^{\sin\frac{1}{x}}-1}{\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{\alpha} - \left( 1 + \frac{1}{x} \right)} = A \ne 0$ 的充要条件是\kuo. 65 | 66 | \twoch{$\alpha > 1$}{$\alpha \ne 1$}{$\alpha > 0$}{与 $\alpha$ 无关} 67 | \end{ti} 68 | 69 | \begin{ti} 70 | 设当 $x \to 0$ 时，$\ee^{\tan x} - \ee^{x}$ 与 $x^{n}$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为 \kuo. 71 | 72 | \fourch{$1$}{$2$}{$3$}{$4$} 73 | \end{ti} 74 | 75 | \begin{ti} 76 | 设当 $x \to 0$ 时，$f(x) = ax^{3} + bx$ 与 $g(x) =$ $\int_{0}^{\sin x} \left( \ee^{t^{2}} -1 \right) \dd{t}$ 是等价无穷小，则\kuo. 77 | 78 | \twoch{$a = \frac{1}{3},b=1$}{$a = 3,b=0$}{$a = \frac{1}{3},b=0$}{$a = 1,b=0$} 79 | \end{ti} 80 | 81 | \begin{ti} 82 | 设当 $x \to 0$ 时，$f(x) = \ln\left( 1+x^{2} \right) - \ln\bigl( 1 + \sin^{2}x \bigr)$ 是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小，则正整数 $n$ 为\kuo. 83 | 84 | \fourch{$1$}{$2$}{$3$}{$4$} 85 | \end{ti} 86 | 87 | \begin{ti} 88 | 当 $x \to \uppi$ 时，若有 $\sqrt[4]{\sin\frac{x}{2}} - 1 \sim A(x - \uppi)^{k}$，则 $A=$\htwo，$k=$\htwo. 89 | \end{ti} 90 | 91 | \begin{ti} 92 | 半径分别为 $R,r(R>r>0)$ 的两个圆相切于坐标轴原点. 如图~\ref{fig:1.1.1} 所示. 93 | \begin{enumerate} 94 | \item 当 $x \to 0^{+}$ 时，若线段长 $MM_{1}$ 与 $x^{k}$ 同阶，求 $k$; 95 | \item 当 $x \to 0^{+}$ 时，若 $\angle MOM_{1}$ 与 $x^{c}$ 同阶，求 $c$. 96 | \end{enumerate} 97 | \begin{figure}[htbp] 98 | \centering 99 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-1-1.pdf} 100 | \caption{}\label{fig:1.1.1} 101 | \end{figure} 102 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec1-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{数列极限} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 求 $\lim_{n \to \infty} n^{3} \left( \sin\frac{1}{n} - \frac{1}{2} \sin\frac{2}{n} \right)$. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 求 $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n + 3\sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} \right)$. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 求 $\lim_{n \to \infty} \left[ \sqrt{n}\left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) + \frac{1}{2} \right]^{\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 求 $\lim_{n \to \infty} n^{2} \left( a^{\frac{1}{n}} - a^{\frac{1}{n+1}} \right)$，其中 $a > 0$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 求 $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + 2^{n} + 3^{n} \right)^{\frac{1}{n}}$. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 求 $\lim_{n \to \infty} \cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots \cos\frac{x}{2^{n}}$. 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 求 $\lim_{n \to \infty} n^{2}\left( \arctan\frac{a}{n} - \arctan \frac{a}{n+1} \right)$，$a > 0$. 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 设 33 | \[ 34 | \lim_{n \to \infty} \frac{n^{99}}{n^{k} - (n-1)^{k}} 35 | \] 36 | 存在且不为零，则常数 $k =$\htwo. 37 | \end{ti} 38 | 39 | \begin{ti} 40 | 设数列 $\{ a_{n} \}$ 满足 $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1$，则\kuo. 41 | 42 | \twoch{$\{ a_{n} \}$ 有界}{$\{ a_{n} \}$ 不存在极限}{$\{ a_{n} \}$ 自某项起同号}{$\{ a_{n} \}$ 自某项起单调} 43 | \end{ti} 44 | 45 | \begin{ti} 46 | 设数列 $\{ x_{n} \}$ 满足 $x_{n} > 0$，且 $\lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{1}{2}$，则 47 | 48 | \noindent\kuo. 49 | 50 | \onech{$\lim_{n\to\infty}x_{n} = 0$}{$\lim_{n\to\infty}x_{n}$ 存在，但不为零}{$\lim_{n\to\infty}x_{n}$ 不存在}{$\lim_{n\to\infty}x_{n}$ 可能存在，也可能不存在} 51 | \end{ti} 52 | 53 | \begin{ti} 54 | 已知数列 $\{ a_{n} \}$ 单调，下列结论正确的是\kuo. 55 | 56 | \twoch{$\lim_{n \to \infty}\left( \ee^{a_{n}} - 1 \right)$ 存在}{$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + a_{n}^{2}}$ 存在}{$\lim_{n \to \infty} \sin a_{n}$ 存在}{$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - a_{n}^{2}}$ 存在} 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | 设 $a_{1} = 1$，$a_{2} = 2$，$a_{n+2} = \frac{2a_{n}a_{n+1}}{a_{n} + a_{n+1}} (n=1,2,\cdots)$. 61 | \begin{enumerate} 62 | \item 求 $b_{n} = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_{n}}$ 的表达式; 63 | \item 求 $\sum_{k=1}^{n} b_{k}$ 和 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$. 64 | \end{enumerate} 65 | \end{ti} 66 | 67 | \begin{ti} 68 | 设 $a_{1} = 3$，$a_{n+1} = a_{n}^{2} + a_{n}(n = 1,2,\cdots)$，求极限 69 | \[ 70 | \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + \cdots + \frac{1}{1 + a_{n}} \right). 71 | \] 72 | \end{ti} 73 | 74 | \begin{ti} 75 | 已知 $x_{1} = \frac{1}{2}$，$2 x_{n+1} + x_{n}^{2} = 1$，求 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$. 76 | \end{ti} 77 | 78 | \begin{ti} 79 | 设 $x_{1} = 1$，$x_{n} = 1 + \frac{1}{1 + x_{n-1}}(n = 2,3,\cdots)$. 证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限. 80 | \end{ti} 81 | 82 | \begin{ti} 83 | 设 $x_{1} = 1$，$x_{n+1} = \frac{x_{n} + 3}{x_{n} + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$. 84 | \end{ti} 85 | 86 | \begin{ti} 87 | 设当 $a \leq x \leq b$ 时，$a \leq f(x) \leq b$，并设存在常数 $k$，$0 \leq k < 1$，对于 $[a,b]$ 上的任意两点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$，都有 $|f(x_{1}) - f(x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$. 证明： 88 | \begin{enumerate} 89 | \item 存在唯一的 $\xi \in [a,b]$ 使 $f(\xi) = \xi$; 90 | \item 对于任意给定的 $x_{1} \in [a,b]$，定义 $x_{n+1} = f(x_{n})$，$n = 1,2,\cdots$，则 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，且 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \xi$. 91 | \end{enumerate} 92 | \end{ti} 93 | 94 | \begin{ti} 95 | 已知 $\left( 2 + \sqrt{2} \right)^{n} = A_{n} + B_{n}\sqrt{2}$，$A_{n},B_{n}$ 为整数，$n = 1,2,3,\cdots$，求 $\lim_{n\to \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}}$. 96 | \end{ti} 97 | 98 | \begin{ti} 99 | 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，满足 $0 \leq f(x) \leq x, x \in [0,+\infty)$，设 $a_{1} \geq 0$，$a_{n+1} = f(a_{n})(n = 1,2,\cdots)$，证明： 100 | \begin{enumerate} 101 | \item $\{ a_{n} \}$ 为收敛数列; 102 | \item 设 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = t$，则有 $f(t) = t$; 103 | \item 若条件改为 $0 \leq f(x) < x,x \in (0,+\infty)$，则 $t = 0$. 104 | \end{enumerate} 105 | \end{ti} 106 | 107 | \begin{ti} 108 | \begin{enumerate} 109 | \item 设 $f(x) = x + \ln(2 - x)$，求 $f(x)$ 的最大值; 110 | \item 设 $x_{1} = \ln 2$，$x_{n} = \sum_{i=1}^{n-1} \ln(2 - x_{i}), n = 2,3,\cdots$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在并求其极限值. 111 | \end{enumerate} 112 | \end{ti} 113 | 114 | \begin{ti} 115 | 设 $x_{1} = 1$，$x_{n} = \int_{0}^{1} \min\{x,x_{n-1}\} \dd{x}, n = 2,3,\cdots$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在并求其极限值. 116 | \end{ti} 117 | 118 | \begin{ti} 119 | 设数列 $\{ x_{n} \}$ 满足 $0 < x_{1} < 1$，$\ln(1 + x_{n}) = \ee^{x_{n+1}} - 1(n = 1,2,\cdots)$，证明 120 | \begin{enumerate} 121 | \item 当 $0 < x < 1$ 时，$\ln(1 + x) < x < \ee^{x} - 1$; 122 | \item $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限. 123 | \end{enumerate} 124 | \end{ti} 125 | 126 | \begin{ti} 127 | \begin{enumerate} 128 | \item 证明方程 $x = 2\ln(1 + x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有唯一实根 $\xi$; 129 | \item 任取 $x_{1} > \xi$，定义 $x_{n+1} = 2\ln(1 + x_{n}), n = 1,2,\cdots$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \xi$. 130 | \end{enumerate} 131 | \end{ti} 132 | 133 | \begin{ti} 134 | \begin{enumerate} 135 | \item 证明方程 $\ee^{x} + x^{2n+1} = 0$ 在 $(-1,0)$ 内有唯一实根 $x_{n}, n = 0,1,2,\cdots$; 136 | \item 证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在并求其值 $a$; 137 | \item 求 $\lim_{n \to \infty} n(x_{n} - a)$. 138 | \end{enumerate} 139 | \end{ti} 140 | 141 | \begin{ti} 142 | 设 $F(x,y) = \frac{f(y - x)}{2x}$，$F(1,y) = \frac{y^{2}}{2} - y + 5$，$x_{0} > 0$，$x_{1} = F(x_{0},2x_{0})$，$\cdots$，$x_{n+1} = F(x_{n},2x_{n}), n = 1,2,\cdots$. 证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限. 143 | \end{ti} 144 | 145 | \begin{ti} 146 | 已知 147 | \[ 148 | f_{n}(x) = \CC_{n}^{1} \cos x - \CC_{n}^{2} \cos^{2}x + \cdots + (-1)^{n-1} \CC_{n}^{n} \cos^{n}x. 149 | \] 150 | \begin{enumerate} 151 | \item 证明方程 $f_{n}(x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $\left( 0,\frac{\uppi}{2} \right)$ 中仅有一根 $x_{n}, n = 1,2,3,\cdots$; 152 | \item 求 $\lim_{n \to \infty} f_{n}\left( \arccos\frac{1}{n} \right)$; 153 | \item 设 $x_{n} \in \left( 0,\frac{\uppi}{2} \right)$ 满足 $f_{n}(x_{n}) = \frac{1}{2}$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \frac{\uppi}{2}$. 154 | \end{enumerate} 155 | \end{ti} 156 | 157 | \begin{ti} 158 | \begin{enumerate} 159 | \item 证明：当 $x \to 0^{+}$ 时，不等式 $0 < \tan^{2}x - x^{2} < x^{4}$ 成立; 160 | \item 设 $x_{n} = \sum_{k=1}^{n} \tan^{2}\frac{1}{\sqrt{n+k}}$，求 $\lim_{n \to \infty}x_{n}$. 161 | \end{enumerate} 162 | \end{ti} 163 | 164 | \begin{ti} 165 | \begin{enumerate} 166 | \item 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，$f'(x) > 0, x \in (0,+\infty)$，证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加; 167 | \item 证明 $f(x) = \left( n^{x} + 1 \right)^{-\frac{1}{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加，其中 $n$ 为正整数; 168 | \item 设数列 $x_{n} = \sum_{k=1}^{n} \left( n^{k} + 1 \right)^{-\frac{1}{k}}$，求 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$. 169 | \end{enumerate} 170 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec1-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{连续与间断} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 当 $x \in \left( -\frac{1}{2},1 \right]$ 时，确定函数 $f(x) = \frac{\tan \uppi x}{|x|\left( x^{2} - 1 \right)}$ 的间断点，并判定其类型. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 确定函数 $f(x) = \frac{x(x - 1)}{|x| x^{2} - |x|}$ 的间断点，并判定其类型. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 设 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$， 13 | \[ 14 | A(x) = \begin{cases} 15 | \left( \frac{a^{x} + b^{x}}{2} \right)^{\frac{1}{x}}, & x \ne 0,\\ 16 | c, & x = 0. 17 | \end{cases} 18 | \] 19 | \begin{enumerate} 20 | \item 讨论 $A(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性; 21 | \item 讨论 $\lim_{x \to +\infty} A(x)$，$\lim_{x \to -\infty} A(x)$，$\lim_{x \to 0} A(x)$，$A(-1)$，$A(1)$ 五者之间的大小关系. 22 | \end{enumerate} 23 | \end{ti} 24 | 25 | \begin{ti} 26 | 求 $f(x) = \frac{1}{1 - \ee^{\frac{x}{1 - x}}}$ 的连续区间、间断点，并判别间断点的类型. 27 | \end{ti} 28 | 29 | \begin{ti} 30 | 求函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+2} - x^{-n}}{x^{n} + x^{-n}}$ 的间断点并指出其类型. 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 若 35 | \[ 36 | f(x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\lambda - \ee^{-kx}} 37 | \] 38 | 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$，则\kuo. 39 | 40 | \twoch{$\lambda < 0, k < 0$}{$\lambda < 0, k > 0$}{$\lambda \geq 0, k < 0$}{$\lambda \leq 0, k > 0$} 41 | \end{ti} 42 | 43 | \begin{ti} 44 | 若 45 | \[ 46 | f(x) = \begin{cases} 47 | \ee^{x} (\sin x + \cos x), & x > 0,\\ 48 | 2x + a, & x \leq 0 49 | \end{cases} 50 | \] 51 | 是 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数，则 $a =$\htwo. 52 | \end{ti} 53 | 54 | \begin{ti} 55 | 试讨论函数 $g(x) = \begin{cases} 56 | x^{\alpha} \sin\frac{1}{x}, & x > 0,\\ 57 | \ee^{x} + \beta, & x \leq 0 58 | \end{cases}$ 在点 $x = 0$ 处的连续性. 59 | \end{ti} 60 | 61 | \begin{ti} 62 | 求函数 $F(x) = \begin{cases} 63 | \frac{x(\uppi + 2x)}{2 \cos x}, & x \leq 0,\\ 64 | \sin\frac{1}{x^{2} - 1}, & x > 0 65 | \end{cases}$ 的间断点，并判断它们的类型. 66 | \end{ti} 67 | 68 | \begin{ti} 69 | 设 $f(x) = \lim_{n \to \infty}\frac{\ee^{\frac{1}{x}} \arctan\frac{1}{1 + x}}{x^{2} + \ee^{nx}}$，求 $f(x)$ 的间断点并判定其类型. 70 | \end{ti} 71 | 72 | \begin{ti} 73 | 设 $f(x) = \begin{cases} 74 | \ee^{\frac{1}{x - 1}}, & x > 0,\\ 75 | \ln(1 + x), & -1 < x < 0, 76 | \end{cases}$ 求 $f(x)$ 的间断点，并说明间断点的类型. 77 | \end{ti} 78 | 79 | \begin{ti} 80 | 设 $f(x;t) = \left( \frac{x - 1}{t - 1} \right)^{\frac{t}{x - t}}((x - 1)(t - 1)>0, x \ne t)$，函数 $f(x)$ 由表达式 81 | \[ 82 | f(x) = \lim_{t \to x}f(x;t) 83 | \] 84 | 确定，求 $f(x)$ 的连续区间和间断点，并判定间断点的类型. 85 | \end{ti} 86 | 87 | \begin{ti} 88 | 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdots$ 是 $[a,b]$ 上的一个点列，求 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ee^{f(x_{k})}}$. 89 | \end{ti} 90 | 91 | \begin{ti} 92 | \begin{enumerate} 93 | \item 求函数 \[f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + (2x)^{n} + x^{2n}}\] $(x \geq 0)$ 的表达式; 94 | \item 讨论函数 $f(x)$ 的连续性. 95 | \end{enumerate} 96 | \end{ti} 97 | 98 | \begin{ti} 99 | 已知 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} + ax^{2} + bx}{x^{2n} + 1}$ 是连续函数，求 $a,b$ 的值. 100 | \end{ti} 101 | 102 | \begin{ti} 103 | 求函数 $f(x) = \frac{x^{3} + 1}{|x + 1|\left( x^{2} - x \right)} \sin\left( \frac{|x - 1|}{x + 2}\uppi \right)$ 的所有间断点，并判断它们的类型. 104 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{线性代数} 2 | 线性代数是硕士研究生招生考试考查内容之一，主要考查考生对线性代数的基本概念基本理论、基本运算的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。在考研数学一试卷中分值为 34 分，约占 \SI{22}{\percent}。 3 | \section{行列式} 4 | 5 | \begin{titwo} 6 | 设 $\begin{vsmallmatrix} 7 | a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 8 | a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 9 | a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ 10 | a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} 11 | \end{vsmallmatrix} = m, c \ne 0$，则 12 | \[ 13 | \begin{vsmallmatrix} 14 | a_{11} & a_{12}c & a_{13}c^{2} & a_{14}c^{3}\\ 15 | a_{21}c^{-1} & a_{22} & a_{23}c & a_{24}c^{2}\\ 16 | a_{31}c^{-2} & a_{32}c^{-1} & a_{33} & a_{34}c\\ 17 | a_{41}c^{-3} & a_{42}c^{-2} & a_{43}c^{-1} & a_{44} 18 | \end{vsmallmatrix} 19 | \] 20 | 等于\kuo. 21 | 22 | \fourch{$c^{-2}m$}{$m$}{$cm$}{$c^{3}m$} 23 | \end{titwo} 24 | 25 | \begin{titwo} 26 | $\begin{vsmallmatrix} 27 | a & b & c & d \\ 28 | x & 0 & 0 & y \\ 29 | y & 0 & 0 & x \\ 30 | d & c & b & a 31 | \end{vsmallmatrix} = $\htwo. 32 | \end{titwo} 33 | 34 | \begin{titwo} 35 | 设 $a, b, a + b$ 均非零，则行列式 $\begin{vsmallmatrix} 36 | a & b & a + b \\ 37 | b & a + b & a \\ 38 | a + b & a & b \\ 39 | \end{vsmallmatrix} = $ 40 | 41 | \noindent\htwo. 42 | \end{titwo} 43 | 44 | \begin{titwo} 45 | 设 $n$ 阶矩阵 $\bm A = \begin{bsmallmatrix} 46 | 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 47 | 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 48 | 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 49 | \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 50 | 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\ 51 | 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 52 | \end{bsmallmatrix}$，则 $|\bm A| = $\htwo. 53 | \end{titwo} 54 | 55 | \begin{titwo} 56 | 计算 $n$ 阶行列式 $\begin{bsmallmatrix} 57 | a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 58 | 0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ 59 | 0 & 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ 60 | \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 61 | 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ 62 | b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a 63 | \end{bsmallmatrix}$. 64 | \end{titwo} 65 | 66 | \begin{titwo} 67 | 计算行列式 $\begin{vsmallmatrix} 68 | x + 1 & x & x & \cdots & x \\ 69 | x & x + \frac{1}{2} & x & \cdots & x \\ 70 | x & x & x + \frac{1}{3} & \cdots & x \\ 71 | \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 72 | x & x & x & \cdots & x + \frac{1}{n} 73 | \end{vsmallmatrix}$. 74 | \end{titwo} 75 | 76 | \begin{titwo} 77 | 计算行列式 $\begin{vsmallmatrix} 78 | 1 - x & x & 0 & 0 & 0 \\ 79 | -1 & 1 - x & x & 0 & 0 \\ 80 | 0 & -1 & 1 - x & x & 0 \\ 81 | 0 & 0 & -1 & 1 - x & x \\ 82 | 0 & 0 & 0 & -1 & 1 - x 83 | \end{vsmallmatrix}$. 84 | \end{titwo} 85 | 86 | \begin{titwo} 87 | 计算行列式 $\begin{vsmallmatrix} 88 | a & b & c & d \\ 89 | -b & a & -d & c \\ 90 | -c & d & a & -b \\ 91 | -d & -c & b & a \\ 92 | \end{vsmallmatrix}$. 93 | \end{titwo} 94 | 95 | \begin{titwo} 96 | 行列式 $D_{n+1} = \begin{vsmallmatrix} 97 | a^{n} & (a + 1)^{n} & \cdots & (a + n)^{n} \\ 98 | a^{n - 1} & (a + 1)^{n - 1} & \cdots & (a + n)^{n - 1} \\ 99 | \vdots & \vdots & & \vdots \\ 100 | a & a + 1 & \cdots & a + n \\ 101 | 1 & 1 & \cdots & 1 102 | \end{vsmallmatrix} = $\htwo. 103 | \end{titwo} 104 | 105 | \begin{titwo} 106 | 设 $n$ 阶行列式 107 | \[ 108 | D_{n} = \begin{vsmallmatrix} 109 | 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 110 | 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 111 | 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ 112 | \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 113 | 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 1 \\ 114 | 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 115 | \end{vsmallmatrix}, 116 | \] 117 | 则 $\sum_{i=1}^{n} D_{i} = $\htwo. 118 | \end{titwo} 119 | 120 | \begin{titwo} 121 | 设 $D_{n} = \begin{vsmallmatrix} 122 | a + 2 & 2a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 123 | 1 & a + 2 & 2a & \cdots & 0 & 0 \\ 124 | 0 & 1 & a + 2 & \cdots & 0 & 0 \\ 125 | \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 126 | 0 & 0 & 0 & \cdots & a + 2 & 2a \\ 127 | 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a + 2 128 | \end{vsmallmatrix}$，其中 $n \geq 3$. 129 | 130 | \noindent 则 $\frac{D_{n} - a D_{n - 1}}{D_{n - 1} - a D_{n - 2}} = $\htwo. 131 | \end{titwo} 132 | 133 | \begin{titwo} 134 | 设 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3},\bm \beta_{1},\bm \beta_{2}$ 都是 $4$ 维列向量，且 $4$ 阶行列式 $\bigl|\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3},\bm \beta_{1}\bigr| = m,\bigl|\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \beta_{2},\bm \alpha_{3}\bigr| = n$，则 $4$ 阶行列式 $\bigl|\bm \alpha_{3},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{1},\bm \beta_{1} + \bm \beta_{2}\bigr|$ 等于\kuo. 135 | 136 | \fourch{$m + n$}{$- (m + n)$}{$n - m$}{$m - n$} 137 | \end{titwo} 138 | 139 | \begin{titwo} 140 | 设 $\bm A = [\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}]$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $|\bm A| = 4$，若 141 | \[ 142 | \bm B = [\bm \alpha_{1} - 3 \bm \alpha_{2} + 2 \bm \alpha_{3}, \bm \alpha_{2} - 2 \bm \alpha_{3}, 2 \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{3}], 143 | \] 144 | 则 $|\bm B| = $\htwo. 145 | \end{titwo} 146 | 147 | \begin{titwo} 148 | 设 $\bm A$ 是 $m$ 阶矩阵，$\bm B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 149 | \[ 150 | |\bm A| = a, |\bm B| = b, \bm C = \begin{bsmallmatrix} 151 | \bm O & \bm A \\ 152 | \bm B & \bm O 153 | \end{bsmallmatrix}, 154 | \] 155 | 则 $|\bm C| = $\htwo. 156 | \end{titwo} 157 | 158 | \begin{titwo} 159 | 设 $\bm A$ 为奇数阶矩阵，且 $\bm A \bm A^{\TT} = \bm A^{\TT} \bm A = \bm E, |\bm A| > 0$，则 $|\bm A - \bm E| = $\htwo. 160 | \end{titwo} 161 | 162 | \begin{titwo} 163 | 设 $\bm A$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $\bm A \bm A^{\TT} = \bm E$($\bm E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\bm A^{\TT}$ 是 $\bm A$ 的转置矩阵)，且 $|\bm A| < 0$，求 $|\bm A + \bm E|$. 164 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-10.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{二次型化标准形、规范形} 2 | \begin{titwo} 3 | 二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 4x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 4\*x_{1}x_{3} - 8x_{2}x_{3}$ 的规范形是 \kuo. 4 | 5 | \twoch{$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2}$}{$z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2}$}{$z_{1}^{2} - z_{2}^{2}$}{$z_{1}^{2}$} 6 | \end{titwo} 7 | 8 | \begin{titwo} 9 | 若二次型 10 | \[ 11 | f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{2}x_{3} - 2ax_{1}x_{3} 12 | \] 13 | 的正、负惯性指数都是 $1$. 则 $a = $ \htwo. 14 | \end{titwo} 15 | 16 | \begin{titwo} 17 | 已知 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 5x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + cx_{3}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 6x_{1}x_{3} - 6x_{2}x_{3}$ 的秩为 $2$. 试确定参数 $c$ 及二次型对应矩阵的特征值，并问 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 1$ 表示何种曲面. 18 | \end{titwo} 19 | 20 | \begin{titwo} 21 | 设 $\bm A \sim \bm \varLambda = \begin{bsmallmatrix} 22 | 1 & 0 & 0 \\ 23 | 0 & 2 & 0 \\ 24 | 0 & 0 & 3 25 | \end{bsmallmatrix}$, $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 5$，则 $f(\bm A) = $ \htwo. 26 | \end{titwo} 27 | 28 | \begin{titwo} 29 | 设 $\bm A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$\lambda = 5$ 是 $\bm A$ 的二重特征值. 对应的特征向量为 $\bm \xi_{1} = [1,-1,2]^{\TT}$, $\bm \xi_{2} = [1,2,1]^{\TT}$，则二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = \bm x^{\TT} \bm A \bm x$ 在 $\bm x_{0} = [1,5,$ $0]^{\TT}$ 的值 $f(1,5,0) = $ \htwo. 30 | \end{titwo} 31 | 32 | \begin{titwo} 33 | 已知二次型 34 | \[ 35 | f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 4x_{2}^{2} - 3x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} + 8x_{2}x_{3}. 36 | \] 37 | \begin{enumerate} 38 | \item 写出二次型 $f$ 的矩阵表达式; 39 | \item 用正交变换把二次型 $f$ 化为标准形，并写出相应的正交矩阵. 40 | \end{enumerate} 41 | \end{titwo} 42 | 43 | \begin{titwo} 44 | 已知二次曲面方程 45 | \[ 46 | x^{2} + ay^{2} + z^{2} + 2bxy + 2xz + 2yz = 4 47 | \] 48 | 可以经过正交变换 49 | \[ 50 | \begin{bsmallmatrix} 51 | x \\ 52 | y \\ 53 | z 54 | \end{bsmallmatrix} = \bm P 55 | \begin{bsmallmatrix} 56 | \xi \\ 57 | \eta \\ 58 | \zeta 59 | \end{bsmallmatrix} 60 | \] 61 | 化为椭圆柱面方程 $\eta^{2} + 4 \zeta^{2} = 4$，求 $a$, $b$ 的值和正交矩阵 $\bm P$. 62 | \end{titwo} 63 | 64 | \begin{titwo} 65 | 已知 $f(x,y) = x^{2} + 4xy + y^{2}$，求正交矩阵 $\begin{bsmallmatrix} 66 | x \\ 67 | y 68 | \end{bsmallmatrix} = \bm P \begin{bsmallmatrix} 69 | u \\ 70 | v 71 | \end{bsmallmatrix}$ 中的矩阵 $\bm P$，使得 72 | \[ 73 | f(x,y) = 2u^{2} + 2\sqrt{3} uv. 74 | \] 75 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-11.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{合同} 2 | \begin{titwo} 3 | 实二次型 $f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 的秩为 $r$，符号差为 $s$，且 $f$ 和 $-f$ 对应的矩阵合同，则必有 \kuo. 4 | 5 | \twoch{$r$ 是偶数，$s = 1$}{$r$ 是奇数，$s = 1$}{$r$ 是偶数，$s = 0$}{$r$ 是奇数，$s = 0$} 6 | \end{titwo} 7 | 8 | \begin{titwo} 9 | 设方阵 $\bm A_{1}$ 与 $\bm B_{1}$ 合同，$\bm A_{2}$ 与 $\bm B_{2}$ 合同，证明：$\begin{bsmallmatrix} 10 | \bm A_{1} & \\ 11 | & \bm A_{2} 12 | \end{bsmallmatrix}$ 与 $\begin{bsmallmatrix} 13 | \bm B_{1} & \\ 14 | & \bm B_{2} 15 | \end{bsmallmatrix}$ 合同. 16 | \end{titwo} 17 | 18 | \begin{titwo} 19 | 设 $\bm A$, $\bm B$ 是 $n$ 阶实对称可逆矩阵，则存在 $n$ 阶可逆阵 $\bm P$，使得下列关系式 \circled{1} $\bm P \bm A = \bm B$; \circled{2} $\bm P^{-1} \bm A \bm B \bm P = \bm B \bm A$; \circled{3} $\bm P^{-1} \bm A \bm P = \bm B$; \circled{4} $\bm P^{\TT} \bm A^{2} \bm P = \bm B^{2}$ 成立的个数是 \kuo. 20 | 21 | \fourch{1}{2}{3}{4} 22 | \end{titwo} 23 | 24 | \begin{titwo} 25 | 有三组二次型\\ 26 | \circled{1}~$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 4x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$, $g(y_{1},y_{2},y_{3}) = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + 2y_{2}y_{3} + y_{3}^{2}$;\\ 27 | \circled{2}~$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = \lambda_{1} x_{1}^{2} + \lambda_{2} x_{2}^{2} + \lambda_{3} x_{3}^{2}$, $g(y_{1},y_{2},y_{3}) = \lambda_{3} y_{1}^{2} + \lambda_{1} y_{2}^{2} + \lambda_{2} y_{3}^{2}$;\\ 28 | \circled{3}~$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$, $g(y_{1},y_{2},y_{3}) = y_{2}^{2} + 2y_{1}y_{3}$.\\ 29 | 二次型矩阵彼此合同的有 \kuo. 30 | 31 | \fourch{0 组}{1 组}{2 组}{3 组} 32 | \end{titwo} 33 | 34 | \begin{titwo} 35 | 设 $3$ 阶实对称矩阵 36 | \[ 37 | \bm A = \begin{bsmallmatrix} 38 | a_{1} + a_{2} + a_{3} & a_{2} + a_{3} & a_{3} \\ 39 | a_{2} + a_{3} & a_{2} + a_{3} & a_{3} \\ 40 | a_{3} & a_{3} & a_{3} 41 | \end{bsmallmatrix}, 42 | \bm B = \begin{bsmallmatrix} 43 | k_{3}a_{1} & 0 & 0 \\ 44 | 0 & k_{2}a_{2} & 0 \\ 45 | 0 & 0 & k_{1}a_{3} 46 | \end{bsmallmatrix}, 47 | \] 48 | 其中 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 为大于 $0$ 的任意常数. 证明 $\bm A$ 与 $\bm B$ 合同，并求出可逆矩阵 $\bm C$，使得 $\bm C^{\TT} \bm A \bm C = \bm B$. 49 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-12.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{正定} 2 | \begin{titwo} 3 | 已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2t\*x_{1}\*x_{2} + tx_{2}x_{3}$ 是正定的，则 $t$ 的取值范围是 \htwo. 4 | \end{titwo} 5 | 6 | \begin{titwo} 7 | 设矩阵 $\bm A = \begin{bsmallmatrix} 8 | 1 & 0 & 1 \\ 9 | 0 & 2 & 0 \\ 10 | 1 & 0 & 1 11 | \end{bsmallmatrix}$，矩阵 $\bm B = (k \bm E + \bm A)^{2}$，求对角矩阵 $\bm \varLambda$，使得 $\bm B$ 和 $\bm \varLambda$ 相似，并问 $k$ 为何值时，$\bm B$ 为正定矩阵. 12 | \end{titwo} 13 | 14 | \begin{titwo} 15 | 设 $\bm A$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定，$\bm B$ 为 $m \times n$ 实矩阵，$\bm B^{\TT}$ 为 $\bm B$ 的转置矩阵. 证明：$\bm B^{\TT} \bm A \bm B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $r(\bm B) = n$. 16 | \end{titwo} 17 | 18 | \begin{titwo} 19 | 设 $\bm A$ 与 $\bm B$ 均为正交矩阵，并且 $|\bm A| + |\bm B| = 0$. 