├── .gitignore ├── bibliography.tex ├── build-pic.sh ├── calculus-note.pdf ├── calculus-note.tex ├── clear-pic.sh ├── cmd-env.tex ├── contents ├── derivative-and-differential │ ├── derivative-and-differential.tex │ └── differential-mean-value-theorems.tex ├── fourier-series │ └── fourier-series.tex ├── function-series │ └── function-series.tex ├── function-with-many-variables-calculus │ └── function-with-many-variables-calculus.tex ├── implicit-function │ └── implicit-function.tex ├── improper-integral │ └── improper-integral.tex ├── line-integral │ └── line-integral.tex ├── multiple-integral │ └── multiple-integral.tex ├── number-series │ ├── number-series.tex │ ├── positive-number-series.tex │ └── signed-series.tex ├── parametric-integral │ └── parametric-integral.tex ├── surface-integral │ └── surface-integral.tex ├── the-completeness-of-real │ ├── some-theorems-for-real-completeness.tex │ └── the-completeness-of-real.tex ├── the-limit-and-continuity-of-function │ ├── pic │ │ ├── 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area-of-curvilinear-trapezoid.asy └── principle-and-relation-between-definite-and-indefinite-integral.tex ├── limit ├── continuousness-of-function.tex ├── limit-of-function.tex ├── limit-of-number-sequence.tex ├── limit.tex ├── pic │ ├── graphy-of-function-sinx-over-x.asy │ └── limit-of-sinx-over-x-at-0.asy └── real-number.tex ├── preface.tex ├── readme.org ├── tableofcontents.tex └── use-packages.tex /.gitignore: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | .* 2 | *.pdf 3 | !calculus-note.pdf 4 | *.eps 5 | *.swp 6 | *.log 7 | *.aux 8 | *.maf 9 | *.mtc 10 | *.mtc* 11 | *.toc 12 | *.out 13 | *.dvi 14 | *~ 15 | *#*# 16 | _*_.* 17 | auto/* 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /bibliography.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \begin{thebibliography}{99} 3 | \bibitem{caculus-course} [前苏联]菲赫金哥尔茨. 微积分学教程. 高等教育出版社, 2006. 4 | \bibitem{introduction-to-advanced-math} 华罗庚. 高等数学引论. 高等教育出版社,2009. 5 | \bibitem{math-analysis} 华东师范大学数学系, 数学分析. 高等教育出版社, 2004. 6 | \bibitem{calculus-and-math-analysis} [美]F.约翰,R.柯朗. 微积分与数学分析引论. 科学出版社, 2001. 7 | \bibitem{math-analysis-exercises} [前苏联]吉米诺维奇. 数学分析习题集. 高等教育出版社, 2004. 8 | \bibitem{elementary-math-notes} zhcosin,初等数学笔记,网络电子书. 9 | \end{thebibliography} 10 | 11 | 12 | \addcontentsline{toc}{chapter}{参考文献} 13 | 14 | %%% Local Variables: 15 | %%% mode: latex 16 | %%% TeX-master: "calculus-note" 17 | %%% End: 18 | -------------------------------------------------------------------------------- /build-pic.sh: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | #!/bin/bash 3 | 4 | function scandir() { 5 | local cur_dir parent_dir workdir 6 | workdir=$1 7 | cd ${workdir} 8 | if [ ${workdir} = "/" ] 9 | then 10 | cur_dir="" 11 | else 12 | cur_dir=$(pwd) 13 | fi 14 | 15 | for dirlist in $(ls ${cur_dir}) 16 | do 17 | if test -d ${dirlist};then 18 | 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\input{cmd-env} 6 | 7 | \title{\kaishu{微积分学笔记}} 8 | \author{zhcosin} 9 | %\date{created: 2016-08-05 \\ last updated: \today} 10 | \date{东汉建武} 11 | 12 | \begin{document} 13 | 14 | \maketitle 15 | %\include{cover} 16 | 17 | %\dominitoc% Initialization 18 | 19 | \include{preface} 20 | 21 | \include{tableofcontents} 22 | 23 | \mainmatter 24 | 25 | \input{limit/limit} 26 | 27 | \input{derivative-and-differential/derivative-and-differential} 28 | 29 | \input{integral/integral} 30 | 31 | \input{bibliography} 32 | 33 | \end{document} 34 | 35 | %%% Local Variables: 36 | %%% mode: latex 37 | %%% TeX-master: t 38 | %%% End: 39 | -------------------------------------------------------------------------------- /clear-pic.sh: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | find -name "*.pdf" -exec rm -f {} \; 3 | -------------------------------------------------------------------------------- /cmd-env.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | %修改 proof 证明环境 3 | \makeatletter 4 | \renewcommand\proofname{证明} 5 | \renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par 6 | \pushQED{\qed}% 7 | \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@ \labelsep1em\relax 8 | \trivlist 9 | \item[\hskip\labelsep\indent 10 | \bfseries #1]\ignorespaces 11 | }{% 12 | \popQED\endtrivlist\@endpefalse 13 | } 14 | \makeatother 15 | 16 | % 例题环境 17 | \newcounter{example}[section] 18 | \renewcommand{\theexample}{\thesection.\arabic{example}} 19 | 20 | \newenvironment{example}[1][]{\refstepcounter{example} \textbf{例 \theexample \ #1} \hspace{0.5em}}{\hspace{\stretch{1}} \rule{1ex}{1ex}} 21 | 22 | % 习题环境 23 | \newcounter{exercise}[section] 24 | \renewcommand{\theexercise}{\thesection.\arabic{exercise}} 25 | 26 | \newenvironment{exercise}[1][]{\refstepcounter{exercise} \textbf{题 \theexercise \ #1} \hspace{0.5em}}{\hspace{\stretch{1}} \rule{1ex}{1ex}} 27 | 28 | \newcommand{\exerciseFrom}[1][]{\textbf{题目出处}\hspace{1em}#1} 29 | \newcommand{\exerciseSolvedDate}[1][]{\textbf{解答日期}\hspace{1em}#1} 30 | \newenvironment{exerciseAdditional}{\textbf{补充说明}\hspace{1em}}{} 31 | 32 | 33 | \newtheorem{definition}{定义}[section] 34 | \newtheorem{property}{性质}[section] 35 | \newtheorem{theorem}{定理}[section] 36 | \newtheorem{inference}{推论}[section] 37 | \newtheorem{axiom}{公理}[section] 38 | \newtheorem{lemma}{引理}[section] 39 | \newtheorem{principle}{原理}[section] 40 | %\newtheorem{exercise}{题目}[section] 41 | \newtheorem{topic}{问题}[section] 42 | \newtheorem{statement}{命题}[section] 43 | % \newtheorem{example}{例}[section] 44 | 45 | % 使公式编号与章节关联，命令由 amsmath 宏包提供 46 | \numberwithin{equation}{section} 47 | 48 | % 配合 \autoref 命令使引用不只引用编号，也能引用环境命名，如: 定理 3.2.5，来自 hyperref 宏包。 49 | %\newcommand\equationautorefname{式} 50 | %\newcommand\footnoteautorefname{脚注}% 51 | %\newcommand\itemautorefname{项} 52 | \def\figureautorefname{图} 53 | \def\tableautorefname{表} 54 | \def\chapterautorefname{章} 55 | \def\sectionautorefname{节} 56 | \def\subsectionautorefname{小节} 57 | \def\appendixautorefname{附录} 58 | \def\propertyautorefname{性质} 59 | \def\theoremautorefname{定理} 60 | \def\definitionautorefname{定义} 61 | \def\inferenceautorefname{推论} 62 | \def\axiomautorefname{公理} 63 | \def\lemmaautorefname{引理} 64 | \def\principleautorefname{原理} 65 | \def\exerciseautorefname{题目} 66 | \def\topicautorefname{问题} 67 | \def\statementautorefname{命题} 68 | \def\exampleautorefname{例} 69 | \def\equationautorefname{式} 70 | 71 | % 微分算子定义，取自 https://liam0205.me/2017/05/01/the-correct-way-to-use-differential-operator/ 72 | \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} 73 | 74 | %%% Local Variables: 75 | %%% mode: latex 76 | %%% TeX-master: "elementary-math-note" 77 | %%% End: 78 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/derivative-and-differential/derivative-and-differential.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{导数与微分} 3 | \label{chap:derivative-and-differential} 4 | 5 | \input{contents/derivative-and-differential/differential-mean-value-theorems} 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/derivative-and-differential/differential-mean-value-theorems.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{微分中值定理} 3 | \label{sec:differential-mean-value-theorems} 4 | 5 | \subsection{拉格朗日中值定理与柯西中值定理} 6 | \label{sec:lagrange-and-cauchy-mean-value-theorem} 7 | 8 | \begin{theorem}[费马(Fermat)极值定理] 9 | \label{theorem:derivative-at-extreme-value-is-0} 10 | 如果函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值或者极小值，且该点处可导，则必有$f'(x_0)=0$. 11 | \end{theorem} 12 | 13 | \begin{proof}[证明] 14 | 假定在$x_0$处取得极大值，那么必存在$x_0$的某邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$，使得任意$x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)$有$f(x) \leqslant f(x_0)$，于是当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时，成立 15 | \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geqslant 0 \] 16 | 而在$x \in (x_0,x_0+\delta)$时，则成立 17 | \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leqslant 0 \] 18 | 于是分别就有 19 | \[ f'(x_0-0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geqslant 0 \] 20 | 和 21 | \[ f'(x_0+0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leqslant 0 \] 22 | 但由$f'(x_0)$是存在的，所以只能$f'(x_0)=0$，极小值的情况也是类似的。 23 | \end{proof} 24 | 25 | \begin{theorem}[罗尔(Rolle)中值定理] 26 | 如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内连续，在开区间$(a,b)$内可导，并且$f(a)=f(b)$，则存在$ \xi \in (a,b)$使得$f'(\xi)=0$. 27 | \end{theorem} 28 | 29 | \begin{proof}[证明] 30 | 由连续函数性质,闭区间上的连续函数存在最大值和最小值，我们来证明在开区间上必然能够取到这两个最值中的至少一个，然后由\autoref{theorem:derivative-at-extreme-value-is-0}便能得出结论。 31 | 32 | 由条件，$f(a)=f(b)=K$，设函数$f(x)$在闭区间上的最大值和最小值分别是$M$和$m$，如果$M=m=K$，那么开区间上任何一点处都是极值，结论是成立的，在$M \neq m$时，两者中至少有一个不等于$K$，假定$M \neq K$，那么这最大值$M$就只能在开区间上某点处取得，而根据\autoref{theorem:derivative-at-extreme-value-is-0}，该点处导数为零，如果是$m \neq K$，同理可证。 33 | \end{proof} 34 | 35 | \begin{theorem}[拉格朗日(Lagrange)中值定理] 36 | 如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在$\xi \in (a,b)$使得 37 | \[ f'(\xi) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \] 38 | \end{theorem} 39 | 40 | \begin{proof}[证明] 41 | 显然这是罗尔定理的推广，设法让它符合罗尔定理中两个端点的函数值相等的条件，于是让它减去连接首尾两个端点的一次函数，这个一次函数是 42 | \[ l(x) = f(a) + \frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-a) \] 43 | 作函数$g(x)=f(x)-l(x)$，则显然$g(x)$仍然在闭区间上连续开区间上可导，并且这时$g(a)=g(b)=0$，所以根据罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得$g'(\xi)=0$，于是 44 | \[ f'(\xi) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \] 45 | \end{proof} 46 | 47 | \begin{theorem}[柯西(Cauchy)中值定理] 48 | 如果函数$f(x)$和函数$g(x)$都在闭区间$[a,b]$上连续且在开区间$(a,b)$内可导，并且$g(b) \neq g(a)$，同时导函数$f'(x)$和$g'(x)$不同时取零值，那么存在$\xi \in (a,b)$，使得 49 | \[ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} \] 50 | \end{theorem} 51 | 52 | \begin{proof}[证明] 53 | 作辅助函数 54 | \[ h(x) = f(x)-f(a)-\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}(g(x)-g(a)) \] 55 | 显见$h(x)$满足罗尔中值定理的条件，因此存在$\xi \in (a,b)$，使得$h'(\xi)=0$，于是 56 | \[ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} \] 57 | \end{proof} 58 | 59 | 柯西中值定理实际上就是把拉格朗日中值定理应用到了用参数方程$x=f(t),y=g(t)$表示的曲线上。 60 | 61 | \subsection{洛必达法则} 62 | \label{sec:Hospital-limit-rule} 63 | 64 | \subsection{泰勒公式} 65 | \label{sec:taylor-theorem} 66 | 67 | \begin{theorem} 68 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，而且在$x_0$处存在直到$n$阶的导数，若记 69 | \[ T_n(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots 70 | + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \] 71 | 则有 72 | \[ f(x) = T_n(x) + o(x-x_0)^n \] 73 | \end{theorem} 74 | 75 | \begin{proof}[证明] 76 | 只需要证明 77 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - T_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0 \] 78 | 即可，这只要连续使用$n$次洛必达法则就能办到。 79 | \end{proof} 80 | 81 | %%% Local Variables: 82 | %%% mode: latex 83 | %%% TeX-master: "../../book" 84 | %%% End: 85 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/fourier-series/fourier-series.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{傅里叶级数} 3 | \label{chap:fourier-series} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/function-series/function-series.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{函数项级数与幂级数} 3 | \label{chap:function-series} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/function-with-many-variables-calculus/function-with-many-variables-calculus.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{多元函数微分学} 3 | \label{chap:function-with-many-variables-calculus} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/implicit-function/implicit-function.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{隐函数} 3 | \label{chap:implicit-function} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/improper-integral/improper-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{反常积分} 3 | \label{chap:improper-integral} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/line-integral/line-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{曲线积分} 3 | \label{chap:line-integral} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/multiple-integral/multiple-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{多重积分} 3 | \label{chap:multiple-integral} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/number-series/number-series.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{常数项无穷级数} 3 | \label{chap:number-series} 4 | 5 | \input{contents/number-series/positive-number-series} 6 | \input{contents/number-series/signed-series} 7 | 8 | %%% Local Variables: 9 | %%% mode: latex 10 | %%% TeX-master: "../../book" 11 | %%% End: 12 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/number-series/positive-number-series.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{正项级数的收敛性判别} 3 | \label{sec:positive-number-series} 4 | 5 | 对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它的每一项都是正数（或者当$n$充分大时恒保持正号），我们有一系列的判别方法可以判断它的收敛性。 6 | 7 | 由于正项级数的部分和是单调增加的，所以回想起数列极限的单调有界定理，我们就有 8 | 9 | \begin{theorem} 10 | 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和有界。 11 | \end{theorem} 12 | 13 | \begin{example} 14 | 级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$的部分和$S_n=1-\frac{1}{n+1}<1$，所以级数收敛。 15 | \end{example} 16 | 17 | \begin{example} 18 | 级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$的部分和$S_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}$，我们在\autoref{sec:a-import-sequence-limit}便已经得到过$S_n<3$，所以级数收敛。 19 | \end{example} 20 | 21 | \begin{example} 22 | \label{example:series-ln-1-plus-1-over-n-converage} 23 | 级数$\sum_{n=1}^{\infty}\ln{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}$，注意到$\ln{\left( 1+\frac{1}{n} \right)} = \ln{(n+1)}-\ln{n}$，所以部分和$S_n=\ln{(n+1)}$，显然无界，所以级数发散。 24 | \end{example} 25 | 26 | \subsection{比较判别法} 27 | \label{sec:compare-method-aboud-series-converage} 28 | 29 | 如下的比较判别法是相当重要的: 30 | \begin{theorem}[比较判别法] 31 | \label{theorem:comparison-method-about-series-converage} 32 | 对于两个正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，如果从某一项起恒有$a_n \leqslant b_n$，那么由$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的收敛便能推得$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛，同理，由$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散便能推得$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$也发散。 33 | \end{theorem} 34 | 35 | \begin{proof}[证明] 36 | 由条件，存在下标$N$，使得当$n>N$时恒有$a_n \leqslant b_n$，分别用$A_n$和$B_n$表示两个级数的部分和，则 37 | \[ A_n = A_N + (a_{N+1}+\cdots+a_n), \ B_n=B_N+(b_{N+1}+\cdots+b_n) \] 38 | 显然$A_n - A_N \leqslant B_n-B_N$，所以如果$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则$B_n$有上界，从而$A_n$也有上界，所以$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。而如果$\sum_{n=1}^{\infty}$是发散的，那么$A_n$必定没有上界，从而$B_n$也不可能有上界，因而$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$也必然发散。 39 | \end{proof} 40 | 41 | 实际上，条件$a_n \leqslant b_n$可以改成$a_n \leqslant \lambda b_n$，其中$\lambda$是一个正常数，这是因为正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$跟正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\lambda b_n$的收敛性是相同的。 42 | 43 | 这个判别法还有以下的极限形式 44 | \begin{theorem} 45 | 如果正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的通项之比有极限(有限的或无穷的均可) 46 | \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = K \] 47 | 则如果$K$是正常数，那么两个级数同时收敛同时发散。如果$K=0$，则由$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛可推得$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛，如果$K=+\infty$，由由$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散可推得$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。 48 | \end{theorem} 49 | 50 | \begin{example} 51 | 设$a_n=\frac{1}{n}$，$b_n=\ln{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}$，由极限 52 | \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}} =1 \] 53 | 知道它们同时收敛同时发散，而在\autoref{example:series-ln-1-plus-1-over-n-converage}中已经知道$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$是发散的，所以$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也是发散的。 54 | \end{example} 55 | 56 | 57 | \begin{example} 58 | 我们来研究一个重要的级数，即级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$的收敛性。 59 | 60 | 如果$s=1$，则级数成为 61 | \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \] 62 | 有如下的片段和估计 63 | \[ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > n \cdots \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \] 64 | 片断和不能任意小，违反柯西收敛准则，所以$s=1$时级数发散，于是$s<1$时级数也都发散，因为部分和会更大。 65 | 66 | 而对于$s>1$的情况，我们将证明它是收敛的，这是因为我们有 67 | \[ \frac{1}{(n+1)^s} + \frac{1}{(n+2)^s} + \cdots + \frac{1}{(2n)^s} < n \cdot \frac{1}{n^s} = \frac{1}{n^{s-1}} \] 68 | 所以我们把正整数分段，每一段以$2^k+1$作为开始，以$2^{k+1}$作为结尾，就有 69 | \[ \sum_{i=1}^{2^n}\frac{1}{i^s} = 1+\sum_{k=0}^n \sum_{i=1}^{2^k} \frac{1}{(2^k+i)^s} < 1+\sum_{k=0}^n \frac{1}{(2^k)^{s-1}} = 1+\sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{2^{s-1}} \right)^k \] 70 | 注意到$s>1$，所以上式最右边是一个公比小于1的等比级数，显然它是收敛的，于是左边的部分和有上界，从而级数收敛。 71 | 72 | 这个级数的和作为$s$的函数，便是著名的 \emph{黎曼函数}$\zeta(s)$，即对于$s>1$， 73 | \[ \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \] 74 | 这函数在数论中有非常重要的地位。 75 | \end{example} 76 | 77 | 78 | 79 | 我们还有另一种形式的比较判别法 80 | \begin{theorem} 81 | 对于两个正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，如果从某一项起恒有 82 | \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \frac{b_{n+1}}{b_n} \] 83 | 那么由$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛可推出$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛，同样，由$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散也可以推出$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散。 84 | \end{theorem} 85 | 86 | \begin{proof}[证明] 87 | 设从$n>N$时就有条件中的不等式恒成立，则可得 88 | \[ \frac{a_n}{a_N} \leqslant \frac{b_n}{b_N} \] 89 | 由\autoref{theorem:comparison-method-about-series-converage}即得结论。 90 | \end{proof} 91 | 92 | 利用比较判别法，我们把给定级数与一些已知为收敛的级数相比较，可以开发出一系列更具体的判别法，下文的判别法，基本都是如此。 93 | 94 | \subsection{柯西判别法与达朗贝尔判别法} 95 | \label{sec:cauchy-dalembert-method-aboud-series-converage} 96 | 97 | 因为几何级数$\sum_{n=1}^{\infty}q^n$在$0N$时恒有$\mathcal{C}_n \leqslant q$，那么此时有$a_n \leqslant q^n$，而级数$\sum_{n=1}^{\infty}q^n$在$0N$时恒有$\mathcal{C}_n \geqslant 1$，那么此时恒有$a_n \geqslant 1$，通项不能趋于零，故级数发散。 107 | \end{proof} 108 | 109 | 柯西判别法也有极限形式 110 | \begin{inference} 111 | 对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果柯西序列有极限$\lim_{n \to \infty} \mathcal{C}_n=q$，那么当$01$时级数发散，当$q=1$时可能收敛也可能发散。 112 | \end{inference} 113 | 114 | \begin{theorem}[达朗贝尔判别法] 115 | 对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，作达朗贝尔序列 116 | \[ \mathcal{D}_n = \frac{a_{n+1}}{a_n} \] 117 | 如果当$n$充分大时有$\mathcal{D}_n \leqslant q$，其中$0N$时，$\mathcal{D}_n \leqslant q$，其中$0N$时$\mathcal{D}_n \geqslant 1$，那么自然有$a_n \geqslant a_N$，通项不趋于零，级数发散。 122 | \end{proof} 123 | 124 | 达朗贝尔判别法的极限形式 125 | \begin{inference} 126 | 对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果达朗贝尔序列有极限$\lim_{n \to \infty} \mathcal{D}_n = q$，在$01$时级数发散，$q=1$时级数可能收敛也可能发散。 127 | \end{inference} 128 | 129 | 由达朗贝尔的条件出发，可以得它也满足柯西判别法的条件，因为由$a_n \leqslant a_N q^{n-N}$可得$\sqrt[n]{a_n} \leqslant q \sqrt[n]{a_N/q^N}$，后一根式极限为1，所以当$n$充分大时它可以保证$q \sqrt[n]{a_N/q^N}1$时收敛，在$s \leqslant 1$时发散，把给定的级数与这个级数相比较，就得出拉阿伯判别法。 135 | 136 | \begin{theorem}[拉阿伯判别法] 137 | 对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，记拉阿伯序列 138 | \[ \mathcal{R}_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) \] 139 | 如果存在常数$r>1$，使得当$n$充分大时恒有$\mathcal{R}_n \geqslant r$，则级数收敛，如果当$n$充分大时恒有$\mathcal{R}_n \leqslant 1$，则级数发散。 140 | \end{theorem} 141 | 142 | \begin{proof}[证明] 143 | 假定当$n>N$时恒有$\mathcal{R}_n \geqslant r$，则可得 144 | \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \frac{n}{n+r} \] 145 | 对于右边的分式，我们将说明存在$s>1$，使得当$n$充分大时恒有 146 | \[ \frac{n}{n+r} \leqslant \left( \frac{n}{n+1} \right)^s \] 147 | 这$s$只要满足下式 148 | \[ s \leqslant \frac{\ln{\left( 1+\frac{r}{n} \right)}}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}} \] 149 | 借由当$x \to 0$时的等价无穷小$\ln(1+x) \sim x$，我们可得出上式右边以$r$为极限，而$r>1$，所以取$11$时收敛知原级数收敛。 152 | 153 | 如果当$n$充分大时$\mathcal{R}_n \leqslant 1$，则此时 154 | \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \geqslant \frac{n}{n+1} \] 155 | 由级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的发散知原级数发散。 156 | \end{proof} 157 | 158 | 拉阿伯判别法的极限形式是 159 | \begin{inference} 160 | 对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果拉阿伯序列存在极限$\lim_{n \to \infty} \mathcal{R}_n=R$，则$R>1$时级数收敛，$R<1$时级数发散，$R=1$时级数可能收敛也可能发散。 161 | \end{inference} 162 | 163 | \subsection{库默尔判别法} 164 | \label{sec:kummer-method-about-series-converage} 165 | 166 | 库默尔判别法是一个泛型化的判别法，利用它可以构造一系列具体的判别法，包括达朗贝尔判别法和拉阿伯判别法。 