├── 2.md ├── LICENSE ├── Probabilistic-Robotics-cn.pdf ├── Probabilistic-Robotics-en.pdf └── README.md /2.md: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | # 第二章习题 2 | 3 | ## 1. 4 | 5 | 机器人使用一个可以测量 0～3m 距离的传感器。为了简化，假定真实的距离在这个范围中均匀分布。很不幸的是，传感器会坏掉。当传感器故障时，不管传感器的锥形测量范围内实际测距结果应该是多少，其输出测距值均小于 1m 已知对于传感器故障的先验概率是 $p= 0. 01$ 。 6 | 7 | 设想机器人查询了 N 次传感器，每次测量值都小于 1m 。对于 N=1, 2, …, 10 的传感器故障的后验概率是多少？用公式表示相关的概率模型。 8 | 9 | 答：传感器故障状态为X（良好 0 , 故障 1 ）， 10 | 11 | $P(X=0) = 0.99$ 12 | 13 | $P(X=1) = 0.01$ 14 | 15 | 测量值为Z 16 | 17 | $P(Z<1|X=0)=1; P(Z<1|X=1)=\frac{1}{3}; $ 18 | 19 | 传感器故障的后验概率为： 20 | 21 | $P(X=1|Z<1) = \frac{P(Z<1|X=1) P(X=1) }{P(Z<1)} =\frac{P(Z<1|X=1) P(X=1) }{P(Z<1|X=0) P(X=0)+ P(Z<1|X=1) P(X=1)} $ 22 | 23 | 传感器在每多接受一次小于1的测量值时，都更有可能故障了，需要更新传感器故障的后验概率，而不再是恒定的先验概率。 24 | 25 | 26 | 27 | N=1时，$P(X_1=1|Z<1) = \frac{P(Z<1|X_0=1) P(X_0=1) }{P(Z<1)} =\frac{P(Z<1|X_0=1) P(X_0=1) }{P(Z<1|X_0=0) P(X_0=0)+ P(Z<1|X_0=1) P(X_0=1)} $ 28 | 29 | $ = \frac{1\times 0.01}{1\times 0.01+\frac{1}{3} \times 0.99} =\frac{1}{34}$ 30 | 31 | 更新传感器故障的概率$P(X=0) = \frac{33}{34}, P(X=1) = \frac{1}{34}$ 32 | 33 | N=2时，$P(X_2=1|Z<1) = \frac{P(Z<1|X_1=1) P(X_1=1) }{P(Z<1)} =\frac{P(Z<1|X_1=1) P(X_1=1) }{P(Z<1|X_1=0) P(X_1=0)+ P(Z<1|X_1=1) P(X_1=1)} $ 34 | 35 | $= \frac{1 \times \frac{1}{34}}{1 \times \frac{1}{34} +\frac{1}{3} \times \frac{33}{34}} = \frac{1}{12}$ 36 | 37 | 更新传感器故障的概率$P(X=0) = \frac{1}{12}, P(X=1) = \frac{11}{12}$ 38 | 39 | ... 40 | 41 | $P(X_N=1|Z<1) = \frac{P(Z<1|X_{N-1}=1) P(X_{N-1}=1) }{P(Z<1)} =\frac{P(Z<1|X_{N-1}=1) P(X_{N-1}=1) }{P(Z<1|X_{N-1}=0) P(X_{N-1}=0)+ P(Z<1|X_{N-1}=1) P(X_{N-1}=1)} $ 42 | 43 | 44 | 45 | ## 2. 46 | 47 | 设想住在一个白天天气为晴、多云或者雨的地方。天气转移函数是如下的转移表所示的马尔可夫链： 48 | 49 | | 今天是\明天是 | 1晴 | 2多云 | 3雨 | 50 | | ------------- | ---- | ----- | ---- | 51 | | 1晴 | 0.8 | 0.2 | 0 | 52 | | 2多云 | 0.4 | 0.4 | 0.2 | 53 | | 3雨 | 0.2 | 0.6 | 0.2 | 54 | 55 | (a) 设第1天是晴 (Day1 = sunny)，接下来第 2 天是多云、第 3天是多云、 第 4 天是雨天 (Day2 = cloudy、 Day3 = cloudy、 Day4 = rainy) 的概率是多少？ 56 | 57 | X=1,2,3(晴，多云，雨) 58 | 59 | $P(X_1=1)=1,P(X_1=2)=0,P(X_1=3)=0$ 60 | 61 | $P(X_2=2)=P(X_2|X_1=1)P(X_1=1) =0.2$ 62 | 63 | 全概率公式 64 | 65 | $P(X_2=1)=0.8,P(X_2=2)=0.2,P(X_2=3)=0$ 66 | 67 | 接下来一天晴的概率 = 晴转晴概率 \* 前一天晴的概率 +多云转晴概率\*前一天多云的概率+雨转晴的概率\*前一天雨的概率 68 | 69 | $P(X_3=1)=P(X_3=1|X_2=1) P(X_2=1)+P(X_3=1|X_2=2) P(X_2=2)+P(X_3=1|X_2=3) P(X_2=3)=0.8*0.8+0.4*0.2+0.2*0=0.72 $ 70 | 71 | $P(X_3=2)=P(X_3=2|X_2=1) P(X_2=1)+P(X_3=2|X_2=2) P(X_2=2)+P(X_3=2|X_2=3) P(X_2=3)=0.2*0.8+0.4*0.2+0.6*0=0.24 $ 72 | 73 | $P(X_3=3)=P(X_3=3|X_2=1) P(X_2=1)+P(X_3=3|X_2=2) P(X_2=2)+P(X_3=3|X_2=3) P(X_2=3)=0*0.8+0.2*0.2+0.2*0=0.04 $ 74 | 75 | 76 | 77 | $P(X_3=1)=0.72,P(X_3=2)=0.24,P(X_3=3)=0.04$ 