├── .gitignore ├── AJbook.cls ├── AJerrata.cls ├── Al-jabr-1.pdf ├── Al-jabr-1.tex ├── Al-jabr.bib ├── Errata-Al-jabr-1-old.pdf ├── Errata-Al-jabr-1-v0.pdf ├── Errata-Al-jabr-1-v0.tex ├── Errata-Al-jabr-1-v1.pdf ├── Errata-Al-jabr-1-v1.tex ├── Errata-Al-jabr-1.pdf ├── Errata-Al-jabr-1.tex ├── LICENSE ├── Lanzhou.png ├── Makefile ├── README.md ├── Template-AJbook.pdf ├── Template-AJbook.tex ├── ccby.png ├── chapter1.tex ├── chapter10.tex ├── chapter2.tex ├── chapter3.tex ├── chapter4.tex ├── chapter5.tex ├── chapter6.tex ├── chapter7.tex ├── chapter8.tex ├── chapter9.tex ├── coverpage.tex ├── font-setup-open.tex ├── myarrows.sty ├── mycommand.sty ├── prelude.tex └── titles-setup.tex /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | ## Core latex/pdflatex auxiliary files: 2 | *.aux 3 | *.lof 4 | *.log 5 | *.lot 6 | *.fls 7 | *.out 8 | *.toc 9 | *.fmt 10 | *.fot 11 | *.cb 12 | *.cb2 13 | .*.lb 14 | 15 | ## Intermediate documents: 16 | *.dvi 17 | *.xdv 18 | *-converted-to.* 19 | # these rules might exclude image files for figures etc. 20 | # *.ps 21 | # *.eps 22 | # *.pdf 23 | 24 | ## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" 25 | .pdf 26 | 27 | ## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): 28 | *.bbl 29 | *.bcf 30 | *.blg 31 | *-blx.aux 32 | *-blx.bib 33 | *.run.xml 34 | 35 | ## Build tool auxiliary files: 36 | *.fdb_latexmk 37 | *.synctex 38 | *.synctex(busy) 39 | *.synctex.gz 40 | *.synctex.gz(busy) 41 | *.pdfsync 42 | 43 | ## Build tool directories for auxiliary files 44 | # latexrun 45 | latex.out/ 46 | 47 | ## Auxiliary and intermediate files from other packages: 48 | # algorithms 49 | *.alg 50 | *.loa 51 | 52 | # achemso 53 | acs-*.bib 54 | 55 | # amsthm 56 | *.thm 57 | 58 | # beamer 59 | *.nav 60 | *.pre 61 | *.snm 62 | *.vrb 63 | 64 | # changes 65 | *.soc 66 | 67 | # comment 68 | *.cut 69 | 70 | # cprotect 71 | *.cpt 72 | 73 | # elsarticle (documentclass of Elsevier journals) 74 | *.spl 75 | 76 | # endnotes 77 | *.ent 78 | 79 | # fixme 80 | *.lox 81 | 82 | # feynmf/feynmp 83 | *.mf 84 | *.mp 85 | *.t[1-9] 86 | *.t[1-9][0-9] 87 | *.tfm 88 | 89 | #(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar 90 | *.end 91 | *.?end 92 | *.[1-9] 93 | *.[1-9][0-9] 94 | *.[1-9][0-9][0-9] 95 | *.[1-9]R 96 | *.[1-9][0-9]R 97 | *.[1-9][0-9][0-9]R 98 | *.eledsec[1-9] 99 | *.eledsec[1-9]R 100 | *.eledsec[1-9][0-9] 101 | *.eledsec[1-9][0-9]R 102 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9] 103 | *.eledsec[1-9][0-9][0-9]R 104 | 105 | # glossaries 106 | *.acn 107 | *.acr 108 | *.glg 109 | *.glo 110 | *.gls 111 | *.glsdefs 112 | *.lzo 113 | *.lzs 114 | 115 | # uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!) 116 | # *.ist 117 | 118 | # gnuplottex 119 | *-gnuplottex-* 120 | 121 | # gregoriotex 122 | *.gaux 123 | *.gtex 124 | 125 | # htlatex 126 | *.4ct 127 | *.4tc 128 | *.idv 129 | *.lg 130 | *.trc 131 | *.xref 132 | 133 | # hyperref 134 | *.brf 135 | 136 | # knitr 137 | *-concordance.tex 138 | # TODO Uncomment the next line if you use knitr and want to ignore its generated tikz files 139 | # *.tikz 140 | *-tikzDictionary 141 | 142 | # listings 143 | *.lol 144 | 145 | # luatexja-ruby 146 | *.ltjruby 147 | 148 | # makeidx 149 | *.idx 150 | *.ilg 151 | *.ind 152 | 153 | # minitoc 154 | *.maf 155 | *.mlf 156 | *.mlt 157 | *.mtc[0-9]* 158 | *.slf[0-9]* 159 | *.slt[0-9]* 160 | *.stc[0-9]* 161 | 162 | # minted 163 | _minted* 164 | *.pyg 165 | 166 | # morewrites 167 | *.mw 168 | 169 | # nomencl 170 | *.nlg 171 | *.nlo 172 | *.nls 173 | 174 | # pax 175 | *.pax 176 | 177 | # pdfpcnotes 178 | *.pdfpc 179 | 180 | # sagetex 181 | *.sagetex.sage 182 | *.sagetex.py 183 | *.sagetex.scmd 184 | 185 | # scrwfile 186 | *.wrt 187 | 188 | # sympy 189 | *.sout 190 | *.sympy 191 | sympy-plots-for-*.tex/ 192 | 193 | # pdfcomment 194 | *.upa 195 | *.upb 196 | 197 | # pythontex 198 | *.pytxcode 199 | pythontex-files-*/ 200 | 201 | # tcolorbox 202 | *.listing 203 | 204 | # thmtools 205 | *.loe 206 | 207 | # TikZ & PGF 208 | *.dpth 209 | *.md5 210 | *.auxlock 211 | 212 | # todonotes 213 | *.tdo 214 | 215 | # vhistory 216 | *.hst 217 | *.ver 218 | 219 | # easy-todo 220 | *.lod 221 | 222 | # xcolor 223 | *.xcp 224 | 225 | # xmpincl 226 | *.xmpi 227 | 228 | # xindy 229 | *.xdy 230 | 231 | # xypic precompiled matrices and outlines 232 | *.xyc 233 | *.xyd 234 | 235 | # endfloat 236 | *.ttt 237 | *.fff 238 | 239 | # Latexian 240 | TSWLatexianTemp* 241 | 242 | ## Editors: 243 | # WinEdt 244 | *.bak 245 | *.sav 246 | 247 | # Texpad 248 | .texpadtmp 249 | 250 | # LyX 251 | *.lyx~ 252 | 253 | # Kile 254 | *.backup 255 | 256 | # gummi 257 | .*.swp 258 | 259 | # KBibTeX 260 | *~[0-9]* 261 | 262 | # TeXnicCenter 263 | *.tps 264 | 265 | # auto folder when using emacs and auctex 266 | ./auto/* 267 | *.el 268 | 269 | # expex forward references with \gathertags 270 | *-tags.tex 271 | 272 | # standalone packages 273 | *.sta 274 | 275 | # Makeindex log files 276 | *.lpz 277 | 278 | # REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib 279 | # option is specified. Footnotes are the stored in a file with suffix Notes.bib. 280 | # Uncomment the next line to have this generated file ignored. 281 | #*Notes.bib 282 | -------------------------------------------------------------------------------- /AJbook.cls: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % The class file for the book project 《代数学方法》 2 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 3 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 4 | % document under the terms of the Creative Commons 5 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 6 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 7 | 8 | % We make use of etoolbox. The package ntheorem is implicitly required. 9 | % It will also import the files titles-setup.tex (for titles of sections) and font-setup-open.tex/font-setup-HEP.tex (for fonts). 10 | 11 | % Identification 12 | % -------------- 13 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 14 | \ProvidesClass{AJbook}[2018/03/04 Class for the book project Methods of Algebra] 15 | 16 | % 使用 key-val 格式指定选项之用, 一切以 @AJ 起始. 17 | \RequirePackage{kvoptions} 18 | \RequirePackage{etoolbox} 19 | 20 | \SetupKeyvalOptions{ 21 | family = @AJ, 22 | prefix = @AJ@ 23 | } 24 | 25 | % Declaration of options 26 | % ---------------------- 27 | \DeclareBoolOption[false]{draftmark} % 是否打上未定稿标记 28 | \DeclareBoolOption[true]{colors} % 是否让链接带颜色 29 | \DeclareBoolOption[true]{CJKthechapter} % 是否让天眉的各章编号使用中文数字 30 | \DeclareBoolOption[false]{traditional} % 是否使用繁体中文 31 | \DeclareStringOption[]{coverpage} % 封面档档名, 默认为空 32 | \DeclareStringOption{fontsetup} % 字体设定档档名 33 | \DeclareStringOption{titlesetup} % 章节标题设定档档名 34 | \DeclareStringOption[b5]{geometry} % 版面 (默认 b5) 35 | 36 | \PassOptionsToPackage{dvipsnames}{xcolor} % 让 xcolor 带 dvipsnames 选项; tikz 随后会载入之. 37 | 38 | 39 | % Execution of options 40 | % --------------------- 41 | \ProcessKeyvalOptions* 42 | \relax 43 | 44 | % Package loading 45 | % --------------------- 46 | % 基于 book class, 选项一并载入. 47 | \LoadClass[10pt]{book} 48 | 49 | \RequirePackage{fontspec} % XeLaTeX 50 | \RequirePackage[CJKchecksingle]{xeCJK} % XeCJK 51 | \RequirePackage{zhnumber} % 中文数字转换 52 | 53 | % 引入 AMS 宏包 + mathtools 54 | \RequirePackage[intlimits]{amsmath} 55 | \RequirePackage{amssymb} 56 | \RequirePackage[centercolon]{mathtools} 57 | 58 | % 支持直接引入 PDF 页面 59 | \RequirePackage{pdfpages} 60 | 61 | % 加入字串处理功能 62 | \RequirePackage{xstring} 63 | 64 | \RequirePackage{emptypage} 65 | \RequirePackage[many]{tcolorbox} % 制作方框 66 | 67 | \RequirePackage{setspace} % 设定适于中文排版的行距 68 | 69 | % 使用 biblatex + biber 制作书目 70 | \RequirePackage[ 71 | backend=biber, 72 | sorting=nyt, 73 | hyperref=auto, 74 | backref=true, 75 | backrefstyle=three] 76 | {biblatex} 77 | 78 | % 要求载入 TikZ 79 | \RequirePackage{tikz} 80 | 81 | % 载入 paralist 82 | \RequirePackage{paralist} 83 | 84 | % Main codes 85 | % ---------- 86 | 87 | \usetikzlibrary{shapes.symbols} % 稍后定义 hint 环境所需 88 | 89 | % 定义在 draftmark=true 模式下显示版本信息的指令 90 | \RequirePackage[iso, english]{isodate} % 使 \today 印出 yyyy-mm-dd 91 | \providecommand{\@AJ@draftstring}{{\color{gray!40}\heiti 未定稿: \today}} 92 | 93 | \onehalfspacing % 行距 94 | %\raggedbottom % 减小页面空白 95 | 96 | \setlength{\parindent}{2em} % 设置适合于汉语排版的段落缩进 97 | 98 | % 扩展 \frontmatter: 制作封面和目录 99 | \g@addto@macro\frontmatter{ 100 | % 当 coverpage 参数非空时, 引入封面档制作封面, 否则 \relax. 101 | \ifdefempty{\@AJ@coverpage}{% 102 | \relax 103 | }{% 104 | \pagestyle{empty}% 清空页面风格 105 | \renewcommand{\thepage}{C\arabic{page}}% 封面部分页码以 C 开头 (PDF: logical page numbers) 106 | \IfEndWith{\@AJ@coverpage}{.pdf}{% 如果档名以 .pdf 或 .PDF 结尾则引入 PDF 107 | \includepdf{\@AJ@coverpage} 108 | }{% 109 | \IfEndWith{\@AJ@coverpage}{.PDF}{% 110 | \includepdf{\@AJ@coverpage} 111 | }{% 112 | \input{\@AJ@coverpage} % 否则引入 .tex 源代码 113 | } 114 | }% 115 | \pagestyle{fancy} % 复原页面风格为 fancy 116 | \pagenumbering{roman} % 页码复原为小写罗马字母 117 | } 118 | 119 | % 重设页数: 封面页结束时应已经 \cleardoublepage 120 | \setcounter{page}{1} 121 | \thispagestyle{empty} 122 | \addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{empty}} 123 | 124 | % 重置目录标题 125 | \if@AJ@traditional 126 | \renewcommand{\contentsname}{目錄} 127 | \else 128 | \renewcommand{\contentsname}{目录} 129 | \fi 130 | 131 | \tableofcontents % 印出目录 132 | } 133 | 134 | % 扩张 \appendix: 重置天眉 135 | \g@addto@macro\appendix{ 136 | % 为附录重置天眉格式 137 | \if@AJ@traditional 138 | \renewcommand{\appendixname}{附錄} 139 | \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{附錄 \thechapter \quad #1}{}} 140 | \else 141 | \renewcommand{\appendixname}{附录} 142 | \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{附录 \thechapter \quad #1}{}} 143 | \fi 144 | \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{\S\thesection \quad #1}} 145 | } 146 | 147 | % 扩展 \backmatter: 设置文献显示方式. 注意: 若有附录则须重置天眉格式 148 | \g@addto@macro\backmatter{ 149 | \renewcommand{\em}{\itshape} % 书目部分以斜体表示强调 150 | % 汉化参考文献标题 151 | \if@AJ@traditional 152 | \renewcommand{\refname}{參考文獻} 153 | \renewcommand{\bibname}{參考文獻} 154 | \else 155 | \renewcommand{\refname}{参考文献} 156 | \renewcommand{\bibname}{参考文献} 157 | \fi 158 | } 159 | 160 | % 以下设置 biblatex. 161 | % bibLaTeX 部分第一步: 基本设置与汉化. 162 | \DeclareFieldFormat{postnote}{#1} % 功能是印出 \cite[postnote]{Book} 163 | \if@AJ@traditional 164 | \DefineBibliographyStrings{english}{% 165 | in = {刊於}, 166 | editor = {主編}, 167 | byeditor = {編者為}, 168 | backrefpage = {引用於 p.\!}, 169 | backrefpages = {引用於 pp.\!}, 170 | } 171 | \else 172 | \DefineBibliographyStrings{english}{% 173 | in = {刊于}, 174 | editor = {主编}, 175 | byeditor = {编者为}, 176 | backrefpage = {引用于 p.\!}, 177 | backrefpages = {引用于 pp.\!}, 178 | } 179 | \fi 180 | % biblatex 部分第二步: 要求在 doi 和 URL 并存时移除 URL. 仅适用于 Biblatex + Biber. 源码取自 https://tex.stackexchange.com/questions/119136/biblatex-convert-doi-url-into-doi-field 原文如下. 181 | % The actual value inside \regexp can be adjusted. 182 | % In the first step we create a doi field for each entry where the url field matches the regexp, and the novel field has the value of the url field. In the second step we remove the doi "namespace". 183 | % In the second \map sequence the url and urldate fields are cleared if a doi field is present, to mimic the behavior in the first part of the original question. 184 | \DeclareSourcemap{ 185 | \maps[datatype=bibtex]{ 186 | \map{ 187 | \step[ % copies url to doi field if it starts with http://dx.doi.org/ 188 | fieldsource=url, 189 | match=\regexp{http://dx.doi.org/(.+)}, 190 | fieldtarget=doi, 191 | ] 192 | \step[ % removes http://dx.doi.org/ string from doi field 193 | fieldsource=doi, 194 | match=\regexp{http://dx.doi.org/(.+)}, 195 | replace=\regexp{$1} 196 | ] 197 | } 198 | \map{ % removes url + urldate field from all entries that have a doi field 199 | \step[fieldsource=doi, final] 200 | \step[fieldset=url, null] 201 | \step[fieldset=urldate, null] 202 | } 203 | } 204 | } 205 | 206 | % 汉化 figure 和 table 环境 207 | \if@AJ@traditional 208 | \renewcommand{\figurename}{圖} 209 | \renewcommand{\tablename}{表} 210 | \else 211 | \renewcommand{\figurename}{图} 212 | \renewcommand{\tablename}{表} 213 | \fi 214 | 215 | % 汉化 figure 和 table 索引 216 | \if@AJ@traditional 217 | \renewcommand{\listfigurename}{圖片索引} 218 | \renewcommand{\listtablename}{表格索引} 219 | \else 220 | \renewcommand{\listfigurename}{图片索引} 221 | \renewcommand{\listtablename}{表格索引} 222 | \fi 223 | 224 | % 将 figure 和 table 索引加入目录: 使用 etoolbox 提供的 patching 225 | \pretocmd{\listoffigures}{% 226 | \cleardoublepage 227 | \phantomsection 228 | \addcontentsline{toc}{chapter}{\listfigurename} 229 | }{}{} 230 | \pretocmd{\listoftables}{% 231 | \cleardoublepage 232 | \phantomsection 233 | \addcontentsline{toc}{chapter}{\listtablename} 234 | }{}{} 235 | 236 | % 输入字体设置 237 | \input{\@AJ@fontsetup} 238 | % 输入章节标题设置 239 | \input{\@AJ@titlesetup} 240 | 241 | % 设置习题环境, 置于每章最后: 不用 \section* 以免格式混淆 242 | \if@AJ@traditional 243 | \newenvironment{Exercises}{% 244 | \markright{習題} 245 | \addcontentsline{toc}{section}{習題} 246 | \vspace{1em}\begin{center} 247 | \Large\CJKfamily{sectionfont} 習題 248 | \end{center}\vspace{0.7em} 249 | \begin{small}\begin{enumerate}[\bfseries 1.] % 250 | }{ % 结束 251 | \end{enumerate}\end{small} 252 | } 253 | \else 254 | \newenvironment{Exercises}{% 255 | \markright{习题} 256 | \addcontentsline{toc}{section}{习题} 257 | \vspace{1em}\begin{center} 258 | \Large\CJKfamily{sectionfont} 习题 259 | \end{center}\vspace{0.7em} 260 | \begin{small}\begin{enumerate}[\bfseries 1.] % 261 | }{ % 结束 262 | \end{enumerate}\end{small} 263 | } 264 | \fi 265 | 266 | % 习题提示 (定义为环境, 穿插文中) 267 | \newenvironment{hint}{% 268 | \ifvmode % 用 \ifvmode 测试: 如果提示另起新段, 则不加空白. 269 | \ignorespaces % 消除横向空白, 优于 \unskip 270 | \else 271 | \quad % 否则加入空白. 272 | \fi 273 | \begin{tikzpicture}[baseline=(H.base), every node/.style={signal, draw, very thin, signal to=east, signal from=nowhere, signal pointer angle=120, inner sep=2pt}] 274 | \node[anchor=mid west] (H) at (0,0) {\heiti\footnotesize 提示}; 275 | \end{tikzpicture} 276 | }{} 277 | 278 | % 每章开头的学习提示 (定义为环境) 279 | \if@AJ@traditional 280 | \newtcolorbox{wenxintishi}{ 281 | breakable, 282 | enhanced, 283 | width = \textwidth, 284 | colback = white, colbacktitle = white, 285 | colframe = gray!50, boxrule=0.2mm, 286 | coltitle = black, 287 | fonttitle = \sffamily, 288 | attach boxed title to top left = {yshift=-\tcboxedtitleheight/2, xshift=\tcboxedtitlewidth/4}, 289 | boxed title style = {boxrule=0pt, colframe=white}, 290 | before skip = 0.5cm, 291 | top = 3mm, 292 | bottom = 3mm, 293 | title={閱讀提示} 294 | } 295 | \else 296 | \newtcolorbox{wenxintishi}{ 297 | breakable, 298 | enhanced, 299 | width = \textwidth, 300 | colback = white, colbacktitle = white, 301 | colframe = gray!50, boxrule=0.2mm, 302 | coltitle = black, 303 | fonttitle = \sffamily, 304 | attach boxed title to top left = {yshift=-\tcboxedtitleheight/2, xshift=\tcboxedtitlewidth/4}, 305 | boxed title style = {boxrule=0pt, colframe=white}, 306 | before skip = 0.5cm, 307 | top = 3mm, 308 | bottom = 3mm, 309 | title={阅读提示} 310 | } 311 | \fi 312 | 313 | \AtEndPreamble{ 314 | \RequirePackage[thmmarks, amsmath, hyperref]{ntheorem} % 设置定理环境所需 315 | 316 | % 若 hyperref 已载入, 则按 colors 的 Bool 值设置链接色彩. 317 | \@ifpackageloaded{hyperref}{ 318 | \if@AJ@colors 319 | \hypersetup{ 320 | colorlinks = true, 321 | linkcolor = blue, 322 | citecolor = red, 323 | urlcolor = teal} 324 | \else 325 | \hypersetup{hidelinks} 326 | \fi} 327 | {} 328 | 329 | % 设置页面尺寸 330 | \RequirePackage{geometry} 331 | \IfStrEq{\@AJ@geometry}{b5}{% 载入 b5 版面设置 332 | \geometry{ 333 | paper=b5paper, 334 | headheight=5ex, 335 | headsep=5ex, 336 | textwidth=132mm, 337 | textheight=198mm, 338 | twoside, 339 | % bindingoffset=18pt, 340 | asymmetric % 单双数页不分 341 | }}{} 342 | 343 | \IfStrEq{\@AJ@geometry}{a4}{% 载入 a4 版面设置 344 | \geometry{ 345 | paper=a4paper, 346 | top=3cm, 347 | inner=2.54cm, 348 | outer=2.54cm, 349 | bottom=3cm, 350 | headheight=6ex, 351 | headsep=6ex, 352 | twoside, 353 | asymmetric 354 | }}{} 355 | 356 | % 设置天眉所需 357 | \RequirePackage{fancyhdr} 358 | % 使空页恒空 359 | \fancypagestyle{plain}{ 360 | \fancyhead{} 361 | \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} 362 | } 363 | 364 | % 设置天眉 365 | \pagestyle{fancy} 366 | \if@AJ@CJKthechapter 367 | \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{ 368 | 第\zhnumber{\thechapter}章\quad #1 369 | }{}} 370 | \else 371 | \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{ 372 | 第 \thechapter 章\quad #1 373 | }{}} 374 | \fi 375 | \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{\S\arabic{chapter}.\arabic{section} \quad #1}} 376 | \fancyhf{} % 先清空 377 | \fancyhead[EC]{\CJKfamily{hei2}\footnotesize{\leftmark}\vspace{1mm}} 378 | \fancyhead[OC]{\CJKfamily{hei2}\footnotesize{\rightmark}\vspace{1mm}} 379 | \fancyhead[LE,RO]{{\footnotesize \thepage}\vspace{1mm}} % 380 | \fancyhead[RE,LO]{} 381 | \if@AJ@draftmark 382 | \fancyfoot[C]{\@AJ@draftstring} % 在 draftmark=true 时打印版本信息 383 | \fi 384 | \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % 天眉暂不加横线 385 | \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} 386 | \addtolength{\headheight}{0.5pt} 387 | } 388 | 389 | \AtBeginDocument{ 390 | % 重置 \Re, \Im, \emptyset. 由于可能用到 unicode-math, 这必须在 \begin{document} 后进行. 391 | \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} 392 | \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} 393 | \renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}} 394 | 395 | \newcommand{\openbox}{\leavevmode % 复制 amsthm 的 QED 符号: 空心方格 396 | \hbox to.77778em{% 397 | \hfil\vrule 398 | \vbox to.675em{\hrule width.6em\vfil\hrule}% 399 | \vrule\hfil}} 400 | 401 | \theorembodyfont{\fangsong} % 以下用 ntheorem 定义定理等环境 402 | \theoremheaderfont{\sffamily\bfseries\thmheiti} % 须与 \setsansfont 选择的字体兼容 403 | \theoremseparator{\ } 404 | \setlength{\theorempreskipamount}{2mm} 405 | \setlength{\theorempostskipamount}{2mm} 406 | 407 | \if@AJ@traditional 408 | \newtheorem{theorem}{定理}[section] % 按section编号 409 | \newtheorem{corollary}[theorem]{推論} 410 | \newtheorem{lemma}[theorem]{引理} 411 | \newtheorem{proposition}[theorem]{命題} 412 | \newtheorem{definition}[theorem]{定義} 413 | \newtheorem{definition-theorem}[theorem]{定義--定理} 414 | \newtheorem{definition-proposition}[theorem]{定義--命題} 415 | \newtheorem{hypothesis}[theorem]{假設} 416 | \newtheorem{conjecture}[theorem]{猜想} 417 | 418 | \theorembodyfont{\songti} 419 | \newtheorem{example}[theorem]{例} 420 | \newtheorem{remark}[theorem]{注記} 421 | \newtheorem{convention}[theorem]{約定} 422 | \newtheorem{exercise}[theorem]{練習} % 穿插于文中的习题 423 | 424 | \theorembodyfont{} 425 | \theoremstyle{nonumberplain} 426 | \theoremheaderfont{\sffamily\bfseries\CJKfamily{pffont}} 427 | \theoremseparator{\enspace} 428 | \theoremsymbol{\openbox} % 模拟标准的 Proof 环境 429 | \newtheorem{proof}{證明} 430 | \else 431 | \newtheorem{theorem}{定理}[section] % 按section编号 432 | \newtheorem{corollary}[theorem]{推论} 433 | \newtheorem{lemma}[theorem]{引理} 434 | \newtheorem{proposition}[theorem]{命题} 435 | \newtheorem{definition}[theorem]{定义} 436 | \newtheorem{definition-theorem}[theorem]{定义--定理} 437 | \newtheorem{definition-proposition}[theorem]{定义--命题} 438 | \newtheorem{hypothesis}[theorem]{假设} 439 | \newtheorem{conjecture}[theorem]{猜想} 440 | 441 | \theorembodyfont{\songti} 442 | \newtheorem{example}[theorem]{例} 443 | \newtheorem{remark}[theorem]{注记} 444 | \newtheorem{convention}[theorem]{约定} 445 | \newtheorem{exercise}[theorem]{练习} % 穿插于文中的习题 446 | 447 | \theorembodyfont{} 448 | \theoremstyle{nonumberplain} 449 | \theoremheaderfont{\sffamily\bfseries\CJKfamily{pffont}} 450 | \theoremseparator{\enspace} 451 | \theoremsymbol{\openbox} % 模拟标准的 Proof 环境 452 | \newtheorem{proof}{证明} 453 | \fi 454 | } 455 | 456 | \AtEndDocument{ 457 | } 458 | -------------------------------------------------------------------------------- /AJerrata.cls: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % The class file for the book project 《代数学方法》-- Errata 2 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 3 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 4 | % document under the terms of the Creative Commons 5 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 6 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 7 | 8 | % Identification 9 | % -------------- 10 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 11 | \ProvidesClass{AJerrata}[2018/12/08 Class for the errata for the book project Methods of Algebra] 12 | 13 | % Package loading 14 | % --------------------- 15 | % 基于 book class, 选项一并载入. 16 | 17 | \LoadClass[10pt]{article} 18 | 19 | \RequirePackage{fontspec} % XeLaTeX 20 | \RequirePackage[CJKchecksingle]{xeCJK} % XeCJK 21 | \RequirePackage{zhnumber} % 中文数字转换 22 | 23 | % 引入 AMS 宏包 + mathtools 24 | \RequirePackage[intlimits]{amsmath} 25 | \RequirePackage{amssymb} 26 | \RequirePackage[centercolon]{mathtools} 27 | 28 | % 引入 tcolorbox 和 xcolor 29 | \RequirePackage[svgnames]{xcolor} 30 | \RequirePackage[many]{tcolorbox} 31 | 32 | % 载入 paralist 以制作列表 33 | \RequirePackage{paralist} 34 | 35 | \RequirePackage[iso, english]{isodate} % 使 \today 印出 yyyy-mm-dd 36 | 37 | \setlength{\parindent}{2em} % 设置适合于汉语排版的段落缩进 38 | 39 | \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} 40 | \XeTeXlinebreaklocale "zh" 41 | \XeTeXlinebreakskip = 0pt plus 1pt minus 0.1pt 42 | 43 | \RequirePackage{zhlineskip} % 设置适合中文排版的间距 44 | 45 | % 排版``原文''方块 46 | \newtcbox{\OriginalBox}{ 47 | enhanced, 48 | nobeforeafter, 49 | tcbox raise base, 50 | boxrule = 0.4pt, 51 | arc = 0mm, 52 | top = 0mm, 53 | bottom = 0mm, 54 | right = 0mm, 55 | left = 0.5mm, 56 | right skip = 4mm, 57 | boxsep = 2pt, 58 | colframe = red!70!black, 59 | coltext=red!60!black, 60 | colback=yellow!10!white, 61 | fontupper = \sffamily, 62 | overlay = { 63 | \coordinate (A) at (frame.north east); 64 | \coordinate (B) at (frame.south east); 65 | \coordinate (C) at ($(A)!.5!30:(B)$); 66 | \fill[color=red!70!black] (A) -- (B) -- (C) --cycle; 67 | } 68 | } 69 | 70 | % 排版``更正''方块 71 | \newtcbox{\CorrectionBox}{ 72 | enhanced, 73 | nobeforeafter, 74 | tcbox raise base, 75 | boxrule = 0.4pt, 76 | arc = 0mm, 77 | top = 0mm, 78 | bottom = 0mm, 79 | right = 0mm, 80 | left = 0.5mm, 81 | 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| }{ % 结束 117 | \end{description} 118 | } 119 | } 120 | -------------------------------------------------------------------------------- /Al-jabr-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/Al-jabr-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /Al-jabr-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!TEX TS-program = xelatex 2 | %!TEX encoding = UTF-8 3 | 4 | % LaTeX source for book ``代数学方法'' in Chinese 5 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 6 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 7 | % document under the terms of the Creative Commons 8 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 9 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 10 | 11 | % 《代数学方法》卷一: 基础结构 / 李文威 12 | % 使用自定义的文档类 AJbook.cls. 自动载入 xeCJK. 需要额外档案如下: 13 | % font-setup-HEP.tex/font-setup-open.tex, coverpage.tex, titles-setup.tex, mycommand.sty, myarrows.sty 14 | % 文档类选项 (key/val 格式): 15 | % mydraft = true (未定稿, 底部显示日期) 或 false (成品), 默认 false, 16 | % mycolors = true (链接带颜色无框) 或 false (黑色无框), 默认 true, 17 | % coverpage = 封面档档名, 默认为空 (此时不制作封面), 若为 *.pdf 的形式则直接引入 PDF 页面. 18 | % fontsetup = 字体设置档档名, 19 | % titlesetup = 章节格式设置档名. 20 | 21 | % 需动用 imakeidx + xindy (两份索引), biblatex + biber (书目). 22 | % 索引用土法进行中文排序: 如 \index{zhongwen@中文} 等. 23 | \documentclass[ 24 | % draftmark = true, 25 | colors = true, 26 | % colors = false, 27 | coverpage = coverpage.tex, 28 | % coverpage = coverpage.pdf, 29 | fontsetup = font-setup-open.tex, 30 | % fontsetup = font-setup-HEP.tex, 31 | titlesetup = titles-setup.tex 32 | ]{AJbook} 33 | 34 | \usepackage{mathrsfs} 35 | \usepackage{stmaryrd} \SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n} % 避免警告 (stmryd 不含粗体故) 36 | \usepackage{array} 37 | \usepackage{makecell} % 便于制表 38 | \usepackage{tikz-cd} % 使用 TikZ 绘图 39 | \usetikzlibrary{positioning, patterns, calc, matrix, shapes.arrows, shapes.symbols} 40 | \usepackage{braids} 41 | \usepackage{tqft} 42 | \usepackage{ytableau} 43 | 44 | % PGF plots 用于封面绘制 45 | \usepackage{pgfplots} 46 | \pgfplotsset{compat=newest} 47 | 48 | % 设置章节深度 49 | %\setcounter{secnumdepth}{1} 50 | 51 | % 必要时仅引入部分档案 52 | % \includeonly{} 53 | 54 | \usepackage{myarrows} % 使用自定义的可伸缩箭头 55 | \usepackage{mycommand} % 引入自定义的惯用的命令 56 | 57 | % 生成索引: 选用 xindy + imakeidx 58 | \usepackage[xindy, splitindex]{imakeidx} 59 | \makeindex[ 60 | columns=2, 61 | program=truexindy, 62 | intoc=true, 63 | options=-M texindy -I xelatex -C utf8, 64 | title={名词索引暨英译}] % 名词索引 65 | \makeindex[ 66 | columns=3, 67 | program=truexindy, 68 | intoc=true, 69 | options=-M numeric-sort -M latex -M latex-loc-fmts -M makeindex -I xelatex -C utf8, 70 | name=sym1, 71 | title={符号索引}] % 符号索引 72 | 73 | \usepackage[unicode, bookmarksnumbered]{hyperref} % 启动超链接和 PDF 文档信息所需 74 | % 设置 PDF 文件信息 75 | \hypersetup{ 76 | pdfauthor = {李文威 (Wen-Wei Li)}, 77 | pdftitle = {代数学方法: 第一卷}, 78 | pdfkeywords = {Algebra}, 79 | CJKbookmarks = true} 80 | 81 | % 用 bibLaTeX 生成参考文献 82 | % 载入书目库: 文档类业已引入 biblatex + biber 83 | \addbibresource{Al-jabr.bib} 84 | 85 | \begin{document} 86 | \frontmatter % 制作封面和目录. 