├── .gitignore
├── .vscode
    ├── tex.greek.code-snippets
    ├── tex.math.code-snippets
    ├── tex.structure.code-snippets
    ├── tex.text.code-snippets
    └── utils.code-snippets
├── README.md
└── sem01
    ├── analythical_geometry
        ├── rc01
        │   ├── analythical_geometry_rc01.pdf
        │   ├── analythical_geometry_rc01.tex
        │   └── theory.tex
        └── rc02
        │   ├── analythical_geometry_rc02.pdf
        │   ├── analythical_geometry_rc02.tex
        │   └── theory.tex
    ├── common
        └── preamble.tex
    ├── mathematical_analysis
        ├── exam
        │   ├── definitions.tex
        │   ├── figures
        │   │   └── q9fig1.png
        │   ├── mathematical_analysis_exam.pdf
        │   ├── mathematical_analysis_exam.tex
        │   └── theory.tex
        └── rc01
        │   ├── mathematical_analysis_rc01.pdf
        │   ├── mathematical_analysis_rc01.tex
        │   └── theory.tex
    └── programming
        └── exam
            ├── images
                ├── computer.png
                ├── flowchart.png
                ├── plt_bar.png
                ├── plt_fig1.png
                ├── plt_fig2.png
                ├── plt_fig3.png
                ├── plt_hist.png
                └── plt_pie.png
            ├── programming-qa-exam.md
            ├── programming-qa-exam.pdf
            └── styles
                └── header-styles.css


/.gitignore:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | *.aux
 2 | *.fdb_latexmk
 3 | *.fls
 4 | *.log
 5 | *.synctex.gz
 6 | *.out
 7 | *.loe
 8 | 
 9 | .vscode/settings.json
10 | 
11 | 
12 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/.vscode/tex.greek.code-snippets:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | {
  2 | 	"alpha": {
  3 | 		"prefix": "alp",
  4 | 		"body": [
  5 | 			"\\alpha"
  6 | 		],
  7 | 	},
  8 | 	
  9 | 	"beta": {
 10 | 		"prefix": "beta",
 11 | 		"body": [
 12 | 			"\\beta"
 13 | 		],
 14 | 	},
 15 | 	
 16 | 	"gamma": {
 17 | 		"prefix": "gamma",
 18 | 		"body": [
 19 | 			"\\gamma"
 20 | 		],
 21 | 	},
 22 | 	
 23 | 	"delta": {
 24 | 		"prefix": "del",
 25 | 		"body": [
 26 | 			"\\delta"
 27 | 		],
 28 | 	},
 29 | 	
 30 | 	"epsilon": {
 31 | 		"prefix": "eps",
 32 | 		"body": [
 33 | 			"\\epsilon"
 34 | 		],
 35 | 	},
 36 | 
 37 | 	"zeta": {
 38 | 		"prefix": "zeta",
 39 | 		"body": [
 40 | 			"\\zeta"
 41 | 		],
 42 | 	},
 43 | 	
 44 | 	"eta": {
 45 | 		"prefix": "eta",
 46 | 		"body": [
 47 | 			"\\eta"
 48 | 		],
 49 | 	},
 50 | 	
 51 | 	"theta": {
 52 | 		"prefix": "theta",
 53 | 		"body": [
 54 | 			"\\theta"
 55 | 		],
 56 | 	},
 57 | 	
 58 | 	"iota": {
 59 | 		"prefix": "iota",
 60 | 		"body": [
 61 | 			"\\iota"
 62 | 		],
 63 | 	},
 64 | 	
 65 | 	"kappa": {
 66 | 		"prefix": "kappa",
 67 | 		"body": [
 68 | 			"\\kappa"
 69 | 		],
 70 | 	},
 71 | 	
 72 | 	"lambda": {
 73 | 		"prefix": "lam",
 74 | 		"body": [
 75 | 			"\\lambda"
 76 | 		],
 77 | 	},
 78 | 	
 79 | 	"mu": {
 80 | 		"prefix": "mu",
 81 | 		"body": [
 82 | 			"\\mu"
 83 | 		],
 84 | 	},
 85 | 	
 86 | 	"nu": {
 87 | 		"prefix": "nu",
 88 | 		"body": [
 89 | 			"\\nu"
 90 | 		],
 91 | 	},
 92 | 	
 93 | 	"pi": {
 94 | 		"prefix": "pi",
 95 | 		"body": [
 96 | 			"\\pi"
 97 | 		],
 98 | 	},
 99 | 	
100 | 	"rho": {
101 | 		"prefix": "rho",
102 | 		"body": [
103 | 			"\\rho"
104 | 		],
105 | 	},
106 | 	
107 | 	"sigma": {
108 | 		"prefix": "sigma",
109 | 		"body": [
110 | 			"\\sigma"
111 | 		],
112 | 	},
113 | 	
114 | 	"tau": {
115 | 		"prefix": "tau",
116 | 		"body": [
117 | 			"\\tau"
118 | 		],
119 | 	},
120 | 	
121 | 	"upsilon": {
122 | 		"prefix": "ups",
123 | 		"body": [
124 | 			"\\upsilon"
125 | 		],
126 | 	},
127 | 	
128 | 	"phi": {
129 | 		"prefix": "phi",
130 | 		"body": [
131 | 			"\\varphi"
132 | 		],
133 | 	},
134 | 	
135 | 	"chi": {
136 | 		"prefix": "chi",
137 | 		"body": [
138 | 			"\\chi"
139 | 		],
140 | 	},
141 | 	
142 | 	"psi": {
143 | 		"prefix": "psi",
144 | 		"body": [
145 | 			"\\psi"
146 | 		],
147 | 	},
148 | 	
149 | 	"omega": {
150 | 		"prefix": "omega",
151 | 		"body": [
152 | 			"\\omega"
153 | 		],
154 | 	},
155 | }


--------------------------------------------------------------------------------
/.vscode/tex.math.code-snippets:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | {
  2 | 	"Fraction": {
  3 | 		"prefix": "fr",
  4 | 		"body": [
  5 | 			"\\frac{$1}{$2}$0"
  6 | 		],
  7 | 	},
  8 | 
  9 | 	"Braces": {
 10 | 		"prefix": "lr",
 11 | 		"body": [
 12 | 			"\\left($1\\right) $0"
 13 | 		],
 14 | 	},
 15 | 
 16 | 	"Tag": {
 17 | 		"prefix": "tag",
 18 | 		"body": [
 19 | 			"\\tag{$0}"
 20 | 		],
 21 | 	},
 22 | 
 23 | 	"Text": {
 24 | 		"prefix": "tt",
 25 | 		"body": [
 26 | 			"\\text{$1} $0"
 27 | 		],
 28 | 	},
 29 | 
 30 | 	"Cases": {
 31 | 		"prefix": "cases",
 32 | 		"body": [
 33 | 			"\\begin{cases*}",
 34 | 				"\t$1",
 35 | 			"\\end{cases*}",
 36 | 		],
 37 | 	},
 38 | 
 39 | 	"Rcases": {
 40 | 		"prefix": "rcases",
 41 | 		"body": [
 42 | 			"\\begin{rcases*}",
 43 | 				"\t$1",
 44 | 			"\\end{rcases*}",
 45 | 		],
 46 | 	},
 47 | 
 48 | 	"Vector": {
 49 | 		"prefix": "vec",
 50 | 		"body": [
 51 | 			"\\vec{$1}$0"
 52 | 		],
 53 | 	},
 54 | 
 55 | 	"Long-named vector": {
 56 | 		"prefix": "Vec",
 57 | 		"body": [
 58 | 			"\\overrightarrow{$1}$0"
 59 | 		],
 60 | 	},
 61 | 
 62 | 	"Group": {
 63 | 		"prefix": "gr",
 64 | 		"body": [
 65 | 			"{$1}$0"
 66 | 		],
 67 | 	},
 68 | 
 69 | 	"Power": {
 70 | 		"prefix": "pow",
 71 | 		"body": [
 72 | 			"^{$1}$0"
 73 | 		],
 74 | 	},
 75 | 
 76 | 	"Infinity": {
 77 | 		"prefix": "oo",
 78 | 		"body": [
 79 | 			"\\infty"
 80 | 		],
 81 | 	},
 82 | 
 83 | 	"Implies": {
 84 | 		"prefix": "=>",
 85 | 		"body": [
 86 | 			"\\implies"
 87 | 		],
 88 | 	},
 89 | 
 90 | 	"Equivalent": {
 91 | 		"prefix": "iff",
 92 | 		"body": [
 93 | 			"\\iff"
 94 | 		],
 95 | 	},
 96 | 	
 97 | 	"Limit": {
 98 | 		"prefix": "lim",
 99 | 		"body": [
100 | 			"\\lim_{${1:x} \\to ${2|x_0,\\infty,0,+\\infty,-\\infty,0+,0-|}} $0"
101 | 		],
102 | 	},
103 | 
104 | 	"Integral": {
105 | 		"prefix": "int",
106 | 		"body": [
107 | 			"\\int_{${1:-\\infty}}^{${2:\\infty}} $0"
108 | 		],
109 | 	},
110 | 	
111 | 	"Delta": {
112 | 		"prefix": "dd",
113 | 		"body": [
114 | 			"\\Delta $0"
115 | 		],
116 | 	},
117 | 	
118 | 	"Square root": {
119 | 		"prefix": "sq",
120 | 		"body": [
121 | 			"\\sqrt{$1} $0"
122 | 		],
123 | 	},
124 | 	
125 | 	"Square": {
126 | 		"prefix": "sr",
127 | 		"body": [
128 | 			"^2"
129 | 		],
130 | 	},
131 | 	
132 | 	"Cube": {
133 | 		"prefix": "cb",
134 | 		"body": [
135 | 			"^3"
136 | 		],
137 | 	},
138 | 	
139 | 	"Less or equal": {
140 | 		"prefix": "<=",
141 | 		"body": [
142 | 			"\\le"
143 | 		],
144 | 	},
145 | 	
146 | 	"Greate or equal": {
147 | 		"prefix": ">=",
148 | 		"body": [
149 | 			"\\ge"
150 | 		],
151 | 	},
152 | 	
153 | 	"For all": {
154 | 		"prefix": "AA",
155 | 		"body": [
156 | 			"\\forall"
157 | 		],
158 | 	},
159 | 
160 | 	"sin": {
161 | 		"prefix": "sin",
162 | 		"body": [
163 | 			"\\sin($1)$0"
164 | 		],
165 | 	},
166 | 	
167 | 	"cos": {
168 | 		"prefix": "cos",
169 | 		"body": [
170 | 			"\\cos($1)$0"
171 | 		],
172 | 	},
173 | 	
174 | 	"tg": {
175 | 		"prefix": "tg",
176 | 		"body": [
177 | 			"\\tg($1)$0"
178 | 		],
179 | 	},
180 | 	
181 | 	"ctg": {
182 | 		"prefix": "ctg",
183 | 		"body": [
184 | 			"\\ctg($1)$0"
185 | 		],
186 | 	},
187 | 	
188 | 	"mul": {
189 | 		"prefix": "**",
190 | 		"body": [
191 | 			"\\cdot"
192 | 		],
193 | 	},
194 | 
195 | 	"to": {
196 | 		"prefix": "to",
197 | 		"body": [
198 | 			"\\to"
199 | 		],
200 | 	},
201 | 	
202 | 	"in": {
203 | 		"prefix": "in",
204 | 		"body": [
205 | 			"\\in $0"
206 | 		],
207 | 	},
208 | 	
209 | 	"Q": {
210 | 		"prefix": "QQ",
211 | 		"body": [
212 | 			"\\Q"
213 | 		],
214 | 	},
215 | 
216 | 	"Real": {
217 | 		"prefix": "RR",
218 | 		"body": [
219 | 			"\\R"
220 | 		],
221 | 	},
222 | 
223 | 	"Z": {
224 | 		"prefix": "ZZ",
225 | 		"body": [
226 | 			"\\Z"
227 | 		],
228 | 	},
229 | 
230 | 	"N": {
231 | 		"prefix": "NN",
232 | 		"body": [
233 | 			"\\N"
234 | 		],
235 | 	},
236 | 
237 | 	"Abs": {
238 | 		"prefix": "abs",
239 | 		"body": [
240 | 			"|$1|$0"
241 | 		],
242 | 	},
243 | 	
244 | 	"Parallel": {
245 | 		"prefix": "pll",
246 | 		"body": [
247 | 			"\\parallel"
248 | 		],
249 | 	},
250 | 	
251 | 	"Perpendicular": {
252 | 		"prefix": "prp",
253 | 		"body": [
254 | 			"\\perp"
255 | 		],
256 | 	},
257 | 	
258 | 	"Math ring of S": {
259 | 		"prefix": "soo",
260 | 		"body": [
261 | 			"\\mathring{S}"
262 | 		],
263 | 	},
264 | 
265 | 	"Union": {
266 | 		"prefix": "uu",
267 | 		"body": [
268 | 			"\\cup $0"
269 | 		],
270 | 	},
271 | 	
272 | 	"Intersection": {
273 | 		"prefix": "nn",
274 | 		"body": [
275 | 			"\\cap $0"
276 | 		],
277 | 	},
278 | 	
279 | 	"Exists": {
280 | 		"prefix": "EE",
281 | 		"body": [
282 | 			"\\exists"
283 | 		],
284 | 	},
285 | }


--------------------------------------------------------------------------------
/.vscode/tex.structure.code-snippets:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | {
  2 | 	"begin{} / end{}": {
  3 | 		"prefix": "beg",
  4 | 		"body": [
  5 | 			"\\begin{$1}",
  6 | 				"\t$0"
  7 | 			"\\end{$1}"
  8 | 		],
  9 | 	},
 10 | 
 11 | 	"Section*": {
 12 | 		"prefix": "sec*",
 13 | 		"body": [
 14 | 			"\\section*{$1}",
 15 | 			"$0",
 16 | 		],
 17 | 	},
 18 | 
 19 | 	"Subsection*": {
 20 | 		"prefix": "ssec*",
 21 | 		"body": [
 22 | 			"\\subsection*{$1}",
 23 | 			"$0",
 24 | 		],
 25 | 	},
 26 | 
 27 | 	"Subsubsection*": {
 28 | 		"prefix": "sssec*",
 29 | 		"body": [
 30 | 			"\\subsubsection*{$1}",
 31 | 			"$0",
 32 | 		],
 33 | 	},
 34 | 
 35 | 	"Section": {
 36 | 		"prefix": "sec",
 37 | 		"body": [
 38 | 			"\\section{$1}",
 39 | 			"$0",
 40 | 		],
 41 | 	},
 42 | 
 43 | 	"Subsection": {
 44 | 		"prefix": "ssec",
 45 | 		"body": [
 46 | 			"\\subsection{$1}",
 47 | 			"$0",
 48 | 		],
 49 | 	},
 50 | 
 51 | 	"Subsubsection": {
 52 | 		"prefix": "sssec",
 53 | 		"body": [
 54 | 			"\\subsection{$1}",
 55 | 			"$0",
 56 | 		],
 57 | 	},
 58 | 
 59 | 	"List": {
 60 | 		"prefix": "list",
 61 | 		"body": [
 62 | 			"\\begin{itemize}",
 63 | 				"\t\\item $0",
 64 | 			"\\end{itemize}",
 65 | 		],
 66 | 	},
 67 | 
 68 | 	"Enumerate": {
 69 | 		"prefix": "enum",
 70 | 		"body": [
 71 | 			"\\begin{enumerate}",
 72 | 				"\t\\item $0",
 73 | 			"\\end{enumerate}",
 74 | 		],
 75 | 	},
 76 | 
 77 | 	"Item": {
 78 | 		"prefix": "item",
 79 | 		"body": [
 80 | 			"\\item",
 81 | 		],
 82 | 	},
 83 | 
 84 | 	"Definition": {
 85 | 		"prefix": "def",
 86 | 		"body": [
 87 | 			"\\begin{definition}[$1] \\label{${2}}",
 88 | 				"\t$3",
 89 | 			"\\end{definition}",
 90 | 		],
 91 | 	},
 92 | 
 93 | 	"Question": {
 94 | 		"prefix": "question",
 95 | 		"body": [
 96 | 			"\\begin{question}",
 97 | 				"\t$1",
 98 | 			"\\end{question}",
 99 | 		],
100 | 	},
101 | 
102 | 	"Answer": {
103 | 		"prefix": "answer",
104 | 		"body": [
105 | 			"\\begin{answer}",
106 | 				"\t$0",
107 | 			"\\end{answer}",
108 | 		],
109 | 	},
110 | 
111 | 	"Theorem": {
112 | 		"prefix": "theorem",
113 | 		"body": [
114 | 			"\\begin{theorem}[$1]",
115 | 				"\t$2",
116 | 			"\\end{theorem}",
117 | 		],
118 | 	},
119 | 
120 | 	"Proof": {
121 | 		"prefix": "proof",
122 | 		"body": [
123 | 			"\\begin{proof}",
124 | 				"\t$1",
125 | 			"\\end{proof}",
126 | 		],
127 | 	},
128 | 
129 | 	"Necessity": {
130 | 		"prefix": "necessity",
131 | 		"body": [
132 | 			"\\begin{necessity}"
133 | 				"\t$1"
134 | 			"\\end{necessity}"
135 | 		],
136 | 	},
137 | 	
138 | 	"Sufficiency": {
139 | 		"prefix": "sufficiency",
140 | 		"body": [
141 | 			"\\begin{sufficiency}"
142 | 				"\t$1"
143 | 			"\\end{sufficiency}"
144 | 		],
145 | 	},
146 | 
147 | 	"Used": {
148 | 		"prefix": "used",
149 | 		"body": [
150 | 			"\\begin{used}",
151 | 				"\tИспользуются определения $1",
152 | 			"\\end{used}",
153 | 		],
154 | 	},
155 | 
156 | 	"Inline math": {
157 | 		"prefix": "mk",
158 | 		"body": [
159 | 			"$$1$ $0"
160 | 		],
161 | 	},
162 | 
163 | 	"Signle-line math": {
164 | 		"prefix": "dm",
165 | 		"body": [
166 | 			"\\[",
167 | 			"\t$1".
168 | 			"\\]",
169 | 			"$0".
170 | 		],
171 | 	},
172 | 
173 | 	"Gather": {
174 | 		"prefix": "gat",
175 | 		"body": [
176 | 			"\\begin{gather*}",
177 | 				"\t$0",
178 | 			"\\end{gather*}",
179 | 		],
180 | 	},
181 | 
182 | 	"Align": {
183 | 		"prefix": "ali",
184 | 		"body": [
185 | 			"\\begin{align*}",
186 | 				"\t$0",
187 | 			"\\end{align*}",
188 | 		],
189 | 	},
190 | 
191 | 	"Label": {
192 | 		"prefix": "label",
193 | 		"body": [
194 | 			"\\label{$1}"
195 | 		],
196 | 	},
197 | 	
198 | }


--------------------------------------------------------------------------------
/.vscode/tex.text.code-snippets:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | {
 2 |     "Bold": {
 3 | 		"prefix": "bf",
 4 | 		"body": [
 5 | 			"\\textbf{$1} $0"
 6 | 		],
 7 | 	},
 8 | 
 9 | 	"Italic": {
10 | 		"prefix": "it",
11 | 		"body": [
12 | 			"\\textit{$1} $0"
13 | 		],
14 | 	},
15 | 
16 | 	"Underline": {
17 | 		"prefix": "ul",
18 | 		"body": [
19 | 			"\\underline{$1} $0"
20 | 		],
21 | 	},
22 | 
23 | 	"Ldots": {
24 | 		"prefix": "...",
25 | 		"body": [
26 | 			"\\ldots"
27 | 		],
28 | 	},
29 | 
30 | 	"Quad": {
31 | 		"prefix": "qq",
32 | 		"body": [
33 | 			"\\quad $0"
34 | 		],
35 | 	},
36 | 	
37 | 	"Reference": {
38 | 		"prefix": "ref",
39 | 		"body": [
40 | 			"№\\ref{$1}"
41 | 		],
42 | 	},
43 | 
44 | 	"Space in math mode": {
45 | 		"prefix": "space",
46 | 		"body": [
47 | 			"\\nobreakspace"
48 | 		],
49 | 	},
50 | }


--------------------------------------------------------------------------------
/.vscode/utils.code-snippets:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | {
 2 | 	"New snippet": {
 3 | 		"prefix": "snippet",
 4 | 		"body": [
 5 | 			"\"$1\": {"
 6 | 				"\t\"prefix\": \"$2\",",
 7 | 				"\t\"body\": [",
 8 | 					"\t\t\"$3\"",
 9 | 				"\t],",
10 | 			"},",
11 | 			"$0",
12 | 		],
13 | 	},
14 | 
15 | 	"Symbol snippet": {
16 | 		"prefix": "symsnip",
17 | 		"body": [
18 | 			"\"$1\": {"
19 | 				"\t\"prefix\": \"$2\",",
20 | 				"\t\"body\": [",
21 | 					"\t\t\"\\\\\\\\$1\"",
22 | 				"\t],",
23 | 			"},",
24 | 			"$0",
25 | 		],
26 | 	},
27 | 
28 |     "Wrapper snippet": {
29 | 		"prefix": "wrapsnippet",
30 | 		"body": [
31 | 			"\"$1\": {"
32 | 				"\t\"prefix\": \"$3\",",
33 | 				"\t\"body\": [",
34 | 					"\t\t\"\\\\\\\\begin{$2}\"",
35 | 						"\t\t\t\"\\\$1\""
36 | 					"\t\t\"\\\\\\\\end{$2}\""
37 | 				"\t],",
38 | 			"},",
39 | 			"$0",
40 | 		],
41 | 	},
42 | }


--------------------------------------------------------------------------------
/README.md:
--------------------------------------------------------------------------------
 1 | # Подготовка к РК и экзаменам, ИУ7 2023 год
 2 | 
 3 | Здесь собраны файлы, содержащие подготовку в РК и экзаменам в формате _вопрос-ответ_.
 4 | 
 5 | ## В АРХИВЕ
 6 | 
 7 | Репозиторий архивирован и более не поддерживается. Актуальная версия тут: [https://github.com/zhikh23/iu7-apollo](https://github.com/zhikh23/iu7-apollo).
 8 | 
 9 | ## Как смотреть?
10 | 
11 | ### Для "математических" предметов
12 | 
13 | Ищите `.pdf` файл. Его можно скачать, распечатать или просто смотреть в браузере.
14 | 
15 | ### Для "компьютерных" предметов
16 | 
17 | Ищите `.pdf` файл. Его можно скачать, распечатать или просто смотреть в браузере.
18 | Так же можно смотреть исходный файл `.md` при помощи самого `GitHub`-а.
19 | 
20 | ### На чём это написано?
21 | 
22 | "Математические" предметы - `LaTeX`, компилятор - `texlive`. Ответы на вопросы берутся из [конспектов](https://github.com/zhikh23/iu7-lectures).
23 | 
24 | "Компьютерные" предметы - `Markdown`, компилятор - `puppeteer` (к нему же и вопросы, почему в футере страниц нет номеров).
25 | 
26 | ## Кому писать, если нашли ошибки?
27 | 
28 | Вот они, сверху вниз:
29 | 1. Telegram `@zhikhkirill`
30 | 2. VK `@zhikh.localhost`
31 | 3. Discord `@zhikh`
32 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/analythical_geometry/rc01/analythical_geometry_rc01.pdf:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/analythical_geometry/rc01/analythical_geometry_rc01.pdf