78 | 79 | $P(X_4=1)=P(X_4=1|X_3=1) P(X_3=1)+P(X_4=1|X_3=2) P(X_3=2)+P(X_4=1|X_3=3) P(X_3=3)=0.8*0.72+0.4*0.24+0.2*0.04=0.72 $ 80 | 81 | $P(X_4=2)=P(X_4=2|X_3=1) P(X_3=1)+P(X_4=2|X_3=2) P(X_3=2)+P(X_4=2|X_3=3) P(X_3=3)=0.2*0.72+0.4*0.24+0.6*0.04=0.24 $ 82 | 83 | $P(X_4=3)=P(X_4=3|X_3=1) P(X_3=1)+P(X_4=3|X_3=2) P(X_3=2)+P(X_4=3|X_3=3) P(X_3=3)=0*0.72+0.2*0.24+0.2*0.04=0.04 $ 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | (b) 根据这个状态转移函数写出一个能随机产生“天气”序列的仿真器。 90 | 91 | 初始值 92 | 93 | $P(X_{yesterday}=1)=1 ,P(X_{yesterday}=2)=0 ,P(X_{yesterday}=3)=0 ,$ 94 | 95 | 维护前一天三种天气情况的概率 96 | 97 | $P(X_{yesterday}=1) ,P(X_{yesterday}=2) ,P(X_{yesterday}=3)$ 98 | 99 | 利用全概率公式求今天三种天气情况的概率 100 | 101 | $P(X_{today}=1)=P(X_{today}=1|X_{yesterday}=1) P(X_{yesterday}=1)+P(X_{today}=1|X_{yesterday}=2) P(X_{yesterday}=2)+P(X_{today}=1|X_{yesterday}=3) P(X_{yesterday}=3) $ 102 | 103 | $P(X_{today}=2)=P(X_{today}=2|X_{yesterday}=1) P(X_{yesterday}=1)+P(X_{today}=2|X_{yesterday}=2) P(X_{yesterday}=2)+P(X_{today}=2|X_{yesterday}=3) P(X_{yesterday}=3) $ 104 | 105 | $P(X_{today}=3)=P(X_{today}=3|X_{yesterday}=1) P(X_{yesterday}=1)+P(X_{today}=3|X_{yesterday}=2) P(X_{yesterday}=2)+P(X_{today}=3|X_{yesterday}=3) P(X_{yesterday}=3) $ 106 | 107 | 迭代下去 108 | 109 | $P(X_{yesterday}=1)=P(X_{today}=1) $ 110 | 111 | $P(X_{yesterday}=2)=P(X_{today}=2) $ 112 | 113 | $P(X_{yesterday}=3)=P(X_{today}=3)$ 114 | 115 | 迭代到平稳分布 116 | 117 | $P(X_{yesterday}=1)==P(X_{today}=1) $ 118 | 119 | $P(X_{yesterday}=2)==P(X_{today}=2) $ 120 | 121 | $P(X_{yesterday}=3)==P(X_{today}=3)$ 122 | 123 | (c) 使用你的仿真器确定这个马尔可夫链的平稳分布。平稳分布衡量任意一天是晴、多云或雨的概率。 124 | 125 | 以上是个时齐马尔科夫链和状态转移矩阵 T 126 | 127 | $P(X_i)=T P(X_{i-1})$ 128 | 129 | 一直迭代下去，非周期的马尔科夫链的状态的概率不再变化。与初始值无关， 130 | 131 | 平稳分布 $lim_{n \to \infty} T_{ij}^n =\pi (j) $ 132 | 133 | $P(X)=T P(X)$ 134 | 135 | 平稳分布是状态转移矩阵的特征向量 136 | 137 | (d) 你能制定一个闭式方案来根据上面的状态转移矩阵计算平稳分布吗？ 138 | 139 | 平稳分布是状态转移矩阵的特征向量 $P(X)=T P(X)$ 140 | 141 | 142 | 143 | (e) 平稳分布的墒是多少？ 144 | 145 | $H_p(x)=E[-log_2 p(x)] = -\Sigma_x p(x) log_2 p(x) = -\int p(x) log_2 p(x) dx$ 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | (f) 利用贝叶斯准则，计算给定今天天气时昨天天气的概率表。提供数值概率即可，可以依赖本练习中前面间题的结果。 152 | 153 | 贝叶斯准则： $p(x|y) =\frac{p(y|x) p(x)}{p(y)} = \frac{p(y|x) p(x)}{\Sigma_{x'} p(y|x')p(x')dx' } $ 154 | 155 | $P(X_{yesterday}=1|X_{today} = 1) =\frac{P(X_{today}=1|X_{yesterday}=1) P(X_{yesterday}=1) }{P(X_{today} =1)} = \frac{P(X_{today}=1|X_{yesterday}=1) P(X_{yesterday}=1) }{P(X_{today} =1 |X_{yesterday} =1)+ P(X_{today} =1 |X_{yesterday} =2) +P(X_{today} =1 |X_{yesterday} =3)} $ 156 | 157 | 158 | 159 | (g) 假设将季节加入到该模型中。上面的状态转移函数仅能应用于夏天， 而不同的模型将应用于冬天、春天和秋天。