87 | 88 | \mainmatter % 正文开始：逐章引入 TeX 代码 89 | 90 | \include{prelude} 91 | \include{chapter1} 92 | \include{chapter2} 93 | \include{chapter3} 94 | \include{chapter4} 95 | \include{chapter5} 96 | \include{chapter6} 97 | \include{chapter7} 98 | \include{chapter8} 99 | \include{chapter9} 100 | \include{chapter10} 101 | 102 | % 如有附录则在以下引入 103 | % \appendix 104 | 105 | \backmatter 106 | % 使用 bibLaTeX 制作书目 107 | \printbibliography[heading=bibintoc] 108 | 109 | 110 | % 制作索引: 先是符号索引, 继而是名词索引暨英译 111 | {\footnotesize 112 | \printindex[sym1] 113 | \indexprologue{中文术语按汉语拼音排序.} 114 | \printindex 115 | % 如有需要, 加入表格和图片索引 116 | % \cleardoublepage 117 | % \phantomsection 118 | % \addcontentsline{toc}{chapter}{\listfigurename} 119 | % \listoffigures 120 | % \cleardoublepage 121 | % \phantomsection 122 | % \addcontentsline{toc}{chapter}{\listtablename} 123 | % \listoftables 124 | } 125 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /Al-jabr.bib: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | @article {Baez02, 2 | AUTHOR = {Baez, John C.}, 3 | TITLE = {The octonions}, 4 | JOURNAL = {Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)}, 5 | FJOURNAL = {American Mathematical Society. Bulletin. New Series}, 6 | VOLUME = {39}, 7 | YEAR = {2002}, 8 | NUMBER = {2}, 9 | PAGES = {145--205}, 10 | ISSN = {0273-0979}, 11 | CODEN = {BAMOAD}, 12 | MRCLASS = {17A35 (01A55 01A60 17C40 83A05)}, 13 | MRNUMBER = {1886087}, 14 | MRREVIEWER = {Helena Albuquerque}, 15 | DOI = {10.1090/S0273-0979-01-00934-X}, 16 | URL = {http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00934-X}, 17 | } 18 | 19 | @book {Bor94-1, 20 | AUTHOR = {Borceux, Francis}, 21 | TITLE = {Handbook of categorical algebra. 1}, 22 | SERIES = {Encyclopedia of Mathematics and its Applications}, 23 | VOLUME = {50}, 24 | NOTE = {Basic category theory}, 25 | PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, 26 | YEAR = {1994}, 27 | PAGES = {xvi+345}, 28 | ISBN = {0-521-44178-1}, 29 | MRCLASS = {18-02 (18Axx)}, 30 | MRNUMBER = {1291599 (96g:18001a)}, 31 | MRREVIEWER = {Martin Hyland}, 32 | } 33 | 34 | @book {Bor94-2, 35 | AUTHOR = {Borceux, Francis}, 36 | TITLE = {Handbook of categorical algebra. 2}, 37 | SERIES = {Encyclopedia of Mathematics and its Applications}, 38 | VOLUME = {51}, 39 | NOTE = {Categories and structures}, 40 | PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge}, 41 | YEAR = {1994}, 42 | PAGES = {xviii+443}, 43 | ISBN = {0-521-44179-X}, 44 | MRCLASS = {18-02 (18Exx)}, 45 | MRNUMBER = {1313497 (96g:18001b)}, 46 | MRREVIEWER = {Martin Hyland}, 47 | } 48 | 49 | @book {Bou-Top1, 50 | AUTHOR = {Bourbaki, N.}, 51 | TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique. {T}opologie g\'en\'erale. 52 | {C}hapitres 1 \`a 4}, 53 | PUBLISHER = {Hermann, Paris}, 54 | YEAR = {1971}, 55 | PAGES = {xv+357 pp.}, 56 | MRCLASS = {54-XX}, 57 | MRNUMBER = {0358652 (50 \#11111)}, 58 | } 59 | 60 | @book {Bou-Alg1, 61 | AUTHOR = {Bourbaki, N.}, 62 | TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique. {A}lg\`ebre. {C}hapitres 1 63 | \`a 3}, 64 | PUBLISHER = {Hermann, Paris}, 65 | YEAR = {1970}, 66 | PAGES = {xiii+635 pp.}, 67 | MRCLASS = {00.00 (13.00)}, 68 | MRNUMBER = {0274237 (43 \#2)}, 69 | MRREVIEWER = {P. Samuel}, 70 | } 71 | 72 | @book {Bou-Alg2, 73 | AUTHOR = {Bourbaki, Nicolas}, 74 | TITLE = {\'{E}l\'ements de math\'ematique}, 75 | SERIES = {Lecture Notes in Mathematics}, 76 | VOLUME = {864}, 77 | NOTE = {Alg{\`e}bre. Chapitres 4 {\`a} 7.}, 78 | PUBLISHER = {Masson, Paris}, 79 | YEAR = {1981}, 80 | PAGES = {vii+422}, 81 | ISBN = {2-225-68574-6}, 82 | MRCLASS = {00A05 (06F15 12Fxx 13C05)}, 83 | MRNUMBER = {643362 (84d:00002)}, 84 | MRREVIEWER = {Robert Gilmer}, 85 | } 86 | 87 | @InCollection{BS11, 88 | Author = {John C. {Baez} and Mike {Stay}}, 89 | Title = {{Physics, topology, logic and computation: a Rosetta Stone.}}, 90 | BookTitle = {{New structures for physics}}, 91 | ISBN = {978-3-642-12820-2/pbk; 978-3-642-12821-9/ebook}, 92 | Pages = {95--172}, 93 | Year = {2011}, 94 | Publisher = {Berlin: Springer}, 95 | Language = {English}, 96 | DOI = {10.1007/978-3-642-12821-9_2}, 97 | MSC2010 = {81P05 81T45 81P45 81P68 03G30 18D15}, 98 | Zbl = {1218.81008}, 99 | note = {\url{http://arxiv.org/abs/0903.0340}} 100 | } 101 | 102 | @Article{Cantor95, 103 | Author = {G. {Cantor}}, 104 | Title = {{Beitrage zur Begr\"undung der transfiniten Mengenlehre. Art. I.}}, 105 | FJournal = {{Mathematische Annalen}}, 106 | Journal = {{Math. Ann.}}, 107 | ISSN = {0025-5831; 1432-1807/e}, 108 | Volume = {46}, 109 | Pages = {481--512}, 110 | Year = {1895}, 111 | Publisher = {Springer-Verlag, Berlin}, 112 | Language = {German}, 113 | DOI = {10.1007/BF02124929}, 114 | Zbl = {26.0081.01} 115 | } 116 | 117 | @Book{ChCh, 118 | title = {微分几何讲义}, 119 | publisher = {北京: 北京大学出版社}, 120 | year = {2001}, 121 | author = {{陈省身, 陈维桓}}, 122 | ISBN = {978-7-301-05151-1}, 123 | note = {第二版} 124 | } 125 | 126 | @Book{Co11, 127 | Editor = {Bob {Coecke}}, 128 | Title = {{New structures for physics.}}, 129 | ISBN = {978-3-642-12820-2}, 130 | Pages = {xviii + 1031}, 131 | Year = {2011}, 132 | Publisher = {Berlin: Springer}, 133 | Language = {English}, 134 | DOI = {10.1007/978-3-642-12821-9}, 135 | MSC2010 = {00B10 00A79 81-06 18-06 03-06}, 136 | Zbl = {1200.00038} 137 | } 138 | 139 | @article {De11, 140 | AUTHOR = {Dehn, M.}, 141 | TITLE = {\"{U}ber unendliche diskontinuierliche {G}ruppen}, 142 | JOURNAL = {Math. Ann.}, 143 | FJOURNAL = {Mathematische Annalen}, 144 | VOLUME = {71}, 145 | YEAR = {1911}, 146 | NUMBER = {1}, 147 | PAGES = {116--144}, 148 | ISSN = {0025-5831}, 149 | CODEN = {MAANA}, 150 | MRCLASS = {Contributed Item}, 151 | MRNUMBER = {1511645}, 152 | DOI = {10.1007/BF01456932}, 153 | URL = {http://dx.doi.org/10.1007/BF01456932}, 154 | } 155 | 156 | @Book{DN00, 157 | title = {代数学引论}, 158 | publisher = {北京: 高等教育出版社}, 159 | year = {2000}, 160 | author = {{聂灵沼, 丁石孙}}, 161 | note = {第二版} 162 | } 163 | 164 | @book {DW82, 165 | AUTHOR = {Dedekind, Richard and Weber, Heinrich}, 166 | TITLE = {Theory of algebraic functions of one variable}, 167 | SERIES = {History of Mathematics}, 168 | VOLUME = {39}, 169 | PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI; London 170 | Mathematical Society, London}, 171 | YEAR = {2012}, 172 | PAGES = {viii+152}, 173 | ISBN = {978-0-8218-8330-3}, 174 | MRCLASS = {01A75 (01A55 01A60 14-03)}, 175 | MRNUMBER = {2962951}, 176 | MRREVIEWER = {Doru {\c{S}}tef{\u{a}}nescu}, 177 | } 178 | 179 | @book {EGNO15, 180 | AUTHOR = {Etingof, Pavel and Gelaki, Shlomo and Nikshych, Dmitri and 181 | Ostrik, Victor}, 182 | TITLE = {Tensor categories}, 183 | SERIES = {Mathematical Surveys and Monographs}, 184 | VOLUME = {205}, 185 | PUBLISHER = {American Mathematical Society, Providence, RI}, 186 | YEAR = {2015}, 187 | PAGES = {xvi+343}, 188 | ISBN = {978-1-4704-2024-6}, 189 | MRCLASS = {18D10 (16T20)}, 190 | MRNUMBER = {3242743}, 191 | } 192 | 193 | @article {EM45, 194 | AUTHOR = {Eilenberg, Samuel and MacLane, Saunders}, 195 | TITLE = {General theory of natural equivalences}, 196 | JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, 197 | FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, 198 | VOLUME = {58}, 199 | YEAR = {1945}, 200 | PAGES = {231--294}, 201 | ISSN = {0002-9947}, 202 | MRCLASS = {09.1X}, 203 | MRNUMBER = {0013131 (7,109d)}, 204 | MRREVIEWER = {P. A. Smith}, 205 | } 206 | 207 | @book {EP07, 208 | AUTHOR = {Engler, Antonio J. and Prestel, Alexander}, 209 | TITLE = {Valued fields}, 210 | SERIES = {Springer Monographs in Mathematics}, 211 | PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin}, 212 | YEAR = {2005}, 213 | PAGES = {x+205}, 214 | ISBN = {978-3-540-24221-5; 3-540-24221-X}, 215 | MRCLASS = {12J20 (12F05 12J10 12J12 12J15)}, 216 | MRNUMBER = {2183496 (2007a:12005)}, 217 | MRREVIEWER = {Niels Schwartz}, 218 | } 219 | 220 | @article {FT63, 221 | AUTHOR = {Feit, Walter and Thompson, John G.}, 222 | TITLE = {Solvability of groups of odd order}, 223 | JOURNAL = {Pacific J. Math.}, 224 | FJOURNAL = {Pacific Journal of Mathematics}, 225 | VOLUME = {13}, 226 | YEAR = {1963}, 227 | PAGES = {775--1029}, 228 | ISSN = {0030-8730}, 229 | MRCLASS = {20.40 (20.25)}, 230 | MRNUMBER = {0166261 (29 \#3538)}, 231 | MRREVIEWER = {M. Suzuki}, 232 | } 233 | 234 | @book{Feng17, 235 | author = {冯琦}, 236 | title = {数理逻辑导引}, 237 | year = {2017}, 238 | publisher = {北京: 科学出版社}, 239 | isbn = {978-7-03-054579-4} 240 | } 241 | 242 | 243 | @Book{FL14, 244 | title = {拓扑群引论}, 245 | publisher = {北京: 科学出版社}, 246 | year = {2014}, 247 | author = {{黎景辉, 冯绪宁}}, 248 | isbn = {978-7-03-039779-9}, 249 | note = {第二版} 250 | } 251 | 252 | @article {Go85, 253 | AUTHOR = {Goldfeld, Dorian}, 254 | TITLE = {Gauss's class number problem for imaginary quadratic fields}, 255 | JOURNAL = {Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)}, 256 | FJOURNAL = {American Mathematical Society. Bulletin. New Series}, 257 | VOLUME = {13}, 258 | YEAR = {1985}, 259 | NUMBER = {1}, 260 | PAGES = {23--37}, 261 | ISSN = {0273-0979}, 262 | CODEN = {BAMOAD}, 263 | MRCLASS = {11R29 (01A55 01A60 11-03 11G05)}, 264 | MRNUMBER = {788386 (86k:11065)}, 265 | MRREVIEWER = {William C. Waterhouse}, 266 | DOI = {10.1090/S0273-0979-1985-15352-2}, 267 | URL = {http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1985-15352-2}, 268 | } 269 | 270 | @article {Gr57, 271 | AUTHOR = {Grothendieck, Alexander}, 272 | TITLE = {Sur quelques points d'alg\`ebre homologique}, 273 | JOURNAL = {T\^ohoku Math. J. (2)}, 274 | FJOURNAL = {The Tohoku Mathematical Journal. Second Series}, 275 | VOLUME = {9}, 276 | YEAR = {1957}, 277 | PAGES = {119--221}, 278 | ISSN = {0040-8735}, 279 | MRCLASS = {18.00}, 280 | MRNUMBER = {0102537 (21 \#1328)}, 281 | MRREVIEWER = {D. 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M.}, 380 | TITLE = {Solution of polynomials by real radicals}, 381 | JOURNAL = {Amer. Math. Monthly}, 382 | FJOURNAL = {American Mathematical Monthly}, 383 | VOLUME = {92}, 384 | YEAR = {1985}, 385 | NUMBER = {8}, 386 | PAGES = {571--575}, 387 | ISSN = {0002-9890}, 388 | MRCLASS = {12F05 (51M15)}, 389 | MRNUMBER = {812099}, 390 | MRREVIEWER = {D. W. Erbach}, 391 | URL = {https://doi.org/10.2307/2323164}, 392 | } 393 | 394 | @article {Ja45, 395 | AUTHOR = {Jacobson, N.}, 396 | TITLE = {The radical and semi-simplicity for arbitrary rings}, 397 | JOURNAL = {Amer. J. Math.}, 398 | FJOURNAL = {American Journal of Mathematics}, 399 | VOLUME = {67}, 400 | YEAR = {1945}, 401 | PAGES = {300--320}, 402 | ISSN = {0002-9327}, 403 | MRCLASS = {09.1X}, 404 | MRNUMBER = {0012271 (7,2f)}, 405 | MRREVIEWER = {C. Chevalley}, 406 | } 407 | 408 | @article {Ja45-TAMS, 409 | AUTHOR = {Jacobson, N.}, 410 | TITLE = {Structure theory of simple rings without finiteness 411 | assumptions}, 412 | JOURNAL = {Trans. Amer. Math. Soc.}, 413 | FJOURNAL = {Transactions of the American Mathematical Society}, 414 | VOLUME = {57}, 415 | YEAR = {1945}, 416 | PAGES = {228--245}, 417 | ISSN = {0002-9947}, 418 | MRCLASS = {09.1X}, 419 | MRNUMBER = {0011680 (6,200a)}, 420 | MRREVIEWER = {C. Chevalley}, 421 | } 422 | 423 | @book {Ja85, 424 | AUTHOR = {Jacobson, Nathan}, 425 | TITLE = {Basic algebra. {I}}, 426 | EDITION = {Second edition}, 427 | PUBLISHER = {W. H. Freeman and Company}, 428 | ADDRESS = {New York}, 429 | YEAR = {1985}, 430 | PAGES = {xviii+499}, 431 | ISBN = {0-7167-1480-9}, 432 | MRCLASS = {00A05 (12-01)}, 433 | MRNUMBER = {780184 (86d:00001)}, 434 | } 435 | 436 | @book {Ja89, 437 | AUTHOR = {Jacobson, Nathan}, 438 | TITLE = {Basic algebra. {II}}, 439 | EDITION = {Second edition}, 440 | PUBLISHER = {W. 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-------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/Errata-Al-jabr-1-old.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /Errata-Al-jabr-1-v0.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/Errata-Al-jabr-1-v0.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /Errata-Al-jabr-1-v0.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!TEX TS-program = xelatex 2 | %!TEX encoding = UTF-8 3 | 4 | % LaTeX source for the errata of the book ``代数学方法'' in Chinese 5 | % Copyright 2023 李文威 (Wen-Wei Li). 6 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 7 | % document under the terms of the Creative Commons 8 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 9 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 10 | 11 | % 《代数学方法》卷一勘误表 / 李文威 12 | % 使用自定义的文档类 AJerrata.cls. 自动载入 xeCJK. 13 | 14 | \documentclass{AJerrata} 15 | 16 | \usepackage{unicode-math} 17 | 18 | \usepackage[unicode, colorlinks, psdextra, bookmarksnumbered, 19 | pdfpagelabels=true, 20 | pdfauthor={李文威 (Wen-Wei Li)}, 21 | pdftitle={代数学方法卷一勘误}, 22 | pdfkeywords={} 23 | ]{hyperref} 24 | 25 | \setmainfont[ 26 | BoldFont={texgyretermes-bold.otf}, 27 | ItalicFont={texgyretermes-italic.otf}, 28 | BoldItalicFont={texgyretermes-bolditalic.otf}, 29 | PunctuationSpace=2 30 | ]{texgyretermes-regular.otf} 31 | 32 | \setsansfont[ 33 | BoldFont=FiraSans-Bold.otf, 34 | ItalicFont=FiraSans-Italic.otf 35 | ]{FiraSans-Regular.otf} 36 | 37 | \setCJKmainfont[ 38 | BoldFont=Noto Serif CJK SC Bold 39 | ]{Noto Serif CJK SC} 40 | 41 | \setCJKsansfont[ 42 | BoldFont=Noto Sans CJK SC Bold 43 | ]{Noto Sans CJK SC} 44 | 45 | \setCJKfamilyfont{emfont}[ 46 | BoldFont=FandolHei-Regular.otf 47 | ]{FandolHei-Regular.otf} % 强调用的字体 48 | 49 | \renewcommand{\em}{\bfseries\CJKfamily{emfont}} % 强调 50 | 51 | \setmathfont[ 52 | Extension = .otf, 53 | math-style= TeX, 54 | ]{texgyretermes-math} 55 | 56 | \usepackage{mathrsfs} 57 | \usepackage{stmaryrd} \SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n} % 避免警告 (stmryd 不含粗体故) 58 | % \usepackage{array} 59 | % \usepackage{tikz-cd} % 使用 TikZ 绘图 60 | \usetikzlibrary{positioning, patterns, calc, matrix, shapes.arrows, shapes.symbols} 61 | 62 | \usepackage{myarrows} % 使用自定义的可伸缩箭头 63 | \usepackage{mycommand} % 引入自定义的惯用的命令 64 | 65 | 66 | \title{\bfseries 代数学方法（第一卷）勘误表 \\ 跨度: 2019---2022 } 67 | \author{李文威} 68 | \date{\today} 69 | 70 | \begin{document} 71 | \maketitle 72 | 以下页码等信息参照高等教育出版社 2019 年 1 月出版之《代数学方法》第一卷, ISBN: 978-7-04-050725-6. 这些错误已在 2023 年 2 月重印的版本改正. 73 | 74 | \begin{Errata} 75 | \item[第 12 页, 倒数第 8 行] 76 | \Orig 也可以由稍后的无穷公理保证. 77 | \Corr 也可以划入稍后的无穷公理. 78 | \Thx{感谢王东瀚指正.} 79 | 80 | \item[第 16 页, 定义 1.2.8] 81 | \Orig 若传递集 $\alpha$ 对于 $\in$ 构成良序集 82 | \Corr 若传递集 $\alpha$ 对于 $x < y \stackrel{\text{定义}}{\iff} x \in y$ 成为良序集 83 | \Thx{感谢王东瀚指正.} 84 | 85 | \item[第 16 页, 倒数第 5 行] 86 | \Orig 于是有 $\gamma \in \gamma$, 这同偏序的反称性矛盾. 87 | \Corr 于是有 $\gamma \in \gamma$, 亦即在偏序集 $(\alpha, \leq)$ 中 $\gamma < \gamma$, 这同 $<$ 的涵义 ($\leq$ 但 $\neq$) 矛盾. 88 | \Thx{感谢王东瀚指正.} 89 | 90 | \item[第 18 页, 倒数第 10 行] 91 | \Orig 而性质 ... 是容易的. 92 | \Corr 而且使性质 ... 成立, 这是容易的. 93 | 94 | \item[第 19 页, 倒数第 5 行] 95 | \Orig $a_\alpha \notin C_\alpha$ 96 | \Corr $a_\alpha \notin \{ a_\beta \}_{\beta < \alpha}$ 97 | \Thx{感谢胡旻杰指正} 98 | 99 | \item[第 23 页, 第 5 行] 100 | \Orig 由于 $\alpha$ 无穷... 101 | \Corr 由于 $\aleph_\alpha$ 无穷... 102 | \Thx{感谢王东瀚指正.} 103 | 104 | \item[第 26 页, 第一章习题 5] 105 | 将题目中的三个 $\Z_{\geq 1}$ 全改成 $\Z_{\geq 0}$. 106 | 107 | \item[第 35 页, 倒数第 4 行] 108 | \Orig $X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 109 | \Corr $X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}')$ 110 | \Thx{感谢尹梓僮指正.} 111 | 112 | \item[第 38 页, 第 12 行 (命题 2.2.10 证明)] 113 | 将两个箭头的方向调换. 114 | \Thx{感谢尹梓僮指正.} 115 | 116 | \item[第 38 页, 第 14 行] 117 | \Orig{由此导出对象和自然变换的同构概念, 其逆若存在则唯一.} 118 | \Corr{其逆若存在则唯一, 依此定义何谓对象间或函子间的同构.} 119 | \Thx{感谢王猷指正.} 120 | 121 | \item[第 42 页, 倒数第 2 行] 122 | \Orig ...同构. $Z(\cdots) \simeq $... 123 | \Corr ...同构 $Z(\cdots) \simeq$... 124 | \Thx{感谢王东瀚指正.} 125 | 126 | \item[第 47 页, 第 4 行] 127 | \Orig $A \in \mathcal{C}^\wedge$ 128 | \Corr $A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}^\wedge)$ 129 | 130 | \item[第 49 页, 倒数第 9 行] 131 | \Orig 由此得到伴随对 $(D^{\mathrm{op}}, D, \varphi)$. 132 | \Corr 由此得到伴随对 $(D^{\mathrm{op}}, D, \varphi^{-1})$. 133 | \Thx{感谢王东瀚指正.} 134 | 135 | \item[第 50 页, 第 3 行] 136 | \Orig $\eta_X$ 137 | \Corr $\eta$ 138 | \Thx{感谢蒋之骏指正} 139 | 140 | \item[第 53 页, 命题 2.6.10 第 2 行] 141 | \Orig $Y \in \Obj(\mathcal{C}_1)$ 142 | \Corr $Y \in \Obj(\mathcal{C}_2)$ 143 | \Thx{感谢苏福茵指正} 144 | 145 | % \item[第 54 页最后] \Corr 图表微调成 146 | % \begin{center}\begin{tikzpicture}[bend angle=70, auto, fct/.style={circle, draw=gray!40, fill=gray!10}] 147 | % \node[fct] (G1) {$G$}; \node[fct] (F1) [right=of G1] {$F$} edge[bend right] node[swap] {$\eta$} (G1); 148 | % \node[fct] (G2) [above right=of F1] {$G$}; \node[fct] (F2) [right=of G2] {$F$} edge[bend left] node {$\eta^{-1}$} (G2); 149 | % \node[fct] (F3) [right=of F2] {$F$}; \node[fct] (G3) [right=of F3] {$G$} edge[bend left] node {$\varepsilon$} (F3); 150 | % \node[fct] (F4) [below right=of G3] {$F$}; \node[fct] (G4) [right=of F4] {$G$} edge[bend right] node[swap] {$\varepsilon^{-1}$} (F4); 151 | % \end{tikzpicture}\end{center} 152 | % 兴许更易懂. \Thx{感谢熊锐提供意见.} 153 | 154 | \item[第 56 页, 倒数第 13 行] 155 | \Orig $\epsilon' (FG \epsilon')(F\eta G)$ 156 | \Corr $\epsilon' (FG \epsilon'')(F\eta G)$ \quad (严格来说, 这行里的所有 $\epsilon$ 都应该改作 $\varepsilon$.) 157 | \Thx{感谢张好风指正} 158 | 159 | \item[第 61 页, 第 2--3 行] 160 | \Orig $\varprojlim (\alpha(S))$, $\varinjlim (\beta(S))$ 161 | \Corr $\varinjlim (\alpha(S))$, $\varprojlim (\beta(S))$ 162 | \Thx{感谢巩峻成指正} 163 | 164 | \item[第 64 页, 命题 2.8.2 及其证明] 165 | \Orig 上确界 (出现三次) 166 | \Corr 下确界 167 | \Thx{感谢卢泓澄指正} 168 | 169 | \item[第 65 页, 定理 2.8.3 陈述] 170 | \Orig 所有子集 $J \subset \Obj(I)$ (出现两次) 171 | \Corr 所有子集 $J \subset \Mor(I)$ 172 | \Thx{感谢卢泓澄和指正} 173 | 174 | \item[第 66 页, 第 1 行] 175 | 余完备当且仅当它有所有``余''等化子和小余积. 176 | \Thx{感谢巩峻成指正} 177 | 178 | \item[第 67 页, 第 7 行] 179 | \Orig $f(x)h(y)$ 180 | \Corr $f(x)g(y)$ 181 | \Thx{感谢巩峻成指正} 182 | 183 | \item[第 77 页, (3.8) 和 (3.9)] 184 | 将交换图表中的 $\lambda_2^{-1}$ 和 $\rho_2^{-1}$ 分别改成 $\lambda_2$ 和 $\rho_2$, 相应地将箭头反转. 185 | 186 | \item[第 77 页, 倒数第 8 和倒数第 6 行] 187 | 将 $\xi_F: F(\cdot) \times F(\cdot)$ 改成 $\xi_F: F(\cdot) \otimes F(\cdot)$. 将 $\eta_F: F(\cdot \otimes \cdot) \to F(\cdot)$ 改成 $\eta_F: F(\cdot \otimes \cdot) \to F(\cdot) \otimes F(\cdot)$. 188 | \Thx{感谢巩峻成指正} 189 | 190 | \item[第 78 页, 第 1 行] 191 | \Orig 使得下图... 192 | \Corr 使得 $\theta_{\mathbf{1}_1}$ 为同构, 而且使下图... 193 | 194 | 图表之后接一句``作为练习, 可以证明对标准的 $\varphi_F$ 和 $\varphi_G$ 必然有 $\varphi_G = \theta_{\mathbf{1}_1} \varphi_F$.'' 后续另起一段. 195 | 196 | \item[第 84 页, 第 2 行] 197 | \Orig 定义结合约束 198 | \Corr 定义交换约束 199 | \Thx{感谢王东瀚指正} 200 | 201 | \item[第 91 页, 倒数第 6 行] 202 | ``对于 $2$-范畴''后加上逗号. 203 | \Thx{感谢巩峻成指正} 204 | 205 | \item[第 94 页, 习题 5 倒数第 2 行] 206 | \Orig Yang--Baxter 方程. 207 | \Corr 杨--Baxter 方程. 208 | 209 | \item[第 102 页, 第 6 行] 210 | \Orig 它们仅与... 211 | \Corr 前者仅与... 212 | \Thx{感谢巩峻成指正} 213 | 214 | \item[第 109 页, 引理 4.3.4 第 4 行] 215 | \Orig $\longrightarrow$ 216 | \Corr $\longmapsto$ 217 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 218 | 219 | \item[第 111 页, 第 8---9 行] 220 | \Orig $\Aut(G)$ ... $\Ad(s(h))|_G$ 221 | \Corr $\Aut(N)$ ... $\Ad(s(h))|_N$ 222 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 223 | 224 | \item[第 113 页倒数第 3 行, 第 115 页 引理 4.4.12] 225 | \Orig 这相当于要求对所有... 226 | \newline 227 | \Corr 这相当于要求 $X$ 非空, 并且对所有... 228 | 229 | \Orig 设 $X$ 为 $G$-集 230 | \Corr 设 $X$ 为非空 $G$-集 231 | \Thx{感谢郑维喆指正} 232 | 233 | \item[第 114 页, 倒数第 1 行] 234 | \Orig $\Aut(G_1) \times \Aut(G_2)^{\mathrm{op}}$ 235 | \Corr $\Aut(G_1)^{\mathrm{op}} \times \Aut(G_2)$ 236 | \Thx{感谢巩峻成指正} 237 | 238 | \item[第 116 页, 第 5 行] 239 | \Orig $\bar{H} \subseteq N_{\bar{G}}(\bar{H})$ 240 | \Corr $\bar{H} \subsetneq N_{\bar{G}}(\bar{H})$ 241 | 242 | \item[第 125 页, 第 10 行] 243 | \Corr 记 $\mathcal{V}$ 的线性自同构群为... 244 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 245 | 246 | \item[第 126 页, 第 6 行] 247 | \Orig $\left( \cdots \right)_{i=0}^n$ 248 | \Corr $\left( \cdots \right)_{i=0}^{n-1}$ 249 | 250 | \item[第 129 页, 第 2 行] 251 | \Orig 举自由群为例 252 | \Corr 举自由幺半群为例 253 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 254 | 255 | \item[第 129 页, 第 7 行] 256 | \Orig $(x_1)_{i=1}^n$ 257 | \Corr $(x_i)_{i=1}^n$ 258 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 259 | 260 | \item[第 130 页, 引理 4.8.6 证明第二行] 261 | \Orig $\varphi_i(x) \in M_i$ 262 | \Corr $x \in M_i$ 的像 263 | \Thx{感谢卢泓澄指正} 264 | 265 | \item[第 131 页, (4.6)] 266 | \Orig $H_i \subset M_i$ 267 | \Corr $1 \in H_i \subset M_i$ 268 | \Thx{感谢卢泓澄指正} 269 | 270 | \item[第 131 页, 引理 4.8.7 的陈述之后第一行] 271 | \Orig 当 $A$ 是群时引理条件... 272 | \Corr 当每个 $f_i$ 都是群之间的单同态时, 引理条件... 273 | \Thx{感谢卢泓澄指正} 274 | 275 | \item[第 131 页, 倒数第 1 行] 276 | \Orig $H_{i_j}$ 277 | \Corr $H_i$ 278 | \Thx{感谢巩峻成指正} 279 | 280 | \item[第 132 页, 第 1 --- 3 行] 281 | \Orig ... 仿前段方法定义 $(a', x')$ 使得 $x f_i(a) = f_i(a')x'$. 置 282 | \[ \alpha_i(\xi, \sigma) := 283 | \begin{cases} 284 | [a'' a'; x'x_1, \ldots, x_n], & i_1 = i, \\ 285 | [a'' a'; x', x_1, \ldots, x_n], & i_1 \neq i. 286 | \end{cases} \] 287 | \Corr ... 仿前段方法定义下式涉及的 $(a', x') \in A \times H_i$: 置 288 | \[ \alpha_i(\xi, \sigma) := 289 | \begin{cases} 290 | [a'' a'; x', x_2, \ldots, x_n], \;\text{其中}\; x f_i(a) x_1 = f_i(a') x', & i_1 = i, \\ 291 | [a'' a'; x', x_1, \ldots, x_n], \;\text{其中}\; x f_i(a) = f_i(a') x', & i_1 \neq i. 292 | \end{cases} \] 293 | \Thx{感谢卢泓澄指正} 294 | 295 | \item[第 132 页, 倒数第 2, 3 行] 296 | \Orig 假设 $A$ 和 每个 $M_i = G_i$ 都是群. 297 | \Corr 假设 $A$ 和 每个 $M_i = G_i$ 都是群, 而且 $f_i$ 单. 298 | 299 | \item[第 134 页, 第 5 行] 300 | \Orig $\left\{ gyg^{-1}: y \in Y, \; g \in G \right\}$ 301 | \Corr $\left\{ gyg^{-1}: y \in Y, \; g \in \mathcal{G} \right\}$ 302 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 303 | 304 | \item[第 137 页, 第 13 行] 305 | \Orig $f(x_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, x_{\sigma^{-1}(n)})$ 306 | \Corr $f(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$ 307 | \Thx{感谢薛江维指正} 308 | 309 | \item[第 137 页, 倒数第 12 行] 310 | \Orig $\sgn(\sigma) = \pm 1$ 311 | \Corr $\sgn(\sigma) \in \{\pm 1\}$ 312 | \Thx{感谢巩峻成指正} 313 | 314 | \item[第 141 页, 第 2 和第 9 行] 315 | \Orig $|i - j| \geq 1$ 316 | \Corr $|i - j| > 1$ 317 | \Thx{感谢巩峻成指正} 318 | 319 | \item[第 141 页, 第 11 行] 320 | \Orig 另外约定 $\mathfrak{S}'_n = \{1\}$ 321 | \Corr 另外约定 $\mathfrak{S}'_1 = \{1\}$ 322 | 323 | \item[第 144 页, 定理 4.10.6 证明第三段] 324 | 全体商映射 $q_i: G \to G/N_i$ ... 取 $y \in G$ 使得 $q_k(y) = x_k$ ... 都会有 $q_i(y) = x_i$ ... 325 | 326 | \item[第 145--146 页, 例 4.10.13] 327 | 将所有 $\cate{Grp}$ 改成 $\cate{Ab}$ (出现两次) 328 | 329 | \item[第 149 页, 第 3 行] 330 | $\mathsf{CRing}$ 表交换环范畴. 另外此行应缩进. 331 | 332 | \item[第 150 页, 习题 16 (iii)] 333 | 将这一问的陈述修改如下: 334 | 335 | 考虑 $G \times G$ 的子群 $\Delta := \{(g,g) : g \in G \}$. 命 $\text{Conj}(G)$ 为 $G$ 中共轭类所成之集合. 明确给出从 $\Delta \backslash (G \times G) /\Delta$ 到 $\text{Conj}(G)$ 的双射. 336 | 337 | \Thx{感谢苏福茵指正} 338 | 339 | \item[第 156 页, 第 2, 3 行] 340 | \Orig $a \in R$ 341 | \Corr $a \in I$ 342 | \Thx{感谢阳恩林指正} 343 | 344 | \item[第 156 页, 第 4 行] 345 | \Orig $Ir = rI = I$ 346 | \Corr $IR = I = RI$ 347 | \Thx{感谢巩峻成指正} 348 | 349 | \item[第 158 页, 最后一行] 350 | \Orig $\forall s \in S$ 351 | \Corr $\forall s \in R$ 352 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 353 | 354 | \item[第 163 页, 第 12 行] 355 | \Corr $(\varphi \circ \psi)^\sharp = \psi^\sharp \circ \varphi^\sharp$ 356 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 357 | 358 | \item[第 165 页, 5.3.11 之上两行] 359 | \Orig $\exists s \in R$ 360 | \Corr $\exists s \in S$ 361 | 362 | \item[第 174 页, 第 15 行] 363 | \Orig 赋予每个 $R/\mathfrak{a}_i$... 364 | \Corr 赋予每个 $R_i := R/\mathfrak{a}_i$... 