├── 1.jpg ├── 2.jpg ├── README.md ├── 万能公式关系图.webp ├── 第一课 微积分总览 ├── attachments │ ├── 0微积分总览.png │ ├── 1微积分是函数一和函数二之间的桥梁.png │ ├── 2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (1).png │ ├── 2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (2).png │ ├── 2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (3).png │ ├── 3例子：匀速情况、变速情况 (1).png │ ├── 3例子：匀速情况、变速情况 (2).png │ ├── 3例子：匀速情况、变速情况 (3).png │ ├── 3例子：匀速情况、变速情况 (4).png │ ├── 3例子：匀速情况、变速情况 (5).png │ ├── 3例子：匀速情况、变速情况 (6).png │ ├── 4函数一：身高和函数二：成长率 (1).png │ ├── 4函数一：身高和函数二：成长率 (2).png │ ├── 5均加速例子 (1).png │ ├── 5均加速例子 (2).png │ ├── 5均加速例子 (3).png │ └── 5均加速例子 (4).png └── 第一课 微积分总览.md ├── 第七课 乘法法则和除法法则 ├── attachments │ ├── 2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（1）.jpg │ ├── 2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（2）.jpg │ ├── 2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（3）.jpg │ ├── 3推导乘法法则.jpg │ ├── 4推导除法法则.jpg │ ├── 5乘法法则的应用（推导x^n导数 负数部分）（1）.jpg │ └── 5乘法法则的应用（推导x^n导数 负数部分）（2）.jpg └── 第七课 乘法法则和除法法则.md ├── 第三课 极值和二阶导数 ├── attachments │ ├── 0极值及二阶导数.png │ ├── 2二阶导数的例子 (1).png │ ├── 2二阶导数的例子 (2).png │ ├── 3凸函数和凹函数.png │ ├── 4寻找极值点和拐点.png │ └── 5应用：上班最短的时间（求最小值）.png └── 第三课 极值和二阶导数.md ├── 第九课 极限和连续 ├── attachments │ ├── 1极限.jpg │ ├── 2极限的特殊情况（1）.jpg │ ├── 2极限的特殊情况（2）.jpg │ ├── 2极限的特殊情况（3）洛必达法则.jpg │ ├── 3连续 (1).jpg │ ├── 3连续 (2).jpg │ ├── 3连续 (3).jpg │ ├── 3连续 (4).jpg │ ├── 3连续 (5).jpg │ ├── 3连续 (6).jpg │ ├── 3连续 (6)公式图.PNG │ ├── 3连续 (7).jpg │ └── 3连续 (7)公式图.PNG └── 第九课 极限和连续.md ├── 第二课 导数总览 ├── attachments │ ├── 0导数总览.png │ ├── 1函数关系.png │ ├── 2三个重要函数的斜率.png │ ├── 3斜率含义例一y=x2 (1).png │ ├── 3斜率含义例一y=x2 (2).png │ ├── 3斜率含义例一y=x2 (3).png │ ├── 3斜率含义例一y=x2 (4).png │ ├── 3斜率含义例一y=x2 (5).png │ ├── 3斜率含义例一y=x2 (6).png │ ├── 4斜率含义例二y=sinx (1).png │ └── 4斜率含义例二y=sinx (2).png └── 第二课 导数总览.md ├── 第五课 积分总览 ├── attachments │ ├── 0积分总览.jpg │ ├── 3求积分的方法A：反过来看什么函数的导数能得到积分的函数.jpg │ ├── 4例：通过代数方法求函数一（1）.jpg │ ├── 4例：通过代数方法求函数一（2）.jpg │ ├── 4例：通过代数方法求函数一（3）.jpg │ ├── 5例：通过微积分方法求函数一.jpg │ ├── 6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（1）.jpg │ └── 6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（2）.jpg └── 第五课 积分总览.md ├── 第八课 链式法则 ├── attachments │ ├── 1链式法则.jpg │ ├── 2例子：sin(3x)求导.jpg │ ├── 4例子：求导.jpg │ ├── 5推导链式法则.jpg │ ├── 6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（1）.jpg │ └── 6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（2）.jpg └── 第八课 链式法则.md ├── 第六课 sinx和cosx的导数 ├── attachments │ └── 2sinx除以x在0处的极限.png └── 第六课 sinx和cosx的导数.md ├── 第十一课 对数函数和反三角函数的导数 ├── attachments │ ├── 1对数函数的导数（10）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（1）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（2）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（3）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（4）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（5）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（6）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（7）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（8）.jpg │ ├── 1对数函数的导数（9）.jpg │ ├── 2反三角函数的导数（1）.jpg │ ├── 2反三角函数的导数（2）.jpg │ ├── 2反三角函数的导数（3）.jpg │ ├── 2反三角函数的导数（4）.jpg │ ├── 2反三角函数的导数（5）.jpg │ └── 2反三角函数的导数（6）.jpg └── 第十一课 对数函数和反三角函数的导数.md ├── 第十七课 六函数、六法则和六定理 ├── attachments │ ├── 1六函数.jpg │ ├── 2六法则.jpg │ ├── 3六定理（1）.jpg │ ├── 3六定理（2）.jpg │ ├── 3六定理（3）.jpg │ ├── 3六定理（4）.jpg │ └── 3六定理（5）.jpg └── 第十七课 六函数、六法则和六定理.md ├── 第十三课 线性近似和牛顿法 ├── attachments │ ├── 13线性近似和牛顿法（10）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（1）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（2）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（3）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（4）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（5）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（6）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（7）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（8）.jpg │ ├── 13线性近似和牛顿法（9）.jpg │ └── 牛顿法.gif └── 第十三课 线性近似和牛顿法.md ├── 第十二课 增长率和对数图 ├── attachments │ ├── 1增长率（1）.jpg │ ├── 1增长率（2）.jpg │ ├── 1增长率（3）.jpg │ ├── 1增长率（4）.jpg │ ├── 2对数图（10）.jpg │ ├── 2对数图（1）.jpg │ ├── 2对数图（2）.jpg │ ├── 2对数图（3）.jpg │ ├── 2对数图（4）.jpg │ ├── 2对数图（5）.jpg │ ├── 2对数图（6）.jpg │ ├── 2对数图（7）.jpg │ ├── 2对数图（8）.jpg │ └── 2对数图（9）.jpg └── 第十二课 增长率和对数图.md ├── 第十五课 关于运动的微分方程 ├── attachments │ ├── 1关于运动的微分方程（10）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（1）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（2）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（3）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（4）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（5）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（6）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（7）.jpg │ ├── 1关于运动的微分方程（8）.jpg │ └── 1关于运动的微分方程（9）.jpg └── 第十五课 关于运动的微分方程.md ├── 第十六课 关于增长的微分方程 ├── attachments │ ├── 1关于增长的微分方程（1）.jpg │ ├── 1关于增长的微分方程（2）.jpg │ ├── 1关于增长的微分方程（3）.jpg │ ├── 1关于增长的微分方程（4）.jpg │ ├── 1关于增长的微分方程（5）.jpg │ ├── 1关于增长的微分方程（6）.jpg │ ├── 1关于增长的微分方程（7）.jpg │ ├── 1关于增长的微分方程（8）.jpg │ └── 1关于增长的微分方程（9）.jpg └── 第十六课 关于增长的微分方程.md ├── 第十四课 幂级数和欧拉公式 ├── attachments │ ├── 1幂级数和泰勒公式（1）.jpg │ ├── 1幂级数和泰勒公式（2）e^x.jpg │ ├── 1幂级数和泰勒公式（3）sinx.jpg │ ├── 1幂级数和泰勒公式（4）cosx.jpg │ ├── 1幂级数和泰勒公式（5）.jpg │ ├── 1幂级数和泰勒公式（6）.jpg │ ├── 1幂级数和泰勒公式（7）.jpg │ ├── 2欧拉公式（1）.jpg │ ├── 2欧拉公式（2）.jpg │ └── 3几何级数及其积分.jpg └── 第十四课 幂级数和欧拉公式.md ├── 第十课 逆函数和对数函数 ├── attachments │ ├── 1逆函数（1）.jpg │ ├── 1逆函数（2）.jpg │ ├── 1逆函数（3）.jpg │ ├── 1逆函数（4）.jpg │ ├── 2对数函数（1）.jpg │ ├── 2对数函数（2）.jpg │ ├── 2对数函数（3）.jpg │ ├── 2对数函数（4）.jpg │ └── 2对数函数（5）.jpg └── 第十课 逆函数和对数函数.md ├── 第四课 指数函数 ├── attachments │ ├── 0指数函数e的x次方.png │ ├── 1推导指数函数y=e^x的展开式 (1).jpg │ ├── 1推导指数函数y=e^x的展开式 (2).jpg │ ├── 1推导指数函数y=e^x的展开式 (3).jpg │ ├── 2用展开式证明.jpg │ ├── 3求e的值 (1).jpg │ ├── 3求e的值 (2).jpg │ ├── 4另一种求e的方式.jpg │ └── 5帯系数的一阶微分方程.jpg └── 第四课 指数函数（exponential）.md ├── 第零课 预备知识 └── 第零课 预备知识.md └── 错题与总结.md /1.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/1.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /2.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/2.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 先介绍下自己的情况，大学的时候学习不认真，很多概念都忘记了，工作中有时要用到微积分，碰到不会的在网上查询，感觉这样学习的比较零散，也不能建立系统的认识。多次想要从头看一遍同济版《高等数学》也只是停留在前几页，配套的网课也听过，但是都没坚持下来。在知乎看到大神[杨熙](https://www.zhihu.com/people/yang-xi-97-90/columns)写学习笔记后，打算自己也跟着学习一波，于是就有这篇笔记，由于数学基础比较差，会写得会比较仔细，如有错误，请大家指出，谢谢！ 2 | 之前看过Gilbert Strang教授的线性代数课程，感觉受益良多。但是之前都是把笔记记在本子上，不利于回看，后续有时间会慢慢整理成电子版，发布出来。下面是教授在本课程简介里说的： 3 | > 大多数人学微积分只是想了解下重点，本课程就是以此为目的。Strang教授认为学习微积分的时候很容易在厚厚的课本和大量的习题中迷失方向，过分拘泥于细节，无法得到提纲挈领的认识，教授希望该课程能提供一种总览。 4 | 5 | 我倒是觉得课程没有习题是比较坑的地方，这里放出[课程地址](https://ocw.mit.edu/courses/res-18-005-highlights-of-calculus-spring-2010/)和[B站搬运视频](https://www.bilibili.com/video/av3518650/?p=1)，课程地址里的书籍我只看了第一章，这里就不推荐了。倒是可以配合 **《普林斯顿微积分读本》** 和[图解普林斯顿微积分读本](https://zhuanlan.zhihu.com/p/31199228?ivk_sa=1024320u)一起看。 6 | *碎碎念：看完线代课程再看这个突然发现教授已经那么老了o(╥﹏╥)o，唉~~。* 7 | *PS：此时，已将《普林斯顿微积分读本》看了一遍，之前看完视频以为自己学的差不多了，再回头看，其实不过入了个门。做题时会发现自己连概念都没有理清。又转念一想，如果看个视频就能学会，是不是太草率了，该笔记能够起到抛砖引玉的作用也是极好的。——写于2022.06.04* 8 | *PPS：在B站看了一半（高数上册）宋浩的视频，并做了[板书截图笔记](https://www.bilibili.com/read/cv18613048/?spm_id_from=333.999.0.0&jump_opus=1)，受益良多，对于我是少有的几个不会看困的数学视频。宋老师没讲到的部分可以看孔祥仁老师的，然后看完视频再做课后习题，基本问题不大。——写于2023.09.06* 9 | [github地址](https://github.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus) 10 | [CSDN目录地址](https://blog.csdn.net/shamozhizhoutx/article/details/125126766) 11 | 12 | ## 目录 13 | - [第一课 微积分总览](第一课%20微积分总览/第一课%20微积分总览.md) 14 | - [第二课 导数总览](第二课%20导数总览/第二课%20导数总览.md) 15 | - [第三课 极值和二阶导数](第三课%20极值和二阶导数/第三课%20极值和二阶导数.md) 16 | - [第四课 指数函数](第四课%20指数函数/第四课%20指数函数（exponential）.md) 17 | - [第五课 积分总览](第五课%20积分总览/第五课%20积分总览.md) 18 | - [第六课 sinx和cosx的导数](第六课%20sinx和cosx的导数/第六课%20sinx和cosx的导数.md) 19 | - [第七课 乘法法则和除法法则](第七课%20乘法法则和除法法则/第七课%20乘法法则和除法法则.md) 20 | - [第八课 链式法则](第八课%20链式法则/第八课%20链式法则.md) 21 | - [第九课 极限和连续](第九课%20极限和连续/第九课%20极限和连续.md) 22 | - [第十课 逆函数和对数函数](第十课%20逆函数和对数函数/第十课%20逆函数和对数函数.md) 23 | - [第十一课 对数函数和反三角函数的导数](第十一课%20对数函数和反三角函数的导数/第十一课%20对数函数和反三角函数的导数.md) 24 | - [第十二课 增长率和对数图](第十二课%20增长率和对数图/第十二课%20增长率和对数图.md) 25 | - [第十三课 线性近似和牛顿法](第十三课%20线性近似和牛顿法/第十三课%20线性近似和牛顿法.md) 26 | - [第十四课 幂级数和欧拉公式](第十四课%20幂级数和欧拉公式/第十四课%20幂级数和欧拉公式.md) 27 | - [第十五课 关于运动的微分方程](第十五课%20关于运动的微分方程/第十五课%20关于运动的微分方程.md) 28 | - [第十六课 关于增长的微分方程](第十六课%20关于增长的微分方程/第十六课%20关于增长的微分方程.md) 29 | - [第十七课 六函数、六法则和六定理](第十七课%20六函数、六法则和六定理/第十七课%20六函数、六法则和六定理.md) 30 | --- 31 | ## 参考 32 | 大神杨熙的[MIT微积分重点课程笔记](https://www.zhihu.com/column/c_1165312843926171648) 33 | 《普林斯顿微积分读本》 -------------------------------------------------------------------------------- /万能公式关系图.webp: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/万能公式关系图.webp -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/0微积分总览.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/0微积分总览.png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/1微积分是函数一和函数二之间的桥梁.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/1微积分是函数一和函数二之间的桥梁.png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (1).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (1).png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (2).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (2).png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 (3).png: 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-------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/3例子：匀速情况、变速情况 (3).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/3例子：匀速情况、变速情况 (3).png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/3例子：匀速情况、变速情况 (4).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/3例子：匀速情况、变速情况 (4).png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/3例子：匀速情况、变速情况 (5).png: -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/5均加速例子 (3).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/5均加速例子 (3).png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/attachments/5均加速例子 (4).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第一课 微积分总览/attachments/5均加速例子 (4).png -------------------------------------------------------------------------------- /第一课 微积分总览/第一课 微积分总览.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 这节课是为了引出微积分概念的。 2 | ## 0.先上本节课目录： 3 | ![](attachments/0微积分总览.png) 4 | 5 | ## 1.微积分是函数一和函数二之间的桥梁 6 | 7 | ## 2.两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率 8 | ![](attachments/2两个例子，函数一：距离和函数二：速度，函数一：高度和函数二：斜率%20(3).png) 9 | 10 | ## 3.例子：匀速情况、变速情况 11 | 从 $s$ 的匀速情况推出0起点的 $f$ ，再到非0起点的 $f$ ，最后画出变速的情况。 12 | 函数二：$speed\ or\ slope=\frac{up}{across}=\frac{\Delta f}{\Delta t}=s$。 