证明：$\bm A + \bm B$ 不可逆. 20 | \end{titwo} 21 | 22 | \begin{titwo} 23 | 下列矩阵中，是正定矩阵的是 \kuo. 24 | 25 | \twoch{$\bm A = \begin{bsmallmatrix} 26 | 1 & -1 & 0 \\ 27 | -1 & 0 & 1 \\ 28 | 0 & 1 & 2 29 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm B = \begin{bsmallmatrix} 30 | 1 & 1 & -1 \\ 31 | 1 & 5 & 0 \\ 32 | -1 & 0 & -2 33 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm C = \begin{bsmallmatrix} 34 | 1 & 0 & 0 \\ 35 | 0 & 4 & 2 \\ 36 | 0 & 2 & 1 37 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm D = \begin{bsmallmatrix} 38 | 2 & 1 & 0 \\ 39 | 1 & 1 & -1 \\ 40 | 0 & -1 & 5 41 | \end{bsmallmatrix}$} 42 | \end{titwo} 43 | \guanggao -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{向量组的线性相关和线性无关} 2 | 3 | \begin{titwo} 4 | $n$ 维向量组 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s} (3 \leq s \leq n)$ 线性无关的充要条件是\kuo. 5 | 6 | \onech{存在一组全为零的数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$，使 $k_{1} \bm \alpha_{1} + k_{2} \bm \alpha_{2} + \cdots + k_{s} \bm \alpha_{s} = \bm 0$}{$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 中任意两个向量都线性无关}{$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出}{存在一组不全为零的数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$，使 $k_{1} \bm \alpha_{1} + k_{2} \bm \alpha_{2} + \cdots + k_{s} \bm \alpha_{s} \ne \bm 0$} 7 | \end{titwo} 8 | 9 | \begin{titwo} 10 | 已知向量组 $\bm \alpha_{1} , \bm \alpha_{2} , \bm \alpha_{3} , \bm \alpha_{4}$ 线性无关，则向量组 $2 \bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{3} + \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{2} - \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{3} + \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{3}, 2 \bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{3}$ 的秩是\kuo. 11 | 12 | \fourch{$1$}{$2$}{$3$}{$4$} 13 | \end{titwo} 14 | 15 | \begin{titwo} 16 | 已知 $3$ 维向量组 $\bm \alpha_{1} , \bm \alpha_{2} , \bm \alpha_{3}$ 线性无关，则向量组 $\bm \alpha_{1} - \bm \alpha_{2}, \bm \alpha_{2} - k \bm \alpha_{3}, \bm \alpha_{3} - \bm \alpha_{1}$ 也线性无关的充要条件是\htwo. 17 | \end{titwo} 18 | 19 | \begin{titwo} 20 | 设有两个 $n$ 维向量组 21 | \begin{align*} 22 | (\text{\Rmnum{1}})&\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s},\\ 23 | (\text{\Rmnum{2}})&\bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{s}, 24 | \end{align*} 25 | 若存在两组不全为零的数 $k_{1},k_{2},\allowbreak \cdots,\allowbreak k_{s},\allowbreak \lambda_{1},\allowbreak \lambda_{2},\allowbreak \cdots,\allowbreak \lambda_{s}$，使 $(k_{1} + \lambda_{1}) \bm \alpha_{1} + (k_{2} + \lambda_{2}) \bm \alpha_{2} + \cdots + (k_{s} + \lambda_{s}) \bm \alpha_{s} + (k_{1} - \lambda_{1}) \bm \beta_{1} + \cdots + (k_{s} - \lambda_{s}) \bm \beta_{s} = \bm 0$，则\kuo. 26 | 27 | \onech{$\bm \alpha_{1} + \bm \beta_{1}, \cdots, \bm \alpha_{s} + \bm \beta_{s}, \bm \alpha_{1} - \bm \beta_{1}, \cdots, \bm \alpha_{s} - \bm \beta_{s}$ 线性相关}{$\bm \alpha_{1} + \bm \beta_{1}, \cdots, \bm \alpha_{s} + \bm \beta_{s}, \bm \alpha_{1} - \bm \beta_{1}, \cdots, \bm \alpha_{s} - \bm \beta_{s}$ 线性无关}{$\bm \alpha_{1}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 及 $\bm \beta_{1}, \cdots, \bm \beta_{s}$ 均线性相关}{$\bm \alpha_{1}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 及 $\bm \beta_{1}, \cdots, \bm \beta_{s}$ 均线性无关} 28 | \end{titwo} 29 | 30 | \begin{titwo} 31 | 已知 $n$ 维向量组 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 线性无关，则向量组 $\bm \alpha_{1}', \bm \alpha_{2}', \cdots, \bm \alpha_{s}'$ 可能线性相关的是\kuo. 32 | 33 | \onech{$\bm \alpha_{i}'(i = 1,2,\cdots,s)$ 是 $\bm \alpha_{i}(i = 1,2,\cdots,s)$ 中第一个分量加到第 $2$ 个分量得到的向量}{$\bm \alpha_{i}'(i = 1,2,\cdots,s)$ 是 $\bm \alpha_{i}(i = 1,2,\cdots,s)$ 中第一个分量改变成其相反数的向量}{$\bm \alpha_{i}'(i = 1,2,\cdots,s)$ 是 $\bm \alpha_{i}(i = 1,2,\cdots,s)$ 中第一个分量改为 $0$ 的向量}{$\bm \alpha_{i}'(i = 1,2,\cdots,s)$ 是 $\bm \alpha_{i}(i = 1,2,\cdots,s)$ 中第 $n$ 个分量后再增添一个分量的向量} 34 | \end{titwo} 35 | 36 | \begin{titwo} 37 | 设向量组 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}(s \geq 2)$ 线性无关，且 38 | \begin{gather*} 39 | \bm \beta_{1} = \bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{2}, 40 | \bm \beta_{2} = \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{3},\\ 41 | \cdots,\\ 42 | \bm \beta_{s - 1} = \bm \alpha_{s - 1} + \bm \alpha_{s}, 43 | \bm \beta_{s} = \bm \alpha_{s} + \bm \alpha_{1}. 44 | \end{gather*} 45 | 讨论向量组 $\bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{s}$ 的线性相关性. 46 | \end{titwo} 47 | 48 | \begin{titwo} 49 | 已知向量组 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s + 1}(s > 1)$ 线性无关， 50 | \[ 51 | \bm \beta_{i} = \bm \alpha_{i} + t \bm \alpha_{i+1}, i = 1,2,\cdots,s. 52 | \] 53 | 证明：向量组 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\cdots,\bm \beta_{s}$ 线性无关. 54 | \end{titwo} 55 | 56 | \begin{titwo} 57 | 设 $\bm A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，$\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 是 $3$ 维列向量，且线性无关，已知 58 | \[ 59 | \bm A \bm \alpha_{1} = \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{3}, 60 | \bm A \bm \alpha_{2} = \bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{3}, 61 | \bm A \bm \alpha_{3} = \bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{2}. 62 | \] 63 | \begin{enumerate} 64 | \item 证明 $\bm A \bm \alpha_{1},\bm A \bm \alpha_{2},\bm A \bm \alpha_{3}$ 线性无关; 65 | \item 求 $|\bm A|$. 66 | \end{enumerate} 67 | \end{titwo} 68 | 69 | \begin{titwo} 70 | 已知 $\bm A$ 是 $n$ 阶矩阵，$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 是 $n$ 维线性无关向量组，若 $\bm A \bm \alpha_{1}, \bm A \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm A \bm \alpha_{s}$ 线性相关. 证明：$\bm A$ 不可逆. 71 | \end{titwo} 72 | 73 | \begin{titwo} 74 | 设 $\bm A$ 是 $n \times m$ 矩阵，$\bm B$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\bm E$ 是 $n$ 阶单位矩阵. 若 $\bm A \bm B = \bm E$，证明：$\bm B$ 的列向量组线性无关. 75 | \end{titwo} 76 | 77 | \begin{titwo} 78 | 设 $\bm A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{n}$ 为 $n$ 维非零列向量，且满足 79 | \[ 80 | \bm \alpha_{i}^{\TT} \bm A^{-1} \bm \alpha_{j} = 0(i \ne j; i,j = 1,2,\cdots,n). 81 | \] 82 | 试证：向量组 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{n}$ 线性无关. 83 | \end{titwo} 84 | 85 | \begin{titwo} 86 | 设 $\bm A, \bm B, \bm C$ 均是 $3$ 阶矩阵，满足 $\bm A \bm B = - 2 \bm B,\allowbreak \bm C \bm A^{\TT} = 2 \bm C$. 其中 87 | \[ 88 | \bm B = \begin{bsmallmatrix} 89 | 1 & 2 & 3 \\ 90 | -1 & 1 & 0 \\ 91 | 2 & -1 & 1 92 | \end{bsmallmatrix}, 93 | \bm C = \begin{bsmallmatrix} 94 | 1 & -2 & 1 \\ 95 | -2 & 4 & -2 \\ 96 | -1 & 2 & -1 97 | \end{bsmallmatrix}. 98 | \] 99 | \begin{enumerate} 100 | \item 求 $\bm A$; 101 | \item 证明：对任何 $3$ 维向量 $\bm \xi$，$\bm A^{100} \bm \xi$ 与 $\bm \xi$ 必线性相关. 102 | \end{enumerate} 103 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{向量组的线性表示} 2 | 3 | \begin{titwo} 4 | 设向量组 5 | \[ 6 | (\text{\Rmnum{1}})\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s} 7 | \] 8 | 线性无关，(\Rmnum{2})$\bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{t}$ 线性无关，且 $\bm \alpha_{i}(i = 1,2,\cdots,s)$ 不能由(\Rmnum{2})$\bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{t}$ 线性表出，$\bm \beta_{j}(j = 1,2,\cdots,t)$ 不能由(\Rmnum{1})$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 线性表出，则向量组 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}, \bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{t}$\kuo. 9 | 10 | \onech{必线性相关}{必线性无关}{可能线性相关，也可能线性无关}{以上都不正确} 11 | \end{titwo} 12 | 13 | \begin{titwo} 14 | 设 15 | \begin{gather*} 16 | \bm \alpha_{1} = [1,0,-1,2]^{\TT}, \bm \alpha_{2} = [2,-1,-2,6]^{\TT},\\ 17 | \bm \alpha_{3} = [3,1,t,4]^{\TT}, \bm \beta = [4,-1,-5,10]^{\TT}, 18 | \end{gather*} 19 | 已知 $\bm \beta$ 不能由 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \bm \alpha_{3}$ 线性表出，则 $t = $\htwo. 20 | \end{titwo} 21 | 22 | \begin{titwo} 23 | 已知 24 | \begin{gather*} 25 | \bm \alpha_{1} = [1,-1,1]^{\TT},\bm \alpha_{2} = [1,t,-1]^{\TT},\\ 26 | \bm \alpha_{3} = [t,1,2]^{\TT},\bm \beta = \bigl[4,t^{2},-4\bigr]^{\TT}, 27 | \end{gather*} 28 | 若 $\bm \beta$ 可由 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性表示，且表示法不唯一，求 $t$ 及 $\bm \beta$ 的表达式. 29 | \end{titwo} 30 | 31 | \begin{titwo} 32 | 已知 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3},\bm \alpha_{4}$ 为 $3$ 维非零列向量，则下列结论：\\ 33 | \circled{1}如果 $\bm \alpha_{4}$ 不能由 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性表出，则 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性相关;\\ 34 | \circled{2}如果 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性相关，$\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3},\bm \alpha_{4}$ 线性相关，则 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{4}$ 也线性相关;\\ 35 | \circled{3}如果 $r(\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{2}, \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{3}) = r(\bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{3} + \bm \alpha_{4})$，则 $\bm \alpha_{4}$ 可以由 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性表出.\\ 36 | 其中正确的个数为\kuo. 37 | 38 | \fourch{$0$}{$1$}{$2$}{$3$} 39 | \end{titwo} 40 | 41 | \begin{titwo} 42 | 向量组(\Rmnum{1}) $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$，其秩为 $r_{1}$，向量组(\Rmnum{2}) $\bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{s}$，其秩为 $r_{2}$，且 $\bm \beta_{i} (i = 1,2,\cdots,s)$ 均可由向量组(\Rmnum{1})$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 线性表出，则必有\kuo. 43 | 44 | \onech{$\bm \alpha_{1} + \bm \beta_{1}, \bm \alpha_{2} + \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s} + \bm \beta_{s}$ 的秩为 $r_{1} + r_{2}$}{$\bm \alpha_{1} - \bm \beta_{1}, \bm \alpha_{2} - \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s} - \bm \beta_{s}$ 的秩为 $r_{1} - r_{2}$}{$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}, \bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{s}$ 的秩为 $r_{1} + r_{2}$}{$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}, \bm \beta_{1}, \bm \beta_{2}, \cdots, \bm \beta_{s}$ 的秩为 $r_{1}$} 45 | \end{titwo} 46 | 47 | \begin{titwo} 48 | 已知向量组 49 | \[ 50 | \bm \alpha_{1} = \begin{bsmallmatrix} 51 | 1 \\ 52 | -1 \\ 53 | 2 54 | \end{bsmallmatrix}, 55 | \bm \alpha_{2} = \begin{bsmallmatrix} 56 | 0 \\ 57 | 3 \\ 58 | 1 59 | \end{bsmallmatrix}, 60 | \bm \alpha_{3} = \begin{bsmallmatrix} 61 | 3 \\ 62 | 0 \\ 63 | 7 64 | \end{bsmallmatrix} 65 | \] 66 | 与向量组 67 | \[ 68 | \bm \beta_{1} = \begin{bsmallmatrix} 69 | 1 \\ 70 | -2 \\ 71 | 2 72 | \end{bsmallmatrix}, 73 | \bm \beta_{2} = \begin{bsmallmatrix} 74 | 2 \\ 75 | 1 \\ 76 | 5 77 | \end{bsmallmatrix}, 78 | \bm \beta_{3} = \begin{bsmallmatrix} 79 | x \\ 80 | 3 \\ 81 | 3 82 | \end{bsmallmatrix} 83 | \] 84 | 等秩，则 $x = $\htwo. 85 | \end{titwo} 86 | 87 | \begin{titwo} 88 | 已知 $\bm \alpha_{1} = [1,2,-3,1]^{\TT}, \bm \alpha_{2} = [5,\allowbreak -5,\allowbreak a,\allowbreak 11]^{\TT},\allowbreak \bm \alpha_{3} = [1,\allowbreak -3,\allowbreak 6,\allowbreak 3]^{\TT}, \bm \alpha_{4} = [2,\allowbreak -1,\allowbreak 3,a]^{\TT}$. 问： 89 | \begin{enumerate} 90 | \item 当 $a$ 为何值时，向量组 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3},\bm \alpha_{4}$ 线性相关; 91 | \item 当 $a$ 为何值时，向量组 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3},\bm \alpha_{4}$ 线性无关; 92 | \item 当 $a$ 为何值时，$\bm \alpha_{4}$ 能由 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性表出，并写出它的表出式. 93 | \end{enumerate} 94 | \end{titwo} 95 | 96 | \begin{titwo} 97 | 已知 98 | \[ 99 | \bm \alpha_{1} = \begin{bsmallmatrix} 100 | 1 + \lambda \\ 101 | 1 \\ 102 | 1 103 | \end{bsmallmatrix}, 104 | \bm \alpha_{2} = \begin{bsmallmatrix} 105 | 1 \\ 106 | 1 + \lambda \\ 107 | 1 108 | \end{bsmallmatrix}, 109 | \bm \alpha_{3} = \begin{bsmallmatrix} 110 | 1 \\ 111 | 1 \\ 112 | 1 + \lambda 113 | \end{bsmallmatrix}, 114 | \bm \beta = \begin{bsmallmatrix} 115 | 0 \\ 116 | \lambda \\ 117 | \lambda^{2} 118 | \end{bsmallmatrix}. 119 | \] 120 | 问 $\lambda$ 取何值时，有： 121 | \begin{enumerate} 122 | \item $\beta$ 可由 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性表出，且表达式唯一; 123 | \item $\beta$ 可由 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性表出，但表达式不唯一; 124 | \item $\beta$ 不能由 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 线性表出. 125 | \end{enumerate} 126 | \end{titwo} 127 | 128 | \begin{titwo} 129 | 已知 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s}$ 线性无关，$\beta$ 可由 $\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2},$ $\cdots, \bm \alpha_{s}$ 线性表出，且表达式的系数全不为零. 证明：$\bm \alpha_{1}, \bm \alpha_{2}, \cdots, \bm \alpha_{s},\beta$ 中任意 $s$ 个向量均线性无关. 130 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{向量组的等价} 2 | 3 | \begin{titwo} 4 | 已知向量组(\Rmnum{1}) $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3},\bm \alpha_{4}$ 线性无关，则与(\Rmnum{1})等价的向量组是\kuo. 5 | 6 | \onech{$\bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{2}, \bm \alpha_{2} + \bm \alpha_{3}, \bm \alpha_{3} + \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{4} + \bm \alpha_{1}$}{$\bm \alpha_{1} - \bm \alpha_{2}, \bm \alpha_{2} - \bm \alpha_{3}, \bm \alpha_{3} - \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{4} - \bm \alpha_{1}$}{$\bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{2}, \bm \alpha_{2} - \bm \alpha_{3}, \bm \alpha_{3} + \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{4} - \bm \alpha_{1}$}{$\bm \alpha_{1} + \bm \alpha_{2}, \bm \alpha_{2} - \bm \alpha_{3}, \bm \alpha_{3} - \bm \alpha_{4}, \bm \alpha_{4} - \bm \alpha_{1}$} 7 | \end{titwo} 8 | 9 | \begin{titwo} 10 | 已知向量组(\Rmnum{1})与向量组(\Rmnum{2})，若(\Rmnum{1})可由(\Rmnum{2})线性表示，且 $r(\text{\Rmnum{1}}) = r(\text{\Rmnum{2}}) = r$. 证明：(\Rmnum{1})与(\Rmnum{2})等价. 11 | \end{titwo} 12 | 13 | \begin{titwo} 14 | 设 $n$ 维列向量组 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\cdots,\bm \alpha_{m}(m < n)$ 线性无关，则 $n$ 维列向量组 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\cdots,\bm \beta_{m}$ 线性无关的充分必要条件为\kuo. 15 | 16 | \onech{向量组 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\cdots,\bm \alpha_{m}$ 可由向量组 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\cdots,\bm \beta_{m}$ 线性表出}{向量组 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\cdots,\bm \beta_{m}$ 可由向量组 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\cdots,\bm \alpha_{m}$ 线性表出}{向量组 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\cdots,\bm \alpha_{m}$ 与向量组 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\cdots,\bm \beta_{m}$ 等价}{矩阵 $\bm A = [\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\cdots,\bm \alpha_{m}]$ 与矩阵 $\bm B = \bigl[\bm \beta_{1},$ $\bm \beta_{2},$ $\cdots,$ $\bm \beta_{m}\bigr]$ 等价} 17 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{向量空间} 2 | 3 | \begin{titwo} 4 | 已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的两个基分别为 5 | \[ 6 | \bm \alpha_{1} = \begin{bsmallmatrix} 7 | 1 \\ 8 | 1 \\ 9 | 1 10 | \end{bsmallmatrix}, 11 | \bm \alpha_{2} = \begin{bsmallmatrix} 12 | 1 \\ 13 | 0 \\ 14 | -1 15 | \end{bsmallmatrix}, 16 | \bm \alpha_{3} = \begin{bsmallmatrix} 17 | 1 \\ 18 | 0 \\ 19 | 1 20 | \end{bsmallmatrix} 21 | \] 22 | 与 23 | \[ 24 | \bm \beta_{1} = \begin{bsmallmatrix} 25 | 1 \\ 26 | 2 \\ 27 | 1 28 | \end{bsmallmatrix}, 29 | \bm \beta_{2} = \begin{bsmallmatrix} 30 | 2 \\ 31 | 3 \\ 32 | 4 33 | \end{bsmallmatrix}, 34 | \bm \beta_{3} = \begin{bsmallmatrix} 35 | 3 \\ 36 | 4 \\ 37 | 3 38 | \end{bsmallmatrix}, 39 | \] 40 | 求由基 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 到基 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\bm \beta_{3}$ 的过渡矩阵 $\bm P$. 41 | \end{titwo} 42 | 43 | \begin{titwo} 44 | 设 $\bm \alpha_{1} = [1,0,1]^{\TT},\bm \alpha_{2} = [1,1,-1]^{\TT},\bm \alpha_{3} = [1,-1,1]^{\TT};$ $\bm \beta_{1} = [3,0,1]^{\TT}, \bm \beta_{2} = [2,0,0]^{\TT}, \bm \beta_{3} = [0,2,-2]^{\TT}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的两个基. 若向量 $\bm \xi$ 在基 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\bm \beta_{3}$ 下的坐标为 $[1,2,0]^{\TT}$，则 $\bm \xi$ 在基 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 下的坐标为\kuo. 45 | 46 | \twoch{$[1,3,3]^{\TT}$}{$[-1,3,3]^{\TT}$}{$[-1,-3,3]^{\TT}$}{$[-1,3,-3]^{\TT}$} 47 | \end{titwo} 48 | 49 | \begin{titwo} 50 | 设 $\mathbb{R}^{3}$ 中两个基 51 | \begin{gather*} 52 | \bm \alpha_{1} = [1,1,0]^{\TT}, \bm \alpha_{2} = [0,1,1]^{\TT}, \bm \alpha_{3} = [1,0,1]^{\TT}; \\ 53 | \bm \beta_{1} = [1,0,0]^{\TT}, \bm \beta_{2} = [1,1,0]^{\TT}, \bm \beta_{3} = [1,1,1]^{\TT}. 54 | \end{gather*} 55 | \begin{enumerate} 56 | \item 求 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\bm \beta_{3}$ 到 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 的过渡矩阵; 57 | \item 已知 $\bm \xi$ 在基 $\bm \beta_{1},\bm \beta_{2},\bm \beta_{3}$ 下的坐标为 $[1,0,2]^{\TT}$，求 $\bm \xi$ 在基 $\bm \alpha_{1},\bm \alpha_{2},\bm \alpha_{3}$ 下的坐标; 58 | \item 求在上述两个基下有相同坐标的向量. 59 | \end{enumerate} 60 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec10-9.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{相似} 2 | \begin{titwo} 3 | 下列矩阵中能相似于对角矩阵的是 \kuo. 4 | 5 | \twoch{$\bm A = \begin{bsmallmatrix} 6 | 1 & 2 & 0 \\ 7 | 0 & 1 & 0 \\ 8 | 0 & 0 & 2 9 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm B = \begin{bsmallmatrix} 10 | 1 & 0 & 2 \\ 11 | 0 & 2 & 0 \\ 12 | 0 & 0 & 1 13 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm C = \begin{bsmallmatrix} 14 | 1 & 2 & 0 \\ 15 | 0 & 2 & 0 \\ 16 | 0 & 0 & 1 17 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm D = \begin{bsmallmatrix} 18 | 1 & 1 & 1 \\ 19 | 0 & 1 & 0 \\ 20 | 0 & 0 & 2 21 | \end{bsmallmatrix}$} 22 | \end{titwo} 23 | 24 | \begin{titwo} 25 | 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是 \kuo. 26 | 27 | \twoch{$\bm A = \begin{bsmallmatrix} 28 | 1 & 1 & 0 \\ 29 | 0 & 1 & 0 \\ 30 | 0 & 0 & 2 31 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm B = \begin{bsmallmatrix} 32 | 1 & 0 & 0 \\ 33 | 0 & 1 & 1 \\ 34 | 0 & 0 & 2 35 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm C = \begin{bsmallmatrix} 36 | 1 & 1 & 0 \\ 37 | 0 & 2 & 1 \\ 38 | 0 & 0 & 3 39 | \end{bsmallmatrix}$}{$\bm D = \begin{bsmallmatrix} 40 | 1 & 0 & 0 \\ 41 | 0 & 1 & 1 \\ 42 | 0 & 1 & 2 43 | \end{bsmallmatrix}$} 44 | \end{titwo} 45 | 46 | \begin{titwo} 47 | 设 $\bm A = \begin{bsmallmatrix} 48 | 3 & 0 & 0 \\ 49 | 0 & 1 & 2 \\ 50 | 2 & 0 & 5 51 | \end{bsmallmatrix}$, $\bm B = \begin{bsmallmatrix} 52 | 2 & 1 & 0 \\ 53 | 0 & 2 & 0 \\ 54 | 3 & 0 & 5 55 | \end{bsmallmatrix}$, $\bm C = \begin{bsmallmatrix} 56 | 3 & 0 & 2 \\ 57 | 0 & 1 & 0 \\ 58 | 2 & 0 & 5 59 | \end{bsmallmatrix}$, $\bm D = \begin{bsmallmatrix} 60 | 2 & 0 & 0 \\ 61 | 0 & 2 & 0 \\ 62 | 3 & 1 & 5 63 | \end{bsmallmatrix}$，其中与对角矩阵相似的有 \kuo. 64 | 65 | \fourch{$\bm A,\bm B,\bm C$}{$\bm B,\bm D$}{$\bm A,\bm C,\bm D$}{$\bm A,\bm C$} 66 | \end{titwo} 67 | 68 | \begin{titwo} 69 | 设 $\bm A$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $\bm A^{2} = \bm A$，且 $r(\bm A) = r (0 < r \leq n)$. 证明： 70 | \[ 71 | \bm A \sim \begin{bsmallmatrix} 72 | \bm E_{r} & \bm O \\ 73 | \bm O & \bm O 74 | \end{bsmallmatrix}, 75 | \] 76 | 其中 $\bm E_{r}$ 是 $r$ 阶单位矩阵. 77 | \end{titwo} 78 | 79 | \begin{titwo} 80 | 设 $\bm A$, $\bm B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$\bm A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，且 $\bm A \bm B = \bm B \bm A$. 证明：$\bm B$ 相似于对角矩阵. 81 | \end{titwo} 82 | 83 | \begin{titwo} 84 | 设 $\bm A = \bm E + \bm \alpha \bm \beta^{\TT}$，其中 $\bm \alpha = [a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}]^{\TT} \ne \bm 0$, $\bm \beta = [b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}]^{\TT} \ne \bm 0$，且 $\bm \alpha^{\TT} \bm \beta = 2$. 85 | \begin{enumerate} 86 | \item 求 $\bm A$ 的特征值和特征向量; 87 | \item 求可逆矩阵 $\bm P$，使得 $\bm P^{-1} \bm A \bm P = \bm \varLambda$. 88 | \end{enumerate} 89 | \end{titwo} 90 | 91 | \begin{titwo} 92 | 设向量 $\bm \alpha = [a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}]^{\TT}$, $\bm \beta = [b_{1},\allowbreak b_{2},\allowbreak \cdots,\allowbreak b_{n}]^{\TT}$ 都是非零向量，且满足条件 $\bm \alpha^{\TT} \bm \beta = 0$，记 $n$ 阶矩阵 $\bm A = \bm \alpha \bm \beta^{\TT}$，求： 93 | \begin{enumerate} 94 | \item $\bm A^{2}$; 95 | \item $\bm A$ 的特征值和特征向量; 96 | \item $\bm A$ 能否相似于对角矩阵，说明理由. 97 | \end{enumerate} 98 | \end{titwo} 99 | 100 | \begin{titwo} 101 | 设 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{n-1}$ 是 $n$ 个实数，方阵 102 | \[ 103 | \bm A = \begin{bsmallmatrix} 104 | 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 105 | 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 106 | \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 107 | 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 108 | -a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} 109 | \end{bsmallmatrix} 110 | \] 111 | \begin{enumerate} 112 | \item 若 $\lambda$ 是 $\bm A$ 的特征值，证明 $\bm \xi = \bigl[1,\allowbreak \lambda,\allowbreak \lambda^{2},\allowbreak \cdots,\allowbreak \lambda^{n-1}\bigr]^{\TT}$ 是 $\bm A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量; 113 | \item 若 $\bm A$ 有 $n$ 个互异的特征值 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$，求可逆矩阵 $\bm P$，使 $\bm P^{-1} \bm A \bm P = \bm \varLambda$. 114 | \end{enumerate} 115 | \end{titwo} 116 | 117 | \begin{titwo} 118 | 设 $\bm A$ 是 $3$ 阶矩阵，$\bm \alpha_{1}$, $\bm \alpha_{2}$, $\bm \alpha_{3}$ 是 $3$ 维列向量，$\bm \alpha_{1} \ne \bm 0$，满足 $\bm A \bm \alpha_{1} = 2 \bm \alpha_{1}$, $\bm A \bm \alpha_{2} = \bm \alpha_{1} + 2 \bm \alpha_{2}$, $\bm A \bm \alpha_{3} = \bm \alpha_{2} + 2 \bm \alpha_{3}$. 119 | \begin{enumerate} 120 | \item 证明 $\bm \alpha_{1}$, $\bm \alpha_{2}$, $\bm \alpha_{3}$ 线性无关; 121 | \item $\bm A$ 能否相似于对角矩阵，说明理由. 122 | \end{enumerate} 123 | \end{titwo} 124 | 125 | \begin{titwo} 126 | 设 $n$ 阶矩阵 127 | \[ 128 | \bm A = \begin{bsmallmatrix} 129 | a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & \cdots & a_{1}b_{n} \\ 130 | a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & \cdots & a_{2}b_{n} \\ 131 | \vdots & \vdots & & \vdots \\ 132 | a_{n}b_{1} & a_{n}b_{2} & \cdots & a_{n}b_{n} 133 | \end{bsmallmatrix}. 134 | \] 135 | 已知 $\tr(\bm A) = a \ne 0$. 证明：矩阵 $\bm A$ 相似于对角矩阵. 136 | \end{titwo} 137 | 138 | \begin{titwo} 139 | 已知 $\bm A \sim \begin{bsmallmatrix} 140 | 1 & 0 & 0 \\ 141 | 0 & 1 & 0 \\ 142 | 0 & 0 & -2 143 | \end{bsmallmatrix}$，则 $r(\bm A - \bm E) + r(2 \bm E + \bm A) = $ \htwo. 144 | \end{titwo} 145 | 146 | \begin{titwo} 147 | 已知矩阵 $\bm A = \begin{bsmallmatrix} 148 | 2 & 0 & 0 \\ 149 | 0 & 0 & 1 \\ 150 | 0 & 1 & x 151 | \end{bsmallmatrix}$ 与 $\bm B = \begin{bsmallmatrix} 152 | 2 & 0 & 0 \\ 153 | 0 & y & 0 \\ 154 | 0 & 0 & -1 155 | \end{bsmallmatrix}$ 相似. 156 | \begin{enumerate} 157 | \item 求 $x$ 与 $y$; 158 | \item 求一个满足 $\bm P^{-1} \bm A \bm P = \bm B$ 的可逆矩阵 $\bm P$. 159 | \end{enumerate} 160 | \end{titwo} 161 | 162 | \begin{titwo} 163 | 已知矩阵 $\bm A = \begin{bsmallmatrix} 164 | 1 & 0 & -1 \\ 165 | 0 & 1 & 0 \\ 166 | -2 & 1 & 0 167 | \end{bsmallmatrix}$ 与 $\bm B = \begin{bsmallmatrix} 168 | 2 & 3 & 3 \\ 169 | 2 & 1 & 0 \\ 170 | a & b & c 171 | \end{bsmallmatrix}$ 相似，求 $a$, $b$, $c$ 及可逆矩阵 $\bm P$，使 $\bm P^{-1} \bm A \bm P = \bm B$. 172 | \end{titwo} 173 | 174 | \begin{titwo} 175 | 设 $\bm A = \begin{bsmallmatrix} 176 | 8 & -2 & -2 \\ 177 | -2 & 5 & -4 \\ 178 | -2 & -4 & 5 179 | \end{bsmallmatrix}$，求实对称矩阵 $\bm B$，使 $\bm A = \bm B^{2}$. 180 | \end{titwo} 181 | 182 | \begin{titwo} 183 | 证明：$\bm A \sim \bm B$，其中 184 | \[ 185 | \bm A = \begin{bsmallmatrix} 186 | 1 & & & & \\ 187 | & 2 & & & \\ 188 | & & \ddots & & \\ 189 | & & & n-1 & \\ 190 | & & & & n 191 | \end{bsmallmatrix}, 192 | \bm B = \begin{bsmallmatrix} 193 | n & & & & \\ 194 | & n-1 & & & \\ 195 | & & \ddots & & \\ 196 | & & & 2 & \\ 197 | & & & & 1 198 | \end{bsmallmatrix}. 199 | \] 200 | 并求可逆矩阵 $\bm P$，使得 $\bm P^{-1} \bm A \bm P = \bm B$. 201 | \end{titwo} 202 | 203 | \begin{titwo} 204 | 设 $\bm \alpha = [a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}]^{\TT} \ne \bm 0$, $\bm A = \bm \alpha \bm \alpha^{\TT}$，求可逆矩阵 $\bm P$，使 $\bm P^{-1} \bm A \bm P = \bm \varLambda$. 205 | \end{titwo} 206 | 207 | \begin{titwo} 208 | 设 209 | \[ 210 | \bm A = \begin{bsmallmatrix} 211 | 2 & -2 & 0 \\ 212 | -2 & 1 & -2 \\ 213 | 0 & -2 & 0 214 | \end{bsmallmatrix}, 215 | \bm B = \begin{bsmallmatrix} 216 | 1 & -2 & -2 \\ 217 | -2 & 2 & 0 \\ 218 | -2 & 0 & 0 219 | \end{bsmallmatrix}, 220 | \] 221 | 问 $\bm A$, $\bm B$ 是否相似，并说明理由. 222 | \end{titwo} 223 | 224 | \begin{titwo} 225 | 设矩阵 $\bm A = \begin{bsmallmatrix} 226 | 0 & 1 & 0 & 0 \\ 227 | 1 & 0 & 0 & 0 \\ 228 | 0 & 0 & k & 1 \\ 229 | 0 & 0 & 1 & 2 230 | \end{bsmallmatrix}$，已知 $\bm A$ 的一个特征值为 $3$. 231 | \begin{enumerate} 232 | \item 求 $k$; 233 | \item 求矩阵 $\bm P$，使 $(\bm A \bm P)^{\TT} (\bm A \bm P)$ 为对角矩阵. 234 | \end{enumerate} 235 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec11-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{概率论与数理统计} 2 | 概率论与数理统计是硕士研究生招在考试考查内容之一，主要考查考生对研究随机规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。在考研数学一试卷中分值为 $34$ 分，约占 \SI{22}{\percent}。 3 | 4 | \section{事件与概率} 5 | \begin{titwo} 6 | 设 $A$ 与 $B$ 是两随机事件，$P(B) = 0.6$ 且 $P(A|B) = 0.5$，则 $P \bigl( A \cup \overline{B} \bigr) = $ \kuo. 7 | 8 | \fourch{$0.1$}{$0.3$}{$0.5$}{$0.7$} 9 | \end{titwo} 10 | 11 | \begin{titwo} 12 | 设 $10$ 件产品中有 $4$ 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 \kuo. 13 | 14 | \fourch{$\frac{1}{2}$}{$\frac{2}{3}$}{$\frac{1}{5}$}{$\frac{2}{5}$} 15 | \end{titwo} 16 | 17 | \begin{titwo} 18 | 设 $A$, $B$ 是任意两个事件，且 $A \subset B$, $P(B) > 0$，则必有 \kuo. 19 | 20 | \twoch{$P(A) \leq P(A|B)$}{$P(A) < P(A|B)$}{$P(A) \geq P(A|B)$}{$P(A) > P(A|B)$} 21 | \end{titwo} 22 | 23 | \begin{titwo} 24 | 设 $0 < P(B) < 1$, $P(A_{1}) P(A_{2}) > 0$ 且 $P(A_{1} \cup A_{2} | B) = P(A_{1}|B) + P(A_{2}|B)$，则下列等式成立的是 \kuo. 25 | 26 | \onech{$P \bigl( A_{1} \cup A_{2} | \overline{B} \bigr) = P \bigl( A_{1} | \overline{B} \bigr) + \bigl( A_{2} | \overline{B} \bigr)$}% 27 | {$P( A_{1}B \cup A_{2}B ) = P(A_{1}B) + P(A_{2}B)$}% 28 | {$P(A_{1} \cup A_{2}) = P(A_{1}|B) + P(A_{2}|B)$}% 29 | {$P(B) = P(A_{1}) P(B|A_{1}) + P(A_{2}) P(B|A_{2})$} 30 | \end{titwo} 31 | 32 | \begin{titwo} 33 | 设事件 $A$, $B$ 满足 $A B = \varnothing$，则下列结论中一定正确的是 \kuo. 34 | 35 | \twoch{$\overline{A}$, $\overline{B}$ 互不相容}{$\overline{A}$, $\overline{B}$ 相容}{$P(AB) = P(A) P(B)$}{$P(A - B) = P(A)$} 36 | \end{titwo} 37 | 38 | \begin{titwo} 39 | 以下结论，错误的是 \kuo. 40 | 41 | \onech{若 $0 < P(B) < 1$, $P(A|B) + P \bigl( \overline{A} | \overline{B} \bigr) = 1$，则 $A$, $B$ 相互独立}% 42 | {若 $A$, $B$ 满足 $P(B|A) = 1$，则 $P(A-B) = 0$}% 43 | {设 $A$, $B$ 是两个事件，则 $(A - B) \cup B = A \cup B$}% 44 | {若当事件 $A$, $B$ 同时发生时，事件 $C$ 必发生，则 $P(C) < P(A) + P(B) - 1$} 45 | \end{titwo} 46 | 47 | \begin{titwo} 48 | $A$, $B$, $C$ 为随机事件，$A$ 发生导致 $B$ 与 $C$ 最多有一个发生，则有 \kuo. 49 | 50 | \fourch{$A \subset BC$}{$A \supset BC$}{$A \subset \overline{BC}$}{$A \supset \overline{BC}$} 51 | \end{titwo} 52 | 53 | \begin{titwo} 54 | 设 $P(B) > 0$, $A_{1}$, $A_{2}$ 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 \kuo. 55 | 56 | \onech{$P(A_{1}A_{2} | B) = 0$}{$P(A_{1} \cup A_{2} | B) = P(A_{1} | B) + P(A_{2} | B)$}{$P \bigl( \overline{A_{1}} \overline{A_{2}} | B \bigr) = 1$}{$P \bigl( \overline{A_{1}} \cup \overline{A_{2}} | B \bigr) = 1$} 57 | \end{titwo} 58 | 59 | \begin{titwo} 60 | 一种零件的加工由相互独立的两道工序组成，第一道工序的废品率为 $p_{1}$，第二道工序的废品 $p_{2}$，则该零件加工的成品率为 \kuo. 61 | 62 | \twoch{$1 - p_{1} - p_{2}$}{$1 - p_{1}p_{2}$}{$1 - p_{1} - p_{2} + p_{1} p_{2}$}{$(1 - p_{1}) + (1 - p_{2})$} 63 | \end{titwo} 64 | 65 | \begin{titwo} 66 | 以下 $4$ 个结论：\\ 67 | \circled{1} 教室中有 $r$ 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 $\frac{\AA_{365}^{r}}{365^{r}}$;\\ 68 | \circled{2} 教室中有 $4$ 个学生，则至少有两个人的生日在同一个月的概率是 $\frac{41}{96}$;\\ 69 | \circled{3} 将 $C,C,E,E,I,N,S$ 共 $7$ 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 $SCIENCE$ 的概率是 $\frac{1}{315}$;\\ 70 | \circled{4} 袋中有编号为 $1$ 到 $10$ 的 $10$ 个球，今从袋中任取 $3$ 个球，则 $3$ 个球的最小号码为 $5$ 的概率为 $\frac{1}{12}$.