365 | \Thx{感谢巩峻成指正} 366 | 367 | \item[第 187 页, 定理 5.7.9 证明] 368 | \Orig $\Z[-1]$ (多处) 369 | \Corr $\Z[\sqrt{-1}]$ 370 | 371 | \item[第 188 页, 第 13 行] 372 | \Orig $\sum_{i=0}^n a_i p^i q^{n-j}$ 373 | \Corr $\sum_{i=0}^n a_i p^i q^{n-i}$ 374 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 375 | 376 | \item[第 188 页, 定义 5.7.11 之上两行] 377 | \Orig $\forall a$ 378 | \Corr $\forall p$ 379 | 380 | \item[第 188 页, 倒数第 5 行] 381 | \Orig $\in R[X]$ 382 | \Corr $\in K[X]$ 383 | \Thx{感谢巩峻成指正} 384 | 385 | \item[第 189 页, 第 17 行] 386 | \Orig $g \in R \cap K[X]^\times$ 387 | \Corr $g \in R[X] \cap K[X]^\times$ 388 | \Thx{感谢巩峻成指正} 389 | 390 | \item[第 190 页, 第 7 行] 391 | \Orig $f = \sum_{i=1}^n$ 392 | \Corr $f = \sum_{i=0}^n$ 393 | \Thx{感谢巩峻成指正} 394 | 395 | \item[第 190 页, 倒数第 2 行的公式] 396 | 改成: 397 | \[ \bar{b}_k X^k + \text{高次项}, \quad \bar{b}_k \neq 0, \] 398 | \Thx{感谢巩峻成指正} 399 | 400 | \item[第 191 页, 第 12 行] 401 | 将 $(b_1, \ldots, b_m)$ 改成 $(b_1, \ldots, b_n)$, 并且将之后的``留意到...''一句删除. 402 | \Thx{感谢巩峻成指正} 403 | 404 | \item[第 191 页, 第 15 和 16 行] 405 | \Orig $m_{\lambda_1, \ldots, \lambda_n}$ 406 | \Corr $m_{\lambda_1, \ldots, \lambda_r}$ 407 | 408 | \Orig $(\lambda_1, \ldots, \lambda_r)$ 的所有不同排列. 409 | \Corr $(\lambda_1, \ldots, \lambda_r, 0, \ldots, 0)$ 的所有不同排列 ($n$ 个分量). 410 | \Thx{感谢巩峻成指正} 411 | 412 | \item[第 192 页, 第 1 段最后 1 行] 413 | \Orig 使 $m_\lambda$ 落在 $\Lambda_n$ 中的充要条件是 $\lambda_1$ (即 Young 图的宽度) 不超过 $n$. 414 | \Corr 如果分拆的长度 $r$ (即 Young 图的高度) 超过给定的 $n$, 相应的 $m_\lambda \in \Lambda_n$ 规定为 $0$. 415 | \Thx{感谢巩峻成指正} 416 | 417 | \item[第 192 页, 定义 5.8.1 第二项] 418 | \Orig $\mu_i = \mu_k$ 419 | \Corr $\mu_i = \lambda_i$ 420 | \Thx{感谢巩峻成指正} 421 | 422 | \item[第 193 页, 第 2 行和第 5 行] 423 | \Orig $X_{i_1} \cdots X_{i_n}$. 424 | \Corr $X_{i_1} \cdots X_{i_k}$. 425 | 426 | \Orig $\prod_{i=1}^n (Y - X_i)$, 427 | \Corr $\prod_{i=1}^n (Y + X_i)$ 428 | \Thx{感谢巩峻成指正} 429 | 430 | \item[第 193 页, 定理 5.8.4 证明第 3 行] 431 | \Orig $j_1 < \cdots j_{\bar{\lambda}_2}$ 432 | \Corr $j_1 < \cdots < j_{\bar{\lambda}_2}$ 433 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 434 | 435 | \item[第 194 页, 例 5.8.6 的第 3 行] 436 | \Orig $\sum_{i=0}^n c_i Y^{n-i}$ 437 | \Corr $\sum_{i=0}^n (-1)^i c_i Y^{n-i}$ 438 | \Thx{感谢巩峻成指正} 439 | 440 | \item[第 196 页, 习题 16] 441 | \Orig $\Z[-1]$ 442 | \Corr $\Z[\sqrt{-1}]$ 443 | 444 | \item[第 203 页, 第 17 行] 445 | \Orig $\Ker(\phi)$ 446 | \Corr $\Ker(\varphi)$ 447 | \Thx{感谢胡龙龙指正} 448 | 449 | \item[第 205 页, 第 7 行] 450 | \Orig $M$ 作为 $R/\mathrm{ann}(M)$-模自动是无挠的. 451 | \Corr $M$ 作为 $R/\mathrm{ann}(M)$-模的零化子自动是 $\{0\}$. 452 | \Thx{感谢戴懿韡指正.} 453 | 454 | \item[第 209 页, 定义 6.3.3 列表第二项] 455 | \Orig 成为 456 | \Corr 称为 457 | 458 | \item[第 218 页, 第 13 行] 459 | \Orig $B(rx, ys) = rB(x,y)s, \quad r \in R, \; s \in S$. 460 | \newline 461 | \Corr $B(qx, ys) = qB(x,y)s, \quad q \in Q, \; s \in S$. 462 | \Thx{感谢冯敏立指正.} 463 | 464 | \item[第 220 页] 465 | 本页出现的 $\mathrm{Bil}(\bullet \times \bullet; \bullet)$ 都应该改成 $\mathrm{Bil}(\bullet, \bullet; \bullet)$, 以和 216 页的符号保持一致. 466 | 467 | \item[第 220 页, 第 9 行] 468 | \Orig $z \in Z$ 469 | \Corr $z \in M''$ 470 | 471 | \item[第 220 页, 第 10 行] 472 | \Orig $B(\cdot, z): M \dotimes{R} M''$ 473 | \Corr $B(\cdot, z): M \dotimes{R} M'$ 474 | \Thx{感谢巩峻成指正} 475 | 476 | \item[第 225 页, 引理 6.6.7 证明第一段] 477 | \Orig $\Hom({}_S S, {}_S M) \rightiso \mathcal{F}_{R \to S}(M)$ 478 | \Corr $\Hom(S_S, M_S) \rightiso \mathcal{F}_{R \to S}(M)$ 479 | 480 | \item[第 228 页, 倒数第 12 行] 481 | \Orig 粘合为 $\mathcal{Y}' \to B$ 482 | \Corr 粘合为 $\mathcal{Y}' \to M$ 483 | \Thx{感谢巩峻成指正} 484 | 485 | \item[第 228 页, 倒数第 4 行] 486 | \Orig $\sum_{y \in R}$ 487 | \Corr $\sum_{y \in Y}$ 488 | 489 | \item[第 230 页, 第 13 行] 490 | \Orig 萃取处 491 | \Corr 萃取 492 | 493 | \item[第 230 页, 第 6 行; 第 231 页, 第 9---10 行] 494 | \Orig $\mathfrak{o}_i$ 495 | \Corr $\mathfrak{d}_i$ 496 | \Thx{感谢郑维喆指正} 497 | 498 | \item[第 235 页底部] 499 | 图表中的垂直箭头 $f_i$, $f_{i-1}$ 应改为 $\phi_i$, $\phi_{i-1}$. 500 | 501 | \item[第 236 页, 第 6 行] 502 | \Orig 直和 $\prod_i$ 503 | \Corr 直和 $\bigoplus_i$ 504 | \Thx{感谢巩峻成指正} 505 | 506 | \item[第 237 页, 第 2 行] 507 | \Orig 存在 $r: M' \to M$ 508 | \Corr 存在 $r: M \to M'$ 509 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 510 | 511 | \item[第 237 页, 第 9 行] 512 | \Orig $g$ 单, $f$ 满 513 | \Corr $g$ 满, $f$ 单 514 | \Thx{感谢黄欣晨指正} 515 | 516 | \item[第 237 页, 命题 6.8.5 证明第二行] 517 | \Orig 由于 $f$ 满 518 | \Corr 由于 $f$ 单 519 | \Thx{感谢巩峻成指正} 520 | 521 | \item[第 237 页, 命题 6.8.5 证明最后两行] 522 | \Orig 故 $(v) \implies (i)$; 523 | \Corr 故 $(iv) \implies (i)$; 524 | 525 | \item[第 238 页, 第 8 行] 526 | \Orig $Y' \to Y \to Y$ 正合 527 | \Corr $Y' \to Y \to Y''$ 正合 528 | 529 | \item[第 240 页, 定义 6.9.3 第二条] 530 | \Orig ... 正合, 则称 $I$ 是内射模. 531 | \Corr ... 正合, 亦即它保持短正合列, 则称 $I$ 是内射模. 532 | \Thx{感谢张好风指正} 533 | 534 | \item[第 244 页, 倒数第 10 行] 535 | \Orig 下面的引理 6.10.4 536 | \Corr 引理 5.7.4 537 | \Thx{感谢郑维喆指正} 538 | 539 | \item[第 245 页, 引理 6.10.2 证明最后的短正合列] 540 | 将 $0 \to M \to \cdots$ 改成 $0 \to N \to \cdots$ 541 | 542 | \item[第 246 页, 第 2 行和定理 6.10.6, 6.10.7] 543 | ``交换 Noether 模''应改为``交换 Noether 环''. 两个定理的陈述中应该要求 $R$ 是交换 Noether 环. 544 | \Thx{感谢郑维喆指正} 545 | 546 | \item[第 246 頁, 第 16 行] 547 | \Orig $u_i f_i$ 548 | \Corr $u_i \alpha_i$ 549 | \Thx{感谢陆睿远指正.} 550 | 551 | \item[第 246 页, 倒数第 4 行] 552 | \Orig $a_n \geq 0$ 553 | \Corr $a_n \neq 0$ 554 | \Thx{感谢颜硕俣指正} 555 | 556 | \item[第 247 頁, 第 6---7 行] 557 | \Orig 其长度记为 $n+1$. 558 | \Corr 其长度定为 $n$. 559 | 560 | \item[第 251 页, 第 6 行] 561 | \Orig $\Image(u^\infty) = \Ker(u^n)$ 562 | \Corr $\Image(u^\infty) = \Image(u^n)$ 563 | \Thx{感谢巩峻成指正} 564 | 565 | \item[第 251 页起, 第 6.12 节] 566 | 术语``不可分模''似作``不可分解模''更佳, 以免歧义. (第 4 页倒数第 3 行和索引里的条目也应当同步修改) 567 | \Thx{感谢郑维喆指正} 568 | 569 | \item[第 252 頁, 第 2 行] 570 | \Orig $1 \leq 1 \leq n$. 571 | \Corr $1 \leq i \leq n$. 572 | \Thx{感谢傅煌指正.} 573 | 574 | \item[第 255 页, 推论 6.12.9 的证明] 575 | 在证明最后补上一句 ``以上的 $\ell$ 表示模的长度.'' 576 | \Thx{感谢苑之宇指正.} 577 | 578 | \item[第 255 页, 第 1 题] 579 | \Orig 580 | \[ N = \lrangle{ \alpha(f)(x_i) - x_j : i \xrightarrow{f} j, \; x_i \in M_i, x_j \in M_j } \] 581 | \Corr 582 | \[ N = \lrangle{ \alpha(f)(x_i) - x_i : i \xrightarrow{f} j, \; x_i \in M_i } \] 583 | \Thx{感谢郑维喆指正} 584 | 585 | \item[第 260 页, 倒数第 5 行] 586 | 将 $\phi: R \to A$ 改为 $\sigma: R \to A$. 587 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 588 | 589 | \item[第 261 页, 定义 7.1.6 第 1 行] 590 | \Orig $R-$ 591 | \Corr $R$ 592 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 593 | 594 | \item[第 264 頁, 第 14 行] 595 | \Orig 如果 $\mathrm{ann}(M) = \{0\}$ 596 | \Corr 如果 $\mathrm{ann}(N) = \{0\}$ 597 | 598 | \item[第 270 页, 注记 7.3.6] 599 | \Orig 秩为 $A, B$ 的秩之和 600 | \Corr 秩为 $A, B$ 的秩之积 601 | \Thx{感谢汤一鸣指正} 602 | 603 | \item[第 270 页, (7.6) 式] 604 | 前两项改为 $M_n(A) \otimes M_m(B) \simeq A \otimes M_n(R) \otimes M_m(R) \otimes B$, 后续不变. 605 | \Thx{感谢巩峻成指正} 606 | 607 | \item[第 272 页, 推论 7.3.9 证明倒数第二行] 608 | \Orig $\{a \in A: f(a) - g(a) \}$ 609 | \Corr $\{ f(a) - g(a): a \in A \}$ 610 | 611 | \item[第 274 页, 倒数第 2 行] 612 | 将两处 $A^k(M)$ 改成 $A^k(X)$. 613 | 614 | \item[第 277 页, 第 14 行等式右侧] 615 | \Orig $\dd x_{i_1} \wedge \cdots \wedge \dd x_{i_l}$ 616 | \Corr $\dd x_{j_1} \wedge \cdots \wedge \dd x_{j_l}$ 617 | \Thx{感谢侯学伦指正} 618 | 619 | \item[第 279 页, 第 12 行] 620 | \Orig $T^i(M)$ 621 | \Corr $T^n(M)$ 622 | \Thx{感谢巩峻成指正} 623 | 624 | \item[第 279 页, 定理 7.5.2 陈述] 625 | \Orig 唯一的 $R$-模同态 ... 626 | \Corr 唯一的 $R$-代数同态 ... 627 | \Thx{感谢巩峻成指正} 628 | 629 | \item[第 284 頁, 定理 7.6.6] 630 | 将定理陈述中的 $U$ 由``忘却函子''改成``映 $A$ 为 $A_1$ 的函子'', 其余不变. 相应地, 证明第二行的 $\varphi: M \to A$ 应改成 $\varphi: M \to A_1$. 631 | \Thx{感谢郑维喆指正} 632 | 633 | \item[第 285 頁, 倒数第 5 行] 634 | $T_\chi^n(M) := \left\{ x \in T^n(M) : \forall \sigma \in \mathfrak{S}_n, \; \sigma x = \chi(\sigma) x \right\}$ 635 | \Thx{感谢郑维喆指正} 636 | 637 | \item[第 286 頁, 第 10 行] 638 | \Orig $\chi = 1, \sigma$ 639 | \Corr $\chi = 1, \sgn$ 640 | 641 | \item[第 286 頁, 定理 7.6.10] 642 | 原``因而有 $R$-模的同构''改为``因而恒等诱导 $R$-模的同构''. 以下两行公式开头的 $e_1:$ 和 $e_{\sgn}: $ 皆删去. 643 | \Thx{感谢郑维喆指正} 644 | 645 | \item[第 289 页最后一行] 646 | \Orig $u_1 \wedge \cdots$ 647 | \Corr $u_{i_1} \wedge \cdots$ 648 | 649 | \item[第 290 页第一行] 650 | \Orig $\Xi := \check{u}_2 \wedge \cdots$ ... 是 $u_1$ 的... 651 | \Corr $\Xi := \check{u}_{i_2} \wedge \cdots$ ... 是 $u_{i_1}$ 的... 652 | \Thx{感谢巩峻成指正} 653 | 654 | \item[第 293 页第 8, 10, 13 行] 655 | 将 $M$ 都改成 $E$, 共三处. 656 | \Thx{感谢巩峻成指正} 657 | 658 | \item[第 304 页倒数第 6 行] 659 | \Orig $\leq \infty$ 660 | \Corr $< \infty$ 661 | \Thx{感谢巩峻成指正} 662 | 663 | \item[第 311 页, 命题 8.3.2 证明第 2 行] 664 | \Orig $1 \leq j \leq n_i$ 665 | \Corr $1 \leq j \leq n_P$ 666 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 667 | 668 | \item[第 311 页, 命题 8.3.2 证明第 4 行] 669 | \Corr 分别取......和 $\overline{F}' | E'$. 670 | 671 | \item[第 313 頁, 命题 8.3.9 (iii)] 672 | ``交''改为``非空交''. 相应地, 证明第四行的``一族正规子扩张''后面加上``且 $I$ 非空''. 673 | \Thx{感谢郑维喆指正} 674 | 675 | \item[第 315 頁, 定理 8.4.3 (iv)] 676 | \Orig $\sum_{k \geq 0}^n$ 677 | \Corr $\sum_{k=0}^n$ 678 | \Thx{感谢郑维喆指正} 679 | 680 | \item[第 315 页, 倒数第 2 行] 681 | \Orig $\deg f(X^p) = pf(X)$ 682 | \Corr $\deg f(X^p) = p \deg f(X)$ 683 | \Thx{感谢杨历指正.} 684 | 685 | \item[第 317 页, 倒数第 13 行] 686 | (出现两次)\; 687 | \Orig $\prod_{i=1}^n \cdots$ 688 | \Corr $\prod_{m=1}^n \cdots$ 689 | 690 | \item[第 321 页, 定理 8.6.1 的陈述] 691 | \Orig $(-1)^n a_n$ 692 | \Corr $(-1)^n a_0$ 693 | 694 | \item[第 323 页, 定理 8.6.3 的陈述] 695 | \Orig $1, x, \ldots, x^n$ 696 | \Corr $1, x, \ldots, x^{n-1}$ 697 | 698 | \item[第 325 页, 第 10 行 (定义--定理 8.7.3 证明)] 699 | \Orig $a^{-p^m}$ 700 | \Corr $a^{p^{-m}}$ 701 | 702 | \item[第 326 页第 4 行] 703 | \Orig 既然纯不可分扩张是特出的 704 | \Corr 既然纯不可分扩张对复合封闭 705 | \Thx{感谢巩峻成指正} 706 | 707 | \item[第 340 页最后一行] 708 | \Orig 于是 $\Gal(E|K)$ 确实是拓扑群 709 | \Corr 于是 $\Gal(E|F)$ 确实是拓扑群 710 | \Thx{感谢巩峻成指正} 711 | 712 | \item[第 343 页, 倒数第 6, 7 行] 713 | 倒数第 6 行的 $\Gal(K | L \cap M) \subset \cdots$ 改成 $\Gal(L|K) \subset \cdots$, 另外倒数第 7 行最后的``故''字删去. 714 | \Thx{感谢张好风指正} 715 | 716 | \item[第 348 页, 命题 9.3.6 陈述和证明] 717 | \Orig $\varprojlim_m \Z/n\Z$ 718 | \Corr $\varprojlim_m \Z/m\Z$ 719 | \newline 720 | \Orig $\varinjlim_{n \geq 1} \Z/n!\Z$ 721 | \Corr $\varprojlim_{n \geq 1} \Z/n!\Z$ 722 | \Thx{感谢郑维喆和巩峻成指正} 723 | 724 | \item[第 350 页, 第 8 行] 725 | \Orig $\iff d \mid n$ 726 | \Corr $\iff n \mid d$ 727 | \Thx{感谢巩峻成指正} 728 | 729 | \item[第 352 页, 第 7 行] 730 | \Orig $p \mid n$ 731 | \Corr $p \nmid n$ 732 | \Thx{感谢郑维喆指正} 733 | 734 | \item[第 355 页, 第 6 行] 735 | \Orig 设 $T$ 不可逆 736 | \Corr 设 $\mathcal{T}$ 不可逆 737 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 738 | 739 | \item[第 357 页, 第 4 行] 740 | 删除 ``$= \Gal(E|F)$''. 741 | \Thx{感谢巩峻成指正} 742 | 743 | \item[第 357 页, 倒数第 8 行] 744 | \Orig $F(S)|S$ 745 | \Corr $F(S)|F$ 746 | \Thx{感谢张好风指正} 747 | 748 | \item[第 359 页, 第 5 行] 749 | \Orig 透过 $\Gamma_E$ 分解 750 | \Corr 透过 $\Gal(E|F)$ 分解 751 | \Thx{感谢巩峻成指正} 752 | 753 | \item[第 359 页, 倒数第 2 行] 754 | \Orig $\in A_E$ 755 | \Corr $\in A_F$ 756 | \Thx{感谢杨历指正} 757 | 758 | \item[第 360 页, 定理 9.6.8 陈述] 759 | 在 (9.10) 之后补上一句 (不缩进): ``证明部分将解释如何定义 $\Hom$ 的拓扑.'' 760 | \Thx{感谢张好风指正} 761 | 762 | \item[第 360 页, 定理 9.6.8 证明] 763 | 将证明第三行等号下方的 $\bar{\Gamma} = \Gamma_F/\Gamma$ 和上方的文字删除, 等号改成 $\xleftrightarrow{1:1}$. 764 | \Thx{感谢杨历和巩峻成指正} 765 | 766 | \item[第 363 页, 倒数第 4 行] 767 | \Orig $\eta_{[E:F]}$ 768 | \Corr $\eta_{[L:F]}$ 769 | \Thx{感谢郑维喆指正} 770 | 771 | \item[第 366 页, 第 8 行] 772 | \Orig $\mathfrak{A}_4$ 773 | \Corr $\mathfrak{A}_5$ 774 | \Thx{感谢柴昊指正} 775 | 776 | \item[第 366 页, 倒数第 4 行] 777 | \Orig $x \in S$ 778 | \Corr $x \in \mathcal{S}$ 779 | \Thx{感谢郑维喆指正} 780 | 781 | \item[第 368 页, 定理 9.8.2 的表述第一句] 782 | \Orig 给定子集 $\{0, 1\} \subset \mathcal{S} \subset \CC$, 生成的... 783 | \Corr 给定子集 $\{0, 1\} \subset \mathcal{S} \subset \CC$, 基于上述讨论不妨假定 $\mathcal{S}$ 对复共轭封闭, 它生成的... 784 | \Thx{感谢郑维喆指正} 785 | 786 | \item[第 370 页, 习题 2] 787 | 将本题的所有 $q$ 代换成 $p$, 将``仿照...''改为``参照'', 开头加上``设 $p$ 是素数, ...'' 788 | \Thx{感谢郑维喆指正} 789 | 790 | \item[第 372 页, 第 20 题] 791 | 条件 (b) 部分的 $P \in F[X]$ 改成 $Q \in F[X]$, 以免符号冲突. 相应地, 提示第一段的 $P$ 都改成 $Q$. 792 | \Thx{感谢郑维喆指正} 793 | 794 | \item[第 395--396 页, 引理 10.5.3 的证明] 795 | 从第 395 页倒数第 3 行起 (即证明第二段), 修改如下: 796 | 797 | 置 $f_k = \sum_{h \geq 0} c_{k,h} t^h$. 注意到 $\lim_{k \to \infty} \|f_k\| = 0$, 这确保 $c_h := \sum_{k \geq 0} c_{k,h}$ 存在. 我们断言 $f := \sum_{h \geq 0} c_h t^h \in K\lrangle{t}$ 并给出 $\sum_{k=0}^\infty f_k$. 798 | 799 | 对任意 $\epsilon > 0$, 取 $M$ 充分大使得 $k \geq M \implies \|f_k\| < \epsilon$, 再取 $N$ 使得当 $0 \leq k < M$ 而 $h \geq N$ 时 $|c_{k,h}| < \epsilon$. 于是 800 | \[ h \geq N \implies \left( \forall k \geq 0, \; |c_{k,h}| \leq \epsilon \right) \implies |c_h| \leq \epsilon, \] 801 | 故 $f := \sum_{h \geq 0} c_h t^h \in K\lrangle{t}$. 其次, 在 $K\lrangle{t}$ 中有等式 802 | \[ f - \sum_{k=0}^M f_k = \sum_{h \geq 0} \left( c_h - \sum_{k=0}^M c_{k,h} \right) t^h = \sum_{h \geq 0} \underbracket{ \left( \sum_{k > M} c_{k,h} \right)}_{|\cdot| \leq \epsilon} t^h , \] 803 | 从而 $f = \sum_{k=0}^\infty f_k$. 804 | 805 | \Thx{感谢高煦指正.} 806 | 807 | \item[第 397 页, 条目 V 下第 6 行] 808 | \Orig $w_{x.-}$ 809 | \Corr $w_{x,-}$ 810 | 811 | \item[第 398 页, 倒数第 12 行] 812 | \Orig \; , 而 $v: K^\times \to \Gamma$ 是商同态. 813 | \Corr \; . 取 $v: K^\times \to \Gamma$ 为商同态. 814 | 815 | \item[第 400 页, 倒数第 5--6 行] 816 | 改为: $e(w \mid u) = e(w \mid v) e(v \mid u)$, $f(w \mid u) = f(w \mid v) f(v \mid u)$. 817 | \Thx{感谢巩峻成指正} 818 | 819 | \item[第 406 页, 倒数第 3 行] 820 | \Orig $|\Stab_{\Gal(L|K)}(w)|$ 821 | \Corr $\frac{|\Gal(L|K)|}{|\Stab_{\Gal(L|K)}(w)|}$ 822 | \Thx{感谢巩峻成指正} 823 | 824 | \item[第 407 页, 第 8 行] 825 | \Orig $|\Stab_{\Gal(L|K)}(w)|$ 826 | \Corr $\frac{|\Gal(L|K)|}{|\Stab_{\Gal(L|K)}(w)|}$ 827 | \Thx{感谢巩峻成指正} 828 | 829 | \item[第 416 页, 定理 10.9.7] 830 | 将陈述的第一段修改为: ``在所有 $\WittV(R)$ 上存在唯一的一族交换环结构, 使得 $w: \WittV(R) \to \prod_{n \geq 0} R$ 为环同态, $(0, 0, \ldots)$ 为零元, $(1, 0, \ldots)$ 为幺元, 而且: '' (换行, 开始表列) 831 | 832 | 对于表列第一项, 改述为``下图皆在 $\cate{CRing}$ 中交换''. 833 | 834 | 对于表列第二项 (``存在唯一确定的多项式族...所确定''), 最后补上``...所确定, 这些多项式与 $R$ 无关.'' 835 | 836 | 证明第一段的``群运算''改为``环运算''. 837 | 838 | \item[第 417 页, 最后一行] 它被刻画为对... 839 | \end{Errata} 840 | \end{document} 841 | -------------------------------------------------------------------------------- /Errata-Al-jabr-1-v1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/Errata-Al-jabr-1-v1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /Errata-Al-jabr-1-v1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!TEX TS-program = xelatex 2 | %!TEX encoding = UTF-8 3 | 4 | % LaTeX source for the errata of the book ``代数学方法'' in Chinese 5 | % Copyright 2025 李文威 (Wen-Wei Li). 6 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 7 | % document under the terms of the Creative Commons 8 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 9 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 10 | 11 | % 《代数学方法》卷一勘误表 / 李文威 12 | % 使用自定义的文档类 AJerrata.cls. 自动载入 xeCJK. 13 | 14 | \documentclass{AJerrata} 15 | 16 | \usepackage{unicode-math} 17 | 18 | \usepackage[unicode, colorlinks, psdextra, bookmarksnumbered, 19 | pdfpagelabels=true, 20 | pdfauthor={李文威 (Wen-Wei Li)}, 21 | pdftitle={代数学方法卷一勘误}, 22 | pdfkeywords={} 23 | ]{hyperref} 24 | 25 | \setmainfont[ 26 | BoldFont={texgyretermes-bold.otf}, 27 | ItalicFont={texgyretermes-italic.otf}, 28 | BoldItalicFont={texgyretermes-bolditalic.otf}, 29 | PunctuationSpace=2 30 | ]{texgyretermes-regular.otf} 31 | 32 | \setsansfont[ 33 | BoldFont=FiraSans-Bold.otf, 34 | ItalicFont=FiraSans-Italic.otf 35 | ]{FiraSans-Regular.otf} 36 | 37 | \setCJKmainfont[ 38 | BoldFont=Noto Serif CJK SC Bold 39 | ]{Noto Serif CJK SC} 40 | 41 | \setCJKsansfont[ 42 | BoldFont=Noto Sans CJK SC Bold 43 | ]{Noto Sans CJK SC} 44 | 45 | \setCJKfamilyfont{emfont}[ 46 | BoldFont=FandolHei-Regular.otf 47 | ]{FandolHei-Regular.otf} % 强调用的字体 48 | 49 | \renewcommand{\em}{\bfseries\CJKfamily{emfont}} % 强调 50 | 51 | \setmathfont[ 52 | Extension = .otf, 53 | math-style= TeX, 54 | ]{texgyretermes-math} 55 | 56 | \usepackage{mathrsfs} 57 | \usepackage{stmaryrd} \SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n} % 避免警告 (stmryd 不含粗体故) 58 | % \usepackage{array} 59 | % \usepackage{tikz-cd} % 使用 TikZ 绘图 60 | \usetikzlibrary{positioning, patterns, calc, matrix, shapes.arrows, shapes.symbols} 61 | 62 | \usepackage{myarrows} % 使用自定义的可伸缩箭头 63 | \usepackage{mycommand} % 引入自定义的惯用的命令 64 | 65 | 66 | \title{\bfseries 代数学方法（第一卷）勘误表 \\ 跨度: 2023 --- 2024 } 67 | \author{李文威} 68 | \date{\today} 69 | 70 | \begin{document} 71 | \maketitle 72 | 以下页码等信息参照高等教育出版社 2023 年 2 月重印之《代数学方法》第一卷, ISBN: 978-7-04-050725-6. 这些错误将在下一批重印的版本改正. 73 | 74 | \begin{Errata} 75 | \item[定理 3.4.9 证明第一段结尾处] 76 | \Orig 唯一确定了 $\varphi$. 因此... 77 | \Corr 唯一确定了 $\phi$. 因此... 78 | \Thx{感谢刘欧指正} 79 | 80 | \item[例 2.1.5 第 1 项第一行] 81 | \Orig 任两个对象间至多只有一个态射的范畴 82 | \Corr 对任一对对象 $(X, Y)$ 至多只有一个态射 $X \to Y$ 的范畴 83 | \Thx{感谢彭行一指正} 84 | 85 | \item[例 2.1.5 第 7 项] 86 | \Orig $\mathrm{Vect}_f$ 87 | \Corr $\mathsf{Vect}_f$ 88 | %\Thx{} 89 | 90 | \item[例 2.2.9] 91 | 将显示公式第一行的 $\cate{CHaus}$ 换成 $\cate{CHaus}^{\text{op}}$ 92 | \Thx{感谢毕家烨指正} 93 | 94 | \item[定义 2.3.1 第二项 (余积)] 95 | 将所有 $X_k$ 改成 $X'_k$ (两处). 另外将最后一行的 $X_j \in \Obj(\mathcal{C}_j)$ 改成 $X_j, X'_j \in \Obj(\mathcal{C}_j)$. 96 | \Thx{感谢 Alissa Tung 指正} 97 | 98 | \item[命题 2.6.9 证明第二行] 99 | \Orig $h_{\mathcal{C}}(GY)$ 100 | \Corr $h_{\mathcal{C}_1}(GY)$ 101 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 102 | 103 | \item[定理 2.6.12 证明] 104 | \Orig 等式右边的底部再装配 $\epsilon$... 105 | \Corr 等式右边的底部再装配 $\varepsilon$... 106 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 107 | 108 | \item[定义 2.7.2 之下的讨论] 109 | \Orig 余锥和锥 110 | \Corr 锥和余锥 111 | \Thx{感谢黄行知指正} 112 | 113 | \item[\S 2.7, 公式 (2.11) 之后的图表] 114 | 右图从 $x_j$ 出发的两个箭头从 $\to$ 改成 $\mapsto$. 115 | \Thx{感谢陈思成指正} 116 | 117 | \item[第二章习题 10] 118 | \Orig $\cate{Vect}_f(\Bbbk)$ 119 | \Corr $\cate{Vect}(\Bbbk)$ 120 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 121 | 122 | \item[定义 3.1.7 的交换图表右上角的项] 123 | \Orig $Y \times Z$ 124 | \Corr $Y \otimes Z$ 125 | 126 | \item[例 3.3.8, 第 85 页 Artin 辫群的定义之上] 127 | \Orig 两条垂直线 $\vert\;\vert$ 128 | \Corr 三条垂直线 $\vert\;\vert\;\vert$ 129 | \Thx{感谢刘欧指正} 130 | 131 | \item[第三章习题 1] 132 | \Orig ... $X_1, \ldots, X_n$ ... 它们的 $n$-重 ... 133 | \Corr ... $X_1, \ldots, X_{n+1}$ ... 循序的 $n$-重 ... 134 | \Thx{感谢李隆平指正} 135 | 136 | \item[定义 4.3.7 陈述的最后一则公式] 137 | \Orig $\Image(G)$ 138 | \Corr $\Image(\varphi)$ 139 | \Thx{感谢李隆平指正} 140 | 141 | \item[定义 4.8.1 第三行] 142 | \Orig $\varphi: \mathbf{M}(X) \to M$ 143 | \Corr $\varphi: \mathbf{M}(X) \to M'$ 144 | \Thx{感谢王继麟指正} 145 | 146 | \item[(4.6) 以下的讨论] 147 | \Orig 在 $M_1$ 中可写... 148 | \Corr 在 $M_{i_1}$ 中可写... 149 | \Thx{感谢曲锐恒指正} 150 | 151 | \item[引理 4.9.5 证明第三行] 152 | \Orig $\sigma(f \pm g) = \sigma f \pm \sigma g$, 其中 $k \in \Z$. 153 | \Corr $\sigma(f \pm g) = \sigma f \pm \sigma g$. 154 | \Thx{感谢蓝青指正} 155 | 156 | \item[第四章习题 26] 157 | 将 $\varinjlim_U \varprojlim_V$ 换成 $\varprojlim_V \varinjlim_U$. 158 | 159 | \item[引理 5.4.5 证明最后的公式] 160 | \Orig $\displaystyle\sum_{x_1 \leq z_1 \leq y_n}$ 161 | \Corr $\displaystyle\sum_{x_1 \leq z_1 \leq y_1}$ 162 | 163 | \item[例 5.4.7 第三行] 164 | 删除 ``(即保序双射)'' 165 | 166 | \item[例 5.4.7 第二个显示公式的第一项] 167 | \Orig $\mu\left( \prod_p n_p, \prod_p m_p \right)$ 168 | \Corr $\mu\left( \prod_p p^{n_p}, \prod_p p^{m_p} \right)$ 169 | 170 | \item[命题 5.6.5 的陈述中部] 171 | \Orig 若 $f$ 和 $g$ 的像在 $S$ 中对乘法相交换, ... 172 | \Corr 若 $f$ 和 $g$ 的像在 $S$ 中对乘法相交换, $f$ 的像对乘法也交换, ... 173 | \Thx{感谢褚浩云指正} 174 | 175 | \item[定理 5.7.9 证明中第一个列表的第二项] 176 | \Orig $\bar{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}$ 177 | \Corr $\mathring{\mathfrak{p}} = \mathring{\bar{\mathfrak{p}}}$ 178 | \Thx{感谢王继麟指正} 179 | 180 | \item[定理 5.8.7 的陈述] 181 | \Orig $(-1)^k k e_k$ 182 | \Corr $k e_k$ 183 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 184 | 185 | \item[第五章习题 10] 186 | \Orig $Z(P, n) := \zeta^n(\hat{0}, \hat{1})$ 187 | \Corr $Z(P, n)$ 为 $P$ 中的列 $x_1 \leq \cdots \leq x_{n-1}$ 的个数. 188 | \Thx{感谢毕家烨指正} 189 | 190 | \item[注记 6.2.3 的显示公式] 191 | 应将 $\bigoplus$ 改成 $\bigsqcup$, 下标不变. 192 | 193 | \item[引理 6.3.5 陈述最后一行] 在 $\Hom(\cdots) \times \Hom(\cdots)$ 中对调两个 $\Hom$ 的位置. 194 | 195 | \item[例 6.5.2 之上的最后一句] 196 | \Orig ...化到单模的情形. 197 | \Corr ...化到单边的情形. 198 | 199 | \item[命题 6.5.11] 200 | 命题陈述中两行公式之间的左侧 $\rotatebox{90}{$\subset$}$ 改成箭头 $\rotatebox{90}{\to}$. 另外, 证明第五行的``两个同态''改为``两个横向同态''. 201 | \Thx{感谢毕家烨指正} 202 | 203 | \item[命题 6.5.13 证明第三行中间] 204 | \Orig $M \dotimes{S} S \xrightarrow{\text{平衡积}} \cdots$ 205 | \Corr $M \times S \xrightarrow{\text{平衡积}} \cdots$ 206 | 207 | \item[定理 6.9.10 证明倒数第四行] 208 | \Orig $\stackrel{r \mapsto rx}{\hookrightarrow}$. 209 | \Corr $\xrightarrow{r \mapsto rx}$. 210 | \Thx{感谢蓝青指正} 211 | 212 | \item[定理 6.10.7 证明] 213 | 证明结尾处延续原来段落, 补上以下文字: ``最后一步改为用形如 $\sum_{i=1}^m u_i f_i X^{d_i}$ 的元素不断消去 $f_{m+1}$ 的最低次项, 最终推得 $f_{m+1} \in \lrangle{f_1, \ldots, f_m}$. 214 | \Thx{感谢毕家烨指正} 215 | 216 | \item[引理 6.11.3 之上第二第三行] 217 | \Orig $\End_R(M) \rightiso \cdots$ 218 | \Corr 219 | \[ \End_R(M)^{\text{op}} \rightiso \prod_{i=1}^n M_{n_i}\left(D_i^{\text{op}}\right)^{\text{op}} \xrightarrow[\text{转置}]{\sim} \prod_{i=1}^n M_{n_i}(D_i) \] 220 | 221 | \Orig $M_i^{\oplus n_i}$ 是右 $D_i$-模 222 | \Corr $M_i^{\oplus n_i}$ 是右 $M_{n_i}(D_i)$-模 223 | \Thx{感谢蓝青指正} 224 | 225 | \item[第六章习题 10] 226 | \Orig $\iff b \in \Q\pi$ 227 | \Corr $\iff a = 0 \;\text{或}\; b \in \Q\pi$ 228 | \Thx{感谢王继麟指正} 229 | 230 | \item[7.1 节倒数第二段的公式之前] 231 | \Orig $M_n$ 是自由左 $A$-模: 232 | \Corr $M_n(A)$ 是自由左 $A$-模: 233 | \Thx{感谢李隆平指正} 234 | 235 | \item[公式 (7.7) 之下第三行] 236 | \Orig $A_i \otimes B_j$ 237 | \Corr $A_j \otimes B_k$ 238 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 239 | 240 | \item[引理 7.6.4 证明中部] 241 | \Orig $(\sigma B)(x_1, \ldots, x_n) = B(x_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, x_{\sigma^{-1}(n)})$ 242 | \Corr $(\sigma B)(x_1, \ldots, x_n) = B(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$ 243 | \Thx{感谢蓝青指正} 244 | 245 | \item[推论 7.6.9 证明之下第六行] 246 | \Orig $T^n_\chi := \cdots$ 247 | \Corr $T^n_\chi(M) := \cdots$ 248 | \Thx{感谢蓝青指正} 249 | 250 | \item[公式 (7.12) 之上第二行] 251 | \Orig $\cdots < i_l \leq n$ 252 | \Corr $\cdots < i_k \leq n$ 253 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 254 | 255 | \item[定义 7.8.3 之上第三行] 256 | \Orig $s \cdot \Tr(\varphi)$ 257 | \Corr $s \cdot \Tr(\psi)$ 258 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 259 | 260 | \item[定理 7.8.5 陈述] 261 | 第二个等式的 $\mathrm{N}_R(\varphi)$ 改为 $\det_R(\varphi)$. 262 | \Thx{感谢毕家烨指正} 263 | 264 | \item[第七章习题 6 (iii)] 265 | 将显示公式第二行的 ``$A$ 交换'' 改为 ``$A$ 结合交换'' 266 | \Thx{感谢毕家烨指正} 267 | 268 | \item[定义--定理 8.3.4 证明] 269 | 倒数第一和第二行的两处 $R_x$ 应改为 $R_P$. 270 | \Thx{感谢李隆平指正} 271 | 272 | \item[定义 9.3.3 之下第二个交换图表右上角] 273 | \Orig $\varphi(b)$ 274 | \Corr $\varphi(a)$ 275 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 276 | 277 | \item[定理 9.3.4 证明第二行] 278 | \Orig $\Gal(E|F) = \cdots$ 279 | \Corr $|\Gal(E|F)| = \cdots$ 280 | \Thx{感谢蓝青指正} 281 | 282 | \item[命题 9.4.2 陈述] 283 | \Orig 而且 $\mu_n$ 是... 284 | \Corr 而且 $\mu_n(\overline{F})$ 是... 285 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 286 | 287 | \item[定理 9.4.6 证明第一句] 288 | \Orig $\Q(\mu_n)$ 289 | \Corr $\Q(\zeta_n)$ 290 | \Thx{感谢雷嘉乐指正} 291 | 292 | \item[公式 (9.11), 及其下两处] 293 | 将 $\chi(\Delta, \gamma) \xlongequal{\text{恒等}} 1$, $\chi(a, \Gamma) \xlongequal{\text{恒等}} 1$, $\chi(\Delta, \gamma) = 1$ 和 $\chi(a, \Gamma_E) = 1$ 中的 $1$ 全部改为 $0$. 294 | \Thx{感谢毕家烨指正} 295 | 296 | \item[第九章习题 13] 297 | 在``无关根的排序.'' 之后加一句``设 $\mathrm{char}(F) \neq 2$''. 298 | \Thx{感谢毕家烨指正} 299 | 300 | \item[第九章习题 17] 301 | \Orig ...可约则 $G \simeq D_8$... 302 | \Corr ...不可约则 $G \simeq D_8$... 303 | \Thx{感谢毕家烨指正} 304 | 305 | \item[例 10.1.3 列表第二项结尾] 306 | \Orig $\cdots \implies E \in \mathfrak{N}_y$ 307 | \Corr $\cdots \implies F \in \mathfrak{N}_y$ 308 | \Thx{感谢黄行知指正} 309 | 310 | \item[例 10.1.3 最后一段] 311 | 引用文献的定理 2.2.3 改为定理 2.3.3. 312 | 313 | \item[命题 10.3.5 陈述第二行] 314 | \Orig $v(\varpi)^k$ 315 | \Corr $v(\varpi^k)$ 316 | 317 | \item[第十章习题 18] 318 | \Orig 推论 10.6.8 319 | \Corr 推论 10.7.8 320 | \Thx{感谢毕家烨指正} 321 | \end{Errata} 322 | \end{document} 323 | -------------------------------------------------------------------------------- /Errata-Al-jabr-1.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/Errata-Al-jabr-1.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /Errata-Al-jabr-1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!TEX TS-program = xelatex 2 | %!TEX encoding = UTF-8 3 | 4 | % LaTeX source for the errata of the book ``代数学方法'' in Chinese 5 | % Copyright 2025 李文威 (Wen-Wei Li). 6 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 7 | % document under the terms of the Creative Commons 8 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 9 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 10 | 11 | % 《代数学方法》卷一勘误表 / 李文威 12 | % 使用自定义的文档类 AJerrata.cls. 自动载入 xeCJK. 