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/analythical_geometry/rc01/analythical_geometry_rc01.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper]{article}
2 | \input{../../common/preamble.tex}
3 | 
4 | \begin{document}
5 |   \title{Подготовка в рубежному контролю}
6 |   \input{./theory.tex} 
7 | \end{document}
8 | 
9 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/analythical_geometry/rc01/theory.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \rc{Аналитическая геометрия. Подготовка к РК№1}
  2 | 
  3 | \section{Теоретические вопросы}
  4 | 
  5 | \subsection{Теоретические вопросы. Базовый уровень}
  6 | 
  7 | \begin{question}
  8 |   Дать определение равенства геометрических векторов.
  9 | \end{question}
 10 | \begin{answer}
 11 |   Два векторы называются равными, если:
 12 |   \begin{enumerate}
 13 |     \item Они коллинеарны и сонаправлены
 14 |     \item Их длины равны
 15 |   \end{enumerate}
 16 | \end{answer}
 17 | 
 18 | \begin{question}
 19 |   Дать определение суммы векторов и произведения вектора на число.
 20 | \end{question}
 21 | \begin{answer}
 22 |   Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется $\vec{c}$, который получается по правилу треугольника:
 23 |   \begin{enumerate}
 24 |     \item Конец вектора $\vec{a}$ совмещают с началом вектора $\vec{b}$
 25 |     \item Тогда вектор, идущий из начала вектора $\vec{a}$ к концу вектора $\vec{b}$ и будет вектором $\vec{c}$.
 26 |   \end{enumerate} 
 27 | 
 28 |   Произведение вектора $\vec{a}$ на число $\lambda$ называется вектор $\vec{c}$, который будет коллинеарен вектору $\vec{a}$, длина которого будет или меньше в $|\lambda|$ раз и будет сонаправлен, если $\lambda > 0$, и противонаправлен, если $\lambda < 0$.
 29 | \end{answer}
 30 | 
 31 | \begin{question}
 32 |   Дать определение коллинеарных и компланарных векторов.
 33 | \end{question}
 34 | \begin{answer}
 35 |   Два вектора называются \textbf{коллинеарными}, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. \\
 36 |   Три вектора называются \textbf{компланарными}, если они лежат в одной плоскости или на прямых, параллельных некоторой плоскости.  
 37 | \end{answer}
 38 | 
 39 | \begin{question}
 40 |   Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.
 41 | \end{question}
 42 | \begin{answer}
 43 |   Система векторов называется \textit{линейно-зависимой}, если существует нетривиальная равная нулевому вектору линейной комбинация этих векторов:
 44 |   \begin{gather*}
 45 |     \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \ldots + \lambda \vec{a_n} = \vec{0} \\
 46 |     \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \ldots + \lambda_n^2 \neq 0
 47 |   \end{gather*}
 48 | 
 49 |   Система векторо называется \textit{линейно-независимой}, если существует только тривиальная равная нулевому вектору линейная комбинация.
 50 |   \[
 51 |     \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \ldots + \lambda \vec{a_n} = \vec{0}
 52 |   \] 
 53 | \end{answer}
 54 | 
 55 | \begin{question}
 56 |   Сформулировать геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.
 57 | \end{question}
 58 | \begin{answer}
 59 |   Два векторa \textit{линейно-зависимы} тогда и только тогда, когда они \textit{коллинеарны}.
 60 | 
 61 |   Три вектора \textit{линейной зависимы} тогда и только тогда, когда они \textit{компланарны}. 
 62 | \end{answer}
 63 | 
 64 | \begin{question}
 65 |   Дать определение базиса и координат вектора.
 66 | \end{question}
 67 | \begin{answer}
 68 |   Базис - упорядоченный набор линейно-независмых векторов. 
 69 | \end{answer}
 70 | 
 71 | \begin{question}
 72 |   Сформулировать теорему о разложении вектора по базису. 
 73 | \end{question}
 74 | \begin{answer}
 75 |   Любой вектор можно разложить по базису и при этом единственным образом.
 76 | \end{answer}
 77 | 
 78 | \begin{question}
 79 |   Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
 80 | \end{question}
 81 | \begin{answer}
 82 |   Ортогональной скалярной проекцией вектора $\vec{a}$ на направление вектора $\vec{b}$ называется величина $np_{\vec{b}}\vec{a} = |a|\cdot \cos \varphi$, где $\varphi$ - угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
 83 | \end{answer}
 84 |  
 85 | \begin{question}
 86 |   Дать определение скалярного произведения векторов.
 87 | \end{question}
 88 | \begin{answer}
 89 |   Скалярным произведением векторов $\vec{a}, \vec{b}$ называется \textit{число}  равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.\[
 90 |   \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \varphi
 91 |   \] 
 92 | \end{answer}
 93 | 
 94 | \begin{question}
 95 |   Сформулировать свойство линейности скалярного произведения.
 96 | \end{question}
 97 | \begin{answer}
 98 |   Дистрибутивность \[
 99 |       (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}
100 |   \]
101 | 
102 |   Ассоциативность \[
103 |     (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) 
104 |   \]
105 | \end{answer}
106 | 
107 | \begin{question}
108 |   Записать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе.
109 | \end{question}
110 | \begin{answer}
111 |   \[
112 |     \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b  
113 |   \] 
114 | \end{answer}
115 | 
116 | \begin{question}
117 |   Записать формулу для вычисления косинуса угла между векторами, заданными в ортонормированном базисе.
118 | \end{question}
119 | \begin{answer}
120 |   \[
121 |  \cos \varphi = \frac{x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b}{\sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2} \cdot \sqrt{x_b^2 + y_b^2 + z_b^2}}
122 |   \] 
123 | \end{answer}
124 | 
125 | \begin{question}
126 |   Дать определение правой и левой тройки векторов.
127 | \end{question}
128 | \begin{answer}
129 |   Тройка векторов называется \textbf{правой}, если кратчайший поворот от вектора $\vec{a}$ к $\vec{b}$ осуществляется \textit{против часовой стрелки} (смотря из конца вектора $\vec{c}$).
130 | 
131 |   Тройка векторов называется \textbf{левой}, если кратчайший поворот от вектора $\vec{a}$ к $\vec{b}$ осуществляется \textit{по часовой стрелки} (смотря из конца вектора $\vec{c}$).
132 | \end{answer}
133 | 
134 | \begin{question}
135 |   Дать определение векторного произведения векторов.
136 | \end{question}
137 | \begin{answer}
138 |   Векторным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$, который удовлетворяет следующему условию:
139 |   \begin{enumerate}
140 |     \item $\vec{c}$ ортогонален векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$);
141 |     \item $|\vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \sin \varphi$
142 |     \item Вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ образуют \textit{правую} тройку векторов.
143 |   \end{enumerate}
144 |   Обозначение: \[
145 |     \vec{a} \times \vec{b} \text{ или } [\vec{a}, \vec{b}]
146 |   \]   
147 | \end{answer}
148 | 
149 | \begin{question}
150 |   Сформулировать свойство коммунитативности (симметричности) скалярного произведения и свойство антикоммутативности (антисимметричности) векторного произведения.
151 | \end{question}
152 | \begin{answer}
153 |   Коммунитативность скалярного произведения векторов: \[
154 |     \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
155 |   \] 
156 | 
157 |   Антикоммунитативность векторного произведения векторов: \[
158 |     \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}  
159 |   \] 
160 | \end{answer}
161 | 
162 | \begin{question}
163 |   Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов.
164 | \end{question}
165 | \begin{answer}
166 |   Дистрибутивность \[
167 |     (\vec{a_1} + \vec{a_2}) \times \vec{b} = \vec{a_1} \times \vec{b} + \vec{a_2} \times  \vec{b} 
168 |   \]  
169 | 
170 |   Ассоциативность \[
171 |     (\lambda \vec{a}) \times \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b})  
172 |   \]  
173 | \end{answer}
174 | 
175 | \begin{question}
176 |   Записать формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе.
177 | \end{question}
178 | \begin{answer}
179 |   \[
180 |   \vec{a} \times \vec{b} = 
181 |   \begin{vmatrix}
182 |     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
183 |     x_a & y_a & z_a \\
184 |     x_b & y_b & z_b 
185 |   \end{vmatrix}
186 |   \] 
187 | \end{answer}
188 | 
189 | \begin{question}
190 |   Дать определение смешанного произведения векторов
191 | \end{question}
192 | \begin{answer}
193 |   Смешанное поизведение векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на третий вектор $\vec{c}$. \[
194 |   \vec{a} \vec{b} \vec{c} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}
195 |   \] 
196 | \end{answer}
197 | 
198 | \begin{question}
199 |   Сформулировать свойство перестановки (кососимметричности) смешанного произведения.
200 | \end{question}
201 | \begin{answer}
202 |   \[
203 |   \vec{a} \vec{b} \vec{c} = \vec{c} \vec{a} \vec{b} = \vec{b} \vec{c} \vec{a} = -\vec{b} \vec{a} \vec{c} = - \vec{c} \vec{b} \vec{a} = - \vec{a} \vec{c} \vec{b}
204 |   \] 
205 | \end{answer}
206 | 
207 | \begin{question}
208 |   Сформулировать свойство линейности смешанного произведения.
209 | \end{question}
210 | \begin{answer}
211 |   Свойство ассоциативности: \[
212 |     (\lambda \vec{a}) \vec{b} \vec{c} = \lambda (\vec{a} \vec{b} \vec{c})
213 |   \] 
214 | 
215 |   Свойство дистрибутивности: \[
216 |       (\vec{a_1} + \vec{a_2}) \vec{b} \vec{c} = \vec{a_1} \vec{b} \vec{c} + \vec{a_2} \vec{b} \vec{c}
217 |   \]
218 | \end{answer}
219 | 
220 | 
221 | \begin{question}
222 |   Записать формулу для вычисления смешанного произведения в правом ортонормированном базисе.
223 | \end{question}
224 | \begin{answer}
225 |   \[
226 |   \vec{a} \vec{b} \vec{c} =
227 |     \begin{vmatrix}
228 |       x_a & y_a & z_a \\
229 |       x_b & y_b & z_b \\
230 |       x_c & y_c & z_c \\
231 |     \end{vmatrix}
232 |   \]
233 | \end{answer}
234 | 
235 | \begin{question}
236 |   Записать общее уравнение плоскости и уравнение «в отрезках». Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.
237 | \end{question}
238 | \begin{answer}
239 |   Общее уравнение плоскости:
240 |   \[
241 |   Ax + By + Cz + D = 0
242 |   \] 
243 |   где $A, B, C$ -- координаты вектора нормали к плоскости, $D$ -- свободный член, а $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$.
244 | 
245 |   Уравнение плоскости в отрезках:
246 |   \[
247 |     \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1
248 |   \] 
249 |   где $a, b, c$ -- отрезки, которые плоскость отсекает от координатного угла.
250 | \end{answer}
251 | 
252 | \begin{question}
253 |   Записать уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
254 | \end{question}
255 | \begin{answer}
256 |   Пусть заданы точки:
257 |   \begin{gather*}
258 |     M_1(x_1, y_1, z_1) \in \alpha \\
259 |     M_2(x_2, y_2, z_2) \in \alpha \\
260 |     M_3(x_3, y_3, z_3) \in \alpha 
261 |   \end{gather*}
262 |   Тогда: \[
263 |     \begin{vmatrix}
264 |       x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
265 |       x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\
266 |       x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\
267 |     \end{vmatrix} = 0
268 | \]
269 | \end{answer}
270 | 
271 | \begin{question}
272 |   Записать условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
273 | \end{question}
274 | \begin{answer}
275 |   Перпендикулярность: \[
276 |     \alpha_1 \perp \alpha_2 \quad \implies \quad
277 |     A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0
278 |   \] 
279 |   
280 |   Параллельность: \[
281 |     \alpha_1 \parallel \alpha_2 \quad \implies \quad
282 |     \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}
283 |   \]
284 | \end{answer}
285 | 
286 | 
287 | \begin{question}
288 |   Записать формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.
289 | \end{question}
290 | \begin{answer}
291 |   \[
292 |     \rho(M_0, \alpha) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} 
293 |   \] 
294 | \end{answer}
295 | 
296 | 
297 | \begin{question}
298 |   Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.
299 | \end{question}
300 | \begin{answer}
301 |   Пусть прямая $l$ проходит через точку $M_0\left(x_0, y_0, z_0 \right)$ и имеет направляющий вектор $\vec{S} = \{m, n, p\}$.
302 | Возьмём на прямой $l$ произвольную точку $M(x, y, z)$.
303 | Тогда прямую можно записать уравнениями:
304 |   \begin{enumerate}
305 |     \item \textit{Каноническое} \\
306 |     \[
307 |       \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}
308 |     \] 
309 |     \item \textit{Параметрическое}
310 |     \[
311 |     \begin{cases}
312 |       x = mt + x_0 \\
313 |       y = nt + y_0 \\
314 |       z = pt + z_0
315 |     \end{cases}  
316 |     \] 
317 |   \end{enumerate}
318 | \end{answer}
319 | 
320 | \begin{question}
321 |   Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.
322 | \end{question}
323 | \begin{answer}
324 |   \[
325 |     \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} = \frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{z - z_0}{z_1 - z_0}
326 |   \] 
327 | \end{answer}
328 | 
329 | \begin{question}
330 |   Записать условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
331 | \end{question}
332 | \begin{answer}
333 |   Если прямая $l_1$: \[
334 |     \frac{x - x_1}{m} = \frac{y - y_1}{n} = \frac{z - z_1}{p} 
335 |   \] 
336 |   и прямая $l_2$ : \[
337 |     \frac{x - x_2}{m} = \frac{y - y_2}{n} = \frac{z - z_2}{p} 
338 |   \] 
339 |   скрещеиваются, то: \[
340 |     \begin{vmatrix}
341 |       x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\
342 |       m_1 & n_1 & p_1 \\
343 |       m_2 & n_2 & p_2
344 |     \end{vmatrix} = 0
345 |   \]
346 | \end{answer}
347 | 
348 | \begin{question}
349 |   Записать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.
350 | \end{question}
351 | \begin{answer}
352 |   \[
353 |   \rho(M, l) = 
354 |   \frac{\sqrt{
355 |   \begin{vmatrix}
356 |     y- y_0 & z - z_0 \\
357 |     n & p
358 |   \end{vmatrix}^2 +
359 |   \begin{vmatrix}
360 |     x - x_0 & z - z_0 \\
361 |     m & p
362 |   \end{vmatrix}^2 +
363 |   \begin{vmatrix}
364 |     x - x_0 & y - y_0 \\
365 |     m & n
366 |   \end{vmatrix}^2
367 |   }}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2}} 
368 |   \] 
369 | \end{answer}
370 | 
371 | 
372 | \begin{question}
373 |   Записать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми. 
374 | \end{question}
375 | \begin{answer}
376 |   \begin{gather*}
377 |     \rho(l_2, l_1) = 
378 |     \frac{
379 |       \left|
380 |       \begin{vmatrix}
381 |         x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & x_2 - x_1 \\
382 |         m_1 & n_1 & p_1 \\
383 |         m_2 & n_2 & p_2
384 |       \end{vmatrix}
385 |     \right| 
386 |     }{
387 |       \sqrt{
388 |         \begin{vmatrix}
389 |           n_1 & p_1 \\
390 |           n_2 & p_2
391 |         \end{vmatrix}^2 +
392 |         \begin{vmatrix}
393 |           m_1 & p_1 \\
394 |           m_2 & p_2
395 |         \end{vmatrix}^2 +  
396 |         \begin{vmatrix}
397 |           m_1 & n_1 \\
398 |           m_2 & n_2
399 |         \end{vmatrix}^2 
400 |       }
401 |     }
402 |   \end{gather*}
403 | \end{answer}
404 | 
405 | \subsection{Теоретические вопросы. Повышенная сложность}
406 | 
407 | \begin{question}
408 |   Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов.
409 | \end{question}
410 | \begin{answer}
411 |   \begin{center}
412 |   \textit{Три вектора линейной зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны}. \\
413 |   \end{center}
414 |   Пусть $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$ - линейная зависимость.
415 |   Тогда по определению существуют:
416 |   \[
417 |     \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \lambda_3 \vec{a_3} = \vec{0}
418 |   \] 
419 |   Тогда:
420 |   \begin{gather*}
421 |     \lambda_1 \neq 0 \\
422 |     \vec{a_1} = -\frac{\lambda_2}{\lambda_1} \vec{a_2} - \frac{\lambda_3}{\lambda_1} \vec{a_3}
423 |   \end{gather*}
424 | 
425 |   Обозначим $\beta_i = -\frac{\lambda_i}{\lambda}$, где $i = 2, 3$. \\
426 |   \[
427 |     \vec{a_1} = \beta_2 \vec{a_2} + \beta_3 \vec{a_3}
428 |   \]
429 |   Совместим начала $\vec{a_2}$ и $\vec{a_3}$ и построим $\beta_2 \vec{a_2}$ и $\beta_3 \vec{a_3}$, где $\beta_2, \beta_3 > 0$. \\
430 |   Т.к. $\vec{a_3}$ лежит на диагонали параллелограмма (из правила сложения векторов параллелограммом), получается, что вектора $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ лежат в одной плоскости, а значит, компланарны.
431 | \end{answer}
432 | 
433 | \begin{question}
434 |   Доказать теорему о разложении вектора по базису
435 | \end{question}
436 | \begin{answer}
437 |   \begin{center}
438 |     \textit{Любой вектор можно разложить по базису и при этом единственным образом.} 
439 |   \end{center}  
440 |   Пусть в пространстве $V_3$ зафиксирован базис $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$. Возьмём вектор $\vec{x}$. Тогда система векторов $\vec{x}, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ - линейно зависима, если вектор $\vec{x}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$: \[
441 |   \vec{x} = \lambda_1 \vec{e_1} + \lambda_2 \vec{e_2} + \lambda_3 + \vec{e_3} \tag{1}
442 | \]
443 |   Предположим, что разложение вектора $\vec{x}$ - не единственное. \[
444 |   \vec{x} = \rho \vec{e_1} + \rho \vec{e_2} + \rho \vec{e_3} \tag{2}
445 | \]
446 |   Вычтем из (1) уранвение (2). Тогда: \[
447 |     \vec{0} = \left( \lambda_1 - \rho_1 \right) \vec{e_1} + \left( \lambda_2 - \rho_2 \right) \vec{e_2} + \left( \lambda_3 - \rho_3 \right) \vec{e_3} \tag{3}
448 | \]
449 | Поскольку базисные вектора $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ - линейно независимы, то выражение (3) представляет собой тривиальную линейную комбинацию векторов $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$, равную нулю. Тогда получаем:
450 |   \begin{gather*}
451 |     \begin{matrix}  
452 |       \lambda_1 - \delta_1 = 0 \\
453 |       \lambda_2 - \delta_2 = 0 \\
454 |       \lambda_3 - \delta_3 = 0 \\
455 |     \end{matrix}
456 |     \quad \implies \quad
457 |     \begin{matrix}
458 |       \lambda_1 = \rho_1 \\
459 |       \lambda_2 = \rho_2 \\
460 |       \lambda_3 = \rho_3 \\
461 |     \end{matrix}
462 |   \end{gather*}
463 |   Коэффициенты равны, что и требовалось доказать.
464 | \end{answer}
465 | 
466 | \begin{question}
467 |   Доказать свойство линейности скалярного произведения.
468 | \end{question}
469 | \begin{answer}
470 |   1. Свойство дистрибутивности:
471 |   \begin{align*}
472 |     (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} &= |\vec{c}| \left(np_{\vec{c}}(\vec{a} + \vec{b}) \right) \\
473 |                                       &= |\vec{c}| (np_{\vec{c}} \vec{a} + np_{\vec{c}} \vec{a}) \\
474 |                                       &= |\vec{c}| np_{\vec{c}} \vec{a} + |\vec{c}| np_{\vec{c}} \vec{b} \\
475 |                                       &= \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}
476 |   \end{align*}
477 | 
478 |   2. Свойство ассоциативности:
479 |   \begin{align*}
480 |     (\lambda \vec{a}) \vec{b} &= |\vec{b}| \cdot np_{\vec{b}} \lambda \vec{a} \\
481 |     &= |\vec{b}| \cdot \lambda \cdot np_{\vec{b}} \vec{a} \\
482 |     &= \lambda (|\vec{b} \cdot np_{\vec{b}} \vec{a}|)  \\
483 |     &= \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})
484 |   \end{align*}
485 | \end{answer}
486 | 
487 | \begin{question}
488 |   Вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе
489 | \end{question}
490 | \begin{answer}
491 |   Пусть даны:
492 |   \begin{gather*}
493 |     \vec{a} = x_a \vec{i} + y_a \vec{j} + z_a \vec{k} \\
494 |     \vec{b} = x_b \vec{i} + y_b \vec{j} + z_b \vec{k}
495 |   \end{gather*}
496 |   Тогда:
497 |   \begin{align*}
498 |     \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left( x_a \vec{i} + y_a \vec{j} + z_a \vec{k} \right) \cdot \left( x_b \vec{i} + y_b \vec{j} + z_b \vec{k} \right) \\
499 |                           &= x_a x_b (\vec{i} \cdot \vec{i}) + x_a y_b (\vec{i} \cdot \vec{j}) + z_a z_b (\vec{i} \cdot \vec{k}) \\
500 |                           &+ y_a x_b (\vec{j} \cdot \vec{i}) + y_a y_b (\vec{j} \cdot \vec{j}) + y_a z_b (\vec{j} \cdot \vec{k}) \\
501 |                           &+ z_a x_b (\vec{k} \cdot \vec{i}) + z_a y_b (\vec{k} \cdot \vec{j}) + z_a z_b (\vec{k} \cdot \vec{k}) \\
502 |                           &= x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b
503 |   \end{align*}
504 | \end{answer}
505 | 
506 | \begin{question}
507 |   Вывести формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе.
508 | \end{question}
509 | \begin{answer}
510 |   \begin{align*}
511 |     \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left( x_a \vec{i} + y_a \vec{j} + z_a \vec{k} \right) \cdot \left( x_b \vec{i} + y_b \vec{j} + z_b \vec{k} \right) \\
512 |                           &= x_a x_b (\vec{i} \times \vec{i}) + x_a y_b (\vec{i} \times \vec{j}) + z_a z_b (\vec{i} \times \vec{k}) \\
513 |                           &+ y_a x_b (\vec{j} \times \vec{i}) + y_a y_b (\vec{j} \times \vec{j}) + y_a z_b (\vec{j} \times \vec{k}) \\
514 |                           &+ z_a x_b (\vec{k} \times \vec{i}) + z_a y_b (\vec{k} \times \vec{j}) + z_a z_b (\vec{k} \times \vec{k}) \\
515 |                           &= x_a x_b \vec{k} - x_a z_b \vec{j} - y_a x_b \vec{k} + y_a z_b \vec{i} + z_a x_b \vec{j} - z_a y_b \vec{i} \\
516 |                           &= \vec{i}(y_a z_b - z_a y_b) - \vec{j}(x_a z_b - z_a x_b) + \vec{k}(x_a y_b - x_b y_a) \\
517 |                           &= \begin{vmatrix} 
518 |                             \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
519 |                             x_a & y_a & z_a \\
520 |                             x_b & y_b & z_b
521 |                           \end{vmatrix}  \\
522 |   \end{align*}
523 | \end{answer}
524 | 
525 | \begin{question}
526 |   Доказать свойство линейности смешанного произведения.
527 | \end{question}
528 | \begin{answer}
529 |   1. Дистрибутивность:
530 |   \begin{align*}
531 |     (\vec{a_1} + \vec{a_2}) \vec{b} \vec{c} &= (\vec{a_1} + \vec{a_2}) \times \vec{b} \cdot \vec{c} \\
532 |     &= (\vec{a_1} \times \vec{b} + \vec{a_2} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \\
533 |     &= (\vec{a_1} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + (\vec{a_2} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \\
534 |     &= \vec{a_1} \vec{b} \vec{c} + \vec{a_2} \vec{b} \vec{c} \\
535 |   \end{align*}
536 | 
537 |   2. Ассоциативность:
538 |   \begin{align*}
539 |     (\lambda \vec{a}) \vec{b} \vec{c} &= (\lambda \vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \\
540 |     &= \lambda (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \\
541 |     &= \lambda \vec{a} \vec{b} \vec{c} \\
542 |   \end{align*}
543 | \end{answer} 
544 | 
545 | \begin{question}
546 |   Вывести формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.
547 | \end{question}
548 | \begin{answer}
549 |   Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ заданы координатами:
550 | \begin{gather*}
551 |   \vec{a} = \{x_a, y_a, x_a\} \\
552 |   \vec{b} = \{x_b, y_b,. z_b\} \\
553 |   \vec{c} = \{x_c, y_c, z_c\} 
554 | \end{gather*}
555 | 
556 | Найдём смешанное произведение:
557 | \begin{gather*}
558 |   \vec{a} \vec{b} \vec{c} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left\{
559 |     \begin{vmatrix}
560 |       y_a & z_a \\
561 |       y_b & z_b 
562 |     \end{vmatrix},
563 |     - \begin{vmatrix}
564 |       x_a & z_a \\
565 |       x_b & z_b 
566 |     \end{vmatrix},
567 |     \begin{vmatrix}
568 |       x_a & y_a \\
569 |       x_b & y_b
570 |     \end{vmatrix}
571 |   \right\} \cdot \vec{c} = \\
572 |     = \begin{vmatrix}
573 |       y_a & z_a \\
574 |       y_b & z_b 
575 |     \end{vmatrix} \cdot x_c
576 |     - \begin{vmatrix}
577 |       x_a & z_a \\
578 |       x_b & z_b 
579 |     \end{vmatrix} \cdot y_c
580 |     + \begin{vmatrix}
581 |       x_a & y_a \\
582 |       x_b & y_b
583 |     \end{vmatrix} \cdot z_c = \\
584 |     =
585 |     \begin{vmatrix}
586 |       x_a & y_a & z_a \\
587 |       x_b & y_b & z_b \\
588 |       x_c & y_c & z_c 
589 |     \end{vmatrix}
590 | \end{gather*}
591 | 
592 | А значит: \[
593 | \vec{a} \vec{b} \vec{c} =
594 | \begin{vmatrix}
595 |   x_a & y_a & z_c \\
596 |   x_b & y_b & z_b \\
597 |   x_c & y_c & z_c \\
598 | \end{vmatrix}
599 | \]
600 | \end{answer}
601 | 
602 | \begin{question}
603 |   Вывести формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.
604 | \end{question}
605 | \begin{answer}
606 |   Пусть плоскость $\alpha$ задана общим уравнением: \[
607 |     \alpha: Ax + By + Cx + D = 0, \text{ где } \vec{n} = \{A, B, C\} 
608 | \] 
609 | 
610 | Пусть задана некоторая точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$. 
611 | Возьмём некоторую точку $M(x, y, z) \in \alpha$. 
612 | Составим вектор $\overrightarrow{M_0M} = \{x_0 - x, y_0 - y, z_0 - z\}$. 
613 | Тогда модуль проекции $\overrightarrow{MM_0}$ на вектор на направление вектора нормали и есть искомое расстояние. 
614 | Найдем: 
615 | \begin{gather*}
616 |   \overrightarrow{M_0M} \cdot \vec{n} = |\overrightarrow{M_0M}|\underbrace
617 |   {|\vec{n}| \cdot \cos \varphi}_
618 |   {np_{\vec{n}}\overrightarrow{M_0M}}
619 | \end{gather*}
620 | \begin{align*}
621 |   \vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} &= A(x_0 - x) + B(y_0 - y) + C(z_0 - z) \\
622 |                                  &= Ax_0 + By_0 + Cz_0 + (-Ax - By - Cz) \\
623 |                                  &= Ax_0 + By_0 + Cz_0  + D
624 | \end{align*}
625 | \begin{gather*}
626 |   |\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \\
627 |   \boxed{\rho(M_0, \alpha) = |np_{\vec{n}\overrightarrow{M_0M}}| = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} } }
628 | \end{gather*}   
629 | \end{answer}
630 | 
631 | \begin{question}
632 |   Вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.
633 | \end{question}
634 | \begin{answer}
635 |   Пусть прямая $l$ задана каноническим уравнением:  \[
636 | l: \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}
637 | \] \[
638 | \vec{S} = \{m, n, p\} 
639 | \] 
640 | Задана точка $M_1(x_1, y_1, z_1) \not \in l$.
641 | Составим вектор:  \[
642 | \overrightarrow{M_0M_1} = \{x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0\} 
643 | \] 
644 | Построим на векторах $\vec{S}$ и $\overrightarrow{M_0M}$ параллелограмм.
645 | Тогда высота этого параллелограмма из точки $M_1$ и есть искомое расстояние от точки $M_1$ до прямой $l$.
646 | \begin{gather*}
647 |   S_{par} = h \cdot |\vec{S}| \\
648 |   h = \frac{S_{par}}{|\vec{S}|} \\
649 |   S_{par} = |\overrightarrow{M_0M_1} \times \vec{S}| 
650 | \end{gather*}
651 | Тогда:
652 | \begin{gather*}
653 |   \overrightarrow{M_0M_1} \times \vec{S} = 
654 |   \begin{vmatrix}
655 |     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
656 |     x_1 - x_0 & y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\
657 |     m & n & p
658 |   \end{vmatrix} = \\
659 |   = \begin{vmatrix}
660 |     y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\
661 |     n & p
662 |   \end{vmatrix} \cdot \vec{i} -
663 |   \begin{vmatrix}
664 |     x_1 - x_0 & z_1 - z_0 \\
665 |     m & p
666 |   \end{vmatrix} \cdot \vec{j} + 
667 |   \begin{vmatrix}
668 |     x_1 - x_0 & y_1 - y_0 \\
669 |     m & n
670 |   \end{vmatrix} \cdot \vec{k} \implies \\
671 |   \\
672 |   \overrightarrow{M_0M_1 \times \vec{S}} = \\
673 |   \left\{
674 |   \begin{vmatrix}
675 |     y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\
676 |     n & p
677 |   \end{vmatrix},
678 |    - \begin{vmatrix}
679 |     x_1 - x_0 & z_1 - z_0 \\
680 |     m & p
681 |   \end{vmatrix}, 
682 |   \begin{vmatrix}
683 |     x_1 - x_0 & y_1 - y_0 \\
684 |     m & n
685 |   \end{vmatrix}
686 |   \right\} \implies \\
687 |   \\
688 | |\overrightarrow{M_0M_1} \times \vec{S}| = \\
689 |   \sqrt{
690 |   \begin{vmatrix}
691 |     y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\
692 |     n & p
693 |   \end{vmatrix}^2 +
694 |   \begin{vmatrix}
695 |     x_1 - x_0 & z_1 - z_0 \\
696 |     m & p
697 |   \end{vmatrix}^2 + 
698 |   \begin{vmatrix}
699 |     x_1 - x_0 & y_1 - y_0 \\
700 |     m & n
701 |   \end{vmatrix}^2
702 |   } \implies \\
703 |   \rho(M_1, l) = 
704 |   \frac{|\overrightarrow{M_1M_0} \times \vec{S}|}{|\vec{S}|} = \\
705 |   \boxed{\frac{\sqrt{
706 |   \begin{vmatrix}
707 |     y_1 - y_0 & z_1 - z_0 \\
708 |     n & p
709 |   \end{vmatrix}^2 +
710 |   \begin{vmatrix}
711 |     x_1 - x_0 & z_1 - z_0 \\
712 |     m & p
713 |   \end{vmatrix}^2 +
714 |   \begin{vmatrix}
715 |     x_1 - x_0 & y_1 - y_0 \\
716 |     m & n
717 |   \end{vmatrix}^2
718 |   }}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2} }} 
719 | \end{gather*}
720 | \end{answer}
721 | 
722 | \begin{question}
723 |   Вывести формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.
724 | \end{question}
725 | \begin{answer}
726 |   Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:
727 | \begin{gather*}
728 |   l_1: \frac{x - x_1}{m_1} = \frac{y - y_1}{n_1} = \frac{z - z_1}{p_1} \implies M_1(x_1, y_1, z_1), \quad \vec{S_1} = \{m_1, n_1, p_1\} \\
729 |   l_2: \frac{x - x_2}{m_2} = \frac{y - y_2}{n_2} = \frac{z - z_2}{p_2} \implies M_2(x_2, y_2, z_2), \quad \vec{S_2} = \{m_2, n_2, p_2\}
730 | \end{gather*}
731 | 
732 | Составим вектор $\overrightarrow{M_1M_2}$: \[
733 | \overrightarrow{M_1M_2} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\} 
734 | \] 
735 | 
736 | Вектора $\vec{S}$ и $\overrightarrow{M_1M_2}$ не компланарны. 
737 | Поэтому на этих векторах можно построить параллелепипед.
738 | Тогда расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$ будет равно высоте этого параллелепипеда.
739 | 
740 | \begin{gather*}
741 |   V = |\overrightarrow{M_1M_2} \cdot \vec{s_1} \cdot \vec{s_2}| \\
742 |   V= h \cdot S
743 | \end{gather*}
744 | \begin{gather*}
745 |   \overrightarrow{M_1M_2} \cdot \vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 
746 |   \begin{vmatrix}
747 |     x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\
748 |     m_1 & n_1 & p_1 \\
749 |     m_2 & n_2 & p_2
750 |   \end{vmatrix}
751 | \end{gather*}
752 | \begin{align*}
753 |   S = |\vec{s_1} \times \vec{s_2}| &= 
754 |   \begin{vmatrix}
755 |     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
756 |     m_1 & n_1 & p_1 \\
757 |     m_2 & n_2 & p_2 \\
758 |   \end{vmatrix} \\
759 |   &=
760 |   \vec{i} \cdot 
761 |   \begin{vmatrix}
762 |     n_1 & p_1 \\
763 |     n_2 & p_2
764 |   \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot 
765 |   \begin{vmatrix}
766 |     m_1 & p_1 \\
767 |     m_2 & p_2
768 |   \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot 
769 |   \begin{vmatrix}
770 |     m_1 & n_1 \\
771 |     m_2 & n_2
772 |   \end{vmatrix} \\
773 | \end{align*}
774 | \begin{gather*}
775 |   \implies \boxed{\rho(l_2, l_1) = 
776 |   \frac{
777 |     \left|
778 |     \begin{vmatrix}
779 |       x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & x_2 - x_1 \\
780 |       m_1 & n_1 & p_1 \\
781 |       m_2 & n_2 & p_2
782 |     \end{vmatrix}
783 |     \right| 
784 |   }{
785 |   \sqrt{
786 |     \begin{vmatrix}
787 |       n_1 & p_1 \\
788 |       n_2 & p_2
789 |     \end{vmatrix}^2 +
790 |     \begin{vmatrix}
791 |       m_1 & p_1 \\
792 |       m_2 & p_2
793 |     \end{vmatrix}^2 +  
794 |     \begin{vmatrix}
795 |       m_1 & n_1 \\
796 |       m_2 & n_2
797 |     \end{vmatrix}^2 
798 |   } 
799 |   }}
800 | \end{gather*}
801 | \end{answer}
802 | 
803 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/analythical_geometry/rc02/analythical_geometry_rc02.pdf:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/analythical_geometry/rc02/analythical_geometry_rc02.pdf