\\ 71 | 正确的个数为 \kuo. 72 | 73 | \fourch{1}{2}{3}{4} 74 | \end{titwo} 75 | 76 | \begin{titwo} 77 | 设两个相互独立的事件 $A$ 与 $B$ 至少有一个发生的概率为 $\frac{8}{9}$，且 $A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生的概率相等，则 $P(A) = $ \htwo. 78 | \end{titwo} 79 | 80 | \begin{titwo} 81 | 设事件 $A$, $B$, $C$ 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则 $P(A \cup B \cup C)$ 的最大值为 \htwo. 82 | \end{titwo} 83 | 84 | \begin{titwo} 85 | 事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$P(A) = a$, $P(B) = b$，如果事件 $C$ 发生必然导致 $A$ 与 $B$ 同时发生，则 $A$, $B$, $C$ 都不发生的概率为 \htwo. 86 | \end{titwo} 87 | 88 | \begin{titwo} 89 | 设 $A$, $B$ 是任意两个事件，则 $P \bigl[ \bigl( \overline{A} \cup B \bigr) \bigl( A \cup B \bigr) \bigl( \overline{A} \cup \overline{B} \bigr) \bigl( A \cup \overline{B} \bigr) \bigr] = $ \htwo. 90 | \end{titwo} 91 | 92 | \begin{titwo} 93 | 设随机事件 $A$, $B$, $C$ 满足 $P(A|B) + P \bigl( \overline{A} | \overline{B} \bigr) = 1$，且 $P\bigl( A \overline{B} \bigr) = P\bigl( \overline{A} B \bigr) = \frac{1}{4}$, $C = A \cup B$，则 $P(AB|C) = $ \htwo. 94 | \end{titwo} 95 | 96 | \begin{titwo} 97 | 一批产品共有 $10$ 个正品和 $2$ 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 \htwo. 98 | \end{titwo} 99 | 100 | \begin{titwo} 101 | 设有大小相同、标号分别为 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 的五个球，同时有标号为 $1$, $2$, $\cdots$, $10$ 的十个空盒. 将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放多个球，计算下列事件的概率： 102 | \begin{enumerate} 103 | \item $A = $ \{某指定的五个盒子中各有一个球\}; 104 | \item $B = $ \{每个盒子中最多只有一个球\}; 105 | \item $C = $ \{某个指定的盒子不空\}. 106 | \end{enumerate} 107 | \end{titwo} 108 | 109 | \begin{titwo} 110 | 设 $AB \subset C$. 试证明：$P(A) + P(B) - P(C) \leq 1$. 111 | \end{titwo} 112 | 113 | \begin{titwo} 114 | 设 $P(A) > 0$, $P(B) > 0$. 证明：$A$, $B$ 互不相容与 $A$, $B$ 相互独立不能同时成立. 115 | \end{titwo} 116 | 117 | \begin{titwo} 118 | 证明：若三事件 $A$, $B$, $C$ 相互独立，则 $A \cup B$ 及 $A - B$ 都与 $C$ 相互独立. 119 | \end{titwo} 120 | 121 | \begin{titwo} 122 | 袋中有 $5$ 只白球 $6$ 只黑球，从袋中一次取出 $3$ 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率. 123 | \end{titwo} 124 | 125 | \begin{titwo} 126 | 甲袋中有 $3$ 个白球 $2$ 个黑球，乙袋中有 $4$ 个白球 $4$ 个黑球，今从甲袋中任取 $2$ 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率. 127 | \end{titwo} 128 | 129 | \begin{titwo} 130 | 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的. 某彩民每周买一次彩票，坚持十年（每年 $52$ 周），那么他从未中奖的概率是多少？ 131 | \end{titwo} 132 | 133 | \begin{titwo} 134 | 随机地取两个正数 $x$ 和 $y$，这两个数中的每一个都不超过 $1$，试求 $x$ 与 $y$ 之和不超过 $1$，积不小于 $0.09$ 的概率. 135 | \end{titwo} 136 | 137 | \begin{titwo} 138 | 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 $0.6$，乙命中目标的概率是 $0.5$，求下列事件的概率： 139 | \begin{enumerate} 140 | \item 从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率; 141 | \item 甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率. 142 | \end{enumerate} 143 | \end{titwo} 144 | 145 | \begin{titwo} 146 | 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 $24$ 只装. 统计资料表明，每箱最多有 $2$ 只残品，且含 $0$, $1$, $2$ 件残品的箱各占 \SI{80}{\percent}, \SI{15}{\percent}, \SI{5}{\percent}. 现在随机抽取一箱，随机检验其中 $4$ 只; 若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换. 试求： 147 | \begin{enumerate} 148 | \item 一次通过验收的概率; 149 | \item 通过验收的箱中确实无残品的概率. 150 | \end{enumerate} 151 | \end{titwo} 152 | 153 | \begin{titwo} 154 | 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为 $0.4$, $0.5$, $0.7$. 设飞机中一弹而被击落的概率为 $0.2$，中两弹而被击落的概率为 $0.6$，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率. 155 | \end{titwo} 156 | 157 | \begin{titwo} 158 | 某学生想借张宇编著的《张宇高等数学 18 讲》，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率均为 $0.5$; 若有，能否借到的概率也均为 $0.5$，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率. 159 | \end{titwo} 160 | 161 | \begin{titwo} 162 | 假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$，而另一张上同时印有 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$. 现在随意抽取一张卡片，令 $A_{k} = $ \{卡片上印有 $a_{k}$\}. 证明：事件 $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ 两两独立但不相互独立. 163 | \end{titwo} 164 | 165 | \begin{titwo} 166 | 在电视剧《乡村爱情》中，谢广坤家中生了一对龙凤胎，专业上叫异性双胞胎. 假设双胞胎中第一个是男孩的概率为 \SI{51}{\percent}，同性双胞胎是异性双胞胎的 $3$ 倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概率. 167 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec11-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{一维随机变量及其分布} 2 | \begin{titwo} 3 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$ 为相互独立的随机变量，分布函数分别为 $F_{1}(x)$, $F_{2}(x)$，则下列选项一定是某一随机变量的分布函数的为 \kuo. 4 | 5 | \twoch{$F_{1}(x) + F_{2}(x)$}{$F_{1}(x) - F_{2}(x)$}{$F_{1}(x) F_{2}(x)$}{$F_{1}(x) / F_{2}(x)$} 6 | \end{titwo} 7 | 8 | \begin{titwo} 9 | 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，概率密度为 $f(x) = af_{1}(x) + bf_{2}(x)$，其中 $f_{1}(x)$ 是正态分布 $N\bigl(0,$ $\sigma^{2}\bigr)$ 的概率密度，$f_{2}(x)$ 是参数为 $\lambda$ 的指数分布的概率密度，已知 $F(0) = \frac{1}{8}$，则 \kuo. 10 | 11 | \twoch{$a = 1$, $b = 0$}{$a = \frac{3}{4}$, $b = \frac{1}{4}$}{$a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{2}$}{$a = \frac{1}{4}$, $b = \frac{3}{4}$} 12 | \end{titwo} 13 | 14 | \begin{titwo} 15 | 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，概率密度为 16 | \[ 17 | f(x) = \begin{cases} 18 | Ax(1 - x), & 0 \leq x \leq 1, \\ 19 | 0, & \text{其他}, 20 | \end{cases} 21 | \] 22 | 其中 $A$ 为常数，则 $F\bigl( \frac{1}{2} \bigr) = $ \kuo. 23 | 24 | \fourch{$\frac{1}{2}$}{$\frac{1}{3}$}{$\frac{1}{4}$}{$\frac{1}{5}$} 25 | \end{titwo} 26 | 27 | \begin{titwo} 28 | 设随机变量 $X$ 的概率密度为 29 | \[ 30 | f(x) = \begin{cases} 31 | A \ee^{-x}, & x > \lambda, \\ 32 | 0, & \text{其他} 33 | \end{cases}(\lambda > 0), 34 | \] 35 | 则概率 $P\{ \lambda < X < \lambda + a \}(a > 0)$ 的值 \kuo. 36 | 37 | \onech{与 $a$ 无关，随 $\lambda$ 增大而增大}{与 $a$ 无关，随 $\lambda$ 增大而减小}{与 $\lambda$ 无关，随 $a$ 增大而增大}{与 $\lambda$ 无关，随 $a$ 增大而减小} 38 | \end{titwo} 39 | 40 | \begin{titwo} 41 | 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布，$X \sim N\bigl(\mu,$ $4^{2}\bigr)$, $Y \sim N\bigl( \mu,5^{2} \bigr)$，记 $p_{1} = P \{ X \leq \mu - 4 \}$, $p_{2} = P \{ Y \geq \mu + 5 \}$，则 \kuo. 42 | 43 | \onech{对任意实数 $\mu$，都有 $p_{1} = p_{2}$}{对任意实数 $\mu$，都有 $p_{1} < p_{2}$}{只对 $\mu$ 的个别值，才有 $p_{1} = p_{2}$}{对任意实数 $\mu$，都有 $p_{1} > p_{2}$} 44 | \end{titwo} 45 | 46 | \begin{titwo} 47 | 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x) = \frac{1}{\uppi (1 + x^{2})}$，则 $Y = 2X$ 的概率密度为 \kuo. 48 | 49 | \fourch{$\frac{1}{\uppi (1 + 4 y^{2})}$}{$\frac{1}{\uppi (4 + y)^{2}}$}{$\frac{2}{\uppi (4 + y^{2})}$}{$\frac{2}{\uppi (1 + y^{2})}$} 50 | \end{titwo} 51 | 52 | \begin{titwo} 53 | $X \sim N(\mu,\sigma^{2})$, $F(x)$ 为其分布函数，则随机变量 $Y = F(X)$ 的分布函数 \kuo. 54 | 55 | \twoch{处处可导}{恰有 $1$ 个不可导点}{恰有 $2$ 个不可导点}{恰有 $3$ 个不可导点} 56 | \end{titwo} 57 | 58 | \begin{titwo} 59 | 设随机变量 $X$ 的分布函数为 60 | \[ 61 | F(x) = \begin{cases} 62 | 0, & x \leq 0, \\ 63 | A \sin x + B, & 0 < x \leq \frac{\uppi}{2}, \\ 64 | 1, & x > \frac{\uppi}{2}. 65 | \end{cases} 66 | \] 67 | 则 $A$, $B$ 的值依次为 \htwo. 68 | \end{titwo} 69 | 70 | \begin{titwo} 71 | 设随机变量 $X$ 服从泊松分布，且 $P\{ X \leq 1 \} = 4 \* P \{ X = 2 \}$，则 $P\{ X = 3 \} = $ \htwo. 72 | \end{titwo} 73 | 74 | \begin{titwo} 75 | 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 \htwo. 76 | \end{titwo} 77 | 78 | \begin{titwo} 79 | 已知每次试验“成功”的概率为 $p$，现进行 $n$ 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 \htwo. 80 | \end{titwo} 81 | 82 | \begin{titwo} 83 | 设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，对 $X$ 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 $2$ 的概率为 $\frac{7}{8}$，则 $\lambda = $ \htwo. 84 | \end{titwo} 85 | 86 | \begin{titwo} 87 | 设随机变量 $X$ 与 $-X$ 服从同一均匀分布 $U(a,$ $b)$，已知 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 的平方 $f^{2}(x)$ 也是概率密度，则 $b = $ \htwo. 88 | \end{titwo} 89 | 90 | \begin{titwo} 91 | 设随机变量 $X$ 服从正态分布，其概率密度为 92 | \[ 93 | f(x) = k \ee^{-x^{2} + 2x - 1} (-\infty < x < +\infty), 94 | \] 95 | 则常数 $k = $ \htwo. 96 | \end{titwo} 97 | 98 | \begin{titwo} 99 | 市场上某产品由甲、乙两厂各生产 $\frac{1}{2}$，已知甲厂和乙厂的产品指标分别服从分布函数 $F_{1}(x)$ 和 $F_{2}(x)$，现从市场上任取一件产品，则其指标服从的分布函数为 \htwo. 100 | \end{titwo} 101 | 102 | \begin{titwo} 103 | 设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布，则随机变量 $Y = X^{2}$ 在 $(0,4)$ 内的概率密度 $f_{Y}(y) = $ \htwo. 104 | \end{titwo} 105 | 106 | \begin{titwo} 107 | 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 $\frac{1}{2}$，以 $X$ 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 $X$ 的概率分布. 108 | \end{titwo} 109 | 110 | \begin{titwo} 111 | 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 $i$ 个零件是不合格品的概率 $p_{i} = \frac{1}{i + 1} (i = 1,2$, $3)$，以 $X$ 表示三个零件中合格品的个数，求 $X$ 的分布律. 112 | \end{titwo} 113 | 114 | \begin{titwo} 115 | 设随机变量 $X$ 的分布函数为 116 | \[ 117 | F(x) = A + B \arctan x, -\infty < x < +\infty, 118 | \] 119 | 求： 120 | \begin{enumerate} 121 | \item 系数 $A$ 与 $B$; 122 | \item $P\{ -1 < X \leq 1 \}$; 123 | \item $X$ 的概率密度. 124 | \end{enumerate} 125 | \end{titwo} 126 | 127 | \begin{titwo} 128 | 设电子管寿命 $X$ 的概率密度为 129 | \[ 130 | f(x) = \begin{cases} 131 | \frac{100}{x^{2}}, & x > 100, \\ 132 | 0, & \text{其他}, 133 | \end{cases} 134 | \] 135 | 若一台收音机上装有三个这种电子管，求： 136 | \begin{enumerate} 137 | \item 使用的最初 $150$ 小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率; 138 | \item 在使用的最初 $150$ 小时内烧坏的电子管数 $Y$ 的分布律; 139 | \item $Y$ 的分布函数. 140 | \end{enumerate} 141 | \end{titwo} 142 | 143 | \begin{titwo} 144 | 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 $X$ (单位：分)服从参数为 $\frac{1}{5}$ 的指数分布. 若等待时间超过 $10$ 分钟，他就离开. 设他一个月内要来银行 $5$ 次，以 $Y$ 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 $Y$ 的分布律及 $P\{ Y \geq 1 \}$. 145 | \end{titwo} 146 | 147 | \begin{titwo} 148 | 向半径为 $r$ 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离 $X$ 的分布函数 $F(x)$，并求 $P \bigl\{ X > \frac{2r}{3} \bigr\}$. 149 | \end{titwo} 150 | 151 | \begin{titwo} 152 | 设随机变量 $X$ 的概率密度为 153 | \[ 154 | f(x) = \begin{cases} 155 | x, & 0 \leq x < 1, \\ 156 | 2 - x, & 1 \leq x < 2, \\ 157 | 0, & \text{其他}, 158 | \end{cases} 159 | \] 160 | 求 $X$ 的分布函数. 161 | \end{titwo} 162 | 163 | \begin{titwo} 164 | 假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，求随机变量 $Y = 1 - \ee^{-\lambda X}$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$. 165 | \end{titwo} 166 | 167 | \begin{titwo} 168 | 设随机变量 $X$ 的概率密度为 169 | \[ 170 | f(x) = \begin{cases} 171 | \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}, & 1 \leq x < 8, \\ 172 | 0, & \text{其他}, 173 | \end{cases} 174 | \] 175 | $F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，求随机变量 $Y = F(X)$ 的分布函数. 176 | \end{titwo} 177 | 178 | \begin{titwo} 179 | 在独立的伯努利试验中，若 $p$ 为一次试验中成功的概率. 以 $X$ 记为第 $r$ 次成功出现时的试验次数，则 $X$ 是随机变量，取值为 $r$, $r+1$, $\cdots$，称为负二项分布，记为 $Nb(r,p)$，其概率分布为： 180 | \[ 181 | P\{X = k\} = \CC_{k-1}^{r-1} p^{r} (1 - p)^{k-r}, k = r,r+1,\cdots. 182 | \] 183 | \begin{enumerate} 184 | \item 记 $Y_{1}$ 表示首次成功的试验次数，$Y_{2}$ 表示第 $1$ 次成功后到第 $2$ 次成功为止共进行的试验次数，证明 $X = Y_{1} + Y_{2} \sim Nb(2,p)$; 185 | \item 设试验成功的概率为 $\frac{3}{4}$，失败的概率为 $\frac{1}{4}$，独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数的数学期望、方差. 186 | \end{enumerate} 187 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec11-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{大数定律与中心极限定理} 2 | \begin{titwo} 3 | 已知随机变量 $X_{n}(n = 1,2,\cdots)$ 相互独立且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 $\lim_{n \to \infty} P \biggl\{ \sum_{i=1}^{n} X_{i} \leq \sqrt{n} \biggr\} = $ \kuo. 4 | 5 | \fourch{$\varPhi(0)$}{$\varPhi(1)$}{$\varPhi\bigl(\sqrt{3}\bigr)$}{$\varPhi(2)$} 6 | \end{titwo} 7 | 8 | \begin{titwo} 9 | 设随机变量 $X$ 的数学期望 $EX = 75$，方差 $DX = 5$，由切比雪夫不等式估计得 10 | \[ 11 | P\{ |X - 75| \geq k \} \leq 0.05, 12 | \] 13 | 则 $k = $ \htwo. 14 | \end{titwo} 15 | 16 | \begin{titwo} 17 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，则 $\lim_{n \to \infty} P \Biggl\{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} X_{i} - n \lambda }{\sqrt{n \lambda}} \leq x \Biggr\} = $ \htwo. 18 | \end{titwo} 19 | 20 | \begin{titwo} 21 | 设 $Y \sim \chi^{2}(200)$，则由中心极限定理得 $P\{ Y \leq 200 \}$ 近似等于 \htwo. 22 | \end{titwo} 23 | 24 | \begin{titwo} 25 | 设 $\{ X_{n} \}$ 是一随机变量序列，$X_{n}$ $(n = 1$, $2$, $\cdots)$ 的概率密度为 26 | \[ 27 | f_{n}(x) = \frac{n}{\uppi( 1 + n^{2} x^{2} )}, -\infty < x < +\infty, 28 | \] 29 | 试证：$X_{n} \xrightarrow{P} 0$. 30 | \end{titwo} 31 | 32 | \begin{titwo} 33 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是独立同分布的随机变量序列，$EX_{i} = \mu$, $DX_{i} = \sigma^{2}$, $i = 1$, $2$, $\cdots$, $n$，令 $Y_{n} = \frac{2}{n(n + 1)} \* \sum_{i=1}^{n} iX_{i}$. 证明：随机变量序列 $\{Y_{n}\}$ 依概率收敛于 $\mu$. 34 | \end{titwo} 35 | 36 | \begin{titwo} 37 | 若 $DX = 0.004$，利用切比雪夫不等式估计概率 $P\{ |X - EX| < 0.2 \}$. 38 | \end{titwo} 39 | 40 | \begin{titwo} 41 | 用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证“正面”出现的频率在 $0.4$ 至 $0.6$ 之间的概率不小于 $0.9$. 42 | \end{titwo} 43 | 44 | \begin{titwo} 45 | 设事件 $A$ 出现的概率为 $p = 0.5$，试利用切比雪夫不等式，估计在 $1000$ 次独立重复试验中事件 $A$ 出现的次数在 $450$ 到 $550$ 次之间的概率 $\alpha$. 46 | \end{titwo} 47 | 48 | \begin{titwo} 49 | 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，已知方差 $DX = 1$，而随机变量 $Y$ 的概率密度为 $f(-y)$，且 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $-\frac{1}{4}$. 记 $Z = X + Y$. 50 | \begin{enumerate} 51 | \item 求 $EZ$, $DZ$; 52 | \item 用切比雪夫不等式估计 $P\{|Z| \geq 2\}$. 53 | \end{enumerate} 54 | \end{titwo} 55 | 56 | \begin{titwo} 57 | 某计算机系统有 $100$ 个终端，每个终端有 \SI{20}{\percent} 的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 $10$ 个或更多个终端在使用的概率. 58 | \end{titwo} 59 | 60 | \begin{titwo} 61 | 某保险公司接受了 \num{10000} 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 $12$ 元. 若车丢失，则赔偿车主 $1000$ 元. 假设车的丢失率为 $0.006$，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司： 62 | \begin{enumerate} 63 | \item 亏损的概率 $\alpha$; 64 | \item 一年获利润不少于 \num{40000} 元的概率 $\beta$; 65 | \item 一年获利润不少于 \num{60000} 元的概率 $\gamma$. 66 | \end{enumerate} 67 | \end{titwo} 68 | 69 | \begin{titwo} 70 | 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 $50$ 千克，标准差为 $5$ 千克，若用最大载重为 $5$ 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于 $0.977$ $(\varPhi(2) = 0.977)$. 71 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec11-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{统计量} 2 | \begin{titwo} 3 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ $(n > 1)$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本，记 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, $Q^{2} = \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$，则 \kuo. 4 | 5 | \onech{$\overline{X} \sim N(0,1)$, $Q^{2} \sim \chi^{2}(n)$}% 6 | {$\overline{X} \sim N(0,n)$, $Q^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$}% 7 | {$\overline{X} \sim N\bigl(0,\frac{1}{n}\bigr)$, $Q^{2} \sim \chi^{2}(n)$}% 8 | {$\overline{X} \sim N\bigl(0,\frac{1}{n}\bigr)$, $Q^{2} \sim \chi^{2}(n-1)$} 9 | \end{titwo} 10 | 11 | \begin{titwo} 12 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{8}$ 是来自总体 $N(2,1)$ 的简单随机样本，则统计量 13 | \[ 14 | Y = \frac{2(X_{1} + X_{2} + X_{3} - 6)}{\sqrt{ 3(X_{4} + X_{5} - 4)^{2} + 2(X_{6} + X_{7} + X_{8} - 6)^{2} }} 15 | \] 16 | 服从 \kuo. 17 | 18 | \fourch{$\chi^{2}(2)$}{$\chi^{2}(3)$}{$t(2)$}{$t(3)$} 19 | \end{titwo} 20 | 21 | \begin{titwo} 22 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本，则统计量 23 | \[ 24 | Y = \frac{ \sqrt{n - 1}X_{1} }{\sqrt{ \sum_{i=2}^{n} X_{i}^{2} }} 25 | \] 26 | 服从 \kuo. 27 | 28 | \twoch{$Y \sim \chi^{2}(n-1)$}{$Y \sim t(n-1)$}{$Y \sim F(n,1)$}{$Y \sim F(1,n-1)$} 29 | \end{titwo} 30 | 31 | \begin{titwo} 32 | 设随机变量 $X \sim F(n,n)$，记 $p_{1} = P\{X \geq 1\}$, $p_{2} = P\{X \leq 1\}$，则 \kuo. 33 | 34 | \twoch{$p_{1} < p_{2}$}{$p_{1} > p_{2}$}{$p_{1} = p_{2}$}{$p_{1}$, $p_{2}$ 大小无法比较} 35 | \end{titwo} 36 | 37 | \begin{titwo} 38 | 设总体 $X \sim N \bigl( a,\sigma^{2} \bigr)$, $Y \sim N\bigl( b,\sigma^{2} \bigr)$，且相互独立. 分别从 $X$ 和 $Y$ 中各抽取容量为 $9$ 和 $10$ 的简单随机样本，记它们的方差为 $S_{X}^{2}$ 和 $S_{Y}^{2}$，并记 $S_{12}^{2} = \frac{1}{2} \* \bigl( S_{X}^{2} + S_{Y}^{2} \bigr)$ 和 $S_{XY}^{2} = \frac{1}{18} \bigl( 8 S_{X}^{2} + 10 S_{Y}^{2} \bigr)$，则这四个统计量 $S_{X}^{2}$, $S_{Y}^{2}$, $S_{12}^{2}$, $S_{XY}^{2}$ 中，方差最小者是 \kuo. 39 | 40 | \fourch{$S_{X}^{2}$}{$S_{Y}^{2}$}{$S_{12}^{2}$}{$S_{XY}^{2}$} 41 | \end{titwo} 42 | 43 | \begin{titwo} 44 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是取自总体 $N\bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$ 的样本，$\overline{X}$ 是样本均值，记 45 | \begin{gather*} 46 | S_{1}^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \bigl( X_{i} - \overline{X} \bigr)^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \bigl( X_{i} - \overline{X} \bigr)^{2}, \\ 47 | S_{3}^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \mu)^{2}, S_{4}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \mu)^{2}, 48 | \end{gather*} 49 | 则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是 \kuo. 50 | 51 | \fourch{$\frac{\overline{X} - \mu}{S_{1}/\sqrt{n-1}}$}{$\frac{\overline{X} - \mu}{S_{2}/\sqrt{n-1}}$}{$\frac{\overline{X} - \mu}{S_{3}/\sqrt{n}}$}{$\frac{\overline{X} - \mu}{S_{4}/\sqrt{n}}$} 52 | \end{titwo} 53 | 54 | \begin{titwo} 55 | 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$, $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 $\overline{X}$，样本方差为 $S^{2}$，则服从 $\chi^{2}(n)$ 的随机变量为 \kuo. 56 | 57 | \twoch{$\frac{\overline{X}^{2}}{\sigma^{2}} + \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$}{$\frac{n\overline{X}^{2}}{\sigma^{2}} + \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$}{$\frac{(\overline{X} - \mu)^{2}}{\sigma^{2}} + \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$}{$\frac{n(\overline{X} - \mu)^{2}}{\sigma^{2}} + \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$} 58 | \end{titwo} 59 | 60 | \begin{titwo} 61 | 设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\bigl(0,\sigma^{2}\bigr)$，已知 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{m}$ 与 $Y_{1}$, $Y_{2}$, $\cdots$, $Y_{n}$ 是分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 的两个相互独立的简单随机样本，统计量 $Y = \frac{ 2(X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{m}) }{ \sqrt{Y_{1}^{2} + Y_{2}^{2} + \cdots + Y_{n}^{2}} }$ 服从 $t(n)$ 分布，则 $\frac{m}{n} = $ \kuo. 62 | 63 | \fourch{$1$}{$\frac{1}{2}$}{$\frac{1}{3}$}{$\frac{1}{4}$} 64 | \end{titwo} 65 | 66 | \begin{titwo} 67 | 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$, $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ $(n > 1)$ 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 $\overline{X}$，如果 $P \{ |X - \mu| < a \} = P \bigl\{ \bigl| \overline{X} - \mu \bigr| < b \bigr\}$，则比值 $\frac{a}{b}$ \kuo. 68 | 69 | \onech{与 $\sigma$ 及 $n$ 都有关}{与 $\sigma$ 及 $n$ 都无关}{与 $\sigma$ 无关，与 $n$ 有关}{与 $\sigma$ 有关，与 $n$ 无关} 70 | \end{titwo} 71 | 72 | \begin{titwo} 73 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{8}$ 和 $Y_{1}$, $Y_{2}$, $\cdots$, $Y_{10}$ 分别是来自正态总体 $N(-1,4)$ 和 $N(2,5)$ 的简单随机样本，且相互独立，$S_{1}^{2}$, $S_{2}^{2}$ 分别为这两个样本的方差，则服从 $F(7,9)$ 分布的统计量是 \kuo. 74 | 75 | \fourch{$\frac{2 S_{1}^{2}}{5 S_{2}^{2}}$}{$\frac{4 S_{2}^{2}}{5 S_{1}^{2}}$}{$\frac{5 S_{1}^{2}}{2 S_{2}^{2}}$}{$\frac{5 S_{1}^{2}}{4 S_{2}^{2}}$} 76 | \end{titwo} 77 | 78 | \begin{titwo} 79 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 独立同分布 $N\bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$，令 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, $V_{i} = X_{i} - \overline{X}$, $i = 1$, $2$, $\cdots$, $n$，则 80 | \[ 81 | Z_{k} = \frac{(k+1)V_{k} + V_{k+1} + \cdots + V_{n-1}}{\sigma\sqrt{k(k+1)}} 82 | \] 83 | $(k = 1,2,\cdots,n-1)$ 服从的分布为 \kuo. 84 | 85 | \fourch{$t(n-1)$}{$N(0,1)$}{$\chi^{2}(1)$}{$F(1,1)$} 86 | \end{titwo} 87 | 88 | \begin{titwo} 89 | 设总体 $X \sim P(\lambda)$, $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 $\overline{X}$ 和 $S^{2}$，则 $E\Bigl( \overline{X}^{2} \Bigr)$ 和 $E\bigl( S^{2} \bigr)$ 分别为 \htwo. 90 | \end{titwo} 91 | 92 | \begin{titwo} 93 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$, $X_{4}$ 是来自正态总体 $X \sim N \bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$ 的简单随机样本，则统计量 94 | \[ 95 | Y = \frac{X_{3} - X_{4}}{\sqrt{ (X_{1} - \mu)^{2} + (X_{2} - \mu)^{2} }} 96 | \] 97 | 服从的分布是 \htwo. 98 | \end{titwo} 99 | 100 | \begin{titwo} 101 | 设总体 $X \sim N(a,2)$, $Y \sim N(b,2)$，且独立，由分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 的容量分别为 $m$ 和 $n$ 的简单随机样本得样本方差 $S_{X}^{2}$ 和 $S_{Y}^{2}$，则统计量 $T = \frac{1}{2} \bigl[ (m-1) \* S_{X}^{2} + (n-1) \* S_{Y}^{2} \bigr]$ 服从的分布是 \htwo. 102 | \end{titwo} 103 | 104 | \begin{titwo} 105 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，$EX = \mu$, $DX = \sigma^{2} < +\infty$，求 $E\overline{X}$, $D\overline{X}$ 和 $E \bigl( S^{2} \bigr)$. 106 | \end{titwo} 107 | 108 | \begin{titwo} 109 | 从装有 $1$ 个白球和 $2$ 个黑球的罐子里有放回地取球，记 110 | \[ 111 | X = \begin{cases} 112 | 0, & \text{取到白球}, \\ 113 | 1, & \text{取到黑球}, 114 | \end{cases} 115 | \] 116 | 这样连续取 $5$ 次得样本 $X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$, $X_{4}$, $X_{5}$. 记 $Y = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{5}$，求： 117 | \begin{enumerate} 118 | \item $Y$ 的分布律，$EY$, $E\bigl( Y^{2} \bigr)$; 119 | \item $E\overline{X}$, $E\bigl( S^{2} \bigr)$ (其中 $\overline{X}$, $S^{2}$ 分别为样本 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{5}$ 的均值与方差). 120 | \end{enumerate} 121 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec11-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{点估计} 2 | \begin{titwo} 3 | 设 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 是来自总体 $X \sim N\bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$ ($\mu$, $\sigma^{2}$ 都未知) 的简单随机样本的观察值，则 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计值为 \kuo. 4 | 5 | \twoch{$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2}$}{$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \bigl(x_{i} - \overline{x}\bigr)^{2}$}{$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2}$}{$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \bigl(x_{i} - \overline{x}\bigr)^{2}$} 6 | \end{titwo} 7 | 8 | \begin{titwo} 9 | 设 $X \sim P(\lambda)$，其中 $\lambda > 0$ 是未知参数，$x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 是总体 $X$ 的一组样本值，则 $P\{X = 0\}$ 的最大似然估计值为 \kuo. 10 | 11 | \twoch{$\ee^{-\frac{1}{\overline{x}}}$}{$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}$}{$\frac{1}{\ln \overline{x}}$}{$\ee^{-\overline{x}}$} 12 | \end{titwo} 13 | 14 | \begin{titwo} 15 | 设总体 $X \sim P(\lambda)$ ($\lambda$ 为未知参数)，$X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值与方差分别为 $\overline{X}$ 与 $S^{2}$，则为使 $\hat \lambda = a \* \overline{X} + (2-3a) \* S^{2}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计量，常数 $a$ 应为 \kuo. 16 | 17 | \fourch{$-1$}{$0$}{$\frac{1}{2}$}{$1$} 18 | \end{titwo} 19 | 20 | \begin{titwo} 21 | 设总体 $X$ 的概率密度为 22 | \[ 23 | f(x) = \begin{cases} 24 | (\theta + 1) x^{\theta}, & 0 < x < 1, \\ 25 | 0, & \text{其他}, 26 | \end{cases} 27 | \] 28 | 其中 $\theta > -1$ 为参数. $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本观测值，则未知参数 $\theta$ 的最大似然估计值为 \htwo. 29 | \end{titwo} 30 | 31 | \begin{titwo} 32 | 设总体 $X$ 的概率密度为 33 | \[ 34 | f(x;\theta) = \begin{cases} 35 | \sqrt{\theta} x^{ \sqrt{\theta} - 1 }, & 0 < x < 1, \\ 36 | 0, & \text{其他}, 37 | \end{cases} 38 | \] 39 | 其中 $\theta > 0$ 为未知参数，又设 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 是 $X$ 的一组样本值，则参数 $\theta$ 的最大似然估计值为 \htwo. 40 | \end{titwo} 41 | 42 | \begin{titwo} 43 | 设总体 $X$ 的概率密度为 44 | \[ 45 | f(x;\theta) = \begin{cases} 46 | \frac{6x}{\theta^{3}} (\theta - x), & 0 < x < \theta, \\ 47 | 0, & \text{其他}, 48 | \end{cases} 49 | \] 50 | 又设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是来自 $X$ 的一个简单随机样本，求未知参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat \theta$，并求 $E \hat \theta$ 和 $D \hat \theta$. 51 | \end{titwo} 52 | 53 | \begin{titwo} 54 | 设总体 $X$ 的概率密度为 55 | \[ 56 | f(x;\alpha) = \begin{cases} 57 | (\alpha + 1) x^{\alpha}, & 0 < x < 1, \\ 58 | 0, & \text{其他}, 59 | \end{cases} 60 | \] 61 | 试用样本 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 求参数 $\alpha$ 的矩估计和最大似然估计. 62 | \end{titwo} 63 | 64 | \begin{titwo} 65 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是来自对数级数分布 66 | \[ 67 | P\{X = k\} = - \frac{1}{\ln(1 - p)} \frac{p^{k}}{k} (0 < p < 1, k = 1,2,\cdots) 68 | \] 69 | 的一个样本，求 $p$ 的矩估计. 70 | \end{titwo} 71 | 72 | \begin{titwo} 73 | 设总体 $X$ 服从参数为 $N$ 和 $p$ 的二项分布，$X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 为取自 $X$ 的简单随机样本，试求参数 $N$ 和 $p$ 的矩估计. 74 | \end{titwo} 75 | 76 | \begin{titwo} 77 | 设总体 $X$ 的分布列为截尾几何分布 78 | \begin{gather*} 79 | P\{X = k\} = \theta^{k-1} (1 - \theta), k = 1,2,\cdots,r, \\ 80 | P\{X = r + 1\} = \theta^{r}, 81 | \end{gather*} 82 | 从中抽得样本 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$，其中有 $m$ 个取值为 $r+1$，求 $\theta$ 的最大似然估计. 83 | \end{titwo} 84 | 85 | \begin{titwo} 86 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是取自均匀分布 $(0,\theta)$ 上的一个样本，试证：$T_{n} = \max\{ X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n} \}$ 是 $\theta$ 的相合估计量. 87 | \end{titwo} 88 | 89 | \begin{titwo} 90 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，且 $X$ 的概率密度为 91 | \[ 92 | f(x) = \begin{cases} 93 | \frac{4x^{2}}{\alpha^{3} \sqrt{\uppi}} \ee^{ - (\frac{x}{\alpha})^{2} }, & x > 0, \alpha > 0, \\ 94 | 0, & \text{其他}. 95 | \end{cases} 96 | \] 97 | \begin{enumerate} 98 | \item 求未知参数 $\alpha$ 的矩估计和最大似然估计; 99 | \item 验证所求得的矩估计是否为 $\alpha$ 的无偏估计. 100 | \end{enumerate} 101 | \end{titwo} 102 | 103 | \begin{titwo} 104 | 设从均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^{2} > 0$ 的总体中分别抽取容量为 $n_{1}$, $n_{2}$ 的两个独立样本，样本均值分别为 $\overline{X}$, $\overline{Y}$. 证明：对于任何满足条件 $a + b = 1$ 的常数 $a$, $b$, $T = a \* \overline{X} + b \* \overline{Y}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，并确定常数 $a$, $b$ 的值，使得方差 $DT$ 达到最小. 105 | \end{titwo} 106 | 107 | \begin{titwo} 108 | 设总体 $X \sim N \bigl( \mu_{1},\sigma^{2} \bigr)$, $Y \sim N\bigl( \mu_{2},\sigma^{2} \bigr)$. 从总体 $X$, $Y$ 中独立地抽取两个容量为 $m$, $n$ 的样本 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{m}$ 和 $Y_{1}$, $Y_{2}$, $\cdots$, $Y_{n}$. 记样本均值分别为 $\overline{X}$, $\overline{Y}$. 若 $Z = C \Bigl[ \bigl( \overline{X} - \mu_{1} \bigr)^{2} + \bigl( \overline{Y} - \mu_{2} \bigr)^{2} \Bigr]$ 是 $\sigma^{2}$ 的无偏估计. 求： 109 | \begin{enumerate} 110 | \item $C$; 111 | \item $Z$ 的方差 $DZ$. 112 | \end{enumerate} 113 | \end{titwo} 114 | 115 | \begin{titwo} 116 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，且 $X$ 的概率分布为 117 | \[ 118 | X \sim \begin{psmallmatrix} 119 | 1 & 2 & 3 \\ 120 | \theta^{2} & 2 \theta (1 - \theta) & (1 - \theta)^{2} 121 | \end{psmallmatrix}, 122 | \] 123 | 其中 $0 < \theta < 1$. 