13 | 函数一：$distance\ or\ height=f=st$。 14 | ![](attachments/3例子：匀速情况、变速情况%20(3).png) 15 | ![](attachments/3例子：匀速情况、变速情况%20(6).png) 16 | 17 | ## 4.函数一：身高和函数二：成长率 18 | ![](attachments/4函数一：身高和函数二：成长率%20(2).png) 19 | 20 | ## 5.均加速例子 21 | 函数一：$f=\frac{1}{2}at^2$。 22 | 函数二：$s=at$。 23 | 图像二下的面积就是函数一（函数二积分得到函数一）$area=\frac{1}{2}t(at)$；图像一求斜率得到函数二（函数一微分得到函数二）$\frac{df}{dt}=at$。 24 | ![](attachments/5均加速例子%20(4).png) -------------------------------------------------------------------------------- /第七课 乘法法则和除法法则/attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第七课 乘法法则和除法法则/attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第七课 乘法法则和除法法则/attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第七课 乘法法则和除法法则/attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第七课 乘法法则和除法法则/attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第七课 乘法法则和除法法则/attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数 正数部分）（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第七课 乘法法则和除法法则/attachments/3推导乘法法则.jpg: 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-------------------------------------------------------------------------------- /第七课 乘法法则和除法法则/attachments/5乘法法则的应用（推导x^n导数 负数部分）（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第七课 乘法法则和除法法则/attachments/5乘法法则的应用（推导x^n导数 负数部分）（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第七课 乘法法则和除法法则/第七课 乘法法则和除法法则.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.乘法法则 2 | 先放结论： 3 | $$ 4 | P(x)=f(x)g(x) \\[2ex] 5 | \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}g(x)+f(x)\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x} 6 | $$ 7 | 8 | ## 2.乘法法则的应用（推导 $\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}x^n$ 正数部分） 9 | $$ 10 | \begin{array}{l} 11 | 当f=x，g=x时： \\[2ex] 12 | \quad\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}x^2=2x \\[2ex] 13 | 当f=x^2，g=x时： \\[2ex] 14 | \quad\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}x^3=2x\cdot x+x^2\cdot1=3x^2 \\[2ex] 15 | 当f=x^3，g=x时： \\[2ex] 16 | \quad\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}x^4=3x^2\cdot x+x^3\cdot1=4x^3 \\[2ex] 17 | \cdots \\[2ex] 18 | 由数学归纳法得出： \\[2ex] 19 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}x^n=nx^{n-1}(n=0,1,2,3\ldots) \\[2ex] 20 | \end{array} 21 | $$ 22 | ![](attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数%20正数部分）（1）.jpg) 23 | 上面是n为自然数的情况，下面将推广到正数，在推广到正数前，先证明下求导幂函数： 24 | $$ 25 | \begin{array}{l} 26 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}f^2=\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}\cdot f+f\cdot\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}=2f\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x} \\[2ex] 27 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}f^3=2f\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}\cdot f+f^2\cdot\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}=3f^2\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x} \\[2ex] 28 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}f^4=3f^2\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}\cdot f+f^3\cdot\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}=4f^3\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x} \\[2ex] 29 | \cdots \\[2ex] 30 | 由数学归纳法得出： \\[2ex] 31 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}f^n=nf^{n-1}\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}(n=0,1,2,3\ldots) \\[2ex] 32 | \end{array} 33 | $$ 34 | ![](attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数%20正数部分）（2）.jpg) 35 | 这里求导幂函数的过程中其实还包含了链式法则，下节课会说明，下面就将幂法则推广到正数范围： 36 | $$ 37 | f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \\[2ex] 38 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}f^2=2\sqrt{x}\frac{\operatorname{d}\sqrt{x}}{\operatorname{d}x}=1 \\[2ex] 39 | \frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}\sqrt{x}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \\[2ex] 40 | $$ 41 | ![](attachments/2乘法法则的应用（推导x^n导数%20正数部分）（3）.jpg) 42 | 43 | ## 3.推导乘法法则 44 | 如下图所示 45 | $$ 46 | \begin{aligned} 47 | \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta p}{\Delta x}&=\frac{f\cdot\Delta g}{\Delta x}+\frac{g\cdot\Delta f}{\Delta x}+\frac{\Delta g\cdot\Delta f}{\Delta x} \\ 48 | &=f\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x}+g\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}+0 \\ 49 | &=f\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x}+g\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x} 50 | \end{aligned} 51 | $$ 52 | ![](attachments/3推导乘法法则.jpg) 53 | 54 | ## 4.推导除法法则 55 | $$ 56 | \begin{aligned} 57 | q(x)&=\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow f(x)=g(x)q(x) \\[2ex] 58 | \frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}&=\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x}q(x)+g(x)\frac{\operatorname{d}q}{\operatorname{d}x} \\[2ex] 59 | \frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}&=\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x}\cdot\frac{f(x)}{g(x)}+g(x)\frac{\operatorname{d}q}{\operatorname{d}x} \\[2ex] 60 | \frac{\operatorname{d}q}{\operatorname{d}x}&=\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}\cdot\frac{1}{g(x)}-\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x}\cdot\frac{f(x)}{g^2(x)} \\[2ex] 61 | &=\frac{\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}\cdot g(x)-f(x)\cdot\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x}}{g^2(x)} 62 | \end{aligned} 63 | $$ 64 | ![](attachments/4推导除法法则.jpg) 65 | 66 | ## 5.除法法则的应用（推导 $\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}x^n$ 负数部分） 67 | $$ 68 | q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{x^N}=x^{-N} \\[2ex] 69 | \begin{aligned} 70 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}(x^{-N})&=\frac{0-1\cdot Nx^{N-1}}{(x^N)^2} \\[2ex] 71 | &=-Nx^{-N-1} 72 | \end{aligned} \\ 73 | $$ 74 | ![](attachments/5乘法法则的应用（推导x^n导数%20负数部分）（1）.jpg) 75 | 最后，无理数也适用幂法则的，这里就不证明了，例如： 76 | $$ 77 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}x^\pi=\pi x^{\pi-1} 78 | $$ 79 | ![](attachments/5乘法法则的应用（推导x^n导数%20负数部分）（2）.jpg) -------------------------------------------------------------------------------- /第三课 极值和二阶导数/attachments/0极值及二阶导数.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第三课 极值和二阶导数/attachments/0极值及二阶导数.png -------------------------------------------------------------------------------- /第三课 极值和二阶导数/attachments/2二阶导数的例子 (1).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第三课 极值和二阶导数/attachments/2二阶导数的例子 (1).png -------------------------------------------------------------------------------- /第三课 极值和二阶导数/attachments/2二阶导数的例子 (2).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第三课 极值和二阶导数/attachments/2二阶导数的例子 (2).png -------------------------------------------------------------------------------- /第三课 极值和二阶导数/attachments/3凸函数和凹函数.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第三课 极值和二阶导数/attachments/3凸函数和凹函数.png -------------------------------------------------------------------------------- /第三课 极值和二阶导数/attachments/4寻找极值点和拐点.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第三课 极值和二阶导数/attachments/4寻找极值点和拐点.png -------------------------------------------------------------------------------- /第三课 极值和二阶导数/attachments/5应用：上班最短的时间（求最小值）.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第三课 极值和二阶导数/attachments/5应用：上班最短的时间（求最小值）.png -------------------------------------------------------------------------------- /第三课 极值和二阶导数/第三课 极值和二阶导数.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 0.先上本节课目录： 2 | ![](attachments/0极值及二阶导数.png) 3 | 4 | ## 1.二阶导数：导数的导数 5 | 我们经常需要定位极值点，并判别是极大值还是极小值。定位极值点是一阶导数的职责，一阶导数为0即为极值点；是极大值还是极小值这就是二阶导数的职责了，二阶导数的符号表示曲线的弯曲方向。 6 | 7 | ## 2.二阶导数的例子 8 | 这里用距离、速度（距离的导数）和加速度（速度的导数）来举例。 9 | 距离： 10 | $$y=x^2$$ 11 | 速度： 12 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=2x$$ 13 | 加速度： 14 | $$\frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=2$$ 15 | 后面会讲到，这里的二阶导数永远大于0，图像为凸。 16 | ![](attachments/2二阶导数的例子%20(2).png) 17 | 18 | ## 3.凸函数和凹函数 19 | 按照国外教材定义，如果该处的二阶导数大于0，则这里的曲线向上弯曲（bending up），图像为凸（convex）；反之，二阶导数小于0，则这里的曲线向下弯曲（bending down），图像为凹（concave）。 20 | 函数一： 21 | $$y=\sin x$$ 22 | 函数二： 23 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=\cos x$$ 24 | 函数三： 25 | $$\frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=-\sin x$$ 26 | 观察下图中 $x=\pi/2$ （画圆点的部分）的位置， $y'=0$ ，$y$ 是极值位置， $y''<0$ ， $y$ 此时为凹，所以这里为极大值点；在 $x=\pi$ （画方框的部分），$y''=0$，这里为拐点，图像由凹变凸。 27 | 总结下两个概念： 28 | 极值是一阶导数为0的点； 29 | 拐点（inflection point）是二阶导数为0的点，代表图形弯曲性的改变。 30 | ![](attachments/3凸函数和凹函数.png) 31 | 32 | ## 4.寻找极值点和拐点 33 | 例子：寻找 $y=x^3-x^2$ 的极值点和拐点。（极值点和拐点只需求出令一阶导数和二阶导数为0的点，这里教授似乎是想画图） 34 | 先求一阶导数： 35 | $$y'=3x^2-2x$$ 36 | 令一阶导数等于0： 37 | $$ 38 | y'=3x^2-2x=0 \\ 39 | x(3x-2)=0 \\ 40 | x_1=0\quad x_2=\frac{2}{3} 41 | $$ 42 | 求二阶导数： 43 | $$y''=6x-2$$ 44 | 将 $x_1=0\quad x_2=2/3$ 代入 $y''$ 得到： 45 | $$ 46 | y''(0)=-2<0图像为凹 \\[2ex] 47 | y''(\frac{2}{3})=2>0图像图凸 48 | $$ 49 | 令二阶导数等于0： 50 | $$ 51 | y''=6x-2=0 \\ 52 | x=\frac{1}{3} 53 | $$ 54 | 得到拐点为 $x=1/3$ ，至此就可以画出 $y$ 的大致图像，与下图相符。 55 | ![](attachments/4寻找极值点和拐点.png) 56 | *PS：这里求拐点和图像的弯曲性直接求二阶导数大于0不是更简单，可能代入求值讲解更加直观。* 57 | 58 | ## 5.应用：上班的最短时间（求最小值） 59 | 例子：教授从家到MIT上课需要先开普通公路（30 mile/h）再开高速公路（60 mile/h），假设普通公路到高速公路是连续的，求何时上高速最快。 60 | 解： 61 | $$ 62 | TIME=\frac{b-x}{60}+\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{30} \\[2ex] 63 | TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad(这里求导需要后面的知识：链式法则) 64 | $$ 65 | 令 $TIME'=0$，得到： 66 | $$ 67 | TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad=0 \\ 68 | $$ 69 | $$ 70 | \begin{aligned} 71 | \sqrt{a^2+x^2}&=2x \\ 72 | a^2+x^2&=4x^2 \\ 73 | x&=\frac{a}{\sqrt{3}} 74 | \end{aligned} 75 | $$ 76 | 求二阶导：(链式法则和乘法法则) 77 | $$ 78 | \begin{aligned} 79 | TIME''&=1\cdot\frac{1}{30}(a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}+x\cdot\frac{1}{30}\cdot(-\frac{1}{2})(a^2+x^2)^{-\frac{2}{2}}\cdot2x \\[2ex] 80 | &=\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{x^2}{30(a^2+x^2)^\frac{3}{2}} \\ 81 | \end{aligned} 82 | $$ 83 | $$ 84 | \begin{aligned} 85 | TIME''(\frac{a}{\sqrt{3}})&=\frac{1}{30\cdot\frac{2a}{\sqrt{3}}}-\frac{\frac{a^2}{3}}{30(\frac{2a}{\sqrt{3}})^3} \\ 86 | &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{30\cdot\frac{8a^3}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{a^2}} \\ 87 | &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{80\sqrt{3}a} \\ 88 | &=\frac{3}{80\sqrt{3}a}>0 89 | \end{aligned} 90 | $$ 91 | 此时图像为凸， $x=a/\sqrt{3}$ ，为极小值，又只有一个极值点，所以该点为最小值点。 