167 | 168 | \begin{theorem}[库默尔(Kummer)判别法] 169 | 对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们选取一个序列$c_n$，使得级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c_n}$是发散的，作库默尔序列 170 | \[ \mathcal{K}_n = c_n \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1} \] 171 | 如果存在正常数$r$，使得当$n$充分大时恒有$\mathcal{K}_n \geqslant r$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，如果当$n$充分大时恒有$\mathcal{K}_n \leqslant 0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}$发散。 172 | \end{theorem} 173 | 174 | \begin{proof}[证明] 175 | 如果当$n \geqslant N$时有$\mathcal{K}_n \geqslant r > 0$，那么此时有$c_na_n-c_{n+1}a_{n+1} \geqslant r a_{n+1} > 0$，这表明数列$c_na_n$是一个单调递减的正项数列，因而它存在极限，进而有 176 | \[ c_Na_N-c_{n+1}a_{n+1} = \sum_{i=N}^n (c_ia_i-c_{i+1}a_{i+1}) \geqslant r \sum_{i=N}^n a_{i+1} \] 177 | 由于$c_na_n$存在极限，因而正项(至少从$N$开始为正)级数$\sum_{n=1}^{\infty}(c_na_n-c_{n+1}a_{n+1})$收敛，于是由比较判别法，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，而且从这证明过程中可以看到，条件$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c_n}$发散并没有用到，但这条件在证明定理的后一半结论时会用到。 178 | 179 | 如果当$n$充分大时恒有$\mathcal{K}_n \leqslant 0$，便有 180 | \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \frac{\frac{1}{c_n}}{\frac{1}{c_{n+1}}} \] 181 | 由级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{c_n}$的发散，知级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散。 182 | \end{proof} 183 | 184 | 在库默尔判别法中，取$c_n=1$，就得出达朗贝尔判别法，取$c_n=n$，就得出拉阿伯判别法。 185 | 186 | 库默尔判别法的极限形式是 187 | \begin{theorem} 188 | 对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$及选定的序列$c_n$，如果库默尔序列有极限$\lim_{n \to \infty} \mathcal{K}_n=K$，则如果$K>0$，则级数收敛，如果$K<0$，则级数发散，而对于$K=0$，则级数可能收敛也可能发散。 189 | \end{theorem} 190 | 191 | \subsection{积分判别法} 192 | \label{sec:the-integrate-method-of-determination-number-series} 193 | 194 | 可以利用反常积分来判别一类级数的敛散性. 195 | \begin{theorem}[积分判别法] 196 | 若可积函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上恒取非负值且单调递减，则反常积分$\int_0^{+\infty}f(x)dx$与级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$有相同的敛散性。 197 | \end{theorem} 198 | 199 | \begin{proof}[证明] 200 | 令$S_n=\sum_{i=1}^nf(i)$，$I_n=\int_0^nf(x)dx$，则$S_n$和$I_n$都是单调增加的数列，又 201 | \[ I_n=\sum_{i=1}^n\int_{i-1}^if(x)dx \] 202 | 由单调性，有 203 | \[ \sum_{i=1}^nf(i) \leqslant I_n \leqslant \sum_{i=1}^nf(i-1) \] 204 | 即 205 | \[ S_n \leqslant I_n \leqslant f(0)+S_{n-1} \] 206 | 可见，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$收敛，则$S_n$有极限$S$，则$I_n$单调增加并有上界$f(0)+S$，因而$I_n$有极限(不一定是$S$)，即反常积分$\int_{i=1}^{+\infty}f(x)dx$收敛。反之，如果反常积分收敛，则$I_n$有极限$I$，这时$S_n$单调增加并有上界$I$，因此$S_n$收敛，即级数$\sum_{i=1}^{\infty}f(n)$收敛。 207 | \end{proof} 208 | 209 | 需要说明的是，上述定理中的区间可以是任意的左闭右开区间$[a,+\infty)$，这时级数只要从大于$a$的任一正整数开始即可，从定理证明过程可以看出这并没有什么影响。 210 | 211 | \begin{example} 212 | 对于正实数$p$,考虑如下的级数 213 | \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \] 214 | 对应的函数$f(x)=1/x^p$在$[1/2,+\infty)$上单调递减，由于$p>1$时反常积分$\int_1^{+\infty}f(x)dx$收敛，所以此时级数也收敛，在$p \leqslant 1$时反常积分是发散的，所以此时级数也是发散的。 215 | \end{example} 216 | 217 | 218 | 219 | %%% Local Variables: 220 | %%% mode: latex 221 | %%% TeX-master: "../../book" 222 | %%% End: 223 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/number-series/signed-series.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{一般项级数} 3 | \label{sec:signed-series} 4 | 5 | \subsection{交错级数} 6 | \label{sec:alternating-sign-series} 7 | 8 | \begin{definition} 9 | 如果序列$\{a_n\}$的任意相邻两项的符号都相反，即整个序列交错的取正值和负值，则称其为\emph{交错序列}，而对应级数$\sum_{i=1}^{\infty}a_n$为\emph{交错级数}. 10 | \end{definition} 11 | 12 | 对于交错级数的收敛性有如下结论 13 | 14 | \begin{theorem} 15 | 如果数列$\{a_n\}(n=0,1,\ldots)$单调递减并趋于零，则级数$\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{n}a_n$收敛。 16 | \end{theorem} 17 | 18 | \begin{proof}[证明] 19 | 级数$\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$与级数$\sum_{i=0}^n(-1)^na_n$的收敛性是相同的，这里只是为了方便而让首项$a_0$的符号是正的。 20 | 21 | 作级数的部分和$S_n=a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^na_n$,显然 22 | \[ S_{2n+1}=(a_0-a_1)+(a_2-a_3)+\cdots+(a_{2n}-a_{2n+1}) \] 23 | 由$\{a_n\}$单调递减可知$S_{2n+1}$是单调增加的正项数列，但是 24 | \[ S_{2n+1}=a_0-(a_1-a_2)-(a_3-a_4)-\cdots-(a_{2n-1}-a_{2n})-a_{2n+1} \] 25 | 显然就有$S_{2n+1}0$，存在正整数$N$，使得对于任意$n>N$和任意正整数$m$成立 41 | \[ |a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_{n+m}| < \varepsilon \] 42 | 于是也有 43 | \[ |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+m}| < \varepsilon \] 44 | 所以原来的级数也收敛。 45 | \end{proof} 46 | 47 | 注意收敛级数并一定都是绝对收敛，如交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$。 48 | 49 | 下面的定理提示了绝对收敛级数的一个非常重要的性质 50 | \begin{theorem} 51 | 如果一个级数绝对收敛，则将它的项任意重新排列后所得新级数仍然绝对收敛，且其和不变。 52 | \end{theorem} 53 | 54 | \begin{proof}[证明] 55 | 对于绝对收敛的级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，将它的项任意重新排列后所得新级数记为$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，记$A_n=\sum_{i=1}^n|a_i|$，$B_n=\sum_{i=1}^n|b_i|$，则对于任一$B_n$，组成它的各个$b_i$在原来的级数中的下标最大值记为$m$，则显然$B_n \leqslant A_m$，于是$B_n$单调增加有上界，故级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$绝对收敛。 56 | \end{proof} 57 | 58 | 以下定理深刻提示了绝对收敛级数与非绝对收敛级数之间的区别。 59 | \begin{theorem}[黎曼定理] 60 | 如果一个级数收敛但非绝对收敛，则将它的项进行适当的重新排列后，可使新级数收敛到任意预先指定的实数。 61 | \end{theorem} 62 | 63 | %%% Local Variables: 64 | %%% mode: latex 65 | %%% TeX-master: "../../book" 66 | %%% End: 67 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/parametric-integral/parametric-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{含参积分} 3 | \label{chap:parametric-integral} 4 | 5 | %%% Local Variables: 6 | %%% mode: latex 7 | %%% TeX-master: "../../book" 8 | %%% End: 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/surface-integral/surface-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{曲面积分} 3 | \label{chap:surface-integral} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../../book" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-completeness-of-real/some-theorems-for-real-completeness.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{刻画实数完备性的几个定理} 3 | \label{sec:some-theorems-for-real-completeness} 4 | 5 | 6 | \begin{theorem}[确界定理] 7 | 如果数集有上界，则必有上确界，如果有下界，则必有下确界。 8 | \end{theorem} 9 | 10 | \begin{theorem}[单调有界定理] 11 | 单调递增有上界的数列收敛，单调递减有下界的数列也收敛。 12 | \end{theorem} 13 | 14 | \begin{theorem}[柯西收敛准则] 15 | 数列$x_n$收敛的充分必要条件是，对于任意正实数$\epsilon$，都存在正整数$N$，使得对于任意满足$n_1>N,n_2>N$的$n_1,n_2$都成立$|x_{n_1}-x_{n_2}| < \epsilon$。 16 | \end{theorem} 17 | 18 | \begin{theorem}[闭区间套定理] 19 | 如果闭区间无穷序列$[a_i,b_i](i=1,2,\ldots)$满足两个条件: (1)$[a_k,b_k]\supset[a_{k+1},b_{k+1}](i=1,2,\ldots)$，(2)$\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$，则存在唯一实数，同时位于所有闭区间内。 20 | \end{theorem} 21 | 22 | \begin{theorem}[有限覆盖定理] 23 | 如果有无穷多个开区间的并集覆盖了一个闭区间，那么能够从中选取有限个开区间，它们的并集就足够覆盖这个闭区间了。 24 | \end{theorem} 25 | 26 | \begin{definition} 27 | 对于一个数集和一个实数，如果在这实数的任意空心邻域内都有这数集中的数，则这实数称为这数集的\emph{聚点}。 28 | \end{definition} 29 | 30 | 容易知道，假若$x$是数集$A$的一个聚点，则它的任意邻域内必包含数集中的无穷多个数。 31 | 32 | \begin{theorem}[聚点定理] 33 | 有界的无穷数集必有聚点。 34 | \end{theorem} 35 | 36 | 37 | 38 | %%% Local Variables: 39 | %%% mode: latex 40 | %%% TeX-master: "../../book" 41 | %%% End: 42 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-completeness-of-real/the-completeness-of-real.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{实数的完备性理论} 3 | \label{chap:the-completeness-of-real} 4 | 5 | 6 | \input{contents/the-completeness-of-real/some-theorems-for-real-completeness} 7 | 8 | %%% Local Variables: 9 | %%% mode: latex 10 | %%% TeX-master: "../../book" 11 | %%% End: 12 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-limit-and-continuity-of-function/pic/graphy-of-function-sinx-over-x.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | import geometry; 3 | import graph; 4 | 5 | size(150); 6 | 7 | real foo(real x) { 8 | return sin(x) / x; 9 | } 10 | 11 | real positivescale(real x) { 12 | return 1 / x; 13 | } 14 | 15 | real negativescale(real x) { 16 | return -1 / x; 17 | } 18 | 19 | path pl = graph(foo, -8, -0.01, operator..); 20 | draw(pl); 21 | path p2 = graph(foo, 0.01, 8, operator..); 22 | draw(p2); 23 | path p3 = graph(positivescale, -8, -0.7, operator..); 24 | draw(p3, dashed); 25 | path p4 = graph(positivescale, 0.7, 8, operator..); 26 | draw(p4, dashed); 27 | path p5 = graph(negativescale, -8, -0.7, operator..); 28 | draw(p5, dashed); 29 | path p6 = graph(negativescale, 0.7, 8, operator..); 30 | draw(p6, dashed); 31 | 32 | 33 | xaxis("$x$", Arrow); 34 | yaxis("$y$", Arrow); 35 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-limit-and-continuity-of-function/pic/limit-of-sinx-over-x-at-0.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | import geometry; 3 | 4 | size(120); 5 | 6 | pair O = (0, 0); 7 | label("$O$", O, SW); 8 | real r = 1, theta = pi / 4; 9 | path mycircle = circle(O, r); 10 | draw(mycircle); 11 | 12 | pair A = (r, 0); 13 | pair B = (r, r * tan(theta)); 14 | pair C = (r * cos(theta), r * sin(theta)); 15 | pair D = (r * cos(theta), 0); 16 | 17 | label("$A$", A, SE); 18 | label("$B$", B, NE); 19 | label("$C$", C, N); 20 | label("$D$", D, S); 21 | 22 | draw(O -- A -- B -- cycle); 23 | draw(C -- D); 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-limit-and-continuity-of-function/the-concept-of-function-limit.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{函数的极限} 3 | \label{sec:the-limit-concept-of-function} 4 | 5 | 与数列的极限有所区别，函数的极限过程有两大类，一类是自变量趋于正无穷或者负无穷的极限，一类是自变量趋于某个固定点的极限。 6 | 7 | \begin{definition} 8 | 设函数$f(x)$在无穷区间$(a,+\infty)$上有定义，$A$是一个实数，如果对于任意小的正实数$\varepsilon$，总存在实数$X>a$，使得$x>X$时恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称数$A$是函数$f(x)$在自变量$x$趋于正无穷大时的 \emph{极限}，记作: 9 | \[ \lim_{x\to\infty}f(x) = A \] 10 | \end{definition} 11 | 类似的可以得函数当自变量趋于负无穷大的极限定义，并且如果函数当自变量趋于正无穷大和负无穷大时都有极限而且极限相同，则称函数当自变量趋于无穷大时有极限，这也可以从绝对值来定义而不考虑自变量的符号。 12 | 13 | 当自变量趋于某点的极限定义如下: 14 | \begin{definition} 15 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某空心邻域内有定义，$A$是一个实数，如果对于任意小的正实数$\varepsilon>0$，总存在另一正实数$\delta>0$，使得定义域中满足$|x-x_0|<\delta$的数$x$恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称$A$是函数$f(x)$当自变量趋于$x_0$时的极限，记作 16 | \[ \lim_{x\to x_0} f(x) = A \] 17 | \end{definition} 18 | 要指出的是，函数$f(x)$在自变量趋于$x_0$时即使收敛，其极限值也并不一定等于$f(x_0)$，实际上函数在$x_0$也并不一定有定义。 19 | 20 | 考虑到$x$趋于$x_0$的方式，它可以从小于$x_0$的一侧去靠近它，也可以从大于$x_0$的一侧去靠近它，也可以时而在大于$x_0$的一侧，时而位于小于$x_0$的一侧的方式去接近它，所以在这里我们给出 \emph{单侧极限} 的概念。 21 | 22 | \begin{definition} 23 | 如果函数$f(x)$在$x_0$的某个右空心邻域内有定义，$A$是一个实数，如果对于任意小的正实数$\varepsilon>0$，都存在另一个正实数$\delta>0$，使得当$x_0 0$，都存在另一个正实数$\delta > 0$，使得对这邻域内满足$|x-x_0|<\delta$的实数$x$都成立不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么对于任意一个也在这空心邻域内取值并以$x_0$为极限的数列$x_n$，因为它以$x_0$为极限，所以对于这个$\delta>0$，就必然能够从某一项$x_N$开始，后面的所有项都满足$|x_n-x_0|<\delta$，于是就有$|f(x_n)-A|<\varepsilon$，这就表明$f(x_n)$当$n \to \infty$时以$A$为极限，必要性得证。 11 | 12 | 再证充分性，如果对于任意一个在这空心邻域内取值并收敛到$x_0$的数列$x_n$，对应的函数值数列$f(x_n)$都收敛到同一实数$A$，我们将证明，函数$f(x)$在$x \to x_0$时也必将收敛到$A$. 采用反证法，假使函数$f(x)$当$x \to x_0$时不以数$A$为极限，那么必然存在某个$\varepsilon_0>0$，使得无论把另一个正实数$\delta>0$限制得多么小，总有满足$|x-x_0|<\delta$的实数$x$能够使得$|f(x)-A| \geqslant \varepsilon_0$成立，于是先取$\delta=1$，得出一个符合这条件的实数$x_1$，然而取$\delta=\min\{\frac{1}{2}, |x_1-x_0|\}>0$，又可以选出$x_2$，依次这样下去，逐个令$\delta_n=\min\{\frac{1}{n}, |x_{n-1}-x_0|\}$，就可以挑选出$x_{n+1}$，这样就作出一个数列$x_n$，由$|x_n-x_0|<\delta_n<\frac{1}{n}$可知$x_n$收敛到$x_0$，但是由于$|f(x_n)-A| \geqslant \varepsilon$恒成立，可知数列$f(x_n)$并不收敛到$A$，这样，我们就证明了如果函数$f(x)$当$x \to x_0$时不以$A$为极限，那么就可以构造出一个以$x_0$为极限的数列$x_n$，使得$f(x_n)$也不以$A$为极限，这与我们的条件是矛盾的，所以充分性得证。 13 | \end{proof} 14 | 15 | 事实上，如果任意以$x_0$为极限的数列$x_n$，函数值数列$f(x_n)$都收敛的话，这些极限值也必然相同，这是因为，如若不然，假如两个数列$x_n$和$r_n$分别以$A$和$B$为极限，那么在这两个数列中交错的取项构成另一数列$s_n$，显然$s_n$也以$x_0$为极限，而函数值数列$f(s_n)$中的奇数下标子列和偶数下标子列分别以$A$和$B$为极限，由条件知$f(s_n)$应有极限，所以$A=B$.有了这结论，上述定理中的条件可以适当减弱。 16 | 17 | 与数列的单调有界定理相仿，我们有以下定理 18 | \begin{theorem} 19 | 如果函数$f(x)$在$x_0$的某左空心邻域内单调递增且有上界，则函数$f(x)$在$x_0$处的左极限存在，右极限也有类似的结论。 20 | \end{theorem} 21 | 22 | \begin{proof}[证明] 23 | 证明很简单，只要在这左邻域内任取一单调增加并以$x_0$为极限的数列$x_n$，则函数值数列$f(x_n)$亦必是单调增加的数列，而它又有上界，所以它有极限，设这极限为$A$，则易证$A$便是函数在这左空心邻域内的上确界，那么对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时恒有$|f(x_n)-A|<\varepsilon$成立，于是取$\delta = x_0-x_{N+1}>0$，则对于任意满足$x_0-\deltar$，类似的，对于任意大于$f(x_0)$的实数$r$，也存在$x_0$的某邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$，使得函数在该区间上恒有$f(x)0$且$a \neq 1$，它的正整数$n$次幂定义为 53 | \[ a^n = aa\cdots a(n\text{个}a) \] 54 | 在这定义下，显然有$a^n>0$(正值性)，而且对于两个正整数$n$和$m$有 55 | \begin{equation} 56 | \label{eq:exponent-multiple-rule-with-positive-integer} 57 | a^{n+m}=a^na^m 58 | \end{equation} 59 | 这称为指数运算的乘法公式。 60 | 61 | 如果正整数$n1$时成立 62 | \[ a^n$时是单调增加的，$01$且$a \neq 1$，则在$a>1$时有$a^na^m$. 72 | \end{theorem} 73 | 74 | \begin{proof}[证明] 75 | 在$a>1$的情况下，如果$n$是负整数而$m$是非负整数，则利用定义在正整数集上的指数函数的单调性得 76 | \[ a^n = \frac{1}{a^{-n}} < \frac{1}{a^0} = 1 = a^0 \leqslant a^m \] 77 | 而在$n$和$m$都是负整数的情形，$-n$和$-m$是两个正整数并且$-n>-m$，所以利用定义在正整数集上的指数函数的单调性，有 78 | \[ a^n = \frac{1}{a^{-n}} < \frac{1}{a^{-m}} = a^m \] 79 | 这就证得$a>1$时，定义在整数集上的指数是增函数，而在$01$和正整数$n$，有$a^n>1$，而对于负整数$n$，则$01$. 88 | \end{inference} 89 | 90 | 91 | 我们再继续把指数向有理数范围内推广，我们先证下面的结论 92 | \begin{theorem} 93 | 设$n$和$m$是任意两个整数，实数$a>0$且$a \neq 1$，则$(a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m$. 94 | \end{theorem} 95 | 96 | \begin{proof}[证明] 97 | 先证$n$和$m$都是正整数的情形，$(a^m)^n$代表$n$个$a^m$相乘，而$a^m$代表$m$个$a$相乘，所以最终便是$mn$个$a$相乘，所以$(a^m)^n=a^{mn}$，同理$(a^n)^m=a^{nm}=a^{mn}$ 98 | 99 | 如果$m$和$m$中至少有一个是零，则结论显然是成立的，然后按负正整数指数幂的定义也容易得出结论对于$n$和$m$中至少有一个是负整数时也是成立的。 100 | \end{proof} 101 | 102 | 有了这个定理，我们来考虑有理整数幂，设$x=n/m$为有理数，其中$n$和$m$是一对互素的整数并且$m$是正整数，我们推广的依据是使得刚才定理中的结论对有理数也成立，这就是说，有下式成立 103 | \[ (a^{\frac{n}{m}})^m = a^{\frac{n}{m}m} = a^n \] 104 | 于是得到 105 | \[ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \] 106 | 我们就把它作为有理指数幂和定义，乘法公式和负指数幂的公式仍然是成立的，并且指数函数在有理数集上的正值性和单调性仍然是成立的，这里我们证明一下单调性。 107 | 108 | 根据有理指数幂的定义，不难证明\autoref{inference:exponent-compare-to-1}在有理数上也是成立的，假定$x$和$y$是两个有理数并且$x0$,$a^y>0$，在$a>1$时 109 | \[ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \] 110 | 如果$a>1$，那么由$x-y$是一个负有理数，利用\autoref{inference:exponent-compare-to-1} 在有理数的情形即知$a^{x-y}<1$，所以$a^x0$且$a \neq 1$，各项均为有理数的数列$r_n$收敛到一个无理数$r$，则实数$a$的$r$次幂定义为 115 | \[ a^r = \lim_{n \to \infty} a^{r_n} \] 116 | \end{definition} 117 | 118 | 这里有几个疑问：这个极限存在吗？对于收敛到无理数$r$的所有有理数列，这个极限都相等吗? 下面这个定理就肯定了这一点。 119 | \begin{theorem} 120 | 设实数$a>0$且$a \neq 1$，$r$是一个无理数，则任意收敛到$r$的有理数数列都收敛，而且极限值都相同。 121 | \end{theorem} 122 | 123 | 先证明下面的引理 124 | \begin{lemma} 125 | \label{lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0} 126 | 设有理数数列$r_n$收敛到零，实数$a>0$且$a \neq 1$，则有极限$\lim_{n \to \infty} a^{r_n} = 1$. 127 | \end{lemma} 128 | 129 | \begin{proof}[证明] 130 | 我们在\autoref{example:limit-of-n-sqrt-a}中已经证得$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$，因此对于任意小的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得$n>N$时恒有$|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon$，在$a>1$时，就是$1<\sqrt[n]{a}<1+\epsilon$，现在就任意取定一个$n_0>N$，从而有$1<\sqrt[n_0]{a}<1+\varepsilon$ 而由引理条件，$r_n$以零为极限，所以对于正实数$1/n_0$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时有$|r_n|<1/n_0$，这时按照定义在有理数集上的指数函数的单调性(下式中做了限定$\varepsilon<1$) 131 | \[ 1-\varepsilon<\frac{1}{1+\varepsilon}<\frac{1}{\sqrt[n_0]{a}}\max\{N, N_1\}$时便能保证$|a^{r_n}-1|<\varepsilon$，这即表明引理中的极限成立，而类似的可以证明$01$的假定下有 140 | \[ a^{x_n} \leqslant a^{x_{n+1}} \leqslant \cdots \leqslant a^{y_{n+1}} \leqslant a^{y_n} \] 141 | 于是作闭区间序列$U_n = [a^{x_n},a^{y_n}]$，则显见$U_{n+1} \subset U_n$，而区间的长度$a^{y_n}-a^{x_n}=a^{x_n}(a^{y_n-x_n}-1)$，因为$y_n-x_n=10^{-n} \to 1$，由刚才所证的\autoref{lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0}，$a^{y_n-x_n}-1$是一个无穷小，而前面的因子$a^{x_n}1$的情况下证明了定理，而$00$且$a \neq 1$，$x$和$y$是任意两个实数，则 154 | (1). 155 | \[ a^{x+y} = a^xa^y \] 156 | (2). 157 | \[ a^{-x} = \frac{1}{a^x} \] 158 | \end{theorem} 159 | 160 | 为了证明它，先证一个引理 161 | \begin{lemma} 162 | \label{lemma:a-power-rn-to-a-pow-r-when-rational-rn-to-rational-r} 163 | 设实数$a>0$且$a \neq 1$，$r_n$是一个有理数数列，并且收敛到一个有理数$r$，则$\lim_{n \to \infty} a^{r_n} = a^{r}$. 164 | \end{lemma} 165 | 166 | \begin{proof}[证明] 167 | 由有理数数列$r_n$收敛到有理数$r$即知有理数数列$r_n-r$收敛到零，由\autoref{lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0}即知$\lim_{n \to \infty}a^{r_n-r} = 1$，从而 168 | \[ \lim_{n \to \infty} a^{r_n} = \lim_{n \to \infty} a^{r+(r_n-r)} = \lim_{n \to \infty} a^ra^{r_n-r} = a^r \lim_{n \to \infty}a^{r_n-r} = a^r \] 169 | \end{proof} 170 | 171 | 现在来证明\autoref{theorem:real-exponent-compute-rule} 172 | \begin{proof}[证明] 173 | (1).只需证明$x$和$y$中至少有一个无理数的情形，假定$x$是无理数，设$x_n$是一个以$x$为极限的有理数数列，则有 174 | \[ a^{x_n+y} = a^{x_n} \cdot a^y \] 175 | 显然$x_n+y$是一个以$x+y$为极限的有理数数列，而$x+y$为无理数，所以上式左边的极限是$a^{x+y}$，显然右端的极限是$a^xa^y$，由极限的唯一性即得 176 | \[ \lim_{n \to \infty}a^{x_n+y} = \lim_{n \to \infty}a^{x_n} \cdot a^y \] 177 | 这就表明 178 | \[ a^{x+y} = a^xa^y \] 179 | 当$x$和$y$都是无理数时，设$x_n$和$y_n$是两个分别收敛到$x$和$y$的有理数数列，有 180 | \[ a^{x_n+y_n} = a^{x_n}a^{y_n} \] 181 | 显然右端以$a^xa^y$为极限，对于左边，如果$x+y$是无理数，则$x_n+y_n$是收敛到无理数$x+y$的有理数数列，所以它的极限是$a^{x+y}$，如果$x+y$是有理数，则$x_n+y_n$是收敛到有理数$x+y$的有理数数列，由\autoref{lemma:a-power-rn-to-a-pow-r-when-rational-rn-to-rational-r}知左边极限也是$a^{x+y}$，所以无论$x+y$是有理数还是无理数，左边都以$a^{x+y}$为极限，由极限的唯一性，得$a^{x+y}=a^xa^y$. 182 | 183 | (2). 同样只需要证明$x$为无理数的情形，设有理数数列$x_n$以$x$为极限，则显然有 184 | \[ a^{-x_n} = \frac{1}{a^{x_n}} \] 185 | 显然$-x_n$是以无理数$-x$为极限的有理数数列，所以上式左边以$a^{-x}$为极限，右边显然以$1/a^x$为极限，由极限的唯一性，结论成立。 186 | \end{proof} 187 | 188 | 有了定理中的这两条，显然对于实数$x$和$y$，也有 189 | \[ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \] 190 | 所以有理指数幂的运算性质，在实数范围内仍然是成立的。 191 | 192 | 既然指数扩展到了全体实数，那么我们也可以将指数函数的定义域扩充到全体实数上了，我们先来证明指数函数在R都是单调的 193 | 194 | \begin{theorem} 195 | 设实数$a>1$且$a>0$，指数函数$f(x)=a^x$在$a>1$时是$R$上的严格递增函数，在$01$的情况，这时任取两个实数$x1$时，指数函数$00$且$a \neq 1$，则有极限$\lim_{x \to 0} a^x = 1$ 216 | \end{lemma} 217 | 218 | \begin{proof}[证明] 219 | 只证明$a>1$的情形，$01$的情况下，利用前面已经证过的指数函数在实数集上的单调性，就有 222 | \[ 1-\varepsilon < a^{-x'}0$且$a \neq 1$)，是$R$上的连续函数。 228 | \end{theorem} 229 | 230 | \begin{proof}[证明] 231 | 只要证明它在$R$上任何一点$x_0$处都连续即可，因为 232 | \[ a^{x_0+h} - a^{x_0} = a^{x_0}(a^h-1) \] 233 | 由\autoref{lemma:a-power-x-to-1-when-real-x-to-0}即知$\lim_{h \to 0} a^{x_0+h} = a^{x_0}$，这就表明指数函数在$x_0$处是连续的，由$x_0$的任意性即得知它在整个$R$上都是连续的。 234 | \end{proof} 235 | 236 | 现在，我们有了完整的指数定义，就可以考虑它的逆运算了，也就是对数，设实数$a>0$且$a \neq 1$，$y$是一个正实数，如果实数$x$满足方程$a^x=y$，则称$x$是$y$的以$a$为底的 \emph{对数}，显然，指数和对数互为逆运算。 237 | 238 | 对数的定义有一个问题，满足方程$a^x=y$的实数$x$是否一定存在呢，实数$y$必须是正实数吗？为解决这个问题，我们还需要证明指数函数的另一个性质 239 | \begin{theorem} 240 | 设实数$a>0$且$a \neq 1$，则指数函数$f(x)=a^x$的函数值可以取遍一切正实数，换句话说，它的值域是$(0,+\infty)$. 241 | \end{theorem} 242 | 243 | 这利用连续函数在闭区间上的介值性便可以证明，我们在本节的后文给出。 244 | 245 | \subsection{初等函数的连续性} 246 | \label{sec:the-continuity-of-elementary-function} 247 | 248 | 在中学里，我们接触过几类 \emph{基本初等函数}: 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数. 我们在这一小节里来证明这些函数在它们的定义域的各个区间上都是连续函数，在有了这个结论之后，根据连续的性质，所有的初等函数就都是连续函数了。 249 | 250 | 1. 幂函数 251 | \begin{theorem} 252 | 幂函数$f(x)=x^p$在定义域的各个区间上连续。 253 | \end{theorem} 254 | 255 | \begin{proof}[证明] 256 | 因为如果$p<0$，有$f(x)=1/x^{-p}$，如果分母是连续的，则$f(x)$就是连续的，所以只要证明$p>0$的情况就可以了。 257 | 258 | 先证明$p$是正整数的情况，这时由 259 | \[ (x_0+h)^p-x_0^p = \sum_{i=1}^nx_0^{p-i}h^i \] 260 | 显然当$h \to 0$时，右边的各项(有限项)都趋于0，因此$(x_0+h)^p \to x_0^p$，所以函数在$x_0$处连续，由$x_0$的任意性，$p$为正整数的情形得证。 261 | \end{proof} 262 | 263 | 2. 指数函数与对数函数 264 | \begin{theorem} 265 | 指数函数$f(x)=a^x(a>0,a\neq 1)$是$R$上的连续函数。 266 | \end{theorem} 267 | 268 | 这在上一小节我们已经证明过了。 269 | 270 | 3. 三角函数. 271 | \begin{theorem} 272 | 正弦函数$f(x)=\sin{x}$在$R$上连续，余弦函数$g(x)=\cos{x}$在$R$上连续，正切函数$h(x)=\tan{x}$在定义域的每一个区间上都是连续函数。 273 | \end{theorem} 274 | 275 | \begin{proof}[证明] 276 | 先证明正弦函数，任取$x_0 \in R$，有 277 | \[ \sin{(x_0+r)} - \sin{x_0} = 2\cos{ \left( x_0 + \frac{r}{2} \right) }\sin{ \frac{h}{2} } \] 278 | 我们在\autoref{theorem:sinx-over-x-to-1-when-x-to-0}中就已经知道，不等式$|\sin{x}| \leqslant |x|$对一切实数$x$恒成立，所以当$r \to 0$时，上式右端是一个有界量和一个无穷小的乘积，也收敛到零，所以 279 | \[ \lim_{r \to 0} \sin{(x_0+r)} = \sin{x_0} \] 280 | 从而正弦函数在$x_0$处连续，由$x_0$的任意性，它在$R$上都是连续的。 281 | 282 | 对于余弦函数，把它写成 283 | \[ \cos{x} = \sin{ \left( x+\frac{\pi}{2} \right) } \] 284 | 由正弦函数的连续性和关于复合函数连续性的\autoref{theorem:the-continuity-of-combine-function}即知余弦函数也是连续的。 285 | 286 | 正切函数，把它表为正弦函数和余弦函数的商，由商函数的连续性即知它在定义域的各区间上也都是连续的。 287 | \end{proof} 288 | 289 | 290 | 291 | %%% Local Variables: 292 | %%% mode: latex 293 | %%% TeX-master: "../../book" 294 | %%% End: 295 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-limit-and-continuity-of-function/the-limit-and-continuity-of-function.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{函数的极限与连续} 3 | \label{chap:the-limit-and-continuity-of-function} 4 | 5 | \input{contents/the-limit-and-continuity-of-function/the-concept-of-function-limit} 6 | \input{contents/the-limit-and-continuity-of-function/the-properties-of-function-limit} 7 | \input{contents/the-limit-and-continuity-of-function/the-condition-of-function-limit-exist} 8 | \input{contents/the-limit-and-continuity-of-function/two-import-function-limit} 9 | \input{contents/the-limit-and-continuity-of-function/the-continuity-of-function} 10 | 11 | %%% Local Variables: 12 | %%% mode: latex 13 | %%% TeX-master: "../../book" 14 | %%% End: 15 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-limit-and-continuity-of-function/the-properties-of-function-limit.