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容易验证，加法和乘法都满足交换律和结合律；$(0,0)$是零元素， 15 | $(-a,-b)$是$(a,b)$的负元素；$(1,0)$是乘法的单位元素；每个非零元素$(a,b)$有逆元素$\bigg(\frac a{a^2+b^2},-\frac b{a^2+b^2}\bigg)$；此外，$\MC$中的加法和乘法还满足分配律： 16 | \[ 17 | [(a,b) + (c,d)](e,f) = (a,b)(e,f) + (c,d)(e,f). 18 | \] 19 | 因此，$\MC$在上面定义的加法和乘法运算下构成一个域，称为\textbf{复数域}\index{F!复数域}. 如果记 20 | \[ 21 | \widetilde{\MR} = \{(a,0): a\in\MR \}, 22 | \] 23 | 那么$\widetilde{\MR}$是$\MC$的一个子域. 显然，$(a,0)\to a$是$\widetilde{\MR}$与$\MR$之间的一个同构对应，因此，实数域$\MR$是$\MC$的一个子域.我们直接记$(a,0)=a$. 在$\MC$中，$(0,1)$这个元素有其特殊性，它满足 24 | \[ 25 | (0,1)^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1. 26 | \] 27 | 专门用$\ii$记$(0,1)$这个元素，于是有$\ii^2=-1$.由于$(0,b)=(b,0)\cdot(0,1)=b\ii$，于是每一个复数$(a,b)$都可写成 28 | \[ 29 | (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + b\ii. 30 | \] 31 | 32 | 复数域和实数域的一个重要区别是在复数域中不能定义两个复数的大小.为了证明这一事实，我们先给出有序域的概念. 33 | 34 | \begin{definition}\label{def1.1.1} 35 | 域$\MF$称为\textbf{有序域}\index{Y!域!有序域}，如果在$\MF$的元素间能确定一种关系（记为$a0$，那么$ac0$或$\ii<0$的关系.如果$\ii>0$， 则由 \ref{def1.1.1.4} 得$\ii\cdot\ii>\ii\cdot0$， 即$-1>0$，再由 \ref{def1.1.1.3}， 两端都加$1$，即得$0>1$.另一方面，从$-1>0$还可得$-1\cdot(-1)>0\cdot(-1)$，即$1>0$，这和刚才得到的$0>1$矛盾.如果$\ii<0$，两端都加$-\ii$，再由 \ref{def1.1.1.4}，两端乘$-\ii$，得$-1>0$.重复上面的讨论，即可得$0>-1$和$0<-1$的矛盾.所以，复数域不是有序域. 52 | \end{proof} 53 | 54 | 从现在开始，我们不再用实数对$(a,b)$来记复数，而直接用$z=a+b\ii$记复数，$a$称为$z$的\textbf{实部}\index{F!复数!实部}，$b$称为$z$的\textbf{虚部}\index{F!复数!虚部}，分别记为$a=\Re z,b=\Im z$.加法和乘法用现在的记号定义为： 55 | \begin{align*} 56 | & (a + b\ii) + (c + d\ii) = (a + c) + (b + d)\ii,\\ 57 | & (a + b\ii) (c + d\ii) = (ac - bd) + (ad + bc)\ii. 58 | \end{align*} 59 | 减法和除法分别定义为加法和乘法的逆运算： 60 | \begin{align*} 61 | & (a + b\ii) - (c + d\ii) = (a - c) + (b - d)\ii,\\ 62 | & \frac{a + b\ii}{c + d\ii} = (a + b\ii)\bigg(\frac{c - d\ii}{c^2 + d^2}\bigg) 63 | = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\ii. 64 | \end{align*} 65 | 66 | 设$z=a+b\ii$是一复数，定义 67 | \begin{align*} 68 | & |z| = \sqrt{a^2+b^2},\\ 69 | & \bar z = a-b\ii, 70 | \end{align*} 71 | $|z|$称为$z$的\textbf{模}\index{F!复数!模}或绝对值，$\bar z$称为$z$的\textbf{共轭复数}\index{F!复数!共轭复数}.下面是它们的一些基本性质： 72 | \begin{prop}\label{prop1.1.3} 73 | 设$z$和$w$是两个复数，那么 74 | \begin{eenum} 75 | \item $\Re z=\frac12(z+\bar z),\Im z=\frac1{2\ii}(z-\bar z)$;\label{prop1.1.3.1} 76 | \item $z\bar z=|z|^2$;\label{prop1.1.3.2} 77 | \item $\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\overline{zw}=\bar z\bar w$;\label{prop1.1.3.3} 78 | \item $|zw|=|z|\,|w|,\left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}$;\label{prop1.1.3.4} 79 | \item $|z|=|\bar z|$.\label{prop1.1.3.5} 80 | \end{eenum} 81 | \end{prop} 82 | 83 | 这些性质的证明都很简单，但在证明 \ref{prop1.1.3.4} 时，初学者往往会用$z$和$w$的实部和虚部来表示$|zw|$和$|z|\,|w|$，从而证明它们相等. 其实，利用 \ref{prop1.1.3.2} 来证明要简单得多： 84 | \[ 85 | |zw|^2 = (zw)(\overline{zw}) = |z|^2|w|^2. 86 | \] 87 | 88 | \begin{prop}\label{prop1.1.4} 89 | 设$z$和$w$是两个复数，那么 90 | \begin{eenum} 91 | \item $|\Re z|\le |z|,|\Im z|\le |z|$;\label{prop1.1.4.1} 92 | \item $|z+w|\le|z|+|w|$，等号成立当且仅当存在某个$t\ge0$，使得$z=tw$;\label{prop1.1.4.2} 93 | \item $|z-w|\ge\bigl||z|-|w|\bigr|$.\label{prop1.1.4.3} 94 | \end{eenum} 95 | \end{prop} 96 | \begin{proof} 97 | (1) 从$\Re z,\Im z$和$|z|$的定义马上知道不等式成立. 98 | 99 | (2) 利用命题 \ref{prop1.1.3} 的 \ref{prop1.1.3.2}，\ref{prop1.1.3.1} 和这里的不等式 \ref{prop1.1.4.1}，即得 100 | \begin{align*} 101 | |z+w|^2 & = (z+w)(\overline{z + w}) = |z|^2+2\Re(z\bar w) + |w|^2\\ 102 | &\le|z|^2 + 2|z|\,|w| + |w|^2 = \big(|z| + |w|\big)^2, 103 | \end{align*} 104 | 由此即知 \ref{prop1.1.4.2} 成立.由上面的不等式可以看出，等式成立的充要条件是$\Re(z\bar w)=|z\bar w|$，这等价于$z\bar w\ge0$.不妨设$w\ne0$（$w=0$时，等号显然成立），由于$\bar w=\frac{|w|^2}{w}$，上面的不等式等价于$\frac zw|w|^2\ge0$. 令$t=\left(\frac zw|w|^2\right)\frac1{|w|^2}$，则$t\ge0$，而且$z=tw$. 105 | 106 | (3) 是 \ref{prop1.1.4.2} 的简单推论，证明留给读者作练习. 107 | \end{proof} 108 | 109 | 设$z_1,\cdots,z_n$是任意$n$个复数，用数学归纳法，容易得到不等式 110 | \[ 111 | |z_1 + \cdots + z_n| \le |z_1| + \cdots + |z_n|. 112 | \] 113 | 请读者给出上述不等式中等号成立的条件. 114 | 115 | \begin{xiti} 116 | \item 证明命题 \ref{prop1.1.3} 中的 \ref{prop1.1.3.1}， \ref{prop1.1.3.2}， \ref{prop1.1.3.3}， \ref{prop1.1.3.5}. 117 | \item 设$z_1,\cdots,z_n$是任意$n$个复数，证明： 118 | \[ 119 | |z_1 + \cdots + z_n | \le |z_1| + \cdots + |z_n|, 120 | \] 121 | 并给出不等式中等号成立的条件. 122 | \item 证明： 123 | \[ 124 | \frac1{\sqrt2} \bigl(|\Re z| + |\Im z|\bigr) \le |z| \le |\Re z| + |\Im z|. 125 | \] 126 | \item 若$|z_1|=\lambda|z_2|,\lambda>0$，证明： 127 | \[ 128 | |z_1 - \lambda^2z_2| = \lambda|z_1 - z_2|. 129 | \] 130 | \item 设$|a|<1$，证明： 若$|z|=1$，则 131 | \[ 132 | \bigg| \frac{z-a}{1-\bar az} \bigg| = 1. 133 | \] 134 | \item 设$|a|<1,|z|<1$，证明： 135 | \begin{enuma} 136 | \item $\bigg|\frac{z-a}{1-\bar az}\bigg|<1$； 137 | \item $1-\bigg|\frac{z-a}{1-\bar az}\bigg|^2=\frac{\bigl(1-|a|^2\bigr)\bigl(1-|z|^2\bigr)}{|1-\bar az|^2}$； 138 | \item $\frac{\bigl||z|-|a|\bigr|}{1-|a|\,|z|}\le\bigg|\frac{z-a}{1-\bar az}\bigg|\le 139 | \frac{|z|+|a|}{1+|a|\,|z|}$. 140 | \end{enuma} 141 | \item 设$z_1,\cdots,z_n,w_1,\cdots,w_n$是任意$2n$个复数，证明复数形式的\textbf{Lagrange等式}：\index{L!Lagrange等式} 142 | \[ 143 | \bigg| \sum_{j=1}^n{z_jw_j} \bigg|^2=\bigg( \sum_{j=1}^n{| z_j |^2} \bigg) \bigg( \sum_{j=1}^n{| w_j |^2} \bigg) -\sum_{1\leqslant j = Stealth,scale = 0.8,thick] 162 | \draw [->] (-1,0) -- (0,0)node[below left]{$O$} -- (7,0)node[below]{$x$}; 163 | \draw [->] (0,-1) -- (0,5.4)node[right]{$y$}; 164 | \draw (0,0) -- node[above]{$r$}(5,3.5) node[above]{$(a,b)$} -- node[right]{$b$}(5,0) 165 | --node[below]{$a$}cycle; 166 | \draw (0.5,0) arc (0:34:0.5); 167 | \node at (18:0.8) {$\theta$}; 168 | \end{tikzpicture} 169 | \caption{}\label{fig1.1} 170 | \end{figure} 171 | \[ 172 | a = r\cos\theta,\quad b = r\sin\theta, 173 | \] 174 | 因而复数$z=a+b\ii$也可表示为 175 | \[ 176 | z = r(\cos\theta + \ii\sin\theta). 177 | \] 178 | 这里， $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$就是前面定义过的$z$的模， $\theta$称为$z$的\textbf{辐角}\index{F!复数!辐角}，记为$\theta=\Arg z$.容易看出，如果$\theta$是$z$的辐角，那么$\theta+2k\pi$也是$z$的辐角，这里，$k$是任意的整数，因此$z$的辐角有无穷多个.但在$\Arg z$中，只有一个 $\theta$ 满足$-\pi<\theta\le\pi$，称这个$\theta$为$z$的\textbf{辐角的主值}\index{F!复数!辐角主值}，把它记为$\arg z$.因而 179 | \[ 180 | \Arg z = \arg z + 2k\pi,\quad k\in\MZ, 181 | \] 182 | 这里， $\MZ$表示整数的全体. 注意， $0$的辐角没有意义. 183 | 184 | 我们还可把复数$z=a+b\ii$看成在$x$轴和$y$轴上的投影分别为$a$和$b$的一个向量，这时我们就把复数和向量作为同义语来使用.容易知道，由一向量经过平行移动所得的所有向量表示的是同一个复数.如果一个向量的起点和终点分别为复数$z_1$和$z_2$，那么这个向量所表示的复数便是$z_2-z_1$，因而$|z_2-z_1|$就表示$z_1$与$z_2$之间的距离.特别地，当一个向量的起点为原点时，它的终点所表示的复数和向量所表示的复数是一致的. 185 | 186 | \noindent\begin{minipage}{0.4\textwidth} 187 | \centering 188 | \begin{tikzpicture}[> = Stealth, thick, scale = 0.7] 189 | \draw [->] (-1,0) -- (0,0)node[below left]{$O$} -- (5,0)node[below]{$x$}; 190 | \draw [->] (0,-0.6) -- (0,5)node[right]{$y$}; 191 | \draw [-{Stealth[width=3pt]}] (0,0) -- (1.4,3)coordinate(A) node[above left]{$z_2$}; 192 | \draw [-{Stealth[width=3pt]}] (0,0) -- (2.8,1)coordinate(B) node[below right]{$z_1$}; 193 | \draw [-{Stealth[width=3pt]}] (0,0) -- (4.2,4)node[above right]{$z_1+z_2$}; 194 | \draw [densely dashed] (4.2,4) -- (1.4,3) (4.2,4) -- (2.8,1); 195 | \draw [-{Stealth[width=3pt]}] (A) -- node[above right,pos=0.8]{$z_1-z_2$} (B); 196 | \end{tikzpicture} 197 | \captionof{figure}{\label{fig1.2}} 198 | \end{minipage} 199 | \begin{minipage}{0.6\textwidth}\parindent=2em 200 | 由此可以知道，前面定义的复数的加法和向量的加法是一致的：把两个不重合的非零向量$z_1$和$z_2$的起点取在原点，以$z_1$和$z_2$为两边作平行四边形，那么以原点为起点沿对角线所作的向量就表示$z_1+z_2$；以$z_2$为起点，$z_1$为终点的向量就表示$z_1-z_2$（图 \ref{fig1.2}）.现在再来看 \ref{sec1.1} 节命题 \ref{prop1.1.4} 中 \ref{prop1.1.4.2} 的不等式$|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$，它实际上就是三角形两边之和大于第三边的最简单的几何命题. 201 | \end{minipage} 202 | 203 | 为了说明复数乘法的几何意义，我们采用复数的三角表示式.设 204 | \begin{gather*} 205 | z_1 = r_1(\cos\theta_1 + \ii\sin\theta_1),\\ 206 | z_2 = r_2(\cos\theta_2 + \ii\sin\theta_2), 207 | \end{gather*} 208 | 那么 209 | \[ 210 | z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + \ii\sin(\theta_1 + \theta_2)]. 211 | \] 212 | 由此立刻得到 213 | \begin{align*} 214 | & |z_1z_2| = |z_1|\,|z_2|,\\ 215 | & \Arg(z_1z_2) = \Arg z_1 + \Arg z_2. 216 | \end{align*} 217 | 第一个等式在 \ref{sec1.1} 节中已经证明过；第二个等式应该理解为两个集合的相等.这就是说，两个复数的乘积是这样一个复数，它的模是两个复数的模的乘积，它的辐角是两个复数的辐角之和.从几何上看，用复数$w$乘复数$z$，相当于把$z$沿反时针方向转动大小为$\arg w$的角，再让$z$的长度伸长$|w|$倍.特别地，如果$w$是单位向量，那么$w$乘$z$的结果就是把$z$沿反时针方向转动大小为$\arg w$的角.例如，已知$\ii$是单位向量，它的辐角为$\frac\pi2$，因此$\ii z$就是把$z$按反时针方向转动$\frac\pi2$角所得的向量.这种几何直观在考虑问题时非常有用. 218 | 219 | 再看复数的除法，由于 220 | \[ 221 | \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + \ii\sin(\theta_1 - \theta_2)], 222 | \] 223 | 所以 224 | \begin{align*} 225 | & \bigg| \frac{z_1}{z_2} \bigg| = \frac{|z_1|}{|z_2|},\\ 226 | & \Arg\bigg( \frac{z_1}{z_2} \bigg) = \Arg z_1-\Arg z_2. 227 | \end{align*} 228 | 这里，第二个等式也理解为集合的相等.这说明向量$z_1$与$z_2$之间的夹角可以用$\Arg \bigg(\frac{z_1}{z_2}\bigg)$来表示，这一简单的事实在讨论某些几何问题时很有用.例如，用它很容易证明向量$z_1$与$z_2$垂直的充要条件是$\Re (z_1\bar z_2)=0$.这是因为$z_1$与$z_2$垂直就是$z_1$与$z_2$之间的夹角为$\pm\frac\pi2$，即$\arg \bigg(\frac{z_1}{z_2}\bigg)=\pm\frac\pi2$，这说明$\frac{z_1}{z_2}$是一个纯虚数，因而$z_1\bar z_2=\frac{z_1}{z_2}|z_2|^2$也是一个纯虚数，即$\Re(z_1\bar z_2)=0$.同样道理，可以得到$z_1$与$z_2$平行的充要条件为$\Im(z_1\bar z_2)=0$. 229 | 230 | 利用复数知识来处理几何问题，有时显得非常方便，下面是两个这方面的例子. 231 | \begin{example} 232 | 在图 \ref{fig1.3} 的三角形中，$AB=AC,PQ=RS,M$和$N$分别是$PR$和$QS$的中点.证明： $MN\bot BC$. 233 | \end{example} 234 | \begin{figure}[!ht] 235 | \centering 236 | \begin{tikzpicture}[thick] 237 | \tkzDefPoints{0/0/A, 5/0/B, 1.5/0/P, 3.5/0/Q} 238 | \coordinate(C) at (35:5); 239 | \coordinate(R)at(35:1.7); 240 | \coordinate(S)at(35:3.7); 241 | \tkzDefMidPoint(P,R) \tkzGetPoint{M} 242 | \tkzDefMidPoint(Q,S) \tkzGetPoint{N} 243 | \tkzInterLL(M,N)(B,C) \tkzGetPoint{D} 244 | \draw (A) -- (C) -- (B) -- cycle (P) -- (R) (Q) -- (S) (M) node[left=-1mm]{$M$} -- (D); 245 | \tkzMarkRightAngle[scale=0.5](B,D,M) 246 | \tkzLabelPoints[below](A,P,Q,B) 247 | \tkzLabelPoints[above](R,S,C) 248 | \node [shift={(-0.13,-0.22)}] at(N){$N$}; 249 | \path(A) -- node[above]{$r$}(R) -- node[above]{$h$}(S) 250 | (A) -- node[below]{$a$}(P) -- node[below]{$h$}(Q); 251 | \draw (0.5,0) arc (0:35:0.5); 252 | \node at(20:0.7) {$\theta$}; 253 | \end{tikzpicture} 254 | \caption{}\label{fig1.3} 255 | \end{figure} 256 | \begin{proof} 257 | 把$A$取作坐标原点，$AB$所在的直线取作$x$轴，那么$P,Q$的坐标分别为$a$和$a+h$.如果用$\ee^{\ii\theta} $记$\cos\theta+\ii\sin\theta$，那么$R$点和$S$点可分别用复数$r\ee^{\ii\theta}$和$(r+h)\ee^{\ii\theta}$表示.由于$M$和$N$分别是$PR$和$SQ$的中点，所以$M$和$N$可以分别用复数表示为 258 | \begin{align*} 259 | & M: \frac12 \big( a + r\ee^{\ii\theta} \big),\\ 260 | & N: \frac12 \big[ (a + h) + (r + h)\ee^{\ii\theta} \big]. 261 | \end{align*} 262 | 若记$z_1=\overrightarrow{MN}$，则 263 | \[ 264 | z_1 = \frac12 \big[ (a + h) + (r + h)\ee^{\ii\theta} \big] - \frac12 \big( a + r\ee^{\ii\theta} \big) = 265 | \frac h2 \big( 1 + \ee^{\ii\theta} \big). 266 | \] 267 | 如果记$B$的坐标为$b$，因为$AB=AC$，所以$C$的坐标为$b\ee^{\ii\theta}$. 若记$z_2=\overrightarrow{BC}$，则 268 | \[ 269 | z_2 = b\ee^{\ii\theta} - b = b\big( \ee^{\ii\theta} - 1 \big). 270 | \] 271 | 现在 272 | \[ 273 | z_1\bar z_2 = \frac h2 \big( 1 + \ee^{\ii\theta} \big)b \big( \ee^{-\ii\theta} - 1 \big)\\ 274 | = \frac{bh}2 \big( \ee^{-\ii\theta} - \ee^{\ii\theta} \big) = -\ii bh\sin\theta, 275 | \] 276 | 因为$\Re(z_1\bar z_2)=0$.所以$z_1$垂直$z_2$，即$MN\bot BC$. 277 | \end{proof} 278 | 279 | \begin{example} 280 | 证明：平面上四点$z_1,z_2,z_3,z_4$共圆的充要条件为 281 | \begin{equation}\label{eq1} 282 | \Im\bigg( \frac{z_1-z_3}{z_1-z_4} \bigg/ \frac{z_2-z_3}{z_2-z_4} \bigg)=0. 283 | \end{equation} 284 | \end{example} 285 | \begin{proof} 286 | 从图 \ref{fig1.4} 可以看出，$z_1,z_2,z_3,z_4$四点共圆的充要条件是向量$z_1-z_3$和$z_1-z_4$的夹角等于向量$z_2-z_3$和$z_2-z_4$的夹角或互补（当$z_2$在$z_3$与$z_4$之间时），即 287 | \begin{figure} 288 | \centering 289 | \begin{tikzpicture}[thick, scale = 1.5] 290 | \draw (0,0) circle (1.02); 291 | \draw (120:1) node[above left]{$z_1$} -- (-130:1) node[below left]{$z_4$} 292 | -- (50:1)node[above right]{$z_2$} -- (-40:1)node[below right]{$z_3$} -- cycle; 293 | \end{tikzpicture} 294 | \caption{\label{fig1.4}} 295 | \end{figure} 296 | \begin{align*} 297 | \arg\bigg( \frac{z_1-z_3}{z_1-z_4} \bigg/ \frac{z_2-z_3}{z_2-z_4} \bigg) 298 | & = \arg\bigg( \frac{z_1-z_3}{z_1-z_4} \bigg) - \arg\bigg( \frac{z_2-z_3}{z_2-z_4} \bigg)\\ 299 | & = 0 \text{ 或 }\pm\pi. 300 | \end{align*} 301 | 这说明复数$\frac{z_1-z_3}{z_1-z_4}\bigg/\frac{z_2-z_3}{z_2-z_4}$在实轴上，因而等式 \eqref{eq1} 成立. 302 | \end{proof} 303 | 304 | 305 | 还有一些有趣的例子，放在习题中供读者练习. 306 | 307 | 给定复数$w$，如何计算$\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]{w}$?也就是要求复数$z$，使得$z^n=w$.我们从de Moivre 公式说起.设 308 | $z_1=r_1(\cos\theta_1+\ii\sin\theta_1),\cdots,z_n=r_n(\cos\theta_n+\ii\sin\theta_n)$ 309 | 是给定的$n$个复数，容易用数学归纳法证明： 310 | \[ 311 | z_1 \cdots z_n = r_1 \cdots r_n[ \cos(\theta_1 + \cdots + \theta_n) + \ii\sin(\theta_1 + \cdots + \theta_n) ]. 312 | \] 313 | 特别当$z_1=\cdots=z_n$都是单位向量时，就有 314 | \[ 315 | (\cos\theta + \ii\sin\theta)^n = \cos n\theta + \ii\sin n\theta, 316 | \] 317 | 这就是著名的 \textbf{de Moivre 公式}\index{G!公式!de Moivre 公式}. 其实对于负整数，上面的公式也成立： 318 | \begin{align*} 319 | (\cos\theta + \ii\sin\theta)^{-n} & = \frac1{(\cos\theta + \ii\sin\theta)^n} 320 | = \frac1{\cos n\theta + \ii\sin n\theta}\\ 321 | & = \cos n\theta - \ii\sin n\theta = \cos(-n)\theta + \ii\sin(-n)\theta. 322 | \end{align*} 323 | 324 | 现在设$w=r(\cos\theta+\ii\sin\theta)$是给定的，要求的$z=\rho(\cos\varphi+\ii\sin\varphi)$.由 de Moivre 公式， $z^n=w$等价于 325 | \[ 326 | \rho^n( \cos n\varphi + \ii\sin n\varphi) = r(\cos \theta + \ii\sin\theta). 327 | \] 328 | 由此即得$\rho=\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]r,n\varphi=\theta+2k\pi,k=0,1,\cdots,n-1$.这就是说，共有$n$个复数满足$z^n=w$，它们是 329 | \[ 330 | z = \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]{|w|}\bigg( \cos\frac{\theta + 2k\pi}n + \ii\sin\frac{\theta + 2k\pi}n \bigg), k = 0,1,\cdots,n-1. 331 | \] 332 | 这$n$个复数恰好是以原点为中心、$\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]{|w|}$为半径的圆的内接正$n$边形的顶点. 当$w=1$时， 若记$\omega=\cos\frac{2\pi}n+\ii\sin\frac{2\pi}n$，则$\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]1$的$n$个值为 333 | \[ 334 | 1,\omega,\omega^2,\cdots,\omega^{n-1}, 335 | \] 336 | 称为$n$个\textbf{单位根}\index{D!单位根}. 如果用$\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]{w}$记$w$的任一$n$次根，那么$w$的$n$个$n$次根又可表示为 337 | \[ 338 | \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]w,\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]w\omega,\cdots,\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]{w}\omega^{n-1}. 339 | \] 340 | 341 | \begin{xiti}\hypertarget{xiti1.2}{} 342 | \item 把复数$z=1+\cos\theta+\ii\sin\theta$写成三角形式. 343 | \item 问$n$取何值时有$(1+\ii)^n=(1-\ii)^n$ ? 344 | \item 证明： 345 | \[ 346 | \sum_{k=0}^n\cos k\theta = \frac{\sin\frac\theta2 + \sin\left(n+\frac12\right)\theta}{2\sin\frac\theta2},\quad 347 | \sum_{k=0}^n\sin k\theta = \frac{\cos\frac\theta2 - \cos\left(n+\frac12\right)\theta}{2\sin\frac\theta2}. 348 | \] 349 | \item 证明：$\triangle z_1z_2z_3$和$\triangle w_1w_2w_3$同向相似的充分必要条件为 350 | \[ 351 | \begin{vmatrix} 352 | z_1 & w_1 & 1 \\ 353 | z_2 & w_2 & 1 \\ 354 | z_3 & w_3 & 1 355 | \end{vmatrix}=0. 356 | \] 357 | \item 设$z_1\ne z_2$，证明： 358 | \begin{enuma} 359 | \item $z$位于以$z_1$和$z_2$为端点的开线段上，当且仅当存在$\lambda\in (0,1)$，使得 360 | \[ 361 | z = \lambda z_1 + (1 - \lambda)z_2; 362 | \] 363 | \item $z$位于以$z_1$和$z_2$为端点的开圆弧上，当且仅当存在$\theta\,\big(0<|\theta|<\pi\big)$，使得 364 | \[ 365 | \arg\frac{z-z_1}{z-z_2} = \theta. 366 | \] 367 | \end{enuma} 368 | \item 证明：三点$z_1,z_2,z_3$共线的充要条件为 369 | \[ 370 | \begin{vmatrix} 371 | z_1 & \bar z_1 & 1 \\ 372 | z_2 & \bar z_2 & 1 \\ 373 | z_3 & \bar z_3 & 1 374 | \end{vmatrix}=0. 375 | \] 376 | \item 图 \ref{fig1.5} 是三个边长为$1$的正方形，证明： 377 | \[ 378 | \angle AOD + \angle BOD + \angle COD = \frac\pi2. 379 | \] 380 | \item 图 \ref{fig1.6} 中， $ABED,ACFG$是正方形， $AH\bot BC,M$是$DG$的中点.证明： $M,A,H$三点共线. 381 | \begin{figure}[!ht] 382 | \begin{minipage}[b]{0.48\textwidth} 383 | \centering 384 | \begin{tikzpicture}[thick, scale = 1.5] 385 | \draw (0,0) node[below]{$O$} -- (3,0) node[below]{$D$} -- (3,1) node[above]{$C$} 386 | -- (2,1) node[above]{$B$} -- (1,1) node[above]{$A$} -- (0,1) -- cycle; 387 | \draw (0,0) -- (1,1) (0,0) -- (2,1) (0,0) -- (3,1); 388 | \draw (1,0) -- (1,1) (2,0) -- (2,1); 389 | \end{tikzpicture} 390 | \caption{}\label{fig1.5} 391 | \end{minipage}\hfill% 392 | \begin{minipage}[b]{0.48\textwidth} 393 | \centering 394 | \begin{tikzpicture}[thick] 395 | \tkzDefPoints{0/0/B, 2/0/C, 0.8/1.2/A} 396 | \tkzDefSquare(B,A) \tkzGetPoints{D}{E} 397 | \tkzDrawPolygon[thick](B,A,D,E) 398 | \tkzDefSquare(A,C) \tkzGetPoints{F}{G} 399 | \tkzDrawPolygon[thick](A,C,F,G) 400 | \tkzDefMidPoint(D,G) \tkzGetPoint{M} 401 | \tkzInterLL(M,A)(B,C) 402 | \tkzGetPoint{H} 403 | \draw (B) -- (C) (D) -- (G)(M) -- (H); 404 | \tkzMarkRightAngle[scale=0.5](C,H,M) 405 | \tkzLabelPoints[below](B,C,H) 406 | \tkzLabelPoints[above](D,M,G) 407 | \tkzLabelPoints[right](A,F) 408 | \tkzLabelPoints[left](E) 409 | \end{tikzpicture} 410 | \caption{}\label{fig1.6} 411 | \end{minipage} 412 | \end{figure} 413 | \begin{figure}[!ht] 414 | \centering 415 | \begin{tikzpicture}[thick] 416 | \draw (0,0) coordinate(A) node[below]{$A$} -- ++(4,0) coordinate(B) node[below]{$B$} 417 | -- ++ (2,2) coordinate(C) node[above]{$C$} -- ++(-4,0) coordinate(D) node[above]{$D$} 418 | --cycle; 419 | \draw (A) -- (C) (B) -- (D); 420 | \end{tikzpicture} 421 | \caption{}\label{fig1.7} 422 | \end{figure} 423 | \item 在平行四边形$ABCD$中（见图 \ref{fig1.7}），如果 424 | \[ 425 | \overline{AC}^2 \cdot \overline{BD}^2 = \overline{AB}^4 + \overline{AD}^4, 426 | \] 427 | 那么这个平行四边形的锐角等于$\frac\pi4$. 