分别以 $v_{1}$, $v_{2}$ 表示 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 中 $1$, $2$ 出现的次数，试求： 124 | \begin{enumerate} 125 | \item 未知参数 $\theta$ 的最大似然估计量; 126 | \item 未知参数 $\theta$ 的矩估计量; 127 | \item 当样本值为 $1$, $1$, $2$, $1$, $3$, $2$ 时的最大似然估计值和矩估计值. 128 | \end{enumerate} 129 | \end{titwo} 130 | 131 | \begin{titwo} 132 | 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 $R$ (未知常数). 现在按还原抽样方式随意抽取的 $n$ 件中发现 $k$ 件不合格品. 试求 $R$ 的最大似然估计值. 133 | \end{titwo} 134 | 135 | \begin{titwo} 136 | 设袋中有编号为 $1 \sim N$ 的 $N$ 张卡片，其中 $N$ 未知，现从中有放回地任取 $n$ 张，所得号码为 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$. 137 | \begin{enumerate} 138 | \item 求 $N$ 的矩估计量 $\hat N_{1}$，并计算概率 $P\bigl\{ \hat N_{1} = 1 \bigr\}$; 139 | \item 求 $N$ 的最大似然估计量 $\hat N_{2}$，并求 $\hat N_{2}$ 的分布律. 140 | \end{enumerate} 141 | \end{titwo} 142 | 143 | \begin{titwo} 144 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为 145 | \[ 146 | f(x;\theta) = \begin{cases} 147 | \frac{x}{\theta^{2}} \ee^{ - \frac{x^{2}}{2 \theta^{2}} }, & x > 0, \\ 148 | 0, & x \leq 0, 149 | \end{cases} 150 | \] 151 | 其中 $\theta > 0$，试求 $\theta$ 的最大似然估计. 152 | \end{titwo} 153 | 154 | \begin{titwo} 155 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，$\hat \theta_{n}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 是 $\theta$ 的一个估计量，若 $E\hat \theta_{n} = \theta + k_{n}$, $D\hat \theta_{n} = \sigma_{n}^{2}$，且 $\lim_{n \to \infty} k_{n} = \lim_{n \to \infty} \sigma_{n}^{2} = 0$. 试证：$\hat \theta_{n}$ 是 $\theta$ 的相合(一致)估计量. 156 | \end{titwo} 157 | 158 | \begin{titwo} 159 | 设总体 $X \sim N\bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$, $X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$ 是来自 $X$ 的简单随机样本，试证估计量 160 | \begin{align*} 161 | \hat \mu_{1} &= \frac{1}{5} X_{1} + \frac{3}{10} X_{2} + \frac{1}{2} X_{3}, \\ 162 | \hat \mu_{2} &= \frac{1}{3} X_{1} + \frac{1}{4} X_{2} + \frac{5}{12} X_{3}, \\ 163 | \hat \mu_{3} &= \frac{1}{3} X_{1} + \frac{1}{6} X_{2} + \frac{1}{2} X_{3} 164 | \end{align*} 165 | 都是 $\mu$ 的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 166 | \end{titwo} 167 | 168 | \begin{titwo} 169 | 设 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，设 $EX = \mu$, $DX = \sigma^{2}$，试确定常数 $C$，使 $\overline{X}^{2} - CS^{2}$ 为 $\mu^{2}$ 的无偏估计. 170 | \end{titwo} 171 | 172 | \begin{titwo} 173 | 设总体 $X$ 服从 $U(0,\theta)$, $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{n}$ 为来自总体的简单随机样本. 证明：$\hat \theta = 2 \overline{X}$ 为 $\theta$ 的一致估计. 174 | \end{titwo} 175 | 176 | \begin{titwo} 177 | 设总体 $X \sim N \bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$, $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{2n}$ $(n \geq 2)$ 是 $X$ 的简单随机样本，且 $\overline{X} = \frac{1}{2n} \* \sum_{i=1}^{2n} X_{i}$ 及统计量 $Y = \sum_{i=1}^{n} \bigl( X_{i} + X_{n+i} - 2 \overline{X} \bigr)^{2}$. 178 | \begin{enumerate} 179 | \item 求统计量 $Y$ 是否为 $\sigma^{2}$ 的无偏估计; 180 | \item 当 $\mu = 0$ 时，试求 $D \Bigl( \overline{X}^{2} \Bigr)$. 181 | \end{enumerate} 182 | \end{titwo} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec11-8.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{区间估计与假设检验} 2 | \begin{titwo} 3 | 设总体 $X \sim N \bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$，来自 $X$ 的一个样本为 $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{2n}$，记 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, $T = \sum_{i=1}^{n} \bigl( X_{i} - \overline{X} \bigr)^{2} + \sum_{i=n+1}^{2n} (X_{i} - \mu)^{2}$，当 $\mu$ 已知时，基于 $T$ 构造估计 $\sigma^{2}$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 \kuo. 4 | 5 | \onech{$\Biggl( \frac{T}{\chi_{1 - \frac{\alpha}{2}}^{2}(2n)}, \frac{T}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2} (2n) } \Biggr)$}% 6 | {$\Biggl( \frac{T}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(2n)}, \frac{T}{\chi_{1 - \frac{\alpha}{2}}^{2} (2n) } \Biggr)$}% 7 | {$\Biggl( \frac{T}{\chi_{1 - \frac{\alpha}{2}}^{2}(2n-1)}, \frac{T}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2} (2n-1) } \Biggr)$}% 8 | {$\Biggl( \frac{T}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(2n-1)}, \frac{T}{\chi_{1 - \frac{\alpha}{2}}^{2} (2n-1) } \Biggr)$} 9 | \end{titwo} 10 | 11 | \begin{titwo} 12 | 设 $\overline{X}$ 为来自总体 $X \sim N \bigl( \mu,\sigma^{2} \bigr)$ ($\sigma^{2}$ 未知)的一个简单随机样本的样本均值，若已知在置信水平 $1 - \alpha$ 下，$\mu$ 的置信区间长度为 $2$，则在显著性水平 $\alpha$ 下，对于假设检验问题 $H_{0}: \mu = 1$, $H_{1}: \mu \ne 1$，要使得检验结果接受 $H_{0}$，则应有 \kuo. 13 | 14 | \twoch{$\overline{X} \in (-1,1)$}{$\overline{X} \in (-1,3)$}{$\overline{X} \in (-2,2)$}{$\overline{X} \in (0,2)$} 15 | \end{titwo} 16 | 17 | \begin{titwo} 18 | 设总体 $X$ 的方差为 $1$，根据来自 $X$ 的容量为 $100$ 的简单随机样本测得样本均值为 $5$，则 $X$ 的数学期望的置信度近似等于 $0.95$ 的置信区间为 \htwo. 19 | \end{titwo} 20 | 21 | \begin{titwo} 22 | 设总体 $X \sim N(\mu,8)$, $X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{36}$ 是来自 $X$ 的简单随机样本，$\overline{X}$ 是它的均值. 如果 $\bigl( \overline{X} - 1,\overline{X} + 1 \bigr)$ 是未知参数 $\mu$ 的置信区间，则置信水平为 \htwo. 23 | \end{titwo} 24 | 25 | \begin{titwo} 26 | 设总体 $X \sim N(\mu,8)$, $\mu$ 为未知参数，$X_{1}$, $X_{2}$, $\cdots$, $X_{32}$ 是取自总体 $X$ 的一个简单随机样本，如果以区间 $\bigl[ \overline{X} - 1,\overline{X} + 1 \bigr]$ 作为 $\mu$ 的置信区间，则置信水平为 \htwo. (精确到 $3$ 位小数，参考数值：$\varPhi(2) = 0.977$, $\varPhi(3) \approx 0.999$, $\varPhi(4) \approx 1$) 27 | \end{titwo} 28 | 29 | \begin{titwo} 30 | 某种零件的尺寸方差为 $\sigma^{2} = 1.21$，抽取一批这类零件中的 $6$ 件检查，得尺寸数据如下(单位：毫米)： 31 | \[ 32 | 32.56,29.66,31.64,30.00,21.87,31.03~. 33 | \] 34 | 设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 $32.50$ 毫米 ($\alpha = 0.05$). 35 | \end{titwo} 36 | 37 | \begin{titwo} 38 | 经测定某批矿砂的 $5$ 个样品中镍含量为 $X$ (\si{\percent})： 39 | \[ 40 | 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24, 41 | \] 42 | 设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 $3.25$ ($\alpha = 0.01$)？ 43 | \end{titwo} 44 | 45 | \begin{titwo} 46 | 从一批轴料中取 $15$ 件测量其椭圆度，计算得 $S = 0.025$，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 $\sigma^{2} = 0.0004$ 有无显著差别. ($\alpha = 0.05$，椭圆度服从正态分布) 47 | \end{titwo} 48 | 49 | \begin{titwo} 50 | 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 $\sigma = 100$，今抽了一个容量为 $26$ 的样本，计算平均值为 $1580$，问在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，能否认为这批产品的指标的期望值 $\mu$ 不低于 $1600$. 51 | \end{titwo} 52 | \guanggao\newpage\guanggao -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec2-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{一元函数微分学} 2 | \subsection{一点的导数问题} 3 | 4 | \begin{ti} 5 | 设 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处可导，$f'(1) = 1$，求 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^{10} - 1}$. 6 | \end{ti} 7 | 8 | \begin{ti} 9 | 设 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，且 \[\lim_{x \to 0} \left[ \frac{\ee^{f(x)} - \cos x + \sin x}{x} \right] = 0,\]求 $f(0)$，并讨论 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是否可导？若可导，请求出 $f'(0)$. 10 | \end{ti} 11 | 12 | \begin{ti} 13 | 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，在区间 $[0,2]$ 上，$f(x) = x\left( x^{2} - 4 \right)$. 假若对任意的 $x$ 都满足 $f(x) = k f(x + 2)$，其中 $k$ 为常数. 14 | \begin{enumerate} 15 | \item 写出 $f(x)$ 在 $[-2,0)$ 上的表达式; 16 | \item 问 $k$ 为何值时，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导？ 17 | \end{enumerate} 18 | \end{ti} 19 | 20 | \begin{ti} 21 | 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且 $f'(0) = a(a \ne 0)$，又对任意的 $x,y \in (-\infty,+\infty)$，有 22 | \[ 23 | f(x + y) = \frac{f(x) + f(y)}{1 - f(x)f(y)}, 24 | \] 25 | 求 $f(x)$. 26 | \end{ti} 27 | 28 | \begin{ti} 29 | 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，且对任意的 $x,x_{1},x_{2} \in (-\infty,+\infty)$，有 30 | \[ 31 | f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2}),f(x) = 1 + xg(x), 32 | \] 33 | 其中 $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$. 证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处可导. 34 | \end{ti} 35 | 36 | \begin{ti} 37 | 设 $f(x)$ 定义在 $\mathbb{R}$ 上，对于任意的 $x_{1},x_{2}$，有 $|f(x_{1}) - f(x_{2})| \leq (x_{1} - x_{2})^{2}$，求证：$f(x)$ 是常值函数. 38 | \end{ti} 39 | 40 | \begin{ti} 41 | 设 $f''(1)$ 存在，且 $\lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{x - 1} = 0$. 记 42 | \[ 43 | \varphi(x) = \int_{0}^{1} f'[1 + (x - 1)t]\dd{t}. 44 | \] 45 | 求 $\varphi(x)$ 在 $x = 1$ 的某个邻域内的导数，并讨论 $\varphi'(x)$ 在 $x = 1$ 处的连续性. 46 | \end{ti} 47 | 48 | \begin{ti} 49 | 设函数 50 | \[ 51 | f(x) = \begin{cases} 52 | x^{3} \sin\frac{1}{x}, & x \ne 0,\\ 53 | 0, & x = 0. 54 | \end{cases} 55 | \] 56 | 讨论 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的可导性以及 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 的连续性. 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | 已知函数 $f(x) = \begin{cases} 61 | \frac{\int_{x}^{2x} \ee^{t^{2}} \dd{t}}{x}, & x \ne 0,\\ 62 | a, & x = 0 63 | \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处可导. 求 64 | \begin{enumerate} 65 | \item $a$ 的值; 66 | \item $f'(0)$. 67 | \end{enumerate} 68 | \end{ti} 69 | 70 | \begin{ti} 71 | 若 $f(x) = \begin{cases} 72 | \ln\left( 1 + x^{2} \right), & x \leq 0,\\ 73 | a \sin x + 2x, & x > 0 74 | \end{cases}$ 是可导函数，则 $a = $\htwo. 75 | \end{ti} 76 | 77 | \begin{ti} 78 | 设 $f(x) = \begin{cases} 79 | \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}}, & x > 0,\\ 80 | x^{2} g(x), & x \leq 0, 81 | \end{cases}$ 其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处\kuo. 82 | 83 | \twoch{极限不存在}{极限存在，但不连续}{连续，但不可导}{可导} 84 | \end{ti} 85 | 86 | \begin{ti} 87 | 设函数 $f(x)$ 是定义在 $(-1,1)$ 内的奇函数，且 $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)}{x} = a \ne 0$，则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数为\kuo. 88 | 89 | \fourch{$a$}{$-a$}{$0$}{不存在} 90 | \end{ti} 91 | 92 | \begin{ti} 93 | 设函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，且 $\lim_{x \to 0} \frac{f\left( x^{2} \right)}{x^{2}} = 1$，则\kuo. 94 | 95 | \onech{$f(0) = 0$ 且 $f_{-}'(0)$ 存在}{$f(0) = 1$ 且 $f_{-}'(0)$ 存在}{$f(0) = 0$ 且 $f_{+}'(0)$ 存在}{$f(0) = 1$ 且 $f_{+}'(0)$ 存在} 96 | \end{ti} 97 | 98 | \begin{ti} 99 | 设 $g(x)$ 在 $x = 0$ 处二阶可导，且 $g(0) = g'(0) = 0$，设 100 | \[ 101 | f(x) = \begin{cases} 102 | \frac{g(x)}{x}, & x \ne 0,\\ 103 | 0, & x = 0, 104 | \end{cases} 105 | \] 106 | 则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处\kuo. 107 | 108 | \onech{不连续}{连续，但不可导}{可导，但导函数不连续}{可导且导函数连续} 109 | \end{ti} 110 | 111 | \begin{ti} 112 | 若 113 | \[ 114 | f(x) = \ee^{10x} x (x + 1) (x + 2) \cdots (x + 10), 115 | \] 116 | 则 $f'(0) = $\htwo. 117 | \end{ti} 118 | 119 | \begin{ti} 120 | 已知 $f(x) = \frac{(x - 1) (x - 2) (x - 3) \cdots (x - 100)}{(x + 1) (x + 2) (x + 3) \cdots (x + 100)}$，求 $f'(1)$. 121 | \end{ti} 122 | 123 | \begin{ti} 124 | 设函数 $f(x) = \left( \ee^{x} - 1 \right) \left( \ee^{2x} - 2 \right) \cdots \left( \ee^{nx} - n \right)$，其中 $n$ 为正整数，则 $f'(0) = $\kuo. 125 | 126 | \twoch{$(-1)^{n-1}(n - 1)!$}{$(-1)^{n}(n - 1)!$}{$(-1)^{n-1}n!$}{$(-1)^{n}n!$} 127 | \end{ti} 128 | 129 | \begin{ti} 130 | 已知 $f(x) = \sqrt{1 + x} + \arcsin\frac{1 - x}{1 + x^{2}}$，求 $f'(1)$. 131 | \end{ti} 132 | 133 | \begin{ti} 134 | 设 $f(x) = \sqrt{\frac{(1 + x)\sqrt{x}}{\ee^{x - 1}}} + \arcsin\frac{1 - x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$，求 $f'(1)$. 135 | \end{ti} 136 | 137 | \begin{ti} 138 | 设 $f(x)$ 可导，$F(x) = f(x) (1 + |\sin x|)$，若使 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处可导，则必有\kuo. 139 | 140 | \twoch{$f(0) = 0$}{$f'(0) = 0$}{$f(0) + f'(0) = 0$}{$f(0) - f'(0) = 0$} 141 | \end{ti} 142 | 143 | \begin{ti} 144 | 设 $f(x)$ 在 $x = a$ 处连续，$F(x) = f(x) |x - a|$，则 $f(a) = 0$ 是 $F(x)$ 在 $x = a$ 处可导的\kuo. 145 | 146 | \onech{充要条件}{充分非必要条件}{必要非充分条件}{既非充分又非必要条件} 147 | \end{ti} 148 | 149 | \begin{ti} 150 | 函数 $F(x) = \left( x^{2} - x - 2 \right)\left| x^{3} - x \right|$ 不可导的点的个数为\kuo. 151 | 152 | \fourch{$1$}{$2$}{$3$}{$4$} 153 | \end{ti} 154 | 155 | \begin{ti} 156 | 设 $f(x) = \left| \begin{smallmatrix} 157 | 1 & x - 1 & 2 x - 1\\ 158 | 1 & x - 2 & 3 x - 2\\ 159 | 1 & x - 3 & 4 x - 3 160 | \end{smallmatrix} \right|$，证明：存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi) = 0$. 161 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec2-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{导数计算} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $y = \ee^{x^{2}}$，求 $\frac{\dd{y}}{\dd{x}}, \frac{\dd{y}}{\dd{\left( x^{2} \right)}}, \frac{\dd^{2}{y}}{\dd{x^{2}}}$ 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 设 $f(x) = (\cos x - 4)\sin x + 3x$. 9 | \begin{enumerate} 10 | \item 求 $\frac{\dd{f(x)}}{\dd{\left( x^{2} \right)}}$; 11 | \item 当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 为 $x$ 的几阶无穷小？ 12 | \end{enumerate} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $f'(0) = 1$，$f''(0) = 0$，求证：在 $x = 0$ 处，有 17 | \[ 18 | \frac{\dd^{2}}{\dd{x^{2}}} f\left( x^{2} \right) = \frac{\dd^{2}}{\dd{x^{2}}} f^{2}(x). 19 | \] 20 | \end{ti} 21 | 22 | \begin{ti} 23 | 设 $f(x)$ 为可微函数，证明：若 $x = 1$ 时，有 $\frac{\dd{f\left( x^{2} \right)}}{\dd{x}} = \frac{\dd{f^{2}(x)}}{\dd{x}}$，则必有 $f'(1) = 0$ 或 $f(1) = 1$. 24 | \end{ti} 25 | 26 | \begin{ti} 27 | 设函数 $f(x) = x^{3} + 2x - 4$，$g(x) = f[f(x)]$，则 $g'(0) =$\htwo. 28 | \end{ti} 29 | 30 | \begin{ti} 31 | 设 $y = f\left( \frac{3x - 2}{3x + 2} \right)$ 且 $f'(x) = \arctan x^{2}$，求 $\left. \frac{\dd{y}}{\dd{x}} \right|_{x = 0}$. 32 | \end{ti} 33 | 34 | \begin{ti} 35 | 设 $f(x) = \begin{cases} 36 | x^{3x}, & x > 0,\\ 37 | x + 1, & x \leq 0, 38 | \end{cases}$ 求 $f''(x)$. 39 | \end{ti} 40 | 41 | \begin{ti} 42 | 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续且大于 $0$， 43 | \[ 44 | g(x) = \begin{cases} 45 | \frac{\int_{0}^{x} tf(t) \dd{t}}{\int_{0}^{x} f(t) \dd{t}}, & x \ne 0,\\ 46 | 0, & x = 0. 47 | \end{cases} 48 | \] 49 | \begin{enumerate} 50 | \item 求 $g'(x)$; 51 | \item 证明：$g'(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续. 52 | \end{enumerate} 53 | \end{ti} 54 | 55 | \begin{ti} 56 | 已知可微函数 $y = y(x)$ 由方程 $y = - y\ee^{x} + 2\ee^{y} \sin x - 7x$ 所确定，求 $y''(0)$. 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | 设函数 $y = y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases} 61 | x = 1 + t^{2},\\ 62 | y = \cos t 63 | \end{cases}$ 所确定，求： 64 | \begin{enumerate} 65 | \item $\frac{\dd{y}}{\dd{x}}$ 和 $\frac{\dd^{2}y}{\dd{x^{2}}}$; 66 | \item $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\dd{y}}{\dd{x}}$ 和 $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\dd^{2}y}{\dd{x^{2}}}$. 67 | \end{enumerate} 68 | \end{ti} 69 | 70 | \begin{ti} 71 | 设函数 $f(x)$ 二阶可导，$f'(0) = 1$，$f''(0) = 2$，且 $\begin{cases} 72 | x = f(t) - \uppi,\\ 73 | y = f\left( \ee^{3t} - 1 \right), 74 | \end{cases}$ 求 $\left. \frac{\dd{y}}{\dd{x}} \right|_{t = 0}$，$\left. \frac{\dd^{2}y}{\dd{x^{2}}} \right|_{t = 0}$. 75 | \end{ti} 76 | 77 | \begin{ti} 78 | 设函数 $y = f(x)$ 是由 79 | \[ 80 | \begin{cases} 81 | x^{x} + tx - t^{2} = 0,\\ 82 | \arctan(ty) = \ln\left( 1 + t^{2}y^{2} \right) 83 | \end{cases} 84 | \] 85 | 确定，求 $\frac{\dd{y}}{\dd{x}}$. 86 | \end{ti} 87 | 88 | \begin{ti} 89 | 设 $u = f\left[ \varphi(x) + y^{2} \right]$，其中 $y = y(x)$ 由方程 $y + \ee^{y} = x$ 确定，且 $f(x), \varphi(x)$ 均有二阶导数，求 $\frac{\dd{u}}{\dd{x}}$ 和 $\frac{\dd^{2}u}{\dd{x^{2}}}$. 90 | \end{ti} 91 | 92 | \begin{ti} 93 | 设 $y = x^{3} + 3x + 1$，则 $\left. \frac{\dd{x}}{\dd{y}} \right|_{y = 1}=$\htwo. 94 | \end{ti} 95 | 96 | \begin{ti} 97 | 设 $x = f(y)$ 是函数 $y = x + \ln x$ 的反函数，求 $\frac{\dd^{2}f}{\dd{y^{2}}}$. 98 | \end{ti} 99 | 100 | \begin{ti} 101 | 设 $y = f(x)$ 与 $x = g(y)$ 互为反函数，$y = f(x)$ 可导，且 $f'(x) \ne 0$，$f(3) = 5$， 102 | \[ 103 | h(x) = f\left[ \frac{1}{3} g^{2}\left( x^{2} + 3x + 1 \right) \right], 104 | \] 105 | 求 $h'(1)$. 106 | \end{ti} 107 | 108 | \begin{ti} 109 | 设 $y = \left[ (1 + x)(3 + x)^{9} \right]^{\frac{1}{2}} (2 + x)^{4}$，求 $y'(0)$. 110 | \end{ti} 111 | 112 | \begin{ti} 113 | 已知 $u = g(\sin y)$，其中 $g'(v)$ 存在，$y = f(x)$ 由参数方程 114 | \[ 115 | \begin{cases} 116 | x = a \cos t,\\ 117 | y = b \sin t 118 | \end{cases} 119 | \left( 0 < t < \frac{\uppi}{2}, a \ne 0 \right) 120 | \] 121 | 所确定，求 $\dd{u}$. 122 | \end{ti} 123 | 124 | \begin{ti} 125 | 设 $x = f(t) \cos t - f'(t) \sin t$，$y = f(t) \sin t + f'(t) \cos t$，$f''(t)$ 存在，试证： 126 | \[ 127 | (\dd{x})^{2} + (\dd{y})^{2} = \left[ f(t) + f''(t) \right]^{2} (\dd{t})^{2}. 128 | \] 129 | \end{ti} 130 | 131 | \begin{ti} 132 | 设 $f(x) = x \ee^{-x}$，则 $f^{(n)}(x) = $\kuo. 133 | 134 | \twoch{$(-1)^{n} (1 + n) x \ee^{-x}$}{$(-1)^{n} (1 - n) x \ee^{-x}$}{$(-1)^{n} (x + n) \ee^{-x}$}{$(-1)^{n} (x - n) \ee^{-x}$} 135 | \end{ti} 136 | 137 | \begin{ti} 138 | 若 $f(x) = x^{5} \ee^{6x}$，则 $f^{(2019)}(0) = $\htwo. 139 | \end{ti} 140 | 141 | \begin{ti} 142 | 设 $f(x) = \frac{x}{1 - 2x^{4}}$，则 $f^{(101)}(0) = $\htwo. 143 | \end{ti} 144 | 145 | \begin{ti} 146 | 设 $f(x) = \ee^{x} \sin x$，则 $f^{(7)}(x) = $\htwo. 147 | \end{ti} 148 | 149 | \begin{ti} 150 | 设 \[f(x) = \lim_{n \to \infty} x \cos 2x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^{n}}(x > 0).\] 151 | \begin{enumerate} 152 | \item 求证 $f(x) = \cos 2x \sin x$; 153 | \item 求 $f^{(20)}(x)$. 154 | \end{enumerate} 155 | \end{ti} 156 | 157 | \begin{ti} 158 | 设 $f(x) = \left( x^{2} - 3x + 2 \right)^{n} \cos \frac{\uppi x^{2}}{16}$，求 $f^{(n)}(2)$. 159 | \end{ti} 160 | 161 | \begin{ti} 162 | 设 $y = \arcsin x$. 163 | \begin{enumerate} 164 | \item 证明其满足方程 $\left( 1 - x^{2} \right) y^{(n+2)} - (2n + 1)\* x\times y^{(n+1)} - n^{2} y^{(n)} = 0 (n \geq 0)$; 165 | \item 求 $\left. y^{(n)} \right|_{x = 0}$. 166 | \end{enumerate} 167 | \end{ti} 168 | 169 | \begin{ti} 170 | 设 $f(x) = g'(x)$， 171 | \[ 172 | g(x) = \begin{cases} 173 | \frac{\ee^{x} - 1}{x}, & x \ne 0,\\ 174 | 1, & x = 0, 175 | \end{cases} 176 | \] 177 | 求 $f^{(n)}(0)$. 178 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec2-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{中值定理、方程的根、不等式} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b) = 0$，求证： 5 | \begin{enumerate} 6 | \item 存在 $\xi \in (a,b)$，使 $f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$; 7 | \item 存在 $\eta \in (a,b)$，使 $\eta f(\eta) + f'(\eta) = 0$. 8 | \end{enumerate} 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 设函数 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上二阶可导，且 $\left| f(x) \right| \leq 1$，又 $f^{2}(0) + \left[ f'(0) \right]^{2} = 4$. 试证：在 $(-2,2)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) + f''(\xi) = 0$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f(a) \ne f(b)$. 证明：存在 $\xi,\eta \in (a,b)$，使得 $\frac{f'(\xi)}{2\xi} = \frac{f'(\eta)}{b + a}$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续 $(a,b > 0)$，在 $(a,b)$ 内可导. 证明：在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使等式 $\frac{1}{a - b} \left| \begin{smallmatrix} 21 | a & b\\ 22 | f(a) & f(b) 23 | \end{smallmatrix} \right| = f(\xi) - \xi f'(\xi)$ 成立. 24 | \end{ti} 25 | 26 | \begin{ti} 27 | 设 $f(x)$ 在闭区间 $[1,2]$ 上可导，证明：存在一点 $\xi \in (1,2)$，使 28 | \[ 29 | f(2) - 2f(1) = \xi f'(\xi) - f(\xi). 30 | \] 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 设 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，且 $f(a) = f(b) = g(a) = 0$，证明：存在 $\xi \in (a,b)$，使 $f''(\xi) g(\xi) + 2 f'(\xi) g'(\xi) + f(\xi) g''(\xi) = 0$. 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 设 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上具有三阶连续导数，且 $f(-1) = 0$，$f(1) = 1$，$f'(0) = 0$. 证明：在 $[-1,1]$ 内存在 $\xi$，使得 $f'''(\xi) = 3$. 39 | \end{ti} 40 | 41 | \begin{ti} 42 | 设 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$g''(x) \ne 0$，$f(a) = f(b) = g(a) = g(b) = 0$. 证明： 43 | \begin{enumerate} 44 | \item 在 $(a,b)$ 内，$g(x) \ne 0$; 45 | \item 在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)} = \frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}$. 46 | \end{enumerate} 47 | \end{ti} 48 | 49 | \begin{ti} 50 | $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f'(x) \ne 0$. 证明：存在 $\xi, \eta \in (a,b)$，使得 51 | \[ 52 | \frac{f'(\xi)}{f'(\eta)} = \frac{\ee^{b} - \ee^{a}}{b - a} \ee^{-\eta}. 53 | \] 54 | \end{ti} 55 | 56 | \begin{ti} 57 | 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0) = 0$，$\left| f'(x) \right| \leq \left| f(x) \right|$，则 $f(1) = $\htwo. 58 | \end{ti} 59 | 60 | \begin{ti} 61 | 设 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上一阶可导且 $f'(x) \geq \frac{1}{4}$，$f(2) \geq 0$，则在下列区间上必有 $f(x) \geq \frac{1}{4}$ 成立的是\kuo. 62 | 63 | \fourch{$[0,1]$}{$[1,2]$}{$[2,3]$}{$[3,4]$} 64 | \end{ti} 65 | 66 | \begin{ti} 67 | 设 $f(x)$ 二阶可导，$f''(x) < 0$，$f'(0) \leq \frac{1}{3}$，$f(0) = 0$，$f(1) = \frac{1}{2}$，并设 $0 < x_{n} < 1$，且 $x_{n+1} = f(x_{n}), n = 1,2,\cdots$. 68 | \begin{enumerate} 69 | \item 证明 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调减少; 70 | \item 证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在. 71 | \end{enumerate} 72 | \end{ti} 73 | 74 | \begin{ti} 75 | 设 $\xi_{a}$ 为函数 $f(x) = \arctan x$ 在区间 $[0,a]$ 上使用拉格朗日中值定理时的中值，求 $\lim_{a \to 0^{+}} \frac{\xi_{a}}{a}$. 76 | \end{ti} 77 | 78 | \begin{ti} 79 | 设函数 $f(x) = \arctan x$，若 $f(x) = f'(\xi) \sin x$，求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\xi^{2}}{x^{2}}$. 80 | \end{ti} 81 | 82 | \begin{ti} 83 | 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，$f'(x) \ne 0$，且 $f(a) = 0$，$f(b) = 2$. 证明在开区间 $(a,b)$ 内存在两个不同的点 $\xi,\eta$，使 84 | \[ 85 | f'(\eta) \left[ f(\xi) + \xi f'(\xi) \right] = f'(\xi) \left[ b f'(\eta) - 1 \right]. 86 | \] 87 | \end{ti} 88 | 89 | \begin{ti} 90 | 讨论常数 $a$ 的值，确定曲线 $y = a \ee^{x}$ 与 $y = 1 + x$ 的公共点的个数. 91 | \end{ti} 92 | 93 | \begin{ti} 94 | 讨论方程 $2x^{3} - 9x^{2} + 12x - a = 0$ 实根的情况. 95 | \end{ti} 96 | 97 | \begin{ti} 98 | 讨论方程 $a x \ee^{x} + b = 0 (a > 0)$ 实根的情况. 99 | \end{ti} 100 | 101 | \begin{ti} 102 | 证明：方程 $x^{\alpha} = \ln x (\alpha < 0)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有且仅有一个实根. 103 | \end{ti} 104 | 105 | \begin{ti} 106 | 设 $f(x)$ 可导，证明：$f(x)$ 的两个零点之间一定有 $f(x) + f'(x)$ 的零点. 107 | \end{ti} 108 | 109 | \begin{ti} 110 | 设 $F(x) = \int_{-1}^{1} |x - t| \ee^{-t^{2}} \dd{t} - \frac{1}{2} \left( \ee^{-1} + 1 \right)$，讨论 $F(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的零点个数. 111 | \end{ti} 112 | 113 | \begin{ti} 114 | 证明：当 $x \geq 1$ 时，$\arctan x - \frac{1}{2} \arccos \frac{2x}{1 + x^{2}} \equiv \frac{\uppi}{4}$. 115 | \end{ti} 116 | 117 | \begin{ti} 118 | 设 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$，且 $f''(x) > 0$. 证明：$f(x) \geq x$. 119 | \end{ti} 120 | 121 | \begin{ti} 122 | 证明：当 $0 < a < b < \uppi$ 时， 123 | \[ 124 | b \sin b + 2 \cos b + \uppi b > a \sin a + 2 \cos a + \uppi a. 125 | \] 126 | \end{ti} 127 | 128 | \begin{ti} 129 | 设 $b > a > \ee$，证明：$a^{b} > b^{a}$. 130 | \end{ti} 131 | 132 | \begin{ti} 133 | 设一质点在单位时间内由点 $A$ 从静止开始做直线运动至点 $B$ 停止，$A,B$ 两点间距离为 $1$，证明：该质点在 $(0,1)$ 内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 $4$. 134 | \end{ti} 135 | 136 | \begin{ti} 137 | 在区间 $[0,a]$ 上 $\left| f''(x) \right| \leq M$，且 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 内取得最大值. 求证：$\left| f'(0) \right| + \left| f'(a) \right| \leq Ma$. 138 | \end{ti} 139 | 140 | \begin{ti} 141 | 设 $x \in (0,1)$，证明下面不等式 142 | \begin{enumerate} 143 | \item $(1 + x) \ln^{2}(1 + x) < x^{2}$; 144 | \item $\frac{1}{\ln 2} - 1 < \frac{1}{\ln(1 + x)} - \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$. 145 | \end{enumerate} 146 | \end{ti} 147 | 148 | \begin{ti} 149 | 证明：$\cos \sqrt{2} x \leq - x^{2} + \sqrt{1 + x^{4}}$，其中 $x \in \bigl( 0, \frac{\sqrt{2}\uppi}{4} \bigr)$. 150 | \end{ti} 151 | 152 | \begin{ti} 153 | 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，且 $f'(a) = f'(b) = 0$，证明存在 $\xi \in (a,b)$，使 154 | \[ 155 | \left| f''(\xi) \right| \geq \frac{4}{(b - a)^{2}} \left| f(b) - f(a) \right|. 156 | \] 157 | \end{ti} 158 | 159 | \begin{ti} 160 | 已知 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(x) > 0$，$f(x) f''(x) - \bigl[ f'(x) \bigr]^{2} \geq 0 (x \in \mathbb{R})$. 161 | \begin{enumerate} 162 | \item 证明 $f(x_{1}) f(x_{2}) \geq f^{2}\left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)(x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R})$; 163 | \item 若 $f(0) = 1$，证明 $f(x) \geq \ee^{f'(0) x} (x \in \mathbb{R})$. 164 | \end{enumerate} 165 | \end{ti} 166 | 167 | \begin{ti} 168 | 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有二阶导数，且 $f''(x) > 0$，证明： 169 | \[ 170 | f\left( \frac{a + b}{2} \right) < \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(t) \dd{t} < \frac{1}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]. 171 | \] 172 | \end{ti} 173 | 174 | \begin{ti} 175 | 证明：$\ee^{x} + \ee^{-x} \geq 2x^{2} + 2 \cos x, -\infty < x < +\infty$. 176 | \end{ti} 177 | 178 | \begin{ti} 179 | 设 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $\bigl|f(x)\bigr| \leq 1, 0 < \bigl| f''(x) \bigr| \leq 2 (0 \leq x < +\infty)$. 证明：$\bigl| f'(x) \bigr| \leq 2\sqrt{2}$. 180 | \end{ti} 181 | 182 | \begin{ti} 183 | 若用 $\frac{2(x - 1)}{x + 1}$ 来近似 $\ln x$，证明当 $x \in [1,2]$ 时，其误差不超过 $\frac{1}{12} (x - 1)^{3}$. 184 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{一元函数积分学} 2 | \subsection{概念与性质} 3 | 4 | \begin{ti} 5 | 设 $f(x)$ 为连续函数，$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \dd{t}$. 试证明： 6 | \begin{enumerate} 7 | \item $F(x)$ 的奇偶性正好与 $f(x)$ 的奇偶性相反; 8 | \item 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(x)$ 的一切原函数均为偶函数; 若 $f(x)$ 为偶函数，则有且仅有一个原函数为奇函数. 9 | \end{enumerate} 10 | \end{ti} 11 | 12 | \begin{ti} 13 | 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期，证明： 14 | \begin{enumerate} 15 | \item $\int_{a}^{a + T} f(x) \dd{x} = \int_{0}^{T} f(x) \dd{x}$ ($a$ 为任意实数); 16 | \item $\int_{0}^{x} f(t) \dd{t}$ 以 $T$ 为周期 $\Longleftrightarrow$ $\int_{0}^{T} f(x) \dd{x} = 0$; 17 | \item $\int f(x) \dd{x}$ ($f(x)$ 的全体原函数) 周期为 $T$ $\Longleftrightarrow$ $\int_{0}^{T} f(x) \dd{x} = 0$. 