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{函数极限的性质} 3 | \label{sec:the-properties-of-function-limit} 4 | 5 | 与数列极限的性质相仿，函数极限具有类似的性质，以下定理都以$x\to x_0$为例，但它们对于自变量趋于无穷大时的极限也是成立的。 6 | 7 | \begin{property}[唯一性] 8 | 函数极限$\lim_{x \to x_0}f(x)$若存在必唯一. 9 | \end{property} 10 | 11 | \begin{theorem}[局部有界性] 12 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某空心邻域内有定义，若$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在(非无穷的有限值)，则$f(x)$在$x_0$的某个空心邻域内有界。 13 | \end{theorem} 14 | 15 | \begin{theorem}[局部保号性] 16 | 若函数$f(x)$在$x \to x_0$处的极限存在为$A$，则对于任意$rr$，同样，对于任意$r>A$，都存在$x_0$的某空心邻域，在这邻域内恒有$f(x)N,n_2>N$的$n_1,n_2$都成立$|x_{n_1}-x_{n_2}| < \epsilon$。 17 | \end{theorem} 18 | 19 | \begin{theorem}[闭区间套定理] 20 | 如果闭区间无穷序列$[a_i,b_i](i=1,2,\ldots)$满足两个条件: (1)$[a_k,b_k]\supset[a_{k+1},b_{k+1}](i=1,2,\ldots)$，(2)$\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$，则存在唯一实数，同时位于所有闭区间内。 21 | \end{theorem} 22 | 23 | \begin{theorem}[有限覆盖定理] 24 | 如果有无穷多个开区间的并集覆盖了一个闭区间，那么能够从中选取有限个开区间，它们的并集就足够覆盖这个闭区间了。 25 | \end{theorem} 26 | 27 | \begin{definition} 28 | 对于一个数集和一个实数，如果在这实数的任意空心邻域内都有这数集中的点，则这实数称为这数集的\emph{聚点}。 29 | \end{definition} 30 | 31 | \begin{theorem} 32 | 有界的无穷数集必有聚点。 33 | \end{theorem} 34 | 35 | \subsection{确界定理推证其它定理} 36 | 37 | \begin{theorem} 38 | 确界定理与单调有界定理等价。 39 | \end{theorem} 40 | 41 | \begin{proof}[证明] 42 | 先证必要性，假定数列$x_n$单调递增有上界，由确界定理，必有上确界，记为$M$，将证明这上确界就是该数列的极限，这是因为由上确界定义可知，对于任意正实数$\epsilon>0$，存在某个$x_N$，使得$x_N>M-\epsilon$，由单调递增知对于一切$n>N$就都有$x_n>M-\epsilon$，显然又有$x_nx$，所以序列$M_i$是单调递减有下界的，按单调有界定理，它就有极限$M_{\infty}$，剩下的就是证明，这极限$M_{\infty}$就是数集$E$的上确界。首先它必是数集$E$的一个上界，若不然，就必存在某个$r \in E$满足$r>M_{\infty}$，然而序列$M_i$既然以$M_{\infty}$为极限，则必定从某一项起，后续的$M_i$都满足$M_{\infty} \leqslant M_i 0$，使得$M_{\infty}$的单侧空心邻域$(M_{\infty}-\epsilon, M_{\infty})$上不存在数集$E$中的数，也就是$M_{\infty}-\epsilon$是数集$E$的一个上界，下面来推矛盾，取一个远远小于1的正因子$\lambda$，不等式$M_i0$并作序列$\epsilon_n=\epsilon / (2^n)(n=0,1,\ldots)$，则对于每一个$\epsilon_i$，都存在相应的正整数$N_i$，使得数列下标大于$N_i$的任意两项相差不超过$\epsilon_i$，于是这下标大于$N_i$的所有项都落在一个长度不超过$\epsilon_i$的开区间上，就假设是$(r_i, r_i+\epsilon_i)$，所有的$r_i$就组成一个数集，这数集显然也是有界的，因为每一个$r_i$都不超过$r_0+\epsilon$，由确界定理，这数集有上确界，设其为$M$，下面来证明，这$M$就是数列的极限。对任何正实数$\delta$，由上确界定义，必有某个$M-\delta0$，使得数集的全部数$x$都满足$|x| \leqslant M$，这与前述说法是等价的。 15 | 16 | \begin{theorem}[收敛数列的有界性] 17 | 收敛数列必有界。 18 | \end{theorem} 19 | 20 | \begin{proof}[证明] 21 | 这其实从定义就可以得出了，随便取一个$\epsilon>0$，即知数列从某项起全部落在区间$(a-\epsilon, a+\epsilon)$内，这里$a$是数列极限，再扩大此区间把前面的那些项(有限个)包含进来，于是数列便有界。 22 | \end{proof} 23 | 24 | \begin{definition} 25 | 对于一个有上界的实数集，如果某个实数$M$满足: (1)它是这数集的上界. (2)对于无论多么小的正实数$\epsilon$，总存在数集中的数$x$使得$x>M-\epsilon$，则称实数$M$是这数集的\emph{上确界}，类似的有\emph{下确界}的定义. 26 | \end{definition} 27 | 28 | 显然，上确界是最小的上界，下确界是最大的下界。 29 | 30 | \begin{theorem}[确界定理] 31 | 如果数集有上界，则必有上确界，如果有下界，则必有下确界。 32 | \end{theorem} 33 | 34 | 确界定理的证明依赖于实数的完备性，这放在后续章节来完成。 35 | 36 | \begin{example} 37 | 我们来研究一个利用确界得出极限的例子：已知非负实数数列$\{a_n\}$对任意两个正整数$n$和$m$都满足$a_{n+m} \leqslant a_n+a_m$，求证:数列$\{\frac{a_n}{n}\}$收敛。 38 | 39 | 这道题目跟1997年的一道CMO试题的条件一模一样，只是结论不同，题目如下: 已知非负实数数列$\{a_n\}$对任意两个正整数$n$和$m$都满足$a_{n+m} \leqslant a_n+a_m$，求证:对任意$n \geqslant m$都有$a_n \leqslant ma_1+\left( \frac{n}{m}-1\right)a_m$。 40 | 41 | 由于这个关联性，所以原题目的解答过程参考了后者的思路\footnote{见参考文献\cite{olympic-math}.}. 42 | 43 | \begin{proof}[证明] 44 | 设$n>m$，有 45 | \begin{align*} 46 | \frac{a_n}{n} - \frac{a_m}{m} < & \frac{a_{n-m}+a_m}{n} - \frac{a_m}{m} \\ 47 | = & \frac{n-m}{n} \left( \frac{a_{n-m}}{n-m} - \frac{a_m}{m} \right) 48 | \end{align*} 49 | 这有点类似于辗转相除法，如果还有$n-m>m$，则继续上述步骤，经过有限步之后，必然得出 50 | \[ \frac{a_n}{n} - \frac{a_m}{m} \leqslant \frac{s}{n} \left( \frac{a_s}{s} - \frac{a_m}{m} \right) \] 51 | 其中正整数$s$满足$1 \leqslant s \leqslant m$，但是这个$s$，一般的说是依赖于$n$的，但是它的取值集合却是有限个，所以右端除去因子$\frac{1}{n}$以外的部分是有界的,所以我们在上式中令$n \to \infty$，便能得出右端在$n \to \infty$时趋于零，这就说明: 对于每一个固定的$m$和任意小的正实数$\delta$，当$n$充分大时恒有 52 | \[ \frac{a_n}{n} \leqslant \frac{a_m}{m} + \delta \] 53 | 这便是我们解答问题的关键所在，因为显然还能得出$a_n \leqslant a_{n-1}+a_1 \leqslant (a_{n-2}+a_1)+a_1 \leqslant \cdots \leqslant na_1$，从而$0 \leqslant \frac{a_n}{n} \leqslant a_1$说明数列$\{\frac{a_n}{n}\}$是有上下界的，因此我们只要证明如下这个引理就可以了： 54 | 55 | 引理: 如果数列$\{ x_n \}$有界，并且对于数列中的每一项$x_m$和任意小的正实数$\delta$，当$n$充分大时恒有$x_n \leqslant x_m+\delta$，那么数列收敛。 56 | 57 | 证明是很容易的，既然数列有下界，便有下确界，我们将证明这下确界便是其极限，设其下确界为$M$，那么对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，存在数列中的某一项$x_m$满足$M \leqslant x_m < M+\varepsilon$，然而由条件，当$n$充分大时恒有$x_n \leqslant x_m+\delta$，我们让这个$\deltaM-\epsilon$，再由单调性即知对于$n>N$恒有$M-\epsilon < x_n \leqslant M < M+\epsilon$，所以$M$就是这数列的极限。 70 | \end{proof} 71 | 72 | \subsection{一个重要的数列极限} 73 | \label{sec:a-import-sequence-limit} 74 | 75 | 这一小节我们来证明下面这个数列有极限: 76 | \[ x_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \] 77 | 78 | \begin{proof}[证明一]\footnote{这个证明来自参考文献\cite{olympic-math}.} 79 | 由多元均值不等式，把$x_n$看成$n$个$(1+1/n)$的乘积，再添加上一个因数1构成$n+1$个数的乘积，有 80 | \[ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = 1 \cdot \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n < \left( \frac{1+n\left( 1+\frac{1}{n} \right)}{n+1} \right)^{n+1} = \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \] 81 | 这便表明它是递增的。 82 | 83 | 下证它是有上界的，把$n+1$拆分成$\frac{5}{6}$和$n$个$1+\frac{1}{6n}$，由均值不等式得 84 | \[ n+1 = \frac{5}{6} + n \left( 1+\frac{1}{6n} \right) > (n+1)\sqrt[n+1]{\frac{5}{6} \cdot \left( 1+\frac{1}{6n} \right)^n} \] 85 | 整理即得 86 | \[ \left( 1+\frac{1}{6n} \right)^n < \frac{5}{6} \] 87 | 所以 88 | \[ \left( 1+\frac{1}{6n} \right)^{6n} < \left( \frac{5}{6} \right)^6 < 3 \] 89 | 于是由单调性便知 90 | \[ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n < 3 \] 91 | 所以数列$x_n$单调增加且有上界，故此存在极限。 92 | \end{proof} 93 | 94 | \begin{proof}[证明二]\footnote{这个证明来自于参考文献\cite{math-analysis}.} 95 | 把$x_n$按二项式定理展开得 96 | \begin{eqnarray*} 97 | x_n & = & \sum_{i=0}^n C_n^i \frac{1}{n^i} \\ 98 | & = & \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}\left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 1-\frac{2}{n} \right)\cdots \left( 1-\frac{i-1}{n} \right) 99 | \end{eqnarray*} 100 | 易见对于$x_{n+1}$而言，在上式的基础上会多出$i=n+1$的一个正项，并且其它项是把上式中每一个项中的每一个因子$1-\frac{i}{n}$更换为更大的因子$1-\frac{i}{n+1}$，所以$x_{n+1}>x_n$，这是一个递增的数列. 101 | 102 | 将每一个项中的所有$(1-i/n)$因子全部放大为1，则有 103 | \[ x_n < 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \] 104 | 接下来有两种放缩方式都可以证明它有上限: 105 | \[ \frac{1}{k!} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \] 106 | 和 107 | \[ \frac{1}{k!} < \frac{1}{2^{k-1}} \] 108 | 于是 109 | \[ x_n < 2 + \sum_{i=2}^n \left( \frac{1}{i-1}-\frac{1}{i} \right) = 3-\frac{1}{n} < 3 \] 110 | 或者 111 | \[ x_n < 2 + \sum_{i=2}^n \frac{1}{2^{i-1}} = 3-\frac{1}{2^{n-1}} < 3 \] 112 | 所以数列单调递增有上界，故此有极限. 113 | \end{proof} 114 | 115 | 116 | \subsection{柯西收敛准则} 117 | \label{sec:cauchy-converage-principle} 118 | 119 | \begin{theorem}[柯西收敛准则] 120 | 数列$x_n$收敛的充分必要条件是，对于任意正实数$\epsilon$，总存在正整数$N>0$，使得任意$n_1>N$和任意$n_2>N$及任意恒有$|x_{n_1}-x_{n_2}| < \epsilon$。 121 | \end{theorem} 122 | 123 | \begin{proof}[证明] 124 | 只证明必要性，充分性的证明放在实数完备性那一节。 125 | 126 | 如果数列$x_n$收敛到$x$，那么对于任意正实数$\epsilon$，都有正整数$N$，使得$n>N$时恒有$|x_n-x|<\epsilon / 2$，于是对于任意$n_1>N$及$n_2>N$，便有$|x_{n_1}-x_{n_2}|=|(x_{n_1}-x)- (x_{n_2}-x)|\leqslant |x_{n_1}-x|+|x_{n_2}-x|<\epsilon / 2+\epsilon / 2 = \epsilon$。必要性得证。 127 | \end{proof} 128 | 129 | \begin{example} 130 | 前$n$个正整数的平方倒数和 131 | \[ S_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} \] 132 | 对它的片段有 133 | \begin{eqnarray*} 134 | S_{m+p}-S_m & = & \frac{1}{(m+1)^2} + \frac{1}{(m+2)^2} + \cdots + \frac{1}{(m+p)^2} \\ 135 | & < & \frac{1}{m(m+1)} + \frac{1}{(m+1)(m+2)} + \cdots + \frac{1}{(m+p-1)(m+p)} \\ 136 | & = & \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1} \right) + \left( \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{m+p-1} - \frac{1}{m+p} \right) \\ 137 | & = & \frac{1}{m} - \frac{1}{m+p} < \frac{1}{m} 138 | \end{eqnarray*} 139 | 所以对于任意正实数$\varepsilon$，只要取$N>1/\varepsilon$，就能保证柯西条件成立，于是数列$S_n$有极限，不过这极限值在此处是求不出来的，在以后我们将会利用无穷级数理论，得到它的极限值，这极限值与圆周率有关: 140 | \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} \] 141 | \end{example} 142 | 143 | \begin{example} 144 | 前$n$个正整数的阶乘的倒数和 145 | \[ T_n = 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \] 146 | 它的片段和 147 | \begin{eqnarray*} 148 | T_{m+p} - T_m & = & \frac{1}{(m+1)!} + \frac{1}{(m+2)!} + \cdots + \frac{1}{(m+p)!} \\ 149 | & < & \frac{1}{2^{m+1}} + \frac{1}{2^{m+2}} + \cdots + \frac{1}{2^{m+p}} \\ 150 | & = & \frac{1}{2^m} \left( 1-\frac{1}{2^p} \right) < \frac{1}{2^m} 151 | \end{eqnarray*} 152 | 可见它也满足柯西收敛条件，所以这个数列也有极限，它的极限便是自然对数的底数$e$: 153 | \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i!} = e \] 154 | \end{example} 155 | 156 | %%% Local Variables: 157 | %%% mode: latex 158 | %%% TeX-master: "../../book" 159 | %%% End: 160 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-limit-of-sequence/real-number.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{实数理论} 3 | \label{sec:real-number-theory} 4 | 5 | 分析学的基础建立在实数的公理化体系之上，在讨论极限理论之前，先来讨论一下实数的理论。 6 | 7 | \subsection{实数的十进制表示与大小关系} 8 | \label{sec:decimal-system} 9 | 10 | 在人类历史上，为了计数而引进了自然数，最初以算筹的数量代表对应的数字，但这对于较大的数比较困难，为了表示数100就需要100根算筹，于是发明了十进制，这样所需的算筹数量就大大减少，之所以是十进制很可能是因为人正好有十根手指头，便于比划数字。后来为了解决多人平分食物等生活资料的问题又引进了整数之比即有理数的概念，再往后毕达哥拉斯学派根据勾股定理，发现了边长为1的正方形的对角线的长度不是有理数，引发了第一次数学危机，这次危机随着无理数的引入而得以解决。有理数与无理数一起，构成了全体实数。但在实数范围内，像$x^2+1=0$这样的代数方程没有解，为了从理论上解决这个问题而引入了虚数的概念，实数与虚数一起构成了复数，代数方程的理论在复数范围内得到彻底的解决。 11 | 12 | 本节只讨论实数。在十进制下，一个实数$x$具有如下表示: 13 | \begin{equation} 14 | \label{eq:decimal-format-of-real} 15 | x=a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots 16 | \end{equation} 17 | 其中$a_i \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$，并且最左边的数位$a_n$非零（否则省略这一位不写），十进制就是说，这个式子表示的数值其实是 18 | \[ x=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots+10a_1+a_0+\frac{a_{-1}}{10}+\frac{a_{-2}}{10^2}+\cdots \] 19 | 即\autoref{eq:decimal-format-of-real}实际表示的数值是它每一位数字与该数位上的权值之积的和，这一点是十分重要的，因为这样我们就只需要$0-9$这十个数符就可以表示出任意实数，而不必为每一个数都去发明一个对应的数符，那样既是不可能的，也是很难使用的。 20 | 21 | 在这种表示下，数位$a_0$称为个位，$a_1$称为十位，$a_2$称为百位，依次类推，在$a_0$以后的部分称为小数部分，$a_0$以及$a_0$左边的部分称为整数部分，两部分之间用小数点来分隔出明确的界限。 22 | 23 | 需要说明的是，实数十进制表示的小数部分是可以无限延伸的，但整数部分只能是有限位，并且规定，如果小数部分从某一位起全部都是零，则可以省写这些零，这样的小数称为有限小数，否则便称为无限小数。 24 | 25 | 如果无限小数的小数部分有连续重复出现的片段，例如 $0.12345678678678678\cdots$，这以后的数位全是重复的片段$678$，就称这小数为循环小数，并简写为$0.12345\dot{6}7\dot{8}$，即在循环片段的首尾两个数字上加点。如果没有这样的连续重复出现片段，则称为无限不循环小数。 26 | 27 | 关于整数的一个极为深刻的结论是 28 | \begin{theorem}[带余除法] 29 | 对任意两个整数$a$和$b$，其中$b$为正整数，则存在唯一一对整数$q$与$r(0\leqslant r < b)$，使得$a=qb+r$成立.这整数$q$及$r$分别称为$a$除以$b$所得的\emph{商}和\emph{余数}. 30 | \end{theorem} 31 | 32 | \begin{proof}[证明] 33 | 以$b$的倍数为界点将全体实数划分为区间序列$\ldots,[-2b,-b),[-b,0),[0,b),[b,2b),\ldots$，这些左闭右开区间两两无交集，且它们的并集就是全体实数，那么整数$a$必定从属于其中某一个区间，假定是$[mb,(m+1)b)$，则取$q=m,r=a-mb$即满足定理条件，反过来，如果还有另一组$q_1$及$r_1$满足定理中条件，那么有$q_1b \leqslant a < (q_1+1)b$，这即表明$q_1=m$，从而$r_1=a_{mb}$，这就证得了商及余数的唯一性。 34 | \end{proof} 35 | 36 | 利用带余除法，可以证明 37 | \begin{theorem} 38 | 有理数都是无限循环小数. 39 | \end{theorem} 40 | 41 | \begin{proof}[证明] 42 | 设有理数$\frac{a}{b}$，其中$a$与$b$是整数，由于这结论与数的符号无关，所以假定这分子分母还是正的。这个证明过程其实就是两个正整数做除法的过程，思路就是在这个除法过程中，每一步所得的余数，或者是零从而被除尽，或者便要重复出现. 43 | 44 | 先用$a$除以$b$，记商与余数分别为$q$及$r$，即$a=qb+r(0\leqslant r < b)$，如果$r>0$，再用$10r$除以$b$，所得的商与余数分别记为$q_1$与$r_1$，如果仍然有$r_1>0$，则再将$10r_1$除以$b$得到商$q_2$与余数$r_2$，依次类推，得到序列$q_i$与$r_i$，这时有$q_i(i \leqslant 1)$只能取$0$到$9$中的数字，这是因为$10r_{i-1}=q_ib+r_i$，而$0 \leqslant r_{i-1} < b$，所以$q_i$不能超过9，而由于$0 \leqslant r_i < b$，所以$r_i$也只能在集合$\{0,1,2,\ldots,b-1\}$这个有限集中取值，如果某一次取到了零$r_m=0$，则这个除法过程就结束了，而最终有 45 | \[ \frac{a}{b} = q + \sum_{i=0}^{m-1}\frac{q_i}{10^i} = q.q_1q_2\cdots q_{m-1} \] 46 | 即为有限小数。如果$r_i$始终不能取到零，那么必然存在某个$i$及$j(> i)$使得$r_i=r_j$，既然出现了相同的余数，那么在分别用$10r_i$和$10r_j$去除以$b$时也会得出相同的商$q_{i+1}$和$q_{j+1}$，于是进一步出现相同的$r_{i+1}$与$r_{j+1}$，这个过程将无限重复下去，这时就有 47 | \[ \frac{a}{b} = q.q_1q_2 \cdots q_iq_{i+1} \cdots q_jq_{j+1} \cdots \] 48 | 这里从$q_i$到$q_{j-1}$便是一个重复片段，为小数的循环部分（不一定是最小循环片段），即为无限循环小数。 49 | \end{proof} 50 | 51 | \subsection{最小自然数原理} 52 | \label{sec:minimum-nature-number-principle} 53 | 54 | \subsection{确界定理} 55 | \label{sec:least-bound-theorem} 56 | 57 | \begin{theorem}[确界定理] 58 | 若实数集合(无论有限集无限集)有上界，则有上确界，下界亦有相应结论。 59 | \end{theorem} 60 | 61 | \begin{proof}[证明] 62 | 设实数集合$A$有上界$M$，我们先构造出一个数$K$，再证明构造出的这个数正是这集合的上确界。 63 | 64 | 根据最小数原理，集合$A$中元素的整数部分有最大值，令$K$的整数部分与之相同，这整数部分记作$K_0$。 65 | 66 | 再将集合$A$中所有元素乘以10后舍去小数部分，这些新数组成的新集合记作$A_1$，这集合有上界$10M$，因此按最小数原理，它也有最大值，而且这最大值除个位以外的部分正是$K_0$(按$K_0$的定义)，取这最大值的个位作为$K$的十分位。$K$的其余数位依次类推，$K$在$10^{-n}$上的数位是将集合$A$中全体元素乘以$10^n$后舍去小数部分所得新集合中最大数的个位数。 67 | 68 | 现在证明，数$K$是集合$A$的上确界，先证明它是上界，反证法，若它不是上界，则$A$中存在比它更大的数$x_0$，那么按实数大小关系定义，在比较$x_0$与$K$时，从左边开始往右比较，第一个不相同的数位上，$x_0$在该数位上的数大于$K$在该数位上的数，但这与$K$在这一数位上的数值的确定方法相矛盾，所以$K$是上界。其次需要证明，$K$是最小的上界，设$L$是一个小于$K$的实数，那么它与$K$相比，从左边开始第一个不相同的数位上，它对应的数较小，假定这数位就是$10^{-n}$，并设$K$和$L$在舍去这一数位以后的全部数位后所得的数分别是$K_n$和$L_n$，那么$K_n>L_n$，但根据$K$的确定过程可知，对于任何正整数$n$，$A$中都存在不小于$K_n$的数，自然这数也就大于$L_n$，因此$K$是最小的上界，即为上确界。 69 | \end{proof} 70 | 71 | %%% Local Variables: 72 | %%% mode: latex 73 | %%% TeX-master: "../../book" 74 | %%% End: 75 | -------------------------------------------------------------------------------- /contents/the-limit-of-sequence/the-definition-of-sequence-limit.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{数列极限的概念} 3 | \label{sec:the-definition-of-sequence-limit} 4 | 5 | \subsection{极限的定义} 6 | \label{sec:definition-number-sequence-limit} 7 | 8 | 在中学数学中，我们熟知反比例函数$f(x)=1/x$的图象在向无穷远处延伸时，它会无限的向横轴靠近，当$x$取正值并无限的增大时，其第一象限的一支会无限的向$x$轴正半轴靠近，但无论$x$取多大，因为$1/x>0$，所以它始终不会与$x$轴相交，这给了我们一种“无限接近但是不会相等”的直观感受。 9 | 10 | 同样的情况还有许多，我们就准备来详细的讨论下这种“无限接近又不相等”的现象。 11 | 12 | 上面反比例函数的例子是针对函数而言的，我们先从较为简单的数列开始，同样可以得到数列$x_n=1/n$这个数列，在$n$取正整数并无限增大时，数列的值无限的接近零，但却总是大于零，我们来从这种现象中提取 \emph{极限} 的概念。 13 | 14 | 首先要指出的是这里“无限接近但不等于”中的“不等于”其实是无关紧要的，例如在数列$1/n$中把下标为偶数的项全部换成零，那么这个"无限"接近并没有被破坏，而且它仍然给我们以极限的印象，只是它在下标增大的过程中，可以无限次的取极限值，而且从这个例子中还可得知，数列的单调性也不是必要的。 15 | 16 | 我们先给出一个初步的定义: 如果数列$x_n$在随着$n$的无限增大过程中可以无限的接近一个常数$A$，则称$A$是这数列当$n$趋于无穷大时的极限。 17 | 18 | 这个定义不会令人满意，因为作为数学上的一个定义，它需要具备精确性，而这个定义中出现了“无限接近”这样含义模糊不清的描述，利用这个定义，我们很难说明一个给定常数是否是一个数列的极限，我们需要将它严格化。 19 | 20 | 所谓数列$x_n$“无限接近”于常数$A$，自然指的是差值$|x_n-A|$可以任意的小，所以我们进行第一步严格化：把数列$x_n$无限接近常数$A$严格化成差值$|x_n-A|$可以任意小，于是极限的定义可以重新叙述为: 对于数列$x_n$和常数$A$，如果数列$x_n$当$n$无限增大时差值$|x_n-A|$可以任意的小，则称常数$A$是数列$x_n$当$n$趋向于无穷大时的极限。 21 | 22 | 然后我们考虑如何刻画“可以任意的小”，那就是说，差值$|x_n-A|$可以小于任意的正实数$\varepsilon$，而不管这正实数$\varepsilon$有多小。初看起来，“可以小于任意的正实数”，似乎只要存在正整数$n$，使得$|x_n-A|<\varepsilon$就可以了，也就是如下的极限定义: 对于数列$x_n$和常数$A$，如果对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得$|x_N-A|<\varepsilon$成立，则称常数$A$是数列$x_n$在下标趋于无穷大时的极限。 23 | 24 | 这个定义看上去似乎非常符合$1/n$这个数列的特征，不管多么小的正实数$\varepsilon$，总能找到使$1/n < \varepsilon$成立的$n$，只要$n$取的足够大。然而这个定义却有一个严重的问题，我们把数列$1/n$中下标为偶数的项全部换成1，所得到的新数列显然不应该有极限，因为它的奇数下标项趋于零而偶数下标项恒为1，按我们的直观感受，它的值并不无限靠近零，也不无限靠近1，0和1都不应该是它的极限，但是按照上面的定义，它却是符合条件的！ 25 | 26 | 问题出在哪呢，仍然以这个把偶数下标项都替换为1的新数列为例，显然，存在正整数$N$使得$|x_n-A|<\varepsilon$这个条件，是无法保证数列的全部项都向常数$A$靠近的，它只能保证数列中有一部分项会向常数$A$靠近，刚才这个例子也说明了这一点，所以我们需要一个更强的能保证数列的所有项都要向常数$A$靠近，我们把存在正整数$N$使得$|x_N-A|<\varepsilon$成立，改为存在正整数$N$，使得$n>N$时$|x_n-A|<\varepsilon$恒成立，这样一来这个新数列就不满足这条件了，而原来的数列$1/n$却满足这条件。 27 | 28 | 这个新的条件，利用$n>N$时$|x_n-A|<\varepsilon$恒成立，来保证了数列向$A$靠近的总体趋势。这就是我们最终的极限定义，这个定义，从模糊到精确，别看在这几段话就给出了，实际上在历史上经过了几代数学家的努力，最后才由德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass, 1815.10.31-1897.2.19)在总结前人成果的基础上给出，这个精确定义，是人类智慧的结晶。 29 | 30 | \begin{definition} 31 | 对于实数数列${a_n}$和实数$a$，如果对于任意小的正实数$\varepsilon$，都存在某一下标$N$，使得该数列在这之后的所有项(即$n>N$)都满足 32 | \begin{equation} 33 | \label{eq:the-definition-of-sequence-limit} 34 | |a_n-a|<\varepsilon 35 | \end{equation} 36 | 则称该数列存在极限，实数$a$称为该数列的极限。也称该数列为收敛数列，并且收敛到实数$a$，记为 37 | \begin{equation} 38 | \label{eq:limit-definition-for-number-sequence} 39 | \lim_{n \to \infty}x_n = a 40 | \end{equation} 41 | \end{definition} 42 | 43 | 极限为零的数列称为无穷小数列，简称\emph{无穷小}。如果数列不存在有限的极限，称为数列为\emph{发散数列}。 44 | 45 | 如果数列无论对于多大的实数$M>0$，总能从某项开始，后续的全部项都有$a_n>M$，则称数列为\emph{正无穷大}。类似的也有负无穷大和(绝对值)无穷大的概念。 46 | 47 | \subsection{一些例子} 48 | \label{sec:some-example-for-number-sequence} 49 | 50 | \begin{example} 51 | 设实数$a>1$，则 52 | \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^n} = 0 \] 53 | 54 | 对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，为了找到极限定义中所要求的$N$，考虑不等式 55 | \[ \frac{1}{a^n} < \varepsilon \] 56 | 也就是$a^n>1/\varepsilon$，设$a=1+\lambda$，则$\lambda>0$，按二项式定理有\footnote{我们这里并没有从$a^n>1/\varepsilon$中直接使用对数来得出$n>\log_a{(1/\varepsilon)}$，这是因为尽管中学数学中已经学过对数概念，但那时还没有给出无理指数幂的定义，所以指数的定义是不完整的，因此我们无法确认，对于底数$a$，正实数$1/\varepsilon$的对数是否存在，以后我们将在\autoref{sec:the-power-of-real-with-rational-exponent}中专门讨论指数的定义和值域问题。} 57 | \[ a^n = (1+\lambda)^n = 1 + n\lambda + \frac{n(n-1)}{2!}\lambda^2+\cdots+\lambda^n > 1+n \lambda \] 58 | 所以只要$1+n\lambda>1/\varepsilon$，便能保证$a^n>1/\varepsilon$成立，也就是只需要$n > (1/\varepsilon-1) / (a-1)$就行了，所以只要选择$N>(1/\varepsilon-1)/(a-1)$就行了，这就证得了此极限。 59 | \end{example} 60 | 61 | \begin{example} 62 | \label{example:limit-of-n-sqrt-a-when-a-greater-than-1} 63 | 设实数$a>1$且$a \neq 1$，则 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$ 64 | 65 | \begin{proof}[证明一] 66 | 利用乘法公式$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)$可得 67 | \[ \sqrt[n]{a}-1 = \frac{a-1}{(\sqrt[n]{a})^{n-1}+(\sqrt[n]{a})^{n-2}+\cdots+1} < \frac{1}{n}(a-1) \] 68 | 于是对于任意正实数$\varepsilon$，只要取$N>\frac{a-1}{\varepsilon}$便能保证$n>N$时有$0<\sqrt[n]{a}-1<\varepsilon$,所以这极限得证。 69 | \end{proof} 70 | 71 | \begin{proof}[证明二] 72 | 设$z_n=\sqrt[n]{a}-1$，则 73 | \[ a = (1+z_n)^n = 1+ nz_n+\frac{1}{2!}z_n^2+\cdots+z_n^n > 1+ n z_n \] 74 | 所以得到 75 | \[ 0 0$，数列都能从某项起同时成立着 $|x_n-a_1| < \epsilon$ 和 $|x_n-a_2| < \epsilon$，于是取$\epsilon < (a_2-a_1)/2$，则前述两个不等式因为无交集而产生矛盾。 12 | \end{proof} 13 | 14 | \begin{theorem} 15 | 如果数列$x_n$收敛到实数$a$，则对于任意一个小于$a$的实数$x$，数列都能从某项起恒大于$x$，同样对于任意一个大于$a$的实数$y$，数列也能从某项起恒大于$y$。 16 | \end{theorem} 17 | 18 | \begin{proof}[证明] 19 | 只要在极限的定义中取 $\epsilon < a-x$即可得前半部分结论，同样再取$\epsilon < y-a$即得后半部分结论。 20 | \end{proof} 21 | 22 | \begin{inference}[极限的保号性] 23 | 如果数列收敛到一个正的实数，则数列必从某项起恒保持正号，同样，若收敛到一个负的实数，则必从某项起恒保持负号。 24 | \end{inference} 25 | 26 | 27 | \begin{theorem} 28 | 如果数列$x_n$和$y_n$分别收敛到$x$和$y$，则数列$x_n+y_n$、$x_n-y_n$、$x_ny_n$、$x_n/y_n$都收敛，而且极限分别是$x+y$、$x-y$、$xy$、$x/y$，在商的情况要求$y \neq 0$。 29 | \end{theorem} 30 | 31 | 这定理可以推广到任意有限个数列的情形。 32 | 33 | \begin{proof}[证明] 34 | 和差的情况是容易证明的，只证明积和商的情况。 35 | 36 | 先证明乘积的情形，由 37 | \begin{equation*} 38 | |x_ny_n-xy| = |(x_ny_n-xy_n) + (xy_n-xy)| \leqslant |y_n||x_n-x| + |x| |y_n-y| 39 | \end{equation*} 40 | 任取$\epsilon > 0$，则存在$N>0$，使得$n>N$时同时恒有$|x_n-x|<\epsilon$和$|y_n-y|<\epsilon$\footnote{本来对同一个$\epsilon$，两个数列的$N$是不同的，但是可以取比这两个$N$都大的$N$，这时就同时有那两个不等式。}，另外再由收敛数列的有界性，存在$M>0$，使得$ |y_n| < M$，于是就有 $|x_ny_n-xy| < (M+|x|)\epsilon$，所以$x_ny_n$收敛到$xy.$ 41 | 42 | 再来证明商的情况，先证明一个结论，如果数列$y_n$收敛到一个非零实数$y$，那么数列$1/y_n$必收敛，且收敛到$1/y$，这是因为 43 | \begin{equation*} 44 | \left| \frac{1}{y_n} - \frac{1}{y} \right| = \left| \frac{y_n-y}{yy_n} \right| 45 | \end{equation*} 46 | 对于任意正实数$\epsilon>0$，上式的分子能从某一个下标$N$开始恒小于$\epsilon$，同时再取另外一个正实数$|y|/2$，数列能从某项起恒有$|y_n|>|y|/2$，于是从某个下标开始，上式就能恒小于$2\epsilon / y^2$，所以数列$1/y_n$收敛到$1/y$，再将$x_n/y_n$视为$x_n$乘以$1/y_n$并利用乘积的结果，便得商的情形。 47 | \end{proof} 48 | 49 | \begin{example} 50 | \label{example:limit-of-n-sqrt-a} 51 | 设实数$a>0$且$a \neq 1$，证明极限$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$. 52 | 53 | 我们在 \autoref{example:limit-of-n-sqrt-a-when-a-greater-than-1}中已经证明了$a>1$时的情形，现在假设$00,a\neq 1)$在任意点$x_0$处的导数。 84 | 利用在 \autoref{example:e-power-x-1-equalitant-to-x} 中求得的极限，有 85 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{a^{x}-a^{x_0}}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0} a^{x_0} \frac{a^{x-x_0}-1}{x-x_0} = \lim_{h \to 0} a^{x_0} \frac{a^h-1}{h} = a^{x_0} \ln{a} \] 86 | 于是有 87 | \[ (a^x)' = a^x \ln{a} \] 88 | 特别的有 $(e^x)'=e^x$，这就是说，以$\mathrm{e}$为底的指数函数的导函数就是它自己，这非常重要且有趣. 89 | \end{example} 90 | 91 | \begin{example} 92 | 我们在\autoref{example:function-with-continuous-at-single-point}中利用狄利克雷函数构造了仅在一个点处连续的函数例子:$f(x)=xD(x)$，我们指出，这个函数虽然在$x=0$处连续，但在此处却不可导，因为当$x$分别取有理数值和无理数值并趋于零时，变化率 93 | \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{f(x)}{x} = D(x) \] 94 | 分别趋于两个不同的极限值，所以不可导，但是如果我们把函数中的无穷小因子升次，变成 95 | \[ f(x)=x^2D(x) \] 96 | 此时有 97 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} xD(x) = 0 \] 98 | 这表明这个新构造的函数在$x=0$处可导，且导数为零，然而它在除$x=0$之外的其它点处均不连续，所以也就不可导，于是它成为了仅在一个点处连续且可导的函数例子。 