428 | \item 证明： 429 | \[ 430 | |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2\big( |z_1|^2 +|z_2|^2 \big), 431 | \] 432 | 并说明等式的几何意义. 433 | \item 设$z_1,\cdots,z_n$是单位圆周（以原点为中心、半径为$1$的圈周）上的$n$个点，如果$z_1,\cdots,z_n$是正$n$边形的$n$个顶点，证明： 434 | \[ 435 | z_1 + \cdots + z_n = 0. 436 | \] 437 | \item 设$z_1,z_2,z_3$是单位圆周上的三个点，证明：这三个点是一正三角形三个顶点的充要条件为 438 | \[ 439 | z_1 + z_2 + z_3 = 0. 440 | \] 441 | \item 设$z_1,z_2,z_3,z_4$是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为 442 | \[ 443 | z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 0. 444 | \] 445 | \item 设$L$是由方程\hypertarget{xiti1.2.14}{} 446 | \[ 447 | az\bar z + \bar\beta z + \beta\bar z + d = 0 448 | \] 449 | 所确定的点的轨迹，其中$a,d$是实数， $\beta$是复数.证明： 450 | \begin{enuma} 451 | \item 当$a=0,\beta\ne0$时，$L$是直线； 452 | \item 当$a\ne0,|\beta|^2-ad>0$时， $L$是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径. 453 | \end{enuma} 454 | \item \hypertarget{xiti1.2.15}{}设$z_1\ne z_2,0<\lambda\ne1$，证明由方程 455 | \[ 456 | \left| \frac{z-z_1}{z-z_2} \right| = \lambda 457 | \] 458 | 所确定的点$z$的轨迹是一圆周（通常称为\textbf{Apollonius圆}\index{A!Apollonius圆}），该圆周的圆心$a$和半径$R$分别为 459 | \[ 460 | a = \frac{z_1-\lambda^2z_2}{1-\lambda^2}, \quad R = \frac{\lambda|z_1-z_2|} 461 | {|1-\lambda^2|}. 462 | \] 463 | 并问$\lambda=1$时它的轨迹是什么? 464 | \item 如果$z_1,\cdots,z_n$都位于过原点的直线的一侧，证明$\frac1{z_1},\cdots,\frac1{z_n}$也必位于该直线的某一侧，且满足 465 | \[ 466 | z_1 + \cdots + z_n \ne 0,\quad \frac1{z_1} + \cdots + \frac1{z_n} \ne 0\footnote{本题题目有误，反例可取$z_1=\ee^{\ii\frac\pi3},z_2=\ee^{\ii\frac{5\pi}6}$，直线取为$y=x$，那么$z_1,z_2$都在此直线上方，但$\frac1{z_1}$在此直线的下方，$\frac1{z_2}$在此直线的上方.}. 467 | \] 468 | \item 设$z_1,\cdots,z_n$是一个凸$n$边形的$n$个顶点，如果$a$满足关系 469 | \[ 470 | \frac1{z_1-a} + \cdots + \frac1{z_n-a} = 0, 471 | \] 472 | 那么$a$必在这个凸$n$边形的内部. 473 | \item 证明： 474 | \[ 475 | \sin\frac\pi n\sin\frac{2\pi}n \cdots \sin\frac{(n-1)\pi}n = \frac n{2^{n-1}}. 476 | \] 477 | 478 | （\textbf{提示}：考虑方程式$(z+1)^n=1$的$n-1$个不为零的根的乘积.） 479 | \item 设$0<\theta<\frac\pi2,P_m(x)=\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom{2m+1}{2k+1}x^{m-k}$.证明： 480 | \[ 481 | \sin(2m+1)\theta = \sin^{2m+1}\theta P_m(\cot^2\theta). 482 | \] 483 | \item 利用上题结果证明： 484 | \begin{enuma} 485 | \item $\sum_{k=1}^m\cot^2\frac{k\pi}{2m+1}=\frac{m(2m-1)}3$； 486 | \item $\prod_{k=1}^m\cot^2\frac{k\pi}{2m+1}=\frac1{2m+1}$. 487 | \end{enuma} 488 | \end{xiti} 489 | 490 | \section{扩充平面与复数的球面表示\label{sec1.3}} 491 | 为了今后讨论的需要，我们要在$\MC$中引进一个新的数$\infty$，这个数的模是$\infty$，辐角没有意义，它和其他数的运算规则规定为： 492 | \begin{align*} 493 | & z\pm\infty = \infty, \quad z\cdot \infty = \infty\,\mbox{($z\ne0$）},\\ 494 | & \frac z{\infty}=0,\quad \frac z0 = \infty\;\mbox{($z\ne0$）}; 495 | \end{align*} 496 | $0\cdot \infty$和$\infty\pm\infty$都不规定其意义. 引进了$\infty$的复数系记为$\MC_{\infty} $，即$\MC_{\infty}=\MC\cup\{\infty\}$.在复平面上，没有一个点和$\infty$相对应，但我们想像有一个\textbf{无穷远点}\index{F!复平面!无穷远点}和$\infty$对应，加上无穷远点的复平面称为\textbf{扩充平面}\index{F!复平面!扩充平面}或\textbf{闭平面}\index{F!复平面!闭平面}，不包括无穷远点的复平面也称为\textbf{开平面}\index{F!复平面!开平面}.在复平面上，无穷远点和普通的点是不一样的，Riemann首先引进了复数的球面表示，在这种表示中，$\infty$和普通的复数没有什么区别. 设$S$是$\MR^3$中的单位球面，即 497 | \[ 498 | S = \{(x_1,x_2,x_3)\in\MR^3:x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\}. 499 | \] 500 | 把$\MC$等同于平面： 501 | \[ 502 | \MC = \{(x_1,x_2,0): x_1, x_2\in\MR\}. 503 | \] 504 | \begin{figure}[!ht] 505 | \centering 506 | \begin{tikzpicture}[semithick] 507 | \draw (-3,-1 )-- ++(5.5,0) -- ++(0.5,2) -- (1.73,1)(-1.73,1) -- (-2.5,1) -- (-3,-1); 508 | \draw [densely dashed] (1.73,1) -- (-1.73,1); 509 | \fill (0,0) circle (0.8pt); 510 | \draw [densely dashed] (-30:2) arc (-30:0:2); 511 | \draw [densely dashed] (180:2) arc (180:210:2); 512 | \draw (-30:2) arc (-30:-150:2); 513 | \draw (2,0) arc (0:180:2); 514 | \draw [densely dashed] (2,0) arc (0:180:2 and 0.8); 515 | \draw (2,0) arc (0:-180:2 and 0.8); 516 | \node at (55:2.2) {$S$}; 517 | \node at (0,2.2) {$N$}; 518 | \fill (-2.5,0) coordinate(z) node[below]{$z$} circle(0.8pt); 519 | \draw [densely dashed] (0,2) -- (z); 520 | \draw (z) -- (-1.97,{-1.97*0.8+2}); 521 | \fill (-1.37,{-1.37*0.8+2}) node[below right=-2mm] {$P$} circle(0.8pt); 522 | \end{tikzpicture} 523 | \caption{}\label{fig1.8} 524 | \end{figure} 525 | 固定$S$的北极$N$，即$N=(0,0,1)$，对于$\MC$上的任意点$z$，联结$N$和$z$的直线必和$S$交于一点$P$（图 \ref{fig1.8}）.若$|z|>1$，则$P$在北半球上；若$|z|<1$，则$P$在南半球上；若$|z|=1$，则$P$就是$z$.容易看出，当$z$趋向$\infty$时，球面上对应的点$P$趋向于北极$N$，自然地，我们就把$\MC_\infty$中的$\infty$对应于北极$N$.这样一来，$\MC_\infty$中的所有点（包括无穷远点在内）都被移植到球面上去了，而在球面上，$N$和其他的点是一视同仁的. 526 | 527 | 现在给出这种对应的具体表达式.设$z=x+\ii y$，容易算出$zN$和球面$S$的交点的坐标为 528 | \[ 529 | x_1 = \frac{2x}{x^2+y^2+1}, x_2 = \frac{2y}{x^2+y^2+1},x_3 = \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}. 530 | \] 531 | 直接用复数$z$，可表示为 532 | \[ 533 | x_1 = \frac{z+\bar z}{1+|z|^2}, 534 | x_2 = \frac{z-\bar z}{\ii\big(1+|z|^2\big)}, 535 | x_3 = \frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}. 536 | \] 537 | 这样，从$z$便可算出它在球面上对应点的坐标. 反过来，从球面上的点$(x_1,x_2,x_3)$也可算出它在平面上的对应点$z$.事实上，从上面的表达式得 538 | \[ 539 | \left\{ \begin{aligned} 540 | & x_1+\ii x_2 = \frac{2z}{1+|z|^2},\\ 541 | & 1-x_3 = \frac2{1+|z|^2}, 542 | \end{aligned} 543 | \right. 544 | \] 545 | 由此即得 546 | \[ 547 | z = \frac{x_1+\ii x_2}{1-x_3}. 548 | \] 549 | 这就是所需的计算公式. 550 | 551 | \begin{xiti} 552 | \item 证明：在复数的球面表示下，$z$和$\frac 1{\bar z}$的球面像关于复平面对称. 553 | \item 证明：在复数的球面表示下，$z$和$w$的球面像是直径对点当且仅当$z\bar w=-1$. 554 | \item 证明：在复数的球面表示下，$\MC_\infty$中的点$z$和$w$的球面像间的距离为 555 | \[\frac{2|z-w|}{\sqrt{\big(|z|^2+1\big)\big(|w|^2+1\big)}}.\] 556 | \item 证明：在复数的球面表示下，若$\begin{pmatrix} 557 | a&b\\c&d 558 | \end{pmatrix}$是二阶酉方阵，则$\MC_\infty$的变换$w=\frac{az+b}{cz+d}$诱导了球面绕球心的一个旋转. 559 | \item 证明：在复数的球面表示下，球面上的圆周对应于复平面上的圆周或直线，反之亦然. 560 | \item 证明：在复数的球面表示下，复平面上两条光滑曲线在交点处的夹角与它们的球面像在交点处的夹角相等. 561 | \end{xiti} 562 | 563 | \section{复数列的极限\label{sec1.4}} 564 | 复变函数是定义在平面点集上的复值函数，在讨论复变函数之前，必须对平面点集的知识有足够的了解.我们从复数列的极限谈起. 565 | 566 | 我们说$\MC$中的复数列$\{z_n\}$收敛到$\MC$中的点$z_0$，是指对于任给的$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，当$n>N$时，$|z_n-z_0|<\varepsilon$，记作$\lim_{n\to\infty}z_n=z_0$. 567 | 我们称复数列$\{z_n\}$收敛到$\infty$，是指对任给的正数$M>0$，存在正整数$N$，当$n>N$时，$|z_n|>M$，记为$\lim_{n\to\infty}z_n=\infty$. 568 | 569 | 对于$a\in\MC,r>0$，称 570 | \[B(a,r)=\{z\in\MC:|z-a|R\}$，记为$B(\infty,R)$. 572 | 573 | 这样，从几何上来说，$\lim_{n\to\infty}z_n=z_0$可以说成对任给的$\varepsilon>0$，当$n$充分大时，$z_n\in B(z_0,\varepsilon)$；$\lim_{n\to\infty}z_n=\infty$可以说成对任给的$M>0$，当$n$充分大时，$z_n\in B(\infty,M)$. 574 | 575 | 设$z_n=x_n+\ii y_n,z_0=x_0+\ii y_0$，从等式 576 | \[ 577 | |z_n - z_0| = \sqrt{(x_n-x_0)^2 + (y_n-y_0)^2} 578 | \] 579 | 马上可以得到：$\lim_{n\to\infty}z_n=z_0$的充分必要条件是$\{z_n\}$的实部和虚部分别有$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$和$\lim_{n\to\infty}y_n=y_0$. 580 | 581 | 复数列$\{z_n\}$称为\textbf{Cauchy列}\index{C!Cauchy列}，如果对任给的$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，当$m,n>N$时，有$|z_n-z_m|<\varepsilon$.设$z_n=x_n+\ii y_n,z_m=x_m+\ii y_m$，那么从等式 582 | \[ 583 | |z_n-z_m| = \sqrt{(x_n-x_m)^2+(y_n-y_m)^2} 584 | \] 585 | 知道，$\{z_n\}$是Cauchy列的充分必要条件是它的实部$\{x_n\}$和虚部 586 | $\{y_n\}$都是实的Cauchy列，因而从实数域中的Cauchy收敛准则立刻得到复数域的\textbf{Cauchy收敛准则}\index{C!Cauchy收敛准则}：$\{z_n\}$收敛的充要条件是$\{z_n\}$为Cauchy列.由此知道$\MC$是\textbf{完备}\index{W!完备}的. 587 | 588 | \begin{xiti} 589 | \item 设$z_0\notin(-\infty,0],z_n\ne0,\forall n\in\MN$.证明：复数列$\{z_n\}$收敛到$z_0$的充要条件是$\lim_{n\to\infty}|z_n|=|z_0|$和$\lim_{n\to\infty}\arg z_n=\arg z_0$. 590 | \item 设$z=x+\ii y\in\MC$，证明： 591 | \[ 592 | \lim_{n\to\infty} \bigg( 1+\frac zn \bigg)^n = \ee^x(\cos y + \ii\sin y). 593 | \] 594 | \item 证明：如果$\lim_{n\to\infty}z_n=z_0$，则 595 | \[ 596 | \lim_{n\to\infty} \frac{z_1 + z_2 + \cdots + z_n}n = z_0. 597 | \] 598 | \item 证明：若$\lim_{n\to\infty}z_n=z_0,\lim_{n\to\infty}w_n=w_0$，则 599 | \[ 600 | \lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{k=1}^nz_kw_{n-k} = z_0w_0. 601 | \] 602 | \item 设无穷三角阵 603 | \[ 604 | \begin{matrix} 605 | a_{11} &\\ 606 | a_{21} & a_{22}\\ 607 | a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ 608 | \cdots & \cdots & \cdots 609 | \end{matrix} 610 | \] 611 | 满足 612 | \begin{enuma} 613 | \item 对任意固定的$k$，$\lim_{n\to\infty}a_{nk}=a_k$存在； 614 | \item $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_{nk}$存在； 615 | \item $\sum_{k=1}^n|a_{nk}|\le M<\infty,\forall n\in \MN$. 616 | \end{enuma} 617 | 证明：若复数列$\{z_n\}$收敛，则$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_{nk}z_k$存在. 618 | \end{xiti} 619 | 620 | \section{开集、闭集和紧集\label{sec1.5}} 621 | 设$E$是一平面点集，$\MC$中的点对$E$而言可以分为三类：(1)如果存在$r>0$，使得$B(a,r)\subset E$，就称$a$为$E$的\textbf{内点}\index{J!集!内点}；(2)如果存在$r>0$，使得$B(a,r)\subset E^{\mathrm c}$，就称$a$为$E$的\textbf{外点}\index{J!集!外点}，这里，$E^{\mathrm c}$是由所有不属于$E$的点构成的集，称为$E$的\textbf{余集}\index{J!集!余集}或\textbf{补集}\index{J!集!补集}；(3)如果对任意$r> 622 | 0$，$B(a,r)$中既有$E$的点，也有$E^{\mathrm c}$的点，就称$a$为$E$的\textbf{边界点}\index{J!集!边界点}. $E$的内点的全体称为$E$的\textbf{内部}\index{J!集!内部}，记为$E^\circ$；$E$的外点的全体称为$E$的\textbf{外部}\index{J!集!外部}，它就是$E$的余集$E^{\mathrm c}$的内部，即$(E^{\mathrm c})^\circ$；$E$的边界点的全体称为$E$的\textbf{边界}\index{J!集!边界}，记为$\partial E$. 623 | 624 | 由上面的定义可知，集$E$把复平面分成三个互不相交的部分：$\MC=E^\circ\cup(E^{\mathrm c})^\circ\cup\partial E$，即 625 | \begin{equation}\label{eq1.5.1} 626 | (\partial E)^{\mathrm c} = E^\circ\cup(E^{\mathrm c})^\circ. 627 | \end{equation} 628 | 629 | 例如，$B(a,r)$中的所有点都是它的内点，即$B(a,r)=\big(B(a,r)\bigr)^\circ$，$B(a,r)$的边界$\partial B=\{z:|z-a|=r\}$，即是圆周，满足条件$|z-a|>r$的点$z$都是$B(a,r)$的外点. 630 | 631 | 如果$E$的所有点都是它的内点，即$E=E^\circ$，就称$E$为\textbf{开集}\index{J!集!开集}.如果$E^{\mathrm c}$是开集，就称$E$为\textbf{闭集}\index{J!集!闭集}. 632 | 633 | 例如，$B(a,r)$是开集，闭圆盘$\{z:|z-a|\le r\}$是闭集，$B(a,r)$和它的上半圆周的并集既不是开集也不是闭集. 634 | 635 | 点$a$称为集$E$的\textbf{极限点}\index{J!集!极限点}或\textbf{聚点}\index{J!集!聚点}，如果对任意$r>0$，$B(a,r)$中除$a$外总有$E$中的点. 集$E$的所有极限点构成的集称为$E$的\textbf{导集}\index{J!集!导集}，记为$E'$. $E$中不属于$E'$的点称为$E$的\textbf{孤立点}\index{J!集!孤立点}. $E$和它的导集$E'$的并称为$E$的\textbf{闭包}\index{J!集!闭包}，记为$\bar E$，即$\bar E=E\cup E'$. 636 | 637 | 这些集之间有下面的关系： 638 | \begin{prop}\label{prop1.5.1} 639 | 对于任意集$E$，有 640 | \begin{eenum} 641 | \item $a\in\bar E$的充要条件是对任意$r>0$，有\label{prop1.5.1.1} 642 | \begin{equation}\label{eq1.5.2} 643 | B(a,r)\cap E\ne\varnothing, 644 | \end{equation} 645 | 这里，$\varnothing$表示空集； 646 | \item $(\bar E)^{\mathrm c}=(E^{\mathrm c})^\circ,\bar {E^{\mathrm c}}=(E^\circ)^{\mathrm c}$.\label{prop1.5.1.2} 647 | \end{eenum} 648 | \end{prop} 649 | \begin{proof} 650 | (1) 若$a\in\bar E$，则$a\in E$或$a\in E'$，不论何者发生，总有$B(a,r)\cap E\ne\varnothing$.反之，若等式 \eqref{eq1.5.2} 成立，这说明$a$或是$E$的极限点，或是$E$的孤立点，因而$a\in\bar E$. 651 | 652 | (2) 由 \ref{prop1.5.1.1} 知，$a\in(\bar E)^{\mathrm c}$当且仅当存在$r>0$，使得$B(a,r)\cap E=\varnothing$，这说明$a$是$E^{\mathrm c}$的内点，即$a\in (E^{\mathrm c})^\circ$，因而$(\bar E)^{\mathrm c}=(E^{\mathrm c})^\circ$.再看第二个等式，$a\in (E^\circ)^{\mathrm c}$意味着$a$不是$E$的内点，即$a$是$E$的外点或边界点，因而对任意$r>0$，总有$B(a,r)\cap E^{\mathrm c}\ne\varnothing$，由 \ref{prop1.5.1.1} 知$a\in \bar{E^{\mathrm c}}$. 因而$\bar {E^{\mathrm c}}=(E^\circ)^{\mathrm c}$. 653 | \end{proof} 654 | 655 | \begin{prop}\label{prop1.5.2} 656 | (1) \hypertarget{prop1.5.2.1}{}$E^\circ$是开集，$\partial E$和$\bar E$是闭集；\par 657 | (2) \hypertarget{prop1.5.2.2}{}$E$是闭集的充要条件是$E=\bar E$；\par 658 | (3) \hypertarget{prop1.5.2.3}{}$E$是闭集的充要条件是$E'\subset E$. 659 | \end{prop} 660 | \begin{proof} 661 | (1) 任取$a\in E^\circ$，则由定义知道，存在$r>0$，使得$B(a,r)\subset E$.显然，$B(a,r)$中的每一点都是$E$的内点，因而$B(a,r)\subset E^\circ$，即$a$是$E^\circ$的内点.由于$a$是任意取的，所以$E^\circ$是开集.由刚才所证，$E^\circ$和$(E^{\mathrm c})^\circ$都是开集，两个开集的并当然也是开集，由等式 \eqref{eq1.5.1} 知$(\partial E)^{\mathrm c}$是开集，因而$E$是闭集.由于$(E^{\mathrm c})^\circ$是开集，由命题 \ref{prop1.5.1} 的 \ref{prop1.5.1.2} 知，$(\bar E)^{\mathrm c}$是开集，所以$\bar E$是闭集. 662 | \par 663 | (2)如果$E=\bar E$，则由(1)知$\bar E$是闭集，所以$E$是闭集.反之，如果$E$是闭集，那么$E^{\mathrm c}$是开集，因而$E^{\mathrm c}=(E^{\mathrm c})^\circ$.另外，由命题 \ref{prop1.5.1} 的 \ref{prop1.5.1.2} 得$(\bar E)^{\mathrm c}=(E^{\mathrm c})^\circ$，因而$E^{\mathrm c}=(\bar E)^{\mathrm c}$，即$E=\bar E$. 664 | \par 665 | (3) 从 \hyperlink{prop1.5.2.2}{(2)} 立刻可得. 666 | \end{proof} 667 | 668 | 下面给出闭集的一个重要性质，为此先定义点集$E$的直径的概念.点集$E$的\textbf{直径}\index{J!集!直径}定义为$E$中任意两点间距离的上确界，记为$\diam E$，即 669 | \[ 670 | \diam E = \sup\{ |z_1 - z_2|: z_1,z_2\in E \}. 671 | \] 672 | 673 | \begin{theorem}[（\textbf{Cantor}）]\index{D!定理!Cantor定理}\label{thm1.5.3} 674 | 若非空闭集序列$\{F_n\}$满足 675 | \begin{eenum} 676 | \item \label{thm1.5.3.1} $F_1\supset F_2\supset\cdots\supset F_n\supset\cdots$； 677 | \item \label{thm1.5.3.2} $\diam F_n\to 0$（当$n\to\infty$时）， 678 | \end{eenum} 679 | 那么$\bigcap_{n=1}^\infty F_n$是一个独点集. 680 | \end{theorem} 681 | \begin{proof} 682 | 在每一个$F_n$中任取一点$z_n$，我们证明$\{z_n\}$是一个Cauchy点列.由于$\lim_{n\to\infty}\diam F_n$ $=0$，所以对任意$\varepsilon>0$，可取充分大的$N$，使得 $\diam F_N<\varepsilon$.今取$m,n>N$，由条件 \ref{thm1.5.3.1}，$z_m,z_n\in F_N$，所以$|z_n-z_m|\le\diam F_N<\varepsilon$.因而$\{z_n\}$是一Cauchy序列，设其收敛于$z_0$.我们证明$z_0\in\bigcap_{n=1}^\infty F_n$.事实上，任取$F_k$，则当$n>k$时，$z_n$便全部落入$F_k$中，因为$F_k$是闭的，由命题 \ref{prop1.5.2} 的 \hyperlink{prop1.5.2.3}{(3)}，$\{z_n\}$的极限$z_0\in F_k$，所以$z_0\in\bigcap_{n=1}^\infty F_n$.如果还有另一点$z_1$也属于$\bigcap_{n=1}^\infty F_n$，那么必有$|z_0-z_1|\le\diam F_n\to0$（$n\to\infty$），因而$z_1=z_0$. 683 | \end{proof} 684 | 685 | 这个定理是实数域中的区间套定理在复数域中的推广. 686 | 687 | 下面引进一类重要的集——紧集. 688 | 689 | 设$E$是一个集，$\mathscr F=\{G\}$是一个\textbf{开集族}\index{J!集!开集族}，即$\mathscr F$中的每一个元素都是开集.如果$E$中每一点至少属于$\mathscr F$中的一个开集，就说$\mathscr F$是$E$的一个\textbf{开覆盖}\index{J!集!开覆盖}. 690 | 691 | 例如，$E$是任一点集，$\varepsilon$是一个给定的正数，那么 692 | \[ 693 | \mathscr F = \{ B(a,\varepsilon):a\in E \} 694 | \] 695 | 便是$E$的一个开覆盖. 696 | 697 | 我们说点集$E$具有\textbf{有限覆盖性质}\index{J!集!有限覆盖性质}，是指从$E$的任一个开覆盖中必能选出有限个开集$G_1,\cdots,G_n$，使得这有限个开集的并就能覆盖$E$，即 698 | \[ 699 | E \subset \bigcup_{j=1}^n G_j. 700 | \] 701 | \begin{definition}\label{def1.5.4} 702 | 具有有限覆盖性质的集称为\textbf{紧集}\index{J!集!紧集}. 703 | \end{definition} 704 | 705 | 例如，空集和有限集都是紧集，但单位圆盘$B(0,1)=\{z\in\MC:|z|<1\}$却不是紧集，因为 706 | \[ 707 | G_n = \left\{z:|z| < 1 - \frac1n\right\}, n = 2,3,\cdots, 708 | \] 709 | 这一串同心圆构成$B(0,1)$的一个开覆盖，但从中找不出有限个集覆盖$B(0,1)$. 710 | 711 | 我们希望能找到紧集的特征. 712 | 713 | 集$E$称为是\textbf{有界}的，如果存在$R>0$，使得$E\subset B(0,R)$. 714 | \begin{theorem}[（\textbf{Heine--Borel}）]\index{D!定理!Heine--Borel定理}\label{thm1.5.5} 715 | 在$\MC$中，$E$是紧集的充要条件为$E$是有界闭集；在$\MC_\infty$中，$E$是紧集的充要条件为$E$是闭集. 716 | \end{theorem} 717 | \begin{proof} 718 | 我们先证明，如果$E$是$\MC_\infty$中的闭集或$\MC$中的有界闭集，那么$E$是紧集，即从$E$的任一开覆盖$\mathscr F$中，可以选出有限个开集覆盖$E$.先设$E$是$\MC_\infty$中的闭集，如果$z=\infty\notin E$，则因$E$是闭集，有$E=\bar E$，即$\infty\notin\bar E$，由命题 \ref{prop1.5.1} 的 \ref{prop1.5.1.1}，存在$R>0$，使得$B(\infty,R)\cap E=\varnothing$，即$E\subset\overline{B(0,R)}$，因而$E$是有界闭集.如果$z=\infty\in E$，由开覆盖的定义，$\infty$属于$\mathscr F$中的某一个开集，而$E$在这个开集之外的部分是一有界闭集.总之，不论何种情况发生，只要考虑$E$是有界闭集的情形就够了. 719 | 720 | 现设$E$是有界闭集，如果它不是紧集，那么从$E$的开覆盖$\mathscr F$中不能取出有限个开集来覆盖$E$.因为$E$是有界的，它一定包含在一个充分大的闭正方形$Q$中： 721 | \[ 722 | Q = \{(x,y): |x| \le M,|y| \le M\}. 723 | \] 724 | 把这个正方形分成相等的四个小正方形，则其中必有一个小正方形$Q_1$，使得$Q_1\cap E$是有界闭集且不具有有限覆盖性质.再把$Q_1$分成四个相等的小正方形，其中必有一个小正方形$Q_2$具有上述同样的性质.这个过程可以无限地进行下去，得到一列闭正方形$\{Q_n\}$.如果记$F_n=Q_n\cap E$，那么$F_n$满足下列条件： 725 | \begin{eenum} 726 | \item \label{thm1.5.5.1}$F_n$是有界闭集； 727 | \item \label{thm1.5.5.2}$F_n\supset F_{n+1},n=1,2,\cdots$； 728 | \item \label{thm1.5.5.3}不能从$\mathscr F$中取出有限个开集来覆盖$F_n$； 729 | \item \label{thm1.5.5.4}当$n\to\infty$时，$\diam F_n\le\frac M{2^n}\sqrt2\to0$. 730 | \end{eenum} 731 | 由 \ref{thm1.5.5.1}， \ref{thm1.5.5.2}， \ref{thm1.5.5.4}知道$\{F_n\}$满足Cantor定理的条件，因而存在复数$z_0$，使得$\bigcap_{n=1}^\infty F_n=\{z_0\}$.由于$z_0\in F_n\subset E$，故在$\mathscr F$中必有一个开集$G_0$，使得$z_0\in G_0$.由于$z_0$是$G_0$的内点，故有$z_0$的邻域$B(z_0,\varepsilon)\subset G_0$.由于$\diam F_n\to0$，故当$n$充分大时， $F_n\subset B(z_0,\varepsilon)\subset G_0$，这就是说$G_0$覆盖了$F_n$，这与 \ref{thm1.5.5.3} 矛盾. 因此$E$是紧集. 732 | 733 | 现在证明必要性.只要对扩充平面的情形来证明就够了，因为如果一个集对扩充平面是闭的，它又不包含无穷远点，那么它必然是有界的.设$E$是一个紧集，我们要证明它是闭集，只要证明$E^c$是开集即可.