18 | \end{enumerate} 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 设 $f(x)$ 连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是\kuo. 23 | 24 | \twoch{$\int_{0}^{x} t \bigl[ f(t) + f(-t) \bigr] \dd{t}$}{$\int_{0}^{x} t \bigl[ f(t) - f(-t) \bigr] \dd{t}$}{$\int_{0}^{x} f\left( t^{2} \right) \dd{t}$}{$\int_{0}^{x} f^{2}(t) \dd{t}$} 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 设 $F(x) = \int_{x}^{x + 2\uppi} \ee^{\sin t} \dd{t}$，则 $F(x)$ \kuo. 29 | 30 | \twoch{为正常数}{为负常数}{恒为零}{不为常数} 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 设 $f(x)$ 是以 $l$ 为周期的周期函数，则 35 | \[ 36 | \int_{a + kl}^{a + (k + 1)l} f(x) \dd{x} 37 | \] 38 | 的值\kuo. 39 | 40 | \twoch{仅与 $a$ 有关}{仅与 $a$ 无关}{与 $a$ 及 $k$ 都无关}{与 $a$ 及 $k$ 都有关} 41 | \end{ti} 42 | 43 | \begin{ti} 44 | 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的可微函数，则下列函数中以 $T$ 为周期的函数是\kuo. 45 | 46 | \twoch{$\int_{a}^{x} f(t) \dd{t}$}{$\int_{a}^{x} f\bigl( t^{2} \bigr) \dd{t}$}{$\int_{a}^{x} f'\bigl( t^{2} \bigr) \dd{t}$}{$\int_{a}^{x} f(t) f'(t) \dd{t}$} 47 | \end{ti} 48 | 49 | \begin{ti} 50 | 设 $f(x)$ 是以 $2$ 为周期的连续函数，$G(x) = 2 \int_{0}^{x} f(t) \dd{t} - x \int_{0}^{2} f(t) \dd{t}$，则\kuo. 51 | 52 | \onech{$G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数，$G'(x)$ 也是以 $2$ 为周期的周期函数}{$G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数，$G'(x)$ 不是以 $2$ 为周期的周期函数}{$G(x)$ 不是以 $2$ 为周期的周期函数，$G'(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数}{$G(x)$ 不是以 $2$ 为周期的周期函数，$G'(x)$ 也不是以 $2$ 为周期的周期函数} 53 | \end{ti} 54 | 55 | \begin{ti} 56 | 设 $f(x)$ 可导，且 57 | \[ 58 | f(x) = x + x \int_{0}^{1} f(x) \dd{x} + x^{2} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}, 59 | \] 60 | 求 $f(x)$. 61 | \end{ti} 62 | 63 | \begin{ti} 64 | 已知 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续， 65 | \[ 66 | f(x) = 3x - \sqrt{1 - x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \dd{x}, 67 | \] 68 | 求 $f(x)$. 69 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-10.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{一元积分的复杂与特色计算} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\uppi}{4}} \tan^{n}x \dd{x}$($n$ 为非负整数)，证明： 5 | \begin{enumerate} 6 | \item $I_{n} + I_{n-2} = \frac{1}{n - 1} (n \geq 2)$，并由此求 $I_{n}$; 7 | \item $\frac{1}{2(n + 1)} < I_{n} < \frac{1}{2(n - 1)}$. 8 | \end{enumerate} 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 求 $I_{n} = \int_{-1}^{1} \bigl( x^{2} - 1 \bigr)^{n} \dd{x}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $a_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1 - x^{2}} \dd{x}$，$b_{n} = \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \sin^{n}t \dd{t}$，则极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n a_{n}}{b_{n}} = $\kuo. 17 | 18 | \fourch{$1$}{$0$}{$-1$}{$\infty$} 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 求 $\int_{\ee^{-2 n \uppi}}^{1} \Bigl| \bigl[ \cos \bigl( \ln \frac{1}{x} \bigr) \bigr]' \Bigr| \ln \frac{1}{x} \dd{x}$($n$ 为正整数). 23 | \end{ti} 24 | 25 | \begin{ti} 26 | 设 $a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n-1} \sqrt{1 + x^{n}} \dd{x}$，则 $\lim_{n \to \infty} n a_{n} = $ \htwo. 27 | \end{ti} 28 | 29 | \begin{ti} 30 | 设 $n$ 为正整数，$I_{n} = \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\sin 2nx}{\sin x} \dd{x}$. 31 | \begin{enumerate} 32 | \item 证明 $I_{n} - I_{n-1} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{2}{2n-1} (n \geq 2)$; 33 | \item 求 $\int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\sin 6x}{\sin x} \dd{x}$. 34 | \end{enumerate} 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 设 $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\sin^{2}nt}{\sin t} \dd{t}$，其中 $n$ 为正整数. 39 | \begin{enumerate} 40 | \item 证明 $I_{n} - I_{n-1} = \frac{1}{2n-1}$，并求 $I_{n}$; 41 | \item 记 $x_{n} = 2I_{n} - \ln n$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在. 42 | \end{enumerate} 43 | \end{ti} 44 | 45 | \begin{ti} 46 | 设函数 $f(x) = x - [x]$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \dd{t}$. 47 | \end{ti} 48 | 49 | \begin{ti} 50 | 设 $x \geq 0$，记 $x$ 到 $2k$ 的最小距离为 $f(x), k = 0,1,2,\cdots$. 51 | \begin{enumerate} 52 | \item 证明 $f(x)$ 以 $2$ 为周期; 53 | \item 求 $\int_{0}^{1} f(nx) \dd{x}$ 的值($n = 1,2,\cdots$). 54 | \end{enumerate} 55 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-11.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{反常积分判敛与计算} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $a,b > 0$，反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{a} (2020 + x)^{b}} \dd{x}$ 收敛，则\kuo. 5 | 6 | \twoch{$a < 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a < 1$ 且 $a + b > 1$}{$a > 1$ 且 $a + b > 1$} 7 | \end{ti} 8 | 9 | \begin{ti} 10 | 设 $a > b > 0$，反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{a} + x^{b}} \dd{x}$ 收敛，则\kuo. 11 | 12 | \twoch{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b < 1$}{$a < 1$ 且 $a + b > 1$}{$a < 1$ 且 $b < 1$} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $a, b > 0$，反常积分 $\int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\dd{x}}{\cos^{a}x \sin^{b}x}$ 收敛，则\kuo. 17 | 18 | \twoch{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b < 1$}{$a < 1$ 且 $b > 1$}{$a < 1$ 且 $b < 1$} 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 设 $a > 0$，$f(x) = \begin{cases} 23 | \frac{\arctan x}{x^{\frac{a + 1}{2}}}, & 0 < x < 1,\\ 24 | \frac{\ln ( 1 + \sin \frac{1}{x^{a}} )}{x^{b} \ln \cos \frac{1}{x}}, & 1 \leq x < +\infty. 25 | \end{cases}$ 若 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \dd{x}$ 收敛，则\kuo. 26 | 27 | \twoch{$a > 3$ 且 $a + b > 3$}{$a > 3$ 且 $a + b < 3$}{$a < 3$ 且 $a + b > 3$}{$a < 3$ 且 $a + b < 3$} 28 | \end{ti} 29 | 30 | \begin{ti} 31 | 判别 $\int_{0}^{1} \bigl( 1 - \frac{\sin x}{x} \bigr)^{- \frac{1}{3}} \dd{x}$ 的敛散性. 32 | \end{ti} 33 | 34 | \begin{ti} 35 | \begin{enumerate} 36 | \item 证明 37 | \[ 38 | I = \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{p}x} \dd{x}\begin{cases} 39 | p > 1 \text{ 时，收敛},\\ 40 | p \leq 1 \text{ 时，发散}; 41 | \end{cases} 42 | \] 43 | \item 当 $p > 1$ 时，求出 $I$ 的最小值. 44 | \end{enumerate} 45 | \end{ti} 46 | 47 | \begin{ti} 48 | 设 $a, b > 0$，反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{a} \ln^{b}x} \dd{x}$ 收敛，则\kuo. 49 | 50 | \twoch{$a > 1$ 且 $b > 1$}{$a > 1$ 且 $b < 1$}{$a < 1$ 且 $b > 1$}{$a < 1$ 且 $b < 1$} 51 | \end{ti} 52 | 53 | \begin{ti} 54 | 判别 $\int_{1}^{+\infty} \bigl[ \ln \bigl( 1 + \frac{1}{x} \bigr) - \frac{1}{1 + x} \bigr] \dd{x}$ 的敛散性. 55 | \end{ti} 56 | 57 | \begin{ti} 58 | 求反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \dd{x} (a,b > 0)$. 59 | \end{ti} 60 | 61 | \begin{ti} 62 | 求反常积分 63 | \[ 64 | \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{ \bigl(1 + x^{2}\bigr) \bigl(1 + x^{\alpha}\bigr) } \dd{x} (\alpha \ne 0). 65 | \] 66 | \end{ti} 67 | 68 | \begin{ti} 69 | 设 $\lambda \in \mathbb{R}$，求证： 70 | \[ 71 | \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{1}{1 + (\tan x)^{\lambda}} \dd{x} = \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{1}{1 + (\cot x)^{\lambda}} \dd{x} = \frac{\uppi}{4}. 72 | \] 73 | \end{ti} 74 | 75 | \begin{ti} 76 | 设 77 | \[ 78 | f(x) = \begin{cases} 79 | \frac{ 2 + x (\arcsin x)^{2} }{\sqrt{4 - x^{2}}}, & -1 \leq x \leq 1,\\ 80 | \frac{\arctan x}{x^{2}}, & x > 1, 81 | \end{cases} 82 | \] 83 | 求 $\int_{-1}^{+\infty} f(x) \dd{x}$. 84 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-12.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{一元积分的几何应用} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 求曲线 $y = x \sqrt{4x - x^{2}}$ 在 $[0,4]$ 上与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 求曲线 $y = \sqrt{ x (1 - x)^{9} }$ 在 $[0,1]$ 上与 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 求曲线 $y = \sin^{4}x$ 在 $[0,\uppi]$ 上与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $a > 0$，$0 < b < 1$，由曲线 $y = \ee^{x}$，直线 $y = 1$ 与直线 $x = ab$ 所围平面区域的面积记为 $S_{1}$，由曲线 $y = \ee^{x}$，直线 $x = ab$ 与直线 $y = \ee^{a}$ 所围平面区域的面积记为 $S_{2}$，若 $S_{1} = S_{2}$，求 $\lim_{a \to 0^{+}} b$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 设 $O$ 为坐标原点，$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(0,1)$，记边长为 $1$ 的正方形 $OABC$ 内位于曲线 $y = x^{2} + t$($t$ 为实数)下方图形的面积为 $S(t)$. 21 | \begin{enumerate} 22 | \item 求 $S(t)$ 的表达式; 23 | \item $S(t)$ 在 $[-1,1]$ 上是否满足拉格朗日中值定理的条件，说明理由. 24 | \end{enumerate} 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 设曲线方程为 $y = \ee^{-x}(x \geq 0)$. 29 | \begin{enumerate} 30 | \item 曲线 $y = \ee^{-x}$，$x$ 轴，$y$ 轴和直线 $x = \xi(\xi > 0)$ 所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周，得旋转体，求此旋转体体积 $V(\xi)$，以及满足 $V(a) = \frac{1}{2} \lim_{\xi \to +\infty} V(\xi)$ 的 $a$ 值; 31 | \item 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积. 32 | \end{enumerate} 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | 设 $n$ 为正整数，$A_{n}$ 是在第一象限内曲线 $y = n \cos nx$ 与该曲线在点 $\bigl( \frac{\uppi}{2n},0 \bigr)$ 处的切线所围成的平面图形的面积. 则\kuo. 37 | 38 | \twoch{$A_{n}$ 与 $n$ 有关}{$A_{n}$ 与 $n$ 无关}{无法判断}{以上结论都不正确} 39 | \end{ti} 40 | 41 | \begin{ti} 42 | \begin{enumerate} 43 | \item 如图~\ref{fig:1.3.1} 所示，设曲线 $L$ 具有如下性质：中间曲线 $y = 2x^{2}$ 上每一点 $P$ 都使得图中 $A$ 的面积等于 $B$ 的面积，求曲线 $L$ 的方程; 44 | \item 如图~\ref{fig:1.3.1} 所示，若让 $A,B$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体体积相等，求曲线 $L$ 的方程. 45 | \end{enumerate} 46 | \begin{figure}[htbp] 47 | \centering 48 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-3-1.pdf} 49 | \caption{}\label{fig:1.3.1} 50 | \end{figure} 51 | \end{ti} 52 | 53 | \begin{ti} 54 | 如图~\ref{fig:1.3.2} 所示，阴影部分由曲线 $y = \sin x(0 \leq x \leq \uppi)$，直线 $y = a(0 < a < 1)$，$x = \uppi$ 以及 $y$ 轴围成. 此图形绕直线 $y = a$ 旋转一周形成旋转体 $S$. 问 $a$ 为何值时，$S$ 有最小体积，$S$ 有最大体积. 55 | \begin{figure}[htbp] 56 | \centering 57 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-3-2.pdf} 58 | \caption{}\label{fig:1.3.2} 59 | \end{figure} 60 | \end{ti} 61 | 62 | \begin{ti} 63 | 求曲线 $y^{2} = \bigl( 1 - x^{2} \bigr)^{3}$ 所围图形的面积. 64 | \end{ti} 65 | 66 | \begin{ti} 67 | 求曲线 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ 与坐标轴所围图形的面积. 68 | \end{ti} 69 | 70 | \begin{ti} 71 | 求摆线 $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$ 的一拱与 $x$ 轴围成的图形的面积. 72 | \end{ti} 73 | 74 | \begin{ti} 75 | 求星形线 $x = \cos^{3}t$，$y = \sin^{3}t$ 所围图形的面积. 76 | \end{ti} 77 | 78 | \begin{ti} 79 | 求阿基米德螺线 $r = a \theta$ 的第一圈与极轴所围图形的面积. 80 | \end{ti} 81 | 82 | \begin{ti} 83 | 求 $r = \sqrt{2} \sin \theta$ 及 $r^{2} = \cos 2 \theta$ 围成图形公共部分的面积. 84 | \end{ti} 85 | 86 | \begin{ti} 87 | 求曲线 $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ 和 $x$ 轴之间区域的面积. 88 | \end{ti} 89 | 90 | \begin{ti} 91 | 求曲线 $y = x \ee^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 与其渐近线之间的面积. 92 | \end{ti} 93 | 94 | \begin{ti} 95 | 记 $l_{1}$ 为椭圆 $x^{2} + 2y^{2} = 2$ 的周长，$l_{2}$ 为曲线 $y_{1} = \sin x$ 在 $0 \leq x \leq 2\uppi$ 上的弧长，$l_{3}$ 为曲线 $y_{2} = \frac{1}{2} \sin 2x$ 在 $0 \leq x \leq 2\uppi$ 上的弧长，则\kuo. 96 | 97 | \twoch{$l_{1} > l_{2} = l_{3}$}{$l_{1} = l_{2} < l_{3}$}{$l_{2} > l_{3} = l_{1}$}{$l_{1} = l_{2} = l_{3}$} 98 | \end{ti} 99 | 100 | \begin{ti} 101 | 曲线 $\begin{cases} 102 | x = 3 (t - \sin t)\\ 103 | y = 3 (1 - \cos t) 104 | \end{cases} (0 \leq t \leq 2\uppi)$ 的弧长为\htwo. 105 | \end{ti} 106 | 107 | \begin{ti} 108 | 求抛物线 $6y = x^{2}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $\bigl( 4,\frac{8}{3} \bigr)$ 之间的弧长. 109 | \end{ti} 110 | 111 | \begin{ti} 112 | 求星形线 $x = \cos^{3}t$，$y = \sin^{3}t$ 的全长. 113 | \end{ti} 114 | 115 | \begin{ti} 116 | 在摆线 $x = t - \sin t$，$y = 1 - \cos t$ 上求一点，将摆线第一拱的弧长分为 \ratio{$1$}{$3$}. 117 | \end{ti} 118 | 119 | \begin{ti} 120 | 求心形线 $r = a (1 + \cos \theta)$ 的全长. 121 | \end{ti} 122 | 123 | \begin{ti} 124 | 求曲线 $r \theta = 1$ 自 $\theta = \frac{3}{4}$ 至 $\theta = \frac{4}{3}$ 一段的弧长. 125 | \end{ti} 126 | 127 | \begin{ti} 128 | 求曲线 $y = \int_{0}^{x} \sqrt{\cos t} \dd{t}$ 的全长. 129 | \end{ti} 130 | 131 | \begin{ti} 132 | 当 $x \geq 0$ 时，曲线 $y = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} x \sqrt{12 - x^{2} t^{2}} \dd{t}$ 的全长为\htwo. 133 | \end{ti} 134 | 135 | \begin{ti} 136 | 设函数 $y = f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上非负、存在二阶导数，且 $f(0) = 0$，有一块质量均匀的平板 $D$，其占据的区域是曲线 $y = f(x)$ 与直线 $x = 1$ 以及 $x$ 轴围成的平面图形(图~\ref{fig:1.3.3}). 用 $\overline{x}$ 表示平板 $D$ 的质心的横坐标. 求证： 137 | \begin{enumerate} 138 | \item 若 $f'(x) > 0(0 \leq x \leq 1)$，则 $\overline{x} > \frac{1}{2}$(如图~\ref{fig:1.3.3:a}); 139 | \item 若 $f''(x) > 0(0 \leq x \leq 1)$，则 $\overline{x} > \frac{2}{3}$(如图~\ref{fig:1.3.3:b}). 140 | \end{enumerate} 141 | \begin{figure}[htbp] 142 | \begin{floatrow} 143 | \ffigbox[\textwidth]{ 144 | \begin{subfloatrow}[2] 145 | \ffigbox[\FBwidth]{ 146 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-3-3-a.pdf} 147 | }{\caption{}\label{fig:1.3.3:a}} 148 | \ffigbox[\FBwidth]{ 149 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-3-3-b.pdf} 150 | }{\caption{}\label{fig:1.3.3:b}} 151 | \end{subfloatrow} 152 | }{\caption{}\label{fig:1.3.3}} 153 | \end{floatrow} 154 | \end{figure} 155 | \end{ti} 156 | 157 | \begin{ti} 158 | 求由曲线 $y^{2} = x^{3} - x^{4}$ 所围成的平面图形的形心. 159 | \end{ti} 160 | 161 | \begin{ti} 162 | 求由曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = x$ 在第一象限内所围成的图形绕该直线旋转所成立体的体积. 163 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-13.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{一元积分的物理应用} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 水从一根底面半径为 \SI{1}{cm} 的圆柱形管道中流出.因为水有黏性，在流动过程中受到管道壁的阻滞，所以流动的速度是随着到管道中心的距离而变化的. 距管道中心越远，水流速度越小. 在距离管道中心 $r$ \si{cm} 处的水的流动速度为 $10 \bigl(1 - r^{2}\bigr)$ \si{cm/s}. 问水是以多大流量(以 \si{cm^{3}/s} 为单位)流过管道的？ 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 某城市的人口密度近似为 $p(r) = \frac{4}{r^{2} + 20}$，$p(r)$ 表示距市中心 $r$ \si{km} 区域的人口数，单位为每平方千米 $10$ 万人. 9 | \begin{enumerate} 10 | \item 试求距市中心 \SI{2}{km} 区域内的人口数; 11 | \item 若人口密度近似为 $p(r) = 1.2 \ee^{-0.2r}$ 单位不变，试求距市中心 \SI{2}{km} 区域内的人口数. 12 | \end{enumerate} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 半径为 $1$ 的球沉入水中，球的上顶与水平面齐平. 球与水的密度相同记为 $\rho$，重力加速度记为 $g$，现将球打捞出水，至少需做多少功？ 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 一个均质的物体，高 \SI{4}{m}，水平截面面积是高度 $h$ (从底部算起)的函数 $S = 20 + 3h^{2}$. 已知物体的密度与水的密度同为 \SI{e3}{kg/m^3}，此物体沉在水中，上表面与水面平齐，问将此物体打捞出水，至少需做功多少(设重力加速度 $g = $ \SI{10}{m/s^2})？ 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 一块 \SI{1000}{kg} 的冰块要被吊起 \SI{30}{m} 高，而这块冰以 \SI{0.02}{kg/s} 的速度溶化，假设冰块以 \SI{0.1}{m/s} 的速度被吊起，吊索的线密度为 \SI{4}{kg/m}. 求把这块冰吊到指定高度需作的功(设重力加速度 $g = $ \SI{10}{m/s^2}). 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | \begin{enumerate} 29 | \item 宽度为 \SI{6}{m} 的金属板，三分之一作为侧边，做成排水沟(如图~\ref{fig:1.3.4}). 问折起角度多大时，排水沟的截面积 $S$ 最大;\label{3.142:1} 30 | \begin{figure}[htbp] 31 | \centering 32 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-3-4.pdf} 33 | \caption{}\label{fig:1.3.4} 34 | \end{figure} 35 | \item 设一抛物线过(\ref{3.142:1})中所求得截面的 $A,D$ 及 $BC$ 中点，记该抛物线与直线段 $AD$ 所围成封闭平面的面积 $\widetilde{S}$，求 $\frac{S}{\widetilde{S}}$;\label{3.142:2} 36 | \item 若排水沟长为 \SI{1}{m}，其横截面原为(\ref{3.142:1})中等腰梯形的形状，因淤泥沉积形成了(\ref{3.142:2})中抛物线的形状. 现清除淤泥，恢复(\ref{3.142:1})中的形状，将淤泥搬运出排水沟，则至少作多少功？(设单位体积的淤泥重为 $\rho$ \si{N/m^3}) 37 | \end{enumerate} 38 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-14.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{平均值} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | $f(x) = \int_{x}^{1} \cos t^{2} \dd{t}$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为\htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 某质点以速度 $v = 3t^{2} + 2t$(\si{m/s})做直线运动，则它在 $t = 0$ 到 $t = $\SI{3}{s} 这段时间上的平均速度为\htwo. 9 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-15.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{一元积分不等式} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续并单调增加，求证： 5 | \[ 6 | \int_{a}^{b} \Biggl( \frac{b - x}{b - a} \Biggr)^{n} f(x) \dd{x} \leq \frac{1}{n + 1} \int_{a}^{b} f(x) \dd{x} (n \in \mathbb N). 7 | \] 8 | \end{ti} 9 | 10 | \begin{ti} 11 | 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x) > 0$，证明： 12 | \[ 13 | \ln \left[ \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \dd{x} \right] \geq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} \ln f(x) \dd{x}. 14 | \] 15 | \end{ti} 16 | 17 | \begin{ti} 18 | 设 $f(x)$ 二阶可导，$f''(x) \geq 0$，$g(x)$ 为连续函数，若 $a > 0$，求证： 19 | \[ 20 | \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f\bigl[g(x)\bigr] \dd{x} \geq f\left[ \frac{1}{a} \int_{0}^{a} g(x) \dd{x} \right]. 21 | \] 22 | \end{ti} 23 | 24 | \begin{ti} 25 | 设 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f\bigl( \frac{1}{2} \bigr) = 1$，$f''(x) > 0$，证明 $\int_{0}^{1} f(x) \dd{x} \geq 1$. 26 | \end{ti} 27 | 28 | \begin{ti} 29 | \begin{enumerate} 30 | \item 证明不等式 31 | \[ 32 | \ln(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < 1 + \ln n; 33 | \] 34 | \item 证明数列 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n+1)$ 单调增加，且 $0 < a_{n} < 1$. 35 | \end{enumerate} 36 | \end{ti} 37 | 38 | \begin{ti} 39 | 当 $x \geq 0$ 时，在曲线 $y = \ee^{-2x}$ 上面作一个台阶曲线，台阶的宽度皆为 $1$(如图~\ref{fig:1.3.5}). 求图中无穷多个阴影部分的面积之和 $S$. 40 | \begin{figure}[htbp] 41 | \centering 42 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-3-5.pdf} 43 | \caption{}\label{fig:1.3.5} 44 | \end{figure} 45 | \end{ti} 46 | 47 | \begin{ti} 48 | 求极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}}{\ln n}$. 49 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{一元积分比大小} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $I_{k} = \int_{0}^{k \uppi} \ee^{x^{2}} \sin x \dd{x} (k = 1,2,3)$，则有\kuo. 5 | 6 | \twoch{$I_{1} < I_{2} < I_{3}$}{$I_{3} < I_{2} < I_{1}$}{$I_{2} < I_{3} < I_{1}$}{$I_{2} < I_{1} < I_{3}$} 7 | \end{ti} 8 | 9 | \begin{ti} 10 | 设 $N = \int_{-a}^{a} x^{2} \sin^{3}x \dd{x}$，$P = \int_{-a}^{a} \bigl( x^{3} \ee^{x^{2}} - 1 \bigr) \dd{x}$，$Q = \int_{-a}^{a} \cos^{2} x^{3} \dd{x}$，$a \geq 0$，则\kuo. 11 | 12 | \twoch{$N \leq P \leq Q$}{$N \leq Q \leq P$}{$Q \leq P \leq N$}{$P \leq N \leq Q$} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 17 | \begin{align*} 18 | M &= \int_{-\frac{\uppi}{2}}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{6}x \dd{x},\\ 19 | N &= \int_{-\frac{\uppi}{2}}^{\frac{\uppi}{2}} \bigl( \sin^{3}x + \cos^{6}x \bigr) \dd{x},\\ 20 | P &= \int_{-\frac{\uppi}{2}}^{\frac{\uppi}{2}} \bigl( x^{2} \sin^{3}x - \cos^{6}x \bigr) \dd{x}, 21 | \end{align*} 22 | 则\kuo. 23 | 24 | \twoch{$N < P < M$}{$M < P < N$}{$N < M < P$}{$P < M < N$} 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 设常数 $\alpha > 0$，积分 29 | \begin{align*} 30 | I_{1} &= \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\cos x}{1 + x^{\alpha}} \dd{x},\\ 31 | I_{2} &= \int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{\alpha}} \dd{x}, 32 | \end{align*} 33 | 则\kuo. 34 | 35 | \onech{$I_{1} > I_{2}$}{$I_{1} < I_{2}$}{$I_{1} = I_{2}$}{$I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的大小与 $\alpha$ 有关} 36 | \end{ti} 37 | 38 | \begin{ti} 39 | 证明：$\int_{0}^{1} \frac{x \sin \frac{\uppi}{2} x}{1 + x} \dd{x} > \int_{0}^{1} \frac{x \cos \frac{\uppi}{2} x}{1 + x} \dd{x}$ 40 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{定积分定义} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + kn}} = $\htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 已知 $f(x) = a^{x^{3}}, a > 0$ 且 $a \ne 1$. 求 9 | \[ 10 | \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{4}} \ln \left[ f(1) f(2) \cdots f(n) \right]. 11 | \] 12 | \end{ti} 13 | 14 | \begin{ti} 15 | $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{(n + 1) (n + 2) \cdots (n + n)}}{n} = $\htwo. 16 | \end{ti} 17 | 18 | \begin{ti} 19 | $f(x) = \begin{cases} 20 | \ee^{-x}, & x \ne 0,\\ 21 | \lim_{n \to \infty} 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n + k)^{2}}, & x = 0, 22 | \end{cases}$ 求 $f'(0)$. 23 | \end{ti} 24 | 25 | \begin{ti} 26 | $\lim_{n \to \infty} \sin \frac{\uppi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2 + \cos \frac{k \uppi}{n}} = $\htwo. 27 | \end{ti} 28 | 29 | \begin{ti} 30 | $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + \frac{(k - 1)^{2} + 1}{n}} = $\htwo. 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{3^{\frac{k}{n}}}{n + \frac{1}{k}} = $\htwo. 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 设 $f(x) = \begin{cases} 39 | \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{|x|^{k/n}}{n + \frac{k}{n}}, & x \ne 0,\\ 40 | 0, & x = 0, 41 | \end{cases}$ 求 $f'(x)$. 42 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{分部积分法} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 求 $\int_{0}^{1} \ln \bigl( x + \sqrt{x^{2} + 3} \bigr) \dd{x}$. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | $\int \frac{x \ln ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )}{\left( 1 + x^{2} \right)^{2}} \dd{x} = $\htwo. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | $\int \frac{x \ln x}{\left( x^{2} - 1 \right)^{\frac{3}{2}}} \dd{x}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 求 $\int_{-\frac{\uppi}{4}}^{\frac{\uppi}{4}} 5 \cos x \cdot \arctan \ee^{x} \dd{x}$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 求 $\int x \arctan x \dd{x}$. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 求 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x \ee^{-3x}}{\left( 1 + \ee^{-3x} \right)^{2}} \dd{x}$. 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 求 $\int_{0}^{1} x \ln (1 - x) \dd{x}$. 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 设 $f\bigl( \sin^{2}x \bigr) = \frac{x}{\sin x}$，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} f(x) \dd{x}$. 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | 已知 $f(x) = \frac{\ee^{x} + \ee^{-x}}{2}$，求 $\int \Bigl[ \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{f(x)}{f'(x)} \Bigr] \dd{x}$. 37 | \end{ti} 38 | 39 | \begin{ti} 40 | 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \dd{x} = 1$，$f(1) = 0$，则 \[\int_{0}^{1} x f'(x) \dd{x} = \] 41 | \htwo. 42 | \end{ti} 43 | 44 | \begin{ti} 45 | 已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $(1 + \sin x) \ln x$，求 $\int x f'(x) \dd{x}$. 46 | \end{ti} 47 | 48 | \begin{ti} 49 | 设 $\frac{\ln x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int_{1}^{\ee} x\times f'(x) \dd{x} = $ \htwo. 50 | \end{ti} 51 | 52 | \begin{ti} 53 | 设 $f(x)$ 有一个原函数 $\frac{\sin x}{x}$，则 $\int_{\frac{\uppi}{2}}^{\uppi} x^{3} f'(x) \dd{x} = $ 54 | \htwo. 55 | \end{ti} 56 | 57 | \begin{ti} 58 | 设 $f(x) = \lim_{t \to \infty} t^{2} \sin \frac{x}{t} \cdot \bigl[ g\bigl( 2x + \frac{1}{t} \bigr) - g(2x) \bigr]$，$g(x)$ 的一个原函数为 $\ln(x + 1)$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \dd{x}$. 59 | \end{ti} 60 | 61 | \begin{ti} 62 | 设 $f(x)$ 的一个原函数 \[F(x) = \ln^{2}\bigl( x + \sqrt{1 + x^{2}} \bigr),\]求 $\int x f'(x) \dd{x}$. 63 | \end{ti} 64 | 65 | \begin{ti} 66 | 求 $I = \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \dd{x}$，其中 $f(x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} \ee^{-t^{2}} \dd{t}$. 67 | \end{ti} 68 | 69 | \begin{ti} 70 | 设 $f(x) = \int_{0}^{x} \ee^{-t^{2} + 2t} \dd{t}$，求 $\int_{0}^{1} (x - 1)^{2} f(x) \dd{x}$. 71 | \end{ti} 72 | 73 | \begin{ti} 74 | 设 $y'(x) = \arctan (x - 1)^{2}$，且 $y(0) = 0$，求 75 | \[ 76 | \int_{0}^{1} y(x) \dd{x}. 77 | \] 78 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{换元法} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 求 $\int_{0}^{1} \arcsin \sqrt[3]{x} \dd{x}$. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 求 $\int_{0}^{- \ln 2} \sqrt{1 - \ee^{2x}} \dd{x}$. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 求 $\int_{0}^{\uppi} \frac{x \sin x}{1 + \sin^{2}x} \dd{x}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 求 $\int_{0}^{1} \arctan \sqrt{x} \dd{x}$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 求 $\int \frac{\dd{x}}{2 + \cos x}$. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 求 $\int_{2}^{+\infty} \frac{\dd{x}}{x \sqrt{x^{2} + 4x}}$. 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 求 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \arcsin x \dd{x}$. 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 求 $\int \frac{\dd{x}}{x + \sqrt{x + 2}}$. 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | 求 $\int_{-\frac{\uppi}{4}}^{\frac{\uppi}{4}} \frac{2^{x - 1}}{2^{x} + 1} \cos^{4}2x \dd{x}$. 37 | \end{ti} 38 | 39 | \begin{ti} 40 | 求 $\int \frac{x + 1}{\left( 1 + x^{2} \right)^{2}} \dd{x}$. 41 | \end{ti} 42 | 43 | \begin{ti} 44 | 求 $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} \dd{x}$. 45 | \end{ti} 46 | 47 | \begin{ti} 48 | 求 $\int_{0}^{2} \bigl[ (x - 1)^{3} + 2x \bigr] \sqrt{1 - \cos 2 \uppi x} \dd{x}$. 49 | \end{ti} 50 | 51 | \begin{ti} 52 | 求 $\int_{0}^{2} (2x + 1) \sqrt{2x - x^{2}} \dd{x}$. 53 | \end{ti} 54 | 55 | \begin{ti} 56 | 求 $\int_{0}^{4} \frac{3}{4} x^{2} \sqrt{4x - x^{2}} \dd{x}$. 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | $\int_{-\frac{\uppi}{2}}^{\frac{\uppi}{2}} \frac{3 \ee^{x} \sin^{2}x}{1 + \ee^{x}} \dd{x} = $\htwo. 61 | \end{ti} 62 | 63 | \begin{ti} 64 | 求 $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left( x^{2} + 1 \right) \left( 1 + x^{5} \right)} \dd{x}$. 65 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{有理函数积分} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 求 $\int \frac{4x}{(2x + 1)^{3}} \dd{x}$. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 求 $\int \frac{x^{3}}{(x - 1)^{100}} \dd{x}$. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 求 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\dd{x}}{x^{2} (x + 1)}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 求 $\int \frac{\cos\theta}{\sin\theta - 2 \cos\theta} \dd{\theta}$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 求 $\int \frac{x^{4} + 1}{x \left( x^{2} + 1 \right)^{2}} \dd{x}$. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 求 $\int \frac{1}{\ee^{2x} + 3\ee^{x} + 2} \dd{x}$. 25 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-7.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{不可求积可抵消} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 求 $\int \frac{2x + 1}{x^{2}} \ee^{-2x} \dd{x}$. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 求 $\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} \dd{x}$. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 求 $\int_{0}^{2} \frac{x \ee^{x}}{(1 + x)^{2}} \dd{x}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | $\int \ee^{x} \bigl( \frac{1 - x}{1 + x^{2}} \bigr)^{2} \dd{x} = $\htwo. 17 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-8.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{分段函数定积分} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | $\int_{-2}^{2} \max\Bigl\{ x^{2}, \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \Bigr\} \dd{x} = $\htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 设 $f(x) = \min\bigl\{ (x - k)^{2}, (x - k - 2)^{2} \bigr\}$，$k$ 为任意实数，$g(k) = \int_{0}^{1} f(x) \dd{x}$. 求 $g(k)$ 在 $-2 \leq k \leq 2$ 上的最值. 9 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec3-9.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{变限积分} 2 | \paragraph{1. 