92 | ![](attachments/5应用：上班最短的时间（求最小值）.png) -------------------------------------------------------------------------------- /第九课 极限和连续/attachments/1极限.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第九课 极限和连续/attachments/1极限.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第九课 极限和连续/attachments/2极限的特殊情况（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第九课 极限和连续/attachments/2极限的特殊情况（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第九课 极限和连续/attachments/2极限的特殊情况（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- /第九课 极限和连续/attachments/3连续 (7).jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第九课 极限和连续/attachments/3连续 (7).jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第九课 极限和连续/attachments/3连续 (7)公式图.PNG: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第九课 极限和连续/attachments/3连续 (7)公式图.PNG -------------------------------------------------------------------------------- /第九课 极限和连续/第九课 极限和连续.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.极限 2 | $\epsilon$ 在数学上往往用来表示极小的数，不管数列 $a_n$ 前面的数怎么变化，数列中足够靠后的数字无一例外的都会落在 $A-\epsilon$ 和 $A+\epsilon$ 之间，这就意味着当 $n$ 接近于 $\infty$ 时， $a_n$ 的值接近于 $A$ （用符号表示为：当 $n \rightarrow \infty$ 时， $a_n \rightarrow A$ ）。同样，落在 $0$ 和 $\epsilon$ 之间为趋向于 $0$ ；落在 $1/\epsilon$ 之上为无穷大极限。这里我们学习了三种极限，分别为零极限、正数极限和无穷大极限。当然也有一些是没有极限的，比如 $\sin x$ ，当 $x$ 趋于无穷大时是没有极限的。 3 | ![](attachments/1极限.jpg) 4 | 5 | ## 2.极限的特殊情况 6 | ### 2.1 $a_n-b_n \rightarrow A-B$ 7 | $\infty - \infty$ 8 | 例：当 $a_n=n^2$ ， $b_n=n$ 时，$a_n-b_n \rightarrow \infty$ 。 9 | 例：当 $a_n=n$ ， $b_n=n$ 时，$a_n-b_n \rightarrow 0$ 。 10 | 从上述例子可以看出，当 $a_n \rightarrow \infty$ 和 $b_n \rightarrow \infty$ 时， $a_n-b_n$ 的结果可以是 $\infty$ ，也可以是 $-\infty$ ，还可以是任意数。 11 | 12 | ### 2.2 $a_nb_n \rightarrow AB$ 13 | $(0)(\infty)$ 14 | 例：当 $a_n=1/n^2$ ， $b_n=n$ 时，$a_nb_n = 1/n\rightarrow 0$ 。 15 | 例：当 $a_n=1/n$ ， $b_n=n^2$ 时，$a_nb_n = n\rightarrow \infty$ 。 16 | 从上述例子可以看出，当 $a_n \rightarrow 0$ 和 $b_n \rightarrow \infty$ 时， $a_nb_n$ 的结果也可以是任意数。 17 | 18 | ### 2.3 $(a_n)^{b_n} \rightarrow A^B$ 19 | $0^0$ 或 $1^\infty$ 20 | 例：当 $a_n=1+1/n$ ， $b_n = n$ 时， $(a_n)^{b_n} = (1+1/n)^n \rightarrow \rm e$ 。 21 | 例：当 $a_n=1+1/n^2$ ， $b_n = n$ 时， $(a_n)^{b_n} = (1+1/n^2)^n \rightarrow 1$ 。 22 | 例：当 $a_n=1+1/n$ ， $b_n = n^2$ 时， $(a_n)^{b_n} = (1+1/n)^{n^2} \rightarrow \infty$ 。 23 | ![](attachments/2极限的特殊情况（2）.jpg) 24 | 25 | ### 2.4 $a_n/b_n \rightarrow A/B$ 26 | $0/0$ （被教授称为微积分中最重要的问题之一）或 $\infty / \infty$ 27 | **洛必达法则** 28 | $$ 29 | \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)}\overset{\text{当x=0时}}{=}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\Delta x)}{g(\Delta x)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\Delta x)/\Delta x}{g(\Delta x)/\Delta x}=\frac{f'(x)}{g'(x)} 30 | $$ 31 | ![](attachments/2极限的特殊情况（3）洛必达法则.jpg) 32 | *教授应该是上式这个意思，但是这个证明的例子比较特殊，刚好是 $x\rightarrow 0时，f(x)\rightarrow 0，g(x)\rightarrow 0$ ;其实不管 $x$ 趋向于多少，只要 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限等于0，上式也是成立的。* 33 | 先列出导数的表达式： 34 | $$ 35 | f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} 36 | $$ 37 | 当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限等于0时： 38 | $$ 39 | \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)/\Delta x}{g(x + \Delta x)/\Delta x}=\frac{f'(x)}{g'(x)} 40 | $$ 41 | *上面只证明了 $0/0$ ，并没有证明 $\infty / \infty$ ，其实两者都可以用洛必达法则。* 42 | 43 | ## 3.函数的连续性 44 | 接着提出了如果函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在0处无法使用洛必达法则，虽然其在0处是连续的，但是并不可导。 45 | ![](attachments/3连续%20(4).jpg) 46 | 然后给出了结论：可导必定连续，连续不一定可导。 47 | 最后给出了函数连续性的定义： 48 | 对于任意的 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，如果 $|x-a| < \delta$ ，那么 $|f(x)-f(a)| < \epsilon$ 。 49 | ![](attachments/3连续%20(5).jpg) 50 | 例： $f(x)=\sin(\frac{1}{x})$ 就是一个不连续的例子，当 $x\rightarrow 0$ 时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，所以点 $x=0$ 称为函数 $\sin(\frac{1}{x})$ 的振荡间断点。 51 | ![](attachments/3连续%20(6)公式图.png) 52 | 例：将上面的函数乘以 $x$ ， $f(x)=x\sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 时是连续的。 53 | ![](attachments/3连续%20(7)公式图.png) 54 | 55 | ## 4.洛必达法则 56 | *感觉这节课讲的比较浅，我又看了《普林斯顿微积分读本》中的洛必达部分下面大概讲下思路。（这里有些是后面的内容）* 57 | 我们学过的大部分极限都是以下情况之一： 58 | $$ 59 | \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}，\lim_{x \to a}(f(x)-g(x))，\lim_{x \to a}f(x)g(x)，\lim_{x \to a}{f(x)}^{g(x)} 60 | $$ 61 | 有时你可以利用函数的连续性直接用 $a$ 来替代 $x$ 进行计算，但这种方法可能解决不了问题。例如，下面的特殊情况。 62 | 第一种类型是两个函数的比 $f(x)/g(x)$ ，最适合用洛必达法则，我们称它为“类型A”。接下来两种类型为 $f(x)-g(x)$ 和 $f(x)g(x)$ ，都可以转化为“类型A”，所以我们管他们叫“类型B1”和“类型B2”。最后我们把关于指数型函数 ${f(x)}^{g(x)}$ 的类型叫做“类型C”，该类型可以转化为“类型B2”，从而再转化为“类型A”。 63 | 64 | ### 4.1 类型A： $0/0$ 和 $\pm\infty / \pm\infty$ 65 | 例： 66 | $$ 67 | \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\overset{\text{l'H}}{=}\frac{2x}{1}=6 68 | $$ 69 | 这道题也可以用因式分解解决： 70 | $$ 71 | \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x \to 3}(x+3)=3+3=6 72 | $$ 73 | 两个方法得到的答案相同。 74 | 75 | ### 4.2 类型B1：( $\infty - \infty$ ) 76 | 例： 77 | $$ 78 | \lim_{x \to 0}(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x})=\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}\overset{\text{l'H}}{=}\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{\sin x+x\cos x}\overset{\text{l'H}}{=}\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{2\cos x-x\sin x}=\frac{0}{2+0}=0 79 | $$ 80 | 81 | ### 4.3 类型B2：( $0\times\pm\infty$ ) 82 | $$ 83 | \lim_{x \to 0^+}x\ln x=\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x}\overset{\text{l'H}}{=}\lim_{x \to 0^+}\frac{1/x}{-x^{-2}}=\lim_{x \to 0^+}(-x)=0 84 | $$ 85 | 86 | ### 4.4 类型C： $1^{\pm \infty}$ ， $0^0$ 和 $\infty ^ 0$ 87 | 例： 88 | $$ 89 | \lim_{x \to 0^+}x^{\sin x} 90 | $$ 91 | 取对数： 92 | $$ 93 | \lim_{x \to 0^+}\sin x\ln x=\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/\sin x}\overset{\text{l'H}}{=}\lim_{x \to 0^+}\frac{1/x}{-1/(\sin x)^{-2}\cos x}=\lim_{x \to 0^+}\frac{-(\sin x)^{2}}{x\cos x}=\lim_{x \to 0^+}-\frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{\cos x}=-1\times 0=0 94 | $$ 95 | 再求指数： 96 | $$ 97 | \lim_{x \to 0^+}x^{\sin x}=\rm e^0=1 98 | $$ 99 | 这里是先求该函数的对数，再用处理“类型B2”的方法计算极限。最后，再对刚才的计算结果求指数。 100 | 101 | *PS：学完这课明显感觉自己的基础比较差，后面有空可以把书从头看一遍再找找有没有合适的练习，这里立个flag。* -------------------------------------------------------------------------------- /第二课 导数总览/attachments/0导数总览.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第二课 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-------------------------------------------------------------------------------- /第二课 导数总览/attachments/4斜率含义例二y=sinx (1).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第二课 导数总览/attachments/4斜率含义例二y=sinx (1).png -------------------------------------------------------------------------------- /第二课 导数总览/attachments/4斜率含义例二y=sinx (2).png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第二课 导数总览/attachments/4斜率含义例二y=sinx (2).png -------------------------------------------------------------------------------- /第二课 导数总览/第二课 导数总览.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 这节课是为了引出导数概念的。 2 | ## 0.先上本节课目录： 3 | ![](attachments/0导数总览.png) 4 | 5 | ## 1.函数关系 6 | 从 a.距离v速度；b.高度v斜率 来引出斜率概念。 7 | ![](attachments/1函数关系.png) 8 | 9 | ## 2.三个重要函数的斜率 10 | 这里先给出了幂函数、三角函数和指数函数的斜率（这里是瞬时斜率也就是导数，不是平均斜率）。 11 | ![](attachments/2三个重要函数的斜率.png) 12 | 13 | ## 3.斜率的含义之例一：$y=x^2$ 14 | ### 3.1 平均斜率 15 | 先求了 $x$ 在 $[1,2]$ 之间的平均斜率： 16 | $$average\ slope=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y(2)-y(1)}{2-1}=\frac{2^2-1}{1}=3$$ 17 | 接着求 $x$ 在 $0$ 处的瞬时斜率： 18 | $$average\ slope=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x^2-0}{\Delta x-0}=\Delta x$$ 19 | $$constant \ slope=0$$ 20 | ![](attachments/3斜率含义例一y=x2%20(3).png) 21 | ### 3.2 瞬时斜率（导数） 22 | 下面来求任意点的斜率： 23 | 取一个微小的量 $\Delta x$，有： 24 | $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x^2)-x^2}{\Delta x}=\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}=2x+\Delta x$$ 25 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(2x+\Delta x)=2x$$ 26 | ![](attachments/3斜率含义例一y=x2%20(4).png) 27 | ![](attachments/3斜率含义例一y=x2%20(5).png) 28 | 上式中已经求出了瞬时斜率（导数）为 $2x$ ，为过原点的直线，代入 $x=0$ ，得到 $0$ ，与3.1中计算的瞬时斜率相符。同理，在 $x=1$ 处，瞬时斜率为 $2$ 。 29 | ![](attachments/3斜率含义例一y=x2%20(6).png) 30 | 31 | ## 4.斜率的含义之例二：$y=sinx$ 32 | $y=sinx$ 的瞬时斜率（导数）为： $cosx$ ，这里先有个印象，并未给出证明。 33 | ![](attachments/4斜率含义例二y=sinx%20(2).png) 34 | -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/0积分总览.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/0积分总览.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/3求积分的方法A：反过来看什么函数的导数能得到积分的函数.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/3求积分的方法A：反过来看什么函数的导数能得到积分的函数.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/4例：通过代数方法求函数一（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/4例：通过代数方法求函数一（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/4例：通过代数方法求函数一（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/4例：通过代数方法求函数一（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/4例：通过代数方法求函数一（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/4例：通过代数方法求函数一（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/5例：通过微积分方法求函数一.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/5例：通过微积分方法求函数一.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/attachments/6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第五课 积分总览/attachments/6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第五课 积分总览/第五课 积分总览.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 0.先上本节课目录： 2 | ![](attachments/0积分总览.jpg) 3 | 4 | ## 1.函数二是函数一的导数 5 | 函数一： $Height y(x)$ 6 | 函数二： $Slope s(x)$ 7 | 函数一 -> 函数二： 8 | $$ 9 | Slope s(x)=\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=limit\ of\ \frac{\Delta y}{\Delta x} 10 | $$ 11 | 这里复习了导数，如果函数一是直线，直接用 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$就可以求出其导数，如果是曲线，就需要用极限求其导数。 12 | 13 | ## 2.函数一是函数二的积分 14 | 函数二 -> 函数一： 15 | $$ 16 | y(x)=\int s(x)\operatorname dx 17 | $$ 18 | 这里介绍了积分符号。 19 | 20 | ## 3.求积分的方法A：反过来看什么函数的导数能得到积分的函数 21 | 大家都知道 $y=x^n$ 的导数是 $\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=nx^{n-1}$ ，反过来 $\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=nx^{n-1}$ 的积分是 $y=x^n$ 。 22 | 那如果函数二是 $\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=x^n$ ，反推函数一应该含有 $x^{n+1}$ ，这里 $x^{n+1}$ 求导后会有个系数 $n+1$ ，所以函数一要再除以 $n+1$ ，最终得到的积分是 $y=\frac{1}{n-1}x^{n+1}$ 。 23 | 这里其实就是用公式法，后续学习更多常见函数的求导公式后可以反推更多的积分公式。 24 | ![](attachments/3求积分的方法A：反过来看什么函数的导数能得到积分的函数.jpg) 25 | 26 | ## 4.例：通过代数方法求函数一 27 | 要考虑连续情形下的积分，先考虑单独间隔下的情况，然后缩小间隔，最后取极限使其连续。 28 | 先介绍单独间隔下的情况（算术方法），假设 $y$ 之间的间隔（ $\Delta x$ ）都是单位1，求 $s$ 就相当于求 $\Delta y$ ，有了 $s$ 后也可以反推 $y$ 。 