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Parc2-2C2021.pdf ├── practicas ├── .DS_Store ├── enunciados │ ├── .DS_Store │ ├── Guia1.pdf │ ├── Guia2.pdf │ ├── Guia3.pdf │ ├── Guia4.pdf │ ├── Guia5.pdf │ ├── Guia6.pdf │ └── Guia7.pdf └── soluciones │ ├── logo_dc.jpg │ ├── logo_uba.jpg │ ├── Práctica 1.pdf │ ├── Práctica 2.pdf │ ├── Práctica 3.pdf │ ├── Práctica 4.pdf │ ├── Práctica 5.pdf │ ├── Práctica 6.pdf │ ├── Práctica 7.pdf │ ├── images │ ├── 1.10.png │ ├── 1.11.png │ ├── 1.20.png │ ├── 1.24.png │ ├── 1.25.png │ ├── 1.13.1.png │ ├── 1.13.3.png │ ├── 1.13.4.png │ ├── 1.14.1.png │ ├── 1.14.2.png │ ├── 1.14.3.png │ ├── 1.14.4.png │ ├── 1.17.1.png │ ├── 1.17.3.png │ ├── 1.17.4.png │ ├── 1.6.1.png │ ├── 1.6.2.png │ ├── 1.6.3.png │ ├── 4.11.1.png │ ├── 4.11.2.png │ ├── 4.11.3.png │ ├── 4.11.4.png │ ├── 6.2.1.png │ ├── 6.2.2.png │ ├── 6.2.3.png │ ├── 6.5.1.png │ ├── 6.5.2.png │ ├── 6.5.3.png │ └── 6.5.4.png │ ├── macrosAlgebra.tex │ ├── caratula.sty │ ├── Práctica 3.tex │ ├── Práctica 1.tex │ └── Práctica 6.tex └── README.md 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\usepackage{ifthen} 3 | \usepackage{amssymb} 4 | \usepackage{multicol} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage[absolute]{textpos} 7 | \usepackage{amsmath, amscd, amssymb, amsthm, latexsym} 8 | \usepackage{xspace,rotating,dsfont,ifthen} 9 | \usepackage[spanish,activeacute]{babel} 10 | \usepackage[utf8]{inputenc} 11 | \usepackage{pgfpages} 12 | \usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,xspace,dsfont} 13 | \usepackage{listings} 14 | \usepackage{multicol} 15 | \usepackage{todonotes} 16 | \usepackage{url} 17 | \usepackage{float} 18 | \usepackage{framed,mdframed} 19 | \usepackage{cancel} 20 | 21 | \usepackage[strict]{changepage} 22 | 23 | 24 | \makeatletter 25 | 26 | 27 | \newcommand\hfrac[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} %\hfrac{}{} es un \frac sin la linea del medio 28 | 29 | \newcommand\Wider[2][3em]{% \Wider[3em]{} reduce los m\'argenes 30 | \makebox[\linewidth][c]{% 31 | \begin{minipage}{\dimexpr\textwidth+#1\relax} 32 | \raggedright#2 33 | \end{minipage}% 34 | }% 35 | } 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\newcommand\hfrac[2]{\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}} %\hfrac{}{} es un \frac sin la linea del medio 28 | 29 | \newcommand\Wider[2][3em]{% \Wider[3em]{} reduce los m\'argenes 30 | \makebox[\linewidth][c]{% 31 | \begin{minipage}{\dimexpr\textwidth+#1\relax} 32 | \raggedright#2 33 | \end{minipage}% 34 | }% 35 | } 36 | 37 | 38 | \@ifclassloaded{beamer}{% 39 | \newcommand{\tocarEspacios}{% 40 | \addtolength{\leftskip}{4em}% 41 | \addtolength{\parindent}{-3em}% 42 | }% 43 | } 44 | {% 45 | \usepackage[top=1cm,bottom=2cm,left=1cm,right=1cm]{geometry}% 46 | \usepackage{color}% 47 | \newcommand{\tocarEspacios}{% 48 | \addtolength{\leftskip}{3em}% 49 | \setlength{\parindent}{0em}% 50 | }% 51 | } 52 | -------------------------------------------------------------------------------- /README.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # Álgebra I 2 | 3 | 2do cuatrimestre 2021 \ 4 | Lic. en ciencias de la computación \ 5 | Universidad de Buenos Aires 6 | 7 | ## Prácticas 8 | 9 | Si estas buscando un ejercicio en particular, primero revisa los [ejercicios faltantes](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/issues). 10 | 11 | | Nro | Enunciado | Solución | 12 | |-----|----------------------------------------------------------------------------------------------------|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------| 13 | | 1 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/enunciados/Guia1.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/soluciones/Pr%C3%A1ctica%201.pdf) | 14 | | 2 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/enunciados/Guia2.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/soluciones/Pr%C3%A1ctica%202.pdf) | 15 | | 3 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/enunciados/Guia3.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/soluciones/Pr%C3%A1ctica%203.pdf) | 16 | | 4 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/enunciados/Guia4.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/soluciones/Pr%C3%A1ctica%204.pdf) | 17 | | 5 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/enunciados/Guia5.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/soluciones/Pr%C3%A1ctica%205.pdf) | 18 | | 6 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/enunciados/Guia6.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/soluciones/Pr%C3%A1ctica%206.pdf) | 19 | | 7 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/enunciados/Guia7.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/practicas/soluciones/Pr%C3%A1ctica%207.pdf) | 20 | 21 | 22 | ## Parciales 23 | 24 | * [Parcial 16/10/2021](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/parciales/enunciados/Parc1-2C2021.pdf) 25 | * [Solución laTex](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/parciales/soluciones/primerParcial.pdf) 26 | * [Video ejercicio 1](https://youtu.be/lDnUY4kQjfM) 27 | * [Video ejercicio 2](https://youtu.be/UW067OdYJ9s) 28 | * [Video ejercicio 3](https://youtu.be/CWYxOHTu9Ls) 29 | * [Video ejercicio 4](https://youtu.be/Iz9AmBiD9MI) 30 | * [Parcial 30/11/2021](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/parciales/enunciados/Parc2-2C2021.pdf) 31 | * [Solución laTex](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/parciales/soluciones/segundoParcial.pdf) 32 | * [Video ejercicio 1](https://youtu.be/EE_pujbQHRk) 33 | * [Video ejercicio 2](https://youtu.be/Q8q_jvpKsQw) 34 | * [Video ejercicio 3](https://youtu.be/3T9_E0ssgUM) 35 | * [Video ejercicio 4](https://youtu.be/Z1DQkTT_HvM) 36 | 37 | ## Finales 38 | 39 | | Fecha | Enunciado | Solución | 40 | |------------|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------| 41 | | 14/05/2021 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/enunciados/20210514%20-%20enunciado.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/resoluciones/Final%2020210514.pdf) | 42 | | 11/06/2021 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/enunciados/20210611%20-%20enunciado.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/resoluciones/Final%2020210611.pdf) | 43 | | 20/07/2021 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/enunciados/20210720%20-%20enunciado.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/resoluciones/Final%2020210720.pdf) | 44 | | 28/07/2021 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/enunciados/20210728%20-%20enunciado.jpeg) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/resoluciones/Final%2020210728.pdf) | 45 | | 04/08/2021 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/enunciados/20210821%20-%20enunciado.jpeg) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/resoluciones/Final%2020210804.pdf) | 46 | | 21/10/2021 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/enunciados/20211021%20-%20enunciado.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/resoluciones/Final%2020211021.pdf) | 47 | | 10/12/2021 | [Enunciado](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/enunciados/20211210%20-%20enunciado.pdf) | [Solución](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/blob/main/finales/resoluciones/Final%2020211210.pdf) | 48 | 49 | ## Programa y bibliografía 50 | 51 | * [Programa álgebra I](https://cms.dm.uba.ar/academico/programas/algebraI) 52 | * [Fascículo 9 - Teresa Krick](https://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2021/Algebra%20I/depto/public/grado/fascgrado9.pdf) 53 | * [Página de la materia](https://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2021/Algebra%20I/) 54 | 55 | ## Contribución 56 | 57 | Si tenés alguna consulta, corrección o la solución de alguno de los ejercicios faltantes, podés abrir un [issue](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/issues) o directamente abrir un [pull request](https://github.com/yagopajarino/uba-algebraI/pulls). 58 | 59 | ## Contributors 60 | 61 | - [yagopajarino](https://github.com/yagopajarino/) 62 | - [f7olivera](https://github.com/f7olivera) 63 | - [luciasuter](https://github.com/luciasuter) 64 | - [E-Liq](https://github.com/E-Liq) 65 | - [faustomartinez](https://github.com/faustomartinez) 66 | - [Sturm0](https://github.com/Sturm0) 67 | 68 | -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/Final 20210728.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Final 28/07/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Final 28/07/2021} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | Demostración usando el principio de inducción 42 | 43 | Defino $ p(n): \begin{cases} 44 | a_n \in \mathbb{Z} \\ 45 | 5^n | a_n \\ 46 | 5^{n+1} \not | a_n \\ 47 | \end{cases} \forall n \in \mathbb{N}_0$ 48 | 49 | Luego $p(n)$ será verdadero si las tres condiciones son verdaderas. 50 | 51 | \textbf{Casos base n = 0; n = 1} 52 | 53 | $ p(0): \begin{cases} 54 | a_0 \in \mathbb{Z} \iff 1 \in \mathbb{Z} \\ 55 | 5^0 | a_0 \iff 1 | 1 \\ 56 | 5^{0+1} \not | a_0 \iff 5 \not | 1 \\ 57 | \end{cases} $ 58 | 59 | Luego $ p(0) $ es verdadero. 60 | 61 | $ p(1): \begin{cases} 62 | a_1 \in \mathbb{Z} \iff -5 \in \mathbb{Z} \\ 63 | 5^1 | a_1 \iff 5 | 5 \\ 64 | 5^{1+1} \not | a_1 \iff 25 \not | 5 \\ 65 | \end{cases} $ 66 | 67 | Luego $ p(1) $ es verdadero. 68 | 69 | \textbf{Paso inductivo} 70 | 71 | Dado $ h \geq 0 $ quiero probar que $ p(h) \wedge p(h+1) \implies p(h+2) $ 72 | 73 | HI: $ p(h): \begin{cases} 74 | a_h \in \mathbb{Z} \\ 75 | 5^h | a_h \\ 76 | 5^{h+1} \not | a_h \\ 77 | \end{cases} $ 78 | $ p(h+1): \begin{cases} 79 | a_{h+1} \in \mathbb{Z} \\ 80 | 5^{h+1} | a_{h+1} \\ 81 | 5^{h+2} \not | a_{h+1} \\ 82 | \end{cases} $ 83 | 84 | Luego busco probar que $ p(h+2) $ es verdadero $ \iff \begin{cases} 85 | a_{h+2} \in \mathbb{Z} \\ 86 | 5^{h+2} | a_{h+2} \\ 87 | 5^{h+3} \not | a_{h+2} \\ 88 | \end{cases} $ 89 | 90 | Pero, 91 | \begin{align*} 92 | a_{h+2} = \frac{a_{h+1}^3}{5} + 75a_h 93 | \end{align*} 94 | 95 | Y ahora pruebo cada condición en particular. 96 | \begin{align*} 97 | a_{h+2} \in \mathbb{Z} &\iff \frac{a_{h+1}^3}{5} + 75a_h \in \mathbb{Z} \\ 98 | &\iff \frac{a_{h+1}^3}{5} \in \mathbb{Z} \\ 99 | &\iff 5|a_{h+1}^3 \\ 100 | \end{align*} 101 | Pero por HI, 102 | \begin{align*} 103 | 5^{h+1} | a_{h+1} &\iff a_{h+1} = 5^{h+1} \cdot k \\ 104 | &\iff a_{h+1} = 5^h \cdot 5 \cdot k \\ 105 | &\iff a_{h+1} = (5^h \cdot k) \cdot 5 \\ 106 | &\iff 5|a_{h+1} \\ 107 | \end{align*} 108 | Y por propiedades de divisibilidad, $ 5|a \implies 5|\sigma a, \forall \sigma \in \mathbb{Z} $, en particular, $ 5 | a_{h+1}^3 $ como se quería probar. 109 | 110 | Luego $ a_{h+2} \in \mathbb{Z} $ 111 | 112 | Ahora quiero saber si $ 5^{h+2} | a_{h+2} $ 113 | 114 | Por definición $ a_{h+2} = \frac{a_{h+1}^3}{5} + 75a_h $ 115 | 116 | Luego quiero probar que $ 5^{h+2} | \frac{a_{h+1}^3}{5} + 75a_h $ 117 | 118 | Pero $ 75a_h = 25.3.a_h $ y se que $ 5^h | a_h $, luego 119 | \begin{align*} 120 | a_h &= 5^h.p_{1}^h...p_{m}^{r_{m}} \\ 121 | 7a_h &= 5^2.5^h.p_1^h...p_m^{r_m} \\ 122 | 7a_h &= 5^{h+2}.p_1^h...p_m^{r_m} \\ 123 | \implies& 5^{h+2}|75a_h \\ 124 | \end{align*} 125 | Entonces, necesito probar que $ 5^{h+2} | \frac{a_{h+1}^3}{5} $ 126 | 127 | Pero se que 128 | \begin{align*} 129 | 5^{h+1} | a_{h+1} &\iff a_{h+1} = 5^{h+1} . p_1^{r_1}...p_m^{r_m} \\ 130 | &\iff a_{h+1}^3 = 5^{3(h+1)} . p_1^{3r_1}...p_m^{3r_m} \\ 131 | &\iff \frac{a_{h+1}^3}{5} = 5^{3(h+1) - 1} . p_1^{3r_1}...p_m^{3r_m} \\ 132 | \end{align*} 133 | Luego $ 5^{h+2} | \frac{a_{h+1}^3}{5} \iff 3(h+1) - 1 \geq h+2 \iff 3h+3-1 \geq h+2 \iff 2h \geq 0 $ 134 | 135 | Que es verdadero, $ \forall h \geq 0 $ 136 | 137 | Luego $ 5^{h+2} | a_{h+2} $ como se quería probar. 138 | 139 | Por ultimo quiero ver que $ 5^{h+3} \not | a_{h+2} \iff 5^{h+3} \not | \frac{a_{h+1}^3}{5} + 75a_h $ 140 | 141 | Por inciso anterior, $ 5^{h+3} | \frac{a_{h+1}^3}{5} $ pero $ 5^{h+3} \not | 5^{h+2}.3.p_1^{r_1}...p_m^{r_m} $ 142 | 143 | Y como divide a uno de los sumandos pero no al otro, $ 5^{h+2} | a_{h+2} $ como se quería probar. 144 | 145 | Por lo tanto queda probado el paso inductivo y así $ p(n) $ es verdadero $ \forall n \in \mathbb{N}_0 $ 146 | 147 | \subsection{Ejercicio 3} 148 | 149 | Busco el polinomio $f$ de grado mínimo mónico tal que: 150 | \begin{itemize} 151 | \item (a) f tiene copmo raíz a alguna raíz sexta de la unidad 152 | \item (b) $ (f:f') = x^2(x^2 + 1) $ 153 | \item (c) $ x- \sqrt[]{3} | f $ en $ \mathbb{R}[x] $ 154 | \end{itemize} 155 | 156 | Por (a) se que f tiene raíz $ a / a^6 = 1 $, pero $ f \in \mathbb{Q}[x] \implies a \in \mathbb{Q} \iff a =\pm 1 $ 157 | 158 | Por (b) se que $ x^2 | f' \implies x^3 | f $ y $ x^2 + 1 | f' \iff (x^2 + 1)^2 | f $ 159 | 160 | Luego $ f = (x \pm 1)x^3(x^2+1)^2 $ 161 | 162 | Por (c) $ x- \sqrt[]{3} | f $ pero como $ f \in \mathbb{Q} \implies (x^2 - 3) |f $ 163 | 164 | Así, $ f = (x-1)x^3(x^2+1)^2(x^2-3) $ cumple lo pedido 165 | 166 | \subsection{Ejercicio 4} 167 | 168 | Por lema de Gauss, si $f$ tiene una raíz racional, $ \frac{c}{d} \implies c|p \wedge d | 1 $ 169 | 170 | Luego los posibles candidatos son $ \{ \pm 1, \pm p \} $ 171 | 172 | Evaluando obtengo que $ p = 17 $ es el único primo tal que $f$ admite una raíz racional positiva $a = 1$ 173 | 174 | Busco ahora la factorización de f. 175 | 176 | Se que $ (x-1) | f $ 177 | 178 | Usando Ruffini, $ f = (x-1)(x^3-x^2-17x+17) $ 179 | 180 | Defino $ g = x^3-x^2-17x+17 $ y a ojo veo que $ g(1) = 0 \implies (x-1) |g $ 181 | 182 | Usando Ruffini, $ g = (x-1)(x^2-17) $ 183 | 184 | Defino $ h = x^2-17 $ y busco sus raíces usando la resolvente cuadrática. 185 | 186 | Luego $ h = (x-\sqrt[]{17})(x+\sqrt[]{17}) $ 187 | 188 | Usando todo lo hallado armo las factorizaciones. 189 | 190 | \begin{itemize} 191 | \item $ f = (x-1)(x-1)(x-\sqrt[]{17})(x+\sqrt[]{17}) $ es la factorización en $ \mathbb{R}[x]; \mathbb{C}[x] $ 192 | \item $ f = (x-1)(x-1)(x^2-17) $ es la factorización en $ \mathbb{Q}[x] $ 193 | \end{itemize} 194 | 195 | \end{document} 196 | -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/Final 20210720.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Final 20/07/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Final 20/07/2021} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | Busco funciones $ f: A = \{ 1,2,3,4,...,10,11 \} \rightarrow B = \{ 1,2,3,..,24 \} $ que cumplan: 42 | \begin{itemize} 43 | \item (a) $f$ es inyectiva 44 | \item (b) $ 10 \leq f(2) \leq 20 $ 45 | \item (c) $ f(3) + f(4) = 13 $ 46 | \end{itemize} 47 | 48 | Pero por definición, $f$ es inyectiva $ \iff \forall (a,b) \in A: f(a) = f(b) \implies a = b $ 49 | 50 | Es decir, cada elemento de $ A $ solo puede estar asociado a 0 o 1 de $B$ 51 | 52 | Por (b) al elemento $ 2 $ solo le puedo asignar uno de $ \{ 10,11,...,20 \} $ 53 | 54 | Por (c), busco formas de sumar 13: $ 1+12; 2+11; 3+10; 4+9; 5+8; 6+7 $ y las permutaciones. Luego hay 12 formas de sumar 13. 55 | 56 | Luego separo en dos casos: el primero el caso en el que $ f(3) $ o $ f(4) \in \{ 10,11,...,20 \} $ y el segundo $ f(3) $ o $ f(4) \not \in \{ 10,11,...,20 \} $ 57 | 58 | \textbf{Caso 1} 59 | 60 | En este caso voy a tener $10$ posibilidades para asignarle a $2$ y $6$ para $ f(3); f(4) $ 61 | 62 | Quedarían $ 11-3 = 8 $ elementos a los que asignar $ 24-3 = 21 $ elementos. 63 | 64 | Luego habrá $ 10.6.\frac{21!}{8!} $ funciones 65 | 66 | \textbf{Caso 2} 67 | 68 | En este caso hay $11$ posibilidades para asignar al $2$ y $6$ posibilidades para $ f(3); f(4) $ 69 | 70 | Luego habrá $ 11.6.\frac{21!}{8!} $ funciones 71 | 72 | Por lo tanto en total habrá $ 10.6.\frac{21!}{8!} + 11.6.\frac{21!}{8!} = 21.6.\frac{21!}{8!} $ funciones. 73 | 74 | \subsection{Ejercicio 2} 75 | 76 | Busco $p$ primos tales que $ p^4 | 77^{p^2} + 91^{p-1} + 21! \cdot p \implies p | 77^{p^2} + 91^{p-1} + 21! \cdot p $ 77 | 78 | Se que $ p | 21! \cdot p \implies p | 77^{p^2} + 91^{p-1} $ y $ 77 = 11.7; 91 = 13.7 $ 79 | 80 | \textbf{Caso $ p = 7 $} 81 | 82 | $ 77^{p^2} + 91^{p-1} \equiv 0 (7) $ 83 | 84 | $ p = 7 $ es posible solución. 85 | 86 | \textbf{Caso $ p = 11 $} 87 | 88 | $ 77^{p^2} + 91^{p-1} \equiv 3^{10} \equiv 1(11) $ 89 | 90 | $ p = 11 $ NO es solución. 91 | 92 | \textbf{Caso $ p = 13 $} 93 | 94 | $ 77^{p^2} + 91^{p-1} \equiv (-1)^{13^2} \equiv -1 (13) $ 95 | 96 | $ p = 13 $ NO es solución. 97 | 98 | \textbf{Caso $ p \not \in \{ 7, 11, 13 \} $} 99 | \begin{align*} 100 | 77^{p^2} + 91^{p-1} &\equiv (77^p)^p + 91^{p-1} (p) \\ 101 | &\equiv 77 + 1 (p) \\ 102 | &\equiv 78 (p) \\ 103 | \end{align*} 104 | 105 | Luego $ p |78 \iff p|2.3.13 $ 106 | 107 | $ p = 2 \implies 77^4 + 91 \equiv 1 + 1 \equiv 0 (2) $ \\ 108 | $ p = 3 \implies 77^9 + 91^2 \equiv 2^9 + 1 \equiv 0 (3) $ 109 | 110 | Luego $ p = 2 $ y $ p = 3 $ son posibles soluciones. 111 | 112 | Por lo tanto, los posibles $p$ son $ 2, 3, 7 $ 113 | 114 | Ahora busco ver si para los $p$ hallados $ p^4 | 77^{p^2} + 91^{p-1} + 21! \cdot p $ 115 | 116 | Caso $ p = 2 $ 117 | \begin{align*} 118 | p = 2 \implies 16 | 77^4 + 91 + 21! .2 &\iff 77^4 + 91 + 21! .2 \equiv 0 (16) \\ 119 | &\iff 13^4 + 11 + 0 \equiv 0 (16) \\ 120 | &\iff 1 + 11 + 0 \equiv 0 (16) \\ 121 | &\iff 12 \equiv 0 (16) \\ 122 | \end{align*} 123 | Luego $ p = 2 $ NO es solución 124 | 125 | Caso $ p = 3 $ 126 | \begin{align*} 127 | p = 3 \implies 81 | 77^9 + 91^2 + 21! .3 &\iff 77^9 + 91^2 + 21! .3 \equiv 0 (81) \\ 128 | &\iff 11^9. 7^9 + 100 + 0 \equiv 0 (81) \\ 129 | &\iff 26. 55 + 100 + 0 \equiv 0 (81) \\ 130 | &\iff 72 \equiv 0 (81) \\ 131 | \end{align*} 132 | Luego $ p = 3 $ NO es solución 133 | 134 | Caso $ p = 7 $ 135 | \begin{align*} 136 | p = 7 \implies 7^4 | 77^{7^2} + 91^6 + 21! .7 &\iff 77^{7^2} + 91^6 + 21! .7 \equiv 0 (7^4) \\ 137 | &\iff (7^7.11^7)^{7} + 7^6. 13^6 + 7.3.20....15.7.2....8.7....1 .7 \equiv 0 (7^4) \\ 138 | &\iff 0 + 0 + 0 \equiv 0 (7^4) \\ 139 | &\iff 0 \equiv 0 (7^4) \\ 140 | \end{align*} 141 | Luego $ p = 7 $ es el uníco que cumple lo pedido. 142 | 143 | \subsection{Ejercicio 3} 144 | 145 | $ (4n^2 - 1:14) = 7 \implies \begin{cases} 146 | 7 | 4n^2 - 1 \\ 147 | 2 \not | 4n^2 - 1 \\ 148 | \end{cases} $ 149 | 150 | Luego $ 4n^2 \equiv 1 (7) \iff n^2 \equiv 2(7) $ 151 | \begin{itemize} 152 | \item $ n \equiv 0(7) \implies n^2 \equiv 0 (7) $ 153 | \item $ n \equiv 1(7) \implies n^2 \equiv 1 (7)$ 154 | \item $ n \equiv 2(7) \implies n^2 \equiv 4 (7)$ 155 | \item $ n \equiv 3(7) \implies n^2 \equiv 2 (7)$ 156 | \item $ n \equiv 4(7) \implies n^2 \equiv 2 (7)$ 157 | \item $ n \equiv 5(7) \implies n^2 \equiv 4 (7)$ 158 | \item $ n \equiv 6(7) \implies n^2 \equiv 1 (7)$ 159 | \end{itemize} 160 | Luego $ n \equiv 3(7) $ o $ n \equiv 4(7) $ 161 | 162 | Por otro lado $ 4n^2 - 1 \equiv 0 (2) \iff 4n^2 \equiv 1 (2) $ 163 | 164 | Pero esto no se cumple para ningún $n$, luego $ 2 \not | 4n^2 - 1; \forall n \in \mathbb{N} $ 165 | 166 | Luego busco los $n$ tales que $ n^n \equiv 3(7) $ 167 | \begin{itemize} 168 | \item $ n \equiv 3(7) \implies 3^n \equiv 3^{6k + r_6(n)} \equiv 3^{r_6(n)} \equiv 3(7) $ 169 | \item $ n \equiv 4(7) \implies 4^n \equiv 4^{6k + r_6(n)} \equiv 4^{r_6(n)} \equiv 3(7) $ 170 | \end{itemize} 171 | Luego 172 | \begin{itemize} 173 | \item $ n \equiv 0(6) \implies 3^0 \equiv 1 (7) \wedge 4^0 \equiv 1 (7) $ 174 | \item $ n \equiv 1(6) \implies 3^1 \equiv 3 (7) \wedge 4^1 \equiv 4 (7) $ 175 | \item $ n \equiv 2(6) \implies 3^2 \equiv 2 (7) \wedge 4^2 \equiv 2 (7) $ 176 | \item $ n \equiv 3(6) \implies 3^3 \equiv 6 (7) \wedge 4^3 \equiv 1 (7) $ 177 | \item $ n \equiv 4(6) \implies 3^4 \equiv 4 (7) \wedge 4^4 \equiv 4 (7) $ 178 | \item $ n \equiv 5(6) \implies 3^5 \equiv 5 (7) \wedge 4^5 \equiv 2 (7) $ 179 | \end{itemize} 180 | Por lo tanto, $ n \equiv 1(6) \wedge n \equiv 3(7) $ es la unica solución. 181 | 182 | Usando el teorema chino del resto existe una única solución mod $6.7 = 42 $ que cumple lo pedido. 183 | 184 | A ojo veo que $ n \equiv 31(42) $ cumple lo pedido. 185 | 186 | \end{document} 187 | -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/Final 20210804.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Final 04/08/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Final 08/04/2021} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | Tengo $ f: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z} $ y $ f(a,b) = 18a+60b $ 42 | 43 | \subsubsection{Pregunta i} 44 | 45 | Me piden decidir si f es inyectiva, si no lo es describir $ \{ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 / f(a,b) = 0 \} $ 46 | 47 | Por definición, una función $h$ es inyectiva $ \iff \forall (a,b) \in \mathbb{Z}^2: h(a) = h(b) \implies a = b $ 48 | 49 | Pues las inyecctivas son aquellas funciones que asignan a lo sumo 1 elemento del codominio a cada una del dominio. 50 | 51 | Luego debo ver si $ f(a,b) = 18a+ 60b $ es inyectiva. 52 | Dados $ \alpha, \beta, \sigma, \rho \in \mathbb{Z} $ 53 | \begin{align*} 54 | f(\alpha, \beta) = 18\alpha + 60\beta \\ 55 | f(\sigma, \rho) = 18\sigma + 60\rho \\ 56 | \end{align*} 57 | Luego, 58 | \begin{align*} 59 | f(\alpha, \beta) = f(\sigma, \rho) &\iff 18\alpha + 60\beta = 18\sigma + 60\rho \\ 60 | &\iff 18\alpha - 18\sigma = 60\rho - 60\beta \\ 61 | &\iff 18(\alpha - \sigma) = 60(\rho - \beta) \\ 62 | &\iff 3(\alpha - \sigma) = 10(\rho - \beta) \\ 63 | \end{align*} 64 | Por lo tanto a ojo veo que valen todas las soluciones tales que $ (\alpha - \sigma = 10) \wedge (\rho - \beta = 3) $ 65 | 66 | Contrejemplo: Sean $ \alpha = 11 \wedge \sigma = 1 \wedge \rho = 4 \beta = 1 $ 67 | 68 | Luego, 69 | \begin{align*} 70 | f(\alpha, \beta) = 18\alpha + 60\beta = 18.11 + 60.1 = 258 \\ 71 | f(\sigma, \rho) = 18\sigma + 60\rho = 18.1 + 60.4 = 258 \\ 72 | \end{align*} 73 | Pero $ (11,1) \neq (1,4) $ 74 | 75 | Por lo tanto $ f $ no es inyectiva. 76 | 77 | Ahora busco $ (a,b)/ f(a,b) = 0 \iff 18a+60b = 0 $ 78 | 79 | \textbf{Verifico que existe solución} 80 | 81 | Hay solución, pues $(18:60)|0 \iff (3^2.2:3.2^2.5) = 3.2 = 6|0 $ 82 | 83 | \textbf{Coprimizo la ecuación} 84 | 85 | $ 18a+60b = 0 \iff 3a+10b = 0 $ 86 | 87 | \textbf{Armo conjunto solución} 88 | 89 | El conjunto de soluciones es $ S_0 = (10k; -3k) \forall k \in \mathbb{Z} $ 90 | 91 | \textbf{Verifico que son soluciones} 92 | 93 | $ a = 10k \wedge b = -3k \implies 18a + 60b = 18(10k) + 60(-3k) = 180k - 180k = 0 $ 94 | 95 | Por lo tanto $ f(a,b) = 0 \iff (a,b) \in \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 / x = 10k \wedge y = -3k \wedge k \in \mathbb{Z} \} $ 96 | 97 | \subsubsection{Pregunta ii} 98 | 99 | Por definición, $ f $ es sobreyectiva $ \iff \forall x\in \mathbb{Z}, \exists(a,b) \in \mathbb{Z}^2: f(a,b) = x $ 100 | 101 | Se que una ecuación diofántica $ ax+by = c $ tiene solución cuando $ (x:y) | c $ 102 | 103 | Luego $ 18a+60b = c $ no tiene solución cuando $ (18:60) \not | c $. Por ejemplo, $ 18a+60b = 5 $ no tiene solución, pues $ 6 \not | 5 $ 104 | 105 | Así, $ \not \exists (a,b) \in \mathbb{Z}^2 / f(a,b) = 5 \implies f $ no es sobreyectiva. 