13 | 14 | \documentclass{AJerrata} 15 | 16 | \usepackage{unicode-math} 17 | 18 | \usepackage[unicode, colorlinks, psdextra, bookmarksnumbered, 19 | pdfpagelabels=true, 20 | pdfauthor={李文威 (Wen-Wei Li)}, 21 | pdftitle={代数学方法卷一勘误}, 22 | pdfkeywords={} 23 | ]{hyperref} 24 | 25 | \setmainfont[ 26 | BoldFont={texgyretermes-bold.otf}, 27 | ItalicFont={texgyretermes-italic.otf}, 28 | BoldItalicFont={texgyretermes-bolditalic.otf}, 29 | PunctuationSpace=2 30 | ]{texgyretermes-regular.otf} 31 | 32 | \setsansfont[ 33 | BoldFont=FiraSans-Bold.otf, 34 | ItalicFont=FiraSans-Italic.otf 35 | ]{FiraSans-Regular.otf} 36 | 37 | \setCJKmainfont[ 38 | BoldFont=Noto Serif CJK SC Bold 39 | ]{Noto Serif CJK SC} 40 | 41 | \setCJKsansfont[ 42 | BoldFont=Noto Sans CJK SC Bold 43 | ]{Noto Sans CJK SC} 44 | 45 | \setCJKfamilyfont{emfont}[ 46 | BoldFont=FandolHei-Regular.otf 47 | ]{FandolHei-Regular.otf} % 强调用的字体 48 | 49 | \renewcommand{\em}{\bfseries\CJKfamily{emfont}} % 强调 50 | 51 | \setmathfont[ 52 | Extension = .otf, 53 | math-style= TeX, 54 | ]{texgyretermes-math} 55 | 56 | \usepackage{mathrsfs} 57 | \usepackage{stmaryrd} \SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{m}{n} % 避免警告 (stmryd 不含粗体故) 58 | % \usepackage{array} 59 | % \usepackage{tikz-cd} % 使用 TikZ 绘图 60 | \usetikzlibrary{positioning, patterns, calc, matrix, shapes.arrows, shapes.symbols} 61 | 62 | \usepackage{myarrows} % 使用自定义的可伸缩箭头 63 | \usepackage{mycommand} % 引入自定义的惯用的命令 64 | 65 | 66 | \title{\bfseries 代数学方法（第一卷）勘误表 \\ 跨度: 2025 迄今 } 67 | \author{李文威} 68 | \date{\today} 69 | 70 | \begin{document} 71 | \maketitle 72 | 以下页码等信息参照高等教育出版社 2025 年修订之《代数学方法》第一卷, ISBN: 978-7-04-050725-6. 这些错误将在下一批重印的版本改正. 73 | 74 | \begin{Errata} 75 | \item[命题 2.6.9 的证明第二行] 76 | \Orig $= \Hom_{\mathcal{C}_2}(\cdot, GY)$ 77 | \Corr $= \Hom_{\mathcal{C}_1}(\cdot, GY)$ 78 | \Thx{感谢王炜乔指正} 79 | 80 | \item[第五章习题 11] 81 | \Orig $Z(P,1) = \mu(\hat{0},\hat{1}) = \sum_i (-1)^i c_i$ 82 | \Corr $Z(P,1) = \mu(\hat{0},\hat{1}) + 1 = \sum_{i \geq 2} (-1)^i c_i$ 83 | 84 | \item[命题 6.8.6 的证明第二行] 85 | \Orig $x-x' \in \Ker$ 86 | \Corr $x - (x'\,\text{的像}) \in \Ker$ 87 | \Thx{感谢赵新雨指正} 88 | 89 | \item[第六章习题 5] 90 | \Orig ...作为子理想插入... 91 | \Corr ...作为``因子''插入... 92 | % \Thx{} 93 | 94 | \item[\S 7.4 倒数第二个图表] 95 | 将图表底部的水平箭头下方的 $c(A, B)$ 改为 $c_\epsilon(A, B)$. 96 | 97 | \item[第七章习题 6 第五行] 98 | \Orig ..., 其中 $v$ 仅是符号, ... 99 | \Corr ..., 其中 $v$ 仅是符号, $\lambda \in F^{\times}$, ... 100 | 101 | \item[第七章习题 12] 102 | \Orig $w_i = \sum_{i=1}^m a_{ij} v_j$ 103 | \Corr $w_i = \sum_{j=1}^m a_{ij} v_j$ 104 | 105 | \item[第八章习题 7] 106 | \Orig $\Aut_F(F(X))$ 107 | \Corr $\Aut_F(F(X))^{\mathrm{op}}$ 108 | 109 | \Orig $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr) \cdot X$ 110 | \Corr $X \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ ... 111 | 112 | \item[第九章习题 3 (i)] 113 | \Orig $\left( 1 - f_i(x) \right)^{q-1}$ 114 | \Corr $\left( 1 - f_i(x)^{q-1} \right)$ 115 | 116 | \item[第九章习题 8] 117 | \Orig 设 $p$ 为素数 118 | \Corr 设 $p$ 为奇素数 119 | 120 | \item[第九章习题 16 的陈述] 121 | \Orig $-a_3 X^2$ 122 | \Corr $-a_3 X$ 123 | 124 | \item[定理 10.4.4 证明第二行] 125 | \Orig $|x|+|y|$ 126 | \Corr $|x+y|$ 127 | 128 | \item[\S 10.5 后半部的列表中的 ``V'' 项] 129 | 将该项下第一段 ``...和 $0 \leq r < 1$ 定义赋值...'' 中的条件改成 $0 < r \leq 1$. 130 | 131 | 将该项下最后一句 ``同理, 对于 $0 < r \leq 1$ 的情形...'' 中的条件改为 $0 < r < 1$, 然后将 ``...只和 $B(x, r)$ 有关.'' 的句号改为逗号, 补上 ``并且在 $r \in |K|$ 时与前几种赋值不等价.'' 132 | 133 | \item[引理 10.7.6 陈述第二行] 134 | \Orig $P_m$ 135 | \Corr $P_n$ 136 | 137 | \item[引理 10.9.8, ``上式变为...''之后的显示公式] 138 | \Orig $\cdots = X_0 p^{n+1} + \cdots$ 139 | \Corr $\cdots = X_{n+1} p^{n+1} + \cdots$ 140 | 141 | \item[(10.14) 之后的显示公式] 142 | 将最后出现的 $x_i^{p^{-n}}$ 改为 $y_i^{p^{-n}}$. 143 | \end{Errata} 144 | \end{document} 145 | -------------------------------------------------------------------------------- /LICENSE: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | Attribution 4.0 International 2 | 3 | ======================================================================= 4 | 5 | Creative Commons Corporation ("Creative Commons") is not a law firm and 6 | does not provide legal services or legal advice. Distribution of 7 | Creative Commons public licenses does not create a lawyer-client or 8 | other relationship. Creative Commons makes its licenses and related 9 | information available on an "as-is" basis. Creative Commons gives no 10 | warranties regarding its licenses, any material licensed under their 11 | terms and conditions, or any related information. Creative Commons 12 | disclaims all liability for damages resulting from their use to the 13 | fullest extent possible. 14 | 15 | Using Creative Commons Public Licenses 16 | 17 | Creative Commons public licenses provide a standard set of terms and 18 | conditions that creators and other rights holders may use to share 19 | original works of authorship and other material subject to copyright 20 | and certain other rights specified in the public license below. The 21 | following considerations are for informational purposes only, are not 22 | exhaustive, and do not form part of our licenses. 23 | 24 | Considerations for licensors: Our public licenses are 25 | intended for use by those authorized to give the public 26 | permission to use material in ways otherwise restricted by 27 | copyright and certain other rights. Our licenses are 28 | irrevocable. Licensors should read and understand the terms 29 | and conditions of the license they choose before applying it. 30 | Licensors should also secure all rights necessary before 31 | applying our licenses so that the public can reuse the 32 | material as expected. Licensors should clearly mark any 33 | material not subject to the license. This includes other CC- 34 | licensed material, or material used under an exception or 35 | limitation to copyright. More considerations for licensors: 36 | wiki.creativecommons.org/Considerations_for_licensors 37 | 38 | Considerations for the public: By using one of our public 39 | licenses, a licensor grants the public permission to use the 40 | licensed material under specified terms and conditions. If 41 | the licensor's permission is not necessary for any reason--for 42 | example, because of any applicable exception or limitation to 43 | copyright--then that use is not regulated by the license. Our 44 | licenses grant only permissions under copyright and certain 45 | other rights that a licensor has authority to grant. Use of 46 | the licensed material may still be restricted for other 47 | reasons, including because others have copyright or other 48 | rights in the material. A licensor may make special requests, 49 | such as asking that all changes be marked or described. 50 | Although not required by our licenses, you are encouraged to 51 | respect those requests where reasonable. More_considerations 52 | for the public: 53 | wiki.creativecommons.org/Considerations_for_licensees 54 | 55 | ======================================================================= 56 | 57 | Creative Commons Attribution 4.0 International Public License 58 | 59 | By exercising the Licensed Rights (defined below), You accept and agree 60 | to be bound by the terms and conditions of this Creative Commons 61 | Attribution 4.0 International Public License ("Public License"). To the 62 | extent this Public License may be interpreted as a contract, You are 63 | granted the Licensed Rights in consideration of Your acceptance of 64 | these terms and conditions, and the Licensor grants You such rights in 65 | consideration of benefits the Licensor receives from making the 66 | Licensed Material available under these terms and conditions. 67 | 68 | 69 | Section 1 -- Definitions. 70 | 71 | a. Adapted Material means material subject to Copyright and Similar 72 | Rights that is derived from or based upon the Licensed Material 73 | and in which the Licensed Material is translated, altered, 74 | arranged, transformed, or otherwise modified in a manner requiring 75 | permission under the Copyright and Similar Rights held by the 76 | Licensor. For purposes of this Public License, where the Licensed 77 | Material is a musical work, performance, or sound recording, 78 | Adapted Material is always produced where the Licensed Material is 79 | synched in timed relation with a moving image. 80 | 81 | b. Adapter's License means the license You apply to Your Copyright 82 | and Similar Rights in Your contributions to Adapted Material in 83 | accordance with the terms and conditions of this Public License. 84 | 85 | c. Copyright and Similar Rights means copyright and/or similar rights 86 | closely related to copyright including, without limitation, 87 | performance, broadcast, sound recording, and Sui Generis Database 88 | Rights, without regard to how the rights are labeled or 89 | categorized. For purposes of this Public License, the rights 90 | specified in Section 2(b)(1)-(2) are not Copyright and Similar 91 | Rights. 92 | 93 | d. Effective Technological Measures means those measures that, in the 94 | absence of proper authority, may not be circumvented under laws 95 | fulfilling obligations under Article 11 of the WIPO Copyright 96 | Treaty adopted on December 20, 1996, and/or similar international 97 | agreements. 98 | 99 | e. Exceptions and Limitations means fair use, fair dealing, and/or 100 | any other exception or limitation to Copyright and Similar Rights 101 | that applies to Your use of the Licensed Material. 102 | 103 | f. Licensed Material means the artistic or literary work, database, 104 | or other material to which the Licensor applied this Public 105 | License. 106 | 107 | g. Licensed Rights means the rights granted to You subject to the 108 | terms and conditions of this Public License, which are limited to 109 | all Copyright and Similar Rights that apply to Your use of the 110 | Licensed Material and that the Licensor has authority to license. 111 | 112 | h. Licensor means the individual(s) or entity(ies) granting rights 113 | under this Public License. 114 | 115 | i. Share means to provide material to the public by any means or 116 | process that requires permission under the Licensed Rights, such 117 | as reproduction, public display, public performance, distribution, 118 | dissemination, communication, or importation, and to make material 119 | available to the public including in ways that members of the 120 | public may access the material from a place and at a time 121 | individually chosen by them. 122 | 123 | j. Sui Generis Database Rights means rights other than copyright 124 | resulting from Directive 96/9/EC of the European Parliament and of 125 | the Council of 11 March 1996 on the legal protection of databases, 126 | as amended and/or succeeded, as well as other essentially 127 | equivalent rights anywhere in the world. 128 | 129 | k. You means the individual or entity exercising the Licensed Rights 130 | under this Public License. Your has a corresponding meaning. 131 | 132 | 133 | Section 2 -- Scope. 134 | 135 | a. License grant. 136 | 137 | 1. Subject to the terms and conditions of this Public License, 138 | the Licensor hereby grants You a worldwide, royalty-free, 139 | non-sublicensable, non-exclusive, irrevocable license to 140 | exercise the Licensed Rights in the Licensed Material to: 141 | 142 | a. reproduce and Share the Licensed Material, in whole or 143 | in part; and 144 | 145 | b. produce, reproduce, and Share Adapted Material. 146 | 147 | 2. Exceptions and Limitations. For the avoidance of doubt, where 148 | Exceptions and Limitations apply to Your use, this Public 149 | License does not apply, and You do not need to comply with 150 | its terms and conditions. 151 | 152 | 3. Term. The term of this Public License is specified in Section 153 | 6(a). 154 | 155 | 4. Media and formats; technical modifications allowed. The 156 | Licensor authorizes You to exercise the Licensed Rights in 157 | all media and formats whether now known or hereafter created, 158 | and to make technical modifications necessary to do so. The 159 | Licensor waives and/or agrees not to assert any right or 160 | authority to forbid You from making technical modifications 161 | necessary to exercise the Licensed Rights, including 162 | technical modifications necessary to circumvent Effective 163 | Technological Measures. For purposes of this Public License, 164 | simply making modifications authorized by this Section 2(a) 165 | (4) never produces Adapted Material. 166 | 167 | 5. Downstream recipients. 168 | 169 | a. Offer from the Licensor -- Licensed Material. Every 170 | recipient of the Licensed Material automatically 171 | receives an offer from the Licensor to exercise the 172 | Licensed Rights under the terms and conditions of this 173 | Public License. 174 | 175 | b. No downstream restrictions. You may not offer or impose 176 | any additional or different terms or conditions on, or 177 | apply any Effective Technological Measures to, the 178 | Licensed Material if doing so restricts exercise of the 179 | Licensed Rights by any recipient of the Licensed 180 | Material. 181 | 182 | 6. No endorsement. Nothing in this Public License constitutes or 183 | may be construed as permission to assert or imply that You 184 | are, or that Your use of the Licensed Material is, connected 185 | with, or sponsored, endorsed, or granted official status by, 186 | the Licensor or others designated to receive attribution as 187 | provided in Section 3(a)(1)(A)(i). 188 | 189 | b. Other rights. 190 | 191 | 1. Moral rights, such as the right of integrity, are not 192 | licensed under this Public License, nor are publicity, 193 | privacy, and/or other similar personality rights; however, to 194 | the extent possible, the Licensor waives and/or agrees not to 195 | assert any such rights held by the Licensor to the limited 196 | extent necessary to allow You to exercise the Licensed 197 | Rights, but not otherwise. 198 | 199 | 2. Patent and trademark rights are not licensed under this 200 | Public License. 201 | 202 | 3. To the extent possible, the Licensor waives any right to 203 | collect royalties from You for the exercise of the Licensed 204 | Rights, whether directly or through a collecting society 205 | under any voluntary or waivable statutory or compulsory 206 | licensing scheme. In all other cases the Licensor expressly 207 | reserves any right to collect such royalties. 208 | 209 | 210 | Section 3 -- License Conditions. 211 | 212 | Your exercise of the Licensed Rights is expressly made subject to the 213 | following conditions. 214 | 215 | a. Attribution. 216 | 217 | 1. If You Share the Licensed Material (including in modified 218 | form), You must: 219 | 220 | a. retain the following if it is supplied by the Licensor 221 | with the Licensed Material: 222 | 223 | i. identification of the creator(s) of the Licensed 224 | Material and any others designated to receive 225 | attribution, in any reasonable manner requested by 226 | the Licensor (including by pseudonym if 227 | designated); 228 | 229 | ii. a copyright notice; 230 | 231 | iii. a notice that refers to this Public License; 232 | 233 | iv. a notice that refers to the disclaimer of 234 | warranties; 235 | 236 | v. a URI or hyperlink to the Licensed Material to the 237 | extent reasonably practicable; 238 | 239 | b. indicate if You modified the Licensed Material and 240 | retain an indication of any previous modifications; and 241 | 242 | c. indicate the Licensed Material is licensed under this 243 | Public License, and include the text of, or the URI or 244 | hyperlink to, this Public License. 245 | 246 | 2. You may satisfy the conditions in Section 3(a)(1) in any 247 | reasonable manner based on the medium, means, and context in 248 | which You Share the Licensed Material. For example, it may be 249 | reasonable to satisfy the conditions by providing a URI or 250 | hyperlink to a resource that includes the required 251 | information. 252 | 253 | 3. If requested by the Licensor, You must remove any of the 254 | information required by Section 3(a)(1)(A) to the extent 255 | reasonably practicable. 256 | 257 | 4. If You Share Adapted Material You produce, the Adapter's 258 | License You apply must not prevent recipients of the Adapted 259 | Material from complying with this Public License. 260 | 261 | 262 | Section 4 -- Sui Generis Database Rights. 263 | 264 | Where the Licensed Rights include Sui Generis Database Rights that 265 | apply to Your use of the Licensed Material: 266 | 267 | a. for the avoidance of doubt, Section 2(a)(1) grants You the right 268 | to extract, reuse, reproduce, and Share all or a substantial 269 | portion of the contents of the database; 270 | 271 | b. if You include all or a substantial portion of the database 272 | contents in a database in which You have Sui Generis Database 273 | Rights, then the database in which You have Sui Generis Database 274 | Rights (but not its individual contents) is Adapted Material; and 275 | 276 | c. You must comply with the conditions in Section 3(a) if You Share 277 | all or a substantial portion of the contents of the database. 278 | 279 | For the avoidance of doubt, this Section 4 supplements and does not 280 | replace Your obligations under this Public License where the Licensed 281 | Rights include other Copyright and Similar Rights. 282 | 283 | 284 | Section 5 -- Disclaimer of Warranties and Limitation of Liability. 285 | 286 | a. UNLESS OTHERWISE SEPARATELY UNDERTAKEN BY THE LICENSOR, TO THE 287 | EXTENT POSSIBLE, THE LICENSOR OFFERS THE LICENSED MATERIAL AS-IS 288 | AND AS-AVAILABLE, AND MAKES NO REPRESENTATIONS OR WARRANTIES OF 289 | ANY KIND CONCERNING THE LICENSED MATERIAL, WHETHER EXPRESS, 290 | IMPLIED, STATUTORY, OR OTHER. THIS INCLUDES, WITHOUT LIMITATION, 291 | WARRANTIES OF TITLE, MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR 292 | PURPOSE, NON-INFRINGEMENT, ABSENCE OF LATENT OR OTHER DEFECTS, 293 | ACCURACY, OR THE PRESENCE OR ABSENCE OF ERRORS, WHETHER OR NOT 294 | KNOWN OR DISCOVERABLE. WHERE DISCLAIMERS OF WARRANTIES ARE NOT 295 | ALLOWED IN FULL OR IN PART, THIS DISCLAIMER MAY NOT APPLY TO YOU. 296 | 297 | b. TO THE EXTENT POSSIBLE, IN NO EVENT WILL THE LICENSOR BE LIABLE 298 | TO YOU ON ANY LEGAL THEORY (INCLUDING, WITHOUT LIMITATION, 299 | NEGLIGENCE) OR OTHERWISE FOR ANY DIRECT, SPECIAL, INDIRECT, 300 | INCIDENTAL, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE, EXEMPLARY, OR OTHER LOSSES, 301 | COSTS, EXPENSES, OR DAMAGES ARISING OUT OF THIS PUBLIC LICENSE OR 302 | USE OF THE LICENSED MATERIAL, EVEN IF THE LICENSOR HAS BEEN 303 | ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH LOSSES, COSTS, EXPENSES, OR 304 | DAMAGES. WHERE A LIMITATION OF LIABILITY IS NOT ALLOWED IN FULL OR 305 | IN PART, THIS LIMITATION MAY NOT APPLY TO YOU. 306 | 307 | c. The disclaimer of warranties and limitation of liability provided 308 | above shall be interpreted in a manner that, to the extent 309 | possible, most closely approximates an absolute disclaimer and 310 | waiver of all liability. 311 | 312 | 313 | Section 6 -- Term and Termination. 314 | 315 | a. This Public License applies for the term of the Copyright and 316 | Similar Rights licensed here. However, if You fail to comply with 317 | this Public License, then Your rights under this Public License 318 | terminate automatically. 319 | 320 | b. Where Your right to use the Licensed Material has terminated under 321 | Section 6(a), it reinstates: 322 | 323 | 1. automatically as of the date the violation is cured, provided 324 | it is cured within 30 days of Your discovery of the 325 | violation; or 326 | 327 | 2. upon express reinstatement by the Licensor. 328 | 329 | For the avoidance of doubt, this Section 6(b) does not affect any 330 | right the Licensor may have to seek remedies for Your violations 331 | of this Public License. 332 | 333 | c. For the avoidance of doubt, the Licensor may also offer the 334 | Licensed Material under separate terms or conditions or stop 335 | distributing the Licensed Material at any time; however, doing so 336 | will not terminate this Public License. 337 | 338 | d. Sections 1, 5, 6, 7, and 8 survive termination of this Public 339 | License. 340 | 341 | 342 | Section 7 -- Other Terms and Conditions. 343 | 344 | a. The Licensor shall not be bound by any additional or different 345 | terms or conditions communicated by You unless expressly agreed. 346 | 347 | b. Any arrangements, understandings, or agreements regarding the 348 | Licensed Material not stated herein are separate from and 349 | independent of the terms and conditions of this Public License. 350 | 351 | 352 | Section 8 -- Interpretation. 353 | 354 | a. For the avoidance of doubt, this Public License does not, and 355 | shall not be interpreted to, reduce, limit, restrict, or impose 356 | conditions on any use of the Licensed Material that could lawfully 357 | be made without permission under this Public License. 358 | 359 | b. To the extent possible, if any provision of this Public License is 360 | deemed unenforceable, it shall be automatically reformed to the 361 | minimum extent necessary to make it enforceable. If the provision 362 | cannot be reformed, it shall be severed from this Public License 363 | without affecting the enforceability of the remaining terms and 364 | conditions. 365 | 366 | c. No term or condition of this Public License will be waived and no 367 | failure to comply consented to unless expressly agreed to by the 368 | Licensor. 369 | 370 | d. Nothing in this Public License constitutes or may be interpreted 371 | as a limitation upon, or waiver of, any privileges and immunities 372 | that apply to the Licensor or You, including from the legal 373 | processes of any jurisdiction or authority. 374 | 375 | 376 | ======================================================================= 377 | 378 | Creative Commons is not a party to its public 379 | licenses. Notwithstanding, Creative Commons may elect to apply one of 380 | its public licenses to material it publishes and in those instances 381 | will be considered the “Licensor.” The text of the Creative Commons 382 | public licenses is dedicated to the public domain under the CC0 Public 383 | Domain Dedication. Except for the limited purpose of indicating that 384 | material is shared under a Creative Commons public license or as 385 | otherwise permitted by the Creative Commons policies published at 386 | creativecommons.org/policies, Creative Commons does not authorize the 387 | use of the trademark "Creative Commons" or any other trademark or logo 388 | of Creative Commons without its prior written consent including, 389 | without limitation, in connection with any unauthorized modifications 390 | to any of its public licenses or any other arrangements, 391 | understandings, or agreements concerning use of licensed material. For 392 | the avoidance of doubt, this paragraph does not form part of the 393 | public licenses. 394 | 395 | Creative Commons may be contacted at creativecommons.org. 396 | -------------------------------------------------------------------------------- /Lanzhou.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/Lanzhou.png -------------------------------------------------------------------------------- /Makefile: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | MAINFILE=Al-jabr-1 2 | TEMPLATE=Template-AJbook 3 | ERRATA=Errata-Al-jabr-1 4 | LATEXMK=latexmk 5 | 6 | default: 7 | # Generating $(MAINFILE).pdf 8 | $(LATEXMK) -pdf -pdflatex="xelatex -synctex=1 -shell-escape -interaction=nonstopmode %O %S" $(MAINFILE) 9 | 10 | nosync: 11 | # Generating $(MAINFILE).pdf 12 | $(LATEXMK) -pdf -pdflatex="xelatex -shell-escape -interaction=nonstopmode %O %S" $(MAINFILE) 13 | 14 | template: 15 | # Generating $(TEMPLATE).pdf 16 | $(LATEXMK) -pdf -pdflatex="xelatex -shell-escape -interaction=nonstopmode %O %S" $(TEMPLATE) 17 | 18 | errata: 19 | # Generating $(ERRATA).pdf 20 | $(LATEXMK) -pdf -pdflatex="xelatex -shell-escape -interaction=nonstopmode %O %S" $(ERRATA) 21 | 22 | clean: 23 | # Cleaning... 24 | @rm -f *.aux *.log *.idx *.ind *.ilg *.thm *.toc *.blg *.bbl *.bcf *.out 25 | @rm -f *.fls *.fdb_latexmk *.run.xml *.synctex.gz *.xdv *~ *.lof *.lot 26 | @rm -f .metadonnees* 27 | 28 | tarball: 29 | @rm -f ../AlJabr-1.tar.gz 30 | @tar --exclude .git -zcvf ../AlJabr-1.tar.gz . 31 | 32 | zip: 33 | @rm -f ../AlJabr-1.zip 34 | @zip -r ../AlJabr-1.zip . 35 | 36 | .PHONY: clean 37 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | This is the LaTeX source for the textbook **Methods of Algebra** (in Chinese: 代数学方法), Volume 1, revised version (February 2023). 2 | 3 | The book is originally published in 2019 by Higher Education Press (Beijing), ISBN 978-7-04-050725-6. The revised version has been published. 4 | 5 | The PDF version and the errata are available on the author's web page. The contents in this revised version are "frozen": the spotted mistakes will be corrected in the next revision/edition. 