为此，任取$a\in E^{\mathrm c}$，只要证明$a$是$E^{\mathrm c}$的内点就行了.取这样的开集族$\mathscr F$：凡是闭包不包含$a$点的开集都属于$\mathscr F$. 因为$a\in E^{\mathrm c}$，因此对$E$中每一点$z$，都能找到它的邻域$B(z,\varepsilon)$，使得$a\notin \overline{B(z,\varepsilon)}$，所以$B(z,\varepsilon)\in\mathscr F$.这就是说，$\mathscr F$是$E$的一个开覆盖. 由于$E$是紧集，故能从中取出有限个开集$G_1,\cdots,G_n$，使得$E\subset\bigcup_{j=1}^nG_j$.但$a\notin \bar G_j,j=1,\cdots,n$，所以$a\in\bigcap_{j=1}^n(\bar G_j)^{\mathrm c}$.显然，$\bigcap_{j=1}^n(\bar G_j)^{\mathrm c}$是一个开集，而且从命题 \ref{prop1.5.1} 的 \ref{prop1.5.1.2} 得 734 | \[ 735 | \bigcap_{j=1}^n(\bar G_j)^{\mathrm c} = \bigcap_{j=1}^n(G_j^{\mathrm c})^\circ \subset\bigcap_{j=1}^n G_j^{\mathrm c} = \left(\bigcup_{j=1}^nG_j\right)^{\mathrm c}\subset E^{\mathrm c}, 736 | \] 737 | 这就证明了$a$是$E^{\mathrm c}$的内点，即$E^{\mathrm c}$是开集. 738 | \end{proof} 739 | 740 | 紧集之所以重要，在于它保留了大部分有限集的性质，这在下面定理的讨论中可以明显地看出. 741 | 742 | 设$E,F$是任意两个集，$E,F$间的距离定义为 743 | \[ 744 | d(E,F) = \inf \{|z_1-z_2|: z_1\in E,z_2 \in F\}. 745 | \] 746 | 如果$E=\{a\}$是由一个点所构成的集，那么$a$和$F$间的距离为 747 | \[ 748 | d(a,F) = \inf \{|a-z|:z\in F\}. 749 | \] 750 | 容易看出，如果$F$是闭集，$a\notin F$，那么$d(a,F)>0$.这是因为在这种情况下，必有$\varepsilon>0$，使得$B(a,\varepsilon)\cap F=\varnothing$，因而$d(a,F)\ge\varepsilon>0$. 751 | 如果$E$是有限点集，且$E\cap F=\varnothing$，当然也有$d(E,F)>0$.但若$E$是无穷闭集，$F$也是闭集，且$E\cap F=\varnothing$，这时$d(E,F)>0$未必成立.例如，$E$是整个实轴，$F=\{z=x+\mathrm i\ee^x:-\infty0$. 752 | 753 | \begin{theorem}\label{thm1.5.6} 754 | 设$E$是紧集，$F$是闭集，且$E\cap F=\varnothing$，则 755 | \[ 756 | d(E,F)>0. 757 | \] 758 | \end{theorem} 759 | \begin{proof} 760 | 任取$a\in E$，则$a\notin F$，所以$d(a,F)>0$.今以$a$为中心、$\frac12d(a,F)$为半径作一圆盘，当$a$跑遍集$E$时，这些圆盘所组成的开集族就是$E$的一个开覆盖.因为$E$是紧的，故从这个开覆盖中能选出有限个开集$G_1,\cdots,G_n$来覆盖$E$，其中$G_j=B\left(a_j,\frac12d(a_j,F)\right),j=1,\cdots,$ $n$. 记 761 | \[ 762 | \delta = \min\left\{\frac12d(a_1,F),\cdots,\frac12d(a_n,F)\right\}. 763 | \] 764 | 今任取$z_1\in E$，则必有某个$G_j$，使得$z_1\in G_j$，因而 765 | \[ 766 | |z_1 - a_j| < \frac12 d(a_j,F). 767 | \] 768 | 任取$z_2\in F$，当然$|z_2-a_j|\ge d(a_j,F)$，于是 769 | \begin{align*} 770 | |z_1-z_2| & \ge |z_2-a_j|-|z_1-a_j|\\ 771 | & \ge d(a_j,F)-\frac12d(a_j,F) = \frac12d(a_j,F)\ge\delta. 772 | \end{align*} 773 | 所以 774 | \[ 775 | d(E,F) = \inf \{|z_1-z_2|:z_1\in E,z_2\in F\} \ge \delta > 0. \qedhere 776 | \] 777 | \end{proof} 778 | 779 | 下面是另一个运用Heine--Borel定理的例子，读者不妨用证明Cantor定理的方法给出另一个证明. 780 | \begin{theorem}[（\textbf{Bolzano--Weierstrass}）]\index{D!定理!Bolzano--Weierstrass定理} 781 | 任意无穷点集至少有一个极限点.\label{thm1.5.7} 782 | \end{theorem} 783 | \begin{proof} 784 | 设$E$是一个无穷点集，如果$E$是无界集，那么无穷远点便是它的极限点.今设$E$是有界集，如果它没有极限点，那么它是一个闭集.任取$z\in E$，由于它不是$E$的极限点，故必存在$\varepsilon>0$，使得$B(z,\varepsilon)$中除$z$外不再有$E$中的点.由这种$B(z,\varepsilon)$构成的开集族便是$E$的一个开覆盖，由Heine--Borel定理，能从中选出有限个来覆盖$E$.因为每个开集只包含$E$的一个点，这说明$E$是一个有限集，与$E$是无穷点集的假定矛盾，因而$E$必有极限点. 785 | \end{proof} 786 | \begin{xiti} 787 | \item 证明：一个平面点集的孤立点的全体至多可列. 788 | \item 设$E\subset\MC$是非空点集， $z,w\in \MC$. 证明： 789 | \[ 790 | |d(z,E) - d(w,E)| \le |z - w| 791 | \] 792 | 成立，而 793 | \[ 794 | |d(z,E) - d(w,E)| \le d(z-w,E) 795 | \] 796 | 不成立. 797 | \item 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集： 798 | \begin{enuma} 799 | \item $\MN=\{k:k\text{为自然数}\}$； 800 | \item $E=\left\{\frac1k:k\text{为自然数}\right\}$； 801 | \item $D=B(1,1)\cup B(-1,1)$； 802 | \item $G=\{z\in\MC:1<|z|\le2\}$； 803 | \item $\MC$. 804 | \end{enuma} 805 | \item 指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集： 806 | \begin{enuma} 807 | \item $\MZ=\{k:k\text{为整数}\}$； 808 | \item $E$为有限集； 809 | \item $D=\{z\in\MC:\Im z>0\}\backslash\big(\bigcup_{k=-\infty}^{\infty}F_k\big)$，其中，$F_k=\{z\in\MC:z=k+\ii y,0\le y\le1\}$； 810 | \item $G=B(0,1)\backslash\left\{\frac1{k+1}:k\text{为自然数}\right\}$； 811 | \item $\MC\backslash B(\infty,R)$. 812 | \end{enuma} 813 | \item 证明：若$D$为开集，则$D'=\bar D=\partial D\cup D$. 814 | \item 设$\varLambda$是指标集，$\{D_\alpha\}_{\alpha\in\varLambda}$是开集族，$\{F_\alpha\}_{\alpha\in\varLambda}$是闭集族. 证明：$\bigcup_{\alpha\in\varLambda}D_\alpha$是开集，$\bigcap _{\alpha\in\varLambda}F_\alpha$是闭集. 815 | \item 证明：有限个开集的交是开集，有限个闭集的并是闭集. 816 | \item 设$D$是开集，$F\subset D$是非空紧集.证明： 817 | \begin{enuma} 818 | \item $d(F,\partial D)>0$； 819 | \item 对任意$0<\delta\frac12$； 922 | \item $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|\le2$； 923 | \item $0<\arg\frac{z-\ii }{z+\ii }<\frac\pi4$. 924 | \end{enuma} 925 | \item \hypertarget{xiti1.6.2}{}证明：非空点集$E\subset \MR$为连通集，当且仅当$E$是一个区间. 926 | \item 设$E$是非空点集，$A$是$E$的非空子集. 若$A$是连通的，并且不存在$E$的连通子集真包含$A$，则称$A$是$E$的\textbf{连通分支}\index{J!集!连通分支}. 证明：开集的连通分支仍然是开集，闭集的连通分支仍然是闭集. 927 | \item 设$E$是非空点集，$\varepsilon>0$.若对于$E$中的任意两点$a,b$，存在$E$中的有限个点$a=z_0,z_1,\cdots,z_n=b$，使得$|z_k-z_{k-1}|<\varepsilon$成立（$1\le k\le n$），则称$E$为$\varepsilon$- 连通的. 证明：紧集连通的充要条件是，对任意$\varepsilon>0$，它都是$ \varepsilon$- 连通的.并举例说明将紧集改为闭集后结论不再成立. 928 | \item 证明：若$D$是有界单连通域，则$\partial D$连通.举例说明，若$D$是无界单连通域，则$\partial D$可能不连通. 929 | \end{xiti} 930 | 931 | \section{复变函数的极限和连续性\label{sec1.7}} 932 | 设$E$是复平面上一点集，如果对每一个$z\in E$，按照某一规则有一确定的复数$w$与之对应，我们就说在$E$上确定了一个\textbf{单值复变函数}\index{F!复变函数!单值复变函数}，记为$w=f(z)$或$f:E\to\MC$. $E$称为$f$的\textbf{定义域}\index{F!复变函数!定义域}，点集$\{f(z):z\in E\}$称为$f$的\textbf{值域}\index{F!复变函数!值域}.如果对于$z\in E$，对应的$w$有几个或无穷多个，则称在$E$上确定了一个\textbf{多值函数}\index{F!复变函数!多值函数}.例如，$w=|z|^2,w=z^3+1$都是确定在整个平面上的单值函数；而$w=\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2} n]z,w=\Arg z$则是多值函数.今后若非特别说明，我们所讲的函数都是指单值函数. 933 | 934 | 复变函数是定义在平面点集上的，它的值域也是一个平面点集，因此复变函数也称为\textbf{映射}\index{Y!映射}，它把一个平面点集映成另一个平面点集.与$z\in E$对应的点$w=f(z)$称为$z$在映射$f$下的\textbf{像点}\index{Y!映射!像点}，$z$就称为$w$的\textbf{原像}\index{Y!映射!原像}.点集$\{f(z):z\in E\}$也称为$E$在映射$f$下的\textbf{像}\index{Y!映射!像}，记为$f(E)$.如果$f(E)\subset F$，就说$f$把$E$映入$F$，或者说$f$是$E$到$F$中的映射.如果$f(E)=F$，就说$f$把$E$映为$F$，或者说$f$是$E$到$F$上的映射. 935 | 936 | 设$z=x+\ii y$，用$u$和$v$记$w=f(z)$的实部和虚部，则有 937 | \[ 938 | w = f(z) = u(z)+\ii v(z) = u(x,y)+\ii v(x,y). 939 | \] 940 | 这就是说，一个复变函数等价于两个二元的实变函数$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$. 941 | 942 | 例如$w=z^2=(x+\ii y)^2=x^2-y^2+2\ii xy$，它等价于$u=x^2-y^2$和$v=2xy$两个二元函数；再如$w=|z|$，它等价于$u=\sqrt{x^2+y^2}$和$v=0$这两个二元函数. 943 | 944 | 这样就产生了一个问题，既然一个复变函数等价于两个二元的实变函数，那么研究复变函数的意义何在呢?在下一章中我们将要看到，对于一类重要的复变函数，即所谓的\textbf{全纯函数}\index{Q!全纯函数}，它所对应的两个二元函数要满足一个方程式，在这个基础上可以建立起一套完美的全纯函数理论；另一方面，满足这个方程式的一对二元函数有明显的力学和物理意义，这使得全纯函数的研究有直接的应用价值.正是这些数学和物理的背景，使得复变函数论成为数学中一个重要的独立分支. 945 | 946 | 现在引进复变函数的极限和连续性的概念. 947 | 948 | 设$f$是定义在点集$E$上的一个复变函数，$z_0$是$E$的一个极限点，$a$是给定的一个复数. 如果对任意的$\varepsilon>0$，存在与$\varepsilon$有关的$\delta>0$，使得当$z\in E$且$0<|z-z_0|<\delta$时有$|f(z)-a|<\varepsilon$，就说当$z\to z_0$时$f(z)$有极限$a$，记作$\lim_{z\to z_0}f(z)=a$.上述极限的定义也可用邻域的语言叙述为：对于任给的$\varepsilon>0$，存在与$\varepsilon$有关的正数$\delta$，使得当$z\in B(z_0,\delta)\cap E$且$z\ne z_0$时有$f(z)\in B(a,\varepsilon)$，这后一种说法也适用于$z=\infty$的情形. 949 | 950 | 设$a=\alpha+\ii\beta,z_0=x_0+\ii y_0,f(z)=u(x,y)+\ii v(x,y)$，由下面的不等式 951 | \begin{align*} 952 | & |u(x,y) - \alpha| \le |f(z) - \alpha| + |v(x,y) - \beta|,\\ 953 | & |v(x,y) - \beta| \le |f(z) - \alpha| + |v(x,y) - \beta| 954 | \end{align*} 955 | 知道，$\lim_{z\to z_0}f(z)=a$的充分必要条件为 956 | \[ 957 | \lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}} u(x,y) = \alpha,\quad \lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}} v(x,y) = \beta. 958 | \] 959 | 因此，实变函数中有关极限的一些运算法则在复变函数中也成立. 960 | 961 | 我们说$f$在点$z_0\in E$连续，如果 962 | \[ 963 | \lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0). 964 | \] 965 | 如果$f$在集$E$中每点都\textbf{连续}\index{F!复变函数!连续}，就说$f$在集$E$上连续. 966 | 967 | 从上面的讨论知道，$f(z)=u(x,y)+\ii v(x,y)$在$z_0=x_0+\ii y_0$处连续的充要条件是$u(x,y)$和$v(x,y)$作为二元函数在$(x_0,y_0)$处连续. 968 | 969 | 紧集上的连续函数有许多重要的性质： 970 | \begin{theorem}\label{thm1.7.1} 971 | 设$E$是$\MC$中的紧集，$f:E\to\MC$在$E$上连续，那么 972 | \begin{eenum} 973 | \item \label{thm1.7.1.1} $f$在$E$上有界； 974 | \item \label{thm1.7.1.2} $|f|$在$E$上能取得最大值和最小值，即存在$a,b\in E$，使得对每个$z\in E$，都有 975 | \[ 976 | |f(z)| \le |f(a)|,\quad |f(z)|\ge |f(b)|; 977 | \] 978 | \item \label{thm1.7.1.3} $f$在$E$上一致连续. 979 | \end{eenum} 980 | \end{theorem} 981 | 982 | 所谓$f$在$E$上\textbf{一致连续}\index{F!复变函数!一致连续}，是指对任意$\varepsilon>0$，存在只与$\varepsilon$有关的$\delta>0$，对$E$上任意的$z_1,z_2$，只要$|z_1-z_2|<\delta$，就有$|f(z_1)-f(z_2)|<\varepsilon$. 983 | 984 | 我们只给出 \ref{thm1.7.1.2} 的证明，\ref{thm1.7.1.1} 和 \ref{thm1.7.1.3} 的证明留给读者作为练习. 985 | \begin{proof} 986 | 记$M=\sup\{|f(z)|:z\in E\}$，于是对每一自然数$n$，必有$z_n\in E$，使得 987 | \begin{equation}\label{eq1.7.1} 988 | M - \frac1n \le |f(z_n)| \le M. 989 | \end{equation} 990 | 991 | 因为$E$是$\MC$中的紧集，由定理 \ref{thm1.5.5}，$E$为有界闭集.再由定理 \ref{thm1.5.7}，$\{z_n\}$必有极限点，即有一收敛子列$\{z_{n_k}\}$，设其极限为$a$，则$a\in E$.把 \eqref{eq1.7.1} 式写成 992 | \[ 993 | M - \frac1{n_k} \le |f(z_{n_k})| \le M. 994 | \] 995 | 让$k\to\infty$，并注意到$f$在$a$处的连续性，即得$|f(a)|=M$. 996 | \end{proof} 997 | 998 | \begin{xiti}\hypertarget{xiti1.7}{} 999 | \item 证明：若$E$是紧集，$f:E\to\MC$连续，则$f$在$E$上一致连续. 1000 | \item 证明：若$D$是单连通域，$0\notin D$，则必存在$D$上的连续函数$\varphi(z)$，使得$\varphi(z)\in \Arg z,\forall z\in D$. $\varphi(z)$称为$\Arg z$在$D$上的一个\textbf{单值连续分支}\index{D!单值连续分支}. 1001 | \item 证明：若$E$是紧集，$f$在$E$上连续，则$f(E)$也是紧集.将紧集换成闭集，结论是否成立? 1002 | \item 设$f$是域$D$上的连续函数，并且对任意$z_0\in\partial D,\lim_{z\to z_0}f(z)$存在，证明： 1003 | \[ 1004 | F(z) = \begin{cases} 1005 | f(z), & z\in D;\\ 1006 | \lim_{\zeta\to z}f(\zeta), & z\in \partial D 1007 | \end{cases} 1008 | \] 1009 | 在$\bar D$上连续. 1010 | \item 证明：若$f$在域$D$上一致连续，则对任意$z_0\in\partial D,\lim_{z\to z_0}f(z)$存在. 1011 | \item 研究$f(z)=\frac1{1-z}$和$g(z)=\frac1{1+z^2}$在$B(0,1)$上的连续性与一致连续性. 1012 | \item \hypertarget{xiti1.7.7}{} 设连续映射$f:E\to\MC$满足 1013 | \[ 1014 | f(z) \ne f(w),\quad \forall z,w\in E, z\ne w, 1015 | \] 1016 | 则称$f$是$E$上的\textbf{一一连续映射}\index{Y!映射!一一连续映射}.证明：若$E$是紧集，$f$是$E$上的一一连续映射，则$f^{-1}:f(E)\to E$也是一一连续映射，即$f:E\to f(E)$是一个\textbf{同胚映射}\index{Y!映射!同胚映射}.将紧集换成闭集，结论是否成立? 1017 | \item 证明： 1018 | \begin{enuma} 1019 | \item 存在连续映射将$[0,1]$映为$\partial B(0,1)$； 1020 | \item 不存在一一连续映射将$[0,1]$映为$\partial B(0,1)$. 1021 | \end{enuma} 1022 | \item 设$f$是域$D$上的复变函数，$z_0\in\partial D$.若$\lim_{z\to z_0}f(z)=A$存在， 1023 | 则称$A$是$f$在$z_0$处的\textbf{边界值}\index{B!边界值}，记为$f(z_0)=A$.举例说明，存在开正方形$G$上的同胚映射，其不能在$G$上处处都有边界值. 1024 | \end{xiti} 1025 | -------------------------------------------------------------------------------- /chap6.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{全纯开拓\label{chap6}} 2 | 设$f$是域$G$上的一个全纯函数，如果存在一个比$G$更大的域$D$（$D\supset G,D\ne G$）以及$D$上的全纯函数$F$，使得当$z\in G$时有$F(z)=f(z)$，就说$F$是$f$在域$D$上的\textbf{全纯开拓}. 3 | \index{Q!全纯开拓} 4 | 5 | 例如，函数$f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n$是域$G=\{z:|z|<1\}$上的全纯函数，令$D=\MC\backslash\{1\}$，则$F(z)=\frac1{1-z}$是$D$上的全纯函数.显然$D\supset G$， 6 | 且当$z\in G$时有$F(z)=f(z)$，所以$F$是$f$在$D$上的全纯开拓. 7 | 8 | 设$F$是$f$在$D$上的一个全纯开拓，如果$F_1$是$f$在$D$上的另一个全纯开拓，由于当$z\in G$时有 9 | \[ 10 | F(z) = f(z) = F_1(z), 11 | \] 12 | 故由唯一性定理，当$z\in D$时，$F(z)=F_1(z)$.这说明，如果存在全纯开拓，那么这个开拓是唯一的. 13 | 对于给定的域$G$及$f\in H(G)$，是否一定能将$f$全纯开拓到比$G$更大的域上去呢?答案是否定的.例如，单位圆盘$B(0,1)$上的全纯函数 14 | \[ 15 | f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{n!} 16 | \] 17 | 就不能全纯开拓到比$B(0,1)$更大的域上去.我们将在例 \ref{exam6.2.5} 中给出这一事实的证明. 18 | 19 | 如果$f\in H(G)$能全纯开拓，那么如何开拓呢?在这一章中，我们将介绍两种全纯开拓的方法：用Schwarz对称原理和用幂级数进行全纯开拓. 20 | 21 | \section{Schwarz对称原理\label{sec6.1}} 22 | 先证明下面的Painlev\'e连续开拓原理： 23 | \begin{theorem}[（\textbf{Painlev\'e原理}）]\label{thm6.1.1}\index{D!定理!Painlev\'e原理} 24 | 设$D$是域，$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$是$\MC$中的$n$条可求长曲线.如果$f$在$D$上连续，在开集$D\backslash\big(\bigcup_{k=1}^n\gamma_k\big)$上全纯，那么$f$必在$D$上全纯. 25 | \end{theorem} 26 | \begin{proof} 27 | 任取圆盘$B(a,r)\subset D$，只须证明$f$在$B(a,r)$上全纯即可.由Morera定理，只须证明对$B(a,r)$中任意可求长简单闭曲线$l$，总有 28 | \begin{equation}\label{eq6.1.1} 29 | \int\limits_lf(z)\dz=0 30 | \end{equation} 31 | 就行了. 如果$l$不与$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$中的任意一条相交，\eqref{eq6.1.1} 式当然成立. 今设$l$与$\gamma_k$相交，那么由Cauchy积分定理（定理 \ref{thm3.2.4}），只要将$f$沿$l$的积分分解成沿图 \ref{fig6.1} 中箭头方向所表示的两条闭曲线的积分，便知 \eqref{eq6.1.1} 式也成立.这里考虑的是最简单的情形，一般情形的证明完全类似. 32 | \begin{figure}[!ht] 33 | \centering 34 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt}, 35 | >={Stealth[width=3pt]}] 36 | \draw(0,0)circle(2); 37 | \draw(-140:3.7)node[right]{$\gamma_k$}[bend left=30]to(0,-0.3) 38 | [bend right=35]to(2.2,1.9); 39 | \fill(-140:3.7)circle(1pt); 40 | \draw(-130:1.7)arc(-130:-30:0.4)[bend left=40]to(-40:1.4)node[below left]{$l$}arc 41 | (-120:0:0.3)[bend right=17]to(40:1.5)arc(40:140:0.3)[bend left=30] 42 | to(130:0.7)[bend right=40]to(170:1.2)[bend right=33]to(-130:1.7)--cycle; 43 | \draw[->,very thin](-40:1.4)--++(-25:0.1); 44 | \draw[->,very thin](0,0.53)--++(-170:0.1); 45 | \draw[->](-0.2,-0.2)[bend right=5]to(0.3,-0.1); 46 | \draw[<-,yshift=-0.25cm](-0.2,-0.2)[bend right=5]to(0.3,-0.1); 47 | \node at(0,-2.25){$B(a,r)$}; 48 | \end{tikzpicture} 49 | \caption{\label{fig6.1}} 50 | \end{figure} 51 | \end{proof} 52 | 53 | 利用Painlev\'e原理，即可证明下面的Schwarz对称原理： 54 | \begin{theorem}[（\textbf{Schwarz对称原理}）]\label{thm6.1.2}\index{D!定理!Schwarz对称原理} 55 | 设域$D$关于实轴对称，如果$f$满足 56 | \begin{eenum} 57 | \item \label{thm6.1.2.1} $f$在$D\cap\{z\in\MC:\Im z>0\}$上全纯； 58 | \item \label{thm6.1.2.2} $f$在$D\cap\{z\in\MC:\Im z\ge0\}$上连续； 59 | \item \label{thm6.1.2.3} $f(D\cap\MR)\subset\MR$， 60 | \end{eenum} 61 | 那么 62 | \[ 63 | F(z) = \begin{cases} 64 | f(z), & z\in D \cap \{z\in \MC:\Im z\ge0\};\\ 65 | \bar{f(\bar z)},&z\in D\cap \{z\in\MC:\Im z<0\} 66 | \end{cases} 67 | \] 68 | 便是$f$在$D$上的全纯开拓. 69 | \end{theorem} 70 | \begin{proof} 71 | 我们证明$F\in H(D)$. 显然，$F$在$D\cap\{z\in\MC:\Im z>0\}$中是全纯的. 今任取$z\in D\cap\{z\in\MC:\Im z<0\}$，那么$\zeta=\bar z\in D\cap\{z\in\MC:\Im z>0\}$，于是 72 | \[ 73 | \pp{}{\bar z}F(z)=\pp{}{\bar z}\bar{f(\bar z)}=\bar{\pp{}zf(\bar z)} 74 | =\bar{\pp{}{\bar\zeta}f(\zeta)}=0. 75 | \] 76 | 这就证明了$F$在$D\cap\{z\in\MC:\Im z<0\}$上全纯. 今任取$x_0\in D\cap\MR$，由 \ref{thm6.1.2.3}，$f(z_0)$取实数值，因而当$z$在$D$的下半平面部分趋于$x_0$时，有 77 | \[ 78 | \lim_{z\to x_0}F(z) = \lim_{\bar z\to x_0}\bar{f(\bar z)} = \bar{f(x_0)} 79 | = f(x_0) = F(x_0), 80 | \] 81 | 故$F$在$D$上连续.由Painlev\'e原理即知$F\in H(D)$. 82 | \end{proof} 83 | 84 | Schwarz对称原理可以推广到更一般的情形.为了叙述方便，对$\MC_\infty$中的圆周$\gamma$分别用$\MC_\infty^+(\gamma)$和$\MC_\infty^-(\gamma)$表示$\MC_\infty$被$\gamma$分成的两个单连通域.实际上，$\MC_\infty^+(\gamma)$和$\MC_\infty^-(\gamma)$就是圆周$\gamma$的两侧. 85 | \begin{theorem}[（\textbf{推广的Schwarz对称原理}）]\label{thm6.1.3}\index{D!定理!推广的Schwarz对称原理} 86 | 设$\MC_\infty$中的域$D$关于圆周$\gamma=\{z\in\MC:|z-z_0|=r\}$对称，如果$f$满足 87 | \begin{eenum} 88 | \item \label{thm6.1.3.1}$f$在$D\cap\MC_\infty^+(\gamma)$上全纯； 89 | \item \label{thm6.1.3.2}$f$在$D\cap\big(\MC_\infty^+(\gamma)\cup\gamma\big)$上连续； 90 | \item \label{thm6.1.3.3}$f(D\cap\gamma)\subset\Gamma$，这里，$\Gamma=\{w\in\MC:|w-w_0|=\rho\}$是一个圆周； 91 | \item \label{thm6.1.3.4}对于任意$z\in D\cap\MC_\infty^+(\gamma),f(z)\ne w_0$， 92 | \end{eenum} 93 | 那么$f$能全纯开拓到$D$上，成为$D$上的全纯函数$F$，$F$将$D$中关于$\gamma$对称的两点映为$F(D)$中关于$\Gamma$对称的两点. 94 | \end{theorem} 95 | \begin{proof} 96 | 由第 \ref{chap2} 章 \ref{sec2.5} 节知道，$z$与$z_0+\frac{r^2}{\bar z-\bar {z_0}}$关于圆周$\gamma$对称，$w$与$w_0+\frac{\rho^2}{\bar w-\bar {w_0}}$关于圆周$\Gamma$对称. 令 97 | \[ 98 | F(z) = \begin{cases} 99 | f(z), & z\in D \cap\big(\MC_\infty^+(\gamma)\cup\gamma\big);\\ 100 | w_0 + \frac{\rho^2}{\bar{f\big(z_0+\frac{r^2}{\bar z-\bar a}\big)}-\bar {w_0}}, & z\in D\cap 101 | \MC_\infty^-(\gamma), 102 | \end{cases} 103 | \] 104 | 由定义，$F$在$D\cap\MC_\infty^+(\gamma)$中全纯；用定理 \ref{thm6.1.2} 证明中的方法即知$F$也在$D\cap\MC_\infty^-(\gamma)$中全纯，这里用到了条件 \ref{thm6.1.3.4}. 现在证明$F$在$D$上连续.为此任取$\zeta\in D\cap\gamma$，当$z\in D\cap\MC_\infty^-(\gamma)$，且$z\to\zeta$时，总有$z_0+\frac{r^2}{\bar z-\bar a}\in D\cap\MC_\infty^+(\gamma)$，且$z_0+\frac{r^2}{\bar z-\bar a}\to\zeta$. 因而 $f\bigg(z_0+\frac{r^2}{\bar z-\bar a}\bigg)\to f(\zeta)\in\Gamma$，于是也有$ w_0+\frac{\rho^2}{\bar{f\big(z_0+\frac{r^2}{\bar z-\bar a}\big)}-\bar {w_0}}\to f(\zeta)$，即$F(z)\to f(\zeta)$.这就证明了$F\in C(D)$.于是由Painlev\'e原理即知$F\in H(D)$. 105 | \end{proof} 106 | 107 | 注意，在上面的证明中，我们假定$\gamma$和$\Gamma$都是$\MC$中的圆周.实际上，$\gamma$和$\Gamma$中有一条（或者两条）是直线，定理当然也成立.特别地，当$\gamma$和$\Gamma$都是实轴时，就得到定理 \ref{thm6.1.2}. 108 | 109 | 有时，下面这种特殊情形的Schwarz对称原理很有用处，它是定理 \ref{thm6.1.3} 的一个推论. 110 | \begin{theorem}[（\textbf{双全纯映射的 Schwarz对称原理}）]\label{thm6.1.4} 111 | \index{D!定理!双全纯映射的 Schwarz对称原理} 112 | 设$\MC_\infty$中的域$D$关于圆周$\gamma=\{z\in\MC:|z-z_0|=r\}$对称，如果$f$满足 113 | \begin{eenum} 114 | \item $f$在$D\cap\MC_\infty^+(\gamma)$上单叶全纯； 115 | \item $f$在$D\cap\big(\MC_\infty^+(\gamma)\cup\gamma\big)$上单叶连续； 116 | \item $f(D\cap\gamma)\subset\Gamma$，这里，$\Gamma=\{w\in\MC:|w-w_0|=\rho\}$是一个圆周； 117 | \item 对于任意$z\in D\cap\MC_\infty^+(\gamma),f(z)\ne w_0$， 118 | \end{eenum} 119 | 那么$f$能全纯开拓到$D$上，成为$D$上的单叶全纯函数$F$，$F$将$D$中关于$\gamma$对称的两点映为$F(D)$中关于$\Gamma$对称的两点. 120 | \end{theorem} 121 | 122 | 下面看两个用Schwarz对称原理来构造双全纯映射的例子. 