29 | $$ 30 | \begin{aligned} 31 | &y\quad0\quad1\quad4\quad9\quad16 \\ 32 | \rightarrow\quad&s\quad\quad1\quad3\quad5\quad7 33 | \end{aligned} 34 | $$ 35 | 下面如果我们知道 $s$ ，假设 $y$ 是从0开始，变可以推出 $y$ ，如下式所示。 36 | $$ 37 | \begin{aligned} 38 | \rightarrow\quad&y\quad0\quad4\quad7\quad9\quad10\quad10 \\ 39 | &s\quad\quad4\quad3\quad2\quad1\quad0 40 | \end{aligned} 41 | $$ 42 | ![](attachments/4例：通过代数方法求函数一（1）.jpg) 43 | 44 | 这里我们引入字母（代数方法），假设 $y$ 之间的间隔（ $\Delta x$ ）还是是单位1，此时 $y$ 不是从0开始了，我们只能求 $y_{last}-y_{first}$ ，比如 $y_2-y_0=(y_1-y_0)+(y_2-y_1)$ 。 45 | $$ 46 | \begin{aligned} 47 | &y\qquad y_0\qquad\quad y_1\qquad\quad y_2\qquad\quad y_3\qquad\quad y_4 \\ 48 | &s(\Delta y)\quad y_1-y_0\quad y_2-y_1\quad y_3-y_2\quad y_4-y_3 49 | \end{aligned} 50 | $$ 51 | $$ 52 | \sum\Delta y=y_{last}-y_{first} \\ 53 | $$ 54 | ![](attachments/4例：通过代数方法求函数一（2）.jpg) 55 | 56 | 然后，我们要缩小间隔（ $\Delta x$ ），此时 $s$ 就要变为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ，乘以 $\Delta x$ 后得到 $\Delta y$ ，累加又可以获到 $y_{last}-y_{first}$ 了。 57 | $$ 58 | \sum\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\Delta x\right)=y_{last}-y_{first} 59 | $$ 60 | 当 $\Delta x$ 不断变小， $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 会不断接近 $\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}$ ，下面就要讲到极限的情况。 61 | ![](attachments/4例：通过代数方法求函数一（3）.jpg) 62 | 63 | ## 5.例：通过微积分方法求函数一 64 | 上式在 $\Delta x\rightarrow0$ 的情况下，求和转化为积分 65 | $$ 66 | \int\left(\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}\operatorname dx\right)=y_{last}-y_{first} 67 | $$ 68 | ![](attachments/5例：通过微积分方法求函数一.jpg) 69 | 70 | ## 6.求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积 71 | 函数二： $s(x)=2-2x$ 72 | 假设函数二是速度和时间的函数（这样更好理解），将时间四等分且假定速度在每个时间段（ $\Delta x$ ）中保持不变，如下图所示。下面将通过加法得到 $y$ 值，此时得到的值并不精确，后面将不断缩小 $\Delta x$ 以获取精确的 $y$ 值。 73 | ![](attachments/6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（1）.jpg) 74 | 75 | 当 $\Delta x \rightarrow0$ 时， $y$ 就成了曲线 $s(x)$ 下的面积， $y(1)$ 就是三角形的面积 $1$ ， $y(1/2)$ 就是梯形面积 $3/4$ ，用公式法得到 $y(x)=2x-x^2$ ，代入 $1$ 和 $1/2$ 结果与我们得到的面积相符。 $y(x)$ 图像如下图所示。 76 | ![](attachments/6求积分方法B：积分=函数一=函数二下的面积（2）.jpg) 77 | -------------------------------------------------------------------------------- /第八课 链式法则/attachments/1链式法则.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第八课 链式法则/attachments/1链式法则.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第八课 链式法则/attachments/2例子：sin(3x)求导.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第八课 链式法则/attachments/2例子：sin(3x)求导.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第八课 链式法则/attachments/4例子：求导.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第八课 链式法则/attachments/4例子：求导.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第八课 链式法则/attachments/5推导链式法则.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第八课 链式法则/attachments/5推导链式法则.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第八课 链式法则/attachments/6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第八课 链式法则/attachments/6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第八课 链式法则/attachments/6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第八课 链式法则/attachments/6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第八课 链式法则/第八课 链式法则.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.链式法则 2 | 照例先给出链式法则： 3 | $$ 4 | y=g(x)\quad z=f(y) \\[2ex] 5 | \frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}y}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} \\[2ex] 6 | $$ 7 | ![](attachments/1链式法则.jpg) 8 | 9 | ## 2.例子： $sin(3x)$ 求导 10 | $$ 11 | z=\sin(3x) \\[2ex] 12 | 设y=3x，z=\sin y \\[2ex] 13 | \frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}y}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\cos y\cdot3=3\cos(3x) \\[2ex] 14 | $$ 15 | ![](attachments/2例子：sin(3x)求导.jpg) 16 | 17 | ## 3.例子： $(x^3)^2$ 求导 18 | $$ 19 | z=(x^3)^2 \\[2ex] 20 | 设y=x^3 ，z=y^2 \\[2ex] 21 | \frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}y}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=(2y)(3x^2)=6x^5 \\[2ex] 22 | 直接求导z=x^6，也可以得到结果为：6x^5 23 | $$ 24 | 25 | ## 4.例子： $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 求导 26 | $$ 27 | z=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[2ex] 28 | 设y=1-x^2 ，z=\frac{1}{\sqrt{y}} \\[2ex] 29 | \frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}y}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=-\frac{1}{2}y^{-\frac{3}{2}}(-2x)=x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} 30 | $$ 31 | ![](attachments/4例子：求导.jpg) 32 | 33 | ## 5.推导链式法则 34 | $$ 35 | \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\left(\frac{\Delta z}{\Delta y}\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)=\frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}y}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} 36 | $$ 37 | ![](attachments/5推导链式法则.jpg) 38 | 39 | ## 6.例子： ${\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}$ 求一次导数和二次导数 40 | $$ 41 | z={\rm e}^{-\frac{x^2}{2}} \\[2ex] 42 | 设y=-\frac{x^2}{2} ，z={\rm e}^y 则： \\[2ex] 43 | \frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}y}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}={\rm e}^y\cdot(-x)=-xe^{-\frac{x^2}{2}} \\[2ex] 44 | \begin{aligned} 45 | \frac{\operatorname{d^2}z}{\operatorname{d}x^2}&=-{\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}+(-x){\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}(-x) \\[2ex] 46 | &=-{\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}+x^2{\rm e}^{-\frac{x^2}{2}} \\[2ex] 47 | &=(x^2-1){\rm e}^{-\frac{x^2}{2}} \\[2ex] 48 | \end{aligned} 49 | $$ 50 | 钟形曲线（正态分布曲线） 51 | ![](attachments/6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（1）.jpg) 52 | ![](attachments/6例子：正态分布函数求一次导数和二次导数（2）.jpg) 53 | 链式法则的二次导数大家可以自行学习。 -------------------------------------------------------------------------------- /第六课 sinx和cosx的导数/attachments/2sinx除以x在0处的极限.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第六课 sinx和cosx的导数/attachments/2sinx除以x在0处的极限.png -------------------------------------------------------------------------------- /第六课 sinx和cosx的导数/第六课 sinx和cosx的导数.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | *这节课先看了教授的视频没看懂，后来又去看了《普林斯顿微积分读本》看懂了，再看教授的课程才明白，这里就按照我的理解讲下《普林斯顿微积分读本》里的证明过程。* 2 | 3 | ## 1.求 $\sin x$ 的导数 4 | 令 $f(x)=\sin x$ ，则： 5 | $$ 6 | \begin{aligned} 7 | f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\[2ex] 8 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} \\[2ex] 9 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x} \\[2ex] 10 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x(\cos\Delta x-1)+\cos x\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] 11 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\left[\sin x\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right] \\[2ex] 12 | &=\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} 13 | \end{aligned} 14 | $$ 15 | 到这里就计算不下去了，我们需知道当 $\Delta x$ 趋于0时， $\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}$ 的极限和 $\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}$ 的极限。 16 | 17 | ## 2. 求 $\frac{\sin x}{x}$ 在0处的极限 18 | 如下图所示， $OA=1$ ，$\angle AOB=x$ ， 则 $|AC|=\sin x$ ， $|DB|=\tan x$ 。 19 | ![](attachments/2sinx除以x在0处的极限.png) 20 | $$ 21 | \because S_{\triangle OAB}\frac{1}{x}>\frac{1}{\tan x}\quad x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\[2ex] 26 | \therefore1>\frac{\sin x}{x}>\cos x\quad x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\[2ex] 27 | \therefore\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\quad x\in[0,\frac{\pi}{2}] \\[2ex] 28 | \lim_{x \to 0}\cos x=1,\lim_{x \to 0}1=1 29 | $$ 30 | 根据三明治定理（夹逼定理），得到： 31 | $$ 32 | \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 33 | $$ 34 | 这里，教授是分别证明 $\sin x x$ ，最后也是使用夹逼定理得证。 35 | 36 | ## 3. 求 $\frac{(\cos x-1)}{x}$ 在0处的极限 37 | $$ 38 | \begin{aligned} 39 | \lim_{x \to 0}\frac{\cos x-1}{x}&=\lim_{x \to 0}\frac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{x(\cos x+1)} \\[2ex] 40 | &=\lim_{x \to 0}\frac{\cos^2x-1}{x(\cos x+1)} \\[2ex] 41 | &=\lim_{x \to 0}\frac{1-\sin^2x-1}{x(\cos x+1)} \\[2ex] 42 | &=\lim_{x \to 0}\frac{-\sin^2x}{x(\cos x+1)} \\[2ex] 43 | &=\lim_{x \to 0}[-\sin x\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{(\cos x+1)}] \\[2ex] 44 | &=-0\cdot1\cdot\frac{1}{1+1} \\[2ex] 45 | &=0 46 | \end{aligned} 47 | $$ 48 | 这里，教授用了“捷径”，求 $\frac{(\cos x-1)}{x}$ 在0处的极限，就是求 $\cos x$ 在0处的导数，由图像可知，此处为极大值点，其导数为0。 49 | 50 | ## 4.再求 $\sin x$ 的导数 51 | 我们已经知道当 $\Delta x$ 趋于0时， $\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}$ 的极限为0和 $\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}$ 的极限为1，继续1小节中的求导： 52 | $$ 53 | \begin{aligned} 54 | f'(x)&=\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] 55 | &=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1 \\ 56 | &=\cos x 57 | \end{aligned} 58 | $$ 59 | 这里已经得到 $\sin x$ 的导数为 $\cos x$ 。 60 | 61 | ## 5.求 $\cos x$ 的导数 62 | 同样，令 $f(x)=\cos x$ ，则： 63 | $$ 64 | \begin{aligned} 65 | f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\[2ex] 66 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} \\[2ex] 67 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x} \\[2ex] 68 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos x(\cos\Delta x-1)-\sin x\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] 69 | &=\lim_{\Delta x \to 0}\left[\cos x\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}-\sin x\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right] \\[2ex] 70 | &=\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\cos\Delta x-1)}{\Delta x}-\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \\[2ex] 71 | &=\cos x\cdot0-\sin x\cdot1 \\ 72 | &=-\sin x 73 | \end{aligned} 74 | $$ -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（10）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（10）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/1对数函数的导数（4）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 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对数函数和反三角函数的导数/attachments/2反三角函数的导数（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/2反三角函数的导数（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/2反三角函数的导数（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/2反三角函数的导数（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/2反三角函数的导数（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 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https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十一课 对数函数和反三角函数的导数/attachments/2反三角函数的导数（6）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十一课 对数函数和反三角函数的导数/第十一课 对数函数和反三角函数的导数.