这会扰乱这个过程的马尔可夫特性吗？解释你的答案。 160 | 161 | 马尔科夫特性指已知当前状态情况下，过去事件与未来相互独立。这一时刻的状态只与上一时刻有关，与再之前时刻无关。 162 | 163 | 如果加入季节，只会影响状态转移矩阵，仍然保持马尔科夫性。 164 | 165 | ## 3. 166 | 167 | 假设不能直接观测天气，但是可以依靠传感器。间题是传感器本身是有噪声的。其测量受到下面的测量模型控制： 168 | 169 | | 实际天气是\传感器观测到 | 晴 | 多云 | 雨 | 170 | | ----------------------- | ---- | ---- | ---- | 171 | | 晴 | 0.6 | 0.4 | 0 | 172 | | 多云 | 0.3 | 0.7 | 0 | 173 | | 雨 | 0 | 0 | 1 | 174 | 175 | (a) 设第 1 天是晴（这是一个已知事实），传感器观测到的接下来的 4 天为 多云、多云、雨、晴，则第 5 天用传感器预测为晴的概率是多少？ 176 | 177 | (b) 再一次，假定已知第 1 天是晴。在第 2～4 天，传感器测量为晴、晴、 雨。对第 2～4 天，当天最可能的天气是怎样的？用两种方式回答问题：一种是只有讨论那天的数据是可用的；另一种是基于后见之明的，未来几天的数据也是可用的。 178 | 179 | (c) 考虑同一种情况（第 1 天晴，第 2～4 天的测量分别是晴、晴、雨）。 对第 2～4 天的天气最有可能是什么样的？这个最可能序列的概率是多少？ 180 | 181 | ## 4. 182 | 183 | 在这个练习中将把贝叶斯准则应用到高斯情况。假设是一个位于长直道路上的移动机器人。位置 x 将是简单地沿着这条路的某个位置。现在假设最初，认为位置 $x_{init} = 1000m$ ，但碰巧知道这个估计是不确定的。基于这种不确定性， 用高斯建立方差为$\sigma^2_{init} =900m^2$ 的初始置信度模型。 184 | 185 | 为了得到关于位置的更多信息，查询一个 GPS 接收器。 GPS 告诉位置是 $Z_{GPS} = 1100m$ 。已知该 GPS 接收器的误差方差为 $\sigma_{init}= 100m^2$ 。 186 | 187 | (a) 写出先验 $p(x)$ 和测量 $p(z|x)$ 的概率密度函数。 188 | 189 | (b) 使用贝叶斯准则，后验 $p(x|z)$ 是多少？你能证明它是一个高斯分布吗？ 190 | 191 | (c) 测量 $x_{GPS} = 1100m$ 怎样得出先验和 GPS 接收器的误差概率信息？ 192 | 193 | 线索：这是一个处理二次表达式的练习。 194 | 195 | ## 5. 196 | 197 | 由式 (2.17) 推导式 (2.18) 和式 (2.19), 以及本书叙述的概率法则。 198 | 199 | 以其他变量 $z$ 为条件的相互独立的随机变量条件联合概率定律: 200 | 201 | (2.17) $p(x,y|z)= p(x|z)p(y|z)$ 202 | 203 | 这种关系被称为条件独立 (condition independence) 。 204 | 205 | (2.18) $p(x|z)=p(x|z,y)$ 206 | 207 | (2.19) $p(y|z)=p(y|z,x)$ 208 | 209 | 210 | 211 | ## 6. 212 | 213 | 证明式 (2. 25) 。这个等式的意义是什么？ 214 | 215 | X的协方差 216 | 217 | (2.25) $Cov[X] = E[X-E[X]]^2 =E[X^2] -E[X]^2$ 218 | 219 | -------------------------------------------------------------------------------- /LICENSE: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | MIT License 2 | 3 | Copyright (c) 2018 Daiwei Song 4 | 5 | Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy 6 | of this software and associated documentation files (the "Software"), to deal 7 | in the Software without restriction, including without limitation the rights 8 | to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell 9 | copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is 10 | furnished to do so, subject to the following conditions: 11 | 12 | The above copyright notice and this permission notice shall be included in all 13 | copies or substantial portions of the Software. 14 | 15 | THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR 16 | IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, 17 | FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. 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