123 | \begin{example}\label{exam6.1.5} 124 | 设$00\}\backslash\big(\bigcup_{k=-\infty}^\infty L_k\big)$（图 \ref{fig6.2}），求一双全纯映射，把$D$映为上半平面. 125 | \end{example} 126 | \begin{figure}[!ht] 127 | \centering 128 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt}, 129 | >={Stealth[width=3pt]}] 130 | \draw[->](-2*pi,0)--(-3*pi/2,0)node[below]{$-\pi-\frac\pi2$} 131 | --(-pi/2,0)node[below]{$-\frac\pi2$}--(0,0)node[below]{$O$} 132 | --(pi/2,0)node[below]{$\frac\pi2$}--(3*pi/2,0)node[below]{$\pi+\frac\pi2$} 133 | --(2*pi,0)node[below]{$x$}; 134 | \draw[->](0,0)--(0,3*pi/2)node[right]{$y$}; 135 | \foreach \x/\y in {{pi/2}/2.8,{-pi/2}/2.8,{-3*pi/2}/2.8,{3*pi/2}/2.8} 136 | {\fill(\x,\y)circle(1pt);\draw(\x,\y)--++(0,-2.8);} 137 | \draw(-pi/2,2.8)node[above]{$-\frac\pi2+a\ii $} 138 | (pi/2,2.8)node[above]{$\frac\pi2+a\ii $}; 139 | \end{tikzpicture} 140 | \caption{\label{fig6.2}} 141 | \end{figure} 142 | \begin{solution} 143 | 已知$w=\sin z$把半带状域$G=\bigg\{z\in\MC:\Im z>0,-\frac\pi2<\Re z<\frac\pi2\bigg\}$双全纯地映为上半平面，把点$-\frac\pi2+\ii a,-\frac\pi2,\frac\pi2,\frac\pi2+\ii a$分别映为$-\cosh a,-1,1,\cosh a$，因此，$w=\arcsin\frac{\sin z}{\cosh a}$便将$G$双全纯地映为自己. 这时，开射线 144 | \[ 145 | \bigg\{z=-\frac\pi2+\ii y:a={Stealth[width=3pt]}] 205 | \draw[->](0,0)node[below left]{$O$}--(1,0)node[below right]{$\frac{r_1^2}{r_2}$} 206 | --(2.3,0)node[below right]{$r_1$}--(3.5,0)node[below right]{$r_2$}--(4.5,0); 207 | \foreach \x in {1,2.3,3.5} 208 | {\draw(0,0)circle(\x);} 209 | \foreach \x in {0,1,2.3,3.5} 210 | {\fill(\x,0)circle(1.4pt);} 211 | \draw(70:1.9)node{$D_1$}(60:3.1)node{$D$}; 212 | \end{tikzpicture} 213 | } 214 | \subcaptionbox{\label{fig6.3b}}[0.48\textwidth] 215 | { 216 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},scale=0.8, 217 | >={Stealth[width=3pt]}] 218 | \draw[->](0,0)node[below left]{$O$}--(1,0)node[below right]{$\frac{R_1^2}{R_2}$} 219 | --(2.3,0)node[below right]{$R_1$}--(3.5,0)node[below right]{$R_2$}--(4.5,0); 220 | \foreach \x in {1,2.3,3.5} 221 | {\draw(0,0)circle(\x);} 222 | \foreach \x in {0,1,2.3,3.5} 223 | {\fill(\x,0)circle(1.2pt);} 224 | \draw(70:1.9)node{$G_1$}(60:3.1)node{$G$}; 225 | \end{tikzpicture} 226 | } 227 | \caption{\label{fig6.3}} 228 | \end{figure} 229 | 那么$D_1$和$G_1$分别是$D$和$G$关于$|z|=r_1$和$|w|=R_1$对称的圆环（图 \ref{fig6.3}）.根据Schwarz对称原理（定理 \ref{thm6.1.4}），$f$可双全纯开拓到$D_1$上，成为$D\cup D_1\cup\{z\in\MC:|z|=r_1\}$上的双全纯函数，而且$f\big(D\cup D_1\cup\{z\in\MC:|z|=r_1\}\big)=G\cup G_1\cup\{w\in\MC:|w|=R_1\}$.这个过程可继续进行，于是$f$可双全纯开拓到$B(0,r_2)$，成为$B(0,r_2)$上的双全纯映射，而且$f\big(B(0,r_2)\big) 230 | =B(0,R_2),f(0)=0$，因而有$f(z)=\ee^{\ii\theta}\frac{R_2}{r_2}z$.由于同时成立$f\big(B(0,r_1)\big)=B(0,R_1)$，所以也有$f(z)=\ee^{\ii\theta}\frac{R_1}{r_1}z$.由此即得 231 | \[ 232 | \frac{r_2}{r_1} = \frac{R_2}{R_1}. 233 | \] 234 | 235 | 再考虑$f$将$|z|=r_1$和$|z|=r_2$分别映为$|w|=R_2$和$|w|=R_1$的情形. 这时，$g(z)=\frac{R_1R_2}{f(z)}$也将$D$双全纯地映为$G$，并且将$|z|=r_1$和$|z|=r_2$分别映为$|w|=R_1$和$|w|=R_2$. 由上面的证明便知$\frac{r_2}{r_1}=\frac{R_2}{R_1}$，而且$g(z)=\ee^{\ii\theta}\frac{R_1}{r_1}z$，因而$f(z)=\ee^{-\ii\theta}\frac{r_1R_2}{z}$. 236 | \end{proof} 237 | \begin{xiti}\hypertarget{xiti6.1}{} 238 | \item 设域$D$关于$x$轴对称，$f$在$D$上亚纯，$f(D\cap\MR)\subset\MR\cup\{\infty\}$. 证明：若$z_0\in D$是$f$的极点，则$\bar{z_0}$也是$f$的极点，并且 239 | \[ 240 | \Res(f,\bar{z_0}) = \bar{\Res(f,z_0)}. 241 | \] 242 | \item 设域$D$关于圆周$\partial B(a,r)$对称，$f$在$D$上亚纯，$f\big(D\cap\partial 243 | B(a,r)\big)\subset\partial B(A,R)$.证明：若$z_0,w_0\in D$关于$\partial B(a,r)$对称，$z_0$是$f(z)-A$的$1$阶零点，则$w_0$是$f$的$1$阶极点，并且 244 | \[ 245 | \Res(f,w_0) = -\frac{R^2(w_0-a)^2}{r^2\bar{f'(z_0)}}. 246 | \] 247 | \item 设$0={Stealth[width=3pt]}] 254 | \clip(-2,-1.5)rectangle(6,1.5); 255 | \foreach \x in {-2,-1.5,...,10} 256 | \draw[help lines](\x,1.5)--++(-135:5); 257 | \fill[white](-1.1,0.1)--(-0.1,0.1)--(-0.1,1.1)--(0.1,1.1)--(0.1,0.1)--(5.6,0.1) 258 | --(5.6,-0.1)--(0.1,-0.1)--(0.1,-1.1)--(-0.1,-1.1)--(-0.1,-0.1)--(-1.1,-0.1)--cycle; 259 | \draw[->](-1,0)node[below]{$-1 $}--(0,0)node[below left]{$O$}--(5,0); 260 | \draw(4.8,0)--(5.5,0); 261 | \draw(0,-1)node[below]{$-\ii $}--(0,1)node[above]{$\ii $} 262 | (1,1)node{$D$}; 263 | \fill(0,-1)circle(1pt)(0,1)circle(1pt)(-1,0)circle(1pt); 264 | \end{tikzpicture} 265 | \caption{\label{fig6.4}} 266 | \end{figure} 267 | \item 利用Schwarz对称原理证明：若$f$双全纯地将$B(a,r)$映为$B(A,R)$，同胚地将$\bar{B(a,r)}$映为$\bar{B(A,R)}$，则$f$必是分式线性变换. 268 | \item 设$P(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是关于$x_1,x_2,\cdots,x_n$的多项式，$f\in H\big(B(0,r)\big),\rho>1$. 证明：若在圆盘$B(0,r)$上成立$f(z)=P\bigg( 269 | f\bigg(\frac z\rho\bigg),f'\bigg(\frac z\rho\bigg),\cdots, 270 | f^{(n-1)}\bigg(\frac z\rho\bigg)\bigg)$，则$f$必能全纯开拓到$\MC$. 271 | \item 将如图 \ref{fig6.5} 所示的单连通域$D=\big(\MC\backslash[2,\infty)\big)\backslash 272 | \big(\bar{B(1,1)}\cup\bar{B(-1,1)}\big)$双全纯地映为上半平面. 273 | \begin{figure}[!ht] 274 | \centering 275 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt}, 276 | >={Stealth[width=3pt]}] 277 | \clip(-4,-1.5)rectangle(7,1.5); 278 | \foreach \x in {-4,-3.5,...,10} 279 | \draw[help lines](\x,1.5)--++(-135:5); 280 | \fill[white](-1,0)circle(1.1)(1,0)circle(1.1); 281 | \fill[white](1.9,0.1)--(5.3,0.1)--(5.3,-0.1)--(1.9,-0.1)--cycle; 282 | \draw(-2,0)node[below left]{$-2$}(-1,0)node[below]{$-1$}; 283 | \draw(0,0)node[below right]{$O$}(1,0)node[below]{$1$}(2,0)node[below right]{$2$}; 284 | \draw(5,0)--(5.5,0); 285 | \foreach \x in {-2,-1,0,1,2} 286 | \fill(\x,0)circle(1pt); 287 | \draw(-1,0)circle(1)(1,0)circle(1)(2.5,1)node{$D$}; 288 | \draw[->](2,0)--(5.2,0); 289 | \end{tikzpicture} 290 | \caption{\label{fig6.5}} 291 | \end{figure} 292 | \item 设$0={Stealth[width=3pt]}] 300 | \clip(-10,-2)rectangle(10,2); 301 | \foreach \x in{-10,-9,...,16} 302 | \draw[help lines](\x,2)--++(-148:10); 303 | \fill[white](-9.1,0.1)--(-4.81,0.1)--(-4.81,1.4)--(-4.61,1.4) 304 | --(-4.61,0.1)--(-1.67,0.1)--(-1.67,1.4)--(-1.47,1.4)--(-1.47,-1.4) 305 | --(-1.67,-1.4)--(-1.67,-0.1)--(-4.61,-0.1)--(-4.61,-1.4)--(-4.81,-1.4) 306 | --(-4.81,-0.1)--(-9.1,-0.1)--cycle; 307 | \fill[xscale=-1,white](-9.1,0.1)--(-4.81,0.1)--(-4.81,1.4)--(-4.61,1.4) 308 | --(-4.61,0.1)--(-1.67,0.1)--(-1.67,1.4)--(-1.47,1.4)--(-1.47,-1.4) 309 | --(-1.67,-1.4)--(-1.67,-0.1)--(-4.61,-0.1)--(-4.61,-1.4)--(-4.81,-1.4) 310 | --(-4.81,-0.1)--(-9.1,-0.1)--cycle; 311 | 312 | \draw[->,yscale=1.3](-pi/2,1)--(-pi/2,-1)(-3*pi/2,1)--(-3*pi/2,-1) 313 | (pi/2,1)--(pi/2,-1)(3*pi/2,1)--(3*pi/2,-1)(-pi/2,0)--(-9,0) 314 | (pi/2,0)--(8.7,0); 315 | \draw(8.6,0)--(9,0); 316 | \draw(-3*pi/2,0)node[below left]{$-\frac{3\pi}2$} 317 | (-pi/2,0)node[below left]{$-\frac\pi2$}(pi/2,0)node[below right]{$\frac\pi2$} 318 | (3*pi/2,0)node[below right]{$\frac{3\pi}2$}(0,0.6)node{$D$}; 319 | \foreach \x in {-3*pi/2,-pi/2,pi/2,3*pi/2} 320 | \foreach \y in {1.3,-1.3} 321 | \fill(\x,\y)circle(1.67pt and 1pt); 322 | \end{tikzpicture} 323 | \caption{\label{fig6.6}} 324 | \end{figure} 325 | \item 设$L_k=\{z=k\pi+\ii y:0\le y<\infty\},D=\MC\backslash\big(\bigcup_{k=-\infty}^\infty L_k\big)$是如图 \ref{fig6.7} 所示的单连通域，将$D$双全纯地映为上半平面. 326 | \begin{figure}[!ht] 327 | \centering 328 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},xscale=0.6, 329 | >={Stealth[width=3pt]}] 330 | \clip(-10,-1)rectangle(10,3); 331 | \foreach \x in {-10,-9,...,16} 332 | \draw[help lines](\x,3)--++(-148:10); 333 | \foreach \x in {-2*pi,-pi,0,pi,2*pi} 334 | {\fill[white](\x+0.1,-0.1)--(\x+0.1,2.4)--(\x-0.1,2.4)--(\x,-0.1)--cycle; 335 | \fill(\x,0)circle(1.67pt and 1pt);} 336 | \draw(-2*pi,0)node[below]{$-2\pi$}--(-2*pi,2.4)(-pi,0)node[below]{$-\pi$}-- 337 | (-pi,2.4)(0,0)node[below]{$O$}--(0,2.4)(pi,0)node[below]{$\pi$}--(pi,2.4) 338 | (2*pi,0)node[below]{$2\pi$}--(2*pi,2.4)(-1,1.2)node{$D$}; 339 | \end{tikzpicture} 340 | \caption{\label{fig6.7}} 341 | \end{figure} 342 | \item \hypertarget{xiti6.1.11}{} 设$D$是由$3$条与$\partial B(0,1)$正交的圆弧所围成的单连通域，如图 \ref{fig6.8} 所示.证明：若$\varphi$双全纯地将$D$映为上半平面$\MC^+=\{z\in\MC:\Im z>0\}$，同胚地将$\bar D$映为$\bar{\MC^+}$，$A,B,C$分别映为$0,1,\infty$，则$\varphi$可全纯开拓到$B(0,1)$，并且$\varphi\big(B(0,1)\big)=\MC\backslash\{0,1\}$. 343 | \begin{figure}[!ht] 344 | \centering 345 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt}] 346 | \tkzInit[xmin=-3.2,xmax=0.53,ymin=-3.25,ymax=0.37] 347 | \tkzClip 348 | \tkzDefPoints{0/0/a,1/-8/b,-4.5/0/c} 349 | \tkzInCenter(a,b,c)\tkzGetPoint{I} 350 | \coordinate(A)at($(a)!(I)!(b)$); 351 | \coordinate(B)at($(a)!(I)!(c)$); 352 | \coordinate(C)at($(b)!(I)!(c)$); 353 | \tkzCalcLength(I,A)\tkzGetLength{IA} 354 | \fill[pattern=north east lines](I)circle(\IA pt); 355 | \tkzCalcLength(a,A)\tkzGetLength{aA} 356 | \fill[white](a)circle(\aA pt); 357 | \fill[white](b)circle(6.64); 358 | \fill[white](c)circle(3.07); 359 | 360 | \tkzDrawCircle[thick,color=black](I,A) 361 | \tkzDrawArc[thick,color=black](a,B)(A) 362 | \tkzDrawArc[thick,color=black](c,C)(B) 363 | \tkzDrawArc[thick,color=black](b,A)(C) 364 | \draw(I)node[above,fill=white,inner sep=0pt]{$D$} 365 | (A)node[right]{$A$}(B)node[above]{$B$}(C)node[below left]{$C$}; 366 | 367 | \end{tikzpicture} 368 | \caption{\label{fig6.8}} 369 | \end{figure} 370 | \end{xiti} 371 | 372 | \section{幂级数的全纯开拓\label{sec6.2}} 373 | 这一节要讨论由幂级数确定的和函数如何进行全纯开拓. 374 | 375 | 设幂级数 376 | \begin{equation}\label{eq6.2.1} 377 | f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n 378 | \end{equation} 379 | 的收敛半径为$R$，那么$f$是$B(0,R)$中的全纯函数. 今在收敛圆周$\partial B(0,R)$上取点$\zeta$，并在半径$O\zeta$上取点$z_0\ne0$，那么$f$在$z_0$处全纯，故在$z_0$的邻域中有幂级数展开式 380 | \begin{equation}\label{eq6.2.2} 381 | f(z) = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n. 382 | \end{equation} 383 | 设右端幂级数的收敛半径为$\rho$，那么显然有$\rho\ge R-|z_0|$.这时有两种情形： 384 | 385 | (1) 如果$\rho>R-|z_0|$，这时幂级数 \eqref{eq6.2.2} 的收敛圆$B(z_0,\rho)$有一部分在圆盘$B(0,R)$的外部（见图 \ref{fig6.9}）.设幂级数 \eqref{eq6.2.2} 在$B(z_0,\rho)$中的和函数为$g$，那么当$z\in B(0,R)\cap B(z_0,\rho)$时，$f(z)=g(z)$，这说明$f$被全纯开拓到$B(z_0,\rho)\backslash\big(B(z_0,\rho)\cap B(0,R)\big)$.这时，称$f$可以沿半径$O\zeta$全纯开拓. 386 | \begin{figure}[!ht] 387 | \centering 388 | \begin{minipage}{0.48\linewidth} 389 | \centering 390 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt}] 391 | \draw(0,0)node[below left]{$O$}circle(2); 392 | \draw(30:1.5)circle(1.2); 393 | \draw(0,0)--(30:1.4)node[below right]{$z_0$}--(30:2)node[right]{$\zeta$}; 394 | \fill(0,0)circle(1pt)(30:1.4)circle(1pt)(30:2)circle(1pt); 395 | \end{tikzpicture} 396 | \caption{\label{fig6.9}} 397 | \end{minipage}\hfill 398 | \begin{minipage}{0.48\linewidth} 399 | \centering 400 | \begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt}] 401 | \draw(0,0)node[below left]{$O$}circle(2); 402 | \draw(30:1.4)circle(0.6); 403 | \draw(0,0)--(30:1.4)node[below right]{$z_0$}--(30:2)node[right]{$\zeta$}; 404 | \fill(0,0)circle(1pt)(30:1.4)circle(1pt)(30:2)circle(1pt); 405 | \end{tikzpicture} 406 | \caption{\label{fig6.10}} 407 | \end{minipage} 408 | \end{figure} 409 | 410 | (2) 如果$\rho=R-|z_0|$，这时幂级数 \eqref{eq6.2.2} 的收敛圆$B(z_0,\rho)$含在$B(0,R)$中（图 \ref{fig6.10}），因此$f$不能通过$\zeta$全纯开拓到$B(0,R)$的外部去.也即对$\zeta$的任意邻域$B(\zeta,\delta)$，不存在其上的全纯函数$g$，使得$f(z)=g(z)$在$B(0,R)\cap B(\zeta,\delta)$中成立.这时，称$\zeta$是$f$的一个奇点. 411 | 412 | 一般来说，我们有下面的 413 | \begin{definition} 414 | 设$f$是域$D$上的全纯函数，对于$\zeta\in\partial D$，如果存在$\zeta$的邻域$B(\zeta,\delta)$及其上的全纯函数$g$，使得$f(z)=g(z)$对$z\in D\cap B(\zeta,\delta)$成立，就称$\zeta$是$f$的\textbf{正则点}\index{Z!正则点}，否则称$\zeta$为$f$的\textbf{奇点}\index{Q!奇点}. 415 | \end{definition} 416 | 417 | \begin{example}\label{exam6.2.2} 418 | 幂级数$f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n$的收敛半径$R=1$. 取$z_0\in B(0,1),z_0\ne0$，则$f$在$z_0$处的幂级数展开式为 419 | \[ 420 | \frac1{1-z} = \frac1{1-z_0}\frac1{1-\frac{z-z_0}{1-z_0}} 421 | = \sum_{n=0}^\infty\frac1{(1-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n. 422 | \] 423 | 右端幂级数的收敛半径 424 | \[ 425 | R = \left(\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[\leftroot{-4}\uproot{20}n]{\frac1{|1-z_0|^{n+1}}} 426 | \right)^{-1}=|1-z_0|\ge1-|z_0|, 427 | \] 428 | 等号成立当且仅当$z_0$是非负实数.这说明除了$z=1$外，$f$都能通过其收敛圆周上的点全纯开拓出去. 429 | \end{example} 430 | 431 | 上面的例子说明$f$在其收敛圆周上只有一个奇点.那么是否有这样的幂级数，其收敛圆周上一个奇点也没有呢?这是不可能的. 432 | \begin{theorem}\label{thm6.2.3} 433 | 幂级数的收敛圆周上必有其奇点. 434 | \end{theorem} 435 | \begin{proof} 436 | 设幂级数 437 | \[ 438 | f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n 439 | \] 440 | 的收敛半径为$R$（$0\frac R2$，即 481 | \begin{equation}\label{eq6.2.3} 482 | \varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[\leftroot{-4}\uproot{20}n]{ 483 | \frac{\big|f^{(n)}\big(\frac R2\big)\big|}{n!}}=\frac1\rho<\frac2R. 484 | \end{equation} 485 | 由幂级数 \eqref{eq6.2.1} 知 486 | \[ 487 | f^{(k)}\bigg(\frac R2\bigg) = \sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n 488 | \bigg(\frac R2\bigg)^{n-k}. 489 | \] 490 | 由于当$n\ge n_0$时$a_n\ge0$，故当$k\ge n_0$时，有 491 | \begin{align*} 492 | \bigg|f^{(k)}\bigg(\frac R2\bigg)\bigg| 493 | & = \bigg|\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n\bigg(\frac R2\bigg)^{n-k}\bigg|\\ 494 | & = \sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n\bigg(\frac R2\bigg)^{n-k}. 495 | \end{align*} 496 | 今在收敛圆周$\partial B(0,R)$上任取一点$\ee^{\ii\theta}R$，则当$k\ge n_0$时，有 497 | \begin{equation}\label{eq6.2.4} 498 | \begin{aligned} 499 | \bigg|f^{(k)}\bigg(\frac12\ee^{\ii\theta}R\bigg)\bigg| 500 | & = \bigg|\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n\bigg(\frac {\ee^{\ii\theta}R}2\bigg)^{n-k}\bigg|\\ 501 | & \le \sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n\bigg(\frac R2\bigg)^{n-k}\\ 502 | & = \bigg|f^{(k)}\bigg(\frac R2\bigg)\bigg|. 503 | \end{aligned} 504 | \end{equation} 505 | 于是由 \eqref{eq6.2.3} 式和 \eqref{eq6.2.4} 式知道，$f$在$\frac12\ee^{\ii\theta}R$处展开的幂级数 506 | \[ 507 | \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}\big(\frac12\ee^{\ii\theta}R\big)}{n!} 508 | \bigg(z-\frac12\ee^{\ii\theta}R\bigg)^n 509 | \] 510 | 的收敛半径为 511 | \[ 512 | \rho' = \left(\varlimsup_{n\to\infty} 513 | \sqrt[\leftroot{-4}\uproot{20}n]{ 514 | \frac{\big|f^{(n)}\big(\frac 12\ee^{\ii\theta}R\big)\big|}{n!}}\right)^{-1} 515 | \ge\left(\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[\leftroot{-4}\uproot{20}n]{ 516 | \frac{\big|f^{(n)}\big(\frac R2\big)\big|}{n!}}\right)^{-1} 517 | >\frac R2, 518 | \] 519 | 这说明$\ee^{\ii\theta}R$是$f$的正则点.由于$\ee^{\ii\theta}R$是$\partial B(0,R)$上的任意点，所以收敛圆周$\partial B(0,R)$上没有$f$的奇点，这与定理 \ref{thm6.2.3} 的结论相矛盾. 520 | \end{proof} 521 | 522 | 定理 \ref{thm6.2.3} 断言幂级数在其收敛圆周上必有奇点，是否也必有正则点呢?下面的例子给出了否定的答案. 523 | \begin{example}\label{exam6.2.5} 524 | 幂级数$f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^{n!}$的收敛半径显然为$1$，我们证明收敛圆周$\partial B(0,1)$上的每一点都是它的奇点.这时，我们称$\partial B(0,1)$是$f$的\textbf{自然边界}. 525 | \index{Z!自然边界} 526 | \end{example} 527 | \begin{proof} 528 | 由命题 \ref{prop6.2.4} 知道，$z=1$是$f$的奇点. 今取既约分数$\frac pq$（$q>0$），令$g(z)=f\big(\ee^{\ii2\pi\frac pq}z\big)$，则 529 | \[ 530 | g(z) = \sum_{n=0}^\infty \ee^{\ii2\pi\frac pqn!}z^{n!} 531 | = \sum_{n=0}^{q-1}\ee^{\ii2\pi\frac pqn!}z^{n!} + \sum_{n=q}^\infty z^{n!}. 532 | \] 533 | 仍由命题 \ref{prop6.2.4} 知道，$z=1$是$g$的奇点，因而$z=\ee^{\ii2\pi\frac pq}$是$f$的奇点.现在证明$\partial B(0,1)$上的每一点都是$f$的奇点.如果$\zeta\in\partial B(0,1)$不是$f$的奇点，则必存在圆盘$B(\zeta,r)$，使得$f$能全纯开拓到$B(\zeta,r)$，故$\partial B(0,1)\cap B(\zeta,r)$中的每个点都是$f$的正则点.而$\partial B(0,1)\cap B(\zeta,r)$中必有形如$\ee^{\ii2\pi\frac pq}$的点，这就和上面的结论相矛盾. 534 | \end{proof} 535 | 536 | \begin{example}\label{exam6.2.6} 537 | 研究幂级数$f(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{n!}}{n^2}$的奇点. 538 | \end{example} 539 | \begin{solution} 540 | 上述幂级数的收敛半径显然为$1$，并且在其闭收敛圆盘$\bar{B(0,1)}$上绝对一致收敛.用与例 \ref{exam6.2.5} 完全相同的方法，知其收敛圆周上的每一点都是它的奇点，即单位圆周为其自然边界. 541 | \end{solution} 542 | 543 | 从例 \ref{exam6.2.2}、例 \ref{exam6.2.5} 和例 \ref{exam6.2.6} 这3个例子来看，幂级数在其收敛圆周上的收敛性质与奇点性质没有必然的联系. 544 | 545 | \begin{xiti} 546 | \item 证明：幂级数收敛圆周上的点是否为其和函数的奇点，与该幂级数的前有限项无关. 547 | \item 证明：若幂级数的收敛圆周上有其和函数的极点，则该幂级数在其收敛圆周上处处发散. 548 | \item 证明：若幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$的和函数在其收敛圆周上有$1$阶极点$z_0$，此外再无其他奇点，则 549 | \[ 550 | \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}} = z_0. 551 | \] 552 | \item 设$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$的收敛半径为$1$，$F(w)=f\bigg(\frac w{1+w}\bigg)=\sum_{n=0}^\infty b_nw^n$的收敛半径为$\rho$. 证明： 553 | \begin{enuma} 554 | \item $\rho\ge\frac12$，并且$-1$是$f(z)$的奇点当且仅当$\rho=\frac12$； 555 | \item 若$\frac12<\rho<1$，则$f(z)$能全纯开拓到$B\bigg(-\frac{\rho^2}{1-\rho^2},\frac{\rho^2}{1-\rho^2}\bigg)$； 556 | \item 若$\rho=1$，则$f(z)$能全纯开拓到$\bigg\{z\in\MC:\Re z<\frac12\bigg\}$； 557 | \item 若$\rho>1$，则$f(z)$能全纯开拓到$\MC\backslash\bar{B\bigg(\frac{\rho^2} {\rho^2-1},\frac{\rho}{\rho^2-1}\bigg)}$； 558 | \item 若$\rho=\infty$，则$f(z)$能全纯开拓到$\MC\backslash\{1\}$. 559 | \end{enuma} 560 | \item 设$D$是域. 