6 | 7 | It is hoped that these files will be of some help to those professors, students as well as amateurs who wish to write serious Chinese books in Mathematics or Physics without too much TeXnical trouble. 8 | 9 | # How to compile 10 | 11 | ## System requirements 12 | The files are to be compiled using XeLaTeX with the xeCJK package. The reader is assumed to work under the UN*X + bash environment. 13 | 14 | The recipes below can be tweaked to work under Windows, but this is not recommended. The simplest solution is to go open-source. 15 | 16 | We only need the standard packages and fonts, such as 17 | - [TeX Live](https://tug.org/texlive), including the programs latexmk, xindy and biber. 18 | - Standard fonts included in TeX Live, in particular the Fandol fonts. For some strange reason I used and installed the TeX Gyre Heros fonts in the system. In case of error messages related to these fonts, please look for the OTF files (inside the directories in your computer which store TeX-related fonts) whose names start with **texgyreheros**, and install them manually in your system. 19 | - The **Noto Sans CJK SC** fonts from [Noto CJK](https://github.com/googlei18n/noto-cjk), which should also be installed system-wide. 20 | 21 | Make sure that all the relevant packages/programs are installed. For reference, the author made the compilation using Arch-based Linux distributions with TeX Live 2018 and/or 2020; the packages **biber** and **texlive-science** are required. 22 | 23 | ## Clone the files 24 | Assume that [Git](https://git-scm.com/) has been installed on your computer. As a preparation for the compilation process, we will clone the files into `~/AlJabr-1` in our home directory. In command line, type 25 | ``` 26 | cd ~ 27 | git clone https://github.com/wenweili/AlJabr-1 28 | ``` 29 | 30 | All the source files are encoded in UTF-8, which is the de facto standard for storing multilingual texts. If you encounter problems in opening the source files under Windows, try to re-configure your editor or convert the encoding manually. 31 | 32 | ## Compile the TeX source 33 | 34 | Move to the directory 35 | ``` 36 | cd ~/AlJabr-1 37 | ``` 38 | Then, either type 39 | ``` 40 | latexmk -pdf -pdflatex="xelatex -shell-escape -interaction=nonstopmode %O %S" Al-jabr-1 41 | ``` 42 | under bash, or more simply 43 | ``` 44 | make 45 | ``` 46 | 47 | Have a cup of coffee since this will take several minutes. The resulting PDF file should appear as **Al-jabr-1.pdf** in the same directory. Note that the main file is **Al-jabr-1.tex**. 48 | 49 | To clean up everything in our directory except the PDF file, type 50 | ``` 51 | make clean 52 | ``` 53 | 54 | # The document class AJbook 55 | The book is written in the **AJbook** class (AJbook.cls). This is a general-purpose document class, based on XeLaTeX/xeCJK and the standard book class in LaTeX, whose aim is to produce Chinese books in Mathematics/Physics of professional quality. Its basic usage is illustrated in Template-AJbook.tex; type 56 | ``` 57 | latexmk -pdf -pdflatex="xelatex -shell-escape -interaction=nonstopmode %O %S" Template-AJbook 58 | ``` 59 | or more simply 60 | ``` 61 | make template 62 | ``` 63 | to compile the template. 64 | 65 | The fonts and other apppearances are customizable through several config files; please read the source files carefully for further details. The Template-AJbook.tex file follows the original configurations of the book. 66 | 67 | # The errata 68 | The errata is produced from **Errata-Al-jabr-1.tex**, which is based on the really simple document class file **AJerrata.cls**. Apart from the standard fonts bundled with TeX, it also depends on **Noto Serif CJK SC** and **Noto Sans CJK SC**; you can install them from [Noto CJK fonts](https://github.com/googlei18n/noto-cjk). 69 | 70 | To compile the errata, type 71 | ``` 72 | xelatex Errata-Al-jabr-1 73 | ``` 74 | or 75 | ``` 76 | make errata 77 | ``` 78 | in the same directory. 79 | 80 | The errata to the previous editions are named as **Errata-Al-jabr-1-v0.tex**, and so forth. 81 | 82 | # Feedback 83 | In case of problems of compilation, please kindly report to the author. Make sure that all the system requirements above are met, and provide detailed error messages. Other suggestions are also welcome. 84 | 85 | # License 86 | The entire codebase is under [CC BY 4.0](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). 87 | 88 | # Star History 89 | 90 | [![Star History Chart](https://api.star-history.com/svg?repos=wenweili/AlJabr-1&type=Date)](https://star-history.com/#wenweili/AlJabr-1&Date) 91 | -------------------------------------------------------------------------------- /Template-AJbook.pdf: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/Template-AJbook.pdf -------------------------------------------------------------------------------- /Template-AJbook.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %!TEX TS-program = xelatex 2 | %!TEX encoding = UTF-8 3 | 4 | % Template for the class file AJbook, originally designed for Chinese book ``代数学方法''. 5 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 6 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 7 | % document under the terms of the Creative Commons 8 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 9 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 10 | 11 | % 使用自定义的文档类 AJbook.cls. 自动载入 xeCJK. 需要额外档案如下: 12 | % font-setup-open.tex, coverpage.tex, titles-setup.tex, mycommand.sty, myarrows.sty 13 | % 文档类选项 (key/val 格式): 14 | % draftmark = true (未定稿, 底部显示日期) 或 false (成品), 默认 false, 15 | % colors = true (链接带颜色无框) 或 false (黑色无框), 默认 true, 16 | % traditional = true (繁体中文) 或 false (简体中文), 默认 false, 17 | % coverpage = 封面档档名, 默认为空 (此时不制作封面), 一般是 .tex 档, 若为 *.pdf 的形式则直接引入 PDF 页面. 18 | % fontsetup = 字体设置档档名, 19 | % titlesetup = 章节格式设置档名. 20 | 21 | % 注意: 如果文中未使用 \cite 和 \index 命令, 则可能报错. 22 | 23 | % 需动用 imakeidx + xindy (两份索引), biblatex + biber (书目). 24 | % 索引用土法进行中文排序: 如 \index{zhongwen@中文} 等. 25 | \documentclass[ 26 | draftmark = true, % 草稿模式下, 每页底部将打印相关版本信息. 27 | % traditional = true, 28 | % colors = false, 29 | % coverpage = coverpage.tex, 30 | % coverpage = coverpage.pdf, 31 | % geometry = b5, % 版面设置, 目前仅容许 a4, b5, 默认 b5, 其它字串则不作自动设置. 32 | fontsetup = font-setup-open.tex, 33 | titlesetup = titles-setup.tex 34 | ]{AJbook} 35 | 36 | % 可以修改章节编号的深度 37 | % \setcounter{secnumdepth}{3} 38 | 39 | % 必要时仅引入部分档案 40 | % \includeonly{} 41 | 42 | % 生成索引: 选用 xindy + imakeidx 43 | \usepackage[xindy, splitindex]{imakeidx} 44 | \makeindex[ 45 | columns=2, 46 | program=truexindy, 47 | intoc=true, 48 | options=-M texindy -I xelatex -C utf8, 49 | title={名词索引}] % 名词索引 50 | 51 | \usepackage[unicode, bookmarksnumbered]{hyperref} % 启动超链接和 PDF 文档信息所需 52 | % 设置 PDF 文件信息 53 | \hypersetup{ 54 | pdfauthor = {李文威 (Wen-Wei Li)}, 55 | pdftitle = {AJbook 文档类模板}, 56 | pdfkeywords = {Template}, 57 | CJKbookmarks = true} 58 | 59 | % 用 bibLaTeX 生成参考文献, 作为示例, 这里引入的是 Al-jabr.bib. 60 | % 载入书目库: 文档类业已引入 biblatex + biber 61 | \addbibresource{Al-jabr.bib} 62 | 63 | % 增加表格高度 64 | \renewcommand*\arraystretch{1.5} 65 | 66 | % 自订公式的编号 (非必要) 67 | \numberwithin{equation}{section} 68 | \renewcommand{\theequation}{\thesection--\arabic{equation}} 69 | 70 | % 自订 figure 的编号 (非必要) 71 | %\numberwithin{figure}{section} 72 | %\renewcommand{\thefigure}{\thechapter--\arabic{figure}} 73 | 74 | % 自订 table 的编号 (非必要) 75 | %\numberwithin{table}{section} 76 | %\renewcommand{\thetable}{\thechapter--\arabic{table}} 77 | 78 | \begin{document} 79 | \frontmatter % 制作封面和目录. 80 | % 注意: 为了简化, 本模板不含封面. 请通过文档类的参数进行设置. 81 | 82 | \mainmatter % 正文开始：逐章引入 TeX 代码 83 | 84 | \chapter*{导言} 85 | \section*{简要说明} 86 | \paragraph*{旨趣} 87 | 此模板的目的是演示文档类 \textsf{AJbook} 的基本用法. 顾名思义, \textsf{AJbook} 原来是为了《代数学方法》卷一一书量身打造的文档类, 基于 \LaTeX 的标准类 \texttt{book}; 但在设计时容许了一定的弹性, 所以它也能够用来制作基础数学或物理领域的中文专业书籍. 字型和各章节的排版方式可以另外调整, 但为了简单起见, 本模板直接沿用《代数学方法》卷一的设置, 打开草稿模式, 并且不含封面. 88 | 89 | \paragraph*{附记} 90 | \begin{enumerate} 91 | \item 此文档类也支持繁体中文. 92 | \item 文章结构中的``部分''(由 \texttt{\textbackslash part} 命令产生), 各章最后的习题, 附录, 以及图/表索引并不是必要的, 放在这里只是作为演示. 93 | \item 以下内容仅作测试用途, 无其它意涵. 94 | \end{enumerate} 95 | 96 | \section*{致谢} 97 | 文档类是从头撰写的, 但排版方式受高等教育出版社的模板启发, 在此表示谢意. 98 | 99 | \vspace{1em} 100 | \begin{flushright}\begin{minipage}{0.3 \textwidth} 101 | \begin{tabular}{c} 102 | {\kaishu 李文威} \\ 103 | 2019 年元旦\\ 104 | 记于北大理教三层 105 | \end{tabular} 106 | \end{minipage}\end{flushright} 107 | 108 | % % % % % % % % % % 109 | \part{测试} 110 | \chapter{各种测试} 111 | 各章开头可有说明文字.\footnote{脚注测试} 视情况加入阅读提示. 112 | \begin{wenxintishi} 113 | 本章 \S\ref{sec:words} 的文字撷取自《明儒学案》, [清] 黄宗羲, 仅作测试之用. 来源于网络, 恐怕多有错漏, 请见谅. \index{huangzongxi@黄宗羲} 114 | \end{wenxintishi} 115 | 116 | \section{节 (section)} 117 | 关于数学词汇的汉译, 比较全面的参考书是 \cite{ZG}. 118 | \begin{theorem}[L.\ Euler] 119 | 以下结果是熟知的. 120 | \begin{equation}\label{eqn:zeta-2} 121 | \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. 122 | \end{equation} 123 | 当然, 公式的编号方式可以自订. 124 | \end{theorem} 125 | 126 | 文中可以穿插练习及其提示. 127 | \begin{exercise}\label{exo:Euler} 128 | 试补全公式 \eqref{eqn:zeta-2} 的证明. \begin{hint} 参看表 \ref{table:B}.\end{hint} 129 | \end{exercise} 130 | 131 | \begin{itemize} 132 | \item 已知的其它 $\zeta$ 值包括 $\zeta(4) = \pi^4/90$, $\zeta(6) = \pi^6/945$ 等等. 133 | \item 一般而言, 对所有正整数 $n$ 都有 134 | \begin{equation} 135 | \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \underbracket{B_{2n}}_{\text{Bernoulli 数}} \frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}. 136 | \end{equation} 137 | 关于 Bernoulli 数\footnote{脚注再测试}, 请见 \S\ref{sec:B}. 138 | \end{itemize} 139 | 140 | 超链接测试: 请常用 \href{http://mathoverflow.net}{MathOverflow} 141 | 142 | \section{文字测试}\label{sec:words} 143 | 144 | 测试 \textsf{description} 环境如下: 145 | \begin{description} 146 | \item[明儒学案] 中国第一部完整的学术史著作 147 | \item[黄宗羲 (1610---1695)] 明末清初思想家、文学家。字太冲，号梨洲，又号南雷。 148 | \end{description} 149 | 150 | \subsection{子节 (subsection)} 151 | 以下测试定义, 定理, 证明等等, 以及文字加粗. 152 | 153 | \begin{definition} 154 | 盈天地皆心也，变化不测，不能不万殊。\emph{心无本体，工夫所至，即其本体}，故穷理者，穷此心之万殊，非穷万物之万殊也。是以古之君子，宁凿五丁之间道，不假邯郸之野马，故其途亦不得不殊！奈何今之君子，必欲出於一途，使美厥灵根者，化为焦芽绝港。夫先儒之语录，人人不同，只是印我之心体，变动不居，若执定成局，终是受用不得。此无他，修德而后可讲学。今讲学而不修德，又何怪其举一而废百乎？ 155 | \end{definition} 156 | 157 | \subsection*{无编号子节 (subsection*)} 158 | 无编号者不列入目录. 159 | \begin{proposition}[胡居仁] 160 | 胡居仁字叔心，饶之余干人也。学者称为敬斋先生。弱冠时奋志圣贤之学，往游康斋吴先生之门，遂绝意科举，筑室於梅溪山中，事亲讲学之外，不干人事。久之，欲广闻见，适闽历浙、入金陵，从彭蠡而返。所至访求问学之士，归而与乡人娄一斋、罗一峰、张东白为会於弋阳之龟峰、余干之应天寺。提学李龄、锺城相继请主白鹿书院。诸生又请讲学贵溪桐源书院。淮王闻之，请讲《易》於其府。王欲梓其诗文，先生辞曰：“尚需稍进。”先生严毅清苦，左绳右矩，每日必立课程，详书得失以自考，虽器物之微，区别精审，没齿不乱。 161 | \end{proposition} 162 | 163 | \subsubsection{次子节 (subsubsection)} 164 | 次子节默认不再编号. 如需编号, 请手动设置 \LaTeX 中标准的 \textsf{secnumdepth} 参数. 165 | 166 | \begin{lemma}[陈献章]\label{prop:chen} 167 | 有明之学，至白沙始入精微。其吃紧工夫，全在涵养。喜怒未发而非空，万感交集而不动，至阳明而后大。两先生之学，最为相近，不知阳明后来从不说起，其故何也？薛中离，阳明之高第弟子也，於正德十四年上疏请白沙从祀孔庙，是必有以知师门之学同矣。罗一峰曰：“白沙观天人之微，究圣贤之蕴，充道以富，崇德以贵，天下之物，可爱可求，漠然无动於其中。”信斯言也，故出其门者，多清苦自立，不以富贵为意，其高风之所激，远矣。 168 | \end{lemma} 169 | \begin{proof} 170 | 陈献章字公甫，新会之白沙里人。身长八尺，目光如星，右脸有七黑子，如北斗状。自幼警悟绝人，读书一览辄记。尝读《孟子》所谓天民者，慨然曰：“为人必当如此！”梦拊石琴，其音泠泠然，一人谓之曰：“八音中惟石难谐，子能谐此，异日其得道乎？”因别号石斋。正统十二年举广东乡试，明年会试中乙榜，入国子监读书。已至崇仁，受学於康斋先生，归即绝意科举，筑春阳台，静坐其中，不出阈外者数年。寻遭家难。成化二年，复游太学，祭酒邢让试和杨龟山《此日不再得》诗，见先生之作，惊曰：“即龟山不如也。”扬言於朝，以为真儒复出，由是名动京师。罗一峰、章枫山、庄定山、贺医闾皆恨相见之晚，医闾且禀学焉。归而门人益进。十八年，布政使彭韶、都御史朱英交荐，言“国以仁贤为宝，臣自度才德不及献章万万，臣冒高位，而令献章老丘壑，恐坐失社稷之宝”。召至京，阁大臣或尼之，令就试吏部。辞疾不赴，疏乞终养，授翰林院检讨而归。有言其出处与康斋异者，先生曰：“先师为石亨所荐，所以不受职；某以听选监生，始终愿仕，故不敢伪辞以钓虚誉，或受或不受，各有攸宜。”自后屡荐不起。弘治十三年二月十日卒，年七十有三。先生疾革，知县左某以医来，门人进曰：“疾不可为也。”先生曰：“须尽朋友之情。”饮一匙而遣之。 171 | \end{proof} 172 | 173 | \paragraph{段落 (paragraph)} 段落一般也不编号. 174 | \begin{corollary}[吕柟] 175 | 字仲木，号泾野，陕之高陵人。正德戊辰举进士第一，授翰林修撰。逆瑾以乡人致贺，却之，瑾不悦。已请上还宫中，御经筵，亲政事，益不为瑾所容，遂引去。瑾败，起原官。上疏劝学，危言以动之。乾清宫灾，应诏言六事：一、逐日临朝，二、还处宫寝，三、躬亲大祀，四、日朝两宫，五、遣去义子、番僧、边军，六、撤回镇守中官。皆武宗之荒政。不听，复引去。世庙即位，起原官。甲申以修省自劾，语涉大礼，下诏狱。降解州判官，不以迁客自解，摄守事，兴利除害若嗜欲。 176 | \end{corollary} 177 | \begin{proof} 178 | 未第时，即与崔仲凫讲於宝邛寺。正德末，家居筑东郭别墅，以会四方学者。别墅不能容，又筑东林书屋。镇守廖奄张甚，其使者过高陵，必诫之曰：“吕公在，汝不得作过也。”在解州建解梁书院，选民间俊秀，歌诗习礼。九载南都，与湛甘泉邹东廓共主讲席，东南学者，尽出其门。尝道上党，隐士仇栏遮道问学。有梓人张提闻先生讲，自悟其非，曾妄取人物，追还主者。先生因为诗云：“岂有征夫能过化，雄山村里似尧时。”朝鲜国闻先生名，奏谓其文为式国中。先生之学，以格物为穷理。及先知而后行，皆是儒生所习闻。而先生所谓穷理，不是泛常不切於身，只在语默作止处验之；所谓知者，即从闻见之知，以通德性之知，但事事不放过耳。大概工夫，下手明白，无从躲闪也。 179 | \end{proof} 180 | 181 | \begin{remark} 182 | 诸生有言及气运如何，外边人事如何者。曰：“\emph{此都是怨天尤人的心术}。但自家修为，成得个片段，若见用，则百姓受些福；假使不用，与乡党朋友论些学术，化得几人，都是事业，正所谓畅於四肢，发於事业也，何必有官做，然后有事业。” 183 | \end{remark} 184 | 185 | \section{字体和大小} 186 | 自带的设定档中定义了中文排版常用的几种字体命令, 可以手动切换. 如表 \ref{table:ziti}. 187 | \begin{table}[h!] 188 | \begin{tabular}{ll} 189 | \texttt{\textbackslash heiti} & {\heiti 黑体} \\ 190 | \texttt{\textbackslash songti} & {\songti 宋体} \\ 191 | \texttt{\textbackslash kaishu} & {\kaishu 楷体} \\ 192 | \texttt{\textbackslash fangsong} & {\fangsong 仿宋} 193 | \end{tabular} 194 | \caption{几种字体命令} \label{table:ziti} 195 | \end{table} 196 | 197 | \emph{注意}: \LaTeX 的精神是尽量让作者专注于内容, 外观则留给模板. 频繁地手动切换字体不是个好主意. 198 | 199 | 字体大小由标准命令控制, 如表 \ref{table:ziti-size} 所示. 200 | 201 | \begin{table}[h!] 202 | \begin{tabular}{ll} 203 | \texttt{\textbackslash tiny} & {\tiny 极高明而道中庸} \\ 204 | \texttt{\textbackslash scriptsize} & {\scriptsize 极高明而道中庸} \\ 205 | \texttt{\textbackslash footnotesize} & {\footnotesize 极高明而道中庸} \\ 206 | \texttt{\textbackslash small} & {\small 极高明而道中庸} \\ 207 | \texttt{\textbackslash normalsize} & {\normalsize 极高明而道中庸} \\ 208 | \texttt{\textbackslash large} & {\large 极高明而道中庸} \\ 209 | \texttt{\textbackslash Large} & {\Large 极高明而道中庸} \\ 210 | \texttt{\textbackslash LARGE} & {\LARGE 极高明而道中庸} \\ 211 | \texttt{\textbackslash huge} & {\huge 极高明而道中庸} \\ 212 | \texttt{\textbackslash Huge} & {\Huge 极高明而道中庸} 213 | \end{tabular} 214 | \caption{字体大小效果} \label{table:ziti-size} 215 | \end{table} 216 | 217 | \section{图片} 218 | 219 | 本模板采用\emph{知识共享}署名 4.0 国际许可协议进行许可. 点击\href{http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/}{链接}查看该许可协议. 220 | \begin{figure}[h!]\begin{center} 221 | \includegraphics{ccby.png} 222 | \caption{许可协议图片} 223 | \end{center}\end{figure} 224 | 225 | \section{混排公式 \texorpdfstring{$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$}{exp itheta = cos theta + isin theta}} 226 | 西文按寻常方式进行排版. 227 | \begin{quote} 228 | La connaissance de la misère humaine est difficile au riche, au puissant, parce qu'il est presque invinciblement porté à croire qu'il est quelque chose. Elle est également difficile au misérable parce qu'il est presque invinciblement porté à croire que le riche, le puissant est quelques chose. 229 | 230 | \begin{flushright}\textit{La Pesanteur et la grâce}, Simone Weil\end{flushright} 231 | \end{quote} 232 | 233 | 每章最后可以集中安排习题. 234 | \begin{Exercises} 235 | \item 试证...... 236 | \begin{hint} 237 | 请自己做. 238 | \end{hint} 239 | \item 试说明在一般的环 $R$ 中 240 | \begin{enumerate} 241 | \item 对所有 $x, y \in R$ 皆有 $x + y = y + x$; 242 | \item 但一般而言 243 | \[ xy \neq yx. \] 244 | \end{enumerate} 245 | \end{Exercises} 246 | 247 | % % % % % % % % % % 248 | \part{更多测试} 249 | \chapter[短章名]{这是一个充分长的章名, 强势占用三行没商量.} 250 | 如果章名过长, 可以在目录和天眉以另外设置的短章名显示, 方式和 \LaTeX 的标准文档类 \textsf{book} 相同. 251 | 252 | \section{长度正常的节名} 253 | 复数 $\tau$ 的虚部记为 $\Im(\tau)$. 自然对数记为 $\log$. 254 | 255 | \begin{convention}\index{Dedeking $\eta$ 函数} 256 | 本节记 Poincaré 上半平面为 257 | \[ \mathcal{H} := \left\{ \tau \in \mathbb{C}: \Im(\tau) > 0 \right\}. \] 258 | 按例记 $q := e^{2\pi i \tau}$. \emph{Dedekind $\eta$ 函数}定义为无穷乘积 259 | \[ \eta(\tau) := e^{2\pi i \tau/24} \prod_{n=1}^\infty (1 - q^n), \quad \tau \in \mathcal{H}. \] 260 | \end{convention} 261 | 由分析学常识易见此无穷乘积绝对收敛. 进一步， $\eta$ 在 $\mathcal{H}$ 上全纯无零点; 此外 $\eta$ 的对数导数为 262 | \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau} \log \eta (\tau) := \frac{\eta'(\tau)}{\eta(\tau)} = \frac{\pi i}{12} - 2\pi i \sum_{n=1}^\infty \frac{n q^n}{1 - q^n}. \] 263 | 264 | \begin{example} 265 | 在右半复平面上定义 $\sqrt{z} := \exp(\log|z| + i\arg(z))$, 其中幅角取 $\arg(z) \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. 则 266 | \[ \eta\left( \frac{-1}{\tau} \right) = \sqrt{-i\tau} \cdot \eta(\tau), \quad \tau \in \mathcal{H}. \] 267 | \end{example} 268 | \begin{proof} 269 | 应用 Eisenstein 级数 $E_2$ 的性质, 将对数导数 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \log\eta(\tau)$ 整理为 270 | \begin{multline*} 271 | \frac{\pi i}{12} - 2\pi i \sum_{d \geq 1} \frac{dq^d}{1- q^d} = \frac{\pi i}{12} - 2\pi i \sum_{d \geq 1} \sum_{k \geq 1} d q^{dk} \\ 272 | \stackrel{n := dk}{=} \frac{\pi i}{12} - 2\pi i \sum_{n \geq 1} \sigma_1(n) q^n = \dfrac{\pi i}{12} \cdot E_2(\tau), 273 | \end{multline*} 274 | 若改为对 $\tau \mapsto \eta(\frac{-1}{\tau})$ 求对数导数, 再应用 $E_2$ 的函数方程, 产物则是 275 | \[ \tau^{-2} \cdot \frac{\pi i}{12} \cdot E_2\left(\frac{-1}{\tau}\right) = \frac{\pi i}{12} \left(E_2(\tau) + \frac{12}{2\pi i \tau} \right). \] 276 | 对 $\sqrt{-i\tau}$ 求对数导数给出 $\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau} \log(-i\tau) = \dfrac{1}{2\tau} = \dfrac{\pi i}{12} \cdot \dfrac{12}{2 \pi i \tau}$. 与上式对比即见 277 | \begin{align*} 278 | \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \log \eta\left( \frac{-1}{\tau} \right) & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \log \sqrt{-i\tau} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \log \eta(\tau) \\ 279 | & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \log \left( \sqrt{-i\tau} \cdot \eta(\tau) \right). 280 | \end{align*} 281 | 故存在 $c \in \mathbb{C}^\times$ 使得 $\eta\left(\frac{-1}{\tau}\right) = c \sqrt{-i\tau} \cdot \eta(\tau)$; 因为 $\eta(i) \neq 0$, 代入 $\tau = i$ 可知 $c = 1$. 282 | \end{proof} 283 | 284 | 著名的 Euler 五边形数定理写作 \index{wubianxingshudingli@五边形数定理 (pentagonal number theorem)} 285 | \begin{equation}\label{eqn:pentagonal-number} 286 | \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n q^{(3n^2 + n)/2} = \prod_{n \geq 1} (1 - q^n); 287 | \end{equation} 288 | 留意到 $3n^2 + n \equiv 0 \pmod 2$ 恒成立. 将 $\frac{3n^2 + n}{2} = \frac{(6n+1)^2 - 1}{24}$ 代入 \eqref{eqn:pentagonal-number}, 即可导出 $\eta$ 的 Fourier 展开 289 | \begin{equation*} 290 | \eta(\tau) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n q^{ \frac{1}{24} \cdot (6n + 1)^2}, \quad q^{1/24} := e^{2\pi i \tau /24}. 291 | \end{equation*} 292 | 293 | \section[短节名]{ 294 | 四十男儿学干谒，朝游江淮暮吴越。漫将衣食累朱门，讵有文章动金阙。 295 | 倦游屡岁赋归欤，故人相值还唏嘘。劝我莫作千里客，留我共读三冬书。 296 | 忆别吴阊一年久，为我糟床压春酒。入座争迎作赋才，当筵更觅弹筝手。 297 | 酒酣慷慨唤奈何，风光一往如流波。女坟湖北莺犹少，短簿祠南雨正多。 298 | 君家奇书一千轴，锦袱牙签光历碌。愿随潘左伴青缃，羞与金张斗华毂。 299 | 嗟余短鬓日苍浪，太息忧来未可忘。鼓挝马槊差亦得，若问读书非我长。} 300 | 原诗作者: [清] 陈维崧. 301 | 302 | 不鼓励使用过长的节名. 同样地, 可以在目录和天眉以另外设置的短节名显示, 方式和 \LaTeX 的标准文档类 \textsf{book} 相同. 303 | 304 | 图片取自 \href{https://commons.wikimedia.org}{Wikimedia Commons}, 经过适当加工. 305 | \begin{figure}[h!]\begin{center} 306 | \includegraphics[width=0.5\textwidth]{Lanzhou.png} 307 | \caption{兰州市地图} 308 | \end{center}\end{figure} 309 | 310 | \begin{Exercises} 311 | \item 造访兰州. \begin{hint} 低碳出行, 请乘坐火车. \end{hint} 312 | \item 造访祁连山. 313 | \end{Exercises} 314 | 315 | % % % % % % % % % % 316 | \appendix 317 | \chapter{杂项 \texorpdfstring{$a+b$}{a+b}} 318 | 按惯例, 附录以字母编号. 319 | 320 | \section{文字测试} 321 | 龚自珍, \emph{乙亥杂诗}: 322 | \begin{enumerate} 323 | \item 其一 324 | \begin{center} 325 | 掌故罗胸是国恩，小胥脱腕万言存。\\ 326 | 他年金匮如收采，来叩空山夜雨门。 327 | \end{center} 328 | \item 其二 329 | \begin{center} 330 | 九州生气恃风雷，万马齐喑究可哀。\\ 331 | 我劝天公重抖擞，不拘一格降人才。 332 | \end{center} 333 | \item 其三 334 | \begin{center} 335 | 吟罢江山气不灵，万千种话一灯青。\\ 336 | 忽然搁笔无言说，重礼天台七卷经。 337 | \end{center} 338 | \end{enumerate} \index{gongzizhen@龚自珍} 339 | 340 | \begin{definition-theorem}[龚自珍] 341 | 《己卯京师作杂诗二首》： 342 | \begin{center} 343 | 文格渐卑庸福近,不知庸福究何如? \\ 344 | 常州庄四能怜我,劝我狂删乙丙书。 345 | \end{center} 346 | \end{definition-theorem} 347 | 348 | 交叉参照: 引理 \ref{prop:chen}. 349 | 350 | \section{测试: \texorpdfstring{$B_n(X)$}{BnX}}\label{sec:B} 351 | 首先介绍 Bernoulli 多项式. 多项式变元记为 $X$. 352 | \begin{definition-proposition}\index{Bernoulli 多项式 (Bernoulli polynomials)} 353 | \emph{Bernoulli 多项式} $B_n(X) \in \mathbb{Q}[X]$ 由生成函数 354 | \begin{equation} 355 | \frac{t e^{tX}}{e^t - 1} = \sum_{n \geq 0} B_n(X) \cdot \frac{t^n}{n!} \; \in \mathbb{Q}[X][\![t]\!] 356 | \end{equation} 357 | 确定. 称 $B_n := B_n(0)$ 为第 $n$ 个 \emph{Bernoulli 数}. 358 | \end{definition-proposition} 359 | 360 | \subsection{一张表格} 361 | 以下来测试表格. 362 | 363 | \begin{table}[h!] 364 | \begin{equation*}\begin{array}{c|cccccccc} 365 | n & 0 & 1 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ \hline 366 | B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{30} & \frac{1}{42} & -\frac{1}{30} & \frac{5}{66} & \frac{-691}{2730} 367 | \end{array}\end{equation*} 368 | \caption{前几个 Bernoulli 常数.} 369 | \label{table:B} 370 | \end{table} 371 | 交叉参照: 练习 \ref{exo:Euler}. 372 | 373 | \begin{conjecture}[周恩来, 1917]\index{zhouenlai@周恩来} 374 | 大江歌罢掉头东，邃密群科济世穷。面壁十年图破壁，难酬蹈海亦英雄。 375 | \end{conjecture} 376 | 377 | \begin{hypothesis} 378 | Riemann $\zeta$ 函数的非平凡零点全在 $\Re(s) = \frac{1}{2}$ 上. 379 | \end{hypothesis} 380 | 381 | 引用测试: \cite{Oxl11, ZG} 382 | 383 | % % % % % % % % % % 384 | \backmatter 385 | % 使用 bibLaTeX 制作书目 386 | \printbibliography[heading=bibintoc] 387 | 388 | % 图, 表索引. 可有可无. 389 | \listoffigures 390 | \listoftables 391 | 392 | % 制作索引 (用 imakeidx 的功能可以制作多份) 393 | {\footnotesize 394 | \indexprologue{中文术语按汉语拼音排序.} 395 | \printindex} 396 | \end{document} 397 | -------------------------------------------------------------------------------- /ccby.png: -------------------------------------------------------------------------------- https://raw.githubusercontent.com/wenweili/AlJabr-1/70a3df7477632dd03b8e830dd10d59fd989c6221/ccby.png -------------------------------------------------------------------------------- /chapter1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % LaTeX source for book ``代数学方法'' in Chinese 2 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 3 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 4 | % document under the terms of the Creative Commons 5 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 6 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 7 | 8 | % To be included 9 | \chapter{集合论} 10 | 集合的基本概念和操作是中学数学或大学基础课的内容, 本章的目的是在这些基础上进行加固, 更新, 并补全一些常被遗漏的基本知识. 主角是: 11 | \begin{compactitem} 12 | \item Zermelo--Fraenkel 公理集合论和选择公理的明确表述. 13 | \item 序数理论和 Zorn 引理; 这是由于序数和超穷递归在一般代数教材中较少提及, 而 Zorn 引理即使有证明也往往十分迂回. 14 | \item 关于基数的基本定义和操作. 15 | \item 阐述 Grothendieck 宇宙的概念, 借以安全地运用范畴论. 16 | \end{compactitem} 17 | 18 | 格于本书体裁, 对上述主题只能点到为止. 多数情形下, 数学工作者毋须直面集合论的深层结构, 需要时也可以视作已知结果. 因此读者可选择在必要时再回头查阅本章. 但严肃的范畴论研究绕不过集合. 另一方面, 序数, 基数和超穷递归是数理逻辑与集合论工作者的常备工具, 许多代数教材不谈则已, 一谈便是云山雾罩; 鉴于逻辑方法, 尤其是模型论 \cite{Feng17} 近来对几何与数论等领域的渗透, 了解这些内容应当是不无裨益的. \index{moxinglun@模型论 (model theory)} 19 | 20 | \begin{wenxintishi} 21 | 读者必须对朴素集合论有最初步的了解. Grothendieck 宇宙仅在触及较深课题, 须对范畴进行高阶操作时才会用上. 建议初学代数的读者暂且略过本章. 22 | \end{wenxintishi} 23 | 24 | \section{ZFC 公理一览}\label{sec:ZFC} 25 | 何谓集合? G.\ Cantor 在 1895 年\cite[p.481]{Cantor95}作如是界说: ``集合意谓吾人感知或思想中一些确定的, 并且相互区别的对象汇集而成的整体, 这些对象称为该集合的元素.'' 百余年后回首, 仍然得承认 Cantor 的说法审慎而精当. 即便如此, 不加节制地操作这些``确定的'', ``相区别''的对象将导致悖论, 譬如著名的 Russell 佯谬\index{Russell 佯谬}便考虑了所有集合构成的``集合'' $\textbf{V}$, 构造其子``集合'' $\{x \in \textbf{V} : x \notin x\}$ 而导出矛盾. 现代集合论处理此问题的主流方法是限制概括原理 $\left\{x : x \text{ 满足性质 } P\right \}$ 的应用范围, 并在一阶逻辑与合适的公理系统下进行演绎. 例如: 以上提到的``集合'' $\textbf{V}$ 实非集合, 强名之只能称作类.\index{jihelun@集合论} 26 | 27 | 本书采用通行的 Zermelo--Fraenkel 公理集合论, 并承认选择公理; 这套系统简称 ZFC\index{jihelun!ZFC}. 我们稍后将另加一条关于大基数的公理 (假设 \ref{hyp:universe}). 极笼统地说, ZFC 构筑于: 28 | \begin{itemize} 29 | \item 一阶逻辑, 其中具有常见的 $\wedge$, $\neg$, $\implies$, $\forall$, $\exists$ 等逻辑联词与量词, 括号 $(\;)$, 变元 $x, y, z, \ldots$ 和等号 $=$ (视为二元谓词) 等; 可以判定一个公式是否合乎语言的规则, 例如括号的左右配对, 合规者称为合式公式. 这套语言是形式逻辑的标准基础, 可参看 \cite[第 2 章]{Feng17}. 30 | \item 集合论所需的二元谓词 $\in$ 和以下将列出的公理 \textbf{A.1} --- \textbf{A.9}. 若 $x \in y$ 则称 $x$ 为 $y$ 的元素. ZFC 处理的所有对象 $x,y$ 等都应该理解为集合; 特别地, 集合的元素本身也是一个集合, 而集合 $s$ 和仅含 $s$ 的集合 $\{s\}$ 是两回事. 31 | \end{itemize} 32 | 33 | 本书在逻辑层面诉诸常识, 我们不采取一阶逻辑的严格形式, 仅以数学工作者日用的素朴语言勾勒 ZFC 的公理, 后续的形式推导一并省去. 细节见诸任一本集合论书籍, 如 \cite{Je03,HY14}; 简明的综述则可参阅 \cite{sep-set-theory}. 34 | \begin{enumerate}[\bfseries {A}.1] 35 | \item \emph{外延公理}: 若两集合有相同元素, 则两者相等. 36 | 37 | 空集 $\emptyset$ 的形式定义是 $\{u \in X: u \neq u\}$, 其中 $X$ 是任意集合. 外延公理一个近乎无聊的应用是证明 $\emptyset$ 无关 $X$ 的选取, 前提是集合确实存在, 这点既可以独立成另一条``存在公理'', 也可以划入稍后的无穷公理. 38 | \item \emph{配对公理}: 对任意 $x,y$, 存在集合 $\{x,y\}$, 其元素恰好是 $x$ 与 $y$. 39 | 40 | 有序对 $(x,y)$ 的概念可用配对公理来实作: 我们能定义 $(x,y) := \{\{x\}, \{x,y\} \}$, 由此定义积集 $X \times Y := \{(x,y) : x \in X,\; y \in Y \}$; 准此要领可定义有限多个集合的积 $X \times Y \times \cdots$. 集合间的映射 $f: X \to Y$ 等同于它的图形 $\Gamma_f \subset X \times Y$: 对每个 $x \in X$, 交集 $\Gamma_f \cap (\{x\} \times Y)$ 是独点集, 记作 $\{f(x)\}$. 41 | \item \emph{分离公理模式}: 设 $P$ 为关于集合的一个性质, 并以 $P(u)$ 表示集合 $u$ 满足性质 $P$, 则对任意集合 $X$ 存在集合 $Y = \{u \in X : P(u) \}$. 