106 | 107 | Y la $ Im(f) = \{ x \in \mathbb{Z}: x = 6k \wedge k \in \mathbb{Z} \} $ 108 | 109 | \subsection{Ejercicio 2} 110 | 111 | Se que $ a \in \mathbb{Z} \wedge 96a \equiv 51(27) $ 112 | 113 | Defino $ d = (4a^2-a+3:16a^2+9) $ 114 | 115 | Reescribo la congruencia que me dieron 116 | \begin{align*} 117 | 96a \equiv 51(27) &\iff 15a \equiv 24(27) \\ 118 | &\iff 5a \equiv 8(9) \\ 119 | &\iff a \equiv 7(9) \\ 120 | \end{align*} 121 | 122 | Usando el algoritmo de Euclides, llego a que $ d|9 \implies d \in \{ 1,3,9 \} $ 123 | 124 | \textbf{Caso d = 3} 125 | 126 | Se que $ a \equiv 7(9) \implies a \equiv 1(3) $ 127 | \begin{align*} 128 | 3 | 4a^2-a+3 &\iff 4a^2-a+3 \equiv 0 (3) \\ 129 | &\iff 1^2-1+0 \equiv 0 (3) \\ 130 | &\iff 0 \equiv 0 (3) \\ 131 | \end{align*} 132 | Y, 133 | \begin{align*} 134 | 3 | 16a^2 + 9 &\iff 16a^2 + 9 \equiv 0 (3) \\ 135 | &\iff 1^2 + 0 \equiv 0 (3) \\ 136 | &\iff 1 \equiv 0 (3) \\ 137 | \end{align*} 138 | Luego $ d \neq 3 $ y por lo tanto, $ d \neq 9 $. Así, 139 | 140 | Rta.: $ (4a^2-a+3:16a^2+9) = 1 $ 141 | 142 | \subsection{Ejercicio 4} 143 | 144 | $ f_1 = x^2 - 6x + 9 $ y $ f_2 = x^3 - 5x^2 + 3x + 9 $ y $ f_{n+2} = (x^2 - 9)f_{n+1} \cdot f''_n + f'_{n+1} \cdot f'_n + f^2_n(x-2)^n $ 145 | 146 | Por multiplicidad de raíces, se que $ mult(3,f) = 2 \iff \begin{cases} 147 | f(3) = 0 \\ 148 | f'(3) = 0 \\ 149 | f''(3) \neq 0 \\ 150 | \end{cases} $ 151 | 152 | Voy a hacer la prueba por inducción 153 | 154 | Defino $ p(n): mult(3,f_n) = 2; \forall n \in \mathbb{N} $ 155 | 156 | \textbf{Casos base n = 1, n = 2} 157 | 158 | $ p(1): mult(3,f_1) = 2 \iff \begin{cases} 159 | f_1(3) = 0 \iff 9-18+9 = 0 \\ 160 | f'_1(3) = 0 \iff 6 - 6 = 0\\ 161 | f''_1(3) \neq 0 \iff 2 \neq 0\\ 162 | \end{cases} $ 163 | 164 | Luego $ p(1) $ es verdadero. 165 | 166 | $ p(n): mult(3,f_n) = 2 \iff \begin{cases} 167 | f_2(3) = 0 \iff 27-45+9+9 = 0 \\ 168 | f'_2(3) = 0 \iff 27-30+3 = 0\\ 169 | f''_2(3) \neq 0 \iff 18-10 \neq 0\\ 170 | \end{cases} $ 171 | 172 | Luego $ p(2) $ es verdadero. 173 | 174 | \textbf{Paso inductivo} 175 | 176 | Dado $ h \geq 1 $ quiero probar que $ p(h) \wedge p(h+1) \implies p(h+2) $ 177 | 178 | HI: $ mult(3, f_h) = 2 $ y $ mult (3, f_{h+1}) = 2 $ 179 | 180 | Qpq: $ mult(3, f_{h+2}) = 2 $ 181 | 182 | Se que $ mult(3,f) = x \implies mult(3, f') = x-1 $ 183 | 184 | Luego 185 | \begin{itemize} 186 | \item $ f_h = (x-3)^2 \cdot k $ con $ (x-3) \not | k $ 187 | \item $ f'_h = (x-3) \cdot q $ con $ (x-3) \not | q $ 188 | \item $ f''_h = r $ con $ (x-3) \not | r $ 189 | \item $ f_{h+1} = (x-3)^2 \cdot t $ con $ (x-3) \not | t $ 190 | \item $ f'_{h+1} = (x-3) \cdot u $ con $ (x-3) \not | u $ 191 | \item $ f''_{h+1} = v $ con $ (x-3) \not | v $ 192 | \end{itemize} 193 | 194 | Reescribo $ f_{h+2}$, 195 | \begin{align*} 196 | f_{h+2} &= (x+3)(x-3)(x-3)^2tr + (x-3)q(x-3)u + (x-3)^4k^2(x-2)^n \\ 197 | &= (x-3)^2 \left[ (x+3)(x-3)tr + qu + (x-3)^2k^2(x-2)^n \right] \\ 198 | \end{align*} 199 | Luego se que $ (x-3)^2 | f_{h+2} \implies mult(3, f_{h+2}) \geq 2 $ 200 | 201 | Falta ver que $ (x-3) \not | \left[ (x+3)(x-3)tr + qu + (x-3)^2k^2(x-2)^n \right] $ 202 | 203 | Pero $ \begin{cases} 204 | (x-3) | (x+3)(x-3)tr \\ 205 | (x-3) | (x-3)^2k^2(x-2)^n \\ 206 | (x-3) \not | qu \\ 207 | \end{cases} $ 208 | Luego $ mult(3, f_{h+2}) = 2 $ como se quería probar. 209 | \end{document} 210 | -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/Final 20211021.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Final 21/10/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Final 21/10/2021} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | Por enunciado, se define la relación $R$ en $G_{50}$ como, 42 | \begin{align*} 43 | zRw \iff zw^{24} \in G_2 44 | \end{align*} 45 | Por definición de raíces de la unidad, se que los elementos de $G_{50}$ son aquellos $ \alpha \in \mathbb{C}: \alpha^{50} = 1 $ 46 | 47 | Por lo tanto, es el conjunto de los elementos donde se define la relación, luego sean $ \alpha, \beta \in G_{50} $ la relación se define como: 48 | \begin{align*} 49 | \alpha R\beta &\iff \alpha \beta^{24} \in G_2 \\ 50 | &\iff (\alpha \beta^{24})^2 = 1 \\ 51 | &\iff \begin{cases} 52 | \alpha \beta^{24} = 1 \\ 53 | \alpha \beta^{24} = -1 \\ 54 | \end{cases} \\ 55 | \end{align*} 56 | 57 | \subsubsection{Pregunta i} 58 | Busco probar que $R$ es una relación de equivalencia. Por definición, lo es si $R$ es reflexiva, transitiva y simétrica. Pruebo cada uno por separado. 59 | 60 | \textbf{Reflexividad} 61 | 62 | Por definición de reflexividad, $R$ es reflexiva $ \iff \forall a \in G_{50}: aRa $ 63 | 64 | Por definición de $R$, 65 | \begin{align*} 66 | aRa &\iff a.a^{24} \in G_2 \\ 67 | &\iff (a.a^{24})^2 = 1 \\ 68 | &\iff (a^{25})^2 = 1 \\ 69 | &\iff a^50 = 1 \\ 70 | \end{align*} 71 | Y dado que $ a \in G_{50} \implies a^{50} = 1 $. Luego $R$ es reflexiva. 72 | 73 | \textbf{Simetría} 74 | 75 | Por definición de simetría, $R$ es simétrica $ \iff \forall \alpha, \beta \in G_{50}: \alpha R \beta \implies \beta R \alpha $ 76 | 77 | Luego, por definición de $R$, 78 | \begin{align*} 79 | \alpha R \beta &\iff (\alpha \beta^{24})^2 = 1 \\ 80 | &\iff \alpha^2 \beta^{48} = 1 \\ 81 | &\iff (\alpha^2 \beta^{48})^{-1} = 1^{-1} \\ 82 | &\iff \alpha^{-2} \beta^{-48} = 1 \\ 83 | &\iff \alpha^{48} \beta^{2} = 1 \\ 84 | &\iff (\alpha^{24} \beta)^2 = 1 \\ 85 | &\iff \beta R \alpha \\ 86 | \end{align*} 87 | Luego $R$ es simétrica. 88 | 89 | \textbf{Transitividad} 90 | 91 | Por definición, $R$ es transitiva $ \iff \forall a,b,c \in G_{50}: (aRb \wedge bRc) \implies aRc $ 92 | 93 | Luego por definición de la relación se que, 94 | \begin{align*} 95 | aRb &\iff ab^{24} \in g_2 \\ 96 | bRc &\iff bc^{24} \in g_2 97 | \end{align*} 98 | Y quiero ver que $ ac^{24} \in G_2 $ 99 | 100 | Pero, 101 | \begin{align*} 102 | (ab^{24})^2 = 1 \wedge (bc^{24})^2 = 1 &\implies (ab^{24})^2 \cdot (bc^{24})^2 = 1 \\ 103 | &\iff (ab^{24} \cdot bc^{24})^2 = 1 \\ 104 | &\iff ab^{24} \cdot bc^{24} \in G_2 \\ 105 | \end{align*} 106 | Luego, 107 | \begin{align*} 108 | ab^{24} \cdot bc^{24} \in G_2 &\iff (ab^{24} \cdot bc^{24})^2 = 1 \\ 109 | &\iff (ab^{25}c^{24})^2 = 1 \\ 110 | &\iff (b^{25})^2 \cdot (ac^{24})^2 = 1 \\ 111 | &\iff 1 \cdot (ac^{24})^2 = 1 \\ 112 | &\iff (ac^{24})^2 = 1 \\ 113 | &\iff aRc \\ 114 | \end{align*} 115 | Como se quería probar, luego $R$ es transitiva. 116 | 117 | Probado que $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva; $R$ es una relación de equivalencia. 118 | 119 | \subsection{Ejercicio 2} 120 | 121 | Demostración usando el principio de inducción. 122 | 123 | Defino $ p(n): F_n = \frac{L_{n-1} + L_{n+1}}{5}; \forall n \geq 1 $ 124 | 125 | \textbf{Caso base n = 1, n = 2 } 126 | 127 | Por definición, p(1) 128 | \begin{align*} 129 | p(1): &F_1 = \frac{L_{1-1} + L_{1+1}}{5} \\ 130 | &F_1 = \frac{L_{0} + L_{2}}{5} \\ 131 | &F_1 = \frac{2+3}{5} \\ 132 | &F_1 = 1 \\ 133 | \end{align*} 134 | Por enunciado, $ F_1 = 1 $ luego $p(1)$ es verdadero. 135 | 136 | p(2) 137 | \begin{align*} 138 | p(2): &F_2 = \frac{L_{2-1} + L_{2+1}}{5} \\ 139 | &F_2 = \frac{L_{1} + L_{3}}{5} \\ 140 | &F_2 = \frac{1+4}{5} \\ 141 | &F_2 = 1 \\ 142 | \end{align*} 143 | 144 | Por enunciado, $ F_2 = F_0 + F_1 = 1 $, luego $ p(2) $ es verdadero. 145 | 146 | \textbf{Paso inductivo} 147 | 148 | Busco probar que dado $h \geq 1: (p(h) \wedge p(h+1)) \implies p(h+2) $ 149 | 150 | HI: \\ 151 | $ F_h = \frac{L_{h-1} + L_{h+1}}{5} $ \\ 152 | $ F_{h+1} = \frac{L_{h} + L_{h+2}}{5} $ 153 | 154 | Qpq: $ F_{h+2} = \frac{L_{h+1} + L_{h+3}}{5} $ 155 | 156 | Pero, 157 | \begin{align*} 158 | F_{h+2} &= F_h + F_{h+1} \\ 159 | &= \frac{L_{h-1} + L_{h+1}}{5} + \frac{L_{h} + L_{h+2}}{5} \\ 160 | &= \frac{L_{h-1} + L_{h+1} + L_{h} + L_{h+2}}{5} \\ 161 | &= \frac{L_{h+1} + L_{h+3}}{5} \\ 162 | \end{align*} 163 | Como se quería probar, luego vale el paso inductivo. 164 | 165 | Así, $ p(n) $ es verdadero, $ \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 1} $ 166 | 167 | \subsection{Ejercicio 3} 168 | 169 | Busco determinar todos los $ (a,b) \in \mathbb{N}^2 $ tales que: 170 | \begin{align*} 171 | (a:b) = -2a+b \wedge [a:b] = 83a 172 | \end{align*} 173 | 174 | Rdo.: $ (a:b)[a:b] = ab $ 175 | 176 | Usnado esto, 177 | \begin{align*} 178 | (a:b)[a:b] = ab &\iff (-2a+b)(83a) = ab \\ 179 | &\iff (-2a+b)83 = b \\ 180 | &\iff -166a + 83b = b \\ 181 | &\iff -166a + 82b = 0 \\ 182 | \end{align*} 183 | Entonces, busco los $ (a,b) \in \mathbb{N}^2 $ que cumplen la ecuación diofácntica $ -166a + 82b = 0 $ 184 | 185 | \textbf{Verifico que existe solución} 186 | 187 | Existe solución, pues $ MCD(166, 82) = 2|0 $ 188 | 189 | \textbf{Coprimizo la ecuación} 190 | 191 | $ -166a+82b = -83a + 41b = 0 $ 192 | 193 | \textbf{Armo el conjunto solución} 194 | 195 | $ s = \{ (a,b) \in \mathbb{N}^2: a = 41k \wedge b = 83k \wedge k \in \mathbb{Z} \} $ 196 | 197 | Para los valores hallados de $a$ y $b$ busco aquellos que cumplen con el MCD y el MCM 198 | 199 | $ (a,b) = (41k, 83k) \implies \begin{cases} 200 | (a:b) = (41k:83k) = k(41:83) = k \\ 201 | [a:b] = [41k:83k] = k[41:83] = k.41.83 202 | \end{cases} $ 203 | 204 | Luego, 205 | \begin{align*} 206 | -2a + b = k &\iff -2(41k) + 83k = k \\ 207 | &\iff -82k + 83k = k \\ 208 | &\iff k = k \\ 209 | \end{align*} 210 | Y, 211 | \begin{align*} 212 | 83a = k.41.83 \iff a = 41k 213 | \end{align*} 214 | Por lo tanto $ \{ (a,b): a = 41k \wedge b = 83k \wedge k \in \mathbb{Z} \} $ son todos los que cumplen lo pedido 215 | 216 | \subsection{Ejercicio 4} 217 | 218 | Se que $ (x-a)^3 | f $ y que $ (x-a)^2 | f' \iff f'=(x-a)^2.q $ con $ q(a) \neq 0 $ 219 | 220 | Luego $ q = (x-a)k +r $ y por algoritmo de división se que $ r = 0 $ o $ gr(r) < 1 $ 221 | 222 | Por lo tanto, 223 | \begin{align*} 224 | f' = (x-a)^2 \cdot \left[ (x-a)k + r \right] 225 | f' = (x-a)^3k + (x-a)^2r 226 | \end{align*} 227 | Luego $ (x-a)^2r $ es el resto de dividir a $f'$ por $(x-a)^3 $ y $ r \in \mathbb{C} $ 228 | 229 | \end{document} 230 | -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/Final 20210514.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Final 14/05/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Final 14/05/2021} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | Defino $ p(n): \frac{4^n}{n+1} < \binom{2n}{n}; \forall n \geq 2 $ 42 | 43 | \textbf{Caso base n = 2} 44 | 45 | \begin{align*} 46 | p(2)&: \frac{4^2}{2+1} < \binom{2.2}{2} \\ 47 | p(2)&: \frac{16}{3} < \binom{4}{2} \\ 48 | p(2)&: \frac{16}{3} < \frac{4!}{2!2!} \\ 49 | p(2)&: \frac{16}{3} < 6 \\ 50 | \end{align*} 51 | $ p(2) $ es verdadero. 52 | 53 | \textbf{Paso inductivo} 54 | 55 | Dado $ h \geq 2 $, quiero probar que $ p(h) \implies p(h+1) $ 56 | 57 | HI: $ \frac{4^h}{h+1} < \binom{2h}{h} \implies \frac{4^h}{h+2} < \binom{2h}{h}\frac{h+1}{h+2} $ 58 | 59 | QpQ: $ \frac{4^{h+1}}{h+2} < \binom{2(h+1)}{h+1} $ 60 | 61 | Pero, 62 | \begin{align*} 63 | \frac{4^{h+1}}{h+2} &= \frac{4^h}{h+2} \cdot 4 \\ 64 | &\leq \binom{2h}{h}\frac{h+1}{h+2} \cdot 4 \\ 65 | \end{align*} 66 | 67 | Luego alcanza probar que, 68 | \begin{align*} 69 | \binom{2h}{h}\frac{h+1}{h+2} \cdot 4 &< \binom{2(h+1)}{h+1} \\ 70 | \frac{(2h)!}{h!h!} \cdot \frac{h+1}{h+2} \cdot 4 &< \frac{(2h+2)!}{(h+1)!(h+1)!} \\ 71 | \frac{(2h)!(h+1)4}{h!h!(h+2)} &< \frac{(2h+2)(2h+1)(2h)!}{(h+1)h!(h+1)h!} \\ 72 | \frac{(h+1)4}{h+2} &< \frac{(2h+2)(2h+1)}{(h+1)^2} \\ 73 | (h+1)^3 \cdot 4 &< 2(h+1)(2h+1)(h+2) \\ 74 | (h+1)^2 \cdot \frac{4}{2} &< (2h+1)(h+2) \\ 75 | 2h^2 + 4h + 2 &< 2h^2 + 4h + h + 2 \\ 76 | 0 &< h \\ 77 | \end{align*} 78 | Dado que $ h \geq 2 $ qued probado el paso inductivo. 79 | 80 | Luego $ p(n) $ es verdadero, $ \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 2}$ 81 | 82 | \subsection{Ejercicio 2} 83 | 84 | Tengo el conjunto $ X = P(\{ 1,2,3,...,12 \}) $. Se define $R$ relación tal que $ ARB \iff \#\text{pares}(A) = \#\text{pares}(B) $ 85 | 86 | \subsubsection{Pregunta i} 87 | 88 | Voy a probar cada propiedad de la relación de equivalencia por separado. 89 | 90 | \textbf{Reflexividad} 91 | 92 | Por definición de reflexividad, $ R $ es reflexiva $ \iff \forall A \in X: ARA $ 93 | 94 | Por definición de la relación, $ ARA \iff \#\text{pares}(A) = \#\text{pares}(A) $ 95 | 96 | Dado que $ A = A $, en particular tienen los mismos elementos pares, luego $ R $ es reflexiva. 97 | 98 | \textbf{Simetría} 99 | 100 | Por definición de simetría, $ R $ es simétrica $ \iff \forall (A,B) \in X^2: ARB \implies BRA $ 101 | 102 | Por definición de la relación, $ ARB \iff \#\text{pares}(A) = \#\text{pares}(B) $ 103 | 104 | Y quiero probar que $ BRA \iff \#\text{pares}(B) = \#\text{pares}(A) $ 105 | 106 | Pero, 107 | \begin{align*} 108 | ARB &\iff \#\text{pares}(A) = \#\text{pares}(B) \\ 109 | &\iff \#\text{pares}(B) = \#\text{pares}(A) \\ 110 | &\iff BRA \\ 111 | \end{align*} 112 | Luego $R$ es simétrica. 113 | 114 | \textbf{Transitividad} 115 | 116 | Por definición de transitividad, $ R $ es transitiva $ \iff \forall (A,B,C) \in X^3: (ARB \wedge BRC) \implies ARC $ 117 | 118 | Por definición de la relación, 119 | \begin{align*} 120 | ARB &\iff \#\text{pares}(A) = \#\text{pares}(B) \\ 121 | BRC &\iff \#\text{pares}(B) = \#\text{pares}(C) \\ 122 | \end{align*} 123 | Luego, 124 | \begin{align*} 125 | ARB \wedge BRC &\iff \#\text{pares}(A) = \#\text{pares}(B) \wedge \#\text{pares}(B) = \#\text{pares}(C) \\ 126 | &\implies \#\text{pares}(A) = \#\text{pares}(C) \\ 127 | &\implies ARC 128 | \end{align*} 129 | Luego $R$ es transitiva. 130 | 131 | Dado que $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva; $R$ es una relación de equivalencia. 132 | 133 | \subsubsection{Pregunta ii} 134 | 135 | Veo que por definición de la relación, lo que determina que un conjunto pertenezca a una clase de equivalencia es la cantidad de pares que contenga. 136 | 137 | Luego existen 7 clases de equivalencia: clases con elementos que contienen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 pares. 138 | 139 | Luego la clase del $ \#\{ \text{3 pares} \} = \binom{6}{3} \cdot 2^6 = 1280 $ tiene más de 1000 elementos como se quería probar. 140 | 141 | \subsection{Ejercicio 3} 142 | 143 | Defino $ d = (a^{60} + 6:560) $ y se que $ 560 = 7.2^4.5 $ 144 | 145 | Luego la factorización en primos de $d$ será: 146 | 147 | $ d = 2^i \cdot 5^j \cdot 7^k $ con $ \begin{cases} 148 | 0\leq i \leq 4 \\ 149 | 0\leq j \leq 1 \\ 150 | 0\leq k \leq 1 \\ 151 | \end{cases} $ 152 | 153 | Estudio cada primo en particular. 154 | 155 | \textbf{Caso p = 5} 156 | \begin{align*} 157 | 5 | a^{60} + 6 &\iff a^{60} + 6 \equiv 0 (5) \\ 158 | &\iff a^{60} \equiv 4 (5) \\ 159 | &\iff \begin{cases} 160 | 0 \equiv 4(5) & 5|a \\ 161 | 1 \equiv 4(5) & 5 \not | a \text{ por PTF} \\ 162 | \end{cases} 163 | \end{align*} 164 | En ambos casos se llega a un absurdo, luego $ j = 0 $ 165 | 166 | \textbf{Caso p = 7} 167 | \begin{align*} 168 | 7 | a^{60} + 6 &\iff a^{60} + 6 \equiv 0 (7) \\ 169 | &\iff a^{60} \equiv 1 (7) \\ 170 | &\iff \begin{cases} 171 | 0 \equiv 1(7) & 7|a \\ 172 | 1 \equiv 1(7) & 7\not |a \text{ por PTF} \\ 173 | \end{cases} \\ 174 | \end{align*} 175 | Luego $ k = 0 \vee k = 1 $ 176 | 177 | \textbf{Caso p = 2} 178 | 179 | Si $ a \equiv 0(2) \iff a = 2k $, 180 | \begin{align*} 181 | a^{60} + 6 &\equiv 0^{60} + 6 \equiv 0 (2) \\ 182 | a^{60} + 6 &\equiv (2k)^{2^{30}} + 6 \equiv 2 (4) \\ 183 | \end{align*} 184 | Y si no es divisible por 4 tampoco lo es por 8 y por 16 185 | 186 | Si $ a \equiv 1(2) $, 187 | \begin{align*} 188 | a^{60} + 6 &\equiv 1^{60} + 6 \equiv 1 (2) \\ 189 | \end{align*} 190 | Luego si no es divisible por 2, tampoco lo será por 5, 8, 16 191 | 192 | Luego $ i = 0 \vee i = 1 $ 193 | 194 | Por lo tanto, los posibles MCD son 195 | \begin{itemize} 196 | \item $ k = 0 \wedge i = 0 \implies d = 1 $ 197 | \item $ k = 0 \wedge i = 1 \implies d = 2 $ 198 | \item $ k = 1 \wedge i = 0 \implies d = 7 $ 199 | \item $ k = 1 \wedge i = 1 \implies d = 14 $ 200 | \end{itemize} 201 | 202 | \subsection{Ejercicio 5} 203 | 204 | P tiene una raíz imaginaria pura $ \iff \exists a \in \mathbb{R}: P(ai) = 0 $ 205 | 206 | \begin{align*} 207 | P(ai) = 0 &\iff (ai)^6 + (ai)^5 + 5(ai)^4 + 4(ai)^3 + 8(ai)^2 + 4(ai) + 4 = 0 \\ 208 | &\iff -a^6 + a^5i + 5a^4 - 4a^3i - 8a^2 + 4ai + 4 = 0 \\ 209 | &\iff (-a^6 + 5a^4 - 8a^2 + 4) + (a^5 - 4a^3 + 4a)i = 0 \\ 210 | &\iff \begin{cases} 211 | -a^6 + 5a^4 - 8a^2 + 4 = 0 \\ 212 | a^5 - 4a^3 + 4a = 0 213 | \end{cases} \\ 214 | \end{align*} 215 | De donde se obtiene que $ a = \sqrt[]{2} $ 216 | 217 | Luego $ \sqrt[]{2}i $ es raíz de P $ \iff -\sqrt[]{2}i $ es raíz de P. 218 | 219 | Por lo tanto $ (x-\sqrt[]{2}i)(x+\sqrt[]{2}i)|P \iff (x^2 + 2)|P $ 220 | 221 | Usando el algoritmo de división de polinomios, $ P = (x^2 + 2)(x^4 + x^3 + 3x^2 + 2x + 2) $ 222 | 223 | Y por enunciado se que son raíces múltiples, luego se que $ (x^2 + 2) | (x^4 + x^3 + 3x^2 + 2x + 2) $ 224 | 225 | Usando el algoritmo de división, $ P = (x^2 + 2)^2(x^2 + x + 1) $ 226 | 227 | Defino $ g = x^2 + x + 1 $ y busco sus raíces utilizando la resolvente cuadrática. 228 | 229 | Obtengo que $ g = (x-(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))(x-(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i)) $ 230 | 231 | Por lo tanto, 232 | \begin{itemize} 233 | \item $ P = (x-\sqrt[]{2}i)^2(x+\sqrt[]{2}i)^2(x-(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))(x-(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i)) $ es la factorización en $ \mathbb{C}[x] $ 234 | \item $ P = (x^2 + 2)^2(x^2 + x + 1) $ es la factorización en $ \mathbb{Q}[x]; \mathbb{R}[x] $ 235 | \end{itemize} 236 | 237 | Las raíces de P son sus multiplicidades son: 238 | \begin{itemize} 239 | \item $ mult(\sqrt[]{2}i, f) = 2 $ 240 | \item $ mult(-\sqrt[]{2}i, f) = 2 $ 241 | \item $ mult(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i, f) = 1 $ 242 | \item $ mult(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i, f) = 1 $ 243 | \end{itemize} 244 | 245 | \end{document} 246 | -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/Final 20210611.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Final 11/06/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Final 11/06/2021} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 3} 40 | 41 | Se que $ 442 = 2.13.17 $ 42 | 43 | Luego, 44 | \begin{align*} 45 | (4n^{49} + n + 33:442) = 221 &\iff (4n^{49} + n + 33:2.13.17) = 13.17 \\ 46 | &\iff \begin{cases} 47 | 13 | 4n^{49} + n + 33 \\ 48 | 17 | 4n^{49} + n + 33 \\ 49 | 2 \not | 4n^{49} + n + 33 \\ 50 | \end{cases} \\ 51 | \end{align*} 52 | Ahora busco los $n$ que cumplan cada una de las ecuaciones. 53 | 54 | \textbf{Caso 13} 55 | \begin{align*} 56 | 13 | 4n^{49} + n + 33 &\iff 4n^{49} + n + 33 \equiv 0 (13) \\ 57 | &\iff 4n^{49} + n \equiv 6 (13) \\ 58 | \end{align*} 59 | Ahora separo en casos: $ 13|n$ y $13 \not | n $ 60 | 61 | \textbf{Caso $13|n$ } 62 | \begin{align*} 63 | 13 | n \implies 4n^{49} + n \equiv 0 + 0 \not \equiv 6 (13) 64 | \end{align*} 65 | Luego $ n \not \equiv 0(13) $ 66 | 67 | \textbf{Caso $13\not |n$ } 68 | \begin{align*} 69 | 13 \not | n &\implies 4n^{49} + n \equiv 6 (13) \\ 70 | &\iff 4n^{r_{12}(49)} + n \equiv 6 (13) \\ 71 | &\iff 4n + n \equiv 6 (13) \\ 72 | &\iff 5n \equiv 6 (13) \\ 73 | &\iff (-5)5n \equiv (-5)6 (13) \\ 74 | &\iff -25n \equiv -30 (13) \\ 75 | &\iff n \equiv 9 (13) \\ 76 | \end{align*} 77 | Luego $ n \equiv 9(13) $ 78 | 79 | \textbf{Caso 17} 80 | \begin{align*} 81 | 17 | 4n^{49} + n + 33 &\iff 4n^{49} + n + 33 \equiv 0 (17) \\ 82 | &\iff 4n^{49} + n \equiv 1 (17) \\ 83 | \end{align*} 84 | De nuevo tengo dos casos $ 17|n$ y $17 \not | n $ 85 | 86 | \textbf{Caso $17|n$} 87 | \begin{align*} 88 | 17 | n \implies 4n^{49} + n \equiv 1 (17) \iff 0 + 0 \equiv 1 (17) 89 | \end{align*} 90 | Luego $ n \not \equiv 0 (17) $ 91 | 92 | \textbf{Caso $17\not |n$} 93 | \begin{align*} 94 | 17 \not | n &\implies 4n^{49} + n \equiv 1 (17) \\ 95 | &\iff 4n^{r_{16}(49)} + n \equiv 1 (17) \\ 96 | &\iff 4n + n \equiv 1 (17) \\ 97 | &\iff 7.5n \equiv 7.1 (17) \\ 98 | &\iff 35n \equiv 7 (17) \\ 99 | &\iff n \equiv 7 (17) \\ 100 | \end{align*} 101 | Luego $ n \equiv 7(17) $ 102 | 103 | \textbf{Caso 2} 104 | \begin{align*} 105 | 2 \not | 4n^{49} + n + 33 &\iff 4n^{49} + n + 33 \not \equiv 0 (2) \\ 106 | &\iff \begin{cases} 107 | n \equiv 0 (2) \implies 0 + 0 + 33 \equiv 1 \not \equiv 0 (2) \\ 108 | n \equiv 1 (2) \implies 4 + 1 + 33 \equiv 0 (2) 109 | \end{cases} 110 | \end{align*} 111 | Luego $ n \equiv 0 (2) $ 112 | 113 | Entonces juntando todo lo hayado, $S = \begin{cases} 114 | n \equiv 9(13) \\ 115 | n \equiv 3(17) \\ 116 | n \equiv 0(2) \\ 117 | \end{cases} $ 118 | 119 | Por el Teorema Chino del Resto se que existe una única solución mod 442, que es lo que busco. 120 | 121 | Separo $ S $ en tres sistemas: 122 | 123 | $ S_0 = \begin{cases} 124 | n \equiv 9(13) \\ 125 | n \equiv 0(17) \\ 126 | n \equiv 0(2) \\ 127 | \end{cases} $ 128 | $ S_1 = \begin{cases} 129 | n \equiv 0(13) \\ 130 | n \equiv 3(17) \\ 131 | n \equiv 0(2) \\ 132 | \end{cases} $ 133 | $ S_2 = \begin{cases} 134 | n \equiv 0(13) \\ 135 | n \equiv 0(17) \\ 136 | n \equiv 0(2) \\ 137 | \end{cases} $ 138 | 139 | Busco soluciones a cada sistema. 140 | 141 | $ S_0 = \begin{cases} 142 | n \equiv 9(13) \\ 143 | n \equiv 0(34) \\ 144 | \end{cases} \implies n = 34k \implies 34k \equiv 9(13) \iff k \equiv 8 (13) $ 145 | 146 | Luego $ x_0 = 8.34 = 272 $ 147 | 148 | $ S_1 = \begin{cases} 149 | n \equiv 3(17) \\ 150 | n \equiv 0(26) \\ 151 | \end{cases} \implies n = 26k \implies 26k \equiv 3(17) \iff k \equiv 6 (17) $ 152 | 153 | Luego $ x_1 = 6.26 = 156 $ 154 | 155 | $ S_2 = \begin{cases} 156 | n \equiv 0(2) \\ 157 | n \equiv 0(17.13) \\ 158 | \end{cases} $ 159 | 160 | Luego $ x_2 = 0 $ 161 | 162 | Entonces $ x = x_0 + x_1 + x_2 = 272 + 156 + 0 = 428 $ 163 | 164 | Por lo tanto, $ n \equiv 428(442) \implies r_{442}(n) = 428 $ 165 | 166 | \subsection{Ejercicio 4} 167 | 168 | Sea $ n \in \mathbb{N} $ fijo, se define $ R $ una relación en $ \mathbb{C} - \{ 0 \} $ tal que 169 | \begin{equation} 170 | z R w \iff \text{ existe } \alpha \in G_n \text{ tal que } z = \alpha w 171 | \end{equation} 172 | \subsubsection{Pregunta i} 173 | Probar que es de equivalencia. Voy a probar cada propiedad por separado. 174 | 175 | \textbf{Reflexividad} 176 | 177 | Por definición de reflexividad, $ R $ es reflexiva $ \iff \forall k \in \mathbb{C}-\{ 0 \}: kRk $ 178 | 179 | Por (1), $ kRk \iff \text{ existe } \alpha \in G_n \text{ tal que } k = \alpha k $ 180 | 181 | Pero $ \forall n \in \mathbb{N} $, $ 1 \in G_n $ pues $ (1)^n = 1 $, luego $ k = k $ y por lo tanto $ R $ es reflexiva. 182 | 183 | \textbf{Simetría} 184 | 185 | Por definición de simetría, $ R $ es simétrica $ \iff \forall (k, j) \in (\mathbb{C} - \{ 0 \})^2: kRj \implies jRk $ 186 | 187 | Por (1), $ kRj \iff \text{ existe } \alpha \in G_n \text{ tal que } k = \alpha j $ 188 | 189 | Y quiero probar $ jRk \iff \text{ existe } \alpha \in G_n \text{ tal que } j = \alpha k $ 190 | 191 | Por lo tanto, 192 | \begin{align*} 193 | &k = \alpha j; \alpha \in G_n \\ 194 | \implies & j = \beta \alpha j \iff \beta \alpha = 1 195 | \end{align*} 196 | Pero dado que $ \alpha \in G_n \iff \alpha^{-1} \in G_n $ y $ \alpha \cdot \alpha^{-1} = 1 $ 197 | 198 | Por lo tanto $ \beta = \alpha^{-1} \implies j = \alpha^{-1}k $ 199 | 200 | Luego R es simétrica 201 | 202 | \textbf{Transitividad} 203 | 204 | Por definición de transitividad, $R$ es transitiva $ \iff \forall (j,k,l) \in (\mathbb{C} - \{ 0 \})^3: (jRk \wedge kRl) \implies jRl $ 205 | 206 | Por (1), \\ 207 | $ jRk \iff \exists \alpha \in G_n: j = \alpha k $ \\ 208 | $ kRl \iff \exists \alpha \in G_n: k = \alpha l $ \\ 209 | $ jRl \iff \exists \alpha \in G_n: j = \alpha l $ 210 | 211 | Luego $ jk = \alpha k \beta l \iff j = \alpha \beta l $ 212 | 213 | Entonces queda demostrar que $ \alpha \beta \in G_n $, pero se que $ \alpha^n = 1 $ y $ \beta^n = 1 $ 214 | 215 | Por lo tanto, $ (\alpha \beta)^n = \alpha^n \beta^n = 1 \implies \alpha \beta \in G_n $ 216 | 217 | Luego R es transitiva. 218 | 219 | \subsubsection{Pregunta ii} 220 | 221 | $ z = 3+5i $ y $ n = 4 $ 222 | 223 | Busco el conjunto de los $ w \in \mathbb{C} - \{ 0 \}: zRw $ 224 | 225 | Por (1), $ zRw \iff \exists \alpha \in G_4 / 3+5i = \alpha \cdot w $ 226 | 227 | Pero $ \alpha \in G_4 \iff \alpha \in \{ \pm 1, \pm i \} $ 228 | 229 | Luego, 230 | \begin{itemize} 231 | \item $ \alpha = 1 \implies w = 3+5i $ 232 | \item $ \alpha = -1 \implies w = -3-5i $ 233 | \item $ \alpha = i \implies w = 5-3i $ 234 | \item $ \alpha = -i \implies w = -5+3i $ 235 | \end{itemize} 236 | Luego $ \overline{3+5i} = \{ 3+5i, -3-5i, 5+3i, -5+3i \} $ 237 | 238 | \subsection{Ejercicio 5} 239 | 240 | \subsubsection{Pregunta i} 241 | 242 | Factorización sabiendo que una de las raíces es cúbica de la unidad. 