证明：存在$f\in H(D)$，使得$\partial D$中的每个点皆是$f$的奇点. 561 | \item 证明：$\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}$的收敛圆周上的每个点皆为其和函数的奇点. 562 | \item 证明：$\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2^n}}{2^n}$的收敛圆周上的每个点皆为其和函数的奇点. 563 | \item 设$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$的收敛半径为$1$，$a_n$（$n\ge0$）是实数，$S_n=\sum_{k=0}^na_k $.证明：若$S_n\to\infty$（$n\to\infty$），则$1$是$f(z)$的奇点.举例说明， 564 | 仅仅$|S_n|\to\infty$不能保证$1$是$f(z)$的奇点.\\ 565 | （\textbf{提示}：考虑$\frac{f(z)}{1-z}$.） 566 | \item 证明：若幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$的收敛半径为$1$，其和函数在$\partial B(0,1)$上有$1$阶极点$z_1,z_2,\cdots$，\\$z_m$，此外再无其他奇点，则$\{a_n\}$有界. 567 | \item 设$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$的收敛半径为$1$，并且$\lim_{n\to\infty}a_n=0$. 证明：若$z_0\in\partial B(0,1)$不是$f(z)$的奇点，则$\sum_{n=0}^\infty a_nz_0^n$收敛. 568 | \end{xiti} 569 | 570 | \section{多值全纯函数与单值性定理\label{sec6.3}} 571 | 572 | 前面我们已经遇到过为数不少的初等多值全纯函数，产生多值的唯一原因是辐角函数$\Arg z$在$\MC\backslash\{0\}$上不能选出单值的连续分支.因此，若初等多值全纯函数在单连通域上有定义，则必能在这个单连通域上选出单值的全纯分支，这就是所谓的单值性定理. 573 | 574 | 如何定义多值全纯函数并非易事.本节将利用幂级数沿曲线全纯开拓的概念来定义多值全纯函数，然后证明单值性定理对于多值全纯函数也是成立的.最后，作为单值性定理的一个应用，我们给出Liouville定理的推广——Picard小定理. 575 | \begin{definition}\label{def6.3.1} 576 | 设幂级数$P(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$的收敛半径$R>0,z=\gamma(t)$（$\alpha\le t\le \beta$）是以$a$为起点的平面曲线. 若存在幂级数族$P_t(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(t)\big(z-\gamma(t)\big)^n$，它具有下列性质： 577 | \begin{eenum} 578 | \item 对任意$t\in[\alpha,\beta],P_t$的收敛圆盘$B_t$不退化为一点； 579 | \item 对任意$t_0\in[\alpha,\beta]$，存在$\delta>0$，当$t\in(t_0-\delta,t_0+\delta)\cap[\alpha,\beta]$时，总有$B_t\cap B_{t_0}\ne\varnothing$，并且$P_t$和$P_{t_0}$在$B_t\cap B_{t_0}$上恒等； 580 | \item $P_\alpha=P$， 581 | \end{eenum} 582 | 则称$P$能沿曲线$\gamma$全纯开拓，并称$P_\beta$是$P$沿曲线$\gamma$的全纯开拓. 583 | \index{Q!全纯开拓!沿曲线全纯开拓} 584 | \end{definition} 585 | 586 | \begin{example}\label{exam6.3.2} 587 | 设幂级数$P(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$的收敛半径$R>0$，若$z_0\in\bar{B(0,R)}$不是$P$的奇点，则$P$能沿线段$[a,z_0]$全纯开拓；若$w_0\in\partial B(a,R)$是$P$的奇点，则$P$不能沿半径$[a,w_0]$全纯开拓. 588 | \end{example} 589 | 590 | \begin{example}\label{exam6.3.3} 591 | 幂级数 592 | \[ 593 | \log|z|+\ii\arg z=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n(z-1)^n 594 | \] 595 | 沿$\partial B(0,1)$正向的全纯开拓为 596 | \[ 597 | \log|z|+\ii(\arg z+2\pi)=2\pi\ii+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n(z-1)^n; 598 | \] 599 | 沿$\partial B(0,1)$负向的全纯开拓为 600 | \[ 601 | \log|z|+\ii(\arg z-2\pi)=-2\pi\ii+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n(z-1)^n. 602 | \] 603 | 这表明幂级数沿具有相同起点和终点的两条不同曲线的全纯开拓可能不同. 604 | \end{example} 605 | 606 | \begin{prop}\label{prop6.3.4} 607 | 若幂级数能沿某曲线全纯开拓，则它沿该曲线的全纯开拓是唯一的. 608 | \end{prop} 609 | \begin{proof} 610 | 设幂级数$P(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$的收敛半径$R>0$，$z=\gamma(t)$（$\alpha\le t\le\beta$）是以$a$为起点的平面曲线，幂级数族$P_t$和$Q_t$给出了$P$沿曲线$\gamma$的两个全纯开拓$P_\beta$和$Q_\beta$，我们的目标是证明$P_\beta=Q_\beta$. 611 | 612 | 设$P_t$和$Q_t$的收敛圆盘分别为$B_t$和$U_t$，$\Gamma=\{t\in[\alpha,\beta]:P_t=Q_t\}$.首先，可证明$\Gamma$是$[\alpha,\beta]$中的开集.事实上，若$t_0\in\Gamma$，则存在$\delta>0$，当$t\in(t_0-\delta,t_0+\delta)\cap[\alpha,\beta]$时，成立$B_t\cap B_{t_0}\ne\varnothing$，$P_t=P_{t_0}\big|_{B_t\cap B_{t_0}}$和$U_t\cap U_{t_0}\ne\varnothing,Q_t=Q_{t_0}\big|_{U_t\cap U_{t_0}}$，因为$P_{t_0}=Q_{t_0},B_{t_0}=U_{t_0}$，由全纯函数的内部唯一性定理便知$P_t=Q_t$，即$t\in\Gamma$. 613 | 614 | 其次，可证明$\Gamma$是$[\alpha,\beta]$中的闭集.事实上，若$t_0$是$\Gamma$的极限点，则可取$t\in\gamma$，使得$B_t\cap B_{t_0}\ne\varnothing$，$P_t=P_{t_0}\big|_{B_t\cap B_{t_0}}$和$U_t\cap U_{t_0}\ne\varnothing,Q_t=Q_{t_0}\big|_{U_t\cap U_{t_0}}$.因为$P_t=Q_t,B_t=U_t$，由全纯函数的内部唯一性定理便知$P_{t_0}=Q_{t_0}$，即$t_0\in\Gamma$. 615 | 616 | 注意到$\Gamma\ne\varnothing$，便知$\Gamma=[\alpha,\beta]$. 因此，$P_\beta=Q_\beta$. 617 | \end{proof} 618 | 619 | 现在给出域$D$上多值全纯函数的定义. 620 | \begin{definition}\label{def6.3.5} 621 | 设$D$是域，$f$是$D$上的多值函数，即对任意$z\in D,f(z)$是一个非空复数集.若存在以$a\in D$为收敛圆心、以$R>0$为收敛半径的幂级数$P_0$，使得 622 | \begin{eenum} 623 | \item $P_0$能沿$D$中以$a$为起点的任意曲线$\gamma$全纯开拓； 624 | \item 当$z\in D$时，$f(z)=\{P(t):\mbox{$P$是$P_0$沿$D$中连接$a$和$z$的曲线$\gamma$的全纯开拓}\}$， 625 | \end{eenum} 626 | 即$f$这个多值函数是由幂级数$P_0$在$D$上经过全纯开拓得到的，则称$f$是$D$上的\textbf{多值全纯函数}.\index{Q!全纯函数!多值全纯函数} 627 | \end{definition} 628 | 629 | 下面给出本节的主要定理： 630 | \begin{theorem}[（\textbf{单值性定理}）]\label{thm6.3.6}\index{D!定理!多值性定理} 631 | 设$f$是域$D$上的多值全纯函数，$z_0\in D,w_0\in f(z_0)$.若$G\subset D$是单连通域，$z_0\in G$，则必能在$G$上选出$f$的一个单值全纯分支$g$，使得$g(z_0)=w_0$，并且$f$可由$\sum_{n=0}^\infty\frac{g^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$在$D$上经过全纯开拓得到. 632 | \end{theorem} 633 | \begin{proof} 634 | 设$f$是由幂级数$P_0$在$D$上经过全纯开拓得到的，故可取$D$中连接$P_0$的收敛圆心和$z_0$的曲线$\gamma$，使得$P_0$沿$\gamma$的全纯开拓$P$满足$P(z_0)=w_0$.注意，$f$也可由幂级数$P$在$D$上经过全纯开拓而得到. 635 | 636 | 不妨设$G$异于$\MC$，否则$P$的收敛半径为$\infty$，定理显然成立.由Riemann 映射定理（定理 \ref{thm7.2.1}），存在双全纯映射$\varphi$，使得$\varphi\big(B(0,1)\big)=G,\varphi(0)=z_0$，故$(P\circ\varphi)(\zeta)$在$O$处全纯.因此，$h(\zeta)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(P\circ\varphi)^{(n)}(0)}{n!}\zeta^n$的收敛半径$\rho>0$.我们断言，对任意$\zeta_0\in B(0,1)$，$h$能沿$[0,\zeta_0]$全纯开拓.实际上，对于$G$中的曲线$z=\gamma(t)=\varphi(t\zeta_0)$（$0\le t\le1$），$P$能沿$\Gamma$全纯开拓.设幂级数族$Q_t$给出了$P$沿$\Gamma$的全纯开拓，则幂级数族$h_t(\zeta)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(Q_t\circ\varphi)^{(n)}(t\zeta_0)}{n!}(\zeta-t\zeta_0)^n$便给出了$h$沿$[0,\zeta_0]$的全纯开拓.这表明$\zeta_0$不是$h$的奇点，因此$\rho\ge1$.于是$g=h\circ\varphi^{-1}$在$G$上全纯，并且 637 | \begin{equation*} 638 | P(z) = \sum_{n=0}^\infty\frac{g^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n. \qedhere 639 | \end{equation*} 640 | \end{proof} 641 | 642 | 下面的Picard小定理是Liouville定理的推广： 643 | \begin{theorem}[（\textbf{Picard小定理}）]\label{thm6.3.7}\index{D!定理!Picard小定理} 644 | 设$f$是整函数，若存在$a,b\in\MC,a\ne b$，使得$f(\MC)\subset\MC\backslash\{a,b\}$，则 645 | $f$是常值函数. 646 | \end{theorem} 647 | \begin{proof} 648 | 不妨设$a=0,b=1$，否则考虑$\frac{f(z)-a}{b-a}$.由Riemann映射定理（定理 \ref{thm7.2.1}）、边界对应定理（定理 \ref{thm7.3.1}）和习题 \hyperlink{xiti6.1}{6.1} 的第 \hyperlink{xiti6.1.11}{11} 题知，存在$B(0,1)$上的全纯函数$\varphi$，使得$\varphi\big(B(0,1)\big)=\MC\backslash\{0,1\}$.再由单值性定理（定理 \ref{thm6.3.6}）知，多值全纯函数$\varphi^{-1}\circ f$可在$\MC$上选出一个单值全纯分支$\psi$.由Liouville定理，$\psi$是常值函数，故$f$也是常值函数. 649 | \end{proof} 650 | 651 | \begin{xiti}\hypertarget{xiti6.3}{} 652 | \item 设$f$是域$D$上的全纯函数，$z_0\in D$.证明： 653 | \[ 654 | F(z) = \int_{z_0}^zf(\zeta)\dif \zeta 655 | \] 656 | 是$D$上的多值全纯函数.这里，积分是沿$D$中连接$z_0$和$z$的任意可求长曲线进行的. 657 | \item 证明：若$f$是域$D$上非常数的全纯函数，但不是局部双全纯的，则$f^{-1}$一定不是域$G=f(D)$上的多值全纯函数. 658 | \item \hypertarget{xiti6.3.3}{} 举例说明，存在$B(0,1)$上的局部双全纯映射$f$，使得$f^{-1}$不是域$G=f\big(B(0,1)\big)$上的多值全纯函数. 659 | \item \hypertarget{xiti6.3.4}{} 证明：不存在$B(0,1)$上的局部双全纯映射$f$，使得$f\big(B(0,1)\big)=\MC$，并且$f^{-1}$是$\MC$上的多值全纯函数. 660 | \item 证明：不存在$B(0,1)$上的局部双全纯映射$f$，使得$f\big(B(0,1)\big)=\MC\backslash\{a\}$，并且$f^{-1}$是$\MC\backslash\{a\}$上的多值全纯函数.这里，$a$是$\MC$中的一个固定点. 661 | \item 求 662 | \[ 663 | f(z) = z^{\frac12} = |z|^{\frac12}\ee^{\ii\frac12\arg z} = 1+\sum_{k=1}^\infty 664 | \binom{\frac12}{k}(z-1)^k 665 | \] 666 | 沿单位圆周$\partial B(0,1)$的正向和反向的全纯开拓. 667 | \item 设幂级数族$\{P_t:\alpha\le t\le\beta\}$给出了沿平面曲线$z=\gamma(t)$（$\alpha\le t\le\beta$）的全纯开拓.证明：$P_t$的收敛半径$R(t)$或者在$[\alpha,\beta]$上恒为$\infty$，或者是$[\alpha,\beta]$上的正值连续函数. 668 | \end{xiti} 669 | -------------------------------------------------------------------------------- /chap8.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{调和函数与次调和函数\label{chap8}} 2 | \section{平均值公式与极值原理\label{sec8.1}} 3 | 在第 \ref{chap2} 章 \ref{sec2.2} 节中，我们已经介绍过调和函数的概念.设$u$是域$D$上的实值函数，如果$u\in C^2(D)$，且对任意$z\in D$，有 4 | \[ 5 | \Delta u(z) = \ppp{u(z)}x + \ppp{u(z)}y = 0, 6 | \] 7 | 就称$u$是$D$中的\textbf{调和函数}.\index{T!调和函数} 8 | 9 | 我们知道，$D$中全纯函数$f=u+\ii v$的实部$u$和虚部$v$都是$D$中的调和函数，而且构成一对共轭调和函数. 反过来，单连通域$D$上的任意调和函数$u$一定是$D$上某个全纯函数的实部.由于全纯函数有任意阶导数，因而$u\in C^\infty(D)$. 10 | 11 | 由于调和函数与全纯函数有密切的关系，全纯函数的某些性质对调和函数也成立. 12 | 13 | 设$f$在圆盘$B(a,R)$中全纯，根据Cauchy积分公式，对任意$00$，使得$B(a,r)\subset D$，我们证明$u$在$B(a,r)$中恒等于$M$.若不然，必有$0<\rho\le r$及某个实数$\theta_0$，使得$u(a+\rho\ee^{\ii\theta_0})0$，使得$u(a+\rho\ee^ {\ii\theta})\delta} 41 | u(a+\rho\ee^ {\ii\theta})\dif \theta\\ 42 | & < \frac1{2\pi}[2\delta M+(2\pi-2\delta)M]\\ 43 | & = M. 44 | \end{align*} 45 | 这个矛盾说明$u$在$B(a,r)$中恒等于$M$. 46 | 47 | 现在证明对任意$b\in D,u(b)=M$.用$D$中的曲线$\gamma$连接$a$和$b$，记$\eta=d(\gamma,\partial D)>0$.在$\gamma$上依次取点$a,z_1,\cdots,z_n=b$，使得$z_1\in B(a,r)$，其他各点之间的距离都小于$\eta$，作圆盘$B(z_j,\eta),j=1,\cdots,n$.由于$z_1\in B(a,r)$，所以$u(z_1)=M$，由此即知$u$在$B(z_1,\eta)$中恒等于$M$，因而$u(z_2)=M$.继续往下推，即知$u(b)=M$.这就证明了$u$在$D$上恒等于常数，与假设矛盾. 48 | 49 | 因为$u$是调和函数，所以$-u$也是调和函数，根据刚才的证明，$-u$不能在$D$的内点取到最大值，因而$u$不能在$D$的内点取到最小值. 50 | \end{proof} 51 | 52 | \begin{definition}\label{def8.1.3} 53 | 设$u$是域$D$上的实值连续函数，如果对任意$B(a,r)\subset D$，均有 54 | \[ 55 | u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+r\ee^{\ii\theta})\dif \theta 56 | \] 57 | 成立，就称$u$在$D$上具有\textbf{平均值性质}.\index{P!平均值性质} 58 | \end{definition} 59 | 60 | 显然，$D$上的调和函数具有平均值性质，下面我们将证明（定理 \ref{thm8.2.4}），具有平均值性质的函数也一定是调和函数. 61 | 62 | 由于在定理 \ref{thm8.1.2} 的证明中只用到了$u$的连续性和平均值性质，因而有如下的 63 | \begin{prop}\label{prop8.1.4} 64 | 如果$u$在$D$上具有平均值性质，那么极值原理对$u$成立，即$u$不能在$D$的内点取到它的最大值或最小值. 65 | \end{prop} 66 | 67 | 设$u$是$B(0,R)$中的调和函数，且在$\bar{B(0,R)}$上连续，由平均值公式，得 68 | \begin{equation}\label{eq8.1.3} 69 | u(0) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(R\ee^{\ii\theta})\dif \theta, 70 | \end{equation} 71 | 即$u$用它在圆周$|z|=R$上的值表示出了它在圆心的值.一个自然的问题是，$u$能否用它在圆周上的值表示出圆内任意点的值? 72 | 73 | 任取$a\in B(0,R)$，容易知道 74 | \begin{equation}\label{eq8.1.4} 75 | w = \psi_a(z) = R^2\frac{z-a}{R^2-\bar az} 76 | \end{equation} 77 | 是圆盘$B(0,R)$的一个自同构，且$\psi_a(a)=0$. 如果记$u_1(w)=u\big(\psi_a^{-1}(w)\big)$，那么 78 | \begin{equation}\label{eq8.1.5} 79 | u_1(0) = u(a), 80 | \end{equation} 81 | 而且$u_1$仍是$B(0,R)$中的调和函数，在$\bar{B(0,R)}$上连续，因而由 \eqref{eq8.1.3} 式可得 82 | \begin{equation}\label{eq8.1.6} 83 | u_1(0) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_1(R\ee^{\ii\tau})\dif \tau. 84 | \end{equation} 85 | 86 | 由于 \eqref{eq8.1.4} 式把圆周上的点变为圆周上的点，即$\psi_a(R\ee^{\ii\varphi})=R\ee^{\ii\tau}$，或者 87 | \[ 88 | \ee^{\ii\tau} = \frac{R\ee^{\ii\varphi}-a}{R-\bar a\ee^{\ii\varphi}}. 89 | \] 90 | 两边微分后取绝对值，即得 91 | \begin{equation}\label{eq8.1.7} 92 | \dif \tau = \frac{R^2-|a|^2}{|R\ee^{\ii\varphi}-a|^2}\dif \varphi. 93 | \end{equation} 94 | 且易知 95 | \begin{equation}\label{eq8.1.8} 96 | u_1(R\ee^{\ii\tau}) = u_1\big(\psi_a(R\ee^{\ii\varphi})\big) = u(R\ee^{\ii\varphi}). 97 | \end{equation} 98 | 现在把 \eqref{eq8.1.5} 式、\eqref{eq8.1.7} 式和 \eqref{eq8.1.8} 式代入 \eqref{eq8.1.6} 式，即得 99 | \begin{equation}\label{eq8.1.9} 100 | u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2-|a|^2}{|R\ee^{\ii\varphi}-a|^2} 101 | u(R\ee^{\ii\varphi})\dif \varphi. 102 | \end{equation} 103 | 这个公式称为\textbf{Poisson积分公式}\index{G!公式!Poisson积分公式}，它用$u$在圆周$|z|=R$上的值表示出了$u$在圆内任意点$a$的值.这样，我们已经证明了 104 | \begin{theorem}\label{thm8.1.5} 105 | 设$u$是圆盘$B(0,R)$中的调和函数，且在$\bar{B(0,R)}$上连续，那么对任意$r\in[0,R)$，有 106 | \begin{equation}\label{eq8.1.10} 107 | u(r\ee^{\ii\theta}) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} 108 | \frac{R^2-r^2}{R^2-2rR\cos(\varphi-\theta)+r^2}u(R\ee^{\ii\varphi})\dif \varphi. 109 | \end{equation} 110 | \end{theorem} 111 | \begin{proof} 112 | 只要在 \eqref{eq8.1.9} 式中令$a=r\ee^{\ii\theta}$，即得公式 \eqref{eq8.1.10}. 113 | \end{proof} 114 | 115 | 称 116 | \begin{equation}\label{eq8.1.11} 117 | P(a,R\ee^{\ii\varphi}) = \frac1{2\pi}\frac{R^2-|a|^2}{|R\ee^{\ii\varphi}-a|^2} 118 | \end{equation} 119 | 为圆盘$B(0,R)$的\textbf{Poisson核}\index{P!Poisson核}. 这样，\eqref{eq8.1.9} 式可写成 120 | \begin{equation}\label{eq8.1.12} 121 | u(a) = \int_0^{2\pi}P(a,R\ee^{\ii\varphi})u(R\ee^{\ii\varphi})\dif \varphi. 122 | \end{equation} 123 | 124 | 由 \eqref{eq8.1.7} 式知道，$B(0,R)$的Poisson核恰好是圆周的弧长元素在自同构变换下的Jacobian.这一简单事实启发人们把Poisson积分的理论推广到多个复变数的函数论中去. 125 | 126 | Poisson 核具有一些重要性质，它们使得Poisson积分成为解决Dirichlet问题的有效工具. 127 | 128 | \begin{prop}\label{prop8.1.6} 129 | $B(0,R)$的Poisson核$P(z,R\ee^{\ii\varphi})$具有下列性质： 130 | \begin{eenum} 131 | \item \label{prop8.1.6.1} $P(z,R\ee^{\ii\varphi})>0,z\in B(0,R)$； 132 | \item \label{prop8.1.6.2} $\int_0^{2\pi}P(z,R\ee^{\ii\varphi})\dif \varphi=1$，对任意$z\in B(0,R)$成立； 133 | \item \label{prop8.1.6.3} $P(z,R\ee^{\ii\varphi})$是$z\in B(0,R)$中的调和函数. 134 | \end{eenum} 135 | \end{prop} 136 | \begin{proof}(1) 从Poisson核的定义 \eqref{eq8.1.11} 式即知. 137 | 138 | (2) 在 \eqref{eq8.1.12} 式中令$u\equiv1$即得. 139 | 140 | (3) 记$\zeta=R\ee^{\ii\varphi}$，那么 141 | \[ 142 | P(z,\zeta) = \frac1{2\pi}\frac{R^2-|z|^2}{|\zeta-z|^2} = \frac1{2\pi} 143 | \bigg(\frac\zeta{\zeta-z}+\frac{\bar z}{\bar \zeta-\bar z}\bigg). 144 | \] 145 | 于是 146 | \[ 147 | \Delta P(z,\zeta) = 4\pppp{}z{\bar z}P(z,\zeta) = 0, 148 | \] 149 | 即$P(z,\zeta)$是$z$的调和函数. 150 | \end{proof} 151 | 152 | \begin{xiti} 153 | \item 证明：若$u$是域$D$上的调和函数，则$\frac{\partial^{j+k}u}{\partial x^j 154 | \partial y^k}$也是$D$上的调和函数（$j,k=0,1,2,\cdots$）\nolinebreak. 155 | \item 证明：若$u$是域$D$上的调和函数，则$\pp uz$是$D$上的全纯函数. 156 | \item 设$f(z)$是域$D$上非常数的全纯函数，并且在$D$上不取零值.证明： 157 | \begin{enuma} 158 | \item $\log|f(z)|$在$D$上调和； 159 | \item $|f(z)|^p$在$D$上不调和，$p>0$. 160 | \end{enuma} 161 | \item 证明：若域$D$上的调和函数列$\{u_n(z)\}$在$D$上内闭一致收敛于$u(z)$，则$u(z)$也是$D$上的调和函数，并且$\bigg\{\frac{\partial^{j+k}u_n(z)}{\partial x^j\partial y^k}\bigg\}$在$D$上内闭一致收敛于$\bigg\{\frac{\partial^{j+k}u(z)}{\partial x^j\partial y^k}\bigg\}$. 162 | \item 证明：若$u$是域$D$上非常数的调和函数，则$u(D)$是开区间. 163 | \item 利用上题的结论证明：若$u$是域$D$上非常数的调和函数，则$u$不能在$D$内部取得极大值和极小值，自然不能在$D$内部取得最大值和最小值. 164 | \item 设$u(z)$在$B(0,1)$上调和，并且对任意$z_0\in\partial B(0,1)$，成立$\lim_{r\to1}u(rz_0)=0$，是否可以断言$u(z)\equiv0$?\\ 165 | （\textbf{提示}：举例说明答案是否定的.） 166 | \item 设$u$是$B(0,1)$上的非负调和函数，$u(0)=1$，给出$u\bigg(\frac12\bigg)$的最佳估计. 167 | \item 设$D$是域，$E\subset D$是紧集，$a\in E$.证明：若$u$是$D$上的非负调和函数，则必存在仅与$a,E,D$有关的常数$\varepsilon\in(0,1)$，使得 168 | \[ 169 | \varepsilon u(a)\le u(z) \le \frac1\varepsilon u(a). 170 | \] 171 | \item （\textbf{Harnack定理}\index{D!定理!Harnack定理}）设$\{u_n\}$是域$D$上单调增加的调和函数列. 证明：若存在$z_0\in D$，使得$\{u_n(z_0)\}$有界，则$\{u_n\}$在$D$上内闭一致收敛. 172 | \item 设$D$是由有限条光滑简单闭曲线围成的域，$\boldsymbol n$是$\partial D$的单位法向量场，指向$D$的外部，$u,v$在$\bar D$上调和. 证明： 173 | \begin{enuma} 174 | \item $\int\limits_{\partial D}\pp{v(z)}{\boldsymbol n}|\dz|=0$； 175 | \item $\int\limits_{\partial D}u(z)\pp{v(z)}{\boldsymbol n}|\dz|=\int\limits_{\partial D}v(z)\pp{u(z)}{\boldsymbol n}|\dz|$； 176 | \item $\iint\limits_D\bigg[\bigg(\pp{u(z)}x\bigg)^2+\bigg(\pp{u(z)}y\bigg)^2\bigg] 177 | \dx\dy=\int\limits_{\partial D}u(z)\pp{u(z)}{\boldsymbol n}|\dz|$. 178 | \end{enuma} 179 | \item 设$u_1,u_2,\cdots,u_n$是域$D$上的调和函数. 证明：若$|u_1(z)|+|u_2(z)|+\cdots+|u_n(z)|$能在$D$内部取得极大值，则$u_1,u_2,\cdots,u_n$全部都是常值函数. 180 | \item （\textbf{调和函数的Hadamard三圆定理}\index{D!定理!调和函数的Hadamard三圆定理}） 181 | 设$00$，存在$\delta>0$，当$|\varphi-\varphi_0|\le\delta$时，有 232 | \begin{equation}\label{eq8.2.3} 233 | |u(R\ee^{\ii\varphi}) - u(R\ee^{\ii\varphi_0})| < \varepsilon. 234 | \end{equation} 235 | 由命题 \ref{prop8.1.6} 的 \ref{prop8.1.6.2}，可得 236 | \[ 237 | u(R\ee^{\ii\varphi_0}) = \int_0^{2\pi}P(z,R\ee^{\ii\varphi})u(R\ee^{\ii\varphi_0}) 238 | \dif \varphi, 239 | \] 240 | 因而 241 | \begin{align*} 242 | |P[u](z)-u(R\ee^{\ii\varphi_0})| \le {} & \int_0^{2\pi}P(z,R\ee^{\ii\varphi})|u(R\ee^{\ii\varphi})-u(R\ee^{\ii\varphi_0})| 243 | \dif \varphi\\ 244 | = {} & \int\limits_{|\varphi-\varphi_0|\le\delta}P(z,R\ee^{\ii\varphi})|u(R\ee^{\ii\varphi}) 245 | -u(R\ee^{\ii\varphi_0})|\dif \varphi\\ 246 | & + \int\limits_{|\varphi-\varphi_0|>\delta}P(z,R\ee^{\ii\varphi})|u(R\ee^{\ii\varphi}) 247 | - u(R\ee^{\ii\varphi_0})|\dif \varphi\\ 248 | = {}& I_1 + I_2. 249 | \end{align*} 250 | 由 \eqref{eq8.2.3} 式立刻可得 251 | \begin{equation}\label{eq8.2.4} 252 | \begin{aligned} 253 | I_1 & = \int\limits_{|\varphi-\varphi_0|\le\delta}P(z,R\ee^{\ii\varphi})|u(R\ee^{\ii\varphi}) 254 | - u(R\ee^{\ii\varphi_0})|\dif \varphi\\ 255 | & < \varepsilon\int_0^{2\pi}P(z,R\ee^{\ii\varphi})\dif \varphi=\varepsilon. 256 | \end{aligned} 257 | \end{equation} 258 | 若令$z=r\ee^{\ii\theta}$，则 259 | \[ 260 | P(z,R\ee^{\ii\varphi}) = \frac1{2\pi}\frac{R^2-r^2}{R^2-2rR\cos(\theta-\varphi)+r^2}. 261 | \] 262 | 当$z=r\ee^{\ii\theta}\to R\ee^{\ii\varphi_0}$时，由于$r\to R,\theta\to\varphi_0$，因而$R^2-r^2\to0,R^2-2rR\cos(\theta-\varphi)+r^2\to2R^2\big(1-\cos(\varphi_0-\varphi)\big)$. 而当$|\varphi-\varphi_0|>\delta$时，$2R^2\big(1-\cos(\varphi_0-\varphi)\big)>2R^2(1-\cos\delta)$.故对于任意的$\varepsilon>0$及固定的$\delta>0$，必存在$\eta>0$，使得当$|z-R\ee^{\ii\varphi_0}|<\eta$且$|\varphi-\varphi_0|>\delta$时，有 263 | \begin{align*} 264 | & R^2 - 2rR \cos(\theta-\varphi) + r^2 > 2R^2(1-\cos\delta),\\ 265 | & R^2 - r^2 < \frac{R^2}M(1-\cos\delta)\varepsilon. 