42 | \item \emph{并集公理}: 对任意集合 $X$, 存在相应的并集 $\bigcup X := \{u : \exists v \in X \; \text{ 使得 }\; u \in v\}$. 43 | 44 | 公理中的 $X$ 通常视作一族集合, $\bigcup X$ 也相应地写成 $\bigcup_{v \in X} v$. 45 | \item \emph{幂集公理}: 对任意集合 $X$, 其子集构成一集合 $P(X) := \{u : u \subset X \}$.\index[sym1]{$P(X)$} 46 | \item \emph{无穷公理}: 存在无穷集. 47 | 48 | 何谓无穷集? 此性质的刻画并不显然, 无穷公理可以用形式语言表作 49 | \begin{gather}\label{eqn:infinity-axiom} 50 | \exists x \bigl[ (\emptyset \in x) \;\wedge \;\forall y \in x \left(y \cup \{y\} \in x \right) \bigr]. 51 | \end{gather} 52 | 这般的 $x$ 称为归纳集, 预设归纳集存在的用意在于萃取它的子集 53 | \[ \left\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{ \emptyset, \{\emptyset\}\}, \{ \emptyset, \{\emptyset\}, \{ \emptyset, \{\emptyset\}\}\}, \ldots \right\}, \] 54 | 这是我们马上要构造的可数无穷序数 $\omega$. 55 | \item \emph{替换公理模式}: 设 $F$ 为以一个集合 $X$ 为定义域的函数, 则存在集合 $F(X) = \{ F(x) : x \in X\}$. 56 | 57 | 分离和替换公理模式里的性质 $P$ 和函数 $F$ 并非集合论意义下的寻常定义, 故无循环论证之虞, 它们实际是由一阶逻辑的合式公式定义的: 以函数 $x \mapsto y$ 为例, 这可以诠释为一阶逻辑中带有两个自由变元 $x,y$ 的合式公式 $\varphi$, 适合于 $\forall x\; \exists! y\; \varphi(x,y)$. 由于对每个 $P$ 或 $F$ 都产生一条相应的公理, 它们被称作公理模式. 58 | \item \emph{正则公理}: 任意非空集都含有一个对从属关系 $\in$ 极小的元素. 59 | 60 | 正则公理的一个重要推论是对于任意集合 $x$, 不存在无穷的从属链 $x \ni x_1 \ni x_2 \ni \cdots$, 特别地 $x \notin x$. 由之可建立集合的层垒谱系, 见 \S\ref{sec:Grot-universe}. 61 | \item \emph{选择公理}: 设集合 $X$ 的每个元素皆非空 , 则存在函数 $g: X \to \bigcup X$ 使得 $\forall x \in X, \; g(x) \in x$ (称作选择函数).\index{xuanzegongli@选择公理 (axiom of choice)} 62 | 63 | 选择公理中的 $X$ 应该设想为一族非空集, 选择函数 $g(x) \in x$ 意味着从每个集合 $x \in X$ 中挑出一个元素. 64 | \end{enumerate} 65 | 66 | 严格来说, 在 ZFC 的形式系统内仅谈论集合. 一些常见的公理集合论如 NBG 系统 (von Neumann--Bernays--Gödel)\index{jihelun!NBG} 还定义了\emph{类}的概念: 凡集合都是类, 但还存在非集合的类, 称作\emph{真类}\index{zhenlei@真类 (proper class)}. 对于 ZFC 系统, 类只是权宜之计: 它只能在元语言的层次理解为满足某一给定性质的所有集合, 譬如所有的集合构成一类; 对类的操作化约为对一阶逻辑中合式公式的操作. 本书力求避开真类, 但在本章将不得不予处理. 67 | 68 | 集合的并 $X \cup Y$, 交 $X \cap Y$, 差 $X \smallsetminus Y$, 积 $X \times Y$ 和子集$X \subset Y$ 等运算, 以及函数等都是派生的概念. 读者想必知之甚详, 故不再赘述. 由此出发, 可以进一步构造非负整数集 $\Z_{\geq 0}$, 整数集 $\Z$, 有理数集 $\Q$ 和实数集 $\R$ 等等. 我们将在 \S\ref{sec:order} 回顾集合论里构造 $\Z_{\geq 0}$ 的方式. 69 | 70 | 以下简述商集的概念. 对于任意 $n \geq 1$, 集合 $X$ 上的 $n$ 元关系按定义是 $X^n = \underbracket{X \times \cdots \times X}_{n\; \text{项}}$ 的一个子集 $R$. 多数场合考虑的是二元关系, 此时以 $xRy$ 表示 $(x,y) \in R$. 满足以下性质的(二元)关系 $\sim$ 称作\emph{等价关系}: 71 | \begin{compactdesc} 72 | \item[反身性] $x \sim x$, 73 | \item[对称性] $x \sim y \implies y \sim x$, 74 | \item[传递性] $(x \sim y) \wedge (y \sim z) \implies (x \sim z)$. 75 | \end{compactdesc} 76 | 对于 $X$ 上的等价关系 $\sim$ 和任意 $x \in X$, 含 $x$ 的等价类记为 $[x] := \{y \in X: y \sim x \}$. \emph{商集}\index{shang@商 (quotient)}定义为全体等价类, 亦即 $X/\sim\; := \{[x] : x \in X \}$. 如此得到 $X$ 的无交并分解 (又称 $X$ 的划分) $X = \bigcup_{[x] \in X/\sim} [x]$, 而且 $x \sim y$ 当且仅当 $x,y$ 属于划分中的同一个子集. 易见 $X$ 上的等价关系一一对应于 $X$ 的划分. 77 | 78 | 我们将采用习见的集合论符号, 例如 $X \subsetneq Y$ 代表 $X \subset Y$ 且 $X \neq Y$, 以 $X \sqcup Y$ 代表 $X$ 和 $Y$ 的无交并, $X^Y$ \index[sym1]{$X^Y$}代表所有函数 $f: Y \to X$ 构成的集合, 特别地 $2^X = P(X)$\index[sym1]{$2^X$}, 这里 $2$ 代表恰有两个元素的集合. 我们将用 $\{\text{pt}\}$ 表示仅有一个元素的集合. 进一步, 对于以某集合 $I$ 为指标的一族集合 $(X_i)_{i \in I}$ 可以定义 79 | \[ \begin{array}{ll} 80 | \text{并 } \; \bigcup_{i \in I} X_i, & \text{交} \; \bigcap_{i \in I} X_i, \quad (I \neq \emptyset), \\ 81 | \text{无交并 } \; \bigsqcup_{i \in I} X_i, & \text{积} \; \prod_{i \in I} X_i. 82 | \end{array}\] 83 | 对应于 $I=\emptyset$ 的并与无交并都是 $\emptyset$, 而积是 $\{\emptyset\}$. 空交的合理定义只能是全体集合构成的类 $\textbf{V}$, 这在 ZFC 系统内是犯规的. 84 | 85 | 公理集合论是当代数学的正统基础. 它的表述范围之广, 形式化程度之高, 以至于数学本身也堪成为数学研究的对象, 诸如何谓证明, 一个命题能否被证明, 公理系统的一致性(无矛盾)等等都能被赋予明晰的数学内容, 这类研究统称元数学\index{yuanshuxue@元数学 (metamathematics)}. 数学实践中平素基于自然语言的定义和论证等等, ``原则上''都能改写为 ZFC 或其他公理集合论里的形式语言, 从而为其陈述和验证赋予一套坚实的基础. 幸抑不幸, 这种基础长期以来仅仅是一种姿态: 即便对看似单纯的集合论定理, 其形式表述往往都极尽繁琐, 遑论靠人工来验证乃至于领略. 然而随着符号逻辑, 计算机理论与相关技术的持续进展, 形势逐渐在起变化. 如四色定理, 素数定理, Kepler 猜想等结果现在已有了形式的验证, 而形式化方法的应用还不限于数学. 集合论之外的思想 (如类型论) 对此似乎是必要的, 至少是起了极大的简化效果. 可以确定的是: 随着理论与技术携手并进, 人们对数学基础与数学实践两方面的认知还会不断被改写. 86 | 87 | \section{序结构与序数}\label{sec:order} 88 | 按照 Bourbaki 的观点, 序结构连同拓扑和代数结构一道组成了数学结构的三大母体. 以下依序介绍偏序, 全序与良序的概念. 89 | 90 | \begin{definition}\label{def:partial-order}\index{pianxuji@偏序集 (partially ordered set/poset)}\index{yuxuji@预序集 (pre-ordered set)} 91 | \emph{偏序集}意指资料 $(P, \leq)$, 其中 $P$ 是集合而 $\leq$ 是 $P$ 上的二元关系 (偏序), 满足于 92 | \begin{compactdesc} 93 | \item[反身性] $\forall x \in P, \; x \leq x$; 94 | \item[传递性] $(x \leq y) \wedge (y \leq z) \implies x \leq z$; 95 | \item[反称性] $(x \leq y) \wedge (y \leq x) \implies x=y$. 96 | \end{compactdesc} 97 | 仅满足反身性与传递性的结构称为\emph{预序集}. 预序集间满足 $x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$ 的映射称为\emph{保序映射}. 98 | 99 | 一般用 $x < y$ 表示 $x \leq y$ 且 $x \neq y$. 符号 $\geq$ 和 $>$ 的意义是自明的. 今后谈及偏序集时经常省略其中的关系 $\leq$. 100 | \end{definition} 101 | 102 | 设 $P, Q$ 为偏序集, 若映射 $\phi: P \to Q$ 满足 $(x < x') \implies (\phi(x) < \phi(x'))$, 则称 $\phi$ 是严格增的. 若 $\phi: P \to Q$ 是双射而且 $\phi, \phi^{-1}$ 皆保序, 则称 $\phi$ 为偏序集 $P,Q$ 之间的同构. 偏序集的同构类称为\emph{序型}. 偏序集的子集继承了自然的偏序结构. 103 | 104 | \begin{definition}\label{def:max-sup}\index{jidayuan@极大元 (maximal element)}\index{shangjie@上界 (upper bound), 上确界 (supremum)}\index{xiajie@下界 (lower bound), 下确界 (infimum)} 105 | 设 $P' \subset P$, 而 $P$ 是预序集, 106 | \begin{compactitem} 107 | \item 称 $x \in P$ 是 $P$ 的极大元, 如果不存在满足 $x < y$ 的元素 $y \in P$; 108 | \item 称 $x \in P$ 是 $P'$ 的上界, 如果对每个 $x' \in P'$ 都有 $x' \leq x$; 109 | \item 称 $x \in P$ 是 $P'$ 的上确界, 如果 $x$ 是其上界, 而且对每个上界 $y$ 皆有 $x \leq y$. 110 | \end{compactitem} 111 | 同理可以定义极小元, 下界和下确界, 仅须把以上的 $\leq$ 换成 $\geq$. 对于偏序集 $P$, 根据反称性, 其子集 $P'$ 的上确界或下确界若存在则是唯一的, 分别记为 $\sup P'$ 和 $\inf P'$. \index[sym1]{sup@$\sup$}\index[sym1]{inf@$\inf$} 112 | \end{definition} 113 | 114 | \begin{definition}\label{def:filtrant-poset}\index{luguoxuji@滤过偏序集 (filtered poset)} 115 | 若偏序集 $P$ 非空, 而且对任何 $x,y \in P$ 子集 $\{x,y\}$ 皆有上界, 则称 $P$ 是\emph{滤过序集}. 116 | \end{definition} 117 | 118 | \begin{definition}\index{quanxuji@全序集 (totally ordered set)}\index{lian@链 (chain)} 119 | 若偏序集 $P$ 中的任一对元素 $x,y$ 皆可比大小 (即: 或者 $x \leq y$, 或者 $y \leq x$), 则称 $P$ 为\emph{全序集}. 全序集又称作\emph{线序集}或\emph{链}. 120 | \end{definition} 121 | 显然全序集皆是滤过的. 122 | 123 | 我们偶尔也会谈论一些类上的序或全序, 及其上界下界等等, 例如以下将考虑的序数类 $\textbf{On}$. 定义同上. 124 | 125 | \begin{definition}[G.\ Cantor]\label{def:well-ordered}\index{liangxuji@良序集 (well-ordered set)} 126 | 全序集 $P$ 如满足下述性质则称作\emph{良序集}: 每个 $P$ 的非空子集都有极小元. 127 | \end{definition} 128 | 129 | \begin{example} 130 | 取任一集合$X$, 则幂集 $P(X)$ 相对于包含关系 $\subset$ 成为滤过偏序集, 但一般不是全序. 后面要构作的非负整数集 $\Z_{\geq 0}$ 和实数集 $\R$ 都具有标准的全序结构; 其中$\Z_{\geq 0}$ 显然是良序集, $\R$ 则不是. 131 | \end{example} 132 | 133 | \begin{lemma}\label{prop:wellorder-automorphism} 134 | 设 $P$ 为良序集, 映射 $\phi: P \to P$ 严格增, 则对每个 $x \in P$ 皆有 $\phi(x) \geq x$. 特别地: 135 | \begin{inparaenum}[(i)] 136 | \item $P$ 没有非平凡的自同构, 137 | \item 对任意 $x \in P$, 不存在从 $P$ 到 $P_{< x} := \{y \in P : y < x \}$ 的同构. 138 | \end{inparaenum} 139 | \end{lemma} 140 | 形如 $P_{< x}$ 的子集继承 $P$ 的良序, 称作 $P$ 的一个\emph{前段}. 141 | \begin{proof} 142 | 假设集合 $P_0 := \{x \in P : \phi(x) < x \}$ 非空, 对任意 $z \in P_0$ 由 $\phi$ 严格增可知 $\phi(\phi(z)) < \phi(z)$, 取 $z$ 为 $P_0$ 的极小元便导致矛盾. 第一个断言得证. 143 | 144 | 对于 (i), 代入 $\phi$ 和 $\phi^{-1}$ 以得到 $\forall x \; \phi(x)=x$. 对于 (ii), 一个同构 $\phi: P \to P_{< x}$ 必然是 $P$ 到自身的严格增映射并满足 $\phi(x) < x$, 与之前结果矛盾. 145 | \end{proof} 146 | 147 | 序数的原初想法是良序集的序型; 假如循此进路, 则必须视之为类而非集合, 那么谈论序数全体 $\textbf{On}$ 便相当于操作``类的类'', 显然有些棘手. 幸亏我们能从每个良序型中挑出一个标准的良序集, 从而得到更精确的描述, 为此需要 von Neumann 的如下定义. 148 | \begin{definition}\label{def:ordinal}\index{xushu@序数 (ordinal)} 149 | 如果一个集合 $\alpha$ 的每个元素都是 $\alpha$ 的子集 (换言之, $\alpha \subset P(\alpha)$), 则称 $\alpha$ 为\emph{传递}的. 若传递集 $\alpha$ 对于 $x < y \stackrel{\text{定义}}{\iff} x \in y$ 成为良序集, 则称 $\alpha$ 为\emph{序数}. 150 | \end{definition} 151 | 152 | 显然 $\emptyset$ 是序数. 若 $\alpha$ 是序数, 则 $\alpha \sqcup \{\alpha\}$ 亦然. 序数的完整理论可参阅 \cite[\S 2]{Je03} 或 \cite[第四章]{HY14}, 以下仅摘录部分重要性质. 关于序数与良序型的联系请见命题 \ref{prop:ordinal-ordertype}. 153 | 154 | \begin{lemma}\label{prop:ordinal-property} 155 | 序数满足下述性质. 156 | \begin{compactenum}[(i)] 157 | \item 若 $\alpha$ 是序数, $\beta \in \alpha$, 则 $\beta$ 也是序数. 158 | \item 对任两个序数 $\alpha, \beta$, 若 $\alpha \subsetneq \beta$ 则 $\alpha \in \beta$. 159 | \item 对任两个序数 $\alpha, \beta$, 必有 $\alpha \subset \beta$ 或 $\beta \subset \alpha$. 160 | \end{compactenum} 161 | \end{lemma} 162 | \begin{proof} 163 | 先证 (i). 据 $\alpha$ 的传递性可知 $\beta \subset \alpha$, 且 $(\beta, \in)$ 也是良序集. 接着证明 $\beta$ 传递: 设 $\tau \in \beta \subset \alpha$, 仅需证明 $x \in \tau \implies x \in \beta$ 即可. 由于 $\in$ 赋予 $\alpha$ 序结构, 由 $x \in \tau \in \beta$ 可知 $x \in \beta$. 164 | 165 | 对于 (ii), 以 $<$ 表示 $\in$ 并令 $\gamma$ 为 $(\beta \smallsetminus \alpha, <)$ 的极小元. 我们断言 $\alpha = \{x \in \beta : x < \gamma \}$, 而后者无非是 $\gamma$. 包含关系 $\supset$ 是显然的. 对于 $\subset$, 给定 $y \in \alpha \subset \beta$, 首先排除 $\gamma = y$; 其次, 由 $\alpha$ 的传递性有 $y \subset \alpha$, 依此排除 $\gamma < y$, 故 $y < \gamma$. 166 | 167 | 对于 (iii), 显见 $\gamma := \alpha \cap \beta$ 也是序数. 我们断言 $\gamma = \alpha$ 或 $\gamma = \beta$ 必居其一, 否则由上述结果可得 $\gamma \in \alpha$, $\gamma \in \beta$, 于是有 $\gamma \in \gamma$, 亦即在偏序集 $(\alpha, \leq)$ 中 $\gamma < \gamma$, 这同 $<$ 的涵义 ($\leq$ 但 $\neq$) 矛盾. 168 | \end{proof} 169 | 170 | 从引理立得以下直接推论. 171 | \begin{theorem}\label{prop:On-wellorder} 172 | 定义 $\textbf{On}$ 为序数构成的类. \index[sym1]{$\textbf{On}$} 173 | \begin{compactitem} 174 | \item 对序数定义 $\beta < \alpha$ 当且仅当 $\beta \in \alpha$, 则这定义了 $\textbf{On}$ 上的一个全序, 而且对任意序数 $\alpha$ 都有 $\alpha = \{ \beta : \beta < \alpha \}$. 175 | \item 若 $C$ 是一个由序数构成的类, $C \neq \emptyset$, 则 $\inf C := \bigcap C$ 也是序数, 而且 $\inf C \in C$; 我们有 $\alpha \sqcup \{\alpha\} = \inf\{ \beta: \beta > \alpha \}$. 176 | \item 若 $S$ 是一个由序数构成的集合, $S \neq \emptyset$, 则 $\sup S := \bigcup S$ 也是序数. 177 | \end{compactitem} 178 | \end{theorem} 179 | 由此可知 $\beta < \alpha$ 蕴涵 $\beta$ 是 $\alpha$ 的前段. 性质 $\alpha = \{\beta: \beta < \alpha \}$ 是理解序数构造的钥匙. 180 | 181 | 给定序数 $\alpha$, 置 $\alpha + 1 := \alpha \sqcup \{\alpha\} > \alpha$, 称为 $\alpha$ 的\emph{后继}; 它是大于 $\alpha$ 的最小序数. 若 $\alpha$ 不是任何序数的后继, 则不难看出 $\alpha = \sup\{\beta: \beta < \alpha\}$, 这样的 $\alpha$ 称为\emph{极限序数}\index{xushu!极限序数 (limit ordinal)}. 约定空 $\sup$ 为 $\emptyset$ 使得``零序数'' $\emptyset$ 是极限序数. 182 | 183 | \begin{proposition}\label{prop:Ord-class} 184 | 序数类 $\textbf{On}$ 是真类. 185 | \end{proposition} 186 | \begin{proof} 187 | 前述结果表明若 $\textbf{On}$ 是集合, 则 $\sup(\textbf{On})$ 有定义, 而且序数 $\sup(\textbf{On}) + 1$ 将严格大于所有序数, 包括它自己! 188 | \end{proof} 189 | 这被称为 Burali-Forti 佯谬 (1897年)\index{Burali-Forti 佯谬}, 它面世要早于 Russell 佯谬 (1902年), 尽管后者影响更大. 190 | 191 | \begin{example}[无穷序数 $\omega$ 的构造] \index[sym1]{omega@$\omega$} 192 | 考虑序数 $0 := \emptyset$, 不断取后继得到序数 193 | \[ 1 := 0 + 1, \quad 2 := 1+1, \quad 3=2+1, \ldots \] 194 | 等等. 现在我们着手定义最小的非零极限序数 $\omega$, 这样的序数如存在则必包含所有 $0,1,2, \ldots$, 而且实由它们构成. 首务是证明非零极限序数存在: 回忆无穷公理 \textbf{A.6} 中归纳集的概念, 若 $x$ 是归纳集, 取 $\alpha := \{y \in x : y \subset x, \; y \in \textbf{On} \}$. 按定义直接验证以下性质: 195 | \begin{inparaenum}[(a)] 196 | \item $\emptyset \in \alpha$ 故 $\alpha$ 非空, 197 | \item $\alpha$ 是序数, 198 | \item $y \in \alpha \implies y + 1 \in \alpha$, 因此 $\alpha$ 确为极限序数. 199 | \end{inparaenum} 200 | 取序数 $\omega := \inf\{ \text{非零极限序数} \}$ 即所求. 满足 $n < \omega$ 的序数 $n$ 称为\emph{有限序数}. 201 | 202 | 在同构意义下, 序数 $\omega = \{n : n=0, 1, \ldots \}$ 不外是我们直觉中的良序集 $\Z_{\geq 0}$; 这也可以看作是从空集出发, 在 ZFC 框架下定义非负整数集的一种手法. 更明确地说, $\omega$ 连同其中元素的后继运算 $n \mapsto n+1$ 满足 Peano 的算术公理 (见 \cite[第零章, \S 2]{DN00}), 而这是我们实际操作整数时所需的全部性质, 定理 \ref{prop:transfinite-induction} 将触及其中关键的一条: 数学归纳法. 203 | \end{example} 204 | 205 | \section{超穷递归及其应用} 206 | 定理 \ref{prop:On-wellorder} 表明真类 $\textbf{On}$ 对 $\leq$ 也有良序性质: 任何由序数构成的类都有极小元. 这立即导向以下结果. 207 | \begin{theorem}[超穷归纳法]\label{prop:transfinite-induction} \index{chaoqiongguinafa@超穷归纳法 (transfinite induction)} 208 | 令 $C$ 为一个由序数构成的类. 假设 209 | \begin{compactenum}[(i)] 210 | \item $0 \in C$, 211 | \item $\alpha \in C \implies \alpha+1 \in C$, 212 | \item 设 $\alpha$ 为极限序数, 若对每个 $\beta < \alpha$ 皆有 $\beta \in C$, 则 $\alpha \in C$, 213 | \end{compactenum} 214 | 那么 $C = \textbf{On}$. 如果仅考虑小于某 $\theta$ 的序数而非 $\textbf{On}$ 整体, 断言依然成立. 215 | \end{theorem} 216 | \begin{proof} 217 | 设若不然, 取不在 $C$ 中的最小序数 $\alpha \neq 0$, 无论它是后继或极限序数都导致矛盾. 218 | \end{proof} 219 | \begin{remark} 220 | 回忆到 $\theta = \{\alpha \in \textbf{On}: \alpha < \theta \}$. 如取 $\theta = \omega$ 则得到经典的数学归纳法, 此时不涉及情况 (iii). 221 | \end{remark} 222 | 223 | 定理 \ref{prop:transfinite-induction} 常用以递归地构造一列以序数枚举的数学对象, 它基于某规则 $G$ 如下: 224 | \begin{compactdesc} 225 | \item[第零项] $a_0 = G(0)$ 给定, 226 | \item[后继项] 设 $\alpha = \beta+1$, 已知 $a_\beta$, 则可以确定 $a_\alpha = a_{\beta + 1} = G(a_\beta)$, 227 | \item[极限项] 设 $\alpha$ 是极限序数, 已知 $\{a_\beta : \beta < \alpha \}$, 则可以确定 $a_\alpha = G(\{a_\beta : \beta < \alpha \})$. 228 | \end{compactdesc} 229 | 不难想象这将唯一确定一列集合 $a_\alpha$, 兹改述并证明如下. 考虑函数 $G: \textbf{V} \to \textbf{V}$, 虽然 $\textbf{V}$ 是真类, 然而如早先所述, $G$ 可以诠释为一阶逻辑中的某类公式而不影响以下操作. 引入 $\theta$-列的概念: 这是指函数 $a: \theta \to \textbf{V}$, 亦可理解为形如 $\{a_\alpha : \alpha < \theta \}$ 的列. 230 | 231 | \begin{theorem}[超穷递归原理] 232 | 对任意序数 $\theta$, 存在唯一的 $\theta$-列 $a$ 使得 $\alpha < \theta \implies a(\alpha) = G(a|_\alpha)$. 特别地, 存在唯一的函数 $a: \textbf{On} \to \textbf{V}$ 使得对每个序数 $\alpha$ 皆有 $a(\alpha) = G(a|_\alpha)$. 233 | \end{theorem} 234 | 几点说明: 235 | \begin{inparaenum}[(a)] 236 | \item 替换公理模式 \textbf{A.7} 确保函数限制 $a|_\alpha$ 可以按寻常方法等同于集合 $\{ (\beta, a(\beta)) : \beta \in \alpha \}$, 故 $G$ 对之可以取值; 237 | \item 我们将函数限制 $a|_0$ 理解为空集 $0$, 故按定义 $a(0) = G(0)$; 238 | \item 定理前半段只要求 $G$ 对形如 $\alpha \to \textbf{V}$ 的函数有定义, 其中 $\alpha < \theta$. 239 | \end{inparaenum} 240 | \begin{proof} 241 | 第一步, 若 $\theta$-列 $a, a'$ 皆满足所示性质, 我们断言 $\alpha < \theta$ 蕴涵 $a(\alpha) = a'(\alpha)$, 如是则 $a=a'$: 这对 $\alpha=0$ 已知; 设若这对所有 $\beta < \alpha$ 成立, 那么 $a|_\alpha = a'|_\alpha$ 故 $a(\alpha) = a'(\alpha)$; 应用定理 \ref{prop:transfinite-induction} 遂得以上断言. 242 | 243 | 第二步是 $\theta$-列 $a$ 的存在性. 当 $\theta=0$ 时为显然. 今设 $\theta > 0$, 并且对任意 $\xi < \theta$, 所求 $\xi$-列 $a[\xi]$ 皆存在, 则由替换公理模式知 $a[\xi]$ 确实是集合间的映射; 由第一步可将诸 $a[\xi]$ 拼接为定义在 $\theta$ 上的函数 $a$ 使得 $a|_\xi = a[\xi]$, 而且使性质 $\alpha < \theta \implies a(\alpha) = G(a|_\alpha)$ 成立, 这是容易的. 244 | 245 | 最后, 由于 $\textbf{On}$ 无极大元, 根据前两步可以唯一地定义 $a: \textbf{On} \to \textbf{V}$. 246 | \end{proof} 247 | 248 | 借助超穷递归原理, 能对序数定义类似于非负整数的运算如次. 以下在情形 (iii) 总假设 $\beta$ 是极限序数: 249 | \begin{itemize} 250 | \item 加法: \begin{inparaenum}[(i)] \item $\alpha + 0 := \alpha$, \item $\alpha + (\beta + 1) = (\alpha + \beta) + 1$, \item $\alpha + \beta = \sup\{ \alpha + \xi : \xi < \beta\}$. \end{inparaenum} 251 | \item 乘法: \begin{inparaenum}[(i)] \item $\alpha \cdot 0 := 0$, \item $\alpha \cdot (\beta + 1) = \alpha \cdot \beta + \alpha$, \item $\alpha \cdot \beta = \sup\{\alpha \cdot \xi : \xi < \beta\}$. \end{inparaenum} 252 | \item 指数: \begin{inparaenum}[(i)] \item $\alpha^0 := 1$, \item $\alpha^{\beta + 1} = \alpha^\beta \cdot \alpha$, \item $\alpha^\beta = \sup\{\alpha^\xi : \xi < \beta\}$. \end{inparaenum} 253 | \end{itemize} 254 | 可以验证序数对加法和乘法都满足结合律, 但一般不满足交换律. 施之于 $\alpha, \beta < \omega$ 便得到非负整数上的加法和乘法 (当然这时必须验证交换律). 至此, 我们已经基于公理集合论为 $\Z_{\geq 0}$ 上的算术奠定了基础, 将之加工为 $\Z$ 及 $\Q$ 则可以说是代数学的任务, 手法是大家熟知的. 一般性的工具将在定义--定理 \ref{def:K-group} 和 \S\ref{sec:comm-ring-intro} 予以介绍. 255 | 256 | \begin{proposition}\label{prop:ordinal-ordertype} 257 | 对任意良序集 $P$, 存在唯一的序数 $\alpha$ 和良序集之间的同构 $\phi: P \rightiso \alpha$. 258 | \end{proposition} 259 | \begin{proof} 260 | 序数和同构的唯一性源自引理 \ref{prop:wellorder-automorphism} 和引理 \ref{prop:ordinal-property}. 可设 $P \neq \emptyset$, 并选取 $\mho \notin P$ (易见存在性). 以下将以超穷递归定义一族元素 $a_\alpha \in P \sqcup \{\mho\}$, 其中 $\alpha$ 取遍所有序数. 设 $a_0 := \text{min}(P)$, 并递归地定义 261 | \[ a_\alpha := \begin{cases} 262 | \text{min}\left( P \smallsetminus \{a_\beta : \beta < \alpha \} \right), & \{a_\beta : \beta < \alpha \} \subsetneq P \\ 263 | \mho, & \{a_\beta : \beta < \alpha \} = P. 264 | \end{cases}\] 265 | 由于 $P$ 是集合, 必存在最小的序数 $\theta$ 使得 $a_\theta = \mho$, 否则这将蕴涵单射 $a: \textbf{On} \to P$, 分离公理模式 \textbf{A.3} 确保 $a(\textbf{On}) \subset P$ 是集合, 而替换公理模式 \textbf{A.7} 蕴涵 $\textbf{On} = a^{-1}(a(\textbf{On}))$ 亦是集合, 此与命题 \ref{prop:Ord-class} 矛盾. 可验证 $a_\alpha \mapsto \alpha$ 定义了偏序集的同构 $P \to \{\beta : \beta < \theta\} = \theta$. 266 | \end{proof} 267 | 268 | 以下两个重要结果都依赖于选择公理 \textbf{A.9}. 其中 Zorn 引理是代数学的基本工具之一. 之前的论证技巧还会反复出现. 269 | \begin{theorem}[Zermelo 良序定理, 1904]\label{prop:wellorder-principle}\index{Zermelo 良序定理} 270 | 任意集合 $S$ 都能被赋予良序. 271 | \end{theorem} 272 | \begin{proof} 273 | 我们断言 $S$ 和某个序数 $\theta$ 间存在双射. 选取元素 $\mho \notin S$ 如上. 由选择公理, 可以在 $S$ 的每个子集 $S'$ 里拣选元素 $g(S')$. 设 $a_0 := g(S)$, 并用超穷递归对每个序数 $\alpha$ 定义 274 | \[ a_\alpha := \begin{cases} 275 | g \left( S \smallsetminus \{ a_\beta : \beta < \alpha \} \right), & S \neq \{ a_\beta : \beta < \alpha \} \\ 276 | \mho, & S = \{ a_\beta : \beta < \alpha \}. 277 | \end{cases}\] 278 | 与先前类似, 因 $S$ 是集合, 故可取极小的 $\theta$ 使得 $a_\theta = \mho$, $S = \{a_\beta: \beta < \theta\}$, 后者和序数 $\theta = \{\beta : \beta < \theta \}$ 之间有显然的双射, 于是导出 $S$ 上的良序. 279 | \end{proof} 280 | 281 | \begin{theorem}[Zorn 引理]\label{prop:Zorn}\index{Zorn 引理} 282 | 设 $P$ 为非空偏序集, 而且 $P$ 中每个链都有上界, 则 $P$ 含有极大元. 283 | \end{theorem} 284 | \begin{proof} 285 | 类似于前一个证明. 假定 $P$ 不含极大元. 任取 $a_0 \in P$, 并用超穷递归对每个序数 $\alpha$ 定义 $a_\alpha \in P$, 使得 $\alpha < \beta \Rightarrow a_\alpha < a_\beta$, 其方法如次: 设对每个 $\beta < \alpha$ 都定义了 $a_\beta$ 如上, 则 $(a_\beta)_{\beta < \alpha}$ 在 $P$ 中成一链. 若 $\alpha$ 是极限序数, 则此链必有上界 $a_\alpha \notin \{ a_\beta \}_{\beta < \alpha}$; 若 $\alpha = \gamma + 1$ 是后继序数, 因 $P$ 无极大元故存在 $a_\alpha \in P$ 使得 $a_\alpha > a_\gamma$. 真类 $\textbf{On}$ 据此可以嵌入 $P$, 仿照命题 \ref{prop:ordinal-ordertype} 的论证导出 $\textbf{On}$ 亦是集合, 矛盾. 286 | \end{proof} 287 | 已知选择公理, 良序定理和 Zorn 引理相互等价, 任择一者连同 \textbf{A.1} -- \textbf{A.8} 皆给出 ZFC. 本书以选择公理为出发点. 288 | 289 | \section{基数}\label{sec:cardinal-number} 290 | 基数是描述集合大小的一种标杆, 我们从等势的概念出发, 随后联系到序数. 291 | 292 | \begin{definition}\index{dengshi@等势 (equipollence)} 293 | 若两集合 $X, Y$ 之间存在双射 $\phi: X \to Y$, 则称 $X, Y$ \emph{等势}. 294 | 295 | 等势构成了集合间的等价关系, 集合 $X$ 的等势类记作 $|X|$. 若存在单射 $\phi: X \to Y$, 则记作 $|X| \leq |Y|$. 296 | \end{definition} 297 | 298 | 关系 $\leq$ 显然只依赖于等势类, 并满足传递性: $|X| \leq |Y|$, $|Y| \leq |Z|$ 蕴涵 $|X| \leq |Z|$. 我们用 $|X| < |Y|$ 表示 $|X| \leq |Y|$, $|X| \neq |Y|$. 以下证明 $\leq $满足反称性, 因而在等势类上定义了偏序. 299 | 300 | \begin{theorem}[Schröder--Bernstein]\label{prop:Schröder-Bernstein} 301 | 若两集合 $X,Y$ 满足 $|X| \leq |Y|$ 和 $|Y| \leq |X|$, 则 $|X|=|Y|$. 302 | \end{theorem} 303 | \begin{proof} 304 | 考虑单射 $f: X \to Y$ 和 $g: Y \to X$. 我们可以在断言中以 $g(Y)$ 代替 $Y$, 从而化约到 $Y \subset X$ 而 $g$ 是包含映射的情形, 即 $f(X) \subset Y \subset X$. 置 $X_0 := X$, $Y_0 := Y$, 我们递归地对所有 $n \in \Z_{\geq 0}$ 定义 305 | \begin{align*} 306 | X_{n+1} & := f(X_n), \\ 307 | Y_{n+1} & := f(Y_n). 308 | \end{align*} 309 | 从而得到一列嵌套的子集 310 | \[ \underbracket{X_0}_{=X} \supset \underbracket{Y_0}_{=Y} \supset \cdots \supset X_n \supset Y_n \supset X_{n+1} \supset \cdots . \] 311 | 定义映射 $\phi: X \to Y$ 如下 312 | \[ \phi(x) = \begin{cases} 313 | f(x), & \text{如果}\; \exists n \geq 0, \; x \in X_n \smallsetminus Y_n, \\ 314 | x, & \text{其他情形}. 315 | \end{cases} \] 316 | 容易验证 $\phi$ 是良定的双射. 317 | \end{proof} 318 | 319 | 许多书籍直接将基数定义为等势类. 一如序数的情形, 本章的进路是为每个等势类指定标准的代表元, 从而将基数理解为一类特别的序数. 在此先回顾等势类的基本运算: 320 | \begin{compactenum}[(i)] 321 | \item $|X|+|Y| = |X \sqcup Y|$, 322 | \item $|X| \cdot |Y| = |X \times Y|$, 323 | \item $|X|^{|Y|} = |X^Y|$. 324 | \end{compactenum} 325 | 推而广之, 设 $(X_i)_{i \in I}$ 为以集合 $I$ 为指标的一族集合, 则可定义基数和 326 | \begin{gather}\label{eqn:cardinal-infinite-sum} 327 | \sum_{i \in I} |X_i| := \left\lvert \bigsqcup_{i \in I} X_i \right\rvert. 328 | \end{gather} 329 | 与积 330 | \begin{gather}\label{eqn:cardinal-infinite-prod} 331 | \prod_{i \in I} |X_i| := \left\lvert \prod_{i \in I} X_i \right\rvert. 332 | \end{gather} 333 | 可验证两者都是良定的运算. 关于基数之无穷和与无穷积的进一步讨论可参阅 \cite[pp.52-55]{Je03}. 334 | 335 | 另外注意到 $2^{|X|} = |P(X)|$. 下述定理是熟知的. 336 | 337 | \begin{theorem}[Cantor]\label{prop:Cantor} 338 | 对任意集合 $X$ 皆有 $|P(X)| > |X|$. 339 | \end{theorem} 340 | \begin{proof} 341 | 存在单射 $X \to P(X)$, 然而任何映射 $\phi: X \to P(X)$ 皆非满: 仅需验证集合 $Y := \{x \in X : x \notin \phi(x) \}$ 不在 $\phi$ 的像里. 342 | \end{proof} 343 | 344 | \begin{definition}\index{jishu@基数 (cardinal)} 345 | 序数 $\kappa$ 称为\emph{基数}, 如果对任意序数 $\lambda < \kappa$ 都有 $|\lambda| < |\kappa|$. 346 | \end{definition} 347 | 换言之, 基数无非是一个等势类中的极小序数. 现在我们用选择公理联系等势类和基数. 348 | 349 | \begin{proposition} 350 | 对任意集合 $X$, 可取最小的序数 $\alpha(X)$ 使得 $|X|=|\alpha(X)|$. 则 $X \mapsto \alpha(X)$ 给出等势类和基数的一一对应. 特别地, 对任意集合 $X, Y$ 必有 $|X| \leq |Y|$ 或 $|Y| \leq |X|$. 351 | \end{proposition} 352 | \begin{proof} 353 | 序数 $\alpha(X)$ 的存在性源于定理 \ref{prop:wellorder-principle}, 它显然是基数. 其余断言是显然的. 354 | \end{proof} 355 | 356 | 据此可以谈论一个集合的基数. 不难证明有限序数和 $\omega$ 都是基数. \emph{有限集}是基数为有限序数的集合, \emph{可数集}是基数为 $\omega$ 的集合, 其余称为\emph{不可数集}; 注意到任何无穷集总是包含一份与 $\Z_{\geq 0}$ 等势的子集, 这是因为无穷序数皆包含 $\omega$. 为了符号上方便, 今后我们将经常混同集合的等势类及相应的基数. \index{keshuji@可数集 (countable set)} 357 | 358 | \begin{lemma}\label{prop:cardinal-sup} 359 | 对任意序数 $\alpha$ 都存在基数 $\kappa > \alpha$. 如果 $S$ 是一个由基数构成的集合, 则 $\sup S$ 也是基数. 360 | \end{lemma} 361 | \begin{proof} 362 | 一个集合及其子集上所有可能的良序结构形成一个集合, 而 $\textbf{On}$ 是真类, 因此对任意 $X$ 总存在序数 $\theta$ 使得 $|\theta| > |X|$; 取 $X=\alpha$ 便得到第一个断言. 对于第二个断言, 假定存在序数 $\beta < \alpha := \sup S$ 使得 $|\beta| = |\alpha|$. 根据上确界性质, 必存在 $\kappa \in S$ 满足 $\kappa > \beta$, 因此 $|\beta| \leq |\kappa| \leq |\alpha| = |\beta|$, $|\beta|=|\kappa|$, 这与 $\kappa$ 是基数矛盾. 363 | \end{proof} 364 | 365 | 任意无穷集 $\alpha$ 都满足 $|\alpha \sqcup \{\alpha\}| = |\alpha|$ (处理 $\alpha=\Z_{\geq 0}$ 的情形即可), 所以无穷基数必为极限序数. 无穷基数称作 $\aleph$ 数. 引理 \ref{prop:cardinal-sup} 告诉我们如何用序数枚举无穷基数: 递归地定义\index[sym1]{aleph@$\aleph_\alpha$} 366 | \begin{align*} 367 | \aleph_0 & := \omega, \quad \text{这是最小的无穷基数}; \\ 368 | \aleph_{\alpha+1} & := \text{大于 $\aleph_\alpha$ 的最小基数}; \\ 369 | \aleph_\alpha & := \sup_{\beta < \alpha} \aleph_\beta, \quad \text{若 $\alpha$ 是极限序数}. 370 | \end{align*} 371 | 特别地, 基数全体构成一个真类. 372 | 373 | \begin{example}[Cantor]\label{eg:continuum} 374 | 我们证明 $|\R| = 2^{\aleph_0}$. 首先留意到 $|\Q|=|\Z_{\geq 0}|=\aleph_0$. Dedekind 分割 $x \mapsto \{r \in \Q: r < x \}$ 给出 $\R \hookrightarrow P(\Q)$, 于是 $|\R| \leq |P(\Q)|=2^{\aleph_0}$. 另一方面, 区间 $[0,1]$ 包含 Cantor 集 375 | \[ C := \left\{ \sum_{n=1}^\infty a_n 3^{-n}: \forall n, \; a_n = 0 \;\text{或}\; 2 \right\}, \] 376 | 形式如上的 $3$ 进制表法是唯一的, 因此 $|\R| \geq |C| = 2^{\aleph_0}$. 应用定理 \ref{prop:Schröder-Bernstein} 即得所求. 377 | \end{example} 378 | 379 | 集合论中常称实数集为``连续统''. 著名的连续统假设断言 $2^{\aleph_0} = \aleph_1$. 已知若预设 ZFC 公理系统的一致性, 那么无论是连续统假设 (P.\ Cohen, 1963) 或其否定 (K.\ Gödel, 1940) 都无法从 ZFC 的公理推出. 380 | 381 | \begin{theorem}[$\alpha \times \alpha$ 上的典范良序]\label{prop:Ord2-canonical} 382 | 真类 $\textbf{On}^2 = \textbf{On} \times \textbf{On}$ 上存在良序 $\prec$ 使得对每个序数 $\alpha$ 皆有 $\textbf{On}^2_{\prec (0, \alpha)} = (\alpha \times \alpha, \prec)$, 称作 $\alpha \times \alpha$ 上的典范良序. 进一步, $(\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha, \prec)$ 的序型为 $\aleph_\alpha$; 作为推论, $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$. 383 | \end{theorem} 384 | \begin{proof} 385 | 在 $\textbf{On}^2$ 上定义 $(\alpha, \beta) \prec (\alpha', \beta')$ 当且仅当 386 | \begin{compactitem} 387 | \item $\max\{\alpha, \beta\} < \max\{\alpha', \beta'\}$, 或者 388 | \item $\max\{\alpha, \beta\} = \max\{\alpha', \beta'\}$, 此时以字典序比大小 (即先比较第一个分量, 相等则比第二个分量). 389 | \end{compactitem} 390 | 易见 $\prec$ 是 $\textbf{On}^2$ 上的良序. 而且 $0$ 是最小序数故 $(\alpha', \beta') \prec (0, \alpha) \iff \alpha', \beta' < \alpha$. 于是 $\textbf{On}^2_{\prec (0, \alpha)} = \alpha \times \alpha$. 391 | 392 | 如果 $(\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha, \prec)$ 的序型为 $\aleph_\alpha$, 那么基数的定义 (一个等势类中的极小序数) 说明 $|\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha| = \aleph_\alpha$, 以基数乘法来表示即 $\aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha = \aleph_\alpha$. 下面就来证明关于序型的断言. 393 | 394 | 反设 $\alpha$ 为使得 $(\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha, \prec)$ 不同构于 $\aleph_\alpha$ 的最小序数. 此处必有 $\alpha > 0$, 因为 $(\aleph_0 \times \aleph_0, \prec) \simeq \aleph_0$ 由下图给出. 395 | \begin{center}\begin{tikzpicture} 396 | \matrix (A) [matrix of math nodes, row sep=3mm, column sep=4mm] { 397 | 9 & \cdots & \\ 398 | 4 & 5 & 8 \\ 399 | 1 & 3 & 7 \\ 400 | 0 & 2 & 6 \\ 401 | }; 402 | \draw[ultra thick, -stealth, black!30] (A-4-1) -- (A-3-1) -- (A-4-2) -- (A-3-2) -- (A-2-1) -- (A-2-2) -- (A-4-3); 403 | \end{tikzpicture} \qquad \begin{tikzpicture} 404 | \draw[->] (0,0) -- (1.5, 0) node[right] {$\aleph_0$}; 405 | \draw[->] (0,0) -- (0, 1.5) node [above] {$\aleph_0$}; 406 | \end{tikzpicture}\end{center} 407 | 令序数 $\gamma$ 表 $(\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha, \prec)$ 之序型, 并取同构 $f: \gamma \rightiso (\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha, \prec)$. 