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/analythical_geometry/rc02/analythical_geometry_rc02.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper]{article}
2 | \input{../../common/preamble.tex}
3 | 
4 | \begin{document}
5 |   \title{Подготовка в рубежному контролю №2}
6 |   \input{./theory.tex} 
7 | \end{document}
8 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/analythical_geometry/rc02/theory.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \rc{Аналитическая геометрия. Подготовка к РК№2}
  2 | 
  3 | \section{Теоретические вопросы}
  4 | 
  5 | \subsection{Теоретические вопросы. Базовый уровень}
  6 | 
  7 | \begin{question}
  8 |   Дать определение единичной, нулевой, верхней треугольной и нижней треугольной матрицы.
  9 | \end{question}
 10 | \begin{answer}
 11 |   \textit{Нулевой матрицей} называется матрица, все элементы которой равные нулю. \[
 12 |   \theta = \begin{pmatrix}
 13 |     0 & 0 & 0 \\
 14 |     0 & 0 & 0
 15 |   \end{pmatrix}
 16 | \]
 17 |   \textit{Верхне-треугольной матрицей} называется квадратная матрица, у которой элементы под главной диагональю равны нулю. \[
 18 |   C = \begin{pmatrix}
 19 |     1 & 2 & 3 \\
 20 |     0 & 5 & 6 \\
 21 |     0 & 0 & 9
 22 |   \end{pmatrix}
 23 |   \] 
 24 |   \textit{Нижне-треугольной матрицей} называется квадратная матрица, у которой над главной диагональю равны нулю. \[
 25 |   D = \begin{pmatrix}
 26 |     1 & 0 & 0 \\
 27 |     4 & 5 & 0 \\
 28 |     7 & 8 & 9
 29 |   \end{pmatrix}
 30 | \]
 31 | \end{answer} 
 32 | 
 33 | \begin{question}
 34 |   Дать определение равенства матриц.
 35 | \end{question} 
 36 | \begin{answer}
 37 |   Две матрицы называются \textit{равными}, если они имеют одинаковую размерность, и их соответствующие элементы равны. 
 38 | \end{answer} 
 39 | 
 40 | \begin{question}
 41 |   Дать определение суммы матриц и произведения матрицы на число.
 42 | \end{question} 
 43 | \begin{answer}
 44 |   \textit{Суммой матриц} $A_{m \times n}$ и $B_{m \times n}$ называется матрица $C_{m \times n}$, элементы которой являются суммой соответствующих элементов матриц $A$ и $B$. 
 45 | 
 46 |   \textit{Произведением матрицы} $A_{m \times n}$ на число $k = const$ называется матрица $C_{m \times n}$, элементы которой равны произведению соответствующего элемента матрицы на данное число $c_{ij} = k a_{ij}$.
 47 | \end{answer} 
 48 | 
 49 | \begin{question}
 50 |   Дать определение операции транспонирования матриц.
 51 | \end{question} 
 52 | \begin{answer}
 53 |   \textit{Транспонированной матрицей} $A_{mn}$ называется матрица размерностью $n \times  m$, элементы которой:
 54 |   \begin{gather*}
 55 |     a^\tau_{ij} = a_{ji} \\
 56 |     A_{n \times m}^\tau \text{ -- транспонированная матрица } A_{m \times n}
 57 |   \end{gather*}
 58 | \end{answer} 
 59 | 
 60 | \begin{question}
 61 |   Дать определение операции умножения матриц.
 62 | \end{question} 
 63 | \begin{answer}
 64 |     \textit{Произведением матриц} $A$ и $B$ назвается матрица $C$, элементы которой определяются как: \[
 65 |     c_{ij} = \sum_{l=1}^{k} a_{il} \cdot b_{lj}
 66 |   \] 
 67 | \end{answer} 
 68 | 
 69 | \begin{question}
 70 |   Дать определение обратной матрицы.
 71 | \end{question} 
 72 | \begin{answer}
 73 |   \textit{Обратная матрица} квадратной матрицы $A_{n \times n}$ называется матрица $A^{-1}_{n \times n}$ такая, что $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = E$.
 74 | \end{answer} 
 75 | 
 76 | \begin{question}
 77 |   Дать определение минора. Какие миноры называются окаймляющими для данного минора матрицы?
 78 | \end{question} 
 79 | \begin{answer}
 80 |   \textit{Минором k-ого порядка} матрицы $A$ называется определитель, составленный из пересечения $k$ строк и $k$ столбцов с сохранением их порядка.
 81 | \end{answer} 
 82 | 
 83 | \begin{question}
 84 |   Дать определение базисного минора и ранга матрицы.
 85 | \end{question} 
 86 | \begin{answer}
 87 |   \textit{Базисным минором} называется матрицы $A$ называется минор, не равный нулю, порядок которого равен рангу матрицы $A$.
 88 | 
 89 |   \textit{Рангом матрицы} называется число $A$, равное наибольшему порядку, отличному от нуля, минора матрицы $A$.
 90 | \end{answer} 
 91 | 
 92 | \begin{question}
 93 |   Дать определение однородной и неоднородной СЛАУ.
 94 | \end{question} 
 95 | \begin{answer}
 96 |   СЛАУ, у которой все свободные члены равны нулю, называется \textit{однородной}.
 97 | 
 98 |   СЛАУ, у которой хотя бы один свободный член не равен нулю, называется \textit{неоднородной}.
 99 | \end{answer} 
100 | 
101 | \begin{question}
102 |   Дать определение фундаментальной системы решений однородной СЛАУ.
103 | \end{question} 
104 | \begin{answer}
105 |   Максимальный набор линейно-независимых решений однородной СЛАУ называется \textit{фундаментальной системой решений (ФСР)}.
106 | \end{answer} 
107 | 
108 | \begin{question}
109 |   Записать формулы для нахождения обратной матрицы к произведению двух обратимых матриц и для транспонированной матрицы.
110 | \end{question} 
111 | \begin{answer}
112 |   Нахождение обратной к произведению двух обратных: \[
113 |     \left( A \times B \right)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}
114 |   \] 
115 |   Нахождение обратной матрицы к транпонированной: \[
116 |     \left( A^\tau \right)^{-1} = \left( A^{-1} \right)^\tau 
117 |   \]
118 | \end{answer}
119 | 
120 | \begin{question}
121 |   Дать определение присоединённой матрицы и записать формулу для вычисления обратной матрицы.
122 | \end{question} 
123 | \begin{answer}
124 |   Матрица $A^*$, являющаяся транспонированной матрицей алгебраических дополнений матрицы A называется  \textit{присоединённой матрицей}.
125 |   \begin{gather*}
126 |     A^{-1} = \frac{1}{det A} \cdot 
127 |     \begin{pmatrix}
128 |       A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\
129 |       A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\
130 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
131 |       A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{nn} \\
132 |     \end{pmatrix}
133 |   \end{gather*}
134 | \end{answer} 
135 | 
136 | \begin{question}
137 |   Перечислить элементарные преобразования матриц.
138 | \end{question} 
139 | \begin{answer}.
140 |   \begin{itemize}
141 |     \item Перемена мест двух строк или двух столбцов в данной матрице;
142 |     \item Умножение строки (или столбца) на произвольное число, отличное от нуля;
143 |     \item Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.
144 |   \end{itemize}
145 | \end{answer} 
146 | 
147 | \begin{question}
148 |   Записать формулы Крамера для решения системы линейных уравнений с обратимой матрицей.
149 | \end{question} 
150 | \begin{answer}
151 |   Для СЛАУ:
152 |   \begin{align*}
153 |     \begin{cases}  
154 |       a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n} &= b_1 \\
155 |       a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n} &= b_2 \\
156 |       \ldots
157 |       a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn} &= b_n \\
158 |     \end{cases}
159 |   \end{align*}
160 |   Значение $x_i$ ($i=1..n$) вычисляется по формуле:
161 |   \begin{gather*}
162 |     x_i = \frac{1}{\Delta} 
163 |     \begin{vmatrix}
164 |       a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\ 
165 |       a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\ 
166 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
167 |       a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\ 
168 |       a_{n,1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_{n} & a_{n,i+1} & \ldots & a_{n,n}
169 |     \end{vmatrix}
170 |   \end{gather*}
171 | \end{answer} 
172 | 
173 | \begin{question}
174 |   Перечислить различные формы записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Какая СЛАУ называется совместной?
175 | \end{question}
176 | \begin{answer}
177 |   Формы записи СЛАУ:
178 |   \begin{enumerate}
179 |     \item Координатная
180 |     \item Матричная
181 |     \item Векторная
182 |   \end{enumerate}
183 |   СЛАУ, имеющая решение, назыается \textit{совместной}.
184 | \end{answer} 
185 | 
186 | \begin{question}
187 |   Привести пример, показывающий, что умножение матриц некоммутативно.
188 | \end{question} 
189 | \begin{answer}
190 |    \textit{От автора: просто возьмите две случайные матрицы и перемножьте их в одну и в другю сторону. Достаточно 2x2}. 
191 | \end{answer} 
192 | 
193 | \begin{question}
194 |   Сформулировать свойства ассоциативности умножения матриц и дистрибутивности умножения относительно сложения.
195 | \end{question} 
196 | \begin{answer}
197 |   \begin{itemize}.
198 |     \item Ассоциативность \[
199 |       (A \times B) \times C = A \times (B \times C)
200 |     \]
201 |     \item Дистрибутивность произведения матриц относительно сложения: \[
202 |       (A + B) \times C = A \times C + B \times C
203 |     \] 
204 |   \end{itemize} 
205 | \end{answer} 
206 | 
207 | \begin{question}
208 |   Сформулировать критерий Кронекера — Капелли совместности СЛАУ.
209 | \end{question} 
210 | \begin{answer}
211 |   Для того, чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы $A$ был равен рангу матрицы A|B.
212 | \end{answer} 
213 | 
214 | \begin{question}
215 |   Сформулировать теорему о базисном миноре.
216 | \end{question} 
217 | \begin{answer}
218 |   Строки (столбцы) матрицы $A$, входящие в базисный минор -- базисные. \\
219 |   Базисные строки (столбцы), входящие в базисный минор -- линейно-независимы. \\
220 |   Любую строку (столбец), не входящую в базисный минор, можно представить в виде линейной комбинации базисных строк (столбцов).
221 | \end{answer} 
222 | 
223 | \begin{question}
224 |   Сформулировать теорему о свойствах решений однородной СЛАУ.
225 | \end{question} 
226 | \begin{answer}
227 |   Пусть $X^{(1)}, X^{(2)}, \ldots X^{(n)}$ -- решения однородной СЛАУ $A \times X = \theta$. Тогда их линейной комбинацией так же является решением однородной СЛАУ.
228 | \end{answer} 
229 | 
230 | \begin{question}
231 |   Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.
232 | \end{question} 
233 | \begin{answer}
234 |   \textit{О структуре общего решения неоднородной СЛАУ}. \\ 
235 |   Пусть $X^{(0)}$ -- некоторое частное решение неоднородной СЛАУ  $A \times X = B$.
236 |   Пусть  $X^{(1)} \ldots$ -- некоторая ФСР, соответствующая однородной СЛАУ $A \times X=\theta$.
237 |   Тогда общее решение неоднородной СЛАУ $A \times X = B$ будет иметь вид :  \[
238 |     X_o = X^{(0)} + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + \ldots + c_n X^{(n)}, \quad c_i = const
239 |   \] 
240 | \end{answer} 
241 | 
242 | \begin{question}
243 |   Сформулировать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ.
244 | \end{question} 
245 | \begin{answer}
246 |   Пусть $X^{(0)}$ -- некоторое частное решение неоднородной СЛАУ  $A \times X = B$.
247 |   Пусть  $X^{(1)} \ldots$ -- некоторая ФСР, соответствующая однородной СЛАУ $A \times X=\theta$.
248 |   Тогда общее решение неоднородной СЛАУ $A \times X = B$ будет иметь вид :  \[
249 |     X_o = X^{(0)} + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + \ldots + c_n X^{(n)}, \quad c_i = const
250 |   \] 
251 | \end{answer} 
252 | 
253 | \begin{question}
254 |   Сформулировать теорему об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях матрицы.
255 | \end{question} 
256 | \begin{answer}
257 |   Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразований строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк (столбцов) ступенчатой матрицы, полученной путём элементарных преобразований.
258 | \end{answer} 
259 | 
260 | \begin{question}
261 |   Сформулировать критерий существования обратной матрицы.
262 | \end{question} 
263 | \begin{answer}
264 |   Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную необходимо и достаточно, чтобы её определитель не равнялся нулю. 
265 | \end{answer} 
266 | 
267 | \subsection{Теоретические вопросы. Повышенная сложность}
268 | 
269 | \begin{question}
270 |   Доказать теорему о связи решений неоднородной и соответствующей однородной СЛАУ и теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.
271 | \end{question} 
272 | \begin{answer}
273 |   \textit{О связи решений неоднородной и соответствующей однородной СЛАУ}. \\
274 |   Пусть $X^{(0)}$ -- некоторое решение неоднордной СЛАУ $A \times X = B$. Произвольный стобец $X$ является решением СЛАУ $A \times X = B$ тогда и только тогда, когда его можно представить в виде:  \[
275 |     X = X^{(0)} + Y, \quad \text{ где } A \times Y = \theta
276 |   \] 
277 |   Доказательство:
278 | 
279 |   1) Необходимость. \\
280 |   Пусть $X$ -- решение СЛАУ $A \times X = B$. Обозначим $Y = X - X^{(0)}$
281 |   \begin{gather*}
282 |     A \times Y = A \times (X - X^{(0)}) = A \times X - A \times X^{(0)} = B - B = \theta
283 |   \end{gather*}
284 |   Значит $Y$ является решением соответствующей однородной СЛАУ  $A \times Y = \theta$.
285 |   
286 |   2) Достаточность. \\
287 |   Пусть $X$ можно представить в виде:  \[
288 |     X = X^{(0)} + Y, \quad \text{ где } A \times Y = 0
289 |   \]
290 |   Тогда:
291 |   \begin{gather*}
292 |   A \times X = A \times (X^{(0)} + Y) = A \times X^{(0) + A \times Y} = B + \theta = B
293 |   \end{gather*}
294 |   Отсюда делаем вывод, что $X$ является решением неоднородной СЛАУ.
295 | \end{answer} 
296 | \nobreakspace
297 | \begin{answer}
298 |     \textit{О структуре общего решения неоднородной СЛАУ\\ 
299 |   Пусть $X^{(0)}$ -- некоторое частное решение неоднородной СЛАУ  $A \times X = B$.
300 |   Пусть  $X^{(1)} \ldots$ -- некоторая ФСР, соответствующая однородной СЛАУ $A \times X=\theta$.
301 |   Тогда общее решение неоднородной СЛАУ $A \times X = B$ будет иметь вид :  \[
302 |     X_o = X^{(0)} + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + \ldots + c_n X^{(n)}, \quad c_i = const
303 | \]}
304 | 
305 | Доказательство аналогично выше.
306 | \end{answer} 
307 | 
308 | \begin{question}
309 |   Доказать теорему о базисном миноре.
310 | \end{question} 
311 | \begin{answer}
312 |   \textit{ Строки (столбцы) матрицы $A$, входящие в базисный минор -- базисы. \\
313 |   Базисные строки (столбцы), входящие в базисный минор -- линейно-независимы. \\
314 | Любую строку (столбец), не входящую в базисный минор, можно представить в виде линейной комбинации базисных строк (столбцов).}
315 | 
316 |   Доказательство: 
317 | 
318 |   Пусть ранг матрицы A равен R. \\
319 |   Предположим, что строки матрицы $A$ - линейно-зависимы. 
320 |   Тогда одну из ни можно выразить как линейную комбинацию других строк. 
321 |   Тогда в базисном миноре 1-ая строка -- линейная комбинация других строк. 
322 |   По свойству определителей этот минор равен нулю, что противоречит определению базисного минора. \\
323 |   \\
324 |   Пусть базисный минор состоит из первых $r$ строк и $r$ столбцов матрицы $A$. 
325 |   Добавим к этому минору произвольную i-ную строку и j-ный столбец -- получим окаймляющий минор. 
326 |   Если $j \le r$, то в миноре $M'$ 2 одинаковых столбца и минор равен нулю.
327 |   Если $j > r$, то в минор  $M'$ тоже равен нулю, т.к. ранг матрицы A равен r, наибольний порядок, отличный от нуля, минора равен $j$. \\
328 |   \\
329 |   Определитель можно вычислить путём разложения по каой-нибудь строке или столбцу, поэтому найдем определитель $M'$ путём разложения по j-ному столбцу:
330 |    \begin{gather*}
331 |      a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \ldots + a_{ij} A_{ij} = 0 \\
332 |      j = r + 1 \implies \\
333 |      a_{1r+1} A_{1r+1} + a_{2r+1} A_{2r+1} + \ldots + a_{ir+1} A_{ir+1} = 0 \\
334 |   \end{gather*}
335 |   $A_{r+1,r+1}$ -- базисный минор, т.к. $M \neq 0$, то $A_{r+1,r+1} \neq 0$.
336 |   \begin{gather*}
337 |     a_{r+1,r+1} =
338 |     - \frac{A_{1,r+1}}{A_{r+1,r+1}} \cdot  a_{1,r+1}
339 |     - \frac{A_{2,r+1}}{A_{r+1,r+1}} \cdot  a_{2,r+1}
340 |     \ldots
341 |     - \frac{A_{r,r+1}}{A_{r+1,r+1}} \cdot  a_{r,r+1}
342 |   \end{gather*}
343 |   Обозначим $\lambda_i = -\frac{A_{i,r+1}}{A_{r+1}{r+1}}$
344 |   \begin{gather*}
345 |     a_{r+1,r+1} = \lambda_i a_{1,r+1} + \lambda_2 a_{2,r+1} + \ldots + \lambda_r \cdot a_{r,r+1} \\
346 |   \end{gather*}
347 |   Элементы $i$-ой строки можно представить в виде линейной комбинации строк.
348 | \end{answer} 
349 | 
350 | \begin{question}
351 |   Доказать свойства ассоциативности и дистрибутивности умножения матриц.
352 | \end{question} 
353 | \begin{answer}
354 |   \begin{itemize}
355 |     \item Ассоциативность: \[
356 |       (A \times B) \times C = A \times (B \times C) 
357 |     \] 
358 |     Доказательство:
359 |     \begin{align*}
360 |       \left( A \times  B \right) C &= \\
361 |       &= \sum_{r=1}^{k} [(A \times B)]_{ir} \times [C]_{rj} = \\
362 |       &= \sum_{r=1}^{n} \left( \sum_{s=1}^{k} [A]_{is} \cdot [B]_{sn} \right) \cdot [C]_{rj} = \\
363 |       &= \sum_{n=1}^{n} \sum_{k=1}^{k} [A]_{is} \times [B]_{sn} \times [C]_{rj} = \\
364 |       &= \sum_{s=1}^{k} [A]_{is} \times [\left( B \times C \right) ] =\\
365 |       &= A \times (B \times C)
366 |     \end{align*}
367 | 
368 |   \item Дистрибутивность произведения матриц относительно сложения: \[
369 |       (A + B) \times C = A \times C + B \times C
370 |     \] 
371 |     Доказательство:
372 |     \begin{align*}
373 |       \left(A_{m \times k} + B_{m \times k}\right) \times C_{k \times n} &= \\
374 |       &= \sum_{r+1}^{k} [\left( A + B \right) ]_{ir} \times [C]_{ir} \\
375 |       &= \sum_{r=1}^{k} \left( [A]_{ir} + [B]_{ir} \right) \times [C]_{rj} \\
376 |       &= \sum_{r=1}^{k} \left( [A]_{ir} [C]_{rj} + [B]_{ir} \times [C]_{rj} \right) \\
377 |       &= \sum_{r=1}^{k} [A]_{ir} [C]_{ir} + \sum_{r=1}^{k} [B]_{ir} [C]_{ir} \\
378 |       &= A \times C + B \times C
379 |     \end{align*}
380 |   \end{itemize}
381 | \end{answer} 
382 | 
383 | \begin{question}
384 |   Доказать критерий существования обратной матрицы.
385 | \end{question} 
386 | \begin{answer}
387 |   \textit{Для того, чтобы квадратная матрица $A$ имела обратную необходимо и достаточно, чтобы её определитель не равнялся нулю.}
388 | 
389 |   Доказательство:
390 | 
391 |   1) Пусть матрица A имеет обратную, тогда по определению: \[
392 |     A \times A^{-1} = E
393 |   \]
394 |   В таком случае:
395 |   \begin{gather*}
396 |     det(A \times A^{-1}) = det(E) = 1 \\
397 |     det(A \times A^{-1}) = det(A) \cdot det(A^{-1}) = 1 \implies det A \neq 0
398 |   \end{gather*}
399 | 
400 |   2) Пусть $det A \neq 0$. Если матрицн разложить по строке или столбцу:
401 |   \begin{align*}
402 |     &\sum_{j+1}^{n} a_{ij} A_{ij} = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \ldots + a_{in} A_{in} = det A \\
403 |     &\sum_{j+1}^{n} a_{ij} A_{nj} = a_{i1} A_{n1} + a_{i2} A_{n2} + \ldots + a_{in} A_{nn} = 0 \quad i \neq k
404 |   \end{align*}
405 | 
406 |   Пусть существует матрица $B$: \[
407 |     b_{ij} = \frac{A_{ij}}{det A}
408 |   \] 
409 |   Пусть $C = A \cdot B$:
410 |   \begin{gather*}
411 |     c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{in} = \sum_{n=1}^{n} a_{ik} \frac{A_{jn}}{det A} \\
412 |     = \frac{1}{det A} \cdot \sum_{n=1}^{n} a_{ik} A_{jn} = \begin{cases}
413 |       \frac{1}{det A} \cdot det A = 1, \quad \text{ если } i=j \\
414 |       \frac{1}{det A} \cdot 0 = 0, \quad \text{ если } i \neq j
415 |     \end{cases} \implies C = E \\
416 |     c_{ij} = 1, \text{ если } i=j \\
417 |     c_{ij} = 0, \text{ если } i \neq j
418 |   \end{gather*}
419 | 
420 |   Получим: 
421 |   \begin{gather*}
422 |     \begin{rcases}
423 |       A \times B = E \\
424 |       B \times A = E
425 |     \end{rcases} \implies \text{ по определению } B = A^{-1}
426 |   \end{gather*}
427 | \end{answer} 
428 | 
429 | \begin{question}
430 |   Доказать критерий Кронекера — Капелли совместности СЛАУ.
431 | \end{question} 
432 | \begin{answer}
433 |   \textit{Для того, чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы $A$ был равен рангу матрицы A|B.}
434 |   1) Необходимость. \\
435 |   Пусть: СЛАУ совместна, $Rg(a) = r$\\
436 |   Базисный минор  $r \times r$:
437 |   \begin{gather*}
438 |     M =
439 |     \begin{vmatrix} 
440 |       a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1r} \\ 
441 |       a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2r} \\ 
442 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
443 |       a_{r1} & a_{r2} & \ldots & a_{rr} \\ 
444 |     \end{vmatrix} 
445 |   \end{gather*}
446 |   Если использовать векторную форму записи, то если СЛАУ имеет решение $x_1, x_2, \ldots x_{n}$, то можно записать её в виде: \[
447 |       a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_r x_r + a_{r+1} x_{r+1} + \ldots + a_{n} x_{n} = b \tag{1}
448 |   \]
449 |   Согласно теореме о базисном миноре, любой столбец матрицы, который не входит в базисный минор, можно представить в виде линейной комбинации базисных столбцов:
450 |   \begin{gather*}
451 |     \begin{cases}
452 |       a_{r+1} = \lambda_{1,r+1} a_1 + \lambda_{2,r+1} a_2 + \ldots + \lambda_{r,r+1} a_r \\
453 |       a_{r+2} = \lambda_{2,r+2} a_1 + \lambda_{2,r+2} a_2 + \ldots + \lambda_{r,r+2} a_r \\
454 |       \ldots \\
455 |       a_{n} = \lambda_{2,n} a_1 + \lambda_{2,n} a_2 + \ldots + \lambda_{r,n} a_r
456 |     \end{cases} \tag{2} 
457 |   \end{gather*}
458 |   Подставим (2) в (1):
459 |   \begin{align*}
460 |     a_1 x_1 + &a_2 x_2 + \ldots + a_r x_r + \\
461 |             &+ (\lambda_{1,r+1} a_1 + \lambda_{2,r+1} a_2 \ldots + \lambda_{r,r+1} a_r) x_{r+1} + \\
462 |             &+ \ldots + \\
463 |             &+ (\lambda_{1,n} a_1 + \lambda_{2,n} a_2 \ldots + \lambda_{r,n} a_r) x_{n} = b
464 |   \end{align*}
465 |   \begin{align*}
466 |     (x_1 + &\lambda_{1,r+1} x_{r+1} + \ldots + \lambda_{1n} x_{n}) a_1 + \\
467 |           &+ (x_2 + \lambda_{2,r+1} x_{r+1} + \ldots + \lambda_{2n}) a_2 + \\
468 |           &+ \ldots + \\
469 |           &+ (x_r + \lambda_{r,r+1} x_{r+1} + \ldots + \lambda_{rn}) a_r = b \\
470 |           &\text{где } b = const, i=1 \ldots r
471 |   \end{align*}
472 |   В результате столбец свободных членов можно представить в виде линейной комбинации столбцов базисного минора. Отсюда следует, что базисный минор матрицы $A$ и будет базисным минором расширенной матрицы $A|B$.
473 |   
474 |   Т.к $M \neq 0$ и любой окаймляющий минор $M' = 0$, то мы получаем: \[
475 |   Rg(A) = Rg(A|B)
476 |   \] 
477 | 
478 |   2) Достаточность. \\
479 |   Пусть: $Rg(A) = Rg(A|B) = r$, базисный минор $M$ будет содержать первые $r$ строк и первые  $r$ столбцов базисного минора $M$.
480 |   
481 |   Тогда столбец  $B$ можно представить в виде линейной комбинации столбцов базисного минора $M$:
482 |   \begin{align*}
483 |     &b = x_1^0 a_1 + x_2^0 a_2 + \ldots + x_r^0 a_r + 0 \cdot a_{r+1} + \ldots + 0 \cdot a_n \\
484 |     &x_1^0, x_2^0, \ldots x_r^0 \text{ -- коеффициенты линейной комбинации} \\
485 |     &x_i^0 = const, i=1..r
486 |   \end{align*}
487 |   Поэтому $X = \left( x_1^0, x_2^0, \ldots x_r^0 \right) $ является решением $AX=B$, т.е. СЛАУ совместимая.
488 | \end{answer} 
489 | 
490 | \begin{question}
491 |   Доказать теорему о существовании ФСР однородной СЛАУ.
492 | \end{question}
493 | \begin{answer}
494 |   \textit{Пусть имеется однородная СЛАУ $A \times X = \theta$ с $n$ неизвестных и $rg(A) = r$. \\
495 |   Тогда существует набор  $k = n - r$ решений однородной СЛАУ, которые образуют ФСР:  \[
496 |     X^{(1)}, X^{(2)}, \ldots X^{(k)}
497 | \]}
498 | 
499 |   Доказательство:
500 | 
501 |   Пусть базисный минор $M$ матрицы A состоит из первых $r$ строк и первых $r$ столбцов матрицы $A$.
502 |   Тогда любая строка $A$, от $r+1$ до $m$ будет линейной комбинацией строк базисного минора.
503 | 
504 |   Если  $x_1, x_2, \ldots x_{n}$ удовлетворяют уравнениям СЛАУ соответветствующим строкам базисного минора то это решение будет удовлетворять и остальным уравнениям СЛАУ.
505 |   Поэтому исключим из системы уравнения после $r$-ой строки:
506 |   \begin{gather*}
507 |     \begin{cases}
508 |       a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1r} x_r + \ldots + a_{1n} x_{n} = 0 \\
509 |       a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2r} x_r + \ldots + a_{2n} x_{n} = 0 \\
510 |       \ldots \\
511 |       a_{r1} x_1 + a_{r2} x_2 + \ldots + a_{rr} x_r + \ldots + a_{rn} x_{n} = 0 \\
512 |     \end{cases} \tag{3} 
513 |   \end{gather*}
514 | 
515 |   В системе (3) базисными переменными являются переменные $x_1, x_2, \ldots x_r$; свободными являются переменные $x_{r+1}, x_{r+2}, \ldots x_n$.
516 | 
517 |   Оставим в левой части слагаемые с базисными переменными, а в правой -- со свободными:
518 |   \begin{gather*}
519 |     \begin{cases}
520 |       a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots a_{1r} x_r = a_{1,r+1} x_{r+1} + \ldots + a_{1n} x_{n} \\ 
521 |       a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots a_{2r} x_r = a_{2,r+1} x_{r+1} + \ldots + a_{2n} x_{n} \\ 
522 |       \ldots \\
523 |       a_{r1} x_1 + a_{r2} x_2 + \ldots a_{rr} x_r = a_{r,r+1} x_{r+1} + \ldots + a_{rn} x_{n} \\ 
524 |     \end{cases} \tag{4} 
525 |   \end{gather*}
526 | 
527 |   Если свободным переменным придавать различные значения, то определитель левой части (4) равен базисному минору $A (\neq 0)$, то (4) будет иметь единственное решение.
528 | 
529 |   Возьмём $k$ наборов свободных переменных:
530 |    \begin{gather*}
531 |     \begin{matrix}
532 |       X^{(1)}_{r+1} & X^{(2)}_{r+1} & \ldots & X^{(k)}_{r+1} \\
533 |       X^{(1)}_{r+2} & X^{(2)}_{r+2} & \ldots & X^{(k)}_{r+2} \\
534 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
535 |       X^{(1)}_n = 0 & X^{(2)}_n = 0 & \ldots & X^{(k)}_n = 0 & 
536 |     \end{matrix}
537 |   \end{gather*}
538 | 
539 |   В результате, при каждом наборе свободных переменных мы получаем $k$ решений однородной СЛАУ:
540 |    \begin{gather*}
541 |      X^{(i)} = 
542 |      \begin{pmatrix}
543 |        X^{(i)}_1 \\
544 |        X^{(i)}_2 \\
545 |        \ldots \\
546 |        X^{(i)}_r \\
547 |        \ldots \\
548 |        X^{(i)}_n
549 |      \end{pmatrix}
550 |   \end{gather*}
551 | 
552 |   Пусть линейная комбинация решений равна 0:
553 |   \begin{gather*}
554 |     \lambda_1
555 |    \begin{pmatrix}
556 |        X^{(1)}_1 \\
557 |        X^{(1)}_2 \\
558 |        \ldots \\
559 |        X^{(1)}_r \\
560 |        \ldots \\
561 |        X^{(1)}_n
562 |      \end{pmatrix}
563 |      + \lambda_2
564 |    \begin{pmatrix}
565 |        X^{(2)}_1 \\
566 |        X^{(2)}_2 \\
567 |        \ldots \\
568 |        X^{(2)}_r \\
569 |        \ldots \\
570 |        X^{(2)}_n
571 |     \end{pmatrix}
572 |     + \ldots + \lambda_k
573 |    \begin{pmatrix}
574 |        X^{(k)}_1 \\
575 |        X^{(k)}_2 \\
576 |        \ldots \\
577 |        X^{(k)}_r \\
578 |        \ldots \\
579 |        X^{(k)}_n
580 |     \end{pmatrix}
581 |   = 
582 |   \begin{pmatrix}
583 |     0 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ \ldots \\ 0
584 |   \end{pmatrix} = \theta
585 |   \end{gather*}
586 |   
587 |   \begin{align*}
588 |     r+1: \quad &1 \cdot\lambda_1 + 0 \cdot \lambda_2 + \ldots + 0 \cdot \lambda_k = 0 \implies \lambda_1 = 0 \\
589 |     r+2: \quad &0 \cdot\lambda_1 + 1 \cdot \lambda_2 + \ldots + 0 \cdot \lambda_k = 0 \implies \lambda_2 = 0 \\
590 |           &\ldots \\
591 |      r: \quad &1 \lambda_1 + 0 \cdot \lambda_2 + \ldots + 1 \cdot \lambda_k = 0 \implies \lambda_k = 0
592 |   \end{align*}
593 |   
594 |   Все коеффициенты равны нулю. Мы получили тривиальную равную нуля линейную комбинация решений однородной СЛАУ.
595 | \end{answer} 
596 | 
597 | \begin{question}
598 |   Вывести формулы Крамера для решения системы линейных уравнений с обратимой матрицей.
599 | \end{question} 
600 | \begin{answer}
601 |   Запишем СЛАУ в матричном виде: 
602 | \begin{gather*}
603 |   A \times X = B \qquad A_{n \times n} \\
604 |   A = \left( 
605 |   \begin{matrix}
606 |     a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
607 |     a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
608 |     \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
609 |     a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
610 |   \end{matrix}
611 |   \right) 
612 | \end{gather*}
613 | 
614 | Пусть матрица не вырожденная. Тогда её обратная матрица будет иметь вид: 
615 | \begin{gather*}
616 |   A^{-1} = \frac{1}{det A} \left( 
617 |     \begin{matrix}
618 |     A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\
619 |     A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\
620 |     \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
621 |     A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{nn}
622 |     \end{matrix}
623 |   \right)^{\tau} = \left( 
624 |   \begin{matrix}