243 | 244 | $ \alpha \in G_3 \iff \alpha \in \{ 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i \} $ 245 | 246 | Dado que $ P(1) \neq 0 \implies (x-(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))(x-(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))|P $ 247 | 248 | Luego, $ (x-(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))(x-(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))|P \iff (x^2 + x +1) |P $ 249 | 250 | Usando el algoritmo de división, $ f = (x^2 + x +1)(x^4 - 4x^2 + 4) $ 251 | 252 | Defino $ g = x^4 - 4x^2 + 4 $ 253 | 254 | Cambio de variable $ y = x^2 $ 255 | 256 | Luego $ g' = y^2 - 4y + 4 \implies g' = (y-2)^2$ 257 | 258 | Por lo tanto, $ (x-\sqrt[]{2})(x+\sqrt[]{2}) | g \iff (x^2 - 2) | g $ 259 | 260 | Usando el algoritmo de división, $ g = (x^2 - 2)(x^2 - 2) $ 261 | 262 | Por lo tanto, juntando todo lo encontrado. 263 | 264 | \begin{itemize} 265 | \item $ f = (x-(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))(x-(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i))(x-\sqrt[]{2})^2(x+\sqrt[]{2})^2 $ es la factorización en $ \mathbb{C}[x] $ 266 | \item $ f = (x^2 + x +1)(x-\sqrt[]{2})^2(x+\sqrt[]{2})^2 $ es la factorización en $ \mathbb{R}[x] $ 267 | \item $ f = (x^2 + x +1)(x^2 - 2)^2 $ es la factorización en $ \mathbb{Q}[x] $ 268 | \end{itemize} 269 | 270 | \subsubsection{Pregunta ii} 271 | \begin{itemize} 272 | \item $ mult(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i, f) = 1 $ 273 | \item $ mult(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i, f) = 1 $ 274 | \item $ mult(x+\sqrt[]{2}, f) = 2 $ 275 | \item $ mult(x-\sqrt[]{2}, f) = 2 $ 276 | \end{itemize} 277 | 278 | \end{document} 279 | -------------------------------------------------------------------------------- /parciales/soluciones/segundoParcial.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{1} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Segundo parcial 30/11/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Segundo parcial Álgebra I} 38 | \subsection{Ejercicio 1} 39 | 40 | Busco $ (a,b) \in \mathbb{Z}^2: 51a+33b = 21 \wedge 8a \equiv b(49) $ 41 | 42 | Primero busco soluciones para la ecuación diofántica $ 51a+33b = 21 $ 43 | 44 | \textbf{1) verificar que existe solución} 45 | 46 | Existe solución $ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \iff (51:33) | 21 $ 47 | 48 | Luego, 49 | \begin{align*} 50 | (51:33) &= (3.17: 3.11) \\ 51 | &= 3 \\ 52 | \end{align*} 53 | Como $ 3|21 $ existe solución a la ecuación. 54 | 55 | \textbf{2) coprimizar} 56 | \begin{align*} 57 | 51a+33b = 21 &\iff 3.17.a + 3.11.b = 3.7 \\ 58 | &\iff 17a + 11b = 7 \\ 59 | \end{align*} 60 | 61 | \textbf{3) busco solución particular} 62 | 63 | Por propiedades del MCD, se que existen $ (s,t) \in \mathbb{Z}^2: (17:11) = s.17 + t.11 $ 64 | 65 | Dado que 17 y 11 son ambos primos, en particular $ (17:11) = 1 \implies \exists (s,t) \in \mathbb{Z}^2: 1 = s.17 + t.11 $ 66 | 67 | A ojo veo que $ 2.17 + (-3).11 = 34 - 33 = 1 $ 68 | 69 | Por lo tanto, $ 1 = 2.17 + (-3).11 \iff 7 = 14.17 + (-21).11 $ 70 | 71 | Así encuentro que $ S_p = (14,-21) $ es solución particular de la ecuación. 72 | 73 | \textbf{4) busco solución del homogeneo asociado} 74 | \begin{align*} 75 | 17a + 11b = 0 \iff a = 11k \wedge b = -17k; \forall k \in \mathbb{Z} 76 | \end{align*} 77 | Luego $ S_0 = (11k, -17k) $ es solución al homogeneo asociado. 78 | 79 | \textbf{5) busco todas las soluciones} 80 | 81 | Con lo hallado obtengo que, 82 | 83 | \begin{align*} 84 | S &= S_0 + S_p \\ 85 | &= (11k; -17k) + (14; -21) \\ 86 | &= (11k+14; -17k-21); k \in \mathbb{Z} 87 | \end{align*} 88 | Y así, $S$ es el conjunto de soluciones a la ecuación diofántica. 89 | 90 | \textbf{6) verifico el conjunto solución} 91 | \begin{align*} 92 | 51a+33b = 21 &\iff 51(11k+14) + 33(-17k-21) = 21 \\ 93 | &\iff 561k + 714 - 561k - 693 = 21 \\ 94 | &\iff 714 - 693 = 21 \\ 95 | &\iff 21 = 21 \\ 96 | \end{align*} 97 | Como se quería verificar. 98 | 99 | Ahora utilizo la otra restricción. Sabiendo que $ (a,b) = (11k+14; -17k-21) $ son soluciones de la ecuación diofántica, busco los $(a,b) $ tales que $ 8a \equiv b(49) $ 100 | \begin{align*} 101 | 8a \equiv b(49) &\iff 8(11k+14) \equiv -17k-21(49) \\ 102 | &\iff 88k + 112 \equiv -17k-21(49) \\ 103 | &\iff 88k + 17k \equiv -21-112(49) \\ 104 | &\iff 105k \equiv -133(49) \\ 105 | &\iff 7k \equiv 14(49) \\ 106 | &\iff k \equiv 2(7) \\ 107 | \end{align*} 108 | Entonces para que se cumpla la segunda restricción, necesito que $ k = 7h + 2; h \in \mathbb{Z} $ 109 | 110 | Por lo tanto si $ k = 7h + 2 $ , 111 | \begin{align*} 112 | (a,b) &= (11k+14; -17k-21) \\ 113 | &= (11(7h + 2)+14; -17(7h + 2)-21) \\ 114 | &= (77h + 36; -119h - 55) \\ 115 | \end{align*} 116 | Rta.: $ \{ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 / a = 77h+36 \wedge b = -119h-55 \wedge h \in \mathbb{Z} \} $ 117 | 118 | \subsection{Ejercicio 2} 119 | 120 | Busco el resto de dividir a $ 8^{3^n-2} $ por $20$ 121 | 122 | Usando congruencia, $ 8^{3^n-2} \equiv a (20) $ 123 | 124 | Por el teorema chino del resto, se que existe una única solución mod 20 que satisface $ \begin{cases} 125 | 8^{3^n-2} = x (4) \\ 126 | 8^{3^n-2} = y (5) \\ 127 | \end{cases} $ pues $(4:5) = 1$ 128 | 129 | \textbf{Busco x} 130 | 131 | Se que $ 8 \equiv 0(4) $ pero, 132 | \begin{align*} 133 | 8^{3^n-2} \equiv 0 (4) \iff 3^n-2 \geq 1 134 | \end{align*} 135 | Y $ 3^n-2 \geq 1; \forall n \in \mathbb{N} $ 136 | 137 | Luego $ x = 0 $ 138 | 139 | \textbf{Busco y} 140 | 141 | Por el Pequeño Teorema de Fermat, dados $ a \in \mathbb{Z}; p \text{ primo }; a \perp p \implies a^{p-1} \equiv 1(p) $ 142 | 143 | En particular, $ 8\perp 5 \wedge 5 $ primo $ \implies 8^4 \equiv 1(5) $ 144 | 145 | Usando el algoritmo de división se que, $ 3^n-2 = 4j + r_4(3^n-2); j \in \mathbb{Z} $ 146 | 147 | Por lo tanto, 148 | \begin{align*} 149 | 8^{3^n-2} &= 8^{4j + r_4(3^n-2)} \\ 150 | &= (8^4)^j \cdot 8^{r_4(3^n-2)} \\ 151 | &\equiv 8^{r_4(3^n-2)} (5) \\ 152 | \end{align*} 153 | Luego, $ r_4(3^n-2) \implies 3^n-2 \equiv (-1)^n + 2 (4) $ 154 | 155 | \begin{itemize} 156 | \item n par $ \implies r_4(3^n-2) = 3 $ 157 | \item n impar $ \implies r_4(3^n-2) = 1 $ 158 | \end{itemize} 159 | Y por lo tanto 160 | \begin{itemize} 161 | \item n par $ \implies 8^{r_4(3^n-2)} \equiv 8^3 \equiv 3^3 \equiv 2 (5) $ 162 | \item n impar $ \implies 8^{r_4(3^n-2)} \equiv 8^1 \equiv 3 (5) $ 163 | \end{itemize} 164 | 165 | Así, $ y = \begin{cases} 166 | 2 & n \equiv 0 (2) \\ 167 | 3 & n \equiv 1 (2) \\ 168 | \end{cases} $ 169 | 170 | Volviendo al sistema de ecuaciones con $x$ e $y$ hallados me quedan dos sistemas,: 171 | 172 | $ S_1 = \begin{cases} 173 | 8^{3^n-2} \equiv 0 (4) \\ 174 | 8^{3^n-2} \equiv 2 (5) 175 | \end{cases} n \equiv 0(2)$ 176 | 177 | $ S_2 = \begin{cases} 178 | 8^{3^n-2} \equiv 0 (4) \\ 179 | 8^{3^n-2} \equiv 3 (5) 180 | \end{cases} n \equiv 1(2)$ 181 | 182 | Por TCR ya enunciado existe una única solución de $S_1$. A ojo veo que $ 8^{3^n-2} \equiv 12(20) $ es solución de $S_1$ 183 | 184 | Por TCR ya enunciado existe una única solución de $S_2$. A ojo veo que $ 8^{3^n-2} \equiv 8(20) $ es solución de $S_2$ 185 | 186 | Rta.: $ r_{20}(8^{3^n-2}) = \begin{cases} 187 | 12 & n \equiv 0(2) \\ 188 | 8 & n \equiv 1(2) 189 | \end{cases} $ 190 | 191 | \subsection{Ejercicio 3} 192 | 193 | \subsubsection*{Pregunta i} 194 | 195 | Por propiedades de las raíces multiples: $ a \in \mathbb{Q} \text{ es raíz multiple de f } \iff f(a) = 0 \wedge f'(a) = 0 $ 196 | 197 | Luego, 198 | \begin{align*} 199 | f'(a) = 0 &\iff 6x^5 - 5(a-1)a^4 - 4(a-1)a^3 - 3(a-1)a^2 - 2(a+2)a + 2a - 2 = 0 \\ 200 | &\iff 6x^5 - 5a^5 + 5a^4 - 4a^4 + 4a^3 - 3a^2 - 2a^2 - 4a + 2a - 2 = 0 \\ 201 | &\iff a^5 + a^4 + a^3 + a^2 - 2a -2 = 0 \\ 202 | \end{align*} 203 | Busco los $ a \in \mathbb{Q}: a^5 + a^4 + a^3 + a^2 - 2a -2 = 0 $ 204 | 205 | Luego por el lema de Gauss se que: sea $ p \in \mathbb{Z}[x] $ un polinomio, $ f(\frac{c}{d}) = 0 \implies c | a_0 \wedge d | cp(f) $ 206 | 207 | Por lo tanto $ a \in \{ \pm 1, \pm 2 \} $ 208 | 209 | Evalúo $ f' $ en los posibles candidatos: 210 | \begin{itemize} 211 | \item $ f'(-1) = -1+1-1+1+2-2 = 0 $ 212 | \item $ f'(1) = 1+1+1+1-2-2 = 0 $ 213 | \item $ f'(2) = 32+16+8+4-4-2 \neq 0 $ 214 | \item $ f'(-2) = -32+16-8+4+4-2 \neq 0 $ 215 | \end{itemize} 216 | Luego $ a = \pm 1 $ será raíz multiple de f $ \iff f(a) = 0 $ 217 | 218 | Evalúo $f$ en $ a = 1 $ 219 | \begin{align*} 220 | f(1) &= 1^6 - (1-1)1^5 - (1-1)1^4 - (1-1)1^3 - (1+2)1^2 + 2(1-1)1 + 2 \\ 221 | &= 1-3+2 \\ 222 | &= 0 \\ 223 | \end{align*} 224 | Luego $ a = 1 $ es raíz multiple de f. 225 | 226 | Evalúo $f$ en $ a = -1 $ 227 | \begin{align*} 228 | f(-1) &= (-1)^6 - (-1-1)(-1)^5 - (-1-1)(-1)^4 - (-1-1)(-1)^3 -(-1+2)(-1)^2 + 2(-1-1)(-1) + 2(-1) \\ 229 | &= 1 - (-2)(-1) - (-2).1 - (-2)(-1) - 1 + 2(-2)(-1) - 2 \\ 230 | &= 1-2+2-2-1+4-2 \\ 231 | &= 0 \\ 232 | \end{align*} 233 | Luego $ a = -1 $ es raíz multiple de f. 234 | 235 | Rta.: $ a \in \{ -1, 1 \} $ 236 | 237 | \subsubsection{Pregunta ii} 238 | 239 | Me piden factorizar $f$ con $ a = -1 $ 240 | 241 | Con $ a = -1 $ f queda: 242 | \begin{align*} 243 | f &= x^6 - (-1-1)x^5 - (-1-1)x^4 - (-1-1)x^3 - (-1+2)x^2 + 2(-1-1)x + 2(-1) \\ 244 | &= x^6 + 2x^5 + 2x^4 + 2x^3 - x^2 - 4x - 2 \\ 245 | \end{align*} 246 | Por el inciso anterior se que $ a = -1 $ es raíz multiple de f. 247 | Aca se puede hacer Ruffini dos veces que fue lo que hice en el parcial, o usar el algoritmo de división con $ (x+1)^2 $ 248 | 249 | Haciendo Ruffini o por algoritmo de división se obtiene: $ f = (x+1)^2(x^4+x^2-2) $ 250 | 251 | Defino $ g = x^4+x^2-2 $ y busco sus raíces. 252 | 253 | Se ve a simple vista que $ g(\pm 1) = 0 $ 254 | 255 | Luego usando Ruffini se obtiene que $ g = (x-1)(x+1)(x^2 + 2) $ 256 | 257 | Defino $ h = x^2 + 2 $ y busco sus raíces. 258 | 259 | $ h(a) = 0 \iff a^2 = -2 \iff a = \pm \sqrt[]{2}i $ 260 | 261 | Luego $ h = (x-\sqrt[]{2}i)(x+\sqrt[]{2}i) $ 262 | 263 | Con todo lo hallado, armo las factorizaciones. 264 | 265 | $ f = (x+1)^3(x-1)(x-\sqrt[]{2}i)(x+\sqrt[]{2}i) $ es la factorización en irreducibles en $ \mathbb{C}[x] $ pues todos los factores son mónicos de grado 1. 266 | 267 | $ f = (x+1)^3(x-1)(x^2 + 2) $ es la factorización en irreducibles en $ \mathbb{Q}[x]; \mathbb{R}[x] $ pues $ (x+1)(x-1) $ con mónicos de grado 1 y $ (x^2+2) $ tiene grados dos y no tiene raíces en $ \mathbb{Q}; \mathbb{R} $ 268 | 269 | \subsection{Ejercicio 4} 270 | 271 | Busco un polinomio $ f \in \mathbb{Q}[x] $ mónico de grado mínimo tal que: 272 | \begin{enumerate} 273 | \item $ 1+\sqrt[]{2} $ sea raíz de $f$ 274 | \item $ x^2(x+1) | (f:f') $ 275 | \item $ f(1) = 20 $ 276 | \end{enumerate} 277 | Por (1) se que $ 1+\sqrt[]{2} $ es raíz, pero por propiedades de $ f \in \mathbb{Q}[x] $ se que si $ a+b\sqrt[]{d} $ es raíz, $ a-b\sqrt[]{d} $ también lo es. 278 | 279 | En particular, $ 1+\sqrt[]{2} $ es raíz de f $ \iff 1-\sqrt[]{2} $ es raíz de f. 280 | 281 | Luego se que $ (x-(1+\sqrt[]{2}))(x-(1-\sqrt[]{2})) | f $ 282 | 283 | $ (x-(1+\sqrt[]{2}))(x-(1-\sqrt[]{2})) = x^2-2x-1 $ 284 | 285 | Por (2) se que $ x^2 | f $ y $ x^2 | f' $, como busco $f$ de menor grado y $ mult(0,f) \geq 2 \implies mult(0,f) = 3 $ 286 | 287 | Por (2) se que $ (x+1) | f $ y $ (x+1) | f' $, como busco $f$ de menor grado y $ mult(-1,f) \geq 1 \implies mult(-1,f) = 2 $ 288 | 289 | Luego $ x^3(x+1)^2 | f $ 290 | 291 | Juntando lo hallado, $ f = x^3(x+1)^2(x^2 - 2x - 2) $ es el de menor grado que cumple (1) y (2) 292 | 293 | Además, me piden que $ f(1) = 20 $ esto solo lo puedo lograr agregando un nuevo termino, podría lograrlo agregando una constante, pero el polinomio dejaría de ser mónico. Luego, 294 | \begin{align*} 295 | f(1) = 20 &\iff 1^3(1+1)^2(1^2 - 2.1 - 2)(1-a) = 20 \\ 296 | &\iff 4(-3)(1-a) = 20 \\ 297 | &\iff 1-a = -\frac{20}{12} \\ 298 | &\iff a = \frac{8}{3} \\ 299 | \end{align*} 300 | Rta.: $ f = x^3(x+1)^2(x^2-2x-2)(x-\frac{8}{3}) $ es el polinomio mónico de menor grado que cumple lo pedido. 301 | 302 | \end{document} 303 | -------------------------------------------------------------------------------- /parciales/soluciones/primerParcial.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Primer parcial 16/10/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Primer parcial Álgebra I} 38 | \subsection{Ejercicio 1} 39 | 40 | Por enunciado se que $ v = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \} $ y se define $R$ una relación en el conjunto $ P(V) $ como: 41 | 42 | \begin{equation} 43 | ARB \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup B)^c 44 | \end{equation} 45 | 46 | \subsubsection{Pregunta a} 47 | 48 | Voy a probar cada propiedad de la relación $R$ por separado. 49 | 50 | \textbf{Reflexividad} 51 | 52 | Por definición, una relación $R$ es reflexiva $ \iff \forall A \in P(V): ARA $ 53 | 54 | Por (1), $ ARA \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup A)^c$ 55 | 56 | Por definición de la unión de conjuntos, $ (A\cup A) = \{ a \in V: a \in A \vee a \in A\} \implies (A\cup A) = A $ 57 | 58 | Por lo tanto, $ ARA \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq A^c $ 59 | 60 | A simple vista parece una condición dificil de cumplir para cualquier elemento de $ P(V) $, busco un contraejemplo. 61 | 62 | Sea $ M = \{ 1,2,3 \} \in P(V) $, por definición de la relación, 63 | 64 | \begin{align*} 65 | MRM &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq M^c \\ 66 | &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq \{ 1,2,3 \}^c \\ 67 | &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq \{ 4,5,6,7,8,9,10 \} 68 | \end{align*} 69 | Que es falso, luego existe un $ M \in P(V): M\not R M $ y por lo tanto \underline{R NO es reflexiva}. 70 | 71 | \textbf{Simetría} 72 | 73 | Por definición, una relación $R$ es simétrica $ \iff \forall (A,B) \in P(V)^2: ARB \implies BRA$ 74 | 75 | Por (1) se que: $ ARB \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup B)^c$ \\ 76 | Y quiero probar que $ BRA \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (B\cup A)^c$ 77 | 78 | Pero por definición de la unión conjuntos: 79 | 80 | $ (A\cup B) = \{ x \in V: x\in A \vee x \in B \} = (B\cup A) $ 81 | 82 | Por lo tanto $ (A\cup B) = (B\cup A) \implies (A\cup B)^c = (B\cup A)^c $ 83 | 84 | Así, 85 | \begin{align*} 86 | BRA &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (B\cup A)^c \\ 87 | &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup B)^c \\ 88 | &\iff ARB 89 | \end{align*} 90 | Como se quería probar, luego \underline{R es simétrica}. 91 | 92 | \textbf{Transitividad} 93 | 94 | Por definición, una relación $R$ es transitiva $ \iff \forall (A,B,C) \in P(V)^3: (ARB \wedge BRC) \implies ARC $ 95 | 96 | Por (1) se que \\ 97 | $ ARB \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup B)^c$ \\ 98 | $ BRC \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (B\cup C)^c$ 99 | 100 | Y quiero probar que \\ 101 | $ ARC \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup C)^c$ 102 | 103 | Pero usando propiedades de la unión y el complemento de conjuntos: 104 | 105 | $ \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup B)^c \implies 1\not \in A \wedge 2 \not \in A \wedge 3 \not \in A $ \\ 106 | $ \{ 1,2,3 \} \subseteq (B\cup C)^c \implies 1\not \in C \wedge 2 \not \in C \wedge 3 \not \in C $ 107 | 108 | Por lo tanto 109 | \begin{align*} 110 | & 1\not \in (A\cup C) \wedge 2 \not \in (A\cup C) \wedge 3 \not \in (A\cup C) \\ 111 | \implies & 1 \in (A\cup C)^c \wedge 2 \in (A\cup C)^c \wedge 3 \in (A\cup C)^c \\ 112 | \implies & \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup C)^c \\ 113 | \implies & ARC 114 | \end{align*} 115 | Como se quería probar. Luego \underline{R es transitiva}. 116 | 117 | \textbf{Antisimetría} 118 | 119 | Por definición, una relación $R$ es antisimétrica $ \iff \forall (A,B) \in P(V)^2: (ARB \wedge BRA) \implies A=B$ 120 | 121 | Por (1) se que \\ 122 | $ ARB \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup B)^c$ \\ 123 | $ BRA \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (B\cup A)^c$ 124 | 125 | De nuevo parece ser una condición dificil de cumplir, dado que es fácil ver que varios elementos de $ P(V) $ puede no inlcuir el $ \{ 1,2,3 \} $ 126 | 127 | Busco un contraejemplo: 128 | 129 | Sean \\ 130 | $ A = \{ 4 \} $ \\ 131 | $ B = \{ 5 \} $ 132 | 133 | $ (A\cup B)^c = (B\cup A)^c = \{ 1,2,3,6,7,8,9,10 \} $ 134 | 135 | Luego, \\ 136 | $ ARB \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq \{ 1,2,3,6,7,8,9,10 \} $ \\ 137 | $ BRA \iff \{ 1,2,3 \} \subseteq \{ 1,2,3,6,7,8,9,10 \} $ 138 | 139 | Pero $ A\neq B $ y por lo tanto \underline{R no es antisimétrica}. 140 | 141 | \subsubsection{Pregunta b} 142 | 143 | El enunciado me pide que encuentre la cantidad de elementos $ A \in P(V) $ tales que: 144 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 145 | \item $ A \cap \{ 4,5,6 \} \neq \emptyset $ 146 | \item $ A R \{ 4,5,6 \}$ 147 | \end{enumerate} 148 | 149 | Por definición de la relación, se que 150 | \begin{align*} 151 | AR\{ 4,5,6 \} &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A\cup \{ 4,5,6 \})^c \\ 152 | AR\{ 4,5,6 \} &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A^c\cap \{ 4,5,6 \}^c) \text{ DeMorgan} \\ 153 | AR\{ 4,5,6 \} &\iff \{ 1,2,3 \} \subseteq (A^c\cap \{ 1,2,3,7,8,9,10 \}) 154 | \end{align*} 155 | Luego $ \{ 1,2,3 \} \not \subseteq A $ pues si $ \{ 1,2,3 \} \subseteq A \implies \{ 1,2,3 \} \not \subseteq A^c $ y por lo tanto 156 | $ \{ 1,2,3 \} \not \subseteq (A^c \cap \{ 1,2,3,7,8,9,10 \}) $ 157 | 158 | Así, se que 159 | \begin{enumerate} 160 | \item $ \{ 1,2,3 \} $: ninguno puede pertenecer a A. 161 | \item $ \{ 4,5,6 \} $: alguno tiene que pertenecer pertenecer a A. 162 | \item $ \{ 7,8,9,10 \} $: No hay restricciones. 163 | \end{enumerate} 164 | 165 | Estas son las condiciones que tengo que cumplir para calcular lo que me piden. 166 | 167 | Defino $ M = \{ 4,5,6,7,8,9,10 \} $ con $ \#P(M) = 2^7 $. 168 | 169 | Alcanza con quitar del total de conjuntos posibles, aquellos que no tienen a ninguno del conjunto $ \{ 4,5,6 \} $ 170 | 171 | Luego voy a tener $ 2^4 $ conjuntos en $ P(M) $ que no contienen al $ \{ 4,5,6 \} $ 172 | 173 | Por lo tanto, \underline{habrá $ 2^7 - 2^4 $ conjuntos que cumplen lo pedido}. 174 | 175 | \subsection{Ejercicio 2} 176 | 177 | Voy a hacer la demostración usando el principio de inducción. 178 | 179 | Defino $ p(n): \prod_{j=1}^{n}(n+j) \geq 2 \cdot 6^{n-1}; \forall n \in \mathbb{N} $ 180 | 181 | \textbf{Caso base n = 1} 182 | \begin{align*} 183 | p(1): & \prod_{j=1}^{1}(1+j) \geq 2 \cdot 6^{1-1} \\ 184 | & (1+1) \geq 2 \cdot 6^0 \\ 185 | & 2 \geq 2 \\ 186 | \end{align*} 187 | Así $ p(1) $ es verdadero. 188 | 189 | \textbf{Paso inductivo} 190 | 191 | Dado $ k \geq 1 $ quiero probar que $ p(k) \implies p(k+1) $ 192 | 193 | HI: $ \prod_{j=1}^{k}(k+j) \geq 2 \cdot 6^{k-1} $ 194 | 195 | Qpq: $ \prod_{j=1}^{k+1}((k+1)+j) \geq 2 \cdot 6^{(k+1)-1} \iff \prod_{j=1}^{k+1}(k+1+j) \geq 2 \cdot 6^{k} $ 196 | 197 | Desarrollo algunos términos de las productorias. 198 | 199 | $ \prod_{j=1}^{k}(k+j) = (k+1)(k+2)(k+3)...(k+k-1)(k+k)$ 200 | 201 | $ \prod_{j=1}^{k+1}(k+1+j) = (k+2)(k+3)(k+4)...(k+k)(k+k+1)(k+k+2)$ 202 | 203 | Veo que la productoria de la HI está incluida en la del Qpq. 204 | 205 | Luego, 206 | \begin{align*} 207 | \prod_{j=1}^{k+1}(k+1+j) &= \prod_{j=1}^{k}(k+j) \cdot \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)} \\ 208 | &\geq 2 \cdot 6^{k-1} \cdot \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)} \\ 209 | \end{align*} 210 | 211 | Por lo tanto alcanza probar que, 212 | \begin{align*} 213 | 2 \cdot 6^{k-1} \cdot \frac{(2k+1)(2k+2)}{(k+1)} &\geq 2 \cdot 6^k \\ 214 | 2 \cdot 6^k \cdot \frac{(2k+1)(2k+2)}{6(k+1)} &\geq 2 \cdot 6^k \\ 215 | \frac{(2k+1)(2k+2)}{6(k+1)} &\geq 1 \\ 216 | (2k+1)(2k+2) &\geq 6(k+1) \\ 217 | 4k^2+4k+2k+2 &\geq 6k+6 \\ 218 | 4k^2+6k+2 &\geq 6k+6 \\ 219 | 4k^2+6k+2 - 6k - 6 &\geq 0 \\ 220 | 4k^2 - 4 &\geq 0 \\ 221 | k^2 &\geq 1 \\ 222 | \end{align*} 223 | 224 | Que es verdadero, $ \forall k \geq 1 $ 225 | 226 | Entonces, queda demostrado que dado $ k \geq 1: p(k) \implies p(k+1) $. Junto con el caso base $ p(1) $ también verdadero, el principio de inducción asegura que $ p(n) $ es verdadero, $ \forall n \in \mathbb{N} $ 227 | 228 | \subsection{Ejercicio 3} 229 | 230 | Primero reescribo la expresión del enunciado. 231 | \begin{align*} 232 | \frac{2a-1}{5} - \frac{a-1}{2a-3} &= \frac{(2a-3)(2a-1) - 5(a-1)}{5(2a-3)} \\ 233 | &= \frac{4a^2-2a-6a+3-5a+5}{10a-15} \\ 234 | &= \frac{4a^2 - 13a + 8}{10a-15} \\ 235 | \end{align*} 236 | 237 | Entonces, 238 | \begin{align*} 239 | \frac{4a^2 - 13a + 8}{10a-15} \in \mathbb{Z} \iff 10a-15|4a^2-13a+8 240 | \end{align*} 241 | Busco entonces uan expresión del tipo $ 10a-15|n $ con $ n \in \mathbb{Z} $ 242 | 243 | Usando las propiedades del algoritmo de división, 244 | \begin{align*} 245 | (10a-15|4a^2-13a+8) \wedge (10a-15|10a-15) &\implies 10a-15|10(4a^2-13a+8) - 4a(10a-15) \\ 246 | &\implies 10a-15|40a^2-130a+80 - 40a+60 \\ 247 | &\implies 10a-15|-70a+80 \\ 248 | \end{align*} 249 | Entonces, 250 | \begin{align*} 251 | (\implies 10a-15|-70a+80) \wedge (10a-15|10a-15) &\implies 10a-15|-70a+80 +7(10a-15) \\ 252 | &\implies 10a-15|-70a+80 + 70a - 105 \\ 253 | &\implies 10a-15|-25 \\ 254 | \end{align*} 255 | 256 | Pero por algoritmo de división, existe $ k \in \mathbb{Z} $ tal que, 257 | \begin{align*} 258 | 10a-15|-25 &\iff -25 = k(10a-15) \\ 259 | &\iff (-1).5.5 = k.5.(2a-3) \\ 260 | &\iff -5 = k.(2a-3) \\ 261 | &\iff (2a-3)|-5 \\ 262 | \end{align*} 263 | 264 | Entonces $ 2a-3 \in Div(5) = \{ \pm 1, \pm 5 \} $ 265 | \begin{itemize} 266 | \item $ 2a-3 = 1 \implies a = 2 \implies \frac{4a^2-13a+8}{10a-15} = \frac{-2}{5} \not \in \mathbb{Z} $ 267 | \item $ 2a-3 = -1 \implies a = 1 \implies \frac{4a^2-13a+8}{10a-15} = \frac{-1}{5} \not \in \mathbb{Z} $ 268 | \item $ 2a-3 = 5 \implies a = 4 \implies \frac{4a^2-13a+8}{10a-15} = \frac{20}{25} \not \in \mathbb{Z} $ 269 | \item $ 2a-3 = -5 \implies a = -1 \implies \frac{4a^2-13a+8}{10a-15} = \frac{25}{-25} = -1 \in \mathbb{Z} $ 270 | \end{itemize} 271 | 272 | Luego, 273 | \begin{align*} 274 | \frac{2a-1}{5} - \frac{a-1}{2a-3} \in \mathbb{Z} \iff a = -1 275 | \end{align*} 276 | 277 | \subsection{Ejercicio 4} 278 | 279 | Por enunciado se que $ (a:b) = 5 $. 280 | 281 | Sea $ d = (2a^3 + 35ab + 25: 350) $ 282 | 283 | Sabiendo el MCD entre a y b, voy a comprimizar d. 284 | 285 | Por propiedades del MCD se que existen $ \alpha; \beta \in \mathbb{Z}: \alpha \perp \beta $ y, \\ 286 | $ a = 5\alpha $\\ 287 | $ b = 5\beta $ 288 | 289 | Luego, 290 | \begin{align*} 291 | d &= ( 2(5\alpha)^3 + 35(5\alpha)(5\beta) + 25:350 ) \\ 292 | &= ( 2.5^3.\alpha^3 + 7.5^3.\alpha.\beta) + 5^2:2.5^2.7 ) \\ 293 | &= ( 5^2(2.5.\alpha^3 + 7.5.\alpha.\beta + 1):5^2(2.7) ) \\ 294 | &= 5^2.( 2.5.\alpha^3 + 7.5.\alpha.\beta + 1:2.7 ) \\ 295 | \end{align*} 296 | 297 | Sea ahora $ k = (2.5.\alpha^3 + 7.5.\alpha.\beta + 1:2.7) $ 298 | 299 | Luego $ k|2.7 $ por lo tanto $ k = 2^i.7^j $ con $ 0\leq i, j \leq 1 $ 300 | 301 | Resta definir los $ i,j $ tales que $ k|2.5.\alpha^3 + 7.5.\alpha.\beta + 1 $ con los primos 2 y 7. 302 | 303 | \textbf{Caso p = 2} 304 | 305 | $ 2.5.\alpha^3 + 7.5.\alpha.\beta + 1 \equiv 0 + 1.1.\alpha.\beta + 1 \equiv \alpha.\beta + 1 (2)$ 306 | 307 | Entonces, 308 | \begin{itemize} 309 | \item Si $ \alpha $ y $ \beta $ son ambos pares $ \implies \alpha.\beta + 1 \equiv 1(2) \implies i = 0$ 310 | \item Si uno de ellos es par y el otro impar $ \implies \alpha.