266 | \end{align*} 267 | 于是 268 | \begin{equation}\label{eq8.2.5} 269 | \begin{aligned} 270 | I_2 & = \frac1{2\pi}\int\limits_{|\varphi-\varphi_0| > \delta}\frac{R^2-r^2}{R^2-2rR 271 | \cos(\theta-\varphi)+r^2}\cdot|u(R\ee^{\ii\varphi})-u(R\ee^{\ii\varphi_0})|\dif \varphi\\ 272 | & < \frac1{2\pi}\cdot2M\cdot\frac{R^2}M\cdot\frac{(1-\cos\delta)\varepsilon} 273 | {2R^2(1-\cos\delta)}\cdot2\pi\\ 274 | & = \varepsilon. 275 | \end{aligned} 276 | \end{equation} 277 | 由 \eqref{eq8.2.4} 式和 \eqref{eq8.2.5} 式即知 \eqref{eq8.2.2} 式成立. 278 | \end{proof} 279 | 280 | 定理 \ref{thm8.2.1} 说明$u$的Poisson积分$P[u](z)$就是$u$在圆盘$B(0,R)$中Dirichlet问题的解.问题是除了这个解以外还有没有别的解?如果$u$是$|z|=R$上的连续函数，那么由调和函数的极值原理，立刻可以断言，这个解是唯一的.对于有间断点的$u$，要证明解的唯一性，还需要下面的 281 | \begin{prop}\label{prop8.2.2} 282 | 设$u$是圆周$|z|=R$上的逐段连续函数，$E$是$u$的全体连续点的集合. 如果 283 | \[ 284 | M = \sup_{\zeta\in D}u(\zeta),\quad m = \inf_{\zeta\in E}u(\zeta), 285 | \] 286 | 那么$u$在$B(0,R)$中Dirichlet问题的有界解$h$满足 287 | \[ 288 | m \le h(z)\le M,z\in B(0,R). 289 | \] 290 | \end{prop} 291 | \begin{proof} 292 | 设$u$在$|z|=R$上的第一类间断点为$\zeta_1,\cdots,\zeta_n$. 令 293 | \[ 294 | v(z) = M + \varepsilon\sum_{k=1}^n\log\frac{2R}{|z-\zeta_k|}, 295 | \] 296 | 这里，$\varepsilon$是任意一个正数. 容易知道$v$是$B(0,R)$中的调和函数，且对任意$z\in B(0,R)$，有$v(z)>M$. 取充分小的$r>0$，令$D_k=B(\zeta_k,r)\cap B(0,R)$，记 297 | \[ 298 | G_r = B(0,R)\backslash\big(\bigcup_{k=1}^nD_k\big). 299 | \] 300 | 显然，$v(z)-h(z)$是$G_r$中的调和函数，而且在$\bar{G_r}$上连续. 当$\zeta\in\partial G_r\cap\partial B(0,R)$时，有 301 | \[ 302 | v(\zeta) - h(\zeta)\ge M - h(\zeta) = M-u(\zeta)\ge0. 303 | \] 304 | 当$\zeta\in\partial G_r\cap B(0,R)$时，令$r\to0$，则$\zeta\to \zeta_k,v(\zeta)\to\infty$，而$h$是一个有界函数，因而也有$v(\zeta)-h(\zeta)>0$.总之，当$\zeta\in\partial G_r$时，$v(\zeta)-h(\zeta)\ge0$.于是，由调和函数的极值原理，当$z\in G_r$，时，有$v(z)-h(z)\ge0$.因为$r$可以任意小，所以这个不等式对任意$z\in B(0,R)$成立.固定$z$，让$\varepsilon\to0$，即得$h(z)\le M$.因为$-h$也是调和函数，类似地可以证得$-h(z)\le -m$.因而$m\le h(z)\le M$. 305 | \end{proof} 306 | 307 | 现在可以证明 308 | \begin{theorem}\label{thm8.2.3} 309 | 设$u$是圆周$|z|=R$上的逐段连续函数，那么$u$的Poisson积分$P[u](z)$是Dirichlet问题的唯一解. 310 | \end{theorem} 311 | \begin{proof} 312 | $P[u](z)$是Dirichlet问题的解已由定理 \ref{thm8.2.1} 证明.如果另外还有一个解$h$，那么$P[u](z)-h(z)$是$B(0,R)$中的有界调和函数，且在$u$的连续点处取零值.由命题 \ref{prop8.2.2}，在$B(0,R)$中有$P[u](z)\equiv h(z)$.这就证明了解的唯一性. 313 | \end{proof} 314 | 315 | 作为圆盘上Dirichlet问题解的一个应用，我们来证明定理 \ref{thm8.1.1} 的逆命题. 316 | \begin{theorem}\label{thm8.2.4} 317 | 域$D$上具有平均值性质的函数一定是调和函数. 318 | \end{theorem} 319 | \begin{proof} 320 | 设$u$是域$D$上具有平均值性质的函数，因而对任意$B(z_0,r)\subset D$，平均值性质成立.根据定理 \ref{thm8.2.3}，存在$B(z_0,r)$中的调和函数$v$，它在$\bar{B(z_0,r)}$上连续，在圆周$|z-z_0|=r$上与$u$相等.由于$u,v$在$B(z_0,r)$中都有平均值性质，因而$h=u-v$也有平均值性质.由命题 \ref{prop8.1.4}，极值原理对$h$成立.由于$h$在圆周$|z-z_0|=r$上恒等于零，因而在$B(z_0,r)$中$u(z)\equiv v(z)$，故$u$是$B(z_0,r)$中的调和函数.由于$B(z_0,r)$是包含在$D$中的任意圆盘，故$u$是$D$中的调和函数. 321 | \end{proof} 322 | 323 | 综合定理 \ref{thm8.1.1} 和 \ref{thm8.2.4} 可知，平均值性质是调和函数的特征性质. 324 | \begin{xiti}\hypertarget{xiti8.2}{} 325 | \item 设$D$是异于$\MC$的单连通域. 证明：对于任意$\zeta\in D$，若$f_\zeta(z)$是将$D$映为$B(0,1)$的双全纯映射，$f_\zeta(\zeta)=0,f_\zeta'(\zeta)>0$，则 326 | \begin{enuma} 327 | \item $\log|f_\zeta(z)|=\log|f_z(\zeta)|,\forall\zeta,z\in D$； 328 | \item $\lim_{z\to z_0}\log|f_\zeta(z)|=0,\forall z_0\in\partial D,\zeta\in D$； 329 | \item 对于固定的$\zeta\in D$，$\log|f_\zeta(z)|-\log|z-\zeta|$作为$z$的函数在$D$上调和. 330 | \end{enuma} 331 | \item 设$D$是域，若$g:\bar D\times \bar D\to\MR$满足 332 | \begin{enuma} 333 | \item $g(z,\zeta)=g(\zeta,z),\forall (z,\zeta)\in\bar D\times\bar D$； 334 | \item $g$在$(\bar D\times\partial D)\cup(\partial D\times\bar D)$上恒为零； 335 | \item 对于固定的$\zeta\in\bar D,g(z,\zeta)+\log|z-\zeta|$作为$z$的函数在$D$上调和，在$\bar D$上连续， 336 | \end{enuma} 337 | 则称$g$是域$D$的\textbf{Green函数}\index{G!Green函数}. 证明：异于$\MC$的单连通域必有Green函数，并且是唯一的. 338 | \item 证明：若$g$是$B(0,R)$的Green函数，则 339 | \[ 340 | P(z,R\ee^{\ii\theta}) = -\frac1{2\pi}\lim_{r\to1}\pp{g(z,rR\ee^{\ii\theta})}r 341 | ,\;z\in B(0,R). 342 | \] 343 | 由此也可得到$B(0,R)$的Poisson积分公式和Dirichlet问题的解. 344 | \item 证明：$B(0,1)\backslash\{0\}$的Dirichlet问题不可解. 345 | \item （\textbf{Weierstrass 一致逼近定理}\index{D!定理!Weierstrass 一致逼近定理}） 346 | 设$f$是$\partial B(0,R)$上的复连续函数. 证明：对于任意$n\in\MN$，必存在$z$的$n$次多项式$P_n(z)$和$\bar z$的$n$次多项式$Q_n(\bar z)$，使得$\{P_n(z)+Q_n(\bar z)\}$在$\partial B(0,R)$上一致收敛于$f(z)$. 347 | \item \hypertarget{xiti8.2.6}{} 设$\gamma_1$和$\gamma_2$为$\partial B(0,R)$上两段互余的开圆弧，试求$B(0,R)$中的调和函数$u$，使得当$\zeta\in\gamma_1$时，$u(\zeta)=0$；当$\zeta\in\gamma_2$时，$u(\zeta)=1$.并由此证明存在$f\in H\big(B(0,R)\big)$，使得当$\zeta\in\gamma_1$时，$|f(\zeta)|=1$；当$\zeta\in\gamma_2$时，$|f(\zeta)|=\ee$. 348 | \end{xiti} 349 | 350 | \section{上半平面的Dirichlet问题\label{sec8.3}} 351 | 前面曾经提到过，一般域的Dirichlet问题可以通过共形映射化为圆盘上的Dirichlet问题.这一节以上半平面为例，来说明这一转化过程. 352 | 353 | 设$u(t)$是定义在实轴上的逐段连续函数，它在$t_1,\cdots,t_n$处有第一类间断点.因为$\infty$在实轴上也看作普通的点，因此要求$\pm\infty$是$u$的连续点或第一类间断点，即要假定$\lim_{t\to\infty}u(t)$和$\lim_{t\to-\infty}u(t)$都存在且有限.我们要求一上半平面中的有界调和函数，其在实轴上$u$的连续点$t$处等于$u(t)$. 354 | 355 | 在上半平面中任取一点$z_0$，分式线性变换 356 | \[ 357 | w = \varphi(z) = \frac{z-z_0}{z-\bar{z_0}} 358 | \] 359 | 把上半平面一一地映为$|w|<1$，把实轴一一地映为单位圆周$|w|=1$. 通过这一映射，$u(t)$变成了$|\zeta|=1$上的函数$u_1(\zeta)=u\big(\varphi^{-1}(\zeta)\big)$，它在$|\zeta|=1$上除了有限个第一类间断点外处处连续.根据定理 \ref{thm8.2.3}，可以得到$|w|<1$中唯一的有界调和函数$u_1(w)$，使其在$|\zeta|=1$上$u_1$的连续点处取值$u_1(\zeta)$.于是 360 | \[ 361 | u(z) = u_1\big(\varphi(z)\big) 362 | \] 363 | 便是要求的函数. 364 | 365 | 现在来求$u(z)$的具体表达式.因为$u_1$是$|w|<1$中的调和函数，且在$|\zeta|=1$上除去有限个点外取值$u_1(\zeta)$，故有 366 | \begin{equation}\label{eq8.3.1} 367 | u_1(0) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_1(\ee^{\ii\varphi})\dif \varphi. 368 | \end{equation} 369 | 其中 370 | \begin{equation}\label{eq8.3.2} 371 | u_1(0) = u(z_0),\quad u_1(\ee^{\ii\varphi}) = u(t), 372 | \end{equation} 373 | 且 374 | \[ 375 | \ee^{\ii\varphi} = \frac{t-z_0}{t-\bar{z_0}}. 376 | \] 377 | 上式两边取对数后求微分，即得 378 | \begin{equation}\label{eq8.3.3} 379 | \dif \varphi = \frac{2y_0\dif t}{(t-x_0)^2+y_0^2}, z_0 = x_0 + \ii y_0. 380 | \end{equation} 381 | 把 \eqref{eq8.3.2} 式和 \eqref{eq8.3.3} 式代入 \eqref{eq8.3.1} 式，即得$u(z)$的表达式为 382 | \begin{equation}\label{eq8.3.4} 383 | u(z_0) = \frac1\pi\int_{-\infty}^\infty\frac{y_0}{(t-x_0)^2+y_0^2}u(t)\dif t,\;\Im z_0>0. 384 | \end{equation} 385 | 由于 386 | \[ 387 | \Re\frac1{\ii(t-z_0)} = \frac{y_0}{(t-x_0)^2+y_0^2}, 388 | \] 389 | 故 \eqref{eq8.3.4} 式也可改写为 390 | \begin{equation}\label{eq8.3.5} 391 | u(z_0) = \Re\frac1{\pi\ii}\int_{-\infty}^\infty\frac{u(t)}{t-z_0}\dif t,\;\Im z_0>0. 392 | \end{equation} 393 | 394 | 把上面的结果写成定理的形式，有 395 | \begin{theorem}\label{thm8.3.1} 396 | 设$u$是定义在实轴上的逐段连续函数，如果$\lim_{t\to\infty}u(t)$和$\lim_{t\to-\infty}u(t)$都存在且有限，那么以$u(t)$为边值的上半平面的Dirichlet问题的解可以写成 \eqref{eq8.3.4} 式或 \eqref{eq8.3.5} 式. 397 | \end{theorem} 398 | 399 | 作为公式 \eqref{eq8.3.5} 的一个应用，下面我们给出Schwarz--Christoffel公式（定理 \ref{thm7.4.3}）的一个简单的证明. 400 | 401 | 设$w=f(z)$是把上半平面$D$一一地映为多角形域$G$，且在$\bar D$上连续的双全纯函数.如果$G$在其顶点$w_k$（$k=1,\cdots,n$）处的顶角为$\alpha_k\pi$（$0<\alpha_k<2$），实轴上与$w_k$对应的点为$a_k$（$k=1,\cdots,n$），$-\inftyh(z_0)$对某个$z_0\in G$成立，令$u_1=u-h$，则$u_1(z_0)>0$. 因为$u$在$\bar G$上连续，故在$\bar G$上达到它的最大值$M$.记 514 | \[ 515 | E = \{z\in\bar G:u_1(z) = M\}. 516 | \] 517 | 因为在$G$的边界上$u_1\le0$，所以$u_1$的最大值只能在$G$中取到，因此$E$是$G$中的紧子集.今设$a$是$E$的一个边界点，于是有$r>0$，使得$\bar{B(a,r)}\subset G$.但$\bar{B(a,r)}$的边界上必有某段弧不在$E$中，因而 518 | \begin{equation}\label{eq8.4.2} 519 | u_1(a) = M > \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_1(a+r\ee^{\ii\theta})\dif \theta. 520 | \end{equation} 521 | 令一方面，$u$和$h$分别在$G$中次调和与调和，因而有 522 | \begin{align*} 523 | & u(a) \le \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+r\ee^{\ii\theta})\dif \theta,\\ 524 | & h(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}h(a+r\ee^{\ii\theta})\dif \theta. 525 | \end{align*} 526 | 由此即得 527 | \[ 528 | u_1(a) \le \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u_1(a+r\ee^{\ii\theta})\dif \theta. 529 | \] 530 | 这和 \eqref{eq8.4.2} 式矛盾. 531 | 532 | 再证充分性.任取$\bar{B(a,r)}\subset D$，那么存在$B(a,r)$中的调和函数$h$，它在圆周上和$u$一致.于是由假定，$u(z)\le h(z)$在圆内成立.这样 533 | \[ 534 | u(a)\le h(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}h(a+r\ee^{\ii\theta})\dif \theta 535 | = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+r\ee^{\ii\theta})\dif \theta. 536 | \] 537 | 这正好说明$u$是次调和函数. 538 | \end{proof} 539 | 540 | 从定理 \ref{thm8.4.2} 可以看出，次调和函数是凸函数概念在平面上的推广.事实上，如果把$\ddd ux=0$看作一维的Laplace方程，那么这个方程的解$u=ax+b$便是一维的调和函数.而凸函数是在任一区间的两个端点处与一线性函数有相同的值，在区间内部，它不超过这个线性函数.把区间换成平面上的区域，线性函数换成二维调和函数，那么凸函数就是这里定义的次调和函数. 541 | 542 | 作为这个定理的一个应用，我们有 543 | \begin{theorem}\label{thm8.4.3} 544 | 设$u$是单位圆盘$U$中的次调和函数，令 545 | \[ 546 | m(r) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(r\ee^{\ii\theta})\dif \theta,\;0 \le r < 1, 547 | \] 548 | 那么$m(r)$是$r$的非降函数. 549 | \end{theorem} 550 | \begin{proof} 551 | 设$00$. 如果$u$在$G$上的最大值在$G$的内点$z_0$取到，记$z_0=x_0+\ii y_0,g(t)=u(x_0,t)$，那么$g$在$t=y_0$处有极大值，因而$\ppp{u(z_0)}y 619 | =g''(y_0)\le0$.同理，$\ppp{u(z_0)}x\le0$. 所以$\Delta u(z_0)\le0$，这与假设$\Delta u(z_0)>0$矛盾. 620 | 621 | 现设$\Delta u(z)\ge0$. 令 622 | \[ 623 | u_\varepsilon(z) = u(z) + \varepsilon|z|^2,\; \varepsilon > 0, 624 | \] 625 | 于是，$\Delta u_\varepsilon(z)=\Delta u(z)+4\varepsilon>0$. 因而$u_\varepsilon$在$\bar G$上的最大值必在$\partial G$上取到，即$u_\varepsilon(z)\le\sup_{\zeta\in\partial G}u_\varepsilon(\zeta)$. 让$\varepsilon\to0$，即得$u(z)\le\sup_{\zeta\in\partial G}u(\zeta)$. 这就是要证明的. 626 | \end{proof} 627 | 628 | 现在很容易证明下面的 629 | \begin{theorem}\label{eq8.4.8} 630 | 设$u\in C^2(D)$是一实值函数，那么$u$是$D$上的次调和函数的充分必要条件是，对任意$z\in D$，有 631 | $\Delta u(z)\ge0$. 632 | \end{theorem} 633 | \begin{proof} 634 | 充分性.设$\Delta u\ge0$在$D$内处处成立.对于$G\subset\subset D$上的调和函数$h$，如果$u\le h$在$\partial G$上成立，我们要证明$u\le h$在$G$内也成立.令$u_1=u-h$，那么 635 | \[ 636 | \Delta u_1(z) = \Delta(u-h)(z) = \Delta u(z)\ge0. 637 | \] 638 | 而在$\partial G$上$u_1\le0$，于是由命题 \ref{prop8.4.7}，在$G$内也有$u_1\le0$，即$u\le h$在$G$内成立. 故由定理 \ref{thm8.4.2} 知道，$u$是$D$上的次调和函数. 639 | 640 | 必要性.设$u$是$D$上的次调和函数.如果存在$a\in D$，使得$\Delta u(a)<0$，那么有$a$的一个邻域$B(a,\varepsilon)$，$\Delta u(z)<0$对于任意$z\in B(a,\varepsilon)$成立，即$-\Delta u(z)>0$在$B(a,\varepsilon)$中成立.由充分性证明的结果，$-u$是$B(a,\varepsilon)$上的次调和函数，因而$u$的平均值公式在$B(a,\varepsilon)$中的任意小圆盘上成立.故由定理 \ref{thm8.2.4} 知道，$u$是$B(a,\varepsilon)$中的调和函数，因而$\Delta u(a)=0$，这与假定$\Delta u(a)<0$矛盾. 641 | 所以，$\Delta u\ge0$在$D$中处处成立. 642 | \end{proof} 643 | 644 | 次调和函数概念在多复变数空间$\MC^n$（$n>1$）中的推广——多次调和函数，在多复变函数论中扮演着重要的角色. 645 | \begin{xiti} 646 | \item 证明：若$u$在域$D$上次调和，则对于任意$z_0\in D$，成立 647 | \[ 648 | \varlimsup_{z\to z_0}u(z) = u(z_0). 649 | \] 650 | \item 证明：域$D$上非常数的次调和函数不能在$D$内部取得最大值.举例说明，域$D$上非常数的次调和函数能在$D$内部取得极大值. 651 | \item 证明：若$u$是域$D$上非常数的连续次调和函数，则$u(D)$是右开的区间. 652 | \item 证明：若$u$是$B(0,R)$上的连续次调和函数，则 653 | \[ 654 | m(r) = \frac1{\pi r^2}\iint\limits_{B(0,r)}u(z)\dx\dy 655 | \] 656 | 是$(0,R)$上的增加函数. 657 | \item 举例说明，存在域$D$上的上半连续函数$u$，其不能在$D$内部取得最大值，但它不是$D$上的次调和函数.这表明，最大值原理不是次调和函数的特征性质. 658 | \item 证明：域$D$上有限个次调和函数的和仍然是$D$上的次调和函数. 659 | \item 证明：若$\{u_n\}$是域$D$上单调减少的次调和函数列，并且$\lim_{n\to\infty}u_n=u\ne-\infty$，则$u$也是$D$上的次调和函数. 660 | \item 设${u_n}$是域$D$上的次调和函数列.证明：若$\sup_{n\ge1}u_n=u\ne\infty$，并且$u$是$D$上的上半连续函数，则$u$也是$D$上的次调和函数. 661 | \item 证明：若$u$在域$D$上调和，则对于任意$p\ge1,|u|^p$在$D$上次调和. 662 | \item （\textbf{次调和函数的Hadamard三圆定理}\index{D!定理!次调和函数的Hadamard三圆定理}） 663 | 设$00$，使得 682 | \begin{align*} 683 | & \varlimsup_{z\to z_0}|f(z)|\le m,\;\forall z_0\in\gamma;\\ 684 | & \varlimsup_{z\to z_0}|f(z)|\le M,\;\forall z_0\in\Gamma, 685 | \end{align*} 686 | 则 687 | \[ 688 | |f(0)| \le m^\alpha M^{1-\alpha}. 689 | \] 690 | 由此可得到$|f(z)|$的什么样的估计?\\ 691 | （\textbf{提示}：参考习题 \hyperlink{xiti8.2}{8.2} 的第 \hyperlink{xiti8.2.6}{6} 题.） 692 | \end{xiti} 693 | -------------------------------------------------------------------------------- /chap9.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | \chapter{多复变数全纯函数与全纯映射\label{chap9}} 2 | 前面八章讨论的是一个复变数全纯函数的性质及其应用，从全纯函数的积分表示和级数表示到几何理论，它构成一个完美的体系.我们自然要问，如果复变数增加到两个或$n$（$n>1$）个，这时候全纯函数是否还具有前面所说的那些性质呢? 1906年，Hartogs发现在$n$个复变数的空间中，存在这样一种域，这种域上的每一个全纯函数都可全纯开拓到比它更大的域上去，这种现象在复平面的域中是不会发生的.后人把这种现象称为Hartogs现象.从Hartogs现象马上可以推出，多个复变数的全纯函数的零点一定不是孤立的，这是又一个与单复变数全纯函数根本不同的性质！当然，只有在不发生Hartogs现象的域上研究函数论才是有意义的.我们把不发生Hartogs现象的域称为全纯域.因此，寻找刻画全纯域的特征就是一个十分重要的问题.围绕这个问题以及其他有关的问题，在多复变的研究中引进了一系列新概念和新方法，使多复变逐渐成为一门新的独立的学科.时至今日，多复变已经成为当代数学研究的主流方向之一. 3 | 4 | 本章将对多复变函数的若干性质作一个十分简单的介绍，目的是使读者看到多复变函数论和单复变函数论的一些本质区别，从而产生对多复变函数论的兴趣. 5 | 6 | \section{多复变数全纯函数的定义\label{sec9.1}} 7 | 我们用$\MC^n$记$n$个坐标都是复数的$n$维向量的全体，即 8 | \[ 9 | \MC^n = \{z=(z_1,\cdots,z_n):z_j\in\MC,j=1,\cdots,n\}. 10 | \] 11 | 设$z=(z_1,\cdots,z_n),w=(w_1,\cdots,w_n)$是$\MC^n$中的两个点，$\lambda\in\MC$，定义它们的加法和数乘如下： 12 | \begin{align*} 13 | & z + w = (z_1+w_1,\cdots,z_n+w_n),\\ 14 | & \lambda z = (\lambda z_1,\cdots,\lambda z_n). 15 | \end{align*} 16 | 在这样的定义下，$\MC^n$是复数域上的线性空间. $\MC^n$中向量$z$的长度定义为 17 | \[ 18 | |z| = \big(|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2\big)^{\frac12}. 19 | \] 20 | 21 | 正像$\MC$可以看成$\MR^2$一样，$\MC^n$也可以看成$\MR^{2n}$. 22 | 23 | $\MC^n$中的连通开集$\Omega$称为域. 当$\Omega$有界时，就称$\Omega$为有界域. 24 | 下面两类简单的有界域值得我们特别注意： 25 | 26 | 设$a=(a_1,\cdots,a_n)\in\MC^n,r=(r_1,\cdots,r_n),r_j>0,j=1,\cdots,n$. 称 27 | \[ 28 | P(a,r) = \{(z_1,\cdots,z_n):|z_j-a_j|0$为半径的\textbf{球}\index{D!多复变函数!球}是指 37 | \[ 38 | B(a,\rho) = \bigg\{(z_1,\cdots,z_n):\sum_{j=1}^n|z_j-a_j|^2<\rho^2\bigg\}. 39 | \] 40 | 特别地，当$a=0,\rho=1$时，称之为\textbf{单位球}\index{D!多复变函数!单位球} 41 | ，记为$B_n$，即 42 | \[ 43 | B_n =\ bigg\{(z_1,\cdots,z_n):\sum_{j=1}^n|z_j|^2<1\bigg\}. 44 | \] 45 | 当$n=1$时，它也是单位圆盘. 46 | 47 | $U^n$和$B_n$都是单位圆盘在$\MC^n$中的推广，但它们不是全纯等价的，即不存在双全纯映射把$B_n$映为$U^n$，这是著名的\textbf{Poincar\'e定理}\index{D!定理!Poincar\'e定理}.它说明单复变中的Riemann映射定理在多复变中是不成立的. 48 | 49 | 为了引进全纯函数的概念，我们要讨论多重幂级数的性质.先从多重级数讲起. 50 | 51 | 给定依赖两个指标的数列$\{a_{jk}\}$，称$\sum_{j,k=1}^\infty a_{jk}$为\textbf{二重级数}\index{E!二重级数}，数$S_{m,n}=\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n a_{jk}$称为它的部分和. 如果$\lim_{\substack{m\to\infty\\n\to\infty}}S_{m,n}=S$存在，就说上述二重级数是收敛的，$S$是它的和. 52 | 53 | 用同样的方法可以定义一般多重级数收敛的概念. 54 | 55 | 级数 56 | \[ 57 | \sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n=0}^\infty c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}(z_1-a_1) 58 | ^{\alpha_1}\cdots(z_n-a_n)^{\alpha_n} 59 | \] 60 | 称为\textbf{$n$重幂级数}\index{N!$n$重级数}，它在点$b=(b_1,\cdots,b_n)$处收敛是指$n$重级数 61 | \[ 62 | \sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n=0}^\infty c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}(b_1-a_1) 63 | ^{\alpha_1}\cdots(b_n-a_n)^{\alpha_n} 64 | \] 65 | 收敛. 66 | 67 | 关于多重幂级数，也有类似与单变数中的Abel定理. 为简单起见，我们讨论$a=0$的情形. 68 | \begin{prop}\label{prop9.1.1} 69 | 如果$n$重幂级数 70 | \begin{equation}\label{eq9.1.1} 71 | \sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n=0}^\infty c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}z_1^{\alpha_1} 72 | \cdots z_n^{\alpha_n} 73 | \end{equation} 74 | 在点$b=(b_1,\cdots,b_n)$处收敛，这里，$b_j\ne0,j=1,\cdots,n$. 那么它在闭多圆柱 75 | \[ 76 | \bar{P(0,r)} = \{(z_1,\cdots,z_n):|z_j|\le r_j,j=1,\cdots,n\} 77 | \] 78 | 中绝对且一致收敛，这里，$r_j<|b_j|,j=1,\cdots,n$. 79 | \end{prop} 80 | \begin{proof} 81 | 因为幂级数$\sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n=0}^\infty c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}b_1^{\alpha_1} 82 | \cdots b_n^{\alpha_n}$收敛，所以存在常数$M$，使得对任意$\alpha_1,\cdots,\alpha_n\ge0$，有 83 | \[ 84 | |c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}| \le \frac M{|b_1|^{\alpha_1}\cdots|b_n|^{\alpha_n}}. 85 | \] 86 | 故当$|z_j|\le r_j<|b_j|$（$j=1,\cdots,n$）时，有 87 | \[ 88 | |c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}z_1^{\alpha_1} 89 | \cdots z_n^{\alpha_n}|\le M\bigg|\frac{z_1}{b_1}\bigg|^{\alpha_1}\cdots 90 | \bigg|\frac{z_n}{b_n}\bigg|^{\alpha_n} 91 | \le M\bigg(\frac{r_1}{|b_1|}\bigg)^{\alpha_1}\cdots 92 | \bigg(\frac{r_n}{|b_n|}\bigg)^{\alpha_n}, 93 | \] 94 | 于是 95 | \begin{align*} 96 | \sum_{\alpha_1,\cdots,\alpha_n=0}^\infty |c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}z_1^{\alpha_1} 97 | \cdots z_n^{\alpha_n}|&\le M\sum_{\alpha_1=0}^\infty \bigg(\frac{r_1}{|b_1|}\bigg)^{\alpha_1}\cdots\sum_{\alpha_n=0}^\infty 98 | \bigg(\frac{r_n}{|b_n|}\bigg)^{\alpha_n}\\ 99 | & = M\bigg(1-\frac{r_1}{|b_1|}\bigg)^{-1} \cdots\bigg(1-\frac{r_n}{|b_n|}\bigg)^{-1}. \qedhere 100 | \end{align*} 101 | \end{proof} 102 | 103 | 为简化记号，我们采用下面的习惯记法：对于有序数组$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，其中，每个$\alpha_j$都是非负整数，记 104 | \begin{align*} 105 | & |\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n,\\ 106 | & \alpha! = \alpha_1! \cdots \alpha_n!,\\ 107 | & z^\alpha = z_1^{\alpha_1}\cdots z_n^{\alpha_n}, 108 | \end{align*} 109 | 其中，$z=(z_1,\cdots,z_n)$. 这样，幂级数 \eqref{eq9.1.1} 就可简记为$\sum_\alpha c_\alpha z^\alpha$或者$\sum_{\alpha\ge0}c_\alpha z^\alpha$. 