625 |     \frac{A_{11}}{det A} & \frac{A_{12}}{det A} & \ldots & \frac{A_{1n}}{det A} \\
626 |     \frac{A_{21}}{det A} & \frac{A_{22}}{det A} & \ldots & \frac{A_{2n}}{det A} \\
627 |     \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
628 |     \frac{A_{n1}}{det A} & \frac{A_{n2}}{det A} & \ldots & \frac{A_{nn}}{det A}
629 |   \end{matrix}
630 |   \right)^{\tau} \\
631 |   \\
632 |   X = \left( 
633 |   \begin{matrix}
634 |     \frac{A_{11}}{det A} & \frac{A_{12}}{det A} & \ldots & \frac{A_{1n}}{det A} \\
635 |     \frac{A_{21}}{det A} & \frac{A_{22}}{det A} & \ldots & \frac{A_{2n}}{det A} \\
636 |     \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
637 |     \frac{A_{n1}}{det A} & \frac{A_{n2}}{det A} & \ldots & \frac{A_{nn}}{det A}
638 |   \end{matrix}\right)^{\tau} \cdot \left( 
639 |   \begin{matrix}
640 |     b_1 \\
641 |     b_2 \\
642 |     \ldots \\
643 |     b_{n}
644 |   \end{matrix}
645 | \right) \\
646 |   \\
647 |   x_i = 
648 |   \frac{A_{i1}}{det A} b_1 +
649 |   \frac{A_{i2}}{det A} b_2 +
650 |   \ldots +
651 |   \frac{A_{in}}{det A} b_n = \\
652 |   = \frac{A_{i1}b_1 + A_{i_2}b_2 + \ldots + A_{in}b_n}{det A}
653 | \end{gather*}
654 | 
655 | Заметим, что числитель -- это ничто иное, как определитель матрицы. Запишем:
656 | \begin{gather*}
657 |   x_i = \frac{1}{det A} 
658 |     \begin{vmatrix}
659 |       a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\ 
660 |       a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\ 
661 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
662 |       a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\ 
663 |       a_{n,1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_{n} & a_{n,i+1} & \ldots & a_{n,n}
664 |     \end{vmatrix}
665 | \end{gather*}
666 | \end{answer} 
667 | 
668 | \begin{question}
669 |   Доказать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ.
670 | \end{question} 
671 | \begin{answer}
672 |   \textit{Пусть $X^{(1)}, X^{(2)}, \ldots X^{(k)}$ -- ФСР некоторой СЛАУ $A \times X = \theta$. Тогда общее решение однородной СЛАУ будет иметь вид: \[
673 |     X = c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + \ldots + c_k X^{(k)}, \quad c_i = const
674 | \] }
675 | 
676 |   Доказательство:
677 | 
678 |   Пусть дана однородная СЛАУ:
679 |   \begin{align*}
680 |     \begin{cases}
681 |       a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_{n} = 0 \\
682 |       a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_{n} = 0 \\
683 |       \ldots \\
684 |       a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_{n} = 0
685 |     \end{cases} \tag{1}
686 |   \end{align*}
687 |   Пусть $X = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_{n} \end{matrix} \right) $ -- решение СЛАУ, и матрица A имеет ранг $rg A = r$. 
688 |   Тогда если $X$ является решением, то он ялвяется решением первых $r$ уравнений, соответствующих базисным строкам матрицы $A$.
689 |   Пусть базисный минор стоит из первых $r$ строк и первых $r$ столбцов данной матрицы, тогда если $X$ -- решение уравнений с нулевого по $r$, то он является решением уравнений с  $r+1$ по $m$, которые являются линейной комбинацией первых  $k$ уравнений, поэтому уравнения с  $r+1$ по $m$ можно исключить.
690 |   Т.к. базисный минор включает первые $r$ столбцов матрицы  $A$:
691 |   \begin{gather*}
692 |     M_r =
693 |     \begin{pmatrix}
694 |       a_{11} x_1 & a_{12} x_2 & \ldots & a_{1r} x_r \\
695 |       a_{21} x_1 & a_{22} x_2 & \ldots & a_{2r} x_r \\
696 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
697 |       a_{r1} x_1 & a_{r2} x_2 & \ldots & a_{rr} x_r \\
698 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
699 |       a_{m1} x_1 & a_{m2} x_2 & \ldots & a_{mr} x_r \\
700 |     \end{pmatrix}
701 |   \end{gather*}
702 |   то соответствующие этим столбцам переменные являются базисными (с $x_1$ по $x_{r}$), а остальные переменные (c $x_{r+1}$ по $ x_n$ ) -- свободными.
703 | 
704 |   После исключения первых $r$ строк, получаем:
705 |   \begin{gather*}
706 |     \begin{cases}
707 |       a_{r1} x_1 + a_{r2} x_2 + \ldots + a_{rn} x_{n} = 0 \\
708 |       a_{r+1,1} x_1 + a_{r+1,2} x_2 + \ldots + a_{r+1,n} x_{n} = 0 \\
709 |       \ldots \\
710 |       a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mr} x_{r} + \ldots + a_{mn} x_{n} = 0
711 |     \end{cases} \tag{2}
712 |   \end{gather*}
713 | 
714 |   Преобразуем уравнения так, что в левой части остались базисные переменные, а в правой -- свободные:
715 |   \begin{gather*}
716 |     \begin{cases}
717 |       a_{11} x_1 + a_{12} + x_2 + \ldots + a_{1r} x_{r} = a_{1r+1} x_{r+1} + \ldots + a_{1n} x_{n} = 0 \\
718 |       a_{21} x_1 + a_{22} + x_2 + \ldots + a_{2r} x_{r} = a_{2r+1} x_{r+1} + \ldots + a_{2n} x_{n} = 0 \\
719 |     \ldots \\
720 |       a_{m1} x_1 + a_{m2} + x_2 + \ldots + a_{mr} x_{r} = a_{mr+1} x_{r+1} + \ldots + a_{mn} x_{n} = 0 \tag{3}
721 |     \end{cases}
722 |   \end{gather*}
723 |   Задавая различные значения свободных переменных, мы получаем, что система (3) будет иметь единственное решение, т.к. главный определитель данной системы будет равен угловому минору, не равному нулю.
724 |   Решая эту систему получаем решение:
725 |   \begin{gather*}
726 |     \begin{cases}
727 |       x_1 = x_{r+1} \lambda_{1,r+1} + x_{r+2} \lambda_{1,r+2} + \ldots + x_{n} \lambda_{1, n} \\
728 |       x_2 = x_{r+1} \lambda_{2,r+1} + x_{r+2} \lambda_{2,r+2} + \ldots + x_{n} \lambda_{2, n} \\
729 |       \ldots \\
730 |       x_r = x_{r+1} \lambda_{r,r+1} + x_{r+2} \lambda_{r,r+2} + \ldots + x_{n} \lambda_{r, n} \tag{4}
731 |     \end{cases}
732 |   \end{gather*}
733 |   Т.к. $X^{(1)}, X^{(2)}, \ldots X^{(k)}$ образуют ФСР, то они удовлетворяют системе (4):
734 |   \begin{gather*}
735 |     \begin{cases}
736 |       X_1^{(i)} = X_{r+1}^{(i)} \lambda_{1,r+1} + X_{r+2}^{(i)} \lambda_{1,r+2} + \ldots + X_{n}^{(i)} \lambda_{1, n} \\
737 |       X_2^{(i)} = X_{r+1}^{(i)} \lambda_{2,r+1} + X_{r+2}^{(i)} \lambda_{2,r+2} + \ldots + X_{n}^{(i)} \lambda_{2, n} \\
738 |       \ldots \\
739 |       X_r^{(i)} = X_{r+1}^{(i)} \lambda_{n,r+1} + X_{r+2}^{(i)} \lambda_{n,r+2} + \ldots + X_{n}^{(i)} \lambda_{n, n} \tag{5}
740 |     \end{cases} \quad 
741 |     X^{(i)} = 
742 |     \begin{pmatrix}
743 |       x_1^{(i)} \\ x_2^{(i)} \\ \ldots \\ x_m^{(i)}
744 |     \end{pmatrix}
745 |   \end{gather*}
746 | 
747 |   Составим матрицу $B$ из столбцов $X^{(i)}$ :
748 |   \begin{align*}
749 |     B =
750 |     \begin{pmatrix}
751 |       x_1 & x_1^{(1)} & x_1^{(2)} & \ldots & x_1^{(n)} \\
752 |       x_2 & x_2^{(1)} & x_2^{(2)} & \ldots & x_2^{(n)} \\
753 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
754 |       x_r & x_r^{(1)} & x_r^{(2)} & \ldots & x_r^{(n)} \\
755 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
756 |       x_n & x_n^{(1)} & x_n^{(2)} & \ldots & x_n^{(n)} \\
757 |     \end{pmatrix} \\
758 |     \begin{matrix}
759 |       X & X^{(1)} & X^{(2)} & \ldots & X^{(n)}
760 |     \end{matrix}
761 |   \end{align*} 
762 | 
763 |   Вычтем из элементов первой строки соответствующие элементы строк с $r+1$ по $m$ с соответствующим коеффициентом  $\lambda_{1,r+1}, \lambda_{1,r+2}, \ldots \lambda_{1n}$:
764 |   \begin{gather*}
765 |     \begin{cases}
766 |       x_1^{(1)} - \lambda_{1,r+1} x_{r+1}^{(1)} - \lambda_{1,r+2} x_{r+2}^{(2)} - \ldots - \lambda_{1,n} x_{n}^{(1)} = 0 \\
767 |       x_1^{(2)} - \lambda_{1,r+1} x_{r+1}^{(2)} - \lambda_{1,r+2} x_{r+2}^{(2)} - \ldots - \lambda_{1,n} x_{n}^{(2)} = 0 \\
768 |       \ldots \\
769 |       x_1^{(k)} - \lambda_{1,r+1} x_{r+1}^{(k)} - \lambda_{1,r+2} x_{r+2}^{(k)} - \ldots - \lambda_{1,n} x_{n}^{(k)} = 0 \\
770 |       x_1 - \lambda_{1,r+1} x_{r+1} - \lambda_{1,r+2} x_{r+2} - \ldots - \lambda_{1,n} x_{n} = 0
771 |     \end{cases}
772 |   \end{gather*}
773 | 
774 |   Аналогично вычитая из строк до r строки $r+1$ до $n$ с коеффициентами  $\lambda$.
775 |   В результате получаем, что в преобразованной матрице $B$ первые  $r$ строк будут нулевые:
776 |   
777 |   \begin{gather*}
778 |     B =
779 |     \begin{pmatrix}
780 |       0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
781 |       0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
782 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
783 |       0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
784 |       x_{r+1} & x_{r+1}^{(1)} & x_{r+1}^{(2)} & \ldots & x_{r+1}^{(n)} \\
785 |       \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
786 |       x_n & x_n^{(1)} & x_n^{(2)} & \ldots & x_n^{(n)} \\
787 |     \end{pmatrix}
788 |   \end{gather*} 
789 | 
790 |   Поскольку элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, получаем, что ранг матрицы $B$ будет равен $k = n - r$.
791 |   Так как по условию столбцы $X^{(1)}, X^{(2)}, \ldots X^{(k)}$ образуют ФСР, они являются линейно-независимыми. Поэтому первый столбец можно представить в виде линейной комбинации столбцов.
792 | 
793 | \end{answer}
794 | 
795 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/common/preamble.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \usepackage[utf8]{inputenc}
  2 | \usepackage[russian]{babel}
  3 | \usepackage{cancel}
  4 | \usepackage{graphicx}
  5 | 
  6 | % IGNORE USELESS WARNINGS ===========================================
  7 | \usepackage{silence}
  8 | \WarningFilter{mdframed}{You got a bad break}
  9 | 
 10 | % HEADER AND FOOTER =================================================
 11 | \def\@header{}
 12 | \newcommand{\rc}[1]{
 13 |   \def\@header{#1}
 14 |   \begin{center}
 15 |     \section*{#1}
 16 |   \end{center}
 17 | }
 18 | 
 19 | \usepackage{fancyhdr}
 20 | \pagestyle{fancy}
 21 | \setlength{\headheight}{22.54279pt}
 22 | 
 23 | \fancyhead[R]{\@header}
 24 | \fancyfoot[L]{\thepage}
 25 | \fancyfoot[C]{\leftmark}
 26 | 
 27 | \makeatother
 28 | 
 29 | % THEOREMS ==========================================================
 30 | \usepackage{amsmath, amsfonts, mathtools, amsthm, amssymb}
 31 | \usepackage{thmtools}
 32 | \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
 33 | 
 34 | \declaretheoremstyle[
 35 |     headfont=\bfseries\sffamily\color{ForestGreen!70!black}, 
 36 |     bodyfont=\normalfont,
 37 |     mdframed={
 38 |         linewidth=2pt,
 39 |         rightline=false, topline=false, bottomline=false,
 40 |         linecolor=ForestGreen, 
 41 |     }
 42 | ]{thmgreenbox}
 43 | 
 44 | \declaretheoremstyle[
 45 |     headfont=\bfseries\sffamily\color{RawSienna!70!black}, 
 46 |     bodyfont=\normalfont,
 47 |     mdframed={
 48 |         linewidth=2pt,
 49 |         rightline=false, topline=false, bottomline=false,
 50 |         linecolor=RawSienna, 
 51 |     }
 52 | ]{thmredbox}
 53 | 
 54 | \declaretheoremstyle[
 55 |     headfont=\bfseries\sffamily\color{NavyBlue!70!black}, 
 56 |     bodyfont=\normalfont,
 57 |     mdframed={
 58 |         linewidth=2pt,
 59 |         rightline=false, topline=false, bottomline=false,
 60 |         linecolor=NavyBlue, 
 61 |     }
 62 | ]{thmbluebox}
 63 | 
 64 | \declaretheoremstyle[
 65 |     headfont=\bfseries\sffamily\color{NavyBlue!70!black}, 
 66 |     bodyfont=\normalfont,
 67 |     mdframed={
 68 |         linewidth=2pt,
 69 |         rightline=false, topline=false, bottomline=false,
 70 |         linecolor=NavyBlue, 
 71 |     },
 72 |     qed=\qedsymbol
 73 | ]{thmproofbox}
 74 | 
 75 | \theoremstyle{plain}
 76 | 
 77 | \declaretheorem[style=thmgreenbox, name=Определение]{definition}
 78 | \declaretheorem[style=thmredbox, name=Вопрос]{question}
 79 | 
 80 | \declaretheorem[style=thmgreenbox, name=Ссылки, numbered=no]{_used}
 81 | \newenvironment{used}{\vspace{-15pt}\begin{_used}}{\end{_used}}
 82 | 
 83 | \declaretheorem[style=thmbluebox, name=Теорема, numbered=no]{_theorem}
 84 | \newenvironment{theorem}{\vspace{-15pt}\begin{_theorem}}{\end{_theorem}}
 85 | 
 86 | \declaretheorem[style=thmproofbox, name=Доказательство, numbered=no]{replacementproof}
 87 | \renewenvironment{proof}{\vspace{-15pt}\begin{replacementproof}}{\end{replacementproof}}
 88 | 
 89 | \declaretheorem[style=thmproofbox, name=Необходимость, numbered=no]{_necessity}
 90 | \newenvironment{necessity}{\vspace{-15pt}\begin{_necessity}}{\end{_necessity}}
 91 | 
 92 | 
 93 | \declaretheorem[style=thmproofbox, name=Достаточность, numbered=no]{_sufficiency}
 94 | \newenvironment{sufficiency}{\vspace{-15pt}\begin{_sufficiency}}{\end{_sufficiency}}
 95 | 
 96 | 
 97 | \declaretheorem[style=thmbluebox, name=Ответ, numbered=no]{_answer}
 98 | \newenvironment{answer}{\vspace{-15pt}\begin{_answer}}{\end{_answer}}
 99 | 
100 | % MATH SYMBOLS ======================================================
101 | \newcommand\N{\mathbb{N}}
102 | \newcommand\R{\mathbb{R}}
103 | \newcommand\Z{\mathbb{Z}}
104 | \renewcommand\O{\emptyset}
105 | \newcommand\Q{\mathbb{Q}}
106 | 
107 | \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
108 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/exam/definitions.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \section{Определения}
  2 | 
  3 | 
  4 | \begin{definition}[Множество натуральных чисел]
  5 |     $\N$ -- множество натуральных чисел.
  6 |     Состоит из чисел, возникающих при счёте. 
  7 | \end{definition}
  8 | 
  9 | 
 10 | \begin{definition}[Множество целых чисел]
 11 |     $\Z$ -- множество целых чисел.
 12 |     Состоит из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным.
 13 | \end{definition}
 14 | 
 15 | 
 16 | \begin{definition}[Множество рациональных чисел]
 17 |     $\Q$ -- множество рациональных чисел. 
 18 |     Состоит из чисел, представимых в виде $\frac{z}{n}, z \in \Z, n \in \N$.
 19 | \end{definition}
 20 | 
 21 | 
 22 | \begin{definition}[Множество иррациональных чисел]
 23 |     $\mathbb{I}$ -- множество иррациональных чисел.
 24 |     Состоит из чисел, которые не представимы в виде $\frac{z}{n}, z \in \Z, n \in \N$. 
 25 | \end{definition}
 26 | 
 27 | 
 28 | \begin{definition}[Множество действительных чисел]
 29 |     $\R$ -- множество действительных чисел.
 30 |     Состоит из рациональных и иррациональных чисел.
 31 | \end{definition}
 32 | 
 33 | 
 34 | \begin{definition}[Окрестность точки]
 35 |     Окрестностью $S(x)$ точки $x$ называется любой интервал, содержащий эту точку. 
 36 | \end{definition}
 37 | 
 38 | 
 39 | \begin{definition}[$\epsilon$-окрестность точки]
 40 |     $\epsilon$-окрестностью точки $x$ называется интервал с центром в точке $x$ и длиной $2 \epsilon$. \[
 41 |         S(x, \epsilon) = (x-\epsilon, x+\epsilon)
 42 |     \]
 43 | \end{definition}
 44 | 
 45 | 
 46 | \begin{definition}[$\delta$-окрестность точки]
 47 |     $\delta$-окрестностью точки $x$ называется интервал с центром в точке $x$ и длиной $2 \delta$.  \[
 48 |         S(x, \delta) = (x-\delta, x+\delta)
 49 |     \]
 50 | \end{definition}
 51 | 
 52 | 
 53 | \begin{definition}[Окрестность $+\infty$]
 54 |     Окрестностью $+\infty$ называется любой интервал вида: \[
 55 |         S(+\infty) = (a, +\infty), \quad a \in \R, \quad a > 0
 56 |     \]
 57 | \end{definition}
 58 | 
 59 | 
 60 | \begin{definition}[Окрестность $-\infty$]
 61 |     Окрестностью $-\infty$ называется любой интервал вида: \[
 62 |         S(-\infty) = (-\infty, -a), \quad a \in \R, \quad a > 0
 63 |     \]
 64 | \end{definition}
 65 | 
 66 | 
 67 | \begin{definition}[Окрестность $\infty$]
 68 |     Окрестностью $\infty$ называется любой интервал вида: \[
 69 |         S(\infty) = (-\infty, -a) \cup (a, +\infty), \quad a \in \R, \quad a > 0
 70 |     \]
 71 | \end{definition}
 72 | 
 73 | 
 74 | \begin{definition}[Числовая последовательность]\label{def:15}
 75 |     Числовой последовательностью называется бесконечное множество числовых значений, которое можно упорядочить (перенумеровать)
 76 | \end{definition}
 77 | 
 78 | 
 79 | \begin{definition}[Ограниченная последовательность сверху] \label{def:22}
 80 |     Последовательность $\{x_{n}\} $ называется \textit{ограниченной сверху}, если $\exists M \in \R$, что для всех $\forall n \in \N$ выполнено неравенство $x_{n} \le M$
 81 | \end{definition}
 82 | 
 83 | 
 84 | \begin{definition}[Ограниченная последовательность снизу] \label{def:23}
 85 |     Последовательность $\{x_{n}\} $ называется \textit{ограниченной снизу}, если $\exists M \in \R$, что для всех $\forall n \in \N$ выполнено неравенство $x_{n} \ge M$
 86 | \end{definition}
 87 | 
 88 | 
 89 | \begin{definition}[Ограниченная последовательность]\label{def:24}
 90 |     Последовательность $x_{n}$ называется \textit{ограниченной}, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. \[
 91 |         \forall n \in \N, m \le x_{n} \le M \quad \text{ или } \quad |x_{n}| \le M
 92 |     \]
 93 | \end{definition}
 94 | 
 95 | 
 96 | \begin{definition}[Предел последовательности]\label{def:25}
 97 |     Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_{n}\} $, если для любого положительного числа $\epsilon$ найдется натуральное число  $N\left(\epsilon  \right) $, такое, что если порядковый номер $n$ члена последовательности станет больше $N(\epsilon)$, то имеет место неравенство  $|x_{n} - a| < \epsilon$. \[
 98 |         \lim_{x \to \infty} x_{n} = a \iff (\forall \epsilon > 0)(\exists N(\epsilon) \in \N) : (\forall n > N(\epsilon)) \implies |x_{n}-a| < \epsilon
 99 |     \]
100 | \end{definition}
101 | 
102 | 
103 | \begin{definition}[Сходящаяся последовательность]\label{def:26}
104 |     Числовая последовательность называется сходящейся, если существует предел это последовательности, и он конечен.
105 | \end{definition}
106 | 
107 | 
108 | \begin{definition}[Предел функции по Коши] \label{def:28}
109 |     Число $a$ называется пределом функции $y = f\left( x \right) $ в точке $x_0$, если $\forall \epsilon > 0$ найдется $\delta$, зависящее от  $\epsilon$ такое что $\forall x \in \mathring{S}(x_0; \delta)$ будет верно неравенство $|f\left( x \right) - a| < \epsilon$.
110 |     \[
111 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \iff (\forall \epsilon > 0)(\exists  \delta(\epsilon) > 0)(\forall  x \in \mathring{S}(x_0; \delta) \implies |f(x) - a| < \epsilon)
112 |     \]
113 | \end{definition}
114 | 
115 | 
116 | \begin{definition}[Предел функции по Гейне] \label{def:29}
117 |     Число $a$ называется пределом $y = f\left( x \right) $ в точке $x_0$, если эта функция определена в окрестности точки $a$ и $\forall$ последовательнсти $x_{n}$ из области определения этой функции, сходящейся к $x_0$ соответствующая последовательность функций $\{f(x_{n})\}$ сходится к $a$. \[
118 |         \lim_{x \to x_0} = a \iff (\forall x_{n}\in D_f)(\lim_{n \to \infty} x_{n} = x_0 \implies \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = a) 
119 |     \] 
120 | \end{definition}
121 | 
122 | 
123 | \begin{definition}[Локальная ограниченность функции] \label{def:34}
124 |     Функция называется локально ограниченной при $x \to x_0$, если существует проколотая окрестность с центром в точке $x_0$, в которой данная функция ограничена.
125 | \end{definition}
126 | 
127 | 
128 | \begin{definition}[Бесконечно малые функции] \label{def:35}
129 |     Функция называется бесконечно малой при $x \to x_0$, если предел функции в этой точке равен $0$.
130 |     \begin{gather*}
131 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon)) (\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies |f(x)| < \varepsilon )
132 |     \end{gather*}
133 | \end{definition}
134 | 
135 | 
136 | \begin{definition}[Бесконечно большие функции] \label{def:36}
137 |     Функция называется бесконечно большой при $x \to x_0$, если предел функции в этой точке равен $\infty$.
138 | \end{definition}
139 | 
140 | 
141 | \begin{definition}[Бесконечно малые более высокого порядка] \label{def:42}
142 |     Функцию $\alpha(x)$ называют бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с $\beta(x)$ при $x \to x_0$ и записывают $\alpha(x) = o(\beta(x))$, если существует и равен нулю предел отношения $\alpha(x)/\beta(x)$, при $x \to x_0$. \[
143 |         \alpha(x) = o(\beta(x)) \quad x \to x_0 \iff \exists \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0
144 |     \]
145 | \end{definition}
146 | 
147 | 
148 | \begin{definition}[Эквивалентные бесконечно малые функции] \label{def:44}
149 |     Функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называют эквивалентными бесконечно малыми при $x \to x_0$ , если предел их отношения при $x \to x_0$ равен 1. \[
150 |         \alpha(x) \sim \beta(x) x \to x_0 \iff \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1
151 |     \]
152 | \end{definition}
153 | 
154 | 
155 | \begin{definition}[(опр. 1) Непрерывность функции в точке] \label{def:50}
156 |     Функция $f(x)$, определённая в некоторой окрестности точки $x_0$, называется непрерывной в этой точке если: \[
157 |         \exists \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
158 |     \]
159 | \end{definition}
160 | 
161 | 
162 | \begin{definition}[(опр. 2) Непрерывность функции в точке] \label{def:51}
163 |     Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если бесконечно малому приращению аргумента $\Delta x = x_0 - x$  соответствует бесконечно малое приращение функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. \[
164 |         \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0
165 |     \] 
166 | \end{definition}
167 | 
168 | 
169 | \begin{definition}[Непрерывность функции на интервале] \label{def:54}
170 |     Функция $y = f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
171 | \end{definition}
172 | 
173 | 
174 | \begin{definition}[Непрерывность функции в точке справа]
175 |     Функция $y = f(x)$ определённая в правосторонней окрестности точки $x_0$ (интервал $[x_0, x_0 + \delta)$) называется непрерывной справа в этой точке, если: \[
176 |         \exists \lim_{x \to x_0+} = f(x_0)
177 |     \] 
178 | \end{definition}
179 | 
180 | 
181 | \begin{definition}[Непрерывность функции в точке слева]
182 |     Функция $y = f(x)$ определённая в левосторонней окрестности точки $x_0$ (интервал $(x_0 - \delta, x_0]$) называется непрерывной слева в этой точке, если: \[
183 |         \exists \lim_{x \to x_0-} = f(x_0)
184 |     \] 
185 | \end{definition}
186 | 
187 | 
188 | \begin{definition}[Непрерывность функции на отрезке] \label{def:55}
189 |     Функция $y = f(x) $ называется непрерывной на отрезке $[a, b]$, если:
190 |     \begin{enumerate}
191 |         \item Непрерывна на интервале $(a, b)$
192 |         \item Непрерывна в точке $a$ справа
193 |         \item Непрерывна в точке $b$ слева
194 |     \end{enumerate}
195 | \end{definition}
196 | 
197 | 
198 | \begin{definition}[Точка разрыва функции] \label{def:56}
199 |     Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ и непрерывна в любой точке этой окрестности (за исключением самой точки $x_0$).
200 |     Тогда точка $x_0$ называется точкой разрыва функции.
201 | \end{definition}
202 | 
203 | 
204 | \begin{definition}[Производная функции] \label{def:61}
205 |     \textit{Производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ } называется предел отношения приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ и предел приращения аргумента $\Delta x = x_0 - x$  при стремлении последнего к нулю. \[
206 |         y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
207 |     \]
208 | \end{definition}
209 | 
210 | 
211 | \begin{definition}[Правосторонняя производная функции] \label{def:62}
212 |     \textit{Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ справа} или \textit{правосторонней производной} называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю справа. \[
213 |         y'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x}
214 |     \] 
215 | \end{definition}
216 | 
217 | 
218 | \begin{definition}[Левосторонняя производная функции] \label{def:63}
219 |     \textit{Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ слева} или \textit{левосторонней производной} называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю слева. \[
220 |         y'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x}
221 |     \] 
222 | \end{definition}
223 | 
224 | 
225 | \begin{definition}[Дифференцируемость функции в точке] \label{def:64}
226 |     Функция $y= f(x)$ называется \textit{дифференцируемой в точке} $x_0$, если существует константа $A$ такая, что приращение функции в этой точке представимо в виде: \[
227 |         \Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha(\Delta x) \Delta x
228 |     \]
229 |     где $\alpha(x)$ -- бесконечно малая функция при $\Delta x \to 0$, $\Delta x > 0$.
230 | \end{definition}
231 | 
232 | 
233 | \begin{definition}[Дифференциал функции в точке] \label{def:65}
234 |     \textit{Дифференциалом функции} $y = f(x_0)$ называется главная часть приращения функции $\Delta y$. \[
235 |         dy = f'(x_0) \Delta x
236 |     \] 
237 | \end{definition}
238 | 
239 | 
240 | \begin{definition}[Невозрастающая функция на интервале] \label{def:69}
241 |     Функция $y = f(x)$, определённая на интервале $(a, b)$ \textit{не возрастает} на этом интервале, если для любых  $x_1, x_2 \in (a, b)$ таких что $x_2 > x_1 \implies f(x_2) \le f(x_1)$.
242 | \end{definition}
243 | 
244 | 
245 | \begin{definition}[Неубывающая функция на интервале] \label{def:71}
246 |     Функция $y = f(x)$, определённая на интервале $(a, b)$ \textit{не убывает} на этом интервале, если для любых  $x_1, x_2 \in (a, b)$ таких что $x_2 > x_1 \implies f(x_2) \ge f(x_1)$.
247 | \end{definition}
248 | 
249 | 
250 | \begin{definition}[Точка строгого локального минимума] \label{def:74}
251 |     Точка $x_0$ называется точкой строгого локального минимума функции $f (x)$, если $\exists S(x_0, \delta)$, такая что $\forall x \in S(x_0, \delta) : f (x_0) < f(x)$.
252 | \end{definition}
253 | 
254 | 
255 | \begin{definition}[Точка строгого локального максимума] \label{def:75}
256 |     Точка $x_0$ называется точкой строгого локального максимума функции $f (x)$, если $\exists S(x_0, \delta)$, такая что $\forall x \in S(x_0, \delta) : f (x_0) > f(x)$.
257 | \end{definition}
258 | 
259 | 
260 | \begin{definition}[Точка локального минимума] \label{def:76}
261 |     Точка $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f (x)$, если $\exists S(x_0, \delta)$, такая что $\forall x \in S(x_0, \delta) : f (x_0) \le f(x)$.
262 | \end{definition}
263 | 
264 | 
265 | \begin{definition}[Точка локального максимума] \label{def:77}
266 |     Точка $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f (x)$, если $\exists S(x_0, \delta)$, такая что $\forall x \in S(x_0, \delta) : f (x_0) \ge f(x)$.
267 | \end{definition}
268 | 
269 | 
270 | \begin{definition}[Критические точки первого порядка] \label{def:80}
271 |     Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует, называются \textit{критическими точками первого порядка}.
272 | \end{definition}
273 | 
274 | 
275 | \begin{definition}[Стационарные точки] \label{def:81}
276 |     Точки, в которых производная функции обращается в ноль называются \textit{стационарными}.
277 | \end{definition}
278 | 
279 | 
280 | \begin{definition}[Наклонная асимптота] \label{def:84}
281 |     Прямая $y = kx + b$ называется наклонной ассимптотой графика функции  $y=f(x)$ при $x \to  \pm\infty$, если сама функция представима в виде $f(x) = kx + b + \alpha(x)$, где $\alpha(x)$ -- б.м.ф при $x \to \pm\infty$.
282 | \end{definition}
283 | 
284 | 
285 | \begin{definition}[Выпуклость вверх] \label{def:86}
286 |     Говорят, что график функции $y = f(x)$ на интервале $(a, b)$ выпуклый вверх на этом интервале, если касательная к нему в любой точке этого интервала (кроме точки касания) лежит выше графика функции.
287 | \end{definition}
288 | 
289 | 
290 | \begin{definition}[Выпуклость вниз] \label{def:87}
291 |     Говорят, что график функции $y = f(x)$ на интервале $(a, b)$ выпуклый вниз на этом интервале, если касательная к нему в любой точке этого интервала (кроме точки касания) лежит ниже графика функции.
292 | \end{definition}
293 | 
294 | 
295 | \begin{definition}[Точка перегиба функции] \label{def:88}
296 |     Точка $x_0 \in (a, b)$ называется точкой перегиба функции $f(x)$, если эта функция непрерывна в точке $x_0$ и если $\exists \delta > 0$ такое, что направления выпуклостей функции $f(x)$ на интервалах $(x_0 - \delta; x_0)$ и $(x_0 ; x_0 + \delta)$ различны.
297 | \end{definition}
298 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/exam/figures/q9fig1.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/mathematical_analysis/exam/figures/q9fig1.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/exam/mathematical_analysis_exam.pdf:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/mathematical_analysis/exam/mathematical_analysis_exam.pdf