\beta + 1 \equiv 1(2) \implies i = 0 $ 311 | \item Si son ambos impares $ \implies \alpha.\beta + 1 \equiv 0(2) \implies i = 1 $ 312 | \end{itemize} 313 | \textbf{Caso p = 7} 314 | 315 | $ 2.5.\alpha^3 + 7.5.\alpha.\beta + 1 \equiv 3.\alpha + 1 (7) $ 316 | 317 | Entonces busco los $ \alpha $ tales que $ 3.\alpha + 1 \equiv 0 (7) $ 318 | 319 | (Acá hay que hacer una tabla de restos con totos los posibles escenarios) 320 | 321 | Por tabla de restos, $ 3\alpha^3+1 \not \equiv 0(7); \forall \alpha \in \mathbb{Z} $ y por lo tanto $ j = 0 $ 322 | 323 | Con los i, j hallados; busco k. 324 | 325 | $ \begin{cases} 326 | k = 2 & \alpha \equiv 1 (2) \wedge \beta \equiv 1(2) \\ 327 | k = 1 & \text{en otro caso} 328 | \end{cases} $ 329 | 330 | Y con los valores de k hallados, busco $ d = 25.k $ 331 | 332 | $ \begin{cases} 333 | d = 25.2 = 50 & \alpha \equiv 1 (2) \wedge \beta \equiv 1(2) \\ 334 | d = 25.1 = 25 & \text{en otro caso} 335 | \end{cases} $ 336 | 337 | \underline{Ejemplos} 338 | 339 | $ (a,b) = (0,5) \implies (2.0+0+25:350) = 25 $ 340 | 341 | $ (a,b) = (5,5) \implies (1150:350) = 50 $ 342 | 343 | 344 | \end{document} 345 | -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/caratula.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % ************************************************************************** 2 | % 3 | % Package 'caratula', version 0.5.1 (para componer caratulas de TPs del DC). 4 | % Rev (25/02/2017): Pequeño cambio para poder usar las macros de Algo1 5 | % En caso de dudas, problemas o sugerencias sobre este package escribir a 6 | % Brian J. Cardiff (bcardif arroba gmail.com). 7 | % Nico Rosner (nrosner arroba dc.uba.ar). 8 | % 9 | % ************************************************************************** 10 | 11 | % ----- Informacion sobre el package para el sistema ----------------------- 12 | 13 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 14 | \ProvidesPackage{caratula}[2013/08/04 v0.5 Para componer caratulas de TPs del DC] 15 | \RequirePackage{ifthen} 16 | \usepackage{graphicx} 17 | 18 | % ----- Imprimir un mensajito al procesar un .tex que use este package ----- 19 | 20 | \typeout{Cargando package 'caratula' v0.5 (2013/08/04)} 21 | 22 | % ----- Algunas variables -------------------------------------------------- 23 | 24 | \let\Materia\relax 25 | \let\Submateria\relax 26 | \let\Titulo\relax 27 | \let\Subtitulo\relax 28 | \let\Grupo\relax 29 | \let\Fecha\relax 30 | \let\Logoimagefile\relax 31 | \newcommand{\LabelIntegrantes}{} 32 | \newboolean{showLU} 33 | \newboolean{showEntregas} 34 | \newboolean{showDirectores} 35 | \newboolean{showCoDirectores} 36 | 37 | % ----- Comandos para que el usuario defina las variables ------------------ 38 | 39 | \def\materia#1{\def\Materia{#1}} 40 | \def\submateria#1{\def\Submateria{#1}} 41 | \def\titulo#1{\def\Titulo{#1}} 42 | \def\subtitulo#1{\def\Subtitulo{#1}} 43 | \def\grupo#1{\def\Grupo{#1}} 44 | \def\fecha#1{\def\Fecha{#1}} 45 | \def\logoimagefile#1{\def\Logoimagefile{#1}} 46 | 47 | % ----- Token list para los integrantes ------------------------------------ 48 | 49 | \newtoks\intlist\intlist={} 50 | 51 | \newtoks\intlistSinLU\intlistSinLU={} 52 | 53 | \newcounter{integrantesCount} 54 | \setcounter{integrantesCount}{0} 55 | \newtoks\intTabNombre\intTabNombre={} 56 | \newtoks\intTabLU\intTabLU={} 57 | \newtoks\intTabEmail\intTabEmail={} 58 | 59 | \newcounter{directoresCount} 60 | \setcounter{directoresCount}{0} 61 | \newtoks\direcTabNombre\direcTabNombre={} 62 | \newtoks\direcTabEmail\direcTabEmail={} 63 | 64 | \newcounter{coDirectoresCount} 65 | \setcounter{coDirectoresCount}{0} 66 | \newtoks\codirecTabNombre\codirecTabNombre={} 67 | \newtoks\codirecTabEmail\codirecTabEmail={} 68 | 69 | 70 | % ----- Comando para que el usuario agregue integrantes -------------------- 71 | 72 | \def\integrante#1#2#3{% 73 | \intlist=\expandafter{\the\intlist\rule{0pt}{1.2em}#1&\tt #3\\[0.2em]}% 74 | \intlistSinLU=\expandafter{\the\intlistSinLU\rule{0pt}{1.2em}#1 & \tt #3\\[0.2em]}% 75 | % 76 | \ifthenelse{\value{integrantesCount} > 0}{% 77 | \intTabNombre=\expandafter{\the\intTabNombre & #1}% 78 | \intTabLU=\expandafter{\the\intTabLU & #2}% 79 | \intTabEmail=\expandafter{\the\intTabEmail & \tt #3}% 80 | }{ 81 | \intTabNombre=\expandafter{\the\intTabNombre #1}% 82 | \intTabLU=\expandafter{\the\intTabLU #2}% 83 | \intTabEmail=\expandafter{\the\intTabEmail \tt #3}% 84 | }% 85 | \addtocounter{integrantesCount}{1}% 86 | } 87 | 88 | \def\director#1#2{% 89 | \ifthenelse{\value{directoresCount} > 0}{% 90 | \direcTabNombre=\expandafter{\the\direcTabNombre & #1}% 91 | \direcTabEmail=\expandafter{\the\direcTabEmail & \tt #2}% 92 | }{ 93 | \direcTabNombre=\expandafter{\the\direcTabNombre #1}% 94 | \direcTabEmail=\expandafter{\the\direcTabEmail \tt #2}% 95 | }% 96 | \addtocounter{directoresCount}{1}% 97 | } 98 | 99 | \def\codirector#1#2{% 100 | \ifthenelse{\value{coDirectoresCount} > 0}{% 101 | \codirecTabNombre=\expandafter{\the\codirecTabNombre & #1}% 102 | \codirecTabEmail=\expandafter{\the\codirecTabEmail & \tt #2}% 103 | }{ 104 | \codirecTabNombre=\expandafter{\the\codirecTabNombre #1}% 105 | \codirecTabEmail=\expandafter{\the\codirecTabEmail \tt #2}% 106 | }% 107 | \addtocounter{coDirectoresCount}{1}% 108 | } 109 | 110 | 111 | % ----- Macro para generar la tabla de integrantes ------------------------- 112 | 113 | \newcommand{\tablaIntegrantes}{\ } 114 | 115 | \newcommand{\tablaIntegrantesVertical}{% 116 | \ifthenelse{\boolean{showLU}}{% 117 | \begin{tabular}[t]{| l @{\hspace{4ex}} c @{\hspace{4ex}} l|} 118 | \hline 119 | \multicolumn{1}{|c}{\rule{0pt}{1.2em} \LabelIntegrantes} & LU & \multicolumn{1}{c|}{Correo electr\'onico} \\[0.2em] 120 | \hline \hline 121 | \the\intlist 122 | \hline 123 | \end{tabular} 124 | }{ 125 | \begin{tabular}[t]{| l @{\hspace{4ex}} @{\hspace{4ex}} l|} 126 | \hline 127 | \multicolumn{1}{|c}{\rule{0pt}{1.2em} \LabelIntegrantes} & \multicolumn{1}{c|}{Correo electr\'onico} \\[0.2em] 128 | \hline \hline 129 | \the\intlistSinLU 130 | \hline 131 | \end{tabular} 132 | }% 133 | } 134 | 135 | \newcommand{\tablaIntegrantesHorizontal}{% 136 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{integrantesCount}}{c} } 137 | \the\intTabNombre \\% 138 | \ifthenelse{\boolean{showLU}}{ 139 | \the\intTabLU \\% 140 | }{} 141 | \the\intTabEmail % 142 | \end{tabular}% 143 | } 144 | 145 | \newcommand{\tablaDirectores}{% 146 | \ifthenelse{\boolean{showDirectores}}{% 147 | \bigskip 148 | Directores 149 | 150 | \smallskip 151 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{directoresCount}}{c} } 152 | \the\direcTabNombre \\% 153 | \the\direcTabEmail % 154 | \end{tabular}% 155 | }{}% 156 | } 157 | 158 | \newcommand{\tablaCoDirectores}{% 159 | \ifthenelse{\boolean{showCoDirectores}}{% 160 | \bigskip 161 | Co-Directores 162 | 163 | \smallskip 164 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{coDirectoresCount}}{c} } 165 | \the\codirecTabNombre \\% 166 | \the\codirecTabEmail % 167 | \end{tabular}% 168 | }{}% 169 | } 170 | 171 | \newcommand{\tablaEntregas}{% 172 | \ifthenelse{\boolean{showEntregas}}{% 173 | \bigskip% 174 | \begin{tabular}[t]{|l p{3.5cm} p{1.5cm}|}% 175 | \hline% 176 | \rule{0pt}{1.2em} Instancia & Docente & Nota \\[0.2em] % 177 | \hline% 178 | \hline% 179 | \rule{0pt}{1.2em} Primera entrega & & \\[0.2em] % 180 | \hline% 181 | \rule{0pt}{1.2em} Segunda entrega & & \\[0.2em] % 182 | \hline% 183 | \end{tabular}% 184 | }{}% 185 | } 186 | 187 | % ----- Codigo para manejo de errores -------------------------------------- 188 | 189 | \def\se{\let\ifsetuperror\iftrue} 190 | \def\ifsetuperror{% 191 | \let\ifsetuperror\iffalse 192 | \ifx\Materia\relax\se\errhelp={Te olvidaste de proveer una \materia{}.}\fi 193 | \ifx\Titulo\relax\se\errhelp={Te olvidaste de proveer un \titulo{}.}\fi 194 | \edef\mlist{\the\intlist}\ifx\mlist\empty\se% 195 | \errhelp={Tenes que proveer al menos un \integrante{nombre}{lu}{email}.}\fi 196 | \expandafter\ifsetuperror} 197 | 198 | \def\aftermaketitle{% 199 | \setcounter{page}{1} 200 | } 201 | 202 | % ----- \maketitletxt correspondiente a la versión v0.2.1 (texto v0.2 + fecha ) --------- 203 | 204 | \def\maketitletxt{% 205 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 206 | \thispagestyle{empty} 207 | \begin{center} 208 | \vspace*{\stretch{2}} 209 | {\LARGE\textbf{\Materia}}\\[1em] 210 | \ifx\Submateria\relax\else{\Large \Submateria}\\[0.5em]\fi 211 | \ifx\Fecha\relax\else{\Large \Fecha}\\[0.5em]\fi 212 | \par\vspace{\stretch{1}} 213 | {\large Departamento de Computaci\'on}\\[0.5em] 214 | {\large Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}\\[0.5em] 215 | {\large Universidad de Buenos Aires} 216 | \par\vspace{\stretch{3}} 217 | {\Large \textbf{\Titulo}}\\[0.8em] 218 | {\Large \Subtitulo} 219 | \par\vspace{\stretch{3}} 220 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 221 | \tablaIntegrantes 222 | \end{center} 223 | \vspace*{\stretch{3}} 224 | \newpage\aftermaketitle} 225 | 226 | % ----- \maketitletxtlogo correspondiente v0.2.1 (texto con fecha y logo) --------- 227 | 228 | \def\maketitletxtlogo{% 229 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 230 | \thispagestyle{empty} 231 | \begin{center} 232 | \ifx\Logoimagefile\relax\else\includegraphics{\Logoimagefile}\fi \hfill \includegraphics{logo_dc.jpg}\\[1em] 233 | \vspace*{\stretch{2}} 234 | {\LARGE\textbf{\Materia}}\\[1em] 235 | \ifx\Submateria\relax\else{\Large \Submateria}\\[0.5em]\fi 236 | \ifx\Fecha\relax\else{\large \Fecha}\\[0.5em]\fi 237 | \par\vspace{\stretch{1}} 238 | {\large Departamento de Computaci\'on}\\[0.5em] 239 | {\large Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}\\[0.5em] 240 | {\large Universidad de Buenos Aires} 241 | \par\vspace{\stretch{3}} 242 | {\Large \textbf{\Titulo}}\\[0.8em] 243 | {\Large \Subtitulo} 244 | \par\vspace{\stretch{3}} 245 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 246 | \tablaIntegrantes 247 | \end{center} 248 | \vspace*{\stretch{4}} 249 | \newpage\aftermaketitle} 250 | 251 | % ----- \maketitlegraf correspondiente a la versión v0.3 (gráfica) ------------- 252 | 253 | \def\maketitlegraf{% 254 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 255 | % 256 | \thispagestyle{empty} 257 | 258 | \ifx\Logoimagefile\relax\else\includegraphics{\Logoimagefile}\fi \hfill \includegraphics{logo_dc.jpg} 259 | 260 | \vspace*{.06 \textheight} 261 | 262 | \noindent \textbf{\huge \Titulo} \medskip \\ 263 | \ifx\Subtitulo\relax\else\noindent\textbf{\large \Subtitulo} \\ \fi% 264 | \noindent \rule{\textwidth}{1 pt} 265 | 266 | {\noindent\large\Fecha \hspace*\fill \Materia} \\ 267 | \ifx\Submateria\relax\else{\noindent \hspace*\fill \Submateria}\fi% 268 | 269 | \medskip% 270 | \begin{center} 271 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 272 | \tablaIntegrantes 273 | 274 | \tablaDirectores 275 | 276 | \tablaCoDirectores 277 | 278 | \tablaEntregas 279 | \end{center}% 280 | \vfill% 281 | % 282 | \begin{minipage}[t]{\textwidth} 283 | \begin{minipage}[t]{.55 \textwidth} 284 | \includegraphics{logo_uba.jpg} 285 | \end{minipage}%% 286 | \begin{minipage}[b]{.45 \textwidth} 287 | \textbf{\textsf{Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}} \\ 288 | \textsf{Universidad de Buenos Aires} \\ 289 | {\scriptsize % 290 | Ciudad Universitaria - (Pabell\'on I/Planta Baja) \\ 291 | Intendente G\"uiraldes 2610 - C1428EGA \\ 292 | Ciudad Aut\'onoma de Buenos Aires - Rep. Argentina \\ 293 | Tel/Fax: (++54 +11) 4576-3300 \\ 294 | http://www.exactas.uba.ar \\ 295 | } 296 | \end{minipage} 297 | \end{minipage}% 298 | % 299 | \newpage\aftermaketitle} 300 | 301 | % ----- Reemplazamos el comando \maketitle de LaTeX con el nuestro --------- 302 | \renewcommand{\maketitle}{\maketitlegraf} 303 | 304 | % ----- Dependiendo de las opciones --------- 305 | % 306 | % opciones: 307 | % txt : caratula solo texto. 308 | % txtlogo : caratula txt con logo del DC y del grupo (opcional). 309 | % graf : (default) caratula grafica con logo del DC, UBA y del grupo (opcional). 310 | % 311 | \@makeother\*% some package redefined it as a letter (as color.sty) 312 | % 313 | % Layout general de la caratula 314 | % 315 | \DeclareOption{txt}{\renewcommand{\maketitle}{\maketitletxt}} 316 | \DeclareOption{txtlogo}{\renewcommand{\maketitle}{\maketitletxtlogo}} 317 | \DeclareOption{graf}{\renewcommand{\maketitle}{\maketitlegraf}} 318 | % 319 | % Etiqueta Autores o Integrantes 320 | % 321 | \DeclareOption{integrante}{\renewcommand{\LabelIntegrantes}{Integrante}} 322 | \DeclareOption{autor}{\renewcommand{\LabelIntegrantes}{Autor}} 323 | % 324 | % Formato tabla de integrantes 325 | % 326 | \DeclareOption{intVert}{\renewcommand{\tablaIntegrantes}{\tablaIntegrantesVertical}} 327 | \DeclareOption{intHoriz}{\renewcommand{\tablaIntegrantes}{\tablaIntegrantesHorizontal}} 328 | \DeclareOption{conLU}{\setboolean{showLU}{true}} 329 | \DeclareOption{sinLU}{\setboolean{showLU}{false}} 330 | \DeclareOption{conEntregas}{\setboolean{showEntregas}{true}} 331 | \DeclareOption{sinEntregas}{\setboolean{showEntregas}{false}} 332 | \DeclareOption{showDirectores}{\setboolean{showDirectores}{true}} 333 | \DeclareOption{hideDirectores}{\setboolean{showDirectores}{false}} 334 | \DeclareOption{showCoDirectores}{\setboolean{showCoDirectores}{true}} 335 | \DeclareOption{hideCoDirectores}{\setboolean{showCoDirectores}{false}} 336 | % 337 | % Opciones predeterminadas 338 | % 339 | \ExecuteOptions{intVert}% 340 | \ExecuteOptions{graf}% 341 | \ExecuteOptions{integrante}% 342 | \ExecuteOptions{conLU}% 343 | \ExecuteOptions{hideDirectores}% 344 | \ExecuteOptions{hideCoDirectores}% 345 | \ExecuteOptions{sinEntregas}% 346 | % 347 | \ProcessOptions\relax -------------------------------------------------------------------------------- /parciales/soluciones/caratula.sty: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | % ************************************************************************** 2 | % 3 | % Package 'caratula', version 0.5.1 (para componer caratulas de TPs del DC). 4 | % Rev (25/02/2017): Pequeño cambio para poder usar las macros de Algo1 5 | % En caso de dudas, problemas o sugerencias sobre este package escribir a 6 | % Brian J. Cardiff (bcardif arroba gmail.com). 7 | % Nico Rosner (nrosner arroba dc.uba.ar). 8 | % 9 | % ************************************************************************** 10 | 11 | % ----- Informacion sobre el package para el sistema ----------------------- 12 | 13 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 14 | \ProvidesPackage{caratula}[2013/08/04 v0.5 Para componer caratulas de TPs del DC] 15 | \RequirePackage{ifthen} 16 | \usepackage{graphicx} 17 | 18 | % ----- Imprimir un mensajito al procesar un .tex que use este package ----- 19 | 20 | \typeout{Cargando package 'caratula' v0.5 (2013/08/04)} 21 | 22 | % ----- Algunas variables -------------------------------------------------- 23 | 24 | \let\Materia\relax 25 | \let\Submateria\relax 26 | \let\Titulo\relax 27 | \let\Subtitulo\relax 28 | \let\Grupo\relax 29 | \let\Fecha\relax 30 | \let\Logoimagefile\relax 31 | \newcommand{\LabelIntegrantes}{} 32 | \newboolean{showLU} 33 | \newboolean{showEntregas} 34 | \newboolean{showDirectores} 35 | \newboolean{showCoDirectores} 36 | 37 | % ----- Comandos para que el usuario defina las variables ------------------ 38 | 39 | \def\materia#1{\def\Materia{#1}} 40 | \def\submateria#1{\def\Submateria{#1}} 41 | \def\titulo#1{\def\Titulo{#1}} 42 | \def\subtitulo#1{\def\Subtitulo{#1}} 43 | \def\grupo#1{\def\Grupo{#1}} 44 | \def\fecha#1{\def\Fecha{#1}} 45 | \def\logoimagefile#1{\def\Logoimagefile{#1}} 46 | 47 | % ----- Token list para los integrantes ------------------------------------ 48 | 49 | \newtoks\intlist\intlist={} 50 | 51 | \newtoks\intlistSinLU\intlistSinLU={} 52 | 53 | \newcounter{integrantesCount} 54 | \setcounter{integrantesCount}{0} 55 | \newtoks\intTabNombre\intTabNombre={} 56 | \newtoks\intTabLU\intTabLU={} 57 | \newtoks\intTabEmail\intTabEmail={} 58 | 59 | \newcounter{directoresCount} 60 | \setcounter{directoresCount}{0} 61 | \newtoks\direcTabNombre\direcTabNombre={} 62 | \newtoks\direcTabEmail\direcTabEmail={} 63 | 64 | \newcounter{coDirectoresCount} 65 | \setcounter{coDirectoresCount}{0} 66 | \newtoks\codirecTabNombre\codirecTabNombre={} 67 | \newtoks\codirecTabEmail\codirecTabEmail={} 68 | 69 | 70 | % ----- Comando para que el usuario agregue integrantes -------------------- 71 | 72 | \def\integrante#1#2#3{% 73 | \intlist=\expandafter{\the\intlist\rule{0pt}{1.2em}#1&\tt #3\\[0.2em]}% 74 | \intlistSinLU=\expandafter{\the\intlistSinLU\rule{0pt}{1.2em}#1 & \tt #3\\[0.2em]}% 75 | % 76 | \ifthenelse{\value{integrantesCount} > 0}{% 77 | \intTabNombre=\expandafter{\the\intTabNombre & #1}% 78 | \intTabLU=\expandafter{\the\intTabLU & #2}% 79 | \intTabEmail=\expandafter{\the\intTabEmail & \tt #3}% 80 | }{ 81 | \intTabNombre=\expandafter{\the\intTabNombre #1}% 82 | \intTabLU=\expandafter{\the\intTabLU #2}% 83 | \intTabEmail=\expandafter{\the\intTabEmail \tt #3}% 84 | }% 85 | \addtocounter{integrantesCount}{1}% 86 | } 87 | 88 | \def\director#1#2{% 89 | \ifthenelse{\value{directoresCount} > 0}{% 90 | \direcTabNombre=\expandafter{\the\direcTabNombre & #1}% 91 | \direcTabEmail=\expandafter{\the\direcTabEmail & \tt #2}% 92 | }{ 93 | \direcTabNombre=\expandafter{\the\direcTabNombre #1}% 94 | \direcTabEmail=\expandafter{\the\direcTabEmail \tt #2}% 95 | }% 96 | \addtocounter{directoresCount}{1}% 97 | } 98 | 99 | \def\codirector#1#2{% 100 | \ifthenelse{\value{coDirectoresCount} > 0}{% 101 | \codirecTabNombre=\expandafter{\the\codirecTabNombre & #1}% 102 | \codirecTabEmail=\expandafter{\the\codirecTabEmail & \tt #2}% 103 | }{ 104 | \codirecTabNombre=\expandafter{\the\codirecTabNombre #1}% 105 | \codirecTabEmail=\expandafter{\the\codirecTabEmail \tt #2}% 106 | }% 107 | \addtocounter{coDirectoresCount}{1}% 108 | } 109 | 110 | 111 | % ----- Macro para generar la tabla de integrantes ------------------------- 112 | 113 | \newcommand{\tablaIntegrantes}{\ } 114 | 115 | \newcommand{\tablaIntegrantesVertical}{% 116 | \ifthenelse{\boolean{showLU}}{% 117 | \begin{tabular}[t]{| l @{\hspace{4ex}} c @{\hspace{4ex}} l|} 118 | \hline 119 | \multicolumn{1}{|c}{\rule{0pt}{1.2em} \LabelIntegrantes} & LU & \multicolumn{1}{c|}{Correo electr\'onico} \\[0.2em] 120 | \hline \hline 121 | \the\intlist 122 | \hline 123 | \end{tabular} 124 | }{ 125 | \begin{tabular}[t]{| l @{\hspace{4ex}} @{\hspace{4ex}} l|} 126 | \hline 127 | \multicolumn{1}{|c}{\rule{0pt}{1.2em} \LabelIntegrantes} & \multicolumn{1}{c|}{Correo electr\'onico} \\[0.2em] 128 | \hline \hline 129 | \the\intlistSinLU 130 | \hline 131 | \end{tabular} 132 | }% 133 | } 134 | 135 | \newcommand{\tablaIntegrantesHorizontal}{% 136 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{integrantesCount}}{c} } 137 | \the\intTabNombre \\% 138 | \ifthenelse{\boolean{showLU}}{ 139 | \the\intTabLU \\% 140 | }{} 141 | \the\intTabEmail % 142 | \end{tabular}% 143 | } 144 | 145 | \newcommand{\tablaDirectores}{% 146 | \ifthenelse{\boolean{showDirectores}}{% 147 | \bigskip 148 | Directores 149 | 150 | \smallskip 151 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{directoresCount}}{c} } 152 | \the\direcTabNombre \\% 153 | \the\direcTabEmail % 154 | \end{tabular}% 155 | }{}% 156 | } 157 | 158 | \newcommand{\tablaCoDirectores}{% 159 | \ifthenelse{\boolean{showCoDirectores}}{% 160 | \bigskip 161 | Co-Directores 162 | 163 | \smallskip 164 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{coDirectoresCount}}{c} } 165 | \the\codirecTabNombre \\% 166 | \the\codirecTabEmail % 167 | \end{tabular}% 168 | }{}% 169 | } 170 | 171 | \newcommand{\tablaEntregas}{% 172 | \ifthenelse{\boolean{showEntregas}}{% 173 | \bigskip% 174 | \begin{tabular}[t]{|l p{3.5cm} p{1.5cm}|}% 175 | \hline% 176 | \rule{0pt}{1.2em} Instancia & Docente & Nota \\[0.2em] % 177 | \hline% 178 | \hline% 179 | \rule{0pt}{1.2em} Primera entrega & & \\[0.2em] % 180 | \hline% 181 | \rule{0pt}{1.2em} Segunda entrega & & \\[0.2em] % 182 | \hline% 183 | \end{tabular}% 184 | }{}% 185 | } 186 | 187 | % ----- Codigo para manejo de errores -------------------------------------- 188 | 189 | \def\se{\let\ifsetuperror\iftrue} 190 | \def\ifsetuperror{% 191 | \let\ifsetuperror\iffalse 192 | \ifx\Materia\relax\se\errhelp={Te olvidaste de proveer una \materia{}.}\fi 193 | \ifx\Titulo\relax\se\errhelp={Te olvidaste de proveer un \titulo{}.}\fi 194 | \edef\mlist{\the\intlist}\ifx\mlist\empty\se% 195 | \errhelp={Tenes que proveer al menos un \integrante{nombre}{lu}{email}.}\fi 196 | \expandafter\ifsetuperror} 197 | 198 | \def\aftermaketitle{% 199 | \setcounter{page}{1} 200 | } 201 | 202 | % ----- \maketitletxt correspondiente a la versión v0.2.1 (texto v0.2 + fecha ) --------- 203 | 204 | \def\maketitletxt{% 205 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 206 | \thispagestyle{empty} 207 | \begin{center} 208 | \vspace*{\stretch{2}} 209 | {\LARGE\textbf{\Materia}}\\[1em] 210 | \ifx\Submateria\relax\else{\Large \Submateria}\\[0.5em]\fi 211 | \ifx\Fecha\relax\else{\Large \Fecha}\\[0.5em]\fi 212 | \par\vspace{\stretch{1}} 213 | {\large Departamento de Computaci\'on}\\[0.5em] 214 | {\large Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}\\[0.5em] 215 | {\large Universidad de Buenos Aires} 216 | \par\vspace{\stretch{3}} 217 | {\Large \textbf{\Titulo}}\\[0.8em] 218 | {\Large \Subtitulo} 219 | \par\vspace{\stretch{3}} 220 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 221 | \tablaIntegrantes 222 | \end{center} 223 | \vspace*{\stretch{3}} 224 | \newpage\aftermaketitle} 225 | 226 | % ----- \maketitletxtlogo correspondiente v0.2.1 (texto con fecha y logo) --------- 227 | 228 | \def\maketitletxtlogo{% 229 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 230 | \thispagestyle{empty} 231 | \begin{center} 232 | \ifx\Logoimagefile\relax\else\includegraphics{\Logoimagefile}\fi \hfill \includegraphics{logo_dc.jpg}\\[1em] 233 | \vspace*{\stretch{2}} 234 | {\LARGE\textbf{\Materia}}\\[1em] 235 | \ifx\Submateria\relax\else{\Large \Submateria}\\[0.5em]\fi 236 | \ifx\Fecha\relax\else{\large \Fecha}\\[0.5em]\fi 237 | \par\vspace{\stretch{1}} 238 | {\large Departamento de Computaci\'on}\\[0.5em] 239 | {\large Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}\\[0.5em] 240 | {\large Universidad de Buenos Aires} 241 | \par\vspace{\stretch{3}} 242 | {\Large \textbf{\Titulo}}\\[0.8em] 243 | {\Large \Subtitulo} 244 | \par\vspace{\stretch{3}} 245 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 246 | \tablaIntegrantes 247 | \end{center} 248 | \vspace*{\stretch{4}} 249 | \newpage\aftermaketitle} 250 | 251 | % ----- \maketitlegraf correspondiente a la versión v0.3 (gráfica) ------------- 252 | 253 | \def\maketitlegraf{% 254 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 255 | % 256 | \thispagestyle{empty} 257 | 258 | \ifx\Logoimagefile\relax\else\includegraphics{\Logoimagefile}\fi \hfill \includegraphics{logo_dc.jpg} 259 | 260 | \vspace*{.06 \textheight} 261 | 262 | \noindent \textbf{\huge \Titulo} \medskip \\ 263 | \ifx\Subtitulo\relax\else\noindent\textbf{\large \Subtitulo} \\ \fi% 264 | \noindent \rule{\textwidth}{1 pt} 265 | 266 | {\noindent\large\Fecha \hspace*\fill \Materia} \\ 267 | \ifx\Submateria\relax\else{\noindent \hspace*\fill \Submateria}\fi% 268 | 269 | \medskip% 270 | \begin{center} 271 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 272 | \tablaIntegrantes 273 | 274 | \tablaDirectores 275 | 276 | \tablaCoDirectores 277 | 278 | \tablaEntregas 279 | \end{center}% 280 | \vfill% 281 | % 282 | \begin{minipage}[t]{\textwidth} 283 | \begin{minipage}[t]{.55 \textwidth} 284 | \includegraphics{logo_uba.jpg} 285 | \end{minipage}%% 286 | \begin{minipage}[b]{.45 \textwidth} 287 | \textbf{\textsf{Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}} \\ 288 | \textsf{Universidad de Buenos Aires} \\ 289 | {\scriptsize % 290 | Ciudad Universitaria - (Pabell\'on I/Planta Baja) \\ 291 | Intendente G\"uiraldes 2610 - C1428EGA \\ 292 | Ciudad Aut\'onoma de Buenos Aires - Rep. 