99 | \end{example} 100 | 101 | \subsection{求导法则} 102 | \label{sec:rule-of-derivative} 103 | 104 | \begin{theorem} 105 | 设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义且在$x_0$处可导，则函数$u(x)=f(x)+g(x)$和$v(x)=f(x)-g(x)$在$x_0$处也可导，并且 106 | \[ u'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0), \ v'(x)=f'(x_0)-g'(x_0) \] 107 | \end{theorem} 108 | 109 | 只要注意到$\Delta u=\Delta f+\Delta g$以及$\Delta v=\Delta f+ \Delta g$即可得知结论成立。 110 | 111 | \begin{theorem} 112 | 设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义并且在$x_0$处可导，则函数$u(x)=f(x)g(x)$在$x_0$处也可导，并且 113 | \[ u'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) \] 114 | \end{theorem} 115 | 116 | \begin{proof}[证明] 117 | 因为 118 | \begin{eqnarray*} 119 | u(x)-u(x_0) & = & f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0) \\ 120 | & = & [f(x)-f(x_0)]g(x)+f(x_0)[g(x)-g(x_0)] 121 | \end{eqnarray*} 122 | 于是 123 | \[ \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x)+f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \] 124 | 两边令$x \to x_0$便得结论. 125 | \end{proof} 126 | 127 | 利用数学归纳法，可以把这结论推广到多个函数相乘的情况: 128 | \begin{theorem} 129 | 设有若干个函数$f_i(x)(i=1,2,\ldots,n)$都在$x_0$的某个邻域内有定义，又若它们都在$x_0$处可导，则函数$P(x)=\prod\limits_{i=1}^nf_i(x)$在$x_0$处也可导，并且 130 | \[ P'(x_0) = \prod_{i=1}^nf_i(x_0) \cdot \sum_{i=1}^n \frac{f_i'(x_0)}{f_i(x_0)} \] 131 | \end{theorem} 132 | 133 | \begin{theorem} 134 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义且$f(x) \neq 0$，并且在$x_0$处可导，则函数$u(x)=\dfrac{1}{f(x)}$在$x_0$处也可导，且有 135 | \[ u'(x) = -\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)} \] 136 | \end{theorem} 137 | 138 | \begin{proof}[证明] 139 | 因为 140 | \begin{eqnarray*} 141 | \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0} & = & \frac{\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(x_0)}}{x-x_0} \\ 142 | & = & - \frac{1}{f(x)f(x_0)} \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} 143 | \end{eqnarray*} 144 | 令$x \to x_0$取极限即得结论. 145 | \end{proof} 146 | 147 | 由这个定理可得下面推论，当然这推论直接使用导数定义也是可以验证的。 148 | \begin{inference} 149 | 函数$y=Cf(x)$的导函数是$y'=Cf'(x)$，如果$f(x)$存在导函数，这里$C$是任意实常数。 150 | \end{inference} 151 | 152 | 由以上两个定理，只要把两个函数的商函数$\dfrac{f(x)}{g(x)}$写成$f(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)}$，就得到 153 | \begin{theorem} 154 | 设函数$f(x)$和$g(x)$都在$x_0$的某个邻域内有定义且$g(x)\neq 0$，如果两者都在$x_0$处可导，则$u(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$在$x_0$处可导，并且有 155 | \[ u'(x_0) = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)} \] 156 | \end{theorem} 157 | 158 | \begin{example} 159 | 考察多项式函数 160 | \[ f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \] 161 | 现在容易得知它的导函数是 162 | \[ f'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1 \] 163 | 显然，$n$次多项式函数的导函数是$n-1$次多项式函数。 164 | \end{example} 165 | 166 | \begin{example} 167 | 由商的求导法则，可得出正切函数的导函数 168 | \begin{eqnarray*} 169 | \tan'{x} & = & \left( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \right)' \\ 170 | & = & \frac{(\sin{x})'\cos{x}-\sin{x}(\cos{x})'}{\cos^2{x}} \\ 171 | & = & \frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}} \\ 172 | & = & \frac{1}{\cos^2{x}} = \sec^2{x} 173 | \end{eqnarray*} 174 | 175 | 以及 176 | \[ (\sec{x})' = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}, \ (\csc{x})'=-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} \] 177 | \end{example} 178 | 179 | 180 | \subsection{反函数的导数} 181 | \label{sec:derivative-of-revert-function} 182 | 183 | \begin{theorem} 184 | 如果函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域上严格单调，且在$x_0$处存在非零的导数，则其反函数$x=\varphi(y)$在$y_0=f(x_0)$处亦可导，且导数值 185 | \[ \varphi '(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \] 186 | \end{theorem} 187 | 188 | \begin{proof}[证明] 189 | 由于严格单调且连续，所以$x \to x_0$等价于$y \to y_0$，因此有 190 | \[ \lim_{y \to y_0} \frac{\varphi(y)-\varphi(y_0)}{y-y_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{f'(x_0)} \] 191 | \end{proof} 192 | 193 | \begin{example} 194 | 由指数函数的导数，可以得到对数函数的导数，函数$y=a^x(a>0, a \neq 1)$的导函数是$y'=a^x \ln{a}$，于是它的反函数$x=\log_a y$的导函数就是$x'=\frac{1}{a^x \ln{a}}=\frac{\log_a \mathrm{e}}{y}$，特别的是 $(\ln{x})'=\frac{1}{x}$. 195 | \end{example} 196 | 197 | \begin{example} 198 | 来求一下反三角函数的导数，因为$(\sin{x})'=\cos{x}$，所以 199 | \[ (\arcsin{y})'=\frac{1}{(\sin{x})'} = \frac{1}{\cos{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \] 200 | 注意反正弦的取值范围是$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，所以这里余弦是正值，这就是反正弦函数的导数，同样可求得反余弦导函数 201 | \[ (\arccos{y})' = - \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \] 202 | 对于反正切函数，则有 203 | \[ (\arctan{y})' = \frac{1}{(\tan{x})'} = \cos^2{x} = \frac{1}{1+\tan^2{x}} = \frac{1}{1+y^2} \] 204 | \end{example} 205 | 206 | \subsection{复合函数的导数} 207 | \label{sec:derivative-of-embed-function} 208 | 209 | \begin{theorem} 210 | 设函数$u=\varphi(x)$在$x_0$处可导，而函数$y=f(u)$在$u_0=\varphi(x)$处亦可导，且$y=f(u)$在$u_0$的某空心邻域内函数值恒不与$f(u_0)$相同，则复合函数$y=f(\varphi(x))$在$x_0$处可导，且导数值为$f'(u_0)\varphi '(x_0)$. 211 | \end{theorem} 212 | 213 | \begin{proof}[证明] 214 | 由$x=\varphi(x)$在$x_0$处的连续性，当$x \to x_0$时亦必有$u \to u_0$，于是在等式 215 | \[ \frac{f(\varphi(x))-f(\varphi(x_0))}{x-x_0} = \frac{f(\varphi(x))-f(\varphi(x_0))}{\varphi(x)-\varphi(x_0)} \cdot \frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{x-x_0} = \frac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0} \cdot \frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{x-x_0} \] 216 | 两边令$x \to x_0$便得结论. 217 | \end{proof} 218 | 219 | 根据定理，函数$y=f(\varphi(x))$的导函数是$y'=f'(\varphi(x))\varphi '(x)$. 220 | 221 | \begin{example} 222 | 对于双曲函数的导函数，将双曲余弦$y=\cos{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$看成$\varphi(x)=e^x$以及$f(x)=\frac{u+\frac{1}{u}}{2}$的复合，就有 223 | \[ (\cosh{x})' = \left( \frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2} \right)' = \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2} = \sinh{x} \] 224 | 同样有 225 | \[ (\sinh{x})' = \cosh{x} \] 226 | 这跟三角函数的求导函数非常类似，以后我们还会看到，双曲函数在很多方面都跟三角函数有类似的性质。 227 | \end{example} 228 | 229 | \begin{example} 230 | 我们也可以把余弦函数$y=\cos{x}$写成$y=\sin{\left( x+\frac{\pi}{2} \right)}$，从而将它看成是由$y=\sin{u}$以及$u=x+\frac{\pi}{2}$复合而成，于是便得 231 | \[ (\cos{x})' = (\sin{u})' \cdot u'(x) = \cos{u} = \cos{\left( x+\frac{\pi}{2} \right)} = - \sin{x} \] 232 | \end{example} 233 | 234 | \begin{example} 235 | 我们已经知道幂函数$x^n(x>0, n \in \mathbb{N}_+)$的导函数是$nx^{n-1}$，现在我们将这一结果推广为，任意幂函数$x^p(x>0, p \in \mathbb{R})$的导函数都是$px^{p-1}$. 236 | 237 | 显然$p=0$时结论成立，如果$p$为有理数$\frac{m}{n}$，那么对于下式 238 | \[ \frac{(x+\Delta x)^{m/n}-x^{m/n}}{\Delta x} \] 239 | 令$a=(x+\Delta x)^{m/n}$及$b=x^{m/n}$并借用公式 240 | \[ a-b = \frac{a^n-b^n}{a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}} \] 241 | 可得 242 | \[ \frac{(x+\Delta x)^{m/n}-x^{m/n}}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^m - x^m}{\Delta x (a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})} \] 243 | 令$\Delta x \to 0$，显然有 244 | \[ \frac{(x+\Delta x)^m - x^m}{\Delta x} \to m x^{m-1} \] 245 | 而因子$a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}$中的每一项都趋于$x^{m(n-1)/n}$，因此整个式子的极限便是 246 | \[ \frac{mx^{m-1}}{nx^{m(n-1)/n}} = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} \] 247 | 于是结论对于$p \in \mathbb{Q}$都成立。 248 | 249 | 但当考虑到$p$为无理数的情形时，上面的方法就失效了，我们不得不寻求别的方法，在这里，我们把$x^p$写成复合函数的形式$y=\mathrm{e}^{p \ln{x}}$，于是可以求得 250 | \[ (x^p)' = (\mathrm{e}^{p \ln{x}})' = \mathrm{e}^{p \ln{x}} \cdot (p \ln{x})' = \mathrm{e}^{p \ln{x}} \cdot \frac{p}{x} = px^{p-1} \] 251 | 于是就证明了结论。 252 | \end{example} 253 | 254 | \begin{example} 255 | 仿上例的方法，设函数$u(x)$和$v(x)$均可导，我们来求$y=u(x)^{v(x)}$的导函数，同样把它写成$y=\mathrm{e}^{v(x) \ln{u(x)}}$的形式，可求得 256 | \[ y'=e^{v(x) \ln{u(x)}} (v(x) \ln{u(x)})' = u(x)^{v(x)} (v'(x)\ln{u(x)}+\frac{v(x)u'(x)}{u(x)}) \] 257 | \end{example} 258 | 259 | \begin{example} 260 | 假如函数$f(x)$的定义域关于$x=0$对称，如果它是奇函数，即对任意$x$成立$f(-x)=-f(x)$，那么可以证明，它的导函数$f'(x)$一定是偶函数，反之，如果$f(x)$是偶函数，那么它的导函数$f'(x)$一定是奇函数，这在正弦函数和余弦函数的身上已经得到验证。 261 | \end{example} 262 | 263 | \subsection{求导公式表} 264 | \label{sec:table-of-derivative-formule} 265 | 266 | 我们把到现在为止，我们已经求得的导数公式列在这里: 267 | 268 | 1. 常函数 $(C)' = 0$ 269 | 270 | 2. 幂函数 $(x^p)' = p x^{p-1}, (p \in \mathbb{R},x>0)$. 271 | 272 | 3. 指数函数 $(a^x)' = a^x \ln{a}$，对数函数$(\log_a x)' = \frac{\log_a \mathrm{e}}{x}$，特殊情况是 $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$与$(\ln{x})'=\frac{1}{x}$. 273 | 274 | 4. 三角函数与反三角函数 $(\sin{x})' = \cos{x}$，$(\cos{x})'=-\sin{x}$，$(\tan{x})'=\sec^2{x}$，$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arccos{x})'= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2}$. 275 | 276 | \subsection{参变量函数的导数} 277 | \label{sec:derivative-of-parametered-function} 278 | 279 | 前面已经提过，引入导数概念的一个几何背景就是求曲线上某点处的切线，这个问题在曲线方程是用函数方程$y=f(x)$来表达的情形下已经解决了，但是通常一般的曲线并不能表达为一个函数，而是由参数方程表达的，比如圆的参数方程是$x=\cos{\theta},y=\sin{\theta}$，假定一段曲线的参数方程是 280 | \[ 281 | \begin{cases} 282 | x = x(t) \\ 283 | y = y(t) 284 | \end{cases} 285 | \] 286 | 假定参数$t$在$t_0$的某个邻域内变化，且两个分函数都在这个邻域上可导，那么有 287 | \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{x(t+\Delta t)-x(t)} = \frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta t}{x(t+\Delta t)-x(t)} \] 288 | 令$\Delta t \to 0$便得 289 | \[ \frac{\dif y}{\dif x} = \frac{y'(t)}{x'(t)} \] 290 | 当然这里需要$x'(t) \neq 0$，这就是参变量函数的导数公式. 291 | 292 | \begin{example} 293 | 对于圆来说，它的参数方程是 294 | \[ 295 | \begin{cases} 296 | x=\cos{\theta} \\ 297 | y = \sin{\theta} 298 | \end{cases} 299 | \] 300 | 于是它在$\theta=\theta_0$处的导数是 301 | \[ \frac{\dif y}{\dif x} = -\cot{\theta_0} \] 302 | \end{example} 303 | 304 | 对于函数$y=f(x)$来说，它也可以看成是由以下的参数方程决定的曲线 305 | \[ 306 | \begin{cases} 307 | x = t \\ 308 | y = f(t) 309 | \end{cases} 310 | \] 311 | 312 | \subsection{高阶导数} 313 | \label{sec:high-level-derivative} 314 | 315 | 如果一个函数连续，则它的图象是一条不连续不间段的曲线，而如果它又可导，则它的曲线呈现出光滑无转折点的特征，那么由于导函数的存在，自然会问到导函数是否也可导这样一个问题，也就是导数的导数，即高阶导数。 316 | 317 | \begin{definition} 318 | 如果函数$f(x)$在某个区间上存在导函数，且导函数也可导，则称导函数的导函数是$f(x)$的\emph{二阶导数}，记作$f''(x)$或者$\frac{\dif^2y}{\dif x^2}$，类似的可以得到\emph{三阶导数}$\frac{\dif^3y}{\dif x^3}$或者$y^{(3)}$或者$f^{(3)}(x)$、\emph{四阶导数}$\frac{\dif^4 y}{\dif x^4}$或者$f^{(4)}(x)$...$n$阶导数$\frac{\dif^n y}{\dif x^n}$或者$f^{(n)}(x)$，这些统称\emph{高阶导数}. 319 | \end{definition} 320 | 321 | 下面考虑基本函数的高阶导数。 322 | 323 | 1. 幂函数$y=x^p(x>0, p \in \mathbb{R})$. 324 | 325 | 显然有 326 | \begin{align*} 327 | \frac{\dif y}{\dif x} & = px^{p-1} \\ 328 | \frac{\dif^2 t}{\dif x^2} & = p(p-1)x^{p-2} \\ 329 | \cdots \\ 330 | \frac{\dif ^n y}{\dif x^n} & = p(p-1)\cdots (p-n+1)x^{p-n} 331 | \end{align*} 332 | 333 | 对于指数是正整数$m$的情形来说，函数$x^m(m \in \mathbb{N}_+)$的一阶导数是$m-1$次多项式，二阶导数是$m-2$阶多项式，$m$阶导数则成为常数，阶数更高阶的导数将恒为零函数。 334 | 335 | 2. 指数函数$y=a^x(a>0,a \neq 1)$. 336 | 337 | 这时有 338 | \begin{align*} 339 | \frac{\dif y}{\dif x} & = a^x \ln{a} \\ 340 | \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} & = a^x (\ln{a})^2 \\ 341 | \frac{\dif^3 y}{\dif x^3} & = a^x (\ln{a})^3 \\ 342 | \cdots \\ 343 | \frac{\dif^n y}{\dif x^n} & = a^x (\ln{a})^n \\ 344 | \end{align*} 345 | 346 | 对于$y=\mathrm{e}^x$来说，则因为$\frac{\dif y}{\dif x} = \mathrm{e}^x = y$，所以它的任意阶的导函数仍然是它自己。 347 | 348 | 3. 对数函数$y=\log_a x(a>0, a \neq 1)$. 349 | 350 | 因为求一阶导数后就成为幂函数，所以可以应用幂函数的高阶导数结果. 351 | \begin{align*} 352 | \frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{1}{x \ln{a}} \\ 353 | \frac{\dif ^2y}{\dif x^2} & = - \frac{1}{x^2\ln{a}} \\ 354 | \cdots \\ 355 | \frac{\dif^ny}{\dif x^n} & = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n \ln{a}} 356 | \end{align*} 357 | 358 | 特别情况是 359 | \[ \frac{\dif^n (\ln{x})}{\dif x^n} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} \] 360 | 361 | 4. 三角函数 362 | 363 | 正弦函数$y=\sin{x}(x \in \mathbb{R})$ 364 | \begin{align*} 365 | \frac{\dif y}{\dif x} & = \cos{x} = \sin{\left( x+\frac{\pi}{2} \right)} \\ 366 | \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} & = -\sin{x} = \sin{(x+\pi)} \\ 367 | \cdots \\ 368 | \frac{\dif^ny}{\dif x^n} & = \sin{\left( x+\frac{n\pi}{2} \right)} 369 | \end{align*} 370 | 371 | 同理，对于余弦也有 372 | \[ \frac{\dif^n (\cos{x})}{\dif x^n} = \cos{\left( x+\frac{n\pi}{2} \right)} \] 373 | 374 | 对于正切函数$y=\tan{x}$，先求出低数较高的几个导数如下 375 | \begin{align*} 376 | \frac{\dif y}{\dif x} & = 1+\tan^2{x} \\ 377 | \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} & = 2\tan{x}(1+\tan^2{x}) \\ 378 | \frac{\dif^3y}{\dif x^3} & = (2+6\tan^2{x})(1+\tan^2{x}) 379 | \end{align*} 380 | 由复合函数求导法则可知，其$n$阶导数中必然包含因式$1+\tan^2{x}$，而剩下的部分是一个关于$\tan{x}$的$n-1$次多项式，即 381 | \[ \frac{\dif^n (\tan{x})}{\dif x^n} = (1+\tan^2{x})g_n(\tan{x}) \] 382 | 求导便得 383 | \[ \frac{\dif^{n+1}y}{\dif x^{n+1}} = (1+\tan^2{x})[2\tan{x}g_n(\tan{x})+(1+\tan^2{x})g_n'(\tan{x})] \] 384 | 即$g_n(t)$具有如下的递推公式 385 | \[ g_{n+1}(t) = 2tg_n(t)+(1+t^2)g_n'(t) \] 386 | 且$g_1(t)=1$. 387 | 388 | 5. 对于反三角函数. 389 | 390 | \subsection{莱布尼茨公式} 391 | \label{sec:Leibniz-formular-for-high-level-derivative-of-multiply} 392 | 393 | 设两个函数$f(x)$与$g(x)$都存在高阶导数，来讨论一下它俩之积的高阶导数，设$h(x)=f(x)g(x)$，根据乘积函数的求导法则，可以求得 394 | \begin{align*} 395 | h'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ 396 | h''(x) & = f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x) \\ 397 | h''''(x) & = f'''(x)g(x)+3f''(x)g'(x)+3f'(x)g''(x)+f(x)g'''(x) 398 | \end{align*} 399 | 易见这与二项式定理非常相似，利用数学归纳法可以证明下面一般性的结果: 400 | 401 | \begin{theorem} 402 | 设函数$f(x)$与$g(x)$都在某个共同的区间上存在直到$n$阶的导函数，则乘积$h(x)=f(x)g(x)$的$n$阶导数是 403 | \[ h^{(n)}(x) = \sum_{i=0}^n C_n^i f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x) \] 404 | \end{theorem} 405 | 406 | \subsection{微分与高阶微分} 407 | \label{sec:difference-and-high-level-difference} 408 | 409 | 现在来讨论一个重要的概念：微分。 410 | 411 | 假定函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义且在$x_0$处可导，那么有 412 | \[ \Delta y = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) \] 413 | 即函数值的增量$\Delta y$可以写成一个自变量增量的倍数$f'(x_0)\Delta x$与一个自变量增量的高阶无穷小之和，也就是说，函数值的增量$\Delta y$作为一个无穷小，我们从中分离出了主要成分$f'(x_0)\Delta x$，而剩下的部分与主要成分相比可以忽略不计（高阶无穷小），这个主要成分正好是自变量增量的倍数，称为\emph{线性主部}，于是提出微分的概念如下: 414 | \begin{definition} 415 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，如果存在常数$A$，使得当自变量增量$\Delta x$趋于零时，函数值增量$\Delta y$与$A\Delta x$相差一个$\Delta x$的高阶无穷小，即 416 | \[ \Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) \] 417 | 则称函数$f(x)$在$x_0$处\emph{可微}，而表达式$A\Delta x$就称为函数$f(x)$在$x_0$处的\emph{微分}，记作$\dif y |_{x=x_0}$或者$\dif f(x_0)$. 418 | \end{definition} 419 | 420 | 微分概念的核心就是从无穷小中分离出最主要的线性成分，这部分就是函数的微分。 421 | 422 | 如果函数$f(x)$在$x_0$处可导，显然就有 423 | \[ \Delta y = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) \] 424 | 这表明，$f'(x_0)\Delta x$就是函数在该处的微分，也就是$A=f'(x_0)$，微分定义中显然$A$若存在也不可能有多个值，所以得到结论：函数在某点处可微的充分必要条件是在该点处可导。而微分就是导数与自变量的增量之积。 425 | 426 | 对于自变量而言，如果把它看成它自己的函数，显然有$\dif x = \Delta x$，所以微分表达式通常写成 427 | \[ \dif y = f'(x_0) \dif x \] 428 | 而不是写成$\dif y = f'(x_0) \Delta x$，把上式改写成 429 | \[ f'(x_0) = \frac{\dif y}{\dif x} \] 430 | 这就表明，函数在某点处的导数值，正是该点处函数的微分与自变量比的微分之比，这就是导数被称为微商以及导数符号$\frac{\dif y}{\dif x}$的由来。 431 | 432 | 微分可以用于一些近似计算. 433 | 434 | \begin{example} 435 | ，例如，要计算$\sqrt{4.01}$，由开方函数的微分$\dif (\sqrt{x})=\frac{\dif x}{2 \sqrt{x}}$得 436 | \[ \sqrt{4.01} \approx \sqrt{4} + \frac{0.01}{2 \sqrt{4}} = 2.0025 \] 437 | 这与精确值$\sqrt{4.01}=2.0024984\ldots$接近的很好。 438 | \end{example} 439 | 440 | 有了导数与微分的关系，根据基本函数的导法公式，可以得出对应的微分公式 441 | 442 | 1. $y=c$, $\dif y = 0$. 443 | 444 | 2. $y=x^p(p \in \mathbb{R},x>0)$, $\dif y = px^{p-1} \dif x$. 445 | 446 | 3. $y=a^x(a>0,a \neq 1)$,$\dif y=a^x\ln{a} \dif x$,特殊情况:$\dif (\mathrm{e}^x) = \mathrm{e}^x \dif x$. 447 | 448 | 4. $y=\log_a x(a>0,a\neq 1,x>0)$,$\dif y=\frac{\dif x}{x \ln{a}}$，特殊情况:$\dif (\ln{x}) = \frac{\dif x}{x}$. 449 | 450 | 5. 三角函数 451 | \[ \dif (\sin{x}) = \cos{x} \dif x, \ \dif (\cos{x}) = -\sin{x} \dif x, \ \dif (\tan{x}) = \sec^2{x} \dif x \] 452 | 453 | 6. 反三角函数 454 | \[ \dif (\arcsin{x}) = \frac{\dif x}{\sqrt{1-x^2}}, \ \dif (\arccos{x}) = - \frac{\dif x}{\sqrt{1-x^2}}, \ \dif (\arctan{x}) = \frac{\dif x}{1+x^2} \] 455 | 456 | 以及微分法则 457 | \begin{enumerate} 458 | \item $\dif (cf(x)) = c \dif (f(x))$，这里$C$是常数. 459 | \item $\dif (f(x) \pm g(x)) = \dif (f(x)) \pm \dif (g(x))$. 460 | \item $\dif (f(x)g(x)) = \dif (f(x))g(x) + f(x) \dif (g(x))$. 461 | \item $\dif \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{\dif (f(x))g(x) - f(x) \dif (g(x))}{f^2(x)}$. 462 | \end{enumerate} 463 | 464 | 由反函数的求导法则，我们可以建立反函数的微分法则，设$y=f(x)$的反函数为$x=\varphi(y)$，那么有 465 | \[ \dif y = f'(x) \dif x, \ \dif x = \varphi'(y) \dif y \] 466 | 而$f'(x)\varphi'(y)=1$，所以 467 | \[ \dif x = \frac{\dif y}{f'(x)} \] 468 | 469 | 导数有高阶导数，微分也可以建立高阶微分的概念，对函数$f(x)$来说，它的微分 470 | \[ \dif y = f'(x) \dif x \] 471 | 既是$x$的函数，同时也是自变量增量$\dif x$的函数，现在把$x$看成主元，即保持$\dif x$为常量，再次进行微分，得 472 | \[ \dif^2 y = \dif (f'(x) \dif x) = \dif (f'(x)) \dif x = f''(x) \dif x^2 \] 473 | 这里$\dif x^2 = (\dif x)^2$是一个特别记号，以与函数$y=x$的二阶微分符号$\dif^2 x$相区别。上式就是函数$f(x)$的\emph{二阶微分}，同样，还可以求三阶微分 474 | \[ \dif^3 y = \dif (\dif^2 f(x)) = \dif (f''(x) \dif x^2) = f^{(3)}(x) \dif x^3 \] 475 | 容易得知，对任意正整数$n$，有 476 | \[ \dif^n y = f^{(n)}(x) \dif x^n \] 477 | 这就是$n$阶微分，而这符号也正是高阶导数符号的来源。 478 | 479 | \subsection{微分的形式不变性} 480 | \label{sec:the-non-variabriant-format-of-differtial} 481 | 482 | 前面已经讲过，设复合函数$h(x)=f(g(x))$是由$y=f(u)$及$u=g(x)$复合而成，那么有求导公式 483 | \[ h'(x) = f'(g(x))g'(x) \] 484 | 因此它的微分为 485 | \[ \dif (h(x)) = f'(g(x)) g'(x) \dif x \] 486 | 但是我们知道，上式右端中的因子$g'(x) \dif x$正是函数$g(x)$的微分，即 487 | \[ \dif (g(x)) = g'(x) \dif x \] 488 | 因此前一式子可以写成 489 | \[ \dif (f(g(x))) = f'(g(x)) \dif (g(x)) \] 490 | 这与函数$f(x)$的微分表达式$\dif (f(u)) = f'(u) \dif u$一模一样，只是在其中把$u$用$u=g(x)$替换掉了而已，这表明一个事实，在微分表达式中，如果一个变量又是别的变量的函数，可以在替换变量的同时把该变量的微分替换为相应函数的微分就行，微分表达式仍然成立，这就是\emph{微分的形式不变性}. 491 | 492 | 复合函数的导数规则看起来不如微分的形式不变性来得简单。 493 | 494 | 但是对于高阶微分，这个性质就不再了，以二阶微分为例，函数$y=f(u)$的二阶微分是 495 | \[ \dif^2 y = f''(u) \dif u^2 \] 496 | 但假若$u=g(x)$，那么现在的二阶微分是 497 | \[ \dif^2 y = \dif (\dif (f(g(x)))) = \dif (f'(g(x))g'(x)\dif x) = (f''(g(x))g'(x)+f'(g(x))g''(x)) \dif x^2 \] 498 | 但若直接在$y=f(u)$的二阶微分中以$u=g(x)$替换，则得出 499 | \[ f''(g(x)) (\dif g(x))^2 = f''(g(x)) g'^2(x) \dif x^2 \] 500 | 可知两者并不相等，因此，高阶微分不再具有形式不变性。 501 | 502 | \subsection{微分用于近似计算} 503 | \label{sec:approx-by-differtial} 504 | 505 | 微分提供了一个近似计算的思路，设函数$y=f(x)$在$x=x_0$处可微，则在$x_0$处给自变量一个微小的增量$\Delta x$，函数值也相应有一个增量$\Delta y$，有 506 | \[ \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x) \] 507 | 于是 508 | \[ f(x_0+\Delta x) = f(x_0) + f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x) \] 509 | 于是有如下的近似公式 510 | \[ f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x \] 511 | 这就是说，可以用曲线在某点处的切线来逼近它，并且由于误差是$\Delta x$的高阶无穷小，所以相对误差可以任意小，只要$\Delta x$足够小。 512 | 513 | \begin{example} 514 | 可以建立如下的近似公式，当$|x|$非常小时，有 515 | \begin{align*} 516 | (1+x)^{\alpha} & \approx 1 + \alpha x \\ 517 | \mathrm{e}^x & \approx 1 + x \\ 518 | \ln{(1+x)} & \approx x \\ 519 | \sin{x} & \approx x \\ 520 | \tan{x} & \approx x 521 | \end{align*} 522 | 其中第一个式子中，取$\alpha=\frac{1}{2}$，可得 523 | \[ \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x \] 524 | \end{example} 525 | 526 | 527 | %%% Local Variables: 528 | %%% mode: latex 529 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 530 | %%% End: 531 | -------------------------------------------------------------------------------- /derivative-and-differential/differential-mean-value-theorems.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{微分中值定理} 3 | \label{sec:differential-mean-value-theorems} 4 | 5 | \subsection{费马极值定理} 6 | \label{sec:fermat-limit-value-theorem} 7 | 8 | \begin{theorem} 9 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果它在$x_0$处取得极值(极大或者极小均可)且在$x_0$处可导，则必有$f'(x_0)=0$. 10 | \end{theorem} 11 | 12 | \begin{proof}[证明] 13 | 假如函数在$x_0$处取的是极大值，用反证法证明该点处如果可导，则导数只能是零，这是因为，假设$f'(x_0)>0$，则必定存在$x_0$的某个充分小的邻域，在此邻域上恒有 14 | \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0 \] 15 | 于是在这个充分小的邻域的右侧部分，就有$f(x)>f(x_0)$，这与函数在$x_0$处达到极大值相矛盾. 同理，如果$f'(x_0)<0$，则在$x_0$的某个充分小的左邻域上，亦必有$f(x)>f(x_0)$，同样导致矛盾，因此，如果$f'(x_0)$存在，则只能是零。 16 | \end{proof} 17 | 18 | 19 | \subsection{罗尔定理} 20 | \label{sec:rolle-theorem} 21 | 22 | \begin{theorem}[罗尔(Rolle)定理] 23 | 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内连续，在开区间$(a,b)$内可导，且有$f(a)=f(b)$，则开区间$(a,b)$上至少存在一个点$x_0$，使得$f'(x_0)=0$. 24 | \end{theorem} 25 | 26 | \begin{proof}[证明] 27 | 因为闭区间上的连续函数必定同时存在着最大值和最小值，如果两个最值相等，则函数值恒为常数，此时结论自然是成立的，如果最大值和最小值不相等，则两个最值必然有一个与两个端点处的函数值不同，从而只能在开区间内取得，于是按费马极值定理，该点处的导数便是零。 28 | \end{proof} 29 | 30 | \subsection{拉格朗日中值定理} 31 | \label{sec:lagrange-middle-value-theorem} 32 | 33 | \begin{theorem}[拉格朗日(Lagrange)中值定理] 34 | 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在$x_0 \in (a,b)$，使得 35 | \[ f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 36 | \end{theorem} 37 | 38 | 这定理的几何意义是，闭区间上的连续函数的图象上，存在某个点处的切线平行于两个端点的连线。 