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/exam/mathematical_analysis_exam.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper]{article}
2 | \input{../../common/preamble.tex}
3 | 
4 | \begin{document}
5 |   \rc{Математический анализ. Подготовка к экзамену}
6 |   \input{./definitions.tex} 
7 |   \pagebreak
8 |   \input{./theory.tex} 
9 | \end{document}


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/exam/theory.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
   1 | \section{Теория}
   2 | 
   3 | 
   4 | \begin{question}
   5 |     Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
   6 | \end{question}
   7 | \begin{used}
   8 |     Используются определения №\ref{def:15}, №\ref{def:25}, №\ref{def:26}.
   9 | \end{used}
  10 | \begin{theorem}[О существовании единственности предела
  11 | последовательности]
  12 |     Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
  13 | \end{theorem}
  14 | \begin{proof}
  15 |     Пусть $\{x_{n}\} $ -- сходящаяся последовательность. \\
  16 |     Рассуждаем методом от противного. Пусть последовательность $\{x_{n}\} $ более одного предела.
  17 |     \begin{gather*}
  18 |         \lim_{n \to \infty} = a \quad
  19 |         \lim_{n \to \infty} = b \quad 
  20 |         a \neq b
  21 |     \end{gather*}
  22 |     \begin{gather}
  23 |         \lim_{n \to \infty} = a \iff (\forall \epsilon_1 > 0)(\exists N_1(\epsilon_1) \in N)(\forall n > N_1(\epsilon_1) \implies |x_{n} - a| < \epsilon_1) \\
  24 |         \lim_{n \to \infty} = b \iff (\forall \epsilon_2 > 0)(\exists N_2(\epsilon_2) \in N)(\forall n > N_2(\epsilon_2) \implies |x_{n} - b| < \epsilon_2)  
  25 |     \end{gather} 
  26 |     Выберем $N=max \{N_1\left( \epsilon_1 \right) , N_2\left( \epsilon_2 \right) \}$. \\
  27 |     Пусть \[
  28 |         \epsilon_1 = \epsilon_2 = \epsilon = \frac{|b - a|}{3}
  29 |     \]
  30 |     Тогда:
  31 |     \begin{gather*}
  32 |         3 \epsilon = |b - a| = |b - a + x_{n} - x_{n}| = \\
  33 |         = |(x_{n} - a) - (x_{n} - b)| \le |x_{n} - a| + |x_{n} - b| < \epsilon_1 + \epsilon_2 = 2 \epsilon \\
  34 |         3 \epsilon < 2 \epsilon
  35 |     \end{gather*}
  36 |     Противоречие. Значит, предоположение не является верным $\implies$ последовательность $x_{n}$ имеет единственный предел.
  37 | \end{proof}
  38 | \pagebreak
  39 | 
  40 | 
  41 | \begin{question}
  42 |     Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.
  43 | \end{question}
  44 | \begin{used}
  45 |     Используются определения №\ref{def:15}, №\ref{def:24}, №\ref{def:25}, №\ref{def:26}.
  46 | \end{used}
  47 | \begin{theorem}
  48 |   \textit{Об ограниченности сходящейся последовательности}. \\ 
  49 |   Любая сходящаяся последовательность \textit{ограничена}. 
  50 | \end{theorem}
  51 | \begin{proof}
  52 |     По определению сходящейся последовательности 
  53 |     \begin{gather*}
  54 |         \implies \lim_{n \to \infty} = a \iff (\forall \epsilon > 0)(\exists N(\epsilon)\in \N)(\forall n > N(\epsilon) \implies |x_{n} - a| < \epsilon).
  55 |     \end{gather*}
  56 |     Выберем в качестве $M = max \{|x_{1}|, |x_2|, \ldots |x_n|, |a - \epsilon|, |a + \epsilon|\}$. \\
  57 |     Тогда для $\forall n \in \N$ будет верно $|x_{n}| \le M$ -- это и ознaчает, что последовательность $x_{n}$ -- ограниченная.
  58 | \end{proof}
  59 | \pagebreak
  60 | 
  61 | 
  62 | 
  63 | \begin{question}
  64 |     Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
  65 | \end{question}
  66 | \begin{used}
  67 |     Используются определения №\ref{def:28}, №\ref{def:34}.
  68 | \end{used}
  69 | \begin{theorem}[О локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел]
  70 |     Функция, имеющая конечный предел, локально ограничена.
  71 | \end{theorem}
  72 | \begin{proof}
  73 |     \begin{gather*}
  74 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \\
  75 |         \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0) (\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies |f(x) - a| < \varepsilon) \\
  76 |     \end{gather*}
  77 |     Распишем:
  78 |     \begin{gather*}
  79 |         \begin{matrix}
  80 |             - \varepsilon < f(x) - a < \varepsilon \\
  81 |             a - \varepsilon < f(x) < a + \varepsilon \\
  82 |         \end{matrix}
  83 |         \qquad
  84 |         \forall  x \in \mathring{S}(x_0, \delta)
  85 |     \end{gather*}
  86 |     Выберем $M = max\{|a - \varepsilon|, |a + \varepsilon|\}$ 
  87 |     \begin{gather*}
  88 |         |f(x)| \le  M, \quad \forall  x \in  \mathring{S}(x_0, a)
  89 |     \end{gather*}
  90 |     Что и требовалось доказать.
  91 | \end{proof}
  92 | \pagebreak
  93 | 
  94 | 
  95 | 
  96 | \begin{question}
  97 |     Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.
  98 | \end{question}
  99 | \begin{used}
 100 |     Используются определения №\ref{def:28}.
 101 | \end{used}
 102 | \begin{theorem}[О сохранении функцией знака своего предела]
 103 |     Если $\lim_{x \to x_0} = a \neq 0$, то $\exists \mathring{S}(x_0, \delta)$ такая, что функция в ней сохраняет знак своего предела. \[
 104 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \neq 0 \to 
 105 |         \begin{matrix}
 106 |             a > 0 \\
 107 |             a < 0
 108 |         \end{matrix}
 109 |         \implies 
 110 |         \begin{matrix}
 111 |             f(x) > 0 \\
 112 |             f(x) < 0
 113 |         \end{matrix}
 114 |         \quad
 115 |         \forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)
 116 |     \] 
 117 | \end{theorem}
 118 | \begin{proof}
 119 |     Пусть $a > 0$. Выберем  $\varepsilon = a > 0$.
 120 |     \begin{gather*}
 121 |         \lim_{x \to x_0} = a \iff (\forall \varepsilon = a)(\exists  \delta(x) > 0) (\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies \\
 122 |         |f(x)- a| < \varepsilon = a) 
 123 |     \end{gather*}
 124 | 
 125 |       Распишем:
 126 |     \begin{gather*}
 127 |         -a < f(x) - a < a \\
 128 |         \boxed{0 < f(x) < 2a}
 129 |     \end{gather*}
 130 |     Знак у функции $f(x)$ и числа $a$ - одинаковые.
 131 | 
 132 |     Пусть $a < 0$. Выберем  $\varepsilon = -a$.
 133 |     \begin{gather*}
 134 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \iff (\forall \varepsilon = -a)(\exists  \delta(x) > 0) (\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies \\
 135 |         |f(x) - a| < \varepsilon = -a) 
 136 |     \end{gather*}
 137 | 
 138 |     Распишем:
 139 |     \begin{gather*}
 140 |         -a < f(x) - a < a \\
 141 |         \boxed{-2a < f(x) < 0}
 142 |     \end{gather*}
 143 |     Знак у функции $f(x)$ и числа  $a$ - одинаковые.
 144 |     \\
 145 |     Значит, $f(x)$ сохраняет знак своего предела  $\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)$ 
 146 | \end{proof}
 147 | \pagebreak
 148 | 
 149 | 
 150 | 
 151 | \begin{question}
 152 |     Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.
 153 | \end{question}
 154 | \begin{used}
 155 |     Используются определения №\ref{def:28}, ``О сохранении функцией знака своего предела''.
 156 | \end{used}
 157 | \begin{theorem}[О предельном переходе в неравенстве]
 158 |     Пусть существуют конечные пределы функций $f(x)$ и  $g(x)$ в точке $x_0$ и $\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)$ верно: \[
 159 |         f(x) < g(x)
 160 |     \]
 161 |     Тогда $\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)$ имеет место неравенство: \[
 162 |         \lim_{x \to x_0} f(x) \le \lim_{x \to x_0} g(x)
 163 |     \]
 164 | \end{theorem}
 165 | \begin{proof}
 166 |     По условию $f(x) < g(x), \forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)$. \\
 167 |     Введём функцию $F(x) = f(x) - g(x) < 0, \forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)$. 
 168 |     Т.к. $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $x_0$, соответственно и функция $F(X)$ имеет конечный предел в точке $x_0$ (как разность $f(x)$ и $g(x)$).
 169 |   
 170 |     По следствию из теорема ``О сохранении функцией знака своего предела'' $\implies \lim_{x \to x_0} F(x) \le 0$ 
 171 |   
 172 |     Подставим $F(x) = f(x) - g(x)$:
 173 |     \begin{gather*}
 174 |         \lim_{x \to x_0} \left( f(x) - g(x) \right) \le 0 \implies \lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x \to x_0} g(x) \le 0 \implies \\
 175 |         \lim_{x \to x_0} f(x) \le \lim_{x \to x_0} g(x) 
 176 |     \end{gather*}
 177 | \end{proof}
 178 | \pagebreak
 179 | 
 180 | 
 181 | 
 182 | \begin{question}
 183 |     Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.
 184 | \end{question}
 185 | \begin{used}
 186 |     Используются определения №\ref{def:28}.
 187 | \end{used}
 188 | \begin{theorem}[О пределе промежуточной функции] 
 189 |     Пусть существуют конечные пределы функций $f(x)$ и $g(x)$ в точке  $x_0$ и $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$ и $\lim_{x \to x_0} g(x) = a$, $\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)$ верно неравенство $f(x) \le h(x) \le g(x)$. Тогда $\lim_{x \to x_0} h(x) = a$.
 190 | \end{theorem}
 191 | \begin{proof}
 192 |     По условию: 
 193 |     \begin{gather*}
 194 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta_1(\varepsilon) > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta_1) \implies |f(x) - a| < \varepsilon) \tag{1} \\
 195 |         \lim_{x \to x_0} g(x) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta_2(\varepsilon) > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta_2) \implies |g(x) - a| < \varepsilon) \tag{2}
 196 |     \end{gather*}
 197 |     Выберем $\delta_0 = min \{\delta_1, \delta_2\}$, тогда (1), (2) и $f(x) \le h(x) \le g(x)$ верны одновременно $\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta_0)$.
 198 |     \begin{align*}
 199 |         (1) \quad a - \varepsilon < f(x) < a + \varepsilon \\
 200 |         (2) \quad a - \varepsilon < g(x) < a + \varepsilon
 201 |     \end{align*}
 202 |     \begin{gather*}
 203 |         f(x) \le h(x) \le g(x) \\
 204 |         \implies a - \varepsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < a + \varepsilon \\
 205 |         \implies \forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta_0) \qquad a - \varepsilon < h(x) < a + \varepsilon
 206 |     \end{gather*}
 207 |     В итоге:
 208 |     \begin{gather*}
 209 |         (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta_0(\varepsilon) > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta_0) \implies |h(x) - a| < \varepsilon) \\
 210 |         \implies \text{по определению предела} \quad \lim_{x \to x_0} h(x) = a
 211 |     \end{gather*}
 212 | \end{proof}
 213 | \pagebreak
 214 | 
 215 | 
 216 | 
 217 | \begin{question}
 218 |     Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций.
 219 | \end{question}
 220 | \begin{used}
 221 |     Используются определения №\ref{def:28}, №\ref{def:35}, теорема ``О произведении бесконечно малой функций на локально ограниченную'', теорема ``О свящи функции, её предела и бесконечно малой функции'', теорема ``О сумме конечного числа с бесконечно малой функцией''.
 222 | \end{used}
 223 | \begin{theorem}[О пределе произведения функций]
 224 |     \textit{О пределе произведения функций}. \\
 225 |     Предел произведения функций равен произведению пределов.
 226 |     \begin{gather*}
 227 |         \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)
 228 |     \end{gather*}
 229 | \end{theorem}
 230 | \begin{proof}
 231 |     Пусть:
 232 |     \begin{gather*}
 233 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \tag{1} \\
 234 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = b \tag{2}
 235 |     \end{gather*}
 236 | 
 237 |     По теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции:
 238 |     \begin{gather*}
 239 |         (1) \implies f(x) = a + \alpha(x) \text{, где } \alpha(x) \text{ - б.м.ф.} \\
 240 |         (2) \implies f(x) = b + \beta(x) \text{, где } \beta(x) \text{ - б.м.ф.}
 241 |     \end{gather*}
 242 | 
 243 |     Рассмотрим:
 244 |     \begin{gather*}
 245 |         \begin{align*}
 246 |         f(x) \cdot g(x) &= (a + \alpha(x))(b + \beta(x)) \\
 247 |                         &= ab + \underbrace{a \cdot \beta(x) + b \alpha (x) + \alpha(x) \cdot \beta(x)}_{\gamma(x)} \\
 248 |                         &= ab + \gamma(x) \\
 249 |         \end{align*}
 250 |     \end{gather*}
 251 | 
 252 |     По следствию из теоремы ``\textit{О произведении бесконечно малой функций на локально ограниченную}'':
 253 |     \begin{gather*}
 254 |         a \cdot \beta(x) = \text{б.м.ф. при } x \to 0 \\ 
 255 |         b \cdot \alpha(x) = \text{б.м.ф. при } x \to 0 \\ 
 256 |         \alpha(x) \cdot \beta(x) = \text{б.м.ф. при } x \to 0 \\ 
 257 |     \end{gather*}
 258 | 
 259 |     По теореме о сумме конечного числа с б.м.ф.:
 260 |     \begin{gather*}
 261 |         \gamma(x) = \text{б.м.ф. при } x \to 0
 262 |     \end{gather*}
 263 | 
 264 |     Далее расписываем предел:
 265 |     \begin{align*}
 266 |         \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) &= \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) \\
 267 |             &= \lim_{x \to x_0} ab + \lim_{x \to x_0} \gamma(x) \\
 268 |             &= ab + 0 = ab
 269 |     \end{align*}
 270 |     \begin{gather*}
 271 |         \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)
 272 |     \end{gather*}
 273 | \end{proof}
 274 | \pagebreak
 275 | 
 276 | 
 277 | 
 278 | \begin{question}
 279 |     Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.
 280 | \end{question}
 281 | \begin{used}
 282 |     Используются определения №\ref{def:25}.
 283 | \end{used}
 284 | \begin{theorem}[О пределе сложной функции]
 285 |     Если функция $y = f(x)$ имеет предел в точке  $x_0$ равный $a$, то функция  $\varphi(y)$ имеет предел в точке $a$, равный $C$, тода сложная функция  $\varphi(f(x))$ имеет предел в точке $x_0$, равный $C$.
 286 |     \begin{gather*}
 287 |         \begin{rcases}
 288 |             y = f(x) \\
 289 |             \lim_{x \to x_0} f(x) = a \\
 290 |             \lim_{y \to a} \varphi(y) = C \\
 291 |         \end{rcases}
 292 |         \implies \lim_{x \to x_0} \varphi(f(x)) = C
 293 |     \end{gather*}
 294 | \end{theorem}
 295 | \begin{proof}
 296 |     \begin{gather*}
 297 |         \lim_{y \to a} \varphi(y) \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta_1 > 0)(\forall y \in \mathring{S}(a, \delta_1) \implies |\varphi(y) - a| < \varepsilon) \tag{1}
 298 |     \end{gather*}
 299 |     Выберем в качестве $\varepsilon$ в пределе найденное $\delta_1$:
 300 |     \begin{gather*}
 301 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \\
 302 |         \iff (\forall \delta_1 > 0)(\exists \delta_2 > 0)(\forall x: 0 < |x - x_0| < \delta_2 \implies |f(x) - a| < \delta_1) \tag{2} 
 303 |     \end{gather*}
 304 |     В итоге: \[
 305 |         (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta_2 > 0)(\forall x: 0 < |x - x_0| < \delta_2 \implies |\varphi(f(x)) - c| < \varepsilon)
 306 |     \] 
 307 |     Что равносильно: \[
 308 |         \lim_{x \to x_0} \varphi(f(x)) = c
 309 |     \] 
 310 | \end{proof}
 311 | \pagebreak
 312 | 
 313 | 
 314 | 
 315 | \begin{question}
 316 |     Докажите, что: \[
 317 |         \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 0
 318 |     \]
 319 | \end{question}
 320 | \begin{used}
 321 |     Используется теорема о промежуточной функции.
 322 | \end{used}
 323 | \begin{proof}
 324 |     Пусть $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Рассмотрим окружность радиуса $R$ с центром в начале координат, пересекающую ось абцисс в точке $A$, и пусть угол $\angle AOB$ равен $x$. Пусть, далее, $CA$ -- перпендикуляр к этой оси, $C$ точка пересечения с этим перпендикуляром продолжения отрезка $OB$ за точку $B$. Тогда
 325 | 
 326 |     \begin{center}
 327 |         \includegraphics*[scale=0.5]{figures/q9fig1.png}
 328 |     \end{center}
 329 |     
 330 |     \begin{gather*}
 331 |         S_{\triangle AOB} < S_{sec OAB} < S_{\triangle OAC} \\
 332 |         \frac{1}{2} R ^2 \sin(x) < \frac{1}{2} R ^2 x < \frac{1}{2} R ^2 \tg(x) \\
 333 |         \sin(x) < x < \tg(x) \\
 334 |         1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{1}{\cos(x)} \\
 335 |         1 > \frac{x}{\sin(x)} > \cos(x), \text{ при } x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)
 336 |     \end{gather*}
 337 | 
 338 |     Рассмотрим $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$. Сделаем замену $\beta = -x$, таким образом $\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $, а значит, справедливо следующее неравенство: \[
 339 |         1 > \frac{\sin(\beta)}{\beta} > \cos(\beta)
 340 |     \]
 341 |     Вернёмся к замене $\beta = -x$:
 342 |     
 343 |     \begin{gather*}
 344 |         1 > \frac{\sin(-x)}{-x} > \cos(-x) \\
 345 |         1 > \frac{-\sin(x)}{-x} > \cos(x), \text{ при } x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)
 346 |     \end{gather*}
 347 | 
 348 |     Таким образом, полученное неравенство справедливо для $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Перейдём к пределу при $x \to 0$:
 349 |     \begin{gather*}
 350 |         \begin{rcases*}
 351 |             \lim_{x \to 0} \cos(x) = 1 \\
 352 |             \lim_{x \to 0} 1 = 1 
 353 |         \end{rcases*} 
 354 |         \implies \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
 355 |     \end{gather*}
 356 |     по теореме ``О пределе промежуточной функции''.
 357 | \end{proof}
 358 | \pagebreak
 359 | 
 360 | 
 361 | 
 362 | \begin{question}
 363 |     Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
 364 | \end{question}
 365 | \begin{used}
 366 |     Используются определения №\ref{def:28}, №\ref{def:35}.
 367 | \end{used}
 368 | \begin{theorem}[О связи функции, её предела и бесконечно малой]
 369 |     Функция $y = f(x)$ имеет конечный предел в точке  $x_0$ тогда и только тогда, когда её можно представить в виде суммы предела и некоторой бесконечно малой функции.
 370 |     \begin{gather*}
 371 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \iff f(x) = a + \alpha(x), \text{где } \alpha(x) - \text{б.м.ф при } x \to x_0
 372 |     \end{gather*}
 373 | \end{theorem}
 374 | \begin{necessity}
 375 |     Дано: \[
 376 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a
 377 |     \]
 378 |     Доказать: \[
 379 |         f(x) = a + \alpha(x), \text{где } \alpha(x) \text{ - б.м.ф. при } x \to  x_0
 380 |     \]
 381 |     Распишем: \[
 382 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies |f(x) - a| < \varepsilon)  
 383 |     \]
 384 |     Обозначим $f(x) - a = \alpha(x)$, тогда: \[
 385 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies |\alpha(x)| < \varepsilon)  
 386 |     \]
 387 |     По определению бесконечно малой функции $\alpha(x)$ - бесконечно малая функция. Из обозначения следует, что: \[
 388 |         f(x) = a + \alpha(x)
 389 |     \]
 390 |     где $\alpha(x)$ - бесконечно малая функция при $x \to x_0$.
 391 | \end{necessity}
 392 | \begin{sufficiency}
 393 |     Дано: \[
 394 |         f(x) = a + \alpha(x), \text{где } \alpha(x) \text{ - б.м.ф. при } x \to x_0
 395 |     \]
 396 |     Доказать: \[
 397 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = a
 398 |     \]
 399 |     По определению б.м.ф.: \[
 400 |         \lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0 \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\mathring{S}(x_0, \delta) \implies |\alpha(x)| < \varepsilon)
 401 |     \]
 402 |     С учётом введённого обозначения: \[
 403 |         (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\mathring{S}(x_0, \delta) \implies |f(x) - a| < \varepsilon) \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = a
 404 |     \]
 405 | \end{sufficiency}
 406 | \pagebreak
 407 | 
 408 | 
 409 | \begin{question}
 410 |     Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.
 411 | \end{question}
 412 | \begin{used}
 413 |     Используются определения №\ref{def:34}, №\ref{def:35}.
 414 | \end{used}
 415 | \begin{theorem}[О произведении бесконечно малой функции на ограниченную]
 416 |     Произведение бесконечно малой функции на локальной ограниченную есть величина бесконечно малая.
 417 | \end{theorem}
 418 | \begin{proof}
 419 |     Пусть $\alpha(x)$ - бесконечно малая функция при $x \to x_0$, а функция $f(x)$ при $x \to  x_0$ является локально ограниченной. Доказываем, что: \[
 420 |         \alpha(x) \cdot f(x) = 0
 421 |     \] 
 422 | 
 423 |     Распишем:
 424 |     \begin{gather*}
 425 |         \lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0 \\
 426 |         \iff (\forall \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{M} > 0)(\exists \delta_1 > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta_1) \implies |\alpha(x)| < \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{M}) \tag{1}\\
 427 |         M \in \R, M > 0 \\
 428 |         \forall x \in  \mathring{S}(x_0, \delta_2) \implies |f(x)| < M \tag{2} \\ 
 429 |     \end{gather*}
 430 | 
 431 |     Выберем $\delta = min \{\delta_1, \delta_2\} $, тогда (1) и (2) верны одновременно. В итоге получаем:
 432 |     \begin{gather*}
 433 |         (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies \\
 434 |         |\alpha(x) \cdot f(x)| = |\alpha(x)| \cdot |f(x)| < \frac{\varepsilon}{M} \cdot M = \varepsilon)  
 435 |     \end{gather*}
 436 | 
 437 |     Тогда по определению бесконечно малой функции: \[
 438 |         \lim_{x \to x_0} \alpha(x) \cdot f(x) = 0
 439 |     \] 
 440 | \end{proof}
 441 | \pagebreak
 442 | 
 443 | 
 444 | 
 445 | \begin{question}
 446 |     Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой.
 447 | \end{question}
 448 | \begin{used}
 449 |     Используются определения №\ref{def:28}, №\ref{def:35}, №\ref{def:36}.
 450 | \end{used}
 451 | \begin{theorem}[О связи между бесконечно большой и бесконечно малой]
 452 |     Если $\alpha(x)$ - бесконечно большая функция при $x \to x_0$, то $\frac{1}{\alpha(x)}$ - бесконечно малая функция при $x \to x_0$.
 453 | \end{theorem}
 454 | \begin{proof}
 455 |     По условию $\alpha(x)$ - б.б.ф при $x \to x_0$. По определению:
 456 |     \begin{gather*}
 457 |         \lim_{x \to x_0} \alpha(x) = \infty \iff \\
 458 |         (\forall M > 0)(\exists \delta(M) > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies |f(x)| > M)
 459 |     \end{gather*}
 460 | 
 461 |     Рассмотрим неравенство: \[
 462 |         |\alpha(x)| > M, \forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta)
 463 |     \]
 464 | 
 465 |     Обозначим $\varepsilon = \frac{1}{M}$.
 466 |     \begin{gather*}
 467 |         |\alpha(x) > M| \implies \frac{1}{|\alpha(x)|} < \frac{1}{M} \\
 468 |         \implies \left|\frac{1}{\alpha(x)}\right| < \frac{1}{M} < \varepsilon
 469 |     \end{gather*}
 470 | 
 471 |     В итоге получаем:
 472 |     \begin{gather*}
 473 |         \forall x \in \mathring{s}(x_0, \delta) \implies \left|\frac{1}{\alpha(x)}\right| < \varepsilon 
 474 |     \end{gather*}
 475 | 
 476 |     Что по определению является бесконечно малой функцией.
 477 | \end{proof}
 478 | \pagebreak
 479 | 
 480 | 
 481 | 
 482 | \begin{question}
 483 |     Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела.
 484 | \end{question}
 485 | \begin{used}
 486 |     Используются определения №\ref{def:35}, №\ref{def:44}.
 487 | \end{used}
 488 | \begin{theorem}[О замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела]
 489 |     Предел \textbf{отношения} двух б.м.ф. не изменится, если заменить эти функции на эквивалентные. \[
 490 |         \begin{rcases}
 491 |             \alpha(x), \beta(x) \text{ - б.м.ф. при } x \to x_0 \\
 492 |             \alpha(x) \sim \alpha_0(x) \\
 493 |             \beta(x) \sim \beta_0(x)
 494 |         \end{rcases} \implies 
 495 |         \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_0(x)}{\beta_0(x)} 
 496 |     \] 
 497 | \end{theorem}
 498 | \begin{proof}
 499 |     Рассмотрим предел:
 500 |     \begin{align*}
 501 |         \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} &= \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x) \cdot \alpha_0(x) \cdot \beta_0(x)}{\beta(x) \cdot \alpha_0(x) \cdot \beta_0(x)} \\
 502 |             &= \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\alpha_0(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\beta_0(x)}{\beta(x)} \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha_0(x)}{\beta_0(x)} \\
 503 |             &= 1 \cdot  1 \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \\
 504 |     \end{align*}
 505 | \end{proof}
 506 | \pagebreak
 507 | 
 508 | 
 509 | 
 510 | \begin{question}
 511 |     Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых.
 512 | \end{question}
 513 | \begin{used}
 514 |     Используются определения №\ref{def:35}, №\ref{def:42}, №\ref{def:44}.
 515 | \end{used}
 516 | \begin{theorem}[Необходимое и достаточное условие эквивалентности бесконечно малых]
 517 |     Две функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости по сравнению с каждой из них.
 518 |     \begin{gather*}
 519 |         \alpha(x), \beta(x) \text{ - б.м.ф при } x \to x_0 \\
 520 |         \alpha(x) \sim \beta(x) \iff 
 521 |         \begin{matrix}
 522 |             \alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x)) \\
 523 |             \alpha(x) - \beta(x) = o(\beta(x))
 524 |         \end{matrix}
 525 |         \quad \text{при } x \to x_0
 526 |     \end{gather*}
 527 | \end{theorem}
 528 | \begin{necessity}
 529 |     Дано: \[
 530 |         \alpha(x), \beta(x) \text{ - б.м.ф при } x \to x_0
 531 |     \] 
 532 |     Доказать: \[
 533 |         \alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x)) \text{, при } x \to x_0
 534 |     \] 
 535 |     Доказательство: \\
 536 |     Рассмотрим отношение разности функций к $\alpha(x)$:
 537 |     \begin{align*}
 538 |         \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} &= \lim_{x \to x_0} \left( 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \right) \\
 539 |             &= 1 - \lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1 - \frac{1}{1} = 0
 540 |     \end{align*}
 541 |     По определению получаем, что разность б.м.ф. большего порядка, чем $\alpha(x)$.
 542 | \end{necessity}
 543 | \begin{sufficiency}
 544 |     Дано: \[
 545 |         \alpha(x) - \beta(x) = o(\beta(x)) \text{, при } x \to x_0
 546 |     \]
 547 |     Доказать: \[
 548 |         \alpha(x) \sim \beta(x) \text{, при } x \to x_0
 549 |     \] 
 550 |     Доказательство: \\
 551 |     Рассмотрим отношение разности функций к $\alpha(x)$:
 552 |     \begin{gather*}
 553 |         \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\beta(x)} = \lim_{x \to x_0} \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} - 1 \right) = \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} - 1 = 0 \\
 554 |         \implies \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \implies \alpha(x) \sim \beta(x) \text{, при } x \to x_0 
 555 |     \end{gather*}
 556 | \end{sufficiency}
 557 | \pagebreak
 558 | 
 559 | 
 560 | 
 561 | \begin{question}
 562 |     Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков.
 563 | \end{question}
 564 | \begin{used}
 565 |     Используются определения №\ref{def:35}, №\ref{def:44}.
 566 | \end{used}
 567 | \begin{theorem}[О сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков]
 568 |     Сумма бесконечно малых функций разных порядком малости эквивалентно слагаемому низшего порядка малости.
 569 |     \begin{gather*}
 570 |         \begin{rcases}
 571 |             \alpha(x), \beta(x) \text{ - б.м.ф при } x \to x_0 \\
 572 |             \alpha(x) = o(\beta(x)) \text{, при } x \to x_0
 573 |         \end{rcases} 
 574 |         \implies \alpha(x) + \beta(x) \sim \beta(x) \text{, при } x \to x_0
 575 |     \end{gather*}
 576 | \end{theorem}
 577 | \begin{proof}
 578 |     Рассмотрим предел: 
 579 |     \begin{align*}
 580 |         \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x) + \beta(x)}{\beta(x)} &= \lim_{x \to x_0} \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} + 1 \right)  \\
 581 |             &= \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} + 1 \\
 582 |             &= 0 + 1 = 1
 583 |     \end{align*}
 584 | \end{proof}
 585 | \pagebreak
 586 | 
 587 | 
 588 | 
 589 | \begin{question}
 590 |     Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.
 591 | \end{question}
 592 | \begin{used}
 593 |     Используются определения №\ref{def:50}.
 594 | \end{used}
 595 | \begin{theorem}[О непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций]
 596 |   Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$, то функции (последняя с учётом $g(x) \neq 0$):   
 597 |   \begin{gather*}
 598 |     f(x) + g(x) \\
 599 |     f(x) \cdot g(x) \\
 600 |     \frac{f(x)}{g(x)}
 601 |   \end{gather*}
 602 |   также непрерывны в точке $x_0$. 
 603 | \end{theorem}
 604 | \begin{proof}
 605 |     По определению непрерывной функции: 
 606 |     \begin{gather*}
 607 |         \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \\
 608 |         \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)
 609 |     \end{gather*}
 610 |     Рассмотрим:
 611 |     \begin{gather*}
 612 |         \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) = f(x_0) + g(x_0)
 613 |         \\
 614 |         \implies f(x) + g(x) \in C(x_0) 
 615 |         \\
 616 |         \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = f(x_0) \cdot g(x_0) 
 617 |         \\