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Cardiff (bcardif arroba gmail.com). 7 | % Nico Rosner (nrosner arroba dc.uba.ar). 8 | % 9 | % ************************************************************************** 10 | 11 | % ----- Informacion sobre el package para el sistema ----------------------- 12 | 13 | \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} 14 | \ProvidesPackage{caratula}[2013/08/04 v0.5 Para componer caratulas de TPs del DC] 15 | \RequirePackage{ifthen} 16 | \usepackage{graphicx} 17 | 18 | % ----- Imprimir un mensajito al procesar un .tex que use este package ----- 19 | 20 | \typeout{Cargando package 'caratula' v0.5 (2013/08/04)} 21 | 22 | % ----- Algunas variables -------------------------------------------------- 23 | 24 | \let\Materia\relax 25 | \let\Submateria\relax 26 | \let\Titulo\relax 27 | \let\Subtitulo\relax 28 | \let\Grupo\relax 29 | \let\Fecha\relax 30 | \let\Logoimagefile\relax 31 | \newcommand{\LabelIntegrantes}{} 32 | \newboolean{showLU} 33 | \newboolean{showEntregas} 34 | \newboolean{showDirectores} 35 | \newboolean{showCoDirectores} 36 | 37 | % ----- Comandos para que el usuario defina las variables ------------------ 38 | 39 | \def\materia#1{\def\Materia{#1}} 40 | \def\submateria#1{\def\Submateria{#1}} 41 | \def\titulo#1{\def\Titulo{#1}} 42 | \def\subtitulo#1{\def\Subtitulo{#1}} 43 | \def\grupo#1{\def\Grupo{#1}} 44 | \def\fecha#1{\def\Fecha{#1}} 45 | \def\logoimagefile#1{\def\Logoimagefile{#1}} 46 | 47 | % ----- Token list para los integrantes ------------------------------------ 48 | 49 | \newtoks\intlist\intlist={} 50 | 51 | \newtoks\intlistSinLU\intlistSinLU={} 52 | 53 | \newcounter{integrantesCount} 54 | \setcounter{integrantesCount}{0} 55 | \newtoks\intTabNombre\intTabNombre={} 56 | \newtoks\intTabLU\intTabLU={} 57 | \newtoks\intTabEmail\intTabEmail={} 58 | 59 | \newcounter{directoresCount} 60 | \setcounter{directoresCount}{0} 61 | \newtoks\direcTabNombre\direcTabNombre={} 62 | \newtoks\direcTabEmail\direcTabEmail={} 63 | 64 | \newcounter{coDirectoresCount} 65 | \setcounter{coDirectoresCount}{0} 66 | \newtoks\codirecTabNombre\codirecTabNombre={} 67 | \newtoks\codirecTabEmail\codirecTabEmail={} 68 | 69 | 70 | % ----- Comando para que el usuario agregue integrantes -------------------- 71 | 72 | \def\integrante#1#2#3{% 73 | \intlist=\expandafter{\the\intlist\rule{0pt}{1.2em}#1&\tt #3\\[0.2em]}% 74 | \intlistSinLU=\expandafter{\the\intlistSinLU\rule{0pt}{1.2em}#1 & \tt #3\\[0.2em]}% 75 | % 76 | \ifthenelse{\value{integrantesCount} > 0}{% 77 | \intTabNombre=\expandafter{\the\intTabNombre & #1}% 78 | \intTabLU=\expandafter{\the\intTabLU & #2}% 79 | \intTabEmail=\expandafter{\the\intTabEmail & \tt #3}% 80 | }{ 81 | \intTabNombre=\expandafter{\the\intTabNombre #1}% 82 | \intTabLU=\expandafter{\the\intTabLU #2}% 83 | \intTabEmail=\expandafter{\the\intTabEmail \tt #3}% 84 | }% 85 | \addtocounter{integrantesCount}{1}% 86 | } 87 | 88 | \def\director#1#2{% 89 | \ifthenelse{\value{directoresCount} > 0}{% 90 | \direcTabNombre=\expandafter{\the\direcTabNombre & #1}% 91 | \direcTabEmail=\expandafter{\the\direcTabEmail & \tt #2}% 92 | }{ 93 | \direcTabNombre=\expandafter{\the\direcTabNombre #1}% 94 | \direcTabEmail=\expandafter{\the\direcTabEmail \tt #2}% 95 | }% 96 | \addtocounter{directoresCount}{1}% 97 | } 98 | 99 | \def\codirector#1#2{% 100 | \ifthenelse{\value{coDirectoresCount} > 0}{% 101 | \codirecTabNombre=\expandafter{\the\codirecTabNombre & #1}% 102 | \codirecTabEmail=\expandafter{\the\codirecTabEmail & \tt #2}% 103 | }{ 104 | \codirecTabNombre=\expandafter{\the\codirecTabNombre #1}% 105 | \codirecTabEmail=\expandafter{\the\codirecTabEmail \tt #2}% 106 | }% 107 | \addtocounter{coDirectoresCount}{1}% 108 | } 109 | 110 | 111 | % ----- Macro para generar la tabla de integrantes ------------------------- 112 | 113 | \newcommand{\tablaIntegrantes}{\ } 114 | 115 | \newcommand{\tablaIntegrantesVertical}{% 116 | \ifthenelse{\boolean{showLU}}{% 117 | \begin{tabular}[t]{| l @{\hspace{4ex}} c @{\hspace{4ex}} l|} 118 | \hline 119 | \multicolumn{1}{|c}{\rule{0pt}{1.2em} \LabelIntegrantes} & LU & \multicolumn{1}{c|}{Correo electr\'onico} \\[0.2em] 120 | \hline \hline 121 | \the\intlist 122 | \hline 123 | \end{tabular} 124 | }{ 125 | \begin{tabular}[t]{| l @{\hspace{4ex}} @{\hspace{4ex}} l|} 126 | \hline 127 | \multicolumn{1}{|c}{\rule{0pt}{1.2em} \LabelIntegrantes} & \multicolumn{1}{c|}{Correo electr\'onico} \\[0.2em] 128 | \hline \hline 129 | \the\intlistSinLU 130 | \hline 131 | \end{tabular} 132 | }% 133 | } 134 | 135 | \newcommand{\tablaIntegrantesHorizontal}{% 136 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{integrantesCount}}{c} } 137 | \the\intTabNombre \\% 138 | \ifthenelse{\boolean{showLU}}{ 139 | \the\intTabLU \\% 140 | }{} 141 | \the\intTabEmail % 142 | \end{tabular}% 143 | } 144 | 145 | \newcommand{\tablaDirectores}{% 146 | \ifthenelse{\boolean{showDirectores}}{% 147 | \bigskip 148 | Directores 149 | 150 | \smallskip 151 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{directoresCount}}{c} } 152 | \the\direcTabNombre \\% 153 | \the\direcTabEmail % 154 | \end{tabular}% 155 | }{}% 156 | } 157 | 158 | \newcommand{\tablaCoDirectores}{% 159 | \ifthenelse{\boolean{showCoDirectores}}{% 160 | \bigskip 161 | Co-Directores 162 | 163 | \smallskip 164 | \begin{tabular}[t]{ *{\value{coDirectoresCount}}{c} } 165 | \the\codirecTabNombre \\% 166 | \the\codirecTabEmail % 167 | \end{tabular}% 168 | }{}% 169 | } 170 | 171 | \newcommand{\tablaEntregas}{% 172 | \ifthenelse{\boolean{showEntregas}}{% 173 | \bigskip% 174 | \begin{tabular}[t]{|l p{3.5cm} p{1.5cm}|}% 175 | \hline% 176 | \rule{0pt}{1.2em} Instancia & Docente & Nota \\[0.2em] % 177 | \hline% 178 | \hline% 179 | \rule{0pt}{1.2em} Primera entrega & & \\[0.2em] % 180 | \hline% 181 | \rule{0pt}{1.2em} Segunda entrega & & \\[0.2em] % 182 | \hline% 183 | \end{tabular}% 184 | }{}% 185 | } 186 | 187 | % ----- Codigo para manejo de errores -------------------------------------- 188 | 189 | \def\se{\let\ifsetuperror\iftrue} 190 | \def\ifsetuperror{% 191 | \let\ifsetuperror\iffalse 192 | \ifx\Materia\relax\se\errhelp={Te olvidaste de proveer una \materia{}.}\fi 193 | \ifx\Titulo\relax\se\errhelp={Te olvidaste de proveer un \titulo{}.}\fi 194 | \edef\mlist{\the\intlist}\ifx\mlist\empty\se% 195 | \errhelp={Tenes que proveer al menos un \integrante{nombre}{lu}{email}.}\fi 196 | \expandafter\ifsetuperror} 197 | 198 | \def\aftermaketitle{% 199 | \setcounter{page}{1} 200 | } 201 | 202 | % ----- \maketitletxt correspondiente a la versión v0.2.1 (texto v0.2 + fecha ) --------- 203 | 204 | \def\maketitletxt{% 205 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 206 | \thispagestyle{empty} 207 | \begin{center} 208 | \vspace*{\stretch{2}} 209 | {\LARGE\textbf{\Materia}}\\[1em] 210 | \ifx\Submateria\relax\else{\Large \Submateria}\\[0.5em]\fi 211 | \ifx\Fecha\relax\else{\Large \Fecha}\\[0.5em]\fi 212 | \par\vspace{\stretch{1}} 213 | {\large Departamento de Computaci\'on}\\[0.5em] 214 | {\large Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}\\[0.5em] 215 | {\large Universidad de Buenos Aires} 216 | \par\vspace{\stretch{3}} 217 | {\Large \textbf{\Titulo}}\\[0.8em] 218 | {\Large \Subtitulo} 219 | \par\vspace{\stretch{3}} 220 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 221 | \tablaIntegrantes 222 | \end{center} 223 | \vspace*{\stretch{3}} 224 | \newpage\aftermaketitle} 225 | 226 | % ----- \maketitletxtlogo correspondiente v0.2.1 (texto con fecha y logo) --------- 227 | 228 | \def\maketitletxtlogo{% 229 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 230 | \thispagestyle{empty} 231 | \begin{center} 232 | \ifx\Logoimagefile\relax\else\includegraphics{\Logoimagefile}\fi \hfill \includegraphics{logo_dc.jpg}\\[1em] 233 | \vspace*{\stretch{2}} 234 | {\LARGE\textbf{\Materia}}\\[1em] 235 | \ifx\Submateria\relax\else{\Large \Submateria}\\[0.5em]\fi 236 | \ifx\Fecha\relax\else{\large \Fecha}\\[0.5em]\fi 237 | \par\vspace{\stretch{1}} 238 | {\large Departamento de Computaci\'on}\\[0.5em] 239 | {\large Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}\\[0.5em] 240 | {\large Universidad de Buenos Aires} 241 | \par\vspace{\stretch{3}} 242 | {\Large \textbf{\Titulo}}\\[0.8em] 243 | {\Large \Subtitulo} 244 | \par\vspace{\stretch{3}} 245 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 246 | \tablaIntegrantes 247 | \end{center} 248 | \vspace*{\stretch{4}} 249 | \newpage\aftermaketitle} 250 | 251 | % ----- \maketitlegraf correspondiente a la versión v0.3 (gráfica) ------------- 252 | 253 | \def\maketitlegraf{% 254 | \ifsetuperror\errmessage{Faltan datos de la caratula! Ingresar 'h' para mas informacion.}\fi 255 | % 256 | \thispagestyle{empty} 257 | 258 | \ifx\Logoimagefile\relax\else\includegraphics{\Logoimagefile}\fi \hfill \includegraphics{logo_dc.jpg} 259 | 260 | \vspace*{.06 \textheight} 261 | 262 | \noindent \textbf{\huge \Titulo} \medskip \\ 263 | \ifx\Subtitulo\relax\else\noindent\textbf{\large \Subtitulo} \\ \fi% 264 | \noindent \rule{\textwidth}{1 pt} 265 | 266 | {\noindent\large\Fecha \hspace*\fill \Materia} \\ 267 | \ifx\Submateria\relax\else{\noindent \hspace*\fill \Submateria}\fi% 268 | 269 | \medskip% 270 | \begin{center} 271 | \ifx\Grupo\relax\else\textbf{\Grupo}\par\bigskip\fi 272 | \tablaIntegrantes 273 | 274 | \tablaDirectores 275 | 276 | \tablaCoDirectores 277 | 278 | \tablaEntregas 279 | \end{center}% 280 | \vfill% 281 | % 282 | \begin{minipage}[t]{\textwidth} 283 | \begin{minipage}[t]{.55 \textwidth} 284 | \includegraphics{logo_uba.jpg} 285 | \end{minipage}%% 286 | \begin{minipage}[b]{.45 \textwidth} 287 | \textbf{\textsf{Facultad de Ciencias Exactas y Naturales}} \\ 288 | \textsf{Universidad de Buenos Aires} \\ 289 | {\scriptsize % 290 | Ciudad Universitaria - (Pabell\'on I/Planta Baja) \\ 291 | Intendente G\"uiraldes 2610 - C1428EGA \\ 292 | Ciudad Aut\'onoma de Buenos Aires - Rep. Argentina \\ 293 | Tel/Fax: (++54 +11) 4576-3300 \\ 294 | http://www.exactas.uba.ar \\ 295 | } 296 | \end{minipage} 297 | \end{minipage}% 298 | % 299 | \newpage\aftermaketitle} 300 | 301 | % ----- Reemplazamos el comando \maketitle de LaTeX con el nuestro --------- 302 | \renewcommand{\maketitle}{\maketitlegraf} 303 | 304 | % ----- Dependiendo de las opciones --------- 305 | % 306 | % opciones: 307 | % txt : caratula solo texto. 308 | % txtlogo : caratula txt con logo del DC y del grupo (opcional). 309 | % graf : (default) caratula grafica con logo del DC, UBA y del grupo (opcional). 310 | % 311 | \@makeother\*% some package redefined it as a letter (as color.sty) 312 | % 313 | % Layout general de la caratula 314 | % 315 | \DeclareOption{txt}{\renewcommand{\maketitle}{\maketitletxt}} 316 | \DeclareOption{txtlogo}{\renewcommand{\maketitle}{\maketitletxtlogo}} 317 | \DeclareOption{graf}{\renewcommand{\maketitle}{\maketitlegraf}} 318 | % 319 | % Etiqueta Autores o Integrantes 320 | % 321 | \DeclareOption{integrante}{\renewcommand{\LabelIntegrantes}{Integrante}} 322 | \DeclareOption{autor}{\renewcommand{\LabelIntegrantes}{Autor}} 323 | % 324 | % Formato tabla de integrantes 325 | % 326 | \DeclareOption{intVert}{\renewcommand{\tablaIntegrantes}{\tablaIntegrantesVertical}} 327 | \DeclareOption{intHoriz}{\renewcommand{\tablaIntegrantes}{\tablaIntegrantesHorizontal}} 328 | \DeclareOption{conLU}{\setboolean{showLU}{true}} 329 | \DeclareOption{sinLU}{\setboolean{showLU}{false}} 330 | \DeclareOption{conEntregas}{\setboolean{showEntregas}{true}} 331 | \DeclareOption{sinEntregas}{\setboolean{showEntregas}{false}} 332 | \DeclareOption{showDirectores}{\setboolean{showDirectores}{true}} 333 | \DeclareOption{hideDirectores}{\setboolean{showDirectores}{false}} 334 | \DeclareOption{showCoDirectores}{\setboolean{showCoDirectores}{true}} 335 | \DeclareOption{hideCoDirectores}{\setboolean{showCoDirectores}{false}} 336 | % 337 | % Opciones predeterminadas 338 | % 339 | \ExecuteOptions{intVert}% 340 | \ExecuteOptions{graf}% 341 | \ExecuteOptions{integrante}% 342 | \ExecuteOptions{conLU}% 343 | \ExecuteOptions{hideDirectores}% 344 | \ExecuteOptions{hideCoDirectores}% 345 | \ExecuteOptions{sinEntregas}% 346 | % 347 | \ProcessOptions\relax -------------------------------------------------------------------------------- /finales/resoluciones/Final 20211210.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{3} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Final 10/12/2021} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Final 10/12/2021} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | Sea $ V = \{ 1,2,...,499,500 \} $. Se define la relación $R$ en $ P = P(V) \backslash \emptyset $ como: 42 | \begin{align*} 43 | ARB \iff min(A) = min(B) \wedge max(A) = max(B) 44 | \end{align*} 45 | 46 | \subsubsection{Demostración clase de equivalencia} 47 | 48 | Me piden probar que $R$ es una relación de equivalencia. Por definición, una relación es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Pruebo cada propuedad por separado. 49 | 50 | \textbf{Reflexividad} 51 | 52 | Por definición, $R$ es reflexiva $ \iff \forall A \in P: ARA $ 53 | 54 | Por definición de la relación, 55 | \begin{align*} 56 | ARA \iff min(A) = min(A) \wedge max(A) = max(A) 57 | \end{align*} 58 | Dado que $ A = A $ en particular, tienen el mismo mínimo y el mismo máximo. Luego $R$ es reflexiva. 59 | 60 | \textbf{Simetría} 61 | 62 | Por definición, $R$ es simétrica $ \iff \forall (A,B) \in P^2: ARB \implies BRA $ 63 | 64 | Por definición de la relación, 65 | \begin{align*} 66 | ARB &\iff min(A) = min(B) \wedge max(A) = max(B) \\ 67 | &\iff min(B) = min(A) \wedge max(B) = max(A) \\ 68 | &\iff BRA \\ 69 | \end{align*} 70 | Por lo tanto $ ARB \implies BRA $ como se quería probar, luego $R$ es simétrica. 71 | 72 | \textbf{Transitividad} 73 | 74 | Por definición, $R$ es transitiva $ \iff \forall (A,B,C) \in C^3: (ARB \wedge BRC) \implies ARC $ 75 | 76 | Por definición de la relación, 77 | \begin{align*} 78 | ARB &\iff min(A) = min(B) \wedge max(A) = max(B) \\ 79 | BRC &\iff min(B) = min(C) \wedge max(B) = max(C) \\ 80 | \end{align*} 81 | Pero, 82 | \begin{align*} 83 | min(A) = min(B) \wedge min(B) = min(C) &\implies min(A) = min(B) = min(C) \\ 84 | &\implies min(A) = min(C) \\ 85 | \end{align*} 86 | Y, 87 | \begin{align*} 88 | max(A) = max(B) \wedge max(B) = max(C) &\implies max(A) = max(B) = max(C) \\ 89 | &\implies max(A) = max(C) \\ 90 | \end{align*} 91 | Por lo tanto, 92 | \begin{align*} 93 | min(A) = min(C) \wedge max(A) = max(C) \iff ARC 94 | \end{align*} 95 | Luego $R$ es una relación transitiva. 96 | 97 | Por lo tanto, $R$ es una relación de equivalencia, dado que es una relación relfexiva, simétrica y transitiva. 98 | 99 | \subsubsection{Cardinal de la clase $ x =\{ 1,100 \} $} 100 | 101 | Busco todos los $ B \in P: XRB $ 102 | 103 | Por definición, 104 | \begin{align*} 105 | XRB &\iff min(X) = min(B) \wedge max(X) = max(B) \\ 106 | &\iff 1 = min(B) \wedge 100 = max(B) \\ 107 | \end{align*} 108 | Por lo tanto, busco todos los $B \in P(V) \backslash \emptyset: min(B) = 1 \wedge max(B) = 100 $ 109 | 110 | Sabiendo que $ V = \{ 1,2,...,499,500 \} $ tengo que contar todos los subconjuntos de $V$ que poseen al $1$, poseen al $100$ y no poseen ningún $ a \in V: a > 100 $ 111 | 112 | Por lo tanto, 113 | \begin{itemize} 114 | \item $ 1 $ tiene $ 1 $ posibilidad $ \implies 1 $ 115 | \item $ 2-99 $ tienen $ 2 $ posibilidades $ \implies 2^{98} $ 116 | \item $ 100 $ tiene $ 1 $ posibilidad $ \implies 1 $ 117 | \item $ 101-500 $ tienen $ 1 $ posibilida $ \implies 1 $ 118 | \end{itemize} 119 | Por lo tanto, habrá $ 1.2^{98}.1.1 = 2^{98} $ conjuntos. 120 | 121 | Rta.: $ \# \overline{\{ 1,100 \}} = 2^{98} $ 122 | 123 | \subsubsection{Cadinal de la clase $ Y = \{ 50 \} $} 124 | 125 | Busco todos los $ C \in P: YRC $ 126 | 127 | Por definición, 128 | \begin{align*} 129 | YRC &\iff min(Y) = min(C) \wedge max(Y) = max(C) \\ 130 | &\iff 50 = min(C) \wedge 50 = max(C) 131 | \end{align*} 132 | Por lo tanto, busco todos los $C \in P(V) \backslash \emptyset: min(C) = 50 \wedge max(C) = 50 $ 133 | 134 | Pero el único conjunto que cumple ambas en simultáneo es $ C = \{ 50 \} $ y por lo tanto, 135 | 136 | Rta.: $ \# \overline{\{ 50 \}} = 1 $ 137 | 138 | \subsubsection{Cantidad de clases de equivalencia de $R$} 139 | 140 | Para saber si un subconjunti de $V$ pertenece a una clase de equivalencia, alcanza con observar el mínimo y el máximo del subconjunto. 141 | 142 | Separo en dos casos, 143 | 144 | (1) Clases del tipo $ \{ n \} $ con $ n \in V $ forman $ 500 $ clases distintas y no se relacionan con subconjuntos de dos o más elementos. 145 | 146 | (2) Clases del tipo $ \{ a_1, ..., a_r \} \wedge 2 \leq r \leq 500 \wedge a_i \in V $ 147 | 148 | En este caso voy a tener $ 500 - a_1 $ clases. Por ejemplo 149 | \begin{itemize} 150 | \item $ a_1 = 1 \implies \overline{\{ 1,500 \}}, \overline{\{ 1,499 \}}, \overline{\{ 1,498 \}}... \implies 499 $ clases. 151 | \item $ a_1 = 2 \implies \overline{\{ 2,500 \}}, \overline{\{ 2,499 \}}, \overline{\{ 3,498 \}}... \implies 498 $ clases. 152 | \item $ a_1 = 499 \implies \overline{\{ 499,500 \}} \implies 1 $ clase. 153 | \end{itemize} 154 | Luego habrá $ 500 + \sum_{i = 1}^{499}i = 500 + \frac{499.500}{2} = 125250 $ clases de equivalencia en la relación $R$. 155 | 156 | \subsection{Ejercicio 2} 157 | 158 | Se que $ 252 = 2^2. 3^2 .7 $ y que $ 14 = 2.7 $ 159 | 160 | Luego $ (a^{255} + 10a + 1:252) = 14 \implies \begin{cases} 161 | 2 | a^{255} + 10a + 1 \\ 162 | 4 \not | a^{255} + 10a + 1 \\ 163 | 7 | a^{255} + 10a + 1 \\ 164 | 3 \not | a^{255} + 10a + 1 \\ 165 | \end{cases} $ 166 | 167 | Ahora busco los $a$ que cumplen cada una de estas restricciones. 168 | 169 | \textbf{Caso 2} 170 | \begin{align*} 171 | 2 | a^{255} + 10a + 1 &\iff a^{255} + 10a + 1 \equiv 0 (2) \\ 172 | &\iff \begin{cases} 173 | a \equiv 0(2) \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv 0 + 0 + 1 \not \equiv 0(2) \\ 174 | a \equiv 1(2) \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv 1 + 0 + 1 \equiv 0(2) \\ 175 | \end{cases} 176 | \end{align*} 177 | Luego $ a \equiv 1(2) $ 178 | 179 | \textbf{Caso 4} 180 | 181 | $ a \equiv 1(2) \implies a \equiv 1(4) \vee a \equiv 3(4) $ 182 | 183 | Luego, 184 | \begin{itemize} 185 | \item $ a \equiv 1(4) \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv 1 + 2 + 1 \equiv 0 (4) $ 186 | \item $ a \equiv 3(4) \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv 3^{255} + 2 + 1 \equiv 9^{112}.3 + 3 \equiv 2 (4) $ 187 | \end{itemize} 188 | Luego $ a \equiv 3(4) $ 189 | 190 | \textbf{Caso 7} 191 | 192 | $ 7 | a^{255} + 10a + 1 \iff a^{255} + 10a + 1 \equiv 0 (7) $ 193 | 194 | Separo en dos casos: $ 7|a $ y $ 7 \not | a $ para poder usar el PTF 195 | 196 | \begin{itemize} 197 | \item $ 7 | a \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv 0 + 0 + 1 \not \equiv 0 (7) $ 198 | \item $ 7 \not | a \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv (a^6)^{37}. a^3 + 10a + 1 \equiv a^3 + 3a + 1 (7) $ 199 | \end{itemize} 200 | 201 | Por lo tanto busco los $a: a^3 + 3a + 1 \equiv 0(7)$ 202 | 203 | \begin{itemize} 204 | \item $ a \equiv 0(7) \implies a^3 + 3a + 1 \equiv 1(7) $ 205 | \item $ a \equiv 1(7) \implies a^3 + 3a + 1 \equiv 5(7) $ 206 | \item $ a \equiv 2(7) \implies a^3 + 3a + 1 \equiv 1(7) $ 207 | \item $ a \equiv 3(7) \implies a^3 + 3a + 1 \equiv 2(7) $ 208 | \item $ a \equiv 4(7) \implies a^3 + 3a + 1 \equiv 0(7) $ 209 | \item $ a \equiv 5(7) \implies a^3 + 3a + 1 \equiv 1(7) $ 210 | \item $ a \equiv 6(7) \implies a^3 + 3a + 1 \equiv 4(7) $ 211 | \end{itemize} 212 | Por lo tanto, $ a^3 + 3a + 1 \equiv 0(7) \iff a \equiv 4(7) $ 213 | 214 | Luego $ a \equiv 4(7) $ 215 | 216 | \textbf{Caso 3} 217 | \begin{align*} 218 | 3 \not | a^{255} + 10a + 1 &\iff a^{255} + 10a + 1 \not \equiv 0 (3) \\ 219 | \end{align*} 220 | 221 | \begin{itemize} 222 | \item $ a\equiv 0(3) \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv 0 + 0 + 1 \not \equiv 0 (3) $ 223 | \item $ a\equiv 1(3) \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 0 (3) $ 224 | \item $ a\equiv 2(3) \implies a^{255} + 10a + 1 \equiv (a^3)^{85} + 10.a + 1 \equiv (-1)^{85} + 2 + 1 \equiv -1+2+1 \not \equiv 0 (3) $ 225 | \end{itemize} 226 | Luego $ a \equiv 0 (3) \vee a \equiv 2 (3) $ 227 | 228 | Pero estoy buscando el resto mod 252, por lo que necesito saber $ a \equiv n (9) $ 229 | 230 | Sabiendo las equivalencias mod 3, busco mod 9: 231 | \begin{align*} 232 | a \equiv 0 (3) \implies a \equiv 0 (9) \vee a \equiv 3 (9) \vee a \equiv 6 (9) \\ 233 | a \equiv 2 (3) \implies a \equiv 2 (9) \vee a \equiv 5 (9) \vee a \equiv 8 (9) \\ 234 | \end{align*} 235 | 236 | Por lo tanto, juntando todo lo hallado, 237 | \begin{align*} 238 | (a^{255} + 10a + 1:252) = 14 \iff \begin{cases} 239 | a \equiv 3(4) \\ 240 | a \equiv 4(7) \\ 241 | a \equiv 0 (9) \vee a \equiv 3 (9) \vee a \equiv 6 (9) \vee a \equiv 2 (9) \vee a \equiv 5 (9) \vee a \equiv 8 (9) \\ 242 | \end{cases} 243 | \end{align*} 244 | 245 | Ahora uso el Teorema Chino del Resto para hallar la equivalencia mod 252. 246 | 247 | Busco soluciones a los sistemas 248 | $ S_0 = \begin{cases} 249 | a \equiv 3(4) \\ 250 | a \equiv 4(7) \\ 251 | a \equiv 0(9) 252 | \end{cases} $ 253 | $ S_1 = \begin{cases} 254 | a \equiv 3(4) \\ 255 | a \equiv 4(7) \\ 256 | a \equiv 3(9) 257 | \end{cases} $ 258 | $ S_2 = \begin{cases} 259 | a \equiv 3(4) \\ 260 | a \equiv 4(7) \\ 261 | a \equiv 6(9) 262 | \end{cases} $ 263 | $ S_3 = \begin{cases} 264 | a \equiv 3(4) \\ 265 | a \equiv 4(7) \\ 266 | a \equiv 2(9) 267 | \end{cases} $ 268 | $ S_4 = \begin{cases} 269 | a \equiv 3(4) \\ 270 | a \equiv 4(7) \\ 271 | a \equiv 5(9) 272 | \end{cases} $ 273 | $ S_5 = \begin{cases} 274 | a \equiv 3(4) \\ 275 | a \equiv 4(7) \\ 276 | a \equiv 8(9) 277 | \end{cases} $ 278 | 279 | Por TCR se que existe una única solución a cada sistema $ X = x_1 + x_2 + x_3 $ mod $255$ 280 | 281 | Donde, 282 | 283 | $ x_1 $ es solución del sistema $ \begin{cases} 284 | a \equiv 3(4) \\ 285 | a \equiv 0(63) \implies a = 63k \implies 63k \equiv 3(4) \iff k \equiv 1(4) 286 | \end{cases} $ 287 | 288 | Luego $x_1 = 63$ 289 | 290 | $ x_2 $ es solución del sistema $ \begin{cases} 291 | a \equiv 4(7) \\ 292 | a \equiv 0(36) \implies a = 36k \implies 36k \equiv 4(7) \implies k \equiv 4(7) 293 | \end{cases} $ 294 | 295 | Luego $x_2 = 36.4 = 144 $ 296 | 297 | $ x_3 $ es solución del sistema $ \begin{cases} 298 | a \equiv n(9) \\ 299 | a \equiv 0(28) 300 | \end{cases} $ con $n$ el valor de mod 9 de cada $S_i$ 301 | 302 | \begin{itemize} 303 | \item $ a \equiv 0(9) \implies x_3 = 0 $ 304 | \item $ a \equiv 2(9) \implies a = 28k \implies 28k \equiv 2(9) \implies k \equiv 2(9) \implies x_2 = 28.2 = 56 $ 305 | \item $ a \equiv 3(9) \implies a = 28k \implies 28k \equiv 3(9) \implies k \equiv 3(9) \implies x_2 = 28.3 = 84 $ 306 | \item $ a \equiv 5(9) \implies a = 28k \implies 28k \equiv 5(9) \implies k \equiv 5(9) \implies x_2 = 28.5 = 140 $ 307 | \item $ a \equiv 6(9) \implies a = 28k \implies 28k \equiv 6(9) \implies k \equiv 6(9) \implies x_2 = 28.6 = 168 $ 308 | \item $ a \equiv 8(9) \implies a = 28k \implies 28k \equiv 8(9) \implies k \equiv 8(9) \implies x_2 = 28.8 = 224 $ 309 | \end{itemize} 310 | 311 | Por lo tanto $ r_{252}(a) $ serán: 312 | \begin{itemize} 313 | \item $ 63 + 144 + 0 = 207 $ 314 | \item $ 63 + 144 + 56 = 11 $ 315 | \item $ 63 + 144 + 84 = 39 $ 316 | \item $ 63 + 144 + 140 = 95 $ 317 | \item $ 63 + 144 + 168 = 123 $ 318 | \item $ 63 + 144 + 224 = 180 $ 319 | \end{itemize} 320 | 321 | \subsection{Ejercicio 3} 322 | 323 | \subsubsection{Pregunta i} 324 | 325 | Defino $ f = x^2 + x + 1 $ y $ g = x^{2n} + x^n + 1 $ 326 | 327 | Se que 328 | \begin{align*} 329 | f = \left( x - \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i \right) \right)\left( x - \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i \right) \right) 330 | \end{align*} 331 | 332 | Y se que $ w_1 = \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}i \right) $; $ w_2 = \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2}i \right) $ son raíces cúbicas de la unidad. 