39 | 40 | \begin{proof}[证明] 41 | 两个端点相连直线对应的线性函数是 42 | \[ g(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \] 43 | 构造函数 44 | \[ L(x) = f(x)-g(x) \] 45 | 容易验证，函数$L(x)$满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即得结论。 46 | \end{proof} 47 | 48 | 在证明了拉格朗日定理之后，我们注意到一个的现象，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情形，但由特殊情形的罗尔定理可以得到一般情形的拉格朗日定理，这与我们通常的认识相违背，但这揭示了一种特殊与一般之间的等价关系，这在数学上很多地方都可以看到这种关系，有时候为了证明一个定理，我们往往先证明定理的特殊情形，再由特殊情形通过某种变换，可以得出一般情形的结论。 49 | 50 | \subsection{柯西中值定理} 51 | \label{sec:cauchy-middle-value-theorem} 52 | 53 | \begin{theorem}[柯西(Cauchy)中值定理] 54 | 设函数$f(x)$和$g(x)$都在闭区间$[a,b]$上连续且在开区间$(a,b)$内可导，并且两个函数的导数不同时为零以及$g(a) \neq g(b)$，则存在$x_0 \in (a,b)$，使得 55 | \[ \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \] 56 | \end{theorem} 57 | 58 | \begin{proof}[证明] 59 | 同拉格朗日定理相仿，作函数 60 | \[ h(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)) \] 61 | 再作 62 | \[ C(x) = f(x) - h(x) \] 63 | 则可以验证，$C(x)$符合罗尔定理的条件，由罗尔定理即得结论。 64 | \end{proof} 65 | 66 | 柯西中值定理可看作是参变量曲线的拉格朗日定理，假定一条曲线由参数方程 67 | \[ 68 | \begin{cases} 69 | x = g(t) \\ 70 | y = f(t) 71 | \end{cases} 72 | \] 73 | 确定，参数范围是$a \leqslant t \leqslant b$，那么它在$t=t_0$处的切线斜率便是$\frac{f'(t_0)}{g'(t_0)}$，这定理表明曲线上存在某点，该点处的切线平行于曲线两个端点的连线。 74 | 75 | \subsection{导函数的进一步性质} 76 | \label{sec:some-perproties-of-derivative-function} 77 | 78 | \begin{theorem}[导函数介值定理] 79 | 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，且$f'_+(a) \neq f'_-(b)$，则对于介于$f'_+(a)$与$f'_-(b)$之间的任意实数$k$，都存在$x_0 \in (a,b)$，使得$ f'(x_0) = k $. 80 | \end{theorem} 81 | 82 | \begin{proof}[证明] 83 | 作函数$g(x)=f(x)-kx$，则$g'(x)=f'(x)-k$，显然$g'(a)g'(b)<0$，不妨假设是$g'(a)>0$而$g'(b)<0$，则函数$g(x)$在$a$的某个右邻域上单调增加，同时在$b$的某个左邻域上单调减小，因此，连续函数$g(x)$必然在开区间$(a,b)$内的某点处达到它的最大值，记此点为$x_0$，由费马极值定理可知$g'(x_0)=0$，即$f'(x_0)=k$. 84 | \end{proof} 85 | 86 | \begin{theorem} 87 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内连续，且在其空心邻域内可导，如果导数函数$f'(x)$在$x_0$处存在左右极限，则函数在$x_0$处存在左导数和右导数，并且有 88 | \begin{eqnarray*} 89 | f_-'(x_0) & = & \lim_{x \to x_0^-} f'(x) \\ 90 | f_+'(x_0) & = & \lim_{x \to x_0^+} f'(x) 91 | \end{eqnarray*} 92 | \end{theorem} 93 | 94 | \begin{proof}[证明] 95 | 只证明右侧导数的部分，左导数也是完全类似的。设导函数$f'(x)$在$x_0$处的右极限是$A$，只要证明$f(x)$在$x_0$处右可导且导数值也是$A$即可，设$x>x_0$，则函数在$[x_0,x]$上显然满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在$x_1 \in (x_0,x)$，使得 96 | \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_1) \] 97 | 当$x \to x_0^+$时，显然亦必有$x_1 \to x_0^+$，而导函数$f'(x)$在$x_0$处有右极限为$A$，所以 98 | \[ \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x_1 \to x_0^+} f'(x_1) = A \] 99 | 这就表明函数$f(x)$在$x_0$处右可导，且导数值为$A$. 100 | \end{proof} 101 | 102 | 这两个定理表明，导函数不可能有第一类间断点，在一定程度上具有连续函数的某些性质，也正是因此，不是任何一个函数都可以成为某个函数的导函数的。 103 | 104 | \subsection{洛必达法则} 105 | \label{sec:L'Hopital-rule} 106 | 107 | 洛必达法则是一系列函数极限公式的统称。 108 | 109 | 第一个定理是关于$\frac{0}{0}$型的不定式的。 110 | \begin{theorem} 111 | 设$f(x)$与$g(x)$都在$x_0$的某个空心邻域内可导，且 112 | \begin{enumerate} 113 | \item $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$. 114 | \item 在点$x_0$的某空心邻域内两者都可导，且$g'(x) \neq 0$. 115 | \item $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}=A$，这里$A$可以是有限实数，也可以是无穷大或者带符号的无穷大. 116 | \end{enumerate} 117 | 则有 118 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = A \] 119 | \end{theorem} 120 | 121 | \begin{proof}[证明] 122 | 如果$f(x_0)$与$g(x_0)$不为零，则对它们进行连续开拓，命$f(x_0)=g(x_0)=0$，于是利用柯西中值定理，对任意$x \neq x_0$都存在介于$x_0$与$x$之间的$x_1$使得 123 | \[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)} = \frac{f'(x_1)}{g'(x_1)} \] 124 | 再令$x \to x_0$，亦必有$x_1 \to x_0$，于是便得出结论。 125 | \end{proof} 126 | 127 | \begin{example} 128 | 今来证明 129 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2} \] 130 | 可以验证分子分母两个函数符合上述定理的条件，并且导函数在$x=0$处的极限是 131 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{2x} = \frac{1}{2} \] 132 | 因此便得结论，这个极限的思路是这样来的，因为余弦函数在$x=0$处是连续的，所以我们知道$1-\cos{x}$是一个无穷小，即 133 | \[ \cos{x} = 1+o(1) \] 134 | 我们将这个无穷小与$x$这个简单的无穷小进行比较，也就是考虑 135 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos{x}}{x} \] 136 | 根据前面证明，显然这个极限是零，也就是说$1-\cos{x}$是$x$的高阶无穷小，即 137 | \[ \cos{x} = 1-o(x) \] 138 | 于是我们再将它与$x^2$进行比较，前述结果表明它俩是同阶无穷小，或者说，$1-\cos{x}$与$\frac{1}{2}x^2$是等价无穷小，于是得 139 | \[ \cos{x} = 1-\frac{1}{2}x^2 + o(x^2) \] 140 | 这个过程还可以继续进行下去，只要得到一个无穷小，就将它与最简单的无穷小$x,x^2,\ldots,x^n,\ldots$依次进行比较，直到得出同阶无穷小为止，然后再反复进行此步骤，依次剥离出无穷小的主要成分，剩下的是越来越高阶的无穷小，下面就是将$1-\cos{x}$与$\frac{1}{2}x^2$作差之后与$x^3$比较，仍然由洛必达法则可得 141 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{(1-\cos{x})-\frac{1}{2}x^2}{x} = 0 \] 142 | 说明这个差是$x$的高阶无穷小，于是将它与$x^2$进行比较，得 143 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{(1-\cos{x})-\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}-x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{2x} - \frac{1}{2} = 0 \] 144 | 说明$x^2$的阶数仍然低了，同样的办法可以知道$x^3$仍然低，这个差与$x^4$是同阶无穷小，比值的极限是$-\frac{1}{24}$，这就是说 145 | \[ 1-\cos{x}-\frac{1}{2}x^2 \sim -\frac{1}{24}x^4 \] 146 | 或者写成 147 | \[ \cos{x} = 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4 + o(x^4) \] 148 | 因为余弦函数存在任意阶的导数，所以这个过程可以无限进行下去，接下来进行几步之后看起来是这样的 149 | \[ \cos{x} = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 - \frac{1}{720}x^6 + \frac{1}{40320}x^8 + o(x^8) \] 150 | 这意味着我们可以用多项式函数逐步逼近余弦函数，同样，对于正弦函数，我们也可以用同样的办法，可以得出 151 | \[ \sin{x} = x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \frac{1}{5040}x^7 + o(x^7) \] 152 | 这提供了一个非常重要的思路，就是可以用多项式函数来无限逼近一个函数，这就是后面我们推导函数的多项式展开即泰勒公式的思想。 153 | \end{example} 154 | 155 | \begin{example} 156 | 依照上例，从我们已知的极限 157 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x} = 1 \] 158 | 出发，可以得出 159 | \[ \mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+o(x^5) \] 160 | 同样，由 161 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln{(1+x)}}{x} = 1 \] 162 | 出发，可以得出 163 | \[ \ln{(1+x)} = x - \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{5}x^5+o(x^5) \] 164 | \end{example} 165 | 166 | 第二个是关于$\frac{\infty}{\infty}$型的不定式. 167 | \begin{theorem} 168 | 设函数$f(x)$与$g(x)$都在$x_0$右侧的某个空心邻域内可导，且 169 | \begin{enumerate} 170 | \item $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} g(x) = \infty$. 171 | \item 两个函数都在$x_0$的该空心邻域内可导，且$g'(x) \neq 0$. 172 | \item $\lim_{x \to x_0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$，这里$A$可以是实数，也可以是无穷大或者带符号的无穷大. 173 | \end{enumerate} 174 | \end{theorem} 175 | 176 | \begin{proof}[证明] 177 | 在$x_0$的右侧任意取定一个数$x_1$，设$a_n$是一个数列，它的所有项都被包含在开区间$(x_0,x_1)$上并且严格减少并收敛到$x_0$，那么两个函数在这个数列上对应着两个值的数列:$f(a_n)$和$g(a_n)$，显然这两个数列都是无穷大，并且根据柯西中值定理，存在$x_n \in (a_{n+1},a_n)$，使得 178 | \[ \frac{f(a_{n+1})-f(a_n)}{g(a_{n+1})-g(a_n)} = \frac{f'(x_n)}{g'(x_n)} \] 179 | 显然当$n \to \infty$时$x_n \to x_0$，因而有 180 | \[ \lim_{n \to \infty} \frac{f(a_{n+1})-f(a_n)}{g(a_{n+1})-g(a_n)} = A \] 181 | 于是由Stolz定理，可知 182 | \[ \lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n)}{g(a_n)} = A \] 183 | 然后由于数列$a_n$的任意性以及数列极限与函数极限的关系，可得 184 | \[ \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)}{g(x)} = A \] 185 | \end{proof} 186 | 187 | 从证明过程可以看出，这个定理与Stolz定理非常相似，Stolz定理可以看作是这个定理的离散版本，而这个定理可以看作是Stolz定理的连续版本。 188 | 189 | \subsection{泰勒公式与麦克劳林公式} 190 | \label{sec:taylor-formular} 191 | 192 | 在洛必达法则的例子中已经看到，反复应用洛必达法则可以得出一个函数的多项式逼近，这一节就来讨论这个问题。 193 | 194 | 假定函数$f(x)$在$x_0$处具有各阶导数（即直到接下来出现到的阶的导数），那么由连续性，$f(x)-f(x_0)$必然是一个无穷小($x \to x_0$)，为了寻求这个无穷小的阶，将其与$x-x_0$这个基本无穷小进行比较，即求极限 195 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] 196 | 由洛必达法则，假定函数的一阶导数连续(尤其是二阶可导)，上式的极限就是$f'(x_0)$，于是 197 | \[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) + o(1) \] 198 | 或者改写为 199 | \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) \] 200 | 记 201 | \[ T_1(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \] 202 | 显然$T_1(x)$是一个一次多项式，并且与$f(x)$在$x_0$处具有相同的函数值以及一阶导数值，即 203 | \[ f(x_0) = T_1(x_0), \ f'(x_0) = T_1'(x_0) \] 204 | 205 | 再考虑$f(x)-T_1(x)$，它是$x-x_0$的高阶无穷小，因此将它与$(x-x_0)^2$比较，即求极限 206 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-T_1(x)}{(x-x_0)^2} \] 207 | 假定$f(x)$二阶可导并且二阶导数连续，连续两次应用洛必达法则，得 208 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-T_1(x)}{(x-x_0)^2} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)-T_1'(x)}{2(x-x_0)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f''(x)}{2} = \frac{1}{2} f''(x_0) \] 209 | 于是 210 | \[ \frac{f(x)-T_1(x)}{(x-x_0)^2} = \frac{1}{2}f''(x_0) + o(1) \] 211 | 或者写成 212 | \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2) \] 213 | 并记 214 | \[ T_2(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 \] 215 | 则$T_2(x)$与$f(x)$在$x_0$处具有相同的函数值以及一阶导数和二阶导数。 216 | 217 | 同样，假定函数存在连续的三阶导数，那么还有 218 | \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}x^3 + o((x-x_0)^3) \] 219 | 如果还具有连续的四阶导数，则还有 220 | \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(x_0)}{4!}x^4 + o((x-x_0)^4) \] 221 | 照此下去，如果函数$f(x)$在$x_0$的邻域上存在直到$n$阶的连续导函数，那么 222 | \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n + o((x-x_0)^n) \] 223 | 记 224 | \[ T_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n \] 225 | 这个多项式就称为函数$f(x)$在$x_0$处的泰勒多项式，它的主要特征是，它与$f(x)$在$x_0$处具有相同的函数值以及一阶导数、二阶导数直到$n$阶导数(函数值也可以被视为零阶导数)，即 226 | \[ f(x_0)=T_n(x_0), \ f'(x_0) = T_n'(x_0), \ f''(x_0) = T_n''(x_0), \ \ldots, \ f^{(n)}(x_0) = T_n^{(n)}(x_0) \] 227 | 而函数的展开式则可以写成 228 | \[ f(x) = T_n(x) + o((x-x_0)^n) \] 229 | 称为函数$f(x)$在$x_0$处的\emph{泰勒展开公式}. 230 | 231 | 于是我们得到如下的著名定理 232 | \begin{theorem}[泰勒(Taylor)定理] 233 | 如果函数$f(x)$在$x_0$的邻域内有直到$n$阶的导函数，作泰勒多项式 234 | \[ T_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n \] 235 | 则有 236 | \[ f(x_0)=T_n(x_0), \ f'(x_0) = T_n'(x_0), \ f''(x_0) = T_n''(x_0), \ \ldots, \ f^{(n)}(x_0) = T_n^{(n)}(x_0) \] 237 | 并且有下式成立 238 | \[ f(x) = T_n(x) + o((x-x_0)^n) \] 239 | 这就是($n$阶)\emph{泰勒(Taylor)公式}，其中的余项$o((x-x_0)^n)$称为\emph{佩亚诺余项}. 240 | \end{theorem} 241 | 242 | 我们用数学归纳法来证明. 243 | \begin{proof}[证明] 244 | 我们记 245 | \[ R(x) = f(x) - T_n(x) \] 246 | 显然有 247 | \[ R(x_0) = R'(x_0) = \cdots = R^{(n)}(x_0) = 0 \] 248 | 因此只要证明在这个条件下有 249 | \[ R(x) = o((x-x_0)^n) \] 250 | 就可以了。 251 | 252 | 当$n=1$时，由导数意义，有 253 | \[ \frac{R(x)-R(x_0)}{x-x_0} = R'(x_0) + o(1) \] 254 | 注意到$R(x_0)=R'(x_0)=0$，所以 255 | \[ R(x) = o(x-x_0) \] 256 | 结论成立，假定定理对于$n$也是成立的，则看$n+1$的情形，此时设 257 | \[ S(x) = R'(x) \] 258 | 就有 259 | \[ S(x_0) = S'(x_0) = \cdots = S^{(n)}(x_0) = 0 \] 260 | 因此由归纳假设，有 261 | \[ S(x) = o((x-x_0)^n) \] 262 | 再由洛必达法则，有 263 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{R(x)}{(x-x_0)^{n+1}} = \lim_{x \to x_0} \frac{S(x)}{(n+1)(x-x_0)^n} = 0 \] 264 | 即 265 | \[ R(x) = o((x-x_0)^{n+1}) \] 266 | 由归纳法，定理成立。 267 | \end{proof} 268 | 269 | 注意到，在前面的推导过程中，我们要求函数具有直到$n$阶的连续导函数，但在这个定理的证明过程中，第$n$阶导函数是否连续并没有用到，这是为什么呢，用前面推导到二阶展开式那里的情况说明，那时有 270 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-T_1(x)}{(x-x_0)^2} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)-T_1'(x)}{2(x-x_0)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f''(x)}{2} = \frac{1}{2} f''(x_0) \] 271 | 最后一步，求极限$\lim_{x \to x_0} f''(x_0)$，那里我们是假定二阶导函数连续，得出这个极限为$f''(x_0)$的，但实际上由导函数连续性定理可知，如果这个极限存在，设为$K$，那么函数在$x_0$处必然存在二阶导数，且$f''(x_0)=K$，所以我们不要求二阶导数在$x_0$处连续，仅要求$f''(x_0)$存在就行，只要存在就必然连续，所以定理中的条件就减弱为在$x_0$的邻域上存在直到$n$阶的导函数。 272 | 273 | 在泰勒公式中，取$x_0 = 0$，我们就得到如下的\emph{麦克劳克(Maclaurin)公式}: 274 | \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) \] 275 | 276 | \begin{example} 277 | 既然公式是函数的多项式展开，那么多项式函数自己的展开式会是什么样呢？ 设多项式函数 278 | \[ f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \] 279 | 先写出它的$n$阶泰勒多项式 280 | \[ T_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n \] 281 | 可以发现，它也是一个$n$次多项式，按泰勒定理，这两个多项式相差一个$(x-x_0)^n$的高阶无穷小，我们指出，对于$n$次多项式函数$f(x)$而言，它与它的$n$阶泰勒展开式的差值是零，也就是 282 | \[ f(x) = T_n(x) \] 283 | 我们利用归纳法证明下面的结论，有了下面这个结论，这里的结论也就成立了。 284 | 285 | \begin{statement} 286 | 如果两个次数不超过$n$次的多项式$f(x)$与$g(x)$在$x_0$处直到$n$阶的导数值都相同，即 287 | \[ f'(x_0) = g'(x_0), \ f''(x_0) = g''(x_0), \ \ldots, \ f^{(n)}(x_0) = g^{(n)}(x_0) \] 288 | 则这两个多项式仅相差一个常数，即$f(x)-g(x)=C$，这里$C$是一个固定的常数. 289 | \end{statement} 290 | 291 | 显然结论对于常数多项式和一次多项式均成立，假设结论对于$\leqslant n$的情况都成立，现在假定$f(x)$和$g(x)$都是$n+1$次多项式，并且在$x_0$处两者具有相同的直到$n+1$阶的导数，那么它们的导数$f'(x)$和$g'(x)$在$x_0$处就具有相同的直到$n$阶导数，根据归纳假设，存在常数$C_1$，使得$f'(x)-g'(x)=C_1$，但由于$f'(x_0)=g'(x_0)$，所以$C_1=0$，即$f'(x)=g'(x)$，于是对于多项式$h(x)=f(x)-g(x)$有$h'(x)=0$，于是$h(x)$只能是常数多项式，即$h(x)=f(x)-g(x)=C$. 292 | \end{example} 293 | 294 | 有了这结论之后，由于$n$次多项式$f(x)$与它的$n$阶泰勒多项式在$x_0$具有相同的直到$n$阶的导数，因此它俩仅相差一个常数，但又由于$f(x_0)=T_n(x_0)$，所以有$f(x)=T_n(x)$. 295 | 296 | \subsection{基本函数的泰勒展式} 297 | \label{sec:taylor-expand-for-fundation-function} 298 | 299 | 在这一小节，我们来求一些基本函数在$x=0$处的泰勒展开式，即麦克劳林展开式。 300 | 301 | 1. 幂函数$f(x)=x^p(x>0)$. 302 | 303 | 由于它已经是在$x=0$处的展开式了，所以我们考虑它在$x=1$处的泰勒展开，在作代换$t=x-1$之后，实际就是要求函数$f(t)=(1+t)^p$在$t=0$处的展开式，我们还是用$x$来替换$t$，那么根据前面已经求得的高阶导数值，有 304 | \[ (1+x)^p = 1 + px + \frac{p(p-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{p(p-1)\cdots (p-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \] 305 | 显然，如果$p$是正整数，由于$n$次多项式的$n$阶导数成为常数，更高阶的导数则恒零，因此这个展开式就成为二项式定理了 306 | \[ (1+x)^n = 1+nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots + x^n \] 307 | 因此这式子可以看作是二项式定理的推广，它被称为\emph{牛顿二项式定理}. 308 | 309 | 在式中令$p=-1$，并将$x$替换为$-x$，得 310 | \[ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \] 311 | 同样，取$p=\frac{1}{2}$，得 312 | \[ \sqrt{1+x} = 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{3}{48}x^3 + o(x^3) \] 313 | 取$p=-\frac{1}{2}$，得 314 | \[ \frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2 -\frac{15}{48}x^3 + o(x^3) \] 315 | 316 | 1. 指数函数$f(x)=\mathrm{e}^x$. 317 | 318 | 根据在高阶导数那一小节我们求得的指数函数的高阶导数公式，我们得出 319 | \[ \mathrm{e}^x = 1+x+\frac{1}{2!}x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n) \] 320 | 321 | 2. 对数函数$f(x)=\ln{x}$. 322 | 323 | 由于对数函数在$x=0$处无定义，所以我们考虑它在$x=1$处的展开式，实际上就是求$\ln{(1+x)}$在$x=0$处的展开式，这时有 324 | \[ \ln{(1+x)} = x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n + o(x^n) \] 325 | 326 | 3. 三角函数 327 | 328 | 对正弦函数，有 329 | \[ \sin{x} = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} + o(x^{2n+1}) \] 330 | 对于余弦函数，则是 331 | \[ \cos{x} = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + o(x^{2n}) \] 332 | 333 | \subsection{余项的其它形式} 334 | \label{sec:other-format-of-taylor-additional} 335 | 336 | 337 | 338 | \subsection{插值公式} 339 | \label{sec:interpolation-formula} 340 | 341 | 342 | \subsection{微分方程} 343 | \label{sec:differtial-equation} 344 | 345 | 我们知道指数函数$y=f(x)=\mathrm{e}^x$的导函数就是它自己，用微分的形式写出来就是 346 | \[ \frac{\dif f(x)}{\dif x} = f(x) \] 347 | 或者简单写成 348 | \[ \frac{\dif y}{\dif x} = y \] 349 | 或者更加简洁的写成 350 | \[ y'=y \] 351 | 像这样把函数自身与其微分(或者导数)联系起来的方程，就称为\emph{微分方程}。 352 | 353 | 上面的例子就表明指数函数$y=\mathrm{e}^x$就满足微分方程 354 | \[ \frac{\dif y}{\dif x} = y \] 355 | 我们还可以写出一些微分方程 356 | \begin{align*} 357 | y''+y'+y&=0 \\ 358 | y'^2+x^2&=0 \\ 359 | y''+2y'y+y^2& = 0 360 | \end{align*} 361 | 362 | 如果一个函数与它的导函数满足一个给定的微分方程，就称这函数是这微分方程的一个\emph{解}.例如，函数$y=\mathrm{e}^x$就是微分方程$y'=y$的一个解，但并不是唯一解，因为零函数也满足这方程。 363 | 364 | \begin{example} 365 | 通过求导可以验证，函数 366 | \[ y=C_1 \cos{x} + C_2 \sin{x} \] 367 | 满足微分方程 368 | \[ y''+y=0 \] 369 | 这里$C_1$和$C_2$是常数。 370 | \end{example} 371 | 372 | \begin{example} 373 | 函数 374 | \[ y= C_1 \cosh{x} + C_2 \sinh{x} \] 375 | 满足微分方程 376 | \[ y''-y=0 \] 377 | \end{example} 378 | 379 | \begin{example} 380 | 可以验证，函数 381 | \[ y = C_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x} + C_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x} \] 382 | 满足微分方程 383 | \[ y''-(\lambda_1+\lambda_2)y' + \lambda_1 \lambda_2 y = 0 \] 384 | 像这样由$y$、$y'$、$y''$等各阶导数的线性组合(系数可以是常数或者自变量$x$的表达式)而成的微分方程，称为\emph{线性微分方程}，如果各项的系数又是常数，则称为\emph{常系数线性微分方程}。 385 | \end{example} 386 | 387 | \begin{example} 388 | 在这个例子中，我们来解下面这个微分方程 389 | \[ y'-\lambda y = 0 \] 390 | 作函数$u=y\mathrm{e}^{-\lambda x}$，那么有 391 | \[ u'=\mathrm{e}^{-\lambda x} (y'-\lambda y) = 0 \] 392 | 根据前面的结果，函数$u$只能是常数函数，即 393 | \[ y\mathrm{e}^{-\lambda x} = C \] 394 | 从而 395 | \[ y = C \mathrm{e}^{\lambda x} \] 396 | 这样就解出了这个微分方程. 397 | \end{example} 398 | 399 | 400 | 401 | 402 | %%% Local Variables: 403 | %%% mode: latex 404 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 405 | %%% End: 406 | -------------------------------------------------------------------------------- /derivative-and-differential/differential.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{微分} 3 | \label{sec:differential} 4 | 5 | 6 | 7 | %%% Local Variables: 8 | %%% mode: latex 9 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 10 | %%% End: 11 | -------------------------------------------------------------------------------- /derivative-and-differential/research-function-use-derivative.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{利用导数研究函数的性质} 3 | \label{sec:research-function-use-derivative} 4 | 5 | \subsection{函数为常数的条件} 6 | \label{sec:condition-for-constant-function} 7 | 8 | 关于可导函数为常数函数的条件，有如下定理 9 | 10 | \begin{theorem} 11 | 某区间上的可导函数的函数值恒保持为某个常数的充分必要条件是，它的导函数为零函数. 12 | \end{theorem} 13 | 14 | \begin{proof}[证明] 15 | 先证充分性，如果函数的导函数为常数函数，那么对于定义域上的任何两个不同的实数$x_1,x_2$，存在介于它俩之间的另一实数$\xi$，使得 16 | \[ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = f'(\xi) = 0 \] 17 | 于是$f(x_1)=f(x_2)$，由$x_1,x_2$的任意性，知函数为常数函数，另外，常数函数的导函数为零函数，定理得证。 18 | \end{proof} 19 | 20 | 进一步有如下结论 21 | \begin{inference} 22 | 如果某区间上的两个可导函数的导函数恒相等，则这两个函数仅相差一个常数。 23 | \end{inference} 24 | 这只要考察两个函数的差函数就清楚了。 25 | 26 | \subsection{单调性与极值} 27 | \label{sec:research-monotonicity-and-minmax-value} 28 | 29 | 导数可以用来研究函数的单调性和极值，我们先建立如下关于单调性的定理 30 | \begin{theorem} 31 | 如果函数$f(x)$的一阶导函数$f'(x)$在某个区间上恒满足$f'(x) \geqslant 0$，那么函数在此区间上单调不减，如果不等式反向，即$f'(x) \leqslant 0$恒成立，那么函数在此区间上单调不增。如果不等式中的等号总不成立或者至多仅在有限个点处成立，那么函数相应的是严格单调的。 32 | \end{theorem} 33 | 34 | \begin{proof}[证明] 35 | 如果函数在某区间上恒成立$f'(x) \geqslant 0$，那么对于区间上任意两个不同的数$x_1$与$x_2$，设$x_10$，于是存在$x_1$的某个右邻域$(x_1,x_1+\delta)$，在此右邻域上恒有$f(x)>f(x_1)=f(x_2)$，只要把$\delta$限制的充分小，就能保证$x_1+\delta0$，而在右侧$(x_0,x_0+\delta)$上有$f'(x)<0$，我们来证明$f(x_0)$是一个极大值，因为在左侧导函数恒正，函数严格增加，同理函数在右侧严格减少，所以$f(x_0)$是一个极大值。极小值也同理可证。 86 | \end{proof} 87 | 88 | \begin{example} 89 | 注意这个定理中的条件是充分条件，但不是必要条件(假定函数总是可导的)。实际上，极值的邻域内都并不一定有确定的单调性，可以仿照前面的例子构造相应的反例，此处从略。 90 | \end{example} 91 | 92 | \begin{example}[光的折射定律] 93 | 假定光在甲、乙两种介质中的传播速度分别是$v_1$和$v_2$，如图所示，图中直线是两种介质的分界面，现在光从介质甲中的$A$点发出，经分界面折射后，经过介质乙中的$B$点，光在同一种介质中是必定沿直线传播的，我们知道，光总是沿着用时最短的路径前进，那么问题就来了，光线应该在分界面上何处折射，才能使得传播用时最短？ 94 | 95 | 设$A$、$B$两点与分界面的距离分别记为$a$、$b$，并且沿分界面的距离是$l$，假定光线到达分界面上的点$P$处，点$P$沿分界面与$A$、$B$的距离分别是$x$和$l-x$，那么光线传播所用的时间是 96 | \[ f(x) = \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(l-x)^2+b^2}}{v_2} \] 97 | 为了求得最小值，求导并令其为零，得 98 | \[ f'(x) = \frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}} - \frac{l-x}{v_2 \sqrt{(l-x)^2+b^2}} \] 99 | 根据物理意义，这最小值一定存在，设当$x=x_0$时用时最短，则必有$f'(x_0)=0$，于是有 100 | \[ \frac{x_0}{v_1\sqrt{x_0^2+a^2}} - \frac{l-x_0}{v_2 \sqrt{(l-x_0)^2+b^2}}\] 101 | 通常用入射角(入射光线与法线的夹角)和折射角（折射光线与法线的夹角）来标记点$P$的位置，而不是用$x_0$，设入射角为$\alpha$，折射角为$\beta$，上式即为 102 | \[ \frac{\sin{\alpha}}{v_1} = \frac{\sin{\beta}}{v_2} \] 103 | 光线在介质中的传播速度与在真空中的传播速度之比，就是该介质的\emph{折射率}，设这两种介质的折射率分别为$n_1$和$n_2$，上式就成为 104 | \[ \frac{\sin{\alpha}}{n_1} = \frac{\sin{\beta}}{n_2} \] 105 | 或者写成 106 | \[ \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} = \frac{n_1}{n_2} \] 107 | 上式就是光线传播最短路径所应满足的条件，其被称为\emph{光的折射定律}。 108 | \end{example} 109 | 110 | \subsection{证明不等式} 111 | \label{sec:proof-inequality-use-derivative} 112 | 113 | \subsection{函数的凸性与拐点} 114 | \label{sec:convert-of-function} 115 | 116 | 函数的凸性是关于函数图象的拱形特征的刻画，如果函数的图象在区间上向上拱起，则它图象上任意两点间的部分，都位于这两点连线段的上方，从而引出如下定义 117 | \begin{definition} 118 | 如果定义在区间$(a,b)$上的函数$f(x)$对区间上的任意两个数$x_1,x_2$以及任意满足$\alpha+\beta=1(\alpha \geqslant 0,\beta \geqslant 0)$的一对实数$\alpha$、$\beta$都成立 119 | \[ f(\alpha x_1+\beta x_2) \geqslant \alpha f(x_1) + \beta f(x_2) \] 120 | 则称函数在这区间上是\emph{上凸函数}，如果式中的等号总是取不到，则称为\emph{严格上凸函数}，把不等式反向，则得到\emph{下凸函数}和\emph{严格下凸函数}的定义。 121 | \end{definition} 122 | 123 | 显然，把函数乘以一个正常数，不改变凸性，若乘以一个负常数，则凸性与原来相反，若干个具有相同凸性的函数相加，结果仍具备相同的凸性。 124 | 125 | \begin{example} 126 | 二次函数$y=x^2$在$\mathbb{R}$上是下凸函数，因为 127 | \[ (\alpha x_1 + \beta x_2)^2 - (\alpha x_1^2 + \beta x_2^2) = -\alpha \beta (x_1-x_2)^2 \leqslant 0 \] 128 | 并且等号仅在$x_1=x_2$时成立，所以它不但是下凸，还是严格下凸，一般的二次函数通过平移，都可以化为$y=ax^2$的形式，而平移不改变凸性，但相应的区间也会相应的平移，所以结论就是，如果二次函数的二次系数为正，则为下凸，否则为上凸。 129 | \end{example} 130 | 131 | 把定义中居于中间的$\alpha x_1 + \beta x_2$看成第三个变量，就得下来这个定理 132 | \begin{theorem} 133 | \label{convert-function-tangent-of-secant-line} 134 | 函数$f(x)$在某区间上为上凸函数的充分必要条件是，对于区间上任意三个实数$x_11$，则它在$(0,+\infty)$上是下凸函数，否则是上凸函数。