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.对数函数的导数 2 | 首先回顾了之前学过的求导法则：加减、乘除和链式法则。下面的求导将用到链式求导法则和逆函数。 3 | 根据逆函数可以得到： $f^{-1}(f(x))=x$ 和 $f(f^{-1}(y))=y$ 。对其进行链式法则求导就可以得到逆函数的导数。 4 | ![](attachments/1对数函数的导数（2）.jpg) 5 | 6 | 复习下逆函数： 7 | 例： $y=ax+b=f(x)$ 。求得逆函数为： $x=\frac{y-b}{a}=f^{-1}(y)$ 。 8 | 可以看到原函数 $f(x)$ 为**先乘再加**；逆函数 $f^{-1}(y)$ 为**先减再除**。 9 | 10 | 下面正式开始求对数函数的导数： 11 | 使用 $y=e^x=f(x)$ 构造前面所说的函数： $f^{-1}(f(x))=\ln(e^x)=x$ ，接着对两边同时求导： 12 | $$ 13 | \begin{aligned} 14 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d x}(\ln(e^x))=\frac{\operatorname d}{\operatorname d x}(x) \\[2ex] 15 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)\frac{\operatorname d}{\operatorname d x}(e^x)=1 \\[2ex] 16 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)e^x=1 \\[2ex] 17 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)=\frac{1}{e^x} \\[2ex] 18 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\ln y)=\frac{1}{y} \\[2ex] 19 | \end{aligned} 20 | $$ 21 | ![](attachments/1对数函数的导数（3）.jpg) 22 | 求导时，没有幂函数可以得到 $-1$ 次方（幂函数的 $n=0$ 时，右侧等于 $0$ ，得不到 $-1$ 次方）。这就像导数列表中的一个遗漏，现在终于补充完整了。观察对数函数及其导数发现，对数曲线时在增长，但是其斜率在减小，当 $x$ 很大时，它几乎不怎么增长了。 23 | 24 | 使用 $x=\ln y=f^{-1}(y)$ 构造前面所说的另一函数： $f(f^{-1}(y))=e^{\ln y}=y$ ，接着对两边同时求导： 25 | $$ 26 | \begin{aligned} 27 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(e^{\ln y})=\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(y) \\[2ex] 28 | &e^{\ln y}\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}({\ln y})=1 \\[2ex] 29 | &y\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}({\ln y})=1 \\[2ex] 30 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}({\ln y})=\frac{1}{y} \\[2ex] 31 | \end{aligned} 32 | $$ 33 | 与之前求的结果相同。 34 | 35 | ## 2.反三角函数的导数 36 | ## 2.1 $\sin^{-1}y$ 的导数 37 | 同样，使用 $x=\sin^{-1}y$ 构造函数： $y=\sin(\sin^{-1}y)$ ，接着对两边同时求导： 38 | $$ 39 | \begin{aligned} 40 | &1=\cos(\sin^{-1}y)\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\sin^{-1}y) \\[2ex] 41 | &1=\sqrt{1-y^2}\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\sin^{-1}y) \\[2ex] 42 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\sin^{-1}y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \\[2ex] 43 | \end{aligned} 44 | $$ 45 | $\cos(\sin^{-1}y)$ 为什么等于 $\sqrt{1-y^2}$ 下图有解释： 46 | ![](attachments/2反三角函数的导数（1）.jpg) 47 | 48 | ## 2.2 $\cos^{-1}y$ 的导数 49 | 使用 $x=\cos^{-1}y$ 构造函数： $y=\cos(\cos^{-1}y)$ ，接着对两边同时求导： 50 | $$ 51 | \begin{aligned} 52 | &1=-\sin(\cos^{-1}y)\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\cos^{-1}y) \\[2ex] 53 | &1=-\sqrt{1-y^2}\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\cos^{-1}y) \\[2ex] 54 | &\frac{\operatorname d}{\operatorname d y}(\cos^{-1}y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \\[2ex] 55 | \end{aligned} 56 | $$ 57 | 58 | 根据前面求得的反三角函数的导数，我们知道函数 $y=\sin^{-1}x + \cos^{-1}x$ ，其导数为 $0$ ，说明函数 $y$ 为常函数。如下图所示， $y=\sin^{-1}x + \cos^{-1}x=\theta + \alpha=90\degree=\pi/2$ 。 59 | ![](attachments/2反三角函数的导数（6）.jpg) -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/1六函数.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/1六函数.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/2六法则.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/2六法则.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（4）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（4）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（5）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十七课 六函数、六法则和六定理/attachments/3六定理（5）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十七课 六函数、六法则和六定理/第十七课 六函数、六法则和六定理.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.六函数 2 | | 积分 | 六函数 | 导数 | 3 | |------|-------|------| 4 | | $x^{n+1}/(n+1)$ | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | 5 | | $-\cos x$ | $\sin x$ | $\cos x$ | 6 | | $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | 7 | | $\rm e^{cx}/c$ | $\rm e^{cx}$ | $c\rm e^{cx}$ | 8 | | $x\ln x - x$ | $\ln x$ | $1/x$ | 9 | | 斜坡函数
Ramp function | 阶跃函数
Step function | 冲激函数
Delta function | 10 | 11 | $\ln x$ 的积分教授使用“易得法”获得，事实上使用**分部积分法**更清晰。 12 | 阶跃函数是不连续函数，其积分为斜坡函数，导数为冲激函数（又名狄拉克 $\delta$ 函数）。冲激函数在其他处为 $0$ ，某一点突然变为无穷大，该点处的面积为 $1$ 。 13 | ![](attachments/1六函数.jpg) 14 | 15 | ## 2.六法则 16 | 1. 加法法则： $af(x)+bg(x)$ 的导数为 17 | $$ 18 | a\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x} + b\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x} 19 | $$ 20 | 21 | 2. 乘法法则： $f(x)g(x)$ 的导数为 22 | $$ 23 | \frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}g(x) + f(x)\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x} 24 | $$ 25 | 26 | 3. 除法法则： $f(x)/g(x)$ 的导数为 27 | $$ 28 | \left(\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}g - f\frac{\operatorname{d}g}{\operatorname{d}x}\right)/{g^2} 29 | $$ 30 | 31 | 4. 链式法则： $f(g(x)) \quad y=g(x)$ 的导数为 32 | $$ 33 | \frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}y}\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} 34 | $$ 35 | 36 | 5. 逆函数法则： $x=f^{-1}(y)$ 的导数为（逆函数的导数为原函数导数分之一） 37 | $$ 38 | \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}y}=\frac{1}{\operatorname{d}y/\operatorname{d}x} 39 | $$ 40 | 41 | 6. 洛必达法则： 当 $x\rightarrow a$ ， $f(x)\rightarrow 0$ 和 $g(x)\rightarrow 0$ 时，如何求 $f(x)/g(x)$ ： 42 | $$ 43 | \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\operatorname{d}f/\operatorname{d}x}{\operatorname{d}g/\operatorname{d}x}=\frac{f'(x)}{g'(x)} 44 | $$ 45 | ![](attachments/2六法则.jpg) 46 | 47 | ## 3.六定理 48 | 1. 微积分的第一基本定理，它表示两种运算间的关系，从函数一到函数二是求导： 49 | $$ 50 | f(x)=\int^x_a s(t)\operatorname dt \quad 导数为 \quad \frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}=s(x) 51 | $$ 52 | 53 | 2. 微积分的第二基本定理，它表示两种运算间的关系，从函数二到函数一是积分： 54 | $$ 55 | \frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}=s(x) \quad 积分为 \quad f(x)=\int^b_a s(x)\operatorname dx=f(b)-f(a) 56 | $$ 57 | 58 | 3. 全值定理 59 | 假设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，在该区间内 $f(x)$ 可以取到的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，那么 $f(x)$ 可以取到 $M$ 和 $m$ 之间的所有值。 60 | ![](attachments/3六定理（2）.jpg) 61 | 62 | 4. 中值定理： 63 | 假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，那么在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $c$ 使得： 64 | $$ 65 | f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} 66 | $$ 67 | 68 | 5. 泰勒级数 69 | $f$ 关于 $x=a$ 的泰勒级数： 70 | $$ 71 | \begin{aligned} 72 | f(x) &= f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +\cdots \\[2ex] 73 | &= \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \\[2ex] 74 | \end{aligned} 75 | $$ 76 | 如果在 $(x-a)^n$ 后截断，那么误差为 $f^{n+1}(c)(x-a)^{n+1}/(n+1)!$ 。（ $c$ 为 $a$ 和 $x$ 之间的数） 77 | ![](attachments/3六定理（3）.jpg) 78 | 79 | 6. 二项式定理 80 | 二项式公式为（帕斯卡三角）： 81 | $$ 82 | \begin{aligned} 83 | &(1+x)^1 \qquad\qquad 1+1x\\ 84 | &(1+x)^2 \qquad\quad 1+2x+1x^2 \\ 85 | &(1+x)^3 \qquad 1+3x+3x^2+1x^3\\ 86 | &(1+x)^4 \quad 1+4x+6x^2+4x^3+1x^4\\ 87 | &\cdots \\ 88 | \end{aligned} 89 | $$ 90 | 将二项式 $f(x)=(1+x)^p$ （ $p$ 为正整数）用**泰勒公式**展开： 91 | $$ 92 | \begin{aligned} 93 | f^{(n)}(x) &= (1+x)^p\quad p(1+x)^{p-1}\quad p(p-1)(1+x)^{p-2}\quad\;\cdots \\ 94 | f^{(n)}(0) &= \qquad 1\quad \qquad\qquad p\quad \qquad\qquad p(p-1)\quad\qquad\cdots \\ 95 | \end{aligned} 96 | $$ 97 | 除以 $n!$ 发现，泰勒展开的系数与二项公式的系数相同！ 98 | $$ 99 | \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)=\frac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n(n-1)\cdots 1}=\frac{p!}{(p-n)!n!} = \begin{pmatrix} 100 | p \\ 101 | n \\ 102 | \end{pmatrix} \\[2ex] 103 | (1+x)^p = 1 + px + \frac{p(p-1)}{2\times 1}x^2 + \frac{p(p-1)(p-1)}{3\times 2\times 1}x^3 + \cdots \\[2ex] 104 | $$ 105 | 但是，泰勒级数与二项公式有什么区别呢？二项公式只能求正整数次幂的系数，但是如果指数扩展到实数，二项公式就不起作用了，泰勒级数依然可用。这就是**微积分**能做的事！ 106 | ![](attachments/3六定理（5）.jpg) 107 | 108 | *PS：此时，已将《普林斯顿微积分读本》看了大半，本以为自己学的差不多了，再回头看，其实不过入了个门。做题时会发现自己连概念都没有理清。又转念一想，如果看个视频就能学会，是不是太草率了，该笔记能够起到抛砖引玉的作用也是极好的。* -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（10）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（10）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（4）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（4）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（5）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（5）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（6）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- 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线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（9）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/13线性近似和牛顿法（9）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/牛顿法.gif: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十三课 线性近似和牛顿法/attachments/牛顿法.gif -------------------------------------------------------------------------------- /第十三课 线性近似和牛顿法/第十三课 线性近似和牛顿法.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 线性近似和牛顿法 2 | 线性近似是求 $f(x)$ 的值；牛顿法是求 $F(x)=0$ 的解。先看线性近似，下面推导一下： 3 | 在 $x=a$ 处， 4 | $$ 5 | \frac{\operatorname d f}{\operatorname d x}=f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\approx \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \tag1 6 | $$ 7 | 这里 $x$ 不趋向于 $a$ ，是 $a$ 附近的一个点，所以不用等于而是约等于。 8 | 由式(1)可以推导出**线性近似公式**： 9 | $$f(x)\approx f(a)+(x-a)f'(a)\tag2$$ 10 | 求解线性近似问题，需要在要求的 $x$ 附近，有一个点 $a$ 容易算得 $f(a)$ 并知道其导数 $f'(a)$ 。 11 | 由式(1)也可以推导出**牛顿法的公式**： 12 | 求 $F(x)=0$ 的解，将式(2)中的 $f(x)$ 替换为 $F(x)$ 得： 13 | $$ 14 | 0\approx F(a)+(x-a)F'(a) \\[2ex] 15 | x\approx a-\frac{F(a)}{F'(a)} \\[2ex] 16 | $$ 17 | ![](attachments/13线性近似和牛顿法（2）.jpg) 18 | 19 | 例：求 $\sqrt{9.06}$ 的值。 20 | 方法一（线性近似法）： 21 | 令 $f(x)=\sqrt{x}$ ， $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ ，取 $a=9$ 得： 22 | $$ 23 | f(9.06)\approx f(9)+(9.06-9)f'(9)=3+0.06\times\frac{1}{6}=3.01 24 | $$ 25 | 这里就已经求得了线性近似值，从下面的图像可知，在 $9.06$ 的附近，取了 $a=9$ 这个容易算得 $f(a)=3$ 的点，再加上一个差值即可。这个差值就是 $y$ 方向上的差值，是根据斜率 $f'(a)=1/6$ 和 $x$ 方向的差值 $\Delta x = 9.06-9=0.06$ 算出 $y$ 方向的差值 $\Delta y=f'(a)\Delta x=1/6\times 0.06=0.01$ 。最后，就可以得出线性近似值： $f(a)+0.01=3+0.01=3.01$ 。 26 | ![](attachments/13线性近似和牛顿法（3）.jpg) 27 | 28 | 方法二（牛顿法）： 29 | 构建函数 $F(x) = x^2-9.06$ ， $F'(x) = 2x$ ，令 $F(x) = 0$ ，求解 $F(x)$ 。 30 | 令 $a=3$ ： 31 | $$ 32 | x\approx 3-\frac{F(3)}{F'(3)} \\[2ex] 33 | x\approx 3-\frac{-0.06}{6} \\[2ex] 34 | x\approx 3.01 \\[2ex] 35 | $$ 36 | 与方法一求得的结果相同。下面再画下图，发现这个问题就是已知斜率（导数） $F'(a)$ 和切点 $(a,F(a))$ ，求该切线与 $x$ 轴的截距。看图也比较容易求出来，该切线与 $x$ 轴的截距为 $x=a+\Delta x$ ，而 $\Delta x = F(3)/F'(3)$ 。 37 | ![](attachments/13线性近似和牛顿法（4）.jpg) 38 | 39 | 可以将上次求解的值再次带入计算，令 $a_{new}=3.01$ ，再次求解 $F(x)$ ： 40 | $$ 41 | x_{new}\approx 3.01-\frac{F(3.01)}{F'(3.01)} \\[2ex] 42 | x_{new}\approx 3.01-\frac{0.0001}{6.02} \\[2ex] 43 | x_{new}\approx 3.00998338870 \\[2ex] 44 | $$ 45 | $x=3.01$ 时， $error=x^2 - 9.06=3.01^2-9.06=0.0001$ ； 46 | $x=3.00998338870$ 时， $error=x^2 - 9.06=3.00998338870^2-9.06\approx0.00000000025$ 。 