基数的性质给出 408 | \[ \gamma \geq |\gamma| = |\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha| \geq \aleph_\alpha; \] 409 | 而 $\alpha$ 的选取蕴涵 $\gamma \neq \aleph_\alpha$, 故 $\gamma > \aleph_\alpha$. 既然 $\aleph_\alpha$ 是 $\gamma$ 的真前段, 限制 $f$ 就得到从 $\aleph_\alpha$ 至 $(\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha, \prec)$ 的某个真前段的同构. 根据 $\prec$ 的定义, 存在序数 $\sigma < \aleph_\alpha$ 使得 $f(\aleph_\alpha) \subset \sigma \times \sigma$. 由于 $\aleph_\alpha$ 无穷, $\sigma$ 亦然. 410 | 411 | 根据基数定义, 存在 $\beta < \alpha$ 使得 $|\sigma| = \aleph_\beta$. 关于 $\alpha$ 的极小性假设蕴涵 $\aleph_\beta \cdot \aleph_\beta = \aleph_\beta$. 但这么一来 412 | \[ \aleph_\alpha = |f(\aleph_\alpha)| \leq |\sigma| \cdot |\sigma| = \aleph_\beta \cdot \aleph_\beta = \aleph_\beta \] 413 | 遂与 $\beta < \alpha \implies \aleph_\beta < \aleph_\alpha$ 矛盾. 证毕. 414 | \end{proof} 415 | 416 | \begin{corollary}\label{prop:cardinal-max} 417 | 对任意非零基数 $\kappa$, $\lambda$, 设其一无穷, 则 418 | \begin{inparaenum}[(i)] 419 | \item $\kappa + \lambda = \kappa \cdot \lambda = \max\{\lambda, \kappa\}$; 420 | \item 若 $2 \leq \kappa \leq \lambda$, 则 $\kappa^\lambda = 2^\lambda$. 421 | \end{inparaenum} 422 | \end{corollary} 423 | \begin{proof} 424 | 先证明 (i). 不妨设 $\lambda$ 无穷而且 $\lambda \geq \kappa > 0$. 基数运算的定义蕴涵 425 | \[ \lambda \leq \kappa + \lambda \leq \kappa \cdot \lambda \leq \lambda \cdot \lambda. \] 426 | 鉴于 Schröder--Bernstein 定理 \ref{prop:Schröder-Bernstein}, 一切化约到证明 $\lambda = \lambda \cdot \lambda$; 为此可将 $\lambda$ 视同于某个 $\aleph_\alpha$ 并应用定理 \ref{prop:Ord2-canonical} 即可. 断言 (ii) 归结为 $2^\lambda \leq \kappa^\lambda \leq (2^{\lambda})^\lambda = 2^{\lambda \cdot \lambda} = 2^\lambda$, 因此时 $\lambda$ 必无穷. 427 | \end{proof} 428 | 429 | 正则基数的概念将在 \S\ref{sec:Grot-universe} 派上用场, 不妨这么看: 正则基数是无法由更小的基数拼凑而成的无穷基数. \index{jishu!正则基数 (regular cardinal)} 430 | \begin{definition}\label{def:regular-cardinal} 431 | 一个无穷基数 $\alpha$ 称为\emph{正则基数}, 如果不存在极限序数 $\beta < \alpha$ 和严格增的序数列 $\{ a_\xi : \xi < \beta \}$ 使得 $\sup \{a_\xi : \xi < \beta\} = \alpha$. 432 | \end{definition} 433 | 434 | 作为例子, 以下说明形如 $\aleph_{\gamma+\omega}$ 的基数均非正则, 这里 $\gamma$ 可以是任意序数: 在定义中取 $\beta := \gamma + \omega$ 和 $a_\xi := \aleph_\xi$, 关系 $\alpha := \aleph_\beta > \beta$ 理应是明显的; 而 $\aleph$ 数的定义表明 $\sup \{ a_\xi : \xi < \beta \} = \sup \{ \aleph_{\gamma + n} : n < \omega \} = \aleph_{\gamma+\omega}$. 435 | 436 | \section{Grothendieck 宇宙}\label{sec:Grot-universe} 437 | 关于 Grothendieck 宇宙的第一手材料是 \cite[Exp.\ I, Appendice]{SGA4-1}. 438 | 439 | \begin{definition}\index{yuzhou@宇宙 (universe)} 440 | 本书所谓的\emph{宇宙}, 意谓一个满足下述性质的集合 $\mathcal{U}$. 441 | \begin{enumerate}[\bfseries {U}.1] 442 | \item $u \in \mathcal{U} \implies u \subset \mathcal{U}$, 即: $\mathcal{U}$ 是传递集; 443 | \item $u,v \in \mathcal{U} \implies \{u, v\} \in \mathcal{U}$; 444 | \item $u \in \mathcal{U} \implies P(u) \in \mathcal{U}$; 445 | \item 若 $I \in \mathcal{U}$, 一族集合 $\{u_i : i \in I\}$ 满足 $\forall i, \; u_i \in \mathcal{U}$, 则 $\bigcup_{i \in I} u_i \in \mathcal{U}$; 446 | \item $\Z_{\geq 0} \in \mathcal{U}$, 换言之: $\emptyset \in \mathcal{U}$ (请回忆 \S\ref{sec:order} 中构造非负整数的方法). 447 | \end{enumerate} 448 | 对于集合 $X$, 若 $X \in \mathcal{U}$ 则称为 $\mathcal{U}$-集; 若 $X$ 和一个 $\mathcal{U}$-集等势, 则称为 $\mathcal{U}$-小集.\index{U-ji@$\mathcal{U}$-集} 449 | \end{definition} 450 | 451 | 给定宇宙 $\mathcal{U}$, 不难验证以下推论: 452 | \begin{itemize} 453 | \item $u \subset v \in \mathcal{U} \implies u \in \mathcal{U}$; 454 | \item $u \in \mathcal{U} \implies \bigcup u = \bigcup_{x \in u} x \in \mathcal{U}$; 455 | \item $u, v \in \mathcal{U} \implies u \times v \in \mathcal{U}$; 456 | \item 若 $I \in \mathcal{U}$, 一族集合 $\{u_i : i \in I\}$ 满足 $\forall i, \; u_i \in \mathcal{U}$, 则 $\prod_{i \in I} u_i \in \mathcal{U}$. 457 | \end{itemize} 458 | 459 | 这套概念的神髓在于在 $\mathcal{U}$ 内部可以实行大部分常见的数学操作而不涉及真类, 这就为棘手的集合论问题建起一道防火墙. 然而是否有充分多、充分大的宇宙可资调用则是另一个问题, 为此我们引入以下假设. 460 | 461 | \begin{hypothesis}[A.\ Grothendieck]\label{hyp:universe} 462 | 对任何集合 $X$, 存在宇宙 $\mathcal{U}$ 使得 $X \in \mathcal{U}$. 463 | \end{hypothesis} 464 | 465 | 展开相关讨论前, 不妨先勾勒集合的层垒谱系. 以超穷递归定义一族由序数枚举的集合 $V_\alpha$ 如下: \index{jihelun!层垒谱系 (cumulative hierachy)} 466 | \begin{align*} 467 | V_0 & := \emptyset, \\ 468 | V_{\alpha+1} & := P(V_\alpha), \\ 469 | V_\alpha & :=\bigcup_{\beta < \alpha} V_\beta, \quad \text{如果 $\alpha$ 是极限序数}. 470 | \end{align*} 471 | 472 | 不难验证每个 $V_\alpha$ 都是传递集 (定义 \ref{def:ordinal}), 并包含 $\alpha$ 作为子集, 而且 $\alpha < \beta \implies V_\alpha \subset V_\beta$. 473 | 474 | \begin{proposition} 475 | 任一集合都属于某个 $V_\alpha$, 其中 $\alpha$ 是序数. 476 | \end{proposition} 477 | \begin{proof} 478 | 首先证明以下性质: 任何非空的类 $C$ 都有一个相对于 $\in$ 的极小元 $x$. 任取 $S \in C$. 若 $S \cap C = \emptyset$ 则 $S$ 即所求的极小元. 若 $S \cap C \neq \emptyset$, 则存在传递集 $T$ 使得 $T \supset S$, 其递归构造如下: 479 | \[ S_0 := S, \quad S_{n+1} := \bigcup S_n, \quad T := \bigcup_{n \in \Z_{\geq 0}} S_n; \] 480 | 循定义可见 $T$ 是传递的. 令 $X := T \cap C$, 这是非空集故正则公理 \textbf{A.8} 确保 $X$ 中有相对于 $\in$ 的极小元 $x$. 仅须说明 $x$ 相对于 $(C, \in)$ 同样极小: 设若不然, 存在 $y \in x \cap C$, 则 $T$ 传递和 $x \in T$ 将蕴涵 $y \in T \cap C = X$, 与 $x$ 对 $(X, \in)$ 极小相悖. 481 | 482 | 现在取 $C$ 为所有不在任一个 $V_\alpha$ 内的集合构成的类. 假设 $C$ 不空, 应用上述性质可知 $C$ 中存在一个相对于 $\in$ 的极小元 $x$. 因此若 $z \in x$ 则 $z$ 属于某个 $V_\alpha$; 对之取最小的 $\alpha = \alpha(z)$ 使得 $z \in V_\alpha$. 由于 $x$ 是集合, 应用替换公理模式 \textbf{A.7} 知 $\mathcal{O} := \{\alpha(z) : z \in x \}$ 是一个由序数组成之集合, 置 $\theta := \sup \mathcal{O}$. 于是 $x \subset V_\theta$ 故 $x \in V_{\theta+1}$, 矛盾. 483 | \end{proof} 484 | 485 | 集合 $V_\omega$ 的元素称作遗传有限集, 这些集合皆有限, 这对于一些组合学或计算机方面的应用或许足够, 但很难想象如何在其中开展分析或几何学等理论. 因此 $V_\omega$ 对数学家是远远不够用的. Grothendieck 学派原来的定义不含 $\Z_{\geq 0} \in \mathcal{U}$, 导致 $V_0, V_\omega$ 都是它们意义下的宇宙; 本书的假设排除了这两者. 486 | 487 | \begin{definition}\index{jishu!强不可达 (strongly inaccessible)} 488 | 满足以下性质的基数 $\kappa$ 称为强不可达基数: 489 | \begin{enumerate}[\bfseries {I}.1] 490 | \item $\kappa$ 不可数, 491 | \item $\kappa$ 是正则基数 (定义 \ref{def:regular-cardinal}), 492 | \item 对任意基数 $\lambda$ 皆有 $\lambda < \kappa \implies 2^\lambda < \kappa$. 493 | \end{enumerate} 494 | \end{definition} 495 | 可以证明 \textbf{I}.3 蕴涵 $\lambda, \nu < \kappa \implies \lambda^\nu < \kappa$, 见 \cite[p.58]{Je03}. 强不可达基数是现代集合论着力研究的大基数的一员. Bourbaki 在 \cite[Exp. I, Appendice]{SGA4-1} 中证明了以下结果. 496 | \begin{theorem} 497 | 宇宙正是层垒谱系中形如 $V_\kappa$ 的成员, 其中 $\kappa$ 是一个强不可达基数. 498 | \end{theorem} 499 | 500 | 强不可达基数的性质告诉我们: 从 $V_\kappa$ 的元素出发, 在 ZFC 系统内无论怎么操作都不会超出 $V_\kappa$. 假若读者对数理逻辑有些了解, 则可以更精确地说: 对于强不可达基数 $\kappa$, 宇宙 $\mathcal{U} := V_\kappa$ 连同属于关系 $\in$ 构成了 ZFC 的一个\emph{模型} \cite[Lemma 12.13]{Je03}, 相当于在集合论内部虚拟地运行了一套集合论. 不妨这么看: 若把 $V_\kappa$ 的元素看作 ``集合'', 则就模型 $(V_\kappa, \in)$ 观之, ``类''就是 $V_{\kappa+1} = P(V_\kappa)$ 的元素. 501 | 502 | \begin{remark} 503 | 假设 \ref{hyp:universe} 等价于对任意基数 $\lambda$, 存在强不可达基数 $\kappa$ 使得 $\lambda < \kappa$. 这是颇强的要求. 对于大多数的范畴论构造和数学论证, 我们顶多只要求存在某个宇宙 $\mathcal{U}$; 换言之, 日常生活中只需要单个强不可达基数. 这个要求依然有些奢侈, 原因是在 ZFC 系统内无法证明强不可达基数的存在性 \cite[Theorem 12.12]{Je03}. 504 | \end{remark} 505 | 506 | 数学工作者究竟需不需要宇宙? 如何看待强不可达基数假设? 这些议题处在数学, 哲学与群体心理学的交界, 请有兴趣的读者移步 \cite{Shu08}. 507 | 508 | \begin{Exercises} 509 | \item 设 $X, Y$ 为全序集, 定义新的全序集 510 | \begin{compactenum}[(i)] 511 | \item $X \sqcup Y$, 其序结构限制到 $X$ 和 $Y$ 上分别是原给定的序, 并且对所有 $x \in X$, $y \in Y$ 都有 $x < y$; 512 | \item $X \times Y$, 配备反字典序: $(x_1, y_1) < (x_2, y_2)$ 当且仅当 $y_1 < y_2$, 或 $y_1=y_2$ 而 $x_1 < x_2$. 513 | \end{compactenum} 514 | 证明对于序数 $\alpha, \beta$, 序数 $\alpha + \beta$ 与 $\alpha \beta$ 作为良序集分别同构于 $\alpha \sqcup \beta$ 与 $\alpha \times \beta$. 515 | \begin{hint} 对 $\beta$ 行超穷归纳. \end{hint} 516 | \item 证明序数运算的下述性质. 517 | \begin{compactenum}[(i)] 518 | \item $\beta < \gamma \implies \alpha + \beta < \alpha + \gamma$; 519 | \item 若 $\alpha < \beta$, 则存在唯一的 $\delta$ 使得 $\beta = \alpha + \delta$. \begin{hint} 取 $\delta$ 为良序集 $\{\xi : \alpha \leq \xi < \beta \}$;\end{hint} 520 | \item (带余除法) 对于 $\gamma, \alpha > 0$, 存在唯一的 $\beta, \rho$ 使得 $\rho < \alpha$ 且 $\gamma = \alpha \beta + \rho$. \begin{hint}取满足 $\alpha\beta < \gamma$ 的最大序数 $\beta$, 并应用 (ii); \end{hint} 521 | \item 若 $\alpha > 1$, 则 $\beta < \gamma \implies \alpha^\beta < \alpha^\gamma$. 522 | \end{compactenum} 523 | \item 举例说明对于序数 $\alpha, \beta$, 一般而言 $\alpha \beta \neq \beta \alpha$. \begin{hint}不妨取 $\alpha < \beta = \omega$.\end{hint} 524 | \item 证明任意序数 $\gamma > 0$ 皆有唯一的 Cantor 标准形 525 | \[ \gamma= \omega^{\alpha_1} k_1 + \cdots + \omega^{\alpha_n} k_n, \] 526 | 其中 $n \in \Z_{\geq 1}$, $\gamma \geq \alpha_1 > \cdots > \alpha_n$ 皆为序数, 而 $k_1, \ldots, k_n \in \Z_{\geq 1}$. \begin{hint}对 $\gamma$ 作超穷递归: 取最大的 $\alpha$ 使得 $\gamma \geq \omega^\alpha $, 再用带余除法表 $\gamma = \omega^\alpha k + \rho$, 这里的 $k$ 必为有限序数. 用超穷归纳法可证唯一性.\end{hint} 527 | \item 证明 $f(a,b) = 2^a(2b+1)-1$ 是从 $\Z_{\geq 0} \times \Z_{\geq 0}$ 到 $\Z_{\geq 0}$ 的双射. 528 | \item 以下结果称作 König 引理: 设 $\kappa_i, \lambda_i$ 为两族以 $i \in I$ 为下标的基数, 且对每个 $i \in I$ 皆有 $\kappa_i < \lambda_i$. 证明 529 | \[ \sum_{i \in I} \kappa_i < \prod_{i \in I} \lambda_i. \] 530 | 导出 Cantor 定理 $\kappa \leq 2^\kappa$ 作为特例. 531 | \begin{hint} 532 | 容易看出 $\leq$ 成立. 接着取 $E := \prod_i E_i$, 其中 $|E_i| = \lambda_i$; 若断言不成立, 则存在分解 $E = \bigcup_i F_i$, 其中 $F_i \subset E$, $|F_i| = \kappa_i$. 为导出矛盾, 将每个 $f \in E$ 按分量表成 $(f_j)_{j \in I}$, $f_j \in E_j$, 并考虑集合 533 | \[ G_i := \Image\left[ F_i \hookrightarrow E \xrightarrow{\text{取 $i$ 分量}} E_i \right], \quad i \in I. \] 534 | 说明 $G_i \subsetneq E_i$. 然后取 $f \in \prod_i (E_i \smallsetminus G_i)$ 并导出 $f \notin \bigcup_i F_i$, 矛盾. 这里和 Cantor 定理一样使用了对角线论证法. 535 | \end{hint} 536 | \end{Exercises} -------------------------------------------------------------------------------- /coverpage.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Copyright 2022 李文威 (Wen-Wei Li). 2 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 3 | % document under the terms of the Creative Commons 4 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 5 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 6 | 7 | % 《代数学方法》卷一自订封面页, 由主档引入. 8 | 9 | \setCJKfamilyfont{coverfont}{Noto Serif CJK SC Bold} % 设置书名字体 10 | \setCJKfamilyfont{cover-author-font}{Noto Sans CJK SC} % 设置作者字体 11 | \colorlet{octa}{cyan!50!gray} % Color for the octahedron 12 | 13 | \begin{titlepage}\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay, pencildraw/.style={ 14 | color=octa, thick, 15 | decorate, 16 | decoration={random steps, segment length=1pt, amplitude=0.7pt} 17 | }] 18 | 19 | \node[anchor=center] (title) at ([xshift=19em, yshift=-10em] current page.north west) 20 | { \fontsize{45}{45}\CJKfamily{coverfont}代数学方法}; 21 | 22 | \node[anchor=center] (volume) at ([yshift=-7em] title.center) {\fontsize{30}{30}\CJKfamily{coverfont}卷一：基础架构}; 23 | 24 | \node[anchor=west] (author) at ([yshift=-5em, xshift=4pt] volume.south west) {\fontsize{18}{18}\CJKfamily{cover-author-font}李文威}; 25 | \node[anchor=west] at ([xshift=2.4em] author.east) {\fontsize{18}{18}\CJKfamily{cover-author-font}著}; 26 | 27 | \draw[line width=2pt, color=black!70!gray] ([xshift=-2.5em, yshift=1em] author.north west) -- ++(25em,0); 28 | \shade[top color=gray, bottom color=black,] ([xshift=-1em, yshift=1em] title.north west) rectangle ++(-1em,-20em); 29 | 30 | % The anchors for the pictures at lower-right corner. 31 | \coordinate (pic) at ([xshift=-23em, yshift=22em] current page.south east); 32 | \coordinate (pic2) at ([xshift=3em] pic); 33 | 34 | % The pentagon axiom 35 | \begin{scope}[shift = (pic2), scale=1.5, opacity=0.55] 36 | \node (P0) at (90:2.3cm) {$((X \otimes Y) \otimes Z) \otimes W$}; 37 | \node (P1) at (90+72:2cm) {$(X \otimes (Y \otimes Z)) \otimes W$} ; 38 | \node (P2) at (90+2*72:2cm) {\makebox[5ex][r]{$X \otimes ((Y \otimes Z) \otimes W)$}}; 39 | \node (P3) at (90+3*72:2cm) {\makebox[5ex][l]{$X \otimes (Y \otimes (Z \otimes W))$}}; 40 | \node (P4) at (90+4*72:2cm) {$(X \otimes Y) \otimes (Z \otimes W)$}; 41 | \path[commutative diagrams/.cd, every arrow, every label] 42 | (P0) edge node[swap] {$a(X,Y,Z) \otimes \identity_W$} (P1) 43 | (P1) edge node[swap] {$a(X, Y \otimes Z, W)$} (P2) 44 | (P2) edge node[swap, inner sep=1em] {$\identity_X \otimes a(Y,Z,W)$} (P3) 45 | (P4) edge node {$a(X, Y, Z \otimes W)$} (P3) 46 | (P0) edge node {$a(X \otimes Y, Z, W)$} (P4); 47 | \end{scope} 48 | 49 | % The octahedron 50 | \begin{scope}[shift=(pic), rotate=-30, scale=2] 51 | \coordinate (A1) at (pic); 52 | \coordinate (A2) at (6em, 2em); 53 | \coordinate (A3) at (10em, 0); 54 | \coordinate (A4) at (4em, -2em); 55 | \coordinate (B1) at (5em, 5em); 56 | \coordinate (B2) at (5em, -5em); 57 | \end{scope} 58 | 59 | \begin{scope}[loosely dashed, opacity=0.6] 60 | \draw[pencildraw] (A1) -- (A2) -- (A3); 61 | \draw[pencildraw] (B1) -- (A2) -- (B2); 62 | \end{scope} 63 | \draw[pencildraw, fill=octa!10,opacity=0.6] (A1) -- (A4) -- (B1); 64 | \draw[pencildraw, fill=octa!20,opacity=0.6] (A1) -- (A4) -- (B2); 65 | \draw[pencildraw, fill=octa!30,opacity=0.6] (A3) -- (A4) -- (B1); 66 | \draw[pencildraw, fill=octa!50,opacity=0.6] (A3) -- (A4) -- (B2); 67 | \draw[pencildraw] (B1) -- (A1) -- (B2) --node[sloped, below] {\small\sffamily \today} (A3) --cycle; 68 | \end{tikzpicture} 69 | 70 | \clearpage % 进入内页 71 | \begin{center} 72 | \Large{\sffamily\bfseries\thmheiti 网络版 \\ 2023 年 2 月修订} \\ \vspace{2em} 73 | \Large{\sffamily\bfseries\thmheiti 编译日期: \today} \\ \vspace{1em} 74 | % 版面: B5 (176×250mm) \\ \vspace{1em} 75 | 本书已由高等教育出版社发行 \\ 76 | (2019 年 1 月第 1 版, 2023 年 2 印) \\ 77 | \texttt{ISBN: 978-7-04-050725-6} 78 | \end{center} 79 | \vfill 80 | 81 | \begin{flushleft} \small 82 | 李文威 \\ 83 | 个人主页: \href{https://www.wwli.asia}{www.wwli.asia} \\ 84 | (含勘误表等信息) 85 | \end{flushleft} 86 | \vspace{1.5em} 87 | \begin{tabular*}{\textwidth}{ccc} 88 | \includegraphics{ccby.png} 89 | & \begin{minipage}[b]{0.6\textwidth} 90 | \small\sffamily 91 | 本作品采用知识共享 署名 4.0 国际 许可协议进行许可. 访问 \url{http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/} 查看该许可协议. 92 | \end{minipage} 93 | \end{tabular*} 94 | 95 | \cleardoublepage 96 | \end{titlepage} 97 | -------------------------------------------------------------------------------- /font-setup-open.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 2 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 3 | % document under the terms of the Creative Commons 4 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 5 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 6 | 7 | % 目的: 字体相关设置, 呼叫相关宏包. 8 | % 将由 AJbook.cls 引入 9 | % 必须提供 \kaishu, \songti, \heiti, \thmheiti, \fangsong 几种字型切换命令, 在文档类中使用. 10 | \ProvidesFile{font-setup-open.tex}[2018/03/04] 11 | 12 | % 设置 xeCJK 字体及中文数字 13 | %\setmainfont{TeX Gyre Pagella} % 设置西文衬线字体 14 | %\setsansfont{TeX Gyre Heros}[ % 设置西文无衬线字体 15 | \setsansfont{texgyreheros}[ % 设置西文无衬线字体 16 | Extension=.otf, 17 | UprightFont=*-regular, 18 | BoldFont=*-bold, 19 | ItalicFont=*-italic, 20 | BoldItalicFont=*-bolditalic] 21 | 22 | % 自用模式: Fandol 字体 + 思源黑体 (Noto Sans CJK SC), 宜留意字体高低差异. 23 | \setCJKmainfont[ 24 | BoldFont=FandolSong-Bold.otf, 25 | ItalicFont=FandolKai-Regular.otf 26 | ]{FandolSong-Regular.otf} 27 | 28 | \setCJKsansfont[ 29 | BoldFont=FandolHei-Bold.otf 30 | ]{FandolHei-Regular.otf} 31 | 32 | \setCJKmonofont[ 33 | BoldFont=FandolHei-Bold.otf, 34 | ]{FandolHei-Regular.otf} 35 | 36 | 37 | \setCJKfamilyfont{kai}[ 38 | BoldFont=FandolKai-Regular.otf, ItalicFont=FandolKai-Regular.otf 39 | ]{FandolKai-Regular.otf} 40 | 41 | \setCJKfamilyfont{song}[ 42 | BoldFont=FandolSong-Bold.otf, 43 | ItalicFont=FandolKai-Regular.otf 44 | ]{FandolSong-Regular.otf} 45 | 46 | \setCJKfamilyfont{fangsong}[ 47 | BoldFont=FandolSong-Bold.otf, 48 | ItalicFont=FandolKai-Regular.otf 49 | ]{FandolFang-Regular.otf} 50 | 51 | \setCJKfamilyfont{hei}[ 52 | BoldFont=FandolHei-Bold.otf, 53 | ItalicFont=FandolHei-Regular.otf 54 | ]{FandolHei-Regular.otf} 55 | 56 | \setCJKfamilyfont{hei2}{Noto Sans CJK SC} 57 | 58 | \setCJKfamilyfont{sectionfont}[ 59 | BoldFont=* Black 60 | ]{Noto Sans CJK SC} 61 | 62 | \setCJKfamilyfont{pffont}[ 63 | BoldFont=* Medium 64 | ]{Noto Sans CJK SC} % 证明用的字体 65 | \setCJKfamilyfont{emfont}[ 66 | BoldFont=FandolHei-Regular.otf 67 | ]{FandolHei-Regular.otf} % 强调用的字体 68 | 69 | \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} 70 | \XeTeXlinebreaklocale "zh" 71 | \XeTeXlinebreakskip = 0pt plus 1pt minus 0.1pt 72 | 73 | % 以下设置字体相关命令, 用于定理等环境中. 74 | \newcommand\kaishu{\CJKfamily{kai}} % 楷体 75 | \newcommand\songti{\CJKfamily{song}} % 宋体 76 | \newcommand\heiti{\CJKfamily{hei}} % 黑体 77 | \newcommand\thmheiti{\CJKfamily{hei2}} % 用于定理名称的黑体 78 | \newcommand\fangsong{\CJKfamily{fangsong}} % 仿宋 79 | \renewcommand{\em}{\bfseries\CJKfamily{emfont}} % 强调 -------------------------------------------------------------------------------- /myarrows.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 2 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 3 | % document under the terms of the Creative Commons 4 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 5 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 6 | 7 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 8 | \ProvidesPackage{myarrows}[2018/02/20 Package for extendable arrows] 9 | \RequirePackage{amsmath} 10 | \RequirePackage{tikz-cd} 11 | 12 | % 以下用 tikz 定义可伸缩箭头, 不用 amsmath 和 extarrows 的版本以免 unicode-math 产生问题. 代码借自 Antal Spector-Zabusky 13 | % 重定义 \xrightarrow[below]{above} 14 | \makeatletter 15 | \newbox\xratbelow 16 | \newbox\xratabove 17 | \renewcommand{\xrightarrow}[2][]{% 18 | \setbox\xratbelow=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #1}}% 19 | \setbox\xratabove=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #2}}% 20 | \pgfmathsetlengthmacro{\xratlen}{max(\wd\xratbelow, \wd\xratabove) + .6em}% 21 | \mathrel{\tikz [->, baseline=-.75ex] 22 | \draw (0,0) -- node[below=-2pt] {\box\xratbelow} 23 | node[above] {\box\xratabove} 24 | (\xratlen,0) ;}} 25 | % 重定义 \xlefttarrow[below]{above} 26 | \renewcommand{\xleftarrow}[2][]{% 27 | \setbox\xratbelow=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #1}}% 28 | \setbox\xratabove=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #2}}% 29 | \pgfmathsetlengthmacro{\xratlen}{max(\wd\xratbelow, \wd\xratabove) + .6em}% 30 | \mathrel{\tikz [<-, baseline=-.75ex] 31 | \draw (0,0) -- node[below] {\box\xratbelow} 32 | node[above] {\box\xratabove} 33 | (\xratlen,0) ;}} 34 | % 重定义 \xleftrightarrow[below]{above} 35 | \renewcommand{\xleftrightarrow}[2][]{% 36 | \setbox\xratbelow=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #1}}% 37 | \setbox\xratabove=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #2}}% 38 | \pgfmathsetlengthmacro{\xratlen}{max(\wd\xratbelow, \wd\xratabove) + .6em}% 39 | \mathrel{\tikz [<->, baseline=-.75ex] 40 | \draw (0,0) -- node[below] {\box\xratbelow} 41 | node[above] {\box\xratabove} 42 | (\xratlen,0) ;}} 43 | % 重定义 \xhookrightarrow[below]{above}, 使用 tikz-cd 的 hookrightarrow 44 | \renewcommand{\xhookrightarrow}[2][]{% 45 | \setbox\xratbelow=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #1}}% 46 | \setbox\xratabove=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #2}}% 47 | \pgfmathsetlengthmacro{\xratlen}{max(\wd\xratbelow, \wd\xratabove) + .6em}% 48 | \mathrel{\tikz [baseline=-.75ex] 49 | \draw (0,0) edge[commutative diagrams/hookrightarrow] node[below] {\box\xratbelow} 50 | node[above] {\box\xratabove} 51 | (\xratlen,0) ;}} 52 | % 重定义 \xhooklefttarrow[below]{above}, 使用 tikz-cd 的 hookleftarrow 53 | \renewcommand{\xhookleftarrow}[2][]{% 54 | \setbox\xratbelow=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #1}}% 55 | \setbox\xratabove=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #2}}% 56 | \pgfmathsetlengthmacro{\xratlen}{max(\wd\xratbelow, \wd\xratabove) + .6em}% 57 | \mathrel{\tikz [baseline=-.75ex] 58 | \draw (0,0) edge[commutative diagrams/hookleftarrow] node[below] {\box\xratbelow} 59 | node[above] {\box\xratabove} 60 | (\xratlen,0) ;}} 61 | 62 | % 重定义 \xmapsto[below]{above}, 使用 tikz-cd 的 mapsto 63 | \renewcommand{\xmapsto}[2][]{% 64 | \setbox\xratbelow=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #1}}% 65 | \setbox\xratabove=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #2}}% 66 | \pgfmathsetlengthmacro{\xratlen}{max(\wd\xratbelow, \wd\xratabove) + .6em}% 67 | \mathrel{\tikz [baseline=-.75ex] 68 | \draw (0,0) edge[commutative diagrams/mapsto] node[below] {\box\xratbelow} 69 | node[above] {\box\xratabove} 70 | (\xratlen,0) ;}} 71 | 72 | % 定义 \xlongequal[below]{above}, 使用 tikz-cd 的等号 73 | \newcommand{\xlongequal}[2][]{% 74 | \setbox\xratbelow=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #1}}% 75 | \setbox\xratabove=\hbox{\ensuremath{\scriptstyle #2}}% 76 | \pgfmathsetlengthmacro{\xratlen}{max(\wd\xratbelow, \wd\xratabove) + .6em}% 77 | \mathrel{\tikz [baseline=-.75ex] 78 | \draw (0,0) edge[commutative diagrams/equal] node[below] {\box\xratbelow} 79 | node[above] {\box\xratabove} 80 | (\xratlen,0) ;}} 81 | \makeatother 82 | 83 | \endinput -------------------------------------------------------------------------------- /mycommand.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 2 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 3 | % document under the terms of the Creative Commons 4 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 5 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 6 | 7 | % Some custom commands that I prefer 8 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 9 | \ProvidesPackage{mycommand}[2018/02/20 Package for my own commands] 10 | 11 | \newcommand\hmmax{0} % default 3, Increase the capacity of fonts 12 | \newcommand\bmmax{0} % default 4, Increase the capacity of fonts... 13 | \RequirePackage{bm} % Bolface + other functionalities 14 | 15 | \renewcommand*\arraystretch{1.5} % Increase the space in arrays 16 | 17 | \RequirePackage{euscript} % "Euler script" fonts 18 | 19 | % Customize the list structures (using paralist) 20 | \setdefaultitem{$\diamond$}{}{}{} 21 | \renewcommand{\descriptionlabel}[1]{\hspace{\labelsep} $\vartriangleright$\enskip {\heiti #1} \;} 22 | \renewcommand{\paradescriptionlabel}[1]{\normalfont \heiti #1 \enskip} 23 | 24 | % Some commands that I am used to. 25 | % Well-known algebraic structures 26 | \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} 27 | \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} 28 | \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} 29 | \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} 30 | \newcommand{\CC}{\ensuremath{\mathbb{C}}} 31 | \newcommand{\F}{\ensuremath{\mathbb{F}}} 32 | \newcommand{\A}{\ensuremath{\mathbb{A}}} 33 | 34 | 35 | % Algebra 36 | 37 | \newcommand{\gr}{\operatorname{gr}} 38 | \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} 39 | \newcommand{\topwedge}{\ensuremath{\bigwedge^{\mathrm{max}}}} 40 | \newcommand{\rank}{\operatorname{rk}} 41 | \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} 42 | \newcommand{\Isom}{\operatorname{Isom}} 43 | \newcommand{\Hm}{\operatorname{H}} % Homology/cohomology 44 | \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} % trace 45 | \newcommand{\Nm}{\operatorname{N}} % norm 46 | \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} 47 | \newcommand{\Resprod}{\ensuremath{{\prod}'}} 48 | \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} 49 | \newcommand{\ord}{\operatorname*{ord}} 50 | \newcommand{\trdeg}{\operatorname{tr.deg}} 51 | \newcommand{\Gras}{\ensuremath{\mathbf{G}}} % Grassmannians 52 | \newcommand{\WittV}{\operatorname{W}} % Witt vectors 53 | 54 | % Analysis 55 | \newcommand{\dd}{\mathop{}\!\mathrm{d}} 56 | \newcommand{\champ}[1]{\ensuremath{\frac{\partial}{\partial #1}}} 57 | \newcommand{\norme}[1]{\ensuremath{\| #1 \|}} 58 | \newcommand{\normeL}[2]{\ensuremath{\| #2 \|_{L^{#1}}}} 59 | \newcommand{\normeLs}[3]{\ensuremath{\| #3 \|_{L^{#1}, #2}}} 60 | 61 | % General things... 