我们对一般的幂函数应用琴生不等式，即对任意$n$个正实数$x_i(i=1,2,\ldots,n)$，如果$p>1$，则有 194 | \begin{equation} 195 | \label{eq:power-mean-value-inequality-1} 196 | \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right)^p \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p 197 | \end{equation} 198 | 如果$p<1$，不等式反向。 199 | 200 | 现在设实数$p>q>0$，那么由上述不等式有 201 | \[ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n t_i \right)^{\frac{p}{q}} \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n t_i^{\frac{p}{q}} \] 202 | 再令$t_i=x_i^q$，即得 203 | \begin{equation} 204 | \label{eq:power-mean-value-inequality-2} 205 | \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^q \right)^{\frac{1}{q}} \leqslant \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{\frac{1}{p}} 206 | \end{equation} 207 | 这表明，函数 208 | \[ f(\alpha) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}} \] 209 | 关于指数$\alpha$严格增加。 210 | 211 | 不等式\autoref{eq:power-mean-value-inequality-1}以及\autoref{eq:power-mean-value-inequality-2}称为\emph{幂平均值不等式}. 212 | \end{example} 213 | 214 | 215 | \subsection{方程的近似解} 216 | \label{sec:approx-solve-of-equation} 217 | 218 | 219 | 220 | 221 | 222 | %%% Local Variables: 223 | %%% mode: latex 224 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 225 | %%% End: 226 | -------------------------------------------------------------------------------- /integral/abnormal-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{反常积分} 3 | \label{sec:abnormal-integral} 4 | 5 | %%% Local Variables: 6 | %%% mode: latex 7 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 8 | %%% End: 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /integral/application-of-integral-in-geometry-and-physics.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{积分学在几何与物理中的应用} 3 | \label{sec:application-of-integral-in-geometry-and-physics} 4 | 5 | %%% Local Variables: 6 | %%% mode: latex 7 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 8 | %%% End: 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /integral/computation-of-definite-and-indefinite-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{定积分与不定积分的计算} 3 | \label{sec:computation-of-definite-and-indefinite-integral} 4 | 5 | \subsection{不定积分的换元积分法} 6 | \label{sec:indefinite-integration-by-substitution} 7 | 8 | \subsection{不定积分的分部积分法} 9 | \label{sec:indefinite-integration-by-partial} 10 | 11 | \subsection{有理式的不定积分} 12 | \label{sec:indefinite-integration-of-rational-function} 13 | 14 | \subsection{根式函数的不定积分} 15 | \label{sec:indefinite-integration-of-irrational-function} 16 | 17 | \subsection{含指对函数的不定积分} 18 | \label{sec:indefinite-integration-of-exp-log-function} 19 | 20 | \subsection{椭圆积分} 21 | \label{sec:elliptic-integral} 22 | 23 | \subsection{直接使用积分和计算定积分} 24 | \label{sec:computation-of-definite-integral-by-riemann-sum} 25 | 26 | \subsection{定积分的换元积分法和分部积分法} 27 | \label{sec:definite-integral-by-substitution-or-partial} 28 | 29 | \subsection{积分的近似计算} 30 | \label{sec:approx-computation-of-integral} 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | %%% Local Variables: 37 | %%% mode: latex 38 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 39 | %%% End: 40 | -------------------------------------------------------------------------------- /integral/integral-with-parameter.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{含参积分} 3 | \label{sec:integral-with-parameter} 4 | 5 | %%% Local Variables: 6 | %%% mode: latex 7 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 8 | %%% End: 9 | -------------------------------------------------------------------------------- /integral/integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{不定积分与定积分} 3 | \label{chap:indefinite-and-definite-integral} 4 | 5 | \input{integral/principle-and-relation-between-definite-and-indefinite-integral} 6 | \input{integral/computation-of-definite-and-indefinite-integral} 7 | \input{integral/application-of-integral-in-geometry-and-physics} 8 | \input{integral/abnormal-integral} 9 | \input{integral/integral-with-parameter} 10 | 11 | %%% Local Variables: 12 | %%% mode: latex 13 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 14 | %%% End: 15 | -------------------------------------------------------------------------------- /integral/pic/area-of-curvilinear-trapezoid.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | // 曲边梯形的面积 2 | 3 | import graph; 4 | import geometry; 5 | import interpolate; // 插值 6 | 7 | srand(28539); 8 | 9 | size(400); 10 | 11 | pair O = (0, 0); 12 | xaxis("$x$", -1, 12, Arrow); 13 | yaxis("$y$", -1, 6, Arrow); 14 | label("$O$", O, SW); 15 | 16 | pair A = (1,3), B = (7, 3), C = (10, 4); 17 | pair Z1 = (5, 4), Z2 = (8, 2); 18 | 19 | real[] abcXvalue = {A.x, Z1.x, B.x, Z2.x, C.x}; 20 | real[] abcYvalue = {A.y, Z1.y, B.y, Z2.y, C.y}; 21 | 22 | real f0(real x) { 23 | // 埃尔米特插值 24 | return fspline(abcXvalue, abcYvalue)(x); 25 | } 26 | 27 | pair fp(real x) { 28 | real y = f0(x); 29 | pair P = (x, y); 30 | return P; 31 | } 32 | 33 | // 绘制函数曲线 34 | draw(graph(fp, A.x, C.x)); 35 | 36 | // 子区间数目 37 | int intervalCount = 10; 38 | real a = A.x, b = B.x, c = C.x; 39 | real intervalLen = (C.x - A.x) / intervalCount; 40 | real[] sliceXArr = new real[intervalCount + 1]; // 分点 41 | pair[] slicePointArr = new pair[intervalCount + 1]; // x 轴上分点坐标 42 | pair[] sliceFunPointArr = new pair[intervalCount + 1]; // 分点在函数图象上的点 43 | real[] ksi = new real[intervalCount]; // 各小区间上随机选取的中间点 44 | real[] yksi = new real[intervalCount]; // 各中间点处的函数值 45 | 46 | for (int index = 0; index < sliceXArr.length; ++index) { 47 | real sliceX = a * (1 - (index * 1.0) / intervalCount) + c * ((index * 1.0) / intervalCount); 48 | 49 | // 微调各中间分点的位置，以实现随机划分小区间而不是均分 50 | if (index > 0 && index < sliceXArr.length - 1) { 51 | sliceX = sliceX + (unitrand() * 0.5 * intervalLen - 0.25 * intervalLen); 52 | } 53 | 54 | sliceXArr[index] = sliceX; 55 | slicePointArr[index] = (sliceX, 0); 56 | 57 | pair FP = (sliceX, f0(sliceX)); 58 | sliceFunPointArr[index] = FP; 59 | 60 | // 随机在各小区间上取一个点 61 | if (index < sliceXArr.length - 1) { 62 | ksi[index] = sliceX + 0.5 * intervalLen + 2 * (unitrand() - 0.5) * 0.1 * intervalLen; 63 | yksi[index] = f0(ksi[index]); 64 | 65 | //draw((ksi[index], 0) -- (ksi[index], yksi[index]), dashed); 66 | } 67 | 68 | draw(slicePointArr[index] -- sliceFunPointArr[index]); 69 | 70 | // 标注各个分点 71 | if (index == 0) { 72 | label("$a$", slicePointArr[index], S); 73 | } else if (index == 1) { 74 | label("$x_1$", slicePointArr[index], S); 75 | } else if (index == sliceXArr.length - 2) { 76 | label("$x_{n-1}$", slicePointArr[index], S); 77 | } else if (index == sliceXArr.length - 1) { 78 | label("$b$", slicePointArr[index], S); 79 | } else if (index >= sliceXArr.length / 2 - 1 && index < sliceXArr.length / 2) { 80 | draw((ksi[index], 0) -- (ksi[index], yksi[index]), dashed); 81 | label("$\xi_i$", (ksi[index], 0), S); 82 | label("$x_{i-1}$", slicePointArr[index], S); 83 | } else if (index >= sliceXArr.length / 2 && index < sliceXArr.length / 2 + 1) { 84 | label("$x_{i}$", slicePointArr[index], S); 85 | } 86 | } 87 | 88 | // 绘制各个小矩形 89 | for (int index = 0; index < intervalCount; ++index) { 90 | draw((sliceXArr[index], 0) -- (sliceXArr[index], yksi[index])); 91 | draw((sliceXArr[index + 1], 0) -- (sliceXArr[index + 1], yksi[index])); 92 | draw((sliceXArr[index], yksi[index]) -- (sliceXArr[index+1], yksi[index])); 93 | } 94 | 95 | 96 | -------------------------------------------------------------------------------- /integral/principle-and-relation-between-definite-and-indefinite-integral.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{定积分与不定积分的原理及两者之间的关系} 3 | \label{sec:principle-and-relation-between-definite-and-indefinite-integral} 4 | 5 | 在初等范围内，我们经常见到一个量对另一个量的累积(乘积)，例如物体的面积是纵横两个方向上的累积，路程是速度对时间的累积，功是力对位移的累积，等等。但是以前我们通常只会处理最简单的情况，我们只会求规则图形的面积，不会计算不规则图形的面积，只会处理匀速运动的路，不会计算任意变速运动的路程，只会计算恒定力做功，不会计算变力做功，定积分就是为了处理这类问题而被发现的。 6 | 7 | 后来牛顿与莱布尼茨又发现了定积分与函数的原函数之间存在着直接又简单的联系，与是积分学与微积分学之间的深刻关系也被揭示在世人面前，其影响之大，使得这个结论直接被冠之以微积分学基本定理，成为微积分学的基石。 8 | 9 | \subsection{黎曼和与定积分的概念} 10 | \label{sec:riemann-sum-and-concept-of-definite-integral} 11 | 12 | 我们先来看几个例子。 13 | 14 | \begin{example}[曲边梯形的面积] 15 | \begin{figure} 16 | \centering 17 | \includegraphics[scale=0.7]{integral/pic/area-of-curvilinear-trapezoid.pdf} 18 | \caption{曲边梯形的面积} 19 | \label{fig:area-of-curvilinear-trapezoid} 20 | \end{figure} 21 | 22 | 如 \autoref{fig:area-of-curvilinear-trapezoid} 所示，定义在区间 $[a,b]$ 上的正值函数 $y=f(x)$的图象与直线$x=a$、$x=b$以及 $x$ 轴围成了一个曲边梯形，我们考虑它的面积，也就是函数图象下方的面积。 23 | 24 | 通过在区间$[a,b]$内插入一些点把区间 $[a,b]$ 划分成 $n$ 个小区间(不必是等分): 25 | \[ a=x_00$，都存在另一个正实数$\delta >0$，使得所有划分中，只要它的最大小区间的长度小于$\delta$，那么无论怎么选取各个小区间上的$\xi_i$的值，都有: 69 | \[ \left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i - P \right| < \varepsilon \] 70 | 那么就称函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上是\emph{可积的}，而数$P$，就称为是函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的\emph{定积分}值，用下面符号表示: 71 | \[ P = \int_a^b f(x)dx \] 72 | 其中的$a$、$b$称为\emph{积分上限}和\emph{积分下限}. 73 | \end{definition} 74 | 75 | 关于这个定义，作几点说明. 76 | 77 | 定义的后半部分其实就是极限的 $\varepsilon - \delta$ 语言，为什么不直接使用极限符号呢，因为这里有一个问题是，极限符号只能体现出小区间的最大长度趋于零，但却体现不出各小区间上的点$\xi_i$取法的任意性。 78 | 79 | 定积分的这个符号，其实它就是黎曼和的极限形式，黎曼和的$\Sigma$直接变成了被拉长的字母S(sum代表求和)，黎曼和上下标变成了区间的上下限，而黎曼和中的区间长度$\Delta x_i$变成了自变量$x$的微分，可以理解为无限小的区间长度，这么一看，定积分符号就是黎曼和的极限形式就容易理解了。 80 | 81 | 所谓定积分，就是指定了积分上限和积分下限的积分，后面我们还见到不定积分，即没有指定上下限的积分，积分这个概念，指的就是函数$f(x)$对自变量$x$的累积。 82 | 83 | 前面举了曲边梯形面积的例子，需要注意的是，如果函数$f(x)$在闭区间上不能保证恒为正值，那么它在区间上的定积分(如果存在的话)等于位于$x$轴上方的面积减去$x$轴下方的面积，即代数面积。 84 | 85 | \subsection{可积条件} 86 | \label{sec:integrable-function} 87 | 88 | 现在我们研究函数在闭区间上可积的条件。 89 | 90 | 先提出\emph{达布和}的概念: 91 | \begin{definition} 92 | 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，对于该闭区间的某个划分: 93 | \[ a=x_0 < \cdots < x_{i-1} < x_i < \cdots < x_n = b \] 94 | 设$f(x)$在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上的上确界为$M_i$，下确界为$m_i$，作和式: 95 | \[ s = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \] 96 | 称为\emph{下积分和}，再作和式 97 | \[ S = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i \] 98 | 称为\emph{上积分和}，上积分和与下积分和都称为\emph{达布和}. 99 | \end{definition} 100 | 101 | 由积分布和的概念，在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任意取定点$\xi_i$，有 102 | \[ m_i \leqslant f(\xi_i) \leqslant M_i \] 103 | 因此有 104 | \[ \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \leqslant \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i \] 105 | 即是说，对于同一个划分而言，积分和介于上积分和与下积分和之间，而上下积分和分别是积分和的上确界和下确界。 106 | 107 | 达布和具有两个性质: 108 | 109 | \begin{property} 110 | 如果在分划中增加一些新的分点，那么上积分和不会增加，下积分和不会减小。 111 | \end{property} 112 | 113 | \begin{proof} 114 | 假如第$i$个区间$[x_{i-1},x_i]$中新插入一个分点$x'$，设函数$f(x)$在区间$[x_{i-1},x']$上的上下确界分别是$M_{i1}$和$m_{i1}$，而在区间$[x',x_i]$上的上下确界分别是$M_{i2}$和$m_{i2}$，那么必定有 115 | \[ m_i \leqslant m_{i1}, m_i \leqslant m_{i2} \] 116 | 以及 117 | \[ M_i \geqslant M_{i1}, M_i \geqslant M_{i2} \] 118 | 而下积分和原来对应区间$[x_{i-1},x_i]$上的那一项 119 | \[ m_i (x_i-x_{i-1}) \] 120 | 将由下面的两项代替: 121 | \[ m_{i1}(x'-x_{i-1})+m_{i2}(x_i-x') \] 122 | 显然它的值不会减小，只会增加或者保持不变. 同样上积分和中原来的那一项 123 | \[ M_i(x_i-x_{i-1}) \] 124 | 将被下面两项代替: 125 | \[ M_{i1}(x'-x_{i-1}) + M_{i2}(x_i-x') \] 126 | 同样，它的值不会增加，只会减小或者保持不变。 127 | 这是只添加一个分点的情况，而多个分点可以逐个添加，每添加一个分点，上积分和都保持不增加，下积分和不减小，所以结论得证。 128 | \end{proof} 129 | 130 | \begin{property} 131 | 上积分和永远不小于下积分和，无论是对于同一个划分还是不同的划分均是如此. 132 | \end{property} 133 | 134 | \begin{proof} 135 | 对于同一个划分来说，上积分和不小于下积分和是显然的，所以需要证明的是两个不同的划分$A$和$B$，$A$的上积分和不会小于$B$的下积分和。 136 | 137 | 我们可以将两个划分的分点合并在一起组成一个新的更细的划分$C$，它是在$A$的分点中加入了一些新的分点($B$的分点)，因此按刚证明过的上一个性质，知$C$划分的上积分和不会大于$A$的上积分，同样，$C$也是在$B$的分点中加入了一些新的分点($A$的分点)，所以$C$划分的下积分和不会小于$B$划分的下积分和，于是我们有 138 | \[ S_C \leqslant S_A, s_C \geqslant s_B \] 139 | 而又由于 140 | \[ s_C \leqslant S_C \] 141 | 因此 142 | \[ s_B \leqslant S_A \] 143 | 即得证. 144 | \end{proof} 145 | 146 | 达布和与黎曼和相比，它不需要在每个小区间上取一个点，从而对它的讨论将与这个点的选择无关。回忆定积分的定义中，我们本应该直接使用极限语言，直接说当各小区间的最大长度趋于零时，黎曼和的极限便是定积分，但是无奈还有各个小区间上的点怎么选择的干扰，所以不得不使用了$\varepsilon-\delta$语言来描述，并要求是无论怎么选择那些点，都不影响误差限的成立，而现在达布和没有这个问题，我们可以直接使用极限语言了。 147 | 148 | 利用达布和，我们有如下的可积条件: 149 | \begin{theorem} 150 | \label{integrable-predication-theorem-1} 151 | 函数$f(x)$在闭区间上可积的充分必要条件是: 152 | \[ \lim_{\lambda \to 0} (S - s) = 0 \] 153 | 这里 $\lambda$ 表示划分下的各小区间的最大长度. 154 | \end{theorem} 155 | 156 | \begin{proof} 157 | 先证必要性，假定已经有函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可积，且定积分值为$P$，那么就是说，对于任意小的正实数$\varepsilon > 0$，存在另一个充分小的正实数$\delta > 0$，使得只要划分的小区间最大长度小于$\delta$，则无论怎么选定各个小区间上的$\xi_i$，都有 158 | \[ \left| \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \right| < \varepsilon \] 159 | 那么作为黎曼和上下确界的达布和，自然也有 160 | \[ |s-P| \leqslant \varepsilon, |S-P| \leqslant \varepsilon \] 161 | 于是 162 | \[ |S-s| = |(S-p) - (s-p)| \leqslant |S-p| + |s-p| \leqslant 2\varepsilon \] 163 | 这就是说，$|S-s|$也是可以任意小的，因此必要性成立. 164 | 165 | 再来证明充分性，如果已经有上下积分和之差在小区间最大长度趋于零时也趋于零，那么由于任意一个上积分和不小于任意一个下积分和，也就是上积分的集合有下界，而下积分的集合有上界，于是各有确界，并且上积分和的下确界必定等于下积分和的上确界(否则两者之差不可能趋于零)，设此共同的确界是$I$，那么我们来证明，这个$I$便是函数在这闭区间上的定积分。 166 | 167 | 对于任意小的正实数$\varepsilon > 0$，存在另一个充分小的正实数$\delta > 0$，使得只要划分的最大小区间长度小于$\delta$，就有$|S-s|<\varepsilon$，但是又由于 168 | \[ s \leqslant I \leqslant S \] 169 | 因此对于这个$s$和$S$有 170 | \[ I - \varepsilon \leqslant s \leqslant I \] 171 | 以及 172 | \[ I \leqslant S \leqslant I+\varepsilon \] 173 | 而在此区间上的黎曼和$\sigma$满足(无论怎么选择$\xi_i$) 174 | \[ s \leqslant \sigma \leqslant S \] 175 | 所以 176 | \[ I - \varepsilon \leqslant \sigma \leqslant I+\varepsilon \] 177 | 这便表示函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可积，并且积分值为$I$. 178 | \end{proof} 179 | 180 | 在某个划分中，对于每一个小区间$[x_{i-1},x_i]$而言，$M_i-m_i$可以视作函数$f(x)$在该小区间上的振幅，记作$\omega_i$，于是上述定理中的等式也可以写为 181 | \[ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = 0 \] 182 | 在接下来我们将会用到这种形式，为了方便引用，将其写成定理的形式: 183 | \begin{theorem} 184 | \label{integrable-predication-theorem-2} 185 | 函数$f(x)$在闭区间上可积的充分必要条件是: 186 | \[ \lim_{\lambda \to 0} \omega_i \Delta x_i = 0 \] 187 | 这里 $\lambda$ 表示划分下的各小区间的最大长度. 188 | \end{theorem} 189 | 190 | \begin{inference} 191 | 闭区间上的无界函数不可积. 192 | \end{inference} 193 | 因为对于闭区间上的无界函数，无论把小区间划分得有多细，总存在一个振幅无穷大的小区间，按前述定理，这个定积分不存在。 194 | 195 | 前面已经说明了，上积分和虽然是与划分有关的，但是它有下界，任何一个下积分和都是它的下界，那么它的下确界，显然是与划分无关的，同样，下积分和也是有上确界的，于是我们类似于积分和与定积分的关系，定义上积分与下积分的概念: 196 | \begin{definition}[上积分与下积分] 197 | 上积分和的下确界称为\emph{上积分}，记作$I^{*}$，下积分和的上确界称为\emph{下积分}，记作$I_{*}$. 198 | \end{definition} 199 | 显然，上积分与下积分只与被积函数和被积区间有关，与区间的划分无关，并且，只要函数在闭区间上是有界的，那么上积分与下积分就总是存在的。 200 | 201 | 虽然上积分与下积分是用确界定义的，但很自然的，它们也可以看作极限: 202 | \begin{theorem} 203 | 上积分是上积分和的极限，下积分是下积分和的极限，即: 204 | \[ I^{*} = \lim_{\lambda \to 0} S, I_{*} = \lim_{\lambda \to 0} s \] 205 | 这里 $\lambda$ 表划分中子区间的最大长度. 206 | \end{theorem} 207 | 208 | \begin{proof} 209 | 只证明上积分的结论，只需要证明：对于任意的正实数$\varepsilon>0$，都存在一个非常小的正实数$\delta>0$，使得对于最大子区间长度小于$\delta$的任意划分，都能保证其上积分和$S$与上积分$I$相差不超过$\varepsilon$，即 210 | \[ S0$，都存在一个划分(记作$A$)，能够使得其上积分和满足: 212 | \[ S_A0$，都存在另一个正实数$\delta>0$，使得对于该闭区间上任意两个自变量$x_1,x_2$，只要$|x_1-x_2|<\delta$，就能保证$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$.也就是说，只要划分的最大子小区间长度小于$\delta$，那么所有子区间上的振幅都会小于$\varepsilon$，于是它对应的上下积分和之差 246 | \[ \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \varepsilon \sum_{i=1}^n \Delta x_i < \varepsilon (b-a) \] 247 | 这里$a$和$b$分别是闭区间的两个端点.上式便表明了函数的可积性。 248 | \end{proof} 249 | 250 | \begin{theorem} 251 | 如果函数在闭区间上只有有限多个间断点，那么它是可积的. 252 | \end{theorem} 253 | 254 | 为了方便证明这个，我们把 \autoref{integrable-predication-theorem-2} 改述为以下的形式: 255 | \begin{theorem} 256 | \label{integrable-predication-theorem-3} 257 | 函数$f(x)$在闭区间上可积的充分必要条件是: 对于任意小的两个正实数 $\varepsilon>0$和$\sigma>0$，都存在一个很小的正实数$\delta>0$，使得任何一个最大小区间长度小于$\delta$的划分都满足： 那些振幅大于$\varepsilon$的小区间长度总和不超过$\sigma$. 258 | \end{theorem} 259 | 260 | \begin{proof} 261 | 充分性，在定理所述条件下，振幅和被分为两部分：振幅不超过$\varepsilon$的小区间上的振幅和，与振幅超过$\varepsilon$的小区间上的振幅和，对于前者，这部分振幅和不超过$\varepsilon (b-a)$，对于后者，这部分振幅和不超过$\sigma(M-m)$，于是整个振幅和将不会超过 262 | \[ \varepsilon(b-a)+\sigma(M-m) \] 263 | 由$\varepsilon$和$\sigma$的任意性，即知该振幅和可以任意小，即可积。 264 | 265 | 必要性是显然的。 266 | \end{proof} 267 | 268 | 有了这个描述，现在来证明在闭区间上有有限个间断点的函数是可积的: 269 | \begin{proof} 270 | 对于某个划分而言，我们将这些小区间分成两类，一类是包含间断点的，一类是不包含间断点的，只要划分足够细，包含间断点的那些小区间的总长度可以任意小，而不包含间断点的那些小区间上的振幅可以任意小，因此，函数在区间上可积。 271 | \end{proof} 272 | 273 | \begin{theorem} 274 | 如果函数在闭区间上单调有界，则它是可积的. 275 | \end{theorem} 276 | 277 | 278 | \subsection{定积分的性质} 279 | \label{sec:properties-of-definite-integral} 280 | 281 | 282 | \subsection{变动上限的积分函数} 283 | \label{sec:variable-upper-limit-integral-function} 284 | 285 | 证明出：变动上限的连续函数的积分，其对于变动上限的导函数就是被积函数自己 286 | 287 | \subsection{不定积分概念与性质,基本积分表} 288 | \label{sec:indefinite-integral} 289 | 290 | \subsection{牛顿-莱布尼茨公式} 291 | \label{sec:newton-leibniz-formular} 292 | 293 | 294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 | 301 | 302 | 303 | %%% Local Variables: 304 | %%% mode: latex 305 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 306 | %%% End: 307 | -------------------------------------------------------------------------------- /limit/continuousness-of-function.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{函数的连续性} 3 | \label{sec:continuousness-of-function} 4 | 5 | 在初等数学中，我们接触到了很多函数，例如幂函数$y=x^n(n \in \mathbb{Z})$，三角函数与反三角函数、指数函数与对数函数。它们的图象都是一段连续的曲线，或者是由若干段连续的曲线所构成，在这一节，我们将对“连续”这个概念作一个精确的定义，并进而讨论连续函数的性质。 6 | 7 | \subsection{连续与单侧连续} 8 | \label{sec:continuousness-and-single-continuousness} 9 | 10 | \begin{definition} 11 | 如果函数$f(x)$在$x_0$处存在极限，且极限值正好是该点处的函数值$f(x_0)$，则称函数在$x_0$处 \emph{连续}，即 12 | \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] 13 | \end{definition} 14 | 15 | 如果是该点处的左极限等于该点处函数值，则称函数在该点处 \emph{左连续}，类似的有 \emph{右连续}的概念。 16 | 17 | 连续用极限的精确语言描述就是，对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，恒存在另一正实数$\delta$，使得对区间$(x_0-\delta, x_0+\delta)$上的一切实数成立着$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$成立。 18 | 19 | 如果函数在某点处不连续，则称该点是函数的一个 \emph{间断点}。 20 | 21 | \begin{definition} 22 | 如果函数在某个区间上处处连续，则称函数在这区间上连续，或者说它是这区间上的连续函数。 23 | \end{definition} 24 | 25 | \begin{example} 26 | 在 \autoref{example:limit-of-sin-cos-function}中，我们证明了 27 | \[ \lim_{x \to x_0} \sin{x} = \sin{x_0}, \ \lim_{x \to x_0} \cos{x} = \cos{x_0} \] 28 | 因此正弦函数和余弦函数都是$\mathbb{R}$上的连续函数. 29 | \end{example} 30 | 31 | \begin{example} 32 | 从 \autoref{example:single-limits-of-gausse-function}的讨论得知，对于高斯函数，设$x_0 \in \mathbb{Z}$，有 33 | \[ \lim_{x \to x_0^+} [x] = x_0, \ \lim_{x \to x_0^-} [x] = x_0-1 \] 34 | 因为$[x_0]=x_0$，所以高斯函数在每个整数处右连续，但不左连续，所以每个整点都是间断点，易知除整点外的其余点处都连续。 35 | \end{example} 36 | 37 | \begin{example} 38 | 在 \autoref{example:limit-of-sin-1-over-x-at-0}中，我们知道了下面的极限 39 | \[ \lim_{x \to 0} x\sin{\frac{1}{x}} = 0 \] 40 | 但由于函数在$x=0$处没有定义，故而不连续，但我们可以补充定义它在该点处的函数值，即 41 | \[ f(x) = 42 | \begin{cases} 43 | x \sin{\frac{1}{x}} & x \neq 0 \\ 44 | 0 & x=0 45 | \end{cases} 46 | \] 47 | 那么$f(x)$就在$x=0$处连续了。 48 | \end{example} 49 | 50 | 51 | \begin{example} 52 | 我们举一个定义在$\mathbb{R}$上但处处不连续的函数的例子，狄利克雷(Dirichlet，德国数学家)函数$D(x)$，这是一个指示一个实数是有理数还是无理数的标志函数，它定义在全体实数上，当$x$是有理数时，$D(x)=1$，当$x$是无理数时，$D(x)=0$，即 53 | \[ 54 | D(x) = 55 | \begin{cases} 56 | 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 57 | 0 & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} 58 | \end{cases} 59 | \] 60 | 现在来证明它在$R$上处处不连续，即在任意$x_0 \in R$处都不连续，这是因为，当$x$取有理数并趋于$x_0$时，函数值趋于1，但当$x$取无理数趋于$x_0$时，函数值趋于零，因而函数在$x_0$处没有极限，从而也不连续。 61 | \end{example} 62 | 63 | \begin{example} 64 | \label{example:function-with-continuous-at-single-point} 65 | 在狄利克雷函数的基础上，我们可以构造出一个定义在$\mathbb{R}$上，但仅在一个点处连续的函数，定义函数$f(x)=xD(x)$，我们来证明，它仅在$x=0$处连续。 66 | 67 | 先证明它在$x=0$处连续，因为当$x \to 0$时，$x \to 0$为无穷小，而$D(x)$是有界量，无穷小与有界量的乘积仍是无穷小，所以$\lim\limits_{x \to 0} f(x)=0=f(0)$，所以函数在$x=0$处连续。 68 | 69 | 再证明它在任意$x_0 \neq 0$处都不连续，与狄利克雷函数相仿，当$x$取有理数值并趋于$x_0$时，函数值将趋于$x_0$，但当$x$取无理数值并趋于$x_0$时，函数值则趋于$0$，但$x_0 \neq 0$，所以函数在$x_0$处不存在极限，更不连续。 70 | \end{example} 71 | 72 | \begin{example} 73 | 黎曼(Riemann，德国数学家)函数$R(x)$是一个有趣的例子，它定义在区间$[0,1]$上，在任意无理数处都连续，但在任意有理数处不连续，它的定义如下， 74 | \[ R(x) = 75 | \begin{cases} 76 | \frac{1}{q} & x=\frac{p}{q} \in [0,1], p,q \in \mathbb{Z}, q >0, (p,q)=1 \\ 77 | 0 & x \in [0,1]-\mathbb{Q} 78 | \end{cases} 79 | \] 80 | 简单来说，当$x$是有理数$\dfrac{p}{q}$时，$R(x)=\dfrac{1}{q}$，注意这里$p$、$q$是一对既约整数（即最大公因数为1），且$q$是正的。而当$x$是无理数时，$R(x)=0$. 81 | 82 | 黎曼函数可以看成是狄利克雷函数的一个改进，我们现在来证明，黎曼函数在所有无理数处连续。 83 | 84 | 任取无理数$x_0$，只需要证明$\lim\limits_{x \to x_0} R(x)=0$就可以了，对于任意小的正实数$\varepsilon>0$，我们要找一个$\delta>0$，使得$\forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)$都有$|R(x)|<\varepsilon$成立，显然无理数是无关紧要的，这个$\delta$只需要由有理数来决定，当$x$是有理数$\dfrac{p}{q}(q>0)$时，我们就是要使 85 | \[ \frac{1}{q} < \varepsilon \] 86 | 成立，这就需要让区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$上的一切有理数$\dfrac{p}{q}$都满足$q > \dfrac{1}{\varepsilon}$，这能否做到呢？