47 | 可以发现，迭代后误差变小了很多。网上找到了一张动图，非常清晰明了地说明了牛顿迭代法： 48 | ![](attachments/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%B3%95.gif) 49 | 50 | 例：求 ${\rm e}^{0.01}$ 的值。 51 | 令 $f(x)={\rm e}^x$ ， $f'(x)={\rm e}^x$ ，取 $a=0$ 得： 52 | $$ 53 | f(x)\approx f(0)+(x-0)f'(0)=1+x=1+0.01=1.01 54 | $$ 55 | 这里已经得出了答案，再观察下上面的式子 $f(x)={\rm e}^x\approx1+x$ 发现线性近似与**幂级数**类似，比如 ${\rm e}^x=1+x+x^2/2+\cdots$ ，相当于幂级数从常数项和线性项之后拦腰截断。 56 | ![](attachments/13线性近似和牛顿法（8）.jpg) 57 | PS：这里补充下牛顿法失效的四种情况（详见《普林斯顿微积分读本》13.3牛顿法的最后部分）： 58 | 1. $f'(a)$ 的值接近于 $0$ 。这种情况下，在 $x=a$ 处的切线接近于水平，牛顿法会给出一个很糟糕的结果。为了避免这种情况，要确保初始值不在函数 $f$ 的临界点附近； 59 | 2. 如果 $f(x)=0$ 有不止一个解，可能得到的不是你想要的那个解； 60 | 3. 近似可能变得越来越糟，例如 $f(x)=x^{1/3}$ ，可以尝试使用牛顿法求解 $f(x)=0$ ； 61 | 4. 你可能陷入一个循环而无法自拔。有可能通过估算 $a$ 得到 $b$，估算 $b$ 又得到 $a$ 。 62 | 63 | 在实际应用中，使用牛顿迭代法的函数一般是单调的，故只有一个解。判断第一种情况是必须的，只有一个解就排除了情况二，情况三和情况四碰到的概率比较小，通过迭代次数和误差加以限制（良好的初值也是必须的）。 -------------------------------------------------------------------------------- /第十二课 增长率和对数图/attachments/1增长率（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十二课 增长率和对数图/attachments/1增长率（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十二课 增长率和对数图/attachments/1增长率（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十二课 增长率和对数图/attachments/1增长率（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十二课 增长率和对数图/attachments/1增长率（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十二课 增长率和对数图/attachments/1增长率（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十二课 增长率和对数图/attachments/1增长率（4）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- /第十二课 增长率和对数图/attachments/2对数图（5）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十二课 增长率和对数图/attachments/2对数图（5）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十二课 增长率和对数图/attachments/2对数图（6）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十二课 增长率和对数图/attachments/2对数图（6）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十二课 增长率和对数图/attachments/2对数图（7）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.增长率 2 | | 增长函数 | $x$ | $x^2$ ， $x^3$ ，… | $2^x$ ， $e^x$ ， $10^x$ ，…| $x!$ ， $x^x$ ，…| 3 | |---------| ---- | ------------------ | -------------------------- | ----------------- | 4 | | 增长方式 | 线性增长 | 多项式增长 | 指数增长 | 阶乘增长 | 5 | | 增长数量级 | $10^3$ | $10^6$ ， $10^9$ ，… | $10^{300}$ ， $10^{434}$ ， $10^{1000}$ ，…| $10^{2566}$ ， $10^{3000}$ ，…| 6 | | 取对数 | $3$ | $6$ ， $9$ ，… | $300$ ， $434$ ， $1000$ ，…| $2566$ ， $3000$ ，…| 7 | 上表中，将 $x=1000$ 带入式子后，得到了增长的数量级，表格中是教授估算的值，我用计算器算了一遍，发现跟表中的值略有差异，不过表示增长的数量级是没问题的。 8 | 9 | 衰减函数就是增长函数的倒数： 10 | | 衰减函数 | $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x^2}$ ， $\frac{1}{x^3}$ ，… | $\frac{1}{2^x}$ ， $\frac{1}{e^x}$ ， $\frac{1}{10^x}$ ，…| $\frac{1}{x!}$ ， $\frac{1}{x^x}$ ，…| 11 | |---------| ---- | ------------------ | -------------------------- | ----------------- | 12 | 带入 $x=1000$ 再取对数后，分别是： $-3，-6，-9$ 等等。 13 | ![](attachments/1增长率（3）.jpg) 14 | ![](attachments/1增长率（4）.jpg) 15 | 16 | ## 2.对数图 17 | 对数尺度下 $0$ 和 $10$ 的中点是 $10^{1/2}$ ；将 $2$ 的乘幂（ $0\quad1\quad2\quad4\quad8\quad16\quad\cdots$ ）排列，发现其是等距排列的（ $n\log 2$ ）; $0$ 在对数尺度上没有对应值，处于对数轴的无穷远端。 18 | ![](attachments/2对数图（3）.jpg) 19 | 20 | 例：幂函数 $y=Ax^n$ ，两边同时求对数得到： $\log y = \log A + n\log x$ ，下面画出 $y=x^{1.5}$ 的图像以及对数图。 21 | 画出图像后，发现原来的图拟合比较复杂；对数图是直线的，拟合比较容易，斜率也容易找。 22 | ![](attachments/2对数图（4）.jpg) 23 | 指数函数 $y=B10^{cx}$ ，两边同时求对数得到： $\log y = \log B + cx$ ，这里纵轴用对数尺度，横轴用普通尺度。 24 | 25 | 例：比较瞬时斜率和平均斜率之差： $error E=\frac{\operatorname d f}{\operatorname d x}-\frac{\Delta f}{\Delta x}\approx A(\Delta x)^n$ ; $\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 的误差为： $A(\Delta x)^1$（ $n=1$ ）; $\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}$ 的误差为： $A(\Delta x)^2$（ $n=2$ ），准确度比原来大大提升了。 26 | ![](attachments/2对数图（10）.jpg) -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（10）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（10）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（4）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（4）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（5）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（5）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（6）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（6）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（7）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（7）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（8）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（8）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（9）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十五课 关于运动的微分方程/attachments/1关于运动的微分方程（9）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十五课 关于运动的微分方程/第十五课 关于运动的微分方程.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | 本节课讲的是常系数线性二阶微分方程。**常系数**是指函数 $y$ 及其 $n$ 阶导数前的系数都为常数；**线性**是指函数 $y$ 及其 $n$ 阶导数的幂都为 $1$ ；**微分方程**即以自变量 $x$ ，函数 $y$ 及其 $n$ 阶导数组成的方程。 3 | $$ 4 | m\frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}t^2} + 2r\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t} + ky = 0 5 | $$ 6 | ![](attachments/1关于运动的微分方程（1）.jpg) 7 | ### 1.特殊情况： 8 | 当 $m=0$ 时: 9 | $$ 10 | \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t} = ay 11 | $$ 12 | $e^x$ 的导数等于其本身，所以该微分方程的解为： 13 | $$ 14 | y=C\rm{e}^{at} 15 | $$ 16 | 将解代入微分方程后发现，不管 $C$ 是多少，微分方程都成立， $C$ 由函数的初始条件决定。 17 | 18 | 当 $r=0$ 时： 19 | $$ 20 | \frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}t^2}= -\omega^2y\quad \omega^2=\frac{k}{m} 21 | $$ 22 | $\sin x$ 和 $\cos x$ 的二次导数等于其本身的负，所以该微分方程的解为： 23 | $$ 24 | y=C\cos\omega t + D\sin\omega t 25 | $$ 26 | 27 | 当 $r=0，k=0$ 时： 28 | $$ 29 | \frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}t^2}= 0 30 | $$ 31 | 这个微分方程的解比较容易得到： 32 | $$ 33 | y=C + Dt 34 | $$ 35 | 36 | ### 2.一般情况： 37 | 再看这个关于运动的微分方程，该微分方程主要描述的是振动运动： 38 | $$ 39 | m\frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}t^2} + 2r\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t} + ky = 0 40 | $$ 41 | 如下图所示，根据牛顿定律 $F=ma$ 和弹力公式 $F=-k\Delta x$ 可以得到 $r=0$ 的特殊情况： 42 | $$ 43 | \frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}t^2}= -\frac{k}{m}y 44 | $$ 45 | 更一般地，再加入阻尼力 $F=-cv$ ，就可以得到一般情况的振动运动微分方程。 46 | ![](attachments/1关于运动的微分方程（3）.jpg) 47 | 48 | 下面来求解这个微分方程： 49 | 代入 $y=\rm {e}^{\lambda t}$ 得到： 50 | $$ 51 | \begin{aligned} 52 | m\frac{\operatorname{d}^2y}{\operatorname{d}t^2} + 2r\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t} + ky = 0 \\[2ex] 53 | m\lambda^2\rm {e}^{\lambda t} + 2r\lambda\rm {e}^{\lambda t} + k\rm {e}^{\lambda t} = 0 \\[2ex] 54 | m\lambda^2\rm + 2r\lambda\rm + k\rm = 0 \\[2ex] 55 | \lambda_{1,2} = \frac{-r\pm\sqrt{r^2-km}}{m} \\[2ex] 56 | \end{aligned} 57 | $$ 58 | 将两个解代入后得到： $y = C\rm {e}^{\lambda_1 t} + D\rm {e}^{\lambda_2 t}$ 。 59 | 60 | 例1：求解 $y'' + 6y' + 8y = 0$ 。 61 | 得： 62 | $$ 63 | \begin{aligned} 64 | \lambda^2\rm + 6\lambda\rm + 8\rm = 0 \\ 65 | (\lambda + 2)(\lambda + 4)=0 \\ 66 | \lambda = -2, -4 \\ 67 | y(t) = C\rm {e}^{-2 t} + D\rm {e}^{-4 t} 68 | \end{aligned} 69 | $$ 70 | 71 | 例2：求解 $y'' + 6y' + 10y = 0$ 。 72 | 得： 73 | $$ 74 | \begin{aligned} 75 | \lambda^2\rm + 6\lambda\rm + 10\rm = 0 \\[2ex] 76 | \lambda = \frac{-6\pm\sqrt{36-40}}{2} \\[2ex] 77 | \lambda = -3\pm i \\[2ex] 78 | y(t) = C\rm {e}^{(-3 + i)t} + D\rm {e}^{(-3 - i)t} \\[2ex] 79 | \end{aligned} 80 | $$ 81 | 代入欧拉公式，得： 82 | $$ 83 | \begin{aligned} 84 | y(t) = C\rm {e}^{-3t}\rm {e}^{it} + D\rm {e}^{-3t}\rm {e}^{-it} \\[2ex] 85 | y(t) = C\rm {e}^{-3t}(\cos t + i\sin t) + D\rm {e}^{-3t}(\cos t - i\sin t) \\[2ex] 86 | y(t) = (C + D)\rm {e}^{-3t}\cos t + (C - D)\rm {e}^{-3t}i\sin t \\[2ex] 87 | \end{aligned} 88 | $$ 89 | 由于原方程的解符合叠加原理，所有取实部仍是该微分方程的解（不太理解，或者A、B都是复数）： 90 | $$ 91 | \begin{aligned} 92 | y(t) = (C + D)\rm {e}^{-3t}\cos t + (C - D)\rm {e}^{-3t}\sin t \\[2ex] 93 | y(t) = A\rm {e}^{-3t}\cos t + B\rm {e}^{-3t}\sin t \\[2ex] 94 | \end{aligned} 95 | $$ 96 | ![](attachments/1关于运动的微分方程（7）.jpg) 97 | 98 | 例3：求解 $y'' + 6y' + 9y = 0$ 。 99 | 得： 100 | $$ 101 | \begin{aligned} 102 | \lambda^2\rm + 6\lambda\rm + 9\rm = 0 \\ 103 | (\lambda + 3)^2=0 \\ 104 | \lambda = -3, -3 \\ 105 | y(t) = C\rm {e}^{-3 t} + Dt\rm {e}^{-3 t} 106 | \end{aligned} 107 | $$ -------------------------------------------------------------------------------- /第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- 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关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（6）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（6）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（7）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（7）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（8）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（8）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（9）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十六课 关于增长的微分方程/attachments/1关于增长的微分方程（9）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十六课 关于增长的微分方程/第十六课 关于增长的微分方程.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 本节课讲的是关于增长的微分方程。 2 | ### 1.最简单的增长微分方程 3 | 为： 4 | $$ 5 | \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t} = cy\quad y(0) 6 | $$ 7 | 解为： 8 | $$ 9 | y(t) = y(0)\rm {e}^{ct} 10 | $$ 11 | 这里讲的比较抽象，可以用个例子帮助理解下。 $y(t)$ 表示储蓄账户里的钱， $c$ 为年利率， $y(0)$ 为第 $0$ 年存入的钱。如果年利率 $c=3\%$ ， $y(0)=10000$ ，那么解为： $y(t) = 10000\rm {e}^{0.03t}$ ，第 $1$ 年账户里的钱为 $y(1) = 10000\rm {e}^{0.03\times 1} = 10304.545$ ，第 $5$ 年账户里的钱为 $y(5) = 10000\rm {e}^{0.03\times 5} = 11618.342$ 。可能有人会奇怪，为什么第 $1$ 年账户里的钱不是 $10000\times (1+0.03) = 10300$ 。如果以月计算一次利息，月利率为 $0.03/12=0.0025$ ，第 $1$ 年账户里的钱变为 $10000\times (1+0.0025)^{12} = 10304.160$ 。如果计算利息的时间为无限短，那么利息总是有个极限，前面求的结果就是这个极限，也就是无限复利的结果（[第四课](../第四课%20指数函数/第四课%20指数函数（exponential）.md)的第4小节有部分说明）。 12 | 13 | ### 2.将最简单的微分方程加上资源项 14 | 为： 15 | $$ 16 | \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t} = cy+s\quad y(0) 17 | $$ 18 | 解为： 19 | $$ 20 | \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}(y+\frac{s}{c}) = c(y+\frac{s}{c}) \\[2ex] 21 | y(t) + \frac{s}{c} = (y(0) + \frac{s}{c})\rm {e}^{ct} \\[2ex] 22 | $$ 23 | 当 $s>0$ 时为存钱；当 $s<0$ 时为取钱。 24 | 或者也可以通过特解加上通解的方式求得解，如下图所示： 25 | ![](attachments/1关于增长的微分方程（2）.jpg) 26 | 27 | ### 3.用于人口增长的LOGISTIC模型 28 | 为： 29 | $$ 30 | \frac{\operatorname{d}P}{\operatorname{d}t} = cP - sP^2 31 | $$ 32 | $C$ 为人口增长率（出生率减去死亡率）； $sP^2$ 表示人口和人口之间的拥挤影响。 