110 | 111 | 现在可以给出多复变数全纯函数的概念了. 112 | \begin{definition}\label{def9.1.2} 113 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f:\Omega\to \MC$是定义在$\Omega$上的一个复值函数.如果对每一点$a\in\Omega$，存在多圆柱$P(a,\rho)\subset\Omega$和幂级数$\sum_\alpha c_\alpha(z-a)^\alpha$，使得 114 | \begin{equation}\label{eq9.1.2} 115 | f(z) = \sum_\alpha c_\alpha(z-a)^\alpha 116 | \end{equation} 117 | 在$P(a,\rho)$中成立，则称$f$为$\Omega$中的\textbf{全纯函数}\index{Q!全纯函数}. 118 | \end{definition} 119 | 120 | 与单复变中一样，我们用$H(\Omega)$记$\Omega$上全纯函数的全体. 121 | 122 | 设$f$在$a$点附近全纯，那么$f$在$a$点附近可以用幂级数 \eqref{eq9.1.2} 表示.如果把幂级数 \eqref{eq9.1.2} 写成 123 | \[ 124 | f(z) = \sum_{\alpha_1=0}^\infty\bigg\{\sum_{\alpha_2=0}^\infty\cdots 125 | \sum_{\alpha_n=0}^\infty c_{\alpha_1\cdots\alpha_n}(z_2-a_2)^{\alpha_2}\cdots(z_n-a_n)^{\alpha_n}\bigg\} 126 | (z_1-a_1)^{\alpha_1}, 127 | \] 128 | 那么当$z_2,\cdots,z_n$固定时，上式是$f(z_1,z_2,\cdots,z_n)$关于$z_1$在$a_1$附近的幂级数展开式，因此它是$z_1$的全纯函数.一般来说，如果$f$在$a$点附近全纯，那么当$z_1,\cdots,z_{j-1},z_{j+1}$， $\cdots,z_n$固定时，$f$便是单变数$z_j$的全纯函数，因而有Cauchy--Riemann方程 129 | \begin{equation}\label{eq9.1.3} 130 | \pp f{\bar{z_j}} = 0,\;j=1,\cdots,n. 131 | \end{equation} 132 | 这$n$个方程称为$f$的\textbf{Cauchy--Riemann方程组}\index{C!Cauchy--Riemann方程组}. 133 | 134 | 一个自然的问题是，如果 \eqref{eq9.1.3} 式在$a$点附近成立，能否断言$f$在$a$点附近全纯呢?答案是肯定的，但证明起来很困难，这里略去它的证明. 135 | \begin{theorem}[（\textbf{Hartogs}）]\label{thm9.1.3}\index{D!定理!Hartogs定理} 136 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f:\Omega\to\MC$是定义在$\Omega$上的函数. 对于$a\in\MC^n$，定义$\MC$中的域$\Omega_{j,a}$及$\Omega_{j,a}$上的函数$f_{j,a}$如下： 137 | \begin{align*} 138 | & \Omega_{j,a} = \{z\in\MC:(a_1,\cdots,a_{j-1},z,a_{j+1},\cdots,a_n)\in\Omega\},\\ 139 | & f_{j,a}(z) = f(a_1,\cdots,a_{j-1},z,a_{j+1},\cdots,a_n). 140 | \end{align*} 141 | 如果对任意的$a\in\MC^n$及$j=1,\cdots,n,f_{j,a}\in H(\Omega_{j,a})$，那么$f\in H(\Omega)$. 142 | \end{theorem} 143 | 144 | 设$f\in H(\Omega)$，根据上面的讨论，当$z_1,\cdots,z_{j-1},z_{j+1},\cdots,z_n$固定时，$f$是$z_j$的全纯函数，因而对它的幂级数表达式可以逐项求导数，从幂级数 \eqref{eq9.1.2} 可得 145 | \[ 146 | \frac{\partial^{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}f(z)}{\partial z_1^{\alpha_1} 147 | \cdots\partial z_n^{\alpha_n}}\bigg|_{z=a}=\alpha!c_\alpha. 148 | \] 149 | 如果记 150 | \[ 151 | (\DD^\alpha f)(a)=\frac{\partial^{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}f(z)}{\partial z_1^{\alpha_1} 152 | \cdots\partial z_n^{\alpha_n}}\bigg|_{z=a}, 153 | \] 154 | 那么$f$在$a$点的幂级数展开式 \eqref{eq9.1.2} 可写为 155 | \[ 156 | f(z) = \sum_\alpha\frac{(\DD^\alpha f)(a)}{\alpha!}(z-a)^\alpha. 157 | \] 158 | 159 | 类似于第 \ref{chap4} 章定理 \ref{thm4.3.7} 的唯一性定理在多复变中是不成立的. 例如，函数$f(z_1,z_2)=z_1z_2$在双圆柱$U^2=\{z=(z_1,z_2):|z_1|<1,|z_2|<1\}$中全纯，点列$\bigg\{\bigg(0,\frac1k\bigg),k=2,3,\cdots\bigg\}$以$(0,0)$为极限点，且$f\bigg(0,\frac1k\bigg)=0$，但$f$在双圆柱中并不恒等于零. 在多复变中，有下列形式的唯一性定理： 160 | \begin{theorem}\label{thm9.1.4} 161 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f\in H(\Omega)$. 如果$f$在非空开集$E$上恒等于零，那么$f$在$\Omega$上恒等于零. 162 | \end{theorem} 163 | \begin{proof} 164 | 令 165 | \begin{align*} 166 | & K = \{z\in\Omega:(D^\alpha f)(z)=0\,\mbox{对所有$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$成立}\},\\ 167 | & K_\alpha = \{z\in\Omega:(D^\alpha f)(z)=0\,\mbox{对某个$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$成立}\}. 168 | \end{align*} 169 | 由假定，$E\subset K$，所以$K$不是空集. 显然 170 | \[ 171 | K = \bigcap_\alpha K_\alpha. 172 | \] 173 | 因为$\DD^\alpha f$是连续函数，所以$K_\alpha$是闭集，因而$K$也是闭集.任取$a\in K$，因为$f$在$\Omega$中全纯，故存在多圆柱$P(a,r)\subset \Omega$，使得 174 | \[ 175 | f(z) = \sum_\alpha\frac{(D^\alpha f)(a)}{\alpha!}(z-a)^\alpha = 0 176 | \] 177 | 在$P(a,r)$中成立，因而$P(a,r)\subset K$，这说明$K$是一个开集. 由于$\Omega\backslash K$也是开集，等式 178 | \[ 179 | \Omega = K\cup(\Omega\backslash K) 180 | \] 181 | 与$\Omega$的连通性矛盾.因为$K$不是空集，所以只能$\Omega\backslash K$是空集，即$K=\Omega$.由此即知$f$在$\Omega$上恒等于零. 182 | \end{proof} 183 | 184 | 作为唯一性定理的应用，我们可以证明下面的\textbf{开映射定理}\index{D!定理!开映射定理}： 185 | \begin{theorem}\label{thm9.1.5} 186 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f$是$\Omega$上非常数的全纯函数，那么$f$把$\Omega$中的开集映成$\MC$中的开集. 187 | \end{theorem} 188 | \begin{proof} 189 | $n=1$时定理是成立的（见定理 \ref{thm4.4.6}）.现设$n>1$.任取开集$E\subset\Omega$，我们要证明$f(E)$是$\MC$中的开集.为此任取$w\in f(E)$，则必存在$a\in E$，使得$f(a)=w$.令$Q$是$a$的一个凸邻域（例如可以取$Q$为包含$a$的一个多圆柱），$Q\subset E$，由定理 \ref{thm9.1.4} 知道，$f$在$Q$上不能恒等于$f(a)$，因而能找到$b\in Q$，使得$f(a)\ne f(b)$.令 190 | \[ 191 | D = \{\lambda\in\MC:a+\lambda(b-a)\in Q\}, 192 | \] 193 | 显然$\lambda=0,\lambda=1$都属于$D$，因而$D$不是空集. 由于$Q$是开集，所以$D$也是$\MC$中的开集.令 194 | \[ 195 | g(\lambda) = f\big(a+\lambda(b-a)\big),\lambda\in D. 196 | \] 197 | 容易知道它是$D$上的全纯函数，且 198 | \[ 199 | g(0) = f(a)\ne f(b) = g(1), 200 | \] 201 | 即$g$不是常函数. 于是，由定理 \ref{thm4.4.6} 即知$g(D)$是$\MC$中的开集，且$w=f(a)=g(0)\in g(D)$.另一方面，$g(D)\subset f(Q)\subset f(E)$，因而$f(E)$是$\MC$中的开集. 202 | \end{proof} 203 | 204 | 利用开映射定理又可得到下面的\textbf{最大模原理}\index{D!定理!最大模原理}： 205 | \begin{theorem}\label{thm9.1.6} 206 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f$是$\Omega$上非常数的全纯函数，那么$f$的模不可能在$\Omega$的内点达到最大值. 207 | \end{theorem} 208 | 209 | 这个定理的证明与定理 \ref{thm4.5.1} 的证明一样，留给读者作为练习. 210 | \begin{xiti} 211 | \item 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f\in H(\Omega)$.如果存在$a\in\Omega$，使得$(\DD^\alpha f)(a)=0$对所有多重指标$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$成立，证明在$\Omega$上$f(z)\equiv0$. 212 | \item 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f_1,\cdots,f_m\in H(\Omega)$. 如果$\sum_{j=1}^m|f_j(z)|^2$在$\Omega$上为一常数，证明$f_1,\cdots,f_m$都是常数. 213 | \item 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f,g\in H(\Omega)$. 如果$f(z)g(z)\equiv0$在$\Omega$上成立，证明$f$或$g$必在$\Omega$上恒等于零. 214 | \item 证明定理 \ref{thm9.1.6}. 215 | \end{xiti} 216 | 217 | \section{多圆柱的Cauchy积分公式\label{sec9.2}} 218 | 219 | 在单复变中，Cauchy积分公式起了十分重要的作用，对于不同的域，Cauchy积分公式具有相同的形式.但在多复变中，情况要复杂得多，对于不同的域，有不同的Cauchy积分公式.下面先给出\textbf{多圆柱上的Cauchy积分公式}\index{G!公式!多圆柱上的Cauchy积分公式}. 220 | 221 | \begin{theorem}\label{thm9.2.1} 222 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f\in H(\Omega)$. 如果$\bar{P(a,r)}\subset \Omega$，则对$z\in P(a,r)$，有 223 | \begin{equation}\label{eq9.2.1} 224 | f(z) = \frac1{(2\pi\ii)^n}\int\limits_{|\zeta_1-a_1|=r_1}\cdots\int\limits_{|\zeta_n-a_n|=r_n} 225 | \frac{f(\zeta_1,\cdots,\zeta_n)\dif \zeta_1\cdots\dif \zeta_n}{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)}. 226 | \end{equation} 227 | \end{theorem} 228 | \begin{proof} 229 | 当$n=1$时，这是熟知的圆盘上的Cauchy积分公式.今设定理对$n-1$个变数的全纯函数成立.分别在圆周$|\zeta_2-a_2|=r_2,\cdots,|\zeta_n-a_n|=r_n$上固定$\zeta_2,\cdots,\zeta_n$，则$f(z_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_n)$是圆盘$|z_1-a_1|\le r_1$上的全纯函数，由单复变的Cauchy积分公式得 230 | \begin{equation}\label{eq9.2.2} 231 | f(z_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_n) = \frac1{2\pi\ii}\int\limits_{|\zeta_1-a_1|=r_1} 232 | \frac{f(\zeta_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_n)}{\zeta_1-z_1}\dif \zeta_1. 233 | \end{equation} 234 | 固定$z_1$，把$f(z_1,z_2,\cdots,z_n)$看成$z_2,\cdots,z_n$的函数，用归纳法的假定，再利用 \eqref{eq9.2.2} 式，即得 235 | \begin{align*} 236 | f(z_1,z_2,\cdots,z_n)&=\frac1{(2\pi\ii)^{n-1}}\int\limits_{|\zeta_2-a_2|=r_2}\cdots\int\limits_{|\zeta_n-a_n|=r_n} 237 | \frac{f(z_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_n)\dif \zeta_2\cdots 238 | \dif \zeta_n}{(\zeta_2-z_2)\cdots(\zeta_n-z_n)}\\ 239 | & = \frac1{(2\pi\ii)^n}\int\limits_{|\zeta_1-a_1=r_1} \cdots\int\limits_{|\zeta_n-a_n|=r_n} 240 | \frac{f(\zeta_1,\cdots,\zeta_n)\dif \zeta_1\cdots 241 | \dif \zeta_n}{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)} \qedhere 242 | \end{align*} 243 | \end{proof} 244 | 245 | 如果记$D_j=\{z_j\in\MC:|z_j-a_j|0$，所以以$K$中任何点$a$为中心、$\rho$为半径的多圆柱 287 | \[ 288 | P = \{(z_1,\cdots,z_n):|z_j-a_j|<\rho,j=1,\cdots,n\} 289 | \] 290 | 都含在$G$中.于是由Cauchy不等式，有 291 | \[ 292 | |(\DD^\alpha f)(a)|\le\sup_{\zeta\in\partial_0P}|f(\zeta)|\frac{\alpha!}{\rho^{|\alpha|}} 293 | \le C\sup\{|f(z)|:z\in G\}. 294 | \] 295 | 由此即得所要证的不等式. 296 | \end{proof} 297 | 298 | 在多复变中，也有类似于单复变中的\textbf{Weierstrass定理}\index{D!定理!Weierstrass定理}. 299 | \begin{theorem}\label{thm9.2.4} 300 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$\{f_k\}$是$\Omega$上的一列全纯函数，如果它在$\Omega$上内闭一致收敛于$f$，那么$f\in H(\Omega)$，而且对任意多重指标$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，$\DD^\alpha f_k$在$\Omega$上内闭一致收敛于$\DD^\alpha f$. 301 | \end{theorem} 302 | \begin{proof} 303 | 对任意$a\in\Omega$，我们证明$f$在$a$附近能展开成幂级数. 适当选取$\rho=(\rho_1,\cdots,\rho_n)$，使得$\bar{P(a,\rho)}\subset\Omega$. 对$f_k$用Cauchy积分公式，得 304 | \[ 305 | f_k(z) = \frac1{(2\pi\ii)^n}\int\limits_{\partial_0P}\frac{f_k(\zeta)\dif \zeta_1\cdots\dif \zeta_n}{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)},\;z\in P(a,\rho). 306 | \] 307 | 由于当$k\to\infty$，$f_k$在$\partial_0P$上一致收敛于$f$，故在上式中令$k\to\infty$，即得 308 | \begin{equation}\label{eq9.2.4} 309 | f(z) = \frac1{(2\pi\ii)^n}\int\limits_{\partial_0P}\frac{f(\zeta)\dif \zeta_1\cdots\dif \zeta_n}{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)},\;z\in P(a,\rho). 310 | \end{equation} 311 | 利用证明定理 \ref{thm4.3.1} 时用过的方法，有 312 | \begin{align*} 313 | \frac1{\zeta_j-z_j} & = \frac1{(\zeta_j-a_j)-(z_j-a_j)} 314 | = \frac1{\zeta_j-a_j}\bigg(1-\frac{z_j-a_j}{\zeta_j-a_j}\bigg)^{-1}\\ 315 | & = \frac1{\zeta_j-a_j}\sum_{\alpha_j=0}^\infty\bigg(\frac{z_j-a_j}{\zeta_j-a_j}\bigg)^{\alpha_j}, 316 | \end{align*} 317 | 于是 318 | \[ 319 | \frac1{(\zeta_1-z_1)\cdots(\zeta_n-z_n)}=\sum_{\alpha_1=0}^\infty\cdots 320 | \sum_{\alpha_n=0}^\infty\frac{(z_1-a_1)^{\alpha_1}\cdots(z_n-a_n)^{\alpha_n}} 321 | {(\zeta_1-a_1)^{\alpha_1+1}\cdots(\zeta_n-a_n)^{\alpha_n+1}}. 322 | \] 323 | 上述级数对于$\zeta\in\partial_0P$是一致收敛的，代入 \eqref{eq9.2.4} 式即得 324 | \[ 325 | f(z) = \sum_{\alpha\ge0}\bigg\{\frac1{(2\pi\ii)^n}\int\limits_{\partial_0P} 326 | \frac{f(\zeta)\dif \zeta_1\cdots\dif \zeta_n} 327 | {(\zeta_1-a_1)^{\alpha_1+1}\cdots(\zeta_n-a_n)^{\alpha_n+1}}\bigg\}(z-a)^\alpha. 328 | \] 329 | 把上面花括弧中的数记为$c_\alpha$，即得 330 | \[ 331 | f(z) = \sum_{\alpha\ge0}c_\alpha(z-a)^\alpha. 332 | \] 333 | 这就证明了$f\in H(\Omega)$. 334 | 335 | 对于任意紧集$K\subset D$，取其邻域$G$，使得$K\subset G\subset\subset \Omega$.因为$\bar G$是紧的，故对任意$\varepsilon>0$，存在$k_0$，当$k>k_0$时，有 336 | \[ 337 | \sup\{|f_k(z)-f(z)|:z\in\bar G\}<\varepsilon. 338 | \] 339 | 于是，由定理 \ref{thm9.2.3} 得 340 | \[ 341 | \sup\{|\DD^\alpha(f_k-f)(z)|:z\in K\}\le C\sup\{|f_k(z)-f(z)|:z\in\bar G\} 342 | < C\varepsilon. 343 | \] 344 | 这正好说明$\DD^\alpha f_k$在$\Omega$上内闭一致收敛到$\DD^\alpha f$. 345 | \end{proof} 346 | 347 | 多圆柱的Cauchy积分公式是单位圆盘Cauchy积分公式的自然推广，人们很早就知道它了.可是长期以来人们不知道球的Cauchy积分公式是什么样子，直到19世纪50年代中期，华罗庚得到了四类典型域的Cauchy积分公式，作为第一类典型域的一种特殊情形，人们才得到了球的Cauchy积分公式.由此可见，在多复变中，Cauchy积分公式因域而异，寻找给定域的Cauchy积分公式本身是一个相当困难的研究课题. 348 | \begin{xiti} 349 | \item 设$P(a,r)$是一个多圆柱，试利用多圆柱上的Cauchy积分公式证明：若$f\in C\big(\bar{P(a,r)}\big)\cap H\big(P(a,r)\big)$，则$f$的最大模必在$\partial_0P$上取到. 350 | \item 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$\bar{P(a,r)}\subset\Omega$.如果$f\in H(\Omega)$，那么对任意多重指标$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，有 351 | \[ 352 | |(\DD^\alpha f)(a)| \le \frac{\alpha!(\alpha_1+2)\cdots(\alpha_n+2)}{(2\pi)^nr^{\alpha+2}}\|f\| 353 | _{L^1(P(a,r))}, 354 | \] 355 | 这里 356 | \[ 357 | \|f\|_{L^1(P(a,r))} = \int\limits_{P(a,r)}|f(z)|\dif m(z), 358 | \] 359 | $\dif m(z)$是$\MR^{2n}$中的测度. 360 | \item 设$f$是$\MC^n$上的有界全纯函数，证明$f$必为常数. 361 | \item 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$\{f_k\}$是$\Omega$上一列处处不为零的全纯函数.如果$\{f_k\}$在$\Omega$上内闭一致收敛于$f$，那么$f$在$\Omega$中或者恒等于零，或者处处不等于零. 362 | \end{xiti} 363 | 364 | \section{全纯函数在Reinhardt域上的展开式\label{sec9.3}} 365 | 为了找出发生Hartogs现象的域，我们要先讨论全纯函数在Reinhardt 域上的展开式. 366 | 367 | \begin{definition}\label{def9.3.1} 368 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，如果对任意$(z_1,\cdots,z_n)\in\Omega$及$\theta_1,\cdots,\theta_n\in\MR$，必有$(\ee^{\ii\theta_1}z_1,\cdots,\ee^{\ii\theta_n}z_n)\in\Omega$，就称$\Omega$是\textbf{Reinhardt域}\index{Y!域!Reinhardt域}. 369 | \end{definition} 370 | 371 | 前面提到的球和多圆柱都是Reinhardt域. 372 | \begin{theorem}\label{thm9.3.2} 373 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的Reinhardt域，$f\in H(\Omega)$，那么$f$必有Laurent展开式 374 | \begin{equation}\label{eq9.3.1} 375 | f(z) = \sum_{\alpha\in\MZ^n}a_\alpha z^\alpha, 376 | \end{equation} 377 | 这里，$\MZ^n=\{(\alpha_1,\cdots,\alpha_n):\alpha_1,\cdots,\alpha_n\text{都是整数}\}$.上述级数在$\Omega$中内闭一致收敛，且$a_\alpha$由$f$唯一确定. 378 | \end{theorem} 379 | \begin{proof} 380 | 我们先证，如果展开式 \eqref{eq9.3.1} 在$\Omega$上内闭一致收敛，那么$a_\alpha$ 381 | 由$f$唯一确定.事实上，取$w\in\Omega$，要求$w$的每个坐标$w_j\ne0$.对于这个固定的$w$，取$z=(\ee^{\ii\theta_1}w_1,\cdots,\ee^{\ii\theta_n}w_n)$，则$z\in\Omega$.于是，由展开式 \eqref{eq9.3.1} 得 382 | \[ 383 | f(\ee^{\ii\theta_1}w_1,\cdots,\ee^{\ii\theta_n}w_n)=\sum_{\alpha\in\MZ^n} 384 | a_\alpha w_1^{\alpha_1}\cdots w_n^{\alpha_n}\ee^{\ii(\alpha_1\theta_1+\cdots+\alpha_n\theta_n)}. 385 | \] 386 | 两端乘以$\ee^{-\ii(\beta_1\theta_1+\cdots+\beta_n\theta_n)}$，得 387 | \[ 388 | f(\ee^{\ii\theta_1}w_1,\cdots,\ee^{\ii\theta_n}w_n) 389 | \ee^{-\ii(\beta_1\theta_1+\cdots+\beta_n\theta_n)} 390 | =\sum_{\alpha\in\MZ^n}a_\alpha w_1^{\alpha_1}\cdots w_n^{\alpha_n}\ee^{\ii[(\alpha_1-\beta_1)\theta_1+\cdots+(\alpha_n-\beta_n)\theta_n]}, 391 | \] 392 | 这里，$(\beta_1,\cdots,\beta_n)$是任意一个多重指标.上式两端分别对$\theta_1,\cdots,\theta_n$ 393 | 在$[0,2\pi]$上积分，由于右端级数的项只有当$\alpha=\beta$时不为零，因而有 394 | \[ 395 | a_\beta = \frac1{(2\pi)^n}\frac1{w^\beta}\int_0^{2\pi}\cdots\int_0^{2\pi} 396 | f(\ee^{\ii\theta_1}w_1,\cdots,\ee^{\ii\theta_n}w_n) 397 | \ee^{-\ii(\beta_1\theta_1 + \cdots + \beta_n\theta_n)} 398 | \dif \theta_1\cdots\dif \theta_n. 399 | \] 400 | 这就证明了展开式 \eqref{eq9.3.1} 中的系数由$f$所唯一确定. 401 | 402 | 现在证明展开式 \eqref{eq9.3.1} 成立.取定$w\in\Omega$，由于$\Omega$是Reinhardt域，故可取充分小的$\varepsilon>0$，使得 403 | \[ 404 | G(w,\varepsilon) = \{z\in\MC^n:|w_j|-\varepsilon < |z_j| < |w_j| + \varepsilon,j=1,\cdots,n\} 405 | \] 406 | 含在$\Omega$中.这是因为对于任意的$z\in G(w,\varepsilon)$，有 407 | \[ 408 | \big||z_j|-|w_j|\big| < \varepsilon,\;j=1,\cdots,n. 409 | \] 410 | 令$z_j'=\ee^{\ii\theta_j}z_j$，当然有 411 | \begin{equation}\label{eq9.3.2} 412 | \big||z_j'|-|w_j|\big| < \varepsilon,\;j=1,\cdots,n. 413 | \end{equation} 414 | 适当选择$\theta_j$，可使$\arg z_j'=\arg w_j$，于是 \eqref{eq9.3.2} 式变成 415 | \[ 416 | |z_j'-w_j| < \varepsilon, j=1,\cdots,n. 417 | \] 418 | 因为$\Omega$是域，取$\varepsilon>0$充分小，可使$(z_1',\cdots,z_n')\in\Omega$. 因为$\Omega$是Reinhardt域，所以 419 | \[ 420 | (z_1,\cdots,z_n) = (\ee^{-\ii\theta_1}z_1', \cdots, \ee^{-\ii\theta_n}z_n')\in\Omega. 421 | \] 422 | 由于$G(w,\varepsilon)$是$n$个圆环的拓扑积，对$f$的每个变量分别用单复变中的Laurent定理，可得 423 | \[ 424 | f(z) = \sum_{\alpha\in\MZ^n}a_\alpha(w) z^\alpha,\;z\in G(w,\varepsilon), 425 | \] 426 | 它在$w$的邻域中一致收敛.不难证明$a_\alpha(w)$实际上与$w$无关.为此，取$w'\in G(w,\varepsilon)$，同样有 427 | \[ 428 | f(z) = \sum_{\alpha\in\MZ^n}a_\alpha(w')z^\alpha,\;z\in G(w',\varepsilon'). 429 | \] 430 | 由上面证明的$a_\alpha$的唯一性知道，$a_\alpha(w)=a_\alpha(w'),\alpha\in\MZ^n $.这就证明了$a_\alpha(w)$在一个局部范围内是一个常数，利用$\Omega$的连通性，便知$a_\alpha(w)=a_\alpha$在$\Omega$上成立.因而 431 | \[ 432 | f(z) = \sum_{\alpha\in\MZ^n}a_\alpha z^\alpha 433 | \] 434 | 在$\Omega$中每一点的邻域中一致地成立，从而在$\Omega$中内闭一致地成立. 435 | \end{proof} 436 | 437 | 从这个定理可得下面很有用的定理： 438 | \begin{theorem}\label{thm9.3.3} 439 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的Reinhardt域，如果对每个$j$ 440 | （$j=1,\cdots,n$），$\Omega$中都有$j$第个坐标为零的点，那么每个$f\in H(\Omega)$都有幂级数展开式 441 | \begin{equation}\label{eq9.3.3} 442 | f(z) = \sum_{\alpha\ge0}a_\alpha z^\alpha, 443 | \end{equation} 444 | 它在$\Omega$上内闭一致地成立. 445 | \end{theorem} 446 | \begin{proof} 447 | 因为$\Omega$是Reinhardt域，根据定理 \ref{thm9.3.2}，$f$有Laurent展开式 448 | \begin{equation}\label{eq9.3.4} 449 | f(z) = \sum_{\alpha\in\MZ^n}a_\alpha z^\alpha. 450 | \end{equation} 451 | 我们要证明，如果$\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$的某个分量出现负整数，那么相应的系数$a_\alpha=0$，这样展开式 \eqref{eq9.3.4} 就变成幂级数了.事实上，设$\alpha_k$是一个负整数，而相应的$a_\alpha\ne0$，这时取第$k$个坐标为零的点 452 | \[ 453 | \tilde{z} = (z_1,\cdots,z_{k-1},0,z_{k+1},\cdots,z_n), 454 | \] 455 | 于是$a_\alpha\tilde{z}^\alpha=\infty$，因而 \eqref{eq9.3.4} 式在$\tilde{z}$处不成立，这是一个矛盾. 所以，\eqref{eq9.3.4} 式的右端就是幂级数 \eqref{eq9.3.3}. 456 | \end{proof} 457 | 458 | 由于单位球$B_n$和单位多圆柱$U^n$都满足定理 \ref{thm9.3.3} 的条件，所以从定理 \ref{thm9.3.3} 立刻可得 459 | \begin{theorem}\label{thm9.3.4} 460 | 每个$f\in H(B_n)$都有幂级数展开式 461 | \[ 462 | f(z) = \sum_{\alpha\ge0}a_\alpha z^\alpha,\;z\in B_n. 463 | \] 464 | \end{theorem} 465 | 466 | \begin{theorem}\label{thm9.3.5} 467 | 每个$f\in H(U^n)$都有幂级数展开式 468 | \[ 469 | f(z) = \sum_{\alpha\ge0}a_\alpha z^\alpha,\;z\in U^n. 470 | \] 471 | \end{theorem} 472 | 473 | 上面这个展开式也可写为 474 | \[ 475 | f(z) = \sum_{k=0}^\infty\sum_{|\alpha| = k}a_\alpha z^\alpha = \sum_{k=0}^\infty P_k(z), 476 | \] 477 | 这里，$P_k(z)=\sum_{|\alpha|=k}a_\alpha z^\alpha$是$z_1,\cdots,z_n$的$k$次齐次多项式.