 618 |         \implies f(x) \cdot g(x) \in C(x_0)
 619 |         \\
 620 |         \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)}
 621 |         \\
 622 |         \implies \frac{f(x)}{g(x)} \in C(x_0)
 623 |     \end{gather*}
 624 | \end{proof}
 625 | \pagebreak
 626 | 
 627 | 
 628 | 
 629 | \begin{question}
 630 |     Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.
 631 | \end{question}
 632 | \begin{used}
 633 |     Используются определения №\ref{def:51}, теорема ``О пределе сложной функции''.
 634 | \end{used}
 635 | \begin{theorem}[О непрерывности сложной функции]
 636 |     Если функция $y = f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, а функция $g(y)$ непрерывна в соответствующей точке $y_0 = f(x_0)$, то сложная функция $g(f(x))$ непрерывна в точке $x_0$.
 637 | \end{theorem}
 638 | \begin{proof}
 639 |     По условию функция $y = f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, а функция $g(y)$ непрерывна в точке $y_0 = f(x_0)$. Тогда по определению:
 640 |     \begin{gather*}
 641 |         \exists \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) = b \\
 642 |         \exists \lim_{x \to x_0} g(y) = g(y_0)
 643 |     \end{gather*}
 644 |     Тогда:
 645 |     \begin{gather*}
 646 |         \lim_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim_{y \to y_0} g(y) = g(y_0) = g(f(x_0))
 647 |     \end{gather*}
 648 |     Следовательно, по определению функция $g(f(x))$ непрерывна в точке $x = a$. Теорема доказана.  
 649 | \end{proof}
 650 | \pagebreak
 651 | 
 652 | 
 653 | 
 654 | \begin{question}
 655 |     Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки.
 656 | \end{question}
 657 | \begin{used}
 658 |     Используются определения №\ref{def:50}, теорема ``О сохранении функции знака своего предела''.
 659 | \end{used}
 660 | \begin{theorem}[О сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки]
 661 |     Если функция $f(x) \in C(x_0)$ и $f(x_0) \neq 0$, то $\exists S(x_0)$, в которой знак значения функции совпадает со знаком $f(x_0)$.
 662 | \end{theorem}
 663 | \begin{proof}
 664 |     Т.к. функция $y = f(x) \in C(x_0)$, то $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. 
 665 |     По теореме о сохранении функции знака своего предела $\implies \exists S(x_0)$, в которой знак значений функции совпадает со знаком $f(x_0)$.
 666 | \end{proof}
 667 | \pagebreak
 668 | 
 669 | 
 670 | 
 671 | \begin{question}
 672 |     Дайте определение функции, непрерывной в точке. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функций y = sin x, y = cos x
 673 | \end{question}
 674 | \begin{used}
 675 |     Используются определения №\ref{def:50}, теорема ``Об произведении ограниченной функции на бесконечно малую''.
 676 | \end{used}
 677 | \begin{theorem}[О непрерывности элементарных функций]
 678 |     Основные элементарные функции непрерывны в области определения.
 679 | \end{theorem}
 680 | \begin{proof}[Для $y=sin(x)$]
 681 |     \begin{gather*}
 682 |         y = \sin(x), D_y = \R \\
 683 |         x_0 = 0, \quad \lim_{x \to x_0} \sin(x) = \sin(0) \implies y = \sin(x) \in C(0) \\
 684 |         \forall x \in D_y= \R, \quad \Delta x \text{ -- приращение функции} \\ 
 685 |         x = x_0 + \Delta x, \quad x \in D_y = \R \\
 686 |         \Delta y = y(x) - y(x_0) = y(x_0 + \Delta x) - y(x_0) \\
 687 |         = \sin(x_0 + \Delta x) - \sin(x_0) = 2\sin\left( \frac{x_0 + \Delta x - x_0}{2} \right) \cos\left( \frac{x_0 + \Delta x + x_0}{2} \right) \\
 688 |         = 2\sin\left( \frac{\Delta x}{2} \right) \cos\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2} \right) \\
 689 |         \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} 2\sin\left( \frac{\Delta x}{2} \right) \cos\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right) = 0 \\
 690 |         \text{ -- по т. об произв. огр. на б.м.ф.}
 691 |     \end{gather*}
 692 |     Т.к. $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$ по опр. непр. функции $\implies y =\sin(x)$ непрерывна в точке $x_0$. 
 693 |     Т.к. $x_0$ -- произвольная точка из области определения, то $y = \sin(x)$ непрерывна на всей области произведения.
 694 | \end{proof}
 695 | \begin{proof}[Для $y=cos(x)$]
 696 |     Аналогично для $\cos(x)$.
 697 | \end{proof}
 698 | \pagebreak
 699 | 
 700 | 
 701 | 
 702 | \begin{question}
 703 |     Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.
 704 | \end{question}
 705 | \begin{used}
 706 |     Используются определения №\ref{def:55}.
 707 | \end{used}
 708 | \begin{theorem}[Первая теорема Вейерштрасса]
 709 |     Если функция $y = f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она на этом отрезке ограниченна. \[
 710 |         f(x) \in C[a, b] \implies \exists M \in \R, M > 0, \forall x \in [a, b] : |f(x)| \le  M
 711 |     \] 
 712 | \end{theorem}
 713 | \begin{theorem}[Вторая теорема Вейерштрасса]
 714 |     Если функция $y = f(x) \in C[a, b]$, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
 715 |     \begin{gather*}
 716 |         f(x) \in C[a, b] \\
 717 |         \implies \\
 718 |         \exists x_*, x^* \in [a, b] \implies m = f(x_*) \le f(x) \le f(x^*) = M
 719 |     \end{gather*}
 720 | \end{theorem}
 721 | \begin{theorem}[Первая теорема Больцано-Коши]
 722 |     Если функция $y = f(x) \in C[a, b]$, и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то $\exists c \in (a, b) : f(c) = 0$. \[
 723 |         f(x) \in S[a, b] \land f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists  c \in (a, b) : f(c) = 0
 724 |     \] 
 725 | \end{theorem}
 726 | \begin{theorem}[Вторая теорема Больцано-Коши]
 727 |     Если функция $y = f(x) \in C[a, b]$ и принимает на границах отрезка различные значения $f(a) = A \neq f(b) = B$, то $\forall C \in [a, b] \quad \exists c \in (a, b)$, в которой $f(c) = C$.
 728 |     \begin{gather*}
 729 |         f(x) \in C[a, b] \land f(a) = A \neq f(b) = B \\
 730 |         \implies \\
 731 |         \exists C \in (A, B) \implies \exists c \in (a, b) : f(c) = C
 732 |     \end{gather*}
 733 | \end{theorem}
 734 | \begin{theorem}[Теорема о непрерывности обратной функции]
 735 |     Пусть $y = f(x) \in C(a, b)$ и строго монотонна на этом интервале. Тогда в соответствующем $(a, b)$ интервале значений функции существует обратная функция $x = f^{-1}(y)$, которая так же строго монотонна и непрерывна.
 736 | \end{theorem}
 737 | \pagebreak
 738 | 
 739 | 
 740 | \begin{question}
 741 |     Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва. На каждый случай приведите примеры.
 742 | \end{question}
 743 | \begin{used}
 744 |     Используются определения №\ref{def:56}.
 745 | \end{used}
 746 | \begin{answer}
 747 |     Классификация точек разрыва:
 748 |     \begin{itemize}
 749 |         \item Первого рода
 750 |         \begin{itemize}
 751 |             \item Устранимого разрыва \[
 752 |                 \lim_{x \to x_0+} = \lim_{x \to x_0-} \neq f(x_0) 
 753 |             \]
 754 |             \item Неустранимого разрыва \[
 755 |                 \lim_{x \to x_0+} \neq \lim_{x \to x_0-} \text{ или } \not\exists f(x_0)
 756 |             \]
 757 |         \end{itemize}
 758 |         \item Второго рода \[
 759 |             \not \exists \lim_{x \to x_0 \pm} 
 760 |         \]
 761 |     \end{itemize}
 762 | 
 763 |     Примеры точек разрыва:
 764 |     \begin{itemize}
 765 |         \item Устранимого разрыва ($x = 0$): \[
 766 |             y = \frac{sin(x)}{x}
 767 |         \] 
 768 |         \item Неустранимого разрыва ($x = 0$): \[
 769 |             \begin{cases*}
 770 |                 y = x, x > 0 \\
 771 |                 y = x - 1, x < 0
 772 |             \end{cases*}
 773 |         \]
 774 |         \item Второго рода ($x = 0$): \[
 775 |             y = \frac{1}{x}
 776 |         \]
 777 |     \end{itemize}
 778 | \end{answer}
 779 | \pagebreak
 780 | 
 781 | 
 782 | 
 783 | \begin{question}
 784 |     Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.
 785 | \end{question}
 786 | \begin{used}
 787 |     Используются определения №\ref{def:35}, №\ref{def:84}.
 788 | \end{used}
 789 | \begin{theorem}[Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты]
 790 |     График функции $y = f(x)$ имеет при  $x \to \pm\infty$ наклонную ассимптоту тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела:
 791 |     \begin{gather*}
 792 |         \begin{cases}
 793 |             \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \\
 794 |             \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)
 795 |         \end{cases} \tag{*} 
 796 |     \end{gather*}
 797 | \end{theorem}
 798 | \begin{necessity}
 799 |     Дано $y = kx + b$ наклонная ассимптота. \\
 800 |     Доказать  $\exists $ пределов.\\
 801 |     По условию $y = kx + b$ -- наклонная ассимптота  $\implies $ по определению $f(x) = kx + b + \alpha(x)$, где $\alpha(x)$ -- б.м.ф. при $x \to  \pm \infty$.
 802 |     Рассмотрим:
 803 |     \begin{align*}
 804 |         \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} &= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{kx + b + \alpha(x)}{x} = \\
 805 |             &= \lim_{x \to \pm\infty} (k + b \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \alpha(x)) \\
 806 |             &= k + b \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} + \lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} \alpha(x) \\
 807 |             &= k + b\cdot 0 + 0 = k \\
 808 |     \end{align*}
 809 |     Рассмотрим выражение:
 810 |     \begin{align*}
 811 |         f(x) - kx = kx + b + \alpha(x) - kx = b + \alpha(x) \\
 812 |         \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (b + \alpha(x)) = b 
 813 |     \end{align*}
 814 | \end{necessity}
 815 | \begin{sufficiency}
 816 |     Дано $\exists $ конечные пределы (*). Доказать $y = kx + b$ -- наклонная ассимптота. \\
 817 |     $\exists $ конечный предел $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = b$
 818 |     По теореме о связи функции, её предела и б.м.ф. $\implies$ \[
 819 |         f(x) - kx = b + \alpha(x)
 820 |     \]  при $x \to \pm\infty$. Выразим $f(x)$:  \[
 821 |         f(x) = kx + b + \alpha(x)
 822 |     \] где $\alpha(x)$ б.м.ф при $x \to \pm\infty$.
 823 |     По определению $\implies y = kx + b$ -- наклонная ассимптота к графику функции $y = f(x)$
 824 | \end{sufficiency}
 825 | \pagebreak
 826 | 
 827 | 
 828 | 
 829 | \begin{question}
 830 |     Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
 831 | \end{question}
 832 | \begin{used}
 833 |     Используются определения №\ref{def:61}, №\ref{def:64}, теорема ``О связи функции, её предела и некоторой бесконечно малой функции''.
 834 | \end{used}
 835 | \begin{theorem}[Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке]
 836 |     Функция $y = f(x)$ в точке  $x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную.
 837 | \end{theorem}
 838 | \begin{necessity}
 839 |     Дано: $y = f(x)$ -- дифференцируема в точке  $x_0$. \\
 840 |     Доказать: $\exists  y'(x)$ -- конечное число \\
 841 |     Т.к. $y = f(x)$, то  $\Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$, где $\alpha(\Delta x)$ -- бесконечно малая функция при $\Delta x \to 0$. \\
 842 |     Вычислим предел: 
 843 |     \begin{gather*}
 844 |         \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{A \Delta x + \alpha(\Delta x) \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( A + \alpha(\Delta x) \right)  = \\
 845 |         A + \lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = A + 0 = A \\
 846 |         \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = y'(x_0) \text{ -- по определению} \\
 847 |         \implies y'(x_0) = A = const \implies \exists  y'(x_0) \text{ -- конечное число}.
 848 |     \end{gather*}
 849 | \end{necessity}
 850 | \begin{sufficiency}
 851 |     Дано: $\exists y'(x_0)$ -- конечное число. \\
 852 |     Доказать: $y = f(x)$ -- дифференцируема в этой точке. \\
 853 |     Доказательство: \\
 854 |     Т.к. $\exists y'(x)$, то по определению производной  \[
 855 |         y'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
 856 |     \]
 857 |     По теореме "О связи функции, её предела и некоторой бесконечно малой функции": \[
 858 |     \frac{\Delta y}{\Delta x} = y'(x_0) + \alpha(\Delta x)
 859 |     \] 
 860 |     где $\alpha(x)$ -- бесконечно малая функция при $\Delta x \to 0$.
 861 |     \begin{gather*}
 862 |         \Delta y = y'(x_0) \Delta x + \alpha(\Delta x) \Delta x
 863 |     \end{gather*}
 864 |     где $A = y'(x_0) \implies y = f(x)$ дифференцируема в данной точке.
 865 | \end{sufficiency}
 866 | \pagebreak
 867 | 
 868 | 
 869 | 
 870 | \begin{question}
 871 |     Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции.
 872 | \end{question}
 873 | \begin{used}
 874 |     Используются определения №\ref{def:51}, №\ref{def:64}.
 875 | \end{used}
 876 | \begin{theorem}[О связи дифференцируемости и непрерывности функции]
 877 |     Если функция дифференцируема в точке $x_0$, то она в этой точке непрерывна.
 878 | \end{theorem}
 879 | \begin{proof}
 880 |     Т.к. $y = f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то $\Delta y = y'(x_0) \Delta x + \alpha(\Delta x) \Delta x$, где $y'(x_0) = const$, $\alpha(\Delta x)$ -- бесконечно малая функция при  $\Delta x \to 0$. \\
 881 |     Вычислим:
 882 |     \begin{align*}
 883 |         \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y &= \lim_{\Delta x \to 0} (y'(x) \Delta x + \alpha(\Delta x) \Delta x) \\
 884 |             &= y'(x_0) \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x + \lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x \\
 885 |             &= y'(x_0) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0 \\
 886 |     \end{align*}
 887 |     По определению непрерывной функции $y = f(x)$ является непрерывной в точке $x_0$.
 888 | \end{proof}
 889 | \pagebreak
 890 | 
 891 | 
 892 | 
 893 | \begin{question}
 894 |     Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций.
 895 | \end{question}
 896 | \begin{used}
 897 |     Используются определения №\ref{def:61}, №\ref{def:64}, теорема ``О связи дифференцируемости и непрерывности функции''.
 898 | \end{used}
 899 | \begin{theorem}[О производной произведения двух дифференцируемых функций]
 900 |     Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x_0$, то функция $u(x) \cdot v(x)$ также дифференцируема в точке $x_0$: \[
 901 |         (u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
 902 |     \]
 903 | \end{theorem}
 904 | \begin{proof}
 905 |     Пусть $y = uv$, тогда:
 906 |     \begin{gather*}
 907 |         \Delta  y = y(x + \Delta x) - y(x) = u(x + \Delta x) v(x + \Delta x) - u(x) v(x) - y(x) = \\
 908 |         = (\Delta u + u(x))(\Delta v + v(x)) - u(x) v(x) - y(x) = \Delta u \Delta v + \Delta u v(x) + \\
 909 |         + \Delta v u(x) + y(x) - y(x) = \\
 910 |         \Delta u \Delta v + \Delta u v(x) + \Delta v u(x).
 911 |     \end{gather*}
 912 |     Вычислим предел:
 913 |     \begin{align*}
 914 |         y'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} 
 915 |            = \lim_{\Delta x \to 0}  \frac{ \Delta u \Delta v + \Delta  u v(x) + \Delta v u(x)}{\Delta x} = \\
 916 |           &= \lim_{\Delta x \to 0} \left( \Delta u \frac{\Delta v}{\Delta x} + v(x) \frac{\Delta u}{\Delta x} + u(x) \frac{\Delta v}{\Delta x} \right) = \\
 917 |           &= \underbrace{\lim_{\Delta x \to 0} \Delta u}_{0} \underbrace{\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}}_{v'(x)} + v(x) \underbrace{\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}}_{u'(x)} + u(x)\underbrace{\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}}_{v'(x)} = \\
 918 |           &= v(x) u'(x) + v'(x) u(x) + v'(x) \cdot 0 = \\
 919 |           &= \boxed{u'(x) v(x) + u(x) v'(x)}
 920 |     \end{align*}
 921 |     Т.к. функции $u = u(x)$, $v = v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то по теореме о связи дифференцируемости и непрерывности функции  $\implies u = u(x)$ и $v = v(x)$ непрерывны в точке  $x \implies$ по определению непрерывности функции:
 922 |     \begin{gather*}
 923 |         \begin{cases}
 924 |             \lim_{\Delta x \to 0} \Delta u = 0 \\
 925 |             \lim_{\Delta x \to 0} \Delta v = 0
 926 |         \end{cases}
 927 |     \end{gather*}
 928 | \end{proof}
 929 | \pagebreak
 930 | 
 931 | 
 932 | 
 933 | \begin{question}
 934 |     Сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций.
 935 | \end{question}
 936 | \begin{used}
 937 |     Используются определения №\ref{def:61}, №\ref{def:64}.
 938 | \end{used}
 939 | \begin{theorem}[О производной частного двух дифференцируемых функций]
 940 |     Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x_0$ и $v(x_0) \neq 0$, то функция $\frac{u(x)}{v(x)}$ также дифференцируема в точке $x_0$: \[
 941 |         \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}
 942 |     \]
 943 | \end{theorem}
 944 | \begin{proof}
 945 |     Пусть $y = \frac{u}{v}$, тогда:
 946 |     \begin{align*}
 947 |         \Delta y &= y(x + \Delta x) - y(x) = \\
 948 |                  &= \frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)} = \\
 949 |                  &= \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)v(x)} = \\
 950 |                  &= \frac{(u(x) + \Delta u)v(x) - u(x)(v(x) + \Delta v)}{(\Delta v + v(x))v(x)} = \\
 951 |                  &= \frac{u(x) + \Delta u v(x) - u(x)v(x) - u(x)\Delta v}{v^2(x) + v(x) \Delta v} = \\
 952 |                  &= \frac{\Delta u v(x) - \Delta v u(x)}{v^2(x) + v(x) \Delta v}
 953 |     \end{align*}
 954 |     Вычислим предел:
 955 |     \begin{align*}
 956 |         y'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \\
 957 |               &= \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\cfrac{\Delta u v(x) - \Delta v u(x)}{v^2(x) + v(x) \Delta v}}{\Delta x} = \\
 958 |               &= \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{v(x) \cfrac{\Delta u}{\Delta x} - v(x_0) \cfrac{\Delta v}{\Delta x}}{v^2(x) + v(x) \Delta v} = \\
 959 |               &= \cfrac{v(x) \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta u}{\Delta x} - u(x) \lim_{\Delta x \to 0}  \cfrac{\Delta v}{\Delta x}}{v^2(x) - v(x) \lim_{\Delta x \to 0} \Delta v} = \\
 960 |               &= \boxed{\frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)}}
 961 |     \end{align*}
 962 | \end{proof}
 963 | \pagebreak
 964 | 
 965 | 
 966 | 
 967 | \begin{question}
 968 |     Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.
 969 | \end{question}
 970 | \begin{used}
 971 |     Используются определения №\ref{def:51} №\ref{def:61}, №\ref{def:64}.
 972 | \end{used}
 973 | \begin{theorem}[О производной сложной функции]
 974 |     Пусть функция $u = g(x)$ дифференцируема в точке $x = a$, а функция $y = f(u)$ дифференцируема в соответствующей точке  $b = g(a)$.
 975 |     Тогда сложная функция $F(x) = f(g(x))$ дифференцируема в точке $x = a$. \[
 976 |         F'(x) |_{x = a} = \left(f(g(x))'\right)_{x = a} = f'_u(b) \cdot g'_x(a)
 977 |     \]
 978 | \end{theorem}
 979 | \begin{proof}
 980 |     Т.к. функция $u = g(x)$ дифференцируема в точке $x = a$, то по определению $\implies$\[
 981 |     \Delta u = g'(a) \cdot \Delta x + \alpha(\Delta x) \cdot \Delta \tag{1}
 982 |     \] 
 983 |     где $\alpha(\Delta x)$ -- б.м.ф при $\Delta x \to 0$.
 984 |     Т.к. функция $y = f(x)$ дифференцируема в точке  $b$, то по определению дифференцируемости  $\implies$ \[
 985 |         \Delta y = f'(b) \cdot \Delta u + \beta(\Delta u) \cdot \Delta u \tag{2}
 986 |     \] 
 987 |     где $\beta(\Delta x)$ -- б.м.ф при $\Delta x \to 0$. \\
 988 |     Подставим (1) в (2). Тогда:
 989 |     \begin{gather*}
 990 |         \Delta y = f'(b) \cdot \left( g'(a) \Delta x + \alpha(\Delta x) \Delta x \right) + \beta(\Delta u)\left( g'(a) \Delta x + \alpha(\Delta x) \Delta x \right) = \\
 991 |         = f'(b) \cdot  g'(a) \Delta x + \Delta x\left(f'(b) \alpha(\Delta x) + g'(a) \beta(\Delta u) + \beta(\Delta u) \alpha(\Delta x)\right) = \Delta F
 992 |     \end{gather*}
 993 |     Обозначим: \[
 994 |         \gamma(\Delta x) = f'(b) \alpha(\Delta x) + g'(a) \beta(\Delta u) + \beta(\Delta u) \alpha(x)
 995 |     \] 
 996 |     В итоге получаем: \[
 997 |         \Delta F = f'(b)g'(a)\Delta x + \gamma(\Delta x)\Delta x
 998 |     \]
 999 |     $f(b) \alpha(\Delta x)$ -- б.м.ф при $\Delta x \to 0$ (как производная постоянной на б.м.ф.). 
1000 |     Т.к. $u = g(x)$ дифференцируема в точке $x = a$, то по теореме о связи дифференцируемости и непрерывности функции $u = g(x)$ непрерывна в точке $x = a$  $\implies$ по определению непрерывности $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta u = 0$ или при $\Delta x \to 0$, $\Delta u \to 0$. $g'(a) \beta(\Delta u)$ -- б.м.ф при $\Delta x \to  0$ как производная на б.м.ф. $\beta(\Delta u) \alpha(\Delta x)$ -- б.м.ф при $\Delta x \to  0$ (как производная двую б.м.ф).
1001 |     Следовательно, $\gamma(x)$ -- б.м.ф при $x \to 0$ как сумма конечного числа б.м.ф. \\
1002 |     Вычислим предел:
1003 |     \begin{gather*}
1004 |         \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( f'(b) \cdot g'(a) + \gamma(\Delta x) \right) = f'(b) \cdot g'(a) + 0 = f'(b) \cdot g'(a).
1005 |     \end{gather*}
1006 | \end{proof}
1007 | \pagebreak
1008 | 
1009 | 
1010 | 
1011 | \begin{question}
1012 |     Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.
1013 | \end{question}
1014 | \begin{used}
1015 |     Используются определения №\ref{def:51}, №\ref{def:61}.
1016 | \end{used}
1017 | \begin{theorem}[О производной обратной функции]
1018 |     Пусть функция $y = f(x)$ в точке $x = 0$ имеет конечную и отличную от нуля производную  $f'(a)$ и пусть для неё существует однозначная обратная функция $x = g(y)$, непрерывная в соответствующей точке $b = f(a)$.
1019 |     Тогда существует производная обратной функции и она равна:  \[
1020 |         g'(b) = \frac{1}{f'(a)}
1021 |     \] 
1022 | \end{theorem}
1023 | \begin{proof}
1024 |     Т.к. функция $x = g(y)$ однозначно определена, то соответственно при  $\Delta y \neq 0$, $\Delta x \neq 0$.
1025 |     Т.к. функция $x = g(y)$ непрерывна в соответствующей точке $b$, то  $\lim_{\Delta y \to 0} \Delta x = 0$ или $\Delta x \to 0$ при $\Delta y \to 0$.
1026 |     \begin{gather*}
1027 |         g'(b) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \frac{1}{\lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}} = \\
1028 |         = \frac{1}{\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}} = \frac{1}{f'(a)}
1029 |     \end{gather*}
1030 | \end{proof}
1031 | \pagebreak
1032 | 
1033 | 
1034 | 
1035 | \begin{question}
1036 |     Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.
1037 | \end{question}
1038 | \begin{used}
1039 |     Используются определения №\ref{def:65}.
1040 | \end{used}
1041 | \begin{theorem}[Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка]
1042 |     Форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли $x$ независимой переменной или функцией другого аргумента.
1043 | \end{theorem}
1044 | \begin{proof}
1045 |     Пусть $y = f(x)$,  $x = \varphi(t)$. Тогда можно задать сложную функцию: \[
1046 |         F(t) = y = f(\varphi(t))
1047 |     \] 
1048 |     По определению дифференциала функции: \[
1049 |         dy = F'(t)dt \tag{1}
1050 |     \] 
1051 |     По теореме о производной сложной функции: \[
1052 |         F'(t) = f'(x) \cdot \varphi'(t) \tag{2}
1053 |     \] 
1054 |     Подставим (2) в (1): \[
1055 |         dy = f'(x) \varphi'(t) dt \tag{3} 
1056 |     \] 
1057 | 
1058 |     По определению дифференциала функции $dx = \varphi'(t)dt$ (4). Подставим (4) в (3): \[
1059 |         \boxed{dy = f'(x) dx}
1060 |     \] 
1061 | \end{proof}
1062 | \pagebreak
1063 | 
1064 | 
1065 | 
1066 | \begin{question}
1067 |     Сформулируйте и докажите теорему Ферма.
1068 | \end{question}
1069 | \begin{used}
1070 |     Используются определения №\ref{def:61}, №\ref{def:62}, №\ref{def:63}, №\ref{def:64}, №\ref{def:74} №\ref{def:75}, теорема ``О существовании производной функции в точке''.
1071 | \end{used}
1072 | \begin{theorem}[Теорема Ферма о нулях производной функции]
1073 |     Пусть функция $y = f(x)$ определена на промежутке $X$ и во внутренней точке $C$ этого промежутка достигает наибольшего или наименьшего значения. Если в этой точке существует $f'(c)$, то $f'(c) = 0$.
1074 | \end{theorem}
1075 | \begin{proof}
1076 |     Пусть функция $y = f(x)$ в точке  $x = c$ принимает наибольшее значение на промежутке X. Тогда $\forall x \in X \implies f(x) \le f(c)$. Дадим приращение $\Delta x$ точке $x = c$. Тогда $f(c + \Delta x) \le f(c)$. Пусть \[
1077 |         \exists f'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(c + \Delta x) - y(c)}{\Delta x}
1078 |     \]
1079 |     Рассмоотрим два случая:
1080 |     \begin{align*}
1081 |         1) &\Delta x > 0, \Delta x \to 0+, x \to c+ \\
1082 |         &f'_+(c) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{y(c + \Delta x) - y(c)}{\Delta x} = \left( \frac{-}{+} \right) \le 0 \\
1083 |         2) &\Delta x < 0, \Delta x \to 0-, x \to c- \\
1084 |         &f'_-(c) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{y(c + \Delta x) - y(c)}{\Delta x} = \left( \frac{-}{-} \right) \ge 0
1085 |     \end{align*}
1086 |     По теореме о существовании производной функции в точке: \[
1087 |         f'_+(c) = -f'_-(c)
1088 |     \] 
1089 |     Это возможно только в том случае, когда оно равняется $0$. Теорема доказана. 
1090 | \end{proof}
1091 | \pagebreak
1092 | 
1093 | 
1094 | 
1095 | \begin{question}
1096 |     Сформулируйте и докажите теорему Ролля.
1097 | \end{question}
1098 | \begin{used}
1099 |     Используются определения №\ref{def:55}, №\ref{def:64}, №\ref{def:74}, №\ref{def:75}, теорема Ферма.
1100 | \end{used}
1101 | \begin{theorem}[Теорема Ролля]
1102 |     Пусть функция $y = f(x)$:
1103 |      \begin{enumerate}
1104 |       \item Непрерывна на отрезке $(a, b)$ 
1105 |       \item Дифференцируема на интервале  $(a, b)$
1106 |       \item $f(a) = f(b)$
1107 |     \end{enumerate}
1108 |     Тогда $\exists c \in (a, b) : f'(c) = 0$
1109 | \end{theorem}
1110 | \begin{proof}
1111 |     Т.к. функция $y = f(x)$ непрерывна на отрезке $(a,b)$, то по теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Возможны два случая:
1112 |     \begin{enumerate}
1113 |         \item Наибольше и наименьшее значение достигаются на границе, т.е. в точке $a$ и в точке  $b$. Это означает, что  $m = M$, где  $m$ -- наименьшее значение, а  $M$ -- наибольшее. Из этого следует, что функция  $y = f(x) = const$ на $(a, b)$. Соответственно  $\forall x \in (a, b), f'(x) = 0$
1114 |         \item Когда наибольшее или наименьшее значение достигаются во внутренней точке $(a, b)$. Тогда для функции $y = f(x)$ справедлива теорема Ферма, согласно которой $\exists c \in (a, b), f'(c) = 0$.
1115 |     \end{enumerate}
1116 | \end{proof}
1117 | \pagebreak
1118 | 
1119 | 
1120 | 
1121 | \begin{question}
1122 |     Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.
1123 | \end{question}
1124 | \begin{used}
1125 |     Используются определения №\ref{def:55}, №\ref{def:64}, теорема Ролля, ``Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции''.
1126 | \end{used}
1127 | \begin{theorem}[Теорема Лагранжа]
1128 |     Пусть функция $y = f(x)$:
1129 |     \begin{enumerate}
1130 |         \item Непрерывна на отрезке $[a, b]$
1131 |         \item Дифференцируема на интервале  $(a, b)$
1132 |     \end{enumerate}
1133 |     Тогда $\exists  c \in (a, b)$, в которой выполняется равенство: \[
1134 |         f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)
1135 |     \] 
1136 | \end{theorem}
1137 | \begin{proof}
1138 |     Рассмотрим вспомогательную функция $F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot (x - a)$. 
1139 |     $F(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ как сумма непрерывных функций. Существует конечная проивзодная функции $F(x)$: \[
1140 |         F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
1141 |     \]
1142 |     следовательно по необходимому и достаточному условию дифференцируемости будет верно $F(x)$ -- дифференцируема на $(a, b)$.
1143 |     Покажем, что $F(a) = F(b)$:
1144 |     \begin{align*}
1145 |         F(a) &= f(a) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(a - a) = 0 \\
1146 |         F(b) &= f(b) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) \\
1147 |              &= f(b) - f(b) + f(a) - f(a) = 0
1148 |     \end{align*}
1149 |     Значит функция $F(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Тогда по теореме Ролля  $\exists c \in (a, b), F'(c) = 0$.
1150 |     \begin{align*}
1151 |         & F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \\
1152 |         & F'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \\
1153 |         & f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \\
1154 |         & f(b) - f(a) = f'(c) (b - a)
1155 |     \end{align*}
1156 | \end{proof}
1157 | \pagebreak
1158 | 
1159 | 
1160 | 
1161 | \begin{question}
1162 |     Сформулируйте и докажите теорему Коши.
1163 | \end{question}
1164 | \begin{used}
1165 |     Используются определения №\ref{def:55}, №\ref{def:64}, теорема Ролля
1166 | \end{used}
1167 | \begin{theorem}[Теорема Коши]
1168 |     Пусть функции $f(x)$ и  $\varphi(x)$ удовлетворяют условиям: 
1169 |   \begin{enumerate}
1170 |     \item Непрерывны на отрезке $[a, b]$
1171 |     \item Дифференцируемы на интервале  $(a, b)$ 
1172 |     \item  $\forall x \in (a, b) f'(x) \neq 0$
1173 |   \end{enumerate}