333 | 334 | Por propiedades de las raíces de la unidad, se que $ w \in G_n \implies w^k = w^{r_n(k)} $ 335 | 336 | Y también vale que $ w \in g_3 \wedge w \neq 1 \implies 1 + w + w^2 = 0 $ 337 | 338 | Por lo tanto, $ f|g \iff g(w1) = 0 \wedge g(w_2) = 0 $ 339 | 340 | \begin{itemize} 341 | \item $ n \equiv 0(3) \implies g(w_1) = w_1^0 + w_1^0 + 1 \neq 0 $ 342 | \item $ n \equiv 1(3) \implies g(w_1) = w_1^2 + w + 1 = 0 $ 343 | \item $ n \equiv 2(3) \implies g(w_1) = w_1^1 + w^2 + 1 = 0 $ 344 | \end{itemize} 345 | 346 | Luego $ f|g \iff n \equiv 1(3) \wedge n \equiv 2(3) $ 347 | 348 | \subsubsection{Pregunta ii} 349 | TODO 350 | 351 | \subsection{Ejercicio 4} 352 | 353 | $ a \in \mathbb{C} $ es una raíz con $ mult(a, f) = 5 \iff f = (x-a)^5 . q \wedge q(a) \neq 0 $ 354 | 355 | Busco el termino general de la multiplicidad de $a$ como raíz de los polinomios de la sucesión, 356 | \begin{itemize} 357 | \item $ n = 1 \implies mult(a, f_1) = 5 $ 358 | \item $ n = 2 \implies mult(a, f_2) = 7 $ 359 | \item $ n = 3 \implies mult(a, f_3) = 9 $ 360 | \item $ n = 4 \implies mult(a, f_4) = 11 $ 361 | \item $ n = 5 \implies mult(a, f_5) = 13 $ 362 | \end{itemize} 363 | 364 | Parece que la multiplicidad de $a$ como raíz de $f_n$ es de la forma $ (n+1)2 + 1 = 2n+3 $ 365 | 366 | Sin embargo, para poder asumir que estas multiplicidades son correctas, hay que verificar que, 367 | \begin{align*} 368 | 2n+3 &\leq 5n \\ 369 | 3 &\leq 5n-2n \\ 370 | 3 &\leq 3n \\ 371 | 1 &\leq n \iff n \in \mathbb{N} \\ 372 | \end{align*} 373 | 374 | Dados $h, g$ polinomios con $ mult(\alpha, h) = 3 \wedge mult(\alpha, g) = 5 \implies \begin{cases} 375 | mult(\alpha, fg) = 8 \\ 376 | mult(\alpha, f + g) = 3 \\ 377 | \end{cases} $ 378 | 379 | Y en el caso general, la multiplicidad de una raíz en una suma de polinomios es la de menor grado, pues 380 | $ h = (x-\alpha)^3 \cdot p_1 \wedge p_1(\alpha) \neq 0 $ y $ g = (x-\alpha)^5 \cdot p_2 \wedge p_2(\alpha) \neq 0 $ 381 | y por lo tanto, $ h+g = (x-\alpha)^3 \cdot p_1 + (x-\alpha)^5 \cdot p_2 = (x-\alpha)^3(p_1 + (x-\alpha)^2p_2) $ 382 | donde $ (x-a) \not | (p_1 + (x-\alpha)^2p_2) $ 383 | 384 | Usando esta propiedad, voy a probar por inducción que $ mult(a, f_n) = 2n+3 $ 385 | 386 | Defino $ p(n): mult(a, f_n) = 2n+3; \forall n \in \mathbb{N} $ 387 | 388 | \textbf{Caso base n = 1} 389 | 390 | \begin{align*} 391 | p(1): &mult(a, f_1) = 2.1+3 \\ 392 | &mult(a, f_1) = 5 \\ 393 | \end{align*} 394 | Luego $ p(1) $ es verdadero. 395 | 396 | \textbf{Paso inductivo} 397 | 398 | Quiero probar que dado $ h \geq 1: p(h) \implies p(h+1) $ 399 | 400 | HI: $ mult(a, f_h) = 2h+3 \iff f_h = (x-a)^{2h+3} \cdot q_2 \wedge q_2(a) \neq 0 $ 401 | 402 | Qpq: $ mult(a, f_{h+1}) = 2(h+1)+3 $ 403 | 404 | Pero, 405 | \begin{align*} 406 | f_{h+1} &= (x-a)^2f_h + f^{h+1} \\ 407 | &= (x-a)^2f_h + ((x-a)^5q)^{h+1} \\ 408 | &= (x-a)^2f_h + (x-a)^{5(h+1)} \cdot q^{h+1} \\ 409 | &= (x-a)^2 \cdot (x-a)^{2h+3} \cdot q_2 + (x-a)^{5(h+1)} \cdot q^{h+1} \\ 410 | &= (x-a)^{2h+5} (q_2 + (x-a)^{5h+5-2h-5} \cdot q^{h+1}) \\ 411 | &= (x-a)^{2h+5} (q_2 + (x-a)^{3h} \cdot q^{h+1}) \\ 412 | \end{align*} 413 | Luego $ mult(a, f_{h+1}) = 2h+5 $ pues $ q_2(a) \neq 0 $ como se quería probar. 414 | 415 | Por lo tanto $ p(h) \implies p(h+1); \forall h \geq 1 $ 416 | 417 | Luego $ p(n) $ es verdadero, $ \forall n \in \mathbb{N} $ 418 | 419 | Y así $ mult(a, f_n) = 2n+3; \forall n \in \mathbb{N} $ 420 | 421 | \end{document} -------------------------------------------------------------------------------- /practicas/soluciones/Práctica 3.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{2} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{2} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Práctica 3} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Práctica 3} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | Por enunciado, $ A= \{ n \in V: n \geq 132 \} $ 42 | 43 | Y también, $ A^c = \{ n \in V: n < 132 \} $ 44 | 45 | Se que dado un elemento cualquiera, $ x \in V \iff (x \in \mathbb{N} \wedge x \bmod 15 = 0)$ 46 | 47 | Por lo tanto, $ A^c = \{ n \in V: (n < 132 \wedge n \bmod 15 = 0) \} $ 48 | 49 | Así, $ \#A^c = \lfloor \frac{132}{15} \rfloor = 8 $ 50 | 51 | Por extensión, $ A^c = \{ 15,30,45,60,75,90,105,120 \} $ 52 | 53 | \subsection{Ejercicio 2} 54 | 55 | Defino el conjunto universal $ V = \{ n \in \mathbb{N}: n \leq 1000 \} $ 56 | 57 | Defino el conjunto $ T = \{ n \in \mathbb{N}: n \bmod 3 = 0 \} $ 58 | 59 | Defino el conjunto $ C = \{ n \in \mathbb{N}: n \bmod 5 = 0 \} $ 60 | 61 | Se que un número no es múltiplo de 3 si no pertenece a $T$ y no es multiplo de 5 si no pertenece a $C$ 62 | 63 | Luego $ \#T = \lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333 $ y $ \#C = \lfloor \frac{1000}{5} \rfloor = 200 $ 64 | 65 | Pero existen números que son múltiplos de 3 y 5 a la vez. Los múltiplos de 15. 66 | 67 | Sea $ Q = \{ n \in \mathbb{N}: n \bmod 15 = 0 \} $ 68 | 69 | Luego, $\#Q = \lfloor \frac{1000}{15} \rfloor = 66 $ 70 | 71 | Por lo tanto la cantidad de números menores a 1000 que no son multiplos ni de 3 ni de 5 son: 72 | 73 | \begin{align*} 74 | & res = \#V - \#T - \#C + \#Q \\ 75 | & res = 1000 - 333 - 200 + 66 \\ 76 | & res = 533 77 | \end{align*} 78 | 79 | Luego existen 533 números naturales menores a 1000 que no son múltiplos de 3 ni de 5. 80 | 81 | \subsection{Ejercicio 3} 82 | 83 | $ \#(A \cup B \cup C) = \#A + \#B+ \#C - \#(A \cap B) - \#(A \cap C) - \#(B \cap C) + \#(A \cap B \cap C) $ 84 | 85 | \subsection{Ejercicio 4} 86 | \subsubsection{Pregunta i} 87 | 88 | Datos del enunciado: 89 | \begin{enumerate} 90 | \item $ \#V = 150 $ 91 | \item $ \#A = 83 $ 92 | \item $ \#B = 67 $ 93 | \item $ \#(A \cap B) = 45 $ 94 | \end{enumerate} 95 | 96 | Luego, 97 | \begin{align*} 98 | \#(A \cup B)^c &= \#V - \#(A\cup B) \\ 99 | &= \#V - (\#A + \#B - \#(A \cap B)) \\ 100 | &= 150 - (83 + 67 - 45) \\ 101 | &= 45 \\ 102 | \end{align*} 103 | 104 | \subsubsection{Pregunta ii} 105 | 106 | Total de elementos en A = elementos sólo en A + elementos en la intersección A y B + elementos en la intersección A y C + elementos en la intersección A, B y C 107 | 63 = 30 + x + z + 7 108 | 109 | Total de elementos en B = elementos sólo en B + elementos en la intersección A y B + elementos en la intersección B y C + elementos en la intersección A, B y C 110 | 30 = 13 + x + y + 7 111 | 112 | Total de elementos en C = elementos sólo en C + elementos en la intersección A y C + elementos en la intersección B y C + elementos en la intersección A, B y C 113 | 50 = 25 + y + z + 7 114 | 115 | Resolviendo las ecuaciones: 116 | 117 | Desde la ecuación 2, despejamos y en función de x: 118 | 119 | y = 10 - x 120 | 121 | Desde la ecuación 3, despejamos z en función de y: 122 | 123 | z = 18 - y 124 | z = 18 - (10 - x) 125 | z = 8 + x 126 | 127 | Luego, reemplazamos los valores de y y z en la ecuación 1: 128 | 129 | 63 = 30 + x + (8 + x) + 7 130 | 131 | Resolviendo para x: 132 | 133 | x = 9 134 | 135 | Luego, reemplazando en las ecuaciones 2 y 3: 136 | 137 | y = 10 - 9 = 1 138 | z = 8 + 9 = 17 139 | 140 | Por lo tanto, el número de elementos en la intersección A y B es 9, en la intersección A y C es 17, en la intersección B y C es 1, y en la intersección A, B y C es 7. 141 | 142 | En resumen: 143 | \begin{enumerate} 144 | \item Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas? $9+17+1=27$ 145 | \item ¿Cuántos inglés y alemán pero no francés? $9$ 146 | \item ¿Cuántos no estudian ninguno de esos idiomas? $110-102 = 8$ 147 | \end{enumerate} 148 | 149 | Resoución de \href{https://github.com/E-Liq}{E-Liq} 150 | 151 | \subsection{Ejercicio 5} 152 | 153 | Datos del enunciado: 154 | \begin{enumerate} 155 | \item Rutas BSAS - Ros = 3 156 | \item Rutas Ros - SF = 4 157 | \item Rutas SF - Req = 4 158 | \end{enumerate} 159 | 160 | Por lo tanto hay $ 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24 $ formas de ir de Buenos Aires a Reconquista pasando por Rosario y Santa Fe. 161 | 162 | \subsection{Ejercicio 6} 163 | \subsubsection{Pregunta i} 164 | Hay $ 8 \cdot 9\cdot 9\cdot 9 = 5832 $ números. 165 | 166 | \subsubsection{Pregunta ii} 167 | Calculando por el complemento: 168 | 169 | Hay $ 9 \cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 9000 $ números de cuatro cifras. 170 | 171 | En el inciso anterior se calculó la cantidad de números que no tienen cierto dígito (calculado por 5, vale para 7). 172 | 173 | Luego habrá $ 9000 - 5832 = 3168 $ números. 174 | 175 | \subsection{Ejercicio 7} 176 | Puede distribuirlos en $ 3^{17} $ formas. 177 | 178 | \subsection{Ejercicio 8} 179 | 180 | Defino $ A = \{ materias \}$, se que $ \#A = 5 $ 181 | 182 | Luego las posibles elecciones están dadas por $ \#P(A) = 2^5 = 32 $ 183 | 184 | Si tiene que cursar al menos dos materias, no puede elegir las opciones de cursar ninguna materia o una sola materia. 185 | 186 | Así tiene $ 32 - 5 - 1 = 26 $ formas de cursar al menos dos materias. 187 | 188 | \subsection{Ejercicio 9} 189 | 190 | Se que A es de la forma $ A = \{ a_1, a_2, ... , a_n \} $ 191 | 192 | $R$ es una relación en $ A \times A \iff R \subseteq A \times A $: si $R$ es un subconjunto del producto cartesiano $ A \times A $ 193 | 194 | Luego la cantidad de relaciones en A será: $ \# P(A \times A) = 2^{n^2}$ 195 | 196 | \begin{enumerate} 197 | \item Reflexivas: $ 2^{n^2-2} $ 198 | \item Simétricas: $ 2^{\sum_{k =1}^{n}k} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}} $ 199 | \item Simétricas: $ 2^{\sum_{k =1}^{n-1}k} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}} $ 200 | \end{enumerate} 201 | 202 | \subsection{Ejercicio 10} 203 | \begin{enumerate} 204 | \item $ \#\{ f \in F / \text{f es función}\} = 12^5 $ 205 | \item $ \#\{ f \in F / 10 \not \in \text{Im(f)} \} = 11^5 $ 206 | \item $ \#\{ f \in F / 10 \in \text{Im(f)} \} = 12^5 - 11^5 $ 207 | \item $ \#\{ f \in F / f(1) \in \{ 2,4,6 \} \} = 3 \cdot 12^4 $ 208 | \end{enumerate} 209 | 210 | \subsection{Ejercicio 11} 211 | 212 | \begin{enumerate} 213 | \item $7! = 5040$ funciones. 214 | \item $3! \cdot 4! = 144$ funciones. 215 | \end{enumerate} 216 | 217 | \subsection{Ejercicio 12} 218 | De cinco cifras usando los dígitos $\{ 1,2,3,4,5 \}: 5!$ 219 | 220 | De cinco cifras usando los dígitos $\{ 1,2,3,4,5,6,7 \}: \frac{5!}{2!}$ 221 | 222 | De cinco cifras usando los dígitos $\{ 1,2,3,4,5,6,7 \}$ sin 2 en las cententas: $\frac{7!}{2!} \cdot \frac{4}{5}$ 223 | 224 | \subsection{Ejercicio 13} 225 | Rdo. funciones inyectivas: Una función $f: A\rightarrow B$ es inyectiva sii $ (x \in A) \wedge (y \in A) \wedge (x\neq y) \implies f(x) \neq f(y)$ 226 | 227 | \begin{enumerate} 228 | \item $\frac{10!}{(10-7)!} = \frac{10!}{3!}$ 229 | \item Para $f(1)$ tengo 5 opciones. Al resto todas menos las que ya fueron asignadas (9,8,7,...) $ \implies 5 \cdot \frac{9!}{3!}$ 230 | \end{enumerate} 231 | 232 | \subsection{Ejercicio 14} 233 | Defino $A = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \}$ y $B = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \}$ 234 | 235 | Luego $\#A = \#B = 7$ 236 | 237 | $f: A \rightarrow B \text{ es viyectiva } \iff \forall x \in A; \exists ! y \in B: f(x) = y$ \\ 238 | Y además me piden que $ f(\{ 1,2,3 \}) \subseteq \{ 3,4,5,6,7 \} $ 239 | 240 | Luego habrá $ \frac{5!}{2!} \cdot 4! $ funciones que cumplen lo pedido. 241 | 242 | \subsection{Ejercicio 15} 243 | Tengo $R$ relación de equivalencia en $A=\{ f: \{ 1,2,3,4 \} \rightarrow \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}: \text{f es inyectiva} \}$ 244 | 245 | Por definición, $fRg \iff f(1) + f(2) = g(1) + g(2)$ 246 | 247 | Necesito saber cuantas $g \in A$ se relaciones con $ f(n) = n+2 $ 248 | 249 | Pero, 250 | \begin{align*} 251 | fRg \iff f(1) + f(2) &= g(1) + g(2) \\ 252 | 3+4 &= g(1) + g(2) \\ 253 | 7 &= g(1) + g(2) \\ 254 | \end{align*} 255 | 256 | Entonces, busco las $g \in A: g(1) + g(2) = 7$ 257 | 258 | Hay seis funciones de $\{ 1,2 \} \rightarrow \{ 2,3,4,5,6 \}$ que cumplen con esto. 259 | 260 | Completo el total de funciones asignando el resto de los elementos de forma inyectiva. 261 | 262 | Luego habrá $ 6 \cdot \frac{6!}{4!} = 180$ elementos dentro de la clase de equivalencia de $f(n) = n+2$ 263 | 264 | \subsection{Ejercicio 16} 265 | 266 | Defino $A=\{ 1,2,3,...8 \}$ y $B=\{ 1,2,3,...,12 \}$ con $\#A = 8$ y $ \#B = 12 $ 267 | 268 | Condiciones que me piden: 269 | \begin{enumerate} 270 | \item f inyectiva 271 | \item $f(5) + f(5) = 6$ 272 | \item $ f(1) \leq 6 $ 273 | \end{enumerate} 274 | 275 | Primero busco asignaciones a $f(5)$ y $f(6)$ que cumplan lo pedido. Para esto hay cuatro opciones posibles. 276 | 277 | Luego $f(1)$ puede tomar cualquier valor menos los dos que ya fueron asignados ya que $f(5); f(6)$ siempre toman valores $\leq 6$. Luego para $f(1)$ hay 4 opciones. 278 | 279 | Para los demás elementos de $A$ pueden tomar alguno de los 9 elementos restantes de $B$. 280 | 281 | Por lo tanto hay $4 \cdot 4 \cdot \frac{9!}{4!} $ opciones. 282 | 283 | \subsection{Ejercicio 17} 284 | \begin{enumerate} 285 | \item $\binom{7}{4}$ 286 | \item $\binom{6}{3}$ 287 | \item $\binom{6}{4}$ 288 | \item $\binom{5}{3} \cdot 2$ 289 | \end{enumerate} 290 | 291 | \subsection{Ejercicio 18} 292 | Por enunciado $A = \{ n \in \mathbb{N}: n \leq 20 \}$ y $\#A = 20$ 293 | 294 | \subsubsection{Pregunta i} 295 | Defino $B_1 = \{ n \in \mathbb{N}: n \leq 20 \wedge n \bmod 3 = 0 \} = \{ 3,6,9,12,15,18 \}$ 296 | 297 | Luego para armar las funciones debo elegir 4 del conjunto $B_1$ y 6 elementos del conjunto $B - B_1$ 298 | 299 | Luego habrá $ \binom{6}{4} \cdot \binom{14}{6} $ subconjuntos. 300 | 301 | \subsubsection{Pregunta ii} 302 | Hay suma impar de dos elementos si uno de ellos es par y el otro impar. Entonces, todos los elementos deben ser pares o impares. 303 | 304 | Si son todos pares $ \implies \binom{10}{5} $ subconjuntos. 305 | 306 | Si son todos impares $ \implies \binom{10}{5} $ subconjuntos. 307 | 308 | Luego habrá $ 2 \cdot \binom{10}{5} $ 309 | 310 | \subsection{Ejercicio 19} 311 | Cada punto de una recta se une a dos de la otra para formar un triángulo. 312 | 313 | Es decir, para cada vértice en una recta, elijo dos en la otra recta para formar el triángulo. 314 | 315 | Luego habrá $ \binom{m}{2} \cdot n $ con $ m \geq 2; n\in \mathbb{N} $ 316 | 317 | \subsection{Ejercicio 20} 318 | Defino $ A = \{ 1,2,3,...,11 \} $ y $ B = \{ 1,2,3,...,16 \} $ 319 | 320 | Me piden: 321 | \begin{enumerate} 322 | \item f inyectiva 323 | \item $ n, f(n) $ pares 324 | \item $ f(1) < f(3) < f(5) < f(7) $ 325 | \end{enumerate} 326 | 327 | La segunda condición me dice que los pares solo pueden tener imagen par, luego habrá $ \#fp $ funciones para los pares. 328 | 329 | $ \#fp = \frac{8!}{3!} $ 330 | 331 | Para los impares tengo que considerar la tercera condición, esta implica que no me importa el orden de los elementos de B, sino que me voy a quedar con aquel que cumple la condición. 332 | 333 | Así habrá $\#fi$ funciones para los impares. 334 | 335 | $\#fi = \binom{11}{4} \cdot 7 \cdot 6$ 336 | 337 | Por lo tanto, hay $ \frac{8!}{3!} \cdot \binom{11}{4} \cdot 7 \cdot 6 $ funciones que cumplen lo pedido. 338 | 339 | \subsection{Ejercicio 21} 340 | \begin{enumerate} 341 | \item $ 7! $ 342 | \item $ \frac{7!}{3!} $ 343 | \item $ \frac{12!}{3!\cdot 2!} $ 344 | \end{enumerate} 345 | 346 | \subsection{Ejercicio 22} 347 | \begin{enumerate} 348 | \item $ \binom{7}{3} \cdot 3! \cdot 4! $ 349 | \item $ \binom{7}{4} \cdot 3! $ 350 | \item $ 4! \cdot 4! $ 351 | \end{enumerate} 352 | 353 | \subsection{Ejercicio 23} 354 | \begin{enumerate} 355 | \item Por el complemento: $ \frac{10!}{3! . 2!} - \frac{9!}{3!}$ 356 | \item $ \binom{10}{3} \cdot 3! \cdot 7!$ 357 | \end{enumerate} 358 | 359 | \subsection{Ejercicio 24} 360 | Defino $ F = \{ D,D,D,D,D,D,N,N,B,P,H,K,C,M \} $ 361 | 362 | Condiciones: 363 | \begin{enumerate} 364 | \item Dos frutas por día. 365 | \item No más de una N por día. 366 | \end{enumerate} 367 | 368 | Calculo por el complemento, 369 | 370 | $ \# \text{Todas} - \# \text{Dos naranjas por día} = 14! - 7 \cdot 12!$ 371 | 372 | \subsection{Ejercicio 25} 373 | 374 | Hay 15 personas pero A Juan y Nicolás los puedo pensar como bloque (JN), luego tengo 14 elementos para ordenar. 375 | 376 | Calculo por el complemento: 377 | \begin{align*} 378 | Rta. &= \# \text{Todas las formas donde JN va en auto} - \# \text{LMD no van en auto y JN va en auto} \\ 379 | &= 3 \cdot \binom{13}{2} \cdot \binom{11}{4} \cdot \binom{7}{4} - 3 \cdot \binom{10}{2} \cdot \binom{8}{4} \cdot \binom{4}{4} 380 | \end{align*} 381 | 382 | \subsection{Ejercicio 26} 383 | Hago la demostración por inducción. 384 | 385 | Defino $ p(n): \binom{2n}{n} > n\cdot 2^n; \forall n \in \mathbb{N}_{\geq 4} $ 386 | 387 | \textbf{Caso base n=4} 388 | 389 | $ p(4): \binom{8}{4} > 4 \cdot 2^4 \iff \frac{8!}{4! \cdot 4!} > 4 \cdot 2^4 \iff 70 > 64 $ 390 | 391 | Luego p(4) es verdadero. 392 | 393 | \textbf{Paso inductivo} 394 | 395 | Dado $ k \geq 4 $ quiero probar que $ p(k) \implies p(k+1) $ 396 | 397 | HI: $ \binom{2k}{k} > k \cdot 2^k $ 398 | 399 | Qpq: $\binom{2(k+1)}{k+1} > (k+1) \cdot 2^{k+1} \iff \binom{2k+2}{k+1} > (k+1) \cdot 2^{k+1} $ 400 | 401 | Pero, 402 | \begin{align*} 403 | \binom{2k+2}{k+1} &= \frac{(2k+2)!}{(k+1)! \cdot (2k+2-h-1)!} \\ 404 | &= \frac{(2k+2) \cdot (2k+1) \cdot (2k)!}{(k+1)\cdot k! \cdot (k+1) \cdot k!} \\ 405 | &> \frac{(2k+2)(2k+1)(k.2^k)}{(k+1)^2} 406 | \end{align*} 407 | 408 | Luego alcanza probar que, 409 | \begin{align*} 410 | \frac{(2k+2)(2k+1)(k.2^k)}{(k+1)^2} &\geq (k+1)\cdot 2^{k+1} \\ 411 | \frac{2(k+1)(2k+1)(k.2^k)}{(k+1)(k+1)} &\geq (k+1)\cdot 2^{k} \cdot 2 \\ 412 | \frac{(2k+1)\cdot k}{k+1} &\geq k+1 \\ 413 | 2k^2 + k &\geq k^2 + 2k +1 \\ 414 | k^2 - k &\geq 1 \\ 415 | k \cdot (k-1) &\geq 1 \\ 416 | \end{align*} 417 | 418 | Que es verdadero, $ \forall k \geq 4 $. 419 | 420 | Luego $ p(k) \implies p(k+1) $ como se quería probar. 421 | 422 | Así, $ p(n) $ es verdadero, $\forall n \in \mathbb{N}_{\geq 4} $ 423 | 424 | \subsection{Ejercicio 27} 425 | Lo pruebo por inducción. 426 | 427 | Defino $ p(n): a_n = \binom{2n}{n} \forall n \in \mathbb{N} $ 428 | 429 | \textbf{Caso base n=1} 430 | 431 | $ p(1): a_1 = \binom{2.1}{1} = 2$ 432 | 433 | Por definición de la sucesión, $ a_1 = 2 $ 434 | 435 | Luego $ p(n) $ es verdadero. 436 | 437 | \textbf{Paso inductivo} 438 | 439 | Dado $ k \geq 1 $ quiero probar que $ p(k) \implies p(k+1) $ 440 | 441 | HI: $ a_k = \binom{2k}{k} $ 442 | 443 | Qpq: $a_{k+1} = \binom{2(k+1)}{k+1} = \binom{2k+2)}{k+1} $ 444 | 445 | Pero, 446 | \begin{align*} 447 | a_{k+1} &= 4 \cdot a_k - 2 \cdot \frac{(2k)!}{(k+1)! \cdot k!} \\ 448 | &= 4 \cdot \binom{2k}{k} - 2 \cdot \frac{(2k)!}{(k+1)! \cdot k!} \\ 449 | &= 4 \cdot \frac{(2k)!}{k! \cdot k!} - 2 \cdot \frac{(2k)!}{(k+1)! \cdot k!} \\ 450 | &= \frac{4\cdot (k+1)\cdot (2k)! - 2 \cdot (2k)!}{(k+1)! \cdot k!} \\ 451 | \end{align*} 452 | 453 | Luego alcanza probar que, 454 | \begin{align*} 455 | \frac{4\cdot (k+1)\cdot (2k)! - 2 \cdot (2k)!}{(k+1)! \cdot k!} &= \binom{2k+2)}{k+1} \\ 456 | \frac{4\cdot (k+1)\cdot (2k)! - 2 \cdot (2k)!}{(k+1)! \cdot k!} &= \frac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!} \\ 457 | \frac{4\cdot (k+1) - 2}{k!} &= \frac{(2k+2) \cdot (2k+1)}{(k+1)!} \\ 458 | 4\cdot (k+1) - 2 &= \frac{2(k+1)(2k+1)}{k+1} \\ 459 | 4k + 4 - 2 &= 4k + 2 \\ 460 | 4k + 2 &= 4k + 2 \\ 461 | \end{align*} 462 | 463 | Luego $ p(k) \implies p(k+1) $ como se quería probar. 464 | 465 | Así, $ p(n) $ es verdadero, $\forall n \in \mathbb{N} $ 466 | 467 | \subsection{Ejercicio 28} 468 | TODO 469 | 470 | \subsection{Ejercicio 29} 471 | 472 | Enunciado, $ X = \{ 1,2,3,...,20 \} $ y $R$ una relación en $P(X)$ 473 | 474 | Por definición, sean $A \in P(X); B \in P(X)$ conjuntos, $ ARB \iff A - B = \emptyset \iff A \subseteq B $ 475 | 476 | Luego busco $ A \in P(X): (\#A \geq 2) \wedge (AR\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \})$ 477 | 478 | Por el complemento: $ \# P(\{ 1,2,...,9 \}) - \# \{ c: \# c < 2 \wedge c-\{ 1,2,...,9 \} = \emptyset \} $ 479 | 480 | Luego habrá $ 2^9 - \left[ \binom{9}{0} + \binom{9}{1} \right] = 2^9 - 10 $ subconjuntos. 481 | 482 | \subsection{Ejercicio 30} 483 | Por enunciado, $ X = \{ 1,2,3,4,5,5,7,8,9,10 \} $ 484 | 485 | Por definición, $ ARB \iff A \cap \{ 1,2,3 \} = B\cap \{ 1,2,3 \} $ 486 | 487 | Luego busco conjuntos $ B \in P(X): (\#B = 5) \wedge (BR\{ 1,3,5 \})$ 488 | 489 | Pero $ BR\{ 1,3,5 \} \iff B\cap \{ 1,2,3 \} = \{ 1,3,5 \} \cap \{ 1,2,3 \} = \{ 1,3 \} $ 490 | 491 | Así, busco subconjuntos de X de 5 elementos que incluyan al $\{ 1,3 \}$ y no tengan al 2. 492 | 493 | Entonces, hay $ \binom{7}{3} = 35 $ subconjuntos. 494 | 495 | \subsection{Ejercicio 31} 496 | Por enunciado, $ X = \{ n \in \mathbb{N}: n \leq 100 \} $ y $ A = \{ 1 \} $ 497 | 498 | Se que $ A \triangle B \iff (A \cup B) - (A \cap B) $ 499 | 500 | Entonces, busco $B$ tales que $ A \triangle B $ tengan 0 o 1 o 2 elementos. 501 | 502 | Para obtener 0 elementos $ B = \{ 1 \} \implies A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B) = \{ 1 \} - \{ 1 \} = \emptyset $ 503 | 504 | Hay un elemento. 505 | 506 | Para obtener 1 elemento $ B = \{ b_1, 1 \} \implies A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B) = \{ b_1, 1 \} - \{ 1 \} = \{ b_1 \}$ 507 | 508 | Luego hay $ \binom{99}{1} + 99 $ que cumplen esto. 509 | 510 | Para obtener 2 elementos $ B = \{ b_1, b_2, 1 \} \implies A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B) = \{ b_1, b_2, 1 \} - \{ 1 \} = \{ b_1, b_2 \}$ 511 | 512 | Luego hay $ \binom{99}{2} $ que cumplen esto. 513 | 514 | Así, habrá $ 1 + \binom{99}{1} + 99 + \binom{99}{2} = 5050 $ 515 | 516 | \subsection{Ejercicio 32} 517 | \subsubsection{Pregunta i} 518 | 519 | Tengo un conjunto $A$ con n elementos. Busco que la relación de equivalencia de $ a \in A $ tenga n elementos. 520 | 521 | La relación de equivalencia me dice con cuantos elementos se relaciona, en este caso, el elemento $a$. 522 | 523 | Luego voy a tener tantas clases de equivalencia como formas de elegir $n$ elementos de un conjunto de $2n$ elementos. 524 | 525 | Así, habrá $ \binom{2n}{n} $ clases de equivalencia. 526 | 527 | \subsubsection{Pregunta ii} 528 | Con el mismo rezanamiento que el inciso anterior habrá, $ \binom{3n}{b} \cdot \binom{2n}{n} $ clases de equivalencia. 529 | 530 | \end{document} 531 | -------------------------------------------------------------------------------- /practicas/soluciones/Práctica 1.