是可以的，因为不满足这个条件的有理数是有限的（小于$\dfrac{1}{\varepsilon}$的正整数$q$是有限的，而小于这些$q$的非负整数$p$也是有限的），从而把这些有理数记为$x_1,x_2,\ldots,x_m$(注意这里的$m$跟$\varepsilon$有关)，则只要让$\delta$同时满足$\delta < |x_i-x_0|(i=1,2,\ldots,m)$，则这些有理数都不会落在区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$上，从而对于该区间上的一切有理数，前面所需要的条件就成立了，于是函数在$x_0$处连续，即在任意无理数处连续。 87 | 88 | 但对于$x_0$为有理数的情形，只要让$x$取无理数并趋于$x_0$，则函数值将趋于0而非$R(x_0)$，所以$R(x)$在$x_0$处不存在极限，也就不连续。 89 | \end{example} 90 | 91 | \subsection{间断点及其分类} 92 | \label{sec:discontinuity-point-and-its-category} 93 | 94 | 如果函数在某点处不连续但是存在极限，只是这极限与函数值不相等或者该点根本就没有定义函数值，那么称这点是 \emph{可去间断点}，可以通过改变或者定义该点的函数值为该点的极限值的方式来将函数进行 \emph{连续开拓}。如果函数在某点处分别存在左极限和右极限，但是两个极限不相等，则称该点是函数的 \emph{跳跃间断点}，跳跃间断点和可去间断点统称 \emph{第一类间断点}，第一类间断点的特征是函数在该点存在两个方向的单侧极限。除第一类间断点之外的其它间断点统称 \emph{第二类间断点}，显然，第二类间断点处至少有一个单侧极限不存在。 95 | 96 | \subsection{连续函数的性质} 97 | \label{sec:properties-of-continuous-function} 98 | 99 | 100 | 由连续的定义可见，函数在某点处连续，等价于它在该点处存在极限并且正好等于该点处的函数值，因此把函数极限的性质照搬过程，便得函数在某点处连续时所具有的性质: 101 | \begin{theorem}[局部有界性] 102 | 若函数在某点处连续，则必在该点的某邻域上有界。 103 | \end{theorem} 104 | 105 | \begin{theorem}[局部保号性] 106 | 若函数在$x_0$处连续，则对于任意小于$f(x_0)$的实数$r$，存在$x_0$的某邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$，使得函数在该邻域内恒有$f(x)>r$，类似的，对于任意大于$f(x_0)$的实数$r$，也存在$x_0$的某邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$，使得函数在该区间上恒有$f(x)1)$在$\mathbb{R}$上连续，这里来证明$0\mu$则取前一半子区间$[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]$作为$[a_2,b_2]$，如此反复下去，最后的结果就是，或者能够在某个闭区间$[a_n,b_n]$的中点处刚好有$f(\frac{a_n+b_n}{2})=\mu$，或者能够得到一个闭区间序列$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\ldots,[a_n,b_n],\ldots$使得每一个闭区间都是前一个闭区间的一半并且两个端点的函数值分别大于和小于$\mu$，在后一种情形，显然这闭区间序列确定出一个数$x_0$，使得$x_0$同时位于这所有的闭区间上，那么必然有$f(x_0)=\mu$，用反证法，如果$f(x_0)>\mu$，则因为函数在$x$处连续，存在$x_0$的某个邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$，使得在此区间上恒有$f(x)>\mu$，但这与前述闭区间序列显然矛盾，因为那闭区间序列充分靠后的闭区间必然落在此处的邻域内部，自然不可能在两个端点处的函数值分别大于和小于$\mu$，同理可以证明$f(x_0)$也不可能小于$\mu$，所以$f(x_0)=\mu$. 174 | \end{proof} 175 | 176 | \begin{inference}[零点定理] 177 | 若闭区间上连续函数在两个端点处函数值异号，则它在这区间上必存在至少一个零点。 178 | \end{inference} 179 | 180 | \subsection{反函数的连续性} 181 | \label{sec:continuousness-of-reverse-function} 182 | 183 | 关于反函数的连续性，有如下结论: 184 | \begin{theorem} 185 | 如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上严格单调并连续，则其函数$x=\varphi(y)$在其定义域$[f(a),f(b)]$或者$[f(b),f(a)]$上也连续。 186 | \end{theorem} 187 | 188 | \begin{proof}[证明] 189 | 假定原函数$f(x)$是严格增加的，只要证明反函数$x=\varphi(y)$在任意一点$y_0 \in [f(a),f(b)]$处连续就行，只证明$y_0$属于开区间的情形，端点处的情形也是类似的，设$y_0=f(x_0) \in (f(a),f(b))$，需要证明对任意$\delta>0$，都存在正实数$\varepsilon>0$，以使得$|y-y_0|<\varepsilon$时就有$|x-x_0|<\delta$，这是很容易的，对于确定的$\delta$，则两个函数值$U=y_0-\delta$和$V=y_0+\delta$，如果$U$或$V$超出了闭区间$[f(a),f(b)]$的范围，就适当向$f(x_0)$的方向作一定程度的调整，以使得闭区间$[U,V] \subseteq [f(a),f(b)]$，且$U0,a \neq 1)$在$\mathbb{R}$上的连续性，便可以得出对数函数$x=\log_a y$在$(0,+\infty)$上也是连续函数。 196 | \end{example} 197 | 198 | \begin{example} 199 | 前面已经证明了，正弦函数$y=\sin{x}$和余弦函数$y=\cos{x}$都是$\mathbb{R}$上的连续函数，因此由这里的定理便可知道，反正弦函数$x=\arcsin{y}(y \in [-1,1])$以及反余弦函数$x=\arccos{y}(y \in [-1,1])$便也在定义域上连续。 200 | \end{example} 201 | 202 | \subsection{一致连续} 203 | \label{sec:uniform-continuity} 204 | 205 | \begin{definition} 206 | 设函数$f(x)$在某个区间上连续，如果对于任意小的正实数$\varepsilon>0$，都存在某个$\delta>0$，使得区间上任意满足$|x_1-x_2|<\delta$的$x_1,x_2$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$成立，则称函数在此区间上\emph{一致连续}。 207 | \end{definition} 208 | 209 | 注意一致连续与在某点处连续是有区别的，函数在某点$x_0$处连续，那么对于一个$\varepsilon$，定义中的$\delta$，一般而言是与$x_0$有关的，即$\delta=\delta(x_0)$，例如反比例函数$f(x)=\frac{1}{x}$，如果$x_0$越靠近0，则$\delta$就要越小，而一致连续则表明，存在对区间上所有点都适用的$\delta$，反比例函数显然无法满足这一点，所以反比例函数在定义域的两个区间上虽然连续，但不是一致连续。 210 | 211 | \begin{example}[利普希茨连续] 212 | 设$f(x)$是定义在某个区间上的函数，利普希茨条件是指，存在一个常数$L>0$，使得对区间上任意两个实数$x_1,x_2$，都有$|f(x_1)-f(x_2)| \leqslant |x_1-x_2|$. 显然满足利普希茨条件的函数一定连续，并且一致连续。 213 | \end{example} 214 | 215 | \begin{theorem} 216 | 如果函数在某个有限区间上一致连续，则在此区间上必定有界。 217 | \end{theorem} 218 | 219 | \begin{proof}[证明] 220 | 固定一个正实数$\varepsilon>0$，则按一致连续能够确定出一个正实数$\delta>0$，使得当$|x_1-x_2|<\delta$时有$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，于是将区间划分成若干个闭区间的并集，其中每个闭区间的长度都小于$\delta$但大于$\frac{\delta}{2}$，则显然在每个闭区间上都有界，而原来区间的长度是有限的，所以这样的闭区间只能是有限个，因而函数在整个区间上也就有界。 221 | \end{proof} 222 | 223 | \begin{theorem} 224 | 闭区间上的连续函数在此闭区间上必定一致连续。 225 | \end{theorem} 226 | 227 | \begin{proof}[证明] 228 | 因为函数在闭区间上连续，所以对于任意一个确定的正实数$\varepsilon>0$，在每个$x_0$处都存在一个相应的$\delta=\delta(x_0)$，使得函数在区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$上的函数值都落在区间$(f(x_0)-\frac{\varepsilon}{2},f(x_0)+\frac{\varepsilon}{2})$中，所有这些开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$显然覆盖了闭区间，依有限覆盖定理，存在其中有限个开区间$(x_i-\delta_i,x_i+\delta_i)(i=1,2,\ldots,n)$，它们的并集就覆盖了此闭区间，取这有限个开区间的诸$\delta_i$中的最小者的一半记为$\delta_m$，再取这有限个开区间中的诸重叠部分的最小长度为$\delta_w$，记$\delta'=\min\{\delta_m,\delta_w\}$，则在闭区间上任意取两个实数$r_1,r_2$并满足$|r_1-r_2|<\delta'$，则两数必然能够位于前述有限个开区间中的同一个$(x_k-\delta_k,x_k+\delta_k)$上，则显然有$|r_1-r_2|<\delta'\leqslant \frac{\delta_k}{2}$，从而 229 | \[ |f(r_1)-f(r_2)| \leqslant |f(r_1)-f(x_k)|+|f(r_2)-f(x_k)|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \] 230 | 这便表明函数在闭区间上是一致连续的。 231 | \end{proof} 232 | 233 | \subsection{无理指数幂} 234 | \label{sec:irrational-power} 235 | 236 | 在中学数学里，我们已经有了指数的概念，但那时的指数，受限于有理数的情形，虽然给出了定义在全体实数上的指数函数，却没有说明当指数是无理数时，这个幂是何种意义，本小节就来解决这个问题，我们将通过极限来定义无理指数幂。 237 | 238 | 先回顾一下有理指数幂的定义，设实数$a>0$且$a \neq 1$，它的正整数$n$次幂定义为 239 | \[ a^n = aa\cdots a(n\text{个}a) \] 240 | 在这定义下，显然有$a^n>0$(正值性)，而且对于两个正整数$n$和$m$有 241 | \begin{equation} 242 | \label{eq:exponent-multiple-rule-with-positive-integer} 243 | a^{n+m}=a^na^m 244 | \end{equation} 245 | 这称为指数运算的乘法公式。 246 | 247 | 如果正整数$n1$时成立 248 | \[ a^n$时是单调增加的，$01$且$a \neq 1$，则在$a>1$时有$a^na^m$. 258 | \end{theorem} 259 | 260 | \begin{proof}[证明] 261 | 在$a>1$的情况下，如果$n$是负整数而$m$是非负整数，则利用定义在正整数集上的指数函数的单调性得 262 | \[ a^n = \frac{1}{a^{-n}} < \frac{1}{a^0} = 1 = a^0 \leqslant a^m \] 263 | 而在$n$和$m$都是负整数的情形，$-n$和$-m$是两个正整数并且$-n>-m$，所以利用定义在正整数集上的指数函数的单调性，有 264 | \[ a^n = \frac{1}{a^{-n}} < \frac{1}{a^{-m}} = a^m \] 265 | 这就证得$a>1$时，定义在整数集上的指数是增函数，而在$01$和正整数$n$，有$a^n>1$，而对于负整数$n$，则$01$. 274 | \end{inference} 275 | 276 | 277 | 我们再继续把指数向有理数范围内推广，我们先证下面的结论 278 | \begin{theorem} 279 | 设$n$和$m$是任意两个整数，实数$a>0$且$a \neq 1$，则$(a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m$. 280 | \end{theorem} 281 | 282 | \begin{proof}[证明] 283 | 先证$n$和$m$都是正整数的情形，$(a^m)^n$代表$n$个$a^m$相乘，而$a^m$代表$m$个$a$相乘，所以最终便是$mn$个$a$相乘，所以$(a^m)^n=a^{mn}$，同理$(a^n)^m=a^{nm}=a^{mn}$ 284 | 285 | 如果$m$和$m$中至少有一个是零，则结论显然是成立的，然后按负正整数指数幂的定义也容易得出结论对于$n$和$m$中至少有一个是负整数时也是成立的。 286 | \end{proof} 287 | 288 | 有了这个定理，我们来考虑有理整数幂，设$x=n/m$为有理数，其中$n$和$m$是一对互素的整数并且$m$是正整数，我们推广的依据是使得刚才定理中的结论对有理数也成立，这就是说，有下式成立 289 | \[ (a^{\frac{n}{m}})^m = a^{\frac{n}{m}m} = a^n \] 290 | 于是得到 291 | \[ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} \] 292 | 我们就把它作为有理指数幂和定义，乘法公式和负指数幂的公式仍然是成立的，并且指数函数在有理数集上的正值性和单调性仍然是成立的，这里我们证明一下单调性。 293 | 294 | 根据有理指数幂的定义，不难证明\autoref{inference:exponent-compare-to-1}在有理数上也是成立的，假定$x$和$y$是两个有理数并且$x0$,$a^y>0$，在$a>1$时 295 | \[ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \] 296 | 如果$a>1$，那么由$x-y$是一个负有理数，利用\autoref{inference:exponent-compare-to-1} 在有理数的情形即知$a^{x-y}<1$，所以$a^x0$且$a \neq 1$，各项均为有理数的数列$r_n$收敛到一个无理数$r$，则实数$a$的$r$次幂定义为 301 | \[ a^r = \lim_{n \to \infty} a^{r_n} \] 302 | \end{definition} 303 | 304 | 这里有几个疑问：这个极限存在吗？对于收敛到无理数$r$的所有有理数列，这个极限都相等吗? 下面这个定理就肯定了这一点。 305 | \begin{theorem} 306 | 设实数$a>0$且$a \neq 1$，$r$是一个无理数，则任意收敛到$r$的有理数数列都收敛，而且极限值都相同。 307 | \end{theorem} 308 | 309 | 先证明下面的引理 310 | \begin{lemma} 311 | \label{lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0} 312 | 设有理数数列$r_n$收敛到零，实数$a>0$且$a \neq 1$，则有极限$\lim_{n \to \infty} a^{r_n} = 1$. 313 | \end{lemma} 314 | 315 | \begin{proof}[证明] 316 | 我们在\autoref{example:limit-of-n-sqrt-a}中已经证得$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$，因此对于任意小的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得$n>N$时恒有$|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon$，在$a>1$时，就是$1<\sqrt[n]{a}<1+\epsilon$，现在就任意取定一个$n_0>N$，从而有$1<\sqrt[n_0]{a}<1+\varepsilon$ 而由引理条件，$r_n$以零为极限，所以对于正实数$1/n_0$，存在正整数$N_1$，使得当$n>N_1$时有$|r_n|<1/n_0$，这时按照定义在有理数集上的指数函数的单调性(下式中做了限定$\varepsilon<1$) 317 | \[ 1-\varepsilon<\frac{1}{1+\varepsilon}<\frac{1}{\sqrt[n_0]{a}}\max\{N, N_1\}$时便能保证$|a^{r_n}-1|<\varepsilon$，这即表明引理中的极限成立，而类似的可以证明$01$的假定下有 326 | \[ a^{x_n} \leqslant a^{x_{n+1}} \leqslant \cdots \leqslant a^{y_{n+1}} \leqslant a^{y_n} \] 327 | 于是作闭区间序列$U_n = [a^{x_n},a^{y_n}]$，则显见$U_{n+1} \subset U_n$，而区间的长度$a^{y_n}-a^{x_n}=a^{x_n}(a^{y_n-x_n}-1)$，因为$y_n-x_n=10^{-n} \to 1$，由刚才所证的\autoref{lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0}，$a^{y_n-x_n}-1$是一个无穷小，而前面的因子$a^{x_n}1$的情况下证明了定理，而$00$且$a \neq 1$，$x$和$y$是任意两个实数，则 340 | (1). 341 | \[ a^{x+y} = a^xa^y \] 342 | (2). 343 | \[ a^{-x} = \frac{1}{a^x} \] 344 | \end{theorem} 345 | 346 | 为了证明它，先证一个引理 347 | \begin{lemma} 348 | \label{lemma:a-power-rn-to-a-pow-r-when-rational-rn-to-rational-r} 349 | 设实数$a>0$且$a \neq 1$，$r_n$是一个有理数数列，并且收敛到一个有理数$r$，则$\lim_{n \to \infty} a^{r_n} = a^{r}$. 350 | \end{lemma} 351 | 352 | \begin{proof}[证明] 353 | 由有理数数列$r_n$收敛到有理数$r$即知有理数数列$r_n-r$收敛到零，由\autoref{lemma:a-power-rn-to-1-when-rational-rn-to-0}即知$\lim_{n \to \infty}a^{r_n-r} = 1$，从而 354 | \[ \lim_{n \to \infty} a^{r_n} = \lim_{n \to \infty} a^{r+(r_n-r)} = \lim_{n \to \infty} a^ra^{r_n-r} = a^r \lim_{n \to \infty}a^{r_n-r} = a^r \] 355 | \end{proof} 356 | 357 | 现在来证明\autoref{theorem:real-exponent-compute-rule} 358 | \begin{proof}[证明] 359 | (1).只需证明$x$和$y$中至少有一个无理数的情形，假定$x$是无理数，设$x_n$是一个以$x$为极限的有理数数列，则有 360 | \[ a^{x_n+y} = a^{x_n} \cdot a^y \] 361 | 显然$x_n+y$是一个以$x+y$为极限的有理数数列，而$x+y$为无理数，所以上式左边的极限是$a^{x+y}$，显然右端的极限是$a^xa^y$，由极限的唯一性即得 362 | \[ \lim_{n \to \infty}a^{x_n+y} = \lim_{n \to \infty}a^{x_n} \cdot a^y \] 363 | 这就表明 364 | \[ a^{x+y} = a^xa^y \] 365 | 当$x$和$y$都是无理数时，设$x_n$和$y_n$是两个分别收敛到$x$和$y$的有理数数列，有 366 | \[ a^{x_n+y_n} = a^{x_n}a^{y_n} \] 367 | 显然右端以$a^xa^y$为极限，对于左边，如果$x+y$是无理数，则$x_n+y_n$是收敛到无理数$x+y$的有理数数列，所以它的极限是$a^{x+y}$，如果$x+y$是有理数，则$x_n+y_n$是收敛到有理数$x+y$的有理数数列，由\autoref{lemma:a-power-rn-to-a-pow-r-when-rational-rn-to-rational-r}知左边极限也是$a^{x+y}$，所以无论$x+y$是有理数还是无理数，左边都以$a^{x+y}$为极限，由极限的唯一性，得$a^{x+y}=a^xa^y$. 368 | 369 | (2). 同样只需要证明$x$为无理数的情形，设有理数数列$x_n$以$x$为极限，则显然有 370 | \[ a^{-x_n} = \frac{1}{a^{x_n}} \] 371 | 显然$-x_n$是以无理数$-x$为极限的有理数数列，所以上式左边以$a^{-x}$为极限，右边显然以$1/a^x$为极限，由极限的唯一性，结论成立。 372 | \end{proof} 373 | 374 | 有了定理中的这两条，显然对于实数$x$和$y$，也有 375 | \[ a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \] 376 | 所以有理指数幂的运算性质，在实数范围内仍然是成立的。 377 | 378 | 既然指数扩展到了全体实数，那么我们也可以将指数函数的定义域扩充到全体实数上了，我们先来证明指数函数在R都是单调的 379 | 380 | \begin{theorem} 381 | 设实数$a>1$且$a>0$，指数函数$f(x)=a^x$在$a>1$时是$R$上的严格递增函数，在$01$的情况，这时任取两个实数$x1$时，指数函数$00$且$a \neq 1$，则有极限$\lim_{x \to 0} a^x = 1$ 402 | \end{lemma} 403 | 404 | \begin{proof}[证明] 405 | 只证明$a>1$的情形，$01$的情况下，利用前面已经证过的指数函数在实数集上的单调性，就有 408 | \[ 1-\varepsilon < a^{-x'}0$且$a \neq 1$)，是$R$上的连续函数。 414 | \end{theorem} 415 | 416 | \begin{proof}[证明] 417 | 只要证明它在$R$上任何一点$x_0$处都连续即可，因为 418 | \[ a^{x_0+h} - a^{x_0} = a^{x_0}(a^h-1) \] 419 | 由\autoref{lemma:a-power-x-to-1-when-real-x-to-0}即知$\lim_{h \to 0} a^{x_0+h} = a^{x_0}$，这就表明指数函数在$x_0$处是连续的，由$x_0$的任意性即得知它在整个$R$上都是连续的。 420 | \end{proof} 421 | 422 | 现在，我们有了完整的指数定义，就可以考虑它的逆运算了，也就是对数，设实数$a>0$且$a \neq 1$，$y$是一个正实数，如果实数$x$满足方程$a^x=y$，则称$x$是$y$的以$a$为底的 \emph{对数}，显然，指数和对数互为逆运算。 423 | 424 | 对数的定义有一个问题，满足方程$a^x=y$的实数$x$是否一定存在呢，实数$y$必须是正实数吗？为解决这个问题，我们还需要证明指数函数的另一个性质 425 | \begin{theorem} 426 | 设实数$a>0$且$a \neq 1$，则指数函数$f(x)=a^x$的函数值可以取遍一切正实数，换句话说，它的值域是$(0,+\infty)$. 427 | \end{theorem} 428 | 429 | 这利用连续函数在闭区间上的介值性便可以证明，我们在本节的后文给出。 430 | 431 | \subsection{初等函数的连续性} 432 | \label{sec:continuousness-of-elementary-function} 433 | 434 | 435 | 在中学里，我们接触过几类 \emph{基本初等函数}: 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数. 我们在这一小节里来证明这些函数在它们的定义域的各个区间上都是连续函数，在有了这个结论之后，根据连续的性质，所有的初等函数就都是连续函数了。 436 | 437 | 1. 幂函数 438 | \begin{theorem} 439 | 幂函数$f(x)=x^p$在定义域的各个区间上连续。 440 | \end{theorem} 441 | 442 | \begin{proof}[证明] 443 | 因为如果$p<0$，有$f(x)=1/x^{-p}$，如果分母是连续的，则$f(x)$就是连续的，所以只要证明$p>0$的情况就可以了。 444 | 445 | 先证明$p$是正整数的情况，这时由 446 | \[ (x_0+h)^p-x_0^p = \sum_{i=1}^n C_n^i x_0^{p-i} h^i \] 447 | 显然当$h \to 0$时，右边的各项(有限项)都趋于0，因此$(x_0+h)^p \to x_0^p$，所以函数在$x_0$处连续，由$x_0$的任意性，$p$为正整数的情形得证。 448 | \end{proof} 449 | 450 | 2. 指数函数与对数函数 451 | \begin{theorem} 452 | 指数函数$f(x)=a^x(a>0,a\neq 1)$是$R$上的连续函数。 453 | \end{theorem} 454 | 455 | 这在上一小节我们已经证明过了。 456 | 457 | 3. 三角函数. 458 | \begin{theorem} 459 | 正弦函数$f(x)=\sin{x}$在$R$上连续，余弦函数$g(x)=\cos{x}$在$R$上连续，正切函数$h(x)=\tan{x}$在定义域的每一个区间上都是连续函数。 460 | \end{theorem} 461 | 462 | \begin{proof}[证明] 463 | 先证明正弦函数，任取$x_0 \in R$，有 464 | \[ \sin{(x_0+r)} - \sin{x_0} = 2\cos{ \left( x_0 + \frac{r}{2} \right) }\sin{ \frac{h}{2} } \] 465 | 我们在\autoref{theorem:sinx-over-x-to-1-when-x-to-0}中就已经知道，不等式$|\sin{x}| \leqslant |x|$对一切实数$x$恒成立，所以当$r \to 0$时，上式右端是一个有界量和一个无穷小的乘积，也收敛到零，所以 466 | \[ \lim_{r \to 0} \sin{(x_0+r)} = \sin{x_0} \] 467 | 从而正弦函数在$x_0$处连续，由$x_0$的任意性，它在$R$上都是连续的。 468 | 469 | 对于余弦函数，把它写成 470 | \[ \cos{x} = \sin{ \left( x+\frac{\pi}{2} \right) } \] 471 | 由正弦函数的连续性和关于复合函数连续性的\autoref{theorem:the-continuity-of-combine-function}即知余弦函数也是连续的。 472 | 473 | 正切函数，把它表为正弦函数和余弦函数的商，由商函数的连续性即知它在定义域的各区间上也都是连续的。 474 | \end{proof} 475 | 476 | 477 | \subsection{利用函数连续性求极限} 478 | \label{sec:find-limit-by-continuousness} 479 | 480 | 利用函数的连续性，我们可以求得一些有用的极限。 481 | 482 | \begin{example} 483 | \label{example:ln-1+x-equaliant-to-x} 484 | 关于对数函数有极限 485 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a \mathrm{e} \] 486 | 因为 487 | \[ \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a (1+x)^{1/x} \] 488 | 由$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = \mathrm{e}$及对数函数的连续性即得结论，特别的有 489 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \] 490 | 这就是说，在$x \to 0$时，有$\ln(1+x)=x+o(x)$. 491 | \end{example} 492 | 493 | \begin{example} 494 | \label{example:e-power-x-1-equalitant-to-x} 495 | 对于指数函数，有 496 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln{a} \] 497 | 只要令$t=a^x-1$，就有 498 | \[ \frac{a^x-1}{x} = \frac{t}{\log_a(1+t)} \] 499 | 而$x \to 0$时，$t \to 0$，借用上例的结论，便知上式有极限$\ln{a}$，特别情况是 500 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \] 501 | 这就是说，在$x \to 0$时，有$e^x=1+x+o(x)$ 502 | \end{example} 503 | 504 | \begin{example} 505 | \label{example:1-plus-x-power-subtract-1-equalitant-to-x} 506 | 在前两个例子的基础上，我们证明下面这个重要的极限，设$\mu$是任意实数，则 507 | \[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\mu}-1}{x} = \mu \] 508 | \end{example} 509 | 510 | \subsection{题选} 511 | \label{sec:exercise-for-continuousness-of-function} 512 | 513 | \begin{exercise} 514 | 设定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续函数 $f(x)$，对于任意 $x \in \mathbb{R}$都成立 $f(2x)=f(x)$，问该函数是否是常数函数? 515 | \end{exercise} 516 | 517 | \begin{proof}[解答] 518 | 首先易知 $f(0)=0$，并且对于任意实数$x$和任意正整数$n$，有 519 | \[ f(x) = f \left( \frac{x}{2^n} \right) \] 520 | 由函数$f(x)$在$x=0$处的连续性，$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，使得当$|x|<\delta$时，恒有$|f(x)|<\varepsilon$. 521 | 522 | 任取两个不相等的实数$x$和$y$，对于上述$\delta$，必然当正整数$n$充分大时有 523 | \[ \left| \frac{x}{2^n} \right| < \delta, \ \left| \frac{y}{2^n} \right| < \delta \] 524 | 因此有 525 | \[ \left| f \left( \frac{x}{2^n} \right) \right| < \varepsilon, \ \left| f \left( \frac{y}{2^n} \right) \right| < \varepsilon \] 526 | 从而 527 | \[ \left| f \left( \frac{x}{2^n} \right) - f \left( \frac{y}{2^n} \right) \right| < 2\varepsilon \] 528 | 即 529 | \[ |f(x)-f(y)| < 2\varepsilon \] 530 | 由 $\varepsilon$的任意性，有$f(x)=f(y)$，因此函数是常数函数，并且由过程可知，函数其实保证在 $x=0$ 处连续就能保证是常数函数了。 531 | \end{proof} 532 | 533 | \begin{exercise} 534 | 设函数$f(x) \in C^{1}(0,1)$， 535 | \[ \alpha = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} < \beta = \frac{f(x_3)-f(x_4)}{x_3-x_4} \] 536 | 其中$x_1,x_2,x_3,x_4 \in (0,1)$，求证: 对每个 $\lambda \in (\alpha,\beta)$，存在$x_5,x_6 \in (0,1)$，使得 537 | \[ \lambda = \frac{f(x_5)-f(x_6)}{x_5-x_6} \] 538 | \end{exercise} 539 | 540 | \exerciseFrom[北京大学2018年硕士入学考试试题] 541 | 542 | \exerciseSolvedDate[2018-02-28] 543 | 544 | \begin{proof}[证明] 545 | 这题目有点意思，导函数具备介值性大家都知道，其证明需要用到微分中值定理，然而这题却来了个割线斜率的介值性，而且函数只是连续，并没有可导性，但是其实从直观上一想，又是显然的，思路也是超级简单。 546 | 547 | $\alpha,\beta$是两段割线的斜率，我们只要让其中一段割线连续的变动，直到跟另一段割线重合，这样就得到一个连续函数，从而根据连续函数的介值性解决问题。 548 | 549 | 以下为方便，将割线$(x_1,f(x_1)) \to (x_2,f(x_2))$简单的记为$L(x_1,x_2)$. 550 | 551 | 现在就来让割线$L(x_1,x_2)$连续的变动到$L(x_3,x_4)$，变动过程中，每次变动我们只移动割线的一个端点而保持另一个端点不动。下面以$x_1a)$，使得$x>X$时恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$成立，则称数$A$是函数$f(x)$在自变量$x$趋于正无穷大时的 \emph{极限}，记作: 12 | \[ \lim_{x\to\infty}f(x) = A \] 13 | \end{definition} 14 | 类似的可以得函数当自变量趋于负无穷大的极限定义，并且如果函数当自变量趋于正无穷大和负无穷大时都有极限而且极限相同，则称函数当自变量趋于无穷大时有极限，这也可以从绝对值来定义而不考虑自变量的符号。 15 | 16 | 17 | \subsection{趋点极限与单侧极限} 18 | \label{sec:limit-of-function-at-point} 19 | 20 | 当自变量趋于某点的极限定义如下: 21 | \begin{definition} 22 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某空心邻域内有定义，$A$是一个实数，如果对于任意小的正实数$\varepsilon>0$，总存在另一正实数$\delta>0$，使得定义域中满足$0<|x-x_0|<\delta$的数$x$恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称$A$是函数$f(x)$当自变量趋于$x_0$时的极限，记作 23 | \[ \lim_{x\to x_0} f(x) = A \] 24 | \end{definition} 25 | 要指出的是，1. 定义中限定了$x\neq x_0$是因为函数在该点处的情况与该点处是否存在极限无任何关系. 2. 函数$f(x)$在自变量趋于$x_0$时即使收敛，其极限值也并不一定等于$f(x_0)$，实际上函数在$x_0$也并不一定有定义。 26 | 27 | 考虑到$x$趋于$x_0$的方式，它可以从小于$x_0$的一侧去靠近它，也可以从大于$x_0$的一侧去靠近它，也可以时而在大于$x_0$的一侧，时而位于小于$x_0$的一侧的方式去接近它，所以在这里我们给出 \emph{单侧极限} 的概念。 28 | 29 | \begin{definition} 30 | 如果函数$f(x)$在$x_0$的某个右空心邻域内有定义，$A$是一个实数，如果对于任意小的正实数$\varepsilon>0$，都存在另一个正实数$\delta>0$，使得当$x_00, (p,q)=1 \\ 84 | 0 & x \in [0,1]-\mathbb{Q} 85 | \end{cases} 86 | \] 87 | 简单来说，当$x$是有理数$\dfrac{p}{q}$时，$R(x)=\dfrac{1}{q}$，注意这里$p$、$q$是一对既约整数（即最大公因数为1），且$q$是正的。而当$x$是无理数时，$R(x)=0$. 88 | 89 | 黎曼函数可以看成是狄利克雷函数的一个改进，我们现在来证明，黎曼函数在任意点处都有极限为零。 90 | 91 | 任取数$x_0 \in [0,1]$，只需要证明$\lim\limits_{x \to x_0} R(x)=0$就可以了，对于任意小的正实数$\varepsilon>0$，我们要找一个$\delta>0$，使得$\forall x \in (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$都有$|R(x)|<\varepsilon$成立，显然无理数是无关紧要的，这个$\delta$只需要由有理数来决定，当$x$是有理数$\dfrac{p}{q}(q>0)$时，我们就是要使 92 | \[ \frac{1}{q} < \varepsilon \] 93 | 成立，这就需要让$(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$上的一切有理数$\dfrac{p}{q}$都满足$q > \dfrac{1}{\varepsilon}$，这能否做到呢？是可以的，因为不满足这个条件的有理数是有限的（小于$\dfrac{1}{\varepsilon}$的正整数$q$是有限的，而小于这些$q$的非负整数$p$也是有限的），从而把这些有理数记为$x_1,x_2,\ldots,x_m$(注意这里的$m$跟$\varepsilon$有关)，则只要让$\delta$同时满足$\delta < |x_i-x_0|(i=1,2,\ldots,m)$，则这些有理数都不会落在范围$(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$内，从而对于该范围内的一切有理数，前面所需要的条件就成立了，于是函数在$x_0$处有极限为零。 94 | \end{example} 95 | \subsection{函数极限的性质} 96 | \label{sec:properties-of-function-limit} 97 | 98 | 99 | 与数列极限的性质相仿，函数极限具有类似的性质，以下定理都以$x\to x_0$为例，但它们对于自变量趋于无穷大时的极限也是成立的，由于与数列极限的相应结论对应，这里就省去了证明。 100 | 101 | \begin{property}[唯一性] 102 | 函数极限$\lim_{x \to x_0}f(x)$若存在必唯一. 103 | \end{property} 104 | 105 | \begin{theorem}[局部有界性] 106 | 设函数$f(x)$在$x_0$的某空心邻域内有定义，若$\lim_{x \to x_0}f(x)$存在(非无穷的有限值)，则$f(x)$在$x_0$的某个空心邻域内有界。 107 | \end{theorem} 108 | 109 | \begin{theorem}[局部保号性] 110 | 若函数$f(x)$在$x \to x_0$处的极限存在为$A$，则对于任意$rr$，同样，对于任意$r>A$，都存在$x_0$的某空心邻域，在这邻域内恒有$f(x)n$，则极限为零，若$m0 \\ 208 | 0 & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} 209 | \end{cases} 210 | \] 211 | 及 212 | \[ f(x) = 213 | \begin{cases} 214 | 0 & x \neq 0 \\ 215 | 1 & x = 0 216 | \end{cases} 217 | \] 218 | 在$x=0$处的情况，$g(x)$即黎曼函数，我们已经知道它在任意无理点处的极限为零，在任意有理点处不存在极限。 219 | 220 | \subsection{与数列极限的关系} 221 | \label{sec:relation-between-limit-of-function-and-number-sequence} 222 | 223 | 以趋点极限为例，函数极限与数列极限之间有如下结论: 224 | \begin{theorem}[函数极限与数列极限的关系] 225 | 在$x_0$的某空心邻域内有定义的函数$f(x)$，当$x \to x_0$时存在极限(记为$A$)的充分必要条件是，对于任意一个在这空心邻域内取值并以$x_0$为极限的数列$x_n$，$\lim_{n \to \infty}f(x_n)$都存在而且都等于$A$。 226 | \end{theorem} 227 | 228 | \begin{proof}[证明] 229 | 先证必要性，如果$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，那么对于任意小的正实数$\varepsilon > 0$，都存在另一个正实数$\delta > 0$，使得对这邻域内满足$|x-x_0|<\delta$的实数$x$都成立不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么对于任意一个也在这空心邻域内取值并以$x_0$为极限的数列$x_n$，因为它以$x_0$为极限，所以对于这个$\delta>0$，就必然能够从某一项$x_N$开始，后面的所有项都满足$|x_n-x_0|<\delta$，于是就有$|f(x_n)-A|<\varepsilon$，这就表明$f(x_n)$当$n \to \infty$时以$A$为极限，必要性得证。 230 | 231 | 再证充分性，如果对于任意一个在这空心邻域内取值并收敛到$x_0$的数列$x_n$，对应的函数值数列$f(x_n)$都收敛到同一实数$A$，我们将证明，函数$f(x)$在$x \to x_0$时也必将收敛到$A$. 