33 | 令 $y=1/P$ ，解为： 34 | $$ 35 | \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}t}=\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}P}\frac{\operatorname{d}P}{\operatorname{d}t}=-P^2(cP-sP^2)=-(\frac{c}{p}-s)=-(cy-s) \\[2ex] 36 | y(t) - \frac{s}{c} = (y(0) - \frac{s}{c})\rm {e}^{-ct} \\[2ex] 37 | $$ 38 | 代入 $y=1/P$ ： 39 | $$ 40 | \begin{aligned} 41 | \frac{1}{P(t)} - \frac{s}{c} = (\frac{1}{P(0)} - \frac{s}{c})\rm {e}^{-ct} \\[2ex] 42 | \frac{1}{P(t)} = (\frac{1}{P(0)} - \frac{s}{c})\rm {e}^{-ct} + \frac{s}{c} \\[2ex] 43 | P(t) = \left[(\frac{1}{P(0)} - \frac{s}{c})\rm {e}^{-ct} + \frac{s}{c}\right]^{-1} \\[2ex] 44 | \end{aligned} 45 | $$ 46 | 当 $t\rightarrow \infty$ 时， $P\rightarrow c/s$ ，达到稳态； $c/(2s)$ 为拐点。图像如下面所示： 47 | ![](attachments/1关于增长的微分方程（7）.jpg) 48 | 49 | ### 4.捕食-猎物模型 50 | 为： 51 | $$ 52 | \frac{\operatorname{d}u}{\operatorname{d}t} = -cu + suv \\[2ex] 53 | \frac{\operatorname{d}v}{\operatorname{d}t} = cv - suv \\[2ex] 54 | $$ 55 | ![](attachments/1关于增长的微分方程（9）.jpg) -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（2）e^x.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（2）e^x.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（3）sinx.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- 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幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（6）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（6）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（7）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/1幂级数和泰勒公式（7）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/2欧拉公式（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/2欧拉公式（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/2欧拉公式（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/2欧拉公式（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/3几何级数及其积分.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十四课 幂级数和欧拉公式/attachments/3几何级数及其积分.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十四课 幂级数和欧拉公式/第十四课 幂级数和欧拉公式.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.幂级数和泰勒级数 2 | 在 $x=a$ 时的一般幂级数为： 3 | $$ 4 | \sum_{n=0}^{\infin} a_n(x-a)^n = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + a_3(x-a)^3 +\cdots 5 | $$ 6 | 下面将讨论关于 $x=0$ 的幂级数，为： 7 | $$ 8 | \sum_{n=0}^{\infin} a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 +\cdots 9 | $$ 10 | 可以用幂级数构造 $f(x)$ ，需要找到一些 $a$ 来匹配在 $x=0$ 处的 $f(0)$ 、 $f'(0)$ 、 $f''(0)$ 、 $f'''(0)\cdots$ ，这就是泰勒级数。 11 | $f$ 关于 $x=0$ 的泰勒级数： 12 | $$ 13 | \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 +\cdots 14 | $$ 15 | ![](attachments/1幂级数和泰勒公式（1）.jpg) 16 | 17 | 例：使用泰勒级数展开 ${\rm e}^x$ 。 18 | $f(x)={\rm e}^x$ 所有的导数在 $x=0$ 处都为 $1$ ，所以： 19 | $$ 20 | f(x) = {\rm e}^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n 21 | $$ 22 | 这里总结下使用泰勒级数展开的系统性方法：求各阶导，代入 $0$ ，求各阶导在 $0$ 处的值后再代入泰勒级数。 23 | ![](attachments/1幂级数和泰勒公式（2）e^x.jpg) 24 | 25 | 例：使用泰勒级数展开 $\sin x$ 。 26 | $$ 27 | f(x) = \sin x \quad f'(x) = \cos x \quad f''(x) = -sin(x) \quad f'''(x) = -\cos x \quad f^{(4)}(x) = \sin x \quad f^{(5)}(x) = \cos x \quad f^{(6)}(x) = -sin(x) \quad f^{(7)}(x) = -\cos x \quad\cdots发现4个一个循环 \\[2ex] 28 | f(0) = 0 \qquad\ f'(0) = 1 \qquad\quad f''(0) = 0 \qquad\qquad f'''(0) = -1 \qquad\quad f^{(4)}(0) = 0 \qquad\ f^{(5)}(0) = 1 \qquad\quad f^{(6)}(0) = 0 \qquad\qquad f^{(7)}(0) = -1 \qquad\cdots \\[2ex] 29 | f(x) = \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7\cdots \\[2ex] 30 | $$ 31 | ![](attachments/1幂级数和泰勒公式（3）sinx.jpg) 32 | 33 | 例：使用泰勒级数展开 $\cos x$ 。 34 | $$ 35 | f(x) = \cos x \quad f'(x) = -sin(x) \quad f''(x) = -\cos x \quad f'''(x) = \sin x \quad f^{(4)}(x) = \cos x \quad f^{(5)}(x) = -sin(x) \quad f^{(6)}(x) = -\cos x \quad f^{(7)}(x) = \sin x \quad\cdots 通样4个一个循环 \\[2ex] 36 | f(0) = 1 \qquad\ f'(0) = 0 \qquad\qquad f''(0) = -1 \qquad\quad f'''(0) = 0 \qquad\quad f^{(4)}(0) = 1 \qquad\ f^{(5)}(0) = 0 \qquad\qquad f^{(6)}(0) = -1 \qquad\quad f^{(7)}(0) = 0 \qquad\cdots \\[2ex] 37 | f(x) = \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 -\frac{1}{6!}x^6\cdots \\[2ex] 38 | $$ 39 | ![](attachments/1幂级数和泰勒公式（4）cosx.jpg) 40 | 观察 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒级数展开可以发现， $\sin x$ 的泰勒级数展开中幂函数的指数都为奇数，所以为奇函数；$\cos x$ 的泰勒级数展开中幂函数的指数都为偶数，所以为偶函数。这里为函数的奇偶性提供了另一种见解。 41 | 再将 $\sin x$ 的泰勒级数展开中 $x$ 后的部分截断，得到： $\sin x = x$ ，这就是 $\sin x$ 在 $x=0$ 处的线性近似。（这里可以再查看下[上一节课](../第十三课%20线性近似和牛顿法/第十三课%20线性近似和牛顿法.md)求 ${\rm e}^{0.01}$ 的例子，比 $\sin x$ 的例子更清楚。） 42 | 观察泰勒级数，每一项的分子是幂函数，分母是阶乘，在[第十二课](../第十二课%20增长率和对数图/第十二课%20增长率和对数图.md)中学习到，阶乘增长是大于幂函数的多项式增长的，所以其高阶项的贡献比较小。在余弦级数中代入 $x=\pi$ ，它们会相互抵消，变得很小，最终得到答案 $-1$ 。 43 | 44 | ## 2.欧拉公式 45 | 这里需要使用虚数 $i$ ， $i^2=-1$ 。下面推导一下： 46 | $$ 47 | \begin{aligned} 48 | e^{ix} &= 1 + ix - \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}ix^3 + \cdots \\[2ex] 49 | &= (1 - \frac{1}{2!}x^2 + \cdots) +i(x - \frac{1}{3!}x^3 + \cdots) \\[2ex] 50 | &=\cos x + i\sin x \\[2ex] 51 | \end{aligned} 52 | $$ 53 | ![](attachments/2欧拉公式（1）.jpg) 54 | 将 $x$ 替换为 $\theta$ 得到： 55 | $$ 56 | e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \\[2ex] 57 | $$ 58 | 接着可以画出复平面： 59 | ![](attachments/2欧拉公式（2）.jpg) 60 | 61 | ## 3.几何级数及其积分 62 | 几何级数： 63 | $$ 64 | \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots 65 | $$ 66 | 可以通过两边都乘以 $1-x$ 证明。 $|x| < 1$ 时成立。 67 | 将上述级数进行积分： 68 | $$ 69 | -\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots 70 | $$ 71 | 也是在 $|x| < 1$ 时成立。 72 | ![](attachments/3几何级数及其积分.jpg) 73 | 74 | *PS：这里感觉学得不是很透彻，后续再看书。* -------------------------------------------------------------------------------- /第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（1）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（2）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（2）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（3）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（3）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（4）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十课 逆函数和对数函数/attachments/1逆函数（4）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十课 逆函数和对数函数/attachments/2对数函数（1）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- 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-------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十课 逆函数和对数函数/attachments/2对数函数（4）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十课 逆函数和对数函数/attachments/2对数函数（5）.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第十课 逆函数和对数函数/attachments/2对数函数（5）.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第十课 逆函数和对数函数/第十课 逆函数和对数函数.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 1.逆函数 2 | $y=f(x)$ 的逆函数是： $x=f^{-1}(y)$ 。 3 | 例：求函数 $y=x^2（x\geq 0）$ 的逆函数。求得： $x=\sqrt{y}$ 。 4 | 这里需要有条件 $x\geq 0$ ，求逆函数需要 $y$ 与 $x$ 的值一一对应。 5 | ![](attachments/1逆函数（1）.jpg) 6 | 7 | 例：圆面积公式为： $A=\pi r^2=f(r)$ ，其逆函数为： $r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}=f^{-1}(A)$ 。 8 | 图像如下所示，图像沿45°斜线翻转的原因是 $x$ 和 $y$ 互换了。 9 | ![](attachments/1逆函数（2）.jpg) 10 | 11 | 例：华氏度转换为摄氏度为： $C=\frac{5}{9}(F-32)$ ，其逆函数为摄氏度转华氏度： $F=\frac{9}{5}C+32$ 。 12 | 图像如下所示，两个图像也是沿45°斜线翻转，且一个斜率是另一个斜率的倒数。 13 | ![](attachments/1逆函数（4）.jpg) 14 | 15 | ## 2.对数函数 16 | 这里教授说的指数函数指的是以自然常数 $\rm e$ 为底的指数函数；对数函数是以自然常数 $\rm e$ 为底的对数函数。画出指数函数和对数函数的图像： 17 | ![](attachments/2对数函数（1）.jpg) 18 | 19 | 证明对数函数的性质一： $\ln(yy)=\ln y + \ln y$ 20 | 这里使用指数函数的性质证明： 21 | $$ 22 | y=e^x \\ 23 | yy=e^xe^x=e^{x+x} \\ 24 | \ln yy=x+x=\ln y+\ln y 25 | $$ 26 | 27 | 证明对数函数的性质二： $\ln(y^n)=n\ln y$ 28 | 这里教授证明的比较随意： 29 | $$ 30 | \ln y^2=x+x=2x=2\ln y \\ 31 | 同理\ln y^n=n\ln y 32 | $$ 33 | ![](attachments/2对数函数（3）.jpg) 34 | 35 | 对数 $\ln x$ 的导数为（这里直接给出了结论）： 36 | $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x}(\ln x)=\frac{1}{x}$$ 37 | ![](attachments/2对数函数（5）.jpg) -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/0指数函数e的x次方.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/0指数函数e的x次方.png -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/1推导指数函数y=e^x的展开式 (1).jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/1推导指数函数y=e^x的展开式 (1).jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/1推导指数函数y=e^x的展开式 (2).jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/1推导指数函数y=e^x的展开式 (2).jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/1推导指数函数y=e^x的展开式 (3).jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/1推导指数函数y=e^x的展开式 (3).jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/2用展开式证明.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/2用展开式证明.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/3求e的值 (1).jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/3求e的值 (1).jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/3求e的值 (2).jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/3求e的值 (2).jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/4另一种求e的方式.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/4另一种求e的方式.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/attachments/5帯系数的一阶微分方程.jpg: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/smzztx/MIT-Highlights-of-Calculus/32ca8b2728faa49cedc28ba8eb0da9dcc3a70475/第四课 指数函数/attachments/5帯系数的一阶微分方程.jpg -------------------------------------------------------------------------------- /第四课 指数函数/第四课 指数函数（exponential）.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## 0.先上本节课目录： 2 | ![](attachments/0指数函数e的x次方.png) 3 | 讲的顺序不完全按照目录来的，下面就按照讲的顺序来。 4 | 5 | ## 1.推导指数函数 $y={\rm e}^x$ 的展开式 6 | 对于指数函数 $y={\rm e}^x$ ，是通过微积分构造的函数，其最重要的性质就是它的导数就是其自身。用式子表示为： 7 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=y\tag1$$ 8 | 这是一个微分方程，是最简单的微分方程。 9 | 此时还需要一个初值，以防得到的结果不是 $10e^x$ ，等等。 10 | $$y(0)=1\tag2$$ 11 | 准备完成，下面就开始构造函数： 12 | 由其在0处的初值为1（式 (2) ），先构造 13 | $$y(x)=1$$ 14 | 又由于它的导数就是其自身（式 (1) ）： 15 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=1$$ 16 | 由此接着反推原函数： 17 | $$y(x)=1+x$$ 18 | 继续推到其导数： 19 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=1+x$$ 20 | 原函数： 21 | $$y(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2$$ 22 | 导数： 23 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=1+x+\frac{1}{2}x^2$$ 24 | 原函数： 25 | $$y(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2\cdot3}x^3$$ 26 | 导数： 27 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2\cdot3}x^3$$ 28 | 这样写下去就没完没了了，它是无穷的，此时也发现了一些规律，可以推导出： 29 | $$y(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2\cdot3}x^3+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ 30 | $$\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2\cdot3}x^3+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ 31 | 这里阶乘（ $n!$ ）的增长要大于幂函数（ $x^n$ ），越是后面的式子对函数的影响越小。 32 | 33 | ## 2.