1174 |   Тогда $\exists  c \in (a, b)$, такое что: \[
1175 |     \boxed{\frac{f(b) - f(a)}{\varphi(b) - \varphi(a)} = \frac{f'(c)}{\varphi'(c)}}
1176 |   \] 
1177 | \end{theorem}
1178 | \begin{proof}
1179 |     Рассмотрим вспомогательную функцию: \[
1180 |         F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{\varphi(a) - \varphi(b)}(\varphi(x) - \varphi(a))
1181 |     \]
1182 |     Докажем применимость Теоремы Ролля:
1183 |     \begin{enumerate}
1184 |         \item $F(x)$ непрервына на $[a, b]$ как линейная комбинация непрерывных функций.
1185 |         \item  $F(x)$ дифференцируема на $[a, b]$ как линейная комбинация дифференцируемых функций.
1186 |         \item  $F(a) = F(b)$:
1187 |         \begin{align*}
1188 |             F(a) &= f(a) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{\varphi(b) - \varphi(a)}\left( \varphi(a) - \varphi(a) \right) = 0 \\ 
1189 |             F(b) &= f(b) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{\cancel{\varphi(b) - \varphi(a)}}\cancel{\left( \varphi(b) - \varphi(a) \right)} = 0
1190 |         \end{align*}
1191 |         Значит, функция $F(x)$ удовлетворяет условию теоремы Ролля, $\implies \exists  c \in (a, b) : F'(c) = 0$. Вычислим:
1192 |         \begin{gather*}
1193 |             F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{\varphi(b) - \varphi(a)} \varphi'(x) \\ 
1194 |             F'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{\varphi(b) - \varphi(a)} \varphi'(c) = 0 \\
1195 |             \frac{f(b) - f(a)}{\varphi(b) - \varphi(a)} \varphi'(c) = f'(c) \quad 
1196 |             \boxed{\frac{f(b) - f(a)}{\varphi(b) - \varphi(a)} = \frac{f'(c)}{\varphi'(c)}}
1197 |         \end{gather*}
1198 |     \end{enumerate}
1199 | \end{proof}
1200 | \pagebreak
1201 | 
1202 | 
1203 | 
1204 | \begin{question}
1205 |     Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя-Бернулли для предела отношения двух бесконечно малых функций.
1206 | \end{question}
1207 | \begin{used}
1208 |     Используются определения №\ref{def:35}, №\ref{def:64}, теорема ``О связи дифференцируемости и непрерывности'', теорема Коши.
1209 | \end{used}
1210 | \begin{theorem}[Теорема Лопиталя-Бернулли]
1211 |     Пусть $f(x)$ и  $\varphi(x)$ удовлетворяют условиям:
1212 |     \begin{itemize}
1213 |         \item Определены и дифференцируемы в $\mathring{S}(x_0)$
1214 |         \item $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0, \lim_{x \to x_0} \varphi(x) = 0$
1215 |         \item $\forall x \in \mathring{S}(x_0) \quad \varphi'(x) \neq 0$
1216 |         \item $\exists \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{\varphi'(x)} = A$
1217 |     \end{itemize}
1218 |     Тогда $\exists \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{\varphi(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{\varphi'(x)} = A$.
1219 | \end{theorem}
1220 | \begin{proof}
1221 |     Доопределим функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ в точке $x_0$ нулём: \[
1222 |         f(x_0) = 0 \quad \varphi(x_0) = 0
1223 |     \] 
1224 |     По условию:
1225 |     \begin{align*}
1226 |         &\lim_{x \to x_0} f(x) = 0 = f(x_0)
1227 |         &\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = 0 = \varphi(x_0)
1228 |     \end{align*}
1229 |   
1230 |     $f(x)$ и  $\varphi(x)$ непрерывны в точке $x_0$.\\
1231 |     По условию функция $f(x)$ и  $\varphi(x)$ дифференцируемы в точке $\mathring{S}(x_0)$ $\implies$ по теореме о связи дифференцируемости и непрерывности $\implies f(x)$ и $\varphi(x)$ непрерывны в $\mathring{s}(x_0)$. Таким образом $f(x)$ и  $\varphi(x)$ непрерывны в $S(x_0)$.
1232 | 
1233 |     Функции $f(x)$ и  $\varphi(x)$ удовлетворяют условию т.Коши на $[x_0, x]$. Тогда по теореме Коши $\implies$ 
1234 |     \begin{gather*}
1235 |         \exists c \in [x_0, x] : \frac{f(x) - f(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} = \frac{f'(c)}{\varphi'(c)} \tag{*} 
1236 |     \end{gather*}
1237 | 
1238 |     Т.к. $f(x_0) = 0$ и $\varphi(x_0) = 0$ $\implies$ \[
1239 |         (*) \quad \boxed{\frac{f(x)}{\varphi(x)} = \frac{f'(c)}{\varphi(c)}}
1240 |     \] 
1241 | 
1242 |     Т.к. $\exists \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{\varphi'(x)} = A \implies$ правая часть (*): \[
1243 |         \lim_{c \to x_0} \frac{f'(c)}{\varphi'(c)} = A
1244 |     \] 
1245 |     Левая часть (*): \[
1246 |         \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{\varphi(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(c)}{\varphi'(c)} = A
1247 |     \] 
1248 | 
1249 |     Получаем: \[
1250 |         \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{\varphi(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{\varphi'(x)} = A
1251 |     \] 
1252 | \end{proof}
1253 | \pagebreak
1254 | 
1255 | 
1256 | 
1257 | \begin{question}
1258 |     Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.
1259 | \end{question}
1260 | \begin{used}
1261 |     Используются определения №\ref{def:36}.
1262 | \end{used}
1263 | \begin{answer}
1264 |     Пусть:
1265 |     \begin{align*}
1266 |         f(x) &= x^n \\
1267 |         g(x) &= a^x \\
1268 |         h(x) &= \ln x \\
1269 |     \end{align*}
1270 | 
1271 |     Найдём предел при стремлении к бесконечности:
1272 |     \begin{align*}
1273 |         \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{a^x} = \left( \frac{\infty}{\infty} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{n \cdot x ^ {n-1}}{a^x \ln a} \\
1274 |             &= \left( \frac{\infty}{\infty} \right) = \ldots = \lim_{x \to +\infty} \frac{n(n-1)(n-2)\ldots \cdot 1}{a^x(\ln a)^n} = \\
1275 |             &= \frac{n!}{\ln^n a} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{a^x} = \frac{n!}{\ln^n a} = 0.
1276 |     \end{align*}
1277 | 
1278 |     Значит $a^x$ растёт быстрее, чем  $x^n$ при $x \to \infty$ или $x^n = o(a^x)$ при $x \to +\infty$.
1279 | 
1280 |     Найдём предел при стремлении к бесконечности:
1281 |     \begin{align*}
1282 |         \lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{f(x)} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = \left( \frac{\infty}{\infty} \right) \\
1283 |             &= \lim_{x \to +\infty}  \frac{\frac{1}{x}}{n \cdot x^{n-1}} = \frac{1}{n} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = \frac{1}{n} \cdot 0 = 0
1284 |     \end{align*}
1285 | 
1286 |     Значит, $x^n$ растёт быстрее, чем  $\ln x$ при $x\to +\infty$ $\ln x = o(x^n)$ при $x \to  +\infty$.
1287 | 
1288 |     Вывод: на бесконечности функции расположены в таком порядке:
1289 |     \begin{enumerate}
1290 |         \item $g(x) = a^x$ -- самая быстрорастущая функция
1291 |         \item $f(x) = x^n$
1292 |         \item $h(x) = \ln x$
1293 |     \end{enumerate}
1294 | \end{answer}
1295 | \pagebreak
1296 | 
1297 | 
1298 | 
1299 | \begin{question}
1300 |     Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
1301 | \end{question}
1302 | \begin{theorem}[Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа]
1303 |     Пусть функция $y=f(x)$  $(n+1)$ дифференцируема в $\mathring{S}(x_0)$, $\forall x \in \mathring{S}(x_0)$ $f^{(n+1)}(x_0) \neq 0$.
1304 |     Тогда: \[
1305 |         R_n(c) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
1306 |     \]
1307 |     где $c \in \mathring{S}(x_0)$.
1308 | \end{theorem}
1309 | \pagebreak
1310 | 
1311 | 
1312 | 
1313 | \begin{question}
1314 |     Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
1315 | \end{question}
1316 | \begin{theorem}[Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано]
1317 |     Пусть функция $y = f(x)$ дифференцируема $n$ раз в точке $x_0$, тогда $x \to x_0$: \[
1318 |         R_n(x) = o((x - x_0)^n)
1319 |     \] 
1320 | \end{theorem}
1321 | \pagebreak
1322 | 
1323 | 
1324 | \begin{question}
1325 |     Выведите формулу Маклорена для функции $y = e^x$ с остаточным членом в форме Лагранжа.
1326 | \end{question}
1327 | \begin{answer}
1328 |     Найдём производные для функции $y = e^x$ до $n$-ого порядка:
1329 |     \begin{gather*}
1330 |         f'(x) = f''(x) = \ldots = f ^{(n)} = e ^{x}
1331 |     \end{gather*}
1332 |     Подставим $x = 0$:
1333 |     \begin{gather*}
1334 |         f(0) = f'(0) = f''(0) = \ldots = f ^{(n)} = e^0 = 1
1335 |     \end{gather*}
1336 |     Получаем:
1337 |     \begin{gather*}
1338 |         e ^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x ^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e ^{\theta x}}{(n+1)!} x ^{n+1}
1339 |     \end{gather*}
1340 | \end{answer}
1341 | \pagebreak
1342 | 
1343 | 
1344 | 
1345 | \begin{question}
1346 |     Выведите формулу Маклорена для функции $y = \sin(x)$ с остаточным членом в форме Лагранжа.
1347 | \end{question}
1348 | \begin{answer}
1349 |     Найдём производные для функции $y = \sin(x)$ до $2n+2$-ого порядка:
1350 |     \begin{align*}
1351 |         &f'(x) = \cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2}) \\
1352 |         &f''(x) = -\sin(x) = \sin(x + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) \\
1353 |         &f'''(x) = -\cos(x) = \sin(x + 3 \cdot \frac{\pi}{2}) \\
1354 |         &f''''(x) = \sin(x) = \sin(x + 4 \cdot \frac{\pi}{2}) \\
1355 |         &\ldots \\
1356 |         &f ^{(2n+1)}(x) = (-1) ^{n} \cos(x) \\
1357 |         &f ^{(2n+2)}(x) = (-1) ^{n+1} \sin(x)
1358 |     \end{align*}
1359 |     Подставим $x = 0$:
1360 |     \begin{align*}
1361 |         &f(0) = 0 \\
1362 |         &f'(0) = 0 \\
1363 |         &f''(0) = -1 \\
1364 |         &f'''(0) = 0 \\
1365 |         &f''''(0) = 1 \\
1366 |         &\ldots \\
1367 |         &f ^{(2n+1)} = (-1)^{n} \\
1368 |         &f ^{(2n+2)} = 0
1369 |     \end{align*}
1370 |     Получаем:
1371 |     \begin{gather*}
1372 |         \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots + (-1)^{n} \frac{x ^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{\sin\left(\theta x + (2n+2) \frac{\pi}{2}\right)}{(2n+2)!} x ^{2n+2} \\
1373 |         \theta \in (0, 1)
1374 |     \end{gather*}
1375 | \end{answer}
1376 | \pagebreak
1377 | 
1378 | 
1379 | 
1380 | \begin{question}
1381 |     Выведите формулу Маклорена для функции $y = \cos(x)$ с остаточным членом в форме Лагранжа.
1382 | \end{question}
1383 | \begin{answer}
1384 |     Найдём производные для функции $y = \cos(x)$ до $2n + 1$-ого порядка:
1385 |     \begin{align*}
1386 |         &f'(x) = -\sin(x) = \cos(x + 1 \cdot \frac{\pi}{2}) \\
1387 |         &f''(x) = -\cos(x) = \cos(x + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) \\
1388 |         &f'''(x) = \sin(x) = \cos(x + 3 \cdot \frac{\pi}{2}) \\
1389 |         &f''''(x) = \cos(x) = \cos(x + 4 \cdot \frac{\pi}{2}) \\
1390 |         &\ldots \\
1391 |         &f ^{(2n)}(x) = (-1) ^{n} \cos(x) \\
1392 |         &f ^{(2n+1)}(x) = (-1) ^{n+1} \sin(x)
1393 |     \end{align*}
1394 |     Подставим $x = 0$:
1395 |     \begin{align*}
1396 |         &f(0) = 1 \\
1397 |         &f'(0) = 0 \\
1398 |         &f''(0) = -1 \\
1399 |         &f'''(0) = 0 \\
1400 |         &f''''(0) = 1 \\
1401 |         &\ldots \\
1402 |         &f ^{(2n)} = (-1)^{n} \\
1403 |         &f ^{(2n+1)} = 0
1404 |     \end{align*}
1405 |     Получаем:
1406 |     \begin{gather*}
1407 |         \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots + (-1)^{n} \frac{x ^{2n}}{(2n)!} + \frac{\cos\left(\theta x + (2n+1) \frac{\pi}{2}\right)}{(2n+1)!} x ^{2n+1} \\
1408 |         \theta \in (0, 1)
1409 |     \end{gather*}
1410 | \end{answer}
1411 | \pagebreak
1412 | 
1413 | 
1414 | 
1415 | \begin{question}
1416 |     Выведите формулу Маклорена для функции $y = \ln(1 + x)$ с остаточным членом в форме Лагранжа.
1417 | \end{question}
1418 | \begin{answer}
1419 |     Найдём производные для функции $y = \ln(1 + x)$ до $n + 1$-ого порядка:
1420 |     \begin{align*}
1421 |         &f'(x) = \frac{1}{1+x} \\
1422 |         &f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} \\
1423 |         &f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} \\
1424 |         &f''''(x) = -\frac{6}{(1+x)^4} \\
1425 |         &\ldots \\
1426 |         &f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n} \\
1427 |         &f^{(n+1)}(x) = (-1)^{n} \frac{n!}{(1+x)^{n+1}} \\
1428 |     \end{align*}
1429 |     Подставим $x = 0$:
1430 |     \begin{align*}
1431 |         &f(0) = 0 \\
1432 |         &f'(0) = 1 = 1! \\
1433 |         &f''(0) = -1 = -1! \\
1434 |         &f'''(0) = 2 = 2! \\
1435 |         &f''''(0) = -3 \cdot 2 = -6! \\
1436 |         &\ldots \\
1437 |         &f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! \\
1438 |         &f^{(n+1)}(x) = (-1)^{n} n! \\
1439 |     \end{align*}
1440 |     Получаем:
1441 |     \begin{gather*}
1442 |         \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + (-1)^n \frac{x ^{n+1}}{(n+1)(1 + \theta x) ^{n+1}} \\
1443 |         \theta \in (0, 1)
1444 |     \end{gather*}
1445 | \end{answer}
1446 | \pagebreak
1447 | 
1448 | 
1449 | 
1450 | \begin{question}
1451 |     Выведите формулу Маклорена для функции $y = (1 + x)^\alpha$ с остаточным членом в форме Лагранжа.
1452 | \end{question}
1453 | \begin{answer}
1454 |     Найдём производные для функции $y = (1 + x)^\alpha$ до $n$-ого порядка:
1455 |     \begin{align*}
1456 |         &f'(x) = \alpha(1 + x)^{\alpha-1} \\
1457 |         &f''(x) = \alpha(\alpha - 1)(1 + x)^{\alpha - 2} \\
1458 |         &f'''(x) = \alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)(1 + x)^{\alpha - 3} \\
1459 |         &\ldots \\
1460 |         &f ^{(n)}(x) = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - n + 1)(1 + x) ^{\alpha - n}
1461 |     \end{align*}
1462 |     Подставим $x = 0$:
1463 |     \begin{align*}
1464 |         &f(0) = 1 \\
1465 |         &f'(0) = \alpha \\
1466 |         &f''(0) = \alpha(\alpha - 1) \\
1467 |         &f'''(0) = \alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2) \\
1468 |         &\ldots \\
1469 |         &f ^{(n)}(x) = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - n + 1)
1470 |     \end{align*}
1471 |     Получаем:
1472 |     \begin{gather*}
1473 |         (1 + x)^\alpha = 1 + \frac{\alpha}{1!} x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x ^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha - n + 1)}{n!} + \\
1474 |         + \frac{\alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - n)}{(n+1)!} \cdot (1 + \theta x) ^{\alpha - n - 1} \cdot x ^{n + 1} \\
1475 |         \theta \in (0, 1)
1476 |     \end{gather*}
1477 | \end{answer}
1478 | \pagebreak
1479 | 
1480 | 
1481 | 
1482 | \begin{question}
1483 |     Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции.
1484 | \end{question}
1485 | \begin{used}
1486 |     Используются определения №\ref{def:64}, №\ref{def:71}, теорема ``О связи дифференцируемости и непрерывности функции'', теорема Лагранжа.
1487 | \end{used}
1488 | \begin{theorem}[Необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемой функции]
1489 |     Дифференцируемая на интервале $(a, b)$ не убывает на этом интервале тогда и только тогда, когда  $f'(x) \ge 0$ $\forall x \in (a, b)$.
1490 | \end{theorem}
1491 | \begin{necessity}
1492 |     Дано: $y=f(x)$ не убывает на $(a, b)$. \\
1493 |     Доказать:  \[ 
1494 |         \forall x \in (a, b) \quad f'(x) \ge 0
1495 |     \] 
1496 |     В точке $x \in (a, b)$, в которой функция $f(x)$ дифференцируема, имеем:
1497 |     \begin{gather*}
1498 |         \Delta x > 0 \implies f(x + \Delta x) \ge f(x) \\
1499 |         \implies f'(x) = f_+(x) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \ge 0
1500 |     \end{gather*} 
1501 |     \begin{gather*}
1502 |         \Delta x < 0 \implies f(x) \ge f(x + \Delta x) \\
1503 |         \implies f'(x) = f_-(x) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \ge 0
1504 |     \end{gather*}
1505 |     Таким образом, $\forall x \in (a, b) \implies f'(x) \ge 0$ 
1506 | \end{necessity}
1507 | \begin{sufficiency}
1508 |     Дано: $\forall x \in (a, b) \quad f'(x) \ge 0$. \\
1509 |     Доказать: $y = f(x)$ не убывает на  $a, b$.
1510 |     \begin{gather*}
1511 |         \forall x_1, x_2 \in (a,b) : x_2 > x_1
1512 |     \end{gather*}
1513 |     Рассмотрим $[x_1, x_2]$. Функция на отрезке $[x_1, x_2]$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа:
1514 |     \begin{enumerate}
1515 |         \item Непрерывность на $[x_1, x_2]$. \\
1516 |         По условию $y = f(x)$ дифференцируема на интервале  $(a, b)$. По теореме о связи дифференцируемости и непрерывности функции  $\implies y=f(x)$ -- непрерывна на $[x_1, x_2]$.
1517 |         \item дифференцируемость на $(x_1, x_2)$ т.к. функция по условию дифференцируема на отрезке $[x_1, x_2]$.
1518 |     \end{enumerate}
1519 |     По теореме Лагранжа $\exists c \in (x_1, x_2)$: \[
1520 |         f(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
1521 |     \] 
1522 |     Т.к. $x_2 > x_1 \implies x_2 - x_1 > 0$. По условию $f'(x) \ge  0, \forall x \in (a, b) \implies f'(c) \ge 0$. \\
1523 |     Тогда:
1524 |     \begin{gather*}
1525 |         f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le 0 \\
1526 |         \implies f(x_2) - f(x_1) \ge  0 \text{ при } x_2 > x_1 \\
1527 |         f(x_2) \ge f(x_1) \text{ при } x_2 > x_1
1528 |     \end{gather*}
1529 |     $\implies$ по определению функция $y = f(x)$ не убывает на $(a, b)$.
1530 | \end{sufficiency}
1531 | \pagebreak
1532 | 
1533 | 
1534 | 
1535 | \begin{question}
1536 |     Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции.
1537 | \end{question}
1538 | \begin{used}
1539 |     Используются определения №\ref{def:64}, №\ref{def:69}.
1540 | \end{used}
1541 | \begin{theorem}[Необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции]
1542 |     Дифференцируемая на интервале $(a, b)$ не возрастает на этом интервале тогда и только тогда, когда  $f'(x) \le 0$ $\forall x \in (a, b)$.
1543 | \end{theorem}
1544 | \begin{necessity}
1545 |     Дано: $y=f(x)$ не возрастает на $(a, b)$. \\
1546 |     Доказать:  \[ 
1547 |         \forall x \in (a, b) \quad f'(x) \le 0
1548 |     \] 
1549 |     В точке $x \in (a, b)$, в которой функция $f(x)$ дифференцируема, имеем:
1550 |     \begin{gather*}
1551 |         \Delta x > 0 \implies f(x + \Delta x) \le f(x) \\
1552 |         \implies f'(x) = f_+(x) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \le 0
1553 |     \end{gather*} 
1554 |     \begin{gather*}
1555 |         \Delta x < 0 \implies f(x) \le f(x + \Delta x) \\
1556 |         \implies f'(x) = f_-(x) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \le 0
1557 |     \end{gather*}
1558 |     Таким образом, $\forall x \in (a, b) \implies f'(x) \le 0$ 
1559 | \end{necessity}
1560 | \begin{sufficiency}
1561 |     Дано: $\forall x \in (a, b) \quad f'(x) \le 0$. \\
1562 |     Доказать: $y = f(x)$ не возрастает на  $a, b$.
1563 |     \begin{gather*}
1564 |         \forall x_1, x_2 \in (a,b) : x_2 > x_1
1565 |     \end{gather*}
1566 |     Рассмотрим $[x_1, x_2]$. Функция на отрезке $[x_1, x_2]$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа:
1567 |     \begin{enumerate}
1568 |         \item Непрерывность на $[x_1, x_2]$. \\
1569 |         По условию $y = f(x)$ дифференцируема на интервале  $(a, b)$. По теореме о связи дифференцируемости и непрерывности функции  $\implies y=f(x)$ -- непрерывна на $[x_1, x_2]$.
1570 |         \item дифференцируемость на $(x_1, x_2)$ т.к. функция по условию дифференцируема на отрезке $[x_1, x_2]$.
1571 |     \end{enumerate}
1572 |     По теореме Лагранжа $\exists c \in (x_1, x_2)$: \[
1573 |         f(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
1574 |     \] 
1575 |     Т.к. $x_2 > x_1 \implies x_2 - x_1 > 0$. По условию $f'(x) \le  0, \forall x \in  (a, b) \implies f'(c) \le 0$. \\
1576 |     Тогда:
1577 |     \begin{gather*}
1578 |         f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le 0 \\
1579 |         \implies f(x_2) - f(x_1) \le  0 \text{ при } x_2 > x_1 \\
1580 |         f(x_2) \le  f(x_1) \text{ при } x_2 > x_1
1581 |     \end{gather*}
1582 |     $\implies$ по определению функция $y = f(x)$ не возрастает на $(a, b)$.
1583 | \end{sufficiency}
1584 | \pagebreak
1585 | 
1586 | 
1587 | 
1588 | \begin{question}
1589 |     Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по первой производной).
1590 | \end{question}
1591 | \begin{used}
1592 |     Используются определения №\ref{def:54}, №\ref{def:64}, №\ref{def:76}, №\ref{def:77}, №\ref{def:80}, теорема Лагранжа.
1593 | \end{used}
1594 | \begin{theorem}[Первое достаточное условие экстремума]
1595 |     Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна в $S(x_0)$, где $x_0$ -- критическая точка первого порядка; функция дифференцируема в $\mathring{S}(x_0)$. Тогда если производная функции меняет свой знак при переходе черех точку $x_0$, то эта точка $x_0$ -- точка экстремума. Причём:
1596 |     \begin{enumerate}
1597 |         \item Если при $x < x_0$ $f'(x) > 0$, а при  $x > x_0$ $f'(x) < 0$, то  $x_0$ -- точка максимума.
1598 |         \item Если при $x < x_0$ $f'(x) < 0$, а при  $x > x_0$ $f'(x) > 0$, то  $x_0$ -- точка минимума.
1599 |     \end{enumerate}
1600 | \end{theorem}
1601 | \begin{sufficiency}
1602 |     $\forall x \in S(x_0)$. Пусть $x > x_0$, тогда рассматриваем отрезок $[x_0, x]$. Тогда функция $y = f(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа:
1603 |     \begin{enumerate}
1604 |         \item Непрерывна на $[x_0, x]$, т.к. по условию функция непрерывна в $S(x_0)$, а следовательно $y=f(x)$ будет непрерывна и на меньшем промежутке $[x_0, x]$.
1605 |         \item Дифференцируема на $(x_0, x)$, т.к. по условию функция непрерывна в $\mathring{S}(x_0) \implies y = f(x)$ дифференцируема на $(x_0, x)$
1606 |     \end{enumerate}
1607 | 
1608 |     По теореме Лагранжа $\exists  c \in  (x_0, x)$ \[
1609 |         f'(c) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
1610 |     \]
1611 |     При $x > x_0$ $x - x_0 > 0$. 
1612 |     По условию \\
1613 |     1) при $x > x_0 \quad f'(x) < 0 \implies f'(c) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} < 0 \implies f(x) < f(x_0)$ по определению строгого  $x_0$ -- точка локального максимума.
1614 |     2) при $x < x_0 \quad f'(x) > 0 \implies f'(c) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0 \implies f(x) > f(x_0)$ по определению строгого  $x_0$ -- точка локального минимума.
1615 | 
1616 |     По теореме Лагранжа $\exists c \in (x, x_0)$: \[
1617 |         f'(c) = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}
1618 |     \] 
1619 |     Т.к. $x < x_0$, то $x - x_0 < 0 \implies x_0 - x > 0$.
1620 |     По условию \\
1621 |     1) при $x < x_0 \quad f'(x) > 0 \implies f'(c) = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x} > 0 \implies f(x_0) > f(x)$ по определению строгого  $x_0$ -- точка локального максимума.
1622 |     2) при $x > x_0 \quad f'(x) > 0 \implies f'(c) = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x} <` 0 \implies f(x) < f(x_0)$ по определению строгого  $x_0$ -- точка локального минимума.
1623 | \end{sufficiency}
1624 | \pagebreak
1625 | 
1626 | 
1627 | 
1628 | \begin{question}
1629 |     Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по второй производной).
1630 | \end{question}
1631 | \begin{used}
1632 |     Используются определения №\ref{def:64}, №\ref{def:74}, №\ref{def:75}, №\ref{def:81}.
1633 | \end{used}
1634 | \begin{theorem}[Второе достаточное условие экстремума]
1635 |     Пусть функция $y = f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x_0$, и $f'(x_0) = 0$. Тогда:
1636 |     \begin{enumerate}
1637 |         \item Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ -- точка строгого максимума. 
1638 |         \item Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ -- точка строгого минимума. 
1639 |     \end{enumerate}
1640 | \end{theorem}
1641 | \begin{sufficiency}
1642 |     Разложим функцию $y = f(x)$ в окрестности точки $x_0$ по формуле Тейлора:
1643 |     \begin{gather*}
1644 |         f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!} (x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + o((x - x_0)^{2})
1645 |     \end{gather*}
1646 |     Т.к. $f'(x_0) = 0$, то
1647 |     \begin{align*}
1648 |         f(x) = f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2) \\
1649 |         f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)
1650 |     \end{align*}
1651 |     Знак $f(x) - f(x_0)$ определяет $f''(x_0)$, т.к. $o((x - x_0)^2)$ -- б.м.ф. при $x \to  x_0$. 
1652 | 
1653 |     Если $f(x) - f(x_0) < 0$ то $f(x) < f(x_0)$, $\forall x \in  S(x_0)$.
1654 |     По определению $x_0$ -- точка локального максимума.
1655 | 
1656 |     Если $f(x) - f(x_0) > 0$ то $f(x) > f(x_0)$, $\forall x \in  S(x_0)$.
1657 |     По определению $x_0$ -- точка локального минимума.
1658 | \end{sufficiency}
1659 | \pagebreak
1660 | 
1661 | 
1662 | 
1663 | \begin{question}
1664 |     Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции.
1665 | \end{question}
1666 | \begin{used}
1667 |     Используются определения №\ref{def:64}, №\ref{def:86}, №\ref{def:87}.
1668 | \end{used}
1669 | \begin{theorem}[Достаточное условие выпуклости функции]
1670 |     Пусть функция $y = f(x)$ дважды дифференцируема на интервале  $(a, b)$. 
1671 |     Тогда: 
1672 |     \begin{enumerate}
1673 |         \item Если  $f''(x) < 0 \forall  x \in (a, b)$, то график функции \textit{выпуклый вверх} на этом интервале
1674 |         \item Если  $f''(x) > 0 \forall  x \in (a, b)$, то график функции \textit{выпуклый вниз} на этом интервале
1675 |     \end{enumerate}
1676 | \end{theorem}
1677 | \begin{sufficiency}
1678 |     \begin{gather*}
1679 |         x_0 \in (a, b), y_0 = f(x_0) \implies M_0(x_0, y_0)
1680 |     \end{gather*}
1681 |     Построим в точке $M_0$ касательную к графику функции $y = f(x)$. Запишем уравнение касательной:
1682 |     \begin{gather*}
1683 |         y = y_0 = y'(x_0)(x - x_0) 
1684 |     \end{gather*}
1685 |     Преобразуем:
1686 |     \begin{gather*}
1687 |         y_k = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \tag{1} 
1688 |     \end{gather*}
1689 |     Представим функцию $y=f(x)$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
1690 |     \begin{gather*}
1691 |         f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}x + \frac{f''(c)}{2!}(x - x_0)^2, \quad c \in S(x_0) \tag{2} 
1692 |     \end{gather*}
1693 |     Вычтем (1) из (2):
1694 |     \begin{gather*}
1695 |         f(x) - y_k = f(x_0) + \frac{f'(x_{0})}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(c)}{2!}(x - x_0)\\
1696 |              - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)^2 \\
1697 |         f(x) - y_k = \frac{f''(c)}{2!}(x - x_0)^2
1698 |     \end{gather*}
1699 |     \begin{enumerate}
1700 |         \item По условию $f''(x) < 0 \nobreakspace \forall x \in (a, b)$, то $f''(c) < 0 \implies f(x) - y_0 < 0 \implies f(x) < y_k$, а значит по определению выпуклой функции $\implies$ график функции $y = f(x)$ выпуклый вверх.
1701 |         \item По условию $f''(x) > 0 \nobreakspace \forall x \in (a, b)$, то $f''(c) > 0 \implies f(x) - y_0 > 0 \implies f(x) > y_k$, а значит по определению выпуклой функции $\implies$ график функции $y = f(x)$ выпуклый вниз.
1702 |     \end{enumerate}
1703 | \end{sufficiency}
1704 | \pagebreak
1705 | 
1706 | 
1707 | 
1708 | \begin{question}
1709 |     Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба.
1710 | \end{question}
1711 | \begin{used}
1712 |     Используются определения №\ref{def:64}, №\ref{def:88}.
1713 | \end{used}
1714 | \begin{theorem}[необходимое условие точки перегиба]
1715 |     Пусть функция $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет \textit{непрерывную} вторую производную и $M(x_0, y_0)$ -- точка перегиба графика функции $y = f(x)$. Тогда $f''(x_0) = 0$.
1716 | \end{theorem}
1717 | \begin{necessity}
1718 |     Докажем методом от противного. 
1719 |     Предположим, что $f''(x_0) > 0$. В силу непрерывности второй производной функции  $y = f(x)$ $\exists  S(x_0) \forall  x \in S(x_0) : f''(x) > 0$. Это противоречит тому, что $M_0(x_0, y_0)$ -- точка перегиба.
1720 |     Предположим, что $f''(x_0) < 0$. В силу непрерывности второй производной функции  $y = f(x) \nobreakspace \exists S(x_0) \nobreakspace \forall  x \in S(x_0) : f''(x) < 0$. Это противоречит тому, что $M_0(x_0, y_0)$ -- точка перегиба.
1721 | \end{necessity}
1722 | \pagebreak
1723 | 
1724 | 
1725 | 
1726 | \begin{question}
1727 |     Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба.
1728 | \end{question}
1729 | \begin{used}
1730 |     Используются определения №\ref{def:50}, №\ref{def:88}.
1731 | \end{used}
1732 | \begin{theorem}[Достаточное условие точки перегиба]
1733 |     Если функция $y = f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, дважды дифференцируема в $S(x_0)$ и вторая производная меняет знак при переходе аргумента $x$ через точку $x_0$. Тогда $M_0(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба графика функции $y = f(x)$.
1734 | \end{theorem}
1735 | \begin{sufficiency}
1736 |     По условию $\exists S(x_0)$ в которой вторая производная функции $y = f(x)$ меняет знак при переходе аргумента $x$ через точку $x_0$ (даёт достаточное условие выпуклости функции).
1737 |     Это означает, что график функции $y = f(x)$ имеет различные направление выпуклости по разные стороны от точки $x_0$.
1738 |     По определению точки перегиба $M(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба графика функции $y = f(x)$.
1739 | \end{sufficiency}
1740 | \pagebreak
1741 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/rc01/mathematical_analysis_rc01.pdf:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/mathematical_analysis/rc01/mathematical_analysis_rc01.pdf