直接求导} 3 | 4 | \begin{ti} 5 | 设 $f(x)$ 连续，$f(0) = 1$，则曲线 $y = \int_{0}^{x} f(t) \dd{t}$ 在 $(0,0)$ 处的切线方程是\htwo. 6 | \end{ti} 7 | 8 | \begin{ti} 9 | 函数 $F(x) = \int_{1}^{x} \bigl( 1 - \ln \sqrt{t} \bigr) \dd{t} (x > 0)$ 的递减区间为\htwo. 10 | \end{ti} 11 | 12 | \begin{ti} 13 | 设 $f(x)$ 是连续函数，且 $\int_{0}^{x^{3} - 1} f(t) \dd{t} = x$，则 $f(7) = $\htwo. 14 | \end{ti} 15 | 16 | \begin{ti} 17 | 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $F(x) = \int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f(t) \dd{t}$，则 $F'(x) = $\htwo. 18 | \end{ti} 19 | 20 | \begin{ti} 21 | $\frac{\dd}{\dd{x}} \bigl[ \int_{0}^{x} \sin (x - t)^{2} \dd{t} \bigr] = $\htwo. 22 | \end{ti} 23 | 24 | \begin{ti} 25 | $\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin^{2}t \dd{t}}{x^{3}} = $\htwo. 26 | \end{ti} 27 | 28 | \begin{ti} 29 | 设 $f(x) = \int_{0}^{\sin x} \sin 2t \dd{t}$，$g(x) = \int_{0}^{2x} \ln(1 + t) \dd{t}$，则当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 相比是\kuo. 30 | 31 | \twoch{等价无穷小}{同阶但非等价无穷小}{高阶无穷小}{低阶无穷小} 32 | \end{ti} 33 | 34 | \begin{ti} 35 | 函数 $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{x} \bigl( t^{2} - t \bigr) \dd{t} (x > 0)$ 的最小值为\kuo. 36 | 37 | \fourch{$-\frac{3}{16}$}{$-1$}{$0$}{$-\frac{1}{2}$} 38 | \end{ti} 39 | 40 | \begin{ti} 41 | 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x) > 0$. 则方程 $\int_{a}^{x} f(t) \dd{t} + \int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \dd{t} = 0$ 在 $(a,b)$ 内的根有\kuo. 42 | 43 | \twoch{$0$ 个}{$1$ 个}{$2$ 个}{无穷多个} 44 | \end{ti} 45 | 46 | \begin{ti} 47 | 设 $f(x)$ 连续，$f(0) = 1$，$f'(0) = 2$，则下列曲线中与曲线 $y = f(x)$ 必有公共切线的是\kuo. 48 | 49 | \twoch{$y = \int_{0}^{x} f(t) \dd{t}$}{$y = 1 + \int_{0}^{x} f(t) \dd{t}$}{$y = \int_{0}^{2x} f(t) \dd{t}$}{$y = 1 + \int_{0}^{2x} f(t) \dd{t}$} 50 | \end{ti} 51 | 52 | \begin{ti} 53 | 设正值函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，求函数 54 | \[ 55 | F(x) = \int_{1}^{x} \Biggl[ \Biggl( \frac{2}{x} + \ln x \Biggr) - \Biggl( \frac{2}{t} + \ln t \Biggr) \Biggr] f(t) \dd{t} 56 | \] 57 | 的最小值点. 58 | \end{ti} 59 | 60 | \begin{ti} 61 | 设 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导，又 62 | \[ 63 | g(x) = \begin{cases} 64 | x + \frac{1}{2}, & x < 0,\\ 65 | \frac{\sin\frac{x}{2}}{x}, & x > 0, 66 | \end{cases} 67 | \] 68 | 求 69 | \[ 70 | I = \lim_{x \to 0} \frac{ x f(x) (1 + x)^{- \frac{x+1}{x}} + g(x) \int_{0}^{2x} \cos t^{2} \dd{t} }{xg(x)}. 71 | \] 72 | \end{ti} 73 | 74 | \paragraph{2. 拆分后再求导} 75 | 76 | \begin{ti} 77 | 设 $\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $\varphi(x) > 0$，则函数 $y = \varPhi(x) = \int_{a}^{b} |x - t| \varphi(t) \dd{t}$\kuo. 78 | 79 | \onech{在 $(a,b)$ 内的图形为凸}{在 $(a,b)$ 内的图形为凹}{在 $(a,b)$ 内有拐点}{在 $(a,b)$ 内有间断点} 80 | \end{ti} 81 | 82 | \begin{ti} 83 | 设 $|t| \leq 1$，求积分 $I(t) = \int_{-1}^{1} |x - t| \ee^{2x} \dd{x}$ 的最大值. 84 | \end{ti} 85 | 86 | \paragraph{3. 换元后再求导} 87 | 88 | \begin{ti} 89 | 设 $f(x)$ 连续，则 $\frac{\dd}{\dd{x}} \bigl[ \int_{0}^{x} t f\bigl( x^{2} - t^{2} \bigr) \dd{t} \bigr] = $\htwo. 90 | \end{ti} 91 | 92 | \begin{ti} 93 | 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，$f(0) = 0$，其反函数为 $g(x)$，若 $\int_{x}^{x + f(x)} g(t - x) \dd{t} = x^{2} \ln(1 + x)$. 求 $f(x)$. 94 | \end{ti} 95 | 96 | \begin{ti} 97 | 求 $\int_{0}^{x} f(t) g(x - t) \dd{t} (x \geq 0)$，其中，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = x$，且 98 | \[ 99 | g(x) = \begin{cases} 100 | \sin x, & 0 \leq x < \frac{\uppi}{2},\\ 101 | 0, & x \geq \frac{\uppi}{2}. 102 | \end{cases} 103 | \] 104 | \end{ti} 105 | 106 | \begin{ti} 107 | 设函数 $f(x)$ 连续，且 108 | \[ 109 | \int_{0}^{x} t f(2x - t) \dd{t} = \frac{1}{2} \arctan x^{2}, 110 | \] 111 | 已知 $f(1) = 1$，求 $\int_{1}^{2} f(x) \dd{x}$. 112 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec4-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{多元函数微分学} 2 | \subsection{概念} 3 | 4 | \begin{ti} 5 | 设 $f(x,y) = \ee^{x + y} \Bigl[ x^{\frac{1}{3}} (y - 1)^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} (x - 1)^{\frac{2}{3}} \Bigr]$，则在点 $(0,1)$ 处的两个偏导数 $f_{x}'(0,1)$ 和 $f_{y}'(0,1)$ 的情况为\kuo. 6 | 7 | \onech{两个偏导数均不存在}{$f_{x}'(0,1)$ 不存在，$f_{y}'(0,1) = \frac{4}{3}\ee$}{$f_{x}'(0,1) = \frac{\ee}{3}$，$f_{y}'(0,1) = \frac{4}{3}\ee$}{$f_{x}'(0,1) = \frac{\ee}{3}$，$f_{y}'(0,1)$ 不存在} 8 | \end{ti} 9 | 10 | \begin{ti} 11 | 函数 $z = f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ 在点 $(0,0)$ \kuo. 12 | 13 | \onech{连续，但偏导数不存在}{偏导数存在，但不可微}{可微}{偏导数存在且连续} 14 | \end{ti} 15 | 16 | \begin{ti} 17 | 函数 $f(x,y) = \sqrt[3]{x^{2} y}$ 在点 $(0,0)$ 处： 18 | \begin{enumerate} 19 | \item 是否连续，说明理由; 20 | \item 偏导数是否存在，说明理由; 21 | \item 是否可微，说明理由. 22 | \end{enumerate} 23 | \end{ti} 24 | 25 | \begin{ti} 26 | 设 27 | \begin{enumerate} 28 | \item $f(x,y) = \begin{cases} 29 | \frac{x^{2} y^{2}}{\left( x^{2} + y^{2} \right)^{3/2}}, & (x,y) \ne (0,0),\\ 30 | 0, & (x,y) = (0,0); 31 | \end{cases}$ 32 | \item $g(x,y) = \begin{cases} 33 | \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr) \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, & (x,y) \ne (0,0),\\ 34 | 0, & (x,y) = (0,0). 35 | \end{cases}$ 36 | \end{enumerate} 37 | 讨论它们在点 $(0,0)$ 处的 38 | \begin{enumerate} 39 | \item[\libcirc{1}] 偏导数的存在性; 40 | \item[\libcirc{2}] 函数的连续性; 41 | \item[\libcirc{3}] 方向导数的存在性; 42 | \item[\libcirc{4}] 函数的可微性. 43 | \end{enumerate} 44 | \end{ti} 45 | 46 | \begin{ti} 47 | 已知 $f(x,y) = \bigl( xy + xy^{2} \bigr) \ee^{x + y}$，则 $\frac{\partial^{10}f}{\partial x^{5} \partial y^{5}} = $\htwo. 48 | \end{ti} 49 | 50 | \begin{ti} 51 | \begin{enumerate} 52 | \item 设 $y = \frac{1}{x(1 - x)}$，求 $\frac{\dd^{n}y}{\dd{x^{n}}}$; 53 | \item 设 $z = \frac{y^{2}}{x(1 - x)}$，求 $\frac{\partial^{n}z}{\partial x^{n}}$. 54 | \end{enumerate} 55 | \end{ti} 56 | 57 | \begin{ti} 58 | 设 $z = y^{2} \ln \bigl( 1 - x^{2} \bigr)$，求 $\frac{\partial^{n}z}{\partial x^{n}}$. 59 | \end{ti} 60 | 61 | \begin{ti} 62 | 设 $z = x \ln \bigl[ \bigl( 1 + y^{2} \bigr) \ee^{x^{2} \sin y} \bigr]$，则 $\frac{\partial^{4}z}{\partial y^{2} \partial x^{2}} = $\htwo. 63 | \end{ti} 64 | 65 | \begin{ti} 66 | 设函数 $f(x,y)$ 的一阶偏导数连续，在点 $(1,0)$ 的某邻域内有 67 | \[ 68 | f(x,y) = 1 - x - 2y + o\left( \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}} \right) 69 | \] 70 | 成立. 记 $z(x,y) = f\bigl( \ee^{y}, x + y \bigr)$，则 $\dd{[z(x,y)]}|_{(0,0)} = $\htwo. 71 | \end{ti} 72 | 73 | \begin{ti} 74 | 设函数 $f(x,y)$ 及它的二阶偏导数在全平面连续，且 $f(0,0) = 0$，$\Bigl| \frac{\partial f}{\partial x} \Bigr| \leq 2 \bigl|x - y\bigr|$，$\Bigl| \frac{\partial f}{\partial y} \Bigr| \leq 2 \bigl|x - y\bigr|$. 求证：$\bigl|f(5,4)\bigr| \leq 1$. 75 | \end{ti} 76 | 77 | \begin{ti} 78 | 二元函数 $f(x,y) = x^{y}$ 在点 $(\ee,0)$ 处的二阶(即 $n = 2$) 泰勒展开式(不要求写出余项)为\htwo. 79 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec4-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{多元微分法} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $F(u,v)$ 对其变元 $u,v$ 具有二阶连续偏导数，并设 $z = F\bigl( \frac{y}{x},x^{2} + y^{2} \bigr)$，则 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y} = $\htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 设 $u = y f \bigl( \frac{x}{y} \bigr) + x g \bigl( \frac{y}{x} \bigr)$，其中函数 $f,g$ 具有二阶连续偏导数，求 $x \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + y \frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y}$. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 设函数 $z = f(u)$，方程 $u = \varphi(u) + \int_{y}^{x} P(t) \dd{t}$ 确定 $u$ 是 $x,y$ 的函数，其中 $f(u),\varphi(u)$ 可微，$P(t),\varphi'(u)$ 连续，且 $\varphi'(u) \ne 1$. 求 $P(y) \frac{\partial z}{\partial x} + P(x) \frac{\partial z}{\partial y}$. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $f(x,y) = \int_{0}^{xy} \ee^{-t^{2}} \dd{t}$，求 $\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} - 2 \frac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y} + \frac{y}{x} \cdot \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}$. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 设函数 $f(x,y)$ 可微，又 $f(0,0) = 0$，$f_{x}'(0,0) = a$，$f_{y}'(0,0) = b$，且 $\varphi(t) = f \bigl[ t, f \bigl( t, t^{2} \bigr) \bigr]$，求 $\varphi'(0)$. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 设函数 $u = u(x,y)$ 满足 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$ 及 25 | \[ 26 | u(x,2x) = x,u_{1}'(x,2x) = x^{2}, 27 | \] 28 | $u$ 有二阶连续偏导数，则 $u_{11}''(x,2x) = $\kuo. 29 | 30 | \fourch{$\frac{4}{3}x$}{$-\frac{4}{3}x$}{$\frac{3}{4}x$}{$-\frac{3}{4}x$} 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 若函数 $u = x y f \bigl( \frac{x + y}{xy} \bigr)$，其中 $f$ 是可微函数，且 $x^{2} \frac{\partial u}{\partial x} - y^{2} \frac{\partial u}{\partial y} = G(x,y) u$，则函数 $G(x,y) = $\kuo. 35 | 36 | \fourch{$x + y$}{$x - y$}{$x^{2} - y^{2}$}{$(x + y)^{2}$} 37 | \end{ti} 38 | 39 | \begin{ti} 40 | 设函数 $u = f \bigl( \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} \bigr)$，满足 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr)^{\frac{3}{2}}$，且极限 41 | \[ 42 | \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{1} f(xt) \dd{t}}{x} = -1, 43 | \] 44 | 试求函数 $f(x)$ 的表达式. 45 | \end{ti} 46 | 47 | \begin{ti} 48 | 设 $u(x,y)$ 连续，证明无零值的函数 $u(x,y)$ 可分离变量(即 $u(x,y) = f(x) \cdot g(y)$)的充分必要条件是 49 | \[ 50 | u \frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y}. 51 | \] 52 | \end{ti} 53 | 54 | \begin{ti} 55 | 设 $u = f(x,y,z)$ 有连续偏导数，$y = y(x)$ 和 $z = z(x)$ 分别由方程 $\ee^{xy} - y = 0$ 和 $\ee^{z} - xz = 0$ 所确定，求 $\frac{\dd{u}}{\dd{x}}$. 56 | \end{ti} 57 | 58 | \begin{ti} 59 | 已知函数 $F(u,v,w)$ 可微， 60 | \[ 61 | F_{u}'(0,0,0) = 1, 62 | F_{v}'(0,0,0) = 2, 63 | F_{w}'(0,0,0) = 3, 64 | \] 65 | 函数 $z = f(x,y)$ 由 $F \bigl( 2x - y + 3z, 4x^{2} - y^{2} + z^{2}, xyz \bigr) = 0$ 确定，且满足 $f(1,2) = 0$，则 $f_{x}'(1,2) = $\htwo. 66 | \end{ti} 67 | 68 | \begin{ti} 69 | 设 $u = f(x,y,z)$，$\varphi\bigl( x^{2},\ee^{y},z \bigr) = 0$，$y = \sin x$，其中 $f,\varphi$ 具有一阶连续的偏导数，且 $\frac{\partial \varphi}{\partial z} \ne 0$，求 $\frac{\dd{u}}{\dd{x}}$. 70 | \end{ti} 71 | 72 | \begin{ti} 73 | 已知 $\begin{cases} 74 | z = x^{2} + y^{2},\\ 75 | x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 20, 76 | \end{cases}$ 求 $\frac{\dd{y}}{\dd{x}},\frac{\dd{z}}{\dd{x}}$. 77 | \end{ti} 78 | 79 | \begin{ti} 80 | 利用变量代换 $u = x$，$v = \frac{y}{x}$，可将方程 81 | \[ 82 | x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = z 83 | \] 84 | 化成新方程\kuo. 85 | 86 | \twoch{$u \frac{\partial z}{\partial u} = z$}{$v \frac{\partial z}{\partial v} = z$}{$u \frac{\partial z}{\partial v} = z$}{$v \frac{\partial z}{\partial u} = z$} 87 | \end{ti} 88 | 89 | \begin{ti} 90 | 已知函数 $u = u(x,y)$ 满足方程 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + k \bigl( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \bigr) = 0$. 试确定参数 $a,b$，利用变换 $u(x,y) = v(x,y) \ee^{ax + by}$ 将原方程变形，使新方程中不含有一阶偏导数项. 91 | \end{ti} 92 | 93 | \begin{ti} 94 | 设 $A,B,C$ 为常数，$B^{2} - AC > 0$，$A \ne 0$，$u(x,y)$ 具有二阶连续偏导数. 证明：必存在非奇异线性变换 95 | \[ 96 | \xi = \lambda_{1}x + y, \eta = \lambda_{2}x + y(\lambda_{1},\lambda_{2} \text{ 为常数}), 97 | \] 98 | 将方程 $A \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + 2B \frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$ 化成 $\frac{\partial^{2}u}{\partial \xi \partial \eta} = 0$. 99 | \end{ti} 100 | 101 | \begin{ti} 102 | 设 $h(t)$ 为三阶可导函数，$u = h(xyz)$，$h(1) = f_{xy}''(0,0)$，$h'(1) = f_{yx}''(0,0)$，且满足 103 | \[ 104 | \frac{\partial^{3}u}{\partial x \partial y \partial z} = x^{2} y^{2} z^{2} h'''(xyz), 105 | \] 106 | 求 $u$ 的表达式，其中 107 | \[ 108 | f(x,y) = \begin{cases} 109 | x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}, & (x,y) \ne (0,0)\\ 110 | 0, & (x,y) = (0,0). 111 | \end{cases} 112 | \] 113 | \end{ti} 114 | 115 | \begin{ti} 116 | 设 $z = z(u,v)$ 具有二阶连续偏导数，且 $z = z(x + y, x - y)$ 满足微分方程 117 | \[ 118 | \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + 2 \frac{\partial^{2}z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = 1. 119 | \] 120 | \begin{enumerate} 121 | \item 求 $z = z(u,v)$ 所满足关于 $u,v$ 的微分方程;\label{4.29:1} 122 | \item 由(\ref{4.29:1})求出 $z = z(x + y, x - y)$ 的一般表达式. 123 | \end{enumerate} 124 | \end{ti} 125 | 126 | \begin{ti} 127 | 设 $f(u,v)$ 可微，证明曲面 $f(ax - bz, ay - cz) = 0$ 上任一点的切平面都与某一定直线平行，其中 $a,b,c$ 是不同时为零的常数. 128 | \end{ti} 129 | 130 | \begin{ti} 131 | 证明曲面 $\ee^{2x - z} = f \bigl( \uppi y - \sqrt{2}z \bigr)$ 是柱面，其中 $f$ 可微. 132 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec4-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{多元函数的极值、最值问题} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 函数 5 | \[ 6 | f(x,y) = \begin{cases} 7 | \frac{\sin ( x^{2} + y^{2} )}{x^{2} + y^{2}}, & (x,y) \ne (0,0),\\ 8 | 1, & (x,y) = (0,0) 9 | \end{cases} 10 | \] 11 | 在 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 1 \bigr\}$ 上\kuo. 12 | 13 | \onech{有最大值，无最小值}{有最小值，无最大值}{既无最大值，又无最小值}{既有最大值，又有最小值} 14 | \end{ti} 15 | 16 | \begin{ti} 17 | 设 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的邻域内连续，且 18 | \[ 19 | \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - 4xy}{x^{2} + y^{2}} = 1, 20 | \] 21 | 则\kuo. 22 | 23 | \onech{点 $(0,0)$ 是 $f(x,y)$ 的极小值点}{点 $(0,0)$ 是 $f(x,y)$ 的极大值点}{点 $(0,0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值点}{所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x,y)$ 的极值点} 24 | \end{ti} 25 | 26 | \begin{ti} 27 | 设 $f(x,y)$ 是连续函数，且 $\lim_{\substack{x \to 0\\ y \to 0}} \frac{f(x,y) - f(0,0)}{x^{3} + y^{3} - 3x^{2} - 3y^{2}} = 1$，则\kuo. 28 | 29 | \onech{$f(0,0)$ 为 $f(x,y)$ 的极大值}{$f(0,0)$ 为 $f(x,y)$ 的极小值}{$f(0,0)$ 不是 $f(x,y)$ 的极值}{不能确定} 30 | \end{ti} 31 | 32 | \begin{ti} 33 | 已知函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 34 | \[ 35 | \lim_{\substack{x \to 0\\ y \to 0}} \frac{f(x,y) - axy}{\bigl( x^{2} + y^{2} \bigr)^{2}} = 1, 36 | \] 37 | 其中 $a$ 为非零常数，则 $f(0,0)$\kuo. 38 | 39 | \twoch{是极大值}{是极小值}{不是极值}{是否取极值与 $a$ 有关} 40 | \end{ti} 41 | 42 | \begin{ti} 43 | 设 $f(x,y)$ 在点 $O(0,0)$ 的某邻域 $U$ 内连续，且 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y) - xy}{x^{2} + y^{2}} = a$，常数 $a > \frac{1}{2}$. 试讨论 $f(0,0)$ 是否为 $f(x,y)$ 的极值？若是极值，判断是极大值还是极小值？ 44 | \end{ti} 45 | 46 | \begin{ti} 47 | 设 $u(x,y)$ 在平面有界闭区域 $D$ 上具有二阶连续偏导数，且 48 | \[ 49 | \frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y} \ne 0,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0, 50 | \] 51 | 则 $u(x,y)$ 的\kuo. 52 | 53 | \onech{最大值点和最小值点必定都在 $D$ 的内部}{最大值点和最小值点必定都在 $D$ 的边界上}{最大值点在 $D$ 的内部，最小值点在 $D$ 的边界上}{最小值点在 $D$ 的内部，最大值点在 $D$ 的边界上} 54 | \end{ti} 55 | 56 | \begin{ti} 57 | 已知函数 $z = z(x,y)$ 在区域 $D$ 内满足方程 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} + a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} + c = 0$(常数 $c > 0$)，则在 $D$ 内函数 $z = z(x,y)$\kuo. 58 | 59 | \twoch{存在极大值}{存在极小值}{无极值}{无法判断} 60 | \end{ti} 61 | 62 | \begin{ti} 63 | 函数 $z = x^{3} + y^{3} - 3x^{2} - 3y^{2}$ 的极小值点是\kuo. 64 | 65 | \fourch{$(0,0)$}{$(2,2)$}{$(0,2)$}{$(2,0)$} 66 | \end{ti} 67 | 68 | \begin{ti} 69 | 若函数 $z = 2x^{2} + 2y^{2} + 3xy + ax + by + c$ 在点 $(-2,3)$ 处取得极小值 $-3$，则 $abc = $\htwo. 70 | \end{ti} 71 | 72 | \begin{ti} 73 | 设函数 $z = z(x,y)$ 是由方程 74 | \[ 75 | x^{2} - 6xy + 10y^{2} - 2yz - z^{2} + 32 = 0 76 | \] 77 | 确定，讨论函数 $z(x,y)$ 的极大值与极小值. 78 | \end{ti} 79 | 80 | \begin{ti} 81 | 函数 $f(x,y) = \ee^{-x} \bigl( ax + b - y^{2} \bigr)$，若 $f(-1,0)$ 为其极大值，则 $a,b$ 满足\htwo. 82 | \end{ti} 83 | 84 | \begin{ti} 85 | 已知矩形的周长为 $2p$，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大？ 86 | \end{ti} 87 | 88 | \begin{ti} 89 | \begin{enumerate} 90 | \item 设 $x > 0$，$y > 0$，$z > 0$，求函数 $f(x,y,z) = x y z^{3}$ 在约束条件 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 R^{2}$($R > 0$ 为常数)下的最大值;\label{4.44:1} 91 | \item 由(\ref{4.44:1})的结论证明：当 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$ 时， 92 | \[ 93 | a b c^{3} \leq 27 \Biggl( \frac{a + b + c}{5} \Biggr)^{5}. 94 | \] 95 | \end{enumerate} 96 | \end{ti} 97 | 98 | \begin{ti} 99 | 求二元函数 $z = f(x,y) = x^{2}y(4 - x - y)$ 在由直线 $x + y = 6$，$x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的极值、最大值与最小值. 100 | \end{ti} 101 | 102 | \begin{ti} 103 | 求 104 | \[ 105 | f(x,y) = x + xy - x^{2} - y^{2} 106 | \] 107 | 在闭区域 $D = \{ (x,y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2 \}$ 上的最大值和最小值. 108 | \end{ti} 109 | 110 | \begin{ti} 111 | 求函数 112 | \[ 113 | z = x^{2} + y^{2} + 2x + y 114 | \] 115 | 在区域 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 1 \bigr\}$ 上的最大值与最小值. 116 | \end{ti} 117 | 118 | \begin{ti} 119 | 求内接于椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ 的长方体的最大体积. 120 | \end{ti} 121 | 122 | \begin{ti} 123 | 在第一象限的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大. 124 | \end{ti} 125 | 126 | \begin{ti} 127 | 设正数 $a,b$ 的值，使得椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 包含圆 $x^{2} + y^{2} = 2y$，且面积最小. 128 | \end{ti} 129 | 130 | \begin{ti} 131 | 求证：$f(x,y) = Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2}$ 在约束条件 $1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ 下存在最大值和最小值，且它们是方程 $k^{2} - \bigl( Aa^{2} + Cb^{2} \bigr)k + \bigl( AC - B^{2} \bigr)a^{2}b^{2} = 0$ 的根. 132 | \end{ti} 133 | 134 | \begin{ti} 135 | 曲面 $x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1$ 的切平面与三个坐标平面围成的有限区域的体积的最小值为\htwo. 136 | \end{ti} 137 | 138 | \begin{ti} 139 | 在 $xOz$ 面上有抛物线 $z = 2 - x^{2}$. 140 | \begin{enumerate} 141 | \item 求抛物线 $z = 2 - x^{2}$ 绕 $Oz$ 轴旋转所得的旋转抛物面方程; 142 | \item 在旋转抛物面位于第一卦限部分上求一点，使该点处的切平面与三坐标面围成的四面体的体积最小; 143 | \item 设 $V = \ln (4 - z)^{3} - 24 (\ln x + \ln y)$，其中 $x = x(y,z)$ 由方程 $z + x^{2} + y^{2} = 2$ 所确定，求 $\frac{\partial V}{\partial z}\bigl|_{(1,1,0)}$. 144 | \end{enumerate} 145 | \end{ti} 146 | 147 | \begin{ti} 148 | 已知 $x,y,z$ 为实数，且 $\ee^{x} + y^{2} + |z| = 3$，求证 $\ee^{x} y^{2} |z| \leq 1$. 149 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec5-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{二重积分} 2 | \subsection{概念与性质} 3 | 4 | \begin{ti} 5 | 计算 $\iint_{D} \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr)^{\frac{3}{2}} \dd{\sigma}$，其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 1, x^{2} + y^{2} \leq 2x \bigr\}$. 6 | \end{ti} 7 | 8 | \begin{ti} 9 | 计算 $\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \dd{x} \dd{y}$，其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \bigr\}$. 10 | \end{ti} 11 | 12 | \begin{ti} 13 | 计算 14 | \[ 15 | I = \iint_{D} \frac{1 + y + y \ln \bigl( x + \sqrt{1 + x^{2}} \bigr)}{1 + x^{2} + y^{2}} \dd{\sigma}, 16 | \] 17 | 其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0 \bigr\}$. 18 | \end{ti} 19 | 20 | \begin{ti} 21 | 设 $f(x)$ 为连续的奇函数，平面区域 $D$ 由 $y = -x^{3}$，$x = 1$ 与 $y = 1$ 围成，计算 $I = \iint_{D} \bigl[ x^{2} + f(xy) \bigr] \dd{\sigma}$. 22 | \end{ti} 23 | 24 | \begin{ti} 25 | 若 $D$ 是由直线 $x = -2$，$y = 0$，$y = 2$ 以及曲线 $x = -\sqrt{2y - y^{2}}$ 所围成的平面区域，计算 $I = \iint_{D} y \dd{x} \dd{y}$. 26 | \end{ti} 27 | 28 | \begin{ti} 29 | 若 $D$ 是由圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ 所围成的平面区域(如图~\ref{fig:1.5.1})，计算 $I = \iint_{D} \bigl( \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y \bigr) \dd{\sigma}$. 30 | \begin{figure}[htbp] 31 | \centering 32 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-5-1.pdf} 33 | \caption{}\label{fig:1.5.1} 34 | \end{figure} 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 设 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 1 \text{\ 且\ } x + y \geq 0 \bigr\}$，$f$ 为连续函数，计算 39 | \[ 40 | I = \iint_{D} xy \bigl[ x + f\bigl( x^{2} - y^{2} \bigr) \bigr] \dd{x} \dd{y}. 41 | \] 42 | \end{ti} 43 | 44 | \begin{ti} 45 | 设 $I(a) = \iint_{D} (x + y) \dd{x} \dd{y}$，其中 $D$ 由直线 $x = a$，$x = 0$，$y = a$，$y = -a$ 及曲线 $x^{2} + y^{2} = ax(a > 0)$ 所围成，计算 $I(a)$. 46 | \end{ti} 47 | 48 | \begin{ti} 49 | $\int_{-1}^{1} \dd{x} \int_{|x|}^{\sqrt{2 - x^{2}}} \sin \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr) \dd{y} = $\kuo. 50 | 51 | \twoch{$\frac{\uppi}{4}(\cos 2 - 1)$}{$\frac{\uppi}{4}(- \cos 2 + 1)$}{$\frac{\uppi}{4}(\cos 2 + 1)$}{$\frac{\uppi}{4}(- \cos 2 - 1)$} 52 | \end{ti} 53 | 54 | \begin{ti} 55 | 设平面区域 $D$ 由曲线 $y = \sin x \bigl( - \frac{\uppi}{2} \leq x \leq \frac{\uppi}{2} \bigr)$，$x = -\frac{\uppi}{2}$，$y = 1$ 围成，则 $\iint_{D} \bigl( xy^{3} - 1 \bigr) \dd{\sigma}$ 等于\kuo. 56 | 57 | \fourch{$2$}{$-2$}{$\uppi$}{$-\uppi$} 58 | \end{ti} 59 | 60 | \begin{ti} 61 | 记平面区域 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| |x| + |y| \leq 1 \bigr\}$，计算如下二重积分： 62 | \begin{enumerate} 63 | \item $I_{1} = \iint_{D} \frac{af(x) + bf(y)}{f(x) + f(y)} \dd{\sigma}$，其中 $f(t)$ 为定义在 $(-\infty,$ $+\infty)$ 内的连续正值函数，常数 $a > 0, b > 0$; 64 | \item $I_{2} = \iint_{D} \bigl( \ee^{\lambda x} - \ee^{-\lambda y} \bigr) \dd{\sigma}$，常数 $\lambda > 0$. 65 | \end{enumerate} 66 | \end{ti} 67 | 68 | \begin{ti} 69 | 设 $p(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负且连续，$f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且有相同的单调性，其中 70 | \[ 71 | D = \bigl\{ (x,y) \bigl| a \leq x \leq b, a \leq y \leq b \bigr\}, 72 | \] 73 | 比较 74 | \begin{align*} 75 | I_{1} &= \iint_{D} p(x) f(x) p(y) g(y) \dd{x} \dd{y},\\ 76 | I_{2} &= \iint_{D} p(x) f(y) p(y) g(y) \dd{x} \dd{y} 77 | \end{align*} 78 | 的大小，并说明理由. 79 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec5-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{积分比大小} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 5 | \begin{align*} 6 | a &= \iint_{D} \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}} \dd{\sigma},\\ 7 | b &= \iint_{D} \cos \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr) \dd{\sigma},\\ 8 | c &= \iint_{D} \cos \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr)^{2} \dd{\sigma}, 9 | \end{align*} 10 | 其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 1 \bigr\}$，则\kuo. 11 | 12 | \twoch{$c > b > a$}{$a > b > c$}{$b > a > c$}{$c > a > b$} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设平面区域 $D$ 由 $x = 0$，$y = 0$，$x + y = \frac{1}{4}$，$x + y = 1$ 围成，若 $I_{1} = \iint_{D} \bigl[ \ln (x+y) \bigr]^{3} \dd{x} \dd{y}$，$I = \iint_{D} (x + y)^{3} \dd{x} \dd{y}$，$I_{3} = \iint_{D} \bigl[ \sin(x + y) \bigr]^{3} \dd{x} \dd{y}$，则 $I_{1},I_{2},I_{3}$ 的大小顺序为\kuo. 17 | 18 | \twoch{$I_{1} < I_{2} < I_{3}$}{$I_{3} < I_{2} < I_{1}$}{$I_{1} < I_{3} < I_{2}$}{$I_{3} < I_{1} < I_{2}$} 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 设平面区域 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 1 \bigr\}$，若比较 $I_{1} = \iint_{D} (x + y)^{2} \dd{\sigma}$ 与 $I_{2} = \iint_{D} (x + y)^{3} \dd{\sigma}$ 的大小，则有\kuo. 23 | 24 | \twoch{$I_{1} = I_{2}$}{$I_{1} > I_{2}$}{$I_{1} < I_{2}$}{不能比较} 25 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec5-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{计算} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 计算 $I = \int_{1}^{2} \dd{x} \int_{\frac{1}{x}}^{1} y \ee^{xy} \dd{y}$. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | \[ 9 | \int_{0}^{1} \dd{y} \int_{0}^{1} \sqrt{\ee^{2x} - y^{2}} \dd{x} + \int_{1}^{\ee} \dd{y} \int_{\ln y}^{1} \sqrt{\ee^{2x} - y^{2}} \dd{x} = 10 | \] 11 | \kuo. 12 | 13 | \twoch{$\frac{\uppi}{8}\bigl( \ee^{2} - 1 \bigr)$}{$\frac{\uppi}{8}\bigl( \ee^{2} + 1 \bigr)$}{$\frac{\uppi}{4}\bigl( \ee^{2} - 1 \bigr)$}{$\frac{\uppi}{4}\bigl( \ee^{2} + 1 \bigr)$} 14 | \end{ti} 15 | 16 | \begin{ti} 17 | 已知 18 | \[ 19 | I = \int_{0}^{2} \dd{x} \int_{0}^{\frac{x^{2}}{2}} f(x,y) \dd{y} + \int_{2}^{2\sqrt{2}} \dd{x} \int_{0}^{\sqrt{8 - x^{2}}} f(x,y) \dd{y}, 20 | \] 21 | 则 $I = $\kuo. 22 | \onech{$\int_{0}^{2} \dd{y} \int_{\sqrt{2y}}^{\sqrt{8 - y^{2}}} f(x,y) \dd{x}$}{$\int_{0}^{2} \dd{y} \int_{1}^{\sqrt{8 - y^{2}}} f(x,y) \dd{x}$}{$\int_{0}^{1} \dd{y} \int_{\sqrt{2y}}^{\sqrt{8 - y^{2}}} f(x,y) \dd{x}$}{$\int_{0}^{2} \dd{y} \int_{\sqrt{2y}}^{1} f(x,y) \dd{x}$} 23 | \end{ti} 24 | 25 | \begin{ti} 26 | 累次积分 $\int_{0}^{2R} \dd{y} \int_{0}^{\sqrt{2Ry - y^{2}}} f \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr) \dd{x} (R > 0)$ 化为极坐标形式的累次积分为\kuo. 27 | 28 | \onech{$\int_{0}^{\uppi} \dd{\theta} \int_{0}^{2R\sin\theta} f \bigl( r^{2} \bigr) r \dd{r}$}{$\int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \dd{\theta} \int_{0}^{2R\cos\theta} f \bigl( r^{2} \bigr) r \dd{r}$}{$\int_{0}^{\frac{\uppi}{2}} \dd{\theta} \int_{0}^{2R\sin\theta} f \bigl( r^{2} \bigr) r \dd{r}$}{$\int_{0}^{\uppi} \dd{\theta} \int_{0}^{2R\cos\theta} f \bigl( r^{2} \bigr) r \dd{r}$} 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 计算 $\int_{0}^{1} \dd{y} \int_{\arcsin y}^{\frac{\uppi}{2}} \cos x \cdot \sqrt{1 + \cos^{2}x} \dd{x}$. 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | 计算 $\int_{0}^{1} \dd{y} \int_{3y}^{3} \ee^{x^{2}} \dd{x}$. 37 | \end{ti} 38 | 39 | \begin{ti} 40 | 计算 $\int_{0}^{1} \dd{y} \int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3} + 1} \dd{x}$. 41 | \end{ti} 42 | 43 | \begin{ti} 44 | 计算 $\int_{0}^{1} \dd{x} \int_{x^{2}}^{1} x^{3} \sin y^{3} \dd{y}$. 45 | \end{ti} 46 | 47 | \begin{ti} 48 | 计算 $\int_{0}^{1} \dd{x} \int_{x^{2}}^{x} \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr)^{-\frac{1}{2}} \dd{y}$. 49 | \end{ti} 50 | 51 | \begin{ti} 52 | 计算 $\int_{1}^{2} \dd{x} \int_{0}^{x} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} \dd{y}$. 53 | \end{ti} 54 | 55 | \begin{ti} 56 | 计算 $\int_{1}^{2} \dd{x} \int_{\sqrt{x}}^{x} \sin \frac{\uppi x}{2y} \dd{y} + \int_{2}^{4} \dd{x} \int_{\sqrt{x}}^{2} \sin \frac{\uppi x}{2y} \dd{y}$. 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | $\int_{0}^{1} \dd{y} \int_{y}^{1} \Bigl( \frac{\ee^{x^{2}}}{x} - \ee^{y^{2}} \Bigr) \dd{x} = $\htwo. 61 | \end{ti} 62 | 63 | \begin{ti} 64 | 计算 $\iint_{D} \ee^{\frac{y}{x + y}} \dd{\sigma}$，其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| 0 \leq y \leq 1 - x, y \leq x \bigr\}$. 65 | \end{ti} 66 | 67 | \begin{ti} 68 | 设平面区域 $D = \Bigl\{ (x,y) \Bigl| x^{2} + y^{2} \leq 8, y \geq \frac{x^{2}}{2} \Bigr\}$，计算 69 | \[ 70 | I = \iint_{D} \bigl[ (x - 1)^{2} + y^{2} \bigr] \dd{\sigma}. 71 | \] 72 | \end{ti} 73 | 74 | \begin{ti} 75 | 计算 76 | \[ 77 | I = \iint_{D} \bigl( x^{2} + xy \bigr)^{2} \dd{x} \dd{y}, 78 | \] 79 | 其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 2x \bigr\}$. 80 | \end{ti} 81 | 82 | \begin{ti} 83 | 计算 $I = \iint_{\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq 1} \sqrt[3]{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \dd{x} \dd{y}$. 84 | \end{ti} 85 | 86 | \begin{ti} 87 | 设函数 $f(x,y)$ 连续，且 88 | \[ 89 | f(x,y) = x + \iint_{D} y f(u,v) \dd{u} \dd{v}, 90 | \] 91 | 其中 $D$ 由 $y = \frac{1}{x}$，$x = 1$，$y = 2$ 围成，求 $f(x,y)$. 