采用反证法，假使函数$f(x)$当$x \to x_0$时不以数$A$为极限，那么必然存在某个$\varepsilon_0>0$，使得无论把另一个正实数$\delta>0$限制得多么小，总有满足$|x-x_0|<\delta$的实数$x$能够使得$|f(x)-A| \geqslant \varepsilon_0$成立，于是先取$\delta=1$，得出一个符合这条件的实数$x_1$，然而取$\delta=\min\{\frac{1}{2}, |x_1-x_0|\}>0$，又可以选出$x_2$，依次这样下去，逐个令$\delta_n=\min\{\frac{1}{n}, |x_{n-1}-x_0|\}$，就可以挑选出$x_{n+1}$，这样就作出一个数列$x_n$，由$|x_n-x_0|<\delta_n<\frac{1}{n}$可知$x_n$收敛到$x_0$，但是由于$|f(x_n)-A| \geqslant \varepsilon$恒成立，可知数列$f(x_n)$并不收敛到$A$，这样，我们就证明了如果函数$f(x)$当$x \to x_0$时不以$A$为极限，那么就可以构造出一个以$x_0$为极限的数列$x_n$，使得$f(x_n)$也不以$A$为极限，这与我们的条件是矛盾的，所以充分性得证。 232 | \end{proof} 233 | 234 | 事实上，如果任意以$x_0$为极限的数列$x_n$，函数值数列$f(x_n)$都收敛的话，这些极限值也必然相同，这是因为，如若不然，假如两个数列$x_n$和$r_n$分别以$A$和$B$为极限，那么在这两个数列中交错的取项构成另一数列$s_n$，显然$s_n$也以$x_0$为极限，而函数值数列$f(s_n)$中的奇数下标子列和偶数下标子列分别以$A$和$B$为极限，由条件知$f(s_n)$应有极限，所以$A=B$.有了这结论，上述定理中的条件可以适当减弱。 235 | 236 | 237 | \subsection{单调有界定理} 238 | \label{sec:theorem-of-monotone-and-bounded-of-function-limit} 239 | 240 | 与数列的单调有界定理相仿，我们有以下定理 241 | \begin{theorem} 242 | 如果函数$f(x)$在$x_0$的某左空心邻域内单调递增且有上界，则函数$f(x)$在$x_0$处的左极限存在，右极限也有类似的结论。 243 | \end{theorem} 244 | 245 | \begin{proof}[证明] 246 | 证明很简单，只要在这左邻域内任取一单调增加并以$x_0$为极限的数列$x_n$，则函数值数列$f(x_n)$亦必是单调增加的数列，而它又有上界，所以它有极限，设这极限为$A$，则易证$A$便是函数在这左空心邻域内的上确界，那么对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时恒有$|f(x_n)-A|<\varepsilon$成立，于是取$\delta = x_0-x_{N+1}>0$，则对于任意满足$x_0-\delta0$，只要取$0<\delta<\min\{\varepsilon, \dfrac{\pi}{2}\}$，就能保证$\forall x \in ( x_0+\delta,x_0+\delta )$都有 321 | \[ |\sin{x}-\sin{x_0}| < \varepsilon \] 322 | 成立，即证明了结论。 323 | 324 | 类似的，对于余弦函数，也可以证明 325 | \[ \lim_{x \to x_0} \cos{x} = \cos{x_0} \] 326 | \end{example} 327 | 328 | \begin{example} 329 | \label{example:limit-of-sinx-sinx0-over-x-x0} 330 | 我们来证明下面的两个极限，这个极限在后面学习导数的时候将会用到 331 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin{x}-\sin{x_0}}{x-x_0} = \cos{x_0} \] 332 | 以及 333 | \[ \lim_{x \to x_0} \frac{\cos{x}-\cos{x_0}}{x-x_0} = -\sin{x_0} \] 334 | 只证明第一个，第二个也是类似的，固定$x_0$， 335 | 有 336 | \[ \frac{\sin{x}-\sin{x_0}}{x-x_0} = 2\cos{\frac{x+x_0}{2}} \cdot \frac{\sin{\frac{x-x_0}{2}}}{x-x_0} \] 337 | 显然当$x \to x_0$时，后一个因式趋于$\dfrac{1}{2}$，而第一个因式我们已经证明了它趋于$\cos{x_0}$，因而便得结论。 338 | \end{example} 339 | 340 | 我们在数列极限的部分曾经证明过下面这个数列存在极限 341 | \[ x_n = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \] 342 | 并把它的极限记作$e$，今来把它推广成函数的极限，这就是以下的定理: 343 | \begin{theorem} 344 | \[ \lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e \] 345 | 这里$e$是自然对数的底数. 346 | \end{theorem} 347 | 348 | \begin{proof}[证明] 349 | 设实数$x$的整数部分为$n$，即$n \leqslant x < n+1$，有 350 | \[ \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^n < \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x < \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \] 351 | 显见左右两边作为两个数列，都以$e$为极限，我们把这左右两边转化为两个函数，即设$x$的整数部分为$n$，定义 352 | \[ h_1(x) = \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^n, \ h_2(x)=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} \] 353 | 于是就有 354 | \[ \lim_{x \to +\infty} h_1(x) = \lim_{x \to +\infty} h_2(x) = e \] 355 | 所以由夹逼准则即得 356 | \[ \lim_{x \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e \] 357 | 这是函数在正无穷远处的极限，再来看负无穷处的极限，当$x$以负值趋于负无穷时，令$x=-t$，则$x$趋于负无穷等价于$t$趋于正无穷，而 358 | \[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = \frac{1}{\left( 1-\frac{1}{t} \right)^t} = \left( 1+\frac{1}{t-1} \right)^t = \left( 1+\frac{1}{t-1} \right)^{(t-1) \cdot \frac{t}{t-1}} \] 359 | 利用复合函数的极限结果(\autoref{theorem:limit-of-combine-function})，便知当式右端当$t \to +\infty$时的极限是$e$，所以当$x \to -\infty$时左端的极限也就是$e$，所以最终当$x \to \infty$时，函数$(1+1/x)^x$的极限都是$e$. 360 | \end{proof} 361 | 362 | 在此基础上，我们有更为一般性的结论: 363 | \begin{theorem} 364 | 设函数$f(x)$在某一极限过程中为无穷小，那么在同样的极限过程中有 365 | \[ \lim (1+f(x))^{1/f(x)} = \mathrm{e} \] 366 | \end{theorem} 367 | 368 | \begin{proof}[证明] 369 | 以$x \to \infty$为例，因为$\lim\limits_{x \to \infty}(1+\dfrac{1}{x})^x = \mathrm{e}$，所以对于无论多么小的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$M$，使得满足$|x|>M$的一切实数$x$都符合$|(1+\dfrac{1}{x})^x-\mathrm{e}|<\varepsilon$，又因为$f(x)$为无穷小，所以对于这个正实数$M$，存在另一正实数$K$，使得当$|x|>K$时，有$|f(x)|<\dfrac{1}{M}$成立，于是$\left| \frac{1}{f(x)} \right|>M$，从而就有 370 | \[ \left| (1+f(x))^{1/f(x)} - \mathrm{e} \right| < \varepsilon \] 371 | 这就证得结论。 372 | \end{proof} 373 | 374 | \subsection{无穷小与无穷大} 375 | \label{sec:infinite-small-and-great} 376 | 377 | 与数列类似，我们可以在函数极限中引入无穷小与无穷大的定义，如果函数在某一极限过程中以零为极限，则称其在此极限过程中是无穷小，同样，如果它在这一极限过程中其绝对值能够大于任意的正数，则称其是一个无穷大，类似的可以得到正无穷大和负无穷大的概念。函数极限过程中的无穷小和无穷大有着与无穷小数列和无穷大数列类似的性质。 378 | 379 | 与数列一样，函数极限过程中的无穷小与无穷大也可以引入阶的比较概念。 380 | 381 | \subsection{曲线的渐近线} 382 | \label{sec:asymptotic-line-of-curve} 383 | 384 | 385 | 386 | %%% Local Variables: 387 | %%% mode: latex 388 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 389 | %%% End: 390 | -------------------------------------------------------------------------------- /limit/limit.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \chapter{极限} 3 | \label{chap:limit} 4 | 5 | \input{limit/real-number.tex} 6 | \input{limit/limit-of-number-sequence.tex} 7 | \input{limit/limit-of-function.tex} 8 | \input{limit/continuousness-of-function.tex} 9 | 10 | %%% Local Variables: 11 | %%% mode: latex 12 | %%% TeX-master: "../calculus-note" 13 | %%% End: 14 | -------------------------------------------------------------------------------- /limit/pic/graphy-of-function-sinx-over-x.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | import geometry; 3 | import graph; 4 | 5 | size(150); 6 | 7 | real foo(real x) { 8 | return sin(x) / x; 9 | } 10 | 11 | real positivescale(real x) { 12 | return 1 / x; 13 | } 14 | 15 | real negativescale(real x) { 16 | return -1 / x; 17 | } 18 | 19 | path pl = graph(foo, -8, -0.01, operator..); 20 | draw(pl); 21 | path p2 = graph(foo, 0.01, 8, operator..); 22 | draw(p2); 23 | path p3 = graph(positivescale, -8, -0.7, operator..); 24 | draw(p3, dashed); 25 | path p4 = graph(positivescale, 0.7, 8, operator..); 26 | draw(p4, dashed); 27 | path p5 = graph(negativescale, -8, -0.7, operator..); 28 | draw(p5, dashed); 29 | path p6 = graph(negativescale, 0.7, 8, operator..); 30 | draw(p6, dashed); 31 | 32 | 33 | xaxis("$x$", Arrow); 34 | yaxis("$y$", Arrow); 35 | -------------------------------------------------------------------------------- /limit/pic/limit-of-sinx-over-x-at-0.asy: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | import geometry; 3 | 4 | size(120); 5 | 6 | pair O = (0, 0); 7 | label("$O$", O, SW); 8 | real r = 1, theta = pi / 4; 9 | path mycircle = circle(O, r); 10 | draw(mycircle); 11 | 12 | pair A = (r, 0); 13 | pair B = (r, r * tan(theta)); 14 | pair C = (r * cos(theta), r * sin(theta)); 15 | pair D = (r * cos(theta), 0); 16 | 17 | label("$A$", A, SE); 18 | label("$B$", B, NE); 19 | label("$C$", C, N); 20 | label("$D$", D, S); 21 | 22 | draw(O -- A -- B -- cycle); 23 | draw(C -- D); 24 | -------------------------------------------------------------------------------- /limit/real-number.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | \section{实数理论} 3 | \label{sec:real-number-theory} 4 | 5 | 分析学的基础建立在实数的公理化体系之上，在讨论极限理论之前，先来讨论一下实数的理论。 6 | 7 | \subsection{实数的十进制表示与大小关系} 8 | \label{sec:decimal-system} 9 | 10 | 在人类历史上，为了计数而引进了自然数，最初以算筹的数量代表对应的数字，但这对于较大的数比较困难，为了表示数100就需要100根算筹，于是发明了十进制，这样所需的算筹数量就大大减少，之所以是十进制很可能是因为人正好有十根手指头，便于比划数字。后来为了解决多人平分食物等生活资料的问题又引进了整数之比即有理数的概念，再往后毕达哥拉斯学派根据勾股定理，发现了边长为1的正方形的对角线的长度不是有理数，引发了第一次数学危机，这次危机随着无理数的引入而得以解决。有理数与无理数一起，构成了全体实数。但在实数范围内，像$x^2+1=0$这样的代数方程没有解，为了从理论上解决这个问题而引入了虚数的概念，实数与虚数一起构成了复数，代数方程的理论在复数范围内得到彻底的解决。 11 | 12 | 本节只讨论实数。在十进制下，一个实数$x$具有如下表示: 13 | \begin{equation} 14 | \label{eq:decimal-format-of-real} 15 | x=a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots 16 | \end{equation} 17 | 其中$a_i \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$，并且最左边的数位$a_n$非零（否则省略这一位不写），十进制就是说，这个式子表示的数值其实是 18 | \[ x=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots+10a_1+a_0+\frac{a_{-1}}{10}+\frac{a_{-2}}{10^2}+\cdots \] 19 | 即\autoref{eq:decimal-format-of-real}实际表示的数值是它每一位数字与该数位上的权值之积的和，这一点是十分重要的，因为这样我们就只需要$0-9$这十个数符就可以表示出任意实数，而不必为每一个数都去发明一个对应的数符，那样既是不可能的，也是很难使用的。 20 | 21 | 在这种表示下，数位$a_0$称为个位，$a_1$称为十位，$a_2$称为百位，依次类推，在$a_0$以后的部分称为小数部分，$a_0$以及$a_0$左边的部分称为整数部分，两部分之间用小数点来分隔出明确的界限。 22 | 23 | 需要说明的是，实数十进制表示的小数部分是可以无限延伸的，但整数部分只能是有限位，并且规定，如果小数部分从某一位起全部都是零，则可以省写这些零，这样的小数称为有限小数，否则便称为无限小数。 24 | 25 | 如果无限小数的小数部分有连续重复出现的片段，例如 $0.12345678678678678\cdots$，这以后的数位全是重复的片段$678$，就称这小数为循环小数，并简写为$0.12345\dot{6}7\dot{8}$，即在循环片段的首尾两个数字上加点。如果没有这样的连续重复出现片段，则称为无限不循环小数。 26 | 27 | 关于整数的一个极为深刻的结论是 28 | \begin{theorem}[带余除法] 29 | 对任意两个整数$a$和$b$，其中$b$为正整数，则存在唯一一对整数$q$与$r(0\leqslant r < b)$，使得$a=qb+r$成立.这整数$q$及$r$分别称为$a$除以$b$所得的\emph{商}和\emph{余数}. 30 | \end{theorem} 31 | 32 | \begin{proof}[证明] 33 | 以$b$的倍数为界点将全体实数划分为区间序列$\ldots,[-2b,-b),[-b,0),[0,b),[b,2b),\ldots$，这些左闭右开区间两两无交集，且它们的并集就是全体实数，那么整数$a$必定从属于其中某一个区间，假定是$[mb,(m+1)b)$，则取$q=m,r=a-mb$即满足定理条件，反过来，如果还有另一组$q_1$及$r_1$满足定理中条件，那么有$q_1b \leqslant a < (q_1+1)b$，这即表明$q_1=m$，从而$r_1=a_{mb}$，这就证得了商及余数的唯一性。 34 | \end{proof} 35 | 36 | 利用带余除法，可以证明 37 | \begin{theorem} 38 | 有理数都是有限小数或者无限循环小数. 39 | \end{theorem} 40 | 41 | \begin{proof}[证明] 42 | 设有理数$\frac{a}{b}$，其中$a$与$b$是整数，由于这结论与数的符号无关，所以假定这分子分母还是正的。这个证明过程其实就是两个正整数做除法的过程，思路就是在这个除法过程中，每一步所得的余数，或者是零从而被除尽，或者便要重复出现. 43 | 44 | 先用$a$除以$b$，记商与余数分别为$q$及$r$，即$a=qb+r(0\leqslant r < b)$，如果$r>0$，再用$10r$除以$b$，所得的商与余数分别记为$q_1$与$r_1$，如果仍然有$r_1>0$，则再将$10r_1$除以$b$得到商$q_2$与余数$r_2$，依次类推，得到序列$q_i$与$r_i$，这时有$q_i(i \leqslant 1)$只能取$0$到$9$中的数字，这是因为$10r_{i-1}=q_ib+r_i$，而$0 \leqslant r_{i-1} < b$，所以$q_i$不能超过9，而由于$0 \leqslant r_i < b$，所以$r_i$也只能在集合$\{0,1,2,\ldots,b-1\}$这个有限集中取值，如果某一次取到了零$r_m=0$，则这个除法过程就结束了，而最终有 45 | \[ \frac{a}{b} = q + \sum_{i=0}^{m-1}\frac{q_i}{10^i} = q.q_1q_2\cdots q_{m-1} \] 46 | 即为有限小数。如果$r_i$始终不能取到零，那么必然存在某个$i$及$j(> i)$使得$r_i=r_j$，既然出现了相同的余数，那么在分别用$10r_i$和$10r_j$去除以$b$时也会得出相同的商$q_{i+1}$和$q_{j+1}$，于是进一步出现相同的$r_{i+1}$与$r_{j+1}$，这个过程将无限重复下去，这时就有 47 | \[ \frac{a}{b} = q.q_1q_2 \cdots q_iq_{i+1} \cdots q_jq_{j+1} \cdots \] 48 | 这里从$q_i$到$q_{j-1}$便是一个重复片段，为小数的循环部分（不一定是最小循环片段），即为无限循环小数。 49 | \end{proof} 50 | 51 | 反之，有限小数与无限循环小数也都是有理数，但无限循环小数是有理数的证明涉及无限个数相加的和，这里暂不讨论。 52 | 53 | 我们规定，循环部分为一个单9的实数，等于将后面的9全部收上来的有限小数，即$1=0.\dot{9}$，等等。 54 | 55 | 接下来讨论实数的大小问题，我们首先规定0-9这10个数符的大小关系，即0小于1，1小于2，如此递推，直到8小于9，在此基础上，我们定义实数的大小关系: 56 | \begin{definition} 57 | 对于两个实数$a=a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots$与$b=b_nb_{n-1}\cdots b_1b_0.b_{-1}b_{-2}\cdots$(如果它俩最高位不是同一数位，可以将最高位权重较低的那个前面补零)，如果存在某个整数$m (\leqslant n)$，使得$a_ma$. 58 | \end{definition} 59 | 60 | 这定义就是说，实数$a$小于实数$b$的充分必要条件是，从左边开始，第一个数符不同的数位上，$a$在该数位上的数符小于$b$在该数位上的数符。 61 | 62 | \subsection{最小自然数原理} 63 | \label{sec:minimum-nature-number-principle} 64 | 65 | \begin{principle}[最小自然数原理] 66 | 任意非空的自然数集合中，必定存在一个最小的自然数。 67 | \end{principle} 68 | 69 | 这个原理虽然看起来显而易见，但它是实数公理化体系的一部分。 70 | 71 | \subsection{确界定理} 72 | \label{sec:least-bound-theorem} 73 | 74 | 对于一个实数集，如果存在实数$M$，使得集合中的全部数$x$都满足$x \leqslant M$，则称实数$M$是这数集的一个\emph{上界}，如果不等式是反向的，则称这实数是这数集的一个\emph{下界}，显然，如果$M$是某个数集的上界，则比$M$大的所有实数也都是这数集的上界，对下界亦有类似结论。 75 | 76 | 如果数集既有上界又有下界，则称数集\emph{有界}，有界数集的所有项的数值能够被某个区间所全部包含。 77 | 78 | 有界的另一种表述是，存在正实数$M>0$，使得数集的全部数$x$都满足$|x| \leqslant M$，这与前述说法是等价的。 79 | 80 | \begin{definition} 81 | 对于一个有上界的实数集，如果某个实数$M$满足: (1)它是这数集的上界. (2)对于无论多么小的正实数$\epsilon$，总存在数集中的数$x$使得$x>M-\epsilon$，则称实数$M$是这数集的\emph{上确界}，类似的有\emph{下确界}的定义. 82 | \end{definition} 83 | 84 | 显然，上确界是最小的上界，下确界是最大的下界。 85 | 86 | \begin{theorem}[确界定理] 87 | 若实数集合(无论有限集无限集)有上界，则有上确界，下界亦有相应结论。 88 | \end{theorem} 89 | 90 | \begin{proof}[证明] 91 | 设实数集合$A$有上界$M$，我们先构造出一个数$K$，再证明构造出的这个数正是这集合的上确界。 92 | 93 | 根据最小数原理，集合$A$中元素的整数部分有最大值，令$K$的整数部分与之相同，这整数部分记作$K_0$。 94 | 95 | 再将集合$A$中所有元素乘以10后舍去小数部分，这些新数组成的新集合记作$A_1$，这集合有上界$10M$，因此按最小数原理，它也有最大值，而且这最大值除个位以外的部分正是$K_0$(按$K_0$的定义)，取这最大值的个位作为$K$的十分位。$K$的其余数位依次类推，$K$在$10^{-n}$上的数位是将集合$A$中全体元素乘以$10^n$后舍去小数部分所得新集合中最大数的个位数。 96 | 97 | 现在证明，数$K$是集合$A$的上确界，先证明它是上界，反证法，若它不是上界，则$A$中存在比它更大的数$x_0$，那么按实数大小关系定义，在比较$x_0$与$K$时，从左边开始往右比较，第一个不相同的数位上，$x_0$在该数位上的数大于$K$在该数位上的数，但这与$K$在这一数位上的数值的确定方法相矛盾，所以$K$是上界。其次需要证明，$K$是最小的上界，设$L$是一个小于$K$的实数，那么它与$K$相比，从左边开始第一个不相同的数位上，它对应的数较小，假定这数位就是$10^{-n}$，并设$K$和$L$在舍去这一数位以后的全部数位后所得的数分别是$K_n$和$L_n$，那么$K_n>L_n$，但根据$K$的确定过程可知，对于任何正整数$n$，$A$中都存在不小于$K_n$的数，自然这数也就大于$L_n$，因此$K$是最小的上界，即为上确界。 98 | \end{proof} 99 | 100 | \subsection{实数指数幂} 101 | \label{sec:real-exponential-power} 102 | 103 | 在中学数学里，我们已经接触过指数运算了，给出了指数为有理数的幂的定义，还引入了定义在$\mathbb{R}$上的指数函数，但实际上，那时并没有给出无理指数幂的定义，这是因为，无理指数幂的定义，有赖于对实数理论的进一步讨论。在这一小节，我们利用确界定理来给出无理指数幂的定义，从而形成完整的指数运算。 104 | 105 | 先回顾一下有理指数幂的定义，设$a$是一个不等于1的正实数，首先它的正整数幂是被定义为连乘积: 106 | \[ a^n = a \cdot a \cdots a (n \in \mathbb{N+}) \] 107 | 这里是$n$个$a$相乘，然后把这定义推广到整数集上，规定$a^0=1$，并且有如下的负整数指数幂定义 108 | \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \] 109 | 于是指数运算被推广到指数是全体整数的情形了，再继续推广到有理数，设$r=\dfrac{m}{n}$是一个有理数，这里$m$、$n$互素且$n>0$，则定义 110 | \[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \] 111 | 这便是中学数学中对指数运算的定义。 112 | 113 | 不难得出，在此种定义下，有如下定理 114 | \begin{theorem} 115 | 设$a>0$且$a \neq 1$，定义在$\mathbb{Q}$上的指数函数$a^r$有如下基本性质 116 | \begin{enumerate} 117 | \item $a^r>0$ 118 | \item $a^{r_1+r_2}=a^{r_1}\cdot a^{r_2}, \ a^{r_1-r_2} = \frac{a^{r_1}}{a^{r_2}} $ 119 | \item 若$a>1$，则$a^r$随$r$严格递增，若$00$，都存在$\delta>0$，使得只要$|r-r_0|<\delta$，就有$|a^r-a^{r_0}|<\varepsilon$. 121 | \end{enumerate} 122 | \end{theorem} 123 | 124 | 前三条都容易，这里详细证明一下第四条，即连续性，在此只证明$a>1$的情况，因为$01$且$n$是一个正整数，则有不等式 127 | \[ 0< \sqrt[n]{a}-1 < \frac{a-1}{n} \] 128 | \end{lemma} 129 | 130 | \begin{proof}[证明一] 131 | 由公式 132 | \[ s^n-t^n=(s-t)(s^{n-1}+s^{n-2}t+\cdots+st^{n-2}+t^{n-1}) \] 133 | 令$s=\sqrt[n]{a},t=1$，可得 134 | \[ a-1=(\sqrt[n]{a}-1)(s^{n-1}+s^{n-2}+\cdots+s+1) \] 135 | 显然$s>1$，因此有 136 | \[ a-1> (\sqrt[n]{a}-1) \cdot n\] 137 | 由此即得证. 138 | \end{proof} 139 | 140 | \begin{proof}[证明二] 141 | 设$b=\sqrt[n]{a}-1>0$，则 142 | \[ a = (1+b)^n > 1 + nb \] 143 | 即得 144 | \[ b < \frac{a-1}{n} \] 145 | \end{proof} 146 | 147 | 借助这个引理，我们来证明定义在$\mathbb{Q}$上的指数函数在0处是连续的，即要证明，对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得对一切满足$|r|<\delta$的有理数$r$都成立$|a^r-1|<\varepsilon$。 148 | 149 | 为了寻找这个$\delta$，先考虑形式为$\dfrac{1}{n}$的有理数，首先由刚证明的引理，要使$|a^{\frac{1}{n}}-1|<\varepsilon$，只要使$\dfrac{a-1}{n}<\varepsilon$就行了，这只需$n>\frac{a-1}{\varepsilon}$，我们取一个$n_0 = \left[ \dfrac{a-1}{\varepsilon} \right]+1$，再令$\delta=\dfrac{1}{n_0}$，再根据第二条的单调性，只要有理数$r$满足$00$，要寻找一个$\delta>0$，使得对一切满足$|r-r_0|<\delta$的有理数$r$都有$|a^r-a^{r_0}|<\varepsilon$.因为 154 | \[ |a^r-a^{r_0}| = a^{r_0} |a^{r-r_0}-1| \] 155 | 根据函数在0处的连续性，对于$\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{a^{r_0}}>0$，存在某个$delta>0$，使得对一切满足$|r-r_0|<\delta$的有理数$r$都成立$|a^{r-r_0}-1|<\varepsilon_1$，即$|a^r-a^{r_0}|<\varepsilon$，即得证。 156 | 157 | 在此之上，还可以得出一些其它有用的性质，例如: 158 | \begin{inference} 159 | 若$a>1$，则当$r>0$时有$a^r>1$，在$r<0$时$00$时有$01$. 160 | \end{inference} 161 | 162 | 现在开始引入无理指数幂的概念，设实数$a>1$($0x,s \in \mathbb{Q} \} \] 166 | 则$\forall t_a \in A, \forall t_b \in B$，有$t_a0$且$a \neq 1$，$x$是一个无理数，定义集合$A=\{a^r|rx,s \in \mathbb{Q}\}$，则这两个集合中，一个有上确界，另一个有下确界，且二者相等，这个共同的确界，就称为$a$的$x$次幂，即为$a^x$. 174 | \end{definition} 175 | 176 | 有了无理指数幂，指数函数的定义域就可以拓广到全体实数上了，而且它还保持着在有理数集上所具有的良好性质，即: 177 | \begin{theorem} 178 | 设$a>0$且$a \neq 1$，定义在$\mathbb{R}$上的指数函数$a^x$仍然有如下性质 179 | \begin{enumerate} 180 | \item $a^x>0$ 181 | \item $a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2}, \ a^{x_1-x_2} = \frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} $ 182 | \item 若$a>1$，则$a^x$随$x$严格递增，若$00$，都存在$\delta>0$，使得只要$|x-x_0|<\delta$，就有$|a^x-a^{x_0}|<\varepsilon$. 184 | \end{enumerate} 185 | \end{theorem} 186 | 187 | 这就是说，定义在$\mathbb{R}$上的指数函数，仍然保持着在有理数集上的运算法则、单调性和连续性，这些结论的证明并不难，只要充分利用定义就可以了，此处略去。 188 | 189 | \subsection{伯努利不等式} 190 | \label{sec:bernoulli-inequality} 191 | 192 | \begin{theorem}[伯努利(Bernoulli)不等式] 193 | \label{theorem:bernoulli-inequality} 194 | 设实数$x \geqslant -1$，则对任意正整数$n$成立不等式 195 | \begin{equation} 196 | \label{eq:bernoulli-inequality} 197 | (1+x)^n \geqslant 1+nx 198 | \end{equation} 199 | 等号成立的充分必要条件是$x=0$或者$x=-1,n=1$. 200 | \end{theorem} 201 | 202 | \begin{proof}[证明] 203 | 在$x \geqslant 0$时，左边按二项式定理展开可以看到它是成立的，所以关键是如何证明$x<0$的情形。 204 | 205 | 在等式(它可以经由数学归纳法得出) 206 | \[ a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \] 207 | 在式中令$a=1+x$，$b=1$便得 208 | \[ (1+x)^n-1=x \left[ (1+x)^{n-1}+(1+x)^{n-2}+\cdots+(1+x)+1 \right] \] 209 | 如果$x>0$，则右边中括号内的部分显然大于$n$，于是要证的不等式成立，而如果$-1 \hspace{0.2em} 18 | 19 | \hfill 2017-05-25 于成都华阳 \hspace{1.5em} 20 | 21 | 22 | %%% Local Variables: 23 | %%% mode: latex 24 | %%% TeX-master: "book" 25 | %%% End: 26 | -------------------------------------------------------------------------------- /readme.org: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | #+TITLE: 微积分学笔记 2 | #+AUTHOR: zhcosin 3 | #+DATE: 2017-05-25 4 | 5 | 这是我学习微积分的个人笔记，使用 =LaTeX= 进行排版， =pdf= 文档可在[[https://coding.net/u/zhcosin/p/math-notes-publish/git/blob/master/calculus-note.pdf]] 页面下载。 6 | 7 | 微积分是近代建立起来的数学理论，历经数代数学家不断添砖加瓦，构成了今天我们所看到的一部宏伟而严丝合缝的理论，它是高等数学的开端，使人类的数学思维和手段经历了一次质的飞跃。 8 | 9 | 微积分理论体系严谨，整个理论体系大致分为极限论、微分学、积分学和级数理论四部分，其中极限论是其余各部分的基础，也是初等数学和高等数学(局限于分析学)的分界点，包含数列极限和函数极限以及函数的连续性等内容，微分学包含导数和微分、微分中值定理(以泰勒公式为顶峰)，还有延伸学科微分方程(又细分为常微分方程和偏微分方程)，积分学包含不定积分、定积分、无穷积分与瑕积分、重积分、曲线积分与曲面积分，级数理论则包括数项级数、函数项级数、傅里叶级数以及无穷乘积等内容。 10 | 11 | 我写这份笔记的主要参考书是前苏联数学家菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》(高等教育出版社)，这部书篇幅巨大（三卷本），内容丰富，除了微积分的理论体系之外，还包含大量的例子和材料，那些例子并不仅仅是单纯的例题，而是微积分理论中由众多数学家所推导出的大量重要的结果，而应用材料则囊括了数学上的、物理上的、工程学上的、天文学上的，几乎遍及微积分的每一个角落，所以此书取材的广度和深度，都让人叹为观止。该书另一个突出特点是，在严格性和易读性之间，把握了一个极好的平衡，在不失严格性的同时，又保持了极好的可读性，所以该书无论是用于自学，还是用于教学，都具有极大的参考价值。 12 | 13 | 之所以写作这份笔记，是因为上大学期间贪玩，微积分学的非常粗糙，然而像这样的理论体系，如果不仔细的弄清楚它的每一个细节，将永远只是一个模糊的印象，这份笔记的意义便在于此，远期也可以考虑把它写成一份可以供他人自学的材料。 14 | -------------------------------------------------------------------------------- /tableofcontents.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | 2 | %\tableofcontents 3 | %\addcontentsline{toc}{chapter}{目录} 4 | 5 | \newcommand*\cdotfill{% 6 | \leavevmode 7 | \leaders \hbox to .5em {\hss\textcdot\hss}\hfill} 8 | 9 | \etocsetstyle{chapter} 10 | {% 11 | \setlength\rightskip{4\ccwd}% 12 | \addtolength\parfillskip{-\rightskip}% 13 | \etocskipfirstprefix 14 | } 15 | {\medskip} 16 | {% 17 | \bfseries 18 | \noindent 19 | \etocifnumbered 20 | {% 21 | \sbox0{\etocthenumber\unskip\quad}% 22 | \setlength\leftskip{\wd0}% 23 | \etoclink{\llap{\box0}\etocthename}% 24 | } 25 | {% 26 | \setlength\leftskip{\rightskip}% 27 | \hskip-\leftskip 28 | \etocname 29 | }% 30 | \nobreak\cdotfill\etocpage\par 31 | } 32 | {} 33 | 34 | \etocsetstyle{section} 35 | {\nopagebreak\normalfont} 36 | {\smallskip} 37 | {% 38 | \noindent 39 | \etocifnumbered 40 | {\etoclink{\llap{\etocthenumber\quad}\etocthename}} 41 | {\etocname}% 42 | \nobreak\cdotfill\etocpage\par 43 | } 44 | {} 45 | 46 | \etocsetstyle{subsection} 47 | {% 48 | \nopagebreak 49 | \begingroup 50 | \addtolength\parfillskip{\rightskip}% 51 | \addtolength\rightskip{\fill}% 52 | \etocskipfirstprefix 53 | \noindent 54 | } 55 | {\quad} 56 | {% 57 | \hbox{% 58 | \etoclink{% 59 | \etocifnumbered{\etocthenumber\enskip}{}% 60 | \etocthename\ (\etocthepage)% 61 | }% 62 | }% 63 | } 64 | {\par\endgroup} 65 | 66 | 67 | 68 | \tableofcontents 69 | \addcontentsline{toc}{chapter}{目录} 70 | %%% Local Variables: 71 | %%% mode: latex 72 | %%% TeX-master: "book" 73 | %%% End: 74 | -------------------------------------------------------------------------------- /use-packages.tex: -------------------------------------------------------------------------------- 1 | %\usepackage{minitoc} 2 | 3 | % 使用 geometry 宏包定制页面版式 4 | % pdf 电子文档版式 5 | \usepackage[a4paper,left=3.5cm,right=3.5cm, bottom=3.5cm,top=3.5cm]{geometry} 6 | % 印刷版式，左右页的内外边距不同，以抵消装订线对页边空白的影响。 7 | %\usepackage[a4paper,inner=4cm,outer=2.5cm, bottom=3.5cm,top=3.5cm]{geometry} 8 | 9 | % 定制目录样式的宏包 10 | \usepackage{etoc} 11 | 12 | % 定制日期时间格式的宏包 13 | \usepackage[yyyymmdd]{datetime} 14 | \renewcommand{\dateseparator}{-} 15 | 16 | % 数学必备宏包 17 | \usepackage{amsmath} 18 | \usepackage{amssymb} 19 | 20 | % 定理和证明环境 21 | \usepackage{amsthm} 22 | 23 | \usepackage{makecell} 24 | 25 | % 插图宏包，提供插图命令 \includegraphics 26 | \usepackage{graphicx} 27 | 28 | % 好看的向量箭头符号，命令是 \vv 29 | \usepackage{esvect} 30 | 31 | % 数学花体，命令是\mathscr 32 | \usepackage{mathrsfs} 33 | 34 | % 数学粗体，用于向量或矩阵等，命令是\bm 35 | \usepackage{bm} 36 | 37 | % 改善表格排版质量的宏包 38 | \usepackage{booktabs} 39 | 40 | % 使目录和各种引用具有超链接效果 41 | \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,CJKbookmarks=true,bookmarksnumbered]{hyperref} 42 | 43 | % 定制插图和表格的标题的宏包 44 | \usepackage[font=small,labelfont=bf,labelsep=space]{caption} 45 | 46 | 47 | %%% Local Variables: 48 | %%% mode: latex 49 | %%% TeX-master: "calculus-note" 50 | %%% End: 51 | --------------------------------------------------------------------------------