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{2} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{0} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Práctica 1} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Práctica 1} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 41 | \item Verdadero 42 | \item Falso 43 | \item Verdadero 44 | \item Falso 45 | \item Falso 46 | \end{enumerate} 47 | 48 | \subsection{Ejercicio 2} 49 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 50 | \item Falso 51 | \item Falso 52 | \item Verdadero 53 | \item Verdadero 54 | \item Verdadero 55 | \item Verdadero 56 | \item Verdadero 57 | \item Falso 58 | \item Falso 59 | \item Verdadero 60 | \item Falso 61 | \item Verdadero 62 | \end{enumerate} 63 | 64 | \subsection{Ejercicio 3} 65 | Rdo.: Sean A y B conjuntos. $ A \subseteq B \iff \forall x \in A \implies x \in B$ 66 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 67 | \item $A \subseteq B$ 68 | \item $A \not \subseteq B$ pues $3 \not \in B$ 69 | \item $A \not \subseteq B$ pues $2.25 \not \in B$ 70 | \item $A \not \subseteq B$ 71 | \end{enumerate} 72 | 73 | \subsection{Ejercicio 4} 74 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 75 | \item $A \cap (B \triangle C) = \{ 1,-2,3 \}$ 76 | \item $(A \cap B) \triangle (A \cap C) = \{1,-2,3\}$ 77 | \item $A^c \cap B^c \cap C^c = \emptyset$ 78 | \end{enumerate} 79 | 80 | \subsection{Ejercicio 5} 81 | Rdo. DeMorgan: Sean A y B conjuntos, $(A \cap B)^c = (A^c \cup B^c)$ y $(A \cup B)^c = (A^c \cap B^c)$ 82 | 83 | \begin{enumerate} 84 | \item $(A \cup B \cup C)^c = A^c \cap B^c \cap C^c$ 85 | \item $(A \cap B \cap C)^c = A^c \cup B^c \cup C^c$ 86 | \end{enumerate} 87 | 88 | \subsection{Ejercicio 6} 89 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 90 | \item \includegraphics[width=500px]{1.6.1} 91 | \item \includegraphics[width=500px]{1.6.2} 92 | \item \includegraphics[width=500px]{1.6.3} 93 | \end{enumerate} 94 | 95 | \subsection{Ejercicio 7} 96 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 97 | \item $(A \cap B^c) \cup (B \cap C \cap A^c)$ 98 | \item $((A \cap C^c) \cup (C \cap A^c)) \cap B^c$ 99 | \item $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) \cap (A \cap B \cap C)^c$ 100 | \end{enumerate} 101 | 102 | \subsection{Ejercicio 8} 103 | Rdo. conjunto de partes: Sea A un conjunto, el conjunto de partes de A, $P(A)$ es aquel formado por todos los subonjuntos de A. 104 | 105 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 106 | \item $P(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \} \}$ 107 | \item $P(A) = \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ a, b \} \}$ 108 | \item $P(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ \{ 1,2 \} \}, \{ 3 \}, \{ 1, \{1,2\} \}, \{ 1,3 \}, \{\{1,2\}, 3 \}, \{ 1,\{1,2\}, 3 \} \}$ 109 | \end{enumerate} 110 | 111 | \subsection{Ejercicio 9} 112 | Quiero probar un $(\iff)$ por lo que debo verificar la doble inclusión. 113 | 114 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 115 | \item $A \subseteq B \implies P(A) \subseteq P(B)$ 116 | Sea x tal que $x \in P(A) \implies (\forall y \in x): y \in A$.\\ 117 | Pero $A \subseteq B \implies y \in B$. 118 | Por lo tanto $(\forall x \in P(A)): x \in P(B) \implies P(A) \subseteq P(B)$ 119 | \item $P(A) \subseteq P(B) \implies A \subseteq B$ 120 | Por definición del conjunto de partes, $A \in P(A)$ por lo tanto se que $A \in P(B)$ \\ 121 | Además $B \in P(B)$ y es el elemento con más elementos de $P(B)$, así $A \subseteq B$ como se quiería probar. 122 | \end{enumerate} 123 | 124 | \subsection{Ejercicio 10} 125 | 126 | \subsubsection{Inciso a} 127 | Calculadora de tablas de verdad. \href{https://calculadorasonline.com/generador-de-tablas-de-verdad-logica-proposicional-algebra-booleana/}{Link}\\ 128 | 129 | \includegraphics[width=500px]{1.10} 130 | 131 | \subsubsection{Inciso b} 132 | \includegraphics[width=500px]{1.11} 133 | 134 | \subsection{Ejercicio 11} 135 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 136 | \item $a = 1$ pues $1 \in \mathbb{N}$ pero $\frac{1-1}{1} = 0 \not \in \mathbb{N}$. 137 | \item $x = y = 4$ pues $\sqrt{4+4} = \sqrt{8} \neq 4 = \sqrt{4} + \sqrt{4}$ 138 | \item $x = -3$ pues $(-3)^2 = 9 > 4$ sin embargo $(-3) \not > 2$ 139 | \end{enumerate} 140 | 141 | \subsection{Ejercicio 12} 142 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 143 | \item El $\vee$ lógico es falso unicamente cuando ambas preposiciones son falsas. Así, la proposición será falsa sii $(x < 5) \wedge (x > 8)$ 144 | Pero es fácil ver que no existe ningún $x \in \mathbb{N}$ que lo cumpla. 145 | \item Es verdadera pues $n = 6$ hace verdadera la proposición $(n \geq 5) \wedge (n \leq 8)$ 146 | \item Es verdadera pues el conjunto de los $\mathbb{N}$ es infinito y por lo tanto existe $m = n+1$ que hace verdadera la proposición. 147 | \item Es falsa pues no existe un natural $n$ tal que $1 > n$. 148 | \item Es verdadera pues $f(x) = x^2$ es una función estrictamente creciente en el intervalo $[0, \infty]$ y dado que $f(3) = 9 > 4$ podemos afirmar que la preposición es verdadera. 149 | \item Es verdadera pues sea $c \in \mathbb{C} \implies c = a+b.i$ con $a,b \in \mathbb{R}$ y por lo tanto $(\forall r \in \mathbb{R}): (r + 0.i) \in \mathbb{C} $ 150 | \end{enumerate} 151 | 152 | \subsection{Ejercicio 13} 153 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 154 | \item \includegraphics[width=500px]{1.13.1} 155 | \item Falsa. Contraejemplo. $A=\{1\}$ $B=\{2\}$ $C=\{1\}$ 156 | \item \includegraphics[width=500px]{1.13.3} 157 | \item \includegraphics[width=500px]{1.13.4} 158 | \end{enumerate} 159 | 160 | \subsection{Ejercicio 14} 161 | Se prueban con tablas de verdad. Van los primeros cuatro. 162 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 163 | \item \includegraphics[width=500px]{1.14.1} 164 | \item \includegraphics[width=500px]{1.14.2} 165 | \item \includegraphics[width=500px]{1.14.3} 166 | \item \includegraphics[width=500px]{1.14.4} 167 | \item TODO 168 | \item TODO 169 | \item TODO 170 | \end{enumerate} 171 | 172 | \subsection{Ejercicio 15} 173 | \begin{enumerate} 174 | \item $A \times A = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$ 175 | \item $A \times B = \{(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(2,1),(2,3),(2,5),(2,7),(3,1),(3,3),(3,5),(3,7)\}$ 176 | \item $(A\cap B) \times (A\cup B) = \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(1,7),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,7)\}$ 177 | \end{enumerate} 178 | 179 | \subsection{Ejercicio 16} 180 | Pruebo la doble implicación. 181 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 182 | \item 183 | $(A \cup B) \times C \implies (A \times C) \cup (B \times C)$\\ 184 | $(x, y) \in (A\cup B) \times C \iff (x \in (A\cup B) \wedge y \in C) \iff ((x \in A \vee x \in B) \wedge y \in C)$\\ 185 | $\iff (x,y) \in (A\times C) \cup (B \times C)$ 186 | $(A \times C) \cup (B \times C) \implies (A \cup B) \times C$\\ 187 | 188 | $(x,y) \in (A \times C) \cup (B \times C) \iff ((x \in A \vee x \in B) \wedge y\in C) \implies (x\in (A \cup B) \wedge y \in C)$\\ 189 | $\implies (x, y) \in (A \cup B) \times C$ 190 | \item 191 | $(A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)$\\ 192 | $\subseteq) (x,y) \in (A \cap B) \times C \iff x \in (A \cap B) \wedge y \in C \iff (x \in A \wedge y \in C) \wedge (x \in B \wedge y\in C)$\\ 193 | $\iff ((x,y) \in A \times C) \wedge ((x,y)\in B \times C) \iff (x,y) \in (A \times C) \cap (B \times C)$\\ 194 | 195 | $\supseteq)$ Como al probar $\subseteq$ ya ví que también vale la vuelta entonces esto también queda probado. 196 | \end{enumerate} 197 | 198 | \subsection{Ejercicio 17} 199 | Rdo. relación: Sean $A$ y $B$ conjuntos, $R$ es relación de $A$ en $B$ si $R \subseteq A\times B$ es decir, si $R$ es un subonjunto del producto cartesiano $A \times B$\\ 200 | $R \subseteq A \times B \iff \forall (X,y) \in R : (x \in A \wedge y \in B)$ 201 | 202 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 203 | \item \includegraphics[width=500px]{1.17.1} 204 | \item No es relación $(3,2) \not \in A\times B$ pues $2 \not \in B$ 205 | \item \includegraphics[width=500px]{1.17.3} 206 | \item \includegraphics[width=500px]{1.17.4} 207 | \end{enumerate} 208 | 209 | \subsection{Ejercicio 18} 210 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 211 | \item $R = \{ (1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7) \}$ 212 | \item $R = \{ (2,1), (3,1) \}$ 213 | \item $R = \{ (2,1), (2,3), (2,5), (2,7) \}$ 214 | \item $R = \{ (1,7), (2,5), (2,7), (3,5), (3,7) \}$ 215 | \end{enumerate} 216 | 217 | \subsection{Ejercicio 19} 218 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 219 | \item NO es reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva.\\ 220 | $R = \{ (a,b), (b,a), (c,c), (c,d), (c,h), (e,c), (f,f), (h,g) \}$ 221 | \item ES transitiva. NO es reflexiva, simétrica, antisimétrica.\\ 222 | $R = \{ (a,a), (a,b), (b,b), (b,a), (c,c), (c,e), (c,h), (c,g), (f,f), (h,g) \}$ 223 | \item ES reflexiva. NO es simétrica, antisimétrica, transitiva.\\ 224 | $R = \{ (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (c,e), (c,h), (d,c), (d,d), (e,e), (f,f), (g,g), (h,h), (h,g) \}$ 225 | \item Es reflexiva, simétrica y transitiva. NO es antisimétrica. \\ 226 | $R = \{ (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (e,h), (e,g), (f,f), (g,e), (g,g), (g,h), (h,h), (h,e), (h,g) \}$ 227 | \end{enumerate} 228 | 229 | \subsection{Ejercicio 20} 230 | \includegraphics[width=500px]{1.20} 231 | 232 | \subsection{Ejercicio 21} 233 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 234 | \item 4 pares. 235 | \item 1 pares. 236 | \item 1 pares. 237 | \item 5 pares. 238 | \item 4 pares. 239 | \item 5 pares. 240 | \end{enumerate} 241 | 242 | \subsection{Ejercicio 22} 243 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 244 | \item Es relación de orden. 245 | \item Es relación de equivalencia. 246 | \item Es relación de orden. 247 | \item Es reflexiva y transitiva. 248 | \end{enumerate} 249 | 250 | \subsection{Ejercicio 23} 251 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 252 | \item Una relación es simétrica sii $(a,b) \implies (b,a) \in \mathbb{R}$ \\ 253 | Una relación es antisimétrica sii $((a,b) \in \mathbb{R} \wedge (b,a) \in \mathbb{R}) \implies a = b$ \\ 254 | Luego, las relaciones en $A$ simétricas y antisimétricas son de la forma: \\ 255 | $R = \{ (a,b) \in A^2 / a = b \}$ 256 | \item R también es de orden y equivalencia, pues es reflexiva y transitiva. 257 | \end{enumerate} 258 | 259 | La relación $R = \emptyset$ no es simétrica ni antisimétrica. 260 | 261 | \subsection{Ejercicio 24} 262 | \includegraphics[width=500px]{1.24} 263 | 264 | \subsection{Ejercicio 25} 265 | \includegraphics[width=500px]{1.25} 266 | 267 | Tiene cuatro clases de equivalencia. Representantes: $\tilde{1} = 1; \tilde{2} = 2; \tilde{4} = 4; \tilde{5} = 5$ 268 | 269 | \subsection{Ejercicio 26} 270 | Demostración de relación de equivalencia. Vamos a probar que es reflexiva y simétrica y transitiva, cada uno por separado. 271 | 272 | \underline{Reflexividad} 273 | 274 | $R$ es reflexiva sii A$R$A \\ 275 | Por definición, $ARA \iff ((A \triangle A) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset) $\\ 276 | Por definición de la diferencia simétrica, $(A \triangle A) = \emptyset$ \\ 277 | Por lo tanto, $\emptyset \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ como se quería probar. 278 | 279 | Así, $R$ es \textbf{reflexiva}. 280 | 281 | \underline{Simetría} 282 | 283 | $R$ es simétrica $\iff ARA \implies BRA$.\\ 284 | Por definición, $ARB \iff (A \triangle B) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ \\ 285 | Por definición de la diferencia simétrica, $(A \triangle B) = (B \triangle A)$ \\ 286 | Por lo tanto, $(A \triangle B) \cap \{ 1,2,3 \} = (B \triangle A) \cap \{ 1,2,3 \}$ 287 | Y por definición se que $(B \triangle A) \cap \{ 1,2,3 \} \iff BRA$ como se quería probar. 288 | 289 | Así, $R$ es \textbf{simétrica}. 290 | 291 | \underline{Transitividad} 292 | 293 | $R$ es transitiva $\iff (ARB \wedge BRC \implies ARC)$.\\ 294 | Por definición, \\$ARB \iff (A \triangle B) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ \\ 295 | $BRC \iff (B \triangle C) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ \\ 296 | $ARC \iff (A \triangle C) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ 297 | 298 | Por ejercicio 14.3, $(A \triangle B) \subseteq (A \triangle B) \cup (B \triangle C)$ 299 | 300 | Por lo tanto, $ARC \iff ((A \triangle B) \cup (B \triangle C)) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ 301 | 302 | Haciendo distributiva, $ARC \iff ((A \triangle B) \cap \{ 1,2,3 \}) \cup ((B \triangle C) \cap \{ 1,2,3 \}) = \emptyset$ 303 | 304 | Pero se que, \\ $(A \triangle B) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ y \\ $(B \triangle C) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ 305 | 306 | Entonces, $ ARC \iff (\emptyset \cup \emptyset = \emptyset) $ que es verdadero. 307 | 308 | Así, $R$ es \textbf{transitiva}. 309 | 310 | Dado que $R$ es refelexiva, simétrica y transitiva, queda demostrado que $R$ es una \textbf{relación de equivalencia}. 311 | 312 | \underline{Antisimétria} 313 | 314 | $R$ es antisimétrica $\iff (ARB \wedge BRA \implies B=A)$. 315 | 316 | Contraejemplo: $A = \{ 4 \}$; $B = \emptyset$ 317 | 318 | $ARB \iff (A \triangle B) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ \\ 319 | $ARB \iff \{ 4 \} \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ es verdadero. 320 | 321 | $BRA \iff (B \triangle A) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ \\ 322 | $BRA \iff \{ 4 \} \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ es verdadero. 323 | 324 | Por lo tanto $ARB$ y $BRA$ pero $A\neq B$ 325 | 326 | Así, $R$ NO es \textbf{antisimétrica}. 327 | 328 | (2) Busco la clase de equivalencia del $\{ 1,2,3 \}$ 329 | 330 | Se que la clase de equivalencia está formada por todos los $B\in P$ tales que:\\ 331 | $\{ 1,2,3 \}RB \iff (\{ 1,2,3 \} \triangle B) \cap \{ 1,2,3 \} = \emptyset$ 332 | 333 | Por definición de la diferencia simétrica, los $B$ que cumple esto son: 334 | 335 | $ \overline{\{ 1,2,3 \}} = \{B \in P / \{ 1,2,3 \} \subset B \}$ 336 | 337 | \subsection{Ejercicio 27} 338 | (1) De nuevo vamos a probar por separado la refexividad, simetría y transitividad. 339 | 340 | \underline{Reflexividad} 341 | 342 | $R$ es reflexiva $\iff (\forall x \in A): xRx$ 343 | 344 | Por definición, $xRx \iff x^2 - x^2 = 93x - 93y \iff 0 = 0$ 345 | 346 | Así, $R$ es \textbf{reflexiva}. 347 | 348 | \underline{Simetría} 349 | 350 | $R$ es simétrica $\iff (\forall x, y \in A): xRy \implies yRx$ 351 | 352 | Por definición, 353 | \begin{align*} 354 | xRy &\iff x^2 - y^2 = 93x - 93y \\ 355 | &\iff -x^2 + y^2 = -93x +93y \\ 356 | &\iff y^2 -x^2 = 93y -93x \\ 357 | &\iff yRx 358 | \end{align*} 359 | 360 | Así, $R$ es \textbf{simétrica}. 361 | 362 | \underline{Transitividad} 363 | 364 | $R$ es transitiva $\iff (\forall x, y, z \in A): (xRy \wedge yRz) \implies xRz$ 365 | 366 | Por definición, 367 | \begin{align*} 368 | xRy \iff x^2 - y^2 = 93x - 93y \\ 369 | yRz \iff y^2 - z^2 = 93y - 93z 370 | \end{align*} 371 | 372 | Sumando ambas, 373 | \begin{align*} 374 | x^2 - y^2 + y^2 - z^2 &= 93x - 93y +93y - 93z \\ 375 | \iff x^2 -z^2 &= 93x - 93z \iff xRz 376 | \end{align*} 377 | 378 | Así, $R$ es \textbf{transitiva}. 379 | 380 | Por lo tanto, $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva; luego $R$ es una \textbf{relación de equivalencia}. 381 | 382 | (2) $\overline{x} = \{ x, 93-x \}$ 383 | 384 | \subsection{Ejercicio 28} 385 | Habrá una clase de equivalencia para cada cardinal posible en los subconjuntos de $P(A)$ es decir, 386 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 387 | \item $\tilde{1} = \{ \text{subconjuntos con }\#=1 \}$ 388 | \item $\tilde{2} = \{ \text{subconjuntos con }\#=2 \}$ 389 | \item $\tilde{3} = \{ \text{subconjuntos con }\#=3 \}$ 390 | \item etc 391 | \end{enumerate} 392 | 393 | Lo que define 10 clases de equivalencia, más la clase $\tilde{0} = \emptyset$ determinan 11 clases de equivalencia. 394 | 395 | \subsection{Ejercicio 29} 396 | Rdo. función: Una relación $R \subseteq A\times B$ es una función de A en B si: $\forall x \in A, \exists ! y \in B / xRy$ 397 | 398 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 399 | \item No. El 3 tiene dos asignaciones en R: $(3,a) y (3,d)$ 400 | \item No. El 5 no tiene asignación en R. 401 | \item Sí 402 | \item Sí 403 | \item No. $\not \exists b \in \mathbb{N}: 2b-3 = \pi$ 404 | \item No. Tomando $a = 1$ se obtiene más de un valor en $R: (1,4), (1,9)$ 405 | \end{enumerate} 406 | 407 | \subsection{Ejercicio 30} 408 | 409 | \subsubsection{Inciso 1} 410 | 411 | \underline{Inyectiva} 412 | 413 | Por definición, f es inyectiva $\iff \forall x, y \in \mathbb{R}: f(x) = f(y) \implies x = y$ 414 | 415 | Contraejemplo: $x = 1; y=-1$ 416 | 417 | $f(x) = 12-5 = 7$\\ 418 | $f(y) = 12-5 = 7$ 419 | 420 | Luego $f(x) = f(y)$ pero $x \neq y$ 421 | 422 | Así, f NO es \textbf{inyectiva}. 423 | 424 | \underline{Sobreyectiva} 425 | 426 | Por definición, f es sobreyectiva $\iff Im(f) = \mathbb{R}$ 427 | 428 | Pero por ej. $\not \exists x \in \mathbb{R}: f(x) = -6$ pues $f(x) = 12x^2 -5 \geq -5, \forall x \in \mathbb{R}$ 429 | 430 | Así, f NO es \textbf{sobreyectiva}. 431 | 432 | $Im(f) = \mathbb{R}_{\geq -5}$ 433 | 434 | \subsubsection{Inciso 2} 435 | 436 | \underline{Inyectiva} 437 | 438 | Por definición, f es inyectiva $\iff \forall a,b,c,d \in \mathbb{R}: f(a,b) = f(c,d) \implies (a,b) = (c,d)$ 439 | 440 | Contraejemplo: $(1,3), (2,2)$ 441 | 442 | $f(1,3) = 1+3 = 4$ \\ 443 | $f(2,2) = 2+2 = 4$ 444 | 445 | Luego $f(a,b) = f(c,d)$ pero $(a,b) \neq (c,d)$ 446 | 447 | Así, f NO es \textbf{inyectiva}. 448 | 449 | \underline{Sobreyectiva} 450 | 451 | Por definición, f es sobreyectiva $\iff Im(f) = \mathbb{R}$ 452 | 453 | Sea $n \in \mathbb{R}$ quiero ver que $\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2: f(x,y) = n$ 454 | 455 | Luego $n = x+y \iff y = n-x \implies y \in \mathbb{R}$ 456 | 457 | Así, f es \textbf{sobreyectiva}. 458 | 459 | \subsubsection{Inciso 3} 460 | 461 | \underline{Inyectiva} 462 | 463 | Por definición, f es inyectiva $\iff \forall a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}: f(a,b,c) = f(d,e,f) \implies (a,b,c) = (d,e,f)$ 464 | 465 | Por definición de f, 466 | \begin{align*} 467 | f(a,b,c) = f(d,e,f) &\iff (a+b, 2.c) = (d+e, 2.f)\\ 468 | &\iff (a+b = d+e) \wedge (2.c = 2.f) 469 | \end{align*} 470 | 471 | Contraejemplo: $(a,b) = (1,3); (d,e) = (2,2)$ 472 | 473 | $(a+b = d+e) \implies (4=4)$ pero $(1,3) \neq (2,2)$ 474 | 475 | Así, f NO es \textbf{inyectiva}. 476 | 477 | \underline{Sobreyectiva} 478 | 479 | Por definición, f es sobreyectiva $\iff Im(f) = \mathbb{R}^2 \iff (\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2): \exists (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 / f(a,b,c) = (x,y)$ 480 | 481 | $f(a,b,c) = (a+b, 2.c) = (x,y) \iff (x = a+b \wedge y = 2.c$) 482 | 483 | Así, f es \textbf{sobreyectiva}. 484 | 485 | \subsubsection{Inciso 4} 486 | TODO 487 | 488 | \subsubsection{Inciso 5} 489 | TODO 490 | 491 | \subsubsection{Inciso 6} 492 | TODO 493 | 494 | \subsection{Ejercicio 31} 495 | 496 | \subsubsection{Inciso 1} 497 | 498 | \begin{enumerate}[label=(\alph*)] 499 | \item $(f \circ g)(3,4) = f(g(3,4)) = f(15) = 46$ 500 | \item $(f \circ g)(2,5) = f(g(2,5)) = f(12) = 72$ 501 | \item $(f \circ g)(3,2) = f(g(3,2)) = f(9) = 28$ 502 | \end{enumerate} 503 | 504 | \subsubsection{Inciso 2} 505 | 506 | Busco $f(g(n)) = 13 \implies f(\sqrt{n}) = 13$. Hay dos casos 507 | 508 | \begin{enumerate} 509 | \item $\sqrt{n} \leq 7 \implies f(\sqrt{n}) = n = 13 \iff n = 13$ 510 | \item $\sqrt{n} > 7 \implies f(\sqrt{n}) = 2. \sqrt{n} - 1 = 13 \iff \sqrt{n} = 7$. Abs pues $\sqrt{n} > 7$ 511 | \end{enumerate} 512 | 513 | Luego $f(g(n)) = 13 \iff n = 13$ 514 | \\ 515 | 516 | Busco $f(g(m)) = 15 \implies f(\sqrt{m}) = 15$. Hay dos casos 517 | 518 | \begin{enumerate} 519 | \item $\sqrt{m} \leq 7 \implies f(\sqrt{m}) = m = 15 \iff m = 15$ 520 | \item $\sqrt{n} > 7 \implies f(\sqrt{m}) = 2. \sqrt{m} - 1 = 15 \iff \sqrt{n} = 8$ 521 | \end{enumerate} 522 | 523 | Luego $f(g(m)) = 15 \iff m \in \{ -64, 15, 64 \}$ 524 | 525 | \subsection{Ejercicio 32} 526 | 527 | \begin{enumerate} 528 | \item \begin{enumerate} 529 | \item $(f \circ g) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)^2 -18 = 2(x^2 +6x +9) -18 = 2x^2 +12x = 2x(x+6)$ 530 | \item $(g \circ f) = g(f(x)) = g(2x^2 - 18) = (2x^2 - 18) +3 = 2x^2 -15$ 531 | \end{enumerate} 532 | \item \begin{enumerate} 533 | \item $(f \circ g) = f(g(x)) = f(4x) = 4x-2$ 534 | \item $(g \circ f) = g(f(x)) = \begin{cases} 535 | 4(n-2) & n \bmod 4 = 4 \\ 536 | 4(n+1) & \text{en otro caso} 537 | \end{cases}$ 538 | \item $(f \circ g) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x} +5, 3x)$ 539 | \item $(g \circ f) $ no se puede calcular pues $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ 540 | \end{enumerate} 541 | \end{enumerate} 542 | 543 | \subsection{Ejercicio 33} 544 | 545 | $f(x) = \begin{cases} 546 | \frac{x}{3} & x \bmod 3 = 0 \\ 547 | 1 & \text{en otro caso} 548 | \end{cases}$ 549 | 550 | $g(x) = 3x$ 551 | 552 | \subsection{Ejercicio 34} 553 | TODO 554 | 555 | \subsection{Ejercicio 35} 556 | TODO 557 | 558 | \end{document} 559 | -------------------------------------------------------------------------------- /practicas/soluciones/Práctica 6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \input{macrosAlgebra} 2 | \usepackage{caratula} 3 | \usepackage{enumerate} 4 | \usepackage{hyperref} 5 | \usepackage{graphicx} 6 | \usepackage{amsfonts} 7 | \usepackage{enumitem} 8 | \usepackage{amsmath} 9 | 10 | \decimalpoint 11 | \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=black, urlcolor=blue} 12 | \setlength{\parindent}{0em} 13 | \setlength{\parskip}{0.5em} 14 | \setcounter{tocdepth}{2} % profundidad de indice 15 | \setcounter{section}{5} % nro de section 16 | \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\Alph{subsubsection}} 17 | \graphicspath{ {images/} } 18 | 19 | % End latex config 20 | 21 | \begin{document} 22 | 23 | \titulo{Práctica 6} 24 | \fecha{2do cuatrimestre 2021} 25 | \materia{Álgebra I} 26 | \integrante{Yago Pajariño}{546/21}{ypajarino@dc.uba.ar} 27 | 28 | %Carátula 29 | \maketitle 30 | \newpage 31 | 32 | %Indice 33 | \tableofcontents 34 | \newpage 35 | 36 | % Aca empieza lo propio del documento 37 | \section{Práctica 6} 38 | 39 | \subsection{Ejercicio 1} 40 | 41 | \subsubsection{Pregunta i} 42 | 43 | Paso a polares: 44 | \begin{itemize} 45 | \item $ 5i = 5(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) $ 46 | \item $ (1+i)^4 = (\sqrt{2})^4 .(\cos(\pi)+i\sin(\pi)) $ 47 | \end{itemize} 48 | 49 | Luego, 50 | \begin{align*} 51 | z &= 4.5(\cos(\pi + \frac{\pi}{2})+i\sin(\pi +\frac{\pi}{2})) \\ 52 | &= 20(\cos(\frac{3\pi}{2})+i\sin(\frac{3\pi}{2})) \\ 53 | \end{align*} 54 | 55 | Así, 56 | \begin{itemize} 57 | \item $ Re(z) = 20. \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $ 58 | \item $ Im(z) = 20. \sin(\frac{3\pi}{2}) = -20 $ 59 | \item $ |z| = 20 $ 60 | \item $ Re(z^{-1}) = 0 $ 61 | \item $ iz = 20(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)) \implies Im(iz) = 0 $ 62 | \end{itemize} 63 | 64 | \subsubsection{Pregunta ii} 65 | 66 | \begin{align*} 67 | z &= (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}i)^2.(\overline{1-3i}) \\ 68 | &= (2 + 2\cdot \sqrt[]{2} \cdot\sqrt[]{3}i - 3).(1 + 3i) \\ 69 | &= (-1 + 2\cdot \sqrt[]{6}i).(1 + 3i) \\ 70 | &= -1 - 3i + 2 \cdot\sqrt[]{6}i - 6 \cdot \sqrt[]{6} \\ 71 | &= -1 - 6 \cdot \sqrt[]{6} + (2 \cdot\sqrt[]{6} - 3)i \\ 72 | \end{align*} 73 | 74 | \begin{itemize} 75 | \item $ Re(z) = -1 - 6 \cdot \sqrt[]{6} $ 76 | \item $ Im(z) = 2 \cdot\sqrt[]{6} - 3 $ 77 | \item $ |z| = \sqrt{(-1 - 6 \cdot \sqrt[]{6})^2 + (2 \cdot\sqrt[]{6} - 3)^2} = \sqrt[]{250} = 5\cdot\sqrt[]{10} $ 78 | \end{itemize} 79 | 80 | \subsubsection{Pregunta iii} 81 | 82 | Paso a polares, 83 | 84 | $ i^{17} = \cos(17.\frac{\pi}{2}) + i\sin(17\frac{\pi}{2}) $ 85 | 86 | $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.(\cos(0) + i\sin(0)) $ 87 | 88 | $ i = \cos(\frac{\pi}{2}) +i\sin(\frac{\pi}{2}) $ 89 | 90 | $ (1-i)^3 = (\sqrt[]{2})^3(\cos(3.\frac{7}{4}\pi)+i\sin(3.\frac{7}{4}\pi)) $ 91 | 92 | Luego, 93 | \begin{align*} 94 | \frac{1}{2} . i . (1+i)^3 &= \frac{1}{2}.(\sqrt[]{2})^3.\left(\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{21}{4}\pi) +i\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{21}{4}\pi)\right) \\ 95 | &= \frac{\sqrt[]{2}^3}{2}.