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/rc01/mathematical_analysis_rc01.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | \documentclass[a4paper]{article}
2 | \input{../../common/preamble.tex}
3 | 
4 | \begin{document}
5 |   \title{Подготовка в рубежному контролю}
6 |   \input{./theory.tex} 
7 | \end{document}
8 | 
9 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/mathematical_analysis/rc01/theory.tex:
--------------------------------------------------------------------------------
  1 | \rc{Математический анализ. Подготовка к РК№1}
  2 | 
  3 | \section{Теоретические вопросы}
  4 | 
  5 | \subsection{Определения}
  6 | 
  7 | \begin{question}
  8 |   Сформулируйте определение окрестности точки $x \in \R$. 
  9 | \end{question}
 10 | \begin{answer}
 11 |   Окрестностью точки $x$ называется любой интервал, содержащий данную точку.
 12 | \end{answer}
 13 | 
 14 | \begin{question}
 15 |   Сформулируйте определение $\varepsilon$-окрестности точки $x \in \R$.
 16 | \end{question}
 17 | \begin{answer}
 18 |   $\varepsilon$-окрестностью точки $x$ называется интервал с центром в точке $x$ и длиной $2\varepsilon$. \[
 19 |     S(x, \varepsilon) \quad \text{или} \quad u_{\varepsilon}(x)
 20 |   \] 
 21 | \end{answer}
 22 | 
 23 | \begin{question}
 24 |    Сформулируйте определение окрестности $+\infty$.
 25 | \end{question}
 26 | \begin{answer}
 27 |   Окрестностью $+\infty$ называется любой интервал вида: \[
 28 |   S(a, +\infty), \quad a > 0
 29 |   \] 
 30 | \end{answer}
 31 | 
 32 | \begin{question}
 33 |    Сформулируйте определение окрестности $-\infty$.
 34 | \end{question}
 35 | \begin{answer}
 36 |   Окрестностью $-\infty$ называется любой интервал вида: \[
 37 |   S(-\infty, -a), \quad a > 0
 38 |   \] 
 39 | \end{answer}
 40 | 
 41 | \begin{question}
 42 |    Сформулируйте определение окрестности $\infty$.
 43 | \end{question}
 44 | \begin{answer}
 45 |   Окрестностью $\infty$ называется любой интервал вида:
 46 |   \begin{align*}
 47 |     S(\infty, a) &= S(-\infty, -a) \cup S(a, +\infty) \\
 48 |             &= (-\infty, -a) \cup (a, +\infty), a > 0
 49 |   \end{align*}
 50 | \end{answer}
 51 | 
 52 | \begin{question}
 53 |   Сформулируйте определение предела последовательности.
 54 | \end{question}
 55 | \begin{answer}
 56 |  Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_{n}\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ найдётся натуральное число $N(\varepsilon)$ такое, что если порядковый номер $n$ члена последовательности станет больше $N(\varepsilon)$, то имеет место неравенство $|x_{n} - a| < \varepsilon$.\[
 57 |  \lim_{n \to \infty} x_{n} = a \iff (\forall \varepsilon > 0)(\exists N(\varepsilon) \in \N)(\forall  n > N(\varepsilon) \implies |x_{n} - a| < \varepsilon) 
 58 |  \] 
 59 | \end{answer}
 60 | 
 61 | \begin{question}
 62 |   Сформулируйте определение сходящейся последовательности.
 63 | \end{question}
 64 | \begin{answer}
 65 |   Последовательность, имеющая предел, назыается сходящейся.
 66 | \end{answer}
 67 | 
 68 | \begin{question}
 69 |   Сформулируйте определение ограниченной последовательности.
 70 | \end{question}
 71 | \begin{answer}
 72 |   Последовательность $\{x_{n}\}$ называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е.: \[
 73 |   \exists M, m : \forall n \in \N \implies m \le x_{n} \le M
 74 |   \] 
 75 | \end{answer}
 76 | 
 77 | \begin{question}
 78 |   Сформулируйте определение монотонной последовательности.
 79 | \end{question}
 80 | \begin{answer}
 81 |   Последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей.
 82 | \end{answer}
 83 | 
 84 | \begin{question}
 85 |   Сформулируйте определение возрастающей последовательности.
 86 | \end{question}
 87 | \begin{answer}
 88 |   Последовательность чисел $\{x_n\}$ называется возрастающей, если $x_{n+1} > x_{n}$, $n \in \N$.
 89 | \end{answer}
 90 | 
 91 | \begin{question}
 92 |   Сформулируйте определение убывающей последовательности.
 93 | \end{question}
 94 | \begin{answer}
 95 |   Последовательность чисел $\{x_{n}\}$ называется убывающей, если $x_{n+1} < x_{n}$.
 96 | \end{answer}
 97 | 
 98 | \begin{question}
 99 |   Сформулируйте определение невозрастающей последовательности.
100 | \end{question}
101 | \begin{answer}
102 |   Последовательность чисел $\{x_{n}\}$ называется невозрастающей, если $x_{n+1} \le x_{n}$.
103 | \end{answer}
104 | 
105 | \begin{question}
106 |   Сформулируйте определение неубывающей последовательности.
107 | \end{question}
108 | \begin{answer}
109 |   Последовательность чисел $\{x_{n}\}$ называется неубывающей, если $x_{n+1} \ge x_{n}$.
110 | \end{answer}
111 | 
112 | \begin{question}
113 |   Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.
114 | \end{question}
115 | \begin{answer}
116 |   Последовательность $\{x_{n}\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ существует свой порядковый номер $N(\varepsilon)$ такой, что при всех $n \ge N(\varepsilon)$ и $m \ge N(\varepsilon)$ выполнено неравенство $|x_{n} - x_{m}| < \varepsilon$. 
117 |   \begin{gather*}
118 |     (\forall \varepsilon > 0)(\exists N(\varepsilon) \in \N)(\forall n, m \ge N(\varepsilon) \implies |x_{n} - x_{m}| < \varepsilon)
119 |   \end{gather*}
120 | \end{answer}
121 | 
122 | \begin{question}
123 |   Сформулируйте критерий Коши существования предела последовательности.
124 | \end{question}
125 | \begin{answer}
126 |   Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной.
127 | \end{answer}
128 | 
129 | \begin{question}
130 |   Сформулируйте определение по Гейне предела функции.
131 | \end{question}
132 | \begin{answer}
133 |   Число a называется пределом $y=f(x)$ в точке $x_0$, если эта функция определена в окрестности точки $a$ и $\forall$ последовательнсти $\{x_n\}$ из области определения этой функции, сходящейся к $x_0$ соответствующая последовательность функций $\{f(x_{n})\}$ сходится к $a$. \[
134 |     \lim_{x \to x_0} f(x) = a \iff (\forall x_{n} \in D_f)(\lim_{n \to \infty} x_{n} = x_{0} \implies \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = a)
135 | \] 
136 | \end{answer}
137 | 
138 | \begin{question}
139 |   Сформулируйте определение бесконечно малой функции при $x \to x_0$. 
140 | \end{question}
141 | \begin{answer}
142 |   Функция называется бесконечно малой при $x \to x_0$, если: \[
143 |     \lim_{x \to x_0} f(x) = 0
144 |   \] 
145 | \end{answer}
146 | 
147 | \begin{question}
148 |   Сформулируйте определение бесконечно большой функции.
149 | \end{question}
150 | \begin{answer}
151 |   Функция называется бесконечно большой при $x \to x_0$, если: \[
152 |     \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty
153 |   \] 
154 | \end{answer}
155 | 
156 | \begin{question}
157 |   Сформулируйте определение бесконечно малых функций одного порядка.
158 | \end{question}
159 | \begin{answer}
160 |   Две б.м.ф. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются одного порядка малости, если: \[
161 |     \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = const \neq 0
162 |   \] 
163 | \end{answer}
164 | 
165 | \begin{question}
166 |   Сформулируйте определение несравнимых бесконечно малых функций. 
167 | \end{question}
168 | \begin{answer}
169 |   Две б.м.ф. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются \textit{несравнимыми} , если: \[
170 |     \not \exists \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}
171 |   \]   
172 | \end{answer}
173 | 
174 | \begin{question}
175 |   Сформулируйте определение эквивалентных бесконечно малых функций. 
176 | \end{question}
177 | \begin{answer}
178 |   Две б.м.ф. $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются \textit{эквивалентными} , если: \[
179 |     \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1
180 |   \]
181 | \end{answer}
182 | 
183 | \begin{question}
184 |   Сформулируйте определение порядка малости одной функции относительно
185 | другой.
186 | \end{question}
187 | \begin{answer}
188 |   Б.м.ф. $\alpha(x)$ имеет порядок малости $k$ относительно функции б.м.ф.  $\beta(x)$, если: \[
189 |     \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = const \neq 0
190 |   \]
191 | \end{answer}
192 | 
193 | \begin{question}
194 |   Сформулируйте определение приращения функции. 
195 | \end{question}
196 | \begin{answer}
197 |   \[
198 |   \Delta y = f(x) - f(x_0)
199 |   \] 
200 | \end{answer}
201 | 
202 | \begin{question}
203 |   Cформулируйте определение непрерывности функции в точке (любое). 
204 | \end{question}
205 | \begin{answer}
206 |   Любой ответ из:
207 |   \begin{enumerate}
208 |     \item Функция $f(x)$, определённая в некоторой окрестности точки $x_0$, называется непрерывной в этой точке если: \[
209 |         \exists \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
210 |       \]
211 |   
212 |     \item Функция $y = f(x)$, определённая в некоторой окрестности точки $x_0$, называется непрерывной в этой точке, если в достаточно малой окрестности точки $x_0$ значение функции близки к $f(x_0)$.
213 |       \[
214 |         (\forall  \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall x \in \mathring{S}(x_0, \delta) \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon)
215 |       \]
216 |     
217 |     \item Функция $y = f(x)$ в некоторой окрестности точки $x_0$ называется непрерывной в этой точке, если выполняются условия:
218 |       \begin{align*}
219 |         &1. \quad \exists \lim_{x \to x_0+} f(x) \\
220 |         &2. \quad \exists \lim_{x \to x_0-} f(x) \\
221 |         &3. \quad \lim_{x \to x_0+} f(x) = \lim_{x \to x_0-} f(x) = f(x_0) \\
222 |       \end{align*}
223 | 
224 |     \item Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. \[
225 |       \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0
226 |     \] 
227 |   \end{enumerate}
228 | \end{answer}
229 | 
230 | \begin{question}
231 |   Сформулируйте определение непрерывности функции на интервале.
232 | \end{question}
233 | \begin{answer}
234 |   Функция $y = f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
235 | \end{answer}
236 | 
237 | \begin{question}
238 |   Сформулируйте определение непрерывности функции на отрезке.
239 | \end{question}
240 | \begin{answer}
241 |   Функция $y = f(x) $ называется непрерывной на отрезке $[a, b]$, если:
242 |   \begin{enumerate}
243 |     \item Непрерывна на интервале $(a, b)$
244 |     \item Непрерывна в точке $a$ справа
245 |     \item Непрерывна в точке $b$ слева
246 |   \end{enumerate}
247 | \end{answer}
248 | 
249 | \begin{question}
250 |   Сформулируйте опредление точки разрыва.
251 | \end{question}
252 | \begin{answer}
253 |   Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой точке проколотой окрестности точки $x_0$ непрерывна в любой точке этой окрестности (за исключением самой точки $x_0$).
254 |   Тогда точка $x_0$ называется точкой разрыва функции.
255 | \end{answer}
256 | 
257 | \begin{question}
258 |   Сформулируйте определение точки устранимого разрыва.
259 | \end{question}
260 | \begin{answer}
261 |   Если точка $x_0$ -- точка разрыва первого рода функции $y = f(x)$, и предел  $\lim_{x \to x_0+} f(x) = \lim_{x \to x_0-} f(x)$, но $\neq f(x_0)$, то точка $x_0$ называется точкой устранимого разрыва.
262 | \end{answer}
263 | 
264 | \begin{question}
265 |   Сформулируйте определение точки разрыва I рода.
266 | \end{question}
267 | \begin{answer}
268 |   Если точка $x_0$ -- точка разрыва функции $y = f(x)$ и существуют конечные пределы $\lim_{x \to x_0+} f(x)$ и $\lim_{x \to x_0-} f(x)$, то $x_0$ называют точкой I-го рода.
269 | \end{answer}
270 | 
271 | \begin{question}
272 |   Сформулируйте определение точки разрыва II рода.
273 | \end{question}
274 | \begin{answer}
275 |   Если точка $x_0$ -- точка разрыва функции $y = f(x)$ и \textbf{не} существуют конечные пределы $\lim_{x \to x_0+} f(x)$ и $\lim_{x \to x_0-} f(x)$ или $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$, то $x_0$ называется точкой разрыва II-го рода.
276 | \end{answer}
277 | 
278 | 
279 | \subsection{Определение предела по Коши}
280 | 
281 | \begin{question}
282 |   Сформулируйте определение по Коши $\lim_{x \to 0} f(x) = b$, где $b \in \R$.
283 | Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
284 | \end{question}
285 | \begin{answer}
286 |   Определение:
287 |   \begin{gather*}
288 |     \lim_{x \to 0} f(x) = b \\
289 |     \iff \\
290 |     (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall x \in \mathring{S}(0, \delta) \implies |f(x) - b| < \varepsilon)
291 |   \end{gather*}
292 | 
293 |   Пример: \[
294 |     \lim_{x \to 0} (x + b) = b  
295 |   \] 
296 | \end{answer}
297 | 
298 | \begin{question}
299 |   Сформулируйте определение по Коши $\lim_{x \to a} = +\infty$, где $a \in \R$.
300 | Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
301 | \end{question}
302 | \begin{answer}
303 |   Определение:
304 |   \begin{gather*}
305 |     \lim_{x \to a} = +\infty \\
306 |     \iff \\
307 |     (\forall M > 0)(\exists \delta(M) > 0)(\forall x \in S(a, \delta) \implies f(x) > M) 
308 |   \end{gather*}
309 |   Пример: \[
310 |   \lim_{x \to a} \frac{1}{|x - a|} = +\infty
311 |   \] 
312 | \end{answer}
313 | 
314 | \begin{question}
315 |   Сформулируйте определние по Коши $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.
316 | Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
317 | \end{question}
318 | \begin{answer}
319 |   Определение:
320 |   \begin{gather*}
321 |     \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \\
322 |     \iff \\
323 |     (\forall \varepsilon > 0)(\exists N(\varepsilon) > 0)(\forall |x| > N \implies |f(x)| < \varepsilon)
324 |   \end{gather*}
325 |   Пример: \[
326 |     \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
327 |   \] 
328 | \end{answer}
329 |   
330 | \begin{question}
331 |   Сформулируйте определние по Коши $\lim_{x \to a-0} f(x) = -\infty$, где $a \in \R$.
332 | Приведите соответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).
333 | \end{question}
334 | \begin{answer}
335 |   Определение:
336 |   \begin{gather*}
337 |     \lim_{x \to a - 0} f(x) = -\infty \\
338 |     \iff \\
339 |     (\forall M > 0)(\exists \delta(M) > 0)(\forall x \in (a - \delta, a) \implies f(x) < -M)
340 |   \end{gather*}
341 | 
342 |   Пример: \[
343 |     \lim_{x \to a - 0} \frac{1}{x - a} = -\infty
344 |   \] 
345 | \end{answer}
346 | 
347 | 
348 | \subsection{Формулировка теорем}
349 | 
350 | \begin{question}
351 |   Сформулируйте теорему об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
352 | \end{question}
353 | \begin{answer}
354 |   Любая сходящаяся последовательность ограничена.
355 | \end{answer}
356 | 
357 | \begin{question}
358 |   Сформулируйте теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.  
359 | \end{question}
360 | \begin{answer}
361 |   Функция $y = f(x)$ имеет конечный предел в точке  $x_0$ тогда и только тогда, когда её можно представить в виде суммы предела и некоторой бесконечно малой функции.
362 | \end{answer}
363 | 
364 | \begin{question}
365 |   Сформулируйте теорему о сумме конечного числа бесконечно малых функций.
366 | \end{question}
367 | \begin{answer}
368 |   Конечная сумма бесконечно малых функции есть бесконечно малая функция.
369 | \end{answer}
370 | 
371 | \begin{question}
372 |   Сформулируйте теорему о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию.
373 | \end{question}
374 | \begin{answer}
375 |   Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть величина бесконечно малая.  
376 | \end{answer}
377 | 
378 | \begin{question}
379 |   Сформулируйте теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
380 | \end{question}
381 | \begin{answer}
382 |   Если $\alpha(x)$ - бесконечно большая функция при $x \to x_0$, то $\frac{1}{\alpha(x)}$ - бесконечно малая функция при $x \to x_0$.  
383 | \end{answer}
384 | 
385 | \begin{question}
386 |   Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых.
387 | \end{question}
388 | \begin{answer}
389 |   Две функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность имеет более высокий порядок малости по сравнению с каждой из них.
390 | \end{answer}
391 | 
392 | \begin{question}
393 |   Сформулируйте теорему о сумме бесконечно малых разных порядков
394 | \end{question}
395 | \begin{answer}
396 |   Сумма бесконечно малых функций разных порядком малости эквивалентно слагаемому низшего порядка малости.
397 | \end{answer}
398 | 
399 | 
400 | 


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/computer.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/computer.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/flowchart.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/flowchart.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/plt_bar.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/plt_bar.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/plt_fig1.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/plt_fig1.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/plt_fig2.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/plt_fig2.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/plt_fig3.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/plt_fig3.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/plt_hist.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/plt_hist.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/images/plt_pie.png:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/images/plt_pie.png


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/programming-qa-exam.pdf:
--------------------------------------------------------------------------------
https://raw.githubusercontent.com/zhikh23/iu7-qa/b15ba274129f8765bbf6cea3d3b33aa6bd083b72/sem01/programming/exam/programming-qa-exam.pdf


--------------------------------------------------------------------------------
/sem01/programming/exam/styles/header-styles.css:
--------------------------------------------------------------------------------
1 | h2, h3 {
2 |     font-weight: bold;
3 | }
4 | 
5 | h4 {
6 |     font-weight: bold;
7 | }
8 | 


--------------------------------------------------------------------------------