上式称为$f$的\textbf{齐次展开式}\index{Q!齐次展开式}. 478 | 479 | 为简单起见，我们就$n=2$的情形写出$P_k(z)$的具体表达式： 480 | \begin{align*} 481 | & P_0(z) = a_{0,0},\\ 482 | & P_1(z) = \sum_{|\alpha|=1}a_\alpha z^\alpha = a_{1,0}z_1+a_{0,1}z_2,\\ 483 | & P_2(z) = \sum_{|\alpha|=2}a_\alpha z^\alpha = a_{2,0}z_1^2+a_{1,1}z_1z_2+a_{0,2}z_2^2,\\ 484 | & P_3(z) = \sum_{|\alpha|=3}a_\alpha z^\alpha = a_{3,0}z_1^3+a_{2,1}z_1^2z_2+a_{1,2}z_1z_2^2+a_{0,3}z_2^3,\\ 485 | & \cdots. 486 | \end{align*} 487 | 488 | 从定理 \ref{thm9.3.3} 还可得到下面的\textbf{全纯开拓定理}\index{D!定理!全纯开拓定理}： 489 | \begin{theorem}\label{thm9.3.6} 490 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的Reinhardt域，如果对每个$j$（$j=1,\cdots,n$），$\Omega$中都有第$j$个坐标为零的点，那么每个$f\in H(\Omega)$都能全纯开拓到域 491 | \[ 492 | \Omega' = \{w=(\rho_1z_1,\cdots,\rho_nz_n):(z_1,\cdots,z_n)\in\Omega,0\le\rho_j\le1, 493 | j=1,\cdots,n\}. 494 | \] 495 | \end{theorem} 496 | \begin{proof} 497 | 根据定理 \ref{thm9.3.3}，$f$在$\Omega$中有幂级数展开式 498 | \[ 499 | f(z) = \sum_{\alpha\ge0}a_\alpha z^\alpha,\;z\in\Omega. 500 | \] 501 | 任取$w\in\Omega'$，按定义，存在$z\in\Omega$及$0\le\rho_j\le1,j=1,\cdots,n$，使得$w_j=\rho_jz_j,j=1,\cdots,n$，因而$|w_j|\le|z_j|$. 由于$\sum_{\alpha\ge 0}a_\alpha z^\alpha$收敛，由命题 \ref{prop9.1.1}，$\sum_{\alpha\ge0}a_\alpha w^\alpha$收敛，且在$\Omega'$中内闭一致收敛. 现在定义 502 | \[ 503 | F(w) = \sum_{\alpha}a_\alpha w^\alpha,\;w\in\Omega', 504 | \] 505 | 由Weierstrass定理，$F\in H(\Omega')$，且$F\big|_\Omega=f$，所以$F$是$f$在$\Omega'$上的全纯开拓. 506 | \end{proof} 507 | 508 | 从这个定理马上可以举出发生Hartogs现象的具体的域. 509 | \begin{example}\label{exam9.3.7} 510 | 设$01$）中的域，$f\in H(\Omega)$，那么$f$在$\Omega$上的零点一定不是孤立的. 523 | \end{theorem} 524 | \begin{proof} 525 | 如果$a\in\Omega$是$f$的一个孤立零点，这意味着存在以$a$为中心、以充分小的正数$\varepsilon$为半径的球$B(a,\varepsilon)\subset\Omega$，$f$在$B(a,\varepsilon)$中除$a$以外不再有其他的零点.令 526 | \[ 527 | g(z) = \frac1{f(z)}, 528 | \] 529 | 则$g$在$B(a,\varepsilon)\backslash\bar{B\bigg(a,\frac\varepsilon2\bigg)}$中全纯. 由例 \ref{exam9.3.7}，$g$必在$B(a,\varepsilon)$中全纯，因而$f(a)\ne0$，这是一个矛盾. 530 | \end{proof} 531 | 532 | Hartogs现象是多复变数空间$\MC^n$（$n>1$）中所特有的，在复平面上没有这种现象.设$D$是$\MC$中的域，在$\partial D$上任意取一点$a$，那么 533 | \[ 534 | f(z) = \frac1{z-a} 535 | \] 536 | 是$D$中的全纯函数，但它不能越过$a$全纯开拓出去.这说明对$D$不会发生Hartogs现象. 537 | 538 | $\MC^n$中怎样的域不会发生Hartogs现象呢?我们把不发生Hartogs现象的域称为全纯域.严格说来，我们有下面的 539 | \begin{definition}\label{def9.3.9} 540 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，如果不存在比$\Omega$更大的域$\Omega'$ 541 | （$\Omega'\supset\Omega,\Omega'\ne\Omega$），使得$H(\Omega)$中的每个函数都能全纯开拓到$\Omega'$上去，就称$\Omega$是\textbf{全纯域}\index{Y!域!全纯域}. 542 | \end{definition} 543 | 544 | 如上面所说，$\MC$中所有的域都是全纯域. $\MC^n$（$n>1$）中什么样的域是全纯域，这是多复变中一个十分重要的问题.我们在这里给出一个域是全纯域的一个充分条件. 545 | \begin{theorem}\label{thm9.3.10} 546 | $\MC^n$中的凸域一定是全纯域. 547 | \end{theorem} 548 | \begin{proof} 549 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的凸域，故对$\partial\Omega$上每一点$\zeta$，存在一个过$\zeta$的超平面$Q$，它与$\Omega$不相交.不妨设$\zeta=0$，则过$\zeta$的超平面可写为 550 | \begin{equation}\label{eq9.3.5} 551 | a_1x_1 + b_1y_1 + \cdots + a_nx_n + b_ny_n = 0. 552 | \end{equation} 553 | 记$c_j=a_j-\ii b_j,z_j=x_j+\ii y_j$，则 \eqref{eq9.3.5} 式可写为 554 | \[ 555 | \Re\bigg(\sum_{j=1}^nc_jz_j\bigg) = 0. 556 | \] 557 | 令$g(z)=\sum_{j=1}^nc_jz_j$，易知$g$在$\Omega$中没有零点. 因为若有$w\in\Omega$，使得$g(w)=0$，则$\Re g(w)=0$，这等于说超平面 \eqref{eq9.3.5} 通过$w$点，与$Q$的取法矛盾. 因而 558 | \[ 559 | f(z) = \frac1{g(z)} 560 | \] 561 | 是$\Omega$中的全纯函数，但它不能通过边界点$\zeta$全纯开拓出去. 562 | \end{proof} 563 | 564 | 显然，这个定理的逆是不成立的，即全纯域不一定是凸域，这在$n=1$时就有大量的反例.因此，全纯域是比凸域更为广泛的一类域. 565 | \begin{xiti} 566 | \item 记$A(B_n)=H(B_n)\cap C(\bar{B_n}),n>1$. 567 | \begin{enuma} 568 | \item 设$f\in A(B_n)$，如果$f$在$\partial B_n$上处处不为零，证明$f$在$B_n$中也处处不为零； 569 | \item 设$f\in A(B_n)$，证明$f(\bar{B_n})=f(\partial B_n)$； 570 | \item 举例说明，上述结论在$n=1$时不成立. 571 | \end{enuma} 572 | \item 设$f\in A(B_n),n>1$.如果$|f|$在球面$\partial B_n$上恒等于常数$c$，那么$f$在$B_n$中也恒等于常数$c$.举例说明$n=1$时结论不成立. 573 | \item 设$0<\alpha,\beta<1$，记 574 | \begin{align*} 575 | & G_1 = \{(z,w)\in\MC^2:|z|<1,\beta<|w|<1\},\\ 576 | & G_2 = \{(z,w)\in\MC^2:|z|<\alpha,|w|<1\}, 577 | \end{align*} 578 | 令$G=G_1\cup G_2$. 证明：$H(G)$中的每一个函数都能全纯开拓到双圆柱域 579 | \[ 580 | U^2 = \{(z,w)\in\MC^2:|z|<1,|w|<1\}. 581 | \] 582 | \end{xiti} 583 | 584 | \section{全纯映射的导数\label{sec9.4}} 585 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f:\Omega\to \MC$是定义在$\Omega$上的复值函数，它可以看成是$\Omega$到$\MC$上的一个映射.从映射的角度来看，更重要的是要考虑$\Omega$到$\MC^n$中的映射. 586 | \begin{theorem}\label{def9.4.1} 587 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$f_1,\cdots,f_n$是$\Omega$上的$n$个全纯函数，称$F=(f_1,\cdots,f_n)$是$\Omega$到$\MC^n$的\textbf{全纯映射}\index{Q!全纯映射}. 588 | \end{theorem} 589 | 590 | 在单变数的情形下，如果$f$在$z_0$处可微，则有 591 | \[ 592 | f(z_0+h) - f(z_0) = f'(z_0)h + o(|h|), 593 | \] 594 | 这里，导数$f'(z_0)$可以看成是由$f$和$z_0$确定的一个线性算子$A:h\to f'(z_0)h$.下面就用这一观点来定义全纯映射的导数. 595 | 596 | \begin{definition}\label{def9.4.2} 597 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$F:\Omega\to\MC^n$是一个映射. 对于给定的$z\in\Omega$，如果存在$A\in L(\MC^n,\MC^n)$，使得 598 | \begin{equation}\label{eq9.4.1} 599 | F(z + h) - F(z) = Ah + o(|h|), 600 | \end{equation} 601 | 就称$F$在$z$点\textbf{可微}\index{Q!全纯映射!可微}，称$A$为$F$在$z$点的\textbf{导数}\index{Q!全纯映射!导数}，记为$F'(z)=A$.这里，$h\in \MC^n,L(\MC^n,\MC^n)$表示$\MC^n\to\MC^n$的线性映射的全体，\eqref{eq9.4.1} 式的含义是 602 | \[ 603 | \lim_{h\to0}\frac{|F(z + h) - F(z) - Ah|}{|h|} = 0. 604 | \] 605 | \end{definition} 606 | 607 | 那么什么样的映射可微呢?我们有下面的 608 | \begin{theorem}\label{thm9.4.3} 609 | 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$F=(f_1,\cdots,f_n)$是$\Omega$上的全纯映射，那么$F$在$\Omega$中的每一点都可微，而且对任意$z\in\Omega$，有 610 | \begin{equation}\label{eq9.4.2} 611 | F'(z) = \begin{pmatrix} 612 | \pp{f_1(z)}{z_1} & \cdots & \pp{f_1(z)}{z_n} \\ 613 | \cdots & \cdots & \cdots \\ 614 | \pp{f_n(z)}{z_1} & \cdots & \pp{f_n(z)}{z_n} 615 | \end{pmatrix}. 616 | \end{equation} 617 | \end{theorem} 618 | \begin{proof} 619 | 因为每个$f_j$都是$\Omega$上的全纯函数，故在$z$的邻域中可以展开为幂级数： 620 | \begin{align*} 621 | & f_1(z+h) = f_1(z)+\pp{f_1(z)}{z_1}h_1 + \cdots + \pp{f_1(z)}{z_n}h_n+o(|h|),\\ 622 | & \cdots,\\ 623 | & f_n(z+h) = f_n(z)+\pp{f_n(z)}{z_1}h_1 + \cdots + \pp{f_n(z)}{z_n}h_n+o(|h|). 624 | \end{align*} 625 | 写成向量的形式，就有 626 | \[ 627 | F(z + h) = F(z) + Ah + o(|h|), 628 | \] 629 | 这里，$A$就是 \eqref{eq9.4.2} 式右边的方阵. 按照定义 \ref{def9.4.2}，$F$在$z$点可微，而且$F'(z)=A$. 630 | \end{proof} 631 | 632 | 由此可知，全纯映射$F$的导数就是它的\textbf{Jacobian矩阵}\index{J!Jacobian矩阵}. 633 | 634 | 下面我们将证明，两个全纯映射的复合映射也是全纯的，而且有类似于复合函数求导数的求导法则. 635 | \begin{prop}\label{prop9.4.4} 636 | 设$\Omega_1,\Omega_2$是$\MC^n$中的两个域，如果 637 | \begin{align*} 638 | & F:\Omega_1 \to \Omega_2,\\ 639 | & G:\Omega_2 \to \MC^n 640 | \end{align*} 641 | 都是全纯映射，那么复合映射$H=G\circ F$也是$\Omega_1$上的全纯映射，而且 642 | \[ 643 | H'(z) = G'(w)F'(z), 644 | \] 645 | 其中，$w=F(z)$. 646 | \end{prop} 647 | \begin{proof} 648 | 设$F=(f_1,\cdots,f_n),G=(g_1,\cdots,g_n),H=(h_1,\cdots,h_n)$，其中 649 | \[ 650 | h_j = g_j(f_1,\cdots,f_n),\;j=1,\cdots,n. 651 | \] 652 | 于是 653 | \begin{align} 654 | & \pp{h_j}{\bar{z}_l} = \sum_{s=1}^n\bigg(\pp{g_j}{w_s}\pp{w_s}{\bar{z}_l} 655 | + \pp{g_j}{\bar{w}_s}\pp{\bar{w}_s}{\bar{z}_l}\bigg),\label{eq9.4.3}\\ 656 | & \pp{h_j}{z_l}=\sum_{s=1}^n\bigg(\pp{g_j}{w_s}\pp{w_s}{z_l} 657 | + \pp{g_j}{\bar{w}_s}\pp{\bar{w}_s}{z_l}\bigg).\label{eq9.4.4} 658 | \end{align} 659 | 由Cauchy--Riemann方程组，有 660 | \begin{align*} 661 | & \pp{w_s}{\bar{z}_l} = 0, s = 1,\cdots ,n\\ 662 | & \pp{g_j}{\bar{w}_s} = 0,s = 1,\cdots,n. 663 | \end{align*} 664 | \eqref{eq9.4.3} 式和 \eqref{eq9.4.4} 式分别变为 665 | \begin{align} 666 | & \pp{h_j}{\bar{z}_l} = 0 ,\;j,l=1,\cdots,n,\label{eq9.4.5}\\ 667 | & \pp{h_j}{z_l}=\sum_{s=1}^n\pp{g_j}{w_s}\pp{w_s}{z_l},\;j,l=1,\cdots,n.\label{eq9.4.6} 668 | \end{align} 669 | 从 \eqref{eq9.4.5} 式即得$h\in H(\Omega_1),j=1,\cdots,n$，所以$H$是全纯映射.由 \eqref{eq9.4.6} 式即得 670 | \begin{equation*} 671 | H'(z) = G'(w)F'(z). \qedhere 672 | \end{equation*} 673 | \end{proof} 674 | 675 | \begin{xiti}\hypertarget{xiti9.4}{} 676 | \item \hypertarget{xiti9.4.1}{} 设$f$是$\MC$上的一个整函数，满足$f(0)=f'(0)=0$.令$F(z_1,z_2)=\big(z_1,z_2+f(z_1)\big), I_2$为$2$阶单位方阵.证明： 677 | \[ 678 | F(0) = 0,F'(0) = I_2. 679 | \] 680 | \item \hypertarget{xiti9.4.2}{} 设$\Omega=\{z=(z_1,z_2)\in\MC^2:|z_1z_2|<1\}$，任取$h:U\to\MC$为$U$中处处不为零的全纯函数，这里，$U$表示单位圆盘. 令 681 | \[ 682 | F_h(z_1,z_2) = \bigg(z_1h(z_1z_2),\frac{z_2}{h(z_1z_2)}\bigg). 683 | \] 684 | 证明： 685 | \begin{enuma} 686 | \item $F_h(0)=0$； 687 | \item $(F_h)^{-1}=F_{\frac1h}$； 688 | \item 如果$h(0)=1$，那么$F_h'(0)= I_2$. 689 | \end{enuma} 690 | \item 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$F:\Omega\to\MC^n$是全纯映射. 设$F=(f_1,\cdots,f_n),f_j=u_j+\ii v_j,j=1,\cdots,n$. 记 691 | \begin{align*} 692 | & (\mathrm JF)(z)=\det F'(z),\\ 693 | &(\mathrm J_\MR F)(z)=\det\begin{pmatrix} 694 | \pp{(u_1,\cdots,u_n)}{(x_1,\cdots,x_n)}&\pp{(u_1,\cdots,u_n)}{(y_1,\cdots,y_n)}\\ 695 | \pp{(v_1,\cdots,v_n)}{(x_1,\cdots,x_n)}&\pp{(v_1,\cdots,v_n)}{(y_1,\cdots,y_n)} 696 | \end{pmatrix}, 697 | \end{align*} 698 | 前者称为$F$的\textbf{复Jacobian}\index{J!Jacobian矩阵!复Jacobian}，后者称为$F$的\textbf{实Jacobian}\index{J!Jacobian矩阵!实Jacobian}.证明： 699 | \[ 700 | (\mathrm J_\MR F)(z) = |(\mathrm JF)(z)|^2. 701 | \] 702 | \item 设$\Omega$是$\MC^n$中的域，$F:\Omega\to \MC^n$是全纯映射.如果存在$a\in\Omega$，使得$F'(a)$可逆，那么一定存在$a$和$F(a)$的邻域$V$和$W$，使得$F$一一地把$V$映为$W$，而且$F$的逆映射$G:W\to V$是全纯的，等式 703 | \[ 704 | G'(w) = \big(F'(z)\big)^{-1} 705 | \] 706 | 对$z\in V$成立. 707 | \end{xiti} 708 | 709 | \section{Cartan定理\label{sec9.5}} 710 | 定理 \ref{thm4.5.5} 给出了单位圆盘的全纯自同构.一个自然的问题是，如何确定$\MC^n$中单位球的全纯自同构?在证明定理 \ref{thm4.5.5} 时，用到了Schwarz引理（定理 \ref{thm4.5.3}）的第 \ref{thm4.5.3.3} 个结论，即若$f$是单位圆盘到单位圆盘的映射，$f(0)=0$，如果$f'(0)=1$，那么$f(z)=z$. H. Cartan把这个定理推广到了多复变数. 711 | 712 | \begin{theorem}\label{thm9.5.1}\index{D!定理!Cartan定理} 713 | 设$\Omega$是$\MC^n$中包含原点的有界域，如果$F:\Omega\to\Omega$是全纯的，且有$F(0)=0,F'(0)= I_n$，这里，$I_n$是$n$阶单位方阵，那么对任意$z\in\Omega$，有$F(z)=z$. 714 | \end{theorem} 715 | \begin{proof} 716 | 因为$\Omega$是有界域，故必存在$0|zT|$也别可能. 因而对所有$z\in B_n$，都有$|z|=|zT|$，这说明$T$是酉方阵. 875 | \end{proof} 876 | 877 | 在下面的讨论中，$z=(z_1,\cdots,z_n),a=(a_1,\cdots,a_n)$都表示行向量，$z',a'$表示它们的转置，是一个列向量，因而$az'$表示一个数，而$a'z$表示一个方阵： 878 | \begin{align*} 879 | & az' = (a_1,\cdots,a_n) 880 | \begin{pmatrix} 881 | z_1 \\ \vdots \\ z_n 882 | \end{pmatrix} 883 | = a_1z_1 + \cdots + a_nz_n,\\ 884 | & a'z = 885 | \begin{pmatrix} 886 | a_1 \\ \vdots \\ a_n 887 | \end{pmatrix}(z_1,\cdots,z_n) = 888 | \begin{pmatrix} 889 | a_1z_1 & \cdots & a_1z_n\\ 890 | \cdots & \cdots & \cdots\\ 891 | a_nz_1 & \cdots & a_nz_n 892 | \end{pmatrix}. 893 | \end{align*} 894 | 895 | \begin{theorem}\label{thm9.6.2} 896 | 对于每个$a\in B_n$，记$s^2=1-|a|^2,A=sI_n+\frac{\bar {a'}a}{1+s}$，那么映射 897 | \[ 898 | \varphi_a(z) = \frac{a-zA}{1-\bar az'} 899 | \] 900 | 具有下列性质： 901 | \begin{eenum} 902 | \item \label{thm9.6.2.1} $\varphi_a(0)=a,\varphi_a(a)=0$； 903 | \item \label{thm9.6.2.2} $\varphi_a'(0)=a'\bar a-A',\varphi_a'(a)=-\frac{A'}{s^2}$； 904 | \item \label{thm9.6.2.3} 对$z\in\bar{B_n}$，有 905 | \[ 906 | 1-|\varphi_a(z)|^2 = \frac{\big(1-|a|^2\big)\big(1-|z|^2\big)}{|1-\bar az'|^2}; 907 | \] 908 | \item \label{thm9.6.2.4} $\varphi_a\big(\varphi_a(z)\big)=z$； 909 | \item \label{thm9.6.2.5} $\varphi_a\in\Aut(B_n)$. 910 | \end{eenum} 911 | \end{theorem} 912 | \begin{proof} 913 | (1) $\varphi_a(0)=0$是显然的. 由于 914 | \[ 915 | aA = sa + \frac{a\bar {a'}a}{1+s} = sa + (1 - s)a = a, 916 | \] 917 | 所以$\varphi_a(a)=0$. 918 | 919 | (2)因为 920 | \begin{align*} 921 | \varphi_a(z) & = \big(a - zA)(1 + \bar az' + o(|z|)\big)\\ 922 | & = a - zA + z\bar {a'}a + o(|z|)\\ 923 | & = \varphi_a(0) + z(\bar {a'}a - A) + o(|z|), 924 | \end{align*} 925 | 根据全纯映射导数的定义（定义 \ref{def9.4.2}），即得 926 | \[ 927 | \varphi_a'(0) = a'\bar a - A'. 928 | \] 929 | 为了计算$\varphi_a'(a)$，注意 930 | \begin{align*} 931 | \varphi_a(a+h) - \varphi_a(a) & = \varphi_a(a+h) = \frac{a-(a+h)A}{1-\bar a(a+h)'}\\ 932 | & = -\frac{hA}{s^2}\bigg(1-\frac{\bar ah'}{s^2}\bigg)^{-1}= 933 | - \frac{hA}{s^2}\bigg(1+\frac{\bar ah'}{s^2}+o(|h|)\bigg)\\ 934 | & = -\frac{hA}{s^2}+o(|h|), 935 | \end{align*} 936 | 由此即得 937 | \[ 938 | \varphi_a'(a) = -\frac{A'}{s^2}. 939 | \] 940 | 941 | (3)通过直接计算，得 942 | \begin{equation}\label{eq9.6.1} 943 | \begin{aligned} 944 | 1 - |\varphi_a(z)|^2 = {}& 1-\varphi_a(z) \bar{\varphi_a(z)'}\\ 945 | = {}& 1 - \frac{a-zA}{1-\bar az'}\frac{\bar{a'} - \bar{A'}\bar{z'}}{1-a\bar{z'}}\\ 946 | = {}& \frac1{|1-\bar az'|^2}(1-\bar az'-a\bar{z'} + \bar az'z\bar{z'}\\ 947 | & - a\bar{a'}+zA\bar{a'}+a\bar{A'}\bar{z'} - zA\bar{A'}\bar{z'}). 948 | \end{aligned} 949 | \end{equation} 950 | 注意到 951 | \begin{align*} 952 | & a\bar{A'} = aA = a,\\ 953 | & A\bar{a'} = \bar{a'}, 954 | \end{align*} 955 | 所以 956 | \begin{align*} 957 | & a\bar{A'} \bar{z'} = a\bar{z'},\\ 958 | & zA \bar{a'} = z\bar{a'} = \bar az'. 959 | \end{align*} 960 | 显然$\bar{A'}=A$，所以 961 | \begin{align*} 962 | A\bar{A'} & = A^2 = s^2I_n + \frac{2s\bar{a'}a}{1+s} + \frac{\bar{a'}a\bar{a'}a}{(1+s)^2}\\ 963 | & = s^2I_n + \frac{2s\bar{a'}a}{1+s} + \frac{1-s}{1+s}\bar{a'}a\\ 964 | & = s^2I_n + \bar{a'}a, 965 | \end{align*} 966 | 即 967 | \[ 968 | \bar {a'}a - A\bar{A'} = -s^2I_n. 969 | \] 970 | 于是，\eqref{eq9.6.1} 式可写为 971 | \begin{align*} 972 | 1 - |\varphi_a(z)|^2 & = \frac1{|1-\bar az'|^2}\big(1-|a|^2+z\bar{a'}a\bar{z'}- 973 | zA\bar{A'}\bar{z'}\big)\\ 974 | & = \frac1{|1-\bar az'|^2}\big(1-|a|^2 + z(\bar{a'}a-A\bar{A'})\bar{z'}\big)\\ 975 | & = \frac1{|1-\bar az'|^2}\big(1-|a|^2 - s^2z\bar{z'}\big)\\ 976 | & = \frac1{|1-\bar az'|^2}\big(1-|a|^2\big)\big(1-|z|^2\big.) 977 | \end{align*} 978 | 这就是要证明的. 979 | 980 | (4) 记$H=\varphi_a\circ\varphi_a$. 由 \ref{thm9.6.2.3} 知$\varphi_a$是把$B_n$映入$B_n$的全纯映射，所以$H$也是把$B_n$映入$B_n$的全纯映射. 由 \ref{thm9.6.2.1} 得 981 | \[ 982 | H(0) = \varphi_a\big(\varphi_a(0)\big) = \varphi_a(a) = 0. 983 | \] 984 | 再由命题 \ref{prop9.4.4} 及 \ref{thm9.6.2.2}，可得 985 | \[ 986 | H'(0) = \varphi_a'(a)\varphi_a'(0) = -\frac{A'}{s^2}(a'\bar a-A') = I_n. 987 | \] 988 | 于是由定理 \ref{thm9.5.1}，即得 989 | \[ 990 | \varphi_a\big(\varphi_a(z)\big) = z. 991 | \] 992 | 993 | (5) 由 \ref{thm9.6.2.3} 知$\varphi_a$是把$B_n$映入$B_n$的全纯映射，由 \ref{thm9.6.2.4} 知$\varphi_a^{-1}=\varphi_a$是全纯的，因而$\varphi_a\in\Aut(B_n)$. 994 | \end{proof} 995 | 996 | 上面证明了$\varphi_a$是$B_n$的一个全纯自同构，但是否$B_n$的每个自同构都能写成这种样子呢?下面的定理断言，$B_n$的任何自同构必是$\varphi$和一个酉变换的复合. 997 | \begin{theorem}\label{thm9.6.3} 998 | 设$\psi\in\Aut(B_n)$，如果$\psi^{-1}(0)=a$，则必存在唯一的酉方阵$U$，使得对每个$z\in B_n$，有 999 | \[ 1000 | \psi(z) = \varphi_a(z)U. 1001 | \] 1002 | \end{theorem} 1003 | \begin{proof} 1004 | 记$f=\psi\circ \varphi_a$，则$f\in\Aut(B_n)$，且$f(0)=\psi(a)=0$. 由定理 \ref{thm9.6.1} 知，$f$是一个酉变换，即存在酉方阵$U$，使得$\psi\big(\varphi_a(w)\big)=wU$. 令$\varphi_a(w)=z$，则$w=\varphi_a(z)$，因而$\psi(z)=\varphi_a(z)U$. $U$的唯一性是显然的. 1005 | \end{proof} 1006 | 1007 | 现在很容易证明下面的 1008 | \begin{theorem}\label{thm9.6.4} 1009 | 单位球$B_n$是$\MC^n$中的可递域. 1010 | \end{theorem} 1011 | \begin{proof} 1012 | 任取$a,b\in B_n$，则有$\varphi_a\in\Aut(B_n)$，使得$\varphi_a(a)=0$，同时有$\varphi_b\in\Aut(B_n)$，使得$\varphi_b(0)=b$. 令$\psi=\varphi_b\circ\varphi_a$，则当然$\psi\in\Aut(B_n)$，而$\psi(a)=b$.所以$B_n$是可递域. 1013 | \end{proof} 1014 | 1015 | \begin{definition}\label{def9.6.5} 1016 | 设$\Omega_1$和$\Omega_2$是$\MC^n$中的两个域，如果存在双全纯映射把$\Omega_1$映为$\Omega_2$，就称$\Omega_1$和$\Omega_2$是\textbf{全纯等价}\index{Q!全纯等价}的. 1017 | \end{definition} 1018 | 1019 | 在单复变中，Riemann定理断言，除了整个复平面$\MC$以外，$\MC$上任意两个单连通域都是全纯等价的.在多复变中，Riemann定理不再成立，即使是两个最简单的域$U^n$和$B_n$也不是全纯等价的.这一事实于本世纪初首先由Poincar\'e指出. 1020 | \begin{theorem}[（\textbf{Poincar\'e}）] 1021 | 多圆柱$U^n$和球$B_n$不全纯等价. 1022 | \end{theorem} 1023 | \begin{proof} 1024 | 如果$U^n$和$B_n$全纯等价，那么存在双全纯映射$F$，使得$F(B_n)=U^n$.由于$B_n$是圆型的，而且是有界可递的，$U^n$也是圆型的，由定理 \ref{thm9.5.6}，一定存在线性映射把$B_n$映为$U^n$.但线性映射把球映为椭球，不可能是多圆柱.这个矛盾证明了$U^n$和$B_n$不是全纯等价的. 1025 | \end{proof} 1026 | 1027 | \begin{xiti} 1028 | \item 对于任意$z,w\in B_n$，证明： 1029 | \[ 1030 | |\varphi_z(w)| = |\varphi_w(z)|. 1031 | \] 1032 | \item 设$a,z,w\in B_n$，证明： 1033 | \[ 1034 | |\varphi_{\varphi_a(w)}(z)| = \big|\varphi_w\big(\varphi_a(z)\big)\big|. 1035 | \] 1036 | （\textbf{提示}：考虑映射$\varphi_{\varphi_a(w)}\circ\varphi_a\circ\varphi_w$.） 1037 | \item 定义$E(a,r)=\varphi_a^{-1}\big(B(0,r)\big)=\{z:|\varphi_a(z)|{\centering\arraybackslash}X} 3 | \usepackage{fontspec} 4 | \IfFontExistsTF{FZShuSong-Z01}{ 5 | \PassOptionsToPackage{fontset=founder}{ctex} 6 | }{} 7 | \usepackage{xeCJK} 8 | \defaultCJKfontfeatures{Mapping=fullwidth-stop} 9 | \usepackage[heading]{ctex} 10 | \usepackage{manfnt,zhlineskip} 11 | \usepackage{indentfirst} 12 | 13 | \usepackage[T1]{fontenc} 14 | \renewcommand\rmdefault{ptm} 15 | \usepackage[centering, 16 | top=2.54cm,bottom=2.54cm,right=2.9cm,left=2.9cm, 17 | 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