\left(\cos\left(\frac{23}{4}\pi\right) +i\sin\left(\frac{23}{4}\pi\right)\right) \\ 96 | \end{align*} 97 | Entonces, 98 | \begin{align*} 99 | z &= \frac{\sqrt[]{2}^3}{2}.\left(\cos\left((\frac{17}{2} + \frac{23}{4})\pi\right) +i\sin\left((\frac{17}{2} + \frac{23}{4})\pi\right)\right) \\ 100 | &= \frac{\sqrt[]{2}^3}{2}.\left(\cos\left(\frac{57}{4}\pi\right) +i\sin\left(\frac{57}{4}\pi\right)\right) \\ 101 | \end{align*} 102 | 103 | \begin{itemize} 104 | \item $ Re(z) = \frac{\sqrt[]{2}^3}{2} . \cos\left(\frac{57}{4}\pi\right) $ 105 | \item $ Im(z) = \frac{\sqrt[]{2}^3}{2} . \sin\left(\frac{57}{4}\pi\right) $ 106 | \item $ |z| = \frac{\sqrt[]{2}^3}{2} $ 107 | \item $ Re(z^{-1}) = \cos\left(\frac{57}{4}\pi\right) $ 108 | \item $ Im(iz) = \frac{\sqrt[]{2}^3}{2} . \sin\left(\frac{59}{4}\pi\right) $ 109 | \end{itemize} 110 | 111 | \subsubsection{Pregunta iv} 112 | TODO 113 | 114 | \subsubsection{Pregunta v} 115 | TODO 116 | 117 | \subsection{Ejercicio 2} 118 | 119 | \begin{enumerate} 120 | \item \includegraphics[width=250px]{6.2.1} 121 | \item \includegraphics[width=250px]{6.2.2} 122 | \item \includegraphics[width=250px]{6.2.3} 123 | \end{enumerate} 124 | 125 | \subsection{Ejercicio 3} 126 | 127 | \subsubsection{Pregunta i} 128 | 129 | $ z^2 = -36 $ 130 | 131 | Se que $ z = a+bi $ con $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ 132 | 133 | Luego busco los $z$ tales que $z^2 = -36 $ 134 | 135 | \begin{align*} 136 | z^2 = -36 \iff z^2 &= (a+bi)^2 \\ 137 | &= a^2 - b^2 + 2abi \\ 138 | \end{align*} 139 | 140 | También se que el módulo debe ser igual $ |z^2| = |-36| $, 141 | 142 | $ |z^2| = |z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2 $ \\ 143 | $ |-36| = 36 $ 144 | 145 | Usando la igualdad de números complejos, 146 | 147 | $ \begin{cases} 148 | a^2-b^2 = -36 \\ 149 | 2ab = 0 \\ 150 | a^2+b^2 = 36 \\ 151 | \end{cases} $ 152 | 153 | Sumando (1) y (3) $ 2a^2 = 0 \iff a = 0 $ 154 | 155 | Restando (1) a (3) $ 2b^2 = 2.36 \iff b = \pm 36 $ 156 | 157 | Luego $ z = a+bi $ con los valores de a y b hallados resulta en 158 | 159 | Rta.: $ z_1 = 6i; z_2 = -6i $ 160 | 161 | \subsubsection{Pregunta ii} 162 | 163 | $ z^2 = i $ 164 | 165 | Se que $ z = a+bi $ con $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ 166 | 167 | También se que el módulo debe ser igual $ |z^2| = |i| $, 168 | 169 | $ |z^2| = |z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2 $ \\ 170 | $ |i| = 1 $ 171 | 172 | Usando la igualdad de números complejos, 173 | 174 | $ \begin{cases} 175 | a^2-b^2 = 0 \\ 176 | 2ab = 1 \\ 177 | a^2+b^2 = 1 \\ 178 | \end{cases} $ 179 | 180 | Sumando (1) y (3) $ 2a^2 = 1 \iff a = \pm \frac{1}{\sqrt[]{2}} $ 181 | 182 | Restando (1) a (3) $ 2b^2 = 1 \iff b = \pm \frac{1}{\sqrt[]{2}} $ 183 | 184 | Usando (2) se que $ 2ab > 0 \iff (a > 0 \wedge b > 0) \vee (a < 0 \wedge b < 0) $ 185 | 186 | Rta.: $ z_1 = \frac{1}{\sqrt[]{2}} + \frac{1}{\sqrt[]{2}}i; z_2 = -\frac{1}{\sqrt[]{2}} - \frac{1}{\sqrt[]{2}}i $ 187 | 188 | \subsubsection{Pregunta iii} 189 | 190 | $ z^2 = 7+24i $ 191 | 192 | Se que $ z = a+bi $ con $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ 193 | 194 | También se que el módulo debe ser igual $ |z^2| = |7+24i| $, 195 | 196 | $ |z^2| = |z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2 $ 197 | 198 | $ |7+24i| = \sqrt[]{7^2+24^2} = \sqrt[]{49+576} = 25 $ 199 | 200 | Usando la igualdad de números complejos, 201 | 202 | $ \begin{cases} 203 | a^2-b^2 = 7 \\ 204 | 2ab = 24 \\ 205 | a^2+b^2 = 25 \\ 206 | \end{cases} $ 207 | 208 | Sumando (1) y (3) $ 2a^2 = 32 \iff a = \pm 4 $ 209 | 210 | Restando (1) a (3) $ 2b^2 = 18 \iff b = \pm 3 $ 211 | 212 | Usando (2) se que $ 2ab > 0 \iff (a > 0 \wedge b > 0) \vee (a < 0 \wedge b < 0) $ 213 | 214 | Rta.: $ z_1 = 4+3i; z_2 = -4-3i $ 215 | 216 | \subsubsection{Pregunta iv} 217 | 218 | $ z^2 + 15 - 8i = 0 \iff z^2 = -15+8i $ 219 | 220 | Se que $ z = a+bi $ con $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ 221 | 222 | También se que el módulo debe ser igual $ |z^2| = |-15+8i| $, 223 | 224 | $ |z^2| = |z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2 $ 225 | 226 | $ |-15+8i| = \sqrt[]{(-15)^2+8^2} = \sqrt[]{225 + 64} = 17 $ 227 | 228 | Usando la igualdad de números complejos, 229 | 230 | $ \begin{cases} 231 | a^2-b^2 = -15 \\ 232 | 2ab = 8 \\ 233 | a^2+b^2 = 17 \\ 234 | \end{cases} $ 235 | 236 | Sumando (1) y (3) $ 2a^2 = 2 \iff a = \pm 1 $ 237 | 238 | Restando (1) a (3) $ 2b^2 = 16 \iff b = \pm 4 $ 239 | 240 | Usando (2) se que $ 2ab > 0 \iff (a > 0 \wedge b > 0) \vee (a < 0 \wedge b < 0) $ 241 | 242 | Rta.: $ z_1 = 1+4i; z_2 = -1-4i $ 243 | 244 | \subsection{Ejercicio 4} 245 | 246 | \subsubsection{Pregunta i} 247 | 248 | $ z = (2+2i)(\sqrt[]{3}-i) $ 249 | 250 | Busco la forma polar de cada factor. 251 | \begin{align*} 252 | 2+2i &= \sqrt[]{8}. e^{\frac{\pi}{4}i} \\ 253 | \sqrt[]{3} - i &= 2.e^{\frac{11}{6}\pi i} 254 | \end{align*} 255 | Por DeMoivre, 256 | \begin{align*} 257 | z &= (2+2i)(\sqrt[]{3}-i) \\ 258 | &= \sqrt[]{8}. 2. e^{\frac{\pi}{4}i + \frac{11}{6}\pi i} \\ 259 | &= 2 \cdot \sqrt[]{8} e^{\frac{1}{12}\pi i} 260 | \end{align*} 261 | Luego, 262 | \begin{itemize} 263 | \item $ |z| = 4\cdot \sqrt[]{2} $ 264 | \item $ \theta = \frac{1}{12}\pi $ 265 | \end{itemize} 266 | 267 | \subsubsection{Pregunta ii} 268 | 269 | $ z = (-1+\sqrt[]{3}i)^5 $ 270 | \begin{align*} 271 | -1+\sqrt[]{3}i &= 2\cdot e^{(\pi - \frac{1}{3}\pi)i} \\ 272 | &= 2\cdot e^{\frac{2}{3}\pi i } 273 | \end{align*} 274 | Luego, 275 | \begin{align*} 276 | z &= (-1+\sqrt[]{3}i)^5 \\ 277 | &= (2\cdot e^{\frac{2}{3}\pi i })^5 \\ 278 | &= 2^5\cdot e^{\frac{10}{3}\pi i } 279 | \end{align*} 280 | Por lo tanto, 281 | \begin{itemize} 282 | \item $ |z| = 2^5 $ 283 | \item $ \theta = \frac{4}{3}\pi $ 284 | \end{itemize} 285 | 286 | \subsubsection{Pregunta iii} 287 | 288 | $ z = (-1+\sqrt[]{3}i)^{-5} $ 289 | \begin{align*} 290 | z &= (-1+\sqrt[]{3}i)^{-5} \\ 291 | &= (2\cdot e^{\frac{2}{3}\pi i })^{-5} \\ 292 | &= 2^{-5}\cdot e^{\frac{-10}{3}\pi i } 293 | \end{align*} 294 | Por lo tanto, 295 | \begin{itemize} 296 | \item $ |z| = \frac{1}{2^5} $ 297 | \item $ \theta = \frac{2}{3}\pi $ 298 | \end{itemize} 299 | 300 | \subsubsection{Pregunta iv} 301 | 302 | $ z = \frac{1+\sqrt[]{3}i}{1-i} $ 303 | 304 | Busco las expresiones polares. 305 | \begin{align*} 306 | 1+\sqrt[]{3}i &= 2. e^{\frac{\pi}{3}i} \\ 307 | 1-i &= \sqrt[]{2}. e^{\frac{7}{4}\pi i} 308 | \end{align*} 309 | Luego, 310 | \begin{align*} 311 | z &= \frac{1+\sqrt[]{3}i}{1-i} \\ 312 | &= \frac{2}{\sqrt[]{2}} \cdot e^{(\frac{1}{3} - \frac{7}{4})\pi i} \\ 313 | &= \frac{2}{\sqrt[]{2}} \cdot e^{\frac{-17}{12}\pi i} 314 | \end{align*} 315 | Por lo tanto, 316 | \begin{itemize} 317 | \item $ |z| = \frac{2}{\sqrt[]{2}} $ 318 | \item $ \theta = \frac{7}{12}\pi $ 319 | \end{itemize} 320 | 321 | \subsection{Ejercicio 5} 322 | 323 | \subsubsection{Pregunta i} 324 | 325 | $ Re(z) = x \wedge Im(z) = y \implies x+5y \leq 8 \iff y \leq -\frac{1}{5}x + \frac{8}{5}$ 326 | 327 | \includegraphics[width=250px]{6.5.1} 328 | 329 | \subsubsection{Pregunta ii} 330 | 331 | \begin{itemize} 332 | \item $ |z| = 2 $ define una circunferencia de radio 2. 333 | \item $ \frac{\pi}{4} \leq arg(z) \leq \frac{2\pi}{3} $ define un arco de angulo barrido. 334 | \end{itemize} 335 | 336 | \includegraphics[width=250px]{6.5.2} 337 | 338 | \subsubsection{Pregunta iii} 339 | \includegraphics[width=250px]{6.5.3} 340 | 341 | \subsubsection{Pregunta iv} 342 | \includegraphics[width=250px]{6.5.4} 343 | 344 | \subsection{Ejercicio 6} 345 | 346 | \subsubsection{Pregunta i} 347 | 348 | $ z = (\frac{1+\sqrt[]{3}i}{1-i})^{17} $ 349 | 350 | Sea $ w = \frac{1+\sqrt[]{3}i}{1-i} $ 351 | 352 | Busco las expresiones polares. 353 | \begin{align*} 354 | 1+\sqrt[]{3}i &= 2. e^{\frac{\pi}{3}i} \\ 355 | 1-i &= \sqrt[]{2}. e^{\frac{7}{4}\pi i} 356 | \end{align*} 357 | Luego, 358 | \begin{align*} 359 | w &= \frac{1+\sqrt[]{3}i}{1-i} \\ 360 | &= \frac{2}{\sqrt[]{2}} \cdot e^{(\frac{1}{3} - \frac{7}{4})\pi i} \\ 361 | &= \frac{2}{\sqrt[]{2}} \cdot e^{\frac{7}{12}\pi i} 362 | \end{align*} 363 | Por lo tanto, 364 | \begin{align*} 365 | z &= w^{17} \\ 366 | &= \left(\frac{2}{\sqrt[]{2}} \cdot e^{\frac{7}{12}\pi i}\right)^{17} \\ 367 | &= \left(\frac{2}{\sqrt[]{2}}\right)^{17} \cdot e^{\frac{17.7}{12}\pi i} \\ 368 | &= \left(\frac{2}{\sqrt[]{2}}\right)^{17} \cdot e^{\frac{23}{12}\pi i} \\ 369 | \end{align*} 370 | Por lo tanto, 371 | $ z = \left(\frac{2}{\sqrt[]{2}}\right)^{17} \cdot \cos(\frac{23}{12}\pi i) + \left(\frac{2}{\sqrt[]{2}}\right)^{17} \cdot \sin(\frac{23}{12}\pi i) $ 372 | 373 | \subsubsection{Pregunta ii} 374 | 375 | $ z = (-1+\sqrt[]{3}i)^{n} $ 376 | 377 | $ -1+\sqrt[]{3}i = 2\cdot e^{\frac{2}{3}\pi i} $ 378 | 379 | $ (-1+\sqrt[]{3}i)^{n} = 2^n \cdot e^{\frac{2n}{3}\pi i} $ 380 | 381 | Luego $ 0 \leq \frac{2n}{3}\pi i < 2\pi \iff 0 \leq n < 3 $ 382 | 383 | Por lo tanto, 384 | \begin{itemize} 385 | \item $ n = 0 \implies z = 1 $ 386 | \item $ n = 1 \implies z = 2\cdot e^{\frac{2}{3}\pi i} = -1+\sqrt[]{3}i $ 387 | \item $ n = 1 \implies z = 4\cdot e^{\frac{4}{3}\pi i} = -2+ 2 \cdot \sqrt[]{3}i $ 388 | \end{itemize} 389 | 390 | \subsection{Ejercicio 7} 391 | 392 | \subsubsection{Pregunta i} 393 | 394 | Busco los $ n \in \mathbb{N} $ tales que $ (\sqrt[]{3}-i)^n = 2^{n-1}\cdot (-1+\sqrt[]{3}i) $ 395 | 396 | Luego, 397 | \begin{align*} 398 | (\sqrt[]{3}-i)^n = 2^{n-1}\cdot (-1+\sqrt[]{3}i) &\iff 2(\sqrt[]{3}-i)^n = 2^{n}\cdot (-1+\sqrt[]{3}i) \\ 399 | &\iff \left(\frac{\sqrt[]{3}-i}{2}\right)^n = \frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2} \\ 400 | \end{align*} 401 | Busco expresiones polares, 402 | \begin{itemize} 403 | \item $ -1+\sqrt[]{3}i = 2\cdot e^{\frac{2}{3}\pi i} $ 404 | \item $ 2 = 2\cdot e^{0} $ 405 | \item $ \sqrt[]{3}-i = 2\cdot e^{\frac{11}{6}\pi i} $ 406 | \end{itemize} 407 | Así, 408 | \begin{align*} 409 | \frac{-1+\sqrt[]{3}i}{2} &= 1\cdot e^{\frac{2}{3}\pi i} \\ 410 | &= e^{\frac{2}{3}\pi i} \\ 411 | \end{align*} 412 | Y, 413 | \begin{align*} 414 | \frac{\sqrt[]{3}-i}{2} &= 1\cdot e^{\frac{11}{6}\pi i} \\ 415 | &= e^{\frac{11}{6}\pi i} \\ 416 | \implies \left(\frac{\sqrt[]{3}-i}{2}\right)^n &= e^{\frac{11}{6}n\pi i} 417 | \end{align*} 418 | 419 | Luego sea $ z = e^{\frac{2}{3}\pi i} $ y $ w = e^{\frac{11}{6}n\pi i} $ por definición de números complejos, 420 | $ 421 | z = w \iff \begin{cases} 422 | |z| = |w| \\ 423 | \frac{2}{3}\pi = \frac{11}{6}n\pi +2k\pi 424 | \end{cases} 425 | $ 426 | 427 | Luego, 428 | \begin{align*} 429 | \frac{2}{3}\pi &= \frac{11}{6}n\pi +2k\pi \\ 430 | \frac{2}{3} &= \frac{11}{6}n +2k \\ 431 | 4 &= 11n + 12k \\ 432 | 11n &= - 12k + 4 \\ 433 | \iff 11n &\equiv 4(12) \\ 434 | -n &\equiv 4(12) \\ 435 | n &\equiv 8(12) \\ 436 | \end{align*} 437 | Rta.: $ w = z \iff n \equiv 8(12) $ 438 | 439 | \subsubsection{Pregunta ii} 440 | 441 | Busco los $ n \in \mathbb{N} $ tales que $ (-\sqrt[]{3}+i)^n \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}\right) $ es un real negativo 442 | 443 | Busco expresiones polares. 444 | 445 | \begin{itemize} 446 | \item $ -\sqrt[]{3}+i = 2\cdot e^{\frac{5}{6} \pi i} $ 447 | \item $ \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}\right) \cdot e^0 $ 448 | \end{itemize} 449 | 450 | Luego, 451 | $ z = 2^n \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}\right) \cdot e^{\frac{5}{6} \pi n i} $ 452 | 453 | Por definición de la forma polar, $ z \in \mathbb{R}_{<0} \iff arg(z) = \pi $ 454 | 455 | Así, 456 | \begin{align*} 457 | \frac{5}{6} \pi n &= \pi + 2k \pi \\ 458 | \frac{5}{6} n &= 1 + 2k \\ 459 | 5 n &= 6 + 12k \\ 460 | \iff 5.5 n &\equiv 5.6(12) \\ 461 | \iff n &\equiv 6(12) \\ 462 | \end{align*} 463 | Rta.: z es real negativo $ \forall n \in \mathbb{N}: n \equiv 6(12) $ 464 | 465 | \subsubsection{Pregunta iii} 466 | 467 | Busco los $ n \in \mathbb{N} $ tales que $ arg((-1+i)^{2n}) = \frac{\pi}{2} $ y $ arg((1-\sqrt[]{3}i)^{n-1}) = \frac{2}{3}\pi $ 468 | 469 | Busco expresiones polares. 470 | 471 | \begin{itemize} 472 | \item $ (1-i) = \sqrt[]{2} \cdot e^{\frac{3}{4}\pi i}$ 473 | \item $ (1-i)^{2n} = \left(\sqrt[]{2}\right)^{2n} \cdot e^{2n\frac{3}{4}\pi i} = 2^n \cdot e^{\frac{3}{2}\pi n i} $ 474 | \item $ (1-\sqrt[]{3}i) = 2\cdot e^{\frac{5}{3}\pi i} $ 475 | \item $ (1-\sqrt[]{3}i)^{n-1} = 2^{n-1}\cdot e^{(n-1)\frac{5}{3}\pi i} $ 476 | \end{itemize} 477 | 478 | Luego resolviendo la primer igualdad, 479 | \begin{align*} 480 | arg((-1+i)^{2n}) = \frac{\pi}{2} \iff \frac{3}{2}\pi n &= \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ 481 | \frac{3}{2} n &= \frac{1}{2} + 2k \\ 482 | 3 n &= 1 + 4k \\ 483 | 3 n &\equiv 1 (4) \\ 484 | n &\equiv 3 (4) \\ 485 | \end{align*} 486 | Y la segunda, 487 | \begin{align*} 488 | arg((1-\sqrt[]{3}i)^{n-1}) = \frac{2}{3}\pi \iff (n-1)\frac{5}{3}\pi &= \frac{2}{3} \pi + 2k\pi \\ 489 | (n-1)\frac{5}{3} &= \frac{2}{3} + 2k \\ 490 | (n-1)5 &= 2 + 6k \\ 491 | 5n-5 &= 2 + 6k \\ 492 | 5n &= 7 + 6k \\ 493 | 5n &\equiv 7 (6) \\ 494 | -n &\equiv 7 (6) \\ 495 | n &\equiv 5 (6) \\ 496 | \end{align*} 497 | 498 | Juntando ambas soluciones, $ \begin{cases} 499 | n \equiv 3(4) \implies n \equiv 1(2) \\ 500 | n \equiv 5(6) 501 | \end{cases} $ 502 | 503 | La segunda implica la primera, luego los n que cumplen lo pedido son $ \{ n \in \mathbb{N}: n\equiv 5(6) \} $ 504 | 505 | \subsection{Ejercicio 8} 506 | 507 | \subsubsection{Pregunta i} 508 | 509 | Busco los $ w: w^6 = 8 $ 510 | 511 | Se que, $ \begin{cases} 512 | 8 = 8 \cdot e^0 \\ 513 | w^6 = |w|^6 \cdot e^{6 \theta i} 514 | \end{cases} $ 515 | 516 | Luego por igualdad de números complejos, $ w^6 = 8 \iff \begin{cases} 517 | |w|^6 = 8 \\ 518 | \theta = \frac{0+2k\pi}{6} 519 | \end{cases} $ 520 | 521 | Con $ 0 \leq \theta < 2\pi \iff 0 \leq \frac{k\pi}{3} < 2\pi \iff 0 \leq k < 6 \implies k \in \{ 0,1,2,3,4,5 \} $ 522 | 523 | Así, las raíces sextas de 8 son: 524 | \begin{itemize} 525 | \item $ n = 0 \implies w_0 = \sqrt[6]{8} \cdot e^0 $ 526 | \item $ n = 1 \implies w_1 = \sqrt[6]{8} \cdot e^{\frac{2}{6} \cdot \pi i} $ 527 | \item $ n = 2 \implies w_2 = \sqrt[6]{8} \cdot e^{\frac{4}{6} \cdot \pi i} $ 528 | \item $ n = 3 \implies w_3 = \sqrt[6]{8} \cdot e^{\frac{6}{6} \cdot \pi i} $ 529 | \item $ n = 4 \implies w_4 = \sqrt[6]{8} \cdot e^{\frac{8}{6} \cdot \pi i} $ 530 | \item $ n = 4 \implies w_5 = \sqrt[6]{8} \cdot e^{\frac{10}{6} \cdot \pi i} $ 531 | \end{itemize} 532 | 533 | \subsubsection{Pregunta ii} 534 | 535 | Busco los $ w: w^3 = -4 $ 536 | 537 | Se que, $ \begin{cases} 538 | -4 = 4 \cdot e^{\pi i} \\ 539 | w^3 = |w|^3 \cdot e^{3 \theta i} 540 | \end{cases} $ 541 | 542 | Luego por igualdad de números complejos, $ w^3 = -4 \iff \begin{cases} 543 | |w|^3 = 4 \implies |w| = \sqrt[3]{4} \\ 544 | \theta = \frac{\pi+2k\pi}{3} 545 | \end{cases} $ 546 | 547 | Con $ 0 \leq \theta < 2\pi \iff 0 \leq \frac{\pi+2k\pi}{3} < 2\pi \iff 0 \leq k < 3 \implies k \in \{ 0,1,2 \} $ 548 | 549 | Así, las raíces cubicas de -4 son: 550 | \begin{itemize} 551 | \item $ n = 0 \implies w_0 = \sqrt[3]{4} \cdot e^{\frac{1}{3} \pi i} $ 552 | \item $ n = 1 \implies w_1 = \sqrt[3]{4} \cdot e^{\pi i} $ 553 | \item $ n = 2 \implies w_2 = \sqrt[3]{4} \cdot e^{\frac{5}{3} \pi i} $ 554 | \end{itemize} 555 | 556 | \subsubsection{Pregunta iii} 557 | 558 | Busco los $ w: w^7 = -1+i $ 559 | 560 | Se que, $ \begin{cases} 561 | -1+i = \sqrt[]{2} \cdot e^{\frac{3}{4}\pi i} \\ 562 | w^7 = |w|^7 \cdot e^{7 \theta i} 563 | \end{cases} $ 564 | 565 | Luego por igualdad de números complejos, $ w^7 = -1+i \iff \begin{cases} 566 | |w|^7 = \sqrt[]{2} \implies |w| = \sqrt[14]{2} \\ 567 | \theta = \frac{3/4\pi+2k\pi}{7} 568 | \end{cases} $ 569 | 570 | Con $ 0 \leq \theta < 2\pi \iff 0 \leq \frac{3/4\pi+2k\pi}{7} < 2\pi \iff 0 \leq k < 7 \implies k \in \{ 0,1,2,3,4,5,6 \} $ 571 | 572 | Así, las raíces séptimas de $ -1+i $ son: 573 | \begin{itemize} 574 | \item $ n = 0 \implies w_0 = \sqrt[14]{2} \cdot e^{\frac{3}{28} \pi i} $ 575 | \item $ n = 1 \implies w_1 = \sqrt[14]{2} \cdot e^{\frac{11}{28} \pi i} $ 576 | \item $ n = 2 \implies w_2 = \sqrt[14]{2} \cdot e^{\frac{19}{28} \pi i} $ 577 | \item $ n = 3 \implies w_3 = \sqrt[14]{2} \cdot e^{\frac{27}{28} \pi i} $ 578 | \item $ n = 4 \implies w_4 = \sqrt[14]{2} \cdot e^{\frac{35}{28} \pi i} $ 579 | \item $ n = 5 \implies w_5 = \sqrt[14]{2} \cdot e^{\frac{43}{28} \pi i} $ 580 | \item $ n = 6 \implies w_6 = \sqrt[14]{2} \cdot e^{\frac{51}{28} \pi i} $ 581 | \end{itemize} 582 | 583 | \subsection{Ejercicio 9} 584 | 585 | Busco todos los $ z \in \mathbb{C} $ tales que $ 3z^5 + 2|z|^5 + 32 = 0 $ 586 | 587 | Pero, $ 3z^5 + 2|z|^5 + 32 = 0 \iff 3z^5 = -2|z|^5 - 32 $ 588 | 589 | Luego por igualdad de números complejos, $ arg(3z^5) = arg(-2|z|^5-32) $ 590 | \begin{align*} 591 | arg(3z^5) &= arg(-2|z|^5-32) \\ 592 | arg(3z^5) &= arg(-2(|z|^5-16)) \\ 593 | arg(3) + arg(z^5) &= arg(-2) + arg(|z|^5-16) + 2k\pi \\ 594 | 0 + 5\theta &= \pi + 0 + 2k\pi \\ 595 | \theta &= \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5} \\ 596 | \end{align*} 597 | Con $ 0 \leq \frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5} < 2\pi \iff 0 \leq 1+2k <10 \iff \frac{-1}{2} \leq k \leq \frac{9}{2} \implies k \in \{0,1,2,3,4\}$ 598 | 599 | Ahora busco $ |z| $ 600 | \begin{align*} 601 | |3||z|^5 &= |-2|||z|^5 - 16| \\ 602 | 3|z|^5 &= 2|z|^5 + 32 \\ 603 | |z|^5 &= 32 \\ 604 | |z| &= \sqrt[5]{32} \\ 605 | |z| &= 2 \\ 606 | \end{align*} 607 | Luego $ z = 2 \cdot e^{\theta i} = 2 \cdot e^{\frac{\pi}{5} + \frac{2k\pi}{5}} $ con $ k \in \{0,1,2,3,4\} $ 608 | 609 | Los z que cumplen lo pedido son: 610 | \begin{itemize} 611 | \item $ k = 0 \implies z_0 = 2 \cdot e^{\frac{1}{5}\pi i} $ 612 | \item $ k = 1 \implies z_1 = 2 \cdot e^{\frac{3}{5}\pi i} $ 613 | \item $ k = 2 \implies z_2 = 2 \cdot e^{\pi i} $ 614 | \item $ k = 3 \implies z_3 = 2 \cdot e^{\frac{7}{5}\pi i} $ 615 | \item $ k = 4 \implies z_4 = 2 \cdot e^{\frac{9}{5}\pi i} $ 616 | \end{itemize} 617 | 618 | \subsection{Ejercicio 10} 619 | 620 | $ z^n + i\overline{z}^2 = 0 \iff z^n = - i\overline{z}^2$ 621 | 622 | Voy a usar la igualdad de complejos en forma polar, no cubre el caso $ z = 0 $ asi que lo pruebo primero como caso aparte. 623 | 624 | $ z = 0 \implies 0^n + i 0^2 = 0 $ luego tengo la primer solución en $ z = 0 $. 625 | 626 | Se que z es de la forma: $ z = |z|\cdot e^{\theta i} $ con $ 0 \leq \theta < 2\pi $ 627 | 628 | Luego, 629 | \begin{align*} 630 | \overline{z} &= |z|\cdot e^{-\theta i} \\ 631 | \overline{z}^2 &= |z|^2 \cdot e^{-2 \theta i} \\ 632 | -i\overline{z}^2 &= |z|^2 \cdot e^{\left(-2 \theta + \frac{3}{2}\pi\right) i} 633 | \end{align*} 634 | Por lo tanto, 635 | \begin{align*} 636 | z^n &= |z|^2 \cdot e^{\left(-2 \theta + \frac{3}{2}\pi\right) i} \\ 637 | |z|^n\cdot e^{n\theta i} &= |z|^2 \cdot e^{\left(-2 \theta + \frac{3}{2}\pi\right) i} \\ 638 | \end{align*} 639 | Por igualdad de números complejos, 640 | \begin{align*} 641 | |z|^n\cdot e^{n\theta i} &= |z|^2 \cdot e^{\left(-2 \theta + \frac{3}{2}\pi\right) i} \iff \begin{cases} 642 | |z|^n = |z|^2 \\ 643 | n\theta = -2 \theta + \frac{3}{2}\pi + 2k\pi 644 | \end{cases} 645 | \end{align*} 646 | Entonces, mirando la igualdad de los módulos, si $ n = 2 $ existen infinitas soluciones, no sirve pues solo quiero seis. 647 | Pero si $ n \neq 2 \implies |z| = 1$ es la unica solución posible, es el unico número que elevado a dos potencias distintas cualquiera, sigue siendo el mismo. 648 | 649 | Ahora busco $ \theta $, 650 | \begin{align*} 651 | n\theta &= -2 \theta + \frac{3}{2}\pi + 2k\pi \\ 652 | n\theta + 2 \theta &= \frac{3}{2}\pi + 2k\pi \\ 653 | (n+2)\theta &= \frac{3}{2}\pi + 2k\pi \\ 654 | \theta &= \frac{3}{2(n+2)}\pi + \frac{2k}{(n+2)}\pi \\ 655 | \end{align*} 656 | Con $ 0 \leq \theta < 2\pi $, 657 | \begin{align*} 658 | 0 &\leq \frac{3}{2(n+2)}\pi + \frac{2k}{(n+2)}\pi < 2\pi \\ 659 | 0 &\leq \frac{3}{2(n+2)} + \frac{2k}{(n+2)} < 2 \\ 660 | 0 &\leq 3 + 4k < 4(n+2) \\ 661 | 0 &\leq 3 + 4k < 4n+8 \\ 662 | -\frac{3}{4} &\leq k < n + \frac{5}{4} \iff k \in \{ 0,1,...,n+1 \} 663 | \end{align*} 664 | 665 | Busco cinco soluciones, por lo tanto $ k \in \{ 0,1,2,3,4 \} $ 666 | 667 | Así las seis soluciones son: 668 | \begin{itemize} 669 | \item $ k = 0 \implies z_0 = e^{\frac{3}{10}\pi i}$ 670 | \item $ k = 1 \implies z_1 = e^{\frac{7}{10}\pi i}$ 671 | \item $ k = 2 \implies z_2 = e^{\frac{11}{10}\pi i}$ 672 | \item $ k = 3 \implies z_3 = e^{\frac{15}{10}\pi i}$ 673 | \item $ k = 4 \implies z_4 = e^{\frac{19}{10}\pi i}$ 674 | \item $ z_5 = 0 $ 675 | \end{itemize} 676 | 677 | \subsection{Ejercicio 11} 678 | 679 | \subsubsection{Pregunta i} 680 | 681 | Se que $ w \in G_7 $ 682 | \begin{align*} 683 | &w + \overline{w} + (w + w^2)^2 - w^{38}(1-w^2) \\ 684 | = &w + \overline{w} + w^2 + 2ww^2 + w^4 - w^{38}-w^{40} \\ 685 | = &w + \overline{w} + w^2 + 2w^3 + w^4 - w^3 + w^5 \\ 686 | = 1+ &w + w^6 + w^2 + w^3 + w^4 + w^5 -1 = \begin{cases} 687 | -1 & w \neq 1 \\ 688 | 6 & w = 1 689 | \end{cases} \\ 690 | \end{align*} 691 | 692 | \subsubsection{Pregunta ii} 693 | 694 | Se que $ w \in G_3 $ 695 | \begin{align*} 696 | &w^{73} + \overline{w}w^9 + 8 \\ 697 | = &w + w^2w^0 + 8 \\ 698 | = &w + w^2 + 8 \\ 699 | = 1+&w + w^2 + 7 = \begin{cases} 700 | 10 & w = 1 \\ 701 | 7 & w \neq 1 \\ 702 | \end{cases} 703 | \end{align*} 704 | 705 | \subsubsection{Pregunta iii} 706 | 707 | Se que $ w \in G_10 $ 708 | \begin{align*} 709 | S &= 1 + w^2 + w^{-2} + w^4 + w^{-4} \\ 710 | S &= 1 + w^2 + w^8 + w^4 + w^6 \\ 711 | \end{align*} 712 | Si llamo $ z = w^2 \implies z \in G_5 $ 713 | 714 | Luego, 715 | \begin{align*} 716 | S = 1 + z + z^4 + z^2 + z^3 = \begin{cases} 717 | 5 & z = 1 \\ 718 | 0 & z \neq 1 \\ 719 | \end{cases} 720 | \end{align*} 721 | Pero $ z = w^2 \implies z = 1 \iff w = \pm 1 \implies S = \begin{cases} 722 | 5 & w = \pm 1 \\ 723 | 0 & w \neq \pm 1 \\ 724 | \end{cases} $ 725 | 726 | \subsubsection{Pregunta iv} 727 | 728 | Se que $ w \in G_5 $ 729 | \begin{align*} 730 | &w^{14} + w^{-8} + \overline{w}^4 + \overline{w^{-3}} \\ 731 | = &w^4 + w^2 + w + w^3 \\ 732 | = 1 + &w^4 + w^2 + w + w^3 -1 = \begin{cases} 733 | 4 & w = 1 \\ 734 | -1 & w \neq 1 735 | \end{cases}\\ 736 | \end{align*} 737 | 738 | \subsection{Ejercicio 12} 739 | 740 | \subsubsection{Pregunta i} 741 | 742 | Se que $ w \in G_{36} \implies w^{36} = 1 $ 743 | 744 | Si defino $ z = w^4 $ entonces, 745 | \begin{align*} 746 | \sum_{k = 7}^{60}w^{4k} &= \sum_{k = 0}^{60}z^k - \sum_{k = 0}^{6}z^k \\ 747 | &= \frac{z^{61} - 1}{z-1} - \frac{z^7-1}{z-1} \\ 748 | &= \frac{z^{61} - z^7}{z-1} \\ 749 | &= \frac{z^7(z^{54} - 1)}{z-1} \\ 750 | &= \frac{(w^4)^7((w^4)^{54} - 1)}{w^4-1} \\ 751 | &= \frac{w^{28}((w^{36})^6 - 1)}{w^4-1} \\ 752 | &= \frac{w^{28}(1 - 1)}{w^4-1} \\ 753 | &= 0 \\ 754 | \end{align*} 755 | 756 | \subsubsection{Pregunta ii} 757 | 758 | Por propiedades de los números complejos se que $ Re(z) = \frac{z+\overline{z}}{2} $ 759 | 760 | Luego, 761 | \begin{align*} 762 | Re(\sum_{k = 0}^{60}w^k) &= \frac{\sum_{k = 0}^{60}w^k + \sum_{k = 0}^{60}\overline{w}^k}{2} \\ 763 | &= \frac{\frac{w^{61} - 1}{w-1} + \frac{\overline{w}^{61} - 1}{\overline{w}-1}}{2} \\ 764 | &= \frac{\frac{w^{6} - 1}{w-1} + \frac{\overline{w}^{5} - 1}{\overline{w}-1}}{2} \\ 765 | &= \frac{(w^{6} - 1)(\overline{w}-1) + (\overline{w}^{5} - 1)(w-1)}{2(w-1)(\overline{w}-1)} \\ 766 | &= \frac{(w^6-1)(w^{10}-1) + (w^5-1)(w-1)}{2(w-1)(w^{10}-1)} \\ 767 | &= \frac{w^{16} - w^6 - w^{10} + 1 + w^6 - w^5 - w + 1}{2(w^{11} - w^{10} - w + 1)} \\ 768 | &= \frac{- w^{10}- w + 2}{2(- w^{10} - w + 2)} \\ 769 | &= \frac{1}{2} \\ 770 | \end{align*} 771 | 772 | \subsection{Ejercicio 13} 773 | TODO 774 | 775 | \subsection{Ejercicio 14} 776 | TODO 777 | 778 | \subsection{Ejercicio 15} 779 | TODO 780 | 781 | \end{document} 782 | --------------------------------------------------------------------------------