92 | \end{ti} 93 | 94 | \begin{ti} 95 | 设 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| |x| \leq 2, |y| \leq 2 \bigr\}$，计算 96 | \[ 97 | I = \iint_{D} \bigl| x^{2} + y^{2} - 1 \bigr| \dd{\sigma}. 98 | \] 99 | \end{ti} 100 | 101 | \begin{ti} 102 | 设 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2\ee \bigr\}$，计算 103 | \[ 104 | \iint_{D} x \bigl| y - \ee^{x} \bigr| \dd{\sigma}. 105 | \] 106 | \end{ti} 107 | 108 | \begin{ti} 109 | 计算 $I = \iint_{D} \bigl( |x| + |y| \bigr) \dd{x} \dd{y}$，其中 $D$ 是由曲线 $xy = 2$，直线 $y = x - 1$ 及 $y = x + 1$ 所围成的区域. 110 | \end{ti} 111 | 112 | \begin{ti} 113 | 设 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| 0 \leq x \leq \uppi, 0 \leq y \leq 2 \bigr\}$，计算 $\iint_{D} \bigl| y - \sin x \bigr| \dd{\sigma}$. 114 | \end{ti} 115 | 116 | \begin{ti} 117 | 计算 118 | \[ 119 | I = \int_{-1}^{1} \dd{x} \int_{x}^{2 - |x|} \bigl[ \ee^{|y|} + \sin \bigl( x^{3}y^{3} \bigr) \bigr] \dd{y}. 120 | \] 121 | \end{ti} 122 | 123 | \begin{ti} 124 | 设 $f(x,y) = \begin{cases} 125 | 1 - x - y, & x + y \leq 1,\\ 126 | 2, & x + y > 1, 127 | \end{cases}$ 计算 128 | \[ 129 | \iint_{D} f(x,y) \dd{x} \dd{y}, 130 | \] 131 | 其中 $D$ 为正方形区域 $\bigl\{ (x,y) \bigl| 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \bigr\}$. 132 | \end{ti} 133 | 134 | \begin{ti} 135 | 设函数 $f(x) = \begin{cases} 136 | x, & 0 \leq x \leq 2,\\ 137 | 0, & x < 0 \text{\ 或\ } x > 2, 138 | \end{cases}$ 计算 $I = \iint_{D} \frac{f(x + y)}{f\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} \right)} \dd{x} \dd{y}$，其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq 4 \bigr\}$. 139 | \end{ti} 140 | 141 | \begin{ti} 142 | 计算 $\iint_{D} \min\bigl\{ x,y \bigr\} \dd{x} \dd{y}$，其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 1 \bigr\}$. 143 | \end{ti} 144 | 145 | \begin{ti} 146 | 计算 $\int_{0}^{a} \dd{x} \int_{0}^{b} \ee^{ \max\left\{ b^{2}x^{2}, a^{2}y^{2} \right\} } \dd{y}$，其中 $a,b > 0$. 147 | \end{ti} 148 | 149 | \begin{ti} 150 | 设 $F(x,y) = \frac{\partial^{2}f(x,y)}{\partial x \partial y}$ 在 $D = [a,b] \times [c,d]$ 上连续，求 151 | \[ 152 | I = \iint_{D} F(x,y) \dd{x} \dd{y}, 153 | \] 154 | 并证明：$I \leq 2(M - m)$，其中 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值. 155 | \end{ti} 156 | 157 | \begin{ti} 158 | 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明： 159 | \[ 160 | \int_{0}^{1} \ee^{f(x)} \dd{x} \int_{0}^{1} \ee^{-f(y)} \dd{y} \geq 1. 161 | \] 162 | \end{ti} 163 | 164 | \begin{ti} 165 | 设 $f(x,y)$ 为连续函数，则 166 | \[ 167 | I = \lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{\uppi t^{2}} \iint_{D} f(x,y) \dd{\sigma} 168 | \] = \htwo，其中 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| x^{2} + y^{2} \leq t^{2} \bigr\}$. 169 | \end{ti} 170 | 171 | \begin{ti} 172 | 已知 $f(t) = \iint_{D(t): x^{2} + y^{2} \leq t^{2}} \bigl( \ee^{x^{2} + y^{2}} - ky^{2} \bigr) \dd{\sigma}$ 在 $t \in (0,+\infty)$ 内是单调增加函数，$k$为常数，求 $k$ 的最大取值范围. 173 | \end{ti} 174 | 175 | \begin{ti} 176 | 由曲线 $y = x^{2}$，$y = x + 2$ 所围成的平面薄片，其上各点处的面密度 $\mu = 1 + x^{2}$，则此薄片的质量 $M = $\htwo. 177 | \end{ti} 178 | 179 | \begin{ti} 180 | 求柱体 $x^{2} + y^{2} \leq 2x$ 被 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ 所截得部分的体积. 181 | \end{ti} 182 | 183 | \begin{ti} 184 | 设平面薄片所占的区域 $D$ 由抛物线 $y = x^{2}$ 及直线 $y = x$ 所围成，它在 $(x,y)$ 处的面密度 $\rho(x,y) = x^{2}y$，求此薄片的重心. 185 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec7-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{三重积分、曲线曲面积分} 2 | \subsection{三重积分} 3 | 4 | \begin{ti} 5 | 设 $\varOmega_{1} = \bigl\{ (x,y,z) \bigl| 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1 \bigr\}$，$\varOmega_{2} = \bigl\{ (x,y,z) \bigl| 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, -1 \leq z \leq 0 \bigr\}$，且 $I_{1} = \iiint_{\varOmega_{1}} x y z^{2} \ee^{xyz} \dd{v}$，$I_{2} = \iiint_{\varOmega_{2}} x y z^{2} \ee^{xyz} \dd{v}$，则\kuo. 6 | 7 | \twoch{$I_{1} = I_{2}$}{$I_{1} < I_{2}$}{$I_{1} > I_{2}$}{以上结论都不对} 8 | \end{ti} 9 | 10 | \begin{ti} 11 | 设 $\varOmega = \Bigl\{ (x,y,z) \Bigl| \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1, z \geq 0 \Bigr\}$，其中常数 $a > b > c > 0$. 求三重积分 $\iiint_{\varOmega} z^{2} \dd{v}$. 12 | \end{ti} 13 | 14 | \begin{ti} 15 | 计算 $I = \iiint_{\varOmega} \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr) \dd{v}$，其中 $\varOmega$ 为平面曲线 $\begin{cases} 16 | y^{2} = 2z,\\ 17 | x = 0 18 | \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周形成的曲面与平面 $z = 8$ 所围成的区域. 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 计算三重积分 $\iiint_{\varOmega} \bigl| x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 \bigr| \dd{v}$，其中 $\varOmega = \bigl\{ (x,y,z) \bigl| x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2 \bigr\}$. 23 | \end{ti} 24 | 25 | \begin{ti} 26 | 设 $\varOmega = \bigl\{ (x,y,z) \bigl| z \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq \sqrt{3}z, 0 \leq z \leq 4 \bigr\}$，计算三重积分 $\iiint_{\varOmega} z \dd{v}$. 27 | \end{ti} 28 | 29 | \begin{ti} 30 | 设空间区域 $\varOmega = \Bigl\{ (x,y,z) \Bigl| z \geq x^{2} + y^{2}, \frac{\sqrt{\uppi}}{2} \leq z \leq \sqrt{\uppi} \Bigr\}$，则 $\iiint_{\varOmega} \sin z^{2} \dd{v} = $\htwo. 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 计算三重积分 35 | \[ 36 | \iiint_{\varOmega} \Bigl( x \sqrt{1 - z^{2}} + y \sqrt{1 - x^{2}} + z \sqrt{1 - y^{2}} \Bigr) \dd{v}, 37 | \] 38 | 其中 $\varOmega$ 由平面 $y = 1$，圆柱面 $x^{2} + z^{2} = 1$ 和半球面 $y = -\sqrt{1 - x^{2} - z^{2}}$ 围成，如图~\ref{fig:1.7.1} 所示. 39 | \begin{figure}[htbp] 40 | \centering 41 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-7-1.pdf} 42 | \caption{}\label{fig:1.7.1} 43 | \end{figure} 44 | \end{ti} 45 | 46 | \begin{ti} 47 | 求曲面 $z = 2 \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr), x^{2} + y^{2} = x, x^{2} + y^{2} = 2x$ 和 $z = 0$ 所围几何体的体积. 48 | \end{ti} 49 | 50 | \begin{ti} 51 | 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，试证： 52 | \[ 53 | \int_{0}^{1} \dd{x} \int_{0}^{x} \dd{y} \int_{0}^{y} f(x) f(y) f(z) \dd{z} = \frac{1}{3!} \Biggl[ \int_{0}^{1} f(t) \dd{t} \Biggr]^{3}. 54 | \] 55 | \end{ti} 56 | 57 | \begin{ti} 58 | 设球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2az$(如图~\ref{fig:1.7.2})中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心. 59 | \begin{figure}[htbp] 60 | \centering 61 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-7-2.pdf} 62 | \caption{}\label{fig:1.7.2} 63 | \end{figure} 64 | \end{ti} 65 | 66 | \begin{ti} 67 | 在密度为 $1$ 的半球体 $0 \leq z \leq \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}$ 的底面接上一个相同材料的柱体：$-h \leq z < 0, x^{2} + y^{2} \leq R^{2} (h > 0)$，试确定 $h$ 值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上. 68 | \end{ti} 69 | 70 | \begin{ti} 71 | 设 $f(x)$ 为定义在 $[0,+\infty)$ 上的连续函数，且满足 72 | \[ 73 | f(t) = \iiint_{\varOmega: x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq t^{2}} f \Bigl( \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \Bigr) \dd{v} + t^{3}, 74 | \] 75 | 求 $f(1)$. 76 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec7-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{第一型曲线积分} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $L$ 为曲线 $\begin{cases} 5 | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9,\\ 6 | x + y + z = 0, 7 | \end{cases}$ 则 $\int_{L} \bigl( 3x^{2} - y^{2} - z^{2} \bigr) \dd{s} = $\kuo. 8 | 9 | \fourch{$27\uppi$}{$18\uppi$}{$12\uppi$}{$6\uppi$} 10 | \end{ti} 11 | 12 | \begin{ti} 13 | 计算 $I = \oint_{L} \ee^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \dd{s}$，其中 $L$ 为由圆周 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 及直线 $y = x$ 和 $y = 0$ 在第一象限内所围成的区域的边界. 14 | \end{ti} 15 | 16 | \begin{ti} 17 | 求抛物柱面 $y = \sqrt{x}$ 被平面 $z = 0, z = y$ 和 $y = 1$ 所截部分的面积. 18 | \end{ti} 19 | 20 | \begin{ti} 21 | \begin{enumerate} 22 | \item 求函数 23 | \[ 24 | f(x,y) = \begin{cases} 25 | \frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}}, & x^{2} + y^{2} \ne 0,\\ 26 | 0, & x^{2} + y^{2} = 0 27 | \end{cases} 28 | \] 29 | 的二阶偏导数 $f_{xy}''(0,0)$; 30 | \item 问微分方程 $\bigl( y^{2} + 6x \bigr)y' - 2y = 0$ 的哪一个解 $y = y(x)$ 满足条件 $x|_{y = 1} = f_{xy}''(0,0)$; 31 | \item 求曲线积分 $\int_{L} f(x,y) \dd{s}$，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} = 1$ 位于第一象限的部分. 32 | \end{enumerate} 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | 设曲线 $\varGamma: x = a \cos t, y = a \sin t, z = bt(0 \leq t \leq 2\uppi)$，则 $\int_{\varGamma} \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr) \dd{s} = $\htwo. 37 | \end{ti} 38 | 39 | \begin{ti} 40 | 设某曲线 $L$ 的线密度 $\mu = x^{2} + y^{2} + z^{2}$，其方程为 41 | \[ 42 | x = \ee^{t} \cos t, y = \ee^{t} \sin t, z = \sqrt{2} \ee^{t}, - \infty < t \leq 0. 43 | \] 44 | \begin{enumerate} 45 | \item 求曲线 $L$ 的弧长 $l$; 46 | \item 求曲线 $L$ 对 $z$ 轴的转动惯量 $J$; 47 | \item 求曲线 $L$ 对位于原点处质量为 $m$ 的质点的引力($k$ 为引力常数). 48 | \end{enumerate} 49 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec7-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{第一型曲面积分} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $\varSigma$ 是 $yOz$ 平面上的圆域 $y^{2} + z^{2} \leq 1$，则 $\iint_{\varSigma} \bigl( x^{2} + y^{2} + z^{2} \bigr) \dd{S} = $\kuo. 5 | 6 | \fourch{$0$}{$\uppi$}{$\frac{1}{4}\uppi$}{$\frac{1}{2}\uppi$} 7 | \end{ti} 8 | 9 | \begin{ti} 10 | 设 $\varSigma$ 为球面 $(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 1)^{2} = 1$，则 $\iint_{\varSigma} (2x + 3y + z) \dd{S} = $\kuo. 11 | 12 | \fourch{$4\uppi$}{$2\uppi$}{$\uppi$}{$0$} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1$，已知 $S$ 的面积为 $A$，则第一型曲面积分 $\iint_{S} \bigl[ (2x + 3y)^{2} + (6z - 1)^{2} \bigr] \dd{S} = $ \htwo. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 设 $S$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 被锥面 $z = \sqrt{Ax^{2} + By^{2}}$ 截下的小的那部分，并设其中 $A, B, R$ 均为正常数且 $A \ne B$，则第一型曲面积分 $\iint_{S} z \dd{S} = $ \htwo. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 设 $\varSigma$ 是正圆锥面 $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (0 \leq z \leq 1)$，则曲面积分 $\iint_{\varSigma} z \dd{S} = $\kuo. 25 | 26 | \fourch{$\frac{2\sqrt{2}}{3}\uppi$}{$\frac{\sqrt{2}}{3}\uppi$}{$\sqrt{2}\uppi$}{$\uppi$} 27 | \end{ti} 28 | 29 | \begin{ti} 30 | 空间曲面 $z = xy$ 被圆柱体 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ 所截部分的面积 $A = $\htwo. 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 设 $\varSigma$ 为球面：$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$，则第一类曲面积分 $\iint_{\varSigma} x (4x - z) \dd{S} = $\htwo. 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 计算曲面积分 $I = \iint_{\varSigma} (ax + by + cz + d)^{2} \dd{S}$，其中 $\varSigma$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$. 39 | \end{ti} 40 | 41 | \begin{ti} 42 | 设 $\varSigma$ 为平面 $y + z = 5$ 被柱面 $x^{2} + y^{2} = 25$ 所截得的部分，计算曲面积分 $I = \iint_{\varSigma} (x + y + z) \dd{S}$. 43 | \end{ti} 44 | 45 | \begin{ti} 46 | 计算 $\iint_{S} x^{2} \dd{S}$，其中 $S$ 为圆柱面 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 介于 $z = 0$ 和 $z = h$ 之间的部分. 47 | \end{ti} 48 | 49 | \begin{ti} 50 | 设半径为 $R$ 的球的球心位于以原点为中心、$a$ 为半径的定球面上($2a > R > 0$，$a$ 为常数). 试确定 $R$ 为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值. 51 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec7-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{第二型曲线积分} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $l$ 为自点 $O(0,0)$ 沿曲线 $y = \sin x$ 至点 $A(\uppi,0)$ 的有向弧段，求平面第二型曲线积分 5 | \[ 6 | I = \int_{l} \bigl[ \ee^{x} \cos y + 2 (x + y) \bigr] \dd{x} + \Biggl( -\ee^{x} \sin y + \frac{3}{2}x \Biggr) \dd{y}. 7 | \] 8 | \end{ti} 9 | 10 | \begin{ti} 11 | 设 $L$ 为圆周 $x^{2} + y^{2} = 4$ 正向一周，求 12 | \[ 13 | I = \oint_{L} y^{3} \dd{x} + \bigl| 3y - x^{2} \bigr| \dd{y}. 14 | \] 15 | \end{ti} 16 | 17 | \begin{ti} 18 | 计算曲线积分 $\oint_{L} \frac{y \dd{x} - x \dd{y}}{2\left(x^{2} + y^{2}\right)}$，其中 $L: (x - 1)^{2} + y^{2} = 2$，其方向为逆时针方向. 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 计算曲线积分 $\int_{C} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \dd{x} + \bigl[ 2x + y\ln\bigl( x + \sqrt{x^{2} + y^{2}} \bigr) \bigr] \dd{y}$，其中有向曲线 $C: y = \sqrt{1 - \frac{(x - 3)^{2}}{4}}$，方向从点 $(5,0)$ 到点 $(1,0)$. 23 | \end{ti} 24 | 25 | \begin{ti} 26 | 计算曲线积分 27 | \[ 28 | \int_{L} \Biggl( \frac{xy^{2}}{\sqrt{4 + x^{2}y^{2}}} + \frac{1}{\uppi}x \Biggr)\dd{x} + \Biggl( \frac{x^{2}y}{\sqrt{4 + x^{2}y^{2}}} - x + y \Biggr)\dd{y}, 29 | \] 30 | 其中 $L$ 是摆线 $\begin{cases} 31 | x = a (t - \sin t),\\ 32 | y = a (1 - \cos t) 33 | \end{cases} (a > 0)$ 上自 $O(0,0)$ 至 $A(2\uppi a,0)$ 的一段有向曲线弧. 34 | \end{ti} 35 | 36 | \begin{ti} 37 | 计算曲线积分 38 | \[ 39 | I = \int_{l} \bigl[ u_{x}'(x,y) + xy \bigr] \dd{x} + u_{y}'(x,y) \dd{y}, 40 | \] 41 | 其中 $l$ 是从点 $A(0,1)$ 沿曲线 $y = \frac{\sin x}{x}$ 到点 $B(\uppi,0)$ 的曲线段. $u(x,y)$ 在 $xOy$ 平面上具有二阶连续偏导数，且 $u(0,1) = 1$，$u(\uppi,0) = \uppi$. 42 | \end{ti} 43 | 44 | \begin{ti} 45 | 设 $y' = f(x,y)$ 是一条简单封闭曲线 $L$(取正向)，$f(x,y) \ne 0$，其所围区域记为 $D$，$D$ 的面积为 $1$，则 $I = \oint_{L} xf(x,y) \dd{x} - \frac{y}{f(x,y)} \dd{y} = $\htwo. 46 | \end{ti} 47 | 48 | \begin{ti} 49 | 在过点 $O(0,0)$ 和 $A(\uppi,0)$ 的曲线族 $y = a \sin x$ $(a > 0)$ 中，求一条曲线 $L$，使沿该曲线从 $O$ 到 $A$ 的积分 $\int_{L} \bigl( 1 + y^{3} \bigr) \dd{x} + (2x + y) \dd{y}$ 的值最小. 50 | \end{ti} 51 | 52 | \begin{ti} 53 | 证明 54 | \[ 55 | \oint_{\varGamma} x f(y) \dd{y} - \frac{y}{f(x)} \dd{x} \geq 2\uppi, 56 | \] 57 | 其中 $\varGamma$ 为圆周曲线 $(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = 1 (a > 0)$ 正向，$f(x)$ 连续取正值. 58 | \end{ti} 59 | 60 | \begin{ti} 61 | 设曲线积分 $\int_{L} \bigl[ f(x) - \ee^{x} \bigr] \sin y \dd{x} - f(x)\times \cos y \dd{y}$ 与路径无关，其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0) = 0$，则 $f(x)$ 等于\kuo. 62 | 63 | \twoch{$\frac{1}{2}\bigl( \ee^{-x} - \ee^{x} \bigr)$}{$\frac{1}{2}\bigl( \ee^{x} - \ee^{-x} \bigr)$}{$\frac{1}{2}\bigl( \ee^{x} + \ee^{-x} \bigr) - 1$}{$1 - \frac{1}{2}\bigl( \ee^{x} + \ee^{-x} \bigr)$} 64 | \end{ti} 65 | 66 | \begin{ti} 67 | 已知曲线积分 $\int_{L} \bigl[ \ee^{x} \cos y + y f(x) \bigr] \dd{x} + \bigl( x^{3} - \ee^{x} \sin y \bigr) \dd{y}$ 与路径无关且 $f(x)$ 有连续的导数，则 $f(x) = $\htwo. 68 | \end{ti} 69 | 70 | \begin{ti} 71 | 设 $f(x,y)$ 在全平面有连续偏导数，曲线积分 $\int_{L} f(x,y) \dd{x} + x \cos y \dd{y}$ 在全平面与路径无关，且 $\int_{(0,0)}^{\left(t,t^{2}\right)} f(x,y) \dd{x} + x \cos y \dd{y} = t^{2}$，求 $f(x,y)$. 72 | \end{ti} 73 | 74 | \begin{ti} 75 | 设函数 $P(x,y) = \frac{x}{y}r^{\lambda}$，$Q(x,y) = - \frac{x^{2}}{y^{2}}r^{\lambda}$，其中 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$，若曲线积分 $\int_{L} P \dd{x} + Q \dd{y}$ 在区域 $D = \bigl\{ (x,y) \bigl| y > 0 \bigr\}$ 上与路径无关，求参数 $\lambda$. 76 | \end{ti} 77 | 78 | \begin{ti} 79 | 设 $L$ 是摆线 $\begin{cases} 80 | x = t - \sin t - \uppi,\\ 81 | y = 1 - \cos t 82 | \end{cases}$ 从 $t = 0$ 到 $t = 2\uppi$ 的一段，则 $\int_{L} \frac{(x - y)\dd{x} + (x + y) \dd{y}}{x^{2} + y^{2}} = $\kuo. 83 | 84 | \fourch{$-\uppi$}{$\uppi$}{$2\uppi$}{$-2\uppi$} 85 | \end{ti} 86 | 87 | \begin{ti} 88 | 设函数 $g(x)$ 具有连续导数，曲线积分 89 | \[ 90 | \int_{L} \bigl[ \ee^{2x} + g'(x) - 2g(x) \bigr]y \dd{x} - g'(x) \dd{y} 91 | \] 92 | 与路径无关. 93 | \begin{enumerate} 94 | \item 求满足条件 $g(0) = -\frac{1}{4}, g'(0) = -\frac{1}{2}$ 的函数 $g(x)$; 95 | \item 计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} \bigl[ \ee^{2x} + g'(x) - 2g(x) \bigr]y \dd{x} - g'(x) \dd{y}$ 的值. 96 | \end{enumerate} 97 | \end{ti} 98 | 99 | \begin{ti} 100 | 微分方程 $\bigl( 2xy + \ee^{x}\sin y \bigr) \dd{x} + \bigl( x^{2} + \ee^{x}\times \cos y \bigr) \dd{y} = 0$ 的通解为\htwo. 101 | \end{ti} 102 | 103 | \begin{ti} 104 | \begin{enumerate} 105 | \item 设函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(1) = 1$，$D$ 为不包含原点的单连通区域，在 $D$ 内曲线积分 $\int_{L} \frac{y\dd{x} - x\dd{y}}{2x^{2} + f(y)}$ 与路径无关，求 $f(y)$;\label{7.46:1} 106 | \item 在(\ref{7.46:1})的条件下，求 $\oint_{L'} \frac{y\dd{x} - x\dd{y}}{2x^{2} + f(y)}$，其中 $L'$ 为曲线 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}, a > 0$，且取逆时针方向. 107 | \end{enumerate} 108 | \end{ti} 109 | 110 | \begin{ti} 111 | 设 $L$ 为曲线 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$(常数 $R > 0$)一周，$\bm n$ 为 $L$ 的外法线方向向量，$u(x,y)$ 具有二阶连续偏导数且 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = x^{2} + y^{2}$. 求 $\oint_{L} \frac{\partial u}{\partial \bm n} \dd{s}$. 112 | \end{ti} 113 | 114 | \begin{ti} 115 | 计算 $\int_{\varGamma} y\dd{x} + z\dd{y} + x\dd{z}$，其中 $\varGamma$ 为螺旋线 $x = a \cos t, y = a \sin t, z = bt$ 从 $t = 0$ 到 $t = 2\uppi$ 的一段，如图~\ref{fig:1.7.3} 所示. 116 | \begin{figure}[htbp] 117 | \centering 118 | \includegraphics[scale=1]{figure/fig1-7-3.pdf} 119 | \caption{}\label{fig:1.7.3} 120 | \end{figure} 121 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec7-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{第二型曲面积分} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $\varSigma$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)$ 的外侧，则 $\oiint_{\varSigma} xy^{2} \dd{y}\dd{z} + yz^{2} \dd{z}\dd{x} + zx^{2} \dd{x}\dd{y} = $\htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 设 $\varSigma: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 (z \geq 0)$，取上侧，试求曲面积分 9 | \[ 10 | I = \iint_{\varSigma} \frac{x\dd{y}\dd{z} + y\dd{z}\dd{x} + z\dd{x}\dd{y}}{\sqrt{ x^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} }}. 11 | \] 12 | \end{ti} 13 | 14 | \begin{ti} 15 | 设 $f(x,y,z)$ 为连续函数，$S$ 为曲面 $z = \frac{1}{2} \bigl( x^{2} + y^{2} \bigr)$ 介于 $z = 2$ 与 $z = 8$ 之间的上侧部分，求 16 | \begin{align*} 17 | &\iint_{S} \bigl[ y f(x,y,z) + x \bigr] \dd{y} \dd{z}\\ 18 | &+ \bigl[ x f(x,y,z) + y \bigr] \dd{z} \dd{x}\\ 19 | &+ \bigl[ 2xy f(x,y,z) + z \bigr] \dd{x} \dd{y}. 20 | \end{align*} 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 设 $S$ 为平面 $x - y + z = 1$ 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 $z$ 轴交角为锐角，$f(x,y,z)$ 连续，计算 25 | \begin{align*} 26 | \iint_{S} \bigl[ f(x,y,z) + x \bigr] \dd{y} \dd{z} &+ \bigl[ 2f(x,y,z) + y \bigr] \dd{z} \dd{x}\\ 27 | &+ \bigl[ f(x,y,z) + z \bigr] \dd{x} \dd{y}. 28 | \end{align*} 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 计算曲面积分 33 | \begin{align*} 34 | I = \iint_{\varSigma} \bigl( x^{3} + az^{2} \bigr) \dd{y} \dd{z} &+ \bigl( y^{3} + ax^{2} \bigr) \dd{z} \dd{x}\\ 35 | &+ \bigl( z^{3} + ay^{2} \bigr) \dd{x} \dd{y}, 36 | \end{align*} 37 | 其中 $\varSigma$ 为上半球面 $z = \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}$ 的上侧. 38 | \end{ti} 39 | 40 | \begin{ti} 41 | 计算 42 | \[ 43 | I = \oiint_{\varSigma} \frac{2 \dd{y} \dd{z}}{x \cos^{2}x} + \frac{\dd{z} \dd{x}}{\cos^{2}y} - \frac{\dd{x} \dd{y}}{z \cos^{2}z}, 44 | \] 45 | 其中 $\varSigma$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的外侧. 46 | \end{ti} 47 | 48 | \begin{ti} 49 | 设向量场 50 | \begin{align*} 51 | \bm F = \Biggl( x^{2} y z^{2}, \frac{1}{z} \arctan \frac{y}{z} - x y^{2} z^{2}, &\frac{1}{y} \arctan \frac{y}{z}\\ 52 | &+ z(1 + xyz) \Biggr). 53 | \end{align*} 54 | \begin{enumerate} 55 | \item 计算 $\div \bm F |_{(1,1,1)}$ 的值; 56 | \item 设空间区域 $\varOmega$ 由锥面 $y^{2} + z^{2} = x^{2}$ 与球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 a^{2}$ 所围成 $(x > 0)$，其中 $a$ 为正常数，记 $\varOmega$ 表面的外侧为 $\varSigma$，计算积分 57 | \begin{align*} 58 | I 59 | &= \oiint_{\varSigma} x^{2} y z^{2} \dd{y} \dd{z}\\ 60 | &+ \Biggl( \frac{1}{z} \arctan \frac{y}{z} - x y^{2} z^{2} \Biggr) \dd{z} \dd{x}\\ 61 | &+ \Biggl[ \frac{1}{y} \arctan \frac{y}{z} + z(1 + xyz) \Biggr] \dd{x} \dd{y}. 62 | \end{align*} 63 | \end{enumerate} 64 | \end{ti} 65 | 66 | \begin{ti} 67 | 设函数 $f(x,y,z)$ 在区域 $\varOmega = \bigl\{ (x,y,z) \bigl| x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 \bigr\}$ 上具有连续的二阶偏导数，且满足 68 | \[ 69 | \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, 70 | \] 71 | 计算 72 | \[ 73 | I = \iiint_{\varOmega} \Biggl( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} \Biggr) \dd{x} \dd{y} \dd{z}. 74 | \] 75 | \end{ti} 76 | 77 | \begin{ti} 78 | 计算曲线积分 $I = \oint_{L} y^{2} \dd{x} + z^{2} \dd{y} + x^{2} \dd{z}$，其中曲线 $L$ 为 $\begin{cases} 79 | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4,\\ 80 | x^{2} + y^{2} = 2x 81 | \end{cases} (z \geq 0)$，从 $x$ 轴的正向往负向看去，取逆时针方向. 82 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec7-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{场论} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 已知 $\bm F = x^{3} \bm i + y^{3} \bm j + z^{3} \bm k$，则在点 $(1,0,-1)$ 处的 $\div \bm F$ 为\htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | 设 $u = x^{2} + 3y + yz$，则 $\div \bigl(\grad u\bigr) = $\htwo. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 向量场 $\bm A(z,3x,2y)$ 在点 $M(x,y,z)$ 处的旋度 $\rot \bm A = $\htwo. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 函数 17 | \[ 18 | u = 3x^{2}y - 2yz + z^{3}, v = 4xy - z^{3}, 19 | \] 20 | 点 $P(1,-1,1)$. $u$ 在点 $P$ 处沿 $\grad v \bigr|_{P}$ 方向的方向导数等于\htwo. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 函数 $u = \ee^{z} - z + xy$ 在点 $(2,1,0)$ 处沿曲面 $\ee^{z} - z + xy = 3$ 的法线方向的方向导数为\htwo. 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 设 $\bm n$ 是曲面 $2x^{2} + 3y^{2} + z^{2} = 6$ 在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量，求函数 $u = \frac{1}{z} \bigl( 6x^{2} + 8y^{2} \bigr)^{\frac{1}{2}}$ 在此处沿方向 $\bm n$ 的方向导数. 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 求函数 $f(x,y) = x^{2} - xy + y^{2}$ 在点 $M(1,1)$ 沿与 $x$ 轴的正向组成 $\alpha$ 角的方向 $\bm l$ 上的方向导数，在怎样的方向上此导数有： 33 | \begin{enumerate} 34 | \item 最大的值; 35 | \item 最小的值; 36 | \item 等于 $0$. 37 | \end{enumerate} 38 | \end{ti} 39 | 40 | \begin{ti} 41 | 设在平面区域 $D$ 上数量场 $u(x,y) = 50 - x^{2} - 4y^{2}$，试问在点 $P_{0}(1,-2) \in D$ 处沿什么方向时 $u(x,y)$ 升高最快，并求一条路径，使从点 $P_{0}(1,-2)$ 处出发沿这条路径 $u(x,y)$ 升高最快. 42 | \end{ti} 43 | 44 | \begin{ti} 45 | 求常数 $a,b,c$ 的值，使函数 46 | \[ 47 | f(x,y,z) = axy^{2} + byz + cx^{3}z^{2} 48 | \] 49 | 在点 $(1,2,-1)$ 处沿 $z$ 轴正向的方向导数有最大值 $64$. 50 | \end{ti} 51 | 52 | \begin{ti} 53 | 设数量场 $u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} + xy + 3x - 2y - 6z$，求： 54 | \begin{enumerate} 55 | \item 梯度为零向量的点; 56 | \item 在点 $(2,0,1)$ 处，沿哪一个方向 $u$ 的变化率最大，并求此最大变化率; 57 | \item 使其梯度垂直于 $z$ 轴的点. 58 | \end{enumerate} 59 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec9-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \section{级数} 2 | \subsection{正项级数} 3 | 4 | \begin{ti} 5 | 设 $f(x) = \int_{0}^{\sin x} \sin \bigl( t^{2} \bigr) \dd{t}, g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{n^{n} + 2}$，则 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的\kuo 无穷小. 6 | 7 | \twoch{低阶}{同阶非等价}{等价}{高阶} 8 | \end{ti} 9 | 10 | \begin{ti} 11 | 设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散，则 12 | 13 | \noindent\circled{1}~$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 必收敛;\\ 14 | \circled{2}~$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 必发散;\\ 15 | \circled{3}~$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 必收敛;\\ 16 | \circled{4}~$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 必发散\\ 17 | 中结论正确的有\kuo. 18 | 19 | \fourch{$1$ 个}{$2$ 个}{$3$ 个}{$4$ 个} 20 | \end{ti} 21 | 22 | \begin{ti} 23 | 当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$，$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 都收敛时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ \kuo. 24 | 25 | \onech{条件收敛}{绝对收敛}{发散}{可能收敛，也可能发散} 26 | \end{ti} 27 | 28 | \begin{ti} 29 | 判别下列正项级数的敛散性： 30 | \begin{enumerate} 31 | \item $\sum_{n=1}^{\infty} \bigl( \frac{n}{3n + 2} \bigr)^{n}$; 32 | \item $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^{2}} \dd{x}$; 33 | \item $\sum_{n=1}^{\infty} \bigl( \sqrt[3]{n + 1} - \sqrt[3]{n} \bigr)$. 34 | \end{enumerate} 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\uppi}{n}} \frac{\sin x}{1 + x} \dd{x}$ 的敛散性. 39 | \end{ti} 40 | 41 | \begin{ti} 42 | 设 $u_{n} = \int_{0}^{1} x (1 - x) \sin^{2n}x \dd{x}$，讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的敛散性. 43 | \end{ti} 44 | 45 | \begin{ti} 46 | 设 $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{n}$，则下列级数中一定收敛的是\kuo. 47 | 48 | \twoch{$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$}{$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} u_{n}$}{$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{u_{n}}$}{$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} u_{n}^{2}$} 49 | \end{ti} 50 | 51 | \begin{ti} 52 | 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^{n}} \bigl( 1 + \frac{1}{n} \bigr)^{n^{2}}$. 53 | \end{ti} 54 | 55 | \begin{ti} 56 | 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 都是正项级数. 试证： 57 | \begin{enumerate} 58 | \item 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{u_{n} u_{n+1}}$ 收敛; 59 | \item 若 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{u_{n} u_{n+1}}$ 收敛，$u_{n}$ 单调减少，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛; 60 | \item 若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n}$ 收敛; 61 | \item 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n}$ 收敛. 62 | \end{enumerate} 63 | \end{ti} 64 | 65 | \begin{ti} 66 | 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n! a^{n}}{n^{n}}$($a$ 为常数，$0 < |a| < \ee$). 67 | \end{ti} 68 | 69 | \begin{ti} 70 | 判别下列级数的敛散性($k > 1, a > 1$)： 71 | \begin{enumerate} 72 | \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{k}}{a^{n}}$; 73 | \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!}$; 74 | \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$. 