62 | \newcommand{\ceil}[1]{\ensuremath{\lceil #1 \rceil}} 63 | \newcommand{\lrangle}[1]{\ensuremath{\left\langle #1 \right\rangle}} 64 | \newcommand{\mes}{\operatorname{vol}} 65 | \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} 66 | \newcommand{\Stab}{\operatorname{Stab}} 67 | \newcommand{\pr}{\ensuremath{\mathbf{pr}}} % projection morphism 68 | 69 | % Categorical Terms (in my view) 70 | \newcommand{\Obj}{\operatorname{Ob}} % Objects 71 | \newcommand{\Mor}{\operatorname{Mor}} % Morphisms 72 | \newcommand{\cate}[1]{\ensuremath{\mathsf{#1}}} % Font series for categories 73 | \newcommand{\dcate}[1]{\ensuremath{\text{-}\mathsf{#1}}} % Categories with a pre-dash 74 | \newcommand{\cated}[1]{\ensuremath{\mathsf{#1}\text{-}}} % Categories with a post-dash 75 | \newcommand{\identity}{\ensuremath{\mathrm{id}}} 76 | \newcommand{\prolim}{\ensuremath{\underleftarrow{\lim}}} 77 | \newcommand{\indlim}{\ensuremath{\underrightarrow{\lim}}} 78 | \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} 79 | \newcommand{\iHom}{\ensuremath{\EuScript{H}\mathrm{om}}} 80 | \newcommand{\End}{\operatorname{End}} 81 | \newcommand{\rightiso}{\ensuremath{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}} 82 | \newcommand{\longrightiso}{\ensuremath{\stackrel{\sim}{\longrightarrow}}} 83 | \newcommand{\leftiso}{\ensuremath{\stackrel{\sim}{\leftarrow}}} 84 | \newcommand{\longleftiso}{\ensuremath{\stackrel{\sim}{\longleftarrow}}} 85 | \newcommand{\utimes}[1]{\ensuremath{\overset{#1}{\times}}} 86 | \newcommand{\dtimes}[1]{\ensuremath{\underset{#1}{\times}}} 87 | \newcommand{\dotimes}[1]{\ensuremath{\underset{#1}{\otimes}}} 88 | \newcommand{\dsqcup}[1]{\ensuremath{\underset{#1}{\sqcup}}} 89 | \newcommand{\munit}{\ensuremath{\mathbf{1}}} % unit in a monoidal category 90 | \newcommand{\Yinjlim}{\ensuremath{\text{\textquotedblleft}\varinjlim\text{\textquotedblright}}} % injective limit in the Yoneda category 91 | \newcommand{\Yprojlim}{\ensuremath{\text{\textquotedblleft}\varprojlim\text{\textquotedblright}}} % projective limit in the Yoneda category 92 | 93 | % Homological Algebra 94 | \newcommand{\Ker}{\operatorname{ker}} 95 | \newcommand{\Coker}{\operatorname{coker}} 96 | \newcommand{\Image}{\operatorname{im}} 97 | \newcommand{\Coim}{\operatorname{coim}} 98 | \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} 99 | \newcommand{\Tor}{\operatorname{Tor}} 100 | \newcommand{\otimesL}{\ensuremath{\overset{\mathrm{L}}{\otimes}}} 101 | 102 | % Geometry 103 | \newcommand{\Der}{\operatorname{Der}} 104 | \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} 105 | \newcommand{\Ad}{\operatorname{Ad}} 106 | \newcommand{\ad}{\operatorname{ad}} 107 | \newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} 108 | \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} 109 | \newcommand{\MaxSpec}{\operatorname{MaxSpec}} 110 | \newcommand{\PP}{\ensuremath{\mathbb{P}}} 111 | \newcommand{\mult}{\operatorname{mult}} 112 | \newcommand{\divisor}{\operatorname{div}} 113 | \newcommand{\Gm}{\ensuremath{\mathbb{G}_\mathrm{m}}} 114 | \newcommand{\Ga}{\ensuremath{\mathbb{G}_\mathrm{a}}} 115 | \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} 116 | \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} 117 | \newcommand{\Res}{\operatorname{Res}} 118 | 119 | % Groups 120 | \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} 121 | \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} 122 | \newcommand{\SO}{\operatorname{SO}} 123 | \newcommand{\Or}{\operatorname{O}} 124 | \newcommand{\GSpin}{\operatorname{GSpin}} 125 | \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} 126 | \newcommand{\UU}{\operatorname{U}} 127 | \newcommand{\SU}{\operatorname{SU}} 128 | \newcommand{\PGL}{\operatorname{PGL}} 129 | \newcommand{\PSL}{\operatorname{PSL}} 130 | \newcommand{\SL}{\operatorname{SL}} 131 | \newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} 132 | \newcommand{\GSp}{\operatorname{GSp}} 133 | \newcommand{\PSp}{\operatorname{PSp}} 134 | \newcommand{\gl}{\ensuremath{\mathfrak{gl}}} 135 | \newcommand{\sli}{\ensuremath{\mathfrak{sl}}} 136 | \newcommand{\so}{\ensuremath{\mathfrak{so}}} 137 | \newcommand{\spin}{\ensuremath{\mathfrak{spin}}} 138 | \newcommand{\syp}{\ensuremath{\mathfrak{sp}}} 139 | \newcommand{\Ind}{\operatorname{Ind}} 140 | -------------------------------------------------------------------------------- /prelude.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % LaTeX source for book ``代数学方法'' in Chinese 2 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 3 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 4 | % document under the terms of the Creative Commons 5 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 6 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 7 | 8 | % To be included 9 | \chapter*{导言} % 文档类会自动将之加入目录并设置天眉 10 | 11 | \section*{概观} 12 | 代数一词源自公元 9 世纪波斯学者 al-Khwārizmī 的著作. 李善兰和 A.\ Wylie 在 1859 年合译 A.\ De Morgan 的 \textit{Elements of Algebra} 时解释为``补足相消''之术, 亦即解方程式的技艺, 相当于现今的中学数学. 自 20 世纪以降, 代数学的范围扩及更一般的数学对象及其运算, 这一转型始自 E.\ Noether 等人的一系列工作, 而初定于 B.\ L.\ van der Waerden 的巨著《代数学》\cite{vdW1, vdW2}. 在此意义下, 代数学的初步对象可粗分为群, 环，模, 域. 若用 Bourbaki 学派的语汇来说, 不妨将数学理解为各种结构的错综变化, 代数结构是带有某种运算的集合, 譬如有理数对四则运算构成有理数域 $\Q$. 概括地说, 代数学就是关于代数结构的研究. 13 | 14 | 从集合论的必要回顾出发, 以范畴论视角贯串群, 环，模, 域和种种衍生概念, 这就组成了本书副标题里的``基础架构''. 15 | 16 | 按现行教学体系而论, 代数课程上接于数学分析与高等代数或曰线性代数. 举笔者曾执教的中国科学院大学为例, 学生在微积分课程中接触了集合和点集拓扑学的词汇, 线性代数课程则授以向量空间和多项式的基本理论, 同时给予群, 环, 域的初步实例. 有了这些基础就容易学习更一般的代数结构, 而以有限扩张的 Galois 理论作为总验收. 各院校安排不同, 但代数素养的重要是一切数学工作者的共识. 这不单是为了陶冶美感, 还因为凡是代数结构出现之处, 就有代数学方法施展的空间, 只消列出相关的学科名称, 如代数数论, 代数几何, 代数拓扑, 代数组合乃至于代数统计等等, 便可以粗知这门本领的用处. 此外, 代数方法在物理, 化学, 计算机科学等方面的应用也同样是广为人知的. 17 | 18 | 本书主题有时也称为``近世代数''或``抽象代数''. 所谓近世, 总是相对于当时当世而论, 早在 1955 年 van der Waerden 发表《代数学》第四版时便已舍弃此词, 于今更无必要. 至于说抽象, 充其量是初学者的错觉, 作为课名或书名完全不得要领, 而且似乎有恫吓读者之嫌. 本书题为``代数学方法'', 一则是因为当代代数学范围过广, 本书仅择有趣有用者而述, 不求体系大而全. 第二也是最关键的一点, 则是因为数学的本质存在于交融互摄, 只为授课与学科分画方便才打包于一词. 所以本书绝不视代数为疆界分明的学科; 与分析, 拓扑学等脱钩的纯代数即便存在, 也仅是千万种研究方向之一. 《庄子·应帝王》中有混沌凿七窍的故事, 强凿疆界同样令数学趋于停滞消亡. 19 | 20 | 许多本科代数教材的内容大致以 1950---60 年代为分限. 绝不是说代数的内涵与方法就此定型; 恰恰相反, 此后数学经历了空前的发展, 包括对经典题材有了更新更透彻的理解. 若就本书范围而论, 当属范畴论的兴起最为突出. 这是拜拓扑学之赐, 在数学中建立起的一套关系哲学, 其中真正重要的并非一个数学结构``是什么'' (比方说, 它作为集合有哪些成员), 而是结构之间的联系, 或者说是结构的功能与角色. 笔者所愿强调的正是拓扑学, 尤其是同伦论的贡献, 代数学至今仍从中领受新鲜的工具和挑战; 这些根源不难凭拓扑直觉来把握, 倘若因虚构的学科藩篱而轻易放过, 对读者可是莫大损失. 21 | 22 | 当然, 真正伟大的理论可以超越时代, 光芒恒在. 如何以现代形式来撷取精华, 去其枝蔓而无损它们本有的辉煌? 这是笔者自期的目标. 一步到位显然是不切实际的, 是以本书对某些主题将以经典或者``半经典''的观点来料理. 23 | 24 | 这里还必须说明历史的顺序不同于概念的顺序. 一般说来, 新的概念在数学上能站稳脚跟很少是因为它们简明通透, 恰好相反: 它们得先在既有的, 最为艰深的问题上一试锋芒, 尽管新概念终将成为未来大厦的基石, 而旧日难题反倒会成为课后习题, 如此遂显得理论框架是第一义的, 应用却属于外来的, 派生的. 我们不得不承认这种重构是学习的必由之路, 也算是数学进步的一种标志. 但是读者也应当明白代数学中各种概念不只是筑起一座座坚实的大厦, 就其谱系观之又仿佛一张大网, 其中的节点相互支撑. 如反映在方法上, 这就要求学者具有处处不滞, 纵横兼顾的慧眼. 25 | 26 | 本书的初步准备工作可追溯到 2013 年左右. 在同各地学生的交流中, 笔者深感于广大学子的禀赋与热忱, 而另一方面, 学校师长所能够或愿意给予的又与此极不相称. 很遗憾, 互联网在这方面无补于资源的不均. 即便有明眼人推荐教材, 其内容又普遍过时, 一涉科研, 障碍立现. 基于这些考量, 本书在编排上设定了几点目标: 27 | \begin{itemize} 28 | \item 兼具自学, 参考书与教学资源的多重功能; 29 | \item 参照实际科研需求, 尤其是思想与符号的更新换代; 30 | \item 突出开放性, 强调代数学与其他问题的交融. 31 | \end{itemize} 32 | 有鉴于此, 这不是为某一门课或某所院校量身打造的教本, 章节与授课顺序和课时也没有必然的联系. 因此无论是教师或自学者都应该自主取舍. 33 | 34 | 尽管教材的结构总须按直线发展, 实际学习时种种主题势必有所交错重复, 犹如刀剑淬火, 这是吸收新知的自然规律. 但不同群体适合于不同的学习节奏, 如作为参考书更要另当别论, 本书的折衷方式是大略以逻辑顺序为锚, 必要的跳跃/回顾则倚靠交叉参照来实现. 对于已有一定代数基础的读者, 若能活用这些参照和书后索引, 各章大致是可以独立阅读的. 35 | 36 | 本书部分内容曾在中国科学院大学的本科生与研究生课程上讲授. 编撰过程中广泛参考了既有的教材, 包括但不限于 Bourbaki \cite{Bou-Alg1, Bou-Alg2}, Jacobson \cite{Ja85, Ja89}, Lang \cite{Lang02}, MacLane \cite{ML98}, van der Waerden \cite{vdW1,vdW2} 等等, 同时参酌了网络资源如 \href{http://mathoverflow.net}{MathOverflow} 和 \href{http://ncatlab.org}{nLab} 等; 中文教材如张禾瑞 \cite{ZHR} 和聂灵沼--丁石孙 \cite{DN00} 也提供了不少借鉴. 在此遥致敬意. 缘于见识和精力的限制, 各种错误或不足之处在所难免, 祈望方家不吝斧正. 37 | 38 | 编撰过程中承蒙师友及同学们的理解与襄助, 兹就记忆所及者敬列如次, 用申谢忱: 白宸聿, 冯琦, 黎景辉, 刘欣, 毛盛开, 明杨, 荣石, 单宁, 陶景麾, 王丹, 席南华, 熊锐, 张秉宇, 张浩, 周胜铉, 朱任杰, 邹昌寒 {\small(按汉语拼音排序)}. 此外, 高等教育出版社的赵天夫编辑提供了许多专业意见, 在此一并致谢.\nopagebreak 39 | 40 | \vspace{1em} 41 | \begin{flushright}\begin{minipage}{0.3 \textwidth} 42 | \begin{tabular}{c} 43 | {\kaishu 李文威} \\ 44 | 2018 年 3 月于保福寺桥南 45 | \end{tabular} 46 | \end{minipage}\end{flushright} 47 | \vspace{1em} 48 | 49 | \section*{背景知识} 50 | 本书不求建立一套自足的或者界限分明的体系, 何况按科研的普遍经验, 如一味要求万事具备才敢开疆拓土, 结果往往是一事无成, 代数相关领域尤其如此. 阅读过程中难免会遇上新的或未夯实的知识点, ``引而伸之, 触类而长之''兴许是更合适的态度. 即便如此, 在此仍有必要描绘一条模糊的底线. 保守估计, 本书期望读者对大学数学专业低年级课程有充分的掌握. 如果还修习过一学期的本科代数课程, 譬如 \cite{DN00} 的前半部或 \cite{ZHR}, 就应当能顺利理解本书大部分的内容, 但这不是必需的. 至于具体情形自然得具体分析, 既系于读者个人的学思经历, 也和胆识有关. 51 | 52 | 以下列出几类相关的背景知识, 按份量递降排列. 53 | \begin{description} 54 | \item[基本素养] 包括逻辑用语, 反证和递归等论法, 关于集合的常识和对符号的熟稔, 对数学结构的初步体会, 对抽象语言的感觉等等, 一言以蔽之曰``火候''. 其粗浅方面涵摄于高中或大学一年级课程的内容, 若论造微, 则是数学工作者一生的功课. 55 | \item[矩阵, 向量空间, 多项式] 这些内容在中国一般包含于大一的高等代数或线性代数课程, 如 \cite{Xi16, Xi18} 等, 初等部分则兼于高中. 读者应该对矩阵和向量空间有最初步的认知, 并了解矩阵和线性变换的关系; 若知悉置换 (对称群) 的操作则更佳. 虽然这些主题皆可划入代数学, 但无论就多数读者的背景或就论述的便利考虑, 都不必从头细说. 这些知识在本书中主要用于举例和节约论证, 其取舍不影响理论主干. 56 | \item[初等数论] 含整除性, 素因子分解, 辗转相除法等常识, 以及延伸到多项式的情形. 此外读者应该知悉, 或者至少愿意接受同余式的使用, 尤其是在模素数 $p$ 的情形. 最基本的结果如 Fermat 小定理等会偶尔出现, 当然, 用代数工具是极容易予以证明的. 57 | \item[分析学相关常识] 实数的构造, 点集拓扑学初步概念, Cauchy 列及完备性. 多数不脱大学低年级分析或几何类基础课范围. 这些语汇对于处理某些代数结构是方便的, 有时甚且是必需的. 58 | \end{description} 59 | 针对超过大一范围的背景, 例如较深的几何学知识, 文中将另外指出参考书籍. 这类知识主要用于举例, 对于高年级本科生应该是合理的. 如涉及本科或研究生低年级的基础知识, 则从较具代表性并且容易获取的本土教材择一. 60 | 61 | \section*{内容提要} 62 | 以下简介各章的内容. 63 | 64 | \begin{asparadesc} 65 | \item[第一章: 集合论] 读者对集合应有基本的了解. 本书以集合论居首, 一则是尊重体系的严整性, 二则是完整说明基数和 Zorn 引理的来龙去脉. 最后介绍的 Grothendieck 宇宙是应用范畴论时的必要安全措施. 大基数理论对一些高阶的范畴论构造实属必需, 我们希望在日后探讨同调代数时予以阐明. 66 | 67 | \item[第二章: 范畴论基础] 本章完整介绍范畴论的基础概念, 以范畴, 函子与自然变换为中心, 着重探讨极限与可表性. 为了说明这些观念是自然的, 我们将自数学各领域中博引例证. 68 | 69 | \item[第三章: 幺半范畴] 这是带有某种乘法操作的范畴. 幺半范畴在实践与理论两面占据要津, 因为它一方面是向量空间张量积的提纯, 同时又能用来定义范畴的``充实''化, 例如实用中常见的加性范畴. 70 | 71 | 前三章主要在观念或体系上占据首位, 实际阅读时不必循序. 建议初学者先迅速浏览, 并在后续章节中逐渐认识这些内容的必要性, 回头加以巩固. 毋须在初次阅读时就强求逐字逐句地理解: 这不是唯一的方法, 也不是最好的方法. 72 | 73 | \item[第四章: 群论] 对幺半群和群的基本理论予以较完整的说明, 包括自由群的构造, 也一并介绍群的完备化. 后者自然地引向 pro-有限群的概念, 这是一类可以用拓扑语汇来包装的群论结构, 它对于 $p$-进数, 赋值和无穷 Galois 理论的研讨是必需的. 74 | 75 | \item[第五章: 环论初步] 考虑到后续内容的需要, 此章也涉及完备化及对称多项式的初步理论. 之所以称为初步, 是为了区别于交换环论 (又称交换代数) 与非交换环的进阶研究, 这些将在后续著作予以探讨. 76 | 77 | \item[第六章: 模论] 此章触及模论的基本内容, 包括张量积. 向量空间和交换群则视作模的特例. 我们还会初步探讨复形, 正合列与同调群的观念. 系统性的研究则是同调代数的任务. 关于半单模, 不可分解模与合成列的内容可以算是后续著作的铺垫. 78 | 79 | \item[第七章: 代数初步] 这里所谓的``代数''是构筑在模上的一种乘法结构, 虽然易生混淆, 此词的使用早已积重难返, 本书只能概括承受. 本章还将针对代数引入整性的一般定义, 讨论分次代数, 并以张量代数及衍生之外代数和对称代数为根本实例, 这些也是线性代数中较为深入的题材, 有时又叫作多重线性代数. 称为初步同样是为了区别于代数的细部研究, 特别是非交换代数的表示理论, 那是另一个宏大主题. 80 | 81 | \item[第八章: 域扩张] 扩域的研究构成了域论的一大特色, 这根植于解方程式的需求. 本书不回避无穷代数扩张和超越扩张, 但对于更精细的结构理论如 $p$-基等则暂予略过. 82 | 83 | \item[第九章: Galois 理论] 有限扩域的 Galois 理论常被视为本科阶段代数学的终点, 这还是在课时充足的前提下; 如此就容易给人一种似是而非的印象, 仿佛 Galois 理论的要旨不外是解高次方程和尺规作图. 本章包括这些应用, 但置无穷 Galois 理论于核心位置, 因为在数论等应用中, 由可分闭包给出的绝对 Galois 群才是最根本的对象. 为了阐述这点, 使用 pro-有限群的语言便是难免的. 84 | 85 | \item[第十章: 域的赋值] 此章第一节是关于滤子与完备化的讨论, 无妨暂时略过. 其后介绍 Krull 赋值的一般概念, 取值容许在任意全序交换群上, 然后引入域上的赋值与绝对值. 这些主题既可以看作代数的支脉, 也可以看作非 Archimedes 分析学的入门. 相关思路现已汇入了数论, 几何与动力系统的研究. 最后介绍的 Witt 向量则在算术几何的新近发展中承担了吃重的角色. 86 | \end{asparadesc} 87 | 88 | 对于抽象程度较高的部分, 正文将穿插若干和理论主线无关, 然而饶富兴味或者曾发挥重要历史功用的结果, 例子包括 Möbius 反演 (\S\ref{sec:Mobius}), Frobenius 定理 \ref{prop:division-R-algebra}, Grassmann 簇的 Plücker 嵌入 (\S\ref{sec:Grassmannian}) 和 Ostrowski 定理 \ref{prop:abs-Q} 等等. 89 | 90 | 本书不区分基础内容与选学内容, 读者在订定阅读顺序时宜参酌各章开头的介绍和阅读提示. 91 | 92 | \section*{凡例} 93 | 章节在参照时以符号 \S 为前缀. 各章始于简介和阅读提示, 习题则附于结尾, 多有提示. 定理的证明原则上不归入习题, 少数例外是一些自明的, 可以依样画葫芦的, 或者是甚繁而不难的论证. 94 | 95 | 证明的结尾以 $\openbox$ 标记. 96 | 97 | 人名以拉丁字母转写为主, 惟中日韩越人名则尽量使用汉字. 索引一律按字母或汉语拼音排序, 附带中英对照. 数学术语全部中译, 原则上不再标注原文以免扰乱阅读; 必要时读者可以查阅索引. 译文参照 \cite{ZG}, 少数明显不妥的翻译另改. 98 | 99 | 数学离不开符号, 代数学尤其如此. 本书采取的符号体系折衷于三条原则: 科研实践中的惯例, 系统性, 以及自明性. 兹简述一般性的符号如下, 以备查阅. 100 | 101 | \begin{itemize} 102 | \item \emph{逻辑}: 本书谈逻辑的机会不多, 借用其符号的场合倒不少. 我们将以 $\forall \ldots$ 表达量词``对所有......'', 以 $\exists \ldots$ 表达``存在......'' 并以 $\exists! \ldots$ 表达``存在唯一的......'' 103 | 104 | 我们以 $P \wedge Q$ 表示``$P$ 而且 $Q$'', 以 $P \vee Q$ 表示 ``$P$ 或者 $Q$''. 命题间的蕴涵关系以 $\implies$ 表达, 因此 $P \iff Q$ 意谓 $P$ 等价于 $Q$. 105 | 106 | \item \emph{定义}: 表达式 $\mathcal{A} := \mathcal{B}$ 意指 $\mathcal{A}$ 被定义为 $\mathcal{B}$. 如果一个表达式或一系列操作无歧义地确定了一个数学对象, 与一切辅助资料的选取无关, 则称该对象为``良好定义''或``确切定义''的, 简称良定. \index{liangding@良定 (well-defined)} 107 | 108 | \item \emph{集合}: 我们以 $\cap$ 表交, $\cup$ 表并, $\times$ 表积; 差集记为 $A \smallsetminus B := \{a: a \in A \; \wedge a \notin B \}$. 集合的包含关系记作 $\subset$, 真包含记作 $\subsetneq$. 一族以 $i \in I$ 为下标的集合表作 $\{E_i : i \in I\}$ 或 $\{E_i \}_{i \in I}$ 之形, 其并写作 $\bigcup_{i \in I} E_i$, 交写作 $\bigcap_{i \in I} E_i$, 积则写作 $\prod_{i \in I} E_i$. 集合的无交并以符号 $\sqcup$ 表示. 空集记为 $\emptyset$. 集合 $E$ 的元素个数或谓基数记为 $|E|$; 基数为 $1$ 的集合称为独点集. 设 $\sim$ 为集合 $E$ 上的等价关系, 则相应的商集记为 $E/\sim$, 它由所有 $E$ 中的等价类构成; 我们称等价类中的任一元素为该类的一个代表元. 109 | 110 | \item \emph{映射}: 以 $f: A \to B$ 表示从 $A$ 到 $B$ 的映射 $f$, 以 $a \mapsto b$ 表示元素 $a$ 被映为 $b$, 或一并写作 111 | \begin{align*} 112 | f: A & \longrightarrow B \\ 113 | a & \longmapsto b. 114 | \end{align*} 115 | 我们以 $\hookrightarrow$ 表示该映射是单射, 以 $\twoheadrightarrow$ 表示满射. 在讨论一般的代数结构乃至于范畴时, 这些符号也用于表达单同态和满同态等概念, 至关紧要的同构则以 $\simeq$ 或带方向的 $\rightiso$ 表达, 确切意涵可从上下文推寻. 我们也常以 $\xleftrightarrow{1:1}$ 表示集合间的一一对应, 亦即双射. 映射 $f: B \to C$ 和 $g: A \to B$ 的合成写作 $f \circ g = fg: x \mapsto f(g(x))$. 必要时以 $f(\cdot)$ 或 $f(-)$ 的写法强调函数之变量 . 116 | 117 | 对于映射 $f: A \to B$ 和子集 $B_0 \subset B$, 称 $f^{-1}(B_0) := \{a \in A: f(a) \in B_0 \}$ 为 $B_0$ 在 $f$ 下的原像或逆像. 对任意 $b \in B$, 记 $f^{-1}(b) := f^{-1}\left(\{b\} \right)$, 称为 $f$ 在 $b$ 上的纤维. 记 $f$ 的像为 $f(A)$ 或 $\Image(f)$. 对于子集 $A_0 \subset A$, 记 $f$ 在 $A_0$ 上的限制为 $f|_{A_0}: A_0 \to B$. 118 | 119 | 集合 $E$ 到自身的恒等映射记为 $\identity_E$, 不致混淆时也记为 $\identity$. 120 | 121 | \item \emph{数系}: 记 122 | \[\begin{tikzcd}[row sep=tiny, column sep=small] 123 | \Z \arrow[phantom, r, "\subset" description] & \Q \arrow[phantom, r, "\subset" description] & \R \arrow[phantom, r, "\subset" description] & \CC \\ 124 | \text{整数} & \text{有理数} & \text{实数} & \text{复数} 125 | \end{tikzcd}\] 126 | 正整数集和非负整数集分别以自明的符号表为 $\Z_{\geq 1}$ 和 $\Z_{\geq 0}$, 类推可定义 $\R_{>0}$ 等等. 我们偶尔也会提到 Hamilton 的四元数, 它们构成集合 $\mathbb{H}$, 其定义会适时说明. 谈及角度时一律采取弧度制. 127 | 128 | 对于实数, 我们以 $\gg$ 表示``充分大于'', 譬如 $x \gg 0$ 表示正数 $x$ 充分大, 而 $0 < x \ll 1$ 表示正数 $x$ 充分接近 $0$. 129 | 130 | \item \emph{范畴}: 本书一般以无衬线字体如 $\cate{Set}$, $\cate{Grp}$, $R\dcate{Mod}$ 等标识范畴; 我们将在 \S\ref{sec:category} 解释范畴的定义. 131 | 132 | \item \emph{整数论}: 设 $a,b,n \in \Z$. 符号 $a \mid b$ 意谓 $a$ 整除 $b$, 而 $a \equiv b \pmod n$ 相当于说 $n \mid a-b$, 或者说 $a$ 和 $b$ 对 $\bmod\; n$ 同余 (又读作``模 $n$ 同余''). 给定 $n$, 同余给出整数集上的一个等价关系, 有时也以 $a \bmod n$ 表示 $a$ 的同余类; 整数的加减乘法可以良定到 $\bmod\; n$ 的同余类上. 二项式系数记作 133 | \[ \binom{x}{k} := \frac{x(x-1) \cdots (x-k+1)}{k!}, \quad \binom{x}{0} := 1. \] 134 | 135 | \item \emph{矩阵}: 循国内多数教材的惯例, 本书取横行竖列, 将 $n \times m$ 矩阵写作 136 | \[ A = (a_{ij})_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq m}} = \begin{tikzpicture}[baseline] 137 | \matrix (M) [matrix of math nodes, left delimiter=(, right delimiter=)] { 138 | & \vdots & \\ 139 | \cdots & a_{ij} & \cdots \\ 140 | & \vdots & \\ 141 | }; 142 | \node[right=2.5em] at (M-2-3) {\scriptsize 第 $i$ 行}; 143 | \node[below=1em] at (M-3-2) {\scriptsize 第 $j$ 列}; 144 | \end{tikzpicture}\] 145 | 的形式, 其行列式记为 $\det A$. 矩阵乘法 $AB=C$ 按 $\sum_j a_{ij} b_{jk} = c_{ik}$ 确定. 矩阵 $A$ 的转置记为 ${}^t A$. 记 $n \times n$ 单位矩阵为 $1_{n \times n}$ 或 $1$. 146 | \end{itemize} 147 | 148 | \section*{常用代数结构} 149 | 由于本书侧重于概念间的交互联系, 在不影响理论主干的前提下, 小范围的交叉参照或谓``偷跑''势不可免, 尤其是在前几章. 读者能获益多少取决于已有的知识. 以下表列若干基础代数结构, 既便于查阅, 也有助于快速地领略或回忆代数学的初步概念. 150 | 151 | 以下以 $\GL_n(\R)$ 表 $n \times n$-可逆实矩阵集, 以 $M_n(\R)$ 表 $n \times n$-实矩阵集, 以 $\Z/p\Z$ 表示模素数 $p$ 的剩余系. 152 | \begin{center}\scriptsize\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline 153 | \emph{结构} & \emph{运算} & \emph{性质} & \emph{同态 $\phi$ 的性质} & \emph{初步例子} \\ \hline 154 | 集合 $X$ & 无 & 无 & 映射 $X \xrightarrow{\phi} Y$ & $\{1,2,3, \ldots\}$ \\ \hline 155 | 幺半群 $M$ & \makecell[l]{乘法 $(x,y) \mapsto xy$ \\ 幺元 $1 \in M$} & \makecell[l]{结合律 $x(yz)=(xy)z$ \\ 幺元性质 $1x = x = x1$} & \makecell[l]{映射 $M_1 \xrightarrow{\phi} M_2$ \\ $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ \\ $\phi(1)=1$} & $(\Z_{\geq 0}, +)$ \\ \hline 156 | 群 $G$ & 同上 & \makecell[l]{承上, 且 $\forall x$ 有逆元: \\ $xx^{-1} = 1 = x^{-1} x$} & 同上 & \makecell[l]{$(\Z, +)$ \\ $(\GL_n(\R), \cdot)$ } \\ \hline 157 | 环 $R$ & \makecell[l]{对加法成交换群 \\ 加法幺元 $= 0$ \\ 对乘法成幺半群 \\ 乘法幺元 $= 1$ } & \makecell[l]{分配律: \\ $r(s+s') = rs+rs'$ \\ $(s+s')r = sr + s'r$ \\ } & 对加, 乘皆为同态 & \makecell[l]{$(\Z, +, \cdot)$ \\ 实多项式环 \\ ($M_n(\R)$, $+$, $\cdot$)} \\ \hline 158 | 域 $F$ & 同上 & \makecell[l]{承上且 $\forall x \neq 0$ 有乘法逆元: \\ $xx^{-1}=1=x^{-1}x$ \\ 乘法交换 $xy=yx$} & 同上 & \makecell[l]{$\Q, \R, \CC$ \\ $\Z/p\Z$} \\ \hline 159 | 左 $R$-模 $M$ & \makecell[l]{对加法成交换群 \\ 纯量乘 $R \times M \to M$} & \makecell[l]{$r(m + m') = rm + rm'$ \\ $(r+r')m = rm + r'm$ \\ $r(r'm) = (rr')m$ \\ 幺元性质 $1 m = m$ } & \makecell[l]{对加法为同态 \\ $\phi(rm) = r\phi(m)$ } & 域上向量空间 \\ \hline 160 | \end{tabular}\end{center} 161 | 162 | 有些文献未要求环的乘法幺元存在. 对于上表的每一种结构, 标为同态的映射都具有以下性质 163 | \begin{compactitem} 164 | \item 恒等映射 $\identity_X$ 是从 $X$ 到自身的同态 (称为自同态), 165 | \item 同态的合成仍为同态, 166 | \item 同态的合成满足结合律 $f \circ (g \circ h)=(f \circ g) \circ h$. 167 | \end{compactitem} 168 | 如果结构之间的一对同态 $\begin{tikzcd} X \arrow[yshift=0.5ex, r, "f"] & Y \arrow[yshift=-0.5ex, l, "g"]\end{tikzcd}$ 满足 $f \circ g = \identity_Y$, $g \circ f = \identity_X$, 就称它们互逆, 此时 $f$ 和 $g$ 是相互唯一确定的, 记为 $g = f^{-1}$, $f = g^{-1}$ . 可逆的同态称为同构. 铭记代数学的一条基本原则: 同构联系了本质上相同的代数结构. 169 | 170 | 暂时不管集合论的细节, 则上述性质表明: 对于表列的每种结构, 其全体成员 (``对象'') 及其间的同态 (``态射'') 构成\emph{范畴}的初步实例. 群, 交换群和左 $R$-模的范畴一般记为 $\cate{Grp}$, $\cate{Ab}$ 和 $R\dcate{Mod}$, 依此类推; 对于这些范畴中的对象 $X$, $Y$, 其间的全体同态构成了集合 $\Hom_{\cate{Grp}}(X,Y)$, $\Hom_{\cate{Ab}}(X,Y)$ 等等, 时常简记为 $\Hom(X, Y)$. 从 $X$ 映到自身的同态称为自同态, 它们对态射合成构成一个幺半群, 记为 $\End(X)$; 可逆的自同态称为自同构, 所成的群记为 $\Aut(X)$. 171 | 172 | 表列诸结构的运算都搭建在集合上, 对之可以证明同构恰好是兼为双射的同态; 但要留意到: 173 | \begin{compactitem} 174 | \item 范畴未必由搭建在集合上的结构组成; 175 | \item 对于其他建基在集合上的范畴, 双射同态也未必可逆: 标准的反例是范畴 $\cate{Top}$ (对象 = Hausdorff 拓扑空间, 态射 = 连续映射), 其中的同构是拓扑空间的同胚, 然而连续的双射未必是同胚. 176 | \end{compactitem} 177 | 178 | 在研究结构之间的同态时, 我们经常会运用交换图表的语言: 这意谓以箭头描述同态, 而交换性意谓图表中箭头的合成是殊途同归的, 基本例子: 179 | \[\begin{tikzcd} 180 | A \arrow[r, "f"] \arrow[d, "h"'] & B \arrow[ld, "g"] \\ 181 | C & 182 | \end{tikzcd} \; \text{交换} \iff g \circ f = h. \] 183 | 184 | 当然我们还会考虑更复杂的图表, 譬如 185 | \[\begin{tikzcd}[scale=0.6] 186 | A \arrow[r] \arrow[rd] & B \arrow[r] \arrow[d] & C \arrow[d] \\ 187 | & D \arrow[r] & E 188 | \end{tikzcd}\] 189 | 等等, 交换性的意蕴可以类推. 图表的交换性能够分块验证; 譬如上图的交换性便可化约到子图表 \begin{tikzcd} \bullet \arrow[r] \arrow[rd] & \bullet \arrow[d] \\ & \bullet \end{tikzcd} 和 \begin{tikzcd} \bullet \arrow[r] \arrow[d] & \bullet \arrow[d] \\ \bullet \arrow[r] & \bullet \end{tikzcd} 上检验. 这套工序对于更复杂的图表 (例如``三维''情形) 是很有用的. 190 | 191 | 由于交换图表只涉及箭头的合成, 在一般的范畴中也同样适用. 192 | -------------------------------------------------------------------------------- /titles-setup.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % Copyright 2018 李文威 (Wen-Wei Li). 2 | % Permission is granted to copy, distribute and/or modify this 3 | % document under the terms of the Creative Commons 4 | % Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) 5 | % http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ 6 | 7 | % 目的: 设置章节标题格式及目录的显示方式. 8 | % 由 AJbook.cls 引入 9 | \ProvidesFile{titles-setup.tex}[2018/03/04] 10 | 11 | \RequirePackage[calcwidth, nobottomtitles, explicit, newparttoc, indentafter]{titlesec} % 标题格式: explicit 选项导致须在 titleformat 的 before-code 中加 #1. 选项 newparttoc 用来将各部分加入目录. indentafter: 首行一律缩进 12 | \RequirePackage{titletoc} % 目录格式 13 | 14 | % 目录部分: 章名除附录外仍用中文标号, 黑体显示. 以参数是否为大写拉丁字母来判定是否在附录 (烂招) 15 | \if@AJ@traditional 16 | \providecommand{\AJchapterttl}[1]{\IfSubStr{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}{#1}{附錄 #1 }{第\zhnumber{#1}章}} 17 | \else 18 | \providecommand{\AJchapterttl}[1]{\IfSubStr{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}{#1}{附录 #1 }{第\zhnumber{#1}章}} 19 | \fi 20 | 21 | \newlength{\BoxTtlwidth} % 用来计算各种盒子所需宽度 22 | 23 | % 各章标题排版: \MakeChapBox{编号}{标题}, 除附录外, 各章用中文数字显示. 以参数是否为大写拉丁字母来判定是否在附录 (烂招) 24 | \newcommand{\MakeChapBox}[2]{% 25 | \settowidth{\BoxTtlwidth}{\AJchapterttl{#1}} % 计算宽度 26 | \begin{tcolorbox}[ % 设置 tcolorbox 27 | enhanced jigsaw, 28 | skin = bicolor, 29 | frame engine = path, 30 | sharp corners = all, 31 | width = 0.9\textwidth, 32 | top = 4mm, bottom = 4mm, 33 | sidebyside, 34 | frame hidden, 35 | boxrule = 0mm, 36 | lefthand width = \BoxTtlwidth, 37 | colupper = white, 38 | colback = gray!80, 39 | colbacklower = gray!10, 40 | sidebyside align=center, 41 | halign=center] 42 | \AJchapterttl{#1} 43 | \tcblower 44 | #2 45 | \end{tcolorbox}% 46 | } 47 | 48 | % 无编号标题排版: \MakeChapBox{标题} 49 | \newcommand{\MakeChapBoxSingle}[1]{% 50 | \begin{tcolorbox}[ 51 | enhanced, 52 | width = 0.7\textwidth, 53 | sharp corners = all, 54 | top = 4mm, bottom = 4mm, 55 | frame hidden, 56 | boxrule = 0mm, 57 | colback = gray!10, 58 | halign=center] 59 | #1 60 | \end{tcolorbox} 61 | } 62 | 63 | % 各节标题排版: \MakeSectBox{文字}, 问题: 不允许断行 64 | \newtcbox{\MakeSectBox}{ 65 | enhanced, 66 | arc = 0pt, outer arc = 0pt, 67 | before skip = 0pt, after skip = 0.4em, left skip = 0pt, right skip = 0pt, 68 | top = 0pt, left = 0pt, right = 0pt, bottom = 1.5mm, 69 | sharp corners = all, 70 | valign=bottom, 71 | colback = white, 72 | colframe = white, 73 | boxsep = 0pt, leftrule = 0pt, rightrule=0pt, toprule=0pt, bottomrule = 0pt, 74 | overlay = { \draw[line width=1pt] (interior.south west) -- (interior.south east); } 75 | } 76 | 77 | % 用 titlesec 设置各章标题 78 | \titleformat{name=\chapter} 79 | {\filright\sffamily\CJKfamily{hei2}\bfseries\Huge} % Format 80 | {} % Label 81 | {0mm} % Sep 82 | {\MakeChapBox{\thechapter}{#1}} % Before-code 83 | [] % After-code 84 | \titlespacing*{name=\chapter} % 设置间隔 85 | {1pc}{*4}{1em} % {left}{before-sep}{after-sep} 86 | 87 | \titleformat{name=\chapter, numberless} 88 | {\filcenter\sffamily\CJKfamily{hei2}\bfseries\Huge} % Format 89 | {} % Label 90 | {0mm} % Sep 91 | {\MakeChapBoxSingle{#1}} % Before-code 92 | [{\if@mainmatter 93 | \addcontentsline{toc}{chapter}{#1} 94 | \markboth{#1}{} 95 | \fi}] % After-code: 无号章如果出现在正文中, 就加入目录并相应地设置天眉. 96 | \titlespacing*{name=\chapter, numberless} % 设置间隔 97 | {1pc}{*4}{1em} % {left}{before-sep}{after-sep} 98 | 99 | \titleformat{name=\section} % 各节标题 100 | {\filleft\normalfont\sffamily\bfseries\CJKfamily{sectionfont}} 101 | {} 102 | {0mm} 103 | { \settowidth{\BoxTtlwidth}{\Huge \thesection \hspace{0.7em} \Large #1} % 首先计算宽度 104 | \ifdim \BoxTtlwidth < \textwidth % 一般情形下调用 \MakeSectBox 105 | \MakeSectBox{\Huge \thesection \hspace{0.7em} \Large #1}\vskip-18pt% 106 | \else % 万一标题过长则不用 \MakeSectBox (烂招) 107 | \Huge \underline{\thesection} \hspace{0.7em} \Large #1% 108 | \fi % 109 | } 110 | [] 111 | 112 | \titleformat{name=\section, numberless} % 各节标题: 无编号情形 113 | {\filleft\normalfont\sffamily\bfseries\CJKfamily{sectionfont}} 114 | {} 115 | {0mm} 116 | { \settowidth{\BoxTtlwidth}{\Large #1} % 首先计算宽度 117 | \ifdim \BoxTtlwidth < \textwidth % 一般情形下调用 \MakeSectBox 118 | \MakeSectBox{\Large #1}\vskip-18pt% 119 | \else % 万一标题过长则不用 \MakeSectBox (烂招) 120 | \Large #1 % 121 | \fi % 122 | } 123 | [] 124 | 125 | \titlespacing*{name=\section} % 设置间隔 126 | {1pc}{*1.3}{*1} % {left}{before-sep}{after-sep} 127 | 128 | \titleformat{name=\subsection} % 各子节标题, 采取 runin 形式较美观 129 | [runin] 130 | {\filleft\normalfont\sffamily\bfseries\CJKfamily{sectionfont}} 131 | {\Large\thesubsection} % Label 132 | {3mm} % Sep 133 | {#1} % Before-code 134 | [] % After-code 135 | 136 | \titleformat{name=\subsection, numberless} 137 | [runin] 138 | {\filleft\normalfont\sffamily\bfseries\CJKfamily{sectionfont}} 139 | {} % Label 140 | {0mm} % Sep 141 | {#1} % Before-code 142 | [] % After-code 143 | \titlespacing*{name=\subsection} % 设置间隔 144 | {0pt}{*1}{1em} % {left}{before-sep}{after-sep} 145 | 146 | \titleformat{name=\subsubsection} % 次子节标题, 采取 runin 形式较美观 147 | [runin] 148 | {\filleft\normalfont\sffamily\bfseries\CJKfamily{sectionfont}} 149 | {\thesubsubsection} % Label 150 | {3mm} % Sep 151 | {#1} % Before-code 152 | [] % After-code 153 | 154 | \titleformat{name=\subsubsection, numberless} 155 | [runin] 156 | {\filleft\normalfont\sffamily\bfseries\CJKfamily{sectionfont}} 157 | {} % Label 158 | {0mm} % Sep 159 | {#1} % Before-code 160 | [] % After-code 161 | 162 | \titlespacing*{name=\subsubsection} % 设置间隔 163 | {0pt}{*1}{1em} % {left}{before-sep}{after-sep} 164 | 165 | % 部分编号汉化 166 | \renewcommand{\thepart}{\zhnum{part}} 167 | \titleformat{name=\part}[display] % 各部分标题 168 | {\filcenter\sffamily\bfseries\CJKfamily{song}\Huge} % Format 169 | {第{\thepart}部分} % Label 170 | {1.5em} % Sep 171 | {#1} % Before-code 172 | [] % After-code 173 | 174 | \titlecontents{chapter} 175 | [0pt] 176 | {\addvspace{1pc}\heiti} 177 | {\contentsmargin{0pt}\large\AJchapterttl{\thecontentslabel} \quad} 178 | {\contentsmargin{0pt}\large} 179 | {\titlerule*[.7pc]{.}\contentspage} 180 | 181 | \titlecontents{section} 182 | [1.5em] 183 | {} 184 | {\thecontentslabel\quad} 185 | {\thecontentslabel} 186 | {\titlerule*[.7pc]{.}\contentspage} 187 | 188 | \titlecontents{subsection} 189 | [3.9em] 190 | {\small} 191 | {\thecontentslabel\quad} 192 | {\ (\thecontentspage)} 193 | {\titlerule*[.7pc]{.}\contentspage} 194 | 195 | \titlecontents{part} 196 | [0cm] 197 | {\addvspace{1pc}\songti} 198 | {\contentsmargin{0pt}\large{第{\thecontentslabel}部分}\quad} 199 | {\large} 200 | {\titlerule*[.7pc]{.}\contentspage} 201 | --------------------------------------------------------------------------------