用展开式证明 ${\rm e}^x\cdot {\rm e}^x={\rm e}^{2x}$ 34 | 大家都知道 ${\rm e}^x\cdot {\rm e}^x={\rm e}^{2x}$ ，下面将用展开式证明： 35 | $${\rm e}^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots$$ 36 | $${\rm e}^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots$$ 37 | 上面两式相乘，得到： 38 | $$ 39 | \begin{aligned} 40 | {\rm e}^x\cdot {\rm e}^x&=1+(x+x)+(\frac{1}{2}x^2+x^2+\frac{1}{2}x^2)+(\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{6}x^3)+\cdots \\ 41 | &=1+2x+\frac{1}{2}(2x)^2+\frac{1}{6}(2x)^3+\cdots \\ 42 | &={\rm e}^{2x} 43 | \end{aligned} 44 | $$ 45 | 46 | ## 3.求 $\rm e$ 的值与该函数图像 47 | 上述展开式就是教授认为第二重要的指数级数，顺便介绍了下最重要的几何级数（上述展开式去掉分数部分）。 48 | 令 $x=1$ ，便可得到 $\rm e$ ： 49 | $$ 50 | \begin{aligned} 51 | \rm e&=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots \\[2ex] 52 | &=2.71828\ldots 53 | \end{aligned} 54 | $$ 55 | 顺便画了个图 $y(x)={\rm e}^x$ ： 56 | ![](attachments/3求e的值%20(2).jpg) 57 | 58 | ## 4.另一种求 $\rm e$ 的方式 59 | 假如你每年可以从银行获取100%的利息，从1块钱开始，那么第一年年底可以获得2块钱。 60 | 如果银行每个月结一次利息，那么第一个月底可以获得： 61 | $$ 62 | \left (1+\frac{1}{12} \right ) 63 | $$ 64 | 年底可以获得： 65 | $$ 66 | \left (1+\frac{1}{12} \right )^{12}=2.61303529\ldots 67 | $$ 68 | 每天结算一次，年底可以获得： 69 | $$ 70 | \left (1+\frac{1}{365} \right )^{365}=2.71456748\ldots 71 | $$ 72 | 是不是获得钱越来越像 $\rm e$ 了，没错 73 | $$ 74 | \lim_{N \to \infty}{\left (1+\frac{1}{N} \right )^{N}}=\rm e 75 | $$ 76 | ![](attachments/4另一种求e的方式.jpg) 77 | 78 | ## 5.帯系数的一阶微分方程 79 | $$ 80 | \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=cy 81 | $$ 82 | 解为： 83 | $$ 84 | y(x)={\rm e}^{cx} 85 | $$ 86 | ![](attachments/5帯系数的一阶微分方程.jpg) -------------------------------------------------------------------------------- /第零课 预备知识/第零课 预备知识.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 1. 正弦和差公式、余弦和差公式 2 | $\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ 3 | $\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ 4 | 5 | 2. 积化和差 6 | $ 7 | {\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}} \\[2ex] 8 | {\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}} \\[2ex] 9 | {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}} \\[2ex] 10 | {\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}} \\[2ex] 11 | $ 12 | 13 | 3. 和差化积 14 | $ 15 | {\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} \\[2ex] 16 | {\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}} \\[2ex] 17 | {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} \\[2ex] 18 | {\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}} \\[2ex] 19 | $ 20 | 21 | 4. 万能公式 22 | $ 23 | \displaystyle 令t=\tan(\frac{x}{2})， \\[2ex] 24 | \displaystyle 则\tan x=\frac{2t}{1-t^2} \\[2ex] 25 | 根据三角函数的几何意义绘出三边关系图： 26 | $ 27 | ![](../万能公式关系图.webp) 28 | $ 29 | 则 \\ 30 | \displaystyle \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \\[2ex] 31 | \displaystyle \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\[2ex] 32 | $ 33 | 34 | 5. 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 35 | 对于 $\displaystyle\frac{\pi}{2}k\pm\alpha(k\in\mathbb{Z})$ 的三角函数值， 36 | 1. 当 $k$ 是偶数时，得到 $\alpha$ 的同名函数值，即函数名不改变； 37 | 2. 当 $k$ 是奇数时，得到 $\alpha$ 相应的余函数值，即 $\sin\leftrightarrow\cos,\tan\leftrightarrow\cot,\sec\leftrightarrow\csc$（奇变偶不变） 38 | 3. 然后在前面加上把 $\alpha$ 看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限） 39 | 例子：$\sin(x + \pi/2) = \cos x$ 40 | 41 | 6. 垂直斜率相乘等于-1。（直接想象下斜率为1和-1的直线是垂直的） 42 | 43 | 7. $\arcsin x + \arccos x =\pi/2$ 44 | 45 | -------------------------------------------------------------------------------- /错题与总结.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 1. 函数的极限和无穷大 2 | 习题1-4 题5 3 | 2. 常见的等价无穷小 4 | 1. $x \sim \sin x \\[2ex]$ 5 | 详见[第六课 sinx和cosx的导数](第六课%20sinx和cosx的导数/第六课%20sinx和cosx的导数.md) 6 | 1.6 极限存在准则 7 | 8 | 2. $x \sim \tan x \\[2ex]$ 9 | 10 | 3. $x \sim \arcsin x \\[2ex]$ 11 | 12 | 4. $x \sim \arctan x \\[2ex]$ 13 | 14 | 5. $\displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \\[2ex]$ 15 | 16 | 6. $\displaystyle \sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac{1}{n}x \\[2ex]$ 17 | P54 习题1-6 4（4） 18 | 视频P13 1.7 无穷小的比较 10:38 19 | $ 20 | \displaystyle a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1) \\[2ex] 21 | a-1 = \frac{a^n - 1}{a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1} \\[2ex] 22 | 当a=\sqrt[n]{1+x} \\[2ex] 23 | \sqrt[n]{1+x}-1 = \frac{(\sqrt[n]{1+x})^n - 1}{(\sqrt[n]{1+x})^{n-1}+(\sqrt[n]{1+x})^{n-2}+\cdots+1} \\[2ex] 24 | \begin{aligned} 25 | \lim_{x \to 0}{\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac{1}{n}x}} &= \lim_{x \to 0}{\frac{(\sqrt[n]{1+x})^n - 1}{{\frac{1}{n}x}((\sqrt[n]{1+x})^{n-1}+(\sqrt[n]{1+x})^{n-2}+\cdots+1)}} \\[2ex] 26 | &=\lim_{x \to 0}{\frac{n}{(\sqrt[n]{1+x})^{n-1}+(\sqrt[n]{1+x})^{n-2}+\cdots+1}} \\[2ex] 27 | &=1 28 | \end{aligned} 29 | $ 30 | 31 | 7. $\ln(1+x) \sim x \\[2ex]$ 32 | P65 33 | $ 34 | \begin{aligned} 35 | \displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\ln(1+x)}{x}} &= \lim_{x \to 0}{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}} \\[2ex] 36 | &=\lim_{x \to 0}{\ln({\rm e})} \\[2ex] 37 | &=1 38 | \end{aligned} 39 | $ 40 | 41 | 8. ${\rm e}^x - 1 \sim x \\[2ex]$ 42 | $ 43 | \displaystyle 令t={\rm e}^x - 1, x=\ln(t + 1),当x\to 0时,t\to 0,于是 \\[2ex] 44 | \lim_{x \to 0}{\frac{{\rm e}^x - 1}{x}} = \lim_{x \to 0}{\frac{t}{\ln(t+1)}} = 1 \\[2ex] 45 | $ 46 | 47 | 9. $\displaystyle \log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a} \\[2ex]$ 48 | 49 | 10. $a^x - 1 \sim x\ln a \\[2ex]$ 50 | 51 | 11. $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \\[2ex]$ 52 | $ 53 | \displaystyle 令t=(1+x)^\alpha-1,当x\to 0时,t\to 0,于是 \\[2ex] 54 | \begin{aligned} 55 | \lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} 56 | &=\lim_{x \to 0}\left[\frac{(1+x)^\alpha - 1}{\ln(1+x)^\alpha}\frac{\alpha\ln(1+x)}{x}\right] \\[2ex] 57 | &=\lim_{t \to 0}\frac{t}{\ln(t+1)}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\alpha\ln(1+x)}{x} 58 | \end{aligned} \\[2ex] 59 | $ 60 | 3. 常用导数 61 | 1. $(C)' = 0 \\[2ex]$ 62 | 2. $(x^\mu) = \mu x^{\mu -1} \\[2ex]$ 63 | 3. $(\sin x)' = \cos x \\[2ex]$ 64 | 4. $(\cos x)' = -\sin x \\[2ex]$ 65 | 5. $(\tan x)' = \sec^2 x \\[2ex]$ 66 | 6. $(\cot x)' = -\csc^2 x \\[2ex]$ 67 | 7. $(\sec x)' = \sec x\tan x \\[2ex]$ 68 | 8. $(\csc x)' = -\sec x\cot x \\[2ex]$ 69 | 9. $(a^x)' = a^x\ln a\quad（a>0,a\neq1） \\[2ex]$ 70 | 10. $(\mathrm e^x)' = {\rm e}^x \\[2ex]$ 71 | 11. $\displaystyle(\log_ax)' = \frac{1}{x\ln a} \quad（a>0,a\neq1） \\[2ex]$ 72 | 12. $\displaystyle(\ln x)' = \frac{1}{x} \\[2ex]$ 73 | 13. $\displaystyle(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[2ex]$ 74 | 14. $\displaystyle(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[2ex]$ 75 | 15. $\displaystyle(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \\[2ex]$ 76 | 16. $\displaystyle(\text{arccot}\, x)' = -\frac{1}{1+x^2} \\[2ex]$ 77 | 4. 基本积分表 78 | 1. $\displaystyle\int k \mathrm d x = kx+C\quad （k是常数） \\[2ex]$ 79 | 2. $\displaystyle\int x^\mu \mathrm d x\quad = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C（\mu \neq-1） \\[2ex]$ 80 | 3. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{x} = \ln|x|+C \\[2ex]$ 81 | 4. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{1+x^2} = \arctan x+C \\[2ex]$ 82 | 5. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x+C \\[2ex]$ 83 | 6. $\displaystyle\int \cos x\mathrm d x = \sin x+C \\[2ex]$ 84 | 7. $\displaystyle\int \sin x\mathrm d x = -\cos x+C \\[2ex]$ 85 | 8. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{\cos^2x} = \int \sec^2x\mathrm d x = \tan x+C \\[2ex]$ 86 | 9. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{\sin^2x} = \int \csc^2x\mathrm d x = -\cot x+C \\[2ex]$ 87 | 10. $\displaystyle\int \sec x\tan x\mathrm d x = \sec x+C \\[2ex]$ 88 | 11. $\displaystyle\int \csc x\cot x\mathrm d x = -\csc x+C \\[2ex]$ 89 | 12. $\displaystyle\int \mathrm e^x\mathrm d x = \mathrm e^x+C \\[2ex]$ 90 | 13. $\displaystyle\int a^x\mathrm d x = \frac{a^x}{\ln a}+C \\[2ex]$ 91 | $注意：2上下都+1；3要加绝对值；后面的需再次计算。\\[2ex]$ 92 | 14. $\displaystyle\int \sh x\mathrm d x = \ch x+C \\[2ex]$ 93 | 15. $\displaystyle\int \ch x\mathrm d x = \sh x+C \\[2ex]$ 94 | 16. $\displaystyle\int \tan x\mathrm d x = -\ln|\cos x|+C \\[2ex]$ 95 | 17. $\displaystyle\int \cot x\mathrm d x = \ln|\sin x|+C \\[2ex]$ 96 | 18. $\displaystyle\int \sec x\mathrm d x = \ln|\sec x+\tan x|+C \\[2ex]$ 97 | 19. $\displaystyle\int \csc x\mathrm d x = \ln|\csc x-\cot x|+C \\[2ex]$ 98 | 20. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\[2ex]$ 99 | 21. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\[2ex]$ 100 | 22. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a}+C \\[2ex]$ 101 | 23. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C \\[2ex]$ 102 | 24. $\displaystyle\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C \\[2ex]$ 103 | 25. $\displaystyle\int \ln x \mathrm d x= x\ln x-x+C \\[2ex]$ 104 | 105 | 5. 定积分 106 | 1. 若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，则（5.3 例5） 107 | $$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\mathrm d x = 2\int_0^a f(x)\mathrm d x \\[2ex]$$ 108 | 2. 若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续且为奇函数，则 109 | $$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\mathrm d x = 0 \\[2ex]$$ 110 | 3. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则（5.3 例6） 111 | 1. $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x)\mathrm d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x)\mathrm d x \\[2ex]$ 112 | 2. $\displaystyle\int_{0}^{\pi} xf(\sin x)\mathrm d x = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x)\mathrm d x \\[2ex]$ 113 | 4. 设 $f(x)$ 是连续的周期函数，周期为 $T$ ，则（5.3 例7） 114 | 1. $\displaystyle\int_{a}^{a+T} f(x)\mathrm d x = \int_{0}^{T} f(x)\mathrm d x \\[2ex]$ 115 | 2. $\displaystyle\int_{a}^{a+nT} f(x)\mathrm d x = n\int_{0}^{T} f(x)\mathrm d x\qquad(n\in \mathbb{N}) \\[2ex]$ 116 | 5. 以下定积分公式（5.3 例12） 117 | $$\displaystyle 118 | \begin{aligned}I_n&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\mathrm d x \\[2ex] 119 | &= 120 | \begin{cases} 121 | \displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\ \cdots\ \cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text{n为正偶数，} \\[2ex] 122 | \displaystyle\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\ \dots\ \cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}, & \text{n为大于1的正奇数。} \\ 123 | \end{cases} 124 | \end{aligned} 125 | $$ 126 | 127 | 6. 微分近似公式 128 | $\displaystyle\Delta y \approx \mathrm d y = f'(x_0)\Delta x \\[2ex] 129 | f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \\[2ex]$ 130 | 131 | 7. 泰勒公式 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