75 | \end{enumerate} 76 | \end{ti} 77 | 78 | \begin{ti} 79 | 常数项级数 $\frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{10 \times 2} + \cdots + \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{10n} + \cdots$ 的敛散性为\htwo. 80 | \end{ti} 81 | 82 | \begin{ti} 83 | \begin{enumerate} 84 | \item 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 为正项级数，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛的充要条件是其部分和数列 $\{ s_{n} \}$ 有界; 85 | \item 设 $\{ x_{n} \}$ 为单调递增的有界正数数列，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl( 1 - \frac{x_{n}}{x_{n+1}} \Bigr)$ 收敛. 86 | \end{enumerate} 87 | \end{ti} 88 | 89 | \begin{ti} 90 | 设数列 $\{ a_{n} \}, \{ b_{n} \}$ 满足 91 | \[ 92 | \ee^{b_{n}} = \ee^{a_{n}} - a_{n} (n = 1,2,3,\cdots), 93 | \] 94 | 求证： 95 | \begin{enumerate} 96 | \item 若 $a_{n} > 0$，则 $b_{n} > 0$; 97 | \item 若 $a_{n} > 0(n = 1,2,3,\cdots), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收敛. 98 | \end{enumerate} 99 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec9-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{交错级数} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} n \sqrt{n} \tan \frac{1}{n^{\alpha}}$ 绝对收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{3 - \alpha}}$ 条件收敛，则\kuo. 5 | 6 | \twoch{$0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$}{$1 < \alpha < \frac{5}{2}$}{$1 < \alpha < 3$}{$\frac{5}{2} < \alpha < 3$} 7 | \end{ti} 8 | 9 | \begin{ti} 10 | 设 $a_{n} = \cos n \uppi \cdot \ln \Big( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigr) (n = 1,2,3,\cdots)$，则级数\kuo. 11 | 12 | \onech{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 都收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 都发散}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 发散}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $0 \leq f(x) \leq 1$，又设 $a_{n} = \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{1 + f^{n}(x)} \dd{x}$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}$\kuo. 17 | 18 | \onech{发散}{条件收敛}{绝对收敛}{敛散性与具体的 $f(x)$ 有关} 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 设 $a > 0$ 为常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \Bigl( 1 - \cos \frac{a}{n} \Bigr)$\kuo. 23 | 24 | \twoch{绝对收敛}{条件收敛}{发散}{敛散性与 $a$ 有关} 25 | \end{ti} 26 | 27 | \begin{ti} 28 | 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \ln \Bigl( 1 + \frac{1}{n} \Bigr)$\kuo. 29 | 30 | \twoch{收敛}{发散}{条件收敛}{绝对收敛} 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \bigl( \uppi \sqrt{n^{2} + a^{2}} \bigr)$ 的敛散性. 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 判别级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \Bigl[ 1 + \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \Bigr]$ 的敛散性. 39 | \end{ti} 40 | 41 | \begin{ti} 42 | 判别级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n} + (-1)^{n}}$ 的敛散性. 43 | \end{ti} 44 | 45 | \begin{ti} 46 | 证明：级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n + (-1)^{n}}}$ 条件收敛. 47 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec9-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{综合} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则\kuo. 5 | 6 | \onech{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 必收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} a_{n}$ 必收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} + a_{n+1})$ 必收敛}{$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}$ 必收敛} 7 | \end{ti} 8 | 9 | \begin{ti} 10 | 下列命题中正确的是\kuo. 11 | 12 | \onech{若 $u_{n} < v_{n} (n = 1,2,3,\cdots)$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$}{若 $u_{n} < v_{n} (n = 1,2,3,\cdots), \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛}{若 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 1, \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛}{若 $w_{n} < u_{n} < v_{n} (n = 1,2,3,\cdots), \sum_{n=1}^{\infty} w_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛} 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导，且导函数 $f'(x)$ 有界，证明： 17 | \begin{enumerate} 18 | \item 级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \bigl[ f \bigl( \frac{1}{n} \bigr) - f \bigl( \frac{1}{n + 1} \bigr) \bigr]$ 绝对收敛; 19 | \item $\lim_{n \to \infty} f \bigl( \frac{1}{n} \bigr)$ 存在. 20 | \end{enumerate} 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 设 $a$ 为正数，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n} n!}{n^{n}}$ 收敛，而 25 | \[ 26 | \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n - 2}}{n^{a}} 27 | \] 28 | 发散，则\kuo. 29 | 30 | \twoch{$a \leq \frac{1}{2}$}{$\frac{1}{2} < a < \ee$}{$a > \ee$}{$a = \ee$} 31 | \end{ti} 32 | 33 | \begin{ti} 34 | 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数，$|f'(x)| < k f(x)$，其中 $0 < k < 1$. 任取实数 $a_{0}$，定义 $a_{n} = \ln f (a_{n-1}), n = 1,2,\cdots$，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} - a_{n-1})$ 绝对收敛. 35 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec9-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{求收敛半径、收敛域，阿贝尔定理} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} (x - 1)^{n}$ 在 $x = -1$ 处收敛，则在 $x = 2$ 处是\kuo. 5 | 6 | \twoch{条件收敛}{绝对收敛}{发散}{敛散性不确定} 7 | \end{ti} 8 | 9 | \begin{ti} 10 | 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x = -3$ 处为条件收敛，则其收敛半径 $R = $\htwo. 11 | \end{ti} 12 | 13 | \begin{ti} 14 | 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} (x - 2)^{n}$ 的收敛域为\htwo. 15 | \end{ti} 16 | 17 | \begin{ti} 18 | 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 的收敛域为\htwo. 19 | \end{ti} 20 | 21 | \begin{ti} 22 | 设 $a_{n} = \frac{2^{n}}{(5^{n} + 2^{n})n}$，求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径、收敛区间与收敛域. 23 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec9-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{级数展开与求和} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 展开成的 $x - 1$ 的幂级数为\htwo. 5 | \end{ti} 6 | 7 | \begin{ti} 8 | $\ee^{x}$ 展开成的 $x - 3$ 的幂级数为\htwo. 9 | \end{ti} 10 | 11 | \begin{ti} 12 | 将函数 $f(x) = \frac{1}{x^{2} - 3x + 2}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间. 13 | \end{ti} 14 | 15 | \begin{ti} 16 | 将 $y = \sin x$ 展开为 $x - \frac{\uppi}{4}$ 的幂级数. 17 | \end{ti} 18 | 19 | \begin{ti} 20 | 将 $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$ 展开为 $x + 1$ 的幂级数. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 设 $f(x) = \frac{1}{1 - 2x - x^{2}}$. 25 | \begin{enumerate} 26 | \item 将 $f(x)$ 展开为 $x$ 的幂级数; 27 | \item 分别判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 的敛散性. 28 | \end{enumerate} 29 | \end{ti} 30 | 31 | \begin{ti} 32 | 将函数 $f(x) = \ln \bigl| \frac{x}{x - 3} \bigr|$ 展开成 $x - 2$ 的幂级数，并求出其收敛范围. 33 | \end{ti} 34 | 35 | \begin{ti} 36 | \begin{enumerate} 37 | \item 证明 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{3n - 2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{3}} \dd{x}$; 38 | \item 求 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{3n - 2}$. 39 | \end{enumerate} 40 | \end{ti} 41 | 42 | \begin{ti} 43 | \begin{enumerate} 44 | \item 设 $f(x)$ 为任意阶可导函数，且 45 | \[ 46 | f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, 47 | \] 48 | 若 $f(x)$ 为奇函数，证明 49 | \[ 50 | f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} x^{2n-1}; 51 | \] 52 | \item 将函数 $f(x) = \int_{0}^{x} \ee^{x^{2} - t^{2}} \dd{t}$ 展开为 $x$ 的幂级数. 53 | \end{enumerate} 54 | \end{ti} 55 | 56 | \begin{ti} 57 | 设函数 $f(x) = \frac{7 + 2x}{2 - x - x^{2}}$，当 $-1 < x < 1$ 时，其幂级数展开式为 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$. 58 | \begin{enumerate} 59 | \item 求 $a_{n} (n = 0,1,2,\cdots)$; 60 | \item 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n+1} - a_{n}}{(a_{n} - 2) (a_{n+1} - 2)}$ 的和. 61 | \end{enumerate} 62 | \end{ti} 63 | 64 | \begin{ti} 65 | 级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^{n}}{2^{n}}$ 的和为\htwo. 66 | \end{ti} 67 | 68 | \begin{ti} 69 | 当 $|x| < 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 的和函数是\kuo. 70 | 71 | \twoch{$\ln(1 - x)$}{$\ln \frac{1}{1 - x}$}{$\ln(x - 1)$}{$- \ln (x - 1)$} 72 | \end{ti} 73 | 74 | \begin{ti} 75 | 幂级数 $\frac{1}{a} + \frac{2x}{a^{2}} + \cdots + \frac{nx^{n-1}}{a^{n}} + \cdots$ 在收敛区间 $(-a,a)$ 内的和函数 $S(x)$ 为\htwo. 76 | \end{ti} 77 | 78 | \begin{ti} 79 | 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3n + 1} x^{3n}$ 的收敛域与和函数，并求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3n + 1}$ 的和. 80 | \end{ti} 81 | 82 | \begin{ti} 83 | 已知 $f_{n}(x)$ 满足 $f_{n}'(x) = f_{n}(x) + x^{n-1} \ee^{x}$($n$ 为正整数)，且 $f_{n}(1) = \frac{\ee}{n}$，求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 的和函数. 84 | \end{ti} 85 | 86 | \begin{ti} 87 | \begin{enumerate} 88 | \item 求函数项级数 $\ee^{-x} + 2 \ee^{-2x} + \cdots + n \ee^{-nx} + \cdots$ 收敛时 $x$ 的取值范围; 89 | \item 当上述级数收敛时，求其和函数 $S(x)$，并求 90 | \[ 91 | \int_{\ln 2}^{\ln 3} S(x) \dd{x}. 92 | \] 93 | \end{enumerate} 94 | \end{ti} 95 | 96 | \begin{ti} 97 | 求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-2}}{n \cdot 3^{n}}$ 的收敛域及其和函数. 98 | \end{ti} 99 | 100 | \begin{ti} 101 | 求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{n(n + 1)}{2^{n}}$ 的和. 102 | \end{ti} 103 | 104 | \begin{ti} 105 | 设 $x_{1} = r > 0, x_{n+1} = x_{n} + x_{n}^{3}, n = 1,2,3,\cdots$. 则数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1 + x_{n}^{2}} = $\htwo. 106 | \end{ti} 107 | 108 | \begin{ti} 109 | 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 的和函数. 110 | \end{ti} 111 | 112 | \begin{ti} 113 | 求数列 $\{ a_{n} \}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$，且 $a_{n+1} = a_{n} + a_{n-1}, n = 2,3,\cdots$. 证明在 $|x| < \frac{1}{2}$ 时幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n-1}$ 收敛，并求其和函数与系数 $a_{n}$. 114 | \end{ti} 115 | 116 | \begin{ti} 117 | $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2n^{2}}{(2n)!} \frac{1}{2^{n}}$ 的和为\htwo. 118 | \end{ti} 119 | 120 | \begin{ti} 121 | 已知 $y(x) = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 是微分方程 $y'' - y = a$ 的解. 122 | \begin{enumerate} 123 | \item 求常数 $a$; 124 | \item 求 $y(x)$. 125 | \end{enumerate} 126 | \end{ti} 127 | 128 | \begin{ti} 129 | 设 $y = f(x)$ 由方程组 $\begin{cases} 130 | x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(t - 1)^{n}}{n},\\ 131 | y = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n t^{n-1}}{2^{n}} 132 | \end{cases}$ 所确定，求 $\frac{\dd{y}}{\dd{x}}\bigr|_{t = 1}$. 133 | \end{ti} 134 | 135 | \begin{ti} 136 | 设 $A_{n}$ 是曲线 $y = x^{n}$ 与 $y = x^{n+1}(n = 1,2,\cdots)$ 所围区域的面积，记 $S_{1} = \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}, S_{2} = \sum_{n=1}^{\infty} A_{2n-1}$，求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值. 137 | \end{ti} 138 | 139 | \begin{ti} 140 | 已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\uppi^{2}}{6}$. 141 | \begin{enumerate} 142 | \item 设 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} x^{n}$，证明当 $0 < x < 1$ 时，$f(x) + f(1 - x) + \ln x \ln (1 - x) = \frac{\uppi^{2}}{6}$; 143 | \item 求 $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{2 - x} \ln \frac{1}{x} \dd{x}$. 144 | \end{enumerate} 145 | \end{ti} -------------------------------------------------------------------------------- /chapter/sec9-6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \subsection{傅氏级数} 2 | 3 | \begin{ti} 4 | 设 $f(x) = x + 1 (0 \leq x \leq 1)$，则它以 $2$ 为周期的余弦级数在 $x = 0$ 处收敛于\kuo. 5 | 6 | \fourch{$1$}{$-1$}{$0$}{$\frac{1}{2}$} 7 | \end{ti} 8 | 9 | \begin{ti} 10 | 若将 $f(x) = \begin{cases} 11 | x^{2}, & 0 \leq x \leq 1,\\ 12 | 0, & 1 \leq x \leq 2 13 | \end{cases}$ 在 $[0,2]$ 上展开成正弦级数，则该级数的和函数 $S(x)$ 为\htwo. 14 | \end{ti} 15 | 16 | \begin{ti} 17 | 设 $f(x) = \begin{cases} 18 | x^{2}, & - \uppi \leq x < 0,\\ 19 | -5, & 0 \leq x < \uppi, 20 | \end{cases}$ 则其以 $2 \uppi$ 为周期的傅里叶级数在 $x = \pm \uppi$ 处收敛于\htwo. 21 | \end{ti} 22 | 23 | \begin{ti} 24 | 设 $f(x) = x^{2} (0 < x < 1)$，而 25 | \[ 26 | S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \uppi x, x \in (-\infty,+\infty), 27 | \] 28 | 其中 29 | \[ 30 | b_{n} = 2 \int_{0}^{1} f(x) \cdot \sin n \uppi x \dd{x}, n = 1,2,3,\cdots. 31 | \] 32 | 则 $S\big( - \frac{1}{2} \bigr) = $\kuo. 33 | 34 | \fourch{$-\frac{1}{4}$}{$\frac{1}{4}$}{$-\frac{1}{2}$}{$\frac{1}{2}$} 35 | \end{ti} 36 | 37 | \begin{ti} 38 | 设 $f(x) = \begin{cases} 39 | -1, & -\uppi < x \leq 0,\\ 40 | 1 + x^{2}, & 0 < x \leq \uppi, 41 | \end{cases}$ 则其以 $2\uppi$ 为周期的傅里叶级数在 $x = \uppi$ 处收敛于\htwo. 42 | \end{ti} 43 | 44 | \begin{ti} 45 | 设 $f(x) = \uppi x + x^{2}, -\uppi \leq x < \uppi$，且周期为 $T = 2\uppi$. 若 $f(x)$ 在 $[-\uppi,\uppi)$ 上的傅里叶级数为 46 | \[ 47 | \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx), 48 | \] 49 | 则 $b_{3} = $\htwo. 50 | \end{ti} 51 | 52 | \begin{ti} 53 | 函数 $f(x) = \begin{cases} 54 | -1, & -\uppi \leq x < 0,\\ 55 | 1, & 0 \leq x \leq \uppi 56 | \end{cases}$ 在 $[-\uppi,\uppi]$ 上展开为傅里叶级数 $\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx)$，则 $a_{n} = $\htwo，$b_{n} = $\htwo，和函数 $S(x) = $\htwo. 57 | \end{ti} 58 | 59 | \begin{ti} 60 | 设 $f(x)$ 在区间 $[-\uppi,\uppi]$ 上连续且满足 $f(x + \uppi) = - f(x)$，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2n} = $\htwo. 61 | \end{ti} 62 | 63 | \begin{ti} 64 | 设函数 $f(x)$ 是以 $2 \uppi$ 为周期的周期函数，且 $f(x) = \ee^{\alpha x} (0 \leq x < 2\uppi)$，其中 $\alpha \ne 0$，试将 $f(x)$ 展开成傅里叶级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$ 的和. 65 | \end{ti} 66 | 67 | \begin{ti} 68 | 设 69 | \[ 70 | f(x) = \begin{cases} 71 | x + 1, & 0 \leq x \leq \uppi,\\ 72 | 0, & - \uppi \leq x < 0, 73 | \end{cases} 74 | \] 75 | $S(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos nx + b_{n} \sin nx)$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \uppi$ 为周期的傅里叶级数，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} = $\htwo. 76 | \end{ti} 77 | 78 | \begin{ti} 79 | 将函数 $f(x) = x^{2} (0 \leq x \leq \uppi)$ 展开成余弦级数，并求 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 的和. 80 | \end{ti} 81 | \guanggao -------------------------------------------------------------------------------- /ctex-fontset-zy.def: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %% 2 | %% This is file `ctex-fontset-windows.def', 3 | %% generated with the docstrip utility. 4 | %% 5 | %% The original source files were: 6 | %% 7 | %% ctex.dtx (with options: `fontset,windows') 8 | %% 9 | %% Copyright (C) 2003--2020 10 | %% CTEX.ORG and any individual authors listed in the documentation. 11 | %% --------------------------------------------------------------------- 12 | %% 13 | %% This work may be distributed and/or modified under the 14 | %% conditions of the LaTeX Project Public License, either 15 | %% version 1.3c of this license or (at your option) any later 16 | %% version. This version of this license is in 17 | %% http://www.latex-project.org/lppl/lppl-1-3c.txt 18 | %% and the latest version of this license is in 19 | %% http://www.latex-project.org/lppl.txt 20 | %% and version 1.3 or later is part of all distributions of 21 | %% LaTeX version 2005/12/01 or later. 22 | %% 23 | %% This work has the LPPL maintenance status "maintained". 24 | %% 25 | %% --------------------------------------------------------------------- 26 | %% 27 | \GetIdInfo$Id: ctex.dtx e805781 2020-08-23 21:30:35 +0800 Qing Lee $ 28 | {Windows fonts definition (CTEX)} 29 | \ProvidesExplFile{ctex-fontset-windows.def} 30 | {\ExplFileDate}{2.5.4}{\ExplFileDescription} 31 | \file_if_exist:nTF { \c_dollar_str WINDIR/Fonts/msyh.ttc } 32 | { \tl_const:Nn \c__ctex_msyh_suffix_tl { ttc } } 33 | { 34 | \file_if_exist:nTF { msyh.ttc } 35 | { \tl_const:Nn \c__ctex_msyh_suffix_tl { ttc } } 36 | { \tl_const:Nn \c__ctex_msyh_suffix_tl { ttf } } 37 | } 38 | \ctex_fontset_case:nnn 39 | { 40 | 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-------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-2-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw[-latex] (-2.8,0) -- (2.5,0) node[below] {$x$}; 8 | \draw[-latex] (0,-2) -- (0,2.8) node[right] {$f'(x)$}; 9 | \node[left=5pt,below=-2pt] at (0,0) {$O$}; 10 | \draw (0,2) circle (0.1); 11 | \draw (0,-1.5) circle (0.1); 12 | \draw (0.07,2.06) to[out=40,in=95] (2,-0.5); 13 | \draw (-0.07,-1.435) to[out=110,in=0] (-1.5,0); 14 | \draw (-1.5,0) to[out=180,in=80] (-2.8,-1.3); 15 | \end{tikzpicture} 16 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-3-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture}[domain=-0.3:3] 7 | \draw[-latex] (-0.3,0) node[left=-3pt,below=-2pt] {$O$} -- (2,0) node[below] {$x$}; 8 | \draw[-latex] (0,-0.3) -- (0,2) node[left] {$y$}; 9 | \draw[domain=0:1.2] plot (\x,{0.5*\x^2}) node[right=10pt,above=-4pt] {$y = x^{2}$}; 10 | \draw[domain=0:0.9] plot (\x,{2*\x^2}) node[right=12pt,above=-4pt] {$y = 2x^{2}$}; 11 | \draw[domain=0:0.62] plot (\x,{3.5*\x^2}) node[above=3pt,left=-2pt] {$L$}; 12 | \draw[dashed] (0.8,2*0.8^2) -- (0,2*0.8^2); 13 | \draw[dashed] (0.8,2*0.8^2) -- (0.8,0); 14 | \fill [fill = lightgray] [domain = 0:0.8,smooth] plot (\x, {pow(\x,2)/2}) -- (0.8,2*0.8^2) [domain = 0.8:0, smooth] -- plot (\x, {2*pow(\x,2)}) -- cycle; 15 | \fill [fill = gray] [domain = 0:0.8,smooth] plot (\x, {2*pow(\x,2)}) -- (0.60474,2*0.8^2) [domain = 0.60474:0, smooth] -- plot (\x, {3.5*pow(\x,2)}) -- cycle; 16 | \node at (0.645,2*0.8^2-0.2) {$B$}; 17 | \node at (0.63,0.5) {$A$}; 18 | \node[right=-3pt] at (0.8,2*0.8^2) {$P$}; 19 | \end{tikzpicture} 20 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-3-2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz,upgreek} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture}[domain=-0.3:3] 7 | \draw[-latex] (-0.3,0) node[left=-3pt,below=-2pt] {$O$} -- (4,0) node[below] {$x$}; 8 | \draw[-latex] (0,-0.3) -- (0,1.5) node[left] {$y$}; 9 | \draw[domain=0:3.14] plot (\x,{sin(\x r)}) node[below] {$\uppi$}; 10 | \node[above] at (1.57,1) {$y = \sin x$}; 11 | \draw (0,0.5) -- (3.14,0.5) node[above] {$y = a$} -- (3.14,0); 12 | \fill [fill = gray] [domain = 0:0.52333,smooth] plot (\x, {sin(\x r)}) -- (0,0.5) -- cycle; 13 | \fill [fill = gray] [domain = 0.52333:2.61666,smooth] plot (\x, {sin(\x r)}) -- cycle; 14 | \fill [fill = gray] [domain = 2.61666:3.14,smooth] plot (\x, {sin(\x r)}) -- (3.14,0.5) -- cycle; 15 | \end{tikzpicture} 16 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-3-a.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-3-3-a.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-3-a.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz,upgreek} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw[-latex] (-0.3,0) node[left=-3pt,below=-2pt] {$O$} -- (2.5,0) node[below] {$x$}; 8 | \draw[-latex] (0,-0.3) -- (0,2) node[left] {$y$}; 9 | \draw[domain=0:2] plot (\x,{\x^0.5}) -- (2,0) node[below] {$1$}; 10 | \draw (1.3,0) node[below] {$\overline{x}$} -- ++ (0,0.1); 11 | \node at (1.3,0.5) {$D$}; 12 | \node[above=2pt] at (1.3,{1.3^0.5}) {$y = f(x)$}; 13 | \end{tikzpicture} 14 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-3-b.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-3-3-b.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-3-b.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz,upgreek} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw[-latex] (-0.3,0) node[left=-3pt,below=-2pt] {$O$} -- (2.5,0) node[below] {$x$}; 8 | \draw[-latex] (0,-0.3) -- (0,2) node[left] {$y$}; 9 | \draw[domain=0:2] plot (\x,{0.3*\x^2}) -- (2,0) node[below] {$1$}; 10 | \draw (1.5,0) node[below] {$\overline{x}$} -- ++ (0,0.1); 11 | \node at (1.65,0.35) {$D$}; 12 | \node[above=2pt] at (1,{0.3*1.5^2}) {$y = f(x)$}; 13 | \end{tikzpicture} 14 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-4.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-3-4.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-4.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw (0,0) node[left=5pt,below=-2pt] {$B$} -- node[right=4pt,above=-3pt] {$2$} ++ (120:2) node[left] {$A$} ++ (-60:2) -- ++ (2,0) node[right=5pt,below=-2pt] {$C$} -- node[left=4pt,above=-3pt] {$2$} ++ (60:2) node[right=1pt] {$D$}; 8 | \draw[dashed] (0,0) ++ (120:2) -- ++ (4,0); 9 | \draw[dashed] (0,-0.3) -- ++ (0,2.0320); 10 | \draw[dashed] (2,-0.3) -- ++ (0,2.0320); 11 | \draw[dashed] (-1,0) -- (3,0); 12 | \node (a) at (1,-0.2) {$2$}; 13 | \draw[latex-] (0,-0.2) -- (a); 14 | \draw[-latex] (a) -- (2,-0.2); 15 | \draw (2,0) -- ++ (0.3,0) arc [start angle=0, end angle=60, radius=0.3] -- cycle; 16 | \draw (0,0) -- ++ (-0.3,0) arc [start angle=180, end angle=120, radius=0.3] -- cycle; 17 | \end{tikzpicture} 18 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-5.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-3-5.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-3-5.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw[-latex] (-0.3,0) node[left=-3pt,below=-2pt] {$O$} -- (2.5,0) node[below] {$x$}; 8 | \draw[-latex] (0,-0.3) -- (0,1.5) node[left] {$y$}; 9 | \draw[domain=-0.1:2] plot (\x,{exp{-2*\x}}) node[above=7pt,right=-7pt] {$y = \mathrm{e}^{-2x}$}; 10 | \fill [fill = gray] [domain = 0:0.3,smooth] plot (\x, {exp{-2*\x}}) -- (0.3,1) -- cycle; 11 | \fill [fill = gray] [domain = 0.3:0.6,smooth] plot (\x, {exp{-2*\x}}) -- (0.6,{exp{-2*0.3}}) -- cycle; 12 | \fill [fill = gray] [domain = 0.6:0.9,smooth] plot (\x, {exp{-2*\x}}) -- (0.9,{exp{-2*0.6}}) -- cycle; 13 | \fill [fill = gray] [domain = 0.9:1.2,smooth] plot (\x, {exp{-2*\x}}) -- (1.2,{exp{-2*0.9}}) -- cycle; 14 | \fill [fill = gray] [domain = 1.2:1.5,smooth] plot (\x, {exp{-2*\x}}) -- (1.5,{exp{-2*1.2}}) -- cycle; 15 | \draw (0,1) -- ++ (0.3,0) -- ++ (0,-1); 16 | \draw (0.3,{exp{-2*0.3}}) -- ++ (0.3,0) -- ++ (0,-{exp{-2*0.3}}); 17 | \draw (0.6,{exp{-2*0.6}}) -- ++ (0.3,0) -- ++ (0,-{exp{-2*0.6}}); 18 | \draw (0.9,{exp{-2*0.9}}) -- ++ (0.3,0) -- ++ (0,-{exp{-2*0.9}}); 19 | \draw (1.2,{exp{-2*1.2}}) -- ++ (0.3,0) -- ++ (0,-{exp{-2*1.2}}); 20 | \end{tikzpicture} 21 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-5-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-5-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-5-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \filldraw[fill = gray,draw = black] (0,0) circle (2); 8 | \filldraw[fill = white,draw = black] (-1,0) circle (1); 9 | \draw[-latex] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[below] {$x$}; 10 | \draw[-latex] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[left] {$y$}; 11 | \node[right=4pt,below=-3pt] at (0,0) {$O$}; 12 | \end{tikzpicture} 13 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-7-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-7-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-7-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw[dashed] (-1,0) -- (1,0); 8 | \draw[dashed] (40:0.5) -- (-140:0.38); 9 | \draw (1,0) ellipse (0.3 and 1); 10 | \draw (1,0) ++ (-140:0.38) -- ++ (40:0.76); 11 | \draw (0,1) arc [start angle=90, end angle=270, x radius=0.3, y radius=1]; 12 | \draw[dashed] (0,1) arc [start angle=90, end angle=-90, x radius=0.3, y radius=1]; 13 | \draw (0,1) arc [start angle=90, end angle=270, x radius=0.9, y radius=1]; 14 | \draw (0,1) -- ++ (1,0); 15 | \draw (0,-1) -- ++ (1,0); 16 | \draw (1,1) -- ++ (0,-2); 17 | \draw[dashed] (40:0.38) arc [start angle=71, end angle=180, x radius=0.9, y radius=0.27]; 18 | \draw (-0.9,0) arc [start angle=180, end angle=251, x radius=0.9, y radius=0.26]; 19 | \draw[-latex] (-140:0.38) -- (-140:1.5) node[right] {$x$}; 20 | \draw[dashed] (0,-1) -- node[right=4pt,below=-3pt] {$O$} (0,1); 21 | \draw (0,-1) -- ++(0,-0.2); 22 | \draw[-latex] (0,1) -- ++ (0,0.4) node[left] {$z$}; 23 | \draw[-latex] (1,0) -- ++(0.8,0) node[below] {$y$}; 24 | \draw (-0.9,0) -- ++ (-0.3,0); 25 | \end{tikzpicture} 26 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-7-2.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-7-2.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-7-2.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw[-latex] (0,0) node[below] {$O$} -- ++ (0,2.5) node[right] {$z$}; 8 | \draw[-latex] (0,0) -- ++ (2.5,0) node[below] {$y$}; 9 | \draw[-latex] (0,0) -- ++ (-135:2.5) node[right] {$x$}; 10 | \draw (0,1) circle (1); 11 | \draw[dashed] (1,1) arc [start angle=0, end angle=180, x radius=1, y radius=0.4]; 12 | \draw (-1,1) arc [start angle=180, end angle=360, x radius=1, y radius=0.4]; 13 | \draw[dashed] (0,1) -- node[below] {$a$} ++ (1,0); 14 | \end{tikzpicture} 15 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-7-3.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-7-3.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-7-3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw[dashed] (0,0) node[below] {$O$} -- (0,2.5); 8 | \draw[-latex] (0,2.5) -- (0,3) node[left] {$z$}; 9 | \draw[-latex] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[below] {$y$}; 10 | \draw[-latex] (-135:0.6) -- ++ (-135:0.8) node[right] {$x$}; 11 | \draw[dashed] (45:1.5) -- (-135:1); 12 | \draw[dashed] (1,0) arc [start angle=0, end angle=180, x radius=1, y radius=0.5]; 13 | \draw (1,0) arc [start angle=0, end angle=-180, x radius=1, y radius=0.5]; 14 | \draw (-1,0) -- ++ (0,2); 15 | \draw (1,0) -- ++ (0,2); 16 | \draw (1,2) arc [start angle=0, end angle=360, x radius=1, y radius=0.5]; 17 | \draw[-latex] (-135:0.6) to[out=-10,in=-142] (0.41,-0.2); 18 | \draw (0.41,-0.2) to[out=38,in=-90] (1,1); 19 | \draw[dashed] (1,1) arc [start angle=0, end angle=180, x radius=1, y radius=0.5]; 20 | \draw[-latex,dashed] (-1,1) to[out=-90,in=-155] (0.25,0.9); 21 | \draw[dashed] (0.25,0.9) to[out=25,in=-90] (1,1.8); 22 | \node[right] at (1,0.8) {$\varGamma$}; 23 | \end{tikzpicture} 24 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-8-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/sikouhjw/zhangyu1000/84edeb3cc2d5c3182a948113eab61ac56e10b981/figure/fig1-8-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /figure/fig1-8-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % !TeX program = xelatex 2 | % !TeX encoding = UTF-8 3 | \documentclass[UTF8]{standalone} 4 | \usepackage{amsmath,fourier,ctex,tikz} 5 | \begin{document} 6 | \begin{tikzpicture} 7 | \draw (1,0) arc [start angle=0, end angle=-180, x radius=1, y radius=0.4]; 8 | \draw (-1,0) -- ++ (0,2.5); 9 | \draw (1,0) -- ++ (0,2.5); 10 | \draw (1,2.5) arc [start angle=0, end angle=360, x radius=1, y radius=0.4]; 11 | \draw (1,0) -- ++ (0.4,0); 12 | \draw (1,1.5) -- ++ (0.4,0); 13 | \draw[latex-latex] (1.2,0) -- node[right] {$y$} ++ (0,1.5); 14 | \filldraw[fill=gray,draw=black] (1,1.5) arc [start angle=0, end angle=360, x radius=1, y radius=0.4]; 15 | \fill[fill=lightgray,draw=black] (1,0) -- (1,1.5) -- (1,1.5) arc [start angle=0, end angle=-180, x radius=1, y radius=0.4] -- (-1,0) -- (-1,0) arc [start angle=-180, end angle=0, x radius=1, y radius=0.4] -- (1,0); 16 | \draw (-0.8,-0.1) arc [start angle=-90, end angle=90, x radius=0.04, y radius=0.1]; 17 | \draw (-0.8,0.1) -- ++ (-0.8,0) -- ++ (0,-0.4); 18 | \draw (-0.8,-0.1) -- ++ (-0.6,0) -- ++ (0,-0.2) arc [start angle=0, end angle=-180, x radius=0.1, y radius=0.04]; 19 | \draw (-1.35,0.1) -- ++ (0,0.1) ++ (0.05,0) arc [start angle=-90, end angle=270, x radius=0.2, y radius=0.08]; 20 | \draw (-1.25,0.1) -- ++ (0,0.1); 21 | \draw (-1.5,0.28) -- ++ (0.4,0); 22 | \end{tikzpicture} 23 | \end{document} --------------------------------------------------------------------------------